Kostenlose Arbeitsblätter

- Woran kannst du in der Funktionsgleichung erkennen, wo der Graph die \(y\)-Achse schneidet? - Wie kannst du die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks einzeichnen? - Was bedeutet es grafisch, wenn zwei Ausdrücke gleichgesetzt werden? - Welche Rechenoperation macht eine Subtraktion rückgängig?

1. Zeichnerische Lösung: Einzeichnen der Geraden \(f(x) = 1{,}5x - 3\) mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(-3\) und der Steigung \(1{,}5\). Einzeichnen der waagerechten Geraden \(y = 1{,}5\). Ablesen der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts ergibt \(x = 3\). 2. Rechnerische Lösung: Addition von \(3\) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt \(1{,}5x = 4{,}5\). Division durch \(1{,}5\) liefert das Ergebnis \(x = 3\).

\(x = 3\)

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle des Schnittpunkts? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen? - Könnte es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner der Brüche zu multiplizieren?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2}{5}x + 3 = -\frac{1}{2}x - 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\) auf einer Seite: \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{2}x = -6 - 3\), was zu \(\frac{9}{10}x = -9\) führt 3. Lösen nach \(x\): \(x = -9 \cdot \frac{10}{9} = -10\) 4. Berechnen des \(y\)-Werts durch Einsetzen von \(x = -10\) in \(f(x)\): \(y = \frac{2}{5} \cdot (-10) + 3 = -4 + 3 = -1\) 5. Der Schnittpunkt ist \(S(-10 | -1)\)

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \(S(-10 | -1)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Welchen besonderen Wert hat die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf der \(x\)-Achse? - Kannst du die Lage des Schnittpunkts direkt aus deinem Ergebnis in Teilaufgabe a) ablesen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(3x - 9 = -x + 3\). 2. Addition von \(x\) und \(9\) ergibt \(4x = 12\), also \(x = 3\). 3. Einsetzen in eine der Funktionen: \(k(3) = 3 \cdot 3 - 9 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). 4. Ein Punkt liegt genau dann auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist. Da der Schnittpunkt die \(y\)-Koordinate \(0\) hat, schneiden sich die Geraden auf der \(x\)-Achse.

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). b) Der Schnittpunkt liegt auf der \(x\)-Achse, weil seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist.

- Was stellt die Grundgebühr in der Funktionsgleichung dar? - Wie verändert sich der Gesamtpreis, wenn man eine Minute mehr telefoniert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich viel“ kosten? - Überlege dir, welcher Wert sich ändert (Variable) und welcher Wert fest bleibt (Konstante).

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Tarif „Basic“ ergibt sich \(y_B = 0{,}15x + 8\). Für Tarif „Smart“ ergibt sich \(y_S = 0{,}05x + 14\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(0{,}15x + 8 = 0{,}05x + 14\). 3. Auflösen nach \(x\): Subtraktion von \(0{,}05x\) führt zu \(0{,}10x + 8 = 14\). Subtraktion von \(8\) ergibt \(0{,}10x = 6\). Division durch \(0{,}10\) ergibt \(x = 60\). Die Kosten sind bei \(60\) Minuten gleich hoch. 4. Interpretation: Bei weniger als \(60\) Minuten ist „Basic“ günstiger, bei mehr als \(60\) Minuten ist „Smart“ günstiger.

a) „Basic“: \(y = 0{,}15x + 8\); „Smart“: \(y = 0{,}05x + 14\) b) Bei \(60\) Minuten sind die Kosten gleich (\(17{,}00\,\text{€}\)). c) „Basic“ lohnt sich für Wenigtelefonierer (unter \(60\) Min.), „Smart“ für Vieltelefonierer (über \(60\) Min.).

- Überlege, welcher Teil der Funktionsgleichung den Startwert darstellt. - Die Steigung gibt an, wie stark sich der Wert pro Zeiteinheit ändert. - Setze den gegebenen Zeitwert in die Funktionen ein, um die Höhe zu berechnen. - Wenn zwei Werte gleich sein sollen, kannst du die Funktionsterme gleichsetzen.

1. Bestimmung der Anfangshöhen (y-Achsenabschnitte bei \(t=0\)): Tank A: \(20\,\text{cm}\), Tank B: \(10\,\text{cm}\). 2. Ermittlung der Steiggeschwindigkeiten (Steigungen \(m\)): Tank A: \(1{,}5\,\text{cm/min}\), Tank B: \(2\,\text{cm/min}\). 3. Berechnung der Füllhöhen nach \(15\,\text{Minuten}\): \(h_A(15) = 1{,}5 \cdot 15 + 20 = 22{,}5 + 20 = 42{,}5\,\text{cm}\). \(h_B(15) = 2 \cdot 15 + 10 = 30 + 10 = 40\,\text{cm}\). Ergebnis: Der Wasserstand in Tank A ist nach \(15\,\text{Minuten}\) höher. 4. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(1{,}5t + 20 = 2t + 10\) \(10 = 0{,}5t\) \(t = 20\). Nach \(20\,\text{Minuten}\) sind die Füllhöhen gleich.

a) Tank A: \(20\,\text{cm}\); Tank B: \(10\,\text{cm}\). b) Tank A: \(1{,}5\,\text{cm/min}\); Tank B: \(2\,\text{cm/min}\). c) Der Wasserstand in Tank A (\(42{,}5\,\text{cm}\)) ist höher als in Tank B (\(40\,\text{cm}\)). d) Nach \(20\,\text{Minuten}\) ist der Wasserstand in beiden Tanks gleich.

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Wie bestimmst du nach dem gemeinsamen \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x - 2 = -x + 3\). 2. Zusammenfassen und Auflösen nach \(x\): \(2{,}5x = 5\), also \(x = 2\). 3. Einsetzen in \(g\): \(g(2) = -2 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\). 4. Da sowohl die \(x\)-Koordinate als auch die \(y\)-Koordinate positiv sind, liegt \(S\) im I. Quadranten.

Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\). Er liegt im I. Quadranten, da beide Koordinaten positiv sind.

- Überlege dir, welcher Teil der Kosten fest ist und welcher von der Anzahl der Fotos abhängt. - Wie sieht eine allgemeine lineare Funktionsgleichung aus? - Um den Punkt der Kostengleichheit zu finden, kannst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen.

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: \(y_1 = 0{,}12x + 3{,}50\) und \(y_2 = 0{,}17x + 1{,}50\) 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(0{,}12x + 3{,}50 = 0{,}17x + 1{,}50\) 3. Umstellen der Gleichung: \(2{,}00 = 0{,}05x\) 4. Lösen nach \(x\): \(x = \frac{2}{0{,}05} = 40\) 5. Ergebnis: Bei genau \(40\) Fotos sind die Kosten beider Anbieter identisch.

Die Funktionsgleichungen lauten \(y = 0{,}12x + 3{,}50\) und \(y = 0{,}17x + 1{,}50\). Bei einer Anzahl von \(40\) Fotos kosten beide Angebote exakt gleich viel.

- Wie viele Schnittpunkte musst du bestimmen, um alle Ecken eines Dreiecks zu finden? - Welche Paare von Geraden kannst du jeweils bilden? - Bei einer Geraden wie \(x = 2\) ist der \(x\)-Wert für alle Punkte auf der Geraden bereits bekannt. Wie hilft dir das beim Rechnen?

1. Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\): Gleichsetzen der Funktionsterme führt zu \(2x - 4 = -0{,}5x + 6\). Durch Umformen ergibt sich \(2{,}5x = 10\) und somit \(x = 4\). Einsetzen in \(g_1\) liefert \(y = 2 \cdot 4 - 4 = 4\). Erster Eckpunkt: \((4|4)\). 2. Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_3\): Da die Gerade \(g_3\) senkrecht bei \(x = 2\) verläuft, wird dieser Wert in \(g_1\) eingesetzt: \(y = 2 \cdot 2 - 4 = 0\). Zweiter Eckpunkt: \((2|0)\). 3. Schnittpunkt von \(g_2\) und \(g_3\): Einsetzen von \(x = 2\) in die Gleichung von \(g_2\) ergibt \(y = -0{,}5 \cdot 2 + 6 = 5\). Dritter Eckpunkt: \((2|5)\).

Die Eckpunkte des Dreiecks sind \((4|4)\), \((2|0)\) und \((2|5)\).

- Welche Größe ändert sich und welche bleibt zu Beginn fest? - Überlege, ob die Wassermenge zu- oder abnimmt und was das für das Vorzeichen der Steigung bedeutet. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt exakt gleich groß sind?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Becken A ergibt sich \(f(x) = 15x + 100\), für Becken B ergibt sich \(g(x) = -10x + 400\). 2. Interpretation für Becken B: Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 400\) gibt die Anfangsmenge von \(400\,\text{l}\) an. Die Steigung \(m = -10\) gibt die Änderungsrate an, also dass pro Minute \(10\,\text{l}\) abfließen. 3. Gleichsetzen der Funktionen zur Berechnung des Schnittpunkts: \(15x + 100 = -10x + 400\). 4. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(25x = 300\), woraus \(x = 12\) folgt. 5. Berechnung des \(y\)-Werts: \(f(12) = 15 \cdot 12 + 100 = 180 + 100 = 280\). Nach \(12\,\text{Minuten}\) enthalten beide Becken \(280\,\text{l}\) Wasser.

a) \(f(x) = 15x + 100\) und \(g(x) = -10x + 400\) b) Der \(y\)-Achsenabschnitt (\(400\)) ist die Startmenge in Litern; die Steigung (\(-10\)) ist die Abflussrate in Litern pro Minute. c) Nach \(12\,\text{Minuten}\) sind in beiden Becken \(280\,\text{l}\).

- Bestimme für beide Geraden die Funktionsgleichung in der Form \(y = mx + b\). - Den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) liest du am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab. - Am Schnittpunkt haben beide Geraden für denselben \(x\)-Wert denselben Funktionswert.

1. Die Gerade \(f\) verläuft durch \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid 3)\). Damit ist \(m_f = (3 - 1) : (4 - 0) = 0{,}5\) und \(f(x) = 0{,}5x + 1\). 2. Die Gerade \(g\) verläuft durch \((1 \mid 3)\) und \((3 \mid 1)\). Damit ist \(m_g = (1 - 3) : (3 - 1) = -1\). Mit \((3 \mid 1)\) ergibt sich \(g(x) = -x + 4\). 3. Gleichsetzen liefert \(0{,}5x + 1 = -x + 4\), also \(1{,}5x = 3\) und \(x = 2\). 4. Einsetzen ergibt \(y = -2 + 4 = 2\). Der berechnete Schnittpunkt \(S(2 \mid 2)\) stimmt mit dem abgelesenen Wert überein.

a) \(S \approx (2 \mid 2)\) b) Rechnerisch ergibt sich \(S(2 \mid 2)\); das Ergebnis stimmt mit dem abgelesenen Wert überein.

- Wenn sich zwei Geraden schneiden, müssen ihre \(y\)-Werte an dieser Stelle gleich sein. - Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich. - Löse nach \(x\) auf und berechne danach den zugehörigen \(y\)-Wert.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x - 2 = -2x + 4\). 2. Umstellen nach \(x\): Addiere \(2x\) auf beiden Seiten \(\rightarrow 3x - 2 = 4\). 3. Addiere \(2\) auf beiden Seiten \(\rightarrow 3x = 6\). 4. Dividiere durch \(3\) \(\rightarrow x = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen, zum Beispiel \(g_1\): \(y = 2 - 2 = 0\). 6. Der Schnittpunkt ist \(P(2 \mid 0)\).

\(P(2 \mid 0)\)

- Wie weit ist Anton nach einer Stunde? Wie weit nach zwei Stunden? Erstelle so die Tabelle. - Vergiss bei Boris nicht, dass er schon bei Kilometer 2 startet. - In der Zeichnung ist der Zeitpunkt des Einholens dort, wo sich die beiden Geraden schneiden. - Kannst du für beide Läufer einen Term für die Position nach \(t\) Stunden aufstellen?

1. Die Positionen werden durch \(s_A(t) = 8t\) und \(s_B(t) = 2 + 6t\) beschrieben. 2. Wertetabelle: \(\begin{array}{c|ccccc} t\text{ in h} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline s_A(t)\text{ in km} & 0 & 8 & 16 & 24 & 32 \\ s_B(t)\text{ in km} & 2 & 8 & 14 & 20 & 26 \end{array}\) 3. Beim Zeichnen entstehen zwei Geraden. Aus dem Graphen liest man den Schnittpunkt \(S(1|8)\) ab. Daher holt Anton Boris nach \(1\,\text{Stunde}\) ein. 4. Rechnerische Überprüfung: \(8t = 2 + 6t\). Subtraktion von \(6t\) ergibt \(2t = 2\), also \(t = 1\). Die gemeinsame Position ist \(s_A(1) = 8\,\text{km}\). 5. Nach \(1\,\text{Stunde}\) befinden sich beide bei Kilometermarkierung \(8\) und sind somit \(8\,\text{km}\) von der Startmarkierung \(0\) entfernt.

a) \(\begin{array}{c|ccccc} t\text{ in h} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline s_A(t)\text{ in km} & 0 & 8 & 16 & 24 & 32 \\ s_B(t)\text{ in km} & 2 & 8 & 14 & 20 & 26 \end{array}\) b) Die Graphen sind Geraden mit dem Schnittpunkt \(S(1|8)\). c) Anton holt Boris nach genau \(1\,\text{Stunde}\) ein. d) Nach \(1\,\text{Stunde}\) sind beide \(8\,\text{km}\) von der Startmarkierung \(0\) entfernt.

- Wie viel Zentimeter verliert Kerze A in einer einzigen Stunde? - Kannst du für jede Kerze eine Formel aufstellen, die die Höhe nach einer bestimmten Zeit angibt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Dinge „gleich“ sind?

