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- Welchen \(y\)-Wert haben alle Punkte auf der \(x\)-Achse? - Welche Gleichung erhältst du deshalb am Schnittpunkt des Graphen mit der \(x\)-Achse? - Wie hängt die Lösung dieser Gleichung mit der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts zusammen?

1. Am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\). Daher löst man \(-2x+6=0\). 2. Aus \(-2x=-6\) folgt \(x=3\). 3. Der Schnittpunkt ist somit \(S_x(3 \mid 0)\). Seine \(x\)-Koordinate \(3\) ist zugleich die Lösung der ursprünglichen Gleichung.

\(S_x(3 \mid 0)\). Die Lösung \(x=3\) ist die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts und damit die Nullstelle der zugehörigen Funktion.

- Welchen Funktionswert suchst du bei einer Nullstelle? - In welcher Tabellenspalte tritt dieser Funktionswert auf? - Wie lautet die y-Koordinate eines Punktes auf der x-Achse?

1. Eine Nullstelle liegt dort, wo der Funktionswert \(0\) ist. 2. In der Tabelle gilt \(f(2)=0\). 3. Daher ist die Nullstelle \(x=2\) und der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \(S_x(2|0)\).

Nullstelle: \(x=2\); \(S_x(2|0)\).

- Was ist am Graphen bei einer Nullstelle mit dem Funktionswert passiert? - Welche Achse musst du dafür betrachten? - Welche Koordinate hat jeder Punkt auf dieser Achse als \(y\)-Wert?

1. Die Nullstelle liegt dort, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet. 2. Im Diagramm geschieht das bei \(x=3\). 3. Daher ist \(x_0=3\) und der Schnittpunkt lautet \(N(3\mid0)\).

\(x_0=3\); \(N(3\mid0)\)

- Was muss gelten, damit ein Wert eine Nullstelle genannt wird? - An welcher Stelle im Koordinatensystem ist der \(x\)-Wert immer gleich Null? - Reicht es aus, dass ein Punkt auf der Achse liegt, damit er zum Graphen der Funktion gehört?

1. Zur Überprüfung der Nullstelle wird \(f(-2)\) berechnet: \(1{,}5 \cdot (-2) + 3 = -3 + 3 = 0\). Da der Funktionswert gleich Null ist, ist \(x = -2\) eine Nullstelle. Die Aussage ist wahr. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) bestimmt: \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 + 3 = 3\). Dies ergibt den Punkt \((0 \mid 3)\). Die Aussage ist wahr. 3. Für den Punkt \(P(2 \mid 0)\) muss geprüft werden, ob \(f(2) = 0\) gilt: \(f(2) = 1{,}5 \cdot 2 + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 \neq 0\), liegt der Punkt nicht auf dem Graphen von \(f\), obwohl er auf der \(x\)-Achse liegt. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \(f(-2) = 0\). b) Wahr, da \(f(0) = 3\). c) Falsch, da \(f(2) = 6\) und nicht \(0\). Die Zahl \(2\) ist nur dann eine Nullstelle, wenn der Punkt \((2 \mid 0)\) auf dem Funktionsgraphen liegt.

- Welchen Funktionswert hat eine Funktion an einer Nullstelle? - Setze den Funktionsterm gleich \(0\) und löse die entstehende lineare Gleichung nach \(x\) auf.

Zur Bestimmung der Nullstellen wird der jeweilige Funktionswert gleich \(0\) gesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst. 1. Für \(g_1(x) = 3{,}2x + 8\): \(0 = 3{,}2x + 8 \implies -8 = 3{,}2x \implies x = -2{,}5\). 2. Für \(g_2(x) = \frac{3}{5}x - 9\): \(0 = \frac{3}{5}x - 9 \implies 9 = \frac{3}{5}x \implies x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15\).

a) \(x = -2{,}5\) b) \(x = 15\)

- Welchen Funktionswert hat jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Wie bestimmst du den Funktionswert von \(g\) an derselben \(x\)-Stelle? - Was bedeutet es für die Lage zweier Punkte mit gleichem \(x\)-Wert, wenn einer den kleineren \(y\)-Wert hat?

