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- Setze den angegebenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Einsetzen einer negativen Zahl auf das Vorzeichen. - Berechne zuerst das Produkt und addiere anschließend den konstanten Term.

1. Für \(x=2\) gilt \(y=0{,}4 \cdot 2+1{,}2=0{,}8+1{,}2=2\). 2. Für \(x=-3\) gilt \(y=0{,}4 \cdot (-3)+1{,}2=-1{,}2+1{,}2=0\).

1) \(y=2\) 2) \(y=0\)

- Gehe vom Ursprung aus zuerst entlang der x-Achse und dann nach oben oder unten entlang der y-Achse, um die Koordinaten zu finden. - Punkte, die direkt auf einer der Achsen liegen, haben immer eine Koordinate, die Null ist.

1. Punkt \(D\) liegt auf der x-Achse bei \(-2\). Die y-Koordinate ist \(0\), also \(D(-2 \mid 0)\). 2. Punkt \(E\) liegt auf der y-Achse bei \(-1\). Die x-Koordinate ist \(0\), also \(E(0 \mid -1)\). 3. Punkt \(F\) liegt auf der x-Achse bei \(2\). Die y-Koordinate ist \(0\), also \(F(2 \mid 0)\).

Die Koordinaten der Punkte sind \(D(-2 \mid 0)\), \(E(0 \mid -1)\) und \(F(2 \mid 0)\).

- Was muss gelten, damit ein Wert eine Nullstelle genannt wird? - An welcher Stelle im Koordinatensystem ist der \(x\)-Wert immer gleich Null? - Reicht es aus, dass ein Punkt auf der Achse liegt, damit er zum Graphen der Funktion gehört?

1. Zur Überprüfung der Nullstelle wird \(f(-2)\) berechnet: \(1{,}5 \cdot (-2) + 3 = -3 + 3 = 0\). Da der Funktionswert gleich Null ist, ist \(x = -2\) eine Nullstelle. Die Aussage ist wahr. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) bestimmt: \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 + 3 = 3\). Dies ergibt den Punkt \((0 \mid 3)\). Die Aussage ist wahr. 3. Für den Punkt \(P(2 \mid 0)\) muss geprüft werden, ob \(f(2) = 0\) gilt: \(f(2) = 1{,}5 \cdot 2 + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 \neq 0\), liegt der Punkt nicht auf dem Graphen von \(f\), obwohl er auf der \(x\)-Achse liegt. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \(f(-2) = 0\). b) Wahr, da \(f(0) = 3\). c) Falsch, da \(f(2) = 6\) und nicht \(0\). Die Zahl \(2\) ist nur dann eine Nullstelle, wenn der Punkt \((2 \mid 0)\) auf dem Funktionsgraphen liegt.

- Suche in der Zeile für \(g(x)\) nach der Zahl Null, um die Nullstellen zu finden. - Wo in der Tabelle findest du Informationen über den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Achte darauf, nicht die \(x\)-Werte mit den Funktionswerten zu vertauschen.

Da die Tabelle den vollständigen Definitionsbereich enthält, sind alle Nullstellen aus ihr ablesbar. 1. Nullstellen sind die \(x\)-Werte, bei denen der Funktionswert \(g(x) = 0\) ist. Aus der Tabelle liest man ab: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist der Punkt, an dem \(x = 0\) ist. Laut Tabelle ist \(g(0) = -4\). Der Schnittpunkt ist somit \(S_y(0 \mid -4)\). 3. Die Stelle \(x = 4\) wird in der ersten Zeile gesucht. Der zugehörige Funktionswert in der zweiten Zeile ist \(g(4) = 5\).

1. Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -4)\). 3. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 4\) ist \(5\).

