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Eine Gerade hat die Steigung \(m=-2\) und schneidet die y-Achse im Punkt \(S_y(0|5)\). Gib ihre Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) an.

Die Gerade \(g\) hat die Steigung \(m=2\) und geht durch den Punkt \(P(1|4)\). Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) in \(y=mx+t\) und gib anschließend die Funktionsgleichung von \(g\) an.

Der Graph einer linearen Funktion verläuft durch die Punkte \(A(-1 \mid -2)\) und \(B(3 \mid 4)\). Bestimme die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\).

Ein Messgerät zeichnet während eines Langzeitversuchs Daten auf. Zu Beginn der Beobachtung sind bereits \(10\,\text{MB}\) gespeichert. Danach wächst die Datei gleichmäßig. Die Tabelle zeigt die Dateigröße zu verschiedenen Zeitpunkten: <table> <tr><td>Zeit \(t\) (in \(\text{h}\))</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>Dateigröße \(D\) (in \(\text{MB}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(25\)</td><td>\(40\)</td><td>\(55\)</td><td>\(70\)</td><td>\(85\)</td></tr> </table> a) Um wie viele Megabyte wächst die Datei pro Stunde? b) Stelle einen Term auf, mit dem man die Dateigröße \(D\) nach \(t\) Stunden berechnen kann. c) Welche Dateigröße hat die Aufzeichnung nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\)? Berechne mit deinem Term.

Bei einem 3D-gedruckten Bauteil besteht die Masse aus einer festen Stützstruktur von \(4{,}50\,\text{g}\) und zusätzlich \(2{,}20\,\text{g}\) pro Zentimeter Bauteilhöhe. a) Stelle eine lineare Funktion \(M(x)\) für die Gesamtmasse in Gramm in Abhängigkeit von der Höhe \(x\) in Zentimetern auf. b) Erkläre die Bedeutung von \(4{,}50\) im Sachzusammenhang. c) Ein Bauteil wiegt insgesamt \(26{,}50\,\text{g}\). Wie hoch ist es?

Bestimme die Funktionsgleichung einer linearen Funktion \(f\). Der Graph von \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_y(0 \mid 4)\) und die \(x\)-Achse im Punkt \(S_x(-2 \mid 0)\).

Eine Gerade \(g\) hat die Steigung \(m=-0{,}75\). Ihr Graph schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x=4\). a) Berechne den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Funktion. b) Gib die vollständige Funktionsgleichung für \(g\) an.

Ein linearer Funktionsgraph der Form \(f(x)=0{,}5x+t\) schneidet die \(x\)-Achse genau an der Stelle \(x=6\). a) Berechne den Wert von \(t\). b) Wo liegt der Schnittpunkt dieses Graphen mit der \(y\)-Achse? c) Eine zweite Funktion \(g\) hat die Gleichung \(g(x)=0{,}5x\). Beschreibe, wie man den Graphen von \(g\) verschieben muss, um den Graphen von \(f\) zu erhalten.

Eine lineare Funktion \(f\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(-3\). Um den Graphen zu zeichnen, nutzt man ein Steigungsdreieck: Man startet beim Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, geht \(4\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach unten. Bestimme die Funktionsgleichung von \(f\).

Gegeben ist ein Punkt \(S(0 \mid 5)\) auf der \(y\)-Achse. a) Notiere drei verschiedene Funktionsgleichungen der Form \(y = mx + t\), deren Graphen alle durch den Punkt \(S\) verlaufen. b) Bestimme die Steigung \(m\) der Geraden, die durch \(S\) und zusätzlich durch den Punkt \(Q(4 \mid 2)\) verläuft.

Eine Verpackungsanlage hat zu Beginn einer Beobachtung bereits \(120\) Kartons verschlossen. Danach verarbeitet sie gleichmäßig \(15\) weitere Kartons pro Minute. a) Stelle die Funktionsgleichung für die Gesamtzahl \(N(t)\) der verschlossenen Kartons nach \(t\) Minuten auf. b) Wie viele Kartons sind nach \(20\,\text{min}\) verschlossen? c) Nach welcher Zeit sind insgesamt \(600\) Kartons verschlossen?

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die Punkte \(A(-2 \mid -5)\) und \(B(3 \mid 5)\) verläuft.

Gegeben ist eine Gerade \(h\) mit der Gleichung \(y=-1{,}5x+4\). Eine dazu parallele Gerade \(k\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x=4\). Ermittle die Funktionsgleichung der Geraden \(k\).

Eine Gerade \(g\) verläuft parallel zur Geraden \(h\) mit der Funktionsgleichung \(y=-2x+7\). Außerdem geht der Graph von \(g\) durch den Punkt \(P(3 \mid 4)\). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(g\).

In einem Großformatdrucker befindet sich zu Beginn eine Papierrolle mit \(300\,\text{m}\) Papier. Beim Drucken wird das Papier gleichmäßig verbraucht. Nach \(40\,\text{Minuten}\) sind noch \(220\,\text{m}\) auf der Rolle. a) Bestimme die lineare Funktion \(L(t)\), die die verbleibende Papierlänge in Metern nach \(t\) Minuten beschreibt. b) Berechne, nach wie vielen Minuten die Rolle bei unverändertem Verbrauch leer wäre.

Bei einem physikalischen Experiment zur Dehnung einer Feder wurden die folgenden Messwerte ermittelt. Dabei gibt \(x\) die angehängte Masse in Gramm und \(y\) die Gesamtlänge der Feder in Zentimetern an. <table> <tr><td>Masse \(x\) (in \(\text{g}\))</td><td>\(0\)</td><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td><td>\(150\)</td><td>\(200\)</td></tr> <tr><td>Länge \(y\) (in \(\text{cm}\))</td><td>\(12{,}0\)</td><td>\(14{,}5\)</td><td>\(17{,}0\)</td><td>\(19{,}5\)</td><td>\(22{,}0\)</td></tr> </table> a) Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion \(f(x)=mx+t\), die diesen Zusammenhang exakt beschreibt. b) Interpretiere die Werte für die Steigung \(m\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) im Hinblick auf das Experiment.

Der Graph einer linearen Funktion \(f\) hat die Steigung \(-2\) und verläuft durch den Punkt \(P(4\mid1)\). a) Stelle die Funktionsgleichung \(f(x)=mx+t\) auf. b) Bestimme mit dieser Funktionsgleichung den Wert von \(x\), für den \(f(x)=11\) gilt.

Der Punkt \(P(4|-2)\) liegt auf dem Graphen der linearen Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}5x+t\). Bestimme den Wert von \(t\) und gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse an.

Auf einer Kabeltrommel befinden sich zu Beginn \(150\,\text{m}\) Kabel. Eine Maschine zieht gleichmäßig \(5\,\text{m}\) Kabel pro Minute ab. a) Stelle die lineare Funktion \(L(t)\) für die verbleibende Kabellänge nach \(t\) Minuten auf. b) Was bedeuten Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt im Sachzusammenhang? c) Wie viel Kabel ist nach \(12\,\text{Minuten}\) noch auf der Trommel? d) Nach wie vielen Minuten ist die Trommel leer?

Bestimme für die folgenden Beschreibungen von Geraden jeweils die zugehörige Funktionsgleichung der Form \(f(x)=mx+t\): a) Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(2\). Das Steigungsdreieck zeigt: Wenn man \(3\) Einheiten nach rechts geht, muss man \(1\) Einheit nach unten gehen. b) Die Gerade verläuft durch den Punkt \(P(0|-1{,}5)\). Geht man vom \(y\)-Achsenabschnitt aus \(1\) Einheit nach rechts, muss man \(2{,}5\) Einheiten nach oben gehen, um wieder auf der Geraden zu landen. c) Die Gerade ist eine Ursprungsgerade. Ihr Steigungsdreieck hat eine Breite von \(4\) Einheiten und eine Höhe von \(3\) Einheiten und steigt an.

Gegeben ist der Punkt \(A(3 \mid -2)\). a) Bestimme die Gleichung der senkrechten Geraden \(g\), die durch \(A\) verläuft. Beschreibe ihre Lage und entscheide, ob sie der Graph einer Funktion \(y=f(x)\) ist. b) Bestimme die Gleichung der waagerechten Geraden \(h\), die durch \(A\) verläuft. c) Nenne für beide Geraden jeweils zwei weitere Punkte.

Ein Punkt \(P(x|y)\) im Koordinatensystem liegt auf einer Geraden, für die folgende Bedingung gilt: „Der \(y\)-Wert ist um \(4\) größer als das Doppelte des \(x\)-Wertes“. a) Stelle eine lineare Gleichung auf, die diesen Zusammenhang beschreibt. b) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte \(A(3|10)\) und \(B(-2|1)\) auf dieser Geraden liegen. c) Ein Punkt \(C\) auf der Geraden hat den \(y\)-Wert \(15\). Berechne den zugehörigen \(x\)-Wert.

Eine Gerade \(g\) hat die Steigung \(m=-0{,}75\) und verläuft durch den Punkt \(P(4\mid1)\). a) Stelle die Gleichung von \(g\) in der Form \(y=mx+t\) auf. b) Bestimme anschließend aus dieser Gleichung die Schnittpunkte mit beiden Koordinatenachsen.

Gegeben sind die zwei Punkte \(A(1 | 4)\) und \(B(3 | 10)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion \(f\), deren Graph durch diese beiden Punkte verläuft. b) Gib die Steigung \(m\) der Geraden an. c) Beschreibe, wie sich der Verlauf des Graphen verändert, wenn die Steigung \(m\) halbiert wird, der y-Achsenabschnitt jedoch gleich bleibt.

Eine lineare Funktion \(g\) hat bei \(x=3\) eine Nullstelle und erfüllt \(g(-2)=-1\). Bestimme den Funktionsterm von \(g\) und begründe kurz, warum er durch diese beiden Angaben eindeutig festgelegt ist.

