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- Ordne die Angaben den Größen Kapital, Zinssatz und Zinsen zu. - Berechne zuerst den Prozentwert des Kapitals, der dem Zinssatz entspricht. - Das Guthaben am Jahresende besteht aus dem ursprünglichen Kapital und den Zinsen.

1. Die Jahreszinsen betragen \(Z=2500\,\text{€}\cdot\frac{1{,}2}{100}=30\,\text{€}\). 2. Das Guthaben am Jahresende beträgt \(2500\,\text{€}+30\,\text{€}=2530\,\text{€}\).

Nach einem Jahr erhält Frau Müller \(30\,\text{€}\) Zinsen. Das gesamte Guthaben beträgt \(2530\,\text{€}\).

- Welche Angabe ist hier das Kapital und welche der Zinssatz? - Gesucht ist nur der Zinsbetrag für ein Jahr, nicht das neue Guthaben. - Beziehe den Zinssatz auf das angegebene Kapital.

1. Die Jahreszinsen sind \(1{,}5\,\%\) des Kapitals. 2. Es gilt \(800{,}00\,\text{€} \cdot 0{,}015 = 12{,}00\,\text{€}\).

Die Zinsen für das Jahr betragen \(12{,}00\,\text{€}\).

- Der Zinssatz vergleicht die Zinsen mit dem angelegten Kapital. - Hier ist das Kapital bewusst \(100\,\text{€}\). Nutze die Bedeutung von „Prozent“ als „von hundert“. - Prüfe, welcher Prozentsatz von \(100\,\text{€}\) genau dem Zinsbetrag entspricht.

1. Der Zinssatz gibt an, wie viel Prozent des Kapitals die Jahreszinsen ausmachen. 2. Bei einem Kapital von \(100\,\text{€}\) entsprechen \(3\,\text{€}\) Zinsen genau \(3\,\%\) des Kapitals.

Der Zinssatz beträgt \(3\,\%\).

- Vergleiche zuerst, welche Angaben bei beiden Konten gleich sind. - Welche Größe unterscheidet die beiden Angebote? - Überlege, wie sich der Zinsbetrag bei gleichem Kapital verändert, wenn nur der Zinssatz größer wird.

1. Beide Konten haben dasselbe Kapital und dieselbe Anlagedauer. 2. Deshalb bringt der höhere Zinssatz auch den höheren Zinsbetrag. 3. Da \(3\,\%>2\,\%\), bringt Konto B mehr Zinsen.

Konto B bringt mehr Zinsen, weil bei gleichem Kapital und gleicher Anlagedauer der höhere Zinssatz zum höheren Zinsbetrag führt.

- Welche drei Größen gehören bei Jahreszinsen zusammen: Kapital, Zinssatz und Zinsen? - Beziehe bei b) den Zinsbetrag auf das angelegte Kapital. - Vergleiche in c) die Zinssätze, nicht die Eurobeträge der Zinsen.

1. Für Bank A gilt \(Z_A=2500\,\text{€}\cdot\frac{2}{100}=50\,\text{€}\). 2. Für Bank B gilt \(p_B=\frac{60}{2000}\cdot100\,\%=3\,\%\). 3. Da \(3\,\%>2\,\%\), bietet Bank B den höheren Zinssatz.

a) Die jährlichen Zinsen bei Bank A betragen \(50\,\text{€}\). b) Der Zinssatz bei Bank B beträgt \(3\,\%\). c) Der Zinssatz bei Bank B ist höher.

- Entscheide in jeder Teilaufgabe, welche der drei Größen Kapital, Zinssatz und Zinsen gesucht ist. - Verwende den Zinssatz als Prozentangabe; in einer Formel erscheint deshalb der Faktor \(\frac{p}{100}\). - Prüfe, ob dein Ergebnis zur Größe des gewünschten Zinsbetrags passt.

1. Für a) gilt bei Jahreszinsen \(Z=K\cdot\frac{p}{100}\). Daher ist \(K=180\,\text{€}\cdot\frac{100}{1{,}5}=12\,000\,\text{€}\). 2. Für b) ist der Zinssatz \(\frac{180}{10000}\cdot100\,\%=1{,}8\,\%\).

a) Das benötigte Kapital beträgt \(12\,000\,\text{€}\). b) Der Zinssatz müsste \(1{,}8\,\%\) betragen.

- Was wissen wir über die Zinsen nach einem einzelnen Jahr? - Welche Größe in der Zinsformel suchen wir? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht?

1. Bestimmung der Zinsen pro Jahr: Da die Gesamtzinsen nach drei Jahren \(108\,\text{€}\) betragen sollen, ergibt sich ein jährlicher Zinsertrag von \(108\,\text{€} : 3 = 36\,\text{€}\). 2. Berechnung des Kapitals: Unter Verwendung der Zinsformel \(Z = K \cdot \frac{p}{100}\) wird nach dem Kapital \(K\) umgestellt: \(K = \frac{Z \cdot 100}{p}\). 3. Einsetzen der Werte: \(K = \frac{36 \cdot 100}{1{,}2} = 3000\). Das erforderliche Anfangskapital beträgt \(3000\,\text{€}\).

