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- Setze den angegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Einsetzen einer negativen Zahl auf das Vorzeichen. - Berechne zuerst das Produkt und addiere anschließend den konstanten Term.

1. Für \(x=2\) gilt \(y=0{,}4\cdot2+1{,}2=2\). 2. Für \(x=-3\) gilt \(y=0{,}4\cdot(-3)+1{,}2=0\).

1) \(y=2\) 2) \(y=0\)

- Lies bei jedem Punkt zuerst die x-Koordinate und danach die y-Koordinate ab. - Ein Punkt auf der x-Achse hat die y-Koordinate \(0\); ein Punkt auf der y-Achse hat die x-Koordinate \(0\).

1. Punkt \(D\) liegt auf der x-Achse bei \(-2\). Daher ist \(D(-2\mid0)\). 2. Punkt \(E\) liegt auf der y-Achse bei \(-1\). Daher ist \(E(0\mid-1)\). 3. Punkt \(F\) liegt auf der x-Achse bei \(2\). Daher ist \(F(2\mid0)\).

\(D(-2\mid0)\), \(E(0\mid-1)\), \(F(2\mid0)\)

- In \(f(x)\) steht in der Klammer das Argument. - Der Wert rechts vom Gleichheitszeichen ist der zugehörige Funktionswert. - Ein Graphpunkt verbindet Argument und Funktionswert als \(x\)- und \(y\)-Koordinate.

1. Das Argument ist \(3\). 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(7\). 3. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(3\mid7)\). 4. Die Schreibweise bedeutet: Dem Argument \(3\) ordnet die Funktion \(f\) den Funktionswert \(7\) zu.

a) \(3\) b) \(7\) c) \(P(3\mid7)\) d) \(f\) ordnet dem Argument \(3\) den Funktionswert \(7\) zu.

- Lies zuerst die \(x\)-Koordinate des besonders markierten Punktes ab. - Nutze die im Aufgabentext erklärte Bedeutung eines offenen beziehungsweise ausgefüllten Punktes. - Entscheidend ist, welcher Punkt bei diesem Argument tatsächlich zum Graphen gehört.

1. In Abbildung a) liegt der markierte offene Punkt bei \((-1\mid0)\). Dieser Punkt gehört nicht zum Graphen. Bei \(x=-1\) gehört stattdessen der ausgefüllte Punkt \((-1\mid2)\) zum Graphen. Daher gilt \(f(-1)=2\) und nicht \(f(-1)=0\). 2. In Abbildung b) liegt der markierte ausgefüllte Punkt bei \((1\mid0)\) auf dem Graphen. Daher gilt dort \(g(1)=0\).

a) \(x=-1\); nein, denn der offene Punkt \((-1\mid0)\) gehört nicht zum Graphen. Es gilt \(f(-1)=2\). b) \(x=1\); ja, denn der ausgefüllte Punkt \((1\mid0)\) gehört zum Graphen. Es gilt \(g(1)=0\).

- Beginne jeweils beim gegebenen Argument auf der waagerechten Achse. - Gehe von dort zum Graphen und lies die zugehörige Höhe ab. - Ein Graphpunkt hat die Form \((\text{Argument}\mid\text{Funktionswert})\).

1. Beim Argument \(-1\) liegt der Graph auf der Höhe \(2\). Daher ist \(f(-1)=2\). 2. Beim Argument \(2\) liegt der Graph auf der Höhe \(3\). Daher ist \(f(2)=3\). 3. Zum Argument \(4\) gehört der Funktionswert \(1\). Der zugehörige Punkt ist \((4\mid1)\).

a) \(f(-1)=2\) b) \(f(2)=3\) c) \((4\mid1)\)

- Beginne diesmal beim gegebenen Funktionswert auf der senkrechten Achse. - Suche alle Stellen, an denen der Graph diese Höhe erreicht. - Die Funktionsdefinition betrifft die Anzahl der Ausgaben zu einer Eingabe, nicht die Anzahl der Eingaben zu einer Ausgabe.

1. Die Höhe \(2\) wird im dargestellten Graphen bei \(x=1\) und bei \(x=3\) angenommen. Daher gilt \(g(1)=2\) und \(g(3)=2\). 2. Die Höhe \(4\) wird bei \(x=2\) erreicht. 3. Eine Funktion verlangt zu jedem Argument genau einen Funktionswert. Sie verbietet nicht, dass derselbe Funktionswert zu mehreren verschiedenen Argumenten gehört.

a) \(x=1\) und \(x=3\) b) \(x=2\) c) Verschiedene Argumente dürfen denselben Funktionswert besitzen.

- Die erste Punktkoordinate ist das Argument, die zweite der Funktionswert. - In der Funktionsschreibweise steht das Argument in der Klammer. - Übertrage bei c) dieselbe Reihenfolge zurück in die Punktnotation.

1. Der markierte Punkt P hat die Koordinaten \((3\mid-1)\). 2. Dieselbe Zuordnung wird als \(h(3)=-1\) geschrieben. 3. Zum Argument \(-1\) und Funktionswert \(2\) gehört der Punkt \((-1\mid2)\).

a) P\((3\mid-1)\) b) \(h(3)=-1\) c) \((-1\mid2)\)

- Suche für jede genannte Strecke zuerst die passende Stelle auf der waagerechten Achse. - Vergleiche dort die Höhen der beiden beschrifteten Graphen. - Beachte bei \(s=2\,\text{km}\) die im Text erklärte Bedeutung des offenen und des ausgefüllten Punktes.

1. Bei \(s=1\,\text{km}\) liest man für Tim \(25\,\text{km/h}\) und für Lisa \(20\,\text{km/h}\) ab. Tim fährt schneller. 2. Bei \(s=4\,\text{km}\) liest man für Tim \(15\,\text{km/h}\) und für Lisa \(20\,\text{km/h}\) ab. Lisa fährt schneller. 3. Lisas Graph liegt durchgehend bei \(20\,\text{km/h}\). Tims Graph liegt für \(s<2\,\text{km}\) bei \(25\,\text{km/h}\) und ab \(s=2\,\text{km}\) bei \(15\,\text{km/h}\). Der offene Punkt bei \((2\mid25)\) und der ausgefüllte Punkt bei \((2\mid15)\) zeigen, dass Tim bei \(s=2\,\text{km}\) nicht den Zwischenwert \(20\,\text{km/h}\) annimmt. Die beiden Graphen haben daher keinen gemeinsamen Punkt.

1. Tim mit \(25\,\text{km/h}\) 2. Lisa mit \(20\,\text{km/h}\) 3. Nein; die beiden Graphen haben keinen gemeinsamen Punkt.

- Was muss gelten, damit ein Wert eine Nullstelle genannt wird? - An welcher Stelle im Koordinatensystem ist der \(x\)-Wert immer gleich Null? - Reicht es aus, dass ein Punkt auf der Achse liegt, damit er zum Graphen der Funktion gehört?

1. Zur Überprüfung der Nullstelle wird \(f(-2)\) berechnet: \(1{,}5 \cdot (-2) + 3 = -3 + 3 = 0\). Da der Funktionswert gleich Null ist, ist \(x = -2\) eine Nullstelle. Die Aussage ist wahr. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) bestimmt: \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 + 3 = 3\). Dies ergibt den Punkt \((0 \mid 3)\). Die Aussage ist wahr. 3. Für den Punkt \(P(2 \mid 0)\) muss geprüft werden, ob \(f(2) = 0\) gilt: \(f(2) = 1{,}5 \cdot 2 + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 \neq 0\), liegt der Punkt nicht auf dem Graphen von \(f\), obwohl er auf der \(x\)-Achse liegt. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \(f(-2) = 0\). b) Wahr, da \(f(0) = 3\). c) Falsch, da \(f(2) = 6\) und nicht \(0\). Die Zahl \(2\) ist nur dann eine Nullstelle, wenn der Punkt \((2 \mid 0)\) auf dem Funktionsgraphen liegt.

- Ein Punkt auf der \(x\)-Achse hat die zweite Koordinate \(0\). - Ein Punkt auf der \(y\)-Achse hat die erste Koordinate \(0\). - Lies für Teil 3 die Tabellenspalte mit dem Argument \(4\) ab.

1. Punkte auf der \(x\)-Achse haben die zweite Koordinate \(0\). In der Tabelle steht \(g(-1)=0\) und \(g(2)=0\). Daher liegen \((-1\mid0)\) und \((2\mid0)\) auf der \(x\)-Achse. 2. Auf der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Aus der Tabelle folgt \(g(0)=-4\), also liegt der Graph dort im Punkt \((0\mid-4)\). 3. Zum Argument \(x=4\) gehört laut Tabelle der Funktionswert \(g(4)=5\).

1. \((-1\mid0)\) und \((2\mid0)\) 2. \((0\mid-4)\) 3. \(g(4)=5\)

- Prüfe für a) die Zuordnung immer in der angegebenen Richtung von der Uhrzeit zur Temperatur. - Bei b) ist einmal ein Funktionswert zu deuten und anschließend rückwärts nach allen passenden Argumenten zu suchen. - Für c) vertauschst du gedanklich Eingaben und Ausgaben und prüfst erneut die Eindeutigkeit.

1. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist in der Tabelle genau ein Temperaturwert zugeordnet. Daher ist \(t\mapsto T(t)\) auf der angegebenen Definitionsmenge eine Funktion. 2. \(T(15)=7{,}5\) bedeutet: Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen. Der Funktionswert \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) tritt bei den Argumenten \(t=9\) und \(t=21\) auf. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) zwei verschiedene Messzeitpunkte, \(9{:}00\) Uhr und \(21{:}00\) Uhr, zugeordnet würden.

a) Ja. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist genau ein Temperaturwert zugeordnet. b) Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen; \(T(t)=1{,}2\) gilt für \(t=9\) und \(t=21\). c) Nein. \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) gehört zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten.

- Unter welcher Bedingung ist ein Bruch gleich null? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Wert nicht zur Definitionsmenge gehört?

