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- Welche Seite liegt zwischen den Punkten \(A\) und \(B\)? - Überlege, an welchem Punkt der Winkel \(\beta\) liegt. - Wie kannst du eine bestimmte Länge auf einem Strahl genau abmessen? - Welche Kongruenzsätze kennst du? Welcher passt zu den gegebenen Stücken?

1. Skizze eines Dreiecks \(ABC\) mit Markierung der Seite \(c\) (zwischen \(A\) und \(B\)), der Seite \(a\) (zwischen \(B\) und \(C\)) und des eingeschlossenen Winkels \(\beta\) bei Punkt \(B\). 2. Konstruktionsbeschreibung: - Zeichne die Strecke \(c = AB\) mit der Länge \(6\,\text{cm}\). - Trage im Punkt \(B\) den Winkel \(\beta = 40^\circ\) an die Strecke \(c\) an. - Zeichne einen Kreisbogen um \(B\) mit dem Radius \(a = 4{,}5\,\text{cm}\). Der Schnittpunkt mit dem freien Schenkel des Winkels ist der Punkt \(C\). - Verbinde die Punkte \(A\) und \(C\). 3. Der Kongruenzsatz lautet SWS (Seite-Winkel-Seite), da zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind.

Das Dreieck wird nach dem SWS-Satz konstruiert. Die Konstruktion beginnt mit der Seite \(c\), gefolgt vom Abtragen des Winkels \(\beta\) und der Seite \(a\).

- Wie müssen die Längen der zwei kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite sein? - Stell dir vor, du versuchst die Enden der zwei kürzeren Stäbe zusammenzuführen, während sie an den Enden des langen Stabes befestigt sind.

1. Prüfung der Dreiecksungleichung (\(a + b > c\) für die zwei kürzeren Seiten): a) \(3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). Da \(7\,\text{cm} > 5\,\text{cm}\), ist ein Dreieck möglich. b) \(2{,}5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 5{,}5\,\text{cm}\). Da \(5{,}5\,\text{cm} < 6\,\text{cm}\), ist kein Dreieck möglich. c) \(5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). Da \(10\,\text{cm}\) nicht größer als \(10\,\text{cm}\) ist, liegen die Punkte auf einer Geraden (entartetes Dreieck). Ein echtes Dreieck ist nicht möglich.

a) Ja, da \(3 + 4 > 5\). b) Nein, da \(2{,}5 + 3 < 6\). c) Nein, da \(5 + 5 = 10\) (die Punkte liegen auf einer Linie).

- Was besagt die Dreiecksungleichung über die Summe zweier Seiten im Vergleich zur dritten Seite? - Welche Werkzeuge benötigst du, um ein Dreieck zu zeichnen, wenn nur Seitenlängen bekannt sind? - Wie legst du das Geodreieck an, um Winkel genau zu messen?

1. Überprüfung der Dreiecksungleichung für Fall a: Es gilt \(a + b = 2{,}5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 5{,}5\,\text{cm}\). Da \(5{,}5\,\text{cm} < 6\,\text{cm}\) ist, ist die Summe der zwei kürzeren Seiten kleiner als die längste Seite. Ein Dreieck ist nicht konstruierbar. 2. Überprüfung für Fall b: Es gilt \(a + b = 9\,\text{cm} > 7\,\text{cm}\), \(a + c = 11\,\text{cm} > 5\,\text{cm}\) und \(b + c = 12\,\text{cm} > 4\,\text{cm}\). Das Dreieck ist konstruierbar. 3. Kongruenzsatz für b: Da drei Seiten gegeben sind, wird der SSS-Satz angewendet. 4. Konstruktion von b: Zeichnen der Seite \(c = 7\,\text{cm}\) (Punkte \(A\) und \(B\)). Kreis um \(A\) mit \(r = 5\,\text{cm}\) und Kreis um \(B\) mit \(r = 4\,\text{cm}\) zeichnen. Der Schnittpunkt ist \(C\). 5. Messwerte der Winkel: \(\alpha \approx 34^\circ\), \(\beta \approx 44^\circ\), \(\gamma \approx 102^\circ\).

a) Nicht konstruierbar, da \(2{,}5 + 3 < 6\). b) Konstruierbar nach dem SSS-Satz. Die gemessenen Winkel betragen etwa \(\alpha \approx 34^\circ\), \(\beta \approx 44^\circ\) und \(\gamma \approx 102^\circ\).

