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- Wie berechnest du die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du dann den y-Achsenabschnitt mithilfe eines der Punkte finden? - Könntest du die Punkte auch einfach in die vorgegebenen Antwortmöglichkeiten einsetzen, um sie zu überprüfen?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{6}{4} = 1{,}5\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(c\) durch Einsetzen eines Punktes (z. B. \(B\)) in \(y = mx + c\): \(4 = 1{,}5 \cdot 3 + c \Rightarrow 4 = 4{,}5 + c \Rightarrow c = -0{,}5\). 3. Zusammensetzen der Funktionsgleichung: \(y = 1{,}5x - 0{,}5\).

d) \(y = 1{,}5x - 0{,}5\)

- Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der y-Achse für den Wert von \(c\)? - Was bedeutet es für den Graphen einer Funktion, wenn sie keine Nullstelle hat? Wie muss sie im Koordinatensystem liegen? - Wie lautet die Koordinatenform eines Punktes, der eine Nullstelle beschreibt?

1. Aufstellen der Gleichung für Teil a): Aus dem y-Achsenabschnitt folgt \(c = -3\). Einsetzen der Nullstelle \((6|0)\) in \(0 = m \cdot 6 - 3\) ergibt \(6m = 3\), also \(m = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x - 3\). 2. Analyse für Teil b): Damit eine lineare Funktion keine Nullstelle hat, muss sie parallel zur x-Achse verlaufen (waagerechte Gerade), was eine Steigung von \(m = 0\) voraussetzt (und \(c \neq 0\)). 3. Bestimmung der Gleichung für b): Da die Gerade durch \(P(2|5)\) verläuft und \(m = 0\) ist, muss der Funktionswert für alle \(x\) gleich \(5\) sein. Die Gleichung lautet \(f(x) = 5\).

a) \(f(x) = 0{,}5x - 3\) b) \(f(x) = 5\). Begründung: Damit keine Nullstelle existiert, muss die Gerade parallel zur x-Achse verlaufen, also gilt \(m = 0\). Da der Punkt \(P(2|5)\) auf der Geraden liegt, muss der y-Wert überall \(5\) sein.

- Welchen Teil der Funktionsgleichung \(y = mx + c\) kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Was weißt du über den Funktionswert (den \(y\)-Wert) an einer Nullstelle? - Wie kannst du die Koordinaten eines bekannten Punktes nutzen, um eine unbekannte Steigung zu berechnen?

1. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0|4)\) folgt direkt der \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 4\). 2. Damit ergibt sich der Ansatz \(f(x) = mx + 4\). 3. Da der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = -2\) schneidet (Nullstelle), muss \(f(-2) = 0\) gelten. 4. Einsetzen des Punktes in die Gleichung: \(0 = m(-2) + 4\). 5. Auflösen nach \(m\): \(2m = 4 \Rightarrow m = 2\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x + 4\).

\(f(x) = 2x + 4\)

- Was bedeutet „nach unten“ für das Vorzeichen der vertikalen Änderung? - Wie hängen die Schritte im Steigungsdreieck mit der Steigung \( m \) zusammen? - Aus welchen zwei festen Bestandteilen setzt sich eine lineare Funktionsgleichung zusammen?

1. Den y-Achsenabschnitt direkt aus dem Text ablesen: \( b = -3 \). 2. Die Steigung \( m \) aus den Angaben des Steigungsdreiecks bestimmen: Die horizontale Änderung ist \( \Delta x = 4 \), die vertikale Änderung ist \( \Delta y = -3 \) (da es nach unten geht). 3. Die Steigung berechnen: \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-3}{4} = -0{,}75 \). 4. Die Werte in die allgemeine Form \( f(x) = mx + b \) einsetzen: \( f(x) = -0{,}75x - 3 \).

\( f(x) = -0{,}75x - 3 \) (oder \( f(x) = -\frac{3}{4}x - 3 \))

- Was sagt die Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse über die Funktionsgleichung aus? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um die Steigung einer Geraden eindeutig zu bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Form der Geradengleichung und die Bedeutung ihrer Parameter. - Setze die Koordinaten des zweiten Punktes in die Geradengleichung ein.

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Da alle Geraden durch \(S(0 \mid 5)\) verlaufen, muss der Parameter \(t = 5\) sein. 2. Beispiele für Teilaufgabe a): Durch Einsetzen beliebiger Werte für \(m\), zum Beispiel \(m = 1\), \(m = 2\) und \(m = -1\), ergeben sich die Gleichungen \(y = x + 5\), \(y = 2x + 5\) und \(y = -x + 5\). 3. Für Teilaufgabe b) werden die Koordinaten von \(Q(4 \mid 2)\) in \(y = mx + 5\) eingesetzt. 4. Lösen der Gleichung: \(2 = 4m + 5 \implies -3 = 4m \implies m = -0{,}75\).

a) Mögliche Lösungen sind \(y = x + 5\), \(y = 2x + 5\) und \(y = -x + 5\). b) Die Steigung der Geraden durch \(S\) und \(Q\) beträgt \(m = -0{,}75\).

- Welcher Wert beschreibt den Zustand ganz am Anfang? - Wie verändert sich die Wassermenge mit jeder vergehenden Minute? - Überlege, ob du für den gesuchten Wert eine Variable in deine Formel einsetzen oder die Formel nach einer Variablen auflösen musst.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert (y-Achsenabschnitt) ist \(b = 120\). Die Änderungsrate (Steigung) beträgt \(m = 15\). Die Gleichung lautet \(V(t) = 15t + 120\). 2. Berechnung für \(t = 20\): Einsetzen in die Gleichung: \(V(20) = 15 \cdot 20 + 120 = 300 + 120 = 420\). Nach \(20\,\text{min}\) sind \(420\,\text{l}\) im Pool. 3. Berechnung der Zeit für \(V = 600\): Gleichung aufstellen: \(600 = 15t + 120\). Subtraktion von \(120\) ergibt \(480 = 15t\). Division durch \(15\) ergibt \(t = 32\). Nach \(32\,\text{min}\) sind \(600\,\text{l}\) erreicht.

a) \(V(t) = 15t + 120\) b) Nach \(20\,\text{min}\) befinden sich \(420\,\text{l}\) im Pool. c) Nach \(32\,\text{min}\) sind \(600\,\text{l}\) erreicht.

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu finden?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-5)}{3 - (-2)} = \frac{10}{5} = 2\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(B(3 \mid 5)\) in \(y = mx + b\): \(5 = 2 \cdot 3 + b \Rightarrow 5 = 6 + b \Rightarrow b = -1\). 3. Aufstellen der Geradengleichung: \(y = 2x - 1\).

\(y = 2x - 1\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Welche Form hat eine lineare Funktionsgleichung im Allgemeinen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu bestimmen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) der Geraden \(f\) mithilfe der Punkte \(A\) und \(B\): \(m = \frac{4 - 1}{2 - (-4)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 2. Da die Gerade \(g\) parallel zu \(f\) ist, besitzt sie dieselbe Steigung \(m = 0{,}5\). 3. Einsetzen der Steigung und der Koordinaten von \(P(2|-2)\) in die allgemeine Form \(y = mx + b\): \(-2 = 0{,}5 \cdot 2 + b\). 4. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(-2 = 1 + b \implies b = -3\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): \(y = 0{,}5x - 3\).

\(y = 0{,}5x - 3\)

- Was weißt du über die Steigung von Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welche Form hat eine lineare Funktionsgleichung im Allgemeinen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu berechnen?

1. Da die Gerade \(g\) parallel zu \(h\) verläuft, übernimmt sie deren Steigung: \(m = -2\). 2. Einsetzen der Steigung \(m\) und der Koordinaten des Punktes \(P(3 | 4)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + b\): \(4 = -2 \cdot 3 + b\). 3. Berechnen des y-Achsenabschnitts \(b\): \(4 = -6 + b \Rightarrow b = 10\). 4. Aufstellen der fertigen Funktionsgleichung: \(y = -2x + 10\).

\(y = -2x + 10\)

- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x = 0\)? Was sagt dir das über den y-Achsenabschnitt? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, kannst du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen.

1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts: Aus der Tabelle folgt für \(x = 0\) der Wert \(f(0) = -3\), also \(n = -3\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): Mit den Punkten \((-2 \mid -7)\) und \((0 \mid -3)\) ergibt sich \(m = \frac{-3 - (-7)}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x - 3\). 3. Berechnung des fehlenden Wertes: \(f(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3\). 4. Punktprobe für \(P(10 \mid 17)\): Einsetzen von \(x = 10\) in die Gleichung ergibt \(f(10) = 2 \cdot 10 - 3 = 17\). Da dies dem y-Wert des Punktes entspricht, liegt \(P\) auf dem Graphen.

a) Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x - 3\). Der fehlende Wert ist \(f(3) = 3\). b) Ja, der Punkt \(P(10 \mid 17)\) liegt auf dem Graphen, da \(2 \cdot 10 - 3 = 17\) eine wahre Aussage ist.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welche Werte musst du in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu finden? - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n\): Einsetzen von \(B(2 \mid -2)\) in \(y = -3x + n\) ergibt \(-2 = -3 \cdot 2 + n \Rightarrow -2 = -6 + n \Rightarrow n = 4\). Die Gleichung lautet \(y = -3x + 4\). 3. Berechnung der Koordinate \(x\) für Punkt \(C\): Einsetzen von \(y = -11\) in die Gleichung ergibt \(-11 = -3x + 4 \Rightarrow -15 = -3x \Rightarrow x = 5\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(y = -3x + 4\). b) Die fehlende Koordinate ist \(x = 5\).

- Welche Informationen aus dem Text kannst du als Punkte in einem Koordinatensystem darstellen? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Was bedeutet der Wert der Funktion an der Stelle Null für die Kerze? - Wann ist eine Kerze „abgebrannt“ – welchen Wert hat dann die Höhe?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \(P_1(2|15)\) und \(P_2(5|9)\): \(m = \frac{9 - 15}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2\). Die Kerze verliert \(2\,\text{cm}\) pro Stunde. 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): \(15 = -2 \cdot 2 + b \implies b = 19\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 19\). 3. Die Anfangshöhe entspricht \(f(0) = 19\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Nullstelle für das vollständige Abbrennen: \(0 = -2x + 19 \implies 2x = 19 \implies x = 9{,}5\). Die Kerze ist nach \(9{,}5\,\text{Stunden}\) abgebrannt. 5. Der Definitionsbereich im Sachkontext ist \(0 \le x \le 9{,}5\), da die Zeit nicht negativ sein kann und die Höhe nicht unter \(0\,\text{cm}\) sinkt.

1. \(f(x) = -2x + 19\) 2. \(19\,\text{cm}\) 3. Nach \(9{,}5\,\text{Stunden}\) 4. Für \(x \in [0; 9{,}5]\)

- Welcher Wert stellt den Startzustand zum Zeitpunkt Null dar? - Wie viel Wasser verliert die Tonne pro Minute? - Welchen Wert muss die Wassermenge annehmen, wenn die Tonne leer ist?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung \(V(t) = mt + b\): Der Anfangswert bei \(t = 0\) ist \(b = 300\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) mit dem Wertepaar \((40|220)\): \(m = \frac{220 - 300}{40 - 0} = \frac{-80}{40} = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = -2t + 300\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts, an dem die Tonne leer ist: Setze \(V(t) = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(0 = -2t + 300 \Rightarrow 2t = 300 \Rightarrow t = 150\). Die Tonne ist nach \(150\,\text{Minuten}\) leer.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = -2t + 300\). b) Die Tonne ist nach \(150\,\text{Minuten}\) leer.

- Was weißt du über die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu finden? - Welchen Wert musst du für \(f(x)\) einsetzen, um die gesuchte Stelle zu finden?

1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung \(f(x) = mx + b\) mit der gegebenen Steigung \(m = -2\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4|1)\) in die Gleichung \(1 = -2 \cdot 4 + b\), um den \(y\)-Achsenabschnitt zu berechnen: \(1 = -8 + b \Rightarrow b = 9\). 3. Die vollständige Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 9\). 4. Gleichsetzen der Funktion mit dem Zielwert \(11\): \(11 = -2x + 9\). 5. Auflösen nach \(x\): \(2 = -2x \Rightarrow x = -1\).

Der gesuchte Wert ist \(x = -1\).

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Welche Koordinate ist an der Stelle bekannt, an der der Graph die \(y\)-Achse schneidet?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(4 \mid -2)\) in die Funktionsgleichung: \(-2 = 0{,}5 \cdot 4 + n\). 2. Berechnung von \(n\): \(-2 = 2 + n \implies n = -4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x - 4\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -4\), also \(S_y(0 \mid -4)\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(0 = 0{,}5x - 4 \implies 0{,}5x = 4 \implies x = 8\), also \(S_x(8 \mid 0)\).

Der Wert für \(n\) ist \(-4\). Die Schnittpunkte sind \(S_y(0 \mid -4)\) und \(S_x(8 \mid 0)\).

- Welcher Wert stellt den Startzustand zum Zeitpunkt Null dar? - Wie viel Prozent kommen pro Minute hinzu? - Welchen Wert muss die Variable für den Ladestand annehmen, wenn der Akku voll ist? - Überlege dir für die Skizze eine sinnvolle Einteilung der Achsen.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung \(y = mx + b\): Der Anfangswert bei \(x = 0\) ist \(10\,\%\), also \(b = 10\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): In \(24\,\text{Minuten}\) steigt der Wert um \(40 - 10 = 30\) Prozentpunkte. Die Steigung ist \(m = \frac{30}{24} = 1{,}25\). Die Gleichung lautet \(y = 1{,}25x + 10\). 3. Berechnung der Zeit für die vollständige Ladung: Setze \(y = 100\) in die Gleichung ein: \(100 = 1{,}25x + 10\). 4. Lösen nach \(x\): \(90 = 1{,}25x \Rightarrow x = \frac{90}{1{,}25} = 72\). 5. Ergebnis: Der Akku ist nach \(72\,\text{Minuten}\) voll geladen. 6. Graph: Im sinnvollen Modellbereich \(0\le x\le72\) ist der Graph die Gerade durch \((0|10)\), \((24|40)\) und \((72|100)\). Die \(x\)-Achse zeigt die Zeit in Minuten, die \(y\)-Achse den Ladestand in Prozent.

a) \(y = 1{,}25x + 10\) b) Der Akku ist nach \(72\,\text{Minuten}\) voll geladen. c) Der Graph ist im Bereich \(0\le x\le72\) die Gerade durch \((0|10)\), \((24|40)\) und \((72|100)\).

- Überlege dir, wie viel Wasser am Anfang in der Tonne ist. - Wie verändert sich die Menge jede Minute? - Welche mathematische Form hat eine gleichmäßige Abnahme? - Was bedeutet es für den Wert des Volumens, wenn die Tonne leer ist?

1. Aufstellen der linearen Funktion mit Startwert \(150\) und Abnahmerate \(5\): \(V(t) = 150 - 5t\). 2. Interpretation: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(150\) stellt das anfängliche Wasservolumen in Litern dar. Die Steigung \(-5\) gibt an, dass das Volumen pro Minute um \(5\,\text{Liter}\) abnimmt. 3. Berechnung für \(t = 12\): \(V(12) = 150 - 5 \cdot 12 = 150 - 60 = 90\). Das Restvolumen beträgt \(90\,\text{Liter}\). 4. Nullstelle berechnen: \(0 = 150 - 5t \Rightarrow 5t = 150 \Rightarrow t = 30\). Die Tonne ist nach \(30\,\text{Minuten}\) leer.

a) \(V(t) = 150 - 5t\) b) Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Startwert (\(150\,\text{l}\)), die Steigung beträgt \(-5\,\text{l/min}\) und beschreibt die Abnahme durch den Abfluss. c) Nach \(12\,\text{Minuten}\) sind noch \(90\,\text{Liter}\) enthalten. d) Die Tonne ist nach \(30\,\text{Minuten}\) leer.

- Welcher Wert in der Gleichung \(f(x) = mx + c\) gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Wie berechnet man die Steigung \(m\), wenn man weiß, wie viele Einheiten man nach rechts und wie viele nach oben oder unten geht? - Was bedeutet der Begriff „Ursprungsgerade“ für den Wert von \(c\)? - Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Geht es nach oben oder nach unten?

1. Teilaufgabe a): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(c = 2\). Die Steigung ergibt sich aus dem Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung: \(m = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}\). Die Gleichung lautet \(f(x) = -\frac{1}{3}x + 2\). 2. Teilaufgabe b): Der Punkt \(P(0| -1{,}5)\) gibt den \(y\)-Achsenabschnitt \(c = -1{,}5\) an. Die Steigung ist \(m = \frac{2{,}5}{1} = 2{,}5\). Die Gleichung lautet \(f(x) = 2{,}5x - 1{,}5\). 3. Teilaufgabe c): Da es eine Ursprungsgerade ist, gilt \(c = 0\). Die Steigung berechnet sich zu \(m = \frac{3}{4} = 0{,}75\). Die Gleichung lautet \(f(x) = \frac{3}{4}x\) oder \(f(x) = 0{,}75x\).

a) \(f(x) = -\frac{1}{3}x + 2\) b) \(f(x) = 2{,}5x - 1{,}5\) c) \(f(x) = \frac{3}{4}x\) (oder \(f(x) = 0{,}75x\))

- Überlege dir zuerst, welcher Wert fest vorgegeben ist und welcher Wert sich pro Minute ändert. - Was bedeutet „proportional“ für den Graphen oder die Gleichung einer Funktion? - Setze für die Teilaufgaben b) und c) die gegebenen Werte in deine Gleichung ein und löse nach der gesuchten Größe auf.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Das Startguthaben beträgt \(20\,\text{€}\), und pro Minute verringert es sich um \(0{,}12\,\text{€}\). Die Gleichung lautet \(G(t) = 20 - 0{,}12t\). 2. Berechnung für \(t = 45\): \(G(45) = 20 - 0{,}12 \cdot 45 = 20 - 5{,}4 = 14{,}6\). Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung der Zeit für \(G = 5\): Setze \(5 = 20 - 0{,}12t\). Umformen ergibt \(0{,}12t = 15\), also \(t = \frac{15}{0{,}12} = 125\). Nach \(125\) Minuten sind noch \(5\,\text{€}\) vorhanden. 4. Prüfung auf Proportionalität: Eine proportionale Funktion hat die Form \(y = mx\) und geht durch den Ursprung \((0|0)\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt hier \(20\) ist (bei \(t=0\) ist \(G=20\)), ist die Funktion nicht proportional.

a) \(G(t) = 20 - 0{,}12t\) b) Das Restguthaben beträgt \(14{,}60\,\text{€}\). c) Nach \(125\) Minuten. d) Nein, die Funktion ist nicht proportional, da der Graph nicht durch den Koordinatenursprung verläuft (\(G(0) = 20 \neq 0\)).

- Was passiert, wenn du die gegebenen Koordinaten für \(x\) und \(y\) in die Gleichung einsetzt? - Kannst du einen der Koeffizienten frei wählen, um den anderen zu berechnen? - Wie kannst du aus einer fertigen Gleichung neue Lösungen gewinnen?

1. Einsetzen des Zahlenpaars \((x=3, y=-1)\) in die allgemeine Form \(ax + by = 10\) ergibt die Bedingung \(a \cdot 3 + b \cdot (-1) = 10\) bzw. \(3a - b = 10\). 2. Wahl eines ganzzahligen Wertes für \(a\), zum Beispiel \(a = 4\). 3. Berechnung des zugehörigen Wertes für \(b\): \(3 \cdot 4 - b = 10 \Rightarrow 12 - b = 10 \Rightarrow b = 2\). 4. Die resultierende Gleichung lautet \(4x + 2y = 10\). 5. Finden weiterer Lösungen durch Einsetzen beliebiger \(x\)-Werte in diese Gleichung: Für \(x = 0\) folgt \(2y = 10 \Rightarrow y = 5\). Lösung: \((0 | 5)\). Für \(x = 1\) folgt \(4 \cdot 1 + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3\). Lösung: \((1 | 3)\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(4x + 2y = 10\). (Andere Lösungen wie \(3x - y = 10\) oder \(2x - 4y = 10\) sind ebenfalls möglich). b) Für die Gleichung \(4x + 2y = 10\) sind zum Beispiel \((0 | 5)\) und \((1 | 3)\) weitere Lösungen.