Gegeben ist eine lineare Funktion \(f\), deren Graph durch die Punkte \(A(-3|11)\) und \(B(2|-4)\) verläuft. Bestimme den Funktionsterm von \(f\) sowie die Koordinaten der Nullstelle.

Der Graph einer linearen Funktion \(g\) verläuft durch den Punkt \(P(8|3)\). Zudem hat \(g\) denselben Schnittpunkt mit der y-Achse wie die Funktion \(h\) mit \(h(x) = -2x + 7\). Ermittle die Funktionsgleichung von \(g\) und berechne die Nullstelle dieser Funktion.

Eine lineare Funktion \(f\) verläuft durch den Punkt \(A(5 | 2)\) und besitzt dieselbe Nullstelle wie die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(g(x) = \frac{1}{3}x - 1\). Ermittle die Funktionsgleichung von \(f\).

Bei einem 3D-Rendering ist zu Beginn der Beobachtung bereits \(15\,\%\) des Auftrags berechnet. Nach \(20\,\text{min}\) zeigt die Fortschrittsanzeige \(45\,\%\). Für den betrachteten Abschnitt wird ein linearer Fortschritt angenommen. a) Bestimme die lineare Funktion \(P(x)\) für den Fortschritt in Prozent nach \(x\) Minuten. b) Interpretiere die Steigung im Sachzusammenhang. c) Nach wie vielen Minuten seit Beobachtungsbeginn erreicht das lineare Modell \(100\,\%\)?

Bei einem Langzeit-Markierungsversuch wird schmales Markierungsband mit konstanter Geschwindigkeit von einer Rolle abgezogen. Zu Beginn sind \(20\,\text{m}\) Band vorhanden; pro Stunde werden gleichmäßig \(2{,}5\,\text{m}\) abgezogen. a) Stelle die lineare Funktion \(L(t)\) für die verbleibende Bandlänge in Metern nach \(t\) Stunden auf. b) Nach wie vielen Stunden ist nur noch die Hälfte der Anfangslänge vorhanden? c) Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Rolle leer ist.

Eine Tiefkühltruhe hat beim Einschalten eine Innentemperatur von \(22\,^\circ\text{C}\). Pro Stunde sinkt die Temperatur gleichmäßig um \(4\,^\circ\text{C}\). 1) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Temperatur \(y\) (in \(^\circ\text{C}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) (in Stunden) beschreibt. 2) Berechne die Temperatur nach \(5{,}5\,\text{Stunden}\). 3) Bestimme rechnerisch, nach wie vielen Stunden die Zieltemperatur von \(-18\,^\circ\text{C}\) erreicht ist.

Ein Forschungsprojekt sammelt Messdaten in einem Archiv. Zu Beginn der Beobachtung sind bereits \(45\,\text{GB}\) gespeichert. Jede Woche kommen gleichmäßig \(7{,}5\,\text{GB}\) hinzu. 1) Stelle eine Funktionsgleichung für die Datenmenge \(D(x)\) in Gigabyte nach \(x\) Wochen auf. 2) Berechne die Koordinaten der Graphpunkte nach \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) und \(8\) Wochen. 3) Nach wie vielen Wochen erreicht das Archiv genau \(120\,\text{GB}\)?

Eine Gerade \(g\) verläuft durch den Punkt \(P(-4|7)\) und hat die Steigung \(m=-1{,}5\). a) Bestimme ihre Funktionsgleichung in der Form \(g(x)=mx+b\). b) Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse.

Der Graph einer linearen Funktion \(f\) verläuft durch die Punkte \(P_1(-0{,}5 \mid 4)\) und \(P_2(1 \mid 1)\). Untersuche rechnerisch, ob der Punkt \(Q(3 \mid -3)\) auf dem Graphen von \(f\) liegt.

In der Geothermie nutzt man die Tatsache, dass die Temperatur im Erdboden mit zunehmender Tiefe näherungsweise linear ansteigt. In einer Tiefe von \(500\,\text{m}\) wird eine Temperatur von \(25\,^\circ\text{C}\) gemessen, während in einer Tiefe von \(2000\,\text{m}\) eine Temperatur von \(70\,^\circ\text{C}\) herrscht. a) Bestimme die Funktionsgleichung \(T(d)\), die die Temperatur in Abhängigkeit von der Tiefe \(d\) (in Metern) beschreibt. b) Gib die theoretische Temperatur an der Erdoberfläche an. c) In welcher Tiefe wird eine Temperatur von \(100\,^\circ\text{C}\) erreicht?

Bestimme die Funktionsgleichungen für die folgenden zwei linearen Funktionen \(f\) und \(g\): a) Der Graph der Funktion \(f\) verläuft durch die Punkte \(A(-2 \mid 7)\) und \(B(4 \mid -5)\). b) Der Graph der Funktion \(g\) besitzt die Steigung \(m = -1{,}5\) und verläuft durch den Punkt \(C(2 \mid 1)\).

Die lineare Funktion \(f\) verläuft durch die Punkte \(A(-2|5)\) und \(B(4|2)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung von \(f\). b) Eine Gerade \(g\) verläuft parallel zu \(f\) und schneidet die y-Achse bei \(-1\). Bestimme die Funktionsgleichung von \(g\) und gib an, welche Information du von \(f\) übernimmst.

In der Abbildung sind die Graphen zweier linearer Funktionen \(f\) und \(g\) dargestellt. a) Bestimme für den Graphen von \(f\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(t_1\) und die Steigung \(m_1\). Gib anschließend die zugehörige Funktionsgleichung an. b) Bestimme für den Graphen von \(g\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(t_2\) und die Steigung \(m_2\). Gib anschließend die zugehörige Funktionsgleichung an.

Ein Löschwasserbehälter der Feuerwehr enthält zu Beginn eines Übungseinsatzes \(12\,\text{m}^3\) Wasser. Der Graph zeigt, wie das verbleibende Wasservolumen beim gleichmäßigen Abpumpen von der Zeit abhängt. a) Lies am Graphen ab, nach wie vielen Stunden noch genau \(4{,}5\,\text{m}^3\) Wasser im Behälter sind. b) Bestimme aus dem Graphen die stündliche Änderung und stelle die Funktionsgleichung \(V(t)\) auf, wobei \(t\) die Zeit in Stunden und \(V(t)\) das Volumen in \(\text{m}^3\) bezeichnet. Berechne damit exakt, nach wie vielen Stunden der Behälter vollständig leer ist.

In der Abbildung sind die Graphen zweier linearer Funktionen \(f\) und \(g\) dargestellt. Auf jedem Graphen sind zwei Punkte mit einem roten Kreuz markiert. Bestimme für beide Geraden jeweils die Steigung \(m\), den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) und die vollständige Funktionsgleichung der Form \(y = mx + t\).

Bestimme für die drei im Koordinatensystem abgebildeten Geraden \(f\), \(g\) und \(h\) jeweils die Geradengleichung in der Form \(y = mx + t\).

Die Gerade \(g\) im Koordinatensystem verläuft durch die Punkte \(P_1\) und \(P_2\). a) Berechne die Steigung \(m\) der Geraden mithilfe der Koordinaten von \(P_1\) und \(P_2\). b) Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) rechnerisch und überprüfe dein Ergebnis anschließend in der Grafik. c) Gib die vollständige Funktionsgleichung in der Form \(g(x)=mx+t\) an.

Im Koordinatensystem sind vier Geraden \(g_1\) bis \(g_4\) dargestellt. Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\). Was fällt dir beim Vergleich der Gleichungen auf?

Bestimme für die beiden Geraden \(g\) und \(h\) im Koordinatensystem jeweils die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\). Gib auch die Zuordnungsvorschrift an.

Im abgebildeten Koordinatensystem siehst du drei Geraden \(f\), \(g\) und \(h\). Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

Betrachte die Gerade \(g\) im Koordinatensystem. a) Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). b) Ermittle die Steigung \(m\) der Geraden. c) Stelle die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) auf.

Ein linearer Funktionsgraph verläuft durch einen gegebenen Punkt \(P\) und hat eine vorgegebene Steigung \(m\). Berechne den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) und stelle die Funktionsgleichung auf. a) \(P(2 \mid 5)\), \(m=-2\) b) \(P(-4 \mid -1)\), \(m=0{,}5\) c) \(P(3 \mid 0)\), \(m=\frac{4}{3}\) d) \(P(0 \mid -2{,}5)\), \(m=-1{,}5\)

Im Bild siehst du die Graphen von vier verschiedenen Geraden \(h_1\) bis \(h_4\). Ermittle für jede Gerade die zugehörige Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\), soweit beide Terme auftreten.

In einem Vorratsbehälter befinden sich zu Beginn bereits \(10\,\text{l}\) Wasser. Der Behälter wird nun gleichmäßig befüllt. Das folgende Diagramm zeigt die Wassermenge \(V\) in Litern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten. Beachte, dass die Achsen unterschiedlich skaliert sind. a) Bestimme die Funktionsgleichung der zugehörigen linearen Funktion \(V(t)\). b) Berechne, wie viel Wasser nach \(6\,\text{min}\) im Behälter ist. Überprüfe dein Ergebnis anschließend durch Ablesen im Graphen.

Ein Regenwassertank wird mit konstantem Zufluss befüllt. Der dargestellte Graph zeigt das Wasservolumen \(V\) im Tank in Abhängigkeit von der Zeit \(t\). a) Bestimme mithilfe des Graphen, nach wie vielen Minuten der Tank ein Volumen von \(240\,\text{l}\) erreicht hat. b) Ermittle aus dem Graphen die Funktionsgleichung \(V(t)\) und berechne, nach welcher Zeit der Tank ein Volumen von \(360\,\text{l}\) hat.