- Was genau ist eine Seitenhalbierende und wo beginnt bzw. endet sie? - Welche Teildreiecke entstehen, wenn man die Seitenhalbierende einzeichnet? - Könntest du zuerst ein kleineres Dreieck konstruieren, das aus einer halben Seite und der Seitenhalbierenden besteht?

1. Zeichne die Strecke \(c = AB = 8\,\text{cm}\). 2. Bestimme den Mittelpunkt \(M_c\) der Strecke \(AB\). Da \(c = 8\,\text{cm}\), liegt \(M_c\) bei \(4\,\text{cm}\). 3. Zeichne einen Kreis um den Punkt \(B\) mit dem Radius \(a = 6\,\text{cm}\). 4. Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt \(M_c\) mit dem Radius \(s_c = 5\,\text{cm}\). 5. Einer der beiden Schnittpunkte der Kreise wird als Eckpunkt \(C\) gewählt; der andere liefert ein spiegelbildliches, kongruentes Dreieck. 6. Verbinde die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) zum fertigen Dreieck.

Das Dreieck wird konstruiert, indem zuerst die Seite \(c\) gezeichnet und deren Mittelpunkt \(M_c\) markiert wird. Der Punkt \(C\) wird als einer der beiden Schnittpunkte zweier Kreise gewählt: einer um \(B\) mit Radius \(6\,\text{cm}\) und einer um \(M_c\) mit Radius \(5\,\text{cm}\).

- Überlege dir, aus welchen Grundformen ein Parallelogramm zusammengesetzt ist. - Welche Bedingung müssen drei Strecken erfüllen, damit sie ein Dreieck bilden können? - Vergleiche die Summe der beiden kürzeren Seiten mit der längsten Seite.

1. Ein Parallelogramm \(ABCD\) besteht aus den zwei Teildreiecken \(ABC\) und \(ADC\). 2. Im Dreieck \(ABC\) sind die Seitenlängen \(AB = a = 7\,\text{cm}\), \(BC = b = 4\,\text{cm}\) und \(AC = e = 12\,\text{cm}\) gegeben. 3. Nach der Dreiecksungleichung muss in jedem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen stets größer als die dritte Seitenlänge sein. 4. Prüfung für das Dreieck \(ABC\): \(a + b = 7\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). 5. Da \(11\,\text{cm} < 12\,\text{cm}\) gilt, ist die Bedingung \(a + b > e\) nicht erfüllt. 6. Das Dreieck \(ABC\) und damit das gesamte Parallelogramm kann nicht konstruiert werden.

Das Parallelogramm kann nicht existieren, da im Teildreieck \(ABC\) die Dreiecksungleichung verletzt wird: Die Summe der Seiten \(a\) und \(b\) (\(11\,\text{cm}\)) ist kleiner als die Länge der Diagonale \(e\) (\(12\,\text{cm}\)).

- Wie kannst du eine senkrechte Linie zu einer Geraden zeichnen, wenn du nur einen Zirkel und ein Lineal hast? - Welche Punkte bilden die Eckpunkte des rechten Winkels? - Überlege, wie man eine Mittelsenkrechte nutzt, um einen \(90^\circ\)-Winkel zu erzeugen.