1. Für eine Nullstelle muss der Zähler null sein, während der Nenner ungleich null bleibt: \(2x-6=0\). Daraus folgt \(x=3\). Da \(3+1\neq0\), ist \(S_x(3\mid0)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(g(0)=\frac{-6}{1}=-6\). Also ist \(S_y(0\mid-6)\). 3. Für \(x=-1\) wird der Nenner null. Der Wert gehört nicht zur Definitionsmenge, daher existiert dort kein Graphenpunkt.

a) \(x=3\), also \(S_x(3\mid0)\) b) \(g(0)=-6\), also \(S_y(0\mid-6)\) c) Nein. \(x=-1\notin D_g\), weil dort der Nenner null ist.

- Berechne für jeden Punkt zuerst den Funktionswert zur gegebenen \(x\)-Koordinate. - Vergleiche anschließend den berechneten Funktionswert mit der \(y\)-Koordinate des Punktes. - Gleichheit bedeutet „auf dem Graphen“; über die Richtung bei größeren oder kleineren \(y\)-Werten entscheidest du durch den Vergleich.

1. Für \(x=2\) gilt \(k(2)=1{,}5\cdot2-3=0\). Der \(y\)-Wert von \(A\) stimmt mit diesem Funktionswert überein. Daher liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Für \(x=4\) gilt \(k(4)=1{,}5\cdot4-3=3\). Der \(y\)-Wert von \(B\) ist mit \(5>3\) größer als der Funktionswert. Daher liegt \(B\) über dem Graphen. 3. Für \(x=-2\) gilt \(k(-2)=1{,}5\cdot(-2)-3=-6\). Der \(y\)-Wert von \(C\) ist mit \(-7<-6\) kleiner als der Funktionswert. Daher liegt \(C\) unter dem Graphen.

a) \(A\) liegt auf dem Graphen \(G_k\). b) \(B\) liegt über dem Graphen \(G_k\). c) \(C\) liegt unter dem Graphen \(G_k\).

- Setze für Teil a) die beiden vorgegebenen Zeiten in den Funktionsterm ein. - Für Teil b) ist der Funktionswert vorgegeben; suche das zugehörige Argument. - Prüfe in Teil c), ob ein negativer Höhenwert im Sachzusammenhang möglich ist. - Bestimme, wann das Modell erstmals die Höhe \(0\) erreicht.

1. \(h(3)=20-2{,}5\cdot3=12{,}5\). Die Höhe nach \(3\,\text{h}\) beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). 2. \(h(5{,}5)=20-2{,}5\cdot5{,}5=6{,}25\). Die Höhe nach \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt \(6{,}25\,\text{cm}\). 3. Für \(h(t)=7{,}5\) gilt \(7{,}5=20-2{,}5t\). Daraus folgt \(t=5\). Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. 4. \(h(10)=20-2{,}5\cdot10=-5\). Eine negative Kerzenhöhe ist im Sachzusammenhang nicht möglich. 5. Die Kerze ist bei \(20-2{,}5t=0\), also bei \(t=8\,\text{h}\), vollständig abgebrannt. Daher ist das Modell für \(0\le t\le8\) sinnvoll.

a) Nach \(3\,\text{h}\): \(12{,}5\,\text{cm}\); nach \(5{,}5\,\text{h}\): \(6{,}25\,\text{cm}\) b) Nach \(5\,\text{h}\) c) \(h(10)=-5\,\text{cm}\) ist sachlich unmöglich; sinnvoll ist das Modell für \(0\le t\le8\).

- Welches Argument gehört zu jedem Punkt auf der \(y\)-Achse? - Welchen Funktionswert haben Punkte auf der \(x\)-Achse? - Wie kannst du ein gegebenes Wertepaar durch Einsetzen überprüfen?

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=\frac{-12}{1}=-12\). Daher ist \(S_y(0\mid-12)\). 2. Für \(f(x)=0\) muss der Zähler null sein. Aus \(4x-12=0\) folgt \(x=3\). Der Nenner ist dort \(10\neq0\), also ist \(S_x(3\mid0)\). 3. Es ist \(f(1)=\frac{4-12}{1+1}=\frac{-8}{2}=-4\). Daher liegt \(P(1\mid-4)\) auf dem Graphen.

a) \(f(0)=-12\), also \(S_y(0\mid-12)\) b) \(x=3\), also \(S_x(3\mid0)\) c) Ja. \(f(1)=-4\), also liegt \(P(1\mid-4)\) auf dem Graphen.

- Was muss für einen Punkt \(P(x\mid y)\) gelten, damit er auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Setze jeweils die \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein. - Vergleiche den berechneten Funktionswert mit der angegebenen \(y\)-Koordinate.

1. Für \(A(3\mid3)\) gilt \(f(3)=2\cdot3-3=3\). Also liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Für \(B(-2\mid-7)\) gilt \(f(-2)=2\cdot(-2)-3=-7\). Also liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Für \(C(1\mid0)\) gilt \(f(1)=2\cdot1-3=-1\ne0\). Also liegt \(C\) nicht auf dem Graphen. 4. Für \(D(-1\mid-5)\) gilt \(f(-1)=2\cdot(-1)-3=-5\). Also liegt \(D\) auf dem Graphen.

Auf dem Graphen liegen \(A\), \(B\) und \(D\). \(C\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Bei einer Punktprobe setzt du die \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein und vergleichst mit der \(y\)-Koordinate. - Bei \(Q(-2\mid y)\) ist das Argument gegeben; bei \(R(x\mid6)\) ist der Funktionswert gegeben. - Behandle jede Funktion getrennt, damit du Funktionswert und Argument nicht miteinander vertauschst.

1. Für \(f\) gilt \(f(2)=1\), während die anderen gegebenen Punkte die Funktionsgleichung von \(f\) nicht erfüllen. Daher liegt \(P_1\) auf \(G_f\). 2. Für \(g\) gilt \(g(0)=4\) und \(g(4)=2\). Daher liegen \(P_2\) und \(P_4\) auf \(G_g\). 3. Für \(h\) gilt \(h(-1)=-3\). Daher liegt \(P_3\) auf \(G_h\). 4. Für \(Q\) gilt \(f(-2)=-7\), \(g(-2)=5\) und \(h(-2)=-6\). 5. Für \(R\) wird jeweils der Funktionswert \(6\) vorgegeben: Aus \(2x-3=6\) folgt \(x=4{,}5\); aus \(-0{,}5x+4=6\) folgt \(x=-4\); aus \(3x=6\) folgt \(x=2\).

a) \(G_f\): \(P_1\); \(G_g\): \(P_2,P_4\); \(G_h\): \(P_3\) b) Für \(f\): \(Q(-2\mid-7)\), \(R(4{,}5\mid6)\) Für \(g\): \(Q(-2\mid5)\), \(R(-4\mid6)\) Für \(h\): \(Q(-2\mid-6)\), \(R(2\mid6)\)

- Prüfe zuerst, welche Größen und Einheiten auf den beiden Achsen dargestellt sind. - Suche für a) und b) die verlangten Stellen beziehungsweise den höchsten Punkt direkt im Graphen. - Bei c) sind die Schnittstellen mit der Höhe \(0\,\text{°C}\) entscheidend; orientiere deine Genauigkeit an der Skalierung. - Vergleiche für d) nur den Anfangs- und Endwert des angegebenen Zeitraums.

1. Aus dem Graphen liest man ab: um 6:00 Uhr \(-5\,\text{°C}\), um 10:00 Uhr \(1\,\text{°C}\), um 14:00 Uhr \(7\,\text{°C}\), um 18:00 Uhr \(1\,\text{°C}\) und um 22:00 Uhr \(-5\,\text{°C}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt um 14:00 Uhr bei \(7\,\text{°C}\). 3. Der Graph schneidet die Höhe \(0\,\text{°C}\) zwischen 9:00 Uhr und 10:00 Uhr sowie zwischen 18:00 Uhr und 19:00 Uhr. Auf etwa eine halbe Stunde genau liegt die Temperatur daher ungefähr von 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr über \(0\,\text{°C}\). 4. Von 6:00 Uhr bis 14:00 Uhr steigt die Temperatur um \(7\,\text{°C}-(-5\,\text{°C})=12\,\text{°C}\).

a) 6:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\); 10:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 14:00 Uhr: \(7\,\text{°C}\); 18:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 22:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) b) Um 14:00 Uhr mit \(7\,\text{°C}\) c) Ungefähr von 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr d) Um \(12\,\text{°C}\)

- Lies für eine bestimmte Uhrzeit den zugehörigen y-Wert des Graphen ab. - Suche für eine vorgegebene Temperatur alle Schnittstellen des Graphen mit dieser Höhe. - Der tiefste Punkt des Graphen liefert Zeitpunkt und Wert des Minimums.

1. Aus dem Graphen liest man \(12\,\text{°C}\) um \(9{:}00\,\text{Uhr}\), \(18\,\text{°C}\) um \(15{:}00\,\text{Uhr}\) und \(9\,\text{°C}\) um \(23{:}00\,\text{Uhr}\) ab. 2. Die Höhe \(15\,\text{°C}\) wird bei \(x=11\) und \(x=19\) erreicht. Das entspricht \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\). 3. Der tiefste Punkt des Graphen liegt bei \((3\mid6)\). Die minimale Temperatur von \(6\,\text{°C}\) wird um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) erreicht.

a) <table><thead><tr><th>Uhrzeit</th><td>\(9{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(15{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(23{:}00\,\text{Uhr}\)</td></tr></thead><tbody><tr><th>Temperatur</th><td>\(12\,\text{°C}\)</td><td>\(18\,\text{°C}\)</td><td>\(9\,\text{°C}\)</td></tr></tbody></table> b) Um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\). c) Um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(6\,\text{°C}\).

- Lies zuerst ab, welche Entfernung und welche Zeitintervalle zu den markierten beziehungsweise waagerechten Abschnitten gehören. - Nutze für Geschwindigkeiten, dass sich die Gruppe auf demselben geraden Weg von der Unterkunft weg beziehungsweise zu ihr hin bewegt. - Für eine durchschnittliche Geschwindigkeit brauchst du die auf dem Abschnitt zurückgelegte Strecke und die dafür benötigte Zeit.