- Übersetze den Text Schritt für Schritt in eine Formel: „Das Doppelte von \(x\)“ bedeutet \(2x\). - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten für \(x\) und \(y\) in die Gleichung ein. - Wenn ein Wert gegeben ist, setze ihn an die richtige Stelle in der Gleichung und löse nach der gesuchten Variable auf.

1. Aufstellen der Gleichung: Aus dem Text folgt direkt \(y = 2x + 4\). 2. Punktprobe für \(A(3|10)\): Einsetzen von \(x = 3\) ergibt \(y = 2 \cdot 3 + 4 = 10\). Da \(10 = 10\), liegt der Punkt \(A\) auf der Geraden. 3. Punktprobe für \(B(-2|1)\): Einsetzen von \(x = -2\) ergibt \(y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0\). Da \(0 \neq 1\), liegt der Punkt \(B\) nicht auf der Geraden. 4. Berechnung des \(x\)-Wertes für \(C\): Setze \(y = 15\) in die Gleichung ein: \(15 = 2x + 4\). Subtraktion von \(4\) ergibt \(11 = 2x\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 5{,}5\).

a) \(y = 2x + 4\) b) Der Punkt \(A(3|10)\) liegt auf der Geraden; der Punkt \(B(-2|1)\) liegt nicht auf der Geraden. c) Der \(x\)-Wert des Punktes \(C\) ist \(5{,}5\).

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Welche Eigenschaft muss die Gleichung einer Ursprungsgerade haben?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 5}{-2 - 4} = \frac{-3}{-6} = 0{,}5\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\): Einsetzen von \(A(4 \mid 5)\) in \(y = 0{,}5x + b\) ergibt \(5 = 0{,}5 \cdot 4 + b \Rightarrow 5 = 2 + b \Rightarrow b = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x + 3\). 3. Berechnung der Nullstelle: Setze \(f(x) = 0\). \(0 = 0{,}5x + 3 \Rightarrow -3 = 0{,}5x \Rightarrow x = -6\). Die Nullstelle liegt bei \(x = -6\). 4. Überprüfung des Ursprungs: Eine Gerade verläuft genau dann durch den Ursprung \((0 \mid 0)\), wenn der y-Achsenabschnitt \(b = 0\) ist. Da hier \(b = 3\) gilt, verläuft die Gerade nicht durch den Ursprung.

a) \(f(x) = 0{,}5x + 3\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = -6\). c) Nein, da der y-Achsenabschnitt \(3 \neq 0\) ist.

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie kannst du den fehlenden Parameter bestimmen, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind? - Was weißt du über die x-Koordinate eines Punktes auf der y-Achse? - Was weißt du über die y-Koordinate eines Punktes auf der x-Achse?

1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(m\) und \(P\) in die Funktionsgleichung \(y = mx + n\): \(1 = -0{,}75 \cdot 4 + n \Rightarrow 1 = -3 + n \Rightarrow n = 4\). 2. Die Geradengleichung lautet \(y = -0{,}75x + 4\). 3. Schnittpunkt mit der y-Achse (\(x=0\)): \(y = 4\), also \(S_y(0|4)\). 4. Schnittpunkt mit der x-Achse (\(y=0\)): \(0 = -0{,}75x + 4 \Rightarrow 0{,}75x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{0{,}75} = \frac{4}{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3}\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(\frac{16}{3}|0)\) bzw. \(S_x(5{,}\bar{3}|0)\).

Schnittpunkt mit der y-Achse: \(S_y(0|4)\) Schnittpunkt mit der x-Achse: \(S_x(\frac{16}{3}|0)\) oder \(S_x(5{,}\bar{3}|0)\)

- Wie berechnet man das Verhältnis der vertikalen zur horizontalen Änderung zwischen zwei Punkten? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Was gibt die Steigung über die Steilheit einer Geraden an?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(t\): Einsetzen von \(A(1 | 4)\) in \(y = 3x + t\) ergibt \(4 = 3 \cdot 1 + t\), also \(t = 1\). 3. Funktionsgleichung: \(f(x) = 3x + 1\). 4. Steigung: \(m = 3\). 5. Veränderung bei Halbierung der Steigung: Die neue Steigung ist \(m_{neu} = 1{,}5\). Der Graph verläuft flacher, steigt aber weiterhin an.

a) \(f(x) = 3x + 1\) b) \(m = 3\) c) Der Graph wird flacher (die Steigung nimmt ab).

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle, an der sie die x-Achse schneidet? - Welche Rolle spielt der Parameter \(b\) für die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\): \(m = \frac{1 - (-5)}{1 - (-2)} = \frac{6}{3} = 2\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \((1|1)\) in \(1 = 2 \cdot 1 + b\): \(b = 1 - 2 = -1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x - 1\). 3. Berechnung der Nullstelle durch Lösen von \(2x - 1 = 0\): \(2x = 1 \Rightarrow x = 0{,}5\). 4. Analyse der Veränderung von \(b\): Eine Vergrößerung von \(b\) um \(3\) bewirkt eine Parallelverschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten nach oben entlang der y-Achse.

a) \(f(x) = 2x - 1\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 0{,}5\). c) Der Graph wird um \(3\) Einheiten parallel nach oben verschoben.

- Was ist der Startwert in dieser Situation und wie verändert er sich pro Zeiteinheit? - Überlege dir, welches Vorzeichen die Steigung haben muss, wenn etwas weniger wird. - Welchen Wert muss die Höhe haben, wenn die Kerze „weg“ ist? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der du die gesuchte Höhe einsetzt?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Anfangshöhe ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 20\). Die Abnahme pro Stunde entspricht der Steigung \(m = -2{,}5\). Somit ergibt sich \(h(t) = -2{,}5t + 20\). 2. Berechnung der halben Höhe: Die Anfangshöhe beträgt \(20\,\text{cm}\), die Hälfte ist \(10\,\text{cm}\). Setze \(h(t) = 10\): \(10 = -2{,}5t + 20\). Subtraktion von \(20\) ergibt \(-10 = -2{,}5t\). Division durch \(-2{,}5\) liefert \(t = 4\). Nach \(4\) Stunden ist die Kerze halb so groß. 3. Zeitpunkt des vollständigen Abbrennens: Setze die Höhe \(h(t) = 0\): \(0 = -2{,}5t + 20\). Umstellen ergibt \(2{,}5t = 20\). Division durch \(2{,}5\) führt zu \(t = 8\). Die Kerze ist nach \(8\) Stunden abgebrannt.

a) \(h(t) = -2{,}5t + 20\) b) Nach \(4\) Stunden. c) Nach \(8\) Stunden.

- Überlege dir, welcher Wert den Startzustand beschreibt und wie sich dieser Wert pro Stunde verändert. - Achte beim Aufstellen der Gleichung auf das Vorzeichen der Änderung. - Wenn du einen Zeitpunkt suchst, musst du die Gleichung nach der Zeitvariablen auflösen.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung \(y = mx + b\) mit dem Anfangswert \(b = 22\) und der Änderungsrate \(m = -4\): \(y = -4x + 22\). 2. Einsetzen von \(x = 5{,}5\) in die Gleichung: \(y = -4 \cdot 5{,}5 + 22 = -22 + 22 = 0\). Die Temperatur nach \(5{,}5\) Stunden beträgt \(0\,^\circ\text{C}\). 3. Gleichsetzen der Funktion mit dem Zielwert \(-18\): \(-18 = -4x + 22\). 4. Umstellen der Gleichung nach \(x\): \(-40 = -4x \implies x = 10\). Die Zieltemperatur wird nach \(10\) Stunden erreicht.

1) \(y = -4x + 22\) 2) \(0\,^\circ\text{C}\) 3) Nach \(10\) Stunden.

- Könntest du die Gleichung zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Was musst du tun, damit das \(y\) ganz alleine auf einer Seite der Gleichung steht? - Wie kannst du ein konkretes Zahlenpaar finden, wenn du die Form \(y = \dots\) schon hast? - Stell dir die Gleichung als Gerade im Koordinatensystem vor – wie viele Punkte liegen auf einer Geraden?

1. Klammern auflösen: \(3x + 6y - 5 = 4x + 7y - 2\). 2. Alle Terme mit \(y\) auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite bringen: \(6y - 7y = 4x - 3x - 2 + 5\). 3. Zusammenfassen: \(-y = x + 3\). 4. Nach \(y\) auflösen: \(y = -x - 3\). 5. Beispielhafte Lösungspaare durch Einsetzen von \(x\)-Werten finden: Für \(x = 0\) ergibt sich \(y = -3\), also \((0|-3)\). Für \(x = 1\) ergibt sich \(y = -4\), also \((1|-4)\). 6. Anzahl der Lösungen: Da für jede beliebige reelle Zahl \(x\) genau ein zugehöriges \(y\) berechnet werden kann, gibt es unendlich viele Lösungen. Grafisch entspricht dies allen Punkten auf einer Geraden.

a) \(y = -x - 3\) b) Zum Beispiel \((0|-3)\) und \((1|-4)\). c) Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen, da man für jeden beliebigen Wert von \(x\) einen passenden Wert für \(y\) berechnen kann (die Lösungen bilden eine Gerade).

- Wie viel Wasser wurde im Zeitraum zwischen den beiden Messungen insgesamt verbraucht? - Kannst du aus der Menge und der Anzahl der Tage den Verbrauch für einen einzelnen Tag bestimmen? - Wenn du weißt, wie viel pro Tag verbraucht wird, wie viel war dann vor dem fünften Tag in der Zisterne? - Wie oft passt der Tagesverbrauch in die gesamte Anfangsmenge hinein?

1. Berechnung der Differenz der Wassermenge: \(1200\,\text{l} - 850\,\text{l} = 350\,\text{l}\). 2. Berechnung der vergangenen Zeit zwischen den Messungen: \(12\,\text{Tage} - 5\,\text{Tage} = 7\,\text{Tage}\). 3. Ermittlung des täglichen Verbrauchs: \(350\,\text{l} : 7\,\text{Tage} = 50\,\text{l/Tag}\). 4. Berechnung des Anfangsbestands durch Rückrechnung vom 5. Tag: \(1200\,\text{l} + 5\,\text{Tage} \cdot 50\,\text{l/Tag} = 1450\,\text{l}\). 5. Berechnung der Gesamtdauer bis zur Entleerung: \(1450\,\text{l} : 50\,\text{l/Tag} = 29\,\text{Tage}\).

a) Es werden täglich \(50\,\text{l}\) verbraucht. b) Zu Beginn waren \(1450\,\text{l}\) in der Zisterne. c) Der Vorrat reicht für insgesamt \(29\,\text{Tage}\).

- Wo schneiden die Geraden die senkrechte \(y\)-Achse? Dieser Wert gibt dir direkt den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) an. - Suche dir zwei Punkte auf einer Geraden, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen, und bestimme ihre Koordinatendifferenzen. - Berechne die Steigung \(m\), indem du den Höhenunterschied durch den Breitenunterschied teilst. Achte dabei auf das Vorzeichen: Fällt die Gerade von links nach rechts oder steigt sie? - Setze deine ermittelten Werte für \(m\) und \(b\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + b\) ein.

1. Gerade \(f\): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid -1)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist somit \(b_1 = -1\). Um die Steigung \(m_1\) zu bestimmen, nutzen wir ein Steigungsdreieck, zum Beispiel zwischen den Punkten \((0 \mid -1)\) und \((2 \mid 0)\). Geht man \(2\) Einheiten nach rechts, so muss man \(1\) Einheit nach oben gehen: \(m_1 = \frac{1}{2} = 0{,}5\) Die Funktionsgleichung lautet somit: \(f(x) = 0{,}5x - 1\) 2. Gerade \(g\): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 3)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist somit \(b_2 = 3\). Um die Steigung \(m_2\) zu bestimmen, nutzen wir das Steigungsdreieck zwischen den Punkten \((0 \mid 3)\) und \((2 \mid 0)\). Geht man \(2\) Einheiten nach rechts, so muss man \(3\) Einheiten nach unten gehen: \(m_2 = -\frac{3}{2} = -1{,}5\) Die Funktionsgleichung lautet somit: \(g(x) = -1{,}5x + 3\)

a) \(b_1 = -1\), \(m_1 = 0{,}5\); die Funktionsgleichung von \(f\) lautet \(f(x) = 0{,}5x - 1\). b) \(b_2 = 3\), \(m_2 = -1{,}5\); die Funktionsgleichung von \(g\) lautet \(g(x) = -1{,}5x + 3\).

- Kannst du die genauen Koordinaten der beiden markierten Punkte auf jeder Geraden ablesen? - Wie berechnet man die Steigung \(m\) mithilfe von zwei gegebenen Punkten? Erinnere dich an die Formel für das Steigungsdreieck. - Wo schneidet die Gerade die \(y\)-Achse? Dieser Wert entspricht dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). - Setze die ermittelten Werte für \(m\) und \(t\) am Ende in die allgemeine Form \(y = mx + t\) ein.

1. **Gerade \(f\):** - Die zwei markierten Punkte sind \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(3 \mid 1)\). - Da der Punkt \(P_1\) auf der \(y\)-Achse liegt, lässt sich der \(y\)-Achsenabschnitt direkt ablesen: \(t = -1\). - Die Steigung \(m\) wird mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) berechnet: \(m = \frac{1 - (-1)}{3 - 0} = \frac{2}{3}\). - Die Funktionsgleichung für \(f\) lautet somit: \(y = \frac{2}{3}x - 1\). 2. **Gerade \(g\):** - Die zwei markierten Punkte sind \(Q_1(-1 \mid 3)\) und \(Q_2(1 \mid -1)\). - Die Steigung \(m\) wird berechnet durch: \(m = \frac{-1 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2\). - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1)\), woraus sich \(t = 1\) ergibt. (Alternativ durch Einsetzen eines Punktes in \(y = -2x + t\): \(-1 = -2 \cdot 1 + t \implies t = 1\)). - Die Funktionsgleichung für \(g\) lautet somit: \(y = -2x + 1\).

Gerade \(f\): \(m = \frac{2}{3}\), \(t = -1\), \(y = \frac{2}{3}x - 1\); Gerade \(g\): \(m = -2\), \(t = 1\), \(y = -2x + 1\).

- Bestimme zuerst für jede Gerade den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\), indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der senkrechten \(y\)-Achse abliest. - Suche dir für jede Gerade zwei Punkte, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen, und bestimme ihre Koordinatendifferenzen. - Berechne die Steigung \(m\) mit der Formel \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\), wobei \(\Delta y\) der Höhenunterschied und \(\Delta x\) der Breitenunterschied ist. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Wenn eine Gerade von links nach rechts fällt, ist die Steigung negativ.

1. Gerade \(f\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1)\), also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\). Mit einem weiteren gut ablesbaren Punkt wie \((2 \mid 4)\) erhalten wir ein Steigungsdreieck mit \(\Delta x = 2\) und \(\Delta y = 3\). Daraus berechnet sich die Steigung \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Die Geradengleichung lautet somit \(y = 1{,}5x + 1\) bzw. \(y = \frac{3}{2}x + 1\). 2. Gerade \(g\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid -2)\), also ist \(b = -2\). Mit dem Punkt \((2 \mid -3)\) ergibt sich ein Steigungsdreieck mit \(\Delta x = 2\) und \(\Delta y = -1\). Die Steigung ist \(m = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). Die Geradengleichung lautet somit \(y = -0{,}5x - 2\) bzw. \(y = -\frac{1}{2}x - 2\). 3. Gerade \(h\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 3)\), also ist \(b = 3\). Mit dem Schnittpunkt auf der \(x\)-Achse bei \((3 \mid 0)\) ergibt sich ein Steigungsdreieck mit \(\Delta x = 3\) und \(\Delta y = -3\). Die Steigung ist \(m = \frac{-3}{3} = -1\). Die Geradengleichung lautet somit \(y = -x + 3\).

Gerade \(f\): \(y = 1{,}5x + 1\) (oder \(y = \frac{3}{2}x + 1\)); Gerade \(g\): \(y = -0{,}5x - 2\) (oder \(y = -\frac{1}{2}x - 2\)); Gerade \(h\): \(y = -x + 3\).

- Überlege zuerst, wie du aus zwei gegebenen Punkten die Steigung berechnen kannst. - Wenn du die Steigung kennst, kannst du einen der Punkte nutzen, um den fehlenden Teil der Gleichung zu finden. - Achte beim Ablesen der Punkte genau auf die Achseneinteilung. - Überprüfe am Ende, ob deine berechnete Gerade auch wirklich durch beide Punkte verläuft.

1. Koordinaten der Punkte aus der Grafik oder dem Kontext entnehmen: \(P_1(1 \mid 5)\) und \(P_2(4 \mid -1)\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) mit dem Differenzenquotienten: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 5}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2\). 3. Den Punkt \(P_1(1 \mid 5)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + b\) einsetzen, um \(b\) zu bestimmen: \(5 = -2 \cdot 1 + b \Rightarrow 5 = -2 + b \Rightarrow b = 7\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(g(x) = -2x + 7\).

a) Die Steigung beträgt \(m = -2\). b) Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = 7\). c) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -2x + 7\).

- Schau dir an, wo jede Gerade die senkrechte Achse schneidet. - Nutze ein Steigungsdreieck, um zu sehen, wie weit du nach oben oder unten gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst. - Überlege, welcher Teil der Funktionsgleichung den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bestimmt.

1. Bestimmung der Steigung \(m\) und des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\) für jede Gerade: - \(g_1\): Verläuft durch \((0 \mid 2)\) und \((2 \mid 4)\). Steigung \(m = \frac{4 - 2}{2 - 0} = 1\), also \(y = x + 2\). - \(g_2\): Verläuft durch \((0 \mid 2)\) und \((1 \mid 0)\). Steigung \(m = \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\), also \(y = -2x + 2\). - \(g_3\): Verläuft durch \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 4)\). Steigung \(m = \frac{4 - 2}{4 - 0} = 0{,}5\), also \(y = 0{,}5x + 2\). - \(g_4\): Verläuft durch \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 0)\). Steigung \(m = \frac{0 - 2}{4 - 0} = -0{,}5\), also \(y = -0{,}5x + 2\). 2. Vergleich: Alle Geraden haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 2\), sie schneiden sich also alle im Punkt \((0 \mid 2)\).

Die Funktionsgleichungen lauten \(g_1: y = x + 2\), \(g_2: y = -2x + 2\), \(g_3: y = 0{,}5x + 2\) und \(g_4: y = -0{,}5x + 2\). Alle Geraden haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 2\).

- Wo schneidet die Gerade die senkrechte Achse? Das ist dein Startwert \(b\). - Wie viele Einheiten musst du nach oben oder unten gehen, wenn du eine Einheit nach rechts gehst? Das ist die Steigung \(m\). - Du kannst auch zwei Punkte auf der Geraden wählen und die Differenz der \(y\)-Werte durch die Differenz der \(x\)-Werte teilen.

1. Bestimmung der Gleichung für \(g\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = -2\). Mit dem Steigungsdreieck zwischen \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 1)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{1 - (-2)}{2 - 0} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(y = 1{,}5x - 2\), die Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto 1{,}5x - 2\). 2. Bestimmung der Gleichung für \(h\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = 3\). Mit dem Steigungsdreieck zwischen \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{0 - 3}{3 - 0} = -1\). Die Funktionsgleichung lautet \(y = -x + 3\), die Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto -x + 3\).