1. Für die Nullstelle gilt \(1{,}2x-3=0\). Daraus folgt \(1{,}2x=3\) und \(x=2{,}5\). Somit ist \(S_x(2{,}5 \mid 0)\). 2. Für denselben \(x\)-Wert gilt \(g(2{,}5)=0{,}5\cdot 2{,}5+1=2{,}25\). 3. Der Punkt \(S_x\) hat dort den \(y\)-Wert \(0\). Weil \(0<2{,}25\), liegt \(S_x\) unterhalb des Graphen von \(g\).

a) Nullstelle: \(x=2{,}5\); \(S_x(2{,}5 \mid 0)\) b) \(S_x\) liegt unterhalb des Graphen von \(g\).

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Unbekannten umstellen? - Bei Teilaufgabe d) kann es helfen, zuerst die Klammer aufzulösen oder den Term zu vereinfachen.

1. Zur Bestimmung der Nullstelle wird die Funktionsgleichung gleich null gesetzt: \(f(x) = 0\). 2. Für \(f(x) = 6x + 18\): \(6x + 18 = 0 \Rightarrow 6x = -18 \Rightarrow x = -3\). 3. Für \(g(x) = \frac{3}{4}x - 6\): \(\frac{3}{4}x - 6 = 0 \Rightarrow \frac{3}{4}x = 6 \Rightarrow x = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). 4. Für \(h(x) = 2{,}5 - 0{,}5x\): \(2{,}5 - 0{,}5x = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 2{,}5 \Rightarrow x = \frac{2{,}5}{0{,}5} = 5\). 5. Für \(i(x) = 4(x - 2) + 12\): \(4x - 8 + 12 = 0 \Rightarrow 4x + 4 = 0 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1\).

a) \(x = -3\) b) \(x = 8\) c) \(x = 5\) d) \(x = -1\)

- Welche Information liefert der Punkt mit \(x=0\) für die Form \(f(x)=mx+t\)? - Wie bestimmst du die Steigung aus den beiden gegebenen Punkten? - Welchen \(y\)-Wert hat ein Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Da \(P(0 \mid -3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, gilt \(t=-3\). 2. Die Steigung ist \(m=\frac{0-(-3)}{4-0}=\frac{3}{4}=0{,}75\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}75x-3\). 3. Die Gleichung \(f(x)=0\) beschreibt die Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse schneidet. Der Punkt \(Q(4 \mid 0)\) liegt bereits auf dieser Achse, daher ist \(x=4\) die Lösung.

a) \(f(x)=0{,}75x-3\) b) \(Q(4 \mid 0)\) gibt die Nullstelle direkt an; die Lösung ist \(x=4\).

- Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert \(y\) bzw. \(f(x)\)? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Unbekannten \(x\) auflösen? - Stell dir die \(x\)-Achse wie ein Lineal vor – welcher Wert liegt weiter in der positiven Richtung?

1. Berechnung der Nullstelle von \(f\): Ansatz \(f(x) = 0 \Rightarrow 2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_1 = 2{,}5\). 2. Berechnung der Nullstelle von \(g\): Ansatz \(g(x) = 0 \Rightarrow -x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4\). 3. Vergleich der Werte: Da \(4 > 2{,}5\), liegt die Nullstelle der Funktion \(g\) weiter rechts auf der \(x\)-Achse.

Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x_1 = 2{,}5\), die von \(g\) bei \(x_2 = 4\). Die Nullstelle von \(g\) liegt weiter rechts.

- Zähle nicht Punkte auf dem Graphen, sondern Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Was bedeutet eine waagerechte Gerade oberhalb der \(x\)-Achse für den Funktionswert 0? - Was passiert, wenn der gesamte Graph mit der \(x\)-Achse zusammenfällt?

