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- Suche zuerst nur den kleinsten und den größten Wert. - Die Reihenfolge der übrigen Werte ist für diese Frage nicht wichtig. - Achte auf die Einheit.

1. Kleinster Wert: \(1{,}8\) Meter. 2. Größter Wert: \(3\) Meter. 3. Spannweite: \(3-1{,}8=1{,}2\) Meter.

Die Spannweite beträgt \(1{,}2\,\text{m}\).

- Offene Kreise und Endstriche der Whisker sind verschiedene Symbole. - Lies jede Position an der Achse ab. - Das Kreuz gehört nicht zu den gesuchten Werten.

1. Offene Kreise außerhalb der Whisker liegen bei \(10\) Dezibel und \(55\) Dezibel. 2. Der linke Whisker endet bei \(20\) Dezibel. 3. Der rechte Whisker endet bei \(50\) Dezibel.

Außerhalb der Whisker liegen \(10\,\text{dB}\) und \(55\,\text{dB}\). Die Whisker-Endpunkte sind \(20\,\text{dB}\) und \(50\,\text{dB}\).

- Überlege, wie Minimum, Maximum und Spannweite zusammenhängen. - Arbeite von der gegebenen Differenz rückwärts. - Kontrolliere das Ergebnis durch Subtraktion.

1. Die Spannweite ist die Differenz aus größtem und kleinstem Wert. 2. Größter Wert: \(7{,}5+12{,}8=20{,}3\).

Der größte Wert ist \(20{,}3\).

- Sortiere die Temperaturen zuerst der Größe nach. Das hilft bei fast allen Teilaufgaben. - Wie berechnet man den Median, wenn es eine gerade Anzahl an Messwerten gibt? - Was gibt die Spannweite über die Streuung der Daten an? - Ändert ein neuer Höchstwert auch den niedrigsten Wert der Liste?

1. Berechnung des arithmetischen Mittels: Summe: \(18+19+21+18+20+22+19+25+20+18+19+21+22+23 = 285\). Mittelwert: \(\frac{285}{14} \approx 20{,}36\,\text{°C}\). 2. Bestimmung des Zentralwerts (Medians): Geordnete Liste: \(18; 18; 18; 19; 19; 19; 20; 20; 21; 21; 22; 22; 23; 25\). Bei \(14\) Werten liegt der Median zwischen dem \(7.\) und \(8.\) Wert. Beide Werte sind \(20\). Zentralwert: \(20\,\text{°C}\). 3. Berechnung der Spannweite: Maximum (\(25\)) \(-\) Minimum (\(18\)) \(= 7\,\text{°C}\). 4. Änderung der Spannweite: Neues Maximum ist \(30\), Minimum bleibt \(18\). Neue Spannweite: \(30 - 18 = 12\,\text{°C}\). Die Spannweite vergrößert sich um \(5\,\text{°C}\).

a) Arithmetisches Mittel: ca. \(20{,}36\,\text{°C}\); Zentralwert: \(20\,\text{°C}\). b) Spannweite: \(7\,\text{°C}\). c) Die Spannweite würde auf \(12\,\text{°C}\) ansteigen (Zunahme um \(5\,\text{°C}\)).

- Lies die Werte für jeden Monat sorgfältig aus dem Diagramm ab. Achte dabei auf die Vorzeichen (Gewinn oder Verlust). - Erinnere dich daran, wie man den Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert eines Datensatzes nennt. - Um das Gesamtergebnis zu berechnen, addiere alle positiven und negativen Monatswerte.

1. Gewinnmonate sind die Monate mit positiven Werten: Januar (\(400\,\text{€}\)), April (\(100\,\text{€}\)) und Mai (\(500\,\text{€}\)). Verlustmonate sind die Monate mit negativen Werten: Februar (\(-200\,\text{€}\)), März (\(-300\,\text{€}\)) und Juni (\(-100\,\text{€}\)). 2. Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten Gewinn und dem größten Verlust: \(\text{Spannweite} = 500\,\text{€} - (-300\,\text{€}) = 800\,\text{€}\). 3. Das Gesamtergebnis ist die Summe aller Werte: \(400\,\text{€} + (-200\,\text{€}) + (-300\,\text{€}) + 100\,\text{€} + 500\,\text{€} + (-100\,\text{€}) = 400\,\text{€}\). Die Schülerfirma hat im ersten Halbjahr insgesamt einen Gewinn von \(400\,\text{€}\) erzielt.

a) Gewinn im Januar, April und Mai; Verlust im Februar, März und Juni. b) Die Spannweite beträgt \(800\,\text{€}\). c) Das Gesamtergebnis ist ein Gewinn von \(400\,\text{€}\).

- Ein Boxplot besteht aus fünf markanten Punkten. Weißt du, welche Kennwerte sie darstellen? - Wo startet die „Box“ und wo endet sie? - Wenn \(75\,\%\) der Werte kleiner oder gleich einem bestimmten Wert sind, welches Quartil suchen wir dann? - Erinnere dich, dass der Interquartilsabstand die Breite der Box beschreibt.

