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- Wo auf dem Koordinatensystem ist der Funktionswert (also der \(y\)-Wert) genau gleich Null? - Was passiert mit einer Geraden, wenn sie die \(x\)-Achse kreuzt? - Welchen Wert hat die \(y\)-Koordinate an jedem Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = -2x + 6\). 2. Berechnung der Nullstelle durch Gleichsetzen mit Null: \(-2x + 6 = 0\). 3. Umformen der Gleichung: \(-2x = -6\), woraus \(x = 3\) folgt. 4. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse: Da der \(y\)-Wert an der Nullstelle immer \(0\) ist, lautet der Punkt \(N(3 \mid 0)\). 5. Grafische Interpretation: Die Lösung der Gleichung \(x = 3\) entspricht genau der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts des Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(3 \mid 0)\). Die Lösung der Gleichung (\(x = 3\)) ist die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts, auch Nullstelle genannt.

- Welchen Funktionswert hat eine Funktion an einer Nullstelle? - Setze den Funktionsterm gleich \(0\) und löse die entstehende lineare Gleichung nach \(x\) auf.

Zur Bestimmung der Nullstellen wird der jeweilige Funktionswert gleich \(0\) gesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst. 1. Für \(g_1(x) = 3{,}2x + 8\): \(0 = 3{,}2x + 8 \implies -8 = 3{,}2x \implies x = -2{,}5\). 2. Für \(g_2(x) = \frac{3}{5}x - 9\): \(0 = \frac{3}{5}x - 9 \implies 9 = \frac{3}{5}x \implies x = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15\).

a) \(x = -2{,}5\) b) \(x = 15\)

- Woran erkennt man mathematisch, dass ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie findet man heraus, welcher \(y\)-Wert zu einem bestimmten \(x\)-Wert auf einer Geraden gehört? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn sein \(y\)-Wert kleiner ist als der eines anderen Punktes mit demselben \(x\)-Wert?

1. Berechnung der Nullstelle von \(f\): Ansatz \(f(x) = 0\). \(1{,}2x - 3 = 0 \Rightarrow 1{,}2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{1{,}2} = 2{,}5\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N_f(2{,}5|0)\). 2. Vergleich mit der Funktion \(g\): Berechne den Funktionswert von \(g\) an der Stelle \(x = 2{,}5\). \(g(2{,}5) = 0{,}5 \cdot 2{,}5 + 1 = 1{,}25 + 1 = 2{,}25\). 3. Da die \(y\)-Koordinate von \(N_f\) (also \(0\)) kleiner ist als der Funktionswert \(g(2{,}5) = 2{,}25\), liegt der Punkt \(N_f\) unterhalb des Graphen von \(g\).

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2{,}5\), der Schnittpunkt ist \(N_f(2{,}5|0)\). b) Der Punkt \(N_f\) liegt unterhalb des Graphen von \(g\), da \(0 < 2{,}25\).

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Unbekannten umstellen? - Bei Teilaufgabe d) kann es helfen, zuerst die Klammer aufzulösen oder den Term zu vereinfachen.

1. Zur Bestimmung der Nullstelle wird die Funktionsgleichung gleich null gesetzt: \(f(x) = 0\). 2. Für \(f(x) = 6x + 18\): \(6x + 18 = 0 \Rightarrow 6x = -18 \Rightarrow x = -3\). 3. Für \(g(x) = \frac{3}{4}x - 6\): \(\frac{3}{4}x - 6 = 0 \Rightarrow \frac{3}{4}x = 6 \Rightarrow x = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). 4. Für \(h(x) = 2{,}5 - 0{,}5x\): \(2{,}5 - 0{,}5x = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 2{,}5 \Rightarrow x = \frac{2{,}5}{0{,}5} = 5\). 5. Für \(i(x) = 4(x - 2) + 12\): \(4x - 8 + 12 = 0 \Rightarrow 4x + 4 = 0 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1\).