Eine Kerze brennt gleichmäßig ab. Der Graph stellt ihre Höhe \(h\) in Abhängigkeit von der Brenndauer \(t\) dar. a) Bestimme mithilfe des Graphen die Höhe der Kerze nach \(4\,\text{h}\). b) Ermittle aus dem Graphen die Funktionsgleichung \(h(t)\) und berechne, nach wie vielen Stunden die Kerze nur noch \(9\,\text{cm}\) hoch ist.

Zwei Geraden schneiden sich im Punkt \(S(2 \mid 1)\). Bestimme für beide Geraden aus dem Graphen die Werte der Parameter \(m\) und \(t\) in der Form \(y=mx+t\).

Bestimme die Funktionsgleichungen der Geraden \(a\) und \(b\). Beachte dabei besonders den Verlauf der Geraden \(a\).

Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen und die \(y\)-Achsenabschnitte der Geraden \(f\) und \(g\) ablesen. Nutze diese Informationen, um die Funktionsgleichungen in der Form \(y=mx+t\) aufzustellen.

Zwei Wassertanks werden gleichzeitig beobachtet. Der Graph zeigt für Tank 1 die Gerade \(v_1\) und für Tank 2 die Gerade \(v_2\). Dargestellt ist das Volumen \(V\) in Litern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten. Bestimme für beide Tanks die Funktionsgleichung.

Bestimme die Funktionsgleichungen der drei Geraden \(f\), \(g\) und \(h\), die im untenstehenden Koordinatensystem abgebildet sind. Gib die Gleichungen in der Form \(y=mx+t\) an.

Eine Versandkiste selbst wiegt \(4\,\text{kg}\). Jedes eingelegte Bauteil wiegt weitere \(2\,\text{kg}\). Die Grafik zeigt die Gesamtmasse \(y\) in Kilogramm in Abhängigkeit von der Anzahl \(x\) der Bauteile. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden in der Form \(y=mx+t\).

Im Koordinatensystem ist der Graph einer linearen Funktion dargestellt. Bestimme ihre Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) aus den beiden markierten Achsenschnittpunkten.

Bestimme die Gleichungen der drei dargestellten Geraden \(f\), \(g\) und \(h\). Entscheide anschließend, welche dieser Geraden Graphen von Funktionen der Form \(y=f(x)\) sind.

Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden linearen Funktionen \(f\) und \(g\), die im untenstehenden Koordinatensystem dargestellt sind. Gib die Gleichungen in der Form \(y=mx+t\) an.

Die folgende Tabelle gehört zu einer Funktion \(f\): <table> <tr><th>\(x\)</th><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td></tr> <tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>\(-1\)</td></tr> </table> a) Beschreibe in Worten, wie aus einem Argument der zugehörige Funktionswert entsteht. b) Gib einen passenden Funktionsterm an. c) Prüfe deinen Funktionsterm am Argument \(x=-1\).

Welche der folgenden Angaben bestimmen genau eine lineare Funktion \(y=mx+t\)? Nenne alle ausreichenden Angaben und begründe jeweils kurz. a) der Punkt \(P(2\mid5)\) und die Angabe \(f(2)=5\) b) die Steigung \(m=-1\) und der Punkt \(Q(2\mid5)\) c) die Punkte \(A(0\mid2)\) und \(B(2\mid6)\) d) die Nullstelle \(x_0=5\) und der Punkt \(N(5\mid0)\) e) die Steigung \(m=2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-1\)

Der Akku eines Smartphones entlädt sich bei einer bestimmten Nutzung gleichmäßig. Um 10:00 Uhr ist der Akku voll aufgeladen (\(100\,\%\)). Die folgende Tabelle zeigt den Ladestand zu verschiedenen Uhrzeiten: <table> <tr><td>Uhrzeit</td><td>10:00</td><td>12:00</td><td>14:00</td><td>15:00</td><td>18:00</td></tr> <tr><td>Ladestand (in \(\,\%\))</td><td>100</td><td>84</td><td>68</td><td>60</td><td>36</td></tr> </table> a) Berechne den durchschnittlichen Verbrauch an Akkuladung pro Stunde (in Prozentpunkten). Überprüfe dabei, ob der Verbrauch über den gesamten Zeitraum konstant ist. b) Schätze den Ladestand um 16:30 Uhr ab. Begründe dein Vorgehen. c) Wenn die Nutzung so weitergeht: Um wie viel Uhr wird der Akku leer (\(0\,\%\)) sein? d) Stelle einen Term auf, der den Ladestand \(y\) in Abhängigkeit von den vergangenen Stunden \(x\) seit 10:00 Uhr beschreibt.

Eine Gartenkerze hat zu Beginn eine Höhe von \(30\,\text{cm}\). Nachdem sie \(4\,\text{Stunden}\) lang gleichmäßig gebrannt hat, beträgt ihre Höhe nur noch \(22\,\text{cm}\). a) Überprüfe, ob die Zuordnung „Brenndauer (in \(\text{h}\)) \(\rightarrow\) verbleibende Höhe (in \(\text{cm}\))“ proportional ist. Begründe kurz. b) Stelle einen Term auf, der die Resthöhe \(h\) nach \(x\) Stunden beschreibt, solange die Kerze brennt. c) Berechne mithilfe deines Terms die Höhe der Kerze nach \(7{,}5\,\text{Stunden}\).

Eine lineare Funktion \(p\) hat die Form \(p(x) = 3x + b\). Bekannt ist, dass der Graph der Funktion die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = -2\) schneidet. a) Ermittle den Wert des Parameters \(b\). b) Bestimme die Lage des Punktes \(P(1|p(1))\) im Vergleich zum Graphen der Funktion \(q(x) = -2x + 5\). Liegt \(P\) oberhalb, unterhalb oder auf dem Graphen von \(q\)?

Eine lineare Funktion \(g\) mit der Gleichung \(g(x)=mx+t\) verläuft durch den Punkt \(P(0 \mid 6)\). Der Graph von \(g\) schließt mit den Koordinatenachsen im ersten Quadranten eine Fläche von \(15\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten) ein. a) Bestimme die Nullstelle der Funktion \(g\). b) Ermittle die Funktionsgleichung von \(g\).

Lineare Funktionen haben die allgemeine Form \(f(x)=mx+t\). a) Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden, die die \(y\)-Achse bei \(-3\) schneidet und ihre Nullstelle bei \(x=6\) hat. b) Eine Gerade soll keine Nullstelle besitzen und durch den Punkt \(P(2 \mid 5)\) verlaufen. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und begründe deine Entscheidung mithilfe der Steigung \(m\).

Der Graph einer linearen Funktion \(h\) verläuft durch den Punkt \(P(2 \mid 1)\). Das zugehörige Steigungsdreieck zeigt: Geht man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden \(5\) Einheiten nach links, muss man \(2\) Einheiten nach oben gehen, um wieder auf der Geraden zu landen. Berechne die Steigung \(m\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Funktion \(h\). Gib die Funktionsgleichung an.

Bestimme die Funktionsgleichung einer linearen Funktion \(h(x) = mx + t\) basierend auf den folgenden Bedingungen: a) Der Graph von \(h\) ist parallel zur Geraden mit der Gleichung \(p(x) = -4x + 10\) und hat denselben \(y\)-Achsenabschnitt wie die Gerade \(q(x) = 0{,}5x - 2\). b) Wie müssen \(m\) und \(t\) gewählt werden, damit der Graph eine horizontale Gerade ist, die durch den Punkt \(P(5|3)\) verläuft? c) Ausgehend von der Geraden \(f(x) = x\) wird die Steigung verdoppelt und der Graph anschließend um \(3\) Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die neue Funktionsgleichung?

Eine Gerade \(g\) ist durch die Gleichung \(y=1{,}5x-2\) gegeben. Erstelle die Funktionsgleichungen für drei weitere Geraden \(h\), \(i\) und \(j\) nach folgenden Vorgaben: - \(h\) ist parallel zu \(g\) und schneidet die \(y\)-Achse bei \(4\). - \(i\) hat dieselbe Steigung wie \(g\), verläuft aber durch den Punkt \(P(2 \mid 1)\). - \(j\) schneidet die \(y\)-Achse im selben Punkt wie \(g\), verläuft aber parallel zur \(x\)-Achse. Welche dieser Geraden \((g,h,i,j)\) sind zueinander parallel oder sogar identisch?

Eine Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(P(-1 \mid 7)\) und \(Q(2 \mid -2)\). a) Stelle die Funktionsgleichung von \(g\) in der Form \(y=mx+t\) auf. b) Führe anschließend mit dieser Gleichung für \(R(0 \mid 5)\) und \(S(1 \mid 1)\) jeweils eine Punktprobe durch und entscheide, welcher Punkt auf \(g\) liegt.

Die monatlichen Kosten für einen Ladetarif für ein Elektroauto setzen sich aus einer Grundgebühr von \(18{,}50\,\text{€}\) und einem Preis von \(0{,}80\,\text{€}\) pro verbrauchter Kilowattstunde \((\text{kWh})\) zusammen. a) Stelle die lineare Kostenfunktion \(K(x)=mx+t\) für einen Verbrauch von \(x\,\text{kWh}\) auf. Ein Kunde behauptet, für \(40\,\text{kWh}\) genau \(50{,}50\,\text{€}\) bezahlt zu haben. Überprüfe die Angabe mit deiner Funktion. b) Wie viele Kilowattstunden wurden verbraucht, wenn die Rechnung genau \(74{,}50\,\text{€}\) beträgt?

Ein Kurierdienst berechnet für seine Lieferungen eine feste Grundgebühr sowie einen konstanten Betrag pro gefahrenem Kilometer. Eine Fahrt über \(10\,\text{km}\) kostet insgesamt \(17{,}00\,\text{€}\). Eine Fahrt über \(25\,\text{km}\) kostet \(32{,}00\,\text{€}\). a) Ermittle die Funktionsgleichung, die die Gesamtkosten \(K\) in Euro in Abhängigkeit von der Strecke \(s\) in Kilometern darstellt. b) Wie hoch ist die Grundgebühr des Kurierdienstes? c) Berechne die Kosten für eine Lieferung über \(40\,\text{km}\).

