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- Überlege dir, wie du die Rechenoperationen (Plus, Minus, Mal) in Sätze übersetzen kannst. - Stelle dir vor, du müsstest jemandem am Telefon erklären, wie man aus \(x\) den Wert \(y\) berechnet. - Was passiert mit dem einen Wert, wenn der andere größer wird?

1. Analyse der Gleichung \(x + y = 18\): Die Summe der beiden Unbekannten \(x\) und \(y\) ergibt stets \(18\). 2. Analyse der Gleichung \(y = x - 7\): Der Wert von \(y\) ist immer um \(7\) kleiner als der Wert von \(x\). 3. Analyse der Gleichung \(x = 3y\): Der Wert von \(x\) entspricht dem Dreifachen des Wertes von \(y\). 4. Analyse der Gleichung \(y = -x\): Die Werte \(x\) und \(y\) sind Gegenzahlen zueinander; ihre Summe ist \(0\).

a) Die Summe von \(x\) und \(y\) ist \(18\). b) \(y\) ist um \(7\) kleiner als \(x\). c) \(x\) ist das Dreifache von \(y\). d) \(x\) und \(y\) sind Gegenzahlen (oder: \(y\) ist der entgegengesetzte Wert von \(x\)).

- Überlege dir für jeden Fall ein konkretes Beispiel: Was passiert mit der zweiten Größe, wenn du die erste Größe verdoppelst? - Prüfe, ob das Verhältnis zwischen den beiden Größen immer gleich bleibt. - Überlege, ob das Produkt der beiden Größen in einem der Fälle konstant sein könnte. - Gibt es einen Fall, in dem die Zuordnung zwar einer festen Regel folgt, aber nicht proportional ist?

a) Proportional: Da der Preis pro Brötchen fest ist, führt die Verdopplung der Anzahl zur Verdopplung des Preises (Quotientengleichheit). b) Keine von beiden: Kinder wachsen nicht gleichmäßig proportional zu ihrem Alter; ein 10-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 5-jähriges. c) Antiproportional: Unter der Annahme konstanter, addierbarer Förderleistungen und ohne gegenseitige Beeinflussung halbiert sich die Zeit, wenn man die Anzahl der Pumpen verdoppelt (Produktgleichheit). d) Keine von beiden: Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = s \cdot s\). Bei Verdopplung der Seitenlänge vervierfacht sich der Flächeninhalt, das Verhältnis \(\frac{A}{s}\) ist nicht konstant.

a) proportional b) weder noch c) antiproportional d) weder noch

- Teste für jede Tabelle nacheinander beide Kriterien: Ist der Quotient immer gleich? Ist das Produkt immer gleich? - Schon ein einziges Paar, das nicht zum Rest passt, schließt die jeweilige Eigenschaft aus. - Bei Tabelle A: Wie verändert sich \(y\), wenn \(x\) um \(1\) größer wird? Ist das ein Merkmal für Proportionalität?

1. Untersuchung Tabelle A: Quotienten \(\frac{y}{x}\): \(\frac{5}{1}=5\); \(\frac{7}{2}=3{,}5\). Nicht quotientengleich, also nicht proportional. Produkte \(x \cdot y\): \(1 \cdot 5 = 5\); \(2 \cdot 7 = 14\). Nicht produktgleich, also nicht antiproportional. Ergebnis für A: Keine dieser Zuordnungen. 2. Untersuchung Tabelle B: Quotienten \(\frac{y}{x}\): \(\frac{2{,}5}{1}=2{,}5\); \(\frac{5}{2}=2{,}5\); \(\frac{10}{4}=2{,}5\); \(\frac{20}{8}=2{,}5\). Ergebnis für B: Da alle Quotienten gleich \(2{,}5\) sind (Quotientengleichheit), liegt eine proportionale Zuordnung vor.

Tabelle A: Keine dieser Zuordnungen, da weder Quotientengleichheit (\(5 \neq 3{,}5\)) noch Produktgleichheit (\(5 \neq 14\)) vorliegt. Tabelle B: Proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt (\(\frac{y}{x} = 2{,}5\)).

