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- Überlege dir, wie du die Rechenoperationen (Plus, Minus, Mal) in Sätze übersetzen kannst. - Stelle dir vor, du müsstest jemandem am Telefon erklären, wie man aus \(x\) den Wert \(y\) berechnet. - Was passiert mit dem einen Wert, wenn der andere größer wird?

1. Analyse der Gleichung \(x + y = 18\): Die Summe der beiden Unbekannten \(x\) und \(y\) ergibt stets \(18\). 2. Analyse der Gleichung \(y = x - 7\): Der Wert von \(y\) ist immer um \(7\) kleiner als der Wert von \(x\). 3. Analyse der Gleichung \(x = 3y\): Der Wert von \(x\) entspricht dem Dreifachen des Wertes von \(y\). 4. Analyse der Gleichung \(y = -x\): Die Werte \(x\) und \(y\) sind Gegenzahlen zueinander; ihre Summe ist \(0\).

a) Die Summe von \(x\) und \(y\) ist \(18\). b) \(y\) ist um \(7\) kleiner als \(x\). c) \(x\) ist das Dreifache von \(y\). d) \(x\) und \(y\) sind Gegenzahlen (oder: \(y\) ist der entgegengesetzte Wert von \(x\)).

- Betrachte die Messung zu einem festgelegten Zeitpunkt. - Wann würde bei der Rückrichtung ein Größenwert zu mehreren Personen führen? - Welche Eigenschaft müssen die Größenwerte besitzen, damit die Rückrichtung eindeutig ist?

1. Bedingung für Eindeutigkeit: Die Zuordnung ist eindeutig, wenn jede Person zu einem festgelegten Messzeitpunkt genau einen Wert für die Körpergröße besitzt. 2. Bedingung für eine nicht eindeutige Umkehrzuordnung: Haben mindestens zwei Personen dieselbe gemessene Körpergröße, werden diesem Größenwert mehrere Personen zugeordnet. Dann ist die Umkehrzuordnung nicht eindeutig. 3. Voraussetzung für Umkehrbarkeit: Jede in der Klasse vorkommende Körpergröße muss genau einer Person zugeordnet sein. Alle gemessenen Körpergrößen müssen also verschieden sein.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, wenn jede Person zu einem festgelegten Zeitpunkt genau eine Körpergröße hat. b) Die Umkehrzuordnung ist nicht eindeutig, sobald mindestens zwei Personen dieselbe gemessene Körpergröße haben. c) Die Zuordnung ist umkehrbar, wenn alle gemessenen Körpergrößen in der Klasse verschieden sind.

- Überlege dir, ob ein Element der ersten Menge zu mehr als einem Element der zweiten Menge führen kann. - Stell dir vor, du drückst eine Taste am Automaten: Kannst du sicher sein, welcher Preis erscheint? - Was passiert, wenn zwei verschiedene Dinge denselben Wert (z. B. denselben Preis) haben?

1. Zuordnung Fachnummer \(\to\) Preis: Jedem Fach ist im Automaten genau ein Preis zugeordnet. Da es keine Fachnummer gibt, die gleichzeitig zwei verschiedene Preise hat, ist diese Zuordnung eindeutig. 2. Zuordnung Preis \(\to\) Fachnummer: Mindestens ein Preis steht an mehreren Fächern, da verschiedene Produkte gleich viel kosten. Da einem Preis somit mehrere Fachnummern zugeordnet sind, ist diese Zuordnung nicht eindeutig. 3. Beispiel Schulalltag: Die Zuordnung „Schüler \(\to\) Geburtsdatum“ ist eindeutig, da jeder Schüler nur ein Geburtsdatum hat. Die Umkehrung „Geburtsdatum \(\to\) Schüler“ ist nicht eindeutig, da mehrere Schüler am selben Tag Geburtstag haben können.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, da jede Fachnummer genau einen Preis hat. b) Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da verschiedene Fächer den gleichen Preis haben können. c) Beispiel: Schüler \(\to\) Geburtsdatum ist eindeutig; Geburtsdatum \(\to\) Schüler ist nicht unbedingt eindeutig, da mehrere Schüler am selben Tag Geburtstag haben können.