1. Punkt A liegt bei \(d=6\,\text{km}\). Der waagerechte Abschnitt dort reicht von \(t=2\,\text{h}\) bis \(t=3\,\text{h}\), also dauert die Rast \(1\,\text{h}\). 2. Auf dem geraden Hinweg wächst die Entfernung in den ersten \(2\,\text{h}\) von \(0\,\text{km}\) auf \(6\,\text{km}\). Die Geschwindigkeit beträgt \(6\,\text{km}:2\,\text{h}=3\,\text{km/h}\). 3. Nach dem am weitesten entfernten Abschnitt beginnt der fallende Graph bei \(t=5\,\text{h}\); dort startet der Rückweg. Bei \(t=6\,\text{h}\) ist die Entfernung wieder \(0\,\text{km}\), also dauert der Ausflug insgesamt \(6\,\text{h}\). 4. Auf dem Rückweg sinkt die Entfernung in \(1\,\text{h}\) von \(9\,\text{km}\) auf \(0\,\text{km}\). Auf demselben geraden Weg entspricht das einer zurückgelegten Strecke von \(9\,\text{km}\). Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt \(9\,\text{km/h}\).

a) \(6\,\text{km}\) von der Unterkunft; Rastdauer \(1\,\text{h}\) b) \(3\,\text{km/h}\) c) Rückweg ab \(t=5\,\text{h}\); Gesamtdauer \(6\,\text{h}\) d) \(9\,\text{km/h}\)

- Schaue dir die Achsenbeschriftungen genau an: Was ist auf der waagerechten Achse und was auf der senkrechten Achse dargestellt? - Für Aufgabenteil a): Welcher Punkt auf dem Graphen entspricht dem Startzeitpunkt \(t = 0\)? - Für Aufgabenteil b): Suche den höchsten Punkt der Kurve und lies die Koordinaten dieses Punktes ab. - Für Aufgabenteil c): Ziehe gedanklich eine waagerechte Linie bei der Temperatur \(40\,\text{°C}\) und bestimme die Schnittpunkte mit dem Graphen.

1. Zum Zeitpunkt \(t=0\,\text{min}\) liegt der Graph bei \(T=20\,\text{°C}\). Die Anfangstemperatur beträgt daher \(20\,\text{°C}\). 2. Der höchste Punkt liegt bei ungefähr \((20\mid45)\). Nach \(20\,\text{min}\) wird also die maximale Temperatur von \(45\,\text{°C}\) erreicht. 3. Der Graph liegt von \(t=10\,\text{min}\) bis \(t=40\,\text{min}\) auf oder oberhalb von \(40\,\text{°C}\). Die Dauer beträgt \(40\,\text{min}-10\,\text{min}=30\,\text{min}\).

a) Die Anfangstemperatur beträgt \(20\,\text{°C}\). b) Die höchste Temperatur von \(45\,\text{°C}\) wird nach \(20\,\text{min}\) erreicht. c) Die Temperatur liegt von Minute \(10\) bis Minute \(40\) bei mindestens \(40\,\text{°C}\). Das sind insgesamt \(30\,\text{min}\).

- Lies Startwert und höchsten Wert direkt an der vertikalen Achse ab. - Bestimme für b) die Zeitspanne des waagerechten Abschnitts auf maximaler Höhe, ohne daraus zusätzliche Bewegungsinformationen abzuleiten. - Für den Höhengewinn vergleichst du Anfangs- und Endhöhe des durchgehend ansteigenden Abschnitts. - Suche für d) \(700\,\text{m}\) auf dem fallenden Teil des Graphen und lies die zugehörige Zeit ab.

1. Bei \(t=0\) liegt die Höhe bei \(200\,\text{m}\). Der größte dargestellte Wert beträgt \(1000\,\text{m}\). 2. Der Graph bleibt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=6\,\text{h}\) bei \(1000\,\text{m}\). Die Höhe ist also \(2\,\text{h}\) lang konstant maximal. 3. Im ersten ansteigenden Abschnitt wächst die Höhe von \(200\,\text{m}\) auf \(1000\,\text{m}\). Der Höhengewinn beträgt \(1000\,\text{m}-200\,\text{m}=800\,\text{m}\). 4. Im fallenden Abschnitt von \(t=6\,\text{h}\) bis \(t=8\,\text{h}\) wird die Höhe \(700\,\text{m}\) bei \(t=7\,\text{h}\) erreicht.

a) Start bei \(200\,\text{m}\); maximale Höhe \(1000\,\text{m}\) b) \(2\,\text{h}\) c) \(800\,\text{m}\) d) Nach \(7\,\text{h}\)

- Ein Alter von \(0\) Jahren entspricht dem Neupreis. - Beachte, dass die senkrechte Achse den Wert in Tausend Euro zeigt. - Berechne für b) zunächst die Hälfte des Startwerts und suche diese Höhe im Diagramm. - Suche für c) den ersten Zeitpunkt, an dem der Graph die Höhe \(6\) erreicht oder unterschreitet.

1. Bei einem Alter von \(0\) Jahren liest man \(24\) in Einheiten von \(1000\,\text{€}\) ab, also \(24\,000\,\text{€}\). Nach \(4\) Jahren liegt der markierte Modellwert bei \(10\) in Einheiten von \(1000\,\text{€}\), also bei \(10\,000\,\text{€}\). 2. Die Hälfte des Neupreises sind \(12\,000\,\text{€}\). Diesen Wert erreicht der Graph nach \(3\) Jahren. 3. Der Wert \(6000\,\text{€}\) wird nach \(6\) Jahren erreicht und ist danach geringer. Damit ist die Bedingung nach \(6\) Jahren erstmals erfüllt.

a) Neupreis: \(24\,000\,\text{€}\); nach \(4\) Jahren: \(10\,000\,\text{€}\) b) Nach \(3\) Jahren c) Nach \(6\) Jahren

- Suche für a) nach lokalen Hochpunkten und lies nur deren Uhrzeiten ab. - Nutze bei b) die benachbarten waagerechten Rasterlinien, statt mehr Genauigkeit zu behaupten als der Graph zeigt. - Vergleiche bei c) die geschätzte vertikale Änderung in zwei gleich langen Zeitintervallen. - Für d) ist der tiefste Punkt des gesamten dargestellten Verlaufs entscheidend.

1. Die drei deutlichsten lokalen Spitzen liegen ungefähr um \(08{:}00\) Uhr, \(13{:}00\) Uhr und \(20{:}00\) Uhr. 2. Um \(10{:}00\) Uhr liegt der Graph zwischen \(0{,}5\,\text{GB/min}\) und \(1{,}0\,\text{GB/min}\). 3. Um \(13{:}00\) Uhr liegt der Wert bei etwa \(2{,}5\,\text{GB/min}\), um \(14{:}00\) Uhr bei etwa \(1{,}0\,\text{GB/min}\) und um \(15{:}00\) Uhr bei etwa \(0{,}5\,\text{GB/min}\). Der Rückgang beträgt damit zuerst ungefähr \(1{,}5\,\text{GB/min}\), danach ungefähr \(0{,}5\,\text{GB/min}\). Der stärkere Rückgang liegt im Intervall von \(13{:}00\) bis \(14{:}00\) Uhr. 4. Der niedrigste dargestellte Wert liegt ungefähr bei \(0{,}5\,\text{GB/min}\).

a) Ungefähr um \(08{:}00\), \(13{:}00\) und \(20{:}00\) Uhr. b) Zwischen \(0{,}5\,\text{GB/min}\) und \(1{,}0\,\text{GB/min}\). c) Ungefähr \(2{,}5\to1{,}0\,\text{GB/min}\) und danach \(1{,}0\to0{,}5\,\text{GB/min}\); der stärkere Rückgang liegt von \(13{:}00\) bis \(14{:}00\) Uhr. d) Ungefähr \(0{,}5\,\text{GB/min}\).

- Lies die Kerzenhöhe zum Startzeitpunkt direkt am Graphen ab. - Vergleiche den Höhenverlust mit der dafür vergangenen Zeit. - Vollständig abgebrannt ist die Kerze, wenn ihre Höhe \(0\,\text{cm}\) erreicht.

1. Bei \(t=0\) beträgt die Kerzenhöhe \(18\,\text{cm}\). 2. Zwischen \(t=0\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\) sinkt die Höhe von \(18\,\text{cm}\) auf \(6\,\text{cm}\), also um \(12\,\text{cm}\) in \(4\,\text{h}\). Die Kerze wird damit um \(12:4=3\,\text{cm}\) pro Stunde kürzer. 3. Der Graph erreicht \(h=0\,\text{cm}\) bei \(t=6\,\text{h}\). Dann ist die Kerze im dargestellten Modell vollständig abgebrannt.

a) \(18\,\text{cm}\). b) \(3\,\text{cm/h}\). c) Nach \(6\,\text{h}\).

- Achte auf die Einheiten der Achsen. - Liegt der Graph auf der Zeitachse, beträgt die Geschwindigkeit \(0\,\text{km/h}\). - Bestimme die Pausendauer aus Start- und Endzeitpunkt. - Die Höchstgeschwindigkeit entspricht dem höchsten y-Wert des Graphen.

1. Nach \(5\,\text{min}\) beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{km/h}\), nach \(15\,\text{min}\) \(20\,\text{km/h}\), nach \(30\,\text{min}\) \(0\,\text{km/h}\) und nach \(50\,\text{min}\) \(25\,\text{km/h}\). 2. Die Geschwindigkeit ist von \(t=25\,\text{min}\) bis \(t=40\,\text{min}\) gleich null. Die dargestellte Pause dauert \(15\,\text{min}\). 3. Der höchste Funktionswert des Graphen beträgt \(25\,\text{km/h}\).

a) Nach \(5\,\text{min}\): \(10\,\text{km/h}\); nach \(15\,\text{min}\): \(20\,\text{km/h}\); nach \(30\,\text{min}\): \(0\,\text{km/h}\); nach \(50\,\text{min}\): \(25\,\text{km/h}\). b) \(15\,\text{Minuten}\), von der 25. bis zur 40. Minute. c) \(25\,\text{km/h}\).

- Vergleiche jeweils zwei benachbarte Messwerte und trenne die Messwerte von Annahmen über den Verlauf dazwischen. - Für das Minimum reicht es, die tatsächlich aufgezeichneten Werte zu vergleichen. - Für die durchschnittliche Änderung über mehrere Stunden brauchst du nur Anfangswert, Endwert und die gesamte Zeitspanne.

