Kostenlose Arbeitsblätter

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zuordnung „eindeutig“ ist? - Schau dir an, ob ein Wert auf der linken Seite (Eingabewert) mit mehreren Werten auf der rechten Seite (Ausgabewert) verbunden ist. - Spielt es eine Rolle für die Eindeutigkeit, wenn ein Ergebniswert mehrfach vorkommt?

1. Analyse von Tabelle a): Jedem \(x\)-Wert aus \(\{1, 2, 3, 4\}\) ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Ergebnis: Eindeutige Zuordnung (Funktion). 2. Analyse von Tabelle b): Jedem \(x\)-Wert aus \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\) ist genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Dass verschiedene \(x\)-Werte (z. B. \(1\) und \(-1\)) denselben \(y\)-Wert haben, widerspricht der Eindeutigkeit nicht. Ergebnis: Eindeutige Zuordnung (Funktion). 3. Analyse von Tabelle c): Dem \(x\)-Wert \(5\) werden zwei verschiedene \(y\)-Werte (\(2\) und \(4\)) zugeordnet. Ergebnis: Keine eindeutige Zuordnung (keine Funktion).

a) Ja, es ist eine Funktion, da jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet wird. b) Ja, es ist eine Funktion, da jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet wird (auch wenn \(y\)-Werte doppelt auftreten). c) Nein, es ist keine Funktion, da dem Wert \(x = 5\) zwei verschiedene Werte (\(2\) und \(4\)) zugeordnet werden.

- Überlege dir, ob es zu einem Eingabewert nur ein einziges Ergebnis geben kann oder mehrere. - Stell dir vor, du müsstest die Zuordnung in eine Tabelle eintragen. Darf in der rechten Spalte für eine Zeile mehr als ein Wert stehen? - Was ist die Definition einer eindeutigen Zuordnung?

1. Teilaufgabe a): Es handelt sich um eine Funktion. Begründung: An einem bestimmten Tag gibt es an einer festgelegten Messstation genau einen Wert für die Höchsttemperatur. Jedem Eingangswert (Tag) wird also genau ein Ausgangswert (Temperatur) zugeordnet. 2. Teilaufgabe b): Es handelt sich nicht um eine Funktion. Begründung: Ein Fahrzeughalter kann mehrere zugelassene Autos und somit mehrere Kennzeichen haben. Einem Eingangswert (Person) können also mehrere Ausgangswerte (Kennzeichen) zugeordnet sein. 3. Teilaufgabe c): Es handelt sich um eine Funktion. Begründung: Jedes Bundesland hat genau eine Landeshauptstadt. Die Zuordnung ist eindeutig.

a) Funktion, da für jeden Tag an der festgelegten Messstation genau eine Höchsttemperatur bestimmt wird. b) Keine Funktion, da ein Fahrzeughalter mehrere Kennzeichen haben kann. c) Funktion, da jedes Bundesland genau eine Hauptstadt besitzt.

- Woran erkennst du in einer Liste von Koordinatenpaaren \((x \mid y)\), dass es sich nicht um eine Funktion handelt? - Was müsste passieren, damit jeder „Eingangswert“ \(x\) nur noch einen einzigen „Ausgangswert“ \(y\) hat? - Für die Umkehrung: Tausche gedanklich die Rollen von \(x\) und \(y\) und prüfe erneut auf Eindeutigkeit.

1. Überprüfung der Eindeutigkeit für \(M\): Der \(x\)-Wert \(2\) tritt in den Punkten \(P_2(2 \mid 6)\) und \(P_4(2 \mid 1)\) auf. Einem \(x\)-Wert werden somit zwei verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet. Ergebnis: Keine Funktion. 2. Anpassung eines Punktes: Um eine Funktion zu erhalten, muss jeder \(x\)-Wert eindeutig sein. Man kann z. B. bei \(P_4(2 \mid 1)\) die \(x\)-Koordinate \(2\) durch \(4\) ersetzen. Ergebnis: Neue Menge \(M^{\prime} = \{(1 \mid 3), (2 \mid 6), (3 \mid 3), (4 \mid 1)\}\). 3. Überprüfung der Umkehrzuordnung für \(M^{\prime}\): Die \(y\)-Werte sind \(\{3; 6; 3; 1\}\). Der Wert \(y = 3\) tritt bei \(x = 1\) und \(x = 3\) auf. Ergebnis: Die Umkehrzuordnung ist nicht eindeutig, da einem \(y\)-Wert zwei \(x\)-Werte zugeordnet würden.

a) Die Menge beschreibt keine Funktion, da dem \(x\)-Wert \(2\) zwei verschiedene \(y\)-Werte (\(6\) und \(1\)) zugeordnet werden. b) Beispiel: Ändere \(P_4(2 \mid 1)\) in \(P_4(4 \mid 1)\). Dann sind alle \(x\)-Werte \(\{1; 2; 3; 4\}\) verschieden. c) Nein, die Umkehrzuordnung ist nicht eindeutig, da der \(y\)-Wert \(3\) zwei verschiedenen \(x\)-Werten (\(1\) und \(3\)) zugeordnet ist.