- Überlege dir: Wenn eine Größe verdoppelt wird, was passiert dann mit der anderen Größe? Wird sie auch doppelt so groß oder wird sie halbiert? - Welcher Wert bleibt bei der Gemüse-Vorbereitung konstant?

1. Zuordnung 1: Proportional. Begründung: Da pro Portion stets die gleiche Wassermenge verwendet wird, verdoppelt sich bei einer Verdopplung der Portionenzahl auch die benötigte Wassermenge. 2. Zuordnung 2: Antiproportional. Begründung: Unter den genannten idealisierten Bedingungen halbiert sich die Arbeitszeit, wenn sich die Anzahl der Helfer verdoppelt. 3. Berechnung für Situation 2: Gesamtzeitaufwand = \(4\,\text{Helfer} \cdot 60\,\text{Minuten} = 240\,\text{Personenminuten}\). 4. Zeit für sechs Helfer: \(\frac{240\,\text{Personenminuten}}{6\,\text{Helfer}} = 40\,\text{Minuten}\).

a) Situation 1 ist proportional (mehr Portionen \(\rightarrow\) mehr Wasser). Situation 2 ist antiproportional (mehr Helfer \(\rightarrow\) weniger Zeit). b) Sechs Helfer benötigen \(40\,\text{Minuten}\).

- Überlege dir zuerst: Wenn sich die eine Größe verdoppelt, verdoppelt oder halbiert sich dann die andere Größe? - Was bleibt in der jeweiligen Situation unverändert? Ist es der Preis pro Kilogramm oder die gesamte Arbeitsmenge? - Kannst du einen Zwischenschritt über die Zahl 1 machen?

Für Teil b) wird vorausgesetzt, dass alle Maler mit gleicher konstanter Leistung arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern. 1. Teilaufgabe a): Da der Preis bei gleicher Sorte gleichmäßig mit dem Gewicht steigt, liegt eine proportionale Zuordnung vor. 2. Berechnung für a): Zuerst den Preis für \(1\,\text{kg}\) bestimmen: \(5{,}40\,\text{€} : 3 = 1{,}80\,\text{€}\). Dann den Preis für \(7\,\text{kg}\) berechnen: \(1{,}80\,\text{€} \cdot 7 = 12{,}60\,\text{€}\). 3. Teilaufgabe b): Da mehr Personen für dieselbe Arbeit weniger Zeit benötigen (und das Produkt aus Personen und Zeit konstant bleibt), liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. 4. Berechnung für b): Zuerst die gesamte Arbeitszeit in Personenstunden berechnen: \(4\,\text{Personen} \cdot 6\,\text{h} = 24\,\text{Personenstunden}\). Dann die Zeit für 3 Maler bestimmen: \(24\,\text{Personenstunden} : 3\,\text{Personen} = 8\,\text{h}\).

a) Proportionale Zuordnung; der Preis für \(7\,\text{kg}\) beträgt \(12{,}60\,\text{€}\). b) Antiproportionale Zuordnung; die \(3\) Maler benötigen \(8\) Stunden. Die Zeitangabe gilt unter diesen Annahmen.

- Erinnere dich an die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats. - Was genau muss passieren, damit man eine Zuordnung „proportional“ nennt? - Rechne die Werte für eine beliebige Seitenlänge aus und vergleiche sie mit den Werten für die doppelte Seitenlänge.

1. Zuordnung 1 (Umfang): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(U = 4 \cdot 6 = 24\,\text{cm}\). Da sich bei Verdopplung der Eingangsgröße auch die Ausgangsgröße verdoppelt, ist die Zuordnung proportional. 2. Zuordnung 2 (Fläche): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ist \(A = 3^2 = 9\,\text{cm}^2\). Bei Verdopplung auf \(a = 6\,\text{cm}\) ist \(A = 6^2 = 36\,\text{cm}^2\). Da \(36\) das Vierfache von \(9\) ist (und nicht das Doppelte), ist die Zuordnung nicht proportional.

