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Gegeben sind drei Zuordnungen in Form von Wertetabellen. Entscheide für jede Tabelle, ob es sich um eine eindeutige Zuordnung (eine Funktion) handelt. Begründe deine Antwort kurz. a) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><th>\(y\)</th><td>7</td><td>14</td><td>21</td><td>28</td></tr> </table> b) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr> <tr><th>\(y\)</th><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td></tr> </table> c) <table> <tr><th>\(x\)</th><td>5</td><td>8</td><td>5</td><td>10</td></tr> <tr><th>\(y\)</th><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> </table>

Untersuche den Graphen und stelle fest, ob es sich um den Graphen einer Funktion handelt. Begründe deine Aussage.

Entscheide, ob die unten gezeigte Kurve der Graph einer Funktion ist. Begründe deine Wahl.

Die Tabelle beschreibt eine Zuordnung. <table><tr><th>Eingabe</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td></tr><tr><th>Ausgabe</th><td>\(4\)</td><td>\(1\)</td><td>\(6\)</td></tr></table> Ist diese Zuordnung eine Funktion? Begründe deine Entscheidung mit der Bedingung für eine Funktion.

Das Pfeildiagramm zeigt eine Zuordnung. Die Punkte links sind Eingaben, die Punkte rechts Ausgaben; die Pfeile werden von links nach rechts gelesen. Ist die dargestellte Zuordnung eine Funktion? Nenne die Eingabe, an der du deine Entscheidung erkennst.

Untersuche die folgenden Zuordnungen jeweils in der Richtung \(x\mapsto y\): A: \(y=x+2\) B: \(x=2\) C: \(y=5\) Entscheide für A, B und C jeweils, ob dadurch eine Funktion von \(x\) nach \(y\) festgelegt wird. Begründe jede Entscheidung mit der Frage, wie viele \(y\)-Werte zu einem gewählten \(x\)-Wert möglich sind.

Gegeben ist die Funktion \(f: D\to W\) mit \(D=\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}\), \(W=\{0;1;4;9\}\) und \(f(x)=x^2\). a) Begründe, warum die Zuordnung von \(D\) nach \(W\) eine Funktion ist. b) Betrachte nun die umgekehrte Zuordnung von \(W\) nach \(D\): Jedem Wert aus \(W\) werden alle Zahlen aus \(D\) zugeordnet, deren Quadrat dieser Wert ist. Ist diese umgekehrte Zuordnung eine Funktion? Begründe. c) Es gilt \(f(-2)=f(2)=4\). Erkläre, warum zwei verschiedene Argumente mit demselben Funktionswert der Funktionseigenschaft von \(f\) nicht widersprechen.

In einer Schulklasse wird jedem Schüler und jeder Schülerin die jeweilige Körpergröße (in \(\text{cm}\)) zugeordnet. a) Unter welcher Voraussetzung ist diese Zuordnung eine eindeutige Zuordnung? b) Unter welcher Bedingung ist die Umkehrzuordnung Körpergröße \(\to\) Person nicht eindeutig? c) Welche Bedingung muss in der Klasse erfüllt sein, damit die ursprüngliche Zuordnung umkehrbar ist?

An einem Verkaufsautomaten für Snacks hat jedes Fach eine eindeutige Nummer (z. B. 10, 11, 12). Hinter jeder Nummer verbirgt sich ein Produkt mit einem bestimmten Preis. Mindestens zwei Fächer enthalten Produkte mit demselben Preis. a) Betrachte die Zuordnung: Fachnummer \(\to\) Preis. Erkläre, ob diese Zuordnung eindeutig ist. b) Betrachte die Zuordnung: Preis \(\to\) Fachnummer. Ist diese Zuordnung ebenfalls eindeutig? Begründe deine Antwort. c) Nenne ein weiteres Beispiel für eine Zuordnung aus dem Schulalltag und untersuche sie auf ihre Eindeutigkeit.

