Aimathic – Zuordnungen und Funktionen – Kostenlose Arbeitsblätter

Zuordnungen und Funktionen

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Schwierigkeit: 1 – 5

5516838

Ein Getränkeautomat hat die Tasten A1, A2 und A3. Beim Drücken einer Taste wird genau ein Getränk ausgewählt: A1 \(\mapsto\) Wasser A2 \(\mapsto\) Apfelschorle A3 \(\mapsto\) Kakao a) Was ist bei dieser Zuordnung jeweils die Eingabe? b) Was ist jeweils die Ausgabe? c) Welche Ausgabe gehört zur Eingabe A2?

Denkanstöße

- Frage dich, was man am Automaten auswählt und was der Automat daraufhin liefert. - Die Eingabe steht links vom Zuordnungspfeil, die Ausgabe rechts davon. - Lies für c) die Zeile mit A2 ab.

Lösung

1. Die Eingaben sind die gedrückten Tasten A1, A2 und A3. 2. Die Ausgaben sind die ausgewählten Getränke Wasser, Apfelschorle und Kakao. 3. Zur Eingabe A2 gehört die Ausgabe Apfelschorle.

Antwort

a) Eingaben sind die Tasten A1, A2 und A3. b) Ausgaben sind Wasser, Apfelschorle und Kakao. c) Zu A2 gehört Apfelschorle.

5516848

Für eine Funktion \(f\) gilt \(f(3)=7\). a) Welche Zahl ist das Argument? b) Welche Zahl ist der zugehörige Funktionswert? c) Welcher Punkt des Graphen von \(f\) wird durch diese Aussage beschrieben? d) Erkläre in einem Satz, was die Schreibweise \(f(3)=7\) bedeutet.

Denkanstöße

- In \(f(x)\) steht in der Klammer das Argument. - Der Wert rechts vom Gleichheitszeichen ist der zugehörige Funktionswert. - Ein Graphpunkt verbindet Argument und Funktionswert als \(x\)- und \(y\)-Koordinate.

Lösung

1. Das Argument ist \(3\). 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(7\). 3. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(3\mid7)\). 4. Die Schreibweise bedeutet: Dem Argument \(3\) ordnet die Funktion \(f\) den Funktionswert \(7\) zu.

Antwort

a) \(3\) b) \(7\) c) \(P(3\mid7)\) d) \(f\) ordnet dem Argument \(3\) den Funktionswert \(7\) zu.

5524208

Bei einer Messung werden zu vier Zeitpunkten die Außentemperaturen notiert: <table> <tr><th>Zeitpunkt \(t\) in h</th><td>8</td><td>10</td><td>12</td><td>14</td></tr> <tr><th>Temperatur \(T\) in \(^\circ\text{C}\)</th><td>12</td><td>15</td><td>18</td><td>15</td></tr> </table> a) Welche Größe ist bei der Zuordnung „Zeitpunkt \(\mapsto\) Temperatur“ die Eingabe und welche die Ausgabe? b) Welche Größe ist die unabhängige und welche die abhängige Größe? c) Erkläre, warum diese Zuordnung eine Funktion ist, obwohl der Wert \(15\,^\circ\text{C}\) zweimal vorkommt.

Denkanstöße

- Lies die Zuordnung in der angegebenen Pfeilrichtung. - Frage dich, welche Größe den betrachteten Messpunkt festlegt und welche Größe dazu abgelesen wird. - Für die Funktionseigenschaft ist entscheidend, wie viele Ausgaben zu einer einzelnen Eingabe gehören.

Lösung

1. Die Eingabe ist der Zeitpunkt \(t\) in Stunden; die Ausgabe ist die zugehörige Temperatur \(T\) in Grad Celsius. 2. Der Zeitpunkt ist die unabhängige Größe. Die gemessene Temperatur hängt vom betrachteten Zeitpunkt ab und ist daher die abhängige Größe. 3. Zu jedem angegebenen Zeitpunkt gehört genau ein Temperaturwert. Dass zu zwei verschiedenen Zeitpunkten derselbe Temperaturwert \(15\,^\circ\text{C}\) gehört, widerspricht der Funktionsdefinition nicht.

Antwort

a) Eingabe: Zeitpunkt \(t\); Ausgabe: Temperatur \(T\). b) Unabhängig: Zeitpunkt; abhängig: Temperatur. c) Ja. Jedem Zeitpunkt ist genau eine Temperatur zugeordnet; derselbe Temperaturwert darf zu mehreren Zeitpunkten gehören.

5551498

Die Tabelle beschreibt eine Zuordnung. <table><tr><th>Eingabe</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td></tr><tr><th>Ausgabe</th><td>\(4\)</td><td>\(1\)</td><td>\(6\)</td></tr></table> Ist diese Zuordnung eine Funktion? Begründe deine Entscheidung mit der Bedingung für eine Funktion.

Denkanstöße

- Prüfe jede Eingabe der Tabelle einzeln. - Entscheidend ist, wie viele Ausgaben zu einer einzelnen Eingabe gehören.

Lösung

1. Zu jeder der drei Eingaben ist genau eine Ausgabe angegeben. 2. Damit erfüllt die Zuordnung die Bedingung für eine Funktion.

Antwort

Ja. Jeder Eingabe ist genau eine Ausgabe zugeordnet.

5551508

Ergänze den Satz mit dem mathematischen Fachbegriff: Eine Zuordnung, bei der jeder zulässigen Eingabe genau eine Ausgabe zugeordnet ist, heißt __________.

Denkanstöße

- Gesucht ist der zentrale Fachbegriff dieses Themas. - Achte besonders auf die Formulierung „jeder Eingabe genau eine Ausgabe“.

Lösung

1. Die genannte Eindeutigkeitsbedingung ist die grundlegende Bedingung für eine Funktion.

Antwort

Funktion

5551588

In einem Schwimmbad werden zu drei Uhrzeiten Wassertemperaturen gemessen: <table><tr><th>Uhrzeit in h</th><td>8</td><td>10</td><td>12</td></tr><tr><th>Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\)</th><td>\(20{,}5\)</td><td>\(22{,}0\)</td><td>\(23{,}5\)</td></tr></table> Eine Funktion \(f\) soll diese Messdaten beschreiben. Welche Größe muss als Eingabe und welche als Ausgabe verwendet werden? Gib jeweils die Einheit an und schreibe die Zuordnung für die Messung um \(10\) Uhr in Funktionsschreibweise.

Denkanstöße

- Frage dich, welche Größe ausgewählt wird und welche Messgröße davon abhängt. - In \(f(x)\) steht das Argument in der Klammer; der zugehörige Messwert steht auf der anderen Seite der Gleichung.

Lösung

1. Die Messung ordnet jedem aufgezeichneten Zeitpunkt genau die dort gemessene Temperatur zu. Daher ist die Eingabe die Uhrzeit in Stunden und die Ausgabe die Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). 2. Für die Messung um \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).

Antwort

Eingabe: Uhrzeit in Stunden. Ausgabe: Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). Für \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).

