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- Schau dir an, in welchem Streckenabschnitt sich die Personen bei den genannten Entfernungen befinden. - Überlege, welche Geschwindigkeiten Lisa während der gesamten Fahrt erreichen kann. - Vergleiche Tims Geschwindigkeiten in seinen beiden Abschnitten mit Lisas fester Geschwindigkeit.

1. Bestimmung der Geschwindigkeiten bei \(s = 1\,\text{km}\): Tim befindet sich noch in seinem ersten Abschnitt (\(s \le 2\,\text{km}\)) und fährt \(25\,\text{km/h}\). Lisa fährt konstant \(20\,\text{km/h}\). Ergebnis: Tim ist schneller. 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten bei \(s = 4\,\text{km}\): Tim befindet sich in seinem zweiten Abschnitt (\(s > 2\,\text{km}\)) und fährt \(15\,\text{km/h}\). Lisa fährt weiterhin \(20\,\text{km/h}\). Ergebnis: Lisa ist schneller. 3. Vergleich der Geschwindigkeitsverläufe: Da Lisa immer \(20\,\text{km/h}\) fährt und Tim nur die Geschwindigkeiten \(25\,\text{km/h}\) (bis \(2\,\text{km}\)) und \(15\,\text{km/h}\) (ab \(2\,\text{km}\)) annimmt, haben beide zu keinem Zeitpunkt (bzw. an keiner Stelle) dieselbe Geschwindigkeit.

1. Nach \(1\,\text{km}\) ist Tim mit \(25\,\text{km/h}\) schneller als Lisa (\(20\,\text{km/h}\)). 2. Nach \(4\,\text{km}\) ist Lisa mit \(20\,\text{km/h}\) schneller als Tim (\(15\,\text{km/h}\)). 3. Es gibt keinen Punkt auf der Strecke, an dem beide die gleiche Geschwindigkeit fahren.

- Wie viel Liter fließen pro Minute aus einem Schlauch? - Wie viel Wasser kommt insgesamt pro Minute in den Pool, wenn drei Schläuche laufen? - Wie viele Minuten sind eine Dreiviertelstunde? - Reicht die Zeit aus, um die Zielmenge zu erreichen?

1. Bestimmung der Füllrate eines Schlauchs: \(\frac{200\,\text{l}}{10\,\text{min}} = 20\,\text{l/min}\). 2. Bestimmung der kombinierten Füllrate von drei Schläuchen: \(3 \cdot 20\,\text{l/min} = 60\,\text{l/min}\). 3. Berechnung der benötigten Zeit für \(3\,000\,\text{Liter}\): \(\frac{3\,000\,\text{l}}{60\,\text{l/min}} = 50\,\text{Minuten}\). 4. Vergleich mit der Behauptung: Eine Dreiviertelstunde entspricht \(45\,\text{Minuten}\). Da \(50 > 45\), ist die Behauptung falsch.

Nein, die Behauptung stimmt nicht. Mit drei Schläuchen dauert es \(50\,\text{Minuten}\), was länger ist als eine Dreiviertelstunde (\(45\,\text{Minuten}\)).

- Überlege dir, wie viele 3er-Angebote du maximal nutzen kannst, um auf die gewünschte Anzahl zu kommen. - Gibt es eine Anzahl an Kugeln, bei der es günstiger ist, ein 3er-Angebot zu nehmen, anstatt die Kugeln einzeln zu kaufen? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn man nur ganze Zahlen für die Anzahl einsetzen kann?

1. Den günstigsten Preis für 7 Kugeln ermitteln: Kombination aus zwei 3er-Bechern und einer einzelnen Kugel berechnen: \(2 \cdot 4{,}00\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 9{,}50\,\text{€}\). (Vergleich mit 7 Einzelkugeln: \(7 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 10{,}50\,\text{€}\)). 2. Tabelle für die Werte 1 bis 8 unter Berücksichtigung der 3er-Angebote erstellen: - 1 Kugel: \(1{,}50\,\text{€}\) - 2 Kugeln: \(3{,}00\,\text{€}\) - 3 Kugeln: \(4{,}00\,\text{€}\) - 4 Kugeln: \(4{,}00\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 5{,}50\,\text{€}\) - 5 Kugeln: \(4{,}00\,\text{€} + 2 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 7{,}00\,\text{€}\) - 6 Kugeln: \(2 \cdot 4{,}00\,\text{€} = 8{,}00\,\text{€}\) - 7 Kugeln: \(8{,}00\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 9{,}50\,\text{€}\) - 8 Kugeln: \(8{,}00\,\text{€} + 3{,}00\,\text{€} = 11{,}00\,\text{€}\) 3. Die Punkte \((x \mid y)\) in ein Koordinatensystem eintragen. 4. Begründung für die Nicht-Verbindung: Die Anzahl der Kugeln ist eine diskrete Größe; man kann keine halben oder Bruchteile von Kugeln kaufen, weshalb die Zwischenwerte keine Bedeutung haben.

a) Der günstigste Preis für 7 Kugeln beträgt \(9{,}50\,\text{€}\). b) Tabelle: <table> <tr><td>Anzahl Kugeln</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr> <tr><td>Preis (€)</td><td>1,50</td><td>3,00</td><td>4,00</td><td>5,50</td><td>7,00</td><td>8,00</td><td>9,50</td><td>11,00</td></tr> </table> c) Der Graph besteht aus einzelnen Punkten. Man darf sie nicht verbinden, da nur ganze Kugeln verkauft werden (diskrete Werte).

- Überlege zuerst, welche Kombination von Gegenständen am leichtesten und welche am schwersten ist. - Wie verändert sich das Gesamtgewicht, wenn du genau ein Heft gegen ein Buch austauschst? - Gibt es zwischen den Werten in der Tabelle (zum Beispiel bei 1,5 Büchern) eine sinnvolle Bedeutung?

1. Berechnung des minimalen Gewichts (6 Hefte, 0 Bücher): \(6 \cdot 80\,\text{g} = 480\,\text{g}\). 2. Berechnung des maximalen Gewichts (0 Hefte, 6 Bücher): \(6 \cdot 450\,\text{g} = 2700\,\text{g}\). 3. Berechnung der Tabellenwerte durch schrittweises Ersetzen eines Heftes durch ein Buch (Gewichtszunahme pro Buch: \(450\,\text{g} - 80\,\text{g} = 370\,\text{g}\)): - 0 Bücher: \(480\,\text{g}\) - 1 Buch: \(480\,\text{g} + 370\,\text{g} = 850\,\text{g}\) - 2 Bücher: \(850\,\text{g} + 370\,\text{g} = 1220\,\text{g}\) - 3 Bücher: \(1220\,\text{g} + 370\,\text{g} = 1590\,\text{g}\) - 4 Bücher: \(1590\,\text{g} + 370\,\text{g} = 1960\,\text{g}\) - 5 Bücher: \(1960\,\text{g} + 370\,\text{g} = 2330\,\text{g}\) - 6 Bücher: \(2330\,\text{g} + 370\,\text{g} = 2700\,\text{g}\) 4. Interpretation: Eine Verbindung der Punkte ist nicht sinnvoll, da die Anzahl der Bücher eine diskrete Variable ist (man kann keine halben Bücher einpacken).

a) Das minimale Gewicht beträgt \(480\,\text{g}\), das maximale Gewicht \(2700\,\text{g}\). b) Die Gewichte lauten: \(480\,\text{g}\), \(850\,\text{g}\), \(1220\,\text{g}\), \(1590\,\text{g}\), \(1960\,\text{g}\), \(2330\,\text{g}\), \(2700\,\text{g}\). c) Nein, es ist nicht sinnvoll, da man nur eine ganze Anzahl an Büchern oder Heften einpacken kann. Die Zuordnung ist diskret.

- Kannst du für jeden Tarif einen Rechenausdruck (Term) aufstellen, der die Gesamtkosten beschreibt? - Was passiert mit den Gesamtkosten, wenn die Zeit immer weiter ansteigt? - Schau dir die Ergebnisse aus Teilaufgabe a) genau an: Gibt es einen Zeitpunkt, an dem beide Tarife gleich viel kosten?

1. Aufstellen der Terme für die Kosten in Abhängigkeit von den Minuten \(m\): Tarif „City“: \(3 + 0{,}10 \cdot m\) Tarif „Regio“: \(8 + 0{,}05 \cdot m\) 2. Berechnung für \(30\) Minuten: „City“: \(3 + 0{,}10 \cdot 30 = 6{,}00\,\text{€}\) „Regio“: \(8 + 0{,}05 \cdot 30 = 9{,}50\,\text{€}\) 3. Berechnung für \(100\) Minuten: „City“: \(3 + 0{,}10 \cdot 100 = 13{,}00\,\text{€}\) „Regio“: \(8 + 0{,}05 \cdot 100 = 13{,}00\,\text{€}\) 4. Berechnung für \(150\) Minuten: „City“: \(3 + 0{,}10 \cdot 150 = 18{,}00\,\text{€}\) „Regio“: \(8 + 0{,}05 \cdot 150 = 15{,}50\,\text{€}\) 5. Vergleich der Tarife: Bis einschließlich \(100\) Minuten ist „City“ günstiger oder gleich teuer. Bei mehr als \(100\) Minuten ist „Regio“ günstiger. Für eine lange Radtour (über \(100\) Minuten) ist daher der Tarif „Regio“ zu empfehlen, da die geringeren Minutenkosten die höhere Grundgebühr ausgleichen.

a) 30 Min.: City \(6{,}00\,\text{€}\), Regio \(9{,}50\,\text{€}\); 100 Min.: City \(13{,}00\,\text{€}\), Regio \(13{,}00\,\text{€}\); 150 Min.: City \(18{,}00\,\text{€}\), Regio \(15{,}50\,\text{€}\). b) Für lange Radtouren (über \(100\) Minuten) ist der Tarif „Regio“ besser, da er ab dieser Zeit günstiger ist als der Tarif „City“.

- Überlege dir, wie schnell sich die Lücke zwischen den beiden pro Sekunde schließt. - Wie weit ist Tim in einer Sekunde gekommen? Wie weit dann in der berechneten Gesamtzeit? - Erinnere dich an den Umrechnungsfaktor zwischen \(\text{m/s}\) und \(\text{km/h}\).

1. Berechnung der relativen Geschwindigkeit: Da sie aufeinander zulaufen, addieren sich die Geschwindigkeiten: \(1{,}5\,\text{m/s} + 2{,}5\,\text{m/s} = 4\,\text{m/s}\). 2. Berechnung der Zeit bis zum Treffen: \(t = \frac{1200\,\text{m}}{4\,\text{m/s}} = 300\,\text{s}\). 3. Berechnung von Tims Wegstrecke: \(s_{\text{Tim}} = 1{,}5\,\text{m/s} \cdot 300\,\text{s} = 450\,\text{m}\). 4. Umrechnung von Leas Geschwindigkeit: \(2{,}5\,\text{m/s} \cdot 3{,}6 = 9\,\text{km/h}\).

a) Sie treffen sich nach \(300\,\text{s}\) (oder \(5\,\text{Minuten}\)). b) Tim hat \(450\,\text{m}\) zurückgelegt. c) Leas Geschwindigkeit beträgt \(9\,\text{km/h}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Denk daran, die Einheiten für die Berechnung anzugleichen (z. B. Minuten in Stunden umrechnen). - Was passiert mit der zur Verfügung stehenden Fahrzeit, wenn eine Pause gemacht wird? - Wie viel Zeit bleibt für die reine Fahrt übrig, wenn die gesamte Reisezeit vorgegeben ist?

1. Berechnung der Fahrzeit für \(18\,\text{km}\) bei \(12\,\text{km/h}\): \(t = s : v = 18\,\text{km} : 12\,\text{km/h} = 1{,}5\,\text{h}\). 2. Umrechnung in Minuten: \(1{,}5 \cdot 60\,\text{min} = 90\,\text{min}\). 3. Addition der Pausenzeit: \(90\,\text{min} + 15\,\text{min} = 105\,\text{min}\). 4. Umrechnung in Stunden und Minuten: \(105\,\text{min} = 1\,\text{h } 45\,\text{min}\). 5. Bestimmung der Ziel-Fahrzeit für Aufgabenteil b): \(60\,\text{min} (\text{Gesamtzeit}) - 15\,\text{min} (\text{Pause}) = 45\,\text{min}\). 6. Umrechnung der Ziel-Fahrzeit in Stunden: \(45\,\text{min} = \frac{45}{60}\,\text{h} = 0{,}75\,\text{h}\). 7. Berechnung der benötigten Geschwindigkeit: \(v = s : t = 18\,\text{km} : 0{,}75\,\text{h} = 24\,\text{km/h}\).

a) Lea ist insgesamt \(1\,\text{Stunde}\) und \(45\,\text{Minuten}\) unterwegs. b) Sie müsste eine Geschwindigkeit von \(24\,\text{km/h}\) einplanen.

- Wie viele Besuche finden in einem Monat statt, wenn man jeden zweiten Tag geht? - Wie berechnet man die Gesamtkosten, wenn es eine feste Grundgebühr und einen Preis pro Einheit gibt? - Vergleiche das Ergebnis deiner Rechnung für Tarif B mit dem Festpreis von Tarif A.

1. Anzahl der Besuche bei Training an jedem zweiten Tag in einem Monat mit 30 Tagen berechnen: \(30 : 2 = 15\) Besuche. 2. Kosten für Tarif B bei 15 Besuchen berechnen: \(10{,}00\,\text{€} + 15 \cdot 3{,}50\,\text{€} = 10{,}00\,\text{€} + 52{,}50\,\text{€} = 62{,}50\,\text{€}\). 3. Vergleich mit Tarif A: Tarif A kostet konstant \(45{,}00\,\text{€}\). 4. Differenz ermitteln: \(62{,}50\,\text{€} > 45{,}00\,\text{€}\). 5. Ergebnis: Die Aussage ist falsch, da Tarif B bei dieser Nutzungsfrequenz deutlich teurer ist (\(17{,}50\,\text{€}\) Mehrkosten gegenüber Tarif A).

Die Aussage ist falsch. Bei 15 Besuchen im Monat zahlt man in Tarif B insgesamt \(62{,}50\,\text{€}\) (\(10 + 15 \cdot 3{,}5\)). Das ist deutlich teurer als die Flatrate von \(45{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir die Definition einer Funktion: Darf ein Zeitpunkt mehrere Temperaturen gleichzeitig haben? - Um den stärksten Abfall zu finden, musst du die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Werten vergleichen. - Achte beim Berechnen der Differenz mit negativen Zahlen auf die Vorzeichenregeln.

1. Prüfung der Funktionseigenschaft: Da jedem Zeitpunkt in der Tabelle genau ein Temperaturwert zugeordnet ist, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung und somit um eine Funktion. 2. Berechnung der Temperaturänderungen in den Intervallen: 15:00 bis 18:00 Uhr: \(4{,}1 - 7{,}5 = -3{,}4\,^\circ\text{C}\) 18:00 bis 21:00 Uhr: \(0{,}3 - 4{,}1 = -3{,}8\,^\circ\text{C}\) Der stärkste Abfall fand zwischen 18:00 und 21:00 Uhr statt. 3. Berechnung der Spannweite im beobachteten Zeitraum: Höchstwert \(7{,}5\,^\circ\text{C}\), Tiefstwert \(-2{,}4\,^\circ\text{C}\). Differenz: \(7{,}5 - (-2{,}4) = 9{,}9\,^\circ\text{C}\).

a) Die Zuordnung ist eine Funktion, da jedem Zeitpunkt genau eine Temperatur zugeordnet wird. b) Die Temperatur sank am stärksten im Zeitraum von 18:00 bis 21:00 Uhr (um \(3{,}8\,^\circ\text{C}\)). c) Die Spannweite im beobachteten Zeitraum beträgt \(9{,}9\,^\circ\text{C}\).

- Was bedeutet der Wert 20 in der Funktionsgleichung für den Anfangszustand? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, wenn die Höhe vorgegeben ist? - Überlege dir, ob jeder berechnete Wert in der Wirklichkeit auch Sinn ergibt. - Was passiert mit der Kerze, wenn die berechnete Höhe Null oder kleiner als Null wird?