Lukas muss zu Beginn \(3000\,\text{€}\) anlegen.

- Welche Datenmenge gehört zu einer Stunde, wenn die Rate konstant ist? - Warum muss der Graph durch den Ursprung verlaufen? - Wie nutzt du die Funktion für unterschiedliche Laufzeiten?

1. Der Proportionalitätsfaktor ist \(k=81:12=6{,}75\,\text{MB/h}\). Also \(D(t)=6{,}75t\). 2. \(D(4)=27\,\text{MB}\), \(D(12)=81\,\text{MB}\).

a) \(D(t)=6{,}75t\) b) \(D(4)=27\,\text{MB}\), \(D(12)=81\,\text{MB}\)

- Wie schreibst du \(0{,}625\,\%\) als Dezimalzahl? - Welche Form hat eine direkt proportionale Funktion? - Welche Gleichung beschreibt genau die zulässige Höchstmenge des Zusatzes?

1. \(0{,}625\,\%=0{,}00625\). Daher gilt \(M(F)=0{,}00625F\). 2. Für die Höchstmenge setzt man \(0{,}00625F=40\). Daraus folgt \(F=6400\,\text{g}\).

a) \(M(F)=0{,}00625F\) b) Höchstens \(6400\,\text{g}\)

- Welche Verbrauchsmenge gehört zu einer Stunde? - Wie nutzt du den Proportionalitätsfaktor für \(12\) Stunden? - Welchen Anteil einer \(800\,\text{g}\)-Rolle bilden \(96\,\text{g}\)?

1. \(k=24:3=8\,\text{g/h}\). Also \(F(t)=8t\). 2. \(F(12)=96\,\text{g}\). 3. \(96:800=0{,}12=12\,\%\).

a) \(F(t)=8t\) b) \(96\,\text{g}\) c) \(12\,\%\)

- Wie bestimmst du den Energieverbrauch pro Stunde? - Welcher Funktionswert gehört zu neun Stunden? - Vergleiche die beiden Werte erst, nachdem sie dieselbe Versuchsdauer betreffen.

1. \(k=37{,}5:12=3{,}125\,\text{Wh/h}\). Somit \(E(t)=3{,}125t\). 2. \(E(9)=28{,}125\,\text{Wh}\approx28{,}13\,\text{Wh}\). Das alternative Verfahren benötigt mit \(25\,\text{Wh}\) weniger.

a) \(E(t)=3{,}125t\) b) Proportionales Modell: etwa \(28{,}13\,\text{Wh}\); das alternative Verfahren benötigt weniger.

- Welche Masse gehört zu einem Millimeter Schichtdicke? - Welche Rolle spielt \(p=0\) für eine proportionale Funktion? - Löse in Teil b) die Funktionsgleichung nach \(p\) auf.

1. \(k=50:2=25\,\text{g/mm}\). Damit gilt \(M(p)=25p\). 2. \(112{,}5=25p\) ergibt \(p=4{,}5\,\text{mm}\).

a) \(M(p)=25p\) b) \(4{,}5\,\text{mm}\)

- Welcher Quotient aus Datenmenge und Zeit bleibt konstant? - Wie bestimmst du die Zeit für einen vorgegebenen Funktionswert? - Welche Skalierung verbindet \(90\) und \(180\) Tage?

1. \(k=20:45=\frac49\,\text{GB/Tag}\). Also \(D(t)=\frac49t\). Für \(40\,\text{GB}\) gilt \(40=\frac49t\), also \(t=90\). 2. \(180\) Tage sind doppelt so lang wie \(90\) Tage. Daher verdoppelt sich bei direkter Proportionalität die Datenmenge von \(40\) auf \(80\,\text{GB}\).

a) \(D(t)=\frac49t\); \(40\,\text{GB}\) nach \(90\) Tagen b) \(80\,\text{GB}\)

- Wie viel Zinsen bekommt man für ein einzelnes Jahr? - Überlege, wie oft dieser Betrag bei einer Laufzeit von vier Jahren ausgezahlt wird. - Vergiss nicht, die Zinsen am Ende zum Startbetrag zu addieren.

1. Berechnung der jährlichen Zinsen: \(Z_{\text{Jahr}} = 1200\,\text{€} \cdot 0{,}015 = 18\,\text{€}\). 2. Berechnung der Gesamtzinsen über \(4\) Jahre: \(Z_{\text{Gesamt}} = 18\,\text{€} \cdot 4 = 72\,\text{€}\). 3. Berechnung des Gesamtkapitals: \(K_{\text{Gesamt}} = 1200\,\text{€} + 72\,\text{€} = 1272\,\text{€}\).

Das Gesamtkapital nach \(4\) Jahren beträgt \(1272\,\text{€}\).

- Welche Datenrate hat jeder Rekorder? - Welche Steigung gehört zur größeren Datenrate? - Setze für den Vergleich bei beiden Funktionen dieselbe Zeit ein.

