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- Frage dich, ob die Zahlen Mengen oder nur Namen beziehungsweise Kennzeichen sind. - Überlege, ob eine Differenz von zwei Nummern inhaltlich etwas bedeutet. - Nicht jede Zahlenliste eignet sich für einen Durchschnitt.

1. Trikotnummern sind Kennzeichnungen, keine gemessenen Mengen. 2. Abstände zwischen den Nummern haben keine inhaltliche Bedeutung. 3. Der berechnete Wert \(15\) beschreibt daher keine typische Eigenschaft des Teams.

Der Mittelwert ist hier nicht sinnvoll, weil Trikotnummern nur Kennzeichnungen sind.

- Unterscheide eine Aussage über die ganze Gruppe von einer Aussage über jede einzelne Person. - Überlege, ob die Messgröße nur ganze Werte annehmen kann. - Formuliere den Durchschnitt als rechnerischen Anteil.

1. Der Mittelwert ist eine rechnerische Verteilung der Gesamtzahl \(16\) auf \(10\) Personen. 2. Haustiere werden nur ganzzahlig gezählt; \(1{,}6\) ist kein möglicher individueller Besitz. 3. Die Aussage „jede Person hat \(1{,}6\) Haustiere“ ist falsch. 4. Richtig ist: Im Durchschnitt entfallen \(1{,}6\) Haustiere auf eine Person.

Richtig ist: Auf eine Person entfallen im Durchschnitt \(1{,}6\) Haustiere. Das gilt nicht für jede einzelne Person.

- Schau zuerst, in welchem Bereich die meisten Punkte liegen. - Prüfe, ob ein einzelner Wert deutlich vom übrigen Punktfeld entfernt ist. - Überlege, welcher der beiden Lagekennwerte auf einen einzelnen sehr großen Wert stärker reagiert.

1. Sieben der acht Wartezeiten liegen zwischen \(5\,\text{min}\) und \(7\,\text{min}\); ein einzelner Wert liegt mit \(20\,\text{min}\) deutlich höher. 2. Dieser hohe Einzelwert zieht das arithmetische Mittel nach oben, während der Median wesentlich weniger beeinflusst wird. 3. Der Median \(m=6\,\text{min}\) beschreibt die typische Wartezeit in dieser Verteilung besser.

Der Median \(m=6\,\text{min}\) beschreibt die typische Wartezeit besser, weil der einzelne hohe Wert bei \(20\,\text{min}\) das arithmetische Mittel deutlich nach oben zieht.

- Vergleiche zuerst die Gruppengrößen. - Gleiche Gruppengrößen bedeuten gleiche Gewichte. - Prüfe das Ergebnis auch über die Gesamtsummen.

1. Beide Gruppenmittel vertreten gleich viele Personen. 2. Daher dürfen die beiden Mittelwerte gleich gewichtet werden. 3. Gemeinsamer Mittelwert: \((7{,}2+8{,}4):2=7{,}8\) Stunden. 4. Die Rechnung über die Gesamtsummen liefert ebenfalls \(7{,}8\) Stunden.

Ja. Wegen der gleichen Gruppengrößen beträgt der gemeinsame Durchschnitt \(7{,}8\,\text{h}\) pro Monat.

- Ein Durchschnitt muss nicht zwingend beobachtet worden sein. - Überlege, welche Gesamtmenge der Mittelwert pro Objekt beschreibt. - Prüfe, ob die Daten echte Messgrößen sind.

1. Der Mittelwert ist \((9+10+10+12):4=10{,}25\) Zentimeter. 2. Ein Mittelwert muss nicht als Einzelwert vorkommen. 3. Er beschreibt hier die gleichmäßig auf vier Brücken verteilte Gesamthöhe und liegt zwischen Minimum und Maximum. 4. Daher ist er als Zusammenfassung sinnvoll.

Nein. Der Mittelwert \(10{,}25\,\text{cm}\) ist eine sinnvolle Zusammenfassung, auch wenn keine Brücke genau so hoch ist.

- Lies Median, Mittelwert und Maximum getrennt aus dem Diagramm ab. - Vergleiche die Lage der Box mit dem langen Abschnitt bis zum größten Wert. - Welcher Kennwert reagiert stärker auf einzelne sehr große Werte?

1. Aus dem Boxplot liest man \(m=8\,\text{min}\) und \(\bar{x}=10\,\text{min}\) ab. 2. Die mittleren \(50\,\%\) der Zeiten liegen zwischen \(6\,\text{min}\) und \(10\,\text{min}\), während der größte Wert mit \(36\,\text{min}\) weit darüber liegt. 3. Sehr hohe Werte beeinflussen den Mittelwert stärker als den Median. 4. Für eine Aussage über eine typische Gruppe ist deshalb der Median von \(8\,\text{min}\) besser begründet.

