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- Fasse zuerst alle Beobachtungen zu einer Gesamtsumme zusammen. - Achte darauf, durch die Anzahl der Beobachtungen zu teilen. - Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen dem kleinsten und größten Wert liegt.

1. Summe der Besucherzahlen: \(994\). 2. Anzahl der Vormittage: \(7\). 3. Arithmetisches Mittel: \(994:7=142\).

Die durchschnittliche Besucherzahl beträgt \(142\) pro Vormittag.

- Stelle dir vor, alle Stifte würden zuerst zusammengelegt. - Auf wie viele gleich große Gruppen soll die Gesamtmenge verteilt werden? - Das arithmetische Mittel kann als Wert einer gleichmäßigen Umverteilung verstanden werden.

1. Die \(24\) Stifte werden gleichmäßig auf \(4\) Kisten verteilt: \(24:4=6\). 2. Das arithmetische Mittel beschreibt genau diesen Wert bei gleichmäßiger Verteilung: Jede Kiste hätte dann \(6\) Stifte.

In jeder Kiste liegen danach \(6\) Stifte. Dieser Ausgleichswert ist das arithmetische Mittel der ursprünglichen Kistenfüllungen.

- Überlege, wie Mittelwert, Anzahl der Werte und Gesamtsumme zusammenhängen. - Hier ist die Anzahl der Messwerte bekannt. - Arbeite von der Division bei der Mittelwertbildung rückwärts.

1. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. 2. Deshalb ist die Summe \(6\cdot 8=48\) Punkte.

Die Summe aller sechs Messwerte beträgt \(48\) Punkte.

- Betrachte nicht nur eine Rechenformel, sondern die Abstände auf der Zahlengeraden. - Ein gesuchter Mittelpunkt muss von beiden Ausgangswerten gleich weit entfernt sein. - Prüfe nach dem Finden von \(M\) beide Abstände getrennt. - Überlege abschließend, wie sich „genau in der Mitte“ mit dem arithmetischen Mittel verbinden lässt.

1. Für a) liegt \(M=15{,}5\). Es gilt \(15{,}5-12{,}4=3{,}1\) und \(18{,}6-15{,}5=3{,}1\). 2. Für b) liegt \(M=-1\). Die Abstände sind \((-1)-(-5)=4\) und \(3-(-1)=4\). 3. Für c) liegt \(M=\frac{1}{4}\). Die Abstände sind \(\frac{1}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}\) und \(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\). 4. Für d) liegt \(M=-5\). Die Abstände sind \((-5)-(-7{,}5)=2{,}5\) und \((-2{,}5)-(-5)=2{,}5\). 5. Der Punkt mit gleichem Abstand zu beiden Endwerten liegt genau in deren Mitte; sein Wert ist deshalb \(\frac{a+b}{2}\), also das arithmetische Mittel der beiden Endwerte.

a) \(M=15{,}5\); beide Abstände \(3{,}1\) b) \(M=-1\); beide Abstände \(4\) c) \(M=\frac{1}{4}\); beide Abstände \(\frac{1}{2}\) d) \(M=-5\); beide Abstände \(2{,}5\) Die Zahl mit gleichem Abstand zu beiden Endwerten liegt genau in deren Mitte und ist daher ihr arithmetisches Mittel.

- Berechne zuerst für jeden der fünf vorgegebenen Werte den zugehörigen Termwert. - Addiere anschließend alle fünf Termwerte. - Teile die Summe durch die Anzahl der berechneten Werte.

1. Die fünf Termwerte sind \(6\), \(9\), \(14\), \(21\) und \(30\). 2. Ihre Summe ist \(6+9+14+21+30=80\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(80:5=16\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(16\).

- Lies für jeden Wochentag genau einen Temperaturwert aus dem Diagramm ab. - Welche zwei Schritte gehören zur Berechnung des arithmetischen Mittels mehrerer Werte? - Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen dem kleinsten und dem größten Tageswert liegt.

1. Aus dem Diagramm liest man \(15\,^\circ\text{C}\), \(18\,^\circ\text{C}\), \(20\,^\circ\text{C}\), \(17\,^\circ\text{C}\), \(14\,^\circ\text{C}\), \(13\,^\circ\text{C}\) und \(15\,^\circ\text{C}\) ab. 2. Die Summe beträgt \(15+18+20+17+14+13+15=112\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(112:7=16\,^\circ\text{C}\).

Das arithmetische Mittel beträgt \(16\,^\circ\text{C}\).

- Lies für jede mögliche Fahrradanzahl ab, wie viele Haushalte dazu gehören. - Wie erhältst du aus einem Wert und seiner Häufigkeit den Beitrag zur Gesamtzahl aller Fahrräder? - Teile am Ende die Gesamtzahl der Fahrräder durch die Zahl der Haushalte.

1. Aus dem Diagramm liest man die Häufigkeiten \(4,8,12,10,4,2\) für \(0,1,2,3,4,5\) Fahrräder ab. 2. Die Gesamtzahl der Fahrräder ist \(0\cdot4+1\cdot8+2\cdot12+3\cdot10+4\cdot4+5\cdot2=88\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(88:40=2{,}2\) Fahrräder pro Haushalt.

