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- Ein Prozentsatz lässt sich immer als Bruch mit dem Nenner 100 schreiben. - Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, kannst du Zähler durch Nenner teilen. - Denk beim Kürzen daran, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren.

1. Umwandlung von \(12\,\%\): \(12\,\% = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}\) (gekürzt) \(12\,\% = 0{,}12\) 2. Umwandlung von \(\frac{5}{8}\): \(\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625\) \(0{,}625 = 62{,}5\,\%\) 3. Umwandlung von \(0{,}05\): \(0{,}05 = 5\,\%\) \(5\,\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}\) (gekürzt)

(1) \(\frac{3}{25}\); (2) \(0{,}12\); (3) \(0{,}625\); (4) \(62{,}5\,\%\); (5) \(\frac{1}{20}\); (6) \(5\,\%\)

- Überlege dir zuerst, was das „Ganze“ ist, was der „Anteil als Zahl“ und was der „Anteil in Prozent“. - Kannst du die Aufgabe in die Form „\(p\,\%\) von \(G\) ist \(W\)“ bringen? - Bei b) hilft es, den Anteil erst als Bruch zu schreiben und diesen dann auf den Nenner 100 zu erweitern. - Bei c) weißt du, wie viel \(10\,\%\) sind. Wie oft passen \(10\,\%\) in das Ganze (\(100\,\%\))?

1. Teilaufgabe a): Gesucht ist der Prozentwert \(W\). Berechnung: \(W = 400\,\text{m} \cdot 0{,}15 = 60\,\text{m}\). 2. Teilaufgabe b): Gesucht ist der Prozentsatz \(p\,\%\). Berechnung: \(\frac{12}{60} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\,\%\). 3. Teilaufgabe c): Gesucht ist der Grundwert \(G\). Berechnung: \(5\,\text{€} : 0{,}1 = 50\,\text{€}\).

a) Gesucht: Prozentwert; Ergebnis: \(60\,\text{m}\) b) Gesucht: Prozentsatz; Ergebnis: \(20\,\%\) c) Gesucht: Grundwert; Ergebnis: \(50\,\text{€}\)

- Welche Zahl stellt das Ganze dar und welche den Anteil? - Überlege dir für jede Teilaufgabe, ob du den Anteil als Zahl, den Anteil in Prozent oder die Gesamtzahl suchst. - Es kann helfen, die Prozentangabe zuerst in einen Dezimalbruch umzuwandeln.

1. Berechnung des Prozentsatzes für die Tennisabteilung: \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{40}{200} = 0{,}2 = 20\,\%\). 2. Berechnung des Prozentwerts für die Schwimmabteilung: \(W = G \cdot p\,\% = 120 \cdot 0{,}15 = 18\). 3. Berechnung des Grundwerts für den gesamten Verein: \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{12}{0{,}05} = 240\).

a) Gesucht ist der Prozentsatz: \(20\,\%\) b) Gesucht ist der Prozentwert: \(18\) Kinder c) Gesucht ist der Grundwert: \(240\) Mitglieder

- Überlege dir zuerst, welche der drei Größen (Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert) jeweils gesucht ist. - Erinnere dich an die Grundformel der Prozentrechnung und wie man sie nach der gesuchten Größe umstellt. - Du kannst den Prozentsatz als Dezimalzahl oder als Bruch schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Prozentwerts: \(W = G \cdot p\,\% = 450\,\text{€} \cdot 12\,\% = 450\,\text{€} \cdot 0{,}12 = 54\,\text{€}\). 2. Berechnung des Prozentsatzes: \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{20\,\text{kg}}{80\,\text{kg}} = 0{,}25 = 25\,\%\). 3. Berechnung des Grundwerts: \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{15\,\text{m}}{5\,\%} = \frac{15\,\text{m}}{0{,}05} = 300\,\text{m}\).