1. Ablesen des Minimums: Das linke Ende der Antenne markiert die kürzeste Lieferzeit bei \(15\,\text{min}\). 2. Ablesen des Medians: Der senkrechte Strich innerhalb der Box zeigt den Median bei \(30\,\text{min}\). 3. Bestimmen des oberen Quartils (\(Q_3\)): Das rechte Ende der Box liegt bei \(40\,\text{min}\). Mindestens \(75\,\%\) der Lieferzeiten sind höchstens so lang. 4. Berechnung des IQA: Der IQA ist die Differenz zwischen dem oberen Quartil (\(40\,\text{min}\)) und dem unteren Quartil (\(Q_1 = 20\,\text{min}\)): \(40 - 20 = 20\,\text{min}\).

a) Die kürzeste Lieferzeit beträgt \(15\,\text{min}\). b) Der Median liegt bei \(30\,\text{min}\). c) Mindestens \(75\,\%\) der Lieferzeiten betragen höchstens \(40\,\text{min}\). d) Der Interquartilsabstand beträgt \(20\,\text{min}\) (\(40 - 20 = 20\)).

- Welche Linien begrenzen die Box eines Boxplots nach oben und unten? - Welche Datenmenge wird durch die Box in der Mitte repräsentiert? - Wie berechnet man die Spannweite aus dem Minimum und dem Maximum? - Achte darauf, die Werte auf der vertikalen Achse genau abzulesen.

a) Ablesen der Quartile für 8A: Die Box wird unten durch \(Q_1 = 2\) und oben durch \(Q_3 = 8\) begrenzt. b) Bestimmung der mittleren \(50\,\%\) für 8B: Die mittleren \(50\,\%\) liegen innerhalb der Box. In Klasse 8B reicht die Box von \(Q_1 = 4\) bis \(Q_3 = 7\). Somit haben diese Jugendlichen mindestens \(4\) und höchstens \(7\) Bücher gelesen. c) Berechnung der Spannweiten: Spannweite 8A = \(20 - 0 = 20\). Spannweite 8B = \(12 - 1 = 11\). Die Spannweite in Klasse 8A ist größer. Die Differenz beträgt \(20 - 11 = 9\).

a) Für Klasse 8A gilt: \(Q_1 = 2\) und \(Q_3 = 8\). b) Die mittleren \(50\,\%\) in Klasse 8B haben mindestens \(4\) und höchstens \(7\) Bücher gelesen. c) Die Spannweite in Klasse 8A ist größer. Die Differenz der Spannweiten beträgt \(9\) Bücher.

- Welche Kennwerte begrenzen die „Box“ in der Mitte des Diagramms? - Wie berechnet man den Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Quartil? - Überlege dir, wie viel Prozent der Daten jeweils unterhalb von \(Q_1\), unterhalb des Medians und unterhalb von \(Q_3\) liegen.

a) Grenzen der Box ablesen: Das untere Quartil \(Q_1\) liegt bei \(6\,\text{h}\), das obere Quartil \(Q_3\) bei \(11\,\text{h}\). Die mittleren \(50\,\%\) der Batterien hatten also eine Laufzeit zwischen \(6\) und \(11\) Stunden. b) Quartilsabstand berechnen: \(Q_3 - Q_1 = 11\,\text{h} - 6\,\text{h} = 5\,\text{h}\). c) Mindestanteil bestimmen: Da \(6\) Stunden dem unteren Quartil \(Q_1\) entsprechen, liegen mindestens \(75\,\%\) der Werte bei \(6\) Stunden oder darüber.

a) Die mittleren \(50\,\%\) der Batterien liefen mindestens \(6\) Stunden und höchstens \(11\) Stunden. b) Der Quartilsabstand beträgt \(5\) Stunden. c) Mindestens \(75\,\%\) der Batterien hielten mindestens \(6\) Stunden durch.

- Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. - Wo befinden sich Minimum und Maximum an den „Antennen“ des Boxplots?

1. Ablesen von Minimum und Maximum aus den Boxplots: - Dienst A: Minimum \(15\), Maximum \(60\). - Dienst B: Minimum \(20\), Maximum \(45\). 2. Berechnung der Spannweite (Maximum minus Minimum): - Dienst A: \(60 - 15 = 45\,\text{Minuten}\). - Dienst B: \(45 - 20 = 25\,\text{Minuten}\). 3. Vergleich: Dienst B hat mit \(25\,\text{Minuten}\) eine deutlich kleinere Spannweite als Dienst A (\(45\,\text{Minuten}\)).

Die Spannweite beträgt für Dienst A \(45\,\text{Minuten}\) und für Dienst B \(25\,\text{Minuten}\). Dienst B liefert innerhalb eines kleineren Zeitfensters aus.

- Ordne jedem Symbol im Boxplot seine Bedeutung zu. - Lies die Werte nur an den beschrifteten Achsenmarken ab. - Trenne Whisker-Endpunkte und offene Kreise.

