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- Vergleiche die Funktionsgleichungen mit der allgemeinen Form \(y = mx + t\). - Achte darauf, welches Vorzeichen vor der Zahl steht. - Wenn kein \(x\) in der Gleichung vorkommt, was bedeutet das für die Steigung? - Wenn keine einzelne Zahl ohne \(x\) da steht, welchen Wert hat dann der Achsenabschnitt? - Manchmal musst du die Summanden erst sortieren, damit sie der Form \(mx + t\) entsprechen.

1. Für \(f(x) = -4x + 7\): Die Steigung ist der Koeffizient von \(x\), also \(m = -4\). Der konstante Term ist \(t = 7\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|7)\). 2. Für \(g(x) = \frac{2}{5}x\): Dies entspricht \(\frac{2}{5}x + 0\). Somit ist \(m = \frac{2}{5}\) (oder \(0{,}4\)) und \(t = 0\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|0)\). 3. Für \(h(x) = 12 - 3x\): Umgestellt in die Form \(mx + t\) ergibt sich \(-3x + 12\). Damit ist \(m = -3\) und \(t = 12\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|12)\). 4. Für \(k(x) = -5\): Dies entspricht \(0x - 5\). Die Steigung ist \(m = 0\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = -5\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|-5)\).

a) \(m = -4, t = 7, P(0|7)\) b) \(m = \frac{2}{5}, t = 0, P(0|0)\) c) \(m = -3, t = 12, P(0|12)\) d) \(m = 0, t = -5, P(0|-5)\)

- Wie berechnest du die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du dann den y-Achsenabschnitt mithilfe eines der Punkte finden? - Könntest du die Punkte auch einfach in die vorgegebenen Antwortmöglichkeiten einsetzen, um sie zu überprüfen?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{6}{4} = 1{,}5\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(c\) durch Einsetzen eines Punktes (z. B. \(B\)) in \(y = mx + c\): \(4 = 1{,}5 \cdot 3 + c \Rightarrow 4 = 4{,}5 + c \Rightarrow c = -0{,}5\). 3. Zusammensetzen der Funktionsgleichung: \(y = 1{,}5x - 0{,}5\).

d) \(y = 1{,}5x - 0{,}5\)

- Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der y-Achse für den Wert von \(c\)? - Was bedeutet es für den Graphen einer Funktion, wenn sie keine Nullstelle hat? Wie muss sie im Koordinatensystem liegen? - Wie lautet die Koordinatenform eines Punktes, der eine Nullstelle beschreibt?

1. Aufstellen der Gleichung für Teil a): Aus dem y-Achsenabschnitt folgt \(c = -3\). Einsetzen der Nullstelle \((6|0)\) in \(0 = m \cdot 6 - 3\) ergibt \(6m = 3\), also \(m = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x - 3\). 2. Analyse für Teil b): Damit eine lineare Funktion keine Nullstelle hat, muss sie parallel zur x-Achse verlaufen (waagerechte Gerade), was eine Steigung von \(m = 0\) voraussetzt (und \(c \neq 0\)). 3. Bestimmung der Gleichung für b): Da die Gerade durch \(P(2|5)\) verläuft und \(m = 0\) ist, muss der Funktionswert für alle \(x\) gleich \(5\) sein. Die Gleichung lautet \(f(x) = 5\).

a) \(f(x) = 0{,}5x - 3\) b) \(f(x) = 5\). Begründung: Damit keine Nullstelle existiert, muss die Gerade parallel zur x-Achse verlaufen, also gilt \(m = 0\). Da der Punkt \(P(2|5)\) auf der Geraden liegt, muss der y-Wert überall \(5\) sein.

- Welchen Teil der Funktionsgleichung \(y = mx + c\) kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Was weißt du über den Funktionswert (den \(y\)-Wert) an einer Nullstelle? - Wie kannst du die Koordinaten eines bekannten Punktes nutzen, um eine unbekannte Steigung zu berechnen?

1. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0|4)\) folgt direkt der \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 4\). 2. Damit ergibt sich der Ansatz \(f(x) = m \cdot x + 4\). 3. Da der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = -2\) schneidet (Nullstelle), muss \(f(-2) = 0\) gelten. 4. Einsetzen des Punktes in die Gleichung: \(0 = m \cdot (-2) + 4\). 5. Auflösen nach \(m\): \(2m = 4 \Rightarrow m = 2\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x + 4\).

\(f(x) = 2x + 4\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn sie parallel zueinander verlaufen? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse „höher“ liegt, verändert das die Steigung oder den \(y\)-Achsenabschnitt?

1. Aus \(g(x) = 1{,}5x - 3\) liest man direkt ab: Steigung \(m = 1{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|-3)\). 2. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, muss sie dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) haben. Da sie durch den Ursprung verläuft, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 1{,}5x\). 3. Die Gerade \(k\) hat ebenfalls die Steigung \(m = 1{,}5\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(g\) ist \(-3\). Liegt der neue Abschnitt \(5\) Einheiten höher, rechnet man \(-3 + 5 = 2\). Somit ist \(t = 2\) und die Gleichung lautet \(k(x) = 1{,}5x + 2\).

a) \(m = 1{,}5, S(0|-3)\) b) \(h(x) = 1{,}5x\) c) \(k(x) = 1{,}5x + 2\)

- Wie hängen die Steigungswerte in der Funktionsgleichung mit der Lage der Geraden im Koordinatensystem zusammen? - Woran erkennt man in der Gleichung \(y = mx + n\), wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Es hilft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können.

1. Bestimmung der Steigungen \(m\) und \(y\)-Achsenabschnitte \(n\): \(f_1: m_1 = \frac{2}{5} = 0{,}4\), \(n_1 = 3\) \(f_2: m_2 = 0{,}4\), \(n_2 = -1\) \(f_3: m_3 = 2{,}5\), \(n_3 = 3\) \(f_4: m_4 = \frac{5}{2} = 2{,}5\), \(n_4 = -4\) \(f_5: m_5 = -0{,}4\), \(n_5 = 3\) 2. Identifikation paralleler Geraden (gleiche Steigung): \(m_1 = m_2 = 0{,}4 \implies f_1 \parallel f_2\) \(m_3 = m_4 = 2{,}5 \implies f_3 \parallel f_4\) 3. Identifikation gleicher \(y\)-Achsenabschnitte: \(n_1 = n_3 = n_5 = 3\). Der gemeinsame Schnittpunkt ist \(S(0|3)\).

a) Parallel sind \(f_1\) und \(f_2\) (beide haben die Steigung \(0{,}4\)) sowie \(f_3\) und \(f_4\) (beide haben die Steigung \(2{,}5\)). b) Die Geraden \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) schneiden die \(y\)-Achse im selben Punkt \(S(0|3)\), da sie alle den \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 3\) haben.

- Was sagt die Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse über die Funktionsgleichung aus? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um die Steigung einer Geraden eindeutig zu bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Form der Geradengleichung und welche Rolle die einzelnen Buchstaben darin spielen. - Kannst du die gegebenen Werte in eine Formel oder Gleichung einsetzen?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Da alle Geraden durch \(S(0 \mid 5)\) verlaufen, muss der Parameter \(t = 5\) sein. 2. Beispiele für Teilaufgabe a: Durch Einsetzen beliebiger Werte für \(m\) (z. B. \(m=1\), \(m=2\), \(m=-1\)) ergeben sich Gleichungen wie \(y = 1 \cdot x + 5\), \(y = 2 \cdot x + 5\) oder \(y = -1 \cdot x + 5\). 3. Berechnung der Steigung für Teilaufgabe b: Einsetzen der Koordinaten von \(Q(4 \mid 2)\) in die allgemeine Form \(y = m \cdot x + 5\). 4. Lösen der Gleichung: \(2 = m \cdot 4 + 5 \implies -3 = 4 \cdot m \implies m = -0{,}75\).

a) Mögliche Lösungen sind \(y = x + 5\), \(y = 2x + 5\) und \(y = -x + 5\). b) Die Steigung der Geraden beträgt \(m = -0{,}75\).

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu finden?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-5)}{3 - (-2)} = \frac{10}{5} = 2\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(B(3 \mid 5)\) in \(y = mx + b\): \(5 = 2 \cdot 3 + b \Rightarrow 5 = 6 + b \Rightarrow b = -1\). 3. Aufstellen der Geradengleichung: \(y = 2x - 1\).

\(y = 2x - 1\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Welche Form hat eine lineare Funktionsgleichung im Allgemeinen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu bestimmen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) der Geraden \(f\) mithilfe der Punkte \(A\) und \(B\): \(m = \frac{4 - 1}{2 - (-4)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 2. Da die Gerade \(g\) parallel zu \(f\) ist, besitzt sie dieselbe Steigung \(m = 0{,}5\). 3. Einsetzen der Steigung und der Koordinaten von \(P(2|-2)\) in die allgemeine Form \(y = m \cdot x + b\): \(-2 = 0{,}5 \cdot 2 + b\). 4. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(-2 = 1 + b \implies b = -3\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): \(y = 0{,}5x - 3\).

\(y = 0{,}5x - 3\)

- Was weißt du über die Steigung von Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welche Form hat eine lineare Funktionsgleichung im Allgemeinen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu berechnen?

1. Da die Gerade \(g\) parallel zu \(h\) verläuft, übernimmt sie deren Steigung: \(m = -2\). 2. Einsetzen der Steigung \(m\) und der Koordinaten des Punktes \(P(3 | 4)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + b\): \(4 = -2 \cdot 3 + b\). 3. Berechnen des y-Achsenabschnitts \(b\): \(4 = -6 + b \Rightarrow b = 10\). 4. Aufstellen der fertigen Funktionsgleichung: \(y = -2x + 10\).

\(y = -2x + 10\)

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welche Werte musst du in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu finden? - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n\): Einsetzen von \(B(2 \mid -2)\) in \(y = -3x + n\) ergibt \(-2 = -3 \cdot 2 + n \Rightarrow -2 = -6 + n \Rightarrow n = 4\). Die Gleichung lautet \(y = -3x + 4\). 3. Berechnung der Koordinate \(x\) für Punkt \(C\): Einsetzen von \(y = -11\) in die Gleichung ergibt \(-11 = -3x + 4 \Rightarrow -15 = -3x \Rightarrow x = 5\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(y = -3x + 4\). b) Die fehlende Koordinate ist \(x = 5\).

- Was müsste für die Steigungen zwischen den Punktpaaren gelten, damit sie auf einer Geraden liegen? - Berechne die Steigung für zwei verschiedene Paare der gegebenen Punkte. - Erinnere dich an das Steigungsdreieck: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.

1. Berechnung der Steigung \(m_1\) zwischen \(P(-2 | 5)\) und \(Q(2 | 3)\): \(m_1 = \frac{3 - 5}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). 2. Berechnung der Steigung \(m_2\) zwischen \(Q(2 | 3)\) und \(R(5 | 1)\): \(m_2 = \frac{1 - 3}{5 - 2} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(m_1 \neq m_2\), ist die Steigung zwischen den Punkten nicht konstant. Folglich liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden.

Nein, die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigung zwischen \(P\) und \(Q\) (\(m = -0{,}5\)) nicht mit der Steigung zwischen \(Q\) und \(R\) (\(m \approx -0{,}67\)) übereinstimmt.