1. In a) schneidet die Gerade die \(x\)-Achse genau einmal. Die Funktion hat genau eine Nullstelle. 2. In b) verläuft die waagerechte Gerade oberhalb der \(x\)-Achse und schneidet sie nicht. Die Funktion hat keine Nullstelle. 3. In c) liegt der Funktionsgraph auf der \(x\)-Achse. Daher ist jeder dargestellte \(x\)-Wert eine Nullstelle; die Funktion hat unendlich viele Nullstellen.

a) genau eine Nullstelle b) keine Nullstelle c) unendlich viele Nullstellen

- Wo schneidet die Gerade die waagerechte Zeitachse? - Welchen Höhenwert hat die Kerze an einem Punkt dieser Achse? - Was bedeutet eine Höhe von \(0\,\text{cm}\) im Kontext? - Können negative Kerzenhöhen eine reale Bedeutung haben?

1. Die Gerade schneidet die \(t\)-Achse bei \(t=6\). Dort ist \(h=0\), also liegt die Nullstelle bei \(t=6\,\text{h}\). 2. Im Sachzusammenhang bedeutet dies: Nach \(6\) Stunden ist die Kerze im Modell vollständig abgebrannt. 3. Für größere Zeiten liefert die Gerade negative Höhen. Eine Kerzenhöhe kann nicht negativ sein; dieser Teil ist nur die mathematische Fortsetzung des linearen Modells.

Nullstelle: \(t=6\,\text{h}\). Nach \(6\) Stunden ist die Kerze im Modell vollständig abgebrannt. Der danach eingezeichnete Bereich mit \(h<0\) ist sachlich nicht sinnvoll.

- Welche besondere Eigenschaft hat eine Ursprungsgerade am Punkt \((0 \mid 0)\)? - Was bedeutet eine Nullstelle für den Funktionswert? - Wie sieht der Graph einer konstanten Funktion mit Funktionswert \(0\) aus?

1. Für die Ursprungsgerade gilt \(t=0\). Aus \(2=4m\) folgt \(m=0{,}5\), also \(g_1(x)=0{,}5x\). Die Gleichung \(0{,}5x=0\) hat genau die Lösung \(x=0\). 2. Für \(g_2\) gilt \(m=-2\) und \(t=4\), also \(g_2(x)=-2x+4\). Aus \(-2x+4=0\) folgt \(x=2\). Es gibt genau eine Nullstelle. 3. Eine konstante Funktion hat überall denselben Funktionswert. Weil der Graph durch \(B(1 \mid 0)\) verläuft, gilt \(g_3(x)=0\) für alle \(x\in\mathbb Q\). Daher ist jede rationale Zahl eine Nullstelle; es gibt unendlich viele Nullstellen.

1. \(g_1(x)=0{,}5x\); genau eine Nullstelle bei \(x=0\) 2. \(g_2(x)=-2x+4\); genau eine Nullstelle bei \(x=2\) 3. \(g_3(x)=0\); unendlich viele Nullstellen, nämlich alle \(x\in\mathbb Q\)

- Löse die Klammern sorgfältig auf und achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Wenn ein Funktionswert vorgegeben ist, kannst du ihn mit dem vereinfachten Term gleichsetzen.

1. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(f(x)=x^2-8x+16-x^2+10x-15=2x+1\). 2. Für eine Nullstelle gilt \(f(x)=0\): \(2x+1=0\), also \(x=-0{,}5\). 3. Für die \(y\)-Koordinate \(12\) gilt \(12=2x+1\). Daraus folgt \(x=5{,}5\). Der Punkt ist \(Q(5{,}5\mid12)\).

a) \(f(x)=2x+1\) b) \(x=-0{,}5\) c) \(x=5{,}5\)

- Bestimme zuerst die Stelle, an der die erste Funktion die \(x\)-Achse schneidet. - Was bedeutet es für die zweite Funktion, wenn sie denselben Schnittpunkt auf der \(x\)-Achse hat? - Welchen Wert muss die zweite Funktion an dieser Stelle annehmen? - Kannst du diesen Wert nutzen, um eine Gleichung für den gesuchten Parameter aufzustellen?

1. Zuerst wird die Nullstelle der Funktion \(f\) berechnet: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\). 2. Da beide Graphen denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse haben sollen, muss auch die Funktion \(g\) bei \(x = 3\) eine Nullstelle haben. 3. Es gilt also die Bedingung \(g(3) = 0\). 4. Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung von \(g\): \(0 = a \cdot 3 + 3\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(3a = -3 \Rightarrow a = -1\). 6. Der gesuchte Parameter ist \(a = -1\).

