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- Vergleiche die Funktionsgleichungen mit der allgemeinen Form \(y = mx + t\). - Achte darauf, welches Vorzeichen vor der Zahl steht. - Wenn kein \(x\) in der Gleichung vorkommt, was bedeutet das für die Steigung? - Wenn keine einzelne Zahl ohne \(x\) da steht, welchen Wert hat dann der Achsenabschnitt? - Manchmal musst du die Summanden erst sortieren, damit sie der Form \(mx + t\) entsprechen.

1. Für \(f(x) = -4x + 7\): Die Steigung ist der Koeffizient von \(x\), also \(m = -4\). Der konstante Term ist \(t = 7\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|7)\). 2. Für \(g(x) = \frac{2}{5}x\): Dies entspricht \(\frac{2}{5}x + 0\). Somit ist \(m = \frac{2}{5}\) (oder \(0{,}4\)) und \(t = 0\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|0)\). 3. Für \(h(x) = 12 - 3x\): Umgestellt in die Form \(mx + t\) ergibt sich \(-3x + 12\). Damit ist \(m = -3\) und \(t = 12\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|12)\). 4. Für \(k(x) = -5\): Dies entspricht \(0x - 5\). Die Steigung ist \(m = 0\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = -5\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|-5)\).

a) \(m = -4, t = 7, P(0|7)\) b) \(m = \frac{2}{5}, t = 0, P(0|0)\) c) \(m = -3, t = 12, P(0|12)\) d) \(m = 0, t = -5, P(0|-5)\)

- Suche die Stelle, an der der Graph die senkrechte Achse schneidet. - Welche \(x\)-Koordinate hat jeder Punkt auf der \(y\)-Achse?

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=4\). 2. Daher gilt \(t=4\) und \(S_y(0|4)\).

\(t=4\); \(S_y(0|4)\).

- Betrachte jeden Graphen von links nach rechts. - Entscheide jeweils nur, ob die Höhe zunimmt, abnimmt oder gleich bleibt.

1. Graph \(f\) steigt von links nach rechts, also ist er steigend. 2. Graph \(g\) fällt von links nach rechts, also ist er fallend. 3. Graph \(h\) verläuft waagrecht.

a) steigend b) fallend c) waagrecht

- Welche Differenz haben zwei aufeinanderfolgende Dateigrößen? - Welcher Tabellenwert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie setzt sich bei einer linearen Funktion der Wert nach \(t\) Stunden aus Startwert und gleichmäßiger Änderung zusammen?

1. Die Differenzen aufeinanderfolgender Tabellenwerte betragen jeweils \(15\,\text{MB}\). Die Datei wächst also um \(15\,\text{MB}\) pro Stunde. 2. Bei \(t=0\) sind \(10\,\text{MB}\) gespeichert. Daher gilt \(D(t)=10+15t\). 3. Einsetzen von \(t=2{,}5\) ergibt \(D(2{,}5)=10+15\cdot2{,}5=47{,}5\).

a) \(15\,\text{MB}\) pro Stunde b) \(D(t)=10+15t\) c) \(47{,}5\,\text{MB}\)

- Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Welche Form hat dann ihre Funktionsgleichung in \(y=mx+t\)? - Wie kannst du die \(y\)-Koordinate eines Punktes mit dem konstanten Funktionswert vergleichen, um seine Lage zu bestimmen?

1. Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m=0\) und damit die Form \(y=t\). Da \(A(-4 \mid -7)\) auf \(g\) liegt, ist \(t=-7\). Somit lautet die Gleichung \(y=-7\). 2. Für \(B(-4 \mid -5)\) gilt \(-5>-7\). Daher liegt \(B\) oberhalb von \(g\). 3. Für \(C(10 \mid -7)\) gilt \(-7=-7\). Daher liegt \(C\) auf \(g\). 4. Für \(D(0 \mid -10)\) gilt \(-10<-7\). Daher liegt \(D\) unterhalb von \(g\).

1. \(g: y=-7\) 2. \(B\) liegt oberhalb, \(C\) auf und \(D\) unterhalb der Geraden \(g\).

- Welche Koordinate ist an der \(x\)-Achse immer \(0\), welche an der \(y\)-Achse? - Lies die Achsenschnittpunkte zunächst direkt am Diagramm ab. - Welchen Funktionswert setzt du für die rechnerische Kontrolle eines \(x\)-Achsen-Schnittpunkts ein?

1. Aus dem Diagramm liest man für \(f\) die Achsenschnittpunkte \((0\mid-1{,}5)\) und \((2\mid0)\) ab. Für \(g\) sind es \((0\mid4)\) und \((2\mid0)\). 2. Für \(f\) gilt an der \(x\)-Achse \(0=0{,}75x-1{,}5\), also \(x=2\). 3. Für \(g\) gilt \(0=-2x+4\), also ebenfalls \(x=2\). 4. Beide Graphen schneiden die \(x\)-Achse im selben Punkt \((2\mid0)\).

a) \(f:\ (0\mid-1{,}5)\) und \((2\mid0)\); \(g:\ (0\mid4)\) und \((2\mid0)\) b) Beide Nullstellen liegen bei \(x=2\). c) Beide Graphen haben denselben Schnittpunkt \((2\mid0)\) mit der \(x\)-Achse.

- Welche Koordinate ist auf der \(y\)-Achse immer gleich null? - Welche Gleichung musst du für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse lösen? - Welche geometrische Figur entsteht im ersten Quadranten aus den beiden Achsen und der Geraden?

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Damit ist \(f(0)=4\) und \(S_y(0 \mid 4)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\). Aus \(0=-0{,}8x+4\) folgt \(0{,}8x=4\) und damit \(x=5\). Also ist \(S_x(5 \mid 0)\). 3. Die Achsen und die Gerade bilden im ersten Quadranten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(5\) und \(4\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10\) Flächeneinheiten.

a) \(S_y(0 \mid 4)\), \(S_x(5 \mid 0)\) b) \(A=10\) Flächeneinheiten

- Welche Zahl im Term liefert den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse unmittelbar? - Welche Gleichung musst du für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse lösen? - Vergleiche jeweils nur die veränderten Parameter mit denen der Ausgangsfunktion.

1. Für \(f(x)=2x-4\) gilt \(S_y(0\mid-4)\). Aus \(2x-4=0\) folgt \(x=2\), also \(S_x(2\mid0)\). 2. Für \(g(x)=2x+4\) ist \(S_y(0\mid4)\). Aus \(2x+4=0\) folgt \(x=-2\), also \(S_x(-2\mid0)\). Gegenüber \(f\) liegt der \(y\)-Achsenabschnitt um \(8\) Einheiten höher. 3. Für \(h(x)=-2x-4\) bleibt \(S_y(0\mid-4)\). Aus \(-2x-4=0\) folgt \(x=-2\), also \(S_x(-2\mid0)\). Da \(h(x)=f(-x)\), ist der Graph an der \(y\)-Achse gespiegelt.

a) \(S_y(0\mid4)\), \(S_x(-2\mid0)\); der \(y\)-Achsenabschnitt liegt höher, die Nullstelle wechselt von \(2\) zu \(-2\). b) \(S_y(0\mid-4)\), \(S_x(-2\mid0)\); der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt gleich, der Graph ist gegenüber \(f\) an der \(y\)-Achse gespiegelt.

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn sie parallel zueinander verlaufen? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse „höher“ liegt, verändert das die Steigung oder den \(y\)-Achsenabschnitt?

1. Aus \(g(x) = 1{,}5x - 3\) liest man direkt ab: Steigung \(m = 1{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|-3)\). 2. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, muss sie dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) haben. Da sie durch den Ursprung verläuft, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 1{,}5x\). 3. Die Gerade \(k\) hat ebenfalls die Steigung \(m = 1{,}5\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(g\) ist \(-3\). Liegt der neue Abschnitt \(5\) Einheiten höher, rechnet man \(-3 + 5 = 2\). Somit ist \(t = 2\) und die Gleichung lautet \(k(x) = 1{,}5x + 2\).

a) \(m = 1{,}5, S(0|-3)\) b) \(h(x) = 1{,}5x\) c) \(k(x) = 1{,}5x + 2\)

- Welche Information liefert der gleiche konstante Term in beiden Funktionsgleichungen über den \(y\)-Achsenabschnitt? - Wie hängen \(\Delta y\), die Steigung und eine vorgegebene Breite \(\Delta x\) zusammen? - Was kannst du bei gleicher Breite aus unterschiedlich großen Höhenänderungen über die Steilheit schließen?

1. Beide Funktionen haben den gleichen \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Für \(x=0\) ist daher bei beiden \(y=1\). Der gemeinsame Punkt ist \((0 \mid 1)\). 2. Für \(f\) gilt bei \(\Delta x=6\): \(\Delta y=\frac{2}{3}\cdot 6=4\). 3. Für \(g\) gilt bei \(\Delta x=6\): \(\Delta y=1{,}5\cdot 6=9\). 4. Da \(1{,}5>\frac{2}{3}\) ist, verläuft der Graph von \(g\) steiler. Das zeigt sich auch daran, dass bei gleicher Breite der Höhenunterschied \(9\) größer als \(4\) ist.

a) \((0 \mid 1)\) b) Bei \(f\): \(4\) Einheiten nach oben; bei \(g\): \(9\) Einheiten nach oben c) \(g\) verläuft steiler.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Gerade flach wie der Horizont liegt? - Was wissen wir über den \(y\)-Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. Eine vertikale Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben bedeutet eine Addition von \(5\) zum \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). Da \(t = -3\), ist der neue Wert \(t = -3 + 5 = 2\). Die Steigung \(m = 2\) bleibt gleich. Die neue Gleichung lautet \(f(x) = 2x + 2\). 2. Eine Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse, wenn ihre Steigung \(m = 0\) ist. Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\) gleich bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = -3\). 3. Damit eine Gerade durch den Ursprung \((0|0)\) verläuft, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\) sein. Da die Steigung \(m = 2\) unverändert bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = 2x\).

a) \(t\) erhöht sich um \(5\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x + 2\). b) \(m\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = -3\). c) \(t\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x\).

- Woran erkennt man in der Funktionsgleichung, ob zwei Geraden die gleiche Richtung haben? - Wo kann man den Startwert auf der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Vergleiche die Zahlenwerte, die vor dem \(x\) stehen. Welche Zahl steht für die größte Änderung pro Schritt?

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung \(m\) haben. Hier gilt \(m_1 = 1{,}5\) und \(m_2 = 1{,}5\). Somit sind die Graphen von \(g_1\) und \(g_2\) parallel. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch den Parameter \(t\) bestimmt. Für \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) gilt \(t = 2\). Diese drei Graphen schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\). 3. Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Es gilt \(m_1 = 1{,}5\), \(m_2 = 1{,}5\), \(m_3 = -1\) und \(m_4 = 3\). Da \(3\) der größte Wert ist, steigt der Graph von \(g_4\) am steilsten an.

a) \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen. b) \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\), da bei allen \(t = 2\) gilt. c) Der Graph von \(g_4\) ist am steilsten, da \(m = 3\) den größten Betrag hat.

- Welche Parameter musst du vergleichen, um Parallelität zu erkennen? - Wie kannst du Brüche und Dezimalzahlen so darstellen, dass ihre Steigungen leicht vergleichbar sind? - Welcher Parameter in \(y=mx+t\) bestimmt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Die Parameter lauten: \(f_1: m_1=\frac{2}{5}=0{,}4\), \(t_1=3\); \(f_2: m_2=0{,}4\), \(t_2=-1\); \(f_3: m_3=2{,}5\), \(t_3=3\); \(f_4: m_4=\frac{5}{2}=2{,}5\), \(t_4=-4\); \(f_5: m_5=-0{,}4\), \(t_5=3\). 2. Gleiche Steigungen liefern parallele Geraden. Daher gilt \(f_1\parallel f_2\) und \(f_3\parallel f_4\). 3. Für \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) gilt jeweils \(t=3\). Diese Geraden schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 3)\).

a) Parallel sind \(f_1\) und \(f_2\) sowie \(f_3\) und \(f_4\). b) \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 3)\).

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung ein? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der Geraden liegt? - Wenn die y-Koordinate bekannt ist, wie kannst du die Gleichung nach dem unbekannten x-Wert auflösen?

1. Punktprobe für \(A(-2|6)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(y = -1{,}5 \cdot (-2) + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 = 6\), liegt \(A\) auf der Geraden. 2. Punktprobe für \(B(4|-3)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(y = -1{,}5 \cdot 4 + 3 = -6 + 3 = -3\). Da \(-3 = -3\), liegt \(B\) auf der Geraden. 3. Berechnung von \(k\) für \(C(k|0)\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt die Gleichung \(0 = -1{,}5k + 3\). 4. Umstellen nach \(k\): \(1{,}5k = 3 \Rightarrow k = 2\).

a) Ja, beide Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden. b) Der Wert für \(k\) ist \(2\).

- Was gibt der Wert vor dem \(x\) in der Funktionsgleichung über die Steigung an? - Wie berechnet man die Steigung, wenn man weiß, wie weit man nach rechts und wie weit man nach oben geht? - Spielt es eine Rolle, ob man in Zentimetern, Einheiten oder Kästchen rechnet, solange man auf beiden Achsen denselben Maßstab nutzt? - Was passiert mit dem Vorzeichen der Steigung, wenn man sich nach links oder nach unten bewegt?

Die Steigung der Funktion beträgt \(m = 1{,}2\). Für ein korrektes Steigungsdreieck muss das Verhältnis von vertikaler Änderung (\(\Delta y\)) zu horizontaler Änderung (\(\Delta x\)) gleich der Steigung \(m\) sein: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). 1. \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = 6\). Verhältnis: \(\frac{6}{5} = 1{,}2\). Korrekt. 2. \(\Delta x = 10\), \(\Delta y = 12\). Verhältnis: \(\frac{12}{10} = 1{,}2\). Korrekt. (Die Einheit Kästchen kürzt sich im Verhältnis heraus). 3. \(\Delta x = 2\), \(\Delta y = 2{,}4\). Verhältnis: \(\frac{2{,}4}{2} = 1{,}2\). Korrekt. 4. \(\Delta x = 6\), \(\Delta y = 5\). Verhältnis: \(\frac{5}{6} \approx 0{,}83\). Falsch. 5. \(\Delta x = -5\) (links), \(\Delta y = -6\) (unten). Verhältnis: \(\frac{-6}{-5} = 1{,}2\). Korrekt.

1. Korrekt 2. Korrekt 3. Korrekt 4. Falsch 5. Korrekt

- Welche x-Werte führen bei einem Bruch als Steigung zu einem ganzzahligen Ergebnis? - Der y-Achsenabschnitt ist oft ein guter erster Punkt. - Überlege dir, wie du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln kannst.

1. Für die Funktion \(f(x) = \frac{3}{5}x - 1\): Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache des Nenners \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(f(0) = \frac{3}{5} \cdot 0 - 1 = -1\). Punkt: \((0|-1)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(f(5) = \frac{3}{5} \cdot 5 - 1 = 3 - 1 = 2\). Punkt: \((5|2)\). 2. Für die Funktion \(g(x) = -1{,}2x + 2\): Schreibe die Steigung als Bruch: \(-1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\). Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache von \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(g(0) = -1{,}2 \cdot 0 + 2 = 2\). Punkt: \((0|2)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(g(5) = -1{,}2 \cdot 5 + 2 = -6 + 2 = -4\). Punkt: \((5|-4)\).

Mögliche Punkte sind: a) \((0|-1)\) und \((5|2)\) b) \((0|2)\) und \((5|-4)\)

- Vergleiche für jeden vorgeschlagenen Weg die vertikale mit der horizontalen Änderung. - Achte besonders darauf, wie sich die Vorzeichen bei Bewegungen nach links, rechts, oben und unten auswirken. - Prüfe zusätzlich, ob ein mathematisch korrekter Weg auch praktisch gut auf einem Kästchenraster einzuzeichnen ist.