Das arithmetische Mittel beträgt \(2{,}2\) Fahrräder pro Haushalt.

- Zähle für a) alle Punkte beziehungsweise Häufigkeiten zusammen. - Welche möglichen Geschwisterzahlen gehören zu „mehr als ein Geschwister“? - Für den Durchschnitt brauchst du zuerst die Gesamtzahl aller Geschwister in der Klasse.

1. Die Gesamtzahl der Kinder ist \(2+5+8+6+4=25\). 2. Mehr als ein Geschwister haben die Kinder mit \(2,3\) oder \(4\) Geschwistern: \(8+6+4=18\). 3. Die Gesamtzahl aller Geschwister ist \(0\cdot2+1\cdot5+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot4=55\). 4. Das arithmetische Mittel beträgt \(55:25=2{,}2\) Geschwister pro Kind.

a) \(25\) Kinder b) \(18\) Kinder c) \(2{,}2\) Geschwister pro Kind

- Der bisherige Durchschnitt gehört zu vier Ergebnissen. - Bestimme zuerst die bisherige Gesamtsumme. - Nach dem neuen Lauf ändert sich auch die Anzahl der Ergebnisse.

1. Bisherige Gesamtpunktzahl: \(30{,}5\cdot 4=122\). 2. Neue Gesamtpunktzahl: \(122+38=160\). 3. Neuer Durchschnitt: \(160:5=32\).

Der neue Punktedurchschnitt beträgt \(32\) Punkte.

- Lies für jede der sechs Stationen den Säulenwert ab und notiere alle sechs Werte. - Für den Durchschnitt brauchst du die Summe aller kontrollierten fehlerfreien Teile. - Teile diese Summe durch die Anzahl der Stationen.

1. Aus dem Diagramm liest man die Werte \(14;18;13;17;17;11\) ab. 2. Die Summe ist \(14+18+13+17+17+11=90\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(90:6=15\).

Im Durchschnitt sind es \(15\) fehlerfreie Teile pro Station.

- Beachte die Vorzeichen beim Addieren der Abweichungen. - Positive und negative Abweichungen können sich teilweise ausgleichen. - Teile die Summe anschließend durch die Anzahl der Messwerte.

1. Die Summe der Abweichungen ist \(-3-1+2+4-2+0+7=7\). 2. Es gibt \(7\) Messwerte. 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(7:7=1\). Die mittlere Abweichung beträgt also \(1\,^\circ\text{C}\).

Die mittlere Abweichung beträgt \(1\,^\circ\text{C}\).

- Achte beim Addieren auf das Dezimalkomma. - Runde erst nach der Division. - Kontrolliere, zwischen welchen Messwerten das Ergebnis liegen muss.

1. Summe der Zeiten: \(72{,}6\) Minuten. 2. Mittelwert: \(72{,}6:6=12{,}1\) Minuten. 3. Auf eine Dezimalstelle gerundet: \(12{,}1\) Minuten.

Die durchschnittliche Aufbauzeit beträgt gerundet \(12{,}1\,\text{min}\).

- Vergleiche zuerst die Gruppengrößen. - Gleiche Gruppengrößen bedeuten gleiche Gewichte. - Prüfe das Ergebnis auch über die Gesamtsummen.

1. Beide Gruppenmittel vertreten gleich viele Personen. 2. Daher dürfen die beiden Mittelwerte gleich gewichtet werden. 3. Gemeinsamer Mittelwert: \((7{,}2+8{,}4):2=7{,}8\) Stunden. 4. Die Rechnung über die Gesamtsummen liefert ebenfalls \(7{,}8\) Stunden.

Ja. Wegen der gleichen Gruppengrößen beträgt der gemeinsame Durchschnitt \(7{,}8\,\text{h}\) pro Monat.

- Stelle dir vor, alle Kanister kämen zuerst in einen gemeinsamen Vorrat. - Welche Rechnung beschreibt anschließend eine gleichmäßige Verteilung auf fünf Teams? - Überlege, welcher Mittelwert genau die Bedeutung „gleicher Anteil nach Umverteilung“ hat.

1. Insgesamt gibt es \(2+5+7+10+16=40\) Kanister. 2. Bei gleichmäßiger Verteilung erhält jedes der fünf Teams \(40:5=8\) Kanister. 3. Diese Ausgleichszahl ist das arithmetische Mittel. Der Median der ursprünglichen Daten ist dagegen \(7\) und beschreibt die Umverteilung nicht.

a) \(8\) Kanister b) Das arithmetische Mittel.

- Welche Gesamtzahl von Äpfeln bleibt beim Umverteilen unverändert? - Was bedeutet „gleichmäßig auf vier Körbe verteilt“ für die Anzahl pro Korb? - Vergleiche danach jeden Ausgangswert mit der gemeinsamen Zielzahl und trenne fehlende von überschüssigen Äpfeln.

