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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Definitionsmenge und Wertemenge

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5516938
Die Funktion \(f\) ist durch die folgende Tabelle vollständig gegeben: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-3\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(4\)</td><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(7\)</td></tr> </table> a) Gib die Definitionsmenge \(D\) an. b) Gib die Wertemenge \(W\) an.

Denkanstöße

- Die Definitionsmenge besteht aus den möglichen Eingaben der Funktion. - Die Wertemenge besteht aus den tatsächlich vorkommenden Ausgaben. - In einer Menge wird ein mehrfach vorkommender Wert nur einmal notiert.

Lösung

1. Zur Definitionsmenge gehören alle in der Tabelle vorkommenden Argumente: \(D=\{-3;0;2;5\}\). 2. Zur Wertemenge gehören alle vorkommenden Funktionswerte. Der Wert \(4\) wird nur einmal in die Menge geschrieben: \(W=\{1;4;7\}\).

Antwort

a) \(D=\{-3;0;2;5\}\) b) \(W=\{1;4;7\}\)
5516948
Das Diagramm zeigt eine Funktion, die nur aus den vier markierten Punkten besteht. a) Bestimme die Definitionsmenge \(D\). b) Bestimme die Wertemenge \(W\). c) Erkläre, warum der Wert \(3\) in der Wertemenge nur einmal notiert wird.
Abbildung zur Aufgabe 551694

Denkanstöße

- Lies für die Definitionsmenge die \(x\)-Koordinaten aller markierten Punkte ab. - Lies für die Wertemenge die \(y\)-Koordinaten ab. - Wiederholte Werte werden in einer Menge nicht mehrfach aufgeführt.

Lösung

1. Die \(x\)-Koordinaten der vier Punkte sind \(-2\), \(0\), \(3\) und \(5\). Daher gilt \(D=\{-2;0;3;5\}\). 2. Die vorkommenden \(y\)-Koordinaten sind \(3\), \(-1\), \(3\) und \(2\). Daher gilt \(W=\{-1;2;3\}\). 3. Eine Menge enthält jeden Wert nur einmal, auch wenn derselbe Funktionswert bei mehreren Argumenten vorkommt.

Antwort

a) \(D=\{-2;0;3;5\}\) b) \(W=\{-1;2;3\}\) c) In einer Menge wird jeder Wert nur einmal notiert.
5551528
Das Pfeildiagramm zeigt eine Funktion. Die Punkte links sind die Eingaben, die Punkte rechts mögliche Ausgaben; die Pfeile werden von links nach rechts gelesen. Gib die Definitionsmenge \(D_f\) und die tatsächliche Wertemenge \(W_f\) an.
Abbildung zur Aufgabe 555152

Denkanstöße

- Für die Definitionsmenge schaust du auf die tatsächlich verwendeten Eingaben links. - Für die Wertemenge zählen nur Ausgaben, an denen mindestens ein Pfeil endet. - Ein rechts dargestellter, aber nicht getroffener Wert gehört nicht automatisch zur Wertemenge.

Lösung

1. Links stehen die verwendeten Eingaben \(K\), \(L\) und \(M\). Daher ist \(D_f=\{K,L,M\}\). 2. Die Pfeile enden bei \(1\), \(3\) und \(4\). Der rechts dargestellte Wert \(2\) wird nicht getroffen und gehört deshalb nicht zur tatsächlichen Wertemenge. 3. Damit ist \(W_f=\{1,3,4\}\).

Antwort

\(D_f=\{K,L,M\}\), \(W_f=\{1,3,4\}\)
5573038
Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(f\). Beide Randpunkte gehören zum Graphen. a) Beschreibe die Definitionsmenge durch Ungleichungen. b) Beschreibe die Wertemenge durch Ungleichungen.
Abbildung zur Aufgabe 557303

Denkanstöße

- Für die Definitionsmenge liest du die kleinsten und größten vorkommenden Argumente auf der waagerechten Achse ab. - Für die Wertemenge suchst du den tiefsten und höchsten Punkt des vollständigen Graphen. - Beachte die Angabe, dass die Randpunkte zum Graphen gehören.

Lösung

1. Der Graph beginnt beim kleinsten Argument \(-2\) und endet beim größten Argument \(3\). Da der Graph dazwischen ohne Lücke verläuft und beide Randpunkte dazugehören, gilt \(-2\le x\le3\). 2. Der kleinste Funktionswert ist \(1\), der größte Funktionswert \(4\). Beide Höhen werden angenommen und alle Werte dazwischen kommen auf dem durchgehenden Graphen vor. Daher gilt \(1\le f(x)\le4\).

