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- Bearbeite die angegebenen Zuwachsraten nacheinander nach demselben Muster. - Überlege, welcher Anteil des Waldbestands jeweils neu dazukommt. - Achte darauf, dass ein Zuwachs den Bestand größer macht. - Für die Rate mit Buchstaben kannst du denselben Rechenweg beibehalten und den Buchstaben stehen lassen.

1. Ausgangswert ist \(24\,000\). 2. Zuwachs bei \(2{,}5\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{2{,}5}{1000} = 60\). Bestand: \(24\,000 + 60 = 24\,060\). 3. Zuwachs bei \(5\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{5}{1000} = 120\). Bestand: \(24\,000 + 120 = 24\,120\). 4. Zuwachs bei \(7{,}5\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{7{,}5}{1000} = 180\). Bestand: \(24\,000 + 180 = 24\,180\). 5. Zuwachs bei \(k\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{k}{1000} = 24k\). Bestand: \(24\,000 + 24k\).

Der neue Baumbestand beträgt: - bei \(2{,}5\,\text{‰}\): \(24\,060\) - bei \(5\,\text{‰}\): \(24\,120\) - bei \(7{,}5\,\text{‰}\): \(24\,180\) - bei \(k\,\text{‰}\): \(24\,000 + 24k\)

- Bearbeite die einzelnen Abnahmeraten getrennt und vergleiche die Ergebnisse. - Überlege, welcher Anteil der Einwohnerzahl verloren geht. - Achte darauf, dass eine Abnahme vom Anfangsbestand weggenommen wird. - Bei der Rate mit Buchstaben bleibt der Rechenweg gleich, nur das Ergebnis enthält noch den Buchstaben.

1. Der Anfangsbestand ist \(45\,000\). Da die Bevölkerung sinkt, wird der berechnete Anteil subtrahiert. 2. Die Formel lautet: \(E_{\text{neu}} = 45\,000 - (45\,000 \cdot \frac{\text{Rate}}{1000})\). 3. Bei einer Abnahme von \(2\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{2}{1000} = 90\). Neue Zahl = \(45\,000 - 90 = 44\,910\). 4. Bei einer Abnahme von \(5\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{5}{1000} = 225\). Neue Zahl = \(45\,000 - 225 = 44\,775\). 5. Bei einer Abnahme von \(8\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{8}{1000} = 360\). Neue Zahl = \(45\,000 - 360 = 44\,640\). 6. Bei einer Abnahme von \(m\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{m}{1000} = 45m\). Neue Zahl = \(45\,000 - 45m\).

Die Einwohnerzahl nach einem Jahr beträgt: - bei \(2\,\text{‰}\) Abnahme: \(44\,910\) - bei \(5\,\text{‰}\) Abnahme: \(44\,775\) - bei \(8\,\text{‰}\) Abnahme: \(44\,640\) - bei \(m\,\text{‰}\) Abnahme: \(45\,000 - 45m\)

- Wie viele Hundertstel stecken in einem Ganzen, und wie viele Tausendstel? - Überlege dir, wie du ein Komma verschieben musst, um von einer Dezimalzahl zu Prozent oder Promille zu kommen. - Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner 100 oder 1000 steht?

1. Berechnung für \(\frac{2}{5}\): Division ergibt \(0{,}4\). Multiplikation mit \(100\) ergibt \(40\,\%\). Multiplikation mit \(1000\) ergibt \(400\,\text{‰}\). 2. Berechnung für \(0{,}08\): Umwandlung in Bruch ergibt \(\frac{8}{100} = \frac{2}{25}\). Multiplikation mit \(100\) ergibt \(8\,\%\). Multiplikation mit \(1000\) ergibt \(80\,\text{‰}\). 3. Berechnung für \(15\,\%\): Division durch \(100\) ergibt \(0{,}15\). Umwandlung in Bruch ergibt \(\frac{15}{100} = \frac{3}{20}\). Multiplikation der Prozentzahl mit \(10\) ergibt \(150\,\text{‰}\). 4. Berechnung für \(4\,\text{‰}\): Division durch \(1000\) ergibt \(0{,}004\). Umwandlung in Bruch ergibt \(\frac{4}{1000} = \frac{1}{250}\). Division des Promillewerts durch \(10\) ergibt \(0{,}4\,\%\).

