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- Wann ist ein Zahlenpaar eine Lösung einer Gleichung? - Was passiert, wenn du einen bekannten Wert für eine Variable einsetzt? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen?

1. Einsetzen von \(x = 2\) und \(y = 2\) in die Gleichung: \(2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12\). Die Aussage ist wahr, also ist \((2|2)\) eine Lösung. 2. Einsetzen von \(x = -2\): \(2 \cdot (-2) + 4y = 12 \implies -4 + 4y = 12 \implies 4y = 16 \implies y = 4\). Das Paar ist \((-2|4)\). 3. Einsetzen von \(y = 5\): \(2x + 4 \cdot 5 = 12 \implies 2x + 20 = 12 \implies 2x = -8 \implies x = -4\). Das Paar ist \((-4|5)\).

a) Ja, \((2|2)\) ist eine Lösung. b) \(y = 4\) c) \(x = -4\)

- Was muss gelten, damit ein Wert eine Nullstelle genannt wird? - An welcher Stelle im Koordinatensystem ist der \(x\)-Wert immer gleich Null? - Reicht es aus, dass ein Punkt auf der Achse liegt, damit er zum Graphen der Funktion gehört?

1. Zur Überprüfung der Nullstelle wird \(f(-2)\) berechnet: \(1{,}5 \cdot (-2) + 3 = -3 + 3 = 0\). Da der Funktionswert gleich Null ist, ist \(x = -2\) eine Nullstelle. Die Aussage ist wahr. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) bestimmt: \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 + 3 = 3\). Dies ergibt den Punkt \((0 | 3)\). Die Aussage ist wahr. 3. Für den Punkt \(P(2 | 0)\) muss geprüft werden, ob \(f(2) = 0\) gilt: \(f(2) = 1{,}5 \cdot 2 + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 \neq 0\), liegt der Punkt nicht auf dem Graphen von \(f\), obwohl er auf der \(x\)-Achse liegt. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \(f(-2) = 0\). b) Wahr, da \(f(0) = 3\). c) Falsch, da \(f(2) = 6\) und nicht \(0\). Die Zahl \(2\) ist nur dann eine Nullstelle, wenn der Punkt \((2|0)\) auf dem Funktionsgraphen liegt.

- Suche in der Zeile für \(g(x)\) nach der Zahl Null, um die Nullstellen zu finden. - Wo in der Tabelle findest du Informationen über den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Achte darauf, nicht die \(x\)-Werte mit den Funktionswerten zu vertauschen.

1. Nullstellen sind die \(x\)-Werte, bei denen der Funktionswert \(g(x) = 0\) ist. Aus der Tabelle liest man ab: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist der Punkt, an dem \(x = 0\) ist. Laut Tabelle ist \(g(0) = -4\). Der Schnittpunkt ist somit \(S_y(0 | -4)\). 3. Die Stelle \(x = 4\) wird in der ersten Zeile gesucht. Der zugehörige Funktionswert in der zweiten Zeile ist \(g(4) = 5\).

1. Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -4)\). 3. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 4\) ist \(5\).

- Was bedeutet es für den Wert von \(y\), wenn wir eine Nullstelle suchen? - Wie kannst du eine Gleichung so umstellen, dass die Unbekannte allein auf einer Seite steht? - Wenn ein Produkt oder eine Potenz null ergibt, was muss dann für die Basis bzw. die Faktoren gelten?

Zur Bestimmung der Nullstellen wird der jeweilige Funktionswert gleich \(0\) gesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst. 1. Für \(g_1(x) = 3{,}2x + 8\): \(0 = 3{,}2x + 8 \implies -8 = 3{,}2x \implies x = -2{,}5\). 2. Für \(g_2(x) = \frac{3}{5}x - 9\): \(0 = \frac{3}{5}x - 9 \implies 9 = \frac{3}{5}x \implies x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15\). 3. Für \(g_3(x) = (x + 2{,}1)^3\): \(0 = (x + 2{,}1)^3 \implies 0 = x + 2{,}1 \implies x = -2{,}1\).

a) \(x = -2{,}5\) b) \(x = 15\) c) \(x = -2{,}1\)