5572978

In einer Schulbibliothek trägt jedes einzelne Buchexemplar einen eigenen Barcode. Beim Scannen wird jedem Barcode genau der Titel des zugehörigen Buches angezeigt. Von manchen Titeln besitzt die Bibliothek mehrere Exemplare. a) Was ist bei der Zuordnung \(\text{Barcode}\mapsto\text{Buchtitel}\) die Eingabe und was die Ausgabe? b) Ist diese Zuordnung eine Funktion? Begründe. c) Dürfen zwei verschiedene Barcodes denselben Buchtitel als Ausgabe haben, ohne dass die Zuordnung aufhört, eine Funktion zu sein?

Denkanstöße

- Prüfe die Zuordnung immer ausgehend von einer einzelnen Eingabe. - Für die Funktionsdefinition ist wichtig, wie viele Ausgaben zu demselben Barcode gehören. - Wiederholte Ausgaben bei verschiedenen Eingaben sind nicht automatisch ein Problem.

Lösung

1. Eingabe ist der Barcode eines einzelnen Buchexemplars, Ausgabe ist der zugehörige Buchtitel. 2. Zu jedem Barcode gehört genau ein Buchexemplar und damit genau ein Titel. Deshalb ist die Zuordnung eine Funktion. 3. Verschiedene Barcodes dürfen denselben Titel liefern. Für eine Funktion ist nur entscheidend, dass zu jeder einzelnen Eingabe genau eine Ausgabe gehört.

Antwort

a) Eingabe: Barcode; Ausgabe: Buchtitel b) Ja. Jedem Barcode ist genau ein Buchtitel zugeordnet. c) Ja. Verschiedene Eingaben dürfen denselben Funktionswert haben.

5572988

Für das Jahr 2026 wird jedem Monat seine Anzahl an Kalendertagen zugeordnet. a) Nenne die Eingabe- und die Ausgabegröße dieser Zuordnung. b) Begründe, warum die Zuordnung \(\text{Monat}\mapsto\text{Anzahl der Tage}\) eine Funktion ist. c) Betrachte nun die umgekehrte Zuordnung \(\text{Anzahl der Tage}\mapsto\text{Monat}\). Ist sie eine Funktion? Begründe mit einem Beispiel aus dem Kalender.

Denkanstöße

- Prüfe zuerst die Zuordnung in der angegebenen Richtung und nicht nur die beteiligten Größen. - Für die umgekehrte Richtung wird die bisherige Ausgabe zur neuen Eingabe. - Suche bei c) nach einer Tagesanzahl, die bei mehreren Monaten vorkommt.

Lösung

1. Eingabe ist ein Monat des Jahres 2026, Ausgabe ist seine Anzahl an Kalendertagen. 2. Jeder Monat besitzt genau eine feste Anzahl an Tagen. Daher ist die Zuordnung eine Funktion. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Zur Eingabe \(31\) gehören mehrere Monate, zum Beispiel Januar und März. Damit besitzt dieselbe Eingabe mehr als eine mögliche Ausgabe.

Antwort

a) Eingabe: Monat; Ausgabe: Anzahl der Tage b) Ja. Jeder Monat hat genau eine Anzahl an Tagen. c) Nein. Zum Beispiel gehören zur Eingabe \(31\) mehrere Monate.

4119478

Entscheide für jede Situation, ob eine proportionale Zuordnung, eine indirekt proportionale Zuordnung oder keine von beiden vorliegt. Begründe kurz. a) Anzahl gekaufter Brötchen \(\rightarrow\) Gesamtpreis bei festem Stückpreis b) Alter eines Kindes \(\rightarrow\) Körpergröße c) Anzahl gleich starker Pumpen mit konstanter, addierbarer Förderleistung ohne gegenseitige Behinderung \(\rightarrow\) Zeit zum Leeren eines Pools d) Seitenlänge eines Quadrats \(\rightarrow\) Flächeninhalt

Denkanstöße

- Prüfe bei proportionalen Zuordnungen, ob der Quotient der beiden Größen konstant bleibt. - Prüfe bei indirekt proportionalen Zuordnungen, ob das Produkt der beiden Größen konstant bleibt. - Reicht „eine Größe wird größer, die andere kleiner“ als Begründung aus?

Lösung

1. a) Proportional: Bei festem Stückpreis bleibt der Quotient aus Gesamtpreis und Anzahl konstant. 2. b) Weder noch: Die Körpergröße wächst nicht proportional oder indirekt proportional mit dem Alter. 3. c) Indirekt proportional: Unter den genannten Annahmen bleibt das Produkt aus Pumpenzahl und benötigter Zeit konstant. 4. d) Weder noch: Für ein Quadrat gilt \(A=s^2\); bei Verdopplung von \(s\) vervierfacht sich \(A\).

Antwort

a) proportional, weil bei festem Stückpreis der Quotient aus Gesamtpreis und Anzahl konstant bleibt. b) weder noch; es gibt weder einen konstanten Quotienten noch ein konstantes Produkt als allgemeines Modell. c) indirekt proportional, weil unter den Modellannahmen das Produkt aus Pumpenzahl und Zeit konstant bleibt. d) weder noch, weil \(A=s^2\) gilt und eine Verdopplung von \(s\) die Fläche vervierfacht.

4119858

Zwei Tabellen zeigen den Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\). Tabelle A: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(5\)</td><td>\(7\)</td><td>\(9\)</td><td>\(11\)</td></tr> </table> Tabelle B: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(8\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td></tr> </table> Entscheide für jede Tabelle, ob eine proportionale, eine indirekt proportionale oder keine dieser Zuordnungen vorliegt. Begründe mit Quotienten- oder Produktgleichheit.

Denkanstöße

- Welches Kriterium prüfst du für eine proportionale Zuordnung? - Welches Kriterium prüfst du für eine indirekt proportionale Zuordnung? - Reicht bereits ein abweichender Quotient oder Produktwert, um eine Zuordnungsart auszuschließen?

Lösung

1. Tabelle A ist nicht proportional, weil zum Beispiel \(5:1\neq7:2\). Sie ist auch nicht indirekt proportional, weil \(1\cdot5\neq2\cdot7\). Daher liegt keine der beiden Zuordnungen vor. 2. Bei Tabelle B gilt für alle Spalten \(y:x=2{,}5\). Daher ist Tabelle B proportional.

Antwort

Tabelle A: keine der beiden Zuordnungen, denn sowohl die Quotienten als auch die Produkte unterscheiden sich, z. B. \(5:1\neq7:2\) und \(1\cdot5\neq2\cdot7\). Tabelle B: proportional, denn für alle Spalten gilt \(y:x=2{,}5\).

4120128

In einer Schulkantine werden zwei Abläufe untersucht. 1. Für jede Portion Nudeln wird nach festem Rezept die gleiche Wassermenge verwendet. 2. Alle Helfer arbeiten gleich schnell und behindern sich nicht gegenseitig. Je mehr Helfer Gemüse schneiden, desto kürzer dauert dieselbe Vorbereitungsarbeit. a) Entscheide für beide Situationen, ob eine proportionale oder indirekt proportionale Zuordnung vorliegt. Begründe. b) In Situation 2 benötigen vier Helfer \(60\,\text{min}\). Wie lange benötigen sechs Helfer?