An einem herbstlichen Tag wird die Außentemperatur an einer Messstation alle drei Stunden aufgezeichnet. Die Funktion \(T\) ordnet der Uhrzeit \(t\) in Stunden den gemessenen Temperaturwert zu. <table> <thead> <tr><th>\(t\) in h</th><td>6</td><td>9</td><td>12</td><td>15</td><td>18</td><td>21</td></tr> </thead> <tbody> <tr><th>\(T(t)\) in \(^\circ\text{C}\)</th><td>\(-2{,}4\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(5{,}8\)</td><td>\(7{,}5\)</td><td>\(4{,}1\)</td><td>\(1{,}2\)</td></tr> </tbody> </table> a) Begründe, warum die Zuordnung \(t\mapsto T(t)\) für die aufgezeichneten Messzeitpunkte eine Funktion ist. b) Erkläre die Bedeutung von \(T(15)=7{,}5\) im Sachzusammenhang. Bestimme außerdem alle Argumente \(t\), für die \(T(t)=1{,}2\) gilt. c) Ist die umgekehrte Zuordnung „gemessene Temperatur \(\mapsto\) Messzeitpunkt“ für diese Tabelle eine Funktion? Begründe mit den Daten.

Eine Menge von Punkten im Koordinatensystem ist gegeben durch: \(M = \{P_1(1 \mid 3), P_2(2 \mid 6), P_3(3 \mid 3), P_4(2 \mid 1)\}\). a) Erkläre mithilfe der Definition einer Funktion, warum die Menge \(M\) keine Funktion \(y = f(x)\) beschreibt. b) Verändere die \(x\)-Koordinate von genau einem Punkt so, dass die neue Punktmenge eine Funktion darstellt. Gib die Koordinaten des geänderten Punktes an. c) Untersuche, ob bei deiner neuen Punktmenge aus Aufgabenteil b) auch die Umkehrzuordnung, also die Zuordnung \(y \to x\), eindeutig ist. Begründe.

Betrachte die folgende Zuordnungsvorschrift für die Definitionsmenge \(D=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}\): „Jeder Zahl \(n\in D\) wird jeder ihrer Primfaktoren als eigener Ausgabewert zugeordnet.“ a) Begründe, warum diese Zuordnung nicht eindeutig ist. Nenne ein konkretes Beispiel. b) Als Reparatur wird vorgeschlagen: „Jeder Zahl \(n\) wird die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren zugeordnet; für \(n=1\) ist diese Anzahl \(0\).“ Prüfe, ob diese neue Zuordnung eine Funktion auf \(D\) ist, und bestimme die Ausgaben für \(n=1\), \(n=6\) und \(n=8\). c) Entscheide, ob die Zuordnung „Jeder rationalen Zahl \(x\) wird ihr Betrag \(|x|\) zugeordnet“ eine Funktion ist. Begründe kurz.

Prüfe, ob die folgenden Zuordnungen im mathematischen Sinne Funktionen sind. Begründe deine Entscheidung jeweils kurz. a) Jedem Tag eines Jahres wird die an einer festgelegten Messstation in Berlin gemessene Höchsttemperatur zugeordnet. b) Jedem Wert \(x\in\{1;2;3\}\) werden jeweils beide Zahlen \(x-1\) und \(x+1\) als einzelne Ausgabewerte zugeordnet. c) Jedem Bundesland in Deutschland wird seine jeweilige Landeshauptstadt zugeordnet.

Betrachte die beiden Koordinatenachsen in einem kartesischen Koordinatensystem. a) Gib die Gleichung der \(x\)-Achse an. Untersuche, ob die \(x\)-Achse der Graph einer Funktion \(x\mapsto y\) ist. Begründe deine Antwort. b) Gib die Gleichung der \(y\)-Achse an. Erkläre mithilfe der Definition einer Funktion, warum die \(y\)-Achse nicht als Graph einer Funktion \(x\mapsto y\) dargestellt werden kann.

Gegeben ist der Punkt \(A(3 \mid -2)\). a) Bestimme die Gleichung der senkrechten Geraden \(g\), die durch \(A\) verläuft. Beschreibe ihre Lage und entscheide, ob sie der Graph einer Funktion \(y=f(x)\) ist. b) Bestimme die Gleichung der waagerechten Geraden \(h\), die durch \(A\) verläuft. c) Nenne für beide Geraden jeweils zwei weitere Punkte.

Gegeben sind die beiden Geraden \(g_1: 6y - 18 = 0\) und \(g_2: 5x + 20 = 0\). 1. Überführe beide Gleichungen in eine vereinfachte Form, indem du nach einer Variablen auflöst. 2. Entscheide für jede Gerade, ob sie der Graph einer Funktion \(f\) mit \(y = f(x)\) ist. Begründe deine Entscheidung kurz. 3. Gib die Steigung \(m\) der Geraden an, sofern diese existiert. 4. Beschreibe die Lage der Geraden im Koordinatensystem (Parallelität zu den Achsen).

