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- Woran kannst du in der Funktionsgleichung erkennen, wo der Graph die senkrechte Achse schneidet? - Wie kannst du die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks einzeichnen? - Was bedeutet es grafisch, wenn zwei Ausdrücke gleichgesetzt werden? - Welche Rechenoperation macht eine Subtraktion rückgängig?

1. Zeichnerische Lösung: Einzeichnen der Geraden \(f(x) = 1{,}5x - 3\) mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(-3\) und der Steigung \(1{,}5\). Einzeichnen der waagerechten Geraden \(y = 1{,}5\). Ablesen der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts ergibt \(x = 3\). 2. Rechnerische Lösung: Addition von \(3\) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt \(1{,}5x = 4{,}5\). Division durch \(1{,}5\) liefert das Ergebnis \(x = 3\).

\(x = 3\)

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Wie ist die Nullstelle einer Funktion definiert? - Welche Eigenschaft der Funktionsgleichung \(y = mx + b\) bestimmt die Neigung der Geraden?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Berechnung des Schnittpunkts: \(1{,}5x - 4 = -0{,}5x + 2\). 2. Addition von \(0{,}5x\) und \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(2x = 6\). 3. Division durch \(2\) liefert \(x = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 3\) in \(g(3) = -0{,}5 \cdot 3 + 2 = 0{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(3 | 0{,}5)\). 5. Berechnung der Nullstelle von \(f\): \(1{,}5x - 4 = 0 \Rightarrow 1{,}5x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{1{,}5} = \frac{8}{3} = 2{,}\overline{6}\). Grafisch ist dies der \(x\)-Wert, an dem der Graph die \(x\)-Achse schneidet. 6. Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Da die Steigung von \(f\) den Wert \(1{,}5\) hat, muss auch die Steigung von \(h\) den Wert \(1{,}5\) haben.

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3 | 0{,}5)\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\). Grafisch ist dies der Schnittpunkt des Graphen mit der \(x\)-Achse. c) Die Steigung von \(h\) muss \(1{,}5\) sein.

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle, an der sich zwei Geraden kreuzen? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, um den gemeinsamen \(x\)-Wert zu finden? - Wie findest du den passenden \(y\)-Wert, wenn du den \(x\)-Wert bereits kennst? - Denke beim Zeichnen daran, den \(y\)-Achsenabschnitt zuerst zu markieren.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(0{,}8x - 2 = -0{,}2x + 3\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(x - 2 = 3\) 3. Isolieren von \(x\): \(x = 5\) 4. Einsetzen von \(x = 5\) in \(f(x)\): \(y = 0{,}8 \cdot 5 - 2 = 2\) 5. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(5 | 2)\). 6. Zeichnerische Lösung: Einzeichnen der Geraden durch die Punkte \((0 | -2)\) mit Steigung \(0{,}8\) und \((0 | 3)\) mit Steigung \(-0{,}2\); der Schnittpunkt im Koordinatensystem bestätigt \(S(5 | 2)\).

Der Schnittpunkt ist \(S(5 | 2)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle des Schnittpunkts? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen? - Könnte es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner der Brüche zu multiplizieren?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2}{5}x + 3 = -\frac{1}{2}x - 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\) auf einer Seite: \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{2}x = -6 - 3\), was zu \(\frac{9}{10}x = -9\) führt 3. Lösen nach \(x\): \(x = -9 \cdot \frac{10}{9} = -10\) 4. Berechnen des \(y\)-Werts durch Einsetzen von \(x = -10\) in \(f(x)\): \(y = \frac{2}{5} \cdot (-10) + 3 = -4 + 3 = -1\) 5. Der Schnittpunkt ist \(S(-10 | -1)\)

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \(S(-10 | -1)\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Graphen schneiden? Wie hängen die Funktionswerte dort zusammen? - Erinnere dich daran, welchen Wert die Koordinate \(y\) an einer Nullstelle immer annehmen muss. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Funktionsgleichungen besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Schnittpunkt berechnen: Gleichsetzen der Funktionsterme \(0{,}5x + 2 = -2x + 7\). Addition von \(2x\) und Subtraktion von \(2\) führt zu \(2{,}5x = 5\), also \(x = 2\). Einsetzen in \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2 + 2 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|3)\). 2. Nullstellen bestimmen: Für \(f\) gilt \(0{,}5x + 2 = 0 \implies 0{,}5x = -2 \implies x = -4\). Für \(g\) gilt \(-2x + 7 = 0 \implies -2x = -7 \implies x = 3{,}5\). 3. Funktionswerte an der Stelle \(x = -4\): Einsetzen ergibt \(f(-4) = 0{,}5 \cdot (-4) + 2 = 0\) und \(g(-4) = -2 \cdot (-4) + 7 = 8 + 7 = 15\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(2|3)\). b) Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x = -4\), die von \(g\) bei \(x = 3{,}5\). c) Die Funktionswerte an der Stelle \(x = -4\) sind \(f(-4) = 0\) und \(g(-4) = 15\).

- Wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, welchen speziellen Wert hat dann seine \(y\)-Koordinate? - Wie gehst du vor, wenn der Ergebniswert (\(y\)) gegeben ist und du die Stelle (\(x\)) suchst? - Kannst du die Lage des Schnittpunkts direkt aus deinen Ergebnissen in Teil a) ablesen?

1. Schnittpunkt berechnen: \(3x - 9 = -x + 3 \implies 4x = 12 \implies x = 3\). Einsetzen in eine der Gleichungen ergibt \(y = 3 \cdot 3 - 9 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). 2. \(x\)-Werte für \(y = -3\): Für \(k\) gilt \(3x - 9 = -3 \implies 3x = 6 \implies x = 2\). Für \(l\) gilt \(-x + 3 = -3 \implies -x = -6 \implies x = 6\). 3. Begründung: Ein Punkt liegt genau dann auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist. Da die Berechnung des Schnittpunkts \(y = 0\) ergeben hat, liegt dieser auf der \(x\)-Achse. Alternativ zeigt die Berechnung der Nullstellen, dass beide Graphen dieselbe Nullstelle bei \(x = 3\) besitzen.

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). b) Bei der Funktion \(k\) ist dies der Wert \(x = 2\), bei der Funktion \(l\) der Wert \(x = 6\). c) Da die \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts \(0\) ist, liegt dieser Punkt definitionsgemäß auf der \(x\)-Achse.

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er der Schnittpunkt zweier Geraden ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den gemeinsamen \(x\)-Wert zu finden? - Wie kannst du den zugehörigen \(y\)-Wert berechnen, wenn du \(x\) bereits kennst? - Wie sieht die allgemeine Form einer Geradengleichung aus und welche Teile davon sind durch die Steigung und einen Punkt bereits festgelegt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x + 2 = -0{,}5x + 6\). Addition von \(0{,}5x\) ergibt \(2x + 2 = 6\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(2x = 4\), also \(x = 2\). Einsetzen in eine der Gleichungen: \(y = 1{,}5 \cdot 2 + 2 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|5)\). 2. Ansatz für Gerade \(k\): \(y = -2x + n\). Einsetzen des Punktes \(S(2|5)\): \(5 = -2 \cdot 2 + n \Rightarrow 5 = -4 + n \Rightarrow n = 9\). Die Gleichung lautet \(y = -2x + 9\).

1. Der Schnittpunkt ist \(S(2|5)\). 2. Die Funktionsgleichung der Geraden \(k\) lautet \(y = -2x + 9\).

- Überlege dir, welche Gerade bei \(x=0\) weiter oben liegt. - Wie verändern sich die \(y\)-Werte, wenn du dich von der \(y\)-Achse nach rechts oder links bewegst? - In welchem Quadranten sind die \(x\)-Werte positiv und die \(y\)-Werte negativ?

1. Analyse der \(y\)-Achsenabschnitte: Bei \(x = 0\) liegt die erste Gerade bei \(y = -2\) und die zweite Gerade bei \(y = -7\). Die erste Gerade liegt also oberhalb der zweiten. 2. Analyse der Steigungen: Die erste Gerade fällt (\(m = -3\)), während die zweite Gerade steigt (\(m = 2\)). 3. Bestimmung der \(x\)-Richtung: Da die obere Gerade fällt und die untere steigt, nähern sie sich für positive \(x\)-Werte an und schneiden sich dort. Somit ist \(x > 0\). 4. Bestimmung des Vorzeichens von \(y\): Für den Schnittpunkt gilt die erste Gleichung \(y = -3x - 2\). Wegen \(x > 0\) ist dort \(y < -2 < 0\). Damit liegt der Schnittpunkt im IV. Quadranten.

Der Schnittpunkt liegt im IV. Quadranten.

- Was stellt die Grundgebühr in der Funktionsgleichung dar? - Wie verändert sich der Gesamtpreis, wenn man eine Minute mehr telefoniert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich viel“ kosten? - Überlege dir, welcher Wert sich ändert (Variable) und welcher Wert fest bleibt (Konstante).

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Tarif „Basic“ ergibt sich \(y_B = 0{,}15 \cdot x + 8\). Für Tarif „Smart“ ergibt sich \(y_S = 0{,}05 \cdot x + 14\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(0{,}15 \cdot x + 8 = 0{,}05 \cdot x + 14\). 3. Auflösen nach \(x\): Subtraktion von \(0{,}05 \cdot x\) führt zu \(0{,}10 \cdot x + 8 = 14\). Subtraktion von \(8\) ergibt \(0{,}10 \cdot x = 6\). Division durch \(0{,}10\) ergibt \(x = 60\). Die Kosten sind bei \(60\) Minuten gleich hoch. 4. Interpretation: Bei weniger als \(60\) Minuten ist „Basic“ günstiger, bei mehr als \(60\) Minuten ist „Smart“ günstiger.

a) „Basic“: \(y = 0{,}15x + 8\); „Smart“: \(y = 0{,}05x + 14\) b) Bei \(60\) Minuten sind die Kosten gleich (\(17{,}00\,\text{€}\)). c) „Basic“ lohnt sich für Wenigtelefonierer (unter \(60\) Min.), „Smart“ für Vieltelefonierer (über \(60\) Min.).

- Betrachte jede Seite der Gleichung als eine eigene Funktionsvorschrift. - Was bedeutet das Gleichheitszeichen für die Graphen dieser beiden Funktionen? - In welchem Punkt haben beide Funktionen denselben Funktionswert? - Welcher Wert auf der horizontalen Achse gehört zu diesem Punkt?

1. Definition der Funktionen \(f(x) = 1{,}5x - 2\) und \(g(x) = -0{,}5x + 2\). 2. Zeichnen der Geraden \(f\) mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und der Steigung \(1{,}5\). 3. Zeichnen der Geraden \(g\) mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(2\) und der Steigung \(-0{,}5\). 4. Bestimmen des Schnittpunkts beider Geraden durch Ablesen im Koordinatensystem: \(S(2 | 1)\). 5. Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts ist die Lösung der Gleichung: \(x = 2\).

\(x = 2\)

- Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem, um eine Vorstellung der Lage zu bekommen. - Überlege dir, wie man die Steigung einer Geraden bestimmt, wenn zwei Punkte bekannt sind. - Wenn du die Gleichungen der beiden Diagonalen aufgestellt hast, kannst du ihren gemeinsamen Punkt durch Gleichsetzen finden.

1. Bestimmung der Geradengleichung für die Diagonale \(AC\) durch die Punkte \(A(-2|0)\) und \(C(4|3)\): Berechnung der Steigung: \(m_{AC} = \frac{3 - 0}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form mit \(A\): \(y - 0 = 0{,}5 \cdot (x - (-2)) \Rightarrow y = 0{,}5x + 1\). 2. Bestimmung der Geradengleichung für die Diagonale \(BD\) durch die Punkte \(B(0|4)\) und \(D(4|0)\): Berechnung der Steigung: \(m_{BD} = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\). Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 4\) ist direkt durch den Punkt \(B(0|4)\) gegeben, woraus die Gleichung \(y = -x + 4\) folgt. 3. Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen zur Ermittlung der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(0{,}5x + 1 = -x + 4\). Addition von \(x\) und Subtraktion von \(1\) ergibt \(1{,}5x = 3\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(x = 2\). 4. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen zur Bestimmung der \(y\)-Koordinate: \(y = -2 + 4 = 2\). Der Schnittpunkt der Diagonalen ist \(S(2|2)\).