Die fehlenden Werte sind: 1. \(W = 54\,\text{€}\) 2. \(p\,\% = 25\,\%\) 3. \(G = 300\,\text{m}\)

- Überlege dir zuerst, welche der drei Größen (Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert) jeweils gesucht ist. - Kannst du den Prozentsatz als Bruch oder Dezimalzahl schreiben? - Hilft dir die Vorstellung von Anteilen (z. B. \(25\,\%\) ist ein Viertel)?

1. Berechnung von \(10\,\%\) von \(450\,\text{m}\): \(450\,\text{m} \cdot 0{,}10 = 45\,\text{m}\). 2. Berechnung des Grundwerts bei \(W = 12\,\text{kg}\) und \(p = 25\,\%\): \(G = \frac{12\,\text{kg}}{0{,}25} = 48\,\text{kg}\). 3. Berechnung des Prozentsatzes bei \(W = 20\,\text{€}\) und \(G = 80\,\text{€}\): \(p = \frac{20\,\text{€}}{80\,\text{€}} = 0{,}25 = 25\,\%\). 4. Berechnung des Prozentwerts bei \(p = 150\,\%\) und \(G = 60\): \(W = 60 \cdot 1{,}50 = 90\).

a) \(45\,\text{m}\) b) \(48\,\text{kg}\) c) \(25\,\%\) d) \(90\)

- Überlege dir, wie man einen Anteil von einem Ganzen berechnet. - Wie kann man einen Bruch wie ein Drittel in eine Rechnung mit der Gesamtzahl einbauen? - Was bedeutet das Wort „Prozent“ übersetzt für deine Rechnung? - Vergleiche am Ende die berechneten absoluten Zahlen miteinander.

1. Berechnung der Fußballspieler: \(240 \cdot 0{,}25 = 60\). 2. Berechnung der Anzahl der Jugendlichen, die ein Instrument spielen: \(240 : 3 = 80\). 3. Berechnung der Theater-Interessenten: \(240 \cdot 0{,}15 = 36\). 4. Vergleich der Gruppengrößen: Die Gruppe der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, ist mit \(80\) Personen die größte, da \(80 > 60 > 36\).

a) Es sind \(60\) Fußballspieler. b) Es sind \(80\) Schülerinnen und Schüler, die ein Instrument spielen. c) Es sind \(36\) Interessenten für die Theater-AG. d) Die Gruppe der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, ist die größte (\(80\) Personen).

- Überlege dir, in welche Darstellung (Bruch, Dezimalzahl oder Prozent) du alle Werte am einfachsten umrechnen kannst, um sie zu vergleichen. - Erinnere dich daran, wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt, indem man den Zähler durch den Nenner teilt. - Wie viel Prozent entspricht eine Dezimalzahl, wenn du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschiebst?

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen oder Prozentsätze zum besseren Vergleich: - \(0{,}35 = 35\,\%\) - \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\) - \(36\,\%\) bleibt gleich - \(\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0{,}\overline{3} \approx 33{,}3\,\%\) 2. Vergleich der Werte: \(33{,}\overline{3}\,\% < 35\,\% < 36\,\% < 37{,}5\,\%\) 3. Anordnung der ursprünglichen Werte: \(\frac{1}{3} < 0{,}35 < 36\,\% < \frac{3}{8}\)

\(\frac{1}{3} < 0{,}35 < 36\,\% < \frac{3}{8}\)

- Bestimme zuerst den Anteil als Bruch: Anzahl der betreffenden Personen geteilt durch die Gesamtzahl der Klasse. - Überlege dir, wie du den Nenner 25 auf 100 erweitern kannst, um den Prozentsatz direkt abzulesen. - Die Summe aller Teilprozentsätze muss immer \(100\,\%\) ergeben.

