Kostenlose Arbeitsblätter

- Schau dir an, wie stark der Wasserstand von einer Stunde zur nächsten zunimmt. Ist dieser Wert immer gleich? - Überlege dir, welcher Wert am Anfang (bei 0 Stunden) schon da war. - Wie oft musst du die stündliche Zunahme dazurechnen, wenn \(t\) Stunden vergangen sind? - Für Teilaufgabe d) kannst du den Wert entweder aus deiner Zeichnung ablesen oder genau ausrechnen.

1. Bestimmung der Steigung: Die Differenz des Wasserstands pro Stunde beträgt \(25 - 10 = 15\,\text{cm}\), \(40 - 25 = 15\,\text{cm}\) usw. Der Wasserstand steigt also um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. 2. Aufstellen des Terms: Der Startwert bei \(t = 0\) ist \(10\). Die Zunahme beträgt \(15 \cdot t\). Der Term lautet: \(h(t) = 10 + 15 \cdot t\). 3. Berechnung für \(2{,}5\,\text{Stunden}\): Einsetzen von \(t = 2{,}5\) in den Term: \(10 + 15 \cdot 2{,}5 = 10 + 37{,}5 = 47{,}5\). Der Wasserstand nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt \(47{,}5\,\text{cm}\).

a) Die Punkte werden entsprechend der Tabelle eingetragen und zu einer Geraden verbunden. b) Der Wasserstand steigt um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. c) Der Term lautet \(h(t) = 10 + 15 \cdot t\). d) Nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt der Wasserstand \(47{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Form haben Funktionsgleichungen von Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen? - Was sagt der y-Wert eines Punktes über seine vertikale Position im Koordinatensystem aus? - Wie kannst du feststellen, ob eine Zahl größer oder kleiner als eine negative Zahl ist?

1. Da die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, hat sie die Form \(y = c\). Da sie durch \(A(-4| -7)\) geht, muss \(c = -7\) sein. Die Gleichung lautet \(y = -7\). 2. Vergleich der y-Koordinaten mit dem Wert der Geraden (\(y = -7\)): - Punkt \(B(-4| -5)\): Die y-Koordinate \(-5\) ist größer als \(-7\), also liegt \(B\) oberhalb der Geraden. - Punkt \(C(10| -7)\): Die y-Koordinate \(-7\) ist gleich \(-7\), also liegt \(C\) auf der Geraden. - Punkt \(D(0| -10)\): Die y-Koordinate \(-10\) ist kleiner als \(-7\), also liegt \(D\) unterhalb der Geraden.

Die Funktionsgleichung lautet \(y = -7\). Der Punkt \(B\) liegt oberhalb der Geraden (\(-5 > -7\)). Der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden (\(-7 = -7\)). Der Punkt \(D\) liegt unterhalb der Geraden (\(-10 < -7\)).

- Überlege, welchen festen Wert eine Koordinate immer hat, wenn ein Punkt direkt auf einer der Achsen liegt. - Wie kannst du die Steigung nutzen, um ausgehend vom Achsenabschnitt weitere Punkte für die Gerade zu finden? - Was bedeutet es für die Zeichnung, wenn zwei Funktionen denselben Schnittpunkt mit einer Achse haben?

1. Zeichnen der Geraden für \(f\): Start beim \(y\)-Achsenabschnitt \(-1{,}5\), Steigung \(0{,}75\) (3 Einheiten nach oben, 4 nach rechts). 2. Ablesen der Achsenschnittpunkte für \(f\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_{y1}(0|-1{,}5)\), Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_{x1}(2|0)\). 3. Zeichnen der Geraden für \(g\): Start beim \(y\)-Achsenabschnitt \(4\), Steigung \(-2\) (2 Einheiten nach unten, 1 nach rechts). 4. Ablesen der Achsenschnittpunkte für \(g\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_{y2}(0|4)\), Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_{x2}(2|0)\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Beide Graphen schneiden die \(x\)-Achse im selben Punkt \((2|0)\).

Die Schnittpunkte für \(f\) sind \(S_{y1}(0|-1{,}5)\) und \(S_{x1}(2|0)\). Die Schnittpunkte für \(g\) sind \(S_{y2}(0|4)\) und \(S_{x2}(2|0)\). Besonderheit: Beide Graphen haben denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse oder der \(y\)-Achse liegt? - Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Längen der Katheten bekannt sind? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt eine Funktionsgleichung erfüllt?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 0{,}75 \cdot 0 - 3 = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Berechnung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(0{,}75x - 3 = 0 \Rightarrow 0{,}75x = 3 \Rightarrow x = 4\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(4\) und \(3\). Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\). Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). 4. Punktprobe für \(Q(2 \mid -1{,}5)\): \(f(2) = 0{,}75 \cdot 2 - 3 = 1{,}5 - 3 = -1{,}5\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(Q\) auf dem Graphen.

a) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(4 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -3)\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). c) Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf dem Graphen, da der berechnete Funktionswert \(f(2) = -1{,}5\) mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt.

- Was bedeutet „nach unten“ für das Vorzeichen der vertikalen Änderung? - Wie hängen die Schritte im Steigungsdreieck mit der Steigung \( m \) zusammen? - Aus welchen zwei festen Bestandteilen setzt sich eine lineare Funktionsgleichung zusammen?

1. Den y-Achsenabschnitt direkt aus dem Text ablesen: \( b = -3 \). 2. Die Steigung \( m \) aus den Angaben des Steigungsdreiecks bestimmen: Die horizontale Änderung ist \( \Delta x = 4 \), die vertikale Änderung ist \( \Delta y = -3 \) (da es nach unten geht). 3. Die Steigung berechnen: \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-3}{4} = -0{,}75 \). 4. Die Werte in die allgemeine Form \( f(x) = mx + b \) einsetzen: \( f(x) = -0{,}75x - 3 \).

\( f(x) = -0{,}75x - 3 \) (oder \( f(x) = -\frac{3}{4}x - 3 \))

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Gerade flach wie der Horizont liegt? - Was wissen wir über den \(y\)-Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. Eine vertikale Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben bedeutet eine Addition von \(5\) zum \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). Da \(t = -3\), ist der neue Wert \(t = -3 + 5 = 2\). Die Steigung \(m = 2\) bleibt gleich. Die neue Gleichung lautet \(f(x) = 2x + 2\). 2. Eine Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse, wenn ihre Steigung \(m = 0\) ist. Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\) gleich bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = -3\). 3. Damit eine Gerade durch den Ursprung \((0|0)\) verläuft, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\) sein. Da die Steigung \(m = 2\) unverändert bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = 2x\).

a) \(t\) erhöht sich um \(5\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x + 2\). b) \(m\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = -3\). c) \(t\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x\).

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung ein? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der Geraden liegt? - Wenn die y-Koordinate bekannt ist, wie kannst du die Gleichung nach dem unbekannten x-Wert auflösen?

1. Punktprobe für \(A(-2|6)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(y = -1{,}5 \cdot (-2) + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 = 6\), liegt \(A\) auf der Geraden. 2. Punktprobe für \(B(4|-3)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(y = -1{,}5 \cdot 4 + 3 = -6 + 3 = -3\). Da \(-3 = -3\), liegt \(B\) auf der Geraden. 3. Berechnung von \(k\) für \(C(k|0)\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt die Gleichung \(0 = -1{,}5k + 3\). 4. Umstellen nach \(k\): \(1{,}5k = 3 \Rightarrow k = 2\).

a) Ja, beide Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden. b) Der Wert für \(k\) ist \(2\).

- Was gibt der Wert vor dem \(x\) in der Funktionsgleichung über die Steigung an? - Wie berechnet man die Steigung, wenn man weiß, wie weit man nach rechts und wie weit man nach oben geht? - Spielt es eine Rolle, ob man in Zentimetern, Einheiten oder Kästchen rechnet, solange man auf beiden Achsen denselben Maßstab nutzt? - Was passiert mit dem Vorzeichen der Steigung, wenn man sich nach links oder nach unten bewegt?

Die Steigung der Funktion beträgt \(m = 1{,}2\). Für ein korrektes Steigungsdreieck muss das Verhältnis von vertikaler Änderung (\(\Delta y\)) zu horizontaler Änderung (\(\Delta x\)) gleich der Steigung \(m\) sein: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). 1. \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = 6\). Verhältnis: \(\frac{6}{5} = 1{,}2\). Korrekt. 2. \(\Delta x = 10\), \(\Delta y = 12\). Verhältnis: \(\frac{12}{10} = 1{,}2\). Korrekt. (Die Einheit Kästchen kürzt sich im Verhältnis heraus). 3. \(\Delta x = 2\), \(\Delta y = 2{,}4\). Verhältnis: \(\frac{2{,}4}{2} = 1{,}2\). Korrekt. 4. \(\Delta x = 6\), \(\Delta y = 5\). Verhältnis: \(\frac{5}{6} \approx 0{,}83\). Falsch. 5. \(\Delta x = -5\) (links), \(\Delta y = -6\) (unten). Verhältnis: \(\frac{-6}{-5} = 1{,}2\). Korrekt.

1. Korrekt 2. Korrekt 3. Korrekt 4. Falsch 5. Korrekt

- Welche x-Werte führen bei einem Bruch als Steigung zu einem ganzzahligen Ergebnis? - Der y-Achsenabschnitt ist oft ein guter erster Punkt. - Überlege dir, wie du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln kannst.

1. Für die Funktion \(f(x) = \frac{3}{5}x - 1\): Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache des Nenners \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(f(0) = \frac{3}{5} \cdot 0 - 1 = -1\). Punkt: \((0|-1)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(f(5) = \frac{3}{5} \cdot 5 - 1 = 3 - 1 = 2\). Punkt: \((5|2)\). 2. Für die Funktion \(g(x) = -1{,}2x + 2\): Schreibe die Steigung als Bruch: \(-1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\). Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache von \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(g(0) = -1{,}2 \cdot 0 + 2 = 2\). Punkt: \((0|2)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(g(5) = -1{,}2 \cdot 5 + 2 = -6 + 2 = -4\). Punkt: \((5|-4)\).

Mögliche Punkte sind: a) \((0|-1)\) und \((5|2)\) b) \((0|2)\) und \((5|-4)\)

- Wie ist die Steigung \(m\) allgemein über die Änderungen von \(x\) und \(y\) definiert? - Was bedeutet eine Bewegung nach links oder nach unten für das Vorzeichen der Werte? - Kannst du die Brüche kürzen, um sie besser vergleichen zu können?

1. Berechnung der Steigung für den ersten Weg: Die Änderung in \(x\)-Richtung ist \(\Delta x = 4\), die Änderung in \(y\)-Richtung ist \(\Delta y = 3\). Das ergibt \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 2. Berechnung der Steigung für den zweiten Weg: Die Änderung in \(x\)-Richtung ist \(\Delta x = -8\) (nach links), die Änderung in \(y\)-Richtung ist \(\Delta y = -6\) (nach unten). Das ergibt \(m = \frac{-6}{-8} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). Ergebnis: Beide Wege sind korrekt, da sie denselben Steigungswert \(0{,}75\) ergeben.

Ja, beide Wege führen zur richtigen Steigung. Bei Weg 1 ergibt sich \(m = \frac{3}{4} = 0{,}75\), bei Weg 2 ergibt sich \(m = \frac{-6}{-8} = 0{,}75\).

- Wie berechnet man die Steigung aus den Schritten eines Steigungsdreiecks? - Was bedeutet eine Bewegung nach links oder nach unten für das Vorzeichen der Zahlen? - Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, um die Schritte leichter zu vergleichen?

Die Steigung \(m\) berechnet sich durch den Quotienten aus der vertikalen Änderung \(\Delta y\) und der horizontalen Änderung \(\Delta x\): \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). Gegeben ist \(m = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). 1. Prüfung a): \(\Delta x = 10\), \(\Delta y = 6\). Steigung \(\frac{6}{10} = 0{,}6\). Ergebnis: Korrekt. 2. Prüfung b): \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = 3\). Steigung \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). Ergebnis: Korrekt. 3. Prüfung c): \(\Delta x = 1\), \(\Delta y = -0{,}6\) (nach unten). Steigung \(\frac{-0{,}6}{1} = -0{,}6\). Ergebnis: Falsch. 4. Prüfung d): \(\Delta x = -5\) (nach links), \(\Delta y = -3\) (nach unten). Steigung \(\frac{-3}{-5} = 0{,}6\). Ergebnis: Korrekt.

a) Korrekt. b) Korrekt. c) Falsch (die Steigung wäre \(-0{,}6\)). d) Korrekt.

- Welche Zahl in der Funktionsgleichung gibt die Steigung an? - Erinnere dich an die Formel \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). - Überlege, ob negative Werte für \(\Delta x\) oder \(\Delta y\) die Steigung verändern.

Die Steigung der Funktion ist \(m = -\frac{3}{4} = -0{,}75\). 1. Analyse Weg 1: Horizontale Änderung \(\Delta x = 4\), vertikale Änderung \(\Delta y = -3\). Berechnung: \(\frac{-3}{4} = -0{,}75\). Ergebnis: Korrekt. 2. Analyse Weg 2: Horizontale Änderung \(\Delta x = 1\), vertikale Änderung \(\Delta y = -0{,}75\). Berechnung: \(\frac{-0{,}75}{1} = -0{,}75\). Ergebnis: Korrekt, jedoch zeichnerisch mit Kästchen schwer exakt umsetzbar. 3. Analyse Weg 3: Horizontale Änderung \(\Delta x = -8\), vertikale Änderung \(\Delta y = 6\). Berechnung: \(\frac{6}{-8} = -0{,}75\). Ergebnis: Korrekt.

Alle drei Wege sind mathematisch korrekt, da sie jeweils die Steigung \(m = -0{,}75\) ergeben. Weg 1 und Weg 3 sind in einem Karo-Heft am einfachsten einzuzeichnen, da sie nur ganze Kästchen verwenden.

- Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Wert zu \(f(x)\) addiert wird? - Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder kreuzt? - Überlege dir, was mit einem Punkt \((x | y)\) passiert, wenn man das Vorzeichen von \(x\) in der Funktionsgleichung umkehrt.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -2\), also \(S_y(0 | -2)\). Nullstelle: \(0 = \frac{2}{5}x - 2 \implies 2 = \frac{2}{5}x \implies x = 5\), also \(S_x(5 | 0)\). 2. Durch die Änderung von \(t = -2\) zu \(t = 2\) wird der Graph um \(4\) Einheiten in Richtung der positiven \(y\)-Achse verschoben. 3. Die Änderung des Vorzeichens der Steigung von \(m\) zu \(-m\) bei gleichbleibendem \(y\)-Achsenabschnitt entspricht einer Spiegelung des Graphen an der \(y\)-Achse.

1. Nullstelle \(S_x(5 | 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 | -2)\). 2. Der Graph wird um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Es handelt sich um eine Spiegelung an der \(y\)-Achse.