1. Zeichne die Kathete \(b = AC = 5\,\text{cm}\). 2. Konstruiere eine Senkrechte zur Strecke \(AC\) im Punkt \(C\). Dazu wird die Gerade durch \(A\) und \(C\) über \(C\) hinaus verlängert. Mit dem Zirkel werden zwei Punkte auf der Geraden markiert, die den gleichen Abstand zu \(C\) haben. Anschließend wird die Mittelsenkrechte dieser beiden Punkte konstruiert, welche exakt durch \(C\) verläuft. 3. Trage auf dieser Senkrechten vom Punkt \(C\) aus die Länge der Kathete \(a = 3\,\text{cm}\) ab, um den Punkt \(B\) zu erhalten. 4. Verbinde die Punkte \(A\) und \(B\) zur Hypotenuse \(c\).

Das Ergebnis ist eine geometrische Konstruktion. Das fertige Dreieck \(ABC\) hat bei \(C\) einen rechten Winkel sowie die Kathetenlängen \(AC=5\,\text{cm}\) und \(BC=3\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Regel, dass der direkte Weg zwischen zwei Punkten immer der kürzeste ist. - Was passiert, wenn eine Seite länger ist als die Summe der anderen beiden? - Welches Werkzeug benutzt du, um Abstände von einem Punkt aus in alle Richtungen gleichzeitig abzutragen?

1. Nach der Dreiecksungleichung muss die Summe zweier Seitenlängen immer größer sein als die dritte Seitenlänge. - \(a + b > c \Rightarrow 3 + 5 > c \Rightarrow 8 > c\) - \(a + c > b \Rightarrow 3 + c > 5 \Rightarrow c > 2\) - \(b + c > a \Rightarrow 5 + c > 3\) (immer wahr für positive \(c\)) Die Seite \(c\) muss also länger als \(2\,\text{cm}\) und kürzer als \(8\,\text{cm}\) sein. 2. Konstruktionsbeschreibung für \(c = 7\,\text{cm}\): - Zeichne die Strecke \(c = AB = 7\,\text{cm}\). - Zeichne einen Kreis um \(A\) mit dem Radius \(b = 5\,\text{cm}\). - Zeichne einen Kreis um \(B\) mit dem Radius \(a = 3\,\text{cm}\). - Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist der Punkt \(C\). Verbinde \(C\) mit \(A\) und \(B\).

1. Die Seite \(c\) muss die Bedingung \(2\,\text{cm} < c < 8\,\text{cm}\) erfüllen. 2. Die Konstruktion erfolgt nach dem SSS-Satz durch Zeichnen der Seite \(c\) und zweier Kreisbögen um die Endpunkte.

- Gibt es eine minimale Länge, die \(c\) haben muss, damit die anderen beiden Seiten sich überhaupt treffen können? - Gibt es eine maximale Länge, ab der die anderen beiden Seiten zu kurz sind, um die Lücke zu schließen? - Was passiert, wenn die Summe zweier Seiten genau so groß ist wie die dritte Seite?

1. Anwendung der Dreiecksungleichungen: \(c < a + b\) und \(c > |a - b|\). 2. Berechnung der Grenzen: \(c < 8 + 12 = 20\) und \(c > 12 - 8 = 4\). 3. Für ganzzahlige Werte folgt: \(4 < c < 20\). 4. Kleinstmöglicher Wert: \(5\,\text{cm}\). 5. Größtmöglicher Wert: \(19\,\text{cm}\). 6. Begründung für \(c = 20\,\text{cm}\): Da \(8 + 12 = 20\), ist die Summe der zwei kürzeren Seiten gleich der längsten Seite. Die Punkte liegen auf einer Geraden, wodurch kein Dreieck entsteht.

1. Die kleinstmögliche ganzzahlige Länge ist \(5\,\text{cm}\), die größtmögliche ist \(19\,\text{cm}\). 2. Bei \(20\,\text{cm}\) wäre \(8 + 12 = 20\), was die Dreiecksungleichung verletzt (die Punkte wären kollinear).