1. Einsetzen von \(t=3\): \(h(3) = 20 - 2{,}5 \cdot 3 = 20 - 7{,}5 = 12{,}5\). Die Höhe nach \(3\,\text{h}\) beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). 2. Einsetzen von \(t=5{,}5\): \(h(5{,}5) = 20 - 2{,}5 \cdot 5{,}5 = 20 - 13{,}75 = 6{,}25\). Die Höhe nach \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt \(6{,}25\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(h(t) = 7{,}5\): \(7{,}5 = 20 - 2{,}5t \Rightarrow -12{,}5 = -2{,}5t \Rightarrow t = 5\). Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. 4. Berechnung von \(h(10)\): \(h(10) = 20 - 2{,}5 \cdot 10 = 20 - 25 = -5\). Eine negative Höhe ist physikalisch unmöglich. 5. Interpretation: Das Ergebnis bedeutet, dass die Kerze bereits vor Ablauf von \(10\,\text{h}\) vollständig abgebrannt ist. Der Definitionsbereich muss auf das Intervall eingeschränkt werden, in dem \(h(t) \geq 0\) gilt (hier \(0 \leq t \leq 8\)).

a) Nach \(3\,\text{h}\) ist die Kerze \(12{,}5\,\text{cm}\) hoch, nach \(5{,}5\,\text{h}\) noch \(6{,}25\,\text{cm}\). b) Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. c) \(h(10) = -5\). Da eine negative Höhe nicht möglich ist, ist die Kerze bereits abgebrannt. Der Definitionsbereich muss auf \(t \in [0; 8]\) begrenzt werden.

- Wie viele Stunden und Minuten liegen zwischen den beiden Uhrzeiten? - Wandle Zeitangaben in Dezimalzahlen um, bevor du rechnest. - Überlege, ob sich der Winkel gleichmäßig mit der Zeit verändert. - Welche Form hat die Gleichung bei einer proportionalen Änderung?

1. Berechnung der Zeitdifferenz zwischen 10:00 Uhr und 12:30 Uhr: \(2{,}5\,\text{h}\). 2. Berechnung der Winkeländerung pro Stunde: \(37{,}5^\circ : 2{,}5\,\text{h} = 15^\circ/\text{h}\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für eine proportionale Zuordnung: \(\alpha(t) = 15 \cdot t\). 4. Berechnung der Zeitdifferenz zwischen 10:00 Uhr und 16:15 Uhr: \(6\,\text{h}\) und \(15\,\text{min}\) entsprechen \(6{,}25\,\text{h}\). 5. Berechnung des Winkels für \(t = 6{,}25\): \(15 \cdot 6{,}25 = 93{,}75^\circ\).

a) Die Winkeländerung beträgt \(15^\circ\) pro Stunde. b) Die Funktionsgleichung lautet \(\alpha(t) = 15 \cdot t\). c) Um 16:15 Uhr hat der Schatten einen Winkel von \(93{,}75^\circ\) überstrichen.

- Vergleiche die Änderungen zwischen aufeinanderfolgenden Messwerten. - Zur Wertemenge gehören die tatsächlich auftretenden Temperaturwerte, nicht alle Zwischenwerte. - Zur Definitionsmenge der Messreihe gehören nur die Uhrzeiten, zu denen gemessen wurde. - Setze für die Schätzung die erkennbare Änderung pro Stunde fort.

1. Abgesehen vom Wert um 11:00 Uhr steigen die Messwerte stündlich jeweils um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\). Der Wert \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) passt nicht zu dieser Folge und ist daher der fehlerhafte Messwert. 2. Ohne den fehlerhaften Wert lautet die Wertemenge der tatsächlich vorliegenden Messwerte \(W=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\). 3. Da nur zu sechs festen Uhrzeiten gemessen wurde, ist der Definitionsbereich der Messreihe \(D=\{8;9;10;11;12;13\}\) (Uhrzeiten in Stunden). 4. Der regelmäßige Zuwachs beträgt \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde. Daher ist für 11:00 Uhr \(19{,}6+0{,}7=20{,}3\,^\circ\text{C}\) zu erwarten.

a) Der Wert \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) um 11:00 Uhr ist fehlerhaft, weil die übrigen Messwerte stündlich um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) steigen. b) \(W=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\). c) \(D=\{8;9;10;11;12;13\}\). d) Die geschätzte Temperatur um 11:00 Uhr beträgt \(20{,}3\,^\circ\text{C}\).

- Welcher Wert beschreibt den Zustand ganz am Anfang? - Wie verändert sich die Wassermenge mit jeder vergehenden Minute? - Überlege, ob du für den gesuchten Wert eine Variable in deine Formel einsetzen oder die Formel nach einer Variablen auflösen musst.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert (y-Achsenabschnitt) ist \(b = 120\). Die Änderungsrate (Steigung) beträgt \(m = 15\). Die Gleichung lautet \(V(t) = 15 \cdot t + 120\). 2. Berechnung für \(t = 20\): Einsetzen in die Gleichung: \(V(20) = 15 \cdot 20 + 120 = 300 + 120 = 420\). Nach \(20\,\text{min}\) sind \(420\,\text{l}\) im Pool. 3. Berechnung der Zeit für \(V = 600\): Gleichung aufstellen: \(600 = 15 \cdot t + 120\). Subtraktion von \(120\) ergibt \(480 = 15 \cdot t\). Division durch \(15\) ergibt \(t = 32\). Nach \(32\,\text{min}\) sind \(600\,\text{l}\) erreicht.

a) \(V(t) = 15 \cdot t + 120\) b) Nach \(20\,\text{min}\) befinden sich \(420\,\text{l}\) im Pool. c) Nach \(32\,\text{min}\) sind \(600\,\text{l}\) erreicht.

- Woran erkennt man bei einem Sachverhalt, dass eine Änderung gleichmäßig verläuft? - Was gibt der Wert zum Zeitpunkt Null in einer Funktionsgleichung an? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer allgemeinen linearen Funktion und einer proportionalen Funktion.

1. Da die Zuflussrate mit \(8\,\text{Litern}\) pro Stunde konstant ist, ändert sich die Wassermenge pro Zeiteinheit immer um denselben Betrag. Dies ist das Kennzeichen einer linearen Funktion. 2. Die allgemeine Form lautet \(V(t) = m \cdot t + b\). Mit der Steigung \(m = 8\) (Zufluss) und dem Startwert \(b = 20\) ergibt sich \(V(t) = 8 \cdot t + 20\). 3. Wenn das Fass leer wäre, fiele der Startwert weg: \(V(t) = 8 \cdot t\). Die Funktion ist weiterhin linear, in diesem speziellen Fall sogar proportional, da sie durch den Ursprung verläuft.

a) Der Zusammenhang ist linear, da die Zunahme pro Stunde konstant ist. b) \(V(t) = 8 \cdot t + 20\) c) Die Gleichung lautet dann \(V(t) = 8 \cdot t\). Sie bleibt linear (und ist zusätzlich proportional).

- Überlege zuerst, um wie viele Prozentpunkte der Akku pro Stunde abnimmt. - Was stellt der Wert bei \(x = 0\) in diesem Zusammenhang dar? - Wie kannst du den Zeitpunkt finden, an dem der Wert auf Null gesunken ist? - Denk bei der Zeitangabe daran, dass ein Bruchteil einer Stunde in Minuten umgerechnet werden muss.

1. Berechnung der Änderungsrate (Steigung \(m\)): In \(4\,\text{Stunden}\) sinkt die Ladung von \(100\,\%\) auf \(40\,\%\), also um \(60\) Prozentpunkte. Die Steigung beträgt somit \(m = \frac{-60}{4} = -15\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Startwert \(b = 100\) ergibt sich \(y = -15x + 100\). 3. Berechnung für \(x = 2{,}5\): \(y = -15 \cdot 2{,}5 + 100 = -37{,}5 + 100 = 62{,}5\,\%\). 4. Berechnung der Nullstelle (\(y = 0\)): \(0 = -15x + 100 \Rightarrow 15x = 100 \Rightarrow x = \frac{100}{15} = 6\frac{2}{3}\,\text{Stunden}\). 5. Umrechnung in Stunden und Minuten: \(\frac{2}{3}\,\text{Stunden}\) entsprechen \(40\,\text{Minuten}\). Der Akku ist nach \(6\,\text{Stunden}\) und \(40\,\text{Minuten}\) leer.

a) \(y = -15x + 100\) b) Nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) sind noch \(62{,}5\,\%\) vorhanden. c) Der Akku ist nach \(6\,\text{Stunden}\) und \(40\,\text{Minuten}\) leer.

- Welche Informationen aus dem Text kannst du als Punkte in einem Koordinatensystem darstellen? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Was bedeutet der Wert der Funktion an der Stelle Null für die Kerze? - Wann ist eine Kerze „abgebrannt“ – welchen Wert hat dann die Höhe?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \(P_1(2|15)\) und \(P_2(5|9)\): \(m = \frac{9 - 15}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2\). Die Kerze verliert \(2\,\text{cm}\) pro Stunde. 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): \(15 = -2 \cdot 2 + b \implies b = 19\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 19\). 3. Die Anfangshöhe entspricht \(f(0) = 19\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Nullstelle für das vollständige Abbrennen: \(0 = -2x + 19 \implies 2x = 19 \implies x = 9{,}5\). Die Kerze ist nach \(9{,}5\,\text{Stunden}\) abgebrannt. 5. Der Definitionsbereich im Sachkontext ist \(0 \le x \le 9{,}5\), da die Zeit nicht negativ sein kann und die Höhe nicht unter \(0\,\text{cm}\) sinkt.

1. \(f(x) = -2x + 19\) 2. \(19\,\text{cm}\) 3. Nach \(9{,}5\,\text{Stunden}\) 4. Für \(x \in [0; 9{,}5]\)

- Welcher Wert stellt den Startzustand zum Zeitpunkt Null dar? - Wie viel Prozent kommen pro Minute hinzu? - Welchen Wert muss die Variable für den Ladestand annehmen, wenn der Akku voll ist? - Überlege dir für die Skizze eine sinnvolle Einteilung der Achsen.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung \(y = m \cdot x + b\): Der Anfangswert bei \(x = 0\) ist \(10\,\%\), also \(b = 10\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): In \(24\,\text{Minuten}\) steigt der Wert um \(40 - 10 = 30\) Prozentpunkte. Die Steigung ist \(m = \frac{30}{24} = 1{,}25\). Die Gleichung lautet \(y = 1{,}25x + 10\). 3. Berechnung der Zeit für die vollständige Ladung: Setze \(y = 100\) in die Gleichung ein: \(100 = 1{,}25x + 10\). 4. Lösen nach \(x\): \(90 = 1{,}25x \Rightarrow x = \frac{90}{1{,}25} = 72\). 5. Ergebnis: Der Akku ist nach \(72\,\text{Minuten}\) voll geladen. 6. Graph: Im sinnvollen Modellbereich \(0\le x\le72\) ist der Graph die Gerade durch \((0|10)\), \((24|40)\) und \((72|100)\). Die waagerechte Achse zeigt die Zeit in Minuten, die senkrechte Achse den Ladestand in Prozent.

a) \(y = 1{,}25x + 10\) b) Der Akku ist nach \(72\,\text{Minuten}\) voll geladen. c) Der Graph ist im Bereich \(0\le x\le72\) die Gerade durch \((0|10)\), \((24|40)\) und \((72|100)\).

- Überlege dir, wie viel Wasser am Anfang in der Tonne ist. - Wie verändert sich die Menge jede Minute? - Welche mathematische Form hat eine gleichmäßige Abnahme? - Was bedeutet es für den Wert des Volumens, wenn die Tonne leer ist?

1. Aufstellen der linearen Funktion mit Startwert \(150\) und Abnahmerate \(5\): \(V(t) = 150 - 5 \cdot t\). 2. Interpretation: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(150\) stellt das anfängliche Wasservolumen in Litern dar. Die Steigung \(-5\) gibt an, dass das Volumen pro Minute um \(5\,\text{Liter}\) abnimmt. 3. Berechnung für \(t = 12\): \(V(12) = 150 - 5 \cdot 12 = 150 - 60 = 90\). Das Restvolumen beträgt \(90\,\text{Liter}\). 4. Nullstelle berechnen: \(0 = 150 - 5 \cdot t \Rightarrow 5 \cdot t = 150 \Rightarrow t = 30\). Die Tonne ist nach \(30\,\text{Minuten}\) leer.

a) \(V(t) = 150 - 5 \cdot t\) b) Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Startwert (\(150\,\text{l}\)), die Steigung beträgt \(-5\,\text{l/min}\) und beschreibt die Abnahme durch den Abfluss. c) Nach \(12\,\text{Minuten}\) sind noch \(90\,\text{Liter}\) enthalten. d) Die Tonne ist nach \(30\,\text{Minuten}\) leer.

- Untersuche, um wie viele Grade die Temperatur in gleichen Zeitabschnitten sinkt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Werte nicht immer um denselben Betrag fallen? - Überlege, warum ein heißes Getränk irgendwann nicht mehr kälter wird.

1. Prüfung auf Linearität: Berechnung der Temperaturänderung pro Minute für verschiedene Intervalle. Intervall \([0; 2]\): \(\frac{59 - 75}{2 - 0} = -8\,\text{°C/min}\). Intervall \([2; 4]\): \(\frac{47 - 59}{4 - 2} = -6\,\text{°C/min}\). Da die Änderungsraten nicht konstant sind, ist die Zuordnung nicht linear. 2. Beschreibung des Verlaufs: Die Temperatur sinkt kontinuierlich. Die Abkühlung erfolgt zu Beginn am schnellsten ( \(-8\,\text{°C/min}\)) und wird mit der Zeit immer langsamer (zwischen Minute 10 und 15 nur noch \(\frac{23 - 28}{15 - 10} = -1\,\text{°C/min}\)). 3. Schätzung der Zimmertemperatur: Da die Abkühlungsrate immer geringer wird, nähert sich die Temperatur der Umgebungstemperatur an. Da der Kakao nach 15 Minuten bei \(23\,\text{°C}\) liegt und die Abkühlung fast stagniert, liegt die Zimmertemperatur vermutlich bei etwa \(20\,\text{°C}\) bis \(22\,\text{°C}\).

a) Die Zuordnung ist nicht linear, da die Temperaturabnahme pro Minute nicht konstant ist (z. B. \(8\,\text{°C/min}\) am Anfang gegenüber \(1\,\text{°C/min}\) am Ende). b) Der Kakao kühlt ab, wobei die Geschwindigkeit der Abkühlung mit der Zeit abnimmt. c) Die Zimmertemperatur liegt wahrscheinlich bei ca. \(20\,\text{°C}\) bis \(22\,\text{°C}\), da sich die Abkühlung diesem Wert asymptotisch nähert.

- Überlege, welcher Teil der Funktionsgleichung den Startwert darstellt. - Die Steigung gibt an, wie stark sich der Wert pro Zeiteinheit ändert. - Setze den gegebenen Zeitwert in die Funktionen ein, um die Höhe zu berechnen. - Wenn zwei Werte gleich sein sollen, kannst du die Funktionsterme gleichsetzen.

1. Bestimmung der Anfangshöhen (y-Achsenabschnitte bei \(t=0\)): Tank A: \(20\,\text{cm}\), Tank B: \(10\,\text{cm}\). 2. Ermittlung der Steiggeschwindigkeiten (Steigungen \(m\)): Tank A: \(1{,}5\,\text{cm/min}\), Tank B: \(2\,\text{cm/min}\). 3. Berechnung der Füllhöhen nach \(15\,\text{Minuten}\): \(h_A(15) = 1{,}5 \cdot 15 + 20 = 22{,}5 + 20 = 42{,}5\,\text{cm}\). \(h_B(15) = 2 \cdot 15 + 10 = 30 + 10 = 40\,\text{cm}\). Ergebnis: Der Wasserstand in Tank A ist nach \(15\,\text{Minuten}\) höher. 4. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(1{,}5t + 20 = 2t + 10\) \(10 = 0{,}5t\) \(t = 20\). Nach \(20\,\text{Minuten}\) sind die Füllhöhen gleich.

a) Tank A: \(20\,\text{cm}\); Tank B: \(10\,\text{cm}\). b) Tank A: \(1{,}5\,\text{cm/min}\); Tank B: \(2\,\text{cm/min}\). c) Der Wasserstand in Tank A (\(42{,}5\,\text{cm}\)) ist höher als in Tank B (\(40\,\text{cm}\)). d) Nach \(20\,\text{Minuten}\) ist der Wasserstand in beiden Tanks gleich.