Der Median \(m=8\,\text{min}\) eignet sich besser. Der sehr hohe Maximalwert kann den Mittelwert \(\bar{x}=10\,\text{min}\) nach oben ziehen, während der Median davon weniger beeinflusst wird.

- Frage dich, ob die Zahlen echte Messwerte oder nur Bezeichnungen sind. - Würde sich die inhaltliche Situation ändern, wenn Jaro den vier Kategorien andere Nummern gäbe? - Ein sinnvoller Mittelwert sollte nicht davon abhängen, welche willkürlichen Etiketten man Kategorien gibt.

1. Die Zahlen \(1\) bis \(4\) sind nur frei gewählte Codes für verschiedene Kategorien. 2. Die Abstände zwischen den Codes haben keine sachliche Bedeutung: Eine Bahn ist beispielsweise nicht in einem messbaren Sinn „doppelt so viel“ wie ein Fahrrad. 3. Bei einer anderen Nummerierung würde sich der berechnete Mittelwert ändern, obwohl dieselben Verkehrsmittel verwendet wurden. 4. Deshalb ist das arithmetische Mittel dieser Codes nicht sinnvoll interpretierbar. Sinnvoll wären beispielsweise Anteile der Kategorien.

Das arithmetische Mittel ist hier nicht sinnvoll. Die Zahlen sind nur willkürliche Codes für Kategorien; eine andere Codierung würde einen anderen Durchschnitt ergeben, ohne die Daten inhaltlich zu verändern.

- Stelle dir vor, alle Kanister kämen zuerst in einen gemeinsamen Vorrat. - Welche Rechnung beschreibt anschließend eine gleichmäßige Verteilung auf fünf Teams? - Überlege, welcher Mittelwert genau die Bedeutung „gleicher Anteil nach Umverteilung“ hat.

1. Insgesamt gibt es \(2+5+7+10+16=40\) Kanister. 2. Bei gleichmäßiger Verteilung erhält jedes der fünf Teams \(40:5=8\) Kanister. 3. Diese Ausgleichszahl ist das arithmetische Mittel. Der Median der ursprünglichen Daten ist dagegen \(7\) und beschreibt die Umverteilung nicht.

a) \(8\) Kanister b) Das arithmetische Mittel.

- Erinnere dich an die Bedeutung der Mitte bei einer geraden Anzahl. - Prüfe, wie viele Werte auf jeder Seite liegen. - Ein Kennwert muss nicht zwingend im Datensatz vorkommen.

1. Bei vier Werten wird der Median aus den beiden mittleren Werten \(4\) und \(8\) gebildet. 2. \((4+8):2=6\). 3. Links und rechts dieses Werts liegen jeweils zwei Datenwerte. 4. Der Median erfüllt seine Teilungseigenschaft auch ohne selbst beobachtet worden zu sein.

Der Median \(6\) ist korrekt und sinnvoll; er teilt die geordnete Reihe in zwei gleich große Hälften.

- Rechne zuerst aus, wie viele Bücher insgesamt von allen Schülerinnen und Schülern gelesen wurden. - Überlege dir, wie ein einzelner sehr hoher Wert den Durchschnitt beeinflusst. - Schau dir an, wie viele Schülerinnen und Schüler weniger als den Durchschnitt gelesen haben. - Was passiert mit dem Zentralwert, wenn man den höchsten Wert noch weiter vergrößert?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler: \(5 + 8 + 6 + 4 + 1 + 1 = 25\). 2. Berechnung des arithmetischen Mittels: Summe der Bücher: \((0 \cdot 5) + (1 \cdot 8) + (2 \cdot 6) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 1) + (12 \cdot 1) = 0 + 8 + 12 + 12 + 4 + 12 = 48\). Mittelwert: \(\frac{48}{25} = 1{,}92\). 3. Bestimmung des Zentralwerts (Medians): Der \(13.\) Wert einer Liste von \(25\) Werten ist der Median. Häufigkeiten: Die ersten \(5\) Werte sind \(0\), die nächsten \(8\) Werte sind \(1\). Der \(13.\) Wert ist somit genau \(1\). Zentralwert: \(1\). 4. Interpretation: Der Zentralwert (\(1\)) ist hier repräsentativer, da das arithmetische Mittel (\(1{,}92\)) durch den Extremwert (\(12\)) stark nach oben gezogen wird, obwohl \(13\) von \(25\) Schülerinnen und Schülern nur \(0\) oder \(1\) Buch gelesen haben.

a) Arithmetisches Mittel: \(1{,}92\); Zentralwert: \(1\). b) Der Zentralwert beschreibt die Klasse besser, da das arithmetische Mittel durch den „Ausreißer“ (\(12\) Bücher) verzerrt wird.

