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Stellen Sie aus rund 22.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

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4128147
Zeichne eine Strecke \(\overline{AB}\) mit einer Länge von \(7{,}6\,\text{cm}\). a) Konstruiere die Mittelsenkrechte dieser Strecke ausschließlich mit Zirkel und Lineal. b) Gib die Länge der beiden entstehenden Teilstrecken an. c) Welche besondere Eigenschaft haben alle Punkte, die auf dieser Mittelsenkrechten liegen, in Bezug auf die Endpunkte \(A\) und \(B\)?

Denkanstöße

- Wie groß muss die Spanne im Zirkel mindestens sein, damit sich die Kreisbögen überhaupt schneiden? - Wo genau schneidet die Mittelsenkrechte die ursprüngliche Strecke? - Überlege dir einen beliebigen Punkt auf der Mittelsenkrechten und stelle dir die Abstände zu den Endpunkten vor.

Lösung

1. Zeichnen der Strecke \(\overline{AB} = 7{,}6\,\text{cm}\). 2. Konstruktion der Mittelsenkrechten: Zirkel mit einer Spanne größer als die Hälfte der Strecke (z. B. \(4\,\text{cm}\)) nacheinander in \(A\) und \(B\) einstechen und jeweils zwei Kreisbögen oberhalb und unterhalb der Strecke zeichnen. 3. Die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen mit einem Lineal verbinden. 4. Die Länge der Teilstrecken berechnen: \(7{,}6\,\text{cm} : 2 = 3{,}8\,\text{cm}\). 5. Eigenschaft der Mittelsenkrechten: Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist exakt gleich weit von den Endpunkten \(A\) und \(B\) entfernt.

Antwort

a) Schlage mit gleicher Zirkelöffnung größer als \(3{,}8\,\text{cm}\) um \(A\) und \(B\) Kreisbögen ober- und unterhalb der Strecke. Die Gerade durch die beiden Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte. b) Die Teilstrecken sind jeweils \(3{,}8\,\text{cm}\) lang. c) Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten haben denselben Abstand zu \(A\) wie zu \(B\).
4314487
Die Gerade \(w\) ist die Winkelhalbierende des Gesamtwinkels \(\beta\) zwischen den beiden Geraden \(g\) und \(h\). Bestimme die Größe des Winkels \(\alpha\) und die Größe des Gesamtwinkels \(\beta\).
Abbildung zur Aufgabe 431448

Denkanstöße

- Was ist die wichtigste Eigenschaft einer Winkelhalbierenden? - Wenn eine Linie einen Winkel halbiert, in welchem Verhältnis stehen dann die beiden kleineren Winkel zueinander? - Wie kannst du aus den beiden Teilwinkeln den gesamten Winkel zusammensetzen?

Lösung

1. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei exakt gleich große Teilwinkel. 2. Da die Gerade \(w\) die Winkelhalbierende von \(\beta\) ist, ist der Teilwinkel \(\alpha\) zwischen \(w\) und \(h\) genauso groß wie der gegebene Teilwinkel zwischen \(g\) und \(w\). Daher gilt: \(\alpha = 28^\circ\). 3. Der Gesamtwinkel \(\beta\) ist die Summe der beiden Teilwinkel: \(\beta = 28^\circ + \alpha = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ\).

Antwort

\(\alpha = 28^\circ\) und \(\beta = 56^\circ\)
4315307
Die Abbildung zeigt eine Gerade \(g\) und zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Scheitelpunkt auf \(g\) ausgehen. Der orangefarbene Strahl \(w\) ist die Winkelhalbierende des Winkels, der von dem nach rechts verlaufenden Strahl der Geraden \(g\) und dem Strahl \(s\) gebildet wird. Einer der beiden dadurch entstehenden Teilwinkel beträgt \(55^\circ\). a) Bestimme die Größe des Winkels \(\alpha\). b) Berechne die Größe des Winkels \(\beta\).
Abbildung zur Aufgabe 431530

Denkanstöße

- Was bedeutet es, wenn ein Strahl die Winkelhalbierende eines Winkels ist? - Wie verhalten sich die beiden Winkel, die durch eine Winkelhalbierende entstehen, zueinander? - Welche Beziehung besteht zwischen Winkeln, die zusammen eine gerade Linie bilden? - Versuche, zuerst den gesamten Winkel zwischen dem Strahl und der Geraden zu bestimmen.

Lösung

1. Da der Strahl \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels zwischen dem nach rechts verlaufenden Strahl der Geraden \(g\) und dem Strahl \(s\) ist, teilt er diesen Winkel in zwei exakt gleich große Teile. 2. Da der obere Teilwinkel mit \(55^\circ\) gegeben ist, muss der andere Teilwinkel \(\alpha\) genau dieselbe Größe besitzen. Es gilt also: \(\alpha = 55^\circ\). 3. Der gesamte Winkel zwischen dem nach rechts verlaufenden Strahl der Geraden \(g\) und dem Strahl \(s\) ist die Summe der beiden Teilwinkel: \(55^\circ + 55^\circ = 110^\circ\). 4. Da die Gerade \(g\) eine gerade Linie bildet, ergänzen sich dieser Gesamtwinkel von \(110^\circ\) und der Winkel \(\beta\) zu einem gestreckten Winkel von \(180^\circ\) (Nebenwinkel). 5. Daraus berechnet sich \(\beta\) wie folgt: \(\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

Antwort

a) \(\alpha = 55^\circ\) b) \(\beta = 70^\circ\)
4331247
Auf einer Geraden \(g\) liegt der Punkt \(O\). Der Strahl \(m\) bildet mit dem linken Strahl der Geraden einen Winkel von \(126^\circ\). Der Strahl \(k\) halbiert den Winkel zwischen \(m\) und dem rechten Strahl der Geraden. Berechne den Winkel zwischen \(k\) und dem linken Strahl der Geraden.
Abbildung zur Aufgabe 433124

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Nebenwinkel zu \(126^\circ\). - Halbiere anschließend diesen Winkel. - Ergänze den erhaltenen Winkel auf \(180^\circ\).

