- Welcher Wert ist der Grundwert? - Wie berechnet man \(72\,\%\) von \(45\,\text{km}\)?

Die Reichweite bei Kälte ist der Prozentwert zum Grundwert \(45\,\text{km}\) und zum Prozentsatz \(72\,\%\): \(45\,\text{km} \cdot 0{,}72 = 32{,}4\,\text{km}\).

Die Reichweite bei Kälte beträgt \(32{,}4\,\text{km}\).

- Welche Gruppe bildet hier das Ganze, auf das sich die Prozentangabe beziehen soll? - Vergleiche die Anzahl der Chormitglieder mit der Gesamtzahl der Siebtklässlerinnen und Siebtklässler. - Formuliere das Ergebnis als Anteil dieser Bezugsgruppe in Prozent.

1. Die Bezugsgruppe sind alle \(60\) Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 7. 2. Der Anteil der Chormitglieder beträgt \(\frac{15}{60} = 0{,}25 = 25\,\%\).

\(25\,\%\) der Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 7 singen im Schulchor.

- Welche Angabe beschreibt die ganze Klasse? - Welche Angabe beschreibt nur den betrachteten Teil der Klasse? - Welche der drei Angaben steht als Prozentzahl da?

1. Der Grundwert beschreibt die ganze Klasse: \(G = 30\). 2. Der Prozentwert beschreibt den betrachteten Teil der Klasse: \(W = 12\). 3. Der Prozentsatz gibt den Anteil dieses Teils am Ganzen an: \(p = 40\,\%\).

\(G = 30\), \(W = 12\), \(p = 40\,\%\)

- Welche einfache Bruchzahl entspricht \(25\,\%\)? - Kannst du den Grundwert in gleich große Teile zerlegen, die zu diesem Bruch passen? - Prüfe, ob dein Ergebnis zur Größe eines Viertels des Grundwerts passt.

1. \(25\,\%\) entsprechen einem Viertel des Grundwerts. 2. \(80 : 4 = 20\).

\(20\)

- Runde Grundwert und Prozentsatz auf nahe Werte, mit denen du leicht rechnen kannst. - Nutze für den Prozentsatz einen vertrauten Vergleichsprozentsatz. - Vergleiche dein Überschlagsergebnis mit den drei angebotenen Näherungswerten.

1. Für einen Überschlag kann man \(18\,\%\) durch \(20\,\%\) und \(490\) durch \(500\) ersetzen. 2. \(20\,\%\) von \(500\) sind \(100\). 3. Daher liegt \(18\,\%\) von \(490\) am ehesten bei etwa \(100\).

Der passende Näherungswert ist etwa \(100\).

- Welcher Bruchteil des Ganzen entspricht \(10\,\%\)? - Nutze die Stellenwertstruktur von \(370\), statt eine lange Rechnung aufzuschreiben. - Prüfe, ob dein Ergebnis ungefähr ein Zehntel von \(370\) ist.

1. \(10\,\%\) sind ein Zehntel des Grundwerts. 2. \(370 : 10 = 37\).

\(10\,\%\) von \(370\) sind \(37\) Mitglieder.

- Bestimme zuerst den noch fehlenden Prozentanteil bis \(100\,\%\). - Das Fassungsvermögen ist hier bewusst \(100\,\text{l}\); nutze diese einfache Bezugsgröße. - Prüfe, ob gefüllte und fehlende Menge zusammen wieder den ganzen Tank ergeben.

1. Bis \(100\,\%\) fehlen \(100\,\% - 65\,\% = 35\,\%\). 2. Bei einem Fassungsvermögen von \(100\,\text{l}\) entsprechen \(35\,\%\) genau \(35\,\text{l}\).

Es fehlen \(35\,\text{l}\).