1. Whisker-Endpunkte: \(15\) Sekunden und \(55\) Sekunden. 2. Quartile und Median: \(Q_1=25\), Median \(35\), \(Q_3=45\) Sekunden. 3. Ausreißer: \(5\) Sekunden und \(100\) Sekunden. 4. Mittelwert: \(40\) Sekunden.

a) \(15; 25; 35; 45; 55\) Sekunden. b) Ausreißer: \(5\) und \(100\) Sekunden; Mittelwert: \(40\) Sekunden.

- Lies die beiden Kanten der Box ab. - Die Whisker gehören nicht zur Boxlänge. - Überlege, welcher Anteil zwischen den Quartilen liegt.

1. Linke Boxkante: \(Q_1=15\) Punkte. 2. Rechte Boxkante: \(Q_3=40\) Punkte. 3. Boxlänge: \(40-15=25\) Punkte. 4. Zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) liegen die mittleren \(50\,\%\) der Ergebnisse.

Die Box ist \(25\) Punkte lang und umfasst die mittleren \(50\,\%\) der Ergebnisse.

- Ein Boxplot teilt die geordneten Daten in vier gleich große Bereiche. - Übertrage einen Viertelanteil auf die Gesamtzahl. - Die Zusatzangabe verhindert Mehrdeutigkeiten an den Grenzen.

1. Jede der vier durch Quartile getrennten Gruppen enthält ungefähr ein Viertel der Daten. 2. \(40:4=10\). 3. In jedem der vier genannten Bereiche liegen ungefähr \(10\) Messwerte.

In jedem der vier Bereiche liegen ungefähr \(10\) Messwerte.

- Bestimme in jeder Datenreihe neu den größten Wert. - Der kleinste Wert ändert sich hier nicht. - Vergleiche die beiden Ergebnisse.

1. Mit Ausreißer: \(42-11=31\). 2. Ohne Ausreißer ist \(18\) der größte Wert. 3. Ohne Ausreißer: \(18-11=7\).

Mit Ausreißer beträgt die Spannweite \(31\), ohne Ausreißer \(7\).

- Lies von unten nach oben. - Die Kanten der Box sind die Quartile. - Für die Spannweite verwendest du die beiden Whisker-Endpunkte.

1. Minimum \(4\), \(Q_1=10\), Median \(14\), \(Q_3=20\), Maximum \(26\) Zentimeter. 2. Spannweite: \(26-4=22\) Zentimeter.

Minimum \(4\), \(Q_1=10\), Median \(14\), \(Q_3=20\), Maximum \(26\) Zentimeter; Spannweite \(22\) Zentimeter.

- Schau dir den Boxplot genau an: Welche Kennzahlen für die Mitte und die Streuung kannst du dort sehen? - Was bedeutet der Strich in der Mitte der Box für deine Zahlenreihe? - Wenn du eine neue Zahl einfügst, wie berechnest du dann den neuen Wert, der genau in der Mitte liegt?

1. Aus dem Boxplot liest man \(\min=0{,}5\), \(Q_1=2{,}0\), \(\operatorname{Median}=4{,}0\), \(Q_3=5{,}0\) und \(\max=6{,}0\) ab. 2. Ergänzt man \(4{,}4\), sind die mittleren Werte der acht sortierten Daten \(3{,}6\) und \(4{,}4\). Daher ist der Median \(\frac{3{,}6+4{,}4}{2}=4{,}0\). 3. Die unteren vier Werte sind \(0{,}5;0{,}7;3{,}3;3{,}6\), also \(Q_1=\frac{0{,}7+3{,}3}{2}=2{,}0\). 4. Die oberen vier Werte sind \(4{,}4;4{,}8;5{,}2;6{,}0\), also \(Q_3=\frac{4{,}8+5{,}2}{2}=5{,}0\).

b) \(4{,}4\)

- Erinnere dich daran, welche Punkte im Boxplot für das Minimum, das Maximum und die drei Quartile stehen. - Wie berechnet man die Spannweite und was unterscheidet sie vom Interquartilsabstand? - Welche Anteile des Datensatzes liegen jeweils unterhalb und oberhalb des unteren Quartils (\(Q_1\))? - Wenn du den Prozentsatz kennst, wie berechnest du daraus die absolute Anzahl bei insgesamt 24 Personen?