a) \(x = -3\) b) \(x = 8\) c) \(x = 5\) d) \(x = -1\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung \(f(x) = 0\) mit der Bedeutung der Nullstelle verknüpfen?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts: Da der Punkt \(P(0 \mid -3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(b = -3\). 2. Berechnung der Steigung \(m\): Mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ergibt sich \(m = \frac{0 - (-3)}{4 - 0} = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}75x - 3\). 4. Grafische Interpretation von \(f(x) = 0\): Die Lösung dieser Gleichung ist der \(x\)-Wert, bei dem der Graph die \(x\)-Achse schneidet. 5. Identifikation der Lösung: Der Punkt \(Q(4 \mid 0)\) liegt auf der \(x\)-Achse (da der \(y\)-Wert \(0\) ist). Somit ist \(x = 4\) die Lösung der Gleichung.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}75x - 3\). b) Die Gleichung \(f(x) = 0\) fragt nach der Nullstelle der Funktion. Der Punkt \(Q(4 \mid 0)\) liegt auf der \(x\)-Achse, daher ist die Lösung \(x = 4\) direkt aus den Koordinaten von \(Q\) ablesbar.

- Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert \(y\) bzw. \(f(x)\)? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Unbekannten \(x\) auflösen? - Stell dir die \(x\)-Achse wie ein Lineal vor – welcher Wert liegt weiter in der positiven Richtung?

1. Berechnung der Nullstelle von \(f\): Ansatz \(f(x) = 0 \Rightarrow 2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_1 = 2{,}5\). 2. Berechnung der Nullstelle von \(g\): Ansatz \(g(x) = 0 \Rightarrow -x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4\). 3. Vergleich der Werte: Da \(4 > 2{,}5\), liegt die Nullstelle der Funktion \(g\) weiter rechts auf der \(x\)-Achse.

Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x_1 = 2{,}5\), die von \(g\) bei \(x_2 = 4\). Die Nullstelle von \(g\) liegt weiter rechts.

- Was zeichnet eine Ursprungsgerade im Vergleich zu einer allgemeinen linearen Funktion aus? - Wie viele Nullstellen kann eine Gerade haben, die direkt auf der x-Achse liegt? - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Nullstellen rechnerisch zu bestimmen.

1. Funktion \(g_1\): Da es eine Ursprungsgerade ist, gilt \(c = 0\). Mit \(A(4|2)\) ergibt sich \(2 = m \cdot 4\), also \(m = 0{,}5\). Die Gleichung ist \(g_1(x) = 0{,}5x\). Nullstelle: \(0{,}5x = 0 \implies x = 0\). Es gibt genau eine Nullstelle. 2. Funktion \(g_2\): Gegeben sind \(m = -2\) und \(c = 4\). Die Gleichung ist \(g_2(x) = -2x + 4\). Nullstelle berechnen: \(-2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2\). Es gibt genau eine Nullstelle. 3. Funktion \(g_3\): Eine konstante Funktion hat die Form \(f(x) = c\). Da der Graph durch \(B(1|0)\) geht, muss \(c = 0\) sein. Die Gleichung ist \(g_3(x) = 0\). Da der Funktionswert für jedes \(x\) Null ist, hat diese Funktion unendlich viele Nullstellen (sie liegt auf der x-Achse).

1. \(g_1(x) = 0{,}5x\); eine Nullstelle bei \(x = 0\). 2. \(g_2(x) = -2x + 4\); eine Nullstelle bei \(x = 2\). 3. \(g_3(x) = 0\); unendlich viele Nullstellen (jede reelle Zahl ist eine Nullstelle; der Graph ist die \(x\)-Achse).

- Bestimme zuerst die Stelle, an der die erste Funktion die \(x\)-Achse schneidet. - Was bedeutet es für die zweite Funktion, wenn sie denselben Schnittpunkt auf der \(x\)-Achse hat? - Welchen Wert muss die zweite Funktion an dieser Stelle annehmen? - Kannst du diesen Wert nutzen, um eine Gleichung für den gesuchten Parameter aufzustellen?

1. Zuerst wird die Nullstelle der Funktion \(f\) berechnet: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\). 2. Da beide Graphen denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse haben sollen, muss auch die Funktion \(g\) bei \(x = 3\) eine Nullstelle haben. 3. Es gilt also die Bedingung \(g(3) = 0\). 4. Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung von \(g\): \(0 = a \cdot 3 + 3\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(3a = -3 \Rightarrow a = -1\). 6. Der gesuchte Parameter ist \(a = -1\).

\(a = -1\)

- Wenn eine Nullstelle gegeben ist, welchen Wert hat dann \(f(x)\) an dieser Stelle? - Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn du eine Zahl zum gesamten Term addierst?