Gerade \(g\): \(y = 1{,}5x - 2\), Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto 1{,}5x - 2\); Gerade \(h\): \(y = -x + 3\), Zuordnungsvorschrift \(x \mapsto -x + 3\).

- Eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft, hat immer die Form \(y = c\). - Achte bei den anderen Geraden darauf, ob sie steigen oder fallen, um das richtige Vorzeichen für die Steigung zu finden.

1. Gerade \(f\): Die Gerade verläuft horizontal durch den Wert \(2\) auf der \(y\)-Achse. Die Steigung ist \(0\). Die Gleichung lautet \(y = 2\). 2. Gerade \(g\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = 1\). Geht man \(1\) Einheit nach rechts, muss man \(1\) Einheit nach unten gehen, um wieder auf der Geraden zu sein. Die Steigung ist also \(m = -1\). Die Gleichung lautet \(y = -x + 1\). 3. Gerade \(h\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = -3\). Geht man \(3\) Einheiten nach rechts, muss man \(3\) Einheiten nach oben gehen, also ist die Steigung \(m = \frac{3}{3} = 1\). Die Gleichung lautet \(y = x - 3\).

\(f: y = 2\); \(g: y = -x + 1\); \(h: y = x - 3\).

- Bestimme den Punkt, an dem die Gerade die vertikale Achse schneidet. Das ist dein \(c\). - Suche dir zwei Punkte auf der Geraden, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen. - Stelle dir gedanklich ein Dreieck zwischen diesen zwei Punkten vor, um zu sehen, wie weit du nach rechts und wie weit du nach oben oder unten gehen musst.

1. Ablesen des \(y\)-Achsenabschnitts: Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 1)\). Somit ist \(c = 1\). 2. Bestimmung der Steigung \(m\): Geht man vom Punkt \((0 \mid 1)\) zwei Einheiten nach rechts, muss man eine Einheit nach oben gehen, um wieder auf die Gerade zu gelangen (Punkt \((2 \mid 2)\)). Die Steigung berechnet sich zu \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2 - 1}{2 - 0} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit \(m = 0{,}5\) und \(c = 1\) ergibt sich \(y = 0{,}5x + 1\).

a) \(c = 1\) b) \(m = 0{,}5\) c) \(y = 0{,}5x + 1\)

- Schau dir zuerst genau an, welchen Wert ein Kästchen auf der waagerechten und der senkrechten Achse darstellt. - Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen, um die Steigung zu bestimmen. - Der Schnittpunkt mit der senkrechten Achse gibt dir direkt den Startwert der Funktion an. - Setze für die Berechnung den gesuchten Zeitwert einfach für die Variable in deine Funktionsgleichung ein.

1. Ablesen zweier Punkte aus dem Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Skalierung: \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 20)\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{20 - 10}{4 - 0} = \frac{10}{4} = 2{,}5\). 3. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): Da der Graph die \(y\)-Achse bei \(10\) schneidet, ist \(b = 10\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(V(t) = 2{,}5t + 10\). 5. Berechnung des Wertes für \(t = 6\): \(V(6) = 2{,}5 \cdot 6 + 10 = 15 + 10 = 25\). 6. Überprüfung am Graphen: Der Punkt \((6 \mid 25)\) liegt auf der Geraden.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 2{,}5t + 10\). b) Nach \(6\,\text{min}\) befinden sich \(25\,\text{l}\) Wasser im Behälter.

- Der Schnittpunkt beider Geraden ist ein guter Punkt, um die Steigung zu berechnen. - Achte auf die Symmetrie der beiden Geraden im Bild.

1. Gerade \(f\): - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(n = -2\). - Steigung \(m\): Geht man 2 Einheiten nach rechts, geht man 3 Einheiten nach oben zum Punkt \((2 \mid 1)\). Also \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\). - Gleichung: \(y = 1{,}5x - 2\). 2. Gerade \(g\): - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(n = 4\). - Steigung \(m\): Geht man 2 Einheiten nach rechts, geht man 3 Einheiten nach unten zum Punkt \((2 \mid 1)\). Also \(m = \frac{-3}{2} = -1{,}5\). - Gleichung: \(y = -1{,}5x + 4\).

Gerade \(f\): \(m = 1{,}5\), \(n = -2\); Gerade \(g\): \(m = -1{,}5\), \(n = 4\).

- Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie verändert sich der \(y\)-Wert bei der Geraden \(b\), wenn du dich auf der \(x\)-Achse bewegst?

1. Gerade \(a\): Diese Gerade verläuft horizontal. Das bedeutet, die Steigung ist \(m = 0\). Sie schneidet die \(y\)-Achse bei \(n = -3\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(y = -3\). 2. Gerade \(b\): - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(n = 2\). - Zur Bestimmung der Steigung wählen wir die Punkte \((0 \mid 2)\) und \((-1 \mid 5)\). Die Steigung ist \(m = \frac{5 - 2}{-1 - 0} = \frac{3}{-1} = -3\). - Die Funktionsgleichung lautet \(y = -3x + 2\).

Gerade \(a\): \(y = -3\) (mit \(m = 0\) und \(n = -3\)); Gerade \(b\): \(y = -3x + 2\) (mit \(m = -3\) und \(n = 2\)).

- Überprüfe für jede Gerade zuerst, ob sie eine besondere Lage im Koordinatensystem hat (waagrecht, senkrecht oder durch den Ursprung). - Bei schrägen Geraden kannst du die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen. - Achte darauf, wo die Geraden die Achsen schneiden.

1. Gerade \(f\): Es handelt sich um eine Ursprungsgerade. Sie verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und den Punkt \((2 \mid 3)\). Die Steigung ist \(m = \frac{3-0}{2-0} = 1{,}5\). Somit lautet die Gleichung \(f(x) = 1{,}5x\). 2. Gerade \(g\): Diese Gerade verläuft parallel zur \(x\)-Achse und schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\). Die Gleichung ist \(y = -2\). 3. Gerade \(h\): Diese Gerade verläuft parallel zur \(y\)-Achse und schneidet die \(x\)-Achse bei \(-4\). Die Gleichung ist \(x = -4\).

Die Gleichungen lauten \(f: y = 1{,}5x\), \(g: y = -2\) und \(h: x = -4\).

- Wo schneiden die Geraden die vertikale \(y\)-Achse? Dieser Wert entspricht dem Parameter \(c\). - Bestimme an zwei Gitterpunkten die Höhen- und Breitenänderung, um \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) zu berechnen. - Achte darauf, ob die Gerade steigt (positive Steigung) oder fällt (negative Steigung). - Suche dir Punkte, die genau auf den Gitterlinien liegen, um exakte Werte abzulesen.

1. Bestimmung von \(f\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(2\), also ist \(c = 2\). Um die Steigung \(m\) zu finden, betrachten wir ein Steigungsdreieck zwischen \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 3)\). Die Änderung in \(y\) beträgt \(1\), die in \(x\) beträgt \(4\). Somit ist \(m = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}25x + 2\). 2. Bestimmung von \(g\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(1\), also ist \(c = 1\). Mit dem Punkt \((4 \mid -2)\) berechnet man die Steigung: \(m = \frac{-2 - 1}{4 - 0} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -0{,}75x + 1\).

\(f(x) = 0{,}25x + 2\) und \(g(x) = -0{,}75x + 1\)

- Was passiert mit der Höhe, wenn die Zeit verstreicht? Startet die Höhe bei Null? - Wie viel Zentimeter verliert die Kerze in einer einzigen Stunde? - Kannst du eine Formel schreiben, die mit der Anfangshöhe beginnt?

1. Prüfung der Proportionalität: Eine proportionale Zuordnung müsste bei \(0\,\text{h}\) den Wert \(0\,\text{cm}\) haben. Hier ist die Höhe bei \(0\,\text{h}\) jedoch \(30\,\text{cm}\). Die Zuordnung ist daher nicht proportional. 2. Berechnung der Abnahmerate: In \(4\,\text{h}\) verliert die Kerze \(30\,\text{cm} - 22\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Rate beträgt \(8\,\text{cm} : 4\,\text{h} = 2\,\text{cm/h}\). 3. Aufstellen des Terms: Nach \(x\) Stunden wurden insgesamt \(2x\) Zentimeter abgebrannt. Daher gilt \(h(x) = 30 - 2x\) für \(0 \le x \le 15\). 4. Berechnung für \(x = 7{,}5\): \(h(7{,}5) = 30 - 2 \cdot 7{,}5 = 30 - 15 = 15\). Die Höhe beträgt \(15\,\text{cm}\).

a) Die Zuordnung ist nicht proportional, da sie nicht durch den Ursprung \((0|0)\) verläuft: Zu Beginn ist die Kerze \(30\,\text{cm}\) hoch. b) Solange die Kerze brennt, gilt \(h(x) = 30 - 2x\) für \(0 \le x \le 15\). c) Nach \(7{,}5\,\text{Stunden}\) ist die Kerze noch \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Was weißt du über den Funktionswert an einer Nullstelle? Nutze dies, um die fehlende Zahl in der Gleichung zu finden. - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die Funktionsgleichung und der \(x\)-Wert bekannt sind? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Funktionen für denselben \(x\)-Wert.

1. Bestimmung von \(b\): Da die Nullstelle bei \(x = -2\) liegt, gilt \(p(-2) = 0\). \(3 \cdot (-2) + b = 0 \Rightarrow -6 + b = 0 \Rightarrow b = 6\). Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = 3x + 6\). 2. Berechnung des Punktes \(P\): Berechne \(p(1)\). \(p(1) = 3 \cdot 1 + 6 = 9\). Der Punkt ist \(P(1|9)\). 3. Vergleich mit \(q\): Berechne den Funktionswert \(q(1)\). \(q(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3\). 4. Da \(9 > 3\), liegt der Punkt \(P\) oberhalb des Graphen der Funktion \(q\).

a) Der Parameter ist \(b = 6\). b) Der Punkt \(P(1|9)\) liegt oberhalb des Graphen von \(q\), da \(p(1) = 9\) und \(q(1) = 3\).

- Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Überlege dir die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks und welche Größen gegeben sind. - Wenn du zwei Punkte des Graphen kennst (den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die Nullstelle), wie berechnest du dann die Steigung?

1. Da der Punkt \(P(0 \mid 6)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 6\). 2. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks im ersten Quadranten wird durch \(A = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot n\) berechnet, wobei \(x_0\) die Nullstelle ist. 3. Einsetzen der bekannten Werte: \(15 = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot 6 \Rightarrow 15 = 3x_0 \Rightarrow x_0 = 5\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\). 4. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \((0 \mid 6)\) und \((5 \mid 0)\): \(m = \frac{0 - 6}{5 - 0} = -1{,}2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -1{,}2x + 6\).

a) Die Nullstelle der Funktion \(g\) ist \(x = 5\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -1{,}2x + 6\).

- Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Welche Koordinate ist an der Stelle, wo der Graph die \(x\)-Achse kreuzt, immer Null? - Setze alle bekannten Werte in die allgemeine Form ein, um den fehlenden Parameter zu finden.

1. Ansatz für die Funktionsgleichung mit der gegebenen Steigung: \(g(x) = -0{,}75x + c\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 4\) entspricht dem Punkt \(P(4|0)\). 3. Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in die Funktionsgleichung: \(0 = -0{,}75 \cdot 4 + c\). 4. Berechnung des Produkts: \(-0{,}75 \cdot 4 = -3\). 5. Auflösen der Gleichung \(0 = -3 + c\) ergibt \(c = 3\). 6. Die vollständige Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -0{,}75x + 3\).

a) \(c = 3\) b) \(g(x) = -0{,}75x + 3\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die gegebenen Informationen in die allgemeine Geradengleichung einsetzen? - Vergleiche die beiden Funktionsgleichungen. Welcher Teil ist identisch und welcher unterscheidet sich?

1. Berechnung von \(c\): Da die Nullstelle bei \(x = 6\) liegt, gilt \(f(6) = 0\). Einsetzen ergibt \(0{,}5 \cdot 6 + c = 0 \Rightarrow 3 + c = 0 \Rightarrow c = -3\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Da \(c = -3\), ist \(f(0) = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-3)\). 3. Vergleich der Graphen: \(g(x) = 0{,}5x\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Da \(f(x) = 0{,}5x - 3\) ist, wurde der Graph von \(g\) um \(3\) Einheiten entlang der \(y\)-Achse nach unten verschoben.

a) \(c = -3\). b) Der Schnittpunkt liegt bei \((0|-3)\). c) Man muss den Graphen von \(g\) um \(3\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung) verschieben.

- Achte genau auf die Richtungen im Steigungsdreieck: „nach links“ bedeutet eine negative Änderung in x-Richtung. - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Setze die Koordinaten des Punktes für \( x \) und \( y \) in die Grundformel ein.

1. Bestimmung der Steigung \( m \): „5 Einheiten nach links“ bedeutet \( \Delta x = -5 \). „2 Einheiten nach oben“ bedeutet \( \Delta y = 2 \). Daraus folgt \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{-5} = -0{,}4 \). 2. Berechnung von \( b \): Einsetzen von \( m = -0{,}4 \) und dem Punkt \( P(2 | 1) \) in die Formel \( y = mx + b \). 3. Rechnung: \( 1 = -0{,}4 \cdot 2 + b \). Dies ergibt \( 1 = -0{,}8 + b \). 4. Auflösen nach \( b \): \( b = 1 + 0{,}8 = 1{,}8 \). 5. Funktionsgleichung: \( h(x) = -0{,}4x + 1{,}8 \).

Die Steigung ist \( m = -0{,}4 \), der y-Achsenabschnitt ist \( b = 1{,}8 \). Die Gleichung lautet \( h(x) = -0{,}4x + 1{,}8 \).

- Wenn zwei Geraden parallel sind, was wissen wir dann über ihr \(m\)? - Überlege dir bei einer horizontalen Geraden: Ändert sich der \(y\)-Wert, wenn du auf der Geraden nach links oder rechts gehst? - Führe die Änderungen Schritt für Schritt nacheinander an den Werten für \(m\) und \(t\) durch.

1. Parallelität zu \(p(x) = -4x + 10\) bedeutet gleiche Steigung, also \(m = -4\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(q(x) = 0{,}5x - 2\) ist \(t = -2\). Somit lautet die Gleichung \(h(x) = -4x - 2\). 2. Eine horizontale Gerade hat die Steigung \(m = 0\). Wenn sie durch den Punkt \(P(5|3)\) verläuft, muss der \(y\)-Wert für alle \(x\) gleich \(3\) sein, also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 3\). 3. Die Ausgangsfunktion ist \(f(x) = 1 \cdot x + 0\). Verdopplung der Steigung führt zu \(m = 1 \cdot 2 = 2\). Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten bedeutet \(t = 0 - 3 = -3\). Die neue Gleichung ist \(h(x) = 2x - 3\).

a) \(h(x) = -4x - 2\) b) \(m = 0\) und \(t = 3\); Gleichung: \(h(x) = 3\) c) \(h(x) = 2x - 3\)

- Was bedeutet es für die Steigung einer Geraden, wenn sie parallel zur horizontalen Achse verläuft? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden Teil einer Funktionsgleichung zu berechnen? - Überlege, was passieren muss, damit zwei Geraden nicht nur parallel sind, sondern genau aufeinanderliegen.

1. Aufstellen der Gleichungen: \(g: y = 1{,}5x - 2\) \(h\): Gleiche Steigung \(m=1{,}5\), Achsenabschnitt \(n=4 \implies y = 1{,}5x + 4\) \(i\): Gleiche Steigung \(m=1{,}5\), Punkt \(P(2|1)\) einsetzen: \(1 = 1{,}5 \cdot 2 + n \implies 1 = 3 + n \implies n = -2\). Somit \(y = 1{,}5x - 2\) \(j\): Parallel zur \(x\)-Achse bedeutet \(m=0\), gleicher Achsenabschnitt wie \(g\) bedeutet \(n=-2 \implies y = -2\) 2. Vergleich: \(g\) und \(i\) haben dieselbe Gleichung, sie sind identisch. \(h\) hat dieselbe Steigung wie \(g\) und \(i\), ist also parallel zu beiden. \(j\) hat eine andere Steigung (\(0\)) und ist zu keiner der anderen Geraden parallel.

Die Gleichungen lauten: \(h: y = 1{,}5x + 4\), \(i: y = 1{,}5x - 2\) und \(j: y = -2\). Die Geraden \(g\) und \(i\) sind identisch. Die Gerade \(h\) ist zu \(g\) und \(i\) echt parallel. Die Gerade \(j\) ist zu keiner dieser Geraden parallel.

- Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden y-Achsenabschnitt zu berechnen? - Welche x-Werte sind bei einem Drittel-Bruch besonders praktisch? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt zu einer Geraden gehört?

1. Funktionsgleichung bestimmen: Ansatz \(y = mx + n\). Setze \(m = -\frac{2}{3}\) und die Koordinaten von \(A(3|1)\) ein: \(1 = -\frac{2}{3} \cdot 3 + n\) \(1 = -2 + n\) \(n = 3\). Die Gleichung lautet \(p(x) = -\frac{2}{3}x + 3\). 2. Weiteren ganzzahligen Punkt finden: Wähle einen \(x\)-Wert, der durch \(3\) teilbar ist (z. B. \(x=0\) oder \(x=6\)). Für \(x = 0\): \(y = -\frac{2}{3} \cdot 0 + 3 = 3\). Punkt \(B(0|3)\). 3. Punktprobe für \(C(-6|7)\): Setze \(x = -6\) in die Funktionsgleichung ein. \(y = -\frac{2}{3} \cdot (-6) + 3 = 4 + 3 = 7\). Da das Ergebnis mit der \(y\)-Koordinate von \(C\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) \(p(x) = -\frac{2}{3}x + 3\) b) Ein möglicher Punkt ist \(B(0|3)\). c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf dem Graphen, da \(p(-6) = 7\) gilt.

- Was verrät dir ein Punkt der Form \((0 \mid y)\) direkt über die Funktionsgleichung? - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden? - Welchen Wert muss die y-Koordinate an der Nullstelle haben?

1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\): Da der Punkt \(C(0 \mid 4)\) auf der y-Achse liegt, ist \(b = 4\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 4}{5 - 0} = -\frac{2}{5} = -0{,}4\). 3. Funktionsgleichung: \(y = -0{,}4x + 4\). 4. Berechnung der Nullstelle: Setze \(y = 0\): \(0 = -0{,}4x + 4 \Rightarrow 0{,}4x = 4 \Rightarrow x = 10\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 10\).

a) \(y = -0{,}4x + 4\) b) \(x = 10\)

- Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt? - Was bedeutet es grafisch und rechnerisch, wenn ein dritter Punkt auf derselben Geraden wie zwei andere Punkte liegt?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen von \(P(1 \mid 2)\): \(2 = 0{,}5 \cdot 1 + b \Rightarrow 2 = 0{,}5 + b \Rightarrow b = 1{,}5\). 3. Geradengleichung: \(y = 0{,}5x + 1{,}5\). 4. Punktprobe für \(R(7 \mid 5)\): Setze \(x = 7\) in die Gleichung ein: \(y = 0{,}5 \cdot 7 + 1{,}5 = 3{,}5 + 1{,}5 = 5\). Da der berechnete y-Wert mit der y-Koordinate von \(R\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(y = 0{,}5x + 1{,}5\) b) Ja, \(R\) liegt auf der Geraden, da die Punktprobe \(5 = 0{,}5 \cdot 7 + 1{,}5\) eine wahre Aussage ergibt.

- Welche Information über die Steigung liefert dir die Parallelität? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst?