1. Aus dem Boxplot werden die fünf Kennwerte abgelesen: Das Minimum liegt bei \(15\,\text{€}\), das untere Quartil (\(Q_1\)) bei \(25\,\text{€}\), der Median bei \(35\,\text{€}\), das obere Quartil (\(Q_3\)) bei \(45\,\text{€}\) und das Maximum bei \(65\,\text{€}\). 2. Die Spannweite berechnet sich als Differenz von Maximum und Minimum: \(65\,\text{€} - 15\,\text{€} = 50\,\text{€}\). 3. Der Interquartilsabstand (IQA) ist die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil: \(Q_3 - Q_1 = 45\,\text{€} - 25\,\text{€} = 20\,\text{€}\). 4. Da das untere Quartil bei \(25\,\text{€}\) liegt, erhalten mindestens \(75\,\%\) der Schülerinnen und Schüler \(25\,\text{€}\) oder mehr. Bei insgesamt 24 Personen sind das mindestens \(0{,}75 \cdot 24 = 18\) Schülerinnen und Schüler.

a) Minimum: \(15\,\text{€}\), unteres Quartil: \(25\,\text{€}\), Median: \(35\,\text{€}\), oberes Quartil: \(45\,\text{€}\), Maximum: \(65\,\text{€}\). b) Spannweite: \(50\,\text{€}\), Interquartilsabstand: \(20\,\text{€}\). c) Mindestens \(75\,\%\), also mindestens \(18\) Schülerinnen und Schüler.

- Kannst du die Werte für jeden einzelnen Tag aus dem Diagramm ablesen? Achte dabei besonders auf die positiven und negativen Vorzeichen. - Was bedeutet der Begriff „Spannweite“ in der Statistik? Wie hängen der größte und der kleinste Wert damit zusammen? - Wie berechnet man das arithmetische Mittel einer Reihe von Zahlen? Denke an das Zusammenzählen und das anschließende Teilen.

1. Ablesen der Werte aus dem Diagramm: - Montag (Mo): \(3\,\text{°C}\) - Dienstag (Di): \(-2\,\text{°C}\) - Mittwoch (Mi): \(4\,\text{°C}\) - Donnerstag (Do): \(-1\,\text{°C}\) - Freitag (Fr): \(-3\,\text{°C}\) - Samstag (Sa): \(2\,\text{°C}\) - Sonntag (So): \(4\,\text{°C}\) Zu a) Die größte Abweichung beträgt \(4\,\text{°C}\) (am Mittwoch und Sonntag). Die kleinste Abweichung beträgt \(-3\,\text{°C}\) (am Freitag). Zu b) Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert: \(\text{Spannweite} = 4\,\text{°C} - (-3\,\text{°C}) = 7\,\text{°C}\). Zu c) Das arithmetische Mittel berechnet sich aus der Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Tage (7): \(\text{Summe} = 3 + (-2) + 4 + (-1) + (-3) + 2 + 4 = 7\) \(\text{Mittelwert} = \frac{7}{7} = 1\,\text{°C}\).

a) Die größte Abweichung ist \(4\,\text{°C}\), die kleinste ist \(-3\,\text{°C}\). b) Die Spannweite beträgt \(7\,\text{°C}\). c) Das arithmetische Mittel beträgt \(1\,\text{°C}\).

- Überlege zuerst, was der Begriff „Spannweite“ in der Statistik bedeutet. - Wie berechnet man den Unterschied zwischen einer positiven und einer negativen Zahl? - Welche Säule reicht am weitesten nach unten?

1. Den höchsten Wert (Maximum) aus dem Diagramm ablesen: \(3{,}2\,\text{m}\) im Juli. 2. Den niedrigsten Wert (Minimum) aus dem Diagramm ablesen: \(-2{,}5\,\text{m}\) im Mai. 3. Die Spannweite als Differenz zwischen Maximum und Minimum berechnen: \(3{,}2 - (-2{,}5) = 5{,}7\). Die Spannweite beträgt \(5{,}7\,\text{m}\). 4. Den Monat mit der stärksten negativen Abweichung identifizieren: Mai.

Die Spannweite der Messwerte beträgt \(5{,}7\,\text{m}\). Im Mai war der Wasserstand am weitesten unter dem Sollwert.

- Welche Linien begrenzen die Box links und rechts (oder oben und unten)? - Welcher Anteil der Daten liegt oberhalb des unteren Quartils \(Q_1\)?

1. Ablesen der Quartile für Klasse 7c: \(Q_1 = 20\), \(Q_3 = 40\). 2. Ablesen der Quartile für Klasse 7d: \(Q_1 = 30\), \(Q_3 = 42\). 3. Damit sich sicher schließen lässt, dass mindestens drei Viertel der Werte bei \(30\) oder darüber liegen, muss das untere Quartil mindestens \(30\) betragen. 4. Bei Klasse 7d liegt \(Q_1\) bei \(30\). Daher haben dort mindestens \(75\,\%\) der Schüler \(30\) Punkte oder mehr erreicht. Bei Klasse 7c liegt \(Q_1\) bei \(20\); aus dem Boxplot lässt sich für die Grenze von \(30\) Punkten kein Anteil von mindestens \(75\,\%\) sicher ablesen.

a) Klasse 7c: \(Q_1 = 20\), \(Q_3 = 40\). Klasse 7d: \(Q_1 = 30\), \(Q_3 = 42\). b) Bei Klasse 7d lässt sich dies sicher schließen, weil das untere Quartil genau bei \(30\) Punkten liegt. Damit haben mindestens \(75\,\%\) der Schüler \(30\) Punkte oder mehr erreicht.