- Überlege dir, wo der Graph die Achsen schneidet. - Skizziere die Graphen in einem Koordinatensystem. - Was bedeutet eine positive oder negative Steigung für den Verlauf? - Was passiert, wenn der \(y\)-Achsenabschnitt Null ist?

1. Für \(f(x) = 1{,}5x - 3\): Die Steigung ist \(m = 1{,}5 > 0\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(n = -3\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0|-3)\) (IV. Quadrant oder Grenze zu III) und die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) (Grenze zwischen I und IV). Da die Gerade steigt, verläuft sie für \(x < 0\) im III. Quadranten, zwischen den Achsenschnittpunkten im IV. Quadranten und für \(x > 2\) im I. Quadranten. Ergebnis: I, III, IV. 2. Für \(g(x) = -x\): Dies ist eine Ursprungsgerade mit \(m = -1\) und \(n = 0\). Sie verläuft durch den Ursprung \((0|0)\). Da die Steigung negativ ist, verläuft sie vom II. in den IV. Quadranten. Ergebnis: II, IV. 3. Für \(h(x) = 4\): Dies ist eine waagerechte Gerade mit \(m = 0\) und \(n = 4\). Sie liegt parallel zur \(x\)-Achse oberhalb dieser. Damit verläuft sie durch alle Punkte mit positivem \(y\)-Wert. Ergebnis: I, II.

1) I, III, IV 2) II, IV 3) I, II

- Was weißt du über die Steigung einer Geraden und ihrer Bildgeraden bei einer Punktspiegelung? - Wie kannst du die Koordinaten eines gespiegelten Punktes berechnen, wenn das Zentrum gegeben ist? - Ein Punkt und die Steigung reichen aus, um eine Geradengleichung aufzustellen.

1. Eine Punktspiegelung einer Geraden führt zu einer parallelen Geraden. Die Steigung \(m = 1{,}5\) bleibt also erhalten: \(f'(x) = 1{,}5x + b\). 2. Wähle einen Punkt \(P\) auf der Geraden \(f\), zum Beispiel den y-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 2)\). 3. Berechne den Bildpunkt \(P'(x' \mid y')\) durch Spiegelung an \(Z(x_Z \mid y_Z)\) mit den Formeln \(x' = 2x_Z - x\) und \(y' = 2y_Z - y\). 4. Es ergibt sich \(x' = 2 \cdot 2 - 0 = 4\) und \(y' = 2 \cdot 1 - 2 = 0\), also \(P'(4 \mid 0)\). 5. Setze \(P'\) in die Gleichung \(f'(x) = 1{,}5x + b\) ein, um den y-Achsenabschnitt \(b\) zu bestimmen: \(0 = 1{,}5 \cdot 4 + b\). 6. Auflösen nach \(b\) ergibt \(0 = 6 + b \implies b = -6\). 7. Die Funktionsgleichung lautet \(f'(x) = 1{,}5x - 6\).

Die Funktionsgleichung der Bildgeraden lautet \(f'(x) = 1{,}5x - 6\).

- Welchen Wert hat die Länge, wenn noch gar keine Masse angehängt wurde? - Wie viel nimmt die Länge zu, wenn die Masse um ein bestimmtes Stück erhöht wird? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung zwischen zwei Punkten.

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): Aus der Tabelle folgt für \(x = 0\) der Wert \(y = 12{,}0\), also ist \(b = 12\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): Mit zwei Punkten, z. B. \((0|12)\) und \((50|14{,}5)\), ergibt sich \(m = \frac{14{,}5 - 12}{50 - 0} = \frac{2{,}5}{50} = 0{,}05\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(f(x) = 0{,}05x + 12\). 4. Interpretation: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 12\) gibt die Ausgangslänge der Feder ohne Belastung (\(12\,\text{cm}\)) an. Die Steigung \(m = 0{,}05\) gibt an, dass die Feder pro Gramm Masse um \(0{,}05\,\text{cm}\) (bzw. \(0{,}5\,\text{mm}\)) länger wird.

a) \(f(x) = 0{,}05x + 12\) b) \(b = 12\) ist die Anfangslänge der Feder in \(\text{cm}\); \(m = 0{,}05\) ist die Dehnung der Feder in \(\text{cm}\) pro Gramm.

- Wie verändert sich das Vorzeichen von \(x\) oder \(y\), wenn man an den Achsen spiegelt? - Welche Eigenschaft einer linearen Funktion bestimmt, ob zwei Geraden parallel sind? - Überlege dir, wie sich eine Spiegelung auf das Steigungsdreieck auswirkt.

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Ersetze \(x\) durch \(-x\). \(h_1(x) = -1{,}5(-x) + 6 = 1{,}5x + 6\). 2. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multipliziere den gesamten Funktionsterm mit \(-1\). \(h_2(x) = -(-1{,}5x + 6) = 1{,}5x - 6\). 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(h_1\) ist \(m_1 = 1{,}5\). Die Steigung von \(h_2\) ist \(m_2 = 1{,}5\). 4. Da \(m_1 = m_2\) gilt, sind die Graphen von \(h_1\) und \(h_2\) parallel zueinander. Sie haben lediglich unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(6\) und \(-6\)).

a) \(h_1(x) = 1{,}5x + 6\) b) \(h_2(x) = 1{,}5x - 6\) c) Ja, sie sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

- Was bedeutet es rechnerisch, wenn eine Funktion eine Nullstelle hat? - Denk an das Prinzip einer Funktion: Wie viele y-Werte darf ein x-Wert haben? - Wie sieht die Steigung einer waagerechten Geraden aus?

1. Prüfung von Aussage a: Eine Nullstelle liegt vor, wenn \(m \cdot x + n = 0\). Für \(m \neq 0\) lässt sich diese Gleichung eindeutig zu \(x = -\frac{n}{m}\) umformen. Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage b: Senkrechte Geraden (Parallelen zur \(y\)-Achse) haben die Form \(x = c\). Da einem \(x\)-Wert hier unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet werden, sind sie keine Funktionen und lassen sich nicht in der Form \(y = m \cdot x + n\) schreiben. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage c: Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m = 0\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = n\). Liegt sie nicht auf der \(x\)-Achse, gilt \(n \neq 0\). Da der Funktionswert für alle \(x\) konstant \(n\) ist, wird der Wert \(0\) nie erreicht. Die Aussage ist wahr.

a) Wahr. Die Gleichung \(m \cdot x + n = 0\) hat für \(m \neq 0\) genau eine Lösung \(x = -\frac{n}{m}\). b) Wahr. Senkrechte Geraden (\(x = c\)) können nicht als Funktion \(y = f(x)\) dargestellt werden. c) Wahr. Eine solche Gerade hat die Form \(y = n\) mit \(n \neq 0\) und schneidet die \(x\)-Achse daher nie.

- Was bedeutet es für den x-Wert oder y-Wert, wenn ein Graph eine Achse berührt? - Wie hängen die Schritte in einem Steigungsdreieck mit dem Wert vor dem \(x\) zusammen? - Welcher Teil der Gleichung bestimmt, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Stell dir vor, du schiebst die gesamte Gerade nach oben oder unten – welcher Parameter ändert sich dabei?

1. Berechnung der Schnittpunkte: Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) gesetzt, woraus \(f(0) = -3\) folgt; der Punkt ist \(S_y(0 | -3)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(1{,}5x - 3 = 0 \implies 1{,}5x = 3 \implies x = 2\). Der Punkt ist \(S_x(2 | 0)\). 2. Überprüfung der Steigung: Die Steigung \(m\) berechnet sich aus dem Verhältnis der Änderung in \(y\) zur Änderung in \(x\). Bei zwei Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 2\)) und drei Einheiten nach oben (\(\Delta y = 3\)) ergibt sich \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Da dies der Steigung in der Gleichung entspricht, ist die Aussage korrekt. 3. Veränderung der Lage: Der Wert \(-3\) bzw. \(+1\) stellt den \(y\)-Achsenabschnitt dar. Die Änderung von \(-3\) auf \(+1\) entspricht einer Verschiebung der Geraden um \(4\) Einheiten parallel nach oben.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | -3)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((2 | 0)\). b) Die Aussage ist korrekt, da die Steigung \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\) beträgt. c) Die Gerade wird um \(4\) Einheiten entlang der \(y\)-Achse nach oben verschoben.

- An welcher Stelle schneidet der Graph die y-Achse? - Wie kannst du die Steigung nutzen, um vom Startpunkt aus einen zweiten Punkt der Geraden zu finden? - Welcher Punkt auf deiner gezeichneten Geraden hat den y-Wert 1?

1. Identifikation der Parameter: Steigung \(m = -1{,}5\) und y-Achsenabschnitt \(b = 4\). 2. Zeichnen des Graphen: Startpunkt am y-Achsenabschnitt \((0|4)\). Mithilfe der Steigung (1 Einheit nach rechts, \(1{,}5\) Einheiten nach unten) wird ein weiterer Punkt, z. B. \((2|1)\), bestimmt und die Gerade gezeichnet. 3. Grafische Lösung: Eine horizontale Hilfslinie bei \(y = 1\) einzeichnen. 4. Schnittpunkt ablesen: Die Gerade schneidet die Linie \(y = 1\) im Punkt \((2|1)\). 5. Ergebnis: Der gesuchte x-Wert ist \(x = 2\).

Der Graph ist eine Gerade durch \((0|4)\) und \((2|1)\). Die grafische Lösung für \(f(x) = 1\) ist \(x = 2\).

- Wie kannst du den passenden y-Wert auf der Geraden für einen gegebenen x-Wert berechnen? - Was bedeutet es für die Position des Punktes, wenn sein y-Wert größer oder kleiner als der berechnete Wert auf der Geraden ist? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes direkt mit dem Ergebnis deiner Rechnung.

1. Berechnung des \(y\)-Wertes auf der Geraden für \(x_P = 2\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 2 + 0{,}5 = 2{,}9\). Da \(y_P = 2{,}9\), liegt \(P\) auf der Geraden. 2. Berechnung für \(x_Q = -1\): \(y_g = 1{,}2 \cdot (-1) + 0{,}5 = -0{,}7\). Da \(y_Q = -1\) kleiner als \(-0{,}7\) ist, liegt \(Q\) unterhalb der Geraden. 3. Berechnung für \(x_R = 5\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 5 + 0{,}5 = 6{,}5\). Da \(y_R = 6{,}5\), liegt \(R\) auf der Geraden.

\(P(2 \mid 2{,}9)\) liegt auf der Geraden. \(Q(-1 \mid -1)\) liegt unterhalb der Geraden. \(R(5 \mid 6{,}5)\) liegt auf der Geraden.

- Was passiert mit den \(y\)-Koordinaten der Punkte, wenn du einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelst? - Wie verändert sich der \(x\)-Wert eines Punktes bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Versuche, einen Punkt auf der Geraden (zum Beispiel den Schnittpunkt mit einer Achse) zu spiegeln und zu schauen, wo er landet.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Die Funktionswerte \(y\) ändern ihr Vorzeichen, also \(g(x) = -f(x)\). Berechnung: \(g(x) = -(3x - 4) = -3x + 4\). 2. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Die \(x\)-Werte ändern ihr Vorzeichen, also \(h(x) = f(-x)\). Berechnung: \(h(x) = 3(-x) - 4 = -3x - 4\).

a) \(g(x) = -3x + 4\) b) \(h(x) = -3x - 4\)

- Welcher Wert in der Gleichung \(f(x) = m \cdot x + c\) gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Wie berechnet man die Steigung \(m\), wenn man weiß, wie viele Einheiten man nach rechts und wie viele nach oben oder unten geht? - Was bedeutet der Begriff „Ursprungsgerade“ für den Wert von \(c\)? - Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Geht es nach oben oder nach unten?

1. Teilaufgabe a): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(c = 2\). Die Steigung ergibt sich aus dem Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung: \(m = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}\). Die Gleichung lautet \(f(x) = -\frac{1}{3}x + 2\). 2. Teilaufgabe b): Der Punkt \(P(0| -1{,}5)\) gibt den \(y\)-Achsenabschnitt \(c = -1{,}5\) an. Die Steigung ist \(m = \frac{2{,}5}{1} = 2{,}5\). Die Gleichung lautet \(f(x) = 2{,}5x - 1{,}5\). 3. Teilaufgabe c): Da es eine Ursprungsgerade ist, gilt \(c = 0\). Die Steigung berechnet sich zu \(m = \frac{3}{4} = 0{,}75\). Die Gleichung lautet \(f(x) = \frac{3}{4}x\) oder \(f(x) = 0{,}75x\).

a) \(f(x) = -\frac{1}{3}x + 2\) b) \(f(x) = 2{,}5x - 1{,}5\) c) \(f(x) = \frac{3}{4}x\) (oder \(f(x) = 0{,}75x\))

- Wie viele Lösungen hat eine lineare Gleichung mit zwei Variablen im Allgemeinen? - Kannst du einen Wert für eine Variable frei wählen, um den anderen zu berechnen? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht.

1. Berechnung von Beispiellösungen durch Einsetzen: Für \(x = 0\): \(3 \cdot 0 - 2y = 6 \implies -2y = 6 \implies y = -3\). Lösung: \((0|-3)\). Für \(y = 0\): \(3x - 2 \cdot 0 = 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2\). Lösung: \((2|0)\). Für \(x = 4\): \(3 \cdot 4 - 2y = 6 \implies 12 - 2y = 6 \implies -2y = -6 \implies y = 3\). Lösung: \((4|3)\). 2. Untersuchung negativer Werte: Umstellen nach \(y\) ergibt \(y = 1{,}5x - 3\). Wenn \(x\) negativ ist (z. B. \(x = -2\)), dann ist \(1{,}5 \cdot (-2) - 3 = -3 - 3 = -6\). Somit ist \((-2|-6)\) eine Lösung, bei der beide Koordinaten negativ sind. Dies ist möglich.

a) Mögliche Lösungen sind z. B. \((0|-3)\), \((2|0)\) und \((4|3)\). b) Ja, das ist möglich. Ein Beispiel ist das Zahlenpaar \((-2|-6)\), da \(3 \cdot (-2) - 2 \cdot (-6) = -6 + 12 = 6\).

- Was musst du tun, um eine Gleichung nach einer bestimmten Variablen aufzulösen? - An welcher Stelle in der Gleichung \(y = m \cdot x + b\) findest du die Steigung? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt die Bedingungen einer Gleichung erfüllt?