- Welcher Wert stellt den Startzustand zum Zeitpunkt Null dar? - Wie viel Wasser verliert die Tonne pro Minute? - Welchen Wert muss die Wassermenge annehmen, wenn die Tonne leer ist?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung \(V(t) = m \cdot t + b\): Der Anfangswert bei \(t = 0\) ist \(b = 300\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) mit dem Wertepaar \((40|220)\): \(m = \frac{220 - 300}{40 - 0} = \frac{-80}{40} = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = -2t + 300\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts, an dem die Tonne leer ist: Setze \(V(t) = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(0 = -2t + 300 \Rightarrow 2t = 300 \Rightarrow t = 150\). Die Tonne ist nach \(150\,\text{Minuten}\) leer.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = -2t + 300\). b) Die Tonne ist nach \(150\,\text{Minuten}\) leer.

- Schau dir genau an, welche Koordinaten (x oder y) Tim im Zähler und welche er im Nenner verwendet hat. - Was bedeutet „Steigung“ im Hinblick auf den „Unterschied in der Höhe“ im Vergleich zum „Unterschied in der Breite“? - Berechne die Steigung selbst und vergleiche dein Vorgehen mit Tims Ansatz.

1. Überprüfung von Tims Ansatz: Er hat die Differenz der x-Werte in den Zähler und die Differenz der y-Werte in den Nenner geschrieben (\(m = \frac{\Delta x}{\Delta y}\)). 2. Vergleich mit der Definition: Die Steigung ist definiert als das Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung (\(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_S - y_R}{x_S - x_R}\)). 3. Korrekte Berechnung: \(m = \frac{11 - 5}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2\). 4. Fazit: Tim hat \(x\) und \(y\) vertauscht; die korrekte Steigung ist \(2\).

Tim hat nicht recht, da er die Differenz der x-Werte durch die Differenz der y-Werte geteilt hat (Kehrwert der Steigung). Die korrekte Steigung beträgt \(m = 2\).

- Stelle dir die Zeit als x-Wert und das Volumen als y-Wert vor. - Wie viel Liter kommen pro Minute hinzu? Das hilft dir bei der Steigung. - Was bedeutet der Wert zum Zeitpunkt Null für die Gleichung? - Überlege, welche Größe gegeben ist, wenn nach der Dauer bis zur vollständigen Füllung gefragt wird.

1. Aufstellen der Steigung \(m\) mit den Punkten \((10 \mid 1\,500)\) und \((25 \mid 3\,000)\): \(m = \frac{3\,000 - 1\,500}{25 - 10} = \frac{1\,500}{15} = 100\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen eines Punktes in \(V(t) = 100 \cdot t + b\): \(1\,500 = 100 \cdot 10 + b \Rightarrow 1\,500 = 1\,000 + b \Rightarrow b = 500\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 100 \cdot t + 500\). 4. Der Anfangsbestand zum Zeitpunkt \(t = 0\) entspricht dem Wert \(b\), also \(500\,\text{Litern}\). 5. Berechnung der Zeit für das volle Volumen: \(6\,000 = 100 \cdot t + 500 \Rightarrow 5\,500 = 100 \cdot t \Rightarrow t = 55\). Der Tank ist nach \(55\,\text{Minuten}\) voll.

a) \(V(t) = 100 \cdot t + 500\) b) Es befanden sich \(500\,\text{Liter}\) im Tank. c) Der Tank ist nach \(55\,\text{Minuten}\) voll.

- Was weißt du über die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu finden? - Welchen Wert musst du für \(f(x)\) einsetzen, um die gesuchte Stelle zu finden?

1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung \(f(x) = mx + b\) mit der gegebenen Steigung \(m = -2\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4|1)\) in die Gleichung \(1 = -2 \cdot 4 + b\), um den \(y\)-Achsenabschnitt zu berechnen: \(1 = -8 + b \Rightarrow b = 9\). 3. Die vollständige Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 9\). 4. Gleichsetzen der Funktion mit dem Zielwert \(11\): \(11 = -2x + 9\). 5. Auflösen nach \(x\): \(2 = -2x \Rightarrow x = -1\).

Der gesuchte Wert ist \(x = -1\).

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Welche Koordinate ist an der Stelle bekannt, an der der Graph die \(y\)-Achse schneidet?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(4 \mid -2)\) in die Funktionsgleichung: \(-2 = 0{,}5 \cdot 4 + n\). 2. Berechnung von \(n\): \(-2 = 2 + n \implies n = -4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x - 4\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -4\), also \(S_y(0 \mid -4)\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(0 = 0{,}5x - 4 \implies 0{,}5x = 4 \implies x = 8\), also \(S_x(8 \mid 0)\).

Der Wert für \(n\) ist \(-4\). Die Schnittpunkte sind \(S_y(0 \mid -4)\) und \(S_x(8 \mid 0)\).

- Was gibt der Startwert der Kerze für den y-Achsenabschnitt an? - Wie viel Höhe verliert die Kerze pro Stunde? - Was bedeutet es für die Höhe \(h\), wenn die Kerze „abgebrannt“ ist? - Wie rechnet man Dezimalstunden in Minuten um?

1. Aufstellen der linearen Funktion \(h(t) = m \cdot t + b\). Der Anfangswert bei \(t=0\) ist \(b = 24\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) mit dem Punkt \((4 \mid 14)\): \(m = \frac{14 - 24}{4 - 0} = \frac{-10}{4} = -2{,}5\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(t) = -2{,}5 \cdot t + 24\). 4. Berechnung der Nullstelle für das vollständige Abbrennen: \(0 = -2{,}5 \cdot t + 24 \Rightarrow 2{,}5 \cdot t = 24 \Rightarrow t = 9{,}6\). 5. Umrechnung der Zeit: \(9{,}6\,\text{Stunden}\) entsprechen \(9\,\text{Stunden}\) und \(0{,}6 \cdot 60 = 36\,\text{Minuten}\).

a) \(h(t) = -2{,}5 \cdot t + 24\) b) Die Kerze ist nach \(9\,\text{Stunden}\) und \(36\,\text{Minuten}\) abgebrannt.

- Wie kannst du die Steigung bestimmen, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Punkt eine Nullstelle ist? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingung einer Gleichung erfüllt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \(A\) und \(B\): \(m = \frac{-2 - 2}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(A(1 | 2)\) in \(y = -2x + b\): \(2 = -2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 4\). 3. Berechnung der Nullstelle durch Lösen von \(0 = -2x + 4\): \(2x = 4 \Rightarrow x = 2\). Die Nullstelle ist \(x = 2\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \((2 | 0)\). 4. Punktprobe für \(C(5 | -6)\): Einsetzen von \(x = 5\) in die Funktionsgleichung ergibt \(f(5) = -2 \cdot 5 + 4 = -10 + 4 = -6\). Da der berechnete Wert dem y-Wert von \(C\) entspricht, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 4\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf dem Graphen, da \(f(5) = -6\) eine wahre Aussage ergibt.

- Was weißt du über die allgemeine Form einer Geradengleichung? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um eine Unbekannte in der Gleichung zu finden? - Welche Koordinate ist an jedem Punkt auf der \(y\)-Achse immer Null? - Welche Koordinate ist an jedem Punkt auf der \(x\)-Achse immer Null?

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(m = 1{,}5\) und den Koordinaten von \(P(2 | 5)\) in \(y = mx + n\): \(5 = 1{,}5 \cdot 2 + n \Rightarrow 5 = 3 + n \Rightarrow n = 2\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(y = 1{,}5x + 2\). 3. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): \(y = 1{,}5 \cdot 0 + 2 = 2\). Ergebnis: \(S_y(0 | 2)\). 4. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): \(0 = 1{,}5x + 2 \Rightarrow -2 = 1{,}5x \Rightarrow x = -\frac{2}{1{,}5} = -\frac{4}{3}\). Ergebnis: \(S_x(-\frac{4}{3} | 0)\).

Funktionsgleichung: \(y = 1{,}5x + 2\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | 2)\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(-\frac{4}{3} | 0)\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um eine fehlende Variable in der Gleichung zu finden?

1. Bestimmung der Steigung: Da \(g\) parallel zu \(h\) verläuft, muss die Steigung identisch sein, also \(m = -2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): Einsetzen des Punktes \(Q(3 \mid 1)\) in die allgemeine Form \(y = mx + b\) führt zu \(1 = -2 \cdot 3 + b\). 3. Auflösen nach \(b\): \(1 = -6 + b \Rightarrow b = 7\). 4. Aufstellen der Geradengleichung: \(y = -2x + 7\). 5. Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(b = 7\) bzw. im Punkt \((0 \mid 7)\).

Die Geradengleichung lautet \(y = -2x + 7\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(7\) (bzw. der Punkt \((0 \mid 7)\)).

- Was passiert, wenn du die gegebenen Koordinaten für \(x\) und \(y\) in die Gleichung einsetzt? - Kannst du einen der Koeffizienten frei wählen, um den anderen zu berechnen? - Wie kannst du aus einer fertigen Gleichung neue Lösungen gewinnen?

1. Einsetzen des Zahlenpaars \((x=3, y=-1)\) in die allgemeine Form \(ax + by = 10\) ergibt die Bedingung \(a \cdot 3 + b \cdot (-1) = 10\) bzw. \(3a - b = 10\). 2. Wahl eines ganzzahligen Wertes für \(a\), zum Beispiel \(a = 4\). 3. Berechnung des zugehörigen Wertes für \(b\): \(3 \cdot 4 - b = 10 \Rightarrow 12 - b = 10 \Rightarrow b = 2\). 4. Die resultierende Gleichung lautet \(4x + 2y = 10\). 5. Finden weiterer Lösungen durch Einsetzen beliebiger \(x\)-Werte in diese Gleichung: Für \(x = 0\) folgt \(2y = 10 \Rightarrow y = 5\). Lösung: \((0 | 5)\). Für \(x = 1\) folgt \(4 \cdot 1 + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3\). Lösung: \((1 | 3)\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(4x + 2y = 10\). (Andere Lösungen wie \(3x - y = 10\) oder \(2x - 4y = 10\) sind ebenfalls möglich). b) Für die Gleichung \(4x + 2y = 10\) sind zum Beispiel \((0 | 5)\) und \((1 | 3)\) weitere Lösungen.

- Wie berechnet man den Anstieg zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Welche Eigenschaft muss die Gleichung einer Ursprungsgerade haben?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 5}{-2 - 4} = \frac{-3}{-6} = 0{,}5\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\): Einsetzen von \(A(4 \mid 5)\) in \(y = 0{,}5x + b\) ergibt \(5 = 0{,}5 \cdot 4 + b \Rightarrow 5 = 2 + b \Rightarrow b = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x + 3\). 3. Berechnung der Nullstelle: Setze \(f(x) = 0\). \(0 = 0{,}5x + 3 \Rightarrow -3 = 0{,}5x \Rightarrow x = -6\). Die Nullstelle liegt bei \(x = -6\). 4. Überprüfung des Ursprungs: Eine Gerade verläuft genau dann durch den Ursprung \((0 \mid 0)\), wenn der y-Achsenabschnitt \(b = 0\) ist. Da hier \(b = 3\) gilt, verläuft die Gerade nicht durch den Ursprung.

a) \(f(x) = 0{,}5x + 3\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = -6\). c) Nein, da der y-Achsenabschnitt \(3 \neq 0\) ist.