Der Schnittpunkt der Diagonalen liegt bei \(S(2|2)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt die Gleichung einer Funktion erfüllt? - Erinnere dich an die Einteilung des Koordinatensystems in die vier Quadranten gegen den Uhrzeigersinn.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x - 2 = -x + 3\) 2. Zusammenfassen und nach \(x\) auflösen: \(2{,}5x = 5 \Rightarrow x = 2\) 3. \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in \(g(x)\) bestimmen: \(y = -2 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\) 4. Punktprobe für \(P(4|4)\) bei \(f\): \(1{,}5 \cdot 4 - 2 = 6 - 2 = 4\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(P\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Geraden 5. Bestimmung des Quadranten: Da sowohl der \(x\)-Wert als auch der \(y\)-Wert von \(S(2|1)\) positiv sind, liegt der Punkt im I. Quadranten

Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\). Der Punkt \(P(4|4)\) liegt auf dem Graphen von \(f\). Der Schnittpunkt \(S\) befindet sich im I. Quadranten, da beide Koordinaten positiv sind.

- Überlege dir, welcher Teil der Kosten fest ist und welcher von der Anzahl der Fotos abhängt. - Wie sieht eine allgemeine lineare Funktionsgleichung aus? - Um den Punkt der Kostengleichheit zu finden, kannst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen.

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: \(y_1 = 0{,}12x + 3{,}50\) und \(y_2 = 0{,}17x + 1{,}50\) 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(0{,}12x + 3{,}50 = 0{,}17x + 1{,}50\) 3. Umstellen der Gleichung: \(2{,}00 = 0{,}05x\) 4. Lösen nach \(x\): \(x = \frac{2}{0{,}05} = 40\) 5. Ergebnis: Bei genau \(40\) Fotos sind die Kosten beider Anbieter identisch.

Die Funktionsgleichungen lauten \(y = 0{,}12x + 3{,}50\) und \(y = 0{,}17x + 1{,}50\). Bei einer Anzahl von \(40\) Fotos kosten beide Angebote exakt gleich viel.

- Überlege dir, wie viel Geld jede Person nach einer Woche, zwei Wochen usw. hat. Kannst du dafür eine allgemeine Formel finden? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Werte „gleich“ sein sollen? - Wenn du den Zeitpunkt (die Anzahl der Wochen) gefunden hast, wie kannst du dann den Geldbetrag bestimmen?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen für das Ersparte \(y\) nach \(x\) Wochen: Tim: \(y_1 = 10x + 50\) Lea: \(y_2 = 15x + 20\) 2. Gleichsetzen der Terme, um den Zeitpunkt des gleichen Sparguthabens zu finden: \(10x + 50 = 15x + 20\) 3. Lösen der Gleichung nach \(x\): Subtraktion von \(10x\): \(50 = 5x + 20\) Subtraktion von \(20\): \(30 = 5x\) Division durch \(5\): \(x = 6\) 4. Berechnung des Betrags durch Einsetzen in eine der Gleichungen: \(y = 10 \cdot 6 + 50 = 60 + 50 = 110\) Das Guthaben ist nach \(6\) Wochen mit \(110\,\text{€}\) bei beiden gleich.

Nach \(6\) Wochen haben beide den gleichen Betrag von \(110\,\text{€}\) gespart.

- Wie viele Schnittpunkte musst du bestimmen, um alle Ecken eines Dreiecks zu finden? - Welche Paare von Geraden kannst du jeweils bilden? - Bei einer Geraden wie \(x = 2\) ist der \(x\)-Wert für alle Punkte auf der Geraden bereits bekannt. Wie hilft dir das beim Rechnen?

1. Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\): Gleichsetzen der Funktionsterme führt zu \(2x - 4 = -0{,}5x + 6\). Durch Umformen ergibt sich \(2{,}5x = 10\) und somit \(x = 4\). Einsetzen in \(g_1\) liefert \(y = 2 \cdot 4 - 4 = 4\). Erster Eckpunkt: \((4|4)\). 2. Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_3\): Da die Gerade \(g_3\) senkrecht bei \(x = 2\) verläuft, wird dieser Wert in \(g_1\) eingesetzt: \(y = 2 \cdot 2 - 4 = 0\). Zweiter Eckpunkt: \((2|0)\). 3. Schnittpunkt von \(g_2\) und \(g_3\): Einsetzen von \(x = 2\) in die Gleichung von \(g_2\) ergibt \(y = -0{,}5 \cdot 2 + 6 = 5\). Dritter Eckpunkt: \((2|5)\).

Die Eckpunkte des Dreiecks sind \((4|4)\), \((2|0)\) und \((2|5)\).

- Welche Größe ändert sich und welche bleibt zu Beginn fest? - Überlege, ob die Wassermenge zu- oder abnimmt und was das für das Vorzeichen der Steigung bedeutet. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt exakt gleich groß sind?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Becken A ergibt sich \(f(x) = 15x + 100\), für Becken B ergibt sich \(g(x) = -10x + 400\). 2. Interpretation für Becken B: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 400\) gibt die Anfangsmenge von \(400\,\text{l}\) an. Die Steigung \(m = -10\) gibt die Änderungsrate an, also dass pro Minute \(10\,\text{l}\) abfließen. 3. Gleichsetzen der Funktionen zur Berechnung des Schnittpunkts: \(15x + 100 = -10x + 400\). 4. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(25x = 300\), woraus \(x = 12\) folgt. 5. Berechnung des \(y\)-Werts: \(f(12) = 15 \cdot 12 + 100 = 180 + 100 = 280\). Nach \(12\,\text{Minuten}\) enthalten beide Becken \(280\,\text{l}\) Wasser.

a) \(f(x) = 15x + 100\) und \(g(x) = -10x + 400\) b) Der \(y\)-Achsenabschnitt (\(400\)) ist die Startmenge in Litern; die Steigung (\(-10\)) ist die Abflussrate in Litern pro Minute. c) Nach \(12\,\text{Minuten}\) sind in beiden Becken \(280\,\text{l}\).

- Was bedeutet es für den Graphen, wenn zwei Funktionen an derselben Stelle denselben Funktionswert haben? - Wie gehst du vor, wenn du den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen rechnerisch bestimmen möchtest? - Achte beim Einsetzen von \(0\) darauf, welcher Teil des Terms übrig bleibt.

1. Berechnung von \(g(6)\): \(\frac{1}{2} \cdot 6 - 4 = 3 - 4 = -1\). 2. Berechnung von \(h(6)\): \(-6 + 5 = -1\). Die Funktionswerte sind identisch. 3. Für Teilaufgabe b werden die Funktionsterme gleichgesetzt: \(\frac{1}{2}x - 4 = -x + 5\). 4. Durch Addition von \(x\) auf beiden Seiten erhält man \(1{,}5x - 4 = 5\). Durch Addition von \(4\) folgt \(1{,}5x = 9\). Division durch \(1{,}5\) ergibt \(x = 6\). 5. Für \(x = 0\) gilt \(g(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - 4 = -4\) und \(h(0) = -0 + 5 = 5\). 6. Damit ist \(g(0) + h(0) = -4 + 5 = 1\).

a) \(g(6) = -1\) und \(h(6) = -1\). Die Werte sind gleich. b) \(x = 6\) c) \(1\)

- Kannst du für beide Personen eine Gleichung aufstellen, die die Entfernung in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt? - Beachte den Zeitunterschied beim Start – wie wirkt sich die spätere Abfahrt auf die Fahrzeit des Radfahrers aus? - Was muss für die Entfernungen beider Personen im Moment des Einholens gelten? - Wie rechnet man Dezimalstunden (wie \(0{,}25\,\text{h}\)) in Minuten um?

1. Definition der Variablen: \(t\) sei die Zeit in Stunden seit dem Start des Wanderers um \(09{:}00\,\text{Uhr}\) und \(s\) die Entfernung von der Hütte in Kilometern. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: Wanderer: \(s = 5 \cdot t\) Radfahrer: \(s = 15 \cdot (t - 1{,}5)\), da er \(1{,}5\) Stunden später startet. 3. Gleichsetzen der Terme für \(s\): \(5t = 15(t - 1{,}5)\) 4. Auflösen der Gleichung: \(5t = 15t - 22{,}5 \implies 10t = 22{,}5 \implies t = 2{,}25\). 5. Berechnung des Zeitpunkts: \(2{,}25\,\text{Stunden}\) nach \(09{:}00\,\text{Uhr}\) entsprechen \(2\) Stunden und \(15\) Minuten, also \(11{:}15\,\text{Uhr}\). 6. Berechnung der Entfernung: \(s = 5 \cdot 2{,}25 = 11{,}25\,\text{km}\).

Der Radfahrer holt den Wanderer um \(11{:}15\,\text{Uhr}\) in einer Entfernung von \(11{,}25\,\text{km}\) von der Schutzhütte ein.

- Wie weit ist Anton nach einer Stunde? Wie weit nach zwei Stunden? Erstelle so die Tabelle. - Vergiss bei Boris nicht, dass er schon bei Kilometer 2 startet. - In der Zeichnung ist der Zeitpunkt des Einholens dort, wo sich die beiden Geraden schneiden. - Kannst du für beide Läufer einen Term für die Position nach \(t\) Stunden aufstellen?

1. Wertetabelle erstellen: Für Anton (Start bei \(0\,\text{km}\), \(+8\,\text{km}\) pro Stunde): \(0, 8, 16, 24, 32\). Für Boris (Start bei \(2\,\text{km}\), \(+6\,\text{km}\) pro Stunde): \(2, 8, 14, 20, 26\). 2. Rechnerische Überprüfung des Treffpunkts: Gleichung aufstellen: \(8 \cdot t = 2 + 6 \cdot t\). Subtraktion von \(6t\): \(2 \cdot t = 2\). Division durch 2: \(t = 1\). Nach \(1\,\text{Stunde}\) treffen sie sich bei Kilometer \(8\). 3. Entfernung nach \(1\,\text{Stunde}\): Beide befinden sich bei Kilometermarkierung \(8\).

a) Tabelle Anton: \(0, 8, 16, 24, 32\); Tabelle Boris: \(2, 8, 14, 20, 26\). b) Die Graphen sind Geraden; sie schneiden sich im Punkt \((1|8)\). c) Anton holt Boris nach genau \(1\,\text{Stunde}\) ein. d) Nach \(1\,\text{Stunde}\) sind beide \(8\,\text{km}\) vom Startpunkt entfernt.

- Wie viel Zentimeter verliert Kerze A in einer einzigen Stunde? - Kannst du für jede Kerze eine Formel aufstellen, die die Höhe nach einer bestimmten Zeit angibt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Dinge „gleich“ sind?

1. Bestimmung der Abbrandrate von Kerze A: In \(4\,\text{Stunden}\) verliert sie \(30\,\text{cm} - 18\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). Die Rate beträgt also \(12\,\text{cm} : 4\,\text{h} = 3\,\text{cm/h}\). 2. Berechnung der Höhe nach \(7\,\text{Stunden}\) (a): \(30\,\text{cm} - 7\,\text{h} \cdot 3\,\text{cm/h} = 30\,\text{cm} - 21\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Zeit bis zum vollständigen Abbrand (b): \(30\,\text{cm} : 3\,\text{cm/h} = 10\,\text{Stunden}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts gleicher Höhe (c): Aufstellen der Gleichungen für die Höhen \(h_A(t) = 30 - 3t\) und \(h_B(t) = 20 - t\). Gleichsetzen liefert \(30 - 3t = 20 - t\). 5. Lösen der Gleichung: \(10 = 2t \Rightarrow t = 5\). Nach \(5\,\text{Stunden}\) sind beide Kerzen gleich hoch. 6. Berechnung der gemeinsamen Höhe: \(h_B(5) = 20 - 5 = 15\,\text{cm}\).

a) Nach \(7\) Stunden ist Kerze A noch \(9\,\text{cm}\) hoch. b) Kerze A ist nach \(10\) Stunden komplett abgebrannt. c) Nach \(5\) Stunden sind beide Kerzen gleich hoch, nämlich genau \(15\,\text{cm}\).