1. Ab dem Messwert bei \(t=4\,\text{h}\) ist jeder folgende Messwert größer als der vorherige. Ein Anstieg ist daher für die Messintervalle \(4\) bis \(5\), \(5\) bis \(6\), \(6\) bis \(7\) und \(7\) bis \(8\) Stunden belegt. Über den Verlauf innerhalb dieser Intervalle sagt die Tabelle nichts aus. 2. Der kleinste gemessene Wert ist \(10\,\%\) bei \(t=4\,\text{h}\). 3. Von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) steigt der Ladestand von \(10\,\%\) auf \(90\,\%\), also um \(80\) Prozentpunkte in \(3\,\text{h}\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(80:3\approx26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

a) In den Messintervallen \(4\)–\(5\), \(5\)–\(6\), \(6\)–\(7\) und \(7\)–\(8\) Stunden. b) Nach \(4\,\text{h}\) mit \(10\,\%\). c) Etwa \(26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

- Strecke ist das Argument, Geschwindigkeit der zugehörige Funktionswert. - Für b) brauchst du den höchsten Punkt des gesamten Graphen. - Suche für c) den ersten Punkt, an dem der Graph von fallend zu steigend wechselt. - Für d) ist die letzte dargestellte Streckenposition entscheidend.

1. Bei \(350\,\text{m}\) liegt der Graph bei \(40\,\text{km/h}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(200\,\text{m}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(115\,\text{km/h}\). 3. Der erste solche Tiefpunkt liegt bei \(100\,\text{m}\) und etwa \(5\,\text{km/h}\). 4. Der dargestellte Fahrtverlauf endet bei \(800\,\text{m}\). Die gesamte dargestellte Schienenstrecke beträgt daher \(800\,\text{m}\).

a) \(40\,\text{km/h}\) b) \(115\,\text{km/h}\) bei \(200\,\text{m}\) c) Nach \(100\,\text{m}\) bei etwa \(5\,\text{km/h}\) d) \(800\,\text{m}\)

- Waagerechte Abschnitte bedeuten konstante Geschwindigkeit; der niedrigste davon liefert b). - Für c) vergleiche in beiden ein Kilometer langen Übergängen jeweils Endwert minus Anfangswert. - Das Vorzeichen der Änderung unterscheidet Abbremsen und Beschleunigen. - Beschreibe in d) beide Teilabschnitte zwischen Kilometer \(11\) und \(13\) getrennt.

1. In den freien Kanalabschnitten von \(0\) bis \(8\,\text{km}\) und ab \(12\,\text{km}\) verläuft der Graph waagerecht bei \(12\,\text{kn}\). 2. Zwischen Kilometer \(9\) und Kilometer \(11\) liegt der niedrigste waagerechte Abschnitt bei \(3\,\text{kn}\). 3. Von Kilometer \(8\) bis \(9\) ändert sich die Geschwindigkeit um \(3-12=-9\,\text{kn}\) auf \(1\,\text{km}\), also \(-9\,\text{kn/km}\). Von Kilometer \(11\) bis \(12\) ändert sie sich um \(12-3=9\,\text{kn}\), also \(+9\,\text{kn/km}\). Die Beträge sind gleich, die Vorzeichen entgegengesetzt. 4. Von Kilometer \(11\) bis \(12\) steigt die Geschwindigkeit von \(3\,\text{kn}\) auf \(12\,\text{kn}\). Von Kilometer \(12\) bis \(13\) bleibt sie bei \(12\,\text{kn}\) konstant.

a) \(12\,\text{kn}\) b) Von Kilometer \(9\) bis \(11\) mit \(3\,\text{kn}\) c) \(-9\,\text{kn/km}\) und \(+9\,\text{kn/km}\); gleicher Betrag, entgegengesetztes Vorzeichen. d) Von Kilometer \(11\) bis \(12\) steigt die Geschwindigkeit auf \(12\,\text{kn}\); danach bleibt sie bis Kilometer \(13\) konstant.

- Suche nach lokalen Hochpunkten: Dort wechselt der Verlauf von steigend zu fallend. - Vergleiche für b) die Funktionswerte der beiden Hochpunkte auf derselben Skala. - Drehe für c) die Zuordnungsrichtung um und prüfe, ob ein Pegelwert die Uhrzeit eindeutig festlegt.

1. Die beiden deutlichsten lokalen Hochpunkte liegen ungefähr bei \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. 2. Der erste Hochpunkt liegt bei etwa \(90\,\text{dB}\), der zweite bei etwa \(80\,\text{dB}\). Der erste ist damit ungefähr \(10\,\text{dB}\) höher. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Derselbe Pegelwert tritt im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auf; damit kann eine Eingabe in der umgekehrten Zuordnung mehrere Ausgaben besitzen.

a) Ungefähr um \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. b) Etwa \(90\,\text{dB}\) gegenüber etwa \(80\,\text{dB}\); Unterschied ungefähr \(10\,\text{dB}\). c) Nein. Derselbe Pegelwert kann im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auftreten.

- Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse an. - Gehe vom Wert 40 auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und dann senkrecht nach unten zur Zeit-Achse. - Was passiert mit einer heißen Tasse, wenn sie lange in einem normal temperierten Raum steht?

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) lässt sich auf der y-Achse eine Temperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Man sucht den Wert \(40\) auf der y-Achse und liest den zugehörigen x-Wert ab. Dies ist nach etwa \(10\,\text{Minuten}\) der Fall. 3. Die Umgebungstemperatur beträgt \(20\,^\circ\text{C}\). Je kleiner der Temperaturunterschied zur Umgebung wird, desto langsamer kühlt der Tee ab. Im dargestellten Modell nähert sich seine Temperatur daher langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne diesen Wert zu unterschreiten.

a) \(80\,^\circ\text{C}\). b) Nach ca. \(10\,\text{Minuten}\). c) Mit kleiner werdendem Temperaturunterschied verlangsamt sich die Abkühlung; im Modell nähert sich der Tee \(20\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an.

- Schau dir die Achsenbeschriftungen genau an, um zu wissen, welche Größe auf welcher Achse dargestellt ist. - Um einen Wert wie \(T(1)\) zu finden, startest du bei der Zahl 1 auf der waagerechten Achse und gehst senkrecht zum Graphen. - Eine Differenz berechnest du, indem du die beiden einzelnen Werte abliest und sie voneinander abziehst. - Wenn nach Zeitpunkten für eine bestimmte Temperatur gefragt ist, suchst du auf der senkrechten Achse diesen Wert und schaust, welche Stellen auf der waagerechten Achse dazu gehören.

1. Bei \(t=1\,\text{h}\) gilt \(T(1)=3\,\text{°C}\). 2. Bei \(t=3\,\text{h}\) gilt \(T(3)=-1\,\text{°C}\). 3. Es gilt \(T(2)=1\,\text{°C}\) und \(T(4)=1\,\text{°C}\). Daher ist \(T(2)-T(4)=0\,\text{°C}\). 4. Der Graph hat den Wert \(1\,\text{°C}\) bei \(t=0\,\text{h}\), \(t=2\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\).

a) \(3\,\text{°C}\) b) \(-1\,\text{°C}\) c) \(0\,\text{°C}\) d) Bei \(t = 0\,\text{h}\), \(t = 2\,\text{h}\) und \(t = 4\,\text{h}\).

- Achte auf die Einheit \(1000\,\text{€}\) an der senkrechten Achse. - Der Funktionswert \(f(x)\) entspricht dem Wert auf der senkrechten Achse. - Für d) suchst du die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse trifft. - Überlege, was ein negativer Funktionswert in diesem Sachzusammenhang bedeuten würde.

1. Bei \(x=3\) liest man am Graphen \(f(3)=4\) ab. Da die Gewinnachse in \(1000\,\text{€}\) skaliert ist, entspricht das \(4000\,\text{€}\). 2. Bei \(x=4\) liegt der Graph bei \(y=3\). Daher gilt \(f(4)=3\). 3. Es gilt \(f(1)=0\) und \(f(2)=3\). Die Änderung beträgt \(f(2)-f(1)=3\), also \(3000\,\text{€}\). 4. Weder Gewinn noch Verlust liegt dort vor, wo der Graph die \(x\)-Achse trifft. Das ist bei \(x=1\) und \(x=5\) der Fall.

a) \(4000\,\text{€}\) b) \(3\) c) Erhöhung um \(3000\,\text{€}\) d) Bei \(x=1\) und \(x=5\)

- Um \(f(x)\) zu finden, lies zum angegebenen \(x\)-Wert die Höhe des Graphen ab. - Für \(f(x)=0\) suchst du die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse trifft. - Für die Definitionsmenge betrachtest du die gesamte waagerechte Ausdehnung des Graphen; für die Wertemenge die gesamte senkrechte Ausdehnung. - Ein positiver Funktionswert liegt vor, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

1. Aus dem Graphen liest man \(f(-3)=0\), \(f(-1)=2\) und \(f(3)=-2\) ab. 2. Die Bedingung \(f(x)=0\) gilt dort, wo der Graph die \(x\)-Achse trifft. Das ist bei \(x=-3\), \(x=1\) und \(x=5\) der Fall. 3. Der Graph ist für alle \(x\)-Werte von \(-4\) bis \(5\) einschließlich dargestellt. Daher gilt für die Definitionsmenge \(-4\le x\le5\). Die vorkommenden Funktionswerte reichen von \(-3\) bis \(2\) einschließlich, also gilt für die Wertemenge \(-3\le y\le2\). 4. Der Funktionswert ist positiv, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. Das ist für \(-3<x<1\) der Fall.

1. \(f(-3)=0\); \(f(-1)=2\); \(f(3)=-2\) 2. \(x\in\{-3;1;5\}\) 3. \(D\): \(-4\le x\le5\); \(W\): \(-3\le y\le2\) 4. \(-3<x<1\)

- Suche auf der senkrechten Achse den Funktionswert \(2\). - Gehe von dieser Höhe waagerecht zum Graphen und lies die zugehörigen Argumente ab. - Vergleiche die abgelesenen Argumente mit den vier angegebenen Zahlenbereichen.

