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- Welche besondere Eigenschaft haben Dreiecke, deren Eckpunkte auf einem Halbkreis liegen? - Wie viel Grad ergeben alle Innenwinkel eines Dreiecks zusammen? - Stelle dir vor, du bewegst die Spitze eines Winkels näher an die Grundseite heran. Was passiert mit der Öffnung des Winkels?

1. Nach dem Satz des Thales ist jeder Winkel in einem Dreieck, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis über dem Durchmesser liegt, ein rechter Winkel. Somit gilt \(\gamma = 90^\circ\). 2. Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Mit \(\gamma = 90^\circ\) und \(\beta = 38^\circ\) ergibt sich \(\alpha = 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ\). 3. Wenn der Punkt \(C\) in das Innere des Kreises wandert, vergrößert sich der Winkel \(\gamma\). Er wird somit größer als \(90^\circ\) (stumpfer Winkel).

a) \(\gamma = 90^\circ\); Satz des Thales. b) \(\alpha = 52^\circ\). c) Der Winkel \(\gamma\) wird größer als \(90^\circ\) (er wird stumpf).

- Achte auf die Lage der Punkte \(A\) und \(B\) im Verhältnis zum Kreismittelpunkt. - Welcher besondere mathematische Satz gilt für Punkte auf einer Kreislinie über einem Durchmesser? - Welche Seiten grenzen direkt an den Winkel \(\gamma\) an?

Da die Strecke \(\overline{AB}\) der Durchmesser des Kreises ist und der Punkt \(S\) auf dem Kreisrand liegt, handelt es sich um eine Konstruktion nach dem Satz des Thales. Daher ist der Winkel \(\gamma\) bei \(S\) genau \(90^\circ\). Die Katheten sind die beiden Seiten, die diesen rechten Winkel bilden, also die Strecken \(\overline{AS}\) und \(\overline{BS}\).

Der Winkel \(\gamma\) ist \(90^\circ\) groß. Die Katheten sind die Strecken \(\overline{AS}\) und \(\overline{BS}\).

- Was weißt du über Winkel in einem Dreieck, dessen eine Seite der Kreisdurchmesser ist? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck?

1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel \(\angle ACB = 90^\circ\). 2. In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme \(180^\circ\). 3. Berechnung: \(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\).

\(\beta = 62^\circ\)

- Wo liegt der Mittelpunkt des Thaleskreises und wie groß ist sein Radius? - Welche besondere Eigenschaft hat die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck, dessen Basis der Durchmesser des Kreises ist? - Stelle dir eine Parallele zur Strecke \(AB\) im Abstand von \(2\,\text{cm}\) vor. Wie oft schneidet diese den Kreis?

1. Der Thaleskreis über \(AB\) hat den Mittelpunkt \(M\) in der Mitte von \(AB\) (\(3\,\text{cm}\) von \(A\) und \(B\) entfernt) und einen Radius von \(r = 3\,\text{cm}\). 2. Für ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck muss \(C\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegen. Die beiden Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Thaleskreis sind mögliche Lagen von \(C\). In beiden Fällen entspricht die Höhe \(h_c\) dem Radius des Kreises, also \(h_c = 3\,\text{cm}\). 3. Die Höhe eines Punktes auf dem Thaleskreis ist sein senkrechter Abstand zur Strecke \(AB\). Da der Radius \(3\,\text{cm}\) beträgt, ist die maximale Höhe \(3\,\text{cm}\). 4. Da \(2\,\text{cm} < 3\,\text{cm}\), gibt es auf jedem der beiden Halbkreise genau zwei Punkte, die den Abstand \(2\,\text{cm}\) zur Geraden \(AB\) haben. Insgesamt existieren also \(4\) solcher Punkte \(D\).

a) Der Kreis hat den Radius \(r = 3\,\text{cm}\). b) Der Punkt \(C\) kann an einem der beiden Schnittpunkte von Mittelsenkrechter und Thaleskreis liegen; die Höhe beträgt \(h_c = 3\,\text{cm}\). c) Es gibt insgesamt \(4\) solcher Punkte, da die Parallelen im Abstand von \(2\,\text{cm}\) (oberhalb und unterhalb von \(AB\)) den Kreis in jeweils zwei Punkten schneiden.

