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- Überprüfe, ob die Summe der beiden kürzeren Seiten größer ist als die längste Seite. - Wenn die Summe der zwei kürzeren Seiten kleiner oder gleich der längsten Seite wäre, könnte man kein geschlossenes Dreieck bilden.

1. Prüfung der Dreiecksungleichung für die Summe der beiden kürzeren Seiten: \(5\,\text{cm} + 12\,\text{cm} = 17\,\text{cm}\). 2. Vergleich mit der längsten Seite: \(17\,\text{cm} > 13\,\text{cm}\). 3. Da die Summe der beiden kürzeren Seiten größer als die längste Seite ist, sind alle Bedingungen erfüllt: \(5\,\text{cm} + 12\,\text{cm} > 13\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm} + 13\,\text{cm} > 12\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm} + 13\,\text{cm} > 5\,\text{cm}\). 4. Das Dreieck existiert.

Ja, das Dreieck existiert, da \(5\,\text{cm} + 12\,\text{cm} > 13\,\text{cm}\) gilt.

- Wie groß ist die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck? - Was bleibt für die anderen beiden Winkel übrig, wenn einer schon feststeht? - Ab welcher Größe nennt man einen Winkel „spitz“, „recht“ oder „stumpf“?

1. Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt \(180^\circ\). 2. Da ein Winkel bereits \(110^\circ\) groß ist, beträgt die Summe der verbleibenden zwei Winkel \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). 3. Da jeder Winkel in einem Dreieck größer als \(0^\circ\) sein muss, muss jeder der beiden restlichen Winkel kleiner als \(70^\circ\) sein. 4. Winkel, die kleiner als \(90^\circ\) sind, werden als spitze Winkel bezeichnet. Somit müssen die anderen beiden Winkel zwingend spitze Winkel sein.

Die anderen beiden Winkel müssen beide spitze Winkel sein. Da die Winkelsumme \(180^\circ\) beträgt und ein Winkel bereits \(110^\circ\) einnimmt, verbleiben für die anderen beiden Winkel zusammen nur noch \(70^\circ\). Da jeder Winkel größer als \(0^\circ\) sein muss, ist jeder einzelne dieser Winkel kleiner als \(70^\circ\) und damit spitz.

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in jedem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Winkel eines Dreiecks? - Wann ist ein Winkel spitz, recht oder stumpf? - Kannst du dir eine Skizze machen, um die Aussagen zu prüfen?

1. Prüfung von Aussage a: Zwei rechte Winkel ergeben eine Summe von \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). Da die Summe aller drei Innenwinkel im Dreieck genau \(180^\circ\) betragen muss, bliebe für den dritten Winkel \(0^\circ\), was unmöglich ist. Aussage falsch. 2. Prüfung von Aussage b: Wenn der Winkel an der Spitze \(120^\circ\) beträgt, entfallen auf die beiden Basiswinkel zusammen \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Jeder Basiswinkel ist somit \(30^\circ\) groß (\(60^\circ : 2 = 30^\circ\)). Ein solches Dreieck existiert. Aussage wahr. 3. Prüfung von Aussage c: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß. Da \(180^\circ : 3 = 60^\circ\), beträgt jeder Winkel \(60^\circ\). Da alle Winkel kleiner als \(90^\circ\) sind, ist das Dreieck spitzwinklig. Aussage wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Wahr

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Was muss für die Seiten oder Winkel gelten, damit ein Dreieck gleichschenklig genannt wird? - Ordne jedes Dreieck nur einer der ausdrücklich getrennten Kategorien zu.

1. Berechnung des dritten Winkels in Dreieck 1: \(\gamma = 180^\circ - (50^\circ + 80^\circ) = 50^\circ\). Da zwei Winkel gleich groß sind (\(50^\circ\)), ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. 2. In Dreieck 2 sind alle drei Seiten gleich lang (\(6\,\text{cm}\)). Damit gehört es in dieser Einteilung zur Kategorie „gleichseitig“. 3. In Dreieck 3 sind zwei Seiten gleich lang (\(a = c = 4\,\text{cm}\)). Da die dritte Seite eine andere Länge hat, ist es gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

a) Gleichschenklig, aber nicht gleichseitig, da \(\gamma = 50^\circ\) und somit zwei Winkel gleich sind. b) Gleichseitig, da alle drei Seiten gleich lang sind. c) Gleichschenklig, aber nicht gleichseitig, da zwei Seiten (\(4\,\text{cm}\)) gleich lang sind.