- Überlege dir: Was passiert mit der zweiten Größe, wenn ich die erste Größe verdopple? - Gibt es einen Wert, der immer gleich bleibt (z. B. ein Einzelpreis oder eine Gesamtleistung)? - Wächst der Mensch ein Leben lang gleichmäßig schnell?

1. Fall a): Proportional. Da jede Karte den gleichen festen Preis hat, führt die doppelte Anzahl an Karten zum doppelten Gesamtpreis. Der Quotient aus Preis und Anzahl (Einzelpreis) ist konstant. 2. Fall b): Antiproportional. Wenn doppelt so viele Maler arbeiten, benötigen sie für dieselbe Fläche nur die Hälfte der Zeit. Das Produkt aus Anzahl der Personen und Zeit ist konstant. 3. Fall c): Keine von beiden. Ein Kind wächst nicht in jedem Jahr um den gleichen Betrag, und bei Verdopplung des Alters verdoppelt sich die Körpergröße nicht (ein 20-Jähriger ist nicht doppelt so groß wie ein 10-Jähriger). Es gibt keinen konstanten Faktor.

a) Proportional, da der Preis pro Karte konstant ist. b) Antiproportional, da mehr Personen weniger Zeit benötigen (Produktgleichheit). c) Keine von beiden, da das Wachstum nicht gleichmäßig verläuft und keine Verdopplung vorliegt.

- Überlege dir für jeden Fall ein konkretes Beispiel: Was passiert mit der zweiten Größe, wenn du die erste Größe verdoppelst? - Prüfe, ob das Verhältnis zwischen den beiden Größen immer gleich bleibt. - Überlege, ob das Produkt der beiden Größen in einem der Fälle konstant sein könnte. - Gibt es einen Fall, in dem die Zuordnung zwar einer festen Regel folgt, aber nicht proportional ist?

1. a) Proportional: Da der Preis pro Brötchen fest ist, führt die Verdopplung der Anzahl zur Verdopplung des Preises (Quotientengleichheit). 2. b) Keine von beiden: Kinder wachsen nicht gleichmäßig proportional zu ihrem Alter; ein 10-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 5-jähriges. 3. c) Antiproportional: Da die Pumpen gleich stark sind, halbiert sich die Zeit, wenn man die Anzahl der Pumpen verdoppelt (Produktgleichheit). 4. d) Keine von beiden: Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = s \cdot s\). Bei Verdopplung der Seitenlänge vervierfacht sich der Flächeninhalt, das Verhältnis \(\frac{A}{s}\) ist nicht konstant.

a) proportional b) weder noch c) antiproportional d) weder noch

- Überlege dir zuerst: Wenn sich die eine Größe verdoppelt, verdoppelt oder halbiert sich dann die andere Größe? - Was bleibt in der jeweiligen Situation unverändert? Ist es der Preis pro Kilogramm oder die gesamte Arbeitsmenge? - Kannst du einen Zwischenschritt über die Zahl 1 machen?

1. Teilaufgabe a): Da der Preis bei gleicher Sorte gleichmäßig mit dem Gewicht steigt, liegt eine proportionale Zuordnung vor. 2. Berechnung für a): Zuerst den Preis für \(1\,\text{kg}\) bestimmen: \(5{,}40\,\text{€} : 3 = 1{,}80\,\text{€}\). Dann den Preis für \(7\,\text{kg}\) berechnen: \(1{,}80\,\text{€} \cdot 7 = 12{,}60\,\text{€}\). 3. Teilaufgabe b): Da mehr Personen für dieselbe Arbeit weniger Zeit benötigen (und das Produkt aus Personen und Zeit konstant bleibt), liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. 4. Berechnung für b): Zuerst die gesamte Arbeitszeit in Personenstunden berechnen: \(4\,\text{Personen} \cdot 6\,\text{h} = 24\,\text{Personenstunden}\). Dann die Zeit für 3 Maler bestimmen: \(24\,\text{Personenstunden} : 3\,\text{Personen} = 8\,\text{h}\).

a) Proportionale Zuordnung; der Preis für \(7\,\text{kg}\) beträgt \(12{,}60\,\text{€}\). b) Antiproportionale Zuordnung; die \(3\) Maler benötigen \(8\) Stunden.