- Kannst du die Position zweier Graphen vergleichen, indem du ihre Werte an derselben Stelle prüfst? - Was muss für die Funktionswerte am Schnittpunkt gelten? - Wie verändert sich die relative Lage zweier Geraden, nachdem sie sich gekreuzt haben?

1. Vergleich bei \(x = -2\): \(f(-2) = -(-2) + 2 = 4\) und \(g(-2) = 0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\). Da \(4 > -2\), liegt der Graph von \(f\) an dieser Stelle höher. 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsterme \(-x + 2 = 0{,}5x - 1\). Umformen ergibt \(3 = 1{,}5x\), woraus \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine der Funktionen ergibt \(y = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 | 0)\). 3. Bereich bestimmen: Da die Geraden sich bei \(x = 2\) schneiden und \(g\) eine positive Steigung hat, während \(f\) eine negative Steigung hat, liegt \(g\) für alle \(x > 2\) oberhalb von \(f\). Dies lässt sich auch durch die Ungleichung \(0{,}5x - 1 > -x + 2\) bestätigen, die zu \(x > 2\) führt.

a) Bei \(x = -2\) liegt der Graph von \(f\) höher (\(4 > -2\)). b) Der Schnittpunkt ist \(S(2 | 0)\). c) Der Graph von \(g\) liegt für alle \(x > 2\) oberhalb des Graphen von \(f\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Wie kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus einem gegebenen Punkt ablesen? - Welche Formel hilft dir, die Steigung zu berechnen, wenn du zwei Punkte kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen zur Bestimmung der \(x\)-Koordinate von \(S\): \(2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). 2. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen zur Bestimmung der \(y\)-Koordinate: \(y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|3)\). 3. Bestimmung der Geradengleichung \(y = mx + b\) für \(g_3\): Da der Punkt \(P(0|1)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\). 4. Berechnung der Steigung \(m\) mit dem Punkt \(S(2|3)\): \(3 = m \cdot 2 + 1 \Rightarrow 2 = 2m \Rightarrow m = 1\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(y = x + 1\).

a) \(S(2|3)\) b) \(y = x + 1\)

- Wenn zwei Graphen sich schneiden, haben sie an dieser Stelle denselben \(x\)- und \(y\)-Wert. - Wie gehst du vor, um eine Gerade mit negativer Steigung zu zeichnen? - Welche Schritte sind nötig, um eine Variable auf eine Seite der Gleichung zu isolieren? - Wie kannst du prüfen, ob dein berechneter \(x\)-Wert zu beiden Funktionsgleichungen passt?

1. Zeichnerische Lösung: Konstruktion der Geraden \(g\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(4\), Steigung \(-1\)) und \(h\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(-2\), Steigung \(2\)). Ablesen des Schnittpunkts \(S(2|2)\). 2. Rechnerische Lösung: Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(-x + 4 = 2x - 2\). Zusammenfassen der Terme mit \(x\) durch Addition von \(x\) führt zu \(4 = 3x - 2\). Addition von \(2\) ergibt \(6 = 3x\). Division durch \(3\) liefert \(x = 2\). 3. Bestimmung des \(y\)-Werts: Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen, zum Beispiel \(g(2) = -2 + 4 = 2\). Der berechnete Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

Schnittpunkt \(S(2|2)\)

- Betrachte die Steigungen auf beiden Seiten der Gleichung. - Was passiert, wenn du die Klammern auflöst? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel, und wann liegen sie genau aufeinander?

1. Vergleich der Terme \(2x + 5\) und \(2x - 3\): Beide Geraden haben die Steigung \(m = 2\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(5\) und \(-3\)). Die Geraden sind parallel und verschieden, daher gibt es keine Lösung. 2. Vereinfachung der rechten Seite: \(\frac{1}{2}(6x - 2) = 3x - 1\). Die Gleichung lautet \(3x - 1 = 3x - 1\). Beide Seiten beschreiben dieselbe Gerade. Jede reelle Zahl \(x\) ist eine Lösung, also gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Vergleich der Steigungen: Die linke Seite hat die Steigung \(m_1 = 4\), die rechte Seite \(m_2 = -1\). Da die Steigungen unterschiedlich sind, schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt. Es gibt genau eine Lösung.

1. Keine Lösung, da die Geraden parallel verlaufen (gleiche Steigung, verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte). 2. Unendlich viele Lösungen, da beide Seiten dieselbe Gerade beschreiben (identische Terme). 3. Genau eine Lösung, da die Geraden unterschiedliche Steigungen haben und sich somit in einem Punkt schneiden.

- Wenn du den \(x\)-Wert des Schnittpunkts kennst, wie kannst du den zugehörigen \(y\)-Wert bestimmen? - Welche Information liefert dir der Punkt \(S\) für die zweite Funktionsgleichung? - Kannst du den Punkt in die Gleichung einsetzen, in der noch eine Unbekannte steht?

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(x = -2\) in \(f(x)\): \(y = \frac{1}{2} \cdot (-2) + 1 = 0\) 2. Der Schnittpunkt ist \(S(-2 | 0)\). 3. Einsetzen der Koordinaten von \(S\) in die Funktionsgleichung von \(g\): \(0 = m \cdot (-2) + 4\) 4. Umstellen der Gleichung nach \(m\): \(2m = 4\) 5. Ergebnis: \(m = 2\)

Die Steigung ist \(m = 2\).

- Beginne damit, die Stelle zu finden, an der sich die ersten beiden Geraden treffen. - Was musst du tun, um zu beweisen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen sollst, ob drei Geraden durch denselben Punkt verlaufen?

1. Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) berechnen: \(3x - 4 = -x + 8\) 2. Gleichung lösen: \(4x = 12 \Rightarrow x = 3\) 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(3) = 3 \cdot 3 - 4 = 5\). Somit ist \(S(3 | 5)\). 4. Punktprobe für \(h(x)\) mit \(S(3 | 5)\): Einsetzen von \(x = 3\) in \(h(x)\). 5. \(h(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\) 6. Vergleich: Da \(h(3) = 5\) dem \(y\)-Wert von \(S\) entspricht, verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(S\).

Der Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) ist \(S(3 | 5)\). Der Graph von \(h\) verläuft ebenfalls durch diesen Punkt, da \(h(3) = 5\) ist.

- Welcher Wert stellt den Anfangszustand dar und welcher die Änderung pro Stunde? - Achte auf das Vorzeichen: Wird die Kerze beim Abbrennen höher oder niedriger? - Was muss für die beiden Funktionswerte gelten, wenn die Kerzen gleich hoch sind?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Kerze A gilt \(h_A(t) = 20 - 1{,}5t\), für Kerze B gilt \(h_B(t) = 15 - 0{,}5t\) 2. Gleichsetzen der Höhen: \(20 - 1{,}5t = 15 - 0{,}5t\) 3. Lösen der Gleichung nach \(t\): \(5 = t\), also \(t = 5\) 4. Berechnung der gemeinsamen Höhe: \(h_A(5) = 20 - 1{,}5 \cdot 5 = 20 - 7{,}5 = 12{,}5\) 5. Nach \(5\) Stunden sind beide Kerzen \(12{,}5\,\text{cm}\) hoch

a) \(h_A(t) = 20 - 1{,}5t\) und \(h_B(t) = 15 - 0{,}5t\) b) Nach \(5\) Stunden sind die Kerzen gleich hoch. c) Die Höhe beträgt dann \(12{,}5\,\text{cm}\).

- Kannst du den \(y\)-Wert des Schnittpunkts mit der vollständig bekannten Funktionsgleichung berechnen? - Welche Eigenschaft hat der Schnittpunkt in Bezug auf beide Funktionsgleichungen? - Wie kannst du den berechneten \(y\)-Wert nutzen, um die Lücke in der anderen Gleichung zu füllen?

1. Berechnung des \(y\)-Werts am Schnittpunkt durch Einsetzen von \(x = 4\) in \(g(x)\): \(g(4) = -1{,}2 \cdot 4 + 10 = -4{,}8 + 10 = 5{,}2\) 2. Da der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegt, muss \(f(4) = 5{,}2\) gelten. 3. Aufstellen der Gleichung für \(f(x)\): \(0{,}8 \cdot 4 + b = 5{,}2\) 4. Lösen nach \(b\): \(3{,}2 + b = 5{,}2 \Rightarrow b = 2\) 5. Der Schnittpunkt ist \(S(4 | 5{,}2)\) und der Parameter ist \(b = 2\).

Der Parameter ist \(b = 2\) und der Schnittpunkt liegt bei \(S(4 | 5{,}2)\).

- Stelle dir die beiden Nullstellen als Punkte auf einem Zahlenstrahl vor. Wie berechnet man die Entfernung zwischen zwei Zahlen? - Was musst du tun, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden? - Überlege dir kurz, wie du die Nullstellen einer Funktion berechnest, bevor du loslegst.

1. Schnittpunkt: Gleichsetzen \(-2x + 8 = x + 2 \implies 6 = 3x \implies x = 2\). Einsetzen in \(v(2) = 2 + 2 = 4\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|4)\). 2. Nullstellen: \(u(x) = 0 \implies -2x + 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4\). \(v(x) = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2\). 3. Abstand berechnen: Die Differenz der \(x\)-Koordinaten der zugehörigen Punkte beträgt \(4 - (-2) = 6\). Der Abstand ist somit \(6\) Längeneinheiten.

a) Der Schnittpunkt ist \(S(2|4)\). b) Die Nullstelle von \(u\) liegt bei \(x = 4\), die von \(v\) bei \(x = -2\). c) Der Abstand der zu den Nullstellen gehörenden Punkte auf der \(x\)-Achse beträgt \(6\) Längeneinheiten.

- Wie führt man eine Punktprobe durch? - Was zeichnet eine Ursprungsgerade im Vergleich zu einer allgemeinen linearen Funktion aus? - Wenn du die Steigung und einen Punkt kennst, wie findest du dann den \(y\)-Achsenabschnitt?

1. Punktprobe für \(P(4|1)\) in \(g_1\): \(1 = -4 + 5\). Da \(1 = 1\) eine wahre Aussage ist, liegt \(P\) auf \(g_1\). 2. Ursprungsgerade bedeutet \(y = m \cdot x\). Einsetzen von \(P(4|1)\): \(1 = m \cdot 4 \Rightarrow m = 0{,}25\). Die Gleichung ist \(y = 0{,}25x\). 3. Ansatz für \(g_3\): \(y = 0{,}5x + n\). Einsetzen von \(P(4|1)\): \(1 = 0{,}5 \cdot 4 + n \Rightarrow 1 = 2 + n \Rightarrow n = -1\). Die Gleichung ist \(y = 0{,}5x - 1\).

1. Ja, der Punkt \(P\) liegt auf \(g_1\). 2. Die Gleichung von \(g_2\) lautet \(y = 0{,}25x\). 3. Die Gleichung von \(g_3\) lautet \(y = 0{,}5x - 1\).

- Vergleiche die Steigungen der Geraden in jedem System. - Wenn eine Gerade unterhalb einer anderen startet, welche Steigung muss sie haben, um die andere bei positiven \(x\)-Werten einzuholen? - Was passiert mit dem Abstand der Geraden, wenn die untere Gerade flacher ist als die obere?

1. Vergleich der Ausgangslage: In beiden Systemen startet die erste Gerade bei \(y = 4\) und die zweite bei \(y = -1\). Die erste Gerade liegt also bei \(x = 0\) über der zweiten. 2. System A: Die zweite Gerade (\(m = 3\)) ist steiler als die erste (\(m = 0{,}5\)). Da sie weiter unten startet, aber schneller steigt, muss sie die erste Gerade bei einem positiven \(x\)-Wert einholen. 3. System B: Die zweite Gerade (\(m = 0{,}2\)) ist flacher als die erste (\(m = 0{,}5\)). Da sie weiter unten startet und langsamer steigt, kann sie die erste Gerade für \(x > 0\) niemals einholen. Die Geraden schneiden sich daher im Bereich \(x < 0\). 4. Ergebnis: In System B ist die \(x\)-Koordinate negativ.

In System B hat der Schnittpunkt eine negative \(x\)-Koordinate.

