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Stellen Sie aus rund 22.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Definitionsmenge und Wertemenge

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In einem Klassenraum wurde an einem Vormittag stündlich die Temperatur gemessen. Die Messreihe ist in der folgenden Tabelle dargestellt: <table> <thead> <tr> <th>Uhrzeit \(t\)</th> <th>08:00</th> <th>09:00</th> <th>10:00</th> <th>11:00</th> <th>12:00</th> <th>13:00</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>Temperatur \(T(t)\) in \(^\circ\text{C}\)</td> <td>\(18{,}2\)</td> <td>\(18{,}9\)</td> <td>\(19{,}6\)</td> <td>\(31{,}5\)</td> <td>\(21{,}0\)</td> <td>\(21{,}7\)</td> </tr> </tbody> </table> a) Ein Messwert passt nicht zum erkennbaren linearen Trend der übrigen Daten. Identifiziere diesen Wert und begründe deine Entscheidung mathematisch. b) Bestimme die Wertemenge der bereinigten Messreihe, wenn du den auffälligen Wert ausschließt. c) Welcher Definitionsmenge gehört zur ursprünglichen Messreihe? d) Schätze die Temperatur um 11:00 Uhr, wenn sich der Trend der übrigen Messwerte fortgesetzt hätte.

Denkanstöße

- Vergleiche die Änderungen zwischen aufeinanderfolgenden Messwerten. - Zur Wertemenge gehören die tatsächlich auftretenden Temperaturwerte, nicht alle Zwischenwerte. - Zur Definitionsmenge der Messreihe gehören nur die Uhrzeiten, zu denen gemessen wurde. - Setze für die Schätzung die erkennbare Änderung pro Stunde fort.

Lösung

1. Abgesehen vom Wert um 11:00 Uhr steigen die Messwerte stündlich jeweils um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\). Der Wert \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) passt nicht zu diesem linearen Trend und ist daher als auffälliger Wert zu kennzeichnen. Aus den Daten allein lässt sich jedoch nicht sicher beweisen, dass tatsächlich ein Messfehler vorliegt. 2. Ohne den auffälligen Wert lautet die Wertemenge der bereinigten Messreihe \(W=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\). 3. In der ursprünglichen Messreihe wurde zu sechs festen Uhrzeiten gemessen. Daher ist \(D=\{8;9;10;11;12;13\}\), wobei die Zahlen die Uhrzeiten in Stunden angeben. 4. Der regelmäßige Zuwachs beträgt \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde. Daher ist für 11:00 Uhr \(19{,}6+0{,}7=20{,}3\,^\circ\text{C}\) zu erwarten.

Antwort

a) Der Wert \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) um 11:00 Uhr ist auffällig, weil die übrigen Messwerte stündlich um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) steigen. b) \(W=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\). c) \(D=\{8;9;10;11;12;13\}\). d) Die geschätzte Temperatur um 11:00 Uhr beträgt \(20{,}3\,^\circ\text{C}\).
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Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = \frac{12}{x}\). a) Bestimme die maximale Definitionsmenge \(D\), wenn als Grundmenge die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) vorausgesetzt werden. b) Erkläre unter Verwendung der Funktionsgleichung, warum die Zahl \(0\) nicht in der Wertemenge \(W\) enthalten sein kann. c) Die Definitionsmenge wird nun auf die Menge \(D_{\text{neu}} = \{1; 2; 3; 4; 6\}\) eingeschränkt. Gib die zugehörige Wertemenge \(W\) an.

Denkanstöße

- Welche mathematische Operation ist für bestimmte Zahlen nicht definiert? - Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Bruch den Wert Null ergibt. - Setze die vorgegebenen Zahlen nacheinander für die Variable ein und berechne die Ergebnisse.

Lösung

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da eine Division durch Null nicht erlaubt ist, muss \(x \neq 0\) gelten. Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). 2. Analyse der Wertemenge: Ein Bruch der Form \(\frac{a}{b}\) ist nur dann gleich Null, wenn der Zähler \(a = 0\) ist. Da hier der Zähler konstant \(12\) ist, kann der Funktionswert niemals \(0\) werden. 3. Berechnung der Einzelwerte für \(D_{\text{neu}}\): \(f(1) = \frac{12}{1} = 12\) \(f(2) = \frac{12}{2} = 6\) \(f(3) = \frac{12}{3} = 4\) \(f(4) = \frac{12}{4} = 3\) \(f(6) = \frac{12}{6} = 2\) 4. Zusammenfassung der Ergebnisse zur Wertemenge: \(W = \{2; 3; 4; 6; 12\}\).