- Wie kannst du den Funktionswert für eine gegebene \(x\)-Koordinate berechnen? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn sein \(y\)-Wert größer oder kleiner als der berechnete Funktionswert ist? - Wann genau liegt ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 2\): \(k(2) = 1{,}5 \cdot 2 - 3 = 0\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(A\) mit dem Funktionswert übereinstimmt (\(0 = 0\)), liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 4\): \(k(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 3 = 3\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(B\) größer ist als der Funktionswert (\(5 > 3\)), liegt \(B\) über dem Graphen. 3. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = -2\): \(k(-2) = 1{,}5 \cdot (-2) - 3 = -6\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(C\) kleiner ist als der Funktionswert (\(-7 < -6\)), liegt \(C\) unter dem Graphen.

a) \(A\) liegt auf dem Graphen \(G_k\). b) \(B\) liegt über dem Graphen \(G_k\). c) \(C\) liegt unter dem Graphen \(G_k\).

- Was bedeutet der Wert 20 in der Funktionsgleichung für den Anfangszustand? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, wenn die Höhe vorgegeben ist? - Überlege dir, ob jeder berechnete Wert in der Wirklichkeit auch Sinn ergibt. - Was passiert mit der Kerze, wenn die berechnete Höhe Null oder kleiner als Null wird?

1. Einsetzen von \(t=3\): \(h(3) = 20 - 2{,}5 \cdot 3 = 20 - 7{,}5 = 12{,}5\). Die Höhe nach \(3\,\text{h}\) beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). 2. Einsetzen von \(t=5{,}5\): \(h(5{,}5) = 20 - 2{,}5 \cdot 5{,}5 = 20 - 13{,}75 = 6{,}25\). Die Höhe nach \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt \(6{,}25\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(h(t) = 7{,}5\): \(7{,}5 = 20 - 2{,}5t \Rightarrow -12{,}5 = -2{,}5t \Rightarrow t = 5\). Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. 4. Berechnung von \(h(10)\): \(h(10) = 20 - 2{,}5 \cdot 10 = 20 - 25 = -5\). Eine negative Höhe ist physikalisch unmöglich. 5. Interpretation: Das Ergebnis bedeutet, dass die Kerze bereits vor Ablauf von \(10\,\text{h}\) vollständig abgebrannt ist. Der Definitionsmenge muss auf das Intervall eingeschränkt werden, in dem \(h(t) \geq 0\) gilt (hier \(0 \leq t \leq 8\)).

a) Nach \(3\,\text{h}\) ist die Kerze \(12{,}5\,\text{cm}\) hoch, nach \(5{,}5\,\text{h}\) noch \(6{,}25\,\text{cm}\). b) Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. c) \(h(10) = -5\). Da eine negative Höhe nicht möglich ist, ist die Kerze bereits abgebrannt. Der Definitionsmenge muss auf \(t \in [0; 8]\) begrenzt werden.

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen und dann alle Terme mit \(x^2\), \(x\) und ohne Variable getrennt zusammenfassen? - Was musst du tun, um den \(y\)-Wert zu einer bestimmten Zahl \(x\) zu finden? - Wie kannst du prüfen, ob ein Koordinatenpaar eine Gleichung erfüllt?

1. Vereinfachung des Funktionsterms durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(f(x) = (2x^2 - 6x + x - 3) - 2x^2 + 4x\) \(f(x) = 2x^2 - 5x - 3 - 2x^2 + 4x\) \(f(x) = -x - 3\) 2. Berechnung der Funktionswerte durch Einsetzen der \(x\)-Werte in die vereinfachte Gleichung: \(f(-5) = -(-5) - 3 = 5 - 3 = 2\) \(f(-3) = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0\) \(f(0) = -(0) - 3 = -3\) \(f(2) = -(2) - 3 = -5\) 3. Punktprobe für \(P(12 \mid -15)\): Einsetzen von \(x = 12\): \(f(12) = -12 - 3 = -15\) Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt der Punkt \(P\) auf dem Graphen.

a) \(f(x) = -x - 3\) b) \(f(-5) = 2\); \(f(-3) = 0\); \(f(0) = -3\); \(f(2) = -5\) c) Ja, der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen.

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die \(x\)-Achse berührt? - Was bedeutet es für zwei Graphen, wenn sie an derselben Stelle denselben Funktionswert haben? - Vergleiche den gegebenen \(y\)-Wert des Punktes mit dem berechneten Funktionswert an dieser Stelle.