1. Insgesamt liegen \(6+8+11+15=40\) Äpfel in den vier Körben. 2. Bei gleichmäßiger Verteilung erhält jeder Korb \(40:4=10\) Äpfel. Dieser Wert ist zugleich das arithmetische Mittel \(\bar{x}=10\). 3. Gegenüber \(10\) fehlen in den ersten beiden Körben \(4\) und \(2\) Äpfel, zusammen \(6\). In den beiden anderen Körben liegen \(1\) und \(5\) Äpfel mehr, ebenfalls zusammen \(6\). 4. Die positiven und negativen Abweichungen vom Mittelwert gleichen sich daher aus; ihre Summe ist \(0\).

a) In jedem Korb liegen nach der Umverteilung \(10\) Äpfel. b) Die Abweichungen von \(10\) sind \(-4,-2,+1,+5\). Die fehlenden \(6\) Äpfel entsprechen genau den überschüssigen \(6\) Äpfeln, daher ist die Summe der Abweichungen \(0\).

- Wie groß muss die Gesamtsumme aller Werte sein, wenn du den gewünschten Durchschnitt und die Anzahl der Werte kennst? - Vergleiche die benötigte Gesamtsumme für sechs Tage mit der Summe der ersten fünf Tage.

1. Berechnung des Durchschnitts für a): Summe der Werte \(14 + 17 + 13 + 16 + 15 = 75\). Division durch die Anzahl der Tage: \(75 : 5 = 15\). Der Durchschnitt beträgt \(15\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung für b): Damit der Durchschnitt von sechs Tagen \(16\,^\circ\text{C}\) beträgt, muss die Summe der sechs Temperaturwerte \(6 \cdot 16 = 96\) betragen. 3. Bestimmung des fehlenden Wertes: Die Summe der bisherigen fünf Temperaturwerte ist \(75\). Die Differenz ist \(96 - 75 = 21\). Am sechsten Tag müssen \(21\,^\circ\text{C}\) gemessen werden.

a) \(15\,^\circ\text{C}\) b) \(21\,^\circ\text{C}\)

- Für a) hängt die Gesamtsumme mit Anzahl und Durchschnitt zusammen. - Für b) kommt genau ein neuer Wert zur bisherigen Summe hinzu. - Betrachte bei c) den Zielwert \(18\) als Nulllinie für Abweichungen. - Welche positive Abweichung hat das fünfte Spiel gegenüber \(18\), und welche negative Abweichung muss sie ausgleichen?

1. In den ersten vier Spielen beträgt die Gesamtsumme \(4\cdot18=72\) Punkte. 2. Nach dem fünften Spiel beträgt die Summe \(72+28=100\) Punkte; der Durchschnitt ist \(100:5=20\) Punkte. 3. Für c) wird der Zielwert \(18\) als Bezug genommen. Das fünfte Spiel liegt mit \(28-18=10\) Punkten um \(10\) Punkte über dem Zielwert. 4. Damit die Abweichungen vom Zielwert nach dem sechsten Spiel wieder ausgeglichen sind, muss das sechste Spiel um \(10\) Punkte unter \(18\) liegen. 5. Daher werden im sechsten Spiel \(18-10=8\) Punkte benötigt.

a) \(72\) Punkte b) \(20\) Punkte c) \(8\) Punkte. Das fünfte Spiel liegt \(10\) Punkte über dem Zielwert \(18\); deshalb muss das sechste Spiel \(10\) Punkte darunter liegen.

- Überlege zuerst, wie viele einzelne Beobachtungen hinter der Häufigkeitstabelle stehen. - Wie kannst du aus einem Wert und seiner Häufigkeit den Beitrag dieses Werts zur Gesamtsumme bestimmen? - Prüfe bei der vorgeschlagenen Rechnung in b), ob jede Person gleich stark in den Durchschnitt eingeht.

1. Insgesamt haben \(3+7+8+5+2=25\) Jugendliche teilgenommen. 2. Die Gesamtzahl der Körbe ist \(4\cdot3+6\cdot7+10\cdot8+12\cdot5+15\cdot2=224\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(224:25=8{,}96\) Körbe pro Person. 4. Die fünf Korbzahlen treten unterschiedlich oft auf. Deshalb müssen sie entsprechend ihren Häufigkeiten berücksichtigt werden; der Ausdruck mit nur fünf Summanden würde jede Korbzahl fälschlich gleich stark gewichten.

a) Das arithmetische Mittel beträgt \(8{,}96\) Körbe pro Person. b) Die Korbzahlen kommen unterschiedlich häufig vor. Deshalb müssen die Häufigkeiten beim Mittelwert mitberücksichtigt werden.

- Berechne für alle sechs vorgegebenen Werte den Termwert oder trage eine passende Formel in eine Tabellenkalkulation ein. - Nutze, dass \(x^2\) für \(x\) und \(-x\) denselben Wert hat. - Addiere die sechs Termwerte und teile die Summe anschließend durch \(6\).

1. Für \(x=-2,-1{,}5,-0{,}5,0{,}5,1{,}5,2\) ergeben sich die Termwerte \(1{,}5\), \(-1{,}125\), \(-4{,}125\), \(-4{,}125\), \(-1{,}125\), \(1{,}5\). 2. Ihre Summe ist \(-7{,}5\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(-7{,}5:6=-1{,}25\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(-1{,}25\).