1. \(k_A=20:4=5\,\text{MB/min}\), \(k_B=25:4=6{,}25\,\text{MB/min}\). Daher \(D_A(m)=5m\), \(D_B(m)=6{,}25m\). 2. Nach \(9\) Minuten: A \(45\,\text{MB}\), B \(56{,}25\,\text{MB}\). B liegt um \(11{,}25\,\text{MB}\) höher.

a) \(D_A(m)=5m\), \(D_B(m)=6{,}25m\) b) A: \(45\,\text{MB}\), B: \(56{,}25\,\text{MB}\); Unterschied \(11{,}25\,\text{MB}\)

- Welche Niederschlagshöhe gehört bei konstanter Intensität zu einer Minute? - Wie wird dieser Quotient zum Faktor in \(N(t)=kt\)? - Setze für Teil b) die gewünschte Zeit in die Funktion ein.

1. Der Proportionalitätsfaktor beträgt \(\frac{19}{60}\,\text{mm/min}\). Daher gilt \(N(t)=\frac{19}{60}t\). 2. Für \(45\,\text{min}\) ist \(N(45)=\frac{19}{60}\cdot45=14{,}25\,\text{mm}\).

a) \(N(t)=\frac{19}{60}t\) b) \(14{,}25\,\text{mm}\)

- Welche Datenmenge entsteht in einer Minute? - Welche Eigenschaft macht den Graphen zu einer Ursprungsgeraden? - Welche Gleichung musst du für \(15\,\text{MB}\) lösen?

1. \(k=6:24=0{,}25\,\text{MB/min}\). Also \(D(t)=0{,}25t\). 2. \(15=0{,}25t\) ergibt \(t=60\,\text{min}\).

a) \(D(t)=0{,}25t\) b) \(60\,\text{min}\)

- Welcher Anteil des geliehenen Kapitals entspricht dem Zinsbetrag? - Beziehe die Zinsen auf das Kapital und gib das Ergebnis anschließend in Prozent an. - Prüfe, ob dein Prozentsatz zur Größenordnung von \(540\,\text{€}\) bei \(12\,000\,\text{€}\) passt.

1. Gegeben sind das Kapital \(K=12\,000\,\text{€}\) und die Zinsen \(Z=540\,\text{€}\). 2. Der Zinssatz ist der Anteil der Zinsen am Kapital: \(\frac{540}{12000}\cdot100\,\%=4{,}5\,\%\).

Der jährliche Zinssatz beträgt \(4{,}5\,\%\).

- Welche Zahl multipliziert den aktuellen Wert bei einer Zunahme um \(2\,\%\)? - Wie oft wird dieser Faktor nach \(n\) Jahren angewendet? - Vergleiche „immer denselben Faktor multiplizieren“ mit „immer denselben Betrag addieren“.

1. Der Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}02\). Daher gilt \(K_n=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^n\). 2. \(K_1=4500\,\text{€}\cdot1{,}02=4590{,}00\,\text{€}\). 3. \(K_2=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^2=4681{,}80\,\text{€}\). 4. \(K_3=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^3=4775{,}436\,\text{€}\approx4775{,}44\,\text{€}\). 5. Der Wert wird in jedem Schritt mit demselben Faktor \(1{,}02\) multipliziert. Bei linearem Wachstum würde stattdessen in jedem Schritt derselbe absolute Betrag addiert.

a) \(K_n=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^n\) b) \(K_1=4590{,}00\,\text{€}\), \(K_2=4681{,}80\,\text{€}\), \(K_3\approx4775{,}44\,\text{€}\) c) Exponentiell, weil in jedem Jahr mit demselben Faktor \(1{,}02\) multipliziert wird.

- Beziehe die Zunahme im ersten Jahr auf den ursprünglichen Wert. - Wie erhältst du aus einer Zunahme um \(p\,\%\) den Wachstumsfaktor? - Verwende denselben Faktor auf den Wert zu Beginn des zweiten Jahres.

1. Die absolute Zunahme beträgt \(18\,\text{€}\). Bezogen auf \(1200\,\text{€}\) sind das \(\frac{18}{1200}\cdot100\,\%=1{,}5\,\%\). 2. Der Wachstumsfaktor ist daher \(q=1{,}015\). 3. Nach dem zweiten Jahr gilt \(1218\,\text{€}\cdot1{,}015=1236{,}27\,\text{€}\).

a) Zunahme \(1{,}5\,\%\), Wachstumsfaktor \(1{,}015\) b) \(1236{,}27\,\text{€}\)

- Was bleibt bei Modell L von Jahr zu Jahr gleich: ein Betrag oder ein Faktor? - Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(3\,\%\)? - Formuliere beide Modelle zuerst allgemein für \(n\) Jahre und setze erst danach \(n=3\) ein.

1. Für Modell L gilt \(L(n)=2500\,\text{€}+75\,\text{€}\cdot n\). 2. Für Modell E ist der Wachstumsfaktor \(1{,}03\), also \(E(n)=2500\,\text{€}\cdot1{,}03^n\). 3. Nach drei Jahren gilt \(L(3)=2725{,}00\,\text{€}\). 4. Für Modell E gilt \(E(3)=2500\,\text{€}\cdot1{,}03^3=2731{,}8175\,\text{€}\approx2731{,}82\,\text{€}\). 5. Modell L ist linear, weil pro Jahr derselbe absolute Betrag addiert wird. Modell E ist exponentiell, weil pro Jahr mit demselben Faktor multipliziert wird.

a) \(L(n)=2500\,\text{€}+75\,\text{€}\cdot n\), \(E(n)=2500\,\text{€}\cdot1{,}03^n\) b) \(L(3)=2725{,}00\,\text{€}\), \(E(3)\approx2731{,}82\,\text{€}\) c) Modell L wächst linear, Modell E exponentiell.