- Wo befindet sich der rechte Winkel in der Zeichnung? - Welche Seiten bilden zusammen den rechten Winkel? - Wie nennt man die Seite, die nicht am rechten Winkel anliegt?

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Da der rechte Winkel am Punkt \(Y\) liegt, sind die Strecken \(\overline{XY}\) und \(\overline{YZ}\) die Katheten. Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Dies ist im Dreieck \(\triangle XYZ\) die Strecke \(\overline{XZ}\).

Die Katheten sind die Strecken \(\overline{XY}\) und \(\overline{YZ}\). Die Hypotenuse ist die Strecke \(\overline{XZ}\).

- Betrachte nacheinander ein Dreieck mit einem rechten Winkel und eines mit einem stumpfen Winkel. - Was passiert mit der Winkelsumme, wenn man versucht, zwei rechte oder zwei stumpfe Winkel in ein Dreieck zu zeichnen? - Wie viele Winkel bleiben dann noch für den „spitzen“ Rest übrig?

1. Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei spitze Winkel (alle \(< 90^\circ\)), also ist die Bedingung (mindestens zwei) erfüllt. 2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau \(90^\circ\). Die Summe der anderen beiden Winkel muss \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\) sein. Da beide Winkel größer als \(0^\circ\) sein müssen, sind beide kleiner als \(90^\circ\) und somit spitz. Es gibt also genau zwei spitze Winkel. 3. Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel \(> 90^\circ\). Die Summe der anderen beiden Winkel ist somit \(< 90^\circ\). Beide müssen also spitz sein. 4. Gäbe es nur einen spitzen Winkel, müssten die anderen beiden Winkel mindestens \(90^\circ\) groß sein. Zwei Winkel von mindestens \(90^\circ\) ergeben zusammen aber bereits \(180^\circ\) oder mehr. Da der dritte Winkel (der spitze) größer als \(0^\circ\) sein muss, würde die Gesamtsumme \(180^\circ\) überschreiten, was unmöglich ist.

Die Behauptung ist wahr. Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei, ein rechtwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck haben jeweils genau zwei spitze Winkel. Weniger als zwei spitze Winkel sind nicht möglich, da bereits zwei rechte oder stumpfe Winkel eine Summe von \(180^\circ\) oder mehr ergeben würden, sodass kein Platz mehr für einen dritten Winkel bliebe.

- Welche Besonderheit weisen die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck auf? - Was passiert, wenn du zwei stumpfe Winkel in einem Dreieck hast? - Wo könnte ein stumpfer Winkel liegen, damit die Winkelsumme noch stimmt?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. 2. Angenommen, ein Basiswinkel wäre stumpf (also \(> 90^\circ\)). Dann müsste der zweite Basiswinkel ebenfalls \(> 90^\circ\) sein. 3. Die Summe dieser beiden Basiswinkel allein wäre dann bereits größer als \(180^\circ\). Das widerspricht dem Innenwinkelsummensatz, nach dem alle drei Winkel zusammen genau \(180^\circ\) ergeben müssen. 4. Ein stumpfer Winkel kann also nur an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks liegen, also zwischen den beiden gleich langen Seiten. Ein Beispiel wäre ein Dreieck mit den Winkeln \(120^\circ\), \(30^\circ\) und \(30^\circ\).

a) Ja, ein gleichschenkliges Dreieck kann einen stumpfen Winkel besitzen. b) Nein, ein Basiswinkel kann nicht stumpf sein. Da die Basiswinkel gleich groß sind, gäbe es bei einem stumpfen Basiswinkel zwei Winkel, die jeweils größer als \(90^\circ\) sind. Deren Summe wäre bereits über \(180^\circ\), was im Dreieck unmöglich ist. Der stumpfe Winkel muss daher immer an der Spitze liegen.

