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Ein Meteorologe hat an \(14\) aufeinanderfolgenden Tagen im Mai die folgenden Höchsttemperaturen in \(^\circ\text{C}\) gemessen:
\(18\); \(19\); \(21\); \(18\); \(20\); \(22\); \(19\); \(25\); \(20\); \(18\); \(19\); \(21\); \(22\); \(23\)
a) Bestimme das arithmetische Mittel (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und den Zentralwert.
b) Berechne die Spannweite dieser Messreihe.
c) Wie würde sich die Spannweite verändern, wenn am \(15.\) Tag ein neuer Rekordwert von \(30\,^\circ\text{C}\) gemessen würde?
Denkanstöße
- Sortiere die Temperaturen zuerst der Größe nach. Das hilft bei fast allen Teilaufgaben.
- Wie berechnet man den Median, wenn es eine gerade Anzahl an Messwerten gibt?
- Was gibt die Spannweite über die Streuung der Daten an?
- Ändert ein neuer Höchstwert auch den niedrigsten Wert der Liste?
Lösung
1. Berechnung des arithmetischen Mittels:
Summe: \(18+19+21+18+20+22+19+25+20+18+19+21+22+23 = 285\).
Mittelwert: \(\frac{285}{14} \approx 20{,}36\,^\circ\text{C}\).
2. Bestimmung des Zentralwerts (Medians):
Geordnete Liste: \(18; 18; 18; 19; 19; 19; 20; 20; 21; 21; 22; 22; 23; 25\).
Bei \(14\) Werten liegt der Median zwischen dem \(7.\) und \(8.\) Wert.
Beide Werte sind \(20\). Zentralwert: \(20\,^\circ\text{C}\).
3. Berechnung der Spannweite:
Maximum (\(25\)) \(-\) Minimum (\(18\)) \(= 7\,^\circ\text{C}\).
4. Änderung der Spannweite:
Neues Maximum ist \(30\), Minimum bleibt \(18\).
Neue Spannweite: \(30 - 18 = 12\,^\circ\text{C}\).
Die Spannweite vergrößert sich um \(5\,^\circ\text{C}\).
Antwort
a) Arithmetisches Mittel: ca. \(20{,}36\,^\circ\text{C}\); Zentralwert: \(20\,^\circ\text{C}\).
b) Spannweite: \(7\,^\circ\text{C}\).
c) Die Spannweite würde auf \(12\,^\circ\text{C}\) ansteigen (Zunahme um \(5\,^\circ\text{C}\)).