- Wie berechnet man den Anteil eines Prozentsatzes von einem Grundwert? - Überlege, ob das Guthaben am Ende mehr oder weniger als zu Beginn sein muss. - Kannst du den Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie setzt man die gegebenen Zahlen in deinen Term ein?

1. Aufstellen des Terms für das Guthaben nach einem Jahr: \(K \cdot (1 + \frac{p}{100})\) oder \(K + \frac{K \cdot p}{100}\). 2. Berechnung für Fall 1: \(2500\,\text{€} \cdot (1 + \frac{2}{100}) = 2500\,\text{€} \cdot 1{,}02 = 2550\,\text{€}\). 3. Berechnung für Fall 2: \(12\,000\,\text{€} \cdot (1 + \frac{1{,}4}{100}) = 12\,000\,\text{€} \cdot 1{,}014 = 12\,168\,\text{€}\).

Der Term lautet \(K \cdot (1 + \frac{p}{100})\). 1) \(2550\,\text{€}\) 2) \(12\,168\,\text{€}\)

- Nutze einen leicht bestimmbaren Vergleichsprozentsatz wie \(1\,\%\). - Vergleiche die Größenordnung des behaupteten Zinsbetrags mit dem angelegten Kapital. - Passt ein so großer Ertrag zu einem kleinen einstelligen Zinssatz?

1. Ein geeigneter Vergleich ist \(1\,\%\) von \(1800\,\text{€}\). Das sind \(18\,\text{€}\). 2. Damit sind \(2\,\%\) nur \(36\,\text{€}\). 3. \(360\,\text{€}\) sind für einen Zinssatz von \(2\,\%\) daher nicht plausibel.

Die Angabe ist nicht plausibel. \(2\,\%\) von \(1800\,\text{€}\) liegen bei \(36\,\text{€}\), nicht bei \(360\,\text{€}\).

- Lies zuerst das Argument \(m\) an Marker A von der Zahlengeraden ab. - Bestimme aus dem Jahreszins den konstanten Zinsbetrag pro Monat. - Dieser Monatsbetrag ist der Proportionalitätsfaktor der Funktion.

1. Marker A liegt beim dritten Monat. Die Laufzeit beträgt \(3\) Monate. 2. Die Jahreszinsen betragen \(2400\,\text{€}\cdot0{,}04=96\,\text{€}\). Pro Monat sind das \(8\,\text{€}\). 3. Daher gilt \(Z(m)=8\,\text{€}\cdot m\). 4. Für die dargestellte Laufzeit gilt \(Z(3)=24\,\text{€}\).

Laufzeit: \(3\) Monate Funktion: \(Z(m)=8\,\text{€}\cdot m\) Zinsbetrag: \(24\,\text{€}\)

- Jahreszinsen hängen sowohl vom Kapital als auch vom Zinssatz ab. - Berechne oder vergleiche das Produkt aus Kapital und Zinssatz für beide Anlagen. - Achte darauf, ob das größere Kapital mit einem entsprechend kleineren Zinssatz verbunden ist.

1. Bei Anlage A sind die Jahreszinsen \(2000\,\text{€} \cdot \frac{3}{100} = 60\,\text{€}\). 2. Bei Anlage B sind die Jahreszinsen \(3000\,\text{€} \cdot \frac{2}{100} = 60\,\text{€}\). 3. Anlage B hat das \(1{,}5\)-Fache des Kapitals von A, aber nur \(\frac{2}{3}\) ihres Zinssatzes. Die beiden Faktoren gleichen sich aus, daher sind die Zinsen gleich hoch.

Keine Anlage bringt mehr: Beide ergeben für ein Jahr \(60\,\text{€}\) Zinsen. Das größere Kapital von B wird durch den kleineren Zinssatz genau ausgeglichen.

- Übersetze jede prozentuale Zunahme zunächst in einen Wachstumsfaktor. - Der Endwert eines Jahres ist der Ausgangswert des nächsten Jahres. - Für die gesamte prozentuale Zunahme brauchst du wieder den ursprünglichen Startwert als Bezugswert.

1. Die Wachstumsfaktoren sind \(1{,}015\), \(1{,}025\) und \(1{,}035\). 2. Nach dem ersten Jahr gilt \(600{,}00\,\text{€}\cdot1{,}015=609{,}00\,\text{€}\). 3. Nach dem zweiten Jahr gilt \(609{,}00\,\text{€}\cdot1{,}025=624{,}225\,\text{€}\approx624{,}23\,\text{€}\). 4. Nach dem dritten Jahr gilt \(624{,}23\,\text{€}\cdot1{,}035=646{,}07805\,\text{€}\approx646{,}08\,\text{€}\). 5. Der gesamte Zuwachs beträgt \(46{,}08\,\text{€}\). Bezogen auf \(600\,\text{€}\) sind das \(\frac{46{,}08}{600}\cdot100\,\%=7{,}68\,\%\).

a) \(1{,}015\), \(1{,}025\), \(1{,}035\) b) \(609{,}00\,\text{€}\), \(624{,}23\,\text{€}\), \(646{,}08\,\text{€}\) c) Insgesamt etwa \(7{,}68\,\%\) Zunahme.