- Welcher Winkel liegt genau zwischen den Seiten \(a\) und \(b\)? - Überlege, wie lang eine Seite maximal sein darf, damit die anderen beiden sich noch treffen können. - Schau dir die Kongruenzsätze genau an. Gibt es eine Bedingung dafür, welcher Seite der Winkel gegenüberliegen muss?

1. Nach dem Kongruenzsatz SWS muss der Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen. Da die Seiten \(a\) (zwischen C und B) und \(b\) (zwischen C und A) gegeben sind, ist der eingeschlossene Winkel an der Ecke C, also \(\gamma\). 2. Damit ein Dreieck existiert, muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein. Die Summe zweier Seitenlängen muss stets größer als die dritte Seitenlänge sein. Es muss also gelten: \(c < a + b\) und \(c > b - a\). Mit den Werten \(4\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\) ergibt sich: \(6 - 4 < c < 6 + 4\), also \(2\,\text{cm} < c < 10\,\text{cm}\). 3. Der Kongruenzsatz SsW (Seite-Seite-Winkel) besagt, dass ein Dreieck eindeutig ist, wenn der Winkel der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt. Hier ist \(b = 6\,\text{cm}\) die längere Seite, aber der gegebene Winkel \(\alpha = 30^\circ\) liegt der kürzeren Seite \(a = 4\,\text{cm}\) gegenüber. In diesem Fall gibt es zwei mögliche Dreiecke (der „kurze“ Schenkel kann an zwei Stellen den freien Schenkel von \(\alpha\) schneiden).

a) Man muss den Winkel \(\gamma\) kennen. b) Die Seite \(c\) muss länger als \(2\,\text{cm}\) und kürzer als \(10\,\text{cm}\) sein (\(2\,\text{cm} < c < 10\,\text{cm}\)). c) Der Winkel \(\alpha\) liegt der kürzeren Seite (\(a < b\)) gegenüber. Nach dem Kongruenzsatz SsW ist eine eindeutige Konstruktion nur garantiert, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Beginne deine Zeichnung mit der gegebenen Seite. - Achte beim Antragen der Winkel darauf, dass die Schenkel zueinander zeigen, um einen Schnittpunkt zu erhalten.

1. Da eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gegeben sind, handelt es sich um den Kongruenzsatz WSW. 2. Berechnung von \(\gamma\): Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma = 180^\circ - 48^\circ - 72^\circ = 60^\circ\). 3. Konstruktionsbeschreibung: Zeichne die Strecke \(c = AB = 5{,}5\,\text{cm}\). Trage bei \(A\) den Winkel \(\alpha = 48^\circ\) und bei \(B\) den Winkel \(\beta = 72^\circ\) an. Der Schnittpunkt der freien Schenkel ergibt den Punkt \(C\). 4. Messung der Seitenlängen: Durch Abmessen in der fertigen Zeichnung erhält man \(a \approx 4{,}7\,\text{cm}\) und \(b \approx 6{,}0\,\text{cm}\).

1. Kongruenzsatz: WSW. 2. \(\gamma = 60^\circ\). 3. Zeichne \(AB=c=5{,}5\,\text{cm}\), trage in \(A\) den Winkel \(48^\circ\) und in \(B\) den Winkel \(72^\circ\) an; der Schnittpunkt der freien Schenkel ist \(C\). 4. Durch Messung erhält man ungefähr \(a \approx 4{,}7\,\text{cm}\) und \(b \approx 6{,}0\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an den Kongruenzsatz \(SsW\). Welche Seite muss dem gegebenen Winkel gegenüberliegen? - Zeichne für Aufgabe 2 die Seite \(b\), den Winkel \(\alpha\) und anschließend den Kreis für die Seite \(a\). - Schneidet der Kreis den freien Winkelschenkel überhaupt?