1. Berechnung der Nullstellen: Für \(f(x) = 0\) ergibt sich \(1{,}5x - 3 = 0 \Rightarrow 1{,}5x = 3 \Rightarrow x = 2\). Für \(g(x) = 0\) ergibt sich \(-0{,}5x + 5 = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 5 \Rightarrow x = 10\). 2. Berechnung der Funktionswerte: \(f(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 3 = 6 - 3 = 3\) und \(g(4) = -0{,}5 \cdot 4 + 5 = -2 + 5 = 3\). Da beide Funktionswerte gleich \(3\) sind, ist der Punkt \(P(4 \mid 3)\) der Schnittpunkt der Graphen \(G_f\) und \(G_g\). 3. Lageprüfung für \(U(2 \mid 1)\): Der Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) ist \(g(2) = -0{,}5 \cdot 2 + 5 = -1 + 5 = 4\). Da die \(y\)-Koordinate des Punktes \(1\) kleiner als der Funktionswert \(4\) ist, liegt der Punkt \(U\) unterhalb des Graphen \(G_g\).

a) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 2\), die von \(g\) ist \(x = 10\). b) Es gilt \(f(4) = 3\) und \(g(4) = 3\). Der Punkt \(P(4 \mid 3)\) ist der Schnittpunkt der beiden Graphen. c) Der Punkt \(U(2 \mid 1)\) liegt unterhalb des Graphen \(G_g\).

- Lies für eine bestimmte Uhrzeit den zugehörigen y-Wert des Graphen ab. - Suche für eine vorgegebene Temperatur alle Schnittstellen des Graphen mit dieser Höhe. - Der tiefste Punkt des Graphen liefert Zeitpunkt und Wert des Minimums.

1. Aus dem Graphen liest man für die angegebenen Uhrzeiten folgende Werte ab: <table> <thead> <tr> <th>Uhrzeit</th> <td>\(9{:}00\,\text{Uhr}\)</td> <td>\(15{:}00\,\text{Uhr}\)</td> <td>\(23{:}00\,\text{Uhr}\)</td> </tr> </thead> <tbody> <tr> <th>Temperatur</th> <td>\(12\,\text{°C}\)</td> <td>\(18\,\text{°C}\)</td> <td>\(9\,\text{°C}\)</td> </tr> </tbody> </table> 2. Die waagerechte Linie bei \(15\,\text{°C}\) trifft den Graphen bei \(x=11\) und \(x=19\). Daher beträgt die Temperatur um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\) genau \(15\,\text{°C}\). 3. Der tiefste Punkt des Graphen liegt bei \((3 \mid 6)\). Die minimale Temperatur von \(6\,\text{°C}\) wird um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) erreicht.

a) <table><thead><tr><th>Uhrzeit</th><td>\(9{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(15{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(23{:}00\,\text{Uhr}\)</td></tr></thead><tbody><tr><th>Temperatur</th><td>\(12\,\text{°C}\)</td><td>\(18\,\text{°C}\)</td><td>\(9\,\text{°C}\)</td></tr></tbody></table> b) Um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\). c) Um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(6\,\text{°C}\).

- Schau dir die Werte in der Tabelle an: Wo fallen sie, wo steigen sie? - Wie berechnest du eine Änderung pro Zeiteinheit?

a) Der Ladestand steigt ab der 4. Stunde an. Der Akku wurde also von Stunde 4 bis Stunde 8 geladen. b) Der niedrigste Wert ist \(10\,\%\) zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{h}\). c) Der Ladestand steigt von \(10\,\%\) auf \(90\,\%\), also um \(80\) Prozentpunkte in \(3\,\text{h}\). Die durchschnittliche Zunahme beträgt \(80 : 3 \approx 26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

a) Zwischen der 4. und der 8. Stunde. b) Nach 4 Stunden (\(10\,\%\)). c) Etwa \(26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

- Achte darauf, welche Größe auf welcher Achse abgetragen ist. - Lies Funktionswerte an der zugehörigen Stelle der waagerechten Achse ab. - Hochpunkte entsprechen maximalen Werten, Tiefpunkte minimalen Werten. - Das Ende des Graphen markiert hier das Ende der Fahrt.