1. Bestimmung der Abbrandrate von Kerze A: In \(4\,\text{Stunden}\) verliert sie \(30\,\text{cm} - 18\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). Die Rate beträgt also \(12\,\text{cm} : 4\,\text{h} = 3\,\text{cm/h}\). 2. Berechnung der Höhe nach \(7\,\text{Stunden}\) (a): \(30\,\text{cm} - 7\,\text{h} \cdot 3\,\text{cm/h} = 30\,\text{cm} - 21\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Zeit bis zum vollständigen Abbrand (b): \(30\,\text{cm} : 3\,\text{cm/h} = 10\,\text{Stunden}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts gleicher Höhe (c): Aufstellen der Gleichungen für die Höhen \(h_A(t) = 30 - 3t\) und \(h_B(t) = 20 - t\). Gleichsetzen liefert \(30 - 3t = 20 - t\). 5. Lösen der Gleichung: \(10 = 2t \Rightarrow t = 5\). Nach \(5\,\text{Stunden}\) sind beide Kerzen gleich hoch. 6. Berechnung der gemeinsamen Höhe: \(h_B(5) = 20 - 5 = 15\,\text{cm}\).

a) Nach \(7\) Stunden ist Kerze A noch \(9\,\text{cm}\) hoch. b) Kerze A ist nach \(10\) Stunden komplett abgebrannt. c) Nach \(5\) Stunden sind beide Kerzen gleich hoch, nämlich genau \(15\,\text{cm}\).

- Stelle für beide Anbieter eine Funktionsgleichung der Form \(y = mx + n\) auf. - Wofür stehen die Grundgebühr und der Minutenpreis in deiner Gleichung? - Um herauszufinden, wann beide gleich viel kosten, kannst du die beiden Gleichungen gleichsetzen. - Was passiert im Graphen an der Stelle, an der ein Tarif den anderen „überholt“?

1. Kosten für 30 Minuten berechnen: Flott: \(30 \cdot 0{,}30\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). Mobil: \(10{,}00\,\text{€} + 30 \cdot 0{,}10\,\text{€} = 13{,}00\,\text{€}\). 2. Kosten für 60 Minuten berechnen: Flott: \(60 \cdot 0{,}30\,\text{€} = 18{,}00\,\text{€}\). Mobil: \(10{,}00\,\text{€} + 60 \cdot 0{,}10\,\text{€} = 16{,}00\,\text{€}\). 3. Den Schwellenwert durch Gleichsetzen der Funktionsterme finden: \(0{,}30x = 10 + 0{,}10x\). 4. Gleichung lösen: \(0{,}20x = 10 \Rightarrow x = 50\). Ab einer Fahrzeit von mehr als 50 Minuten ist „Mobil“ günstiger. 5. Graphen zeichnen: Eine Ursprungsgerade für „Flott“ und eine Gerade mit y-Achsenabschnitt 10 für „Mobil“. 6. Interpretation des Schnittpunkts: Bei genau 50 Minuten Fahrtzeit kosten beide Anbieter mit \(15{,}00\,\text{€}\) gleich viel.

a) Bei 30 Min: Flott \(9{,}00\,\text{€}\), Mobil \(13{,}00\,\text{€}\). Bei 60 Min: Flott \(18{,}00\,\text{€}\), Mobil \(16{,}00\,\text{€}\). b) Ab einer Fahrzeit von mehr als 50 Minuten pro Monat ist der Anbieter „Mobil“ günstiger. c) Der Schnittpunkt liegt bei \((50 \mid 15)\). Er gibt die Fahrzeit an, bei der beide Tarife exakt die gleichen Kosten verursachen.

- Vergleiche die Funktionswerte beider Funktionen an derselben Stelle. - Was muss für die Funktionswerte am Schnittpunkt gelten? - Berücksichtige bei der Lösungsmenge den angegebenen Definitionsbereich.

1. Vergleich bei \(x = -2\): \(f(-2) = -(-2) + 2 = 4\) und \(g(-2) = 0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\). Da \(4 > -2\), liegt der Graph von \(f\) an dieser Stelle höher. 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsterme \(-x + 2 = 0{,}5x - 1\). Umformen ergibt \(3 = 1{,}5x\), woraus \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine der Funktionen ergibt \(y = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). 3. Bereich bestimmen: Da die Geraden sich bei \(x = 2\) schneiden und \(g\) eine positive Steigung hat, während \(f\) eine negative Steigung hat, liegt \(g\) für alle rationalen Zahlen \(x > 2\) oberhalb von \(f\). Die Ungleichung \(0{,}5x - 1 > -x + 2\) führt zu \(x > 2\); wegen des vorgegebenen Definitionsbereichs gilt zusätzlich \(x \in \mathbb{Q}\).

a) Bei \(x = -2\) liegt der Graph von \(f\) höher (\(4 > -2\)). b) Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). c) Der Graph von \(g\) liegt für \(x \in \mathbb{Q}\) mit \(x > 2\) oberhalb des Graphen von \(f\).

- Welcher Teil der Gleichung ändert sich mit den Kilometern und welcher bleibt immer gleich? - Wie gehst du vor, wenn du wissen willst, wann zwei Angebote genau gleich viel kosten? - Schau dir die Steigungen an: Welcher Tarif wird pro Kilometer teurer?

1. Interpretation der Konstanten: Die Werte \(45\) und \(25\) stellen die Fixkosten (Grundgebühr) pro Anmietung dar, die unabhängig von den gefahrenen Kilometern anfallen. 2. Kosten für \(x = 80\): Tarif A: \(y = 0{,}30 \cdot 80 + 45 = 24 + 45 = 69\,\text{€}\). Tarif B: \(y = 0{,}50 \cdot 80 + 25 = 40 + 25 = 65\,\text{€}\). Bei \(80\,\text{km}\) ist Tarif B günstiger. 3. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung des Schnittpunkts: \(0{,}30x + 45 = 0{,}50x + 25\). 4. Lösen der Gleichung: \(20 = 0{,}20x \Rightarrow x = 100\). 5. Schlussfolgerung: Da Tarif A eine geringere Steigung (Kilometerpreis) hat, ist er für Strecken über \(100\,\text{km}\) günstiger.

a) Es handelt sich um die Grundgebühren in \(\text{€}\). b) Tarif A kostet \(69\,\text{€}\), Tarif B kostet \(65\,\text{€}\). Tarif B ist günstiger. c) Ab einer Strecke von mehr als \(100\,\text{km}\) ist Tarif A günstiger.

- Wie kannst du das „Abbrennen“ mathematisch als Vorzeichen in deiner Gleichung ausdrücken? - Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn zwei Objekte „gleich hoch“ sind? - Erstelle für beide Kerzen getrennte Ausdrücke, bevor du sie vergleichst.

