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- Vergleiche die Funktionsgleichungen mit der allgemeinen Form \(y = mx + t\). - Achte darauf, welches Vorzeichen vor der Zahl steht. - Wenn kein \(x\) in der Gleichung vorkommt, was bedeutet das für die Steigung? - Wenn keine einzelne Zahl ohne \(x\) da steht, welchen Wert hat dann der Achsenabschnitt? - Manchmal musst du die Summanden erst sortieren, damit sie der Form \(mx + t\) entsprechen.

1. Für \(f(x) = -4x + 7\): Die Steigung ist der Koeffizient von \(x\), also \(m = -4\). Der konstante Term ist \(t = 7\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|7)\). 2. Für \(g(x) = \frac{2}{5}x\): Dies entspricht \(\frac{2}{5}x + 0\). Somit ist \(m = \frac{2}{5}\) (oder \(0{,}4\)) und \(t = 0\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|0)\). 3. Für \(h(x) = 12 - 3x\): Umgestellt in die Form \(mx + t\) ergibt sich \(-3x + 12\). Damit ist \(m = -3\) und \(t = 12\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|12)\). 4. Für \(k(x) = -5\): Dies entspricht \(0x - 5\). Die Steigung ist \(m = 0\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = -5\). Der Schnittpunkt ist \(P(0|-5)\).

a) \(m = -4, t = 7, P(0|7)\) b) \(m = \frac{2}{5}, t = 0, P(0|0)\) c) \(m = -3, t = 12, P(0|12)\) d) \(m = 0, t = -5, P(0|-5)\)

- Schau dir an, wie stark der Wasserstand von einer Stunde zur nächsten zunimmt. Ist dieser Wert immer gleich? - Überlege dir, welcher Wert am Anfang (bei 0 Stunden) schon da war. - Wie oft musst du die stündliche Zunahme dazurechnen, wenn \(t\) Stunden vergangen sind? - Für Teilaufgabe c) kannst du den Wert genau mit deinem Term ausrechnen.

1. Bestimmung der Steigung: Die Differenz des Wasserstands pro Stunde beträgt \(25 - 10 = 15\,\text{cm}\), \(40 - 25 = 15\,\text{cm}\) usw. Der Wasserstand steigt also um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. 2. Aufstellen des Terms: Der Startwert bei \(t = 0\) ist \(10\). Die Zunahme beträgt \(15t\). Der Term lautet: \(h(t) = 10 + 15t\). 3. Berechnung für \(2{,}5\,\text{Stunden}\): Einsetzen von \(t = 2{,}5\) in den Term: \(10 + 15 \cdot 2{,}5 = 10 + 37{,}5 = 47{,}5\). Der Wasserstand nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt \(47{,}5\,\text{cm}\).

a) Der Wasserstand steigt um \(15\,\text{cm}\) pro Stunde. b) Der Term lautet \(h(t) = 10 + 15t\). c) Nach \(2{,}5\,\text{Stunden}\) beträgt der Wasserstand \(47{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Form haben Funktionsgleichungen von Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen? - Was sagt der y-Wert eines Punktes über seine vertikale Position im Koordinatensystem aus? - Wie kannst du feststellen, ob eine Zahl größer oder kleiner als eine negative Zahl ist?

1. Da die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, hat sie die Form \(y = c\). Da sie durch \(A(-4| -7)\) geht, muss \(c = -7\) sein. Die Gleichung lautet \(y = -7\). 2. Vergleich der y-Koordinaten mit dem Wert der Geraden (\(y = -7\)): - Punkt \(B(-4| -5)\): Die y-Koordinate \(-5\) ist größer als \(-7\), also liegt \(B\) oberhalb der Geraden. - Punkt \(C(10| -7)\): Die y-Koordinate \(-7\) ist gleich \(-7\), also liegt \(C\) auf der Geraden. - Punkt \(D(0| -10)\): Die y-Koordinate \(-10\) ist kleiner als \(-7\), also liegt \(D\) unterhalb der Geraden.

Die Funktionsgleichung lautet \(y = -7\). Der Punkt \(B\) liegt oberhalb der Geraden (\(-5 > -7\)). Der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden (\(-7 = -7\)). Der Punkt \(D\) liegt unterhalb der Geraden (\(-10 < -7\)).

- Überlege, welchen festen Wert eine Koordinate immer hat, wenn ein Punkt direkt auf einer der Achsen liegt. - Wie kannst du die Steigung nutzen, um ausgehend vom Achsenabschnitt weitere Punkte für die Gerade zu finden? - Was bedeutet es für die Zeichnung, wenn zwei Funktionen denselben Schnittpunkt mit einer Achse haben?

1. Zeichnen der Geraden für \(f\): Start beim \(y\)-Achsenabschnitt \(-1{,}5\), Steigung \(0{,}75\) (3 Einheiten nach oben, 4 nach rechts). 2. Ablesen der Achsenschnittpunkte für \(f\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_{y1}(0|-1{,}5)\), Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_{x1}(2|0)\). 3. Zeichnen der Geraden für \(g\): Start beim \(y\)-Achsenabschnitt \(4\), Steigung \(-2\) (2 Einheiten nach unten, 1 nach rechts). 4. Ablesen der Achsenschnittpunkte für \(g\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_{y2}(0|4)\), Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_{x2}(2|0)\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Beide Graphen schneiden die \(x\)-Achse im selben Punkt \((2|0)\).

Die Schnittpunkte für \(f\) sind \(S_{y1}(0|-1{,}5)\) und \(S_{x1}(2|0)\). Die Schnittpunkte für \(g\) sind \(S_{y2}(0|4)\) und \(S_{x2}(2|0)\). Besonderheit: Beide Graphen haben denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse oder der \(y\)-Achse liegt? - Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Längen der Katheten bekannt sind? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt eine Funktionsgleichung erfüllt?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 0{,}75 \cdot 0 - 3 = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Berechnung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(0{,}75x - 3 = 0 \Rightarrow 0{,}75x = 3 \Rightarrow x = 4\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(4\) und \(3\). Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\). Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). 4. Punktprobe für \(Q(2 \mid -1{,}5)\): \(f(2) = 0{,}75 \cdot 2 - 3 = 1{,}5 - 3 = -1{,}5\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(Q\) auf dem Graphen.

a) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(4 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -3)\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(6\,\text{FE}\). c) Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf dem Graphen, da der berechnete Funktionswert \(f(2) = -1{,}5\) mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt.

- Was sind die Begrenzungen der Fläche im ersten Quadranten? - Wie findest du heraus, wo der Graph die Achsen schneidet? - Welche geometrische Form entsteht durch die Achsen und die Gerade?

1. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -0{,}8 \cdot 0 + 4 = 4\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0 \mid 4)\). 2. Bestimmung der Nullstelle: Setze \(f(x) = 0\). Aus \(0 = -0{,}8x + 4\) folgt \(0{,}8x = 4\), also \(x = 5\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt bei \((5 \mid 0)\). 3. Die eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(4\) und \(5\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10\).

Der Flächeninhalt des Gebiets beträgt \(10\) Flächeneinheiten.

- Was gibt der konstante Wert am Ende des Funktionsterms über den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse an? - Wie berechnet man die Stelle, an der der Graph die waagerechte Achse berührt oder schneidet? - Vergleiche die Steigungen der Funktionen. Was passiert mit dem Graphen, wenn die Steigung negativ wird?

1. Bestimmung der Schnittpunkte von \(f(x) = 2x - 4\): \(S_y(0 \mid -4)\) und Nullstelle bei \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\), also \(S_x(2 \mid 0)\). 2. Für \(g(x) = 2x + 4\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ändert sich von \(-4\) auf \(4\), also \(S_y(0 \mid 4)\). Die Nullstelle liegt bei \(2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\), also \(S_x(-2 \mid 0)\). Der Graph wird entlang der \(y\)-Achse nach oben verschoben. 3. Für \(h(x) = -2x - 4\): Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt bei \(-4\), also \(S_y(0 \mid -4)\). Die Nullstelle liegt bei \(-2x - 4 = 0 \Rightarrow x = -2\), also \(S_x(-2 \mid 0)\). Da \(h(x)=f(-x)\) gilt, ist der Graph von \(h\) das Spiegelbild des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse.

a) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wandert von \((0 \mid -4)\) zu \((0 \mid 4)\). Die Nullstelle verschiebt sich von \(x = 2\) zu \(x = -2\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bleibt bei \((0 \mid -4)\). Die Nullstelle verschiebt sich von \(x = 2\) zu \(x = -2\).

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn sie parallel zueinander verlaufen? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse „höher“ liegt, verändert das die Steigung oder den \(y\)-Achsenabschnitt?

1. Aus \(g(x) = 1{,}5x - 3\) liest man direkt ab: Steigung \(m = 1{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|-3)\). 2. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, muss sie dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) haben. Da sie durch den Ursprung verläuft, ist ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 1{,}5x\). 3. Die Gerade \(k\) hat ebenfalls die Steigung \(m = 1{,}5\). Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(g\) ist \(-3\). Liegt der neue Abschnitt \(5\) Einheiten höher, rechnet man \(-3 + 5 = 2\). Somit ist \(t = 2\) und die Gleichung lautet \(k(x) = 1{,}5x + 2\).

a) \(m = 1{,}5, S(0|-3)\) b) \(h(x) = 1{,}5x\) c) \(k(x) = 1{,}5x + 2\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Was bedeutet es für die Steigung, wenn eine Gerade flach wie der Horizont liegt? - Was wissen wir über den \(y\)-Achsenabschnitt einer Ursprungsgeraden?

1. Eine vertikale Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben bedeutet eine Addition von \(5\) zum \(y\)-Achsenabschnitt \(t\). Da \(t = -3\), ist der neue Wert \(t = -3 + 5 = 2\). Die Steigung \(m = 2\) bleibt gleich. Die neue Gleichung lautet \(f(x) = 2x + 2\). 2. Eine Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse, wenn ihre Steigung \(m = 0\) ist. Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -3\) gleich bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = -3\). 3. Damit eine Gerade durch den Ursprung \((0|0)\) verläuft, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 0\) sein. Da die Steigung \(m = 2\) unverändert bleibt, lautet die neue Gleichung \(f(x) = 2x\).

a) \(t\) erhöht sich um \(5\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x + 2\). b) \(m\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = -3\). c) \(t\) wird zu \(0\); neue Gleichung: \(f(x) = 2x\).

- Wie hängen die Steigungswerte in der Funktionsgleichung mit der Lage der Geraden im Koordinatensystem zusammen? - Woran erkennt man in der Gleichung \(y = mx + n\), wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Es hilft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können.

1. Bestimmung der Steigungen \(m\) und \(y\)-Achsenabschnitte \(n\): \(f_1: m_1 = \frac{2}{5} = 0{,}4\), \(n_1 = 3\) \(f_2: m_2 = 0{,}4\), \(n_2 = -1\) \(f_3: m_3 = 2{,}5\), \(n_3 = 3\) \(f_4: m_4 = \frac{5}{2} = 2{,}5\), \(n_4 = -4\) \(f_5: m_5 = -0{,}4\), \(n_5 = 3\) 2. Identifikation paralleler Geraden (gleiche Steigung): \(m_1 = m_2 = 0{,}4 \implies f_1 \parallel f_2\) \(m_3 = m_4 = 2{,}5 \implies f_3 \parallel f_4\) 3. Identifikation gleicher \(y\)-Achsenabschnitte: \(n_1 = n_3 = n_5 = 3\). Der gemeinsame Schnittpunkt ist \(S(0|3)\).

a) Parallel sind \(f_1\) und \(f_2\) (beide haben die Steigung \(0{,}4\)) sowie \(f_3\) und \(f_4\) (beide haben die Steigung \(2{,}5\)). b) Die Geraden \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) schneiden die \(y\)-Achse im selben Punkt \(S(0|3)\), da sie alle den \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 3\) haben.

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung ein? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der Geraden liegt? - Wenn die y-Koordinate bekannt ist, wie kannst du die Gleichung nach dem unbekannten x-Wert auflösen?

1. Punktprobe für \(A(-2|6)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(y = -1{,}5 \cdot (-2) + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 = 6\), liegt \(A\) auf der Geraden. 2. Punktprobe für \(B(4|-3)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(y = -1{,}5 \cdot 4 + 3 = -6 + 3 = -3\). Da \(-3 = -3\), liegt \(B\) auf der Geraden. 3. Berechnung von \(k\) für \(C(k|0)\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt die Gleichung \(0 = -1{,}5k + 3\). 4. Umstellen nach \(k\): \(1{,}5k = 3 \Rightarrow k = 2\).

a) Ja, beide Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden. b) Der Wert für \(k\) ist \(2\).

- Was gibt der Wert vor dem \(x\) in der Funktionsgleichung über die Steigung an? - Wie berechnet man die Steigung, wenn man weiß, wie weit man nach rechts und wie weit man nach oben geht? - Spielt es eine Rolle, ob man in Zentimetern, Einheiten oder Kästchen rechnet, solange man auf beiden Achsen denselben Maßstab nutzt? - Was passiert mit dem Vorzeichen der Steigung, wenn man sich nach links oder nach unten bewegt?

Die Steigung der Funktion beträgt \(m = 1{,}2\). Für ein korrektes Steigungsdreieck muss das Verhältnis von vertikaler Änderung (\(\Delta y\)) zu horizontaler Änderung (\(\Delta x\)) gleich der Steigung \(m\) sein: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). 1. \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = 6\). Verhältnis: \(\frac{6}{5} = 1{,}2\). Korrekt. 2. \(\Delta x = 10\), \(\Delta y = 12\). Verhältnis: \(\frac{12}{10} = 1{,}2\). Korrekt. (Die Einheit Kästchen kürzt sich im Verhältnis heraus). 3. \(\Delta x = 2\), \(\Delta y = 2{,}4\). Verhältnis: \(\frac{2{,}4}{2} = 1{,}2\). Korrekt. 4. \(\Delta x = 6\), \(\Delta y = 5\). Verhältnis: \(\frac{5}{6} \approx 0{,}83\). Falsch. 5. \(\Delta x = -5\) (links), \(\Delta y = -6\) (unten). Verhältnis: \(\frac{-6}{-5} = 1{,}2\). Korrekt.

1. Korrekt 2. Korrekt 3. Korrekt 4. Falsch 5. Korrekt

- Welche x-Werte führen bei einem Bruch als Steigung zu einem ganzzahligen Ergebnis? - Der y-Achsenabschnitt ist oft ein guter erster Punkt. - Überlege dir, wie du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln kannst.

1. Für die Funktion \(f(x) = \frac{3}{5}x - 1\): Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache des Nenners \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(f(0) = \frac{3}{5} \cdot 0 - 1 = -1\). Punkt: \((0|-1)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(f(5) = \frac{3}{5} \cdot 5 - 1 = 3 - 1 = 2\). Punkt: \((5|2)\). 2. Für die Funktion \(g(x) = -1{,}2x + 2\): Schreibe die Steigung als Bruch: \(-1{,}2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}\). Wähle \(x\)-Werte, die Vielfache von \(5\) sind. - Für \(x = 0\) ergibt sich \(g(0) = -1{,}2 \cdot 0 + 2 = 2\). Punkt: \((0|2)\). - Für \(x = 5\) ergibt sich \(g(5) = -1{,}2 \cdot 5 + 2 = -6 + 2 = -4\). Punkt: \((5|-4)\).

Mögliche Punkte sind: a) \((0|-1)\) und \((5|2)\) b) \((0|2)\) und \((5|-4)\)

- Welche Zahl in der Funktionsgleichung gibt die Steigung an? - Erinnere dich an die Formel \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). - Überlege, ob negative Werte für \(\Delta x\) oder \(\Delta y\) die Steigung verändern.

Die Steigung der Funktion ist \(m = -\frac{3}{4} = -0{,}75\). 1. Analyse Weg 1: Horizontale Änderung \(\Delta x = 4\), vertikale Änderung \(\Delta y = -3\). Berechnung: \(\frac{-3}{4} = -0{,}75\). Ergebnis: Korrekt. 2. Analyse Weg 2: Horizontale Änderung \(\Delta x = 1\), vertikale Änderung \(\Delta y = -0{,}75\). Berechnung: \(\frac{-0{,}75}{1} = -0{,}75\). Ergebnis: Korrekt, jedoch zeichnerisch mit Kästchen schwer exakt umsetzbar. 3. Analyse Weg 3: Horizontale Änderung \(\Delta x = -8\), vertikale Änderung \(\Delta y = 6\). Berechnung: \(\frac{6}{-8} = -0{,}75\). Ergebnis: Korrekt.

Alle drei Wege sind mathematisch korrekt, da sie jeweils die Steigung \(m = -0{,}75\) ergeben. Weg 1 und Weg 3 sind in einem Karo-Heft am einfachsten einzuzeichnen, da sie nur ganze Kästchen verwenden.

- Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein konstanter Wert zu \(f(x)\) addiert wird? - Wie findet man rechnerisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder kreuzt? - Überlege dir, was mit einem Punkt \((x \mid y)\) passiert, wenn man das Vorzeichen von \(x\) in der Funktionsgleichung umkehrt.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -2\), also \(S_y(0 \mid -2)\). Nullstelle: \(0 = \frac{2}{5}x - 2 \implies 2 = \frac{2}{5}x \implies x = 5\), also \(S_x(5 \mid 0)\). 2. Durch die Änderung des konstanten Glieds von \(-2\) zu \(2\) wird der Graph um \(4\) Einheiten in Richtung der positiven \(y\)-Achse verschoben. 3. Die Änderung des Vorzeichens der Steigung von \(m\) zu \(-m\) bei gleichbleibendem \(y\)-Achsenabschnitt entspricht einer Spiegelung des Graphen an der \(y\)-Achse.