Zeile 1: \(0{,}4\); \(40\,\%\); \(400\,\text{‰}\) Zeile 2: \(\frac{2}{25}\); \(8\,\%\); \(80\,\text{‰}\) Zeile 3: \(\frac{3}{20}\); \(0{,}15\); \(150\,\text{‰}\) Zeile 4: \(\frac{1}{250}\); \(0{,}004\); \(0{,}4\,\%\)

- Um Anteile zu vergleichen, ist es am einfachsten, beide in dieselbe Darstellung zu bringen (z. B. beide als Dezimalzahl oder beide in Prozent). - Achte genau auf die Anzahl der Nullen nach dem Komma. - Was bedeutet das Zeichen \(\text{‰}\) im Vergleich zu \(\,\%\)?

1. Teil a): Umwandlung von \(0{,}3\,\%\) in Promille durch Multiplikation mit \(10\) ergibt \(3\,\text{‰}\). Also gilt: \(0{,}3\,\% = 3\,\text{‰}\). 2. Teil b): Umwandlung von \(\frac{1}{40}\) in einen Dezimalbruch ergibt \(1 : 40 = 0{,}025\). Multiplikation mit \(100\) ergibt \(2{,}5\,\%\). Also gilt: \(\frac{1}{40} = 2{,}5\,\%\). 3. Teil c): Umwandlung von \(12\,\text{‰}\) in eine Dezimalzahl ergibt \(0{,}012\). Da \(0{,}012 > 0{,}01\) ist, gilt: \(12\,\text{‰} > 0{,}01\). 4. Teil d): Umwandlung von \(\frac{4}{5}\) in Prozent ergibt \(\frac{80}{100} = 80\,\%\). Da \(80\,\% < 85\,\%\) ist, gilt: \(\frac{4}{5} < 85\,\%\).

a) \(=\) b) \(=\) c) \(>\) d) \(<\)

- Überlege dir, wie viele Teile von 100 oder 1000 gemeint sind. - Kannst du den Anteil zuerst als Bruch schreiben? - Wie kannst du den Nenner des Bruchs auf 100 oder 1000 bringen?

1. Anteil als Bruch schreiben und auf den Nenner 100 (für Prozent) oder 1000 (für Promille) erweitern oder kürzen. 2. Für a): \(\frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\,\%\). 3. Für b): \(\frac{7}{200} = \frac{3{,}5}{100} = 3{,}5\,\%\) oder \(\frac{7}{200} = \frac{35}{1000} = 35\,\text{‰}\). 4. Für c): \(\frac{9}{1000} = 9\,\text{‰}\) oder \(\frac{0{,}9}{100} = 0{,}9\,\%\). 5. Für d): \(\frac{2}{50} = \frac{4}{100} = 4\,\%\).

a) \(20\,\%\) b) \(3{,}5\,\%\) oder \(35\,\text{‰}\) c) \(9\,\text{‰}\) oder \(0{,}9\,\%\) d) \(4\,\%\)

- Rechne beide Seiten in die gleiche Einheit (Prozent) um, um sie direkt vergleichen zu können. - Überlege dir bei Ausdrücken wie „jeder Zwanzigste“, welcher Bruch damit gemeint ist. - Wie viel Prozent sind eigentlich \(25\,\text{‰}\)?

1. Für a): Jeder Zwanzigste entspricht \(\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 5\,\%\). Da \(5\,\% > 4\,\%\), ist das Zeichen \(>\). 2. Für b): \(15\) von \(1000\) entspricht \(\frac{15}{1000} = \frac{1{,}5}{100} = 1{,}5\,\%\). Da \(1{,}5\,\% = 1{,}5\,\%\), ist das Zeichen \(=\). 3. Für c): Drei von vier entspricht \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\,\%\). Da \(75\,\% > 70\,\%\), ist das Zeichen \(>\). 4. Für d): \(25\,\text{‰} = \frac{25}{1000} = 2{,}5\,\%\). Jeder Vierzigste ist \(\frac{1}{40} = \frac{2{,}5}{100} = 2{,}5\,\%\). Da \(2{,}5\,\% = 2{,}5\,\%\), ist das Zeichen \(=\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\) d) \(=\)

- Wie viel Promille ergeben zusammen das Ganze? - Wenn du weißt, wie viel Silber enthalten ist, wie groß ist dann der restliche Teil? - Kannst du den Promillewert in eine Dezimalzahl umwandeln?