- Wie kannst du den Funktionswert für eine gegebene x-Koordinate berechnen? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn sein y-Wert größer oder kleiner als der berechnete Funktionswert ist? - Wann genau liegt ein Punkt auf einer Linie?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 2\): \(k(2) = 1{,}5 \cdot 2 - 3 = 0\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(A\) mit dem Funktionswert übereinstimmt (\(0 = 0\)), liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 4\): \(k(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 3 = 3\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(B\) größer ist als der Funktionswert (\(5 > 3\)), liegt \(B\) über dem Graphen. 3. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = -2\): \(k(-2) = 1{,}5 \cdot (-2) - 3 = -6\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(C\) kleiner ist als der Funktionswert (\(-7 < -6\)), liegt \(C\) unter dem Graphen.

a) \(A\) liegt auf dem Graphen \(G_k\). b) \(B\) liegt über dem Graphen \(G_k\). c) \(C\) liegt unter dem Graphen \(G_k\).

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen und dann alle Terme mit \(x^2\), \(x\) und ohne Variable getrennt zusammenfassen? - Was musst du tun, um den \(y\)-Wert zu einer bestimmten Zahl \(x\) zu finden? - Wie kannst du prüfen, ob ein Koordinatenpaar eine Gleichung erfüllt?

1. Vereinfachung des Funktionsterms durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(f(x) = (2x^2 - 6x + x - 3) - 2x^2 + 4x\) \(f(x) = 2x^2 - 5x - 3 - 2x^2 + 4x\) \(f(x) = -x - 3\) 2. Berechnung der Funktionswerte durch Einsetzen der \(x\)-Werte in die vereinfachte Gleichung: \(f(-5) = -(-5) - 3 = 5 - 3 = 2\) \(f(-3) = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0\) \(f(0) = -(0) - 3 = -3\) \(f(2) = -(2) - 3 = -5\) 3. Punktprobe für \(P(12 \mid -15)\): Einsetzen von \(x = 12\): \(f(12) = -12 - 3 = -15\) Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt der Punkt \(P\) auf dem Graphen.

a) \(f(x) = -x - 3\) b) \(f(-5) = 2\); \(f(-3) = 0\); \(f(0) = -3\); \(f(2) = -5\) c) Ja, der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen.

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die x-Achse berührt? - Was bedeutet es für zwei Graphen, wenn sie an derselben Stelle denselben Funktionswert haben? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes mit dem berechneten Funktionswert an dieser Stelle.

1. Berechnung der Nullstellen: Für \(f(x) = 0\) ergibt sich \(1{,}5x - 3 = 0 \Rightarrow 1{,}5x = 3 \Rightarrow x = 2\). Für \(g(x) = 0\) ergibt sich \(-0{,}5x + 5 = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 5 \Rightarrow x = 10\). 2. Berechnung der Funktionswerte: \(f(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 3 = 6 - 3 = 3\) und \(g(4) = -0{,}5 \cdot 4 + 5 = -2 + 5 = 3\). Da beide Funktionswerte gleich \(3\) sind, ist der Punkt \(P(4|3)\) der Schnittpunkt der Graphen \(G_f\) und \(G_g\). 3. Lageprüfung für \(U(2|1)\): Der Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) ist \(g(2) = -0{,}5 \cdot 2 + 5 = -1 + 5 = 4\). Da die \(y\)-Koordinate des Punktes \(y = 1\) kleiner als der Funktionswert \(4\) ist, liegt der Punkt \(U\) unterhalb des Graphen \(G_g\).

a) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 2\), die von \(g\) ist \(x = 10\). b) Es gilt \(f(4) = 3\) und \(g(4) = 3\). Der Punkt \(P(4|3)\) ist der Schnittpunkt der beiden Graphen. c) Der Punkt \(U(2|1)\) liegt unterhalb des Graphen \(G_g\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt eine Gleichung lösen soll? - Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes in eine Gleichung mit \(x\) und \(y\) einsetzen? - Wenn eine Koordinate bekannt ist, wie kannst du die Gleichung nach der unbekannten Koordinate umstellen?