- Welche Punkte kommen für die Ecke \(C\) eines rechtwinkligen Dreiecks über \(AB\) überhaupt infrage? - Was ist der weiteste Abstand, den ein Punkt auf einer Kreislinie von seinem Durchmesser haben kann? - Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks und welche Rolle spielt dabei die Höhe?

1. Konstruktion: Strecke \(AB = 8\,\text{cm}\) zeichnen, Mittelpunkt \(M\) bestimmen, Thaleskreis mit \(r = 4\,\text{cm}\) zeichnen. An \(A\) einen Winkel von \(40^\circ\) antragen. Der zweite Schnittpunkt des freien Schenkels mit dem Thaleskreis (neben \(A\)) ist \(C\). 2. Erklärung zur Höhe: Jeder Punkt \(C\) eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse \(c\) liegt auf dem Thaleskreis. Die Höhe \(h_c\) ist der Abstand von \(C\) zur Strecke \(AB\). Der größte Abstand eines Kreispunktes vom Durchmesser ist der Radius. Da \(r = \frac{c}{2} = 4\,\text{cm}\), ist \(h_{\max} = 4\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt: Die Formel für den Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\). Mit der maximalen Höhe \(h_{\max} = 4\,\text{cm}\) ergibt sich der maximale Flächeninhalt zu \(A_{\max} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 4. Da \(20\,\text{cm}^2 > 16\,\text{cm}^2\), ist die Konstruktion eines solchen Dreiecks unmöglich.

a) Individuelle Konstruktion (zweiter Schnittpunkt des \(40^\circ\)-Strahls mit dem Thaleskreis). b) Die Höhe kann nicht größer als der Radius des Thaleskreises (\(4\,\text{cm}\)) sein. c) Nein, der maximale Flächeninhalt beträgt nur \(16\,\text{cm}^2\).

- Was weißt du über den Abstand aller Punkte auf einer Kreislinie zum Mittelpunkt? - Wo genau über der Strecke \([AB]\) muss der Punkt \(C\) liegen, damit ein gleichschenkliges Dreieck entsteht? - Wie hängen Durchmesser und Radius eines Kreises zusammen?

1. Alle Punkte \(C\) mit \(C \ne A,B\), für die \(\angle ACB = 90^\circ\) gilt, liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke \([AB]\), jedoch nicht auf dessen Endpunkten \(A\) und \(B\). Dies ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt \(M\) (Mittelpunkt von \([AB]\)) und dem Radius \(r = 4\,\text{cm}\). 2. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck liegt die Spitze \(C\) auf der Mittelsenkrechten von \([AB]\) und gleichzeitig auf dem Thaleskreis. Die Höhe \(h_c\) entspricht somit genau dem Radius des Thaleskreises: \(h_c = r = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 3. Da \(C\) auf dem Thaleskreis liegt, ist der Abstand von \(M\) zu \(C\) gleich dem Radius \(r\). Da die Hypotenuse \(c = AB\) der Durchmesser des Kreises ist, gilt \(c = 2r\). Daraus folgt \(MC = r = \frac{1}{2}c\).

a) Die Punkte \(C\) liegen auf dem Thaleskreis über \([AB]\), wobei die Endpunkte \(A\) und \(B\) ausgeschlossen sind. Der Kreis hat den Radius \(r = 4\,\text{cm}\) und seinen Mittelpunkt im Mittelpunkt von \([AB]\). b) \(h_c = 4\,\text{cm}\). c) Da \(C\) auf dem Thaleskreis liegt, ist \([MC]\) ein Radius. Die Hypotenuse \([AB]\) ist der Durchmesser, also doppelt so lang wie der Radius.

- Was besagt der Satz des Thales über Winkel in einem Halbkreis? - Wo muss der dritte Punkt \(C\) liegen, damit der Winkel bei \(C\) genau \(90^\circ\) groß ist? - Wie findest du die Mitte einer Strecke, wenn du nur einen Zirkel und ein Lineal benutzt?

