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Schwierigkeit: 1 – 5

5517018

Die Funktion \(f\) ist durch die folgende Wertetabelle vollständig gegeben: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> a) Gib die Koordinaten aller Punkte an, aus denen der Graph dieser Funktion besteht. b) Sollen diese Punkte miteinander verbunden werden? Begründe mit der angegebenen Definitionsmenge.

Denkanstöße

- Jede Tabellenspalte liefert ein Koordinatenpaar \((x\mid f(x))\). - Prüfe, ob die Tabelle nur einzelne Argumente oder ein ganzes Intervall beschreibt. - Eine Verbindung würde zusätzliche Funktionswerte für Zwischenwerte darstellen.

Lösung

1. Die Tabellenspalten liefern die Punkte \((-2\mid1)\), \((0\mid3)\), \((2\mid5)\) und \((4\mid2)\). 2. Die Tabelle gibt die Funktion vollständig nur für die vier aufgeführten Argumente an. Zwischenwerte gehören nicht zur Definitionsmenge. Deshalb besteht der Graph nur aus den vier einzelnen Punkten; sie werden nicht miteinander verbunden.

Antwort

a) \((-2\mid1)\), \((0\mid3)\), \((2\mid5)\), \((4\mid2)\) b) Nein. Die Funktion ist nur für die vier angegebenen Argumente definiert.

5517028

Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(g\) für alle Argumente \(x\) mit \(-2\le x\le4\). a) Übertrage die dargestellten Werte für \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\) und \(x=4\) in eine Wertetabelle. b) Begründe, warum hier auch Funktionswerte zu Argumenten zwischen diesen vier Tabellenwerten zum Graphen gehören.

Denkanstöße

- Lies für a) zu jedem vorgegebenen Argument die Höhe des Graphen ab. - Unterscheide bei b) zwischen einzelnen markierten Tabellenstellen und dem vollständig eingezeichneten Graphen. - Nutze die Angabe, für welche Argumente die Funktion definiert ist.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man die Punkte \((-2\mid3)\), \((0\mid1)\), \((2\mid4)\) und \((4\mid2)\) ab. 2. Daraus entsteht die Wertetabelle: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(g(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> 3. Die Funktion ist für jedes Argument zwischen \(-2\) und \(4\) definiert, und die gezeichneten Strecken sind ausdrücklich Teil des vollständigen Graphen. Deshalb gehören auch die Punkte zwischen den vier abgelesenen Tabellenstellen zur Funktion.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(g(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(4\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) Weil die Definitionsmenge alle Argumente von \(-2\) bis \(4\) umfasst und die eingezeichneten Strecken zum vollständigen Graphen gehören.

5551558

Die Tabelle gehört zu einer Funktion \(f\). <table><tr><th>\(x\)</th><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(4\)</td></tr></table> Welche Punktemenge stellt genau dieselbe Funktion dar? A: \(\{(-1\mid2),(0\mid0),(2\mid4)\}\) B: \(\{(2\mid-1),(0\mid0),(4\mid2)\}\) C: \(\{(-1\mid2),(0\mid2),(2\mid4)\}\)

Denkanstöße

- Ein Tabellenpaar aus \(x\) und \(f(x)\) entspricht einem Punkt \((x\mid f(x))\). - Achte darauf, Eingabe und Ausgabe nicht zu vertauschen.

Lösung

1. Zu jedem Tabellenwert wird der Eingabewert zuerst und der Funktionswert danach in die Punktkoordinate geschrieben. 2. Dadurch entstehen die Punkte \((-1\mid2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid4)\). 3. Das ist Punktemenge A.

Antwort

5573068

Der Graph zeigt eine Funktion \(f\) nur für die vier Argumente \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\). Die Punkte werden deshalb nicht verbunden. a) Lies die vier Funktionswerte ab. b) Der gesuchte Term soll die Form \(f(x)=x+c\) haben. Bestimme \(c\) und gib den vollständigen Funktionsterm an. c) Überprüfe deinen Term an einem der dargestellten Argumente.

Denkanstöße

- Lies zuerst die Koordinaten jedes einzelnen Punktes ab. - Vergleiche bei jedem Wertepaar Argument und Funktionswert und bestimme daraus den festen Zusatz \(c\). - Prüfe deinen vorgeschlagenen Term durch Einsetzen eines dargestellten Arguments.

Lösung

1. Die Punkte sind \((0\mid2)\), \((1\mid3)\), \((2\mid4)\) und \((3\mid5)\). Daher gilt \(f(0)=2\), \(f(1)=3\), \(f(2)=4\) und \(f(3)=5\). 2. Bei allen vier Punkten ist der Funktionswert jeweils um \(2\) größer als das Argument. Daher ist \(c=2\) und der Term lautet \(f(x)=x+2\). 3. Beispielsweise ergibt das Einsetzen von \(x=2\): \(f(2)=2+2=4\). Das stimmt mit dem dargestellten Punkt \((2\mid4)\) überein.

Antwort

a) \(f(0)=2\), \(f(1)=3\), \(f(2)=4\), \(f(3)=5\) b) \(f(x)=x+2\) c) Zum Beispiel \(f(2)=4\), passend zum Punkt \((2\mid4)\).

4332378

Für ein vereinfachtes Hafenmodell werden zu mehreren Zeitpunkten Wasserstände vorgegeben. Die markierten Punkte im Diagramm gelten dabei als Messwerte; die glatte Kurve ist ein mögliches Modell zwischen den Messzeitpunkten. a) Beschreibe anhand der markierten Messpunkte, wie sich der gemessene Wasserstand zwischen \(00{:}00\) Uhr und \(12{:}00\) Uhr verändert. b) Zu welchen Messzeitpunkten wurde der höchste Wasserstand gemessen? c) Wie groß ist der Unterschied zwischen dem höchsten und dem niedrigsten gemessenen Wasserstand? d) Schätze mithilfe der glatten Modellkurve den Wasserstand um \(04{:}30\) Uhr. Erkläre, warum dieser Wert kein gemessener Wasserstand ist.

Denkanstöße

- Nutze für a) bis c) nur die markierten Messpunkte und lies sie in zeitlicher Reihenfolge ab. - Suche für b) den höchsten markierten Punkt und prüfe, ob dieselbe Höhe mehrfach gemessen wurde. - Für c) vergleichst du den höchsten und niedrigsten markierten Messwert. - Unterscheide bei d) zwischen einem markierten Messpunkt und einem Wert, den nur die glatte Modellkurve liefert.

Lösung

1. Zwischen \(00{:}00\) Uhr und \(03{:}00\) Uhr steigt der gemessene Wasserstand von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}25\,\text{m}\). Danach sinkt er: Um \(06{:}00\) Uhr beträgt er wieder \(3{,}0\,\text{m}\), und um \(09{:}00\) Uhr werden \(0{,}75\,\text{m}\) gemessen. Bis \(12{:}00\) Uhr steigt er wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). 2. Der höchste gemessene Wasserstand beträgt \(5{,}25\,\text{m}\). Er wurde um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr gemessen. 3. Der niedrigste gemessene Wasserstand beträgt \(0{,}75\,\text{m}\). Die Differenz ist \(5{,}25\,\text{m}-0{,}75\,\text{m}=4{,}5\,\text{m}\). 4. Auf der glatten Modellkurve liegt der Wert um \(04{:}30\) Uhr ungefähr bei \(4{,}6\,\text{m}\). Bei \(04{:}30\) Uhr ist jedoch kein Messpunkt eingezeichnet; der Wert stammt daher aus dem Modell zwischen zwei Messzeitpunkten.