1. Bestimmung des Kupferanteils in Promille: Da der Silberanteil \(800\,\text{‰}\) beträgt und der Rest aus Kupfer besteht, liegt der Kupferanteil bei \(1000\,\text{‰} - 800\,\text{‰} = 200\,\text{‰}\). 2. Umrechnung des Promillesatzes in einen Dezimalbruch: \(200\,\text{‰} = \frac{200}{1000} = 0{,}2\). 3. Berechnung der Kupfermasse: Multiplikation der Gesamtmasse mit dem Anteil: \(45\,\text{g} \cdot 0{,}2 = 9\,\text{g}\).

Der Löffel enthält \(9\,\text{g}\) reines Kupfer.

- Trenne zuerst die feste Änderung im ersten Jahr von der veränderlichen Änderung im zweiten Jahr. - Achte darauf, dass sich die zweite Änderung auf den neuen Stand bezieht, nicht auf den ursprünglichen. - Überlege, wie du einen sehr kleinen Anteil der Einwohnerzahl ausdrücken kannst. - Lass den Buchstaben im zweiten Teil stehen und vereinfache nur so weit wie sinnvoll.

1. Zu a): Berechnung nach dem ersten Jahr. Wachstum: \(36\,000 \cdot \frac{5}{1000} = 180\). Einwohnerzahl nach 1 Jahr: \(36\,000 + 180 = 36\,180\). 2. Zu b): Berechnung nach dem zweiten Jahr ausgehend von \(36\,180\). Zuwachs: \(36\,180 \cdot \frac{p}{1000} = 36{,}18p\). Einwohnerzahl nach 2 Jahren: \(36\,180 + 36{,}18p\).

a) Nach dem ersten Jahr hat die Stadt \(36\,180\) Einwohner. b) Nach dem zweiten Jahr beträgt die Einwohnerzahl \(36\,180 + 36{,}18p\).

- Erinnere dich daran, dass „Prozent“ wörtlich „von Hundert“ und „Promille“ „von Tausend“ bedeutet. - Wenn du einen Wert in Prozent hast, wie kommst du dann schnell auf den Wert in Promille? - Bei Anteilen wie „Sieben von Zehn“ hilft es, zuerst einen Bruch aufzuschreiben.

1. Anteil a): \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). In Prozent: \(12{,}5\,\%\). In Promille: \(125\,\text{‰}\). 2. Anteil b): \(\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0{,}15\). In Prozent: \(15\,\%\). In Promille: \(150\,\text{‰}\). 3. Anteil c): \(\frac{7}{10} = \frac{70}{100} = 0{,}7\). In Prozent: \(70\,\%\). In Promille: \(700\,\text{‰}\). 4. Anteil d): \(2 \cdot 1{,}5\,\% = 3\,\%\). In Promille: \(3 \cdot 10 = 30\,\text{‰}\). 5. Anteil e): \(\frac{1}{4} \cdot 100\,\text{‰} = 25\,\text{‰}\). In Prozent: \(25 : 10 = 2{,}5\,\%\).

a) \(12{,}5\,\%\) und \(125\,\text{‰}\) b) \(15\,\%\) und \(150\,\text{‰}\) c) \(70\,\%\) und \(700\,\text{‰}\) d) \(3\,\%\) und \(30\,\text{‰}\) e) \(2{,}5\,\%\) und \(25\,\text{‰}\)

- Versuche, alle Angaben in die Einheit Promille umzurechnen, um sie direkt vergleichen zu können. - Bei Brüchen wie \(\frac{1}{450}\) kannst du den Zähler mit 1000 multiplizieren und dann durch den Nenner teilen. - Achte auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Umrechnen von Dezimalbrüchen.

