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- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zuordnung „eindeutig“ ist? - Schau dir an, ob ein Wert auf der linken Seite (Eingabewert) mit mehreren Werten auf der rechten Seite (Ausgabewert) verbunden ist. - Spielt es eine Rolle für die Eindeutigkeit, wenn ein Ergebniswert mehrfach vorkommt?

1. Analyse von Tabelle a): Jedem \(x\)-Wert aus \(\{1, 2, 3, 4\}\) ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Ergebnis: Eindeutige Zuordnung (Funktion). 2. Analyse von Tabelle b): Jedem \(x\)-Wert aus \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\) ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Dass verschiedene \(x\)-Werte (z. B. \(1\) und \(-1\)) denselben \(y\)-Wert haben, widerspricht der Eindeutigkeit nicht. Ergebnis: Eindeutige Zuordnung (Funktion). 3. Analyse von Tabelle c): Dem \(x\)-Wert \(5\) werden zwei verschiedene \(y\)-Werte (\(2\) und \(4\)) zugeordnet. Ergebnis: Keine eindeutige Zuordnung (keine Funktion).

a) Ja, es ist eine Funktion, da jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet wird. b) Ja, es ist eine Funktion, da jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet wird (auch wenn \(y\)-Werte doppelt auftreten). c) Nein, es ist keine Funktion, da dem Wert \(x = 5\) zwei verschiedene Werte (\(2\) und \(4\)) zugeordnet werden.

- Überlege dir, ob es zu einem Eingabewert nur ein einziges Ergebnis geben kann oder mehrere. - Stell dir vor, du müsstest die Zuordnung in eine Tabelle eintragen. Darf in der rechten Spalte für eine Zeile mehr als ein Wert stehen? - Was ist die Definition einer eindeutigen Zuordnung?

1. Teilaufgabe a): Es handelt sich um eine Funktion. Begründung: An einem bestimmten Tag gibt es an einer festgelegten Messstation genau einen Wert für die Höchsttemperatur. Jedem Eingangswert (Tag) wird also genau ein Ausgangswert (Temperatur) zugeordnet. 2. Teilaufgabe b): Es handelt sich nicht um eine Funktion. Begründung: Ein Fahrzeughalter kann mehrere zugelassene Autos und somit mehrere Kennzeichen haben. Einem Eingangswert (Person) können also mehrere Ausgangswerte (Kennzeichen) zugeordnet sein. 3. Teilaufgabe c): Es handelt sich um eine Funktion. Begründung: Jedes Bundesland hat genau eine Landeshauptstadt. Die Zuordnung ist eindeutig.

a) Funktion, da für jeden Tag an der festgelegten Messstation genau eine Höchsttemperatur bestimmt wird. b) Keine Funktion, da ein Fahrzeughalter mehrere Kennzeichen haben kann. c) Funktion, da jedes Bundesland genau eine Hauptstadt besitzt.

- Betrachte die Messung zu einem festgelegten Zeitpunkt. - Wann würde bei der Rückrichtung ein Größenwert zu mehreren Personen führen? - Welche Eigenschaft müssen die Größenwerte besitzen, damit die Rückrichtung eindeutig ist?

1. Bedingung für Eindeutigkeit: Die Zuordnung ist eindeutig, wenn jede Person zu einem festgelegten Messzeitpunkt genau einen Wert für die Körpergröße besitzt. 2. Bedingung für eine nicht eindeutige Umkehrzuordnung: Haben mindestens zwei Personen dieselbe gemessene Körpergröße, werden diesem Größenwert mehrere Personen zugeordnet. Dann ist die Umkehrzuordnung nicht eindeutig. 3. Voraussetzung für Umkehrbarkeit: Jede in der Klasse vorkommende Körpergröße muss genau einer Person zugeordnet sein. Alle gemessenen Körpergrößen müssen also verschieden sein.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, wenn jede Person zu einem festgelegten Zeitpunkt genau eine Körpergröße hat. b) Die Umkehrzuordnung ist nicht eindeutig, sobald mindestens zwei Personen dieselbe gemessene Körpergröße haben. c) Die Zuordnung ist umkehrbar, wenn alle gemessenen Körpergrößen in der Klasse verschieden sind.

- Überlege, ob ein Element der ersten Menge zu mehr als einem Element der zweiten Menge führen kann. - Stell dir vor, du drückst eine Taste am Automaten: Kannst du sicher sein, welcher Preis erscheint? - Suche für Teil c) eine Zuordnung, bei der jeder Person oder jedem Gegenstand genau ein Wert zugeordnet wird.