1. Teilaufgabe a: Anteil Fußballer ist \(\frac{15}{25}\). Gekürzt mit 5 ergibt das \(\frac{3}{5}\). Umwandlung in Prozent: \(\frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 60\,\%\). 2. Teilaufgabe b: Anteil Tennisspieler ist \(\frac{6}{25}\). Umwandlung in Dezimalzahl: \(6 : 25 = 0{,}24\). Umwandlung in Prozent: \(0{,}24 = 24\,\%\). 3. Teilaufgabe c: Anzahl der Jugendlichen ohne Sport: \(25 - 15 - 6 = 4\). Anteil: \(\frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 16\,\%\). Alternativ über die Prozentsätze: \(100\,\% - 60\,\% - 24\,\% = 16\,\%\).

a) \(\frac{3}{5}\) bzw. \(60\,\%\); b) \(0{,}24\) bzw. \(24\,\%\); c) \(16\,\%\)

- Welcher Wert ist der Grundwert? - Wie berechnet man \(72\,\%\) von \(45\,\text{km}\)?

Die Reichweite bei Kälte ist der Prozentwert zum Grundwert \(45\,\text{km}\) und zum Prozentsatz \(72\,\%\): \(45\,\text{km} \cdot 0{,}72 = 32{,}4\,\text{km}\).

Die Reichweite bei Kälte beträgt \(32{,}4\,\text{km}\).

- Versuche, alle Zahlen in die gleiche Darstellung zu bringen, zum Beispiel alle als Dezimalzahl oder alle als Prozentsatz. - Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl um? - Was bedeutet das Prozentzeichen übersetzt als Bruch mit dem Nenner 100? - Kannst du Brüche kürzen oder erweitern, um sie besser vergleichen zu können?

1. Umwandlung aller Werte in eine vergleichbare Form (z. B. Dezimalzahlen oder Prozentsätze): - \(\frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\) - \(0{,}75 = 75\,\%\) - \(7{,}5\,\% = 0{,}075\) - \(75\,\% = 0{,}75\) - \(\frac{75}{10} = 7{,}5 = 750\,\%\) - \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte \(\frac{3}{4}\), \(0{,}75\), \(75\,\%\) und \(\frac{6}{8}\) sind alle gleich \(0{,}75\). 3. Die Werte \(7{,}5\,\%\) und \(\frac{75}{10}\) bilden jeweils eine eigene Einzelgruppe.

Die Werte \(\frac{3}{4}\), \(0{,}75\), \(75\,\%\) und \(\frac{6}{8}\) bilden eine Gruppe, da sie alle denselben Anteil beschreiben. \(7{,}5\,\%\) und \(\frac{75}{10}\) bilden jeweils eine eigene Einzelgruppe.

- Überlege dir zuerst, welche der drei Grundformeln der Prozentrechnung du jeweils benötigst. - Wandle den Prozentsatz für die Rechnung in eine Dezimalzahl um. - Kontrolliere dein Ergebnis: Ist der Prozentwert bei einem Prozentsatz unter \(100\,\%\) kleiner als der Grundwert?

1. Berechnung von \(W\) für Teil a): Anwendung der Formel \(W = G \cdot p\,\% = 450 \cdot 0{,}12 = 54\). 2. Berechnung von \(p\,\%\) für Teil b): Anwendung der Formel \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{48}{600} = 0{,}08\). Umwandlung in Prozentsatz ergibt \(8\,\%\). 3. Berechnung von \(G\) für Teil c): Anwendung der Formel \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{10{,}5}{0{,}07} = 150\).

a) \(W = 54\) b) \(p\,\% = 8\,\%\) c) \(G = 150\)

- Kannst du den Nenner des Bruchs auf eine Zehnerpotenz wie 10, 100 oder 1000 bringen? - Was bedeutet das Prozentzeichen übersetzt als Nenner eines Bruchs? - Beim Kürzen hilft es, nach gemeinsamen Teilern von Zähler und Nenner zu suchen.

1. Umwandlung von \(\frac{7}{25}\): Erweiterung mit \(4\) ergibt \(\frac{28}{100}\), also \(0{,}28\). 2. Umwandlung von \(0{,}08\): Als Bruch \(\frac{8}{100}\). Kürzen durch \(4\) ergibt \(\frac{2}{25}\). 3. Umwandlung von \(1 \frac{3}{4}\): \(1 + 0{,}75 = 1{,}75\). 4. Umwandlung von \(12{,}5\,\%\): Division durch \(100\) ergibt \(0{,}125\). 5. Umwandlung von \(0{,}375\): Als Bruch \(\frac{375}{1\,000}\). Kürzen durch \(125\) ergibt \(\frac{3}{8}\).