- Überlege dir zuerst, welcher Wert fest vorgegeben ist und welcher Wert sich pro Minute ändert. - Was bedeutet „proportional“ für den Graphen oder die Gleichung einer Funktion? - Setze für die Teilaufgaben b) und c) die gegebenen Werte in deine Gleichung ein und löse nach der gesuchten Größe auf.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Das Startguthaben beträgt \(20\,\text{€}\), und pro Minute verringert es sich um \(0{,}12\,\text{€}\). Die Gleichung lautet \(G(t) = 20 - 0{,}12 \cdot t\). 2. Berechnung für \(t = 45\): \(G(45) = 20 - 0{,}12 \cdot 45 = 20 - 5{,}4 = 14{,}6\). Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung der Zeit für \(G = 5\): Setze \(5 = 20 - 0{,}12 \cdot t\). Umformen ergibt \(0{,}12 \cdot t = 15\), also \(t = \frac{15}{0{,}12} = 125\). Nach \(125\) Minuten sind noch \(5\,\text{€}\) vorhanden. 4. Prüfung auf Proportionalität: Eine proportionale Funktion hat die Form \(y = m \cdot x\) und geht durch den Ursprung \((0|0)\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt hier \(20\) ist (bei \(t=0\) ist \(G=20\)), ist die Funktion nicht proportional.

a) \(G(t) = 20 - 0{,}12 \cdot t\) b) Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). c) Nach \(125\) Minuten. d) Nein, die Funktion ist nicht proportional, da der Graph nicht durch den Koordinatenursprung verläuft (\(G(0) = 20 \neq 0\)).

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Was ist die gesamte Strecke und wie viel Zeit vergeht insgesamt? - Überlege für die Formel, welcher Teil der Gesamtdauer variabel ist.

1. Berechnung der Geschwindigkeit für den Hinweg: \(v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{6\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h}} = 4\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der Zeit für den Rückweg: \(t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{9\,\text{km}}{4{,}5\,\text{km/h}} = 2\,\text{h}\). 3. Berechnung der Gesamt-Durchschnittsgeschwindigkeit: \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} = \frac{6\,\text{km} + 9\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h} + 2\,\text{h}} = \frac{15}{3{,}5} \approx 4{,}29\,\text{km/h}\). 4. Aufstellen der Formel für \(v_g\): Da die Gesamtstrecke \(15\,\text{km}\) und die Zeit für den Hinweg \(1{,}5\,\text{h}\) beträgt, lautet die Funktion \(v_g(t_2) = \frac{15}{1{,}5 + t_2}\).

a) \(v_1 = 4\,\text{km/h}\) b) \(t_2 = 2\,\text{h}\); \(v_g \approx 4{,}29\,\text{km/h}\) c) \(v_g = \frac{15}{1{,}5 + t_2}\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte auf welche Achse gehören. - Wie kannst du die Steigung einer Geraden berechnen, wenn du zwei Punkte kennst? - Was bedeutet eine waagerechte Linie im Diagramm für die Veränderung der Wassermenge? - Kannst du für die verschiedenen Zeitabschnitte jeweils eine kleine Gleichung aufstellen?

1. Identifikation der Eckpunkte des Graphen: \(P_0(0|0)\), \(P_1(20|40)\), \(P_2(30|40)\) und \(P_3(45|25)\). 2. Berechnung der Füllgeschwindigkeit im ersten Abschnitt: \(\frac{40\,\text{l} - 0\,\text{l}}{20\,\text{min} - 0\,\text{min}} = 2\,\text{l/min}\). 3. Bestimmung der Zeitpunkte für \(30\,\text{l}\): - Im ersten Abschnitt (Füllen): \(2 \cdot t = 30 \implies t = 15\,\text{min}\). - Im dritten Abschnitt (Entnahme): Die Gerade durch \(P_2(30|40)\) und \(P_3(45|25)\) hat die Steigung \(m = \frac{25 - 40}{45 - 30} = -1\,\text{l/min}\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 40 - 1 \cdot (t - 30)\). Setze \(V(t) = 30\): \(30 = 40 - (t - 30) \implies -10 = -(t - 30) \implies 10 = t - 30 \implies t = 40\,\text{min}\).

a) Der Graph verbindet die Punkte \((0|0)\), \((20|40)\), \((30|40)\) und \((45|25)\) geradlinig. b) Die Füllgeschwindigkeit beträgt \(2\,\text{l/min}\). c) Das Fass enthält nach \(15\,\text{Minuten}\) und nach \(40\,\text{Minuten}\) genau \(30\,\text{Liter}\).

- Wie berechnet man die Änderung eines Wertes über eine bestimmte Zeitspanne? - Was bedeutet eine „durchschnittliche Rate“ im Zusammenhang mit der Steigung zwischen zwei Punkten? - Überlege dir, wie viel die Pflanze pro Tag im jeweiligen Abschnitt dazugewinnt. - Für die Prognose: Nutze den Wert an Tag 20 als Startwert und rechne den Zuwachs für 10 weitere Tage hinzu.

1. Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsraten \(\frac{\Delta h}{\Delta t}\) für die Intervalle: - Intervall \([0; 5]\): \(\frac{22 - 12}{5 - 0} = \frac{10}{5} = 2\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([5; 15]\): \(\frac{62 - 22}{15 - 5} = \frac{40}{10} = 4\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([15; 20]\): \(\frac{92 - 62}{20 - 15} = \frac{30}{5} = 6\,\text{cm/Tag}\) - Intervall \([20; 30]\): \(\frac{112 - 92}{30 - 20} = \frac{20}{10} = 2\,\text{cm/Tag}\) 2. Vergleich der Raten: Die höchste Rate liegt im Intervall \([15; 20]\) mit \(6\,\text{cm/Tag}\) vor. 3. Prognose für Tag 30 bei konstanter Rate von \(6\,\text{cm/Tag}\) ab Tag 20: \(h(30) = h(20) + 10 \cdot 6 = 92 + 60 = 152\,\text{cm}\). 4. Vergleich: Der theoretische Wert (\(152\,\text{cm}\)) ist deutlich höher als der tatsächliche Tabellenwert (\(112\,\text{cm}\)), was bedeutet, dass sich das Wachstum verlangsamt hat.

a) Die Wachstumsraten betragen \(2\,\text{cm/Tag}\), \(4\,\text{cm/Tag}\), \(6\,\text{cm/Tag}\) und \(2\,\text{cm/Tag}\). b) Im Intervall \([15; 20]\) war das Wachstum mit \(6\,\text{cm/Tag}\) am schnellsten. c) Die theoretische Höhe wäre \(152\,\text{cm}\). Der tatsächliche Wert (\(112\,\text{cm}\)) liegt darunter, da die Wachstumsgeschwindigkeit abgenommen hat.

- Überlege dir eine passende Skalierung für die Achsen, damit alle Werte gut eintragbar sind. - Schau dir an, wie sich die Abstände zwischen den Tabellenwerten verändern. - Wie rechnet man Minuten in Stunden um, um die Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) anzugeben? - Was bedeutet eine flacher werdende Kurve für die Geschwindigkeit?

1. Zeichnen des Koordinatensystems: x-Achse von \(0\) bis \(60\,\text{min}\), y-Achse von \(0\) bis \(20\,\text{km}\). Eintragen der Punkte für Anna \((0|0), (15|4{,}5), \dots\) und Ben \((0|0), (15|6{,}0), \dots\) und Verbinden zu Kurven. 2. Bestimmung der Position nach \(20\,\text{min}\): Bei \(t = 15\) liegt Ben mit \(6{,}0\,\text{km}\) vor Anna (\(4{,}5\,\text{km}\)). Da die Graphen sich erst bei \(45\,\text{min}\) schneiden, ist Ben nach \(20\,\text{min}\) vorn. Der Vorsprung beträgt etwa \(1{,}5\,\text{km}\). 3. Durchschnittsgeschwindigkeit Anna: In \(60\,\text{min}\) (also \(1\,\text{h}\)) legt sie \(18{,}0\,\text{km}\) zurück. Die Geschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). 4. Vergleich und Interpretation: Anna fährt proportional (konstante Steigung). Ben startet schneller als Anna, wird aber im Verlauf der Zeit langsamer (abnehmende Steigung). Mögliche Gründe: Erschöpfung, Gegenwind oder ein Anstieg im Gelände.

a) Der Graph zeigt eine Gerade für Anna und eine nach rechts abflachende Kurve für Ben. b) Ben ist vorn; sein Vorsprung beträgt ca. \(1{,}5\,\text{km}\). c) Annas Geschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). d) Ben startet schnell und wird dann langsamer (z. B. durch Ermüdung oder Steigung), während Anna ihr Tempo hält.

- Schau dir an, um wie viele Zentimeter die Höhe in jedem Zeitabschnitt wächst. - Erinnere dich: Wenn ein Gefäß breiter wird, steigt der Wasserspiegel langsamer oder schneller?

1. Analyse der Zunahme: Bei Gefäß A nimmt die Höhe alle \(10\,\text{s}\) um genau \(2{,}0\,\text{cm}\) zu. Dies ist eine proportionale Zuordnung, was auf eine gleichmäßige Gefäßform (Zylinder) hindeutet. 2. Graphische Darstellung: x-Achse für Zeit (\(0\) bis \(50\,\text{s}\)), y-Achse für Höhe (\(0\) bis \(10\,\text{cm}\)). A ist eine Ursprungsgerade, B eine Kurve, die flacher wird. 3. Form von Gefäß B: In den ersten \(10\,\text{s}\) steigt das Wasser um \(3{,}5\,\text{cm}\), zwischen \(40\) und \(50\,\text{s}\) nur noch um \(0{,}5\,\text{cm}\). Da die Füllhöhe bei gleichbleibendem Zufluss immer langsamer steigt, muss das Gefäß nach oben hin deutlich breiter werden (z. B. Schüsselform).

a) Gefäß A ist gleichmäßig geformt, da die Füllhöhe proportional zur Zeit steigt (immer \(+2\,\text{cm}\) pro \(10\,\text{s}\)). b) Der Graph für A ist eine Gerade, der für B eine Kurve. c) Gefäß B wird nach oben hin breiter, da die Höhenzunahme pro Zeitschritt immer kleiner wird (\(3{,}5 \to 2{,}5 \to 1{,}5 \to 1{,}0 \to 0{,}5\)).

- Überlege, was mit der Geschwindigkeit passiert, wenn ein Auto anhält. - Welche Information steht an der waagerechten Achse? - Vergleiche dieses Diagramm mit einem, bei dem die Zeit auf der waagerechten Achse steht. - Was passiert mit dem Kilometerzähler im Auto, während man an einer Ampel wartet?

1. Analyse des Ereignisses bei \(s = 8\,\text{km}\): Da die Geschwindigkeit an diesem Wegpunkt \(0\,\text{km/h}\) beträgt und unmittelbar davor und danach \(50\,\text{km/h}\), handelt es sich idealisiert um einen Halt, zum Beispiel an einer roten Ampel oder einem Stoppschild. 2. Analyse der Diagrammachsen: Die \(x\)-Achse stellt den zurückgelegten Weg \(s\) dar, nicht die Zeit. 3. Schlussfolgerung zur Dauer: Während eines Stillstands vergrößert sich der zurückgelegte Weg nicht (\(\Delta s = 0\)). Die gesamte Wartezeit gehört daher zu demselben Wegpunkt \(s = 8\,\text{km}\). Im Weg-Geschwindigkeits-Diagramm erscheint nur der einzelne Wert \(v(8)=0\); eine Zeitdauer kann ohne Zeitachse nicht dargestellt werden.

a) Bei Kilometer 8 gab es idealisiert einen Halt, zum Beispiel an einer Ampel oder einem Stoppschild. b) Während des Wartens bleibt der Wegwert unverändert. Das Weg-Geschwindigkeits-Diagramm zeigt deshalb nur \(v(8)=0\), aber nicht, wie lange dieser Zustand dauert.

- Rechne die Zeit von \(12:15\) bis \(14:45\) erst in Dezimalstunden oder Minuten um. - Wenn du weißt, wie viele Prozentpunkte pro Stunde verloren gehen, kannst du auch "rückwärts" rechnen. - Gibt es eine Obergrenze für die Ladung eines Akkus?

1. Berechnung der Zeitdifferenz: Von \(12:15\,\text{Uhr}\) bis \(14:45\,\text{Uhr}\) vergehen \(2{,}5\,\text{Stunden}\). 2. Berechnung der Ladungsdifferenz: \(88\,\% - 63\,\% = 25\) Prozentpunkte. 3. Abnahme pro Stunde: \(25 : 2{,}5 = 10\) Prozentpunkte pro Stunde. 4. Zeitpunkt \(0\,\%\) (a): Von \(63\,\%\) ausgehend dauert es noch \(63 : 10 = 6{,}3\,\text{Stunden}\). \(6\,\text{Stunden}\) und \(18\,\text{Minuten}\) nach \(14:45\,\text{Uhr}\) ist es \(21:03\,\text{Uhr}\). 5. Ladestand um \(10:15\,\text{Uhr}\) (b): Das sind \(2\,\text{Stunden}\) vor \(12:15\,\text{Uhr}\). Die Zunahme beim Rückwärtsrechnen beträgt \(2 \cdot 10 = 20\) Prozentpunkte. Damit ergibt sich ein Ladestand von \(88\,\% + 20\) Prozentpunkten \(= 108\,\%\). 6. Interpretation (c): Ein Akku kann physikalisch nicht mehr als \(100\,\%\) Ladung haben. Das lineare Modell liefert hier einen Wert, der in der Realität unmöglich ist, was bedeutet, dass die Entladungsrate vorher anders gewesen sein muss oder der Akku voll war.

a) Der Akku verliert \(10\) Prozentpunkte pro Stunde. Er wäre um \(21:03\,\text{Uhr}\) leer. b) Laut Modell hätte der Akku um \(10:15\,\text{Uhr}\) einen Stand von \(108\,\%\) gehabt. c) Da ein Akku maximal \(100\,\%\) geladen sein kann, ist der berechnete Wert von \(108\,\%\) unmöglich. Das Modell ist also für diesen Zeitraum nicht anwendbar.

- Bestimme zuerst die Zahl der berechneten Minuten. - Vergleiche die Kosten beider Anbieter bei \(10\) Minuten und danach die Kostensteigerung pro weiterer Minute. - Überlege, ob der Preis innerhalb einer angefangenen Minute stetig steigt oder konstant bleibt.

1. Bei einer tatsächlichen Fahrtdauer wird auf die nächste volle Minute aufgerundet; \(n\) bezeichnet die Zahl der berechneten Minuten. Dann gilt \(K_{\text{Flitz}}=1{,}00+0{,}15n\) und \(K_{\text{Saust}}=0{,}25n\). 2. Für \(5\), \(10\) und \(15\) Minuten ergeben sich: Flitz: \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\). Saust: \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\). 3. Wertetabelle für ganze Fahrzeiten von \(1\) bis \(12\) Minuten: <table> <tr><td>Minuten</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr> <tr><td>Flitz (in €)</td><td>1,15</td><td>1,30</td><td>1,45</td><td>1,60</td><td>1,75</td><td>1,90</td><td>2,05</td><td>2,20</td><td>2,35</td><td>2,50</td><td>2,65</td><td>2,80</td></tr> <tr><td>Saust (in €)</td><td>0,25</td><td>0,50</td><td>0,75</td><td>1,00</td><td>1,25</td><td>1,50</td><td>1,75</td><td>2,00</td><td>2,25</td><td>2,50</td><td>2,75</td><td>3,00</td></tr> </table> 4. Bei \(10\) berechneten Minuten kosten beide Anbieter \(2{,}50\,\text{€}\). Für mehr als \(10\) berechnete Minuten ist Flitz günstiger, weil dessen Preis pro weiterer Minute geringer ist. 5. Bei angefangenen Minuten ist der Preis auch für Bruchteile einer Minute definiert, bleibt aber innerhalb eines Abrechnungsintervalls konstant und springt an der nächsten Minutengrenze. Deshalb ist eine Treppenfunktion passend; geradliniges Verbinden der Tabellenpunkte ist nicht passend.

a) Flitz: \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\); Saust: \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\). b) <table> <tr><td>Minuten</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr> <tr><td>Flitz (in €)</td><td>1,15</td><td>1,30</td><td>1,45</td><td>1,60</td><td>1,75</td><td>1,90</td><td>2,05</td><td>2,20</td><td>2,35</td><td>2,50</td><td>2,65</td><td>2,80</td></tr> <tr><td>Saust (in €)</td><td>0,25</td><td>0,50</td><td>0,75</td><td>1,00</td><td>1,25</td><td>1,50</td><td>1,75</td><td>2,00</td><td>2,25</td><td>2,50</td><td>2,75</td><td>3,00</td></tr> </table> c) Die Aussage ist wahr. Bei \(10\) Minuten kosten beide \(2{,}50\,\text{€}\); danach ist Flitz günstiger. d) Die Kosten sollten als Treppenfunktion dargestellt werden. Für Bruchteile einer Minute gilt jeweils der Preis der nächsten berechneten vollen Minute.

- Stelle für beide Anbieter eine Funktionsgleichung der Form \(y = m \cdot x + n\) auf. - Wofür stehen die Grundgebühr und der Minutenpreis in deiner Gleichung? - Um herauszufinden, wann beide gleich viel kosten, kannst du die beiden Gleichungen gleichsetzen. - Was passiert im Graphen an der Stelle, an der ein Tarif den anderen „überholt“?