Antwort

a) Der gemessene Wasserstand steigt zunächst von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}25\,\text{m}\), fällt anschließend bis auf \(0{,}75\,\text{m}\) und steigt danach wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). b) Um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr c) \(4{,}5\,\text{m}\) d) Etwa \(4{,}6\,\text{m}\); das ist ein Modellwert zwischen Messpunkten, kein gemessener Wert.

4335268

Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen und die \(y\)-Achsenabschnitte der Geraden \(f\) und \(g\) ablesen. Nutze diese Informationen, um die Funktionsgleichungen in der Form \(y=mx+t\) aufzustellen.

Denkanstöße

- Welche beiden Achsenschnittpunkte kannst du bei jeder Geraden besonders sicher ablesen? - Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse über \(t\)? - Wie kannst du aus zwei Achsenschnittpunkten die Steigung berechnen?

Lösung

1. Für \(f\) kann man den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 4)\) und die Nullstelle \((4 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(t=4\) und \(m=\frac{0-4}{4-0}=-1\). 2. Also gilt \(f(x)=-x+4\). 3. Für \(g\) kann man den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -2)\) und die Nullstelle \((1 \mid 0)\) ablesen. Damit ist \(t=-2\) und \(m=\frac{0-(-2)}{1-0}=2\). 4. Also gilt \(g(x)=2x-2\).

Antwort

\(f(x)=-x+4\) \(g(x)=2x-2\)

5516898

Für eine Funktion \(g\) ist der Term \(g(x)=2x+1\) angegeben. Das Diagramm soll angeblich den Graphen von \(g\) zeigen. Prüfe die Behauptung an den Argumenten \(x=0\) und \(x=2\). Entscheide anschließend, ob das Diagramm zu \(g\) gehört, und begründe deine Entscheidung.

Denkanstöße

- Berechne die Funktionswerte aus dem angegebenen Term unabhängig vom Diagramm. - Lies anschließend im Diagramm die Werte zu denselben Argumenten ab. - Für die Widerlegung einer Übereinstimmung genügt bereits ein Gegenbeispiel.

Lösung

1. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(0)=2\cdot0+1=1\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=0\) jedoch bei \(y=-1\). 2. Aus dem Funktionsterm folgt \(g(2)=2\cdot2+1=5\). Im Diagramm liegt der Graph bei \(x=2\) jedoch bei \(y=3\). 3. Das Diagramm gehört daher nicht zur Funktion \(g\). Schon ein abweichendes Wertepaar würde ausreichen, um die Behauptung zu widerlegen.

Antwort

Das Diagramm gehört nicht zu \(g\). Beispielsweise gilt nach dem Term \(g(0)=1\), im Diagramm ist bei \(x=0\) aber \(y=-1\).

5517038

Ein Behälter enthält zu Beginn \(10\,\text{l}\) Wasser. Anschließend kommen vier Minuten lang in jeder Minute gleichmäßig \(5\,\text{l}\) hinzu. Die drei Diagramme A, B und C zeigen mögliche Darstellungen dieses Vorgangs. a) Welches Diagramm passt zur Beschreibung? Begründe mit Anfangswert und Veränderung pro Minute. b) Erstelle für das passende Diagramm eine Wertetabelle für \(t=0\,\text{min}\), \(t=2\,\text{min}\) und \(t=4\,\text{min}\).

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, welches Diagramm bei \(t=0\) den richtigen Anfangswert zeigt. - Vergleiche danach, um wie viele Liter der dargestellte Wert in einer Minute zunimmt. - Nutze für die Tabelle nur das ausgewählte Diagramm und die vorgegebenen Zeitpunkte.

Lösung

1. Zu Beginn müssen \(10\,\text{l}\) dargestellt sein. Außerdem kommen in jeder Minute \(5\,\text{l}\) hinzu. Diese beiden Bedingungen erfüllt Diagramm A. 2. Es gilt \(V(0)=10\,\text{l}\), \(V(2)=10+5\cdot2=20\,\text{l}\) und \(V(4)=10+5\cdot4=30\,\text{l}\). 3. Daraus entsteht die Wertetabelle: <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(V(t)\) in \(\text{l}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table>

Antwort

a) Diagramm A. b) <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(V(t)\) in \(\text{l}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table>

5517048

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=x^2-2\) mit der Definitionsmenge \(D=\{-2;-1;0;1;2\}\). a) Erstelle eine Wertetabelle. b) Gib die Koordinaten aller Punkte an, aus denen der Graph dieser Funktion besteht. c) Erkläre, warum die Punkte nicht zu einer durchgehenden Kurve verbunden werden sollen.

Denkanstöße

- Setze jedes der fünf Argumente einzeln in den Funktionsterm ein. - Jede Tabellenspalte liefert anschließend einen Punkt \((x\mid f(x))\). - Prüfe vor einer möglichen Verbindung, ob auch Zwischenwerte zur Definitionsmenge gehören.

Lösung

1. Es gilt \(f(-2)=2\), \(f(-1)=-1\), \(f(0)=-2\), \(f(1)=-1\) und \(f(2)=2\). 2. Damit ergibt sich die Wertetabelle: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> 3. Der Graph besteht aus den fünf Punkten \((-2\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((0\mid-2)\), \((1\mid-1)\) und \((2\mid2)\). 4. Die Definitionsmenge enthält nur diese fünf Argumente. Zwischenwerte gehören nicht zur Funktion und dürfen daher nicht durch eine durchgehende Kurve ergänzt werden.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) \((-2\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((0\mid-2)\), \((1\mid-1)\), \((2\mid2)\) c) Die Definitionsmenge besteht nur aus fünf Einzelwerten; Zwischenwerte gehören nicht zur Funktion.

5517058

Der Graph und die Tabelle sollen dieselbe Funktion \(f\) darstellen. In der Tabelle ist genau ein Funktionswert falsch. <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> a) Finde den falschen Tabellenwert. b) Korrigiere ihn. c) Erkläre, wie du die Übereinstimmung zwischen Tabelle und Graph systematisch prüfen kannst.

Denkanstöße

- Gehe die Tabellenargumente der Reihe nach durch. - Lies zu jedem \(x\)-Wert den Graphwert ab und vergleiche ihn mit der Tabelle. - Sobald ein Paar nicht übereinstimmt, prüfe die übrigen Paare trotzdem, weil genau ein Fehler angekündigt ist.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man für \(x=1\) den Funktionswert \(4\) ab. In der Tabelle steht dort \(5\). Dieser Wert ist falsch. 2. Die korrekte Zuordnung lautet \(f(1)=4\). 3. Zur systematischen Prüfung vergleicht man für jedes in der Tabelle aufgeführte Argument den Tabellenwert mit der Höhe des Graphen an derselben \(x\)-Stelle.

Antwort

a) Falsch ist der Tabellenwert \(f(1)=5\). b) Richtig ist \(f(1)=4\). c) Vergleiche für jedes Argument den Tabellenwert mit dem zugehörigen Graphwert.

5524228

Für eine Funktion \(f\) sind einige Zuordnungen bekannt: \(-3\mapsto9\), \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto0\), \(2\mapsto4\), \(4\mapsto16\). Zur Auswahl stehen vier Rechenregeln: „Eingabe verdoppeln“, „Eingabe quadrieren“, „Eingabe um \(3\) erhöhen“ und „Betrag der Eingabe bilden“. a) Welche der vier Rechenregeln passt zu allen fünf Zuordnungen? Begründe, warum die anderen Regeln nicht zu allen Paaren passen. b) Gib zu der passenden Regel einen Funktionsterm an. c) Bestimme mit derselben Regel \(f(5)\) und \(f(-2)\).

