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- An welcher Position liegt der Median bei \(25\) sortierten Werten? - Aus welchen \(12\) Werten besteht die obere Hälfte, und welche beiden Werte bestimmen deren Median? - Können Werte an späteren Positionen einer sortierten Liste kleiner sein als der Median? - Wann kann der Mittelwert zweier Zahlen, die beide mindestens \(20\) sind, genau \(20\) ergeben?

1. Bei \(25\) sortierten Werten ist der Median der \(13.\) Wert. Daher gilt \(x_{13}=20\,\text{€}\). 2. Für das obere Quartil betrachtet man die obere Hälfte \(x_{14},\ldots,x_{25}\). Sie enthält \(12\) Werte. Ihr Median und damit \(Q_3\) ist \(\frac{x_{19}+x_{20}}{2}\). 3. Da die Liste sortiert ist, gilt \(x_{19}\ge x_{13}=20\) und \(x_{20}\ge x_{13}=20\). Somit kann \(Q_3\) nicht kleiner als \(20\,\text{€}\) sein. Die Behauptung \(Q_3=15\,\text{€}\) ist unmöglich. 4. Damit \(Q_3=20\,\text{€}\) gilt, müssen wegen \(x_{19}\ge20\) und \(x_{20}\ge20\) beide Werte gleich \(20\,\text{€}\) sein. Wegen der Sortierung müssen dann alle Werte von Position 13 bis Position 20 ebenfalls \(20\,\text{€}\) betragen.

a) Die Behauptung ist unmöglich. Der Median ist der \(13.\) Wert und beträgt \(20\,\text{€}\). Die für \(Q_3\) maßgeblichen Werte an den Positionen 19 und 20 können in einer sortierten Liste nicht kleiner als \(20\,\text{€}\) sein. b) Die Werte an den Positionen 13 bis 20 müssen alle \(20\,\text{€}\) betragen. Dann ist der Median \(20\,\text{€}\) und \(Q_3=\frac{20+20}{2}=20\,\text{€}\).

- Bestimme zuerst, an welcher Position in einer Liste mit \(11\) Werten der Median und die Quartile stehen. - Wie groß muss die Summe aller Zahlen sein, wenn der Durchschnitt 20 sein soll? - Fülle die bekannten Positionen aus und wähle für die Lücken Zahlen, die die Sortierung nicht verletzen. - Überlege dir, wie groß die letzten Zahlen sein müssen, um die nötige Gesamtsumme zu erreichen.

1. Bestimmung der Positionen bei \(n = 11\): Der Median ist der 6. Wert (\(x_6 = 10\)). Das untere Quartil ist der Median der ersten fünf Werte, also der 3. Wert (\(x_3 = 5\)). Das obere Quartil ist der Median der Werte an den Stellen 7 bis 11, also der 9. Wert (\(x_9 = 15\)). 2. Bedingung für das Mittel: Die Summe aller \(11\) Zahlen muss \(11 \cdot 20 = 220\) ergeben. 3. Belegung der festen Positionen: \(x_3 = 5, x_6 = 10, x_9 = 15\). 4. Wahl einfacher Werte für die restlichen Positionen unter Beachtung der Sortierung: Wir setzen \(x_1=5, x_2=5, x_4=10, x_5=10, x_7=15, x_8=15\). 5. Summe der ersten neun Werte: \(3 \cdot 5 + 3 \cdot 10 + 3 \cdot 15 = 15 + 30 + 45 = 90\). 6. Bestimmung der letzten zwei Werte: Für \(x_{10}\) und \(x_{11}\) verbleiben \(220 - 90 = 130\). Wir wählen \(x_{10} = 65\) und \(x_{11} = 65\). 7. Kontrolle: Die Liste ist \(5, 5, 5, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 65, 65\). Das Mittel ist \(220 : 11 = 20\).

Eine mögliche Liste ist: \(5, 5, 5, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 65, 65\). Kontrolle des Mittels: \((5+5+5+10+10+10+15+15+15+65+65) : 11 = 220 : 11 = 20\).

- Wie berechnet man den Durchschnitt und wie findet man die Mitte einer Liste? - Was passiert mit dem Durchschnitt, wenn eine sehr große Zahl viel kleiner wird? Hat das Auswirkungen auf den Wert in der Mitte? - Wenn du eine Zahl in der Liste größer machst, was musst du mit einer anderen Zahl tun, damit die Gesamtsumme (und damit der Durchschnitt) gleich bleibt? - Bestimme das obere Quartil als Median der oberen Hälfte; der Median der gesamten Datenreihe wird dabei weggelassen.

1. Teil a): Summe \(4+5+5+6+7+8+21 = 56\). Mittelwert \(\bar{x} = 56 : 7 = 8\). Der Median, also der 4. Wert, ist \(6\). 2. Teil b): Die neue Datenreihe ist \(S'=(4; 5; 5; 6; 7; 8; 8)\). Ihre Summe beträgt \(43\). Der neue Mittelwert ist \(\bar{x}' = 43 : 7 \approx 6{,}14\). Der Median bleibt \(6\). Der Mittelwert ändert sich um etwa \(1{,}86\), der Median gar nicht. Daher ändert sich der Mittelwert stärker. 3. Teil c): Bei \(n=7\) ist das obere Quartil der 6. Wert der sortierten Datenreihe, hier also \(8\). Damit der Mittelwert gleich bleibt, muss die Summe weiterhin \(56\) betragen. Damit der Median gleich bleibt, muss der 4. Wert \(6\) bleiben. 4. Erhöhe den 6. Wert von \(8\) auf \(10\) und verringere den 7. Wert von \(21\) auf \(19\). Dadurch bleibt die Summe unverändert. 5. Die neue Datenreihe \(S''=(4; 5; 5; 6; 7; 10; 19)\) hat die Summe \(56\), den Mittelwert \(8\) und den Median \(6\). Das obere Quartil steigt von \(8\) auf \(10\).

a) Arithmetisches Mittel: \(8\); Median: \(6\). b) Der Mittelwert ändert sich stärker: Er sinkt von \(8\) auf etwa \(6{,}14\), während der Median bei \(6\) bleibt. c) Ja. Ersetzt man \(8\) durch \(10\) und \(21\) durch \(19\), erhält man die Datenreihe \((4; 5; 5; 6; 7; 10; 19)\). Sie hat weiterhin den Mittelwert \(8\) und den Median \(6\), aber das obere Quartil ist \(10\).