In einem Hafen an der Nordsee wird der Wasserstand über einen Zeitraum von \(12\,\text{h}\) gemessen. Der Verlauf der Wassertiefe ist im Diagramm in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit dargestellt. a) Lies aus dem Graphen die Wassertiefe nach \(0\,\text{h}\), \(2\,\text{h}\), \(4\,\text{h}\), \(\dots\), \(12\,\text{h}\) ab und trage sie in eine Wertetabelle ein. Ist die Zuordnung verstrichene Zeit \(\rightarrow\) Wassertiefe eine Funktion? Begründe. b) Nach wie vielen Stunden beträgt die Wassertiefe genau \(4\,\text{m}\)? Ist die umgekehrte Zuordnung Wassertiefe \(\rightarrow\) verstrichene Zeit ebenfalls eine Funktion? Begründe.

Gegeben sind die drei Graphen (1), (2) und (3). a) Untersuche für jeden Graphen, ob die Zuordnung \(x\mapsto y\) eine Funktion ist. Begründe jeweils mit der Eindeutigkeit der Zuordnung. b) Lies für \(x=1\) bei jedem Graphen alle zugehörigen \(y\)-Werte ab. Wie bestätigt diese Ablesung deine Entscheidung aus a)? c) Beim Graphen (3) haben die beiden Argumente \(x=-1\) und \(x=1\) denselben Funktionswert. Erkläre, warum das trotzdem nicht gegen die Funktionseigenschaft verstößt.

In den beiden Abbildungen sind zwei Geraden \(g\) und \(h\) in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt. a) Gib für jede der beiden Geraden eine passende Gleichung an. b) Entscheide und begründe für jede der beiden Geraden, ob sie der Graph einer Funktion \(f:x\mapsto y\) ist.

Betrachte die beiden Graphen in den Abbildungen a) und b). 1. Überprüfe für jeden Graphen, ob die Zuordnung \(x\mapsto y\) eine Funktion darstellt. Begründe deine Entscheidung mithilfe einer Eigenschaft des Graphen. 2. Eine Schülerin sagt zu Graph b): „Jeder eingezeichnete Punkt hat doch genau eine \(y\)-Koordinate, also ist das eine Funktion.“ Erkläre den Denkfehler und nenne einen konkreten \(x\)-Wert aus dem Graphen, der die Aussage widerlegt.

Welche der abgebildeten Graphen stellen eine Funktion dar? Begründe deine Entscheidung mithilfe des „Senkrechtentests“: Eine Zuordnung ist nur dann eine Funktion, wenn jede Parallele zur \(y\)-Achse den Graphen höchstens einmal schneidet.

Bestimme die Gleichungen der drei dargestellten Geraden \(f\), \(g\) und \(h\). Entscheide anschließend, welche dieser Geraden Graphen von Funktionen der Form \(y=f(x)\) sind.

Die Zuordnung \(h\) ist durch die folgende Tabelle gegeben: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><th>\(h(x)\)</th><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td></tr> </table> Mira sagt: „Das kann keine Funktion sein, weil der Funktionswert \(3\) zweimal vorkommt.“ Beurteile Miras Aussage und erkläre, worauf es bei einer Funktion tatsächlich ankommt.

Das Diagramm zeigt vollständig den Graphen einer Funktion \(f\) im dargestellten Bereich. a) Lies \(f(-1)\) und \(f(2)\) ab. b) Formuliere den markierten Punkt \(B(2\mid3)\) als Zuordnung mit Funktionsschreibweise. c) Der Funktionswert \(2\) kommt im Graphen an mehreren Stellen vor. Amira behauptet deshalb: „Dann ist \(f\) keine Funktion.“ Beurteile die Aussage und begründe mit der Funktionsdefinition. d) Was ist bei der Funktionsdefinition eindeutig: der Funktionswert zu einem vorgegebenen Argument oder das Argument zu einem vorgegebenen Funktionswert?