- Überlege dir zuerst, was das „Ganze“ ist, was der „Anteil als Zahl“ und was der „Anteil in Prozent“. - Kannst du die Aufgabe in die Form „\(p\,\%\) von \(G\) ist \(W\)“ bringen? - Bei b) hilft es, den Anteil erst als Bruch zu schreiben und diesen dann auf den Nenner 100 zu erweitern. - Bei c) weißt du, wie viel \(10\,\%\) sind. Wie oft passen \(10\,\%\) in das Ganze (\(100\,\%\))?

1. Teilaufgabe a): Gesucht ist der Prozentwert \(W\). Berechnung: \(W = 400\,\text{m} \cdot 0{,}15 = 60\,\text{m}\). 2. Teilaufgabe b): Gesucht ist der Prozentsatz \(p\,\%\). Berechnung: \(\frac{12}{60} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\,\%\). 3. Teilaufgabe c): Gesucht ist der Grundwert \(G\). Berechnung: \(5\,\text{€} : 0{,}1 = 50\,\text{€}\).

a) Gesucht: Prozentwert; Ergebnis: \(60\,\text{m}\) b) Gesucht: Prozentsatz; Ergebnis: \(20\,\%\) c) Gesucht: Grundwert; Ergebnis: \(50\,\text{€}\)

- Welche Zahl stellt das Ganze dar und welche den Anteil? - Überlege dir für jede Teilaufgabe, ob du den Anteil als Zahl, den Anteil in Prozent oder die Gesamtzahl suchst. - Es kann helfen, die Prozentangabe zuerst in einen Dezimalbruch umzuwandeln.

1. Berechnung des Prozentsatzes für die Tennisabteilung: \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{40}{200} = 0{,}2 = 20\,\%\). 2. Berechnung des Prozentwerts für die Schwimmabteilung: \(W = G \cdot p\,\% = 120 \cdot 0{,}15 = 18\). 3. Berechnung des Grundwerts für den gesamten Verein: \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{12}{0{,}05} = 240\).

a) Gesucht ist der Prozentsatz: \(20\,\%\) b) Gesucht ist der Prozentwert: \(18\) Kinder c) Gesucht ist der Grundwert: \(240\) Mitglieder

- Überlege zuerst, welche der drei Größen Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert jeweils fehlt. - Welche beiden Größen sind in jeder Tabellenzeile gegeben? - Prüfe nach der Rechnung, ob Einheit und Größenordnung zum jeweiligen Tabellenfeld passen.

1. Berechnung des Prozentwerts: \(W=450\,\text{€}\cdot0{,}12=54\,\text{€}\). 2. Berechnung des Prozentsatzes: \(p\,\%=\frac{20\,\text{kg}}{80\,\text{kg}}=0{,}25=25\,\%\). 3. Berechnung des Grundwerts: \(G=\frac{15\,\text{m}}{0{,}05}=300\,\text{m}\).

Die fehlenden Werte sind: 1. \(W=54\,\text{€}\) 2. \(p\,\%=25\,\%\) 3. \(G=300\,\text{m}\)

- Überlege dir zuerst, welche der drei Größen (Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert) jeweils gesucht ist. - Kannst du den Prozentsatz als Bruch oder Dezimalzahl schreiben? - Hilft dir die Vorstellung von Anteilen (z. B. \(25\,\%\) ist ein Viertel)?

1. Berechnung von \(10\,\%\) von \(450\,\text{m}\): \(450\,\text{m} \cdot 0{,}10 = 45\,\text{m}\). 2. Berechnung des Grundwerts bei \(W = 12\,\text{kg}\) und \(p = 25\,\%\): \(G = \frac{12\,\text{kg}}{0{,}25} = 48\,\text{kg}\). 3. Berechnung des Prozentsatzes bei \(W = 20\,\text{€}\) und \(G = 80\,\text{€}\): \(p = \frac{20\,\text{€}}{80\,\text{€}} = 0{,}25 = 25\,\%\). 4. Berechnung des Prozentwerts bei \(p = 150\,\%\) und \(G = 60\): \(W = 60 \cdot 1{,}50 = 90\).

a) \(45\,\text{m}\) b) \(48\,\text{kg}\) c) \(25\,\%\) d) \(90\)

- Überlege dir, wie man einen Anteil von einem Ganzen berechnet. - Wie kann man einen Bruch wie ein Drittel in eine Rechnung mit der Gesamtzahl einbauen? - Was bedeutet das Wort „Prozent“ übersetzt für deine Rechnung? - Vergleiche am Ende die berechneten absoluten Zahlen miteinander.