Denkanstöße

- Welche Größe ist in Situation 1 pro Portion konstant? - Welches Produkt bleibt in Situation 2 unter den Modellannahmen konstant? - Wie nutzt du diesen Produktwert für sechs Helfer?

Lösung

1. Situation 1 ist proportional: Bei festem Wasserbedarf pro Portion bleibt der Quotient aus Wassermenge und Portionenzahl konstant. 2. Situation 2 ist indirekt proportional: Unter den Modellannahmen bleibt das Produkt aus Helferzahl und Zeit konstant. 3. Der Produktwert beträgt \(4\cdot60=240\) Personenminuten. Für sechs Helfer ergibt sich \(240:6=40\,\text{min}\).

Antwort

a) Situation 1: proportional, weil der Quotient aus Wassermenge und Portionenzahl konstant bleibt. Situation 2: indirekt proportional, weil das Produkt aus Helferzahl und Zeit konstant bleibt. b) \(4\cdot60=240\) Personenminuten und \(240:6=40\,\text{min}\).

4120198

Entscheide jeweils, ob eine proportionale oder indirekt proportionale Zuordnung vorliegt, und berechne den gesuchten Wert. a) \(3\,\text{kg}\) Bio-Äpfel kosten \(5{,}40\,\text{€}\). Was kosten \(7\,\text{kg}\)? b) Vier Maler benötigen \(6\,\text{h}\) für dieselbe Lagerhalle. Alle arbeiten gleich schnell und behindern sich nicht gegenseitig. Wie lange benötigen drei Maler?

Denkanstöße

- Welcher Quotient ist bei a) konstant? - Welches Produkt ist bei b) konstant? - Welche der beiden Prüfideen passt jeweils zur Zuordnungsart?

Lösung

1. a) Die Zuordnung ist proportional. Ein Kilogramm kostet \(5{,}40:3=1{,}80\,\text{€}\). Für \(7\,\text{kg}\) sind das \(1{,}80\cdot7=12{,}60\,\text{€}\). 2. b) Die Zuordnung ist indirekt proportional. Der Arbeitsumfang beträgt \(4\cdot6=24\) Personenstunden. Für drei Maler ergibt sich \(24:3=8\,\text{h}\).

Antwort

a) proportional; \(5{,}40\,\text{€}:3=1{,}80\,\text{€}\) pro Kilogramm und \(1{,}80\,\text{€}\cdot7=12{,}60\,\text{€}\) b) indirekt proportional; \(4\cdot6=24\) Personenstunden und \(24:3=8\,\text{h}\)

4120548

Betrachte ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a\). Wir untersuchen zwei verschiedene Zuordnungen: Zuordnung 1: Seitenlänge \(a\) \(\to\) Umfang \(U\) des Quadrats. Zuordnung 2: Seitenlänge \(a\) \(\to\) Flächeninhalt \(A\) des Quadrats. Erläutere mithilfe des „Verdopplungs-Tests“, warum Zuordnung 1 proportional ist, Zuordnung 2 hingegen nicht. Nutze dazu ein Beispiel mit einer konkreten Seitenlänge (z. B. \(a = 3\,\text{cm}\) und \(a = 6\,\text{cm}\)).

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats. - Was genau muss passieren, damit man eine Zuordnung „proportional“ nennt? - Rechne die Werte für eine beliebige Seitenlänge aus und vergleiche sie mit den Werten für die doppelte Seitenlänge.

Lösung

1. Zuordnung 1 (Umfang): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 6 = 24\,\text{cm}\). Da sich bei Verdopplung der Eingangsgröße auch die Ausgangsgröße verdoppelt, ist die Zuordnung proportional. 2. Zuordnung 2 (Fläche): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(A = 3^2 = 9\,\text{cm}^2\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(A = 6^2 = 36\,\text{cm}^2\). Da \(36\) das Vierfache von \(9\) ist (und nicht das Doppelte), ist die Zuordnung nicht proportional.

Antwort

Zuordnung 1 ist proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Verdopplung des Umfangs \(U\) führt (\(12\,\text{cm} \to 24\,\text{cm}\)). Zuordnung 2 ist nicht proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts \(A\) führt (\(9\,\text{cm}^2 \to 36\,\text{cm}^2\)).

4321938

Gegeben sind die drei Graphen (1), (2) und (3). a) Untersuche für jeden Graphen, ob die Zuordnung \(x\mapsto y\) eine Funktion ist. Begründe jeweils mit der Eindeutigkeit der Zuordnung. b) Lies für \(x=1\) bei jedem Graphen alle zugehörigen \(y\)-Werte ab. Wie bestätigt diese Ablesung deine Entscheidung aus a)? c) Beim Graphen (3) haben die beiden Argumente \(x=-1\) und \(x=1\) denselben Funktionswert. Erkläre, warum das trotzdem nicht gegen die Funktionseigenschaft verstößt.

Denkanstöße

- Denke bei a) an eine senkrechte Linie: Wie oft kann sie den jeweiligen Graphen treffen? - Lies in b) nur entlang der senkrechten Linie durch \(x=1\). - Unterscheide in c) sorgfältig zwischen „zwei Argumente haben denselben Wert“ und „ein Argument hat zwei Werte“.

Lösung

1. Graph (1) ist eine Funktion, weil zu jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert gehört. Graph (2) ist keine Funktion, weil es \(x\)-Werte mit zwei verschiedenen zugehörigen \(y\)-Werten gibt. Graph (3) ist eine Funktion, weil zu jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert gehört. 2. Bei \(x=1\) liest man in Graph (1) den Wert \(y=1{,}5\), in Graph (2) die beiden Werte \(y=-1\) und \(y=1\) und in Graph (3) den Wert \(y=3\) ab. Damit zeigt Graph (2) unmittelbar die fehlende Eindeutigkeit. 3. Für eine Funktion ist erlaubt, dass verschiedene Argumente denselben Funktionswert besitzen. Entscheidend ist, dass jedes einzelne Argument genau einen Funktionswert hat.

Antwort

a) Graph (1): Funktion; Graph (2): keine Funktion; Graph (3): Funktion. b) Bei \(x=1\): Graph (1) \(y=1{,}5\); Graph (2) \(y=-1\) und \(y=1\); Graph (3) \(y=3\). Graph (2) hat damit für dasselbe Argument zwei Werte. c) Verschiedene Argumente dürfen denselben Funktionswert haben. Verboten wären mehrere Funktionswerte zu demselben Argument.

5516858

Die folgende Tabelle gehört zu einer Funktion \(f\): <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(-1\)</td></tr> </table> a) Beschreibe in Worten, wie aus einem Argument der zugehörige Funktionswert entsteht. b) Gib einen passenden Funktionsterm an. c) Prüfe deinen Funktionsterm am Argument \(x=-1\).

