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- Lies für jeden Abschnitt nur ab, wie sich die dargestellte Entfernung zum Ausgangspunkt verändert. - Ein waagerechter Abschnitt bedeutet, dass der dargestellte Abstand gleich bleibt. - Unterscheide bei b) zwischen einer Aussage über den Abstand und einer Aussage über den tatsächlich genommenen Weg.

1. Im Abschnitt a nimmt die Entfernung zum Ausgangspunkt zu. Im Abschnitt b bleibt sie bei \(8\,\text{km}\) konstant. Im Abschnitt c nimmt sie ab. 2. Eine abnehmende Entfernung bedeutet sicher, dass die Wanderin dem Ausgangspunkt wieder näher kommt. Daraus allein folgt nicht, welchen konkreten Weg oder welche Route sie dabei nimmt.

a) a: Entfernung nimmt zu; b: Entfernung bleibt konstant; c: Entfernung nimmt ab. b) Die Wanderin kommt dem Ausgangspunkt näher.

- Frage dich, welche Größe ausgewählt wird und welche Messgröße davon abhängt. - In \(f(x)\) steht das Argument in der Klammer; der zugehörige Messwert steht auf der anderen Seite der Gleichung.

1. Die Messung ordnet jedem aufgezeichneten Zeitpunkt genau die dort gemessene Temperatur zu. Daher ist die Eingabe die Uhrzeit in Stunden und die Ausgabe die Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). 2. Für die Messung um \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).

Eingabe: Uhrzeit in Stunden. Ausgabe: Wassertemperatur in \(^\circ\text{C}\). Für \(10\) Uhr gilt \(f(10)=22{,}0\).

- Deute zuerst die erste Koordinate mithilfe der Eingabegröße. - Deute danach die zweite Koordinate mithilfe der Ausgabegröße. - Verbinde beide Bedeutungen zu einer Aussage über denselben Zeitpunkt.

1. Die erste Koordinate \(3\) beschreibt die Zeit seit der Öffnung in Stunden. 2. Die zweite Koordinate \(180\) beschreibt die Zahl der belegten Stellplätze. 3. Der Punkt bedeutet daher: Drei Stunden nach der Öffnung sind \(180\) Stellplätze belegt.

Drei Stunden nach der Öffnung sind \(180\) Stellplätze belegt.

- Frage dich zuerst, welche Größe im Verlauf der Fahrt voranschreitet und welche Größe dazu abgelesen wird. - Ein Punkt \((t\mid h)\) verbindet einen Zeitpunkt mit der zugehörigen Höhe. - Beschreibe bei c) nur die dargestellte Höhe und vermeide Vermutungen über nicht gezeigte Vorgänge.

1. Die Zeit \(t\) ist die unabhängige Größe. Die Höhe des Aufzugs hängt von der Zeit ab und ist die abhängige Größe. 2. Der Punkt \((2\mid12)\) bedeutet: Nach \(2\,\text{s}\) befindet sich der Aufzug \(12\,\text{m}\) über dem Boden. 3. Zwischen \(2\,\text{s}\) und \(4\,\text{s}\) verläuft der Graph waagerecht bei \(12\,\text{m}\). Die dargestellte Höhe bleibt in diesem Zeitraum also konstant bei \(12\,\text{m}\). Weitere Ursachen oder Vorgänge lassen sich aus dem Graphen allein nicht ableiten.

a) Unabhängig: Zeit \(t\); abhängig: Höhe des Aufzugs b) Nach \(2\,\text{s}\) beträgt die Höhe \(12\,\text{m}\). c) Die Höhe bleibt von \(2\,\text{s}\) bis \(4\,\text{s}\) konstant bei \(12\,\text{m}\).

- Ordne jedem Satzteil zuerst nur eine Graphform zu: steigend, waagerecht oder fallend. - Prüfe danach die drei Zeitabschnitte in der richtigen Reihenfolge.

1. Im ersten Abschnitt muss der Graph steigen, weil die Helligkeit erhöht wird. 2. Im zweiten Abschnitt muss der Graph waagerecht verlaufen, weil die Helligkeit unverändert bleibt. 3. Im letzten Abschnitt muss der Graph fallen, weil die Helligkeit verringert wird. Nur Diagramm b) besitzt genau diese drei Abschnitte.

Diagramm b): zuerst steigend, dann waagerecht, zuletzt fallend.

- Frage bei a), welche Größe im Versuch bewusst festgelegt und welche anschließend gemessen wird. - Lies b) direkt in derselben Tabellenspalte wie \(6\,\text{MB}\) ab. - Vergleiche für c) die Änderungen der zweiten Tabellenzeile bei gleichen Schritten in der ersten Zeile.

1. Vorgegeben wird die Dateigröße; sie ist daher die unabhängige Größe. Gemessen wird die Uploadzeit; sie ist die abhängige Größe. 2. Für \(6\,\text{MB}\) zeigt die Tabelle eine Uploadzeit von \(4\,\text{s}\). 3. Die Zunahmen der Uploadzeit bei jeweils \(2\,\text{MB}\) zusätzlicher Dateigröße sind \(2\,\text{s}\), dann \(1\,\text{s}\) und dann wieder \(2\,\text{s}\). Sie sind nicht immer gleich. Jonas Aussage ist deshalb falsch.

a) Unabhängig: Dateigröße; abhängig: Uploadzeit. b) \(4\,\text{s}\) c) Nein. Die Uploadzeit nimmt nacheinander um \(2\,\text{s}\), \(1\,\text{s}\) und \(2\,\text{s}\) zu.

- Lies für a) und b) nur die tatsächlich aufgezeichneten Zählwerte. - Unterscheide bei c) zwischen dem Gesamtstand nach einer Haltestelle und den einzelnen Veränderungen, die zu diesem Stand geführt haben könnten. - Überlege, ob sich zwei entgegengesetzte Veränderungen gegenseitig ausgleichen können.

1. Nach Haltestelle \(3\) wurden \(18\) Fahrgäste gezählt. 2. Nach Haltestelle \(2\) und nach Haltestelle \(3\) wurden jeweils \(18\) Fahrgäste gezählt. 3. Die Schlussfolgerung ist nicht sicher. Aus den beiden gleichen Zählwerten folgt nur, dass direkt nach Haltestelle \(2\) und direkt nach Haltestelle \(3\) gleich viele Fahrgäste im Bus waren. An Haltestelle \(3\) könnten zum Beispiel gleich viele Personen ausgestiegen und eingestiegen sein.

a) \(18\) b) Haltestellen \(2\) und \(3\) c) Nein. Gleiche Gesamtzahlen beweisen nicht, dass an Haltestelle \(3\) keine Ein- oder Ausstiege stattgefunden haben.

- Überlege dir für jede Höhe, wie viel Platz das Wasser dort hat, um sich auszubreiten. - Was bedeutet eine steilere oder flachere Kurve dafür, wie stark die Füllhöhe in gleicher Zeit zunimmt? - Stell dir gleiche Wassermengen als aufeinanderfolgende Schichten im Gefäß vor.

1. Da das Gefäß oben weiter wird, vergrößert sich die Querschnittsfläche mit zunehmender Höhe. 2. Bei konstantem Zufluss muss sich dieselbe Wassermenge pro Zeiteinheit auf eine immer größere Fläche verteilen. Die Füllhöhe steigt deshalb anfangs schneller und später langsamer. 3. Weil die Füllhöhe pro Zeiteinheit immer weniger zunimmt, wird die Kurve mit der Zeit immer flacher. 4. Wenn das Gefäß oben wieder schmaler wird, verringert sich die Querschnittsfläche. Die Füllhöhe steigt dort wieder schneller, deshalb wird der Graph wieder steiler.

a) Die Füllhöhe steigt immer langsamer an, weil die Querschnittsfläche nach oben hin zunimmt. b) Die Kurve wird immer flacher. c) In einem wieder schmaler werdenden Bereich würde der Graph wieder steiler werden.

- Suche für jede genannte Strecke zuerst die passende Stelle auf der waagerechten Achse. - Vergleiche dort die Höhen der beiden beschrifteten Graphen. - Beachte bei \(s=2\,\text{km}\) die im Text erklärte Bedeutung des offenen und des ausgefüllten Punktes.

1. Bei \(s=1\,\text{km}\) liest man für Tim \(25\,\text{km/h}\) und für Lisa \(20\,\text{km/h}\) ab. Tim fährt schneller. 2. Bei \(s=4\,\text{km}\) liest man für Tim \(15\,\text{km/h}\) und für Lisa \(20\,\text{km/h}\) ab. Lisa fährt schneller. 3. Lisas Graph liegt durchgehend bei \(20\,\text{km/h}\). Tims Graph liegt für \(s<2\,\text{km}\) bei \(25\,\text{km/h}\) und ab \(s=2\,\text{km}\) bei \(15\,\text{km/h}\). Der offene Punkt bei \((2\mid25)\) und der ausgefüllte Punkt bei \((2\mid15)\) zeigen, dass Tim bei \(s=2\,\text{km}\) nicht den Zwischenwert \(20\,\text{km/h}\) annimmt. Die beiden Graphen haben daher keinen gemeinsamen Punkt.

1. Tim mit \(25\,\text{km/h}\) 2. Lisa mit \(20\,\text{km/h}\) 3. Nein; die beiden Graphen haben keinen gemeinsamen Punkt.

- Welche Masse fällt unabhängig von der Höhe an? - Welche Masse kommt pro zusätzlichem Zentimeter hinzu? - Welche Gleichung musst du in Teil c) nach \(x\) lösen?

1. Die feste Masse ist \(4{,}50\,\text{g}\), pro Zentimeter kommen \(2{,}20\,\text{g}\) hinzu. Daher \(M(x)=2{,}20x+4{,}50\). 2. \(4{,}50\,\text{g}\) ist die Masse der Stützstruktur, die unabhängig von der Bauteilhöhe anfällt. 3. \(26{,}50=2{,}20x+4{,}50\) ergibt \(x=10\,\text{cm}\).

a) \(M(x)=2{,}20x+4{,}50\) b) \(4{,}50\,\text{g}\) feste Stützstruktur c) \(10\,\text{cm}\)

- Prüfe für jede Kugelzahl, wie viele 3er-Angebote sinnvoll genutzt werden können. - Vergleiche die Kosten der möglichen Kombinationen, bevor du den günstigsten Preis einträgst. - Jede Tabellenzeile liefert einen Punkt \((n\mid P(n))\). - Überlege, welche Werte die Kugelanzahl im Sachkontext überhaupt annehmen kann.

1. Für 7 Kugeln sind zwei 3er-Becher und eine einzelne Kugel am günstigsten: \(2\cdot4{,}00\,\text{€}+1{,}50\,\text{€}=9{,}50\,\text{€}\). 2. Für 1 bis 8 Kugeln ergeben sich die günstigsten Preise \(1{,}50\,\text{€}\), \(3{,}00\,\text{€}\), \(4{,}00\,\text{€}\), \(5{,}50\,\text{€}\), \(7{,}00\,\text{€}\), \(8{,}00\,\text{€}\), \(9{,}50\,\text{€}\) und \(11{,}00\,\text{€}\). 3. Die Graphpunkte sind \((1\mid1{,}50)\), \((2\mid3{,}00)\), \((3\mid4{,}00)\), \((4\mid5{,}50)\), \((5\mid7{,}00)\), \((6\mid8{,}00)\), \((7\mid9{,}50)\) und \((8\mid11{,}00)\). 4. Die Kugelanzahl ist diskret. Zwischenwerte wie \(2{,}5\) Kugeln sind in diesem Sachzusammenhang nicht zulässig, daher werden die Punkte nicht verbunden.

a) \(9{,}50\,\text{€}\) b) <table><tr><td>Anzahl Kugeln</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr><tr><td>Preis in \(\text{€}\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(3{,}00\)</td><td>\(4{,}00\)</td><td>\(5{,}50\)</td><td>\(7{,}00\)</td><td>\(8{,}00\)</td><td>\(9{,}50\)</td><td>\(11{,}00\)</td></tr></table> c) \((1\mid1{,}50)\), \((2\mid3{,}00)\), \((3\mid4{,}00)\), \((4\mid5{,}50)\), \((5\mid7{,}00)\), \((6\mid8{,}00)\), \((7\mid9{,}50)\), \((8\mid11{,}00)\); nicht verbinden, weil nur ganze Kugelzahlen zulässig sind.

- Überlege zuerst, welche Zusammensetzung der sechs Gegenstände besonders leicht beziehungsweise besonders schwer ist. - Suche nach einer gleichbleibenden Veränderung des Gesamtgewichts, wenn sich die Anzahl der Bücher um eins ändert. - Prüfe für c), welche x-Werte im Sachzusammenhang überhaupt möglich sind.

1. Das minimale Gewicht entsteht bei 6 Heften und 0 Büchern: \(6 \cdot 80\,\text{g} = 480\,\text{g}\). 2. Das maximale Gewicht entsteht bei 0 Heften und 6 Büchern: \(6 \cdot 450\,\text{g} = 2700\,\text{g}\). 3. Beim Ersetzen eines Heftes durch ein Buch steigt das Gesamtgewicht jeweils um \(450\,\text{g} - 80\,\text{g} = 370\,\text{g}\). Für 0 bis 6 Bücher ergeben sich daher der Reihe nach \(480\,\text{g}\), \(850\,\text{g}\), \(1220\,\text{g}\), \(1590\,\text{g}\), \(1960\,\text{g}\), \(2330\,\text{g}\) und \(2700\,\text{g}\). 4. Eine Verbindung der Punkte ist nicht sinnvoll, da die Anzahl der Bücher eine diskrete Variable ist: Man kann in diesem Sachzusammenhang keine nicht-ganzzahlige Anzahl von Büchern einpacken.

a) Das minimale Gewicht beträgt \(480\,\text{g}\), das maximale Gewicht \(2700\,\text{g}\). b) Die Gewichte lauten: \(480\,\text{g}\), \(850\,\text{g}\), \(1220\,\text{g}\), \(1590\,\text{g}\), \(1960\,\text{g}\), \(2330\,\text{g}\), \(2700\,\text{g}\). c) Nein, es ist nicht sinnvoll, da man nur eine ganze Anzahl an Büchern oder Heften einpacken kann. Die Zuordnung ist diskret.

- Prüfe für a) die Zuordnung immer in der angegebenen Richtung von der Uhrzeit zur Temperatur. - Bei b) ist einmal ein Funktionswert zu deuten und anschließend rückwärts nach allen passenden Argumenten zu suchen. - Für c) vertauschst du gedanklich Eingaben und Ausgaben und prüfst erneut die Eindeutigkeit.

1. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist in der Tabelle genau ein Temperaturwert zugeordnet. Daher ist \(t\mapsto T(t)\) auf der angegebenen Definitionsmenge eine Funktion. 2. \(T(15)=7{,}5\) bedeutet: Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen. Der Funktionswert \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) tritt bei den Argumenten \(t=9\) und \(t=21\) auf. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) zwei verschiedene Messzeitpunkte, \(9{:}00\) Uhr und \(21{:}00\) Uhr, zugeordnet würden.

a) Ja. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist genau ein Temperaturwert zugeordnet. b) Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen; \(T(t)=1{,}2\) gilt für \(t=9\) und \(t=21\). c) Nein. \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) gehört zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten.

- Überlege dir für beide Fälle, was passiert, wenn du den Eingangswert (Kilometer bzw. Seitenlänge) verdoppelst. - Welche Form haben die Funktionsgleichungen, die du aufstellen würdest? - Bei einer linearen Funktion muss die Änderung pro Schritt immer gleich groß sein.

1. Situation (1) ist linear. Es gibt eine feste Grundgebühr (\(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3{,}50\)) und eine konstante Änderungsrate pro Kilometer (Steigung \(m = 1{,}80\)). Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = 1{,}80x + 3{,}50\). 2. Situation (2) ist nicht linear. Der Flächeninhalt \(A\) berechnet sich durch \(A(a) = a^2\). Da die Variable \(a\) quadriert wird, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Eine Verdopplung der Seitenlänge führt beispielsweise zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts, was der Definition einer linearen Änderung widerspricht.

(1) Linear, da die Kosten pro Kilometer konstant steigen und es einen festen Startwert gibt. (2) Nicht linear, da der Flächeninhalt quadratisch mit der Seitenlänge wächst (\(A = a^2\)).

- Markiere zuerst die Zeitpunkte, an denen sich die Situation ändert. - Überlege, welche Füllmenge an jedem dieser Zeitpunkte vorliegt. - Für b) vergleichst du die gesamte Volumenänderung mit der zugehörigen Zeitspanne. - Suche für c) getrennt im Füll- und im Entnahmeabschnitt nach \(30\,\text{l}\).

1. Die Eckpunkte sind \((0\mid0)\), \((20\mid40)\), \((30\mid40)\) und \((45\mid25)\). Innerhalb der beschriebenen gleichmäßigen Abschnitte werden benachbarte Punkte geradlinig verbunden. 2. In den ersten \(20\,\text{min}\) kommen \(40\,\text{l}\) hinzu. Das entspricht \(40:20=2\,\text{l/min}\). 3. Beim Füllen werden \(30\,\text{l}\) nach \(30:2=15\,\text{min}\) erreicht. 4. Während der Entnahme sinkt der Inhalt mit \(15\,\text{l}:15\,\text{min}=1\,\text{l/min}\). Von \(40\,\text{l}\) auf \(30\,\text{l}\) dauert es daher \(10\,\text{min}\); der zweite Zeitpunkt ist \(t=40\,\text{min}\).

a) \((0\mid0)\), \((20\mid40)\), \((30\mid40)\), \((45\mid25)\); benachbarte Punkte werden geradlinig verbunden. b) \(2\,\text{l/min}\) c) Nach \(15\,\text{min}\) und nach \(40\,\text{min}\)

- Überlege dir zuerst, welche Größe die unabhängige Variable (x-Achse) und welche die abhängige Variable (y-Achse) ist. - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Wertepaare bekannt sind? - Der Achsenabschnitt repräsentiert in Sachzusammenhängen oft einen Startwert. - Um einen gesuchten Wert der unabhängigen Variable zu finden, musst du die Funktionsgleichung nach dieser Variable auflösen.

1. Zur Bestimmung der Steigerungsrate \(m\) werden die gegebenen Punkte \(P_1(500 \mid 25)\) und \(P_2(2000 \mid 70)\) genutzt: \(m = \frac{70 - 25}{2000 - 500} = \frac{45}{1500} = 0{,}03\). 2. Einsetzen eines Punktes in \(T(d) = 0{,}03d + b\) zur Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(25 = 0{,}03 \cdot 500 + b \Rightarrow 25 = 15 + b \Rightarrow b = 10\). Die Funktionsgleichung lautet \(T(d) = 0{,}03d + 10\). 3. Die Temperatur an der Erdoberfläche entspricht dem Wert bei \(d = 0\), also \(T(0) = 10\). Die Temperatur beträgt \(10\,^\circ\text{C}\). 4. Zur Bestimmung der Tiefe für \(100\,^\circ\text{C}\) wird die Gleichung \(100 = 0{,}03d + 10\) gelöst: \(90 = 0{,}03d \Rightarrow d = 3000\). Die Tiefe beträgt \(3000\,\text{m}\).

a) \(T(d) = 0{,}03d + 10\) b) \(10\,^\circ\text{C}\) c) \(3000\,\text{m}\)

- Lies für a) tatsächlich aus dem Graphen ab: Geschwindigkeit ist das Argument, Anhalteweg der zugehörige Funktionswert. - Verwende in b) nur die beiden in a) bestimmten Werte. - Ein Verhältnis von genau \(2\) würde einer Verdopplung entsprechen; vergleiche damit dein Ergebnis.

1. Aus dem Graphen liest man bei \(v=50\,\text{km/h}\) den Anhalteweg \(s=40\,\text{m}\) und bei \(v=100\,\text{km/h}\) den Anhalteweg \(s=130\,\text{m}\) ab. 2. Eine bloße Verdopplung des Anhaltewegs würde \(80\,\text{m}\) ergeben. Tatsächlich zeigt das Modell \(130\,\text{m}\). Das Verhältnis beträgt \(130:40=3{,}25\). Der Anhalteweg wächst bei dieser Geschwindigkeitsverdopplung also auf das \(3{,}25\)-Fache.

a) Bei \(50\,\text{km/h}\): \(40\,\text{m}\); bei \(100\,\text{km/h}\): \(130\,\text{m}\). b) Nein. \(130:40=3{,}25\); der Anhalteweg ist nach dem dargestellten Modell \(3{,}25\)-mal so groß.

- Prüfe zuerst, welche Größen und Einheiten auf den beiden Achsen dargestellt sind. - Suche für a) und b) die verlangten Stellen beziehungsweise den höchsten Punkt direkt im Graphen. - Bei c) sind die Schnittstellen mit der Höhe \(0\,\text{°C}\) entscheidend; orientiere deine Genauigkeit an der Skalierung. - Vergleiche für d) nur den Anfangs- und Endwert des angegebenen Zeitraums.

1. Aus dem Graphen liest man ab: um 6:00 Uhr \(-5\,\text{°C}\), um 10:00 Uhr \(1\,\text{°C}\), um 14:00 Uhr \(7\,\text{°C}\), um 18:00 Uhr \(1\,\text{°C}\) und um 22:00 Uhr \(-5\,\text{°C}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt um 14:00 Uhr bei \(7\,\text{°C}\). 3. Der Graph schneidet die Höhe \(0\,\text{°C}\) zwischen 9:00 Uhr und 10:00 Uhr sowie zwischen 18:00 Uhr und 19:00 Uhr. Auf etwa eine halbe Stunde genau liegt die Temperatur daher ungefähr von 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr über \(0\,\text{°C}\). 4. Von 6:00 Uhr bis 14:00 Uhr steigt die Temperatur um \(7\,\text{°C}-(-5\,\text{°C})=12\,\text{°C}\).

a) 6:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\); 10:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 14:00 Uhr: \(7\,\text{°C}\); 18:00 Uhr: \(1\,\text{°C}\); 22:00 Uhr: \(-5\,\text{°C}\) b) Um 14:00 Uhr mit \(7\,\text{°C}\) c) Ungefähr von 9:30 Uhr bis 18:30 Uhr d) Um \(12\,\text{°C}\)

- Lies die Werte in a) nur an den genannten geraden Stunden aus dem Graphen ab. - Prüfe die Funktionseigenschaft immer in der Richtung, die im Pfeil angegeben ist. - Suche für b) die Stellen, an denen der Graph die Höhe \(4\,\text{m}\) erreicht. - Überlege anschließend, ob derselbe Wasserstand genau einen oder mehrere Zeitwerte haben kann.

1. Aus dem Graphen liest man für \(t=0,2,4,6,8,10,12\,\text{h}\) die Wassertiefen \(1,2,4,5,4,2,1\,\text{m}\) ab. 2. Die Zuordnung verstrichene Zeit \(\rightarrow\) Wassertiefe ist eine Funktion, weil jedem Zeitpunkt \(t\) genau eine Wassertiefe zugeordnet wird. 3. Die Wassertiefe \(4\,\text{m}\) wird nach \(4\,\text{h}\) und nach \(8\,\text{h}\) erreicht. 4. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil dem Eingangswert \(4\,\text{m}\) zwei verschiedene Zeitwerte zugeordnet werden.

a) <table> <tr><th>Zeit \(t\) (\(\text{h}\))</th><td>0</td><td>2</td><td>4</td><td>6</td><td>8</td><td>10</td><td>12</td></tr> <tr><th>Tiefe \(h\) (\(\text{m}\))</th><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>5</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td></tr> </table> Ja. Jedem Wert der verstrichenen Zeit ist genau eine Wassertiefe zugeordnet. b) Nach \(4\,\text{h}\) und nach \(8\,\text{h}\). Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil \(4\,\text{m}\) zu zwei verschiedenen Zeitwerten gehört.

- Lies für eine bestimmte Uhrzeit den zugehörigen y-Wert des Graphen ab. - Suche für eine vorgegebene Temperatur alle Schnittstellen des Graphen mit dieser Höhe. - Der tiefste Punkt des Graphen liefert Zeitpunkt und Wert des Minimums.

1. Aus dem Graphen liest man \(12\,\text{°C}\) um \(9{:}00\,\text{Uhr}\), \(18\,\text{°C}\) um \(15{:}00\,\text{Uhr}\) und \(9\,\text{°C}\) um \(23{:}00\,\text{Uhr}\) ab. 2. Die Höhe \(15\,\text{°C}\) wird bei \(x=11\) und \(x=19\) erreicht. Das entspricht \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\). 3. Der tiefste Punkt des Graphen liegt bei \((3\mid6)\). Die minimale Temperatur von \(6\,\text{°C}\) wird um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) erreicht.

a) <table><thead><tr><th>Uhrzeit</th><td>\(9{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(15{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(23{:}00\,\text{Uhr}\)</td></tr></thead><tbody><tr><th>Temperatur</th><td>\(12\,\text{°C}\)</td><td>\(18\,\text{°C}\)</td><td>\(9\,\text{°C}\)</td></tr></tbody></table> b) Um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\). c) Um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(6\,\text{°C}\).

- Vergleiche, ob der Wasserstand gleichmäßig, immer schneller oder in mehreren deutlich verschiedenen Abschnitten verändert wird. - Eine waagerechte Stelle bedeutet, dass der Wasserstand unverändert bleibt. - Für b) teile den Höhenunterschied durch die zugehörige Zeitspanne.

1. Diagramm A gehört zu Kärtchen (2): Der Wasserstand steigt zunächst gleichmäßig, bleibt dann konstant und sinkt anschließend rasch. 2. Diagramm B gehört zu Kärtchen (1): In den ersten drei Stunden sinkt der Wasserstand nur um \(1\,\text{m}\), in den nächsten drei Stunden dagegen um \(3\,\text{m}\). 3. Diagramm C gehört zu Kärtchen (3): Der Wasserstand steigt zunächst langsam und dann immer schneller; anschließend bleibt er konstant. 4. Von \(t=3\,\text{h}\) bis \(t=6\,\text{h}\) sinkt der Wasserstand in Diagramm B von \(3\,\text{m}\) auf \(0\,\text{m}\). Die mittlere Sinkgeschwindigkeit beträgt \(3\,\text{m}:3\,\text{h}=1\,\text{m/h}\).

a) A \(\rightarrow\) (2), B \(\rightarrow\) (1), C \(\rightarrow\) (3). b) \(1\,\text{m/h}\).