Denkanstöße

- Teste jede angebotene Regel an mehreren der gegebenen Zuordnungen, einschließlich einer negativen Eingabe. - Eine Regel scheidet aus, sobald sie auch nur ein gegebenes Wertepaar nicht erzeugt. - Verwende für c) genau die in a) ausgewählte Regel.

Lösung

1. Die Regel „Eingabe quadrieren“ passt zu allen fünf Paaren. Die anderen Regeln scheitern bereits bei mindestens einem gegebenen Paar, zum Beispiel bei einer negativen Eingabe oder bei \(x=0\). 2. Der passende Funktionsterm ist \(f(x)=x^2\). 3. Damit gilt \(f(5)=25\) und \(f(-2)=4\).

Antwort

a) Die Eingabe wird quadriert. b) \(f(x)=x^2\) c) \(f(5)=25\); \(f(-2)=4\)

5524258

Das Diagramm zeigt vollständig den Graphen einer Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\{-2;-1;0;1;2\}\). a) Übertrage die fünf dargestellten Werte in eine Wertetabelle. b) Welcher der folgenden Funktionsterme passt zu allen fünf dargestellten Wertepaaren: \(3-x\), \(x+3\), \(3x\) oder \(x^2+1\)? Begründe deine Wahl durch einen Vergleich mit den Punkten. c) Erkläre, warum die dargestellten Punkte nicht zu einer durchgehenden Kurve verbunden werden sollen.

Denkanstöße

- Lies für die Tabelle zu jedem dargestellten \(x\)-Wert die Höhe des zugehörigen Punkts ab. - Teste die angebotenen Terme an mehr als einem dargestellten Argument; ein widersprechender Punkt reicht zum Ausschließen. - Vergleiche die ausdrücklich angegebene Definitionsmenge mit den Zwischenstellen auf der \(x\)-Achse.

Lösung

1. Aus dem Diagramm liest man die Wertepaare \((-2\mid5)\), \((-1\mid4)\), \((0\mid3)\), \((1\mid2)\) und \((2\mid1)\) ab. 2. Der Term \(f(x)=3-x\) erzeugt alle fünf dargestellten Werte. Die anderen angebotenen Terme stimmen jeweils bei mindestens einem dargestellten Argument nicht mit dem Punkt überein. 3. Die Definitionsmenge enthält nur die fünf angegebenen Argumente. Für Werte zwischen ihnen ist die Funktion hier nicht definiert; eine Verbindungslinie würde zusätzliche Funktionswerte vortäuschen.

Antwort

a) \(f(-2)=5\), \(f(-1)=4\), \(f(0)=3\), \(f(1)=2\), \(f(2)=1\) b) \(f(x)=3-x\) c) Weil \(D_f\) nur aus den fünf angegebenen Argumenten besteht; Verbindungen würden nicht gegebene Zwischenwerte suggerieren.

5524278

In beiden Diagrammen sind zunächst nur einzelne Werte eingezeichnet. a) Diagramm a) beschreibt die Anzahl gekaufter Kinokarten und den Gesamtpreis. Eine Karte kostet \(3\,\text{€}\). Sollten die eingezeichneten Punkte zu einer durchgehenden Linie verbunden werden? Begründe. b) Diagramm b) beschreibt den zurückgelegten Weg von Sofia, die während der dargestellten \(15\,\text{Minuten}\) ohne Pause mit gleichbleibendem Tempo fährt. Sollten die eingezeichneten Punkte verbunden werden? Begründe. c) Welche falsche Aussage würde eine durchgehende Verbindung in Diagramm a) zum Beispiel bei \(x=2{,}5\) nahelegen?

Denkanstöße

- Frage dich in jedem Kontext, welche Werte die waagerechte Größe überhaupt annehmen kann. - Unterscheide einzelne zählbare Stückzahlen von einer Größe, die sich während eines Vorgangs kontinuierlich verändert. - Eine Verbindungslinie behauptet auch Werte zwischen zwei eingezeichneten Punkten.

Lösung

1. In Diagramm a) ist die Anzahl der Kinokarten eine diskrete Größe. Zwischen zwei und drei Karten gibt es in diesem Kontext keine Eingabe. Die Punkte sollen daher nicht zu einer durchgehenden Linie verbunden werden. 2. In Diagramm b) nimmt die Zeit während der Fahrt kontinuierlich Zwischenwerte an. Unter der gegebenen Annahme gleichbleibenden Tempos gehören auch zu Zwischenzeiten passende Wegwerte. Hier ist eine Verbindung der Punkte durch eine Gerade sinnvoll. 3. Eine Verbindung in Diagramm a) würde zum Beispiel suggerieren, dass \(2{,}5\) Karten gekauft werden könnten und dazu ein Preis gehöre. Diese Eingabe ist im Sachkontext nicht zulässig.

Antwort

a) Nein. Die Kartenanzahl ist diskret; nur ganze Anzahlen sind zulässig. b) Ja. Zeit und Weg ändern sich während der gleichmäßigen Fahrt kontinuierlich; die Zwischenwerte sind im Modell sinnvoll. c) Sie würde fälschlich einen Preis für \(2{,}5\) Kinokarten darstellen.

5551568

Für die endliche Definitionsmenge \(D_f=\{-1;0;2\}\) gilt \(f(x)=x+2\). Drei Darstellungen sollen dieselbe Funktion wiedergeben: A: <table><tr><th>\(x\)</th><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr></table> B: \(\{(-1\mid1),(2\mid0),(2\mid4)\}\) C: \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto2\), \(2\mapsto5\) Prüfe jede Darstellung A, B und C. Welche stellt genau dieselbe Funktion dar? Korrigiere jede falsche Darstellung.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die drei Funktionswerte aus dem Term und der endlichen Definitionsmenge. - In einem Punkt \((x\mid y)\) steht das Argument zuerst und der Funktionswert an zweiter Stelle. - Eine Darstellung ist nur dann dieselbe Funktion, wenn jede einzelne Zuordnung übereinstimmt.

Lösung

1. Aus \(f(x)=x+2\) folgen auf \(D_f\) die Zuordnungen \(-1\mapsto1\), \(0\mapsto2\) und \(2\mapsto4\). 2. Darstellung A enthält genau diese drei Zuordnungen und ist richtig. 3. In B ist beim mittleren Punkt die Koordinatenreihenfolge vertauscht: Richtig ist \((0\mid2)\) statt \((2\mid0)\). Die korrigierte Punktemenge lautet \(\{(-1\mid1),(0\mid2),(2\mid4)\}\). 4. In C ist die letzte Ausgabe falsch. Richtig ist \(2\mapsto4\) statt \(2\mapsto5\).

Antwort

A ist richtig. B muss zu \(\{(-1\mid1),(0\mid2),(2\mid4)\}\) korrigiert werden. C muss bei der letzten Zuordnung zu \(2\mapsto4\) korrigiert werden.

