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- Schau dir an, wie sich die Entfernung in den einzelnen Zeitabschnitten entwickelt. - Überlege, was es für den Weg bedeutet, wenn die Linie nach oben, nach unten oder flach verläuft. - Wenn die Entfernung zum Startpunkt kleiner wird, in welche Richtung bewegt sich die Person dann im Vergleich zum Hinweg?

a) Im Abschnitt \(A\) steigt der Graph an (\(s\) nimmt mit der Zeit zu), daher ist die Steigung positiv. - Im Abschnitt \(B\) verläuft der Graph horizontal (\(s\) bleibt bei \(8\,\text{km}\) konstant), daher ist die Steigung null. - Im Abschnitt \(C\) fällt der Graph ab (\(s\) nimmt mit der Zeit ab), daher ist die Steigung negativ. b) Eine negative Steigung bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Entfernung zum Startpunkt abnimmt. Die Wanderin befindet sich also auf dem Rückweg und nähert sich wieder ihrer Unterkunft an.

a) \(A\): positiv; \(B\): null; \(C\): negativ. b) Eine negative Steigung bedeutet, dass die Wanderin sich wieder dem Startpunkt nähert (Rückweg).

- Überlege dir für jede Höhe, wie viel Platz das Wasser dort hat, um sich auszubreiten. - Was bedeutet eine „steile“ Kurve im Graphen für die Geschwindigkeit des Anstiegs? - Stell dir vor, du füllst das Gefäß schichtweise: Sind die Schichten bei gleicher Wassermenge oben dicker oder dünner als unten?

1. Analyse der Form: Da das Gefäß oben weiter wird, vergrößert sich die Querschnittsfläche mit zunehmender Höhe. 2. Schlussfolgerung für die Geschwindigkeit: Bei konstantem Zufluss muss sich das Wasser auf eine immer größere Fläche verteilen. Die Füllhöhe steigt also anfangs schnell und dann immer langsamer. 3. Graphverlauf: Da die Steiggeschwindigkeit abnimmt, wird die Steigung des Graphen mit der Zeit kleiner. Die Kurve verläuft immer flacher (degressiver Anstieg). 4. Veränderung bei Verengung: Wenn das Gefäß oben schmaler wird, verringert sich die Querschnittsfläche wieder. Das Wasser steigt in diesem Bereich wieder schneller an, der Graph wird also wieder steiler.

a) Die Füllhöhe steigt immer langsamer an, da die Querschnittsfläche nach oben hin zunimmt und sich das Wasser auf mehr Raum verteilen muss. b) Die Kurve im Graphen wird immer flacher. c) Der Graph würde im oberen Bereich wieder steiler werden, da das Wasser bei geringerer Fläche schneller in die Höhe steigt.

- Schau dir an, in welchem Streckenabschnitt sich die Personen bei den genannten Entfernungen befinden. - Überlege, welche Geschwindigkeiten Lisa während der gesamten Fahrt erreichen kann. - Vergleiche Tims Geschwindigkeiten in seinen beiden Abschnitten mit Lisas fester Geschwindigkeit.

1. Bestimmung der Geschwindigkeiten bei \(s = 1\,\text{km}\): Tim befindet sich noch in seinem ersten Abschnitt (\(s \le 2\,\text{km}\)) und fährt \(25\,\text{km/h}\). Lisa fährt konstant \(20\,\text{km/h}\). Ergebnis: Tim ist schneller. 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten bei \(s = 4\,\text{km}\): Tim befindet sich in seinem zweiten Abschnitt (\(s > 2\,\text{km}\)) und fährt \(15\,\text{km/h}\). Lisa fährt weiterhin \(20\,\text{km/h}\). Ergebnis: Lisa ist schneller. 3. Vergleich der Geschwindigkeitsverläufe: Da Lisa immer \(20\,\text{km/h}\) fährt und Tim nur die Geschwindigkeiten \(25\,\text{km/h}\) (bis \(2\,\text{km}\)) und \(15\,\text{km/h}\) (ab \(2\,\text{km}\)) annimmt, haben beide zu keinem Zeitpunkt (bzw. an keiner Stelle) dieselbe Geschwindigkeit.

1. Nach \(1\,\text{km}\) ist Tim mit \(25\,\text{km/h}\) schneller als Lisa (\(20\,\text{km/h}\)). 2. Nach \(4\,\text{km}\) ist Lisa mit \(20\,\text{km/h}\) schneller als Tim (\(15\,\text{km/h}\)). 3. Es gibt keinen Punkt auf der Strecke, an dem beide die gleiche Geschwindigkeit fahren.

- Überlege dir, wie viele 3er-Angebote du maximal nutzen kannst, um auf die gewünschte Anzahl zu kommen. - Gibt es eine Anzahl an Kugeln, bei der es günstiger ist, ein 3er-Angebot zu nehmen, anstatt die Kugeln einzeln zu kaufen? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn man nur ganze Zahlen für die Anzahl einsetzen kann?

1. Den günstigsten Preis für 7 Kugeln ermitteln: Kombination aus zwei 3er-Bechern und einer einzelnen Kugel berechnen: \(2 \cdot 4{,}00\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 9{,}50\,\text{€}\). (Vergleich mit 7 Einzelkugeln: \(7 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 10{,}50\,\text{€}\)). 2. Tabelle für die Werte 1 bis 8 unter Berücksichtigung der 3er-Angebote erstellen: - 1 Kugel: \(1{,}50\,\text{€}\) - 2 Kugeln: \(3{,}00\,\text{€}\) - 3 Kugeln: \(4{,}00\,\text{€}\) - 4 Kugeln: \(4{,}00\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 5{,}50\,\text{€}\) - 5 Kugeln: \(4{,}00\,\text{€} + 2 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 7{,}00\,\text{€}\) - 6 Kugeln: \(2 \cdot 4{,}00\,\text{€} = 8{,}00\,\text{€}\) - 7 Kugeln: \(8{,}00\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 9{,}50\,\text{€}\) - 8 Kugeln: \(8{,}00\,\text{€} + 3{,}00\,\text{€} = 11{,}00\,\text{€}\) 3. Die Punkte \((x \mid y)\) in ein Koordinatensystem eintragen. 4. Begründung für die Nicht-Verbindung: Die Anzahl der Kugeln ist eine diskrete Größe; man kann keine halben oder Bruchteile von Kugeln kaufen, weshalb die Zwischenwerte keine Bedeutung haben.

a) Der günstigste Preis für 7 Kugeln beträgt \(9{,}50\,\text{€}\). b) Tabelle: <table> <tr><td>Anzahl Kugeln</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr> <tr><td>Preis (€)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(3{,}00\)</td><td>\(4{,}00\)</td><td>\(5{,}50\)</td><td>\(7{,}00\)</td><td>\(8{,}00\)</td><td>\(9{,}50\)</td><td>\(11{,}00\)</td></tr> </table> c) Der Graph besteht aus einzelnen Punkten. Man darf sie nicht verbinden, da nur ganze Kugeln verkauft werden (diskrete Werte).

- Überlege zuerst, welche Kombination von Gegenständen am leichtesten und welche am schwersten ist. - Wie verändert sich das Gesamtgewicht, wenn du genau ein Heft gegen ein Buch austauschst? - Gibt es zwischen den Werten in der Tabelle (zum Beispiel bei \(1{,}5\) Büchern) eine sinnvolle Bedeutung?

1. Berechnung des minimalen Gewichts (6 Hefte, 0 Bücher): \(6 \cdot 80\,\text{g} = 480\,\text{g}\). 2. Berechnung des maximalen Gewichts (0 Hefte, 6 Bücher): \(6 \cdot 450\,\text{g} = 2700\,\text{g}\). 3. Berechnung der Tabellenwerte durch schrittweises Ersetzen eines Heftes durch ein Buch (Gewichtszunahme pro Buch: \(450\,\text{g} - 80\,\text{g} = 370\,\text{g}\)): - 0 Bücher: \(480\,\text{g}\) - 1 Buch: \(480\,\text{g} + 370\,\text{g} = 850\,\text{g}\) - 2 Bücher: \(850\,\text{g} + 370\,\text{g} = 1220\,\text{g}\) - 3 Bücher: \(1220\,\text{g} + 370\,\text{g} = 1590\,\text{g}\) - 4 Bücher: \(1590\,\text{g} + 370\,\text{g} = 1960\,\text{g}\) - 5 Bücher: \(1960\,\text{g} + 370\,\text{g} = 2330\,\text{g}\) - 6 Bücher: \(2330\,\text{g} + 370\,\text{g} = 2700\,\text{g}\) 4. Interpretation: Eine Verbindung der Punkte ist nicht sinnvoll, da die Anzahl der Bücher eine diskrete Variable ist (man kann keine halben Bücher einpacken).

a) Das minimale Gewicht beträgt \(480\,\text{g}\), das maximale Gewicht \(2700\,\text{g}\). b) Die Gewichte lauten: \(480\,\text{g}\), \(850\,\text{g}\), \(1220\,\text{g}\), \(1590\,\text{g}\), \(1960\,\text{g}\), \(2330\,\text{g}\), \(2700\,\text{g}\). c) Nein, es ist nicht sinnvoll, da man nur eine ganze Anzahl an Büchern oder Heften einpacken kann. Die Zuordnung ist diskret.

- Überlege dir zuerst, welche Werte auf welche Achse gehören. - Wie kannst du die Steigung einer Geraden berechnen, wenn du zwei Punkte kennst? - Was bedeutet eine waagerechte Linie im Diagramm für die Veränderung der Wassermenge? - Kannst du für die verschiedenen Zeitabschnitte jeweils eine kleine Gleichung aufstellen?

1. Identifikation der Eckpunkte des Graphen: \(P_0(0 \mid 0)\), \(P_1(20 \mid 40)\), \(P_2(30 \mid 40)\) und \(P_3(45 \mid 25)\). 2. Berechnung der Füllgeschwindigkeit im ersten Abschnitt: \(\frac{40\,\text{l} - 0\,\text{l}}{20\,\text{min} - 0\,\text{min}} = 2\,\text{l/min}\). 3. Bestimmung der Zeitpunkte für \(30\,\text{l}\): - Im ersten Abschnitt (Füllen): \(2t = 30 \implies t = 15\,\text{min}\). - Im dritten Abschnitt (Entnahme): Die Gerade durch \(P_2(30 \mid 40)\) und \(P_3(45 \mid 25)\) hat die Steigung \(m = \frac{25 - 40}{45 - 30} = -1\,\text{l/min}\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 40 - 1 \cdot (t - 30)\). Setze \(V(t) = 30\): \(30 = 40 - (t - 30) \implies -10 = -(t - 30) \implies 10 = t - 30 \implies t = 40\,\text{min}\).

a) Der Graph verbindet die Punkte \((0 \mid 0)\), \((20 \mid 40)\), \((30 \mid 40)\) und \((45 \mid 25)\) geradlinig. b) Die Füllgeschwindigkeit beträgt \(2\,\text{l/min}\). c) Das Fass enthält nach \(15\,\text{Minuten}\) und nach \(40\,\text{Minuten}\) genau \(30\,\text{Liter}\).

- Wie berechnet man die Änderung eines Wertes über eine bestimmte Zeitspanne? - Was bedeutet eine „durchschnittliche Rate“ im Zusammenhang mit der Steigung zwischen zwei Punkten? - Überlege dir, wie viel die Pflanze pro Tag im jeweiligen Abschnitt dazugewinnt. - Für die Prognose: Nutze den Wert an Tag 20 als Startwert und rechne den Zuwachs für 10 weitere Tage hinzu.

1. Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsraten \(\frac{\Delta h}{\Delta t}\) für die Intervalle: - Intervall \([0; 5]\): \(\frac{22 - 12}{5 - 0} = \frac{10}{5} = 2\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([5; 15]\): \(\frac{62 - 22}{15 - 5} = \frac{40}{10} = 4\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([15; 20]\): \(\frac{92 - 62}{20 - 15} = \frac{30}{5} = 6\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([20; 30]\): \(\frac{112 - 92}{30 - 20} = \frac{20}{10} = 2\,\text{cm/Tag}\) 2. Vergleich der Raten: Die höchste Rate liegt im Intervall \([15; 20]\) mit \(6\,\text{cm/Tag}\) vor. 3. Prognose für Tag 30 bei konstanter Rate von \(6\,\text{cm/Tag}\) ab Tag 20: \(h(30) = h(20) + 10 \cdot 6 = 92 + 60 = 152\,\text{cm}\). 4. Vergleich: Der theoretische Wert (\(152\,\text{cm}\)) ist deutlich höher als der tatsächliche Tabellenwert (\(112\,\text{cm}\)), was bedeutet, dass sich das Wachstum verlangsamt hat.

a) Die Wachstumsraten betragen \(2\,\text{cm/Tag}\), \(4\,\text{cm/Tag}\), \(6\,\text{cm/Tag}\) und \(2\,\text{cm/Tag}\). b) Im Intervall \([15; 20]\) war das Wachstum mit \(6\,\text{cm/Tag}\) am schnellsten. c) Die theoretische Höhe wäre \(152\,\text{cm}\). Der tatsächliche Wert (\(112\,\text{cm}\)) liegt darunter, da die Wachstumsgeschwindigkeit abgenommen hat.

- Stelle dir vor, du hast einen Kuchen (die Gesamtkosten) und teilst ihn auf. Was passiert, wenn der Kuchen größer wird? - Was passiert mit dem Anteil jedes Einzelnen, wenn mehr Leute mitessen, der Kuchen aber gleich groß bleibt? - Betrachte den Zähler und den Nenner des Bruchs getrennt. - Überlege dir ein Beispiel mit einfachen Zahlen, um deine Vermutung zu prüfen.

1. Analyse der Abhängigkeit von \(G\): In der Formel \(k = \frac{G}{n - 3}\) steht \(G\) im Zähler. Da der Nenner \(n - 3\) bei gleichbleibendem \(n\) konstant und positiv ist, ist \(k\) direkt proportional zu \(G\). Wenn \(G\) steigt, vergrößert sich der Wert des Bruchs, somit steigt \(k\). 2. Analyse der Abhängigkeit von \(n\): Wenn \(n\) steigt, vergrößert sich der Wert des Nenners \(n - 3\). Da der Zähler \(G\) konstant und positiv ist, führt ein größerer Nenner zu einem kleineren Gesamtwert des Bruchs. Somit sinkt \(k\).

1) Die Kosten pro zahlender Person \(k\) steigen. 2) Die Kosten pro zahlender Person \(k\) sinken.

- Schau dir zuerst die Achsenbeschriftungen an: Auf welcher Achse liegt die Geschwindigkeit und auf welcher der Anhalteweg? - Suche auf der waagerechten Achse den Wert \(50\,\text{km/h}\) und gehe senkrecht nach oben bis zum Graphen. Welchen Wert liest du dort auf der senkrechten Achse ab? - Wiederhole diesen Schritt für die Geschwindigkeit \(100\,\text{km/h}\). - Vergleiche nun die beiden abgelesenen Werte: Wenn sich der erste Wert verdoppeln würde, wie groß müsste er sein? Wie viel größer ist er stattdessen? - Um herauszufinden, um welchen Faktor der Weg angewachsen ist, kannst du den größeren Wert durch den kleineren teilen.

1. Ablesen der Werte aus der Grafik: - Bei einer Geschwindigkeit von \(v = 50\,\text{km/h}\) sucht man die \(50\) auf der waagerechten Achse und liest auf der senkrechten Achse den Wert \(s = 40\,\text{m}\) ab. - Bei einer Geschwindigkeit von \(v = 100\,\text{km/h}\) sucht man die \(100\) auf der waagerechten Achse und liest auf der senkrechten Achse den Wert \(s = 130\,\text{m}\) ab. 2. Überprüfung der Verdoppelung und Verhältnisberechnung: - Bei einer Verdoppelung der Geschwindigkeit von \(50\,\text{km/h}\) auf \(100\,\text{km/h}\) müsste der Anhalteweg genau \(2 \cdot 40\,\text{m} = 80\,\text{m}\) betragen. - Da der tatsächliche Anhalteweg bei \(100\,\text{km/h}\) jedoch \(130\,\text{m}\) beträgt, verdoppelt sich der Anhalteweg nicht, sondern er wächst deutlich stärker an. - Um das genaue Verhältnis zu bestimmen, teilt man den Anhalteweg bei \(100\,\text{km/h}\) durch den Anhalteweg bei \(50\,\text{km/h}\): \(\frac{130\,\text{m}}{40\,\text{m}} = 3{,}25\) - Der Anhalteweg erhöht sich bei einer Verdoppelung der Geschwindigkeit auf das \(3{,}25\)-Fache.

a) Bei \(50\,\text{km/h}\) beträgt der Anhalteweg \(40\,\text{m}\). Bei \(100\,\text{km/h}\) beträgt der Anhalteweg \(130\,\text{m}\). b) Nein, der Anhalteweg verdoppelt sich nicht. Da \(\frac{130}{40} = 3{,}25\), wächst der Anhalteweg bei einer Verdoppelung der Geschwindigkeit sogar auf das \(3{,}25\)-Fache an.

- Schaue dir zuerst an, was auf den beiden Achsen dargestellt ist: Welche Achse zeigt die Zeit und welche die Temperatur? - Für Aufgabenteil a): Suche die jeweilige Uhrzeit auf der horizontalen Achse, gehe senkrecht nach oben oder unten bis zum Graphen und lies dann den Wert auf der vertikalen Achse ab. - Für Aufgabenteil b): Wo befindet sich der höchste Punkt des Graphen? Welcher Uhrzeit und welcher Temperatur entspricht dieser Punkt? - Für Aufgabenteil c): Bei welchen Uhrzeiten schneidet der Graph die horizontale Linie bei \(0\,\text{°C}\)? - Für Aufgabenteil d): Berechne den Unterschied zwischen der Temperatur um 14:00 Uhr und der Temperatur um 6:00 Uhr. Denke daran, dass Temperaturen unter Null ein negatives Vorzeichen haben.

a) **Ablesen der Temperaturen zu den vollen Stunden (Teilaufgabe a):** Durch Verfolgen der Gitterlinien von der horizontalen Achse (Uhrzeit) nach oben bzw. unten zum Graphen lassen sich folgende Werte auf der vertikalen Achse ablesen: - Um 6:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) - Um 10:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\) - Um 14:00 Uhr: \(7\,\text{°C}\) - Um 18:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\) - Um 22:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) b) **Höchste Temperatur (Teilaufgabe b):** Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(14{:}00\,\text{Uhr}\). Der zugehörige Funktionswert beträgt \(7\,\text{°C}\). Die maximale Temperatur beträgt somit \(7\,\text{°C}\) um 14:00 Uhr. c) **Zeitraum ohne Frost (Teilaufgabe c):** Die Temperatur liegt über \(0\,\text{°C}\), wenn der Graph oberhalb der horizontalen Achse verläuft. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse beim Übergang ins Positive zwischen 9:00 Uhr und 10:00 Uhr (bei ca. 9:35 Uhr) und zurück ins Negative zwischen 18:00 Uhr und 19:00 Uhr (bei ca. 18:25 Uhr). Der frostfreie Zeitraum ist somit von ca. 9:35 Uhr bis ca. 18:25 Uhr (Toleranz: ca. 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr). d) **Temperaturanstieg (Teilaufgabe d):** Die Temperatur um 6:00 Uhr beträgt \(-5\,\text{°C}\), die Temperatur um 14:00 Uhr beträgt \(7\,\text{°C}\). Der Temperaturunterschied berechnet sich als Differenz: \(7\,\text{°C} - (-5\,\text{°C}) = 12\,\text{°C}\). Die Temperatur ist somit um \(12\,\text{°C}\) gestiegen.

a) 6:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\); 10:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 14:00 Uhr: \(7\,\text{°C}\); 18:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 22:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) b) Um 14:00 Uhr war es mit \(7\,\text{°C}\) am wärmsten. c) Von ca. 9:35 Uhr bis ca. 18:25 Uhr (Toleranz: ca. 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr). d) Um \(12\,\text{°C}\).

- Schau dir die Achsenbeschriftungen genau an: Was ist auf der x-Achse und was auf der y-Achse dargestellt? - Um den Wert für eine bestimmte Uhrzeit abzulesen, suche die Uhrzeit auf der x-Achse, gehe senkrecht zum Graphen und von dort waagerecht zur y-Achse. - Ein ungestörter sonniger Tag würde einen gleichmäßigen Anstieg bis zum Mittag und danach einen Abfall zeigen. Wo weicht der Graph von diesem typischen Verlauf ab? - Für den prozentualen Rückgang berechnest du zuerst den Unterschied zwischen den beiden Leistungen und teilst ihn durch den Ausgangswert bei \(11{:}00\,\text{Uhr}\).

a) - Um \(10{:}00\,\text{Uhr}\) liest man auf der y-Achse den Wert \(6\,\text{kW}\) ab. - Um \(12{:}00\,\text{Uhr}\) liest man auf der y-Achse den Wert \(2\,\text{kW}\) ab. b) - Beginn: Um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) weicht die Kurve vom normalen Verlauf ab und fällt plötzlich stark ab. - Höhepunkt: Um \(12{:}00\,\text{Uhr}\) erreicht die Leistung mit \(2\,\text{kW}\) ihren tiefsten Punkt. - Ende: Um \(13{:}00\,\text{Uhr}\) erreicht die Leistung wieder den regulären Wert von \(8\,\text{kW}\) und folgt danach dem gewohnten Verlauf. - Der betroffene Zeitraum reicht somit von \(11{:}00\,\text{Uhr}\) bis \(13{:}00\,\text{Uhr}\). c) - Die Leistung zu Beginn der Sonnenfinsternis beträgt \(8\,\text{kW}\), am Höhepunkt beträgt sie \(2\,\text{kW}\). - Der absolute Rückgang beträgt \(8\,\text{kW}-2\,\text{kW}=6\,\text{kW}\). - Der prozentuale Rückgang ist \(\frac{6\,\text{kW}}{8\,\text{kW}}=0{,}75=75\,\%\).

a) Um \(10{:}00\,\text{Uhr}\): \(6\,\text{kW}\); um \(12{:}00\,\text{Uhr}\): \(2\,\text{kW}\). b) Beginn: \(11{:}00\,\text{Uhr}\); Höhepunkt: \(12{:}00\,\text{Uhr}\); Ende: \(13{:}00\,\text{Uhr}\). c) Um \(75\,\%\).

- Lies die Beschreibungen auf den Kärtchen genau und vergleiche sie mit dem Verlauf der Graphen. - Achte auf den Unterschied zwischen einem geradlinigen und einem gekrümmten Verlauf. - Überlege, was eine waagerechte Linie für die Änderung des Wasserstands bedeutet. - Bestimme für die mittlere Geschwindigkeit den Höhenunterschied und teile ihn durch die Zeitspanne.

a) Diagramm A gehört zu Kärtchen (2): Der lineare Anstieg von \(1\,\text{m}\) auf \(3\,\text{m}\) in den ersten zwei Stunden entspricht gleichmäßigem Regen. Die anschließende waagerechte Strecke entspricht einer Regenpause, gefolgt von einem schnellen linearen Sinken auf \(0\,\text{m}\). Diagramm B gehört zu Kärtchen (1): Der Wasserstand sinkt von \(t=0\) bis \(t=3\) langsam um \(1\,\text{m}\), danach bis \(t=6\) deutlich schneller um \(3\,\text{m}\). Diagramm C gehört zu Kärtchen (3): Der nach oben gekrümmte Verlauf zeigt eine zunehmende Steigung, gefolgt von einer waagerechten Phase. b) Im Diagramm B sinkt der Wasserstand von \(3\,\text{m}\) auf \(0\,\text{m}\). Für die mittlere Sinkgeschwindigkeit gilt \(3\,\text{m}:3\,\text{h}=1\,\text{m/h}\).

a) Diagramm A gehört zu Kärtchen (2), Diagramm B zu Kärtchen (1) und Diagramm C zu Kärtchen (3). b) Der Wasserstand sinkt mit einer mittleren Geschwindigkeit von \(1\,\text{m/h}\).