- Lies zuerst ab, welche Entfernung und welche Zeitintervalle zu den markierten beziehungsweise waagerechten Abschnitten gehören. - Nutze für Geschwindigkeiten, dass sich die Gruppe auf demselben geraden Weg von der Unterkunft weg beziehungsweise zu ihr hin bewegt. - Für eine durchschnittliche Geschwindigkeit brauchst du die auf dem Abschnitt zurückgelegte Strecke und die dafür benötigte Zeit.

1. Punkt A liegt bei \(d=6\,\text{km}\). Der waagerechte Abschnitt dort reicht von \(t=2\,\text{h}\) bis \(t=3\,\text{h}\), also dauert die Rast \(1\,\text{h}\). 2. Auf dem geraden Hinweg wächst die Entfernung in den ersten \(2\,\text{h}\) von \(0\,\text{km}\) auf \(6\,\text{km}\). Die Geschwindigkeit beträgt \(6\,\text{km}:2\,\text{h}=3\,\text{km/h}\). 3. Nach dem am weitesten entfernten Abschnitt beginnt der fallende Graph bei \(t=5\,\text{h}\); dort startet der Rückweg. Bei \(t=6\,\text{h}\) ist die Entfernung wieder \(0\,\text{km}\), also dauert der Ausflug insgesamt \(6\,\text{h}\). 4. Auf dem Rückweg sinkt die Entfernung in \(1\,\text{h}\) von \(9\,\text{km}\) auf \(0\,\text{km}\). Auf demselben geraden Weg entspricht das einer zurückgelegten Strecke von \(9\,\text{km}\). Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt \(9\,\text{km/h}\).

a) \(6\,\text{km}\) von der Unterkunft; Rastdauer \(1\,\text{h}\) b) \(3\,\text{km/h}\) c) Rückweg ab \(t=5\,\text{h}\); Gesamtdauer \(6\,\text{h}\) d) \(9\,\text{km/h}\)

- Lies Start- und Endhöhe an den Randpunkten ab. - Suche den höchsten Punkt jedes Profils und den zugehörigen Kilometerwert. - Addiere für den gesamten Aufstieg nur ansteigende Höhenunterschiede.

1. Weg A startet bei \(400\,\text{m}\) und endet bei \(600\,\text{m}\), also beträgt der Höhenunterschied \(200\,\text{m}\). Weg B startet bei \(200\,\text{m}\) und endet bei \(900\,\text{m}\), also \(700\,\text{m}\). 2. Weg A erreicht \(800\,\text{m}\) bei Kilometer \(9\). Weg B erreicht \(900\,\text{m}\) bei Kilometer \(15\). 3. Bei Weg A beträgt der gesamte Aufstieg \(500\,\text{m}\). Bei Weg B sind es \(500\,\text{m}+400\,\text{m}=900\,\text{m}\). Damit erfordert Weg B mehr Aufstieg.

a) Weg A: \(400\,\text{m}\) bis \(600\,\text{m}\), Unterschied \(200\,\text{m}\); Weg B: \(200\,\text{m}\) bis \(900\,\text{m}\), Unterschied \(700\,\text{m}\) b) Weg A: \(800\,\text{m}\) bei km \(9\); Weg B: \(900\,\text{m}\) bei km \(15\) c) Weg B mit insgesamt etwa \(900\,\text{m}\) Aufstieg; Weg A etwa \(500\,\text{m}\)

- Prüfe zuerst Achsenbeschriftungen und Skalierung des Diagramms. - Welche zwei gut ablesbaren Gitterpunkte eignen sich, um die stündliche Änderung zu bestimmen? - Wie kombinierst du die Änderung mit dem Anfangsvolumen zu einem linearen Modell? - Welchen Funktionswert hat das Volumen bei einem leeren Behälter?

1. Auf der waagerechten Gitterlinie bei \(V=4{,}5\) schneidet der Graph bei \(t=5\). Nach \(5\,\text{h}\) sind also noch \(4{,}5\,\text{m}^3\) vorhanden. 2. Aus zwei geeigneten Punkten ergibt sich die Steigung \(m=-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\). Das Volumen nimmt pro Stunde um \(1{,}5\,\text{m}^3\) ab. 3. Mit dem Anfangswert \(12\,\text{m}^3\) lautet das Modell \(V(t)=12-1{,}5t\). 4. Für den leeren Behälter gilt \(0=12-1{,}5t\). Daraus folgt \(t=8\,\text{h}\).

a) \(5\,\text{h}\) b) \(-1{,}5\,\text{m}^3/\text{h}\); \(V(t)=12-1{,}5t\); leer nach \(8\,\text{h}\)

- Schaue dir die Achsenbeschriftungen genau an: Was ist auf der waagerechten Achse und was auf der senkrechten Achse dargestellt? - Für Aufgabenteil a): Welcher Punkt auf dem Graphen entspricht dem Startzeitpunkt \(t = 0\)? - Für Aufgabenteil b): Suche den höchsten Punkt der Kurve und lies die Koordinaten dieses Punktes ab. - Für Aufgabenteil c): Ziehe gedanklich eine waagerechte Linie bei der Temperatur \(40\,\text{°C}\) und bestimme die Schnittpunkte mit dem Graphen.

1. Zum Zeitpunkt \(t=0\,\text{min}\) liegt der Graph bei \(T=20\,\text{°C}\). Die Anfangstemperatur beträgt daher \(20\,\text{°C}\). 2. Der höchste Punkt liegt bei ungefähr \((20\mid45)\). Nach \(20\,\text{min}\) wird also die maximale Temperatur von \(45\,\text{°C}\) erreicht. 3. Der Graph liegt von \(t=10\,\text{min}\) bis \(t=40\,\text{min}\) auf oder oberhalb von \(40\,\text{°C}\). Die Dauer beträgt \(40\,\text{min}-10\,\text{min}=30\,\text{min}\).

a) Die Anfangstemperatur beträgt \(20\,\text{°C}\). b) Die höchste Temperatur von \(45\,\text{°C}\) wird nach \(20\,\text{min}\) erreicht. c) Die Temperatur liegt von Minute \(10\) bis Minute \(40\) bei mindestens \(40\,\text{°C}\). Das sind insgesamt \(30\,\text{min}\).

- Lies Startwert und höchsten Wert direkt an der vertikalen Achse ab. - Bestimme für b) die Zeitspanne des waagerechten Abschnitts auf maximaler Höhe, ohne daraus zusätzliche Bewegungsinformationen abzuleiten. - Für den Höhengewinn vergleichst du Anfangs- und Endhöhe des durchgehend ansteigenden Abschnitts. - Suche für d) \(700\,\text{m}\) auf dem fallenden Teil des Graphen und lies die zugehörige Zeit ab.

1. Bei \(t=0\) liegt die Höhe bei \(200\,\text{m}\). Der größte dargestellte Wert beträgt \(1000\,\text{m}\). 2. Der Graph bleibt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=6\,\text{h}\) bei \(1000\,\text{m}\). Die Höhe ist also \(2\,\text{h}\) lang konstant maximal. 3. Im ersten ansteigenden Abschnitt wächst die Höhe von \(200\,\text{m}\) auf \(1000\,\text{m}\). Der Höhengewinn beträgt \(1000\,\text{m}-200\,\text{m}=800\,\text{m}\). 4. Im fallenden Abschnitt von \(t=6\,\text{h}\) bis \(t=8\,\text{h}\) wird die Höhe \(700\,\text{m}\) bei \(t=7\,\text{h}\) erreicht.

a) Start bei \(200\,\text{m}\); maximale Höhe \(1000\,\text{m}\) b) \(2\,\text{h}\) c) \(800\,\text{m}\) d) Nach \(7\,\text{h}\)

- Ein Alter von \(0\) Jahren entspricht dem Neupreis. - Beachte, dass die senkrechte Achse den Wert in Tausend Euro zeigt. - Berechne für b) zunächst die Hälfte des Startwerts und suche diese Höhe im Diagramm. - Suche für c) den ersten Zeitpunkt, an dem der Graph die Höhe \(6\) erreicht oder unterschreitet.

1. Bei einem Alter von \(0\) Jahren liest man \(24\) in Einheiten von \(1000\,\text{€}\) ab, also \(24\,000\,\text{€}\). Nach \(4\) Jahren liegt der markierte Modellwert bei \(10\) in Einheiten von \(1000\,\text{€}\), also bei \(10\,000\,\text{€}\). 2. Die Hälfte des Neupreises sind \(12\,000\,\text{€}\). Diesen Wert erreicht der Graph nach \(3\) Jahren. 3. Der Wert \(6000\,\text{€}\) wird nach \(6\) Jahren erreicht und ist danach geringer. Damit ist die Bedingung nach \(6\) Jahren erstmals erfüllt.

a) Neupreis: \(24\,000\,\text{€}\); nach \(4\) Jahren: \(10\,000\,\text{€}\) b) Nach \(3\) Jahren c) Nach \(6\) Jahren

- Suche für a) nach lokalen Hochpunkten und lies nur deren Uhrzeiten ab. - Nutze bei b) die benachbarten waagerechten Rasterlinien, statt mehr Genauigkeit zu behaupten als der Graph zeigt. - Vergleiche bei c) die geschätzte vertikale Änderung in zwei gleich langen Zeitintervallen. - Für d) ist der tiefste Punkt des gesamten dargestellten Verlaufs entscheidend.

1. Die drei deutlichsten lokalen Spitzen liegen ungefähr um \(08{:}00\) Uhr, \(13{:}00\) Uhr und \(20{:}00\) Uhr. 2. Um \(10{:}00\) Uhr liegt der Graph zwischen \(0{,}5\,\text{GB/min}\) und \(1{,}0\,\text{GB/min}\). 3. Um \(13{:}00\) Uhr liegt der Wert bei etwa \(2{,}5\,\text{GB/min}\), um \(14{:}00\) Uhr bei etwa \(1{,}0\,\text{GB/min}\) und um \(15{:}00\) Uhr bei etwa \(0{,}5\,\text{GB/min}\). Der Rückgang beträgt damit zuerst ungefähr \(1{,}5\,\text{GB/min}\), danach ungefähr \(0{,}5\,\text{GB/min}\). Der stärkere Rückgang liegt im Intervall von \(13{:}00\) bis \(14{:}00\) Uhr. 4. Der niedrigste dargestellte Wert liegt ungefähr bei \(0{,}5\,\text{GB/min}\).

a) Ungefähr um \(08{:}00\), \(13{:}00\) und \(20{:}00\) Uhr. b) Zwischen \(0{,}5\,\text{GB/min}\) und \(1{,}0\,\text{GB/min}\). c) Ungefähr \(2{,}5\to1{,}0\,\text{GB/min}\) und danach \(1{,}0\to0{,}5\,\text{GB/min}\); der stärkere Rückgang liegt von \(13{:}00\) bis \(14{:}00\) Uhr. d) Ungefähr \(0{,}5\,\text{GB/min}\).

- Überlege dir für jede Geschichte, ob der Wert steigt, sinkt oder gleich bleibt. - Achte darauf, ob sich der Wert gleichmäßig (geradlinig) oder ungleichmäßig (kurvig) verändert. - Gibt es in einer Geschichte einen Vorgang, der sich regelmäßig wiederholt? - Überlege, welcher Graph eine „Sättigung“ zeigt, also wo das Wachstum irgendwann aufhört.

a) Graph 1 zeigt einen periodischen, wellenförmigen Verlauf, der die auf- und absteigende Bewegung der Boje im Meer passend darstellt. b) Graph 2 stellt eine lineare Abnahme dar. Da jeden Tag der gleiche Betrag verbraucht wird, sinkt das Guthaben gleichmäßig (konstante Änderungsrate). c) Graph 3 zeigt ein anfänglich schnelles Wachstum, das sich später abflacht. Dies entspricht dem typischen Wachstumsmuster eines Lebewesens bis zum Erreichen des Erwachsenenalters. d) Graph 4 zeigt eine Kurve, die erst steil abfällt und sich dann immer langsamer der x-Achse nähert. Dies ist charakteristisch für einen Zerfallsprozess, bei dem die Intensität nie ganz null wird, aber stetig abnimmt.

a) \(\rightarrow\) (1) b) \(\rightarrow\) (2) c) \(\rightarrow\) (3) d) \(\rightarrow\) (4)

- Gehe auf der waagerechten Achse zur gewünschten Zeit und dann senkrecht nach oben zum Graphen. - Wenn der Graph waagerecht verläuft, ändert sich der Wert auf der \(y\)-Achse nicht. Was bedeutet das für die Bewegung? - Vergleiche die Steilheit der verschiedenen Abschnitte, um die Geschwindigkeit zu beurteilen.

1. Nach \(2\,\text{h}\) liest man \(8\,\text{km}\), nach \(5\,\text{h}\) \(14\,\text{km}\) ab. 2. Aus den dargestellten Punkten ergibt sich: <table> <tr><th>Zeit (h)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><th>Strecke (km)</th><td>0</td><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>12</td><td>14</td></tr> </table> 3. In den ersten drei Stunden wächst die zurückgelegte Strecke gleichmäßig. Zwischen der dritten und vierten Stunde bleibt sie konstant; das passt zu einer Pause. In der letzten Stunde nimmt die Strecke wieder zu, aber langsamer als zuvor. Eine Ursache für das langsamere Weitergehen lässt sich aus dem Graphen allein nicht bestimmen.

a) Nach \(2\) Stunden: \(8\,\text{km}\); nach \(5\) Stunden: \(14\,\text{km}\). b) Wertetabelle: <table> <tr><th>Zeit (h)</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><th>Strecke (km)</th><td>0</td><td>4</td><td>8</td><td>12</td><td>12</td><td>14</td></tr> </table> c) In den ersten drei Stunden wandert er gleichmäßig. Zwischen der 3. und 4. Stunde macht er eine Pause (die Strecke nimmt nicht zu). Danach geht er langsamer weiter als zu Beginn.

- Lies die Kerzenhöhe zum Startzeitpunkt direkt am Graphen ab. - Vergleiche den Höhenverlust mit der dafür vergangenen Zeit. - Vollständig abgebrannt ist die Kerze, wenn ihre Höhe \(0\,\text{cm}\) erreicht.

1. Bei \(t=0\) beträgt die Kerzenhöhe \(18\,\text{cm}\). 2. Zwischen \(t=0\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\) sinkt die Höhe von \(18\,\text{cm}\) auf \(6\,\text{cm}\), also um \(12\,\text{cm}\) in \(4\,\text{h}\). Die Kerze wird damit um \(12:4=3\,\text{cm}\) pro Stunde kürzer. 3. Der Graph erreicht \(h=0\,\text{cm}\) bei \(t=6\,\text{h}\). Dann ist die Kerze im dargestellten Modell vollständig abgebrannt.

a) \(18\,\text{cm}\). b) \(3\,\text{cm/h}\). c) Nach \(6\,\text{h}\).

- Achte auf die Einheiten der Achsen. - Liegt der Graph auf der Zeitachse, beträgt die Geschwindigkeit \(0\,\text{km/h}\). - Bestimme die Pausendauer aus Start- und Endzeitpunkt. - Die Höchstgeschwindigkeit entspricht dem höchsten y-Wert des Graphen.

1. Nach \(5\,\text{min}\) beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{km/h}\), nach \(15\,\text{min}\) \(20\,\text{km/h}\), nach \(30\,\text{min}\) \(0\,\text{km/h}\) und nach \(50\,\text{min}\) \(25\,\text{km/h}\). 2. Die Geschwindigkeit ist von \(t=25\,\text{min}\) bis \(t=40\,\text{min}\) gleich null. Die dargestellte Pause dauert \(15\,\text{min}\). 3. Der höchste Funktionswert des Graphen beträgt \(25\,\text{km/h}\).

a) Nach \(5\,\text{min}\): \(10\,\text{km/h}\); nach \(15\,\text{min}\): \(20\,\text{km/h}\); nach \(30\,\text{min}\): \(0\,\text{km/h}\); nach \(50\,\text{min}\): \(25\,\text{km/h}\). b) \(15\,\text{Minuten}\), von der 25. bis zur 40. Minute. c) \(25\,\text{km/h}\).

- Vergleiche, wie viel Strecke in gleich langen Zeitabschnitten hinzukommt. - Ein waagerechter Abschnitt steht für eine Pause. - Wird ein Graph immer steiler, nimmt das Tempo zu; wird er immer flacher, nimmt das Tempo ab.

1. Graph a zeigt in gleich langen Zeitabschnitten jeweils denselben Streckenzuwachs. Das passt zu Leons gleichbleibendem Tempo. 2. Graph b zeigt zunächst eine gleichmäßige Zunahme, dann einen waagerechten Abschnitt von 20 bis 30 Minuten und anschließend einen schnelleren Streckenzuwachs. Das passt zu Sarah. 3. Graph c wird im Verlauf immer steiler: In späteren Zeitabschnitten wächst die Strecke stärker als in früheren. Das passt zu Tim. 4. Graph d wird im Verlauf immer flacher: In späteren Zeitabschnitten wächst die Strecke weniger stark als zu Beginn. Das passt zu Maya.

Leon \(\rightarrow\) Graph a; Sarah \(\rightarrow\) Graph b; Tim \(\rightarrow\) Graph c; Maya \(\rightarrow\) Graph d.

- Nutze für a) bis c) nur die markierten Messpunkte und lies sie in zeitlicher Reihenfolge ab. - Suche für b) den höchsten markierten Punkt und prüfe, ob dieselbe Höhe mehrfach gemessen wurde. - Für c) vergleichst du den höchsten und niedrigsten markierten Messwert. - Unterscheide bei d) zwischen einem markierten Messpunkt und einem Wert, den nur die glatte Modellkurve liefert.

1. Zwischen \(00{:}00\) Uhr und \(03{:}00\) Uhr steigt der gemessene Wasserstand von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}25\,\text{m}\). Danach sinkt er: Um \(06{:}00\) Uhr beträgt er wieder \(3{,}0\,\text{m}\), und um \(09{:}00\) Uhr werden \(0{,}75\,\text{m}\) gemessen. Bis \(12{:}00\) Uhr steigt er wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). 2. Der höchste gemessene Wasserstand beträgt \(5{,}25\,\text{m}\). Er wurde um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr gemessen. 3. Der niedrigste gemessene Wasserstand beträgt \(0{,}75\,\text{m}\). Die Differenz ist \(5{,}25\,\text{m}-0{,}75\,\text{m}=4{,}5\,\text{m}\). 4. Auf der glatten Modellkurve liegt der Wert um \(04{:}30\) Uhr ungefähr bei \(4{,}6\,\text{m}\). Bei \(04{:}30\) Uhr ist jedoch kein Messpunkt eingezeichnet; der Wert stammt daher aus dem Modell zwischen zwei Messzeitpunkten.

a) Der gemessene Wasserstand steigt zunächst von \(3{,}0\,\text{m}\) auf \(5{,}25\,\text{m}\), fällt anschließend bis auf \(0{,}75\,\text{m}\) und steigt danach wieder auf \(3{,}0\,\text{m}\). b) Um \(03{:}00\) Uhr und \(15{:}00\) Uhr c) \(4{,}5\,\text{m}\) d) Etwa \(4{,}6\,\text{m}\); das ist ein Modellwert zwischen Messpunkten, kein gemessener Wert.

- Vergleiche jeweils zwei benachbarte Messwerte und trenne die Messwerte von Annahmen über den Verlauf dazwischen. - Für das Minimum reicht es, die tatsächlich aufgezeichneten Werte zu vergleichen. - Für die durchschnittliche Änderung über mehrere Stunden brauchst du nur Anfangswert, Endwert und die gesamte Zeitspanne.

1. Ab dem Messwert bei \(t=4\,\text{h}\) ist jeder folgende Messwert größer als der vorherige. Ein Anstieg ist daher für die Messintervalle \(4\) bis \(5\), \(5\) bis \(6\), \(6\) bis \(7\) und \(7\) bis \(8\) Stunden belegt. Über den Verlauf innerhalb dieser Intervalle sagt die Tabelle nichts aus. 2. Der kleinste gemessene Wert ist \(10\,\%\) bei \(t=4\,\text{h}\). 3. Von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) steigt der Ladestand von \(10\,\%\) auf \(90\,\%\), also um \(80\) Prozentpunkte in \(3\,\text{h}\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(80:3\approx26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

a) In den Messintervallen \(4\)–\(5\), \(5\)–\(6\), \(6\)–\(7\) und \(7\)–\(8\) Stunden. b) Nach \(4\,\text{h}\) mit \(10\,\%\). c) Etwa \(26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

- Nutze die Zusatzinformation, dass die Vorband vor der Pause und der Hauptact danach spielt. - Vergleiche die längeren Abschnitte mit hohem Pegel und den deutlich leiseren Abschnitt dazwischen. - Lies die Übergangszeiten an den feineren Rasterlinien ab.

1. Nach dem anfänglichen Lautstärkeanstieg liegt der Pegel von ungefähr Minute 5 bis Minute 40 bei etwa \(85\,\text{dB}\). Das passt laut Ablaufplan zur Vorband. Nach dem späteren starken Anstieg beginnt der deutlich lautere Hauptact ungefähr bei Minute 65. 2. Zwischen ungefähr Minute 45 und Minute 60 liegt der Pegel bei nur etwa \(60\,\text{dB}\). Dieser Abschnitt passt zur Umbaupause.

1. Vorband: ungefähr Minute 5 bis 40; Hauptact ab ungefähr Minute 65 2. Umbaupause: ungefähr Minute 45 bis 60

- Rechne die beiden Uhrzeiten bei Bedarf in Minuten seit \(08{:}00\) Uhr um und suche die dazugehörigen Stellen im Graphen. - Notiere für b) zunächst nur die beiden Größen, die auf den Achsen stehen. - Überlege anschließend, welche zusätzliche Beobachtung nötig wäre, um zwischen verschiedenen möglichen Erklärungen für einen Konzentrationsabfall zu unterscheiden.

1. \(09{:}30\) Uhr entsprechen \(90\) Minuten nach \(08{:}00\) Uhr. Dort liegt die Konzentration bei ungefähr \(1200\,\text{ppm}\) und fällt unmittelbar danach stark auf etwa \(600\,\text{ppm}\). \(11{:}15\) Uhr entsprechen \(195\) Minuten nach \(08{:}00\) Uhr. Dort liegt der Wert bei ungefähr \(1400\,\text{ppm}\) und fällt unmittelbar danach stark auf ungefähr \(700\,\text{ppm}\). 2. Der Graph zeigt die starken Konzentrationsabnahmen, aber nicht ihre Ursache. Lüften wäre eine mögliche Erklärung, wird durch die dargestellten Funktionswerte allein jedoch nicht bewiesen.

a) Nach \(09{:}30\) Uhr fällt der Wert ungefähr von \(1200\) auf \(600\,\text{ppm}\); nach \(11{:}15\) Uhr ungefähr von \(1400\) auf \(700\,\text{ppm}\). b) Nein. Der Graph belegt die Abnahmen, aber keine bestimmte Ursache dafür.

- Achte darauf, dass die senkrechte Achse die Entfernung vom Depot und nicht die insgesamt gefahrene Strecke zeigt. - Addiere für a) die Längen aller waagerechten Zeitintervalle. - Für c) brauchst du Beginn und Ende des letzten fallenden Abschnitts.

1. Die Aufenthaltszeiten sind die waagerechten Abschnitte: \(10\,\text{min}\), \(15\,\text{min}\) und \(10\,\text{min}\). Insgesamt sind das \(35\,\text{min}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(12\,\text{km}\). Der am weitesten entfernte Kunde ist daher \(12\,\text{km}\) vom Depot entfernt. 3. Die Rückfahrt beginnt bei \(t=75\,\text{min}\) und endet bei \(t=90\,\text{min}\). Sie dauert also \(15\,\text{min}\).

a) \(35\,\text{min}\) b) \(12\,\text{km}\) c) \(15\,\text{min}\)

- Strecke ist das Argument, Geschwindigkeit der zugehörige Funktionswert. - Für b) brauchst du den höchsten Punkt des gesamten Graphen. - Suche für c) den ersten Punkt, an dem der Graph von fallend zu steigend wechselt. - Für d) ist die letzte dargestellte Streckenposition entscheidend.

1. Bei \(350\,\text{m}\) liegt der Graph bei \(40\,\text{km/h}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(200\,\text{m}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(115\,\text{km/h}\). 3. Der erste solche Tiefpunkt liegt bei \(100\,\text{m}\) und etwa \(5\,\text{km/h}\). 4. Der dargestellte Fahrtverlauf endet bei \(800\,\text{m}\). Die gesamte dargestellte Schienenstrecke beträgt daher \(800\,\text{m}\).

a) \(40\,\text{km/h}\) b) \(115\,\text{km/h}\) bei \(200\,\text{m}\) c) Nach \(100\,\text{m}\) bei etwa \(5\,\text{km/h}\) d) \(800\,\text{m}\)

- Waagerechte Abschnitte bedeuten konstante Geschwindigkeit; der niedrigste davon liefert b). - Für c) vergleiche in beiden ein Kilometer langen Übergängen jeweils Endwert minus Anfangswert. - Das Vorzeichen der Änderung unterscheidet Abbremsen und Beschleunigen. - Beschreibe in d) beide Teilabschnitte zwischen Kilometer \(11\) und \(13\) getrennt.