1. Nullstelle \(S_x(5 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid -2)\). 2. Der Graph wird um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Es handelt sich um eine Spiegelung an der \(y\)-Achse.

- Überlege dir, wo der Graph die Achsen schneidet. - Skizziere die Graphen in einem Koordinatensystem. - Was bedeutet eine positive oder negative Steigung für den Verlauf? - Was passiert, wenn der \(y\)-Achsenabschnitt Null ist?

1. Für \(f(x) = 1{,}5x - 3\): Die Steigung ist \(m = 1{,}5 > 0\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(n = -3\). Der Graph schneidet die negative \(y\)-Achse bei \((0|-3)\) und die positive \(x\)-Achse bei \(x = 2\). Für \(x < 0\) verläuft er im III. Quadranten, für \(0 < x < 2\) im IV. Quadranten und für \(x > 2\) im I. Quadranten. Ergebnis: I, III, IV. 2. Für \(g(x) = -x\): Dies ist eine Ursprungsgerade mit \(m = -1\) und \(n = 0\). Sie verläuft durch den Ursprung \((0|0)\). Da die Steigung negativ ist, verläuft sie durch den II. und IV. Quadranten. Ergebnis: II, IV. 3. Für \(h(x) = 4\): Dies ist eine waagerechte Gerade mit \(m = 0\) und \(n = 4\). Sie liegt parallel zur \(x\)-Achse oberhalb dieser und verläuft durch den I. und II. Quadranten. Ergebnis: I, II.

1) I, III, IV 2) II, IV 3) I, II

- Was müsste für die Steigungen zwischen den Punktpaaren gelten, damit sie auf einer Geraden liegen? - Berechne die Steigung für zwei verschiedene Paare der gegebenen Punkte. - Erinnere dich an das Steigungsdreieck: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.

1. Berechnung der Steigung \(m_1\) zwischen \(P(-2 | 5)\) und \(Q(2 | 3)\): \(m_1 = \frac{3 - 5}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). 2. Berechnung der Steigung \(m_2\) zwischen \(Q(2 | 3)\) und \(R(5 | 1)\): \(m_2 = \frac{1 - 3}{5 - 2} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(m_1 \neq m_2\), ist die Steigung zwischen den Punkten nicht konstant. Folglich liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden.

Nein, die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigung zwischen \(P\) und \(Q\) (\(m = -0{,}5\)) nicht mit der Steigung zwischen \(Q\) und \(R\) (\(m \approx -0{,}67\)) übereinstimmt.

- Welchen Wert hat die Länge, wenn noch gar keine Masse angehängt wurde? - Wie viel nimmt die Länge zu, wenn die Masse um ein bestimmtes Stück erhöht wird? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung zwischen zwei Punkten.

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\): Aus der Tabelle folgt für \(x = 0\) der Wert \(y = 12{,}0\), also ist \(b = 12\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): Mit zwei Punkten, z. B. \((0|12)\) und \((50|14{,}5)\), ergibt sich \(m = \frac{14{,}5 - 12}{50 - 0} = \frac{2{,}5}{50} = 0{,}05\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(f(x) = 0{,}05x + 12\). 4. Interpretation: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 12\) gibt die Ausgangslänge der Feder ohne Belastung (\(12\,\text{cm}\)) an. Die Steigung \(m = 0{,}05\) gibt an, dass die Feder pro Gramm Masse um \(0{,}05\,\text{cm}\) (bzw. \(0{,}5\,\text{mm}\)) länger wird.

a) \(f(x) = 0{,}05x + 12\) b) \(b = 12\) ist die Anfangslänge der Feder in \(\text{cm}\); \(m = 0{,}05\) ist die Dehnung der Feder in \(\text{cm}\) pro Gramm.

- Wie verändert sich das Vorzeichen von \(x\) oder \(y\), wenn man an den Achsen spiegelt? - Welche Eigenschaft einer linearen Funktion bestimmt, ob zwei Geraden parallel sind? - Überlege dir, wie sich eine Spiegelung auf das Steigungsdreieck auswirkt.

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Ersetze \(x\) durch \(-x\). \(h_1(x) = -1{,}5(-x) + 6 = 1{,}5x + 6\). 2. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Multipliziere den gesamten Funktionsterm mit \(-1\). \(h_2(x) = -(-1{,}5x + 6) = 1{,}5x - 6\). 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(h_1\) ist \(m_1 = 1{,}5\). Die Steigung von \(h_2\) ist \(m_2 = 1{,}5\). 4. Da \(m_1 = m_2\) gilt, sind die Graphen von \(h_1\) und \(h_2\) parallel zueinander. Sie haben lediglich unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(6\) und \(-6\)).

a) \(h_1(x) = 1{,}5x + 6\) b) \(h_2(x) = 1{,}5x - 6\) c) Ja, sie sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

- Was bedeutet es rechnerisch, wenn eine Funktion eine Nullstelle hat? - Denk an das Prinzip einer Funktion: Wie viele y-Werte darf ein x-Wert haben? - Wie sieht die Steigung einer waagerechten Geraden aus?

1. Prüfung von Aussage a: Eine Nullstelle liegt vor, wenn \(mx + n = 0\). Für \(m \neq 0\) lässt sich diese Gleichung eindeutig zu \(x = -\frac{n}{m}\) umformen. Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage b: Senkrechte Geraden (Parallelen zur \(y\)-Achse) haben die Form \(x = c\). Da einem \(x\)-Wert hier unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet werden, sind sie keine Funktionen und lassen sich nicht in der Form \(y = mx + n\) schreiben. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage c: Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m = 0\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = n\). Liegt sie nicht auf der \(x\)-Achse, gilt \(n \neq 0\). Da der Funktionswert für alle \(x\) konstant \(n\) ist, wird der Wert \(0\) nie erreicht. Die Aussage ist wahr.

a) Wahr. Die Gleichung \(mx + n = 0\) hat für \(m \neq 0\) genau eine Lösung \(x = -\frac{n}{m}\). b) Wahr. Senkrechte Geraden (\(x = c\)) können nicht als Funktion \(y = f(x)\) dargestellt werden. c) Wahr. Eine solche Gerade hat die Form \(y = n\) mit \(n \neq 0\) und schneidet die \(x\)-Achse daher nie.

- Was bedeutet es für den x-Wert oder y-Wert, wenn ein Graph eine Achse berührt? - Wie hängen die Schritte in einem Steigungsdreieck mit dem Wert vor dem \(x\) zusammen? - Welcher Teil der Gleichung bestimmt, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Stell dir vor, du schiebst die gesamte Gerade nach oben oder unten – welcher Parameter ändert sich dabei?

1. Berechnung der Schnittpunkte: Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) gesetzt, woraus \(f(0) = -3\) folgt; der Punkt ist \(S_y(0 | -3)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(1{,}5x - 3 = 0 \implies 1{,}5x = 3 \implies x = 2\). Der Punkt ist \(S_x(2 | 0)\). 2. Überprüfung der Steigung: Die Steigung \(m\) berechnet sich aus dem Verhältnis der Änderung in \(y\) zur Änderung in \(x\). Bei zwei Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 2\)) und drei Einheiten nach oben (\(\Delta y = 3\)) ergibt sich \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Da dies der Steigung in der Gleichung entspricht, ist die Aussage korrekt. 3. Veränderung der Lage: Der Wert \(-3\) bzw. \(+1\) stellt den \(y\)-Achsenabschnitt dar. Die Änderung von \(-3\) auf \(+1\) entspricht einer Verschiebung der Geraden um \(4\) Einheiten parallel nach oben.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | -3)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((2 | 0)\). b) Die Aussage ist korrekt, da die Steigung \(m = \frac{3}{2} = 1{,}5\) beträgt. c) Die Gerade wird um \(4\) Einheiten entlang der \(y\)-Achse nach oben verschoben.

- An welcher Stelle schneidet der Graph die y-Achse? - Wie kannst du die Steigung nutzen, um vom Startpunkt aus einen zweiten Punkt der Geraden zu finden? - Welcher Punkt auf deiner gezeichneten Geraden hat den y-Wert 1?

1. Identifikation der Parameter: Steigung \(m = -1{,}5\) und y-Achsenabschnitt \(b = 4\). 2. Zeichnen des Graphen: Startpunkt am y-Achsenabschnitt \((0|4)\). Mithilfe der Steigung (1 Einheit nach rechts, \(1{,}5\) Einheiten nach unten) wird ein weiterer Punkt, z. B. \((2|1)\), bestimmt und die Gerade gezeichnet. 3. Grafische Lösung: Eine horizontale Hilfslinie bei \(y = 1\) einzeichnen. 4. Schnittpunkt ablesen: Die Gerade schneidet die Gerade \(y = 1\) im Punkt \((2|1)\). 5. Ergebnis: Der gesuchte x-Wert ist \(x = 2\).

Der Graph ist eine Gerade durch \((0|4)\) und \((2|1)\). Die grafische Lösung für \(f(x) = 1\) ist \(x = 2\).

- Zeichne zuerst den Graphen von \(f\) und finde den Punkt mit der Höhe 3. - Was passiert mit allen Punkten eines Graphen, wenn man ihn „nach oben verschiebt“? - Schau dir an, wo der neue Graph die Höhe 3 erreicht, im Vergleich zum alten Graphen.

1. Lösung für \(f(x) = 3\): Zeichnen der Geraden durch \((0|1)\) und \((2|2)\). Bei \(y = 3\) wird der x-Wert \(x = 4\) abgelesen. 2. Neue Funktion \(g\): Durch die Verschiebung um \(2\) nach oben lautet die neue Gleichung \(g(x) = \frac{1}{2}x + 3\). Der y-Achsenabschnitt liegt nun bei \((0|3)\). 3. Lösung für \(g(x) = 3\): Da der Graph von \(g\) die y-Achse bereits bei \(y = 3\) schneidet, ist die Lösung direkt ablesbar: \(x = 0\). 4. Begründung: Durch die Verschiebung nach oben startet der Graph bei einem höheren Wert. Um denselben Zielwert (\(y = 3\)) zu erreichen, muss man bei gleichbleibender Steigung weniger weit nach rechts auf der x-Achse gehen.

a) \(x = 4\). b) \(x = 0\). c) Da der Graph von \(g\) höher startet als \(f\), erreicht er den Zielwert \(y = 3\) „früher“, also bei einem kleineren x-Wert.

- Wie kannst du den passenden y-Wert auf der Geraden für einen gegebenen x-Wert berechnen? - Was bedeutet es für die Position des Punktes, wenn sein y-Wert größer oder kleiner als der berechnete Wert auf der Geraden ist? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes direkt mit dem Ergebnis deiner Rechnung.

1. Berechnung des \(y\)-Wertes auf der Geraden für \(x_P = 2\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 2 + 0{,}5 = 2{,}9\). Da \(y_P = 2{,}9\), liegt \(P\) auf der Geraden. 2. Berechnung für \(x_Q = -1\): \(y_g = 1{,}2 \cdot (-1) + 0{,}5 = -0{,}7\). Da \(y_Q = -1\) kleiner als \(-0{,}7\) ist, liegt \(Q\) unterhalb der Geraden. 3. Berechnung für \(x_R = 5\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 5 + 0{,}5 = 6{,}5\). Da \(y_R = 6{,}5\), liegt \(R\) auf der Geraden.

\(P(2 \mid 2{,}9)\) liegt auf der Geraden. \(Q(-1 \mid -1)\) liegt unterhalb der Geraden. \(R(5 \mid 6{,}5)\) liegt auf der Geraden.

- Wie viele Lösungen hat eine lineare Gleichung mit zwei Variablen im Allgemeinen? - Kannst du einen Wert für eine Variable frei wählen, um den anderen zu berechnen? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht.

1. Berechnung von Beispiellösungen durch Einsetzen: Für \(x = 0\): \(3 \cdot 0 - 2y = 6 \implies -2y = 6 \implies y = -3\). Lösung: \((0|-3)\). Für \(y = 0\): \(3x - 2 \cdot 0 = 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2\). Lösung: \((2|0)\). Für \(x = 4\): \(3 \cdot 4 - 2y = 6 \implies 12 - 2y = 6 \implies -2y = -6 \implies y = 3\). Lösung: \((4|3)\). 2. Untersuchung negativer Werte: Umstellen nach \(y\) ergibt \(y = 1{,}5x - 3\). Wenn \(x\) negativ ist (z. B. \(x = -2\)), dann ist \(1{,}5 \cdot (-2) - 3 = -3 - 3 = -6\). Somit ist \((-2|-6)\) eine Lösung, bei der beide Koordinaten negativ sind. Dies ist möglich.

a) Mögliche Lösungen sind z. B. \((0|-3)\), \((2|0)\) und \((4|3)\). b) Ja, das ist möglich. Ein Beispiel ist das Zahlenpaar \((-2|-6)\), da \(3 \cdot (-2) - 2 \cdot (-6) = -6 + 12 = 6\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt eine Lösung einer Gleichung ist? - Wie kannst du eine Gleichung schrittweise umformen, um eine Variable isoliert auf einer Seite zu haben? - Welche Rechenregel musst du beim Einsetzen negativer Zahlen besonders beachten? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung.

1. Einsetzen der Koordinaten in \(12x - 4y = 6\): Für \(P_1\): \(12 \cdot 0{,}5 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2 \neq 6\) (keine Lösung). Für \(P_2\): \(12 \cdot 1 - 4 \cdot 1{,}5 = 12 - 6 = 6\) (Lösung). Für \(P_3\): \(12 \cdot 0 - 4 \cdot (-1{,}5) = 0 + 6 = 6\) (Lösung). 2. Bestimmung von \(y\) für \(Q(2 | y)\): \(12 \cdot 2 - 4y = 6 \implies 24 - 4y = 6 \implies -4y = -18 \implies y = 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(x\) für \(R(x | -3)\): \(12x - 4 \cdot (-3) = 6 \implies 12x + 12 = 6 \implies 12x = -6 \implies x = -0{,}5\). 4. Umstellen nach \(y\): \(12x - 4y = 6 \implies -4y = -12x + 6 \implies y = 3x - 1{,}5\).

a) \(P_2\) und \(P_3\) sind Lösungen, \(P_1\) ist keine Lösung. b) \(y = 4{,}5\) c) \(x = -0{,}5\) d) \(y = 3x - 1{,}5\)

- Welche Koordinate bleibt bei einer senkrechten Geraden immer gleich? - Was haben alle Punkte gemeinsam, die auf einer waagerechten Geraden liegen? - Überlege, welche Achse durch die Gleichung \(x = \text{konstant}\) oder \(y = \text{konstant}\) jeweils parallel geschnitten wird. - Kannst du die Lage der Geraden im Verhältnis zu den Achsen beschreiben?

1. Bestimmung der senkrechten Geraden \(g\): Da die Gerade senkrecht verläuft, haben alle Punkte denselben \(x\)-Wert. Da sie durch \(A(3 \mid -2)\) verläuft, muss \(x = 3\) gelten. Lage: Parallele zur \(y\)-Achse durch den Wert \(3\) auf der \(x\)-Achse. 2. Bestimmung der waagerechten Geraden \(h\): Eine waagerechte Gerade hat für alle Punkte denselben \(y\)-Wert. Da sie durch \(A(3 \mid -2)\) verläuft, lautet die Gleichung \(y = -2\). Lage: Parallele zur \(x\)-Achse durch den Wert \(-2\) auf der \(y\)-Achse. 3. Weitere Punkte: Auf \(g\) liegen z. B. \(P_1(3 \mid 0)\) und \(P_2(3 \mid 5)\). Auf \(h\) liegen z. B. \(Q_1(0 \mid -2)\) und \(Q_2(1 \mid -2)\).

a) \(x = 3\). Die Gerade ist eine Parallele zur \(y\)-Achse. b) \(y = -2\). Die Gerade ist eine Parallele zur \(x\)-Achse. c) Mögliche Punkte für \(g\): \((3 \mid 0)\) und \((3 \mid 1)\). Mögliche Punkte für \(h\): \((0 \mid -2)\) und \((1 \mid -2)\).

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(y\) alleine auf einer Seite steht? - Wähle beliebige Werte für eine Variable aus, um die andere zu berechnen. - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil der Lösungsmenge einer Gleichung ist?

1. Umstellen nach \(y\): Zuerst addiert man \(x\) auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{2}y - x = 1\), woraus \(\frac{1}{2}y = x + 1\) folgt. Durch Multiplikation mit \(2\) ergibt sich die Normalform \(y = 2x + 2\). 2. Bestimmung von drei Wertepaaren: Durch Einsetzen von \(x\)-Werten in \(y = 2x + 2\) erhält man Punkte. Für \(x = 0\) ist \(y = 2(0) + 2 = 2\), also \((0 | 2)\). Für \(x = 1\) ist \(y = 2(1) + 2 = 4\), also \((1 | 4)\). Für \(x = -1\) ist \(y = 2(-1) + 2 = 0\), also \((-1 | 0)\). 3. Punktprobe für \(P(5 | 12)\): Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung \(y = 2x + 2\) ergibt \(12 = 2 \cdot 5 + 2\). Da \(12 = 10 + 2\) eine wahre Aussage ist, liegt der Punkt auf der Geraden.

a) \(y = 2x + 2\) b) Mögliche Punkte sind \((0 | 2)\), \((1 | 4)\) und \((-1 | 0)\). c) Ja, der Punkt \(P(5 | 12)\) ist eine Lösung, da \(12 = 2 \cdot 5 + 2\) wahr ist.