- Überlege dir, was die Definition einer Funktion bezüglich der Eindeutigkeit aussagt. - Stell dir vor, du fragst nach dem Alter einer bestimmten Person. Gibt es darauf mehr als eine richtige Antwort? - Stell dir vor, du suchst alle Personen, die 14 Jahre alt sind. Wie viele Namen müsstest du eventuell aufschreiben? - Was bedeutet es für eine Zuordnung, wenn einem Startwert mehrere Zielwerte zugeordnet werden?

1. Zuordnung A ist eine Funktion: Jede Person besitzt zu einem festgelegten Zeitpunkt genau ein Alter. 2. Zuordnung B ist keine Funktion: Da mindestens zwei Jugendliche gleich alt sind, wird diesem Alterswert mehr als eine Person zugeordnet. Die Zuordnung ist daher nicht eindeutig.

Zuordnung A ist eine Funktion, weil jeder Person genau ein Alter zugeordnet wird. Zuordnung B ist keine Funktion, weil mindestens einem Alterswert mehrere Personen zugeordnet werden.

- Versuche für die Zuordnungen eine Formel oder eine Regel zu finden. - Kannst du eine Zahl finden, die bei der Zuordnung zu zwei oder mehr verschiedenen Ergebnissen führt? - Achte auf den Unterschied zwischen „Ergebnis“ und „Rechnung“.

1. Teilaufgabe a): Funktion. Die Zuordnungsvorschrift lautet \(y = 3x - 10\). Da für jede Zahl \(x\) die Rechnung \(3 \cdot x - 10\) genau ein Ergebnis liefert, ist die Zuordnung eindeutig. 2. Teilaufgabe b): Keine Funktion. Gegenbeispiel: Für die Zahl \(n = 6\) sind die Teiler 1, 2, 3 und 6. Einem Eingangswert werden somit vier Ausgangswerte zugeordnet, was der Definition einer Funktion widerspricht. 3. Teilaufgabe c): Funktion. Der Betrag einer Zahl (ihr Abstand zur Null) ist eindeutig festgelegt. Zum Beispiel ist \(|5| = 5\) und \(|-5| = 5\). Da jeder Wert \(x\) nur genau einen Betrag hat, liegt eine Funktion vor.

a) Funktion, da die Rechenvorschrift \(3x - 10\) für jedes \(x\) ein eindeutiges Ergebnis liefert. b) Keine Funktion, da Zahlen (außer der 1) mehrere Teiler haben (z. B. hat 4 die Teiler 1, 2 und 4). c) Funktion, da jede Zahl genau einen Betrag hat.

- Überlege dir, welche Bedingung eine Zuordnung erfüllen muss, um eine Funktion zu sein. - Wie viele \(y\)-Werte darf ein einzelner \(x\)-Wert bei einer Funktion haben? - Stelle dir vor, du zeichnest eine senkrechte Linie durch einen \(x\)-Wert. Wie oft darf diese den Graphen schneiden?

1. Die Gleichung der \(x\)-Achse lautet \(y = 0\). 2. Die \(x\)-Achse ist der Graph einer linearen Funktion (speziell einer konstanten Funktion), da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert (nämlich \(0\)) zugeordnet wird. Dies entspricht der Form \(y = m \cdot x + b\) mit \(m = 0\) und \(b = 0\). 3. Die Gleichung der \(y\)-Achse lautet \(x = 0\). 4. Nach der Definition einer Funktion muss jedem Element der Definitionsmenge (hier dem \(x\)-Wert \(0\)) genau ein Element der Wertemenge zugeordnet werden. Bei der \(y\)-Achse werden dem \(x\)-Wert \(0\) jedoch unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet. Somit ist die Zuordnung nicht eindeutig und stellt keine Funktion dar.

a) Die Gleichung ist \(y = 0\). Sie ist eine lineare Funktion, da jedem \(x\) eindeutig der Wert \(0\) zugeordnet wird. b) Die Gleichung ist \(x = 0\). Sie ist keine Funktion, da dem \(x\)-Wert \(0\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet sind, was der Eindeutigkeit widerspricht.