(1) \(0{,}28\) (2) \(\frac{2}{25}\) (3) \(1{,}75\) (4) \(0{,}125\) (5) \(\frac{3}{8}\)

- Wenn du weißt, wie viel \(20\,\%\) sind, wie kannst du dann auf \(100\,\%\) schließen? - Kannst du das Ergebnis von b) berechnen, ohne den Grundwert \(G\) vorher zu kennen? - Überlege, wie sich der Prozentwert verändert, wenn sich der Prozentsatz bei gleichem Grundwert vergrößert.

1. Berechnung des Grundwertes \(G\): \(G = \frac{48}{0{,}20} = 240\). 2. Berechnung von \(75\,\%\) von \(G\): \(W = 240 \cdot 0{,}75 = 180\). 3. Prüfung der Behauptung: \(48 \cdot 3{,}75 = 180\). Die Ergebnisse stimmen überein, die Aussage ist also korrekt.

a) \(G = 240\) b) Der Prozentwert ist \(180\). c) Die Aussage ist korrekt, da \(48 \cdot 3{,}75 = 180\).

- Was ist hier der Grundwert und was ist der Prozentwert? - Wie berechnet man den Prozentsatz, wenn Teil und Ganzes bekannt sind? - Kannst du erst den Unterschied in Prozent ausrechnen, bevor du die Kapazität berechnest? - Achte auf die Einheiten in deiner Antwort.

1. Bestimmung des Prozentsatzes für \(1\,125\,\text{mAh}\): \(\frac{1\,125}{4\,500} = 0{,}25 = 25\,\%\). 2. Berechnung der Restladung bei \(20\,\%\): \(4\,500 \cdot 0{,}20 = 900\,\text{mAh}\). 3. Berechnung der Ladungsdifferenz zwischen \(20\,\%\) und \(5\,\%\): Der Unterschied beträgt \(15\,\%\) (\(20\,\% - 5\,\%\)). Berechnung: \(4\,500 \cdot 0{,}15 = 675\,\text{mAh}\). Alternativ: \(900\,\text{mAh} - (4\,500 \cdot 0{,}05) = 900\,\text{mAh} - 225\,\text{mAh} = 675\,\text{mAh}\).

a) Dies entspricht \(25\,\%\). b) Es sind noch \(900\,\text{mAh}\) vorhanden. c) Es wurden \(675\,\text{mAh}\) verbraucht.

- Wie rechnet man Prozentangaben in Gradzahlen um, wenn der Bezugswinkel bekannt ist? - Welche Gradzahlen sind für einen rechten und einen gestreckten Winkel festgelegt? - Vergleiche die beiden berechneten Werte am Ende miteinander.

1. Ein gestreckter Winkel beträgt \(180^\circ\). 2. Berechnung von \(\alpha\): \(0{,}35 \cdot 180^\circ = 63^\circ\). 3. Ein rechter Winkel beträgt \(90^\circ\). 4. Berechnung von \(\beta\): \(0{,}75 \cdot 90^\circ = 67{,}5^\circ\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(67{,}5^\circ > 63^\circ\), ist Winkel \(\beta\) größer als Winkel \(\alpha\).

\(\alpha = 63^\circ\) und \(\beta = 67{,}5^\circ\). Somit ist Winkel \(\beta\) größer als Winkel \(\alpha\).

- Um wie viele Prozentpunkte steigt der Ladestand in den \(30\) Minuten insgesamt? - Wenn du den Zuwachs für \(30\) Minuten kennst, wie groß ist er pro Minute? - Wie viele Minuten werden bei dieser konstanten Rate für \(100\) Prozentpunkte benötigt?