- An welcher Stelle schneidet ein Graph die y-Achse? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate? - Was muss für den y-Wert gelten, wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen?

1. Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse: Durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(y = 4\). Somit liegt der Schnittpunkt bei \(S_y(0 | 4)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse: Setze den Funktionswert gleich Null (\(y = 0\)), woraus die Gleichung \(0 = \frac{2}{5}x + 4\) folgt. 3. Lösung der Gleichung: Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(-4 = \frac{2}{5}x\). Multiplikation mit \(\frac{5}{2}\) führt zu \(x = -10\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_x(-10 | 0)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_y(0 | 4)\) und \(S_x(-10 | 0)\).

- Kannst du eine der Zahlen frei wählen und dann die andere berechnen? - Was passiert mit der Anzahl der Möglichkeiten, wenn du auch Brüche oder negative Zahlen benutzt? - Schreibe bei der Suche nach natürlichen Zahlen systematisch alle Paare auf, beginnend bei \(x = 0\).

1. Bestimmung von Beispielpaaren durch Einsetzen: Mögliche Paare sind \((6|6)\), \((-1|13)\), \((4{,}5|7{,}5)\) und \((0|12)\), da ihre Summe jeweils \(12\) ergibt. 2. Analyse der Lösungsmenge in \(\mathbb{Q}\): Da zu jedem beliebigen Wert für \(x\) genau ein Wert \(y = 12 - x\) berechnet werden kann, existieren unendlich viele Lösungen. 3. Überprüfung für natürliche Zahlen: Die möglichen Paare sind \((0|12), (1|11), (2|10), (3|9), (4|8), (5|7), (6|6), (7|5), (8|4), (9|3), (10|2), (11|1), (12|0)\). Durch Abzählen der ganzzahligen Werte für \(x\) von \(0\) bis \(12\) ergeben sich genau \(13\) Lösungen. Die Aussage ist wahr.

1. Zum Beispiel: \((-2|14)\), \((5{,}5|6{,}5)\), \((6|6)\), \((12|0)\). 2. Es gibt unendlich viele Lösungen, da für jedes \(x\) ein passendes \(y\) existiert. 3. Die Aussage ist wahr; es gibt die 13 Paare von \((0|12)\) bis \((12|0)\).

- Überlege zuerst, um wie viele Prozentpunkte der Ladestand in der gegebenen Zeit insgesamt gestiegen ist. - Wie viel steigt der Ladestand dann in genau einer Minute? - Welcher Wert in der Funktionsgleichung \(y = mx + b\) stellt den Startwert dar? - Wenn der Akku voll ist, welchen Wert muss \(y\) dann annehmen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) (Zunahme pro Minute): Differenz der Ladestände geteilt durch die Zeitdifferenz: \(m = (45 - 15) : 20 = 1{,}5\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(b = 15\): \(y = 1{,}5x + 15\). 3. Interpretation der Steigung: Der Wert \(1{,}5\) gibt an, dass der Ladestand pro Minute um \(1{,}5\) Prozentpunkte steigt. 4. Berechnung der Gesamtdauer für \(100\,\%\): Setze \(y = 100\) in die Gleichung ein: \(100 = 1{,}5x + 15\). 5. Lösen der Gleichung: \(85 = 1{,}5x \Rightarrow x = 85 : 1{,}5 = \frac{170}{3} \approx 56{,}67\). Der Akku ist nach ca. \(56{,}7\,\text{Minuten}\) voll geladen.

a) \(y = 1{,}5x + 15\) b) Es kommen \(1{,}5\) Prozentpunkte pro Minute hinzu; dies entspricht der Steigung \(m\). c) Nach \(56 \frac{2}{3}\,\text{Minuten}\) (bzw. ca. \(56{,}7\,\text{Minuten}\)).

- Welcher Wert ändert sich jede Woche und welcher Wert ist von Anfang an da? - Wie kannst du die Wochenanzahl und den Sparbetrag mathematisch verknüpfen? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein bestimmtes Zielguthaben vorgegeben ist? - Überlege, welcher Wert auf der \(x\)-Achse und welcher auf der \(y\)-Achse steht.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Startwert beträgt \(45\), die wöchentliche Änderung \(7{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = 7{,}5x + 45\). 2. Berechnung der Wertepaare \((x \mid y)\): - Für \(x = 0\): \(y = 7{,}5 \cdot 0 + 45 = 45 \Rightarrow (0 \mid 45)\) - Für \(x = 2\): \(y = 7{,}5 \cdot 2 + 45 = 60 \Rightarrow (2 \mid 60)\) - Für \(x = 4\): \(y = 7{,}5 \cdot 4 + 45 = 75 \Rightarrow (4 \mid 75)\) - Für \(x = 6\): \(y = 7{,}5 \cdot 6 + 45 = 90 \Rightarrow (6 \mid 90)\) - Für \(x = 8\): \(y = 7{,}5 \cdot 8 + 45 = 105 \Rightarrow (8 \mid 105)\) 3. Berechnung der Zeitdauer für \(120{,}00\,\text{€}\): Setze \(y = 120\) in die Gleichung ein: \(120 = 7{,}5x + 45\). Subtraktion von \(45\) ergibt \(75 = 7{,}5x\). Division durch \(7{,}5\) liefert \(x = 10\). Paul hat nach \(10\) Wochen den Betrag erreicht.

1) \(y = 7{,}5x + 45\) 2) Die Punkte sind \((0 \mid 45)\), \((2 \mid 60)\), \((4 \mid 75)\), \((6 \mid 90)\) und \((8 \mid 105)\). 3) Nach \(10\) Wochen.

- Setze die gegebenen Zahlen in die Funktionsgleichungen ein. - Was bemerkst du, wenn du die Ergebnisse von \(g(x)\) mit denen von \(f(x)\) vergleichst? - Überlege, ob die Werte größer oder kleiner werden und was das für den Graphen bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor dem \(x\) und der Form der Geraden.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(x = 4\) gilt \(f(4) = 4\) und \(g(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\). Für \(x = 8\) gilt \(f(8) = 8\) und \(g(8) = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 2. Verhältnis der Funktionswerte: Für jedes \(x\) gilt \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot x = \frac{1}{4} \cdot f(x)\). Für \(x \neq 0\) ist das Verhältnis \(\frac{g(x)}{f(x)}\) somit konstant \(\frac{1}{4}\). 3. Geometrische Interpretation: Da jeder Funktionswert von \(g\) genau ein Viertel des entsprechenden Funktionswertes von \(f\) beträgt, entsteht der Graph von \(g\) durch eine Stauchung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\).

1. \(f(4) = 4, g(4) = 1\); \(f(8) = 8, g(8) = 2\). 2. Für \(x \neq 0\) gilt \(\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}\); äquivalent ist \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\). 3. Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Stauchung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung um den Faktor \(\frac{1}{4}\).

- Was passiert mit dem Abstand eines Punktes zur x-Achse, wenn er an dieser gespiegelt wird? - Betrachte einen Punkt auf der Geraden, zum Beispiel den Schnittpunkt mit einer der Achsen. Wo landet dieser Punkt nach der Spiegelung? - Wenn du die y-Werte der ursprünglichen Funktion mit -1 multiplizierst, was ändert sich grafisch?

1. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate eines Punktes gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Ein Punkt \(P(x \mid y)\) wird also auf \(P'(x \mid -y)\) abgebildet. 2. Setzt man den Zusammenhang \(-y_{neu} = y_{alt}\) in die ursprüngliche Gleichung \(y = 3x - 6\) ein, erhält man \(-y_{neu} = 3x - 6\). 3. Durch Multiplikation mit \(-1\) ergibt sich die neue Funktionsgleichung \(y = -3x + 6\). 4. Überprüfung mit einem Beispielpunkt: Der Punkt \(P(2 \mid 0)\) liegt auf \(g\) (\(3 \cdot 2 - 6 = 0\)). Sein Spiegelpunkt an der \(x\)-Achse ist ebenfalls \((2 \mid 0)\). Einsetzen in \(h\): \(-3 \cdot 2 + 6 = 0\). Der Punkt \(P(0 \mid -6)\) auf \(g\) wird zu \(P'(0 \mid 6)\) auf \(h\): \(-3 \cdot 0 + 6 = 6\). Dies bestätigt die Herleitung.

a) Die Funktionsgleichung von \(h\) lautet \(y = -3x + 6\). b) Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus \(y\) der Wert \(-y\). Die Gleichung \(y = 3x - 6\) wird zu \(-y = 3x - 6\), was aufgelöst \(y = -3x + 6\) ergibt.

- Kannst du am Verlauf der Geraden von links nach rechts erkennen, ob die Werte steigen oder fallen? - Überlege, was eine waagerechte Gerade für die Änderung der \(y\)-Werte bedeutet. - Was passiert bei einer senkrechten Geraden? Kann man dort einen Steigungswert berechnen? - Um den genauen Wert der Steigung zu ermitteln, kannst du die Koordinatendifferenzen zweier gut ablesbarer Gitterpunkte verwenden.

1. **Teilaufgabe (a):** Die Gerade steigt von links nach rechts, daher ist die Steigung positiv. Durch Ablesen zweier Punkte, z. B. \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(1 \mid 1)\), bestimmen wir die Steigung: \(m = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2\). 2. **Teilaufgabe (b):** Die Gerade fällt von links nach rechts, daher ist die Steigung negativ. Durch Ablesen zweier Punkte, z. B. \(P_1(0 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 1)\), bestimmen wir die Steigung: \(m = \frac{1 - 2}{2 - 0} = -0{,}5\). 3. **Teilaufgabe (c):** Die Gerade verläuft horizontal. Da der \(y\)-Wert für alle \(x\) konstant bleibt, ist die Steigung null: \(m = 0\). 4. **Teilaufgabe (d):** Die Gerade verläuft vertikal. Da sich der \(x\)-Wert nicht ändert, wäre die Differenz im Nenner gleich null. Eine Division durch null ist nicht definiert, daher ist die Steigung nicht definiert.

(a) positiv, \(m = 2\) (b) negativ, \(m = -0{,}5\) (c) null, \(m = 0\) (d) nicht definiert

- Wie liest du den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) einer Geraden direkt an der \(y\)-Achse ab? - Wie hilft dir ein Steigungsdreieck dabei, die Steigung \(m\) zu berechnen? - Was zeichnet den Graphen einer proportionalen Zuordnung im Vergleich zu anderen Geraden aus? - Welche Eigenschaft müssen die Steigungen zweier Geraden haben, damit die Geraden parallel zueinander verlaufen?

1. **Funktionsgleichungen bestimmen:** - Jede lineare Funktion hat die Form \(y = mx + t\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert \(t\), das Steigungsdreieck liefert \(m\). - Für \(f\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid 1)\), also \(t = 1\). Mit dem Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid 1)\) nach \((2 \mid 4)\)) ergibt sich \(m = \frac{4 - 1}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(f(x) = 1{,}5x + 1\). - Für \(g\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid -2)\), also \(t = -2\). Das Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid -2)\) nach \((2 \mid 1)\)) liefert \(m = \frac{1 - (-2)}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(g(x) = 1{,}5x - 2\). - Für \(h\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist bei \((0 \mid 0)\), also \(t = 0\). Das Steigungsdreieck (z. B. von \((0 \mid 0)\) nach \((2 \mid 3)\)) liefert \(m = \frac{3 - 0}{2 - 0} = 1{,}5\). Die Gleichung ist \(h(x) = 1{,}5x\). 2. **Proportionale Zuordnung identifizieren:** - Die Funktion \(h\) ist proportional. - Am Graphen: Der Graph ist eine Ursprungsgerade, die durch den Punkt \((0 \mid 0)\) verläuft. - An der Gleichung: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = 0\), d. h. die Gleichung hat die Form \(y = mx\). 3. **Lagebeziehung beschreiben:** - Die drei Geraden verlaufen parallel zueinander. - Dies erkennt man daran, dass alle drei Funktionsgleichungen dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

a) \(f(x) = 1{,}5x + 1\), \(g(x) = 1{,}5x - 2\), \(h(x) = 1{,}5x\) b) Die Funktion \(h\) ist proportional, da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist (Verlauf durch \((0 \mid 0)\)) und ihre Gleichung die Form \(y = mx\) hat (kein konstanter Summand, \(t = 0\)). c) Die drei Geraden sind parallel zueinander, da sie alle dieselbe Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen.

- Bestimme zuerst den Schnittpunkt jedes Graphen mit der \(y\)-Achse. Das gibt dir den Wert für den Parameter \(b\) in der Gleichung \(y = mx + b\). - Verwende ein Steigungsdreieck, um die Steigung \(m\) für jeden Graphen zu ermitteln. - Achte darauf, ob der Graph von links nach rechts steigt (positive Steigung) oder fällt (negative Steigung). - Vergleiche deine ermittelten Gleichungen mit den vorgegebenen Termen.

Um die Graphen den Funktionstermen zuzuordnen, bestimmen wir für jeden Graphen den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) und die Steigung \(m\) der allgemeinen Geradengleichung \(y = mx + b\). 1. Graph \(A\) (blau) schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\), also ist \(b = 1\). Wenn man \(1\) Einheit nach rechts geht, steigt der Graph um \(2\) Einheiten, also ist \(m = 2\). Der zugehörige Term ist \(y = 2x + 1\) (Term 3). 2. Graph \(B\) (rot) schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\), also ist \(b = 3\). Wenn man \(2\) Einheiten nach rechts geht, fällt der Graph um \(1\) Einheit, also ist \(m = -\frac{1}{2}\). Der zugehörige Term ist \(y = -\frac{1}{2}x + 3\) (Term 4). 3. Graph \(C\) (grün) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-1\), also ist \(b = -1\). Wenn man \(1\) Einheit nach rechts geht, fällt der Graph um \(2\) Einheiten, also ist \(m = -2\). Der zugehörige Term ist \(y = -2x - 1\) (Term 1). 4. Graph \(D\) (orange) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\), also ist \(b = -2\). Wenn man \(2\) Einheiten nach rechts geht, steigt der Graph um \(1\) Einheit, also ist \(m = \frac{1}{2}\). Der zugehörige Term ist \(y = \frac{1}{2}x - 2\) (Term 2).

Graph \(A\) gehört zu Term 3), Graph \(B\) zu Term 4), Graph \(C\) zu Term 1) und Graph \(D\) zu Term 2).

- Jede lineare Funktionsgleichung hat die Form \(y = mx + b\). - Der Wert \(b\) gibt an, wo die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. - Der Wert \(m\) bestimmt die Steigung der Geraden. - Was muss bei zwei Geraden gleich sein, damit sie parallel verlaufen?

1. Bestimme die Funktionsgleichungen: \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\), und ein Schritt nach rechts führt zu einem halben Schritt nach unten. Daher gilt \(m = -0{,}5\) und \(f: y = -0{,}5x + 3\). Für \(g\) gilt derselbe Anstieg mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\), also \(g: y = -0{,}5x + 1\). Für \(h\) gilt derselbe Anstieg mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\), also \(h: y = -0{,}5x - 2\). 2. Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung besitzen. Hier gilt für alle drei Geraden \(m = -0{,}5\).

Die Gleichungen sind \(f: y = -0{,}5x + 3\), \(g: y = -0{,}5x + 1\) und \(h: y = -0{,}5x - 2\). Man erkennt die Parallelität daran, dass alle Gleichungen dieselbe Steigung \(m = -0{,}5\) haben.

- Bestimme für jede Gleichung den Wert, der angibt, wo die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. - Überprüfe die Steigung: Ist sie positiv oder negativ? - Wie steil verläuft die Gerade? Vergleiche die Schritte im Gitter mit der Zahl vor dem \(x\).

1. Die Gerade \(g_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\) und fällt mit der Steigung \(m = -2\). Daher gehört sie zu Gleichung 1: \(y = -2x + 3\). 2. Die Gerade \(g_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\) und hat die Steigung \(m = 1\). Daher gehört sie zu Gleichung 3: \(y = x + 1\). 3. Die Gerade \(g_3\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\) und steigt mit der Steigung \(m = \frac{1}{3}\). Daher gehört sie zu Gleichung 2: \(y = \frac{1}{3}x - 2\).

\(g_1\) gehört zu Gleichung 1, \(g_2\) zu Gleichung 3 und \(g_3\) zu Gleichung 2.

- Stelle die Gleichung so um, dass \(y\) allein auf einer Seite steht. - Welche geometrische Figur wird durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen im Koordinatensystem dargestellt? - Um Lösungen zu finden, kannst du einen beliebigen Wert für \(x\) wählen und den zugehörigen Wert für \(y\) berechnen.

1. Forme die Gleichung nach \(y\) um: \(2y = -x + 4\), also \(y = -0{,}5x + 2\). Dies ist die Gleichung einer Geraden mit der Steigung \(m = -0{,}5\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 2\). 2. Setze \(x = 0\): \(0 + 2y = 4\), also \(y = 2\). Damit ist \((0 \mid 2)\) eine Lösung. 3. Setze \(y = 0\): \(x + 0 = 4\), also \(x = 4\). Damit ist \((4 \mid 0)\) eine Lösung. 4. Setze \(x = 2\): \(2 + 2y = 4\), also \(2y = 2\) und \(y = 1\). Damit ist \((2 \mid 1)\) eine Lösung.

Die grafische Veranschaulichung ist eine Gerade mit der Steigung \(m = -0{,}5\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 2\). Drei mögliche Lösungen sind \((0 \mid 2)\), \((4 \mid 0)\) und \((2 \mid 1)\).