- Überlege dir: Wenn du den ersten Wert verdoppelst, was passiert dann mit dem zweiten Wert? - Bleibt das Verhältnis zwischen den Werten immer gleich oder bleibt das Produkt der Werte immer gleich? - Gibt es in der Natur oder im Alltag Dinge, die zwar zusammenhängen, aber nicht immer im gleichen Maße steigen?

1. Teilaufgabe a): Da jede Packung das gleiche Gewicht hat, führt eine Verdopplung der Anzahl der Packungen zu einer Verdopplung des Gesamtgewichts. Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung (Quotientengleichheit). 2. Teilaufgabe b): Wenn doppelt so viele Arbeiter eingesetzt werden, benötigen sie für die gleiche Fläche nur die halbe Zeit. Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung (Produktgleichheit). 3. Teilaufgabe c): Zwar wächst ein Baum mit dem Alter, jedoch nicht gleichmäßig. In jungen Jahren wächst er schneller, im Alter langsamer oder gar nicht mehr. Es liegt keine einfache proportionale oder antiproportionale Gesetzmäßigkeit vor.

a) Proportionale Zuordnung: Doppelte Anzahl bedeutet doppeltes Gewicht. b) Antiproportionale Zuordnung: Doppelte Arbeiteranzahl bedeutet halbe Zeit. c) Keine von beiden: Das Wachstum ist nicht über die gesamte Lebensdauer gleichmäßig.

- Was bedeutet es für eine Zuordnung, wenn man sagt, sie sei „eindeutig“? - Überlege dir, ob es verschiedene Zahlen gibt, die beim Quadrieren dasselbe Ergebnis liefern. - Schau dir für die Umkehrbarkeit an, was passiert, wenn du vom Ergebnis zurück zur Ausgangszahl gehen möchtest. - Wie müsste die Menge der erlaubten Zahlen aussehen, damit man beim Rückwärtsrechnen immer nur bei genau einer Zahl landet?

1. Prüfung der Eindeutigkeit: Jedem Wert \(x\) aus der Menge der ganzen Zahlen wird durch die Rechenvorschrift \(x \cdot x\) genau ein Ergebnis zugeordnet. Da es für keine Zahl zwei verschiedene Quadrate gibt, ist die Zuordnung eindeutig. 2. Prüfung der Umkehrbarkeit: Eine Zuordnung ist nur umkehrbar, wenn auch die Rückrichtung eindeutig ist. Da zum Beispiel sowohl \(2^2 = 4\) als auch \((-2)^2 = 4\) gilt, würde dem Wert \(4\) in der Rückrichtung mehr als eine Zahl (\(2\) und \(-2\)) zugeordnet werden. Die Zuordnung ist also nicht umkehrbar. 3. Einschränkung der Ausgangsmenge: Damit jedem Quadratwert nur genau eine Ausgangszahl zugeordnet werden kann, darf nur jeweils eine der beiden Zahlen mit gleichem Betrag in der Menge enthalten sein. Eine mögliche Teilmenge ist die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen \(\{0, 1, 2, 3, \dots\}\) oder die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\).

a) Die Zuordnung ist eindeutig, da jede ganze Zahl genau ein Quadrat besitzt. b) Sie ist nicht umkehrbar, da verschiedene Ausgangswerte dasselbe Ergebnis haben können, zum Beispiel: \(2 \mapsto 4\) und \(-2 \mapsto 4\). c) Eine mögliche Teilmenge ist \(\{0, 1, 2, 3, \dots\}\) (die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen).