1. Berechnung des Zuwachses: \(75\,\% - 15\,\% = 60\) Prozentpunkte. 2. Bestimmung der Zeitspanne: Von \(14{:}00\,\text{Uhr}\) bis \(14{:}30\,\text{Uhr}\) vergehen \(30\,\text{Minuten}\). 3. Berechnung der Laderate pro Minute: \(60\) Prozentpunkte \(: 30\,\text{min} = 2\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Berechnung der Gesamtdauer für eine vollständige Ladung: \(100 : 2 = 50\). Eine vollständige Ladung dauert \(50\,\text{Minuten}\).

a) Der Ladestand steigt um \(2\) Prozentpunkte pro Minute. b) Eine vollständige Ladung von \(0\,\%\) auf \(100\,\%\) dauert \(50\,\text{Minuten}\).

- Rechne den Bruch in eine Dezimalzahl um. Was fällt dir bei der Division auf? - Wie schreibt man eine Dezimalzahl als Prozentsatz? - Vergleiche die beiden Zahlen Stelle für Stelle nach dem Komma.

1. Berechnung des exakten Wertes von \(\frac{1}{6}\) als Dezimalzahl: \(1 : 6 = 0{,}1666\ldots\) bzw. \(0{,}1\overline{6}\). 2. Umwandlung in einen Prozentsatz: \(0{,}1\overline{6} = 16{,}\overline{6}\,\%\). 3. Vergleich mit Tims Behauptung: \(16{,}\overline{6}\,\%\) ist nicht gleich \(16\,\%\). 4. Da \(16{,}\overline{6} > 16\), ist der Anteil \(\frac{1}{6}\) größer als \(16\,\%\). Tims Behauptung ist also falsch, da er den periodischen Teil vernachlässigt hat.

Tims Behauptung ist falsch. \(\frac{1}{6}\) entspricht \(16{,}\overline{6}\,\%\) (oder ca. \(16{,}67\,\%\)), was mehr ist als \(16\,\%\). Somit ist \(\frac{1}{6} > 16\,\%\).

- Achte genau auf Formulierungen wie „um“ oder „auf“. - Wandle Prozentsätze in Dezimalzahlen um, indem du das Komma um zwei Stellen nach links verschiebst. - Wie viel ist ein Drittel als Prozentsatz? Nutze dies für Aussage b). - Rechne bei d) einfach mit den Prozentwerten wie mit normalen Zahlen, wenn es um Anteile von Anteilen geht.

1. Aussage a): \(0{,}2\,\% = \frac{0{,}2}{100} = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}\). Da \(\frac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\) ist, ist die Aussage falsch. Korrektur: \(0{,}2\,\% = \frac{1}{500}\) oder \(20\,\% = \frac{1}{5}\). 2. Aussage b): \(\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 = 66{,}67\,\%\). Da \(66{,}67\,\% < 67\,\%\), ist die Aussage wahr. 3. Aussage c): \(150\,\% = 1{,}5\). Eine Steigerung *auf* \(150\,\%\) wäre das Eineinhalbfache. Eine Steigerung *um* \(150\,\%\) bedeutet \(100\,\% + 150\,\% = 250\,\%\), also das Zweieinhalbfache. Die Aussage ist falsch. Korrektur: Das Zweieinhalbfache des Wertes. 4. Aussage d): \(\frac{1}{4} \cdot 20\,\% = 5\,\%\). Da \(5\,\% \cdot 4 = 20\,\%\), ist die Aussage wahr.

a) Falsch. Korrektur: \(0{,}2\,\% = \frac{1}{500}\) (oder: \(20\,\% = \frac{1}{5}\)). b) Wahr. c) Falsch. Korrektur: Es ist das Zweieinhalbfache (oder: Eine Steigerung *auf* \(150\,\%\) wäre das Eineinhalbfache). d) Wahr.