- Bestimme zuerst den gemeinsamen \(y\)-Achsenabschnitt. - Nutze für die Steigung zwei Punkte, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Achte darauf, ob die Gerade steigt oder fällt.

1. Beide Geraden schneiden die \(y\)-Achse bei \(y = 1\), also ist \(n = 1\). 2. Für \(h\) gilt: Geht man vom Punkt \((0 \mid 1)\) einen Schritt nach rechts, steigt der Graph um \(2\) Einheiten zum Punkt \((1 \mid 3)\). Somit ist \(m_h = 2\), also \(h: y = 2x + 1\). 3. Für \(k\) gilt: Geht man vom Punkt \((0 \mid 1)\) vier Schritte nach rechts, sinkt der Graph um eine Einheit zum Punkt \((4 \mid 0)\). Somit ist \(m_k = \frac{-1}{4} = -0{,}25\), also \(k: y = -0{,}25x + 1\).

Gerade \(h\): \(y = 2x + 1\); Gerade \(k\): \(y = -0{,}25x + 1\).

- Vergleiche die Steigungsdreiecke der beiden Geraden. Was fällt dir auf? - Wenn zwei Geraden nie einen Schnittpunkt haben, wie nennt man das?

1. Gerade \(s_1\): - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(n = 1\). - Steigung: Geht man 2 Einheiten nach rechts, geht man 1 Einheit nach oben. \(m = 0{,}5\). - Gleichung: \(y = 0{,}5x + 1\). 2. Gerade \(s_2\): - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(n = -1\). - Steigung: Geht man 2 Einheiten nach rechts, geht man ebenfalls 1 Einheit nach oben. \(m = 0{,}5\). - Gleichung: \(y = 0{,}5x - 1\). 3. Beziehung: Da beide Geraden die gleiche Steigung \(m = 0{,}5\) haben, verlaufen sie parallel zueinander.

Gerade \(s_1\): \(y = 0{,}5x + 1\); Gerade \(s_2\): \(y = 0{,}5x - 1\). Die Geraden sind parallel, da sie dieselbe Steigung haben.

- Suche dir zwei Punkte auf der Geraden, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen. - Wie verändert sich der \(y\)-Wert, wenn du auf der \(x\)-Achse eine bestimmte Anzahl von Einheiten nach rechts gehst? - Erinnere dich an das Steigungsdreieck.

1. Wähle zwei Punkte auf dem Graphen aus, die gut ablesbar sind. Im Diagramm sind dies zum Beispiel der Ursprung \(P_1(0 \mid 0)\) und der markierte Punkt \(P_2(5 \mid 3)\). 2. Berechne die Steigung \(m\) mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). 3. Einsetzen der Werte ergibt: \(m = \frac{3 - 0}{5 - 0} = \frac{3}{5} = 0{,}6\). Die Steigung des Förderbands beträgt \(0{,}6\).

Die Steigung beträgt \(0{,}6\).

- Überlege zuerst, was die Koordinaten eines Punktes bedeuten, wenn du sie in eine Funktionsgleichung einsetzt. - Wie kannst du im Koordinatensystem erkennen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Führe für jeden Punkt eine Punktprobe durch, um deine Vermutung aus der Abbildung zu bestätigen.

1. Punktprobe für \(A(2 \mid 1)\): Setze \(x = 2\) ein. Es ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot 2 - 2 = 3 - 2 = 1\). Daher liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Punktprobe für \(B(-1 \mid -3{,}5)\): Setze \(x = -1\) ein. Es ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot (-1) - 2 = -1{,}5 - 2 = -3{,}5\). Daher liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Punktprobe für \(C(4 \mid 3{,}5)\): Setze \(x = 4\) ein. Es ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4\). Da \(4 \neq 3{,}5\), liegt \(C\) nicht auf dem Graphen.

Die Punkte \(A(2 \mid 1)\) und \(B(-1 \mid -3{,}5)\) liegen auf dem Graphen der Funktion. Der Punkt \(C(4 \mid 3{,}5)\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Wo schneidet der Graph die senkrechte Achse? Vergleiche diesen Wert mit der Funktionsgleichung. - Überlege, ob der Graph steigen oder fallen muss. Welches Vorzeichen hat die Zahl vor dem \(x\)? - Nutze ein Steigungsdreieck: Wenn du eine Einheit nach rechts gehst, wie viele Einheiten musst du nach oben oder unten gehen? - Du kannst auch einen beliebigen \(x\)-Wert in die Gleichung einsetzen und prüfen, ob der berechnete Punkt im Diagramm auf der Geraden liegt.

1. Den \(y\)-Achsenabschnitt der Funktion \(f(x) = 0{,}5x + 1\) bestimmen: Der Wert ist \(b = 1\). Damit kommen nur die Diagramme A, B und D infrage, da Diagramm C die \(y\)-Achse bei \(-1\) schneidet. 2. Die Steigung \(m = 0{,}5\) untersuchen: Da die Steigung positiv ist, muss der Graph von links nach rechts steigen. Damit fällt Diagramm D weg, da dieser Graph fällt. 3. Den exakten Steigungswert prüfen: Eine Steigung von \(0{,}5\) bedeutet, dass man für zwei Einheiten nach rechts eine Einheit nach oben geht. Dies trifft auf Diagramm B zu (Punkt \((2 \mid 2)\) liegt auf dem Graphen). In Diagramm A beträgt die Steigung \(2\), da man für eine Einheit nach rechts zwei Einheiten nach oben geht. 4. Ergebnis: Diagramm B ist die korrekte Darstellung.

Diagramm B

- Bestimme zuerst den \(y\)-Achsenabschnitt des Graphen. - Bestimme die Steigung mithilfe zweier Punkte, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung. - Vergleiche anschließend mit den angebotenen Funktionsgleichungen.

1. Lies den \(y\)-Achsenabschnitt ab: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\). Damit kommen A, B oder C infrage. 2. Der Graph fällt von links nach rechts, also ist die Steigung negativ. Damit scheidet B aus. 3. Bestimme die Steigung mithilfe zweier Punkte des Graphen, zum Beispiel \((0 \mid 3)\) und \((2 \mid 0)\): \(m = (0 - 3) : (2 - 0) = -1{,}5\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x) = -1{,}5x + 3\).

A: \(g(x) = -1{,}5x + 3\)

- Eine Gerade steigt an, wenn man für einen Schritt nach rechts nach oben gehen muss. Was bedeutet das für das Vorzeichen der Steigung? - Wo genau kreuzt jede Gerade die senkrechte Achse? Liegt dieser Punkt über oder unter der Null?

1. Analyse von \(f(x)\) (rot): Die Gerade steigt von links nach rechts an, daher ist die Steigung \(m_1 > 0\). Sie schneidet die \(y\)-Achse unterhalb des Ursprungs, also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n_1 < 0\). 2. Analyse von \(g(x)\) (blau): Die Gerade fällt von links nach rechts ab, daher ist die Steigung \(m_2 < 0\). Sie schneidet die \(y\)-Achse oberhalb des Ursprungs, also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(n_2 > 0\). 3. Zusammenfassung: Für \(f\) gilt \(m_1 > 0\) und \(n_1 < 0\). Für \(g\) gilt \(m_2 < 0\) und \(n_2 > 0\).

Für die rote Gerade \(f\) gilt: \(m_1 > 0\) und \(n_1 < 0\). Für die blaue Gerade \(g\) gilt: \(m_2 < 0\) und \(n_2 > 0\).

- Schau dir zuerst an, wo die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. Welcher Wert in der Gleichung wird dadurch bestimmt? - Nutze ein Steigungsdreieck: Wie viele Einheiten musst du nach rechts und wie viele nach oben oder unten gehen, um von einem Punkt auf der Geraden zum nächsten Gitterpunkt auf der Geraden zu gelangen? - Ist die Gerade steigend oder fallend? Das hilft dir, das Vorzeichen der Steigung sofort zu bestimmen.

1. Ablesen des \(y\)-Achsenabschnitts: Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\). Somit muss \(n = 2\) sein. Dies trifft auf alle Antwortmöglichkeiten zu. 2. Bestimmung der Steigung: Geht man vom Punkt \((0 \mid 2)\) zwei Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 2\)), muss man eine Einheit nach unten gehen (\(\Delta y = -1\)), um wieder auf der Geraden zu landen (Punkt \((2 \mid 1)\)). Alternativ sieht man den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \((4 \mid 0)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0 - 2}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\). 4. Aufstellen der Gleichung: Die Funktionsgleichung lautet \(y = -\frac{1}{2}x + 2\). Dies entspricht Antwort D.

D) \(y = -\frac{1}{2}x + 2\)

- Wie berechnet man den y-Wert, wenn der x-Wert einer Funktion bekannt ist? - Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt „senkrecht über“ einem anderen liegt? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt?

1. Einsetzen von \(x = 4\) in \(f(x)\): \(f(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4\). Somit ist \(y_P = 4\) und der Punkt ist \(P(4| 4)\). 2. Da \(Q\) die gleiche x-Koordinate hat und \(5\) Einheiten über dem Graphen liegt, addiert man \(5\) zur y-Koordinate von \(P\): \(y_Q = 4 + 5 = 9\). Der Punkt ist \(Q(4| 9)\). 3. Prüfung für \(g(x)\): Setze \(x = 4\) in \(g(x) = 1{,}5x + 3\) ein: \(g(4) = 1{,}5 \cdot 4 + 3 = 6 + 3 = 9\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt (\(9 = 9\)), liegt \(Q\) auf dem Graphen von \(g\).

1. \(y_P = 4\) 2. \(Q(4| 9)\) 3. Ja, \(Q\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(g(4) = 9\) ist.

- Was bedeutet es für den Verlauf und die Steigung zweier Geraden, wenn sie parallel zueinander sind? - Wie viele Schritte gehst du auf der vertikalen Achse, wenn du einen Schritt auf der horizontalen Achse nach rechts machst? - Kannst du die Steigung der ersten Geraden direkt auf den Startpunkt der zweiten Geraden übertragen?

1. Einzeichnen der Punkte \((0|4)\) und \((-2|0)\) und Verbinden zur Geraden \(h\). 2. Bestimmung der Steigung \(m\) von \(h\): Von \((-2|0)\) zu \((0|4)\) geht man 2 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben. Steigung \(m = \frac{4}{2} = 2\). 3. Einzeichnen des Startpunkts \((0|-2)\) für die Gerade \(k\). 4. Zeichnen der parallelen Geraden \(k\) mit der gleichen Steigung \(m = 2\). 5. Ablesen des Schnittpunkts von \(k\) mit der \(x\)-Achse: Die Gerade kreuzt die Achse bei \(x = 1\), also im Punkt \((1|0)\).

a) Zeichnung der Geraden durch \((0|4)\) und \((-2|0)\). b) Die Steigung beträgt \(m = 2\). c) Der Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse liegt bei \((1|0)\).

- Erinnere dich an das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen darauf, Terme mit \(x\) und Terme ohne \(x\) getrennt zu betrachten. - Die „Steilheit“ hängt davon ab, wie stark sich der \(y\)-Wert ändert, wenn man einen Schritt nach rechts geht – egal ob nach oben oder unten. - Um einen Funktionswert zu berechnen, ersetzt du den Platzhalter im Term durch die gegebene Zahl.

1. Umformen von \(f\): \(f(x) = 2x - 6 + 4 = 2x - 2\). Hier ist \(m = 2\) und \(t = -2\). 2. Umformen von \(g\): \(g(x) = -\frac{1}{2}x + 5 - 2 = -0{,}5x + 3\). Hier ist \(m = -0{,}5\) und \(t = 3\). 3. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit einer Geraden wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Da \(|2| > |-0{,}5|\) ist, verläuft die Gerade \(f\) steiler als die Gerade \(g\). 4. Berechnung von \(f(10)\): Setze \(x = 10\) in die vereinfachte Gleichung ein: \(f(10) = 2 \cdot 10 - 2 = 20 - 2 = 18\).

a) \(f(x) = 2x - 2\); \(g(x) = -0{,}5x + 3\) b) \(f\): \(m = 2, t = -2\); \(g\): \(m = -0{,}5, t = 3\) c) \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als der von \(g\) (\(0{,}5\)). d) \(f(10) = 18\)

- Wo kann man den Schnittpunkt mit der y-Achse in der Gleichung direkt ablesen? - Wie verändert sich der y-Wert, wenn man den x-Wert um einen bestimmten Betrag erhöht? - Was sagt die Zahl vor dem \( x \) über die Neigung der Geraden aus?

1. Gemeinsamer Punkt: Beide Funktionen haben denselben y-Achsenabschnitt \( b = 1 \). Bei \( x = 0 \) liefern beide \( y = 1 \). Der Punkt ist \( (0 | 1) \). 2. Höhenunterschied für \( f \): Berechnung über \( \Delta y = m \cdot \Delta x \). Hier: \( \Delta y_f = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \). 3. Höhenunterschied für \( g \): Hier: \( \Delta y_g = 1{,}5 \cdot 6 = 9 \). 4. Vergleich der Steilheit: Da \( 1{,}5 > \frac{2}{3} \) ist (oder da bei gleicher Breite der Höhenunterschied \( 9 \) größer als \( 4 \) ist), verläuft der Graph von \( g \) steiler.

a) Der gemeinsame Punkt ist \( (0 | 1) \). b) Bei \( f \) muss man \( 4 \) Einheiten nach oben gehen, bei \( g \) sind es \( 9 \) Einheiten. c) Die Gerade von \( g \) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\( 1{,}5 \)) größer ist als bei \( f \) (\( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \)).

- Woran erkennt man in der Funktionsgleichung, ob zwei Geraden die gleiche Richtung haben? - Wo kann man den Startwert auf der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Vergleiche die Zahlenwerte, die vor dem \(x\) stehen. Welche Zahl steht für die größte Änderung pro Schritt?

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung \(m\) haben. Hier gilt \(m_1 = 1{,}5\) und \(m_2 = 1{,}5\). Somit sind die Graphen von \(g_1\) und \(g_2\) parallel. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch den Parameter \(t\) bestimmt. Für \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) gilt \(t = 2\). Diese drei Graphen schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\). 3. Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung \(|m|\) bestimmt. Es gilt \(m_1 = 1{,}5\), \(m_2 = 1{,}5\), \(m_3 = -1\) und \(m_4 = 3\). Da \(3\) der größte Wert ist, steigt der Graph von \(g_4\) am steilsten an.

a) \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel, da beide die Steigung \(m = 1{,}5\) besitzen. b) \(g_1\), \(g_3\) und \(g_4\) schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|2)\), da bei allen \(t = 2\) gilt. c) Der Graph von \(g_4\) ist am steilsten, da \(m = 3\) den größten Betrag hat.

- Kannst du aus zwei gegebenen Punkten zuerst die Funktionsgleichung der Geraden bestimmen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welchen Wert hat der y-Achsenabschnitt, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst? - Wie prüfst du nach der Aufstellung der Gleichung weitere Punkte?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\): Einsetzen von \(P(-1|7)\) in \(y = -3x + n\) ergibt \(7 = -3 \cdot (-1) + n \Rightarrow 7 = 3 + n \Rightarrow n = 4\). Die Geradengleichung lautet \(y = -3x + 4\). 3. Punktprobe für \(R(0|5)\): \(-3 \cdot 0 + 4 = 4\). Da \(4 \neq 5\), liegt \(R\) nicht auf der Geraden. 4. Punktprobe für \(S(1|1)\): \(-3 \cdot 1 + 4 = 1\). Da \(1 = 1\), liegt \(S\) auf der Geraden.

Der Punkt \(R(0|5)\) liegt nicht auf der Geraden. Der Punkt \(S(1|1)\) liegt auf der Geraden.

- Welcher Teil der Kosten ist fix und welcher hängt vom Verbrauch ab? - Kannst du eine Gleichung der Form \(y = mx + n\) für diese Situation aufstellen? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob ein bestimmtes Wertepaar (Verbrauch in \(\text{kWh}\) und Kosten) die Gleichung erfüllt? - Was musst du tun, wenn der Endbetrag gegeben ist und der Verbrauch gesucht wird?

1. Aufstellen des Modells: Sei \(x\) der Verbrauch und \(y\) die Kosten. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}80x + 18{,}50\). 2. Überprüfung für Teil a): Einsetzen von \(x = 40\) ergibt \(y = 0{,}80 \cdot 40 + 18{,}50 = 32 + 18{,}50 = 50{,}50\). Die Behauptung ist korrekt. 3. Berechnung für Teil b): Setze \(y = 74{,}50\) in die Gleichung ein: \(74{,}50 = 0{,}80x + 18{,}50\). 4. Subtraktion der Grundgebühr: \(56{,}00 = 0{,}80x\). 5. Division durch den Preis pro Kilowattstunde: \(x = 56 : 0{,}8 = 70\). Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

a) Ja, die Angabe ist korrekt, da der Punkt \((40|50{,}50)\) die Funktionsgleichung erfüllt. b) Es wurden \(70\,\text{kWh}\) verbraucht.

- Wie hängen die Steigung, der Schritt zur Seite und der Schritt nach oben/unten mathematisch zusammen? - Was bedeutet eine negative Steigung für die Richtung der vertikalen Änderung? - Wie kannst du einen Punkt und die Steigung nutzen, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen?