1. Die Steigung der Funktion ist \(m = -\frac{3}{4} = -0{,}75\). 2. Für Weg 1 sind \(\Delta x = 4\) und \(\Delta y = -3\). Es gilt \(\frac{-3}{4} = -0{,}75\). Der Weg ist korrekt. 3. Für Weg 2 sind \(\Delta x = 1\) und \(\Delta y = -0{,}75\). Es gilt \(\frac{-0{,}75}{1} = -0{,}75\). Der Weg ist mathematisch korrekt, jedoch auf kariertem Papier schwer exakt umzusetzen. 4. Für Weg 3 sind \(\Delta x = -8\) und \(\Delta y = 6\). Es gilt \(\frac{6}{-8} = -0{,}75\). Auch dieser Weg ist korrekt.

Alle drei Wege sind mathematisch korrekt, da sie jeweils die Steigung \(m = -0{,}75\) ergeben. Weg 1 und Weg 3 sind auf kariertem Papier am einfachsten einzuzeichnen, da sie nur ganze Kästchen verwenden.

- Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein konstanter Wert zu \(f(x)\) addiert wird? - Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder kreuzt? - Überlege dir, was mit einem Punkt \((x \mid y)\) passiert, wenn man das Vorzeichen von \(x\) in der Funktionsgleichung umkehrt.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -2\), also \(S_y(0 \mid -2)\). Nullstelle: \(0 = \frac{2}{5}x - 2 \implies 2 = \frac{2}{5}x \implies x = 5\), also \(S_x(5 \mid 0)\). 2. Durch die Änderung des konstanten Glieds von \(-2\) zu \(2\) wird der Graph um \(4\) Einheiten in Richtung der positiven \(y\)-Achse verschoben. 3. Die Änderung des Vorzeichens der Steigung von \(m\) zu \(-m\) bei gleichbleibendem \(y\)-Achsenabschnitt entspricht einer Spiegelung des Graphen an der \(y\)-Achse.

1. Nullstelle \(S_x(5 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid -2)\). 2. Der Graph wird um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Es handelt sich um eine Spiegelung an der \(y\)-Achse.

- Welche Achsenschnittpunkte und Steigungsrichtungen kannst du aus den Funktionsgleichungen bestimmen? - Welche Vorzeichen haben \(x\) und \(y\) in den vier Quadranten? - Was ist bei einer Ursprungsgeraden oder einer waagerechten Geraden besonders?

1. Für \(f(x)=1{,}5x-3\) gilt \(m=1{,}5>0\) und \(t=-3\). Der Graph schneidet die negative \(y\)-Achse bei \((0 \mid -3)\) und die positive \(x\)-Achse bei \((2 \mid 0)\). Für \(x<0\) liegt er im III. Quadranten, für \(0<x<2\) im IV. und für \(x>2\) im I. Quadranten. Also: I, III, IV. 2. Für \(g(x)=-x\) gilt \(m=-1\) und \(t=0\). Als Ursprungsgerade mit negativer Steigung verläuft sie durch die Quadranten II und IV. 3. Für \(h(x)=4\) gilt \(m=0\) und \(t=4\). Die waagerechte Gerade liegt oberhalb der \(x\)-Achse und verläuft durch die Quadranten I und II.

1) I, III, IV 2) II, IV 3) I, II

- Was müsste für die Steigungen zwischen den Punktpaaren gelten, damit sie auf einer Geraden liegen? - Berechne die Steigung für zwei verschiedene Paare der gegebenen Punkte. - Erinnere dich an das Steigungsdreieck: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.

1. Berechnung der Steigung \(m_1\) zwischen \(P(-2 | 5)\) und \(Q(2 | 3)\): \(m_1 = \frac{3 - 5}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). 2. Berechnung der Steigung \(m_2\) zwischen \(Q(2 | 3)\) und \(R(5 | 1)\): \(m_2 = \frac{1 - 3}{5 - 2} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(m_1 \neq m_2\), ist die Steigung zwischen den Punkten nicht konstant. Folglich liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden.

Nein, die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigung zwischen \(P\) und \(Q\) (\(m = -0{,}5\)) nicht mit der Steigung zwischen \(Q\) und \(R\) (\(m \approx -0{,}67\)) übereinstimmt.

- Welche Länge zeigt die Tabelle bei einer Masse von \(0\,\text{g}\)? - Wie kannst du aus zwei Tabellenpaaren die konstante Änderung der Länge pro Gramm bestimmen? - Welche Bedeutung haben Anfangswert und Änderungsrate im Experiment?

1. Aus der Tabelle folgt für \(x=0\) die Länge \(12\,\text{cm}\). Daher ist \(t=12\). 2. Mit den Punkten \((0 \mid 12)\) und \((50 \mid 14{,}5)\) ergibt sich \(m=\frac{14{,}5-12}{50-0}=\frac{2{,}5}{50}=0{,}05\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}05x+12\). 4. Der Achsenabschnitt \(t=12\) beschreibt die Ausgangslänge der unbelasteten Feder von \(12\,\text{cm}\). Die Steigung \(m=0{,}05\) bedeutet, dass die Feder pro zusätzlichem Gramm Masse um \(0{,}05\,\text{cm}\) länger wird.

a) \(f(x)=0{,}05x+12\) b) \(t=12\) beschreibt die unbelastete Federlänge von \(12\,\text{cm}\); \(m=0{,}05\) beschreibt die Längenzunahme in \(\text{cm}\) pro Gramm.

- Wie verändert sich das Vorzeichen von \(x\) oder \(y\), wenn man an den Achsen spiegelt? - Welche Eigenschaft einer linearen Funktion bestimmt, ob zwei Geraden parallel sind? - Überlege dir, wie sich eine Spiegelung auf das Steigungsdreieck auswirkt.

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Ersetze \(x\) durch \(-x\). \(h_1(x) = -1{,}5(-x) + 6 = 1{,}5x + 6\). 2. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multipliziere den gesamten Funktionsterm mit \(-1\). \(h_2(x) = -(-1{,}5x + 6) = 1{,}5x - 6\). 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(h_1\) ist \(m_1 = 1{,}5\). Die Steigung von \(h_2\) ist \(m_2 = 1{,}5\). 4. Da \(m_1 = m_2\) gilt, sind die Graphen von \(h_1\) und \(h_2\) parallel zueinander. Sie haben lediglich unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(6\) und \(-6\)).

a) \(h_1(x) = 1{,}5x + 6\) b) \(h_2(x) = 1{,}5x - 6\) c) Ja, sie sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

- Welche Gleichung beschreibt eine Nullstelle einer linearen Funktion? - Welche Bedingung muss eine Darstellung erfüllen, damit sie ein Funktionsgraph ist? - Welchen Funktionswert hat eine waagerechte Gerade überall?

1. Aussage a) ist wahr. Eine Nullstelle erfüllt \(mx+t=0\). Für \(m\ne 0\) lässt sich eindeutig zu \(x=-\frac{t}{m}\) umformen. 2. Aussage b) ist wahr. Eine senkrechte Gerade wie \(x=3\) ordnet demselben \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte zu und ist deshalb kein Funktionsgraph \(y=f(x)\). Sie kann nicht in der Form \(y=mx+t\) geschrieben werden. 3. Aussage c) ist wahr. Eine waagerechte Gerade hat \(m=0\) und damit die Form \(f(x)=t\). Liegt sie nicht auf der \(x\)-Achse, gilt \(t\ne 0\), sodass der Funktionswert \(0\) nie erreicht wird.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr.

- Überlege bei einem Achsenschnittpunkt, welche der beiden Koordinaten dort gleich null ist. - Vergleiche bei b) die beschriebene horizontale und vertikale Änderung mit der gegebenen Steigung. - Untersuche bei c), welcher Parameter der Funktionsgleichung verändert wird und welcher unverändert bleibt.

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) gesetzt. Daraus folgt \(f(0) = -3\), also \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(1{,}5x - 3 = 0\), also \(1{,}5x = 3\) und \(x = 2\). Damit ist \(S_x(2 \mid 0)\). 3. Bei zwei Einheiten nach rechts gilt \(\Delta x = 2\), bei drei Einheiten nach oben \(\Delta y = 3\). Der Quotient \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{2}=1{,}5\) stimmt mit der Steigung der Geraden überein. Die Aussage ist korrekt. 4. Der konstante Term ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Die Änderung von \(-3\) auf \(+1\) verschiebt die Gerade bei unveränderter Steigung um \(4\) Einheiten parallel nach oben.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -3)\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((2 \mid 0)\) b) Die Aussage ist korrekt, da die Steigung \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\) beträgt. c) Die Gerade wird um \(4\) Einheiten parallel nach oben verschoben.

- An welcher Höhe musst du den Graphen von \(f\) betrachten? - Welche \(x\)-Koordinate hat der Schnittpunkt der beiden dargestellten Geraden? - Wie kannst du diesen Wert anschließend in der Gleichung \(f(x)=1\) kontrollieren?

1. Der Graph von \(f\) schneidet die Gerade \(y=1\) im Punkt \((2\mid1)\). Daher liest man \(x=2\) ab. 2. Rechnerisch gilt \(1=-1{,}5x+4\). Daraus folgt \(-3=-1{,}5x\) und damit \(x=2\). Die Rechnung bestätigt die grafische Lösung.

a) \(x=2\) b) \(1=-1{,}5\cdot2+4\), also ist der abgelesene Wert korrekt.

- Betrachte jeweils den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der waagerechten Geraden \(y=3\). - Was bleibt bei einer reinen Verschiebung nach oben an der Steigung unverändert? - Vergleiche die beiden Schnittpunkte horizontal miteinander.

1. Der Graph von \(f\) schneidet die Gerade \(y=3\) im Punkt \((4\mid3)\). Daher gilt in Teil a \(x=4\). 2. Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben ist \(g(x)=\frac{1}{2}x+3\). Der Graph von \(g\) schneidet \(y=3\) bereits bei \((0\mid3)\). Daher gilt in Teil b \(x=0\). 3. Beide Funktionsgraphen haben dieselbe Steigung. Da \(g\) vollständig höher liegt, erreicht er dieselbe Höhe \(y=3\) weiter links und damit bei einem kleineren \(x\)-Wert.

a) \(x=4\) b) \(x=0\) c) Der nach oben verschobene Graph erreicht die gleiche Höhe bei kleinerem \(x\), weil die Steigung unverändert bleibt.

- Wie kannst du den passenden y-Wert auf der Geraden für einen gegebenen x-Wert berechnen? - Was bedeutet es für die Position des Punktes, wenn sein y-Wert größer oder kleiner als der berechnete Wert auf der Geraden ist? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes direkt mit dem Ergebnis deiner Rechnung.

1. Berechnung des \(y\)-Wertes auf der Geraden für \(x_P = 2\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 2 + 0{,}5 = 2{,}9\). Da \(y_P = 2{,}9\), liegt \(P\) auf der Geraden. 2. Berechnung für \(x_Q = -1\): \(y_g = 1{,}2 \cdot (-1) + 0{,}5 = -0{,}7\). Da \(y_Q = -1\) kleiner als \(-0{,}7\) ist, liegt \(Q\) unterhalb der Geraden. 3. Berechnung für \(x_R = 5\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 5 + 0{,}5 = 6{,}5\). Da \(y_R = 6{,}5\), liegt \(R\) auf der Geraden.

\(P(2 \mid 2{,}9)\) liegt auf der Geraden. \(Q(-1 \mid -1)\) liegt unterhalb der Geraden. \(R(5 \mid 6{,}5)\) liegt auf der Geraden.

- Wie kannst du \(\frac{2}{3}\) und \(0{,}6\) in eine vergleichbare Darstellung bringen? - Welcher Parameter bestimmt in \(y=mx+t\) den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Was verändert sich, wenn nur die Steigung verdoppelt wird?

1. Für \(f\) ist \(m_f=\frac{2}{3}\approx 0{,}67\), für \(g\) ist \(m_g=0{,}6\). Daher steigt \(f\) steiler an. 2. Beide Funktionen haben den Achsenabschnitt \(t=4\). Sie schneiden die \(y\)-Achse also im selben Punkt \(S_y(0 \mid 4)\). 3. Für \(h\) ist die neue Steigung \(m_h=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\), während \(t=4\) bleibt. Damit gilt \(h(x)=\frac{4}{3}x+4\).

a) \(f\) steigt steiler an. b) Beide schneiden die \(y\)-Achse in \(S_y(0 \mid 4)\). c) \(h(x)=\frac{4}{3}x+4\)

- Welche einfachen \(x\)-Werte führen zu leicht berechenbaren Funktionswerten? - Was erhältst du, wenn du einen negativen \(x\)-Wert einsetzt? - Welche geometrische Bedeutung hat die Bedingung \(y=f(x)\)?

1. Wähle zum Beispiel \(x=0\), \(x=2\) und \(x=4\). Dann erhält man \(f(0)=-3\), \(f(2)=0\) und \(f(4)=3\). Drei Punkte sind also \((0\mid-3)\), \((2\mid0)\) und \((4\mid3)\). 2. Für \(x=-2\) gilt \(f(-2)=1{,}5\cdot(-2)-3=-6\). Damit ist \((-2\mid-6)\) ein Punkt mit zwei negativen Koordinaten. 3. Genau die Zahlenpaare mit \(y=f(x)\) sind die Punkte auf dem Graphen der Funktion.

a) Zum Beispiel \((0\mid-3)\), \((2\mid0)\), \((4\mid3)\) b) Ja, zum Beispiel \((-2\mid-6)\). c) Sie liegen alle auf dem Graphen von \(f\).

- Was musst du mit der \(x\)-Koordinate eines Punktes tun, um eine Punktprobe durchzuführen? - Wann liegt ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion? - Prüfe die Punkte systematisch und streiche bereits eindeutig zugeordnete Punkte.

1. Für \(A(3\mid4)\) gilt \(f_1(3)=3\cdot3-5=4\). Daher gehört \(A\) zu \(f_1\). 2. Für \(B(0\mid3)\) gilt \(f_2(0)=3\). Daher gehört \(B\) zu \(f_2\). 3. Für \(C(7\mid1)\) gilt \(f_3(7)=7-6=1\). Daher gehört \(C\) zu \(f_3\). 4. Für \(D(4\mid0)\) gilt \(f_4(4)=-0{,}5\cdot4+2=0\). Daher gehört \(D\) zu \(f_4\). 5. Der Punkt \(E(2\mid3)\) erfüllt keinen der vier Funktionsterme und bleibt übrig.

(1) \(\rightarrow A\) (2) \(\rightarrow B\) (3) \(\rightarrow C\) (4) \(\rightarrow D\) Übrig: \(E(2\mid3)\)

- Welche Koordinate bleibt auf einer senkrechten Gerade immer gleich? - Welche Koordinate bleibt auf einer waagerechten Gerade immer gleich? - Wie viele \(y\)-Werte darf ein einzelner \(x\)-Wert bei einem Funktionsgraphen besitzen?

1. Auf einer senkrechten Geraden ist die \(x\)-Koordinate konstant. Da \(A(3 \mid -2)\) auf \(g\) liegt, lautet die Gleichung \(x=3\). Die Gerade ist parallel zur \(y\)-Achse. 2. \(x=3\) ist kein Graph einer Funktion \(y=f(x)\), weil dem Wert \(x=3\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet wären. 3. Auf einer waagerechten Geraden ist die \(y\)-Koordinate konstant. Daher lautet die Gleichung von \(h\): \(y=-2\). 4. Auf \(g\) liegen zum Beispiel \((3 \mid 0)\) und \((3 \mid 5)\). Auf \(h\) liegen zum Beispiel \((0 \mid -2)\) und \((1 \mid -2)\).

a) \(g: x=3\); \(g\) ist kein Funktionsgraph \(y=f(x)\). b) \(h: y=-2\) c) Zum Beispiel auf \(g\): \((3 \mid 0)\), \((3 \mid 5)\); auf \(h\): \((0 \mid -2)\), \((1 \mid -2)\)

- Welche beiden Parameter kannst du direkt aus dem Funktionsterm ablesen? - Welche einfachen \(x\)-Werte liefern leicht berechenbare Punkte? - Wie funktioniert die Punktprobe für \(P(5\mid12)\)?