5551618

Der Graph zeigt den Versandpreis \(P\) in Abhängigkeit von der Masse \(m\) eines Pakets für \(0<m\le5\,\text{kg}\). Ein ausgefüllter Randpunkt gehört zur dargestellten Preisstufe, ein offener Randpunkt nicht. a) Formuliere aus dem Graphen die vollständige Tarifregel in Worten: Gib für jede Preisstufe den zugehörigen Massebereich mit den richtigen Grenzen an. b) Erkläre am Übergang bei \(m=1\,\text{kg}\), welche Bedeutung der ausgefüllte Punkt bei \((1\mid4)\) und der offene Punkt bei \((1\mid6)\) haben. Welcher Preis gilt deshalb für ein Paket mit genau \(1\,\text{kg}\), welcher für eines mit \(1{,}01\,\text{kg}\)?

Denkanstöße

- Lies jede waagerechte Stufe getrennt ab: Welche Massewerte gehören zu ihr und welcher Preis steht auf dieser Höhe? - Nutze die im Aufgabentext erklärte Bedeutung offener und ausgefüllter Randpunkte. - Formuliere die Grenzen so, dass jeder zulässige Massewert genau einer Preisstufe zugeordnet wird.

Lösung

1. Die erste waagerechte Stufe liegt bei \(4\,\text{€}\) und reicht von Massen größer als \(0\,\text{kg}\) bis einschließlich \(1\,\text{kg}\). Die zweite Stufe liegt bei \(6\,\text{€}\) für Massen größer als \(1\,\text{kg}\) bis einschließlich \(3\,\text{kg}\). Die dritte Stufe liegt bei \(9\,\text{€}\) für Massen größer als \(3\,\text{kg}\) bis einschließlich \(5\,\text{kg}\). 2. Der ausgefüllte Punkt bei \((1\mid4)\) zeigt, dass \(m=1\,\text{kg}\) zur ersten Preisstufe gehört. Der offene Punkt bei \((1\mid6)\) zeigt, dass die zweite Preisstufe den Wert \(m=1\,\text{kg}\) nicht enthält. Daher kostet ein Paket mit genau \(1\,\text{kg}\) \(4\,\text{€}\), ein Paket mit \(1{,}01\,\text{kg}\) dagegen \(6\,\text{€}\).

Antwort

a) \(0<m\le1\,\text{kg}\): \(4\,\text{€}\); \(1<m\le3\,\text{kg}\): \(6\,\text{€}\); \(3<m\le5\,\text{kg}\): \(9\,\text{€}\) b) Genau \(1\,\text{kg}\) gehört zur \(4\,\text{€}\)-Stufe; \(1{,}01\,\text{kg}\) gehört zur \(6\,\text{€}\)-Stufe.

5563158

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=x+2\) mit der Definitionsmenge \(D=\{0;1;2;3\}\). a) Erstelle eine Wertetabelle für alle Argumente aus \(D\). b) Gib die vier Punkte an, die den Graphen dieser Funktion bilden. c) Soll man diese vier Punkte im Koordinatensystem durch Linien verbinden? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Setze nacheinander jedes Element der Definitionsmenge in den Funktionsterm ein. - Zu einem Wertepaar \(x\) und \(f(x)\) gehört im Koordinatensystem der Punkt \((x\mid f(x))\). - Prüfe bei c), ob auch Argumente zwischen den vier Zahlen zur Definitionsmenge gehören.

Lösung

1. Für die vier Argumente erhält man \(f(0)=2\), \(f(1)=3\), \(f(2)=4\) und \(f(3)=5\). 2. Zum Graphen gehören die Punkte \((0\mid2)\), \((1\mid3)\), \((2\mid4)\) und \((3\mid5)\). 3. Die Definitionsmenge enthält nur die vier angegebenen Zahlen. Für Werte zwischen ihnen sind keine Funktionswerte festgelegt. Deshalb werden nur die vier einzelnen Punkte dargestellt und nicht verbunden.

Antwort

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> </table> b) \((0\mid2)\), \((1\mid3)\), \((2\mid4)\), \((3\mid5)\) c) Nein. Wegen der endlichen Definitionsmenge besteht der Graph nur aus diesen vier Punkten.

5563168

Für einen Workshop fällt einmalig eine Materialgrundgebühr von \(4{,}00\,\text{€}\) an. Zusätzlich kostet das Material für jede teilnehmende Person \(1{,}50\,\text{€}\). Die Funktion \(K\) ordnet der Teilnehmerzahl \(n\) die gesamten Materialkosten zu. a) Formuliere einen Funktionsterm für \(K(n)\). b) Berechne mit deinem Term die Materialkosten für \(8\) Teilnehmende. c) Erkläre, welche Bedeutung die beiden Zahlen in deinem Funktionsterm im Sachzusammenhang haben.

Denkanstöße

- Trenne den Kostenanteil, der immer anfällt, von dem Anteil, der von der Teilnehmerzahl abhängt. - Überlege, wie oft der Betrag pro Person bei \(n\) Teilnehmenden vorkommt. - Prüfe deinen Term an einem kleinen Beispiel, bevor du ihn für \(8\) Teilnehmende verwendest.

Lösung

1. Zu den festen \(4{,}00\,\text{€}\) kommen für jede teilnehmende Person \(1{,}50\,\text{€}\) hinzu. Daher gilt \(K(n)=4+1{,}5n\). 2. Für \(n=8\) ergibt sich \(K(8)=4+1{,}5\cdot8=16\). Die Materialkosten betragen \(16{,}00\,\text{€}\). 3. Die Zahl \(4\) steht für die einmalige Grundgebühr; die Zahl \(1{,}5\) steht für die zusätzlichen Materialkosten pro teilnehmender Person.

Antwort

a) \(K(n)=4+1{,}5n\) b) \(16{,}00\,\text{€}\) c) \(4\) ist die Grundgebühr; \(1{,}5\) sind die Kosten in Euro pro teilnehmender Person.

5563178

In einem Gewächshaus wird die relative Luftfeuchte alle zwei Stunden gemessen. Die markierten Punkte im Diagramm sind die Messwerte. Die gestrichelten Strecken bilden ein einfaches Modell zwischen den Messzeitpunkten. a) Zu welchen Zeitpunkten liegen tatsächliche Messwerte vor? b) Welchen Wert liefert das Modell für \(t=3\,\text{h}\)? c) Mira sagt: „Um \(3\,\text{h}\) wurden \(45\,\%\) Luftfeuchte gemessen.“ Beurteile die Aussage.

Denkanstöße

- Unterscheide im Bild zwischen markierten Punkten und den gestrichelten Verbindungsstrecken. - Für b) liegt \(t=3\,\text{h}\) genau zwischen zwei Messzeitpunkten. - Prüfe bei c) besonders das Wort „gemessen“.

Lösung

1. Markierte Messpunkte liegen bei \(t=0\,\text{h}\), \(2\,\text{h}\), \(4\,\text{h}\) und \(6\,\text{h}\) vor. 2. Zwischen \(2\,\text{h}\) und \(4\,\text{h}\) fällt die gestrichelte Modellstrecke von \(50\,\%\) auf \(40\,\%\). Bei \(t=3\,\text{h}\) liegt sie daher bei \(45\,\%\). 3. Miras Aussage ist falsch formuliert. \(45\,\%\) ist ein Wert des Modells zwischen zwei Messzeitpunkten; bei \(t=3\,\text{h}\) ist kein Messpunkt eingezeichnet.

Antwort

a) Bei \(t=0\,\text{h}\), \(2\,\text{h}\), \(4\,\text{h}\) und \(6\,\text{h}\) b) \(45\,\%\) c) Falsch: \(45\,\%\) ist ein Modellwert, kein Messwert.