1. Kosten für 30 Minuten berechnen: Flott: \(30 \cdot 0{,}30\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). Mobil: \(10{,}00\,\text{€} + 30 \cdot 0{,}10\,\text{€} = 13{,}00\,\text{€}\). 2. Kosten für 60 Minuten berechnen: Flott: \(60 \cdot 0{,}30\,\text{€} = 18{,}00\,\text{€}\). Mobil: \(10{,}00\,\text{€} + 60 \cdot 0{,}10\,\text{€} = 16{,}00\,\text{€}\). 3. Den Schwellenwert durch Gleichsetzen der Funktionsterme finden: \(0{,}30 \cdot x = 10 + 0{,}10 \cdot x\). 4. Gleichung lösen: \(0{,}20 \cdot x = 10 \Rightarrow x = 50\). Ab einer Fahrzeit von mehr als 50 Minuten ist „Mobil“ günstiger. 5. Graphen zeichnen: Eine Ursprungsgerade für „Flott“ und eine Gerade mit y-Achsenabschnitt 10 für „Mobil“. 6. Interpretation des Schnittpunkts: Bei genau 50 Minuten Fahrtzeit kosten beide Anbieter mit \(15{,}00\,\text{€}\) gleich viel.

a) Bei 30 Min: Flott \(9{,}00\,\text{€}\), Mobil \(13{,}00\,\text{€}\). Bei 60 Min: Flott \(18{,}00\,\text{€}\), Mobil \(16{,}00\,\text{€}\). b) Ab einer Fahrzeit von mehr als 50 Minuten pro Monat ist der Anbieter „Mobil“ günstiger. c) Der Schnittpunkt liegt bei \((50 \mid 15)\). Er gibt die Fahrzeit an, bei der beide Tarife exakt die gleichen Kosten verursachen.

- Was bedeutet „jede angefangene Stunde“ für die Berechnung, wenn die Zeit über die freien 30 Minuten hinausgeht? - Achte beim Zeichnen darauf, was an den Stellen passiert, an denen eine neue Stunde beginnt. - Erinnere dich an die Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung: Was müsste für den Graphen und die Wertepaare gelten?

1. Berechnung der Gebühren: - \(45\,\text{min}\): Nach den freien \(30\,\text{min}\) beginnt die erste kostenpflichtige Stunde, also \(2{,}50\,\text{€}\). - \(2\,\text{h}\): Nach den freien \(30\,\text{min}\) verbleiben \(90\,\text{min}\), also zwei angefangene Stunden und damit \(5{,}00\,\text{€}\). - \(6\,\text{h}\): Nach den freien \(30\,\text{min}\) sind mehr als fünf kostenpflichtige Stunden angebrochen; der Tageshöchstpreis beträgt \(15{,}00\,\text{€}\). - \(10\,\text{h}\): Es gilt ebenfalls der Tageshöchstpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). 2. Der Graph ist eine Treppenfunktion. Er liegt bis einschließlich \(0{,}5\,\text{h}\) bei \(0\,\text{€}\). Danach steigt er in Stufen von \(2{,}50\,\text{€}\). Bei genau \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt der Preis noch \(12{,}50\,\text{€}\); für Parkdauern über \(5{,}5\,\text{h}\) gilt der Höchstpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). 3. Die Zuordnung ist nicht proportional, weil der Graph keine Ursprungsgerade ist und weil Zeitverdopplungen nicht zu Preisverdopplungen führen.

a) \(45\,\text{min} \to 2{,}50\,\text{€}\); \(2\,\text{h} \to 5{,}00\,\text{€}\); \(6\,\text{h} \to 15{,}00\,\text{€}\); \(10\,\text{h} \to 15{,}00\,\text{€}\). b) Der Graph ist eine Treppenfunktion. Der Höchstpreis gilt für Parkdauern über \(5{,}5\,\text{h}\); bei genau \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt der Preis \(12{,}50\,\text{€}\). c) Die Zuordnung ist nicht proportional, weil der Graph keine Ursprungsgerade ist und keine Quotientengleichheit vorliegt.

- Wenn zwei Objekte aufeinander zufahren, kannst du ihre Geschwindigkeiten addieren, um die Annäherungsgeschwindigkeit zu finden. - Achte auf die Einheiten: Die Zeit wird erst in Stunden berechnet und muss dann in Minuten umgerechnet werden. - Für den Prozentsatz teilst du den Teilwert durch den Gesamtwert.

1. Berechnung der kombinierten Geschwindigkeit: \(v_{\text{ges}} = 20\,\text{km/h} + 12\,\text{km/h} = 32\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der Zeit in Stunden: \(t = \frac{24\,\text{km}}{32\,\text{km/h}} = 0{,}75\,\text{h}\). 3. Umrechnung der Zeit in Minuten: \(0{,}75 \cdot 60 = 45\,\text{min}\). 4. Berechnung von Mias Strecke: \(s_{\text{Mia}} = 20\,\text{km/h} \cdot 0{,}75\,\text{h} = 15\,\text{km}\). 5. Berechnung des prozentualen Anteils: \(\frac{15\,\text{km}}{24\,\text{km}} \cdot 100 = 62{,}5\,\%\).

a) Sie begegnen sich nach \(45\,\text{Minuten}\). b) Mia hat \(62{,}5\,\%\) der Strecke zurückgelegt.

- Überlege zuerst, wie schnell Herr Müller ohne die Hilfe des Bandes läuft. - Wie viel schneller ist er insgesamt, wenn das Band läuft? - Welchen Anteil an der Gesamtgeschwindigkeit trägt das Band bei?

1. Berechnung der Gehgeschwindigkeit von Herrn Müller: \(v_{\text{Müller}} = \frac{80\,\text{m}}{50\,\text{s}} = 1{,}6\,\text{m/s}\). 2. Berechnung der Gesamtgeschwindigkeit mit eingeschaltetem Rollband: \(v_{\text{Gesamt}} = \frac{80\,\text{m}}{20\,\text{s}} = 4\,\text{m/s}\). 3. Die Gesamtgeschwindigkeit setzt sich aus der Gehgeschwindigkeit und der Bandgeschwindigkeit zusammen: \(v_{\text{Gesamt}} = v_{\text{Müller}} + v_{\text{Band}}\). 4. Berechnung der Bandgeschwindigkeit: \(v_{\text{Band}} = 4\,\text{m/s} - 1{,}6\,\text{m/s} = 2{,}4\,\text{m/s}\).

Das Rollband bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \(2{,}4\,\text{m/s}\).

- Wie viele Stufen pro Sekunde schafft die Rolltreppe alleine? - Wenn Julia zusätzlich geht, wie viele Stufen rücken dann pro Sekunde insgesamt unter ihren Füßen weg? - Denk daran, dass Julia nur für die Zeit Stufen steigt, die sie tatsächlich auf der Treppe verbringt.

1. Geschwindigkeit der Rolltreppe: \(v_{\text{Roll}} = 60\,\text{Stufen} : 30\,\text{s} = 2\,\text{Stufen/s}\). 2. Julias Gesamtgeschwindigkeit: \(v_{\text{Ges}} = v_{\text{Roll}} + v_{\text{Julia}} = 2\,\text{Stufen/s} + 1\,\text{Stufe/s} = 3\,\text{Stufen/s}\). 3. Zeit bis oben: \(t = 60\,\text{Stufen} : 3\,\text{Stufen/s} = 20\,\text{s}\). 4. Von Julia selbst zurückgelegte Stufen: \(20\,\text{s} \cdot 1\,\text{Stufe/s} = 20\,\text{Stufen}\). 5. Begründung: Julia muss weniger Stufen steigen, da die Rolltreppe während ihrer Gehzeit einen Teil der Stufen (nämlich \(40\) Stufen) unter ihr „wegbewegt“ und sie somit passiv nach oben befördert.

a) Julia benötigt \(20\,\text{Sekunden}\). b) Sie ist \(20\) Stufen selbst gestiegen. c) Da sich die Rolltreppe bewegt, übernimmt sie einen Teil des Weges. In den \(20\,\text{Sekunden}\) legt die Treppe \(40\) Stufen zurück, sodass Julia nur noch die restlichen \(20\) Stufen gehen muss.

- Wie oft passen 15 Sekunden in eine Minute? - Überlege, wie viele Liter in einen Kubikmeter passen. - Wenn du den Preis pro Kubikmeter kennst, wie viel kostet dann ein einzelner Liter? - Kannst du die Zeit von Minuten in Stunden umrechnen?

1. In \(60\) Sekunden fließt das Vierfache von \(3\,\text{l}\): \(12\,\text{l/min}\). 2. Fülldauer: \(720\,\text{l} : 12\,\text{l/min}=60\,\text{min}=1\,\text{h}\). 3. \(720\,\text{l}=0{,}72\,\text{m}^3\). Die exakten Kosten sind \(0{,}72\cdot 2{,}30=1{,}656\) Euro; als Geldbetrag gerundet sind das \(1{,}66\,\text{€}\). 4. Für \(4{,}14\,\text{€}\) wurden \(4{,}14:2{,}30=1{,}8\,\text{m}^3=1\,800\,\text{l}\) verbraucht. Die Laufzeit beträgt \(1\,800:12=150\,\text{min}=2{,}5\,\text{h}\).

a) \(12\,\text{Liter pro Minute}\) b) \(60\,\text{Minuten}\) bzw. \(1\,\text{Stunde}\) c) \(1{,}66\,\text{€}\) d) \(2{,}5\,\text{Stunden}\) bzw. \(2\) Stunden und \(30\) Minuten

- Berechne zuerst den Unterschied im Wasserverbrauch pro Minute. - Denke daran, dass \(1000\,\text{l}\) einem Kubikmeter entsprechen. - Für Teil c: Wie viel Wasser verbraucht er insgesamt in 7 Minuten mit dem alten Duschkopf?

1. Berechnung der Ersparnis pro Minute: \(12\,\text{l/min} - 7\,\text{l/min} = 5\,\text{l/min}\). 2. Berechnung der Wasserersparnis in \(8\,\text{min}\): \(5\,\text{l/min} \cdot 8\,\text{min} = 40\,\text{l}\). 3. Berechnung der Kostenersparnis: \(40\,\text{l} = 0{,}04\,\text{m}^3\). Die Ersparnis beträgt \(0{,}04\,\text{m}^3 \cdot 2{,}50\,\text{€/m}^3 = 0{,}10\,\text{€}\). 4. Berechnung der Duschzeit für Jan: Der Wasserverbrauch beim herkömmlichen Duschkopf in \(7\,\text{min}\) ist \(7\,\text{min} \cdot 12\,\text{l/min} = 84\,\text{l}\). Mit dem Sparduschkopf benötigt er für diese Menge \(\frac{84\,\text{l}}{7\,\text{l/min}} = 12\,\text{min}\).

a) Man spart \(40\,\text{l}\) Wasser. b) Die Kostenersparnis beträgt \(0{,}10\,\text{€}\) (oder \(10\,\text{Cent}\)). c) Jan duscht \(12\,\text{min}\) lang.

- Wie viel Wasser fließt pro Minute in den Tank? - Wie viele Liter fehlen noch, bis der Tank bei \(300\,\text{Litern}\) voll ist? - Wie lange dauert es bei der aktuellen Geschwindigkeit, diese fehlende Menge aufzufüllen? - Vergleiche dein Ergebnis mit der Zeitangabe „eine weitere halbe Stunde“.

1. Berechnung der in 10 Minuten hinzugekommenen Wassermenge: \(90\,\text{l} - 40\,\text{l} = 50\,\text{l}\). 2. Bestimmung der Füllrate pro Minute: \(50\,\text{l} : 10\,\text{min} = 5\,\text{l/min}\). 3. Berechnung der noch fehlenden Menge bis zum vollen Tank: \(300\,\text{l} - 90\,\text{l} = 210\,\text{l}\). 4. Berechnung der benötigten Zeit für die restliche Menge: \(210\,\text{l} : 5\,\text{l/min} = 42\,\text{min}\). 5. Vergleich mit der Behauptung: Die Besitzerin sagt, der Tank sei in einer weiteren halben Stunde (\(30\,\text{min}\)) voll. Tatsächlich werden jedoch \(42\,\text{Minuten}\) benötigt. 6. Ergebnis: Die Behauptung ist unrealistisch, da die berechnete Zeit deutlich länger ist als die geschätzte Zeit.

Die Behauptung ist unrealistisch. Der Tank wird mit \(5\,\text{Litern}\) pro Minute befüllt. Um die restlichen \(210\,\text{Liter}\) zu füllen, werden noch \(42\,\text{Minuten}\) benötigt, nicht nur \(30\,\text{Minuten}\).

- Was passiert mit dem Akkustand, wenn das Handy geladen wird? Suche nach einem Anstieg in der Tabelle. - Für den Durchschnitt teilst du die gesamte Änderung durch die Anzahl der vergangenen Stunden. - Eine Funktion muss eindeutig sein. Kann man bei einem bestimmten Akkustand sicher sagen, wie spät es war?

1. Identifikation des Ladevorgangs: Zwischen 16:00 Uhr (\(44\,\%\)) und 18:00 Uhr (\(88\,\%\)) steigt der Ladestand deutlich an, was auf einen Ladevorgang hindeutet. 2. Berechnung des durchschnittlichen Verbrauchs: Zeitraum von 07:00 bis 12:00 Uhr sind \(5\,\text{Stunden}\). Verbrauch: \(100\,\% - 60\,\% = 40\) Prozentpunkte. Durchschnitt pro Stunde: \(40 : 5\,\text{h} = 8\) Prozentpunkte pro Stunde. 3. Prüfung der Umkehrzuordnung: Der Ladestand \(60\,\%\) tritt zu zwei verschiedenen Uhrzeiten auf (12:00 Uhr und 14:00 Uhr). Damit ist die Zuordnung Ladestand \(\to\) Uhrzeit nicht eindeutig und somit keine Funktion.

a) Das Handy wurde zwischen 16:00 und 18:00 Uhr geladen, da der Ladestand dort ansteigt. b) Der durchschnittliche Verbrauch beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. c) Nein, die Umkehrzuordnung ist keine Funktion, da dem Wert \(60\,\%\) zwei verschiedene Uhrzeiten (12:00 und 14:00) zugeordnet werden.

- Welcher Teil der Gleichung ändert sich mit den Kilometern und welcher bleibt immer gleich? - Wie gehst du vor, wenn du wissen willst, wann zwei Angebote genau gleich viel kosten? - Schau dir die Steigungen an: Welcher Tarif wird pro Kilometer teurer?

1. Interpretation der Konstanten: Die Werte \(45\) und \(25\) stellen die Fixkosten (Grundgebühr) pro Anmietung dar, die unabhängig von den gefahrenen Kilometern anfallen. 2. Kosten für \(x = 80\): Tarif A: \(y = 0{,}30 \cdot 80 + 45 = 24 + 45 = 69\,\text{€}\). Tarif B: \(y = 0{,}50 \cdot 80 + 25 = 40 + 25 = 65\,\text{€}\). Bei \(80\,\text{km}\) ist Tarif B günstiger. 3. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung des Schnittpunkts: \(0{,}30x + 45 = 0{,}50x + 25\). 4. Lösen der Gleichung: \(20 = 0{,}20x \Rightarrow x = 100\). 5. Schlussfolgerung: Da Tarif A eine geringere Steigung (Kilometerpreis) hat, ist er für Strecken über \(100\,\text{km}\) günstiger.

a) Es handelt sich um die Grundgebühren in \(\text{€}\). b) Tarif A kostet \(69\,\text{€}\), Tarif B kostet \(65\,\text{€}\). Tarif B ist günstiger. c) Ab einer Strecke von mehr als \(100\,\text{km}\) ist Tarif A günstiger.

- Was passiert zum Zeitpunkt \(t = 0\)? Setze den Wert in die Funktionsgleichung ein. - Die Zahl vor dem \(t\) gibt an, wie stark sich das Ergebnis ändert, wenn \(t\) um \(1\) erhöht wird. - Überlege für den Definitionsbereich, wann der Füllvorgang endet (Fass voll). - Wie beeinflusst der Startwert die Position der Geraden im Koordinatensystem?