1. Bei einer Strecke von \(200\,\text{m}\) zeigt der Graph eine Geschwindigkeit von \(115\,\text{km/h}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt ebenfalls bei \(200\,\text{m}\). Die Höchstgeschwindigkeit beträgt \(115\,\text{km/h}\). 3. Das erste lokale Minimum liegt nach \(100\,\text{m}\). Die Geschwindigkeit beträgt dort etwa \(5\,\text{km/h}\). 4. Der Graph endet bei \(800\,\text{m}\). Die gesamte Schienenstrecke ist daher \(800\,\text{m}\) lang.

a) \(115\,\text{km/h}\) b) \(115\,\text{km/h}\) c) Nach \(100\,\text{m}\) bei etwa \(5\,\text{km/h}\) d) \(800\,\text{m}\)

- Wo sind die „Spitzen“ im Graphen? Was könnten sie bedeuten? - Lies den höchsten Wert auf der senkrechten Achse ab. - Überlege, ob du zu einem festen Wert auf der y-Achse immer nur genau eine Uhrzeit findest.

1. Die beiden Spitzen im Diagramm deuten auf besonders hohe Aktivität hin. Dies ist um \(10{:}00\) Uhr und um \(16{:}00\) Uhr der Fall. 2. Der maximale Geräuschpegel liegt bei etwa \(90\,\text{dB}\) und wird um \(10{:}00\) Uhr erreicht. Die zweite Spitze um \(16{:}00\) Uhr liegt bei etwa \(80\,\text{dB}\). 3. Nein, die Zuordnung ist keine Funktion. Einem Geräuschpegel sind mehrere verschiedene Uhrzeiten zugeordnet. Für eine Funktion müsste jedem Wert der Ausgangsmenge (Geräuschpegel) genau ein Wert der Zielmenge (Uhrzeit) zugeordnet sein.

a) Vermutlich um \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. b) Etwa \(90\,\text{dB}\) um \(10{:}00\) Uhr. c) Nein, da ein Pegelwert zu mehreren Uhrzeiten auftreten kann.

- Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse an. - Gehe vom Wert 40 auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und dann senkrecht nach unten zur Zeit-Achse. - Was passiert mit einer heißen Tasse, wenn sie lange in einem normal temperierten Raum steht?

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) lässt sich auf der y-Achse eine Temperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Man sucht den Wert \(40\) auf der y-Achse und liest den zugehörigen x-Wert ab. Dies ist nach etwa \(10\,\text{Minuten}\) der Fall. 3. Die Umgebungstemperatur beträgt \(20\,^\circ\text{C}\). Je kleiner der Temperaturunterschied zur Umgebung wird, desto langsamer kühlt der Tee ab. Im dargestellten Modell nähert sich seine Temperatur daher langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne diesen Wert zu unterschreiten.

a) \(80\,^\circ\text{C}\). b) Nach ca. \(10\,\text{Minuten}\). c) Mit kleiner werdendem Temperaturunterschied verlangsamt sich die Abkühlung; im Modell nähert sich der Tee \(20\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an.

- Schau dir die Achsenbeschriftungen genau an, um zu wissen, welche Größe auf welcher Achse dargestellt ist. - Um einen Wert wie \(T(1)\) zu finden, startest du bei der Zahl 1 auf der waagerechten Achse und gehst senkrecht zum Graphen. - Eine Differenz berechnest du, indem du die beiden einzelnen Werte abliest und sie voneinander abziehst. - Wenn nach Zeitpunkten für eine bestimmte Temperatur gefragt ist, suchst du auf der senkrechten Achse diesen Wert und schaust, welche Stellen auf der waagerechten Achse dazu gehören.