1. Aufgabe 1: Der Winkel \(\alpha\) liegt der längeren Seite \(a\) gegenüber, denn \(a=8\,\text{cm}>b=5\,\text{cm}\). Nach dem Kongruenzsatz \(SsW\) ist das Dreieck eindeutig konstruierbar. 2. Aufgabe 2: Der Winkel \(\alpha\) liegt der kürzeren Seite \(a\) gegenüber. Zur Prüfung zeichnet man \(AC=b=8\,\text{cm}\), trägt in \(A\) den Winkel \(45^\circ\) an und zeichnet um \(C\) einen Kreis mit Radius \(a=5\,\text{cm}\). 3. Dieser Kreis erreicht den freien Winkelschenkel nicht. Daher existiert in Aufgabe 2 kein Dreieck. 4. Somit ist nur Aufgabe 1 eindeutig lösbar.

Aufgabe 1 ist nach dem Kongruenzsatz \(SsW\) eindeutig lösbar. Aufgabe 2 ist nicht konstruierbar, weil der Kreis mit Radius \(a=5\,\text{cm}\) den freien Schenkel des Winkels \(\alpha=45^\circ\) nicht schneidet.

- Schau dir genau an, wo der gegebene Winkel im Verhältnis zu den gegebenen Seiten liegt. Liegt er dazwischen oder gegenüber einer Seite? - Es gibt eine wichtige Regel für den Fall, dass ein Winkel einer Seite gegenüberliegt. Welche Seite muss dann die längere sein? - Skizziere dir die Lage der Seiten und Winkel grob vorab.

1. Analyse Lukas: Gegeben sind zwei Seiten \(a, c\) und der eingeschlossene Winkel \(\beta\). Dies entspricht dem Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite). 2. Analyse Mia: Gegeben sind zwei Seiten \(a, b\) und ein Winkel \(\alpha\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der Seite \(a\) gegenüber. 3. Prüfung der Bedingung für Mia: Damit der Kongruenzsatz SsW (Seite-Seite-Winkel) gilt, muss der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Hier ist \(a = 7\,\text{cm}\) und \(b = 4{,}5\,\text{cm}\). Da \(a > b\), liegt der Winkel \(\alpha = 55^{\circ}\) der längeren Seite gegenüber. 4. Schlussfolgerung: Mias Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz SsW eindeutig konstruierbar.

Lukas nutzt den Kongruenzsatz SWS. Mia nutzt den Kongruenzsatz SsW. Mias Dreieck ist eindeutig konstruierbar, weil der gegebene Winkel \(\alpha\) der längeren Seite \(a\) gegenüberliegt (\(7\,\text{cm} > 4{,}5\,\text{cm}\)).

- Wo müssen alle Punkte liegen, die von der Grundseite \(AB\) den gleichen Abstand \(h_c\) haben? - Wie viele Schnittpunkte können eine Gerade und ein Kreis maximal haben? - Spielt es eine Rolle, auf welcher Seite der Grundseite du die Höhe abträgst?

1. Zeichne die Seite \(c = AB = 7{,}5\,\text{cm}\). 2. Zeichne eine Parallele zur Strecke \(AB\) im Abstand der Höhe \(h_c = 3\,\text{cm}\). 3. Zeichne einen Kreis um den Punkt \(B\) mit dem Radius \(a = 5\,\text{cm}\). 4. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Parallelen sind mögliche Lagen für den Punkt \(C\). 5. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte \(C_1\) und \(C_2\) auf einer Seite der Geraden \(AB\). Da der Kreis die Parallele an zwei Stellen schneidet (\(x_1 = 3{,}5\) und \(x_2 = 11{,}5\) bei \(A\) im Ursprung), entstehen zwei verschiedene, nicht kongruente Dreiecke.

Es gibt zwei verschiedene Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen. Die Konstruktion erfolgt über eine Parallele zur Grundseite im Abstand \(3\,\text{cm}\) und einen Kreis um \(B\) mit Radius \(5\,\text{cm}\).