Antwort

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) b) Ein Bruch ist nur Null, wenn sein Zähler Null ist. Da der Zähler hier \(12\) ist, kann der Wert \(0\) nicht erreicht werden. c) \(W = \{2; 3; 4; 6; 12\}\)
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Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Beantworte die folgenden Fragen mithilfe des Graphen: 1. Bestimme die Funktionswerte \(f(-3)\), \(f(-1)\) und \(f(3)\). 2. Für welche Werte von \(x\) gilt \(f(x) = 0\)? 3. Gib den Definitionsbereich \(D\) und den Wertebereich \(W\) der Funktion an. 4. Für welche Werte von \(x\) im dargestellten Bereich ist der Funktionswert positiv (\(f(x) > 0\))?
Abbildung zur Aufgabe 434920

Denkanstöße

- Um einen Funktionswert \(f(x)\) zu finden, gehe auf der \(x\)-Achse zum angegebenen Wert und lies den zugehörigen \(y\)-Wert des Graphen ab. - Wenn \(f(x) = 0\) gesucht ist, suchst du die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse berührt oder schneidet. - Der Definitionsbereich bezieht sich auf die Ausdehnung des Graphen entlang der waagerechten \(x\)-Achse. - Der Wertebereich bezieht sich auf die Ausdehnung des Graphen entlang der senkrechten \(y\)-Achse (vom tiefsten bis zum höchsten Punkt). - „Positiv“ bedeutet, dass der Graph über der \(x\)-Achse liegen muss.

Lösung

1. Aus dem Graphen lassen sich die Funktionswerte direkt an den entsprechenden \(x\)-Stellen ablesen: \(f(-3) = 0\), \(f(-1) = 2\) und \(f(3) = -2\). 2. Die Bedingung \(f(x) = 0\) ist an den Nullstellen erfüllt, also dort, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet. Dies ist bei \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 5\) der Fall. 3. Der Definitionsbereich \(D\) umfasst alle \(x\)-Werte, für die der Graph gezeichnet ist: \(D = [-4; 5]\). Der Wertebereich \(W\) umfasst alle vorkommenden \(y\)-Werte vom Minimum bis zum Maximum: \(W = [-3; 2]\). 4. Der Funktionswert ist positiv, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. Dies ist im Intervall zwischen den Nullstellen \(-3\) und \(1\) der Fall: \(-3 < x < 1\).

Antwort

1. \(f(-3) = 0\); \(f(-1) = 2\); \(f(3) = -2\) 2. \(x \in \{-3; 1; 5\}\) 3. \(D = [-4; 5]\); \(W = [-3; 2]\) 4. \(-3 < x < 1\)
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Betrachte über der Grundmenge \(\mathbb{Q}\) die Funktionen \(f(x) = 3x\) und \(g(x) = \frac{3}{x}\). a) Erläutere den Unterschied zwischen den Definitionsmengen von \(f\) und \(g\). b) Bestimme für beide Funktionen rechnerisch das Argument \(x\), für das der Funktionswert \(12\) angenommen wird. c) Begründe, warum der Graph von \(g\) die \(x\)-Achse niemals berührt oder schneidet, während der Graph von \(f\) genau einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse hat.

Denkanstöße

- Gibt es bei einer der Funktionen eine Zahl, die man nicht einsetzen darf? - Stelle für beide Funktionen eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis 12 lautet. - Was muss für den Funktionswert gelten, wenn ein Graph die \(x\)-Achse berührt?

Lösung

1. Vergleich der Definitionsmengen: Bei \(f(x) = 3x\) kann jede rationale Zahl eingesetzt werden (\(D_f = \mathbb{Q}\)). Bei \(g(x) = \frac{3}{x}\) darf \(x\) nicht Null sein (\(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\)). 2. Berechnung der Argumente für den Wert \(12\): Für \(f\): \(3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Für \(g\): \(\frac{3}{x} = 12 \Rightarrow 3 = 12x \Rightarrow x = \frac{3}{12} = 0{,}25\). 3. Begründung der Achsenschnittpunkte: Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) erfordert \(y = 0\). Für \(f\): \(3x = 0\) liefert \(x = 0\). Der Graph schneidet die Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\). Für \(g\): Die Gleichung \(\frac{3}{x} = 0\) hat keine Lösung, da ein Bruch mit Zähler \(3\) niemals Null wird. Zudem ist \(x = 0\) nicht definiert, sodass auch kein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse existiert.

Antwort

a) \(D_f = \mathbb{Q}\), während \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\), da man durch Null nicht dividieren darf. b) Für \(f\) ist \(x = 4\); für \(g\) ist \(x = 0{,}25\). c) \(f\) hat die Nullstelle \(x = 0\). \(g\) hat keine Nullstelle, da der Zähler \(3\) niemals Null wird, und ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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