a) Bei \(t = 1\,\text{h}\) gilt \(T(1) = 3\,\text{°C}\). b) Bei \(t = 3\,\text{h}\) gilt \(T(3) = -1\,\text{°C}\). c) Es gilt \(T(2) = 1\,\text{°C}\) und \(T(4) = 1\,\text{°C}\). Daher ist \(T(2) - T(4) = 1 - 1 = 0\,\text{°C}\). d) Die Temperatur beträgt bei \(t = 0\,\text{h}\), \(t = 2\,\text{h}\) und \(t = 4\,\text{h}\) genau \(1\,\text{°C}\).

a) \(3\,\text{°C}\) b) \(-1\,\text{°C}\) c) \(0\,\text{°C}\) d) Bei \(t = 0\,\text{h}\), \(t = 2\,\text{h}\) und \(t = 4\,\text{h}\).

- Achte auf die Einheiten in der Aufgabenstellung (z. B. \(1000\,\text{€}\)). - Der Funktionswert \(f(x)\) entspricht dem Wert auf der senkrechten Achse. - Eine Nullstelle ist ein Punkt, an dem der Graph die waagerechte Achse berührt oder schneidet. - Überlege dir, was ein negativer \(y\)-Wert in diesem Sachzusammenhang bedeuten könnte.

a) Gewinn bei \(x = 3\): Suche die Stelle 3 auf der \(x\)-Achse. Der zugehörige \(y\)-Wert auf dem Graphen ist 4. Da der Gewinn in \(1000\,\text{€}\) angegeben ist, beträgt er \(4000\,\text{€}\). b) Bestimmen von \(f(4)\): Gehe zur Stelle \(x = 4\). Der \(y\)-Wert am Graphen ist 3. Also \(f(4) = 3\). c) Gewinnänderung von \(x = 1\) nach \(x = 2\): Lies \(f(1) = 0\) und \(f(2) = 3\) ab. Die Änderung ist \(f(2) - f(1) = 3 - 0 = 3\). Dies entspricht einer Zunahme um \(3000\,\text{€}\). d) Nullstellen bestimmen: Die Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x = 1\) und \(x = 5\).

a) \(4000\,\text{€}\) b) \(3\) c) Erhöhung um \(3000\,\text{€}\) d) Bei \(x = 1\) und \(x = 5\).

- Kannst du dir einen Graphen vorstellen, der die \(x\)-Achse niemals berührt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Wie viele Ausgabewerte darf es für einen Eingabewert geben? - Was bedeutet die Koordinate \(y = 0\) für die Position eines Punktes?

1. Es gibt Funktionen, deren Graphen die \(x\)-Achse nie berühren oder schneiden, wie zum Beispiel die konstante Funktion \(f(x) = 5\). Daher ist die Aussage falsch. 2. Nach der Definition einer Funktion wird jedem \(x\)-Wert (also auch \(x = 0\)) genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Mehrere Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse würden bedeuten, dass einem \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte zugeordnet werden. Daher ist die Aussage falsch. 3. Ein Punkt der Form \((x \mid 0)\) liegt auf der \(x\)-Achse. Wenn dieser Punkt Teil des Graphen ist, bedeutet das \(f(4) = 0\). Dies entspricht exakt der Definition einer Nullstelle. Die Aussage ist wahr.

a) Falsch; Gegenbeispiel: \(f(x) = 2\) (eine waagerechte Gerade oberhalb der \(x\)-Achse). b) Falsch; wegen der Eindeutigkeit von Funktionen darf jedem \(x\)-Wert nur ein \(y\)-Wert zugeordnet werden. c) Wahr; da der \(y\)-Wert an der Stelle \(x = 4\) gleich \(0\) ist, erfüllt dies die Definition einer Nullstelle.

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um den ersten Teil des Terms zu vereinfachen? - Achte beim Auflösen der zweiten Klammer besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Wenn ein \(y\)-Wert gegeben ist, wie kannst du die Gleichung nach \(x\) umstellen?