Lösung

1. Der Winkel zwischen \(m\) und dem rechten Strahl der Geraden ist der Nebenwinkel zu \(126^\circ\): \(180^\circ-126^\circ=54^\circ\). 2. Da \(k\) diesen Winkel halbiert, entstehen zwei Winkel von \(54^\circ:2=27^\circ\). 3. Der gesuchte Winkel zwischen \(k\) und dem linken Strahl der Geraden beträgt \(180^\circ-27^\circ=153^\circ\).

Antwort

Der gesuchte Winkel beträgt \(153^\circ\).
4367447
Ein Dreieck \(ABC\) besitzt eine Mittelsenkrechte der Seite \(AB\), die durch den gegenüberliegenden Eckpunkt \(C\) verläuft. Erkläre mithilfe der Eigenschaften der Mittelsenkrechten, warum dieses Dreieck gleichschenklig sein muss.
Abbildung zur Aufgabe 436744

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition einer Mittelsenkrechten. - Welchen Abstand hat ein Punkt auf der Mittelsenkrechten zu den Endpunkten der Strecke?

Lösung

1. Sei \(M\) der Mittelpunkt der Seite \(AB\). Die Gerade \(CM\) steht senkrecht auf \(AB\). 2. Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten dieser Strecke denselben Abstand haben. 3. Da der Punkt \(C\) auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\) liegt, muss sein Abstand zu \(A\) genauso groß sein wie sein Abstand zu \(B\). 4. Es gilt also \(AC = BC\). 5. Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Antwort

Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu deren Endpunkten den gleichen Abstand. Da der Eckpunkt \(C\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt, gilt \(AC = BC\), womit das Dreieck gleichschenklig ist.
4371407
Zwei Nebenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\) liegen an einer Geraden. Der Winkel \(\alpha\) ist \(124\,^\circ\) groß. Bestimme die Größe des Winkels \(\delta\) zwischen den beiden Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) und \(w_\beta\).
Abbildung zur Aufgabe 437140

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie groß der zweite Winkel an der Geraden sein muss. - Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Aus welchen Teilwinkeln setzt sich der gesuchte Winkel zwischen den gestrichelten Winkelhalbierenden zusammen? - Erinnere dich an die Eigenschaft von Winkeln, die zusammen einen gestreckten Winkel bilden.

Lösung

1. Berechnung des Nebenwinkels \(\beta\): Da \(\alpha\) und \(\beta\) Nebenwinkel sind, ergänzen sie sich zu \(180\,^\circ\). \(\beta = 180\,^\circ - 124\,^\circ = 56\,^\circ\). 2. Bestimmung der Teilwinkel durch die Winkelhalbierenden: Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) teilt \(\alpha\) in zwei Winkel von je \(124\,^\circ : 2 = 62\,^\circ\). Die Winkelhalbierende \(w_\beta\) teilt \(\beta\) in zwei Winkel von je \(56\,^\circ : 2 = 28\,^\circ\). 3. Berechnung des Winkels \(\delta\) zwischen den Winkelhalbierenden: Der Winkel \(\delta\) setzt sich aus der Hälfte von \(\alpha\) und der Hälfte von \(\beta\) zusammen. \(\delta = 62\,^\circ + 28\,^\circ = 90\,^\circ\). Allgemein gilt für die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln immer, dass sie einen rechten Winkel einschließen.

Antwort

Der Winkel zwischen den beiden Winkelhalbierenden beträgt \(90\,^\circ\).
4371417
Ein Strahl \(s\) teilt einen gestreckten Winkel in zwei Nebenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\). Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) bildet mit dem Strahl \(s\) einen Winkel von \(37^\circ\). Berechne die Größen der Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sowie den Winkel zwischen \(s\) und der Winkelhalbierenden \(w_\beta\).
Abbildung zur Aufgabe 437141

Denkanstöße

- Wenn du einen halben Winkel kennst, wie findest du dann den ganzen Winkel? - Wie groß ist die Summe zweier Nebenwinkel? - Wie verhalten sich die beiden Winkel, in die eine Winkelhalbierende einen Winkel teilt?

Lösung

1. Berechnung von \(\alpha\): Da die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) den Winkel \(\alpha\) halbiert, ist \(\alpha\) doppelt so groß wie der Winkel zwischen \(w_\alpha\) und \(s\). \(\alpha = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ\). 2. Berechnung von \(\beta\): Da \(\alpha\) und \(\beta\) Nebenwinkel sind, gilt \(\alpha + \beta = 180^\circ\). \(\beta = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ\). 3. Berechnung des Winkels zwischen \(s\) und \(w_\beta\): Die Winkelhalbierende \(w_\beta\) teilt den Winkel \(\beta\) in zwei gleiche Teile. Der gesuchte Winkel ist \(\beta : 2 = 106^\circ : 2 = 53^\circ\).

