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- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x = 0\)? Was sagt dir das über den y-Achsenabschnitt? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, kannst du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen.

1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts: Aus der Tabelle folgt für \(x = 0\) der Wert \(f(0) = -3\), also \(n = -3\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): Mit den Punkten \((-2 \mid -7)\) und \((0 \mid -3)\) ergibt sich \(m = \frac{-3 - (-7)}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x - 3\). 3. Berechnung des fehlenden Wertes: \(f(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3\). 4. Punktprobe für \(P(10 \mid 17)\): Einsetzen von \(x = 10\) in die Gleichung ergibt \(f(10) = 2 \cdot 10 - 3 = 17\). Da dies dem y-Wert des Punktes entspricht, liegt \(P\) auf dem Graphen.

a) Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x - 3\). Der fehlende Wert ist \(f(3) = 3\). b) Ja, der Punkt \(P(10 \mid 17)\) liegt auf dem Graphen, da \(2 \cdot 10 - 3 = 17\) eine wahre Aussage ist.

- Überlege dir zuerst, welchen Bereich die vertikale Achse abdecken muss, damit alle Werte aus der Tabelle Platz finden. - Vergleiche die Zuwächse von Jahr zu Jahr. - Um einen Zuwachs zu berechnen, musst du den Endwert eines Zeitraums mit dem Startwert vergleichen.

1. Erstellung des Koordinatensystems: Die horizontale Achse wird als Zeitachse (Jahre) beschriftet, die vertikale Achse gibt die Anzahl der Ladepunkte an. 2. Einzeichnen der Punkte: Die Wertepaare \((2017 \mid 10\,700)\), \((2018 \mid 15\,600)\), \((2019 \mid 23\,900)\), \((2020 \mid 39\,500)\) und \((2021 \mid 52\,200)\) werden im Koordinatensystem markiert. 3. Verbindung der Punkte: Die Punkte werden nacheinander durch Liniensegmente verbunden, um die Entwicklung zu verdeutlichen. 4. Berechnung des Zuwachses 2019–2020: Die Differenz der Werte beträgt \(39\,500 - 23\,900 = 15\,600\). 5. Analyse der jährlichen Zuwächse: Die Zuwächse betragen \(4\,900\), \(8\,300\), \(15\,600\) und \(12\,700\) Ladepunkte. Sie sind nicht gleich groß; daher ist der jährliche Zuwachs nicht konstant.

a) Es entsteht ein ansteigender Polygonzug durch die Punkte \((2017 \mid 10\,700)\) bis \((2021 \mid 52\,200)\). b) Der Zuwachs beträgt \(15\,600\) Ladepunkte. c) Nein. Die jährlichen Zuwächse sind unterschiedlich groß.

- Schau dir genau an, welche der beiden Rechenvorschriften für den jeweiligen \(x\)-Wert gilt. - Was bedeutet eine Funktionsgleichung wie \(f(x) = -2\) für das Aussehen des Graphen? - Vergleiche am Übergang den Wert des linken Graphenteils mit dem Funktionswert \(f(0)\).

1. Für \(x = -3\) gilt die erste Vorschrift, also \(f(-3) = -2\). Für \(x = 0\) gilt die zweite Vorschrift, also \(f(0) = 0 - 2 = -2\). Für \(x = 3\) gilt ebenfalls die zweite Vorschrift, also \(f(3) = 3 - 2 = 1\). 2. Im Bereich \(-4 \le x < 0\) ist der Graph ein waagerechtes Geradenstück bei \(y = -2\). Im Bereich \(0 \le x \le 4\) ist er ein ansteigendes Geradenstück mit Steigung \(1\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\). 3. Der linke Funktionsteil hat bis unmittelbar vor \(x=0\) stets den Wert \(-2\). Die zweite Vorschrift liefert bei \(x=0\) ebenfalls \(-2\). Daher schließen die beiden Graphenteile im Punkt \((0 \mid -2)\) lückenlos aneinander an.

a) \(f(-3) = -2\); \(f(0) = -2\); \(f(3) = 1\) b) Für \(-4 \le x < 0\) verläuft der Graph waagerecht bei \(y = -2\); für \(0 \le x \le 4\) steigt er linear mit Steigung \(1\) an. c) Ja. Die beiden Graphenteile schließen im Punkt \((0 \mid -2)\) lückenlos aneinander an.

- Was bedeutet eine lineare Änderung der Geschwindigkeit mit dem Weg für die Mitte eines Abschnitts? - Teile die Fahrt in die drei beschriebenen Abschnitte ein. - Überlege, wie hoch die Geschwindigkeit am Startpunkt und am Endpunkt sein muss.