1. Interpretation: Der Wert \(20\) stellt das Anfangsvolumen dar (\(20\,\text{Liter}\) sind bereits im Fass). Der Wert \(1{,}5\) ist die Steigung und gibt die Füllrate an (\(1{,}5\,\text{Liter}\) pro Minute). 2. Berechnung für \(t=12\): \(V(12) = 1{,}5 \cdot 12 + 20 = 18 + 20 = 38\). Nach \(12\,\text{Minuten}\) sind \(38\,\text{Liter}\) im Fass. 3. Definitionsbereich bestimmen: Das Fass ist voll, wenn \(V(t) = 80\). Rechnung: \(1{,}5t + 20 = 80 \Rightarrow 1{,}5t = 60 \Rightarrow t = 40\). Da die Zeit bei \(t=0\) beginnt und bei \(40\,\text{Minuten}\) das Fass voll ist, ist der Definitionsbereich \(D = [0; 40]\). 4. Veränderung des Graphen: Wäre das Fass leer gewesen, würde der Graph im Ursprung \((0|0)\) beginnen. Die Gerade wäre also parallel nach unten verschoben (gleiche Steigung, aber \(y\)-Achsenabschnitt \(0\)).

a) \(20\): Anfangsbestand in Litern; \(1{,}5\): Zuflussrate in Litern pro Minute. b) \(38\,\text{Liter}\). c) Der Definitionsbereich ist \(D = [0; 40]\) (in Minuten). d) Der Graph würde bei einem leeren Fass durch den Koordinatenursprung verlaufen (Parallelverschiebung).

- Wie kannst du das „Abbrennen“ mathematisch als Vorzeichen in deiner Gleichung ausdrücken? - Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn zwei Objekte „gleich hoch“ sind? - Erstelle für beide Kerzen getrennte Ausdrücke, bevor du sie vergleichst.

1. Funktionsgleichungen: Für Kerze A gilt \(h_A(t) = 24 - 2 \cdot t\). Für Kerze B gilt \(h_B(t) = 18 - 1{,}2 \cdot t\). 2. Vergleich nach \(5\) Stunden: \(h_A(5) = 24 - 2 \cdot 5 = 14\,\text{cm}\). \(h_B(5) = 18 - 1{,}2 \cdot 5 = 18 - 6 = 12\,\text{cm}\). Kerze A ist mit \(14\,\text{cm}\) höher als Kerze B mit \(12\,\text{cm}\). 3. Zeitpunkt gleicher Höhe: Gleichsetzen der Funktionen: \(24 - 2 \cdot t = 18 - 1{,}2 \cdot t\). Umstellen ergibt \(6 = 0{,}8 \cdot t\). Division durch \(0{,}8\) ergibt \(t = 7{,}5\). Nach \(7{,}5\) Stunden (oder \(7\) Stunden und \(30\) Minuten) sind beide Kerzen gleich hoch.

a) \(h_A(t) = 24 - 2 \cdot t\) und \(h_B(t) = 18 - 1{,}2 \cdot t\) b) Kerze A ist nach \(5\) Stunden höher (\(14\,\text{cm} > 12\,\text{cm}\)). c) Nach \(7{,}5\) Stunden sind beide Kerzen gleich hoch.

- Überlege dir für beide Fälle, was passiert, wenn du den Eingangswert (Kilometer bzw. Seitenlänge) verdoppelst. - Welche Form haben die Funktionsgleichungen, die du aufstellen würdest? - Bei einer linearen Funktion muss die Änderung pro Schritt immer gleich groß sein.

1. Situation (1) ist linear. Es gibt eine feste Grundgebühr (Y-Achsenabschnitt \(b = 3{,}50\)) und eine konstante Änderungsrate pro Kilometer (Steigung \(m = 1{,}80\)). Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = 1{,}80x + 3{,}50\). 2. Situation (2) ist nicht linear. Der Flächeninhalt \(A\) berechnet sich durch \(A(a) = a^2\). Da die Variable \(a\) quadriert wird, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Eine Verdopplung der Seitenlänge führt beispielsweise zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts, was der Definition einer linearen Änderung widerspricht.

(1) Linear, da die Kosten pro Kilometer konstant steigen und es einen festen Startwert gibt. (2) Nicht linear, da der Flächeninhalt quadratisch mit der Seitenlänge wächst (\(A = a^2\)).

- Was gibt die Steigung in diesem Beispiel an? - Achte auf die Einheiten, wenn du das Fassungsvermögen mit dem aktuellen Inhalt vergleichst. - Wie viel Liter passen in einen Kubikmeter? - Kannst du aus den zwei Zeitpunkten bestimmen, wie viel Wasser pro Minute dazukommt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den Wertepaaren \((10|450)\) und \((25|825)\): \(m = \frac{825 - 450}{25 - 10} = \frac{375}{15} = 25\). Die Zuflussrate beträgt \(25\,\text{l/min}\). 2. Bestimmung des Startwerts \(b\): \(450 = 25 \cdot 10 + b \implies 450 = 250 + b \implies b = 200\). Die Funktionsgleichung ist \(V(x) = 25x + 200\). 3. Der Anfangsbestand bei \(x = 0\) beträgt \(200\,\text{Liter}\). 4. Umrechnung des Zielvolumens: \(1{,}2\,\text{m}^3 = 1200\,\text{Liter}\). 5. Berechnung der Zeit für das volle Becken: \(1200 = 25x + 200 \implies 1000 = 25x \implies x = 40\). Nach \(40\,\text{Minuten}\) ist das Becken voll.

1. \(V(x) = 25x + 200\) 2. \(200\,\text{Liter}\) 3. Nach \(40\,\text{Minuten}\)

- Stelle für jede Kerze eine eigene Gleichung auf. - Wenn zwei Dinge "gleich" sein sollen, was kannst du dann mit ihren Gleichungen machen? - Wie berechnet man den Zeitpunkt, an dem eine Kerze komplett abgebrannt ist?

1. Funktionsgleichungen aufstellen: \(h_A(t) = 20 - 1{,}5 \cdot t\) und \(h_B(t) = 15 - 0{,}5 \cdot t\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(20 - 1{,}5 \cdot t = 15 - 0{,}5 \cdot t\). 3. Auflösen nach \(t\): \(5 = 1{,}0 \cdot t \Rightarrow t = 5\). Nach \(5\,\text{Stunden}\) sind sie gleich hoch. 4. Einsetzen von \(t = 5\) in eine Gleichung: \(h(5) = 15 - 0{,}5 \cdot 5 = 12{,}5\,\text{cm}\). 5. Brenndauer berechnen (Nullstellen): Kerze A: \(20 / 1{,}5 \approx 13{,}33\,\text{h}\). Kerze B: \(15 / 0{,}5 = 30\,\text{h}\). Kerze B brennt länger.

a) \(h_A(t) = 20 - 1{,}5 \cdot t\); \(h_B(t) = 15 - 0{,}5 \cdot t\) b) Nach \(5\,\text{Stunden}\) sind beide \(12{,}5\,\text{cm}\) hoch. c) Kerze B brennt mit \(30\,\text{Stunden}\) länger als Kerze A (\(13{,}33\,\text{Stunden}\)).

- Berechne die Steigung für verschiedene Abschnitte der Tabelle. - Stell dir vor, du füllst Wasser in ein Glas, das oben weiter ist als unten. Wie verändert sich die Geschwindigkeit, mit der der Pegel steigt? - Was sagt eine konstante Steigung über die Form eines Gefäßes aus?

1. Prüfung auf Linearität: Intervall \([0; 10]\): \(\frac{12 - 0}{10 - 0} = 1{,}2\,\text{cm/min}\). Intervall \([20; 30]\): \(\frac{30 - 24}{30 - 20} = 0{,}6\,\text{cm/min}\). Die Änderungsrate ist nicht über den gesamten Zeitraum konstant, daher ist die Zuordnung nicht linear. 2. Berechnung der Steigungen: Für \([0; 20]\): \(m_1 = \frac{24 - 0}{20 - 0} = 1{,}2\,\text{cm/min}\). Für \([20; 50]\): \(m_2 = \frac{42 - 24}{50 - 20} = \frac{18}{30} = 0{,}6\,\text{cm/min}\). 3. Interpretation der Form: In den ersten 20 Minuten steigt der Wasserspiegel doppelt so schnell wie danach. Da die Regenmenge gleichmäßig ist, muss das Gefäß ab einer Höhe von \(24\,\text{cm}\) eine größere Querschnittsfläche haben (es ist breiter), sodass das Wasser langsamer steigt.

a) Die Zuordnung ist nicht linear. b) Im Intervall \([0; 20]\) beträgt die Steigung \(1{,}2\,\text{cm/min}\), im Intervall \([20; 50]\) beträgt sie \(0{,}6\,\text{cm/min}\). c) Ab einer Höhe von \(24\,\text{cm}\) wird das Fass breiter, da der Wasserspiegel bei gleichbleibendem Regen langsamer steigt.

- Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung im Weg-Zeit-Diagramm. - Was bedeutet es für die Bewegung, wenn sich die Entfernung über eine gewisse Zeit nicht ändert? - Prüfe, ob der Quotient aus Weg und Zeit immer den gleichen Wert ergibt.

1. Berechnung der Geschwindigkeiten (\(v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\)): - \([0; 1]\): \(\frac{4{,}8 - 0}{1 - 0} = 4{,}8\,\text{km/h}\) - \([1; 2]\): \(\frac{9{,}6 - 4{,}8}{2 - 1} = 4{,}8\,\text{km/h}\) - \([2; 2{,}5]\): \(\frac{9{,}6 - 9{,}6}{2{,}5 - 2} = 0\,\text{km/h}\) - \([2{,}5; 3]\): \(\frac{11{,}4 - 9{,}6}{3 - 2{,}5} = \frac{1{,}8}{0{,}5} = 3{,}6\,\text{km/h}\) - \([3; 4{,}5]\): \(\frac{16{,}8 - 11{,}4}{4{,}5 - 3} = \frac{5{,}4}{1{,}5} = 3{,}6\,\text{km/h}\) 2. Proportionalität: Eine proportionale Funktion \(s(t) = k \cdot t\) erfordert eine konstante Geschwindigkeit über den gesamten Bereich. Da die Geschwindigkeit variiert (von \(4{,}8\) auf \(0\) auf \(3{,}6\,\text{km/h}\)), ist die Funktion nicht proportional (und auch nicht linear). 3. Ereignis bei \(t \in [2; 2{,}5]\): Da die zurückgelegte Strecke konstant bleibt (\(9{,}6\,\text{km}\)), hat die Gruppe eine Pause gemacht. 4. Vergleich: Vor der Pause betrug die Geschwindigkeit \(4{,}8\,\text{km/h}\), nach der Pause nur noch \(3{,}6\,\text{km/h}\). Die Gruppe ist nach der Pause langsamer gewandert (evtl. Erschöpfung oder steileres Gelände).

a) Geschwindigkeiten: \(4{,}8\,\text{km/h}\); \(4{,}8\,\text{km/h}\); \(0\,\text{km/h}\); \(3{,}6\,\text{km/h}\); \(3{,}6\,\text{km/h}\). b) Nein, da die Geschwindigkeit nicht konstant ist (der Quotient \(\frac{s}{t}\) ist nicht überall gleich). c) Die Gruppe hat eine 30-minütige Pause eingelegt. d) Nach der Pause ist die Gruppe mit \(3{,}6\,\text{km/h}\) langsamer gewandert als davor (\(4{,}8\,\text{km/h}\)).

- Was passiert zum Zeitpunkt Null? - Achte auf die Einheiten: Eine halbe Stunde muss in Minuten umgerechnet werden. - Stelle eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis \(100\) sein soll. - Zum Zeichnen genügen zwei Punkte, die du berechnest und verbindest.

1. Interpretation der Parameter: Die \(15\) ist der Startwert (\(15\,\%\) Ladung bei \(t=0\)). Der Koeffizient \(0{,}8\) ist die Änderungsrate (\(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute). 2. Berechnung für \(t = 30\): \(L(30) = 0{,}8 \cdot 30 + 15 = 24 + 15 = 39\). Der Ladestand beträgt \(39\,\%\). 3. Berechnung der Zeit für \(L(t) = 100\): \(0{,}8t + 15 = 100\) \(0{,}8t = 85\) \(t = 85 : 0{,}8 = 106{,}25\). Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\) (oder \(1\,\text{Stunde}\) \(46\,\text{Minuten}\) und \(15\,\text{Sekunden}\)). 4. Zeichnen des Graphen: Startpunkt bei \((0|15)\), Endpunkt nach \(60\,\text{Minuten}\) bei \((60|63)\) (da \(0{,}8 \cdot 60 + 15 = 63\)).

a) \(15\,\%\) ist der Anfangsladestand; die Ladegeschwindigkeit beträgt \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. b) Nach \(30\,\text{Minuten}\) beträgt der Ladestand \(39\,\%\). c) Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\). d) Der Graph ist im Zeitraum von \(0\) bis \(60\,\text{Minuten}\) die Gerade durch \((0|15)\) und \((60|63)\).

- Berechne zuerst, wie viel Zeit die gesamte Fahrt bei einer bestimmten Durchschnittsgeschwindigkeit dauern darf. - Wenn du die Gesamtzeit kennst, kannst du die Zeit für den Rückweg bestimmen. - Überlege bei Teilaufgabe c), was ein Ergebnis von \(t_2 = 0\) für die Geschwindigkeit bedeuten würde.

1. Durchschnittsgeschwindigkeit Hinfahrt: \(v_1 = \frac{20\,\text{km}}{0{,}5\,\text{h}} = 40\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der benötigten Zeit für \(v_g = 50\,\text{km/h}\): \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} \Rightarrow 50 = \frac{40}{0{,}5 + t_2}\). Umstellen nach \(t_2\): \(0{,}5 + t_2 = \frac{40}{50} = 0{,}8\), also \(t_2 = 0{,}3\,\text{h}\). 3. Benötigte Geschwindigkeit Rückweg: \(v_2 = \frac{20\,\text{km}}{0{,}3\,\text{h}} = 66\frac{2}{3}\,\text{km/h} \approx 66{,}67\,\text{km/h}\). 4. Überprüfung für \(v_g = 80\,\text{km/h}\): \(80 = \frac{40}{0{,}5 + t_2} \Rightarrow 0{,}5 + t_2 = \frac{40}{80} = 0{,}5\). Dies bedeutet \(t_2 = 0\). Da eine Fahrtzeit von Null oder weniger physikalisch unmöglich ist (die Geschwindigkeit müsste unendlich groß sein), kann dieser Durchschnitt nicht erreicht werden.

a) \(v_1 = 40\,\text{km/h}\) b) \(v_2 = 66\frac{2}{3}\,\text{km/h} \approx 66{,}67\,\text{km/h}\) c) Nein, das ist nicht möglich, da die Zeit für die Hinfahrt allein schon so groß ist, dass die Gesamtzeit für \(80\,\text{km/h}\) bereits aufgebraucht wäre (\(t_2\) müsste \(0\) sein).

- Achte darauf, die Zeitangaben einheitlich in Stunden umzurechnen (z. B. 30 Minuten als 0,5 Stunden). - Die "Geschwindigkeit" bezieht sich hier nur auf den Höhenunterschied pro Zeit. - Wie verändert sich die Höhe pro Stunde in den jeweiligen Phasen? - Gibt es einen Zeitraum, in dem sich die Höhe gar nicht verändert?

1. Festlegen der Koordinaten \((t | h)\): \(A(0|400)\), \(B(2|1000)\), \(C(2{,}5|1000)\), \(D(4|700)\). 2. Berechnung der vertikalen Geschwindigkeiten (Betrag der Steigung): - Aufstieg: \(v_{auf} = \frac{1000 - 400}{2} = 300\,\text{m/h}\). - Abstieg: \(v_{ab} = \frac{|700 - 1000|}{1{,}5} = \frac{300}{1{,}5} = 200\,\text{m/h}\). - Vergleich: \(300\,\text{m/h} > 200\,\text{m/h}\). Die Gruppe war beim Aufstieg schneller. 3. Berechnung der Zeitpunkte für \(h = 850\,\text{m}\): - Aufstieg: \(400 + 300 \cdot t = 850 \implies 300 \cdot t = 450 \implies t = 1{,}5\,\text{h}\). - Abstieg: \(1000 - 200 \cdot (t - 2{,}5) = 850 \implies -200 \cdot (t - 2{,}5) = -150 \implies t - 2{,}5 = 0{,}75 \implies t = 3{,}25\,\text{h}\).

a) Der Graph verbindet \((0|400)\), \((2|1000)\), \((2{,}5|1000)\) und \((4|700)\). b) Die Gruppe war im Aufstieg mit \(300\,\text{m/h}\) schneller als im Abstieg mit \(200\,\text{m/h}\). c) Die Höhe von \(850\,\text{m}\) wurde nach \(1{,}5\,\text{Stunden}\) (beim Aufstieg) und nach \(3{,}25\,\text{Stunden}\) (entspricht \(3\,\text{h}\) \(15\,\text{min}\), beim Abstieg) erreicht.

