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- Stelle sicher, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du sie vergleichst. - Wie viele Schnittpunkte hat eine Gerade mit einem Kreis, wenn ihr Abstand zum Mittelpunkt kleiner, gleich oder größer als der Radius ist? - Erinnere dich an die Definitionen der Begriffe Passante, Tangente und Sekante.

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Zentimeter: \(r = 4{,}5\,\text{cm}\), \(d_1 = 3{,}5\,\text{cm}\), \(d_2 = 4{,}5\,\text{cm}\), \(d_3 = 5{,}0\,\text{cm}\). 2. Vergleich für \(g_1\): Da \(d_1 < r\) (\(3{,}5\,\text{cm} < 4{,}5\,\text{cm}\)), schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten. Es handelt sich um eine Sekante. 3. Vergleich für \(g_2\): Da \(d_2 = r\) (\(4{,}5\,\text{cm} = 4{,}5\,\text{cm}\)), berührt die Gerade den Kreis in genau einem Punkt. Es handelt sich um eine Tangente. 4. Vergleich für \(g_3\): Da \(d_3 > r\) (\(5{,}0\,\text{cm} > 4{,}5\,\text{cm}\)), hat die Gerade keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Es handelt sich um eine Passante.

\(g_1\) ist eine Sekante, da \(d_1 < r\). \(g_2\) ist eine Tangente, da \(d_2 = r\). \(g_3\) ist eine Passante, da \(d_3 > r\).

- Es gibt einen Satz über die Längen von Tangenten, die von demselben Punkt ausgehen. - Überlege, ob die Figur symmetrisch ist.

1. Tangentenabschnitte von einem gemeinsamen Punkt außerhalb des Kreises an denselben Kreis sind immer gleich lang. 2. Daher gilt \(PA = PB\). 3. \(PB = 8{,}4\,\text{cm}\).

Die Strecke \(PB\) ist ebenfalls \(8{,}4\,\text{cm}\) lang.

- Zeichne zuerst die Lage von Mittelpunkt, Kreis und äußerem Punkt möglichst genau. - Überlege, welche besondere Lage der Radius am Berührpunkt zur Tangente hat. - Suche in deiner Skizze nach einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Seiten du kennst oder finden kannst. - Für die Konstruktion hilft es, die Strecke vom Mittelpunkt zum äußeren Punkt genauer zu untersuchen.

1. Zeichne den Kreis \(k\) mit \(r = 3\,\text{cm}\) um den Mittelpunkt \(M\). 2. Markiere den Punkt \(Q\) im Abstand von \(8\,\text{cm}\) zu \(M\) und zeichne die Strecke \(MQ\). 3. Konstruiere den Mittelpunkt \(K\) der Strecke \(MQ\) mithilfe einer Mittelsenkrechten. 4. Zeichne den Thaleskreis um \(K\) mit dem Radius \(|KM| = 4\,\text{cm}\). 5. Die Schnittpunkte des Thaleskreises mit dem Kreis \(k\) sind die Berührpunkte \(T_1\) und \(T_2\). 6. Zeichne die Geraden durch \(Q\) und \(T_1\) sowie durch \(Q\) und \(T_2\). 7. Berechnung der Länge: Im rechtwinkligen Dreieck \(M T_1 Q\) gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(|MT_1|^2 + |T_1Q|^2 = |MQ|^2\). 8. Einsetzen der Werte: \(3^2 + |T_1Q|^2 = 8^2 \Rightarrow 9 + |T_1Q|^2 = 64 \Rightarrow |T_1Q|^2 = 55\). 9. \(|T_1Q| = \sqrt{55} \approx 7{,}42\,\text{cm}\).

Die Konstruktion erfolgt mithilfe des Thaleskreises über der Strecke \(MQ\). Die rechnerische Länge der Tangentenabschnitte beträgt \(\sqrt{55}\,\text{cm} \approx 7{,}42\,\text{cm}\).

- Wenn ein Kreis eine Achse berührt, was sagt das über seinen Radius aus? - Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem, um die Lage der Punkte \(P\) und \(Q\) zu sehen. - Welche Koordinate ändert sich, wenn du dich von einem Punkt aus senkrecht nach oben oder unten bewegst?

1. Da der Kreis die \(y\)-Achse (Gerade \(x=0\)) berührt, entspricht der Radius dem horizontalen Abstand von \(M(3|3)\) zur \(y\)-Achse: \(r = |3 - 0| = 3\). Der Berührpunkt liegt auf der \(y\)-Achse auf gleicher Höhe wie \(M\), also \(B(0|3)\). 2. Die Gerade \(w\) verläuft durch \(P(0|0)\) und \(Q(7|0)\), was der \(x\)-Achse (\(y=0\)) entspricht. Der Abstand von \(M(3|3)\) zur \(x\)-Achse ist \(d = |3 - 0| = 3\). Da \(d = r = 3\), ist die Gerade \(w\) eine Tangente. 3. Ein vertikaler Durchmesser verläuft durch \(M(3|3)\) parallel zur \(y\)-Achse (\(x=3\)). Die Endpunkte haben den Abstand \(r=3\) oberhalb und unterhalb von \(M\): \(K(3 | 3+3) = K(3|6)\) und \(L(3 | 3-3) = L(3|0)\).

a) \(r = 3\), \(B(0|3)\). b) Tangente, da der Abstand \(d = 3\) genau dem Radius \(r = 3\) entspricht. c) Zum Beispiel \(K(3|6)\) und \(L(3|0)\).