Zuordnung 1 ist proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Verdopplung des Umfangs \(U\) führt (\(12\,\text{cm} \to 24\,\text{cm}\)). Zuordnung 2 ist nicht proportional, weil die Verdopplung der Seitenlänge \(a\) zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts \(A\) führt (\(9\,\text{cm}^2 \to 36\,\text{cm}^2\)).

- Überlege in Teil a), was passiert, wenn der Kopierer doppelt so lange läuft. - In Teil c) ist die Gesamtmenge der Seiten fest vorgegeben. Wie ändert sich die Zeit, wenn der Kopierer schneller arbeitet? - Prüfe für die Tabellen, ob das Verhältnis (Quotient) oder das Produkt der Werte immer gleich bleibt.

1. Berechnung für Teil a): Multiplikation der Geschwindigkeit mit der Zeit. Für \(4\,\text{min}\): \(45 \cdot 4 = 180\) Seiten. Für \(10\,\text{min}\): \(45 \cdot 10 = 450\) Seiten. Für \(15\,\text{min}\): \(45 \cdot 15 = 675\) Seiten. 2. Zuordnungstyp für Teil b): Der Quotient aus Seitenanzahl und Zeit (\(\frac{y}{x} = 45\)) ist konstant, also ist die Zuordnung proportional. 3. Berechnung für Teil c): Division der Gesamtseiten durch die Geschwindigkeit. Bei \(30\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 30 = 18\,\text{min}\). Bei \(45\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 45 = 12\,\text{min}\). Bei \(60\,\text{Seiten}/\text{min}\): \(540 : 60 = 9\,\text{min}\). 4. Zuordnungstyp für Teil d): Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit (\(v \cdot t = 540\)) ist konstant, daher ist diese Zuordnung antiproportional.

a) In \(4\,\text{min}\) werden \(180\) Seiten, in \(10\,\text{min}\) werden \(450\) Seiten und in \(15\,\text{min}\) werden \(675\) Seiten gedruckt. b) Dies ist eine proportionale Zuordnung. c) Bei \(30\,\text{Seiten}/\text{min}\) dauert es \(18\,\text{min}\), bei \(45\,\text{Seiten}/\text{min}\) sind es \(12\,\text{min}\) und bei \(60\,\text{Seiten}/\text{min}\) sind es \(9\,\text{min}\). d) <table> <tbody> <tr><td>Geschwindigkeit (\(\text{Seiten}/\text{min}\))</td><td>30</td><td>45</td><td>60</td></tr> <tr><td>Zeit (\(\text{min}\))</td><td>18</td><td>12</td><td>9</td></tr> </tbody> </table> Dies ist eine antiproportionale Zuordnung.

- Was bedeutet „Personenstunden“? Es ist das Produkt aus der Arbeitszeit und der Anzahl der gleichzeitig arbeitenden Personen. - Wenn mehr Leute mithelfen, wird die Dauer für dieselbe Aufgabe kürzer oder länger? - In Teil c) kommt mit jedem Raum die gleiche Menge an Arbeit hinzu. Welcher Zuordnungstyp beschreibt so ein gleichmäßiges Wachstum?

Es wird vorausgesetzt, dass alle Fliesenleger gleich schnell und mit konstanter Leistung arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern. 1. Berechnung der Dauer für Teil a): Die Gesamtzahl der Personenstunden wird durch die Personenanzahl geteilt. Für \(2\) Personen: \(120 : 2 = 60\,\text{h}\). Für \(3\) Personen: \(120 : 3 = 40\,\text{h}\). Für \(5\) Personen: \(120 : 5 = 24\,\text{h}\). Für \(8\) Personen: \(120 : 8 = 15\,\text{h}\). 2. Term für Teil b): Die Dauer \(d\) ist der Quotient aus der Zahl der Personenstunden und der Personenanzahl, also \(d = \frac{120}{p}\). 3. Berechnung der Gesamtstunden für Teil c): Multiplikation der Stunden pro Raum mit der Anzahl der Räume. Für \(4\) Räume: \(15 \cdot 4 = 60\) Arbeitsstunden. Für \(6\) Räume: \(15 \cdot 6 = 90\) Arbeitsstunden. Für \(10\) Räume: \(15 \cdot 10 = 150\) Arbeitsstunden. 4. Zuordnungstyp für Teil d): Da die Gesamtstunden mit der Anzahl der Räume gleichmäßig steigen (\(\text{Stunden} = 15 \cdot \text{Räume}\)), ist dies eine proportionale Zuordnung.