- Was ist der Startwert in dieser Situation und wie verändert er sich pro Zeiteinheit? - Überlege dir, welches Vorzeichen die Steigung haben muss, wenn etwas weniger wird. - Welchen Wert muss die Höhe haben, wenn die Kerze „weg“ ist? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der du die gesuchte Höhe einsetzt?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Anfangshöhe ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 20\). Die Abnahme pro Stunde entspricht der Steigung \(m = -2{,}5\). Somit ergibt sich \(h(t) = -2{,}5 \cdot t + 20\). 2. Berechnung der halben Höhe: Die Anfangshöhe beträgt \(20\,\text{cm}\), die Hälfte ist \(10\,\text{cm}\). Setze \(h(t) = 10\): \(10 = -2{,}5 \cdot t + 20\). Subtraktion von \(20\) ergibt \(-10 = -2{,}5 \cdot t\). Division durch \(-2{,}5\) liefert \(t = 4\). Nach \(4\) Stunden ist die Kerze halb so groß. 3. Zeitpunkt des vollständigen Abbrennens: Setze die Höhe \(h(t) = 0\): \(0 = -2{,}5 \cdot t + 20\). Umstellen ergibt \(2{,}5 \cdot t = 20\). Division durch \(2{,}5\) führt zu \(t = 8\). Die Kerze ist nach \(8\) Stunden abgebrannt.

a) \(h(t) = -2{,}5t + 20\) b) Nach \(4\) Stunden. c) Nach \(8\) Stunden.

- Überlege dir, welcher Wert den Startzustand beschreibt und wie sich dieser Wert pro Stunde verändert. - Achte beim Aufstellen der Gleichung auf das Vorzeichen der Änderung. - Wenn du einen Zeitpunkt suchst, musst du die Gleichung nach der Zeitvariablen auflösen.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung \(y = mx + b\) mit dem Anfangswert \(b = 22\) und der Änderungsrate \(m = -4\): \(y = -4x + 22\). 2. Einsetzen von \(x = 5{,}5\) in die Gleichung: \(y = -4 \cdot 5{,}5 + 22 = -22 + 22 = 0\). Die Temperatur nach \(5{,}5\) Stunden beträgt \(0\,^\circ\text{C}\). 3. Gleichsetzen der Funktion mit dem Zielwert \(-18\): \(-18 = -4x + 22\). 4. Umstellen der Gleichung nach \(x\): \(-40 = -4x \implies x = 10\). Die Zieltemperatur wird nach \(10\) Stunden erreicht.

1) \(y = -4x + 22\) 2) \(0\,^\circ\text{C}\) 3) Nach \(10\) Stunden.

- Wie viel Wasser wurde im Zeitraum zwischen den beiden Messungen insgesamt verbraucht? - Kannst du aus der Menge und der Anzahl der Tage den Verbrauch für einen einzelnen Tag bestimmen? - Wenn du weißt, wie viel pro Tag verbraucht wird, wie viel war dann vor dem fünften Tag in der Zisterne? - Wie oft passt der Tagesverbrauch in die gesamte Anfangsmenge hinein?

1. Berechnung der Differenz der Wassermenge: \(1200\,\text{l} - 850\,\text{l} = 350\,\text{l}\). 2. Berechnung der vergangenen Zeit zwischen den Messungen: \(12\,\text{Tage} - 5\,\text{Tage} = 7\,\text{Tage}\). 3. Ermittlung des täglichen Verbrauchs: \(350\,\text{l} : 7\,\text{Tage} = 50\,\text{l/Tag}\). 4. Berechnung des Anfangsbestands durch Rückrechnung vom 5. Tag: \(1200\,\text{l} + 5\,\text{Tage} \cdot 50\,\text{l/Tag} = 1450\,\text{l}\). 5. Berechnung der Gesamtdauer bis zur Entleerung: \(1450\,\text{l} : 50\,\text{l/Tag} = 29\,\text{Tage}\).

a) Es werden täglich \(50\,\text{l}\) verbraucht. b) Zu Beginn waren \(1450\,\text{l}\) in der Zisterne. c) Der Vorrat reicht für insgesamt \(29\,\text{Tage}\).

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Welche Koordinate ist an der Stelle, wo der Graph die \(x\)-Achse kreuzt, immer Null? - Setze alle bekannten Werte in die allgemeine Form ein, um den fehlenden Parameter zu finden.

1. Ansatz für die Funktionsgleichung mit der gegebenen Steigung: \(g(x) = -0{,}75x + c\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 4\) entspricht dem Punkt \(P(4|0)\). 3. Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in die Funktionsgleichung: \(0 = -0{,}75 \cdot 4 + c\). 4. Berechnung des Produkts: \(-0{,}75 \cdot 4 = -3\). 5. Auflösen der Gleichung \(0 = -3 + c\) ergibt \(c = 3\). 6. Die vollständige Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -0{,}75x + 3\).

a) \(c = 3\) b) \(g(x) = -0{,}75x + 3\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die gegebenen Informationen in die allgemeine Geradengleichung einsetzen? - Vergleiche die beiden Funktionsgleichungen. Welcher Teil ist identisch und welcher unterscheidet sich?

1. Berechnung von \(c\): Da die Nullstelle bei \(x = 6\) liegt, gilt \(f(6) = 0\). Einsetzen ergibt \(0{,}5 \cdot 6 + c = 0 \Rightarrow 3 + c = 0 \Rightarrow c = -3\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Da \(c = -3\), ist \(f(0) = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-3)\). 3. Vergleich der Graphen: \(g(x) = 0{,}5x\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Da \(f(x) = 0{,}5x - 3\) ist, wurde der Graph von \(g\) um \(3\) Einheiten entlang der \(y\)-Achse nach unten verschoben.

a) \(c = -3\). b) Der Schnittpunkt liegt bei \((0|-3)\). c) Man muss den Graphen von \(g\) um \(3\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung) verschieben.

- Erinnere dich an das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen darauf, Terme mit \(x\) und Terme ohne \(x\) getrennt zu betrachten. - Die „Steilheit“ hängt davon ab, wie stark sich der \(y\)-Wert ändert, wenn man einen Schritt nach rechts geht – egal ob nach oben oder unten. - Um einen Funktionswert zu berechnen, ersetzt du den Platzhalter im Term durch die gegebene Zahl.

1. Umformen von \(f\): \(f(x) = 2x - 6 + 4 = 2x - 2\). Hier ist \(m = 2\) und \(t = -2\). 2. Umformen von \(g\): \(g(x) = -\frac{1}{2}x + 5 - 2 = -0{,}5x + 3\). Hier ist \(m = -0{,}5\) und \(t = 3\). 3. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit einer Geraden wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Da \(|2| > |-0{,}5|\) ist, verläuft die Gerade \(f\) steiler als die Gerade \(g\). 4. Berechnung von \(f(10)\): Setze \(x = 10\) in die vereinfachte Gleichung ein: \(f(10) = 2 \cdot 10 - 2 = 20 - 2 = 18\).

a) \(f(x) = 2x - 2\); \(g(x) = -0{,}5x + 3\) b) \(f\): \(m = 2, t = -2\); \(g\): \(m = -0{,}5, t = 3\) c) \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als der von \(g\) (\(0{,}5\)). d) \(f(10) = 18\)

- Wenn zwei Geraden parallel sind, was wissen wir dann über ihr \(m\)? - Überlege dir bei einer horizontalen Geraden: Ändert sich der \(y\)-Wert, wenn du auf der Geraden nach links oder rechts gehst? - Führe die Änderungen Schritt für Schritt nacheinander an den Werten für \(m\) und \(t\) durch.

1. Parallelität zu \(p(x) = -4x + 10\) bedeutet gleiche Steigung, also \(m = -4\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(q(x) = 0{,}5x - 2\) ist \(t = -2\). Somit lautet die Gleichung \(h(x) = -4x - 2\). 2. Eine horizontale Gerade hat die Steigung \(m = 0\). Wenn sie durch den Punkt \(P(5|3)\) verläuft, muss der \(y\)-Wert für alle \(x\) gleich \(3\) sein, also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 3\). 3. Die Ausgangsfunktion ist \(f(x) = 1 \cdot x + 0\). Verdopplung der Steigung führt zu \(m = 1 \cdot 2 = 2\). Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten bedeutet \(t = 0 - 3 = -3\). Die neue Gleichung ist \(h(x) = 2x - 3\).

a) \(h(x) = -4x - 2\) b) \(m = 0\) und \(t = 3\); Gleichung: \(h(x) = 3\) c) \(h(x) = 2x - 3\)

- Was bedeutet es für die Steigung einer Geraden, wenn sie parallel zur horizontalen Achse verläuft? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden Teil einer Funktionsgleichung zu berechnen? - Überlege, was passieren muss, damit zwei Geraden nicht nur parallel sind, sondern genau aufeinanderliegen.

1. Aufstellen der Gleichungen: \(g: y = 1{,}5x - 2\) \(h\): Gleiche Steigung \(m=1{,}5\), Achsenabschnitt \(n=4 \implies y = 1{,}5x + 4\) \(i\): Gleiche Steigung \(m=1{,}5\), Punkt \(P(2|1)\) einsetzen: \(1 = 1{,}5 \cdot 2 + n \implies 1 = 3 + n \implies n = -2\). Somit \(y = 1{,}5x - 2\) \(j\): Parallel zur \(x\)-Achse bedeutet \(m=0\), gleicher Achsenabschnitt wie \(g\) bedeutet \(n=-2 \implies y = -2\) 2. Vergleich: \(g\) und \(i\) haben dieselbe Gleichung, sie sind identisch. \(h\) hat dieselbe Steigung wie \(g\) und \(i\), ist also parallel zu beiden. \(j\) hat eine andere Steigung (\(0\)) und ist zu keiner der anderen Geraden parallel.

Die Gleichungen lauten: \(h: y = 1{,}5x + 4\), \(i: y = 1{,}5x - 2\) und \(j: y = -2\). Die Geraden \(g\) und \(i\) sind identisch. Die Gerade \(h\) ist zu \(g\) und \(i\) echt parallel. Die Gerade \(j\) ist zu keiner dieser Geraden parallel.

- Welchen Einfluss hat der Wert am Ende der Gleichung auf die Höhe des Graphen? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für die Koordinaten eines Punktes? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Was muss für die Steigungen gelten, damit es keinen Schnittpunkt gibt?

1. Analyse der Verschiebung: Der Parameter \(t\) bestimmt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Eine Verkleinerung von \(t\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen parallel nach unten entlang der \(y\)-Achse. 2. Berechnung von \(t\) für die Nullstelle: Die Bedingung für eine Nullstelle bei \(x = 6\) ist \(y = 0\). Einsetzen in die Gleichung: \(0 = -1{,}5 \cdot 6 + t\). 3. Ergebnis für \(t\): \(0 = -9 + t \implies t = 9\). 4. Schnittpunkt-Bedingung: Zwei Geraden schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind. 5. Vergleich der Steigungen: Die Schar hat die konstante Steigung \(m_1 = -1{,}5\), die Gerade \(h\) hat die Steigung \(m_2 = 2\). Da \(-1{,}5 \neq 2\), sind die Geraden nie parallel und müssen sich schneiden.

a) Der Graph wird parallel nach unten verschoben. b) Der Wert ist \(t = 9\). c) Die Steigungen der Geraden (\(m = -1{,}5\)) und der Geraden \(h\) (\(m = 2\)) sind verschieden. Da sie nicht parallel sind, gibt es immer genau einen Schnittpunkt.