1. Funktionsgleichungen: Für Kerze A gilt \(h_A(t) = 24 - 2t\). Für Kerze B gilt \(h_B(t) = 18 - 1{,}2t\). 2. Vergleich nach \(5\) Stunden: \(h_A(5) = 24 - 2 \cdot 5 = 14\,\text{cm}\). \(h_B(5) = 18 - 1{,}2 \cdot 5 = 18 - 6 = 12\,\text{cm}\). Kerze A ist mit \(14\,\text{cm}\) höher als Kerze B mit \(12\,\text{cm}\). 3. Zeitpunkt gleicher Höhe: Gleichsetzen der Funktionen: \(24 - 2t = 18 - 1{,}2t\). Umstellen ergibt \(6 = 0{,}8t\). Division durch \(0{,}8\) ergibt \(t = 7{,}5\). Nach \(7{,}5\) Stunden (oder \(7\) Stunden und \(30\) Minuten) sind beide Kerzen gleich hoch.

a) \(h_A(t) = 24 - 2t\) und \(h_B(t) = 18 - 1{,}2t\) b) Kerze A ist nach \(5\) Stunden höher (\(14\,\text{cm} > 12\,\text{cm}\)). c) Nach \(7{,}5\) Stunden sind beide Kerzen gleich hoch.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Wie kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus einem gegebenen Punkt ablesen? - Welche Formel hilft dir, die Steigung zu berechnen, wenn du zwei Punkte kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen zur Bestimmung der \(x\)-Koordinate von \(S\): \(2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). 2. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen zur Bestimmung der \(y\)-Koordinate: \(y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|3)\). 3. Bestimmung der Geradengleichung \(y = mx + b\) für \(g_3\): Da der Punkt \(P(0|1)\) auf der \(y\)-Achse liegt, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\). 4. Berechnung der Steigung \(m\) mit dem Punkt \(S(2|3)\): \(3 = m \cdot 2 + 1 \Rightarrow 2 = 2m \Rightarrow m = 1\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(y = x + 1\).

a) \(S(2|3)\) b) \(y = x + 1\)

- Wie berechnest du die Steigung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten? - Was bedeutet „Steigung“ im Vergleich zweier Funktionen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein.

1. Steigung von \(f\): \(m_f = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). 2. y-Achsenabschnitt von \(f\): Einsetzen von \((1 \mid 2)\) in \(2 = 3 \cdot 1 + n_f\) ergibt \(n_f = -1\). Die Gleichung ist \(f(x) = 3x - 1\). 3. Vergleich der Steigungen: \(m_f = 3\) und \(m_g = 4\). Somit hat \(g\) die größere Steigung. 4. Schnittpunkt bestimmen: Gleichsetzen \(3x - 1 = 4x - 1\). Daraus folgt \(3x = 4x\), also \(x = 0\). 5. y-Koordinate des Schnittpunkts: \(f(0) = -1\). Der Schnittpunkt ist \(S(0 \mid -1)\).

a) Die Funktionsgleichung von \(f\) lautet \(f(x) = 3x - 1\). b) Die Funktion \(g\) hat mit \(m = 4\) eine größere Steigung als \(f\) mit \(m = 3\). c) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid -1)\).

- Überlege dir für jeden Tank einzeln, ob das Volumen zu- oder abnimmt. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Bestände „gleich groß“ sind? - Wie kannst du den berechneten Zeitpunkt nutzen, um die tatsächliche Wassermenge zu finden?

1. Aufstellen der Gleichungen: Für Tank A gilt \(V_A(t) = -12t + 500\). Für Tank B gilt \(V_B(t) = 8t + 200\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung des Zeitpunkts des gleichen Volumens: \(-12t + 500 = 8t + 200\). 3. Lösen nach \(t\): \(300 = 20t \Rightarrow t = 15\). Nach \(15\,\text{Minuten}\) sind die Volumina gleich groß. 4. Berechnung des Volumens durch Einsetzen von \(t = 15\) in eine der Gleichungen: \(V_A(15) = -12 \cdot 15 + 500 = -180 + 500 = 320\). Das Volumen beträgt \(320\,\text{l}\).

Die Gleichungen lauten \(V_A(t) = -12t + 500\) und \(V_B(t) = 8t + 200\). Nach \(15\,\text{Minuten}\) enthalten beide Tanks jeweils \(320\,\text{l}\) Wasser.

- Wenn zwei Graphen sich schneiden, haben sie an dieser Stelle denselben \(x\)- und \(y\)-Wert. - Wie gehst du vor, um eine Gerade mit negativer Steigung zu zeichnen? - Welche Schritte sind nötig, um eine Variable auf eine Seite der Gleichung zu isolieren? - Wie kannst du prüfen, ob dein berechneter \(x\)-Wert zu beiden Funktionsgleichungen passt?

1. Zeichnerische Lösung: Konstruktion der Geraden \(g\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(4\), Steigung \(-1\)) und \(h\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(-2\), Steigung \(2\)). Ablesen des Schnittpunkts \(S(2|2)\). 2. Rechnerische Lösung: Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(-x + 4 = 2x - 2\). Zusammenfassen der Terme mit \(x\) durch Addition von \(x\) führt zu \(4 = 3x - 2\). Addition von \(2\) ergibt \(6 = 3x\). Division durch \(3\) liefert \(x = 2\). 3. Bestimmung des \(y\)-Werts: Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen, zum Beispiel \(g(2) = -2 + 4 = 2\). Der berechnete Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

Schnittpunkt \(S(2|2)\)

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten? - Welcher Punkt gibt dir direkt den \(y\)-Achsenabschnitt an? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte am Schnittpunkt?

1. Bestimmung der Steigung von \(g\): \(m = \frac{5 - 1}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist durch \(P(0|1)\) gegeben, also \(b = 1\). Damit lautet die Gleichung von \(g\): \(y = 2x + 1\). 3. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(2x + 1 = -x + 7\). 4. Addition von \(x\) und Subtraktion von \(1\) ergeben \(3x = 6\), also \(x = 2\). 5. Einsetzen in \(h\): \(h(2) = -2 + 7 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|5)\).

a) Die Funktionsgleichung von \(g\) lautet \(y = 2x + 1\). b) Der Schnittpunkt ist \(S(2|5)\).

- Wenn du den \(x\)-Wert des Schnittpunkts kennst, wie kannst du den zugehörigen \(y\)-Wert bestimmen? - Welche Information liefert dir der Punkt \(S\) für die zweite Funktionsgleichung? - Kannst du den Punkt in die Gleichung einsetzen, in der noch eine Unbekannte steht?

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(x = -2\) in \(f(x)\): \(y = \frac{1}{2} \cdot (-2) + 1 = 0\) 2. Der Schnittpunkt ist \(S(-2 | 0)\). 3. Einsetzen der Koordinaten von \(S\) in die Funktionsgleichung von \(g\): \(0 = m(-2) + 4\) 4. Umstellen der Gleichung nach \(m\): \(2m = 4\) 5. Ergebnis: \(m = 2\)

Die Steigung ist \(m = 2\).

- Beginne damit, die Stelle zu finden, an der sich die ersten beiden Geraden treffen. - Was musst du tun, um zu beweisen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen sollst, ob drei Geraden durch denselben Punkt verlaufen?

1. Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) berechnen: \(3x - 4 = -x + 8\) 2. Gleichung lösen: \(4x = 12 \Rightarrow x = 3\) 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(3) = 3 \cdot 3 - 4 = 5\). Somit ist \(S(3 | 5)\). 4. Punktprobe für \(h(x)\) mit \(S(3 | 5)\): Einsetzen von \(x = 3\) in \(h(x)\). 5. \(h(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\) 6. Vergleich: Da \(h(3) = 5\) dem \(y\)-Wert von \(S\) entspricht, verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(S\).

Der Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) ist \(S(3 | 5)\). Der Graph von \(h\) verläuft ebenfalls durch diesen Punkt, da \(h(3) = 5\) ist.

- Kannst du den \(y\)-Wert des Schnittpunkts mit der vollständig bekannten Funktionsgleichung berechnen? - Welche Eigenschaft hat der Schnittpunkt in Bezug auf beide Funktionsgleichungen? - Wie kannst du den berechneten \(y\)-Wert nutzen, um die Lücke in der anderen Gleichung zu füllen?