- Bestimme bei Angebot A zuerst den Zinsbetrag aus Rückzahlungsbetrag und Kreditbetrag. - Beziehe den Zinsbetrag bei Angebot A auf das geliehene Kapital, um den Zinssatz zu erhalten. - Berechne bei Angebot B den Zinsbetrag aus Kapital und angegebenem Zinssatz.

1. Bei Angebot A betragen die Zinsen \(5325\,\text{€}-5000\,\text{€}=325\,\text{€}\). 2. Der Zinssatz von Angebot A ist \(\frac{325}{5000}\cdot100\,\%=6{,}5\,\%\). 3. Bei Angebot B betragen die Zinsen \(4500\,\text{€}\cdot\frac{6}{100}=270\,\text{€}\). 4. Da \(6\,\%<6{,}5\,\%\), hat Angebot B den niedrigeren Zinssatz.

Angebot A: \(325\,\text{€}\) Zinsen bei \(6{,}5\,\%\). Angebot B: \(270\,\text{€}\) Zinsen bei \(6\,\%\). Angebot B hat den niedrigeren Zinssatz.

- Beziehe in a) die Zinsen auf das Kapital und gib das Ergebnis in Prozent an. - Prozentpunkte werden direkt zum bisherigen Zinssatz addiert. - In c) sind Zinsbetrag und Zinssatz gegeben; gesucht ist das dazugehörige Kapital.

1. Der Zinssatz im ersten Jahr ist \(\frac{100}{5000}\cdot100\,\%=2\,\%\). 2. Nach der Erhöhung um \(0{,}5\) Prozentpunkte beträgt der Zinssatz \(2{,}5\,\%\). 3. Die Zinsen im zweiten Jahr sind \(5000\,\text{€}\cdot\frac{2{,}5}{100}=125\,\text{€}\). 4. Für \(200\,\text{€}\) Zinsen bei \(2{,}5\,\%\) benötigt man \(K=200\,\text{€}\cdot\frac{100}{2{,}5}=8000\,\text{€}\).

a) \(2\,\%\) b) \(125\,\text{€}\) c) \(8000\,\text{€}\)

- Berechne zuerst den Gesamtertrag für jedes Angebot einzeln. - Wie verändern sich die Zinssätze bei Angebot B von Jahr zu Jahr? - Am Ende musst du die beiden Ergebnisse miteinander vergleichen.

1. Berechnung der Gesamtzinsen für Angebot A: \(Z_A = 2500\,\text{€} \cdot 0{,}021 \cdot 5 = 262{,}50\,\text{€}\). 2. Bestimmung der Zinssätze für Angebot B: \(1\,\%\), \(1{,}5\,\%\), \(2\,\%\), \(2{,}5\,\%\) und \(3\,\%\). 3. Berechnung der Gesamtzinsen für Angebot B: \(Z_B = 2500\,\text{€} \cdot (0{,}01 + 0{,}015 + 0{,}02 + 0{,}025 + 0{,}03) = 2500\,\text{€} \cdot 0{,}10 = 250\,\text{€}\). 4. Berechnung der Differenz: \(262{,}50\,\text{€} - 250\,\text{€} = 12{,}50\,\text{€}\). Angebot A ist um \(12{,}50\,\text{€}\) vorteilhafter.

Angebot A ist vorteilhafter, da der Gesamtzinsertrag um \(12{,}50\,\text{€}\) höher ist als bei Angebot B.

- Wie berechnet man die Gesamtkosten für ein Jahr, wenn man die monatlichen Kosten kennt? - Wie berechnet man den Zinsbetrag aus dem Zinssatz und dem Kapital? - Vergleiche die beiden jährlichen Beträge am Ende miteinander.

1. Berechnung der jährlichen Zinskosten für Bank A: \(15\,000\,\text{€} \cdot 0{,}064 = 960\,\text{€}\) 2. Berechnung der jährlichen Zinskosten für Bank B: \(75\,\text{€} \cdot 12 = 900\,\text{€}\) 3. Vergleich der Ergebnisse: \(900\,\text{€} < 960\,\text{€}\) 4. Schlussfolgerung: Angebot B ist günstiger.

Angebot B ist günstiger. Bei Bank A betragen die jährlichen Zinsen \(960\,\text{€}\), während sie bei Bank B nur \(900\,\text{€}\) (\(75\,\text{€} \cdot 12\)) betragen.

- Welche Datenrate pro Minute gehört zu jeder Kamera? - Warum sind beide Graphen Ursprungsgeraden? - Achte darauf, in Teil b) unterschiedliche Aufnahmezeiten einzusetzen.