1. Aus \(f(x)=2x+2\) liest man \(m=2\) und \(t=2\) ab. 2. Zum Beispiel gilt \(f(0)=2\), \(f(1)=4\) und \(f(-1)=0\). Daher liegen \((0\mid2)\), \((1\mid4)\) und \((-1\mid0)\) auf dem Graphen. 3. Für \(x=5\) ist \(f(5)=2\cdot5+2=12\). Damit liegt \(P(5\mid12)\) auf dem Graphen.

a) \(m=2\), \(t=2\) b) Zum Beispiel \((0\mid2)\), \((1\mid4)\), \((-1\mid0)\) c) Ja, \(P(5\mid12)\) liegt auf dem Graphen.

- An welcher Stelle schneidet ein Graph die y-Achse? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate? - Was muss für den y-Wert gelten, wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen?

1. Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse: Durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(y = 4\). Somit liegt der Schnittpunkt bei \(S_y(0 | 4)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse: Setze den Funktionswert gleich Null (\(y = 0\)), woraus die Gleichung \(0 = \frac{2}{5}x + 4\) folgt. 3. Lösung der Gleichung: Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(-4 = \frac{2}{5}x\). Multiplikation mit \(\frac{5}{2}\) führt zu \(x = -10\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_x(-10 | 0)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_y(0 | 4)\) und \(S_x(-10 | 0)\).

- Welche Koordinate ist auf der jeweiligen Achse gleich \(0\)? - Wie berechnest du die Steigung aus zwei Punkten? - Wo steht die Steigung in der Form \(y=mx+t\)?

1. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Daher ist \(S_y(0\mid-2)\). 2. Für die \(x\)-Achse gilt \(0=0{,}4x-2\). Daraus folgt \(x=5\), also \(S_x(5\mid0)\). 3. Aus den beiden Punkten ergibt sich \(m=\frac{0-(-2)}{5-0}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Das stimmt mit dem Koeffizienten von \(x\) überein.

a) \(S_x(5\mid0)\), \(S_y(0\mid-2)\) b) \(m=0{,}4\); die Steigung stimmt mit dem Koeffizienten im Funktionsterm überein.

- Welche zwei Punkte des Fortschrittsmodells kennst du? - Welche gleichmäßige Änderung pro Minute ergibt sich daraus? - Welcher Funktionswert steht für einen abgeschlossenen Auftrag?

1. \(m=\frac{45-15}{20}=1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Mit \(P(0)=15\) gilt \(P(x)=1{,}5x+15\). 3. \(100=1{,}5x+15\) ergibt \(x=\frac{170}{3}\approx56{,}7\).

a) \(P(x)=1{,}5x+15\) b) \(1{,}5\) Prozentpunkte Fortschritt pro Minute c) Nach \(\frac{170}{3}\,\text{min}\approx56{,}7\,\text{min}\)

- Welche Datenmenge ist bereits bei \(x=0\) vorhanden? - Wie verändert sich die Datenmenge pro Woche? - Welche Gleichung beschreibt das Erreichen von \(120\,\text{GB}\)?

1. Anfangswert \(45\), Steigung \(7{,}5\,\text{GB/Woche}\): \(D(x)=7{,}5x+45\). 2. Die Punkte sind \((0\mid45)\), \((2\mid60)\), \((4\mid75)\), \((6\mid90)\), \((8\mid105)\). 3. \(120=7{,}5x+45\) ergibt \(x=10\).

1) \(D(x)=7{,}5x+45\) 2) \((0\mid45)\), \((2\mid60)\), \((4\mid75)\), \((6\mid90)\), \((8\mid105)\) 3) Nach \(10\) Wochen

- Setze die gegebenen Zahlen in die Funktionsgleichungen ein. - Was bemerkst du, wenn du die Ergebnisse von \(g(x)\) mit denen von \(f(x)\) vergleichst? - Überlege, ob die Werte größer oder kleiner werden und was das für den Graphen bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor dem \(x\) und der Form der Geraden.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(x = 4\) gilt \(f(4) = 4\) und \(g(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\). Für \(x = 8\) gilt \(f(8) = 8\) und \(g(8) = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 2. Verhältnis der Funktionswerte: Für jedes \(x\) gilt \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot x = \frac{1}{4} \cdot f(x)\). Für \(x \neq 0\) ist das Verhältnis \(\frac{g(x)}{f(x)}\) somit konstant \(\frac{1}{4}\). 3. Geometrische Interpretation: Da jeder Funktionswert von \(g\) genau ein Viertel des entsprechenden Funktionswertes von \(f\) beträgt, entsteht der Graph von \(g\) durch eine Stauchung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\).

1. \(f(4) = 4, g(4) = 1\); \(f(8) = 8, g(8) = 2\). 2. Für \(x \neq 0\) gilt \(\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}\); äquivalent ist \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\). 3. Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Stauchung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung um den Faktor \(\frac{1}{4}\).

- Was passiert mit dem Abstand eines Punktes zur x-Achse, wenn er an dieser gespiegelt wird? - Betrachte einen Punkt auf der Geraden, zum Beispiel den Schnittpunkt mit einer der Achsen. Wo landet dieser Punkt nach der Spiegelung? - Wenn du die y-Werte der ursprünglichen Funktion mit -1 multiplizierst, was ändert sich grafisch?

1. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate eines Punktes gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Ein Punkt \(P(x \mid y)\) wird also auf \(P'(x \mid -y)\) abgebildet. 2. Setzt man den Zusammenhang \(-y_{neu} = y_{alt}\) in die ursprüngliche Gleichung \(y = 3x - 6\) ein, erhält man \(-y_{neu} = 3x - 6\). 3. Durch Multiplikation mit \(-1\) ergibt sich die neue Funktionsgleichung \(y = -3x + 6\). 4. Überprüfung mit einem Beispielpunkt: Der Punkt \(P(2 \mid 0)\) liegt auf \(g\) (\(3 \cdot 2 - 6 = 0\)). Sein Spiegelpunkt an der \(x\)-Achse ist ebenfalls \((2 \mid 0)\). Einsetzen in \(h\): \(-3 \cdot 2 + 6 = 0\). Der Punkt \(P(0 \mid -6)\) auf \(g\) wird zu \(P'(0 \mid 6)\) auf \(h\): \(-3 \cdot 0 + 6 = 6\). Dies bestätigt die Herleitung.

a) Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(y = -3x + 6\). b) Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus \(y\) der Wert \(-y\). Die Gleichung \(y = 3x - 6\) wird zu \(-y = 3x - 6\), was aufgelöst \(y = -3x + 6\) ergibt.

- Was bedeutet es für die Zuordnung von \(x\) zu \(y\), wenn eine Variable in der Gleichung gar nicht vorkommt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Darf ein \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte haben? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten, wenn die Differenz der \(x\)-Werte Null ist? - Stelle dir vor, wie die Punkte im Koordinatensystem liegen, wenn immer derselbe \(x\)- oder \(y\)-Wert gefordert ist.

1. Umformung der Gleichungen: \(g_1: 6y = 18 \Rightarrow y = 3\) \(g_2: 5x = -20 \Rightarrow x = -4\) 2. Funktionsprüfung: \(g_1\) ist der Graph einer Funktion (konstante Funktion), da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert (nämlich 3) zugeordnet wird. \(g_2\) ist kein Funktionsgraph, da dem Wert \(x = -4\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet sind, was der Definition einer Funktion widerspricht. 3. Steigung: Für \(g_1\) gilt \(m = 0\). Für \(g_2\) ist die Steigung nicht definiert, da die Gerade senkrecht verläuft. 4. Lage im Koordinatensystem: \(g_1\) verläuft parallel zur \(x\)-Achse (waagerecht). \(g_2\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse (senkrecht).

1. \(g_1: y = 3\); \(g_2: x = -4\) 2. \(g_1\) ist eine Funktion; \(g_2\) ist keine Funktion (ein \(x\)-Wert hat mehrere \(y\)-Werte). 3. \(g_1: m = 0\); \(g_2\): Steigung nicht definiert. 4. \(g_1\) ist parallel zur \(x\)-Achse; \(g_2\) ist parallel zur \(y\)-Achse.

- Berechne die Steigung einer durch zwei Punkte gegebenen Geraden jeweils mit demselben Differenzenquotienten. - Welche Größe entscheidet darüber, ob zwei verschiedene lineare Graphen parallel verlaufen? - Für die Gleichung der parallelen Geraden fehlt nach der Steigung noch der y-Achsenabschnitt.

1. Für \(g\) ist \(m_g=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 2. Für \(h\) ist \(m_h=\frac{4-6}{2-(-1)}=-\frac{2}{3}\). 3. Die Steigung von \(f\) ist \(m_f=1{,}5\). Daher ist \(g\) parallel zu \(f\), während \(h\) nicht parallel zu \(f\) ist. 4. Für \(g(x)=1{,}5x+b\) liefert \(P(1|2)\) die Gleichung \(2=1{,}5+b\). Damit ist \(b=0{,}5\) und \(g(x)=1{,}5x+0{,}5\).

a) \(m_g=1{,}5\), \(m_h=-\frac{2}{3}\). b) \(g\) ist parallel zu \(f\), weil \(m_g=m_f=1{,}5\). c) \(g(x)=1{,}5x+0{,}5\).

- Kannst du am Verlauf der Geraden von links nach rechts erkennen, ob die Werte steigen oder fallen? - Überlege, was eine waagerechte Gerade für die Änderung der \(y\)-Werte bedeutet. - Was passiert bei einer senkrechten Geraden? Kann man dort einen Steigungswert berechnen? - Um den genauen Wert der Steigung zu ermitteln, kannst du die Koordinatendifferenzen zweier gut ablesbarer Gitterpunkte verwenden.

1. **Teilaufgabe (a):** Die Gerade steigt von links nach rechts, daher ist die Steigung positiv. Durch Ablesen zweier Punkte, z. B. \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(1 \mid 1)\), bestimmen wir die Steigung: \(m = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2\). 2. **Teilaufgabe (b):** Die Gerade fällt von links nach rechts, daher ist die Steigung negativ. Durch Ablesen zweier Punkte, z. B. \(P_1(0 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 1)\), bestimmen wir die Steigung: \(m = \frac{1 - 2}{2 - 0} = -0{,}5\). 3. **Teilaufgabe (c):** Die Gerade verläuft horizontal. Da der \(y\)-Wert für alle \(x\) konstant bleibt, ist die Steigung null: \(m = 0\). 4. **Teilaufgabe (d):** Die Gerade verläuft vertikal. Da sich der \(x\)-Wert nicht ändert, wäre die Differenz im Nenner gleich null. Eine Division durch null ist nicht definiert, daher ist die Steigung nicht definiert.

(a) positiv, \(m = 2\) (b) negativ, \(m = -0{,}5\) (c) null, \(m = 0\) (d) nicht definiert

- Bestimme zuerst für jeden Graphen den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Dieser liefert den Parameter \(t\) in \(y=mx+t\). - Bestimme anschließend die Steigung mit einem geeigneten Steigungsdreieck. - Achte darauf, ob der Graph von links nach rechts steigt oder fällt. - Vergleiche die beiden ermittelten Parameter mit den vorgegebenen Termen.

1. Graph \(a\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=1\) und hat die Steigung \(m=2\). Daher gehört er zu Term 3: \(y=2x+1\). 2. Graph \(b\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=3\) und hat die Steigung \(m=-\frac{1}{2}\). Daher gehört er zu Term 4: \(y=-\frac{1}{2}x+3\). 3. Graph \(c\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-1\) und hat die Steigung \(m=-2\). Daher gehört er zu Term 1: \(y=-2x-1\). 4. Graph \(d\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-2\) und hat die Steigung \(m=\frac{1}{2}\). Daher gehört er zu Term 2: \(y=\frac{1}{2}x-2\).

\(a\to 3\), \(b\to 4\), \(c\to 1\), \(d\to 2\). Die Terme 5 und 6 bleiben übrig.

- Eine lineare Funktionsgleichung kann in der Form \(y=mx+t\) geschrieben werden. - Welcher Parameter beschreibt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wie kannst du die Steigung aus zwei gut ablesbaren Gitterpunkten bestimmen? - Welcher Parameter muss bei verschiedenen Geraden gleich sein, damit sie parallel verlaufen?

1. Die Gerade \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\). Bei einer waagerechten Änderung um \(2\) fällt sie um \(1\); daher ist \(m=-\frac{1}{2}\) und \(f: y=-0{,}5x+3\). 2. Für \(g\) gilt dieselbe Steigung und der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). Damit ist \(g: y=-0{,}5x+1\). 3. Für \(h\) gilt dieselbe Steigung und der \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\). Damit ist \(h: y=-0{,}5x-2\). 4. Alle drei Geraden haben dieselbe Steigung \(m=-0{,}5\). Deshalb verlaufen sie parallel.

\(f: y=-0{,}5x+3\), \(g: y=-0{,}5x+1\), \(h: y=-0{,}5x-2\). Die Geraden sind parallel, weil sie dieselbe Steigung \(m=-0{,}5\) haben.

- Vergleiche zuerst, wo die drei Graphen die \(y\)-Achse schneiden. - Welche der gegebenen Funktionen ist eine Ursprungsgerade? - Vergleiche bei den fallenden Geraden die Beträge ihrer Steigungen.

1. Die Funktion \(a(x)=-\frac{2}{3}x+1\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und eine negative Steigung mit Betrag \(\frac{2}{3}\). Das ist Graph \(p\). 2. Die Funktion \(b(x)=\frac{3}{2}x-2\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und eine positive Steigung. Das ist Graph \(q\). 3. Die Funktion \(c(x)=-2x\) ist eine Ursprungsgerade und fällt steiler als \(a\). Das ist Graph \(r\).

\(p\to a\), \(q\to b\), \(r\to c\)

- Bestimme für jede Gleichung den Wert, der angibt, wo die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. - Überprüfe die Steigung: Ist sie positiv oder negativ? - Wie steil verläuft die Gerade? Vergleiche die Schritte im Gitter mit der Zahl vor dem \(x\).

1. Die Gerade \(g_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\) und fällt mit der Steigung \(m = -2\). Daher gehört sie zu Gleichung 1: \(y = -2x + 3\). 2. Die Gerade \(g_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\) und hat die Steigung \(m = 1\). Daher gehört sie zu Gleichung 3: \(y = x + 1\). 3. Die Gerade \(g_3\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\) und steigt mit der Steigung \(m = \frac{1}{3}\). Daher gehört sie zu Gleichung 2: \(y = \frac{1}{3}x - 2\).

\(g_1\) gehört zu Gleichung 1, \(g_2\) zu Gleichung 3 und \(g_3\) zu Gleichung 2.

- Bestimme zuerst den gemeinsamen \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). - Nutze für jede Steigung zwei Punkte, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Achte darauf, ob die jeweilige Gerade steigt oder fällt.

1. Beide Geraden schneiden die \(y\)-Achse bei \(y=1\). Daher gilt jeweils \(t=1\). 2. Bei \(h\) führt ein Schritt nach rechts vom Punkt \((0 \mid 1)\) zu einem Anstieg um \(2\). Damit ist \(m_h=2\) und \(h: y=2x+1\). 3. Bei \(k\) führen vier Schritte nach rechts vom Punkt \((0 \mid 1)\) zu einem Abstieg um \(1\). Damit ist \(m_k=-\frac{1}{4}=-0{,}25\) und \(k: y=-0{,}25x+1\).

\(h: y=2x+1\) \(k: y=-0{,}25x+1\)

- Vergleiche die Steigungsdreiecke der beiden Geraden. - Wo schneiden die Geraden die \(y\)-Achse? - Welche Beziehung besteht zwischen zwei verschiedenen Geraden mit gleicher Steigung?

1. Die Gerade \(s_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=1\). Geht man \(2\) Einheiten nach rechts, steigt sie um \(1\) Einheit. Daher ist \(m=0{,}5\) und \(s_1: y=0{,}5x+1\). 2. Die Gerade \(s_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t=-1\). Sie hat dieselbe Steigung \(m=0{,}5\), also \(s_2: y=0{,}5x-1\). 3. Beide Geraden haben dieselbe Steigung und verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Deshalb sind sie parallel.