1. Berechnung der vertikalen Änderung für \(\Delta x = -8\): \(\Delta y = m \Delta x = -0{,}75 \cdot (-8) = 6\). Er muss 6 Einheiten nach oben gehen. 2. Berechnung der vertikalen Änderung für \(\Delta x = 1\): \(\Delta y = m \Delta x = -0{,}75 \cdot 1 = -0{,}75\). Er muss \(0{,}75\) Einheiten nach unten gehen. 3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\): Einsetzen von \(P(4|-1)\) in \(y = mx + b\): \(-1 = -0{,}75 \cdot 4 + b \Rightarrow -1 = -3 + b \Rightarrow b = 2\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -0{,}75x + 2\).

a) 6 Einheiten nach oben b) \(0{,}75\) Einheiten nach unten (bzw. \(\Delta y = -0{,}75\)) c) \(g(x) = -0{,}75x + 2\)

- Wie berechnet man den Höhenunterschied in einem Steigungsdreieck, wenn die Breite und die Steigung bekannt sind? - Um zwei Brüche oder Dezimalzahlen zu vergleichen, kann es helfen, beide in dieselbe Darstellung zu bringen. - Was sagt der Betrag der Steigung über den Verlauf des Graphen aus?

1. Höhe des Steigungsdreiecks für \(k\): \(\Delta y_k = m_k \cdot \Delta x_k = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2\). Die Höhe beträgt \(2\) Einheiten. 2. Höhe des Steigungsdreiecks für \(l\): \(\Delta y_l = m_l \cdot \Delta x_l = 0{,}6 \cdot 5 = 3\). Die Höhe beträgt \(3\) Einheiten. 3. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(k\) ist \(m_k = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). Die Steigung von \(l\) ist \(m_l = 0{,}6\). Da \(0{,}667 > 0{,}6\) ist, ist die Gerade \(k\) steiler.

a) Gerade \(k\): \(2\) Einheiten hoch; Gerade \(l\): \(3\) Einheiten hoch. b) Gerade \(k\) ist steiler, da \(\frac{2}{3} > 0{,}6\) gilt.

- Welchen Einfluss hat der Wert am Ende der Gleichung auf die Höhe des Graphen? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für die Koordinaten eines Punktes? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Was muss für die Steigungen gelten, damit es keinen Schnittpunkt gibt?

1. Analyse der Verschiebung: Der Parameter \(t\) bestimmt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Eine Verkleinerung von \(t\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen parallel nach unten entlang der \(y\)-Achse. 2. Berechnung von \(t\) für die Nullstelle: Die Bedingung für eine Nullstelle bei \(x = 6\) ist \(y = 0\). Einsetzen in die Gleichung: \(0 = -1{,}5 \cdot 6 + t\). 3. Ergebnis für \(t\): \(0 = -9 + t \implies t = 9\). 4. Schnittpunkt-Bedingung: Zwei Geraden schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind. 5. Vergleich der Steigungen: Die Schar hat die konstante Steigung \(m_1 = -1{,}5\), die Gerade \(h\) hat die Steigung \(m_2 = 2\). Da \(-1{,}5 \neq 2\), sind die Geraden nie parallel und müssen sich schneiden.

a) Der Graph wird parallel nach unten verschoben. b) Der Wert ist \(t = 9\). c) Die Steigungen der Geraden (\(m = -1{,}5\)) und der Geraden \(h\) (\(m = 2\)) sind verschieden. Da sie nicht parallel sind, gibt es immer genau einen Schnittpunkt.

- Schau dir den Teil der Gleichung an, der nicht von \(x\) abhängt. Was sagt dieser über den Graphen aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Steigung und dem Verlauf der Geraden. - Was bedeutet „steiler“ im Zusammenhang mit den Zahlenwerten der Steigung? - Welche Information in der Gleichung muss identisch sein, damit zwei Geraden überall den gleichen Abstand haben?

1. Gemeinsamer Punkt: Da der \(y\)-Achsenabschnitt für alle Funktionen \(-2\) ist, verlaufen alle Graphen durch \(P(0 \mid -2)\). 2. Bedingung für fallende Geraden: Eine lineare Funktion fällt, wenn die Steigung negativ ist, also \(m < 0\). 3. Vergleich der Steilheit: Da \(|2| > |1|\), ist die Steigung bei \(m = 2\) größer. Ein größerer Betrag der Steigung bedeutet einen steileren Verlauf des Graphen. 4. Aufstellen der parallelen Geraden: Parallelität bedeutet gleiche Steigung, also \(m_g = 0{,}5\). Der neue \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t = 3\). Daraus folgt \(g(x) = 0{,}5x + 3\).

a) Der gemeinsame Punkt ist \(P(0 \mid -2)\). b) Die Gerade fällt für alle \(m < 0\). c) Der Graph für \(m = 2\) ist steiler, da der Betrag der Steigung größer ist. d) Die Gleichung lautet \(g(x) = 0{,}5x + 3\).

- Was bedeutet es grafisch, wenn zwei Funktionswerte an derselben Stelle gleich sind? - Woran erkennt man in der Funktionsgleichung \(y = mx + n\), ob ein Graph nach oben oder unten verläuft? - Welchen Wert muss die y-Koordinate an der Stelle haben, an der ein Graph die x-Achse kreuzt?

1. Berechnung des Schnittpunkts: Setze \(h(x) = k(x)\). \(0{,}8x + 2 = -1{,}2x + 6\) \(2x = 4\) \(x = 2\) Einsetzen in \(h(2)\): \(y = 0{,}8 \cdot 2 + 2 = 1{,}6 + 2 = 3{,}6\). Schnittpunkt: \(S(2|3{,}6)\). 2. Analyse der Steigung: Die Gerade \(h\) steigt, da die Steigung \(m_h = 0{,}8\) positiv ist. Die Gerade \(k\) fällt, da die Steigung \(m_k = -1{,}2\) negativ ist. 3. Schnittpunkt von \(k\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Setze \(k(x) = 0\). \(-1{,}2x + 6 = 0\) \(1{,}2x = 6\) \(x = 5\). Schnittpunkt: \(N(5|0)\).

a) Der Schnittpunkt liegt bei \((2|3{,}6)\). b) \(h\) steigt (\(m=0{,}8 > 0\)), \(k\) fällt (\(m=-1{,}2 < 0\)). c) Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \((5|0)\).

- Achte genau auf das Vorzeichen der Steigung in der Aufgabenstellung. - Wie verändert sich der \(y\)-Wert, wenn der Graph fällt? - Überlege dir, wie man Dezimalzahlen in Brüchen behandeln kann, um sie leichter zu vergleichen.

1. Überprüfung von Sarahs Aussage: Bei 3 Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 3\)) und 2 Einheiten nach oben (\(\Delta y = 2\)) ergibt sich eine Steigung von \(m = \frac{2}{3}\). Da die gesuchte Steigung negativ ist (\(m = -\frac{2}{3}\)), ist Sarahs Aussage falsch. 2. Überprüfung von Toms Aussage: Bei \(1{,}5\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -1{,}5\)) und 1 Einheit nach oben (\(\Delta y = 1\)) ergibt sich \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}\). Toms Aussage ist somit korrekt.

Tom hat recht. Sarah beschreibt eine positive Steigung von \(\frac{2}{3}\), während Tom korrekt die negative Steigung \(m = \frac{1}{-1{,}5} = -\frac{2}{3}\) wiedergibt.

- Berechne zuerst für jede Beschreibung den Wert von \(m\). - Was bedeutet „nach unten“ oder „nach links“ mathematisch für die Werte im Steigungsdreieck? - Wie hängen die Steigung, die Änderung von \(x\) und die Änderung von \(y\) in einer Formel zusammen?

1. Bestimmung der Steigungen: - Beschreibung (1): \(\Delta x = 5\), \(\Delta y = -2 \implies m_1 = \frac{-2}{5} = -0{,}4\). - Beschreibung (2): \(\Delta x = -2{,}5\), \(\Delta y = 1 \implies m_2 = \frac{1}{-2{,}5} = -0{,}4\). - Beschreibung (3): \(m_3 = -2{,}5\). 2. Vergleich: Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)), während (3) einen anderen Wert angibt. 3. Berechnung der \(y\)-Änderung: Mit \(m = -0{,}4\) und \(\Delta x = 10\) ergibt sich \(\Delta y = m \cdot \Delta x = -0{,}4 \cdot 10 = -4\). Der \(y\)-Wert sinkt um 4 Einheiten.

Die Beschreibungen (1) und (2) repräsentieren dieselbe Steigung (\(m = -0{,}4\)). Wenn der \(x\)-Wert um 10 Einheiten vergrößert wird, sinkt der \(y\)-Wert um 4 Einheiten (\(\Delta y = -4\)).

- Wie hängen Steigung, horizontale und vertikale Änderung zusammen? Nutze die Formel \(\Delta y = m \Delta x\). - Was bedeutet „ganzzahlig“ für deine Wahl der Schritte? - Wie muss sich der \(y\)-Wert ändern, wenn man nach links geht, damit die Steigung positiv bleibt?

1. Berechnung für Teil a): Für \(f\): \(\Delta y_f = m_f \Delta x = 1{,}25 \cdot 4 = 5\). Für \(g\): \(\Delta y_g = m_g \Delta x = 0{,}8 \cdot 4 = 3{,}2\). 2. Lösung für Teil b): Die Steigung ist \(m_f = 1{,}25 = \frac{5}{4}\). Um ganzzahlige Werte bei einer Bewegung nach links (\(\Delta x < 0\)) zu erhalten, wählt man z. B. \(\Delta x = -4\). Daraus folgt \(\Delta y = m_f \Delta x = 1{,}25 \cdot (-4) = -5\). Beschreibung: Gehe \(4\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten. (Alternativ: Vielfache davon, z. B. \(8\) nach links und \(10\) nach unten).

a) Bei \(f\) beträgt die vertikale Änderung \(5\) Einheiten nach oben. Bei \(g\) beträgt sie \(3{,}2\) Einheiten nach oben. b) Ein mögliches Steigungsdreieck: Gehe \(4\) Einheiten nach links (\(\Delta x = -4\)) und \(5\) Einheiten nach unten (\(\Delta y = -5\)).

- Wie lautet die allgemeine Form einer Ursprungsgerade? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was weißt du dann über ihre Steigungen? - Um den gemeinsamen Punkt zweier Geraden zu finden, kannst du ihre Funktionsausdrücke gleichsetzen.

1. Ursprungsgerade \(g\): \(y = 3x\). Verschobene Gerade \(h\): \(y = 3x - 4\). 2. Steigung von \(k\): \(m_k = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\). \(y\)-Achsenabschnitt \(t_k = -4\). Gleichung \(k(x) = -x - 4\). 3. Gleichsetzen von \(g\) und \(k\): \(3x = -x - 4 \implies 4x = -4 \implies x = -1\). Einsetzen in \(g\): \(y = 3 \cdot (-1) = -3\). Schnittpunkt \(S(-1 | -3)\).

1. \(g(x) = 3x\) und \(h(x) = 3x - 4\). 2. \(k(x) = -x - 4\). 3. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(-1 | -3)\).

- Stelle dir vor, wie sich die Gerade verändert, wenn du \(m\) oder \(n\) änderst. - Liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei positivem \(n\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Wann schneidet eine steigende Gerade die \(x\)-Achse im negativen Bereich? - Wie viele Richtungsänderungen hat eine Gerade?

1. Teil a): Damit der Graph durch den I., II. und III. Quadranten verläuft, darf er den IV. Quadranten nicht berühren. Dies erfordert eine positive Steigung (\(m > 0\)), damit die Gerade von links unten nach rechts oben verläuft. Zudem muss der \(y\)-Achsenabschnitt positiv sein (\(n > 0\)), damit der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Der \(x\)-Achsenabschnitt liegt dann bei \(x_0 = -\frac{n}{m}\). Da \(n, m > 0\), ist \(x_0 < 0\). Die Gerade verläuft also links von \(x_0\) im III. Quadranten, zwischen \(x_0\) und der \(y\)-Achse im II. Quadranten und rechts der \(y\)-Achse im I. Quadranten. Bedingung: \(m > 0\) und \(n > 0\). 2. Teil b): Eine lineare Funktion beschreibt eine Gerade. Eine Gerade kann in der Ebene höchstens zwei Achsenschnittpunkte haben, sofern sie nicht mit einer Achse identisch ist. Diese Schnittpunkte teilen die Gerade in höchstens drei Abschnitte, die jeweils in unterschiedlichen Quadranten liegen können. Um in einen vierten Quadranten zu gelangen, müsste die Gerade ihre Richtung ändern, was bei einer linearen Funktion ausgeschlossen ist.

a) \(m > 0\) und \(n > 0\) b) Eine Gerade besitzt keine Richtungsänderung und kann daher höchstens drei Quadranten durchqueren.

- Wenn Punkte nicht auf einer Geraden liegen, was bilden sie dann stattdessen? - Wie kannst du die Steigung berechnen, wenn Dezimalzahlen gegeben sind? - Reicht es aus, nur zwei der Punkte zu betrachten, um die Frage zu beantworten?

1. Berechnung der Steigung zwischen \(A(1{,}5 \mid 4)\) und \(B(4 \mid 9)\): \(m_{AB} = \frac{9 - 4}{4 - 1{,}5} = \frac{5}{2{,}5} = 2\). 2. Berechnung der Steigung zwischen \(B(4 \mid 9)\) und \(C(6 \mid 13{,}5)\): \(m_{BC} = \frac{13{,}5 - 9}{6 - 4} = \frac{4{,}5}{2} = 2{,}25\). 3. Vergleich der Steigungen: Da \(2 \neq 2{,}25\), ändert sich die Steigung im Punkt \(B\). 4. Ergebnis: Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden und bilden somit ein Dreieck.

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Steigungen \(m_{AB} = 2\) und \(m_{BC} = 2{,}25\) unterschiedlich sind. Sie bilden ein Dreieck.

- Worauf deutet es hin, wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben? - Wie verlaufen Geraden, deren Funktionsgleichung nur aus einer Zahl besteht (z. B. \(y = 2\))? - Welche Eigenschaften muss ein Viereck haben, damit man es als Parallelogramm bezeichnet?

1. Bestimmung der Steigungen der ersten beiden Geraden: Aus den Gleichungen \(g_1: y = 0{,}5x + 3\) und \(g_2: y = 0{,}5x - 2\) liest man die Steigungen \(m_1 = 0{,}5\) und \(m_2 = 0{,}5\) ab. Da die Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_1\) und \(g_2\) parallel zueinander. 2. Bestimmung der Steigungen der anderen beiden Geraden: Die Gleichungen \(g_3: y = -2\) und \(g_4: y = 2\) beschreiben konstante Funktionen. Ihre Graphen sind waagerechte Geraden mit der Steigung \(m_3 = 0\) und \(m_4 = 0\). Da auch diese Steigungen gleich sind, verlaufen \(g_3\) und \(g_4\) ebenfalls parallel zueinander. 3. Klassifizierung des Vierecks: Da das eingeschlossene Viereck zwei Paare paralleler Seiten besitzt, handelt es sich um ein Parallelogramm.

Es handelt sich um ein Parallelogramm. Begründung: Die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel (beide haben die Steigung \(0{,}5\)) und die Geraden \(g_3\) und \(g_4\) sind ebenfalls parallel (beide sind waagerecht mit der Steigung \(0\)).

- Was weißt du über die Steigung einer Geraden und ihrer Bildgeraden bei einer Punktspiegelung? - Wie kannst du die Koordinaten eines gespiegelten Punktes berechnen, wenn das Zentrum gegeben ist? - Ein Punkt und die Steigung reichen aus, um eine Geradengleichung aufzustellen.

1. Eine Punktspiegelung einer Geraden führt zu einer parallelen Geraden. Die Steigung \(m = 1{,}5\) bleibt also erhalten: \(f'(x) = 1{,}5x + b\). 2. Wähle einen Punkt \(P\) auf der Geraden \(f\), zum Beispiel den y-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 2)\). 3. Berechne den Bildpunkt \(P'(x' \mid y')\) durch Spiegelung an \(Z(x_Z \mid y_Z)\) mit den Formeln \(x' = 2x_Z - x\) und \(y' = 2y_Z - y\). 4. Es ergibt sich \(x' = 2 \cdot 2 - 0 = 4\) und \(y' = 2 \cdot 1 - 2 = 0\), also \(P'(4 \mid 0)\). 5. Setze \(P'\) in die Gleichung \(f'(x) = 1{,}5x + b\) ein, um den y-Achsenabschnitt \(b\) zu bestimmen: \(0 = 1{,}5 \cdot 4 + b\). 6. Auflösen nach \(b\) ergibt \(0 = 6 + b \implies b = -6\). 7. Die Funktionsgleichung lautet \(f'(x) = 1{,}5x - 6\).

Die Funktionsgleichung der Bildgeraden lautet \(f'(x) = 1{,}5x - 6\).

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen dem Spiegelzentrum und einem Punkt sowie seinem Bildpunkt? - Wo muss das Spiegelzentrum im Verhältnis zu den beiden parallelen Geraden liegen? - Kannst du einen Punkt auf der ersten Geraden wählen und seinen Partner auf der zweiten Geraden finden?