- Schau dir den Teil der Gleichung an, der nicht von \(x\) abhängt. Was sagt dieser über den Graphen aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Steigung und dem Verlauf der Geraden. - Was bedeutet „steiler“ im Zusammenhang mit den Zahlenwerten der Steigung? - Welche Information in der Gleichung muss identisch sein, damit zwei Geraden überall den gleichen Abstand haben?

1. Gemeinsamer Punkt: Da der \(y\)-Achsenabschnitt für alle Funktionen \(-2\) ist, verlaufen alle Graphen durch \(P(0 \mid -2)\). 2. Bedingung für fallende Geraden: Eine lineare Funktion fällt, wenn die Steigung negativ ist, also \(m < 0\). 3. Vergleich der Steilheit: Da \(|2| > |1|\), ist die Steigung bei \(m = 2\) größer. Ein größerer Betrag der Steigung bedeutet einen steileren Verlauf des Graphen. 4. Aufstellen der parallelen Geraden: Parallelität bedeutet gleiche Steigung, also \(m_g = 0{,}5\). Der neue \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = 3\). Daraus folgt \(g(x) = 0{,}5 \cdot x + 3\).

a) Der gemeinsame Punkt ist \(P(0 \mid -2)\). b) Die Gerade fällt für alle \(m < 0\). c) Der Graph für \(m = 2\) ist steiler, da der Betrag der Steigung größer ist. d) Die Gleichung lautet \(g(x) = 0{,}5 \cdot x + 3\).

- Was verrät dir ein Punkt der Form \((0 \mid y)\) direkt über die Funktionsgleichung? - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt mit der waagerechten Achse zu finden? - Welchen Wert muss die y-Koordinate an der Nullstelle haben?

1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\): Da der Punkt \(C(0 \mid 4)\) auf der y-Achse liegt, ist \(b = 4\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 4}{5 - 0} = -\frac{2}{5} = -0{,}4\). 3. Funktionsgleichung: \(y = -0{,}4x + 4\). 4. Berechnung der Nullstelle: Setze \(y = 0\): \(0 = -0{,}4x + 4 \Rightarrow 0{,}4x = 4 \Rightarrow x = 10\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 10\).

a) \(y = -0{,}4x + 4\) b) \(x = 10\)

- Welche Information über die Steigung liefert dir die Parallelität? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst?

1. Die Gerade \(k\) ist parallel zu \(h\), daher ist die Steigung \(m = -1{,}5\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 4\) entspricht dem Punkt \(P(4|0)\). 3. Einsetzen von \(m\) und \(P\) in \(y = m \cdot x + b\): \(0 = -1{,}5 \cdot 4 + b\). 4. Berechnung von \(b\): \(0 = -6 + b \implies b = 6\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(y = -1{,}5x + 6\).

\(y = -1{,}5x + 6\)

- Bestimme zuerst die Steigung der ersten Geraden. - Nutze die Parallelität, um die Steigung der zweiten Geraden festzulegen. - Wie sieht die Funktionsgleichung aus, wenn du Steigung und Achsenabschnitt bereits kennst? - Wie kannst du den \(y\)-Wert eines Punktes berechnen, wenn du den \(x\)-Wert und die Funktionsgleichung hast?

1. Berechnung der Steigung von \(g_1\): \(m = \frac{-2 - 7}{1 - (-2)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. Da \(g_1 \parallel g_2\), ist die Steigung von \(g_2\) ebenfalls \(m = -3\). 3. Mit dem gegebenen \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\) ergibt sich für \(g_2\) die Gleichung \(y = -3x + 1\). 4. Einsetzen der \(x\)-Koordinate von \(E(3|y_E)\) in die Gleichung von \(g_2\): \(y_E = -3 \cdot 3 + 1\). 5. Berechnung des Ergebniswertes: \(y_E = -9 + 1 = -8\).

a) \(y = -3x + 1\) b) \(y_E = -8\)

- Überlege dir zuerst, ob die Steigung positiv oder negativ sein muss, wenn etwas weniger wird. - Welchen Wert hat die Zeit \(t\) genau in dem Moment, in dem die Kerze angezündet wird? - Welche Information im Text gibt dir einen Punkt (Wertepaar) für deine Rechnung?

1. Die Änderungsrate pro Stunde entspricht der Steigung \(m\). Da die Kerze kürzer wird, ist \(m = -2{,}5\). 2. Der Zustand nach \(3\) Stunden entspricht dem Punkt \((3 | 18)\). 3. Einsetzen von \(m\), \(t\) und \(h\) in die Form \(h(t) = m \cdot t + b\), um den Startwert \(b\) zu finden: \(18 = -2{,}5 \cdot 3 + b\). 4. Ausrechnen: \(18 = -7{,}5 + b \Rightarrow b = 25{,}5\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -2{,}5t + 25{,}5\). 6. Die Anfangshöhe entspricht dem Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\), also dem y-Achsenabschnitt \(b = 25{,}5\,\text{cm}\).

a) \(h(t) = -2{,}5t + 25{,}5\) b) \(25{,}5\,\text{cm}\)

- Wie gehst du vor, um den y-Achsenabschnitt zu finden, wenn Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Was ist das besondere Merkmal eines Punktes, der auf der \(x\)-Achse liegt? Welchen Wert hat dort \(y\)?

1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(m = -2\) und \(A(4 | 6)\) in \(y = mx + b\): \(6 = -2 \cdot 4 + b\). 2. Berechnung: \(6 = -8 + b \Rightarrow b = 14\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -2x + 14\). 3. Zur Berechnung der Nullstelle wird der Funktionswert gleich Null gesetzt: \(0 = -2x + 14\). 4. Auflösen nach \(x\): \(2x = 14 \Rightarrow x = 7\). Die Nullstelle ist \(x = 7\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(7 | 0)\).

a) \(f(x) = -2x + 14\) b) Die Nullstelle ist \(x = 7\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(7 | 0)\).

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander sind? - Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt von Gerade \(g\) direkt aus den gegebenen Punkten ablesen? - Wie ist ein Punkt auf der \(x\)-Achse mathematisch definiert?

1. Gerade \(g\): Da \(P(0 \mid 3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(n_g = 3\). Die Steigung ist \(m_g = \frac{5 - 3}{4 - 0} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Gleichung: \(g(x) = 0{,}5x + 3\). 2. Gerade \(h\): Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_h = m_g = 0{,}5\). Einsetzen von \(R(2 \mid 1)\) in \(y = 0{,}5x + n_h\) ergibt \(1 = 0{,}5 \cdot 2 + n_h \Rightarrow 1 = 1 + n_h \Rightarrow n_h = 0\). Gleichung: \(h(x) = 0{,}5x\). 3. Nullstelle von \(h\): Setze \(h(x) = 0\). \(0 = 0{,}5x \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle ist \(x = 0\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(0 \mid 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(g(x) = 0{,}5x + 3\) und \(h(x) = 0{,}5x\). b) Die Nullstelle ist \(x = 0\); die Gerade \(h\) schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung bei \(S_x(0 \mid 0)\).

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn Punkte auf einer Geraden liegen, muss die Steigung zwischen jedem beliebigen Paar dieser Punkte gleich sein. - Kannst du zuerst eine Funktionsgleichung aus den ersten beiden Punkten erstellen? - Was weißt du über den Punkt \(C\), wenn er die Funktionsgleichung erfüllen muss?

1. Berechnung der Steigung \(m\) zwischen den Punkten \(A\) und \(B\): \(m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(A(1 | 4)\) in die Form \(y = m \cdot x + n\): \(4 = 3 \cdot 1 + n \implies n = 1\). 3. Aufstellen der Geradengleichung: \(y = 3 \cdot x + 1\). 4. Einsetzen des y-Werts von Punkt \(C\) (\(y = 19\)) in die Gleichung: \(19 = 3 \cdot x + 1\). 5. Auflösen nach \(x\): \(18 = 3 \cdot x \implies x = 6\).

Die x-Koordinate von Punkt \(C\) ist \(6\).

- Du kannst nacheinander die Steigungen zwischen benachbarten Punkten prüfen. - Sobald sich eine Steigung ändert, hast du den „Ausreißer“ fast schon gefunden. - Wie kannst du den y-Achsenabschnitt besonders schnell ablesen, wenn ein Punkt auf der y-Achse gegeben ist? - Nutze zwei der Punkte, die auf der Geraden liegen, um die allgemeine Form \(y = m \cdot x + b\) aufzustellen.

1. Berechnung der Steigung zwischen \(S\) und \(T\): \(m_{ST} = \frac{-1 - (-7)}{0 - (-2)} = \frac{6}{2} = 3\). 2. Berechnung der Steigung zwischen \(T\) und \(U\): \(m_{TU} = \frac{2 - (-1)}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3\). Da die Steigungen gleich sind, liegen \(S\), \(T\) und \(U\) auf einer Geraden. 3. Überprüfung von \(V(3 | 7)\) durch Berechnung der Steigung zu \(U\): \(m_{UV} = \frac{7 - 2}{3 - 1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Da \(2{,}5 \neq 3\), liegt \(V\) nicht auf der Geraden. 4. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\): Aus Punkt \(T(0 | -1)\) folgt direkt \(n = -1\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung mit \(m = 3\) und \(n = -1\): \(y = 3 \cdot x - 1\).

Der Punkt \(V(3 | 7)\) liegt nicht auf der Geraden. Die Funktionsgleichung der Geraden, auf der die Punkte \(S\), \(T\) und \(U\) liegen, lautet \(y = 3 \cdot x - 1\).

- Wenn Punkte nicht auf einer Geraden liegen, was bilden sie dann stattdessen? - Wie kannst du die Steigung berechnen, wenn Dezimalzahlen gegeben sind? - Reicht es aus, nur zwei der Punkte zu betrachten, um die Frage zu beantworten?

1. Berechnung der Steigung zwischen \(A(1{,}5 \mid 4)\) und \(B(4 \mid 9)\): \(m_{AB} = \frac{9 - 4}{4 - 1{,}5} = \frac{5}{2{,}5} = 2\). 2. Berechnung der Steigung zwischen \(B(4 \mid 9)\) und \(C(6 \mid 13{,}5)\): \(m_{BC} = \frac{13{,}5 - 9}{6 - 4} = \frac{4{,}5}{2} = 2{,}25\). 3. Vergleich der Steigungen: Da \(2 \neq 2{,}25\), ändert sich die Steigung im Punkt \(B\). 4. Ergebnis: Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden und bilden somit ein Dreieck.

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigungen \(m_{AB} = 2\) und \(m_{BC} = 2{,}25\) unterschiedlich sind. Sie bilden ein Dreieck.