1. Gesucht sind die Stellen des Graphen mit dem Funktionswert \(2\). 2. Die Höhe \(y=2\) trifft den Graphen ungefähr bei \(x\approx-3{,}46\) und \(x\approx3{,}46\). 3. Von den vier angebotenen Bereichen enthält nur Bereich 1 mit \(-4\le x\le-3\) eine dieser Stellen.

Bereich 1: \(-4\le x\le-3\)

- Beim Zuordnungspfeil steht das Argument links und der Funktionswert rechts. - Ein Graphpunkt hat die Form \((\text{Argument}\mid\text{Funktionswert})\). - Überlege bei c), welche Information die Gleichung tatsächlich über das Argument \(5\) enthält.

1. Mit Zuordnungspfeilen lauten die Aussagen \(-2\mapsto5\) und \(1\mapsto0{,}5\). 2. Die zugehörigen Graphpunkte sind \(P(-2\mid5)\) und \(Q(1\mid0{,}5)\). 3. Die Aussage \(g(-2)=5\) legt nur fest, welcher Funktionswert zum Argument \(-2\) gehört. Sie sagt nichts darüber aus, welcher Funktionswert zum Argument \(5\) gehört. Eingabe und Ausgabe dürfen daher nicht einfach vertauscht werden.

a) \(-2\mapsto5\); \(1\mapsto0{,}5\) b) \(P(-2\mid5)\); \(Q(1\mid0{,}5)\) c) Aus einer Zuordnung darf man Eingabe und Ausgabe nicht ohne weitere Information vertauschen.

- Bei einem Punkt \((x\mid y)\) ist \(x\) das Argument und \(y\) der Funktionswert. - Suche für b) die Stelle des Graphen mit der \(y\)-Koordinate \(0\). - Prüfe für c) jede Aussage an dem Punkt mit dem angegebenen Argument.

1. Der Punkt \(P(-1\mid4)\) bedeutet \(f(-1)=4\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((2\mid0)\). Zum Funktionswert \(0\) gehört daher das Argument \(2\). 3. Der Graph enthält den Punkt \((4\mid3)\). Daher ist \(f(4)=3\) richtig. Die beiden anderen Aussagen stimmen nicht mit den dargestellten Punkten überein.

a) \(f(-1)=4\) b) \(2\) c) \(f(4)=3\)

- Unterscheide zwischen dem Namen einer Funktion und der Rechenvorschrift, mit der sie Werte erzeugt. - Achte bei D darauf, welche Zahl als Argument eingesetzt wird und welche Zahl als Funktionswert herauskommt. - Vergleiche bei D und E die Reihenfolge von Argument und Funktionswert mit den beiden Punktkoordinaten.

1. A ist der Funktionsname, B der Funktionsterm, C die Funktionsgleichung, D eine Aussage über einen Funktionswert und E der zugehörige Graphpunkt. 2. In \(k(-2)=-11\) ist \(-2\) das Argument und \(-11\) der Funktionswert. 3. Die Aussage \(k(-2)=-11\) bedeutet, dass zum Argument \(-2\) der Funktionswert \(-11\) gehört. Im Koordinatensystem wird genau dieses Wertepaar durch den Punkt \(Q(-2\mid-11)\) dargestellt. 4. Der Funktionsterm \(4x-3\) ist die allgemeine Rechenvorschrift mit der Variablen \(x\). Der Wert \(-11\) entsteht erst, wenn das Argument \(-2\) eingesetzt wird.

a) A: Funktionsname; B: Funktionsterm; C: Funktionsgleichung; D: Aussage über einen Funktionswert; E: Graphpunkt b) Argument: \(-2\); Funktionswert: \(-11\) c) D und E beschreiben dasselbe Wertepaar: \(k(-2)=-11\) entspricht \(Q(-2\mid-11)\). d) B ist die allgemeine Rechenvorschrift; \(-11\) ist ein einzelner Funktionswert für das Argument \(-2\).

- Lies zuerst, welche Größe durch \(t\) und welche durch \(T(t)\) beschrieben wird. - Im Koordinatensystem steht das Argument an erster und der Funktionswert an zweiter Stelle. - Vertausche Eingabe und Ausgabe nicht: Eine bekannte Zuordnung lässt sich nicht automatisch umdrehen.

1. Das Argument ist \(6\,\text{min}\), weil \(t\) die Zeit beschreibt. Der Funktionswert ist \(18\,^\circ\text{C}\), weil \(T(t)\) die Temperatur angibt. 2. Die Aussage entspricht dem Punkt \(P(6\mid18)\). 3. Nein. \(T(6)=18\) enthält nur die Zuordnung vom Argument \(6\) zum Funktionswert \(18\). Über \(T(18)\) wird nichts ausgesagt. 4. Nach \(6\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur der Flüssigkeit \(18\,^\circ\text{C}\).

a) Argument: \(6\,\text{min}\); Funktionswert: \(18\,^\circ\text{C}\) b) \(P(6\mid18)\) c) Nein. Aus \(T(6)=18\) folgt keine Aussage über \(T(18)\). d) Nach \(6\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur \(18\,^\circ\text{C}\).

- Überlege, welche Koordinate auf der \(x\)-Achse immer \(0\) ist und welche auf der \(y\)-Achse. - Ein Punkt des Graphen \((x\mid y)\) bedeutet \(f(x)=y\). - Formuliere die beiden Schnittpunkte anschließend als Aussagen über Funktionswerte.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \((4\mid0)\) und die \(y\)-Achse bei \((0\mid-2)\). 2. Am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist der Funktionswert \(0\). Daher gilt \(f(4)=0\). 3. Am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist das Argument \(0\). Man liest \(f(0)=-2\) ab.

a) \(x\)-Achse: \((4\mid0)\); \(y\)-Achse: \((0\mid-2)\) b) \(f(4)=0\) c) \(f(0)=-2\)

- Vergleiche alle drei Punkte bei demselben Argument \(x=2\). - Lies zuerst die Höhe des Funktionsgraphen an dieser Stelle ab. - Vergleiche danach die zweite Koordinate jedes Punktes mit dem abgelesenen Funktionswert.

1. Bei \(x=2\) hat der Graph den Funktionswert \(g(2)=3\). 2. \(P=(2\mid1)\) liegt unterhalb des Graphen, \(Q=(2\mid3)\) liegt auf dem Graphen und \(R=(2\mid5)\) liegt oberhalb des Graphen. 3. Zum Argument \(2\) gehört bei der Funktion genau der Funktionswert \(3\). Deshalb gehört nur der Punkt mit der zweiten Koordinate \(3\), also \(Q\), zum Graphen.

a) \(g(2)=3\) b) \(P\): unterhalb; \(Q\): auf dem Graphen; \(R\): oberhalb c) Nur \(Q=(2\mid3)\) gehört zum Graphen, weil für \(x=2\) der Funktionswert \(3\) ist.

- Kannst du dir einen Funktionsgraphen vorstellen, der vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt? - Welche \(x\)-Koordinate besitzen alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Was bedeutet die Koordinate \(y=0\) für die Lage eines Punktes?

1. Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel liegt der Graph der konstanten Funktion \(f(x)=5\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und hat keinen Punkt mit \(y=0\). 2. Die Aussage ist falsch. Auf der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Bei einer Funktion gehört zu diesem Argument höchstens ein Funktionswert, also kann der Graph die \(y\)-Achse höchstens an einer Stelle treffen. 3. Die Aussage ist wahr. Der Punkt \((4\mid0)\) hat die \(y\)-Koordinate \(0\) und liegt deshalb auf der \(x\)-Achse. Zugleich bedeutet der Punkt \(f(4)=0\).

a) Falsch; zum Beispiel hat \(f(x)=5\) keinen Punkt auf der \(x\)-Achse. b) Falsch; zum Argument \(x=0\) darf bei einer Funktion höchstens ein Funktionswert gehören. c) Wahr; \((4\mid0)\) liegt auf der \(x\)-Achse und bedeutet \(f(4)=0\).

- Multipliziere zuerst die beiden Klammern vollständig aus. - Fasse anschließend die \(x^2\)- und \(x\)-Glieder zusammen. - Nutze für die Einsetzungen den bereits vereinfachten Term.

1. Ausmultiplizieren ergibt \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\). 2. Damit lautet der gesamte Term \(2x^2-5x-3-2x^2+4x=-x-3\). 3. Für \(x=-5,-3,0,2\) ergeben sich nacheinander die Werte \(2,0,-3,-5\). 4. Für \(x=12\) ergibt der vereinfachte Term \(-12-3=-15\). Die Aussage ist richtig.

a) \(-x-3\) b) Für \(x=-5\): \(2\); für \(x=-3\): \(0\); für \(x=0\): \(-3\); für \(x=2\): \(-5\). c) Die Aussage ist richtig; für \(x=12\) beträgt der Termwert \(-15\).

- Löse die Klammern sorgfältig auf und achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Wenn ein Funktionswert vorgegeben ist, kannst du ihn mit dem vereinfachten Term gleichsetzen.

1. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(f(x)=x^2-8x+16-x^2+10x-15=2x+1\). 2. Für eine Nullstelle gilt \(f(x)=0\): \(2x+1=0\), also \(x=-0{,}5\). 3. Für die \(y\)-Koordinate \(12\) gilt \(12=2x+1\). Daraus folgt \(x=5{,}5\). Der Punkt ist \(Q(5{,}5\mid12)\).

a) \(f(x)=2x+1\) b) \(x=-0{,}5\) c) \(x=5{,}5\)

- Vereinfache die beiden Terme zunächst getrennt. - Achte bei Term \(A\) darauf, welche Glieder sich nach dem Ausmultiplizieren aufheben. - Verwende für b) und c) die vereinfachte Form, sobald du ihre Äquivalenz gezeigt hast.

1. Term \(A\) vereinfacht sich zu \(2x-x^2+x^2+3=2x+3\). 2. Term \(B\) vereinfacht sich zu \(2x+3\). Damit sind die beiden Terme äquivalent. 3. Für \(x=-4{,}5\) ergibt Term \(A\) den Wert \(2\cdot(-4{,}5)+3=-6\). 4. Für \(x=0\) haben beide Terme den Wert \(3\), wie aufgrund ihrer Äquivalenz zu erwarten ist.

a) Beide Terme vereinfachen sich zu \(2x+3\) und sind äquivalent. b) \(-6\) c) Beide Terme haben für \(x=0\) den Wert \(3\).

