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- Was ist der erste Schritt, um den Durchschnitt von Termwerten zu finden? - Wie berechnet man den Wert eines Terms für ein bestimmtes \(x\)? - Hast du alle berechneten Werte addiert? - Durch welche Zahl musst du am Ende teilen?

1. Berechnung der einzelnen Termwerte: \(T(1) = 1^2 + 5 = 6\), \(T(2) = 2^2 + 5 = 9\), \(T(3) = 3^2 + 5 = 14\), \(T(4) = 4^2 + 5 = 21\), \(T(5) = 5^2 + 5 = 30\). 2. Addition der fünf Termwerte: \(6 + 9 + 14 + 21 + 30 = 80\). 3. Division der Summe durch die Anzahl der Werte (\(5\)): \(80 : 5 = 16\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(16\).

- Wie berechnet man den Durchschnitt von zwei Werten? - Stell dir die Zahlen auf einer Geraden vor. Wo muss der Punkt liegen, der von beiden gleich weit entfernt ist? - Achte bei den Rechnungen besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung für a): \(\frac{12{,}4 + 18{,}6}{2} = \frac{31}{2} = 15{,}5\). 2. Berechnung für b): \(\frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\). 3. Berechnung für c): \(\frac{-\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{2}{4}}{2} = \frac{1}{4}\) (oder \(0{,}25\)). 4. Berechnung für d): \(\frac{-2{,}5 + (-7{,}5)}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).

a) \(15{,}5\) b) \(-1\) c) \(\frac{1}{4}\) (oder \(0{,}25\)) d) \(-5\)

- Kannst du die Symmetrie des Terms \(x^2\) nutzen, um Rechenzeit zu sparen? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Quadrieren negativer Zahlen. - Wie viele Werte fließen in die Berechnung des Mittels ein?

1. Berechnung der Termwerte für die sechs gegebenen Stellen: \(T(-2) = 1{,}5 \cdot (-2)^2 - 4{,}5 = 6 - 4{,}5 = 1{,}5\) \(T(-1{,}5) = 1{,}5 \cdot (-1{,}5)^2 - 4{,}5 = 1{,}5 \cdot 2{,}25 - 4{,}5 = 3{,}375 - 4{,}5 = -1{,}125\) \(T(-0{,}5) = 1{,}5 \cdot (-0{,}5)^2 - 4{,}5 = 1{,}5 \cdot 0{,}25 - 4{,}5 = 0{,}375 - 4{,}5 = -4{,}125\) \(T(0{,}5) = -4{,}125\) (wegen Symmetrie von \(x^2\)) \(T(1{,}5) = -1{,}125\) \(T(2) = 1{,}5\) 2. Summe der Termwerte bilden: \(1{,}5 + (-1{,}125) + (-4{,}125) + (-4{,}125) + (-1{,}125) + 1{,}5 = -7{,}5\). 3. Arithmetisches Mittel berechnen: \(-7{,}5 : 6 = -1{,}25\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(-1{,}25\).

- Wie groß muss die Gesamtsumme aller Werte sein, wenn du den gewünschten Durchschnitt und die Anzahl der Werte kennst? - Vergleiche die benötigte Gesamtsumme für sechs Tage mit der Summe der ersten fünf Tage.

1. Berechnung des Durchschnitts für a): Summe der Werte \(14 + 17 + 13 + 16 + 15 = 75\). Division durch die Anzahl der Tage: \(75 : 5 = 15\). Der Durchschnitt beträgt \(15\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung für b): Damit der Durchschnitt von sechs Tagen \(16\,^\circ\text{C}\) beträgt, muss die Summe der sechs Temperaturwerte \(6 \cdot 16 = 96\) betragen. 3. Bestimmung des fehlenden Wertes: Die Summe der bisherigen fünf Temperaturwerte ist \(75\). Die Differenz ist \(96 - 75 = 21\). Am sechsten Tag müssen \(21\,^\circ\text{C}\) gemessen werden.

a) \(15\,^\circ\text{C}\) b) \(21\,^\circ\text{C}\)

- Wenn du den Durchschnitt kennst, wie kommst du auf die Gesamtsumme aller Werte? - Überlege dir für Teil c), wie viel „Überschuss“ die Spielerin durch das gute fünfte Spiel im Vergleich zum alten Durchschnitt angesammelt hat. - Was passiert mit dem Durchschnitt, wenn ein neuer Wert genau dem aktuellen Durchschnitt entspricht? Was, wenn er kleiner ist?

1. Berechnung für a): Da der Durchschnitt \(18\) Punkte bei \(4\) Spielen beträgt, ist die Gesamtsumme \(4 \cdot 18 = 72\) Punkte. 2. Berechnung für b): Neue Gesamtsumme nach dem 5. Spiel: \(72 + 28 = 100\). Neuer Durchschnitt: \(100 : 5 = 20\) Punkte. 3. Lösung für c): Wenn der Durchschnitt von \(5\) Spielen bei \(20\) liegt und nach dem 6. Spiel wieder \(18\) betragen soll, muss der Wert des 6. Spiels so gewählt werden, dass er den Durchschnitt „nach unten zieht“. 4. Logische Begründung: Um den Durchschnitt von \(18\) zu halten, müsste sie im 5. Spiel \(18\) Punkte erzielt haben. Da sie aber \(10\) Punkte mehr erzielt hat (\(28\) statt \(18\)), muss sie im 6. Spiel \(10\) Punkte weniger als den Zieldurchschnitt erzielen, also \(18 - 10 = 8\) Punkte. (Rechnerische Prüfung: Gesamtsumme für Schnitt \(18\) bei \(6\) Spielen ist \(6 \cdot 18 = 108\). Aktuelle Summe ist \(100\). Differenz: \(108 - 100 = 8\).)

a) \(72\) Punkte b) \(20\) Punkte c) \(8\) Punkte. Begründung: Im 5. Spiel hat sie \(10\) Punkte mehr als den gewünschten Durchschnitt von \(18\) erzielt. Um dies auszugleichen, muss sie im 6. Spiel \(10\) Punkte weniger als \(18\) erzielen.