Denkanstöße

- Vergleiche, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn die Argumente jeweils um \(1\) zunehmen. - Nutze besonders das Wertepaar mit \(x=0\), um den konstanten Anteil der Regel zu erkennen. - Prüfe eine gefundene Regel an mindestens einem Tabellenwert.

Lösung

1. Wenn das Argument um \(1\) größer wird, wird der Funktionswert jeweils um \(2\) kleiner. Bei \(x=0\) ist der Funktionswert \(1\). Eine passende Beschreibung lautet: Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). 2. Ein passender Funktionsterm ist \(f(x)=1-2x\). 3. Für \(x=-1\) ergibt sich \(f(-1)=1-2\cdot(-1)=3\). Das stimmt mit der Tabelle überein.

Antwort

a) Verdopple das Argument, ändere das Vorzeichen und addiere \(1\). b) \(f(x)=1-2x\) c) \(f(-1)=3\); der Term passt zur Tabelle.

5516868

Für eine Funktion \(g\) sind zwei Zuordnungen bekannt: \(g(-2)=5\) \(g(1)=0{,}5\) a) Schreibe beide Aussagen mit einem Zuordnungspfeil. b) Gib die beiden zugehörigen Punkte des Graphen an. c) Erkläre, warum aus \(g(-2)=5\) nicht automatisch \(g(5)=-2\) folgt.

Denkanstöße

- Beim Zuordnungspfeil steht das Argument links und der Funktionswert rechts. - Ein Graphpunkt hat die Form \((\text{Argument}\mid\text{Funktionswert})\). - Überlege bei c), welche Information die Gleichung tatsächlich über das Argument \(5\) enthält.

Lösung

1. Mit Zuordnungspfeilen lauten die Aussagen \(-2\mapsto5\) und \(1\mapsto0{,}5\). 2. Die zugehörigen Graphpunkte sind \(P(-2\mid5)\) und \(Q(1\mid0{,}5)\). 3. Die Aussage \(g(-2)=5\) legt nur fest, welcher Funktionswert zum Argument \(-2\) gehört. Sie sagt nichts darüber aus, welcher Funktionswert zum Argument \(5\) gehört. Eingabe und Ausgabe dürfen daher nicht einfach vertauscht werden.

Antwort

a) \(-2\mapsto5\); \(1\mapsto0{,}5\) b) \(P(-2\mid5)\); \(Q(1\mid0{,}5)\) c) Aus einer Zuordnung darf man Eingabe und Ausgabe nicht ohne weitere Information vertauschen.

5516878

Das Diagramm zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). a) Formuliere den markierten Punkt \(P(-1\mid4)\) als Aussage mit Funktionsschreibweise. b) Welches Argument gehört zum Funktionswert \(0\)? c) Entscheide, welche Aussage zum Diagramm passt: \(f(4)=3\), \(f(2)=3\) oder \(f(-3)=4\).

Denkanstöße

- Bei einem Punkt \((x\mid y)\) ist \(x\) das Argument und \(y\) der Funktionswert. - Suche für b) die Stelle des Graphen mit der \(y\)-Koordinate \(0\). - Prüfe für c) jede Aussage an dem Punkt mit dem angegebenen Argument.

Lösung

1. Der Punkt \(P(-1\mid4)\) bedeutet \(f(-1)=4\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((2\mid0)\). Zum Funktionswert \(0\) gehört daher das Argument \(2\). 3. Der Graph enthält den Punkt \((4\mid3)\). Daher ist \(f(4)=3\) richtig. Die beiden anderen Aussagen stimmen nicht mit den dargestellten Punkten überein.

Antwort

a) \(f(-1)=4\) b) \(2\) c) \(f(4)=3\)

5516888

Die Zuordnung \(h\) ist durch die folgende Tabelle gegeben: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(h(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> </table> Mira sagt: „Das kann keine Funktion sein, weil der Funktionswert \(3\) zweimal vorkommt.“ Beurteile Miras Aussage und erkläre, worauf es bei einer Funktion tatsächlich ankommt.

Denkanstöße

- Vergleiche Miras Begründung Wort für Wort mit der Definition einer Funktion. - Prüfe die Tabelle ausgehend von jedem einzelnen \(x\)-Wert. - Unterscheide zwischen „zwei Eingaben haben dieselbe Ausgabe“ und „eine Eingabe hat zwei verschiedene Ausgaben“.

Lösung

1. Die Argumente \(-2\) und \(2\) haben beide den Funktionswert \(3\). Das ist für eine Funktion zulässig. 2. Entscheidend ist, dass jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird. In der Tabelle hat jeder der vier Eingabewerte genau eine Ausgabe. 3. Die Zuordnung ist daher eine Funktion und Miras Begründung ist falsch.

Antwort

Miras Aussage ist falsch. Mehrere Argumente dürfen denselben Funktionswert haben; jedes Argument muss nur eindeutig genau einen Funktionswert besitzen. Die dargestellte Zuordnung ist eine Funktion.

5516898

Für eine Funktion \(g\) ist der Term \(g(x)=2x+1\) angegeben. Das Diagramm soll angeblich den Graphen von \(g\) zeigen. Prüfe die Behauptung an den Argumenten \(x=0\) und \(x=2\). Entscheide anschließend, ob das Diagramm zu \(g\) gehört, und begründe deine Entscheidung.

Denkanstöße

- Berechne die Funktionswerte aus dem angegebenen Term unabhängig vom Diagramm. - Lies anschließend im Diagramm die Werte zu denselben Argumenten ab. - Für die Widerlegung einer Übereinstimmung genügt bereits ein Gegenbeispiel.

Lösung

1. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(0)=2\cdot0+1=1\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=0\) jedoch bei \(y=-1\). 2. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(2)=2\cdot2+1=5\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=2\) jedoch bei \(y=3\). 3. Das Diagramm gehört daher nicht zur Funktion \(g\). Schon ein abweichendes Wertepaar würde ausreichen, um die Behauptung zu widerlegen.

Antwort

Das Diagramm gehört nicht zu \(g\). Beispielsweise gilt nach dem Term \(g(0)=1\), im Diagramm ist bei \(x=0\) aber \(y=-1\).

5516928

Das Diagramm zeigt vollständig den Graphen einer Funktion \(f\) im dargestellten Bereich. a) Lies \(f(-1)\) und \(f(2)\) ab. b) Formuliere den markierten Punkt \(B(2\mid3)\) als Zuordnung mit Funktionsschreibweise. c) Der Funktionswert \(2\) kommt im Graphen an mehreren Stellen vor. Amira behauptet deshalb: „Dann ist \(f\) keine Funktion.“ Beurteile die Aussage und begründe mit der Funktionsdefinition. d) Was ist bei der Funktionsdefinition eindeutig: der Funktionswert zu einem vorgegebenen Argument oder das Argument zu einem vorgegebenen Funktionswert?