1. Einsetzen der Nullstelle \(x = 2{,}5\) in \(f(x) = 0\): \(a \cdot 2{,}5 - 10 = 0\). 2. Auflösen nach \(a\): \(2{,}5a = 10 \Rightarrow a = 4\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): \(g(x) = (4x - 10) + 5 = 4x - 5\). 4. Nullstelle von \(g\) berechnen: \(4x - 5 = 0 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = 1{,}25\).

1. \(a = 4\) 2. Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x = 1{,}25\).

- Was bedeutet es geometrisch, wenn zwei Funktionen dieselbe Nullstelle haben? - Welche Information liefert dir ein Punkt der Form \((0 \mid y)\) für die Funktionsgleichung \(y = mx + b\)? - Skizziere die beiden Punkte von \(g\) grob in ein Koordinatensystem. Geht der Graph „bergauf“ oder „bergab“?

1. Nullstelle von \(f\) berechnen: \(-\frac{1}{2}x + 4 = 0 \Rightarrow 4 = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = 8\). 2. Da \(g\) dieselbe Nullstelle hat, verläuft \(g\) durch \(N(8 \mid 0)\). 3. Punkt \(P(0 \mid -4)\) ist der y-Achsenabschnitt von \(g\), also \(b = -4\). 4. Steigung \(m\) von \(g\) mit \(N(8 \mid 0)\) bestimmen: \(m \cdot 8 - 4 = 0 \Rightarrow 8m = 4 \Rightarrow m = 0{,}5\). 5. Funktionsgleichung: \(g(x) = 0{,}5x - 4\). 6. Begründung der positiven Steigung: Der Graph startet bei einem negativen y-Wert (\(-4\)) und erreicht erst bei einem positiven x-Wert (\(8\)) die x-Achse. Da die Funktion linear ist, muss sie also steigen.

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0{,}5x - 4\). Die Steigung muss positiv sein, da der Funktionswert vom negativen y-Achsenabschnitt (\(-4\)) bis zur Nullstelle bei \(x = 8\) ansteigen muss.

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gegeben ist? - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte (oder ein Punkt und der Achsenabschnitt) bekannt sind? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten?

1. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b = 3\) aus der Aufgabenstellung. 2. Einsetzen des Punktes \(Q(5|13)\) in den Ansatz \(f(x) = mx + 3\), um die Steigung \(m\) zu berechnen: \(13 = m \cdot 5 + 3 \Rightarrow 10 = 5m \Rightarrow m = 2\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x + 3\). 4. Zur Berechnung der Nullstelle wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(0 = 2x + 3\). 5. Auflösen nach \(x\): \(-3 = 2x \Rightarrow x = -1{,}5\).

Die Nullstelle der Funktion liegt bei \(x = -1{,}5\).

- Kannst du zuerst herausfinden, an welcher Stelle die erste Funktion die \(x\)-Achse schneidet? - Wenn zwei Funktionen dieselbe Nullstelle haben, welchen Punkt haben sie dann gemeinsam? - Wie nutzt du die Steigung und diesen gemeinsamen Punkt, um die Gleichung der zweiten Funktion aufzustellen?

1. Berechnung der Nullstelle von \(g(x)\) durch Nullsetzen: \(0 = 0{,}5x - 2 \Rightarrow 2 = 0{,}5x \Rightarrow x = 4\). Die gemeinsame Nullstelle ist \(x = 4\); der gemeinsame Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4|0)\). 2. Aufstellen der Gleichung für \(f(x) = 3x + b\) unter Verwendung des Punktes \(S_x(4|0)\). 3. Bestimmung von \(b\): \(0 = 3 \cdot 4 + b \Rightarrow 0 = 12 + b \Rightarrow b = -12\). Die Gleichung für \(f\) ist \(f(x) = 3x - 12\). 4. Einsetzen von \(x = 10\) in die Funktion \(f\): \(f(10) = 3 \cdot 10 - 12\). 5. Ergebnis berechnen: \(30 - 12 = 18\).

Der Funktionswert an der Stelle \(10\) ist \(f(10) = 18\).

- Wenn eine Nullstelle bei einem bestimmten \(x\)-Wert liegt, was muss dann gelten, wenn du diesen Wert in die Funktionsgleichung einsetzt? - Wie verändert sich der Graph der Funktion, wenn die Steigung \(a\) immer kleiner wird und schließlich Null erreicht? - Überlege, wie eine Gerade verlaufen muss, damit sie die \(x\)-Achse niemals schneidet.