- Sortiere die Datenreihen zuerst der Größe nach, falls sie es noch nicht sind. - Bestimme für jede Reihe den Median (den mittleren Wert). - Die Quartile teilen die untere und obere Hälfte der Daten noch einmal in der Mitte. - Vergleiche die berechneten Werte mit den Markierungen im Boxplot (Antennenenden, Boxgrenzen und Mittelstrich).

1. Berechnung der Kennwerte für Team Blau (\(n=9\)): Minimum \(12\), Maximum \(35\). Der Median ist der 5. Wert: \(22\). Das untere Quartil ist der Median der unteren vier Werte \((12, 15, 18, 20)\), also \(Q_1 = \frac{15+18}{2} = 16{,}5\). Das obere Quartil ist der Median der oberen vier Werte \((25, 28, 30, 35)\), also \(Q_3 = \frac{28+30}{2} = 29\). 2. Berechnung der Kennwerte für Team Rot (\(n=9\)): Minimum \(12\), Maximum \(35\). Der Median ist der 5. Wert: \(25\). Das untere Quartil der unteren vier Werte \((12, 22, 23, 24)\) ist \(Q_1 = \frac{22+23}{2} = 22{,}5\). Das obere Quartil der oberen vier Werte \((26, 27, 28, 35)\) ist \(Q_3 = \frac{27+28}{2} = 27{,}5\). 3. Zuordnung: Boxplot 1 hat den Median \(22\) und gehört somit zu Team Blau. Boxplot 2 hat den Median \(25\) und gehört zu Team Rot. Auch die Lage der Boxen (Quartile) bestätigt dies.

Boxplot 1 gehört zu Team Blau. Boxplot 2 gehört zu Team Rot. Begründung: Team Blau hat einen Median von \(22\), was dem Mittelstrich in Boxplot 1 entspricht. Team Rot hat einen Median von \(25\), was dem Mittelstrich in Boxplot 2 entspricht.

- Die Spannweite ist der Unterschied zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert einer Datenreihe. - Suche zuerst den wärmsten und den kältesten Tag im Diagramm. - Wenn die Spannweite verdoppelt wird, muss sich der Abstand zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert vergrößern. - Da die Temperatur am Sonntag sinkt, wird der Sonntag zum neuen kältesten Wert der Woche.

1. Entnahme der Werte aus dem Diagramm: Mo: \(18\,\text{°C}\), Di: \(20\,\text{°C}\), Mi: \(22\,\text{°C}\), Do: \(19\,\text{°C}\), Fr: \(21\,\text{°C}\), Sa: \(23\,\text{°C}\), So: \(20\,\text{°C}\). 2. Bestimmung von Maximum (\(23\,\text{°C}\)) und Minimum (\(18\,\text{°C}\)). 3. Berechnung der Spannweite: \(23 - 18 = 5\,\text{°C}\). 4. Die neue Spannweite soll doppelt so groß sein: \(2 \cdot 5 = 10\). 5. Da die Temperatur am Sonntag sinkt, wird sie zum neuen Minimum. Die neue Spannweite berechnet sich aus dem bisherigen Maximum minus dem neuen Minimum: \(23 - T_{\text{neu}} = 10\). 6. Auflösen nach dem neuen Wert: \(T_{\text{neu}} = 23 - 10 = 13\).

a) Die Spannweite beträgt \(5\,\text{°C}\). b) Das Thermometer hätte am Sonntag \(13\,\text{°C}\) anzeigen müssen.

- Markiere zuerst die Mitte der gesamten Reihe. - Teile die übrigen Werte in zwei gleich große Hälften. - Für die Spannweite brauchst du nur die beiden Randwerte.

1. Die Reihe ist bereits geordnet; der sechste Wert ist der Median \(12\) Minuten. 2. Untere Hälfte: \(3; 5; 7; 8; 9\); ihr Median ist \(7\) Minuten. 3. Obere Hälfte: \(13; 15; 18; 21; 24\); ihr Median ist \(18\) Minuten. 4. Spannweite: \(24-3=21\) Minuten.

\(Q_1=7\) Minuten, Median \(12\) Minuten, \(Q_3=18\) Minuten, Spannweite \(21\) Minuten.

- Entscheide für jede Teilfrage, welche Randwerte gemeint sind. - Ein Ausreißer kann außerhalb der Whisker liegen. - Verwechsle nicht Boxlänge und Spannweite.

1. Whisker-Spannweite: \(80-20=60\) Seiten. 2. Für alle dargestellten Werte ist der Ausreißer \(100\) der größte Wert. 3. Gesamte Spannweite: \(100-20=80\) Seiten.

a) \(60\) Seiten. b) \(80\) Seiten.

- Prüfe die vier Kennwerte einzeln. - Bei vier Werten in einer Hälfte liegen zwei Werte in der Mitte. - Die Spannweite ist nicht der größte Wert allein.