1. In den freien Kanalabschnitten von \(0\) bis \(8\,\text{km}\) und ab \(12\,\text{km}\) verläuft der Graph waagerecht bei \(12\,\text{kn}\). 2. Zwischen Kilometer \(9\) und Kilometer \(11\) liegt der niedrigste waagerechte Abschnitt bei \(3\,\text{kn}\). 3. Von Kilometer \(8\) bis \(9\) ändert sich die Geschwindigkeit um \(3-12=-9\,\text{kn}\) auf \(1\,\text{km}\), also \(-9\,\text{kn/km}\). Von Kilometer \(11\) bis \(12\) ändert sie sich um \(12-3=9\,\text{kn}\), also \(+9\,\text{kn/km}\). Die Beträge sind gleich, die Vorzeichen entgegengesetzt. 4. Von Kilometer \(11\) bis \(12\) steigt die Geschwindigkeit von \(3\,\text{kn}\) auf \(12\,\text{kn}\). Von Kilometer \(12\) bis \(13\) bleibt sie bei \(12\,\text{kn}\) konstant.

a) \(12\,\text{kn}\) b) Von Kilometer \(9\) bis \(11\) mit \(3\,\text{kn}\) c) \(-9\,\text{kn/km}\) und \(+9\,\text{kn/km}\); gleicher Betrag, entgegengesetztes Vorzeichen. d) Von Kilometer \(11\) bis \(12\) steigt die Geschwindigkeit auf \(12\,\text{kn}\); danach bleibt sie bis Kilometer \(13\) konstant.

- Für a) suche den ersten Zeitpunkt nach dem Start, an dem der Graph wieder die Höhe \(0\) erreicht. - Lies bei b) zuerst nur die dargestellte Größe und ihren Wert im waagerechten Abschnitt ab. - Frage dich dann, ob dieselbe Entfernung zu einem festen Punkt nur an einem einzigen Ort möglich ist. - Nutze für c) den ausdrücklich geraden Abschnitt zwischen den benachbarten bekannten Punkten und prüfe für d) die Eindeutigkeit in der angegebenen Zuordnungsrichtung.

1. Der Graph beginnt bei \(t=0\) und erreicht bei \(t=60\,\text{min}\) wieder die Entfernung \(0\). Die Tour dauert \(60\,\text{min}\). 2. Bei \(t=20\,\text{min}\) beträgt die Entfernung \(6\,\text{km}\). Von Minute \(15\) bis Minute \(25\) bleibt die Entfernung zum Zentrum konstant bei \(6\,\text{km}\). Daraus folgt nicht, dass der Kurier stillsteht: Er könnte sich auch auf einem Weg bewegen, auf dem seine Entfernung zum Zentrum gleich bleibt. Der Graph zeigt nur die Entfernung, nicht seinen vollständigen Bewegungsweg. 3. Zwischen Minute \(40\) mit \(10\,\text{km}\) und Minute \(60\) mit \(0\,\text{km}\) verläuft der Graph geradlinig. Nach \(45\) Minuten beträgt die Entfernung \(7{,}5\,\text{km}\). 4. Jedem dargestellten Zeitpunkt ist genau eine Entfernung zugeordnet. Daher ist die Zuordnung eine Funktion.

a) \(60\,\text{min}\) b) \(6\,\text{km}\). Von Minute \(15\) bis \(25\) bleibt die Entfernung bei \(6\,\text{km}\); ob der Kurier dabei stillsteht, lässt sich aus diesem Entfernungsgraphen nicht sicher folgern. c) \(7{,}5\,\text{km}\) d) Funktion, weil jedem Zeitpunkt genau eine Entfernung zugeordnet ist.

- Suche nach lokalen Hochpunkten: Dort wechselt der Verlauf von steigend zu fallend. - Vergleiche für b) die Funktionswerte der beiden Hochpunkte auf derselben Skala. - Drehe für c) die Zuordnungsrichtung um und prüfe, ob ein Pegelwert die Uhrzeit eindeutig festlegt.

1. Die beiden deutlichsten lokalen Hochpunkte liegen ungefähr bei \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. 2. Der erste Hochpunkt liegt bei etwa \(90\,\text{dB}\), der zweite bei etwa \(80\,\text{dB}\). Der erste ist damit ungefähr \(10\,\text{dB}\) höher. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Derselbe Pegelwert tritt im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auf; damit kann eine Eingabe in der umgekehrten Zuordnung mehrere Ausgaben besitzen.

a) Ungefähr um \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. b) Etwa \(90\,\text{dB}\) gegenüber etwa \(80\,\text{dB}\); Unterschied ungefähr \(10\,\text{dB}\). c) Nein. Derselbe Pegelwert kann im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auftreten.

- Wo schneiden die Graphen die senkrechte Achse? - Wie zeigt sich das Abwickeln der Rollen im Vorzeichen der Steigung? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Restlängen?

1. Rolle A startet bei \(12\,\text{m}\) und wird mit \(1{,}5\,\text{m/h}\) abgewickelt. Rolle B startet bei \(18\,\text{m}\) und wird mit \(3\,\text{m/h}\) abgewickelt. Die zugehörigen Steigungen sind \(-1{,}5\) bzw. \(-3\). 2. \(-1{,}5x+12=-3x+18\) ergibt \(x=4\). Dann sind auf beiden Rollen \(6\,\text{m}\).

a) A: \(12\,\text{m}\), Abwickelgeschwindigkeit \(1{,}5\,\text{m/h}\); B: \(18\,\text{m}\), Abwickelgeschwindigkeit \(3\,\text{m/h}\) b) Nach \(4\,\text{h}\): je \(6\,\text{m}\)

- Welche Startwerte liest du an der senkrechten Achse ab? - Welche Steigung gehört zu jeder Gruppe? - Was bedeutet der Schnittpunkt für die gesammelten Massen?

1. Gruppe B startet bei \(40\,\text{kg}\), Gruppe A bei \(10\,\text{kg}\). A sammelt \(5\,\text{kg/Woche}\), B \(2\,\text{kg/Woche}\). 2. \(5x+10=2x+40\) ergibt \(x=10\). Dann sind es \(60\,\text{kg}\).

a) Gruppe B startet höher; Gruppe A sammelt mit \(5\,\text{kg/Woche}\) schneller als B mit \(2\,\text{kg/Woche}\). b) Nach \(10\) Wochen: je \(60\,\text{kg}\).

- Welche Größen stehen auf den beiden Achsen, und wie kannst du den zu \(240\,\text{l}\) gehörenden Zeitwert ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich, um die konstante Änderungsrate zu bestimmen? - Wie kannst du mit der gefundenen Funktionsgleichung die Zeit zu einem vorgegebenen Volumen berechnen?

1. Im Graphen gehört zum Volumen \(240\,\text{l}\) die Zeit \(t=7\,\text{min}\). 2. Der Graph schneidet die Volumenachse bei \(100\,\text{l}\). Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((7 \mid 240)\) auf dem Graphen. 3. Die Steigung beträgt \(m=\frac{240-100}{7-0}=20\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=20t+100\). 4. Für \(V(t)=360\) gilt \(360=20t+100\). Daraus folgt \(260=20t\) und damit \(t=13\).

a) Nach \(7\,\text{min}\) sind \(240\,\text{l}\) im Tank. b) \(V(t)=20t+100\); \(360\,\text{l}\) werden nach \(13\,\text{min}\) erreicht.

- Wie kannst du im Graphen den Funktionswert zur Zeit \(4\,\text{h}\) ablesen? - Welchen Anfangswert zeigt der Graph bei \(t=0\)? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du verwenden, um die Änderungsrate zu bestimmen? - Wie lässt sich mit der Funktionsgleichung die Zeit zu einer vorgegebenen Höhe bestimmen?

1. Im Graphen lässt sich bei \(t=4\) die Höhe \(18\,\text{cm}\) ablesen. 2. Der Anfangswert beträgt \(24\,\text{cm}\). Zusammen mit dem Punkt \((4 \mid 18)\) ergibt sich die Steigung \(m=\frac{18-24}{4-0}=-1{,}5\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(t)=-1{,}5t+24\). 4. Für \(h(t)=9\) gilt \(9=-1{,}5t+24\). Daraus folgt \(-15=-1{,}5t\) und damit \(t=10\).

a) Nach \(4\,\text{h}\) ist die Kerze \(18\,\text{cm}\) hoch. b) \(h(t)=-1{,}5t+24\); die Höhe \(9\,\text{cm}\) wird nach \(10\,\text{h}\) erreicht.

- Überlege dir, ob die Größe gleichmäßig (immer gleich viel pro Zeit), immer langsamer oder abwechselnd steigt und fällt. - Welcher Graph zeigt einen Vorgang, der sich ständig wiederholt? - Welcher Graph passt zu einer Größe, die nach einer Weile einen festen Endwert erreicht?

1. Zuordnung: (1) \(\rightarrow\) A. Da der Regen gleichmäßig fällt und das Fass zylindrisch ist, steigt der Wasserstand proportional zur Zeit an, was einem linearen Graphen entspricht. 2. Zuordnung: (2) \(\rightarrow\) B. Das Kind wächst anfangs schnell, dann langsamer, bis das Wachstum schließlich fast ganz aufhört. Dies zeigt der degressiv steigende Graph. 3. Zuordnung: (3) \(\rightarrow\) C. Die Schwingung ist ein periodischer Vorgang, bei dem sich die Höhe regelmäßig wiederholt, was durch den wellenförmigen Graphen dargestellt wird.

(1) – A; (2) – B; (3) – C.

- Wie unterscheiden sich der Graph einer linearen und einer quadratischen Funktion grundsätzlich? - Wo schneiden sich die beiden dargestellten Graphen? - Für den Höhenunterschied nach \(10\,\text{min}\) brauchst du beide Funktionswerte zum selben Zeitpunkt.

1. \(h_1(t)=15t\) ist linear, daher gehört Behälter 1 zur Geraden. \(h_2(t)=t^2\) ist quadratisch, daher gehört Behälter 2 zur Parabel. 2. Die Graphen schneiden sich bei \(t=0\) und \(t=15\). Zu Beginn sind beide Becken leer; nach \(15\,\text{min}\) sind die Wasserstände erneut gleich hoch. 3. Es gilt \(h_1(10)=15\cdot10=150\,\text{cm}\) und \(h_2(10)=10^2=100\,\text{cm}\). Der Unterschied beträgt \(50\,\text{cm}\).

a) Die Gerade gehört zu Behälter 1, die Parabel zu Behälter 2, weil \(h_1\) linear und \(h_2\) quadratisch ist. b) \(t=0\) und \(t=15\,\text{min}\); nach dem Start erneut nach \(15\,\text{min}\) c) \(50\,\text{cm}\)

- Welche Anfangsvolumina kannst du bei \(t=0\) direkt aus dem Graphen ablesen? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte eignen sich für die Steigungsberechnung bei jedem Tank? - Was bedeutet das Vorzeichen der Steigung jeweils im Sachzusammenhang?

1. Für Tank 1 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(10\,\text{l}\) ab. Außerdem liegt zum Beispiel der Punkt \((5 \mid 30)\) auf \(v_1\). Daher ist \(m=\frac{30-10}{5-0}=4\). 2. Somit gilt für Tank 1 \(V_1(t)=4t+10\). 3. Für Tank 2 liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(50\,\text{l}\) ab. Bei \(t=10\,\text{min}\) ist das Volumen \(0\,\text{l}\). Daher ist \(m=\frac{0-50}{10-0}=-5\). 4. Somit gilt für Tank 2 \(V_2(t)=-5t+50\).

Tank 1: \(V_1(t)=4t+10\) Tank 2: \(V_2(t)=-5t+50\)

- Welche beiden markierten Punkte liefern gut ablesbare Werte? - Um wie viele Liter ändert sich das Volumen zwischen diesen Punkten? - Teile die Volumenänderung durch die zugehörige Zeitänderung.

1. Im Graphen sind die Punkte \(P_1(2\mid10)\) und \(P_2(6\mid30)\) markiert. 2. Zwischen den Punkten nimmt das Volumen um \(30-10=20\,\text{l}\) zu, während \(6-2=4\,\text{min}\) vergehen. 3. Damit beträgt die Steigung \(m=\frac{20}{4}=5\). Die Füllrate ist also \(5\,\text{l/min}\).

\(5\,\text{l/min}\)

- Lies zu jedem gegebenen Datenvolumen die Höhe der zugehörigen waagerechten Stufe ab. - Achte an einer Sprungstelle darauf, welcher Punkt ausgefüllt und welcher offen ist. - Vergleiche für c) die Höhen zweier aufeinanderfolgender Stufen.

1. Bei \(v=0{,}3\,\text{GB}\) liegt der Graph bei \(K=0\,\text{€}\). Bei \(v=0{,}5\,\text{GB}\) ist der Punkt bei \(K=5\,\text{€}\) ausgefüllt, also betragen die Zusatzkosten genau \(5\,\text{€}\). Der Wert \(1{,}6\,\text{GB}\) liegt auf der Stufe bei \(K=15\,\text{€}\). 2. Bei genau \(1{,}0\,\text{GB}\) ist der Punkt bei \(10\,\text{€}\) ausgefüllt. Damit gilt an dieser Grenze bereits die Stufe von \(10\,\text{€}\). 3. Die Stufen liegen bei \(0\,\text{€}\), \(5\,\text{€}\), \(10\,\text{€}\), \(15\,\text{€}\) und \(20\,\text{€}\). Beim Beginn einer neuen Stufe steigen die Zusatzkosten jeweils um \(5\,\text{€}\).

a) \(0{,}3\,\text{GB}\rightarrow0\,\text{€}\); \(0{,}5\,\text{GB}\rightarrow5\,\text{€}\); \(1{,}6\,\text{GB}\rightarrow15\,\text{€}\) b) Bei genau \(1{,}0\,\text{GB}\) gilt bereits die Stufe von \(10\,\text{€}\). c) Jeweils um \(5\,\text{€}\)

- Überlege, welche Größe den Ablauf steuert und welche Größe sich mit ihr verändert. - Die Definitionsmenge umfasst alle sinnvollen Zeitwerte während des gesamten Druckvorgangs, nicht nur die fünf Tabellenstellen. - Nutze für die Wertemenge sowohl Anfangs- und Endmasse als auch die Angabe, wie sich die Masse dazwischen verhält. - Übersetze bei \(m(30)=91\) das Argument und den Funktionswert jeweils zurück in ihre Sachgrößen.

1. Die unabhängige Größe ist die Zeit \(t\) in Minuten. Die abhängige Größe ist die bereits gedruckte Masse \(m(t)\) in Gramm. 2. Der Druck läuft von Beginn bis zum Ende nach \(40\,\text{min}\). Für die Definitionsmenge gilt daher \(0\le t\le40\). 3. Die Masse beginnt bei \(0\,\text{g}\), wächst fortlaufend, nimmt nicht ab und endet bei \(120\,\text{g}\). Für die Wertemenge gilt daher \(0\le m(t)\le120\). 4. \(m(30)=91\) bedeutet: Nach \(30\,\text{min}\) sind \(91\,\text{g}\) des Modells gedruckt.

a) Unabhängig: Zeit \(t\) in min; abhängig: gedruckte Masse \(m(t)\) in g b) \(0\le t\le40\) c) \(0\le m(t)\le120\), weil die Masse fortlaufend von \(0\,\text{g}\) bis \(120\,\text{g}\) wächst. d) Nach \(30\,\text{min}\) sind \(91\,\text{g}\) gedruckt.

- Für a) liegt die 20. Minute innerhalb eines 15-Minuten-Abschnitts; nutze nur dort die ausdrücklich erlaubte geradlinige Modellannahme. - Für b) achte auf die Umrechnung von Minuten in Stunden. - Notiere für c) zunächst nur die vier Streckenzuwächse und beschreibe deren Muster. - Prüfe anschließend, ob die Tabelle außer Zeit und Entfernung überhaupt eine mögliche Ursache für dieses Muster erfasst.

1. Anna legt im Abschnitt von Minute 15 bis Minute 30 insgesamt \(4{,}5\,\text{km}\) zurück. Nach der geradlinigen Modellannahme sind das in 5 Minuten \(5:15\cdot4{,}5=1{,}5\,\text{km}\). Nach 20 Minuten ist Anna daher \(6{,}0\,\text{km}\) weit. Ben legt im selben 15-Minuten-Abschnitt ebenfalls \(4{,}5\,\text{km}\) zurück und ist nach 20 Minuten \(7{,}5\,\text{km}\) weit. Sein Vorsprung beträgt \(1{,}5\,\text{km}\). 2. Anna legt in \(60\,\text{min}=1\,\text{h}\) insgesamt \(18{,}0\,\text{km}\) zurück. Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). 3. Bens Streckenzuwächse in den vier 15-Minuten-Abschnitten betragen nacheinander \(6{,}0\,\text{km}\), \(4{,}5\,\text{km}\), \(3{,}0\,\text{km}\) und \(1{,}5\,\text{km}\). Die Daten stützen daher die Aussage, dass Ben in diesen Abschnitten immer weniger Strecke zurücklegt und sein durchschnittliches Tempo abnimmt. Die Ursache dafür wird jedoch nicht erfasst; Gegenwind ist durch die Tabelle nicht bewiesen.

a) Ben ist vorn; sein Vorsprung beträgt \(1{,}5\,\text{km}\). b) \(18\,\text{km/h}\) c) Bens Streckenzuwächse sind \(6{,}0\), \(4{,}5\), \(3{,}0\) und \(1{,}5\,\text{km}\) pro 15 Minuten. Die Abnahme des Tempos wird durch die Tabelle gestützt; Gegenwind als Ursache nicht.

- Vergleiche bei jedem Gefäß die Höhenzunahmen in sämtlichen gleich langen Zeitintervallen. - Da in gleichen Zeiten gleich viel Wasser zufließt, ist entscheidend, wie viel Höhe dieselbe zusätzliche Wassermenge erzeugt. - Formuliere die geometrische Schlussfolgerung nur unter den im Text genannten Modellannahmen.

1. Bei Gefäß A nimmt die Höhe in jedem \(10\)-Sekunden-Intervall um \(2{,}0\,\text{cm}\) zu. Bei konstantem Volumenzufluss ist diese gleichbleibende Höhenzunahme mit einem konstanten Querschnitt vereinbar. 2. Bei Gefäß B werden die Höhenzunahmen immer kleiner: \(3{,}5\,\text{cm}\), \(2{,}5\,\text{cm}\), \(1{,}5\,\text{cm}\), \(1{,}0\,\text{cm}\) und \(0{,}5\,\text{cm}\) pro \(10\,\text{s}\). Bei gleicher zugeführter Wassermenge spricht eine kleinere Höhenzunahme für einen größeren Querschnitt. Unter den angegebenen Modellannahmen wird Gefäß B daher nach oben breiter.

a) Gefäß A. Die Füllhöhe steigt in jedem \(10\)-Sekunden-Intervall um \(2{,}0\,\text{cm}\), was unter den Modellannahmen zu einem konstanten Querschnitt passt. b) Gefäß B wird nach oben breiter; die Höhenzunahmen pro \(10\,\text{s}\) werden fortlaufend kleiner.

- Vergleiche für a) jeweils die Änderung des Ladestands mit der Länge des betrachteten Zeitraums. - Prüfe für b) die Zuwächse zwischen aufeinanderfolgenden Messwerten, statt eine technische Ursache zu vermuten. - Für c) trennst du die beobachtete konstante Rate von der ausdrücklich angenommenen Fortsetzung über den Messzeitraum hinaus.

1. Beim neuen Smartphone steigt der Ladestand von \(5\,\%\) auf \(45\,\%\) in \(20\,\text{min}\). Das sind \(40:20=2\) Prozentpunkte pro Minute. Von \(40\) bis \(60\,\text{min}\) steigt er von \(72\,\%\) auf \(90\,\%\), also um \(18\) Prozentpunkte in \(20\,\text{min}\). Das sind \(18:20=0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Beim alten Modell steigt jeder Messwert in \(10\,\text{min}\) um \(10\) Prozentpunkte. Beim neuen Modell sind die Zuwächse anfangs größer und werden im Verlauf kleiner. Diese Aussage bezieht sich auf die beobachteten Messintervalle. 3. Beim alten Modell beträgt die beobachtete Rate \(1\) Prozentpunkt pro Minute. Nach \(60\,\text{min}\) fehlen von \(65\,\%\) bis \(100\,\%\) noch \(35\) Prozentpunkte. Unter der genannten Fortsetzungsannahme dauert das weitere \(35\,\text{min}\). Rechnerisch werden \(100\,\%\) nach insgesamt \(95\,\text{min}\) erreicht.

a) \(0\)–\(20\,\text{min}\): \(2\) Prozentpunkte pro Minute; \(40\)–\(60\,\text{min}\): \(0{,}9\) Prozentpunkte pro Minute. b) Das alte Modell zeigt in jedem Messintervall denselben Zuwachs; beim neuen Modell werden die Zuwächse im Verlauf kleiner. c) Unter der Fortsetzungsannahme nach insgesamt \(95\,\text{min}\).

- Rechne zuerst aus, um wie viele Prozentpunkte der Akkuladestand in einer Stunde sinkt. Bleibt dieser Wert zwischen allen Messpunkten gleich? - Wie viele Stunden sind von 10:00 Uhr bis 16:30 Uhr vergangen? - Wenn du weißt, wie viel der Akku pro Stunde verliert, kannst du ausrechnen, wie lange die verbleibende Akkuladung noch reicht. - Ein Term hilft dir, beliebige Zeiten einzusetzen. Was ist der Startwert und was wird abgezogen?

1. Durchschnittlicher Verbrauch (a): Von 10:00 bis 12:00 Uhr (2 h): \(100 - 84 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 12:00 bis 14:00 Uhr (2 h): \(84 - 68 = 16\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 14:00 bis 15:00 Uhr (1 h): \(68 - 60 = 8\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Von 15:00 bis 18:00 Uhr (3 h): \(60 - 36 = 24\) Prozentpunkte, also \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. Der Verbrauch ist über den gesamten Zeitraum konstant. 2. Ladestand um 16:30 Uhr (b): Von 10:00 bis 16:30 Uhr sind \(6{,}5\,\text{Stunden}\) vergangen. Einsetzen ergibt \(100 - 8 \cdot 6{,}5 = 48\). Der Ladestand beträgt \(48\,\%\). 3. Zeitpunkt für \(0\,\%\) (c): \(100 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12{,}5\). \(12{,}5\,\text{Stunden}\) nach 10:00 Uhr ist 22:30 Uhr. 4. Funktionsterm (d): Mit dem Startwert \(100\) und einer Abnahme von \(8\) Prozentpunkten pro Stunde gilt \(y = 100 - 8x\).

a) Der Verbrauch ist konstant und beträgt \(8\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Um 16:30 Uhr beträgt der Ladestand \(48\,\%\). c) Der Akku wird um 22:30 Uhr leer sein. d) Der Term lautet \(y = 100 - 8x\).

- Nutze die im Aufgabentext erklärte Bedeutung des offenen und des ausgefüllten Punkts bei \(s=8\,\text{km}\). - Welche Größe steht auf der waagerechten Achse: Weg oder Zeit? - Überlege, was mit dem Wegwert während eines Stillstands geschieht.

1. Bei \(s=8\,\text{km}\) zeigt der ausgefüllte Punkt \(v(8)=0\,\text{km/h}\), während der offene Punkt bei \((8\mid50)\) nicht zum Graphen gehört. Das kann idealisiert einen kurzen Halt an genau diesem Wegpunkt darstellen, zum Beispiel an einer roten Ampel. 2. Auf der waagerechten Achse steht der zurückgelegte Weg und nicht die Zeit. 3. Während eines Stillstands ändert sich der Wegwert nicht. Die gesamte Wartezeit gehört deshalb zum selben Wegpunkt \(s=8\,\text{km}\). Ein Weg-Geschwindigkeits-Diagramm kann dort den Wert \(0\,\text{km/h}\), aber keine Wartezeitdauer zeigen.

a) Bei Kilometer \(8\) gab es im Modell einen Halt, zum Beispiel an einer Ampel. b) Während des Wartens ändert sich der Wegwert nicht. Das Diagramm zeigt deshalb nur \(v(8)=0\,\text{km/h}\), aber nicht, wie lange der Halt dauert.

- Bestimme zuerst die Zeitspanne zwischen den beiden Messzeitpunkten. - Teile die Änderung in Prozentpunkten durch diese Zeitspanne. - Für b) gehst du vom Messwert um \(12{:}15\,\text{Uhr}\) zwei Stunden rückwärts. - Welche natürliche Obergrenze hat ein Ladestand in Prozent?

1. Von \(12{:}15\,\text{Uhr}\) bis \(14{:}45\,\text{Uhr}\) vergehen \(2{,}5\,\text{h}\). 2. Der Ladestand sinkt um \(88-63=25\) Prozentpunkte. Pro Stunde sind das \(25:2{,}5=10\) Prozentpunkte. 3. Von \(63\,\%\) bis \(0\,\%\) fehlen bei derselben Abnahme \(63:10=6{,}3\,\text{h}\), also \(6\,\text{h}\) und \(18\,\text{min}\). Das ergibt \(21{:}03\,\text{Uhr}\). 4. \(10{:}15\,\text{Uhr}\) liegt \(2\,\text{h}\) vor \(12{:}15\,\text{Uhr}\). Rückwärts gerechnet ergibt das \(88\,\%+20\) Prozentpunkte \(=108\,\%\). 5. Ein Akku kann nicht mehr als \(100\,\%\) geladen sein. Der Modellwert \(108\,\%\) ist daher unmöglich; die angenommene unveränderte Abnahme pro Stunde kann nicht bis in diesen früheren Zeitraum zurückreichen.

a) \(10\) Prozentpunkte pro Stunde; bei unveränderter Abnahme wäre der Akku um \(21{:}03\,\text{Uhr}\) leer. b) \(108\,\%\) c) \(108\,\%\) ist für einen Akku unmöglich; das Modell gilt daher nicht für diesen früheren Zeitraum.

- Für a) vergleichst du die gesamte Änderung mit der Länge des Zeitraums. - Wo liegt 2018 zwischen 2016 und 2020, wenn du eine gleichmäßige Veränderung annimmst? - Vergleiche für c) die jüngere durchschnittliche Änderung pro Jahr mit der Änderung, die bis 2030 nötig wäre.