Zwei Zuordnungen sind unterschiedlich dargestellt. Zuordnung A besteht aus den Punkten \(\{(-2\mid1);(0\mid1);(2\mid3)\}\). Zuordnung B ist durch die Tabelle gegeben: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr> <tr><th>\(y\)</th><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr> </table> a) Welche der beiden Zuordnungen ist eine Funktion in der Richtung \(x\mapsto y\)? b) Begründe deine Entscheidung für beide Darstellungen mit demselben Eindeutigkeitskriterium. c) Erkläre, warum die beiden gleichen \(y\)-Werte in Zuordnung A kein Problem darstellen.

Das Pfeildiagramm zeigt eine Zuordnung von links nach rechts. a) Ist die dargestellte Zuordnung von links nach rechts eine Funktion? Begründe. b) Ist die umgekehrte Zuordnung von rechts nach links eine Funktion? Begründe. c) Erkläre, warum die beiden Pfeile, die bei derselben rechten Ausgabe enden, für a) erlaubt sind, für b) aber ein Problem verursachen.

Ein Wanderer zeichnet seinen Weg von einer Berghütte aus auf. Zuerst entfernt er sich von der Hütte, macht dann eine Pause und läuft schließlich ein Stück zurück, weil er seine Kamera liegen gelassen hat. a) Beschreibe die Zuordnung: Zeit seit dem Start \(\to\) Entfernung zur Hütte. Ist diese Zuordnung eindeutig? b) Beschreibe die Zuordnung: Entfernung zur Hütte \(\to\) Zeit seit dem Start. Ist diese Zuordnung eindeutig? Begründe deine Überlegung anhand des beschriebenen Weges. c) Beschreibe, wie der Graph der Zuordnung aus Teil a) während der Pause verläuft.

Der Akkustand eines Smartphones wird über den Tag hinweg beobachtet. Die Tabelle zeigt den Ladestand zu verschiedenen Zeiten: <table> <thead> <tr><th>Uhrzeit</th><td>07:00</td><td>10:00</td><td>12:00</td><td>14:00</td><td>16:00</td><td>18:00</td></tr> </thead> <tbody> <tr><th>Ladestand (in \(\%\))</th><td>100</td><td>76</td><td>60</td><td>60</td><td>44</td><td>88</td></tr> </tbody> </table> a) Zwischen welchen beiden aufeinanderfolgenden Messzeitpunkten steigt der Ladestand? Formuliere eine Aussage, die durch die Messwerte sicher belegt ist, und beurteile zusätzlich die Vermutung „Das Smartphone wurde in diesem Zeitraum geladen.“ b) Berechne den durchschnittlichen Akkuverbrauch in Prozentpunkten pro Stunde für den Zeitraum von 07:00 Uhr bis 12:00 Uhr. c) Bei der Umkehrzuordnung Ladestand \(\to\) Uhrzeit wird einem Prozentsatz eine Uhrzeit zugeordnet. Untersuche, ob diese Umkehrzuordnung ebenfalls eine Funktion ist. Begründe deine Entscheidung.

Betrachte nur positive Briefgewichte im Tarifbereich \(0<m\le500\,\text{g}\). Ein Postdienstleister berechnet das Porto für Briefe nach ihrem Gewicht. Es gelten folgende Tarife: - Bis \(20\,\text{g}\): \(0{,}85\,\text{€}\) - Über \(20\,\text{g}\) bis \(50\,\text{g}\): \(1{,}00\,\text{€}\) - Über \(50\,\text{g}\) bis \(500\,\text{g}\): \(1{,}60\,\text{€}\) a) Erstelle eine Wertetabelle für die Zuordnung Gewicht \(m\) (in \(\text{g}\)) \(\rightarrow\) Porto \(P\) (in \(\text{€}\)) für Briefe mit einem Gewicht von \(15\,\text{g}\), \(20\,\text{g}\), \(25\,\text{g}\), \(50\,\text{g}\) und \(100\,\text{g}\). b) Begründe, warum die Zuordnung Gewicht \(\rightarrow\) Porto eine Funktion ist. c) Untersuche, ob die Umkehrung Porto \(\rightarrow\) Gewicht ebenfalls eine Funktion darstellt.