1. Berechnung für den Beschleunigungsabschnitt (\(0\) bis \(200\,\text{m}\)): Bei \(s = 0\,\text{m}\) ist \(v = 0\,\text{km/h}\). Da die Geschwindigkeit in diesem Abschnitt linear mit dem Weg zunimmt, liegt sie bei der Hälfte der Strecke (\(100\,\text{m}\)) genau in der Mitte zwischen \(0\) und \(40\), also bei \(v = 20\,\text{km/h}\). Bei \(s = 200\,\text{m}\) ist \(v = 40\,\text{km/h}\). 2. Berechnung für den Abschnitt mit konstanter Geschwindigkeit (\(200\) bis \(800\,\text{m}\)): In diesem Bereich ist die Geschwindigkeit überall \(40\,\text{km/h}\). Somit gilt für \(s = 500\,\text{m}\) und \(s = 800\,\text{m}\) jeweils \(v = 40\,\text{km/h}\). 3. Berechnung für den Bremsabschnitt (\(800\) bis \(1000\,\text{m}\)): Die Geschwindigkeit sinkt über eine Distanz von \(200\,\text{m}\) linear von \(40\,\text{km/h}\) auf \(0\,\text{km/h}\). Nach der Hälfte dieser Distanz (bei \(900\,\text{m}\)) hat sich die Geschwindigkeit halbiert: \(v = 20\,\text{km/h}\). Am Ziel (\(1000\,\text{m}\)) ist \(v = 0\,\text{km/h}\).

Die Wertetabelle sieht wie folgt aus: <table> <tr> <td>Weg \(s\) in \(\text{m}\)</td> <td>0</td> <td>100</td> <td>200</td> <td>500</td> <td>800</td> <td>900</td> <td>1000</td> </tr> <tr> <td>Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\)</td> <td>0</td> <td>20</td> <td>40</td> <td>40</td> <td>40</td> <td>20</td> <td>0</td> </tr> </table>

- Wie berechnest du die Steigung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten? - Was bedeutet „Steigung“ im Vergleich zweier Funktionen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein.

1. Steigung von \(f\): \(m_f = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). 2. y-Achsenabschnitt von \(f\): Einsetzen von \((1 \mid 2)\) in \(2 = 3 \cdot 1 + n_f\) ergibt \(n_f = -1\). Die Gleichung ist \(f(x) = 3x - 1\). 3. Vergleich der Steigungen: \(m_f = 3\) und \(m_g = 4\). Somit hat \(g\) die größere Steigung. 4. Schnittpunkt bestimmen: Gleichsetzen \(3x - 1 = 4x - 1\). Daraus folgt \(3x = 4x\), also \(x = 0\). 5. y-Koordinate des Schnittpunkts: \(f(0) = -1\). Der Schnittpunkt ist \(S(0 \mid -1)\).

a) Die Funktionsgleichung von \(f\) lautet \(f(x) = 3x - 1\). b) Die Funktion \(g\) hat mit \(m = 4\) eine größere Steigung als \(f\) mit \(m = 3\). c) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid -1)\).

- Überprüfe, ob die Änderung zwischen den Funktionswerten immer proportional zur Änderung der \(x\)-Werte ist. - Was müsste gelten, damit alle Punkte auf einer Geraden liegen? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du dann den Wert an der Stelle \(0\) finden?

1. Prüfung auf Linearität durch Vergleich der Steigungen: Zwischen \((1; 5)\) und \((2; 8)\): \(m_1 = \frac{8 - 5}{2 - 1} = 3\). Zwischen \((2; 8)\) und \((4; 14)\): \(m_2 = \frac{14 - 8}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3\). Da die Steigungen gleich sind, ist die Funktion linear. 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(c\): \(f(1) = 3 \cdot 1 + c = 5 \Rightarrow c = 2\). Die Gleichung ist \(f(x) = 3x + 2\). 3. Berechnung für \(x = 0\): \(f(0) = 3 \cdot 0 + 2 = 2\). 4. Berechnung für \(f(x) = 26\): \(26 = 3x + 2 \Rightarrow 24 = 3x \Rightarrow x = 8\).

Die Werte gehören zu einer linearen Funktion mit \(f(x) = 3x + 2\). Die fehlenden Werte sind: Für \(x = 0\) ist \(f(x) = 2\). Für \(f(x) = 26\) ist \(x = 8\).

- Welche Menge Wasser ist schon da, bevor die Zeitmessung beginnt? - Wie viel kommt in jeder einzelnen Minute dazu? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer linearen Funktion \(y = m \cdot x + b\). - Um die Zeit für eine bestimmte Menge zu finden, musst du die Gleichung nach \(x\) auflösen.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung mit Startwert (y-Achsenabschnitt) \(b = 40\) und Änderungsrate (Steigung) \(m = 4\): \(y = 4x + 40\). 2. Berechnung der Funktionswerte: - \(x = 0 \implies y = 4 \cdot 0 + 40 = 40\,\text{l}\) - \(x = 10 \implies y = 4 \cdot 10 + 40 = 80\,\text{l}\) - \(x = 15 \implies y = 4 \cdot 15 + 40 = 100\,\text{l}\) - \(x = 30 \implies y = 4 \cdot 30 + 40 = 160\,\text{l}\) 3. Zeichnen des Graphen: Gerade durch den Punkt \((0 \mid 40)\) mit der Steigung \(4\). 4. Lösen der Gleichung \(200 = 4x + 40\). Subtraktion von \(40\) ergibt \(160 = 4x\). Division durch \(4\) liefert \(x = 40\). Nach \(40\) Minuten sind \(200\,\text{l}\) erreicht.