1. Umformen der Gleichung nach \(y\): Subtraktion von \(6x\) ergibt \(-3y = -6x + 9\). Division durch \(-3\) führt zur Form \(y = 2x - 3\). 2. Ablesen der Parameter: Die Steigung ist \(m = 2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = -3\). 3. Punktprobe für \(P(2 \mid 1)\): Einsetzen von \(x = 2\) in die Geradengleichung ergibt \(y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt (\(1 = 1\)), liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(y = 2x - 3\) b) \(m = 2\); \(b = -3\) c) Ja, der Punkt \(P(2 \mid 1)\) liegt auf der Geraden, da \(2 \cdot 2 - 3 = 1\) eine wahre Aussage ist.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt eine Lösung einer Gleichung ist? - Wie kannst du eine Gleichung schrittweise umformen, um eine Variable isoliert auf einer Seite zu haben? - Welche Rechenregel musst du beim Einsetzen negativer Zahlen besonders beachten? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung.

1. Einsetzen der Koordinaten in \(12x - 4y = 6\): Für \(P_1\): \(12 \cdot 0{,}5 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2 \neq 6\) (keine Lösung). Für \(P_2\): \(12 \cdot 1 - 4 \cdot 1{,}5 = 12 - 6 = 6\) (Lösung). Für \(P_3\): \(12 \cdot 0 - 4 \cdot (-1{,}5) = 0 + 6 = 6\) (Lösung). 2. Bestimmung von \(y\) für \(Q(2 | y)\): \(12 \cdot 2 - 4y = 6 \implies 24 - 4y = 6 \implies -4y = -18 \implies y = 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(x\) für \(R(x | -3)\): \(12x - 4 \cdot (-3) = 6 \implies 12x + 12 = 6 \implies 12x = -6 \implies x = -0{,}5\). 4. Umstellen nach \(y\): \(12x - 4y = 6 \implies -4y = -12x + 6 \implies y = 3x - 1{,}5\).

a) \(P_2\) und \(P_3\) sind Lösungen, \(P_1\) ist keine Lösung. b) \(y = 4{,}5\) c) \(x = -0{,}5\) d) \(y = 3x - 1{,}5\)

- Welche Koordinate bleibt bei einer senkrechten Linie immer gleich? - Was haben alle Punkte gemeinsam, die auf einer waagerechten Linie liegen? - Überlege, welche Achse durch die Gleichung \(x = \text{konstant}\) oder \(y = \text{konstant}\) jeweils parallel geschnitten wird. - Kannst du die Lage der Geraden im Verhältnis zu den Achsen beschreiben?

1. Bestimmung der senkrechten Geraden \(g\): Da die Gerade senkrecht verläuft, haben alle Punkte denselben \(x\)-Wert. Da sie durch \(A(3 \mid -2)\) verläuft, muss \(x = 3\) gelten. Lage: Parallele zur \(y\)-Achse durch den Wert \(3\) auf der \(x\)-Achse. 2. Bestimmung der waagerechten Geraden \(h\): Eine waagerechte Gerade hat für alle Punkte denselben \(y\)-Wert. Da sie durch \(A(3 \mid -2)\) verläuft, lautet die Gleichung \(y = -2\). Lage: Parallele zur \(x\)-Achse durch den Wert \(-2\) auf der \(y\)-Achse. 3. Weitere Punkte: Auf \(g\) liegen z. B. \(P_1(3 \mid 0)\) und \(P_2(3 \mid 5)\). Auf \(h\) liegen z. B. \(Q_1(0 \mid -2)\) und \(Q_2(1 \mid -2)\).

a) \(x = 3\). Die Gerade ist eine Parallele zur \(y\)-Achse. b) \(y = -2\). Die Gerade ist eine Parallele zur \(x\)-Achse. c) Mögliche Punkte für \(g\): \((3 \mid 0)\) und \((3 \mid 1)\). Mögliche Punkte für \(h\): \((0 \mid -2)\) und \((1 \mid -2)\).

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(y\) alleine auf einer Seite steht? - Wähle beliebige Werte für eine Variable aus, um die andere zu berechnen. - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil der Lösungsmenge einer Gleichung ist?

1. Umstellen nach \(y\): Zuerst addiert man \(x\) auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{2}y - x = 1\), woraus \(\frac{1}{2}y = x + 1\) folgt. Durch Multiplikation mit \(2\) ergibt sich die Normalform \(y = 2x + 2\). 2. Bestimmung von drei Wertepaaren: Durch Einsetzen von \(x\)-Werten in \(y = 2x + 2\) erhält man Punkte. Für \(x = 0\) ist \(y = 2(0) + 2 = 2\), also \((0 | 2)\). Für \(x = 1\) ist \(y = 2(1) + 2 = 4\), also \((1 | 4)\). Für \(x = -1\) ist \(y = 2(-1) + 2 = 0\), also \((-1 | 0)\). 3. Punktprobe für \(P(5 | 12)\): Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung \(y = 2x + 2\) ergibt \(12 = 2 \cdot 5 + 2\). Da \(12 = 10 + 2\) eine wahre Aussage ist, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(y = 2x + 2\) b) Mögliche Punkte sind \((0 | 2)\), \((1 | 4)\) und \((-1 | 0)\). c) Ja, der Punkt \(P(5 | 12)\) ist eine Lösung, da \(12 = 2 \cdot 5 + 2\) wahr ist.

- An welcher Stelle schneidet ein Graph die y-Achse? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate? - Was muss für den y-Wert gelten, wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen?

1. Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse: Durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(y = 4\). Somit liegt der Schnittpunkt bei \(S_y(0 | 4)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse: Setze den Funktionswert gleich Null (\(y = 0\)), woraus die Gleichung \(0 = \frac{2}{5}x + 4\) folgt. 3. Lösung der Gleichung: Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(-4 = \frac{2}{5}x\). Multiplikation mit \(\frac{5}{2}\) führt zu \(x = -10\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_x(-10 | 0)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_y(0 | 4)\) und \(S_x(-10 | 0)\).

- Wie berechnet man das Verhältnis der vertikalen zur horizontalen Änderung zwischen zwei Punkten? - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen der Punkte nutzen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Was gibt die Steigung über die Steilheit einer Geraden an?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(t\): Einsetzen von \(A(1 | 4)\) in \(y = 3x + t\) ergibt \(4 = 3 \cdot 1 + t\), also \(t = 1\). 3. Funktionsgleichung: \(f(x) = 3x + 1\). 4. Steigung: \(m = 3\). 5. Veränderung bei Halbierung der Steigung: Die neue Steigung ist \(m_{neu} = 1{,}5\). Der Graph verläuft flacher, steigt aber weiterhin an.

a) \(f(x) = 3x + 1\) b) \(m = 3\) c) Der Graph wird flacher (die Steigung nimmt ab).

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle, an der sie die x-Achse schneidet? - Welche Rolle spielt der Parameter \(b\) für die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\): \(m = \frac{1 - (-5)}{1 - (-2)} = \frac{6}{3} = 2\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \((1|1)\) in \(1 = 2 \cdot 1 + b\): \(b = 1 - 2 = -1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x - 1\). 3. Berechnung der Nullstelle durch Lösen von \(2x - 1 = 0\): \(2x = 1 \Rightarrow x = 0{,}5\). 4. Analyse der Veränderung von \(b\): Eine Vergrößerung von \(b\) um \(3\) bewirkt eine Parallelverschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten nach oben entlang der y-Achse.

a) \(f(x) = 2x - 1\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 0{,}5\). c) Der Graph wird um \(3\) Einheiten parallel nach oben verschoben.

- Überlege zuerst, um wie viele Prozentpunkte der Ladestand in der gegebenen Zeit insgesamt gestiegen ist. - Wie viel steigt der Ladestand dann in genau einer Minute? - Welcher Wert in der Funktionsgleichung \(y = mx + b\) stellt den Startwert dar? - Wenn der Akku voll ist, welchen Wert muss \(y\) dann annehmen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) (Zunahme pro Minute): Differenz der Ladestände geteilt durch die Zeitdifferenz: \(m = (45 - 15) : 20 = 1{,}5\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(b = 15\): \(y = 1{,}5x + 15\). 3. Interpretation der Steigung: Der Wert \(1{,}5\) gibt an, dass der Ladestand pro Minute um \(1{,}5\) Prozentpunkte steigt. 4. Berechnung der Gesamtdauer für \(100\,\%\): Setze \(y = 100\) in die Gleichung ein: \(100 = 1{,}5x + 15\). 5. Lösen der Gleichung: \(85 = 1{,}5x \Rightarrow x = 85 : 1{,}5 = \frac{170}{3} \approx 56{,}67\). Der Akku ist nach ca. \(56{,}7\,\text{Minuten}\) voll geladen.

a) \(y = 1{,}5x + 15\) b) Es kommen \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute hinzu; dies entspricht der Steigung \(m\). c) Nach \(56 \frac{2}{3}\,\text{Minuten}\) (bzw. ca. \(56{,}7\,\text{Minuten}\)).

- Welcher Wert ändert sich jede Woche und welcher Wert ist von Anfang an da? - Wie kannst du die Wochenanzahl und den Sparbetrag mathematisch verknüpfen? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein bestimmtes Zielguthaben vorgegeben ist? - Überlege, welcher Wert auf der \(x\)-Achse und welcher auf der \(y\)-Achse steht.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Startwert beträgt \(45\), die wöchentliche Änderung \(7{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = 7{,}5x + 45\). 2. Berechnung der Wertepaare \((x \mid y)\): - Für \(x = 0\): \(y = 7{,}5 \cdot 0 + 45 = 45 \Rightarrow (0 \mid 45)\) - Für \(x = 2\): \(y = 7{,}5 \cdot 2 + 45 = 60 \Rightarrow (2 \mid 60)\) - Für \(x = 4\): \(y = 7{,}5 \cdot 4 + 45 = 75 \Rightarrow (4 \mid 75)\) - Für \(x = 6\): \(y = 7{,}5 \cdot 6 + 45 = 90 \Rightarrow (6 \mid 90)\) - Für \(x = 8\): \(y = 7{,}5 \cdot 8 + 45 = 105 \Rightarrow (8 \mid 105)\) 3. Berechnung der Zeitdauer für \(120{,}00\,\text{€}\): Setze \(y = 120\) in die Gleichung ein: \(120 = 7{,}5x + 45\). Subtraktion von \(45\) ergibt \(75 = 7{,}5x\). Division durch \(7{,}5\) liefert \(x = 10\). Paul hat nach \(10\) Wochen den Betrag erreicht.

1) \(y = 7{,}5x + 45\) 2) Die Punkte sind \((0 \mid 45)\), \((2 \mid 60)\), \((4 \mid 75)\), \((6 \mid 90)\) und \((8 \mid 105)\). 3) Nach \(10\) Wochen.

- Was passiert mit dem Abstand eines Punktes zur x-Achse, wenn er an dieser gespiegelt wird? - Betrachte einen Punkt auf der Geraden, zum Beispiel den Schnittpunkt mit einer der Achsen. Wo landet dieser Punkt nach der Spiegelung? - Wenn du die y-Werte der ursprünglichen Funktion mit -1 multiplizierst, was ändert sich grafisch?

1. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate eines Punktes gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Ein Punkt \(P(x \mid y)\) wird also auf \(P'(x \mid -y)\) abgebildet. 2. Setzt man den Zusammenhang \(-y_{neu} = y_{alt}\) in die ursprüngliche Gleichung \(y = 3x - 6\) ein, erhält man \(-y_{neu} = 3x - 6\). 3. Durch Multiplikation mit \(-1\) ergibt sich die neue Funktionsgleichung \(y = -3x + 6\). 4. Überprüfung mit einem Beispielpunkt: Der Punkt \(P(2 \mid 0)\) liegt auf \(g\) (\(3 \cdot 2 - 6 = 0\)). Sein Spiegelpunkt an der \(x\)-Achse ist ebenfalls \((2 \mid 0)\). Einsetzen in \(h\): \(-3 \cdot 2 + 6 = 0\). Der Punkt \(P(0 \mid -6)\) auf \(g\) wird zu \(P'(0 \mid 6)\) auf \(h\): \(-3 \cdot 0 + 6 = 6\). Dies bestätigt die Herleitung.

a) Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(y = -3x + 6\). b) Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus \(y\) der Wert \(-y\). Die Gleichung \(y = 3x - 6\) wird zu \(-y = 3x - 6\), was aufgelöst \(y = -3x + 6\) ergibt.

- Wie berechnet man den y-Wert, wenn der x-Wert einer Funktion bekannt ist? - Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt „senkrecht über“ einem anderen liegt? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt?

1. Einsetzen von \(x = 4\) in \(f(x)\): \(f(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4\). Somit ist \(y_P = 4\) und der Punkt ist \(P(4| 4)\). 2. Da \(Q\) die gleiche x-Koordinate hat und \(5\) Einheiten über dem Graphen liegt, addiert man \(5\) zur y-Koordinate von \(P\): \(y_Q = 4 + 5 = 9\). Der Punkt ist \(Q(4| 9)\). 3. Prüfung für \(g(x)\): Setze \(x = 4\) in \(g(x) = 1{,}5x + 3\) ein: \(g(4) = 1{,}5 \cdot 4 + 3 = 6 + 3 = 9\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt (\(9 = 9\)), liegt \(Q\) auf dem Graphen von \(g\).

1. \(y_P = 4\) 2. \(Q(4| 9)\) 3. Ja, \(Q\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(g(4) = 9\) ist.

- Was bedeutet es für den Verlauf und die Steigung zweier Geraden, wenn sie parallel zueinander sind? - Wie viele Schritte gehst du auf der vertikalen Achse, wenn du einen Schritt auf der horizontalen Achse nach rechts machst? - Kannst du die Steigung der ersten Geraden direkt auf den Startpunkt der zweiten Geraden übertragen?

1. Einzeichnen der Punkte \((0|4)\) und \((-2|0)\) und Verbinden zur Geraden \(h\). 2. Bestimmung der Steigung \(m\) von \(h\): Von \((-2|0)\) zu \((0|4)\) geht man 2 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben. Steigung \(m = \frac{4}{2} = 2\). 3. Einzeichnen des Startpunkts \((0|-2)\) für die Gerade \(k\). 4. Zeichnen der parallelen Geraden \(k\) mit der gleichen Steigung \(m = 2\). 5. Ablesen des Schnittpunkts von \(k\) mit der \(x\)-Achse: Die Gerade kreuzt die Achse bei \(x = 1\), also im Punkt \((1|0)\).

a) Zeichnung der Geraden durch \((0|4)\) und \((-2|0)\). b) Die Steigung beträgt \(m = 2\). c) Der Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse liegt bei \((1|0)\).

- Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ablesen? - Überlege dir die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks und welche Größen gegeben sind. - Wenn du zwei Punkte des Graphen kennst (den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die Nullstelle), wie berechnest du dann die Steigung?