- Stell dir vor, du stehst am Kassenautomaten. Kann es sein, dass dir für dieselbe Zeit zwei verschiedene Preise angezeigt werden? - Überlege dir, ob du aus dem gezahlten Preis (z. B. \(4{,}00\,\text{€}\)) sekundengenau ablesen kannst, wie lange das Auto im Parkhaus stand. - Was müsste passieren, damit die Rückrichtung (vom Preis zur Zeit) eindeutig wäre?

1. Begründung der Eindeutigkeit: Für jede beliebige Parkdauer \(t > 0\) lässt sich mithilfe der Tarifliste genau ein Preis ermitteln. Es gibt keine Parkdauer, für die zwei verschiedene Preise gleichzeitig gelten würden. Somit ist die Zuordnung eindeutig. 2. Untersuchung der Umkehrbarkeit: Eine Zuordnung ist umkehrbar, wenn auch jedem Preis genau eine Parkdauer zugeordnet werden kann. Im Parkhaus bezahlen jedoch alle Fahrzeuge, die beispielsweise zwischen \(1{,}1\,\text{h}\) und \(2\,\text{h}\) parken, denselben Preis von \(4{,}00\,\text{€}\). Da einem Preis somit viele verschiedene Parkdauern entsprechen können, ist die Rückzuordnung nicht eindeutig und die Zuordnung damit nicht umkehrbar.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, da jeder Parkdauer genau ein Preis zugeordnet wird. b) Die Zuordnung ist nicht umkehrbar, da einem Preis (z. B. \(4{,}00\,\text{€}\)) viele verschiedene Parkdauern (z. B. \(1{,}2\,\text{h}\) oder \(1{,}8\,\text{h}\)) zugeordnet werden können.

- Kann eine Person zu einem bestimmten Zeitpunkt an zwei verschiedenen Orten gleichzeitig sein? - Wenn man hin- und herläuft, kommt man dann an bestimmten Punkten öfter vorbei? - Was bedeutet Stillstand für den Verlauf eines Graphen in einem Koordinatensystem?

1. Zuordnung Zeit \(\to\) Entfernung: Zu jedem beliebig gewählten Zeitpunkt nach dem Start befindet sich der Wanderer an genau einem Ort und hat somit genau eine bestimmte Entfernung zur Hütte. Die Zuordnung ist eindeutig. 2. Zuordnung Entfernung \(\to\) Zeit: Da der Wanderer ein Stück zurückläuft, erreicht er bestimmte Entfernungswerte mehrfach (einmal beim Hinweg, einmal beim Rückweg). Somit sind einer Entfernung mehrere Zeitpunkte zugeordnet. Die Zuordnung ist nicht eindeutig. 3. Graph der Pause: Während der Pause ändert sich die Entfernung über einen gewissen Zeitraum nicht. Der Graph verläuft in diesem Zeitintervall waagerecht (parallel zur Zeitachse).

a) Die Zuordnung ist eindeutig. b) Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da der Wanderer durch das Zurücklaufen die gleiche Entfernung zu verschiedenen Zeitpunkten erreicht. c) Während der Pause verläuft der Graph waagerecht.

- Überlege in Teil a), was passiert, wenn der Kopierer doppelt so lange läuft. - In Teil c) ist die Gesamtmenge der Seiten fest vorgegeben. Wie ändert sich die Zeit, wenn der Kopierer schneller arbeitet? - Prüfe für die Tabellen, ob das Verhältnis (Quotient) oder das Produkt der Werte immer gleich bleibt.