1. Das Spiegelzentrum \(Z\) einer Punktspiegelung, die eine Gerade \(g\) auf eine parallele Gerade \(h\) abbildet, muss genau in der Mitte zwischen den beiden Geraden liegen. 2. Wähle einen beliebigen Punkt \(P\) auf \(g\), zum Beispiel \(P(0 \mid 5)\). 3. Bestimme den zugehörigen Bildpunkt \(P'(x' \mid y')\) auf \(h\), sodass \(Z\) die Mitte der Strecke \(PP'\) ist. Für die x-Koordinaten gilt: \(x_Z = \frac{x_P + x'}{2}\). 4. Mit \(x_Z = 3\) und \(x_P = 0\) folgt: \(3 = \frac{0 + x'}{2} \implies x' = 6\). 5. Berechne die y-Koordinate von \(P'\) durch Einsetzen in \(h(x)\): \(y' = -2 \cdot 6 - 1 = -13\). 6. Berechne die y-Koordinate \(y_Z\) als Mittelwert der y-Koordinaten von \(P\) und \(P'\): \(y_Z = \frac{y_P + y'}{2} = \frac{5 + (-13)}{2} = -4\). 7. Alternativ liegt \(Z\) auf der Mittelparallelen der beiden Geraden: \(y_Z = -2x_Z + \frac{b_g + b_h}{2} = -2 \cdot 3 + \frac{5 - 1}{2} = -6 + 2 = -4\).

Die y-Koordinate des Spiegelzentrums ist \(y_Z = -4\).

- Wann verlaufen zwei Geraden nebeneinander her, ohne sich zu berühren? - Stell dir eine Gerade vor und versuche sie so zu drehen oder zu schieben, dass sie keine Achse trifft. Geht das? - Was passiert, wenn eine Gerade direkt auf einer der Achsen liegt?

1. Bedingung für Parallelität ohne Schnittpunkt: Die Geraden müssen die gleiche Steigung besitzen (\(m_g = m_h\)), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben (\(n_g \neq n_h\)). 2. Existenz einer Geraden ohne Achsenschnittpunkte: Nein. Eine Gerade ohne \(x\)-Achsenschnittpunkt muss waagerecht sein (\(y = c, c \neq 0\)), diese schneidet aber die \(y\)-Achse bei \(c\). Eine Gerade ohne \(y\)-Achsenschnittpunkt muss senkrecht sein (\(x = c, c \neq 0\)), diese schneidet aber die \(x\)-Achse bei \(c\). Jede Gerade schneidet mindestens eine Achse. 3. Analyse von \(y = 0\): Dies ist die Gleichung der \(x\)-Achse selbst. Da jeder Punkt auf dieser Geraden den \(y\)-Wert \(0\) hat, besitzt sie unendlich viele Nullstellen.

a) Die Steigungen müssen gleich sein (\(m_g = m_h\)) und die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden (\(n_g \neq n_h\)). b) Nein. Waagerechte Geraden schneiden die \(y\)-Achse, senkrechte Geraden schneiden die \(x\)-Achse und alle anderen schneiden beide Achsen. c) Es handelt sich um die \(x\)-Achse. Sie hat unendlich viele Nullstellen.

- Wenn sich zwei Geraden schneiden, müssen ihre \(x\)- und \(y\)-Werte an diesem Punkt identisch sein. - Woran erkennst du an der Zahl vor dem \(x\), ob eine Gerade von links nach rechts gesehen nach oben oder unten geht? - Was haben parallele Geraden gemeinsam? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Achsenabschnitt zu berechnen?

1. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsausdrücke \(-2x + 6 = 0{,}5x - 4\). Umformen ergibt \(10 = 2{,}5x\), also \(x = 4\). Einsetzen in eine Gleichung liefert \(y = -2(4) + 6 = -2\). Der Schnittpunkt liegt bei \((4 | -2)\). 2. Analyse des Steigungsverhaltens: Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = -2\). Da \(m_g < 0\), fällt die Gerade. Die Steigung von \(h\) ist \(m_h = 0{,}5\). Da \(m_h > 0\), steigt die Gerade. 3. Bestimmung der Geraden \(k\): Da \(k\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_k = -2\). Ansatz \(y = -2x + b\). Einsetzen von \(P(1 | 1)\) ergibt \(1 = -2(1) + b \implies b = 3\). Die Gleichung lautet \(y = -2x + 3\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(4 | -2)\). b) Gerade \(g\) fällt (Steigung \(-2 < 0\)), Gerade \(h\) steigt (Steigung \(0{,}5 > 0\)). c) Die Gleichung lautet \(k: y = -2x + 3\).

- Stelle dir vor, du drehst das gesamte Koordinatensystem um \(180^{\circ}\) um den Koordinatenursprung. Was passiert mit der Neigung der Geraden? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes \(P(x|y)\), wenn er am Ursprung gespiegelt wird? - Überlege dir, wo der \(y\)-Achsenabschnitt \(2\) nach der Spiegelung landet.

1. Analyse der Punktspiegelung: Eine Punktspiegelung am Ursprung entspricht einer Drehung um \(180^{\circ}\). Dabei bleibt die Steigung einer Geraden unverändert, da die Gerade auf eine parallele Gerade abgebildet wird (oder auf sich selbst). Da die ursprüngliche Steigung \(a = -0{,}5\) negativ ist, ist auch die neue Steigung negativ. 2. Berechnung der Gleichung: Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wird ein Punkt \((x | y)\) auf \((-x | -y)\) abgebildet. Eingesetzt in die Formel: \(-y = -0{,}5(-x) + 2\). Umstellen nach \(y\): \(-y = 0{,}5x + 2 \implies y = -0{,}5x - 2\). Alternativ: \(m(x) = -k(-x) = -(-0{,}5(-x) + 2) = -(0{,}5x + 2) = -0{,}5x - 2\).

a) Die Steigung ist weiterhin negativ. Begründung: Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wird eine Gerade auf eine dazu parallele Gerade abgebildet, die Steigung bleibt also gleich. b) \(m(x) = -0{,}5x - 2\)

- Um Brüche und Dezimalzahlen zu vergleichen, ist es oft hilfreich, beides in die gleiche Darstellung zu bringen. - Wo liest man in der Funktionsgleichung direkt ab, wo die \(y\)-Achse geschnitten wird? - Was passiert rechnerisch mit der Steigung, wenn eine Gerade „steiler“ wird oder die Steigung „verdoppelt“ wird?

1. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(f\) ist \(m_f = \frac{2}{3} \approx 0{,}666\ldots\), die Steigung von \(g\) ist \(m_g = 0{,}6\). Da \(0{,}66\ldots > 0{,}6\), ist die Gerade \(f\) steiler. 2. \(y\)-Achsenabschnitt: Beide Funktionen haben den Wert \(c = 4\). Somit schneiden beide Geraden die \(y\)-Achse im selben Punkt \(S(0|4)\). 3. Neue Gerade \(h\): Die neue Steigung ist \(m_h = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt \(c = 4\). Die Gleichung ist \(h(x) = \frac{4}{3}x + 4\).

a) Die Gerade \(f\) ist steiler, da \(\frac{2}{3} > 0{,}6\). b) Beide schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\). Sie haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt. c) \(h(x) = \frac{4}{3}x + 4\)

- Wie isoliert man eine Variable in einer Gleichung? - Welche Koordinate ist an der \(x\)-Achse immer Null, welche an der \(y\)-Achse? - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Setze die Ausdrücke für \(x\) und \(y\) ein.

1. Umformung: \(0{,}2y = -0{,}4x + 2\). Division durch \(0{,}2\) ergibt \(y = -2x + 10\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(y = -2 \cdot 0 + 10 = 10\). Punkt: \(S_y(0|10)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = -2x + 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5\). Punkt: \(S_x(5|0)\). 3. Einsetzen von \(P(k|2k)\) in die Originalgleichung: \(0{,}4k + 0{,}2(2k) = 2 \implies 0{,}4k + 0{,}4k = 2 \implies 0{,}8k = 2\). Berechnung von \(k = \frac{2}{0{,}8} = 2{,}5\).

a) \(y = -2x + 10\) b) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((5|0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|10)\). c) \(k = 2{,}5\)

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Was passiert mit dem \(y\)-Wert in einer linearen Funktion, wenn sich der \(x\)-Wert ändert? Welcher Parameter beschreibt dieses Verhältnis?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): Einsetzen ergibt \(8y = 16\), also \(y = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y = 0\)): Einsetzen ergibt \(4x = 16\), also \(x = 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(4 \mid 0)\). 3. Berechnung der Steigung: Umstellen der Gleichung nach \(y\) ergibt \(8y = -4x + 16\), also \(y = -0{,}5x + 2\). Die Steigung beträgt \(m = -0{,}5\). 4. Analyse der Änderung: Die Steigung \(m = -0{,}5\) gibt an, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-0{,}5\) verändert. Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(3\) Einheiten verändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-0{,}5) = -1{,}5\). Der \(y\)-Wert sinkt also um \(1{,}5\).

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 2)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(4 \mid 0)\). b) Die Steigung ist \(m = -0{,}5\). c) Wenn \(x\) um \(3\) Einheiten steigt, sinkt der \(y\)-Wert um \(1{,}5\) Einheiten.

- Wie gehst du vor, wenn in einer Gleichung neben \(x\) und \(y\) ein weiterer Platzhalter steht? - Welche Eigenschaft haben alle Punkte, die auf der x-Achse liegen? - Überlege, was passiert, wenn du die Gleichung nach \(y\) auflöst. Welcher Teil der Gleichung bestimmt die Steigung?

1. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(x=2\) und \(y=3\) ergibt \(a \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 20 \implies 2a + 12 = 20 \implies 2a = 8 \implies a = 4\). 2. Schnittpunkte berechnen für \(4x + 4y = 20\): Schnittpunkt mit der x-Achse (\(y=0\)): \(4x = 20 \implies x = 5\), also \(N(5 | 0)\). Schnittpunkt mit der y-Achse (\(x=0\)): \(4y = 20 \implies y = 5\), also \(S_y(0 | 5)\). 3. Änderung untersuchen: Die neue Gleichung lautet \(4x + 4y = 10\) bzw. \(y = -x + 2{,}5\). Da die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) gleich bleiben, bleibt die Steigung gleich, aber der y-Achsenabschnitt verringert sich von \(5\) auf \(2{,}5\). Der Graph verschiebt sich also parallel nach unten.

a) \(a = 4\) b) Schnittpunkt mit der x-Achse: \((5 | 0)\); Schnittpunkt mit der y-Achse: \((0 | 5)\). c) Der Graph verschiebt sich parallel nach unten, da die Steigung gleich bleibt, aber der Achsenabschnitt kleiner wird.

- Wie isoliert man die Variable \(y\) schrittweise auf einer Seite der Gleichung? - An welcher Stelle in der Form \(y = mx + n\) steht die Steigung? - Was musst du tun, um zu prüfen, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt? - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Auflösen von Klammern.

1. Umformung der Gleichung: Zuerst Klammern auflösen: \(4y - 4 + 2x = 8\). Dann nach \(y\) isolieren: \(4y = -2x + 12\). Division durch \(4\) ergibt \(y = -0{,}5x + 3\). 2. Bestimmung der Parameter: Aus \(y = -0{,}5x + 3\) folgt die Steigung \(m = -0{,}5\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 3\). 3. Punktprobe für \(P(6 \mid -1)\): Einsetzen der Koordinaten in die Gleichung: \(-1 = -0{,}5 \cdot 6 + 3\). Berechnung der rechten Seite: \(-3 + 3 = 0\). Vergleich: \(-1 \neq 0\). Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.

a) \(y = -0{,}5x + 3\) b) \(m = -0{,}5\) und \(n = 3\) c) Nein, der Punkt liegt nicht auf der Geraden, da die Punktprobe eine falsche Aussage (\(-1 = 0\)) ergibt.

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Bedingung müssen die Steigungen erfüllen, damit zwei Geraden parallel sind? - Kannst du die Gleichung von Gerade \(h\) so umstellen, dass man die Steigung direkt ablesen kann? - Was bedeutet „Koordinatenursprung“ für die Koordinaten eines Punktes?

1. Berechnung der Steigung \(m_g\): Da \(g\) durch den Ursprung geht, ist es eine Proportionalitätsfunktion der Form \(y = mx\). Einsetzen von \(P(2 \mid 5)\) ergibt \(5 = m \cdot 2\), also \(m_g = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Steigung \(m_h\): Umformung der Gleichung \(3x - y = 4\) nach \(y\): \(-y = -3x + 4\), also \(y = 3x - 4\). Die Steigung ist \(m_h = 3\). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Damit zwei Geraden parallel sind, müssen ihre Steigungen identisch sein (\(m_g = m_h\)). Da \(2{,}5 \neq 3\), verlaufen die Geraden nicht parallel.

Die Geraden sind nicht parallel. Die Steigung von \(g\) beträgt \(2{,}5\), während die Steigung von \(h\) den Wert \(3\) hat. Da die Steigungen unterschiedlich sind, verlaufen die Geraden nicht parallel.

- Welche geometrische Form bilden alle Lösungen einer linearen Gleichung in einem Koordinatensystem? - Wie kannst du prüfen, ob drei Punkte in einer Reihe liegen? - Was müsste für die Steigungen zwischen verschiedenen Paaren dieser Punkte gelten?

1. Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung \(ax + by = c\), bei der \(a\) und \(b\) nicht beide \(0\) sind, bildet eine Gerade. Daher wird geprüft, ob die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen. 2. Steigung \(m_1\) zwischen \((-2 | 7)\) und \((1 | 1)\): \(m_1 = \frac{1 - 7}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2\). 3. Steigung \(m_2\) zwischen \((1 | 1)\) und \((4 | -4)\): \(m_2 = \frac{-4 - 1}{4 - 1} = \frac{-5}{3}\). 4. Da \(m_1 \neq m_2\), liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden. Somit können die drei Zahlenpaare nicht Lösungen derselben nicht entarteten linearen Gleichung sein.

Nein. Für eine lineare Gleichung \(ax + by = c\) mit \(a\) und \(b\) nicht beide \(0\) müsste die Lösungsmenge eine Gerade sein. Hier gilt jedoch \(m_1 = -2\) und \(m_2 = -\frac{5}{3}\); die drei Punkte sind daher nicht kollinear.

- Wie verhalten sich die Koordinaten an den Stellen, wo ein Graph eine Achse berührt oder kreuzt? - Welchen Wert muss \(x\) haben, damit du auf der \(y\)-Achse landest? - Versuche für Teil b) einen \(x\)-Wert zu wählen, der nach der Multiplikation mit \(0{,}5\) eine gerade Zahl ergibt.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in \(0{,}5x + 2y = 4\) ein. Man erhält \(2y = 4\), also \(y = 2\). Der Punkt ist \(S_y(0 | 2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Setze \(y = 0\) ein. Man erhält \(0{,}5x = 4\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x = 8\). Der Punkt ist \(S_x(8 | 0)\). 3. Weiteres ganzzahliges Paar: Wähle \(x = 4\). Einsetzen ergibt \(0{,}5 \cdot 4 + 2y = 4\), also \(2 + 2y = 4\). Daraus folgt \(2y = 2\) und \(y = 1\). Ein Punkt ist \((4 | 1)\). 4. Prüfung von \((-4 | 3)\): Einsetzen in die linke Seite: \(0{,}5 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4\). Da die rechte Seite ebenfalls \(4\) ist, ist das Paar eine Lösung.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 2)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((8 | 0)\). b) Ein weiteres Paar ist zum Beispiel \((4 | 1)\). c) Ja, \((-4 | 3)\) ist eine Lösung, da \(0{,}5 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = 4\) eine wahre Aussage ergibt.

- Kannst du die Schnittpunkte finden, ohne die Gleichung zuerst umzuformen? Setze für eine Achse den Wert 0 ein. - Wie isolierst du das \(y\), um die Form \(y = mx + n\) zu erhalten?

1. Schnittpunkt mit der x-Achse (\(y=0\)): \(2x - 5 \cdot 0 = 10 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\). Ergebnis: \(S_x(5|0)\). 2. Schnittpunkt mit der y-Achse (\(x=0\)): \(2 \cdot 0 - 5y = 10 \Rightarrow -5y = 10 \Rightarrow y = -2\). Ergebnis: \(S_y(0|-2)\). 3. Umformung nach \(y\): \(2x - 5y = 10 \Rightarrow -5y = -2x + 10 \Rightarrow y = \frac{-2}{-5}x + \frac{10}{-5} \Rightarrow y = 0{,}4x - 2\). 4. Die Steigung beträgt \(m = 0{,}4\).

a) Schnittpunkt mit der x-Achse: \(S_x(5|0)\); Schnittpunkt mit der y-Achse: \(S_y(0|-2)\) b) Gleichung: \(y = 0{,}4x - 2\); Steigung: \(m = 0{,}4\)

- Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion? - Hängt die Steilheit vom Vorzeichen der Zahl vor dem \(x\) ab oder nur von ihrem Wert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt schneiden?

1. Funktionsgleichung von \(g\): Mit \(m = 0{,}5\) und \(t = -1\) folgt \(g(x) = 0{,}5x - 1\). 2. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung bestimmt. \(|m_f| = |-2| = 2\) und \(|m_g| = |0{,}5| = 0{,}5\). Da \(2 > 0{,}5\), verläuft der Graph von \(f\) steiler. 3. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(f(x) = g(x) \Rightarrow -2x + 4 = 0{,}5x - 1\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 2\). 5. y-Wert berechnen: \(f(2) = -2 \cdot 2 + 4 = 0\). 6. Ergebnis: Der Schnittpunkt liegt bei \(S(2 | 0)\).

a) \(g(x) = 0{,}5x - 1\) b) Der Graph von \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als bei \(g\) (\(0{,}5\)). c) \(S(2 | 0)\)

- Denke an die Darstellung von Gleichungen als Geraden. Wann gibt es nur einen Schnittpunkt? - Gibt es noch andere Zahlen, deren Differenz 5 ist? - Kann ein und derselbe Ausdruck (\(a - b\)) zwei verschiedene Werte gleichzeitig annehmen?