1. Da der Punkt \(P(0 \mid 6)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 6\). 2. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks im ersten Quadranten wird durch \(A = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot n\) berechnet, wobei \(x_0\) die Nullstelle ist. 3. Einsetzen der bekannten Werte: \(15 = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot 6 \Rightarrow 15 = 3 \cdot x_0 \Rightarrow x_0 = 5\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\). 4. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \((0 \mid 6)\) und \((5 \mid 0)\): \(m = \frac{0 - 6}{5 - 0} = -1{,}2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -1{,}2x + 6\).

a) Die Nullstelle der Funktion \(g\) ist \(x = 5\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -1{,}2x + 6\).

- Wo kann man den Schnittpunkt mit der y-Achse in der Gleichung direkt ablesen? - Wie verändert sich der y-Wert, wenn man den x-Wert um einen bestimmten Betrag erhöht? - Was sagt die Zahl vor dem \( x \) über die Neigung der Geraden aus?

1. Gemeinsamer Punkt: Beide Funktionen haben denselben y-Achsenabschnitt \( b = 1 \). Bei \( x = 0 \) liefern beide \( y = 1 \). Der Punkt ist \( (0 | 1) \). 2. Höhenunterschied für \( f \): Berechnung über \( \Delta y = m \cdot \Delta x \). Hier: \( \Delta y_f = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \). 3. Höhenunterschied für \( g \): Hier: \( \Delta y_g = 1{,}5 \cdot 6 = 9 \). 4. Vergleich der Steilheit: Da \( 1{,}5 > \frac{2}{3} \) ist (oder da bei gleicher Breite der Höhenunterschied \( 9 \) größer als \( 4 \) ist), verläuft der Graph von \( g \) steiler.

a) Der gemeinsame Punkt ist \( (0 | 1) \). b) Bei \( f \) muss man \( 4 \) Einheiten nach oben gehen, bei \( g \) sind es \( 9 \) Einheiten. c) Die Gerade von \( g \) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\( 1{,}5 \)) größer ist als bei \( f \) (\( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \)).

- Woran erkennt man in der Funktionsgleichung, ob zwei Geraden die gleiche Richtung haben? - Wo kann man den Startwert auf der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Vergleiche die Zahlenwerte, die vor dem \(x\) stehen. Welche Zahl steht für die größte Änderung pro Schritt?

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung \(m\) haben. Hier gilt \(m_1 = 1{,}5\) und \(m_2 = 1{,}5\). Somit sind die Graphen von \(g_1\) und \(g_2\) parallel. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch den Parameter \(t\) bestimmt. Für \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) gilt \(t = 2\). Diese drei Graphen schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\). 3. Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Es gilt \(m_1 = 1{,}5\), \(m_2 = 1{,}5\), \(m_3 = -1\) und \(m_4 = 3\). Da \(3\) der größte Wert ist, steigt der Graph von \(g_4\) am steilsten an.

a) \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen. b) \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\), da bei allen \(t = 2\) gilt. c) Der Graph von \(g_4\) ist am steilsten, da \(m = 3\) den größten Betrag hat.

- Kannst du aus zwei gegebenen Punkten zuerst die Funktionsgleichung der Geraden bestimmen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welchen Wert hat der y-Achsenabschnitt, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst? - Wie prüfst du nach der Aufstellung der Gleichung weitere Punkte?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\): Einsetzen von \(P(-1|7)\) in \(y = -3x + n\) ergibt \(7 = -3 \cdot (-1) + n \Rightarrow 7 = 3 + n \Rightarrow n = 4\). Die Geradengleichung lautet \(y = -3x + 4\). 3. Punktprobe für \(R(0|5)\): \(-3 \cdot 0 + 4 = 4\). Da \(4 \neq 5\), liegt \(R\) nicht auf der Geraden. 4. Punktprobe für \(S(1|1)\): \(-3 \cdot 1 + 4 = 1\). Da \(1 = 1\), liegt \(S\) auf der Geraden.

Der Punkt \(R(0|5)\) liegt nicht auf der Geraden. Der Punkt \(S(1|1)\) liegt auf der Geraden.

- Welcher Teil der Kosten ist fix und welcher hängt vom Verbrauch ab? - Kannst du eine Gleichung der Form \(y = mx + n\) für diese Situation aufstellen? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob ein bestimmtes Wertepaar (Verbrauch in \(\text{kWh}\) und Kosten) die Gleichung erfüllt? - Was musst du tun, wenn der Endbetrag gegeben ist und der Verbrauch gesucht wird?

1. Aufstellen des Modells: Sei \(x\) der Verbrauch und \(y\) die Kosten. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}80x + 18{,}50\). 2. Überprüfung für Teil a): Einsetzen von \(x = 40\) ergibt \(y = 0{,}80 \cdot 40 + 18{,}50 = 32 + 18{,}50 = 50{,}50\). Die Behauptung ist korrekt. 3. Berechnung für Teil b): Setze \(y = 74{,}50\) in die Gleichung ein: \(74{,}50 = 0{,}80x + 18{,}50\). 4. Subtraktion der Grundgebühr: \(56{,}00 = 0{,}80x\). 5. Division durch den Preis pro Kilowattstunde: \(x = 56 : 0{,}8 = 70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) Ja, die Angabe ist korrekt, da der Punkt \((40|50{,}50)\) die Funktionsgleichung erfüllt. b) Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

- Wie hängen die Steigung, der Schritt zur Seite und der Schritt nach oben/unten mathematisch zusammen? - Was bedeutet eine negative Steigung für die Richtung der vertikalen Änderung? - Wie kannst du einen Punkt und die Steigung nutzen, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen?

1. Berechnung der vertikalen Änderung für \(\Delta x = -8\): \(\Delta y = m \cdot \Delta x = -0{,}75 \cdot (-8) = 6\). Er muss 6 Einheiten nach oben gehen. 2. Berechnung der vertikalen Änderung für \(\Delta x = 1\): \(\Delta y = m \cdot \Delta x = -0{,}75 \cdot 1 = -0{,}75\). Er muss \(0{,}75\) Einheiten nach unten gehen. 3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\): Einsetzen von \(P(4|-1)\) in \(y = mx + b\): \(-1 = -0{,}75 \cdot 4 + b \Rightarrow -1 = -3 + b \Rightarrow b = 2\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -0{,}75x + 2\).

a) 6 Einheiten nach oben b) \(0{,}75\) Einheiten nach unten (bzw. \(\Delta y = -0{,}75\)) c) \(g(x) = -0{,}75x + 2\)

- Wie berechnet man den Höhenunterschied in einem Steigungsdreieck, wenn die Breite und die Steigung bekannt sind? - Um zwei Brüche oder Dezimalzahlen zu vergleichen, kann es helfen, beide in dieselbe Darstellung zu bringen. - Was sagt die Größe der Steigungszahl über den Verlauf des Graphen aus?

1. Höhe des Steigungsdreiecks für \(k\): \(\Delta y_k = m_k \cdot \Delta x_k = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2\). Die Höhe beträgt \(2\) Einheiten. 2. Höhe des Steigungsdreiecks für \(l\): \(\Delta y_l = m_l \cdot \Delta x_l = 0{,}6 \cdot 5 = 3\). Die Höhe beträgt \(3\) Einheiten. 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(k\) ist \(m_k = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). Die Steigung von \(l\) ist \(m_l = 0{,}6\). Da \(0{,}667 > 0{,}6\) ist, ist die Gerade \(k\) steiler.

a) Gerade \(k\): \(2\) Einheiten hoch; Gerade \(l\): \(3\) Einheiten hoch. b) Gerade \(k\) ist steiler, da \(\frac{2}{3} > 0{,}6\) gilt.

- Was bedeutet es grafisch, wenn zwei Funktionswerte an derselben Stelle gleich sind? - Woran erkennt man in der Funktionsgleichung \(y = mx + n\), ob ein Graph nach oben oder unten verläuft? - Welchen Wert muss die y-Koordinate an der Stelle haben, an der ein Graph die x-Achse kreuzt?

1. Berechnung des Schnittpunkts: Setze \(h(x) = k(x)\). \(0{,}8x + 2 = -1{,}2x + 6\) \(2x = 4\) \(x = 2\) Einsetzen in \(h(2)\): \(y = 0{,}8 \cdot 2 + 2 = 1{,}6 + 2 = 3{,}6\). Schnittpunkt: \(S(2|3{,}6)\). 2. Analyse der Steigung: Die Gerade \(h\) steigt, da die Steigung \(m_h = 0{,}8\) positiv ist. Die Gerade \(k\) fällt, da die Steigung \(m_k = -1{,}2\) negativ ist. 3. Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Setze \(k(x) = 0\). \(-1{,}2x + 6 = 0\) \(1{,}2x = 6\) \(x = 5\). Schnittpunkt: \(N(5|0)\).

a) Der Schnittpunkt liegt bei \((2|3{,}6)\). b) \(h\) steigt (\(m=0{,}8 > 0\)), \(k\) fällt (\(m=-1{,}2 < 0\)). c) Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \((5|0)\).

- Achte genau auf das Vorzeichen der Steigung in der Aufgabenstellung. - Wie verändert sich der \(y\)-Wert, wenn der Graph fällt? - Überlege dir, wie man Dezimalzahlen in Brüchen behandeln kann, um sie leichter zu vergleichen.

1. Überprüfung von Sarahs Aussage: Bei 3 Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 3\)) und 2 Einheiten nach oben (\(\Delta y = 2\)) ergibt sich eine Steigung von \(m = \frac{2}{3}\). Da die gesuchte Steigung negativ ist (\(m = -\frac{2}{3}\)), ist Sarahs Aussage falsch. 2. Überprüfung von Toms Aussage: Bei \(1{,}5\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -1{,}5\)) und 1 Einheit nach oben (\(\Delta y = 1\)) ergibt sich \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}\). Toms Aussage ist somit korrekt.

Tom hat recht. Sarah beschreibt eine positive Steigung von \(\frac{2}{3}\), während Tom korrekt die negative Steigung \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{2}{3}\) wiedergibt.

- Wie hängen Steigung, horizontale und vertikale Änderung zusammen? Nutze die Formel \(\Delta y = m \cdot \Delta x\). - Was bedeutet „ganzzahlig“ für deine Wahl der Schritte? - Wie muss sich der \(y\)-Wert ändern, wenn man nach links geht, damit die Steigung positiv bleibt?

1. Berechnung für Teil a): Für \(f\): \(\Delta y_f = m_f \cdot \Delta x = 1{,}25 \cdot 4 = 5\). Für \(g\): \(\Delta y_g = m_g \cdot \Delta x = 0{,}8 \cdot 4 = 3{,}2\). 2. Lösung für Teil b): Die Steigung ist \(m_f = 1{,}25 = \frac{5}{4}\). Um ganzzahlige Werte bei einer Bewegung nach links (\(\Delta x < 0\)) zu erhalten, wählt man z. B. \(\Delta x = -4\). Daraus folgt \(\Delta y = m_f \cdot \Delta x = 1{,}25 \cdot (-4) = -5\). Beschreibung: Gehe \(4\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten. (Alternativ: Vielfache davon, z. B. \(8\) nach links und \(10\) nach unten).

a) Bei \(f\) beträgt die vertikale Änderung \(5\) Einheiten nach oben. Bei \(g\) beträgt sie \(3{,}2\) Einheiten nach oben. b) Ein mögliches Steigungsdreieck: Gehe \(4\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -4\)) und \(5\) Einheiten nach unten (\(\Delta y = -5\)).

- Wie lautet die allgemeine Form einer Ursprungsgerade? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was weißt du dann über ihre Steigungen? - Um den gemeinsamen Punkt zweier Linien zu finden, kannst du ihre Funktionsausdrücke gleichsetzen.

1. Ursprungsgerade \(g\): \(y = 3x\). Verschobene Gerade \(h\): \(y = 3x - 4\). 2. Steigung von \(k\): \(m_k = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\). \(y\)-Achsenabschnitt \(t_k = -4\). Gleichung \(k(x) = -x - 4\). 3. Gleichsetzen von \(g\) und \(k\): \(3x = -x - 4 \implies 4x = -4 \implies x = -1\). Einsetzen in \(g\): \(y = 3 \cdot (-1) = -3\). Schnittpunkt \(S(-1 | -3)\).

1. \(g(x) = 3x\) und \(h(x) = 3x - 4\). 2. \(k(x) = -x - 4\). 3. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(-1 | -3)\).

- Stelle dir vor, wie sich die Gerade bewegt, wenn du \(m\) oder \(n\) änderst. - In welchem Quadranten liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, wenn \(n\) positiv ist? - Wann schneidet eine steigende Gerade die \(x\)-Achse im negativen Bereich? - Wie viele Knicke hat eine Gerade?

1. Teil a): Damit der Graph durch den I., II. und III. Quadranten verläuft, darf er den IV. Quadranten nicht berühren. Dies erfordert eine positive Steigung (\(m > 0\)), damit die Gerade von links unten nach rechts oben verläuft. Zudem muss der \(y\)-Achsenabschnitt positiv sein (\(n > 0\)), damit der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Der \(x\)-Achsenabschnitt liegt dann bei \(x_0 = -\frac{n}{m}\). Da \(n, m > 0\), ist \(x_0 < 0\). Die Gerade verläuft also links von \(x_0\) im III. Quadranten, zwischen \(x_0\) und der \(y\)-Achse im II. Quadranten und rechts der \(y\)-Achse im I. Quadranten. Bedingung: \(m > 0\) und \(n > 0\). 2. Teil b): Eine lineare Funktion beschreibt eine Gerade. Eine Gerade kann in der Ebene höchstens zwei Achsenschnittpunkte haben (einen mit der \(x\)-Achse und einen mit der \(y\)-Achse), sofern sie nicht mit einer Achse identisch ist. Diese Schnittpunkte teilen die Gerade in höchstens drei Abschnitte, die jeweils in unterschiedlichen Quadranten liegen können. Um in einen vierten Quadranten zu gelangen, müsste die Gerade ihre Richtung ändern (eine Kurve machen), was bei einer linearen Funktion ausgeschlossen ist.

a) \(m > 0\) und \(n > 0\) b) Eine Gerade ist durch zwei Punkte (oder einen Punkt und eine Steigung) eindeutig bestimmt und besitzt keine Krümmung. Sie kann daher höchstens drei Quadranten durchqueren.

- Worauf deutet es hin, wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben? - Wie verlaufen Geraden, deren Funktionsgleichung nur aus einer Zahl besteht (z. B. \(y = 2\))? - Welche Eigenschaften muss ein Viereck haben, damit man es als Parallelogramm bezeichnet?