1. Von 2000 bis 2012 steigt die Müllmenge um \(42\,\text{kg}-32\,\text{kg}=10\,\text{kg}\) in \(12\) Jahren. Pro Jahr sind das im Durchschnitt \(10:12\approx0{,}83\,\text{kg}\). 2. Das Jahr 2018 liegt genau in der Mitte zwischen 2016 und 2020. Bei gleichmäßiger Veränderung liegt der Modellwert deshalb in der Mitte zwischen \(44\,\text{kg}\) und \(45\,\text{kg}\): \((44+45):2=44{,}5\,\text{kg}\). 3. Von 2012 bis 2020 steigt die Müllmenge um \(45\,\text{kg}-42\,\text{kg}=3\,\text{kg}\) in \(8\) Jahren, also im Durchschnitt um \(3:8=0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr. Für mehr als \(60\,\text{kg}\) im Jahr 2030 wären ausgehend von \(45\,\text{kg}\) im Jahr 2020 mehr als \(15\,\text{kg}\) in \(10\) Jahren, also mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr, nötig. Das passt nicht zum jüngeren Verlauf des vereinfachten Datensatzes.

a) Etwa \(0{,}83\,\text{kg}\) pro Jahr b) \(44{,}5\,\text{kg}\) c) Nach dem Datensatz eher nicht; von 2012 bis 2020 sind es im Durchschnitt nur \(0{,}375\,\text{kg}\) pro Jahr, für über \(60\,\text{kg}\) im Jahr 2030 wären mehr als \(1{,}5\,\text{kg}\) pro Jahr nötig.

- Beschreibe zuerst für jede Abteilung, ob die Werte mit der Zeit steigen oder fallen. - Betrachte für den Gleichstand die Differenz der beiden Mitgliederzahlen in den Jahren 2019 und 2022 und nimm dazwischen eine lineare Änderung an. - Für 2025 kannst du die Änderung des letzten Dreijahresabschnitts auf den nächsten gleich langen Abschnitt übertragen.

1. Die Mitgliederzahl im Tennis sinkt von \(240\) auf \(190\), während sie im Basketball von \(80\) auf \(210\) steigt. 2. Im Jahr 2019 beträgt die Differenz „Tennis minus Basketball“ \(205-175=30\), im Jahr 2022 beträgt sie \(190-210=-20\). Die Differenz nimmt in \(3\) Jahren also um \(50\) ab. Bis zum Gleichstand muss sie um \(30\) abnehmen; das entspricht \(\frac{30}{50}\) des Dreijahreszeitraums, also \(\frac{30}{50}\cdot 3=1{,}8\) Jahren nach 2019. Der Gleichstand liegt damit ungefähr im Jahr 2021. 3. Von 2019 bis 2022 steigt Basketball um \(210-175=35\) Mitglieder. Bei gleicher linearer Entwicklung kommen bis 2025 nochmals \(35\) hinzu, also \(210+35=245\).

a) Die Tennisabteilung verliert Mitglieder, während die Basketballabteilung Mitglieder gewinnt. b) Unter der Annahme einer gleichmäßigen Entwicklung liegt der Gleichstand ungefähr im Jahr 2021. c) Für 2025 ergibt die Trendfortsetzung ungefähr \(245\) Basketballmitglieder.

- Bestimme zuerst die Zahl der berechneten Minuten. - Vergleiche die Kosten beider Anbieter bei \(10\) Minuten und danach die Kosten pro weiterer berechneter Minute. - Überlege für d), ob der Preis innerhalb einer angefangenen Minute stetig steigt oder zunächst konstant bleibt.

1. Bei einer tatsächlichen Fahrtdauer wird auf die nächste volle Minute aufgerundet; \(n\) bezeichnet die Zahl der berechneten Minuten. Dann gilt \(K_{\text{Flitz}}=1{,}00+0{,}15n\) und \(K_{\text{Saust}}=0{,}25n\). 2. Für \(5\), \(10\) und \(15\) Minuten ergeben sich bei Flitz \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\) und bei Saust \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\). 3. Für ganze Fahrzeiten von \(1\) bis \(12\) Minuten ergibt sich: <table> <tr><th>Minuten</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr> <tr><th>Flitz in €</th><td>\(1{,}15\)</td><td>\(1{,}30\)</td><td>\(1{,}45\)</td><td>\(1{,}60\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(1{,}90\)</td><td>\(2{,}05\)</td><td>\(2{,}20\)</td><td>\(2{,}35\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}65\)</td><td>\(2{,}80\)</td></tr> <tr><th>Saust in €</th><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}75\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}25\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(2{,}00\)</td><td>\(2{,}25\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}75\)</td><td>\(3{,}00\)</td></tr> </table> 4. Bei \(10\) berechneten Minuten kosten beide Anbieter \(2{,}50\,\text{€}\). Für mehr als \(10\) berechnete Minuten ist Flitz günstiger, weil dessen Preis pro weiterer Minute geringer ist. 5. Für Bruchteile einer Minute bleibt jeweils der Preis der nächsten berechneten vollen Minute konstant und springt erst an der nächsten Minutengrenze. Eine durchgehende schräge Verbindung der Tabellenpunkte würde daher falsche Zwischenpreise darstellen.

a) Flitz: \(1{,}75\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}25\,\text{€}\); Saust: \(1{,}25\,\text{€}\), \(2{,}50\,\text{€}\), \(3{,}75\,\text{€}\) b) <table><tr><th>Minuten</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><th>Flitz in €</th><td>\(1{,}15\)</td><td>\(1{,}30\)</td><td>\(1{,}45\)</td><td>\(1{,}60\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(1{,}90\)</td><td>\(2{,}05\)</td><td>\(2{,}20\)</td><td>\(2{,}35\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}65\)</td><td>\(2{,}80\)</td></tr><tr><th>Saust in €</th><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}75\)</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(1{,}25\)</td><td>\(1{,}50\)</td><td>\(1{,}75\)</td><td>\(2{,}00\)</td><td>\(2{,}25\)</td><td>\(2{,}50\)</td><td>\(2{,}75\)</td><td>\(3{,}00\)</td></tr></table> c) Die Aussage ist wahr. Bei \(10\) Minuten kosten beide \(2{,}50\,\text{€}\); danach ist Flitz günstiger. d) Nein. Innerhalb einer angefangenen Minute bleibt der berechnete Preis konstant und springt erst an der nächsten Minutengrenze.

- Berechne die Gesamtkosten jeweils mit dem für die Bestellmenge gültigen Stückpreis. - Vergleiche 9 und 11 Shirts direkt, statt nur die Stückpreise zu betrachten. - Für c) bildet jede ganzzahlige Bestellmenge zusammen mit ihrem Gesamtpreis einen Graphpunkt. - Prüfe, welche Werte die Stückzahl im Kontext überhaupt annehmen kann.

1. Für 10 Shirts gilt \(10\cdot15{,}00\,\text{€}=150{,}00\,\text{€}\). Für 11 Shirts gilt \(11\cdot12{,}00\,\text{€}=132{,}00\,\text{€}\). Damit kosten 11 Shirts insgesamt \(18{,}00\,\text{€}\) weniger als 10 Shirts. 2. Für 9 Shirts gilt \(9\cdot15{,}00\,\text{€}=135{,}00\,\text{€}\). 11 Shirts kosten \(132{,}00\,\text{€}\), also \(3{,}00\,\text{€}\) weniger. 3. Die vier Punkte sind \((1\mid15)\), \((10\mid150)\), \((11\mid132)\) und \((15\mid180)\), wobei die zweite Koordinate jeweils den Gesamtpreis in Euro angibt. 4. Beim Wechsel von 10 zu 11 Shirts fällt der Gesamtpreis von \(150{,}00\,\text{€}\) auf \(132{,}00\,\text{€}\), obwohl die Stückzahl steigt. Zwischenwerte werden nicht dargestellt, weil nur ganze T-Shirt-Anzahlen bestellt werden können.

a) 10 Shirts: \(150{,}00\,\text{€}\); 11 Shirts: \(132{,}00\,\text{€}\). 11 Shirts sind trotz größerer Menge günstiger. b) 9 Shirts kosten \(135{,}00\,\text{€}\), 11 Shirts \(132{,}00\,\text{€}\); Ersparnis: \(3{,}00\,\text{€}\). c) \((1\mid15)\), \((10\mid150)\), \((11\mid132)\), \((15\mid180)\). Von 10 zu 11 Shirts springt der Gesamtpreis nach unten; Zwischenpunkte entfallen, weil nur ganze Stückzahlen zulässig sind.

- Übersetze \(30\,\text{min}\) in Stunden und beachte das Wort „angefangene“. - Prüfe an jeder Tarifgrenze, zu welcher Preisstufe der Grenzwert selbst gehört. - Beschreibe den Graphen über konstante Preisbereiche statt nur über einzelne Punkte. - Überlege für c), ob sich der Preis innerhalb einer angefangenen Stunde überhaupt verändert.

1. Für \(45\,\text{min}\) beginnt nach den freien 30 Minuten die erste kostenpflichtige angefangene Stunde, also kostet das Parken \(2{,}50\,\text{€}\). Bei \(2\,\text{h}\) sind zwei angefangene kostenpflichtige Stunden zu zahlen, also \(5{,}00\,\text{€}\). Für \(6\,\text{h}\) und \(10\,\text{h}\) greift der Höchstpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). 2. Es gilt \(P=0\) für \(0\le t\le0{,}5\); \(P=2{,}50\) für \(0{,}5<t\le1{,}5\); \(P=5{,}00\) für \(1{,}5<t\le2{,}5\); \(P=7{,}50\) für \(2{,}5<t\le3{,}5\); \(P=10{,}00\) für \(3{,}5<t\le4{,}5\); \(P=12{,}50\) für \(4{,}5<t\le5{,}5\); danach gilt bis \(10\,\text{h}\) der Höchstpreis \(15{,}00\,\text{€}\). 3. Innerhalb jeder angefangenen Abrechnungsstunde bleibt der Preis zunächst konstant; an der nächsten Grenze springt er um \(2{,}50\,\text{€}\). Ab dem Höchstpreis bleibt er dauerhaft konstant. Schräge Verbindungen würden Zwischenpreise darstellen, die der Tarif nicht vorsieht.

a) \(45\,\text{min}\to2{,}50\,\text{€}\); \(2\,\text{h}\to5{,}00\,\text{€}\); \(6\,\text{h}\to15{,}00\,\text{€}\); \(10\,\text{h}\to15{,}00\,\text{€}\) b) \(0\le t\le0{,}5\): \(0\,\text{€}\); \(0{,}5<t\le1{,}5\): \(2{,}50\,\text{€}\); \(1{,}5<t\le2{,}5\): \(5{,}00\,\text{€}\); \(2{,}5<t\le3{,}5\): \(7{,}50\,\text{€}\); \(3{,}5<t\le4{,}5\): \(10{,}00\,\text{€}\); \(4{,}5<t\le5{,}5\): \(12{,}50\,\text{€}\); \(5{,}5<t\le10\): \(15{,}00\,\text{€}\) c) Der Preis bleibt innerhalb jeder Stufe konstant und springt an Tarifgrenzen; ab dem Höchstpreis bleibt er konstant. Schräge Verbindungen würden nicht verlangte Zwischenpreise zeigen.

- Werte beide Zuordnungen zunächst für dieselbe Eingabe aus. - Eine Abweichung ist die Differenz der beiden Ergebnisse. - Vergleiche für die Behauptung sowohl den gemeinsamen Wert an der Grenze als auch die beiden Koeffizienten vor \(C\).

1. Bei \(30\,^\circ\text{C}\) liefert die Faustformel \(2\cdot30+30=90\,^\circ\text{F}\), die exakte Formel \(1{,}8\cdot30+32=86\,^\circ\text{F}\). 2. Bei \(25\,^\circ\text{C}\) ergeben sich \(80\,^\circ\text{F}\) und \(77\,^\circ\text{F}\); die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). 3. Bei \(C=10\) liefern beide Terme \(50\). Für größere Werte wächst \(2C+30\) wegen des größeren Koeffizienten stärker als \(1{,}8C+32\). 4. Die Behauptung ist daher in der Form „ab \(10\)“ falsch: Bei genau \(10\,^\circ\text{C}\) sind die Werte gleich; erst für \(C>10\) ist die Faustformel größer.

a) Faustformel: \(90\,^\circ\text{F}\); exakt: \(86\,^\circ\text{F}\). b) Die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). c) Die Behauptung ist falsch; bei \(10\,^\circ\text{C}\) sind beide Werte gleich, erst darüber ist die Faustformel größer.

- Unterscheide bei \(V(t)\) zwischen dem Argument \(t\) und dem zugehörigen Wasservolumen. - Übersetze „weitere 30 Minuten nach Minute 10“ zuerst in ein Argument der Funktion. - Für c) suchst du das Argument zu einem vorgegebenen Funktionswert. - Die sinnvolle Definitionsmenge endet dort, wo der Tank voll ist.

1. \(V(10)=90\) bedeutet: Nach \(10\,\text{min}\) befinden sich \(90\,\text{l}\) im Tank. Für \(t=40\) gilt \(V(40)=40+5\cdot40=240\). Nach weiteren \(30\,\text{min}\) ab dem Zeitpunkt \(t=10\) wären also erst \(240\,\text{l}\) im Tank. 2. Damit ist die Behauptung falsch; nach insgesamt \(40\,\text{min}\) ist der \(300\)-Liter-Tank noch nicht voll. 3. Gesucht ist \(40+5t=300\). Daraus folgt \(5t=260\) und \(t=52\). Der Tank wird nach \(52\,\text{min}\) voll. 4. Das Modell gilt vom Beginn bis zum Vollwerden. Daher gilt für die Zeit \(0\le t\le52\). Die Wassermenge reicht von \(40\,\text{l}\) bis \(300\,\text{l}\), also \(40\le V\le300\).

a) Nach \(10\,\text{min}\) sind \(90\,\text{l}\) im Tank; \(V(40)=240\,\text{l}\). b) Die Behauptung ist falsch; nach insgesamt \(40\,\text{min}\) sind erst \(240\,\text{l}\) im Tank. c) \(t=52\,\text{min}\) d) \(D_V\): \(0\le t\le52\), in Minuten; \(W_V\): \(40\le V\le300\), in Litern

- Bestimme für beide Angebote zuerst die variablen Kosten pro Monat. - Bei Angebot B kommt zu diesen laufzeitabhängigen Kosten noch ein fester Betrag hinzu. - Woran erkennt man an einem Funktionsterm der Form \(am+b\), ob die Zuordnung direkt proportional ist?

1. Bei Angebot A betragen die Jahreszinsen \(1500\,\text{€}\cdot0{,}11=165\,\text{€}\), also \(13{,}75\,\text{€}\) pro Monat. Daher gilt \(K_A(m)=13{,}75\,\text{€}\cdot m\). 2. Bei Angebot B betragen die Jahreszinsen \(90\,\text{€}\), also \(7{,}50\,\text{€}\) pro Monat. Mit der festen Gebühr gilt \(K_B(m)=7{,}50\,\text{€}\cdot m+15\,\text{€}\). 3. Für \(m=3\) gilt \(K_A(3)=41{,}25\,\text{€}\) und \(K_B(3)=37{,}50\,\text{€}\). Angebot B ist um \(3{,}75\,\text{€}\) günstiger. 4. \(K_A\) ist direkt proportional, weil der Term die Form \(a m\) hat und \(K_A(0)=0\) gilt. \(K_B\) ist wegen der festen Gebühr \(15\,\text{€}\) nicht direkt proportional.

a) \(K_A(m)=13{,}75\,\text{€}\cdot m\), \(K_B(m)=7{,}50\,\text{€}\cdot m+15\,\text{€}\) b) Angebot A: \(41{,}25\,\text{€}\); Angebot B: \(37{,}50\,\text{€}\). Angebot B ist um \(3{,}75\,\text{€}\) günstiger. c) \(K_A\) ist direkt proportional; \(K_B\) ist wegen des konstanten Summanden \(15\,\text{€}\) nicht direkt proportional.

- Vergleiche für a) jeweils zwei aufeinanderfolgende Tabellenwerte und trenne Beobachtung von Erklärung. - Frage dich danach, welche Größe die Tabelle tatsächlich erfasst und welche mögliche Ursache darin nicht gemessen wird. - Für b) vergleichst du die gesamte Abnahme mit der vergangenen Zeit. - Prüfe für c), ob ein bestimmter Ladestand die Uhrzeit eindeutig festlegt.

1. Zwischen 16:00 Uhr und 18:00 Uhr steigt der gemessene Ladestand von \(44\,\%\) auf \(88\,\%\). Sicher belegt ist nur, dass der spätere Messwert höher ist. Ein Ladevorgang ist eine plausible Erklärung, wird durch die Tabelle allein aber nicht bewiesen, weil sie keine Ursache des Anstiegs erfasst. 2. Von 07:00 Uhr bis 12:00 Uhr vergehen \(5\,\text{h}\). Der Ladestand sinkt um \(100-60=40\) Prozentpunkte. Der durchschnittliche Verbrauch beträgt daher \(40:5=8\) Prozentpunkte pro Stunde. 3. Der Ladestand \(60\,\%\) tritt zu zwei verschiedenen Uhrzeiten auf, nämlich um 12:00 Uhr und um 14:00 Uhr. Damit ist die Zuordnung Ladestand \(\to\) Uhrzeit nicht eindeutig und daher keine Funktion.

a) Der gemessene Ladestand steigt zwischen 16:00 Uhr und 18:00 Uhr von \(44\,\%\) auf \(88\,\%\). Laden ist eine mögliche Erklärung, aber durch die Tabelle allein nicht bewiesen. b) \(8\) Prozentpunkte pro Stunde c) Nein. Zum Ladestand \(60\,\%\) gehören zwei Uhrzeiten, 12:00 Uhr und 14:00 Uhr.

- Vergleiche die Änderungen zwischen den aufeinanderfolgenden Messwerten, ohne den auffälligen Wert vorschnell als Fehler zu bezeichnen. - Zur Wertemenge gehören die tatsächlich berücksichtigten Temperaturwerte, nicht alle Werte zwischen ihnen. - Zur Definitionsmenge der Messreihe gehören nur die Uhrzeiten, zu denen gemessen wurde. - Überlege für die Schätzung, welche Änderung pro Stunde die übrigen Messwerte gemeinsam zeigen.

1. Ohne den Wert um 11:00 Uhr liegen die übrigen Messwerte auf einem Muster mit einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde: Von 08:00 bis 10:00 Uhr steigt die Temperatur in jeder Stunde um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\), und von 10:00 bis 12:00 Uhr steigt sie insgesamt um \(1{,}4\,^\circ\text{C}\). Daher fällt \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) deutlich aus diesem Muster. Aus der Tabelle allein folgt aber nicht sicher, dass ein Messfehler vorliegt; auch ein reales Ereignis könnte einen ungewöhnlichen Messwert verursacht haben. 2. Ohne den auffälligen Wert ist \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\). 3. Zu sechs vollen Stunden wurde gemessen. Daher ist \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\), wobei die Zahlen für 08:00 Uhr bis 13:00 Uhr stehen. 4. Das erkennbare Muster ist eine Zunahme um \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde. Für 11:00 Uhr ergibt sich daher als Schätzwert \(19{,}6\,^\circ\text{C}+0{,}7\,^\circ\text{C}=20{,}3\,^\circ\text{C}\).

a) Auffällig ist \(31{,}5\,^\circ\text{C}\) um 11:00 Uhr. Die übrigen Werte passen zu einer Zunahme von \(0{,}7\,^\circ\text{C}\) pro Stunde; ein Messfehler ist damit aber nicht bewiesen. b) \(W_T=\{18{,}2;18{,}9;19{,}6;21{,}0;21{,}7\}\,^\circ\text{C}\) c) \(D_T=\{8;9;10;11;12;13\}\) d) \(20{,}3\,^\circ\text{C}\)

- Welche Gleichung beschreibt eine Nullstelle einer Funktion? - Welche Bedeutung hat ein Funktionswert von \(0\) bei einer Höhe, die relativ zum Talboden gemessen wird? - Wie begrenzt die Nullstelle den sachlich sinnvollen Zeitbereich? - Welche Größe musst du für den zweiten Wanderer ebenfalls als Nullstelle bestimmen, damit du die Ankunftszeiten vergleichen kannst?

1. Es gilt \(h(2{,}5)=1500-240\cdot2{,}5=900\). Nach \(2{,}5\) Stunden befindet sich der Wanderer noch \(900\,\text{m}\) über dem Talboden. 2. Für die Nullstelle gilt \(1500-240t_0=0\). Daraus folgt \(240t_0=1500\) und \(t_0=6{,}25\). 3. Der Nullstellenpunkt lautet \(N(6{,}25\mid0)\). Er bedeutet, dass der Wanderer nach \(6{,}25\,\text{h}=6\,\text{h}\,15\,\text{min}\) den Talboden erreicht. 4. Für die Wanderung ist daher \(0\le t\le6{,}25\) sinnvoll. Die modellierten Höhen erfüllen \(0\,\text{m}\le h(t)\le1500\,\text{m}\). 5. Für den zweiten Wanderer gilt an der Nullstelle \(1200-180t=0\). Damit ist \(t=\frac{20}{3}\,\text{h}=6\,\text{h}\,40\,\text{min}\). 6. Da \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}<6\,\text{h}\,40\,\text{min}\), erreicht der erste Wanderer das Tal zuerst.

a) \(900\,\text{m}\) über dem Talboden b) \(t_0=6{,}25\,\text{h}\); \(N(6{,}25\mid0)\). Der Punkt beschreibt das Erreichen des Talbodens nach \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). c) Zeitbereich: \(0\le t\le6{,}25\); Höhenbereich: \(0\,\text{m}\le h(t)\le1500\,\text{m}\) d) Nullstelle von \(g\): \(\frac{20}{3}\,\text{h}=6\,\text{h}\,40\,\text{min}\). Der erste Wanderer erreicht das Tal zuerst.

- Welcher Teil der Kosten hängt vom Verbrauch ab und welcher bleibt konstant? - Welche Größen entsprechen in \(K(x)=mx+t\) der Steigung \(m\) und dem Achsenabschnitt \(t\)? - Wie kannst du ein gegebenes Wertepaar mit deiner Funktionsgleichung prüfen? - Wie gehst du vor, wenn statt des Verbrauchs der Rechnungsbetrag gegeben ist?

1. Der verbrauchsabhängige Preis ist die Steigung \(m=0{,}80\), die Grundgebühr ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=18{,}50\). Daher gilt \(K(x)=0{,}80x+18{,}50\). 2. Für \(x=40\) ergibt sich \(K(40)=0{,}80\cdot40+18{,}50=50{,}50\). Die Angabe passt zum Tarifmodell. 3. Für Teil b gilt \(74{,}50=0{,}80x+18{,}50\). Nach Subtraktion von \(18{,}50\) folgt \(56=0{,}80x\). 4. Division durch \(0{,}80\) ergibt \(x=70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) \(K(x)=0{,}80x+18{,}50\); die Angabe für \(40\,\text{kWh}\) ist korrekt. b) \(70\,\text{kWh}\)

- Welche Höhenänderung findet zwischen 13:00 Uhr und 15:00 Uhr statt? - Wie wird eine Uhrzeit vor 13:00 Uhr durch einen negativen \(x\)-Wert dargestellt? - Achte darauf, die maximale Höhe in Zentimeter umzuwandeln.

1. Aus \((0\mid40)\) und \((2\mid100)\) folgt \(m=30\,\text{cm/h}\). Daher gilt \(h(x)=30x+40\). 2. Für Bodenhöhe gilt \(0=30x+40\), also \(x=-\frac43\). Das sind \(1\,\text{h}\,20\,\text{min}\) vor 13:00 Uhr, also 11:40 Uhr. 3. \(1{,}60\,\text{m}=160\,\text{cm}\). Aus \(160=30x+40\) folgt \(x=4\), also 17:00 Uhr.

a) \(h(x)=30x+40\); Steigung \(30\,\text{cm/h}\) b) 11:40 Uhr c) 17:00 Uhr

- Untersuche, um wie viele Grade die Temperatur in gleichen Zeitabschnitten sinkt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Werte nicht immer um denselben Betrag fallen? - Überlege, warum ein heißes Getränk irgendwann nicht mehr kälter wird.

1. Prüfung auf Linearität: Im Intervall \([0;2]\) beträgt die durchschnittliche Änderungsrate \((59-75):(2-0)=-8\,^\circ\text{C/min}\). Im Intervall \([2;4]\) beträgt sie \((47-59):(4-2)=-6\,^\circ\text{C/min}\). Da die Änderungsraten nicht konstant sind, ist die Zuordnung nicht linear. 2. Die Temperatur sinkt kontinuierlich. Zu Beginn kühlt der Kakao schneller ab; später wird die Abkühlung langsamer. Zwischen Minute 10 und Minute 15 beträgt die durchschnittliche Änderungsrate nur noch \((23-28):(15-10)=-1\,^\circ\text{C/min}\). 3. Die Zimmertemperatur muss unter \(23\,^\circ\text{C}\) liegen, weil der Kakao bei der letzten Messung noch abkühlt. Ein Wert von etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\) ist plausibel. Aus endlich vielen Messwerten lässt sich die genaue Zimmertemperatur ohne ein zusätzliches Abkühlungsmodell jedoch nicht eindeutig bestimmen.

a) Die Zuordnung ist nicht linear, weil die Temperaturabnahme pro Minute nicht konstant ist, zum Beispiel \(-8\,^\circ\text{C/min}\) am Anfang und \(-1\,^\circ\text{C/min}\) im letzten Intervall. b) Der Kakao kühlt anfangs schnell und später immer langsamer ab. c) Eine plausible Schätzung liegt bei etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\). Der genaue Wert ist aus den Messdaten allein nicht eindeutig bestimmbar.

- Vergleiche zuerst die Höhenzunahmen in gleich langen Zeitabschnitten. - Für die durchschnittliche Zunahme pro Minute vergleichst du Höhenänderung und zugehörige Zeitspanne. - Stelle dir für c) in beiden Fassbereichen dieselbe zugeflossene Wassermenge vor: In welchem Bereich verteilt sie sich auf eine größere Grundfläche?