- Bestimme für jede Gruppe zuerst die Anzahl der Personen und die Summe ihrer Alterswerte. - Vergleiche nach der Rechnung nicht nur die beiden Mittelwerte, sondern die Lage der einzelnen Punkte im Diagramm. - Frage dich, ob bei beiden Gruppen tatsächlich viele Beobachtungen in der Nähe des gemeinsamen Mittelwerts liegen.

1. Bei den „Flitzern“ gibt es \(2+4+4+2=12\) Personen. Die Summe der Alterswerte ist \(10\cdot2+11\cdot4+12\cdot4+13\cdot2=138\). Das arithmetische Mittel ist \(138:12=11{,}5\) Jahre. 2. Bei den „Bergsteigern“ gibt es \(6+6=12\) Personen. Die Summe ist \(6\cdot6+17\cdot6=138\). Auch hier ist das arithmetische Mittel \(11{,}5\) Jahre. 3. Die Verteilungen sind trotzdem sehr verschieden. Bei den „Flitzern“ liegen alle Werte zwischen \(10\) und \(13\) Jahren. Bei den „Bergsteigern“ liegen alle Werte bei \(6\) oder \(17\) Jahren; niemand liegt nahe bei \(11{,}5\). Der gleiche Mittelwert beschreibt diese unterschiedliche Struktur nicht.

a) Beide Gruppen haben das arithmetische Mittel \(11{,}5\) Jahre. b) Der Mittelwert allein verdeckt die sehr unterschiedliche Verteilung: Die „Flitzer“ liegen eng um die Mitte, die „Bergsteiger“ bestehen aus zwei weit getrennten Altersgruppen.

- Vergleiche zuerst die Positionen von Median und Mittelwert auf derselben Skala. - Wie weit liegt der größte Wert von der Box und insbesondere vom Median entfernt? - Welcher der beiden Kennwerte reagiert stärker auf sehr große Einzelwerte?

1. Der Median liegt bei \(40\,\text{€}\), der Mittelwert bei \(45\,\text{€}\). 2. Der größte dargestellte Wert liegt mit \(120\,\text{€}\) weit über dem oberen Quartil \(Q_3=50\,\text{€}\). 3. Solche hohen Werte können den arithmetischen Mittelwert stärker nach oben verschieben als den Median. 4. Daher ist es plausibel, dass \(\bar{x}=45\,\text{€}\) rechts von \(m=40\,\text{€}\) liegt; das ist kein Zeichenfehler.

Nein. Der sehr hohe Maximalwert von \(120\,\text{€}\) macht einen Mittelwert von \(45\,\text{€}\) oberhalb des Medians \(40\,\text{€}\) plausibel.

- Vergleiche die Lage der meisten Werte mit den beiden Kennwerten. - Achte auf einen Wert, der weit von den übrigen entfernt ist. - Ein guter typischer Wert sollte zur Mehrheit der Beobachtungen passen.

1. Arithmetisches Mittel: \(126:6=21\) Minuten. 2. Geordnet: \(12\,\text{min}; 13\,\text{min}; 14\,\text{min}; 15\,\text{min}; 16\,\text{min}; 56\,\text{min}\); Median \((14+15):2=14{,}5\) Minuten. 3. Der Wert \(56\) Minuten ist deutlich größer als die übrigen Zeiten und zieht den Mittelwert nach oben. 4. Der Median beschreibt die typische Reparatur hier besser.

Mittelwert: \(21\,\text{min}\); Median: \(14{,}5\,\text{min}\). Der Median ist aussagekräftiger für eine typische Reparatur.

- Berücksichtige, warum ein Wert so stark abweicht. - Vergleiche beide Kennwerte mit dem Bereich, in dem die meisten Werte liegen. - Die Fragestellung entscheidet, welcher Kennwert sinnvoller ist.

1. Mittelwert: \(189:7=27\) Euro. 2. Median der geordneten Reihe: \(31\) Euro. 3. Der Sonderfall \(0\) Euro zieht den Mittelwert nach unten. 4. Der Median liegt näher an den meisten Beträgen und beschreibt die übliche Einnahme besser.

Mittelwert: \(27\,\text{€}\); Median: \(31\,\text{€}\). Für die übliche Einnahme ist der Median aussagekräftiger.