1. Median der neun Werte: \(8\). 2. Untere Hälfte \(2; 4; 5; 7\): \(Q_1=(4+5):2=4{,}5\). 3. Obere Hälfte \(10; 12; 13; 16\): \(Q_3=(12+13):2=12{,}5\). 4. Spannweite: \(16-2=14\).

Zusammenfassung A ist richtig.

- Lies alle neun Punkte ab. - Für die beiden gesuchten Kennwerte brauchst du unterschiedliche Informationen. - Ordne die Werte für den Median.

1. Abgelesene Werte: \(18; 22; 20; 25; 19; 24; 21; 23; 26\). 2. Geordnet: \(18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26\). 3. Median: fünfter Wert \(22\). 4. Spannweite: \(26-18=8\).

Median: \(22\) Fundstücke; Spannweite: \(8\) Fundstücke.

- Prüfe jede Aussage unabhängig. - Achte darauf, ob mit Randwerten Whisker oder alle dargestellten Werte gemeint sind. - Unterscheide Kreuz und Medianlinie.

1. Boxlänge: \(70-30=40\); Aussage 1 ist richtig. 2. Alle dargestellten Werte reichen von \(5\) bis \(90\); Spannweite \(85\); Aussage 2 ist falsch. 3. Median \(50\) und Mittelwert \(45\); Aussage 3 ist richtig. 4. Der offene Kreis ist ein Ausreißer; Aussage 4 ist falsch.

Richtig sind die Aussagen 1 und 3.

- Teile die gerade Anzahl in zwei gleich große Hälften. - In jeder Hälfte gibt es wieder zwei mittlere Werte. - Für die Spannweite genügen Minimum und Maximum.

1. Median: \((11+12):2=11{,}5\). 2. Untere Hälfte \(4; 6; 7; 8; 9; 11\): \(Q_1=(7+8):2=7{,}5\). 3. Obere Hälfte \(12; 14; 15; 18; 20; 24\): \(Q_3=(15+18):2=16{,}5\). 4. Spannweite: \(24-4=20\).

\(Q_1=7{,}5\), Median \(11{,}5\), \(Q_3=16{,}5\), Spannweite \(20\).

- Bestimme zuerst, an welcher Position in einer Liste mit \(11\) Werten der Median und die Quartile stehen. - Wie groß muss die Summe aller Zahlen sein, wenn der Durchschnitt 20 sein soll? - Fülle die bekannten Positionen aus und wähle für die Lücken Zahlen, die die Sortierung nicht verletzen. - Überlege dir, wie groß die letzten Zahlen sein müssen, um die nötige Gesamtsumme zu erreichen.

1. Bestimmung der Positionen bei \(n = 11\): Der Median ist der 6. Wert (\(x_6 = 10\)). Das untere Quartil ist der Median der ersten fünf Werte, also der 3. Wert (\(x_3 = 5\)). Das obere Quartil ist der Median der Werte an den Stellen 7 bis 11, also der 9. Wert (\(x_9 = 15\)). 2. Bedingung für das Mittel: Die Summe aller \(11\) Zahlen muss \(11 \cdot 20 = 220\) ergeben. 3. Belegung der festen Positionen: \(x_3 = 5, x_6 = 10, x_9 = 15\). 4. Wahl einfacher Werte für die restlichen Positionen unter Beachtung der Sortierung: Wir setzen \(x_1=5, x_2=5, x_4=10, x_5=10, x_7=15, x_8=15\). 5. Summe der ersten neun Werte: \(3 \cdot 5 + 3 \cdot 10 + 3 \cdot 15 = 15 + 30 + 45 = 90\). 6. Bestimmung der letzten zwei Werte: Für \(x_{10}\) und \(x_{11}\) verbleiben \(220 - 90 = 130\). Wir wählen \(x_{10} = 65\) und \(x_{11} = 65\). 7. Kontrolle: Die Liste ist \(5, 5, 5, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 65, 65\). Das Mittel ist \(220 : 11 = 20\).

Eine mögliche Liste ist: \(5, 5, 5, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 65, 65\). Kontrolle des Mittels: \((5+5+5+10+10+10+15+15+15+65+65) : 11 = 220 : 11 = 20\).

- An welcher Position liegt der Median bei \(25\) sortierten Werten? - Aus welchen \(12\) Werten besteht die obere Hälfte, und welche beiden Werte bestimmen deren Median? - Können Werte an späteren Positionen einer sortierten Liste kleiner sein als der Median? - Wann kann der Mittelwert zweier Zahlen, die beide mindestens \(20\) sind, genau \(20\) ergeben?