Antwort

Die Winkel sind \(\alpha = 74^\circ\) und \(\beta = 106^\circ\). Der Winkel zwischen \(s\) und \(w_\beta\) beträgt \(53^\circ\).
4127127
In einem gleichschenkligen Dreieck \(ABC\) mit der Basis \(AB\) ist der Winkel an der Spitze \(\gamma = 50^\circ\). Die Winkelhalbierenden der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\) schneiden sich im Punkt \(W\). a) Berechne die Größe der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\). b) Bestimme die Größe des Winkels \(\angle AWB\). c) Welche besondere Eigenschaft hat der Punkt \(W\) in Bezug auf die drei Seiten des Dreiecks?

Denkanstöße

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Basiswinkel? - Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Überlege, welche Abstände ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu den begrenzenden Schenkeln hat.

Lösung

1. Berechnung der Basiswinkel: Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta\). Mit der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\alpha = \beta = (180^\circ - 50^\circ) : 2 = 65^\circ\). 2. Berechnung des Winkels \(\angle AWB\): In dem Dreieck \(ABW\) sind die Winkel an der Basis die Hälften von \(\alpha\) und \(\beta\), also \(\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = 32{,}5^\circ\). Der Winkel \(\angle AWB\) berechnet sich über die Winkelsumme im Dreieck \(ABW\): \(180^\circ - 32{,}5^\circ - 32{,}5^\circ = 115^\circ\). 3. Eigenschaft von \(W\): Da \(W\) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist, ist er der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(ABC\). Er hat somit zu allen drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand.

Antwort

a) \(\alpha = \beta = 65^\circ\) b) \(\angle AWB = 115^\circ\) c) Der Punkt \(W\) ist der Inkreismittelpunkt und hat zu allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
4127137
Ein rechteckiges Grundstück \(ABCD\) mit den Seitenlängen \(a = 12\,\text{m}\) (Seite \(AB\)) und \(b = 5\,\text{m}\) (Seite \(BC\)) wird durch die Diagonale \(AC\) in zwei dreieckige Flächen unterteilt. Die Diagonale \(AC\) ist \(13\,\text{m}\) lang. In jedem der beiden Dreiecke (\(ABC\) und \(ADC\)) soll ein Springbrunnen exakt im Inkreismittelpunkt des jeweiligen Dreiecks errichtet werden. a) Beschreibe, wie man die Position des Springbrunnens \(W_1\) im Dreieck \(ABC\) konstruiert. b) In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\) berechnet sich der Radius \(r\) des Inkreises mit der Formel \(r = \frac{a + b - c}{2}\). Berechne den Abstand des Springbrunnens \(W_1\) von der Seite \(AB\). c) Welchen Abstand haben die beiden Springbrunnen \(W_1\) und \(W_2\) jeweils von der Diagonale \(AC\)? Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Wie findet man den Mittelpunkt des Kreises, der alle Seiten eines Dreiecks berührt? - Was gibt der Inkreisradius über die Lage des Mittelpunkts an? - Betrachte die Symmetrie des Rechtecks an seinem Mittelpunkt oder die Kongruenz der Teildreiecke.

Lösung

1. Konstruktion von \(W_1\): Der Punkt \(W_1\) wird als Schnittpunkt von mindestens zwei Winkelhalbierenden des Dreiecks \(ABC\) konstruiert. 2. Berechnung des Abstands zur Seite \(AB\): Der Abstand des Inkreismittelpunkts zu einer Seite entspricht dem Inkreisradius \(r\). Mit \(a = 12\), \(b = 5\) und \(c = 13\) ergibt sich \(r = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\text{m}\). 3. Abstand zur Diagonale \(AC\): Da beide Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) kongruent sind (SWS-Satz oder SSS-Satz), sind auch ihre Inkreise identisch groß. Der Abstand jedes Inkreismittelpunkts zu jeder Seite des jeweiligen Dreiecks (einschließlich der gemeinsamen Seite \(AC\)) ist gleich dem Radius \(r\). Somit haben beide Springbrunnen den Abstand \(2\,\text{m}\) von der Diagonale \(AC\).

Antwort

a) \(W_1\) ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck \(ABC\). b) Der Abstand beträgt \(2\,\text{m}\). c) Beide haben den Abstand \(2\,\text{m}\) von \(AC\), da der Inkreisradius in beiden kongruenten Dreiecken gleich groß ist.
4128157
Der Winkel \(\gamma = 74^\circ\) ist bereits gezeichnet. a) Konstruiere die Winkelhalbierende \(w_1\) dieses Winkels mit Zirkel und Lineal. b) Konstruiere eine weitere Winkelhalbierende \(w_2\), die einen der beiden neu entstandenen Teilwinkel erneut halbiert. c) Berechne die Größe des kleinsten so entstandenen Winkels und überprüfe deine Konstruktion durch Messen mit dem Geodreieck.

Denkanstöße

- Was passiert mit der Winkelgröße, wenn du einen Winkel halbierst? - Kannst du das Verfahren zur Winkelhalbierung auf die bereits entstandenen kleineren Winkel übertragen? - Welche Rechenoperation hilft dir, das Ergebnis der Konstruktion vorab zu bestimmen?