1. Berechnung für Teil a): Multiplikation der Geschwindigkeit mit der Zeit. Für \(4\,\text{min}\): \(45 \cdot 4 = 180\) Seiten. Für \(10\,\text{min}\): \(45 \cdot 10 = 450\) Seiten. Für \(15\,\text{min}\): \(45 \cdot 15 = 675\) Seiten. 2. Zuordnungstyp für Teil b): Der Quotient aus Seitenanzahl und Zeit (\(\frac{y}{x} = 45\)) ist konstant, also ist die Zuordnung proportional. 3. Berechnung für Teil c): Division der Gesamtseiten durch die Geschwindigkeit. Bei \(30\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 30 = 18\,\text{min}\). Bei \(45\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 45 = 12\,\text{min}\). Bei \(60\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 60 = 9\,\text{min}\). 4. Zuordnungstyp für Teil d): Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit (\(v \cdot t = 540\)) ist konstant, daher ist diese Zuordnung antiproportional.

a) In \(4\,\text{min}\) werden \(180\) Seiten, in \(10\,\text{min}\) werden \(450\) Seiten und in \(15\,\text{min}\) werden \(675\) Seiten gedruckt. b) Dies ist eine proportionale Zuordnung. c) Bei \(30\,\text{Seiten}/\text{min}\) dauert es \(18\,\text{min}\), bei \(45\,\text{Seiten}/\text{min}\) sind es \(12\,\text{min}\) und bei \(60\,\text{Seiten}/\text{min}\) sind es \(9\,\text{min}\). d) <table> <tbody> <tr><td>Geschwindigkeit (\(\text{Seiten}/\text{min}\))</td><td>30</td><td>45</td><td>60</td></tr> <tr><td>Zeit (\(\text{min}\))</td><td>18</td><td>12</td><td>9</td></tr> </tbody> </table> Dies ist eine antiproportionale Zuordnung.

- Was bedeutet „Arbeitsstunden“? Es ist das Produkt aus der Zeit und der Anzahl der Leute, die diese Zeit investieren. - Wenn mehr Leute mithelfen, wird die Dauer für dieselbe Aufgabe kürzer oder länger? - In Teil c) kommt mit jedem Raum die gleiche Menge an Arbeit hinzu. Welcher Zuordnungstyp beschreibt so ein gleichmäßiges Wachstum?

1. Berechnung der Dauer für Teil a): Die Gesamtstunden werden durch die Personenanzahl geteilt. Für \(2\) Personen: \(120 : 2 = 60\,\text{h}\). Für \(3\) Personen: \(120 : 3 = 40\,\text{h}\). Für \(5\) Personen: \(120 : 5 = 24\,\text{h}\). Für \(8\) Personen: \(120 : 8 = 15\,\text{h}\). 2. Term für Teil b): Die Dauer \(d\) ist der Quotient aus Gesamtaufwand und Personenanzahl, also \(d = \frac{120}{p}\). 3. Berechnung der Gesamtstunden für Teil c): Multiplikation der Stunden pro Raum mit der Anzahl der Räume. Für \(4\) Räume: \(15 \cdot 4 = 60\) Arbeitsstunden. Für \(6\) Räume: \(15 \cdot 6 = 90\) Arbeitsstunden. Für \(10\) Räume: \(15 \cdot 10 = 150\) Arbeitsstunden. 4. Zuordnungstyp für Teil d): Da die Gesamtstunden mit der Anzahl der Räume gleichmäßig steigen (\(\text{Stunden} = 15 \cdot \text{Räume}\)), ist dies eine proportionale Zuordnung.

a) Bei \(2\) Personen dauert es \(60\,\text{h}\), bei \(3\) Personen \(40\,\text{h}\), bei \(5\) Personen \(24\,\text{h}\) und bei \(8\) Personen \(15\,\text{h}\). b) Der Term lautet \(d = \frac{120}{p}\). c) Für \(4\) Räume werden \(60\) Stunden, für \(6\) Räume \(90\) Stunden und für \(10\) Räume \(150\) Stunden benötigt. d) Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung.

- Teste für jede Tabelle nacheinander beide Kriterien: Ist der Quotient immer gleich? Ist das Produkt immer gleich? - Schon ein einziges Paar, das nicht zum Rest passt, schließt die jeweilige Eigenschaft aus. - Bei Tabelle A: Wie verändert sich \(y\), wenn \(x\) um \(1\) größer wird? Ist das ein Merkmal für Proportionalität?

