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Winkelhalbierende

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In einem gleichschenkligen Dreieck \(ABC\) mit der Basis \(AB\) ist der Winkel an der Spitze \(\gamma = 50^\circ\). Die Winkelhalbierenden der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\) schneiden sich im Punkt \(W\). a) Berechne die Größe der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\). b) Bestimme die Größe des Winkels \(\angle AWB\). c) Welche besondere Eigenschaft hat der Punkt \(W\) in Bezug auf die drei Seiten des Dreiecks?

Denkanstöße

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Basiswinkel? - Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Überlege, welche Abstände ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu den begrenzenden Schenkeln hat.

Lösung

1. Berechnung der Basiswinkel: Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta\). Mit der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\alpha = \beta = (180^\circ - 50^\circ) : 2 = 65^\circ\). 2. Berechnung des Winkels \(\angle AWB\): In dem Dreieck \(ABW\) sind die Winkel an der Basis die Hälften von \(\alpha\) und \(\beta\), also \(\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = 32{,}5^\circ\). Der Winkel \(\angle AWB\) berechnet sich über die Winkelsumme im Dreieck \(ABW\): \(180^\circ - 32{,}5^\circ - 32{,}5^\circ = 115^\circ\). 3. Eigenschaft von \(W\): Da \(W\) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist, ist er der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(ABC\). Er hat somit zu allen drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand.

Antwort

a) \(\alpha = \beta = 65^\circ\) b) \(\angle AWB = 115^\circ\) c) Der Punkt \(W\) ist der Inkreismittelpunkt und hat zu allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
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Ein rechteckiges Grundstück \(ABCD\) mit den Seitenlängen \(a = 12\,\text{m}\) (Seite \(AB\)) und \(b = 5\,\text{m}\) (Seite \(BC\)) wird durch die Diagonale \(AC\) in zwei dreieckige Flächen unterteilt. Die Diagonale \(AC\) ist \(13\,\text{m}\) lang. In jedem der beiden Dreiecke (\(ABC\) und \(ADC\)) soll ein Springbrunnen exakt im Inkreismittelpunkt des jeweiligen Dreiecks errichtet werden. a) Beschreibe, wie man die Position des Springbrunnens \(W_1\) im Dreieck \(ABC\) konstruiert. b) In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\) berechnet sich der Radius \(r\) des Inkreises mit der Formel \(r = \frac{a + b - c}{2}\). Berechne den Abstand des Springbrunnens \(W_1\) von der Seite \(AB\). c) Welchen Abstand haben die beiden Springbrunnen \(W_1\) und \(W_2\) jeweils von der Diagonale \(AC\)? Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Wie findet man den Mittelpunkt des Kreises, der alle Seiten eines Dreiecks berührt? - Was gibt der Inkreisradius über die Lage des Mittelpunkts an? - Betrachte die Symmetrie des Rechtecks an seinem Mittelpunkt oder die Kongruenz der Teildreiecke.

Lösung

1. Konstruktion von \(W_1\): Der Punkt \(W_1\) wird als Schnittpunkt von mindestens zwei Winkelhalbierenden des Dreiecks \(ABC\) konstruiert. 2. Berechnung des Abstands zur Seite \(AB\): Der Abstand des Inkreismittelpunkts zu einer Seite entspricht dem Inkreisradius \(r\). Mit \(a = 12\), \(b = 5\) und \(c = 13\) ergibt sich \(r = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\text{m}\). 3. Abstand zur Diagonale \(AC\): Da beide Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) kongruent sind (SWS-Satz oder SSS-Satz), sind auch ihre Inkreise identisch groß. Der Abstand jedes Inkreismittelpunkts zu jeder Seite des jeweiligen Dreiecks (einschließlich der gemeinsamen Seite \(AC\)) ist gleich dem Radius \(r\). Somit haben beide Springbrunnen den Abstand \(2\,\text{m}\) von der Diagonale \(AC\).