Lösung

1. Ausgangspunkt ist der bereits gezeichnete Winkel \(\gamma = 74^\circ\). 2. Konstruktion von \(w_1\): Zeichne einen Kreisbogen um den Scheitelpunkt und markiere die Schnittpunkte mit den Schenkeln. Zeichne von diesen Punkten aus zwei sich schneidende Kreisbögen mit derselben Zirkelöffnung im Inneren des Winkels. Zeichne vom Scheitelpunkt aus eine Halbgerade durch den Schnittpunkt der Kreisbögen. 3. Größe des ersten Teilwinkels: \(74^\circ : 2 = 37^\circ\). 4. Konstruktion von \(w_2\): Wende dasselbe Verfahren auf einen der beiden \(37^\circ\)-Winkel an. 5. Größe des kleinsten Winkels: \(37^\circ : 2 = 18{,}5^\circ\).

Antwort

a) Zeichne einen Kreisbogen um den Scheitelpunkt, markiere seine Schnittpunkte mit den Schenkeln, schlage von diesen Punkten aus gleich große Kreisbögen und zeichne vom Scheitelpunkt aus eine Halbgerade durch deren Schnittpunkt. Diese Halbgerade ist \(w_1\). b) Wende dasselbe Verfahren auf einen der beiden \(37^\circ\)-Teilwinkel an; die neue Winkelhalbierende ist \(w_2\). c) Der kleinste entstandene Winkel hat die Größe \(18{,}5^\circ\).
4128167
Stell dir vor, du möchtest Winkel konstruieren, darfst aber die Gradskala deines Geodreiecks nicht benutzen. Du startest mit einem rechten Winkel (\(90^\circ\)), den du z. B. durch das Errichten eines Lots erzeugst. a) Konstruiere durch einfaches Halbieren einen Winkel von \(45^\circ\). b) Konstruiere durch eine weitere Halbierung einen Winkel von \(22{,}5^\circ\). c) Wie oft müsstest du den ursprünglichen rechten Winkel insgesamt halbieren, um zum ersten Mal einen Winkel zu erhalten, der kleiner als \(10^\circ\) ist? Berechne die Größe dieses Winkels.

Denkanstöße

- Erstelle eine kleine Tabelle oder Liste, in der du die Anzahl der Halbierungen und die jeweilige Winkelgröße notierst. - Halbieren bedeutet mathematisch das Teilen durch \(2\). - Wie oft musst du diese Teilung nacheinander durchführen, um unter den Zielwert zu kommen?

Lösung

1. Startwert: \(90^\circ\). 2. Erste Halbierung: \(90^\circ : 2 = 45^\circ\). 3. Zweite Halbierung: \(45^\circ : 2 = 22{,}5^\circ\). 4. Dritte Halbierung: \(22{,}5^\circ : 2 = 11{,}25^\circ\). Dieser Winkel ist noch größer als \(10^\circ\). 5. Vierte Halbierung: \(11{,}25^\circ : 2 = 5{,}625^\circ\). Dieser Winkel ist kleiner als \(10^\circ\). 6. Ergebnis: Es sind 4 Halbierungsschritte nötig. Der resultierende Winkel ist \(5{,}625^\circ\) groß.

Antwort

a) Nach der ersten Winkelhalbierung entsteht ein Winkel von \(45^\circ\). b) Nach der zweiten Winkelhalbierung entsteht ein Winkel von \(22{,}5^\circ\). c) Nach insgesamt vier Halbierungen entsteht erstmals ein Winkel unter \(10^\circ\), nämlich \(5{,}625^\circ\).
4314417
Zwei benachbarte Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) liegen auf einer Geraden \(g\) und sind Nebenwinkel. Der gemeinsame Schenkel der beiden Winkel ist der Strahl \(h\). Der Strahl \(w_\alpha\) ist die Winkelhalbierende des Winkels \(\alpha\). Der Winkel zwischen der Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) und dem entgegengesetzten Strahl der Geraden \(g\) beträgt \(\delta = 145^\circ\) (siehe Abbildung). Berechne die Größen der Winkel \(\alpha\) und \(\beta\).
Abbildung zur Aufgabe 431441

Denkanstöße

- Kannst du dir vorstellen, wie groß ein gestreckter Winkel ist? - Überlege dir, welche Beziehung zwischen dem Winkel \(\alpha\) und seiner Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) besteht. - Wie hängen Nebenwinkel zusammen? Welche Summe bilden sie immer?

Lösung

1. Da die Gerade \(g\) eine gerade Linie bildet, beträgt der gestreckte Winkel insgesamt \(180^\circ\). 2. Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) teilt \(\alpha\) in zwei gleich große Hälften \(\frac{\alpha}{2}\). Der Winkel \(\delta\) ist der Nebenwinkel zu dieser Hälfte: \(180^\circ - \frac{\alpha}{2} = \delta\) 3. Setze \(\delta = 145^\circ\) ein und löse nach \(\alpha\) auf: \(180^\circ - \frac{\alpha}{2} = 145^\circ \implies \frac{\alpha}{2} = 35^\circ \implies \alpha = 70^\circ\) 4. Da \(\alpha\) und \(\beta\) Nebenwinkel sind, addieren sie sich zu \(180^\circ\): \(\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)