\(a = -1\)

- Welche Gleichung beschreibt eine Nullstelle einer Funktion? - Welche Bedeutung hat ein Funktionswert von \(0\) bei einer Höhe, die relativ zum Talboden gemessen wird? - Wie begrenzt die Nullstelle den sachlich sinnvollen Zeitbereich? - Welche Größe musst du für den zweiten Wanderer ebenfalls als Nullstelle bestimmen, damit du die Ankunftszeiten vergleichen kannst?

1. Es gilt \(h(2{,}5)=1500-240\cdot2{,}5=900\). Nach \(2{,}5\) Stunden befindet sich der Wanderer noch \(900\,\text{m}\) über dem Talboden. 2. Für die Nullstelle gilt \(1500-240t_0=0\). Daraus folgt \(240t_0=1500\) und \(t_0=6{,}25\). 3. Der Nullstellenpunkt lautet \(N(6{,}25\mid0)\). Er bedeutet, dass der Wanderer nach \(6{,}25\,\text{h}=6\,\text{h}\,15\,\text{min}\) den Talboden erreicht. 4. Für die Wanderung ist daher \(0\le t\le6{,}25\) sinnvoll. Die modellierten Höhen erfüllen \(0\,\text{m}\le h(t)\le1500\,\text{m}\). 5. Für den zweiten Wanderer gilt an der Nullstelle \(1200-180t=0\). Damit ist \(t=\frac{20}{3}\,\text{h}=6\,\text{h}\,40\,\text{min}\). 6. Da \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}<6\,\text{h}\,40\,\text{min}\), erreicht der erste Wanderer das Tal zuerst.

a) \(900\,\text{m}\) über dem Talboden b) \(t_0=6{,}25\,\text{h}\); \(N(6{,}25\mid0)\). Der Punkt beschreibt das Erreichen des Talbodens nach \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). c) Zeitbereich: \(0\le t\le6{,}25\); Höhenbereich: \(0\,\text{m}\le h(t)\le1500\,\text{m}\) d) Nullstelle von \(g\): \(\frac{20}{3}\,\text{h}=6\,\text{h}\,40\,\text{min}\). Der erste Wanderer erreicht das Tal zuerst.

- Wenn eine Nullstelle gegeben ist, welchen Wert hat dann \(f(x)\) an dieser Stelle? - Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn du eine Zahl zum gesamten Term addierst?

1. Einsetzen der Nullstelle \(x = 2{,}5\) in \(f(x) = 0\): \(a \cdot 2{,}5 - 10 = 0\). 2. Auflösen nach \(a\): \(2{,}5a = 10 \Rightarrow a = 4\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): \(g(x) = (4x - 10) + 5 = 4x - 5\). 4. Nullstelle von \(g\) berechnen: \(4x - 5 = 0 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = 1{,}25\).

1. \(a = 4\) 2. Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x = 1{,}25\).

- Welche \(x\)-Koordinate hat der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welche Information liefert ein Punkt der Form \((0 \mid y)\) für \(y=mx+t\)? - Liegt der zweite bekannte Punkt rechts höher oder tiefer als der erste?

1. Für die Nullstelle von \(f\) gilt \(-\frac{1}{2}x+4=0\). Daraus folgt \(x=8\), also liegt der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(S_x(8 \mid 0)\). 2. Der Punkt \(P(0 \mid -4)\) liefert den \(y\)-Achsenabschnitt \(t=-4\). 3. Für \(S_x(8 \mid 0)\) gilt \(0=8m-4\). Daraus folgt \(m=0{,}5\) und somit \(g(x)=0{,}5x-4\). 4. Ohne Rechnung erkennt man das positive Vorzeichen der Steigung daran, dass die Gerade von \(P(0 \mid -4)\) zu \(S_x(8 \mid 0)\) nach rechts ansteigt.

\(g(x)=0{,}5x-4\). Die Steigung ist positiv, weil der Graph zwischen \(P(0 \mid -4)\) und \(S_x(8 \mid 0)\) nach rechts ansteigt.