1. Zuordnung Fachnummer \(\to\) Preis: Jedem Fach ist im Automaten genau ein Preis zugeordnet. Da es keine Fachnummer gibt, die gleichzeitig zwei verschiedene Preise hat, ist diese Zuordnung eindeutig. 2. Zuordnung Preis \(\to\) Fachnummer: Mindestens ein Preis steht an mehreren Fächern, da verschiedene Produkte gleich viel kosten. Da einem Preis somit mehrere Fachnummern zugeordnet sind, ist diese Zuordnung nicht eindeutig. 3. Beispiel aus dem Schulalltag: Die Zuordnung „Schülerin oder Schüler \(\to\) Geburtsdatum“ ist eindeutig, da jede Person genau ein Geburtsdatum besitzt.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, da jede Fachnummer genau einen Preis hat. b) Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da verschiedene Fächer denselben Preis haben können. c) Beispiel: Die Zuordnung „Schülerin oder Schüler \(\to\) Geburtsdatum“ ist eindeutig, da jede Person genau ein Geburtsdatum besitzt.

- Überlege dir die Definition einer Funktion: Darf ein Zeitpunkt mehrere Temperaturen gleichzeitig haben? - Um den stärksten Abfall zu finden, musst du die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Werten vergleichen. - Achte beim Berechnen der Differenz mit negativen Zahlen auf die Vorzeichenregeln.

1. Prüfung der Funktionseigenschaft: Da jedem Zeitpunkt in der Tabelle genau ein Temperaturwert zugeordnet ist, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung und somit um eine Funktion. 2. Berechnung der Temperaturänderungen in den abfallenden Intervallen: 15:00 bis 18:00 Uhr: \(4{,}1 - 7{,}5 = -3{,}4\,^\circ\text{C}\) 18:00 bis 21:00 Uhr: \(0{,}3 - 4{,}1 = -3{,}8\,^\circ\text{C}\) Der stärkste Abfall fand zwischen 18:00 und 21:00 Uhr statt. 3. Berechnung der Spannweite im beobachteten Zeitraum: Höchstwert \(7{,}5\,^\circ\text{C}\), Tiefstwert \(-2{,}4\,^\circ\text{C}\). Differenz: \(7{,}5 - (-2{,}4) = 9{,}9\,^\circ\text{C}\).

a) Die Zuordnung ist eine Funktion, da jedem Zeitpunkt genau eine Temperatur zugeordnet wird. b) Die Temperatur sank am stärksten im Zeitraum von 18:00 bis 21:00 Uhr (um \(3{,}8\,^\circ\text{C}\)). c) Die Spannweite im beobachteten Zeitraum beträgt \(9{,}9\,^\circ\text{C}\).

- Woran erkennst du in einer Liste von Koordinatenpaaren, dass einem Eingabewert mehrere Ausgabewerte zugeordnet werden? - Welchen Punkt kannst du so verändern, dass der Konflikt beim Wert \(x = 2\) verschwindet? - Tausche für die Umkehrung gedanklich die Rollen von \(x\) und \(y\) und prüfe erneut auf Eindeutigkeit.

1. Überprüfung der Eindeutigkeit für \(M\): Der \(x\)-Wert \(2\) tritt in den Punkten \(P_2(2 \mid 6)\) und \(P_4(2 \mid 1)\) auf. Einem \(x\)-Wert werden somit zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet. Daher beschreibt \(M\) keine Funktion. 2. Der Konflikt beim Eingabewert \(x = 2\) muss beseitigt werden. Man kann zum Beispiel \(P_4(2 \mid 1)\) durch \(P_4(4 \mid 1)\) ersetzen. Dann gilt \(M' = \{(1 \mid 3); (2 \mid 6); (3 \mid 3); (4 \mid 1)\}\), und jedem vorkommenden \(x\)-Wert ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. 3. Die \(y\)-Werte der neuen Punktmenge sind \(3\), \(6\), \(3\) und \(1\). Der Wert \(y = 3\) tritt bei \(x = 1\) und \(x = 3\) auf. Die Umkehrzuordnung ist daher nicht eindeutig.

a) Die Menge beschreibt keine Funktion, da dem \(x\)-Wert \(2\) zwei verschiedene \(y\)-Werte, nämlich \(6\) und \(1\), zugeordnet werden. b) Beispiel: Ändere \(P_4(2 \mid 1)\) in \(P_4(4 \mid 1)\). Dann ist jedem vorkommenden \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. c) Nein. Der \(y\)-Wert \(3\) gehört zu den beiden \(x\)-Werten \(1\) und \(3\).