1. Einsetzen des Paares \((2|3)\) in die linke Seite der Gleichung: \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12\). Da das Ergebnis der rechten Seite entspricht (\(12 = 12\)), ist \((2|3)\) eine Lösung. 2. Einsetzen von \(x = 4\) in die Gleichung zur Bestimmung von \(y\): \(3 \cdot 4 + 2y = 12\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(12 + 2y = 12\). 4. Subtraktion von \(12\) auf beiden Seiten: \(2y = 0\). 5. Division durch \(2\): \(y = 0\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((4|0)\).

Das Zahlenpaar \((2|3)\) ist eine Lösung der Gleichung. Der gesuchte \(y\)-Wert für das Paar \((4|y)\) ist \(y = 0\).

- Setze die \(x\)- und \(y\)-Werte der Punkte nacheinander in die Gleichungen ein. - Überprüfe, ob die linke Seite der Gleichung nach dem Einsetzen denselben Wert ergibt wie die rechte Seite. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen negativer Zahlen oder beim Subtrahieren. - Ein Punkt ist nur dann eine Lösung, wenn die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

1. Prüfung von Gleichung (1) \(y = 3x - 5\): Einsetzen von \(A(3 \mid 4)\) ergibt \(4 = 3 \cdot 3 - 5 = 4\). Das Paar \(A\) ist die Lösung für (1). 2. Prüfung von Gleichung (2) \(2x + 4y = 12\): Einsetzen von \(B(0 \mid 3)\) ergibt \(2 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 12\). Das Paar \(B\) ist die Lösung für (2). 3. Prüfung von Gleichung (3) \(x - y = 6\): Einsetzen von \(C(7 \mid 1)\) ergibt \(7 - 1 = 6\). Das Paar \(C\) ist die Lösung für (3). 4. Prüfung von Gleichung (4) \(y = -0{,}5x + 2\): Einsetzen von \(D(4 \mid 0)\) ergibt \(0 = -0{,}5 \cdot 4 + 2 = 0\). Das Paar \(D\) ist die Lösung für (4). 5. Das übrig gebliebene Wertepaar ist \(E(2 \mid 3)\). Es erfüllt keine der vier Gleichungen.

Die Zuordnungen lauten: (1) \(\rightarrow A(3 \mid 4)\) (2) \(\rightarrow B(0 \mid 3)\) (3) \(\rightarrow C(7 \mid 1)\) (4) \(\rightarrow D(4 \mid 0)\) Das Paar \(E(2 \mid 3)\) bleibt übrig.

- Übersetze den Text Schritt für Schritt in eine Formel: „Das Doppelte von \(x\)“ bedeutet \(2 \cdot x\). - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten für \(x\) und \(y\) in die Gleichung ein. - Wenn ein Wert gegeben ist, setze ihn an die richtige Stelle in der Gleichung und löse nach der gesuchten Variable auf.

1. Aufstellen der Gleichung: Aus dem Text folgt direkt \(y = 2x + 4\). 2. Punktprobe für \(A(3|10)\): Einsetzen von \(x = 3\) ergibt \(y = 2 \cdot 3 + 4 = 10\). Da \(10 = 10\), liegt der Punkt \(A\) auf der Geraden. 3. Punktprobe für \(B(-2|1)\): Einsetzen von \(x = -2\) ergibt \(y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0\). Da \(0 \neq 1\), liegt der Punkt \(B\) nicht auf der Geraden. 4. Berechnung des \(x\)-Wertes für \(C\): Setze \(y = 15\) in die Gleichung ein: \(15 = 2x + 4\). Subtraktion von \(4\) ergibt \(11 = 2x\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 5{,}5\).

a) \(y = 2x + 4\) b) Der Punkt \(A(3|10)\) liegt auf der Geraden; der Punkt \(B(-2|1)\) liegt nicht auf der Geraden. c) Der \(x\)-Wert des Punktes \(C\) ist \(5{,}5\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl hoch drei nimmt? - Setze doch einmal eine konkrete Zahl für \(x\) ein (zum Beispiel \(x=2\)) und berechne den Wert. Vergleiche diesen dann mit dem Wert für \(-2\). - Die Gegenzahl eines Termwerts erhältst du, indem du den gesamten Termwert mit \(-1\) multiplizierst.

1. Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) im Term \(A\): \(\frac{-x}{(-x)^2+1} = \frac{-x}{x^2+1} = -\frac{x}{x^2+1}\). Damit gilt \(A(-x) = -A(x)\). 2. Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) im Term \(B\): \(\frac{(-x)^2-9}{(-x)^2} = \frac{x^2-9}{x^2}\). Damit gilt \(B(-x) = B(x)\), nicht \(B(-x) = -B(x)\). 3. Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) im Term \(C\): \(\frac{(-x)^3}{2} = \frac{-x^3}{2} = -\frac{x^3}{2}\). Damit gilt \(C(-x) = -C(x)\).

Die Eigenschaft \(T(-x) = -T(x)\) gilt für die Terme \(A = \frac{x}{x^2+1}\) und \(C = \frac{x^3}{2}\).

- Stelle dir vor, du hast einen Kuchen (die Gesamtkosten) und teilst ihn auf. Was passiert, wenn der Kuchen größer wird? - Was passiert mit dem Anteil jedes Einzelnen, wenn mehr Leute mitessen, der Kuchen aber gleich groß bleibt? - Betrachte den Zähler und den Nenner des Bruchs getrennt. - Überlege dir ein Beispiel mit einfachen Zahlen, um deine Vermutung zu prüfen.

1. Analyse der Abhängigkeit von \(G\): In der Formel \(k = \frac{G}{n - 3}\) steht \(G\) im Zähler. Da der Nenner \(n - 3\) bei gleichbleibendem \(n\) konstant und positiv ist, ist \(k\) direkt proportional zu \(G\). Wenn \(G\) steigt, vergrößert sich der Wert des Bruchs, somit steigt \(k\). 2. Analyse der Abhängigkeit von \(n\): Wenn \(n\) steigt, vergrößert sich der Wert des Nenners \(n - 3\). Da der Zähler \(G\) konstant und positiv ist, führt ein größerer Nenner zu einem kleineren Gesamtwert des Bruchs. Somit sinkt \(k\).

1) Die Kosten pro zahlender Person \(k\) steigen. 2) Die Kosten pro zahlender Person \(k\) sinken.

- Kannst du dir einen Graphen vorstellen, der die \(x\)-Achse niemals berührt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Wie viele Ausgabewerte darf es für einen Eingabewert geben? - Was bedeutet die Koordinate \(y = 0\) für die Position eines Punktes?

1. Es gibt Funktionen, deren Graphen die \(x\)-Achse nie berühren oder schneiden, wie zum Beispiel die konstante Funktion \(f(x) = 5\). Daher ist die Aussage falsch. 2. Nach der Definition einer Funktion wird jedem \(x\)-Wert (also auch \(x = 0\)) genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Mehrere Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse würden bedeuten, dass einem \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte zugeordnet werden. Daher ist die Aussage falsch. 3. Ein Punkt der Form \((x | 0)\) liegt auf der \(x\)-Achse. Wenn dieser Punkt Teil des Graphen ist, bedeutet das \(f(4) = 0\). Dies entspricht exakt der Definition einer Nullstelle. Die Aussage ist wahr.

a) Falsch; Gegenbeispiel: \(f(x) = 2\) (eine waagerechte Gerade oberhalb der \(x\)-Achse). b) Falsch; wegen der Eindeutigkeit von Funktionen darf jedem \(x\)-Wert nur ein \(y\)-Wert zugeordnet werden. c) Wahr; da der \(y\)-Wert an der Stelle \(x = 4\) gleich \(0\) ist, erfüllt dies die Definition einer Nullstelle.

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um den ersten Teil des Terms zu vereinfachen? - Achte beim Auflösen der zweiten Klammer besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Wenn ein \(y\)-Wert gegeben ist, wie kannst du die Gleichung nach \(x\) umstellen?

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel und Auflösen der Klammern: \(f(x) = (x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 10x) - 15\) \(f(x) = x^2 - 8x + 16 - x^2 + 10x - 15\) \(f(x) = 2x + 1\) Da der Term die Form \(m \cdot x + t\) hat, ist die Funktion linear. 2. Berechnung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0{,}5\) Die Nullstelle liegt bei \(x = -0{,}5\). 3. Berechnung der \(x\)-Koordinate für \(y = 12\): \(12 = 2x + 1 \implies 11 = 2x \implies x = 5{,}5\) Der Punkt ist \(Q(5{,}5 \mid 12)\).