- Lies die Achsenbeschriftungen und ihre Einheiten genau. - Überlege, was ein waagerechter Abschnitt im Graphen für die Bewegung bedeutet. - Berechne eine Geschwindigkeit aus zurückgelegter Strecke und benötigter Zeit. - Achte beim Ablesen der Zeiten auf die Skalierung der Achse.

a) Die Raststation A liegt \(6\,\text{km}\) von der Unterkunft entfernt. Die Pause dauert von \(t=2\,\text{h}\) bis \(t=3\,\text{h}\), also \(1\,\text{Stunde}\). b) Auf dem ersten Abschnitt beträgt die Geschwindigkeit \(6\,\text{km}:2\,\text{h}=3\,\text{km/h}\). c) Der Rückweg beginnt nach \(5\,\text{Stunden}\). Der Graph endet nach \(6\,\text{Stunden}\) bei einer Entfernung von \(0\,\text{km}\), daher dauerte der Ausflug insgesamt \(6\,\text{Stunden}\). d) Auf dem Rückweg werden \(9\,\text{km}\) in \(1\,\text{h}\) zurückgelegt. Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt \(9\,\text{km/h}\).

a) Die erste Raststation ist \(6\,\text{km}\) von der Unterkunft entfernt und die Pause dauerte \(1\,\text{Stunde}\). b) Auf dem ersten Wegabschnitt betrug die Geschwindigkeit \(3\,\text{km/h}\). c) Der Rückweg wurde nach \(5\,\text{Stunden}\) angetreten und der Ausflug dauerte insgesamt \(6\,\text{Stunden}\). d) Die durchschnittliche Geschwindigkeit auf dem Rückweg betrug \(9\,\text{km/h}\).

- Lies Start- und Endhöhe an den jeweiligen Randpunkten ab. - Der Höhenunterschied ist die Differenz zwischen Ziel- und Starthöhe. - Suche den höchsten Punkt jedes Profils und lies den zugehörigen Kilometerwert ab. - Addiere für den gesamten Aufstieg nur die Höhenunterschiede der ansteigenden Abschnitte.

a) Weg A startet bei \(400\,\text{m}\) und endet bei \(600\,\text{m}\). Der Höhenunterschied beträgt \(600\,\text{m}-400\,\text{m}=200\,\text{m}\). Weg B startet bei \(200\,\text{m}\) und endet bei \(900\,\text{m}\). Der Höhenunterschied beträgt \(900\,\text{m}-200\,\text{m}=700\,\text{m}\). b) Weg A erreicht bei Kilometer \(9\) seine maximale Höhe von \(800\,\text{m}\). Weg B erreicht bei Kilometer \(15\) seine maximale Höhe von \(900\,\text{m}\). c) Bei Weg A beträgt der gesamte Aufstieg \(800\,\text{m}-300\,\text{m}=500\,\text{m}\). Bei Weg B betragen die beiden Anstiege \(700\,\text{m}-200\,\text{m}=500\,\text{m}\) und \(900\,\text{m}-500\,\text{m}=400\,\text{m}\), zusammen also \(900\,\text{m}\). Daher erfordert Weg B mehr Aufstieg.

a) Weg A: Starthöhe \(400\,\text{m}\), Zielhöhe \(600\,\text{m}\), Höhenunterschied \(200\,\text{m}\); Weg B: Starthöhe \(200\,\text{m}\), Zielhöhe \(900\,\text{m}\), Höhenunterschied \(700\,\text{m}\). b) Weg A: \(800\,\text{m}\) bei Kilometer \(9\); Weg B: \(900\,\text{m}\) bei Kilometer \(15\). c) Weg B erfordert mit insgesamt \(900\,\text{m}\) mehr Aufstieg als Weg A mit \(500\,\text{m}\).

- Prüfe die Achsenbeschriftungen und die Skalierung. - Suche für Teil a) das vorgegebene Volumen auf der senkrechten Achse und lies die zugehörige Zeit ab. - Nutze für die Funktionsgleichung den Anfangswert und die stündliche Abnahme. - Ein leerer Behälter entspricht \(V(t)=0\).

a) Bei einem Volumen von \(4{,}5\,\text{m}^3\) liest man am Graphen \(t=5\,\text{h}\) ab. b) Der Anfangswert beträgt \(12\,\text{m}^3\), die Steigung \(-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\). Daher gilt \(V(t)=12-1{,}5t\). Für den leeren Behälter setzt man \(V(t)=0\): \(12-1{,}5t=0\), also \(t=8\,\text{h}\).

a) Nach \(5\,\text{h}\) sind noch \(4{,}5\,\text{m}^3\) Wasser im Behälter. b) \(V(t)=12-1{,}5t\); der Behälter ist nach \(8\,\text{h}\) vollständig leer.

- Schaue dir die Achsenbeschriftungen genau an: Was ist auf der waagerechten Achse und was auf der senkrechten Achse dargestellt? - Für Aufgabenteil a): Welcher Punkt auf dem Graphen entspricht dem Startzeitpunkt \(t = 0\)? - Für Aufgabenteil b): Suche den höchsten Punkt der Kurve und lies die Koordinaten dieses Punktes ab. - Für Aufgabenteil c): Ziehe gedanklich eine waagerechte Linie bei der Temperatur \(40\,\text{°C}\) und bestimme die Schnittpunkte mit dem Graphen.

a) Anfangstemperatur ablesen: Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) schneidet der Graph die senkrechte Achse bei \(T = 20\,\text{°C}\). Die Anfangstemperatur beträgt also \(20\,\text{°C}\). b) Höchste Temperatur bestimmen: Der höchste Punkt des Graphen liegt bei den Koordinaten \((20 \mid 45)\). Das bedeutet, dass nach \(20\,\text{min}\) die maximale Temperatur von \(45\,\text{°C}\) erreicht wird. c) Zeitraum für mindestens \(40\,\text{°C}\) ermitteln: Der Graph liegt auf oder oberhalb der waagerechten Linie bei \(y = 40\) im Intervall von \(t = 10\,\text{min}\) bis \(t = 40\,\text{min}\). Die Gesamtdauer beträgt: Die Differenz der beiden Zeiten beträgt \(40\,\text{min} - 10\,\text{min} = 30\,\text{min}\).

a) Die Anfangstemperatur beträgt \(20\,\text{°C}\). b) Die höchste Temperatur von \(45\,\text{°C}\) wird nach \(20\,\text{min}\) erreicht. c) Die Temperatur liegt von Minute \(10\) bis Minute \(40\) bei mindestens \(40\,\text{°C}\). Das sind insgesamt \(30\,\text{min}\).

- Schau dir zuerst die Beschriftung der beiden Achsen an: Welche Größe ist auf der waagerechten Achse (x-Achse) und welche auf der senkrechten Achse (y-Achse) dargestellt? - Um die Start- oder Maximalwerte zu finden, betrachte den am weitesten links liegenden Punkt des Graphen sowie den am höchsten gelegenen Bereich. - Ein Stillstand oder eine Pause im Sachkontext zeigt sich im Graphen oft als ein flacher, horizontaler Abschnitt. Wie kannst du dessen Dauer bestimmen? - Wenn nach einer bestimmten Höhe gefragt ist, suche diesen Wert zuerst auf der senkrechten Achse und folge der Linie waagerecht zum Graphen, um die zugehörige Zeit abzulesen.

a) **Start- und Maximalhöhe ablesen**: Der Anfangspunkt des Graphen liegt bei \(t = 0\) auf einer Höhe von \(200\,\text{m}\). Der höchste, flache Abschnitt des Graphen liegt auf einer Höhe von \(1000\,\text{m}\). Die Wanderung startet also bei \(200\,\text{m}\) und erreicht eine maximale Höhe von \(1000\,\text{m}\). b) **Dauer der Pause bestimmen**: Die Pause auf dem Gipfel entspricht dem horizontalen Abschnitt auf maximaler Höhe (\(1000\,\text{m}\)). Dieser beginnt bei \(t = 4\,\text{h}\) und endet bei \(t = 6\,\text{h}\). Die Dauer beträgt somit: \(6\,\text{h} - 4\,\text{h} = 2\,\text{h}\) (Stunden). c) **Höhenmeter im Aufstieg berechnen**: Der Aufstieg erfolgt von der Starthöhe bei \(200\,\text{m}\) bis zur Gipfelhöhe von \(1000\,\text{m}\). Die zurückgelegten Höhenmeter betragen: \(1000\,\text{m} - 200\,\text{m} = 800\,\text{m}\). d) **Zeitpunkt beim Abstieg bestimmen**: Der Abstieg findet im Zeitraum von \(t = 6\,\text{h}\) bis \(t = 8\,\text{h}\) statt. Um den Zeitpunkt für eine Höhe von \(700\,\text{m}\) zu finden, sucht man den Wert \(700\) auf der vertikalen Achse und liest den zugehörigen Wert auf der horizontalen Achse ab. Dieser liegt genau bei \(t = 7\,\text{h}\).

a) Start bei \(200\,\text{m}\), maximale Höhe \(1000\,\text{m}\). b) \(2\,\text{Stunden}\). c) \(800\,\text{m}\). d) Nach \(7\,\text{Stunden}\).

- Ein Alter von \(0\) Jahren entspricht dem Neupreis. - Beachte, dass die Werte der senkrechten Achse in Tausend Euro angegeben sind. - Berechne für Teil b) zunächst die Hälfte des Startwerts. - Lies zu einem vorgegebenen Wert auf der senkrechten Achse das zugehörige Alter ab.

a) Bei einem Alter von \(0\) Jahren liest man \(24\) in Einheiten von \(1000\,\text{€}\) ab, also \(24\,000\,\text{€}\). Nach \(4\) Jahren beträgt der Wert ungefähr \(9500\,\text{€}\). b) Die Hälfte des Neupreises sind \(12\,000\,\text{€}\). Diesen Wert erreicht der Graph nach \(3\) Jahren. c) Der Wert \(6000\,\text{€}\) wird nach \(6\) Jahren erreicht.

a) Neupreis: \(24\,000\,\text{€}\); Wert nach \(4\) Jahren: ungefähr \(9500\,\text{€}\). b) Nach \(3\) Jahren. c) Nach \(6\) Jahren.

- Spitzen entsprechen Zeiten mit besonders hoher Aktivität. - Achte beim Ablesen auf die Skalierung beider Achsen. - Überlege, welche zeitlich begrenzten Aktivitäten einen mittäglichen Anstieg und anschließenden Rückgang erklären könnten.

a) Die drei Spitzen liegen ungefähr um \(08{:}00\) Uhr bei \(3{,}5\,\text{GB}/\text{min}\), um \(13{:}00\) Uhr bei \(2{,}5\,\text{GB}/\text{min}\) und um \(20{:}00\) Uhr bei \(5{,}5\,\text{GB}/\text{min}\). b) Um \(10{:}00\) Uhr liegt der Durchsatz bei ungefähr \(0{,}65\,\text{GB}/\text{min}\). c) Nach der Spitze um \(13{:}00\) Uhr sinkt das Datenaufkommen bis etwa \(15{:}00\) Uhr wieder auf ein Grundniveau. Eine mögliche Ursache ist das Ende einer zeitlich begrenzten Aktivitätsphase, etwa der Mittagspause. d) Der niedrigste Wert liegt bei ungefähr \(0{,}5\,\text{GB}/\text{min}\).

a) Ungefähr um \(08{:}00\) Uhr, \(13{:}00\) Uhr und \(20{:}00\) Uhr. b) Ungefähr \(0{,}65\,\text{GB}/\text{min}\). c) Nach der mittäglichen Spitze sinkt das Datenaufkommen bis etwa \(15{:}00\) Uhr wieder; eine mögliche Ursache ist das Ende der Mittagspause oder einer anderen kurzen Aktivitätsphase. d) Ungefähr \(0{,}5\,\text{GB}/\text{min}\).

- Überlege dir für jede Geschichte, ob der Wert steigt, sinkt oder gleich bleibt. - Achte darauf, ob sich der Wert gleichmäßig (geradlinig) oder ungleichmäßig (kurvig) verändert. - Gibt es in einer Geschichte einen Vorgang, der sich regelmäßig wiederholt? - Überlege, welcher Graph eine „Sättigung“ zeigt, also wo das Wachstum irgendwann aufhört.

a) Graph 1 zeigt einen periodischen, wellenförmigen Verlauf, der die auf- und absteigende Bewegung der Boje im Meer passend darstellt. b) Graph 2 stellt eine lineare Abnahme dar. Da jeden Tag der gleiche Betrag verbraucht wird, sinkt das Guthaben gleichmäßig (konstante Änderungsrate). c) Graph 3 zeigt ein anfänglich schnelles Wachstum, das sich später abflacht. Dies entspricht dem typischen Wachstumsmuster eines Lebewesens bis zum Erreichen des Erwachsenenalters. d) Graph 4 zeigt eine Kurve, die erst steil abfällt und sich dann immer langsamer der x-Achse nähert. Dies ist charakteristisch für einen Zerfallsprozess, bei dem die Intensität nie ganz null wird, aber stetig abnimmt.

a) \(\rightarrow\) (1) b) \(\rightarrow\) (2) c) \(\rightarrow\) (3) d) \(\rightarrow\) (4)

- Gehe auf der waagerechten Achse zur gewünschten Zeit und dann senkrecht nach oben zum Graphen. - Wenn der Graph waagerecht verläuft, ändert sich der Wert auf der \(y\)-Achse nicht. Was bedeutet das für die Bewegung? - Vergleiche die Steilheit der verschiedenen Abschnitte, um die Geschwindigkeit zu beurteilen.

a) Ablesen der Werte: Nach \(2\) Stunden hat der Wanderer \(8\,\text{km}\) zurückgelegt. Nach \(5\) Stunden sind es \(14\,\text{km}\). b) Erstellung der Wertetabelle durch Ablesen der Punkte: <table> <tr><th>Zeit (h)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><th>Strecke (km)</th><td>0</td><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>12</td><td>14</td></tr> </table> c) Interpretation des Graphen: In den ersten 3 Stunden läuft der Wanderer mit konstanter Geschwindigkeit (\(4\,\text{km/h}\)). Zwischen Stunde 3 und 4 bleibt die Strecke gleich (\(12\,\text{km}\)), was auf eine Pause hindeutet. In der letzten Stunde läuft er langsamer weiter (\(2\,\text{km/h}\)), evtl. wegen eines steileren Anstiegs.

a) Nach \(2\) Stunden: \(8\,\text{km}\); nach \(5\) Stunden: \(14\,\text{km}\). b) Wertetabelle: <table> <tr><th>Zeit (h)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><th>Strecke (km)</th><td>0</td><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>12</td><td>14</td></tr> </table> c) In den ersten drei Stunden wandert er gleichmäßig. Zwischen der 3. und 4. Stunde macht er eine Pause (die Strecke nimmt nicht zu). Danach geht er langsamer weiter als zu Beginn.

- Was bedeutet der Startpunkt auf der senkrechten Achse in diesem Sachzusammenhang? - Überlege, wie viel Höhe die Kerze in einer bestimmten Zeit verliert. - Wann erreicht die Linie die waagerechte Zeitachse?

a) Anfangshöhe: Zum Zeitpunkt \(t = 0\) schneidet der Graph die \(y\)-Achse bei \(18\). Die Kerze war also \(18\,\text{cm}\) hoch. b) Brenngeschwindigkeit: Dies entspricht dem Betrag der Steigung \(m\). Wähle zwei Punkte, z. B. \((0 \mid 18)\) und \((4 \mid 6)\). \(m = \frac{6 - 18}{4 - 0} = \frac{-12}{4} = -3\). Die Kerze wird also pro Stunde um \(3\,\text{cm}\) kürzer. Die Brenngeschwindigkeit beträgt \(3\,\text{cm/h}\). c) Abgebrannt: Die Kerze ist abgebrannt, wenn die Höhe \(h = 0\) ist. Das ist die Nullstelle des Graphen. Löse \(0 = -3t + 18\) nach \(t\) auf: \(3t = 18 \Rightarrow t = 6\). Nach \(6\) Stunden ist die Kerze abgebrannt.

a) Die Kerze war zu Beginn \(18\,\text{cm}\) hoch. b) Die Brenngeschwindigkeit beträgt \(3\,\text{cm/h}\). c) Die Kerze ist nach \(6\) Stunden vollständig abgebrannt.

- Achte auf die Einheiten der Achsen. - Liegt der Graph auf der Zeitachse, beträgt die Geschwindigkeit \(0\,\text{km/h}\). - Bestimme die Pausendauer aus Start- und Endzeitpunkt. - Die Höchstgeschwindigkeit entspricht dem höchsten y-Wert des Graphen.

a) Nach \(5\,\text{min}\) beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{km/h}\), nach \(15\,\text{min}\) \(20\,\text{km/h}\), nach \(30\,\text{min}\) \(0\,\text{km/h}\) und nach \(50\,\text{min}\) \(25\,\text{km/h}\). b) Die Geschwindigkeit ist von \(t=25\,\text{min}\) bis \(t=40\,\text{min}\) gleich null. Die Pause dauert \(40\,\text{min}-25\,\text{min}=15\,\text{min}\). c) Der höchste Wert des Graphen beträgt \(25\,\text{km/h}\).

a) Nach \(5\,\text{min}\): \(10\,\text{km/h}\); nach \(15\,\text{min}\): \(20\,\text{km/h}\); nach \(30\,\text{min}\): \(0\,\text{km/h}\); nach \(50\,\text{min}\): \(25\,\text{km/h}\). b) \(15\,\text{Minuten}\), von der 25. bis zur 40. Minute. c) \(25\,\text{km/h}\).

- Die Steigung eines Weg-Zeit-Graphen entspricht der Geschwindigkeit. - Ein waagerechter Abschnitt steht für eine Pause. - Prüfe, ob die Steigung konstant bleibt, zunimmt oder abnimmt.

1. Graph a ist eine Gerade durch den Ursprung und besitzt eine konstante Steigung. Graph b hat einen waagerechten Abschnitt und steigt danach steiler als zuvor. Graph c ist nach oben gekrümmt, seine Steigung nimmt zu. Graph d ist nach unten gekrümmt, seine Steigung nimmt ab. 2. Leon gehört zu Graph a, Sarah zu Graph b, Tim zu Graph c und Maya zu Graph d.

Leon \(\rightarrow\) Graph a; Sarah \(\rightarrow\) Graph b; Tim \(\rightarrow\) Graph c; Maya \(\rightarrow\) Graph d.

- Welche Phasen eines Konzerts könnten mit hoher oder niedriger Lautstärke verbunden sein? - Was passiert akustisch, wenn eine Band die Bühne verlässt und die nächste sich vorbereitet?

1. Nach dem anfänglichen Lautstärkeanstieg spielte die Vorband ungefähr von Minute \(5\) bis Minute \(40\) bei etwa \(85\,\text{dB}\). Der Hauptact begann nach dem erneuten starken Anstieg ungefähr bei Minute \(65\). 2. Die Umbaupause lag ungefähr zwischen Minute \(45\) und Minute \(60\), da der Pegel dort auf etwa \(60\,\text{dB}\) absank.

1. Vorband: ungefähr Minute \(5\) bis \(40\); Hauptact ab ungefähr Minute \(65\). 2. Umbaupause: ungefähr Minute \(45\) bis \(60\).

- Was passiert mit der Luftqualität, wenn viele Menschen in einem Raum sind? - Welche Handlung führt dazu, dass die Luftqualität sehr schnell besser wird?

a) Um \(09{:}30\) Uhr und \(11{:}15\) Uhr sinkt der Wert jeweils schlagartig ab. Hier wurde vermutlich stoßgelüftet (Fenster weit geöffnet). b) Ab \(13{:}00\) Uhr endet der Unterricht und die Schüler verlassen den Raum. Da niemand mehr \(\mathrm{CO}_2\) ausatmet, sinkt der Wert allmählich auf das Niveau der Außenluft ab.

a) Es wurde gelüftet. b) Der Unterricht ist zu Ende, die Schüler haben den Raum verlassen.

- Woran erkennst du im Diagramm, dass der Wagen steht? - Wo startet die Fahrt und wo endet sie? - Wie berechnest du Zeitspannen aus den Werten auf der x-Achse?

a) Die Aufenthaltszeiten sind die waagerechten Abschnitte: \(10\,\text{min}\) (Kunde 1), \(15\,\text{min}\) (Kunde 2) und \(10\,\text{min}\) (Kunde 3). Gesamt: \(35\,\text{min}\). b) Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(12\,\text{km}\) (Kunde 3). c) Die Rückfahrt beginnt bei \(t = 75\,\text{min}\) und endet bei \(t = 90\,\text{min}\). Sie dauerte also \(15\,\text{min}\).

a) \(35\,\text{min}\). b) \(12\,\text{km}\). c) \(15\,\text{min}\).

- Waagerechte Abschnitte bedeuten, dass sich die Geschwindigkeit über die Strecke nicht ändert. - Ein Wert von Null auf der senkrechten Achse bedeutet Stillstand. - Suche nach den Knickpunkten im Graphen, um die Grenzen der verschiedenen Abschnitte zu finden.

a) Analyse der Plateaus: In den Bereichen von \(0\) bis \(8\,\text{km}\) und von \(12\) bis \(20\,\text{km}\) ist die Geschwindigkeit konstant bei \(12\,\text{kn}\). b) Stillstandsbereich in der Schleuse: Die Geschwindigkeit sinkt ab \(x = 8\,\text{km}\) und ist zwischen \(x = 9\,\text{km}\) und \(x = 11\,\text{km}\) gleich \(0\,\text{kn}\). Das Schiff steht also zwischen Kilometer 9 und 11 still. c) Vergleich der Werte: Bei \(x = 5\,\text{km}\) beträgt die Geschwindigkeit \(12\,\text{kn}\). Bei \(x = 10\,\text{km}\) beträgt sie \(0\,\text{kn}\). d) Interpretation des Anstiegs: Zwischen Kilometer 11 und 13 beschleunigt das Schiff von \(0\,\text{kn}\) zurück auf seine Reisegeschwindigkeit von \(12\,\text{kn}\) (die bei Kilometer 12 erreicht wird und dann konstant bleibt).

a) Die Geschwindigkeit in den freien Abschnitten beträgt \(12\,\text{kn}\). b) Das Schiff steht zwischen Kilometer 9 und Kilometer 11 still. c) Bei Kilometer 5 fährt das Schiff mit \(12\,\text{kn}\), bei Kilometer 10 steht es (\(0\,\text{kn}\)). d) Zwischen Kilometer 11 und 12 beschleunigt das Schiff von \(0\) auf \(12\,\text{kn}\); ab Kilometer 12 hält es diese Geschwindigkeit konstant.