- Was passiert mit der Höhe der Kerze, während sie brennt? - Wie viele Zentimeter verliert die Kerze in einer einzigen Stunde? - Kannst du die Werte aus der Aufgabe in einem Koordinatensystem als Punkte sehen?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Die Anfangshöhe bei \(t = 0\) ist \(b = 24\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{18 - 24}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2\). Die Gleichung ist \(h(t) = -2t + 24\). 3. Interpretation: \(b = 24\) ist die Anfangshöhe der Kerze in \(\text{cm}\). \(m = -2\) gibt an, dass die Kerze pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) kürzer wird (Abbrandrate). 4. Berechnung der Höhe nach \(5\,\text{Stunden}\): \(h(5) = -2 \cdot 5 + 24 = -10 + 24 = 14\). Die Höhe beträgt \(14\,\text{cm}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -2t + 24\). b) Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b=24\) ist die Anfangshöhe in \(\text{cm}\). Die Steigung \(m=-2\) gibt die Änderung der Höhe pro Stunde an (die Kerze wird pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) kleiner). c) Nach \(5\,\text{Stunden}\) ist die Kerze noch \(14\,\text{cm}\) hoch.

- Was passiert, wenn du alle bekannten Werte in die Steigungsformel einsetzt? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Nenner steht? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Steigung mit deinem gefundenen Wert erneut berechnest.

1. Aufstellen der Steigungsformel mit den gegebenen Werten: \(m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(-3 = \frac{8 - (-4)}{x - 2}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(-3 = \frac{12}{x - 2}\). 4. Umformen der Gleichung: \(-3 \cdot (x - 2) = 12 \implies x - 2 = -4\). 5. Bestimmen von \(x\): \(x = -2\).

Die x-Koordinate des Punktes \(Q\) ist \(-2\).

- Was ändert sich an den Kosten, wenn man einen Kilometer weiter fährt? - Gibt es einen Betrag, den man zahlen muss, auch wenn man noch gar keinen Kilometer gefahren ist? - Setze den gesuchten Wert für die Strecke in deine gefundene Formel ein.

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den Wertepaaren \((5 \mid 14{,}50)\) und \((12 \mid 28{,}50)\): \(m = \frac{28{,}50 - 14{,}50}{12 - 5} = \frac{14}{7} = 2\). 2. Berechnung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen in \(K(x) = 2x + b\): \(14{,}50 = 2 \cdot 5 + b \Rightarrow 14{,}50 = 10 + b \Rightarrow b = 4{,}50\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(K(x) = 2x + 4{,}50\). 4. Interpretation: Die Steigung \(m = 2\) gibt den Preis pro Kilometer an (\(2{,}00\,\text{€}/\text{km}\)). Der y-Achsenabschnitt \(b = 4{,}50\) stellt den festen Grundpreis dar (\(4{,}50\,\text{€}\)). 5. Berechnung der Kosten für \(20\,\text{km}\): \(K(20) = 2 \cdot 20 + 4{,}50 = 40 + 4{,}50 = 44{,}50\). Die Fahrt kostet \(44{,}50\,\text{€}\).

a) \(K(x) = 2x + 4{,}50\) b) \(m = 2\) ist der Preis pro Kilometer (\(2{,}00\,\text{€}/\text{km}\)); \(b = 4{,}50\) ist der Grundpreis (\(4{,}50\,\text{€}\)). c) Eine Fahrt über \(20\,\text{km}\) kostet \(44{,}50\,\text{€}\).

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gegeben ist? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte (oder ein Punkt und der Achsenabschnitt) bekannt sind? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b = 3\) aus der Aufgabenstellung. 2. Einsetzen des Punktes \(Q(5|13)\) in den Ansatz \(f(x) = mx + 3\), um die Steigung \(m\) zu berechnen: \(13 = m \cdot 5 + 3 \Rightarrow 10 = 5m \Rightarrow m = 2\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x + 3\). 4. Zur Berechnung der Nullstelle wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(0 = 2x + 3\). 5. Auflösen nach \(x\): \(-3 = 2x \Rightarrow x = -1{,}5\).

Die Nullstelle der Funktion liegt bei \(x = -1{,}5\).

- Kannst du die Steigung bestimmen, wenn du einen Punkt und den \(y\)-Achsenabschnitt kennst? - Wie prüfst du, ob ein Wertepaar eine Gleichung erfüllt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) durch Einsetzen von \(P(-2 \mid 5)\): \(5 = m \cdot (-2) - 1\). 2. Auflösen nach \(m\): \(6 = -2m \implies m = -3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -3x - 1\). 3. Punktprobe für \(Q(1 \mid -4)\): \(f(1) = -3 \cdot 1 - 1 = -4\). 4. Vergleich: Da der berechnete \(y\)-Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Die Steigung ist \(m = -3\). b) Ja, der Punkt \(Q(1 \mid -4)\) liegt auf dem Graphen, da \(f(1) = -4\) gilt.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte auf einer Geraden bekannt sind? - Welche physikalische Größe ändert sich über die Zeit? - Was passiert zum Zeitpunkt Null? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über die Temperaturänderung aus?

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den Punkten \((2 \mid 75)\) und \((10 \mid 55)\): \(m = \frac{55 - 75}{10 - 2} = \frac{-20}{8} = -2{,}5\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen eines Punktes in \(T(t) = -2{,}5 \cdot t + b\): \(75 = -2{,}5 \cdot 2 + b \Rightarrow 75 = -5 + b \Rightarrow b = 80\). 3. Funktionsgleichung: \(T(t) = -2{,}5 \cdot t + 80\). 4. Interpretation: Die Steigung \(-2{,}5\) gibt an, dass die Temperatur pro Minute um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) sinkt. Der y-Achsenabschnitt \(80\) gibt die Anfangstemperatur der Flüssigkeit (\(80\,^\circ\text{C}\)) zum Zeitpunkt \(t=0\) an.

a) \(T(t) = -2{,}5 \cdot t + 80\) b) Die Steigung gibt an, dass die Temperatur pro Minute um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) abnimmt. Der y-Achsenabschnitt stellt die Anfangstemperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) dar.

- Überlege zuerst, wie viel Liter pro Minute in den Behälter fließen. - Wie findet man heraus, was vor dem Start der Messung im Behälter war? - Welchen Wert für \(t\) musst du einsetzen, um den Zustand nach einer halben Stunde zu prüfen? - Achte auf die Einheiten der Zeitangaben.

1. Steigung \(m\) berechnen: \(m = \frac{24 - 13{,}5}{12 - 5} = \frac{10{,}5}{7} = 1{,}5\). Die Füllrate beträgt \(1{,}5\,\text{l/min}\). 2. y-Achsenabschnitt \(b\) bestimmen: \(13{,}5 = 1{,}5 \cdot 5 + b \Rightarrow 13{,}5 = 7{,}5 + b \Rightarrow b = 6\). 3. Funktionsgleichung: \(V(t) = 1{,}5 \cdot t + 6\). 4. Ursprüngliche Menge (\(t=0\)): Der Wert \(b = 6\) bedeutet, dass anfangs \(6\,\text{Liter}\) im Behälter waren. 5. Volumen nach \(30\,\text{Minuten}\): \(V(30) = 1{,}5 \cdot 30 + 6 = 45 + 6 = 51\). Es befinden sich \(51\,\text{Liter}\) im Behälter.

a) \(V(t) = 1{,}5 \cdot t + 6\) b) Es waren ursprünglich \(6\,\text{Liter}\) im Behälter. c) Nach einer halben Stunde befinden sich \(51\,\text{Liter}\) im Behälter.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welche Form hat die Gleichung einer linearen Funktion und wie findet man den \(y\)-Achsenabschnitt? - Was müsste für den Wert von \(b\) in der Gleichung \(y = m \cdot x + b\) gelten, damit die Zuordnung proportional ist?

1. Überprüfung der Linearität (konstante Steigung): Berechnung der Steigung \(m\) zwischen benachbarten Punkten. \(m_1 = \frac{5 - 11}{-1 - (-4)} = \frac{-6}{3} = -2\); \(m_2 = \frac{-1 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\); \(m_3 = \frac{-7 - (-1)}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2\). Da die Steigung überall \(-2\) ist, liegen die Punkte auf einer Geraden. 2. Bestimmung der Funktionsgleichung: Die Steigung ist \(m = -2\). Einsetzen eines Punktes, z. B. \((2|-1)\), in \(y = m \cdot x + b\): \(-1 = -2 \cdot 2 + b \Rightarrow -1 = -4 + b \Rightarrow b = 3\). Die Gleichung lautet \(y = -2x + 3\). 3. Prüfung auf Proportionalität: Eine proportionale Zuordnung hat die Form \(y = k \cdot x\) (entspricht \(b=0\)). Da hier \(b=3\) ist (oder da \(\frac{11}{-4} \neq \frac{5}{-1}\)), ist die Zuordnung nicht proportional.

a) Die Steigung zwischen allen Punkten ist konstant \(m = -2\), daher ist die Funktion linear. b) Die Funktionsgleichung lautet \(y = -2x + 3\). c) Die Zuordnung ist nicht proportional, da der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3 \neq 0\) ist bzw. die Quotienten \(\frac{y}{x}\) nicht konstant sind.

- Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - In welcher Form wird eine lineare Funktionsgleichung üblicherweise geschrieben? - Was sagt die Steigung über die Lage zweier Geraden zueinander aus?

1. Identifikation der zwei Punkte: Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(4 | 0)\), der zweite Punkt ist \(P(-2 | 3)\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{3 - 0}{-2 - 4} = \frac{3}{-6} = -0{,}5\). 3. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(N(4 | 0)\) in \(y = -0{,}5x + b\): \(0 = -0{,}5 \cdot 4 + b \Rightarrow 0 = -2 + b \Rightarrow b = 2\). Die Gleichung ist \(h(x) = -0{,}5x + 2\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | 2)\); der \(y\)-Achsenabschnitt beträgt \(2\). 5. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(h\) ist \(m = -0{,}5\). Die Steigung von \(g\) ist ebenfalls \(-0{,}5\). Da beide Funktionen die gleiche Steigung haben, verlaufen ihre Graphen parallel zueinander.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}5x + 2\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | 2)\); der \(y\)-Achsenabschnitt beträgt \(2\). c) Beide Funktionen haben die gleiche Steigung (\(m = -0{,}5\)), daher sind die Graphen parallel.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Welche Bedingung müssen die Steigungen zweier Geraden erfüllen, damit diese parallel sind? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn eine Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft?

1. Gerade \(g\): Einsetzen von \(m = 2\) und \(P(-2 | 5)\) in \(y = mx + n\): \(5 = 2 \cdot (-2) + n \Rightarrow 5 = -4 + n \Rightarrow n = 9\). Gleichung: \(y = 2x + 9\). 2. Gerade \(h\): Da sie durch den Ursprung geht, ist \(n = 0\). Steigung \(m = \frac{y_Q - 0}{x_Q - 0} = \frac{10}{4} = 2{,}5\). Gleichung: \(y = 2{,}5x\). 3. Vergleich der Steigungen: \(m_g = 2\) und \(m_h = 2{,}5\). Da \(m_g \neq m_h\), sind die Geraden nicht parallel. 4. Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): \(0 = 2x + 9 \Rightarrow -9 = 2x \Rightarrow x = -4{,}5\). Ergebnis: \(S_x(-4{,}5 | 0)\).

a) Gleichungen: \(g: y = 2x + 9\); \(h: y = 2{,}5x\) b) Die Geraden sind nicht parallel, da ihre Steigungen (\(2\) und \(2{,}5\)) unterschiedlich sind. c) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(-4{,}5 | 0)\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Information steckt in der Angabe einer Nullstelle für die Koordinaten eines Punktes? - Wie verhalten sich die Steigungen paralleler Geraden zueinander?