1. Die Gerade \(k\) ist parallel zu \(h\), daher ist die Steigung \(m = -1{,}5\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 4\) entspricht dem Punkt \(P(4|0)\). 3. Einsetzen von \(m\) und \(P\) in \(y = mx + b\): \(0 = -1{,}5 \cdot 4 + b\). 4. Berechnung von \(b\): \(0 = -6 + b \implies b = 6\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(y = -1{,}5x + 6\).

\(y = -1{,}5x + 6\)

- Bestimme zuerst die Steigung der ersten Geraden. - Nutze die Parallelität, um die Steigung der zweiten Geraden festzulegen. - Wie sieht die Funktionsgleichung aus, wenn du Steigung und Achsenabschnitt bereits kennst? - Wie kannst du den \(y\)-Wert eines Punktes berechnen, wenn du den \(x\)-Wert und die Funktionsgleichung hast?

1. Berechnung der Steigung von \(g_1\): \(m = \frac{-2 - 7}{1 - (-2)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. Da \(g_1 \parallel g_2\), ist die Steigung von \(g_2\) ebenfalls \(m = -3\). 3. Mit dem gegebenen \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\) ergibt sich für \(g_2\) die Gleichung \(y = -3x + 1\). 4. Einsetzen der \(x\)-Koordinate von \(E(3|y_E)\) in die Gleichung von \(g_2\): \(y_E = -3 \cdot 3 + 1\). 5. Berechnung des Ergebniswertes: \(y_E = -9 + 1 = -8\).

a) \(y = -3x + 1\) b) \(y_E = -8\)

- Überlege dir zuerst, ob die Steigung positiv oder negativ sein muss, wenn etwas weniger wird. - Welchen Wert hat die Zeit \(t\) genau in dem Moment, in dem die Kerze angezündet wird? - Welche Information im Text gibt dir einen Punkt (Wertepaar) für deine Rechnung?

1. Die Änderungsrate pro Stunde entspricht der Steigung \(m\). Da die Kerze kürzer wird, ist \(m = -2{,}5\). 2. Der Zustand nach \(3\) Stunden entspricht dem Punkt \((3 | 18)\). 3. Einsetzen von \(m\), \(t\) und \(h\) in die Form \(h(t) = mt + b\), um den Startwert \(b\) zu finden: \(18 = -2{,}5 \cdot 3 + b\). 4. Ausrechnen: \(18 = -7{,}5 + b \Rightarrow b = 25{,}5\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -2{,}5t + 25{,}5\). 6. Die Anfangshöhe entspricht dem Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\), also dem y-Achsenabschnitt \(b = 25{,}5\,\text{cm}\).

a) \(h(t) = -2{,}5t + 25{,}5\) b) \(25{,}5\,\text{cm}\)

- Wie gehst du vor, um den y-Achsenabschnitt zu finden, wenn Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Was ist das besondere Merkmal eines Punktes, der auf der \(x\)-Achse liegt? Welchen Wert hat dort \(y\)?

1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(m = -2\) und \(A(4 | 6)\) in \(y = mx + b\): \(6 = -2 \cdot 4 + b\). 2. Berechnung: \(6 = -8 + b \Rightarrow b = 14\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -2x + 14\). 3. Zur Berechnung der Nullstelle wird der Funktionswert gleich Null gesetzt: \(0 = -2x + 14\). 4. Auflösen nach \(x\): \(2x = 14 \Rightarrow x = 7\). Die Nullstelle ist \(x = 7\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(7 | 0)\).

a) \(f(x) = -2x + 14\) b) Die Nullstelle ist \(x = 7\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(7 | 0)\).

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander sind? - Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt von Gerade \(g\) direkt aus den gegebenen Punkten ablesen? - Wie ist ein Punkt auf der \(x\)-Achse mathematisch definiert?

1. Gerade \(g\): Da \(P(0 \mid 3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(n_g = 3\). Die Steigung ist \(m_g = \frac{5 - 3}{4 - 0} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Gleichung: \(g(x) = 0{,}5x + 3\). 2. Gerade \(h\): Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_h = m_g = 0{,}5\). Einsetzen von \(R(2 \mid 1)\) in \(y = 0{,}5x + n_h\) ergibt \(1 = 0{,}5 \cdot 2 + n_h \Rightarrow 1 = 1 + n_h \Rightarrow n_h = 0\). Gleichung: \(h(x) = 0{,}5x\). 3. Nullstelle von \(h\): Setze \(h(x) = 0\). \(0 = 0{,}5x \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle ist \(x = 0\); der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(0 \mid 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(g(x) = 0{,}5x + 3\) und \(h(x) = 0{,}5x\). b) Die Nullstelle ist \(x = 0\); die Gerade \(h\) schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung bei \(S_x(0 \mid 0)\).

- Schau dir die Formel für die Steigung \(m\) genau an. Was gehört in den Zähler, was in den Nenner? - Überprüfe, ob die Differenzen der Koordinaten in der richtigen Reihenfolge subtrahiert wurden. - Wie gehst du vor, wenn du die richtige Steigung gefunden hast, um den Rest der Gleichung zu bestimmen?

1. Fehleranalyse: Der Schüler hat im Bruch Zähler und Nenner vertauscht. Er hat \(\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}\) statt \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) gerechnet. 2. Korrekte Steigung: \(m = \frac{1 - 5}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2\). 3. Korrekter \(y\)-Achsenabschnitt: Einsetzen von \(C(2 \mid 5)\) in \(y = -2x + n\) ergibt \(5 = -2 \cdot 2 + n \Rightarrow 5 = -4 + n \Rightarrow n = 9\). 4. Die korrekte Gleichung lautet \(y = -2x + 9\).

Der Schüler hat die Differenz der x-Werte durch die Differenz der y-Werte geteilt, anstatt umgekehrt. Die korrekte Funktionsgleichung lautet \(y = -2x + 9\).

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn Punkte auf einer Geraden liegen, muss die Steigung zwischen jedem beliebigen Paar dieser Punkte gleich sein. - Kannst du zuerst eine Funktionsgleichung aus den ersten beiden Punkten erstellen? - Was weißt du über den Punkt \(C\), wenn er die Funktionsgleichung erfüllen muss?

1. Berechnung der Steigung \(m\) zwischen den Punkten \(A\) und \(B\): \(m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(A(1 | 4)\) in die Form \(y = mx + n\): \(4 = 3 \cdot 1 + n \implies n = 1\). 3. Aufstellen der Geradengleichung: \(y = 3x + 1\). 4. Einsetzen des y-Werts von Punkt \(C\) (\(y = 19\)) in die Gleichung: \(19 = 3x + 1\). 5. Auflösen nach \(x\): \(18 = 3x \implies x = 6\).

Die x-Koordinate von Punkt \(C\) ist \(6\).

- Du kannst nacheinander die Steigungen zwischen benachbarten Punkten prüfen. - Sobald sich eine Steigung ändert, hast du den „Ausreißer“ fast schon gefunden. - Wie kannst du den y-Achsenabschnitt besonders schnell ablesen, wenn ein Punkt auf der y-Achse gegeben ist? - Nutze zwei der Punkte, die auf der Geraden liegen, um die allgemeine Form \(y = mx + b\) aufzustellen.

1. Berechnung der Steigung zwischen \(S\) und \(T\): \(m_{ST} = \frac{-1 - (-7)}{0 - (-2)} = \frac{6}{2} = 3\). 2. Berechnung der Steigung zwischen \(T\) und \(U\): \(m_{TU} = \frac{2 - (-1)}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3\). Da die Steigungen gleich sind, liegen \(S\), \(T\) und \(U\) auf einer Geraden. 3. Überprüfung von \(V(3 | 7)\) durch Berechnung der Steigung zu \(U\): \(m_{UV} = \frac{7 - 2}{3 - 1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Da \(2{,}5 \neq 3\), liegt \(V\) nicht auf der Geraden. 4. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\): Aus Punkt \(T(0 | -1)\) folgt direkt \(n = -1\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung mit \(m = 3\) und \(n = -1\): \(y = 3x - 1\).

Der Punkt \(V(3 | 7)\) liegt nicht auf der Geraden. Die Funktionsgleichung der Geraden, auf der die Punkte \(S\), \(T\) und \(U\) liegen, lautet \(y = 3x - 1\).

- Was gibt die Steigung in diesem Beispiel an? - Achte auf die Einheiten, wenn du das Fassungsvermögen mit dem aktuellen Inhalt vergleichst. - Wie viel Liter passen in einen Kubikmeter? - Kannst du aus den zwei Zeitpunkten bestimmen, wie viel Wasser pro Minute dazukommt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den Wertepaaren \((10|450)\) und \((25|825)\): \(m = \frac{825 - 450}{25 - 10} = \frac{375}{15} = 25\). Die Zuflussrate beträgt \(25\,\text{l/min}\). 2. Bestimmung des Startwerts \(b\): \(450 = 25 \cdot 10 + b \implies 450 = 250 + b \implies b = 200\). Die Funktionsgleichung ist \(V(x) = 25x + 200\). 3. Der Anfangsbestand bei \(x = 0\) beträgt \(200\,\text{Liter}\). 4. Umrechnung des Zielvolumens: \(1{,}2\,\text{m}^3 = 1200\,\text{Liter}\). 5. Berechnung der Zeit für das volle Becken: \(1200 = 25x + 200 \implies 1000 = 25x \implies x = 40\). Nach \(40\,\text{Minuten}\) ist das Becken voll.

1. \(V(x) = 25x + 200\) 2. \(200\,\text{Liter}\) 3. Nach \(40\,\text{Minuten}\)

- Was passiert mit der Höhe der Kerze, während sie brennt? - Wie viele Zentimeter verliert die Kerze in einer einzigen Stunde? - Kannst du die Werte aus der Aufgabe in einem Koordinatensystem als Punkte sehen?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Die Anfangshöhe bei \(t = 0\) ist \(b = 24\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{18 - 24}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2\). Die Gleichung ist \(h(t) = -2t + 24\). 3. Interpretation: \(b = 24\) ist die Anfangshöhe der Kerze in \(\text{cm}\). \(m = -2\) gibt an, dass die Kerze pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) kürzer wird (Abbrandrate). 4. Berechnung der Höhe nach \(5\,\text{Stunden}\): \(h(5) = -2 \cdot 5 + 24 = -10 + 24 = 14\). Die Höhe beträgt \(14\,\text{cm}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -2t + 24\). b) Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b=24\) ist die Anfangshöhe in \(\text{cm}\). Die Steigung \(m=-2\) gibt die Änderung der Höhe pro Stunde an (die Kerze wird pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) kleiner). c) Nach \(5\,\text{Stunden}\) ist die Kerze noch \(14\,\text{cm}\) hoch.

- Was passiert, wenn du alle bekannten Werte in die Steigungsformel einsetzt? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Nenner steht? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Steigung mit deinem gefundenen Wert erneut berechnest.

1. Aufstellen der Steigungsformel mit den gegebenen Werten: \(m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(-3 = \frac{8 - (-4)}{x - 2}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(-3 = \frac{12}{x - 2}\). 4. Umformen der Gleichung: \(-3(x - 2) = 12 \implies x - 2 = -4\). 5. Bestimmen von \(x\): \(x = -2\).

Die x-Koordinate des Punktes \(Q\) ist \(-2\).

- Wie berechnest du die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn er die Funktionsgleichung nicht erfüllt? - Stell dir vor, die Gerade ist wie ein Hebel, der im Punkt \(A\) festgehalten wird. Was passiert mit dem Ende bei \(x = 30\), wenn du den Hebel flacher stellst?

1. Berechnung der Steigung \(m\) für Gerade \(AB\): \(m = \frac{45 - 25}{20 - 10} = \frac{20}{10} = 2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): \(25 = 2 \cdot 10 + b \implies b = 5\). Gleichung: \(g(x) = 2x + 5\). 3. Punktprobe für \(C(30|62)\): \(g(30) = 2 \cdot 30 + 5 = 65\). Da \(65 \neq 62\), liegt \(C\) nicht auf der Geraden. 4. Analyse der Steigung: Der Punkt \(C\) hat bei \(x = 30\) den \(y\)-Wert \(62\). Die Gerade \(g\) liefert dort den Wert \(65\). Um näher an \(C\) zu kommen, muss der Funktionswert bei \(x = 30\) sinken. Da die Gerade fest im Punkt \(A(10|25)\) verankert ist, muss die Steigung verkleinert werden, damit die Gerade flacher verläuft und bei \(x = 30\) einen niedrigeren Wert erreicht.

a) \(g(x) = 2x + 5\) b) Nein, \(C\) liegt nicht auf der Geraden, da \(g(30) = 65 \neq 62\). c) Er muss die Steigung verkleinern. Da der berechnete Wert (\(65\)) größer ist als der Messwert (\(62\)), muss die Gerade flacher verlaufen, um näher an \(C\) heranzukommen.

- Stelle dir die Zeit als x-Wert und das Volumen als y-Wert vor. - Wie viel Liter kommen pro Minute hinzu? Das hilft dir bei der Steigung. - Was bedeutet der Wert zum Zeitpunkt Null für die Gleichung? - Überlege, welche Größe gegeben ist, wenn nach der Dauer bis zur vollständigen Füllung gefragt wird.

1. Aufstellen der Steigung \(m\) mit den Punkten \((10 \mid 1500)\) und \((25 \mid 3000)\): \(m = \frac{3000 - 1500}{25 - 10} = \frac{1500}{15} = 100\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen eines Punktes in \(V(t) = 100t + b\): \(1500 = 100 \cdot 10 + b \Rightarrow 1500 = 1000 + b \Rightarrow b = 500\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 100t + 500\). 4. Der Anfangsbestand zum Zeitpunkt \(t = 0\) entspricht dem Wert \(b\), also \(500\,\text{Litern}\). 5. Berechnung der Zeit für das volle Volumen: \(6000 = 100t + 500 \Rightarrow 5500 = 100t \Rightarrow t = 55\). Der Tank ist nach \(55\,\text{Minuten}\) voll.

a) \(V(t) = 100t + 500\) b) Es befanden sich \(500\,\text{Liter}\) im Tank. c) Der Tank ist nach \(55\,\text{Minuten}\) voll.

- Was ändert sich an den Kosten, wenn man einen Kilometer weiter fährt? - Gibt es einen Betrag, den man zahlen muss, auch wenn man noch gar keinen Kilometer gefahren ist? - Setze den gesuchten Wert für die Strecke in deine gefundene Formel ein.

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den Wertepaaren \((5 \mid 14{,}50)\) und \((12 \mid 28{,}50)\): \(m = \frac{28{,}50 - 14{,}50}{12 - 5} = \frac{14}{7} = 2\). 2. Berechnung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen in \(K(x) = 2x + b\): \(14{,}50 = 2 \cdot 5 + b \Rightarrow 14{,}50 = 10 + b \Rightarrow b = 4{,}50\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(K(x) = 2x + 4{,}50\). 4. Interpretation: Die Steigung \(m = 2\) gibt den Preis pro Kilometer an (\(2{,}00\,\text{€}/\text{km}\)). Der y-Achsenabschnitt \(b = 4{,}50\) stellt den festen Grundpreis dar (\(4{,}50\,\text{€}\)). 5. Berechnung der Kosten für \(20\,\text{km}\): \(K(20) = 2 \cdot 20 + 4{,}50 = 40 + 4{,}50 = 44{,}50\). Die Fahrt kostet \(44{,}50\,\text{€}\).

a) \(K(x) = 2x + 4{,}50\) b) \(m = 2\) ist der Preis pro Kilometer (\(2{,}00\,\text{€}/\text{km}\)); \(b = 4{,}50\) ist der Grundpreis (\(4{,}50\,\text{€}\)). c) Eine Fahrt über \(20\,\text{km}\) kostet \(44{,}50\,\text{€}\).

- Wie kannst du die allgemeine Geradengleichung nutzen, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst? - Was ist der \(y\)-Wert an jedem Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Erinnere dich daran, wie man die Steigung als „Stufen“ in einem Koordinatensystem darstellt. - Kannst du die Nullstelle direkt im Graphen ablesen, nachdem du die Gerade gezeichnet hast?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): Einsetzen der Steigung \(m = -0{,}5\) und des Punktes \(P(4|1)\) in die allgemeine Form \(y = mx + b\) ergibt \(1 = -0{,}5 \cdot 4 + b\). Vereinfachen führt zu \(1 = -2 + b\), also \(b = 3\). Die Gleichung lautet \(k(x) = -0{,}5x + 3\). 2. Berechnung der Nullstelle: Setze \(k(x) = 0\), also \(0 = -0{,}5x + 3\). Daraus folgt \(-3 = -0{,}5x\) und damit \(x = 6\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(6|0)\). 3. Zum Zeichnen können die Punkte \(S_y(0|3)\), \(P(4|1)\) und \(N(6|0)\) markiert und durch eine Gerade verbunden werden. Die Zeichnung bestätigt den berechneten Schnittpunkt \(N(6|0)\).

1. \(k(x) = -0{,}5x + 3\) 2. Nullstelle: \(x = 6\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(6|0)\) 3. Der Graph verläuft unter anderem durch \(S_y(0|3)\), \(P(4|1)\) und \(N(6|0)\); die Zeichnung bestätigt die Rechnung.

- Überprüfe, ob die Änderung zwischen den Funktionswerten immer proportional zur Änderung der \(x\)-Werte ist. - Was müsste gelten, damit alle Punkte auf einer Geraden liegen? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du dann den Wert an der Stelle \(0\) finden?

1. Prüfung auf Linearität durch Vergleich der Steigungen: Zwischen \((1; 5)\) und \((2; 8)\): \(m_1 = \frac{8 - 5}{2 - 1} = 3\). Zwischen \((2; 8)\) und \((4; 14)\): \(m_2 = \frac{14 - 8}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3\). Da die Steigungen gleich sind, ist die Funktion linear. 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(c\): \(f(1) = 3 \cdot 1 + c = 5 \Rightarrow c = 2\). Die Gleichung ist \(f(x) = 3x + 2\). 3. Berechnung für \(x = 0\): \(f(0) = 3 \cdot 0 + 2 = 2\). 4. Berechnung für \(f(x) = 26\): \(26 = 3x + 2 \Rightarrow 24 = 3x \Rightarrow x = 8\).

Die Werte gehören zu einer linearen Funktion mit \(f(x) = 3x + 2\). Die fehlenden Werte sind: Für \(x = 0\) ist \(f(x) = 2\). Für \(f(x) = 26\) ist \(x = 8\).

- Wie führt man eine Punktprobe durch? - Was zeichnet eine Ursprungsgerade im Vergleich zu einer allgemeinen linearen Funktion aus? - Wenn du die Steigung und einen Punkt kennst, wie findest du dann den \(y\)-Achsenabschnitt?

1. Punktprobe für \(P(4|1)\) in \(g_1\): \(1 = -4 + 5\). Da \(1 = 1\) eine wahre Aussage ist, liegt \(P\) auf \(g_1\). 2. Ursprungsgerade bedeutet \(y = mx\). Einsetzen von \(P(4|1)\): \(1 = m \cdot 4 \Rightarrow m = 0{,}25\). Die Gleichung ist \(y = 0{,}25x\). 3. Ansatz für \(g_3\): \(y = 0{,}5x + n\). Einsetzen von \(P(4|1)\): \(1 = 0{,}5 \cdot 4 + n \Rightarrow 1 = 2 + n \Rightarrow n = -1\). Die Gleichung ist \(y = 0{,}5x - 1\).

1. Ja, der Punkt \(P\) liegt auf \(g_1\). 2. Die Gleichung von \(g_2\) lautet \(y = 0{,}25x\). 3. Die Gleichung von \(g_3\) lautet \(y = 0{,}5x - 1\).

- Wenn eine Gerade durch den Ursprung und einen weiteren Punkt geht, wie berechnest du ihre Steigung? - Stell dir vor, du hältst einen Stift auf einen Punkt auf einem Blatt Papier. In wie viele Richtungen kannst du den Stift drehen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei gegebenen Punkten?