Eine lineare Funktion \(p\) hat die Steigung \(m=-\frac{2}{3}\) und ihr Graph verläuft durch den Punkt \(A(3 \mid 1)\). a) Ermittle die Funktionsgleichung von \(p\). b) Bestimme die Koordinaten eines weiteren Punktes \(B\) auf dem Graphen, dessen Koordinaten beide ganzzahlig sind. c) Überprüfe durch eine Rechnung, ob der Punkt \(C(-6 \mid 7)\) auf dem Graphen von \(p\) liegt.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte \(C(0 \mid 4)\) und \(D(5 \mid 2)\). a) Ermittle die Funktionsgleichung dieser Geraden. b) Berechne die Nullstelle der Funktion, also den \(x\)-Wert, an dem die Gerade die \(x\)-Achse schneidet.

Gegeben sind die Punkte \(P(1 \mid 2)\) und \(Q(3 \mid 3)\). a) Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch \(P\) und \(Q\) geht. b) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(R(7 \mid 5)\) ebenfalls auf dieser Geraden liegt. Begründe deine Antwort.

Die Gerade \(f\) verläuft durch die Punkte \(A(-4 \mid 1)\) und \(B(2 \mid 4)\). Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden \(g\), die parallel zu \(f\) verläuft und durch den Punkt \(P(2 \mid -2)\) geht.

Zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel zueinander. Die Gerade \(g_1\) verläuft durch die Punkte \(C(-2 \mid 7)\) und \(D(1 \mid -2)\). Die Gerade \(g_2\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\) und verläuft durch den Punkt \(E(3 \mid y_E)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung von \(g_2\). b) Berechne die fehlende Koordinate \(y_E\) des Punktes \(E\).

Eine Kerze wird angezündet und brennt gleichmäßig ab. Nach \(3\) Stunden ist sie noch \(18\,\text{cm}\) hoch. Man weiß, dass sie pro Stunde um \(2{,}5\,\text{cm}\) kürzer wird. a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe \(h\) in Zentimetern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden beschreibt. b) Wie hoch war die Kerze zu Beginn, also beim Anzünden?

Gegeben ist eine lineare Funktion \(f\) mit der Steigung \(m=-2\), deren Graph durch den Punkt \(A(4 \mid 6)\) verläuft. a) Ermittle die Funktionsgleichung von \(f\). b) Berechne die Nullstelle der Funktion und gib den Schnittpunkt des Graphen mit der \(x\)-Achse an.

Gegeben ist eine Wertetabelle, die zu einer linearen Funktion \(f\) gehört. <table><tbody><tr><td>\(x\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td></tr><tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(-7\)</td><td>\(-3\)</td><td>?</td></tr></tbody></table> a) Bestimme die Funktionsgleichung von \(f\) und berechne den fehlenden Wert für \(x=3\). b) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(P(10 \mid 17)\) auf dem Graphen der Funktion liegt.

Eine Wertetabelle soll eine lineare Funktion beschreiben. <table><tbody><tr><td>\(x\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td><td>\(11\)</td></tr><tr><td>\(y\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5{,}5\)</td><td>\(y_3\)</td></tr></tbody></table> a) Welchen Wert muss \(y_3\) annehmen, damit der Zusammenhang linear ist? b) Eine neue lineare Funktion \(h\) entsteht, indem die Steigung der ursprünglichen Funktion verdoppelt wird, der Punkt \((2 \mid 4)\) aber weiterhin auf dem Graphen liegt. Bestimme die neue Funktionsgleichung von \(h\).

Eine Gerade verläuft durch die Punkte \(A(-1 \mid 7)\) und \(B(2 \mid -2)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\). b) Ein weiterer Punkt \(C(x \mid -11)\) liegt ebenfalls auf dieser Geraden. Berechne die fehlende Koordinate \(x\).

Gegeben ist die Gerade \(g\), die durch die Punkte \(P(0 \mid 3)\) und \(Q(4 \mid 5)\) verläuft. Eine zweite Gerade \(h\) verläuft parallel zu \(g\) und geht durch den Punkt \(R(2 \mid 1)\). a) Ermittle die Funktionsgleichungen für \(g\) und \(h\). b) Bestimme die Nullstelle von \(h\) und gib den Schnittpunkt der Geraden mit der \(x\)-Achse an.

Die Punkte \(A(1 \mid 4)\) und \(B(3 \mid 10)\) liegen auf dem Graphen einer linearen Funktion. Ein weiterer Punkt \(C(x \mid 19)\) liegt auf demselben Graphen. a) Stelle aus \(A\) und \(B\) die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) auf. b) Bestimme anschließend mit dieser Funktionsgleichung die \(x\)-Koordinate von \(C\).

Gegeben sind die vier Punkte \(S(-2 \mid -7)\), \(T(0 \mid -1)\), \(U(1 \mid 2)\) und \(V(3 \mid 7)\). Drei dieser Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden, während ein Punkt nicht dazugehört. Identifiziere den Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, und bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, auf der die übrigen drei Punkte liegen.

Eine Filamentrolle wird in einem 3D-Drucker mit gleichbleibender Geschwindigkeit abgewickelt. Zwei Stunden nach Druckbeginn sind noch \(15\,\text{m}\) Filament auf der Rolle, nach insgesamt fünf Stunden noch \(9\,\text{m}\). 1. Bestimme die lineare Funktion \(L(t)\), die die verbleibende Filamentlänge in Metern nach \(t\) Stunden beschreibt. 2. Wie lang war das Filament zu Beginn? 3. Nach wie vielen Stunden wäre die Rolle bei unverändertem Verbrauch leer? 4. Für welchen Zeitbereich ist das Modell im Sachkontext sinnvoll?

Eine Etikettiermaschine arbeitet während eines Auftrags gleichmäßig. Zehn Minuten nach Beginn der Messung sind insgesamt \(450\) Etiketten fertig, nach \(25\) Minuten sind es \(825\). 1. Ermittle die lineare Funktion \(N(x)\), die die Gesamtzahl der fertigen Etiketten nach \(x\) Minuten beschreibt. 2. Wie viele Etiketten waren zu Beginn der Messung bereits fertig? 3. Der Auftrag umfasst insgesamt \(1200\) Etiketten. Nach welcher Zeit ist er abgeschlossen?

Eine Kerze hat zu Beginn eine Höhe von \(24\,\text{cm}\). Nach einer Brenndauer von \(3\,\text{Stunden}\) ist sie noch \(18\,\text{cm}\) hoch. a) Erstelle eine Funktionsgleichung, die die Höhe \(h\) (in \(\text{cm}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Stunden) angibt. b) Erkläre die Bedeutung der Steigung \(m\) und des Anfangswerts in diesem Sachzusammenhang. c) Berechne die Höhe der Kerze nach \(5\,\text{Stunden}\).

Eine Gerade hat die Steigung \(m=-3\) und verläuft durch den Punkt \(P(2\mid-4)\). Ein weiterer Punkt \(Q(x\mid8)\) liegt ebenfalls auf dieser Geraden. Bestimme zuerst die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) und berechne damit die fehlende \(x\)-Koordinate von \(Q\).

Ein Techniker erfasst drei Messpunkte: \(A(10|25)\), \(B(20|45)\) und \(C(30|62)\). a) Bestimme die Gleichung der Geraden \(g\), die exakt durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft. b) Prüfe rechnerisch, ob der Punkt \(C\) ebenfalls auf dieser Geraden liegt. c) Der Techniker möchte die Steigung der Geraden so anpassen, dass sie weiterhin durch \(A\) verläuft, aber näher am Punkt \(C\) liegt. Muss er die Steigung vergrößern oder verkleinern? Begründe deine Entscheidung ohne eine neue Gleichung aufzustellen.

Eine Druckerei bearbeitet einen Auftrag über \(6000\) Flyer. Zehn Minuten nach Beginn der Messung sind \(1500\) Flyer fertig, nach \(25\) Minuten \(3000\). Die Produktion verläuft im betrachteten Zeitraum gleichmäßig. a) Bestimme die lineare Funktion \(N(t)\), die die Zahl der fertigen Flyer nach \(t\) Minuten angibt. b) Wie viele Flyer waren zu Beginn der Messung bereits fertig? c) Nach wie vielen Minuten ist der Auftrag vollständig abgeschlossen?

Eine offene Werkstatt berechnet für die Nutzung ihres Laserschneiders eine feste Einrichtungsgebühr und zusätzlich einen Preis pro Meter Schnittlänge. Ein Auftrag mit \(5\,\text{m}\) Schnittlänge kostet \(14{,}50\,\text{€}\), ein Auftrag mit \(12\,\text{m}\) kostet \(28{,}50\,\text{€}\). a) Ermittle die lineare Kostenfunktion \(K(x)\) in Abhängigkeit von der Schnittlänge \(x\) in Metern. b) Erkläre die Bedeutung von Steigung und Anfangswert. c) Berechne die Kosten für \(20\,\text{m}\) Schnittlänge.

Die Lufttemperatur in der Atmosphäre nimmt mit der Höhe näherungsweise linear ab. In einer Höhe von \(500\,\text{m}\) über dem Meeresspiegel misst ein Meteorologe eine Temperatur von \(12\,^\circ\text{C}\). In einer Höhe von \(3000\,\text{m}\) beträgt die Temperatur nur noch \(-3\,^\circ\text{C}\). a) Bestimme die Funktionsgleichung \(T(h)\), welche die Temperatur in \(^\circ\text{C}\) in Abhängigkeit von der Höhe \(h\) (in Metern) angibt. b) Welche Temperatur herrscht laut diesem Modell auf Meereshöhe, also bei \(h=0\)? c) In welcher Höhe liegt die Nullgradgrenze, also die Höhe, in der die Temperatur genau \(0\,^\circ\text{C}\) beträgt?