Antwort

a) \(-2\le x\le3\) b) \(1\le f(x)\le4\)
5573048
Ein Wasserbehälter wird während eines Versuchs genau \(15\,\text{min}\) lang beobachtet. Zu Beginn beträgt der Wasserstand \(30\,\text{cm}\), am Ende \(90\,\text{cm}\). Während des gesamten Versuchs steigt der Wasserstand fortlaufend und sinkt nie. Die Funktion \(h\) ordnet jeder seit Versuchsbeginn vergangenen Zeit \(t\) den Wasserstand \(h(t)\) zu. a) Beschreibe die Definitionsmenge des Versuchs durch eine Ungleichung für \(t\). b) Beschreibe die Wertemenge durch eine Ungleichung für \(h(t)\). c) Erkläre, warum die fünf Angaben „0, 5, 10, 12, 15 Minuten“ allein keine passende Definitionsmenge für den beschriebenen Versuch wären.

Denkanstöße

- Unterscheide einen fortlaufenden Zeitraum von einer Liste einzelner Messzeitpunkte. - Für die Wertemenge sind Anfangswert, Endwert und die Aussage über den Verlauf dazwischen entscheidend. - Überlege für c), ob auch ein Zeitpunkt wie \(7{,}5\) Minuten zum beschriebenen Versuch gehört.

Lösung

1. Der Versuch umfasst alle Zeitpunkte vom Beginn bis einschließlich Minute \(15\). Daher gilt \(0\le t\le15\). 2. Der Wasserstand beginnt bei \(30\,\text{cm}\), steigt fortlaufend und endet bei \(90\,\text{cm}\). Deshalb werden alle Höhen dazwischen angenommen: \(30\le h(t)\le90\). 3. Der Versuch wird fortlaufend beobachtet. Zur Definitionsmenge gehören daher auch Zeitpunkte zwischen den fünf genannten Beispielwerten, etwa \(7{,}5\) Minuten.

Antwort

a) \(0\le t\le15\) b) \(30\le h(t)\le90\) c) Die Definitionsmenge enthält alle Zeitpunkte des fortlaufenden Versuchs, nicht nur einzelne Beispielzeiten.
4129408
Gegeben ist \(f(x)=\frac{12}{x}\). a) Die Grundmenge ist \(\mathbb{Q}\). Bestimme die maximale Definitionsmenge \(D_f\). b) Erkläre anhand der Funktionsgleichung, warum \(0\) nicht in der Wertemenge \(W_f\) enthalten sein kann. c) Die Definitionsmenge wird auf \(D_{\text{neu}}=\{1;2;3;4;6\}\) eingeschränkt. Gib die zugehörige Wertemenge \(W_{\text{neu}}\) an.

Denkanstöße

- Welche Zahl darf im Nenner nicht stehen? - Wann kann ein Bruch den Wert \(0\) haben? - Berechne für c) die Funktionswerte zu allen fünf zugelassenen Eingaben und fasse die Ergebnisse als Menge zusammen.

Lösung

1. Eine Division durch null ist nicht definiert. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Ein Bruch kann nur dann null sein, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler konstant \(12\) ist, kann der Funktionswert \(0\) nicht auftreten. 3. Für die eingeschränkte Definitionsmenge gilt \(f(1)=12\), \(f(2)=6\), \(f(3)=4\), \(f(4)=3\) und \(f(6)=2\). 4. Somit ist \(W_{\text{neu}}=\{2;3;4;6;12\}\).

Antwort

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) b) \(0\notin W_f\), weil der konstante Zähler \(12\) nicht null ist. c) \(W_{\text{neu}}=\{2;3;4;6;12\}\)
4349208
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Beantworte die folgenden Fragen mithilfe des Graphen: 1. Bestimme die Funktionswerte \(f(-3)\), \(f(-1)\) und \(f(3)\). 2. Für welche Werte von \(x\) gilt \(f(x)=0\)? 3. Gib die Definitionsmenge \(D\) und die Wertemenge \(W\) der Funktion mit Ungleichungen an. 4. Für welche Werte von \(x\) im dargestellten Bereich ist der Funktionswert positiv, also \(f(x)>0\)?
Abbildung zur Aufgabe 434920

Denkanstöße

- Um \(f(x)\) zu finden, lies zum angegebenen \(x\)-Wert die Höhe des Graphen ab. - Für \(f(x)=0\) suchst du die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse trifft. - Für die Definitionsmenge betrachtest du die gesamte waagerechte Ausdehnung des Graphen; für die Wertemenge die gesamte senkrechte Ausdehnung. - Ein positiver Funktionswert liegt vor, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man \(f(-3)=0\), \(f(-1)=2\) und \(f(3)=-2\) ab. 2. Die Bedingung \(f(x)=0\) gilt dort, wo der Graph die \(x\)-Achse trifft. Das ist bei \(x=-3\), \(x=1\) und \(x=5\) der Fall. 3. Der Graph ist für alle \(x\)-Werte von \(-4\) bis \(5\) einschließlich dargestellt. Daher gilt für die Definitionsmenge \(-4\le x\le5\). Die vorkommenden Funktionswerte reichen von \(-3\) bis \(2\) einschließlich, also gilt für die Wertemenge \(-3\le y\le2\). 4. Der Funktionswert ist positiv, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. Das ist für \(-3<x<1\) der Fall.