\(s_1: y=0{,}5x+1\); \(s_2: y=0{,}5x-1\). Die Geraden sind parallel.

- Welche beiden markierten Punkte kannst du für ein Steigungsdreieck verwenden? - Welche waagerechte und welche senkrechte Änderung liegen zwischen diesen Punkten? - Wie wird aus diesen beiden Änderungen die Steigung bestimmt?

1. Im Diagramm sind die Punkte \(P_1(0\mid0)\) und \(P_2(5\mid3)\) markiert. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{3-0}{5-0}=\frac{3}{5}=0{,}6\).

\(m=0{,}6\)

- Welche beiden markierten Punkte liefern gut ablesbare Werte? - Um wie viele Liter ändert sich das Volumen zwischen diesen Punkten? - Teile die Volumenänderung durch die zugehörige Zeitänderung.

1. Im Graphen sind die Punkte \(P_1(2\mid10)\) und \(P_2(6\mid30)\) markiert. 2. Zwischen den Punkten nimmt das Volumen um \(30-10=20\,\text{l}\) zu, während \(6-2=4\,\text{min}\) vergehen. 3. Damit beträgt die Steigung \(m=\frac{20}{4}=5\). Die Füllrate ist also \(5\,\text{l/min}\).

\(5\,\text{l/min}\)

- Welche Vermutung liefert dir zunächst die Lage der Punkte im Diagramm? - Wie führst du für jeden Punkt eine Punktprobe mit \(f(x)\) durch? - Vergleiche den berechneten Funktionswert jeweils mit der gegebenen \(y\)-Koordinate.

1. Für \(A(2\mid1)\) gilt \(f(2)=1{,}5\cdot2-2=1\). Daher liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Für \(B(-1\mid-3{,}5)\) gilt \(f(-1)=1{,}5\cdot(-1)-2=-3{,}5\). Daher liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Für \(C(4\mid3{,}5)\) gilt \(f(4)=1{,}5\cdot4-2=4\). Da \(4\neq3{,}5\), liegt \(C\) nicht auf dem Graphen.

\(A\) und \(B\) liegen auf dem Graphen; \(C\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Welchen \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) liest du aus der Funktionsgleichung ab? - Muss der Graph wegen des Vorzeichens der Steigung steigen oder fallen? - Welche waagerechte und senkrechte Änderung entspricht einer Steigung von \(0{,}5\)? - Du kannst zusätzlich einen einfachen \(x\)-Wert einsetzen und den entstehenden Punkt mit den Diagrammen vergleichen.

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=1\). Damit scheidet Diagramm c) aus, weil dessen Gerade die \(y\)-Achse bei \(-1\) schneidet. 2. Die Steigung \(m=0{,}5\) ist positiv. Deshalb muss die Gerade steigen; damit scheidet Diagramm d) aus. 3. Bei \(m=0{,}5\) steigt die Gerade bei \(2\) Einheiten nach rechts um \(1\) Einheit. Das trifft auf Diagramm b) zu; in Diagramm a) ist die Steigung \(2\).

Diagramm b)

- Bestimme zuerst den \(y\)-Achsenabschnitt des Graphen. - Bestimme die Steigung mithilfe zweier Punkte, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung. - Vergleiche anschließend mit den angebotenen Funktionsgleichungen.

1. Lies den \(y\)-Achsenabschnitt ab: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\). Damit kommen A, B oder C infrage. 2. Der Graph fällt von links nach rechts, also ist die Steigung negativ. Damit scheidet B aus. 3. Bestimme die Steigung mithilfe zweier Punkte des Graphen, zum Beispiel \((0 \mid 3)\) und \((2 \mid 0)\): \(m = (0 - 3) : (2 - 0) = -1{,}5\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x) = -1{,}5x + 3\).

A: \(g(x) = -1{,}5x + 3\)

- Welchen Achsenschnittpunkt kannst du direkt aus dem konstanten Term ablesen? - Wie bestimmst du den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welches Diagramm besitzt genau diese beiden Achsenschnittpunkte?

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=-2\), also liegt \(S_y(0\mid-2)\) auf dem Graphen. 2. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}5x-2\). Daraus folgt \(x=4\), also \(S_x(4\mid0)\). 3. Nur Diagramm a) zeigt eine Gerade durch \((0\mid-2)\) und \((4\mid0)\). Daher ist a) richtig.

Diagramm a)

- Was sagt die Richtung des Graphen von links nach rechts über das Vorzeichen der Steigung aus? - Liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse jeweils oberhalb oder unterhalb des Ursprungs?

1. Der Graph von \(f\) steigt von links nach rechts. Daher gilt \(m_1>0\). Er schneidet die \(y\)-Achse unterhalb des Ursprungs, also gilt \(t_1<0\). 2. Der Graph von \(g\) fällt von links nach rechts. Daher gilt \(m_2<0\). Er schneidet die \(y\)-Achse oberhalb des Ursprungs, also gilt \(t_2>0\).

Für \(f\): \(m_1>0\) und \(t_1<0\). Für \(g\): \(m_2<0\) und \(t_2>0\).

- Wo schneidet die Gerade die \(y\)-Achse, und welchen Parameter \(t\) bestimmt das? - Steigt oder fällt die Gerade von links nach rechts? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du für ein Steigungsdreieck verwenden?

1. Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=2\). Daher ist der Achsenabschnitt \(t=2\); diese Bedingung erfüllen alle vier Antwortmöglichkeiten. 2. Die Gerade fällt, also muss die Steigung negativ sein. Damit scheidet A aus. 3. Aus den Punkten \((0 \mid 2)\) und \((4 \mid 0)\) ergibt sich \(m=\frac{0-2}{4-0}=-\frac{1}{2}\). 4. Somit lautet die Gleichung \(y=-\frac{1}{2}x+2\), also Antwort D.

D) \(y=-\frac{1}{2}x+2\)

- Wie berechnet man den y-Wert, wenn der x-Wert einer Funktion bekannt ist? - Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt „senkrecht über“ einem anderen liegt? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt?

1. Einsetzen von \(x = 4\) in \(f(x)\): \(f(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4\). Somit ist \(y_P = 4\) und der Punkt ist \(P(4| 4)\). 2. Da \(Q\) die gleiche x-Koordinate hat und \(5\) Einheiten über dem Graphen liegt, addiert man \(5\) zur y-Koordinate von \(P\): \(y_Q = 4 + 5 = 9\). Der Punkt ist \(Q(4| 9)\). 3. Prüfung für \(g(x)\): Setze \(x = 4\) in \(g(x) = 1{,}5x + 3\) ein: \(g(4) = 1{,}5 \cdot 4 + 3 = 6 + 3 = 9\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt (\(9 = 9\)), liegt \(Q\) auf dem Graphen von \(g\).

1. \(y_P = 4\) 2. \(Q(4| 9)\) 3. Ja, \(Q\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(g(4) = 9\) ist.

- Welche Koordinaten kannst du an den markierten Achsenschnittpunkten direkt ablesen? - Wie ergibt sich die Steigung aus der waagerechten und senkrechten Änderung zwischen diesen Punkten? - Was bleibt bei zwei parallelen Geraden gleich? - Welche Bedeutung hat der markierte Punkt \(A\) für den Parameter \(t\) von \(k\)?

1. Aus dem Diagramm liest man für \(h\) die Punkte \(S_x(-2\mid0)\) und \(S_y(0\mid4)\) ab. 2. Die Steigung ist \(m=\frac{4-0}{0-(-2)}=2\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(4\) gilt \(h(x)=2x+4\). 3. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Da \(A(0\mid-2)\) der \(y\)-Achsenabschnitt von \(k\) ist, lautet \(k(x)=2x-2\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=2x-2\). Daraus folgt \(x=1\), also \((1\mid0)\).

a) \(S_x(-2\mid0)\), \(S_y(0\mid4)\) b) \(m=2\), \(h(x)=2x+4\) c) \(k(x)=2x-2\); Schnittpunkt \((1\mid0)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse oder der \(y\)-Achse liegt? - Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Längen der Katheten bekannt sind? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt eine Funktionsgleichung erfüllt?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 0{,}75 \cdot 0 - 3 = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Berechnung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(0{,}75x - 3 = 0 \Rightarrow 0{,}75x = 3 \Rightarrow x = 4\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(4\) und \(3\). Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\). Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). 4. Punktprobe für \(Q(2 \mid -1{,}5)\): \(f(2) = 0{,}75 \cdot 2 - 3 = 1{,}5 - 3 = -1{,}5\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(Q\) auf dem Graphen.

a) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(4 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -3)\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). c) Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf dem Graphen, da der berechnete Funktionswert \(f(2) = -1{,}5\) mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt.

- Setze \(t=0\) ein und deute den erhaltenen Wert. - Woran erkennst du im Term die Änderung pro Minute? - Für die Definitionsmenge ist entscheidend, wann das Fass erstmals voll ist. - Welche Größe in \(V(t)=mt+t_0\) würde sich ändern, wenn nur das Anfangsvolumen anders wäre?

1. Der Wert \(20\) ist das Anfangsvolumen in Litern. Die Steigung \(1{,}5\) bedeutet eine Zunahme um \(1{,}5\,\text{l}\) pro Minute. 2. \(V(12)=1{,}5\cdot12+20=38\). Nach \(12\,\text{min}\) sind \(38\,\text{l}\) im Fass. 3. Das Fass ist voll, wenn \(1{,}5t+20=80\). Daraus folgt \(t=40\). Für diesen Füllvorgang gilt daher \(D=[0;40]\). 4. Der Graphabschnitt beginnt bei \((0\mid20)\) und endet bei \((40\mid80)\). Bei leerem Start wäre nur der Achsenabschnitt verändert: \(V_0(t)=1{,}5t\).

a) \(20\): Anfangsvolumen; \(1{,}5\): \(1{,}5\,\text{l/min}\) b) \(38\,\text{l}\) c) \(D=[0;40]\) d) Startpunkt \((0\mid20)\), Endpunkt \((40\mid80)\); bei leerem Start \(V_0(t)=1{,}5t\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen darauf, Terme mit \(x\) und Terme ohne \(x\) getrennt zu betrachten. - Die „Steilheit“ hängt davon ab, wie stark sich der \(y\)-Wert ändert, wenn man einen Schritt nach rechts geht – egal ob nach oben oder unten. - Um einen Funktionswert zu berechnen, ersetzt du den Platzhalter im Term durch die gegebene Zahl.

1. Umformen von \(f\): \(f(x) = 2x - 6 + 4 = 2x - 2\). Hier ist \(m = 2\) und \(t = -2\). 2. Umformen von \(g\): \(g(x) = -\frac{1}{2}x + 5 - 2 = -0{,}5x + 3\). Hier ist \(m = -0{,}5\) und \(t = 3\). 3. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit einer Geraden wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Da \(|2| > |-0{,}5|\) ist, verläuft die Gerade \(f\) steiler als die Gerade \(g\). 4. Berechnung von \(f(10)\): Setze \(x = 10\) in die vereinfachte Gleichung ein: \(f(10) = 2 \cdot 10 - 2 = 20 - 2 = 18\).

a) \(f(x) = 2x - 2\); \(g(x) = -0{,}5x + 3\) b) \(f\): \(m = 2, t = -2\); \(g\): \(m = -0{,}5, t = 3\) c) \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als der von \(g\) (\(0{,}5\)). d) \(f(10) = 18\)

- Welche Steigung erhältst du aus \(P\) und \(Q\)? - Wie bestimmst du danach den Achsenabschnitt \(t\)? - Welchen Funktionswert muss die Gleichung bei der jeweiligen \(x\)-Koordinate liefern, damit der Punkt auf der Geraden liegt?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{-2-7}{2-(-1)}=-3\). 2. Mit \(P(-1\mid7)\) gilt \(7=-3\cdot(-1)+t\). Daraus folgt \(t=4\), also \(y=-3x+4\). 3. Für \(R\) liefert die Funktion bei \(x=0\) den Wert \(4\). Da \(4\ne5\), liegt \(R\) nicht auf \(g\). 4. Für \(S\) gilt bei \(x=1\): \(-3\cdot1+4=1\). Daher liegt \(S\) auf \(g\).

a) \(y=-3x+4\) b) \(R\) liegt nicht auf \(g\); \(S\) liegt auf \(g\).

- Welcher Teil der Kosten hängt vom Verbrauch ab und welcher bleibt konstant? - Welche Größen entsprechen in \(K(x)=mx+t\) der Steigung \(m\) und dem Achsenabschnitt \(t\)? - Wie kannst du ein gegebenes Wertepaar mit deiner Funktionsgleichung prüfen? - Wie gehst du vor, wenn statt des Verbrauchs der Rechnungsbetrag gegeben ist?

1. Der verbrauchsabhängige Preis ist die Steigung \(m=0{,}80\), die Grundgebühr ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=18{,}50\). Daher gilt \(K(x)=0{,}80x+18{,}50\). 2. Für \(x=40\) ergibt sich \(K(40)=0{,}80\cdot40+18{,}50=50{,}50\). Die Angabe passt zum Tarifmodell. 3. Für Teil b gilt \(74{,}50=0{,}80x+18{,}50\). Nach Subtraktion von \(18{,}50\) folgt \(56=0{,}80x\). 4. Division durch \(0{,}80\) ergibt \(x=70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) \(K(x)=0{,}80x+18{,}50\); die Angabe für \(40\,\text{kWh}\) ist korrekt. b) \(70\,\text{kWh}\)

- Überlege, was das Vorzeichen und der Betrag der Steigung über die Änderung der Geraden aussagen. - Vergleiche eine Bewegung nach rechts mit einer Bewegung nach links bei derselben Steigung. - Für c) nutze den bekannten Punkt, um nach Festlegung der Steigung den noch unbekannten Achsenabschnitt zu bestimmen.

1. Für \(\Delta x=-8\) gilt \(\Delta y=m\Delta x=-0{,}75\cdot(-8)=6\). Er muss also \(6\) Einheiten nach oben gehen. 2. Für \(\Delta x=1\) gilt \(\Delta y=-0{,}75\cdot 1=-0{,}75\). Er muss also \(0{,}75\) Einheiten nach unten gehen. 3. Setze \(P(4 \mid -1)\) in \(y=mx+t\) ein: \(-1=-0{,}75\cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=2\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=-0{,}75x+2\).

a) \(6\) Einheiten nach oben b) \(\Delta y=-0{,}75\), also \(0{,}75\) Einheiten nach unten c) \(g(x)=-0{,}75x+2\)

- Überlege, wie eine gegebene horizontale Änderung mit der Steigung zusammenhängt. - Für den Steilheitsvergleich müssen die unterschiedlichen Breiten der beiden Steigungsdreiecke berücksichtigt werden. - Bringe die beiden Steigungen bei Bedarf in eine gemeinsame Zahlendarstellung, bevor du sie vergleichst.

1. Höhe des Steigungsdreiecks für \(k\): \(\Delta y_k = m_k \cdot \Delta x_k = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2\). Die Höhe beträgt \(2\) Einheiten. 2. Höhe des Steigungsdreiecks für \(l\): \(\Delta y_l = m_l \cdot \Delta x_l = 0{,}6 \cdot 5 = 3\). Die Höhe beträgt \(3\) Einheiten. 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(k\) ist \(m_k = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). Die Steigung von \(l\) ist \(m_l = 0{,}6\). Da \(0{,}667 > 0{,}6\) ist, ist die Gerade \(k\) steiler.

a) Gerade \(k\): \(2\) Einheiten hoch Gerade \(l\): \(3\) Einheiten hoch b) Gerade \(k\) ist steiler, da \(\frac{2}{3} > 0{,}6\) gilt.

- Welchen Einfluss hat der Wert am Ende der Gleichung auf die Höhe des Graphen? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für die Koordinaten eines Punktes? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Was muss für die Steigungen gelten, damit es keinen Schnittpunkt gibt?