- Wie würde der Graph aussehen, wenn die Abnahme jeden Tag exakt gleich groß wäre? - Um eine Änderungsrate zu finden, teile den Unterschied der Werte durch den Unterschied der Zeit. - Wenn die \(y\)-Achse nicht bei \(0\) beginnt, kennzeichne die Achsenunterbrechung deutlich.

1. Grafische Darstellung: Zeichnen eines Koordinatensystems mit der Zeit \(t\) auf der \(x\)-Achse (\(0\) bis \(20\)) und der Höhe \(h\) auf der \(y\)-Achse (\(40\) bis \(50\)). Die Punkte \((0 \mid 50{,}0)\), \((5 \mid 48{,}5)\), \((10 \mid 46{,}5)\), \((15 \mid 44{,}0)\) und \((20 \mid 41{,}0)\) werden eingetragen und verbunden. 2. Überprüfung der linearen Annahme: Bei einer konstanten Abnahme von \(0{,}4\,\text{m/Tag}\) müsste der Wasserstand nach \(5\) Tagen um \(5 \cdot 0{,}4 = 2{,}0\,\text{m}\) gesunken sein. Die Tabelle zeigt jedoch für die ersten \(5\) Tage eine Abnahme von nur \(50{,}0 - 48{,}5 = 1{,}5\,\text{m}\). Die Annahme stimmt also nicht exakt mit den Daten überein. 3. Berechnung der Änderungsrate von Tag 15 bis Tag 20: \(\Delta h = 41{,}0 - 44{,}0 = -3{,}0\,\text{m}\) und \(\Delta t = 5\,\text{Tage}\). 4. Ergebnis: \(\frac{-3{,}0\,\text{m}}{5\,\text{Tage}} = -0{,}6\,\text{m/Tag}\). Der Wasserstand sinkt in diesem Zeitraum durchschnittlich um \(0{,}6\,\text{m}\) pro Tag.

a) Der Graph verbindet die Punkte \((0 \mid 50{,}0)\), \((5 \mid 48{,}5)\), \((10 \mid 46{,}5)\), \((15 \mid 44{,}0)\) und \((20 \mid 41{,}0)\). b) Die Annahme ist falsch. Bei \(0{,}4\,\text{m}\) pro Tag müsste der Stand an Tag 5 bei \(48{,}0\,\text{m}\) liegen; tatsächlich liegt er bei \(48{,}5\,\text{m}\). c) Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt \(-0{,}6\,\text{m}\) pro Tag.

- Stelle dir die Werte in einem Koordinatensystem vor. Was passiert zwischen zwei Zeitpunkten? - Wenn ein Wert genau in der Mitte zwischen zwei Messungen gesucht wird, wie kannst du ihn berechnen? - Überlege dir, wie viel der Wasserstand pro Stunde sinkt oder steigt, um den genauen Zeitpunkt für eine bestimmte Tiefe zu finden.

1. Um 04:30 Uhr liegt die Zeit genau in der Mitte zwischen 03:00 Uhr (\(6{,}0\,\text{m}\)) und 06:00 Uhr (\(4{,}5\,\text{m}\)). Der Wasserstand beträgt \(6{,}0\,\text{m} - 0{,}75\,\text{m} = 5{,}25\,\text{m}\). Um 10:30 Uhr liegt die Zeit in der Mitte zwischen 09:00 Uhr (\(3{,}0\,\text{m}\)) und 12:00 Uhr (\(4{,}5\,\text{m}\)). Der Wasserstand beträgt \(3{,}0\,\text{m} + 0{,}75\,\text{m} = 3{,}75\,\text{m}\). 2. Der Wasserstand steigt von 00:00 bis 03:00 Uhr, von 09:00 bis 15:00 Uhr und von 21:00 bis 24:00 Uhr. Er sinkt von 03:00 bis 09:00 Uhr und von 15:00 bis 21:00 Uhr. 3. Zwischen 06:00 und 09:00 Uhr gilt bei linearer Änderung \(h(t) = 4{,}5 - 0{,}5 \cdot (t-6)\). Aus \(h(t)=4\) folgt \(t=7\). Zwischen 09:00 und 12:00 Uhr gilt \(h(t) = 3 + 0{,}5 \cdot (t-9)\); daraus folgt \(t=11\). Zwölf Stunden später ergeben sich die Grenzzeiten 19:00 Uhr und 23:00 Uhr. Da das Boot bei genau \(4\,\text{m}\) noch fahren kann, ist die Ein- oder Ausfahrt nur für \(7 < t < 11\) und \(19 < t < 23\) nicht möglich.

1. Um 04:30 Uhr: \(5{,}25\,\text{m}\); um 10:30 Uhr: \(3{,}75\,\text{m}\). 2. Steigend: 00:00–03:00 Uhr, 09:00–15:00 Uhr und 21:00–24:00 Uhr. Sinkend: 03:00–09:00 Uhr und 15:00–21:00 Uhr. 3. Das Boot kann nach 07:00 Uhr bis vor 11:00 Uhr sowie nach 19:00 Uhr bis vor 23:00 Uhr nicht fahren.

- Die Steigung zwischen zwei Punkten gibt an, wie schnell sich der Ladestand ändert. - Was bedeutet eine positive Steigung beim Akku, was eine negative und was eine Steigung von Null? - Nutze den Dreisatz oder eine lineare Gleichung, um vorherzusagen, wann der Wert Null erreicht wird.

1. Der Ladestand sinkt von \(100\,\%\) auf \(60\,\%\), also um \(40\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das entspricht \(20\) Prozentpunkten pro Stunde. 2. Von 10:30 bis 12:30 Uhr sinkt der Ladestand von \(90\,\%\) auf \(20\,\%\), also um \(70\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das entspricht \(35\) Prozentpunkten pro Stunde und ist die größte Verbrauchsrate. Von 10:00 bis 10:30 Uhr steigt der Ladestand; in diesem Zeitraum wurde der Akku geladen. 3. Eine plausible Erklärung ist, dass das Auto abgestellt war und der Akku in dieser Zeit nicht merklich entladen wurde. 4. Bei \(20\,\%\) Restladung und einer Verbrauchsrate von \(35\) Prozentpunkten pro Stunde beträgt die rechnerische Restzeit \(\frac{20}{35}\,\text{h} \approx 0{,}5714\,\text{h}\). Das sind etwa \(34{,}3\,\text{min}\). Auf die Minute gerundet ist der Akku gegen 14:04 Uhr leer.

1. \(20\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Zwischen 10:30 und 12:30 Uhr mit \(35\) Prozentpunkten pro Stunde. 3. Eine plausible Erklärung ist eine Pause, in der das Auto abgestellt war. 4. Rechnerisch gegen 14:04 Uhr.

- Kannst du die Fahrt in einzelne Abschnitte unterteilen und für jeden Abschnitt berechnen, wie weit die Radfahrerin gekommen ist? - Was passiert mit der zurückgelegten Entfernung während der Pause? - Überlege für Teilaufgabe 3, in welchem Zeitintervall die gesuchte Kilometerzahl liegt. - Für die Durchschnittsgeschwindigkeit musst du die gesamte Strecke durch die gesamte Zeit teilen.

1. Berechnung der Wegpunkte für die Tabelle: - 09:00 Uhr: \(0\,\text{km}\) (Start) - 10:00 Uhr: \(18\,\text{km}\) (\(1\,\text{h} \cdot 18\,\text{km/h}\)) - 11:30 Uhr: \(36\,\text{km}\) (\(18\,\text{km} + 1{,}5\,\text{h} \cdot 12\,\text{km/h}\)) - 12:00 Uhr: \(36\,\text{km}\) (Ende der Pause) - 12:30 Uhr: \(49\,\text{km}\) (\(36\,\text{km} + 0{,}5\,\text{h} \cdot 26\,\text{km/h}\)) 2. Zurückgelegte Strecke bis 11:00 Uhr: Der Zeitpunkt liegt im zweiten Abschnitt (10:00 bis 11:30 Uhr). Seit 10:00 Uhr ist eine Stunde vergangen: \(18\,\text{km} + 1\,\text{h} \cdot 12\,\text{km/h} = 30\,\text{km}\). 3. Zeitpunkt für \(24\,\text{km}\): Dieser Wert liegt zwischen \(18\,\text{km}\) und \(36\,\text{km}\) im zweiten Abschnitt. Es müssen \(24\,\text{km} - 18\,\text{km} = 6\,\text{km}\) mit \(12\,\text{km/h}\) zurückgelegt werden. Zeitbedarf: \(6 : 12 = 0{,}5\,\text{h}\) (30 Minuten). Uhrzeit: \(10:00\,\text{Uhr} + 30\,\text{min} = 10:30\,\text{Uhr}\). 4. Durchschnittsgeschwindigkeit: Gesamtweg \(49\,\text{km}\) dividiert durch die Gesamtzeit von \(3{,}5\,\text{Stunden}\) (09:00 bis 12:30 Uhr) ergibt \(14\,\text{km/h}\).

1) Tabelle: (09:00, \(0\,\text{km}\)), (10:00, \(18\,\text{km}\)), (11:30, \(36\,\text{km}\)), (12:00, \(36\,\text{km}\)), (12:30, \(49\,\text{km}\)). 2) Bis 11:00 Uhr hat sie \(30\,\text{km}\) zurückgelegt. 3) Um 10:30 Uhr hat sie \(24\,\text{km}\) zurückgelegt. 4) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(14\,\text{km/h}\).

- Um die Geschwindigkeit zu finden, teile die Änderung des Ladestands durch die Zeit. - Schau beim alten Modell, ob die Zunahme immer gleich bleibt. - Wie viele Prozentpunkte fehlen beim alten Modell noch bis zur vollen Ladung?

1. Berechnung der Ladegeschwindigkeiten (Neu): - Zeitraum \(0-20\,\text{min}\): Die Zunahme von \(5\,\%\) auf \(45\,\%\) beträgt \(40\) Prozentpunkte. Durchschnitt: \(40 : 20\,\text{min} = 2\) Prozentpunkte pro Minute. - Zeitraum \(40-60\,\text{min}\): Die Zunahme von \(72\,\%\) auf \(90\,\%\) beträgt \(18\) Prozentpunkte. Durchschnitt: \(18 : 20\,\text{min} = 0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Vergleich: Das alte Modell lädt linear (konstant \(10\) Prozentpunkte pro \(10\,\text{min}\)). Das neue Modell lädt anfangs viel schneller, wird aber mit zunehmendem Ladestand langsamer. 3. Prognose (Alt): Das alte Modell gewinnt \(1\) Prozentpunkt pro Minute. Es fehlen noch \(100\,\% - 65\,\% = 35\) Prozentpunkte. Das dauert \(35\,\text{min}\). Gesamtzeit: \(60 + 35 = 95\,\text{min}\). 4. Interpretation: Technische Gründe (Schutz des Akkus vor Überhitzung/Überladung bei hoher Zellspannung).

a) \(0-20\,\text{min}\): \(2\) Prozentpunkte pro Minute; \(40-60\,\text{min}\): \(0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. b) Das alte Modell lädt gleichmäßig (linear), das neue Modell lädt anfangs schnell und dann immer langsamer. c) Nach insgesamt \(95\,\text{min}\). d) Um den Akku zu schonen und Hitze zu vermeiden, wird der Ladestrom bei fast vollem Akku reduziert.

- Rechne zuerst aus, um wie viele Prozentpunkte der Akkuladestand in einer Stunde sinkt. Bleibt dieser Wert zwischen allen Messpunkten gleich? - Wie viele Stunden sind von 10:00 Uhr bis 16:30 Uhr vergangen? - Wenn du weißt, wie viel der Akku pro Stunde verliert, kannst du ausrechnen, wie lange die verbleibende Akkuladung noch reicht. - Ein Term hilft dir, beliebige Zeiten einzusetzen. Was ist der Startwert und was wird abgezogen?

1. Durchschnittlicher Verbrauch (a): Von 10:00 bis 12:00 Uhr (2 h): \(100 - 84 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 12:00 bis 14:00 Uhr (2 h): \(84 - 68 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 14:00 bis 15:00 Uhr (1 h): \(68 - 60 = 8\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 15:00 bis 18:00 Uhr (3 h): \(60 - 36 = 24\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Der Verbrauch ist über den gesamten Zeitraum konstant. 2. Ladestand um 16:30 Uhr (b): Von 10:00 bis 16:30 Uhr sind \(6{,}5\,\text{Stunden}\) vergangen. Einsetzen ergibt \(100 - 8 \cdot 6{,}5 = 48\). Der Ladestand beträgt \(48\,\%\). 3. Zeitpunkt für \(0\,\%\) (c): \(100 - 8 \cdot x = 0 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12{,}5\). \(12{,}5\,\text{Stunden}\) nach 10:00 Uhr ist 22:30 Uhr. 4. Funktionsterm (d): Mit dem Startwert \(100\) und einer Abnahme von \(8\) Prozentpunkten pro Stunde gilt \(y = 100 - 8 \cdot x\).

a) Der Verbrauch ist konstant und beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Um 16:30 Uhr beträgt der Ladestand \(48\,\%\). c) Der Akku wird um 22:30 Uhr leer sein. d) Der Term lautet \(y = 100 - 8 \cdot x\).

- Überlege dir für jede Höhe, wie viel Platz (Fläche) das Wasser dort hat, um sich auszubreiten. - Was bedeutet eine "steile" Kurve im Graphen für die Geschwindigkeit des Anstiegs? - Stell dir vor, du füllst das Gefäß schichtweise: Sind die Schichten bei gleicher Wassermenge oben dicker oder dünner als unten?

1. Analyse der Form: Da das Gefäß oben weiter wird, vergrößert sich die Querschnittsfläche mit zunehmender Höhe. 2. Schlussfolgerung für die Geschwindigkeit: Bei konstantem Zufluss muss sich das Wasser auf eine immer größere Fläche verteilen. Die Füllhöhe steigt also anfangs schnell und dann immer langsamer. 3. Graphverlauf: Da die Steiggeschwindigkeit abnimmt, wird die Steigung des Graphen mit der Zeit kleiner. Die Kurve verläuft immer flacher (degressiver Anstieg). 4. Veränderung bei Verengung: Wenn das Gefäß oben schmaler wird, verringert sich die Querschnittsfläche wieder. Das Wasser steigt in diesem Bereich wieder schneller an, der Graph wird also wieder steiler.

a) Die Füllhöhe steigt immer langsamer an, da die Querschnittsfläche nach oben hin zunimmt und sich das Wasser auf mehr Raum verteilen muss. b) Die Kurve im Graphen wird immer flacher. c) Der Graph würde im oberen Bereich wieder steiler werden, da das Wasser bei geringerer Fläche schneller in die Höhe steigt.

- Wie stark ändert sich die Temperatur, wenn man \(100\) Meter höher steigt? - Überlege dir, wie viel kälter es im Vergleich zur Messung auf \(600\,\text{m}\) wird. - Glaubst du, dass die Natur sich immer exakt an eine gerade Linie hält, egal wie hoch man geht?

1. Berechnung des Temperaturabfalls pro Meter: Die Höhendifferenz beträgt \(1\,400\,\text{m} - 600\,\text{m} = 800\,\text{m}\). Der Temperaturunterschied beträgt \(11{,}2\,^\circ\text{C} - 16\,^\circ\text{C} = -4{,}8\,^\circ\text{C}\). Die Rate ist \(-4{,}8 : 800 = -0{,}006\,^\circ\text{C/m}\) (bzw. \(0{,}6\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\)). 2. Berechnung für \(2\,500\,\text{m}\) (a): Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(1\,900\,\text{m}\). Abnahme: \(1\,900 \cdot (-0{,}006) = -11{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16 - 11{,}4 = 4{,}6\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung für \(12\,000\,\text{m}\) (b): Differenz zu \(600\,\text{m}\) ist \(11\,400\,\text{m}\). Abnahme: \(11\,400 \cdot (-0{,}006) = -68{,}4\,^\circ\text{C}\). Endtemperatur: \(16 - 68{,}4 = -52{,}4\,^\circ\text{C}\). 4. Begründung (c): Das Modell nimmt an, dass die Bedingungen in der Atmosphäre überall gleich sind. In der Realität gibt es verschiedene Luftschichten (wie die Stratosphäre), in denen sich das Temperaturverhalten ändert, sowie physikalische Grenzen (absoluter Nullpunkt) und Wettereffekte, die das lineare Modell ungenau machen.

a) Auf \(2\,500\,\text{m}\) Höhe beträgt die Temperatur voraussichtlich \(4{,}6\,^\circ\text{C}\). b) Das Modell sagt für \(12\,000\,\text{m}\) eine Temperatur von \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\) voraus. c) Lineare Modelle sind oft nur in einem begrenzten Bereich gültig. In extremen Höhen ändern sich die atmosphärischen Bedingungen (z. B. Übergang zur Stratosphäre), sodass die konstante Abnahmerate nicht mehr stimmt.