a) Bei \(2\) Personen dauert es \(60\,\text{h}\), bei \(3\) Personen \(40\,\text{h}\), bei \(5\) Personen \(24\,\text{h}\) und bei \(8\) Personen \(15\,\text{h}\). b) Der Term lautet \(d = \frac{120}{p}\). c) Für \(4\) Räume werden \(60\) Stunden, für \(6\) Räume \(90\) Stunden und für \(10\) Räume \(150\) Stunden benötigt. d) Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung. Die Berechnung setzt gleiche konstante Einzelproduktivität ohne gegenseitige Behinderung voraus.

- Überlege für jede Situation einzeln: Wenn die eine Größe steigt, was passiert mit der anderen? - Achte in Situation 2 darauf, wie viele Pferde nach dem Verkauf noch da sind. - Suche nach einer konstanten Größe: dem Verbrauch pro Kilometer beziehungsweise der Gesamtzahl der Pferdetage.

Situation 1 (Kraftstoffverbrauch): 1. Zuordnungsart: proportional, da unter gleichbleibenden Bedingungen die doppelte Strecke den doppelten Kraftstoffverbrauch verursacht. 2. Verbrauch pro Kilometer: \(6\,\text{l} : 100\,\text{km} = 0{,}06\,\text{l}/\text{km}\) 3. Verbrauch für \(250\,\text{km}\): \(250\,\text{km} \cdot 0{,}06\,\text{l}/\text{km} = 15\,\text{l}\) Situation 2 (Futtervorrat; gleicher Tagesverbrauch je Pferd): 1. Zuordnungsart: antiproportional, da weniger Tiere denselben Vorrat in längerer Zeit verbrauchen. 2. Gesamtvorrat in Pferdetagen: \(10\,\text{Pferde} \cdot 12\,\text{Tage} = 120\,\text{Pferdetage}\) 3. Neue Anzahl der Pferde: \(10 - 2 = 8\,\text{Pferde}\) 4. Dauer für \(8\) Pferde: \(120 : 8 = 15\,\text{Tage}\)

Situation 1: Proportionale Zuordnung. Das Auto verbraucht auf \(250\,\text{km}\) insgesamt \(15\,\text{l}\). Situation 2: Antiproportionale Zuordnung. Der Vorrat reicht für \(8\) Pferde insgesamt \(15\) Tage.

- Achte darauf, was in der jeweiligen Situation gleich bleibt. - In Teil a) geht es um ein festes Mischverhältnis zweier Stoffe. - In Teil b) wird eine feste Gesamtmenge auf unterschiedlich große Gläser verteilt.

1. Teilaufgabe a): Das Mischverhältnis bleibt gleich, daher ist die Zuordnung Sirupmenge \(\to\) Wassermenge proportional. 2. Berechnung für a): Pro Liter Sirup werden \(10\,\text{l} : 2 = 5\,\text{l}\) Wasser benötigt. Für \(5\,\text{l}\) Sirup sind es demnach \(5 \cdot 5\,\text{l} = 25\,\text{l}\) Wasser. 3. Teilaufgabe b): Die Gesamtmenge des Getränks ist fest. Je größer das einzelne Glas ist, desto weniger Gläser können gefüllt werden. Das Produkt aus Glasgröße und Anzahl ist konstant, daher ist die Zuordnung antiproportional. 4. Berechnung für b): \(12\,\text{l} : 0{,}3\,\text{l} = 40\). Es können \(40\) Gläser gefüllt werden.

a) Es werden \(25\,\text{l}\) Wasser benötigt. b) Man könnte \(40\) Gläser füllen. c) In Teil a) liegt eine proportionale Zuordnung vor; in Teil b) liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

- Überlege zuerst, wie viele Flyer ein einzelner Kopierer in einer Stunde schafft. - Wie viele Flyer schaffen dann die fünf Kopierer gemeinsam in einer Stunde? - Wie oft passt diese Stundenleistung in die gesamte Menge der Flyer?