1. Unvollständigkeit: Die Gleichung \(a - b = 5\) beschreibt eine Gerade im Koordinatensystem. Es gibt unendlich viele Paare \((a|b)\), deren Differenz \(5\) ist (z. B. \(6-1\), \(0-(-5)\)), daher ist ein einzelnes Paar nur eine von vielen Lösungen. 2. Eindeutigkeit erzeugen: Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, wird eine zweite, linear unabhängige Gleichung benötigt (ein lineares Gleichungssystem). Ein Beispiel ist \(a + b = 15\). Setzt man \((10|5)\) ein: \(10 + 5 = 15\), was eine wahre Aussage ergibt. Da die Steigungen unterschiedlich sind, ist dies die einzige Lösung. 3. Widerspruchsbeweis: Das System besteht aus \(a - b = 5\) und \(a - b = 8\). Würde man die erste von der zweiten Gleichung subtrahieren, erhielte man \(0 = 3\). Da \(5\) nicht gleichzeitig \(8\) sein kann, gibt es kein Zahlenpaar, das beide Bedingungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer (0 Lösungen).

1. Es ist unvollständig, weil es unendlich viele weitere Lösungen gibt (z. B. \(a=7, b=2\)). 2. Man benötigt eine zweite Gleichung, z. B. \(a + b = 15\). 3. Es gibt keine Lösung (0 Lösungen), da ein Widerspruch vorliegt (\(5 \neq 8\)).

- Wie findest du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, ohne den Graphen zu zeichnen? - Was musst du für \(y\) einsetzen, um eine Nullstelle zu berechnen? - Erinnerst du dich an die allgemeine Form \(y = mx + b\)? Welcher Buchstabe steht für die Steigung? - Wie beeinflusst das Vorzeichen der Steigung den Verlauf des Graphen?

1. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse (\(x = 0\)): Für \(g_1\) ergibt sich \(y = 1{,}5 \cdot 0 - 3 = -3\), also \(S_{y1}(0 \mid -3)\). Für \(g_2\) wird die Gleichung zu \(y = -2x + 4\) umgeformt; mit \(x = 0\) folgt \(y = 4\), also \(S_{y2}(0 \mid 4)\). 2. Berechnung des \(x\)-Wertes für \(g_1\): Setze \(y = 6\) in \(6 = 1{,}5x - 3\) ein. Addition von \(3\) ergibt \(9 = 1{,}5x\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(x = 6\). 3. Berechnung der Nullstelle für \(g_2\) (\(y = 0\)): Setze \(0 = -2x + 4\) ein. Umformung ergibt \(2x = 4\), woraus \(x = 2\) folgt. Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). 4. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(g_1\) ist \(m_1 = 1{,}5\). Da \(m_1 > 0\), steigt die Gerade. Die Steigung von \(g_2\) ist \(m_2 = -2\). Da \(m_2 < 0\), fällt die Gerade.

a) \(S_{y1}(0 \mid -3)\) und \(S_{y2}(0 \mid 4)\). b) Der \(x\)-Wert ist \(6\). c) Die Nullstelle ist \(x = 2\). d) \(g_1\) steigt (\(m = 1{,}5\)), \(g_2\) fällt (\(m = -2\)).

- Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Was bedeutet eine negative Steigung für die Änderung der Werte? - Kannst du die Steigung als Bruch interpretieren, der angibt, wie viele Schritte man nach oben oder unten geht, wenn man Schritte nach rechts geht? - Wie kannst du prüfen, ob eine Aussage über einen Punkt wahr ist, ohne zu zeichnen?

1. Berechnung von \(y_A\): Setze \(x = 6\) in die Gleichung ein: \(y_A = -\frac{2}{3} \cdot 6 + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Punkt ist \(A(6 \mid -2)\). 2. Berechnung von \(x_B\): Setze \(y = 0\) ein: \(0 = -\frac{2}{3}x_B + 2\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(-2 = -\frac{2}{3}x_B\). Multiplikation mit \(-\frac{3}{2}\) ergibt \(x_B = 3\). Der Punkt ist \(B(3 \mid 0)\). 3. Punktprobe für \(C(-3 \mid 4)\): Setze \(x = -3\) in die Gleichung ein: \(y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2 = 2 + 2 = 4\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(C\) übereinstimmt (\(4 = 4\)), liegt der Punkt auf der Geraden. 4. Interpretation der Steigung: Die Steigung beträgt \(m = -\frac{2}{3}\). Das bedeutet, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-\frac{2}{3}\) ändert. Bei einer Zunahme von \(x\) um \(3\) Einheiten ändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2\). Der \(y\)-Wert verringert sich also um \(2\).

a) \(y_A = -2\) b) \(x_B = 3\) c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden, da \(4 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2\) eine wahre Aussage ist. d) Der \(y\)-Wert verringert sich um \(2\) Einheiten.

- Wann liegen zwei Punkte genau gegenüber von der x-Achse? Vergleiche ihre Koordinaten. - Überlege dir, welche Punkte auf einer Geraden festbleiben, wenn man an der y-Achse spiegelt. - Wie ändert sich die Richtung einer Geraden (die Steigung), wenn man sie wie in einem Spiegel links und rechts vertauscht?

1. Zwei Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, wenn für jedes \(x\) gilt: \(g(x) = -f(x)\). 2. Berechnung für a): \(-f(x) = -(\frac{2}{3}x + 2) = -\frac{2}{3}x - 2\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, liegen die Graphen symmetrisch zur \(x\)-Achse. 3. Für eine Symmetrie zur \(y\)-Achse muss ein Punkt \((x \mid y)\) auf den Punkt \((-x \mid y)\) abgebildet werden. Die neue Funktion \(h\) muss also \(h(x) = f(-x)\) erfüllen. 4. Berechnung für b): \(h(x) = \frac{2}{3}(-x) + 2 = -\frac{2}{3}x + 2\). 5. Begründung: Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse gleich (da der Punkt auf der Spiegelachse liegt), während die Steigung ihr Vorzeichen umkehrt, da die Gerade nun in die entgegengesetzte Richtung „kippt“.

a) Ja, die Graphen sind symmetrisch zur \(x\)-Achse, da \(g(x) = -f(x)\) für alle \(x\) gilt. b) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt bleibt gleich, da der Punkt \((0 \mid 2)\) auf der Spiegelachse liegt; die Steigung kehrt ihr Vorzeichen um.

- Kannst du am Graphen ablesen, wo jede Linie die senkrechte Achse schneidet? - Wie hängt dieser Schnittpunkt mit dem konstanten Glied (ohne \(x\)) in den Funktionsgleichungen zusammen? - Was bedeutet die Steigung der Geraden für die Kosten pro Stunde? - Wie kannst du die Kosten für eine bestimmte Stundenanzahl am Graphen ablesen oder rechnerisch bestimmen? - Achte auf den Schnittpunkt der drei Geraden. Welcher Tarif liegt vor diesem Punkt am niedrigsten und welcher danach?

1. Zuordnung der Graphen anhand der \(y\)-Achsenabschnitte: - Graph A verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\), gehört also zu \(f_1(x) = 4x\). - Graph B schneidet die \(y\)-Achse bei \(6\), gehört also zu \(f_2(x) = 2x + 6\). - Graph C schneidet die \(y\)-Achse bei \(9\), gehört also zu \(f_3(x) = x + 9\). 2. Berechnung der Kosten für \(x = 2\) Stunden: - Tarif A: \(f_1(2) = 4 \cdot 2 = 8\,\text{€}\) - Tarif B: \(f_2(2) = 2 \cdot 2 + 6 = 10\,\text{€}\) - Tarif C: \(f_3(2) = 2 + 9 = 11\,\text{€}\) Der günstigste Tarif ist Tarif A (\(8\,\text{€}\)), der teuerste ist Tarif C (\(11\,\text{€}\)). Die Ersparnis beträgt \(11\,\text{€} - 8\,\text{€} = 3\,\text{€}\). 3. Bestimmung der optimalen Tarife: Die Graphen schneiden sich alle im Punkt \((3 \mid 12)\). Für eine Mietzeit von weniger als \(3\) Stunden (\(0 \le x < 3\)) verläuft Graph A am niedrigsten und ist somit am günstigsten. Bei genau \(3\) Stunden (\(x = 3\)) kosten alle Tarife gleich viel (\(12\,\text{€}\)). Für eine Mietzeit von mehr als \(3\) Stunden (\(x > 3\)) ist Tarif C am günstigsten.

a) Graph A gehört zu \(f_1(x) = 4x\), Graph B gehört zu \(f_2(x) = 2x + 6\) und Graph C gehört zu \(f_3(x) = x + 9\). b) Tarif A ist mit \(8\,\text{€}\) am günstigsten. Die Ersparnis gegenüber dem teuersten Tarif (Tarif C mit \(11\,\text{€}\)) beträgt \(3\,\text{€}\). c) Bei einer Mietzeit von weniger als \(3\) Stunden (\(0 \le x < 3\)) ist Tarif A am günstigsten. Bei genau \(3\) Stunden kosten alle Tarife gleich viel (\(12\,\text{€}\)). Bei einer Mietzeit von mehr als \(3\) Stunden (\(x > 3\)) ist Tarif C am günstigsten.

- Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Wert von \(y\), wenn \(x = 0\) ist. Wo schneiden die Graphen die \(y\)-Achse? - Eine negative Steigung bedeutet, dass der Graph fällt. Je größer der Betrag der negativen Zahl ist, desto steiler fällt er. - Eine Ursprungsgerade hat kein konstantes Glied und verläuft durch den Punkt \((0 \mid 0)\).

1. Für \(a(x) = -\frac{2}{3}x + 1\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(1\). Die Gerade fällt flacher als \(c(x)\). Dies ist Graph I. 2. Für \(b(x) = \frac{3}{2}x - 2\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(-2\). Die Gerade steigt. Dies ist Graph II. 3. \(c(x) = -2x\) ist eine Ursprungsgerade und fällt steiler als \(a(x)\). Dies ist Graph III.

Graph I gehört zu \(a(x) = -\frac{2}{3}x + 1\), Graph II zu \(b(x) = \frac{3}{2}x - 2\) und Graph III zu \(c(x) = -2x\).

- Was bedeutet "parallel" für die Steigung der Geraden? - Such dir eine Gerade aus, bei der du die Steigung an den Gitterpunkten gut ablesen kannst. - Der Punkt, an dem die Gerade die senkrechte Achse trifft, ist der Wert \(c\) in der Formel \(y = mx + c\).

1. Bestimmung der Steigung \(m\): Wählt man zwei Punkte auf einer Geraden, z. B. auf \(l\) die Punkte \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid -2)\), ergibt sich \(m = \frac{-2 - 1}{4 - 0} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\). Da die Geraden parallel sind, gilt dies für alle. 2. Bestimmung der \(y\)-Achsenabschnitte \(c\): - Gerade \(k\): Schneidet bei \(3\). Gleichung: \(y = -0{,}75x + 3\). - Gerade \(l\): Schneidet bei \(1\). Gleichung: \(y = -0{,}75x + 1\). - Gerade \(n\): Schneidet bei \(-1\). Gleichung: \(y = -0{,}75x - 1\). 3. Eine Parallelverschiebung ändert nur den \(y\)-Achsenabschnitt \(c\). Eine Verschiebung nach oben vergrößert \(c\), eine nach unten verkleinert \(c\). Die Steigung \(m\) bleibt gleich.

a) \(m = -0{,}75\) (oder \(m = -\frac{3}{4}\)) b) \(k: y = -0{,}75x + 3\); \(l: y = -0{,}75x + 1\); \(n: y = -0{,}75x - 1\) c) Es ändert sich der \(y\)-Achsenabschnitt \(c\). Die Steigung \(m\) bleibt bei einer Parallelverschiebung konstant.

- Überlege dir, wie du die Gleichung so umstellen kannst, dass sie wie eine bekannte Funktionsgleichung aussieht. - Wo schneidet die Gerade die waagerechte \(x\)-Achse? Welchen Wert hat \(y\) an dieser Stelle? - Wo schneidet die Gerade die senkrechte \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort? - Du kannst auch einfach Probepunkte einsetzen und prüfen, ob sie die Gleichung erfüllen.

1. Umformung der Gleichung \(x - 2y = 4\) in die explizite Form: \(2y = x - 4 \Rightarrow y = 0{,}5x - 2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts (\(x = 0\)): \(y = -2\). Der Punkt ist \((0 \mid -2)\). 3. Berechnung der Nullstelle (\(y = 0\)): \(0 = 0{,}5x - 2 \Rightarrow 2 = 0{,}5x \Rightarrow x = 4\). Der Punkt ist \((4 \mid 0)\). 4. Abgleich mit den Graphen: - Graph a) hat Schnittpunkte bei \((4 \mid 0)\) und \((0 \mid -2)\). Dies ist der gesuchte Graph. - Graph b) hat Schnittpunkte bei \((-4 \mid 0)\) und \((0 \mid -2)\). - Graph c) hat Schnittpunkte bei \((-4 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). - Graph d) hat Schnittpunkte bei \((4 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\).

Der Graph a) stellt die Gleichung \(x - 2y = 4\) dar.

- Suche bei den nicht senkrechten Geraden zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Bestimme die Steigung aus den horizontalen und vertikalen Abständen zweier Gitterpunkte. - Überlege, welche Gleichungsform eine senkrechte Gerade besitzt.

1. Für die Gerade \(p\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = -2\). Geht man \(3\) Einheiten nach rechts, steigt die Gerade um \(2\) Einheiten. Daher ist \(m = \frac{2}{3}\), also \(p: y = \frac{2}{3}x - 2\). 2. Für die Gerade \(q\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\). Geht man \(1\) Einheit nach rechts, fällt die Gerade um \(1\) Einheit. Daher ist \(m = -1\), also \(q: y = -x + 1\). 3. Die Gerade \(r\) ist senkrecht und verläuft bei \(x = -1\). Daher lautet ihre Gleichung \(r: x = -1\).

Die Gleichungen sind \(p: y = \frac{2}{3}x - 2\), \(q: y = -x + 1\) und \(r: x = -1\).

- Bestimme für \(g_1\) und \(g_2\) zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Nutze jeweils einen zweiten Gitterpunkt, um die Steigung zu ermitteln. - Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der sich die beiden Geraden schneiden.

1. Die Gerade \(g_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\) und verläuft durch \((4 \mid 0)\). Damit ist \(m = (0 - (-2)) : (4 - 0) = 0{,}5\), also \(g_1: y = 0{,}5x - 2\). 2. Die Gerade \(g_2\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(4\) und verläuft ebenfalls durch \((4 \mid 0)\). Damit ist \(m = (0 - 4) : (4 - 0) = -1\), also \(g_2: y = -x + 4\). 3. Die Gerade \(g_3\) ist waagerecht und verläuft bei \(y = 1\). Daher gilt \(g_3: y = 1\). 4. Aus der Zeichnung liest man den Schnittpunkt \(S(4 \mid 0)\) von \(g_1\) und \(g_2\) ab.

Gleichungen: \(g_1: y = 0{,}5x - 2\), \(g_2: y = -x + 4\), \(g_3: y = 1\) Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\): \(S(4 \mid 0)\)

- Bringe zuerst alle Gleichungen in die Form \(y = \dots\), um sie direkt vergleichen zu können. - Achte genau auf den Unterschied zwischen dem Bruch \(\frac{1}{3}\) und dem Dezimalbruch \(0{,}3\). - Wann sind zwei Geraden parallel und wann sind sie identisch?

1. Umformung aller Gleichungen in die Normalform \(y = mx + n\): 1) \(y = \frac{1}{3}x + 2\) 2) \(y = 0{,}3x + 2\) (beachte: \(0{,}3 \neq \frac{1}{3}\)) 3) \(3y = x + 12 \implies y = \frac{1}{3}x + 4\) 4) \(y - 2 = \frac{1}{3}x \implies y = \frac{1}{3}x + 2\) 2. Prüfung der Aussagen: a) Falsch. Nur (1), (2) und (4) haben \(n=2\). Gerade (3) hat \(n=4\). b) Wahr. Gleichung (1) und (4) ergeben nach Umformung identische Funktionsgleichungen. c) Wahr. Die Geraden (1), (3) und (4) haben alle die Steigung \(m = \frac{1}{3}\). Dabei sind (1) und (4) identisch; (3) ist zu dieser Geraden echt parallel. (2) hat die Steigung \(0{,}3\).

a) Falsch. Nur die Geraden (1), (2) und (4) schneiden die \(y\)-Achse bei \(2\); Gerade (3) schneidet sie bei \(4\). b) Wahr. Die Geraden (1) und (4) sind identisch, da beide umgeformt \(y = \frac{1}{3}x + 2\) lauten. c) Wahr. Die Geraden (1), (3) und (4) haben die Steigung \(m = \frac{1}{3}\). Die Geraden (1) und (4) sind identisch; Gerade (3) ist zu ihnen echt parallel.

- Was gibt die Zahl am Ende einer Funktionsgleichung \(y = mx + t\) über die Position des Graphen an? - Stell dir vor, du gehst einen Schritt nach rechts. Wie weit musst du nach oben oder unten gehen, wenn \(m\) sehr groß ist? - Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den fehlenden Buchstaben zu finden.