1. Steigung \(m_k\) der Geraden \(k\) berechnen: \(m_k = \frac{6 - 4}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt \(b_k\) ermitteln: Einsetzen von \(B(2 \mid 6)\) in \(y = 0{,}5x + b_k\) ergibt \(6 = 0{,}5 \cdot 2 + b_k \Rightarrow 6 = 1 + b_k \Rightarrow b_k = 5\). Gleichung \(k: y = 0{,}5x + 5\). 3. Steigung von \(l\) bestimmen: Wegen Parallelität gilt \(m_l = m_k = 0{,}5\). 4. \(y\)-Achsenabschnitt \(b_l\) berechnen: Die Nullstelle \(x = 4\) entspricht dem Punkt \((4 \mid 0)\). Einsetzen in \(y = 0{,}5x + b_l\) ergibt \(0 = 0{,}5 \cdot 4 + b_l \Rightarrow 0 = 2 + b_l \Rightarrow b_l = -2\). 5. Gleichung \(l: y = 0{,}5x - 2\).

Die Gleichungen lauten \(k: y = 0{,}5x + 5\) und \(l: y = 0{,}5x - 2\).

- Welche geometrische Form bilden alle Lösungen einer linearen Gleichung in einem Koordinatensystem? - Wie kannst du prüfen, ob drei Punkte in einer Reihe liegen? - Was müsste für die Steigungen zwischen verschiedenen Paaren dieser Punkte gelten?

1. Überprüfung der Kollinearität durch Berechnung der Steigungen zwischen den Punkten. 2. Steigung \(m_1\) zwischen \((-2 | 7)\) und \((1 | 1)\): \(m_1 = \frac{1 - 7}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2\). 3. Steigung \(m_2\) zwischen \((1 | 1)\) und \((4 | -4)\): \(m_2 = \frac{-4 - 1}{4 - 1} = \frac{-5}{3} \approx -1{,}67\). 4. Da die Steigungen unterschiedlich sind (\(m_1 \neq m_2\)), liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden. 5. Somit können die drei Zahlenpaare nicht Lösungen derselben linearen Gleichung sein.

Nein, sie können nicht Lösungen derselben linearen Gleichung sein. Die Steigung zwischen den ersten beiden Paaren beträgt \(-2\), während sie zwischen dem zweiten und dritten Paar \(-\frac{5}{3}\) beträgt. Da die Steigungen nicht gleich sind, liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.

- Wie verändert sich die Höhe der Kerze innerhalb von drei Stunden? - Was bedeutet es für die Rechnung, dass die Kerze kleiner wird? - Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zum Zeitpunkt des Anzündens?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems für die Form \(h(t) = m \cdot t + b\): I: \(2m + b = 18\) II: \(5m + b = 13{,}5\) 2. Subtraktion der Gleichungen zur Bestimmung der Steigung \(m\): \(3m = 13{,}5 - 18 = -4{,}5 \Rightarrow m = -1{,}5\) 3. Einsetzen von \(m = -1{,}5\) in Gleichung I zur Bestimmung von \(b\): \(2 \cdot (-1{,}5) + b = 18 \Rightarrow -3 + b = 18 \Rightarrow b = 21\) 4. Funktionsgleichung: \(h(t) = -1{,}5t + 21\) 5. Interpretation: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 21\) gibt die Anfangshöhe der Kerze in \(\text{cm}\) an. Die Steigung \(m = -1{,}5\) gibt die Abbrenngeschwindigkeit an (die Kerze wird pro Stunde um \(1{,}5\,\text{cm}\) kürzer).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -1{,}5t + 21\). b) Der \(y\)-Achsenabschnitt (\(21\)) ist die ursprüngliche Höhe der Kerze in \(\text{cm}\), die Steigung (\(-1{,}5\)) beschreibt die Abnahme der Höhe pro Stunde.

- Achte beim Berechnen der Steigung besonders auf die Vorzeichen im Nenner. - Welchen Wert hat die y-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2\). 2. Bestimmung von \(b\): Einsetzen von \(P(-2 \mid 7)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(7 = -2 \cdot (-2) + b \Rightarrow 7 = 4 + b \Rightarrow b = 3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -2x + 3\). 3. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -2x + 3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(1{,}5 \mid 0)\). 4. Punktprobe für \(R(1 \mid 1)\): Setze \(x = 1\) in die Gleichung ein: \(f(1) = -2 \cdot 1 + 3 = 1\). Da der berechnete y-Wert mit der Koordinate des Punktes \(R\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(f(x) = -2x + 3\) b) Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(1{,}5 \mid 0)\). c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden, da \(f(1)=1\) mit der \(y\)-Koordinate von \(R\) übereinstimmt.

- Was weißt du über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welche Information aus der ersten Funktionsgleichung kannst du für die zweite Gerade übernehmen? - Wie gehst du vor, wenn du eine Steigung und einen Punkt gegeben hast, um die vollständige Gleichung zu finden?

1. Nullstelle von \(g\): \(0 = -2x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). 2. Bestimmung der Gleichung von \(h\): Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, haben beide die gleiche Steigung \(m = -2\). 3. Bestimmung von \(b\) für \(h\): Einsetzen von \(P(1 \mid 1)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(1 = -2 \cdot 1 + b \Rightarrow 1 = -2 + b \Rightarrow b = 3\). Die Gleichung von \(h\) lautet \(h(x) = -2x + 3\). 4. Überprüfung des Ursprungs: Da der y-Achsenabschnitt von \(h\) den Wert \(3\) hat (und nicht \(0\)), verläuft die Gerade nicht durch den Ursprung.

a) Die Nullstelle von \(g\) ist \(x = 2\). b) \(h(x) = -2x + 3\) c) Nein, die Gerade \(h\) verläuft nicht durch den Ursprung.

- Woran erkennt man bei einer Tabelle, ob eine Zuordnung linear ist? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung \(m\) zwischen zwei Punkten. - Welcher Wert in der Tabelle entspricht dem Startwert \(n\) der Funktionsgleichung? - Setze für die letzte Teilaufgabe den Zielwert für die Temperatur in deine Gleichung ein und löse nach der Zeit auf.

1. Überprüfung der Linearität durch Berechnung der Steigungen: - Zwischen \(0\) und \(8\,\text{min}\): \(m_1 = \frac{74 - 90}{8 - 0} = \frac{-16}{8} = -2\,^\circ\text{C}/\text{min}\) - Zwischen \(8\) und \(20\,\text{min}\): \(m_2 = \frac{50 - 74}{20 - 8} = \frac{-24}{12} = -2\,^\circ\text{C}/\text{min}\) - Da \(m_1 = m_2\), ist der Verlauf linear. 2. Aufstellen der Gleichung: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Startwert bei \(t=0\), also \(n = 90\). Die Gleichung lautet \(T(t) = -2t + 90\). 3. Berechnung für \(t = 15\): \(T(15) = -2 \cdot 15 + 90 = -30 + 90 = 60\,^\circ\text{C}\). 4. Berechnung des Zeitpunktes für \(T = 26\): \(26 = -2t + 90\) \(-64 = -2t\) \(t = 32\,\text{min}\).

a) Die Steigung ist in beiden Intervallen konstant \(-2\,^\circ\text{C}/\text{min}\), daher ist die Funktion linear. b) \(T(t) = -2t + 90\). c) Nach 15 Minuten beträgt die Temperatur \(60\,^\circ\text{C}\). d) Die Temperatur von \(26\,^\circ\text{C}\) wird nach \(32\,\text{min}\) erreicht.

- Identifiziere den Startwert und die Rate, mit der sich der Wert erhöht. - Wie viele Prozentpunkte müssen insgesamt aufgeladen werden, um von \(12\,\%\) auf \(100\,\%\) zu kommen? - Für die Geschwindigkeit teile den gesamten Zuwachs durch die benötigte Zeit. - Berechne für beide Geräte die Zeit bis zur Vollladung und vergleiche die Ergebnisse.

1. Funktionsgleichung für das erste Gerät: Startwert \(n = 12\), Steigung \(m = 0{,}8\). Die Gleichung lautet \(L(t) = 0{,}8 \cdot t + 12\). 2. Ladegeschwindigkeit des Schnellladegeräts: Der Akku muss von \(12\,\%\) auf \(100\,\%\) geladen werden, also um \(100 - 12 = 88\) Prozentpunkte. Dies geschieht in \(t = 80\) Minuten. Die Steigung \(m_s\) berechnet sich durch \(\frac{88}{80} = 1{,}1\). Die Ladegeschwindigkeit beträgt \(1{,}1\,\text{Prozentpunkte pro Minute}\). 3. Zeitersparnis berechnen: Zuerst die Ladezeit des ersten Geräts für \(100\,\%\) bestimmen: \(100 = 0{,}8 \cdot t + 12 \Rightarrow 88 = 0{,}8 \cdot t \Rightarrow t = 110\,\text{Minuten}\). Die Differenz zur Ladezeit des Schnellladegeräts (\(80\,\text{Minuten}\)) beträgt \(110 - 80 = 30\,\text{Minuten}\).

a) \(L(t) = 0{,}8t + 12\) b) \(1{,}1\,\text{Prozentpunkte pro Minute}\) c) Man spart \(30\,\text{Minuten}\).

- Achte darauf, dass die Höhe abnimmt. Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate? - Sind alle Zeitangaben in der gleichen Einheit? - Welchen Wert hat die Höhe, wenn der Ballon den Boden berührt? - Wie rechnet man Sekunden in Minuten und verbleibende Sekunden um?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Anfangshöhe ist \(840\,\text{m}\), die Änderungsrate beträgt \(-1{,}5\,\text{m/s}\). Die Gleichung lautet \(h(t) = 840 - 1{,}5t\). 2. Berechnung der Höhe nach \(4\) Minuten: Zuerst Umrechnung der Zeit in Sekunden: \(4 \cdot 60 = 240\,\text{s}\). Einsetzen in die Funktion: \(h(240) = 840 - 1{,}5 \cdot 240 = 840 - 360 = 480\). Die Höhe beträgt \(480\,\text{m}\). 3. Berechnung der Landezeit: Der Boden entspricht der Höhe \(h = 0\). Setze \(0 = 840 - 1{,}5t\). Umstellen ergibt \(1{,}5t = 840\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(t = 560\,\text{s}\). 4. Umrechnung in Minuten: \(560 : 60 = 9\) Rest \(20\). Der Ballon landet nach \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden.

1) \(h(t) = 840 - 1{,}5t\) 2) Nach \(4\) Minuten ist der Ballon in \(480\,\text{m}\) Höhe. 3) Er erreicht den Boden nach \(560\) Sekunden (bzw. \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden).

- Wie kannst du die Brüche eliminieren? Welcher gemeinsame Nenner bietet sich an? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Um eine ganzzahlige Lösung zu finden, muss der Zähler des Bruchs durch den Nenner ohne Rest teilbar sein. Probiere kleine Werte für \(x\) aus.