- Was passiert mathematisch, wenn eine Zuordnung jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuweist? - Schau dir den Verlauf des Graphen nach der 40. Minute genau an, um den Wert bei 45 Minuten zu finden. - Überlege, was es bedeutet, wenn die Entfernung zum Startpunkt wieder abnimmt.

a) Gesamtdauer bestimmen: Der Graph startet bei \(t = 0\) und kehrt bei \(t = 60\,\text{min}\) zur Entfernung \(0\) zurück. Die Tour dauert \(60\,\text{min}\). b) Auswertung bei \(t = 20\): Der Kurier befindet sich auf einem Plateau bei einer Entfernung von \(6\,\text{km}\). Da sich die Entfernung zwischen Minute 15 und 25 nicht ändert, liefert er dort vermutlich eine Sendung aus oder macht eine Pause. c) Wert ablesen bei \(t = 45\): Bei Minute 40 ist er \(10\,\text{km}\) entfernt, bei Minute 60 ist er bei \(0\,\text{km}\). Nach 45 Minuten befindet er sich auf dem Rückweg. Durch Ablesen am Graphen ergibt sich ein Wert von etwa \(7{,}5\,\text{km}\). Rechnerisch: In \(20\,\text{min}\) legt er \(10\,\text{km}\) zurück, also \(2{,}5\,\text{km}\) in \(5\,\text{min}\). \(10 - 2{,}5 = 7{,}5\). d) Funktionsbegriff: Jedem Zeitpunkt \(t\) aus dem Definitionsbereich wird genau eine Entfernung zugeordnet. Der Graph enthält keinen senkrechten Abschnitt; daher ist jedem Zeitpunkt genau ein Entfernungswert zugeordnet.

a) Die Tour dauert \(60\,\text{min}\). b) Nach \(20\,\text{min}\) ist er \(6\,\text{km}\) entfernt. Dort liefert er vermutlich ein Paket aus (Aufenthalt). c) Nach \(45\,\text{min}\) ist er \(7{,}5\,\text{km}\) vom Zentrum entfernt. d) Es handelt sich um eine Funktion, weil jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zugeordnet wird.

- Wo auf der y-Achse starten die Graphen? Was bedeutet dieser Punkt für die Kerzen? - Wie viel Höhe verliert eine Kerze in einer Stunde? Schau dir die Steigung der Geraden an. - Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden im Sachzusammenhang? - Du kannst den Zeitpunkt des Treffens entweder direkt im Diagramm ablesen oder die Geradengleichungen aufstellen und gleichsetzen.

a) Aus den Graphen oder den Funktionsgleichungen lassen sich die Anfangshöhen (y-Achsenabschnitte) und Brenngeschwindigkeiten (Steigungen) ablesen: - Kerze A (blau): Anfangshöhe \(12\,\text{cm}\), Brenngeschwindigkeit \(1{,}5\,\text{cm/h}\) (da sie in \(4\,\text{h}\) um \(6\,\text{cm}\) kürzer wird). - Kerze B (orange): Anfangshöhe \(18\,\text{cm}\), Brenngeschwindigkeit \(3\,\text{cm/h}\) (da sie in \(4\,\text{h}\) um \(12\,\text{cm}\) kürzer wird). Die Funktionsgleichungen lauten \(y_A = -1{,}5x + 12\) und \(y_B = -3x + 18\). b) Gleichsetzen der Funktionen: \(-1{,}5x + 12 = -3x + 18\). Lösen nach \(x\): \(1{,}5x = 6 \Rightarrow x = 4\). Einsetzen in eine Gleichung: \(y = -3 \cdot 4 + 18 = 6\). Die Kerzen sind nach \(4\,\text{Stunden}\) beide genau \(6\,\text{cm}\) hoch.

a) Kerze A ist zu Beginn \(12\,\text{cm}\) hoch und brennt mit \(1{,}5\,\text{cm}\) pro Stunde ab. Kerze B ist zu Beginn \(18\,\text{cm}\) hoch und brennt mit \(3\,\text{cm}\) pro Stunde ab. b) Nach \(4\,\text{Stunden}\) sind beide Kerzen gleich hoch, nämlich \(6\,\text{cm}\).

- Schau dir an, welche Werte die Graphen bei \(x = 0\) haben. Das ist das Startkapital. - Die Steilheit der Geraden zeigt dir, wie schnell das Guthaben anwächst. Wer spart also pro Woche mehr? - Suche den Punkt, an dem sich die beiden Linien kreuzen. Welche Koordinaten hat dieser Punkt?

a) Identifikation der Startwerte am y-Achsenabschnitt (\(x = 0\)): - Sarah (orange) startet mit \(40\,\text{€}\). - Lukas (blau) startet mit \(10\,\text{€}\). Bestimmung der wöchentlichen Sparrate (Steigung): - Lukas spart in \(10\,\text{Wochen}\) \(50\,\text{€}\) (\(60 - 10\)), also \(5\,\text{€/Woche}\). - Sarah spart in \(10\,\text{Wochen}\) \(20\,\text{€}\) (\(60 - 40\)), also \(2\,\text{€/Woche}\). b) Ablesen des Schnittpunkts im Koordinatensystem: - Die Graphen schneiden sich im Punkt \((10 \mid 60)\). Nach \(10\,\text{Wochen}\) haben beide genau \(60\,\text{€}\) gespart.

a) Sarah hat zu Beginn mit \(40\,\text{€}\) mehr Geld; Lukas spart mit \(5\,\text{€}\) pro Woche mehr als Sarah (\(2\,\text{€}\) pro Woche). b) Nach \(10\,\text{Wochen}\) haben beide denselben Betrag von \(60\,\text{€}\) gespart.

- Überlege dir zuerst, welcher Wert auf welcher Achse des Koordinatensystems dargestellt wird. - Der Startwert der Funktion entspricht dem Punkt, an dem der Graph die vertikale Achse schneidet. - Wie viel kommt in jeder Zeiteinheit hinzu? Das hilft dir bei der Steigung. - Verfolge vom gesuchten Wert auf einer Achse gedanklich den Weg zum Graphen und von dort zur anderen Achse. - Nutze die allgemeine Form der linearen Funktion \(y = mx + b\).

a) Ablesen aus dem Graphen: Suche den Wert \(240\,\text{l}\) auf der vertikalen Achse und gehe horizontal zum Graphen, dann vertikal nach unten zur Zeitachse. Ergebnis: \(t = 7\,\text{min}\). b) Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert (y-Achsenabschnitt) ist \(b = 100\). Die Steigung (Zuwachs pro Minute) ist \(m = 20\). Die Gleichung lautet \(V(t) = 20t + 100\). Berechnung der Zeit für \(360\,\text{l}\): Setze \(V(t) = 360\) in die Gleichung ein: \(360 = 20t + 100\) \(260 = 20t\) \(t = 13\) Nach \(13\,\text{min}\) ist das Volumen von \(360\,\text{l}\) erreicht.

a) Nach \(7\,\text{min}\) sind \(240\,\text{l}\) im Tank. b) Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 20t + 100\). Das Volumen von \(360\,\text{l}\) wird nach \(13\,\text{min}\) erreicht.

- Achte darauf, dass die Höhe mit der Zeit abnimmt. Was bedeutet das für das Vorzeichen der Steigung? - Wo liegt der Startpunkt der Kerze im Koordinatensystem? - Um die Höhe nach einer bestimmten Zeit zu finden, starte bei dieser Zeit auf der x-Achse. - Die Funktionsgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Zeit \(t\) und der aktuellen Höhe \(h\). - Setze für die Berechnung den Zielwert für die Höhe in deine Gleichung ein und löse nach der Zeit auf.

a) Ablesen aus dem Graphen: Suche den Wert \(4\,\text{h}\) auf der horizontalen Achse und gehe vertikal nach oben zum Graphen, dann horizontal nach links zur Höhenachse. Ergebnis: \(h = 18\,\text{cm}\). b) Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(b = 24\). Die Steigung ist negativ, da die Kerze kürzer wird: \(m = -1{,}5\). Die Gleichung lautet \(h(t) = -1{,}5t + 24\). Berechnung der Zeit für \(9\,\text{cm}\): Setze \(h(t) = 9\) ein: \(9 = -1{,}5t + 24\) \(-15 = -1{,}5t\) \(t = 10\) Nach \(10\,\text{Stunden}\) ist die Kerze noch \(9\,\text{cm}\) hoch.

a) Nach \(4\,\text{h}\) ist die Kerze noch \(18\,\text{cm}\) hoch. b) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -1{,}5t + 24\). Eine Höhe von \(9\,\text{cm}\) wird nach \(10\,\text{h}\) erreicht.

- Überlege dir, ob die Größe gleichmäßig (immer gleich viel pro Zeit), immer langsamer oder abwechselnd steigt und fällt. - Welcher Graph zeigt einen Vorgang, der sich ständig wiederholt? - Welcher Graph passt zu einer Größe, die nach einer Weile einen festen Endwert erreicht?

1. Zuordnung: (1) \(\rightarrow\) A. Da der Regen gleichmäßig fällt und das Fass zylindrisch ist, steigt der Wasserstand proportional zur Zeit an, was einem linearen Graphen entspricht. 2. Zuordnung: (2) \(\rightarrow\) B. Das Kind wächst anfangs schnell, dann langsamer, bis das Wachstum schließlich fast ganz aufhört. Dies zeigt der degressiv steigende Graph. 3. Zuordnung: (3) \(\rightarrow\) C. Die Schwingung ist ein periodischer Vorgang, bei dem sich die Höhe regelmäßig wiederholt, was durch den wellenförmigen Graphen dargestellt wird.

(1) – A; (2) – B; (3) – C.

- Überlege dir, wie sich eine lineare Zunahme im Vergleich zu einer quadratischen Zunahme im Graphen unterscheidet. - Der Schnittpunkt der beiden Graphen zeigt dir, wann die Wasserstände identisch sind. - Um die Höhe zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden, kannst du diesen Wert einfach in die jeweilige Funktionsgleichung einsetzen.

a) Zuordnung: Behälter 1 hat eine lineare Funktion (\(h_1(t) = 15t\)), was einer Geraden im Diagramm entspricht (blau). Behälter 2 hat eine quadratische Funktion (\(h_2(t) = t^2\)), was einer Parabel entspricht (grün). b) Schnittpunkte bestimmen: \(t^2 = 15t \Rightarrow t(t - 15) = 0\). Damit gilt \(t = 0\) oder \(t = 15\). Zu Beginn sind beide Becken leer. Nach \(15\,\text{min}\) sind die Wasserstände erneut gleich hoch. c) Differenz nach \(10\) Minuten: \(h_1(10) = 15 \cdot 10 = 150\,\text{cm}\). \(h_2(10) = 10^2 = 100\,\text{cm}\). Der Unterschied beträgt \(150\,\text{cm} - 100\,\text{cm} = 50\,\text{cm}\).

a) Die Gerade (blau) gehört zu Behälter 1, die Kurve (grün) zu Behälter 2. b) Gleich hohe Wasserstände liegen bei \(t = 0\) und \(t = 15\,\text{min}\) vor. Nach dem Start sind sie nach \(15\,\text{min}\) erneut gleich hoch. c) Nach \(10\,\text{min}\) beträgt der Unterschied \(50\,\text{cm}\).

- Schau dir die Skalierung der Achsen genau an, um Werte möglichst genau abzulesen. - Die Gesamtleistung ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der y-Werte der beiden anderen Graphen. - Wann berührt der Graph der Solaranlage die waagerechte Achse? - Überlege, was passiert, wenn man zu einem Wert eine Zahl addiert, die nicht negativ sein kann.

a) Ablesen der Werte für \(t = 12\): Aus dem Graphen entnimmt man ungefähr \(W(12) = 2\,\text{MW}\) und \(S(12) \approx 3{,}6\,\text{MW}\). Berechnung der Gesamtleistung: \(G(12) = W(12) + S(12) \approx 2\,\text{MW} + 3{,}6\,\text{MW} = 5{,}6\,\text{MW}\). b) Analyse der Solarleistung: Der Graph \(S\) liegt auf der \(t\)-Achse (\(S(t) = 0\)) für \(0 \le t \le 6\) und \(18 \le t \le 24\). Die Solaranlage liefert also nachts (von 0:00 bis 6:00 Uhr und von 18:00 bis 24:00 Uhr) keine elektrische Leistung. c) Begründung der Lage: Da die Einzelleistung der Solaranlage immer größer oder gleich Null ist (\(S(t) \ge 0\)), gilt für die Summe \(G(t) = W(t) + S(t) \ge W(t) + 0 = W(t)\). Somit liegt der Graph von \(G\) immer über oder auf dem Graphen von \(W\).

a) Die Gesamtleistung um 12:00 Uhr beträgt ungefähr \(5{,}6\,\text{MW}\). b) Die Solaranlage liefert von 0:00 bis 6:00 Uhr sowie von 18:00 bis 24:00 Uhr keine elektrische Leistung. c) Da die Leistung \(S(t)\) der Solaranlage nie negativ ist, ist die Summe \(G(t) = W(t) + S(t)\) immer mindestens so groß wie \(W(t)\).

- Schau dir den y-Achsenabschnitt (den Wert bei \(x = 0\)) an, um die Grundgebühr zu finden. - Der Schnittpunkt zeigt dir, wann beide Angebote genau gleich viel kosten. - Überlege dir, welcher Graph für höhere Stückzahlen „niedriger“ im Koordinatensystem liegt. - Du kannst die Kosten für eine bestimmte Anzahl entweder am jeweiligen Graphen ablesen oder mit den Preisen berechnen.

a) Zuordnung: Graph \(1\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(60\), was der Grundgebühr von Anbieter \(A\) entspricht. Graph \(2\) verläuft durch den Ursprung, was zu Anbieter \(B\) ohne Grundgebühr passt. b) Schnittpunkt: Die Geraden schneiden sich im Punkt \((10 \mid 100)\). Das bedeutet, dass bei einer Bestellung von exakt \(10\) T-Shirts beide Anbieter mit Gesamtkosten von \(100\,\text{€}\) gleich teuer sind. c) Vergleich: Rechts vom Schnittpunkt (\(x > 10\)) verläuft der rote Graph \(1\) unterhalb des blauen Graphen \(2\). Daher ist Anbieter \(A\) ab einer Menge von \(11\) Shirts günstiger. d) Ersparnis bei \(x = 20\): Bei Anbieter \(B\) betragen die Kosten \(10 \cdot 20 = 200\,\text{€}\). Bei Anbieter \(A\) betragen sie \(4 \cdot 20 + 60 = 140\,\text{€}\). Die Ersparnis beträgt \(200\,\text{€} - 140\,\text{€} = 60\,\text{€}\).

a) \(1\) ist Anbieter \(A\), \(2\) ist Anbieter \(B\). b) Schnittpunkt: \((10 \mid 100)\). Hier sind die Kosten bei beiden Anbietern gleich hoch. c) Ab \(11\) T-Shirts ist Anbieter \(A\) günstiger. d) Ersparnis: \(60\,\text{€}\).

- Suche für Aufgabenteil a) den Wert 6 auf der waagrechten Achse und gehe von dort senkrecht nach oben zum Graphen. - Überlege dir für Aufgabenteil b), wo die Grenze von \(30\,\text{mg/l}\) im Diagramm verläuft. - Welche Abschnitte des Graphen liegen oberhalb dieser Grenze? - Achte beim Ablesen auf die Skalierung der Achsen.

a) Bei \(t = 6\,\text{h}\) liegt der Graph bei \(30\,\text{mg/l}\). b) Der Graph überschreitet \(30\,\text{mg/l}\) ungefähr bei \(t \approx 0{,}75\,\text{h}\) und erreicht diesen Grenzwert bei \(t = 6\,\text{h}\) erneut. Wegen der strengen Ungleichung \(c > 30\,\text{mg/l}\) liegt die Konzentration ungefähr für \(0{,}75 < t < 6\) über dem Grenzwert.

a) Nach \(6\,\text{h}\) beträgt die Konzentration \(30\,\text{mg/l}\). b) Ungefähr für \(0{,}75 < t < 6\), also strikt zwischen etwa 45 Minuten und 6 Stunden nach dem Unfall.

- Die Füllrate entspricht der Steigung der Geraden im Diagramm. - Nutze die Differenzen der Koordinaten zweier markierter Punkte. - Überlege dir, wie viele Liter Wasser in einem bestimmten Zeitraum (zum Beispiel in 4 Minuten) hinzugekommen sind.

1. Entnimm zwei Punkte aus dem Graphen, an denen die Gerade die Gitterlinien schneidet. Markiert sind die Punkte \(P_1(2 \mid 10)\) und \(P_2(6 \mid 30)\). 2. Die Steigung \(m\) berechnet sich aus dem Quotienten der Differenzen: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{30 - 10}{6 - 2}\). 3. Rechnung: \(m = \frac{20}{4} = 5\). Die Füllrate beträgt \(5\,\text{l/min}\).

Die Füllrate beträgt \(5\,\text{l/min}\).

- Schau dir an, welcher y-Wert (Kosten) genau über dem gesuchten x-Wert (Datenvolumen) liegt. - Achte bei den Sprungstellen darauf, ob der Punkt ausgefüllt oder leer ist. Ein ausgefüllter Punkt gehört zum Graphen, ein leerer Kreis nicht. - Überlege dir, wie sich der Preis ändert, wenn man eine Grenze wie \(0{,}5\,\text{GB}\) exakt erreicht.

a) Ablesen des Funktionswertes für \(v = 0{,}3\,\text{GB}\): Der Graph verläuft in diesem Bereich auf der v-Achse, daher betragen die Kosten \(0\,\text{€}\). - Ablesen für \(v = 0{,}5\,\text{GB}\): An dieser Stelle tritt ein Sprung auf. Da der Punkt bei \(K = 5\) ausgefüllt ist, betragen die Kosten genau \(5\,\text{€}\). - Ablesen für \(v = 1{,}6\,\text{GB}\): Dieser Wert liegt im Intervall \([1{,}5; 2{,}0[\). Der Graph verläuft hier konstant auf der Höhe \(K = 15\), die Kosten betragen also \(15\,\text{€}\). b) Bedeutung des ausgefüllten Punktes: Bei genau \(1{,}0\,\text{GB}\) Verbrauch ist das Inklusivvolumen und das erste Zusatzpaket aufgebraucht. In diesem Moment wird das nächste Paket für weitere \(5\,\text{€}\) hinzugebucht, wodurch der Gesamtpreis von \(5\,\text{€}\) auf \(10\,\text{€}\) springt.

a) Bei \(0{,}3\,\text{GB}\) betragen die Kosten \(0\,\text{€}\), bei \(0{,}5\,\text{GB}\) sind es \(5\,\text{€}\) und bei \(1{,}6\,\text{GB}\) betragen sie \(15\,\text{€}\). b) Der ausgefüllte Punkt bedeutet, dass bei exakt \(1{,}0\,\text{GB}\) Verbrauch bereits der Preis der nächsten Stufe (\(10\,\text{€}\)) fällig wird.

- Schau dir an, wie sich die Abstände zwischen den Tabellenwerten verändern. - Wie rechnet man Minuten in Stunden um, um die Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) anzugeben? - Was bedeutet eine abnehmende Zunahme der Strecke pro Zeitabschnitt für die Geschwindigkeit?

1. Position nach \(20\,\text{min}\): Anna legt in jedem 15-Minuten-Abschnitt \(4{,}5\,\text{km}\) zurück. Daher gilt nach \(20\,\text{min}\): \(4{,}5 + 5 : 15 \cdot 4{,}5 = 6{,}0\,\text{km}\). Ben legt zwischen Minute 15 und Minute 30 ebenfalls \(4{,}5\,\text{km}\) zurück. Daher gilt: \(6{,}0 + 5 : 15 \cdot 4{,}5 = 7{,}5\,\text{km}\). Ben ist also mit einem Vorsprung von \(1{,}5\,\text{km}\) vorn. Nach dem gemeinsamen Start treffen sich die Verläufe erstmals wieder bei \(45\,\text{min}\). 2. Durchschnittsgeschwindigkeit Anna: In \(60\,\text{min}\), also \(1\,\text{h}\), legt sie \(18{,}0\,\text{km}\) zurück. Die Geschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). 3. Vergleich und Interpretation: Annas Verlauf entspricht einer Geraden mit konstanter Steigung. Bens Verlauf wird abschnittsweise immer flacher; seine Geschwindigkeit nimmt also ab. Mögliche Gründe sind Erschöpfung, Gegenwind oder ein Anstieg im Gelände.

a) Ben ist vorn; sein Vorsprung beträgt \(1{,}5\,\text{km}\). b) Annas Geschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). c) Ben startet schnell und wird dann langsamer, zum Beispiel durch Ermüdung oder eine Steigung, während Anna ihr Tempo hält.

- Schau dir an, um wie viele Zentimeter die Höhe in jedem Zeitabschnitt wächst. - Erinnere dich: Wenn ein Gefäß breiter wird, steigt der Wasserspiegel langsamer oder schneller?

1. Analyse der Zunahme: Bei Gefäß A nimmt die Höhe alle \(10\,\text{s}\) um genau \(2{,}0\,\text{cm}\) zu. Dies ist eine proportionale Zuordnung, was auf eine gleichmäßige Gefäßform (Zylinder) hindeutet. 2. Form von Gefäß B: In den ersten \(10\,\text{s}\) steigt das Wasser um \(3{,}5\,\text{cm}\), zwischen \(40\) und \(50\,\text{s}\) nur noch um \(0{,}5\,\text{cm}\). Da die Füllhöhe bei gleichbleibendem Zufluss immer langsamer steigt, muss das Gefäß nach oben hin deutlich breiter werden (z. B. Schüsselform).

a) Gefäß A ist gleichmäßig geformt, da die Füllhöhe proportional zur Zeit steigt (immer \(+2\,\text{cm}\) pro \(10\,\text{s}\)). b) Gefäß B wird nach oben hin breiter, da die Höhenzunahme pro Zeitschritt immer kleiner wird (\(3{,}5 \to 2{,}5 \to 1{,}5 \to 1{,}0 \to 0{,}5\)).

- Um die Geschwindigkeit zu finden, teile die Änderung des Ladestands durch die Zeit. - Schau beim alten Modell, ob die Zunahme immer gleich bleibt. - Wie viele Prozentpunkte fehlen beim alten Modell noch bis zur vollen Ladung?

1. Berechnung der Ladegeschwindigkeiten des neuen Smartphones: - Zeitraum \(0\) bis \(20\,\text{min}\): Die Zunahme von \(5\,\%\) auf \(45\,\%\) beträgt \(40\) Prozentpunkte. Durchschnitt: \(40 : 20 = 2\) Prozentpunkte pro Minute. - Zeitraum \(40\) bis \(60\,\text{min}\): Die Zunahme von \(72\,\%\) auf \(90\,\%\) beträgt \(18\) Prozentpunkte. Durchschnitt: \(18 : 20 = 0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Vergleich: Das alte Modell lädt linear mit konstant \(10\) Prozentpunkten pro \(10\,\text{min}\). Das neue Modell lädt anfangs deutlich schneller, wird aber mit zunehmendem Ladestand langsamer. 3. Bedingte Prognose für das alte Modell: Unter der Annahme, dass die konstante Rate von einem Prozentpunkt pro Minute bis \(100\,\%\) anhält, gewinnt es \(1\) Prozentpunkt pro Minute. Es fehlen noch \(100\,\% - 65\,\% = 35\) Prozentpunkte. Das dauert \(35\,\text{min}\). Die Gesamtzeit beträgt daher \(60\,\text{min} + 35\,\text{min} = 95\,\text{min}\). 4. Interpretation: Bei hohem Ladestand wird der Ladestrom häufig reduziert, um den Akku vor hoher Wärmeentwicklung und Belastung zu schützen.

a) \(0-20\,\text{min}\): \(2\) Prozentpunkte pro Minute; \(40-60\,\text{min}\): \(0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. b) Das alte Modell lädt gleichmäßig (linear), das neue Modell lädt anfangs schnell und dann immer langsamer. c) Unter Fortsetzung der beobachteten konstanten Rate nach insgesamt \(95\,\text{min}\). d) Um den Akku zu schonen und Hitze zu vermeiden, wird der Ladestrom bei fast vollem Akku reduziert.

- Rechne zuerst aus, um wie viele Prozentpunkte der Akkuladestand in einer Stunde sinkt. Bleibt dieser Wert zwischen allen Messpunkten gleich? - Wie viele Stunden sind von 10:00 Uhr bis 16:30 Uhr vergangen? - Wenn du weißt, wie viel der Akku pro Stunde verliert, kannst du ausrechnen, wie lange die verbleibende Akkuladung noch reicht. - Ein Term hilft dir, beliebige Zeiten einzusetzen. Was ist der Startwert und was wird abgezogen?