- Welchen Parameter \(t\) kennst du bereits aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wie kannst du den gegebenen Punkt verwenden, um die Steigung zu bestimmen? - Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an einer Nullstelle?

1. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt \(t=3\). 2. Mit \(Q(5 \mid 13)\) gilt \(13=5m+3\). Daraus folgt \(10=5m\) und damit \(m=2\). 3. Die Funktion lautet \(f(x)=2x+3\). Für die Nullstelle setzt man \(f(x)=0\): \(0=2x+3\). Daraus folgt \(x=-1{,}5\).

Die Nullstelle liegt bei \(x=-1{,}5\).

- Bestimme zuerst die Nullstelle der gegebenen Funktion \(g\). - Welchen Punkt haben zwei Funktionen gemeinsam, wenn ihre Nullstelle gleich ist? - Wie kannst du aus diesem Punkt und der bekannten Steigung die zweite Geradengleichung bestimmen?

1. Für die Nullstelle von \(g\) gilt \(0=0{,}5x-2\). Daraus folgt \(x=4\), also ist der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse \(S_x(4 \mid 0)\). 2. Für \(f(x)=3x+t\) und den Punkt \(S_x(4 \mid 0)\) gilt \(0=12+t\). Daher ist \(t=-12\) und \(f(x)=3x-12\). 3. Somit gilt \(f(10)=30-12=18\).

\(f(10)=18\)

- Wenn eine Nullstelle bei einem bestimmten \(x\)-Wert liegt, was muss dann gelten, wenn du diesen Wert in die Funktionsgleichung einsetzt? - Wie verändert sich der Graph der Funktion, wenn die Steigung \(a\) immer kleiner wird und schließlich Null erreicht? - Überlege, wie eine Gerade verlaufen muss, damit sie die \(x\)-Achse niemals schneidet.

1. Teil a: Einsetzen der Nullstelle \(x = -4\) in die Bedingung \(f(x) = 0\): \(a(-4) + 6 = 0\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(a\): \(-4a = -6 \Rightarrow a = 1{,}5\). 3. Teil b: Untersuchung des Falls \(a = 0\). Die Funktionsgleichung lautet dann \(f(x) = 0x + 6 = 6\). 4. Da der Funktionswert konstant \(6\) ist und niemals \(0\) werden kann, existiert für \(a = 0\) keine Nullstelle. Der Graph ist eine Parallele zur \(x\)-Achse.

a) Der Parameter ist \(a = 1{,}5\). b) Für \(a = 0\) hat die Funktion keine Nullstelle, da \(f(x) = 6\) eine waagerechte Gerade ist, die die \(x\)-Achse nicht schneidet.

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? Welchen Wert musst du für \(y\) bzw. \(f(x)\) einsetzen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, was gilt dann für ihre Funktionswerte an dieser Stelle? - Schau dir die Ergebnisse aus den ersten beiden Teilaufgaben noch einmal genau an und vergleiche sie mit dem Ergebnis der dritten.

1. Nullstelle von \(f\): Der Ansatz \(f(x) = 0\) führt zur Gleichung \(\frac{2}{3}x - 4 = 0\). Durch Addition von \(4\) und Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\) erhält man \(x = 6\). 2. Nullstelle von \(g\): Der Ansatz \(g(x) = 0\) führt zur Gleichung \(-\frac{1}{3}x + 2 = 0\). Durch Subtraktion von \(2\) und Multiplikation mit \(-3\) erhält man \(x = 6\). 3. Schnittstelle berechnen: Gleichsetzen der Funktionsterme \(f(x) = g(x)\) ergibt \(\frac{2}{3}x - 4 = -\frac{1}{3}x + 2\). Addition von \(\frac{1}{3}x\) führt zu \(x - 4 = 2\), woraus durch Addition von \(4\) ebenfalls \(x = 6\) folgt. 4. Vergleich: Da beide Funktionen bei \(x = 6\) den Funktionswert \(0\) haben, liegt ihr Schnittpunkt genau auf der \(x\)-Achse.

a) \(x = 6\) b) \(x = 6\) c) Die Stelle ist \(x = 6\). Auffällig ist, dass beide Funktionen dieselbe Nullstelle haben und sich daher genau dort auf der \(x\)-Achse schneiden.