- Vergleiche im Diagramm die Lage der Medianlinie mit der Markierung des arithmetischen Mittels. - Betrachte die Abstände von Median zu den beiden Boxkanten und von den Boxkanten zu den Antennenenden. - Welche Informationen über einzelne Beobachtungen gehen in einem Boxplot verloren?

1. Im Diagramm liegen Median und arithmetisches Mittel beide bei \(30\) Punkten. 2. Die Box reicht gleich weit nach links und rechts vom Median, und auch die beiden Antennen sind gleich lang. Das dargestellte Fünf-Zahlen-Schema ist daher symmetrisch. 3. Diese beiden Beobachtungen sprechen dafür, dass das arithmetische Mittel hier als Kennwert der zentralen Lage plausibel ist. 4. Der Boxplot zeigt jedoch nicht, wie die Einzelwerte innerhalb der Quartilsbereiche verteilt sind. Aus dem Boxplot allein folgt deshalb nicht, dass die gesamte Datenverteilung symmetrisch ist.

Das arithmetische Mittel ist hier als Kennwert der zentralen Lage plausibel: Es fällt mit dem Median zusammen, und das dargestellte Fünf-Zahlen-Schema ist symmetrisch. Eine Grenze ist, dass der Boxplot die genaue Verteilung der Einzelwerte innerhalb der Quartilsbereiche nicht zeigt.

- Lies zuerst die Positionen von Median und markiertem arithmetischem Mittel aus dem Diagramm ab. - Vergleiche die beiden Seiten des Boxplots: Wo reicht eine Antenne besonders weit? - Welcher der beiden Kennwerte reagiert stärker auf einzelne sehr niedrige Werte?

1. Aus dem Diagramm liest man den Median \(20\) und das arithmetische Mittel \(17{,}5\) Punkte ab. 2. Die untere Antenne reicht bis \(2{,}5\) Punkte und damit deutlich weiter unter die Box als die obere Antenne über die Box hinausreicht. Es gibt also besonders niedrige Werte. 3. Solche niedrigen Werte ziehen das arithmetische Mittel nach unten, während der Median auf einzelne extreme Werte weniger empfindlich reagiert. 4. Für die übliche Punktzahl ist deshalb der Median von \(20\) Punkten besser begründet.

Besonders niedrige Werte ziehen das arithmetische Mittel nach unten. Der Median \(m=20\) Punkte beschreibt die übliche Punktzahl hier besser als das arithmetische Mittel \(17{,}5\) Punkte.

- Lies aus dem Punktdiagramm ab, wie oft jede Wartezeit vorkommt. - Vergleiche die seltenen sehr großen Werte mit dem Bereich, in dem die meisten Beobachtungen liegen. - Beziehe deine Entscheidung ausdrücklich auf die Frage nach einer „üblichen“ Wartezeit.

1. Insgesamt gibt es \(8+10+6+2=26\) Gruppen. Die Summe der Wartezeiten ist \(2\cdot8+3\cdot10+4\cdot6+17\cdot2=104\,\text{min}\). 2. Das arithmetische Mittel beträgt \(104\,\text{min}:26=4\,\text{min}\). 3. Bei \(26\) Werten sind die Positionen \(13\) und \(14\) für den Median entscheidend. Beide liegen bei \(3\,\text{min}\), also ist \(m=3\,\text{min}\). 4. Die beiden Wartezeiten von \(17\,\text{min}\) liegen weit über den übrigen Werten und erhöhen das arithmetische Mittel. Für eine übliche Wartezeit ist der Median daher besser geeignet.

Arithmetisches Mittel: \(4\,\text{min}\); Median: \(3\,\text{min}\). Für die übliche Wartezeit ist der Median besser geeignet.

- Betrachte nicht nur die Höhe des Durchschnitts, sondern auch die zeitliche Reihenfolge. - Suche nach einem erkennbaren Trend. - Eine Zusammenfassung vergangener Werte ist nicht automatisch eine Prognose.

1. Die Werte steigen jede Woche gleichmäßig von \(100\) auf \(170\). 2. Der Mittelwert \(135\) beschreibt die Mitte des gesamten bisherigen Zeitraums. 3. Er berücksichtigt den klaren Aufwärtstrend nicht. 4. Für die neunte Woche ist \(135\) daher keine gute Vorhersage; ein Wert über \(170\) passt eher zur Entwicklung.

Nein. Wegen des deutlichen Aufwärtstrends unterschätzt der Durchschnitt von \(135\) Besuchen die zu erwartende neunte Woche.