1. \(g\) ist eine Ursprungsgerade der Form \(y = mx\). Mit \(S(3|2)\) gilt \(2 = 3m\), also \(m = \frac{2}{3}\). Damit lautet die Gleichung \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Durch einen einzelnen Punkt in der Ebene verlaufen unendlich viele Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. Jede dieser Geraden außer \(g\) selbst schneidet \(g\) im Punkt \(S\). 3. Die Steigung von \(h\) durch \(S(3|2)\) und \(S_y(0|5)\) ist \(m = \frac{2 - 5}{3 - 0} = -1\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) ist, lautet die Gleichung \(y = -x + 5\).

1. Die Gleichung von \(g\) ist \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Durch einen Punkt verlaufen unendlich viele Geraden mit unterschiedlichen Steigungen. 3. Die Gleichung von \(h\) ist \(y = -x + 5\).

- Kannst du die Steigung bestimmen, wenn du einen Punkt und den \(y\)-Achsenabschnitt kennst? - Wie prüfst du, ob ein Wertepaar eine Gleichung erfüllt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) durch Einsetzen von \(P(-2 \mid 5)\): \(5 = m(-2) - 1\). 2. Auflösen nach \(m\): \(6 = -2m \implies m = -3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -3x - 1\). 3. Punktprobe für \(Q(1 \mid -4)\): \(f(1) = -3 \cdot 1 - 1 = -4\). 4. Vergleich: Da der berechnete \(y\)-Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Die Steigung ist \(m = -3\). b) Ja, der Punkt \(Q(1 \mid -4)\) liegt auf dem Graphen, da \(f(1) = -4\) gilt.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Kannst du eine Punktprobe machen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Was bedeutet „Nullstelle“ für die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden? - Wenn du die neue Steigung und einen Punkt der neuen Geraden kennst, wie gehst du dann vor?

1. Funktionsgleichung \(p\): Berechnung der Steigung \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 4}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2\). Einsetzen von \(B(3 | 0)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(0 = -2(3) + b \implies b = 6\). Gleichung: \(y = -2x + 6\). 2. Nullstelle von \(p\): Setze \(0 = -2x + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3\). Die Nullstelle ist bei \(x = 3\). 3. Funktionsgleichung \(q\): Die Steigung von \(q\) ist \(m_q = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1\). Da \(q\) dieselbe Nullstelle wie \(p\) hat, verläuft sie durch \((3 | 0)\). Einsetzen in \(y = -1x + b_q\) ergibt \(0 = -1(3) + b_q \implies b_q = 3\). Die Gleichung lautet \(y = -x + 3\).

a) \(p: y = -2x + 6\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 3\). c) \(q: y = -x + 3\)

- Was gibt der Startwert der Kerze für den y-Achsenabschnitt an? - Wie viel Höhe verliert die Kerze pro Stunde? - Was bedeutet es für die Höhe \(h\), wenn die Kerze „abgebrannt“ ist? - Wie rechnet man Dezimalstunden in Minuten um?

1. Aufstellen der linearen Funktion \(h(t) = mt + b\). Der Anfangswert bei \(t=0\) ist \(b = 24\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) mit dem Punkt \((4 \mid 14)\): \(m = \frac{14 - 24}{4 - 0} = \frac{-10}{4} = -2{,}5\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(t) = -2{,}5t + 24\). 4. Berechnung der Nullstelle für das vollständige Abbrennen: \(0 = -2{,}5t + 24 \Rightarrow 2{,}5t = 24 \Rightarrow t = 9{,}6\). 5. Umrechnung der Zeit: \(9{,}6\,\text{Stunden}\) entsprechen \(9\,\text{Stunden}\) und \(0{,}6 \cdot 60 = 36\,\text{Minuten}\).

a) \(h(t) = -2{,}5t + 24\) b) Die Kerze ist nach \(9\,\text{Stunden}\) und \(36\,\text{Minuten}\) abgebrannt.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte auf einer Geraden bekannt sind? - Welche physikalische Größe ändert sich über die Zeit? - Was passiert zum Zeitpunkt Null? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über die Temperaturänderung aus?

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den Punkten \((2 \mid 75)\) und \((10 \mid 55)\): \(m = \frac{55 - 75}{10 - 2} = \frac{-20}{8} = -2{,}5\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen eines Punktes in \(T(t) = -2{,}5t + b\): \(75 = -2{,}5 \cdot 2 + b \Rightarrow 75 = -5 + b \Rightarrow b = 80\). 3. Funktionsgleichung: \(T(t) = -2{,}5t + 80\). 4. Interpretation: Die Steigung \(-2{,}5\) gibt an, dass die Temperatur pro Minute um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) sinkt. Der y-Achsenabschnitt \(80\) gibt die Anfangstemperatur der Flüssigkeit (\(80\,^\circ\text{C}\)) zum Zeitpunkt \(t=0\) an.

a) \(T(t) = -2{,}5t + 80\) b) Die Steigung gibt an, dass die Temperatur pro Minute um \(2{,}5\,^\circ\text{C}\) abnimmt. Der y-Achsenabschnitt stellt die Anfangstemperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) dar.

- Überlege zuerst, wie viel Liter pro Minute in den Behälter fließen. - Wie findet man heraus, was vor dem Start der Messung im Behälter war? - Welchen Wert für \(t\) musst du einsetzen, um den Zustand nach einer halben Stunde zu prüfen? - Achte auf die Einheiten der Zeitangaben.

1. Steigung \(m\) berechnen: \(m = \frac{24 - 13{,}5}{12 - 5} = \frac{10{,}5}{7} = 1{,}5\). Die Füllrate beträgt \(1{,}5\,\text{l/min}\). 2. y-Achsenabschnitt \(b\) bestimmen: \(13{,}5 = 1{,}5 \cdot 5 + b \Rightarrow 13{,}5 = 7{,}5 + b \Rightarrow b = 6\). 3. Funktionsgleichung: \(V(t) = 1{,}5t + 6\). 4. Ursprüngliche Menge (\(t=0\)): Der Wert \(b = 6\) bedeutet, dass anfangs \(6\,\text{Liter}\) im Behälter waren. 5. Volumen nach \(30\,\text{Minuten}\): \(V(30) = 1{,}5 \cdot 30 + 6 = 45 + 6 = 51\). Es befinden sich \(51\,\text{Liter}\) im Behälter.

a) \(V(t) = 1{,}5t + 6\) b) Es waren ursprünglich \(6\,\text{Liter}\) im Behälter. c) Nach einer halben Stunde befinden sich \(51\,\text{Liter}\) im Behälter.

- Wie hängen die Breite und Höhe eines Steigungsdreiecks mit der Steigung \(m\) zusammen? - Wenn du einen Punkt und die Steigung kennst, wie kannst du die fehlende Unbekannte \(c\) in der allgemeinen Formel berechnen? - Was musst du tun, um zu beweisen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(m = 0{,}5\) und den Punkt \(P(2|1)\) in \(y = mx + c\) ein: \(1 = 0{,}5 \cdot 2 + c \Rightarrow 1 = 1 + c \Rightarrow c = 0\). Die Funktionsgleichung lautet \(k(x) = 0{,}5x\). 3. Punktprobe für \(Q(10|5)\): Setze \(x = 10\) in die Gleichung ein: \(k(10) = 0{,}5 \cdot 10 = 5\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(m = 0{,}5\) b) \(c = 0\) (Gleichung: \(k(x) = 0{,}5x\)) c) Ja, der Punkt \(Q(10|5)\) liegt auf der Geraden, da \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) eine wahre Aussage ergibt.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welche Form hat die Gleichung einer linearen Funktion und wie findet man den \(y\)-Achsenabschnitt? - Was müsste für den Wert von \(b\) in der Gleichung \(y = mx + b\) gelten, damit die Zuordnung proportional ist?

1. Überprüfung der Linearität (konstante Steigung): Berechnung der Steigung \(m\) zwischen benachbarten Punkten. \(m_1 = \frac{5 - 11}{-1 - (-4)} = \frac{-6}{3} = -2\); \(m_2 = \frac{-1 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\); \(m_3 = \frac{-7 - (-1)}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2\). Da die Steigung überall \(-2\) ist, liegen die Punkte auf einer Geraden. 2. Bestimmung der Funktionsgleichung: Die Steigung ist \(m = -2\). Einsetzen eines Punktes, z. B. \((2|-1)\), in \(y = mx + b\): \(-1 = -2 \cdot 2 + b \Rightarrow -1 = -4 + b \Rightarrow b = 3\). Die Gleichung lautet \(y = -2x + 3\). 3. Prüfung auf Proportionalität: Eine proportionale Zuordnung hat die Form \(y = kx\) (entspricht \(b=0\)). Da hier \(b=3\) ist (oder da \(\frac{11}{-4} \neq \frac{5}{-1}\)), ist die Zuordnung nicht proportional.

a) Die Steigung zwischen allen Punkten ist konstant \(m = -2\), daher ist die Funktion linear. b) Die Funktionsgleichung lautet \(y = -2x + 3\). c) Die Zuordnung ist nicht proportional, da der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3 \neq 0\) ist bzw. die Quotienten \(\frac{y}{x}\) nicht konstant sind.

- Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - In welcher Form wird eine lineare Funktionsgleichung üblicherweise geschrieben? - Was sagt die Steigung über die Lage zweier Geraden zueinander aus?

1. Identifikation der zwei Punkte: Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(4 | 0)\), der zweite Punkt ist \(P(-2 | 3)\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{3 - 0}{-2 - 4} = \frac{3}{-6} = -0{,}5\). 3. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(N(4 | 0)\) in \(y = -0{,}5x + b\): \(0 = -0{,}5 \cdot 4 + b \Rightarrow 0 = -2 + b \Rightarrow b = 2\). Die Gleichung ist \(h(x) = -0{,}5x + 2\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | 2)\); der \(y\)-Achsenabschnitt beträgt \(2\). 5. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(h\) ist \(m = -0{,}5\). Die Steigung von \(g\) ist ebenfalls \(-0{,}5\). Da beide Funktionen die gleiche Steigung haben, verlaufen ihre Graphen parallel zueinander.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}5x + 2\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | 2)\); der \(y\)-Achsenabschnitt beträgt \(2\). c) Beide Funktionen haben die gleiche Steigung (\(m = -0{,}5\)), daher sind die Graphen parallel.

- Bestimme zuerst die vollständige Gleichung der ersten Geraden. - Welche Informationen über die zweite Gerade kannst du direkt aus der ersten ableiten? - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der x-Achse?

1. Berechnung der Steigung von \(g\): \(m_g = \frac{2 - (-1)}{2 - (-4)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) für \(g\) durch Einsetzen von \(B(2 | 2)\): \(2 = 0{,}5 \cdot 2 + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1\). Somit ist \(g(x) = 0{,}5x + 1\). 3. Aufstellen der Gleichung für \(h\): Der y-Achsenabschnitt ist \(b = 1\). Die Steigung ist \(m_h = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). Somit ist \(h(x) = 1x + 1\) bzw. \(h(x) = x + 1\). 4. Berechnung der Nullstelle von \(h\): \(0 = x + 1 \Rightarrow x = -1\). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \((-1 | 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(g(x) = 0{,}5x + 1\) und \(h(x) = x + 1\). b) Der Schnittpunkt von \(h\) mit der x-Achse liegt bei \((-1 | 0)\).

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Welche Bedingung müssen die Steigungen zweier Geraden erfüllen, damit diese parallel sind? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn eine Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft?

1. Gerade \(g\): Einsetzen von \(m = 2\) und \(P(-2 | 5)\) in \(y = mx + n\): \(5 = 2 \cdot (-2) + n \Rightarrow 5 = -4 + n \Rightarrow n = 9\). Gleichung: \(y = 2x + 9\). 2. Gerade \(h\): Da sie durch den Ursprung geht, ist \(n = 0\). Steigung \(m = \frac{y_Q - 0}{x_Q - 0} = \frac{10}{4} = 2{,}5\). Gleichung: \(y = 2{,}5x\). 3. Vergleich der Steigungen: \(m_g = 2\) und \(m_h = 2{,}5\). Da \(m_g \neq m_h\), sind die Geraden nicht parallel. 4. Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): \(0 = 2x + 9 \Rightarrow -9 = 2x \Rightarrow x = -4{,}5\). Ergebnis: \(S_x(-4{,}5 | 0)\).

a) Gleichungen: \(g: y = 2x + 9\); \(h: y = 2{,}5x\) b) Die Geraden sind nicht parallel, da ihre Steigungen (\(2\) und \(2{,}5\)) unterschiedlich sind. c) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(-4{,}5 | 0)\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Information steckt in der Angabe einer Nullstelle für die Koordinaten eines Punktes? - Wie verhalten sich die Steigungen paralleler Geraden zueinander?

1. Steigung \(m_k\) der Geraden \(k\) berechnen: \(m_k = \frac{6 - 4}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt \(b_k\) ermitteln: Einsetzen von \(B(2 \mid 6)\) in \(y = 0{,}5x + b_k\) ergibt \(6 = 0{,}5 \cdot 2 + b_k \Rightarrow 6 = 1 + b_k \Rightarrow b_k = 5\). Gleichung \(k: y = 0{,}5x + 5\). 3. Steigung von \(l\) bestimmen: Wegen Parallelität gilt \(m_l = m_k = 0{,}5\). 4. \(y\)-Achsenabschnitt \(b_l\) berechnen: Die Nullstelle \(x = 4\) entspricht dem Punkt \((4 \mid 0)\). Einsetzen in \(y = 0{,}5x + b_l\) ergibt \(0 = 0{,}5 \cdot 4 + b_l \Rightarrow 0 = 2 + b_l \Rightarrow b_l = -2\). 5. Gleichung \(l: y = 0{,}5x - 2\).

Die Gleichungen lauten \(k: y = 0{,}5x + 5\) und \(l: y = 0{,}5x - 2\).

- Erinnere dich an die Formel für die Steigung durch zwei Punkte. - Welche besonderen Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Wie gehst du vor, wenn ein Funktionswert (\(y\)-Wert) gegeben ist und das dazugehörige Argument (\(x\)-Wert) gesucht wird?

1. Steigung \(m_f\) berechnen: \(m_f = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt \(b_f\) berechnen: Einsetzen von \(R(-1 \mid 5)\) in \(y = -3x + b_f\) ergibt \(5 = -3 \cdot (-1) + b_f \Rightarrow 5 = 3 + b_f \Rightarrow b_f = 2\). Gleichung \(f: y = -3x + 2\). 3. Gleichung für \(g\) aufstellen: Da \(g\) parallel zu \(f\) ist, gilt \(m_g = -3\). Da sie durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, ist \(b_g = 0\). Gleichung \(g: y = -3x\). 4. Gesuchten \(x\)-Wert berechnen: Setze \(y = -12\) in die Gleichung von \(g\) ein: \(-12 = -3x \Rightarrow x = 4\).

Die Geradengleichungen sind \(f: y = -3x + 2\) und \(g: y = -3x\). Der gesuchte \(x\)-Wert ist \(4\).

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wenn du die Steigung kennst, wie findest du dann den Achsenabschnitt heraus? - Was musst du tun, um zu prüfen, welcher \(y\)-Wert zu einem bestimmten \(x\)-Wert passt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) aus den beiden gegebenen Lösungen: \(m = \frac{3 - 5}{-2 - 2} = \frac{-2}{-4} = 0{,}5\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(m\) und eines Punktes (z. B. \((2 | 5)\)) in \(y = mx + n\): \(5 = 0{,}5 \cdot 2 + n \Rightarrow 5 = 1 + n \Rightarrow n = 4\). 3. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5x + 4\). 4. Einsetzen von \(x = 10\) in die ermittelte Gleichung zur Berechnung von \(y_P\): \(y_P = 0{,}5 \cdot 10 + 4 = 5 + 4 = 9\).

a) Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5x + 4\). b) Der gesuchte Wert ist \(y_P = 9\).

- Wie verändert sich die Höhe der Kerze innerhalb von drei Stunden? - Was bedeutet es für die Rechnung, dass die Kerze kleiner wird? - Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zum Zeitpunkt des Anzündens?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems für die Form \(h(t) = mt + b\): I: \(2m + b = 18\) II: \(5m + b = 13{,}5\) 2. Subtraktion der Gleichungen zur Bestimmung der Steigung \(m\): \(3m = 13{,}5 - 18 = -4{,}5 \Rightarrow m = -1{,}5\) 3. Einsetzen von \(m = -1{,}5\) in Gleichung I zur Bestimmung von \(b\): \(2 \cdot (-1{,}5) + b = 18 \Rightarrow -3 + b = 18 \Rightarrow b = 21\) 4. Funktionsgleichung: \(h(t) = -1{,}5t + 21\) 5. Interpretation: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 21\) gibt die Anfangshöhe der Kerze in \(\text{cm}\) an. Die Steigung \(m = -1{,}5\) gibt die Abbrenngeschwindigkeit an (die Kerze wird pro Stunde um \(1{,}5\,\text{cm}\) kürzer).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -1{,}5t + 21\). b) Der \(y\)-Achsenabschnitt (\(21\)) ist die ursprüngliche Höhe der Kerze in \(\text{cm}\), die Steigung (\(-1{,}5\)) beschreibt die Abnahme der Höhe pro Stunde.

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Nutze die Punktsteigungsform oder setze die gegebenen Werte in \(y = mx + b\) ein, um die fehlenden Größen zu finden. - Wenn du zwei Funktionsgleichungen hast, wie findet man dann die Stelle, an der sie denselben Wert haben?

1. Bestimmung von \(g_1\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist durch \(A(0|2)\) gegeben als \(b_1 = 2\). Die Steigung ist \(m_1 = \frac{4 - 2}{4 - 0} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Gleichung: \(y = 0{,}5x + 2\). 2. Bestimmung von \(g_2\): Mit \(m_2 = -1\) und Punkt \(C(6|2)\) folgt \(2 = -1 \cdot 6 + b_2\), also \(b_2 = 8\). Gleichung: \(y = -x + 8\). 3. Gleichsetzen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(0{,}5x + 2 = -x + 8\). 4. Umformen: \(1{,}5x = 6 \implies x = 4\). 5. \(y\)-Wert berechnen: \(y = -4 + 8 = 4\). 6. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(4|4)\).

Die Gleichungen lauten \(g_1: y = 0{,}5x + 2\) und \(g_2: y = -x + 8\). Der Schnittpunkt ist \(S(4|4)\).

- Wenn du die Steigung und einen Punkt kennst, wie kannst du den fehlenden Teil der Gleichung finden? - Was haben parallele Geraden gemeinsam? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung?

1. Bestimmung von \(q(x)\): Ansatz \(q(x) = 2x + n\). 2. Einsetzen des Punktes \(S(4 \mid 2)\) in den Ansatz: \(2 = 2 \cdot 4 + n\). 3. Berechnen des \(y\)-Achsenabschnitts: \(2 = 8 + n \Rightarrow n = -6\). Somit \(q(x) = 2x - 6\). 4. Bestimmung von \(r(x)\): Parallelität zu \(p\) bedeutet gleiche Steigung, also \(m_r = -0{,}5\). 5. Da \(r\) durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Somit \(r(x) = -0{,}5x\).

a) Die Funktionsgleichung ist \(q(x) = 2x - 6\). b) Die Funktionsgleichung ist \(r(x) = -0{,}5x\).

- Achte beim Berechnen der Steigung besonders auf die Vorzeichen im Nenner. - Welchen Wert hat die y-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2\). 2. Bestimmung von \(b\): Einsetzen von \(P(-2 \mid 7)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(7 = -2 \cdot (-2) + b \Rightarrow 7 = 4 + b \Rightarrow b = 3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -2x + 3\). 3. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -2x + 3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(1{,}5 \mid 0)\). 4. Punktprobe für \(R(1 \mid 1)\): Setze \(x = 1\) in die Gleichung ein: \(f(1) = -2 \cdot 1 + 3 = 1\). Da der berechnete y-Wert mit der Koordinate des Punktes \(R\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(f(x) = -2x + 3\) b) Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(1{,}5 \mid 0)\). c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden, da \(f(1)=1\) mit der \(y\)-Koordinate von \(R\) übereinstimmt.