Eine lineare Funktion \(k\) hat die Steigung \(m=-0{,}5\) und verläuft durch den Punkt \(P(4\mid1)\). 1. Bestimme die Funktionsgleichung von \(k\) in der Form \(k(x)=mx+t\). 2. Berechne die Nullstelle der Funktion und gib den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse an. 3. Gib drei Punkte an, mit denen du den Graphen eindeutig zeichnen und deine berechnete Nullstelle kontrollieren könntest.

Überprüfe zunächst, ob die Wertepaare in der folgenden Tabelle zu einer linearen Funktion gehören. Falls ja, vervollständige die fehlenden Werte. Falls nein, begründe kurz. <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(0\)</td><td></td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(14\)</td><td></td><td>\(26\)</td></tr> </table>

Eine lineare Funktion \(f\) verläuft durch die Punkte \(A(-2|7)\) und \(B(2|-1)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung von \(f\). b) Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td><td></td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(7\)</td><td>\(-1\)</td><td></td><td>\(10\)</td></tr> </table>

Drei Geraden \(g_1\), \(g_2\) und \(g_3\) sollen sich alle im selben Punkt \(P(4|1)\) schneiden. Die Gleichung von \(g_1\) lautet \(y=-x+5\). 1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(P\) tatsächlich auf der Geraden \(g_1\) liegt. 2. Die Gerade \(g_2\) ist eine Ursprungsgerade und verläuft durch \(P\). Bestimme ihre Funktionsgleichung. 3. Die Gerade \(g_3\) hat die Steigung \(m=0{,}5\) und verläuft ebenfalls durch \(P\). Bestimme ihre Funktionsgleichung.

Zwei Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(3|2)\). Die Gerade \(g\) verläuft durch den Koordinatenursprung. 1. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(g\). 2. Begründe kurz, warum es unendlich viele verschiedene Geraden gibt, die die Gerade \(g\) im Punkt \(S\) schneiden können. 3. Die Gerade \(h\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_y(0|5)\). Bestimme die Funktionsgleichung von \(h\).

Gegeben ist die lineare Funktion \(f\) mit \(f(x) = mx - 1\). Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt \(P(-2 \mid 5)\). a) Berechne die Steigung \(m\) der Funktion. b) Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt \(Q(1 \mid -4)\) ebenfalls auf dem Graphen von \(f\) liegt.

Ein großes Datenarchiv wird in einen Cloudspeicher übertragen. Zu Beginn der Beobachtung zeigt die Fortschrittsanzeige \(10\,\%\). Nach \(24\,\text{Minuten}\) sind \(40\,\%\) übertragen. Im Modell wächst der Fortschritt gleichmäßig. a) Bestimme eine lineare Funktion \(P(x)\), die den übertragenen Anteil in Prozent nach \(x\) Minuten beschreibt. b) Berechne, nach wie vielen Minuten \(100\,\%\) erreicht sind. c) Gib den sinnvollen Modellbereich für \(x\) an und nenne drei Punkte, mit denen sich der Graph in diesem Bereich eindeutig zeichnen lässt.

Ein Hubtisch in einer Werkhalle wird bei einer Kalibrierung mit konstanter Geschwindigkeit angehoben. Um 13:00 Uhr befindet sich die Plattform \(40\,\text{cm}\) über dem Boden, um 15:00 Uhr \(100\,\text{cm}\). Sei \(x\) die Zeit in Stunden nach 13:00 Uhr und \(h(x)\) die Plattformhöhe in Zentimetern. a) Bestimme die lineare Funktion \(h(x)=mx+t\) und erläutere die Bedeutung ihrer Steigung. b) Zu welcher Uhrzeit hätte die Plattform den Boden erreicht, wenn sie bereits vor 13:00 Uhr mit derselben konstanten Geschwindigkeit angehoben worden wäre? c) Die maximal zulässige Höhe beträgt \(1{,}60\,\text{m}\). Bestimme rechnerisch die Uhrzeit, zu der diese Höhe erreicht wird.

Eine Gerade \(p\) verläuft durch die beiden Punkte \(A(1|4)\) und \(B(3|0)\). a) Ermittle die Funktionsgleichung der Geraden \(p\). b) Berechne die Nullstelle der Funktion. c) Eine weitere Gerade \(q\) hat dieselbe Nullstelle wie die Gerade \(p\). Ihre Steigung ist jedoch genau halb so groß wie die Steigung von \(p\). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(q\).

Drei verschiedene Flüssigkeiten werden erhitzt. Die Temperatur \(T\) (in \(^\circ\text{C}\)) steigt bei allen linear mit der Zeit \(t\) (in Minuten) an. Flüssigkeit 1: \(T_1(t)=4t+20\) Flüssigkeit 2: Startet bei \(15\,^\circ\text{C}\) und erwärmt sich pro Minute um \(5\,^\circ\text{C}\). Flüssigkeit 3: Nach \(2\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur \(26\,^\circ\text{C}\), nach \(5\,\text{Minuten}\) sind es \(35\,^\circ\text{C}\). a) Bestimme für alle drei Flüssigkeiten die Funktionsgleichung. b) Welche Flüssigkeit hat die höchste Anfangstemperatur? c) Welche Flüssigkeit erwärmt sich am schnellsten? d) Vergleiche die Temperaturen der drei Flüssigkeiten nach genau \(10\,\text{Minuten}\).

Bei einem Langzeittest wird eine Folienbahn mit konstanter Geschwindigkeit von einer Rolle abgezogen. Zu Beginn befinden sich \(24\,\text{m}\) Folie auf der Rolle; nach \(4\,\text{Stunden}\) sind noch \(14\,\text{m}\) vorhanden. a) Bestimme die lineare Funktion \(L(t)\) für die verbleibende Folienlänge in Metern nach \(t\) Stunden. b) Berechne, nach wie vielen Stunden und Minuten die Rolle bei gleichbleibender Abwickelgeschwindigkeit leer ist.

Eine Flüssigkeit kühlt gleichmäßig ab. Nach \(2\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur \(75\,^\circ\text{C}\), nach \(10\,\text{Minuten}\) sind es noch \(55\,^\circ\text{C}\). a) Ermittle die Funktionsgleichung für die Temperatur \(T\) (in \(^\circ\text{C}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten). b) Erkläre die Bedeutung der Steigung und des Anfangswerts in diesem Sachzusammenhang.

Bei einem 3D-Druck wächst die Masse eines Bauteils im betrachteten Abschnitt gleichmäßig. Nach \(5\,\text{Minuten}\) beträgt die Masse \(13{,}5\,\text{g}\), nach \(12\,\text{Minuten}\) \(24\,\text{g}\). a) Bestimme die lineare Funktion \(M(t)\), die die Bauteilmasse in Gramm nach \(t\) Minuten beschreibt. b) Welche Masse hatte das Bauteil zu Beginn der Messung? c) Welche Masse ergibt das Modell nach einer halben Stunde?

Eine Gerade \(k\) verläuft durch den Punkt \(P(2|1)\). Ein Steigungsdreieck an dieser Geraden hat eine Breite von \(\Delta x=4\) und eine Höhe von \(\Delta y=2\); die Gerade steigt an. a) Berechne die Steigung \(m\) der Geraden. b) Bestimme rechnerisch den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Geraden. c) Überprüfe durch eine Rechnung, ob der Punkt \(Q(10|5)\) ebenfalls auf der Geraden \(k\) liegt.

Betrachte die folgende Wertetabelle: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(11\)</td><td>\(5\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(-7\)</td></tr> </table> a) Zeige durch Rechnung, dass diese Wertepaare zu einer linearen Funktion gehören. b) Bestimme die Funktionsgleichung der Form \(y=mx+t\). c) Entscheide, ob die Zuordnung auch proportional ist, und begründe deine Antwort.

Eine lineare Funktion \(h\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=4\) und verläuft durch den Punkt \(P(-2|3)\). a) Ermittle die Funktionsgleichung von \(h\). b) Gib den Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse an. c) Vergleiche die Steigung von \(h\) mit der Funktion \(g(x)=-0{,}5x+1\). Was stellst du fest?

Gegeben ist die Gerade \(g\), die durch die Punkte \(A(-4|-1)\) und \(B(2|2)\) verläuft. Eine zweite Gerade \(h\) hat denselben \(y\)-Achsenabschnitt wie \(g\), aber ihre Steigung ist genau doppelt so groß wie die von \(g\). a) Bestimme die Funktionsgleichungen beider Geraden. b) Berechne den Schnittpunkt der Geraden \(h\) mit der \(x\)-Achse.

Lukas besitzt eine Prepaid-Karte für sein Smartphone mit einem Startguthaben von \(20\,\text{€}\). Jede vertelefonierte Minute kostet ihn \(0{,}12\,\text{€}\). a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die das restliche Guthaben \(G\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit von der Telefonierzeit \(t\) (in Minuten) angibt. b) Berechne, wie viel Guthaben nach einer Telefonierzeit von \(45\) Minuten noch auf der Karte ist. c) Nach wie vielen Minuten sind genau noch \(5\,\text{€}\) auf der Karte? d) Begründe, ob es sich bei dieser Zuordnung um eine proportionale Funktion handelt.

Betrachte zwei Geraden \(g\) und \(h\). Die Gerade \(g\) verläuft durch den Punkt \(P(-2|5)\) und hat die Steigung \(m=2\). Die Gerade \(h\) verläuft durch den Koordinatenursprung und durch den Punkt \(Q(4|10)\). a) Ermittle für beide Geraden die Funktionsgleichung. b) Überprüfe rechnerisch, ob die beiden Geraden parallel zueinander verlaufen. c) Bestimme den Schnittpunkt der Geraden \(g\) mit der \(x\)-Achse.