1. Berechnung der Leistung eines Kopierers pro Stunde: \(\frac{1200\,\text{Flyer}}{3\,\text{Kopierer} \cdot 4\,\text{Stunden}} = 100\,\text{Flyer pro Kopierer-Stunde}\). 2. Berechnung der Gesamtleistung von \(5\) Kopierern pro Stunde: \(5 \cdot 100\,\text{Flyer/h} = 500\,\text{Flyer/h}\). 3. Berechnung der benötigten Zeit für \(3000\) Flyer: \(\frac{3000\,\text{Flyer}}{500\,\text{Flyer/h}} = 6\,\text{Stunden}\).

Die \(5\) Kopierer benötigen \(6\) Stunden für die \(3000\) Flyer.

- Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor verdoppelt und den anderen halbiert? - Achte besonders auf das Quadrat bei der Variablen im Nenner. - Wenn du eine Zahl im Nenner verdoppelst, was passiert dann mit dem Quadrat dieser Zahl? - Versuche, die neue Situation als Vielfaches des ursprünglichen Terms zu schreiben.

1. Kombination der Änderungen von \(x\) und \(y\): Substitution von \(x\) durch \(2x\) und \(y\) durch \(0{,}5y\) führt zu \(T_{\text{neu}} = \frac{(2x) \cdot (0{,}5y)}{z^2} = \frac{1 \cdot x \cdot y}{z^2} = T\). Der Wert bleibt unverändert. 2. Abhängigkeit von \(z\): Da \(z\) im Nenner steht, führt eine Vergrößerung von \(z\) (und damit auch \(z^2\)) zu einer Verkleinerung des Gesamtwertes \(T\). 3. Quantitative Änderung durch \(z\): Wird \(z\) verdoppelt (\(2z\)), vervierfacht sich der Nenner (\((2z)^2 = 4z^2\)). Damit gilt \(T_{\text{neu}} = \frac{x \cdot y}{4z^2} = \frac{1}{4} \cdot T = 0{,}25 \cdot T\). Der Wert sinkt auf ein Viertel (Faktor \(0{,}25\)).

a) Der Wert von \(T\) bleibt gleich. b) Der Wert von \(T\) verringert sich. c) Der Wert von \(T\) sinkt auf ein Viertel (Faktor \(0{,}25\)).

- Kannst du die Formel so umstellen, dass die veränderten Faktoren als ein einziger Bruch vor dem ursprünglichen Ausdruck stehen? - Wenn ein Produkt im Zähler steht und eine Variable im Nenner, wie beeinflussen sie sich gegenseitig, um das Gesamtergebnis stabil zu halten? - Erinnere dich an die Regeln zum Kürzen von Brüchen für den letzten Aufgabenteil.

1. Für Teil a): Ersetzen von \(n\) durch \(2n\) und \(p\) durch \(3p\) ergibt \(m_{\text{neu}} = \frac{k \cdot (2n)}{3p} = \frac{2}{3} \cdot \frac{k \cdot n}{p} = \frac{2}{3}m\). Der Wert von \(m\) entspricht nun \(\frac{2}{3}\) des ursprünglichen Wertes. 2. Für Teil b): Damit \(m\) konstant bleibt, muss das Verhältnis \(\frac{n}{p}\) gleich bleiben. Wenn \(n_{\text{neu}} = \frac{1}{4}n\), dann gilt \(\frac{n}{p} = \frac{\frac{1}{4}n}{p_{\text{neu}}}\). Durch Umformen erhält man \(p_{\text{neu}} = \frac{1}{4}p\). Die Variable \(p\) muss also ebenfalls auf ein Viertel ihres Wertes sinken. 3. Für Teil c): Einsetzen von \(c \cdot n\) und \(c \cdot p\) in die Formel ergibt \(m_{\text{neu}} = \frac{k \cdot (c \cdot n)}{c \cdot p} = \frac{k \cdot n \cdot c}{p \cdot c}\). Durch Kürzen von \(c\) erhält man \(m_{\text{neu}} = \frac{k \cdot n}{p} = m\).