5572948

Das Diagramm zeigt den vollständigen Graphen einer Funktion \(f\) für \(-3\le x\le4\). a) Beschreibe die drei Graphabschnitte in Worten. Gib jeweils an, für welche Argumente \(f\) steigt, gleich bleibt oder fällt. b) Ergänze deine Beschreibung um die Funktionswerte an den vier Eckpunkten. c) Lea sagt: „Von \(x=-3\) bis \(x=1\) steigt die Funktion, denn \(f(-3)<f(1)\).“ Erkläre, warum diese Beschreibung trotz des richtigen Vergleichs der beiden Randwerte falsch ist.

Denkanstöße

- Zerlege den Graphen an den Stellen, an denen sich seine Richtung ändert. - Beschreibe jeden Abschnitt unabhängig davon, was die beiden äußeren Randwerte des gesamten Graphen machen. - Für c) prüfst du nicht nur Anfang und Ende, sondern jeden Teil zwischen \(-3\) und \(1\).

Lösung

1. Von \(x=-3\) bis \(x=-1\) steigt der Graph. Von \(x=-1\) bis \(x=1\) bleibt der Funktionswert gleich. Von \(x=1\) bis \(x=4\) fällt der Graph. 2. Die Eckpunkte sind \((-3\mid1)\), \((-1\mid4)\), \((1\mid4)\) und \((4\mid0)\). Eine vollständige verbale Beschreibung lautet daher: Der Funktionswert steigt zunächst von \(1\) auf \(4\), bleibt anschließend bei \(4\) und fällt danach auf \(0\). 3. Aus \(f(-3)<f(1)\) folgt nur, dass der spätere Randwert größer ist. Zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) steigt der Graph nicht, sondern verläuft waagerecht. Deshalb ist „steigt von \(-3\) bis \(1\)“ als Beschreibung des gesamten Abschnitts falsch.

Antwort

a) Steigend für \(-3\le x\le-1\), gleichbleibend für \(-1\le x\le1\), fallend für \(1\le x\le4\). b) \((-3\mid1)\), \((-1\mid4)\), \((1\mid4)\), \((4\mid0)\); also von \(1\) auf \(4\), dann konstant \(4\), dann auf \(0\). c) Zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) bleibt \(f\) konstant; der Vergleich nur der beiden Randwerte beschreibt den Verlauf dazwischen nicht.

5573078

In einer Tabellenkalkulation stehen die Argumente in den Zellen A2 bis A5. Für die Funktion \(f(x)=2x+1\) wurde in B2 die Tabellenkalkulationsformel <code>=2*A2+1</code> eingegeben und anschließend nach unten kopiert. Die gespeicherten Zellen zeigen: <table> <tr><th>Zelle</th><th>Inhalt in Spalte A</th><th>Formel in Spalte B</th></tr> <tr><td>Zeile 2</td><td>\(-2\)</td><td><code>=2*A2+1</code></td></tr> <tr><td>Zeile 3</td><td>\(1\)</td><td><code>=2*A3+1</code></td></tr> <tr><td>Zeile 4</td><td>\(4\)</td><td><code>=2*A3+1</code></td></tr> <tr><td>Zeile 5</td><td>\(7\)</td><td><code>=2*A5+1</code></td></tr> </table> a) Welche Formelzelle passt nicht zu einem korrekten Herunterkopieren? Begründe über den Zellbezug, nicht über ein Zahlenmuster. b) Welche Formel muss dort stehen? c) Welcher Funktionswert wird mit der korrigierten Formel in dieser Zeile berechnet? d) Erkläre, warum sich beim Herunterkopieren der Bezug auf die A-Zelle mit der Zeilennummer ändern muss.

Denkanstöße

- Vergleiche in jeder Zeile die Zeilennummer der B-Zelle mit der Zeilennummer der verwendeten A-Zelle. - Eine kopierte Formel soll in jeder Zeile das dort stehende Argument verwenden. - Berechne den Zahlenwert erst, nachdem du den richtigen Zellbezug festgestellt hast.

Lösung

1. Die Formel in Zeile 4 ist falsch. In B4 muss der Wert aus A4 verwendet werden; gespeichert ist dort aber ein Bezug auf A3. 2. Die korrekte Formel lautet <code>=2*A4+1</code>. 3. In A4 steht \(x=4\). Daher ergibt sich \(f(4)=2\cdot4+1=9\). 4. Jede Zeile soll den Funktionswert zum Argument derselben Zeile berechnen. Beim Kopieren nach unten muss deshalb aus dem Bezug A2 nacheinander A3, A4 und A5 werden.

Antwort

a) Zeile 4 beziehungsweise B4; die Formel verweist fälschlich auf A3 statt auf A4. b) <code>=2*A4+1</code> c) \(f(4)=9\) d) Jede B-Zelle muss das Argument aus der A-Zelle derselben Zeile verwenden.

5573088

Ein Funktionenplotter soll den Term \(f(x)=x+10\) darstellen. Im eingestellten Fenster gilt \(-4\le x\le4\) und \(-4\le y\le4\). Das Diagramm zeigt genau diese Plotterausgabe. a) Ein Schüler schließt aus der Ausgabe: „Der Term besitzt für die dargestellten \(x\)-Werte keine Funktionswerte.“ Beurteile seine Aussage. b) Bestimme den kleinsten und den größten Funktionswert, die für \(-4\le x\le4\) auftreten. Erkläre damit die Plotterausgabe. c) Gib ein geeignetes neues Fenster für die \(y\)-Achse mit ganzzahligen Grenzen an, in dem der gesamte Graphabschnitt für \(-4\le x\le4\) sichtbar wäre. d) Nenne einen Punkt, der im neuen Fenster sicher auf dem Graphen liegen müsste.

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen „kein Funktionswert vorhanden“ und „im gewählten Ausschnitt nicht sichtbar“. - Berechne die Funktionswerte an den beiden Randargumenten des eingestellten x-Bereichs. - Das neue y-Fenster muss den gesamten dabei auftretenden Wertebereich enthalten.

Lösung

1. Nein. Der Term liefert zu jedem dargestellten Argument einen Funktionswert; das eingestellte Fenster kann einen vorhandenen Graphen trotzdem vollständig außerhalb des sichtbaren Bereichs liegen lassen. 2. Es gilt \(f(-4)=6\) und \(f(4)=14\). Für die dargestellten Argumente liegen die Funktionswerte daher zwischen \(6\) und \(14\). Das aktuelle Fenster zeigt auf der senkrechten Achse aber nur Werte von \(-4\) bis \(4\). 3. Zum Beispiel eignet sich \(5\le y\le15\). Darin liegen alle Funktionswerte des betrachteten Graphabschnitts. 4. Beispielsweise gilt \(f(0)=10\), also muss der Punkt \((0\mid10)\) sichtbar sein.

Antwort

a) Nein. Der Graph liegt lediglich vollständig außerhalb des eingestellten y-Bereichs. b) Kleinster Wert: \(6\); größter Wert: \(14\). c) Zum Beispiel \(5\le y\le15\). d) Zum Beispiel \((0\mid10)\).