1. Berechnung des \(y\)-Werts am Schnittpunkt durch Einsetzen von \(x = 4\) in \(g(x)\): \(g(4) = -1{,}2 \cdot 4 + 10 = -4{,}8 + 10 = 5{,}2\) 2. Da der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegt, muss \(f(4) = 5{,}2\) gelten. 3. Aufstellen der Gleichung für \(f(x)\): \(0{,}8 \cdot 4 + b = 5{,}2\) 4. Lösen nach \(b\): \(3{,}2 + b = 5{,}2 \Rightarrow b = 2\) 5. Der Schnittpunkt ist \(S(4 | 5{,}2)\) und der Parameter ist \(b = 2\).

Der Parameter ist \(b = 2\) und der Schnittpunkt liegt bei \(S(4 | 5{,}2)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er der Schnittpunkt zweier Geraden ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den gemeinsamen \(x\)-Wert zu finden? - Wie kannst du den zugehörigen \(y\)-Wert berechnen, wenn du \(x\) bereits kennst? - Wie sieht die allgemeine Form einer Geradengleichung aus und welche Teile davon sind durch die Steigung und einen Punkt bereits festgelegt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x + 2 = -0{,}5x + 6\). Addition von \(0{,}5x\) ergibt \(2x + 2 = 6\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(2x = 4\), also \(x = 2\). Einsetzen in eine der Gleichungen: \(y = 1{,}5 \cdot 2 + 2 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|5)\). 2. Ansatz für Gerade \(k\): \(y = -2x + n\). Einsetzen des Punktes \(S(2|5)\): \(5 = -2 \cdot 2 + n \Rightarrow 5 = -4 + n \Rightarrow n = 9\). Die Gleichung lautet \(y = -2x + 9\).

1. Der Schnittpunkt ist \(S(2|5)\). 2. Die Funktionsgleichung der Geraden \(k\) lautet \(y = -2x + 9\).

- Überlege dir, welche Gerade bei \(x=0\) weiter oben liegt. - Wie verändern sich die \(y\)-Werte, wenn du dich von der \(y\)-Achse nach rechts oder links bewegst? - In welchem Quadranten sind die \(x\)-Werte positiv und die \(y\)-Werte negativ?

1. Analyse der \(y\)-Achsenabschnitte: Bei \(x = 0\) liegt die erste Gerade bei \(y = -2\) und die zweite Gerade bei \(y = -7\). Die erste Gerade liegt also oberhalb der zweiten. 2. Analyse der Steigungen: Die erste Gerade fällt (\(m = -3\)), während die zweite Gerade steigt (\(m = 2\)). 3. Bestimmung der \(x\)-Richtung: Da die obere Gerade fällt und die untere steigt, nähern sie sich für positive \(x\)-Werte an und schneiden sich dort. Somit ist \(x > 0\). 4. Bestimmung des Vorzeichens von \(y\): Für den Schnittpunkt gilt die erste Gleichung \(y = -3x - 2\). Wegen \(x > 0\) ist dort \(y < -2 < 0\). Damit liegt der Schnittpunkt im IV. Quadranten.

Der Schnittpunkt liegt im IV. Quadranten.

- Vergleiche die Steigungen der Geraden in jedem System. - Wenn eine Gerade unterhalb einer anderen startet, welche Steigung muss sie haben, um die andere bei positiven \(x\)-Werten einzuholen? - Was passiert mit dem Abstand der Geraden, wenn die untere Gerade flacher ist als die obere?

1. Vergleich der Ausgangslage: In beiden Systemen startet die erste Gerade bei \(y = 4\) und die zweite bei \(y = -1\). Die erste Gerade liegt also bei \(x = 0\) über der zweiten. 2. System A: Die zweite Gerade (\(m = 3\)) ist steiler als die erste (\(m = 0{,}5\)). Da sie weiter unten startet, aber schneller steigt, muss sie die erste Gerade bei einem positiven \(x\)-Wert einholen. 3. System B: Die zweite Gerade (\(m = 0{,}2\)) ist flacher als die erste (\(m = 0{,}5\)). Da sie weiter unten startet und langsamer steigt, kann sie die erste Gerade für \(x > 0\) niemals einholen. Die Geraden schneiden sich daher im Bereich \(x < 0\). 4. Ergebnis: In System B ist die \(x\)-Koordinate negativ.

In System B hat der Schnittpunkt eine negative \(x\)-Koordinate.

- Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem, um eine Vorstellung der Lage zu bekommen. - Überlege dir, wie man die Steigung einer Geraden bestimmt, wenn zwei Punkte bekannt sind. - Wenn du die Gleichungen der beiden Diagonalen aufgestellt hast, kannst du ihren gemeinsamen Punkt durch Gleichsetzen finden.

1. Bestimmung der Geradengleichung für die Diagonale \(AC\) durch die Punkte \(A(-2|0)\) und \(C(4|3)\): Berechnung der Steigung: \(m_{AC} = \frac{3 - 0}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form mit \(A\): \(y - 0 = 0{,}5(x - (-2)) \Rightarrow y = 0{,}5x + 1\). 2. Bestimmung der Geradengleichung für die Diagonale \(BD\) durch die Punkte \(B(0|4)\) und \(D(4|0)\): Berechnung der Steigung: \(m_{BD} = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\). Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 4\) ist direkt durch den Punkt \(B(0|4)\) gegeben, woraus die Gleichung \(y = -x + 4\) folgt. 3. Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen zur Ermittlung der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(0{,}5x + 1 = -x + 4\). Addition von \(x\) und Subtraktion von \(1\) ergibt \(1{,}5x = 3\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(x = 2\). 4. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen zur Bestimmung der \(y\)-Koordinate: \(y = -2 + 4 = 2\). Der Schnittpunkt der Diagonalen ist \(S(2|2)\).

Der Schnittpunkt der Diagonalen liegt bei \(S(2|2)\).

- Bestimme zuerst die Geradengleichung für die Bahn, von der nur zwei Punkte gegeben sind. - Erinnere dich daran, dass im Schnittpunkt beide Funktionsgleichungen denselben Wert liefern müssen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Punkt in beide Gleichungen einsetzt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für die Bahn 1 durch \(P(-1|4)\) und \(Q(5|1)\): Steigung \(m = \frac{1 - 4}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\). Berechnung des Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(Q\): \(1 = -0{,}5 \cdot 5 + b \Rightarrow 1 = -2{,}5 + b \Rightarrow b = 3{,}5\). Daraus ergibt sich die Gleichung \(y = -0{,}5x + 3{,}5\). 2. Ermittlung des Schnittpunkts durch Gleichsetzen beider Bahnen: \(2x - 4 = -0{,}5x + 3{,}5\). Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(2{,}5x = 7{,}5\). Division durch \(2{,}5\) ergibt \(x = 3\). 3. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in die Gleichung von Bahn 2: \(y = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Die Bahnen kreuzen sich im Punkt \(S(3|2)\).

Die Bahnen kreuzen sich im Punkt \(S(3|2)\).

- Erinnere dich daran, wie man eine Gerade mithilfe des Achsenabschnitts und der Steigung zeichnet. - Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Funktionstermen für die Lage der Graphen? - Welche Koordinate des Schnittpunkts gibt die Lösung für die Variable \(x\) an?