a) \(m\) wird mit dem Faktor \(\frac{2}{3}\) multipliziert (nimmt um ein Drittel ab). b) \(p\) muss ebenfalls auf ein Viertel seines Wertes sinken (durch \(4\) geteilt werden). c) Durch Einsetzen und Kürzen von \(c\) im Bruch \(\frac{k \cdot c \cdot n}{c \cdot p}\) zeigt sich, dass der Wert identisch mit \(m\) bleibt.

- Stelle die Gleichungen nach \(y\) um, soweit dies eindeutig möglich ist. - Prüfe, wie viele y-Werte zu einem einzelnen x-Wert gehören. - Eine proportionale Funktion hat die Form \(y=kx\).

1. Graph (1) gehört zu Gleichung A. Aus \(2y-3x=0\) folgt \(y=1{,}5x\), also eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(1{,}5\). 2. Graph (2) gehört zu Gleichung B. Aus \(y^2=x\) folgt für \(x \geq 0\) die Beziehung \(y=\pm\sqrt{x}\), also eine nach rechts geöffnete Parabel. 3. Graph (3) gehört zu Gleichung C. Aus \(x^2+y=4\) folgt \(y=-x^2+4\), also eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 4)\). 4. Graph (1) ist eine Funktion, weil jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. 5. Graph (2) ist keine Funktion, weil für \(x>0\) jeweils zwei verschiedene y-Werte auftreten. 6. Graph (3) ist eine Funktion, weil jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. 7. Die Funktion zu Graph (1) lautet \(y=1{,}5x\) und ist proportional. Die Funktion zu Graph (3) lautet \(y=-x^2+4\) und ist weder proportional noch linear.

a) A gehört zu Graph (1), B zu Graph (2) und C zu Graph (3). b) Graph (1) und Graph (3) sind Funktionen; Graph (2) ist keine Funktion, weil einem x-Wert zwei y-Werte zugeordnet werden können. c) Graph (1): \(y=1{,}5x\), proportionale Funktion; Graph (3): \(y=-x^2+4\), weder proportionale noch lineare Funktion.

- Ermittle zuerst, wie viel Kubikmeter Erde ein einziger Bagger in einer Stunde schafft. - Berechne dann, wie viel Erde vier Bagger in acht Stunden schaffen würden. - Überlege für den zweiten Teil, was passiert, wenn zu viele Maschinen auf engem Raum arbeiten.

1. Berechnung der Arbeitsleistung eines Baggers pro Stunde: \(\frac{150\,\text{m}^3}{2\,\text{Bagger} \cdot 5\,\text{h}} = 15\,\text{m}^3/\text{h}\) pro Bagger. 2. Berechnung der Gesamtleistung von \(4\) Baggern in \(8\) Stunden: \(4\,\text{Bagger} \cdot 8\,\text{h} \cdot 15\,\text{m}^3/(\text{Bagger} \cdot \text{h}) = 480\,\text{m}^3\). 3. Vergleich mit dem Zielwert: \(480\,\text{m}^3 < 600\,\text{m}^3\). Die \(4\) Bagger reichen nicht aus (man bräuchte \(\frac{600}{15 \cdot 8} = 5\) Bagger). 4. Möglicher Grund für Abweichungen in der Realität: Platzmangel auf der Baustelle, gegenseitige Behinderung der Bagger, Wartezeiten bei den Abtransport-LKW.

a) Nein, \(4\) Bagger reichen nicht aus. Sie schaffen in der Zeit nur \(480\,\text{m}^3\). Erforderlich wären \(5\) Bagger. b) Mögliche Gründe sind Platzmangel auf der Baustelle, gegenseitige Behinderung oder Engpässe beim Abtransport der Erde.

