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- Vergleiche die Zuwächse von Jahr zu Jahr. - Um einen Zuwachs zu berechnen, musst du den Endwert eines Zeitraums mit dem Startwert vergleichen.

1. Berechnung des Zuwachses 2019–2020: Die Differenz der Werte beträgt \(39\,500 - 23\,900 = 15\,600\). 2. Analyse der jährlichen Zuwächse: Die Zuwächse betragen \(4900\), \(8300\), \(15\,600\) und \(12\,700\) Ladepunkte. Sie sind nicht gleich groß; daher ist der jährliche Zuwachs nicht konstant.

a) Der Zuwachs beträgt \(15\,600\) Ladepunkte. b) Nein. Die jährlichen Zuwächse sind unterschiedlich groß.

- Schau dir genau an, welche der beiden Rechenvorschriften für den jeweiligen \(x\)-Wert gilt. - Was bedeutet eine Funktionsgleichung wie \(f(x) = -2\) für das Aussehen des Graphen? - Vergleiche am Übergang den Wert des linken Graphenteils mit dem Funktionswert \(f(0)\).

1. Für \(x = -3\) gilt die erste Vorschrift, also \(f(-3) = -2\). Für \(x = 0\) gilt die zweite Vorschrift, also \(f(0) = 0 - 2 = -2\). Für \(x = 3\) gilt ebenfalls die zweite Vorschrift, also \(f(3) = 3 - 2 = 1\). 2. Im Bereich \(-4 \le x < 0\) ist der Graph ein waagerechtes Geradenstück bei \(y = -2\). Im Bereich \(0 \le x \le 4\) ist er ein ansteigendes Geradenstück mit Steigung \(1\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\). 3. Der linke Funktionsteil hat bis unmittelbar vor \(x=0\) stets den Wert \(-2\). Die zweite Vorschrift liefert bei \(x=0\) ebenfalls \(-2\). Daher schließen die beiden Graphenteile im Punkt \((0 \mid -2)\) lückenlos aneinander an.

a) \(f(-3) = -2\); \(f(0) = -2\); \(f(3) = 1\) b) Für \(-4 \le x < 0\) verläuft der Graph waagerecht bei \(y = -2\); für \(0 \le x \le 4\) steigt er linear mit Steigung \(1\) an. c) Ja. Die beiden Graphenteile schließen im Punkt \((0 \mid -2)\) lückenlos aneinander an.

- Lies für a) die Messwerte in zeitlicher Reihenfolge ab. - Suche für b) nach dem größten Tabellenwert und den zugehörigen Uhrzeiten. - Ziehe für c) den kleinsten Messwert vom größten Messwert ab.

1. Zwischen \(00{:}00\) Uhr und \(03{:}00\) Uhr steigt der Wasserstand von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}2\,\text{m}\). Danach sinkt er: um \(06{:}00\) Uhr beträgt er wieder \(3{,}0\,\text{m}\), und um \(09{:}00\) Uhr erreicht er mit \(0{,}8\,\text{m}\) den niedrigsten Messwert dieses Zeitraums. Bis \(12{:}00\) Uhr steigt er wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). 2. Der höchste gemessene Wasserstand beträgt \(5{,}2\,\text{m}\). Er wurde um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr gemessen. 3. Der niedrigste gemessene Wasserstand beträgt \(0{,}8\,\text{m}\). Die Differenz ist \(5{,}2\,\text{m} - 0{,}8\,\text{m} = 4{,}4\,\text{m}\).

a) Der Wasserstand steigt zunächst von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}2\,\text{m}\), fällt anschließend bis auf \(0{,}8\,\text{m}\) und steigt danach wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). b) Um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr. c) Der Unterschied beträgt \(4{,}4\,\text{m}\).

- Die Achsenschnittpunkte sind oft am einfachsten abzulesen. - Nutze die Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) mit den beiden Achsenschnittpunkten.