5573098

Für eine Versandbox mit Schlüsselanhängern werden unabhängig von der Stückzahl \(3\) Ersatzringe beigelegt. Jeder bestellte Schlüsselanhänger benötigt zusätzlich \(4\) Ringe. Es werden nur ganze positive Stückzahlen bestellt. Die Anzahl der Schlüsselanhänger sei \(x\), die insgesamt bereitgelegte Ringzahl \(R(x)\). a) Erstelle für \(x=1\), \(2\), \(4\) und \(6\) eine Wertetabelle. b) Gib die zugehörigen Graphpunkte an. Sollen diese Punkte im Sachzusammenhang durch eine durchgehende Linie verbunden werden? Begründe. c) Stelle einen Funktionsterm für \(R(x)\) auf. d) Erkläre, wie sich die feste Zahl der Ersatzringe und die Ringzahl pro Schlüsselanhänger in Tabelle, Punkten und Term wiederfinden.

Denkanstöße

- Trenne die Ringzahl, die mit jedem weiteren Schlüsselanhänger hinzukommt, von der festen Zahl der Ersatzringe. - Prüfe bei b), welche x-Werte im Sachzusammenhang überhaupt möglich sind. - Der Term muss beide Beiträge zur gesamten Ringzahl enthalten.

Lösung

1. Für \(R(x)=4x+3\) ergeben sich \(R(1)=7\), \(R(2)=11\), \(R(4)=19\) und \(R(6)=27\). 2. Die Graphpunkte sind \((1\mid7)\), \((2\mid11)\), \((4\mid19)\) und \((6\mid27)\). Im Sachzusammenhang sind nur ganze positive Stückzahlen erlaubt; Zwischenwerte wie \(x=2{,}5\) gehören nicht zur Definitionsmenge. Deshalb werden die Punkte nicht zu einer durchgehenden Linie verbunden. 3. Zu den \(4\) Ringen pro Schlüsselanhänger kommen immer \(3\) Ersatzringe hinzu. Daher ist \(R(x)=4x+3\). 4. Eine Erhöhung von \(x\) um \(1\) erhöht die Ringzahl jeweils um \(4\); das zeigt sich in Tabelle und Punkten. Die feste \(3\) erscheint als konstanter Zusatz im Term.

Antwort

a) \(R(1)=7\), \(R(2)=11\), \(R(4)=19\), \(R(6)=27\) b) \((1\mid7)\), \((2\mid11)\), \((4\mid19)\), \((6\mid27)\); nicht durchgehend verbinden c) \(R(x)=4x+3\) d) \(4\) ist der Zusatz pro Schlüsselanhänger; \(3\) ist der feste Zusatz pro Versandbox.

4119198

Ein Bus fährt von Haltestelle A nach Haltestelle B. Die Haltestellen sind genau \(1\,\text{km}\) voneinander entfernt. Die Fahrt lässt sich idealisiert so beschreiben: - Auf den ersten \(200\,\text{m}\) steigt die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg gleichmäßig von \(0\) auf \(40\,\text{km/h}\). - Die nächsten \(600\,\text{m}\) fährt der Bus mit dieser konstanten Geschwindigkeit von \(40\,\text{km/h}\). - Auf den letzten \(200\,\text{m}\) sinkt die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg gleichmäßig von \(40\) auf \(0\,\text{km/h}\). Erstelle eine Wertetabelle für die Zuordnung Weg \(s\) in \(\text{m}\) \(\mapsto\) Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\) für die Wegpunkte \(s\in\{0;100;200;500;800;900;1000\}\).

Denkanstöße

- Teile die Fahrt in die drei beschriebenen Wegabschnitte ein. - Überlege, welchen Wert eine Größe in der Mitte eines Abschnitts hat, wenn sie dort gleichmäßig vom Anfangs- zum Endwert steigt oder fällt. - Prüfe für jeden gefragten Wegpunkt, zu welchem der drei Abschnitte er gehört.

Lösung

1. Auf den ersten \(200\,\text{m}\) steigt die Geschwindigkeit gleichmäßig von \(0\) auf \(40\,\text{km/h}\). Bei \(s=0\,\text{m}\) gilt daher \(v=0\,\text{km/h}\), bei der Hälfte des Abschnitts, also bei \(s=100\,\text{m}\), gilt \(v=20\,\text{km/h}\), und bei \(s=200\,\text{m}\) gilt \(v=40\,\text{km/h}\). 2. Von \(s=200\,\text{m}\) bis \(s=800\,\text{m}\) bleibt die Geschwindigkeit konstant bei \(40\,\text{km/h}\). Damit gilt dies insbesondere für \(s=500\,\text{m}\) und \(s=800\,\text{m}\). 3. Auf den letzten \(200\,\text{m}\) sinkt die Geschwindigkeit gleichmäßig von \(40\) auf \(0\,\text{km/h}\). Bei \(s=900\,\text{m}\), also in der Mitte dieses Abschnitts, gilt \(v=20\,\text{km/h}\); bei \(s=1000\,\text{m}\) gilt \(v=0\,\text{km/h}\).

Antwort

<table> <tr><th>Weg \(s\) in \(\text{m}\)</th><td>0</td><td>100</td><td>200</td><td>500</td><td>800</td><td>900</td><td>1000</td></tr> <tr><th>Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\)</th><td>0</td><td>20</td><td>40</td><td>40</td><td>40</td><td>20</td><td>0</td></tr> </table>

4224658

Gegeben ist die Formel \(y=\frac{x^2+2x}{x+1{,}5}\). Vervollständige die Tabelle. Runde die Werte von \(y\) auf zwei Dezimalstellen. <table><tr><th>\(x\)</th><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}6\)</td><td>\(0{,}8\)</td><td>\(1{,}0\)</td><td>\(1{,}2\)</td></tr><tr><th>\(x^2\)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>\(2x\)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>\(y\)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

Denkanstöße

- Berechne in jeder Spalte zuerst die Potenz und das doppelte \(x\). - Setze diese Ergebnisse anschließend in Zähler und Nenner ein. - Runde erst das Endergebnis des Quotienten auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

1. Für jede Spalte werden zunächst \(x^2\) und \(2x\) berechnet. 2. Danach wird der Zähler \(x^2+2x\) durch \(x+1{,}5\) geteilt. 3. Für \(x=0{,}2\) ergibt sich \(y=\frac{0{,}04+0{,}4}{1{,}7}\approx0{,}26\). 4. Entsprechend erhält man für \(x=0{,}4;0{,}6;0{,}8;1{,}0;1{,}2\) gerundet die Werte \(0{,}51;0{,}74;0{,}97;1{,}20;1{,}42\).

Antwort

4237758

Für eine Modellaufgabe wird die Zahl öffentlich zugänglicher Ladepunkte in einer fiktiven Region betrachtet. Die Tabelle enthält ausschließlich die angegebenen Jahreswerte; zunächst wird keine Aussage über Zwischenzeitpunkte gemacht. <table> <tr><th>Jahr</th><td>2017</td><td>2018</td><td>2019</td><td>2020</td><td>2021</td></tr> <tr><th>Ladepunkte</th><td>\(10\,700\)</td><td>\(15\,600\)</td><td>\(23\,900\)</td><td>\(39\,500\)</td><td>\(52\,200\)</td></tr> </table> Die Funktion \(L\) ordnet jedem in der Tabelle enthaltenen Jahr die zugehörige Anzahl der Ladepunkte zu. a) Gib die Definitionsmenge \(D_L\) und die Wertemenge \(W_L\) dieser Tabellenfunktion an. b) Ist \(L(2019{,}5)\) für diese Tabellenfunktion definiert? Begründe. c) Erst in einem zweiten Modell werden die beiden Tabellenpunkte für 2019 und 2020 geradlinig verbunden. Bestimme unter dieser zusätzlichen Annahme den Modellwert für die Jahresmitte \(2019{,}5\) und erkläre, warum dieser Wert nicht schon aus der ursprünglichen Tabellenfunktion folgt.