1. In den ersten 10 Minuten steigt die Füllhöhe um \(12\,\text{cm}\), zwischen Minute 20 und 30 dagegen nur um \(6\,\text{cm}\). Die Füllhöhe nimmt daher nicht während des gesamten Zeitraums in gleich langen Abschnitten um gleich viel zu. 2. Von Minute \(0\) bis Minute \(20\) beträgt die durchschnittliche Zunahme \((24-0):(20-0)=1{,}2\,\text{cm/min}\). Von Minute \(20\) bis Minute \(50\) beträgt sie \((42-24):(50-20)=0{,}6\,\text{cm/min}\). 3. Im oberen Bereich steigt der Wasserspiegel bei demselben Volumenstrom nur halb so schnell. Für dieselbe zugeflossene Wassermenge wird dort also weniger zusätzliche Höhe benötigt. Im angegebenen Zwei-Bereiche-Modell bedeutet das eine größere Querschnittsfläche. Der obere Bereich ist daher breiter als der untere.

a) Nein. Die Füllhöhe nimmt nicht während des gesamten Zeitraums gleichmäßig zu. b) Minute \(0\) bis \(20\): \(1{,}2\,\text{cm/min}\); Minute \(20\) bis \(50\): \(0{,}6\,\text{cm/min}\) c) Der Bereich oberhalb von \(24\,\text{cm}\) ist breiter, weil der Wasserspiegel dort bei gleichem Volumenstrom langsamer steigt.

- Formuliere für a), welche Größe die Eingabe und welche Größe die Ausgabe der Zuordnung ist. - Vergleiche für die durchschnittliche Änderung die gesamte Volumenänderung mit der vergangenen Zeit. - Überlege für die Umrechnung, wie viele Minuten eine Stunde hat. - Für c) nutzt du zusätzlich die ausdrücklich genannte Annahme einer gleichmäßigen Zunahme.

1. Zu jedem betrachteten Zeitpunkt gehört genau ein Wasserinhalt der Regentonne. Daher ist die Zuordnung \(t\mapsto V(t)\) eine Funktion. 2. Der Wasserinhalt nimmt um \(105\,\text{l}-45\,\text{l}=60\,\text{l}\) in \(12\,\text{min}\) zu. Das sind durchschnittlich \(60\,\text{l}:12\,\text{min}=5\,\text{l/min}\). Auf eine Stunde hochgerechnet ergibt das \(5\,\text{l/min}\cdot60\,\text{min/h}=300\,\text{l/h}\). 3. Sechs Minuten sind die Hälfte des beobachteten Zeitraums. Bei gleichmäßiger Zunahme ist dann die Hälfte von \(60\,\text{l}\), also \(30\,\text{l}\), hinzugekommen. Somit gilt \(V(6)=75\,\text{l}\).

a) Ja. Jedem betrachteten Zeitpunkt wird genau ein Wasserinhalt zugeordnet. b) \(5\,\text{l/min}\) beziehungsweise \(300\,\text{l/h}\) c) Unter der Annahme gleichmäßiger Zunahme gilt \(V(6)=75\,\text{l}\).

- Welche Gesamtzeit setzt sich aus der festen Hinwegzeit und der variablen Rückwegzeit zusammen? - Vergleiche den Nenner \(t+1{,}5\) mit dem Nenner \(t\) von \(g(t)=\frac{15}{t}\). - Welcher Nennerwert würde die mathematische Funktion undefiniert machen, und ist dieser Wert als Rückwegzeit überhaupt sinnvoll?

1. Die Gesamtzeit beträgt \(1{,}5+t\) Stunden. Daher ist \(v(t)=\frac{15}{t+1{,}5}\) für \(t\in\mathbb{Q}_{>0}\). 2. Für die mathematische Erweiterung gilt \(V(t)=\frac{15}{t+1{,}5}\) mit \(D_V=\mathbb{Q}\setminus\{-1{,}5\}\). Gegenüber \(g(t)=\frac{15}{t}\) ist der Graph um \(1{,}5\) Einheiten nach links verschoben. Die senkrechte Asymptote ist \(t=-1{,}5\), die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). 3. Es gilt \(v(2)=\frac{15}{3{,}5}=\frac{30}{7}\approx4{,}29\,\text{km/h}\). 4. Im Sachzusammenhang ist nur \(t>0\) sinnvoll. Der Wert \(t=-1{,}5\) liegt deshalb außerhalb der sachbezogenen Definitionsmenge.

a) \(v(t)=\frac{15}{t+1{,}5}\) für \(t\in\mathbb{Q}_{>0}\) b) \(D_V=\mathbb{Q}\setminus\{-1{,}5\}\); Verschiebung um \(1{,}5\) nach links; Asymptoten \(t=-1{,}5\) und \(y=0\) c) \(v(2)\approx4{,}29\,\text{km/h}\); \(t=-1{,}5\) ist als Rückwegzeit unmöglich, weil im Sachzusammenhang \(t>0\) gelten muss.

- Rechne die Pause und den Abstieg zuerst vollständig in Stunden um. - Bestimme die Höhen an den Zeitpunkten, an denen sich die Bewegungsphase ändert. - Vergleiche für b) jeweils Höhenänderung und Dauer. - Für c) kann dieselbe Höhe auf dem Hinauf- und auf dem Hinabweg vorkommen.

1. Die Eckpunkte sind \((0\mid400)\), \((2\mid1000)\), \((2{,}5\mid1000)\) und \((4\mid700)\). Die Punkte werden entsprechend dem gleichmäßigen Aufstieg, der Pause und dem gleichmäßigen Abstieg geradlinig verbunden. 2. Beim Aufstieg beträgt die vertikale Geschwindigkeit \((1000-400):2=300\,\text{m/h}\). Beim Abstieg beträgt ihr Betrag \((1000-700):1{,}5=200\,\text{m/h}\). Damit ist der Aufstieg vertikal schneller. 3. Beim Aufstieg gilt \((850-400):300=1{,}5\,\text{h}\). 4. Beim Abstieg müssen von \(1000\,\text{m}\) noch \(150\,\text{m}\) mit \(200\,\text{m/h}\) zurückgelegt werden. Das dauert \(0{,}75\,\text{h}\) nach Ende der Pause, also ist der zweite Zeitpunkt \(2{,}5+0{,}75=3{,}25\,\text{h}\).

a) \((0\mid400)\), \((2\mid1000)\), \((2{,}5\mid1000)\), \((4\mid700)\); benachbarte Punkte werden geradlinig verbunden. b) Aufstieg: \(300\,\text{m/h}\); Abstieg: \(200\,\text{m/h}\). Der Aufstieg ist vertikal schneller. c) Nach \(1{,}5\,\text{h}\) und nach \(3{,}25\,\text{h}\)

- Überlege zuerst, wie viele 30-Minuten-Blöcke bei \(145\,\text{min}\) angebrochen sind. - Prüfe für b) die Kosten nach sieben und nach acht angebrochenen Blöcken. - Für c) frage dich, ob sich der Preis innerhalb eines bereits angebrochenen Blocks weiter verändert.

1. Für \(145\,\text{min}\) sind fünf 30-Minuten-Blöcke angebrochen. Die Kosten betragen \(2{,}50\,\text{€}+4\cdot1{,}50\,\text{€}=8{,}50\,\text{€}\). 2. Nach sieben angebrochenen Blöcken lägen die Kosten ohne Deckel bei \(2{,}50\,\text{€}+6\cdot1{,}50\,\text{€}=11{,}50\,\text{€}\). Mit Beginn des achten Blocks würden \(13{,}00\,\text{€}\) entstehen, deshalb greift dort der Tageshöchstpreis \(12{,}00\,\text{€}\). 3. Der achte Block beginnt bei Nutzungsdauern größer als \(210\,\text{min}\). Bei Erfassung in ganzen Minuten wird der Höchstpreis daher erstmals bei \(211\,\text{min}\) berechnet. 4. Innerhalb jedes 30-Minuten-Blocks bleibt der Preis konstant. Beim Beginn des nächsten Blocks springt er um \(1{,}50\,\text{€}\), bis der Tageshöchstpreis erreicht ist. Für Nutzungsdauern größer als \(210\,\text{min}\) bleibt der Graph bei \(12{,}00\,\text{€}\) waagerecht.

a) \(8{,}50\,\text{€}\) b) Ab \(211\,\text{min}\) c) Innerhalb jedes 30-Minuten-Blocks ist der Graph waagerecht; an der nächsten Blockgrenze springt der Preis nach oben. Für \(x>210\,\text{min}\) bleibt der Preis konstant bei \(12{,}00\,\text{€}\).

- Vergleiche in a) für jeden Zeitraum die Höhenänderung mit der Anzahl der Tage. - Prüfe bei b), wie viele Messwerte zwischen Tag 15 und Tag 20 tatsächlich vorliegen. - Unterscheide eine durchschnittliche Änderung über mehrere Tage von Aussagen über jeden einzelnen Tag. - Für c) berechnest du zuerst die Vorhersage des ausdrücklich genannten Modells und vergleichst sie anschließend mit dem Messwert.

1. Von Tag 0 bis Tag 5 beträgt die durchschnittliche Zunahme \((22-12):5=2\,\text{cm/Tag}\). Von Tag 5 bis Tag 15 beträgt sie \((62-22):10=4\,\text{cm/Tag}\). Von Tag 15 bis Tag 20 beträgt sie \((92-62):5=6\,\text{cm/Tag}\). Von Tag 20 bis Tag 30 beträgt sie \((112-92):10=2\,\text{cm/Tag}\). 2. Die Tabelle enthält zwischen Tag 15 und Tag 20 keine täglichen Messwerte. \(6\,\text{cm/Tag}\) ist nur die durchschnittliche Änderung über den gesamten Zeitraum. Daraus folgt nicht, dass die Pflanze an jedem einzelnen Tag genau \(6\,\text{cm}\) gewachsen ist. 3. Das Modell liefert für Tag 30 den Wert \(92+10\cdot6=152\,\text{cm}\). Gemessen wurden \(112\,\text{cm}\). Die Modellvorhersage liegt damit um \(40\,\text{cm}\) zu hoch. Die durchschnittliche Zunahme von Tag 15 bis Tag 20 lässt sich also nicht unverändert auf die folgenden zehn Tage übertragen.

a) \(2\,\text{cm/Tag}\), \(4\,\text{cm/Tag}\), \(6\,\text{cm/Tag}\), \(2\,\text{cm/Tag}\) b) Nein. \(6\,\text{cm/Tag}\) ist nur die durchschnittliche Zunahme zwischen zwei Messzeitpunkten; ein tägliches Wachstum von genau \(6\,\text{cm}\) ist nicht belegt. c) Modellwert: \(152\,\text{cm}\); Messwert: \(112\,\text{cm}\). Das Modell überschätzt die Höhe um \(40\,\text{cm}\) und passt für die Fortsetzung nach Tag 20 nicht.

- Trenne die tatsächlich in der Tabelle vorhandenen Argumente von möglichen Zwischenwerten. - Eine Funktion kann nur an Argumenten ausgewertet werden, die zu ihrer Definitionsmenge gehören. - In c) darfst du den Zwischenwert erst berechnen, weil dort ausdrücklich ein neues Modell eingeführt wird.

1. Die Definitionsmenge besteht genau aus den fünf in der Tabelle aufgeführten Jahren: \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\). Die Wertemenge ist \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\). 2. \(2019{,}5\) gehört nicht zu \(D_L\). Deshalb ist \(L(2019{,}5)\) für die reine Tabellenfunktion nicht definiert. 3. Im zweiten Modell liegt die Jahresmitte genau zwischen den Funktionswerten von 2019 und 2020. Der Modellwert ist \((23\,900+39\,500):2=31\,700\). Dieser Wert entsteht erst durch das geradlinige Verbindungsmodell und gehört nicht zu den ursprünglich gegebenen Tabellendaten.

a) \(D_L=\{2017;2018;2019;2020;2021\}\), \(W_L=\{10\,700;15\,600;23\,900;39\,500;52\,200\}\) b) Nein. \(2019{,}5\notin D_L\). c) Im zusätzlichen Modell: \(31\,700\) Ladepunkte. Dieser Wert entsteht erst durch die Annahme einer geradlinigen Verbindung.

- Werte das vorgeschlagene Modell an jedem Tabellenargument aus, statt nach dem ersten Widerspruch abzubrechen. - Für b) zählt nur exakte Gleichheit von Modellwert und Messwert. - Für c) vergleichst du die Änderung der beiden Messwerte mit den fünf Tagen dazwischen.

1. Das Modell liefert \(h_M(0)=50{,}0\), \(h_M(5)=48{,}0\), \(h_M(10)=46{,}0\), \(h_M(15)=44{,}0\) und \(h_M(20)=42{,}0\). Verglichen mit den Messwerten \(50{,}0\), \(48{,}5\), \(46{,}5\), \(44{,}0\), \(41{,}0\) stimmen nicht alle Werte überein. Das Modell beschreibt die Tabelle daher nicht exakt. 2. Exakte Übereinstimmung gibt es bei \(t=0\) und \(t=15\). 3. Von Tag 15 bis Tag 20 ändert sich der Messwert um \(41{,}0-44{,}0=-3{,}0\,\text{m}\) in \(5\) Tagen. Das sind im Durchschnitt \(-3{,}0:5=-0{,}6\,\text{m/Tag}\), also ein Absinken um \(0{,}6\,\text{m}\) pro Tag.

a) Modellwerte: \(50{,}0\), \(48{,}0\), \(46{,}0\), \(44{,}0\), \(42{,}0\,\text{m}\). Das Modell beschreibt die Messwerte nicht exakt. b) Bei \(t=0\) und \(t=15\) c) Im Durchschnitt sinkt der Wasserstand um \(0{,}6\,\text{m}\) pro Tag.

- Bestimme zuerst für jedes Fahrzeug die Fahrzeit in Abhängigkeit von derselben Strecke. - Der Zeitvorsprung ist die Differenz der beiden Fahrzeiten. - Prüfe nach dem Vereinfachen, ob der Term die Form „konstanter Faktor mal \(s\)“ besitzt. - Bringe für Teil c die Zeitangabe auf Stunden.

1. Die Fahrzeiten sind \(t_L(s)=\frac{s}{60}\) und \(t_M(s)=\frac{s}{80}\). Daher gilt \(\Delta t(s)=\frac{s}{60}-\frac{s}{80}=\frac{s}{240}\). 2. Der Term hat die Form \(\Delta t(s)=k s\) mit dem konstanten Faktor \(k=\frac{1}{240}\). Damit ist \(\Delta t\) direkt proportional zu \(s\). Bei doppelter Strecke verdoppelt sich der Zeitvorsprung. 3. \(15\,\text{min}=0{,}25\,\text{h}\). Aus \(\frac{s}{240}=0{,}25\) folgt \(s=60\,\text{km}\).

a) \(\Delta t(s)=\frac{s}{240}\,\text{h}\) b) Direkte Proportionalität; bei doppelter Strecke verdoppelt sich \(\Delta t\). c) \(60\,\text{km}\)

- Die Tabellenwerte sind Modellstützpunkte; zwischen ihnen wird eine gleichmäßige Änderung angenommen. - Wenn ein Zeitpunkt genau in der Mitte zwischen zwei Stützpunkten liegt, liegt auch der Modellwert genau zwischen den beiden Höhen. - Bestimme für Teil 3 zuerst, um wie viele Meter sich der Wasserstand pro Stunde im betreffenden Abschnitt ändert.

1. 04:30 Uhr liegt genau in der Mitte zwischen 03:00 Uhr mit \(6{,}0\,\text{m}\) und 06:00 Uhr mit \(4{,}5\,\text{m}\). Der Modellwert ist daher \((6{,}0+4{,}5):2=5{,}25\,\text{m}\). 10:30 Uhr liegt genau in der Mitte zwischen 09:00 Uhr mit \(3{,}0\,\text{m}\) und 12:00 Uhr mit \(4{,}5\,\text{m}\). Der Modellwert ist \((3{,}0+4{,}5):2=3{,}75\,\text{m}\). 2. Der Wasserstand steigt von 00:00 bis 03:00 Uhr, von 09:00 bis 15:00 Uhr und von 21:00 bis 24:00 Uhr. Er sinkt von 03:00 bis 09:00 Uhr und von 15:00 bis 21:00 Uhr. 3. Von 06:00 bis 09:00 Uhr sinkt der Wasserstand um \(1{,}5\,\text{m}\) in \(3\,\text{h}\), also um \(0{,}5\,\text{m}\) pro Stunde. Von \(4{,}5\,\text{m}\) bis \(4{,}0\,\text{m}\) dauert es daher eine Stunde: Um 07:00 Uhr werden \(4\,\text{m}\) erreicht. Von 09:00 bis 12:00 Uhr steigt der Wasserstand ebenfalls um \(0{,}5\,\text{m}\) pro Stunde. Von \(3{,}0\,\text{m}\) bis \(4{,}0\,\text{m}\) dauert es zwei Stunden: Um 11:00 Uhr werden \(4\,\text{m}\) erreicht. Zwölf Stunden später gelten entsprechend 19:00 Uhr und 23:00 Uhr. Da das Boot bei genau \(4\,\text{m}\) noch fahren kann, ist die Ein- oder Ausfahrt nur nach 07:00 Uhr bis vor 11:00 Uhr sowie nach 19:00 Uhr bis vor 23:00 Uhr nicht möglich.

1. Um 04:30 Uhr: \(5{,}25\,\text{m}\); um 10:30 Uhr: \(3{,}75\,\text{m}\) 2. Steigend: 00:00–03:00 Uhr, 09:00–15:00 Uhr und 21:00–24:00 Uhr. Sinkend: 03:00–09:00 Uhr und 15:00–21:00 Uhr. 3. Nach 07:00 Uhr bis vor 11:00 Uhr sowie nach 19:00 Uhr bis vor 23:00 Uhr

- Vergleiche Änderungsraten nur in Zeiträumen, in denen der Ladestand tatsächlich sinkt. - Trenne bei 3. eine Aussage über zwei Messpunkte von einer Aussage über alles, was dazwischen passiert ist. - Für die Prognose in 4. gilt die frühere Änderungsrate nur deshalb weiter, weil der Text diese Fortsetzung ausdrücklich annimmt.

1. Von \(08{:}00\) bis \(10{:}00\) Uhr sinkt der Ladestand von \(100\,\%\) auf \(60\,\%\), also um \(40\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das sind durchschnittlich \(20\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Von \(10{:}30\) bis \(12{:}30\) Uhr sinkt der Ladestand von \(90\,\%\) auf \(20\,\%\), also um \(70\) Prozentpunkte in \(2\) Stunden. Das sind \(35\) Prozentpunkte pro Stunde und damit mehr als die \(20\) Prozentpunkte pro Stunde von \(08{:}00\) bis \(10{:}00\) Uhr. Von \(10{:}00\) bis \(10{:}30\) Uhr steigt der Ladestand und gehört deshalb nicht zu den Zeiträumen mit sinkendem Ladestand. 3. Sicher ist nur, dass beide aufgezeichneten Messwerte \(20\,\%\) betragen. Aus zwei gleichen Messwerten allein folgt weder, dass der Ladestand während der gesamten Stunde konstant war, noch dass das Auto abgestellt war; dafür fehlen weitere Informationen. 4. Bei der angenommenen Rate von \(35\) Prozentpunkten pro Stunde reichen \(20\) Prozentpunkte noch \(20:35\approx0{,}5714\,\text{h}\). Das sind etwa \(34{,}3\,\text{min}\). Auf die nächste Minute gerundet ergibt sich ungefähr \(14{:}04\) Uhr.

1. \(20\) Prozentpunkte pro Stunde. 2. Von \(10{:}30\) bis \(12{:}30\) Uhr mit \(35\) Prozentpunkten pro Stunde. 3. Sicher ist nur: Beide Messwerte betragen \(20\,\%\). Dass das Auto abgestellt war oder der Ladestand dazwischen ständig gleich blieb, folgt daraus nicht. 4. Rechnerisch ungefähr um \(14{:}04\) Uhr.

- Welcher Ausdruck steht im Nenner von \(K\) an der Stelle, an der bei \(H\) nur \(x\) steht? - Für welchen Wert von \(x\) wird der Nenner der mathematischen Erweiterung null? - Bei echter indirekter Proportionalität müsste welches Produkt mit \(n\) konstant bleiben?

1. Es gilt \(K(x)=H(x-3)\). Der Graph von \(H\) wird daher um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. 2. Der Nenner von \(K\) wird bei \(x=3\) null. Die senkrechte Asymptote lautet deshalb \(x=3\). Im Sachzusammenhang entspräche \(n=3\) genau den drei nicht zahlenden Betreuern; es gäbe keine zahlende Person, auf die die Kosten verteilt werden könnten. 3. Für eine indirekt proportionale Zuordnung müsste \(n\cdot k(n)\) konstant sein. Hier ist aber \(n\cdot\frac{240}{n-3}\) nicht konstant. Dagegen gilt \((n-3)\cdot k(n)=240\). Daher ist \(n\mapsto k(n)\) nicht indirekt proportional.

a) Um \(3\) Einheiten nach rechts. b) Senkrechte Asymptote der mathematischen Erweiterung: \(x=3\); bei \(n=3\) gäbe es keine zahlende Person, daher sind Kosten pro zahlender Person nicht definiert. c) Nein. \(n\cdot k(n)\) ist nicht konstant; konstant ist \((n-3)\cdot k(n)=240\).

- Teile die Tour an jedem Wechsel von Geschwindigkeit oder Pause in Abschnitte. - Für die Tabelle sind die verlangten Zeitpunkte fest vorgegeben; bestimme dort jeweils die bis dahin angesammelte Gesamtstrecke. - Bei der Rückwärtsfrage in 3) musst du zuerst feststellen, in welchem Fahrabschnitt die gesuchte Strecke erreicht wird. - Für die Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit zählt auch die Pausenzeit zur gesamten verstrichenen Zeit.

1. An den geforderten Zeitpunkten ergeben sich: \(09{:}00\) Uhr \(\mapsto0\,\text{km}\); \(10{:}00\) Uhr \(\mapsto18\,\text{km}\); \(11{:}30\) Uhr \(\mapsto36\,\text{km}\); \(12{:}00\) Uhr \(\mapsto36\,\text{km}\); \(12{:}30\) Uhr \(\mapsto49\,\text{km}\). 2. Um \(11{:}00\) Uhr liegt die Radfahrerin im zweiten Fahrabschnitt. Seit \(10{:}00\) Uhr ist eine Stunde vergangen, also beträgt die Gesamtstrecke \(18\,\text{km}+12\,\text{km}=30\,\text{km}\). 3. Nach \(10{:}00\) Uhr fehlen von \(18\,\text{km}\) bis \(24\,\text{km}\) noch \(6\,\text{km}\). Bei \(12\,\text{km/h}\) dauert das \(6:12=0{,}5\,\text{h}\). Daher werden \(24\,\text{km}\) um \(10{:}30\) Uhr erreicht. 4. Die Gesamtstrecke beträgt \(49\,\text{km}\), die gesamte Zeit von \(09{:}00\) bis \(12{:}30\) Uhr \(3{,}5\,\text{h}\). Damit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(49:3{,}5=14\,\text{km/h}\).

1) \(09{:}00\mapsto0\,\text{km}\), \(10{:}00\mapsto18\,\text{km}\), \(11{:}30\mapsto36\,\text{km}\), \(12{:}00\mapsto36\,\text{km}\), \(12{:}30\mapsto49\,\text{km}\) 2) \(30\,\text{km}\) 3) \(10{:}30\) Uhr 4) \(14\,\text{km/h}\)

- Überlege dir zuerst, wie du die Gesamtkosten aus Grundpreis und verbrauchsabhängigem Preis zusammensetzt. - Achte darauf, dass alle Geldbeträge in derselben Einheit (entweder Euro oder Cent) stehen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich teuer“ sind? - Wie verändert sich eine Gerade im Koordinatensystem, wenn man ihren y-Achsenabschnitt oder ihre Steigung modifiziert?

1. Aufstellen der Kostenfunktionen: \(K_F(x) = 0{,}06x + 120\) und \(K_A(x) = 0{,}045x + 180\). Gleichsetzen: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 180\). Subtraktion von \(0{,}045x\) und \(120\) ergibt \(0{,}015x = 60\). Division durch \(0{,}015\) liefert \(x = 4000\). Die Kosten sind bei \(4000\,\text{kWh}\) identisch. 2. Neue Grundgebühr für „Aktiv“: \(180\,\text{€} \cdot 1{,}2 = 216\,\text{€}\). Neue Gleichung: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 216\). Dies führt zu \(0{,}015x = 96\). Lösung: \(x = 6400\). Bei \(6400\,\text{kWh}\) sind beide Tarife gleich teuer; der Wechsel zu „Aktiv“ lohnt sich für \(x > 6400\,\text{kWh}\). 3. Eine Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verringert die Steigung der zugehörigen Geraden. Bei unveränderten übrigen Parametern verschiebt sich der Schnittpunkt zu einem geringeren Verbrauchswert, da die Kostenvorteile des günstigeren Arbeitspreises früher die höhere Grundgebühr ausgleichen.

1. Bei einem Verbrauch von \(4000\,\text{kWh}\) sind die Kosten identisch. 2. Die kritische Verbrauchsmenge steigt auf \(6400\,\text{kWh}\). Bei diesem Verbrauch sind beide Tarife gleich teuer; günstiger ist „Aktiv“ erst für \(x > 6400\,\text{kWh}\). 3. Bei einer Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verschiebt sich der Schnittpunkt nach links (zu einem niedrigeren Verbrauchswert).

- Welche Zahl im linearen Term verändert sich mit der Nutzung, welche bleibt unabhängig von \(x\)? - Formuliere „günstiger“ als Vergleich der beiden Kostenfunktionen. - Beachte beim Lösen der Ungleichung, dass beide Seiten dieselbe Einheit beschreiben.