- Achte darauf, ob Wasser dazukommt oder abfließt. Welches Vorzeichen hat dann die Änderungsrate? - Was ist der Startwert für den zweiten Tank? - Wie findet man den Wert für das Volumen heraus, wenn man die Zeit bereits berechnet hat?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Tank 1 (Abfluss) wird durch \(V_1(t) = 1\,200 - 80 \cdot t\) beschrieben. Tank 2 (Zufluss) wird durch \(V_2(t) = 120 \cdot t\) beschrieben. 2. Gleichsetzen der Volumina: \(1\,200 - 80 \cdot t = 120 \cdot t\). 3. Auflösen nach \(t\): Addition von \(80 \cdot t\) auf beiden Seiten ergibt \(1\,200 = 200 \cdot t\). Division durch \(200\) liefert \(t = 6\). Nach \(6\) Stunden ist die Menge gleich. 4. Berechnung des Volumens: Einsetzen von \(t = 6\) in eine der Gleichungen, z. B. \(V_2(6) = 120 \cdot 6 = 720\). Es befinden sich dann \(720\,\text{Liter}\) in den Tanks.

a) \(V_1(t) = 1\,200 - 80t\) und \(V_2(t) = 120t\) b) Nach \(6\) Stunden ist die Wassermenge gleich. c) Zu diesem Zeitpunkt befinden sich \(720\,\text{Liter}\) in jedem Tank.

- Wie findest du den Punkt, an dem sich zwei Geraden schneiden? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Graph die waagerechte Achse schneidet? - Welche Maße eines Dreiecks kannst du direkt aus den Koordinaten der Eckpunkte ablesen? - Skizziere die Situation, um die Lage der Grundseite und der Höhe besser zu erkennen.

1. Gleichsetzen der Funktionsausdrücke zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(1{,}5x - 3 = -0{,}5x + 5\). 2. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(2x = 8 \implies x = 4\). 3. Einsetzen von \(x = 4\) in \(f(x)\): \(y = 1{,}5 \cdot 4 - 3 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid 3)\). 4. Nullstelle von \(f\): \(1{,}5x - 3 = 0 \implies 1{,}5x = 3 \implies x = 2\). Zugehöriger Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N_f(2 \mid 0)\). 5. Nullstelle von \(g\): \(-0{,}5x + 5 = 0 \implies 0{,}5x = 5 \implies x = 10\). Zugehöriger Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N_g(10 \mid 0)\). 6. Das Dreieck hat die Grundseite auf der \(x\)-Achse zwischen den Nullstellen. Länge der Grundseite: \(g = 10 - 2 = 8\). 7. Die Höhe des Dreiecks entspricht dem \(y\)-Wert des Schnittpunkts: \(h = 3\). 8. Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid 3)\). b) Die Nullstellen liegen bei \(x = 2\) (für \(f\)) und \(x = 10\) (für \(g\)). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(12\) Flächeneinheiten.

- Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung. - Wie berechnet man die Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktion erfüllt? - Was muss gelten, damit ein Punkt genau der Schnittpunkt zweier Graphen ist?

1. Steigung \(m_g\) berechnen: \(m_g = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 2}{0 - 6} = \frac{3}{-6} = -0{,}5\). 2. Da \(B(0 \mid 5)\) der \(y\)-Achsenabschnitt ist, lautet die Gleichung \(g(x) = -0{,}5x + 5\). 3. Schnittpunkt durch Gleichsetzen bestimmen: \(\frac{2}{3}x - 2 = -0{,}5x + 5\). 4. Umformen: \(\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x = 7 \implies \frac{7}{6}x = 7 \implies x = 6\). 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g(6) = -0{,}5 \cdot 6 + 5 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(6 \mid 2)\). 6. Punktprobe für \(P(3 \mid 0)\) bei \(f\): \(f(3) = \frac{2}{3} \cdot 3 - 2 = 2 - 2 = 0\). Da \(0 = 0\), liegt \(P\) auf \(f\). 7. Punktprobe für \(P(3 \mid 0)\) bei \(g\): \(g(3) = -0{,}5 \cdot 3 + 5 = 3{,}5\). Da \(3{,}5 \neq 0\), liegt \(P\) nicht auf \(g\).

a) Die Funktionsgleichung von \(g\) lautet \(y = -0{,}5x + 5\). b) Der Schnittpunkt ist \(S(6 \mid 2)\). c) Der Punkt \(P(3 \mid 0)\) liegt auf der Geraden \(f\), aber nicht auf der Geraden \(g\).

- Bestimme zuerst die Geradengleichung für die Bahn, von der nur zwei Punkte gegeben sind. - Erinnere dich daran, dass im Schnittpunkt beide Funktionsgleichungen denselben Wert liefern müssen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Punkt in beide Gleichungen einsetzt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für die Bahn 1 durch \(P(-1|4)\) und \(Q(5|1)\): Steigung \(m = \frac{1 - 4}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\). Berechnung des Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(Q\): \(1 = -0{,}5 \cdot 5 + b \Rightarrow 1 = -2{,}5 + b \Rightarrow b = 3{,}5\). Daraus ergibt sich die Gleichung \(y = -0{,}5x + 3{,}5\). 2. Ermittlung des Schnittpunkts durch Gleichsetzen beider Bahnen: \(2x - 4 = -0{,}5x + 3{,}5\). Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(2{,}5x = 7{,}5\). Division durch \(2{,}5\) ergibt \(x = 3\). 3. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in die Gleichung von Bahn 2: \(y = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Die Bahnen kreuzen sich im Punkt \(S(3|2)\).

Die Bahnen kreuzen sich im Punkt \(S(3|2)\).

- Erinnere dich daran, wie man eine Gerade mithilfe des Achsenabschnitts und der Steigung zeichnet. - Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Funktionstermen für die Lage der Graphen? - Welche Koordinate des Schnittpunkts gibt die Lösung für die Variable \(x\) an?

1. Graphen zeichnen: Gerade \(f\) verläuft durch \((0|-3)\) und \((2|1)\). Gerade \(g\) verläuft durch \((0|6)\) und \((6|0)\). 2. Schnittpunkt bestimmen: Durch Ablesen im Koordinatensystem ergibt sich der Schnittpunkt \(S(3|3)\). 3. Lösung der Gleichung: Da die Gleichung die Terme beider Funktionen gleichsetzt, entspricht die Lösung der x-Koordinate des Schnittpunkts, also \(x = 3\). 4. Bedeutung des Schnittpunkts: An der Stelle \(x = 3\) besitzen beide Funktionen denselben Funktionswert (hier \(y = 3\)). Der Schnittpunkt markiert die einzige Stelle, an der beide Funktionsgleichungen gleichzeitig erfüllt sind.

a) Die Graphen sind zwei Geraden, die sich im ersten Quadranten schneiden. b) Die Lösung ist \(x = 3\). c) Der Schnittpunkt \(S(3|3)\) gibt an, dass beide Funktionen für \(x = 3\) denselben Wert \(y = 3\) annehmen.

- Die allgemeine Form der Geradengleichung ist \(y = m \cdot x + n\). Was bedeuten \(m\) und \(n\) in diesem Bewegungsbeispiel? - Wenn Bert Anton einholt, müssen sie zur gleichen Zeit am gleichen Ort sein. - Achte auf die Einheiten auf den Achsen deines Koordinatensystems.

1. Funktionsgleichungen: Für Anton \(s_A(t) = 4t + 4\), für Bert \(s_B(t) = 6t\). 2. Einholvorgang berechnen (Schnittpunkt): \(4t + 4 = 6t\). 3. Nach \(t\) auflösen: \(4 = 2t \Rightarrow t = 2\,\text{h}\). 4. Kilometerstand berechnen: \(s_B(2) = 6 \cdot 2 = 12\,\text{km}\). 5. Interpretation der Steigung: Die Steigung entspricht der jeweiligen Wandergeschwindigkeit in \(\text{km/h}\).

Die Gleichungen sind \(s_A(t) = 4t + 4\) und \(s_B(t) = 6t\). Bert holt Anton nach \(2\,\text{h}\) bei Kilometer \(12\) ein. Die Steigungen der Geraden geben die Geschwindigkeiten der Wanderer an.

- Identifiziere, welche Geraden parallel zueinander verlaufen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei horizontalen Geraden? - Überlege dir, wie man die Länge einer waagerechten Strecke zwischen zwei Punkten bestimmt. - Erinnere dich an die Flächenformel für ein Parallelogramm.

1. Bestimmung der Eckpunkte durch Schnittpunktberechnung: - Schnittpunkt \(f\) mit \(h\): \(2 = x + 1 \Rightarrow x = 1\). Punkt \(P_1(1 | 2)\). - Schnittpunkt \(f\) mit \(k\): \(2 = x - 4 \Rightarrow x = 6\). Punkt \(P_2(6 | 2)\). - Schnittpunkt \(g\) mit \(k\): \(-3 = x - 4 \Rightarrow x = 1\). Punkt \(P_3(1 | -3)\). - Schnittpunkt \(g\) mit \(h\): \(-3 = x + 1 \Rightarrow x = -4\). Punkt \(P_4(-4 | -3)\). 2. Da \(f\) und \(g\) horizontale Geraden sind, kann die Strecke zwischen \(P_1\) und \(P_2\) (oder \(P_3\) und \(P_4\)) als Grundseite gewählt werden. 3. Länge der Grundseite: \(6 - 1 = 5\) (bzw. \(1 - (-4) = 5\)). 4. Die Höhe des Parallelogramms ist der vertikale Abstand zwischen den parallelen Geraden \(f\) und \(g\): \(2 - (-3) = 5\). 5. Flächeninhalt: \(A = 5 \cdot 5 = 25\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(25\,\text{FE}\).

- Skizziere die Situation grob, um die Lage des Dreiecks zu verstehen. - Welche Punkte der Geraden liegen direkt auf der \(y\)-Achse? - Wie lang ist die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten mit der \(y\)-Achse? - Welcher Wert des Schnittpunkts \(S\) gibt dir den senkrechten Abstand zur \(y\)-Achse an?

1. Schnittpunkt durch Gleichsetzen ermitteln: \(2x - 4 = -\frac{1}{3}x + 3\) 2. Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen: \(\frac{7}{3}x = 7 \Rightarrow x = 3\) 3. \(y\)-Wert berechnen: \(y = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(3|2)\) 4. Bestimmung der \(y\)-Achsenabschnitte: Für Gerade \(a\) ist \(n_a = -4\), für Gerade \(b\) ist \(n_b = 3\) 5. Länge der Grundseite auf der \(y\)-Achse berechnen: \(g = |3 - (-4)| = 7\) 6. Höhe des Dreiecks bestimmen: Die Höhe entspricht dem horizontalen Abstand des Schnittpunkts von der \(y\)-Achse, also \(h = |x_S| = 3\) 7. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10{,}5\)

Der Schnittpunkt der Geraden ist \(S(3|2)\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(10{,}5\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten).

- Es ist oft hilfreich, die Geschwindigkeit zuerst in Kilometer pro Minute umzurechnen, wenn nach Minuten gefragt ist. - Was bedeutet „Vorsprung“ für den \(y\)-Achsenabschnitt deiner Funktion? - An welchem Punkt im Koordinatensystem treffen sich die beiden Graphen, wenn ein Fahrzeug das andere einholt?

1. Umrechnung der Geschwindigkeiten in \(\text{km/min}\): \(v_{RE} = 120 : 60 = 2\,\text{km/min}\); \(v_{IC} = 160 : 60 = \frac{8}{3}\,\text{km/min}\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichungen: \(s_{RE}(t) = 2 \cdot t + 4\) (wegen \(4\,\text{km}\) Vorsprung); \(s_{IC}(t) = \frac{8}{3} \cdot t\). 3. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Einholzeitpunkts: \(2t + 4 = \frac{8}{3}t\). 4. Lösen der Gleichung: \(4 = \frac{8}{3}t - 2t \Rightarrow 4 = \frac{2}{3}t \Rightarrow t = 6\,\text{min}\). 5. Berechnung der Strecke: \(s_{IC}(6) = \frac{8}{3} \cdot 6 = 16\,\text{km}\).

a) \(s_{RE}(t) = 2t + 4\) und \(s_{IC}(t) = \frac{8}{3}t\) (mit \(t\) in Minuten und \(s\) in \(\text{km}\)). b) Der IC holt den RE nach \(6\,\text{Minuten}\) ein. c) Der IC hat dabei \(16\,\text{km}\) zurückgelegt.