Denkanstöße

- Trenne die tatsächlich in der Tabelle vorhandenen Argumente von möglichen Zwischenwerten. - Eine Funktion kann nur an Argumenten ausgewertet werden, die zu ihrer Definitionsmenge gehören. - In c) darfst du den Zwischenwert erst berechnen, weil dort ausdrücklich ein neues Modell eingeführt wird.

Lösung

1. Die Definitionsmenge besteht genau aus den fünf in der Tabelle aufgeführten Jahren: \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\). Die Wertemenge ist \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\). 2. \(2019{,}5\) gehört nicht zu \(D_L\). Deshalb ist \(L(2019{,}5)\) für die reine Tabellenfunktion nicht definiert. 3. Im zweiten Modell liegt die Jahresmitte genau zwischen den Funktionswerten von 2019 und 2020. Der Modellwert ist \((23\,900+39\,500):2=31\,700\). Dieser Wert entsteht erst durch das geradlinige Verbindungsmodell und gehört nicht zu den ursprünglich gegebenen Tabellendaten.

Antwort

a) \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\), \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\) b) Nein. \(2019{,}5\notin D_L\). c) Im zusätzlichen Modell: \(31\,700\) Ladepunkte. Dieser Wert entsteht erst durch die Annahme einer geradlinigen Verbindung.

4237868

Ein Regenfass enthält zu Beginn \(40\,\text{l}\) Wasser und kann mindestens \(200\,\text{l}\) aufnehmen. Während eines Gewitters fließen pro Minute gleichmäßig \(4\,\text{l}\) Regenwasser hinzu. 1. Gib eine Funktionsgleichung an, die die Wassermenge \(y\) in Litern in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Minuten beschreibt. 2. Erstelle eine Wertetabelle für \(x=0\), \(x=10\), \(x=15\) und \(x=30\) Minuten. 3. Beschreibe den Graphen bis zum Erreichen von \(200\,\text{l}\): Gib seinen Startpunkt, den Endpunkt dieses Modellabschnitts und die Steigung an. 4. Bestimme rechnerisch, nach wie vielen Minuten das Fass einen Inhalt von \(200\,\text{l}\) erreicht hat.

Denkanstöße

- Welche Wassermenge ist bereits vorhanden, bevor die Zeitmessung beginnt? - Wie verändert sich die Wassermenge in jeder weiteren Minute? - Welche Angaben beschreiben einen Geradenabschnitt eindeutig, ohne dass du ihn als Antwort zeichnen musst? - Für die gesuchte Zeit kannst du \(200\,\text{l}\) als Funktionswert einsetzen.

Lösung

1. Zu Beginn sind \(40\,\text{l}\) im Fass. Pro Minute kommen \(4\,\text{l}\) hinzu. Daher gilt \(y=4x+40\). 2. Es gilt \(y(0)=40\), \(y(10)=80\), \(y(15)=100\) und \(y(30)=160\). 3. Der betrachtete Graphabschnitt beginnt bei \((0\mid40)\). Seine Steigung ist \(m=4\). Für \(200\,\text{l}\) wird in Teil 4 der Zeitpunkt \(x=40\) bestimmt, also endet der Modellabschnitt bei \((40\mid200)\). 4. Setze \(y=200\): \(200=4x+40\). Daraus folgt \(160=4x\) und damit \(x=40\).

Antwort

1. \(y=4x+40\) 2. <table><tr><td>Zeit \(x\) in \(\text{min}\)</td><td>0</td><td>10</td><td>15</td><td>30</td></tr><tr><td>Wassermenge \(y\) in \(\text{l}\)</td><td>40</td><td>80</td><td>100</td><td>160</td></tr></table> 3. Startpunkt \((0\mid40)\), Endpunkt \((40\mid200)\), Steigung \(m=4\) 4. \(40\,\text{min}\)

5517068

Ein Schulbus startet an der Schule. Nach \(20\,\text{min}\) ist er \(6\,\text{km}\) von der Schule entfernt. Dort wartet er \(10\,\text{min}\). Anschließend fährt er weiter und ist nach insgesamt \(50\,\text{min}\) \(10\,\text{km}\) von der Schule entfernt. Die Diagramme A, B und C zeigen mögliche Darstellungen der Entfernung \(s\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\). a) Welches Diagramm passt zur Beschreibung? Begründe deine Wahl. b) Erstelle für den passenden Graphen eine Wertetabelle zu \(t=0\,\text{min}\), \(20\,\text{min}\), \(30\,\text{min}\) und \(50\,\text{min}\). c) Nenne jeweils einen konkreten Widerspruch zwischen der Beschreibung und den beiden nicht passenden Diagrammen.

Denkanstöße

- Übersetze jede Information aus dem Text zunächst in einen Punkt oder einen Abschnitt des Graphen. - Während einer Wartezeit bleibt die Entfernung unverändert. - Prüfe die drei vorgegebenen Zeitpunkte \(20\), \(30\) und \(50\) Minuten in jedem Diagramm. - Nutze den ausgewählten Graphen anschließend als Grundlage für die Tabelle.

Lösung

1. Diagramm A passt. Es beginnt bei \((0\mid0)\), erreicht nach \(20\,\text{min}\) die Entfernung \(6\,\text{km}\), bleibt bis Minute \(30\) bei \(6\,\text{km}\) und erreicht nach \(50\,\text{min}\) \(10\,\text{km}\). 2. Die Wertetabelle lautet: <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><th>\(s(t)\) in \(\text{km}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(6\)</td><td>\(6\)</td><td>\(10\)</td></tr> </table> 3. Diagramm B zeigt während der angekündigten Wartezeit von Minute \(20\) bis Minute \(30\) eine weiter zunehmende Entfernung und widerspricht damit der Pause. Diagramm C zeigt nach \(20\,\text{min}\) nur \(4\,\text{km}\) statt der beschriebenen \(6\,\text{km}\).

Antwort

a) Diagramm A. b) <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{min}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><th>\(s(t)\) in \(\text{km}\)</th><td>\(0\)</td><td>\(6\)</td><td>\(6\)</td><td>\(10\)</td></tr> </table> c) B widerspricht der Pause; C widerspricht der Entfernung von \(6\,\text{km}\) nach \(20\,\text{min}\).

5524268

Aus quadratischen Plättchen wird ein quadratisches Mosaik gelegt. Auf jeder Seite liegen \(x\) Plättchen, wobei \(x\in\{1;2;3;4\}\). Die Funktion \(N\) ordnet \(x\) die Gesamtzahl der Plättchen zu. Zwei Tabellen stehen zur Auswahl: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><th>Tabelle A</th><td>1</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td></tr> <tr><th>Tabelle B</th><td>1</td><td>4</td><td>12</td><td>16</td></tr> </table> Außerdem sind zwei Graphen a) und b) sowie zwei Terme gegeben: \(N_1(x)=x^2\) und \(N_2(x)=2x\). a) Welche Tabelle passt zum Sachtext? b) Welcher der beiden Graphen passt dazu? c) Welcher Term beschreibt die Zuordnung? d) Zeige für jede der drei falschen Darstellungen an einem konkreten Argument, dass sie nicht dieselbe Funktion beschreibt. Erkläre außerdem, warum dafür mindestens zwei verschiedene Argumente geprüft werden müssen.