1. Bestimmung der Steigungen der ersten beiden Geraden: Aus den Gleichungen \(g_1: y = 0{,}5x + 3\) und \(g_2: y = 0{,}5x - 2\) liest man die Steigungen \(m_1 = 0{,}5\) und \(m_2 = 0{,}5\) ab. Da die Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_1\) und \(g_2\) parallel zueinander. 2. Bestimmung der Steigungen der anderen beiden Geraden: Die Gleichungen \(g_3: y = -2\) und \(g_4: y = 2\) beschreiben konstante Funktionen. Ihre Graphen sind waagerechte Geraden mit der Steigung \(m_3 = 0\) und \(m_4 = 0\). Da auch diese Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_3\) und \(g_4\) ebenfalls parallel zueinander. 3. Klassifizierung des Vierecks: Da das eingeschlossene Viereck zwei Paare paralleler Seiten besitzt, handelt es sich um ein Parallelogramm.

Es handelt sich um ein Parallelogramm. Begründung: Die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel (beide haben die Steigung \(0{,}5\)) und die Geraden \(g_3\) und \(g_4\) sind ebenfalls parallel (beide sind waagerecht mit der Steigung \(0\)).

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen dem Spiegelzentrum und einem Punkt sowie seinem Bildpunkt? - Wo muss das Spiegelzentrum im Verhältnis zu den beiden parallelen Geraden liegen? - Kannst du einen Punkt auf der ersten Geraden wählen und seinen Partner auf der zweiten Geraden finden?

1. Das Spiegelzentrum \(Z\) einer Punktspiegelung, die eine Gerade \(g\) auf eine parallele Gerade \(h\) abbildet, muss genau in der Mitte zwischen den beiden Geraden liegen. 2. Wähle einen beliebigen Punkt \(P\) auf \(g\), zum Beispiel \(P(0 \mid 5)\). 3. Bestimme den zugehörigen Bildpunkt \(P'(x' \mid y')\) auf \(h\), sodass \(Z\) die Mitte der Strecke \(PP'\) ist. Für die x-Koordinaten gilt: \(x_Z = \frac{x_P + x'}{2}\). 4. Mit \(x_Z = 3\) und \(x_P = 0\) folgt: \(3 = \frac{0 + x'}{2} \implies x' = 6\). 5. Berechne die y-Koordinate von \(P'\) durch Einsetzen in \(h(x)\): \(y' = -2 \cdot 6 - 1 = -13\). 6. Berechne die y-Koordinate \(y_Z\) als Mittelwert der y-Koordinaten von \(P\) und \(P'\): \(y_Z = \frac{y_P + y'}{2} = \frac{5 + (-13)}{2} = -4\). 7. Alternativ liegt \(Z\) auf der Mittelparallelen der beiden Geraden: \(y_Z = -2x_Z + \frac{b_g + b_h}{2} = -2 \cdot 3 + \frac{5 - 1}{2} = -6 + 2 = -4\).

Die y-Koordinate des Spiegelzentrums ist \(y_Z = -4\).

- Was passiert mit den Koordinaten \((x|y)\) eines Punktes, wenn er an der Geraden \(y=x\) gespiegelt wird? - Wie löst man eine Gleichung nach einer anderen Variablen auf? - Wann ist eine geometrische Figur (wie eine Gerade) im mathematischen Sinne ein Funktionsgraph? - Überlege, was ein Fixpunkt bei einer Spiegelung ist.

1. Um die Funktionsgleichung der an \(y = x\) gespiegelten Funktion \(g\) zu finden, vertauscht man in der Gleichung \(y = 0{,}4x + 3\) die Variablen \(x\) und \(y\): \(x = 0{,}4y + 3\). 2. Auflösen nach \(y\): \(x - 3 = 0{,}4y \implies y = \frac{1}{0{,}4}x - \frac{3}{0{,}4} = 2{,}5x - 7{,}5\). Somit ist \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\). 3. Schnittpunkt berechnen: \(0{,}4x + 3 = 2{,}5x - 7{,}5 \implies 10{,}5 = 2{,}1x \implies x = 5\). Einsetzen ergibt \(y = 0{,}4 \cdot 5 + 3 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). 4. Da der Punkt \(S\) auf der Spiegelachse \(y = x\) liegt, wird er auf sich selbst abgebildet. Jeder Schnittpunkt eines Graphen mit seiner Spiegelachse ist ein Fixpunkt der Spiegelung. 5. Die Spiegelung von \(y = 3\) (waagerechte Gerade) an \(y = x\) ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Eine senkrechte Gerade ist kein Funktionsgraph, da einem \(x\)-Wert unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet würden.

a) \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). Er liegt auf \(y = x\), weil Punkte auf der Spiegelachse Fixpunkte sind. c) Die Spiegelung ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Dies ist keine Funktion, da die Eindeutigkeit der Zuordnung verletzt ist.

- Wann verlaufen zwei Linien nebeneinander her, ohne sich zu berühren? - Stell dir eine Gerade vor und versuche sie so zu drehen oder zu schieben, dass sie keine Achse trifft. Geht das? - Was passiert, wenn eine Gerade direkt auf einer der Achsen liegt?

1. Bedingung für Parallelität ohne Schnittpunkt: Die Geraden müssen die gleiche Steigung besitzen (\(m_g = m_h\)), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben (\(n_g \neq n_h\)). 2. Existenz einer Geraden ohne Achsenschnittpunkte: Nein. Eine Gerade ohne \(x\)-Achsenschnittpunkt muss waagerecht sein (\(y = c, c \neq 0\)), diese schneidet aber die \(y\)-Achse bei \(c\). Eine Gerade ohne \(y\)-Achsenschnittpunkt muss senkrecht sein (\(x = c, c \neq 0\)), diese schneidet aber die \(x\)-Achse bei \(c\). Jede Gerade schneidet mindestens eine Achse. 3. Analyse von \(y = 0\): Dies ist die Gleichung der \(x\)-Achse selbst. Da jeder Punkt auf dieser Geraden den \(y\)-Wert \(0\) hat, besitzt sie unendlich viele Nullstellen.

a) Die Steigungen müssen gleich sein (\(m_g = m_h\)) und die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden (\(n_g \neq n_h\)). b) Nein. Waagerechte Geraden schneiden die \(y\)-Achse, senkrechte Geraden schneiden die \(x\)-Achse und alle anderen schneiden beide Achsen. c) Es handelt sich um die \(x\)-Achse. Sie hat unendlich viele Nullstellen.

- Wenn sich zwei Linien treffen, müssen ihre \(x\)- und \(y\)-Werte an diesem Punkt identisch sein. - Woran erkennst du an der Zahl vor dem \(x\), ob eine Gerade von links nach rechts gesehen nach oben oder unten geht? - Was haben parallele Geraden gemeinsam? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Achsenabschnitt zu berechnen?

1. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsausdrücke \(-2x + 6 = 0{,}5x - 4\). Umformen ergibt \(10 = 2{,}5x\), also \(x = 4\). Einsetzen in eine Gleichung liefert \(y = -2(4) + 6 = -2\). Der Schnittpunkt liegt bei \((4 | -2)\). 2. Analyse des Steigungsverhaltens: Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = -2\). Da \(m_g < 0\), fällt die Gerade. Die Steigung von \(h\) ist \(m_h = 0{,}5\). Da \(m_h > 0\), steigt die Gerade. 3. Bestimmung der Geraden \(k\): Da \(k\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_k = -2\). Ansatz \(y = -2x + b\). Einsetzen von \(P(1 | 1)\) ergibt \(1 = -2(1) + b \implies b = 3\). Die Gleichung lautet \(y = -2x + 3\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(4 | -2)\). b) Gerade \(g\) fällt (Steigung \(-2 < 0\)), Gerade \(h\) steigt (Steigung \(0{,}5 > 0\)). c) Die Gleichung lautet \(k: y = -2x + 3\).

- Stelle dir vor, du drehst das gesamte Koordinatensystem um \(180^{\circ}\) um den Nullpunkt. Was passiert mit der Neigung der Geraden? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes \(P(x|y)\), wenn er am Ursprung gespiegelt wird? - Überlege dir, wo der \(y\)-Achsenabschnitt \(2\) nach der Spiegelung landet.

1. Analyse der Punktspiegelung: Eine Punktspiegelung am Ursprung entspricht einer Drehung um \(180^{\circ}\). Dabei bleibt die Steigung einer Geraden unverändert, da die Gerade auf eine parallele Gerade abgebildet wird (oder auf sich selbst). Da die ursprüngliche Steigung \(a = -0{,}5\) negativ ist, ist auch die neue Steigung negativ. 2. Berechnung der Gleichung: Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wird ein Punkt \((x | y)\) auf \((-x | -y)\) abgebildet. Eingesetzt in die Formel: \(-y = -0{,}5(-x) + 2\). Umstellen nach \(y\): \(-y = 0{,}5x + 2 \implies y = -0{,}5x - 2\). Alternativ: \(m(x) = -k(-x) = -(-0{,}5(-x) + 2) = -(0{,}5x + 2) = -0{,}5x - 2\).

a) Die Steigung ist weiterhin negativ. Begründung: Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wird eine Gerade auf eine dazu parallele Gerade abgebildet, die Steigung bleibt also gleich. b) \(m(x) = -0{,}5x - 2\)

- Um Brüche und Dezimalzahlen zu vergleichen, ist es oft hilfreich, beides in die gleiche Darstellung zu bringen. - Wo liest man in der Funktionsgleichung direkt ab, wo die \(y\)-Achse geschnitten wird? - Was passiert rechnerisch mit der Steigung, wenn eine Gerade „steiler“ wird oder die Steigung „verdoppelt“ wird?

1. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(f\) ist \(m_f = \frac{2}{3} \approx 0{,}666...\), die Steigung von \(g\) ist \(m_g = 0{,}6\). Da \(0{,}66... > 0{,}6\), ist die Gerade \(f\) steiler. 2. \(y\)-Achsenabschnitt: Beide Funktionen haben den Wert \(c = 4\). Somit schneiden beide Geraden die \(y\)-Achse im selben Punkt \(S(0|4)\). 3. Neue Gerade \(h\): Die neue Steigung ist \(m_h = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt \(c = 4\). Die Gleichung ist \(h(x) = \frac{4}{3}x + 4\).

a) Die Gerade \(f\) ist steiler, da \(\frac{2}{3} > 0{,}6\). b) Beide schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\). Sie haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt. c) \(h(x) = \frac{4}{3}x + 4\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass eine Variable alleine auf einer Seite steht? - Was passiert, wenn du dir eine Zahl für eine der Variablen aussuchst? Kannst du dann die andere berechnen? - Wie viele Zahlen gibt es, die man für eine Variable einsetzen könnte?

1. Finden von Beispiellösungen durch Einsetzen beliebiger Werte für eine Variable: - Wähle \(y = 0\): \(x - 2 \cdot 0 = 4 \Rightarrow x = 4\). Paar: \((4|0)\). - Wähle \(y = 1\): \(x - 2 \cdot 1 = 4 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6\). Paar: \((6|1)\). - Wähle \(y = -1\) (negative Zahl): \(x - 2 \cdot (-1) = 4 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2\). Paar: \((2|-1)\). 2. Begründung für die Unendlichkeit der Lösungen: Die Gleichung lässt sich nach einer Variablen auflösen, zum Beispiel \(x = 4 + 2y\). Da für die Variable \(y\) jede beliebige reelle Zahl eingesetzt werden kann und sich daraus jeweils ein eindeutiger Wert für \(x\) berechnen lässt, gibt es unendlich viele mögliche Zahlenpaare \((x|y)\), die die Gleichung erfüllen.

a) Mögliche Lösungen sind zum Beispiel \((4|0)\), \((6|1)\) und \((2|-1)\). b) Da man für eine Variable (z. B. \(y\)) jede beliebige Zahl einsetzen kann und die Gleichung stets nach der anderen Variablen (\(x\)) auflösbar ist, existieren unendlich viele Lösungen.

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Was passiert mit dem \(y\)-Wert in einer linearen Funktion, wenn sich der \(x\)-Wert ändert? Welcher Parameter beschreibt dieses Verhältnis?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): Einsetzen ergibt \(8y = 16\), also \(y = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): Einsetzen ergibt \(4x = 16\), also \(x = 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Berechnung der Steigung: Umstellen der Gleichung nach \(y\) ergibt \(8y = -4x + 16\), also \(y = -0{,}5x + 2\). Die Steigung beträgt \(m = -0{,}5\). 4. Analyse der Änderung: Die Steigung \(m = -0{,}5\) gibt an, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-0{,}5\) verändert. Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(3\) Einheiten verändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-0{,}5) = -1{,}5\). Der \(y\)-Wert sinkt also um \(1{,}5\).

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 2)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(4 \mid 0)\). b) Die Steigung ist \(m = -0{,}5\). c) Wenn \(x\) um \(3\) Einheiten steigt, sinkt der \(y\)-Wert um \(1{,}5\) Einheiten.

- Wie gehst du vor, wenn in einer Gleichung neben \(x\) und \(y\) ein weiterer Platzhalter steht? - Welche Eigenschaft haben alle Punkte, die auf der x-Achse liegen? - Überlege, was passiert, wenn du die Gleichung nach \(y\) auflöst. Welcher Teil der Gleichung bestimmt die Steigung?

1. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(x=2\) und \(y=3\) ergibt \(a \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 20 \implies 2a + 12 = 20 \implies 2a = 8 \implies a = 4\). 2. Schnittpunkte berechnen für \(4x + 4y = 20\): Schnittpunkt mit der x-Achse (\(y=0\)): \(4x = 20 \implies x = 5\), also \(N(5 | 0)\). Schnittpunkt mit der y-Achse (\(x=0\)): \(4y = 20 \implies y = 5\), also \(S_y(0 | 5)\). 3. Änderung untersuchen: Die neue Gleichung lautet \(4x + 4y = 10\) bzw. \(y = -x + 2{,}5\). Da die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) gleich bleiben, bleibt die Steigung gleich, aber der y-Achsenabschnitt verringert sich von \(5\) auf \(2{,}5\). Der Graph verschiebt sich also parallel nach unten.

a) \(a = 4\) b) Schnittpunkt mit der x-Achse: \((5 | 0)\); Schnittpunkt mit der y-Achse: \((0 | 5)\). c) Der Graph verschiebt sich parallel nach unten, da die Steigung gleich bleibt, aber der Achsenabschnitt kleiner wird.

- Wie isoliert man die Variable \(y\) schrittweise auf einer Seite der Gleichung? - An welcher Stelle in der Form \(y = mx + n\) steht die Steigung? - Was musst du tun, um zu prüfen, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt? - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Auflösen von Klammern.

1. Umformung der Gleichung: Zuerst Klammern auflösen: \(4y - 4 + 2x = 8\). Dann nach \(y\) isolieren: \(4y = -2x + 12\). Division durch \(4\) ergibt \(y = -0{,}5x + 3\). 2. Bestimmung der Parameter: Aus \(y = -0{,}5x + 3\) folgt die Steigung \(m = -0{,}5\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 3\). 3. Punktprobe für \(P(6 \mid -1)\): Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung: \(-1 = -0{,}5 \cdot 6 + 3\). Berechnung der rechten Seite: \(-3 + 3 = 0\). Vergleich: \(-1 \neq 0\). Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.

a) \(y = -0{,}5x + 3\) b) \(m = -0{,}5\) und \(n = 3\) c) Nein, der Punkt liegt nicht auf der Geraden, da die Punktprobe eine falsche Aussage (\(-1 = 0\)) ergibt.