1. Berechnung der Fußballspieler: \(240 \cdot 0{,}25 = 60\). 2. Berechnung der Anzahl der Jugendlichen, die ein Instrument spielen: \(240 : 3 = 80\). 3. Berechnung der Theater-Interessenten: \(240 \cdot 0{,}15 = 36\). 4. Vergleich der Gruppengrößen: Die Gruppe der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, ist mit \(80\) Personen die größte, da \(80 > 60 > 36\).

a) Es sind \(60\) Fußballspieler. b) Es sind \(80\) Schülerinnen und Schüler, die ein Instrument spielen. c) Es sind \(36\) Interessenten für die Theater-AG. d) Die Gruppe der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, ist die größte (\(80\) Personen).

- Wie rechnet man Prozentangaben in Gradzahlen um, wenn der Bezugswinkel bekannt ist? - Welche Gradzahlen sind für einen rechten und einen gestreckten Winkel festgelegt? - Vergleiche die beiden berechneten Werte am Ende miteinander.

1. Ein gestreckter Winkel beträgt \(180^\circ\). 2. Berechnung von \(\alpha\): \(0{,}35 \cdot 180^\circ = 63^\circ\). 3. Ein rechter Winkel beträgt \(90^\circ\). 4. Berechnung von \(\beta\): \(0{,}75 \cdot 90^\circ = 67{,}5^\circ\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(67{,}5^\circ > 63^\circ\), ist Winkel \(\beta\) größer als Winkel \(\alpha\).

\(\alpha = 63^\circ\) und \(\beta = 67{,}5^\circ\). Somit ist Winkel \(\beta\) größer als Winkel \(\alpha\).

- Überlege dir zuerst, welche der drei Grundformeln der Prozentrechnung du jeweils benötigst. - Wandle den Prozentsatz für die Rechnung in eine Dezimalzahl um. - Kontrolliere dein Ergebnis: Ist der Prozentwert bei einem Prozentsatz unter \(100\,\%\) kleiner als der Grundwert?

1. Berechnung von \(W\) für Teil a): Anwendung der Formel \(W = G \cdot p\,\% = 450 \cdot 0{,}12 = 54\). 2. Berechnung von \(p\,\%\) für Teil b): Anwendung der Formel \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{48}{600} = 0{,}08\). Umwandlung in Prozentsatz ergibt \(8\,\%\). 3. Berechnung von \(G\) für Teil c): Anwendung der Formel \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{10{,}5}{0{,}07} = 150\).

a) \(W = 54\) b) \(p\,\% = 8\,\%\) c) \(G = 150\)

- Wie berechnet man den Grundwert, wenn der Prozentwert und der Prozentsatz bekannt sind? - Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander, bevor du sie vergleichst.

1. Berechnung des Grundwerts für Fall 1: \(G_1 = \frac{W}{p\,\%} = \frac{35}{0{,}14} = 250\). 2. Berechnung des Grundwerts für Fall 2: \(G_2 = \frac{W}{p\,\%} = \frac{60}{0{,}25} = 240\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(250 > 240\), ist der Grundwert in Fall 1 größer.

In Fall 1 ist der Grundwert \(G = 250\). In Fall 2 ist der Grundwert \(G = 240\). Somit ist der Grundwert in Fall 1 größer.

- Wie berechnet man einen Teilbetrag, wenn der Prozentsatz und der Gesamtbetrag bekannt sind? - Wie viele Grad hat ein ganzer Kreis insgesamt? - Der Mittelpunktswinkel ist proportional zum Prozentsatz: \(100\,\%\) entsprechen \(360^\circ\). - Du kannst erst ausrechnen, wie viel Grad \(1\,\%\) entsprechen, und das dann mit der gesuchten Prozentzahl multiplizieren.