- Setze \(t=0\) ein und deute den erhaltenen Wert. - Woran erkennst du im Term die Änderung pro Minute? - Für die Definitionsmenge ist entscheidend, wann das Fass erstmals voll ist. - Welche Größe in \(V(t)=mt+t_0\) würde sich ändern, wenn nur das Anfangsvolumen anders wäre?

1. Der Wert \(20\) ist das Anfangsvolumen in Litern. Die Steigung \(1{,}5\) bedeutet eine Zunahme um \(1{,}5\,\text{l}\) pro Minute. 2. \(V(12)=1{,}5\cdot12+20=38\). Nach \(12\,\text{min}\) sind \(38\,\text{l}\) im Fass. 3. Das Fass ist voll, wenn \(1{,}5t+20=80\). Daraus folgt \(t=40\). Für diesen Füllvorgang gilt daher \(D=[0;40]\). 4. Der Graphabschnitt beginnt bei \((0\mid20)\) und endet bei \((40\mid80)\). Bei leerem Start wäre nur der Achsenabschnitt verändert: \(V_0(t)=1{,}5t\).

a) \(20\): Anfangsvolumen; \(1{,}5\): \(1{,}5\,\text{l/min}\) b) \(38\,\text{l}\) c) \(D=[0;40]\) d) Startpunkt \((0\mid20)\), Endpunkt \((40\mid80)\); bei leerem Start \(V_0(t)=1{,}5t\)

- Welche Gleichung beschreibt eine Nullstelle einer Funktion? - Welche Bedeutung hat ein Funktionswert von \(0\) bei einer Höhe, die relativ zum Talboden gemessen wird? - Wie begrenzt die Nullstelle den sachlich sinnvollen Zeitbereich? - Welche Größe musst du für den zweiten Wanderer ebenfalls als Nullstelle bestimmen, damit du die Ankunftszeiten vergleichen kannst?

1. Es gilt \(h(2{,}5)=1500-240\cdot2{,}5=900\). Nach \(2{,}5\) Stunden befindet sich der Wanderer noch \(900\,\text{m}\) über dem Talboden. 2. Für die Nullstelle gilt \(1500-240t_0=0\). Daraus folgt \(240t_0=1500\) und \(t_0=6{,}25\). 3. Der Nullstellenpunkt lautet \(N(6{,}25\mid0)\). Er bedeutet, dass der Wanderer nach \(6{,}25\,\text{h}=6\,\text{h}\,15\,\text{min}\) den Talboden erreicht. 4. Für die Wanderung ist daher \(0\le t\le6{,}25\) sinnvoll. Die modellierten Höhen erfüllen \(0\,\text{m}\le h(t)\le1500\,\text{m}\). 5. Für den zweiten Wanderer gilt an der Nullstelle \(1200-180t=0\). Damit ist \(t=\frac{20}{3}\,\text{h}=6\,\text{h}\,40\,\text{min}\). 6. Da \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}<6\,\text{h}\,40\,\text{min}\), erreicht der erste Wanderer das Tal zuerst.

a) \(900\,\text{m}\) über dem Talboden b) \(t_0=6{,}25\,\text{h}\); \(N(6{,}25\mid0)\). Der Punkt beschreibt das Erreichen des Talbodens nach \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). c) Zeitbereich: \(0\le t\le6{,}25\); Höhenbereich: \(0\,\text{m}\le h(t)\le1500\,\text{m}\) d) Nullstelle von \(g\): \(\frac{20}{3}\,\text{h}=6\,\text{h}\,40\,\text{min}\). Der erste Wanderer erreicht das Tal zuerst.

- Überlege, welche Beziehung zwischen den beiden Funktionswerten an einem Schnittpunkt gelten muss. - Nach dem Bestimmen der gemeinsamen \(x\)-Koordinate brauchst du noch den zugehörigen gemeinsamen Funktionswert. - Vergleiche für c) jeweils die beiden Funktionswerte beim selben Argument.

1. Am Schnittpunkt haben beide Funktionen beim selben Argument denselben Funktionswert. Daher gilt \(1{,}5x-3=-0{,}5x+5\). Daraus folgt \(2x=8\) und damit \(x=4\). Mit \(f(4)=3\) erhält man \(S(4\mid3)\). 2. Es gilt \(f(4)=1{,}5\cdot4-3=3\) und \(g(4)=-0{,}5\cdot4+5=3\). Der Punkt \(S(4\mid3)\) liegt somit auf beiden Graphen. 3. Bei \(x=2\) gilt \(f(2)=0\) und \(g(2)=4\); dort liegt \(G_g\) höher. Bei \(x=6\) gilt \(f(6)=6\) und \(g(6)=2\); dort liegt \(G_f\) höher. Die Reihenfolge wechselt am Schnittpunkt bei \(x=4\).

a) \(S(4\mid3)\) b) \(f(4)=g(4)=3\) c) Bei \(x=2\) liegt \(G_g\) höher; bei \(x=6\) liegt \(G_f\) höher. Der Wechsel passt zum Schnittpunkt bei \(x=4\).

- Was erhältst du, wenn du \(t=0\) einsetzt? - Wie viele Minuten sind eine halbe Stunde? - Welcher Funktionswert beschreibt einen vollständig geladenen Akku? - Welche zwei Zeitpunkte begrenzen den in Teil d betrachteten Graphabschnitt?

1. Die \(15\) ist der Anfangsladestand: Bei \(t=0\) beträgt die Ladung \(15\,\%\). Die Steigung \(0{,}8\) bedeutet eine Zunahme um \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Eine halbe Stunde sind \(30\,\text{min}\). Es gilt \(L(30)=0{,}8\cdot30+15=39\). Der Ladestand beträgt \(39\,\%\). 3. Für eine Vollladung gilt \(0{,}8t+15=100\). Daraus folgt \(0{,}8t=85\) und \(t=106{,}25\,\text{min}\). 4. Für den gefragten Graphabschnitt sind zum Beispiel die Punkte \((0\mid15)\) und \((60\mid63)\) geeignet, denn \(L(60)=63\). Wegen der positiven Steigung steigt der Graph von links nach rechts.

a) Anfangsladestand \(15\,\%\); Ladegeschwindigkeit \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute b) \(39\,\%\) c) \(106{,}25\,\text{min}\) d) Zum Beispiel \((0\mid15)\) und \((60\mid63)\); der Graph steigt.

- Lies Anfangs- und Höchstwert direkt am Modellgraphen ab. - Ein waagerechter Abschnitt zeigt einen konstanten Modellwert. - Vergleiche in Teil c) die gesamte Temperaturänderung mit den drei Minuten. - Nutze für d), dass die benachbarten Modellpunkte ausdrücklich geradlinig verbunden sind.

1. Zu Beginn beträgt die Modelltemperatur \(20\,{}^\circ\text{C}\); maximal werden \(80\,{}^\circ\text{C}\) erreicht. 2. Von \(t=3\,\text{min}\) bis \(t=6\,\text{min}\) bleibt der Modellwert bei \(80\,{}^\circ\text{C}\). Das sind \(3\,\text{min}\). 3. In den ersten drei Minuten steigt der Modellwert um \(60\,{}^\circ\text{C}\). Pro Minute sind das im Durchschnitt \(60\,{}^\circ\text{C}:3\,\text{min}=20\,{}^\circ\text{C}/\text{min}\). 4. Im ersten geraden Modellabschnitt steigt die Temperatur um \(20\,{}^\circ\text{C}\) je Minute. Von \(20\,{}^\circ\text{C}\) bis \(65\,{}^\circ\text{C}\) fehlen \(45\,{}^\circ\text{C}\), also werden \(65\,{}^\circ\text{C}\) nach \(45:20=2{,}25\,\text{min}\) erreicht. Im geraden Abschnitt von \(t=6\,\text{min}\) bis \(t=8\,\text{min}\) fällt der Modellwert von \(80\,{}^\circ\text{C}\) auf \(50\,{}^\circ\text{C}\); der Wert \(65\,{}^\circ\text{C}\) liegt genau in der Mitte und wird bei \(t=7\,\text{min}\) erreicht.

a) Anfangstemperatur: \(20\,{}^\circ\text{C}\); maximale Temperatur: \(80\,{}^\circ\text{C}\) b) \(3\,\text{min}\) c) \(20\,{}^\circ\text{C}/\text{min}\) d) \(t=2{,}25\,\text{min}\) und \(t=7\,\text{min}\)

- Waagerechte Abschnitte stehen für konstante Höhe. - Suche für \(300\,\text{m}\) alle Stellen und Abschnitte auf dieser Höhe. - Vergleiche für die Änderungsangaben jeweils Höhenänderung und Zeitspanne. - Für den späteren Zeitpunkt mit \(300\,\text{m}\) hilft der Anteil der benötigten Höhenänderung am gesamten Sinkabschnitt.

1. Konstant bleibt die Höhe von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) bei \(300\,\text{m}\) und von \(3\) bis \(4\,\text{h}\) bei \(600\,\text{m}\). 2. Auf \(300\,\text{m}\) ist der Ballon zunächst während des gesamten Zeitraums von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\). Beim späteren Sinken von \(600\,\text{m}\) auf \(200\,\text{m}\) in einer Stunde erreicht er \(300\,\text{m}\) nach \(0{,}75\,\text{h}\), also bei \(t=4{,}75\,\text{h}\). 3. In der ersten Stunde steigt die Höhe um \(300\,\text{m}\). Das sind \(300\,\text{m/h}\). 4. Von \(4\) bis \(5\,\text{h}\) sinkt die Höhe um \(400\,\text{m}\) in einer Stunde. Dort nimmt sie um \(400\,\text{m/h}\) ab.

a) Von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) bei \(300\,\text{m}\); von \(3\) bis \(4\,\text{h}\) bei \(600\,\text{m}\) b) Von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) sowie bei \(t=4{,}75\,\text{h}\) c) \(300\,\text{m/h}\) d) Von \(4\) bis \(5\,\text{h}\); \(400\,\text{m/h}\)

- Unterscheide zwischen den tatsächlichen ganzzahligen Besucherzahlen und dem kontinuierlichen Näherungsmodell im Diagramm. - Prüfe bei a), wo der Modellgraph oberhalb der Zeitachse liegt. - Achte bei b) und c) darauf, welche Genauigkeit die Skalierung des Diagramms zulässt. - Für d) brauchst du die Änderung des Modellwerts und die dazugehörige Zeitspanne.