1. Analyse der Verschiebung: Der Parameter \(t\) bestimmt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Eine Verkleinerung von \(t\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen parallel nach unten entlang der \(y\)-Achse. 2. Berechnung von \(t\) für die Nullstelle: Die Bedingung für eine Nullstelle bei \(x = 6\) ist \(y = 0\). Einsetzen in die Gleichung: \(0 = -1{,}5 \cdot 6 + t\). 3. Ergebnis für \(t\): \(0 = -9 + t \implies t = 9\). 4. Schnittpunkt-Bedingung: Zwei Geraden schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind. 5. Vergleich der Steigungen: Die Schar hat die konstante Steigung \(m_1 = -1{,}5\), die Gerade \(h\) hat die Steigung \(m_2 = 2\). Da \(-1{,}5 \neq 2\), sind die Geraden nie parallel und müssen sich schneiden.

a) Der Graph wird parallel nach unten verschoben. b) Der Wert ist \(t = 9\). c) Die Steigungen der Geraden (\(m = -1{,}5\)) und der Geraden \(h\) (\(m = 2\)) sind verschieden. Da sie nicht parallel sind, gibt es immer genau einen Schnittpunkt.

- Schau dir den Teil der Gleichung an, der nicht von \(x\) abhängt. Was sagt dieser über den Graphen aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Steigung und dem Verlauf der Geraden. - Was bedeutet „steiler“ im Zusammenhang mit den Zahlenwerten der Steigung? - Welche Information in der Gleichung muss identisch sein, damit zwei Geraden überall den gleichen Abstand haben?

1. Gemeinsamer Punkt: Da der \(y\)-Achsenabschnitt für alle Funktionen \(-2\) ist, verlaufen alle Graphen durch \(P(0 \mid -2)\). 2. Bedingung für fallende Geraden: Eine lineare Funktion fällt, wenn die Steigung negativ ist, also \(m < 0\). 3. Vergleich der Steilheit: Da \(|2| > |1|\), ist die Steigung bei \(m = 2\) größer. Ein größerer Betrag der Steigung bedeutet einen steileren Verlauf des Graphen. 4. Aufstellen der parallelen Geraden: Parallelität bedeutet gleiche Steigung, also \(m_g = 0{,}5\). Der neue \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = 3\). Daraus folgt \(g(x) = 0{,}5x + 3\).

a) Der gemeinsame Punkt ist \(P(0 \mid -2)\). b) Die Gerade fällt für alle \(m < 0\). c) Der Graph für \(m = 2\) ist steiler, da der Betrag der Steigung größer ist. d) Die Gleichung lautet \(g(x) = 0{,}5x + 3\).

- Welche Gleichung gilt an einer Stelle, an der beide Geraden denselben Punkt haben? - Welches Vorzeichen der Steigung in \(y=mx+t\) gehört zu einem steigenden beziehungsweise fallenden Graphen? - Welchen Funktionswert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Für den Schnittpunkt setzt man \(h(x)=k(x)\): \(0{,}8x+2=-1{,}2x+6\). Daraus folgt \(2x=4\) und \(x=2\). 2. Einsetzen in \(h\) ergibt \(h(2)=0{,}8\cdot 2+2=3{,}6\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3{,}6)\). 3. \(h\) steigt, weil \(m_h=0{,}8>0\). \(k\) fällt, weil \(m_k=-1{,}2<0\). 4. Für den Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse setzt man \(k(x)=0\): \(-1{,}2x+6=0\). Daraus folgt \(x=5\). 5. Somit ist \(S_x(5 \mid 0)\).

a) \(S(2 \mid 3{,}6)\) b) \(h\) steigt, \(k\) fällt. c) \(S_x(5 \mid 0)\)

- Achte genau auf das Vorzeichen der Steigung in der Aufgabenstellung. - Wie verändert sich der \(y\)-Wert, wenn der Graph fällt? - Überlege dir, wie man Dezimalzahlen in Brüchen behandeln kann, um sie leichter zu vergleichen.

1. Überprüfung von Sarahs Aussage: Bei 3 Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 3\)) und 2 Einheiten nach oben (\(\Delta y = 2\)) ergibt sich eine Steigung von \(m = \frac{2}{3}\). Da die gesuchte Steigung negativ ist (\(m = -\frac{2}{3}\)), ist Sarahs Aussage falsch. 2. Überprüfung von Toms Aussage: Bei \(1{,}5\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -1{,}5\)) und 1 Einheit nach oben (\(\Delta y = 1\)) ergibt sich \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}\). Toms Aussage ist somit korrekt.

Tom hat recht. Sarah beschreibt eine positive Steigung von \(\frac{2}{3}\), während Tom korrekt die negative Steigung \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{2}{3}\) wiedergibt.

- Berechne zuerst für jede Beschreibung den Wert von \(m\). - Was bedeutet „nach unten“ oder „nach links“ mathematisch für die Werte im Steigungsdreieck? - Wie hängen die Steigung, die Änderung von \(x\) und die Änderung von \(y\) in einer Formel zusammen?

1. Bestimmung der Steigungen: - Beschreibung (1): \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = -2 \implies m_1 = \frac{-2}{5} = -0{,}4\). - Beschreibung (2): \(\Delta x = -2{,}5\), \(\Delta y = 1 \implies m_2 = \frac{1}{-2{,}5} = -0{,}4\). - Beschreibung (3): \(m_3 = -2{,}5\). 2. Vergleich: Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)), während (3) einen anderen Wert angibt. 3. Berechnung der \(y\)-Änderung: Mit \(m = -0{,}4\) und \(\Delta x = 10\) ergibt sich \(\Delta y = m \cdot \Delta x = -0{,}4 \cdot 10 = -4\). Der \(y\)-Wert sinkt um 4 Einheiten.

Die Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)). Wenn der \(x\)-Wert um 10 Einheiten vergrößert wird, sinkt der \(y\)-Wert um 4 Einheiten (\(\Delta y = -4\)).

- Wie hängen Steigung, horizontale und vertikale Änderung zusammen? Nutze die Formel \(\Delta y = m \Delta x\). - Was bedeutet „ganzzahlig“ für deine Wahl der Schritte? - Wie muss sich der \(y\)-Wert ändern, wenn man nach links geht, damit die Steigung positiv bleibt?

1. Berechnung für Teil a): Für \(f\): \(\Delta y_f = m_f \Delta x = 1{,}25 \cdot 4 = 5\). Für \(g\): \(\Delta y_g = m_g \Delta x = 0{,}8 \cdot 4 = 3{,}2\). 2. Lösung für Teil b): Die Steigung ist \(m_f = 1{,}25 = \frac{5}{4}\). Um ganzzahlige Werte bei einer Bewegung nach links (\(\Delta x < 0\)) zu erhalten, wählt man z. B. \(\Delta x = -4\). Daraus folgt \(\Delta y = m_f \Delta x = 1{,}25 \cdot (-4) = -5\). Beschreibung: Gehe \(4\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten. (Alternativ: Vielfache davon, z. B. \(8\) nach links und \(10\) nach unten).

a) Bei \(f\) beträgt die vertikale Änderung \(5\) Einheiten nach oben. Bei \(g\) beträgt sie \(3{,}2\) Einheiten nach oben. b) Ein mögliches Steigungsdreieck: Gehe \(4\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -4\)) und \(5\) Einheiten nach unten (\(\Delta y = -5\)).

- Wie lautet die allgemeine Form einer Ursprungsgerade? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was weißt du dann über ihre Steigungen? - Um den gemeinsamen Punkt zweier Geraden zu finden, kannst du ihre Funktionsausdrücke gleichsetzen.

1. Ursprungsgerade \(g\): \(y = 3x\). Verschobene Gerade \(h\): \(y = 3x - 4\). 2. Steigung von \(k\): \(m_k = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\). \(y\)-Achsenabschnitt \(t_k = -4\). Gleichung \(k(x) = -x - 4\). 3. Gleichsetzen von \(g\) und \(k\): \(3x = -x - 4 \implies 4x = -4 \implies x = -1\). Einsetzen in \(g\): \(y = 3 \cdot (-1) = -3\). Schnittpunkt \(S(-1 | -3)\).

1. \(g(x) = 3x\) und \(h(x) = 3x - 4\). 2. \(k(x) = -x - 4\). 3. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(-1 | -3)\).

- Was gibt die Zahl am Ende einer Funktionsgleichung \(y = mx + t\) über die Position des Graphen an? - Stell dir vor, du gehst einen Schritt nach rechts. Wie weit musst du nach oben oder unten gehen, wenn \(m\) sehr groß ist? - Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den fehlenden Buchstaben zu finden.

1. Beide Funktionsgleichungen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Da dieser den Wert der Funktion an der Stelle \(x = 0\) angibt, haben beide Graphen den Punkt \((0 | 3)\) gemeinsam. 2. Da \(m > 0\), bewirkt ein größeres \(m\), dass die Gerade von \(f\) steiler ansteigt. Entsprechend fällt die Gerade von \(g\) mit der Steigung \(-m\) steiler ab. 3. Einsetzen von \(P(2 | 7)\) in \(f(x)\): \(7 = m \cdot 2 + 3 \implies 4 = 2m \implies m = 2\). Damit ist \(g(x) = -2x + 3\). Ein weiterer Punkt auf \(g\) ist z. B. für \(x = 1\): \(g(1) = -2 \cdot 1 + 3 = 1\), also \(Q(1 | 1)\).

1. Beide Funktionen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). 2. Der Graph von \(f\) wird steiler ansteigend, der Graph von \(g\) wird steiler fallend. 3. \(m = 2\); \(g(x) = -2x + 3\); ein möglicher Punkt ist \(Q(1 | 1)\).

- Wenn Punkte nicht auf einer Geraden liegen, was bilden sie dann stattdessen? - Wie kannst du die Steigung berechnen, wenn Dezimalzahlen gegeben sind? - Reicht es aus, nur zwei der Punkte zu betrachten, um die Frage zu beantworten?

1. Berechnung der Steigung zwischen \(A(1{,}5 \mid 4)\) und \(B(4 \mid 9)\): \(m_{AB} = \frac{9 - 4}{4 - 1{,}5} = \frac{5}{2{,}5} = 2\). 2. Berechnung der Steigung zwischen \(B(4 \mid 9)\) und \(C(6 \mid 13{,}5)\): \(m_{BC} = \frac{13{,}5 - 9}{6 - 4} = \frac{4{,}5}{2} = 2{,}25\). 3. Vergleich der Steigungen: Da \(2 \neq 2{,}25\), ändert sich die Steigung im Punkt \(B\). 4. Ergebnis: Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden und bilden somit ein Dreieck.

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigungen \(m_{AB} = 2\) und \(m_{BC} = 2{,}25\) unterschiedlich sind. Sie bilden ein Dreieck.

- Worauf deutet es hin, wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben? - Wie verlaufen Geraden, deren Funktionsgleichung nur aus einer Zahl besteht (z. B. \(y = 2\))? - Welche Eigenschaften muss ein Viereck haben, damit man es als Parallelogramm bezeichnet?

1. Bestimmung der Steigungen der ersten beiden Geraden: Aus den Gleichungen \(g_1: y = 0{,}5x + 3\) und \(g_2: y = 0{,}5x - 2\) liest man die Steigungen \(m_1 = 0{,}5\) und \(m_2 = 0{,}5\) ab. Da die Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_1\) und \(g_2\) parallel zueinander. 2. Bestimmung der Steigungen der anderen beiden Geraden: Die Gleichungen \(g_3: y = -2\) und \(g_4: y = 2\) beschreiben konstante Funktionen. Ihre Graphen sind waagerechte Geraden mit der Steigung \(m_3 = 0\) und \(m_4 = 0\). Da auch diese Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_3\) und \(g_4\) ebenfalls parallel zueinander. 3. Klassifizierung des Vierecks: Da das eingeschlossene Viereck zwei Paare paralleler Seiten besitzt, handelt es sich um ein Parallelogramm.

Es handelt sich um ein Parallelogramm. Begründung: Die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel (beide haben die Steigung \(0{,}5\)) und die Geraden \(g_3\) und \(g_4\) sind ebenfalls parallel (beide sind waagerecht mit der Steigung \(0\)).

- Was geschieht mit der Steigung einer Geraden bei einer Punktspiegelung? - Wie hängt das Spiegelzentrum mit einem Punkt und seinem Bildpunkt zusammen? - Wie kannst du mit einem Bildpunkt und der bekannten Steigung den Achsenabschnitt \(t\) bestimmen?

1. Eine Punktspiegelung bildet eine Gerade auf eine parallele Gerade ab. Daher behält die Bildgerade die Steigung \(m=1{,}5\) und hat die Form \(f'(x)=1{,}5x+t\). 2. Wähle zum Beispiel den Punkt \(P(0\mid2)\) auf \(f\). 3. Bei der Spiegelung an \(Z(2\mid1)\) wird \(P\) auf \(P'(4\mid0)\) abgebildet, denn \(Z\) ist der Mittelpunkt von \(PP'\). 4. Setze \(P'(4\mid0)\) in \(f'(x)=1{,}5x+t\) ein: \(0=1{,}5\cdot4+t\). Daraus folgt \(t=-6\). 5. Somit lautet die Bildgerade \(f'(x)=1{,}5x-6\).

\(f'(x)=1{,}5x-6\)

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen einem Punkt, seinem Bildpunkt und dem Spiegelzentrum? - Wie kannst du die bekannte \(x\)-Koordinate des Mittelpunkts nutzen, um die \(x\)-Koordinate eines Bildpunkts zu finden? - Wie erhältst du anschließend die fehlende \(y\)-Koordinate des Mittelpunkts?

1. Wähle einen Punkt auf \(g\), zum Beispiel \(P(0 \mid 5)\). 2. Sei \(P'\) sein Bildpunkt auf \(h\). Weil \(Z\) der Mittelpunkt von \(PP'\) ist, gilt für die \(x\)-Koordinaten \(3=\frac{0+x_{P'}}{2}\). Daraus folgt \(x_{P'}=6\). 3. Der zugehörige Punkt auf \(h\) hat die \(y\)-Koordinate \(y_{P'}=h(6)=-2\cdot 6-1=-13\). Also ist \(P'(6 \mid -13)\). 4. Für die \(y\)-Koordinate des Mittelpunkts gilt \(y_Z=\frac{5+(-13)}{2}=-4\).

\(y_Z=-4\)

- Wann sind zwei Funktionsgeraden echt parallel statt identisch? - Welche Achse schneidet eine waagerechte beziehungsweise eine senkrechte Gerade zwangsläufig? - Was bedeutet \(y=0\) geometrisch und für die Nullstellen?

1. Zwei Funktionsgeraden haben keinen gemeinsamen Punkt, wenn sie dieselbe Steigung, aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte besitzen. Also gilt \(m_g=m_h\) und \(t_g\ne t_h\). 2. Eine Gerade ohne Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse müsste waagerecht ober- oder unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen; dann schneidet sie jedoch die \(y\)-Achse. Eine senkrechte Gerade ohne Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse schneidet dagegen die \(x\)-Achse. Daher schneidet jede Gerade mindestens eine Koordinatenachse. 3. \(y=0x+0\) vereinfacht sich zu \(y=0\). Das ist die \(x\)-Achse selbst. Jeder ihrer Punkte hat den \(y\)-Wert \(0\), daher besitzt die Funktion unendlich viele Nullstellen.

a) \(m_g=m_h\) und \(t_g\ne t_h\) b) Nein, jede Gerade schneidet mindestens eine der beiden Koordinatenachsen. c) \(s\) ist die \(x\)-Achse und hat unendlich viele Nullstellen.

- Welche Gleichung gilt am gemeinsamen Punkt zweier Funktionsgraphen? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über Steigen oder Fallen einer Geraden aus? - Welche Steigung muss eine zu \(g\) parallele Gerade besitzen, und wie nutzt du anschließend den Punkt \(P\)?