- Was weißt du über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welche Information aus der ersten Funktionsgleichung kannst du für die zweite Gerade übernehmen? - Wie gehst du vor, wenn du eine Steigung und einen Punkt gegeben hast, um die vollständige Gleichung zu finden?

1. Nullstelle von \(g\): \(0 = -2x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). 2. Bestimmung der Gleichung von \(h\): Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, haben beide die gleiche Steigung \(m = -2\). 3. Bestimmung von \(b\) für \(h\): Einsetzen von \(P(1 \mid 1)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(1 = -2 \cdot 1 + b \Rightarrow 1 = -2 + b \Rightarrow b = 3\). Die Gleichung von \(h\) lautet \(h(x) = -2x + 3\). 4. Überprüfung des Ursprungs: Da der y-Achsenabschnitt von \(h\) den Wert \(3\) hat (und nicht \(0\)), verläuft die Gerade nicht durch den Ursprung.

a) Die Nullstelle von \(g\) ist \(x = 2\). b) \(h(x) = -2x + 3\) c) Nein, die Gerade \(h\) verläuft nicht durch den Ursprung.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Kannst du die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + n\) nutzen, um den y-Achsenabschnitt zu finden? - Überlege dir, welche Koordinate an den Achsenschnittpunkten jeweils Null sein muss.

1. Berechnung der Steigung \(m\): Mit der Formel \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) ergibt sich \(m = \frac{4 - 1}{2 - (-4)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 2. Berechnung des y-Achsenabschnitts \(n\): Einsetzen von Punkt \(B(2 | 4)\) in \(y = 0{,}5x + n\) liefert \(4 = 0{,}5 \cdot 2 + n\), woraus \(n = 3\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(y = 0{,}5x + 3\). 3. Schnittpunkt mit der y-Achse: Aus \(n = 3\) folgt direkt \(S_y(0 | 3)\). 4. Schnittpunkt mit der x-Achse: Setze \(y = 0\) in die Gleichung \(0 = 0{,}5x + 3\). Umstellen ergibt \(0{,}5x = -3\), also \(x = -6\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(-6 | 0)\).

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \(S_x(-6 | 0)\) und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist \(S_y(0 | 3)\).

- Bestimme zuerst die Steigung der ersten Geraden aus den gegebenen Achsenschnittpunkten. - Wie verändert sich die Steigung für die zweite Gerade laut Aufgabenstellung? - Beide Geraden teilen sich einen Punkt auf der x-Achse. Wie kannst du diesen nutzen?

1. Berechnung der Steigung von \(g\): Die Gerade \(g\) verläuft durch \(S_x(4 | 0)\) und \(S_y(0 | -2)\). Die Steigung ist \(m_g = \frac{0 - (-2)}{4 - 0} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Steigung von \(h\): Da die Steigung doppelt so groß ist, gilt \(m_h = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n_h\): Die Gerade \(h\) verläuft durch die Nullstelle \((4 | 0)\). Einsetzen in \(y = 1 \cdot x + n_h\) ergibt \(0 = 1 \cdot 4 + n_h\), also \(n_h = -4\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Gleichung für \(h\) lautet \(y = x - 4\). 5. Schnittpunkt mit der y-Achse: Aus \(n_h = -4\) ergibt sich der Punkt \(S_y(0 | -4)\).

Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(y = x - 4\). Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(S_y(0 | -4)\).

- Was muss für die Steigungen zweier paralleler Geraden gelten? - Wie nutzt du einen gegebenen Punkt, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte am Schnittpunkt?

1. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_h = -\frac{2}{3}\). Einsetzen von \(P(6|2)\) in \(y = -\frac{2}{3}x + b\) ergibt \(2 = -\frac{2}{3} \cdot 6 + b\), also \(2 = -4 + b\) und damit \(b = 6\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 6\). 2. Für den Schnittpunkt werden die Funktionsterme gleichgesetzt: \(-\frac{2}{3}x + 6 = x - 3\). 3. Umformen ergibt \(9 = \frac{5}{3}x\), also \(x = \frac{27}{5} = 5{,}4\). 4. Einsetzen in \(k\): \(y = 5{,}4 - 3 = 2{,}4\). Der Schnittpunkt ist \(S(5{,}4|2{,}4)\).

a) \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 6\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(5{,}4|2{,}4)\).

- Woran erkennt man bei einer Tabelle, ob eine Zuordnung linear ist? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung \(m\) zwischen zwei Punkten. - Welcher Wert in der Tabelle entspricht dem Startwert \(n\) der Funktionsgleichung? - Setze für die letzte Teilaufgabe den Zielwert für die Temperatur in deine Gleichung ein und löse nach der Zeit auf.

1. Überprüfung der Linearität durch Berechnung der Steigungen: - Zwischen \(0\) und \(8\,\text{min}\): \(m_1 = \frac{74 - 90}{8 - 0} = \frac{-16}{8} = -2\,^\circ\text{C}/\text{min}\) - Zwischen \(8\) und \(20\,\text{min}\): \(m_2 = \frac{50 - 74}{20 - 8} = \frac{-24}{12} = -2\,^\circ\text{C}/\text{min}\) - Da \(m_1 = m_2\), ist der Verlauf linear. 2. Aufstellen der Gleichung: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Startwert bei \(t=0\), also \(n = 90\). Die Gleichung lautet \(T(t) = -2t + 90\). 3. Berechnung für \(t = 15\): \(T(15) = -2 \cdot 15 + 90 = -30 + 90 = 60\,^\circ\text{C}\). 4. Berechnung des Zeitpunktes für \(T = 26\): \(26 = -2t + 90\) \(-64 = -2t\) \(t = 32\,\text{min}\).

a) Die Steigung ist in beiden Intervallen konstant \(-2\,^\circ\text{C}/\text{min}\), daher ist die Funktion linear. b) \(T(t) = -2t + 90\). c) Nach 15 Minuten beträgt die Temperatur \(60\,^\circ\text{C}\). d) Die Temperatur von \(26\,^\circ\text{C}\) wird nach \(32\,\text{min}\) erreicht.

- Identifiziere den Startwert und die Rate, mit der sich der Wert erhöht. - Wie viele Prozentpunkte müssen insgesamt aufgeladen werden, um von \(12\,\%\) auf \(100\,\%\) zu kommen? - Für die Geschwindigkeit teile den gesamten Zuwachs durch die benötigte Zeit. - Berechne für beide Geräte die Zeit bis zur Vollladung und vergleiche die Ergebnisse.

1. Funktionsgleichung für das erste Gerät: Startwert \(n = 12\), Steigung \(m = 0{,}8\). Die Gleichung lautet \(L(t) = 0{,}8t + 12\). 2. Ladegeschwindigkeit des Schnellladegeräts: Der Akku muss von \(12\,\%\) auf \(100\,\%\) geladen werden, also um \(100 - 12 = 88\) Prozentpunkte. Dies geschieht in \(t = 80\) Minuten. Die Steigung \(m_s\) berechnet sich durch \(\frac{88}{80} = 1{,}1\). Die Ladegeschwindigkeit beträgt \(1{,}1\,\text{Prozentpunkte pro Minute}\). 3. Zeitersparnis berechnen: Zuerst die Ladezeit des ersten Geräts für \(100\,\%\) bestimmen: \(100 = 0{,}8t + 12 \Rightarrow 88 = 0{,}8t \Rightarrow t = 110\,\text{Minuten}\). Die Differenz zur Ladezeit des Schnellladegeräts (\(80\,\text{Minuten}\)) beträgt \(110 - 80 = 30\,\text{Minuten}\).

a) \(L(t) = 0{,}8t + 12\) b) \(1{,}1\,\text{Prozentpunkte pro Minute}\) c) Man spart \(30\,\text{Minuten}\).

- Achte darauf, dass die Höhe abnimmt. Welches Vorzeichen hat die Änderungsrate? - Sind alle Zeitangaben in der gleichen Einheit? - Welchen Wert hat die Höhe, wenn der Ballon den Boden berührt? - Wie rechnet man Sekunden in Minuten und verbleibende Sekunden um?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Anfangshöhe ist \(840\,\text{m}\), die Änderungsrate beträgt \(-1{,}5\,\text{m/s}\). Die Gleichung lautet \(h(t) = 840 - 1{,}5t\). 2. Berechnung der Höhe nach \(4\) Minuten: Zuerst Umrechnung der Zeit in Sekunden: \(4 \cdot 60 = 240\,\text{s}\). Einsetzen in die Funktion: \(h(240) = 840 - 1{,}5 \cdot 240 = 840 - 360 = 480\). Die Höhe beträgt \(480\,\text{m}\). 3. Berechnung der Landezeit: Der Boden entspricht der Höhe \(h = 0\). Setze \(0 = 840 - 1{,}5t\). Umstellen ergibt \(1{,}5t = 840\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(t = 560\,\text{s}\). 4. Umrechnung in Minuten: \(560 : 60 = 9\) Rest \(20\). Der Ballon landet nach \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden.

1) \(h(t) = 840 - 1{,}5t\) 2) Nach \(4\) Minuten ist der Ballon in \(480\,\text{m}\) Höhe. 3) Er erreicht den Boden nach \(560\) Sekunden (bzw. \(9\) Minuten und \(20\) Sekunden).

- Wie kannst du die Brüche eliminieren? Welcher gemeinsame Nenner bietet sich an? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Um eine ganzzahlige Lösung zu finden, muss der Zähler des Bruchs durch den Nenner ohne Rest teilbar sein. Probiere kleine Werte für \(x\) aus.

1. Hauptnenner finden (\(12\)) und die gesamte Gleichung damit multiplizieren: \(4(x + 2y) - 3(2x - y) = 12\). 2. Klammern auflösen: \(4x + 8y - 6x + 3y = 12\). 3. Zusammenfassen zu \(ax + by = c\): \(-2x + 11y = 12\). 4. Nach \(y\) umstellen: \(11y = 2x + 12 \implies y = \frac{2x + 12}{11}\). 5. Ganzzahlige Lösung durch systematisches Probieren für \(x\) finden: Wenn \(x = 5\), dann ist \(y = \frac{2 \cdot 5 + 12}{11} = \frac{22}{11} = 2\). Ein ganzzahliges Paar ist \((5 \mid 2)\). Alternativ: Wenn \(x = -6\), dann ist \(y = \frac{-12 + 12}{11} = 0\). Ein weiteres Paar ist \((-6 \mid 0)\).

a) \(-2x + 11y = 12\) b) \(y = \frac{2x + 12}{11}\) (oder \(y = \frac{2}{11}x + \frac{12}{11}\)) c) Ein mögliches ganzzahliges Paar ist \((5 \mid 2)\) oder \((-6 \mid 0)\).

- Welche mathematische Struktur beschreibt eine gleichmäßige Änderung? - Wie kannst du die Änderung der Werte pro Zeiteinheit bestimmen? - Könnte ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (Anfangswert und Änderungsrate) hilfreich sein? - Achte auf die Einheiten: Wie rechnet man von Kilometern pro Minute in Kilometer pro Stunde um?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit der Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/min}\) und dem Anfangskilometerstand \(s_0\): \(20v + s_0 = 84\) und \(50v + s_0 = 135\). 2. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung zur Elimination von \(s_0\): \(30v = 51\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit: \(v = 1{,}7\,\text{km/min}\). 4. Umrechnung in \(\text{km/h}\): \(1{,}7 \cdot 60 = 102\,\text{km/h}\). 5. Einsetzen von \(v\) in die erste Gleichung zur Bestimmung von \(s_0\): \(20 \cdot 1{,}7 + s_0 = 84 \implies 34 + s_0 = 84 \implies s_0 = 50\,\text{km}\).

Die Geschwindigkeit des Autos beträgt \(102\,\text{km/h}\) und der Kilometerstand zu Beginn der Messung war \(50\,\text{km}\).

- Wie kannst du den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse (der \(y\)-Achse) nutzen, um einen Teil der Funktionsgleichung direkt abzulesen? - Erinnere dich daran, wie man mit einem Steigungsdreieck die Steigung bestimmt: Welchen Wert erhältst du, wenn du den Höhenunterschied durch den Breitenunterschied teilst? - Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Fällt der Graph von links nach rechts oder steigt er an? - Wähle für das Steigungsdreieck am besten Punkte aus, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen.

Um die Funktionsgleichungen zu bestimmen, liest man für jeden Graphen den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) (Schnittpunkt mit der vertikalen Achse) und die Steigung \(m\) (mithilfe eines Steigungsdreiecks) ab: 1. **Graph \(f\):** - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid -1)\), also ist \(b = -1\). - Ein Steigungsdreieck von \((0 \mid -1)\) zu \((1 \mid 1)\) zeigt: Geht man \(1\) Einheit nach rechts, steigt der Graph um \(2\) Einheiten nach oben. Die Steigung ist \(m = \frac{2}{1} = 2\). - Die Funktionsgleichung lautet: \(f(x) = 2x - 1\) (oder \(y = 2x - 1\)). 2. **Graph \(g\):** - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 2)\), also ist \(b = 2\). - Ein Steigungsdreieck von \((0 \mid 2)\) zu \((2 \mid 1)\) zeigt: Geht man \(2\) Einheiten nach rechts, fällt der Graph um \(1\) Einheit nach unten. Die Steigung ist \(m = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). - Die Funktionsgleichung lautet: \(g(x) = -0{,}5x + 2\) (oder \(g(x) = -\frac{1}{2}x + 2\)). 3. **Graph \(h\):** - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1)\), also ist \(b = 1\). - Ein Steigungsdreieck von \((0 \mid 1)\) zu \((3 \mid 2)\) zeigt: Geht man \(3\) Einheiten nach rechts, steigt der Graph um \(1\) Einheit nach oben. Die Steigung ist \(m = \frac{1}{3}\). - Die Funktionsgleichung lautet: \(h(x) = \frac{1}{3}x + 1\).

Die Funktionsgleichungen lauten \(f(x) = 2x - 1\), \(g(x) = -0{,}5x + 2\) (oder \(g(x) = -\frac{1}{2}x + 2\)) und \(h(x) = \frac{1}{3}x + 1\).

- Wie kannst du Punkte auf dem Graphen finden, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen? - Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Geraden mithilfe von zwei Punkten berechnet. Was gibt der Unterschied der Funktionswerte geteilt durch den Unterschied der Argumente an? - Welcher Wert auf der vertikalen Achse stellt den Startwert zum Zeitpunkt \(t = 0\) dar? - Wie hängen die Steigung und der Startwert mit der allgemeinen Form einer linearen Funktionsgleichung zusammen? - Welchen Wert muss das Wasservolumen haben, wenn der Tank komplett leer ist? Wie kannst du diesen Wert in deine Funktionsgleichung einsetzen?

1. Ablesen zweier Punkte auf den Gitterkreuzungen, zum Beispiel \(P_1(0 \mid 250)\) und \(P_2(5 \mid 150)\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) als Verhältnis der Differenzen der \(y\)- und \(x\)-Werte: \(m = \frac{150 - 250}{5 - 0} = \frac{-100}{5} = -20\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). Im Sachzusammenhang bedeutet die Steigung, dass pro Minute \(20\,\text{l}\) Wasser aus dem Tank abfließen. 3. Ablesen des Schnittpunkts mit der vertikalen Achse bei \(y = 250\), woraus sich der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 250\) ergibt. Dies entspricht der anfänglichen Wassermenge im Tank. 4. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung: \(V(t) = -20t + 250\). 5. Bestimmung der Entleerungszeit durch Gleichsetzen der Funktion mit Null: \(-20t + 250 = 0 \implies 20t = 250 \implies t = 12{,}5\). Der Tank ist somit nach \(12{,}5\,\text{Minuten}\) leer.

a) Die Steigung beträgt \(m = -20\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). Das bedeutet, dass pro Minute \(20\,\text{l}\) Wasser aus dem Tank abfließen (Entleerungsrate von \(20\,\text{l/min}\)). b) Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = 250\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = -20t + 250\). c) Der Wassertank ist nach \(12{,}5\,\text{Minuten}\) komplett leer.

- Wie kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden direkt aus der Abbildung ablesen? - Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden mithilfe eines Steigungsdreiecks? - Welche Eigenschaft haben die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Wenn eine Gerade durch zwei Punkte verläuft, wie berechnest du zuerst die Steigung und anschließend den \(y\)-Achsenabschnitt?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\): - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist bei \(y = 2\), also \(n = 2\). - Steigung mit dem Punkt \((3 \mid 3)\): \(m = \frac{3 - 2}{3 - 0} = \frac{1}{3}\). - Gleichung: \(f(x) = \frac{1}{3}x + 2\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g\): - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist bei \(y = -1\), also \(n = -1\). - Steigung mit dem Punkt \((2 \mid -2)\): \(m = \frac{-2 - (-1)}{2 - 0} = -\frac{1}{2}\). - Gleichung: \(g(x) = -\frac{1}{2}x - 1\) (oder \(g(x) = -0{,}5x - 1\)). 3. Bestimmung der Gleichung von \(h\): - Da \(h \parallel f\), gilt \(m_h = \frac{1}{3}\). - Punktprobe mit \(P(-3 \mid 3)\) in \(h(x) = \frac{1}{3}x + n\): \(3 = \frac{1}{3} \cdot (-3) + n \implies 3 = -1 + n \implies n = 4\). - Gleichung: \(h(x) = \frac{1}{3}x + 4\). 4. Bestimmung der Gleichung von \(k\): - Steigung durch \(P(-3 \mid 3)\) und \(Q(1 \mid -1)\): \(m_k = \frac{-1 - 3}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1\). - Punktprobe mit \(Q(1 \mid -1)\) in \(k(x) = -x + n\): \(-1 = -1 + n \implies n = 0\). - Gleichung: \(k(x) = -x\).

a) \(f(x) = \frac{1}{3}x + 2\) und \(g(x) = -\frac{1}{2}x - 1\) b) \(h(x) = \frac{1}{3}x + 4\) c) \(k(x) = -x\)

- Wie kannst du den Schnittpunkt einer Geraden mit der y-Achse direkt aus der Zeichnung ablesen? - Wie hilft dir ein Steigungsdreieck dabei, die Steigung einer Geraden zu bestimmen? - Welchen Ansatz nutzt man, um den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen rechnerisch zu bestimmen? - Wie prüft man durch Einsetzen der Koordinaten, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt?

1. **Funktionsgleichung von \(f\)**: Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(y = 1\). Mit dem Steigungsdreieck von \((0 \mid 1)\) zu \((2 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m_f = \frac{2 - 1}{2 - 0} = 0{,}5\). Somit gilt \(f(x) = 0{,}5x + 1\). 2. **Funktionsgleichung von \(g\)**: Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(y = 4\). Mit dem Steigungsdreieck von \((0 \mid 4)\) zu \((1 \mid 3)\) ergibt sich die Steigung \(m_g = \frac{3 - 4}{1 - 0} = -1\). Somit gilt \(g(x) = -x + 4\). 3. **Schnittpunkt \(S\)**: Gleichsetzen der Funktionen: \(0{,}5x + 1 = -x + 4 \implies 1{,}5x = 3 \implies x = 2\). Einsetzen von \(x = 2\) in \(g(x)\) liefert \(y = -2 + 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 2)\). 4. **Punktprobe für \(P(8 \mid 5)\)**: Einsetzen in \(f\): \(f(8) = 0{,}5 \cdot 8 + 1 = 5\). Da \(5 = 5\), liegt \(P\) auf \(f\). 5. **Punktprobe für \(Q(-2 \mid 5)\)**: Einsetzen in \(g\): \(g(-2) = -(-2) + 4 = 6\). Da \(6 \neq 5\), liegt \(Q\) nicht auf \(g\).

a) \(f(x) = 0{,}5x + 1\) und \(g(x) = -x + 4\) b) \(S(2 \mid 2)\) c) Der Punkt \(P(8 \mid 5)\) liegt auf der Geraden \(f\). Der Punkt \(Q(-2 \mid 5)\) liegt nicht auf der Geraden \(g\).