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel und Auflösen der Klammern: \(f(x) = (x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 10x) - 15\) \(f(x) = x^2 - 8x + 16 - x^2 + 10x - 15\) \(f(x) = 2x + 1\) Da der Term die Form \(mx + t\) hat, ist die Funktion linear. 2. Berechnung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0{,}5\) Die Nullstelle liegt bei \(x = -0{,}5\). 3. Berechnung der \(x\)-Koordinate für \(y = 12\): \(12 = 2x + 1 \implies 11 = 2x \implies x = 5{,}5\) Der Punkt ist \(Q(5{,}5 \mid 12)\).

a) \(f(x) = 2x + 1\) (lineare Form) b) \(x = -0{,}5\) c) \(x = 5{,}5\)

- Wie kannst du feststellen, ob zwei unterschiedliche Terme eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Kannst du beide Ausdrücke so weit wie möglich vereinfachen? - Was ist das Besondere an der \(x\)-Koordinate eines jeden Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Vereinfachung beider Funktionsterme: \(f(x) = 2x - x^2 + x^2 + 3 = 2x + 3\) \(g(x) = 2x + 3\) Da beide Terme nach der Vereinfachung identisch sind, sind auch die Graphen identisch. 2. Berechnung von \(f(-4{,}5)\): \(f(-4{,}5) = 2 \cdot (-4{,}5) + 3 = -9 + 3 = -6\) 3. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 3)\).

a) Ja, die Graphen sind identisch, da beide Funktionen die vereinfachte Gleichung \(y = 2x + 3\) besitzen. b) \(f(-4{,}5) = -6\) c) \(S_y(0 \mid 3)\)

- Was passiert zum Zeitpunkt \(t = 0\)? Setze den Wert in die Funktionsgleichung ein. - Die Zahl vor dem \(t\) gibt an, wie stark sich das Ergebnis ändert, wenn \(t\) um \(1\) erhöht wird. - Überlege für den Definitionsbereich, wann der Füllvorgang endet (Fass voll). - Wie beeinflusst der Startwert die Position der Geraden im Koordinatensystem?

1. Interpretation: Der Wert \(20\) stellt das Anfangsvolumen dar (\(20\,\text{Liter}\) sind bereits im Fass). Der Wert \(1{,}5\) ist die Steigung und gibt die Füllrate an (\(1{,}5\,\text{Liter}\) pro Minute). 2. Berechnung für \(t=12\): \(V(12) = 1{,}5 \cdot 12 + 20 = 18 + 20 = 38\). Nach \(12\,\text{Minuten}\) sind \(38\,\text{Liter}\) im Fass. 3. Definitionsmenge bestimmen: Das Fass ist voll, wenn \(V(t) = 80\). Rechnung: \(1{,}5t + 20 = 80 \Rightarrow 1{,}5t = 60 \Rightarrow t = 40\). Da die Zeit bei \(t=0\) beginnt und bei \(40\,\text{Minuten}\) das Fass voll ist, ist der Definitionsmenge \(D = [0; 40]\). 4. Veränderung des Graphen: Wäre das Fass leer gewesen, würde der Graph im Ursprung \((0 \mid 0)\) beginnen. Die Gerade wäre also parallel nach unten verschoben (gleiche Steigung, aber \(y\)-Achsenabschnitt \(0\)).

a) \(20\): Anfangsbestand in Litern; \(1{,}5\): Zuflussrate in Litern pro Minute. b) \(38\,\text{Liter}\). c) Der Definitionsbereich ist \(D = [0; 40]\) (in Minuten). d) Der Graph würde bei einem leeren Fass durch den Koordinatenursprung verlaufen (Parallelverschiebung).

- Was passiert zum Zeitpunkt Null? - Achte auf die Einheiten: Eine halbe Stunde muss in Minuten umgerechnet werden. - Stelle eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis \(100\) sein soll. - Zum Zeichnen genügen zwei Punkte, die du berechnest und verbindest.