1. Für den Schnittpunkt setzt man die Funktionsterme gleich: \(-2x+6=0{,}5x-4\). Daraus folgt \(10=2{,}5x\) und \(x=4\). 2. Einsetzen ergibt \(y=-2\cdot 4+6=-2\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid -2)\). 3. \(g\) fällt, weil \(m_g=-2<0\). \(h\) steigt, weil \(m_h=0{,}5>0\). 4. Für die zu \(g\) parallele Gerade gilt \(m_k=-2\). Setze \(P(1 \mid 1)\) in \(y=-2x+t\) ein: \(1=-2\cdot 1+t\). Daraus folgt \(t=3\). 5. Somit lautet die Gerade \(k: y=-2x+3\).

a) \(S(4 \mid -2)\) b) \(g\) fällt, \(h\) steigt. c) \(k: y=-2x+3\)

- Was erhältst du, wenn du \(t=0\) einsetzt? - Wie viele Minuten sind eine halbe Stunde? - Welcher Funktionswert beschreibt einen vollständig geladenen Akku? - Welche zwei Zeitpunkte begrenzen den in Teil d betrachteten Graphabschnitt?

1. Die \(15\) ist der Anfangsladestand: Bei \(t=0\) beträgt die Ladung \(15\,\%\). Die Steigung \(0{,}8\) bedeutet eine Zunahme um \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. 2. Eine halbe Stunde sind \(30\,\text{min}\). Es gilt \(L(30)=0{,}8\cdot30+15=39\). Der Ladestand beträgt \(39\,\%\). 3. Für eine Vollladung gilt \(0{,}8t+15=100\). Daraus folgt \(0{,}8t=85\) und \(t=106{,}25\,\text{min}\). 4. Für den gefragten Graphabschnitt sind zum Beispiel die Punkte \((0\mid15)\) und \((60\mid63)\) geeignet, denn \(L(60)=63\). Wegen der positiven Steigung steigt der Graph von links nach rechts.

a) Anfangsladestand \(15\,\%\); Ladegeschwindigkeit \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute b) \(39\,\%\) c) \(106{,}25\,\text{min}\) d) Zum Beispiel \((0\mid15)\) und \((60\mid63)\); der Graph steigt.

- Welche geometrische Bewegung entspricht einer Punktspiegelung am Ursprung? - Was geschieht dabei mit der Richtung beziehungsweise Steigung einer Geraden? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes bei der Spiegelung am Ursprung?

1. Eine Punktspiegelung am Ursprung entspricht einer Drehung um \(180^\circ\). Dabei wird eine Gerade auf eine parallele Gerade abgebildet, sodass die Steigung unverändert bleibt. 2. Die ursprüngliche Steigung ist \(m=-0{,}5\). Daher ist auch die Steigung von \(g\) negativ und gleich \(-0{,}5\). 3. Bei der Spiegelung am Ursprung wird \((x \mid y)\) auf \((-x \mid -y)\) abgebildet. Für die Bildfunktion gilt daher \(g(x)=-k(-x)\). 4. Damit ist \(g(x)=-\bigl(-0{,}5(-x)+2\bigr)=-0{,}5x-2\).

a) Die Steigung bleibt negativ und beträgt \(m=-0{,}5\). b) \(g(x)=-0{,}5x-2\)

- Wo stehen \(m\) und \(t\) in der Form \(y=mx+t\)? - Welche Koordinate ist auf der \(x\)- beziehungsweise \(y\)-Achse jeweils \(0\)? - Welche Gleichung müssen die beiden Koordinaten von \(P(k\mid2k)\) erfüllen, damit \(P\) auf dem Graphen liegt?

1. Aus \(f(x)=-2x+10\) liest man \(m=-2\) und \(t=10\) ab. 2. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\), also \(S_y(0\mid10)\). Für die \(x\)-Achse gilt \(0=-2x+10\), also \(x=5\) und damit \(S_x(5\mid0)\). 3. Für \(P(k\mid2k)\) muss \(2k=-2k+10\) gelten. Daraus folgt \(4k=10\) und \(k=2{,}5\).

a) \(m=-2\), \(t=10\) b) \(S_x(5\mid0)\), \(S_y(0\mid10)\) c) \(k=2{,}5\)

- Welche Koordinate ist auf der jeweiligen Achse immer \(0\)? - Wo findest du die Steigung in der Form \(y=mx+t\)? - Wie wirkt sich eine Änderung von \(x\) um mehrere Einheiten bei konstanter Steigung aus?

1. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Daher ist \(f(0)=2\) und \(S_y(0\mid2)\). 2. Für die \(x\)-Achse gilt \(0=-0{,}5x+2\). Daraus folgt \(x=4\), also \(S_x(4\mid0)\). 3. Aus der Funktionsgleichung liest man \(m=-0{,}5\) ab. 4. Wird \(x\) um \(3\) erhöht, verändert sich \(y\) um \(3\cdot(-0{,}5)=-1{,}5\). Der \(y\)-Wert sinkt also um \(1{,}5\).

a) \(S_y(0\mid2)\), \(S_x(4\mid0)\) b) \(m=-0{,}5\) c) Der \(y\)-Wert sinkt um \(1{,}5\).

- Wie führst du eine Punktprobe mit der Funktionsgleichung durch? - Was musst du einsetzen, wenn bei einem Punkt nur die \(y\)-Koordinate fehlt? - Welche Gleichung entsteht, wenn die \(y\)-Koordinate vorgegeben und \(x\) gesucht ist?

1. Es gilt \(f(0{,}5)=3\cdot0{,}5-1{,}5=0\), also liegt \(P_1\) nicht auf dem Graphen. Weiter ist \(f(1)=1{,}5\), also liegt \(P_2\) auf dem Graphen. Außerdem gilt \(f(0)=-1{,}5\), also liegt auch \(P_3\) auf dem Graphen. 2. Für \(Q\) gilt \(y=f(2)=3\cdot2-1{,}5=4{,}5\). 3. Für \(R\) gilt \(-3=3x-1{,}5\). Daraus folgt \(-1{,}5=3x\) und \(x=-0{,}5\).

a) \(P_2\) und \(P_3\) liegen auf dem Graphen; \(P_1\) nicht. b) \(y=4{,}5\) c) \(x=-0{,}5\)

- Welche Punktprobe liefert eine Gleichung für den Parameter \(a\)? - Welche Koordinate ist an einem Achsenschnittpunkt jeweils \(0\)? - Was ändert sich an einer Geraden, wenn die Steigung gleich bleibt, aber der \(y\)-Achsenabschnitt kleiner wird?

1. Da \(S(2\mid3)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(3=-\frac{a}{4}\cdot2+5\). Daraus folgt \(-2=-\frac{a}{2}\) und damit \(a=4\). 2. Somit ist \(f_4(x)=-x+5\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(S_y(0\mid5)\). Für die Nullstelle gilt \(0=-x+5\), also \(S_x(5\mid0)\). 3. Bei gleicher Steigung \(-1\) und neuem Achsenabschnitt \(2{,}5\) lautet die zweite Funktion \(g(x)=-x+2{,}5\). Ihr Graph ist parallel und um \(2{,}5\) Einheiten nach unten verschoben.

a) \(a=4\) b) \(S_x(5\mid0)\), \(S_y(0\mid5)\) c) \(g(x)=-x+2{,}5\); der Graph liegt parallel \(2{,}5\) Einheiten tiefer.

- Wo stehen Steigung und Achsenabschnitt in der Form \(y=mx+t\)? - Welche Koordinate ist an einem Achsenschnittpunkt jeweils \(0\)? - Welchen Funktionswert erhältst du für \(x=6\)?

1. Aus \(f(x)=-0{,}5x+3\) liest man \(m=-0{,}5\) und \(t=3\) ab. 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(S_y(0\mid3)\). Für die \(x\)-Achse gilt \(0=-0{,}5x+3\), also \(x=6\) und damit \(S_x(6\mid0)\). 3. Für \(x=6\) ist \(f(6)=0\). Da der Punkt \(P\) die \(y\)-Koordinate \(-1\) hat, liegt er nicht auf dem Graphen.

a) \(m=-0{,}5\), \(t=3\) b) \(S_y(0\mid3)\), \(S_x(6\mid0)\) c) Nein, \(P(6\mid-1)\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Wie bestimmst du die Steigung einer Geraden aus zwei Punkten? - Wo kannst du die Steigung von \(h\) direkt ablesen? - Welche Bedingung müssen zwei Steigungen für Parallelität erfüllen?

1. Für \(g\) gilt \(m_g=\frac{5-0}{2-0}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 2. Aus \(h(x)=3x-4\) liest man \(m_h=3\) ab. 3. Parallele Geraden müssen dieselbe Steigung besitzen. Da \(2{,}5\neq3\), sind \(g\) und \(h\) nicht parallel.

Die Geraden sind nicht parallel, denn \(m_g=2{,}5\) und \(m_h=3\).

- Welche Koordinate ist auf der jeweiligen Achse gleich \(0\)? - Welcher \(x\)-Wert macht die Rechnung in Teil b besonders einfach? - Wie überprüfst du einen gegebenen Punkt mit der Funktionsgleichung?

1. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\), also \(S_y(0\mid2)\). Für die \(x\)-Achse gilt \(0=-0{,}25x+2\), also \(x=8\) und \(S_x(8\mid0)\). 2. Wähle zum Beispiel \(x=4\). Dann ist \(f(4)=-0{,}25\cdot4+2=1\), also liegt \((4\mid1)\) auf dem Graphen. 3. Für \(x=-4\) gilt \(f(-4)=1+2=3\). Daher liegt \((-4\mid3)\) auf dem Graphen.

a) \(S_y(0\mid2)\), \(S_x(8\mid0)\) b) Zum Beispiel \((4\mid1)\) c) Ja, \((-4\mid3)\) liegt auf dem Graphen.

- Welcher der gegebenen Punkte ist bereits ein Achsenschnittpunkt? - Wie kannst du aus zwei Punkten zuerst die Steigung und anschließend den Achsenabschnitt \(t\) bestimmen? - Welche rechtwinklige Figur entsteht zusammen mit den Koordinatenachsen?

1. Die Steigung ist \(m=\frac{0-3}{4-(-2)}=-\frac{3}{6}=-0{,}5\). 2. Da \(B(4 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse liegt, ist der Schnittpunkt \(S_x(4 \mid 0)\) bereits bekannt. 3. Setze \(B\) in \(y=-0{,}5x+t\) ein: \(0=-0{,}5\cdot 4+t\). Daraus folgt \(t=2\). Somit ist \(S_y(0 \mid 2)\). 4. Das Dreieck hat die Eckpunkte \((0 \mid 0)\), \(S_x(4 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid 2)\). Seine Kathetenlängen sind \(4\) und \(2\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4\) Flächeneinheiten.

\(S_x(4 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid 2)\); Flächeninhalt \(4\) Flächeneinheiten

- Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion? - Hängt die Steilheit vom Vorzeichen der Zahl vor dem \(x\) ab oder nur von ihrem Wert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt schneiden?

1. Funktionsgleichung von \(g\): Mit \(m = 0{,}5\) und \(t = -1\) folgt \(g(x) = 0{,}5x - 1\). 2. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung bestimmt. \(|m_f| = |-2| = 2\) und \(|m_g| = |0{,}5| = 0{,}5\). Da \(2 > 0{,}5\), verläuft der Graph von \(f\) steiler. 3. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(f(x) = g(x) \Rightarrow -2x + 4 = 0{,}5x - 1\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 2\). 5. y-Wert berechnen: \(f(2) = -2 \cdot 2 + 4 = 0\). 6. Ergebnis: Der Schnittpunkt liegt bei \(S(2 | 0)\).

a) \(g(x) = 0{,}5x - 1\) b) Der Graph von \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als bei \(g\) (\(0{,}5\)). c) \(S(2 | 0)\)

- Wie viele Punkte liegen auf dem Graphen einer einzelnen linearen Gleichung mit zwei Variablen? - Welche Lage müssen zwei Geraden haben, damit sie genau einen gemeinsamen Punkt besitzen? - Kann derselbe Ausdruck \(a-b\) gleichzeitig die Werte \(5\) und \(8\) annehmen?

1. Die Gleichung \(a-b=5\) besitzt unendlich viele Lösungen, zum Beispiel \((10 \mid 5)\), \((7 \mid 2)\) und \((0 \mid -5)\). Ein einzelnes Zahlenpaar beschreibt daher nicht die gesamte Lösungsmenge. 2. Eine mögliche zweite Gleichung ist \(a+b=15\). Die beiden zugehörigen Geraden haben unterschiedliche Steigungen und schneiden sich daher in genau einem Punkt. Einsetzen zeigt, dass dieser Punkt \((10 \mid 5)\) ist. 3. Die beiden Gleichungen \(a-b=5\) und \(a-b=8\) können nicht gleichzeitig erfüllt sein. Subtraktion führt auf den Widerspruch \(0=3\). Daher gibt es keine gemeinsame Lösung.

1. \((10 \mid 5)\) ist nur eine von unendlich vielen Lösungen. 2. Zum Beispiel \(a+b=15\); dann ist die einzige gemeinsame Lösung \((10 \mid 5)\). 3. Keine gemeinsame Lösung.

- Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Welche Gleichung entsteht, wenn ein bestimmter Funktionswert vorgegeben ist? - Welchen Funktionswert setzt du für eine Nullstelle ein? - Was verrät das Vorzeichen der Steigung über die Richtung des Graphen?

1. Für \(g_1\) gilt \(g_1(0)=-3\), also \(S_{y1}(0\mid-3)\). Für \(g_2\) gilt \(g_2(0)=4\), also \(S_{y2}(0\mid4)\). 2. Für \(g_1(x)=6\) gilt \(6=1{,}5x-3\). Daraus folgt \(9=1{,}5x\) und \(x=6\). 3. Für die Nullstelle von \(g_2\) gilt \(0=-2x+4\). Daraus folgt \(x=2\). 4. \(g_1\) hat die positive Steigung \(1{,}5\) und steigt. \(g_2\) hat die negative Steigung \(-2\) und fällt.

a) \(S_{y1}(0\mid-3)\), \(S_{y2}(0\mid4)\) b) \(x=6\) c) \(x=2\) d) \(g_1\) steigt; \(g_2\) fällt.

- Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Was bedeutet eine negative Steigung für die Änderung der Werte? - Kannst du die Steigung als Bruch interpretieren, der angibt, wie viele Schritte man nach oben oder unten geht, wenn man Schritte nach rechts geht? - Wie kannst du prüfen, ob eine Aussage über einen Punkt wahr ist, ohne zu zeichnen?

1. Berechnung von \(y_A\): Setze \(x = 6\) in die Gleichung ein: \(y_A = -\frac{2}{3} \cdot 6 + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Punkt ist \(A(6 \mid -2)\). 2. Berechnung von \(x_B\): Setze \(y = 0\) ein: \(0 = -\frac{2}{3}x_B + 2\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(-2 = -\frac{2}{3}x_B\). Multiplikation mit \(-\frac{3}{2}\) ergibt \(x_B = 3\). Der Punkt ist \(B(3 \mid 0)\). 3. Punktprobe für \(C(-3 \mid 4)\): Setze \(x = -3\) in die Gleichung ein: \(y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2 = 2 + 2 = 4\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(C\) übereinstimmt (\(4 = 4\)), liegt der Punkt auf der Geraden. 4. Interpretation der Steigung: Die Steigung beträgt \(m = -\frac{2}{3}\). Das bedeutet, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-\frac{2}{3}\) ändert. Bei einer Zunahme von \(x\) um \(3\) Einheiten ändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2\). Der \(y\)-Wert verringert sich also um \(2\).

a) \(y_A = -2\) b) \(x_B = 3\) c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden, da \(4 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2\) eine wahre Aussage ist. d) Der \(y\)-Wert verringert sich um \(2\) Einheiten.

- Wann liegen zwei Punkte genau gegenüber von der x-Achse? Vergleiche ihre Koordinaten. - Überlege dir, welche Punkte auf einer Geraden festbleiben, wenn man an der y-Achse spiegelt. - Wie ändert sich die Richtung einer Geraden (die Steigung), wenn man sie wie in einem Spiegel links und rechts vertauscht?