Eine Gerade \(k\) verläuft durch die Punkte \(A(-2|4)\) und \(B(2|6)\). Eine zweite Gerade \(l\) ist parallel zu \(k\) und besitzt die Nullstelle \(x=4\). Bestimme die Funktionsgleichungen beider Geraden.

Die Gerade \(f\) ist durch die Punkte \(R(-1|5)\) und \(S(2|-4)\) festgelegt. Die Gerade \(g\) verläuft parallel zu \(f\) durch den Koordinatenursprung. Ermittle die Gleichungen beider Geraden und berechne den \(x\)-Wert des Punktes auf \(g\), dessen \(y\)-Koordinate \(-12\) beträgt.

Der Graph einer linearen Funktion verläuft durch die Punkte \(A(2\mid5)\) und \(B(-2\mid3)\). a) Ermittle die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\). b) Bestimme den fehlenden Wert \(y_P\), sodass auch der Punkt \(P(10\mid y_P)\) auf dem Graphen liegt.

Ein Dosierbehälter einer Versuchsanlage enthält Kunststoffgranulat, das gleichmäßig entnommen wird. Nach \(2\,\text{Stunden}\) sind noch \(18\,\text{kg}\) vorhanden, nach \(5\,\text{Stunden}\) noch \(13{,}5\,\text{kg}\). a) Bestimme die lineare Funktion \(M(t)\) für die verbleibende Granulatmasse in Kilogramm nach \(t\) Stunden. b) Gib die Bedeutung von Anfangswert und Steigung im Sachkontext an.

Gegeben sind zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\). Die Gerade \(g_1\) verläuft durch die Punkte \(A(0|2)\) und \(B(4|4)\). Die Gerade \(g_2\) hat die Steigung \(m=-1\) und verläuft durch den Punkt \(C(6|2)\). Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen beider Geraden und ermittle anschließend die Koordinaten ihres Schnittpunkts.

Die Graphen zweier linearer Funktionen \(p\) und \(q\) schneiden sich im Punkt \(S(4|2)\). Von der Geraden \(p\) ist die Gleichung \(p(x)=-0{,}5x+4\) bekannt. Die Gerade \(q\) hat die Steigung \(m=2\). a) Bestimme die vollständige Funktionsgleichung der Geraden \(q\). b) Gib die Gleichung einer Geraden \(r\) an, die parallel zur Geraden \(p\) verläuft und durch den Koordinatenursprung geht.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte \(A(4|5)\) und \(B(-2|2)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden in der Form \(f(x)=mx+t\). b) Berechne die Nullstelle der Funktion. c) Überprüfe rechnerisch, ob der Graph der Funktion durch den Koordinatenursprung verläuft.

Gegeben ist eine lineare Funktion, deren Graph durch die Punkte \(P(-2|7)\) und \(Q(4|-5)\) verläuft. a) Ermittle die Funktionsgleichung. b) Bestimme den Schnittpunkt des Graphen mit der \(x\)-Achse. c) Liegt der Punkt \(R(1|1)\) auf der Geraden? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Eine Gerade \(g\) hat die Funktionsgleichung \(g(x)=-2x+4\). a) Berechne die Nullstelle von \(g\). b) Eine zweite Gerade \(h\) verläuft parallel zu \(g\) und geht durch den Punkt \(P(1|1)\). Bestimme die Funktionsgleichung von \(h\). c) Verläuft die Gerade \(h\) durch den Koordinatenursprung?

Eine Gerade verläuft durch die Punkte \(A(-4\mid1)\) und \(B(2\mid4)\). a) Stelle ihre Gleichung in der Form \(y=mx+t\) auf. b) Bestimme anschließend aus deiner Gleichung die Schnittpunkte \(S_x\) mit der \(x\)-Achse und \(S_y\) mit der \(y\)-Achse.

Gegeben ist eine Gerade \(g\) mit der Nullstelle \(x=4\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Eine zweite Gerade \(h\) verläuft ebenfalls durch diese Nullstelle, hat aber eine doppelt so große Steigung wie \(g\). Ermittle die Funktionsgleichung von \(h\) und berechne ihren Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

Eine Gerade \(k\) verläuft parallel zur Geraden \(h\) mit der Gleichung \(h(x) = \frac{2}{3}x - 5\) und geht durch den Punkt \(P(6 | 1)\). a) Ermittle die Funktionsgleichung der Geraden \(k\). b) Berechne die Nullstelle der Funktion \(k\). c) Eine weitere Gerade \(l\) hat dieselbe Nullstelle wie \(k\), besitzt aber die Steigung \(m = -2\). Bestimme die Funktionsgleichung von \(l\).

Gegeben ist eine lineare Funktion \(g\) mit der Gleichung \(g(x)=-\frac{2}{3}x+4\). a) Eine weitere Gerade \(h\) verläuft parallel zu \(g\) und geht durch den Punkt \(P(6|2)\). Bestimme die Funktionsgleichung von \(h\). b) Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) der Geraden \(h\) mit der Geraden \(k(x)=x-3\).

Zwei Geraden \(f\) und \(g\) sind durch jeweils zwei Punkte gegeben: Die Gerade \(f\) verläuft durch \(A(-1|1)\) und \(B(3|9)\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \(C(0|10)\) und \(D(5|0)\). a) Ermittle die Funktionsgleichungen von \(f\) und \(g\). b) Berechne rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) beider Geraden.

Gegeben ist eine lineare Funktion \(f\) durch die folgende Wertetabelle: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(1\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(-5\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> a) Bestimme die Funktionsgleichung der Form \(f(x)=mx+t\). b) Berechne die Nullstelle der Funktion. c) Begründe, wie sich der Graph der Funktion verändert, wenn der Wert von \(t\) um \(3\) Einheiten vergrößert wird.

Eine Gerade \(k\) verläuft durch die Punkte \(A(2|5)\) und \(B(-2|-3)\). a) Ermittle die Funktionsgleichung der Geraden \(k\). b) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(C(5|11)\) auf der Geraden \(k\) liegt. c) Eine zweite Gerade \(l\) verläuft parallel zu \(k\) und geht durch den Punkt \(P(1|1)\). Bestimme die Funktionsgleichung von \(l\). d) Bestimme den Schnittpunkt der Geraden \(k\) mit der \(y\)-Achse.

Ein Techniker überwacht die Abkühlung einer Flüssigkeit in einem Behälter. Er notiert die folgenden Messwerte: <table> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{min}\)</td><td>\(0\)</td><td>\(8\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>Temperatur \(T\) in \(^\circ\text{C}\)</td><td>\(90\)</td><td>\(74\)</td><td>\(50\)</td></tr> </table> a) Zeige rechnerisch, dass die Temperaturabnahme in diesem Zeitraum durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. b) Bestimme die Funktionsgleichung \(T(t)\). c) Berechne die Temperatur der Flüssigkeit nach genau \(15\,\text{Minuten}\). d) Wann erreicht die Flüssigkeit eine Temperatur von \(26\,^\circ\text{C}\), wenn man davon ausgeht, dass die Abkühlung linear weiter verläuft?

Ein Regenfass enthält zu Beginn \(40\,\text{l}\) Wasser und kann mindestens \(200\,\text{l}\) aufnehmen. Während eines Gewitters fließen pro Minute gleichmäßig \(4\,\text{l}\) Regenwasser hinzu. 1. Gib eine Funktionsgleichung an, die die Wassermenge \(y\) in Litern in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Minuten beschreibt. 2. Erstelle eine Wertetabelle für \(x=0\), \(x=10\), \(x=15\) und \(x=30\) Minuten. 3. Beschreibe den Graphen bis zum Erreichen von \(200\,\text{l}\): Gib seinen Startpunkt, den Endpunkt dieses Modellabschnitts und die Steigung an. 4. Bestimme rechnerisch, nach wie vielen Minuten das Fass einen Inhalt von \(200\,\text{l}\) erreicht hat.

Ein großes Bildarchiv wird von zwei Rechnern konvertiert. Zu Beginn der Messung sind bei beiden Verfahren bereits \(12\,\%\) bearbeitet. Rechner A steigert den Bearbeitungsfortschritt gleichmäßig um \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. a) Gib die lineare Funktion \(P_A(t)\) für Rechner A an. b) Rechner B würde bei gleichem Startwert nach genau \(80\,\text{Minuten}\) \(100\,\%\) erreichen. Bestimme seine Bearbeitungsrate in Prozentpunkten pro Minute. c) Wie viel Zeit spart Rechner B gegenüber Rechner A bis \(100\,\%\)?

Ein Heißluftballon befindet sich in einer Höhe von \(840\,\text{m}\) über dem Boden und beginnt mit dem Sinkflug. Die Höhe des Ballons nimmt dabei gleichmäßig um \(1{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde ab. 1) Gib eine Funktionsgleichung an, welche die Höhe \(h\) (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Sekunden) darstellt. 2) In welcher Höhe befindet sich der Ballon nach \(4\) Minuten Sinkflug? 3) Berechne, nach welcher Zeit der Ballon den Boden erreicht. Gib das Ergebnis in Minuten und Sekunden an.

Ein Tierfutterlager wird täglich mit derselben Menge belastet. Nach \(5\,\text{Tagen}\) sind noch \(1200\,\text{kg}\) Futter vorhanden, nach \(12\,\text{Tagen}\) noch \(850\,\text{kg}\). a) Berechne den täglichen Verbrauch. b) Bestimme den Anfangsbestand und stelle die lineare Funktion \(M(t)\) für den verbleibenden Futtervorrat nach \(t\) Tagen auf. c) Nach wie vielen Tagen wäre der Vorrat bei unverändertem Verbrauch aufgebraucht?

Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit auf der Autobahn. Nach \(20\,\text{Minuten}\) zeigt der Kilometerzähler \(84\,\text{km}\) an, nach insgesamt \(50\,\text{Minuten}\) steht er bei \(135\,\text{km}\). Bestimme die lineare Funktionsgleichung \(K(t)\), die den Kilometerstand \(K\) (in \(\text{km}\)) nach \(t\) Minuten beschreibt. Gib außerdem die Geschwindigkeit des Autos in \(\text{km/h}\) und den Kilometerstand bei \(t=0\) an.

Zwei 3D-Drucker verbrauchen gleichzeitig Filament von verschiedenen Rollen. Rolle A enthält nach \(2\,\text{Stunden}\) noch \(16\,\text{m}\) und nach \(5\,\text{Stunden}\) noch \(10\,\text{m}\). Rolle B enthält nach \(3\,\text{Stunden}\) noch \(15\,\text{m}\) und nach \(6\,\text{Stunden}\) noch \(8{,}1\,\text{m}\). Bestimme für beide Rollen eine lineare Funktion für die verbleibende Filamentlänge in Abhängigkeit von der Zeit. Untersuche anschließend, welche Rolle zu Beginn mehr Filament enthielt und welcher Drucker Filament schneller verbraucht.

Die Punkte \(A(-2 \mid 7)\) und \(B(4 \mid -2)\) liegen auf einer Geraden \(g\). Ein dritter Punkt \(C(x \mid -5)\) liegt ebenfalls auf dieser Geraden. Bestimme den Wert für \(x\).

Gegeben ist eine Schar linearer Funktionen \(f_a\), deren Graphen jeweils durch die Punkte \(P(a \mid 2a)\) und \(Q(3a \mid 8a)\) verlaufen, wobei \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ein Parameter ist. a) Bestimme die Funktionsgleichung der Schar \(f_a(x)\) in Abhängigkeit vom Parameter \(a\). b) Untersuche, ob die Steigung der Geraden vom Parameter \(a\) abhängt. c) Bestimme die Nullstelle der Funktion in Abhängigkeit von \(a\).

Die Gerade \(g\) ist durch die Punkte \(A(-2{,}5 \mid 4)\) und \(B(5 \mid 1)\) eindeutig festgelegt. Die Punkte \(P_1(10 \mid y_1)\), \(P_2(x_2 \mid 6)\), \(P_3(0 \mid y_3)\) und \(P_4(x_4 \mid 0)\) liegen ebenfalls auf \(g\). Bestimme die fehlenden Koordinaten \(y_1, x_2, y_3\) und \(x_4\).

Der Graph einer linearen Funktion \(f\) verläuft durch die Punkte \(C(1 \mid 1)\) und \(D(3 \mid 6)\). Ergänze die fehlenden Werte in der folgenden Wertetabelle für Punkte, die auf dem Graphen von \(f\) liegen: <table border="1" style="border-collapse: collapse; text-align: center; width: 100%;"> <tr> <th style="padding: 5px; background-color: #f2f2f2;">\(x\)</th> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">\(\square\)</td> <td style="padding: 5px;">0</td> <td style="padding: 5px;">\(\square\)</td> </tr> <tr> <th style="padding: 5px; background-color: #f2f2f2;">\(y\)</th> <td style="padding: 5px;">\(\square\)</td> <td style="padding: 5px;">11</td> <td style="padding: 5px;">\(\square\)</td> <td style="padding: 5px;">0</td> </tr> </table>

Eine Gerade \(l\) verläuft durch die beiden Punkte \(Q(0{,}5|3)\) und \(R(2|0)\). Ermittle die Gleichung der Geraden \(k\) in der Form \(y = mx + n\), die parallel zur Geraden \(l\) verläuft und durch den Punkt \(S(-4|5)\) geht.

Eine lineare Funktion \(f\) ist durch die allgemeine Form \(f(x) = mx + b\) gegeben. Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte \(A(-2 | 5)\) und \(B(4 | -7)\). 1. Berechne die Werte der Parameter \(m\) und \(b\). 2. Interpretiere die geometrische Bedeutung des berechneten Wertes für \(m\) im Hinblick auf den Verlauf des Graphen. 3. Beschreibe, wie sich die Lage des Graphen im Koordinatensystem verändert, wenn der Parameter \(b\) um \(3\) Einheiten verringert wird.

Gegeben ist die Gerade \(k\) mit der Gleichung \(y = \frac{2}{3}x - 5\). Eine weitere Gerade \(h\) verläuft parallel zu \(k\) und geht durch den Punkt \(P(6 \mid 1)\). Stelle die Funktionsgleichung von \(h\) auf und berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden \(h\) mit der \(x\)-Achse.

Ein Wanderweg führt von einem Parkplatz zu einer Aussichtsplattform. Der Weg lässt sich in zwei Abschnitte mit jeweils konstanter Steigung unterteilen. Im ersten Abschnitt steigt der Weg auf einer horizontalen Strecke von \(150\,\text{m}\) um insgesamt \(30\,\text{m}\) an. Die Aussichtsplattform am Ende des zweiten Abschnitts liegt insgesamt \(130\,\text{m}\) höher als der Parkplatz. Die gesamte horizontale Entfernung vom Parkplatz bis zur Plattform beträgt \(400\,\text{m}\). a) Berechne die Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) der beiden Wegabschnitte. b) Stelle die Funktionsgleichungen für die Höhe \(h\) in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung \(x\) für beide Abschnitte auf. Gib dabei auch die jeweiligen Definitionsbereiche an. c) Bestimme die Höhe des Weges nach einer horizontalen Entfernung von \(250\,\text{m}\). d) In welcher horizontalen Entfernung vom Parkplatz wird eine Höhe von \(90\,\text{m}\) erreicht?

Eine Rampe für den Materialtransport in einem Kieswerk besteht aus zwei geradlinigen Teilstücken. Das erste Teilstück führt vom Boden (Punkt \((0|0)\)) bis zu einem Podest in \(15\,\text{m}\) Höhe, das horizontal \(50\,\text{m}\) vom Startpunkt entfernt ist. Das zweite Teilstück endet an einer Schüttanlage in \(75\,\text{m}\) Gesamthöhe bei einer horizontalen Gesamtentfernung von \(150\,\text{m}\). a) Bestimme die Funktionsvorschrift der stückweise definierten linearen Funktion \(h(x)\), welche die Höhe in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung \(x\) beschreibt. b) Vervollständige die folgende Tabelle für den Verlauf der Rampe: <table> <tr> <td>Horizontale Entfernung \(x\) (in m)</td> <td>20</td> <td>\(x_2\)</td> <td>100</td> <td>\(x_4\)</td> </tr> <tr> <td>Höhe \(h\) (in m)</td> <td>\(h_1\)</td> <td>9</td> <td>\(h_3\)</td> <td>60</td> </tr> </table> c) Berechne die durchschnittliche Steigung der Rampe über die gesamte horizontale Distanz von \(150\,\text{m}\).

In der folgenden Abbildung sind die Graphen von drei linearen Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) in einem Koordinatensystem dargestellt. Bestimme für jeden der drei Graphen die zugehörige Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\) oder mit der jeweils passenden Funktionsbezeichnung \(f(x)\), \(g(x)\) beziehungsweise \(h(x)\).

Ein großer Wassertank wird gleichmäßig entleert. Das folgende Diagramm zeigt das verbleibende Wasservolumen \(V\) im Tank (in Litern, \(\text{l}\)) in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit \(t\) (in Minuten, \(\text{min}\)). a) Lies zwei geeignete Punkte aus dem Graphen ab und berechne mithilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung \(m\) der Geraden. Gib an, was diese Steigung im Sachkontext bedeutet. b) Bestimme den Anfangswert aus dem Graphen und gib die Funktionsgleichung \(V(t)\) an. c) Berechne, nach wie vielen Minuten der Wassertank komplett leer ist.

Gegeben sind die beiden Geraden \(f\) und \(g\) im Koordinatensystem sowie die Punkte \(P\) und \(Q\). a) Bestimme die Funktionsgleichungen der Geraden \(f\) und \(g\). b) Eine weitere Gerade \(h\) verläuft parallel zu \(f\) und geht durch den Punkt \(P\). Bestimme die Funktionsgleichung von \(h\). c) Ermittle die Funktionsgleichung der Geraden \(k\), die durch die Punkte \(P\) und \(Q\) verläuft.

Im folgenden Koordinatensystem sind die Graphen zweier linearer Funktionen \(f\) und \(g\) dargestellt. a) Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Geraden \(f\) und \(g\). b) Berechne den Schnittpunkt \(S\) der beiden Geraden und überprüfe dein Ergebnis anschließend am Graphen. c) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(P(8|5)\) auf der Geraden \(f\) liegt und ob der Punkt \(Q(-2|5)\) auf der Geraden \(g\) liegt.

In dem unten abgebildeten Koordinatensystem wurden für die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse unterschiedliche Einteilungen gewählt. a) Bestimme die Funktionsgleichung der dargestellten linearen Funktion \(g\). b) Berechne den Funktionswert \(g(6)\) rechnerisch und überprüfe dein Ergebnis, indem du den entsprechenden Punkt auf dem Graphen abliest.

Im abgebildeten Koordinatensystem sind zwei Geraden \(f\) und \(g\) dargestellt. a) Bestimme für beide Geraden die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\). b) Bestimme mit den Funktionsgleichungen die Nullstellen von \(f\) und \(g\). c) Berechne rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) der beiden Geraden und überprüfe das Ergebnis anschließend am Graphen.