1. Gerade \(f\): - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid 4)\), also \(n = 4\). - Nullstelle bei \((4 \mid 0)\). - Steigung \(m = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\). - Gleichung: \(y = -x + 4\). 2. Gerade \(g\): - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid -2)\), also \(n = -2\). - Nullstelle bei \((1 \mid 0)\). - Steigung \(m = \frac{0 - (-2)}{1 - 0} = 2\). - Gleichung: \(y = 2x - 2\).

Gerade \(f\): \(y = -x + 4\) Gerade \(g\): \(y = 2x - 2\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich (Abstand)? - An welchen Stellen hat der V-förmige Graph die Höhe \(1\)?

1. Der Graph von \(f(x) = |x - 2|\) ist ein V-förmiger Graph mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 0)\). 2. Die Gerade \(g(x) = 1\) verläuft horizontal. 3. Die Schnittpunkte liegen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Dies sind die Lösungen der Gleichung.

\(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\)

- Was bedeutet eine lineare Änderung der Geschwindigkeit mit dem Weg für die Mitte eines Abschnitts? - Teile die Fahrt in die drei beschriebenen Abschnitte ein. - Überlege, wie hoch die Geschwindigkeit am Startpunkt und am Endpunkt sein muss.

1. Berechnung für den Beschleunigungsabschnitt (\(0\) bis \(200\,\text{m}\)): Bei \(s = 0\,\text{m}\) ist \(v = 0\,\text{km/h}\). Da die Geschwindigkeit in diesem Abschnitt linear mit dem Weg zunimmt, liegt sie bei der Hälfte der Strecke (\(100\,\text{m}\)) genau in der Mitte zwischen \(0\) und \(40\), also bei \(v = 20\,\text{km/h}\). Bei \(s = 200\,\text{m}\) ist \(v = 40\,\text{km/h}\). 2. Berechnung für den Abschnitt mit konstanter Geschwindigkeit (\(200\) bis \(800\,\text{m}\)): In diesem Bereich ist die Geschwindigkeit überall \(40\,\text{km/h}\). Somit gilt für \(s = 500\,\text{m}\) und \(s = 800\,\text{m}\) jeweils \(v = 40\,\text{km/h}\). 3. Berechnung für den Bremsabschnitt (\(800\) bis \(1000\,\text{m}\)): Die Geschwindigkeit sinkt über eine Distanz von \(200\,\text{m}\) linear von \(40\,\text{km/h}\) auf \(0\,\text{km/h}\). Nach der Hälfte dieser Distanz (bei \(900\,\text{m}\)) hat sich die Geschwindigkeit halbiert: \(v = 20\,\text{km/h}\). Am Ziel (\(1000\,\text{m}\)) ist \(v = 0\,\text{km/h}\).

Die Wertetabelle sieht wie folgt aus: <table> <tr> <td>Weg \(s\) in \(\text{m}\)</td> <td>0</td> <td>100</td> <td>200</td> <td>500</td> <td>800</td> <td>900</td> <td>1000</td> </tr> <tr> <td>Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\)</td> <td>0</td> <td>20</td> <td>40</td> <td>40</td> <td>40</td> <td>20</td> <td>0</td> </tr> </table>

- Welche Wassermenge ist bereits vorhanden, bevor die Zeitmessung beginnt? - Wie viel Wasser kommt in jeder Minute hinzu? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer linearen Funktion \(y = mx + b\). - Setze für die gesuchte Zeit \(y = 200\) und löse die Gleichung nach \(x\) auf.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung mit dem Startwert \(b = 40\) und der Änderungsrate \(m = 4\): \(y = 4x + 40\). 2. Berechnung der Funktionswerte: - \(x = 0 \implies y = 4 \cdot 0 + 40 = 40\,\text{l}\) - \(x = 10 \implies y = 4 \cdot 10 + 40 = 80\,\text{l}\) - \(x = 15 \implies y = 4 \cdot 15 + 40 = 100\,\text{l}\) - \(x = 30 \implies y = 4 \cdot 30 + 40 = 160\,\text{l}\) 3. Der Graph ist eine Gerade durch den Punkt \((0 \mid 40)\) mit der Steigung \(4\). 4. Lösen der Gleichung \(200 = 4x + 40\): \(160 = 4x\), also \(x = 40\). Nach \(40\) Minuten sind \(200\,\text{l}\) erreicht.