1. \(k_A=9:60=0{,}15\,\text{GB/min}\), also \(D_A(t)=0{,}15t\). Für B gilt \(k_B=11:80=0{,}1375\,\text{GB/min}\), also \(D_B(t)=0{,}1375t\). 2. \(D_A(90)=13{,}5\,\text{GB}\), \(D_B(100)=13{,}75\,\text{GB}\). B ist größer.

a) \(D_A(t)=0{,}15t\), \(D_B(t)=0{,}1375t\) b) \(D_B(100)=13{,}75\,\text{GB}>D_A(90)=13{,}5\,\text{GB}\)

- Bestimme für beide Angebote zuerst die variablen Kosten pro Monat. - Bei Angebot B kommt zu diesen laufzeitabhängigen Kosten noch ein fester Betrag hinzu. - Woran erkennt man an einem Funktionsterm der Form \(am+b\), ob die Zuordnung direkt proportional ist?

1. Bei Angebot A betragen die Jahreszinsen \(1500\,\text{€}\cdot0{,}11=165\,\text{€}\), also \(13{,}75\,\text{€}\) pro Monat. Daher gilt \(K_A(m)=13{,}75\,\text{€}\cdot m\). 2. Bei Angebot B betragen die Jahreszinsen \(90\,\text{€}\), also \(7{,}50\,\text{€}\) pro Monat. Mit der festen Gebühr gilt \(K_B(m)=7{,}50\,\text{€}\cdot m+15\,\text{€}\). 3. Für \(m=3\) gilt \(K_A(3)=41{,}25\,\text{€}\) und \(K_B(3)=37{,}50\,\text{€}\). Angebot B ist um \(3{,}75\,\text{€}\) günstiger. 4. \(K_A\) ist direkt proportional, weil der Term die Form \(a m\) hat und \(K_A(0)=0\) gilt. \(K_B\) ist wegen der festen Gebühr \(15\,\text{€}\) nicht direkt proportional.

a) \(K_A(m)=13{,}75\,\text{€}\cdot m\), \(K_B(m)=7{,}50\,\text{€}\cdot m+15\,\text{€}\) b) Angebot A: \(41{,}25\,\text{€}\); Angebot B: \(37{,}50\,\text{€}\). Angebot B ist um \(3{,}75\,\text{€}\) günstiger. c) \(K_A\) ist direkt proportional; \(K_B\) ist wegen des konstanten Summanden \(15\,\text{€}\) nicht direkt proportional.

- Nutze bei Bank A den bekannten Zinsbetrag und Zinssatz, um das Kapital zurückzurechnen. - Verwende anschließend dieselbe Kreditsumme für Bank B. - Vergleiche am Ende die beiden jährlichen Zinsbeträge in Euro.

1. Bei Bank A gilt \(455\,\text{€}=K\cdot\frac{6{,}5}{100}\). Daher ist \(K=455\,\text{€}\cdot\frac{100}{6{,}5}=7000\,\text{€}\). 2. Bei Bank B betragen die jährlichen Zinsen \(7000\,\text{€}\cdot\frac{7{,}2}{100}=504\,\text{€}\). 3. Die Mehrkosten betragen \(504\,\text{€}-455\,\text{€}=49\,\text{€}\).

Die Kreditsumme beträgt \(7000\,\text{€}\). Bei Bank B wären jährlich \(49\,\text{€}\) mehr Zinsen zu zahlen.

- Welcher Quotient aus Aufnahmezahl und Zeit ist konstant? - Wie setzt du \(t=360\) in die Funktion ein? - Wie schreibst du \(1{,}5\,\%\) als Dezimalzahl, um vom Teil auf das Ganze zu schließen?

1. Es ist \(k=36:240=0{,}15\,\text{Aufnahmen/s}\). Damit gilt \(N(t)=0{,}15t\). 2. \(N(360)=0{,}15\cdot360=54\). 3. Wenn \(54\) Aufnahmen \(1{,}5\,\%\) entsprechen, ist der Gesamtumfang \(54:0{,}015=3600\) Aufnahmen.

a) \(N(t)=0{,}15t\) b) \(54\) Aufnahmen c) \(3600\) Aufnahmen

- Bestimme zuerst den Endwert des exponentiellen Modells nach vier Jahren. - Wie groß ist dessen gesamter Zuwachs gegenüber dem Anfangswert? - Im linearen Modell ist der jährliche absolute Zuwachs viermal gleich groß. Setze die Gesamtzuwächse gleich.

1. Für Modell E gilt nach vier Jahren \(E(4)=2000\,\text{€}\cdot1{,}03^4=2251{,}01762\,\text{€}\). 2. Der gesamte Zuwachs gegenüber dem Anfangswert beträgt \(251{,}01762\,\text{€}\). 3. Modell L erhält viermal denselben Zuwachs \(2000\,\text{€}\cdot\frac{x}{100}=20x\,\text{€}\). Insgesamt sind das \(80x\,\text{€}\). 4. Aus \(80x\,\text{€}=251{,}01762\,\text{€}\) folgt \(x=3{,}13772025\).

\(x=3{,}13772025\,\%\), gerundet \(x\approx3{,}14\,\%\).