1. Graphen zeichnen: Gerade \(f\) verläuft durch \((0|-3)\) und \((2|1)\). Gerade \(g\) verläuft durch \((0|6)\) und \((6|0)\). 2. Schnittpunkt bestimmen: Durch Ablesen im Koordinatensystem ergibt sich der Schnittpunkt \(S(3|3)\). 3. Lösung der Gleichung: Da die Gleichung die Terme beider Funktionen gleichsetzt, entspricht die Lösung der x-Koordinate des Schnittpunkts, also \(x = 3\). 4. Bedeutung des Schnittpunkts: An der Stelle \(x = 3\) besitzen beide Funktionen denselben Funktionswert (hier \(y = 3\)). Der Schnittpunkt markiert die einzige Stelle, an der beide Funktionsgleichungen gleichzeitig erfüllt sind.

a) Die Graphen sind zwei Geraden, die sich im ersten Quadranten schneiden. b) Die Lösung ist \(x = 3\). c) Der Schnittpunkt \(S(3|3)\) gibt an, dass beide Funktionen für \(x = 3\) denselben Wert \(y = 3\) annehmen.

- Identifiziere, welche Geraden parallel zueinander verlaufen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei horizontalen Geraden? - Überlege dir, wie man die Länge einer waagerechten Strecke zwischen zwei Punkten bestimmt. - Erinnere dich an die Flächenformel für ein Parallelogramm.

1. Bestimmung der Eckpunkte durch Schnittpunktberechnung: - Schnittpunkt \(f\) mit \(h\): \(2 = x + 1 \Rightarrow x = 1\). Punkt \(P_1(1 | 2)\). - Schnittpunkt \(f\) mit \(k\): \(2 = x - 4 \Rightarrow x = 6\). Punkt \(P_2(6 | 2)\). - Schnittpunkt \(g\) mit \(k\): \(-3 = x - 4 \Rightarrow x = 1\). Punkt \(P_3(1 | -3)\). - Schnittpunkt \(g\) mit \(h\): \(-3 = x + 1 \Rightarrow x = -4\). Punkt \(P_4(-4 | -3)\). 2. Da \(f\) und \(g\) horizontale Geraden sind, kann die Strecke zwischen \(P_1\) und \(P_2\) (oder \(P_3\) und \(P_4\)) als Grundseite gewählt werden. 3. Länge der Grundseite: \(6 - 1 = 5\) (bzw. \(1 - (-4) = 5\)). 4. Die Höhe des Parallelogramms ist der vertikale Abstand zwischen den parallelen Geraden \(f\) und \(g\): \(2 - (-3) = 5\). 5. Flächeninhalt: \(A = 5 \cdot 5 = 25\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(25\,\text{FE}\).

- Es ist oft hilfreich, die Geschwindigkeit zuerst in Kilometer pro Minute umzurechnen, wenn nach Minuten gefragt ist. - Was bedeutet „Vorsprung“ für den \(y\)-Achsenabschnitt deiner Funktion? - An welchem Punkt im Koordinatensystem treffen sich die beiden Graphen, wenn ein Fahrzeug das andere einholt?

1. Umrechnung der Geschwindigkeiten in \(\text{km/min}\): \(v_{RE} = 120 : 60 = 2\,\text{km/min}\); \(v_{IC} = 160 : 60 = \frac{8}{3}\,\text{km/min}\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichungen: \(s_{RE}(t) = 2t + 4\) (wegen \(4\,\text{km}\) Vorsprung); \(s_{IC}(t) = \frac{8}{3}t\). 3. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Einholzeitpunkts: \(2t + 4 = \frac{8}{3}t\). 4. Lösen der Gleichung: \(4 = \frac{8}{3}t - 2t \Rightarrow 4 = \frac{2}{3}t \Rightarrow t = 6\,\text{min}\). 5. Berechnung der Strecke: \(s_{IC}(6) = \frac{8}{3} \cdot 6 = 16\,\text{km}\).

a) \(s_{RE}(t) = 2t + 4\) und \(s_{IC}(t) = \frac{8}{3}t\) (mit \(t\) in Minuten und \(s\) in \(\text{km}\)). b) Der IC holt den RE nach \(6\,\text{Minuten}\) ein. c) Der IC hat dabei \(16\,\text{km}\) zurückgelegt.

- Wie müssen die Steigungen zweier Geraden im Verhältnis zueinander stehen, damit sie sich niemals schneiden? - Was bedeutet es für die Lösung eines Gleichungssystems, wenn die Geraden parallel liegen? - Untersuche die \(y\)-Achsenabschnitte, nachdem du beide Gleichungen umgeformt hast.

1. Umformen von Gleichung (I): \(y = 2x + 4\). Die Steigung ist \(m_1 = 2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b_1 = 4\). 2. Umformen von Gleichung (II): \(-2y = -4x + 6\). Division durch \(-2\) ergibt \(y = 2x - 3\). Die Steigung ist \(m_2 = 2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b_2 = -3\). 3. Vergleich der Geraden: Da beide Geraden dieselbe Steigung (\(m_1 = m_2 = 2\)), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(4 \neq -3\)) haben, verlaufen sie parallel zueinander. 4. Schlussfolgerung: Parallel verlaufende Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt. Das zugehörige Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

Beide Geraden haben die Steigung \(m = 2\). Da sie unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben (\(4\) und \(-3\)), verlaufen sie echt parallel. Es gibt keinen Schnittpunkt und somit keine gemeinsame Lösung für die Gleichungen.

- Stelle für beide Kletterhallen eine Gleichung für die monatlichen Gesamtkosten auf. - Was bedeutet es mathematisch, wenn beide Angebote „gleich viel“ kosten? - Vergleiche die Kosten für 5 Besuche, indem du den Wert in deine Gleichungen einsetzt.

1. Kostenfunktionen aufstellen: Sei \(x\) die Anzahl der Besuche. \(K_G(x) = 10 + 5x\) und \(K_K(x) = 7{,}5x\). 2. Gleichsetzen für Teil a): \(10 + 5x = 7{,}5x\). 3. Nach \(x\) auflösen: \(2{,}5x = 10 \implies x = 4\). Bei \(4\) Besuchen kosten beide \(30\,\text{€}\). 4. Kosten für \(5\) Besuche (Teil b): \(K_G(5) = 10 + 5 \cdot 5 = 35\,\text{€}\). \(K_K(5) = 7{,}5 \cdot 5 = 37{,}50\,\text{€}\). „Gipfelstürmer“ ist günstiger. Ersparnis: \(37{,}50\,\text{€} - 35\,\text{€} = 2{,}50\,\text{€}\). 5. Interpretation (Teil c): Da die Kosten pro Besuch bei „Gipfelstürmer“ (\(5\,\text{€}\)) geringer sind als bei „Klettermax“ (\(7{,}50\,\text{€}\)), wird der anfängliche Nachteil der Grundgebühr bei steigender Besuchszahl ausgeglichen. Ab dem \(5\). Besuch ist „Gipfelstürmer“ preiswerter.

a) Bei \(4\) Besuchen pro Monat kosten beide Hallen gleich viel (\(30\,\text{€}\)). b) Halle „Gipfelstürmer“ ist mit \(35\,\text{€}\) günstiger als Halle „Klettermax“ mit \(37{,}50\,\text{€}\). Die Ersparnis beträgt \(2{,}50\,\text{€}\). c) Ab \(5\) Besuchen pro Monat ist die Halle „Gipfelstürmer“ preiswerter, da dort jeder einzelne Besuch weniger kostet.