- Betrachte eines der beiden Dreiecke, in die das Viereck durch die Diagonale geteilt wird. - Erinnere dich an die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss immer länger sein als die dritte Seite. - Was passiert mit dem Dreieck, wenn die Diagonale fast so lang wie die Summe der anderen beiden Seiten ist? - Was passiert, wenn die Diagonale sehr kurz ist?

1. Die Diagonale \(e\) teilt das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\). 2. Für die Existenz des Dreiecks \(ABC\) mit den Seiten \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 9\,\text{cm}\) und \(e\) muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein. 3. Bedingung 1 (Dreiecksungleichung \(a + e > b\)): \(a + e > b \Rightarrow 5 + e > 9 \Rightarrow e > 4\,\text{cm}\). 4. Bedingung 2 (Summe der anderen Seiten): \(a + b > e \Rightarrow 5 + 9 > e \Rightarrow 14\,\text{cm} > e\). 5. Zusammenfassend muss für die Länge der Diagonale gelten: \(4\,\text{cm} < e < 14\,\text{cm}\). 6. Bei den Grenzwerten \(4\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\) würden die Punkte auf einer Geraden liegen (entartetes Dreieck), daher sind diese auszuschließen.

Die Länge der Diagonale \(e\) muss zwischen \(4\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\) liegen (\(4\,\text{cm} < e < 14\,\text{cm}\)), damit das Drachenviereck existiert.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Welche Information fehlt dir noch, um das Dreieck mit der Seite \(c\) als Basis zu zeichnen? - Achte beim Messen der Winkel mit dem Geodreieck darauf, die richtige Skala zu verwenden.

1. Berechnung von \(\gamma\): \(\gamma = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ\). 2. Berechnung von \(\beta\) über die Innenwinkelsumme: \(\beta = 180^\circ - 42^\circ - 84^\circ = 54^\circ\). 3. Konstruktion nach dem Kongruenzsatz WSW: Zeichnen der Seite \(c = 7{,}2\,\text{cm}\). 4. Antragen von \(\alpha = 42^\circ\) im Punkt \(A\) und \(\beta = 54^\circ\) im Punkt \(B\). Der Schnittpunkt der freien Schenkel ist \(C\). 5. Messen der Seitenlängen: \(a \approx 4{,}8\,\text{cm}\) und \(b \approx 5{,}9\,\text{cm}\).

Der Winkel \(\beta\) beträgt \(54^\circ\). Die gemessenen Seitenlängen sind \(a \approx 4{,}8\,\text{cm}\) und \(b \approx 5{,}9\,\text{cm}\).

- Welcher Winkel liegt zwischen den beiden gegebenen Seiten? - Überlege dir eine kurze Planskizze, bevor du mit der genauen Zeichnung beginnst. - Denk daran, dass der Winkel \(\alpha\) stumpf ist (größer als \(90^\circ\)).

1. Konstruktion nach dem Kongruenzsatz SWS: Zeichnen der Seite \(c = 4{,}0\,\text{cm}\) als Strecke \(AB\). 2. Antragen des Winkels \(\alpha = 105^\circ\) im Punkt \(A\). 3. Abmessen der Länge \(b = 5{,}5\,\text{cm}\) auf dem freien Schenkel von \(\alpha\), um den Punkt \(C\) zu markieren. 4. Verbinden der Punkte \(C\) und \(B\). 5. Messwerte: \(a \approx 7{,}6\,\text{cm}\), \(\beta \approx 44{,}4^\circ\) und \(\gamma \approx 30{,}6^\circ\). 6. Der zugrunde liegende Kongruenzsatz ist SWS (Seite-Winkel-Seite).

Die gemessene Seite \(a\) ist etwa \(7{,}6\,\text{cm}\) lang. Die Winkel betragen \(\beta \approx 44{,}4^\circ\) und \(\gamma \approx 30{,}6^\circ\). Die Konstruktion ist nach dem Kongruenzsatz SWS eindeutig.