- Welche zwei unbekannten Geldbeträge suchst du? - Welche Gleichung beschreibt die gesamte angelegte Summe? - Wie kannst du die beiden Zinserträge zusammen in einer zweiten Gleichung darstellen?

1. Setze \(x\) für den Betrag auf dem ersten Konto und \(y\) für den Betrag auf dem zweiten Konto. 2. Die Bedingungen ergeben das Gleichungssystem \(\begin{cases}x+y=10\,000\\0{,}02x+0{,}03y=260\end{cases}\). 3. Aus der ersten Gleichung folgt \(x=10\,000-y\). Einsetzen in die zweite ergibt \(0{,}02(10\,000-y)+0{,}03y=260\). 4. Daraus folgt \(200+0{,}01y=260\), also \(y=6000\). 5. Mit der ersten Gleichung erhältst du \(x=4000\).

Frau Müller hat \(4000\,\text{€}\) auf dem Konto mit \(2\,\%\) und \(6000\,\text{€}\) auf dem Konto mit \(3\,\%\) angelegt.

- Bestimme für beide Personen den Zinsbetrag pro Tag. - Diese Tagesbeträge sind die Proportionalitätsfaktoren der beiden Funktionen. - Ermittle zuerst Lukas’ Funktionswert bei \(t=90\) und suche dann bei Leonie das zugehörige Argument.

1. Lukas zahlt im Jahr \(1200\,\text{€}\cdot0{,}10=120\,\text{€}\), also \(\frac{1}{3}\,\text{€}\) pro Tag. Daher gilt \(Z_L(t)=\frac{1}{3}\,\text{€}\cdot t\). 2. Leonie zahlt im Jahr \(1500\,\text{€}\cdot0{,}06=90\,\text{€}\), also \(0{,}25\,\text{€}\) pro Tag. Daher gilt \(Z_E(t)=0{,}25\,\text{€}\cdot t\). 3. Lukas zahlt nach \(90\) Tagen \(Z_L(90)=30\,\text{€}\). 4. Für Leonie gilt \(0{,}25t=30\). Daher ist \(t=120\) Tage.

a) \(Z_L(t)=\frac{1}{3}\,\text{€}\cdot t\), \(Z_E(t)=0{,}25\,\text{€}\cdot t\) b) \(120\) Tage

- Beziehe die \(75\,\text{€}\) im ersten Jahr auf den Anfangswert. - Übersetze beide jährlichen Prozentänderungen in Wachstumsfaktoren. - Für die gesamte prozentuale Zunahme bleibt der ursprüngliche Wert von \(3000\,\text{€}\) der Bezugswert.

1. Die Zunahme im ersten Jahr beträgt \(\frac{75}{3000}\cdot100\,\%=2{,}5\,\%\). Daher ist \(q_1=1{,}025\). 2. Nach dem ersten Jahr beträgt der Wert \(3000\,\text{€}\cdot1{,}025=3075\,\text{€}\). 3. Im zweiten Jahr ist \(q_2=1{,}02\). Damit ergibt sich \(3075\,\text{€}\cdot1{,}02=3136{,}50\,\text{€}\). 4. Die gesamte Zunahme beträgt \(136{,}50\,\text{€}\). Bezogen auf \(3000\,\text{€}\) sind das \(\frac{136{,}50}{3000}\cdot100\,\%=4{,}55\,\%\).

a) \(2{,}5\,\%\), \(q_1=1{,}025\) b) \(q_2=1{,}02\), Endwert \(3136{,}50\,\text{€}\) c) Gesamte Zunahme \(4{,}55\,\%\)

- Wie hoch sind die Zinsen insgesamt nach einem Jahr? - Welche Gleichung beschreibt das gesamte Anfangskapital? - Wie kannst du die beiden Zinserträge in einer zweiten Gleichung darstellen?

1. Setze \(x\) und \(y\) für die beiden ursprünglichen Anlagebeträge. Die gesamten Zinsen betragen \(12\,230-12\,000=230\,\text{€}\). 2. Damit gilt \(\begin{cases}x+y=12\,000\\0{,}015x+0{,}025y=230\end{cases}\). 3. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=12\,000-x\). Einsetzen in die zweite ergibt \(0{,}015x+0{,}025(12\,000-x)=230\). 4. Daraus folgt \(-0{,}01x=-70\), also \(x=7000\) und mit der ersten Gleichung \(y=5000\).

Auf dem ersten Konto wurden \(7000{,}00\,\text{€}\), auf dem zweiten \(5000{,}00\,\text{€}\) angelegt.

- Berechne für beide Konten den Kontostand nach jedem Jahr. - Verwende im zweiten Jahr jeweils den Kontostand nach dem ersten Jahr als neuen Grundwert. - Vergleiche anschließend die Produkte der beiden Wachstumsfaktoren.