1. Zeichne die Hypotenuse \(c = AB = 7\,\text{cm}\). 2. Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke \(AB\), um den Mittelpunkt \(M\) der Strecke zu finden. 3. Zeichne den Thaleskreis mit dem Radius \(r = 3{,}5\,\text{cm}\) um den Mittelpunkt \(M\). 4. Stelle den Zirkel auf die Länge der Kathete \(a = 4\,\text{cm}\) ein und zeichne einen Kreisbogen um den Punkt \(B\). 5. Die beiden Schnittpunkte dieses Kreisbogens mit dem Thaleskreis liefern spiegelbildliche, kongruente Lösungen; einer davon wird als Eckpunkt \(C\) gewählt. 6. Verbinde die Punkte \(A, B\) und \(C\) zum fertigen Dreieck.

Das Ergebnis ist eine geometrische Konstruktion. Das Dreieck \(ABC\) besitzt bei \(C\) einen rechten Winkel, da \(C\) auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse \(AB\) liegt. Der Punkt \(C\) ist einer der beiden möglichen Schnittpunkte; die Seite \(BC\) ist genau \(4\,\text{cm}\) lang.

- In welchem Verhältnis stehen Radius und Durchmesser eines Kreises zueinander? - Welche Strecke dient bei der Tangentenkonstruktion als Durchmesser für den Hilfskreis? - Überlege dir, wie viele Schnittpunkte der Hilfskreis mit dem ursprünglichen Kreis haben kann, wenn der Punkt zu nah am Mittelpunkt liegt.

1. Berechnung der Strecke \([MA]\): Der Thaleskreis wird über der Strecke zwischen dem Kreismittelpunkt \(M\) und dem äußeren Punkt \(A\) gezeichnet. Die Strecke \([MA]\) entspricht daher dem Durchmesser des Thaleskreises. Bei einem Radius von \(r_T = 5{,}5\,\text{cm}\) ergibt sich \(|MA| = 2 \cdot 5{,}5\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Winkels: Der Winkel \(\angle MT_1A\) beträgt \(90^\circ\). Dies wird durch den Satz des Thales begründet, da \(T_1\) auf einem Kreis über der Strecke \([MA]\) liegt. 3. Bedingung für Tangenten: Wenn der Punkt \(A\) innerhalb des gegebenen Kreises liegt, also sein Abstand zu \(M\) kleiner als der Radius dieses Kreises ist, können keine Tangenten an den Kreis gezeichnet werden. Liegt \(A\) auf dem Kreis, gibt es genau eine Tangente.

a) Die Strecke \([MA]\) ist \(11\,\text{cm}\) lang. b) Der Winkel beträgt \(90^\circ\) (Satz des Thales). c) Der Punkt \(A\) müsste innerhalb des gegebenen Kreises liegen; sein Abstand zu \(M\) wäre dann kleiner als der Radius dieses Kreises.

- Welche Strecke ist der Durchmesser des Thaleskreises? - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Stelle dir vor, \(P\) läge sehr weit entfernt: In welche Richtung verlaufen die beiden Tangenten dann nahezu, und wo berühren sie den inneren Kreis?

1. Da \(P\) auf dem äußeren Kreis liegt, gilt \(|MP|=6\,\text{cm}\). 2. Der Thaleskreis hat \([MP]\) als Durchmesser. Sein Radius beträgt daher \(3\,\text{cm}\). 3. Sein Mittelpunkt \(K\) ist der Mittelpunkt von \([MP]\) und hat somit ebenfalls den Abstand \(3\,\text{cm}\) von \(M\). 4. Wandert \(P\) auf demselben Strahl weiter nach außen, werden die Tangentenrichtungen zunehmend parallel. Die Berührpunkte wandern auf dem inneren Kreis von der Geraden \(MP\) weg in Richtung der Endpunkte des zu \(MP\) senkrechten Durchmessers. Sie liegen daher weiter auseinander; der kleinere Bogen zwischen ihnen wird größer und nähert sich einem Halbkreis.

a) \(3\,\text{cm}\). b) \(K\) liegt \(3\,\text{cm}\) von \(M\) entfernt. c) Die Berührpunkte wandern voneinander weg in Richtung der Endpunkte des zu \(MP\) senkrechten Durchmessers; der kleinere Bogen zwischen ihnen wird größer.