1. Beide Funktionsgleichungen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). Da dieser den Wert der Funktion an der Stelle \(x = 0\) angibt, haben beide Graphen den Punkt \((0 | 3)\) gemeinsam. 2. Da \(m > 0\), bewirkt ein größeres \(m\), dass die Gerade von \(f\) steiler ansteigt. Entsprechend fällt die Gerade von \(g\) mit der Steigung \(-m\) steiler ab. 3. Einsetzen von \(P(2 | 7)\) in \(f(x)\): \(7 = m \cdot 2 + 3 \implies 4 = 2m \implies m = 2\). Damit ist \(g(x) = -2x + 3\). Ein weiterer Punkt auf \(g\) ist z. B. für \(x = 1\): \(g(1) = -2 \cdot 1 + 3 = 1\), also \(Q(1 | 1)\).

1. Beide Funktionen haben denselben \(y\)-Achsenabschnitt \(t = 3\). 2. Der Graph von \(f\) wird steiler ansteigend, der Graph von \(g\) wird steiler fallend. 3. \(m = 2\); \(g(x) = -2x + 3\); ein möglicher Punkt ist \(Q(1 | 1)\).

- Wo liegt der Punkt \(P\) im Koordinatensystem? - Welche Steigung verhindert, dass der Graph in den Bereich mit positiven \(x\)- und \(y\)-Werten gelangt? - Kann eine Gerade „plötzlich aufhören“?

1. Teil a): Der Punkt \(P(-2|-4)\) liegt im III. Quadranten. Um den I. Quadranten zu vermeiden, darf die Gerade entweder waagerecht sein oder fallen. Eine waagerechte Gerade durch \(P\) ist \(y = -4\). Diese verläuft durch den III. und IV. Quadranten. Eine fallende Gerade, z. B. mit \(m = -1\), ergibt \(-4 = -1 \cdot (-2) + n \implies n = -6\). Die Funktion \(y = -x - 6\) verläuft durch den II., III. und IV. Quadranten und meidet den I. Quadranten. 2. Teil b): Nein, das ist nicht möglich. Jede Gerade ist unendlich lang. Eine waagerechte oder senkrechte Gerade, die nicht auf einer Achse liegt, verläuft durch zwei Quadranten. Eine Ursprungsgerade verläuft durch zwei gegenüberliegende Quadranten. Jede andere Gerade schneidet die beiden Achsen in verschiedenen Punkten und verläuft durch drei Quadranten. Daher kann keine Gerade ausschließlich im III. Quadranten liegen.

a) Mögliche Beispiele: \(f(x) = -4\) oder \(f(x) = -x - 6\). b) Nicht möglich. Eine achsenparallele Gerade verläuft durch zwei Quadranten, eine Ursprungsgerade durch zwei gegenüberliegende Quadranten und jede andere Gerade durch drei Quadranten.

- Welche Lage haben Graphen von Funktionen der Form \(f(x) = c\) im Koordinatensystem? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei waagerechten Geraden? - Wie findet man die Punkte, an denen sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Symmetrie des Trapezes?

1. Bestimmung der vierten Gerade: Da \(f_3(x) = 0\) die x-Achse beschreibt und das Trapez die Höhe \(h = 3\) haben soll, muss die parallele Gegenseite auf der Geraden \(y = 3\) liegen. Somit ist \(f_4(x) = 3\). 2. Berechnung der Schnittpunkte auf der x-Achse (\(y=0\)): Für \(f_1\): \(0 = 2x + 4 \Rightarrow x = -2\), also \(A(-2|0)\). Für \(f_2\): \(0 = -2x + 4 \Rightarrow x = 2\), also \(B(2|0)\). 3. Berechnung der Schnittpunkte auf der Geraden \(y=3\): Für \(f_1\): \(3 = 2x + 4 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0{,}5\), also \(D(-0{,}5|3)\). Für \(f_2\): \(3 = -2x + 4 \Rightarrow -2x = -1 \Rightarrow x = 0{,}5\), also \(C(0{,}5|3)\). 4. Überprüfung der Form: Die Steigungen der Schenkel sind \(2\) und \(-2\), was die Achsensymmetrie zur y-Achse und somit die Eigenschaft „gleichschenklig“ bestätigt.

Die vierte Funktionsgleichung lautet \(f_4(x) = 3\). Die Eckpunkte des Trapezes sind \(A(-2|0)\), \(B(2|0)\), \(C(0{,}5|3)\) und \(D(-0{,}5|3)\).

- Welche Steigung müssen Geraden haben, die senkrecht auf Geraden mit der Steigung \(1\) stehen? - Welche Symmetrie besitzt ein Quadrat bei einer Drehung um seinen Mittelpunkt? - Drehe die Punkte \((0|4)\) und \((0|-4)\) gedanklich um \(90^{\circ}\) um den Ursprung. - Wie kann man die Fläche eines Quadrats berechnen, wenn man die Längen der Diagonalen kennt?

1. Die gegebenen Geraden haben die Steigung \(m = 1\). Die beiden fehlenden Seiten eines Quadrats müssen senkrecht dazu verlaufen und daher die Steigung \(m = -1\) besitzen. 2. Ein Quadrat ist bei einer Drehung um \(90^{\circ}\) um seinen Mittelpunkt wieder deckungsgleich mit sich selbst. Der Punkt \((0|4)\) auf der Geraden \(y = x + 4\) wird bei einer solchen Drehung um den Ursprung auf \((-4|0)\) abgebildet. Die zugehörige Bildgerade hat die Steigung \(-1\) und verläuft durch \((-4|0)\), also lautet sie \(y = -x - 4\). Entsprechend wird \((0|-4)\) auf \((4|0)\) abgebildet; die zweite fehlende Gerade lautet \(y = -x + 4\). 3. Berechnung der Eckpunkte durch Gleichsetzen: Schnitt von \(y = x + 4\) und \(y = -x + 4\): \(x + 4 = -x + 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_1(0|4)\). Schnitt von \(y = -x + 4\) und \(y = x - 4\): \(-x + 4 = x - 4 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\), also \(P_2(4|0)\). Schnitt von \(y = x - 4\) und \(y = -x - 4\): \(x - 4 = -x - 4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\), also \(P_3(0|-4)\). Schnitt von \(y = -x - 4\) und \(y = x + 4\): \(-x - 4 = x + 4 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4\), also \(P_4(-4|0)\). 4. Die Diagonalen verlaufen von \((0|4)\) bis \((0|-4)\) sowie von \((4|0)\) bis \((-4|0)\). Beide haben die Länge \(8\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\).

a) Die weiteren Geraden sind \(y = -x + 4\) und \(y = -x - 4\). b) Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(32\,\text{Flächeneinheiten}\).

- Wie ändern sich die Vorzeichen der Koordinaten bei einer Spiegelung am Ursprung? - Was passiert mit der Lage einer Geraden im Koordinatensystem, wenn sie an einem Punkt gespiegelt wird, der nicht auf der Geraden liegt? - Wann haben zwei Geraden mit der gleichen Steigung einen Schnittpunkt?

1. Teil a: Bei einer Spiegelung am Ursprung wird ein Punkt \((x \mid y)\) auf \((-x \mid -y)\) abgebildet. Um \(k\) zu finden, spiegeln wir \(k'\) zurück. 2. Wähle zwei Punkte auf \(k'\), z. B. \(A'(0 \mid -4)\) und \(B'(3 \mid -3)\). Die Urbildpunkte sind \(A(0 \mid 4)\) und \(B(-3 \mid 3)\). 3. Die Steigung von \(k\) ist identisch zu \(k'\), also \(m = \frac{1}{3}\). Der y-Achsenabschnitt ist \(b = 4\). Somit gilt \(k(x) = \frac{1}{3}x + 4\). 4. Teil b: Eine Punktspiegelung bildet eine Gerade immer auf eine zu ihr parallele Gerade ab. 5. Zwei parallele Geraden sind entweder identisch oder haben keinen Schnittpunkt. 6. Da die y-Achsenabschnitte \(4\) und \(-4\) verschieden sind, sind die Geraden nicht identisch. Folglich gibt es keinen Schnittpunkt.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(k(x) = \frac{1}{3}x + 4\). b) Nein, es gibt keinen Schnittpunkt, da die Geraden parallel sind (gleiche Steigung) und unterschiedliche y-Achsenabschnitte besitzen.

- Was passiert mit den Koordinaten \((x|y)\) eines Punktes, wenn er an der Geraden \(y=x\) gespiegelt wird? - Wie löst man eine Gleichung nach einer anderen Variablen auf? - Wann ist eine geometrische Figur (wie eine Gerade) im mathematischen Sinne ein Funktionsgraph? - Überlege, was ein Fixpunkt bei einer Spiegelung ist.

1. Um die Funktionsgleichung der an \(y = x\) gespiegelten Funktion \(g\) zu finden, vertauscht man in der Gleichung \(y = 0{,}4x + 3\) die Variablen \(x\) und \(y\): \(x = 0{,}4y + 3\). 2. Auflösen nach \(y\): \(x - 3 = 0{,}4y \implies y = \frac{1}{0{,}4}x - \frac{3}{0{,}4} = 2{,}5x - 7{,}5\). Somit ist \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\). 3. Schnittpunkt berechnen: \(0{,}4x + 3 = 2{,}5x - 7{,}5 \implies 10{,}5 = 2{,}1x \implies x = 5\). Einsetzen ergibt \(y = 0{,}4 \cdot 5 + 3 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). 4. Da der Punkt \(S\) auf der Spiegelachse \(y = x\) liegt, wird er auf sich selbst abgebildet. Jeder Schnittpunkt eines Graphen mit seiner Spiegelachse ist ein Fixpunkt der Spiegelung. 5. Die Spiegelung von \(y = 3\) (waagerechte Gerade) an \(y = x\) ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Eine senkrechte Gerade ist kein Funktionsgraph, da einem \(x\)-Wert unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet würden.

a) \(g(x) = 2{,}5x - 7{,}5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(5|5)\). Er liegt auf \(y = x\), weil Punkte auf der Spiegelachse Fixpunkte sind. c) Die Spiegelung ergibt die senkrechte Gerade \(x = 3\). Dies ist keine Funktion, da die Eindeutigkeit der Zuordnung verletzt ist.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Was passiert mit Punkten, die genau auf der Spiegelachse liegen? - Wenn ein Punkt einen bestimmten Abstand zur Spiegelachse hat, wo landet sein Spiegelpunkt? - Stelle dir vor, wie ein Pfeil, der nach rechts oben zeigt, in einem Spiegel aussieht, der waagerecht liegt.

1. Bestimmung von \(k\): Da die Gerade durch den Ursprung geht, ist \(t = 0\). Die Steigung ist \(m = \frac{2 - 0}{4 - 0} = 0{,}5\). Also \(k(x) = 0{,}5x\). 2. Spiegelung an \(y = 2\): Der Punkt \(B(4|2)\) liegt auf der Spiegelachse und ist somit ein Fixpunkt: \(B' = B(4|2)\). 3. Der Punkt \(O(0|0)\) liegt \(2\) Einheiten unterhalb der Spiegelachse. Sein Spiegelpunkt \(O'\) liegt also \(2\) Einheiten oberhalb der Achse bei \(O'(0|4)\). 4. Bestimmung von \(k'\) durch \(O'(0|4)\) und \(B'(4|2)\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t' = 4\). Die Steigung ist \(m' = \frac{2 - 4}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). Somit ist \(k'(x) = -0{,}5x + 4\). 5. Anschauliche Erklärung: Bei einer Spiegelung an einer waagerechten Achse wird ein „Anstieg“ in ein „Fallen“ (und umgekehrt) verwandelt. Ein Steigungsdreieck, das vorher nach oben gerichtet war, zeigt nach der Spiegelung nach unten.

a) \(k(x) = 0{,}5x\) b) \(k'(x) = -0{,}5x + 4\) c) Durch die Spiegelung an der Waagerechten wird aus einem positiven Höhenunterschied ein negativer, während der horizontale Unterschied gleich bleibt. Dadurch kehrt sich das Vorzeichen des Quotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) um.

- Führe die Schritte nacheinander aus und achte darauf, welches Vorzeichen sich jeweils ändert. - Vergleiche am Ende die Startgleichung \(s(x)\) mit dem Endergebnis \(u(x)\). Welche Teile der Gleichung sind gleich geblieben, welche haben sich verändert? - Erinnerst du dich, welche Abbildung sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinaten umkehrt?

1. Spiegelung von \(s\) an der \(y\)-Achse: Ersetze \(x\) durch \(-x\). Daraus folgt \(t(x) = \frac{2}{3}(-x) + 5 = -\frac{2}{3}x + 5\). 2. Spiegelung von \(t\) an der \(x\)-Achse: Multipliziere den gesamten Funktionsterm mit \(-1\). Daraus folgt \(u(x) = -(-\frac{2}{3}x + 5) = \frac{2}{3}x - 5\). 3. Vergleich: \(s(x) = \frac{2}{3}x + 5\) und \(u(x) = \frac{2}{3}x - 5\). Bei \(u\) hat sich nur das Vorzeichen des \(y\)-Achsenabschnitts geändert, während die Steigung gleich blieb. Dies entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung.

1. \(t(x) = -\frac{2}{3}x + 5\) 2. \(u(x) = \frac{2}{3}x - 5\) 3. Eine Punktspiegelung am Ursprung (oder eine Drehung um \(180^{\circ}\) um den Ursprung).

- Wie hängen die Begriffe „Lösung einer Gleichung“ und „Punkt auf einer Geraden“ zusammen? - Was muss für die Steigung und den Achsenabschnitt gelten, damit zwei Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass du die Steigung direkt ablesen kannst?

1. Überprüfung der Punkte: Für \(A(2|0)\): \(0{,}5 \cdot 2 - 0{,}25 \cdot 0 = 1 - 0 = 1\) (wahr). Für \(B(0|-4)\): \(0{,}5 \cdot 0 - 0{,}25 \cdot (-4) = 0 + 1 = 1\) (wahr). Für \(C(4|3)\): \(0{,}5 \cdot 4 - 0{,}25 \cdot 3 = 2 - 0{,}75 = 1{,}25 \neq 1\) (falsch). 2. Berechnung von \(x_D\): \(0{,}5x_D - 0{,}25 \cdot 2 = 1 \implies 0{,}5x_D - 0{,}5 = 1 \implies 0{,}5x_D = 1{,}5 \implies x_D = 3\). 3. Zweite Gleichung finden: Damit kein Schnittpunkt existiert, müssen die Geraden parallel sein, aber unterschiedliche Achsenabschnitte haben. Die erste Gleichung entspricht \(y = 2x - 4\). Eine parallele Gerade wäre z. B. \(y = 2x - 8\). In der ursprünglichen Form ist dies \(0{,}5x - 0{,}25y = 2\). Begründung: Gleiches Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) (gleiche Steigung), aber anderer konstanter Wert (andere Lage).

a) \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden, \(C\) nicht. b) \(x_D = 3\) c) Beispiel: \(0{,}5x - 0{,}25y = 2\). Begründung: Die Geraden haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte, sie sind also echt parallel.

- Einer der gegebenen Punkte liegt bereits auf einer Achse. Welcher ist das? - Wie findest du die Funktionsgleichung aus zwei Punkten? - Skizziere die Lage der Schnittpunkte. Welche Form hat die Fläche zwischen den Achsen und der Geraden? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks?

1. Berechnung der Steigung \(m\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\). 2. Da \(B(4|0)\) auf der x-Achse liegt, ist der Schnittpunkt mit der x-Achse bereits bekannt: \(S_x(4|0)\). 3. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen von \(B(4|0)\): \(0 = -0{,}5 \cdot 4 + n \Rightarrow 0 = -2 + n \Rightarrow n = 2\). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist \(S_y(0|2)\). 4. Das Dreieck wird durch die Eckpunkte \((0|0)\), \(S_x(4|0)\) und \(S_y(0|2)\) gebildet. Es ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(a = 4\) und \(b = 2\). 5. Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\).

Schnittpunkte: \(S_x(4|0)\) und \(S_y(0|2)\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(4\) Flächeneinheiten.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „verdreifacht“ wird? - Wie erkennt man die Steigung an einer Funktionsgleichung der Form \(y = mx\)? - Überlege für den allgemeinen Teil, wie du die neue \(y\)-Koordinate mithilfe der alten ausdrücken kannst. - Bleibt die Struktur der Gleichung (Zahl mal \(x\)) erhalten?

1. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung: Die Bedingung „\(y\)-Werte verdreifachen“ bedeutet \(h(x) = 3 \cdot f(x)\). Einsetzen von \(f(x) = 1{,}5x\) ergibt \(h(x) = 3 \cdot (1{,}5x) = 4{,}5x\). 2. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von \(f\) ist \(m_f = 1{,}5\), die Steigung von \(h\) ist \(m_h = 4{,}5\). Da \(4{,}5 > 1{,}5\), ist der Graph von \(h\) steiler als der von \(f\). 3. Allgemeiner Beweis: Sei \(y = mx\). Die Veränderung der \(y\)-Werte um den Faktor \(k\) führt zur Gleichung \(y_{neu} = k \cdot y = k \cdot (m \cdot x)\). Durch das Assoziativgesetz der Multiplikation ergibt sich \(y_{neu} = (k \cdot m) \cdot x\). Dies entspricht der Form einer Ursprungsgeraden \(y = m'x\) mit der neuen Steigung \(m' = km\).

a) \(h(x) = 4{,}5x\). b) Die Steigung hat sich von \(1{,}5\) auf \(4{,}5\) verdreifacht; der Graph ist steiler geworden. c) Durch \(y_{neu} = k \cdot (m \cdot x) = (k \cdot m) \cdot x\) sieht man, dass es wieder eine Ursprungsgerade ist. Die neue Steigung beträgt \(m' = km\).