- Kannst du aus der Information über die Instrumentenspieler die Gesamtzahl aller Jugendlichen berechnen? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie berechnest du dann einen bestimmten Anteil davon? - Was ändert sich an der Rechnung, wenn die Anzahl der Personen steigt, die Gesamtzahl aber gleich bleibt?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Grundwerts \(G\). Gegeben sind der Prozentwert \(W = 162\) und der Prozentsatz \(p = 27\,\%\). 2. Berechnung: \(G = W : p = 162 : 0{,}27 = 600\). Es wurden insgesamt \(600\) Jugendliche befragt. 3. Teilaufgabe b): Berechnung des Prozentwerts für Sportler. \(W = G \cdot p = 600 \cdot 0{,}45 = 270\). Es treiben \(270\) Jugendliche Vereinssport. 4. Teilaufgabe c): Bestimmung der neuen Anzahl der Instrumentenspieler: \(162 + 18 = 180\). 5. Berechnung des neuen Prozentsatzes bezogen auf die Gesamtzahl: \(p = \frac{180}{600} = 0{,}3\). 6. Umrechnung: \(0{,}3 = 30\,\%\). Der neue Anteil beträgt \(30\,\%\).

a) Es wurden insgesamt \(600\) Jugendliche befragt. b) Das sind \(270\) Jugendliche. c) Der neue Anteil beträgt \(30\,\%\).

- Wie berechnet man den Grundwert, wenn der Prozentwert und der Prozentsatz bekannt sind? - Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander, bevor du sie vergleichst.

1. Berechnung des Grundwerts für Fall 1: \(G_1 = \frac{W}{p\,\%} = \frac{35}{0{,}14} = 250\). 2. Berechnung des Grundwerts für Fall 2: \(G_2 = \frac{W}{p\,\%} = \frac{60}{0{,}25} = 240\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(250 > 240\), ist der Grundwert in Fall 1 größer.

In Fall 1 ist der Grundwert \(G = 250\). In Fall 2 ist der Grundwert \(G = 240\). Somit ist der Grundwert in Fall 1 größer.

- Welche Darstellung fällt dir leichter zu vergleichen: Brüche oder Dezimalzahlen? - Wenn du Brüche vergleichst, achte darauf, sie auf denselben Nenner zu bringen. - Wie viele Nachkommastellen musst du berechnen, um einen eindeutigen Unterschied zu sehen?

1. Vergleich a): \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\). Da \(0{,}4 > 0{,}38\), gilt \(\frac{2}{5} > 0{,}38\). 2. Vergleich b): \(\frac{3}{25} = \frac{12}{100} = 0{,}12\). Da \(0{,}12 = 0{,}12\), gilt \(0{,}12 = \frac{3}{25}\). 3. Vergleich c): \(15\,\% = \frac{15}{100} = \frac{9}{60}\). Der Bruch \(\frac{1}{6} = \frac{10}{60}\). Da \(\frac{9}{60} < \frac{10}{60}\), gilt \(15\,\% < \frac{1}{6}\). 4. Vergleich d): \(\frac{7}{8} = 0{,}875\). Da \(0{,}875 > 0{,}87\), gilt \(\frac{7}{8} > 0{,}87\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(<\) d) \(>\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Wie hängen die Prozentsätze untereinander zusammen? Und wie die Grundwerte? - Rechne die Werte erst aus, nachdem du dir die Verhältnisse der Zahlen angesehen hast. - Was passiert mit einem Produkt, wenn du eine Zahl verdoppelst und die andere halbierst?

1. Berechnung der Werte: A: \(250 \cdot 0{,}12 = 30\) B: \(125 \cdot 0{,}24 = 30\) C: \(500 \cdot 0{,}06 = 30\) 2. Vergleich: Alle drei Werte sind identisch (\(30\)). 3. Erklärung: Der Prozentwert berechnet sich aus \(G \cdot \frac{p}{100}\). Wenn ein Faktor (z. B. der Prozentsatz) verdoppelt und der andere Faktor (der Grundwert) halbiert wird, bleibt das Produkt gleich. Beispiel A zu B: Prozentsatz \(12\,\% \to 24\,\%\) (Verdopplung), Grundwert \(250 \to 125\) (Halbierung).

a) Alle drei Ausdrücke liefern denselben Wert. b) A: \(30\); B: \(30\); C: \(30\). c) Da der Prozentwert das Produkt aus Grundwert und Prozentsatz (als Dezimalzahl) ist, bleibt das Ergebnis gleich, wenn man einen Faktor verdoppelt und den anderen halbiert.