Denkanstöße

- Lies bei einem festen \(x\)-Wert die zugehörige Höhe des Graphen ab. - Ein Punkt \((x\mid y)\) entspricht der Aussage \(f(x)=y\). - Prüfe bei der Funktionseigenschaft immer die Richtung vom Argument zum Funktionswert. - Mehrere Stellen mit derselben Höhe sind nicht automatisch ein Widerspruch.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man \(f(-1)=-1\) und \(f(2)=3\) ab. 2. Der Punkt \(B(2\mid3)\) bedeutet \(f(2)=3\). 3. Die Behauptung ist falsch. Ein Funktionswert darf zu mehreren verschiedenen Argumenten gehören. Entscheidend ist, dass zu jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert gehört. Der dargestellte Graph erfüllt diese Bedingung. 4. Eindeutig sein muss der Funktionswert zu einem vorgegebenen Argument. Umgekehrt kann derselbe Funktionswert zu mehreren Argumenten gehören.

Antwort

a) \(f(-1)=-1\); \(f(2)=3\) b) \(f(2)=3\) c) Die Aussage ist falsch. Mehrere Argumente dürfen denselben Funktionswert haben. d) Zu jedem vorgegebenen Argument muss genau ein Funktionswert gehören.

5524218

Das Diagramm zeigt eine Zuordnung. Die Punkte links sind Eingaben, die Punkte rechts Ausgaben. Jeder Pfeil wird von links nach rechts gelesen. a) Schreibe alle vier Zuordnungen mit einem Zuordnungspfeil auf. b) Erkläre, warum die dargestellte Zuordnung eine Funktion ist. c) Welche Ausgabe gehört zu zwei verschiedenen Eingaben? Ist das bei einer Funktion erlaubt?

Denkanstöße

- Verfolge jeden Pfeil einzeln von der linken zur rechten Spalte. - Prüfe für die Funktionseigenschaft jede Eingabe links, nicht jede Ausgabe rechts. - Überlege, ob eine gemeinsam genutzte Ausgabe dieselbe Art von Konflikt erzeugt wie zwei verschiedene Ausgaben zu einer Eingabe.

Lösung

1. Die Pfeile zeigen \(A\mapsto P\), \(B\mapsto Q\), \(C\mapsto Q\) und \(D\mapsto R\). 2. Von jeder Eingabe links geht genau ein Pfeil zu einer Ausgabe rechts. Daher ist die Zuordnung eine Funktion. 3. Die Ausgabe \(Q\) gehört sowohl zu \(B\) als auch zu \(C\). Das ist erlaubt, weil verschiedene Eingaben denselben Funktionswert haben dürfen.

Antwort

a) \(A\mapsto P\), \(B\mapsto Q\), \(C\mapsto Q\), \(D\mapsto R\) b) Ja. Jede Eingabe besitzt genau eine Ausgabe. c) \(Q\); ja, mehrere Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben.

5524228

Für eine Funktion \(f\) sind einige Zuordnungen bekannt: \(-3\mapsto9\), \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto0\), \(2\mapsto4\), \(4\mapsto16\). Zur Auswahl stehen vier Rechenregeln: „Eingabe verdoppeln“, „Eingabe quadrieren“, „Eingabe um \(3\) erhöhen“ und „Betrag der Eingabe bilden“. a) Welche der vier Rechenregeln passt zu allen fünf Zuordnungen? Begründe, warum die anderen Regeln nicht zu allen Paaren passen. b) Gib zu der passenden Regel einen Funktionsterm an. c) Bestimme mit derselben Regel \(f(5)\) und \(f(-2)\).

Denkanstöße

- Teste jede angebotene Regel an mehreren der gegebenen Zuordnungen, einschließlich einer negativen Eingabe. - Eine Regel scheidet aus, sobald sie auch nur ein gegebenes Wertepaar nicht erzeugt. - Verwende für c) genau die in a) ausgewählte Regel.

Lösung

1. Die Regel „Eingabe quadrieren“ passt zu allen fünf Paaren. Die anderen Regeln scheitern bereits bei mindestens einem gegebenen Paar, zum Beispiel bei einer negativen Eingabe oder bei \(x=0\). 2. Der passende Funktionsterm ist \(f(x)=x^2\). 3. Damit gilt \(f(5)=25\) und \(f(-2)=4\).

Antwort

a) Die Eingabe wird quadriert. b) \(f(x)=x^2\) c) \(f(5)=25\); \(f(-2)=4\)

5524238

Zu einer Funktion \(k\) gehören die folgenden fünf mathematischen Angaben: A: \(k\) B: \(4x-3\) C: \(k(x)=4x-3\) D: \(k(-2)=-11\) E: \(Q(-2\mid-11)\) a) Ordne den Angaben A bis E die Begriffe Funktionsname, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Aussage über einen Funktionswert und Graphpunkt zu. b) Welches Argument und welcher Funktionswert treten in D auf? c) Erkläre, warum D und E dasselbe Wertepaar in zwei verschiedenen Darstellungsformen beschreiben. d) Erkläre den Unterschied zwischen dem Funktionsterm B und dem Funktionswert in D.

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen dem Namen einer Funktion und der Rechenvorschrift, mit der sie Werte erzeugt. - Achte bei D darauf, welche Zahl als Argument eingesetzt wird und welche Zahl als Funktionswert herauskommt. - Vergleiche bei D und E die Reihenfolge von Argument und Funktionswert mit den beiden Punktkoordinaten.

Lösung

1. A ist der Funktionsname, B der Funktionsterm, C die Funktionsgleichung, D eine Aussage über einen Funktionswert und E der zugehörige Graphpunkt. 2. In \(k(-2)=-11\) ist \(-2\) das Argument und \(-11\) der Funktionswert. 3. Die Aussage \(k(-2)=-11\) bedeutet, dass zum Argument \(-2\) der Funktionswert \(-11\) gehört. Im Koordinatensystem wird genau dieses Wertepaar durch den Punkt \(Q(-2\mid-11)\) dargestellt. 4. Der Funktionsterm \(4x-3\) ist die allgemeine Rechenvorschrift mit der Variablen \(x\). Der Wert \(-11\) entsteht erst, wenn das Argument \(-2\) eingesetzt wird.

Antwort

a) A: Funktionsname; B: Funktionsterm; C: Funktionsgleichung; D: Aussage über einen Funktionswert; E: Graphpunkt b) Argument: \(-2\); Funktionswert: \(-11\) c) D und E beschreiben dasselbe Wertepaar: \(k(-2)=-11\) entspricht \(Q(-2\mid-11)\). d) B ist die allgemeine Rechenvorschrift; \(-11\) ist ein einzelner Funktionswert für das Argument \(-2\).

5551518

Für eine Theatergarderobe wird jedem abgegebenen Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet. Die Zuordnung ist nur durch eine Liste von Mantel-Markennummer-Paaren festgelegt; eine Rechenformel gibt es nicht. Mara behauptet: „Ohne Rechenformel kann die Zuordnung keine Funktion sein.“ Beurteile die Behauptung und nenne das tatsächlich entscheidende Kriterium.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Bedingung, die in der Definition einer Funktion vorkommt. - Vergleiche diese Bedingung mit Maras Forderung nach einer Rechenformel. - Betrachte einen einzelnen Mantel und frage, wie viele Ausgaben ihm zugeordnet sind.