Antwort

\(\alpha = 70^\circ\) und \(\beta = 110^\circ\)
4314447
Gegeben ist ein Winkel zwischen zwei Geraden \(a\) und \(b\), der \(74^\circ\) beträgt. Die Gerade \(w_1\) ist die Winkelhalbierende dieses Winkels. Die Gerade \(w_2\) ist die Winkelhalbierende des Winkels zwischen \(w_1\) und \(b\) (siehe Abbildung). Berechne die Größe des rot markierten Winkels \(\beta\) zwischen den Geraden \(a\) und \(w_2\).
Abbildung zur Aufgabe 431444

Denkanstöße

- Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Berechne zuerst die Größe des Winkels zwischen \(a\) und \(w_1\). - Welcher Winkel wird durch die Gerade \(w_2\) halbiert? - Wie kannst du die beiden Teilwinkel kombinieren, um den Gesamtwinkel \(\beta\) zu erhalten?

Lösung

1. Da \(w_1\) die Winkelhalbierende des Winkels zwischen \(a\) und \(b\) (\(74^\circ\)) ist, teilt sie diesen Winkel in zwei gleiche Hälften: \(\angle(a, w_1) = \angle(w_1, b) = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ\) 2. Die Gerade \(w_2\) halbiert wiederum den Winkel zwischen \(w_1\) und \(b\) (\(37^\circ\)): \(\angle(w_1, w_2) = \frac{37^\circ}{2} = 18{,}5^\circ\) 3. Der Winkel \(\beta\) erstreckt sich von der Geraden \(a\) bis zur Geraden \(w_2\). Er setzt sich aus den beiden Teilwinkeln zusammen: \(\beta = \angle(a, w_1) + \angle(w_1, w_2) = 37^\circ + 18{,}5^\circ = 55{,}5^\circ\)

Antwort

\(\beta = 55{,}5^\circ\)
4314947
Im Dreieck \(ABC\) ist \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels \(\angle BAC\). Der Punkt \(D\) ist der Schnittpunkt von \(w\) mit der Seite \(BC\). Gegeben sind die Winkel \(\beta = 70^\circ\) (am Eckpunkt \(B\)) und \(\delta = 95^\circ\) (der Winkel \(\angle ADC\)). Berechne die Größe des Winkels \(\gamma\) am Eckpunkt \(C\) sowie die Größe des gesamten Winkels \(\alpha\) am Eckpunkt \(A\).
Abbildung zur Aufgabe 431494

Denkanstöße

- Was bedeutet es, wenn eine Linie eine „Winkelhalbierende“ ist? - Welche Beziehung besteht zwischen den Winkeln \(\angle ADB\) und \(\angle ADC\), die auf derselben Geraden liegen? - Betrachte zuerst das Teildreieck \(ABD\). Welche Winkel kennst du dort bereits oder kannst sie leicht berechnen? - Wie hilft dir die Innenwinkelsumme im großen Dreieck \(ABC\), um den gesuchten Winkel \(\gamma\) zu bestimmen?

Lösung

1. Die Winkel \(\angle ADB\) und \(\angle ADC\) (\(\delta\)) sind Nebenwinkel an einer Geraden und ergänzen sich zu \(180^\circ\): \(\angle ADB = 180^\circ - \delta = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ\). 2. Im Teildreieck \(ABD\) beträgt die Innenwinkelsumme \(180^\circ\). Der halbe Winkel \(\alpha\) bei \(A\) ist somit: \(\frac{\alpha}{2} = 180^\circ - \beta - \angle ADB = 180^\circ - 70^\circ - 85^\circ = 25^\circ\). 3. Da \(w\) die Winkelhalbierende von \(\alpha\) ist, gilt für den gesamten Winkel \(\alpha\): \(\alpha = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ\). 4. Im großen Dreieck \(ABC\) beträgt die Innenwinkelsumme ebenfalls \(180^\circ\). Damit berechnet sich \(\gamma\): \(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ\).

Antwort

\(\alpha = 50^\circ\) und \(\gamma = 60^\circ\)
4315027
Im Dreieck \(ABC\) ist der Winkel bei \(B\) gleich \(70^\circ\) und der Winkel bei \(C\) gleich \(60^\circ\). Die Strecke \(AD\) teilt den Winkel bei \(A\) in zwei gleich große Winkel \(\alpha\). Berechne die Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\). Begründe deine Schritte.
Abbildung zur Aufgabe 431502

Denkanstöße

- Was weißt du über die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Wie hilft dir die Information, dass eine Strecke einen Winkel halbiert? - Kannst du das große Dreieck in kleinere Teildreiecke zerlegen? - Welche Beziehung haben zwei Winkel, die nebeneinander auf einer geraden Linie liegen?

Lösung

1. Die Innenwinkelsumme im Dreieck \(ABC\) beträgt \(180^\circ\). Für den Winkel bei \(A\) gilt: \(\angle BAC = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ\). 2. Da \(AD\) die Winkelhalbierende ist, gilt: \(\alpha = 50^\circ : 2 = 25^\circ\). 3. Die Innenwinkelsumme im Teildreieck \(ABD\) beträgt \(180^\circ\). Somit gilt für \(\beta\): \(\beta = 180^\circ - 70^\circ - 25^\circ = 85^\circ\). 4. Die Winkel \(\beta\) und \(\gamma\) sind Nebenwinkel an der Geraden \(BC\). Daher gilt: \(\gamma = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ\) (oder über die Winkelsumme im Dreieck \(ADC\): \(\gamma = 180^\circ - 60^\circ - 25^\circ = 95^\circ\)).