- Wie berechnet man die Summe aller Werte, wenn man den Durchschnitt und die Anzahl der Werte kennt? - Überlege, wie man den Gesamtdurchschnitt aus einer Gesamtsumme und einer Gesamtanzahl bildet. - Was passiert im Bruch, wenn du im Zähler eine Variable ausklammern kannst, die auch im Nenner steht?

1. Berechnung der Gesamtpunkte von Gruppe A: Das Produkt aus der Anzahl der Personen \(n\) und dem Durchschnitt \(a\) ergibt \(na\). 2. Berechnung der Gesamtpunkte von Gruppe B: Das Produkt aus der Anzahl der Personen \(m\) und dem Durchschnitt \(b\) ergibt \(mb\). 3. Gesamtsumme der Punkte: Addition der Teilergebnisse führt zu \(na + mb\). 4. Gesamtzahl der Teilnehmer: Addition der Personenanzahl beider Gruppen ergibt \(n + m\). 5. Gesamtdurchschnitt: Division der Gesamtpunkte durch die Gesamtanzahl der Teilnehmer ergibt den Term \(\frac{na + mb}{n + m}\). 6. Spezialfall \(n = m\): Einsetzen von \(n\) für \(m\) ergibt \(\frac{na + nb}{n + n} = \frac{n(a + b)}{2n}\). Durch Kürzen von \(n\) erhält man \(\frac{a + b}{2}\), was dem arithmetischen Mittel der beiden Gruppendurchschnitte entspricht.

a) \(na + mb\) b) \(\frac{na + mb}{n + m}\) c) \(\frac{a+b}{2}\) (arithmetisches Mittel)

- Lies aus dem Punktdiagramm ab, wie oft jeder Taschengeldbetrag vorkommt. - Überlege, wie du aus den Beträgen und ihren Häufigkeiten die Gesamtsumme aller Taschengeldzahlungen erhältst. - Muss ein Durchschnitt immer einer der ursprünglichen Einzelwerte sein?

1. Aus dem Diagramm ergeben sich \(3+5+6+4+2=20\) Jugendliche. 2. Die Summe aller Taschengeldbeträge ist \(3\cdot10\,\text{€}+5\cdot15\,\text{€}+6\cdot20\,\text{€}+4\cdot25\,\text{€}+2\cdot30\,\text{€}=385\,\text{€}\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(385\,\text{€}:20=19{,}25\,\text{€}\). 4. Ein arithmetisches Mittel beschreibt einen rechnerischen Ausgleichswert. Es muss nicht selbst als beobachteter Einzelwert vorkommen.

a) Das arithmetische Mittel beträgt \(19{,}25\,\text{€}\). b) Ein arithmetisches Mittel muss kein tatsächlich beobachteter Wert sein; es ist der rechnerische Ausgleichswert der Daten.

- Wie berechnet man das arithmetische Mittel einer Reihe von Werten? - Lies die Säulenhöhen sorgfältig an der Skala ab und achte besonders auf die Vorzeichen. - Durch welche Anzahl musst du die Summe aller Tageswerte teilen?

1. Addiere die sieben Abweichungen aus dem Diagramm: \(12+8+(-4)+(-10)+(-15)+(-3)+5=-7\,\text{cm}\). 2. Teile die Summe durch die Anzahl der Tage: \((-7):7=-1\,\text{cm}\). 3. Das arithmetische Mittel der Abweichungen beträgt \(-1\,\text{cm}\).

Das arithmetische Mittel der Abweichungen beträgt \(-1\,\text{cm}\).

- Lies zuerst die Werte für jeden der fünf Tage sorgfältig aus dem Diagramm ab. - Wie berechnet man im Allgemeinen den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen? - Wenn du den Durchschnitt für sechs Tage kennst, wie kannst du daraus die Gesamtsumme der Stunden für diese sechs Tage bestimmen? - Wie hilft dir der Vergleich der Gesamtsumme für fünf Tage und der Gesamtsumme für sechs Tage, den Wert für den Samstag zu finden?

1. Lies die Werte für die fünf Tage aus dem Diagramm ab: Montag: \(6\,\text{h}\), Dienstag: \(8\,\text{h}\), Mittwoch: \(4\,\text{h}\), Donnerstag: \(9\,\text{h}\), Freitag: \(3\,\text{h}\). 2. Berechne die Summe der Sonnenscheinstunden von Montag bis Freitag: \(6 + 8 + 4 + 9 + 3 = 30\) Stunden. 3. Berechne das arithmetische Mittel für diese 5 Tage: \(\frac{30}{5} = 6\) Stunden pro Tag. 4. Berechne die benötigte Gesamtsumme der Stunden für 6 Tage, um einen Durchschnitt von \(6{,}5\) Stunden zu erreichen: \(6 \cdot 6{,}5 = 39\) Stunden. 5. Ziehe die Summe der ersten 5 Tage von der Gesamtsumme für 6 Tage ab, um die Stunden für Samstag zu erhalten: \(39 - 30 = 9\) Stunden.

a) Die durchschnittliche Sonnenscheindauer beträgt \(6\) Stunden. b) Am Samstag schien die Sonne \(9\) Stunden.