- Erstelle für jede Gleichung eine kleine Wertetabelle. - Vergleiche die Werte für die Steigung \(m\) in beiden Gleichungen. - Was bedeutet eine identische Steigung für den Verlauf von zwei Geraden?

1. Punkte für \(g\): Bei \(x = 0\) ist \(y = -4\), also \(P_1(0 | -4)\). Bei \(x = 2\) ist \(y = 3 \cdot 2 - 4 = 2\), also \(P_2(2 | 2)\). 2. Punkte für \(h\): Bei \(x = 0\) ist \(y = 2\), also \(Q_1(0 | 2)\). Bei \(x = 1\) ist \(y = 3 \cdot 1 + 2 = 5\), also \(Q_2(1 | 5)\). 3. Geometrische Lage: Beide Geraden haben dieselbe Steigung \(m = 3\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-4\) und \(2\)). Daher verlaufen sie parallel zueinander. 4. Gemeinsame Lösung: Da parallele Geraden keinen Schnittpunkt besitzen, gibt es kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Rechnerisch führt der Ansatz \(3x - 4 = 3x + 2\) zum Widerspruch \(-4 = 2\).

a) Zum Beispiel für \(g\): \((0 | -4)\) und \((2 | 2)\); für \(h\): \((0 | 2)\) und \((1 | 5)\). b) Die Geraden verlaufen parallel zueinander. c) Nein, es gibt keine gemeinsame Lösung, da die Geraden dieselbe Steigung \(m = 3\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte besitzen und daher echt parallel sind.

- Schau dir die Steigungen der Funktionen genau an. Was fällt dir auf? - Wie verhalten sich Geraden zueinander, wenn sie die gleiche Steigung haben? - Beim Lösen der Gleichung mit Brüchen kann es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren.

1. Begründung für \(f\) und \(g\): Beide Funktionen haben die identische Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(2\) und \(-5\)). Die Geraden verlaufen somit echt parallel und können sich nicht schneiden. 2. Schnittpunkt von \(g\) und \(h\): Gleichsetzen der Terme: \(\frac{2}{3}x - 5 = -x + 7\). 3. Addition von \(x\) und \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{5}{3}x = 12\). 4. Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2\). 5. Einsetzen in \(h(x)\): \(y = -7{,}2 + 7 = -0{,}2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

a) Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind parallel, da sie die gleiche Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte haben. b) Der Schnittpunkt ist \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

- Was stellt der Startwert mathematisch in einer linearen Funktion dar? - Wenn zwei Werte gleich sein sollen, welches mathematische Verfahren bietet sich an? - Was bedeutet eine Änderung von \(x\) (Zeit) für das Ergebnis \(y\) (Geld)?

1. Aufstellen der Gleichungen: Lukas: \(f(x) = 5x + 20\); Sarah: \(g(x) = 2x + 50\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(5x + 20 = 2x + 50\). 3. Lösen nach \(x\): \(3x = 30 \Rightarrow x = 10\). Nach \(10\) Wochen ist das Guthaben gleich. 4. Berechnung des Betrags: \(f(10) = 5 \cdot 10 + 20 = 70\). Der Betrag beträgt \(70\,\text{€}\). 5. Interpretation der Steigung: Die Steigung gibt die wöchentliche Sparrate in Euro pro Woche an.

a) Lukas: \(f(x) = 5x + 20\); Sarah: \(g(x) = 2x + 50\) b) Nach \(10\) Wochen. c) Sie haben dann jeweils \(70\,\text{€}\). d) Die Steigung entspricht dem Betrag, der pro Woche dazukommt (Sparrate).

- Was stellt die \(x\)-Achse und was die \(y\)-Achse in deiner Zeichnung dar? - Wie kannst du den Zeitunterschied beim Start in der Funktionsgleichung oder im Graphen berücksichtigen? - Was passiert an der Stelle, an der sich die beiden Geraden schneiden? - Wie verändert sich die Steigung der Geraden, wenn jemand schneller oder langsamer läuft?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Zeit in Stunden seit \(09{:}00\,\text{Uhr}\), \(y\) ist die Entfernung vom Startpunkt in \(\text{km}\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Lena gilt \(y_L = 4x\). Da Max \(1{,}5\,\text{Stunden}\) später startet, lautet seine Gleichung \(y_M = 16(x - 1{,}5)\) für \(x \ge 1{,}5\). 3. Grafische Lösung: Zeichne für Lena den Strahl durch \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\). Zeichne für Max ab \(x = 1{,}5\) den Strahl durch \((1{,}5 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\). Der Schnittpunkt ist \(P(2 \mid 8)\). 4. Rechnerische Überprüfung: Gleichsetzen der Funktionen ergibt \(4x = 16x - 24\), woraus \(12x = 24\) und somit \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine Gleichung ergibt \(y = 4 \cdot 2 = 8\). 5. Interpretation: Der Wert \(x = 2\) entspricht \(2\,\text{Stunden}\) nach \(09{:}00\,\text{Uhr}\), also \(11{:}00\,\text{Uhr}\). Die Entfernung beträgt \(8\,\text{km}\). Die Steigung entspricht der Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\).

a) Für Lena gilt \(y_L = 4x\) für \(x \ge 0\). Für Max gilt \(y_M = 16(x - 1{,}5)\) für \(x \ge 1{,}5\). b) Der Graph von Lena verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\); der Graph von Max beginnt bei \((1{,}5 \mid 0)\) und verläuft ebenfalls durch \((2 \mid 8)\). c) Max holt Lena um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) in einer Entfernung von \(8\,\text{km}\) vom Startpunkt ein. d) Die Steigung gibt die jeweilige Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) an.

- Wenn ein Zug aus der entgegengesetzten Richtung kommt, wie wirkt sich das auf das Vorzeichen der Steigung aus? - Wo startet der zweite Zug auf der \(y\)-Achse, wenn die Entfernung von Ort \(A\) gemessen wird? - Kannst du den Treffpunkt im Diagramm markieren? Welche Koordinaten hat er? - Wie rechnet man Dezimalstunden (z. B. \(0{,}5\,\text{h}\)) in Minuten um?

1. Aufstellen der Funktionen mit Bezug auf Ort \(A\): Der Güterzug startet bei \(0\) und hat die Gleichung \(f(x) = 80x\). Der Personenzug startet in \(250\,\text{km}\) Entfernung und fährt in die Gegenrichtung, also \(g(x) = 250 - 120x\). 2. Grafische Darstellung: Zeichnen der Geraden \(f\) durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 80)\) sowie \(g\) durch \((0 \mid 250)\) und \((2 \mid 10)\). 3. Berechnung des Schnittpunkts: \(80x = 250 - 120x\). 4. Zusammenfassen: \(200x = 250\). 5. Lösung für \(x\): \(x = 1{,}25\,\text{Stunden}\) (entspricht \(1\,\text{Stunde}\) und \(15\,\text{Minuten}\)). 6. Berechnung der Entfernung: \(f(1{,}25) = 80 \cdot 1{,}25 = 100\,\text{km}\).

a) Mit \(x\) in Stunden und der Entfernung von Ort \(A\) als \(y\)-Wert gelten \(f(x) = 80x\) und \(g(x) = 250 - 120x\). Für das Diagramm kann man etwa \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 80)\) sowie \((0 \mid 250)\), \((2 \mid 10)\) eintragen. b) Grafisch ergibt sich der Treffpunkt \(S(1{,}25 \mid 100)\): nach etwa \(1{,}25\,\text{h}\) und \(100\,\text{km}\) von Ort \(A\) entfernt. c) Rechnerisch sind die exakten Werte \(1{,}25\,\text{h} = 1\,\text{h}\,15\,\text{min}\) und \(100\,\text{km}\).