- Welche Symmetrie besitzt ein gleichschenkliges Dreieck bezüglich seiner Basis? - Wo genau auf der Basis setzt die Höhe \(h_c\) an? - Wie kannst du sicherstellen, dass die Höhe genau im rechten Winkel auf der Basis steht?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck liegt die Spitze \(C\) genau senkrecht über der Mitte der Basis \(c\). Die Mittelsenkrechte liefert sowohl den Mittelpunkt der Basis als auch die Richtung, in der die Höhe abgetragen werden muss. 2. Konstruktionsschritte: - Zeichne die Basis \(c = AB = 6\,\text{cm}\). - Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke \(AB\). Der Schnittpunkt mit \(AB\) sei \(M\). - Trage auf der Mittelsenkrechten von \(M\) aus die Höhe \(h_c = 4\,\text{cm}\) ab, um den Punkt \(C\) zu erhalten. - Verbinde \(A\) mit \(C\) und \(B\) mit \(C\). 3. Messung der Schenkel: Die Schenkel \(a = BC\) und \(b = AC\) sind jeweils \(5\,\text{cm}\) lang.

Die Konstruktion ergibt ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \(6\,\text{cm}\) und der Höhe \(4\,\text{cm}\). Die durch Messung ermittelte Länge der Schenkel \(a\) und \(b\) beträgt jeweils \(5\,\text{cm}\).

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck immer? - Wenn du zwei Winkel kennst, wie berechnest du den dritten? - Welche Seite liegt zwischen den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\)?

1. Berechnung: \(\alpha + \gamma = 75^\circ + 115^\circ = 190^\circ\). Da die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck genau \(180^\circ\) beträgt, können zwei Winkel zusammen nicht bereits \(190^\circ\) ergeben. Ein solches Dreieck existiert nicht. 2. Mit \(\gamma = 60^\circ\) gilt: \(\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). 3. Konstruktionsbeschreibung: - Zeichne Strecke \(c = AB = 5\,\text{cm}\). - Trage in \(A\) den Winkel \(\alpha = 75^\circ\) an. - Trage in \(B\) den Winkel \(\beta = 45^\circ\) an. - Der Schnittpunkt der Schenkel ist \(C\). Verwendeter Kongruenzsatz: WSW (Winkel-Seite-Winkel).

1. Die Summe ist \(190^\circ\), was die Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) überschreitet. 2. \(\beta = 45^\circ\). 3. Das Dreieck wird nach dem WSW-Satz konstruiert.

- Welche Rollen kann eine Seite in einem gleichschenkligen Dreieck einnehmen? - Wie viele verschiedene Fälle musst du untersuchen? - Denk daran, nach der Berechnung der Seitenlängen immer zu prüfen, ob die Dreiecksungleichung erfüllt ist.

1. Fall 1: Die Seite mit \(4\,\text{cm}\) ist die Basis. Dann sind die beiden Schenkel \(x\) gleich lang. 2. Berechnung für Fall 1: \(2x + 4 = 18 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7\). Die Seiten sind \(7\,\text{cm}\), \(7\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\). 3. Prüfung Fall 1: \(7 + 4 > 7\) ist wahr. Das Dreieck existiert. 4. Fall 2: Die Seite mit \(4\,\text{cm}\) ist einer der Schenkel. Dann ist der zweite Schenkel ebenfalls \(4\,\text{cm}\) lang. Die Basis sei \(y\). 5. Berechnung für Fall 2: \(4 + 4 + y = 18 \Rightarrow 8 + y = 18 \Rightarrow y = 10\). Die Seiten sind \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\). 6. Prüfung Fall 2: \(4 + 4 = 8\). Da \(8 < 10\), ist die Dreiecksungleichung verletzt. Dieses Dreieck existiert nicht.