- Welche besondere Eigenschaft hat der Radius eines Kreises an der Stelle, an der eine Tangente den Kreis berührt? - Was weißt du über die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Skizziere die Situation: Was passiert mit der Form des Dreiecks, wenn eine Seite immer länger wird, während eine andere Seite und ein Winkel fest bleiben?

1. Eine Tangente steht im Berührpunkt \(B\) immer senkrecht auf dem Radius \(MB\). Daher ist der Winkel \(\angle MBA = 90^\circ\) und das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(B\). 2. Berechnung des Winkels \(\angle MAB\) über die Innenwinkelsumme im Dreieck: \(180^\circ - 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ\). 3. Wenn \(A\) weiter von \(B\) weg rückt, vergrößert sich die Länge der Strecke \(AB\). Da der Radius \(MB\) und der rechte Winkel bei \(B\) gleich bleiben, muss der Winkel \(\angle BMA\) größer werden. Da die Summe der beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck immer \(90^\circ\) sein muss, wird der Winkel \(\angle MAB\) folglich immer kleiner und nähert sich \(0^\circ\) an.

a) Das Dreieck ist rechtwinklig bei \(B\), da die Tangente senkrecht auf dem Berührungsradius steht. b) \(\angle MAB = 32^\circ\). c) Der Winkel \(\angle MAB\) wird immer kleiner, da bei gleichbleibender Gegenkathete \(MB\) die Ankathete \(AB\) im rechtwinkligen Dreieck länger wird.

- Wie groß ist der Winkel zwischen einer Tangente und dem Radius zum Berührpunkt? - Betrachte die Figur \(AMBQ\). Um was für eine geometrische Form handelt es sich? - Was weißt du über die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck? - Kannst du zwei der vier Winkel in dem Viereck direkt bestimmen, auch wenn sie nicht explizit im Text stehen?

1. In dem Viereck \(AMBQ\) stehen die Radien \(MA\) und \(MB\) senkrecht auf den Tangenten \(QA\) und \(QB\). Daher gilt \(\angle MAQ = 90^\circ\) und \(\angle MBQ = 90^\circ\). 2. Die Winkelsumme in jedem Viereck beträgt \(360^\circ\). 3. Für die Winkel im Viereck \(AMBQ\) gilt: \(\angle AMB + \angle MAQ + \angle AQB + \angle QBM = 360^\circ\). 4. Einsetzen der bekannten Werte: \(120^\circ + 90^\circ + \alpha + 90^\circ = 360^\circ\). 5. Zusammenfassen: \(300^\circ + \alpha = 360^\circ\). 6. Berechnung des Ergebnisses: \(\alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).

Der Winkel \(\alpha\) beträgt \(60^\circ\).

- Welche Winkel bilden Radien mit Tangenten in den Berührpunkten? - Was ist die Winkelsumme in einem beliebigen Viereck? - Betrachte die Symmetrie der Figur an der Geraden, die durch \(M\) und \(P\) geht. Welche Art von Viereck liegt hier vor? - Was weißt du über die Diagonalen in einem Drachenviereck?

1. Die Radien \(MS\) und \(MT\) stehen jeweils senkrecht auf den Tangenten \(PS\) und \(PT\) in den Berührpunkten. Daher gilt \(\angle MSP = 90^\circ\) und \(\angle MTP = 90^\circ\). 2. Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt \(360^\circ\). Es gilt: \(\angle SMT + \angle MSP + \angle SPT + \angle MTP = 360^\circ\). 3. Einsetzen der bekannten Werte: \(124^\circ + 90^\circ + \angle SPT + 90^\circ = 360^\circ\). Daraus folgt \(\angle SPT = 360^\circ - 304^\circ = 56^\circ\). 4. Da \(MS = MT\) (beides Radien) und die Tangentenabschnitte \(PS\) und \(PT\) aus Symmetriegründen gleich lang sind, ist \(MSPT\) ein Drachenviereck. In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen \(ST\) und \(MP\) senkrecht aufeinander.

a) Die Winkel bei \(S\) und \(T\) sind \(90^\circ\), weil Tangenten senkrecht auf den Radien in den Berührpunkten stehen. b) \(\angle SPT = 56^\circ\). c) Die Strecken \(ST\) und \(MP\) stehen senkrecht aufeinander, da \(MSPT\) ein Drachenviereck ist (mit \(MP\) als Symmetrieachse).