- Wie liest man die einzelnen Werte aus einem Säulendiagramm ab? - Erinnere dich daran, wie man den Durchschnitt (das arithmetische Mittel) einer Gruppe von Zahlen berechnet. Welche Rechenschritte sind dafür nötig? - Wenn sich ein Wert verringert und ein anderer um denselben Betrag erhöht, was passiert dann mit der Gesamtsumme der Werte?

1. Zuerst liest man die Taschengeldbeträge der sechs Freunde aus dem Diagramm ab: - Anna: \(8\,\text{€}\) - Ben: \(12\,\text{€}\) - Clara: \(15\,\text{€}\) - David: \(6\,\text{€}\) - Emily: \(10\,\text{€}\) - Felix: \(9\,\text{€}\) Die Summe dieser Beträge ist: \(8 + 12 + 15 + 6 + 10 + 9 = 60\,\text{€}\). Da es sich um 6 Personen handelt, wird die Summe durch 6 geteilt, um das arithmetische Mittel zu berechnen: \(60\,\text{€} {:} 6 = 10\,\text{€}\). Das arithmetische Mittel beträgt somit \(10\,\text{€}\). 2. Wenn Clara \(3\,\text{€}\) weniger und David \(3\,\text{€}\) mehr bekäme, ändert sich die Gesamtsumme nicht, da sich die Verringerung und die Erhöhung gegenseitig ausgleichen (\(-3\,\text{€} + 3\,\text{€} = 0\,\text{€}\)). Da die Summe weiterhin \(60\,\text{€}\) beträgt und die Anzahl der Personen gleich bleibt, bleibt auch das arithmetische Mittel unverändert bei \(10\,\text{€}\). Felix hat also unrecht.

a) Das arithmetische Mittel des wöchentlichen Taschengelds beträgt \(10\,\text{€}\). b) Nein, Felix hat nicht recht. Da sich die Verringerung bei Clara und die Erhöhung bei David gegenseitig ausgleichen, bleibt die Gesamtsumme (\(60\,\text{€}\)) und damit auch das arithmetische Mittel (\(10\,\text{€}\)) unverändert.

- Lies die fünf Säulenwerte sorgfältig an der vertikalen Skala ab. - Für das arithmetische Mittel brauchst du die Summe aller betrachteten Erntemengen und deren Anzahl. - Überlege für b), welche Größe sich durch das sechste Jahr sowohl bei der Summe als auch bei der Anzahl der Werte ändert.

1. Aus dem Diagramm liest man \(45\,\text{kg}\), \(60\,\text{kg}\), \(40\,\text{kg}\), \(80\,\text{kg}\) und \(50\,\text{kg}\) ab. 2. Die Summe der ersten fünf Erntemengen beträgt \(45+60+40+80+50=275\,\text{kg}\). 3. Das arithmetische Mittel für fünf Jahre ist \(275\,\text{kg}:5=55\,\text{kg}\). 4. Mit dem sechsten Jahr beträgt die Gesamtsumme \(275\,\text{kg}+85\,\text{kg}=360\,\text{kg}\). 5. Das neue arithmetische Mittel ist \(360\,\text{kg}:6=60\,\text{kg}\).

a) Jahr 1: \(45\,\text{kg}\), Jahr 2: \(60\,\text{kg}\), Jahr 3: \(40\,\text{kg}\), Jahr 4: \(80\,\text{kg}\), Jahr 5: \(50\,\text{kg}\); arithmetisches Mittel: \(55\,\text{kg}\). b) Das neue arithmetische Mittel beträgt \(60\,\text{kg}\).

- Lies aus dem Punktdiagramm ab, wie oft jede Toranzahl vorkommt. - Wie kannst du daraus die Gesamtzahl aller Tore in den \(20\) Spielen bestimmen? - Welche ganzzahligen Toranzahlen liegen höchstens \(0{,}5\) vom berechneten Mittelwert entfernt?

1. Aus dem Diagramm liest man die Häufigkeiten \(4,7,5,3,1\) für \(0,1,2,3,4\) Tore ab. 2. Die Gesamtzahl der Tore ist \(0\cdot4+1\cdot7+2\cdot5+3\cdot3+4\cdot1=30\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(30:20=1{,}5\) Tore pro Spiel. 4. Eine Abweichung von höchstens \(0{,}5\) bedeutet hier eine Toranzahl von \(1\) oder \(2\). Dafür gibt es \(7+5=12\) Spiele.

a) \(1{,}5\) Tore pro Spiel b) \(12\) Spiele

- Lies ab, wie oft jede Wurfweite vorkommt, und addiere diese Häufigkeiten. - Für den Durchschnitt muss jede Wurfweite so oft berücksichtigt werden, wie sie im Diagramm vorkommt. - Überlege für c), was mit jedem einzelnen Summanden passiert, wenn alle Werte um denselben Betrag steigen.