- Welche Größe ist gesucht, wenn ein Teil und sein Prozentsatz gegeben sind? - Wie ergänzen sich die Anteile aller Baumarten zu einem Ganzen? - Gibt es einen Weg, die Anzahl der Buchen direkt aus der Gesamtzahl und der Anzahl der Eichen zu bestimmen?

1. Berechnung des Grundwerts (Gesamtzahl der Bäume): \(G = \frac{W}{p} = \frac{420}{0{,}35} = 1\,200\). 2. Bestimmung des Prozentsatzes der Buchen: \(100\,\% - 35\,\% = 65\,\%\). 3. Berechnung der Anzahl der Buchen: \(1\,200 - 420 = 780\) oder \(1\,200 \cdot 0{,}65 = 780\).

a) Es wurden insgesamt \(1\,200\) Bäume gepflanzt. b) Die Buchen machen \(65\,\%\) aus. c) Es wurden \(780\) Buchen gepflanzt.

- Um von einer Dezimalzahl zum Prozentsatz zu kommen, multipliziere mit 100. - Ein Prozentsatz wie \(0{,}4\,\%\) ist bereits sehr klein; die Dezimalzahl muss also noch kleiner sein als \(0{,}01\). - Erinnere dich an die schriftliche Division, wenn du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelst. - Überlege, welche Faktoren im Nenner eines Bruchs stehen müssen, damit die Dezimalzahl abbricht.

1. Zeile 1: \(\frac{1}{400} = 1 : 400 = 0{,}0025\). Als Prozentsatz: \(0{,}0025 \cdot 100 = 0{,}25\,\%\). 2. Zeile 2: \(0{,}4\,\% = \frac{0{,}4}{100} = 0{,}004\). Als Bruch: \(\frac{4}{1000} = \frac{1}{250}\). 3. Zeile 3: \(0{,}125 = 12{,}5\,\%\). Als Bruch: \(\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}\). 4. Zeile 4: \(\frac{5}{6} = 5 : 6 = 0{,}8333\ldots\). Als Prozentsatz: \(83{,}\overline{3}\,\%\). 5. Erklärung: Die Dezimaldarstellung endet nicht (ist periodisch), da der Nenner \(6\) nach dem Kürzen den Primfaktor \(3\) enthält. Bei der schriftlichen Division \(5 : 6\) tritt immer wieder derselbe Rest auf.

Tabelle: - \(\frac{1}{400} = 0{,}0025 = 0{,}25\,\%\) - \(\frac{1}{250} = 0{,}004 = 0{,}4\,\%\) - \(\frac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\,\%\) - \(\frac{5}{6} = 0{,}8\overline{3} = 83{,}\overline{3}\,\%\) Erklärung: Der Nenner enthält den Primfaktor 3, weshalb die Division nicht aufgeht und eine unendliche, periodische Dezimalzahl entsteht.

- Es hilft oft, alle Zahlen zuerst in das gleiche Format zu bringen, zum Beispiel in Dezimalzahlen mit zwei Stellen nach dem Komma. - Welche Zahl ist die größte, welche die kleinste? - Denk daran, dass „Differenz“ das Ergebnis einer Subtraktion ist.

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen für den Vergleich: \(A = \frac{4}{5} = 0{,}80\) \(B = 0{,}75\) \(C = 82\,\% = 0{,}82\) \(D = \frac{17}{20} = \frac{85}{100} = 0{,}85\) 2. Sortierung: \(0{,}75 < 0{,}80 < 0{,}82 < 0{,}85\). Somit gilt: \(B < A < C < D\). 3. Berechnung der Differenz zwischen Maximum (\(D\)) und Minimum (\(B\)): \(0{,}85 - 0{,}75 = 0{,}10\). 4. Umwandlung der Differenz in einen Bruch: \(0{,}10 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}\).

a) \(B < A < C < D\) (bzw. \(0{,}75 < \frac{4}{5} < 82\,\% < \frac{17}{20}\)) b) Dezimalzahl: \(0{,}1\); Bruch: \(\frac{1}{10}\)