- Kannst du das Diagramm mit eigenen Worten beschreiben? - Achte genau auf die Skalierung der beiden Achsen. Welchen Wert stellt ein einzelnes Kästchen auf der horizontalen Achse und welchen auf der vertikalen Achse dar? - Welche Koordinaten haben die Punkte, an denen die Gerade die Achsen schneidet? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wie kannst du den y-Achsenabschnitt direkt aus dem Graphen ablesen?

1. **Punkte ablesen**: Aus dem Graphen lassen sich markante Punkte ablesen, bei denen die Gerade genau durch die Gitterkreuzungen verläuft. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid 10)\) und der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt bei \(N(-2 \mid 0)\). 2. **y-Achsenabschnitt bestimmen**: Da der Graph die \(y\)-Achse bei \(10\) schneidet, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 10\). 3. **Steigung berechnen**: Die Steigung \(m\) wird mit der Formel für die Steigung zwischen zwei Punkten berechnet: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 0}{0 - (-2)} = \frac{10}{2} = 5\) Die Funktionsgleichung lautet somit \(g(x) = 5x + 10\). 4. **Funktionswert berechnen**: Setzt man \(x = 6\) in die ermittelte Funktionsgleichung ein, so erhält man: \(g(6) = 5 \cdot 6 + 10 = 30 + 10 = 40\) 5. **Überprüfung am Graphen**: Sucht man auf der \(x\)-Achse die Stelle \(6\) und geht senkrecht nach oben zum Graphen, so liest man auf der \(y\)-Achse den Wert \(40\) ab. Das rechnerische Ergebnis stimmt mit dem Graphen überein.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 5x + 10\) (oder \(y = 5x + 10\)). b) Der berechnete Funktionswert ist \(g(6) = 40\).

- Wie liest man den y-Achsenabschnitt einer Geraden aus einem Koordinatensystem ab? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Rechenschritte sind nötig, um eine Gleichung so umzuformen, dass alle Variablen auf einer Seite stehen und alle Koeffizienten ganzzahlig sind? - Wie bestimmt man rechnerisch den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung für die Gerade \(f\): - Ablesen des y-Achsenabschnitts: Die Gerade \(f\) schneidet die y-Achse bei \((0 \mid -2)\), also ist \(b = -2\). - Ablesen eines weiteren Punktes auf der Geraden, z. B. \(P(2 \mid 1)\). - Berechnung der Steigung: \(m = \frac{1 - (-2)}{2 - 0} = 1{,}5\). - Die Funktionsgleichung lautet somit: \(y = 1{,}5x - 2\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichung für die Gerade \(g\): - Ablesen des y-Achsenabschnitts: Die Gerade \(g\) schneidet die y-Achse bei \((0 \mid 3)\), also ist \(b = 3\). - Ablesen eines weiteren Punktes auf der Geraden, z. B. \(Q(2 \mid 1)\). - Berechnung der Steigung: \(m = \frac{1 - 3}{2 - 0} = -1\). - Die Funktionsgleichung lautet somit: \(y = -x + 3\). 3. Umformung in die Form \(ax + by = c\): - Für \(f\): \(y = 1{,}5x - 2 \quad \mid -1{,}5x\) \(-1{,}5x + y = -2 \quad \mid \cdot (-2)\) \(3x - 2y = 4\) - Für \(g\): \(y = -x + 3 \quad \mid +x\) \(x + y = 3\) 4. Berechnung des Schnittpunkts \(S\): - Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen: \(1{,}5x - 2 = -x + 3 \quad \mid +x\) \(2{,}5x - 2 = 3 \quad \mid +2\) \(2{,}5x = 5 \quad \mid : 2{,}5\) \(x = 2\) - Einsetzen von \(x = 2\) in \(g(x)\): \(y = -2 + 3 = 1\) - Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 1)\).

a) \(f: y = 1{,}5x - 2\); \(g: y = -x + 3\) b) \(f: 3x - 2y = 4\); \(g: x + y = 3\) c) \(S(2 \mid 1)\)

- Beginne bei jeder Geraden damit, den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden. - Für die Steigung suchst du dir am besten Punkte aus, deren Koordinaten ganze Zahlen sind. - Überlege dir: Wenn ich eine bestimmte Anzahl an Einheiten nach rechts gehe, wie viele Einheiten muss ich dann nach oben oder unten gehen? - Achte darauf, ob die Gerade steigt oder fällt, um das richtige Vorzeichen für die Steigung zu wählen.

1. Gerade \(f\) (rot): - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(y = 4\), also ist \(c_f = 4\). - Für die Steigung \(m_f\) wählen wir zwei Punkte, z.B. \((0 \mid 4)\) und \((1 \mid 1)\). - \(m_f = \frac{1 - 4}{1 - 0} = -3\). - Gleichung für \(f\): \(f(x) = -3x + 4\). 2. Gerade \(h\) (blau): - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(y = -3\), also ist \(c_h = -3\). - Für die Steigung \(m_h\) wählen wir zwei Punkte, z.B. \((0 \mid -3)\) und \((5 \mid -1)\). - \(m_h = \frac{-1 - (-3)}{5 - 0} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). - Gleichung für \(h\): \(h(x) = 0{,}4x - 3\).

Die Funktionsgleichungen lauten \(f(x) = -3x + 4\) und \(h(x) = 0{,}4x - 3\).

- Die allgemeine Formel für eine lineare Funktion ist \(y = mx + b\). - Du kennst die Steigung \(m\) und die Koordinaten \(x\) und \(y\) eines Punktes. Setze diese in die Formel ein. - Löse die entstandene Gleichung nach der einzigen Unbekannten \(b\) auf. - Wenn die \(x\)-Koordinate eines Punktes Null ist, kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt sofort ablesen.

Allgemeiner Ansatz: \(y = mx + b\). 1. Lösung für a): Einsetzen von \(m = -2\) und \(P(2 \mid 5)\): \(5 = -2 \cdot 2 + b \Rightarrow 5 = -4 + b \Rightarrow b = 9\). Gleichung: \(y = -2x + 9\). 2. Lösung für b): Einsetzen von \(m = 0{,}5\) und \(P(-4 \mid -1)\): \(-1 = 0{,}5 \cdot (-4) + b \Rightarrow -1 = -2 + b \Rightarrow b = 1\). Gleichung: \(y = 0{,}5x + 1\). 3. Lösung für c): Einsetzen von \(m = \frac{4}{3}\) und \(P(3 \mid 0)\): \(0 = \frac{4}{3} \cdot 3 + b \Rightarrow 0 = 4 + b \Rightarrow b = -4\). Gleichung: \(y = \frac{4}{3}x - 4\). 4. Lösung für d): Da der Punkt \(P(0 \mid -2{,}5)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(b = -2{,}5\) direkt gegeben. Gleichung: \(y = -1{,}5x - 2{,}5\).

a) \(y = -2x + 9\) b) \(y = 0{,}5x + 1\) c) \(y = \frac{4}{3}x - 4\) d) \(y = -1{,}5x - 2{,}5\)

- Wo treffen sich alle Linien? Lies die Koordinaten dieses Punktes ab. - Wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt, ist sein \(x\)-Wert immer 0. - Alle diese Funktionen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(c\). Du musst also nur noch die Steigungen \(m\) bestimmen. - Überlege für Teilaufgabe c), welche Steigung eine waagerechte Linie hat.

1. Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass sich alle Geraden auf der \(y\)-Achse bei \(-2\) schneiden. Der Punkt ist somit \(P(0 \mid -2)\). 2. Da alle Geraden durch \(P(0 \mid -2)\) gehen, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(c = -2\). Die Steigungen \(m\) werden mit Steigungsdreiecken bestimmt: - \(h_1\) (blau): Geht durch \((1 \mid 0)\). Steigung \(m = \frac{0 - (-2)}{1 - 0} = 2\). Gleichung: \(y = 2x - 2\). - \(h_2\) (rot): Geht durch \((2 \mid -4)\). Steigung \(m = \frac{-4 - (-2)}{2 - 0} = -1\). Gleichung: \(y = -x - 2\). - \(h_3\) (grün): Geht durch \((2 \mid -1)\). Steigung \(m = \frac{-1 - (-2)}{2 - 0} = 0{,}5\). Gleichung: \(y = 0{,}5x - 2\). - \(h_4\) (orange): Geht durch \((1 \mid -5)\). Steigung \(m = \frac{-5 - (-2)}{1 - 0} = -3\). Gleichung: \(y = -3x - 2\). 3. Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m = 0\). Da sie durch \(P(0 \mid -2)\) geht, muss ihr Funktionswert überall \(-2\) sein. Gleichung: \(y = -2\).

a) \(P(0 \mid -2)\) b) \(h_1: y = 2x - 2\); \(h_2: y = -x - 2\); \(h_3: y = 0{,}5x - 2\); \(h_4: y = -3x - 2\) c) \(h_5: y = -2\)

- Da alle Geraden durch denselben Punkt auf der \(y\)-Achse gehen, haben sie denselben Startwert \(c\). - Für die Steigung \(m\) kannst du vom Punkt \(A\) aus ein Kästchen nach rechts gehen und schauen, wie weit du nach oben oder unten gehen musst. - „Betragsmäßig kleiner“ bedeutet bei einer negativen Zahl, dass sie näher an der Null liegt (also „weniger steil“ abfällt).

1. Da alle Geraden durch \(A(0 \mid 1{,}5)\) verlaufen, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Steigungen: - \(g_1\) (lila): Geht durch \((1 \mid -0{,}5)\). Steigung \(m = \frac{-0{,}5 - 1{,}5}{1 - 0} = -2\). Gleichung: \(y = -2x + 1{,}5\). - \(g_2\) (blau): Geht durch \((1 \mid 2)\). Steigung \(m = \frac{2 - 1{,}5}{1 - 0} = 0{,}5\). Gleichung: \(y = 0{,}5x + 1{,}5\). - \(g_3\) (grau): Verläuft horizontal. Steigung \(m = 0\). Gleichung: \(y = 1{,}5\). 3. Gemeinsamer Parameter: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\) ist bei allen gleich. 4. Gesucht ist \(g_4\) mit \(y = mx + 1{,}5\) und \(-2 < m < 0\). Ein Beispiel wäre \(m = -1\), also \(y = -x + 1{,}5\).

a) \(g_1: y = -2x + 1{,}5\); \(g_2: y = 0{,}5x + 1{,}5\); \(g_3: y = 1{,}5\) b) Der \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\) ist identisch. c) Beispiel: \(y = -x + 1{,}5\) (Jedes \(m\) mit \(-2 < m < 0\) ist korrekt).

- Kannst du für jede Gerade einen Punkt auf der \(y\)-Achse finden? - Wenn eine Gerade durch den Ursprung geht, wie sieht dann ihre Gleichung aus? - Wie verhält sich der Funktionswert bei einer waagerechten Geraden? - Berechne die Steigung mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

1. Gerade \(h_1\): Verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und den Punkt \((4 \mid 1)\). Die Steigung ist \(m = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Gleichung: \(y = 0{,}25x\). 2. Gerade \(h_2\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(b = 4\). Sie verläuft durch \((4 \mid 2)\). Steigung \(m = \frac{2 - 4}{4 - 0} = -0{,}5\). Gleichung: \(y = -0{,}5x + 4\). 3. Gerade \(h_3\): Es handelt sich um eine waagerechte Gerade, die die \(y\)-Achse bei \(-3\) schneidet. Die Steigung ist \(0\). Gleichung: \(y = -3\). 4. Gerade \(h_4\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = 4\). Sie verläuft durch \((-2 \mid 0)\). Steigung \(m = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = 2\). Gleichung: \(y = 2x + 4\).

Die Geradengleichungen sind \(h_1: y = 0{,}25x\), \(h_2: y = -0{,}5x + 4\), \(h_3: y = -3\) und \(h_4: y = 2x + 4\).

- Achte darauf, dass die Werte auf der senkrechten Achse nach unten gehen, die Steigung also negativ sein muss. - Überprüfe die Beschriftung der Achsen: Wie viele Einheiten entspricht ein Gitterquadrat horizontal und vertikal? - Nutze das Steigungsdreieck zwischen zwei gut ablesbaren Punkten, um die Änderungsrate pro Stunde zu finden. - Wenn du die Gleichung hast, kannst du jeden beliebigen Zeitpunkt einsetzen, um die zugehörige Höhe zu finden.

1. Ablesen zweier markanter Punkte aus dem Diagramm: Der Startpunkt liegt bei \(P_1(0 \mid 80)\), ein weiterer gut ablesbarer Punkt ist \(P_2(8 \mid 40)\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{40 - 80}{8 - 0} = \frac{-40}{8} = -5\). Die negative Steigung zeigt an, dass die Kerze kürzer wird. 3. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): Der Schnittpunkt mit der \(h\)-Achse liegt bei \(80\), also ist \(b = 80\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(t) = -5t + 80\). 5. Berechnung der Höhe nach \(12\) Stunden: \(h(12) = -5 \cdot 12 + 80 = -60 + 80 = 20\). 6. Kontrolle am Graphen: Bei \(t = 12\) auf der horizontalen Achse zeigt die Gerade auf der vertikalen Achse den Wert \(20\) an.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -5t + 80\). b) Nach \(12\) Stunden ist die Kerze noch \(20\,\text{mm}\) hoch.

- Nutze die Formel für die Steigung \(m\) mit den Koordinaten der Punkte \(P\) und \(Q\). - Wie findest du den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\), wenn du die Steigung und einen Punkt kennst? - Bei der Punktprobe setzt du den \(x\)-Wert des Punktes in deine Gleichung ein und schaust, ob der richtige \(y\)-Wert herauskommt.

1. Teil a: Berechnung der Steigung \(m = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\). Einsetzen von \(Q(2 \mid -2)\) in \(y = -2x + b\): \(-2 = -2 \cdot 2 + b \implies -2 = -4 + b \implies b = 2\). Die Gleichung ist \(y = -2x + 2\). 2. Teil b: Punktprobe mit \(R(4 \mid -6)\): Setze \(x = 4\) in die Gleichung ein: \(y = -2 \cdot 4 + 2 = -8 + 2 = -6\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(R\) übereinstimmt, liegt \(R\) auf der Geraden.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(y = -2x + 2\). b) Ja, der Punkt \(R(4 \mid -6)\) liegt auf der Geraden.

- Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen. - Bestimme die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks. - Der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse liefert dir den Wert für \(b\). - Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner, um die Brüche zu beseitigen und die Form \(Ax + By = C\) zu erhalten.

1. Gerade \(a\): - Steigung \(m\) mit den Punkten \((0 \mid {-2})\) und \((3 \mid 0)\): \(m = \frac{0 - (-2)}{3 - 0} = \frac{2}{3}\). - \(y\)-Achsenabschnitt \(b = -2\). - Explizite Form: \(y = \frac{2}{3}x - 2\). - Umformung zur impliziten Form: \(3y = 2x - 6 \Rightarrow 2x - 3y = 6\). 2. Gerade \(b\): - Steigung \(m\) mit den Punkten \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\): \(m = \frac{0 - 3}{3 - 0} = -1\). - \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3\). - Explizite Form: \(y = -x + 3\). - Umformung zur impliziten Form: \(x + y = 3\).

Gerade \(a\): \(y = \frac{2}{3}x - 2\) und \(2x - 3y = 6\); Gerade \(b\): \(y = -x + 3\) und \(x + y = 3\).

- Suche zuerst den Schnittpunkt jeder Geraden mit der senkrechten Achse. - Wähle zwei Punkte auf dem Gitter aus, um die Steigung mit einem Steigungsdreieck zu bestimmen. - Erinnere dich an die allgemeine Form \(y = mx + b\), wobei \(m\) die Steigung und \(b\) der \(y\)-Achsenabschnitt ist.

1. Bestimmung von \(f\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(b = -2\). Mit dem Steigungsdreieck zwischen \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 1)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{1 - (-2)}{2 - 0} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Somit gilt \(f(x) = 1{,}5x - 2\). 2. Bestimmung von \(g\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(b = 3\). Die Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 6\), also ist die Steigung \(m = \frac{0 - 3}{6 - 0} = -0{,}5\). Somit gilt \(g(x) = -0{,}5x + 3\). 3. Bestimmung von \(h\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(b = 1\). Ein weiterer gut ablesbarer Punkt ist \((3 \mid 2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{2 - 1}{3 - 0} = \frac{1}{3}\). Somit gilt \(h(x) = \frac{1}{3}x + 1\).

\(f(x) = 1{,}5x - 2\); \(g(x) = -0{,}5x + 3\); \(h(x) = \frac{1}{3}x + 1\)

- Wo schneidet die Gerade die senkrechte Achse? Dieser Wert gibt dir den Startwert oder die Grundgebühr an. - Wie viel teurer wird die Fahrt pro Kilometer? Das ist die Steigung. - Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet \(y = mx + n\).

1. Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt \(n\). Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 4\), also ist \(n = 4\). Dies entspricht der Grundgebühr von \(4\,\text{€}\). 2. Bestimme die Steigung \(m\). Nutze dazu zwei Punkte auf der Geraden, zum Beispiel \(P_1(0 \mid 4)\) und den markierten Punkt \(P_2(3 \mid 10)\). 3. Berechne die Steigung: \(m = \frac{10 - 4}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2\). Dies entspricht dem Kilometerpreis von \(2\,\frac{\text{€}}{\text{km}}\). 4. Setze \(m\) und \(n\) in die allgemeine Form \(y = mx + n\) ein: \(y = 2x + 4\).

Die Funktionsgleichung lautet \(y = 2x + 4\).

- Wenn der \(y\)-Achsenabschnitt nicht genau auf einer ganzen Zahl liegt, berechne ihn mit einem Punkt und der Steigung. - Benutze die Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) für die Steigung. - Eine Gerade ohne Steigung verläuft parallel zur \(x\)-Achse. Wie sieht deren Gleichung aus?

1. Gerade \(f_1\): Die Gerade verläuft durch \((-2 \mid 2)\) und \((2 \mid 1)\). Die Steigung ist \(m = \frac{1 - 2}{2 - (-2)} = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(1{,}5\). Gleichung: \(y = -0{,}25x + 1{,}5\). 2. Gerade \(f_2\): Die Gerade geht durch \((0 \mid -2)\) und \((1 \mid 1)\). Die Steigung ist \(m = \frac{1 - (-2)}{1 - 0} = 3\). Mit \(b = -2\) ergibt sich \(y = 3x - 2\). 3. Gerade \(f_3\): Dies ist eine konstante Funktion mit dem Funktionswert \(2\). Die Gleichung ist \(y = 2\).

\(f_1: y = -0{,}25x + 1{,}5\); \(f_2: y = 3x - 2\); \(f_3: y = 2\).

- Schau dir an, wo der Graph die Achsen des Koordinatensystems schneidet. - Wähle einen Punkt auf der Geraden aus und setze seine Koordinaten in die Gleichungen ein. - Wenn ein Punkt eine Gleichung zu einer wahren Aussage macht, gehört er zum Graphen dieser Gleichung.