1. Untersuchung Tabelle A: Quotienten \(\frac{y}{x}\): \(\frac{5}{1}=5\); \(\frac{7}{2}=3{,}5\). Nicht quotientengleich, also nicht proportional. Produkte \(x \cdot y\): \(1 \cdot 5 = 5\); \(2 \cdot 7 = 14\). Nicht produktgleich, also nicht antiproportional. Ergebnis für A: Keine dieser Zuordnungen. 2. Untersuchung Tabelle B: Quotienten \(\frac{y}{x}\): \(\frac{2{,}5}{1}=2{,}5\); \(\frac{5}{2}=2{,}5\); \(\frac{10}{4}=2{,}5\); \(\frac{20}{8}=2{,}5\). Ergebnis für B: Da alle Quotienten gleich \(2{,}5\) sind (Quotientengleichheit), liegt eine proportionale Zuordnung vor.

Tabelle A: Keine dieser Zuordnungen, da weder Quotientengleichheit (\(5 \neq 3{,}5\)) noch Produktgleichheit (\(5 \neq 14\)) vorliegt. Tabelle B: Proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt (\(\frac{y}{x} = 2{,}5\)).

- Achte darauf, was in der jeweiligen Situation gleich bleibt. - In Teil a) geht es um ein festes Verhältnis zweier Stoffe. - In Teil b) geht es um das Verteilen einer festen Gesamtmenge auf verschiedene Portionen.

1. Teilaufgabe a): Das Mischverhältnis bleibt gleich, daher ist die Zuordnung Sirupmenge zu Wassermenge proportional. 2. Berechnung für a): Pro Liter Sirup werden \(10\,\text{l} : 2 = 5\,\text{l}\) Wasser benötigt. Für \(5\,\text{l}\) Sirup sind es demnach \(5 \cdot 5\,\text{l} = 25\,\text{l}\) Wasser. 3. Teilaufgabe b): Die Gesamtmenge des Getränks ist fest (\(12\,\text{l}\)). Je größer das einzelne Glas, desto weniger Gläser können gefüllt werden. Das Produkt aus Glasgröße und Anzahl ist konstant (\(0{,}2 \cdot 60 = 12\)), daher ist die Zuordnung antiproportional. 4. Berechnung für b): Die Gesamtmenge von \(12\,\text{l}\) wird durch die neue Glasgröße geteilt: \(12\,\text{l} : 0{,}3\,\text{l} = 40\). Es können \(40\) Gläser gefüllt werden.

a) Es werden \(25\,\text{l}\) Wasser benötigt. b) Man könnte \(40\) Gläser füllen. c) a) ist proportional (festes Mischverhältnis), b) ist antiproportional (feste Gesamtmenge).

- Überlege zuerst, wie viele Flyer ein einzelner Kopierer in einer Stunde schafft. - Wie viele Flyer schaffen dann die fünf Kopierer gemeinsam in einer Stunde? - Wie oft passt diese Stundenleistung in die gesamte Menge der Flyer?

1. Berechnung der Leistung eines Kopierers pro Stunde: \(\frac{1\,200\,\text{Flyer}}{3\,\text{Kopierer} \cdot 4\,\text{Stunden}} = 100\,\text{Flyer pro Kopierer-Stunde}\). 2. Berechnung der Gesamtleistung von \(5\) Kopierern pro Stunde: \(5 \cdot 100\,\text{Flyer/h} = 500\,\text{Flyer/h}\). 3. Berechnung der benötigten Zeit für \(3\,000\) Flyer: \(\frac{3\,000\,\text{Flyer}}{500\,\text{Flyer/h}} = 6\,\text{Stunden}\).

Die \(5\) Kopierer benötigen \(6\) Stunden für die \(3\,000\) Flyer.