- Überlege dir, welche Bedingung eine Zuordnung erfüllen muss, um eine Funktion zu sein. - Wie viele \(y\)-Werte darf ein einzelner \(x\)-Wert bei einer Funktion haben? - Stelle dir vor, du zeichnest eine senkrechte Linie durch einen \(x\)-Wert. Wie oft darf diese den Graphen schneiden?

1. Die Gleichung der \(x\)-Achse lautet \(y = 0\). 2. Die \(x\)-Achse ist der Graph einer linearen Funktion (speziell einer konstanten Funktion), da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert (nämlich \(0\)) zugeordnet wird. Dies entspricht der Form \(y = mx + b\) mit \(m = 0\) und \(b = 0\). 3. Die Gleichung der \(y\)-Achse lautet \(x = 0\). 4. Nach der Definition einer Funktion muss jedem Element der Definitionsmenge (hier dem \(x\)-Wert \(0\)) genau ein Element der Wertemenge zugeordnet werden. Bei der \(y\)-Achse werden dem \(x\)-Wert \(0\) jedoch unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet. Somit ist die Zuordnung nicht eindeutig und stellt keine Funktion dar.

a) Die Gleichung ist \(y = 0\). Sie ist eine lineare Funktion, da jedem \(x\) eindeutig der Wert \(0\) zugeordnet wird. b) Die Gleichung ist \(x = 0\). Sie ist keine Funktion, da dem \(x\)-Wert \(0\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet sind, was der Eindeutigkeit widerspricht.

- Überlege dir zuerst, was eine mathematische Funktion auszeichnet. Wann ist eine Zuordnung „eindeutig“? - Schau dir für Aufgabenteil a) die Punkte auf dem Graphen genau bei den x-Werten 0, 2, 4, 6, 8, 10 und 12 an und lies die zugehörigen y-Werte ab. - Wenn du wissen möchtest, ob jedem Eingangswert genau ein Ausgangswert zugeordnet wird, hilft dir die Vorstellung: Kann die Uhrzeit zur selben Sekunde zwei verschiedene Wassertiefen haben? - Für Aufgabenteil b) suche auf der \(y\)-Achse den Wert 4 und gehe waagerecht nach rechts. Welche x-Werte gehören dazu? - Überlege für die Rückrichtung, ob es eindeutig ist, wenn du jemandem sagst: „Der Wasserstand ist 4 Meter. Welche Uhrzeit haben wir genau?“

1. Wertetabelle durch Ablesen der Punkte auf dem Graphen erstellen: <table> <thead> <tr> <th>Zeit \(t\) (in \(\text{h}\))</th> <td>0</td> <td>2</td> <td>4</td> <td>6</td> <td>8</td> <td>10</td> <td>12</td> </tr> </thead> <tbody> <tr> <th>Tiefe \(h\) (in \(\text{m}\))</th> <td>1</td> <td>2</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>4</td> <td>2</td> <td>1</td> </tr> </tbody> </table> 2. Überprüfung der Zuordnung \(\text{Uhrzeit} \rightarrow \text{Wassertiefe}\): Jedem Zeitpunkt \(t\) wird genau eine Wassertiefe \(h\) zugeordnet. Da jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet ist, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung und somit um eine Funktion. 3. Uhrzeiten für eine Wassertiefe von \(4\,\text{m}\): Aus dem Graphen liest man bei \(h = 4\,\text{m}\) die Zeitpunkte \(t = 4\,\text{h}\) und \(t = 8\,\text{h}\) ab. 4. Überprüfung der Zuordnung \(\text{Wassertiefe} \rightarrow \text{Uhrzeit}\): Einer Wassertiefe von \(4\,\text{m}\) werden zwei verschiedene Zeitpunkte (\(4\,\text{h}\) und \(8\,\text{h}\)) zugeordnet. Da diese Zuordnung nicht eindeutig ist (einem Ausgangswert werden mehrere unterschiedliche Werte zugeordnet), handelt es sich um keine Funktion.

a) Wertetabelle: <table> <tr> <th>Zeit \(t\) (\(\text{h}\))</th> <td>0</td><td>2</td><td>4</td><td>6</td><td>8</td><td>10</td><td>12</td> </tr> <tr> <th>Tiefe \(h\) (\(\text{m}\))</th> <td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>5</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td> </tr> </table> Ja, die Zuordnung \(\text{Uhrzeit} \rightarrow \text{Wassertiefe}\) ist eine Funktion, da jedem Zeitpunkt genau eine Wassertiefe zugeordnet wird (Eindeutigkeit). b) Die Wassertiefe beträgt nach \(4\,\text{h}\) und nach \(8\,\text{h}\) genau \(4\,\text{m}\). Nein, die umgekehrte Zuordnung \(\text{Wassertiefe} \rightarrow \text{Uhrzeit}\) ist keine Funktion, da einer Wassertiefe (z. B. \(4\,\text{m}\)) mehrere verschiedene Uhrzeiten zugeordnet werden (Mehrdeutigkeit).