- Welche Bedingung gilt am Schnittpunkt eines Graphen mit der \(x\)-Achse? - Was bedeutet „weiter rechts“ für die \(x\)-Koordinaten der beiden Schnittpunkte? - Welchen Funktionswert erhältst du jeweils bei \(x=0\)?

1. Für \(g\) gilt bei \(x=0\): \(g(0)=6\), also \(S_y(0 \mid 6)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(-1{,}5x+6=0\), daraus folgt \(x=4\) und \(S_x(4 \mid 0)\). 2. Für \(h\) gilt bei \(x=0\): \(h(0)=-3\), also \(S_y(0 \mid -3)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0{,}5x-3=0\), daraus folgt \(x=6\) und \(S_x(6 \mid 0)\). 3. Weil \(6>4\), schneidet der Graph von \(h\) die \(x\)-Achse weiter rechts. 4. Nur der \(y\)-Achsenabschnitt von \(g\) ist positiv; daher schneidet \(g\) die \(y\)-Achse im positiven Bereich.

a) \(g\): \(S_x(4 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid 6)\); \(h\): \(S_x(6 \mid 0)\), \(S_y(0 \mid -3)\) b) Die Gerade von \(h\), weil \(6>4\). c) Die Gerade von \(g\).

- Was bedeutet es für zwei Funktionen, wenn sie „dieselbe Nullstelle“ haben? - Berechne zuerst den \(x\)-Wert, für den \(p(x)\) null wird. - Wie kannst du diesen \(x\)-Wert nutzen, um die unbekannte Zahl in der anderen Gleichung zu finden?

1. Die Nullstelle von \(p(x)\) berechnen: \(2x - 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). 2. Da \(k\) dieselbe Nullstelle hat, muss gelten: \(k(4) = 0\). 3. Den Wert \(x = 4\) in die Gleichung für \(k\) einsetzen: \(a \cdot 4 + 10 = 0\). 4. Die Gleichung nach \(a\) auflösen: \(4a = -10 \Rightarrow a = -2{,}5\).

\(a = -2{,}5\)

- Welche zwei gut ablesbaren Gitterpunkte liefern die Steigung? - Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse? - Welche Bedingung gilt an einer Nullstelle? - Welche besondere Lage hat der Graph einer proportionalen Funktion?

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -3)\), also ist \(t=-3\). Von \((0 \mid -3)\) nach \((4 \mid 0)\) beträgt die waagerechte Änderung \(4\) und die senkrechte Änderung \(3\). Daher ist \(m=\frac{3}{4}=0{,}75\) und \(f(x)=0{,}75x-3\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=0{,}75x-3\). Daraus folgt \(x=4\). 3. Eine proportionale Funktion mit derselben Steigung verläuft durch den Ursprung. Daher ist \(p(x)=0{,}75x\).

a) \(m=0{,}75\), \(t=-3\) b) \(x=4\) c) \(p(x)=0{,}75x\)

- Wo schneidet die Gerade die \(y\)-Achse? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du für ein Steigungsdreieck verwenden? - Welcher Funktionswert gilt an der Nullstelle?

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(t=-4\). Geht man \(5\) Einheiten nach rechts, steigt die Gerade um \(4\) Einheiten. Daher ist \(m=\frac{4}{5}=0{,}8\) und \(f(x)=0{,}8x-4\). 2. Aus der Zeichnung liest man die Nullstelle \(x=5\) ab. 3. Rechnerisch gilt \(0=0{,}8x-4\). Daraus folgt \(x=5\), womit der abgelesene Wert bestätigt ist.

Funktionsgleichung: \(f(x)=0{,}8x-4\) Nullstelle: \(x=5\)

- Welcher Punkt auf der \(x\)-Achse gehört zur gegebenen Nullstelle? - Wie kannst du diesen Punkt zusammen mit der bekannten Steigung nutzen, um den Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen? - Welche Gleichung erhältst du anschließend für den vorgegebenen Funktionswert?