1. Interpretation der Parameter: Die \(15\) ist der Startwert (\(15\,\%\) Ladung bei \(t=0\)). Der Koeffizient \(0{,}8\) ist die Änderungsrate (\(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute). 2. Berechnung für \(t = 30\): \(L(30) = 0{,}8 \cdot 30 + 15 = 24 + 15 = 39\). Der Ladestand beträgt \(39\,\%\). 3. Berechnung der Zeit für \(L(t) = 100\): \(0{,}8t + 15 = 100\) \(0{,}8t = 85\) \(t = 85 : 0{,}8 = 106{,}25\). Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\) (oder \(1\,\text{Stunde}\) \(46\,\text{Minuten}\) und \(15\,\text{Sekunden}\)). 4. Zeichnen des Graphen: Startpunkt bei \((0 \mid 15)\), Endpunkt nach \(60\,\text{Minuten}\) bei \((60 \mid 63)\) (da \(0{,}8 \cdot 60 + 15 = 63\)).

a) \(15\,\%\) ist der Anfangsladestand; die Ladegeschwindigkeit beträgt \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. b) Nach \(30\,\text{Minuten}\) beträgt der Ladestand \(39\,\%\). c) Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\). d) Der Graph ist im Zeitraum von \(0\) bis \(60\,\text{Minuten}\) die Gerade durch \((0 \mid 15)\) und \((60 \mid 63)\).

- Ersetze das \(x\) in der Funktionsvorschrift konsequent durch den gesamten Ausdruck, der in der Klammer steht. - Verwende Klammern, wenn du den gesamten Funktionsterm multiplizierst oder quadrierst. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für das Quadrieren von Differenzen? - Um zu zeigen, dass eine Gleichung nicht allgemein gilt, kannst du auch eine konkrete Zahl für die Variable einsetzen und prüfen, ob beide Seiten das gleiche Ergebnis liefern.

1. Zu a): \(f(2a) = 4(2a) - 3 = 8a - 3\). Dagegen ist \(2f(a) = 2(4a - 3) = 8a - 6\). Die Terme sind nicht identisch; die Aussage ist falsch. 2. Zu b): \(f(x + 1) = 4(x + 1) - 3 = 4x + 1\). Außerdem gilt \(f(x) + 4 = (4x - 3) + 4 = 4x + 1\). Die Terme sind identisch; die Aussage ist wahr. 3. Zu c): \(f(x^2) = 4x^2 - 3\). Dagegen ist \((f(x))^2 = (4x - 3)^2 = 16x^2 - 24x + 9\). Die Terme sind nicht identisch. Sie sind nur für \(x = 1\) gleich; daher ist die Gleichung keine Identität und die Aussage ist falsch.

a) Falsch, da \(8a - 3\) und \(8a - 6\) nicht identisch sind. b) Wahr, da beide Seiten \(4x + 1\) ergeben. c) Falsch als allgemeine Identität. Die Terme \(4x^2 - 3\) und \(16x^2 - 24x + 9\) sind nur für \(x = 1\) gleich.

- Setze die Steigung und die Koordinaten des gegebenen Punktes in \(y=mx+b\) ein. - Bestimme zunächst den y-Achsenabschnitt \(b\). - Setze anschließend \(g(x)=11\) und löse nach \(x\) auf.

1. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet \(g(x)=mx+b\). 2. Mit \(m=2{,}5\) und \(P(2 \mid 1)\) gilt \(1=2{,}5 \cdot 2+b\), also \(b=-4\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=2{,}5x-4\). 4. Für den Funktionswert \(11\) gilt \(11=2{,}5x-4\). 5. Daraus folgt \(15=2{,}5x\) und somit \(x=6\).

Der Funktionswert \(11\) wird bei \(x=6\) angenommen.

- Betrachte jeweils nur den Graphenabschnitt innerhalb des angegebenen Intervalls. - Vergleiche Hoch- und Tiefpunkte im Inneren mit den Funktionswerten an den Intervallrändern. - Lies den höchsten und den niedrigsten y-Wert des jeweiligen Abschnitts ab.