- Wie kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Variablen lösen? Erinnere dich an das Additions- oder Einsetzungsverfahren. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Punkt eine Lösung für mehrere Gleichungen gleichzeitig ist? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, musst du seine Koordinaten in die Gleichung einsetzen. - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegen soll, muss er die Gleichung erfüllen. Nutze dies, um fehlende Parameter zu berechnen.

1. Bestimmung des Schnittpunkts \(S\): Addition der Gleichungen \(3x - y = 5\) und \(x + y = 7\) führt zu \(4x = 12\), also \(x = 3\). Einsetzen von \(x = 3\) in \(x + y = 7\) ergibt \(3 + y = 7\), also \(y = 4\). Der Schnittpunkt ist \(S(3|4)\). 2. Überprüfung für die dritte Gleichung: Einsetzen von \(S(3|4)\) in \(2x + 3y = 18\) ergibt \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 6 + 12 = 18\). Die Aussage ist wahr, der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden. 3. Berechnung von \(c\): Einsetzen von \(x = 3\) und \(y = 4\) in \(x - 2y = c\) ergibt \(3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5\). Somit ist \(c = -5\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3|4)\). b) Ja, \(S(3|4)\) ist eine Lösung der Gleichung, da \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\) eine wahre Aussage ist. c) Der Wert ist \(c = -5\).

- Achte darauf, ob die Wassermenge in einem Behälter zu- oder abnimmt. Welches Vorzeichen hat dann die Änderungsrate? - Stelle für jeden Behälter eine Gleichung auf, die die Menge nach einer bestimmten Zeit beschreibt. - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt zweier linearer Graphen zu berechnen?

1. Aufstellen der linearen Gleichungen für die Wassermenge \(V\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden: Behälter A: \(V_A(t) = 500 - 12t\) Behälter B: \(V_B(t) = 140 + 18t\) 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(500 - 12t = 140 + 18t\) 3. Auflösen nach \(t\): Addiere \(12t\): \(500 = 140 + 30t\) Subtrahiere \(140\): \(360 = 30t\) Dividiere durch \(30\): \(t = 12\) 4. Berechnung der Wassermenge zum Zeitpunkt \(t = 12\): \(V = 140 + 18 \cdot 12 = 140 + 216 = 356\) Nach \(12\) Stunden enthalten beide Behälter \(356\,\text{l}\).

Nach \(12\) Stunden enthalten beide Behälter jeweils \(356\,\text{l}\) Wasser.

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Nutze die Punktsteigungsform oder setze die gegebenen Werte in \(y = mx + b\) ein, um die fehlenden Größen zu finden. - Wenn du zwei Funktionsgleichungen hast, wie findet man dann die Stelle, an der sie denselben Wert haben?

1. Bestimmung von \(g_1\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist durch \(A(0|2)\) gegeben als \(b_1 = 2\). Die Steigung ist \(m_1 = \frac{4 - 2}{4 - 0} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Gleichung: \(y = 0{,}5x + 2\). 2. Bestimmung von \(g_2\): Mit \(m_2 = -1\) und Punkt \(C(6|2)\) folgt \(2 = -1 \cdot 6 + b_2\), also \(b_2 = 8\). Gleichung: \(y = -x + 8\). 3. Gleichsetzen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(0{,}5x + 2 = -x + 8\). 4. Umformen: \(1{,}5x = 6 \implies x = 4\). 5. \(y\)-Wert berechnen: \(y = -4 + 8 = 4\). 6. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(4|4)\).

Die Gleichungen lauten \(g_1: y = 0{,}5x + 2\) und \(g_2: y = -x + 8\). Der Schnittpunkt ist \(S(4|4)\).

- Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten für die jeweiligen Paare? - Kannst du die Gleichungen so umstellen, dass eine Variable alleine steht? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die Koordinaten in die jeweils andere Gleichung des Paares einsetzt.

1. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_2\): Addition der Gleichungen \(x - y = -2\) und \(2x + y = 8\) eliminiert \(y\) und ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\). Einsetzen in \(L_1\) liefert \(2 - y = -2\), woraus \(y = 4\) folgt. Eckpunkt: \((2|4)\). 2. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_1\) nach \(y = x + 2\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2(x + 2) = 4\). Vereinfachen führt zu \(3x + 4 = 4\), also \(x = 0\). Daraus folgt \(y = 0 + 2 = 2\). Eckpunkt: \((0|2)\). 3. Schnittpunkt von \(L_2\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_2\) nach \(y = 8 - 2x\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2(8 - 2x) = 4\). Dies führt zu \(-3x + 16 = 4\), also \(-3x = -12\) und \(x = 4\). Daraus folgt \(y = 8 - 2 \cdot 4 = 0\). Eckpunkt: \((4|0)\).

Die Eckpunkte des Dreiecks liegen bei \((2|4)\), \((0|2)\) und \((4|0)\).

- Stelle für beide Kletterhallen eine Gleichung für die monatlichen Gesamtkosten auf. - Was bedeutet es mathematisch, wenn beide Angebote „gleich viel“ kosten? - Vergleiche die Kosten für 5 Besuche, indem du den Wert in deine Gleichungen einsetzt.

1. Kostenfunktionen aufstellen: Sei \(x\) die Anzahl der Besuche. \(K_G(x) = 10 + 5x\) und \(K_K(x) = 7{,}5x\). 2. Gleichsetzen für Teil a): \(10 + 5x = 7{,}5x\). 3. Nach \(x\) auflösen: \(2{,}5x = 10 \implies x = 4\). Bei \(4\) Besuchen kosten beide \(30\,\text{€}\). 4. Kosten für \(5\) Besuche (Teil b): \(K_G(5) = 10 + 5 \cdot 5 = 35\,\text{€}\). \(K_K(5) = 7{,}5 \cdot 5 = 37{,}50\,\text{€}\). „Gipfelstürmer“ ist günstiger. Ersparnis: \(37{,}50\,\text{€} - 35\,\text{€} = 2{,}50\,\text{€}\). 5. Interpretation (Teil c): Da die Kosten pro Besuch bei „Gipfelstürmer“ (\(5\,\text{€}\)) geringer sind als bei „Klettermax“ (\(7{,}50\,\text{€}\)), wird der anfängliche Nachteil der Grundgebühr bei steigender Besuchszahl ausgeglichen. Ab dem \(5\). Besuch ist „Gipfelstürmer“ preiswerter.

a) Bei \(4\) Besuchen pro Monat kosten beide Hallen gleich viel (\(30\,\text{€}\)). b) Halle „Gipfelstürmer“ ist mit \(35\,\text{€}\) günstiger als Halle „Klettermax“ mit \(37{,}50\,\text{€}\). Die Ersparnis beträgt \(2{,}50\,\text{€}\). c) Ab \(5\) Besuchen pro Monat ist die Halle „Gipfelstürmer“ preiswerter, da dort jeder einzelne Besuch weniger kostet.

- Wenn du die Steigung und einen Punkt kennst, wie kannst du den fehlenden Teil der Gleichung finden? - Was haben parallele Geraden gemeinsam? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung?

1. Bestimmung von \(q(x)\): Ansatz \(q(x) = 2x + n\). 2. Einsetzen des Punktes \(S(4 \mid 2)\) in den Ansatz: \(2 = 2 \cdot 4 + n\). 3. Berechnen des \(y\)-Achsenabschnitts: \(2 = 8 + n \Rightarrow n = -6\). Somit \(q(x) = 2x - 6\). 4. Bestimmung von \(r(x)\): Parallelität zu \(p\) bedeutet gleiche Steigung, also \(m_r = -0{,}5\). 5. Da \(r\) durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Somit \(r(x) = -0{,}5x\).

a) Die Funktionsgleichung ist \(q(x) = 2x - 6\). b) Die Funktionsgleichung ist \(r(x) = -0{,}5x\).

- Was muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit sie parallel zueinander liegen? - Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen? - Erinnere dich daran, welche Bedingung ein Punkt erfüllen muss, um auf einer Geraden zu liegen.

1. Nullstelle von \(g\): Ansatz \(g(x) = 0 \Rightarrow -\frac{2}{3}x + 4 = 0\). Daraus folgt \(\frac{2}{3}x = 4\) und somit \(x = 6\). 2. Bestimmung von \(h\): Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, gilt \(m_h = -\frac{2}{3}\). Einsetzen von \(P(6|2)\) in \(y = mx + b\): \(2 = -\frac{2}{3} \cdot 6 + b \Rightarrow 2 = -4 + b \Rightarrow b = 6\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 6\). 3. Schnittpunkt von \(h\) und \(k\): Gleichsetzen \(-\frac{2}{3}x + 6 = x - 3\). 4. Lösen nach \(x\): \(9 = \frac{5}{3}x \Rightarrow x = \frac{27}{5} = 5{,}4\). 5. Einsetzen in \(k(x)\): \(y = 5{,}4 - 3 = 2{,}4\). Der Schnittpunkt ist \(S(5{,}4|2{,}4)\).

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 6\). b) \(h(x) = -\frac{2}{3}x + 6\) c) Der Schnittpunkt ist \(S(5{,}4|2{,}4)\).

- Was stellt der Startwert mathematisch in einer linearen Funktion dar? - Wenn zwei Werte gleich sein sollen, welches mathematische Verfahren bietet sich an? - Was bedeutet eine Änderung von \(x\) (Zeit) für das Ergebnis \(y\) (Geld)?

1. Aufstellen der Gleichungen: Lukas: \(f(x) = 5x + 20\); Sarah: \(g(x) = 2x + 50\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(5x + 20 = 2x + 50\). 3. Lösen nach \(x\): \(3x = 30 \Rightarrow x = 10\). Nach \(10\) Wochen ist das Guthaben gleich. 4. Berechnung des Betrags: \(f(10) = 5 \cdot 10 + 20 = 70\). Der Betrag beträgt \(70\,\text{€}\). 5. Interpretation der Steigung: Die Steigung gibt die wöchentliche Sparrate in Euro pro Woche an.

a) Lukas: \(f(x) = 5x + 20\); Sarah: \(g(x) = 2x + 50\) b) Nach \(10\) Wochen. c) Sie haben dann jeweils \(70\,\text{€}\). d) Die Steigung entspricht dem Betrag, der pro Woche dazukommt (Sparrate).

- Was stellt die \(x\)-Achse und was die \(y\)-Achse in deiner Zeichnung dar? - Wie kannst du den Zeitunterschied beim Start in der Funktionsgleichung oder im Graphen berücksichtigen? - Was passiert an der Stelle, an der sich die beiden Geraden schneiden? - Wie verändert sich die Steigung der Geraden, wenn jemand schneller oder langsamer läuft?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Zeit in Stunden seit \(09{:}00\,\text{Uhr}\), \(y\) ist die Entfernung vom Startpunkt in \(\text{km}\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Lena gilt \(y_L = 4 \cdot x\). Da Max \(1{,}5\,\text{Stunden}\) später startet, lautet seine Gleichung \(y_M = 16 \cdot (x - 1{,}5)\) für \(x \ge 1{,}5\). 3. Grafische Lösung: Zeichne für Lena den Strahl durch \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\). Zeichne für Max ab \(x = 1{,}5\) den Strahl durch \((1{,}5 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\). Der Schnittpunkt ist \(P(2 \mid 8)\). 4. Rechnerische Überprüfung: Gleichsetzen der Funktionen ergibt \(4x = 16x - 24\), woraus \(12x = 24\) und somit \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine Gleichung ergibt \(y = 4 \cdot 2 = 8\). 5. Interpretation: Der Wert \(x = 2\) entspricht \(2\,\text{Stunden}\) nach \(09{:}00\,\text{Uhr}\), also \(11{:}00\,\text{Uhr}\). Die Entfernung beträgt \(8\,\text{km}\). Die Steigung entspricht der Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\).

a) Für Lena gilt \(y_L = 4 \cdot x\) für \(x \ge 0\). Für Max gilt \(y_M = 16 \cdot (x - 1{,}5)\) für \(x \ge 1{,}5\). b) Der Graph von Lena verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\); der Graph von Max beginnt bei \((1{,}5 \mid 0)\) und verläuft ebenfalls durch \((2 \mid 8)\). c) Max holt Lena um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) in einer Entfernung von \(8\,\text{km}\) vom Startpunkt ein. d) Die Steigung gibt die jeweilige Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) an.