1. Durchschnittlicher Verbrauch (a): Von 10:00 bis 12:00 Uhr (2 h): \(100 - 84 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 12:00 bis 14:00 Uhr (2 h): \(84 - 68 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 14:00 bis 15:00 Uhr (1 h): \(68 - 60 = 8\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 15:00 bis 18:00 Uhr (3 h): \(60 - 36 = 24\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Der Verbrauch ist über den gesamten Zeitraum konstant. 2. Ladestand um 16:30 Uhr (b): Von 10:00 bis 16:30 Uhr sind \(6{,}5\,\text{Stunden}\) vergangen. Einsetzen ergibt \(100 - 8 \cdot 6{,}5 = 48\). Der Ladestand beträgt \(48\,\%\). 3. Zeitpunkt für \(0\,\%\) (c): \(100 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12{,}5\). \(12{,}5\,\text{Stunden}\) nach 10:00 Uhr ist 22:30 Uhr. 4. Funktionsterm (d): Mit dem Startwert \(100\) und einer Abnahme von \(8\) Prozentpunkten pro Stunde gilt \(y = 100 - 8x\).

a) Der Verbrauch ist konstant und beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Um 16:30 Uhr beträgt der Ladestand \(48\,\%\). c) Der Akku wird um 22:30 Uhr leer sein. d) Der Term lautet \(y = 100 - 8x\).

- Überlege, was mit der Geschwindigkeit passiert, wenn ein Auto anhält. - Welche Information steht an der waagerechten Achse? - Vergleiche dieses Diagramm mit einem, bei dem die Zeit auf der waagerechten Achse steht. - Was passiert mit dem Kilometerzähler im Auto, während man an einer Ampel wartet?

1. Analyse des Ereignisses bei \(s = 8\,\text{km}\): Da die Geschwindigkeit an diesem Wegpunkt \(0\,\text{km/h}\) beträgt und unmittelbar davor und danach \(50\,\text{km/h}\), handelt es sich idealisiert um einen Halt, zum Beispiel an einer roten Ampel oder einem Stoppschild. 2. Analyse der Diagrammachsen: Die \(x\)-Achse stellt den zurückgelegten Weg \(s\) dar, nicht die Zeit. 3. Schlussfolgerung zur Dauer: Während eines Stillstands vergrößert sich der zurückgelegte Weg nicht (\(\Delta s = 0\)). Die gesamte Wartezeit gehört daher zu demselben Wegpunkt \(s = 8\,\text{km}\). Im Weg-Geschwindigkeits-Diagramm erscheint nur der einzelne Wert \(v(8)=0\); eine Zeitdauer kann ohne Zeitachse nicht dargestellt werden.

a) Bei Kilometer 8 gab es idealisiert einen Halt, zum Beispiel an einer Ampel oder einem Stoppschild. b) Während des Wartens bleibt der Wegwert unverändert. Das Weg-Geschwindigkeits-Diagramm zeigt deshalb nur \(v(8)=0\), aber nicht, wie lange dieser Zustand dauert.

- Rechne die Zeit von \(12{:}15\) bis \(14{:}45\) erst in Dezimalstunden oder Minuten um. - Wenn du weißt, wie viele Prozentpunkte pro Stunde verloren gehen, kannst du auch „rückwärts“ rechnen. - Gibt es eine Obergrenze für die Ladung eines Akkus?

1. Berechnung der Zeitdifferenz: Von \(12{:}15\,\text{Uhr}\) bis \(14{:}45\,\text{Uhr}\) vergehen \(2{,}5\,\text{Stunden}\). 2. Berechnung der Ladungsdifferenz: \(88\,\% - 63\,\% = 25\) Prozentpunkte. 3. Abnahme pro Stunde: \(25 : 2{,}5 = 10\) Prozentpunkte pro Stunde. 4. Zeitpunkt \(0\,\%\) (a): Von \(63\,\%\) ausgehend dauert es noch \(63 : 10 = 6{,}3\,\text{Stunden}\). \(6\,\text{Stunden}\) und \(18\,\text{Minuten}\) nach \(14{:}45\,\text{Uhr}\) ist es \(21{:}03\,\text{Uhr}\). 5. Ladestand um \(10{:}15\,\text{Uhr}\) (b): Das sind \(2\,\text{Stunden}\) vor \(12{:}15\,\text{Uhr}\). Die Zunahme beim Rückwärtsrechnen beträgt \(2 \cdot 10 = 20\) Prozentpunkte. Damit ergibt sich ein Ladestand von \(88\,\% + 20\) Prozentpunkten \(= 108\,\%\). 6. Interpretation (c): Ein Akku kann physikalisch nicht mehr als \(100\,\%\) Ladung haben. Das lineare Modell liefert hier einen Wert, der in der Realität unmöglich ist, was bedeutet, dass die Entladungsrate vorher anders gewesen sein muss oder der Akku voll war.

a) Der Akku verliert \(10\) Prozentpunkte pro Stunde. Er wäre um \(21{:}03\,\text{Uhr}\) leer. b) Laut Modell hätte der Akku um \(10{:}15\,\text{Uhr}\) einen Stand von \(108\,\%\) gehabt. c) Da ein Akku maximal \(100\,\%\) geladen sein kann, ist der berechnete Wert von \(108\,\%\) unmöglich. Das Modell ist also für diesen Zeitraum nicht anwendbar.

- Bestimme zuerst die Zahl der berechneten Minuten. - Vergleiche die Kosten beider Anbieter bei \(10\) Minuten und danach die Kostensteigerung pro weiterer Minute. - Überlege, ob der Preis innerhalb einer angefangenen Minute stetig steigt oder konstant bleibt.

1. Bei einer tatsächlichen Fahrtdauer wird auf die nächste volle Minute aufgerundet; \(n\) bezeichnet die Zahl der berechneten Minuten. Dann gilt \(K_{\text{Flitz}}=1{,}00+0{,}15n\) und \(K_{\text{Saust}}=0{,}25n\). 2. Für \(5\), \(10\) und \(15\) Minuten ergeben sich: Flitz: \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\). Saust: \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\). 3. Wertetabelle für ganze Fahrzeiten von \(1\) bis \(12\) Minuten: <table> <tr><td>Minuten</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr> <tr><td>Flitz (in €)</td><td>\(1{,}15\)</td><td>\(1{,}30\)</td><td>\(1{,}45\)</td><td>\(1{,}60\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(1{,}90\)</td><td>\(2{,}05\)</td><td>\(2{,}20\)</td><td>\(2{,}35\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}65\)</td><td>\(2{,}80\)</td></tr> <tr><td>Saust (in €)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}75\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}25\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(2{,}00\)</td><td>\(2{,}25\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}75\)</td><td>\(3{,}00\)</td></tr> </table> 4. Bei \(10\) berechneten Minuten kosten beide Anbieter \(2{,}50\,\text{€}\). Für mehr als \(10\) berechnete Minuten ist Flitz günstiger, weil dessen Preis pro weiterer Minute geringer ist. 5. Bei angefangenen Minuten ist der Preis auch für Bruchteile einer Minute definiert, bleibt aber innerhalb eines Abrechnungsintervalls konstant und springt an der nächsten Minutengrenze. Deshalb ist eine Treppenfunktion passend; geradliniges Verbinden der Tabellenpunkte ist nicht passend.

a) Flitz: \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\); Saust: \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\). b) <table> <tr><td>Minuten</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr> <tr><td>Flitz (in €)</td><td>\(1{,}15\)</td><td>\(1{,}30\)</td><td>\(1{,}45\)</td><td>\(1{,}60\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(1{,}90\)</td><td>\(2{,}05\)</td><td>\(2{,}20\)</td><td>\(2{,}35\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}65\)</td><td>\(2{,}80\)</td></tr> <tr><td>Saust (in €)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}75\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}25\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(2{,}00\)</td><td>\(2{,}25\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}75\)</td><td>\(3{,}00\)</td></tr> </table> c) Die Aussage ist wahr. Bei \(10\) Minuten kosten beide \(2{,}50\,\text{€}\); danach ist Flitz günstiger. d) Die Kosten sollten als Treppenfunktion dargestellt werden. Für Bruchteile einer Minute gilt jeweils der Preis der nächsten berechneten vollen Minute.

- Berechne erst die Gesamtkosten für die verschiedenen Mengen, indem du die Anzahl mit dem jeweiligen Stückpreis multiplizierst. - Vergleiche die Kosten für 9 und 11 Shirts direkt miteinander. Welcher Wert ist kleiner? - Erinnere dich an die Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung: Was müsste mit dem Preis passieren, wenn sich die Anzahl der Shirts verdoppelt? - Wie sieht eine Linie aus, wenn der Preis pro Stück plötzlich sinkt?

1. Preis für 10 Shirts: \(10 \cdot 15{,}00\,\text{€} = 150{,}00\,\text{€}\). 2. Preis für 11 Shirts: \(11 \cdot 12{,}00\,\text{€} = 132{,}00\,\text{€}\). 3. Vergleich: 11 Shirts sind insgesamt \(18{,}00\,\text{€}\) günstiger als 10 Shirts, obwohl man mehr Ware erhält. 4. Kosten für 9 Shirts: \(9 \cdot 15{,}00\,\text{€} = 135{,}00\,\text{€}\). 5. Da 11 Shirts nur \(132{,}00\,\text{€}\) kosten, spart der Kunde gegenüber 9 Shirts \(3{,}00\,\text{€}\). 6. Für jede ganzzahlige Stückzahl wird ein einzelner Punkt eingetragen. Von 1 bis 10 gilt \(K(n)=15n\); ab 11 gilt \(K(n)=12n\). Daher fällt der Funktionswert von \(150\,\text{€}\) bei \(n=10\) auf \(132\,\text{€}\) bei \(n=11\). 7. Die Zuordnung ist nicht proportional, weil der Quotient aus Gesamtpreis und Stückzahl nicht konstant ist: Bis 10 Stück beträgt er \(15\,\text{€}\), ab 11 Stück \(12\,\text{€}\). Da nur ganze Stückzahlen sinnvoll sind, werden die Punkte nicht durch eine Linie verbunden.

a) 10 Shirts kosten \(150{,}00\,\text{€}\), 11 Shirts kosten \(132{,}00\,\text{€}\). Es ist günstiger, 11 Shirts zu kaufen als 10. b) 9 Shirts kosten \(135{,}00\,\text{€}\). Mit 11 Shirts für \(132{,}00\,\text{€}\) spart der Kunde \(3{,}00\,\text{€}\). c) Der Graph besteht aus einzelnen Punkten. Die Zuordnung ist nicht proportional, weil der Preis pro Shirt an der Grenze von 10 zu 11 Stück von \(15{,}00\,\text{€}\) auf \(12{,}00\,\text{€}\) wechselt.

- Was bedeutet „jede angefangene Stunde“ für die Berechnung, wenn die Zeit über die freien 30 Minuten hinausgeht? - Achte beim Zeichnen darauf, was an den Stellen passiert, an denen eine neue Stunde beginnt. - Erinnere dich an die Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung: Was müsste für den Graphen und die Wertepaare gelten?

1. Berechnung der Gebühren: - \(45\,\text{min}\): Nach den freien \(30\,\text{min}\) beginnt die erste kostenpflichtige Stunde, also \(2{,}50\,\text{€}\). - \(2\,\text{h}\): Nach den freien \(30\,\text{min}\) verbleiben \(90\,\text{min}\), also zwei angefangene Stunden und damit \(5{,}00\,\text{€}\). - \(6\,\text{h}\): Nach den freien \(30\,\text{min}\) sind mehr als fünf kostenpflichtige Stunden angebrochen; der Tageshöchstpreis beträgt \(15{,}00\,\text{€}\). - \(10\,\text{h}\): Es gilt ebenfalls der Tageshöchstpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). 2. Der Graph ist eine Treppenfunktion. Er liegt bis einschließlich \(0{,}5\,\text{h}\) bei \(0\,\text{€}\). Danach steigt er in Stufen von \(2{,}50\,\text{€}\). Bei genau \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt der Preis noch \(12{,}50\,\text{€}\); für Parkdauern über \(5{,}5\,\text{h}\) gilt der Höchstpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). 3. Die Zuordnung ist nicht proportional, weil der Graph keine Ursprungsgerade ist und weil Zeitverdopplungen nicht zu Preisverdopplungen führen.

a) \(45\,\text{min} \to 2{,}50\,\text{€}\); \(2\,\text{h} \to 5{,}00\,\text{€}\); \(6\,\text{h} \to 15{,}00\,\text{€}\); \(10\,\text{h} \to 15{,}00\,\text{€}\). b) Der Graph ist eine Treppenfunktion. Der Höchstpreis gilt für Parkdauern über \(5{,}5\,\text{h}\); bei genau \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt der Preis \(12{,}50\,\text{€}\). c) Die Zuordnung ist nicht proportional, weil der Graph keine Ursprungsgerade ist und keine Quotientengleichheit vorliegt.

- Wie viel Wasser fließt pro Minute in den Tank? - Wie viele Liter fehlen noch, bis der Tank bei \(300\,\text{Litern}\) voll ist? - Wie lange dauert es bei der aktuellen Geschwindigkeit, diese fehlende Menge aufzufüllen? - Vergleiche dein Ergebnis mit der Zeitangabe „eine weitere halbe Stunde“.

1. Berechnung der in 10 Minuten hinzugekommenen Wassermenge: \(90\,\text{l} - 40\,\text{l} = 50\,\text{l}\). 2. Bestimmung der Füllrate pro Minute: \(50\,\text{l} : 10\,\text{min} = 5\,\text{l/min}\). 3. Berechnung der noch fehlenden Menge bis zum vollen Tank: \(300\,\text{l} - 90\,\text{l} = 210\,\text{l}\). 4. Berechnung der benötigten Zeit für die restliche Menge: \(210\,\text{l} : 5\,\text{l/min} = 42\,\text{min}\). 5. Vergleich mit der Behauptung: Die Besitzerin sagt, der Tank sei in einer weiteren halben Stunde (\(30\,\text{min}\)) voll. Tatsächlich werden jedoch \(42\,\text{Minuten}\) benötigt. 6. Ergebnis: Die Behauptung ist unrealistisch, da die berechnete Zeit deutlich länger ist als die geschätzte Zeit.

Die Behauptung ist unrealistisch. Der Tank wird mit \(5\,\text{Litern}\) pro Minute befüllt. Um die restlichen \(210\,\text{Liter}\) zu füllen, werden noch \(42\,\text{Minuten}\) benötigt, nicht nur \(30\,\text{Minuten}\).

- Überlege dir für beide Fälle, was passiert, wenn du den Eingangswert (Kilometer bzw. Seitenlänge) verdoppelst. - Welche Form haben die Funktionsgleichungen, die du aufstellen würdest? - Bei einer linearen Funktion muss die Änderung pro Schritt immer gleich groß sein.

1. Situation (1) ist linear. Es gibt eine feste Grundgebühr (\(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3{,}50\)) und eine konstante Änderungsrate pro Kilometer (Steigung \(m = 1{,}80\)). Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = 1{,}80x + 3{,}50\). 2. Situation (2) ist nicht linear. Der Flächeninhalt \(A\) berechnet sich durch \(A(a) = a^2\). Da die Variable \(a\) quadriert wird, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Eine Verdopplung der Seitenlänge führt beispielsweise zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts, was der Definition einer linearen Änderung widerspricht.

(1) Linear, da die Kosten pro Kilometer konstant steigen und es einen festen Startwert gibt. (2) Nicht linear, da der Flächeninhalt quadratisch mit der Seitenlänge wächst (\(A = a^2\)).

- Wie viel steigt der Wasserspiegel in einer einzigen Stunde? - Wenn du die Änderung pro Stunde kennst, kannst du dann ausrechnen, wie lange es gedauert hat, um auf \(40\,\text{cm}\) zu kommen? - Achte auf die Einheiten: \(1{,}60\,\text{m}\) sind wie viele Zentimeter? - Wie viel Platz ist ab \(100\,\text{cm}\) noch bis zum Rand?

1. Zeitdifferenz: \(15{:}00 - 13{:}00 = 2\,\text{h}\). Höhendifferenz: \(100\,\text{cm} - 40\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). Der Anstieg der Wasserhöhe beträgt \(60\,\text{cm} : 2\,\text{h} = 30\,\text{cm/h}\). Diese Rate entspricht der Steigung der Geraden. 2. Zeitpunkt mit Wasserhöhe \(0\): Von \(13{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(40\,\text{cm}\) wird rückwärts gerechnet. Die benötigte Zeit beträgt \(40\,\text{cm} : 30\,\text{cm/h} = \frac{4}{3}\,\text{h} = 1\,\text{h}\,20\,\text{min}\). 3. Der Pool war daher um \(11{:}40\,\text{Uhr}\) leer. 4. Die Gesamttiefe beträgt \(1{,}60\,\text{m} = 160\,\text{cm}\). Von \(100\,\text{cm}\) fehlen noch \(60\,\text{cm}\). 5. Dafür werden \(60\,\text{cm} : 30\,\text{cm/h} = 2\,\text{h}\) benötigt. 6. Der Pool ist um \(17{:}00\,\text{Uhr}\) vollständig gefüllt.

a) Die Wasserhöhe steigt um \(30\,\text{cm/h}\). Dieser Wert ist die Steigung des Funktionsgraphen. b) Der Pool war um \(11{:}40\,\text{Uhr}\) leer. c) Der Pool ist um \(17{:}00\,\text{Uhr}\) vollständig gefüllt und beginnt dann überzulaufen.

- Untersuche, um wie viele Grade die Temperatur in gleichen Zeitabschnitten sinkt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Werte nicht immer um denselben Betrag fallen? - Überlege, warum ein heißes Getränk irgendwann nicht mehr kälter wird.

1. Prüfung auf Linearität: Im Intervall \([0;2]\) beträgt die durchschnittliche Änderungsrate \((59-75):(2-0)=-8\,^\circ\text{C/min}\). Im Intervall \([2;4]\) beträgt sie \((47-59):(4-2)=-6\,^\circ\text{C/min}\). Da die Änderungsraten nicht konstant sind, ist die Zuordnung nicht linear. 2. Die Temperatur sinkt kontinuierlich. Zu Beginn kühlt der Kakao schneller ab; später wird die Abkühlung langsamer. Zwischen Minute 10 und Minute 15 beträgt die durchschnittliche Änderungsrate nur noch \((23-28):(15-10)=-1\,^\circ\text{C/min}\). 3. Die Zimmertemperatur muss unter \(23\,^\circ\text{C}\) liegen, weil der Kakao bei der letzten Messung noch abkühlt. Ein Wert von etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\) ist plausibel. Aus endlich vielen Messwerten lässt sich die genaue Zimmertemperatur ohne ein zusätzliches Abkühlungsmodell jedoch nicht eindeutig bestimmen.

a) Die Zuordnung ist nicht linear, weil die Temperaturabnahme pro Minute nicht konstant ist, zum Beispiel \(-8\,^\circ\text{C/min}\) am Anfang und \(-1\,^\circ\text{C/min}\) im letzten Intervall. b) Der Kakao kühlt anfangs schnell und später immer langsamer ab. c) Eine plausible Schätzung liegt bei etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\). Der genaue Wert ist aus den Messdaten allein nicht eindeutig bestimmbar.

- Berechne die Steigung für verschiedene Abschnitte der Tabelle. - Stell dir vor, du füllst Wasser in ein Glas, das oben weiter ist als unten. Wie verändert sich die Geschwindigkeit, mit der der Pegel steigt? - Was sagt eine konstante Steigung über die Form eines Gefäßes aus?

1. Prüfung auf Linearität: Intervall \([0; 10]\): \(\frac{12 - 0}{10 - 0} = 1{,}2\,\text{cm/min}\). Intervall \([20; 30]\): \(\frac{30 - 24}{30 - 20} = 0{,}6\,\text{cm/min}\). Die Änderungsrate ist nicht über den gesamten Zeitraum konstant, daher ist die Zuordnung nicht linear. 2. Berechnung der Steigungen: Für \([0; 20]\): \(m_1 = \frac{24 - 0}{20 - 0} = 1{,}2\,\text{cm/min}\). Für \([20; 50]\): \(m_2 = \frac{42 - 24}{50 - 20} = \frac{18}{30} = 0{,}6\,\text{cm/min}\). 3. Interpretation der Form: In den ersten 20 Minuten steigt der Wasserspiegel doppelt so schnell wie danach. Da die Regenmenge gleichmäßig ist, muss das Gefäß ab einer Höhe von \(24\,\text{cm}\) eine größere Querschnittsfläche haben (es ist breiter), sodass das Wasser langsamer steigt.

a) Die Zuordnung ist nicht linear. b) Im Intervall \([0; 20]\) beträgt die Steigung \(1{,}2\,\text{cm/min}\), im Intervall \([20; 50]\) beträgt sie \(0{,}6\,\text{cm/min}\). c) Ab einer Höhe von \(24\,\text{cm}\) wird das Fass breiter, da der Wasserspiegel bei gleichbleibendem Regen langsamer steigt.

- Wie viel Wasser ist in der beobachteten Zeit insgesamt hinzugekommen? - Wie viele Minuten sind zwischen den beiden Zeitpunkten vergangen? - Wenn du weißt, wie viel Wasser in ein paar Minuten dazukommt, wie rechnest du das auf eine ganze Stunde hoch?

1. Berechnung der Volumenänderung: Die Differenz der Füllstände beträgt \(105\,\text{l} - 45\,\text{l} = 60\,\text{l}\). 2. Bestimmung des Zeitintervalls: Von 14:00 Uhr bis 14:12 Uhr sind \(12\,\text{min}\) vergangen. 3. Berechnung der Rate pro Minute: \(60\,\text{l} : 12\,\text{min} = 5\,\text{l}/\text{min}\). 4. Umrechnung der Rate in Liter pro Stunde: Da eine Stunde 60 Minuten hat, ergibt sich \(5\,\text{l}/\text{min} \cdot 60\,\text{min}/\text{h} = 300\,\text{l}/\text{h}\).

Die durchschnittliche Zuflussrate beträgt \(300\,\text{l}/\text{h}\).

- Achte darauf, die Zeitangaben einheitlich in Stunden umzurechnen (z. B. 30 Minuten als \(0{,}5\) Stunden). - Die „Geschwindigkeit“ bezieht sich hier nur auf den Höhenunterschied pro Zeit. - Wie verändert sich die Höhe pro Stunde in den jeweiligen Phasen? - Gibt es einen Zeitraum, in dem sich die Höhe gar nicht verändert?

1. Festlegen der Koordinaten \((t \mid h)\): \(A(0 \mid 400)\), \(B(2 \mid 1000)\), \(C(2{,}5 \mid 1000)\), \(D(4 \mid 700)\). 2. Berechnung der vertikalen Geschwindigkeiten (Betrag der Steigung): - Aufstieg: \(v_{auf} = \frac{1000 - 400}{2} = 300\,\text{m/h}\). - Abstieg: \(v_{ab} = \frac{\mid 700 - 1000 \mid}{1{,}5} = \frac{300}{1{,}5} = 200\,\text{m/h}\). - Vergleich: \(300\,\text{m/h} > 200\,\text{m/h}\). Die Gruppe war beim Aufstieg schneller. 3. Berechnung der Zeitpunkte für \(h = 850\,\text{m}\): - Aufstieg: \(400 + 300t = 850 \implies 300t = 450 \implies t = 1{,}5\,\text{h}\). - Abstieg: \(1000 - 200(t - 2{,}5) = 850 \implies -200(t - 2{,}5) = -150 \implies t - 2{,}5 = 0{,}75 \implies t = 3{,}25\,\text{h}\).

a) Der Graph verbindet \((0 \mid 400)\), \((2 \mid 1000)\), \((2{,}5 \mid 1000)\) und \((4 \mid 700)\). b) Die Gruppe war im Aufstieg mit \(300\,\text{m/h}\) schneller als im Abstieg mit \(200\,\text{m/h}\). c) Die Höhe von \(850\,\text{m}\) wurde nach \(1{,}5\,\text{Stunden}\) (beim Aufstieg) und nach \(3{,}25\,\text{Stunden}\) (entspricht \(3\,\text{h}\) \(15\,\text{min}\), beim Abstieg) erreicht.