1. Umrechnung aller Anteile in Promille (\(\text{‰}\)): Probe A: \(0{,}28\,\% \cdot 10 = 2{,}8\,\text{‰}\) Probe B: \(0{,}0022 \cdot 1000 = 2{,}2\,\text{‰}\) Probe C: \(\frac{1}{450} \cdot 1000 = \frac{20}{9} = 2{,}\overline{2}\,\text{‰}\) Probe D: \(\frac{5}{2000} = \frac{2{,}5}{1000} = 2{,}5\,\text{‰}\) 2. Vergleich der Werte: \(2{,}2\,\text{‰} < 2{,}\overline{2}\,\text{‰} < 2{,}5\,\text{‰} < 2{,}8\,\text{‰}\) 3. Reihenfolge: Probe B < Probe C < Probe D < Probe A. Der größte Anteil ist in Probe A enthalten.

Die Konzentrationen in Promille sind: Probe A: \(2{,}8\,\text{‰}\), Probe B: \(2{,}2\,\text{‰}\), Probe C: \(2{,}\overline{2}\,\text{‰}\), Probe D: \(2{,}5\,\text{‰}\). Die Reihenfolge ist: Probe B (\(0{,}0022\)) < Probe C (\(\frac{1}{450}\)) < Probe D (\(\frac{5}{2000}\)) < Probe A (\(0{,}28\,\%\)). Probe A hat den größten Anteil.

- Was bedeutet die Angabe Promille im Vergleich zu Prozent? - Rechne jeden Anteil schrittweise in die Form „pro 1000“ um. - Vergleiche am Ende die drei berechneten Promillewerte miteinander.

1. Umrechnung des Goldanteils: \(\frac{3}{800} \cdot 1000 = 3{,}75\,\text{‰}\) 2. Umrechnung des Silberanteils: \(0{,}35\,\% = 3{,}5\,\text{‰}\) 3. Umrechnung des Platinanteils: \(0{,}004 \cdot 1000 = 4\,\text{‰}\) 4. Vergleich der Werte: \(4\,\text{‰} > 3{,}75\,\text{‰} > 3{,}5\,\text{‰}\) 5. Ergebnis: Da \(4\,\text{‰}\) der größte Wert ist, hat Platin tatsächlich den größten Anteil. Die Aussage des Juweliers ist korrekt.

Die Anteile in Promille sind: Gold \(3{,}75\,\text{‰}\), Silber \(3{,}5\,\text{‰}\) und Platin \(4\,\text{‰}\). Da \(4\,\text{‰} > 3{,}75\,\text{‰} > 3{,}5\,\text{‰}\) ist, stimmt die Aussage des Juweliers: Platin hat den größten Anteil.

- Es hilft, alle Angaben in dieselbe Schreibweise umzuwandeln, zum Beispiel in Prozent. - Erinnere dich, dass „Promille“ „von Tausend“ bedeutet. - Kürze Brüche so weit wie möglich, bevor du sie auf den Nenner 100 erweiterst.

1. Umrechnung aller Anteile in Prozent: 2. A: \(\frac{3}{500} = \frac{0{,}6}{100} = 0{,}6\,\%\) 3. B: \(\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 25\,\%\) 4. C: \(\frac{12}{80} = \frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\,\%\) 5. D: \(7\,\text{‰} = \frac{7}{1000} = \frac{0{,}7}{100} = 0{,}7\,\%\) 6. Vergleich der Prozentsätze: \(0{,}6\,\% < 0{,}7\,\% < 15\,\% < 25\,\%\). 7. Reihenfolge: A, D, C, B.

A (\(0{,}6\,\%\)) < D (\(0{,}7\,\%\)) < C (\(15\,\%\)) < B (\(25\,\%\))

- Schreibe den Anteil zuerst als Bruch auf. - Kannst du den Bruch so kürzen oder erweitern, dass im Nenner 100 oder 1000 steht? - Erinnere dich daran, dass \(1\,\%\) das Gleiche ist wie \(10\,\text{‰}\).