- Suche nach einem Zeitpunkt, an dem sich das Niveau deutlich ändert. - Vergleiche den Gesamtmittelwert mit beiden Abschnitten. - Überlege, ob getrennte Zusammenfassungen mehr Information liefern.

1. Tage \(1\) bis \(4\) liegen zwischen \(7\) und \(9\) Paketen. 2. Tage \(5\) bis \(8\) liegen zwischen \(19\) und \(21\) Paketen. 3. Der Gesamtmittelwert \(14\) liegt zwischen beiden Phasen und kommt an keinem Tag vor. 4. Er beschreibt weder den alten noch den neuen Ablauf gut; getrennte Mittelwerte sind sinnvoller.

Der Gesamtmittelwert ist für keine der beiden Phasen typisch. Die Abschnitte sollten getrennt ausgewertet werden.

- Welche Sternzahlen kommen im Diagramm tatsächlich vor? - Vergleiche die vorkommenden Bewertungen mit dem angegebenen Durchschnitt. - Überlege, welche Information über die Form der Verteilung verloren geht, wenn nur eine einzige Zahl genannt wird.

1. Aus dem Diagramm liest man \(12\) Bewertungen mit \(1\) Stern und \(12\) Bewertungen mit \(5\) Sternen ab. 2. Das arithmetische Mittel ist \((12\cdot1+12\cdot5):24=3\) Sterne. 3. Tatsächlich gibt es aber keine Bewertungen mit \(2\), \(3\) oder \(4\) Sternen. Alle Reaktionen liegen an den beiden Extremen. 4. Der Mittelwert ist rechnerisch korrekt, verdeckt aber die vollständige Polarisierung und reicht allein nicht als Beschreibung der Reaktionen.

Der Durchschnitt von \(3\) Sternen ist rechnerisch richtig, beschreibt die stark polarisierten Reaktionen aber schlecht. Die Verteilung sollte zusätzlich genannt werden.

- Beziehe den besonderen Anlass in deine Beurteilung ein. - Vergleiche beide Kennwerte mit den normalen Tagen. - Die geplante Situation bestimmt, welche Daten relevant sind.

1. Mittelwert: \(1050:7=150\) Gäste. 2. Median der geordneten Werte: \(101\) Gäste. 3. Der Sonderfest-Wert \(455\) ist für normale Samstage untypisch und erhöht den Mittelwert stark. 4. Der Median liegt nahe bei den sechs normalen Samstagen und ist für diese Planung geeigneter.

Für einen normalen Samstag ist der Median von \(101\) Gästen geeigneter als der Mittelwert von \(150\) Gästen.

- Verwandle den Mittelwert der Zielankömmlinge zunächst in deren gesamte Laufzeit. - Für die Mannschaftswertung erhalten auch die acht Abbrüche einen ausdrücklich festgelegten Zahlenwert. - Vergleiche anschließend genau, welche Personengruppe der Wert \(36\,\text{min}\) und welche der neu berechnete Mittelwert beschreibt.

1. Die \(42\) Zielankömmlinge haben zusammen eine Zeit von \(42\cdot36=1512\,\text{min}\). 2. Die acht Abbrüche gehen nach der Wertungsregel mit \(8\cdot60=480\,\text{min}\) ein. 3. Für alle \(50\) Gestarteten ergibt sich damit die Wertungssumme \(1512+480=1992\,\text{min}\) und der Mittelwert \(1992:50=39{,}84\,\text{min}\). 4. Die \(36\,\text{min}\) sind nur der Mittelwert der \(42\) Zielankömmlinge. Für die ausdrücklich definierte Wertung aller Gestarteten ist der passende Mittelwert \(39{,}84\,\text{min}\). 5. Ohne eine Regel für die Abbrüche gibt es für diese Personen keine Laufzeiten bis zum Ziel, die einfach in denselben Mittelwert aufgenommen werden könnten. Deshalb muss klar angegeben werden, welche Werte und welche Gruppe der Mittelwert beschreibt.

a) \(39{,}84\,\text{min}\) b) Die Aussage ist so nicht richtig. \(36\,\text{min}\) beschreibt nur die \(42\) Zielankömmlinge; nach der angegebenen Wertungsregel beträgt der Mittelwert aller \(50\) Gestarteten \(39{,}84\,\text{min}\). Die Aussagekraft des Mittelwerts hängt hier davon ab, welche Werte für die Abbrüche festgelegt und welche Personen einbezogen werden.

- Zähle, wie oft jeder der beiden Durchschnittswerte in einer Woche gilt. - Bestimme die gesamte Wochenmenge. - Teile erst danach durch sieben Tage.