1. \(y = 4x + 40\) 2. Tabelle: <table> <tr><td>Zeit \(x\) in \(\text{min}\)</td><td>0</td><td>10</td><td>15</td><td>30</td></tr> <tr><td>Menge \(y\) in \(\text{l}\)</td><td>40</td><td>80</td><td>100</td><td>160</td></tr> </table> 3. Der Graph ist eine Gerade, die bei \(y = 40\) beginnt und durch Punkte wie \((10 \mid 80)\) verläuft. 4. Nach \(40\,\text{Minuten}\).

- Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt dort, wo der Funktionswert Null ist. Setze beide Teile der Gleichung einzeln gleich Null. - Was fällt dir an der Symmetrie des Graphen auf, wenn du ihn skizzierst? - Schau dir die Struktur \(4 - |x|\) an. Wann wird dieser Ausdruck maximal?

1. Für \(x \ge 0\) ist der Graph ein fallender Geradenast mit Steigung \(-1\). Für \(x < 0\) ist er ein steigender Geradenast mit Steigung \(1\). Im Bereich von \(x=-5\) bis \(x=5\) entsteht eine umgekehrte V-Form mit der Spitze bei \((0 \mid 4)\). 2. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Für \(x \ge 0\): \(4 - x = 0 \implies x = 4\), also \(N_1(4 \mid 0)\). Für \(x < 0\): \(4 + x = 0 \implies x = -4\), also \(N_2(-4 \mid 0)\). 3. Der höchste Punkt ist \(S(0 \mid 4)\). Für \(x > 0\) wird eine positive Zahl von \(4\) abgezogen. Für \(x < 0\) wird eine negative Zahl zu \(4\) addiert, sodass ebenfalls ein Wert kleiner als \(4\) entsteht.

a) Der Graph hat im vorgegebenen Bereich eine umgekehrte V-Form mit der Spitze bei \((0 \mid 4)\). b) Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(4 \mid 0)\) und \(N_2(-4 \mid 0)\). c) Der höchste Punkt ist \(S(0 \mid 4)\). Für \(x \neq 0\) gilt \(g(x) < 4\).

- Bei einer linearen Funktion ist die Änderung der y-Werte proportional zur Änderung der x-Werte. Wie viel ändert sich \(y\), wenn \(x\) um \(1\) größer wird? - Wenn du die Steigung kennst und einen Punkt hast, wie findest du dann den Achsenabschnitt?

1. Steigung der ursprünglichen Funktion berechnen: \(m = \frac{5{,}5 - 4}{5 - 2} = \frac{1{,}5}{3} = 0{,}5\). 2. Wert \(y_3\) für \(x = 11\) bestimmen: \(y_3 = 5{,}5 + (11 - 5) \cdot 0{,}5 = 5{,}5 + 3 = 8{,}5\). 3. Neue Steigung für \(h\): \(m_h = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). 4. y-Achsenabschnitt für \(h\) berechnen: Einsetzen von \((2 \mid 4)\) in \(4 = 1 \cdot 2 + n_h\) ergibt \(n_h = 2\). 5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(h(x) = 1x + 2\) bzw. \(h(x) = x + 2\).

a) Der Wert muss \(y_3 = 8{,}5\) sein. b) Die neue Funktionsgleichung lautet \(h(x) = x + 2\).

- Nutze die Formel für die Steigung \(m\) zwischen zwei Punkten. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Koordinaten mit Minuszeichen voneinander abziehst. - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{-1 - 7}{2 - (-2)} = \frac{-8}{4} = -2\). 2. Bestimmung von \(c\): Einsetzen von \(B(2 \mid -1)\) in \(y = -2x + c\): \(-1 = -2 \cdot 2 + c \Rightarrow -1 = -4 + c \Rightarrow c = 3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -2x + 3\). 3. Berechnung für \(x = 5\): \(f(5) = -2 \cdot 5 + 3 = -7\). 4. Berechnung für \(f(x) = 10\): \(10 = -2x + 3 \Rightarrow 7 = -2x \Rightarrow x = -3{,}5\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 3\). b) Die fehlenden Werte sind: Für \(x = 5\) ist \(f(x) = -7\). Für \(f(x) = 10\) ist \(x = -3{,}5\).