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- Suche zuerst den Teil direkt nach „Wenn“. - Welcher Teil des Satzes beschreibt die daraus folgende Aussage?

1. Die Voraussetzung steht im Wenn-Teil: Das Dreieck ist gleichseitig. 2. Die Behauptung steht im Dann-Teil: Das Dreieck ist gleichschenklig.

Voraussetzung: Das Dreieck ist gleichseitig. Behauptung: Das Dreieck ist gleichschenklig.

- Bestimme zuerst, was im ursprünglichen Satz vorausgesetzt wird und was daraus folgt. - Beim Kehrsatz werden diese beiden Rollen vertauscht.

1. Für den Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht. 2. Der Kehrsatz lautet: Wenn \(PA = PB\) gilt, dann liegt \(P\) auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

Kehrsatz: Wenn \(PA = PB\) gilt, dann liegt \(P\) auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

- Welche Aussage steht im „Wenn“-Teil, welche im „Dann“-Teil? - Beim Kehrsatz werden genau diese beiden Teile vertauscht.

1. Die Voraussetzung lautet: Die ganze Zahl ist durch \(4\) teilbar. 2. Die Folgerung lautet: Die ganze Zahl ist gerade. 3. Für den Kehrsatz werden Voraussetzung und Folgerung vertauscht: Wenn eine ganze Zahl gerade ist, dann ist sie durch \(4\) teilbar.

a) Voraussetzung: Die Zahl ist durch \(4\) teilbar. Folgerung: Die Zahl ist gerade. b) Kehrsatz: Wenn eine ganze Zahl gerade ist, dann ist sie durch \(4\) teilbar.

- Welche Aussage steht im Wenn-Teil, welche im Dann-Teil? - Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht. - Wie kannst du die Lage der Geraden zum Kreis über ihren Abstand vom Mittelpunkt mit dem Radius vergleichen?

1. a) Voraussetzung: \(g\) berührt den Kreis im Punkt \(T\). Behauptung: \(g \perp MT\). 2. b) Kehrsatz: „Wenn \(T\) auf der Kreislinie liegt und eine Gerade \(g\) durch \(T\) senkrecht auf \(MT\) steht, dann ist \(g\) eine Tangente an den Kreis im Punkt \(T\).“ 3. c) Der Kehrsatz ist wahr. Weil \(MT\) senkrecht auf \(g\) steht, ist \(MT\) der Abstand des Mittelpunkts \(M\) von \(g\). Da \(T\) auf dem Kreis liegt, gilt \(MT=r\). Der Abstand der Geraden vom Mittelpunkt ist also gleich dem Radius; deshalb ist \(g\) eine Tangente und berührt den Kreis in \(T\).

a) Voraussetzung: \(g\) ist Tangente im Punkt \(T\). Behauptung: \(g \perp MT\). b) Wenn \(T\) auf dem Kreis liegt und \(g\) durch \(T\) senkrecht auf \(MT\) steht, dann ist \(g\) Tangente in \(T\). c) Der Kehrsatz ist wahr.

- Welche Eigenschaft steht in der ursprünglichen Regel als Bedingung, welche als Folge? - Was passiert mit diesen beiden Rollen beim Kehrsatz? - Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung erfüllen und die Behauptung verletzen.

1. a) Als Wenn-dann-Satz lautet die Regel: Wenn eine Person Mitglied der Robotik-AG ist, dann trägt sie ein blaues Namensschild. 2. b) Der Kehrsatz lautet: Wenn eine Person ein blaues Namensschild trägt, dann ist sie Mitglied der Robotik-AG. 3. c) Lea erfüllt die Voraussetzung des Kehrsatzes, weil sie ein blaues Namensschild trägt, aber nicht seine Behauptung. Sie ist damit ein Gegenbeispiel. Der Kehrsatz ist falsch.

a) Wenn eine Person Mitglied der Robotik-AG ist, dann trägt sie ein blaues Namensschild. b) Wenn eine Person ein blaues Namensschild trägt, dann ist sie Mitglied der Robotik-AG. c) Der Kehrsatz ist falsch; Lea ist ein Gegenbeispiel.