- Was weißt du über die Summe der Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\)? - Versuche, alle Winkel durch \(\alpha\) auszudrücken. - Welche Gleichung kannst du aufstellen, wenn du alle Teile zusammenzählst? - Schau dir die berechneten Winkel genau an – gibt es eine Besonderheit bei einem der Werte?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Winkelsumme (\(180^\circ\)) und den Verhältnissen: \(\alpha + 3\alpha + 2\alpha = 180^\circ\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(6\alpha = 180^\circ\). 3. Berechnung von \(\alpha\): \(\alpha = 180^\circ : 6 = 30^\circ\). 4. Berechnung der übrigen Winkel: \(\beta = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\) und \(\gamma = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). 5. Bestimmung der Dreiecksart: Da das Dreieck einen Winkel von genau \(90^\circ\) besitzt, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

1. \(\alpha = 30^\circ\), \(\beta = 90^\circ\), \(\gamma = 60^\circ\) 2. Das Dreieck ist rechtwinklig.

- Welche Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck immer gleich groß? - Wie viele Winkel müssen bekannt sein, um die anderen in einem gleichschenkligen Dreieck zu berechnen? - Was weißt du über die Winkelsumme in jedem Dreieck?

1. Fall a): Die Summe der Basiswinkel ist \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). Da beide Basiswinkel gleich groß sind, gilt \(\alpha = \beta = 70^\circ : 2 = 35^\circ\). 2. Fall b): Da es ein gleichschenkliges Dreieck ist, ist der zweite Basiswinkel ebenfalls \(\beta = 35^\circ\). Der Winkel an der Spitze ist \(\gamma = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 110^\circ\). 3. Fall c): Ja, ein rechter Winkel an der Spitze ist möglich. Die verbleibenden \(90^\circ\) verteilen sich gleichmäßig auf die Basiswinkel: \(\alpha = \beta = 90^\circ : 2 = 45^\circ\).

a) Die Basiswinkel sind beide \(35^\circ\) groß. b) Der zweite Basiswinkel ist \(35^\circ\) und der Winkel an der Spitze ist \(110^\circ\). c) Ja, das ist möglich; die Basiswinkel betragen dann jeweils \(45^\circ\).

- Wie groß ist die Summe der Winkel in jedem Dreieck? - Wenn alle Winkel in einem Dreieck gleich groß sind, wie nennt man diese Art von Dreieck? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkeln und den gegenüberliegenden Seiten in einem Dreieck?

1. Berechnung von \(\gamma\): Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). 2. Bestimmung der Dreiecksform: Da alle drei Innenwinkel \(60^\circ\) groß sind, handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. 3. Bestimmung der Seitenlängen: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Da \(c = 8\,\text{cm}\) gegeben ist, folgt \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\).

a) \(\gamma = 60^\circ\). b) \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\). Es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

- Nutze die Dreiecksungleichung für jede der drei Seiten. - Formuliere daraus eine untere und eine obere Schranke für \(x\).

1. Untere Grenze: \(x > 10\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 2. Obere Grenze: \(x < 10\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 3. Zusammen gilt: \(4\,\text{cm} < x < 16\,\text{cm}\).

Die dritte Seite muss die Bedingung \(4\,\text{cm} < x < 16\,\text{cm}\) erfüllen.

- Welche zwei Möglichkeiten gibt es für die Längen der drei Seiten? - Kann ein Dreieck existieren, wenn die Summe von zwei Seiten genauso groß ist wie die dritte Seite? - Berechne den Umfang nur für die Kombination, die ein echtes Dreieck bildet.

1. Mögliche Seitenkombinationen prüfen: Entweder sind die Seitenlängen \(8\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) oder \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\). 2. Prüfung der Kombination mit zwei Seiten der Länge \(4\,\text{cm}\): \(4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Da die Summe nicht größer als die dritte Seite ist, entsteht kein Dreieck (die Punkte lägen auf einer Geraden). 3. Prüfung der Kombination mit zwei Seiten der Länge \(8\,\text{cm}\): \(8\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm} > 8\,\text{cm}\). Diese Kombination ist möglich. 4. Umfang berechnen: \(U = 8\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(20\,\text{cm}\).

- Schau dir die Winkel in jedem der drei Dreiecke genau an. - Hier erkennst du den rechten Winkel daran, dass \(GE\) und \(GF\) senkrecht aufeinanderstehen. - Erinnere dich daran, ab welchem Maß ein Winkel als „stumpf“ bezeichnet wird. - Überprüfe bei jedem Dreieck, ob alle Winkel spitz sind oder ob es einen besonderen Winkel gibt.