1. Für „DataFlex“ gilt \(m_F=0{,}05\) und \(b_F=10\); für „DataStart“ gilt \(m_S=0{,}08\) und \(b_S=5\). Der Parameter \(m\) beschreibt die zusätzlichen Kosten pro Gigabyte, \(b\) die monatliche Grundgebühr. 2. Gesucht ist \(K_F(x)<K_S(x)\). Daher gilt \(0{,}05x+10<0{,}08x+5\). 3. Umformen ergibt \(5<0{,}03x\), also \(x>\frac{500}{3}\). 4. „DataFlex“ ist damit genau für \(x>\frac{500}{3}\,\text{GB}\) günstiger.

1. „DataFlex“: \(m=0{,}05\,\text{€/GB}\), \(b=10\,\text{€}\); „DataStart“: \(m=0{,}08\,\text{€/GB}\), \(b=5\,\text{€}\). \(m\) ist der Preis pro zusätzlichem GB, \(b\) die Grundgebühr. 2. „DataFlex“ ist für \(x>\frac{500}{3}\,\text{GB}\) günstiger.

- Überlege dir zuerst, wie viel horizontale Strecke und wie viel Höhenunterschied im zweiten Abschnitt jeweils zurückgelegt werden. - Die Steigung einer Geraden berechnest du als Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung. - Achte beim Aufstellen der zweiten Funktionsgleichung darauf, dass diese an der Nahtstelle den richtigen Höhenwert liefert. - Prüfe bei den Berechnungen in c) und d), in welchem der beiden Abschnitte der gesuchte Wert liegt.

1. Berechnung der Steigungen: Für den ersten Abschnitt gilt \(m_1 = \frac{30\,\text{m}}{150\,\text{m}} = 0{,}2\). Für den zweiten Abschnitt beträgt die zusätzliche Höhendifferenz \(130\,\text{m} - 30\,\text{m} = 100\,\text{m}\) auf einer horizontalen Strecke von \(400\,\text{m} - 150\,\text{m} = 250\,\text{m}\). Daraus folgt \(m_2 = \frac{100\,\text{m}}{250\,\text{m}} = 0{,}4\). 2. Funktionsgleichungen: Für \(0 \le x \le 150\) gilt \(h(x) = 0{,}2x\). Für \(150 < x \le 400\) ergibt sich mit der Punkt-Steigungs-Form durch den Punkt \((150|30)\): \(h(x) = 0{,}4(x - 150) + 30 = 0{,}4x - 30\). 3. Höhe bei \(x = 250\): Da \(250 > 150\), wird der zweite Funktionsterm genutzt: \(h(250) = 0{,}4 \cdot 250 - 30 = 100 - 30 = 70\). Die Höhe beträgt \(70\,\text{m}\). 4. Entfernung für \(h = 90\): Da \(90 > 30\), liegt der Punkt im zweiten Abschnitt: \(90 = 0{,}4x - 30 \Rightarrow 120 = 0{,}4x \Rightarrow x = 300\). Die Entfernung beträgt \(300\,\text{m}\).

a) \(m_1 = 0{,}2\); \(m_2 = 0{,}4\) b) \(h(x) = 0{,}2x\) für \(0 \le x \le 150\) und \(h(x) = 0{,}4x - 30\) für \(150 < x \le 400\) c) \(70\,\text{m}\) d) \(300\,\text{m}\)

- Teile den Verlauf in zwei lineare Funktionen auf und bestimme jeweils Steigung und Achsenabschnitt (oder nutze die Punkt-Steigungs-Form). - Achte darauf, bei welchem \(x\)-Wert der Übergang zwischen den beiden Geradenstücken stattfindet. - Um \(x\) bei gegebener Höhe zu finden, musst du die passende Gleichung nach \(x\) umstellen. - Die durchschnittliche Steigung entspricht der Steigung einer gedachten direkten Verbindungslinie vom Start- zum Endpunkt.

1. Funktionsgleichungen: Im ersten Abschnitt (\(0 \le x \le 50\)) ist die Steigung \(m_1 = \frac{15}{50} = 0{,}3\), also \(h(x) = 0{,}3x\). Im zweiten Abschnitt (\(50 < x \le 150\)) beträgt die Steigung \(m_2 = \frac{75-15}{150-50} = \frac{60}{100} = 0{,}6\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 0{,}6(x - 50) + 15 = 0{,}6x - 15\). 2. Tabellenwerte: - Für \(x = 20\): \(h_1 = 0{,}3 \cdot 20 = 6\). - Für \(h = 9\): Da \(9 < 15\), gilt \(0{,}3x = 9 \Rightarrow x_2 = 30\). - Für \(x = 100\): Da \(100 > 50\), gilt \(h_3 = 0{,}6 \cdot 100 - 15 = 45\). - Für \(h = 60\): Da \(60 > 15\), gilt \(0{,}6x - 15 = 60 \Rightarrow 0{,}6x = 75 \Rightarrow x_4 = 125\). 3. Durchschnittliche Steigung: Gesamthöhe durch Gesamtdistanz ergibt \(\bar{m} = \frac{75\,\text{m}}{150\,\text{m}} = 0{,}5\).

a) \(h(x) = \begin{cases} 0{,}3x & \text{für } 0 \le x \le 50 \\ 0{,}6x - 15 & \text{für } 50 < x \le 150 \end{cases}\) b) \(h_1 = 6\); \(x_2 = 30\); \(h_3 = 45\); \(x_4 = 125\) c) \(0{,}5\) (oder \(50\,\%\))

- Unterscheide zwischen den tatsächlich gemessenen Kreuzen und den gezeichneten Verbindungen zwischen ihnen. - Frage dich, welche zusätzliche Annahme nötig ist, um einen Verlauf zwischen zwei Messzeitpunkten zu modellieren. - Beachte bei b) ausdrücklich die verlangte grobe Ablesegenauigkeit. - Suche bei c) nur das 5-Minuten-Intervall, in dem der Graph die Höhe \(40\,^\circ\text{C}\) erreicht.

1. Die Messwerte geben die Temperatur nur zu einzelnen Zeitpunkten an. Zwischen diesen Zeitpunkten ist der tatsächliche Verlauf nicht gemessen. Bei einem ungestörten Abkühlvorgang ist ein stetiger, sich allmählich ändernder Verlauf plausibel; deshalb kann die glatte Kurve ein sinnvolles Modell sein. Die Messwerte legen den Zwischenverlauf aber nicht eindeutig fest. 2. Bei \(t=12\,\text{min}\) liegt Graph B knapp unter \(50\,^\circ\text{C}\). Auf die verlangte Genauigkeit geschätzt sind das etwa \(50\,^\circ\text{C}\). 3. Die Höhe \(40\,^\circ\text{C}\) wird zwischen \(15\,\text{min}\) und \(20\,\text{min}\) erreicht.

a) Graph B ist als glattes Zwischenmodell plausibel, aber die Messpunkte bestimmen den tatsächlichen Zwischenverlauf nicht eindeutig. b) Etwa \(50\,^\circ\text{C}\) c) Zwischen \(15\,\text{min}\) und \(20\,\text{min}\)

- Lies für a) und b) zunächst nur das ab, was die beiden Achsen tatsächlich darstellen. - Trenne in c) die im Diagramm enthaltene Information von der zusätzlichen Information über die Sonnenfinsternis. - Frage dich, welche zusätzliche Art von Information nötig wäre, um eine Ursache des Einbruchs zu untersuchen. - Für d) beziehst du die Abnahme auf den Ausgangswert um 11:00 Uhr.

1. Um 10:00 Uhr beträgt die Leistung \(6\,\text{kW}\), um 12:00 Uhr \(2\,\text{kW}\). 2. Der auffällige Einbruch liegt im dargestellten Verlauf zwischen 11:00 Uhr und 13:00 Uhr. Sein kleinster dargestellter Wert liegt um 12:00 Uhr bei \(2\,\text{kW}\). 3. Der Graph belegt den modellierten zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung und damit den Leistungseinbruch. Er enthält jedoch keine Messgröße, die eine Ursache des Einbruchs identifiziert. Das zeitliche Zusammentreffen mit der Sonnenfinsternis macht einen Zusammenhang plausibel, beweist ihn durch diesen Graphen allein aber nicht. 4. Von 11:00 Uhr bis 12:00 Uhr sinkt die Leistung von \(8\,\text{kW}\) auf \(2\,\text{kW}\), also um \(6\,\text{kW}\). Bezogen auf den Ausgangswert sind das \(6:8=0{,}75=75\,\%\).

a) 10:00 Uhr: \(6\,\text{kW}\); 12:00 Uhr: \(2\,\text{kW}\) b) Zwischen 11:00 Uhr und 13:00 Uhr; kleinster Wert um 12:00 Uhr bei \(2\,\text{kW}\) c) Der Graph belegt den Leistungseinbruch im Modell, aber nicht dessen Ursache. Die Sonnenfinsternis ist eine plausible Erklärung, wird durch den Leistungsgraphen allein jedoch nicht bewiesen. d) \(75\,\%\)

- Vergleiche die verbalen Beschreibungen mit der Art, wie die zurückgelegte Strecke im jeweiligen Graphen zunimmt. - Eine Pause erkennst du daran, dass die insgesamt zurückgelegte Strecke trotz weiterlaufender Zeit gleich bleibt. - Für die Ankunftszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem ein Graph erstmals die im Text genannte Zielstrecke erreicht. - Lies Laras Wert bei \(40\,\text{min}\) direkt am zugeordneten Graphen ab.

1. Lara gehört zu Graph a, weil ihre Strecke in gleich langen Zeitabschnitten jeweils um gleich viel zunimmt. 2. Max gehört zu Graph b: Zunächst nimmt seine Strecke gleichmäßig zu, zwischen Minute 20 und 50 bleibt sie konstant, danach nimmt sie wieder mit derselben Änderung pro Minute wie vor der Pause zu. 3. Sophie gehört zu Graph c, weil die Strecke anfangs langsam und später immer schneller zunimmt. 4. Graph b erreicht \(20\,\text{km}\) nach \(70\,\text{min}\), Graph a nach \(80\,\text{min}\) und Graph c nach \(90\,\text{min}\). Max kommt daher zuerst an und benötigt \(70\,\text{min}\). 5. Bei Max ist die dargestellte Strecke von Minute 20 bis Minute 50 konstant. Die angegebene Reifenpause dauert somit \(30\,\text{min}\). 6. Auf Graph a liest man bei \(40\,\text{min}\) die Strecke \(10\,\text{km}\) ab.

a) Lara \(\rightarrow\) a; Max \(\rightarrow\) b; Sophie \(\rightarrow\) c b) 1. Max, \(70\,\text{min}\) 2. \(30\,\text{min}\) 3. \(10\,\text{km}\)

- Lies Anfangs- und Höchstwert direkt am Modellgraphen ab. - Ein waagerechter Abschnitt zeigt einen konstanten Modellwert. - Vergleiche in Teil c) die gesamte Temperaturänderung mit den drei Minuten. - Nutze für d), dass die benachbarten Modellpunkte ausdrücklich geradlinig verbunden sind.

1. Zu Beginn beträgt die Modelltemperatur \(20\,{}^\circ\text{C}\); maximal werden \(80\,{}^\circ\text{C}\) erreicht. 2. Von \(t=3\,\text{min}\) bis \(t=6\,\text{min}\) bleibt der Modellwert bei \(80\,{}^\circ\text{C}\). Das sind \(3\,\text{min}\). 3. In den ersten drei Minuten steigt der Modellwert um \(60\,{}^\circ\text{C}\). Pro Minute sind das im Durchschnitt \(60\,{}^\circ\text{C}:3\,\text{min}=20\,{}^\circ\text{C}/\text{min}\). 4. Im ersten geraden Modellabschnitt steigt die Temperatur um \(20\,{}^\circ\text{C}\) je Minute. Von \(20\,{}^\circ\text{C}\) bis \(65\,{}^\circ\text{C}\) fehlen \(45\,{}^\circ\text{C}\), also werden \(65\,{}^\circ\text{C}\) nach \(45:20=2{,}25\,\text{min}\) erreicht. Im geraden Abschnitt von \(t=6\,\text{min}\) bis \(t=8\,\text{min}\) fällt der Modellwert von \(80\,{}^\circ\text{C}\) auf \(50\,{}^\circ\text{C}\); der Wert \(65\,{}^\circ\text{C}\) liegt genau in der Mitte und wird bei \(t=7\,\text{min}\) erreicht.

a) Anfangstemperatur: \(20\,{}^\circ\text{C}\); maximale Temperatur: \(80\,{}^\circ\text{C}\) b) \(3\,\text{min}\) c) \(20\,{}^\circ\text{C}/\text{min}\) d) \(t=2{,}25\,\text{min}\) und \(t=7\,\text{min}\)

- Überlege, ob die Wasserhöhe bei gleichem Zufluss in einem schmalen oder in einem breiten Gefäß schneller zunimmt. - Vergleiche bei jedem Graphen den Anstieg vor und nach dem Knickpunkt. - Am Knickpunkt erreicht das Wasser die Grenze zwischen den beiden Zylindern.

1. Bei konstantem Zufluss steigt die Wasserhöhe in einem schmaleren Zylinder schneller als in einem breiteren Zylinder. 2. Graph g steigt zuerst schnell und nach dem Knick langsamer. Daher gehört er zu Gefäß A: unten schmal, oben breit. Graph f steigt zuerst langsamer und nach dem Knick schneller. Daher gehört er zu Gefäß B: unten breit, oben schmal. 3. Der Knick markiert jeweils die Grenze zwischen den Zylindern. Bei Gefäß A liegt sie bei \(4\,\text{cm}\), bei Gefäß B bei \(2\,\text{cm}\).

a) Graph g \(\rightarrow\) Gefäß A; Graph f \(\rightarrow\) Gefäß B b) Gefäß A: \(4\,\text{cm}\); Gefäß B: \(2\,\text{cm}\)

- Waagerechte Abschnitte stehen für konstante Höhe. - Suche für \(300\,\text{m}\) alle Stellen und Abschnitte auf dieser Höhe. - Vergleiche für die Änderungsangaben jeweils Höhenänderung und Zeitspanne. - Für den späteren Zeitpunkt mit \(300\,\text{m}\) hilft der Anteil der benötigten Höhenänderung am gesamten Sinkabschnitt.

1. Konstant bleibt die Höhe von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) bei \(300\,\text{m}\) und von \(3\) bis \(4\,\text{h}\) bei \(600\,\text{m}\). 2. Auf \(300\,\text{m}\) ist der Ballon zunächst während des gesamten Zeitraums von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\). Beim späteren Sinken von \(600\,\text{m}\) auf \(200\,\text{m}\) in einer Stunde erreicht er \(300\,\text{m}\) nach \(0{,}75\,\text{h}\), also bei \(t=4{,}75\,\text{h}\). 3. In der ersten Stunde steigt die Höhe um \(300\,\text{m}\). Das sind \(300\,\text{m/h}\). 4. Von \(4\) bis \(5\,\text{h}\) sinkt die Höhe um \(400\,\text{m}\) in einer Stunde. Dort nimmt sie um \(400\,\text{m/h}\) ab.

a) Von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) bei \(300\,\text{m}\); von \(3\) bis \(4\,\text{h}\) bei \(600\,\text{m}\) b) Von \(1\) bis \(1{,}5\,\text{h}\) sowie bei \(t=4{,}75\,\text{h}\) c) \(300\,\text{m/h}\) d) Von \(4\) bis \(5\,\text{h}\); \(400\,\text{m/h}\)

- Unterscheide zwischen den tatsächlichen ganzzahligen Besucherzahlen und dem kontinuierlichen Näherungsmodell im Diagramm. - Prüfe bei a), wo der Modellgraph oberhalb der Zeitachse liegt. - Achte bei b) und c) darauf, welche Genauigkeit die Skalierung des Diagramms zulässt. - Für d) brauchst du die Änderung des Modellwerts und die dazugehörige Zeitspanne.

1. Bei \(8{:}00\) Uhr und \(20{:}00\) Uhr hat das Modell den Wert \(0\). Dazwischen verläuft der Graph oberhalb der Zeitachse; die modellierte Besucherzahl ist daher nach \(8{:}00\) Uhr und vor \(20{:}00\) Uhr positiv. 2. Der höchste Punkt liegt ungefähr bei \(15{:}00\) Uhr und bei rund \(600\) Besuchern. 3. Die Höhe von \(400\) Besuchern wird ungefähr um \(12{:}00\) Uhr und um \(18{:}00\) Uhr erreicht. 4. Für \(10{:}00\) Uhr liest man ungefähr \(200\) Besucher und für \(12{:}00\) Uhr ungefähr \(400\) Besucher ab. Die durchschnittliche Zunahme beträgt damit ungefähr \((400-200):(12-10)=100\) Besucher pro Stunde.

a) Nach \(8{:}00\) Uhr und vor \(20{:}00\) Uhr b) Ungefähr um \(15{:}00\) Uhr mit etwa \(600\) Besuchern c) Ungefähr um \(12{:}00\) Uhr und um \(18{:}00\) Uhr d) Ungefähr \(100\) Besucher pro Stunde

- Welche Startzeiten kannst du an der \(x\)-Achse ablesen? - Wie bestimmst du die Geschwindigkeit aus der Änderung von Weg und Zeit? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Graphen? - Wie kannst du die Startzeit in einem linearen Funktionsterm berücksichtigen?

1. Lena legt in einer Stunde \(12\,\text{km}\) zurück, Jonas \(18\,\text{km}\). Daher fährt Lena \(12\,\text{km/h}\) und Jonas \(18\,\text{km/h}\). 2. Der Schnittpunkt liegt bei \((11{,}5\mid18)\). Jonas holt Lena daher um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) nach \(18\,\text{km}\) ein. 3. Für Lena gilt \(f(x)=12(x-10)=12x-120\), für Jonas \(g(x)=18(x-10{,}5)=18x-189\). Gleichsetzen liefert \(x=11{,}5\) und \(y=18\); das bestätigt das Ableseergebnis.

a) Lena: \(12\,\text{km/h}\); Jonas: \(18\,\text{km/h}\). Jonas ist schneller. b) Um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) bei \(18\,\text{km}\). c) Lena: \(f(x)=12x-120\) für \(x\ge10\); Jonas: \(g(x)=18x-189\) für \(x\ge10{,}5\); Schnittpunkt \((11{,}5\mid18)\).

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) an den beiden Kostengeraden ab? - Welche Kostengerade liegt nach dem Schnittpunkt tiefer? - An welcher Stelle trifft der Umsatzgraph jeweils eine Kostengerade? - Beachte bei Teil b), dass nur ganze Stückzahlen sinnvoll sind.

1. Bei \(x=0\) liest man für Verfahren A \(200\,\text{€}\) und für Verfahren B \(50\,\text{€}\) ab. Verfahren A hat daher die höheren Fixkosten. 2. Die beiden Kostengeraden schneiden sich bei \((150 \mid 275)\). Für \(x>150\) liegt die Kostengerade von Verfahren A unter der von Verfahren B. Bei ganzen Stückzahlen ist Verfahren A daher ab \(151\) Stück günstiger. 3. Der Umsatzgraph schneidet die Kostengerade von Verfahren B bei \(x=50\) und die von Verfahren A bei \(x=100\). Dies sind die jeweiligen Gewinnschwellen.

a) Verfahren A: \(200\,\text{€}\); Verfahren B: \(50\,\text{€}\). Verfahren A hat die höheren Fixkosten. b) Ab \(151\) Stück. c) Verfahren B: \(50\) Stück; Verfahren A: \(100\) Stück.

- Ordne jedem Wert von \(t\) zuerst die passende Uhrzeit zu. - Suche für b) die Punkte, an denen der Graph die waagerechte Achse trifft. - Vergleiche für d) jeweils Temperaturänderung und Zeitspanne, nicht nur die gesamte Temperaturänderung.

1. Aus dem Graphen liest man \(T(2)=2\,{}^\circ\text{C}\) und \(T(8)=-1\,{}^\circ\text{C}\) ab. Da die Messung um 6:00 Uhr beginnt, entspricht \(t=2\) der Uhrzeit 8:00 Uhr und \(t=8\) der Uhrzeit 14:00 Uhr. 2. Der Graph trifft die waagerechte Achse bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\). Dort gilt jeweils \(T(t)=0\,{}^\circ\text{C}\). 3. Der Höchstwert beträgt \(5\,{}^\circ\text{C}\), am Ende beträgt die Temperatur \(-3\,{}^\circ\text{C}\). Der Rückgang ist \(5\,{}^\circ\text{C}-(-3\,{}^\circ\text{C})=8\,{}^\circ\text{C}\). 4. Von \(t=0\) bis \(t=2\) beträgt die durchschnittliche Änderung \((2\,{}^\circ\text{C}-(-2\,{}^\circ\text{C})):2\,\text{h}=2\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\). Von \(t=2\) bis \(t=5\) beträgt sie \((5\,{}^\circ\text{C}-2\,{}^\circ\text{C}):3\,\text{h}=1\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\). Daher stieg die Temperatur im ersten Zeitraum schneller.

a) Bei \(t=2\), also um 8:00 Uhr: \(2\,{}^\circ\text{C}\); bei \(t=8\), also um 14:00 Uhr: \(-1\,{}^\circ\text{C}\) b) Bei \(t=1\) und \(t=7{,}5\); dort trifft der Graph die waagerechte Achse. c) Um \(8\,{}^\circ\text{C}\) d) Von \(t=0\) bis \(t=2\): \(2\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\); von \(t=2\) bis \(t=5\): \(1\,{}^\circ\text{C}/\text{h}\). Im ersten Zeitraum steigt die Temperatur schneller.

- Suche für a) den höchsten Punkt der Kurve. - Lies für b) zu den beiden Zeitpunkten die zugehörigen Höhen am Raster ab. - Prüfe bei c), ob derselbe Höhenwert auf dem steigenden und auf dem fallenden Teil des Graphen vorkommt.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \((1\mid4)\). Die maximale Höhe beträgt daher \(4\,\text{m}\) und wird nach \(1\,\text{s}\) erreicht. 2. Bei \(t=0{,}5\,\text{s}\) und bei \(t=1{,}5\,\text{s}\) liest man jeweils \(h=3\,\text{m}\) ab. 3. Die Zuordnung Höhe \(\to\) Zeit ist nicht eindeutig, weil fast jede Höhe zwischen \(0\,\text{m}\) und \(4\,\text{m}\) zu zwei verschiedenen Zeitpunkten erreicht wird: einmal beim Steigen und einmal beim Fallen. Daher ist diese Umkehrzuordnung keine Funktion.

a) \(4\,\text{m}\) nach \(1\,\text{s}\) b) Nach \(0{,}5\,\text{s}\) und nach \(1{,}5\,\text{s}\) jeweils \(3\,\text{m}\) c) Nein; fast jede Höhe gehört zu zwei Zeitpunkten. Daher ist die Zuordnung Höhe \(\to\) Zeit keine Funktion.

- Welche beiden Koordinatenpaare liefern die markierten Messpunkte? - Die Zuflussrate beschreibt, wie stark sich das Volumen pro Minute verändert. - Nutze nach der Bestimmung der Rate einen der Messpunkte, um den noch unbekannten Anfangswert zu finden. - Welche Form hat eine lineare Volumenfunktion, wenn Rate und Anfangswert bekannt sind?

1. Aus der Grafik liest man \(P_1(2\mid400)\) und \(P_2(8\mid1000)\) ab. Die Zuflussrate ist \(\frac{1000-400}{8-2}=100\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 2. Mit \(P_1\) gilt \(400=100\cdot2+V(0)\). Daraus folgt \(V(0)=200\,\text{l}\). 3. Das Modell lautet \(V(t)=100t+200\). 4. Nach \(15\) Minuten gilt \(V(15)=100\cdot15+200=1700\,\text{l}\).

a) \(100\,\text{l/min}\) b) \(V(0)=200\,\text{l}\) c) \(V(t)=100t+200\) d) \(1700\,\text{l}\)

- Welche Starttemperatur liest du jeweils an der senkrechten Achse ab? - Wie kannst du die Temperaturänderung pro Minute aus zwei Gitterpunkten bestimmen? - Was bedeutet derselbe Punkt auf beiden Temperaturgraphen?

1. Graph \(a\) schneidet die Temperaturachse bei \(5\) und steigt um \(0{,}1\,^\circ\text{C}\) pro Minute. Daher \(T_A(x)=0{,}1x+5\). 2. Graph \(b\) startet bei \(10\) und steigt um \(0{,}05\,^\circ\text{C}\) pro Minute. Daher \(T_B(x)=0{,}05x+10\). 3. Gleichsetzen liefert \(x=100\), \(T=15\). Nach \(100\) Minuten haben beide Proben \(15\,^\circ\text{C}\).

Probe A: \(T_A(x)=0{,}1x+5\); Probe B: \(T_B(x)=0{,}05x+10\). Bei \(100\,\text{min}\) haben beide \(15\,^\circ\text{C}\).

- Überlege, wie viel Wasser für einen zusätzlichen Zentimeter Höhe in einem schmalen beziehungsweise breiten Bereich benötigt wird. - Welcher Graph zeigt in gleich langen Zeitabschnitten immer denselben Höhenzuwachs? - Welcher Graph wird im Verlauf immer flacher?

1. Bei einem Zylinder ist die Querschnittsfläche überall gleich groß. Bei konstantem Zufluss nimmt die Füllhöhe deshalb in gleich langen Zeitabschnitten jeweils um gleich viel zu. Das zeigt Graph \(f\); daher gehört \(f\) zu Gefäß A. 2. Gefäß B wird nach oben breiter. Für jeden weiteren Zentimeter Höhe wird dadurch immer mehr Wasser benötigt. Bei konstantem Zufluss steigt die Füllhöhe immer langsamer; das zeigt der zunehmend flacher werdende Graph \(g\). Daher gehört \(g\) zu Gefäß B.

a) \(f\) gehört zu Gefäß A; \(g\) gehört zu Gefäß B. b) Beim Zylinder nimmt die Füllhöhe gleichmäßig zu. Beim nach oben breiter werdenden Gefäß nimmt sie immer langsamer zu.