- Die Voraussetzung ist das, was man als gegeben annimmt. Die Behauptung ist das, was daraus folgen soll. - Überlege dir, ob man aus der Gleichheit von Winkeln auf die Gleichheit von Seiten schließen kann.

1. Identifikation der Struktur: Die Voraussetzung steht nach dem „Wenn“ (Dreieck ist gleichschenklig), die Behauptung nach dem „Dann“ (\(\alpha = \beta\)). 2. Bildung des Kehrsatzes: „Wenn in einem Dreieck \(ABC\) die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) gleich groß sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basis \(c\).“ 3. Beurteilung: Der Kehrsatz ist wahr. Dies ist die Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Wenn zwei Winkel gleich groß sind, müssen auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein.

a) Voraussetzung: Das Dreieck \(ABC\) ist gleichschenklig (mit Basis \(c\)). Behauptung: Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind gleich groß. b) Kehrsatz: Wenn in einem Dreieck \(ABC\) die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) gleich groß sind, dann ist es gleichschenklig (mit Basis \(c\)). c) Der Kehrsatz ist wahr.

- Erinnere dich an die Eigenschaften der verschiedenen Vierecke (Raute, Rechteck, Drachenviereck, Trapez). - Haben alle Vierecke mit senkrechten Diagonalen auch automatisch gleich lange Seiten UND rechte Winkel? - Skizziere dir verschiedene Vierecke, bei denen du die Diagonalen zuerst einzeichnest.

1. Bildung des Kehrsatzes: „Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, dann ist es ein Quadrat.“ 2. Überprüfung der Wahrheit: Der Kehrsatz ist falsch. 3. Begründung durch Gegenbeispiel: Es gibt andere Vierecksarten, deren Diagonalen senkrecht zueinander verlaufen, die aber keine Quadrate sind. Eine Raute hat immer senkrechte Diagonalen, aber nur wenn alle Winkel \(90^\circ\) sind, ist sie ein Quadrat. Auch bei einem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, ohne dass es ein Quadrat sein muss.

a) Kehrsatz: Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, dann ist es ein Quadrat. b) Der Kehrsatz ist falsch. Gegenbeispiel: Eine Raute oder ein Drachenviereck besitzen senkrechte Diagonalen, sind aber im Allgemeinen keine Quadrate.

- Was weißt du über den Schnittpunkt der Diagonalen in einem Parallelogramm? - Betrachte das Viereck \(APCQ\) und seine Diagonalen. - Wenn du zeigen kannst, dass sich die Diagonalen eines Vierecks gegenseitig halbieren, was folgt daraus für die Form des Vierecks? - Nutze die Symmetrie des Punktes \(S\) bezüglich der ursprünglichen Diagonalen.

1. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Daher ist \(S\) der Mittelpunkt von \(AC\) und \(BD\), es gilt also \(AS = SC\) und \(BS = SD\). 2. Für die Punkte \(P\) und \(Q\) auf der Diagonale \(BD\) gilt: \(SP = BS - BP\) und \(SQ = SD - DQ\). 3. Da \(BS = SD\) und nach Voraussetzung \(BP = DQ\) ist, folgt \(SP = SQ\). Somit ist \(S\) auch der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\). 4. Im Viereck \(APCQ\) halbieren sich die Diagonalen \(AC\) und \(PQ\) im gemeinsamen Punkt \(S\). 5. Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren, ist ein Parallelogramm.

Das Viereck \(APCQ\) ist ein Parallelogramm, da sich seine Diagonalen \(AC\) und \(PQ\) im Punkt \(S\) gegenseitig halbieren. Dies ergibt sich daraus, dass \(S\) der Mittelpunkt von \(AC\) ist und durch die Bedingung \(BP = DQ\) auch zum Mittelpunkt von \(PQ\) wird.

- Welche Winkelbeziehungen entstehen, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden? - Was weißt du über die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck \(DBE\)? - Welche beiden Winkel des großen Dreiecks kannst du dadurch miteinander vergleichen?