- Untersuche für jedes Gewicht alle möglichen Kombinationen der Pakete. - Was bedeutet Proportionalität für das Verhältnis von Preis zu Gewicht? - Achte darauf, dass du das Gewicht exakt triffst.

1. Berechnung der Kosten für \(7\,\text{kg}\): Kombinationen für Minimum: \(1 \cdot 5\,\text{kg} + 1 \cdot 2\,\text{kg} = 10{,}00 + 5{,}00 = 15{,}00\,\text{€}\). Kombinationen für Maximum: \(7 \cdot 1\,\text{kg} = 7 \cdot 3{,}00 = 21{,}00\,\text{€}\). 2. Bestimmung der minimalen Kosten für die Tabelle: \(1\,\text{kg}\): \(1 \cdot 1\,\text{kg} = 3{,}00\,\text{€}\). \(2\,\text{kg}\): \(1 \cdot 2\,\text{kg} = 5{,}00\,\text{€}\) (billiger als \(2 \cdot 1\,\text{kg} = 6{,}00\,\text{€}\)). \(3\,\text{kg}\): \(1 \cdot 2\,\text{kg} + 1 \cdot 1\,\text{kg} = 5{,}00 + 3{,}00 = 8{,}00\,\text{€}\). \(4\,\text{kg}\): \(2 \cdot 2\,\text{kg} = 10{,}00\,\text{€}\). \(5\,\text{kg}\): \(1 \cdot 5\,\text{kg} = 10{,}00\,\text{€}\). \(6\,\text{kg}\): \(1 \cdot 5\,\text{kg} + 1 \cdot 1\,\text{kg} = 13{,}00\,\text{€}\). 3. Analyse der Proportionalität: Die Zuordnung ist nicht proportional. Ein Kriterium für Proportionalität ist die Quotientengleichheit (\(y/x = \text{konstant}\)). Hier ist zum Beispiel \(3/1 = 3\), aber \(5/2 = 2{,}5\). Zudem kosten \(4\,\text{kg}\) und \(5\,\text{kg}\) beide minimal \(10{,}00\,\text{€}\), was bei einer Proportionalität unmöglich wäre.

a) Minimum: \(15{,}00\,\text{€}\). Maximum: \(21{,}00\,\text{€}\). b) Werte: \(3{,}00\); \(5{,}00\); \(8{,}00\); \(10{,}00\); \(10{,}00\); \(13{,}00\). c) Die Zuordnung ist nicht proportional, da das Verhältnis von Kosten zu Gewicht nicht konstant ist (z. B. \(4\,\text{kg}\) und \(5\,\text{kg}\) kosten gleich viel).

- Erinnere dich an die Volumenformel eines Zylinders: \(V = G \cdot h\). - Was bedeutet eine konstante Zuflussrate für die Zunahme des Volumens? - Wie wirkt sich eine kleinere Grundfläche auf die Geschwindigkeit aus, mit der die Höhe wächst?

1. Berechnung der Steigrate: Das Volumen \(V\) berechnet sich aus \(G \cdot h\). Da \(500\,\text{ml} = 500\,\text{cm}^3\), gilt \(500 = 200 \cdot h\). Daraus folgt \(h = 2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. 2. Funktionsgleichung: \(h(t) = 2{,}5 \cdot t\). 3. Vergleich der Gefäße: Bei \(G = 100\,\text{cm}^2\) gilt \(500 = 100 \cdot h\), also \(h = 5\,\text{cm}\) pro Minute. Die Steigung des Graphen verdoppelt sich, der Graph verläuft also steiler. 4. Zusammengesetztes Gefäß: - Unterer Teil (\(0\) bis \(10\,\text{cm}\)): Steigung \(2{,}5\,\text{cm/min}\). Die Höhe von \(10\,\text{cm}\) wird nach \(10 : 2{,}5 = 4\,\text{min}\) erreicht. - Oberer Teil (\(10\) bis \(20\,\text{cm}\)): Ab \(t = 4\) steigt das Wasser schneller mit \(5\,\text{cm/min}\). - Nach \(4\) Minuten erreicht das Wasser den schmaleren Teil, wodurch der Wasserspiegel doppelt so schnell steigt wie zuvor. Der Graph hat an dieser Stelle einen Knick nach oben.

a) Der Wasserspiegel steigt um \(2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. b) \(h(t) = 2{,}5 \cdot t\). c) Die Steigung verdoppelt sich auf \(5\,\text{cm/min}\). Der Graph ist steiler. d) Nach \(4\) Minuten ist der untere Teil voll. Da der obere Teil schmaler ist, steigt der Wasserspiegel ab diesem Zeitpunkt schneller an (Knick im Graphen).

- Berechne erst die Gesamtkosten für die verschiedenen Mengen, indem du die Anzahl mit dem jeweiligen Stückpreis multiplizierst. - Vergleiche die Kosten für 9 und 11 Shirts direkt miteinander. Welcher Wert ist kleiner? - Erinnere dich an die Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung: Was müsste mit dem Preis passieren, wenn sich die Anzahl der Shirts verdoppelt? - Wie sieht eine Linie aus, wenn der Preis pro Stück plötzlich sinkt?

1. Preis für 10 Shirts berechnen: \(10 \cdot 15{,}00\,\text{€} = 150{,}00\,\text{€}\). 2. Preis für 11 Shirts berechnen: \(11 \cdot 12{,}00\,\text{€} = 132{,}00\,\text{€}\). 3. Vergleich ziehen: 11 Shirts sind insgesamt \(18{,}00\,\text{€}\) günstiger als 10 Shirts, obwohl man mehr Ware erhält. 4. Kosten für 9 Shirts berechnen: \(9 \cdot 15{,}00\,\text{€} = 135{,}00\,\text{€}\). 5. Da der Preis für 11 Shirts (\(132{,}00\,\text{€}\)) niedriger ist als für 9 Shirts (\(135{,}00\,\text{€}\)), spart der Kunde \(3{,}00\,\text{€}\), wenn er mehr bestellt als benötigt. 6. Graphen skizzieren: Der Graph steigt bis \(x=10\) linear an, fällt bei \(x=11\) sprungartig ab und steigt danach wieder linear (aber flacher) an. 7. Begründung zur Proportionalität: Eine proportionale Funktion müsste eine durchgehende Gerade durch den Ursprung sein. Hier ändert sich jedoch der Proportionalitätsfaktor (Stückpreis) an der Schwelle, und der Graph weist einen Sprung auf.

a) 10 Shirts kosten \(150{,}00\,\text{€}\), 11 Shirts kosten \(132{,}00\,\text{€}\). Es ist günstiger, 11 Shirts zu kaufen als 10. b) 9 Shirts kosten \(135{,}00\,\text{€}\). Da 11 Shirts nur \(132{,}00\,\text{€}\) kosten, spart man \(3{,}00\,\text{€}\), wenn man 11 statt 9 Stück bestellt. c) Der Graph ist keine Ursprungsgerade, da er bei 11 Stück einen „Sprung“ nach unten macht und die Steigung (der Preis pro Stück) sich ändert.

- Suche systematisch nach allen Möglichkeiten, wie man die Zahlen 200, 300 und 500 addieren kann, um auf 1000 zu kommen. - Achte in der Tabelle darauf, ob es für eine Menge mehrere Möglichkeiten gibt und wähle die billigste. - Um Preise vergleichbar zu machen, hilft es oft, sie auf eine gemeinsame Menge (wie \(100\,\text{ml}\)) umzurechnen.

1. Kombinationen für \(1000\,\text{ml}\): - \(5 \cdot 200\,\text{ml} = 5 \cdot 2{,}20\,\text{€} = 11{,}00\,\text{€}\) - \(2 \cdot 500\,\text{ml} = 2 \cdot 4{,}50\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\) - \(1 \cdot 500\,\text{ml} + 1 \cdot 300\,\text{ml} + 1 \cdot 200\,\text{ml} = 4{,}50 + 3{,}00 + 2{,}20 = 9{,}70\,\text{€}\) - \(2 \cdot 300\,\text{ml} + 2 \cdot 200\,\text{ml} = 2 \cdot 3{,}00 + 2 \cdot 2{,}20 = 10{,}40\,\text{€}\) Minimaler Preis: \(9{,}00\,\text{€}\); maximaler Preis: \(11{,}00\,\text{€}\). 2. Tabelle der günstigsten Preise: - \(200\,\text{ml}\): \(2{,}20\,\text{€}\) - \(300\,\text{ml}\): \(3{,}00\,\text{€}\) - \(400\,\text{ml}\): \(2 \cdot 200\,\text{ml} \to 4{,}40\,\text{€}\) - \(500\,\text{ml}\): \(1 \cdot 500\,\text{ml} \to 4{,}50\,\text{€}\) (günstiger als \(200+300=5{,}20\,\text{€}\)) - \(600\,\text{ml}\): \(2 \cdot 300\,\text{ml} \to 6{,}00\,\text{€}\) - \(700\,\text{ml}\): \(500+200 \to 6{,}70\,\text{€}\) - \(800\,\text{ml}\): \(500+300 \to 7{,}50\,\text{€}\) - \(900\,\text{ml}\): \(500+2 \cdot 200 \to 8{,}90\,\text{€}\) - \(1000\,\text{ml}\): \(2 \cdot 500 \to 9{,}00\,\text{€}\) (Hinweis: \(100\,\text{ml}\) ist nicht möglich). 3. Preis pro \(100\,\text{ml}\): - Klein: \(2{,}20\,\text{€} : 2 = 1{,}10\,\text{€}\) - Mittel: \(3{,}00\,\text{€} : 3 = 1{,}00\,\text{€}\) - Groß: \(4{,}50\,\text{€} : 5 = 0{,}90\,\text{€}\) Der große Becher ist am wirtschaftlichsten.

a) Mögliche Preise für \(1\,\text{l}\): \(9{,}00\,\text{€}\), \(9{,}70\,\text{€}\), \(10{,}40\,\text{€}\), \(11{,}00\,\text{€}\). Minimum: \(9{,}00\,\text{€}\), Maximum: \(11{,}00\,\text{€}\). b) Günstigste Preise: \(200\,\text{ml}\): \(2{,}20\,\text{€}\); \(300\,\text{ml}\): \(3{,}00\,\text{€}\); \(400\,\text{ml}\): \(4{,}40\,\text{€}\); \(500\,\text{ml}\): \(4{,}50\,\text{€}\); \(600\,\text{ml}\): \(6{,}00\,\text{€}\); \(700\,\text{ml}\): \(6{,}70\,\text{€}\); \(800\,\text{ml}\): \(7{,}50\,\text{€}\); \(900\,\text{ml}\): \(8{,}90\,\text{€}\); \(1000\,\text{ml}\): \(9{,}00\,\text{€}\). (\(100\,\text{ml}\) nicht möglich). c) Der große Becher (\(500\,\text{ml}\)) ist mit \(0{,}90\,\text{€}\) pro \(100\,\text{ml}\) am günstigsten.

- Rechne zuerst die Milliliter pro Sekunde in Liter pro Minute um. - Wie viele Minuten hat ein ganzer Tag? - Stelle eine einfache Rechnung auf, um zu sehen, wie oft die Tageskosten in den Preis des Ersatzteils passen.

1. Verlust pro Minute: \(50\,\text{ml/s}\cdot 60\,\text{s}=3\,000\,\text{ml/min}=3\,\text{l/min}\). 2. Ein Tag hat \(1\,440\) Minuten. Der Tagesverlust beträgt \(3\cdot 1\,440=4\,320\,\text{l}=4{,}32\,\text{m}^3\). 3. Exakte Tageskosten: \(4{,}32\cdot 2{,}10=9{,}072\) Euro, als Geldbetrag gerundet \(9{,}07\,\text{€}\). 4. Nach zwei Tagen betragen die exakten Kosten \(2\cdot 9{,}072=18{,}144\) Euro und liegen noch unter \(18{,}50\,\text{€}\). Nach drei Tagen betragen sie \(27{,}216\) Euro und liegen darüber.

a) \(4\,320\,\text{Liter}\) pro Tag b) \(9{,}07\,\text{€}\) pro Tag (auf Cent gerundet) c) Nach \(3\) vollen Tagen

- Wie lange ist Lukas insgesamt unterwegs, bis Jan ihn einholt? - Welche Strecke legt Lukas in dieser Zeit zurück? - Jan muss dieselbe Strecke in viel kürzerer Zeit zurücklegen. Wie schnell muss er dafür sein? - Überlege, wie schnell ein Mensch normalerweise rennen kann.

1. Bestimmung der Zeit, die Lukas bis zum Einholen unterwegs ist: \(12\,\text{min} + 2\,\text{min} = 14\,\text{min}\). 2. Umrechnung der Zeit in Stunden: \(14\,\text{min} = \frac{14}{60}\,\text{h} \approx 0{,}233\,\text{h}\). 3. Berechnung der von Lukas zurückgelegten Strecke: \(s = v \cdot t = 5\,\text{km/h} \cdot \frac{14}{60}\,\text{h} = \frac{70}{60}\,\text{km} \approx 1{,}167\,\text{km}\). 4. Bestimmung der Zeit, die Jan zum Laufen hat: \(2\,\text{min} = \frac{2}{60}\,\text{h} = \frac{1}{30}\,\text{h}\). 5. Berechnung der benötigten Geschwindigkeit für Jan: \(v_J = \frac{s}{t_J} = \frac{1{,}167\,\text{km}}{1/30\,\text{h}} = 35\,\text{km/h}\). 6. Bewertung: Eine Sprintgeschwindigkeit von \(35\,\text{km/h}\) ist für einen Schüler extrem hoch (nahe am Weltklasseniveau von Sprintern) und über eine Strecke von über einem Kilometer unrealistisch.

Die Situation ist unrealistisch. Um Lukas nach seinem Vorsprung in nur \(2\,\text{Minuten}\) einzuholen, müsste Jan eine Geschwindigkeit von \(35\,\text{km/h}\) erreichen. Das entspricht fast dem Tempo von Profi-Sprintern und ist für einen normalen Schüler über diese Distanz nicht machbar.

- Was passiert mit dem Ergebnis der Rechnung, wenn du die Zuflussrate änderst? - Wie hängen Zeit und Volumen bei einer konstanten Rate zusammen? - Achte auf die Einheiten, falls du Zeitangaben in Stunden und Minuten umrechnen möchtest.

1. Berechnung für \(t = 4{,}5\): \(V(4{,}5) = 12 \cdot 4{,}5 = 54\). Nach \(4{,}5\,\text{h}\) befinden sich \(54\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. 2. Volle Füllung berechnen: \(150 = 12t \Rightarrow t = \frac{150}{12} = 12{,}5\). Die Füllung dauert \(12{,}5\,\text{h}\). 3. Neue Funktionsgleichung: Da die Rate verdoppelt wird, ist die neue Steigung \(12 \cdot 2 = 24\). Die Gleichung lautet \(V_{neu}(t) = 24t\). 4. Neue Füllzeit: \(150 = 24t \Rightarrow t = \frac{150}{24} = 6{,}25\). Die Füllung dauert nun \(6{,}25\,\text{h}\). 5. Zeitersparnis berechnen: \(12{,}5\,\text{h} - 6{,}25\,\text{h} = 6{,}25\,\text{h}\). Man spart \(6{,}25\) Stunden (bzw. \(6\) Stunden und \(15\) Minuten).

a) Nach \(4{,}5\) Stunden sind \(54\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. b) Die vollständige Füllung dauert \(12{,}5\) Stunden. c) Die neue Gleichung ist \(V(t) = 24t\). Die Füllung dauert dann nur noch \(6{,}25\) Stunden, man spart also \(6{,}25\) Stunden.

- Achte auf das Minuszeichen in der Funktion – was bedeutet das für die Bewegung? - Wenn eine bestimmte Höhe gesucht ist, musst du die Gleichung nach \(t\) umstellen. - "Das Tal erreichen" bedeutet mathematisch, dass die Höhe Null wird. - Für den Vergleich musst du für beide Personen die Zeit berechnen, die sie bis zur Höhe \(0\,\text{m}\) benötigen.