Antwort

\(\alpha = 25^\circ\), \(\beta = 85^\circ\) und \(\gamma = 95^\circ\)
4315157
Drei Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) liegen nebeneinander auf einer Geraden und bilden zusammen einen gestreckten Winkel (\(180^\circ\)), wie in der nicht maßstabsgetreuen Abbildung dargestellt. Es ist bekannt, dass der mittlere Winkel \(\beta = 60^\circ\) groß ist. Die roten Strahlen \(w_\alpha\) und \(w_\gamma\) sind die Winkelhalbierenden der Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\). a) Bestimme die Größe des Winkels zwischen den beiden Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) und \(w_\gamma\). Zeige und erkläre deinen Rechenweg. b) Berechne die Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\), wenn zusätzlich bekannt ist, dass der Winkel \(\gamma\) genau doppelt so groß ist wie der Winkel \(\alpha\) (es gilt also \(\gamma = 2\alpha\)).
Abbildung zur Aufgabe 431515

Denkanstöße

- Kannst du die Beziehung zwischen den drei Winkeln \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) beschreiben, wenn sie auf einer Geraden liegen? - Überlege, wie groß der Winkel zwischen den beiden roten Strahlen ist, indem du ihn aus den Teilen der einzelnen Winkel zusammensetzt. - Welche Rolle spielt die Tatsache, dass es sich um Winkelhalbierende handelt? - Wenn du für den Aufgabenteil b) weißt, wie groß die Summe \(\alpha + \gamma\) sein muss, wie kannst du die Beziehung \(\gamma = 2\alpha\) nutzen, um eine Gleichung aufzustellen?

Lösung

1. Der Winkel zwischen den beiden Winkelhalbierenden \(w_\alpha\) und \(w_\gamma\) setzt sich zusammen aus der Hälfte von \(\alpha\), dem gesamten Winkel \(\beta\) und der Hälfte von \(\gamma\). 2. Da \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\) gilt, ist \(\alpha + \gamma = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 3. Der gesuchte Winkel zwischen den Winkelhalbierenden ist \(\frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\gamma}{2} = \beta + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 60^\circ + \frac{120^\circ}{2} = 120^\circ\). 4. Für Teil b) verwenden wir \(\alpha + \gamma = 120^\circ\) und ersetzen \(\gamma\) durch \(2\alpha\): \(\alpha + 2\alpha = 120^\circ \implies 3\alpha = 120^\circ \implies \alpha = 40^\circ\). 5. Daraus folgt \(\gamma = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\).

Antwort

a) Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden beträgt \(120^\circ\). b) Die Winkel betragen \(\alpha = 40^\circ\) und \(\gamma = 80^\circ\).
4329807
Ein gestreckter Winkel wird durch einen Strahl in zwei Nebenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\) unterteilt. Es ist \(\alpha = 74^\circ\). Die Winkelhalbierenden dieser beiden Winkel werden mit \(w_\alpha\) (rot) und \(w_\beta\) (blau) bezeichnet. Berechne die Größe des Winkels \(\delta\), den die beiden Winkelhalbierenden miteinander einschließen.
Abbildung zur Aufgabe 432980

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Größe des Winkels \(\beta\). - Was bewirkt eine Winkelhalbierende bei einem gegebenen Winkel? - Aus welchen beiden kleineren Winkeln setzt sich der gesuchte Winkel \(\delta\) zusammen?

Lösung

1. Bestimmung von \(\beta\): Da \(\alpha\) und \(\beta\) Nebenwinkel sind, gilt \(\beta = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ\). 2. Berechnung der Teilwinkel: Die Winkelhalbierende \(w_\alpha\) teilt \(\alpha\) in zwei Winkel von je \(74^\circ : 2 = 37^\circ\). Die Winkelhalbierende \(w_\beta\) teilt \(\beta\) in zwei Winkel von je \(106^\circ : 2 = 53^\circ\). 3. Berechnung von \(\delta\): Der Winkel \(\delta\) zwischen den Halbierenden setzt sich aus jeweils einer Hälfte von \(\alpha\) und \(\beta\) zusammen: \(\delta = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ\).

Antwort

Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden beträgt \(\delta = 90^\circ\).
4330487
Im Dreieck \(ABC\) ist \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels \(\angle BAC\). Berechne die Größe der Winkel \(\gamma\) und \(\delta\).
Abbildung zur Aufgabe 433048

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Winkel am Punkt \(A\), wenn \(w\) eine Winkelhalbierende ist? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck? - Kannst du ein kleineres Teildreieck finden, in dem du bereits zwei Winkel kennst?

Lösung

1. Da \(w\) die Winkelhalbierende von \(\angle BAC\) ist, gilt \(\alpha = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ\). 2. Über die Innenwinkelsumme im Dreieck \(ABC\) berechnet man \(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 64^\circ - 44^\circ = 72^\circ\). 3. Im Teildreieck \(ADC\) (wobei \(D\) der Schnittpunkt von \(w\) mit \(BC\) ist) gilt für die Innenwinkelsumme: \(\delta = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \gamma = 180^\circ - 32^\circ - 72^\circ = 76^\circ\).