- Überlege, welche Koordinaten die Punkte auf den jeweiligen Geraden gemeinsam haben. - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, wenn eine der Koordinaten völlig unabhängig von der anderen immer denselben Wert annimmt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Wie viele \(y\)-Werte dürfen einem einzigen \(x\)-Wert maximal zugeordnet werden, damit es sich um eine Funktion handelt? - Betrachte einen bestimmten \(x\)-Wert auf der vertikalen Geraden \(g\) – wie viele zugehörige \(y\)-Werte findest du auf der Geraden?

1. **Gleichung für Gerade \(g\)**: Die Gerade \(g\) verläuft vertikal durch alle Punkte mit der \(x\)-Koordinate \(3\). Eine passende Gleichung mit zwei Variablen lautet: \(x + 0y = 3\) (oder kurz \(x = 3\)). 2. **Funktionseigenschaft für Gerade \(g\)**: Die Gerade \(g\) ist kein Graph einer Funktion. Bei einer Funktion muss jedem \(x\)-Wert aus dem Definitionsbereich genau ein \(y\)-Wert zugeordnet werden. Dem \(x\)-Wert \(3\) werden hier jedoch unendlich viele verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet, und allen anderen \(x\)-Werten gar keiner. 3. **Gleichung für Gerade \(h\)**: Die Gerade \(h\) verläuft horizontal durch alle Punkte mit der \(y\)-Koordinate \(-2\). Eine passende Gleichung mit zwei Variablen lautet: \(0x + y = -2\) (oder kurz \(y = -2\)). 4. **Funktionseigenschaft für Gerade \(h\)**: Die Gerade \(h\) ist der Graph einer Funktion. Jedem \(x\)-Wert wird genau ein \(y\)-Wert (nämlich \(-2\)) zugeordnet. Es handelt sich um eine konstante Funktion.

a) - Gerade \(g\): \(x + 0y = 3\) (bzw. \(x = 3\)) - Gerade \(h\): \(0x + y = -2\) (bzw. \(y = -2\)) b) - Gerade \(g\) gehört nicht zu einer Funktion, da dem \(x\)-Wert \(3\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet werden (keine eindeutige Zuordnung). - Gerade \(h\) gehört zu einer Funktion, da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert (nämlich \(-2\)) zugeordnet wird.

- Überlege dir, wie viele \(y\)-Werte ein einzelner \(x\)-Wert bei einer Funktion höchstens haben darf. - Eine proportionale Funktion erkennst du an einer Geraden, die durch einen ganz bestimmten Punkt verläuft. Welcher ist das? - Setze einfache Zahlen für \(x\) oder \(y\) in die Gleichungen ein und schaue, ob die resultierenden Punkte auf dem Graphen liegen.

1. Der Graph in Abbildung a) stellt eine Funktion dar, da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert zugeordnet wird (der Senkrechtentest wird überall bestanden). Der Graph in Abbildung b) stellt keine Funktion dar, da vielen \(x\)-Werten zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet werden (z. B. gehört zu \(x = 2\) sowohl \(y = 2\) als auch \(y = -2\)). 2. Die Funktion in Abbildung a) ist eine lineare Funktion. Da sie nicht durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, ist sie keine proportionale Funktion. 3. Zu Abbildung a) gehört die Gleichung (I) \(y = \frac{1}{2}x + 1\). Zu Abbildung b) gehört die Gleichung (II) \(x = y^2 - 2\), da zum Beispiel für \(y = 2\) gilt: \(x = 2^2 - 2 = 2\), was dem Punkt \((2 \mid 2)\) entspricht.

1. a) ist eine Funktion; b) ist keine Funktion (ein \(x\)-Wert hat zwei \(y\)-Werte). 2. a) ist eine lineare Funktion (aber nicht proportional). 3. a) gehört zu (I); b) gehört zu (II).

- Unterscheidet sich dieser Graph von einem vollständigen Kreis in Bezug auf die Eindeutigkeit? - Wie viele Schnittpunkte hat eine senkrechte Gerade mit diesem Graphen?