Antwort

a) \(W_1\) ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck \(ABC\). b) Der Abstand beträgt \(2\,\text{m}\). c) Beide haben den Abstand \(2\,\text{m}\) von \(AC\), da der Inkreisradius in beiden kongruenten Dreiecken gleich groß ist.
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Gegeben ist ein Winkel \(\gamma = 74^\circ\). a) Konstruiere die Winkelhalbierende \(w_1\) dieses Winkels mit Zirkel und Lineal. b) Konstruiere eine weitere Winkelhalbierende \(w_2\), die einen der beiden neu entstandenen Teilwinkel erneut halbiert. c) Berechne die Größe des kleinsten so entstandenen Winkels und überprüfe deine Konstruktion durch Messen mit dem Geodreieck.

Denkanstöße

- Was passiert mit der Winkelgröße, wenn du einen Winkel halbierst? - Kannst du das Verfahren zur Winkelhalbierung auf die bereits entstandenen kleineren Winkel übertragen? - Welche Rechenoperation hilft dir, das Ergebnis der Konstruktion vorab zu bestimmen?

Lösung

1. Zeichnen des Winkels \(\gamma = 74^\circ\). 2. Konstruktion von \(w_1\): Kreisbogen um den Scheitelpunkt ziehen, Schnittpunkte mit den Schenkeln markieren. Von diesen Punkten aus zwei sich schneidende Kreisbögen im Inneren des Winkels zeichnen. Vom Scheitelpunkt aus eine Halbgerade durch den Schnittpunkt zeichnen. 3. Größe des ersten Teilwinkels: \(74^\circ : 2 = 37^\circ\). 4. Konstruktion von \(w_2\): Das gleiche Verfahren auf einen der \(37^\circ\)-Winkel anwenden. 5. Größe des kleinsten Winkels berechnen: \(37^\circ : 2 = 18{,}5^\circ\).

Antwort

a) Zeichne einen Kreisbogen um den Scheitelpunkt, markiere seine Schnittpunkte mit den Schenkeln, schlage von diesen Punkten aus gleich große Kreisbögen und zeichne vom Scheitelpunkt aus eine Halbgerade durch deren Schnittpunkt. Diese Halbgerade ist \(w_1\). b) Wende dasselbe Verfahren auf einen der beiden \(37^\circ\)-Teilwinkel an; die neue Winkelhalbierende ist \(w_2\). c) Der kleinste entstandene Winkel hat die Größe \(18{,}5^\circ\).
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Stell dir vor, du möchtest Winkel konstruieren, darfst aber die Gradskala deines Geodreiecks nicht benutzen. Du startest mit einem rechten Winkel (\(90^\circ\)), den du z. B. durch das Errichten eines Lots erzeugst. a) Konstruiere durch einfaches Halbieren einen Winkel von \(45^\circ\). b) Konstruiere durch eine weitere Halbierung einen Winkel von \(22{,}5^\circ\). c) Wie oft müsstest du den ursprünglichen rechten Winkel insgesamt halbieren, um zum ersten Mal einen Winkel zu erhalten, der kleiner als \(10^\circ\) ist? Berechne die Größe dieses Winkels.

Denkanstöße

- Erstelle eine kleine Tabelle oder Liste, in der du die Anzahl der Halbierungen und die jeweilige Winkelgröße notierst. - Halbieren bedeutet mathematisch das Teilen durch \(2\). - Wie oft musst du diese Teilung nacheinander durchführen, um unter den Zielwert zu kommen?

Lösung

1. Startwert: \(90^\circ\). 2. Erste Halbierung: \(90^\circ : 2 = 45^\circ\). 3. Zweite Halbierung: \(45^\circ : 2 = 22{,}5^\circ\). 4. Dritte Halbierung: \(22{,}5^\circ : 2 = 11{,}25^\circ\). Dieser Winkel ist noch größer als \(10^\circ\). 5. Vierte Halbierung: \(11{,}25^\circ : 2 = 5{,}625^\circ\). Dieser Winkel ist kleiner als \(10^\circ\). 6. Ergebnis: Es sind 4 Halbierungsschritte nötig. Der resultierende Winkel ist \(5{,}625^\circ\) groß.

Antwort

a) Nach der ersten Winkelhalbierung entsteht ein Winkel von \(45^\circ\). b) Nach der zweiten Winkelhalbierung entsteht ein Winkel von \(22{,}5^\circ\). c) Nach insgesamt vier Halbierungen entsteht erstmals ein Winkel unter \(10^\circ\), nämlich \(5{,}625^\circ\).

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