Es gibt nur eine Möglichkeit: Die Schenkel sind jeweils \(7\,\text{cm}\) lang und die Basis ist \(4\,\text{cm}\) lang. Der Fall mit Schenkeln von \(4\,\text{cm}\) und einer Basis von \(10\,\text{cm}\) ist unmöglich, da \(4 + 4 < 10\).

- Erinnere dich an die Summe aller Winkel in einem Dreieck. - Was passiert mit den Linien, die man von den Enden der Seite \(c\) zeichnet, wenn die Winkel zu groß werden? - Wenn du zwei Winkel kennst, kannst du dann den dritten ausrechnen?

1. Für den Kongruenzsatz WSW wird die Seite \(c\) und die beiden anliegenden Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) benötigt. Damit ein Dreieck entsteht, muss die Innenwinkelsumme \(180^\circ\) betragen. Also muss \(\alpha + \beta < 180^\circ\) gelten. Da \(\alpha = 45^\circ\), muss \(\beta < 135^\circ\) sein. Ein Beispiel wäre \(\beta = 60^\circ\). 2. Wenn \(\beta \ge 135^\circ\), dann ist die Summe \(\alpha + \beta \ge 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ\). Da die Summe aller drei Winkel im Dreieck genau \(180^\circ\) betragen muss, bliebe für den dritten Winkel \(\gamma\) kein Raum mehr (\(\gamma \le 0^\circ\)). Geometrisch bedeutet dies, dass die freien Schenkel der Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) parallel sind oder auseinanderlaufen und sich somit nicht schneiden, um den Punkt C zu bilden. 3. Ja, man kann das Dreieck eindeutig konstruieren. Über den Satz der Innenwinkelsumme lässt sich der fehlende Winkel \(\beta\) berechnen: \(\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\). Damit sind wieder eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt, was dem Kongruenzsatz WSW entspricht.

a) Zum Beispiel \(\beta = 60^\circ\). (Jeder Wert \(0^\circ < \beta < 135^\circ\) ist korrekt). b) Bei \(\beta \ge 135^\circ\) wäre die Summe \(\alpha + \beta \ge 180^\circ\). Da die Winkelsumme im Dreieck genau \(180^\circ\) beträgt, könnten sich die Schenkel nicht in einem dritten Punkt treffen. c) Ja, da man über die Winkelsumme (\(180^\circ\)) den Winkel \(\beta\) berechnen kann. Dann sind eine Seite und zwei Winkel bekannt (Satz WSW).

- Wie hängen Umfang, Basis und Schenkel in der Formel zusammen? - Was passiert mit den anderen Seiten, wenn eine Seite bei gleichbleibendem Umfang länger wird? - Erinnerst du dich an die Dreiecksungleichung? Welche Bedingung müssen drei Längen erfüllen, damit sie ein Dreieck bilden können?

1. Berechnung zu a): Der Umfang ist \(u = a + b + c\). Da \(a = b\), gilt \(20 = 2a + 4\). Daraus folgt \(2a = 16\), also \(a = b = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung zu b): Es gilt \(20 = 2a + 8\). Daraus folgt \(2a = 12\), also \(a = b = 6\,\text{cm}\). Die Schenkel verkürzen sich jeweils um \(2\,\text{cm}\). 3. Überprüfung zu c): Wäre \(c = 12\,\text{cm}\), dann wäre die Summe der Schenkel \(a + b = 20 - 12 = 8\,\text{cm}\). Nach der Dreiecksungleichung muss die Summe zweier Seiten immer größer als die dritte Seite sein (\(a + b > c\)). Da \(8 < 12\), lässt sich mit diesen Maßen kein Dreieck konstruieren.

a) Die Schenkel sind jeweils \(8\,\text{cm}\) lang. b) Die Schenkel werden kürzer und sind dann jeweils \(6\,\text{cm}\) lang. c) Die Behauptung ist falsch, da die Summe der Schenkel (\(8\,\text{cm}\)) kürzer als die Basis (\(12\,\text{cm}\)) wäre, was der Dreiecksungleichung widerspricht.