1. Der Werktagsmittelwert gilt für \(5\) Tage, der Wochenendmittelwert für \(2\) Tage. 2. Wochensumme: \(5\cdot 14+2\cdot 28=126\) Boote. 3. Tagesdurchschnitt: \(126:7=18\) Boote. 4. Toms Rechnung gewichtet beide Tagesarten fälschlich gleich.

Toms Rechnung ist falsch. Der Tagesdurchschnitt der Woche beträgt \(18\) Boote.

- Die beiden Prozentsätze beziehen sich auf unterschiedlich große Gruppen. - Wandle jeden Prozentsatz zunächst in eine Personenzahl um. - Bilde den Gesamtanteil aus allen Personen.

1. Gruppe A: \(0{,}8\cdot 10=8\) erfolgreiche Personen. 2. Gruppe B: \(0{,}4\cdot 30=12\) erfolgreiche Personen. 3. Insgesamt: \(20\) von \(40\) Personen. 4. Gesamtanteil: \(20:40=50\,\%\), nicht \(60\,\%\).

Nein. Insgesamt sind \(20\) von \(40\) Personen erfolgreich, also \(50\,\%\).

- Unterscheide zwischen einer typischen Gruppe und der benötigten Gesamtmenge. - Überlege, welcher Kennwert zusammen mit der Anzahl die Summe festlegt. - Ein Ausreißer kann für die Planung trotzdem real und wichtig sein.

1. Gesamtzahl der Personen: \(119\). 2. Der Mittelwert ist \(119:7=17\) Personen pro Gruppe. 3. Mit Mittelwert und Gruppenzahl lässt sich die Summe rekonstruieren: \(17\cdot 7=119\). 4. Der Median \(13\) beschreibt eine typische Gruppe, bestimmt aber die Gesamtsumme nicht.

Für die Gesamtplanung ist das arithmetische Mittel hilfreicher; es ergibt mit \(7\) Gruppen insgesamt \(119\) Portionen.

- Vergleiche den Zeitungswert mit den meisten Einzelwerten. - Suche nach einer Ausgabe, die den Durchschnitt stark beeinflusst. - Trenne rechnerische Richtigkeit von passender Deutung.

1. Mittelwert: \(77:7=11\) Euro. 2. Median: \(6\) Euro. 3. Sechs Ausgaben liegen zwischen \(4\) und \(7\) Euro; ein Einkauf kostet \(44\) Euro. 4. Die Durchschnittsangabe ist rechnerisch richtig, aber für einen typischen Einkauf irreführend.

Die Angabe ist rechnerisch richtig, aber irreführend. Der Median von \(6\,\text{€}\) beschreibt den typischen Einkauf besser.

- Berechne für a) die beiden Lagekennwerte getrennt. - Vergleiche bei b) den Bereich, in dem fast alle Werte liegen, mit dem einzelnen hohen Wert. - Überlege, welcher Kennwert von der Größe jedes einzelnen Werts abhängt und welcher vor allem von der geordneten Mittelposition. - Für c) ist entscheidend, ob es einen sachlichen Grund gibt, einen bestätigten Messwert aus dem Datensatz zu entfernen.

1. Die Summe aller sieben Messwerte ist \(168\). Daher beträgt das arithmetische Mittel \(168:7=24\). 2. Die Werte sind bereits geordnet. Der vierte Wert ist der Median, also \(m=20\). 3. Der einzelne hohe Wert \(48\) vergrößert die Gesamtsumme stark und zieht dadurch das arithmetische Mittel auf \(24\), obwohl sechs der sieben Werte zwischen \(18\) und \(22\) liegen. Der Median bleibt bei der mittleren Position \(20\) und beschreibt hier den typischen Bereich besser. 4. Da \(48\) ausdrücklich als gültiger Messwert bestätigt ist, darf er nicht allein wegen eines angenehmeren Mittelwerts entfernt werden. Eine Entfernung würde die Datengrundlage ohne sachlichen Grund verändern.

a) Arithmetisches Mittel \(\bar{x}=24\), Median \(m=20\) b) Der Median beschreibt hier einen typischen Wert besser, weil der gültige hohe Einzelwert \(48\) das arithmetische Mittel stark nach oben zieht. c) Das Streichen ist nicht gerechtfertigt. Ein bestätigter Messwert darf nicht nur entfernt werden, damit ein Kennwert günstiger aussieht.

- Ordne die Werte nach der Situation, in der sie gemessen wurden. - Suche nach zwei deutlich verschiedenen Gruppen. - Ein Gesamtmittelwert kann Unterschiede zwischen Gruppen verdecken.