1. Insgesamt sind es \(2+6+9+5+3=25\) Schülerinnen und Schüler. 2. Die Summe aller Wurfweiten beträgt \(10\cdot2+15\cdot6+20\cdot9+25\cdot5+30\cdot3=505\,\text{m}\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(505\,\text{m}:25=20{,}2\,\text{m}\). 4. Wenn jeder Einzelwert um \(3\,\text{m}\) steigt, steigt auch die Summe pro Person um denselben Betrag. Daher erhöht sich das arithmetische Mittel um \(3\,\text{m}\) auf \(23{,}2\,\text{m}\).

a) \(25\) Schülerinnen und Schüler b) \(20{,}2\,\text{m}\) c) Das arithmetische Mittel steigt um \(3\,\text{m}\) auf \(23{,}2\,\text{m}\).

- Addiere die Häufigkeiten, um die Zahl der befragten Jugendlichen zu erhalten. - Wie kannst du aus jeder Einheitenzahl und ihrer Häufigkeit die Gesamtsumme aller zusätzlichen Einheiten bestimmen? - Vergleiche für c) die möglichen ganzzahligen Einheitenzahlen mit deinem berechneten Mittelwert.

1. Die Gesamtzahl ist \(1+4+7+5+4+2+2=25\). 2. Insgesamt wurden \(0\cdot1+1\cdot4+2\cdot7+3\cdot5+4\cdot4+5\cdot2+6\cdot2=71\) zusätzliche Einheiten angegeben. 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(71:25=2{,}84\) Einheiten pro Woche. 4. Über \(2{,}84\) liegen die Werte \(3,4,5,6\). Die zugehörigen Häufigkeiten ergeben \(5+4+2+2=13\) Jugendliche.

a) \(25\) Jugendliche b) \(2{,}84\) Trainingseinheiten pro Woche c) \(13\) Jugendliche

- Addiere die Häufigkeiten, um die Gesamtzahl der Teilnehmenden zu erhalten. - Für b) suchst du den Wert mit der größten Häufigkeit im Punktdiagramm. - Für das arithmetische Mittel muss jede Nutzungsdauer so oft in die Gesamtsumme eingehen, wie sie vorkommt.

1. Insgesamt haben \(4+7+10+6+3=30\) Personen teilgenommen. 2. Die größte Häufigkeit gehört zu \(90\,\text{min}\); dieser Wert kommt \(10\)-mal vor. 3. Die Summe aller Nutzungszeiten ist \(30\cdot4+60\cdot7+90\cdot10+120\cdot6+150\cdot3=2610\,\text{min}\). 4. Das arithmetische Mittel beträgt \(2610\,\text{min}:30=87\,\text{min}\).

a) \(30\) Schülerinnen und Schüler b) \(90\,\text{min}\) c) \(87\,\text{min}\)

- Lies die Punktzahlen für jedes der fünf Mitglieder aus beiden Diagrammen ab. - Erinnere dich, wie man das arithmetische Mittel berechnet: Addiere alle Werte einer Gruppe und teile das Ergebnis durch die Anzahl der Werte. - Vergleiche die beiden berechneten Mittelwerte miteinander.

1. Berechnung des Durchschnitts für Gruppe A: Die Werte sind \(2\), \(4\), \(5\), \(5\) und \(9\). Die Summe beträgt \(2 + 4 + 5 + 5 + 9 = 25\). Das arithmetische Mittel ist \(25 {:} 5 = 5\). 2. Berechnung des Durchschnitts für Gruppe B: Die Werte sind \(3\), \(4\), \(6\), \(7\) und \(10\). Die Summe beträgt \(3 + 4 + 6 + 7 + 10 = 30\). Das arithmetische Mittel ist \(30 {:} 5 = 6\). 3. Vergleich: Da \(6 > 5\), ist der Punktedurchschnitt in Gruppe B höher.

Der Punktedurchschnitt ist in Gruppe B höher. (Gruppe A: \(5\) Punkte im Durchschnitt; Gruppe B: \(6\) Punkte im Durchschnitt).

- Beachte, dass manche Werte mehrfach vorkommen. - Du kannst gleiche Werte zusammenfassen, statt sie einzeln aufzuschreiben. - Kontrolliere zuerst die Gesamtzahl der Messungen.

1. Anzahl der Messungen: \(20\). 2. Gewichtete Summe: \(18\cdot 3+20\cdot 5+22\cdot 6+24\cdot 4+26\cdot 2=434\). 3. Mittelwert: \(434:20=21{,}7\) Schläge pro Minute.

Das arithmetische Mittel beträgt \(21{,}7\) Schläge pro Minute.

- Überlege, welche Gesamtsumme zum angegebenen Durchschnitt gehört. - Trenne bekannte und fehlende Anteile. - Setze deinen gefundenen Wert gedanklich wieder in die Reihe ein.

1. Erforderliche Gesamtdauer: \(7{,}8\cdot 6=46{,}8\) Minuten. 2. Summe der fünf bekannten Beiträge: \(38{,}5\) Minuten. 3. Fehlende Länge: \(46{,}8-38{,}5=8{,}3\) Minuten.