1. Kriterium für eine Funktion: Jedem \(x\) aus der Definitionsmenge wird genau ein \(y\) aus der Wertemenge zugeordnet. 2. Analyse: Der Graph stellt eine obere Halbkreislinie dar. Für jeden \(x\)-Wert im Intervall \([-2; 2]\) findet man auf der Kreislinie genau einen Punkt. 3. Schlussfolgerung: Da die Zuordnung eindeutig ist, handelt es sich um eine Funktion.

Ja, es handelt sich um eine Funktion. Jedem \(x\)-Wert im Bereich von \(-2\) bis \(2\) wird eindeutig genau ein \(y\)-Wert zugeordnet.

- Kannst du eine senkrechte Linie finden, die den Graphen mehr als einmal schneidet? - Gibt es \(x\)-Werte, für die es zwei verschiedene Ergebnisse gibt?

1. Anwendung des Kriteriums: Eine Funktion liegt vor, wenn jedem \(x\)-Wert maximal ein \(y\)-Wert zugeordnet ist. 2. Grafische Analyse: Man sieht eine Kurve, die nach rechts geöffnet ist (wie ein liegendes V). Wenn man eine senkrechte Gerade durch den Bereich zwischen \(x = 1\) und \(x = 3\) zieht, schneidet diese den Graphen an zwei Stellen. 3. Beispiel: Bei \(x = 2\) gibt es einen oberen Punkt (bei \(y = 3\)) und einen unteren Punkt (bei \(y = 1\)). 4. Schlussfolgerung: Die Zuordnung ist nicht eindeutig und somit keine Funktion.

Nein, es ist keine Funktion. Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da beispielsweise dem \(x\)-Wert \(2\) zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet werden.

- Überlege, wie viele y-Werte zu einem bestimmten x-Wert gehören dürfen. - Prüfe gedanklich, wie oft eine senkrechte Gerade den jeweiligen Graphen schneiden kann. - Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

1. Graph a): Jede senkrechte Gerade schneidet die Parabel an höchstens einer Stelle. Daher ist der Graph eine Funktion. 2. Graph b): Für x-Werte zwischen \(-2\) und \(2\) schneidet eine senkrechte Gerade den Kreis an zwei Stellen. Daher ist der Graph keine Funktion. 3. Graph c): Jede senkrechte Gerade schneidet die schräge Gerade höchstens einmal. Daher ist der Graph eine Funktion. 4. Graph d): Für positive x-Werte schneidet eine senkrechte Gerade die Figur an zwei Stellen. Daher ist der Graph keine Funktion.

Die Graphen a) und c) stellen Funktionen dar; die Graphen b) und d) sind keine Funktionen, da bestimmten x-Werten mehr als ein y-Wert zugeordnet wird.

- Was bedeutet es für eine Zuordnung, wenn man sagt, sie sei „eindeutig“? - Überlege, ob verschiedene ganze Zahlen beim Quadrieren denselben Wert liefern können. - Welche nichtnegativen Werte werden von der Quadratfunktion tatsächlich angenommen? - Wie muss die Definitionsmenge eingeschränkt werden, damit jeder angenommene Funktionswert genau ein Urbild besitzt?

1. Prüfung der Eindeutigkeit: Jedem Wert \(x\) aus der Menge der ganzen Zahlen wird durch die Rechenvorschrift \(x \cdot x\) genau ein Ergebnis zugeordnet. Daher ist \(f\) eine Funktion. 2. Prüfung der Umkehrbarkeit: Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn jedem Wert der Zielmenge genau ein Wert der Definitionsmenge zugeordnet ist. Es gilt jedoch sowohl \(f(2) = 4\) als auch \(f(-2) = 4\). Die Funktion ist daher nicht umkehrbar. 3. Einschränkung der Definitionsmenge: Wählt man \(D = \mathbb{N}_0 = \{0; 1; 2; 3; \dots\}\), wird jeder Wert aus \(W\) genau einmal angenommen. Die eingeschränkte Funktion \(f: \mathbb{N}_0 \to W\) ist daher umkehrbar.

a) Die Zuordnung ist eindeutig, da jede ganze Zahl genau ein Quadrat besitzt. b) Sie ist nicht umkehrbar, da verschiedene Ausgangswerte denselben Funktionswert haben können, zum Beispiel \(f(2) = f(-2) = 4\). c) Eine mögliche Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{N}_0\). Dann ist die eingeschränkte Funktion \(f: \mathbb{N}_0 \to W\) umkehrbar.