1. Die Seitenmarkierungen zeigen \(BD=BE\). Daher sind im gleichschenkligen Dreieck \(DBE\) die Basiswinkel gleich: \(\angle BDE = \angle BED\). 2. Wegen \(DE \parallel AC\) sind \(\angle BAC\) und \(\angle BDE\) Stufenwinkel an Parallelen, also gilt \(\angle BAC = \angle BDE\). 3. Ebenso sind \(\angle BCA\) und \(\angle BED\) Stufenwinkel an Parallelen, also gilt \(\angle BCA = \angle BED\). 4. Aus der Gleichheit der Winkel in Schritt 1 folgt somit \(\angle BAC = \angle BCA\). 5. Ein Dreieck mit zwei gleichen Innenwinkeln ist gleichschenklig. Also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Durch die Parallelität von \(DE\) und \(AC\) sind die Winkel bei \(A\) und \(C\) gleich groß wie die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks \(DBE\). Damit hat auch das Dreieck \(ABC\) zwei gleiche Winkel und ist gleichschenklig.

- Schreibe den gegebenen Satz als „Wenn ..., dann ...“ und vertausche anschließend beide Teile. - Muss aus der Wahrheit eines Satzes automatisch die Wahrheit seines Kehrsatzes folgen? - Welche zusätzliche Winkeleigenschaft müsste ein Parallelogramm besitzen, um ein Rechteck zu sein?

1. Jonas vertauscht Voraussetzung und Behauptung des richtigen Satzes. Er benutzt also dessen Kehrsatz, ohne geprüft zu haben, ob dieser wahr ist. 2. Der Kehrsatz „Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann ist es ein Rechteck“ ist falsch. 3. Ein Parallelogramm mit einem Innenwinkel von \(60^\circ\) ist ein Gegenbeispiel: Es ist ein Parallelogramm, besitzt aber keine vier rechten Winkel und ist daher kein Rechteck.

a) Jonas verwendet den Kehrsatz des gegebenen Satzes, obwohl dessen Wahrheit nicht folgt. b) Zum Beispiel ist ein Parallelogramm mit einem Innenwinkel von \(60^\circ\) kein Rechteck.

- Prüfe in jeder Teilaufgabe zuerst, welche Aussage bereits gegeben ist und welche erst gezeigt werden soll. - Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung des ursprünglichen Satzes vertauscht. - Vergleiche die beiden Bilder: Einmal ist die Kreiszugehörigkeit sichtbar, einmal der rechte Winkel.

1. In a) ist die Kreiszugehörigkeit die Voraussetzung: \(AB\) ist Durchmesser und \(C\) liegt auf dem Kreis. Daraus folgt nach dem Satz des Thales \(\angle ACB=90^\circ\). 2. In b) ist der rechte Winkel die Voraussetzung: \(\angle ACB=90^\circ\). Daraus folgt nach dem Kehrsatz, dass \(C\) auf dem Kreis mit Durchmesser \(AB\) liegt.

a) Satz des Thales; Voraussetzung: \(AB\) ist Durchmesser und \(C\) liegt auf dem Kreis; Behauptung: \(\angle ACB=90^\circ\). b) Kehrsatz; Voraussetzung: \(\angle ACB=90^\circ\); Behauptung: \(C\) liegt auf dem Thaleskreis über \(AB\).

- Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung des gegebenen Satzes vertauscht. - Für ein Gegenbeispiel muss die neue Voraussetzung erfüllt sein, die neue Behauptung aber scheitern. - Welche in der Abbildung angegebenen Seitenlängen widersprechen einer Rechteckeigenschaft?

1. a) Der Kehrsatz lautet: Wenn in einem Viereck die Diagonalen gleich lang sind, dann ist das Viereck ein Rechteck. 2. b) Der Kehrsatz ist falsch. Im abgebildeten Trapez gilt \(AC=BD\), also ist die Voraussetzung des Kehrsatzes erfüllt. 3. Es ist aber kein Rechteck, denn in einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang, während die in der Abbildung angegebenen Längen von \(AB\) und \(CD\) verschieden sind. Das Trapez ist daher ein Gegenbeispiel.

a) Wenn in einem Viereck die Diagonalen gleich lang sind, dann ist das Viereck ein Rechteck. b) Falsch. Das abgebildete Trapez hat gleich lange Diagonalen, ist wegen \(AB\ne CD\) aber kein Rechteck.