1. Berechnung der Kosten für Musik & Technik: \(20\,\%\) von \(600\,\text{€} = 0{,}20 \cdot 600\,\text{€} = 120\,\text{€}\). 2. Berechnung des Mittelpunktswinkels für Essen & Trinken: Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). \(55\,\%\) davon entsprechen \(0{,}55 \cdot 360^\circ = 198^\circ\).

a) Für Musik & Technik sind \(120\,\text{€}\) vorgesehen. b) Der Mittelpunktswinkel für Essen & Trinken beträgt \(198^\circ\).

- Nutze für den Prozentwert \(W = G \cdot \frac{p}{100}\), wenn \(p\,\%\) der angegebene Prozentsatz ist. - Berechne den Geldbetrag für jede Kategorie mit ihrem eigenen Prozentsatz. - Zur Kontrolle kannst du alle vier Geldbeträge addieren und mit dem Gesamtbudget vergleichen.

1. Grundwert \(G = 750\,000\,\text{€}\). 2. Bücherei (\(28\,\%\)): \(750\,000\,\text{€} \cdot 0{,}28 = 210\,000\,\text{€}\). 3. Musikschule (\(32\,\%\)): \(750\,000\,\text{€} \cdot 0{,}32 = 240\,000\,\text{€}\). 4. Theater (\(25\,\%\)): \(750\,000\,\text{€} \cdot 0{,}25 = 187\,500\,\text{€}\). 5. Feste (\(15\,\%\)): \(750\,000\,\text{€} \cdot 0{,}15 = 112\,500\,\text{€}\). 6. Zur Kontrolle: \(210\,000\,\text{€} + 240\,000\,\text{€} + 187\,500\,\text{€} + 112\,500\,\text{€} = 750\,000\,\text{€}\).

Bücherei: \(210\,000\,\text{€}\), Musikschule: \(240\,000\,\text{€}\), Theater: \(187\,500\,\text{€}\), Feste: \(112\,500\,\text{€}\)

- Wie viele gleich große Kästchen bilden im Bild das Ganze? - Welchem Prozentanteil entspricht dadurch ein einzelnes Kästchen? - Vergleiche den markierten Anteil mit dem Ziel von \(40\,\%\).

1. Das Feld besteht aus \(100\) gleich großen Kästchen. Daher entspricht jedes Kästchen \(1\,\%\). 2. Im Bild sind \(37\) Kästchen markiert, also \(37\,\%\) des Feldes. 3. Bis \(40\,\%\) fehlen \(40 - 37 = 3\) Kästchen.

Es müssen \(3\) weitere Kästchen markiert werden.

- Vergleiche die beiden Prozentsätze miteinander, bevor du rechnest. - Überlege, wie sich der Prozentwert bei gleichbleibendem Grundwert verändert, wenn sich der Prozentsatz vervielfacht. - Du musst den Grundwert nicht kennen, wenn du die beiden Prozentwerte direkt miteinander in Beziehung setzt.

1. Der Grundwert bleibt gleich, während sich der Prozentsatz von \(15\,\%\) auf \(30\,\%\) verdoppelt. 2. Deshalb verdoppelt sich auch der Prozentwert: \(36 \cdot 2 = 72\).

Der Prozentwert beträgt \(72\) Einheiten.

- Bestimme aus der Abbildung, aus wie vielen gleich großen Teilen das Ganze besteht und wie viele davon markiert sind. - Schreibe daraus zuerst einen Bruch für den markierten Anteil. - Überlege, mit welchem Faktor du den Nenner auf \(100\) bringen kannst.

1. Der Balken ist in \(20\) gleich große Teile zerlegt; \(7\) davon sind markiert. 2. Der markierte Anteil ist \(\frac{7}{20}\). 3. Erweitert auf Hundertstel gilt \(\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35\,\%\).

Der markierte Anteil ist \(\frac{7}{20} = 35\,\%\).