Antwort

\(\gamma = 72^\circ\) und \(\delta = 76^\circ\)
4331207
Vier Strahlen \(a\), \(c\), \(d\) und \(e\) gehen von \(B\) aus. Der Winkel \(\angle(a,c)\) ist \(120^\circ\) groß. Der Strahl \(d\) halbiert \(\angle(a,c)\). Der Strahl \(e\) halbiert \(\angle(a,d)\). Berechne \(\angle(c,e)\).
Abbildung zur Aufgabe 433120

Denkanstöße

- Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel. - Halbiere zuerst den Winkel von \(120^\circ\), danach einen der entstandenen Teilwinkel. - Aus welchen beiden Teilwinkeln besteht \(\angle(c,e)\)?

Lösung

1. Da \(d\) den Winkel \(\angle(a,c)=120^\circ\) halbiert, gilt \(\angle(a,d)=\angle(d,c)=60^\circ\). 2. Da \(e\) den Winkel \(\angle(a,d)=60^\circ\) halbiert, gilt \(\angle(a,e)=\angle(e,d)=30^\circ\). 3. Der gesuchte Winkel setzt sich aus \(\angle(c,d)\) und \(\angle(d,e)\) zusammen: \(\angle(c,e)=60^\circ+30^\circ=90^\circ\).

Antwort

\(\angle(c,e)=90^\circ\)
4366157
In der Abbildung ist \(D\) ein Punkt, der von \(A\) und \(C\) den gleichen Abstand hat (\(AD = CD\)). Zudem ist die Strecke \(BD\) die Winkelhalbierende des Winkels \(\angle ADC\). Begründe, warum \(B\) auf der Mittelsenkrechten von \(AC\) liegen muss.
Abbildung zur Aufgabe 436615

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Symmetrieachse in einem gleichschenkligen Dreieck. - Welche besonderen Linien fallen in einem gleichschenkligen Dreieck zusammen? - Welche Abstandseigenschaft haben Punkte auf der Mittelsenkrechten einer Strecke?

Lösung

1. Da \(AD = CD\), ist \(\triangle ADC\) gleichschenklig. 2. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze gleichzeitig die Mittelsenkrechte der Basis. 3. Da \(BD\) den Winkel \(\angle ADC\) halbiert, ist die Gerade \(BD\) die Mittelsenkrechte von \(AC\). 4. Da der Punkt \(B\) auf dieser Geraden liegt, hat er denselben Abstand zu \(A\) und \(C\), also ist \(AB = CB\).

Antwort

In dem gleichschenkligen \(\triangle ADC\) ist die Winkelhalbierende \(BD\) zugleich die Symmetrieachse und damit die Mittelsenkrechte von \(AC\). Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist von \(A\) und \(C\) gleich weit entfernt, also gilt \(AB = CB\).
4366187
Das Dreieck \(AEC\) ist gleichschenklig mit \(AE = CE\). Der Punkt \(D\) ist der Mittelpunkt der Basis \(AC\). Der Punkt \(B\) liegt auf der Verlängerung der Strecke \(ED\) über \(E\) hinaus. Beweise, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.
Abbildung zur Aufgabe 436618

Denkanstöße

- Welche Eigenschaft hat die Seitenhalbierende zur Basis in einem gleichschenkligen Dreieck? - Was wissen wir über Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen? - Betrachte die Symmetrie der gesamten Figur bezüglich der Geraden durch \(B, E\) und \(D\).

Lösung

1. Da \(\triangle AEC\) gleichschenklig ist und \(D\) der Mittelpunkt von \(AC\) ist, ist \(ED\) die Seitenhalbierende, die im gleichschenkligen Dreieck zugleich Höhe ist (\(ED \perp AC\)). 2. Die Gerade durch \(E\) und \(D\) ist somit die Mittelsenkrechte der Strecke \(AC\). 3. Da \(B\) auf dieser Geraden liegt, hat \(B\) denselben Abstand zu \(A\) und \(C\). 4. Folglich ist \(AB = CB\), und das Dreieck \(ABC\) ist gleichschenklig.

Antwort

In \(\triangle AEC\) ist die Seitenhalbierende \(ED\) zugleich die Mittelsenkrechte von \(AC\). Da \(B\) auf der Geraden \(ED\) liegt, gilt \(AB = CB\). Damit ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.
4366627
In einem Dreieck \(ABC\) schneiden sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\) im Punkt \(I\). Der Winkel \(\angle AIB\) hat eine Größe von \(130^\circ\). Berechne die Größe des dritten Innenwinkels \(\gamma\).
Abbildung zur Aufgabe 436662

Denkanstöße

- Was bedeutet es, wenn eine Halbgerade einen Winkel halbiert? - Betrachte zuerst das kleine Dreieck im Inneren. Wie viel bleibt für die beiden halben Winkel übrig? - Wenn du die Summe der halben Winkel kennst, wie groß ist dann die Summe der ganzen Winkel?

Lösung

1. Im Dreieck \(ABI\) gilt für die Winkelsumme: \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 130^\circ = 180^\circ\). 2. Daraus folgt \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 50^\circ\). 3. Durch Multiplikation mit 2 erhält man die Summe der ganzen Winkel: \(\alpha + \beta = 100^\circ\). 4. Im großen Dreieck \(ABC\) gilt: \(\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).