1. Berechnung für Konto A: - Nach dem 1. Jahr: \(1000\,\text{€} \cdot 1{,}04 = 1040\,\text{€}\). - Nach dem 2. Jahr: \(1040\,\text{€} \cdot 1{,}04 = 1081{,}60\,\text{€}\). 2. Berechnung für Konto B: - Nach dem 1. Jahr: \(1000\,\text{€} \cdot 1{,}02 = 1020\,\text{€}\). - Nach dem 2. Jahr: \(1020\,\text{€} \cdot 1{,}06 = 1081{,}20\,\text{€}\). 3. Vergleich: \(1081{,}60\,\text{€} > 1081{,}20\,\text{€}\). Auf Konto A liegt mehr Geld. 4. Begründung: Aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen werden durch Multiplikation der Wachstumsfaktoren verknüpft. Für Konto A gilt \(1{,}04 \cdot 1{,}04 = 1{,}0816\), für Konto B \(1{,}02 \cdot 1{,}06 = 1{,}0812\). Gleiche Summen der Prozentsätze führen daher nicht zwingend zu gleichen Produkten der Wachstumsfaktoren.

Nach zwei Jahren liegt auf Konto A mit \(1081{,}60\,\text{€}\) mehr Geld als auf Konto B mit \(1081{,}20\,\text{€}\). Die Endbeträge unterscheiden sich, weil die Wachstumsfaktoren multipliziert und nicht die Prozentsätze addiert werden.

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einer jährlichen Zunahme um \(2{,}5\,\%\)? - Fasse in b) zunächst die ersten beiden Jahre zu einem Zwischenwert zusammen. - Welcher Faktor muss diesen Zwischenwert auf den Zielwert bringen, und welche Prozentänderung gehört zu diesem Faktor?

1. Bei einer jährlichen Zunahme um \(2{,}5\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(q=1{,}025\). 2. Nach drei Jahren gilt \(800\,\text{€}\cdot1{,}025^3=861{,}5125\,\text{€}\approx861{,}51\,\text{€}\). Das Ziel wird erreicht. 3. Im zweiten Modell gilt nach zwei Jahren \(800\,\text{€}\cdot1{,}01\cdot1{,}02=824{,}16\,\text{€}\). 4. Für den benötigten dritten Wachstumsfaktor \(q\) muss \(824{,}16\,\text{€}\cdot q=860\,\text{€}\) gelten. Daher ist \(q=\frac{860}{824{,}16}\approx1{,}0434867\). 5. Die zugehörige prozentuale Zunahme beträgt etwa \(4{,}3\,\%\).

a) Ja. Nach drei Jahren sind es etwa \(861{,}51\,\text{€}\). b) Im dritten Jahr ist eine Zunahme um mindestens etwa \(4{,}3\,\%\) nötig.

- Berechne zuerst, wie viel Geld der Anleger unter den alten Bedingungen bekommen hätte. - Dieses Ergebnis ist nun dein Zielwert für die Zinsen unter den neuen Bedingungen. - Achte darauf, dass nach dem zusätzlichen Kapital gefragt ist, nicht nach dem Gesamtkapital.

1. Berechnung des ursprünglichen Zinsertrags: \(Z = 12\,000\,\text{€} \cdot 0{,}012 = 144\,\text{€}\). 2. Berechnung des benötigten neuen Gesamtkapitals beim niedrigeren Zinssatz: \(K_{\text{neu}} = \frac{144\,\text{€}}{0{,}008} = 18\,000\,\text{€}\). 3. Berechnung des zusätzlich einzuzahlenden Betrags: \(18\,000\,\text{€} - 12\,000\,\text{€} = 6000\,\text{€}\).

Der Anleger muss zusätzlich \(6000\,\text{€}\) einzahlen, um weiterhin einen Zinsertrag von \(144\,\text{€}\) zu erhalten.

- Übersetze jede prozentuale Zunahme in einen Wachstumsfaktor. - Welche Rechenoperation verbindet aufeinanderfolgende Wachstumsfaktoren? - Überlege für b), welche Rolle die Reihenfolge von Faktoren bei einer Multiplikation spielt. - Vergleiche für c) nicht die Summen, sondern die Produkte der Faktoren.

1. Option 1 verwendet dreimal den Faktor \(1{,}02\). Daher gilt \(4000\,\text{€}\cdot1{,}02^3=4244{,}832\,\text{€}\approx4244{,}83\,\text{€}\). 2. Option 2 verwendet die Faktoren \(1{,}01\), \(1{,}02\) und \(1{,}03\). Daher gilt \(4000\,\text{€}\cdot1{,}01\cdot1{,}02\cdot1{,}03=4244{,}424\,\text{€}\approx4244{,}42\,\text{€}\). 3. Bei einer Multiplikation ändert die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht. Daher bleibt der Endwert von Option 2 bei umgekehrter Reihenfolge gleich. 4. Für aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen ist das Produkt der Wachstumsfaktoren entscheidend. Gleiche Summen der Änderungsraten können zu verschiedenen Produkten führen.

a) Option 1: Faktoren \(1{,}02; 1{,}02; 1{,}02\), Endwert etwa \(4244{,}83\,\text{€}\). Option 2: Faktoren \(1{,}01; 1{,}02; 1{,}03\), Endwert etwa \(4244{,}42\,\text{€}\). b) Der Endwert bleibt gleich. c) Entscheidend ist das Produkt der Wachstumsfaktoren, nicht die Summe der Prozentzahlen.