1. Teil a: Einsetzen der Nullstelle \(x = -4\) in die Bedingung \(f(x) = 0\): \(a(-4) + 6 = 0\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(a\): \(-4a = -6 \Rightarrow a = 1{,}5\). 3. Teil b: Untersuchung des Falls \(a = 0\). Die Funktionsgleichung lautet dann \(f(x) = 0x + 6 = 6\). 4. Da der Funktionswert konstant \(6\) ist und niemals \(0\) werden kann, existiert für \(a = 0\) keine Nullstelle. Der Graph ist eine Parallele zur \(x\)-Achse.

a) Der Parameter ist \(a = 1{,}5\). b) Für \(a = 0\) hat die Funktion keine Nullstelle, da \(f(x) = 6\) eine waagerechte Gerade ist, die die \(x\)-Achse nicht schneidet.

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? Welchen Wert musst du für \(y\) bzw. \(f(x)\) einsetzen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, was gilt dann für ihre Funktionswerte an dieser Stelle? - Schau dir die Ergebnisse aus den ersten beiden Teilaufgaben noch einmal genau an und vergleiche sie mit dem Ergebnis der dritten.

1. Nullstelle von \(f\): Der Ansatz \(f(x) = 0\) führt zur Gleichung \(\frac{2}{3}x - 4 = 0\). Durch Addition von \(4\) und Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\) erhält man \(x = 6\). 2. Nullstelle von \(g\): Der Ansatz \(g(x) = 0\) führt zur Gleichung \(-\frac{1}{3}x + 2 = 0\). Durch Subtraktion von \(2\) und Multiplikation mit \(-3\) erhält man \(x = 6\). 3. Schnittstelle berechnen: Gleichsetzen der Funktionsterme \(f(x) = g(x)\) ergibt \(\frac{2}{3}x - 4 = -\frac{1}{3}x + 2\). Addition von \(\frac{1}{3}x\) führt zu \(x - 4 = 2\), woraus durch Addition von \(4\) ebenfalls \(x = 6\) folgt. 4. Vergleich: Da beide Funktionen bei \(x = 6\) den Funktionswert \(0\) haben, liegt ihr Schnittpunkt genau auf der \(x\)-Achse.

a) \(x = 6\) b) \(x = 6\) c) Die Stelle ist \(x = 6\). Auffällig ist, dass beide Funktionen dieselbe Nullstelle haben und sich daher genau dort auf der \(x\)-Achse schneiden.

- Wie berechnet man die Stelle, an der ein Graph die \(x\)-Achse berührt? - Was bedeutet es geometrisch auf dem Zahlenstrahl, wenn ein Punkt „weiter rechts“ liegt? - Woran erkennst du in der Funktionsgleichung sofort den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Schnittpunkte für \(g(x)\) berechnen: \(y\)-Achse bei \(x=0 \Rightarrow g(0)=6 \Rightarrow S_y(0|6)\). \(x\)-Achse bei \(g(x)=0 \Rightarrow 0 = -1{,}5x + 6 \Rightarrow 1{,}5x = 6 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow S_x(4|0)\). 2. Schnittpunkte für \(h(x)\) berechnen: \(y\)-Achse bei \(x=0 \Rightarrow h(0)=-3 \Rightarrow S_y(0|-3)\). \(x\)-Achse bei \(h(x)=0 \Rightarrow 0 = 0{,}5x - 3 \Rightarrow 0{,}5x = 3 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow S_x(6|0)\). 3. Vergleich der \(x\)-Schnittpunkte: \(6 > 4\), daher schneidet der Graph von \(h\) die \(x\)-Achse weiter rechts. 4. Vergleich der \(y\)-Schnittpunkte: \(6\) ist positiv, \(-3\) ist negativ. Daher schneidet der Graph von \(g\) die \(y\)-Achse im Positiven.

a) \(g\): \(S_x(4|0)\), \(S_y(0|6)\); \(h\): \(S_x(6|0)\), \(S_y(0|-3)\) b) Die Gerade von \(h\), da die Nullstelle \(x = 6\) größer ist als \(x = 4\). c) Die Gerade von \(g\), da der \(y\)-Achsenabschnitt \(6\) positiv ist.