- Kann eine Person zu einem bestimmten Zeitpunkt an zwei verschiedenen Orten gleichzeitig sein? - Wenn man hin- und herläuft, kommt man dann an bestimmten Punkten öfter vorbei? - Was bedeutet Stillstand für den Verlauf eines Graphen in einem Koordinatensystem?

1. Zuordnung Zeit \(\to\) Entfernung: Zu jedem beliebig gewählten Zeitpunkt nach dem Start befindet sich der Wanderer an genau einem Ort und hat somit genau eine bestimmte Entfernung zur Hütte. Die Zuordnung ist eindeutig. 2. Zuordnung Entfernung \(\to\) Zeit: Die Umkehrzuordnung scheitert aus zwei Gründen: Während der Pause gehört derselben Entfernung ein ganzes Zeitintervall an. Außerdem erreicht der Wanderer durch das Zurücklaufen bestimmte Entfernungswerte mehrfach (einmal beim Hinweg, einmal beim Rückweg). Somit sind einer Entfernung mehrere Zeitpunkte zugeordnet. Die Zuordnung ist nicht eindeutig. 3. Graph der Pause: Während der Pause ändert sich die Entfernung über einen gewissen Zeitraum nicht. Der Graph verläuft in diesem Zeitintervall waagerecht (parallel zur Zeitachse).

a) Die Zuordnung ist eindeutig. b) Die Zuordnung ist nicht eindeutig: Während der Pause gehört dieselbe Entfernung zu mehreren Zeiten, und beim Zurücklaufen werden weitere Entfernungen erneut erreicht. c) Während der Pause verläuft der Graph waagerecht.

- Was passiert mit dem Akkustand, wenn das Handy geladen wird? Suche nach einem Anstieg in der Tabelle. - Für den Durchschnitt teilst du die gesamte Änderung durch die Anzahl der vergangenen Stunden. - Eine Funktion muss eindeutig sein. Kann man bei einem bestimmten Akkustand sicher sagen, wie spät es war?

1. Identifikation des Ladevorgangs: Zwischen 16:00 Uhr (\(44\,\%\)) und 18:00 Uhr (\(88\,\%\)) steigt der Ladestand deutlich an, was auf einen Ladevorgang hindeutet. 2. Berechnung des durchschnittlichen Verbrauchs: Zeitraum von 07:00 bis 12:00 Uhr sind \(5\,\text{Stunden}\). Verbrauch: \(100\,\% - 60\,\% = 40\) Prozentpunkte. Durchschnitt pro Stunde: \(40 : 5 = 8\) Prozentpunkte pro Stunde. 3. Prüfung der Umkehrzuordnung: Der Ladestand \(60\,\%\) tritt zu zwei verschiedenen Uhrzeiten auf (12:00 Uhr und 14:00 Uhr). Damit ist die Zuordnung Ladestand \(\to\) Uhrzeit nicht eindeutig und somit keine Funktion.

a) Das Handy wurde zwischen 16:00 und 18:00 Uhr geladen, da der Ladestand dort ansteigt. b) Der durchschnittliche Verbrauch beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. c) Nein, die Umkehrzuordnung ist keine Funktion, da dem Wert \(60\,\%\) zwei verschiedene Uhrzeiten (12:00 und 14:00) zugeordnet werden.

- Finde eine Zahl aus \(D\), die mehrere verschiedene Primfaktoren besitzt. - Die neue Regel muss auch für \(n = 1\) genau einen Wert liefern. - Wie viele Beträge kann eine einzelne rationale Zahl haben?

1. Für \(n = 6\) sind die Primfaktoren \(2\) und \(3\). Damit werden einem Eingabewert zwei verschiedene Ausgabewerte zugeordnet; die Zuordnung ist nicht eindeutig. 2. Eine für die gesamte Definitionsmenge geeignete eindeutige Vorschrift lautet: „Jeder Zahl \(n\) wird die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren zugeordnet.“ Dann wird auch \(1\) eindeutig der Wert \(0\) zugeordnet. 3. Jede rationale Zahl \(x\) besitzt genau einen Betrag \(|x|\). Deshalb ist die Betragszuordnung eine Funktion.

a) Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da der Zahl \(6\) die beiden Ausgabewerte \(2\) und \(3\) zugeordnet werden. b) Beispiel: „Jeder Zahl \(n\) wird die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren zugeordnet.“ Dabei wird \(1\) der Wert \(0\) zugeordnet. c) Ja. Jede rationale Zahl besitzt genau einen Betrag.