- Wenn ein Zug aus der entgegengesetzten Richtung kommt, wie wirkt sich das auf das Vorzeichen der Steigung aus? - Wo startet der zweite Zug auf der \(y\)-Achse, wenn die Entfernung von Ort \(A\) gemessen wird? - Kannst du den Treffpunkt im Diagramm markieren? Welche Koordinaten hat er? - Wie rechnet man Dezimalstunden (z. B. \(0{,}5\,\text{h}\)) in Minuten um?

1. Aufstellen der Funktionen mit Bezug auf Ort \(A\): Der Güterzug startet bei \(0\) und hat die Gleichung \(f(x) = 80 \cdot x\). Der Personenzug startet in \(250\,\text{km}\) Entfernung und fährt in die Gegenrichtung, also \(g(x) = 250 - 120 \cdot x\). 2. Grafische Darstellung: Zeichnen der Geraden \(f\) durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 80)\) sowie \(g\) durch \((0 \mid 250)\) und \((2 \mid 10)\). 3. Berechnung des Schnittpunkts: \(80x = 250 - 120x\). 4. Zusammenfassen: \(200x = 250\). 5. Lösung für \(x\): \(x = 1{,}25\,\text{Stunden}\) (entspricht \(1\,\text{Stunde}\) und \(15\,\text{Minuten}\)). 6. Berechnung der Entfernung: \(f(1{,}25) = 80 \cdot 1{,}25 = 100\,\text{km}\).

a) Mit \(x\) in Stunden und der Entfernung von Ort \(A\) als \(y\)-Wert gelten \(f(x) = 80 \cdot x\) und \(g(x) = 250 - 120 \cdot x\). Für das Diagramm kann man etwa \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 80)\) sowie \((0 \mid 250)\), \((2 \mid 10)\) eintragen. b) Grafisch ergibt sich der Treffpunkt \(S(1{,}25 \mid 100)\): nach etwa \(1{,}25\,\text{h}\) und \(100\,\text{km}\) von Ort \(A\) entfernt. c) Rechnerisch sind die exakten Werte \(1{,}25\,\text{h} = 1\,\text{h}\,15\,\text{min}\) und \(100\,\text{km}\).

- Was bedeutet es für das Vorzeichen der Steigung, wenn die Kerze kleiner wird? - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass zwei Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt identisch sind? - Welche Höhe hat eine Kerze, wenn sie „abgebrannt“ ist? - Kannst du die Brenndauer für jede Kerze einzeln berechnen, bevor du sie vergleichst?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Kerze A gilt \(h_A(t) = -3t + 24\), für Kerze B gilt \(h_B(t) = -1{,}5t + 18\). 2. Gleichsetzen der Funktionen für den Zeitpunkt gleicher Höhe: \(-3t + 24 = -1{,}5t + 18\). 3. Lösen der Gleichung: \(6 = 1{,}5t \Rightarrow t = 4\). Nach \(4\,\text{Stunden}\) sind beide Kerzen \(12\,\text{cm}\) hoch. 4. Berechnung der Gesamtbrenndauer (Höhe \(h = 0\)): Für Kerze A: \(0 = -3t + 24 \Rightarrow t = 8\). Für Kerze B: \(0 = -1{,}5t + 18 \Rightarrow t = 12\). 5. Vergleich: Kerze A brennt zuerst ab. Der Zeitunterschied beträgt \(12\,\text{h} - 8\,\text{h} = 4\,\text{Stunden}\).

a) \(h_A(t) = -3t + 24\); \(h_B(t) = -1{,}5t + 18\) b) Nach \(4\,\text{Stunden}\). c) Kerze A brennt zuerst ab (nach \(8\,\text{h}\)). Der Zeitunterschied zu Kerze B (\(12\,\text{h}\)) beträgt \(4\,\text{Stunden}\).

- Kannst du die festen Startwerte und die veränderlichen Raten in der Form \(y = mx + b\) identifizieren? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Mengen „gleich“ sind? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung hast, bei der die Variable auf beiden Seiten vorkommt? - Hast du überprüft, ob dein berechneter Wert für \(x\) in beiden ursprünglichen Situationen zum selben Ergebnis führt?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Tank A gilt \(y_A = 20x + 150\), für Tank B gilt \(y_B = 32{,}5x + 50\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(20x + 150 = 32{,}5x + 50\). 3. Lösen der Gleichung nach \(x\): Subtraktion von \(20x\) und \(50\) führt zu \(100 = 12{,}5x\). Division durch \(12{,}5\) ergibt \(x = 8\). Die Tanks haben nach \(8\,\text{Minuten}\) den gleichen Inhalt. 4. Berechnung des Wasserinhalts: Einsetzen von \(x = 8\) in eine der Gleichungen, zum Beispiel \(y_A = 20 \cdot 8 + 150 = 160 + 150 = 310\). Der Inhalt beträgt \(310\,\text{l}\).

a) \(y_A = 20x + 150\) und \(y_B = 32{,}5x + 50\) b) Nach \(8\,\text{Minuten}\) c) \(310\,\text{l}\)

- Wie findet man den gemeinsamen Punkt zweier Funktionsgraphen rechnerisch? - Was musst du tun, um zu testen, ob ein Punkt zu einer Geraden gehört? - Was weißt du über die Steigungen von Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welche Koordinaten hat der Ursprung im Koordinatensystem?

1. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsterme \(-1{,}5x + 6 = 0{,}5x - 2\). 2. Zusammenfassen der Terme: Addieren von \(1{,}5x\) und \(2\) ergibt \(8 = 2x\). Daraus folgt \(x = 4\). 3. Bestimmung des \(y\)-Werts: Einsetzen von \(x = 4\) in \(g(x)\) ergibt \(g(4) = 0{,}5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid 0)\). 4. Punktprobe für \(P(2 \mid 3)\) bei \(f\): Einsetzen von \(x = 2\) in \(f(x)\) ergibt \(f(2) = -1{,}5 \cdot 2 + 6 = -3 + 6 = 3\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(P\) auf dem Graphen. 5. Bestimmung der Geraden \(h\): Parallelität zu \(g\) bedeutet gleiche Steigung, also \(m = 0{,}5\). Da sie durch den Ursprung verläuft, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 0\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 0{,}5x\).

a) \(S(4 \mid 0)\) b) Ja, der Punkt \(P(2 \mid 3)\) liegt auf dem Graphen von \(f\), da \(f(2) = 3\). c) \(h(x) = 0{,}5x\)

- Stelle dir die Strecke als Zahlenstrahl vor. Wo befindet sich der Pkw zum Zeitpunkt seines Starts? - Wie verändert sich die Entfernung zum Nullpunkt (A-Stadt), wenn ein Fahrzeug aus der Gegenrichtung kommt? - Denke daran, die Zeitangaben in die gleiche Einheit (Stunden) umzurechnen, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Was bedeutet es für die Koordinaten der Fahrzeuge, wenn sie sich begegnen?

1. Festlegung der Variablen: \(t\) ist die Zeit in Stunden nach \(12{:}00\,\text{Uhr}\); \(s\) ist die Entfernung von A-Stadt in Kilometern. 2. Aufstellen der Bewegungsgleichungen: Lkw: \(s = 60 \cdot t\) Pkw: \(s = 180 - 90 \cdot (t - 0{,}75)\), da er \(45\,\text{Minuten} = 0{,}75\,\text{Stunden}\) später startet und sich aus \(180\,\text{km}\) Entfernung nähert. 3. Gleichsetzen der Positionen: \(60t = 180 - 90t + 67{,}5\) 4. Zusammenfassen und Lösen nach \(t\): \(150t = 247{,}5 \implies t = 1{,}65\). 5. Umrechnung in Uhrzeit: \(1{,}65\,\text{Stunden}\) sind \(1\,\text{Stunde}\) und \(0{,}65 \cdot 60 = 39\,\text{Minuten}\). Der Zeitpunkt ist \(13{:}39\,\text{Uhr}\). 6. Berechnung der Entfernung von A-Stadt: \(s = 60 \cdot 1{,}65 = 99\,\text{km}\).

Die Fahrzeuge begegnen sich um \(13{:}39\,\text{Uhr}\) in einer Entfernung von \(99\,\text{km}\) von A-Stadt.

- Was bedeutet „Grundgebühr“ mathematisch für deinen Term? - Wenn in der Aufgabe nach „egal“ gefragt wird, was bedeutet das für die Ergebnisse der beiden Terme? - Kannst du eine kleine Tabelle erstellen, um die Kosten für 1, 2, 3, 4, 5 Filme zu vergleichen?

1. Aufstellen der Terme: „Kino-Abend“: \(K(x) = 4{,}50 \cdot x\) „Film-Fan“: \(F(x) = 12{,}00 + 1{,}50 \cdot x\) 2. Kosten für \(3\) Filme: „Kino-Abend“: \(4{,}50 \cdot 3 = 13{,}50\,\text{€}\) „Film-Fan“: \(12{,}00 + 1{,}50 \cdot 3 = 16{,}50\,\text{€}\) 3. Kosten für \(5\) Filme: „Kino-Abend“: \(4{,}50 \cdot 5 = 22{,}50\,\text{€}\) „Film-Fan“: \(12{,}00 + 1{,}50 \cdot 5 = 19{,}50\,\text{€}\) 4. Bestimmung der Gleichheit (Schnittpunkt): \(4{,}5x = 12 + 1{,}5x\) \(3x = 12\) \(x = 4\) Bei \(4\) Filmen kosten beide Modelle genau \(18{,}00\,\text{€}\).

a) Kino-Abend: \(4{,}50 \cdot x\); Film-Fan: \(12{,}00 + 1{,}50 \cdot x\). b) Bei 3 Filmen: Kino-Abend \(13{,}50\,\text{€}\), Film-Fan \(16{,}50\,\text{€}\). Bei 5 Filmen: Kino-Abend \(22{,}50\,\text{€}\), Film-Fan \(19{,}50\,\text{€}\). Bei genau 4 Filmen sind die Kosten identisch.

- Wie findet man die gemeinsamen Punkte von Geraden? - Wenn eine Seite des Dreiecks waagerecht liegt, wie kannst du dann ihre Länge und die dazugehörige Höhe besonders einfach bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

1. Berechnung des Eckpunkts \(A\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_2\): \(\frac{1}{2}x + 2 = -x + 5 \Rightarrow 1{,}5x = 3 \Rightarrow x = 2\). Einsetzen ergibt \(y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 3\). Also \(A(2|3)\). 2. Berechnung des Eckpunkts \(B\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_3\): \(-1 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow -3 = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = -6\). Also \(B(-6|-1)\). 3. Berechnung des Eckpunkts \(C\) durch Schnitt von \(g_2\) und \(g_3\): \(-1 = -x + 5 \Rightarrow x = 6\). Also \(C(6|-1)\). 4. Die Seite \(BC\) liegt auf der horizontalen Geraden \(y = -1\). Ihre Länge (Basis \(g\)) ist die Differenz der \(x\)-Werte: \(|6 - (-6)| = 12\). 5. Die Höhe \(h\) ist der vertikale Abstand des Punktes \(A(2|3)\) zur Geraden \(y = -1\): \(|3 - (-1)| = 4\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24\).

a) Eckpunkte: \(A(2|3)\), \(B(-6|-1)\) und \(C(6|-1)\) b) Flächeninhalt: \(24\) Flächeneinheiten

- Versuche die Eckpunkte in Abhängigkeit von \(c\) auszudrücken. - Welche Punkte liegen auf der Geraden \(y = c\)? - Was passiert mit dem Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

1. Schnittpunkte bestimmen: - \(f \cap g\): \(x = -x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0\). Erster Eckpunkt ist der Ursprung \(O(0|0)\). - \(f \cap h\): \(x = c, y = c\). Zweiter Eckpunkt ist \(P_1(c|c)\). - \(g \cap h\): \(-x = c \Rightarrow x = -c, y = c\). Dritter Eckpunkt ist \(P_2(-c|c)\). 2. Die Basis des Dreiecks liegt auf der Geraden \(y = c\). Die Länge der Basis ist die Differenz der \(x\)-Koordinaten von \(P_1\) und \(P_2\): \(g = c - (-c) = 2c\). 3. Die Höhe des Dreiecks ist der Abstand vom Ursprung zur Geraden \(y = c\), also \(h = c\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\). Damit ist die Formel gezeigt. 5. Analyse der Änderung: Wenn \(c\) verdoppelt wird (\(c_{\text{neu}} = 2c\)), dann gilt für den neuen Flächeninhalt \(A_{\text{neu}} = (2c)^2 = 4c^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also.

a) Die Eckpunkte sind \((0|0)\), \((c|c)\) und \((-c|c)\). Die Basis ist \(2c\), die Höhe \(c\), woraus \(A = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\) folgt. b) Der Flächeninhalt vervierfacht sich, da \(c\) in der Flächenformel quadratisch eingeht: \((2c)^2 = 4c^2\).