- Finde eine Zahl aus \(D\), die mehrere verschiedene Primfaktoren besitzt. - Die neue Regel muss auch für \(n=1\) genau einen Wert liefern. - Wie viele Beträge kann eine einzelne rationale Zahl haben?

1. Für \(n=6\) sind die verschiedenen Primfaktoren \(2\) und \(3\). Damit werden einem Eingabewert mehrere Ausgabewerte zugeordnet; die Zuordnung ist nicht eindeutig. 2. Eine für die gesamte Definitionsmenge geeignete eindeutige Vorschrift lautet: „Jeder Zahl \(n\) wird die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren zugeordnet.“ Dann wird auch \(1\) eindeutig der Wert \(0\) zugeordnet. 3. Jede rationale Zahl \(x\) besitzt genau einen Betrag \(|x|\). Deshalb ist die Betragszuordnung eine Funktion.

a) Die Zuordnung ist nicht eindeutig, da der Zahl \(6\) die Primfaktoren \(2\) und \(3\) zugeordnet werden. b) Beispiel: „Jeder Zahl \(n\) wird die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren zugeordnet.“ Dabei wird \(1\) der Wert \(0\) zugeordnet. c) Ja. Jede rationale Zahl besitzt genau einen Betrag.

- Schau dir die Tarifgrenzen genau an: Welcher Preis gilt genau bei \(20\,\text{g}\) oder \(50\,\text{g}\)? - Erinnere dich an die Definition: Wann genau ist eine Zuordnung „eindeutig“? - Was passiert bei der Umkehrung, wenn du nur den Preis \(1{,}00\,\text{€}\) kennst? Kannst du dann das exakte Gewicht des Briefes nennen?

1. Erstellung der Wertetabelle durch Abgleich der Gewichte mit den Tarifgrenzen: \(15\,\text{g} \rightarrow 0{,}85\,\text{€}\) \(20\,\text{g} \rightarrow 0{,}85\,\text{€}\) \(25\,\text{g} \rightarrow 1{,}00\,\text{€}\) \(50\,\text{g} \rightarrow 1{,}00\,\text{€}\) \(100\,\text{g} \rightarrow 1{,}60\,\text{€}\) 2. Die Zuordnung Gewicht \(\rightarrow\) Porto ist eine Funktion, da jedes beliebige Gewicht innerhalb der Grenzen eindeutig genau einem Portowert zugeordnet ist. 3. Die Umkehrung Porto \(\rightarrow\) Gewicht ist keine Funktion. Beispielsweise wird dem Portowert \(0{,}85\,\text{€}\) nicht ein einzelnes Gewicht, sondern ein ganzer Bereich positiver Gewichte bis einschließlich \(20\,\text{g}\) zugeordnet. Es mangelt an der Eindeutigkeit.

a) Wertetabelle: <table> <tr><td>Gewicht in \(\text{g}\)</td><td>15</td><td>20</td><td>25</td><td>50</td><td>100</td></tr> <tr><td>Porto in \(\text{€}\)</td><td>\(0{,}85\)</td><td>\(0{,}85\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}60\)</td></tr> </table> b) Es ist eine Funktion, da jedem Gewicht genau ein Preis zugeordnet wird. c) Die Umkehrung ist keine Funktion, da einem Preis (z. B. \(1{,}00\,\text{€}\)) viele verschiedene Gewichte (z. B. \(25\,\text{g}\) und \(50\,\text{g}\)) zugeordnet werden können.

- Gibt es Geraden, für die man keine Steigung \(m\) berechnen kann? - Erinnere dich an den „Senkrechtentest“ für Funktionsgraphen. - Was passiert bei einer Geraden, die genau von oben nach unten verläuft?

1. Prüfung der Aussage: Die Aussage ist falsch. Nur nicht-vertikale Geraden lassen sich durch \(y = m \cdot x + b\) beschreiben. 2. Gegenbeispiel wählen: Eine beliebige Parallele zur \(y\)-Achse, zum Beispiel die Gerade \(x = 3\). 3. Mathematische Begründung: Für eine vertikale Gerade ist die Steigung nicht definiert. Daher lässt sie sich nicht in der Form \(y = m \cdot x + b\) darstellen. 4. Anwendung der Funktionsdefinition: Eine Funktion ordnet jedem \(x\) aus dem Definitionsbereich genau einen \(y\)-Wert zu. Auf der Geraden \(x = 3\) liegen zu demselben \(x\)-Wert unendlich viele Punkte \((3 \mid y)\). Da die Zuordnung nicht eindeutig ist, handelt es sich nicht um eine Funktion.

Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Gerade \(x = 3\). Hier wird einem einzigen \(x\)-Wert mehr als ein \(y\)-Wert zugeordnet, was der Definition einer Funktion (Eindeutigkeit) widerspricht. Vertikale Geraden haben keine Steigung \(m\) und keinen \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) im klassischen Sinne.

- Vergleiche die \(x\)-Koordinaten der vier Punkte. - Eine Funktion darf einem Eingabewert nicht mehrere Ausgabewerte zuordnen. - Nach dem Tausch sollte die unabhängige Variable neu benannt werden.

1. Die vier Punkte \((4|-2)\), \((4|0)\), \((4|2)\) und \((4|5)\) haben alle die \(x\)-Koordinate \(4\). Sie liegen auf der vertikalen Geraden \(x=4\); die vier Punkte bilden jedoch nur eine Teilmenge dieser Geraden. 2. Dem Eingabewert \(x=4\) werden mehrere verschiedene \(y\)-Werte zugeordnet. Daher ist die Zuordnung nicht eindeutig und keine Funktion \(y=f(x)\). 3. Nach dem Tausch sind \(-2\), \(0\), \(2\) und \(5\) die Eingabewerte, und jedem wird der Wert \(4\) zugeordnet. Mit der neuen Eingabevariablen \(u\) lautet die Funktion \(f(u)=4\) für \(u\in\{-2;0;2;5\}\). Dies ist eine konstante lineare Funktion mit Steigung \(0\).

a) Die vier Punkte liegen auf der Geraden \(x=4\). b) Die Zuordnung ist keine Funktion \(x\mapsto y\), weil dem Wert \(x=4\) mehrere \(y\)-Werte zugeordnet werden. c) Nach dem Tausch gilt \(f(u)=4\) für \(u\in\{-2;0;2;5\}\).

- Was bedeutet „angefangene Stunde“ für die Kosten, wenn man nur eine Minute über die volle Stunde kommt? - Wenn du \(1{,}50\,\text{€}\) bezahlst, weißt du dann, ob du \(10\), \(30\) oder \(60\) Minuten geparkt hast? - Überlege dir, wie ein Graph aussehen müsste, bei dem man von jedem \(y\)-Wert (Preis) genau auf einen \(x\)-Wert (Zeit) schließen kann.

1. Berechnung der Gebühren: \(30\,\text{min}\) (innerhalb 1. Std.): \(1{,}50\,\text{€}\) \(60\,\text{min}\) (genau 1 Std.): \(1{,}50\,\text{€}\) \(61\,\text{min}\) (2. Std. angefangen): \(1{,}50\,\text{€} + 1{,}00\,\text{€} = 2{,}50\,\text{€}\) \(120\,\text{min}\) (genau 2 Std.): \(2{,}50\,\text{€}\) 2. Die Zuordnung Gebühr \(\rightarrow\) Parkdauer ist keine Funktion, da einem Gebührenwert (z. B. \(1{,}50\,\text{€}\)) mehrere Parkdauern zugeordnet sind, etwa \(30\,\text{min}\) und \(60\,\text{min}\). Die Aussage des Kunden ist falsch, da keine Eindeutigkeit vorliegt. 3. Damit die Umkehrzuordnung eine Funktion ist, müsste der Preis streng mit der exakten Parkdauer steigen, zum Beispiel nach \(P(t) = k \cdot t\) ohne Aufrundung auf volle Minuten oder Stunden. Dann hätten keine zwei verschiedenen Parkdauern denselben Preis.

a) Gebühren: \(30\,\text{min} \rightarrow 1{,}50\,\text{€}\); \(60\,\text{min} \rightarrow 1{,}50\,\text{€}\); \(61\,\text{min} \rightarrow 2{,}50\,\text{€}\); \(120\,\text{min} \rightarrow 2{,}50\,\text{€}\). b) Die Aussage ist falsch, da die Zuordnung Gebühr \(\rightarrow\) Parkdauer nicht eindeutig ist. Einem Preis sind Zeitintervalle zugeordnet, kein einzelner Zeitwert. c) Der Preis müsste ohne Aufrundung streng mit der exakten Parkdauer steigen, zum Beispiel proportional nach \(P(t) = k \cdot t\).