a) \(f(x) = 2x + 1\) (lineare Form) b) \(x = -0{,}5\) c) \(x = 5{,}5\)

- Wie kannst du feststellen, ob zwei unterschiedliche Terme eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Kannst du beide Ausdrücke so weit wie möglich vereinfachen? - Was ist das Besondere an der \(x\)-Koordinate eines jeden Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Vereinfachung beider Funktionsterme: \(f(x) = 2x - x^2 + x^2 + 3 = 2x + 3\) \(g(x) = 2x + 3\) Da beide Terme nach der Vereinfachung identisch sind, sind auch die Graphen identisch. 2. Berechnung von \(f(-4{,}5)\): \(f(-4{,}5) = 2 \cdot (-4{,}5) + 3 = -9 + 3 = -6\) 3. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 3)\).

a) Ja, die Graphen sind identisch, da beide Funktionen die vereinfachte Gleichung \(y = 2x + 3\) besitzen. b) \(f(-4{,}5) = -6\) c) \(S_y(0 \mid 3)\)

- Hilft es dir, den Term zuerst zu vereinfachen, bevor du Zahlen einsetzt oder Gleichungen löst? - Wie löst du eine Klammer auf, vor der ein Faktor steht? - Wenn ein Ergebnis für \(f(x)\) vorgegeben ist, suchst du dann nach \(x\) oder nach dem Ergebnis der Rechnung?

1. Vereinfachung des Terms durch Ausmultiplizieren: \(f(x) = 2x^2 + 8x - 2x^2 = 8x\). 2. Bestimmung von \(x\) für \(f(x) = 20\): Die Gleichung \(8x = 20\) führt durch Division durch \(8\) zu \(x = 2{,}5\). 3. Berechnung des Funktionswerts für \(x = -1{,}25\): Einsetzen in den vereinfachten Term ergibt \(f(-1{,}25) = 8 \cdot (-1{,}25) = -10\).

a) Der vereinfachte Term lautet \(f(x) = 8x\). b) Für \(x = 2{,}5\) gilt \(f(x) = 20\). c) Der Funktionswert ist \(f(-1{,}25) = -10\).

- Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Klammern, vor allem bei Quadraten. - Um zu zeigen, dass eine Eigenschaft allgemein nicht gilt, reicht ein einziges Gegenbeispiel aus. - Was müsste rechnerisch passieren, damit ein Bruch sein Vorzeichen umkehrt? Muss sich das Vorzeichen im Zähler, im Nenner oder in beiden ändern? - Vergleiche die Struktur der Zähler von \(f(x)\) und \(g(x)\). Welchen Einfluss hat die Konstante \(+1\), wenn sie zu \(x^2\) oder zu \(x\) addiert wird?

1. Berechnung der Funktionswerte für \(f(x)\): \(f(2) = \frac{2^2+1}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). \(f(-2) = \frac{(-2)^2+1}{-2} = \frac{5}{-2} = -2{,}5\). Die Werte sind Gegenzahlen zueinander. 2. Allgemeiner Nachweis für \(f(x)\): \(f(-x) = \frac{(-x)^2+1}{-x} = \frac{x^2+1}{-x} = -\frac{x^2+1}{x} = -f(x)\). Damit ist die Eigenschaft bewiesen. 3. Überprüfung für \(g(x)\) mit \(x=1\): \(g(1) = \frac{1+1}{1} = 2\). \(g(-1) = \frac{-1+1}{-1} = \frac{0}{-1} = 0\). Da \(0\) nicht die Gegenzahl von \(2\) ist (also \(0 \neq -2\)), gilt die Eigenschaft \(g(-x) = -g(x)\) nicht.

a) \(f(2) = 2{,}5\) und \(f(-2) = -2{,}5\). Die Werte sind Gegenzahlen. b) Durch Einsetzen folgt \(f(-x) = \frac{x^2+1}{-x} = -f(x)\). c) Nein, die Eigenschaft gilt für \(g(x)\) nicht. Beispiel: \(g(1) = 2\), aber \(g(-1) = 0\).

- Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor verdoppelt und den anderen halbiert? - Achte besonders auf das Quadrat bei der Variablen im Nenner. - Wenn du eine Zahl im Nenner verdoppelst, was passiert dann mit dem Quadrat dieser Zahl? - Versuche, die neue Situation als Vielfaches des ursprünglichen Terms zu schreiben.