- Wie viel Arbeit (in Personentagen) muss insgesamt erledigt werden? - Wie viel Arbeit ist nach den ersten vier Tagen noch übrig? - Wie lange brauchen die verbliebenen Arbeiter für diesen Rest? - Vergleiche die neue Dauer mit der Zeit, die ohne den Abzug der Arbeiter noch nötig gewesen wäre.

Es wird vorausgesetzt, dass alle Maler gleich schnell und mit konstanter Leistung arbeiten und sich weder vor noch nach der Abordnung gegenseitig behindern. 1. Berechnung der gesamten Arbeitsleistung: \(12 \cdot 10 = 120\,\text{Personentage}\) 2. Bereits erbrachte Leistung nach \(4\) Tagen: \(12 \cdot 4 = 48\,\text{Personentage}\) 3. Verbleibende Arbeitsleistung: \(120 - 48 = 72\,\text{Personentage}\) 4. Anzahl der verbliebenen Maler: \(12 - 4 = 8\,\text{Maler}\) 5. Benötigte Zeit für die Restarbeit: \(72 : 8 = 9\,\text{Tage}\) 6. Vergleich mit der ursprünglich geplanten Restzeit: Die ursprüngliche Restzeit betrug \(6\) Tage (\(10 - 4\)). Die Verzögerung beträgt somit \(9 - 6 = 3\,\text{Tage}\).

Die Fertigstellung verzögert sich insgesamt um \(3\) Tage. Dies gilt unter der Annahme gleicher konstanter Einzelproduktivität ohne gegenseitige Behinderung.

- Wie drückt man eine prozentuale Zunahme oder Abnahme als Dezimalzahl aus? - Ersetze die Variablen in der Formel durch ihre neuen Ausdrücke (z. B. \(1{,}2x\)). - Wenn ein Wert im Nenner steht und kleiner wird, was passiert dann mit dem Gesamtwert? - Stelle eine kleine Gleichung auf, in der du den gesuchten Faktor als Unbekannte behandelst.

1. Teil a: Erhöhung von \(x\) um \(20\,\%\) entspricht \(1{,}2x\). Verringerung von \(y\) um \(20\,\%\) entspricht \(0{,}8y\). 2. Einsetzen in die Formel: \(W_{\text{neu}} = \frac{1{,}2x}{0{,}8yz} = \frac{1{,}2}{0{,}8} \cdot \frac{x}{yz}\). 3. Berechnung des Faktors: \(1{,}2 : 0{,}8 = 1{,}5\). Ergebnis für a: \(W_{\text{neu}} = 1{,}5W\). 4. Teil b: Ziel ist \(W_{\text{neu}} = 2W\). Gegeben sind \(x_{\text{neu}} = x\) und \(y_{\text{neu}} = \frac{1}{3}y\). Gesucht ist der Faktor \(k\) für \(z_{\text{neu}} = kz\). 5. Aufstellen der Gleichung: \(2 \cdot \frac{x}{yz} = \frac{x}{\frac{1}{3}y \cdot k \cdot z}\). 6. Vereinfachen der rechten Seite: \(\frac{x}{\frac{1}{3}ykz} = \frac{3x}{ykz}\). 7. Vergleich der Koeffizienten: \(2 = \frac{3}{k}\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Ergebnis für b: \(z\) muss mit dem Faktor \(1{,}5\) multipliziert werden.

a) Der neue Wert ist das \(1{,}5\)-Fache des ursprünglichen Wertes \(W\). b) Der Wert \(z\) muss mit dem Faktor \(1{,}5\) multipliziert werden (bzw. um \(50\,\%\) erhöht werden).