Antwort

\(\gamma = 80^\circ\)
4368377
In einem Parallelogramm \(ABCD\) werden die Winkelhalbierenden der benachbarten Winkel \(\angle A\) und \(\angle B\) gezeichnet. Diese schneiden sich in einem Punkt \(P\). Berechne die Größe des Winkels \(\angle APB\).
Abbildung zur Aufgabe 436837

Denkanstöße

- Wie viel ergeben zwei benachbarte Winkel in einem Parallelogramm zusammen? - Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Wie groß ist die Summe der Winkel in jedem Dreieck?

Lösung

1. In einem Parallelogramm gilt für benachbarte Winkel: \(\alpha + \beta = 180\,^\circ\). 2. Die Winkelhalbierenden teilen diese Winkel in \(\frac{\alpha}{2}\) und \(\frac{\beta}{2}\). 3. Im Dreieck \(ABP\) gilt für die Winkelsumme: \(\angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180\,^\circ\). 4. Einsetzen der hälftigen Winkel ergibt: \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle APB = 180\,^\circ\). 5. Da \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180\,^\circ}{2} = 90\,^\circ\), folgt: \(90\,^\circ + \angle APB = 180\,^\circ\). 6. Also ist \(\angle APB = 90\,^\circ\).

Antwort

Der Winkel \(\angle APB\) beträgt immer \(90\,^\circ\).
4314547
Im Dreieck \(ABC\) ist die blaue Strecke \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels \(\angle BAC\). Es sind der Winkel \(\beta = 40^\circ\) bei \(B\) sowie der Winkel \(\angle ADC = 75^\circ\) gegeben. Berechne die Größen der Winkel \(\alpha\) (Winkel \(\angle CAD\)) und \(\gamma\) (Winkel bei \(C\)).
Abbildung zur Aufgabe 431454

Denkanstöße

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden benachbarten Winkeln bei \(D\), die auf einer Geraden liegen? - Nutze die Winkelsumme im Dreieck \(ABD\), um den Teilwinkel bei \(A\) zu bestimmen. - Was bedeutet es für die beiden Teilwinkel bei \(A\), dass die blaue Strecke die Winkelhalbierende ist?

Lösung

1. Die Winkel \(\angle ADB\) und \(\angle ADC\) liegen auf einer Geraden und bilden zusammen einen gestreckten Winkel von \(180^\circ\) (Nebenwinkel). Somit gilt: \(\angle ADB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\). 2. Im Teildreieck \(ABD\) beträgt die Innenwinkelsumme \(180^\circ\). Der Winkel \(\angle DAB\) berechnet sich daher als: \(\angle DAB = 180^\circ - 105^\circ - 40^\circ = 35^\circ\). 3. Da \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels \(\angle BAC\) ist, sind die beiden Teilwinkel \(\angle DAB\) und \(\angle CAD\) gleich groß. Es folgt: \(\alpha = \angle CAD = 35^\circ\). 4. Der gesamte Winkel bei \(A\) ist somit \(\angle BAC = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\). 5. Im großen Dreieck \(ABC\) beträgt die Innenwinkelsumme ebenfalls \(180^\circ\). Daraus berechnet sich der Winkel \(\gamma\) bei \(C\): \(\gamma = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ\).

Antwort

\(\alpha = 35^\circ\) und \(\gamma = 70^\circ\)
4315187
Im Dreieck \(ABC\) ist die blaue Strecke \(w\) die Winkelhalbierende des Innenwinkels \(\alpha\) am Eckpunkt \(A\). Der Winkel \(\alpha\) hat eine Größe von \(50^\circ\). Der Innenwinkel am Eckpunkt \(C\) beträgt \(70^\circ\). Die Winkelhalbierende \(w\) schneidet die gegenüberliegende Seite \(BC\) im Punkt \(D\). Berechne die Größe des rot markierten Winkels \(\delta\).
Abbildung zur Aufgabe 431518

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die beiden Teilwinkel bei \(A\), wenn die Strecke \(w\) eine Winkelhalbierende ist? - Kannst du ein kleineres Teildreieck in der Figur finden, in dem der gesuchte Winkel \(\delta\) liegt? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Welche der Winkel in diesem Teildreieck sind dir bereits bekannt oder lassen sich leicht berechnen?

Lösung

1. Da die Strecke \(w\) die Winkelhalbierende des Winkels \(\alpha = 50^\circ\) ist, teilt sie diesen Winkel in zwei gleich große Teile: \(\alpha_1 = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ\). 2. Wir betrachten das Teildreieck \(ADC\). Die Summe der Innenwinkel in diesem Dreieck beträgt \(180^\circ\). 3. Die bekannten Winkel im Dreieck \(ADC\) sind der Teilwinkel am Eckpunkt \(A\) mit \(\alpha_1 = 25^\circ\) und der Winkel am Eckpunkt \(C\) mit \(70^\circ\). 4. Der dritte Innenwinkel dieses Dreiecks ist der gesuchte Winkel \(\delta\). Es gilt: \(\alpha_1 + 70^\circ + \delta = 180^\circ\) \(25^\circ + 70^\circ + \delta = 180^\circ\) \(95^\circ + \delta = 180^\circ\) 5. Durch Umstellen berechnen wir \(\delta\): \(\delta = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ\).

Antwort

\(\delta = 85^\circ\)

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