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- Stell dir vor, du ziehst eine Linie von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke. Welche Formen entstehen? - Wenn du die Gesamtsumme kennst und weißt, dass alle Teile gleich sind, welche Rechenoperation hilft dir? - Welche Figuren kennst du, die vier rechte Winkel haben?

1. Ein Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von \(180^\circ\). Da ein Viereck in zwei Dreiecke zerlegt werden kann, deren Winkel zusammen alle Winkel des Vierecks bilden, beträgt die Summe im Viereck \(2 \cdot 180^\circ = 360^\circ\). 2. Wenn alle vier Winkel gleich groß sind, teilt man die Gesamtsumme durch 4: \(360^\circ : 4 = 90^\circ\). 3. Vierecksarten mit vier rechten Winkeln sind das Rechteck und das Quadrat.

a) Da ein Viereck aus zwei Dreiecken besteht (\(2 \cdot 180^\circ\)), beträgt seine Winkelsumme \(360^\circ\). b) Jeder Winkel ist \(90^\circ\) groß. Mögliche Vierecksarten sind Quadrat und Rechteck.

- Welche besonderen Winkelpaare entstehen, wenn eine Gerade zwei parallele Linien schneidet? - Wie groß ist der Gesamtwinkel, der durch eine gerade Linie gebildet wird? - Kannst du die Winkel von der Basis des Dreiecks gedanklich nach oben an die Parallele „verschieben“?

1. Durch die Parallele \(g\) zur Seite \(AB\) entstehen an der Spitze \(C\) zwei neue Winkel neben dem Innenwinkel \(\gamma\). Nennen wir sie \(\alpha'\) und \(\beta'\). 2. Der Winkel \(\alpha\) bei Punkt \(A\) und der Winkel \(\alpha'\) bei Punkt \(C\) sind Wechselwinkel an parallelen Geraden, daher gilt \(\alpha = \alpha'\). 3. Ebenso sind der Winkel \(\beta\) bei Punkt \(B\) und der Winkel \(\beta'\) bei Punkt \(C\) Wechselwinkel, woraus \(\beta = \beta'\) folgt. 4. Die drei Winkel \(\alpha'\), \(\gamma\) und \(\beta'\) bilden zusammen an der Geraden \(g\) einen gestreckten Winkel, ihre Summe ist also \(180^\circ\). 5. Durch Ersetzen von \(\alpha'\) durch \(\alpha\) und \(\beta'\) durch \(\beta\) ergibt sich die Gleichung \(\alpha + \gamma + \beta = 180^\circ\).

Durch die Parallele zu \(AB\) entstehen an der Spitze \(C\) Wechselwinkel zu \(\alpha\) und \(\beta\). Da diese Wechselwinkel zusammen mit dem Innenwinkel \(\gamma\) einen gestreckten Winkel von \(180^\circ\) auf der Hilfsgeraden bilden, muss auch die Summe der ursprünglichen Innenwinkel \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\) betragen.

- Skizziere die Situation: Zeichne ein Quadrat und setze ein gleichseitiges Dreieck an eine seiner Seiten. - Welche Winkelgrößen kennst du bei einem Quadrat und bei einem gleichseitigen Dreieck? - Welche Seiten in der Figur müssen aufgrund der Definitionen von Quadrat und gleichseitigem Dreieck gleich lang sein? - Wenn zwei Seiten in einem Dreieck gleich lang sind, was weißt du dann über die Winkel an der dritten Seite?

1. Berechnung von \(\angle DCE\): Der Winkel setzt sich aus dem rechten Winkel des Quadrats (\(\angle DCB = 90^\circ\)) und dem Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks (\(\angle BCE = 60^\circ\)) zusammen. Es gilt \(\angle DCE = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\). 2. Begründung der Gleichschenkligkeit: Im Quadrat sind alle Seiten gleich lang, also \(DC = BC\). Im gleichseitigen Dreieck sind ebenfalls alle Seiten gleich lang, also \(BC = CE\). Daraus folgt durch Transitivität \(DC = CE\). Da das Dreieck \(DCE\) zwei gleich lange Seiten hat, ist es gleichschenklig. 3. Berechnung von \(\angle EDC\): In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Die Summe der Basiswinkel in \(\triangle DCE\) beträgt \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Da \(\angle EDC\) und \(\angle CED\) die Basiswinkel zur Basis \(DE\) sind, gilt \(\angle EDC = 30^\circ : 2 = 15^\circ\).

a) Der Winkel \(\angle DCE\) ist \(150^\circ\) groß. b) Da \(DC = BC\) (Quadrat) und \(BC = CE\) (gleichseitiges Dreieck), gilt \(DC = CE\). Somit hat das Dreieck \(DCE\) zwei gleich lange Schenkel. c) Der Winkel \(\angle EDC\) beträgt \(15^\circ\).