1. \(y = 4x + 40\) 2. <table> <tr><td>Zeit \(x\) in \(\text{min}\)</td><td>0</td><td>10</td><td>15</td><td>30</td></tr> <tr><td>Wassermenge \(y\) in \(\text{l}\)</td><td>40</td><td>80</td><td>100</td><td>160</td></tr> </table> 3. Der Graph ist eine Gerade, die durch \((0 \mid 40)\) und beispielsweise \((10 \mid 80)\) verläuft. 4. Nach \(40\,\text{min}\) enthält das Fass \(200\,\text{l}\).

- Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt dort, wo der Funktionswert Null ist. Setze beide Teile der Gleichung einzeln gleich Null. - Was fällt dir an der Symmetrie des Graphen auf, wenn du ihn skizzierst? - Schau dir die Struktur \(4 - |x|\) an. Wann wird dieser Ausdruck maximal?

1. Für \(x \ge 0\) ist der Graph ein fallender Geradenast mit Steigung \(-1\). Für \(x < 0\) ist er ein steigender Geradenast mit Steigung \(1\). Im Bereich von \(x=-5\) bis \(x=5\) entsteht eine umgekehrte V-Form mit der Spitze bei \((0 \mid 4)\). 2. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Für \(x \ge 0\): \(4 - x = 0 \implies x = 4\), also \(N_1(4 \mid 0)\). Für \(x < 0\): \(4 + x = 0 \implies x = -4\), also \(N_2(-4 \mid 0)\). 3. Der höchste Punkt ist \(S(0 \mid 4)\). Für \(x > 0\) wird eine positive Zahl von \(4\) abgezogen. Für \(x < 0\) wird eine negative Zahl zu \(4\) addiert, sodass ebenfalls ein Wert kleiner als \(4\) entsteht.

a) Der Graph hat im vorgegebenen Bereich eine umgekehrte V-Form mit der Spitze bei \((0 \mid 4)\). b) Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(4 \mid 0)\) und \(N_2(-4 \mid 0)\). c) Der höchste Punkt ist \(S(0 \mid 4)\). Für \(x \neq 0\) gilt \(g(x) < 4\).

- Schaue dir den Verlauf der Graphen an: Welche Form hat eine lineare oder proportionale Funktion? - Suche nach markanten Punkten wie dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder „Ecken“ im Graphen. - Überprüfe die Punktprobe: Nimm einen gut ablesbaren Punkt vom Graphen und setze sein \(x\) in die Gleichungen ein. Kommt das richtige \(y\) heraus? - Erinnere dich daran, wie sich ein Betrag oder ein Bruch im Nenner auf das Aussehen des Graphen auswirkt.

1. Graph a) gehört zu Gleichung (3) \(g(x) = -1{,}5x\). Es ist eine proportionale Funktion (und damit auch linear), da sie eine Gerade durch den Ursprung ist. Ein Punkt ist \((2 \mid -3)\), denn \(g(2) = -1{,}5 \cdot 2 = -3\). 2. Graph b) gehört zu Gleichung (2) \(f(x) = |x - 1|\). Es ist weder eine lineare noch eine proportionale Funktion (V-Form). Der charakteristische Punkt (Spitze) liegt bei \((1 \mid 0)\), denn \(f(1) = |1 - 1| = 0\). 3. Graph c) gehört zu Gleichung (1) \(h(x) = \frac{2}{x}\). Es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion (Hyperbel), also weder linear noch proportional. Ein Punkt ist \((1 \mid 2)\), denn \(h(1) = \frac{2}{1} = 2\).

a) gehört zu (3); proportional (linear). Beispielpunkt: \((2 \mid -3)\). b) gehört zu (2); weder linear noch proportional. Beispielpunkt: \((1 \mid 0)\). c) gehört zu (1); weder linear noch proportional. Beispielpunkt: \((1 \mid 2)\).