- Erstelle für jede Gleichung eine kleine Wertetabelle. - Vergleiche die Werte für die Steigung \(m\) in beiden Gleichungen. - Was bedeutet eine identische Steigung für den Verlauf von zwei Geraden?

1. Punkte für \(g\): Bei \(x = 0\) ist \(y = -4\), also \(P_1(0 | -4)\). Bei \(x = 2\) ist \(y = 3 \cdot 2 - 4 = 2\), also \(P_2(2 | 2)\). 2. Punkte für \(h\): Bei \(x = 0\) ist \(y = 2\), also \(Q_1(0 | 2)\). Bei \(x = 1\) ist \(y = 3 \cdot 1 + 2 = 5\), also \(Q_2(1 | 5)\). 3. Geometrische Lage: Beide Geraden haben dieselbe Steigung \(m = 3\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-4\) und \(2\)). Daher verlaufen sie parallel zueinander. 4. Gemeinsame Lösung: Da parallele Geraden keinen Schnittpunkt besitzen, gibt es kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Rechnerisch führt der Ansatz \(3x - 4 = 3x + 2\) zum Widerspruch \(-4 = 2\).

a) Zum Beispiel für \(g\): \((0 | -4)\) und \((2 | 2)\); für \(h\): \((0 | 2)\) und \((1 | 5)\). b) Die Geraden verlaufen parallel zueinander. c) Nein, es gibt keine gemeinsame Lösung, da die Geraden die gleiche Steigung \(m = 3\) haben und somit keinen Schnittpunkt besitzen.

- Wie verhalten sich die Koordinaten an den Stellen, wo ein Graph eine Achse berührt oder kreuzt? - Welchen Wert muss \(x\) haben, damit du auf der \(y\)-Achse landest? - Versuche für Teil b) einen \(x\)-Wert zu wählen, der nach der Multiplikation mit \(0{,}5\) eine gerade Zahl ergibt.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in \(0{,}5x + 2y = 4\) ein. Man erhält \(2y = 4\), also \(y = 2\). Der Punkt ist \(S_y(0 | 2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Setze \(y = 0\) ein. Man erhält \(0{,}5x = 4\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x = 8\). Der Punkt ist \(S_x(8 | 0)\). 3. Weiteres ganzzahliges Paar: Wähle \(x = 4\). Einsetzen ergibt \(0{,}5 \cdot 4 + 2y = 4\), also \(2 + 2y = 4\). Daraus folgt \(2y = 2\) und \(y = 1\). Ein Punkt ist \((4 | 1)\). 4. Prüfung von \((-4 | 3)\): Einsetzen in die linke Seite: \(0{,}5 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4\). Da die rechte Seite ebenfalls \(4\) ist, ist das Paar eine Lösung.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 2)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((8 | 0)\). b) Ein weiteres Paar ist zum Beispiel \((4 | 1)\). c) Ja, \((-4 | 3)\) ist eine Lösung, da \(0{,}5 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = 4\) eine wahre Aussage ergibt.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Kannst du die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + n\) nutzen, um den y-Achsenabschnitt zu finden? - Überlege dir, welche Koordinate an den Achsenschnittpunkten jeweils Null sein muss.

1. Berechnung der Steigung \(m\): Mit der Formel \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) ergibt sich \(m = \frac{4 - 1}{2 - (-4)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 2. Berechnung des y-Achsenabschnitts \(n\): Einsetzen von Punkt \(B(2 | 4)\) in \(y = 0{,}5x + n\) liefert \(4 = 0{,}5 \cdot 2 + n\), woraus \(n = 3\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(y = 0{,}5x + 3\). 3. Schnittpunkt mit der y-Achse: Aus \(n = 3\) folgt direkt \(S_y(0 | 3)\). 4. Schnittpunkt mit der x-Achse: Setze \(y = 0\) in die Gleichung \(0 = 0{,}5x + 3\). Umstellen ergibt \(0{,}5x = -3\), also \(x = -6\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(-6 | 0)\).

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \(S_x(-6 | 0)\) und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist \(S_y(0 | 3)\).

- Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion? - Hängt die Steilheit vom Vorzeichen der Zahl vor dem \(x\) ab oder nur von ihrem Wert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Linien in einem Punkt treffen?

1. Funktionsgleichung von \(g\): Mit \(m = 0{,}5\) und \(t = -1\) folgt \(g(x) = 0{,}5x - 1\). 2. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung bestimmt. \(|m_f| = |-2| = 2\) und \(|m_g| = |0{,}5| = 0{,}5\). Da \(2 > 0{,}5\), verläuft der Graph von \(f\) steiler. 3. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(f(x) = g(x) \Rightarrow -2x + 4 = 0{,}5x - 1\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 2\). 5. y-Wert berechnen: \(f(2) = -2 \cdot 2 + 4 = 0\). 6. Ergebnis: Der Schnittpunkt liegt bei \(S(2 | 0)\).

a) \(g(x) = 0{,}5x - 1\) b) Der Graph von \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als bei \(g\) (\(0{,}5\)). c) \(S(2 | 0)\)

- Wie findest du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, ohne den Graphen zu zeichnen? - Was musst du für \(y\) einsetzen, um eine Nullstelle zu berechnen? - Erinnerst du dich an die allgemeine Form \(y = mx + b\)? Welcher Buchstabe steht für die Steigung? - Wie beeinflusst das Vorzeichen der Steigung den Verlauf des Graphen?

1. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): Für \(g_1\) ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot 0 - 3 = -3\), also \(S_{y1}(0 \mid -3)\). Für \(g_2\) wird die Gleichung zu \(y = -2x + 4\) umgeformt; mit \(x = 0\) folgt \(y = 4\), also \(S_{y2}(0 \mid 4)\). 2. Berechnung des \(x\)-Wertes für \(g_1\): Setze \(y = 6\) in \(6 = 1{,}5x - 3\) ein. Addition von \(3\) ergibt \(9 = 1{,}5x\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(x = 6\). 3. Berechnung der Nullstelle für \(g_2\) (\(y = 0\)): Setze \(0 = -2x + 4\) ein. Umformung ergibt \(2x = 4\), woraus \(x = 2\) folgt. Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). 4. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(g_1\) ist \(m_1 = 1{,}5\). Da \(m_1 > 0\), steigt die Gerade. Die Steigung von \(g_2\) ist \(m_2 = -2\). Da \(m_2 < 0\), fällt die Gerade.

a) \(S_{y1}(0 \mid -3)\) und \(S_{y2}(0 \mid 4)\). b) Der \(x\)-Wert ist \(6\). c) Die Nullstelle ist \(x = 2\). d) \(g_1\) steigt (\(m = 1{,}5\)), \(g_2\) fällt (\(m = -2\)).

- Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Was bedeutet eine negative Steigung für die Änderung der Werte? - Kannst du die Steigung als Bruch interpretieren, der angibt, wie viele Schritte man nach oben oder unten geht, wenn man Schritte nach rechts geht? - Wie kannst du prüfen, ob eine Aussage über einen Punkt wahr ist, ohne zu zeichnen?

1. Berechnung von \(y_A\): Setze \(x = 6\) in die Gleichung ein: \(y_A = -\frac{2}{3} \cdot 6 + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Punkt ist \(A(6 \mid -2)\). 2. Berechnung von \(x_B\): Setze \(y = 0\) ein: \(0 = -\frac{2}{3}x_B + 2\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(-2 = -\frac{2}{3}x_B\). Multiplikation mit \(-\frac{3}{2}\) ergibt \(x_B = 3\). Der Punkt ist \(B(3 \mid 0)\). 3. Punktprobe für \(C(-3 \mid 4)\): Setze \(x = -3\) in die Gleichung ein: \(y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2 = 2 + 2 = 4\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(C\) übereinstimmt (\(4 = 4\)), liegt der Punkt auf der Geraden. 4. Interpretation der Steigung: Die Steigung beträgt \(m = -\frac{2}{3}\). Das bedeutet, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-\frac{2}{3}\) ändert. Bei einer Zunahme von \(x\) um \(3\) Einheiten ändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2\). Der \(y\)-Wert verringert sich also um \(2\).

a) \(y_A = -2\) b) \(x_B = 3\) c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden, da \(4 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2\) eine wahre Aussage ist. d) Der \(y\)-Wert verringert sich um \(2\) Einheiten.

- Wann liegen zwei Punkte genau gegenüber von der x-Achse? Vergleiche ihre Koordinaten. - Überlege dir, welche Punkte auf einer Geraden festbleiben, wenn man an der y-Achse spiegelt. - Wie ändert sich die Richtung einer Geraden (die Steigung), wenn man sie wie in einem Spiegel links und rechts vertauscht?

1. Zwei Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, wenn für jedes \(x\) gilt: \(g(x) = -f(x)\). 2. Berechnung für a): \(-f(x) = -(\frac{2}{3}x + 2) = -\frac{2}{3}x - 2\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, liegen die Graphen symmetrisch zur \(x\)-Achse. 3. Für eine Symmetrie zur \(y\)-Achse muss ein Punkt \((x \mid y)\) auf den Punkt \((-x \mid y)\) abgebildet werden. Die neue Funktion \(h\) muss also \(h(x) = f(-x)\) erfüllen. 4. Berechnung für b): \(h(x) = \frac{2}{3}(-x) + 2 = -\frac{2}{3}x + 2\). 5. Begründung: Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse gleich (da der Punkt auf der Spiegelachse liegt), während die Steigung ihr Vorzeichen umkehrt, da die Gerade nun in die entgegengesetzte Richtung „kippt“.

a) Ja, die Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, da \(g(x) = -f(x)\) für alle \(x\) gilt. b) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt gleich, da der Punkt \((0 \mid 2)\) auf der Spiegelachse liegt; die Steigung kehrt ihr Vorzeichen um.

- Wie findet man den Punkt, den zwei Funktionen gemeinsam haben? - Die \(x\)-Achse bildet eine Seite des Dreiecks. Welche Punkte der Graphen sind für diese Seite wichtig? - Welcher Wert des Schnittpunkts gibt dir die Höhe des Dreiecks über der \(x\)-Achse an?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen ermitteln: \(2x - 4 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\). Einsetzen in \(f(x)\): \(f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). 2. Nullstelle von \(f\): \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\). Nullstelle von \(g\): \(-x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5\). 3. Die Grundseite \(g_D\) des Dreiecks liegt auf der \(x\)-Achse zwischen den Nullstellen: \(g_D = 5 - 2 = 3\). 4. Die Höhe \(h\) des Dreiecks entspricht dem \(y\)-Wert des Schnittpunkts \(S\): \(h = 2\). 5. Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g_D \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(3\,\text{FE}\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). b) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 2\), die Nullstelle von \(g\) ist \(x = 5\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\,\text{FE}\).

- Achte genau auf die Richtungen im Steigungsdreieck: „nach links“ bedeutet eine negative Änderung in x-Richtung. - Wenn du die Steigung kennst, wie kannst du einen bekannten Punkt nutzen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Setze die Koordinaten des Punktes für \( x \) und \( y \) in die Grundformel ein.

1. Bestimmung der Steigung \( m \): „5 Einheiten nach links“ bedeutet \( \Delta x = -5 \). „2 Einheiten nach oben“ bedeutet \( \Delta y = 2 \). Daraus folgt \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{-5} = -0{,}4 \). 2. Berechnung von \( b \): Einsetzen von \( m = -0{,}4 \) und dem Punkt \( P(2 | 1) \) in die Formel \( y = mx + b \). 3. Rechnung: \( 1 = -0{,}4 \cdot 2 + b \). Dies ergibt \( 1 = -0{,}8 + b \). 4. Auflösen nach \( b \): \( b = 1 + 0{,}8 = 1{,}8 \). 5. Funktionsgleichung: \( h(x) = -0{,}4x + 1{,}8 \).

Die Steigung ist \( m = -0{,}4 \), der y-Achsenabschnitt ist \( b = 1{,}8 \). Die Gleichung lautet \( h(x) = -0{,}4x + 1{,}8 \).

- Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden y-Achsenabschnitt zu berechnen? - Welche x-Werte sind bei einem Drittel-Bruch besonders praktisch? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt zu einer Geraden gehört?

1. Funktionsgleichung bestimmen: Ansatz \(y = mx + n\). Setze \(m = -\frac{2}{3}\) und die Koordinaten von \(A(3|1)\) ein: \(1 = -\frac{2}{3} \cdot 3 + n\) \(1 = -2 + n\) \(n = 3\). Die Gleichung lautet \(p(x) = -\frac{2}{3}x + 3\). 2. Weiteren ganzzahligen Punkt finden: Wähle einen \(x\)-Wert, der durch \(3\) teilbar ist (z. B. \(x=0\) oder \(x=6\)). Für \(x = 0\): \(y = -\frac{2}{3} \cdot 0 + 3 = 3\). Punkt \(B(0|3)\). 3. Punktprobe für \(C(-6|7)\): Setze \(x = -6\) in die Funktionsgleichung ein. \(y = -\frac{2}{3} \cdot (-6) + 3 = 4 + 3 = 7\). Da das Ergebnis mit der \(y\)-Koordinate von \(C\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) \(p(x) = -\frac{2}{3}x + 3\) b) Ein möglicher Punkt ist \(B(0|3)\). c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf dem Graphen, da \(p(-6) = 7\) gilt.

- Berechne zuerst für jede Beschreibung den Wert von \(m\). - Was bedeutet „nach unten“ oder „nach links“ mathematisch für die Werte im Steigungsdreieck? - Wie hängen die Steigung, die Änderung von \(x\) und die Änderung von \(y\) in einer Formel zusammen?

1. Bestimmung der Steigungen: - Beschreibung (1): \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = -2 \implies m_1 = \frac{-2}{5} = -0{,}4\). - Beschreibung (2): \(\Delta x = -2{,}5\), \(\Delta y = 1 \implies m_2 = \frac{1}{-2{,}5} = -0{,}4\). - Beschreibung (3): \(m_3 = -2{,}5\). 2. Vergleich: Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)), während (3) einen anderen Wert angibt. 3. Berechnung der \(y\)-Änderung: Mit \(m = -0{,}4\) und \(\Delta x = 10\) ergibt sich \(\Delta y = m \cdot \Delta x = -0{,}4 \cdot 10 = -4\). Der \(y\)-Wert sinkt um 4 Einheiten.

Die Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)). Wenn der \(x\)-Wert um 10 Einheiten vergrößert wird, sinkt der \(y\)-Wert um 4 Einheiten (\(\Delta y = -4\)).