Ein Wassertank wird mit einer konstanten Rate befüllt. Die Funktion \(V(t)\) gibt das Volumen im Tank in Litern nach \(t\) Minuten an. In der Grafik sind zwei Messungen als Punkte \(P_1\) und \(P_2\) eingetragen. a) Berechne mithilfe von \(P_1\) und \(P_2\) die Zuflussrate in Litern pro Minute. b) Bestimme aus deiner Rechnung das Anfangsvolumen \(V(0)\). c) Gib die Funktionsgleichung \(V(t)\) an. d) Berechne das Volumen nach \(15\) Minuten.

Bestimme für die beiden dargestellten Geraden \(f\) und \(h\) jeweils die Funktionsgleichung. Nutze dazu ein Steigungsdreieck und den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

Im Koordinatensystem sind vier Geraden dargestellt, die alle durch denselben Punkt \(P\) verlaufen. a) Bestimme die Koordinaten des gemeinsamen Punktes \(P\). b) Ermittle für jede der vier Geraden die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\). c) Wie lautet die Funktionsgleichung einer fünften Geraden \(h_5\), die ebenfalls durch \(P\) geht, aber parallel zur \(x\)-Achse verläuft?

Gegeben ist der Punkt \(A(0\mid1{,}5)\). a) Bestimme die Funktionsgleichungen der drei dargestellten Geraden \(g_1\), \(g_2\) und \(g_3\), die alle durch den Punkt \(A\) verlaufen. b) Welchen gemeinsamen Parameter haben die Funktionsterme dieser Geraden in der Form \(y=mx+t\)? c) Gib den Funktionsterm einer weiteren Geraden \(g_4\) an, die ebenfalls durch \(A\) verläuft und eine negative Steigung besitzt, die betragsmäßig kleiner ist als die Steigung von \(g_1\).

Eine Kerze hat zu Beginn eine Höhe von \(80\,\text{mm}\). Sobald sie angezündet wird, verringert sich ihre Höhe \(h\) (in Millimetern) gleichmäßig mit der Brenndauer \(t\) (in Stunden). a) Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion \(h(t)\) auf. Achte dabei auf die Einheiten und die Skalierung der Achsen im Diagramm. b) Berechne die Höhe der Kerze nach einer Brenndauer von \(12\,\text{h}\) und kontrolliere diesen Wert mithilfe des Graphen.

Eine lineare Funktion \(g\) hat die Steigung \(m=2{,}5\) und verläuft durch den Punkt \(P(2 \mid 1)\). a) Stelle die Funktionsgleichung \(g(x)=mx+t\) auf. b) Ermittle anschließend mit dieser Gleichung, bei welchem \(x\)-Wert \(g(x)=11\) gilt.

Zwei Wanderer, Anton und Bea, bewegen sich auf einer langen geraden Straße. Anton startet am Punkt \(0\,\text{km}\) und läuft mit gleichmäßiger Geschwindigkeit. Bea startet zur gleichen Zeit am Punkt \(18\,\text{km}\) und läuft ihm entgegen. Das Diagramm zeigt ihre Entfernung vom Punkt \(0\,\text{km}\) für \(0\le t\le4{,}5\) Stunden. Bestimme für beide Wanderer die Funktionsgleichung.

Eine Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(P(-1 \mid 4)\) und \(Q(2 \mid -2)\), wie in der Abbildung zu sehen. a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(g\) rechnerisch und kontrolliere dein Ergebnis anschließend an der Abbildung. b) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(R(4 \mid -6)\) ebenfalls auf der Geraden liegt.

Im Koordinatensystem sind die beiden Geraden \(a\) und \(b\) dargestellt. a) Bestimme für beide Geraden die Funktionsgleichung in der Form \(y=mx+t\). b) Berechne die Nullstellen der beiden Funktionen. Welche Besonderheit stellst du fest?

Ermittle für die abgebildeten Geraden \(f_1\), \(f_2\) und \(f_3\) die zugehörigen Geradengleichungen in der Form \(y=mx+t\).

Ein Auto startet mit einem vollen Tank von \(60\,\text{l}\). Das folgende Diagramm zeigt den Kraftstoffvorrat \(y\) in Litern in Abhängigkeit von der gefahrenen Strecke \(x\) in Kilometern. 1) Schätze, wie viel Kraftstoff sich nach einer Fahrt von \(400\,\text{km}\) noch im Tank befindet. 2) Nach wie vielen Kilometern ist der Tank vollständig leer? 3) Wie viel Kraftstoff verbraucht das Auto durchschnittlich auf einer Strecke von \(100\,\text{km}\)? 4) Gib eine Funktionsgleichung an, die den Kraftstoffvorrat \(y\) in Abhängigkeit von der Strecke \(x\) beschreibt.

Leila möchte die Gleichung der Geraden durch \(A(1|5)\) und \(B(5|3)\) bestimmen. Sie rechnet: \(m=\frac{5-1}{3-5}=-2\) und erhält daraus \(y=-2x+7\). Finde den Fehler in Leilas Rechnung, bestimme die richtige Funktionsgleichung und überprüfe sie mit beiden Punkten.

Ein Bergsteiger misst während seines Aufstiegs die Lufttemperatur. Er geht davon aus, dass die Temperatur mit zunehmender Höhe gleichmäßig sinkt. Auf \(600\,\text{m}\) Höhe misst er \(16\,^\circ\text{C}\). Auf \(1400\,\text{m}\) Höhe misst er \(11{,}2\,^\circ\text{C}\). a) Stelle ein lineares Modell \(T(h)=mh+t\) für die Temperatur \(T\) in \(^\circ\text{C}\) in Abhängigkeit von der Höhe \(h\) in Metern auf. Berechne damit die zu erwartende Temperatur auf dem Gipfel in \(2500\,\text{m}\) Höhe. b) Welche Temperatur würde das Modell für \(12\,000\,\text{m}\) Höhe vorhersagen? c) Warum ist es problematisch, dieses lineare Modell auf sehr große Höhen zu übertragen? Begründe kurz.

Eine zylindrische Kerze ist zu Beginn \(25\,\text{cm}\) hoch. Nach dem Anzünden brennt sie gleichmäßig ab, wobei sie pro Stunde um \(1{,}2\,\text{cm}\) kleiner wird. a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe \(h\) der Kerze in Zentimetern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden beschreibt. b) Berechne, nach welcher Zeit die Kerze nur noch die Hälfte ihrer ursprünglichen Höhe besitzt. Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an. c) Stell dir vor, die Kerze hätte die Form einer Pyramide und würde nach oben hin immer dünner. Erkläre, warum die Abnahme der Höhe bei konstantem Wachsverbrauch pro Stunde dann nicht linear verlaufen kann.

Ein Backup wird auf einen Speicher mit einer Kapazität von \(1200\,\text{GB}\) übertragen. Zu Beginn der Messung sind bereits \(200\,\text{GB}\) gespeichert. In \(20\,\text{Minuten}\) kommen bei gleichbleibender Übertragungsrate \(150\,\text{GB}\) hinzu. a) Bestimme die Übertragungsrate in Gigabyte pro Minute und stelle die Funktionsgleichung \(S(t)\) für die gespeicherte Datenmenge nach \(t\) Minuten auf. b) Berechne die Zeitdauer in Stunden, Minuten und Sekunden, bis der Speicher vollständig belegt ist. c) Wegen einer Netzbegrenzung wird die Übertragungsrate halbiert. Beschreibe, wie sich dadurch die Steigung des Graphen und die benötigte Restzeit bis zur Kapazitätsgrenze verändern.

Der Graph einer linearen Funktion \(f\) verläuft durch die beiden Punkte \(A(-2|6)\) und \(B(4|-3)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung von \(f\). b) Der Graph von \(f\) schließt im ersten Quadranten zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

Eine Gerade \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_y(0|-2)\) und die \(x\)-Achse im Punkt \(S_x(3|0)\). a) Bestimme die Steigung \(m\) und die Funktionsgleichung von \(f\). b) Eine neue Gerade \(p\) hat denselben \(y\)-Achsenabschnitt wie \(f\), aber die doppelte Steigung. Gib die Gleichung von \(p\) an. c) Berechne den Schnittpunkt der Geraden \(p\) mit der \(x\)-Achse. Vergleiche ihn mit \(S_x\) der Geraden \(f\). Was stellst du fest?

Ein Smartphone-Akku hat zu Beginn einer Beobachtung noch eine Restladung von \(10\,\%\). Das Gerät wird an ein Schnellladegerät angeschlossen und erreicht nach \(40\,\text{Minuten}\) eine Ladung von \(90\,\%\). Direkt danach wird das Ladekabel entfernt und das Smartphone für \(20\,\text{Minuten}\) für ein Videotelefonat genutzt, wodurch die Ladung auf \(60\,\%\) sinkt. a) Bestimme für beide Phasen (Laden und Nutzen) die Funktionsgleichungen, die die Ladung \(y\) (in \(\,\%\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) (in \(\text{min}\)) beschreiben. b) Vergleiche die Ladegeschwindigkeit mit der Entladegeschwindigkeit. Um wie viele Prozentpunkte pro Minute unterscheiden sie sich? c) Wann betrug die Ladung genau \(75\,\%\)? d) Wenn das Smartphone nach dem Telefonat mit der gleichen Entladegeschwindigkeit weiter genutzt würde, nach wie vielen weiteren Minuten wäre der Akku komplett leer?

Ein Materialbehälter einer Fertigungsanlage wird während des Betriebs gleichmäßig geleert. Um 10:00 Uhr zeigt der Füllstand \(80\,\%\), um 11:20 Uhr noch \(60\,\%\). a) Ermittle den Verbrauch in Prozentpunkten pro Stunde und stelle eine lineare Funktion \(F(t)\) auf, wobei \(t\) die Minuten seit 10:00 Uhr und \(F(t)\) den Füllstand in Prozent bezeichnet. b) Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Behälter bei unverändertem Betrieb zuletzt bei \(100\,\%\) lag. c) Um wie viel Uhr erreicht das lineare Modell \(0\,\%\)?