- Vergleiche die tatsächliche Änderung in einem Tabellenintervall mit der Änderung, die bei \(0{,}4\,\text{m}\) pro Tag zu erwarten wäre. - Um eine Änderungsrate zu finden, teile den Unterschied der Werte durch den Unterschied der Zeit.

1. Überprüfung der linearen Annahme: Bei einer konstanten Abnahme von \(0{,}4\,\text{m/Tag}\) müsste der Wasserstand nach \(5\) Tagen um \(5 \cdot 0{,}4 = 2{,}0\,\text{m}\) gesunken sein. Die Tabelle zeigt jedoch für die ersten \(5\) Tage eine Abnahme von nur \(50{,}0 - 48{,}5 = 1{,}5\,\text{m}\). Die Annahme stimmt also nicht exakt mit den Daten überein. 2. Berechnung der Änderungsrate von Tag 15 bis Tag 20: \(\Delta h = 41{,}0 - 44{,}0 = -3{,}0\,\text{m}\) und \(\Delta t = 5\,\text{Tage}\). 3. Ergebnis: \(\frac{-3{,}0\,\text{m}}{5\,\text{Tage}} = -0{,}6\,\text{m/Tag}\). Der Wasserstand sinkt in diesem Zeitraum durchschnittlich um \(0{,}6\,\text{m}\) pro Tag.

a) Die Annahme ist falsch. Bei \(0{,}4\,\text{m}\) pro Tag müsste der Stand an Tag 5 bei \(48{,}0\,\text{m}\) liegen; tatsächlich liegt er bei \(48{,}5\,\text{m}\). b) Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt \(-0{,}6\,\text{m}\) pro Tag.

- Stelle dir die Werte in einem Koordinatensystem vor. Was passiert zwischen zwei Zeitpunkten? - Wenn ein Wert genau in der Mitte zwischen zwei Messungen gesucht wird, wie kannst du ihn berechnen? - Überlege dir, wie viel der Wasserstand pro Stunde sinkt oder steigt, um den genauen Zeitpunkt für eine bestimmte Tiefe zu finden.

1. Um 04:30 Uhr liegt die Zeit genau in der Mitte zwischen 03:00 Uhr (\(6{,}0\,\text{m}\)) und 06:00 Uhr (\(4{,}5\,\text{m}\)). Der Wasserstand beträgt \(6{,}0\,\text{m} - 0{,}75\,\text{m} = 5{,}25\,\text{m}\). Um 10:30 Uhr liegt die Zeit in der Mitte zwischen 09:00 Uhr (\(3{,}0\,\text{m}\)) und 12:00 Uhr (\(4{,}5\,\text{m}\)). Der Wasserstand beträgt \(3{,}0\,\text{m} + 0{,}75\,\text{m} = 3{,}75\,\text{m}\). 2. Der Wasserstand steigt von 00:00 bis 03:00 Uhr, von 09:00 bis 15:00 Uhr und von 21:00 bis 24:00 Uhr. Er sinkt von 03:00 bis 09:00 Uhr und von 15:00 bis 21:00 Uhr. 3. Zwischen 06:00 und 09:00 Uhr gilt bei linearer Änderung \(h(t) = 4{,}5 - 0{,}5 \cdot (t-6)\). Aus \(h(t)=4\) folgt \(t=7\). Zwischen 09:00 und 12:00 Uhr gilt \(h(t) = 3 + 0{,}5 \cdot (t-9)\); daraus folgt \(t=11\). Zwölf Stunden später ergeben sich die Grenzzeiten 19:00 Uhr und 23:00 Uhr. Da das Boot bei genau \(4\,\text{m}\) noch fahren kann, ist die Ein- oder Ausfahrt nur für \(7 < t < 11\) und \(19 < t < 23\) nicht möglich.

1. Um 04:30 Uhr: \(5{,}25\,\text{m}\); um 10:30 Uhr: \(3{,}75\,\text{m}\). 2. Steigend: 00:00–03:00 Uhr, 09:00–15:00 Uhr und 21:00–24:00 Uhr. Sinkend: 03:00–09:00 Uhr und 15:00–21:00 Uhr. 3. Das Boot kann nach 07:00 Uhr bis vor 11:00 Uhr sowie nach 19:00 Uhr bis vor 23:00 Uhr nicht fahren.

- Die Steigung zwischen zwei Punkten gibt an, wie schnell sich der Ladestand ändert. - Was bedeutet eine positive Steigung beim Akku, was eine negative und was eine Steigung von Null? - Nutze den Dreisatz oder eine lineare Gleichung, um vorherzusagen, wann der Wert Null erreicht wird.

1. Der Ladestand sinkt von \(100\,\%\) auf \(60\,\%\), also um \(40\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das entspricht \(20\) Prozentpunkten pro Stunde. 2. Von 10:30 bis 12:30 Uhr sinkt der Ladestand von \(90\,\%\) auf \(20\,\%\), also um \(70\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das entspricht \(35\) Prozentpunkten pro Stunde und ist die größte Verbrauchsrate. Von 10:00 bis 10:30 Uhr steigt der Ladestand; in diesem Zeitraum wurde der Akku geladen. 3. Eine plausible Erklärung ist, dass das Auto abgestellt war und der Akku in dieser Zeit nicht merklich entladen wurde. 4. Bei \(20\,\%\) Restladung und einer Verbrauchsrate von \(35\) Prozentpunkten pro Stunde beträgt die rechnerische Restzeit \(\frac{20}{35}\,\text{h} \approx 0{,}5714\,\text{h}\). Das sind etwa \(34{,}3\,\text{min}\). Auf die Minute gerundet ist der Akku gegen 14:04 Uhr leer.

1. \(20\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Zwischen 10:30 und 12:30 Uhr mit \(35\) Prozentpunkten pro Stunde. 3. Eine plausible Erklärung ist eine Pause, in der das Auto abgestellt war. 4. Rechnerisch gegen 14:04 Uhr.

- Kannst du die Fahrt in einzelne Abschnitte unterteilen und für jeden Abschnitt berechnen, wie weit die Radfahrerin gekommen ist? - Was passiert mit der zurückgelegten Entfernung während der Pause? - Überlege für Teilaufgabe 3, in welchem Zeitintervall die gesuchte Kilometerzahl liegt. - Für die Durchschnittsgeschwindigkeit musst du die gesamte Strecke durch die gesamte Zeit teilen.

1. Berechnung der Wegpunkte für die Tabelle: - 09:00 Uhr: \(0\,\text{km}\) (Start) - 10:00 Uhr: \(18\,\text{km}\) (\(1\,\text{h} \cdot 18\,\text{km/h}\)) - 11:30 Uhr: \(36\,\text{km}\) (\(18\,\text{km} + 1{,}5\,\text{h} \cdot 12\,\text{km/h}\)) - 12:00 Uhr: \(36\,\text{km}\) (Ende der Pause) - 12:30 Uhr: \(49\,\text{km}\) (\(36\,\text{km} + 0{,}5\,\text{h} \cdot 26\,\text{km/h}\)) 2. Zurückgelegte Strecke bis 11:00 Uhr: Der Zeitpunkt liegt im zweiten Abschnitt (10:00 bis 11:30 Uhr). Seit 10:00 Uhr ist eine Stunde vergangen: \(18\,\text{km} + 1\,\text{h} \cdot 12\,\text{km/h} = 30\,\text{km}\). 3. Zeitpunkt für \(24\,\text{km}\): Dieser Wert liegt zwischen \(18\,\text{km}\) und \(36\,\text{km}\) im zweiten Abschnitt. Es müssen \(24\,\text{km} - 18\,\text{km} = 6\,\text{km}\) mit \(12\,\text{km/h}\) zurückgelegt werden. Zeitbedarf: \(6 : 12 = 0{,}5\,\text{h}\) (30 Minuten). Uhrzeit: \(10{:}00\,\text{Uhr} + 30\,\text{min} = 10{:}30\,\text{Uhr}\). 4. Durchschnittsgeschwindigkeit: Gesamtweg \(49\,\text{km}\) dividiert durch die Gesamtzeit von \(3{,}5\,\text{Stunden}\) (09:00 bis 12:30 Uhr) ergibt \(14\,\text{km/h}\).

1) Tabelle: (09:00, \(0\,\text{km}\)), (10:00, \(18\,\text{km}\)), (11:30, \(36\,\text{km}\)), (12:00, \(36\,\text{km}\)), (12:30, \(49\,\text{km}\)). 2) Bis 11:00 Uhr hat sie \(30\,\text{km}\) zurückgelegt. 3) Um 10:30 Uhr hat sie \(24\,\text{km}\) zurückgelegt. 4) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(14\,\text{km/h}\).

- Lies die Achsenbeschriftungen und die Einheiten genau ab. - Überlege, was die Knicke in Graph A physikalisch für die Abkühlgeschwindigkeit bedeuten würden. Kühlt ein Tee in der Realität sprunghaft oder stetig ab? - Um einen Temperaturwert für eine bestimmte Zeit zu finden, gehe vom entsprechenden Wert auf der x-Achse senkrecht zum Graphen und von dort waagerecht zur y-Achse. - Um eine Zeit für eine bestimmte Temperatur zu finden, gehe vom Temperaturwert auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und von dort senkrecht zur x-Achse.

1. Der Abkühlprozess einer Flüssigkeit verläuft kontinuierlich und ohne plötzliche Änderungen der Abkühlgeschwindigkeit. Ein Streckenzug wie in Graph A weist an den Messpunkten „Knicke“ auf. Das wäre physikalisch unplausibel, da sich die Abkühlrate nicht schlagartig zu festen Zeiten ändert. Graph B stellt den glatten Verlauf realistisch dar. 2. Bei \(12\,\text{Minuten}\) liest man am Graphen \(T(12)\approx49\,\text{°C}\) ab. Werte zwischen \(48\,\text{°C}\) und \(50\,\text{°C}\) sind zulässig. 3. Für \(40\,\text{°C}\) liest man \(t\approx18{,}4\,\text{Minuten}\) ab. Ein Wert zwischen \(18\) und \(19\,\text{Minuten}\) ist zulässig.

a) Graph B beschreibt den Abkühlprozess besser, weil die Temperatur einer Flüssigkeit stetig und ohne Knicke sinkt. Graph A hat an den Messpunkten „Knicke“, was physikalisch unplausiblen, abrupten Änderungen der Abkühlgeschwindigkeit entsprechen würde. b) \(T(12)\approx49\,\text{°C}\) (Werte zwischen \(48\,\text{°C}\) und \(50\,\text{°C}\) sind korrekt.) c) \(t\approx18{,}4\,\text{Minuten}\) (Werte zwischen \(18\) und \(19\,\text{Minuten}\) sind korrekt.)

- Wie spiegelt sich eine konstante Geschwindigkeit im Verlauf eines Graphen wider? - Woran erkennst du im Diagramm, dass sich eine Person eine Zeit lang nicht fortbewegt? - Was bedeutet es für den Verlauf des Graphen, wenn eine Person immer schneller wird? - Um herauszufinden, wer zuerst ankommt, schaue dir an, welcher Graph die Zielmarkierung von \(20\,\text{km}\) am weitesten links (also in der kürzesten Zeit) erreicht. - Suche für die Fragen in Teil b) die entsprechenden Werte auf den Achsen und lies die zugehörigen Punkte auf den Graphen ab.

a) Zuordnung der Graphen: - **Lara** fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit. Ihr zurückgelegter Weg wächst gleichmäßig (linear), was im Diagramm durch eine Gerade dargestellt wird. Dies entspricht **Graph A**. - **Max** fährt zunächst schnell, macht dann eine Pause (der zurückgelegte Weg ändert sich nicht, der Graph verläuft waagerecht) und fährt danach noch schneller weiter. Dies entspricht **Graph B**. - **Sophie** fährt anfangs gemütlich los und wird im Verlauf der Zeit immer schneller. Ihr Graph steigt somit immer steiler an (gekrümmter Verlauf). Dies entspricht **Graph C**. b) Antworten auf die Fragen: 1. Das Ziel Altdorf liegt in \(20\,\text{km}\) Entfernung. Graph B (Max) erreicht den Wert \(20\,\text{km}\) nach \(70\,\text{min}\), Graph A (Lara) nach \(80\,\text{min}\) und Graph C (Sophie) nach \(90\,\text{min}\). Max kommt somit als Erster an; seine Fahrt dauert \(70\) Minuten. 2. Die Pause von Max wird durch das waagerechte Teilstück von Graph B zwischen \(20\,\text{min}\) und \(50\,\text{min}\) dargestellt. Die Pause dauerte: \(50\,\text{min} - 20\,\text{min} = 30\,\text{min}\). 3. Nach \(40\) Minuten kann man auf Graph A (Lara) auf der y-Achse den Wert \(10\,\text{km}\) ablesen.

a) Zuordnung: Lara \(\rightarrow\) Graph A, Max \(\rightarrow\) Graph B, Sophie \(\rightarrow\) Graph C. b) Antworten: 1. Max kommt als Erster an und benötigt \(70\) Minuten. 2. Seine Pause dauerte \(30\) Minuten. 3. Lara hat nach \(40\) Minuten \(10\,\text{km}\) zurückgelegt.

- Beschreibe zunächst, welche Größen und Einheiten die Achsen zeigen. - Suche für Anfangs- und Höchstwert die entsprechenden Punkte im Graphen. - Ein waagerechter Abschnitt bedeutet, dass die Temperatur konstant bleibt. - Die durchschnittliche Änderungsrate ist das Verhältnis von Temperaturänderung zu Zeitspanne. - Für die Zeitpunkte bei \(65\,^\circ\text{C}\) kannst du die linearen Gleichungen der betroffenen Abschnitte verwenden.

a) Bei \(t=0\,\text{min}\) liest man eine Anfangstemperatur von \(20\,^\circ\text{C}\) ab. Die maximale Temperatur beträgt \(80\,^\circ\text{C}\). b) Die Temperatur ist von \(t=3\,\text{min}\) bis \(t=6\,\text{min}\) konstant. Die Dauer beträgt \(6\,\text{min}-3\,\text{min}=3\,\text{Minuten}\). c) In den ersten \(3\,\text{Minuten}\) steigt die Temperatur um \(80\,^\circ\text{C}-20\,^\circ\text{C}=60\,^\circ\text{C}\). Die durchschnittliche Temperaturänderung beträgt \(\frac{60\,^\circ\text{C}}{3\,\text{min}}=20\,^\circ\text{C}/\text{min}\). d) In der Aufheizphase gilt \(T(t)=20+20t\). Aus \(20+20t=65\) folgt \(t=2{,}25\,\text{min}\). In der ersten Abkühlphase gilt \(T(t)=80-15(t-6)\). Aus \(80-15(t-6)=65\) folgt \(t=7\,\text{min}\).

a) Anfangstemperatur: \(20\,^\circ\text{C}\); maximale Temperatur: \(80\,^\circ\text{C}\). b) \(3\,\text{Minuten}\). c) \(20\,^\circ\text{C}/\text{min}\). d) Bei \(t_1=2{,}25\,\text{min}\) beziehungsweise \(2\,\text{min}\,15\,\text{s}\) und bei \(t_2=7\,\text{min}\).

- Überlege zuerst, wie sich die Breite eines Gefäßes auf die Geschwindigkeit des Wasseranstiegs auswirkt. Steigt das Wasser in einem breiten oder in einem schmalen Gefäß schneller? - Wie spiegelt sich ein schnellerer oder ein langsamerer Anstieg der Füllhöhe im Verlauf des Graphen (Steigung) wider? - Woran kannst du im Graphen erkennen, dass das Wasser die Grenze zwischen den beiden Zylindern erreicht hat?

a) Zuordnung der Graphen: Beim gleichmäßigen Befüllen eines Gefäßes steigt das Wasser in einem schmaleren Zylinder schneller an als in einem breiteren Zylinder. Ein schnellerer Anstieg entspricht einer größeren Steigung im Graphen. * Der **rote Graph** beginnt sehr steil (bis \(t = 2\,\text{s}\)) und flacht danach ab. Das bedeutet, das Gefäß ist unten schmal und oben breit. Dies entspricht **Gefäß A**. * Der **blaue Graph** beginnt flach (bis \(t = 4\,\text{s}\)) und wird danach steiler. Das bedeutet, das Gefäß ist unten breit und oben schmal. Dies entspricht **Gefäß B**. b) Bestimmung der Übergangshöhe: Die Änderung des Durchmessers entspricht dem Knickpunkt im Graphen. * Für **Gefäß A** (roter Graph) liegt der Knickpunkt bei einer Füllhöhe von \(4\,\text{cm}\). * Für **Gefäß B** (blauer Graph) liegt der Knickpunkt bei einer Füllhöhe von \(2\,\text{cm}\).

a) Der **rote Graph** gehört zu **Gefäß A** (unten schmal, oben breit). Der **blaue Graph** gehört zu **Gefäß B** (unten breit, oben schmal). b) Bei **Gefäß A** ändert sich der Durchmesser bei einer Füllhöhe von **\(4\,\text{cm}\)**. Bei **Gefäß B** ändert sich der Durchmesser bei einer Füllhöhe von **\(2\,\text{cm}\)**.

- Prüfe, welche Größen und Einheiten auf den Achsen dargestellt sind. - Waagerechte Abschnitte stehen für eine konstante Höhe. - Nutze für eine bestimmte Höhe im fallenden Abschnitt die Steigung der Teilstrecke. - Die Steig- oder Sinkgeschwindigkeit entspricht der Steigung des jeweiligen geraden Abschnitts.

a) Der Ballon bleibt von \(t=1\,\text{h}\) bis \(t=1{,}5\,\text{h}\) auf \(300\,\text{m}\) und von \(t=3\,\text{h}\) bis \(t=4\,\text{h}\) auf \(600\,\text{m}\). b) Zunächst befindet sich der Ballon im gesamten Intervall von \(t=1\,\text{h}\) bis \(t=1{,}5\,\text{h}\) auf \(300\,\text{m}\). Beim Sinken von \(600\,\text{m}\) auf \(200\,\text{m}\) gilt \(300=600-400(t-4)\). Daraus folgt \(t=4{,}75\,\text{h}\), also \(4\,\text{h}\,45\,\text{min}\). c) Die Steiggeschwindigkeit beträgt \((300\,\text{m}-0\,\text{m}):(1\,\text{h}-0\,\text{h})=300\,\text{m/h}\). d) Der Graph fällt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=5\,\text{h}\) am steilsten. Die Sinkgeschwindigkeit beträgt \((600\,\text{m}-200\,\text{m}):1\,\text{h}=400\,\text{m/h}\).

a) Von \(1\,\text{h}\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) bleibt der Ballon auf \(300\,\text{m}\), von \(3\,\text{h}\) bis \(4\,\text{h}\) auf \(600\,\text{m}\). b) Von \(1\,\text{h}\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) sowie bei \(t=4{,}75\,\text{h}\) beziehungsweise \(4\,\text{h}\,45\,\text{min}\). c) \(300\,\text{m/h}\). d) Von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=5\,\text{h}\); die Sinkgeschwindigkeit beträgt \(400\,\text{m/h}\).

- Prüfe, welche Größen und Einheiten auf den Achsen dargestellt sind. - Öffnungs- und Schließzeit erkennst du daran, wann die Besucherzahl den Wert \(0\) verlässt beziehungsweise wieder erreicht. - Suche für das Maximum den höchsten Punkt des Graphen. - Bestimme für eine vorgegebene Besucherzahl die zugehörigen Uhrzeiten durch gedankliches waagerechtes Ablesen. - Teile für den durchschnittlichen Zuwachs die Änderung der Besucherzahl durch die Zeitspanne.

a) Vor \(8{:}00\) Uhr liegt die Besucherzahl bei \(0\). Ab \(8{:}00\) Uhr steigt der Graph an, daher öffnet das Freibad um \(8{:}00\) Uhr. Ab \(20{:}00\) Uhr liegt die Besucherzahl wieder bei \(0\), daher schließt es um \(20{:}00\) Uhr. b) Der höchste Punkt liegt ungefähr bei \(15{:}15\) Uhr. Die Besucherzahl beträgt dort ungefähr \(590\). c) Eine Besucherzahl von ungefähr \(400\) wird kurz vor \(12{:}00\) Uhr und kurz nach \(18{:}00\) Uhr erreicht, also ungefähr um \(11{:}50\) Uhr und \(18{:}10\) Uhr. d) Um \(10{:}00\) Uhr liest man ungefähr \(200\) Besucher ab, um \(12{:}00\) Uhr ungefähr \(400\). Der durchschnittliche Zuwachs beträgt daher \((400-200):(12-10)=100\) Besucher pro Stunde.

a) Das Freibad öffnet um \(8{:}00\) Uhr und schließt um \(20{:}00\) Uhr. b) Die Besucherzahl ist ungefähr um \(15{:}15\) Uhr mit etwa \(590\) Besuchern am höchsten. c) Ungefähr um \(11{:}50\) Uhr und um \(18{:}10\) Uhr befinden sich etwa \(400\) Besucher im Freibad. d) Durchschnittlich kommen etwa \(100\) Besucher pro Stunde hinzu.

- Lies die Startzeiten beider Personen an der x-Achse ab. - Berechne die Geschwindigkeit aus Weg und Zeit. - Der Schnittpunkt der Graphen beschreibt einen gemeinsamen Ort zur gleichen Zeit. - Nutze für jede lineare Funktion die Steigung und den Startpunkt. - Setze die beiden Funktionsterme gleich, um den Schnittpunkt rechnerisch zu bestimmen.

a) Lena legt von \(10{:}00\) Uhr bis \(11{:}00\) Uhr \(12\,\text{km}\) zurück und fährt daher \(12\,\text{km/h}\). Jonas legt von \(10{:}30\) Uhr bis \(11{:}30\) Uhr \(18\,\text{km}\) zurück und fährt daher \(18\,\text{km/h}\). Jonas ist schneller. b) Der Schnittpunkt liegt bei \((11{,}5 \mid 18)\). Jonas holt Lena somit um \(11{:}30\) Uhr nach \(18\,\text{km}\) ein. c) Für Lena gilt \(f(x)=12(x-10)=12x-120\), für Jonas \(g(x)=18(x-10{,}5)=18x-189\). Aus \(12x-120=18x-189\) folgt \(x=11{,}5\). Einsetzen ergibt \(y=18\). Das stimmt mit dem Ableseergebnis überein.

a) Jonas ist schneller; Lena fährt \(12\,\text{km/h}\), Jonas \(18\,\text{km/h}\). b) Jonas holt Lena um \(11{:}30\) Uhr nach \(18\,\text{km}\) ein. c) Lena: \(f(x)=12x-120\) für \(x\ge10\); Jonas: \(g(x)=18x-189\) für \(x\ge10{,}5\); Schnittpunkt: \((11{,}5 \mid 18)\), entsprechend \(11{:}30\) Uhr und \(18\,\text{km}\).