- Welcher Baustein erzeugt überhaupt erst die zusätzliche geometrische Information im Inneren des Dreiecks? - In welchem Baustein stehen genau die drei Angaben, die für einen Kongruenzsatz gebraucht werden? - Erst nach welchem Ergebnis darf man entsprechende Winkel der beiden Teildreiecke gleichsetzen?

1. Die Voraussetzung lautet \(AB=AC\); die Behauptung lautet \(\angle ABC=\angle BCA\). 2. Zuerst kommt IV: Die Konstruktion der Winkelhalbierenden liefert \(\angle BAD=\angle DAC\). 3. Danach kommt II: \(AB=AC\) stammt aus der Voraussetzung, \(AD=AD\) ist die gemeinsame Seite und die Winkelgleichheit stammt aus IV. 4. Nun folgt I: Die drei in II genannten Übereinstimmungen sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, also SWS. 5. Zuletzt folgt III: Aus der Kongruenz sind entsprechende Winkel gleich groß; weil \(D\) auf \(BC\) liegt, sind dies die Basiswinkel des Ausgangsdreiecks. Die Reihenfolge ist IV, II, I, III.

a) Voraussetzung: \(AB=AC\); Behauptung: \(\angle ABC=\angle BCA\). b) IV, II, I, III. Begründung: IV liefert die gleiche Winkelhälfte; zusammen mit der Voraussetzung und der gemeinsamen Seite ergibt das II; II erlaubt SWS und damit I; aus der Kongruenz in I folgt die Winkelgleichheit III.

- Trenne bei beiden Aussagen klar zwischen Voraussetzung und Behauptung. - Die Halbierungsangaben liefern jeweils zwei gleiche Seitenstücke; am Schnittpunkt entstehen außerdem gleiche Scheitelwinkel. - Überlege nach dem Kongruenzschluss, welche entsprechenden Winkel die Parallelität gegenüberliegender Seiten zeigen können. - Für Teil c) geht es um die logische Richtung einer Aussage, nicht um eine zusätzliche Rechnung.

1. Beim Kehrsatz werden Voraussetzung und Behauptung vertauscht: Aus „Parallelogramm“ folgt im Satz „Diagonalen halbieren sich“; im Kehrsatz ist die gegenseitige Halbierung die Voraussetzung und „Parallelogramm“ die Behauptung. 2. Für \(\triangle ASB\) und \(\triangle CSD\) gilt \(AS=SC\), \(BS=SD\) und \(\angle ASB=\angle CSD\) als Scheitelwinkel. Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent. 3. Aus der Kongruenz folgt \(\angle ABS=\angle CDS\). Diese Winkel zeigen an der Schneidenden \(BD\), dass \(AB\parallel CD\) gilt. 4. Ebenso gilt für \(\triangle ASD\) und \(\triangle CSB\): \(AS=SC\), \(SD=SB\) und \(\angle ASD=\angle CSB\) als Scheitelwinkel. Damit sind auch diese Dreiecke nach SWS kongruent. 5. Daraus folgt \(\angle ADS=\angle CBS\) und damit \(AD\parallel BC\). 6. Beide Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel; somit ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. Der Kehrsatz ist also bewiesen. 7. Satz und Kehrsatz sind zwei verschiedene logische Aussagen. Aus der Wahrheit einer Richtung folgt nicht automatisch die Wahrheit der umgekehrten Richtung; diese muss gesondert bewiesen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden.

a) Voraussetzung und Behauptung werden vertauscht. b) Zwei SWS-Kongruenzen liefern entsprechende gleiche Winkel und damit \(AB\parallel CD\) sowie \(AD\parallel BC\). Deshalb ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. c) Die Wahrheit eines Satzes überträgt sich nicht automatisch auf seinen Kehrsatz; die umgekehrte Richtung braucht einen eigenen Beweis.