Antwort

1. \(f(-3)=0\); \(f(-1)=2\); \(f(3)=-2\) 2. \(x\in\{-3;1;5\}\) 3. \(D\): \(-4\le x\le5\); \(W\): \(-3\le y\le2\) 4. \(-3<x<1\)
5516958
Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(g\). Die beiden Endpunkte gehören zum Graphen. a) Bestimme die Definitionsmenge \(D\). Gib sie mit Worten oder durch Ungleichungen an. b) Bestimme die Wertemenge \(W\). Gib sie mit Worten oder durch Ungleichungen an. c) Erkläre kurz, warum zu \(D\) und \(W\) auch alle Zwischenwerte zwischen den jeweiligen Randwerten gehören.
Abbildung zur Aufgabe 551695

Denkanstöße

- Suche für \(D\) den kleinsten und größten vorkommenden \(x\)-Wert. - Suche für \(W\) die niedrigste und höchste Stelle des Graphen. - Beachte, dass der Graph zwischen den Punkten durchgehend verläuft und beide Endpunkte dazugehören.

Lösung

1. Der Graph beginnt bei \(x=-3\) und endet bei \(x=4\), ohne Unterbrechung. Daher gehören genau alle \(x\)-Werte mit \(-3\le x\le4\) zur Definitionsmenge. 2. Der kleinste dargestellte Funktionswert ist \(-2\), der größte ist \(4\). Der Graph nimmt dazwischen alle Höhen an. Daher gehören genau alle Werte \(y\) mit \(-2\le y\le4\) zur Wertemenge. 3. Die Graphstücke sind durchgehend gezeichnet. Deshalb kommen zwischen den Rand- beziehungsweise Extremwerten auch alle Zwischenwerte vor.

Antwort

a) \(D\): alle \(x\) mit \(-3\le x\le4\) b) \(W\): alle Werte \(y\) mit \(-2\le y\le4\) c) Der Graph ist zwischen den dargestellten Punkten ohne Lücke verbunden und nimmt daher alle Zwischenwerte an.
5516968
Ein Aufzug fährt ohne Zwischenstopp vom Erdgeschoss in ein höheres Stockwerk. Die Fahrt dauert \(30\,\text{s}\). Zu Beginn befindet sich die Kabine \(4\,\text{m}\) über dem Bezugspunkt, am Ende \(20\,\text{m}\). Während der Fahrt steigt die Höhe ohne Sprung und ohne Richtungswechsel. Die Funktion \(h\) ordnet jeder vergangenen Zeit \(t\) die Höhe der Kabine zu. a) Gib die im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge \(D\) mit Worten oder durch Ungleichungen an. b) Gib die Wertemenge \(W\) mit Worten oder durch Ungleichungen an. c) Begründe, warum sowohl zu \(D\) als auch zu \(W\) alle Zwischenwerte zwischen den jeweiligen Randwerten gehören.

Denkanstöße

- Für die Definitionsmenge fragst du, welche Zeiten zum beschriebenen Vorgang gehören. - Für die Wertemenge fragst du, welche Höhen die Kabine tatsächlich erreicht. - Beachte die Information, dass die Bewegung ohne Sprung und ohne Richtungswechsel erfolgt.

Lösung

1. Die Fahrt wird von \(t=0\,\text{s}\) bis \(t=30\,\text{s}\) betrachtet. Daher gehören genau alle Zeiten \(t\) mit \(0\le t\le30\) zur Definitionsmenge. 2. Die Kabine bewegt sich ohne Sprung von \(4\,\text{m}\) bis \(20\,\text{m}\) nach oben. Daher erreicht sie jede Höhe dazwischen; zur Wertemenge gehören genau alle Höhen \(h\) mit \(4\le h\le20\). 3. Während der Fahrt vergeht die Zeit fortlaufend, und die Höhe ändert sich ohne Sprung. Deshalb treten alle Zwischenzeiten und Zwischenhöhen auf.

Antwort

a) \(D\): alle Zeiten \(t\) mit \(0\le t\le30\), in Sekunden b) \(W\): alle Höhen \(h\) mit \(4\le h\le20\), in Metern c) Während der Fahrt treten alle Zwischenzeiten und wegen der Bewegung ohne Sprung alle Zwischenhöhen auf.
5516978
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=x+2\). Zunächst wird sie nur für die Definitionsmenge \(D=\{-2;0;3;5\}\) betrachtet. a) Bestimme die zugehörige Wertemenge \(W\). b) Nun wird die Definitionsmenge auf \(D'=\{0;3\}\) eingeschränkt. Bestimme die neue Wertemenge \(W'\). c) Erkläre, warum sich die Wertemenge durch die Einschränkung der Definitionsmenge verändert.

Denkanstöße

- Setze jedes Argument der angegebenen Definitionsmenge in den Funktionsterm ein. - Wiederhole denselben Schritt nur mit den Argumenten aus \(D'\). - Vergleiche anschließend die beiden Wertemengen.