- Lies die Werte von \(f(x)\) und \(g(x)\) bei den angegebenen Monaten ab und addiere sie. - Forme für Teil b) die Gleichung \(f(x)+g(x)=f(x)\) um. - Suche für Teil c) nach einem Monat, in dem ein Funktionswert negativ, die Summe aber positiv ist.

a) Bei \(x=2\) gilt \(f(2)=2{,}2\) und \(g(2)=-1\). Daher ist \(h(2)=2{,}2+(-1)=1{,}2\), also \(1200\,\text{€}\). Bei \(x=8\) gilt \(f(8)=1\) und \(g(8)=2\). Daher ist \(h(8)=1+2=3\), also \(3000\,\text{€}\). b) Aus \(h(x)=f(x)\) und \(h(x)=f(x)+g(x)\) folgt \(g(x)=0\). Die Nullstelle der blauen Geraden liegt bei \(x=4\). c) Die Aussage ist falsch. Bei \(x=2\) ist der Gesamtgewinn mit \(1200\,\text{€}\) positiv, obwohl Abteilung B mit \(g(2)=-1\) einen Verlust von \(1000\,\text{€}\) macht.

a) Bei \(x=2\): \(1200\,\text{€}\); bei \(x=8\): \(3000\,\text{€}\). b) Im Monat \(x=4\), da dort \(g(x)=0\) und damit \(h(x)=f(x)\) gilt. c) Die Aussage ist falsch; bei \(x=2\) ist \(h(x)>0\), obwohl \(g(x)<0\) gilt.

- Überlege zuerst, welche Bedeutung der Startpunkt eines Graphen (bei einer Menge von 0) im Sachkontext hat. - Wie kannst du im Diagramm erkennen, welches Verfahren bei einer bestimmten Menge billiger ist? Welcher Graph muss dafür weiter unten liegen? - Was bedeutet der Begriff „Gewinnschwelle“ im Zusammenhang mit Kosten und Umsatz? Nach welchen speziellen Punkten im Diagramm musst du also suchen?

a) Bestimmung der Fixkosten (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0\)): - Für Verfahren A: \(K_A(0) = 200\,\text{€}\). - Für Verfahren B: \(K_B(0) = 50\,\text{€}\). Daher hat Verfahren A die höheren Fixkosten. b) Vergleich der Kostenverläufe zur Bestimmung des kostengünstigeren Verfahrens: - Der Schnittpunkt der beiden Kostenfunktionen \(K_A\) und \(K_B\) liegt bei \(x = 150\) (die Kosten betragen an dieser Stelle jeweils \(275\,\text{€}\)). - Für Mengen \(x > 150\) verläuft der Graph von \(K_A\) unterhalb des Graphen von \(K_B\). Da nur ganze Stückzahlen sinnvoll sind, ist Verfahren A ab \(151\) produzierten Stück kostengünstiger. c) Bestimmung der Gewinnschwellen (Schnittpunkte des Umsatzgraphen \(U\) mit den Kostengraphen): - Gewinnschwelle für Verfahren B: Schnittpunkt von \(U\) und \(K_B\) bei \(x = 50\) (Umsatz und Kosten betragen hierbei \(125\,\text{€}\)). - Gewinnschwelle für Verfahren A: Schnittpunkt von \(U\) und \(K_A\) bei \(x = 100\) (Umsatz und Kosten betragen hierbei \(250\,\text{€}\)).

a) Verfahren A hat mit \(200\,\text{€}\) höhere Fixkosten als Verfahren B mit \(50\,\text{€}\). b) Für \(x > 150\) ist Verfahren A kostengünstiger als Verfahren B; bei ganzzahligen Produktionsmengen also ab \(151\) Stück. c) Die Gewinnschwelle liegt für Verfahren B bei \(50\) Stück und für Verfahren A bei \(100\) Stück.

- Prüfe, welche Größen auf den Achsen dargestellt sind. - Addiere zur Startzeit von 6:00 Uhr den jeweiligen Wert von \(t\). - Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der waagerechten Achse. - Vergleiche für den Temperaturabfall Höchst- und Endwert. - Berechne die mittlere Änderung als Temperaturänderung geteilt durch Zeitspanne.

a) Aus dem Graphen liest man \(T(2)=2\,\text{°C}\) und \(T(8)=-1\,\text{°C}\) ab. Da die Messung um 6:00 Uhr beginnt, entspricht \(t=2\) der Uhrzeit 8:00 Uhr und \(t=8\) der Uhrzeit 14:00 Uhr. b) Der Graph schneidet die t-Achse bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\). Diese Stellen heißen Nullstellen. c) Der Höchstwert beträgt \(5\,\text{°C}\), am Ende beträgt die Temperatur \(-3\,\text{°C}\). Der Rückgang ist \(5\,\text{°C}-(-3\,\text{°C})=8\,\text{°C}\). d) Von \(t=0\) bis \(t=2\) beträgt die durchschnittliche Änderung \((2\,\text{°C}-(-2\,\text{°C})):2\,\text{h}=2\,\text{°C/h}\). Von \(t=2\) bis \(t=5\) beträgt sie \((5\,\text{°C}-2\,\text{°C}):3\,\text{h}=1\,\text{°C/h}\). Daher stieg die Temperatur im ersten Zeitraum schneller.

a) Bei \(t=2\), also um 8:00 Uhr, betrug die Temperatur \(2\,\text{°C}\); bei \(t=8\), also um 14:00 Uhr, betrug sie \(-1\,\text{°C}\). b) Bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\); diese Stellen heißen Nullstellen. c) Um \(8\,\text{°C}\). d) Von \(t=0\) bis \(t=2\) mit \(2\,\text{°C/h}\); von \(t=2\) bis \(t=5\) beträgt die Änderung nur \(1\,\text{°C/h}\).

- Suche den höchsten Punkt der Kurve. - Lies zu den angegebenen Sekunden die zugehörigen Höhen ab. - Prüfe, ob eine bestimmte Höhe nur einmal oder zu mehreren Zeitpunkten erreicht wird.

a) Der Scheitelpunkt liegt bei \((3 \mid 4{,}5)\). Die maximale Höhe beträgt daher \(4{,}5\,\text{m}\) und wird nach \(3\,\text{s}\) erreicht. b) Nach \(1\,\text{s}\) und nach \(5\,\text{s}\) beträgt die Höhe jeweils \(2{,}5\,\text{m}\). c) Die Zuordnung ist nicht eindeutig, weil fast jede Höhe zu zwei verschiedenen Zeitpunkten erreicht wird, einmal beim Steigen und einmal beim Fallen. Daher ist die Umkehrzuordnung keine Funktion.

a) \(4{,}5\,\text{m}\) nach \(3\,\text{s}\). b) Nach \(1\,\text{s}\) und nach \(5\,\text{s}\) jeweils \(2{,}5\,\text{m}\). c) Nein; fast jede Höhe gehört zu zwei Zeitpunkten, daher ist die Zuordnung \(\text{Höhe}\rightarrow\text{Zeit}\) keine Funktion.

- Was bedeuten die Achsenbeschriftungen für den Sachkontext? - Die Steigung entspricht hier der Geschwindigkeit, mit der das Wasser in den Tank fließt. - Der Punkt auf der vertikalen Achse bei \(t = 0\) zeigt dir den Startwert. - Kannst du die Informationen aus dem Text und der Grafik nutzen, um eine Formel aufzustellen?

Abgelesene Punkte: \(P_1(2 \mid 400)\) und \(P_2(8 \mid 1000)\). a) Berechnung der Steigung (Zuflussrate): \(m = \frac{1000 - 400}{8 - 2} = \frac{600}{6} = 100\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). b) Berechnung des Anfangsvolumens \(b\): Einsetzen von \(P_1\) in \(V(t) = mt + b\) ergibt \(400 = 100 \cdot 2 + b \Rightarrow 400 = 200 + b \Rightarrow b = 200\,\text{l}\). c) Aufstellen der Funktionsgleichung: \(V(t) = 100t + 200\). d) Berechnung des Volumens nach \(15\) Minuten: \(V(15) = 100 \cdot 15 + 200 = 1500 + 200 = 1700\,\text{l}\).

a) Die Zuflussrate beträgt \(100\,\text{l/min}\). b) Zu Beginn waren \(200\,\text{l}\) im Tank. c) Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 100t + 200\). d) Nach \(15\) Minuten befinden sich \(1700\,\text{l}\) im Tank.

- Was gibt der y-Achsenabschnitt bei einem Kostentarif an? - Die Steigung entspricht hier dem Preis pro verbrauchter Minute. - Überlege, was es bedeutet, wenn zwei Kostenkurven denselben Punkt haben.

1. Tarif A (blau): Der y-Achsenabschnitt ist \(b = 5\) (Grundgebühr \(5\,\text{€}\)). Ein weiterer Punkt ist \((100 \mid 15)\). Die Steigung ist \(m = \frac{15 - 5}{100 - 0} = \frac{10}{100} = 0{,}1\). Die Gleichung lautet \(y = 0{,}1x + 5\). 2. Tarif B (rot): Der y-Achsenabschnitt ist \(b = 10\) (Grundgebühr \(10\,\text{€}\)). Die Gerade geht ebenfalls durch \((100 \mid 15)\). Die Steigung ist \(m = \frac{15 - 10}{100 - 0} = \frac{5}{100} = 0{,}05\). Die Gleichung lautet \(y = 0{,}05x + 10\). 3. Schnittpunkt: Der Schnittpunkt liegt bei \((100 \mid 15)\). Das bedeutet, dass bei einer Gesprächsdauer von \(100\,\text{Minuten}\) beide Tarife genau gleich viel kosten, nämlich \(15\,\text{€}\).

Tarif A: \(y = 0{,}1x + 5\); Tarif B: \(y = 0{,}05x + 10\). Der Schnittpunkt bedeutet, dass beide Tarife bei \(100\,\text{Minuten}\) Gesprächsdauer mit \(15\,\text{€}\) die gleichen Kosten verursachen.

- Überlege dir, wie sich die Querschnittsfläche eines Gefäßes auf die Geschwindigkeit auswirkt, mit der der Wasserspiegel steigt. - Was bedeutet eine gerade Linie im Diagramm für die Füllgeschwindigkeit? - Wenn ein Gefäß oben breiter ist als unten, braucht man dann für den nächsten Zentimeter Höhe mehr oder weniger Zeit? - Betrachte die Steigung der Graphen an verschiedenen Stellen. Wird sie größer, kleiner oder bleibt sie gleich?

a) Zuordnung von Gefäß A (Zylinder): Da ein Zylinder überall die gleiche Querschnittsfläche hat, steigt der Wasserspiegel bei gleichmäßigem Zufluss mit einer konstanten Geschwindigkeit an. Dies entspricht einem linearen Graphen. Somit gehört Graph \(f\) zu Gefäß A. b) Begründung für Gefäß B (nach oben breiter werdend): Da das Gefäß nach oben hin breiter wird, muss pro Zentimeter zusätzlicher Höhe mehr Wasser eingefüllt werden. Bei konstantem Zufluss steigt die Füllhöhe also immer langsamer an. Der Graph muss daher abflachen (rechtsgekrümmt bzw. konkav sein). Somit gehört Graph \(g\) zu Gefäß B. Ergebnis: Graph \(f\) gehört zu Gefäß A, Graph \(g\) gehört zu Gefäß B.

a) Graph \(f\) gehört zu Gefäß A (Zylinder), Graph \(g\) gehört zu Gefäß B (breiter werdendes Gefäß). b) Bei Gefäß A ist die Querschnittsfläche konstant, weshalb die Füllhöhe gleichmäßig (linear) zunimmt, was Graph \(f\) zeigt. Bei Gefäß B nimmt die Querschnittsfläche nach oben hin zu, wodurch die Füllhöhe bei gleichbleibendem Zufluss immer langsamer steigt. Dies führt zu einem abflachenden Kurvenverlauf, wie er bei Graph \(g\) zu sehen ist.

- Schau dir den Punkt im Graphen an, an dem sich die Steigung ändert. Was passiert dort im Gefäß? - Die Steigung einer Geraden berechnet man mit dem Steigungsdreieck: Differenz der \(y\)-Werte geteilt durch Differenz der \(x\)-Werte. - Überlege dir: Wenn ein Rohr dünner ist, steigt das Wasser darin bei gleichem Zufluss dann schneller oder langsamer nach oben? - Achte auf die Achsenbeschriftungen und Einheiten, um die Bedeutung der Steigung zu bestimmen.

a) Füllzeit des unteren Abschnitts: Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass der untere Abschnitt \(8\,\text{cm}\) hoch ist. Im Graphen erkennt man bei \(h = 8\,\text{cm}\) einen Knickpunkt bei \(t = 4\,\text{s}\). Der untere Teil ist also nach \(4\,\text{s}\) gefüllt. b) Vergleich der Füllgeschwindigkeiten: Im ersten Abschnitt (0 bis \(4\,\text{s}\)) steigt das Wasser um \(8\,\text{cm}\) in \(4\,\text{s}\), also mit \(2\,\text{cm/s}\). Im zweiten Abschnitt (\(4\,\text{s}\) bis \(6\,\text{s}\)) steigt es von \(8\,\text{cm}\) auf \(18\,\text{cm}\), also um \(10\,\text{cm}\) in \(2\,\text{s}\). Das entspricht \(5\,\text{cm/s}\). Im zweiten (oberen) Abschnitt steigt das Wasser schneller. Folgerung zum Durchmesser: Da das Wasser im oberen Abschnitt schneller steigt, muss dieser Abschnitt einen kleineren Querschnitt bzw. Durchmesser haben als der untere Abschnitt. c) Berechnung der Steigungen: - Steigung \(m_1 = \frac{8\,\text{cm} - 0\,\text{cm}}{4\,\text{s} - 0\,\text{s}} = 2\,\text{cm/s}\). - Steigung \(m_2 = \frac{18\,\text{cm} - 8\,\text{cm}}{6\,\text{s} - 4\,\text{s}} = \frac{10\,\text{cm}}{2\,\text{s}} = 5\,\text{cm/s}\). Bedeutung: Die Steigung gibt die Füllgeschwindigkeit in Zentimetern pro Sekunde (\(\text{cm/s}\)) an.

a) Der untere Abschnitt ist nach \(4\,\text{s}\) gefüllt. b) Im zweiten Abschnitt steigt das Wasser schneller (\(5\,\text{cm/s}\) statt \(2\,\text{cm/s}\)). Daraus folgt, dass der obere Zylinder einen kleineren Durchmesser hat als der untere. c) Die Steigungen betragen \(2\,\text{cm/s}\) für den ersten Abschnitt und \(5\,\text{cm/s}\) für den zweiten Abschnitt. Die Steigung gibt die Füllgeschwindigkeit des Wasserspiegels an.

- Was bedeutet es grafisch, wenn ein Wert „größer“ ist als ein anderer? - Wie erkennt man den Unterschied zwischen Einnahmen und Ausgaben im Diagramm? - Wo genau im Diagramm heben sich Einnahmen und Ausgaben gegenseitig auf?

a) Das Unternehmen macht Gewinn, wenn der blaue Graph oberhalb des roten Graphen liegt. Der Übergang liegt zwischen dem 6. und 7. Monat; in den vollen Monaten Juli bis Dezember sind die Einnahmen höher als die Ausgaben. b) Der Verlust ist dort am größten, wo der vertikale Abstand zwischen dem roten und dem blauen Graphen am größten ist. Das ist im 1. Monat (Januar) der Fall. c) Die Graphen schneiden sich etwa bei \(t \approx 6{,}5\), also am Übergang von Juni zu Juli.

a) In den vollen Monaten Juli bis Dezember. b) Im Januar. c) Zwischen Juni und Juli, etwa bei \(t \approx 6{,}5\).

- Wie liest du die Entfernung zu einem bestimmten Zeitpunkt ab? - Was bedeutet ein waagerechter Abschnitt in einem Entfernung-Zeit-Diagramm? - Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung des Graphen. Je steiler, desto schneller.

a) Der weiteste Punkt liegt bei \(15\,\text{km}\). b) Die Pause begann nach \(30\,\text{min}\) und dauerte \(15\,\text{min}\) (von Minute \(30\) bis Minute \(45\)). c) Im ersten Fahrtstück legt Lara \(10\,\text{km}\) in \(30\,\text{min} = 0{,}5\,\text{h}\) zurück: \(10\,\text{km} : 0{,}5\,\text{h} = 20\,\text{km/h}\). Im letzten Fahrtstück legt sie \(5\,\text{km}\) in \(15\,\text{min} = 0{,}25\,\text{h}\) zurück: \(5\,\text{km} : 0{,}25\,\text{h} = 20\,\text{km/h}\). Beide Fahrtstücke sind gleich steil; auf beiden war sie mit \(20\,\text{km/h}\) am schnellsten.

a) \(15\,\text{km}\). b) Nach \(30\,\text{min}\); Dauer: \(15\,\text{min}\). c) Auf beiden Abschnitten (vor und nach der Pause) mit \(20\,\text{km/h}\).

- Lies die Koordinaten der Knickpunkte im Graphen genau ab. - Ein fallender Graph bedeutet, dass es bergab geht. - Um die Steilheit zu vergleichen, berechne, wie viele Höhenmeter pro gefahrenem Kilometer durchschnittlich überwunden werden. - Achte darauf, für die Steilheit immer den Höhenunterschied durch die horizontale Teilstrecke zu teilen.

a) Start- und Maximalhöhe: Der Graph beginnt bei \(x = 0\) auf einer Höhe von \(150\,\text{m}\). Der höchste Punkt liegt am Ende der Tour bei \(x = 30\,\text{km}\) mit einer Höhe von \(600\,\text{m}\). b) Abfahrt: Der Graph fällt im Bereich von \(x = 10\,\text{km}\) bis \(x = 20\,\text{km}\) (von \(500\,\text{m}\) auf \(350\,\text{m}\)). c) Steilheitsvergleich: - Mittlerer Abschnitt (km 4 bis 10): Höhenunterschied \(\Delta h = 500\,\text{m} - 200\,\text{m} = 300\,\text{m}\) auf einer Strecke von \(\Delta s = 10\,\text{km} - 4\,\text{km} = 6\,\text{km}\). Steigung: \(\frac{300\,\text{m}}{6\,\text{km}} = 50\,\text{m/km}\). - Schlussabschnitt (km 20 bis 30): Höhenunterschied \(\Delta h = 600\,\text{m} - 350\,\text{m} = 250\,\text{m}\) auf einer Strecke von \(\Delta s = 30\,\text{km} - 20\,\text{km} = 10\,\text{km}\). Steigung: \(\frac{250\,\text{m}}{10\,\text{km}} = 25\,\text{m/km}\). - Ergebnis: Die Aussage ist korrekt, da \(50\,\text{m/km} > 25\,\text{m/km}\).

a) Startpunkt: \(150\,\text{m}\). Maximale Höhe: \(600\,\text{m}\). b) Die Abfahrt erfolgt zwischen Kilometer \(10\) und Kilometer \(20\). c) Die Aussage stimmt. Der Anstieg zwischen km \(4\) und \(10\) beträgt \(50\,\text{m/km}\), während der Schlussanstieg (km \(20\) bis \(30\)) nur \(25\,\text{m/km}\) beträgt.

- Überlege dir, was ein waagerechter Strich in diesem Diagramm für den Hund bedeutet. Ändert sich seine Position relativ zum Besitzer? - Der Abstand ist nicht dasselbe wie die gelaufene Strecke. Die Strecke ist die Summe aller Teilwege. - Achte auf die Einheiten an den Achsen.

a) Ablesen nach \(20\,\text{s}\): Bei \(t = 20\,\text{s}\) beträgt der Abstand \(40\,\text{m}\). b) Zeiträume mit konstantem Abstand: Waagerechte Abschnitte im Zeit-Abstands-Diagramm bedeuten einen gleichbleibenden Abstand. Dies ist von \(20\,\text{s}\) bis \(50\,\text{s}\) (Abstand \(40\,\text{m}\)) und von \(70\,\text{s}\) bis \(90\,\text{s}\) (Abstand \(10\,\text{m}\)) der Fall. c) Bestimmung des Maximums: Der höchste Punkt des Graphen liegt im Intervall \([20; 50]\) bei einem Abstand von \(40\,\text{m}\). d) Berechnung der Gesamtstrecke: - \(0\) bis \(20\,\text{s}\): Entfernung nimmt um \(40\,\text{m}\) zu. Strecke: \(40\,\text{m}\). - \(20\) bis \(50\,\text{s}\): Keine Änderung. Strecke: \(0\,\text{m}\). - \(50\) bis \(70\,\text{s}\): Abstand sinkt von \(40\,\text{m}\) auf \(10\,\text{m}\). Strecke: \(30\,\text{m}\). - \(70\) bis \(90\,\text{s}\): Keine Änderung. Strecke: \(0\,\text{m}\). - \(90\) bis \(120\,\text{s}\): Abstand sinkt von \(10\,\text{m}\) auf \(0\,\text{m}\). Strecke: \(10\,\text{m}\). Gesamtstrecke: \(40\,\text{m} + 30\,\text{m} + 10\,\text{m} = 80\,\text{m}\).

a) Nach \(20\,\text{s}\) ist Bello \(40\,\text{m}\) entfernt. b) Bellos Abstand bleibt zwischen \(20\,\text{s}\) und \(50\,\text{s}\) sowie zwischen \(70\,\text{s}\) und \(90\,\text{s}\) konstant. c) Zwischen \(20\,\text{s}\) und \(50\,\text{s}\) ist er mit \(40\,\text{m}\) am weitesten entfernt. d) Die gesamte gelaufene Strecke beträgt \(80\,\text{m}\).

- Schau dir den höchsten Punkt der Kurve an und lies die Werte auf beiden Achsen ab. - Suche den Wert 15 auf der senkrechten Achse und folge der Linie waagerecht, um die entsprechenden Uhrzeiten zu finden. - Überprüfe den Verlauf des Graphen in den frühen Morgenstunden. - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Jedem Ausgangswert darf nur genau ein Zielwert zugeordnet sein.

a) Der höchste Punkt des Graphen liegt bei ca. \(20{:}00\) Uhr mit einem Wert von etwa \(42\,\text{Mbit/s}\). b) Die Datenrate liegt etwa von \(11{:}50\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr über \(15\,\text{Mbit/s}\). c) Die Aussage ist falsch. In der Nacht und am frühen Morgen liegt die Datenrate zeitweise deutlich unter \(5\,\text{Mbit/s}\). d) Nein, es ist keine Funktion. Derselben Datenrate sind im Tagesverlauf mehrere Uhrzeiten zugeordnet; die Zuordnung ist daher nicht eindeutig.

a) Maximum um ca. \(20{:}00\) Uhr bei ca. \(42\,\text{Mbit/s}\). b) Etwa von \(11{:}50\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr. c) Die Aussage ist falsch, da der Wert nachts unter \(5\,\text{Mbit/s}\) liegt. d) Keine Funktion, da derselben Datenrate mehrere Uhrzeiten zugeordnet sein können.