1. Gummibärchen: Anteil \(\frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%\). In Promille: \(300\,\text{‰}\). 2. Umfrage: Anteil \(\frac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\,\%\). In Promille: \(125\,\text{‰}\). 3. Gemeinderat: Anteil \(\frac{15}{2000} = \frac{7{,}5}{1000} = 0{,}75\,\%\). In Promille: \(7{,}5\,\text{‰}\). 4. Speicher: Anteil \(\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). In Promille: \(375\,\text{‰}\).

a) \(30\,\%\), \(300\,\text{‰}\) b) \(12{,}5\,\%\), \(125\,\text{‰}\) c) \(0{,}75\,\%\), \(7{,}5\,\text{‰}\) d) \(37{,}5\,\%\), \(375\,\text{‰}\)

- Achte bei a) darauf, zuerst die gesamte Masse der Mischung zu bestimmen. - Bei c) musst du die Einheiten (Milliliter und Liter) angleichen, bevor du den Anteil berechnest. - Ein Maßstab von \(1 : 200\) bedeutet, dass jede Modelllänge \(\frac{1}{200}\) der entsprechenden Originallänge entspricht.

1. Goldanteil: Gesamtmasse berechnen: \(2\,\text{g} + 498\,\text{g} = 500\,\text{g}\). Anteil \(\frac{2}{500} = \frac{4}{1000} = 0{,}4\,\% = 4\,\text{‰}\). 2. Maßstab: Der Anteil einer Modelllänge an der entsprechenden Originallänge ist \(\frac{1}{200} = \frac{5}{1000} = 0{,}5\,\% = 5\,\text{‰}\). 3. Sirup: \(1\,\text{Liter} = 1000\,\text{ml}\). Anteil \(\frac{5\,\text{ml}}{1000\,\text{ml}} = \frac{5}{1000} = 0{,}5\,\% = 5\,\text{‰}\).

a) \(0{,}4\,\%\), \(4\,\text{‰}\) b) \(0{,}5\,\%\), \(5\,\text{‰}\) c) \(0{,}5\,\%\), \(5\,\text{‰}\)

- Berechne für beide Proben einzeln, wie viel Salz sie enthalten. - Achte darauf, dass die Mengen des Wassers unterschiedlich groß sind. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Massen.

1. Berechnung der Salzmenge in der Ostseeprobe: \(15\,\text{kg} \cdot \frac{8}{1000} = 0{,}12\,\text{kg}\). Dies entspricht \(120\,\text{g}\). 2. Berechnung der Salzmenge in der Nordseeprobe: \(4\,\text{kg} \cdot \frac{35}{1000} = 0{,}14\,\text{kg}\). Dies entspricht \(140\,\text{g}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(140\,\text{g} > 120\,\text{g}\). Somit ist in der Nordseeprobe mehr Salz enthalten.

In der Probe aus der Nordsee befindet sich mit \(140\,\text{g}\) mehr Salz als in der Probe aus der Ostsee (\(120\,\text{g}\)).

- Achte besonders auf die Einheiten: Kilogramm und Milligramm müssen vergleichbar gemacht werden. - Wie viele Milligramm sind ein Kilogramm? - Du kannst entweder den Anteil der Probe in Promille berechnen oder ausrechnen, wie viel Milligramm dem Grenzwert entsprechen würden.

1. Vereinheitlichung der Einheiten: Die Masse der Probe beträgt \(2\,\text{kg} = 2000\,\text{g} = 2\,000\,000\,\text{mg}\). 2. Berechnung des Schadstoffanteils in Promille: \(\frac{120\,\text{mg}}{2000000\,\text{mg}} \cdot 1000 = 0{,}06\,\text{‰}\). Alternativer Weg: Berechnung des Grenzwerts in Milligramm: \(2\,000\,000\,\text{mg} \cdot \frac{0{,}05}{1000} = 100\,\text{mg}\). 3. Vergleich: Da \(0{,}06\,\text{‰} > 0{,}05\,\text{‰}\) (bzw. \(120\,\text{mg} > 100\,\text{mg}\)), ist der Grenzwert überschritten.

Ja, der Grenzwert wurde überschritten. Der gemessene Anteil liegt bei \(0{,}06\,\text{‰}\), was über dem Grenzwert von \(0{,}05\,\text{‰}\) liegt.