In einem Parkhaus kostet die erste angefangene Stunde \(1{,}50\,\text{€}\). Jede weitere angefangene Stunde kostet zusätzlich \(1{,}00\,\text{€}\). a) Berechne die Parkgebühren für eine Parkdauer von \(30\,\text{min}\), \(60\,\text{min}\), \(61\,\text{min}\) und \(120\,\text{min}\). b) Ein Kunde behauptet: „Anhand der gezahlten Gebühr kann ich immer genau sagen, wie viele Minuten ich im Parkhaus stand.“ Erkläre mathematisch, warum diese Aussage falsch ist und beziehe dich dabei auf die Zuordnung Gebühr \(\rightarrow\) Parkdauer. c) Ist die ursprüngliche Zuordnung Parkdauer \(\rightarrow\) Gebühr trotzdem eine Funktion? Begründe und erkläre, warum gleiche Gebühren für verschiedene Parkdauern der Funktionseigenschaft nicht widersprechen.

Gegeben ist die folgende Wertetabelle einer Zuordnung: <table> <tr><th>\(x\)</th><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td></tr> <tr><th>\(y\)</th><td>-2</td><td>0</td><td>2</td><td>5</td></tr> </table> a) Beschreibe die Lage der vier Punkte im Koordinatensystem. Auf welcher Geraden liegen sie? b) Begründe, warum diese Zuordnung keine Funktion \(f:x\mapsto y\) darstellt. c) Tausche Eingabe- und Ausgabewerte. Gib die entstehende Funktionsgleichung mit einer neu benannten Eingabevariablen \(u\) an.

Betrachte die allgemeine Form einer Geradengleichung \(ax + by = c\). Gegeben ist die spezifische Gleichung \((k-1) \cdot x + (k+2) \cdot y = 6\) mit einem Parameter \(k \in \mathbb{R}\). 1. Bestimme die Geradengleichung für den Fall \(k = 1\) und vereinfache sie. Welche besondere Lage nimmt diese Gerade ein? 2. Bestimme die Geradengleichung für den Fall \(k = -2\) und vereinfache sie. Erkläre, warum diese Gerade kein Graph einer Funktion \(y = f(x)\) ist. 3. Gib für beide Fälle die Steigung \(m\) an, falls möglich.

Tim geht zu Fuß von seinem Elternhaus zur Schule. Die beiden Graphen veranschaulichen seine Entfernung vom Elternhaus in Abhängigkeit von der Zeit. a) Erkläre, welcher der beiden Graphen einen realistischen Schulweg veranschaulicht und warum der andere Graph im Sachzusammenhang unmöglich ist. b) Beurteile, ob es sich bei Graph A und Graph B um Funktionsgraphen handelt, wenn der Zeit in Minuten die Entfernung in Metern zugeordnet wird. Begründe deine Entscheidung mit dem mathematischen Begriff der Funktion.

Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Der Graph zeigt ein vereinfachtes Modell für die Höhe \(h\) des Balls über dem Erdboden in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) seit dem Abwurf. a) Bestimme die maximale Höhe des Balls und gib an, nach wie vielen Sekunden sie erreicht wird. b) Lies ab, welche Höhe der Ball nach \(0{,}5\,\text{s}\) und nach \(1{,}5\,\text{s}\) hat. c) Untersuche die Zuordnung Höhe \(\to\) Zeit. Ist diese Zuordnung eindeutig? Erkläre, was dies für die Eigenschaft als Funktion bedeutet.

In einem Stadtplan ist der Umriss eines kreisförmigen Sees in ein Koordinatensystem eingezeichnet. a) Erkläre mathematisch, warum der gesamte Rand des Sees nicht durch eine einzige Funktionsgleichung der Form \(y=f(x)\) beschrieben werden kann. b) Wie könnte man den Rand des Sees in zwei Teile zerlegen, sodass jeder Teil für sich genommen ein Funktionsgraph ist? Beschreibe dein Vorgehen.

Konstruiere selbst eine Zuordnung als Menge aus genau fünf Punkten \((x\mid y)\). Dabei sollen folgende Bedingungen gelten: - Als \(x\)-Werte kommen genau \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\) vor. - Genau ein \(x\)-Wert soll zu zwei verschiedenen \(y\)-Werten gehören. - Die Zuordnung soll daher keine Funktion in der Richtung \(x\mapsto y\) sein. a) Gib eine mögliche Punktmenge an. b) Nenne den \(x\)-Wert, an dem die Funktionsbedingung verletzt wird. c) Beschreibe eine minimale Änderung an deiner Punktmenge, durch die eine Funktion entsteht.