1. Bei \(25\) sortierten Werten ist der Median der \(13.\) Wert. Daher gilt \(x_{13}=20\,\text{€}\). 2. Für das obere Quartil betrachtet man die obere Hälfte \(x_{14},\ldots,x_{25}\). Sie enthält \(12\) Werte. Ihr Median und damit \(Q_3\) ist \(\frac{x_{19}+x_{20}}{2}\). 3. Da die Liste sortiert ist, gilt \(x_{19}\ge x_{13}=20\) und \(x_{20}\ge x_{13}=20\). Somit kann \(Q_3\) nicht kleiner als \(20\,\text{€}\) sein. Die Behauptung \(Q_3=15\,\text{€}\) ist unmöglich. 4. Damit \(Q_3=20\,\text{€}\) gilt, müssen wegen \(x_{19}\ge20\) und \(x_{20}\ge20\) beide Werte gleich \(20\,\text{€}\) sein. Wegen der Sortierung müssen dann alle Werte von Position 13 bis Position 20 ebenfalls \(20\,\text{€}\) betragen.

a) Die Behauptung ist unmöglich. Der Median ist der \(13.\) Wert und beträgt \(20\,\text{€}\). Die für \(Q_3\) maßgeblichen Werte an den Positionen 19 und 20 können in einer sortierten Liste nicht kleiner als \(20\,\text{€}\) sein. b) Die Werte an den Positionen 13 bis 20 müssen alle \(20\,\text{€}\) betragen. Dann ist der Median \(20\,\text{€}\) und \(Q_3=\frac{20+20}{2}=20\,\text{€}\).

- Lies zuerst alle wichtigen Kennwerte aus dem Boxplot ab. Wie heißen diese Kennwerte und welche Bedeutung haben sie? - Wie viele Werte hat der vollständige Datensatz, wenn die fehlende Person mitgezählt wird? - Überlege dir, an welcher Position in einer sortierten Liste der Median und die Quartile bei dieser Anzahl von Werten liegen. - Versuche, die bereits bekannten Zahlen in eine geordnete Reihenfolge zu bringen und zu prüfen, wo der fehlende Wert liegen müsste. - Stelle eine Gleichung für den Median oder eines der Quartile auf, um den fehlenden Wert zu berechnen.

1. Lies die Kennwerte aus dem Boxplot für den vollständigen Datensatz ab: - \(\text{Minimum} = 3\) - \(\text{Unteres Quartil } (Q_1) = 7\) - \(\text{Median} = 11\) - \(\text{Oberes Quartil } (Q_3) = 17\) - \(\text{Maximum} = 21\) 2. Da der gesuchte Wert \(x\) hinzugefügt wird, hat der vollständige Datensatz \(8\) Werte. 3. Bei \(8\) Werten entspricht der Median dem arithmetischen Mittel des \(4.\) und \(5.\) Wertes der geordneten Liste. Da der Median \(11\) ist, müssen die Werte an diesen Positionen zusammen \(22\) ergeben. Mit den bekannten Werten ist dies für \(10\) und \(12\) möglich; daher muss zunächst \(x \ge 12\) gelten, damit \(10\) und \(12\) an Position \(4\) und \(5\) stehen (\(\frac{10 + 12}{2} = 11\)). 4. Wäre \(x > 19\), läge das obere Quartil bei \(\frac{19 + 21}{2} = 20\) und widerspräche dem Boxplot. Daher gilt \(12 \le x \le 19\), und die geordnete Liste lautet \(3, 5, 9, 10, 12, x, 19, 21\). 5. Das obere Quartil \(Q_3\) bei \(8\) Werten ist das arithmetische Mittel aus dem \(6.\) und \(7.\) Wert. Der \(6.\) Wert ist \(x\) und der \(7.\) Wert ist \(19\). 6. Aus dem Boxplot gilt \(Q_3 = 17\). Setze an: \(\frac{x + 19}{2} = 17\) \(x + 19 = 34\) \(x = 15\) 7. Da \(15\) im angenommenen Intervall liegt, war der Keimling von Jonas \(15\,\text{cm}\) hoch.

Der Sonnenblumenkeimling von Jonas war \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Beginne damit, die fünf charakteristischen Kennwerte aus dem gezeigten Boxplot abzulesen. - Was ist der allererste Schritt, den du mit einer ungeordneten Datenreihe durchführen musst, um Median und Quartile korrekt zu bestimmen? - Bestimme für jeden Datensatz das Minimum und das Maximum — hilft dir das bereits, Datensätze auszuschließen? - Erinnere dich an die Regel zur Berechnung von Quartilen bei einer geraden Anzahl von Werten (hier \(n = 12\)). - Vergleiche die berechneten Kennwerte nacheinander mit den Werten aus dem Boxplot, um den passenden Datensatz zu finden.