1. Im Dreieck \(\triangle EGF\) ist der Winkel bei \(G\) ein rechter Winkel, weil \(GE\) und \(GF\) senkrecht aufeinanderstehen. Somit ist \(\triangle EGF\) rechtwinklig. 2. Das Dreieck \(\triangle EGH\) hat bei \(H\) einen stumpfen Winkel. Daher ist es stumpfwinklig. 3. Im Dreieck \(\triangle FHG\) sind alle drei Innenwinkel kleiner als \(90^\circ\). Somit ist es spitzwinklig.

\(\triangle EGF\): rechtwinklig \(\triangle EGH\): stumpfwinklig \(\triangle FHG\): spitzwinklig

- Erinnere dich an die Definition eines stumpfen Winkels. - Wie berechnet man den fehlenden dritten Winkel, wenn zwei bekannt sind? - Welche Bedingung muss für die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck erfüllt sein? - Nutze die Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) als Kontrollwert für deine Überlegungen.

1. Analyse zu a: Ein rechter Winkel beträgt \(90^\circ\), ein stumpfer Winkel ist größer als \(90^\circ\). Die Summe dieser beiden Winkel wäre bereits größer als \(180^\circ\), was der Winkelsumme im Dreieck widerspricht. 2. Analyse zu b: Der dritte Winkel berechnet sich durch \(180^\circ - 85^\circ = 95^\circ\). Da \(95^\circ > 90^\circ\) ist, handelt es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck. 3. Analyse zu c: Wenn zwei Winkel \(90^\circ\) und \(60^\circ\) sind, muss der dritte Winkel \(180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ\) groß sein. In einem gleichschenkligen Dreieck müssen jedoch mindestens zwei Winkel gleich groß sein. Da \(30^\circ \neq 60^\circ \neq 90^\circ\), ist dies nicht möglich.

a) Weil die Summe aus einem rechten und einem stumpfen Winkel bereits über \(180^\circ\) liegt. b) Es ist ein stumpfwinkliges Dreieck (da der dritte Winkel \(95^\circ\) groß ist). c) Nein, da in diesem Fall alle drei Winkel (\(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\)) verschieden groß wären.

- Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Was bedeutet das für Dreiecke wie \(\triangle PQS\) oder \(\triangle PQR\)? - In welchem Winkel schneiden sich die Diagonalen einer Raute immer? - Wie teilen die Diagonalen die Innenwinkel der Raute auf? - Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt immer \(180\,^\circ\).

1. In einer Raute sind alle Seiten gleich lang (\(PQ = QR = RS = SP\)). Im Dreieck \(\triangle PQS\) gilt \(PQ = PS\). Da der Winkel \(\angle SPQ = 60\,^\circ\) ist, müssen auch die Basiswinkel \(\angle PSQ\) und \(\angle PQS\) jeweils \((180\,^\circ - 60\,^\circ) : 2 = 60\,^\circ\) sein. Das Dreieck \(\triangle PQS\) ist somit gleichseitig und spitzwinklig. 2. Im Dreieck \(\triangle PQR\) sind die Seiten \(PQ\) und \(QR\) gleich lang, es ist also gleichschenklig. Der Winkel bei \(Q\) ist der Nebenwinkel zu \(60\,^\circ\), also \(180\,^\circ - 60\,^\circ = 120\,^\circ\). Somit ist \(\triangle PQR\) stumpfwinklig-gleichschenklig. 3. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Innenwinkel. Im Dreieck \(\triangle PQZ\) ist der Winkel bei \(Z\) ein rechter Winkel (\(90\,^\circ\)). Der Winkel bei \(P\) ist die Hälfte von \(60\,^\circ\), also \(30\,^\circ\). Der Winkel bei \(Q\) ist die Hälfte von \(120\,^\circ\), also \(60\,^\circ\). Das Dreieck ist rechtwinklig und ungleichseitig (da alle Winkel verschieden sind).

a) \(\triangle PQS\) ist ein gleichseitiges (und damit spitzwinkliges) Dreieck. b) \(\triangle PQR\) ist ein stumpfwinklig-gleichschenkliges Dreieck. c) Die Winkel im Dreieck \(\triangle PQZ\) sind \(30\,^\circ\), \(60\,^\circ\) und \(90\,^\circ\). Es ist ein rechtwinkliges, ungleichseitiges Dreieck.