- Wie viele Jugendliche haben insgesamt an der AG teilgenommen? - Was ist der Unterschied zwischen dem kleinsten und dem größten Wert? - Wenn du alle Jugendlichen der Reihe nach aufstellen würdest, wer stünde genau in der Mitte? - Wie berechnet man die Gesamtsumme aller Körbe, wenn man eine Häufigkeitstabelle nutzt?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Jugendlichen (\(n\)): \(n = 3 + 7 + 8 + 5 + 2 = 25\). 2. Berechnung des arithmetischen Mittels: Summe aller Körbe: \((4 \cdot 3) + (6 \cdot 7) + (10 \cdot 8) + (12 \cdot 5) + (15 \cdot 2) = 12 + 42 + 80 + 60 + 30 = 224\). Arithmetisches Mittel: \(\frac{224}{25} = 8{,}96\). 3. Berechnung der Spannweite: \(\text{Maximum} - \text{Minimum} = 15 - 4 = 11\). 4. Bestimmung des Zentralwerts (Medians): Bei \(25\) Werten ist der Zentralwert der \(13.\) Wert der geordneten Liste. Kumulierte Häufigkeiten: bis \(4\) Körbe (3 Personen), bis \(6\) Körbe (\(3+7=10\) Personen), bis \(10\) Körbe (\(10+8=18\) Personen). Der \(13.\) Wert liegt somit in der Kategorie „\(10\) Körbe“. Zentralwert: \(10\).

a) Das arithmetische Mittel beträgt \(8{,}96\) Körbe. b) Die Spannweite beträgt \(11\) Körbe. c) Der Zentralwert (Median) liegt bei \(10\) Körben.

- Berechne zuerst alle fünf Werte einzeln und bestimme dann ihren Durchschnitt. - Was ist der Unterschied zwischen dem Mittelwert der Funktionswerte und dem Funktionswert am Mittelwert der \(x\)-Werte? - Achte beim Vergleichen der Werte auf die Abstände auf der Zahlengeraden.

1. Berechnung der Funktionswerte für Teil a): \(f(-4) = 0{,}5 \cdot 16 - 2 = 6\) \(f(-2) = 0{,}5 \cdot 4 - 2 = 0\) \(f(0) = 0{,}5 \cdot 0 - 2 = -2\) \(f(2) = 0\) \(f(4) = 6\) 2. Summe der Werte: \(6 + 0 + (-2) + 0 + 6 = 10\). 3. Arithmetisches Mittel: \(10 : 5 = 2\). 4. Teil b): Der Funktionswert an der Stelle \(x=0\) ist \(f(0) = -2\). 5. Differenz berechnen: \(2 - (-2) = 4\). Das Mittel der Funktionswerte liegt um \(4\) über dem Funktionswert am Mittelwert der \(x\)-Werte.

a) Das arithmetische Mittel der Funktionswerte ist \(2\). b) Der Funktionswert an der Stelle \(x=0\) ist \(-2\). Das Mittel der Funktionswerte weicht um \(4\) von \(f(0)\) ab.

- Wie groß muss die Summe der fünf Zahlen sein, damit ihr Durchschnitt \(20\) beträgt? - An welcher Position steht der Median, wenn die fünf Zahlen der Größe nach geordnet sind? - Lege zuerst den Median fest und wähle dann die übrigen Zahlen so, dass die Gesamtsumme stimmt. - Ordne die Zahlen zur Kontrolle und prüfe, ob alle fünf Werte verschieden sind.

1. Festlegung der Struktur: Bei fünf sortierten Werten \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5\) ist der Median der mittlere Wert \(x_3 = 10\). 2. Bedingung für das Mittel: Die Summe der fünf Zahlen muss \(5 \cdot 20 = 100\) ergeben. 3. Wahl der Werte: Wir wählen zwei verschiedene Zahlen kleiner als \(10\), zum Beispiel \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). Die bisherige Summe ist \(1 + 2 + 10 = 13\). 4. Bestimmung der restlichen Werte: Die Summe von \(x_4\) und \(x_5\) muss \(100 - 13 = 87\) sein, wobei \(10 < x_4 < x_5\). Wir können zum Beispiel \(x_4 = 11\) wählen, woraus \(x_5 = 87 - 11 = 76\) folgt. 5. Überprüfung: Die Reihe lautet \(1, 2, 10, 11, 76\). Der Median ist \(10\). Das Mittel ist \((1 + 2 + 10 + 11 + 76) : 5 = 100 : 5 = 20\). Alle Zahlen sind verschieden und natürliche Zahlen.

Eine mögliche Datenreihe ist: \(1, 2, 10, 11, 76\). Rechnung: Median: Der mittlere Wert ist \(10\). Mittel: \((1 + 2 + 10 + 11 + 76) : 5 = 100 : 5 = 20\). Alle fünf Werte sind natürliche Zahlen und paarweise verschieden.