- Ein größerer Prozentsatz bedeutet bei verschiedenen Klassengrößen nicht automatisch eine größere Personenzahl. - Berechne für jede Klasse den Prozentwert mit ihrer eigenen Schülerzahl als Grundwert. - Vergleiche anschließend die beiden absoluten Anzahlen.

1. In der 7a fahren \(24 \cdot \frac{50}{100} = 12\) Schülerinnen und Schüler mit dem Fahrrad. 2. In der 7b fahren \(30 \cdot \frac{40}{100} = 12\) Schülerinnen und Schüler mit dem Fahrrad. 3. Die absoluten Anzahlen sind gleich, obwohl die Prozentanteile verschieden sind.

In beiden Klassen kommen gleich viele Schülerinnen und Schüler mit dem Fahrrad: jeweils \(12\).

- Beide Prozentsätze gehören zum selben Grundwert. Überlege, was das für die beiden Prozentwerte bedeutet. - Vergleiche zunächst \(75\,\%\) mit \(20\,\%\), ohne den Grundwert auszurechnen. - Berechne den Grundwert erst anschließend als Kontrolle deines ersten Weges.

1. Da sich beide Prozentsätze auf denselben Grundwert beziehen, verhalten sich die Prozentwerte wie die Prozentsätze: \(75 : 20 = 3{,}75\). 2. Der gesuchte Prozentwert ist daher \(48 \cdot 3{,}75 = 180\). 3. Der Grundwert ist \(G = 48 \cdot \frac{100}{20} = 240\). 4. Die Kontrolle ergibt \(240 \cdot \frac{75}{100} = 180\). Das bestätigt das Ergebnis aus a).

a) Der Prozentwert ist \(180\). Bei gleichem Grundwert ist der Prozentwert proportional zum Prozentsatz; \(75\,\%\) sind das \(3{,}75\)-Fache von \(20\,\%\). b) \(G = 240\); die Kontrolle mit \(75\,\%\) ergibt wieder \(180\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Wie hängen die Prozentsätze untereinander zusammen? Und wie die Grundwerte? - Rechne die Werte erst aus, nachdem du dir die Verhältnisse der Zahlen angesehen hast. - Was passiert mit einem Produkt, wenn du eine Zahl verdoppelst und die andere halbierst?

1. Berechnung der Werte: A: \(250 \cdot 0{,}12 = 30\) B: \(125 \cdot 0{,}24 = 30\) C: \(500 \cdot 0{,}06 = 30\) 2. Vergleich: Alle drei Werte sind identisch (\(30\)). 3. Erklärung: Der Prozentwert berechnet sich aus \(G \cdot \frac{p}{100}\). Wenn ein Faktor (z. B. der Prozentsatz) verdoppelt und der andere Faktor (der Grundwert) halbiert wird, bleibt das Produkt gleich. Beispiel A zu B: Prozentsatz \(12\,\% \to 24\,\%\) (Verdopplung), Grundwert \(250 \to 125\) (Halbierung).

a) Alle drei Ausdrücke liefern denselben Wert. b) A: \(30\); B: \(30\); C: \(30\). c) Da der Prozentwert das Produkt aus Grundwert und Prozentsatz (als Dezimalzahl) ist, bleibt das Ergebnis gleich, wenn man einen Faktor verdoppelt und den anderen halbiert.

- Was ist hier der Grundwert und was ist der Prozentwert? - Wie berechnet man den Prozentsatz, wenn Teil und Ganzes bekannt sind? - Kannst du erst den Unterschied in Prozent ausrechnen, bevor du die Kapazität berechnest? - Achte auf die Einheiten in deiner Antwort.