Lösung

1. Ob eine Funktion vorliegt, hängt nicht davon ab, ob eine Rechenformel angegeben ist. 2. Entscheidend ist, dass jedem Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet ist. 3. Nach der Beschreibung ist diese Bedingung erfüllt; die Zuordnung ist daher eine Funktion.

Antwort

Maras Behauptung ist falsch. Eine Rechenformel ist nicht erforderlich; entscheidend ist, dass jedem Mantel genau eine Garderobenmarke zugeordnet ist.

5572998

Für die Wahl von Arbeitsgemeinschaften steht in einer Liste: <table> <tr><th>Teilnehmenden-ID</th><th>eingetragene AG</th></tr> <tr><td>A17</td><td>Robotik</td></tr> <tr><td>B04</td><td>Theater</td></tr> <tr><td>C11</td><td>Schach</td></tr> <tr><td>B04</td><td>Volleyball</td></tr> </table> Die Liste soll die Zuordnung \(\text{Teilnehmenden-ID}\mapsto\text{eingetragene AG}\) darstellen. a) Ist die dargestellte Zuordnung eine Funktion? Begründe. b) Nenne eine konkrete Änderung an der Liste, durch die daraus eine Funktion wird, ohne eine neue Eingabegröße einzuführen. c) Erkläre, warum das bloße Auftreten verschiedener AGs kein Grund gegen eine Funktion ist.

Denkanstöße

- Suche nicht nach mehrfach vorkommenden Ausgaben, sondern nach mehrfach vorkommenden Eingaben. - Vergleiche bei jeder wiederholten Eingabe die zugehörigen Ausgaben. - Für b) soll die Eingabegröße unverändert bleiben; ändere deshalb nur die Zuordnungseinträge.

Lösung

1. Die Zuordnung ist keine Funktion, weil zur Eingabe B04 zwei verschiedene Ausgaben gehören: Theater und Volleyball. 2. Eine mögliche Reparatur ist, für B04 genau einen der beiden Einträge zu entfernen. Dann besitzt jede aufgeführte ID genau eine eingetragene AG. 3. Unterschiedliche Ausgaben sind erlaubt. Entscheidend ist nur, dass eine einzelne Eingabe nicht mehreren Ausgaben zugeordnet wird.

Antwort

a) Nein. B04 ist zwei verschiedenen AGs zugeordnet. b) Zum Beispiel einen der beiden Einträge für B04 entfernen. c) Verschiedene Eingaben dürfen verschiedene Ausgaben haben; problematisch sind mehrere Ausgaben zur gleichen Eingabe.

5573008

Eine Zuordnung weist jedem deutschen Wort die Anzahl seiner Buchstaben zu. Groß- und Kleinschreibung spielt keine Rolle; Umlaute zählen jeweils als ein Buchstabe. a) Begründe, warum \(\text{Wort}\mapsto\text{Buchstabenanzahl}\) eine Funktion ist. b) Ist die umgekehrte Zuordnung \(\text{Buchstabenanzahl}\mapsto\text{Wort}\) eine Funktion? Begründe mit zwei verschiedenen Wörtern gleicher Länge. c) Erkläre, welche Eigenschaft der ursprünglichen Zuordnung dafür verantwortlich ist, dass die Umkehrung scheitert.

Denkanstöße

- Prüfe für a) ein beliebiges einzelnes Wort als Eingabe. - Für b) genügt ein Gegenbeispiel mit zwei verschiedenen Wörtern gleicher Buchstabenanzahl. - Überlege bei c), was beim Umkehren aus einem gemeinsam angenommenen Funktionswert wird.

Lösung

1. Jedes einzelne Wort besitzt genau eine Buchstabenanzahl. Deshalb ist die Zuordnung eine Funktion. 2. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Beispielsweise haben „Haus“ und „Baum“ jeweils vier Buchstaben. Zur Eingabe \(4\) gäbe es damit mindestens zwei Ausgaben. 3. Verschiedene Wörter können denselben Funktionswert besitzen. Beim Umkehren wird dieser gemeinsame Funktionswert zu einer Eingabe mit mehreren möglichen Ausgaben.

Antwort

a) Ja. Jedes Wort hat genau eine Buchstabenanzahl. b) Nein. Zum Beispiel haben „Haus“ und „Baum“ beide \(4\) Buchstaben. c) Verschiedene Eingaben können denselben Funktionswert besitzen; dadurch ist die Umkehrung nicht eindeutig.

4119818

Ein Kopierer arbeitet mit konstanter Geschwindigkeit. a) Bei \(45\) Seiten pro Minute: Wie viele Seiten druckt er in \(4\), \(10\) und \(15\) Minuten? b) Welche Zuordnungsart beschreibt Zeit \(\rightarrow\) Seitenzahl? c) Ein Auftrag umfasst \(540\) Seiten. Wie lange dauert er bei \(30\), \(45\) bzw. \(60\) Seiten pro Minute? d) Stelle für c) Geschwindigkeit \(\rightarrow\) Zeit in einer Tabelle dar. Welche Zuordnungsart liegt hier vor?

Denkanstöße

- Welcher Quotient ist in b) konstant? - Welche Gesamtseitenzahl bleibt in c) und d) fest? - Welches Produkt ist deshalb in d) konstant?

Lösung

1. Bei \(45\) Seiten pro Minute erhält man nach \(4\), \(10\) und \(15\) Minuten \(180\), \(450\) und \(675\) Seiten. 2. Zeit und Seitenzahl sind proportional, weil der Quotient aus Seitenzahl und Zeit konstant \(45\) ist. 3. Für \(540\) Seiten ergeben sich \(540:30=18\), \(540:45=12\) und \(540:60=9\) Minuten. 4. Bei fester Seitenzahl bleibt das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit gleich \(540\). Daher ist diese Zuordnung indirekt proportional.

Antwort

a) \(180\), \(450\), \(675\) Seiten b) proportional c) \(18\,\text{min}\), \(12\,\text{min}\), \(9\,\text{min}\) d) <table> <tr><td>Seiten pro Minute</td><td>\(30\)</td><td>\(45\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>Zeit in \(\text{min}\)</td><td>\(18\)</td><td>\(12\)</td><td>\(9\)</td></tr> </table> indirekt proportional

4119828

Eine Baufirma kalkuliert die Arbeitszeit für das Verlegen von Fliesen in einer neuen Turnhalle. Für die gesamte Fläche werden insgesamt \(120\) Personenstunden benötigt. a) Wie viele Stunden dauert die Arbeit, wenn \(2\), \(3\), \(5\) oder \(8\) Fliesenleger gleichzeitig und gleich schnell arbeiten? b) Stelle eine Formel (Term) auf, die die Dauer \(d\) in Stunden in Abhängigkeit von der Anzahl der Arbeiter \(p\) angibt. c) Die Firma erhält einen weiteren Auftrag für kleinere Räume. Ein Arbeiter benötigt für einen Raum \(15\) Arbeitsstunden. Wie viele Arbeitsstunden fallen insgesamt an, wenn die Firma \(4\), \(6\) oder \(10\) dieser identischen Räume fliesen lässt? d) Gib für Teil c) die Art der Zuordnung zwischen der Anzahl der Räume und den gesamten Arbeitsstunden an. Es wird vorausgesetzt, dass alle Fliesenleger gleich schnell und mit konstanter Leistung arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern.