1. Morgenwerte: \(4; 5; 3\) Grad Celsius, im Mittel \(4\) Grad Celsius. 2. Nachmittagswerte: \(18; 19; 17\) Grad Celsius, im Mittel \(18\) Grad Celsius. 3. Der Gesamtmittelwert \(11\) liegt zwischen zwei deutlich getrennten Tageszeit-Gruppen. 4. Getrennte Mittelwerte nach Tageszeit sind aussagekräftiger.

Der Wert \(11\,\text{°C}\) mischt zwei unterschiedliche Tageszeiten. Sinnvoller sind \(4\,\text{°C}\) morgens und \(18\,\text{°C}\) nachmittags.

- Welche Aussage passt am besten zur Lage des Medians und der Box? - Vergleiche den Mittelwert mit dem deutlich höheren Maximalwert. - Prüfe jede Aussage danach, ob sie wirklich aus den dargestellten Kennwerten folgt.

1. Der Median liegt bei \(10\,\text{min}\), und die mittleren \(50\,\%\) der Werte liegen zwischen \(8\,\text{min}\) und \(12\,\text{min}\). 2. Der Mittelwert liegt bei \(14\,\text{min}\), während das Maximum mit \(40\,\text{min}\) weit oberhalb der Box liegt. 3. Aussage A nimmt den gegenüber dem Median erhöhten Mittelwert als typische Zeit, obwohl die Box um \(10\,\text{min}\) liegt. 4. Aussage C ist nicht begründet, denn sehr hohe Werte können den arithmetischen Mittelwert deutlich beeinflussen. 5. Aussage B wird durch Median und Box am besten gestützt.

Aussage B ist am besten begründet: Der Median beträgt \(10\,\text{min}\), und die Box reicht von \(8\,\text{min}\) bis \(12\,\text{min}\). Der hohe Maximalwert kann den Mittelwert nach oben beeinflussen.

- Wie berechnet man den Durchschnitt und wie findet man die Mitte einer Liste? - Was passiert mit dem Durchschnitt, wenn eine sehr große Zahl viel kleiner wird? Hat das Auswirkungen auf den Wert in der Mitte? - Wenn du eine Zahl in der Liste größer machst, was musst du mit einer anderen Zahl tun, damit die Gesamtsumme (und damit der Durchschnitt) gleich bleibt? - Bestimme das obere Quartil als Median der oberen Hälfte; der Median der gesamten Datenreihe wird dabei weggelassen.

1. Teil a): Summe \(4+5+5+6+7+8+21 = 56\). Mittelwert \(\bar{x} = 56 : 7 = 8\). Der Median, also der 4. Wert, ist \(6\). 2. Teil b): Die neue Datenreihe ist \(S'=(4; 5; 5; 6; 7; 8; 8)\). Ihre Summe beträgt \(43\). Der neue Mittelwert ist \(\bar{x}' = 43 : 7 \approx 6{,}14\). Der Median bleibt \(6\). Der Mittelwert ändert sich um etwa \(1{,}86\), der Median gar nicht. Daher ändert sich der Mittelwert stärker. 3. Teil c): Bei \(n=7\) ist das obere Quartil der 6. Wert der sortierten Datenreihe, hier also \(8\). Damit der Mittelwert gleich bleibt, muss die Summe weiterhin \(56\) betragen. Damit der Median gleich bleibt, muss der 4. Wert \(6\) bleiben. 4. Erhöhe den 6. Wert von \(8\) auf \(10\) und verringere den 7. Wert von \(21\) auf \(19\). Dadurch bleibt die Summe unverändert. 5. Die neue Datenreihe \(S''=(4; 5; 5; 6; 7; 10; 19)\) hat die Summe \(56\), den Mittelwert \(8\) und den Median \(6\). Das obere Quartil steigt von \(8\) auf \(10\).

a) Arithmetisches Mittel: \(8\); Median: \(6\). b) Der Mittelwert ändert sich stärker: Er sinkt von \(8\) auf etwa \(6{,}14\), während der Median bei \(6\) bleibt. c) Ja. Ersetzt man \(8\) durch \(10\) und \(21\) durch \(19\), erhält man die Datenreihe \((4; 5; 5; 6; 7; 10; 19)\). Sie hat weiterhin den Mittelwert \(8\) und den Median \(6\), aber das obere Quartil ist \(10\).

- Prüfe zuerst die Rechnung hinter der Werbung. - Frage danach, welche Erfahrungen der Kennwert nicht zeigt. - Eine wahre Durchschnittsangabe kann trotzdem unvollständig sein.