1. Zuerst liest man die Kennwerte aus dem gegebenen Boxplot ab: - Minimum: \(2\) - Unteres Quartil (\(Q_1\)): \(5\) - Median: \(9\) - Oberes Quartil (\(Q_3\)): \(14\) - Maximum: \(18\) 2. Nun sortiert man die Datensätze der Größe nach, um ihre Kennwerte zu bestimmen: - Datensatz (1) sortiert: \(2\); \(3\); \(4\); \(6\); \(8\); \(9\); \(9\); \(11\); \(13\); \(15\); \(16\); \(18\) - Minimum: \(2\) - Unteres Quartil \(Q_1\): Da \(12 \cdot 0{,}25 = 3\) eine ganze Zahl ist, berechnet sich \(Q_1\) aus dem Mittelwert des 3. und 4. Wertes: \(\frac{4 + 6}{2} = 5\) - Median: Da \(12 \cdot 0{,}5 = 6\) eine ganze Zahl ist, berechnet sich der Median aus dem Mittelwert des 6. und 7. Wertes: \(\frac{9 + 9}{2} = 9\) - Oberes Quartil \(Q_3\): Da \(12 \cdot 0{,}75 = 9\) eine ganze Zahl ist, berechnet sich \(Q_3\) aus dem Mittelwert des 9. und 10. Wertes: \(\frac{13 + 15}{2} = 14\) - Maximum: \(18\) Diese Kennwerte stimmen exakt mit dem Boxplot überein. 3. Zur Überprüfung bestimmen wir auch die Kennwerte der anderen Datensätze: - Datensatz (2) sortiert: \(2\); \(3\); \(4\); \(6\); \(8\); \(10\); \(12\); \(12\); \(13\); \(15\); \(16\); \(18\) - Der Median liegt hier bei \(\frac{10 + 12}{2} = 11\). Dies passt nicht zum Median des Boxplots (\(9\)). - Datensatz (3) sortiert: \(2\); \(4\); \(6\); \(8\); \(8\); \(9\); \(9\); \(11\); \(13\); \(15\); \(16\); \(18\) - Das untere Quartil \(Q_1\) liegt hier bei \(\frac{6 + 8}{2} = 7\). Dies passt nicht zum unteren Quartil des Boxplots (\(5\)). Somit passt nur Datensatz (1) zum gegebenen Boxplot.

Der Datensatz (1) passt zum Boxplot. Begründung: Nach dem Sortieren des Datensatzes (1) ergeben sich die Kennwerte: - Minimum = \(2\) - Unteres Quartil \(Q_1 = 5\) - Median = \(9\) - Oberes Quartil \(Q_3 = 14\) - Maximum = \(18\) Diese stimmen exakt mit den Werten des Boxplots überein. Bei Datensatz (2) stimmt der Median \(11\) nicht mit dem Boxplot überein; bei Datensatz (3) gilt dies für das untere Quartil \(7\).

- Betrachte nur die untere Hälfte der geordneten Reihe. - Dort gibt es eine gerade Anzahl von Werten. - Prüfe nach dem Lösen, ob der Wert zwischen seinen Nachbarn liegt.

1. Der Gesamtmedian \(10\) wird für die Hälften weggelassen. 2. Die untere Hälfte ist \(2; 4; x; 8\). 3. Daher gilt \((4+x):2=5\), also \(4+x=10\). 4. Es folgt \(x=6\), passend zur Reihenfolge.

\(x=6\).

- Die Säulenhöhen geben Häufigkeiten an. - Bestimme die relevanten Positionen in der geordneten Datenfolge. - Nutze aufsummierte Häufigkeiten statt alle Werte auszuschreiben.

1. Es gibt \(24\) Werte. 2. Untere Hälfte: Positionen \(1\) bis \(12\); deren Mitte liegt bei \(1{,}5\). 3. Gesamtmedian aus Position \(12\) und \(13\): \(2\). 4. Obere Hälfte: Positionen \(13\) bis \(24\); deren Mitte liegt bei \(3\).

\(Q_1=1{,}5\), Median \(2\), \(Q_3=3\).

- Lege zuerst die festen Positionen für Minimum, Median und Maximum fest. - Bei den Quartilen können Mittelwerte aus zwei Nachbarwerten entstehen. - Es gibt mehrere richtige Datenreihen.

1. Position \(1\), \(5\) und \(9\) werden mit \(1\), \(10\) und \(20\) belegt. 2. Für \(Q_1=5\) müssen der zweite und dritte Wert zusammen \(10\) ergeben; möglich sind \(4\) und \(6\). 3. Für \(Q_3=15\) müssen der siebte und achte Wert zusammen \(30\) ergeben; möglich sind \(14\) und \(16\). 4. Eine passende Reihe ist \(1; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 20\).

Eine mögliche Lösung ist \(1; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 20\).

- Berechne die Kennwerte für jeden Datensatz. - Ein Boxplot legt nicht jeden einzelnen Datenwert fest. - Es können mehrere Datensätze denselben Boxplot ergeben.

1. Datensatz A hat \(Q_1=4\) und \(Q_3=14\). 2. Datensatz B hat \(Q_1=5\), Median \(9\), \(Q_3=13\); außerdem \(17-1=16\). 3. Datensatz C hat ebenfalls \(Q_1=5\), Median \(9\), \(Q_3=13\) und die Spannweite \(16\). 4. Damit passen B und C beide zu den genannten Boxplot-Kennwerten.

Die Datensätze B und C passen beide. Ein Boxplot bestimmt den vollständigen Datensatz nicht eindeutig.