- Suche den Punkt, an dem die Füllhöhe \(8\,\text{cm}\) erreicht und sich der Graphverlauf ändert. - Vergleiche in jedem Abschnitt Höhenzunahme und vergangene Zeit. - Überlege, ob Wasser bei gleichem Zufluss in einem schmaleren oder breiteren Zylinder schneller steigt.

1. Bei \(h=8\,\text{cm}\) liegt der Knickpunkt des Graphen bei \(t=4\,\text{s}\). Der untere zylindrische Abschnitt ist daher nach \(4\,\text{s}\) gefüllt. 2. Im unteren Abschnitt steigt das Wasser um \(8\,\text{cm}\) in \(4\,\text{s}\), also um \(2\,\text{cm/s}\). Im oberen Abschnitt steigt es von \(8\,\text{cm}\) auf \(18\,\text{cm}\), also um \(10\,\text{cm}\) in \(2\,\text{s}\), entsprechend \(5\,\text{cm/s}\). Bei gleichem Zufluss bedeutet der schnellere Höhenanstieg einen kleineren Querschnitt; der obere Zylinder hat daher den kleineren Durchmesser. 3. Die durchschnittlichen Höhenzunahmen betragen unten \(2\,\text{cm/s}\) und oben \(5\,\text{cm/s}\). Sie geben an, wie schnell die Wasserhöhe im jeweiligen zylindrischen Abschnitt zunimmt.

a) Nach \(4\,\text{s}\). b) Im oberen Abschnitt; dieser hat den kleineren Durchmesser. c) Unten \(2\,\text{cm/s}\), oben \(5\,\text{cm/s}\). Das ist die Zunahme der Füllhöhe pro Sekunde.

- Unterscheide die tatsächlich eingetragenen Monatswerte von den geraden Verbindungsstrecken des Modells. - Gewinn liegt dort vor, wo Graph e oberhalb von Graph a liegt. - Für c) suchst du den Schnittpunkt der beiden modellierten Verbindungsstrecken.

1. Gewinn entsteht dort, wo Graph e oberhalb von Graph a liegt. Die modellierten Geraden schneiden sich ungefähr bei \(t=6{,}5\). Ab dem 7. Monat liegt Graph e oberhalb von Graph a. In den vollen Monaten Juli bis Dezember sind die Einnahmen daher größer als die Ausgaben. 2. Bei den eingetragenen Monaten ist der Abstand mit den Ausgaben oberhalb der Einnahmen im 1. Monat am größten: etwa \(12\) gegenüber \(2\), jeweils in Tausend Euro. Der größte Verlust unter den eingetragenen Monaten liegt damit im Januar vor. 3. Die Verbindungsstrecken schneiden sich ungefähr bei \(t\approx6{,}5\), also zwischen Juni und Juli.

a) Juli bis Dezember b) Januar c) Zwischen Juni und Juli, ungefähr bei \(t\approx6{,}5\)

- Lies am Endpunkt ab, wie viele Kilometer Lara insgesamt entlang der Route zurückgelegt hat. - Ein waagerechter Abschnitt bedeutet bei einer insgesamt zurückgelegten Strecke, dass während dieser Zeit keine weitere Strecke hinzukommt. - Vergleiche für c) auf jedem Fahrtabschnitt zurückgelegte Strecke und benötigte Zeit.

1. Am Ende der Fahrt zeigt der Graph eine zurückgelegte Strecke von \(15\,\text{km}\). Die Route bis zum See ist daher \(15\,\text{km}\) lang. 2. Von Minute \(30\) bis Minute \(45\) kommt keine weitere Strecke hinzu. Lara steht daher ab Minute \(30\) für \(15\,\text{min}\) still. 3. Im ersten Fahrtstück legt Lara \(10\,\text{km}\) in \(30\,\text{min}=0{,}5\,\text{h}\) zurück. Das sind \(20\,\text{km/h}\). Im letzten Fahrtstück legt sie \(5\,\text{km}\) in \(15\,\text{min}=0{,}25\,\text{h}\) zurück. Das sind ebenfalls \(20\,\text{km/h}\). Auf beiden Fahrtstücken ist sie gleich schnell.

a) \(15\,\text{km}\) b) Nach \(30\,\text{min}\); Stillstand \(15\,\text{min}\) c) Auf beiden Fahrtstücken mit \(20\,\text{km/h}\)

- Lies für a) Anfang und höchsten Funktionswert aus dem Höhenprofil ab. - Ein fallender Abschnitt des Graphen entspricht einer Abfahrt. - Für c) ist „mindestens doppelt“ jetzt ein überprüfbares Kriterium: Vergleiche in beiden Abschnitten den Höhengewinn pro Kilometer.

1. Der Graph beginnt bei \(150\,\text{m}\). Die maximale Höhe beträgt \(600\,\text{m}\) am Ende der Tour. 2. Der Graph fällt von Kilometer \(10\) bis Kilometer \(20\); dort fahren die Radfahrer bergab. 3. Zwischen Kilometer \(4\) und \(10\) steigt die Höhe von \(200\,\text{m}\) auf \(500\,\text{m}\). Das sind \(300\,\text{m}\) auf \(6\,\text{km}\), also \(50\,\text{m/km}\). Zwischen Kilometer \(20\) und \(30\) steigt sie von \(350\,\text{m}\) auf \(600\,\text{m}\). Das sind \(250\,\text{m}\) auf \(10\,\text{km}\), also \(25\,\text{m/km}\). Da \(50=2\cdot25\), ist der erste durchschnittliche Höhengewinn genau doppelt so groß und damit mindestens doppelt so groß.

a) Start: \(150\,\text{m}\); Maximum: \(600\,\text{m}\). b) Von Kilometer \(10\) bis Kilometer \(20\). c) Ja. \(50\,\text{m/km}\) gegenüber \(25\,\text{m/km}\); der erste Wert ist genau doppelt so groß.

- Unterscheide sorgfältig zwischen „Abstand zum Besitzer“ und der tatsächlichen Position oder gelaufenen Strecke. - Für a) bis c) reicht es, den dargestellten Abstand zu lesen; ein waagerechter Abschnitt sagt zunächst nur, dass dieser Abstand gleich bleibt. - Verwende die Zusatzannahme der geraden Hin-und-her-Bewegung erst in Teil d, wenn du aus Abstandsänderungen Teilstrecken bestimmst.

1. Bei \(t=20\,\text{s}\) beträgt der Abstand \(40\,\text{m}\). 2. Waagerechte Abschnitte bedeuten einen konstanten Abstand. Das ist von \(20\,\text{s}\) bis \(50\,\text{s}\) bei \(40\,\text{m}\) und von \(70\,\text{s}\) bis \(90\,\text{s}\) bei \(10\,\text{m}\) der Fall. 3. Der größte dargestellte Abstand beträgt \(40\,\text{m}\) und wird zwischen \(20\,\text{s}\) und \(50\,\text{s}\) angenommen. 4. Nur für Teil d gilt die Zusatzannahme einer geraden Bewegungslinie. Dann entsprechen die Änderungen des Abstands den zurückgelegten Teilstrecken: zunächst \(40\,\text{m}\), danach \(30\,\text{m}\) und schließlich \(10\,\text{m}\). Die waagerechten Abschnitte tragen unter dieser Zusatzannahme keine Strecke bei. Insgesamt ergibt sich \(40\,\text{m}+30\,\text{m}+10\,\text{m}=80\,\text{m}\).

a) \(40\,\text{m}\) b) Von \(20\,\text{s}\) bis \(50\,\text{s}\) und von \(70\,\text{s}\) bis \(90\,\text{s}\) c) Zwischen \(20\,\text{s}\) und \(50\,\text{s}\) mit \(40\,\text{m}\) d) \(80\,\text{m}\)

- Schau dir den höchsten Punkt der Kurve an und lies die Werte auf beiden Achsen ab. - Suche den Wert \(15\) auf der senkrechten Achse und schätze die Schnittzeiten mit der Kurve in der verlangten Genauigkeit. - Überprüfe den Verlauf des Graphen in den frühen Morgenstunden. - Für eine Funktion muss jedem zulässigen Eingabewert genau ein Ausgabewert zugeordnet sein. Prüfe diese Bedingung in der Richtung Datenrate \(\mapsto\) Uhrzeit.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei ca. \(20{:}00\) Uhr mit einem Wert von etwa \(42\,\text{Mbit/s}\). 2. Auf eine halbe Stunde genau liegt die Datenrate etwa von \(12{:}00\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr über \(15\,\text{Mbit/s}\). 3. Die Aussage ist falsch. In der Nacht und am frühen Morgen liegt die Datenrate zeitweise deutlich unter \(5\,\text{Mbit/s}\). 4. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Derselben Datenrate sind im Tagesverlauf mehrere Uhrzeiten zugeordnet; zu einem Eingabewert gäbe es also mehrere Ausgabewerte.

a) Maximum um ca. \(20{:}00\) Uhr bei ca. \(42\,\text{Mbit/s}\) b) Etwa von \(12{:}00\) bis \(14{:}30\) Uhr sowie von \(16{:}30\) bis \(23{:}00\) Uhr c) Die Aussage ist falsch, da der Wert nachts unter \(5\,\text{Mbit/s}\) liegt. d) Keine Funktion, da derselben Datenrate mehrere Uhrzeiten zugeordnet sein können.

- Vergleiche eine gerade fallende Linie mit Kurven, deren Steilheit sich verändert. - Überlege, wie viel Wasser bei gleicher Höhenänderung in einem schmalen beziehungsweise breiten Gefäßabschnitt steckt. - Prüfe, ob der Wasserspiegel in breiteren Bereichen schneller oder langsamer sinken muss.

1. Graph \(h_2\) fällt zu Beginn langsam ab und wird dann immer steiler. Die Abnahmegeschwindigkeit nimmt also zu. Graph \(h_3\) fällt zu Beginn sehr steil ab und wird dann immer flacher. Die Abnahmegeschwindigkeit nimmt ab. 2. Graph \(h_1\) gehört zu Gefäß (1): Beim Zylinder ist die Querschnittsfläche überall gleich und die Höhe sinkt gleichmäßig. Graph \(h_2\) gehört zu Gefäß (2): Oben ist viel Volumen pro Zentimeter Höhe vorhanden, deshalb sinkt der Spiegel zunächst langsam; nach unten wird das Gefäß schmaler und der Spiegel sinkt schneller. Graph \(h_3\) gehört zu Gefäß (3): Oben ist wenig Volumen pro Zentimeter Höhe vorhanden, deshalb sinkt der Spiegel zunächst schnell; nach unten wird das Gefäß breiter und der Spiegel sinkt langsamer.

a) \(h_2\): erst langsam, dann immer schneller sinkend; \(h_3\): erst schnell, dann immer langsamer sinkend b) \(h_1\) zu (1), \(h_2\) zu (2), \(h_3\) zu (3)

- Lies Hoch- und Tiefpunkte direkt aus dem dargestellten Modellgraphen ab. - Orientiere dich für b) an der Höhe \(2\,\text{m}\) und prüfe, wann der Graph darauf oder darüber liegt. - Vergleiche für c) die Höhenzunahme in gleich langen Zeiträumen von zwei Stunden. - Für d) vergleichst du die Werte am Anfang und am Ende des angegebenen Zeitraums.

1. Der höchste Wasserstand beträgt \(5\,\text{m}\) und wird um \(3{:}00\) Uhr erreicht. Der niedrigste Wasserstand beträgt \(1\,\text{m}\) um \(9{:}00\) Uhr. 2. Die Höhe \(2\,\text{m}\) wird bei \(t=7\) und \(t=11\) erreicht. Daher ist das sichere Manövrieren nach dem Modell von \(0{:}00\) bis \(7{:}00\) Uhr sowie von \(11{:}00\) bis \(12{:}00\) Uhr möglich. 3. Die gleich großen stärksten Anstiege innerhalb von Zwei-Stunden-Zeiträumen liegen von \(0{:}00\) bis \(2{:}00\) Uhr und von \(10{:}00\) bis \(12{:}00\) Uhr. 4. Auf \(0{,}5\,\text{m}\) genau liest man bei \(t=4\) etwa \(4{,}5\,\text{m}\) und bei \(t=6\) etwa \(3{,}0\,\text{m}\) ab. Der Wasserstand sinkt damit um etwa \(1{,}5\,\text{m}\).

a) Höchster Wasserstand: \(5\,\text{m}\) um \(3{:}00\) Uhr; niedrigster Wasserstand: \(1\,\text{m}\) um \(9{:}00\) Uhr b) Von \(0{:}00\) bis \(7{:}00\) Uhr und von \(11{:}00\) bis \(12{:}00\) Uhr c) Von \(0{:}00\) bis \(2{:}00\) Uhr und von \(10{:}00\) bis \(12{:}00\) Uhr d) Der Wasserstand sinkt um etwa \(1{,}5\,\text{m}\).

- Welche Steigung liest du aus der Ursprungsgeraden ab? - Welche Einheit hat Energie pro Zeit? - Welche Gleichung beschreibt den Zielwert \(15\,\text{kWh}\)?

1. Die Steigung beträgt \(6\,\text{kWh/h}=6\,\text{kW}\). Daher \(E(t)=6t\). 2. \(E(4{,}5)=27\,\text{kWh}\). 3. \(15=6t\) ergibt \(t=2{,}5\,\text{h}\).

a) \(6\,\text{kW}\); \(E(t)=6t\) b) \(27\,\text{kWh}\) c) \(2{,}5\,\text{h}\)

- Welche Bedeutung haben die Funktionswerte bei \(t=0\) für Anton und Bea? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du bei jeder Geraden zur Bestimmung der Steigung verwenden? - Warum hat eine der beiden Geraden eine negative Steigung? - Bis zu welchem Zeitpunkt kann \(s_B(t)\) als nichtnegative Entfernung vom Punkt \(0\,\text{km}\) interpretiert werden?

1. Für Anton ist der Anfangswert \(0\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet er sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-0}{2-0}=5\), also \(s_A(t)=5t\). 2. Für Bea ist der Anfangswert \(18\). Nach \(2\,\text{h}\) befindet sie sich bei \(10\,\text{km}\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{10-18}{2-0}=-4\), also \(s_B(t)=-4t+18\). 3. Für Bea beschreibt dieses Entfernungsmodell nur Zeiten bis \(s_B(t)=0\). Aus \(-4t+18=0\) folgt \(t=4{,}5\,\text{h}\). Deshalb endet die gemeinsame dargestellte Zeitspanne bei \(4{,}5\,\text{h}\).

Für Anton gilt \(s_A(t)=5t\). Für Bea gilt im dargestellten Bereich \(s_B(t)=-4t+18\) für \(0\le t\le 4{,}5\).

- Welcher Graph besitzt einen positiven Anfangswert? - Was bedeutet gleiche Energie bei derselben Chargenzahl grafisch? - Welche Steigung ist für große Chargenzahlen günstiger?

1. \(p\) gehört zu A, weil der Graph bei \(60\) startet; \(q\) gehört zu B und geht durch den Ursprung. 2. \(4x+60=10x\) ergibt \(x=10\), \(y=100\). Bei \(10\) Chargen benötigen beide \(100\,\text{Wh}\). 3. Wegen der kleineren Steigung benötigt A ab \(11\) Chargen weniger Energie. 4. Bei \(20\) Chargen: A \(140\,\text{Wh}\), B \(200\,\text{Wh}\); Ersparnis \(60\,\text{Wh}\).

a) \(p\to\) Verfahren A, \(q\to\) Verfahren B b) \((10\mid100)\) c) Ab \(11\) Chargen d) \(60\,\text{Wh}\)

- Welchen Startwert liest du für jeden Behälter bei \(x=0\) ab? - Welche Volumenänderung pro Minute beschreibt die Steigung? - Welche Gleichung gilt, wenn beide Behälter denselben Inhalt haben?

1. Für Behälter 1 liest man \(t_1=100\) ab. Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_1=\frac{200-100}{5}=20\). Damit gilt \(y_1=20x+100\). 2. Behälter 2 startet bei \(t_2=0\). Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_2=40\). Damit gilt \(y_2=40x\). 3. Gleichsetzen ergibt \(40x=20x+100\). Daraus folgt \(x=5\). Der gemeinsame Inhalt ist \(40\cdot5=200\,\text{l}\).

a) Behälter 1: \(y_1=20x+100\); Behälter 2: \(y_2=40x\) b) Nach \(5\,\text{min}\) mit jeweils \(200\,\text{l}\).

- Lies für a) den Funktionswert zum Argument \(t=6\) ab. - Suche für b) die beiden Stellen, an denen der Modellgraph die Höhe \(30\,\text{mg/l}\) erreicht. - Nutze auf dem ersten geraden Modellabschnitt den Anteil von \(30\) an der gesamten Änderung von \(0\) auf \(40\). - Achte darauf, dass die Randzeitpunkte wegen \(c(t)>30\) nicht dazugehören.

1. Bei \(t=6\,\text{h}\) liegt der Modellgraph bei \(30\,\text{mg/l}\). 2. Im ersten geraden Abschnitt steigt die Konzentration von \(0\,\text{mg/l}\) bei \(t=0\) auf \(40\,\text{mg/l}\) bei \(t=1\). Der Wert \(30\,\text{mg/l}\) wird daher bei \(t=0{,}75\,\text{h}\) erreicht. Im fallenden geraden Abschnitt von \((4\mid40)\) nach \((8\mid20)\) wird \(30\,\text{mg/l}\) bei \(t=6\,\text{h}\) erreicht. Wegen der strengen Ungleichung gilt \(0{,}75<t<6\).

a) \(c(6)=30\,\text{mg/l}\) b) Für \(0{,}75<t<6\), also strikt zwischen \(45\) Minuten und \(6\) Stunden nach dem Unfall

- Nutze bei b) ausdrücklich die im Text gegebenen Zu- und Abflussannahmen; erst dadurch darf die Volumenzunahme dem Regen zugerechnet werden. - Vergleiche die Zunahmen pro Stunde, weil die beiden Regenintervalle unterschiedlich lang sind. - In c) darf die Volumenabnahme wegen der angegebenen Modellannahme vollständig als Entnahme interpretiert werden.

1. Zu Beginn bei \(t=0\) beträgt das Volumen \(200\,\text{l}\). 2. Von Stunde \(0\) bis Stunde \(2\) steigt das Volumen von \(200\,\text{l}\) auf \(400\,\text{l}\), also um \(200\,\text{l}\) in \(2\,\text{h}\). Das sind \(100\,\text{l/h}\). Von Stunde \(2\) bis Stunde \(3\) steigt es von \(400\,\text{l}\) auf \(600\,\text{l}\), also um \(200\,\text{l}\) in \(1\,\text{h}\). Das sind \(200\,\text{l/h}\). Da laut Modell in diesen Intervallen nur Regen Wasser zuführt und die Auffangfläche gleich bleibt, ist die mittlere Regenintensität im Intervall \(2\)–\(3\) Stunden größer. 3. In der Bewässerungsphase sinkt das Volumen von \(600\,\text{l}\) auf \(200\,\text{l}\). Nach der gegebenen Annahme entspricht die Differenz der entnommenen Wassermenge: \(600-200=400\,\text{l}\).

a) \(200\,\text{l}\) b) Von Stunde \(2\) bis Stunde \(3\); dort beträgt die Zunahme \(200\,\text{l/h}\) statt \(100\,\text{l/h}\). c) \(400\,\text{l}\)

- Überlege dir, wie sich die Füllhöhe ändert, wenn das Gefäß an einer Stelle sehr schmal oder sehr breit ist. - Wo im Diagramm steigt die Kurve am steilsten an? - Was bedeutet eine steile Kurve für die Geschwindigkeit, mit der das Wasser steigt?

1. Ablesen am Punkt \((2 \mid 1)\): Nach \(2\,\text{Sekunden}\) beträgt die Höhe \(1\,\text{cm}\). 2. Ablesen am Punkt \((6 \mid 9)\): Die Höhe \(9\,\text{cm}\) wird nach \(6\,\text{Sekunden}\) erreicht. 3. Die Vase ist dort am schmalsten, wo die Füllhöhe bei konstantem Zufluss am schnellsten steigt. Die größte Steigung liegt zwischen \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\). Das entspricht dem Höhenbereich von \(1\,\text{cm}\) bis \(9\,\text{cm}\).

1. Nach \(2\,\text{Sekunden}\) ist das Wasser \(1\,\text{cm}\) hoch. 2. Die Höhe von \(9\,\text{cm}\) wird nach \(6\,\text{Sekunden}\) erreicht. 3. Im Höhenbereich von \(1\,\text{cm}\) bis \(9\,\text{cm}\).

- Die x-Achse zeigt die Entfernung, die y-Achse die Höhe. - Konstante Werte erkennst du an einer waagerechten Linie im Graphen. - Für die Höhe bei 10 km kannst du den Wert auf der geraden Verbindungslinie zwischen den Gitterpunkten bei 9 km und 12 km bestimmen. - Vergleiche, wie viele Höhenmeter auf demselben horizontalen Wegstück überwunden werden, um die Steilheit zu beurteilen.

1. Ablesen der Endpunkte des Graphen: Startpunkt \((0 \mid 500)\) ergibt \(500\,\text{m}\), Endpunkt \((12 \mid 450)\) ergibt \(450\,\text{m}\). 2. Ein waagerechter Verlauf zeigt eine konstante Höhe an. Dies ist zwischen Kilometer 2 und Kilometer 4 der Fall (Höhe \(700\,\text{m}\)). 3. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei Kilometer 6 auf einer Höhe von \(950\,\text{m}\). 4. Bei Kilometer 10 liegt der Punkt auf dem linearen Teilstück zwischen Kilometer 9 (\(600\,\text{m}\)) und Kilometer 12 (\(450\,\text{m}\)). Die Höhendifferenz beträgt \(-150\,\text{m}\) auf \(3\,\text{km}\), was einer Änderung von \(-50\,\text{m}\) pro Kilometer entspricht. Nach einem Kilometer (bei Kilometer 10) beträgt die Höhe somit \(600\,\text{m} - 50\,\text{m} = 550\,\text{m}\). 5. Steigung 0-2: \(200\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(100\,\text{m/km}\)). Steigung 4-6: \(250\,\text{m}\) auf \(2\,\text{km}\) (\(125\,\text{m/km}\)). Der Abschnitt 4-6 ist steiler, da pro Kilometer mehr Höhenmeter überwunden werden.

1. Start: \(500\,\text{m}\); Landung: \(450\,\text{m}\). 2. Von Kilometer 2 bis Kilometer 4. 3. Maximale Höhe: \(950\,\text{m}\). 4. Höhe bei \(10\,\text{km}\): \(550\,\text{m}\). 5. Der Abschnitt zwischen Kilometer 4 und 6 ist steiler, da dort \(125\,\text{m/km}\) statt \(100\,\text{m/km}\) überwunden werden.

- Die vertikale Achse zeigt die insgesamt entlang der Bahnstrecke zurückgelegte Strecke; ein waagerechter Abschnitt bedeutet daher, dass währenddessen keine Strecke hinzukommt. - Für einen Wert innerhalb eines geraden Fahrabschnitts kannst du zuerst bestimmen, wie viele Kilometer pro Minute hinzukommen. - Für eine Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) musst du die Zeit passend in Stunden umrechnen.

1. Zwischen Minute \(50\) und Minute \(90\) wächst die zurückgelegte Strecke gleichmäßig von \(60\,\text{km}\) auf \(100\,\text{km}\). Das sind \(40\,\text{km}\) in \(40\,\text{min}\), also \(1\,\text{km}\) pro Minute. Von Minute \(50\) bis Minute \(60\) kommen \(10\,\text{km}\) hinzu. Nach \(60\,\text{min}\) sind \(70\,\text{km}\) zurückgelegt. 2. Die beiden waagerechten Abschnitte reichen von Minute \(40\) bis \(50\) und von Minute \(90\) bis \(100\). Die Halte dauern zusammen \(10\,\text{min}+10\,\text{min}=20\,\text{min}\). 3. Im ersten Abschnitt legt der Zug \(60\,\text{km}\) in \(40\,\text{min}=\frac{2}{3}\,\text{h}\) zurück. Die Geschwindigkeit beträgt \(60:\frac{2}{3}=90\,\text{km/h}\). 4. Ab Minute \(50\) sind \(60\,\text{km}\) zurückgelegt. In diesem Abschnitt kommen \(1\,\text{km}\) pro Minute hinzu. Für weitere \(20\,\text{km}\) benötigt der Zug \(20\,\text{min}\), also erreicht er \(80\,\text{km}\) erstmals bei \(t=70\,\text{min}\).

1) \(70\,\text{km}\) 2) \(20\,\text{min}\) 3) \(90\,\text{km/h}\) 4) Nach \(70\,\text{min}\)

- Lies zuerst ab, in welchem Abschnitt des Graphen der jeweils gefragte Zeitpunkt oder Wasserstand liegt. - Eine waagerechte Strecke bedeutet, dass sich der Wasserstand in diesem Zeitraum nicht verändert. - Für eine Änderungsrate vergleichst du die Änderung der Höhe mit der dazugehörigen Zeitspanne.

1. Der Zeitpunkt \(t=6\,\text{h}\) liegt im geraden Abschnitt zwischen \((4\mid100)\) und \((8\mid180)\). Die Änderungsrate beträgt \((180-100):(8-4)=20\,\text{cm/h}\). Daher ist \(h(6)=100+2\cdot20=140\,\text{cm}\). 2. Zwischen \(t=2\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\) ist der Graph waagerecht. Der Wasserstand bleibt also \(2\,\text{h}\) lang unverändert. 3. In den ersten zwei Stunden steigt der Pegel von \(40\,\text{cm}\) auf \(100\,\text{cm}\). Die Änderungsrate ist \((100-40):2=30\,\text{cm/h}\). 4. Im Abschnitt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=8\,\text{h}\) gilt \(100+20(t-4)=160\). Daraus folgt \(20(t-4)=60\), also \(t=7\,\text{h}\).