- Schau dir die Achsen genau an: Was wird auf der waagerechten und was auf der senkrechten Achse dargestellt? - Hoch- und Tiefpunkte findest du dort, wo der Graph seine Richtung ändert. - Orientiere dich für Aufgabenteil b) an der horizontalen Gitterlinie bei \(2\,\text{m}\) und prüfe, in welchen Abschnitten der Graph darüber oder darauf liegt. - Die Steilheit des Graphen gibt an, wie schnell sich der Wasserstand ändert. - Um die Änderung in einem Zeitraum zu bestimmen, vergleiche die Werte am Anfang und am Ende dieses Zeitraums.

a) Ablesen der Extremwerte: Der höchste Wasserstand (Flut) beträgt \(5\,\text{m}\) und wird um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) (\(x = 3\)) erreicht. Der niedrigste Wasserstand (Ebbe) beträgt \(1\,\text{m}\) um \(9{:}00\,\text{Uhr}\) (\(x = 9\)). b) Bestimmung der Zeiträume für \(y \ge 2\,\text{m}\): Die Horizontale bei \(y = 2\) schneidet den Graphen bei \(x = 7\) und \(x = 11\). Somit ist das Manövrieren von \(0{:}00\) bis \(7{:}00\,\text{Uhr}\) sowie von \(11{:}00\) bis \(12{:}00\,\text{Uhr}\) möglich. c) Analyse der Steigung: Die Kurve ist am steilsten am Anfang (\(x = 0\)) und am Ende (\(x = 12\)) des Beobachtungszeitraums. Die gleich großen stärksten Anstiege erfolgen von \(0{:}00\) bis \(2{:}00\,\text{Uhr}\) und von \(10{:}00\) bis \(12{:}00\,\text{Uhr}\). d) Differenz im Intervall \([4; 6]\): Bei \(x = 4\) liegt der Wasserstand bei ca. \(4{,}7\,\text{m}\), bei \(x = 6\) liegt er bei \(3\,\text{m}\). Der Wasserstand sinkt also um ca. \(1{,}7\,\text{m}\).

a) Höchster Wasserstand: \(5\,\text{m}\) um \(3{:}00\,\text{Uhr}\); niedrigster Wasserstand: \(1\,\text{m}\) um \(9{:}00\,\text{Uhr}\). b) Von \(0{:}00\) bis \(7{:}00\,\text{Uhr}\) und von \(11{:}00\) bis \(12{:}00\,\text{Uhr}\). c) Von \(0{:}00\) bis \(2{:}00\,\text{Uhr}\) und von \(10{:}00\) bis \(12{:}00\,\text{Uhr}\). d) Der Wasserstand sinkt um ca. \(1{,}7\,\text{m}\).

- Suche dir einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um Werte sicher abzulesen. - Die Steigung der Geraden entspricht hier der Geschwindigkeit. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, kannst du jeden beliebigen Wert durch Einsetzen berechnen. - Achte beim Ergebnis in Teil c) darauf, den Dezimalwert der Stunden korrekt in Zeit umzurechnen.

a) Bestimmung der Geschwindigkeit: Aus dem Graphen lässt sich ein Wertepaar ablesen, z. B. nach \(5\) Stunden wurden \(30\,\text{km}\) zurückgelegt. Die Geschwindigkeit \(v\) ist \(\frac{30\,\text{km}}{5\,\text{h}} = 6\,\text{km/h}\). Funktionsgleichung: Die Gleichung lautet \(s(t) = 6t\). b) Strecke nach \(4{,}5\,\text{h}\): \(s = 6\,\text{km/h} \cdot 4{,}5\,\text{h} = 27\,\text{km}\). c) Zeit für \(15\,\text{km}\): \(t = \frac{15\,\text{km}}{6\,\text{km/h}} = 2{,}5\,\text{h}\). Dies entspricht \(2\) Stunden und \(30\) Minuten.

a) Die Wandergeschwindigkeit beträgt \(6\,\text{km/h}\). Die Funktionsgleichung lautet \(s(t) = 6t\). b) Nach \(4{,}5\) Stunden hat er \(27\,\text{km}\) zurückgelegt. c) Er benötigt \(2{,}5\) Stunden (also \(2\) Stunden und \(30\) Minuten) für \(15\,\text{km}\).

- Was bedeuten der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die Steigung in diesem Sachkontext? - Überlege, wer sich vom Startpunkt entfernt und wer sich ihm nähert. Was bedeutet das für das Vorzeichen der Steigung? - Kannst du einen Punkt auf dem Graphen ablesen, um die Geschwindigkeit zu berechnen?

1. Für Anton (Gerade \(a\)): Der Startwert ist \(b = 0\). Nach \(2\,\text{Stunden}\) hat er \(10\,\text{km}\) zurückgelegt. Die Steigung (Geschwindigkeit) ist \(m = \frac{10}{2} = 5\,\text{km/h}\). Gleichung: \(s_A(t) = 5t\). 2. Für Bea (Gerade \(b\)): Der Startwert ist \(b = 18\). Nach \(2\,\text{Stunden}\) ist sie bei Kilometer \(10\). Die Steigung ist \(m = \frac{10 - 18}{2 - 0} = -4\,\text{km/h}\). Gleichung: \(s_B(t) = -4t + 18\).

Die Funktionsgleichungen sind \(s_A(t) = 5t\) für Anton und \(s_B(t) = -4t + 18\) für Bea.

- Achte darauf, ob der Graph insgesamt steigt oder fällt. - Unterscheide zwischen einem Graphen, der direkt flach startet, und einem, der erst steil geht und dann flach wird (S-Kurve). - Eine konstante Geschwindigkeit wird durch eine waagrechte Linie im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm dargestellt.

1. Zuordnung: (1) \(\rightarrow\) A. Der Wertverlust ist anfangs am höchsten und flacht dann ab, was typisch für einen exponentiellen Zerfall ist. 2. Zuordnung: (2) \(\rightarrow\) B. Die S-Form zeigt zunächst langsames, dann starkes Wachstum und anschließend die Sättigung (logistisches Wachstum). 3. Zuordnung: (3) \(\rightarrow\) C. Die Geschwindigkeit nimmt erst gleichmäßig zu (konstante Beschleunigung) und bleibt dann konstant (waagrechte Linie).

(1) – A; (2) – B; (3) – C.

- Was bedeuten die Schnittpunkte mit der senkrechten Achse in diesem Sachzusammenhang? - Die Steigung gibt hier an, wie viel Liter pro Minute hinzukommen oder abfließen. - Achte auf die Beschriftung der Achsen.

1. Tank 1 (blau): - Startwert bei \(t = 0\) ist \(V = 10\), also \(n = 10\). - Nach \(5\,\text{min}\) sind \(V = 30\,\text{l}\) im Tank. Die Zunahme beträgt \(20\,\text{l}\) in \(5\,\text{min}\). - Steigung \(m = \frac{30 - 10}{5} = 4\). - Gleichung: \(V(t) = 4t + 10\). 2. Tank 2 (rot): - Startwert bei \(t = 0\) ist \(V = 50\), also \(n = 50\). - Nach \(10\,\text{min}\) ist der Tank leer (\(V = 0\)). - Steigung \(m = \frac{0 - 50}{10} = -5\). - Gleichung: \(V(t) = -5t + 50\).

Tank 1 (blau): \(V(t) = 4t + 10\); Tank 2 (rot): \(V(t) = -5t + 50\).

- Überlege dir, was der Startwert bei \(x = 0\) für die Funktionsgleichung bedeutet. - Wie viel Liter kommen pro Minute in jedem Behälter hinzu? Das entspricht der Steigung. - Um den Zeitpunkt der gleichen Füllmenge zu finden, kannst du die Graphen ablesen oder die Gleichungen gleichsetzen.

a) Aufstellen der Gleichungen: - Für \(B_1\): Der Anfangsbestand bei \(x = 0\) beträgt \(100\,\text{l}\), also ist \(b = 100\). Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) im Behälter. Die Steigung (Zuflussrate) ist \(m = \frac{200 - 100}{5} = 20\,\text{l/min}\). Die Gleichung lautet \(y = 20x + 100\). - Für \(B_2\): Der Behälter ist anfangs leer, also ist \(b = 0\). Nach \(5\,\text{min}\) sind ebenfalls \(200\,\text{l}\) im Behälter. Die Steigung ist \(m = \frac{200}{5} = 40\,\text{l/min}\). Die Gleichung lautet \(y = 40x\). b) Schnittpunkt bestimmen: Setze die Gleichungen gleich: \(40x = 20x + 100\). Subtraktion von \(20x\) ergibt \(20x = 100\), also \(x = 5\). Einsetzen in eine Gleichung ergibt \(y = 40 \cdot 5 = 200\). Nach \(5\,\text{min}\) enthalten beide Behälter \(200\,\text{l}\).

a) \(B_1: y = 20x + 100\); \(B_2: y = 40x\) b) Nach \(5\,\text{min}\); \(200\,\text{l}\)

- Der Anfangswert ist der Punkt, an dem der Graph die senkrechte Achse schneidet. - Je steiler der Graph nach oben geht, desto schneller nimmt das Volumen zu (desto stärker regnet es). - Die entnommene Menge entspricht dem Unterschied zwischen dem höchsten Stand nach dem Regen und dem Stand am Ende der Entnahmephase.

a) Ablesen des Anfangswerts: Zum Zeitpunkt \(t = 0\) liegt das Volumen bei \(200\,\text{l}\). b) Vergleich der Anstiegsphasen: Zwischen \(t = 0\) und \(t = 2\) steigt das Volumen um \(200\,\text{l}\) in \(2\,\text{Stunden}\) (Rate: \(100\,\text{l/h}\)). Zwischen \(t = 2\) und \(t = 3\) steigt es um \(200\,\text{l}\) in nur \(1\,\text{Stunde}\) (Rate: \(200\,\text{l/h}\)). Somit hat es zwischen der 2. und 3. Stunde am heftigsten geregnet. c) Berechnung der Entnahme: Der Regen endet bei \(t = 3\), danach bleibt das Volumen bis \(t = 5\) konstant bei \(600\,\text{l}\). Von \(t = 5\) bis \(t = 9\) sinkt das Volumen von \(600\,\text{l}\) auf \(200\,\text{l}\). Die entnommene Menge beträgt \(600\,\text{l} - 200\,\text{l} = 400\,\text{l}\).

a) \(200\,\text{Liter}\) b) Zwischen der 2. und 3. Stunde (da der Graph hier am steilsten ansteigt) c) \(400\,\text{Liter}\)

- Überlege dir, wie sich die Füllhöhe ändert, wenn das Gefäß an einer Stelle sehr schmal oder sehr breit ist. - Wo im Diagramm steigt die Kurve am steilsten an? - Was bedeutet eine steile Kurve für die Geschwindigkeit, mit der das Wasser steigt?

1. Ablesen am Punkt \((2 \mid 1)\): Nach \(2\,\text{Sekunden}\) beträgt die Höhe \(1\,\text{cm}\). 2. Ablesen am Punkt \((6 \mid 9)\): Die Höhe \(9\,\text{cm}\) wird nach \(6\,\text{Sekunden}\) erreicht. 3. Die Vase ist dort am schmalsten, wo die Füllhöhe bei konstantem Zufluss am schnellsten steigt. Die größte Steigung liegt zwischen \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\). Das entspricht dem Höhenbereich von \(1\,\text{cm}\) bis \(9\,\text{cm}\).

1. Nach \(2\,\text{Sekunden}\) ist das Wasser \(1\,\text{cm}\) hoch. 2. Die Höhe von \(9\,\text{cm}\) wird nach \(6\,\text{Sekunden}\) erreicht. 3. Im Höhenbereich von \(1\,\text{cm}\) bis \(9\,\text{cm}\).

- Identifiziere die drei Phasen im Graphen: Füllen (Anstieg), Warten (waagerecht) und Leeren (Abfall). - Die Füllrate gibt an, wie viel Volumen pro Zeiteinheit hinzukommt – das entspricht der Steigung im ersten Abschnitt. - Für die vierte Frage kannst du berechnen, wie viel Wasser pro Minute abgelassen wird und wie viele Minuten vergehen müssen, bis nur noch \(20\,\text{L}\) übrig sind. - Achte auf die Beschriftung der Achsen, um die richtigen Einheiten zu verwenden.

1. Wert für \(t = 2\) ablesen: Der Füllvorgang verläuft linear von \((0 \mid 0)\) bis \((4 \mid 80)\). Bei \(t = 2\,\text{min}\) ist die Hälfte der Zeit vergangen, also ist auch das halbe Volumen von \(80\,\text{L}\) erreicht: \(V(2) = 40\,\text{L}\). 2. Dauer des Plateaus: Das Volumen bleibt zwischen \(t = 4\,\text{min}\) und \(t = 10\,\text{min}\) konstant. Die Dauer beträgt \(10\,\text{min} - 4\,\text{min} = 6\,\text{min}\). 3. Berechnung der Füllrate: In den ersten \(4\,\text{min}\) fließen \(80\,\text{L}\) zu. Die Füllrate beträgt \(\frac{80\,\text{L}}{4\,\text{min}} = 20\,\text{L/min}\). 4. Zeitpunkt für \(V = 20\,\text{L}\) beim Entleeren: Die Entleerung beginnt bei \(t = 10\,\text{min}\) mit \(80\,\text{L}\) und endet bei \(t = 14\,\text{min}\) mit \(0\,\text{L}\). Pro Minute fließen \(\frac{80}{4} = 20\,\text{L}\) ab. Um von \(80\,\text{L}\) auf \(20\,\text{L}\) zu sinken, müssen \(60\,\text{L}\) abfließen. Dafür werden \(\frac{60\,\text{L}}{20\,\text{L/min}} = 3\,\text{min}\) benötigt. Die Zeit ist also \(10\,\text{min} + 3\,\text{min} = 13\,\text{min}\).

1) Nach \(2\,\text{min}\) befinden sich \(40\,\text{L}\) im Becken. 2) Das Volumen blieb \(6\,\text{min}\) lang unverändert. 3) Die Füllrate betrug \(20\,\text{L/min}\). 4) Nach \(13\,\text{min}\) beträgt das Volumen noch genau \(20\,\text{L}\).

- Die x-Achse zeigt die Entfernung, die y-Achse die Höhe. - Konstante Werte erkennst du an einer waagerechten Linie im Graphen. - Für die Höhe bei 10 km kannst du den Wert auf der geraden Verbindungslinie zwischen den Gitterpunkten bei 9 km und 12 km bestimmen. - Vergleiche, wie viele Höhenmeter auf demselben horizontalen Wegstück überwunden werden, um die Steilheit zu beurteilen.

1. Ablesen der Endpunkte des Graphen: Startpunkt \((0 \mid 500)\) ergibt \(500\,\text{m}\), Endpunkt \((12 \mid 450)\) ergibt \(450\,\text{m}\). 2. Ein waagerechter Verlauf zeigt eine konstante Höhe an. Dies ist zwischen Kilometer 2 und Kilometer 4 der Fall (Höhe \(700\,\text{m}\)). 3. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei Kilometer 6 auf einer Höhe von \(950\,\text{m}\). 4. Bei Kilometer 10 liegt der Punkt auf dem linearen Teilstück zwischen Kilometer 9 (\(600\,\text{m}\)) und Kilometer 12 (\(450\,\text{m}\)). Die Höhendifferenz beträgt \(-150\,\text{m}\) auf \(3\,\text{km}\), was einer Änderung von \(-50\,\text{m}\) pro Kilometer entspricht. Nach einem Kilometer (bei Kilometer 10) beträgt die Höhe somit \(600\,\text{m} - 50\,\text{m} = 550\,\text{m}\). 5. Steigung 0-2: \(200\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(100\,\text{m/km}\)). Steigung 4-6: \(250\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(125\,\text{m/km}\)). Der Abschnitt 4-6 ist steiler, da pro Kilometer mehr Höhenmeter überwunden werden.

1. Start: \(500\,\text{m}\); Landung: \(450\,\text{m}\). 2. Von Kilometer 2 bis Kilometer 4. 3. Maximale Höhe: \(950\,\text{m}\). 4. Höhe bei \(10\,\text{km}\): \(550\,\text{m}\). 5. Der Abschnitt zwischen Kilometer 4 und 6 ist steiler, da dort \(125\,\text{m/km}\) statt \(100\,\text{m/km}\) überwunden werden.

- Überlege dir, was die waagerechten Abschnitte im Diagramm für die Bewegung bedeuten. - Achte beim Ablesen von Werten darauf, in welchem Zeitintervall der gesuchte Zeitpunkt liegt. - Um eine Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) zu berechnen, musst du die Zeit von Minuten in Stunden umrechnen oder den Dreisatz verwenden. - Steile Abschnitte bedeuten eine hohe Geschwindigkeit, flachere Abschnitte eine geringere Geschwindigkeit.

1. Der Zeitpunkt \(t = 60\,\text{min}\) liegt im linearen Abschnitt zwischen den Punkten \((50 \mid 60)\) und \((90 \mid 100)\). Die Steigung in diesem Abschnitt beträgt \(m = \frac{100 - 60}{90 - 50} = 1\,\text{km/min}\). Die Entfernung nach 60 Minuten berechnet sich zu \(s(60) = 60 + (60 - 50) \cdot 1 = 70\,\text{km}\). 2. Die Stillstandszeiten entsprechen den horizontalen Abschnitten des Graphen. Diese liegen zwischen \(t = 40\) und \(t = 50\) (\(10\,\text{min}\)) sowie zwischen \(t = 90\) und \(t = 100\) (\(10\,\text{min}\)). Die Gesamtzeit beträgt \(20\,\text{min}\). 3. Im ersten Abschnitt werden \(60\,\text{km}\) in \(40\,\text{min}\) zurückgelegt. Die Geschwindigkeit beträgt \(v = \frac{60\,\text{km}}{\frac{40}{60}\,\text{h}} = \frac{60 \cdot 60}{40}\,\text{km/h} = 90\,\text{km/h}\). 4. Die Entfernung \(s = 80\,\text{km}\) wird im Abschnitt zwischen \(t = 50\) und \(t = 90\) erreicht. Mit der Steigung \(1\,\text{km/min}\) gilt: \(60 + 1 \cdot (t - 50) = 80\). Daraus folgt \(t - 50 = 20\), also \(t = 70\,\text{min}\).

1) Der Zug ist nach einer Stunde \(70\,\text{km}\) weit gefahren. 2) Der Zug stand insgesamt \(20\,\text{min}\) still. 3) Die Geschwindigkeit im ersten Abschnitt betrug \(90\,\text{km/h}\). 4) Der Zug war nach \(70\,\text{min}\) zum ersten Mal \(80\,\text{km}\) weit vom Start entfernt.

- Achte auf die Beschriftung der Achsen: Die waagerechte Achse zeigt die Zeit, die senkrechte die Höhe. - Ein waagerechter Verlauf des Graphen bedeutet, dass sich die Höhe über eine gewisse Zeit nicht ändert. - Um den Höhenunterschied zu berechnen, subtrahiere die Starthöhe von der Endhöhe des betrachteten Zeitraums. - Lies die Werte für \(h(6)\) genau in der Mitte des entsprechenden Linienstücks ab.

1. Nach \(2\) Stunden ist der Funktionswert \(h(2) = 1000\,\text{m}\). Nach \(6\) Stunden liegt der Punkt genau in der Mitte zwischen \((5 \mid 1400)\) und \((7 \mid 800)\), also bei \(h(6) = 1100\,\text{m}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(1400\,\text{m}\). Diesen Wert erreicht die Gruppe im Zeitraum von \(t = 4\,\text{h}\) bis \(t = 5\,\text{h}\). 3. Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist die Gruppe auf \(400\,\text{m}\). Nach \(4\) Stunden ist sie auf \(1400\,\text{m}\). Da der Weg dazwischen stetig ansteigt, wurden \(1400\,\text{m} - 400\,\text{m} = 1000\,\text{m}\) bergauf zurückgelegt. 4. Eine Pause ohne Höhenänderung wird durch einen waagerechten Abschnitt im Graphen dargestellt. Dies ist zwischen der 4. und der 5. Stunde der Fall.

1. Nach \(2\,\text{h}\): \(1000\,\text{m}\); nach \(6\,\text{h}\): \(1100\,\text{m}\) 2. Im Zeitraum von \(t = 4\,\text{h}\) bis \(t = 5\,\text{h}\) (Intervall \([4; 5]\)) 3. \(1000\,\text{m}\) 4. Zwischen der 4. und 5. Stunde

- Achte auf die Skalierung der Achsen: Wie viel entspricht ein Kästchen in x- und y-Richtung? - Eine konstante Geschwindigkeit erkennst du an einem waagerechten Verlauf des Graphen. - Den Zeitraum einer bestimmten Geschwindigkeit findest du, indem du die Dauer des entsprechenden Abschnitts auf der Zeitachse bestimmst. - Wenn ein gesuchter Wert auf einer schrägen Linie liegt, kannst du mit der Steigung rechnen oder die proportionalen Abstände nutzen.

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) liegt der Graph auf der horizontalen Achse, die Geschwindigkeit beträgt also \(0\,\text{km/h}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(v = 24\,\text{km/h}\). Dieser Wert wird im Zeitraum zwischen Minute \(20\) und Minute \(24\) konstant beibehalten. 3. Die Geschwindigkeit von \(16\,\text{km/h}\) wird im Zeitintervall von \(t = 4\,\text{min}\) bis \(t = 12\,\text{min}\) konstant gefahren. Die Dauer beträgt \(12\,\text{min} - 4\,\text{min} = 8\,\text{min}\). 4. Der Wert \(v = 20\,\text{km/h}\) wird an zwei Stellen erreicht: - Im ansteigenden Abschnitt zwischen Minute \(12\) (\(16\,\text{km/h}\)) und Minute \(20\) (\(24\,\text{km/h}\)). Da die Geschwindigkeit in \(8\,\text{min}\) um \(8\,\text{km/h}\) steigt, nimmt sie um \(1\,\text{km/h}\) pro Minute zu. Der Wert \(20\,\text{km/h}\) wird nach \(4\,\text{min}\) erreicht, also zum Zeitpunkt \(t = 12 + 4 = 16\,\text{min}\). - Im abfallenden Abschnitt zwischen Minute \(24\) (\(24\,\text{km/h}\)) und Minute \(30\) (\(0\,\text{km/h}\)). Hier sinkt die Geschwindigkeit in \(6\,\text{min}\) um \(24\,\text{km/h}\), also um \(4\,\text{km/h}\) pro Minute. Eine Verringerung um \(4\,\text{km/h}\) (von \(24\) auf \(20\)) dauert genau \(1\,\text{min}\). Der Zeitpunkt ist \(t = 24 + 1 = 25\,\text{min}\).

1. \(0\,\text{km/h}\) 2. \(24\,\text{km/h}\) im Zeitraum von Minute 20 bis 24. 3. \(8\,\text{min}\) 4. Nach \(16\,\text{min}\) und nach \(25\,\text{min}\).

- Schau dir den Punkt auf dem Graphen an, der genau über dem Wert für die gefahrene Strecke liegt. - Wo berührt der Graph die waagerechte Achse? Was bedeutet das für den Tankinhalt? - Überlege, wie viel Kraftstoff insgesamt verbraucht wurde, als die Fahrt beendet war, und teile diesen Wert durch die Gesamtstrecke. - Eine lineare Funktion hat die Form \(y = mx + b\). Welchen Wert hat \(y\), wenn die Strecke \(0\) ist?

1. Ablesen des Funktionswertes bei \(x = 400\): Der zugehörige \(y\)-Wert auf dem Graphen liegt bei ungefähr \(36\). Somit sind noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2. Bestimmung der Nullstelle des Graphen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(1000\). Der Tank ist also nach \(1000\,\text{km}\) leer. 3. Berechnung des Verbrauchs: In \(1000\,\text{km}\) werden \(60\,\text{l}\) verbraucht. Der Verbrauch pro Kilometer beträgt \(\frac{60}{1000} = 0{,}06\,\text{l/km}\). Hochgerechnet auf \(100\,\text{km}\) ergibt dies \(0{,}06 \cdot 100 = 6\,\text{l}\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = 60\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 60}{1000 - 0} = -0{,}06\). Die Gleichung lautet \(y = -0{,}06x + 60\).

1) Nach \(400\,\text{km}\) sind noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2) Der Tank ist nach \(1000\,\text{km}\) leer. 3) Der Durchschnittsverbrauch liegt bei \(6\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\). 4) Die Funktionsgleichung lautet \(y = -0{,}06x + 60\).

- Die Anfangswerte findest du dort, wo die Zeit \(0\) ist. - Suche im Diagramm nach der Stelle, an der sich die beiden Linien kreuzen. - Du kannst die Steigung berechnen, indem du schaust, um wie viel Prozent der Ladestand in einer bestimmten Zeit (z. B. \(10\) oder \(20\) Minuten) steigt. - Nutze die Form \(y = mx + n\), wobei \(n\) der Startwert ist.