1. Schreibe \(f(x)=-0{,}4x+t\). Aus der Nullstelle folgt \(0=-0{,}4\cdot 5+t\), also \(t=2\). Damit ist \(f(x)=-0{,}4x+2\). 2. Für den gesuchten Funktionswert gilt \(-2=-0{,}4x+2\). Daraus folgt \(-4=-0{,}4x\) und damit \(x=10\).

Der Funktionswert beträgt \(-2\) für \(x=10\).

- Wie stark verändert sich die Wassermenge zwischen den beiden gegebenen Zeitpunkten pro Minute? - Wenn du die Änderungsrate kennst, kannst du von einem gegebenen Messwert zum Zeitpunkt \(t=0\) zurückrechnen. - Welche Wassermenge gehört zur Nullstelle der Funktion?

1. Die Änderung beträgt \(96\,\text{l}-144\,\text{l}=-48\,\text{l}\) in \(8\,\text{min}-2\,\text{min}=6\,\text{min}\). Die Änderungsrate ist daher \(-48:6=-8\,\text{l/min}\). 2. Mit dem Wert bei \(t=2\) gilt \(144=-8\cdot2+V(0)\). Daraus folgt \(V(0)=160\,\text{l}\). 3. Die Funktion lautet \(V(t)=160-8t\). 4. Für die Nullstelle gilt \(0=160-8t\). Daraus folgt \(t=20\,\text{min}\). 5. Die Nullstelle bedeutet: Nach \(20\,\text{min}\) ist der Behälter im linearen Modell leer.

\(V(t)=160-8t\). Die Nullstelle liegt bei \(t=20\,\text{min}\); dann ist der Behälter leer.

- Suche zwei Punkte, deren Koordinaten am Gitter eindeutig ablesbar sind. - Welche Änderung der Wassermenge gehört zur entsprechenden Zeitänderung? - Bei welchem Funktionswert liegt die Nullstelle?

1. Aus dem Graphen lassen sich zum Beispiel \((0|36)\) und \((6|0)\) ablesen. 2. Die Änderungsrate ist \(\frac{0-36}{6-0}=-6\,\text{l/min}\). Der Anfangswert beträgt \(36\,\text{l}\), also gilt \(V(t)=36-6t\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=36-6t\). Daraus folgt \(t=6\,\text{min}\). 4. Nach \(6\,\text{min}\) ist der Behälter im dargestellten Modell leer.

a) Zum Beispiel \((0|36)\) und \((6|0)\); \(V(t)=36-6t\). b) \(t=6\,\text{min}\). c) Nach \(6\,\text{min}\) ist der Behälter leer.

- Welche Gleichung muss an einer Nullstelle erfüllt sein? - Was sagt ein eindeutig bestimmter Ausdruck für \(x\) über die Anzahl der Nullstellen aus? - Wie verändert sich \(-\frac{t}{2}\), wenn \(t\) größer wird? - Welche Bedingung muss der Ausdruck für die Nullstelle in Teil c) erfüllen?

1. Für eine Nullstelle gilt \(2x+t=0\). Daraus folgt \(x=-\frac{t}{2}\). Für jeden rationalen Wert von \(t\) ergibt sich genau ein rationaler \(x\)-Wert. 2. Die Nullstelle hat die Koordinate \(x=-\frac{t}{2}\). Wird \(t\) größer, wird dieser Wert kleiner; die Nullstelle verschiebt sich auf der \(x\)-Achse nach links. 3. Für die gewünschte Nullstelle gilt \(-4{,}5=-\frac{t}{2}\). Multiplikation mit \(-2\) ergibt \(t=9\).

a) \(x=-\frac{t}{2}\); daher besitzt jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle. b) Wenn \(t\) größer wird, verschiebt sich die Nullstelle nach links. c) \(t=9\)

- Was passiert mit einer Gleichung, wenn du auf beiden Seiten denselben Wert subtrahierst? - Wie verändert sich die Lage eines Graphen im Koordinatensystem, wenn man von der Funktionsgleichung einen festen Wert abzieht? - Haben beide grafischen Darstellungen dieselbe Lösung für \(x\)?