Lösung

1. Für die vier Argumente gilt: \(f(-2)=0\), \(f(0)=2\), \(f(3)=5\) und \(f(5)=7\). Daher ist \(W=\{0;2;5;7\}\). 2. Für \(D'=\{0;3\}\) bleiben nur die Funktionswerte \(f(0)=2\) und \(f(3)=5\). Daher ist \(W'=\{2;5\}\). 3. Wenn Argumente aus der Definitionsmenge entfernt werden, können auch die Funktionswerte wegfallen, die nur zu diesen entfernten Argumenten gehörten.

Antwort

a) \(W=\{0;2;5;7\}\) b) \(W'=\{2;5\}\) c) Durch die kleinere Definitionsmenge werden nur noch die Funktionswerte zu den verbleibenden Argumenten berücksichtigt.
5524248
Eine Funktion \(f\) ist durch die folgende Tabelle gegeben: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(5\)</td><td>\(1\)</td><td>\(5\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> Noah behauptet: „Die Definitionsmenge ist \(\{1;3;5\}\) und die Wertemenge ist \(\{-2;0;4;6\}\).“ a) Erkläre, welchen Fehler Noah gemacht hat. b) Gib die richtige Definitionsmenge \(D_f\) und Wertemenge \(W_f\) an. c) Warum steht die Zahl \(5\) in der Wertemenge nur einmal, obwohl sie in der Tabelle zweimal vorkommt?

Denkanstöße

- Frage dich, welche Tabellenzeile die Eingaben und welche die Ausgaben enthält. - Die Definitionsmenge gehört zur Eingabeseite der Funktion. - Beachte bei der Wertemenge den Unterschied zwischen einer Menge und einer Liste mit Wiederholungen.

Lösung

1. Noah hat Eingaben und Ausgaben vertauscht. Die Definitionsmenge besteht aus den vorkommenden Argumenten \(x\), die Wertemenge aus den vorkommenden Funktionswerten \(f(x)\). 2. Daher ist \(D_f=\{-2;0;4;6\}\) und \(W_f=\{1;3;5\}\). 3. Eine Menge enthält jedes Element nur einmal. Dass der Funktionswert \(5\) zu zwei verschiedenen Argumenten gehört, erzeugt kein zweites Element \(5\) in \(W_f\).

Antwort

a) Noah hat Definitionsmenge und Wertemenge vertauscht. b) \(D_f=\{-2;0;4;6\}\); \(W_f=\{1;3;5\}\) c) In einer Menge wird jedes vorkommende Element nur einmal aufgeführt.
5524308
Ein 3D-Drucker stellt ein Modell her. Dabei beschreibt \(m(t)\) die bereits gedruckte Masse in Gramm nach \(t\) Minuten. Der Druck beginnt bei \(0\,\text{g}\) und ist nach \(40\,\text{min}\) mit \(120\,\text{g}\) beendet. Während des Drucks wächst die bereits gedruckte Masse fortlaufend und nimmt nicht ab. Einige Werte sind in der Tabelle angegeben. <table><tr><th>\(t\) in min</th><td>0</td><td>10</td><td>20</td><td>30</td><td>40</td></tr><tr><th>\(m(t)\) in g</th><td>0</td><td>24</td><td>55</td><td>91</td><td>120</td></tr></table> a) Welche Größe ist unabhängig, welche abhängig? Gib jeweils die Einheit an. b) Beschreibe die Definitionsmenge für den gesamten Druckvorgang durch Ungleichungen. c) Beschreibe die Wertemenge durch Ungleichungen und begründe sie mit den Angaben zum Druckvorgang. d) Erkläre die Aussage \(m(30)=91\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Überlege, welche Größe den Ablauf steuert und welche Größe sich mit ihr verändert. - Die Definitionsmenge umfasst alle sinnvollen Zeitwerte während des gesamten Druckvorgangs, nicht nur die fünf Tabellenstellen. - Nutze für die Wertemenge sowohl Anfangs- und Endmasse als auch die Angabe, wie sich die Masse dazwischen verhält. - Übersetze bei \(m(30)=91\) das Argument und den Funktionswert jeweils zurück in ihre Sachgrößen.

Lösung

1. Die unabhängige Größe ist die Zeit \(t\) in Minuten. Die abhängige Größe ist die bereits gedruckte Masse \(m(t)\) in Gramm. 2. Der Druck läuft von Beginn bis zum Ende nach \(40\,\text{min}\). Für die Definitionsmenge gilt daher \(0\le t\le40\). 3. Die Masse beginnt bei \(0\,\text{g}\), wächst fortlaufend, nimmt nicht ab und endet bei \(120\,\text{g}\). Für die Wertemenge gilt daher \(0\le m(t)\le120\). 4. \(m(30)=91\) bedeutet: Nach \(30\,\text{min}\) sind \(91\,\text{g}\) des Modells gedruckt.