1. Zwei Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, wenn für jedes \(x\) gilt: \(g(x) = -f(x)\). 2. Berechnung für a): \(-f(x) = -(\frac{2}{3}x + 2) = -\frac{2}{3}x - 2\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, liegen die Graphen symmetrisch zur \(x\)-Achse. 3. Für eine Symmetrie zur \(y\)-Achse muss ein Punkt \((x \mid y)\) auf den Punkt \((-x \mid y)\) abgebildet werden. Die neue Funktion \(h\) muss also \(h(x) = f(-x)\) erfüllen. 4. Berechnung für b): \(h(x) = \frac{2}{3}(-x) + 2 = -\frac{2}{3}x + 2\). 5. Begründung: Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse gleich (da der Punkt auf der Spiegelachse liegt), während die Steigung ihr Vorzeichen umkehrt, da die Gerade nun in die entgegengesetzte Richtung „kippt“.

a) Ja, die Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, da \(g(x) = -f(x)\) für alle \(x\) gilt. b) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt gleich, da der Punkt \((0 \mid 2)\) auf der Spiegelachse liegt; die Steigung kehrt ihr Vorzeichen um.

- Setze die gegebenen Werte für \(k\) nacheinander in die Klammern ein und schaue, welcher Teil der Gleichung wegfällt. - Was passiert mit der Steigung \(m = -\frac{a}{b}\), wenn \(b = 0\) ist? - Überlege dir, wie eine vertikale Gerade im Vergleich zu einer horizontalen Gerade im Steigungsdreieck aussieht.

1. Fall \(k = 1\): Einsetzen ergibt \((1-1)x + (1+2)y = 6\), also \(0x + 3y = 6\). Vereinfacht folgt \(y = 2\). Die Gerade liegt parallel zur \(x\)-Achse. 2. Fall \(k = -2\): Einsetzen ergibt \((-2-1)x + (-2+2)y = 6\), also \(-3x + 0y = 6\). Vereinfacht folgt \(x = -2\). Es handelt sich nicht um eine Funktion, da an der Stelle \(x = -2\) keine eindeutige Zuordnung vorliegt (die Gerade verläuft vertikal, ein Eingabewert hätte unendlich viele Ausgabewerte). 3. Steigungen: Für \(k = 1\) (\(y = 2\)) ist die Steigung \(m = 0\). Für \(k = -2\) (\(x = -2\)) ist die Steigung nicht definiert.

1. \(y = 2\); die Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse. 2. \(x = -2\); keine Funktion, da die Eindeutigkeit der Zuordnung fehlt (vertikale Gerade). 3. Für \(k=1\): \(m = 0\); für \(k=-2\): Steigung nicht definiert.

- Vergleiche zuerst nur die Koeffizienten vor \(x\). - Gleiche Steigung allein bedeutet noch nicht, dass zwei Geraden identisch sind. - Was folgt geometrisch aus gleicher Steigung und unterschiedlichen y-Achsenabschnitten?

1. Parallelität erfordert gleiche Steigungen. Daher gilt \(2k-1=-\frac{1}{3}\). 2. Daraus folgt \(2k=\frac{2}{3}\) und somit \(k=\frac{1}{3}\). 3. Für \(k=\frac{1}{3}\) ist \(f_k(x)=-\frac{1}{3}x+3\). Der y-Achsenabschnitt ist also \(3\), während der y-Achsenabschnitt von \(g\) gleich \(-2\) ist. Die Geraden sind daher verschieden. 4. Verschiedene parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.

a) \(k=\frac{1}{3}\). b) Die y-Achsenabschnitte sind verschieden: \(3\) und \(-2\). c) Nein, die Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.

- Wie liest du den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) einer Geraden direkt an der \(y\)-Achse ab? - Wie hilft dir ein Steigungsdreieck dabei, die Steigung \(m\) zu berechnen? - Was zeichnet den Graphen einer proportionalen Zuordnung im Vergleich zu anderen Geraden aus? - Welche Eigenschaft müssen die Steigungen zweier Geraden haben, damit die Geraden parallel zueinander verlaufen?

1. **Funktionsgleichungen bestimmen:** - Jede lineare Funktion hat die Form \(y = mx + t\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert \(t\), das Steigungsdreieck liefert \(m\). - Für \(f\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid 1)\), also \(t = 1\). Mit dem Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid 1)\) nach \((2 \mid 4)\)) ergibt sich \(m = \frac{4 - 1}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(f(x) = 1{,}5x + 1\). - Für \(g\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid -2)\), also \(t = -2\). Das Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid -2)\) nach \((2 \mid 1)\)) liefert \(m = \frac{1 - (-2)}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(g(x) = 1{,}5x - 2\). - Für \(h\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid 0)\), also \(t = 0\). Das Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid 0)\) nach \((2 \mid 3)\)) liefert \(m = \frac{3 - 0}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(h(x) = 1{,}5x\). 2. **Proportionale Zuordnung identifizieren:** - Die Funktion \(h\) ist proportional. - Am Graphen: Der Graph ist eine Ursprungsgerade, die durch den Punkt \((0 \mid 0)\) verläuft. - An der Gleichung: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = 0\), d. h. die Gleichung hat die Form \(y = mx\). 3. **Lagebeziehung beschreiben:** - Die drei Geraden verlaufen parallel zueinander. - Dies erkennt man daran, dass alle drei Funktionsgleichungen dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

a) \(f(x) = 1{,}5x + 1\), \(g(x) = 1{,}5x - 2\), \(h(x) = 1{,}5x\) b) Die Funktion \(h\) ist proportional, da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist (Verlauf durch \((0 \mid 0)\)) und ihre Gleichung die Form \(y = mx\) hat (kein konstanter Summand, \(t = 0\)). c) Die drei Geraden sind parallel zueinander, da sie alle dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

- Wo schneiden die drei Geraden die \(y\)-Achse, und welche Terme passen zu diesen Anfangswerten? - Was bedeutet die Steigung einer Tarifgeraden im Sachzusammenhang? - Wie kannst du die Kosten für \(2\,\text{h}\) aus Graph oder Funktionsterm bestimmen? - Welche Gerade liegt vor beziehungsweise nach dem gemeinsamen Schnittpunkt am niedrigsten?

1. Graph \(a\) verläuft durch den Ursprung und gehört daher zu \(f_1(x)=4x\). Graph \(b\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(6\) und gehört zu \(f_2(x)=2x+6\). Graph \(c\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(9\) und gehört zu \(f_3(x)=x+9\). 2. Für \(x=2\) gilt \(f_1(2)=8\), \(f_2(2)=10\) und \(f_3(2)=11\). Damit ist Tarif \(a\) mit \(8\,\text{€}\) am günstigsten. Gegenüber Tarif \(c\) mit \(11\,\text{€}\) beträgt die Ersparnis \(3\,\text{€}\). 3. Alle drei Geraden schneiden sich bei \((3 \mid 12)\). Für \(0\le x<3\) liegt Graph \(a\) am niedrigsten. Bei \(x=3\) kosten alle drei Tarife \(12\,\text{€}\). Für \(x>3\) liegt Graph \(c\) am niedrigsten.

a) \(a\to f_1\), \(b\to f_2\), \(c\to f_3\) b) Tarif \(a\) kostet \(8\,\text{€}\) und ist am günstigsten. Die Ersparnis gegenüber Tarif \(c\) beträgt \(3\,\text{€}\). c) Für \(0\le x<3\) ist Tarif \(a\) am günstigsten; bei \(x=3\) kosten alle drei Tarife \(12\,\text{€}\); für \(x>3\) ist Tarif \(c\) am günstigsten.

- Welche zwei gut ablesbaren Gitterpunkte liefern die Steigung? - Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse? - Welche Bedingung gilt an einer Nullstelle? - Welche besondere Lage hat der Graph einer proportionalen Funktion?

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -3)\), also ist \(t=-3\). Von \((0 \mid -3)\) nach \((4 \mid 0)\) beträgt die waagerechte Änderung \(4\) und die senkrechte Änderung \(3\). Daher ist \(m=\frac{3}{4}=0{,}75\) und \(f(x)=0{,}75x-3\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}75x-3\). Daraus folgt \(x=4\). 3. Eine proportionale Funktion mit derselben Steigung verläuft durch den Ursprung. Daher ist \(p(x)=0{,}75x\).

a) \(m=0{,}75\), \(t=-3\) b) \(x=4\) c) \(p(x)=0{,}75x\)

- Was bedeutet Parallelität für die Steigungen der Geraden? - Wähle eine Gerade mit zwei gut ablesbaren Gitterpunkten für ein Steigungsdreieck. - Welcher Parameter in \(y=mx+t\) beschreibt die Höhe des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse?

1. Auf \(l\) liegen zum Beispiel die Punkte \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid -2)\). Daher gilt \(m=\frac{-2-1}{4-0}=-\frac{3}{4}=-0{,}75\). Wegen der Parallelität haben alle drei Geraden diese Steigung. 2. Die \(y\)-Achsenabschnitte sind \(t_k=3\), \(t_l=1\) und \(t_n=-1\). Damit lauten die Gleichungen \(k: y=-0{,}75x+3\), \(l: y=-0{,}75x+1\) und \(n: y=-0{,}75x-1\). 3. Bei einer Parallelverschiebung bleibt \(m\) gleich. Eine Verschiebung nach oben vergrößert den Parameter \(t\), eine Verschiebung nach unten verkleinert ihn.

a) \(m=-0{,}75=-\frac{3}{4}\) b) \(k: y=-0{,}75x+3\); \(l: y=-0{,}75x+1\); \(n: y=-0{,}75x-1\) c) Der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) ändert sich; die Steigung \(m\) bleibt gleich.

- Welche Werte kannst du direkt aus dem Graphen bei \(x=400\) und am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ablesen? - Wie hängt die insgesamt verbrauchte Kraftstoffmenge mit der gefahrenen Strecke zusammen? - Welche zwei Punkte des Graphen eignen sich zur Bestimmung der Steigung? - Welche Bedeutung hat der Funktionswert bei \(x=0\)?

1. Bei \(x=400\) lässt sich im Graphen ungefähr \(y=36\) ablesen. Es sind also noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1000\). Nach \(1000\,\text{km}\) ist der Tank leer. 3. Auf \(1000\,\text{km}\) werden \(60\,\text{l}\) verbraucht. Pro \(100\,\text{km}\) sind das \(\frac{60}{1000}\cdot 100=6\,\text{l}\). 4. Der Anfangswert beträgt \(60\,\text{l}\). Die Steigung ist \(m=\frac{0-60}{1000-0}=-0{,}06\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=-0{,}06x+60\).

1) Nach \(400\,\text{km}\) sind noch etwa \(36\,\text{l}\) im Tank. 2) Der Tank ist nach \(1000\,\text{km}\) leer. 3) Der Durchschnittsverbrauch beträgt \(6\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\). 4) \(y=-0{,}06x+60\)

- Suche für jede Gerade zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Bestimme die Steigung aus den waagerechten und senkrechten Abständen zweier Gitterpunkte. - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Gerade?

1. Für \(p\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-2\). Geht man \(3\) Einheiten nach rechts, steigt die Gerade um \(2\) Einheiten. Daher ist \(m=\frac{2}{3}\) und \(p(x)=\frac{2}{3}x-2\). 2. Für \(q\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Geht man \(1\) Einheit nach rechts, fällt die Gerade um \(1\) Einheit. Daher ist \(m=-1\) und \(q(x)=-x+1\). 3. \(r\) verläuft waagerecht durch \(y=3\). Daher ist \(m=0\) und \(r(x)=3\).

\(p(x)=\frac{2}{3}x-2\), \(q(x)=-x+1\), \(r(x)=3\)

- Bestimme für \(g_1\) und \(g_2\) zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Nutze jeweils einen zweiten Gitterpunkt, um die Steigung zu ermitteln. - Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der sich die beiden Geraden schneiden.

1. Die Gerade \(g_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\) und verläuft durch \((4 \mid 0)\). Damit ist \(m = (0 - (-2)) : (4 - 0) = 0{,}5\), also \(g_1: y = 0{,}5x - 2\). 2. Die Gerade \(g_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(4\) und verläuft ebenfalls durch \((4 \mid 0)\). Damit ist \(m = (0 - 4) : (4 - 0) = -1\), also \(g_2: y = -x + 4\). 3. Die Gerade \(g_3\) ist waagerecht und verläuft bei \(y = 1\). Daher gilt \(g_3: y = 1\). 4. Aus der Zeichnung liest man den Schnittpunkt \(S(4 \mid 0)\) von \(g_1\) und \(g_2\) ab.

Gleichungen: \(g_1: y = 0{,}5x - 2\), \(g_2: y = -x + 4\), \(g_3: y = 1\) Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\): \(S(4 \mid 0)\)

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Füllhöhe eines Zylinders zusammen? - Welche Füllhöhe gehört bei konstanter Zuflussmenge zu einer Minute? - Was bewirkt eine halb so große Grundfläche bei derselben Volumenzunahme? - Welche Höhe muss erreicht sein, bevor das Wasser vom breiten in den schmalen Teil gelangt?

1. \(500\,\text{ml}=500\,\text{cm}^3\). Bei \(V=G\cdot h\) gilt für eine Minute \(500=200\cdot h\). Daher steigt der Wasserspiegel um \(2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. 2. Bei leerem Start gilt \(h(0)=0\). Damit lautet die Funktion \(h(t)=2{,}5t\). 3. Bei \(G=100\,\text{cm}^2\) gilt \(500=100\cdot h\). Der Wasserspiegel steigt dann um \(5\,\text{cm/min}\). Die Steigung verdoppelt sich von \(2{,}5\) auf \(5\). 4. Im unteren Teil steigt die Höhe mit \(2{,}5\,\text{cm/min}\). Die Höhe \(10\,\text{cm}\) wird nach \(10:2{,}5=4\,\text{min}\) erreicht, also liegt der Knickpunkt bei \((4\mid10)\). 5. Im oberen Teil beträgt die Steigung \(5\,\text{cm/min}\). Für weitere \(10\,\text{cm}\) werden \(10:5=2\,\text{min}\) benötigt. Das gesamte Gefäß ist daher nach \(6\,\text{min}\) bei \((6\mid20)\) voll. 6. Nach \(4\) Minuten erreicht das Wasser den schmaleren oberen Teil; ab dort wird der Graph steiler.

a) \(2{,}5\,\text{cm/min}\) b) \(h(t)=2{,}5t\) c) Neue Steigung: \(5\,\text{cm/min}\); sie ist doppelt so groß. d) Zuerst Steigung \(2{,}5\) bis \((4\mid10)\), danach Steigung \(5\) bis \((6\mid20)\). Nach \(4\) Minuten beginnt der schmalere obere Teil, daher wird der Graph steiler.

- In welche einheitliche Form kannst du alle vier Gleichungen bringen, um sie direkt zu vergleichen? - Achte auf den Unterschied zwischen \(\frac{1}{3}\) und \(0{,}3\). - Welche Bedingungen an \(m\) und \(t\) unterscheiden identische von nur parallelen Geraden?

1. Bringe alle Gleichungen in die Form \(y=mx+t\): (1) \(y=\frac{1}{3}x+2\); (2) \(y=0{,}3x+2\); (3) \(y=\frac{1}{3}x+4\); (4) \(y=\frac{1}{3}x+2\). 2. Aussage a) ist falsch. Nur (1), (2) und (4) haben \(t=2\); bei (3) ist \(t=4\). 3. Aussage b) ist wahr. Die Gleichungen (1) und (4) beschreiben dieselbe Gerade. 4. Aussage c) ist wahr. Die Geraden (1), (3) und (4) haben die Steigung \(m=\frac{1}{3}\). Dabei sind (1) und (4) identisch, während (3) echt parallel dazu verläuft.

a) Falsch. b) Wahr; (1) und (4) sind identisch. c) Wahr; (1), (3) und (4) haben \(m=\frac{1}{3}\).

- Welche Richtung hat eine Gerade bei positiver beziehungsweise negativer Steigung? - Wo liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, wenn \(t>0\) gilt? - Welche Vorzeichen hat die Nullstelle \(-\frac{t}{m}\), wenn sowohl \(m\) als auch \(t\) positiv sind? - Wie viele Achsenschnittpunkte kann eine nicht waagerechte Funktionsgerade höchstens besitzen?

