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Eine Schulklasse wurde dazu befragt, wie viele Bücher die Schülerinnen und Schüler in den Sommerferien gelesen haben. Es ergab sich folgende Verteilung:
<table>
<tr><td>Anzahl der Bücher</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(12\)</td></tr>
<tr><td>Anzahl der Schülerinnen und Schüler</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(1\)</td><td>\(1\)</td></tr>
</table>
a) Berechne das arithmetische Mittel und den Zentralwert (Median) der gelesenen Bücher.
b) Ein Klassenmitglied hat mit \(12\) besonders viele Bücher gelesen. Welcher der beiden Kennwerte aus Aufgabenteil a) beschreibt die „typische“ Lesemenge der Klasse deiner Meinung nach besser? Begründe kurz.
Denkanstöße
- Rechne zuerst aus, wie viele Bücher insgesamt von allen Schülerinnen und Schülern gelesen wurden.
- Überlege dir, wie ein einzelner sehr hoher Wert den Durchschnitt beeinflusst.
- Schau dir an, wie viele Schülerinnen und Schüler weniger als den Durchschnitt gelesen haben.
- Was passiert mit dem Zentralwert, wenn man den höchsten Wert noch weiter vergrößert?
Lösung
1. Berechnung der Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler: \(5 + 8 + 6 + 4 + 1 + 1 = 25\).
2. Berechnung des arithmetischen Mittels:
Summe der Bücher: \((0 \cdot 5) + (1 \cdot 8) + (2 \cdot 6) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 1) + (12 \cdot 1) = 0 + 8 + 12 + 12 + 4 + 12 = 48\).
Mittelwert: \(\frac{48}{25} = 1{,}92\).
3. Bestimmung des Zentralwerts (Medians):
Der \(13.\) Wert einer Liste von \(25\) Werten ist der Median.
Häufigkeiten: Die ersten \(5\) Werte sind \(0\), die nächsten \(8\) Werte sind \(1\). Der \(13.\) Wert ist somit genau \(1\).
Zentralwert: \(1\).
4. Interpretation: Der Zentralwert (\(1\)) ist hier repräsentativer, da das arithmetische Mittel (\(1{,}92\)) durch den Extremwert (\(12\)) stark nach oben gezogen wird, obwohl \(13\) von \(25\) Schülerinnen und Schülern nur \(0\) oder \(1\) Buch gelesen haben.
Antwort
a) Arithmetisches Mittel: \(1{,}92\); Zentralwert: \(1\).
b) Der Zentralwert beschreibt die Klasse besser, da das arithmetische Mittel durch den „Ausreißer“ (\(12\) Bücher) verzerrt wird.