- Schau dir die Tarifgrenzen genau an: Welcher Preis gilt genau bei \(20\,\text{g}\) oder \(50\,\text{g}\)? - Erinnere dich an die Definition: Wann genau ist eine Zuordnung „eindeutig“? - Was passiert bei der Umkehrung, wenn du nur den Preis \(1{,}00\,\text{€}\) kennst? Kannst du dann das exakte Gewicht des Briefes nennen?

Betrachte nur positive Briefgewichte im Tarifbereich \(0<m\le500\,\text{g}\). 1. Erstellung der Wertetabelle durch Abgleich der Gewichte mit den Tarifgrenzen: \(15\,\text{g} \rightarrow 0{,}85\,\text{€}\) \(20\,\text{g} \rightarrow 0{,}85\,\text{€}\) \(25\,\text{g} \rightarrow 1{,}00\,\text{€}\) \(50\,\text{g} \rightarrow 1{,}00\,\text{€}\) \(100\,\text{g} \rightarrow 1{,}60\,\text{€}\) 2. Die Zuordnung Gewicht \(\rightarrow\) Porto ist eine Funktion, da jedes beliebige Gewicht innerhalb der Grenzen eindeutig genau einem Portowert zugeordnet ist. 3. Die Umkehrung Porto \(\rightarrow\) Gewicht ist keine Funktion. Beispielsweise wird dem Portowert \(0{,}85\,\text{€}\) nicht ein einzelnes Gewicht, sondern ein ganzer Bereich positiver Gewichte bis einschließlich \(20\,\text{g}\) zugeordnet. Es mangelt an der Eindeutigkeit.

a) Wertetabelle: <table> <tr><td>Gewicht in \(\text{g}\)</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td><td>50</td><td>100</td></tr> <tr><td>Porto in \(\text{€}\)</td><td>\(0{,}85\)</td><td>\(0{,}85\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}60\)</td></tr> </table> b) Es ist eine Funktion, da jedem Gewicht genau ein Preis zugeordnet wird. c) Die Umkehrung ist keine Funktion, da einem Preis (z. B. \(1{,}00\,\text{€}\)) viele verschiedene Gewichte (z. B. \(25\,\text{g}\) und \(50\,\text{g}\)) zugeordnet werden können. Definitionsbereich: \(0<m\le500\,\text{g}\).

- Vergleiche die \(x\)-Koordinaten der vier Punkte. - Eine Funktion darf einem Eingabewert nicht mehrere Ausgabewerte zuordnen. - Nach dem Tausch sollte die unabhängige Variable neu benannt werden.

1. Die vier Punkte \((4 \mid -2)\), \((4 \mid 0)\), \((4 \mid 2)\) und \((4 \mid 5)\) haben alle die \(x\)-Koordinate \(4\). Sie liegen auf der vertikalen Geraden \(x = 4\); die vier Punkte bilden jedoch nur eine Teilmenge dieser Geraden. 2. Dem Eingabewert \(x = 4\) werden mehrere verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet. Daher ist die Zuordnung nicht eindeutig und keine Funktion \(y = f(x)\). 3. Nach dem Tausch sind \(-2\), \(0\), \(2\) und \(5\) die Eingabewerte, und jedem wird der Wert \(4\) zugeordnet. Mit der neuen Eingabevariablen \(u\) gilt \(f(u) = 4\) für \(u \in \{-2; 0; 2; 5\}\). Der Graph dieser eingeschränkten konstanten Funktion besteht aus vier Punkten auf der Geraden \(y = 4\).

a) Die vier Punkte liegen auf der Geraden \(x = 4\). b) Die Zuordnung ist keine Funktion \(x \mapsto y\), weil dem Wert \(x = 4\) mehrere \(y\)-Werte zugeordnet werden. c) Nach dem Tausch gilt \(f(u) = 4\) für \(u \in \{-2; 0; 2; 5\}\).

- Überlege, was waagerechte, steigende und senkrechte Abschnitte im Sachzusammenhang bedeuten. - Kann sich eine Person zu einem Zeitpunkt an mehreren Orten befinden oder sich ohne Zeitverzug bewegen? - Prüfe für jeden Zeitwert, wie viele Entfernungswerte der Graph zeigt. - Eine Funktion ordnet jedem Wert der unabhängigen Größe höchstens einen Wert der abhängigen Größe zu.