1. Vergleich der \(y\)-Achsenabschnitte: Smartphone A startet bei \(10\,\%\), Smartphone B bei \(40\,\%\). Smartphone B hatte also zu Beginn einen höheren Ladestand. 2. Bestimmung des Schnittpunkts: Die beiden Geraden schneiden sich bei \(x = 30\) und \(y = 55\). Nach \(30\,\text{min}\) haben beide einen Ladestand von \(55\,\%\). 3. Berechnung für Smartphone A: Die Steigung beträgt \(m_A = \frac{100 - 10}{60 - 0} = 1{,}5\). Da der Ladestand in Prozent angegeben ist, entspricht das \(1{,}5\) Prozentpunkten pro Minute. Nach \(50\,\text{min}\) beträgt der Zuwachs \(1{,}5 \cdot 50 = 75\) Prozentpunkte. Addiert zum Startwert ergibt das \(10\,\% + 75\) Prozentpunkte \(= 85\,\%\). 4. Aufstellen der Gleichungen: Für Smartphone A: \(y = 1{,}5x + 10\). Für Smartphone B beträgt die Steigung \(m_B = \frac{90 - 40}{100 - 0} = 0{,}5\), also \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5x + 40\).

1) Smartphone B hatte zu Beginn einen höheren Ladestand (\(40\,\%\) im Vergleich zu \(10\,\%\) bei A). 2) Nach \(30\,\text{min}\) haben beide einen Ladestand von \(55\,\%\). 3) Nach \(50\,\text{min}\) beträgt der Ladestand von Smartphone A \(85\,\%\). 4) Die Funktionsgleichungen lauten für Smartphone A: \(y = 1{,}5x + 10\) und für Smartphone B: \(y = 0{,}5x + 40\).

- Der Startwert lässt sich direkt auf der \(y\)-Achse beim Zeitwert Null ablesen. - Überlege dir, ob ein steigender Graph für das Befüllen oder das Leeren steht. - Bestimme die Änderungsrate aus einer Volumenänderung und der zugehörigen Zeitspanne innerhalb eines geradlinigen Abschnitts. - Den Zeitpunkt, an dem beide Mengen gleich sind, erkennst du an der Stelle, an der sich die Linien im Diagramm treffen.

a) Startwerte ablesen: Bei \(t = 0\) liegt der Graph von Tank \(A\) bei \(5\,\text{L}\) und der von Tank \(B\) bei \(35\,\text{L}\). b) Änderungsraten bestimmen: - Tank \(A\) (blau): Der Graph steigt. In \(4\,\text{min}\) steigt das Volumen von \(5\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(10\,\text{L}\). Die Rate ist \(10\,\text{L} : 4\,\text{min} = 2{,}5\,\text{L/min}\). - Tank \(B\) (orange): Während der Leerphase von \(t = 0\) bis \(t = 7\,\text{min}\) fällt der Graph gleichmäßig. In \(4\,\text{min}\) sinkt das Volumen von \(35\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(20\,\text{L}\). Die Rate ist \(20\,\text{L} : 4\,\text{min} = 5\,\text{L/min}\). Danach ist der Tank leer. c) Schnittpunkt bestimmen: Die Graphen kreuzen sich am Punkt \((4 \mid 15)\). Das bedeutet, nach \(4\,\text{min}\) ist in beiden Tanks ein Volumen von \(15\,\text{L}\).

a) In Tank \(A\) waren zu Beginn \(5\,\text{L}\), in Tank \(B\) waren es \(35\,\text{L}\). b) Tank \(A\) wird mit \(2{,}5\,\text{L/min}\) befüllt. Tank \(B\) wird während seiner Leerphase mit \(5\,\text{L/min}\) geleert. c) Nach \(4\,\text{min}\) enthalten beide Tanks dieselbe Menge, nämlich \(15\,\text{L}\).

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Zylinders? - Wie kannst du eine Formel so umstellen, dass eine Größe alleine auf einer Seite steht? - Was passiert mit einem Quadrat, wenn du die Basiszahl halbierst? Setze einen Platzhalter wie \(0{,}5r\) ein. - Die Mantelfläche eines Zylinders ist das Produkt aus dem Umfang der Grundfläche und der Höhe.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Aus der Volumenformel \(V = \pi r^2h\) folgt durch Umstellen nach \(h\): \(h(r) = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{330}{\pi r^2}\) 2. Untersuchung der Radiusänderung: Wird der Radius halbiert (\(r \to \frac{1}{2}r\)), ergibt sich die neue Höhe \(h_{\text{neu}}\): \(h_{\text{neu}} = \frac{330}{\pi(\frac{1}{2}r)^2} = \frac{330}{\pi\frac{1}{4}r^2} = 4\frac{330}{\pi r^2} = 4h\) Die Höhe vervierfacht sich also. 3. Berechnung der Mantelfläche: Einsetzen von \(r = 3{,}2\) in \(M(r)\): \(M(3{,}2) = \frac{660}{3{,}2} = 206{,}25\) Die Mantelfläche beträgt \(206{,}25\,\text{cm}^2\).

a) \(h(r) = \frac{330}{\pi r^2}\) b) Die Höhe vervierfacht sich (\(h_{\text{neu}} = 4h\)). c) \(M(3{,}2) = 206{,}25\,\text{cm}^2\)

- Wie stark ändert sich die Temperatur, wenn man \(100\) Meter höher steigt? - Überlege dir, wie viel kälter es im Vergleich zur Messung auf \(600\,\text{m}\) wird. - Glaubst du, dass die Natur sich immer exakt an eine gerade Linie hält, egal wie hoch man geht?

1. Berechnung des Temperaturabfalls pro Meter: Die Höhendifferenz beträgt \(1400\,\text{m} - 600\,\text{m} = 800\,\text{m}\). Der Temperaturunterschied beträgt \(11{,}2\,^\circ\text{C} - 16\,^\circ\text{C} = -4{,}8\,^\circ\text{C}\). Die Rate ist \(-4{,}8 : 800 = -0{,}006\,^\circ\text{C/m}\) (bzw. \(0{,}6\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\)). 2. Berechnung für \(2500\,\text{m}\) (a): Die Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(1900\,\text{m}\). Temperaturänderung: \(1900\,\text{m} \cdot (-0{,}006\,^\circ\text{C/m}) = -11{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16\,^\circ\text{C} + (-11{,}4\,^\circ\text{C}) = 4{,}6\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung für \(12\,000\,\text{m}\) (b): Die Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(11\,400\,\text{m}\). Temperaturänderung: \(11\,400\,\text{m} \cdot (-0{,}006\,^\circ\text{C/m}) = -68{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16\,^\circ\text{C} + (-68{,}4\,^\circ\text{C}) = -52{,}4\,^\circ\text{C}\). 4. Begründung (c): Das Modell nimmt an, dass die Bedingungen in der Atmosphäre überall gleich sind. In der Realität gibt es verschiedene Luftschichten (wie die Stratosphäre), in denen sich das Temperaturverhalten ändert, sowie Wettereffekte, die das lineare Modell für extreme Höhen ungenau machen.

a) Auf \(2500\,\text{m}\) Höhe beträgt die Temperatur voraussichtlich \(4{,}6\,^\circ\text{C}\). b) Das Modell sagt für \(12\,000\,\text{m}\) eine Temperatur von \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\) voraus. c) Lineare Modelle sind oft nur in einem begrenzten Bereich gültig. In extremen Höhen ändern sich die atmosphärischen Bedingungen (z. B. Übergang zur Stratosphäre), sodass die konstante Abnahmerate nicht mehr stimmt.

- Erinnere dich an die Volumenformel eines Zylinders: \(V = G \cdot h\). - Was bedeutet eine konstante Zuflussrate für die Zunahme des Volumens? - Wie wirkt sich eine kleinere Grundfläche auf die Geschwindigkeit aus, mit der die Höhe wächst?

1. Berechnung der Steigrate: Das Volumen \(V\) berechnet sich aus \(G \cdot h\). Da \(500\,\text{ml} = 500\,\text{cm}^3\), gilt \(500 = 200 \cdot h\). Daraus folgt \(h = 2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. 2. Funktionsgleichung: \(h(t) = 2{,}5t\). 3. Vergleich der Gefäße: Bei \(G = 100\,\text{cm}^2\) gilt \(500 = 100 \cdot h\), also \(h = 5\,\text{cm}\) pro Minute. Die Steigung des Graphen verdoppelt sich, der Graph verläuft also steiler. 4. Zusammengesetztes Gefäß: - Unterer Teil (\(0\) bis \(10\,\text{cm}\)): Steigung \(2{,}5\,\text{cm/min}\). Die Höhe von \(10\,\text{cm}\) wird nach \(10 : 2{,}5 = 4\,\text{min}\) erreicht. - Oberer Teil (\(10\) bis \(20\,\text{cm}\)): Ab \(t = 4\) steigt das Wasser schneller mit \(5\,\text{cm/min}\). - Nach \(4\) Minuten erreicht das Wasser den schmaleren Teil, wodurch der Wasserspiegel doppelt so schnell steigt wie zuvor. Der Graph hat an dieser Stelle einen Knick nach oben.

a) Der Wasserspiegel steigt um \(2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. b) \(h(t) = 2{,}5t\). c) Die Steigung verdoppelt sich auf \(5\,\text{cm/min}\). Der Graph ist steiler. d) Nach \(4\) Minuten ist der untere Teil voll. Da der obere Teil schmaler ist, steigt der Wasserspiegel ab diesem Zeitpunkt schneller an (Knick im Graphen).

- Suche systematisch nach allen Möglichkeiten, wie man die Zahlen 200, 300 und 500 addieren kann, um auf 1000 zu kommen. - Achte in der Tabelle darauf, ob es für eine Menge mehrere Möglichkeiten gibt und wähle die billigste. - Um Preise vergleichbar zu machen, hilft es oft, sie auf eine gemeinsame Menge (wie \(100\,\text{ml}\)) umzurechnen.

1. Kombinationen für \(1000\,\text{ml}\): - \(5 \cdot 200\,\text{ml} = 5 \cdot 2{,}20\,\text{€} = 11{,}00\,\text{€}\) - \(2 \cdot 500\,\text{ml} = 2 \cdot 4{,}50\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\) - \(1 \cdot 500\,\text{ml} + 1 \cdot 300\,\text{ml} + 1 \cdot 200\,\text{ml} = 4{,}50 + 3{,}00 + 2{,}20 = 9{,}70\,\text{€}\) - \(2 \cdot 300\,\text{ml} + 2 \cdot 200\,\text{ml} = 2 \cdot 3{,}00 + 2 \cdot 2{,}20 = 10{,}40\,\text{€}\) Minimaler Preis: \(9{,}00\,\text{€}\); maximaler Preis: \(11{,}00\,\text{€}\). 2. Tabelle der günstigsten Preise: - \(200\,\text{ml}\): \(2{,}20\,\text{€}\) - \(300\,\text{ml}\): \(3{,}00\,\text{€}\) - \(400\,\text{ml}\): \(2 \cdot 200\,\text{ml} \to 4{,}40\,\text{€}\) - \(500\,\text{ml}\): \(1 \cdot 500\,\text{ml} \to 4{,}50\,\text{€}\) (günstiger als \(200+300=5{,}20\,\text{€}\)) - \(600\,\text{ml}\): \(2 \cdot 300\,\text{ml} \to 6{,}00\,\text{€}\) - \(700\,\text{ml}\): \(500+200 \to 6{,}70\,\text{€}\) - \(800\,\text{ml}\): \(500+300 \to 7{,}50\,\text{€}\) - \(900\,\text{ml}\): \(500+2 \cdot 200 \to 8{,}90\,\text{€}\) - \(1000\,\text{ml}\): \(2 \cdot 500 \to 9{,}00\,\text{€}\) (Hinweis: \(100\,\text{ml}\) ist nicht möglich). 3. Preis pro \(100\,\text{ml}\): - Klein: \(2{,}20\,\text{€} : 2 = 1{,}10\,\text{€}\) - Mittel: \(3{,}00\,\text{€} : 3 = 1{,}00\,\text{€}\) - Groß: \(4{,}50\,\text{€} : 5 = 0{,}90\,\text{€}\) Der große Becher ist am wirtschaftlichsten.

a) Mögliche Preise für \(1\,\text{l}\): \(9{,}00\,\text{€}\), \(9{,}70\,\text{€}\), \(10{,}40\,\text{€}\), \(11{,}00\,\text{€}\). Minimum: \(9{,}00\,\text{€}\), Maximum: \(11{,}00\,\text{€}\). b) Günstigste Preise: \(200\,\text{ml}\): \(2{,}20\,\text{€}\); \(300\,\text{ml}\): \(3{,}00\,\text{€}\); \(400\,\text{ml}\): \(4{,}40\,\text{€}\); \(500\,\text{ml}\): \(4{,}50\,\text{€}\); \(600\,\text{ml}\): \(6{,}00\,\text{€}\); \(700\,\text{ml}\): \(6{,}70\,\text{€}\); \(800\,\text{ml}\): \(7{,}50\,\text{€}\); \(900\,\text{ml}\): \(8{,}90\,\text{€}\); \(1000\,\text{ml}\): \(9{,}00\,\text{€}\). c) Der große Becher (\(500\,\text{ml}\)) ist mit \(0{,}90\,\text{€}\) pro \(100\,\text{ml}\) am günstigsten.

- Achte auf das Vorzeichen der Steigung, wenn etwas weniger wird. - Wie viel \(\text{cm}\) sind die Hälfte von \(25\,\text{cm}\)? - Wie rechnet man Dezimalstunden in Minuten um? - Denk bei der Pyramide an die Dicke der Kerze an verschiedenen Stellen. Wird oben in einer Stunde mehr oder weniger Höhe weggenommen als unten, wenn das gleiche Volumen schmilzt?

1. Die Kerze verliert pro Stunde \(1{,}2\,\text{cm}\), also ist die Steigung \(m = -1{,}2\). Die Anfangshöhe ist \(b = 25\). Die Funktion lautet \(h(t) = -1{,}2t + 25\). 2. Die halbe Höhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). Setze \(12{,}5 = -1{,}2t + 25\). Subtraktion von \(25\) ergibt \(-12{,}5 = -1{,}2t\). Division durch \(-1{,}2\) ergibt \(t \approx 10{,}4167\,\text{h}\). 3. Umrechnung: \(10\,\text{Stunden}\) und \(0{,}4167 \cdot 60\,\text{Minuten} = 25\,\text{Minuten}\). 4. Bei einer Pyramidenform ist die Querschnittsfläche oben kleiner als unten. Wenn pro Stunde das gleiche Volumen an Wachs verbrennt, muss die Höhe bei einer kleineren Fläche schneller abnehmen als bei einer größeren Fläche. Da sich die Querschnittsfläche kontinuierlich ändert, ändert sich auch die Geschwindigkeit, mit der die Höhe abnimmt. Eine nicht konstante Änderungsrate bedeutet, dass die Funktion nicht linear ist.

a) \(h(t) = -1{,}2t + 25\) b) Nach \(10\,\text{Stunden}\) und \(25\,\text{Minuten}\). c) Da die Kerze oben dünner ist, sinkt die Höhe dort bei gleichem Wachsverbrauch schneller als im dickeren unteren Teil. Die Änderungsrate der Höhe ist also nicht konstant.

- Was bedeutet die Steigung in diesem Kontext? Ist sie positiv oder negativ? - Stelle für die zweite Phase die Geradengleichung sorgfältig auf. Beachte, dass diese Phase erst bei Minute 40 startet. - Für Teilaufgabe d) kannst du die verbleibende Ladung durch den Verlust pro Minute teilen. - Überlege genau, was mit „weiteren Minuten“ in Teil d) gemeint ist.

1. Punkte definieren: \(A(0 \mid 10)\), \(B(40 \mid 90)\), \(C(60 \mid 60)\). 2. Funktionsgleichungen aufstellen: - Laden (\(0 \le x \le 40\)): Steigung \(m_1 = \frac{90-10}{40} = 2\). Gleichung: \(y = 2x + 10\). - Nutzen (\(40 \le x \le 60\)): Steigung \(m_2 = \frac{60-90}{60-40} = -1{,}5\). Gleichung: \(y = 90 - 1{,}5(x - 40)\) bzw. \(y = -1{,}5x + 150\). 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: Ladegeschwindigkeit \(2\) Prozentpunkte pro Minute, Entladegeschwindigkeit \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. Differenz: \(0{,}5\,\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Berechnung für \(y = 75\): - Laden: \(75 = 2x + 10 \implies 2x = 65 \implies x = 32{,}5\,\text{min}\). - Nutzen: \(75 = -1{,}5x + 150 \implies 1{,}5x = 75 \implies x = 50\,\text{min}\). 5. Restlaufzeit: Aktuelle Ladung \(60\,\%\), Entladerate \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. \(60 : 1{,}5 = 40\). Nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) ist der Akku leer.

a) Laden: \(y = 2x + 10\); Nutzen: \(y = -1{,}5x + 150\). b) Die Ladegeschwindigkeit (\(2\) Prozentpunkte pro Minute) ist um \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute höher als die Entladegeschwindigkeit (\(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute). c) Nach \(32{,}5\,\text{Minuten}\) und nach \(50\,\text{Minuten}\). d) Der Akku wäre nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) leer (also insgesamt \(100\,\text{Minuten}\) nach Beobachtungsbeginn).

- Was bedeutet eine gerade Linie im Vergleich zu einer Kurve für die Geschwindigkeit, mit der das Wasser sinkt? - Überlege dir, wie viel Wasser in einer dünnen Schicht oben im Vergleich zu unten ist, wenn das Gefäß unterschiedlich breit ist. - Wenn viel Fläche da ist, braucht das Wasser länger, um einen Zentimeter zu sinken.

a) Graph \(h_2\) fällt zu Beginn langsam ab, wird dann aber immer steiler. Die Abnahmegeschwindigkeit nimmt also zu. - Graph \(h_3\) fällt zu Beginn sehr steil ab und wird dann immer flacher. Die Abnahmegeschwindigkeit nimmt ab. b) Zuordnung: - Graph \(h_1\) (linearer Abfall) gehört zu Gefäß (1), dem Zylinder, da die Querschnittsfläche überall gleich ist und somit die Höhe gleichmäßig sinkt. - Graph \(h_2\) gehört zu Gefäß (2). Da das Gefäß oben breiter ist, sinkt der Wasserspiegel bei konstanter Ausflussmenge dort zunächst langsam. Je schmaler das Gefäß nach unten hin wird, desto schneller sinkt der Spiegel. - Graph \(h_3\) gehört zu Gefäß (3). Da das Gefäß oben schmal ist, sinkt der Spiegel dort sehr schnell. Je breiter es nach unten hin wird, desto langsamer sinkt die Füllhöhe.

a) \(h_2\): sinkt erst langsam, dann immer schneller. \(h_3\): sinkt erst schnell, dann immer langsamer. b) \(h_1\) zu (1) (konstanter Querschnitt); \(h_2\) zu (2) (oben viel Volumen pro cm Höhe); \(h_3\) zu (3) (unten viel Volumen pro cm Höhe).

- Überlege dir, wie groß die Querschnittsfläche des Gefäßes in verschiedenen Höhen ist. - Ändert sich die Form des Wasserspiegels ab einer bestimmten Höhe? - Teile das Problem in zwei Bereiche auf: den unteren breiten Teil und den oberen schmaleren Teil. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? Gilt das hier für das gesamte Gefäß auf einmal? - Was passiert mit dem Volumen, wenn das Wasser die Stufe bei \(5\,\text{cm}\) erreicht?

1. Analyse der Querschnittsflächen: - Für \(0 \le h \le 5\,\text{cm}\) beträgt die waagerechte Querschnittsfläche \(20\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^2\). - Für \(5 < h \le 10\,\text{cm}\) beträgt die waagerechte Querschnittsfläche des oberen Teils \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: - Im ersten Abschnitt (\(0 \le h \le 5\)): \(V(h) = 200h\). - Im zweiten Abschnitt (\(5 < h \le 10\)): Das Volumen des unteren Teils ist \(V(5) = 200 \cdot 5 = 1000\,\text{cm}^3\). Dazu kommt das Volumen des oberen Teils: \(V(h) = 1000 + 100(h - 5) = 100h + 500\). - Zusammenfassend: \(V(h) = \begin{cases} 200h & \text{für } 0 \le h \le 5 \\ 100h + 500 & \text{für } 5 < h \le 10 \end{cases}\). 3. Berechnung der Werte: - Für \(h = 4\): \(V(4) = 200 \cdot 4 = 800\,\text{cm}^3\). - Für \(h = 8\): \(V(8) = 100 \cdot 8 + 500 = 1300\,\text{cm}^3\). 4. Definitions- und Wertebereich: - Die Höhe \(h\) reicht von \(0\) bis \(10\), also \(D = [0; 10]\), wobei \(h\) in \(\text{cm}\) angegeben wird. - Das Volumen reicht von \(V(0) = 0\) bis \(V(10) = 1500\), also \(W = [0; 1500]\), wobei \(V\) in \(\text{cm}^3\) angegeben wird.

a) \(V(h) = \begin{cases} 200h & \text{für } 0 \le h \le 5 \\ 100h + 500 & \text{für } 5 < h \le 10 \end{cases}\), mit \(h\) in \(\text{cm}\) und \(V\) in \(\text{cm}^3\) b) \(V(4) = 800\,\text{cm}^3\); \(V(8) = 1300\,\text{cm}^3\) c) \(D = [0; 10]\); \(W = [0; 1500]\)

- Erinnere dich an die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders. Hier sind zwei Flächen Quadrate (\(a \cdot a\)) und vier Flächen Rechtecke (\(a \cdot h\)). - Isoliere die Variable \(h\) in der Oberflächenformel. - Multipliziere den Term für die Höhe mit der Grundfläche \(a^2\), um das Volumen zu erhalten. Achte dabei auf das Distributivgesetz. - Vergleiche die beiden berechneten Volumenwerte direkt miteinander. - Für den physikalisch sinnvollen Bereich müssen sowohl \(a\) als auch \(h(a)\) positiv sein.

1. Funktionsgleichung für die Höhe: Die Oberfläche eines Quaders mit quadratischer Grundfläche ist \(O = 2a^2 + 4ah\). Einsetzen von \(O = 1000\): \(1000 = 2a^2 + 4ah \Rightarrow 4ah = 1000 - 2a^2 \Rightarrow h(a) = \frac{1000 - 2a^2}{4a} = \frac{250}{a} - 0{,}5a\). Für einen realen Behälter müssen \(a>0\) und \(h(a)>0\) gelten. Daraus folgt \(a^2<500\), also \(0<a<10\sqrt{5}\) (in Zentimetern). 2. Herleitung der Volumenformel: \(V = a^2h\). Einsetzen von \(h(a)\): \(V(a) = a^2\left(\frac{250}{a} - 0{,}5a\right) = a^2\frac{250}{a} - a^2 \cdot 0{,}5a = 250a - 0{,}5a^3\) 3. Berechnungen: Für \(a = 5\): \(V(5) = 250 \cdot 5 - 0{,}5 \cdot 5^3 = 1250 - 62{,}5 = 1187{,}5\,\text{cm}^3\). Für \(a = 15\): \(V(15) = 250 \cdot 15 - 0{,}5 \cdot 15^3 = 3750 - 1687{,}5 = 2062{,}5\,\text{cm}^3\). Der Behälter mit \(a = 15\,\text{cm}\) ist effizienter, da er ein größeres Volumen besitzt.

a) \(h(a) = \frac{250}{a} - 0{,}5a\) für \(0<a<10\sqrt{5}\) b) \(V(a) = a^2(\frac{250}{a} - 0{,}5a) = 250a - 0{,}5a^3\) c) \(V(5) = 1187{,}5\,\text{cm}^3\); \(V(15) = 2062{,}5\,\text{cm}^3\). Der Behälter mit \(a = 15\,\text{cm}\) fasst mehr Inhalt.