Der sechste Beitrag muss \(8{,}3\,\text{min}\) lang sein.

- Nutze den bekannten Durchschnitt, um die bisherige Summe zu erhalten. - Nur ein einzelner Summand muss berichtigt werden. - Die Anzahl der Messungen bleibt unverändert.

1. Falsche Gesamtsumme: \(46\cdot 6=276\) Minuten. 2. Korrektur der Summe: \(276-52+46=270\) Minuten. 3. Korrigierter Mittelwert: \(270:6=45\) Minuten.

Der korrigierte Mittelwert beträgt \(45\,\text{min}\).

- Die beiden Gruppen sind unterschiedlich groß. - Bestimme zunächst die jeweilige Gesamtmenge. - Teile am Ende durch die Gesamtzahl aller Personen.

1. Erste Gruppe: \(12\cdot 6{,}5=78\) Kilogramm. 2. Zweite Gruppe: \(18\cdot 8=144\) Kilogramm. 3. Zusammen: \(222\) Kilogramm bei \(30\) Personen. 4. Gemeinsamer Mittelwert: \(222:30=7{,}4\) Kilogramm.

Gemeinsam beträgt der Durchschnitt \(7{,}4\,\text{kg}\) pro Person.

- Lies die Werte auf der waagerechten Skala ab; übereinanderliegende Punkte stehen für wiederholte Messwerte. - Für den Mittelwert müssen alle acht Messungen gleich stark eingehen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis zwischen dem kleinsten und dem größten Pegelstand liegt.

1. Die abgelesenen Werte sind \(3{,}2\,\text{m}; 3{,}4\,\text{m}; 3{,}5\,\text{m}; 3{,}6\,\text{m}; 3{,}7\,\text{m}; 3{,}7\,\text{m}; 3{,}8\,\text{m}; 3{,}9\,\text{m}\). 2. Ihre Summe beträgt \(28{,}8\,\text{m}\). 3. Der Mittelwert ist \(28{,}8\,\text{m}:8=3{,}6\,\text{m}\).

Die Summe beträgt \(28{,}8\,\text{m}\). Der mittlere Pegelstand beträgt \(3{,}6\,\text{m}\).

- Lies für jede Punktzahl ab, wie oft sie vorkommt. - Wie kannst du Punktzahl und Häufigkeit zu ihrem Beitrag zur gesamten Punktesumme verbinden? - Durch welche Zahl musst du die Gesamtpunktzahl teilen?

1. Aus dem Diagramm liest man \(3\) Bewertungen mit \(1\), \(7\) mit \(2\), \(6\) mit \(3\) und \(4\) mit \(4\) Punkten ab. 2. Die Punktesumme ist \(3\cdot1+7\cdot2+6\cdot3+4\cdot4=51\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(51:20=2{,}55\) Punkte.

Die durchschnittliche Bewertung beträgt \(2{,}55\) Punkte.

- Die obere Zeile enthält Werte, die untere ihre Häufigkeiten. - Bestimme sowohl die Gesamtzahl der Personen als auch die Gesamtzahl der Runden. - Ein nicht-ganzzahliger Durchschnitt ist möglich.

1. Insgesamt liefen \(20\) Jugendliche mit. 2. Gesamtrundenzahl: \(2\cdot 4+3\cdot 7+4\cdot 5+5\cdot 3+6\cdot 1=70\). 3. Durchschnitt: \(70:20=3{,}5\) Runden.

Die durchschnittliche Rundenzahl beträgt \(3{,}5\) Runden.

- Überlege, welche Bedeutung die zweite Tabellenzeile hat. - Prüfe, ob Maras Rechnung wirklich jede Person erfasst. - Schreibe gleiche Werte gedanklich so oft auf, wie sie vorkommen.

1. Maras Rechnung berücksichtigt jede Besuchszahl nur einmal und ignoriert die Häufigkeiten. 2. Gesamtzahl der Jugendlichen: \(20\). 3. Gesamtzahl der Besuche: \(40\). 4. Richtiger Durchschnitt: \(40:20=2\).

Mara hat die Häufigkeiten nicht berücksichtigt. Der richtige Durchschnitt beträgt \(2\) Besuche.

- Vergleiche die Gesamtsummen vor und nach der neunten Runde. - Der neue Durchschnitt gehört zu einer größeren Anzahl von Runden. - Die Differenz der beiden Gesamtsummen ist das neue Einzelergebnis.

1. Treffer nach acht Runden: \(15\cdot 8=120\). 2. Treffer nach neun Runden: \(16\cdot 9=144\). 3. Treffer in Runde neun: \(144-120=24\).

In der neunten Runde erzielt sie \(24\) Treffer.

- Zähle, wie oft jeder der beiden Durchschnittswerte in einer Woche gilt. - Bestimme die gesamte Wochenmenge. - Teile erst danach durch sieben Tage.

