4120507
In einem Land wurde die Menge des jährlich produzierten Plastikmülls pro Person untersucht:
<table>
<thead>
<tr><th>Jahr</th><th>2000</th><th>2004</th><th>2008</th><th>2012</th><th>2016</th><th>2020</th></tr>
</thead>
<tbody>
<tr><td>Müll pro Kopf (in \(\text{kg}\))</td><td>\(32\)</td><td>\(35\)</td><td>\(39\)</td><td>\(42\)</td><td>\(44\)</td><td>\(45\)</td></tr>
</tbody>
</table>
a) Berechne die durchschnittliche jährliche Zunahme der Müllmenge im Zeitraum von 2000 bis 2012.
b) Bestimme durch lineare Interpolation die Müllmenge für das Jahr 2018.
c) Eine Umweltorganisation prognostiziert: „Bis zum Jahr 2030 wird die Müllmenge auf über \(60\,\text{kg}\) pro Person steigen.“ Erscheint diese Prognose angesichts der Daten von 2012 bis 2020 realistisch? Begründe deine Antwort.
Denkanstöße
- Für die jährliche Zunahme teilst du den gesamten Unterschied durch die Anzahl der Jahre.
- Wenn ein Jahr genau zwischen zwei Tabellenwerten liegt, kannst du den Durchschnitt dieser beiden Werte nehmen.
- Vergleiche das aktuelle Wachstum (die letzten Spalten der Tabelle) mit dem Wachstum, das für die Prognose nötig wäre.
Lösung
1. Durchschnittliche jährliche Zunahme 2000–2012: Die Gesamtzunahme beträgt \(42\,\text{kg} - 32\,\text{kg} = 10\,\text{kg}\). Der Zeitraum umfasst \(12\) Jahre. Damit beträgt die durchschnittliche jährliche Zunahme \(10 : 12 \approx 0{,}83\,\text{kg}\) pro Jahr.
2. Lineare Interpolation für 2018: Das Jahr 2018 liegt genau in der Mitte zwischen 2016 (\(44\,\text{kg}\)) und 2020 (\(45\,\text{kg}\)). Daher ergibt sich \(\frac{44 + 45}{2} = 44{,}5\,\text{kg}\).
3. Beurteilung der Prognose: Von 2012 bis 2020 stieg die Menge um \(45\,\text{kg} - 42\,\text{kg} = 3\,\text{kg}\) in \(8\) Jahren, also durchschnittlich um \(0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr. Um von \(45\,\text{kg}\) im Jahr 2020 bis 2030 auf über \(60\,\text{kg}\) zu steigen, wäre eine Zunahme von mehr als \(15\,\text{kg}\), also von mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr, nötig. Das ist deutlich mehr als im Zeitraum 2012–2020; daher erscheint die Prognose unrealistisch.
Antwort
a) Die durchschnittliche jährliche Zunahme der Müllmenge beträgt etwa \(0{,}83\,\text{kg}\) pro Jahr.
b) Für 2018 ergibt die lineare Interpolation etwa \(44{,}5\,\text{kg}\).
c) Die Prognose erscheint unrealistisch: Von 2012 bis 2020 betrug die durchschnittliche Zunahme nur \(0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr. Für einen Wert von über \(60\,\text{kg}\) im Jahr 2030 wären dagegen mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr nötig.