1. Bei \(8{:}00\) Uhr und \(20{:}00\) Uhr hat das Modell den Wert \(0\). Dazwischen verläuft der Graph oberhalb der Zeitachse; die modellierte Besucherzahl ist daher nach \(8{:}00\) Uhr und vor \(20{:}00\) Uhr positiv. 2. Der höchste Punkt liegt ungefähr bei \(15{:}00\) Uhr und bei rund \(600\) Besuchern. 3. Die Höhe von \(400\) Besuchern wird ungefähr um \(12{:}00\) Uhr und um \(18{:}00\) Uhr erreicht. 4. Für \(10{:}00\) Uhr liest man ungefähr \(200\) Besucher und für \(12{:}00\) Uhr ungefähr \(400\) Besucher ab. Die durchschnittliche Zunahme beträgt damit ungefähr \((400-200):(12-10)=100\) Besucher pro Stunde.

a) Nach \(8{:}00\) Uhr und vor \(20{:}00\) Uhr b) Ungefähr um \(15{:}00\) Uhr mit etwa \(600\) Besuchern c) Ungefähr um \(12{:}00\) Uhr und um \(18{:}00\) Uhr d) Ungefähr \(100\) Besucher pro Stunde

- Ordne jedem Wert von \(t\) zuerst die passende Uhrzeit zu. - Suche für b) die Punkte, an denen der Graph die waagerechte Achse trifft. - Vergleiche für d) jeweils Temperaturänderung und Zeitspanne, nicht nur die gesamte Temperaturänderung.

1. Aus dem Graphen liest man \(T(2)=2\,{}^\circ\text{C}\) und \(T(8)=-1\,{}^\circ\text{C}\) ab. Da die Messung um 6:00 Uhr beginnt, entspricht \(t=2\) der Uhrzeit 8:00 Uhr und \(t=8\) der Uhrzeit 14:00 Uhr. 2. Der Graph trifft die waagerechte Achse bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\). Dort gilt jeweils \(T(t)=0\,{}^\circ\text{C}\). 3. Der Höchstwert beträgt \(5\,{}^\circ\text{C}\), am Ende beträgt die Temperatur \(-3\,{}^\circ\text{C}\). Der Rückgang ist \(5\,{}^\circ\text{C}-(-3\,{}^\circ\text{C})=8\,{}^\circ\text{C}\). 4. Von \(t=0\) bis \(t=2\) beträgt die durchschnittliche Änderung \((2\,{}^\circ\text{C}-(-2\,{}^\circ\text{C})):2\,\text{h}=2\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\). Von \(t=2\) bis \(t=5\) beträgt sie \((5\,{}^\circ\text{C}-2\,{}^\circ\text{C}):3\,\text{h}=1\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\). Daher stieg die Temperatur im ersten Zeitraum schneller.

a) Bei \(t=2\), also um 8:00 Uhr: \(2\,{}^\circ\text{C}\); bei \(t=8\), also um 14:00 Uhr: \(-1\,{}^\circ\text{C}\) b) Bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\); dort trifft der Graph die waagerechte Achse. c) Um \(8\,{}^\circ\text{C}\) d) Von \(t=0\) bis \(t=2\): \(2\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\); von \(t=2\) bis \(t=5\): \(1\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\). Im ersten Zeitraum steigt die Temperatur schneller.

- Schau dir den höchsten Punkt der Kurve an und lies die Werte auf beiden Achsen ab. - Suche den Wert \(15\) auf der senkrechten Achse und schätze die Schnittzeiten mit der Kurve in der verlangten Genauigkeit. - Überprüfe den Verlauf des Graphen in den frühen Morgenstunden. - Für eine Funktion muss jedem zulässigen Eingabewert genau ein Ausgabewert zugeordnet sein. Prüfe diese Bedingung in der Richtung Datenrate \(\mapsto\) Uhrzeit.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei ca. \(20{:}00\) Uhr mit einem Wert von etwa \(42\,\text{Mbit/s}\). 2. Auf eine halbe Stunde genau liegt die Datenrate etwa von \(12{:}00\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr über \(15\,\text{Mbit/s}\). 3. Die Aussage ist falsch. In der Nacht und am frühen Morgen liegt die Datenrate zeitweise deutlich unter \(5\,\text{Mbit/s}\). 4. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Derselben Datenrate sind im Tagesverlauf mehrere Uhrzeiten zugeordnet; zu einem Eingabewert gäbe es also mehrere Ausgabewerte.

a) Maximum um ca. \(20{:}00\) Uhr bei ca. \(42\,\text{Mbit/s}\) b) Etwa von \(12{:}00\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr c) Die Aussage ist falsch, da der Wert nachts unter \(5\,\text{Mbit/s}\) liegt. d) Keine Funktion, da derselben Datenrate mehrere Uhrzeiten zugeordnet sein können.

- Welche Größe in \(g(x)=mx+t\) ist schon bekannt? - Wie hilft der Punkt \(P\), den Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen? - Setze danach den verlangten Funktionswert in deine fertige Gleichung ein.

1. Mit \(m=2{,}5\) und \(P(2\mid1)\) gilt \(1=2{,}5\cdot2+t\). 2. Daraus folgt \(t=-4\), also \(g(x)=2{,}5x-4\). 3. Für Teil b gilt \(11=2{,}5x-4\). 4. Somit ist \(15=2{,}5x\) und daher \(x=6\).

a) \(g(x)=2{,}5x-4\) b) \(x=6\)

- Lies für a) den Funktionswert zum Argument \(t=6\) ab. - Suche für b) die beiden Stellen, an denen der Modellgraph die Höhe \(30\,\text{mg/l}\) erreicht. - Nutze auf dem ersten geraden Modellabschnitt den Anteil von \(30\) an der gesamten Änderung von \(0\) auf \(40\). - Achte darauf, dass die Randzeitpunkte wegen \(c(t)>30\) nicht dazugehören.

1. Bei \(t=6\,\text{h}\) liegt der Modellgraph bei \(30\,\text{mg/l}\). 2. Im ersten geraden Abschnitt steigt die Konzentration von \(0\,\text{mg/l}\) bei \(t=0\) auf \(40\,\text{mg/l}\) bei \(t=1\). Der Wert \(30\,\text{mg/l}\) wird daher bei \(t=0{,}75\,\text{h}\) erreicht. Im fallenden geraden Abschnitt von \((4\mid40)\) nach \((8\mid20)\) wird \(30\,\text{mg/l}\) bei \(t=6\,\text{h}\) erreicht. Wegen der strengen Ungleichung gilt \(0{,}75<t<6\).

a) \(c(6)=30\,\text{mg/l}\) b) Für \(0{,}75<t<6\), also strikt zwischen \(45\) Minuten und \(6\) Stunden nach dem Unfall

- Die x-Achse zeigt die Entfernung, die y-Achse die Höhe. - Konstante Werte erkennst du an einer waagerechten Linie im Graphen. - Für die Höhe bei 10 km kannst du den Wert auf der geraden Verbindungslinie zwischen den Gitterpunkten bei 9 km und 12 km bestimmen. - Vergleiche, wie viele Höhenmeter auf demselben horizontalen Wegstück überwunden werden, um die Steilheit zu beurteilen.

1. Ablesen der Endpunkte des Graphen: Startpunkt \((0 \mid 500)\) ergibt \(500\,\text{m}\), Endpunkt \((12 \mid 450)\) ergibt \(450\,\text{m}\). 2. Ein waagerechter Verlauf zeigt eine konstante Höhe an. Dies ist zwischen Kilometer 2 und Kilometer 4 der Fall (Höhe \(700\,\text{m}\)). 3. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei Kilometer 6 auf einer Höhe von \(950\,\text{m}\). 4. Bei Kilometer 10 liegt der Punkt auf dem linearen Teilstück zwischen Kilometer 9 (\(600\,\text{m}\)) und Kilometer 12 (\(450\,\text{m}\)). Die Höhendifferenz beträgt \(-150\,\text{m}\) auf \(3\,\text{km}\), was einer Änderung von \(-50\,\text{m}\) pro Kilometer entspricht. Nach einem Kilometer (bei Kilometer 10) beträgt die Höhe somit \(600\,\text{m} - 50\,\text{m} = 550\,\text{m}\). 5. Steigung 0-2: \(200\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(100\,\text{m/km}\)). Steigung 4-6: \(250\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(125\,\text{m/km}\)). Der Abschnitt 4-6 ist steiler, da pro Kilometer mehr Höhenmeter überwunden werden.

1. Start: \(500\,\text{m}\); Landung: \(450\,\text{m}\). 2. Von Kilometer 2 bis Kilometer 4. 3. Maximale Höhe: \(950\,\text{m}\). 4. Höhe bei \(10\,\text{km}\): \(550\,\text{m}\). 5. Der Abschnitt zwischen Kilometer 4 und 6 ist steiler, da dort \(125\,\text{m/km}\) statt \(100\,\text{m/km}\) überwunden werden.

- Die vertikale Achse zeigt die insgesamt entlang der Bahnstrecke zurückgelegte Strecke; ein waagerechter Abschnitt bedeutet daher, dass währenddessen keine Strecke hinzukommt. - Für einen Wert innerhalb eines geraden Fahrabschnitts kannst du zuerst bestimmen, wie viele Kilometer pro Minute hinzukommen. - Für eine Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) musst du die Zeit passend in Stunden umrechnen.