Antwort

a) Unabhängig: Zeit \(t\) in min; abhängig: gedruckte Masse \(m(t)\) in g b) \(0\le t\le40\) c) \(0\le m(t)\le120\), weil die Masse fortlaufend von \(0\,\text{g}\) bis \(120\,\text{g}\) wächst. d) Nach \(30\,\text{min}\) sind \(91\,\text{g}\) gedruckt.
5551548
Während der Aufheizphase eines Ofens wird die Temperatur durch \(T(t)=20+6t\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die Zeit in Minuten seit dem Einschalten. Das Modell gilt nur vom Einschalten bis zum Ende der Aufheizphase nach \(30\,\text{min}\). Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge und Wertemenge für dieses Modell. Gib beide Mengen mit Worten oder durch Ungleichungen und mit den zugehörigen Einheiten an.

Denkanstöße

- Die Gültigkeitsdauer des Modells begrenzt die zulässigen Eingabewerte. - Bestimme die Temperatur am Anfang und am Ende der angegebenen Phase. - Prüfe, ob zwischen diesen Randwerten Lücken in den möglichen Temperaturwerten entstehen.

Lösung

1. Die Zeit beginnt bei \(0\,\text{min}\) und endet nach \(30\,\text{min}\). Daher gehören genau alle Zeiten \(t\) mit \(0\le t\le30\) zur Definitionsmenge. 2. Zu Beginn gilt \(T(0)=20\,{}^\circ\text{C}\). Am Ende gilt \(T(30)=20+6\cdot30=200\,{}^\circ\text{C}\). 3. Da die Temperatur in diesem Modell ohne Sprung steigt, gehören genau alle Temperaturen \(T\) mit \(20\le T\le200\) zur Wertemenge.

Antwort

\(D_T\): alle Zeiten \(t\) mit \(0\le t\le30\), in \(\text{min}\) \(W_T\): alle Temperaturen \(T\) mit \(20\le T\le200\), in \({}^\circ\text{C}\)
4129288
In einem Klassenraum wurde an einem Vormittag stündlich die Temperatur gemessen. Die Messreihe ist in der folgenden Tabelle dargestellt: <table> <thead> <tr> <th>Uhrzeit \(t\)</th> <th>08:00</th> <th>09:00</th> <th>10:00</th> <th>11:00</th> <th>12:00</th> <th>13:00</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>Temperatur \(T(t)\) in \(^\circ\text{C}\)</td> <td>\(18{,}2\)</td> <td>\(18{,}9\)</td> <td>\(19{,}6\)</td> <td>\(31{,}5\)</td> <td>\(21{,}0\)</td> <td>\(21{,}7\)</td> </tr> </tbody> </table> a) Ein Messwert fällt gegenüber dem Muster der übrigen Daten deutlich auf. Identifiziere diesen Wert und begründe deine Entscheidung mathematisch. Erkläre auch, warum man aus der Tabelle allein nicht sicher auf einen Messfehler schließen kann. b) Bestimme die Wertemenge der bereinigten Messreihe, wenn du den auffälligen Wert ausschließt. c) Welche Definitionsmenge gehört zur ursprünglichen Messreihe? Verwende dafür die vollen Stunden als Zahlenwerte, also zum Beispiel \(8\) für 08:00 Uhr. d) Schätze die Temperatur um 11:00 Uhr, wenn sich das erkennbare Muster der übrigen Messwerte fortgesetzt hätte.

Denkanstöße

- Vergleiche die Änderungen zwischen den aufeinanderfolgenden Messwerten, ohne den auffälligen Wert vorschnell als Fehler zu bezeichnen. - Zur Wertemenge gehören die tatsächlich berücksichtigten Temperaturwerte, nicht alle Werte zwischen ihnen. - Zur Definitionsmenge der Messreihe gehören nur die Uhrzeiten, zu denen gemessen wurde. - Überlege für die Schätzung, welche Änderung pro Stunde die übrigen Messwerte gemeinsam zeigen.

Lösung

1. Ohne den Wert um 11:00 Uhr liegen die übrigen Messwerte auf einem Muster mit einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde: Von 08:00 bis 10:00 Uhr steigt die Temperatur in jeder Stunde um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\), und von 10:00 bis 12:00 Uhr steigt sie insgesamt um \(1{,}4\,^\circ\text{C}\). Daher fällt \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) deutlich aus diesem Muster. Aus der Tabelle allein folgt aber nicht sicher, dass ein Messfehler vorliegt; auch ein reales Ereignis könnte einen ungewöhnlichen Messwert verursacht haben. 2. Ohne den auffälligen Wert ist \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\). 3. Zu sechs vollen Stunden wurde gemessen. Daher ist \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\), wobei die Zahlen für 08:00 Uhr bis 13:00 Uhr stehen. 4. Das erkennbare Muster ist eine Zunahme um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde. Für 11:00 Uhr ergibt sich daher als Schätzwert \(19{,}6\,^\circ\text{C}+0{,}7\,^\circ\text{C}=20{,}3\,^\circ\text{C}\).