1. Kombination der Änderungen von \(x\) und \(y\): Substitution von \(x\) durch \(2x\) und \(y\) durch \(0{,}5y\) führt zu \(T_{neu} = \frac{(2x) \cdot (0{,}5y)}{z^2} = \frac{1 \cdot x \cdot y}{z^2} = T\). Der Wert bleibt unverändert. 2. Abhängigkeit von \(z\): Da \(z\) im Nenner steht, führt eine Vergrößerung von \(z\) (und damit auch \(z^2\)) zu einer Verkleinerung des Gesamtwertes \(T\). 3. Quantitative Änderung durch \(z\): Wird \(z\) verdoppelt (\(2z\)), vervierfacht sich der Nenner (\((2z)^2 = 4z^2\)). Damit gilt \(T_{neu} = \frac{x \cdot y}{4z^2} = \frac{1}{4} \cdot T = 0{,}25 \cdot T\). Der Wert sinkt auf ein Viertel (Faktor \(0{,}25\)).

a) Der Wert von \(T\) bleibt gleich. b) Der Wert von \(T\) verringert sich. c) Der Wert von \(T\) sinkt auf ein Viertel (Faktor \(0{,}25\)).

- Kannst du die Formel so umstellen, dass die veränderten Faktoren als ein einziger Bruch vor dem ursprünglichen Ausdruck stehen? - Wenn ein Produkt im Zähler steht und eine Variable im Nenner, wie beeinflussen sie sich gegenseitig, um das Gesamtergebnis stabil zu halten? - Erinnere dich an die Regeln zum Kürzen von Brüchen für den letzten Aufgabenteil.

1. Für Teil a): Ersetzen von \(n\) durch \(2n\) und \(p\) durch \(3p\) ergibt \(m_{neu} = \frac{k \cdot (2n)}{3p} = \frac{2}{3} \cdot \frac{k \cdot n}{p} = \frac{2}{3}m\). Der Wert von \(m\) entspricht nun \(\frac{2}{3}\) des ursprünglichen Wertes. 2. Für Teil b): Damit \(m\) konstant bleibt, muss das Verhältnis \(\frac{n}{p}\) gleich bleiben. Wenn \(n_{neu} = \frac{1}{4}n\), dann gilt \(\frac{n}{p} = \frac{\frac{1}{4}n}{p_{neu}}\). Durch Umformen erhält man \(p_{neu} = \frac{1}{4}p\). Die Variable \(p\) muss also ebenfalls auf ein Viertel ihres Wertes sinken. 3. Für Teil c): Einsetzen von \(c \cdot n\) und \(c \cdot p\) in die Formel ergibt \(m_{neu} = \frac{k \cdot (c \cdot n)}{c \cdot p} = \frac{k \cdot n \cdot c}{p \cdot c}\). Durch Kürzen von \(c\) erhält man \(m_{neu} = \frac{k \cdot n}{p} = m\).

a) \(m\) wird mit dem Faktor \(\frac{2}{3}\) multipliziert (nimmt um ein Drittel ab). b) \(p\) muss ebenfalls auf ein Viertel seines Wertes sinken (durch \(4\) geteilt werden). c) Durch Einsetzen und Kürzen von \(c\) im Bruch \(\frac{k \cdot c \cdot n}{c \cdot p}\) zeigt sich, dass der Wert identisch mit \(m\) bleibt.

- Ersetze das \(x\) in der Funktionsvorschrift konsequent durch den gesamten Ausdruck, der in der Klammer steht. - Verwende Klammern, wenn du den gesamten Funktionsterm multiplizierst oder quadrierst. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für das Quadrieren von Differenzen? - Um zu zeigen, dass eine Gleichung nicht allgemein gilt, kannst du auch eine konkrete Zahl für die Variable einsetzen und prüfen, ob beide Seiten das gleiche Ergebnis liefern.