1. Graph A ist realistisch: Die Entfernung steigt oder bleibt konstant, etwa beim Warten an einer Ampel von Minute \(2\) bis \(5\) oder bei einer Pause von Minute \(8\) bis \(10\). 2. Graph B ist unrealistisch: Bei Minute \(2\) springt die Entfernung augenblicklich von \(100\,\text{m}\) auf \(300\,\text{m}\). Zudem verläuft ein Teilstück von rechts nach links, sodass Zeitwerten zwischen Minute \(5\) und \(6\) mehrere Entfernungen zugeordnet werden. 3. Eine Funktion ordnet jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zu. 4. Graph A ist ein Funktionsgraph, da jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zugeordnet ist. 5. Graph B ist kein Funktionsgraph. Bei \(t=2\) treten mehrere Entfernungen auf, und auch für Zeitwerte zwischen \(5\) und \(6\) ist die Zuordnung nicht eindeutig.

a) Graph A ist realistisch; Graph B ist wegen der augenblicklichen Ortsveränderung und des rückwärts verlaufenden Zeitabschnitts im Sachzusammenhang unmöglich. b) Graph A ist ein Funktionsgraph, da jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zugeordnet wird. Graph B ist kein Funktionsgraph, da einzelnen Zeitwerten mehrere Entfernungen zugeordnet werden.

- Prüfe für einen x-Wert im Inneren des Kreises, wie viele Punkte des Kreisrandes dieselbe x-Koordinate haben. - Überlege, welche waagerechte Trennung zwei eindeutige Teilkurven erzeugt.

1. Bei einer Funktion muss jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet sein. Beim Kreisrand gehören zu den meisten x-Werten zwei y-Werte: einer auf dem oberen und einer auf dem unteren Halbkreis. Daher ist der gesamte Kreisrand kein Funktionsgraph. 2. Teilt man den Kreisrand in den oberen und den unteren Halbkreis, gehört in jedem Teil zu jedem x-Wert höchstens ein y-Wert. Beide Teilkurven sind daher jeweils Funktionsgraphen.

a) Der gesamte Kreisrand ist kein Funktionsgraph, weil den meisten x-Werten zwei verschiedene y-Werte zugeordnet sind. b) Man zerlegt den Kreisrand in den oberen und den unteren Halbkreis; jeder Halbkreis ist für sich ein Funktionsgraph.

- Was bedeutet „angefangene Stunde“ für die Kosten, wenn man nur eine Minute über die volle Stunde kommt? - Wenn du \(1{,}50\,\text{€}\) bezahlst, weißt du dann, ob du \(10\), \(30\) oder \(60\) Minuten geparkt hast? - Überlege dir, wie ein Graph aussehen müsste, bei dem man von jedem \(y\)-Wert (Preis) genau auf einen \(x\)-Wert (Zeit) schließen kann.

1. Berechnung der Gebühren: \(30\,\text{min}\) (innerhalb 1. Std.): \(1{,}50\,\text{€}\) \(60\,\text{min}\) (genau 1 Std.): \(1{,}50\,\text{€}\) \(61\,\text{min}\) (2. Std. angefangen): \(1{,}50\,\text{€} + 1{,}00\,\text{€} = 2{,}50\,\text{€}\) \(120\,\text{min}\) (genau 2 Std.): \(2{,}50\,\text{€}\) 2. Die Zuordnung Gebühr \(\rightarrow\) Parkdauer ist keine Funktion, da einem Gebührenwert (z. B. \(1{,}50\,\text{€}\)) mehrere Parkdauern zugeordnet sind, etwa \(30\,\text{min}\) und \(60\,\text{min}\). Die Aussage des Kunden ist falsch, da keine Eindeutigkeit vorliegt. 3. Damit die Umkehrzuordnung eine Funktion ist, müsste der Preis streng mit der exakten Parkdauer steigen, zum Beispiel nach \(P(t) = kt\) ohne Aufrundung auf volle Minuten oder Stunden. Dann hätten keine zwei verschiedenen Parkdauern denselben Preis.

a) Gebühren: \(30\,\text{min} \rightarrow 1{,}50\,\text{€}\); \(60\,\text{min} \rightarrow 1{,}50\,\text{€}\); \(61\,\text{min} \rightarrow 2{,}50\,\text{€}\); \(120\,\text{min} \rightarrow 2{,}50\,\text{€}\). b) Die Aussage ist falsch, da die Zuordnung Gebühr \(\rightarrow\) Parkdauer nicht eindeutig ist. Einem Preis sind Zeitintervalle zugeordnet, kein einzelner Zeitwert. c) Der Preis müsste ohne Aufrundung streng mit der exakten Parkdauer steigen, zum Beispiel proportional nach \(P(t) = kt\).