1. Hauptnenner finden (\(12\)) und die gesamte Gleichung damit multiplizieren: \(4(x + 2y) - 3(2x - y) = 12\). 2. Klammern auflösen: \(4x + 8y - 6x + 3y = 12\). 3. Zusammenfassen zu \(ax + by = c\): \(-2x + 11y = 12\). 4. Nach \(y\) umstellen: \(11y = 2x + 12 \implies y = \frac{2x + 12}{11}\). 5. Ganzzahlige Lösung durch systematisches Probieren für \(x\) finden: Wenn \(x = 5\), dann ist \(y = \frac{2 \cdot 5 + 12}{11} = \frac{22}{11} = 2\). Ein ganzzahliges Paar ist \((5 \mid 2)\). Alternativ: Wenn \(x = -6\), dann ist \(y = \frac{-12 + 12}{11} = 0\). Ein weiteres Paar ist \((-6 \mid 0)\).

a) \(-2x + 11y = 12\) b) \(y = \frac{2x + 12}{11}\) (oder \(y = \frac{2}{11}x + \frac{12}{11}\)) c) Ein mögliches ganzzahliges Paar ist \((5 \mid 2)\) oder \((-6 \mid 0)\).

- Wie sieht die allgemeine Form einer Geradengleichung aus, wenn sie nicht durch den Ursprung verläuft? - Wie kannst du den fehlenden Wert in der Gleichung berechnen, wenn Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert \(y\)? - Welchen Wert musst du für \(y\) einsetzen, um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden?

1. Ansatz der allgemeinen Geradengleichung \(y = m \cdot x + n\). Einsetzen der Steigung \(m = 1{,}5\) und der Koordinaten von \(A(4 \mid 3)\): \(3 = 1{,}5 \cdot 4 + n\). Vereinfachen ergibt \(3 = 6 + n\), woraus \(n = -3\) folgt. Die Gleichung lautet \(y = 1{,}5x - 3\). 2. Zur Berechnung der Nullstelle wird \(y = 0\) gesetzt: \(0 = 1{,}5x - 3\). Durch Umformen erhält man \(3 = 1{,}5x\) und somit \(x = 2\).

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(n = -3\); die Gleichung lautet \(y = 1{,}5x - 3\). 2. Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\).

- Welche mathematische Struktur beschreibt eine gleichmäßige Änderung? - Wie kannst du die Änderung der Werte pro Zeiteinheit bestimmen? - Könnte ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (Anfangswert und Änderungsrate) hilfreich sein? - Achte auf die Einheiten: Wie rechnet man von Kilometern pro Minute in Kilometer pro Stunde um?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit der Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/min}\) und dem Anfangskilometerstand \(s_0\): \(20 \cdot v + s_0 = 84\) und \(50 \cdot v + s_0 = 135\). 2. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung zur Elimination von \(s_0\): \(30 \cdot v = 51\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit: \(v = 1{,}7\,\text{km/min}\). 4. Umrechnung in \(\text{km/h}\): \(1{,}7 \cdot 60 = 102\,\text{km/h}\). 5. Einsetzen von \(v\) in die erste Gleichung zur Bestimmung von \(s_0\): \(20 \cdot 1{,}7 + s_0 = 84 \implies 34 + s_0 = 84 \implies s_0 = 50\,\text{km}\).

Die Geschwindigkeit des Autos beträgt \(102\,\text{km/h}\) und der Kilometerstand zu Beginn der Messung war \(50\,\text{km}\).

- Was weißt du über den Funktionswert an einer Nullstelle? Nutze dies, um die fehlende Zahl in der Gleichung zu finden. - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die Funktionsgleichung und der \(x\)-Wert bekannt sind? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Funktionen für denselben \(x\)-Wert.

1. Bestimmung von \(b\): Da die Nullstelle bei \(x = -2\) liegt, gilt \(p(-2) = 0\). \(3 \cdot (-2) + b = 0 \Rightarrow -6 + b = 0 \Rightarrow b = 6\). Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = 3x + 6\). 2. Berechnung des Punktes \(P\): Berechne \(p(1)\). \(p(1) = 3 \cdot 1 + 6 = 9\). Der Punkt ist \(P(1|9)\). 3. Vergleich mit \(q\): Berechne den Funktionswert \(q(1)\). \(q(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3\). 4. Da \(9 > 3\), liegt der Punkt \(P\) oberhalb des Graphen der Funktion \(q\).

a) Der Parameter ist \(b = 6\). b) Der Punkt \(P(1|9)\) liegt oberhalb des Graphen von \(q\), da \(p(1) = 9\) und \(q(1) = 3\).

- Bestimme zuerst die Stelle, an der die erste Funktion die \(x\)-Achse schneidet. - Was bedeutet es für die zweite Funktion, wenn sie denselben Schnittpunkt auf der \(x\)-Achse hat? - Welchen Wert muss die zweite Funktion an dieser Stelle annehmen? - Kannst du diesen Wert nutzen, um eine Gleichung für den gesuchten Parameter aufzustellen?

1. Zuerst wird die Nullstelle der Funktion \(f\) berechnet: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\). 2. Da beide Graphen denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse haben sollen, muss auch die Funktion \(g\) bei \(x = 3\) eine Nullstelle haben. 3. Es gilt also die Bedingung \(g(3) = 0\). 4. Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung von \(g\): \(0 = a \cdot 3 + 3\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(3a = -3 \Rightarrow a = -1\). 6. Der gesuchte Parameter ist \(a = -1\).

\(a = -1\)

- Bringe zuerst alle Gleichungen in die Form \(y = \dots\), um sie direkt vergleichen zu können. - Achte genau auf den Unterschied zwischen dem Bruch \(\frac{1}{3}\) und dem Dezimalbruch \(0{,}3\). - Wann sind zwei Geraden parallel und wann sind sie identisch?

1. Umformung aller Gleichungen in die Normalform \(y = mx + n\): 1) \(y = \frac{1}{3}x + 2\) 2) \(y = 0{,}3x + 2\) (beachte: \(0{,}3 \neq \frac{1}{3}\)) 3) \(3y = x + 12 \implies y = \frac{1}{3}x + 4\) 4) \(y - 2 = \frac{1}{3}x \implies y = \frac{1}{3}x + 2\) 2. Prüfung der Aussagen: a) Falsch. Nur (1), (2) und (4) haben \(n=2\). Gerade (3) hat \(n=4\). b) Wahr. Gleichung (1) und (4) ergeben nach Umformung identische Funktionsgleichungen. c) Wahr. Die Geraden (1), (3) und (4) haben alle die Steigung \(m = \frac{1}{3}\). Dabei sind (1) und (4) identisch; (3) ist zu dieser Geraden echt parallel. (2) hat die Steigung \(0{,}3\).

a) Falsch. Nur die Geraden (1), (2) und (4) schneiden die \(y\)-Achse bei \(2\); Gerade (3) schneidet sie bei \(4\). b) Wahr. Die Geraden (1) und (4) sind identisch, da beide umgeformt \(y = \frac{1}{3}x + 2\) lauten. c) Wahr. Die Geraden (1), (3) und (4) haben die Steigung \(m = \frac{1}{3}\). Die Geraden (1) und (4) sind identisch; Gerade (3) ist zu ihnen echt parallel.

- Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt? - Was bedeutet es grafisch und rechnerisch, wenn ein dritter Punkt auf derselben Geraden wie zwei andere Punkte liegt?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen von \(P(1 \mid 2)\): \(2 = 0{,}5 \cdot 1 + b \Rightarrow 2 = 0{,}5 + b \Rightarrow b = 1{,}5\). 3. Geradengleichung: \(y = 0{,}5x + 1{,}5\). 4. Punktprobe für \(R(7 \mid 5)\): Setze \(x = 7\) in die Gleichung ein: \(y = 0{,}5 \cdot 7 + 1{,}5 = 3{,}5 + 1{,}5 = 5\). Da der berechnete y-Wert mit der y-Koordinate von \(R\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(y = 0{,}5x + 1{,}5\) b) Ja, \(R\) liegt auf der Geraden, da die Punktprobe \(5 = 0{,}5 \cdot 7 + 1{,}5\) eine wahre Aussage ergibt.

- Schau dir die Formel für die Steigung \(m\) genau an. Was gehört in den Zähler, was in den Nenner? - Überprüfe, ob die Differenzen der Koordinaten in der richtigen Reihenfolge subtrahiert wurden. - Wie gehst du vor, wenn du die richtige Steigung gefunden hast, um den Rest der Gleichung zu bestimmen?

1. Fehleranalyse: Der Schüler hat im Bruch Zähler und Nenner vertauscht. Er hat \(\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}\) statt \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) gerechnet. 2. Korrekte Steigung: \(m = \frac{1 - 5}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2\). 3. Korrekter \(y\)-Achsenabschnitt: Einsetzen von \(C(2 \mid 5)\) in \(y = -2x + n\) ergibt \(5 = -2 \cdot 2 + n \Rightarrow 5 = -4 + n \Rightarrow n = 9\). 4. Die korrekte Gleichung lautet \(y = -2x + 9\).

Der Schüler hat die Differenz der x-Werte durch die Differenz der y-Werte geteilt, anstatt umgekehrt. Die korrekte Funktionsgleichung lautet \(y = -2x + 9\).

- Achte auf das Vorzeichen der Steigung, da die Temperatur sinkt. - Was bedeutet „Meereshöhe“ mathematisch für den Wert von \(h\)? - Bei der Nullgradgrenze ist das Ergebnis der Temperaturrechnung bekannt. Wie findest du die zugehörige Höhe?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \((500 \mid 12)\) und \((3000 \mid -3)\): \(m = \frac{-3 - 12}{3000 - 500} = \frac{-15}{2500} = -0{,}006\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen eines Punktes in \(T(h) = -0{,}006 \cdot h + b\): \(12 = -0{,}006 \cdot 500 + b \Rightarrow 12 = -3 + b \Rightarrow b = 15\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(T(h) = -0{,}006 \cdot h + 15\). 4. Die Temperatur auf Meereshöhe (\(h = 0\)) entspricht \(b\), also \(15\,^\circ\text{C}\). 5. Berechnung der Nullgradgrenze durch Nullsetzen der Funktion: \(0 = -0{,}006 \cdot h + 15 \Rightarrow 0{,}006 \cdot h = 15 \Rightarrow h = \frac{15}{0{,}006} = 2500\). Die Nullgradgrenze liegt in \(2500\,\text{m}\) Höhe.

a) \(T(h) = -0{,}006 \cdot h + 15\) b) Auf Meereshöhe beträgt die Temperatur \(15\,^\circ\text{C}\). c) Die Nullgradgrenze liegt in \(2500\,\text{m}\) Höhe.

- Wie kannst du die allgemeine Geradengleichung nutzen, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst? - Was ist der \(y\)-Wert an jedem Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Erinnere dich daran, wie man die Steigung als „Stufen“ in einem Koordinatensystem darstellt. - Kannst du die Nullstelle direkt im Graphen ablesen, nachdem du die Gerade gezeichnet hast?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): Einsetzen der Steigung \(m = -0{,}5\) und des Punktes \(P(4|1)\) in die allgemeine Form \(y = mx + b\) ergibt \(1 = -0{,}5 \cdot 4 + b\). Vereinfachen führt zu \(1 = -2 + b\), woraus durch Addition von \(2\) folgt: \(b = 3\). Die Gleichung lautet \(k(x) = -0{,}5x + 3\). 2. Berechnung der Nullstelle: Setze \(k(x) = 0\), also \(0 = -0{,}5x + 3\). Subtraktion von \(3\) ergibt \(-3 = -0{,}5x\). Division durch \(-0{,}5\) liefert \(x = 6\). Die Nullstelle ist \(x = 6\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(6|0)\). 3. Grafische Überprüfung: Die Gerade durch \(P(4|1)\) mit der Steigung \(-0{,}5\) (2 Einheiten nach rechts, 1 Einheit nach unten) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(6|0)\).