1. Bestimmung des Prozentsatzes für \(1125\,\text{mAh}\): \(\frac{1125}{4500} = 0{,}25 = 25\,\%\). 2. Berechnung der Restladung bei \(20\,\%\): \(4500 \cdot 0{,}20 = 900\,\text{mAh}\). 3. Berechnung der Ladungsdifferenz zwischen \(20\,\%\) und \(5\,\%\): Der Ladestand sinkt um \(15\) Prozentpunkte (von \(20\,\%\) auf \(5\,\%\)). Das entspricht \(15\,\%\) der Gesamtkapazität. Berechnung: \(4500 \cdot 0{,}15 = 675\,\text{mAh}\). Alternativ: \(900\,\text{mAh} - (4500 \cdot 0{,}05) = 900\,\text{mAh} - 225\,\text{mAh} = 675\,\text{mAh}\).

a) Dies entspricht \(25\,\%\). b) Es sind noch \(900\,\text{mAh}\) vorhanden. c) Der Ladestand sank um \(15\) Prozentpunkte; das entspricht \(675\,\text{mAh}\).

- Welche Größe ist gesucht, wenn ein Teil und sein Prozentsatz gegeben sind? - Wie ergänzen sich die Anteile aller Baumarten zu einem Ganzen? - Gibt es einen Weg, die Anzahl der Buchen direkt aus der Gesamtzahl und der Anzahl der Eichen zu bestimmen?

1. Berechnung des Grundwerts (Gesamtzahl der Bäume): \(G = \frac{W}{p} = \frac{420}{0{,}35} = 1200\). 2. Bestimmung des Prozentsatzes der Buchen: \(100\,\% - 35\,\% = 65\,\%\). 3. Berechnung der Anzahl der Buchen: \(1200 - 420 = 780\) oder \(1200 \cdot 0{,}65 = 780\).

a) Es wurden insgesamt \(1200\) Bäume gepflanzt. b) Die Buchen machen \(65\,\%\) aus. c) Es wurden \(780\) Buchen gepflanzt.

- Kannst du aus der Information über die Instrumentenspieler die Gesamtzahl aller Jugendlichen berechnen? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie berechnest du dann einen bestimmten Anteil davon? - Was ändert sich an der Rechnung, wenn die Anzahl der Personen steigt, die Gesamtzahl aber gleich bleibt?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Grundwerts \(G\). Gegeben sind der Prozentwert \(W = 162\) und der Prozentsatz \(p = 27\,\%\). 2. Berechnung: \(G = W : p = 162 : 0{,}27 = 600\). Es wurden insgesamt \(600\) Jugendliche befragt. 3. Teilaufgabe b): Berechnung des Prozentwerts für Sportler. \(W = G \cdot p = 600 \cdot 0{,}45 = 270\). Es treiben \(270\) Jugendliche Vereinssport. 4. Teilaufgabe c): Bestimmung der neuen Anzahl der Instrumentenspieler: \(162 + 18 = 180\). 5. Berechnung des neuen Prozentsatzes bezogen auf die Gesamtzahl: \(p = \frac{180}{600} = 0{,}3\). 6. Umrechnung: \(0{,}3 = 30\,\%\). Der neue Anteil beträgt \(30\,\%\).

a) Es wurden insgesamt \(600\) Jugendliche befragt. b) Das sind \(270\) Jugendliche. c) Der neue Anteil beträgt \(30\,\%\).

- Du kennst den Wert für einen Teil (\(15\,\%\)). Wie kommst du von dort auf das Ganze (\(100\,\%\))? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, kannst du die anderen Anteile leicht berechnen. - Hilft dir der Dreisatz weiter? \(15\,\%\) entsprechen \(12\) Liedern, wie viel entspricht dann \(1\,\%\)?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Lieder (Grundwert): \(15\,\%\) entsprechen \(12\) Liedern. Der Grundwert berechnet sich durch \(12 : 0{,}15 = 80\). Insgesamt wurden \(80\) Lieder gespielt. 2. Berechnung der Anzahl der Pop-Lieder (Prozentwert): \(40\,\%\) von \(80\) Liedern entsprechen \(0{,}40 \cdot 80 = 32\). Es wurden \(32\) Pop-Lieder gespielt.

a) \(80\) Lieder b) \(32\) Lieder