- In welchem Winkel steht eine Tangente zum Radius am Berührpunkt? - Wo müssen alle Punkte liegen, die die Eckpunkte eines rechten Winkels über der Strecke \(MP\) bilden? - Überlege dir, wie viele Schnittpunkte der Thaleskreis mit dem ursprünglichen Kreis hat, wenn der Punkt \(P\) (oder \(Q\)) näher an den Kreis rückt.

1. Konstruktion der Tangenten: Zuerst wird die Strecke \(MP\) gezeichnet und deren Mittelpunkt \(Z\) bestimmt. Dann wird der Thaleskreis über der Strecke \(MP\) gezeichnet. Die Schnittpunkte dieses Thaleskreises mit dem ursprünglichen Kreis \(k\) sind die Berührpunkte \(B_1\) und \(B_2\). Die Geraden \(PB_1\) und \(PB_2\) sind die gesuchten Tangenten. 2. Rolle des Satzes des Thales: Eine Tangente steht senkrecht auf dem Berührungsradius (\(MB_1 \perp PB_1\)). Das Dreieck \(MB_1P\) muss also rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(B_1\) sein. Der Satz des Thales besagt, dass alle Punkte, die mit \(M\) und \(P\) ein rechtwinkliges Dreieck bilden, auf dem Kreis über dem Durchmesser \(MP\) liegen. 3. Untersuchung der Lage von \(Q\): - Fall 1: \(d > r = 3\,\text{cm}\) (Punkt außerhalb): Es gibt genau \(2\) Tangenten, da der Thaleskreis den Kreis \(k\) in zwei Punkten schneidet. - Fall 2: \(d = r = 3\,\text{cm}\) (Punkt auf dem Kreis): Es gibt genau \(1\) Tangente (die Senkrechte zum Radius in diesem Punkt). - Fall 3: \(d < r = 3\,\text{cm}\) (Punkt innerhalb): Es gibt \(0\) Tangenten, da von einem inneren Punkt keine Gerade den Kreis nur berühren kann (jede Gerade wäre eine Sekante).

a) Mittelpunkt von \(MP\) finden, Thaleskreis zeichnen, Schnittpunkte mit \(k\) sind Berührpunkte. Der Satz des Thales garantiert den \(90^\circ\)-Winkel zwischen Radius und Tangente. b) Für \(d > 3\,\text{cm}\): zwei Tangenten; für \(d = 3\,\text{cm}\): eine Tangente; für \(d < 3\,\text{cm}\): keine Tangente.

- Welchen Winkel bildet ein Punkt auf dem Kreis mit den Endpunkten eines Durchmessers? - Was passiert bei einer Punktspiegelung mit den Abständen zum Spiegelpunkt? - Welche Eigenschaften haben die Diagonalen in verschiedenen Vierecksarten wie Parallelogramm, Raute oder Rechteck?

1. Da \([AB]\) der Durchmesser ist und \(C\) auf dem Kreis liegt, ist \(\angle ACB = 90^\circ\) (Satz des Thales). 2. Über die Innenwinkelsumme berechnet sich der dritte Winkel: \(\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 3. Durch die Punktspiegelung an \(M\) ist \(M\) der Mittelpunkt beider Diagonalen \([AB]\) und \([CD]\). Da beide Strecken Durchmesser des Kreises sind, sind sie gleich lang (\(7\,\text{cm}\)). 4. Ein Viereck, dessen Diagonalen gleich lang sind und einander halbieren, ist ein Rechteck. Zudem sind nach dem Satz des Thales alle vier Innenwinkel des Vierecks \(90^\circ\), da jede Seite des Vierecks eine Sehne gegenüber einem Durchmesser ist (z. B. \(\angle CAD = 90^\circ\) über Durchmesser \([CD]\)).

a) \(\angle ACB = 90^\circ\) und \(\angle ABC = 30^\circ\). b) Es handelt sich um ein Rechteck. Die Diagonalen \([AB]\) und \([CD]\) sind Durchmesser des Kreises, daher gleich lang und sie halbieren einander im Mittelpunkt \(M\).