- Überlege dir für jeden Tank einzeln, ob das Volumen zu- oder abnimmt. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Bestände „gleich groß“ sind? - Wie kannst du den berechneten Zeitpunkt nutzen, um die tatsächliche Wassermenge zu finden?

1. Aufstellen der Gleichungen: Für Tank A gilt \(V_A(t) = -12t + 500\). Für Tank B gilt \(V_B(t) = 8t + 200\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung des Zeitpunkts des gleichen Volumens: \(-12t + 500 = 8t + 200\). 3. Lösen nach \(t\): \(300 = 20t \Rightarrow t = 15\). Nach \(15\,\text{Minuten}\) sind die Volumina gleich groß. 4. Berechnung des Volumens durch Einsetzen von \(t = 15\) in eine der Gleichungen: \(V_A(15) = -12 \cdot 15 + 500 = -180 + 500 = 320\). Das Volumen beträgt \(320\,\text{l}\).

Die Gleichungen lauten \(V_A(t) = -12t + 500\) und \(V_B(t) = 8t + 200\). Nach \(15\,\text{Minuten}\) enthalten beide Tanks jeweils \(320\,\text{l}\) Wasser.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welcher Punkt gibt dir direkt den \(y\)-Achsenabschnitt an? - Wie prüft man mit einer Rechnung, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Bestimmung der Steigung \(m\) für \(g\): \(m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{5 - 1}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) ist der \(y\)-Wert bei \(x=0\), also \(b = 1\). Die Gleichung für \(g\) ist \(y = 2x + 1\). 3. Gleichsetzen der Funktionen für den Schnittpunkt: \(2x + 1 = -x + 7\). 4. Addition von \(x\) und Subtraktion von \(1\) ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\). 5. Einsetzen in \(h(2) = -2 + 7 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 | 5)\). 6. Punktprobe für \(R(1 | 3)\): In \(g\): \(2 \cdot 1 + 1 = 3\). Da \(3 = 3\), liegt \(R\) auf \(g\). In \(h\): \(-1 + 7 = 6\). Da \(6 \neq 3\), liegt \(R\) nicht auf \(h\).

a) Die Funktionsgleichung von \(g\) lautet \(y = 2x + 1\). b) Der Schnittpunkt ist \(S(2 | 5)\). c) Der Punkt \(R(1 | 3)\) liegt auf der Geraden \(g\), aber nicht auf der Geraden \(h\).

- Wie findet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wie stellt man eine Funktionsgleichung auf, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind? - Welche Schritte sind nötig, um von zwei Punkt- oder Steigungsangaben zu einem gemeinsamen Schnittpunkt zu gelangen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung für \(h_1\): - Steigung \(m_1 = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\) - \(y\)-Achsenabschnitt \(b_1\): \(5 = 2 \cdot 2 + b_1 \Rightarrow 5 = 4 + b_1 \Rightarrow b_1 = 1\) - Gleichung: \(h_1(x) = 2x + 1\) 2. Bestimmung der Funktionsgleichung für \(h_2\): - Gegeben \(m_2 = -0{,}5\) - \(y\)-Achsenabschnitt \(b_2\): \(1 = -0{,}5 \cdot 6 + b_2 \Rightarrow 1 = -3 + b_2 \Rightarrow b_2 = 4\) - Gleichung: \(h_2(x) = -0{,}5x + 4\) 3. Gleichsetzen der Funktionen: \(2x + 1 = -0{,}5x + 4\) 4. Lösen nach \(x\): \(2{,}5x = 3 \Rightarrow x = 1{,}2\) 5. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(h_1(1{,}2) = 2 \cdot 1{,}2 + 1 = 3{,}4\) 6. Schnittpunkt: \(S(1{,}2 | 3{,}4)\)

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \(S(1{,}2 | 3{,}4)\).

- Wenn eine Gerade durch den Ursprung und einen weiteren Punkt geht, wie berechnest du ihre Steigung? - Stell dir vor, du hältst einen Stift auf einen Punkt auf einem Blatt Papier. In wie viele Richtungen kannst du den Stift drehen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei gegebenen Punkten? - Was muss man für \(y\) einsetzen, um eine Nullstelle zu finden?

1. \(g\) ist eine Ursprungsgerade \(y = m \cdot x\). Mit \(S(3|2)\) gilt: \(2 = m \cdot 3 \Rightarrow m = \frac{2}{3}\). Gleichung: \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Durch einen einzelnen Punkt in der Ebene können unendlich viele Geraden mit unterschiedlichen Steigungen gezeichnet werden. Jede dieser Geraden (außer \(g\) selbst) schneidet \(g\) im Punkt \(S\). 3. Steigung von \(h\) mit \(S(3|2)\) und \(S_y(0|5)\): \(m = \frac{5 - 2}{0 - 3} = \frac{3}{-3} = -1\). Da der \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) ist, lautet die Gleichung \(y = -x + 5\). Nullstelle: \(0 = -x + 5 \Rightarrow x = 5\).

1. Die Gleichung von \(g\) ist \(y = \frac{2}{3}x\). 2. Begründung: Durch einen Punkt können unendlich viele Geraden mit verschiedenen Steigungen verlaufen. 3. Die Gleichung von \(h\) ist \(y = -x + 5\); die Nullstelle liegt bei \(x = 5\).

- Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

1. Teilaufgabe a: Ein Punkt auf der \(x\)-Achse hat den \(y\)-Wert \(0\). Aus \(0 = -x + 6\) folgt \(x = 6\). Einsetzen in \(h\): \(0 = m \cdot 6 + 2 \Rightarrow 6m = -2 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Zwei Geraden haben keinen Schnittpunkt, wenn sie parallel sind, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben. Da \(g\) die Steigung \(-1\) hat, muss \(m = -1\) gelten. 3. Teilaufgabe c: Bei \(m = 1\) lautet das System \(y = -x + 6\) und \(y = x + 2\). Gleichsetzen: \(-x + 6 = x + 2 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x = 2\). Einsetzen: \(y = 2 + 2 = 4\). Da \(x = 2 > 0\) und \(y = 4 > 0\), liegt der Punkt \(S(2|4)\) im I. Quadranten.

a) \(m = -\frac{1}{3}\) b) \(m = -1\) c) I. Quadrant, da der Schnittpunkt \(S(2|4)\) positive Koordinaten besitzt.

- Wie weit ist Gruppe B zum Zeitpunkt \(t=0\) schon vom Parkplatz entfernt? - Was bedeutet „einholen“ im Zusammenhang mit den Funktionsgraphen? - Vergleiche den berechneten Treffpunkt mit der Gesamtlänge der Strecke.

1. Aufstellen der Funktionen: Gruppe A startet bei \(0\) mit Steigung \(4{,}5\), also \(s_A(t) = 4{,}5 \cdot t\). Gruppe B startet bei \(3\) mit Steigung \(3\), also \(s_B(t) = 3 + 3 \cdot t\). 2. Berechnung des Einholpunkts durch Gleichsetzen: \(4{,}5 \cdot t = 3 + 3 \cdot t\). 3. Auflösen nach \(t\): Subtraktion von \(3 \cdot t\) ergibt \(1{,}5 \cdot t = 3\). Division durch \(1{,}5\) ergibt \(t = 2\). Gruppe A holt Gruppe B nach \(2\) Stunden ein. 4. Berechnung der Entfernung: \(s_A(2) = 4{,}5 \cdot 2 = 9\). Der Treffpunkt liegt bei \(9\,\text{km}\) Entfernung vom Parkplatz. 5. Prüfung der Bedingung: Da der Treffpunkt bei \(9\,\text{km}\) liegt und der Gipfel erst bei \(10\,\text{km}\) erreicht wird (\(9 < 10\)), findet das Überholen vor dem Ziel statt.

a) \(s_A(t) = 4{,}5t\); \(s_B(t) = 3 + 3t\) b) Nach \(2\) Stunden holt Gruppe A die Gruppe B in einer Entfernung von \(9\,\text{km}\) ein. c) Ja, da \(9\,\text{km} < 10\,\text{km}\) ist, findet das Überholen \(1\,\text{km}\) vor dem Gipfel statt.

- Wo schneiden die Geraden die senkrechte Achse? - Wenn eine Seite eines Dreiecks auf einer Koordinatenachse liegt, wie lässt sich die zugehörige Höhe einfach finden? - Was passiert mit dem Flächeninhalt einer Figur, wenn man sie spiegelt? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die neue Figur nach der Spiegelung zusammen?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen: \(x + 1 = -0{,}5x + 4\). 2. \(1{,}5x = 3 \implies x = 2\). 3. \(y = 2 + 1 = 3\). Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). 4. \(y\)-Achsenabschnitte bestimmen: Für \(a\) ist es \(P_a(0 \mid 1)\), für \(b\) ist es \(P_b(0 \mid 4)\). 5. Das Dreieck hat die Eckpunkte \(P_a(0 \mid 1)\), \(P_b(0 \mid 4)\) und \(S(2 \mid 3)\). 6. Die Grundseite auf der \(y\)-Achse hat die Länge \(g = 4 - 1 = 3\). Die Höhe entspricht dem \(x\)-Abstand von \(S\) zur \(y\)-Achse: \(h = 2\). 7. Flächeninhalt Dreieck: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). 8. Bei Spiegelung an der \(y\)-Achse entsteht ein Drachenviereck, das aus dem ursprünglichen Dreieck und seinem flächengleichen Spiegelbild besteht. 9. Flächeninhalt Drachenviereck: \(A_{\text{Drachen}} = 2 \cdot A_{\text{Dreieck}} = 2 \cdot 3 = 6\). Alternativ über Diagonalen: \(d_1 = 3\) (auf der \(y\)-Achse), \(d_2 = 4\) (Abstand zwischen \(S(2 \mid 3)\) und \(S'(-2 \mid 3)\)). \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\) Flächeneinheiten. c) Das Drachenviereck hat einen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

- Skizziere die Situation für beide Teilaufgaben in ein Koordinatensystem. - Wie verändert sich die Steigung der Diagonale \(AC\), wenn der Punkt \(C\) weiter nach rechts rückt? - Überlege, welche Eigenschaft alle Punkte auf der Diagonalen \(BD\) gemeinsam haben.

1. Berechnung für \(C(6|6)\): Die Diagonale \(AC\) ist die Ursprungsgerade mit Steigung \(1\), also \(y = x\). Die Diagonale \(BD\) verläuft durch \((6|0)\) und \((0|6)\), ihre Gleichung lautet \(y = -x + 6\). Gleichsetzen: \(x = -x + 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3, y = 3\). Somit ist \(S_1(3|3)\). 2. Berechnung für \(C'(12|6)\): Die Diagonale \(AC'\) hat die Steigung \(m = \frac{6}{12} = 0{,}5\), woraus \(y = 0{,}5x\) folgt. Gleichsetzen mit \(BD\) (\(y = -x + 6\)): \(0{,}5x = -x + 6 \Rightarrow 1{,}5x = 6 \Rightarrow x = 4, y = 2\). Somit ist \(S_2(4|2)\). 3. Begründung: Die Diagonale \(BD\) ist eine feste Strecke mit den Endpunkten \((0|6)\) und \((6|0)\). Jeder Punkt auf dieser Strecke erfüllt die Bedingung \(0 \le x \le 6\). Da die Diagonale \(AC\) (für jedes \(C\) mit \(y=6\)) immer eine positive Steigung hat und im Ursprung beginnt, schneidet sie die Strecke \(BD\) stets an einer Stelle mit einer positiven \(y\)-Koordinate. Da auf der Geraden \(BD\) gilt \(x = 6 - y\), folgt aus \(y > 0\) zwingend \(x < 6\).

a) \(S_1(3|3)\). b) \(S_2(4|2)\). c) Da der Schnittpunkt auf der Strecke \(BD\) liegen muss und die Diagonale \(AC\) die Gerade \(BD\) immer oberhalb der x-Achse trifft, muss die \(x\)-Koordinate gemäß \(x = 6 - y\) immer kleiner als \(6\) bleiben.

- Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Wird etwas hinzugefügt oder entfernt? - Teilaufgabe b) fragt nach dem Schnittpunkt der beiden Funktionen. - Überlege für Teilaufgabe c) zuerst, wie lange es dauert, bis Tank 2 sein Maximum erreicht hat, und nutze diesen Zeitwert dann für Tank 1.

1. Funktionsgleichungen: \(V_1(t) = 2500 - 150t\) (Abfluss bedeutet negative Steigung) und \(V_2(t) = 500 + 250t\). 2. Zeitpunkt gleicher Wassermenge: \(2500 - 150t = 500 + 250t\). 3. Auflösen nach \(t\): \(2000 = 400t \Rightarrow t = 5\,\text{h}\). 4. Wassermenge berechnen: \(V_2(5) = 500 + 250 \cdot 5 = 500 + 1250 = 1750\,\text{l}\). 5. Zeitpunkt für vollen Tank 2: \(3000 = 500 + 250t \Rightarrow 2500 = 250t \Rightarrow t = 10\,\text{h}\). 6. Restmenge in Tank 1 nach \(10\,\text{h}\): \(V_1(10) = 2500 - 150 \cdot 10 = 1000\,\text{l}\).

Die Gleichungen sind \(V_1(t) = 2500 - 150t\) und \(V_2(t) = 500 + 250t\). Nach \(5\,\text{Stunden}\) enthalten beide Tanks \(1750\,\text{l}\). Wenn Tank 2 nach \(10\,\text{Stunden}\) voll ist (\(3000\,\text{l}\)), befinden sich in Tank 1 noch \(1000\,\text{l}\).

- Was verraten dir die Steigungen der Funktionsgleichungen über die Lage der Geraden zueinander? - Wenn zwei Geraden die Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) haben und \(m_1 \cdot m_2 = -1\) gilt, was bedeutet das für den Winkel zwischen ihnen? - Berechne die Eckpunkte und schaue dir die Abstände zwischen ihnen an. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem?

1. Analyse der Steigungen: \(f_1\) und \(f_2\) haben die Steigung \(m_1 = 2\). \(g_1\) und \(g_2\) haben die Steigung \(m_2 = -0{,}5\). Da \(m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\), stehen die Geradenpaare senkrecht aufeinander. Es handelt sich somit um ein Rechteck. 2. Berechnung der Schnittpunkte: - \(A = f_1 \cap g_1\): \(2x + 4 = -0{,}5x + 4 \Rightarrow 2{,}5x = 0 \Rightarrow x = 0, y = 4\). \(A(0 | 4)\). - \(B = f_1 \cap g_2\): \(2x + 4 = -0{,}5x - 1 \Rightarrow 2{,}5x = -5 \Rightarrow x = -2, y = 0\). \(B(-2 | 0)\). - \(C = f_2 \cap g_2\): \(2x - 6 = -0{,}5x - 1 \Rightarrow 2{,}5x = 5 \Rightarrow x = 2, y = -2\). \(C(2 | -2)\). - \(D = f_2 \cap g_1\): \(2x - 6 = -0{,}5x + 4 \Rightarrow 2{,}5x = 10 \Rightarrow x = 4, y = 2\). \(D(4 | 2)\). 3. Berechnung der Seitenlängen (Satz des Pythagoras): - Seite \(AB\): \(\sqrt{(-2-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\). - Seite \(BC\): \(\sqrt{(2-(-2))^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\). 4. Da alle Seiten gleich lang (\(\sqrt{20}\)) und die Winkel \(90^\circ\) sind, ist das Viereck ein Quadrat. 5. Flächeninhalt: \(A = \sqrt{20} \cdot \sqrt{20} = 20\,\text{FE}\).

Es handelt sich um ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \(20\,\text{FE}\).

- Was verrät dir die Steigung über die Lage zweier Geraden zueinander? - Wo schneidet eine Gerade die \(y\)-Achse? Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Für die Fläche mit der \(x\)-Achse benötigst du die Stellen, an denen die Graphen die \(x\)-Achse kreuzen. - Wie berechnest du den Abstand zwischen zwei Punkten auf der \(x\)-Achse?

1. Erklärung zur Parallelität: Da beide Geraden die gleiche Steigung \(m = \frac{1}{2}\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben, verlaufen sie parallel und schneiden sich nie 2. Bestimmung von \(b\): Der Schnittpunkt von \(f\) mit der \(y\)-Achse ist \((0|1)\). Damit \(h\) dort schneidet, muss \(h(0) = 1\) gelten, woraus \(b = 1\) folgt 3. Nullstellen für die Grundseite auf der \(x\)-Achse berechnen: \(f(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -2\); \(h(x) = 0 \Rightarrow -x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1\) 4. Länge der Grundseite \(g\): \(g = |1 - (-2)| = 3\) 5. Höhe \(H\) des Dreiecks: Der \(y\)-Wert des gemeinsamen Schnittpunkts \((0|1)\) ist \(H = 1\) 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1{,}5\)

Die Geraden \(f\) und \(g\) sind parallel, da sie dieselbe Steigung besitzen. Der Parameter \(b\) ist \(1\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(1{,}5\,\text{FE}\).

- Berechne zuerst, wie viele Zentimeter Kerze B pro Stunde verliert. - Stelle für beide Kerzen eine Gleichung für die Höhe auf. - Wenn du eine Lösung für die Zeit gefunden hast, überlege dir: Wie lange brennen die Kerzen überhaupt, bevor sie komplett aufgebraucht sind? - Kann eine Kerze eine negative Höhe haben?

1. Bestimmung der Abbrandraten in \(\text{cm/h}\): Kerze A: \(10\,\text{mm/h} = 1\,\text{cm/h}\) Kerze B: \(10\,\%\) von \(12\,\text{cm} = 0{,}1 \cdot 12 = 1{,}2\,\text{cm/h}\) 2. Aufstellen der Höhenfunktionen: \(h_A(t) = 5 - t\) \(h_B(t) = 12 - 1{,}2t\) 3. Mathematische Berechnung des Schnittpunkts: \(5 - t = 12 - 1{,}2t\) Addiere \(1{,}2t\): \(5 + 0{,}2t = 12\) Subtrahiere \(5\): \(0{,}2t = 7\) Division durch \(0{,}2\): \(t = 35\) 4. Überprüfung der Realisierbarkeit (Brenndauer): Kerze A ist nach \(5 : 1 = 5\) Stunden abgebrannt (\(h=0\)). Kerze B ist nach \(12 : 1{,}2 = 10\) Stunden abgebrannt (\(h=0\)). 5. Fazit: Der berechnete Zeitpunkt \(t = 35\,\text{h}\) liegt weit nach dem vollständigen Erlöschen beider Kerzen. Da Kerze A bereits nach \(5\) Stunden und Kerze B nach \(10\) Stunden die Höhe \(0\) erreicht haben, sind sie während des Brennens niemals gleich hoch.

Mathematisch wären die Kerzen nach \(35\) Stunden gleich hoch (bei einer theoretischen Höhe von \(-30\,\text{cm}\)). Da Kerze A jedoch bereits nach \(5\) Stunden und Kerze B nach \(10\) Stunden komplett abgebrannt sind, haben sie während des Brennvorgangs niemals die gleiche Höhe.

- Achte beim Einsetzen von Termen mit Brüchen darauf, die gesamte Gleichung korrekt zu multiplizieren oder zusammenzufassen. - Welches Verfahren ist am effizientesten, wenn eine Gleichung bereits nach \(y\) aufgelöst ist? - Ergebnisse können auch Dezimalzahlen sein – rechne sorgfältig mit Brüchen oder Dezimalbrüchen.

1. Schnittpunkt von \(e_1\) und \(e_2\): Addition der Gleichungen ergibt \(4x = 8\), woraus \(x = 2\) folgt. Einsetzen in \(e_1\) ergibt \(2 + y = 5\), also \(y = 3\). Erster Eckpunkt: \((2|3)\). 2. Schnittpunkt von \(e_1\) und \(e_3\): Einsetzen von \(y = \frac{1}{3}x + 1\) in \(e_1\) ergibt \(x + \frac{1}{3}x + 1 = 5\). Zusammenfassen liefert \(\frac{4}{3}x = 4\), woraus \(x = 3\) folgt. Einsetzen in \(e_3\) ergibt \(y = \frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = 2\). Zweiter Eckpunkt: \((3|2)\). 3. Schnittpunkt von \(e_2\) und \(e_3\): Einsetzen von \(y = \frac{1}{3}x + 1\) in \(e_2\) ergibt \(3x - (\frac{1}{3}x + 1) = 3\). Dies führt zu \(\frac{8}{3}x - 1 = 3\), also \(\frac{8}{3}x = 4\), woraus \(x = 1{,}5\) folgt. Einsetzen in \(e_3\) liefert \(y = \frac{1}{3} \cdot 1{,}5 + 1 = 1{,}5\). Dritter Eckpunkt: \((1{,}5|1{,}5)\).

Die Koordinaten der Eckpunkte lauten \((2|3)\), \((3|2)\) und \((1{,}5|1{,}5)\).

- Schau dir die Steigungen der Funktionen genau an. Was fällt dir auf? - Wie verhalten sich Geraden zueinander, wenn sie die gleiche Steigung haben? - Beim Lösen der Gleichung mit Brüchen kann es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren.

1. Begründung für \(f\) und \(g\): Beide Funktionen haben die identische Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(2\) und \(-5\)). Die Geraden verlaufen somit echt parallel und können sich nicht schneiden. 2. Schnittpunkt von \(g\) und \(h\): Gleichsetzen der Terme: \(\frac{2}{3}x - 5 = -x + 7\). 3. Addition von \(x\) und \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{5}{3}x = 12\). 4. Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2\). 5. Einsetzen in \(h(x)\): \(y = -7{,}2 + 7 = -0{,}2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

a) Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind parallel, da sie die gleiche Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte haben. b) Der Schnittpunkt ist \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

- Wie berechnet man die Steigung \(m\), wenn zwei Punkte gegeben sind? - Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus einem der Punkte ablesen? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegen soll?

1. Bestimmung von \(f\): Steigung \(m_f = \frac{9 - 1}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2\). Einsetzen von \(B(3|9)\): \(9 = 2 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 3\). Also \(f(x) = 2x + 3\). 2. Bestimmung von \(g\): Steigung \(m_g = \frac{0 - 10}{5 - 0} = -2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist durch \(C(0|10)\) direkt gegeben: \(b = 10\). Also \(g(x) = -2x + 10\). 3. Schnittpunkt berechnen: \(2x + 3 = -2x + 10 \Rightarrow 4x = 7 \Rightarrow x = 1{,}75\). 4. \(y\)-Wert berechnen: \(f(1{,}75) = 2 \cdot 1{,}75 + 3 = 3{,}5 + 3 = 6{,}5\). Schnittpunkt \(S(1{,}75|6{,}5)\). 5. Punktprobe für \(Q(2|7)\): Bei \(f\): \(f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7\). Da \(7 = 7\), liegt \(Q\) auf \(f\). Bei \(g\): \(g(2) = -2 \cdot 2 + 10 = 6\). Da \(6 \neq 7\), liegt \(Q\) nicht auf \(g\).

a) \(f(x) = 2x + 3\) und \(g(x) = -2x + 10\) b) \(S(1{,}75|6{,}5)\) c) \(Q\) liegt auf der Geraden \(f\), aber nicht auf der Geraden \(g\).