1. Zwischen Minute \(50\) und Minute \(90\) wächst die zurückgelegte Strecke gleichmäßig von \(60\,\text{km}\) auf \(100\,\text{km}\). Das sind \(40\,\text{km}\) in \(40\,\text{min}\), also \(1\,\text{km}\) pro Minute. Von Minute \(50\) bis Minute \(60\) kommen \(10\,\text{km}\) hinzu. Nach \(60\,\text{min}\) sind \(70\,\text{km}\) zurückgelegt. 2. Die beiden waagerechten Abschnitte reichen von Minute \(40\) bis \(50\) und von Minute \(90\) bis \(100\). Die Halte dauern zusammen \(10\,\text{min}+10\,\text{min}=20\,\text{min}\). 3. Im ersten Abschnitt legt der Zug \(60\,\text{km}\) in \(40\,\text{min}=\frac{2}{3}\,\text{h}\) zurück. Die Geschwindigkeit beträgt \(60:\frac{2}{3}=90\,\text{km/h}\). 4. Ab Minute \(50\) sind \(60\,\text{km}\) zurückgelegt. In diesem Abschnitt kommen \(1\,\text{km}\) pro Minute hinzu. Für weitere \(20\,\text{km}\) benötigt der Zug \(20\,\text{min}\), also erreicht er \(80\,\text{km}\) erstmals bei \(t=70\,\text{min}\).

1) \(70\,\text{km}\) 2) \(20\,\text{min}\) 3) \(90\,\text{km/h}\) 4) Nach \(70\,\text{min}\)

- Lies zuerst ab, in welchem Abschnitt des Graphen der jeweils gefragte Zeitpunkt oder Wasserstand liegt. - Eine waagerechte Strecke bedeutet, dass sich der Wasserstand in diesem Zeitraum nicht verändert. - Für eine Änderungsrate vergleichst du die Änderung der Höhe mit der dazugehörigen Zeitspanne.

1. Der Zeitpunkt \(t=6\,\text{h}\) liegt im geraden Abschnitt zwischen \((4\mid100)\) und \((8\mid180)\). Die Änderungsrate beträgt \((180-100):(8-4)=20\,\text{cm/h}\). Daher ist \(h(6)=100+2\cdot20=140\,\text{cm}\). 2. Zwischen \(t=2\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\) ist der Graph waagerecht. Der Wasserstand bleibt also \(2\,\text{h}\) lang unverändert. 3. In den ersten zwei Stunden steigt der Pegel von \(40\,\text{cm}\) auf \(100\,\text{cm}\). Die Änderungsrate ist \((100-40):2=30\,\text{cm/h}\). 4. Im Abschnitt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=8\,\text{h}\) gilt \(100+20(t-4)=160\). Daraus folgt \(20(t-4)=60\), also \(t=7\,\text{h}\).

1) \(140\,\text{cm}\) 2) \(2\,\text{h}\) 3) \(30\,\text{cm/h}\) 4) \(t=7\,\text{h}\)

- Lies Anfangs- und Höchstwert direkt am Diagramm ab. - Waagerechte Abschnitte stehen für eine konstante Geschwindigkeit. - Für einen gesuchten Wert innerhalb eines geraden Abschnitts kannst du bestimmen, um wie viele \(\text{km/h}\) sich die Geschwindigkeit pro Minute ändert.

1. Zum Zeitpunkt \(t=0\,\text{min}\) beträgt die Geschwindigkeit \(0\,\text{km/h}\). 2. Der höchste dargestellte Wert ist \(24\,\text{km/h}\). Diese Geschwindigkeit wird von Minute 20 bis Minute 24 konstant gefahren. 3. \(16\,\text{km/h}\) werden von Minute 4 bis Minute 12 konstant gefahren. Die Dauer beträgt \(12\,\text{min}-4\,\text{min}=8\,\text{min}\). 4. Zwischen Minute 12 und Minute 20 steigt die Geschwindigkeit gleichmäßig von \(16\,\text{km/h}\) auf \(24\,\text{km/h}\), also um \(1\,\text{km/h}\) pro Minute. \(20\,\text{km/h}\) werden daher bei \(t=16\,\text{min}\) erreicht. Zwischen Minute 24 und Minute 30 sinkt sie gleichmäßig von \(24\,\text{km/h}\) auf \(0\,\text{km/h}\), also um \(4\,\text{km/h}\) pro Minute. Der Wert \(20\,\text{km/h}\) wird dort nach einer Minute erreicht, also bei \(t=25\,\text{min}\).

1. \(0\,\text{km/h}\). 2. \(24\,\text{km/h}\) von Minute 20 bis Minute 24. 3. \(8\,\text{min}\). 4. Nach \(16\,\text{min}\) und nach \(25\,\text{min}\).

- Lies die Startwerte beider Graphen bei \(t=0\) ab. - Vergleiche für jede gleichmäßige Phase die Volumenänderung mit der dazugehörigen Zeitspanne. - Gleiche Wassermengen erkennst du dort, wo sich die beiden Graphen treffen.

1. Bei \(t=0\) enthält Tank \(A\) \(5\,\text{L}\), Tank \(B\) \(35\,\text{L}\). 2. Tank \(A\): In \(4\,\text{min}\) steigt das Volumen von \(5\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(10\,\text{L}\). Die Änderungsrate beträgt \(10\,\text{L}:4\,\text{min}=2{,}5\,\text{L/min}\). Tank \(B\): In \(4\,\text{min}\) sinkt das Volumen von \(35\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(20\,\text{L}\). Die Änderungsrate beim Leeren beträgt \(20\,\text{L}:4\,\text{min}=5\,\text{L/min}\). 3. Die beiden Graphen treffen sich im Punkt \((4\mid15)\). Nach \(4\,\text{min}\) enthalten daher beide Tanks \(15\,\text{L}\).

a) Tank \(A\): \(5\,\text{L}\); Tank \(B\): \(35\,\text{L}\). b) Tank \(A\): \(2{,}5\,\text{L/min}\) beim Befüllen; Tank \(B\): \(5\,\text{L/min}\) beim Leeren. c) Nach \(4\,\text{min}\) enthalten beide \(15\,\text{L}\).

- Betrachte jeweils nur den Graphenabschnitt zwischen den beiden angegebenen \(x\)-Grenzen. - Vergleiche auffällige Hoch- und Tiefpunkte im Inneren mit den Funktionswerten an den Randstellen. - Lies für jeden Bereich den höchsten und den niedrigsten dargestellten \(y\)-Wert ab.

1. Für \(-3\le x\le0\) liegt der kleinste Funktionswert bei \(x=-2\) mit \(f(-2)=-4\). Der größte Funktionswert liegt bei \(x=0\) mit \(f(0)=0\). 2. Für \(0\le x\le3\) liegt der größte Funktionswert bei \(x=2\) mit \(f(2)=4\). Der kleinste Funktionswert liegt bei \(x=0\) mit \(f(0)=0\). 3. Für \(-4\le x\le4\) ist der größte Funktionswert \(4\); er wird bei \(x=-4\) und \(x=2\) erreicht. Der kleinste Funktionswert ist \(-4\); er wird bei \(x=-2\) und \(x=4\) erreicht.

1) größter Funktionswert: \(0\); kleinster Funktionswert: \(-4\) 2) größter Funktionswert: \(4\); kleinster Funktionswert: \(0\) 3) größter Funktionswert: \(4\); kleinster Funktionswert: \(-4\)

- Lies die Schreibweise \(f(x)=y\) von innen nach außen: Was steht in der Klammer, was rechts vom Gleichheitszeichen? - Übertrage Argument und Funktionswert in derselben Reihenfolge auf einen Punkt \((x\mid y)\). - Entscheidend für eine Funktion ist die Eindeutigkeit von der Eingabe zur Ausgabe.

1. In \(f(-2)=5\) ist \(-2\) das Argument und \(5\) der Funktionswert. 2. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(-2\mid5)\), nicht \(P(5\mid-2)\). 3. Der Funktionswert \(5\) darf zu verschiedenen Argumenten gehören. Hier gilt \(f(-2)=5\) und \(f(4)=5\). Das widerspricht der Funktionseigenschaft nicht, solange jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet ist.

Jonas hat Argument und Funktionswert vertauscht, dadurch auch die Punktkoordinaten vertauscht, und die Wiederholung eines Funktionswerts fälschlich als Verstoß gegen die Funktionseigenschaft gedeutet. Richtig ist: Argument \(-2\), Funktionswert \(5\), Punkt \(P(-2\mid5)\); derselbe Funktionswert darf zu mehreren Argumenten gehören.

- Nutze P zuerst ausschließlich zur Kalibrierung der senkrechten Skala. - Verwende die in a) gefundene Skala anschließend konsequent für alle Funktionswerte. - Für c) suchst du die zur Höhe \(4\) gehörende Gitterlinie und alle Schnittstellen mit dem Graphen. - Prüfe Definitions- und Wertemenge erst, nachdem die Skala feststeht.

1. Der Punkt P liegt drei senkrechte Gitterabstände über der x-Achse und besitzt den Funktionswert \(6\). Daher entspricht ein senkrechter Gitterabstand dem Zahlenunterschied \(2\). 2. Bei \(x=-2\) liegt der Graph zwei Gitterabstände über der x-Achse, also bei \(4\); die erste Aussage ist richtig. Bei \(x=0\) liegt der Graph ebenfalls zwei Gitterabstände über der x-Achse, also gilt \(f(0)=4\); die zweite Aussage ist falsch. Bei \(x=3\) liegt der Graph bei \(4\); die dritte Aussage ist richtig. 3. Die Höhe \(4\) entspricht der zweiten waagerechten Gitterlinie über der x-Achse. Der Graph erreicht sie bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=3\). 4. Der vollständige Graph reicht von \(x=-3\) bis \(x=4\), also \(-3\le x\le4\). Die Funktionswerte reichen von \(0\) bis \(6\), also \(0\le f(x)\le6\). Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind \((-3\mid0)\) und \((4\mid0)\); die y-Achse wird bei \((0\mid4)\) geschnitten. 5. Die Abstände im Bild geben zunächst nur gleiche Schritte an. Erst P ordnet drei solchen Schritten den Wert \(6\) zu und legt damit die Skala fest. Wer jeden Schritt fälschlich als \(1\) liest, halbiert alle positiven Funktionswerte.

a) Ein senkrechter Gitterabstand entspricht \(2\). b) \(f(-2)=4\): richtig; \(f(0)=2\): falsch, richtig ist \(f(0)=4\); \(f(3)=4\): richtig. c) \(x=-2,\ 0,\ 3\) d) \(-3\le x\le4\), \(0\le f(x)\le6\); x-Achse: \((-3\mid0)\), \((4\mid0)\); y-Achse: \((0\mid4)\) e) Erst P legt fest, welchen Zahlenwert ein Gitterabstand repräsentiert.