1. Der Werktagsmittelwert gilt für \(5\) Tage, der Wochenendmittelwert für \(2\) Tage. 2. Wochensumme: \(5\cdot 14+2\cdot 28=126\) Boote. 3. Tagesdurchschnitt: \(126:7=18\) Boote. 4. Toms Rechnung gewichtet beide Tagesarten fälschlich gleich.

Toms Rechnung ist falsch. Der Tagesdurchschnitt der Woche beträgt \(18\) Boote.

- Wie groß muss die Summe der fünf Zahlen sein, damit ihr Durchschnitt \(20\) beträgt? - An welcher Position steht der Median, wenn die fünf Zahlen der Größe nach geordnet sind? - Lege zuerst den Median fest und wähle dann die übrigen Zahlen so, dass die Gesamtsumme stimmt. - Ordne die Zahlen zur Kontrolle und prüfe, ob alle fünf Werte verschieden sind.

1. Festlegung der Struktur: Bei fünf sortierten Werten \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5\) ist der Median der mittlere Wert \(x_3 = 10\). 2. Bedingung für das Mittel: Die Summe der fünf Zahlen muss \(5 \cdot 20 = 100\) ergeben. 3. Wahl der Werte: Wir wählen zwei verschiedene Zahlen kleiner als \(10\), zum Beispiel \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). Die bisherige Summe ist \(1 + 2 + 10 = 13\). 4. Bestimmung der restlichen Werte: Die Summe von \(x_4\) und \(x_5\) muss \(100 - 13 = 87\) sein, wobei \(10 < x_4 < x_5\). Wir können zum Beispiel \(x_4 = 11\) wählen, woraus \(x_5 = 87 - 11 = 76\) folgt. 5. Überprüfung: Die Reihe lautet \(1, 2, 10, 11, 76\). Der Median ist \(10\). Das Mittel ist \((1 + 2 + 10 + 11 + 76) : 5 = 100 : 5 = 20\). Alle Zahlen sind verschieden und natürliche Zahlen.

Eine mögliche Datenreihe ist: \(1, 2, 10, 11, 76\). Rechnung: Median: Der mittlere Wert ist \(10\). Mittel: \((1 + 2 + 10 + 11 + 76) : 5 = 100 : 5 = 20\). Alle fünf Werte sind natürliche Zahlen und paarweise verschieden.

- Bestimme zuerst, welche Summe alle sieben Werte haben müssen. - Für zwei fehlende Werte ist nicht nur eine Lösung möglich. - Beachte alle Zusatzbedingungen.

1. Erforderliche Gesamtsumme: \(10\cdot 7=70\). 2. Summe der bekannten Werte: \(48\). 3. Die beiden fehlenden Werte müssen zusammen \(70-48=22\) ergeben. 4. Möglich sind zum Beispiel \(10\) und \(12\).

Mögliche fehlende Wertungen sind \(10\) und \(12\). Allgemein sind zwei verschiedene ganze Zahlen zwischen \(5\) und \(15\) mit der Summe \(22\) möglich.

- Übersetze jeden angegebenen Mittelwert zuerst in eine Gesamtsumme. - Vergleiche die Gesamtsumme aller sechs Werte mit der Summe nach dem Streichen eines Werts. - Bearbeite das Streichen des größten und des kleinsten Werts getrennt.

1. Die Summe aller sechs Werte beträgt \(6\cdot14=84\). 2. Ohne den größten Wert beträgt die Summe der fünf übrigen Werte \(5\cdot12=60\). Der größte Wert ist daher \(84-60=24\). 3. Ohne den kleinsten Wert beträgt die Summe der fünf übrigen Werte \(5\cdot15=75\). Der kleinste Wert ist daher \(84-75=9\).

Der kleinste Messwert ist \(9\), der größte Messwert ist \(24\).

- Übersetze den alten und den gewünschten neuen Mittelwert in zwei Gesamtsummen. - Ordne die drei neuen Punktzahlen und nutze, was der vorgegebene Median über die mittlere der drei Zahlen erzwingt. - Verbinde anschließend die Summenbedingung mit den Grenzen \(10\) bis \(25\), statt Kombinationen einzeln zu testen.

1. Die ersten fünf Punktzahlen haben die Summe \(5\cdot12=60\). Für acht Runden mit Mittelwert \(15\) wird die Gesamtsumme \(8\cdot15=120\) benötigt. Die drei neuen Punktzahlen müssen daher zusammen \(60\) ergeben. 2. Ordnet man die drei neuen verschiedenen Punktzahlen als \(a<20<c\), erzwingt der Median \(20\) die mittlere Punktzahl \(20\). 3. Aus \(a+20+c=60\) folgt \(a+c=40\). 4. Wegen \(c\leq25\) gilt \(a\geq15\). Außerdem gilt \(a<20\). Somit sind für \(a\) genau die ganzen Werte \(15,16,17,18,19\) möglich. 5. Dazu gehören die Paare \((a,c)=(15,25),(16,24),(17,23),(18,22),(19,21)\).

Möglich sind genau die fünf Mengen \(\{15,20,25\}\), \(\{16,20,24\}\), \(\{17,20,23\}\), \(\{18,20,22\}\) und \(\{19,20,21\}\).