1. Mittelwert: \((18\cdot 2+2\cdot 20):20=3{,}8\) Minuten. 2. Die Aussage „unter \(4\) Minuten“ ist rechnerisch richtig. 3. Zwei Personen warteten jedoch jeweils \(20\) Minuten; diese Information wird vom Mittelwert verdeckt. 4. Der Median \(2\) Minuten beschreibt die Mehrheit, aber auch er zeigt die langen Wartezeiten nicht. 5. Die Verteilung oder der Anteil langer Wartezeiten sollte zusätzlich genannt werden.

Die Aussage ist rechnerisch wahr: Mittelwert \(3{,}8\,\text{min}\). Sie ist aber unvollständig, weil \(10\,\%\) der Personen \(20\,\text{min}\) warteten.

- Übersetze den Mittelwert zuerst in die einzige Gesamtsumme, die sechs Werte zusammen haben müssen. - Für einen Gegenbeweis genügt es, zwei verschiedene zulässige Verteilungen mit derselben Summe zu finden. - Achte darauf, dass alle Werte ganzzahlig und zwischen \(0\) und \(10\) liegen. - Vergleiche am Ende nicht die Mittelwerte, sondern die Anzahlen der Werte ab \(7\).

1. Bei sechs Ergebnissen mit Mittelwert \(7\) muss die Gesamtsumme \(6\cdot7=42\) Punkte betragen. 2. Ein möglicher Datensatz, bei dem mindestens die Hälfte \(7\) Punkte oder mehr erreicht, ist \(4;6;7;8;8;9\). Seine Summe ist \(42\), und vier der sechs Werte sind mindestens \(7\). 3. Ein möglicher Datensatz, bei dem die Aussage nicht stimmt, ist \(6;6;6;6;8;10\). Auch seine Summe ist \(42\), aber nur zwei der sechs Werte sind mindestens \(7\). 4. Derselbe Mittelwert kann also mit sehr unterschiedlichen Verteilungen der Einzelwerte entstehen. Aus \(\bar{x}=7\) allein folgt kein bestimmter Anteil der Werte, die mindestens \(7\) betragen.

Die Folgerung ist nicht zwingend. Beispiel, bei dem sie stimmt: \(4;6;7;8;8;9\). Beispiel, bei dem sie nicht stimmt: \(6;6;6;6;8;10\). Beide Datensätze haben die Summe \(42\) und damit den Mittelwert \(7\), aber unterschiedlich viele Werte von mindestens \(7\).

- Berechne zunächst beide Lagekennwerte für beide Reihen; gleiche Ergebnisse bedeuten noch nicht gleiche Aussagekraft. - Betrachte bei Reihe A, wie viele Werte dicht beieinanderliegen und ob ein Wert deutlich abweicht. - Bei Reihe B ist die Reihenfolge ausdrücklich wichtig. Überlege, welche Information beim Berechnen eines Lagekennwerts verloren geht. - In Teil d) werden zwei verschiedene Ursachen gesucht, nicht zweimal dieselbe Begründung.

1. Reihe A hat die Summe \(70\), also das arithmetische Mittel \(14\); ihr Median ist \(10\). Reihe B hat ebenfalls die Summe \(70\), also das arithmetische Mittel \(14\); ihr Median ist ebenfalls \(14\). 2. In Reihe A liegen vier von fünf Werten bei \(10\), während \(30\) deutlich höher liegt. Für einen gewöhnlichen beobachteten Wert ist daher der Median \(10\) aussagekräftiger als der Mittelwert \(14\). 3. In Reihe B steigen die Werte der zeitlichen Reihenfolge nach ständig an. Mittelwert und Median fassen die Lage zusammen, berücksichtigen aber diese zeitliche Entwicklung nicht. Deshalb ist \(14\) allein keine überzeugende Vorhersage für den nächsten Messwert. 4. Bei A verdeckt der Mittelwert den Einfluss eines einzelnen hohen Extremwerts auf eine sonst konzentrierte Reihe. Bei B verdeckt derselbe Mittelwert die zeitliche Entwicklung der Werte. Es sind also zwei verschiedene Gründe für begrenzte Aussagekraft.

a) Reihe A: arithmetisches Mittel \(14\), Median \(10\) Reihe B: arithmetisches Mittel \(14\), Median \(14\) b) Der Median \(10\), weil vier der fünf Werte dort liegen und der einzelne Wert \(30\) den Mittelwert erhöht. c) Beide Kennwerte ignorieren die deutlich steigende zeitliche Folge in Reihe B; \(14\) allein ist deshalb keine überzeugende Vorhersage für den nächsten Wert. d) A: einzelner hoher Extremwert. B: verlorene Zeitreiheninformation bzw. Trend.