- Was gibt die Zahl am Ende einer Funktionsgleichung \(y = mx + t\) über die Position des Graphen an? - Stell dir vor, du gehst einen Schritt nach rechts. Wie weit musst du nach oben oder unten gehen, wenn \(m\) sehr groß ist? - Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den fehlenden Buchstaben zu finden.

1. Beide Funktionsgleichungen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Da dieser den Wert der Funktion an der Stelle \(x = 0\) angibt, haben beide Graphen den Punkt \((0 | 3)\) gemeinsam. 2. Da \(m > 0\), bewirkt ein größeres \(m\), dass die Gerade von \(f\) steiler ansteigt. Entsprechend fällt die Gerade von \(g\) mit der Steigung \(-m\) steiler ab. 3. Einsetzen von \(P(2 | 7)\) in \(f(x)\): \(7 = m \cdot 2 + 3 \implies 4 = 2m \implies m = 2\). Damit ist \(g(x) = -2x + 3\). Ein weiterer Punkt auf \(g\) ist z. B. für \(x = 1\): \(g(1) = -2 \cdot 1 + 3 = 1\), also \(Q(1 | 1)\).

1. Beide Funktionen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). 2. Der Graph von \(f\) wird steiler ansteigend, der Graph von \(g\) wird steiler fallend. 3. \(m = 2\); \(g(x) = -2x + 3\); ein möglicher Punkt ist \(Q(1 | 1)\).

- Wo liegt der Punkt \(P\) im Koordinatensystem? - Welche Steigung verhindert, dass der Graph in den Bereich mit positiven \(x\)- und \(y\)-Werten gelangt? - Kann eine Gerade „plötzlich aufhören“?

1. Teil a): Der Punkt \(P(-2|-4)\) liegt im III. Quadranten. Um den I. Quadranten (oben rechts) zu vermeiden, darf die Gerade entweder waagerecht sein oder fallen. Eine waagerechte Gerade durch \(P\) ist \(y = -4\). Diese verläuft nur durch den III. und IV. Quadranten. Eine fallende Gerade, z. B. mit \(m = -1\), ergibt \(-4 = -1 \cdot (-2) + n \implies n = -6\). Die Funktion \(y = -x - 6\) verläuft durch den II., III. und IV. Quadranten und meidet den I. Quadranten. 2. Teil b): Nein, das ist nicht möglich. Damit ein Graph nur durch einen Quadranten verläuft, müsste er innerhalb dieses Quadranten enden oder parallel zu beiden Achsen gleichzeitig verlaufen, was für eine Gerade unmöglich ist. Jede Gerade ist unendlich lang. Wenn sie nicht parallel zu einer Achse ist, muss sie beide Achsen schneiden und somit mindestens drei Quadranten berühren. Ist sie parallel zu einer Achse (aber nicht die Achse selbst), verläuft sie durch genau zwei Quadranten. Nur wenn die Gerade auf einer Achse liegt, berührt sie keinen Quadranten im Inneren, aber Achsen gehören per Definition nicht zu den Quadranten.

a) Mögliche Beispiele: \(f(x) = -4\) oder \(f(x) = -x - 6\). b) Nicht möglich. Eine Gerade durchläuft immer mindestens zwei Quadranten (wenn sie parallel zu einer Achse ist) oder drei Quadranten (wenn sie nicht parallel zu einer Achse ist und nicht durch den Ursprung geht).

- Welche Lage haben Graphen von Funktionen der Form \(f(x) = c\) im Koordinatensystem? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei waagerechten Geraden? - Wie findet man die Punkte, an denen sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Symmetrie des Trapezes?

1. Bestimmung der vierten Gerade: Da \(f_3(x) = 0\) die x-Achse beschreibt und das Trapez die Höhe \(h = 3\) haben soll, muss die parallele Gegenseite auf der Geraden \(y = 3\) liegen. Somit ist \(f_4(x) = 3\). 2. Berechnung der Schnittpunkte auf der x-Achse (\(y=0\)): Für \(f_1\): \(0 = 2x + 4 \Rightarrow x = -2\), also \(A(-2|0)\). Für \(f_2\): \(0 = -2x + 4 \Rightarrow x = 2\), also \(B(2|0)\). 3. Berechnung der Schnittpunkte auf der Geraden \(y=3\): Für \(f_1\): \(3 = 2x + 4 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0{,}5\), also \(D(-0{,}5|3)\). Für \(f_2\): \(3 = -2x + 4 \Rightarrow -2x = -1 \Rightarrow x = 0{,}5\), also \(C(0{,}5|3)\). 4. Überprüfung der Form: Die Steigungen der Schenkel sind \(2\) und \(-2\), was die Achsensymmetrie zur y-Achse und somit die Eigenschaft „gleichschenklig“ bestätigt.

Die vierte Funktionsgleichung lautet \(f_4(x) = 3\). Die Eckpunkte des Trapezes sind \(A(-2|0)\), \(B(2|0)\), \(C(0{,}5|3)\) und \(D(-0{,}5|3)\).

- Welche Steigung müssen Geraden haben, die senkrecht auf Geraden mit der Steigung \(1\) stehen? - Wenn das Quadrat den Ursprung als Mittelpunkt hat, wie müssen dann die Achsenabschnitte gewählt werden? - Skizziere die Situation. Wo liegen die Eckpunkte, wenn die Geraden Steigungen von \(1\) und \(-1\) haben? - Wie kann man die Fläche eines Quadrats berechnen, wenn man die Längen der Diagonalen kennt?

1. Bestimmung der fehlenden Geraden: Ein Quadrat besitzt zueinander senkrechte Seitenpaare. Die gegebenen Geraden haben die Steigung \(m = 1\). Die dazu senkrechten Geraden müssen die Steigung \(m = -1\) haben. Damit das Quadrat symmetrisch zum Ursprung liegt, müssen die y-Achsenabschnitte der neuen Geraden betragsmäßig gleich den gegebenen sein. Die Gleichungen lauten \(y = -x + 4\) und \(y = -x - 4\). 2. Berechnung der Eckpunkte durch Gleichsetzen: Schnitt von \(y = x + 4\) und \(y = -x + 4\): \(x + 4 = -x + 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_1(0|4)\). Schnitt von \(y = -x + 4\) und \(y = x - 4\): \(-x + 4 = x - 4 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\), also \(P_2(4|0)\). Schnitt von \(y = x - 4\) und \(y = -x - 4\): \(x - 4 = -x - 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_3(0|-4)\). Schnitt von \(y = -x - 4\) und \(y = x + 4\): \(-x - 4 = x + 4 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4\), also \(P_4(-4|0)\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die Eckpunkte liegen auf den Achsen. Die Diagonalen des Quadrats verlaufen von \((0|4)\) bis \((0|-4)\) sowie von \((4|0)\) bis \((-4|0)\). Beide Diagonalen haben die Länge \(d = 8\). Der Flächeninhalt eines Quadrats lässt sich über die Diagonalen berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\).

a) Die weiteren Geraden sind \(y = -x + 4\) und \(y = -x - 4\). b) Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(32\,\text{Flächeneinheiten}\).

- Wie ändern sich die Vorzeichen der Koordinaten bei einer Spiegelung am Ursprung? - Was passiert mit der Lage einer Geraden im Koordinatensystem, wenn sie an einem Punkt gespiegelt wird, der nicht auf der Geraden liegt? - Wann haben zwei Geraden mit der gleichen Steigung einen Schnittpunkt?

1. Teil a: Bei einer Spiegelung am Ursprung wird ein Punkt \((x \mid y)\) auf \((-x \mid -y)\) abgebildet. Um \(k\) zu finden, spiegeln wir \(k'\) zurück. 2. Wähle zwei Punkte auf \(k'\), z. B. \(A'(0 \mid -4)\) und \(B'(3 \mid -3)\). Die Urbildpunkte sind \(A(0 \mid 4)\) und \(B(-3 \mid 3)\). 3. Die Steigung von \(k\) ist identisch zu \(k'\), also \(m = \frac{1}{3}\). Der y-Achsenabschnitt ist \(b = 4\). Somit gilt \(k(x) = \frac{1}{3}x + 4\). 4. Teil b: Eine Punktspiegelung bildet eine Gerade immer auf eine zu ihr parallele Gerade ab. 5. Zwei parallele Geraden sind entweder identisch oder haben keinen Schnittpunkt. 6. Da die y-Achsenabschnitte \(4\) und \(-4\) verschieden sind, sind die Geraden nicht identisch. Folglich gibt es keinen Schnittpunkt.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(k(x) = \frac{1}{3}x + 4\). b) Nein, es gibt keinen Schnittpunkt, da die Geraden parallel sind (gleiche Steigung) und unterschiedliche y-Achsenabschnitte besitzen.

- Wie berechnest du die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn er die Funktionsgleichung nicht erfüllt? - Stell dir vor, die Gerade ist wie einen Hebel vor, der im Punkt \(A\) festgehalten wird. Was passiert mit dem Ende bei \(x=30\), wenn du den Hebel flacher stellst?

1. Berechnung der Steigung \(m\) für Gerade \(AB\): \(m = \frac{45 - 25}{20 - 10} = \frac{20}{10} = 2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): \(25 = 2 \cdot 10 + b \implies b = 5\). Gleichung: \(g(x) = 2x + 5\). 3. Punktprobe für \(C(30|62)\): \(g(30) = 2 \cdot 30 + 5 = 65\). Da \(65 \neq 62\), liegt \(C\) nicht auf der Geraden. 4. Analyse der Steigung: Der Punkt \(C\) hat bei \(x = 30\) den \(y\)-Wert \(62\). Die Gerade \(g\) liefert dort den Wert \(65\). Um näher an \(C\) zu kommen, muss der Funktionswert bei \(x = 30\) sinken. Da die Gerade fest im Punkt \(A(10|25)\) verankert ist, muss die Steigung verkleinert werden, damit die Gerade flacher verläuft und bei \(x = 30\) einen niedrigeren Wert erreicht.

a) \(g(x) = 2x + 5\) b) Nein, \(C\) liegt nicht auf der Geraden, da \(g(30) = 65 \neq 62\). c) Er muss die Steigung verkleinern. Da der berechnete Wert (\(65\)) größer ist als der Messwert (\(62\)), muss die Gerade flacher verlaufen, um näher an \(C\) heranzukommen.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Was passiert mit Punkten, die genau auf der Spiegelachse liegen? - Wenn ein Punkt einen bestimmten Abstand zur Spiegelachse hat, wo landet sein Spiegelpunkt? - Stelle dir vor, wie ein Pfeil, der nach rechts oben zeigt, in einem Spiegel aussieht, der waagerecht liegt.

1. Bestimmung von \(k\): Da die Gerade durch den Ursprung geht, ist \(t = 0\). Die Steigung ist \(m = \frac{2 - 0}{4 - 0} = 0{,}5\). Also \(k(x) = 0{,}5x\). 2. Spiegelung an \(y = 2\): Der Punkt \(B(4|2)\) liegt auf der Spiegelachse und ist somit ein Fixpunkt: \(B' = B(4|2)\). 3. Der Punkt \(O(0|0)\) liegt \(2\) Einheiten unterhalb der Spiegelachse. Sein Spiegelpunkt \(O'\) liegt also \(2\) Einheiten oberhalb der Achse bei \(O'(0|4)\). 4. Bestimmung von \(k'\) durch \(O'(0|4)\) und \(B'(4|2)\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t' = 4\). Die Steigung ist \(m' = \frac{2 - 4}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). Somit ist \(k'(x) = -0{,}5x + 4\). 5. Anschauliche Erklärung: Bei einer Spiegelung an einer waagerechten Achse wird ein "Anstieg" in ein "Fallen" (und umgekehrt) verwandelt. Ein Steigungsdreieck, das vorher nach oben gerichtet war, zeigt nach der Spiegelung nach unten.

a) \(k(x) = 0{,}5x\) b) \(k'(x) = -0{,}5x + 4\) c) Durch die Spiegelung an der Waagerechten wird aus einem positiven Höhenunterschied ein negativer, während der horizontale Unterschied gleich bleibt. Dadurch kehrt sich das Vorzeichen des Quotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) um.

- Probiere für \(n\) verschiedene Werte wie \(2\), \(-3\) oder \(0\) aus und schau, was mit dem Schnittpunkt passiert. - Was passiert bei einer Steigung von Null, wenn die Gerade genau auf der Höhe Null liegt? - Erinnere dich an die Definition einer Geraden: Kann sie Kurven machen oder ist sie immer schnurgerade?

1. Fall \(m = 1{,}5\): Die Nullstelle wird berechnet durch \(1{,}5x + n = 0 \implies x = -\frac{n}{1{,}5}\). Da für jeden beliebigen Wert von \(n\) genau ein Wert für \(x\) existiert, bleibt die Anzahl der Nullstellen immer konstant bei eins. Die Hypothese stimmt hier. 2. Fall \(m = 0\): Die Gleichung lautet \(y = n\). Wenn \(n \neq 0\), gibt es keine Nullstelle (Anzahl 0). Wenn \(n = 0\), ist die Gerade die \(x\)-Achse und hat unendlich viele Nullstellen. Eine Änderung von \(n\) (z. B. von \(1\) auf \(0\)) ändert also die Anzahl der Nullstellen. Die Hypothese ist hier falsch. 3. Genau zwei Nullstellen: Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Wenn eine Gerade zwei verschiedene Nullstellen (Punkte auf der \(x\)-Achse) besitzt, muss sie bereits die \(x\)-Achse selbst sein. Die \(x\)-Achse hat jedoch unendlich viele Nullstellen. Somit kann eine Gerade niemals genau zwei Nullstellen haben.

a) Ja, für \(m \neq 0\) gibt es unabhängig von \(n\) immer genau eine Nullstelle bei \(x = -\frac{n}{m}\). b) Bei \(m = 0\) ist die Hypothese falsch. Für \(n \neq 0\) gibt es keine Nullstelle, für \(n = 0\) unendlich viele. c) Nein. Hat eine Gerade zwei Nullstellen, liegen zwei ihrer Punkte auf der \(x\)-Achse. Damit muss die gesamte Gerade die \(x\)-Achse sein und hat unendlich viele Nullstellen.

- Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Kannst du eine Punktprobe machen, um den Achsenabschnitt zu finden? - Was bedeutet „Nullstelle“ für die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden? - Wenn du die neue Steigung und einen Punkt der neuen Geraden kennst, wie gehst du dann vor?