1. Zu a): \(f(2a) = 4(2a) - 3 = 8a - 3\). Dagegen ist \(2 \cdot f(a) = 2(4a - 3) = 8a - 6\). Die Terme sind nicht identisch; die Aussage ist falsch. 2. Zu b): \(f(x + 1) = 4(x + 1) - 3 = 4x + 1\). Außerdem gilt \(f(x) + 4 = (4x - 3) + 4 = 4x + 1\). Die Terme sind identisch; die Aussage ist wahr. 3. Zu c): \(f(x^2) = 4x^2 - 3\). Dagegen ist \((f(x))^2 = (4x - 3)^2 = 16x^2 - 24x + 9\). Die Terme sind nicht identisch. Sie sind nur für \(x = 1\) gleich; daher ist die Gleichung keine Identität und die Aussage ist falsch.

a) Falsch, da \(8a - 3\) und \(8a - 6\) nicht identisch sind. b) Wahr, da beide Seiten \(4x + 1\) ergeben. c) Falsch als allgemeine Identität. Die Terme \(4x^2 - 3\) und \(16x^2 - 24x + 9\) sind nur für \(x = 1\) gleich.

- Wenn ein Paar eine Lösung ist, muss die Gleichung wahr sein, wenn du die Zahlen einsetzt. Was hilft dir das bei der Suche nach \(a\)? - Nachdem du \(a\) gefunden hast, wie sieht die fertige Gleichung aus? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt eine Bedingung erfüllt?

1. Einsetzen der bekannten Lösung \(x = 2\) und \(y = -3\) in die Ausgangsgleichung: \(a \cdot 2 + 5 \cdot (-3) = -11\). 2. Berechnung von \(a\): \(2a - 15 = -11\). 3. Addition von \(15\): \(2a = 4\). 4. Division durch \(2\): \(a = 2\). Die vollständige Gleichung lautet \(2x + 5y = -11\). 5. Überprüfung des Paares \((1|-2)\) durch Einsetzen in die neue Gleichung: \(2 \cdot 1 + 5 \cdot (-2)\). 6. Ausrechnen: \(2 - 10 = -8\). 7. Vergleich mit der rechten Seite: \(-8 \neq -11\). Somit ist \((1|-2)\) keine Lösung.

a) Der Wert des Parameters ist \(a = 2\). b) Das Paar \((1|-2)\) ist keine Lösung der Gleichung \(2x + 5y = -11\), da \(2 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = -8\) und \(-8 \neq -11\).

- Wie drückt man eine prozentuale Zunahme oder Abnahme als Dezimalzahl aus? - Ersetze die Variablen in der Formel durch ihre neuen Ausdrücke (z. B. \(1{,}2 \cdot x\)). - Wenn ein Wert im Nenner steht und kleiner wird, was passiert dann mit dem Gesamtwert? - Stelle eine kleine Gleichung auf, in der du den gesuchten Faktor als Unbekannte behandelst.

1. Teil a: Erhöhung von \(x\) um \(20\,\%\) entspricht \(1{,}2x\). Verringerung von \(y\) um \(20\,\%\) entspricht \(0{,}8y\). 2. Einsetzen in die Formel: \(W_{neu} = \frac{1{,}2x}{0{,}8y \cdot z} = \frac{1{,}2}{0{,}8} \cdot \frac{x}{yz}\). 3. Berechnung des Faktors: \(1{,}2 : 0{,}8 = 1{,}5\). Ergebnis für a: \(W_{neu} = 1{,}5W\). 4. Teil b: Ziel ist \(W_{neu} = 2W\). Gegeben sind \(x_{neu} = x\) und \(y_{neu} = \frac{1}{3}y\). Gesucht ist der Faktor \(k\) für \(z_{neu} = k \cdot z\). 5. Aufstellen der Gleichung: \(2 \cdot \frac{x}{yz} = \frac{x}{\frac{1}{3}y \cdot k \cdot z}\). 6. Vereinfachen der rechten Seite: \(\frac{x}{\frac{1}{3}ykz} = \frac{3x}{ykz}\). 7. Vergleich der Koeffizienten: \(2 = \frac{3}{k}\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Ergebnis für b: \(z\) muss mit dem Faktor \(1{,}5\) multipliziert werden.

a) Der neue Wert ist das \(1{,}5\)-Fache des ursprünglichen Wertes \(W\). b) Der Wert \(z\) muss mit dem Faktor \(1{,}5\) multipliziert werden (bzw. um \(50\,\%\) erhöht werden).