1. Ablesen markanter Punkte vom Graphen: Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid 6)\), die Nullstelle liegt bei \((3 \mid 0)\). 2. Überprüfung der Gleichungen durch Einsetzen dieser Punkte: - A: \(2 \cdot 0 + 6 = 6\) (wahr) und \(2 \cdot 3 + 0 = 6\) (wahr). Gleichung A ist korrekt. - B: \(2 \cdot 0 - 6 = -6 \neq 6\). - C: \(0 + 2 \cdot 6 = 12 \neq 6\). - D: \(0 - 2 \cdot 6 = -12 \neq 6\). 3. Alternativ: Bestimmung der Steigung \(m = \frac{0 - 6}{3 - 0} = -2\) und des Achsenabschnitts \(n = 6\). Die Funktionsgleichung lautet \(y = -2x + 6\), was umgeformt \(2x + y = 6\) ergibt.

Die korrekte Gleichung ist A: \(2x + y = 6\).

- Stell dir die Kilometer und die Kosten als Punkte in einem Koordinatensystem vor. - Wie viel teurer wird die Fahrt, wenn man eine bestimmte Anzahl an Kilometern mehr fährt? - Was bleibt von den Kosten übrig, wenn man den fahrtabhängigen Teil vom Gesamtpreis abzieht?

1. Berechnung der Steigung \(m\) (Kosten pro km): \(m = \frac{K_2 - K_1}{s_2 - s_1} = \frac{32 - 17}{25 - 10} = \frac{15}{15} = 1\). Der Preis beträgt \(1{,}00\,\text{€/km}\). 2. Berechnung des y-Achsenabschnitts \(b\) (Grundgebühr): Einsetzen eines Punktes in \(K(s) = ms + b\), zum Beispiel \((10; 17)\): \(17 = 1 \cdot 10 + b \Rightarrow 17 = 10 + b \Rightarrow b = 7\). Die Grundgebühr beträgt \(7{,}00\,\text{€}\). 3. Funktionsgleichung: \(K(s) = 1 \cdot s + 7\) (oder \(K(s) = s + 7\)). 4. Kosten für \(40\,\text{km}\): \(K(40) = 1 \cdot 40 + 7 = 47\). Eine Fahrt über \(40\,\text{km}\) kostet \(47{,}00\,\text{€}\).

a) \(K(s) = 1 \cdot s + 7\) (mit \(K\) in € und \(s\) in km) b) Die Grundgebühr beträgt \(7{,}00\,\text{€}\). c) Eine Lieferung über \(40\,\text{km}\) kostet \(47{,}00\,\text{€}\).

- Wie viel Liter fließen in einer einzigen Minute in das Becken? - Wie viel Wasser muss insgesamt noch hinzugefügt werden, um das Maximum zu erreichen? - Überlege, was die Steigung in diesem Sachzusammenhang bedeutet. Wenn weniger Wasser pro Zeit fließt, wird die Gerade dann steiler oder flacher? - Wie hängen Zuflussgeschwindigkeit und Zeitdauer bei gleicher Menge zusammen?

1. Berechnung der Zuflussrate: \(150\,\text{l} : 20\,\text{min} = 7{,}5\,\text{l/min}\). 2. Funktionsgleichung: Mit dem Startwert \(200\,\text{l}\) ergibt sich \(V(t) = 7{,}5t + 200\). 3. Berechnung der Fülldauer: Das Becken ist voll, wenn \(V(t) = 1200\). \(1200 = 7{,}5t + 200 \Rightarrow 1000 = 7{,}5t \Rightarrow t = \frac{1000}{7{,}5} = 133\frac{1}{3}\,\text{Minuten}\). 4. Umrechnung: \(133\frac{1}{3}\,\text{Minuten} = 2\,\text{Stunden}\) (\(120\,\text{min}\)) und \(13\frac{1}{3}\,\text{Minuten}\) (\(13\,\text{min}\,20\,\text{s}\)). 5. Analyse der Änderung: Wenn sich der Zufluss halbiert, halbiert sich die Steigung der Geraden (\(m = 3{,}75\)). Da die zu füllende Differenz (\(1000\,\text{l}\)) gleich bleibt, verdoppelt sich die benötigte Zeit auf \(266\frac{2}{3}\,\text{Minuten}\).

a) Zuflussrate: \(7{,}5\,\text{l/min}\); Funktionsgleichung: \(V(t) = 7{,}5t + 200\). b) Das Becken ist nach \(2\,\text{Stunden}\), \(13\,\text{Minuten}\) und \(20\,\text{Sekunden}\) voll. c) Die Steigung des Graphen würde sich halbieren (der Graph wird flacher). Die benötigte Zeit bis zur vollständigen Füllung würde sich verdoppeln.

- Bei einer linearen Funktion ist die Änderung der y-Werte proportional zur Änderung der x-Werte. Wie viel ändert sich \(y\), wenn \(x\) um \(1\) größer wird? - Wenn du die Steigung kennst und einen Punkt hast, wie findest du dann den Achsenabschnitt?

1. Steigung der ursprünglichen Funktion berechnen: \(m = \frac{5{,}5 - 4}{5 - 2} = \frac{1{,}5}{3} = 0{,}5\). 2. Wert \(y_3\) für \(x = 11\) bestimmen: \(y_3 = 5{,}5 + (11 - 5) \cdot 0{,}5 = 5{,}5 + 3 = 8{,}5\). 3. Neue Steigung für \(h\): \(m_h = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). 4. y-Achsenabschnitt für \(h\) berechnen: Einsetzen von \((2 \mid 4)\) in \(4 = 1 \cdot 2 + n_h\) ergibt \(n_h = 2\). 5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(h(x) = 1x + 2\) bzw. \(h(x) = x + 2\).

a) Der Wert muss \(y_3 = 8{,}5\) sein. b) Die neue Funktionsgleichung lautet \(h(x) = x + 2\).

- Achte auf das Vorzeichen der Steigung, da die Temperatur sinkt. - Was bedeutet „Meereshöhe“ mathematisch für den Wert von \(h\)? - Bei der Nullgradgrenze ist das Ergebnis der Temperaturrechnung bekannt. Wie findest du die zugehörige Höhe?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \((500 \mid 12)\) und \((3000 \mid -3)\): \(m = \frac{-3 - 12}{3000 - 500} = \frac{-15}{2500} = -0{,}006\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen eines Punktes in \(T(h) = -0{,}006h + b\): \(12 = -0{,}006 \cdot 500 + b \Rightarrow 12 = -3 + b \Rightarrow b = 15\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(T(h) = -0{,}006h + 15\). 4. Die Temperatur auf Meereshöhe (\(h = 0\)) entspricht \(b\), also \(15\,^\circ\text{C}\). 5. Berechnung der Nullgradgrenze durch Nullsetzen der Funktion: \(0 = -0{,}006h + 15 \Rightarrow 0{,}006h = 15 \Rightarrow h = \frac{15}{0{,}006} = 2500\). Die Nullgradgrenze liegt in \(2500\,\text{m}\) Höhe.

a) \(T(h) = -0{,}006h + 15\) b) Auf Meereshöhe beträgt die Temperatur \(15\,^\circ\text{C}\). c) Die Nullgradgrenze liegt in \(2500\,\text{m}\) Höhe.

- Nutze die Formel für die Steigung \(m\) zwischen zwei Punkten. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Koordinaten mit Minuszeichen voneinander abziehst. - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{-1 - 7}{2 - (-2)} = \frac{-8}{4} = -2\). 2. Bestimmung von \(c\): Einsetzen von \(B(2 \mid -1)\) in \(y = -2x + c\): \(-1 = -2 \cdot 2 + c \Rightarrow -1 = -4 + c \Rightarrow c = 3\). Die Gleichung ist \(f(x) = -2x + 3\). 3. Berechnung für \(x = 5\): \(f(5) = -2 \cdot 5 + 3 = -7\). 4. Berechnung für \(f(x) = 10\): \(10 = -2x + 3 \Rightarrow 7 = -2x \Rightarrow x = -3{,}5\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 3\). b) Die fehlenden Werte sind: Für \(x = 5\) ist \(f(x) = -7\). Für \(f(x) = 10\) ist \(x = -3{,}5\).

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche geometrische Form entsteht zwischen den Achsen und einer Geraden? - Welche Maße des Dreiecks kannst du direkt aus den Achsenschnittpunkten ablesen?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 6}{4 - (-2)} = \frac{-9}{6} = -1{,}5\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(A(-2 \mid 6)\): \(6 = -1{,}5 \cdot (-2) + n \implies 6 = 3 + n \implies n = 3\). Funktionsgleichung: \(f(x) = -1{,}5x + 3\). 3. Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(3\) (Höhe des Dreiecks). Die Nullstelle ist \(0 = -1{,}5x + 3 \implies 1{,}5x = 3 \implies x = 2\) (Basis des Dreiecks). 4. Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Basis} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -1{,}5x + 3\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten).

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Kannst du die textlichen Informationen direkt in die Form \(mt + b\) übersetzen? - Achte darauf, welche Zahl für die Geschwindigkeit und welche für den Startwert steht. - Setze für den Vergleich den Wert \(10\) in alle deine Formeln ein.

1. Aufstellen der Gleichungen: Flüssigkeit 1: Gegeben als \(T_1(t) = 4t + 20\). Flüssigkeit 2: Startwert \(b=15\), Steigung \(m=5\). Also \(T_2(t) = 5t + 15\). Flüssigkeit 3: Steigung \(m = \frac{35 - 26}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3\). Einsetzen eines Punktes: \(26 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow 26 = 6 + b \Rightarrow b = 20\). Also \(T_3(t) = 3t + 20\). 2. Vergleich der Anfangstemperaturen (\(b\)-Werte): Flüssigkeit 1 (\(20\,^\circ\text{C}\)) und Flüssigkeit 3 (\(20\,^\circ\text{C}\)) liegen gemeinsam vorn. 3. Vergleich der Erwärmungsraten (\(m\)-Werte): Flüssigkeit 2 erwärmt sich mit \(5\,^\circ\text{C/min}\) am schnellsten. 4. Berechnung für \(t=10\): \(T_1(10) = 4 \cdot 10 + 20 = 60\,^\circ\text{C}\). \(T_2(10) = 5 \cdot 10 + 15 = 65\,^\circ\text{C}\). \(T_3(10) = 3 \cdot 10 + 20 = 50\,^\circ\text{C}\).

a) \(T_1(t) = 4t + 20\); \(T_2(t) = 5t + 15\); \(T_3(t) = 3t + 20\). b) Flüssigkeit 1 und 3 haben mit \(20\,^\circ\text{C}\) die höchste Anfangstemperatur. c) Flüssigkeit 2 erwärmt sich am schnellsten (\(5\,^\circ\text{C/min}\)). d) Nach \(10\,\text{Minuten}\): Flüssigkeit 1: \(60\,^\circ\text{C}\), Flüssigkeit 2: \(65\,^\circ\text{C}\), Flüssigkeit 3: \(50\,^\circ\text{C}\).

- Wie hängen der \(y\)-Achsenabschnitt und die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse zusammen? - Wenn du die Steigung veränderst, wie wirkt sich das grafisch auf die Steilheit der Geraden aus? - Vergleiche die Ergebnisse der Berechnungen für \(x\) am Ende. Siehst du ein mathematisches Verhältnis?

1. Steigung \(f\): \(m = \frac{0 - (-2)}{3 - 0} = \frac{2}{3}\). Da \(S_y(0 | -2)\) gegeben ist, ist \(n = -2\). Gleichung: \(y = \frac{2}{3}x - 2\). 2. Gerade \(p\): Steigung verdoppeln: \(m_p = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Gleicher \(y\)-Achsenabschnitt: \(n = -2\). Gleichung: \(y = \frac{4}{3}x - 2\). 3. Schnittpunkt von \(p\) mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): \(0 = \frac{4}{3}x - 2 \Rightarrow 2 = \frac{4}{3}x \Rightarrow x = 2 \cdot \frac{3}{4} = 1{,}5\). Ergebnis: \(S_{x,p}(1{,}5 | 0)\). 4. Vergleich: Der \(x\)-Achsenabschnitt von \(f\) liegt bei \(3\), der von \(p\) bei \(1{,}5\). Bei doppelter Steigung und gleichem (negativen) \(y\)-Achsenabschnitt halbiert sich der \(x\)-Achsenabschnitt.

a) Steigung \(m = \frac{2}{3}\); Gleichung \(y = \frac{2}{3}x - 2\) b) Gleichung \(p: y = \frac{4}{3}x - 2\) c) Der neue Schnittpunkt ist \(S_{x,p}(1{,}5 | 0)\). Der \(x\)-Wert hat sich im Vergleich zu \(A(3 | 0)\) halbiert.

- Was wissen wir über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander liegen? - Was ist die Bedingung für einen Punkt, der auf der x-Achse liegt (Nullstelle)? - Kannst du die Informationen über den Punkt und die Steigung nutzen, um eine neue Gleichung aufzustellen?

1. Bestimmung von \(k\): Da \(k \parallel h\), ist \(m_k = \frac{2}{3}\). Einsetzen von \(P(6 | 1)\) in \(y = \frac{2}{3}x + t\): \(1 = \frac{2}{3} \cdot 6 + t \Rightarrow 1 = 4 + t \Rightarrow t = -3\). Somit ist \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\). 2. Nullstelle von \(k\): Setze \(k(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{2}{3}x - 3 \Rightarrow 3 = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(l\): Die Gerade \(l\) geht durch \((4{,}5 | 0)\) mit \(m = -2\). Einsetzen in \(y = mx + t\): \(0 = -2 \cdot 4{,}5 + t \Rightarrow 0 = -9 + t \Rightarrow t = 9\). 4. Ergebnis: \(l(x) = -2x + 9\).

a) \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\) b) \(x = 4{,}5\) c) \(l(x) = -2x + 9\)

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt bei einer der Geraden direkt aus einem Punkt ablesen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionsterme am Schnittpunkt?

1. Für \(f\) gilt \(m_f = \frac{9 - 1}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2\). Einsetzen von \(B(3|9)\) ergibt \(9 = 2 \cdot 3 + b\), also \(b = 3\). Damit ist \(f(x) = 2x + 3\). 2. Für \(g\) gilt \(m_g = \frac{0 - 10}{5 - 0} = -2\). Durch \(C(0|10)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(10\) gegeben. Damit ist \(g(x) = -2x + 10\). 3. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(2x + 3 = -2x + 10\). Daraus folgt \(4x = 7\), also \(x = 1{,}75\). 4. Einsetzen in \(f\): \(f(1{,}75) = 2 \cdot 1{,}75 + 3 = 6{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}75|6{,}5)\).

a) \(f(x) = 2x + 3\) und \(g(x) = -2x + 10\) b) \(S(1{,}75|6{,}5)\)

- Wie hängen die Steigungen zweier paralleler Geraden zusammen? - Wie führt man eine Punktprobe durch? - Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf der y-Achse liegt?

1. Berechnung der Steigung \(m_k\) für Gerade \(k\): \(m_k = \frac{-3 - 5}{-2 - 2} = \frac{-8}{-4} = 2\). 2. Berechnung von \(b_k\): \(5 = 2 \cdot 2 + b_k \Rightarrow b_k = 1\). Funktionsgleichung \(k(x) = 2x + 1\). 3. Punktprobe für \(C(5|11)\): \(k(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 11\). Da \(11 = 11\), liegt der Punkt auf der Geraden. 4. Bestimmung von \(l\): Parallelität bedeutet gleiche Steigung, also \(m_l = 2\). Einsetzen von \(P(1|1)\): \(1 = 2 \cdot 1 + b_l \Rightarrow b_l = -1\). Funktionsgleichung \(l(x) = 2x - 1\). 5. Schnittpunkt mit der y-Achse von \(k\): Der x-Wert ist \(0\), also \(k(0) = 1\). Der Punkt ist \(S_y(0|1)\).

a) \(k(x) = 2x + 1\) b) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden, da die Gleichung \(11 = 2 \cdot 5 + 1\) erfüllt ist. c) \(l(x) = 2x - 1\) d) Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|1)\).

- Wie viele Minuten liegen zwischen den beiden Zeitangaben? - Um wie viele Prozentpunkte ist der Ladestand in dieser Zeitspanne gesunken? - Wie lange dauert es, bis genau ein Prozentpunkt Ladung verbraucht ist? - Wie viel Zeit muss vergangen sein, um von \(100\,\%\) auf den ersten Messwert bei \(80\,\%\) zu kommen? - Wie viel Zeit vergeht insgesamt, bis der Akku von \(100\,\%\) auf \(0\,\%\) sinkt?

1. Bestimmung der Zeitdifferenz zwischen 10:00 Uhr und 11:20 Uhr: \(80\,\text{Minuten}\). 2. Bestimmung der Ladungsdifferenz: Der Ladestand sinkt von \(80\,\%\) auf \(60\,\%\), also um \(20\) Prozentpunkte. 3. Berechnung des Verlusts pro Minute: \(20 : 80 = 0{,}25\). Der Ladungsverlust beträgt \(0{,}25\) Prozentpunkte pro Minute. 4. Umrechnung in den Verlust pro Stunde: \(0{,}25 \cdot 60 = 15\). Der Ladungsverlust beträgt \(15\) Prozentpunkte pro Stunde. 5. Berechnung der Zeit für einen Rückgang von \(100\,\%\) auf \(80\,\%\), also um \(20\) Prozentpunkte: \(20 : 0{,}25 = 80\,\text{Minuten}\). 6. Ermittlung des Startzeitpunkts: \(10{:}00\,\text{Uhr} - 80\,\text{min} = 08{:}40\,\text{Uhr}\). 7. Berechnung der Gesamtnutzungsdauer von \(100\,\%\) bis \(0\,\%\), also für einen Verlust von \(100\) Prozentpunkten: \(100 : 0{,}25 = 400\,\text{Minuten}\). 8. Umrechnung der Gesamtdauer: \(400\,\text{min} = 6\,\text{Stunden}\) und \(40\,\text{Minuten}\). 9. Ermittlung des Ausschaltzeitpunkts: \(08{:}40\,\text{Uhr} + 6\,\text{h}\,40\,\text{min} = 15{:}20\,\text{Uhr}\).

a) Der Ladungsverlust beträgt \(15\) Prozentpunkte pro Stunde. b) Das Handy wurde um 08:40 Uhr vom Stromnetz getrennt. c) Das Handy wird sich um 15:20 Uhr ausschalten.

- Was bedeutet „gleichmäßig abbrennen“ für den Typ der Funktion, die du hier suchst? - Wie kannst du für jede Kerze einzeln die Anfangshöhe und die Geschwindigkeit des Abbrennens berechnen? - Kannst du aus den Zeit- und Höhenangaben für jede Kerze zwei Gleichungen aufstellen? - Vergleiche am Ende die berechneten Werte für die Anfangshöhe und die Rate.

1. Modellierung der Höhe durch \(h(t) = h_0 - rt\), wobei \(r\) die Abbrandrate ist. 2. Für Kerze A: System aus \(h_0 - 2r = 16\) und \(h_0 - 5r = 10\). Differenzbildung ergibt \(3r = 6\), also \(r_A = 2\,\text{cm/h}\). Einsetzen ergibt \(h_{0A} = 16 + 2 \cdot 2 = 20\,\text{cm}\). 3. Für Kerze B: System aus \(h_0 - 3r = 15\) und \(h_0 - 6r = 8{,}1\). Differenzbildung ergibt \(3r = 6{,}9\), also \(r_B = 2{,}3\,\text{cm/h}\). Einsetzen ergibt \(h_{0B} = 15 + 3 \cdot 2{,}3 = 21{,}9\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Kerze B war mit \(21{,}9\,\text{cm}\) zu Beginn höher als Kerze A (\(20\,\text{cm}\)) und brennt mit \(2{,}3\,\text{cm/h}\) schneller ab als Kerze A (\(2\,\text{cm/h}\)).

Kerze B war zu Beginn mit \(21{,}9\,\text{cm}\) höher als Kerze A (\(20\,\text{cm}\)). Zudem brennt Kerze B mit \(2{,}3\,\text{cm/h}\) schneller ab als Kerze A (\(2\,\text{cm/h}\)).