- Was bedeutet es für zwei Funktionen, wenn sie „dieselbe Nullstelle“ haben? - Berechne zuerst den \(x\)-Wert, für den \(p(x)\) null wird. - Wie kannst du diesen \(x\)-Wert nutzen, um die unbekannte Zahl in der anderen Gleichung zu finden?

1. Die Nullstelle von \(p(x)\) berechnen: \(2x - 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). 2. Da \(k\) dieselbe Nullstelle hat, muss gelten: \(k(4) = 0\). 3. Den Wert \(x = 4\) in die Gleichung für \(k\) einsetzen: \(a \cdot 4 + 10 = 0\). 4. Die Gleichung nach \(a\) auflösen: \(4a = -10 \Rightarrow a = -2{,}5\).

\(a = -2{,}5\)

- Für die Steigung kannst du zwei Punkte suchen, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen. - Die Nullstelle ist der Wert von \(x\), bei dem der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Was zeichnet eine proportionale Funktion im Vergleich zu einer allgemeinen linearen Funktion aus?

1. Aus dem Graphen ablesen: - Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -3)\), also ist \(b = -3\). - Geht man vom Punkt \((0 \mid -3)\) um \(4\) Einheiten nach rechts, muss man um \(3\) Einheiten nach oben gehen, um wieder auf der Geraden zu sein (\((4 \mid 0)\)). Die Steigung ist \(m = \frac{3}{4} = 0{,}75\). - Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}75x - 3\). 2. Nullstelle berechnen: \(0 = 0{,}75x - 3\) \(3 = 0{,}75x\) \(x = 4\) Die Nullstelle liegt bei \(x = 4\). 3. Proportionale Funktion: Eine proportionale Funktion verläuft durch den Ursprung (\(b = 0\)) und hat dieselbe Steigung. Gleichung: \(p(x) = 0{,}75x\).

a) Steigung \(m = 0{,}75\), \(y\)-Achsenabschnitt \(b = -3\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 4\). c) Die proportionale Funktion lautet \(p(x) = 0{,}75x\).

- An der Nullstelle ist der Funktionswert gleich \(0\). - Bestimme die Steigung mithilfe zweier Punkte, die genau auf Gitterpunkten liegen.

1. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = -4\). Geht man \(5\) Einheiten nach rechts, steigt die Gerade um \(4\) Einheiten. Daher ist \(m = \frac{4}{5} = 0{,}8\), also \(f(x) = 0{,}8x - 4\). 2. Aus der Zeichnung liest man die Nullstelle \(x = 5\) ab. 3. Zur rechnerischen Überprüfung setzt man \(f(x) = 0\): \(0 = 0{,}8x - 4\), also \(4 = 0{,}8x\) und \(x = 4 : 0{,}8 = 5\).

Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}8x - 4\) Nullstelle: \(x = 5\)

- Eine Nullstelle bei \(x = 5\) bedeutet, dass der Punkt \((5 \mid 0)\) auf dem Graphen liegt. - Nutze die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + b\), um zuerst den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) zu berechnen. - Setze anschließend den gegebenen Funktionswert ein und löse die Gleichung nach \(x\) auf.

1. Verwende die Form \(f(x) = mx + b\). 2. Aus der Nullstelle folgt \(f(5) = 0\), also \(0 = -0{,}4 \cdot 5 + b\). Damit ist \(b = 2\), und die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}4x + 2\). 3. Setze den gesuchten Funktionswert ein: \(-2 = -0{,}4x + 2\). 4. Löse nach \(x\) auf: \(-4 = -0{,}4x\), also \(x = 10\).

Der Funktionswert beträgt \(-2\) für \(x = 10\).

- Stelle dir vor, wie sich der Graph einer Geraden verschiebt, wenn du nur den y-Achsenabschnitt änderst. - Wenn du eine Gleichung nach \(x\) auflöst und ein eindeutiges Ergebnis erhältst, was sagt das über die Anzahl der Lösungen aus? - Was passiert mit einem negativen Ausdruck, wenn die darin enthaltene Variable größer wird?