Denkanstöße

- Was bedeutet „Personenstunden“? Es ist das Produkt aus der Arbeitszeit und der Anzahl der gleichzeitig arbeitenden Personen. - Wenn mehr Leute mithelfen, wird die Dauer für dieselbe Aufgabe kürzer oder länger? - In Teil c) kommt mit jedem Raum die gleiche Menge an Arbeit hinzu. Welcher Zuordnungstyp beschreibt so ein gleichmäßiges Wachstum?

Lösung

1. Für Teil a wird die Gesamtzahl der Personenstunden durch die Personenanzahl geteilt: \(120:2=60\,\text{h}\), \(120:3=40\,\text{h}\), \(120:5=24\,\text{h}\) und \(120:8=15\,\text{h}\). 2. Für Teil b ist die Dauer der Quotient aus der Zahl der Personenstunden und der Personenanzahl, also \(d=\frac{120}{p}\). 3. Für Teil c gilt: \(15\cdot4=60\) Arbeitsstunden, \(15\cdot6=90\) Arbeitsstunden und \(15\cdot10=150\) Arbeitsstunden. 4. Für jeden zusätzlichen Raum kommen konstant \(15\) Arbeitsstunden hinzu. Deshalb ist die Zuordnung in Teil c proportional.

Antwort

a) Bei \(2\) Personen dauert es \(60\,\text{h}\), bei \(3\) Personen \(40\,\text{h}\), bei \(5\) Personen \(24\,\text{h}\) und bei \(8\) Personen \(15\,\text{h}\). b) Der Term lautet \(d=\frac{120}{p}\). c) Für \(4\) Räume werden \(60\) Stunden, für \(6\) Räume \(90\) Stunden und für \(10\) Räume \(150\) Stunden benötigt. d) Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung. Die Berechnung setzt gleiche konstante Einzelproduktivität ohne gegenseitige Behinderung voraus.

4120188

Untersuche die beiden Situationen hinsichtlich ihrer Zuordnungsart. Situation 1: Ein Auto verbraucht unter gleichbleibenden Bedingungen auf \(100\,\text{km}\) genau \(6\,\text{l}\) Benzin. Berechne den Verbrauch für \(250\,\text{km}\). Situation 2: Ein Futtervorrat reicht für \(10\) Pferde genau \(12\) Tage. Jedes Pferd verbraucht täglich gleich viel. Wie lange reicht der Vorrat nach dem Verkauf von \(2\) Pferden? Gib jeweils an, ob die Zuordnung proportional oder indirekt proportional ist, und zeige den Rechenweg.

Denkanstöße

- Welche Größe bleibt in Situation 1 pro Kilometer konstant? - Welches Produkt bleibt in Situation 2 wegen des festen Vorrats konstant? - Wie viele Pferde sind nach dem Verkauf noch da?

Lösung

1. Situation 1 ist proportional. Der Verbrauch pro Kilometer beträgt \(6:100=0{,}06\,\text{l/km}\). Für \(250\,\text{km}\) ergibt sich \(250\cdot0{,}06=15\,\text{l}\). 2. Situation 2 ist indirekt proportional. Der feste Vorrat entspricht \(10\cdot12=120\) Pferdetagen. 3. Nach dem Verkauf bleiben \(8\) Pferde. Daher reicht der Vorrat \(120:8=15\) Tage.

Antwort

Situation 1: proportional; \(250\cdot\frac{6}{100}=15\,\text{l}\). Situation 2: indirekt proportional; \(10\cdot12=120\) Pferdetage und \(120:8=15\) Tage.

4120208

Ein Sportverein mischt für ein Sommerfest ein Erfrischungsgetränk. a) Für das feste Mischverhältnis werden \(2\,\text{l}\) Sirup mit \(10\,\text{l}\) Wasser gemischt. Wie viel Wasser benötigt man für \(5\,\text{l}\) Sirup? b) Unabhängig davon stehen \(12\,\text{l}\) fertiges Getränk bereit. Wie viele Gläser zu je \(0{,}3\,\text{l}\) lassen sich füllen? c) Begründe für a) und b) die jeweilige Zuordnungsart.

Denkanstöße

- Welche Größe bleibt in a) als Verhältnis konstant? - Welche Gesamtmenge bleibt in b) fest? - Welches Produkt aus Füllmenge pro Glas und Glasanzahl ist in b) deshalb konstant?

Lösung

1. In a) bleibt das Mischverhältnis konstant. Daher ist die Zuordnung proportional. Pro Liter Sirup werden \(10:2=5\,\text{l}\) Wasser benötigt; für \(5\,\text{l}\) Sirup also \(25\,\text{l}\) Wasser. 2. In b) bleibt die Gesamtmenge \(12\,\text{l}\) konstant. Daher sind Füllmenge pro Glas und Glasanzahl indirekt proportional. Es gilt \(12:0{,}3=40\).

Antwort

a) \(25\,\text{l}\) Wasser b) \(40\) Gläser c) a) proportional, weil der Quotient aus Wasser- und Sirupmenge konstant bleibt; b) indirekt proportional, weil das Produkt aus Füllmenge pro Glas und Glasanzahl die feste Gesamtmenge \(12\,\text{l}\) ergibt.

5516908

Konstruiere eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D=\{-2;0;3;5\}\) und der Wertemenge \(W=\{1;4;6\}\). Zusätzlich sollen gelten: \(f(-2)=1\) \(f(0)=f(3)\) \(f(5)>f(3)\) Stelle deine Funktion als Wertetabelle dar und prüfe anschließend alle Bedingungen.

Denkanstöße

- Markiere zuerst die Zuordnung, die bereits vollständig vorgegeben ist. - Die beiden Argumente \(0\) und \(3\) müssen denselben Funktionswert bekommen. - Vergiss nicht, dass in der Wertemenge jeder der drei Werte tatsächlich vorkommen muss.

Lösung

1. Der Wert \(1\) ist bereits durch \(f(-2)=1\) festgelegt. 2. Da \(f(0)=f(3)\) gelten soll und die Wertemenge genau \(\{1;4;6\}\) sein muss, müssen \(0\) und \(3\) beide den Wert \(4\) erhalten. Sonst könnten nicht alle drei Werte \(1\), \(4\) und \(6\) auftreten. 3. Für \(x=5\) bleibt damit der Wert \(6\). Außerdem ist \(6>4\), also gilt \(f(5)>f(3)\). 4. Die Wertetabelle ist: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table>

Antwort

<table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table> Alle Bedingungen sind erfüllt.