1. Damit der Graph von links unten nach rechts oben verläuft, muss \(m>0\) gelten. 2. Zusätzlich muss der \(y\)-Achsenabschnitt positiv sein, also \(t>0\). Dann liegt die Nullstelle bei \(x_0=-\frac{t}{m}<0\). 3. Für \(x<x_0\) liegt der Graph im III. Quadranten, für \(x_0<x<0\) im II. und für \(x>0\) im I. Quadranten. Der IV. Quadrant wird nicht erreicht. Also gilt in a) \(m>0\) und \(t>0\). 4. Eine nicht waagerechte Funktionsgerade hat höchstens zwei Achsenschnittpunkte. Diese teilen die Gerade in höchstens drei Abschnitte, die in höchstens drei Quadranten liegen können. Eine waagerechte Gerade liegt ebenfalls nur in zwei Quadranten. Daher kann der Graph einer linearen Funktion nicht durch alle vier Quadranten verlaufen.

a) \(m>0\) und \(t>0\) b) Der Graph einer linearen Funktion kann höchstens drei Quadranten durchlaufen.

- In welchem Quadranten liegt der gegebene Punkt \(P\)? - Welche einfachen Steigungen liefern Geraden durch \(P\), die den I. Quadranten sicher vermeiden? - Was bedeutet es für den Verlauf, dass eine Gerade in beide \(x\)-Richtungen unbegrenzt weiterläuft?

1. Eine mögliche Lösung für a) ist die waagerechte Gerade \(f(x)=-4\). Sie verläuft durch \(P\) und liegt in den Quadranten III und IV, also nicht im I. Quadranten. 2. Auch eine fallende Gerade ist möglich. Wähle zum Beispiel \(m=-1\). Aus \(-4=-1\cdot(-2)+t\) folgt \(t=-6\). Damit ist \(f(x)=-x-6\), deren Graph den I. Quadranten ebenfalls meidet. 3. Für b) ist keine solche Steigung möglich. Eine waagerechte Funktionsgerade durch \(P\) erstreckt sich sowohl für negative als auch für positive \(x\)-Werte und liegt daher in zwei Quadranten. 4. Jede nicht waagerechte Funktionsgerade ist ebenfalls in beide \(x\)-Richtungen unbeschränkt und verlässt deshalb den III. Quadranten. Kein Graph einer linearen Funktion kann ausschließlich im III. Quadranten liegen.

a) Zum Beispiel \(f(x)=-4\) oder \(f(x)=-x-6\) b) Nein. Der Graph einer linearen Funktion kann nicht ausschließlich im III. Quadranten liegen.

- Welche Lage haben Graphen von Funktionen der Form \(f(x) = c\) im Koordinatensystem? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei waagerechten Geraden? - Wie findet man die Punkte, an denen sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Symmetrie des Trapezes?

1. Bestimmung der vierten Gerade: Da \(f_3(x) = 0\) die x-Achse beschreibt und das Trapez die Höhe \(h = 3\) haben soll, muss die parallele Gegenseite auf der Geraden \(y = 3\) liegen. Somit ist \(f_4(x) = 3\). 2. Berechnung der Schnittpunkte auf der x-Achse (\(y=0\)): Für \(f_1\): \(0 = 2x + 4 \Rightarrow x = -2\), also \(A(-2|0)\). Für \(f_2\): \(0 = -2x + 4 \Rightarrow x = 2\), also \(B(2|0)\). 3. Berechnung der Schnittpunkte auf der Geraden \(y=3\): Für \(f_1\): \(3 = 2x + 4 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0{,}5\), also \(D(-0{,}5|3)\). Für \(f_2\): \(3 = -2x + 4 \Rightarrow -2x = -1 \Rightarrow x = 0{,}5\), also \(C(0{,}5|3)\). 4. Überprüfung der Form: Die Steigungen der Schenkel sind \(2\) und \(-2\), was die Achsensymmetrie zur y-Achse und somit die Eigenschaft „gleichschenklig“ bestätigt.

Die vierte Funktionsgleichung lautet \(f_4(x) = 3\). Die Eckpunkte des Trapezes sind \(A(-2|0)\), \(B(2|0)\), \(C(0{,}5|3)\) und \(D(-0{,}5|3)\).

- Welche Steigung müssen Geraden haben, die senkrecht auf Geraden mit der Steigung \(1\) stehen? - Welche Symmetrie besitzt ein Quadrat bei einer Drehung um seinen Mittelpunkt? - Drehe die Punkte \((0|4)\) und \((0|-4)\) gedanklich um \(90^{\circ}\) um den Ursprung. - Wie kann man die Fläche eines Quadrats berechnen, wenn man die Längen der Diagonalen kennt?

1. Die gegebenen Geraden haben die Steigung \(m = 1\). Die beiden fehlenden Seiten eines Quadrats müssen senkrecht dazu verlaufen und daher die Steigung \(m = -1\) besitzen. 2. Ein Quadrat ist bei einer Drehung um \(90^{\circ}\) um seinen Mittelpunkt wieder deckungsgleich mit sich selbst. Der Punkt \((0|4)\) auf der Geraden \(y = x + 4\) wird bei einer solchen Drehung um den Ursprung auf \((-4|0)\) abgebildet. Die zugehörige Bildgerade hat die Steigung \(-1\) und verläuft durch \((-4|0)\), also lautet sie \(y = -x - 4\). Entsprechend wird \((0|-4)\) auf \((4|0)\) abgebildet; die zweite fehlende Gerade lautet \(y = -x + 4\). 3. Berechnung der Eckpunkte durch Gleichsetzen: Schnitt von \(y = x + 4\) und \(y = -x + 4\): \(x + 4 = -x + 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_1(0|4)\). Schnitt von \(y = -x + 4\) und \(y = x - 4\): \(-x + 4 = x - 4 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\), also \(P_2(4|0)\). Schnitt von \(y = x - 4\) und \(y = -x - 4\): \(x - 4 = -x - 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_3(0|-4)\). Schnitt von \(y = -x - 4\) und \(y = x + 4\): \(-x - 4 = x + 4 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4\), also \(P_4(-4|0)\). 4. Die Diagonalen verlaufen von \((0|4)\) bis \((0|-4)\) sowie von \((4|0)\) bis \((-4|0)\). Beide haben die Länge \(8\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\).

a) Die weiteren Geraden sind \(y = -x + 4\) und \(y = -x - 4\). b) Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(32\,\text{Flächeneinheiten}\).

- Wie ändern sich die Koordinaten eines Punktes bei einer Spiegelung am Ursprung? - Was geschieht bei einer Punktspiegelung mit der Steigung einer Geraden? - Wann haben zwei Geraden mit gleicher Steigung einen Schnittpunkt?

1. Bei einer Spiegelung am Ursprung wird \((x\mid y)\) auf \((-x\mid-y)\) abgebildet. 2. Auf \(k'\) liegen zum Beispiel \(A'(0\mid-4)\) und \(B'(3\mid-3)\). Die zugehörigen Urbildpunkte sind \(A(0\mid4)\) und \(B(-3\mid3)\). 3. Die ursprüngliche Gerade hat dieselbe Steigung \(m=\frac{1}{3}\). Ihr Achsenabschnitt ist \(t=4\). Daher gilt \(k(x)=\frac{1}{3}x+4\). 4. Eine Punktspiegelung bildet eine Gerade auf eine parallele Gerade ab. \(k\) und \(k'\) haben also dieselbe Steigung. 5. Ihre Achsenabschnitte \(4\) und \(-4\) sind verschieden. Daher sind die Geraden nicht identisch und besitzen keinen Schnittpunkt.

a) \(k(x)=\frac{1}{3}x+4\) b) Nein. Die Geraden sind parallel und haben verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte.

- Was passiert mit den Koordinaten \((x|y)\) eines Punktes, wenn er an der Geraden \(y=x\) gespiegelt wird? - Wie löst man eine Gleichung nach einer anderen Variablen auf? - Wann ist eine geometrische Figur (wie eine Gerade) im mathematischen Sinne ein Funktionsgraph? - Überlege, was ein Fixpunkt bei einer Spiegelung ist.

1. Um die Funktionsgleichung der an \(y = x\) gespiegelten Funktion \(g\) zu finden, vertauscht man in der Gleichung \(y = 0{,}4x + 3\) die Variablen \(x\) und \(y\): \(x = 0{,}4y + 3\). 2. Auflösen nach \(y\): \(x - 3 = 0{,}4y \implies y = \frac{1}{0{,}4}x - \frac{3}{0{,}4} = 2{,}5x - 7{,}5\). Somit ist \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\). 3. Schnittpunkt berechnen: \(0{,}4x + 3 = 2{,}5x - 7{,}5 \implies 10{,}5 = 2{,}1x \implies x = 5\). Einsetzen ergibt \(y = 0{,}4 \cdot 5 + 3 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). 4. Da der Punkt \(S\) auf der Spiegelachse \(y = x\) liegt, wird er auf sich selbst abgebildet. Jeder Schnittpunkt eines Graphen mit seiner Spiegelachse ist ein Fixpunkt der Spiegelung. 5. Die Spiegelung von \(y = 3\) (waagerechte Gerade) an \(y = x\) ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Eine senkrechte Gerade ist kein Funktionsgraph, da einem \(x\)-Wert unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet würden.

a) \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). Er liegt auf \(y = x\), weil Punkte auf der Spiegelachse Fixpunkte sind. c) Die Spiegelung ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Dies ist keine Funktion, da die Eindeutigkeit der Zuordnung verletzt ist.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Was passiert mit Punkten, die genau auf der Spiegelachse liegen? - Wenn ein Punkt einen bestimmten Abstand zur Spiegelachse hat, wo landet sein Spiegelpunkt? - Stelle dir vor, wie ein Pfeil, der nach rechts oben zeigt, in einem Spiegel aussieht, der waagerecht liegt.

1. Bestimmung von \(k\): Da die Gerade durch den Ursprung geht, ist \(t = 0\). Die Steigung ist \(m = \frac{2 - 0}{4 - 0} = 0{,}5\). Also \(k(x) = 0{,}5x\). 2. Spiegelung an \(y = 2\): Der Punkt \(B(4|2)\) liegt auf der Spiegelachse und ist somit ein Fixpunkt: \(B' = B(4|2)\). 3. Der Punkt \(O(0|0)\) liegt \(2\) Einheiten unterhalb der Spiegelachse. Sein Spiegelpunkt \(O'\) liegt also \(2\) Einheiten oberhalb der Achse bei \(O'(0|4)\). 4. Bestimmung von \(k'\) durch \(O'(0|4)\) und \(B'(4|2)\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t' = 4\). Die Steigung ist \(m' = \frac{2 - 4}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). Somit ist \(k'(x) = -0{,}5x + 4\). 5. Anschauliche Erklärung: Bei einer Spiegelung an einer waagerechten Achse wird ein „Anstieg“ in ein „Fallen“ (und umgekehrt) verwandelt. Ein Steigungsdreieck, das vorher nach oben gerichtet war, zeigt nach der Spiegelung nach unten.

a) \(k(x) = 0{,}5x\) b) \(k'(x) = -0{,}5x + 4\) c) Durch die Spiegelung an der Waagerechten wird aus einem positiven Höhenunterschied ein negativer, während der horizontale Unterschied gleich bleibt. Dadurch kehrt sich das Vorzeichen des Quotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) um.

- Welches Vorzeichen ändert sich bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Was geschieht mit allen Funktionswerten bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Welche bekannte Abbildung kehrt sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinate um?

1. Bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt man \(x\) durch \(-x\). Daher gilt \(p(x)=-\frac{2}{3}x+5\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x\)-Achse wird der gesamte Funktionsterm mit \(-1\) multipliziert. Damit ist \(u(x)=\frac{2}{3}x-5\). 3. Verglichen mit \(s(x)=\frac{2}{3}x+5\) bleibt die Steigung gleich, während sich das Vorzeichen des \(y\)-Achsenabschnitts ändert. 4. Die beiden aufeinanderfolgenden Achsenspiegelungen entsprechen insgesamt einer Punktspiegelung am Ursprung beziehungsweise einer Drehung um \(180^\circ\).

1. \(p(x)=-\frac{2}{3}x+5\) 2. \(u(x)=\frac{2}{3}x-5\) 3. Eine Punktspiegelung am Ursprung

- Wie kannst du jeden gegebenen Punkt mit einer Punktprobe prüfen? - Welche Gleichung entsteht aus der vorgegebenen \(y\)-Koordinate von \(D\)? - Was muss bei zwei echt parallelen linearen Funktionen für \(m\) und \(t\) gelten?

1. \(f(2)=0\), also liegt \(A\) auf dem Graphen. \(f(0)=-4\), also liegt auch \(B\) auf dem Graphen. \(f(4)=4\neq3\), daher liegt \(C\) nicht auf dem Graphen. 2. Für \(D\) gilt \(2=2x_D-4\). Daraus folgt \(6=2x_D\) und \(x_D=3\). 3. Eine echt parallele Gerade muss dieselbe Steigung \(2\), aber einen anderen \(y\)-Achsenabschnitt besitzen. Zum Beispiel gilt \(g(x)=2x-8\). Daher schneiden sich die beiden Graphen nicht.

a) \(A\) und \(B\) liegen auf dem Graphen, \(C\) nicht. b) \(x_D=3\) c) Zum Beispiel \(g(x)=2x-8\); gleiche Steigung, anderer Achsenabschnitt.

- Was bedeutet es für jeden Funktionswert, wenn alle \(y\)-Werte mit demselben Faktor verändert werden? - Woran erkennst du bei einer Ursprungsgeraden die Steigung in der Funktionsgleichung? - Welche Form muss die neue Gleichung behalten, damit der Graph weiterhin durch den Ursprung geht? - Wie kannst du den allgemeinen Faktor \(k\) mit der ursprünglichen Steigung \(m\) zusammenfassen?

1. Die Bedingung „\(y\)-Werte verdreifachen“ bedeutet \(h(x)=3f(x)\). Mit \(f(x)=1{,}5x\) ergibt sich \(h(x)=3(1{,}5x)=4{,}5x\). 2. Die Steigung von \(f\) ist \(m_f=1{,}5\), die Steigung von \(h\) ist \(m_h=4{,}5\). Die Steigung wurde also verdreifacht; der Graph von \(h\) ist steiler. 3. Für eine Ursprungsgerade \(y=mx\) werden nach der Streckung oder Stauchung die neuen Funktionswerte durch \(y_{\text{neu}}=ky\) beschrieben. Damit gilt \(y_{\text{neu}}=k(mx)=(km)x\). Die neue Funktion ist wieder von der Form einer Ursprungsgeraden und hat die Steigung \(m'=km\).

a) \(h(x)=4{,}5x\) b) Die Steigung hat sich von \(1{,}5\) auf \(4{,}5\) verdreifacht; der Graph ist steiler geworden. c) Es gilt \(y_{\text{neu}}=(km)x\). Die neue Steigung ist \(m'=km\).

- Forme den Term so um, dass du erkennen kannst, welcher Anteil vom Parameter \(p\) abhängt. - Für den gemeinsamen Punkt muss der Funktionswert unabhängig von \(p\) werden. - Betrachte im zweiten Teil die Kosten bei festem Verbrauch als Ausdruck in der Variablen \(p\) und beachte den vorgegebenen zulässigen Bereich.

1. Man kann \(K_p(x)\) zu \(K_p(x)=p(x-2000)+300\) umformen. Für \(x=2000\) verschwindet der vom Parameter abhängige Anteil. Daher gilt für jedes zulässige \(p\): \(K_p(2000)=300\). Der gemeinsame Punkt ist \(B(2000|300)\). Bei einem Jahresverbrauch von \(2000\,\text{kWh}\) betragen die Jahreskosten unabhängig vom gewählten Tarif \(300\,\text{€}\). 2. Für \(x=3500\) gilt \(K_p(3500)=1500p+300\). Dieser Ausdruck wächst mit \(p\). Daher sind die Kosten beim kleinsten zulässigen Arbeitspreis minimal, also bei \(p=0{,}10\,\text{€/kWh}\).

1. \(B(2000|300)\); bei \(2000\,\text{kWh}\) Jahresverbrauch kosten alle Tarife \(300\,\text{€}\). 2. Minimal sind die Kosten bei \(p=0{,}10\,\text{€/kWh}\).