1. Lösung zu a): Die Gleichung \(2x + c = 0\) wird nach \(x\) umgestellt: \(2x = -c \implies x = -\frac{c}{2}\). Da für jedes \(c\) genau ein Wert für \(x\) berechnet werden kann, existiert immer genau eine Nullstelle. 2. Analyse zu b): Die Nullstelle liegt bei \(x = -0{,}5c\). Wenn \(c\) größer wird, wird der Wert \(-0{,}5c\) kleiner (stärker negativ). Die Nullstelle verschiebt sich also auf der x-Achse nach links. 3. Berechnung zu c): Setze \(x = -4{,}5\) in die Formel für die Nullstelle ein: \(-4{,}5 = -\frac{c}{2}\). Multiplikation mit \(-2\) ergibt \(c = 9\).

a) \(x = -\frac{c}{2}\). Da dies für jedes \(c\) eine eindeutige Lösung ist, gibt es genau eine Nullstelle. b) Wenn \(c\) vergrößert wird, verschiebt sich die Nullstelle nach links (in negative Richtung), da der Wert \(-\frac{c}{2}\) kleiner wird. c) \(c = 9\)

- Was passiert mit einer Gleichung, wenn du auf beiden Seiten denselben Wert subtrahierst? - Wie verändert sich die Lage eines Graphen im Koordinatensystem, wenn man von der Funktionsgleichung einen festen Wert abzieht? - Haben beide grafischen Darstellungen dieselbe Lösung für \(x\)?

1. Ausgangsgleichung: \(x + 2 = 5\). 2. Umformung zur Nullstellenform: Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten ergibt \(x + 2 - 5 = 0\), vereinfacht \(x - 3 = 0\). 3. Definition der Funktion \(h(x)\): Der linke Teil der umgeformten Gleichung entspricht der Funktionsvorschrift \(h(x) = x - 3\). Die Suche nach der Lösung von \(x - 3 = 0\) ist grafisch die Suche nach der Nullstelle von \(h\). 4. Berechnung der Lösung: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). 5. Vergleich der Sichtweisen: Bei Sichtweise 1 sucht man, wo die Gerade \(y = x + 2\) die Höhe \(5\) erreicht. Bei Sichtweise 2 hat man das gesamte System um \(5\) Einheiten nach unten verschoben, sodass man nun den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Höhe \(0\)) sucht. Die \(x\)-Koordinate bleibt dabei gleich.

Man gelangt zur zweiten Sichtweise, indem man die Gleichung durch Subtraktion von \(5\) auf die Form „Ausdruck \( = 0\)“ bringt (\(x - 3 = 0\)). Grafisch entspricht dies einer vertikalen Verschiebung der Graphen, die die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts unberührt lässt. Die Lösung ist \(x = 3\).

- Probiere für \(n\) verschiedene Werte wie \(2\), \(-3\) oder \(0\) aus und schau, was mit dem Schnittpunkt passiert. - Was passiert bei einer Steigung von Null, wenn die Gerade genau auf der Höhe Null liegt? - Erinnere dich an die Definition einer Geraden: Kann sie Kurven machen oder ist sie immer schnurgerade?

1. Fall \(m = 1{,}5\): Die Nullstelle wird berechnet durch \(1{,}5x + n = 0 \implies x = -\frac{n}{1{,}5}\). Da für jeden beliebigen Wert von \(n\) genau ein Wert für \(x\) existiert, bleibt die Anzahl der Nullstellen immer konstant bei eins. Die Hypothese stimmt hier. 2. Fall \(m = 0\): Die Gleichung lautet \(y = n\). Wenn \(n \neq 0\), gibt es keine Nullstelle. Wenn \(n = 0\), ist die Gerade die \(x\)-Achse und hat unendlich viele Nullstellen. Eine Änderung von \(n\), zum Beispiel von \(1\) auf \(0\), ändert also die Anzahl der Nullstellen. Die Hypothese ist hier falsch. 3. Genau zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Schneidet sie die \(x\)-Achse in zwei verschiedenen Punkten, muss sie mit der \(x\)-Achse identisch sein. Dann besitzt sie jedoch unendlich viele Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. Daher kann eine Gerade die \(x\)-Achse nicht in genau zwei Punkten schneiden.

a) Ja, für \(m \neq 0\) gibt es unabhängig von \(n\) immer genau eine Nullstelle bei \(x = -\frac{n}{m}\). b) Bei \(m = 0\) ist die Hypothese falsch. Für \(n \neq 0\) gibt es keine Nullstelle, für \(n = 0\) unendlich viele. c) Nein. Schneidet eine Gerade die \(x\)-Achse in zwei verschiedenen Punkten, ist sie die \(x\)-Achse selbst und hat unendlich viele solche Schnittpunkte.