5516918

Für eine Funktion \(f\) gilt \(f(-2)=5\) und \(f(4)=5\). Jonas schreibt dazu: „In \(f(-2)=5\) ist \(5\) das Argument und \(-2\) der Funktionswert. Deshalb liegt der Punkt \(P(5\mid-2)\) auf dem Graphen. Außerdem kann \(f\) keine Funktion sein, weil der Wert \(5\) zweimal vorkommt.“ Finde und korrigiere alle drei Fehler in Jonas' Erklärung.

Denkanstöße

- Lies die Schreibweise \(f(x)=y\) von innen nach außen: Was steht in der Klammer, was rechts vom Gleichheitszeichen? - Übertrage Argument und Funktionswert in derselben Reihenfolge auf einen Punkt \((x\mid y)\). - Entscheidend für eine Funktion ist die Eindeutigkeit von der Eingabe zur Ausgabe.

Lösung

1. In \(f(-2)=5\) ist \(-2\) das Argument und \(5\) der Funktionswert. 2. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(-2\mid5)\), nicht \(P(5\mid-2)\). 3. Der Funktionswert \(5\) darf zu verschiedenen Argumenten gehören. Hier gilt \(f(-2)=5\) und \(f(4)=5\). Das widerspricht der Funktionseigenschaft nicht, solange jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet ist.

Antwort

Jonas hat Argument und Funktionswert vertauscht, dadurch auch die Punktkoordinaten vertauscht, und die Wiederholung eines Funktionswerts fälschlich als Verstoß gegen die Funktionseigenschaft gedeutet. Richtig ist: Argument \(-2\), Funktionswert \(5\), Punkt \(P(-2\mid5)\); derselbe Funktionswert darf zu mehreren Argumenten gehören.

5573018

Gesucht ist eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D=\{1;2;3;4;5\}\) und der Wertemenge \(W=\{a;b;c\}\). Zusätzlich gilt: - \(f(1)=a\), - \(f(2)=b\), - \(f(3)\ne a\), - \(f(4)=f(5)\). a) Gib eine mögliche vollständige Wertetabelle für \(f\) an. b) Begründe, dass deine Tabelle alle Bedingungen erfüllt und die Wertemenge tatsächlich genau \(W\) ist. c) Ist die umgekehrte Zuordnung zu deiner Funktion eine Funktion? Begründe. d) Gibt es mehr als eine mögliche Wertetabelle? Begründe durch ein zweites Beispiel oder durch eine allgemeine Überlegung.

Denkanstöße

- Beginne mit den beiden bereits festgelegten Zuordnungen und prüfe, welcher Wert aus der vorgegebenen Wertemenge noch vorkommen muss. - Die Gleichung \(f(4)=f(5)\) muss erfüllt sein, ohne einen Wert außerhalb von \(W\) einzuführen. - Prüfe am Ende für jedes Element aus \(D\), ob genau ein Funktionswert festgelegt ist. - Für die Umkehrung untersuchst du, ob ein vorkommender Funktionswert zu mehreren Argumenten gehört.

Lösung

1. Wegen \(f(1)=a\) und \(f(2)=b\) kommen \(a\) und \(b\) bereits vor. Damit die Wertemenge genau \(\{a;b;c\}\) ist, muss auch \(c\) mindestens einmal vorkommen. Eine mögliche Wahl ist \(f(3)=c\) und \(f(4)=f(5)=b\). 2. Die vollständige Tabelle lautet damit \(1\mapsto a\), \(2\mapsto b\), \(3\mapsto c\), \(4\mapsto b\), \(5\mapsto b\). Jedes Argument besitzt genau einen Funktionswert, und die vorkommenden Werte sind genau \(a\), \(b\) und \(c\). Außerdem gilt \(f(3)\ne a\) und \(f(4)=f(5)\). 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Zum Funktionswert \(b\) gehören hier die verschiedenen Argumente \(2\), \(4\) und \(5\). 4. Die Wertetabelle ist nicht eindeutig. Zum Beispiel ist auch \(f(3)=b\) und \(f(4)=f(5)=c\) möglich; alle übrigen festen Zuordnungen bleiben gleich.

Antwort

a) Zum Beispiel \(1\mapsto a,\ 2\mapsto b,\ 3\mapsto c,\ 4\mapsto b,\ 5\mapsto b\) b) Alle fünf Argumente haben genau einen Wert; es kommen genau \(a\), \(b\), \(c\) vor und die Zusatzbedingungen sind erfüllt. c) Nein. Mindestens ein Funktionswert gehört zu mehreren Argumenten, zum Beispiel \(b\). d) Ja, zum Beispiel ist auch \(1\mapsto a,\ 2\mapsto b,\ 3\mapsto b,\ 4\mapsto c,\ 5\mapsto c\) möglich.

5573028

Eine Zahlenmaschine arbeitet nach folgender Regel: Ist die eingegebene ganze Zahl gerade, wird ihre Hälfte ausgegeben. Ist die eingegebene ganze Zahl ungerade, wird die um \(1\) größere Zahl ausgegeben. a) Bestimme die Ausgaben zu den Eingaben \(-3\), \(-2\), \(5\) und \(8\). b) Begründe, warum diese Zuordnung für alle ganzen Zahlen eine Funktion ist. c) Ist die umgekehrte Zuordnung ebenfalls eine Funktion? Untersuche dazu, ob zwei verschiedene Eingaben dieselbe Ausgabe liefern können.

Denkanstöße

- Entscheide bei jeder Eingabe zuerst, welche der beiden beschriebenen Regeln gilt. - Für b) ist entscheidend, ob eine ganze Zahl gleichzeitig in beide Fälle fallen oder in keinen Fall fallen kann. - Für c) suchst du zwei verschiedene Eingaben mit demselben Ergebnis.

Lösung

1. Für \(-3\) gilt die ungerade Regel, also ist die Ausgabe \(-2\). Für \(-2\) gilt die gerade Regel, also ist die Ausgabe \(-1\). Für \(5\) ist die Ausgabe \(6\), für \(8\) die Ausgabe \(4\). 2. Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade. Damit greift für jede Eingabe genau eine der beiden Regeln, und diese liefert genau eine Ausgabe. Die Zuordnung ist daher eine Funktion. 3. Die Umkehrung ist keine Funktion. Beispielsweise liefern die beiden Eingaben \(3\) und \(8\) die Ausgaben \(4\) beziehungsweise \(4\). Zur umgekehrten Eingabe \(4\) gäbe es damit mindestens zwei Ausgaben.

Antwort

a) \(-3\mapsto-2\), \(-2\mapsto-1\), \(5\mapsto6\), \(8\mapsto4\) b) Ja. Für jede ganze Zahl greift genau eine Regel und liefert genau eine Ausgabe. c) Nein. Zum Beispiel führen \(3\) und \(8\) beide zur Ausgabe \(4\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.