1. Im Intervall \([-3; 1]\) liegt das Minimum bei \(x=-2\) mit \(f(-2)=-4\). Das Maximum liegt am rechten Rand bei \(x=1\) mit \(f(1)=2{,}75\). 2. Im Intervall \([1; 3]\) liegt das Maximum bei \(x=2\) mit \(f(2)=4\). Das Minimum liegt am rechten Rand bei \(x=3\) mit \(f(3)=2{,}25\). 3. Im Intervall \([-4; 4]\) ist der größte Funktionswert \(4\), der bei \(x=-4\) und \(x=2\) erreicht wird. Der kleinste Funktionswert ist \(-4\), der bei \(x=-2\) und \(x=4\) erreicht wird.

1) Maximum: \(2{,}75\); Minimum: \(-4\) 2) Maximum: \(4\); Minimum: \(2{,}25\) 3) Maximum: \(4\); Minimum: \(-4\)

- Welche zwei Zahlen ergeben quadriert genau 4? - Suche im Graphen nach den Stellen, an denen die Funktion diese beiden Werte annimmt. - Prüfe, welche dieser Stellen in eines der vorgegebenen Intervalle fällt.

1. Die Gleichung \((f(x))^2 = 4\) ist erfüllt, wenn \(f(x) = 2\) oder \(f(x) = -2\) gilt. 2. Wir suchen im Graphen nach Stellen \(x\), an denen der Funktionswert \(y = 2\) oder \(y = -2\) ist. 3. Für \(y = 2\) finden wir Schnittpunkte bei \(x \approx -3{,}46\) und \(x \approx 3{,}46\). 4. Für \(y = -2\) gibt es keine Schnittpunkte mit dem Graphen, da der tiefste Punkt bei \(y = -1\) liegt. 5. Von den gefundenen Werten liegt nur \(x \approx -3{,}46\) in einem der vorgegebenen Intervalle, nämlich in \([-4; -3]\).

Das Intervall \([-4; -3]\) enthält eine Lösung.

- Achte auf das Minuszeichen in der Funktion – was bedeutet das für die Bewegung? - Wenn eine bestimmte Höhe gesucht ist, musst du die Gleichung nach \(t\) umstellen. - „Das Tal erreichen“ bedeutet mathematisch, dass die Höhe Null wird. - Für den Vergleich musst du für beide Personen die Zeit berechnen, die sie bis zur Höhe \(0\,\text{m}\) benötigen.

1. Höhe nach \(2{,}5\,\text{h}\): \(h(2{,}5) = 1500 - 240 \cdot 2{,}5 = 1500 - 600 = 900\). Er befindet sich auf \(900\,\text{m}\). 2. Zeit für \(660\,\text{m}\): \(660 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 840 \Rightarrow t = 3{,}5\). Er benötigt \(3{,}5\,\text{Stunden}\). 3. Talankunft und Wertebereich: \(0 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 1500 \Rightarrow t = 6{,}25\). Er erreicht das Tal nach \(6\,\text{Stunden}\) und \(15\,\text{Minuten}\). Der Wertebereich ist \(W = [0; 1500]\), da er auf \(1500\,\text{m}\) startet und bei \(0\,\text{m}\) endet. 4. Vergleich: Wanderer 2 wird beschrieben durch \(g(t) = 1200 - 180t\). Nullstelle: \(0 = 1200 - 180t \Rightarrow 180t = 1200 \Rightarrow t = \frac{1200}{180} \approx 6{,}67\). Da \(6{,}25 < 6{,}67\), erreicht der erste Wanderer das Tal trotz der größeren Starthöhe früher.

a) \(900\,\text{m}\). b) Nach \(3{,}5\,\text{Stunden}\). c) Talankunft nach \(6{,}25\,\text{Stunden}\) (\(6\,\text{h}\) \(15\,\text{min}\)). Wertebereich: \([0; 1500]\) in Metern. d) Der erste Wanderer erreicht das Tal zuerst (\(6{,}25\,\text{h}\) vs. ca. \(6{,}67\,\text{h}\)).