Antwort

a) Auffällig ist \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) um 11:00 Uhr. Die übrigen Werte passen zu einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde; ein Messfehler ist damit aber nicht bewiesen. b) \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\) c) \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\) d) \(20{,}3\,^\circ\text{C}\)
4129418
Betrachte über der Grundmenge \(\mathbb{Q}\) die Funktionen \(f(x) = 3x\) und \(g(x) = \frac{3}{x}\). a) Erläutere den Unterschied zwischen den Definitionsmengen von \(f\) und \(g\). b) Bestimme für beide Funktionen rechnerisch das Argument \(x\), für das der Funktionswert \(12\) angenommen wird. c) Begründe, warum der Graph von \(g\) die \(x\)-Achse niemals berührt oder schneidet, während der Graph von \(f\) genau einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse hat.

Denkanstöße

- Gibt es bei einer der Funktionen eine Zahl, die man nicht einsetzen darf? - Stelle für beide Funktionen eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis 12 lautet. - Was muss für den Funktionswert gelten, wenn ein Graph die \(x\)-Achse berührt?

Lösung

1. Vergleich der Definitionsmengen: Bei \(f(x) = 3x\) kann jede rationale Zahl eingesetzt werden (\(D_f = \mathbb{Q}\)). Bei \(g(x) = \frac{3}{x}\) darf \(x\) nicht Null sein (\(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\)). 2. Berechnung der Argumente für den Wert \(12\): Für \(f\): \(3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Für \(g\): \(\frac{3}{x} = 12 \Rightarrow 3 = 12x \Rightarrow x = \frac{3}{12} = 0{,}25\). 3. Begründung der Achsenschnittpunkte: Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) erfordert \(y = 0\). Für \(f\): \(3x = 0\) liefert \(x = 0\). Der Graph schneidet die Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\). Für \(g\): Die Gleichung \(\frac{3}{x} = 0\) hat keine Lösung, da ein Bruch mit Zähler \(3\) niemals Null wird. Zudem ist \(x = 0\) nicht definiert, sodass auch kein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse existiert.

Antwort

a) \(D_f = \mathbb{Q}\), während \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\), da man durch Null nicht dividieren darf. b) Für \(f\) ist \(x = 4\); für \(g\) ist \(x = 0{,}25\). c) \(f\) hat die Nullstelle \(x = 0\). \(g\) hat keine Nullstelle, da der Zähler \(3\) niemals Null wird, und ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.
4237758
Für eine Modellaufgabe wird die Zahl öffentlich zugänglicher Ladepunkte in einer fiktiven Region betrachtet. Die Tabelle enthält ausschließlich die angegebenen Jahreswerte; zunächst wird keine Aussage über Zwischenzeitpunkte gemacht. <table> <tr><th>Jahr</th><td>2017</td><td>2018</td><td>2019</td><td>2020</td><td>2021</td></tr> <tr><th>Ladepunkte</th><td>\(10\,700\)</td><td>\(15\,600\)</td><td>\(23\,900\)</td><td>\(39\,500\)</td><td>\(52\,200\)</td></tr> </table> Die Funktion \(L\) ordnet jedem in der Tabelle enthaltenen Jahr die zugehörige Anzahl der Ladepunkte zu. a) Gib die Definitionsmenge \(D_L\) und die Wertemenge \(W_L\) dieser Tabellenfunktion an. b) Ist \(L(2019{,}5)\) für diese Tabellenfunktion definiert? Begründe. c) Erst in einem zweiten Modell werden die beiden Tabellenpunkte für 2019 und 2020 geradlinig verbunden. Bestimme unter dieser zusätzlichen Annahme den Modellwert für die Jahresmitte \(2019{,}5\) und erkläre, warum dieser Wert nicht schon aus der ursprünglichen Tabellenfunktion folgt.

Denkanstöße

- Trenne die tatsächlich in der Tabelle vorhandenen Argumente von möglichen Zwischenwerten. - Eine Funktion kann nur an Argumenten ausgewertet werden, die zu ihrer Definitionsmenge gehören. - In c) darfst du den Zwischenwert erst berechnen, weil dort ausdrücklich ein neues Modell eingeführt wird.

Lösung

1. Die Definitionsmenge besteht genau aus den fünf in der Tabelle aufgeführten Jahren: \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\). Die Wertemenge ist \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\). 2. \(2019{,}5\) gehört nicht zu \(D_L\). Deshalb ist \(L(2019{,}5)\) für die reine Tabellenfunktion nicht definiert. 3. Im zweiten Modell liegt die Jahresmitte genau zwischen den Funktionswerten von 2019 und 2020. Der Modellwert ist \((23\,900+39\,500):2=31\,700\). Dieser Wert entsteht erst durch das geradlinige Verbindungsmodell und gehört nicht zu den ursprünglich gegebenen Tabellendaten.