- Überlege dir: Wenn eine Größe verdoppelt wird, was passiert dann mit der anderen Größe? Wird sie auch doppelt so groß oder wird sie halbiert? - Welcher Wert bleibt bei der Gemüse-Vorbereitung konstant?

1. Zuordnung 1: Proportional. Begründung: Da pro Portion stets die gleiche Wassermenge verwendet wird, verdoppelt sich bei einer Verdopplung der Portionenzahl auch die benötigte Wassermenge. 2. Zuordnung 2: Antiproportional. Begründung: Unter den genannten idealisierten Bedingungen halbiert sich die Arbeitszeit, wenn sich die Anzahl der Helfer verdoppelt. 3. Berechnung für Situation 2: Gesamtzeitaufwand = \(4\,\text{Helfer} \cdot 60\,\text{Minuten} = 240\,\text{Personenminuten}\). 4. Zeit für sechs Helfer: \(\frac{240\,\text{Personenminuten}}{6\,\text{Helfer}} = 40\,\text{Minuten}\).

a) Situation 1 ist proportional (mehr Portionen \(\rightarrow\) mehr Wasser). Situation 2 ist antiproportional (mehr Helfer \(\rightarrow\) weniger Zeit). b) Sechs Helfer benötigen \(40\,\text{Minuten}\).

- Überlege für jede Situation einzeln: Wenn die eine Größe steigt, was passiert mit der anderen? - In Situation 2: Achte darauf, wie viele Pferde nach dem Verkauf noch da sind. - Kannst du eine Konstante finden? In Situation 1 ist es der Verbrauch pro Kilometer, in Situation 2 die Gesamtmenge des Futters.

Situation 1 (Kraftstoffverbrauch): 1. Zuordnungsart: Proportional (doppelte Strecke benötigt doppelten Kraftstoff). 2. Verbrauch pro Kilometer: \(6\,\text{l} : 100\,\text{km} = 0{,}06\,\text{l}/\text{km}\) 3. Verbrauch für \(250\,\text{km}\): \(250\,\text{km} \cdot 0{,}06\,\text{l}/\text{km} = 15\,\text{l}\) Situation 2 (Futtervorrat): 1. Zuordnungsart: Antiproportional (weniger Tiere verbrauchen den gleichen Vorrat in längerer Zeit). 2. Gesamtvorrat in Pferdetagen: \(10\,\text{Pferde} \cdot 12\,\text{Tage} = 120\,\text{Pferdetage}\) 3. Neue Anzahl der Pferde: \(10 - 2 = 8\,\text{Pferde}\) 4. Dauer für \(8\) Pferde: \(120 : 8 = 15\,\text{Tage}\)

Situation 1: Proportionale Zuordnung. Das Auto verbraucht \(15\,\text{l}\) auf \(250\,\text{km}\). Situation 2: Antiproportionale Zuordnung. Der Vorrat reicht für \(8\) Pferde insgesamt \(15\) Tage lang.

- Ermittle zuerst, wie viel Kubikmeter Erde ein einziger Bagger in einer Stunde schafft. - Berechne dann, wie viel Erde vier Bagger in acht Stunden schaffen würden. - Überlege für den zweiten Teil, was passiert, wenn zu viele Maschinen auf engem Raum arbeiten.

1. Berechnung der Arbeitsleistung eines Baggers pro Stunde: \(\frac{150\,\text{m}^3}{2\,\text{Bagger} \cdot 5\,\text{h}} = 15\,\text{m}^3/\text{h}\) pro Bagger. 2. Berechnung der Gesamtleistung von \(4\) Baggern in \(8\) Stunden: \(4\,\text{Bagger} \cdot 8\,\text{h} \cdot 15\,\text{m}^3/(\text{Bagger} \cdot \text{h}) = 480\,\text{m}^3\). 3. Vergleich mit dem Zielwert: \(480\,\text{m}^3 < 600\,\text{m}^3\). Die \(4\) Bagger reichen nicht aus (man bräuchte \(\frac{600}{15 \cdot 8} = 5\) Bagger). 4. Möglicher Grund für Abweichungen in der Realität: Platzmangel auf der Baustelle, gegenseitige Behinderung der Bagger, Wartezeiten bei den Abtransport-LKW.

a) Nein, \(4\) Bagger reichen nicht aus. Sie schaffen in der Zeit nur \(480\,\text{m}^3\). Erforderlich wären \(5\) Bagger. b) Mögliche Gründe sind Platzmangel auf der Baustelle, gegenseitige Behinderung oder Engpässe beim Abtransport der Erde.