1. Ausgangsgleichung: \(x + 2 = 5\). 2. Umformung zur Nullstellenform: Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten ergibt \(x + 2 - 5 = 0\), vereinfacht \(x - 3 = 0\). 3. Definition der Funktion \(h(x)\): Der linke Teil der umgeformten Gleichung entspricht der Funktionsvorschrift \(h(x) = x - 3\). Die Suche nach der Lösung von \(x - 3 = 0\) ist grafisch die Suche nach der Nullstelle von \(h\). 4. Berechnung der Lösung: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). 5. Vergleich der Sichtweisen: Bei Sichtweise 1 sucht man, wo die Gerade \(y = x + 2\) die Höhe \(5\) erreicht. Bei Sichtweise 2 hat man das gesamte System um \(5\) Einheiten nach unten verschoben, sodass man nun den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Höhe \(0\)) sucht. Die \(x\)-Koordinate bleibt dabei gleich.

Man gelangt zur zweiten Sichtweise, indem man die Gleichung durch Subtraktion von \(5\) auf die Form „Ausdruck \( = 0\)“ bringt (\(x - 3 = 0\)). Grafisch entspricht dies einer vertikalen Verschiebung der Graphen, die die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts unberührt lässt. Die Lösung ist \(x = 3\).

- Welche Gleichung erhältst du bei \(m=1{,}5\), wenn der Funktionswert null sein soll? - Welche Graphen entstehen bei \(m=0\) für \(t=0\) und für \(t\ne 0\)? - Wie viele Punkte bestimmen eine Gerade eindeutig?

1. Für \(m=1{,}5\) gilt an einer Nullstelle \(1{,}5x+t=0\). Daraus folgt \(x=-\frac{t}{1{,}5}\). Für jeden Wert von \(t\) gibt es genau eine Nullstelle; in diesem Fall stimmt die Hypothese. 2. Für \(m=0\) lautet die Gleichung \(y=t\). Bei \(t\ne 0\) gibt es keine Nullstelle. Bei \(t=0\) ist der Graph die \(x\)-Achse selbst und jeder \(x\)-Wert ist eine Nullstelle. Die Anzahl der Nullstellen kann sich also ändern. 3. Schneidet eine Gerade die \(x\)-Achse in zwei verschiedenen Punkten, so ist sie durch diese beiden Punkte eindeutig festgelegt und muss mit der \(x\)-Achse identisch sein. Dann hat sie unendlich viele gemeinsame Punkte mit der \(x\)-Achse. Genau zwei Schnittpunkte sind daher unmöglich.

a) Ja. Für \(m=1{,}5\) gibt es für jeden Wert von \(t\) genau eine Nullstelle. b) Nein. Für \(m=0\) gibt es bei \(t\ne 0\) keine und bei \(t=0\) unendlich viele Nullstellen. c) Nein. Zwei verschiedene Schnittpunkte würden die Gerade bereits als \(x\)-Achse festlegen; dann gäbe es unendlich viele Schnittpunkte.

- Welche zwei Punkte der linearen Funktion sind durch die Angaben sicher bekannt? - Bestimme zuerst die Höhenänderung pro Minute. - Wenn die Funktionsgleichung feststeht, kannst du sowohl rückwärts zum Start als auch zu einer vorgegebenen Höhe rechnen. - Welche physikalische Bedeutung hat die gegebene Nullstelle für den sinnvollen Modellbereich?

1. Die Punkte \((7|44)\) und \((18|0)\) gehören zum Modell. Die Änderungsrate ist \(\frac{0-44}{18-7}=-4\,\text{m/min}\). 2. Mit \(h(7)=44\) gilt \(44=-4\cdot7+h(0)\). Daraus folgt \(h(0)=72\,\text{m}\). Also ist \(h(t)=72-4t\). 3. Die Anfangshöhe beträgt \(72\,\text{m}\). 4. Für \(24\,\text{m}\) gilt \(24=72-4t\). Daraus folgt \(t=12\,\text{min}\). 5. Das Modell beschreibt die Bewegung von Beobachtungsbeginn bis zum Erreichen des Bodens, also für \(0\le t\le18\).

a) \(h(t)=72-4t\). b) \(72\,\text{m}\). c) Nach \(12\,\text{min}\). d) \(0\le t\le18\).