Funktionsgleichung: \(k(x) = -0{,}5x + 3\); Nullstelle: \(x = 6\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(6|0)\)

- Kannst du zuerst herausfinden, an welcher Stelle die erste Funktion die \(x\)-Achse schneidet? - Wenn zwei Funktionen dieselbe Nullstelle haben, welchen Punkt haben sie dann gemeinsam? - Wie nutzt du die Steigung und diesen gemeinsamen Punkt, um die Gleichung der zweiten Funktion aufzustellen?

1. Berechnung der Nullstelle von \(g(x)\) durch Nullsetzen: \(0 = 0{,}5x - 2 \Rightarrow 2 = 0{,}5x \Rightarrow x = 4\). Die gemeinsame Nullstelle ist \(x = 4\); der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4|0)\). 2. Aufstellen der Gleichung für \(f(x) = 3x + b\) unter Verwendung des Punktes \(S_x(4|0)\). 3. Bestimmung von \(b\): \(0 = 3 \cdot 4 + b \Rightarrow 0 = 12 + b \Rightarrow b = -12\). Die Gleichung für \(f\) ist \(f(x) = 3x - 12\). 4. Einsetzen von \(x = 10\) in die Funktion \(f\): \(f(10) = 3 \cdot 10 - 12\). 5. Ergebnis berechnen: \(30 - 12 = 18\).

Der Funktionswert an der Stelle \(10\) ist \(f(10) = 18\).

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche geometrische Form entsteht zwischen den Achsen und einer Geraden? - Welche Maße des Dreiecks kannst du direkt aus den Achsenschnittpunkten ablesen?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 6}{4 - (-2)} = \frac{-9}{6} = -1{,}5\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(A(-2 \mid 6)\): \(6 = -1{,}5 \cdot (-2) + n \implies 6 = 3 + n \implies n = 3\). Funktionsgleichung: \(f(x) = -1{,}5x + 3\). 3. Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(3\) (Höhe des Dreiecks). Die Nullstelle ist \(0 = -1{,}5x + 3 \implies 1{,}5x = 3 \implies x = 2\) (Basis des Dreiecks). 4. Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Basis} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -1{,}5x + 3\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten).

- Bestimme zuerst die vollständige Gleichung der ersten Geraden. - Welche Informationen über die zweite Gerade kannst du direkt aus der ersten ableiten? - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der x-Achse?

1. Berechnung der Steigung von \(g\): \(m_g = \frac{2 - (-1)}{2 - (-4)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) für \(g\) durch Einsetzen von \(B(2 | 2)\): \(2 = 0{,}5 \cdot 2 + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1\). Somit ist \(g(x) = 0{,}5x + 1\). 3. Aufstellen der Gleichung für \(h\): Der y-Achsenabschnitt ist \(b = 1\). Die Steigung ist \(m_h = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). Somit ist \(h(x) = 1x + 1\) bzw. \(h(x) = x + 1\). 4. Berechnung der Nullstelle von \(h\): \(0 = x + 1 \Rightarrow x = -1\). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \((-1 | 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(g(x) = 0{,}5x + 1\) und \(h(x) = x + 1\). b) Der Schnittpunkt von \(h\) mit der x-Achse liegt bei \((-1 | 0)\).

- Wie hängen der \(y\)-Achsenabschnitt und die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse zusammen? - Wenn du die Steigung veränderst, wie wirkt sich das grafisch auf die Steilheit der Geraden aus? - Vergleiche die Ergebnisse der Berechnungen für \(x\) am Ende. Siehst du ein mathematisches Verhältnis?

1. Steigung \(f\): \(m = \frac{0 - (-2)}{3 - 0} = \frac{2}{3}\). Da \(S_y(0 | -2)\) gegeben ist, ist \(n = -2\). Gleichung: \(y = \frac{2}{3}x - 2\). 2. Gerade \(p\): Steigung verdoppeln: \(m_p = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Gleicher \(y\)-Achsenabschnitt: \(n = -2\). Gleichung: \(y = \frac{4}{3}x - 2\). 3. Schnittpunkt von \(p\) mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): \(0 = \frac{4}{3}x - 2 \Rightarrow 2 = \frac{4}{3}x \Rightarrow x = 2 \cdot \frac{3}{4} = 1{,}5\). Ergebnis: \(S_{x,p}(1{,}5 | 0)\). 4. Vergleich: Der \(x\)-Achsenabschnitt von \(f\) liegt bei \(3\), der von \(p\) bei \(1{,}5\). Bei doppelter Steigung und gleichem (negativen) \(y\)-Achsenabschnitt halbiert sich der \(x\)-Achsenabschnitt.

a) Steigung \(m = \frac{2}{3}\); Gleichung \(y = \frac{2}{3}x - 2\) b) Gleichung \(p: y = \frac{4}{3}x - 2\) c) Der neue Schnittpunkt ist \(S_{x,p}(1{,}5 | 0)\). Der \(x\)-Wert hat sich im Vergleich zu \(A(3 | 0)\) halbiert.

- Erinnere dich an die Formel für die Steigung durch zwei Punkte. - Welche besonderen Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Wie gehst du vor, wenn ein Funktionswert (\(y\)-Wert) gegeben ist und das dazugehörige Argument (\(x\)-Wert) gesucht wird?

1. Steigung \(m_f\) berechnen: \(m_f = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt \(b_f\) berechnen: Einsetzen von \(R(-1 \mid 5)\) in \(y = -3x + b_f\) ergibt \(5 = -3 \cdot (-1) + b_f \Rightarrow 5 = 3 + b_f \Rightarrow b_f = 2\). Gleichung \(f: y = -3x + 2\). 3. Gleichung für \(g\) aufstellen: Da \(g\) parallel zu \(f\) ist, gilt \(m_g = -3\). Da sie durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, ist \(b_g = 0\). Gleichung \(g: y = -3x\). 4. Gesuchten \(x\)-Wert berechnen: Setze \(y = -12\) in die Gleichung von \(g\) ein: \(-12 = -3x \Rightarrow x = 4\).

Die Geradengleichungen sind \(f: y = -3x + 2\) und \(g: y = -3x\). Der gesuchte \(x\)-Wert ist \(4\).

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wenn du die Steigung kennst, wie findest du dann den Achsenabschnitt heraus? - Was musst du tun, um zu prüfen, welcher \(y\)-Wert zu einem bestimmten \(x\)-Wert passt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den beiden gegebenen Lösungen: \(m = \frac{3 - 5}{-2 - 2} = \frac{-2}{-4} = 0{,}5\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(m\) und eines Punktes (z. B. \((2 | 5)\)) in \(y = mx + n\): \(5 = 0{,}5 \cdot 2 + n \Rightarrow 5 = 1 + n \Rightarrow n = 4\). 3. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5x + 4\). 4. Einsetzen von \(x = 10\) in die ermittelte Gleichung zur Berechnung von \(y_P\): \(y_P = 0{,}5 \cdot 10 + 4 = 5 + 4 = 9\).

a) Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5x + 4\). b) Der gesuchte Wert ist \(y_P = 9\).

- Wie viele Minuten liegen zwischen den beiden Zeitangaben? - Um wie viele Prozentpunkte ist der Ladestand in dieser Zeitspanne gesunken? - Wie lange dauert es, bis genau ein Prozentpunkt Ladung verbraucht ist? - Wie viel Zeit muss vergangen sein, um von \(100\,\%\) auf den ersten Messwert bei \(80\,\%\) zu kommen? - Wie viel Zeit vergeht insgesamt, bis der Akku von \(100\,\%\) auf \(0\,\%\) sinkt?

1. Bestimmung der Zeitdifferenz zwischen 10:00 Uhr und 11:20 Uhr: \(80\,\text{Minuten}\). 2. Bestimmung der Ladungsdifferenz: Der Ladestand sinkt von \(80\,\%\) auf \(60\,\%\), also um \(20\) Prozentpunkte. 3. Berechnung des Verlusts pro Minute: \(20 : 80 = 0{,}25\). Der Ladungsverlust beträgt \(0{,}25\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Umrechnung in den Verlust pro Stunde: \(0{,}25 \cdot 60 = 15\). Der Ladungsverlust beträgt \(15\) Prozentpunkte pro Stunde. 5. Berechnung der Zeit für einen Rückgang von \(100\,\%\) auf \(80\,\%\), also um \(20\) Prozentpunkte: \(20 : 0{,}25 = 80\,\text{Minuten}\). 6. Ermittlung des Startzeitpunkts: \(10{:}00\,\text{Uhr} - 80\,\text{min} = 08{:}40\,\text{Uhr}\). 7. Berechnung der Gesamtnutzungsdauer von \(100\,\%\) bis \(0\,\%\), also für einen Verlust von \(100\) Prozentpunkten: \(100 : 0{,}25 = 400\,\text{Minuten}\). 8. Umrechnung der Gesamtdauer: \(400\,\text{min} = 6\,\text{Stunden und } 40\,\text{Minuten}\). 9. Ermittlung des Ausschaltzeitpunkts: \(08{:}40\,\text{Uhr} + 6\,\text{h } 40\,\text{min} = 15{:}20\,\text{Uhr}\).

a) Der Ladungsverlust beträgt \(15\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Das Handy wurde um 08:40 Uhr vom Stromnetz getrennt. c) Das Handy wird sich um 15:20 Uhr ausschalten.

- Was bedeutet „gleichmäßig abbrennen“ für den Typ der Funktion, die du hier suchst? - Wie kannst du für jede Kerze einzeln die Anfangshöhe und die Geschwindigkeit des Abbrennens berechnen? - Kannst du aus den Zeit- und Höhenangaben für jede Kerze zwei Gleichungen aufstellen? - Vergleiche am Ende die berechneten Werte für die Anfangshöhe und die Rate.

1. Modellierung der Höhe durch \(h(t) = h_0 - r \cdot t\), wobei \(r\) die Abbrandrate ist. 2. Für Kerze A: System aus \(h_0 - 2 \cdot r = 16\) und \(h_0 - 5 \cdot r = 10\). Differenzbildung ergibt \(3 \cdot r = 6\), also \(r_A = 2\,\text{cm/h}\). Einsetzen ergibt \(h_{0A} = 16 + 2 \cdot 2 = 20\,\text{cm}\). 3. Für Kerze B: System aus \(h_0 - 3 \cdot r = 15\) und \(h_0 - 6 \cdot r = 8{,}1\). Differenzbildung ergibt \(3 \cdot r = 6{,}9\), also \(r_B = 2{,}3\,\text{cm/h}\). Einsetzen ergibt \(h_{0B} = 15 + 3 \cdot 2{,}3 = 21{,}9\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Kerze B war mit \(21{,}9\,\text{cm}\) zu Beginn höher als Kerze A (\(20\,\text{cm}\)) und brennt mit \(2{,}3\,\text{cm/h}\) schneller ab als Kerze A (\(2\,\text{cm/h}\)).

Kerze B war zu Beginn mit \(21{,}9\,\text{cm}\) höher als Kerze A (\(20\,\text{cm}\)). Zudem brennt Kerze B mit \(2{,}3\,\text{cm/h}\) schneller ab als Kerze A (\(2\,\text{cm/h}\)).