1. Funktionsgleichung \(p\): Berechnung der Steigung \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 4}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2\). Einsetzen von \(B(3 | 0)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(0 = -2(3) + b \implies b = 6\). Gleichung: \(y = -2x + 6\). 2. Nullstelle von \(p\): Setze \(0 = -2x + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3\). Die Nullstelle ist bei \(x = 3\). 3. Funktionsgleichung \(q\): Die Steigung von \(q\) ist \(m_q = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1\). Da \(q\) dieselbe Nullstelle wie \(p\) hat, verläuft sie durch \((3 | 0)\). Einsetzen in \(y = -1x + b_q\) ergibt \(0 = -1(3) + b_q \implies b_q = 3\). Die Gleichung lautet \(y = -x + 3\).

a) \(p: y = -2x + 6\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 3\). c) \(q: y = -x + 3\)

- Zeichne zuerst den Graphen von \(f\) und finde den Punkt mit der Höhe 3. - Was passiert mit allen Punkten eines Graphen, wenn man ihn „nach oben verschiebt“? - Schau dir an, wo der neue Graph die Höhe 3 erreicht, im Vergleich zum alten Graphen.

1. Lösung für \(f(x) = 3\): Zeichnen der Geraden durch \((0|1)\) und \((2|2)\). Bei \(y = 3\) wird der x-Wert \(x = 4\) abgelesen. 2. Neue Funktion \(g\): Durch die Verschiebung um \(2\) nach oben lautet die neue Gleichung \(g(x) = \frac{1}{2}x + 3\). Der y-Achsenabschnitt liegt nun bei \((0|3)\). 3. Lösung für \(g(x) = 3\): Da der Graph von \(g\) die y-Achse bereits bei \(y = 3\) schneidet, ist die Lösung direkt ablesbar: \(x = 0\). 4. Begründung: Durch die Verschiebung nach oben startet der Graph bei einem höheren Wert. Um denselben Zielwert (\(y = 3\)) zu erreichen, muss man bei gleichbleibender Steigung weniger weit nach rechts auf der x-Achse gehen.

a) \(x = 4\). b) \(x = 0\). c) Da der Graph von \(g\) höher startet als \(f\), erreicht er den Zielwert \(y = 3\) „früher“, also bei einem kleineren x-Wert.

- Führe die Schritte nacheinander aus und achte darauf, welches Vorzeichen sich jeweils ändert. - Vergleiche am Ende die Startgleichung \(s(x)\) mit dem Endergebnis \(u(x)\). Welche Teile der Gleichung sind gleich geblieben, welche haben sich verändert? - Erinnerst du dich, welche Abbildung sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinaten umkehrt?

1. Spiegelung von \(s\) an der \(y\)-Achse: Ersetze \(x\) durch \(-x\). Daraus folgt \(t(x) = \frac{2}{3}(-x) + 5 = -\frac{2}{3}x + 5\). 2. Spiegelung von \(t\) an der \(x\)-Achse: Multipliziere den gesamten Funktionsterm mit \(-1\). Daraus folgt \(u(x) = -(-\frac{2}{3}x + 5) = \frac{2}{3}x - 5\). 3. Vergleich: \(s(x) = \frac{2}{3}x + 5\) und \(u(x) = \frac{2}{3}x - 5\). Bei \(u\) hat sich nur das Vorzeichen des \(y\)-Achsenabschnitts geändert, während die Steigung gleich blieb. Dies entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung.

1. \(t(x) = -\frac{2}{3}x + 5\) 2. \(u(x) = \frac{2}{3}x - 5\) 3. Eine Punktspiegelung am Ursprung (oder eine Drehung um \(180^{\circ}\) um den Ursprung).

- Wie hängen die Breite und Höhe eines Steigungsdreiecks mit der Steigung \(m\) zusammen? - Wenn du einen Punkt und die Steigung kennst, wie kannst du die fehlende Unbekannte \(c\) in der allgemeinen Formel berechnen? - Was musst du tun, um zu beweisen, dass ein Punkt auf einer Linie liegt?

1. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(m = 0{,}5\) und den Punkt \(P(2|1)\) in \(y = m \cdot x + c\) ein: \(1 = 0{,}5 \cdot 2 + c \Rightarrow 1 = 1 + c \Rightarrow c = 0\). Die Funktionsgleichung lautet \(k(x) = 0{,}5x\). 3. Punktprobe für \(Q(10|5)\): Setze \(x = 10\) in die Gleichung ein: \(k(10) = 0{,}5 \cdot 10 = 5\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(m = 0{,}5\) b) \(c = 0\) (Gleichung: \(k(x) = 0{,}5x\)) c) Ja, der Punkt \(Q(10|5)\) liegt auf der Geraden, da \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) eine wahre Aussage ergibt.

- Wie isoliert man eine Variable in einer Gleichung? - Welche Koordinate ist an der \(x\)-Achse immer Null, welche an der \(y\)-Achse? - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Setze die Ausdrücke für \(x\) und \(y\) ein.

1. Umformung: \(0{,}2y = -0{,}4x + 2\). Division durch \(0{,}2\) ergibt \(y = -2x + 10\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(y = -2 \cdot 0 + 10 = 10\). Punkt: \(S_y(0|10)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = -2x + 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5\). Punkt: \(S_x(5|0)\). 3. Einsetzen von \(P(k|2k)\) in die Originalgleichung: \(0{,}4k + 0{,}2(2k) = 2 \implies 0{,}4k + 0{,}4k = 2 \implies 0{,}8k = 2\). Berechnung von \(k = \frac{2}{0{,}8} = 2{,}5\).

a) \(y = -2x + 10\) b) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((5|0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|10)\). c) \(k = 2{,}5\)

- Wie müssen die Steigungen zweier Geraden im Verhältnis zueinander stehen, damit sie sich niemals schneiden? - Was bedeutet es für die Lösung eines Gleichungssystems, wenn die Geraden parallel liegen? - Untersuche die \(y\)-Achsenabschnitte, nachdem du beide Gleichungen umgeformt hast.

1. Umformen von Gleichung (I): \(y = 2x + 4\). Die Steigung ist \(m_1 = 2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b_1 = 4\). 2. Umformen von Gleichung (II): \(-2y = -4x + 6\). Division durch \(-2\) ergibt \(y = 2x - 3\). Die Steigung ist \(m_2 = 2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b_2 = -3\). 3. Vergleich der Geraden: Da beide Geraden dieselbe Steigung (\(m_1 = m_2 = 2\)), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(4 \neq -3\)) haben, verlaufen sie parallel zueinander. 4. Schlussfolgerung: Parallel verlaufende Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt. Das zugehörige Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

Beide Geraden haben die Steigung \(m = 2\). Da sie unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben (\(4\) und \(-3\)), verlaufen sie echt parallel. Es gibt keinen Schnittpunkt und somit keine gemeinsame Lösung für die Gleichungen.

- Wie hängen die Begriffe „Lösung einer Gleichung“ und „Punkt auf einer Geraden“ zusammen? - Was muss für die Steigung und den Achsenabschnitt gelten, damit zwei Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass du die Steigung direkt ablesen kannst?

1. Überprüfung der Punkte: Für \(A(2|0)\): \(0{,}5 \cdot 2 - 0{,}25 \cdot 0 = 1 - 0 = 1\) (wahr). Für \(B(0|-4)\): \(0{,}5 \cdot 0 - 0{,}25 \cdot (-4) = 0 + 1 = 1\) (wahr). Für \(C(4|3)\): \(0{,}5 \cdot 4 - 0{,}25 \cdot 3 = 2 - 0{,}75 = 1{,}25 \neq 1\) (falsch). 2. Berechnung von \(x_D\): \(0{,}5x_D - 0{,}25 \cdot 2 = 1 \implies 0{,}5x_D - 0{,}5 = 1 \implies 0{,}5x_D = 1{,}5 \implies x_D = 3\). 3. Zweite Gleichung finden: Damit kein Schnittpunkt existiert, müssen die Geraden parallel sein, aber unterschiedliche Achsenabschnitte haben. Die erste Gleichung entspricht \(y = 2x - 4\). Eine parallele Gerade wäre z. B. \(y = 2x - 8\). In der ursprünglichen Form ist dies \(0{,}5x - 0{,}25y = 2\). Begründung: Gleiches Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) (gleiche Steigung), aber anderer konstanter Wert (andere Lage).

a) \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden, \(C\) nicht. b) \(x_D = 3\) c) Beispiel: \(0{,}5x - 0{,}25y = 2\). Begründung: Die Geraden haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte, sie sind also echt parallel.

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Bedingung müssen die Steigungen erfüllen, damit zwei Geraden parallel sind? - Kannst du die Gleichung von Gerade \(h\) so umstellen, dass man die Steigung direkt ablesen kann? - Was bedeutet "Koordinatenursprung" für die Koordinaten eines Punktes?

1. Berechnung der Steigung \(m_g\): Da \(g\) durch den Ursprung geht, ist es eine Proportionalitätsfunktion der Form \(y = m \cdot x\). Einsetzen von \(P(2 \mid 5)\) ergibt \(5 = m \cdot 2\), also \(m_g = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Steigung \(m_h\): Umformung der Gleichung \(3x - y = 4\) nach \(y\): \(-y = -3x + 4\), also \(y = 3x - 4\). Die Steigung ist \(m_h = 3\). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Damit zwei Geraden parallel sind, müssen ihre Steigungen identisch sein (\(m_g = m_h\)). Da \(2{,}5 \neq 3\), verlaufen die Geraden nicht parallel.

Die Geraden sind nicht parallel. Die Steigung von \(g\) beträgt \(2{,}5\), während die Steigung von \(h\) den Wert \(3\) hat. Da die Steigungen unterschiedlich sind, verlaufen die Geraden nicht parallel.

- Bestimme zuerst die Steigung der ersten Geraden aus den gegebenen Achsenschnittpunkten. - Wie verändert sich die Steigung für die zweite Gerade laut Aufgabenstellung? - Beide Geraden teilen sich einen Punkt auf der x-Achse. Wie kannst du diesen nutzen?

1. Berechnung der Steigung von \(g\): Die Gerade \(g\) verläuft durch \(S_x(4 | 0)\) und \(S_y(0 | -2)\). Die Steigung ist \(m_g = \frac{0 - (-2)}{4 - 0} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Steigung von \(h\): Da die Steigung doppelt so groß ist, gilt \(m_h = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n_h\): Die Gerade \(h\) verläuft durch die Nullstelle \((4 | 0)\). Einsetzen in \(y = 1 \cdot x + n_h\) ergibt \(0 = 1 \cdot 4 + n_h\), also \(n_h = -4\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Gleichung für \(h\) lautet \(y = x - 4\). 5. Schnittpunkt mit der y-Achse: Aus \(n_h = -4\) ergibt sich der Punkt \(S_y(0 | -4)\).

Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(y = x - 4\). Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(S_y(0 | -4)\).

- Was wissen wir über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander liegen? - Was ist die Bedingung für einen Punkt, der auf der x-Achse liegt (Nullstelle)? - Kannst du die Informationen über den Punkt und die Steigung nutzen, um eine neue Gleichung aufzustellen?

1. Bestimmung von \(k\): Da \(k \parallel h\), ist \(m_k = \frac{2}{3}\). Einsetzen von \(P(6 | 1)\) in \(y = \frac{2}{3}x + t\): \(1 = \frac{2}{3} \cdot 6 + t \Rightarrow 1 = 4 + t \Rightarrow t = -3\). Somit ist \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\). 2. Nullstelle von \(k\): Setze \(k(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{2}{3}x - 3 \Rightarrow 3 = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(l\): Die Gerade \(l\) geht durch \((4{,}5 | 0)\) mit \(m = -2\). Einsetzen in \(y = mx + t\): \(0 = -2 \cdot 4{,}5 + t \Rightarrow 0 = -9 + t \Rightarrow t = 9\). 4. Ergebnis: \(l(x) = -2x + 9\).

a) \(k(x) = \frac{2}{3}x - 3\) b) \(x = 4{,}5\) c) \(l(x) = -2x + 9\)

- Wie hängen die Steigungen zweier paralleler Geraden zusammen? - Wie führt man eine Punktprobe durch? - Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf der y-Achse liegt?

1. Berechnung der Steigung \(m_k\) für Gerade \(k\): \(m_k = \frac{-3 - 5}{-2 - 2} = \frac{-8}{-4} = 2\). 2. Berechnung von \(b_k\): \(5 = 2 \cdot 2 + b_k \Rightarrow b_k = 1\). Funktionsgleichung \(k(x) = 2x + 1\). 3. Punktprobe für \(C(5|11)\): \(k(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 11\). Da \(11 = 11\), liegt der Punkt auf der Geraden. 4. Bestimmung von \(l\): Parallelität bedeutet gleiche Steigung, also \(m_l = 2\). Einsetzen von \(P(1|1)\): \(1 = 2 \cdot 1 + b_l \Rightarrow b_l = -1\). Funktionsgleichung \(l(x) = 2x - 1\). 5. Schnittpunkt mit der y-Achse von \(k\): Der x-Wert ist \(0\), also \(k(0) = 1\). Der Punkt ist \(S_y(0|1)\).

a) \(k(x) = 2x + 1\) b) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden, da die Gleichung \(11 = 2 \cdot 5 + 1\) erfüllt ist. c) \(l(x) = 2x - 1\) d) Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|1)\).

- Zeichne dir im Kopf oder als Skizze die Gerade \(y=x\) ein. Wo liegen Geraden mit kleinerer Steigung? - Überlege dir, was mit dem Vorzeichen der Steigung passiert, wenn eine Gerade an einer Achse gespiegelt wird. - Welche Bedingung muss die Steigung \(m\) erfüllen, damit eine Gerade durch den ersten und dritten Quadranten verläuft? - „Flacher“ bedeutet, dass die Steigung näher an Null liegt.

1. Analyse der Lage für \(0 < m < 1\): Die erste Winkelhalbierende hat die Steigung \(m=1\). Werte zwischen \(0\) und \(1\) bedeuten eine geringere Steigung, sodass die Gerade flacher verläuft und näher an der \(x\)-Achse liegt als die Gerade \(y=x\). 2. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wird jeder Punkt \((x \mid y)\) auf \((-x \mid y)\) abgebildet. Setzt man \(-x\) in die ursprüngliche Form ein, ergibt sich \(y = 4 \cdot (-x) = -4x\). Die Gleichung von \(q\) lautet also \(y = -4x\). 3. Konstruktion einer flacheren Geraden: Damit die Gerade im I. und III. Quadranten liegt, muss \(m > 0\) sein. Damit sie flacher als \(y = 0{,}5x\) ist, muss \(|m| < 0{,}5\) gelten. Eine mögliche Lösung ist \(y = 0{,}1x\) oder \(y = \frac{1}{4}x\).

a) Die Gerade verläuft flacher als die erste Winkelhalbierende und liegt näher an der \(x\)-Achse. b) Die Gleichung lautet \(y = -4x\). Durch die Spiegelung an der \(y\)-Achse kehrt sich das Vorzeichen der Steigung um. c) Eine mögliche Gleichung ist \(y = 0{,}2x\) (jede positive Steigung \(m < 0{,}5\) ist korrekt).