Denkanstöße

- Ermittle zuerst aus der Mosaikform, wie die Gesamtzahl der Plättchen von der Seitenlänge abhängt. - Vergleiche jede Darstellung mit denselben Eingaben; eine Darstellung ist nur dann dieselbe Funktion, wenn alle zugehörigen Werte übereinstimmen. - Prüfe bei d), ob derselbe Testwert tatsächlich jede falsche Darstellung erkennen würde oder ob eine davon dort zufällig mit der richtigen Funktion übereinstimmt.

Lösung

1. Ein quadratisches Mosaik mit \(x\) Plättchen pro Seite enthält \(x\cdot x=x^2\) Plättchen. Für \(x=1,2,3,4\) entstehen die Werte \(1,4,9,16\). Daher passt Tabelle A. 2. Graph a) zeigt genau die Punkte \((1\mid1)\), \((2\mid4)\), \((3\mid9)\) und \((4\mid16)\). Daher passt Graph a). 3. Der passende Term ist \(N_1(x)=x^2\). 4. Tabelle B weicht bei \(x=3\) ab, denn dort steht \(12\) statt \(9\). Graph b) weicht bei \(x=2\) ab, denn dort liegt der Punkt bei \(6\) statt bei \(4\). Für \(N_2\) gilt bei \(x=3\): \(2\cdot3=6\) statt \(9\). Mit \(x=3\) lassen sich also Tabelle B und \(N_2\) widerlegen, aber Graph b) stimmt dort. Mit \(x=2\) lässt sich Graph b) widerlegen, während Tabelle B und \(N_2\) dort den Wert \(4\) liefern. Deshalb reicht kein einziges Argument aus, um alle drei falschen Darstellungen zu erkennen.

Antwort

a) Tabelle A b) Graph a) c) \(N_1(x)=x^2\) d) Zum Beispiel: Tabelle B ist bei \(x=3\) falsch, Graph b) bei \(x=2\), und \(N_2\) bei \(x=3\). Mindestens \(x=2\) und \(x=3\) müssen geprüft werden, weil keine einzelne dieser Eingaben alle drei falschen Darstellungen zugleich entlarvt.

5524288

Über eine Funktion \(f\) ist nur die folgende Tabelle bekannt: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> Lea zeichnet im Koordinatensystem die drei Punkte und verbindet benachbarte Punkte jeweils durch eine gerade Strecke. Danach behauptet sie: „Aus der Tabelle folgt \(f(1)=2\).“ a) Welche drei Funktionswerte sind durch die Tabelle tatsächlich festgelegt? b) Ist Leas Aussage \(f(1)=2\) durch die Tabelle bewiesen? Begründe. c) Welche zusätzliche Annahme hat Lea beim Wechsel von der Tabelle zum verbundenen Graphen gemacht?

Denkanstöße

- Trenne Informationen, die ausdrücklich in der Tabelle stehen, von Informationen über Zwischenwerte. - Frage dich, ob \(x=1\) in der gegebenen Tabelle überhaupt vorkommt. - Eine Verbindung zwischen Punkten enthält mehr Aussagen als die Punkte allein.

Lösung

1. Die Tabelle legt nur \(f(-2)=1\), \(f(0)=3\) und \(f(2)=1\) fest. 2. Leas Aussage ist nicht durch die Tabelle bewiesen. Die Tabelle sagt weder ausdrücklich, dass \(1\) zur Definitionsmenge gehört, noch welchen Funktionswert \(1\) gegebenenfalls besitzt. 3. Lea nimmt zusätzlich an, dass zwischen den angegebenen Punkten jeweils genau der geradlinige Verlauf gilt. Diese Information steht nicht in der Tabelle.

Antwort

a) \(f(-2)=1\), \(f(0)=3\), \(f(2)=1\) b) Nein. Die Tabelle legt \(f(1)\) nicht fest. c) Lea nimmt ohne Begründung an, dass der Graph zwischen den bekannten Punkten geradlinig verläuft und dort überhaupt definiert ist.

5573108

Zwei digitale Darstellungen sollen angeblich dieselbe Funktion beschreiben. In einer Tabellenkalkulation ist die Funktion \(f\) nur für die Definitionsmenge \(D_f=\{0;1;2;3\}\) festgelegt. In jeder Tabellenzeile wird mit dem Term \(f(x)=x(x-2)\) gerechnet: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>0</td><td>\(-1\)</td><td>0</td><td>3</td></tr> </table> Ein Funktionenplotter stellt dagegen \(g(x)=x^2-2x\) für alle Zahlen \(x\) mit \(0\le x\le3\) dar. Das Diagramm zeigt diese Plotterausgabe. a) Überprüfe die vier Tabellenwerte mit dem Term von \(f\). Zeige außerdem an einem der vier Argumente, dass \(g\) dort denselben Wert besitzt. b) Noah sagt: „Die Terme liefern an den Tabellenstellen dieselben Werte, also sind \(f\) und \(g\) dieselbe Funktion.“ Beurteile die Aussage. Deine Begründung muss die Definitionsmengen berücksichtigen. c) Nenne selbst ein Argument, das zur Definitionsmenge von \(g\), aber nicht zu \(D_f\) gehört, und bestimme den zugehörigen Funktionswert von \(g\). d) Beschreibe genau, wie Definitionsmenge und Plotterdarstellung von \(g\) geändert werden müssen, damit anschließend wirklich dieselbe Funktion wie \(f\) dargestellt wird.

Denkanstöße

- Prüfe zuerst die Tabellenwerte, aber entscheide b) nicht allein anhand dieser vier Werte. - Zu einer Funktion gehört neben der Zuordnungsregel auch die Menge der zulässigen Argumente. - Suche für c) eine Zahl zwischen zwei benachbarten Tabellenargumenten. - Überlege für d), welche sichtbaren Punkte des durchgehenden Plottergraphen nach der Änderung nicht mehr zur Funktion gehören dürfen.

Lösung

1. Für \(f\) gilt \(f(0)=0(0-2)=0\), \(f(1)=1(1-2)=-1\), \(f(2)=2(2-2)=0\) und \(f(3)=3(3-2)=3\). Die Tabelle ist damit korrekt. Zum Beispiel ist auch \(g(1)=1^2-2\cdot1=-1\). 2. Noahs Aussage ist falsch. Zwar stimmen die beiden Terme an den vier Argumenten aus \(D_f\) überein, aber die Definitionsmengen sind verschieden: \(f\) ist nur für \(0,1,2,3\) festgelegt, während \(g\) für jede Zahl zwischen \(0\) und \(3\) definiert ist. 3. Zum Beispiel gehört \(x=1{,}5\) zu \(g\), aber nicht zu \(D_f\). Es ist \(g(1{,}5)=1{,}5^2-2\cdot1{,}5=-0{,}75\). 4. Für \(g\) muss die Definitionsmenge auf \(\{0;1;2;3\}\) beschränkt werden. Im Plotter dürfen dann nur die vier zugehörigen Punkte dargestellt werden; die verbindende Kurve zwischen ihnen gehört nicht mehr zur Funktion.

Antwort

a) \(f(0)=0\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=0\), \(f(3)=3\); zum Beispiel \(g(1)=-1\). b) Nein. Die Werte stimmen an den vier Tabellenargumenten überein, aber die Definitionsmengen sind verschieden. c) Zum Beispiel \(x=1{,}5\) mit \(g(1{,}5)=-0{,}75\). d) \(D_g\) auf \(\{0;1;2;3\}\) beschränken und nur die vier zugehörigen Punkte darstellen.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.