- Stelle dir vor, du verdoppelst den ersten Wert. Was passiert mit dem zweiten Wert? - Verdoppelt er sich auch, halbiert er sich oder passiert etwas ganz anderes? - Gibt es einen festen Zusammenhang, der über den gesamten Bereich gilt?

1. Situation a): Proportional. Bei doppeltem Gewicht verdoppelt sich auch der Preis (bei konstantem Preis pro Kilogramm). 2. Situation b): Proportional. Da die Geschwindigkeit gleich bleibt, wird in der doppelten Zeit auch die doppelte Strecke zurückgelegt. 3. Situation c): Antiproportional. Verdoppelt man die Anzahl der Arbeiter, halbiert sich theoretisch die benötigte Zeit. 4. Situation d): Keine der beiden. Das Wachstum eines Kindes verläuft nicht gleichmäßig und stoppt im Erwachsenenalter; ein doppeltes Alter führt nicht zur doppelten Größe.

a) Proportional b) Proportional c) Antiproportional d) Keine der beiden

- Wie viel Arbeit (in Personentagen) muss insgesamt erledigt werden? - Wie viel Arbeit ist nach den ersten vier Tagen noch übrig? - Wie lange brauchen die verbliebenen Arbeiter für diesen Rest? - Vergleiche die neue Dauer mit der Zeit, die ohne den Abzug der Arbeiter noch nötig gewesen wäre.

1. Berechnung der gesamten Arbeitsleistung: \(12 \cdot 10 = 120\,\text{Personentage}\) 2. Bereits erbrachte Leistung nach \(4\) Tagen: \(12 \cdot 4 = 48\,\text{Personentage}\) 3. Verbleibende Arbeitsleistung: \(120 - 48 = 72\,\text{Personentage}\) 4. Anzahl der verbliebenen Maler: \(12 - 4 = 8\,\text{Maler}\) 5. Benötigte Zeit für die Restarbeit: \(72 : 8 = 9\,\text{Tage}\) 6. Vergleich mit der ursprünglich geplanten Restzeit: Die ursprüngliche Restzeit betrug \(6\) Tage (\(10 - 4\)). Die Verzögerung beträgt somit \(9 - 6 = 3\,\text{Tage}\).

Die Fertigstellung verzögert sich insgesamt um \(3\) Tage.

- Erinnere dich an die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats. - Was genau muss passieren, damit man eine Zuordnung „proportional“ nennt? - Rechne die Werte für eine beliebige Seitenlänge aus und vergleiche sie mit den Werten für die doppelte Seitenlänge.

1. Zuordnung 1 (Umfang): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 6 = 24\,\text{cm}\). Da sich bei Verdopplung der Eingangsgröße auch die Ausgangsgröße verdoppelt, ist die Zuordnung proportional. 2. Zuordnung 2 (Fläche): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(A = 3^2 = 9\,\text{cm}^2\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(A = 6^2 = 36\,\text{cm}^2\). Da \(36\) das Vierfache von \(9\) ist (und nicht das Doppelte), ist die Zuordnung nicht proportional.

Zuordnung 1 ist proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Verdopplung des Umfangs \(U\) führt (\(12\,\text{cm} \to 24\,\text{cm}\)). Zuordnung 2 ist nicht proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts \(A\) führt (\(9\,\text{cm}^2 \to 36\,\text{cm}^2\)).