1) \(140\,\text{cm}\) 2) \(2\,\text{h}\) 3) \(30\,\text{cm/h}\) 4) \(t=7\,\text{h}\)

- Lies Anfangs- und Höchstwert direkt am Diagramm ab. - Waagerechte Abschnitte stehen für eine konstante Geschwindigkeit. - Für einen gesuchten Wert innerhalb eines geraden Abschnitts kannst du bestimmen, um wie viele \(\text{km/h}\) sich die Geschwindigkeit pro Minute ändert.

1. Zum Zeitpunkt \(t=0\,\text{min}\) beträgt die Geschwindigkeit \(0\,\text{km/h}\). 2. Der höchste dargestellte Wert ist \(24\,\text{km/h}\). Diese Geschwindigkeit wird von Minute 20 bis Minute 24 konstant gefahren. 3. \(16\,\text{km/h}\) werden von Minute 4 bis Minute 12 konstant gefahren. Die Dauer beträgt \(12\,\text{min}-4\,\text{min}=8\,\text{min}\). 4. Zwischen Minute 12 und Minute 20 steigt die Geschwindigkeit gleichmäßig von \(16\,\text{km/h}\) auf \(24\,\text{km/h}\), also um \(1\,\text{km/h}\) pro Minute. \(20\,\text{km/h}\) werden daher bei \(t=16\,\text{min}\) erreicht. Zwischen Minute 24 und Minute 30 sinkt sie gleichmäßig von \(24\,\text{km/h}\) auf \(0\,\text{km/h}\), also um \(4\,\text{km/h}\) pro Minute. Der Wert \(20\,\text{km/h}\) wird dort nach einer Minute erreicht, also bei \(t=25\,\text{min}\).

1. \(0\,\text{km/h}\). 2. \(24\,\text{km/h}\) von Minute 20 bis Minute 24. 3. \(8\,\text{min}\). 4. Nach \(16\,\text{min}\) und nach \(25\,\text{min}\).

- Welche Werte kannst du direkt aus dem Graphen bei \(x=400\) und am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ablesen? - Wie hängt die insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge mit der gefahrenen Strecke zusammen? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich zur Bestimmung der Steigung? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(x=0\)?

1. Bei \(x=400\) lässt sich im Graphen ungefähr \(y=36\) ablesen. Es sind also noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1000\). Nach \(1000\,\text{km}\) ist der Tank leer. 3. Auf \(1000\,\text{km}\) werden \(60\,\text{l}\) verbraucht. Pro \(100\,\text{km}\) sind das \(\frac{60}{1000}\cdot 100=6\,\text{l}\). 4. Der Anfangswert beträgt \(60\,\text{l}\). Die Steigung ist \(m=\frac{0-60}{1000-0}=-0{,}06\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-0{,}06x+60\).

1) Nach \(400\,\text{km}\) sind noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2) Der Tank ist nach \(1000\,\text{km}\) leer. 3) Der Durchschnittsverbrauch beträgt \(6\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\). 4) \(y=-0{,}06x+60\)

- Welche Anfangswerte liest du bei \(x=0\) ab? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der Fortschrittsgraphen? - Welche zwei Informationen brauchst du für jede Funktionsgleichung?

1. A startet bei \(10\,\%\), B bei \(40\,\%\); B ist höher. 2. Der Schnittpunkt liegt bei \((30\mid55)\). Nach \(30\) Minuten zeigen beide \(55\,\%\). 3. Bei \(x=50\) hat A \(85\,\%\). 4. Aus den Steigungen und Anfangswerten folgen \(P_A(x)=1{,}5x+10\) und \(P_B(x)=0{,}5x+40\).

1) Rechner B; A \(10\,\%\), B \(40\,\%\) 2) Nach \(30\,\text{min}\) bei \(55\,\%\) 3) \(85\,\%\) 4) \(P_A(x)=1{,}5x+10\), \(P_B(x)=0{,}5x+40\)

- Lies die Startwerte beider Graphen bei \(t=0\) ab. - Vergleiche für jede gleichmäßige Phase die Volumenänderung mit der dazugehörigen Zeitspanne. - Gleiche Wassermengen erkennst du dort, wo sich die beiden Graphen treffen.

1. Bei \(t=0\) enthält Tank \(A\) \(5\,\text{L}\), Tank \(B\) \(35\,\text{L}\). 2. Tank \(A\): In \(4\,\text{min}\) steigt das Volumen von \(5\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(10\,\text{L}\). Die Änderungsrate beträgt \(10\,\text{L}:4\,\text{min}=2{,}5\,\text{L/min}\). Tank \(B\): In \(4\,\text{min}\) sinkt das Volumen von \(35\,\text{L}\) auf \(15\,\text{L}\), also um \(20\,\text{L}\). Die Änderungsrate beim Leeren beträgt \(20\,\text{L}:4\,\text{min}=5\,\text{L/min}\). 3. Die beiden Graphen treffen sich im Punkt \((4\mid15)\). Nach \(4\,\text{min}\) enthalten daher beide Tanks \(15\,\text{L}\).

a) Tank \(A\): \(5\,\text{L}\); Tank \(B\): \(35\,\text{L}\). b) Tank \(A\): \(2{,}5\,\text{L/min}\) beim Befüllen; Tank \(B\): \(5\,\text{L/min}\) beim Leeren. c) Nach \(4\,\text{min}\) enthalten beide \(15\,\text{L}\).

- Welche Gleichung verbindet das feste Volumen mit Radius und Höhe? - Wie verändert sich \(r^2\), wenn der Radius halbiert wird? - Beim Einsetzen in \(M(r)\) ist der Radius die einzige veränderliche Größe.

1. Aus \(V=\pi r^2h\) folgt für das feste Volumen \(h(r)=\frac{330}{\pi r^2}\). 2. Für den halbierten Radius gilt \(h\left(\frac{r}{2}\right)=\frac{330}{\pi(\frac{r}{2})^2}=4\frac{330}{\pi r^2}=4h(r)\). Die Höhe vervierfacht sich. 3. Für \(r=3{,}2\,\text{cm}\) ergibt sich \(M(3{,}2)=\frac{660}{3{,}2}\,\text{cm}^2=206{,}25\,\text{cm}^2\).

a) \(h(r) = \frac{330}{\pi r^2}\) b) Die Höhe vervierfacht sich: \(h_{\text{neu}} = 4h\). c) \(M(3{,}2) = 206{,}25\,\text{cm}^2\)

- Ordne die beiden sichtbaren Zeichenarten im Diagramm zunächst den Beschreibungen im Aufgabentext zu. - Prüfe für Tag 5, ob an dieser Stelle eines der Messzeichen vorhanden ist oder nur die Kurve einen Wert liefert. - Vergleiche bei c) den Bereich der vorhandenen Messzeichen mit der Stelle, auf die sich Mias Aussage bezieht. - Überlege für d), welche neue Beobachtung direkt mit dem bisher nicht durch Messzeichen belegten Kurvenabschnitt verglichen werden könnte.

1. Die Kreuze stehen für tatsächlich erhobene Messwerte. Die glatte Kurve stellt ein Modell dar. An Tag 5 ist kein Kreuz eingezeichnet; dieser Wert wurde daher nicht direkt gemessen. 2. Bei \(t=5\) liegt die Modellkurve bei ungefähr \(6{,}5\,\text{cm}\). 3. Bei Tag 12 liefert das Modell ungefähr \(13{,}5\,\text{cm}\). Das ist eine Modellvorhersage und keine sichere Messung. Da die vorhandenen Messwerte nur bis Tag 8 reichen, wird hier außerdem über den beobachteten Zeitraum hinaus fortgesetzt. 4. Eine weitere tatsächliche Höhenmessung an einem späteren Tag, zum Beispiel nach Tag 10 oder Tag 12, könnte mit der Modellkurve verglichen werden und die Vorhersage besser überprüfen.

a) Kreuze: Messwerte; Kurve: Modell. Tag 5 wurde nicht direkt gemessen. b) etwa \(6{,}5\,\text{cm}\) c) Die Aussage ist zu sicher formuliert. Das Modell sagt für Tag 12 ungefähr \(13{,}5\,\text{cm}\) voraus; die tatsächliche Höhe ist dadurch nicht garantiert. d) Zum Beispiel eine zusätzliche tatsächliche Höhenmessung nach Tag 8, etwa an Tag 10 oder 12.

- Trenne bei a) zuerst die Eingabegröße des Modells von der davon abhängigen Ausgabegröße. - Bestimme für die Wertemenge die Höhen an den beiden Randzeiten und beachte den gleichmäßigen Verlauf dazwischen. - Für die Tabelle setzt du nur die vorgegebenen Zeiten in den Term ein; die Punkte bestehen jeweils aus Zeit und zugehöriger Höhe. - Bei d) wechselst du einmal die Blickrichtung: Statt zu einem Argument den Wert zu berechnen, suchst du das Argument zu einem gegebenen Funktionswert. - Prüfe für e) die Definition einer Funktion in der Richtung Zeit \(\to\) Höhe.

1. Die unabhängige Größe ist die Zeit \(t\), die abhängige Größe die Kerzenhöhe \(h(t)\). Für die Definitionsmenge gilt \(0\le t\le10\). Am Anfang ist die Höhe \(24\,\text{cm}\), nach \(10\,\text{h}\) beträgt sie \(24-2\cdot10=4\,\text{cm}\). Da die Höhe im Modell gleichmäßig abnimmt, gilt für die Wertemenge \(4\le h(t)\le24\). 2. Es gilt \(h(0)=24\), \(h(3)=18\), \(h(6)=12\) und \(h(10)=4\). 3. Die Randpunkte sind \((0\mid24)\) und \((10\mid4)\). Zwischen ihnen verläuft der Graph als durchgehende gerade Strecke, weil die Höhe pro Stunde gleichmäßig abnimmt. 4. \(h(6)=12\) bedeutet: Nach \(6\,\text{h}\) ist die Kerze \(12\,\text{cm}\) hoch. Für den Funktionswert \(8\) gilt \(24-2t=8\), also \(2t=16\) und damit \(t=8\). Nach \(8\,\text{h}\) ist die Kerze \(8\,\text{cm}\) hoch. 5. Zu jedem Zeitpunkt \(t\) mit \(0\le t\le10\) liefert der Term genau eine Kerzenhöhe. Daher ist die Zuordnung eine Funktion.

a) Unabhängig: Zeit \(t\); abhängig: Kerzenhöhe \(h(t)\); \(0\le t\le10\); \(4\le h(t)\le24\) b) <table> <tr><th>\(t\) in \(\text{h}\)</th><td>0</td><td>3</td><td>6</td><td>10</td></tr> <tr><th>\(h(t)\) in \(\text{cm}\)</th><td>24</td><td>18</td><td>12</td><td>4</td></tr> </table> c) Randpunkte: \((0\mid24)\) und \((10\mid4)\); dazwischen eine durchgehende gerade Strecke d) Nach \(6\,\text{h}\) ist die Kerze \(12\,\text{cm}\) hoch; zum Funktionswert \(8\) gehört \(t=8\,\text{h}\). e) Jedem Zeitpunkt der Definitionsmenge ist genau eine Höhe zugeordnet.

- Lies die beiden Modellwerte bei Stunde \(6\) getrennt ab. - Vergleiche bei b) jede Vorhersage mit derselben vorgegebenen Temperaturgrenze. - Prüfe für c), ob die bisherigen Messwerte nur eine einzige mögliche Fortsetzung erzwingen. - Eine zusätzliche Beobachtung ist besonders nützlich, wenn sie in einem Bereich liegt, in dem sich die Modelle unterscheiden.

1. Bei Stunde \(6\) zeigt Modell a ungefähr \(6{,}0\,^\circ\text{C}\), Modell b ungefähr \(8{,}0\,^\circ\text{C}\). 2. Modell a erfüllt bei Stunde \(6\) die Bedingung von höchstens \(7\,^\circ\text{C}\); Modell b erfüllt sie nicht. 3. Die Aussage ist nicht gerechtfertigt. Dass beide Modelle zu den bisherigen Messungen passen, erzwingt keine eindeutige Fortsetzung nach Stunde \(4\). Die beiden dargestellten Modelle liefern für Stunde \(6\) sogar unterschiedliche Aussagen zur Temperaturbedingung. 4. Eine tatsächliche Temperaturmessung nach Stunde \(4\), beispielsweise bei Stunde \(6\), könnte mit beiden Modellvorhersagen verglichen werden.

a) Modell a: etwa \(6{,}0\,^\circ\text{C}\); Modell b: etwa \(8{,}0\,^\circ\text{C}\) b) a erfüllt die Bedingung; b nicht. c) Nein. Gleiche Anpassung an frühere Messwerte garantiert keine eindeutige spätere Vorhersage. d) Zum Beispiel eine tatsächliche Messung bei Stunde \(6\).

- Welche beiden Messpunkte kannst du im Koordinatensystem \((h\mid T)\) verwenden? - Wie bestimmst du aus zwei Punkten zuerst die Steigung \(m\) und danach den Achsenabschnitt \(t\)? - Prüfe bei der sehr großen Höhe, ob die Modellannahme einer konstanten Änderungsrate noch plausibel ist.

1. Aus den Messpunkten \((600\mid16)\) und \((1400\mid11{,}2)\) folgt \(m=\frac{11{,}2-16}{1400-600}=-0{,}006\). 2. Setze \((600\mid16)\) in \(T(h)=mh+t\) ein: \(16=-0{,}006\cdot600+t\). Damit ist \(t=19{,}6\) und \(T(h)=-0{,}006h+19{,}6\). 3. Für den Gipfel gilt \(T(2500)=-0{,}006\cdot2500+19{,}6=4{,}6\). Das Modell liefert also \(4{,}6\,^\circ\text{C}\). 4. Für \(12\,000\,\text{m}\) gilt \(T(12\,000)=-0{,}006\cdot12\,000+19{,}6=-52{,}4\). Das Modell liefert \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\). 5. Das Modell setzt eine konstante Temperaturabnahme voraus. In großen Höhen ändern sich jedoch die atmosphärischen Bedingungen, sodass diese konstante Änderungsrate nicht über beliebig große Höhenbereiche gilt.

a) \(T(h)=-0{,}006h+19{,}6\); auf \(2500\,\text{m}\): \(4{,}6\,^\circ\text{C}\) b) \(-52{,}4\,^\circ\text{C}\) c) Die konstante Änderungsrate ist nur in einem begrenzten Höhenbereich ein sinnvolles Modell.

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Füllhöhe eines Zylinders zusammen? - Welche Füllhöhe gehört bei konstanter Zuflussmenge zu einer Minute? - Was bewirkt eine halb so große Grundfläche bei derselben Volumenzunahme? - Welche Höhe muss erreicht sein, bevor das Wasser vom breiten in den schmalen Teil gelangt?

1. \(500\,\text{ml}=500\,\text{cm}^3\). Bei \(V=G\cdot h\) gilt für eine Minute \(500=200\cdot h\). Daher steigt der Wasserspiegel um \(2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. 2. Bei leerem Start gilt \(h(0)=0\). Damit lautet die Funktion \(h(t)=2{,}5t\). 3. Bei \(G=100\,\text{cm}^2\) gilt \(500=100\cdot h\). Der Wasserspiegel steigt dann um \(5\,\text{cm/min}\). Die Steigung verdoppelt sich von \(2{,}5\) auf \(5\). 4. Im unteren Teil steigt die Höhe mit \(2{,}5\,\text{cm/min}\). Die Höhe \(10\,\text{cm}\) wird nach \(10:2{,}5=4\,\text{min}\) erreicht, also liegt der Knickpunkt bei \((4\mid10)\). 5. Im oberen Teil beträgt die Steigung \(5\,\text{cm/min}\). Für weitere \(10\,\text{cm}\) werden \(10:5=2\,\text{min}\) benötigt. Das gesamte Gefäß ist daher nach \(6\,\text{min}\) bei \((6\mid20)\) voll. 6. Nach \(4\) Minuten erreicht das Wasser den schmaleren oberen Teil; ab dort wird der Graph steiler.

a) \(2{,}5\,\text{cm/min}\) b) \(h(t)=2{,}5t\) c) Neue Steigung: \(5\,\text{cm/min}\); sie ist doppelt so groß. d) Zuerst Steigung \(2{,}5\) bis \((4\mid10)\), danach Steigung \(5\) bis \((6\mid20)\). Nach \(4\) Minuten beginnt der schmalere obere Teil, daher wird der Graph steiler.

- Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate, wenn die Höhe abnimmt? - Welche Höhe entspricht der Hälfte von \(25\,\text{cm}\)? - Wie wandelst du den Nachkommaanteil einer Stunde in Minuten um? - Welche geometrische Größe ändert sich bei einer Pyramide mit der Höhe?

1. Die Kerze verliert pro Stunde \(1{,}2\,\text{cm}\), daher beträgt die Steigung \(-1{,}2\). Der Anfangswert ist \(25\,\text{cm}\). Somit gilt \(h(t)=-1{,}2t+25\). 2. Die halbe Anfangshöhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). Aus \(12{,}5=-1{,}2t+25\) folgt \(t=\frac{12{,}5}{1{,}2}\approx10{,}4167\,\text{h}\). 3. Der Nachkommaanteil entspricht \(0{,}4167 \cdot 60\approx25\) Minuten. Die Zeit beträgt daher etwa \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. 4. Bei einer Pyramidenform ändert sich die Querschnittsfläche mit der Höhe. Bei gleichem Wachsverbrauch pro Stunde führt dieselbe Volumenabnahme deshalb nicht zu einer konstanten Höhenabnahme; die Änderungsrate der Höhe ist nicht konstant.

a) \(h(t)=-1{,}2t+25\) b) Etwa \(10\) Stunden und \(25\) Minuten. c) Die Querschnittsfläche ändert sich mit der Höhe; deshalb ist die Höhenabnahme bei konstantem Wachsverbrauch nicht konstant und damit nicht linear.

- Was bedeutet die Steigung in diesem Kontext? Ist sie positiv oder negativ? - Stelle für die zweite Phase die Geradengleichung sorgfältig auf. Beachte, dass diese Phase erst bei Minute 40 startet. - Für Teilaufgabe d) kannst du die verbleibende Ladung durch den Verlust pro Minute teilen. - Überlege genau, was mit „weiteren Minuten“ in Teil d) gemeint ist.

1. Punkte definieren: \(A(0 \mid 10)\), \(B(40 \mid 90)\), \(C(60 \mid 60)\). 2. Funktionsgleichungen aufstellen: - Laden (\(0 \le x \le 40\)): Steigung \(m_1 = \frac{90-10}{40} = 2\). Gleichung: \(y = 2x + 10\). - Nutzen (\(40 \le x \le 60\)): Steigung \(m_2 = \frac{60-90}{60-40} = -1{,}5\). Gleichung: \(y = 90 - 1{,}5(x - 40)\) bzw. \(y = -1{,}5x + 150\). 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: Ladegeschwindigkeit \(2\) Prozentpunkte pro Minute, Entladegeschwindigkeit \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. Differenz: \(0{,}5\,\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Berechnung für \(y = 75\): - Laden: \(75 = 2x + 10 \implies 2x = 65 \implies x = 32{,}5\,\text{min}\). - Nutzen: \(75 = -1{,}5x + 150 \implies 1{,}5x = 75 \implies x = 50\,\text{min}\). 5. Restlaufzeit: Aktuelle Ladung \(60\,\%\), Entladerate \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. \(60 : 1{,}5 = 40\). Nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) ist der Akku leer.

a) Laden: \(y = 2x + 10\); Nutzen: \(y = -1{,}5x + 150\). b) Die Ladegeschwindigkeit (\(2\) Prozentpunkte pro Minute) ist um \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute höher als die Entladegeschwindigkeit (\(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute). c) Nach \(32{,}5\,\text{Minuten}\) und nach \(50\,\text{Minuten}\). d) Der Akku wäre nach weiteren \(40\,\text{Minuten}\) leer (also insgesamt \(100\,\text{Minuten}\) nach Beobachtungsbeginn).

- Welche Gesamtkosten gelten in den drei durch die Schwellenwerte bestimmten Bereichen? - Wie erhältst du aus den Gesamtkosten die durchschnittlichen Kosten pro Gast? - Prüfe bei einer gefundenen Gästezahl, ob sie zum Bereich der verwendeten Formel gehört. - Wie verändert sich ein positiver Bruch mit festem Zähler, wenn sein Nenner wächst?

1. Die Gesamtkosten sind \(K(x)=25x+600\) für \(x<80\), \(K(x)=25x+300\) für \(80\le x<100\) und \(K(x)=25x+150\) für \(x\ge100\). Durch Division durch \(x\) erhält man die durchschnittlichen Kosten. 2. Daher gilt \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\), \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\) und \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\). 3. Es ist \(k(79)=25+\frac{600}{79}\approx32{,}59\,\text{€}\) und \(k(80)=25+\frac{300}{80}=28{,}75\,\text{€}\). Der Unterschied beträgt gerundet \(3{,}84\,\text{€}\). 4. Im ersten Bereich ergibt \(25+\frac{600}{x}=35\) die Lösung \(x=60\); sie ist mit \(60<80\) zulässig. Im zweiten Bereich würde \(25+\frac{300}{x}=35\) zu \(x=30\) führen, doch \(30\) liegt nicht im Bereich \(80\le x<100\). Im dritten Bereich würde \(25+\frac{150}{x}=35\) zu \(x=15\) führen, doch \(15\) liegt nicht im Bereich \(x\ge100\). Damit ist \(x=60\) die einzige passende Gästezahl. 5. Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)=25+\frac{150}{x}\). Mit wachsendem \(x\) wird der positive Bruch kleiner. Daher ist in diesem Bereich \(k(100)=26{,}50\,\text{€}\) der größte Wert und somit stets \(k(x)<27\,\text{€}\).

a) \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\); \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\); \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\) b) \(3{,}84\,\text{€}\) pro Person c) Nur \(x=60\); die rechnerischen Kandidaten \(x=30\) und \(x=15\) aus den anderen Tarifbereichen sind dort nicht zulässig. d) Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)\le k(100)=26{,}50\,\text{€}<27\,\text{€}\).

- Forme den Term so um, dass du erkennen kannst, welcher Anteil vom Parameter \(p\) abhängt. - Für den gemeinsamen Punkt muss der Funktionswert unabhängig von \(p\) werden. - Betrachte im zweiten Teil die Kosten bei festem Verbrauch als Ausdruck in der Variablen \(p\) und beachte den vorgegebenen zulässigen Bereich.

1. Man kann \(K_p(x)\) zu \(K_p(x)=p(x-2000)+300\) umformen. Für \(x=2000\) verschwindet der vom Parameter abhängige Anteil. Daher gilt für jedes zulässige \(p\): \(K_p(2000)=300\). Der gemeinsame Punkt ist \(B(2000|300)\). Bei einem Jahresverbrauch von \(2000\,\text{kWh}\) betragen die Jahreskosten unabhängig vom gewählten Tarif \(300\,\text{€}\). 2. Für \(x=3500\) gilt \(K_p(3500)=1500p+300\). Dieser Ausdruck wächst mit \(p\). Daher sind die Kosten beim kleinsten zulässigen Arbeitspreis minimal, also bei \(p=0{,}10\,\text{€/kWh}\).

1. \(B(2000|300)\); bei \(2000\,\text{kWh}\) Jahresverbrauch kosten alle Tarife \(300\,\text{€}\). 2. Minimal sind die Kosten bei \(p=0{,}10\,\text{€/kWh}\).

- Unterscheide die beiden kumulierten Mengen: Graph a zählt alles Zugeflossene, Graph b alles Abgeflossene seit dem Start. - Der Tankinhalt entsteht aus dem festen Anfangsinhalt und beiden abgelesenen Funktionswerten. - Für d) suche einen Abschnitt, in dem b steigt, und prüfe gleichzeitig, was a dort macht. - Für e) frage dich, ob die beiden benötigten Funktionswerte zu einem festen Zeitpunkt eindeutig festliegen.

1. Nach \(4\,\text{h}\) sind insgesamt \(100\,\text{l}\) zugeflossen und \(70\,\text{l}\) abgeflossen. 2. Der Tankinhalt ergibt sich jeweils aus Anfangsinhalt plus Zufluss minus Abfluss. Nach \(2\,\text{h}\) sind das \(100+60-20=140\,\text{l}\). Nach \(4\,\text{h}\) sind es \(100+100-70=130\,\text{l}\). Nach \(6\,\text{h}\) sind es \(100+120-130=90\,\text{l}\). 3. Unter den drei betrachteten Zeitpunkten ist der Tankinhalt nach \(2\,\text{h}\) mit \(140\,\text{l}\) am größten. 4. Von \(0\) bis \(2\,\text{h}\) steigt Graph b von \(0\) auf \(20\,\text{l}\), gleichzeitig steigt Graph a aber stärker von \(0\) auf \(60\,\text{l}\). Der Tankinhalt wächst deshalb von \(100\,\text{l}\) auf \(140\,\text{l}\), obwohl Graph b steigt. Entscheidend ist der Vergleich von Zu- und Abfluss. 5. Zu jedem Zeitpunkt liefern die beiden Graphen jeweils genau eine kumulierte Zu- und Abflussmenge. Zusammen mit dem festen Anfangsinhalt ergibt sich dadurch zu jedem Zeitpunkt genau ein Tankinhalt.

a) Zufluss \(100\,\text{l}\); Abfluss \(70\,\text{l}\) b) Nach \(2\,\text{h}\): \(140\,\text{l}\); nach \(4\,\text{h}\): \(130\,\text{l}\); nach \(6\,\text{h}\): \(90\,\text{l}\) c) Nach \(2\,\text{h}\) d) Von \(0\) bis \(2\,\text{h}\) steigt b, trotzdem wächst der Tankinhalt, weil der Zufluss stärker zunimmt. e) Zu jedem Zeitpunkt sind Zu- und Abfluss eindeutig bestimmt; damit ist auch der Tankinhalt eindeutig bestimmt.