Antwort

a) \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\), \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\) b) Nein. \(2019{,}5\notin D_L\). c) Im zusätzlichen Modell: \(31\,700\) Ladepunkte. Dieser Wert entsteht erst durch die Annahme einer geradlinigen Verbindung.
5516908
Konstruiere eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D=\{-2;0;3;5\}\) und der Wertemenge \(W=\{1;4;6\}\). Zusätzlich sollen gelten: \(f(-2)=1\) \(f(0)=f(3)\) \(f(5)>f(3)\) Stelle deine Funktion als Wertetabelle dar und prüfe anschließend alle Bedingungen.

Denkanstöße

- Markiere zuerst die Zuordnung, die bereits vollständig vorgegeben ist. - Die beiden Argumente \(0\) und \(3\) müssen denselben Funktionswert bekommen. - Vergiss nicht, dass in der Wertemenge jeder der drei Werte tatsächlich vorkommen muss.

Lösung

1. Der Wert \(1\) ist bereits durch \(f(-2)=1\) festgelegt. 2. Da \(f(0)=f(3)\) gelten soll und die Wertemenge genau \(\{1;4;6\}\) sein muss, müssen \(0\) und \(3\) beide den Wert \(4\) erhalten. Sonst könnten nicht alle drei Werte \(1\), \(4\) und \(6\) auftreten. 3. Für \(x=5\) bleibt damit der Wert \(6\). Außerdem ist \(6>4\), also gilt \(f(5)>f(3)\). 4. Die Wertetabelle ist: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table>

Antwort

<table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table> Alle Bedingungen sind erfüllt.
5516988
Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(f\). Ein ausgefüllter Punkt gehört zum Graphen, ein offener Punkt nicht. a) Bestimme die Definitionsmenge \(D\). Gib sie mit Worten oder durch Ungleichungen an. b) Bestimme die Wertemenge \(W\). Gib sie mit Worten oder durch Ungleichungen an. c) Gehören \(x=-3\) und der Funktionswert \(1\) zur Definitions- beziehungsweise Wertemenge? Begründe mithilfe der Randpunkte.
Abbildung zur Aufgabe 551698

Denkanstöße

- Lies zuerst die kleinsten und größten dargestellten \(x\)- und \(y\)-Werte ab. - Ein offener Randpunkt wird nicht mitgezählt; ein ausgefüllter Randpunkt schon. - Formuliere die Randbedingungen mit \(<\) oder \(\le\), statt eine besondere Intervallschreibweise zu verwenden.

Lösung

1. Der Graph beginnt bei \(x=-3\) mit einem offenen Punkt und endet bei \(x=2\) mit einem ausgefüllten Punkt. Daher gehören genau die \(x\)-Werte mit \(-3<x\le2\) zur Definitionsmenge. 2. Der kleinste dargestellte Randwert \(1\) gehört wegen des offenen Punktes nicht zum Graphen. Der größte Funktionswert \(4\) gehört wegen des ausgefüllten Punktes dazu. Daher gehören genau die Werte \(y\) mit \(1<y\le4\) zur Wertemenge. 3. \(x=-3\) gehört nicht zu \(D\), und der Funktionswert \(1\) gehört nicht zu \(W\), weil der zugehörige Randpunkt offen dargestellt ist.

Antwort

a) \(D\): alle \(x\) mit \(-3<x\le2\) b) \(W\): alle Werte \(y\) mit \(1<y\le4\) c) Weder \(x=-3\) noch der Funktionswert \(1\) gehört zur jeweiligen Menge.
5516998
Gesucht ist eine Funktion \(g\) mit der Definitionsmenge \(D=\{-1;0;2;4\}\) und der Wertemenge \(W=\{1;3\}\). Zusätzlich soll \(g(-1)=3\) gelten. Gib eine mögliche Wertetabelle an. Es gibt mehrere richtige Lösungen. Prüfe anschließend, ob deine Tabelle wirklich genau die geforderte Definitionsmenge und Wertemenge besitzt.

Denkanstöße

- Jede Zahl aus \(D\) muss genau einmal als Eingabe vorkommen. - Beide Werte aus \(W\) müssen mindestens einmal als Ausgabe auftreten. - Achte zusätzlich auf die fest vorgegebene Zuordnung \(g(-1)=3\).

Lösung

1. Eine mögliche Wertetabelle ist: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(g(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> 2. Die Argumente sind genau \(-1\), \(0\), \(2\) und \(4\), also ist die Definitionsmenge \(D\). Als Funktionswerte kommen genau \(1\) und \(3\) vor, also ist die Wertemenge \(W\). Außerdem gilt \(g(-1)=3\).