1. Höhe nach \(2{,}5\,\text{h}\): \(h(2{,}5) = 1500 - 240 \cdot 2{,}5 = 1500 - 600 = 900\). Er befindet sich auf \(900\,\text{m}\). 2. Zeit für \(660\,\text{m}\): \(660 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 840 \Rightarrow t = 3{,}5\). Er benötigt \(3{,}5\,\text{Stunden}\). 3. Talankunft und Wertebereich: \(0 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 1500 \Rightarrow t = 6{,}25\). Er erreicht das Tal nach \(6\,\text{Stunden}\) und \(15\,\text{Minuten}\). Der Wertebereich ist \(W = [0; 1500]\), da er auf \(1500\,\text{m}\) startet und bei \(0\,\text{m}\) endet. 4. Vergleich: Wanderer 2 wird beschrieben durch \(g(t) = 1200 - 180t\). Nullstelle: \(0 = 1200 - 180t \Rightarrow 180t = 1200 \Rightarrow t = \frac{1200}{180} \approx 6{,}67\). Da \(6{,}25 < 6{,}67\), erreicht der erste Wanderer das Tal trotz der größeren Starthöhe früher.

a) \(900\,\text{m}\). b) Nach \(3{,}5\,\text{Stunden}\). c) Talankunft nach \(6{,}25\,\text{Stunden}\) (\(6\,\text{h}\) \(15\,\text{min}\)). Wertebereich: \([0; 1500]\) in Metern. d) Der erste Wanderer erreicht das Tal zuerst (\(6{,}25\,\text{h}\) vs. ca. \(6{,}67\,\text{h}\)).

- Stell dir die Kilometer und die Kosten als Punkte in einem Koordinatensystem vor. - Wie viel teurer wird die Fahrt, wenn man eine bestimmte Anzahl an Kilometern mehr fährt? - Was bleibt von den Kosten übrig, wenn man den fahrtabhängigen Teil vom Gesamtpreis abzieht?

1. Berechnung der Steigung \(m\) (Kosten pro km): \(m = \frac{K_2 - K_1}{s_2 - s_1} = \frac{32 - 17}{25 - 10} = \frac{15}{15} = 1\). Der Preis beträgt \(1{,}00\,\text{€/km}\). 2. Berechnung des y-Achsenabschnitts \(b\) (Grundgebühr): Einsetzen eines Punktes in \(K(s) = m \cdot s + b\), zum Beispiel \((10; 17)\): \(17 = 1 \cdot 10 + b \Rightarrow 17 = 10 + b \Rightarrow b = 7\). Die Grundgebühr beträgt \(7{,}00\,\text{€}\). 3. Funktionsgleichung: \(K(s) = 1 \cdot s + 7\) (oder \(K(s) = s + 7\)). 4. Kosten für \(40\,\text{km}\): \(K(40) = 1 \cdot 40 + 7 = 47\). Eine Fahrt über \(40\,\text{km}\) kostet \(47{,}00\,\text{€}\).

a) \(K(s) = 1 \cdot s + 7\) (mit \(K\) in € und \(s\) in km) b) Die Grundgebühr beträgt \(7{,}00\,\text{€}\). c) Eine Lieferung über \(40\,\text{km}\) kostet \(47{,}00\,\text{€}\).

- Achte auf das Vorzeichen der Steigung, wenn etwas weniger wird. - Wie viel \(\text{cm}\) sind die Hälfte von \(25\,\text{cm}\)? - Wie rechnet man Dezimalstunden in Minuten um? - Denk bei der Pyramide an die Dicke der Kerze an verschiedenen Stellen. Wird oben in einer Stunde mehr oder weniger Höhe weggenommen als unten, wenn das gleiche Volumen schmilzt?

1. Die Kerze verliert pro Stunde \(1{,}2\,\text{cm}\), also ist die Steigung \(m = -1{,}2\). Die Anfangshöhe ist \(b = 25\). Die Funktion lautet \(h(t) = -1{,}2 \cdot t + 25\). 2. Die halbe Höhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). Setze \(12{,}5 = -1{,}2 \cdot t + 25\). Subtraktion von \(25\) ergibt \(-12{,}5 = -1{,}2 \cdot t\). Division durch \(-1{,}2\) ergibt \(t \approx 10{,}4167\,\text{h}\). 3. Umrechnung: \(10\,\text{Stunden}\) und \(0{,}4167 \cdot 60\,\text{Minuten} = 25\,\text{Minuten}\). 4. Bei einer Pyramidenform ist die Querschnittsfläche oben kleiner als unten. Wenn pro Stunde das gleiche Volumen an Wachs verbrennt, muss die Höhe bei einer kleineren Fläche schneller abnehmen als bei einer größeren Fläche. Da sich die Querschnittsfläche kontinuierlich ändert, ändert sich auch die Geschwindigkeit, mit der die Höhe abnimmt. Eine nicht konstante Änderungsrate bedeutet, dass die Funktion nicht linear ist.

a) \(h(t) = -1{,}2 \cdot t + 25\) b) Nach \(10\,\text{Stunden}\) und \(25\,\text{Minuten}\). c) Da die Kerze oben dünner ist, sinkt die Höhe dort bei gleichem Wachsverbrauch schneller als im dickeren unteren Teil. Die Änderungsrate der Höhe ist also nicht konstant.

- Wie viel Liter fließen in einer einzigen Minute in das Becken? - Wie viel Wasser muss insgesamt noch hinzugefügt werden, um das Maximum zu erreichen? - Überlege, was die Steigung in diesem Sachzusammenhang bedeutet. Wenn weniger Wasser pro Zeit fließt, wird die Gerade dann steiler oder flacher? - Wie hängen Zuflussgeschwindigkeit und Zeitdauer bei gleicher Menge zusammen?

1. Berechnung der Zuflussrate: \(150\,\text{l} : 20\,\text{min} = 7{,}5\,\text{l/min}\). 2. Funktionsgleichung: Mit dem Startwert \(200\,\text{l}\) ergibt sich \(V(t) = 7{,}5t + 200\). 3. Berechnung der Fülldauer: Das Becken ist voll, wenn \(V(t) = 1200\). \(1200 = 7{,}5t + 200 \Rightarrow 1000 = 7{,}5t \Rightarrow t = \frac{1000}{7{,}5} = 133\frac{1}{3}\,\text{Minuten}\). 4. Umrechnung: \(133\frac{1}{3}\,\text{Minuten} = 2\,\text{Stunden}\) (\(120\,\text{min}\)) und \(13\frac{1}{3}\,\text{Minuten}\) (\(13\,\text{min } 20\,\text{s}\)). 5. Analyse der Änderung: Wenn sich der Zufluss halbiert, halbiert sich die Steigung der Geraden (\(m = 3{,}75\)). Da die zu füllende Differenz (\(1000\,\text{l}\)) gleich bleibt, verdoppelt sich die benötigte Zeit auf \(266\frac{2}{3}\,\text{Minuten}\).

a) Zuflussrate: \(7{,}5\,\text{l/min}\); Funktionsgleichung: \(V(t) = 7{,}5t + 200\). b) Das Becken ist nach \(2\,\text{Stunden}\), \(13\,\text{Minuten}\) und \(20\,\text{Sekunden}\) voll. c) Die Steigung des Graphen würde sich halbieren (der Graph wird flacher). Die benötigte Zeit bis zur vollständigen Füllung würde sich verdoppeln.

- Wie viel steigt der Wasserspiegel in einer einzigen Stunde? - Wenn du die Änderung pro Stunde kennst, kannst du dann ausrechnen, wie lange es gedauert hat, um auf \(40\,\text{cm}\) zu kommen? - Achte auf die Einheiten: \(1{,}60\,\text{m}\) sind wie viele Zentimeter? - Wie viel Platz ist ab \(100\,\text{cm}\) noch bis zum Rand?

1. Berechnung der Füllrate: Zeitdifferenz \(\Delta t = 15:00 - 13:00 = 2\,\text{h}\). Höhendifferenz \(\Delta h = 100\,\text{cm} - 40\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). Füllrate \(m = \frac{60\,\text{cm}}{2\,\text{h}} = 30\,\text{cm/h}\). Die Rate entspricht der Steigung der Geraden. 2. Zeitpunkt "Pool leer" (\(h = 0\)): Von \(13:00\,\text{Uhr}\) (\(40\,\text{cm}\)) muss man rückwärts rechnen: \(t = \frac{40\,\text{cm}}{30\,\text{cm/h}} = \frac{4}{3}\,\text{h} = 1\,\text{h}\) und \(20\,\text{Minuten}\). 3. Uhrzeit berechnen: \(13:00\,\text{Uhr} - 1\,\text{h } 20\,\text{min} = 11:40\,\text{Uhr}\). 4. Zeitpunkt "Pool voll" (\(h = 160\,\text{cm}\)): Von \(15:00\,\text{Uhr}\) (\(100\,\text{cm}\)) fehlen noch \(60\,\text{cm}\). 5. Zeitdauer berechnen: \(\frac{60\,\text{cm}}{30\,\text{cm/h}} = 2\,\text{h}\). 6. Uhrzeit berechnen: \(15:00\,\text{Uhr} + 2\,\text{h} = 17:00\,\text{Uhr}\).

a) Die Füllrate beträgt \(30\,\text{cm/h}\). Sie entspricht der Steigung des Funktionsgraphen. b) Der Pool war um \(11:40\,\text{Uhr}\) leer. c) Der Pool ist um \(17:00\,\text{Uhr}\) vollständig gefüllt und beginnt dann überzulaufen.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Kannst du die textlichen Informationen direkt in die Form \(m \cdot t + b\) übersetzen? - Achte darauf, welche Zahl für die Geschwindigkeit und welche für den Startwert steht. - Setze für den Vergleich den Wert \(10\) in alle deine Formeln ein.

1. Aufstellen der Gleichungen: Flüssigkeit 1: Gegeben als \(T_1(t) = 4t + 20\). Flüssigkeit 2: Startwert \(b=15\), Steigung \(m=5\). Also \(T_2(t) = 5t + 15\). Flüssigkeit 3: Steigung \(m = \frac{35 - 26}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3\). Einsetzen eines Punktes: \(26 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow 26 = 6 + b \Rightarrow b = 20\). Also \(T_3(t) = 3t + 20\). 2. Vergleich der Anfangstemperaturen (\(b\)-Werte): Flüssigkeit 1 (\(20\,^\circ\text{C}\)) und Flüssigkeit 3 (\(20\,^\circ\text{C}\)) liegen gemeinsam vorn. 3. Vergleich der Erwärmungsraten (\(m\)-Werte): Flüssigkeit 2 erwärmt sich mit \(5\,^\circ\text{C/min}\) am schnellsten. 4. Berechnung für \(t=10\): \(T_1(10) = 4 \cdot 10 + 20 = 60\,^\circ\text{C}\). \(T_2(10) = 5 \cdot 10 + 15 = 65\,^\circ\text{C}\). \(T_3(10) = 3 \cdot 10 + 20 = 50\,^\circ\text{C}\).

a) \(T_1(t) = 4t + 20\); \(T_2(t) = 5t + 15\); \(T_3(t) = 3t + 20\). b) Flüssigkeit 1 und 3 haben mit \(20\,^\circ\text{C}\) die höchste Anfangstemperatur. c) Flüssigkeit 2 erwärmt sich am schnellsten (\(5\,^\circ\text{C/min}\)). d) Nach \(10\,\text{Minuten}\): Flüssigkeit 1: \(60\,^\circ\text{C}\), Flüssigkeit 2: \(65\,^\circ\text{C}\), Flüssigkeit 3: \(50\,^\circ\text{C}\).

- Wie viel Grad sinkt die Temperatur pro einzelnem Meter? - Achte darauf, dass die Höhe \(h\) die absolute Höhe über dem Meeresspiegel ist, dein Startpunkt aber bei \(500\,\text{m}\) liegt. - Was müsste gelten, damit eine Zuordnung proportional ist? Schau dir den Wert bei \(0\,\text{m}\) an.

1. Funktionsgleichung herleiten: Die Temperatur sinkt um \(0{,}5\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\), also um \(0{,}005\,^\circ\text{C}\) pro Meter. Mit dem Punkt \((500 | 18)\) ergibt sich die Form \(T(h) = T_0 - 0{,}005 \cdot h\). Einsetzen: \(18 = T_0 - 0{,}005 \cdot 500 \Rightarrow 18 = T_0 - 2{,}5 \Rightarrow T_0 = 20{,}5\). Die Gleichung lautet \(T(h) = 20{,}5 - 0{,}005 \cdot h\). 2. Berechnung für Gipfel (\(h = 2500\)): \(T(2500) = 20{,}5 - 0{,}005 \cdot 2500 = 20{,}5 - 12{,}5 = 8\). Auf dem Gipfel sind es \(8\,^\circ\text{C}\). 3. Nullgradgrenze berechnen: Setze \(0 = 20{,}5 - 0{,}005 \cdot h\). Umformen ergibt \(0{,}005 \cdot h = 20{,}5 \Rightarrow h = \frac{20{,}5}{0{,}005} = 4100\). Die Grenze liegt bei \(4100\,\text{m}\). 4. Beurteilung der Proportionalität: Eine proportionale Funktion müsste bei \(h=0\) den Wert \(T=0\) haben. Da die Temperatur bei \(0\,\text{m}\) jedoch \(20{,}5\,^\circ\text{C}\) beträgt (der \(y\)-Achsenabschnitt ist nicht Null), ist die Aussage falsch.

a) \(T(h) = 20{,}5 - 0{,}005 \cdot h\) b) Auf dem Gipfel sind es \(8\,^\circ\text{C}\). c) Die Nullgradgrenze liegt in \(4\,100\,\text{m}\) Höhe. d) Die Aussage ist falsch. Eine proportionale Funktion muss durch den Punkt \((0|0)\) verlaufen. Hier ist die Temperatur bei \(0\,\text{m}\) jedoch \(20{,}5\,^\circ\text{C}\).

- Drücke die Zeiten für beide Teilstrecken mithilfe der Variablen für die Geschwindigkeit aus. - Addiere die Brüche für die Zeit, indem du den gemeinsamen Nenner nutzt. - Nutze die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit (Gesamtweg durch Gesamtzeit) und vereinfache den Doppelbruch.

1. Aufstellen der Zeit-Terme: \(t_1 = \frac{12}{v_1}\) und \(t_2 = \frac{12}{1{,}5 \cdot v_1} = \frac{8}{v_1}\). 2. Gesamtdauer: \(t_{ges} = t_1 + t_2 = \frac{12}{v_1} + \frac{8}{v_1} = \frac{20}{v_1}\). 3. Herleitung von \(v_g\): \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} = \frac{24}{\frac{20}{v_1}} = \frac{24 \cdot v_1}{20} = 1{,}2 \cdot v_1\). 4. Berechnung von \(v_1\): \(54 = 1{,}2 \cdot v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{54}{1{,}2} = 45\,\text{km/h}\).

a) \(t_{ges} = \frac{20}{v_1}\) b) Durch Einsetzen in \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}}\) erhält man \(v_g = \frac{24}{20/v_1} = 1{,}2 \cdot v_1\). c) \(v_1 = 45\,\text{km/h}\)

- Was bedeutet die Steigung in diesem Kontext? Ist sie positiv oder negativ? - Stelle für die zweite Phase die Geradengleichung sorgfältig auf. Beachte, dass diese Phase erst bei Minute 40 startet. - Für Teilaufgabe d) kannst du die verbleibende Ladung durch den Verlust pro Minute teilen. - Überlege genau, was mit "weiteren Minuten" in Teil d) gemeint ist.

1. Punkte definieren: \(A(0|10)\), \(B(40|90)\), \(C(60|60)\). 2. Funktionsgleichungen aufstellen: - Laden (\(0 \le x \le 40\)): Steigung \(m_1 = \frac{90-10}{40} = 2\). Gleichung: \(y = 2x + 10\). - Nutzen (\(40 \le x \le 60\)): Steigung \(m_2 = \frac{60-90}{60-40} = -1{,}5\). Gleichung: \(y = 90 - 1{,}5(x - 40)\) bzw. \(y = -1{,}5x + 150\). 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: Ladegeschwindigkeit \(2\) Prozentpunkte pro Minute, Entladegeschwindigkeit \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. Differenz: \(0{,}5\,\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Berechnung für \(y = 75\): - Laden: \(75 = 2x + 10 \implies 2x = 65 \implies x = 32{,}5\,\text{min}\). - Nutzen: \(75 = -1{,}5x + 150 \implies 1{,}5x = 75 \implies x = 50\,\text{min}\). 5. Restlaufzeit: Aktuelle Ladung \(60\,\%\), Entladerate \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. \(60 : 1{,}5 = 40\). Nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) ist der Akku leer.

a) Laden: \(y = 2x + 10\); Nutzen: \(y = -1{,}5x + 150\). b) Die Ladegeschwindigkeit (\(2\) Prozentpunkte pro Minute) ist um \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute höher als die Entladegeschwindigkeit (\(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute). c) Nach \(32{,}5\,\text{Minuten}\) und nach \(50\,\text{Minuten}\). d) Der Akku wäre nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) leer (also insgesamt \(100\,\text{Minuten}\) nach Beobachtungsbeginn).