Antwort

Zum Beispiel: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(g(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> Andere Tabellen sind möglich, wenn sie alle Bedingungen erfüllen.
5517008
Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(f\), der aus zwei getrennten Abschnitten besteht. Ausgefüllte Randpunkte gehören zum Graphen, offene Randpunkte nicht. a) Bestimme die Definitionsmenge \(D\). Beschreibe die beiden Bereiche mit Ungleichungen. b) Bestimme die Wertemenge \(W\). Beschreibe sie mit Ungleichungen. c) Entscheide jeweils mit Begründung: Gehört \(0\) zu \(D\)? Gehört \(-2\) zu \(W\)? Gehört \(3\) zu \(W\)?
Abbildung zur Aufgabe 551700

Denkanstöße

- Bestimme die \(x\)-Bereiche der beiden Graphabschnitte getrennt. - Verfahre für die vorkommenden \(y\)-Werte genauso und prüfe, ob sich die Höhenbereiche überlappen. - Achte bei jedem Randwert darauf, ob der Punkt offen oder ausgefüllt dargestellt ist. - Für einen Wert in \(W\) reicht es, wenn er auf mindestens einem Graphabschnitt erreicht wird.

Lösung

1. Der linke Abschnitt reicht von \(x=-4\) einschließlich bis \(x=-1\) ausschließlich. Der rechte Abschnitt reicht von \(x=1\) ausschließlich bis \(x=3\) einschließlich. Damit besteht \(D\) aus allen \(x\) mit \(-4\le x<-1\) oder \(1<x\le3\). 2. Der linke Abschnitt nimmt Werte von \(1\) einschließlich bis \(4\) ausschließlich an. Der rechte Abschnitt nimmt Werte größer als \(-2\) bis einschließlich \(2\) an. Zusammen kommen genau alle Werte \(y\) mit \(-2<y<4\) vor. 3. \(0\) gehört nicht zu \(D\), weil zwischen den beiden Graphabschnitten eine Lücke liegt. \(-2\) gehört nicht zu \(W\), weil der einzige Randpunkt mit \(y=-2\) offen ist. \(3\) gehört zu \(W\), weil der linke Graphabschnitt diesen Wert annimmt.

Antwort

a) \(D\): \(-4\le x<-1\) oder \(1<x\le3\) b) \(W\): \(-2<y<4\) c) \(0\) gehört nicht zu \(D\); \(-2\) gehört nicht zu \(W\); \(3\) gehört zu \(W\).
5573058
Mira behauptet: „Es gibt eine Funktion \(g\) mit der Definitionsmenge \(D_g=\{-2;-1;0;1\}\) und der Wertemenge \(W_g=\{0;1;4\}\), bei der auch die umgekehrte Zuordnung eine Funktion ist.“ Dabei bezeichnet \(W_g\) wirklich die Menge aller angenommenen Funktionswerte. a) Entscheide, ob Miras Behauptung möglich ist. b) Begründe deine Entscheidung, ohne alle möglichen Wertetabellen aufzuschreiben. c) Untersuche nun zwei Arten von Änderungen an der Wertemenge: genau einen neuen Wert hinzufügen oder genau einen vorhandenen Wert entfernen. Wähle eine Änderung, nach der eine Funktion mit funktionierender Umkehrzuordnung konstruiert werden kann, und gib eine passende neue Wertemenge sowie eine vollständige Wertetabelle an. d) Erkläre, warum deine Änderung das entscheidende Verhältnis aus b) verändert.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst, wie viele verschiedene Elemente die Definitionsmenge und die Wertemenge enthalten. - Überlege, was beim Umkehren passiert, sobald zwei verschiedene Argumente denselben Funktionswert besitzen. - Für c) suchst du die kleinstmögliche Änderung an der Anzahl verfügbarer Funktionswerte. - Prüfe deine neue Tabelle anschließend in beiden Zuordnungsrichtungen.

Lösung

1. Miras Behauptung ist nicht möglich. 2. Die Definitionsmenge enthält vier verschiedene Argumente, die Wertemenge aber nur drei tatsächlich angenommene Funktionswerte. Werden vier Argumente auf nur drei Werte verteilt, müssen mindestens zwei verschiedene Argumente denselben Funktionswert besitzen. Beim Umkehren hätte dieser Wert dann mehr als eine Ausgabe; die Umkehrzuordnung wäre keine Funktion. 3. Man kann zum Beispiel \(W_g\) um den Wert \(9\) zu \(W_g' =\{0;1;4;9\}\) erweitern. Eine passende Funktion ist \(-2\mapsto0\), \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto4\), \(1\mapsto9\). 4. Nun stehen vier verschiedene Funktionswerte für vier Argumente zur Verfügung, und in der angegebenen Tabelle wird jeder genau einmal verwendet. Deshalb ist die Zuordnung auch in umgekehrter Richtung eindeutig.

Antwort

a) Nein. b) Vier Argumente müssen auf nur drei tatsächlich vorkommende Funktionswerte verteilt werden; deshalb erhält mindestens ein Funktionswert mehrere Argumente und die Umkehrung ist nicht eindeutig. c) Zum Beispiel \(W_g'=\{0;1;4;9\}\) mit \(-2\mapsto0,\ -1\mapsto1,\ 0\mapsto4,\ 1\mapsto9\). d) Jetzt können die vier Argumente vier verschiedene Funktionswerte erhalten; dadurch bleibt auch die Umkehrung eindeutig.

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