- Kannst du die festen Startwerte und die veränderlichen Raten in der Form \(y = mx + b\) identifizieren? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Mengen „gleich“ sind? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung hast, bei der die Variable auf beiden Seiten vorkommt? - Hast du überprüft, ob dein berechneter Wert für \(x\) in beiden ursprünglichen Situationen zum selben Ergebnis führt?

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Tank A gilt \(y_A = 20x + 150\), für Tank B gilt \(y_B = 32{,}5x + 50\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(20x + 150 = 32{,}5x + 50\). 3. Lösen der Gleichung nach \(x\): Subtraktion von \(20x\) und \(50\) führt zu \(100 = 12{,}5x\). Division durch \(12{,}5\) ergibt \(x = 8\). Die Tanks haben nach \(8\,\text{Minuten}\) den gleichen Inhalt. 4. Berechnung des Wasserinhalts: Einsetzen von \(x = 8\) in eine der Gleichungen, zum Beispiel \(y_A = 20 \cdot 8 + 150 = 160 + 150 = 310\). Der Inhalt beträgt \(310\,\text{l}\).

a) \(y_A = 20x + 150\) und \(y_B = 32{,}5x + 50\) b) Nach \(8\,\text{Minuten}\) c) \(310\,\text{l}\)

- Stelle dir die Strecke als Zahlenstrahl vor. Wo befindet sich der Pkw zum Zeitpunkt seines Starts? - Wie verändert sich die Entfernung zu Stadt A, wenn ein Fahrzeug aus der Gegenrichtung kommt? - Rechne alle Zeitangaben in Stunden um, bevor du sie in die Gleichungen einsetzt. - Was muss für die Positionen beider Fahrzeuge im Moment der Begegnung gelten?

1. \(t\) bezeichnet die Zeit in Stunden nach \(12{:}00\,\text{Uhr}\), \(s\) die Entfernung von Stadt A in Kilometern. 2. Für den Lkw gilt \(s = 60t\). Für den Pkw gilt ab seinem Start \(s = 180 - 90(t - 0{,}75)\), da er \(45\,\text{Minuten} = 0{,}75\,\text{Stunden}\) später startet und sich Stadt A nähert. 3. Gleichsetzen der Positionen: \(60t = 180 - 90t + 67{,}5\). 4. Zusammenfassen ergibt \(150t = 247{,}5\), also \(t = 1{,}65\). 5. \(1{,}65\,\text{Stunden}\) entsprechen \(1\,\text{Stunde}\) und \(39\,\text{Minuten}\). Die Fahrzeuge begegnen sich daher um \(13{:}39\,\text{Uhr}\). 6. Die Entfernung von Stadt A beträgt \(s = 60 \cdot 1{,}65 = 99\,\text{km}\).

Die Fahrzeuge begegnen sich um \(13{:}39\,\text{Uhr}\) in einer Entfernung von \(99\,\text{km}\) von Stadt A.

- Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt (den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse) für beide Geraden ablesen? - Nutze ein Steigungsdreieck, um die Steigung \(m\) für jede Gerade zu bestimmen. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine lineare Funktion: \(y = mx + b\). - Wenn sich zwei Geraden schneiden, haben sie am Schnittpunkt dieselben Koordinaten. Wie kannst du das nutzen, um eine Gleichung aufzustellen? - Wenn du die x-Koordinate berechnet hast, wie findest du dann die dazugehörige y-Koordinate?

1. Bestimmung der Gleichung von \(f\): - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = 2\). - Mit einem Steigungsdreieck, z. B. von \((0 \mid 2)\) zu \((2 \mid 3)\), ergibt sich die Steigung \(m = \frac{3 - 2}{2 - 0} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). - Somit lautet die Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}5x + 2\). 2. Bestimmung der Gleichung von \(g\): - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = -1\). - Mit einem Steigungsdreieck, z. B. von \((0 \mid -1)\) zu \((1 \mid -2)\), ergibt sich die Steigung \(m = \frac{-2 - (-1)}{1 - 0} = -1\). - Somit lautet die Funktionsgleichung: \(g(x) = -x - 1\). 3. Berechnung des Schnittpunkts \(S\): - Gleichsetzen der Funktionsterme: \(f(x) = g(x)\) \(0{,}5x + 2 = -x - 1\) - Addiere \(x\) auf beiden Seiten: \(1{,}5x + 2 = -1\) - Subtrahiere \(2\) auf beiden Seiten: \(1{,}5x = -3\) - Dividiere durch \(1{,}5\): \(x = -2\) - Einsetzen von \(x = -2\) in \(g(x)\) zur Bestimmung des \(y\)-Werts: \(y = -(-2) - 1 = 1\) - Der Schnittpunkt ist \(S(-2 \mid 1)\).

a) \(f(x) = 0{,}5x + 2\) (oder \(f(x) = \frac{1}{2}x + 2\)) und \(g(x) = -x - 1\) b) \(S(-2 \mid 1)\)

- Beachte zuerst die Achsenskalierung, um die Schnittpunkte zu schätzen. - Nutze die markierten Punkte, um Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt jeder Geraden zu bestimmen. - Setze für den exakten Schnittpunkt die Funktionsterme gleich und berechne anschließend den zugehörigen \(y\)-Wert.

1. Aus der Grafik liest man für a) näherungsweise \(S(1{,}4 \mid 1{,}6)\) und für b) näherungsweise \(S(-0{,}8 \mid 2{,}6)\) ab. 2. In a) verläuft \(f\) durch \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\), also gilt \(f(x) = -x + 3\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \((1 \mid 1)\) und \((3 \mid 4)\), also gilt \(g(x) = 1{,}5x - 0{,}5\). In b) verläuft \(f\) durch \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid -1)\), also gilt \(f(x) = -2x + 1\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \((0 \mid 3)\) und \((2 \mid 4)\), also gilt \(g(x) = 0{,}5x + 3\). 3. In a) ergibt das Gleichsetzen \(-x + 3 = 1{,}5x - 0{,}5\), also \(x = 1{,}4\) und \(y = 1{,}6\). Damit ist \(S(1{,}4 \mid 1{,}6)\). In b) ergibt das Gleichsetzen \(-2x + 1 = 0{,}5x + 3\), also \(x = -0{,}8\) und \(y = 2{,}6\). Damit ist \(S(-0{,}8 \mid 2{,}6)\).

1. a) \(S \approx (1{,}4 \mid 1{,}6)\); b) \(S \approx (-0{,}8 \mid 2{,}6)\) 2. a) \(f(x) = -x + 3\), \(g(x) = 1{,}5x - 0{,}5\); b) \(f(x) = -2x + 1\), \(g(x) = 0{,}5x + 3\) 3. a) \(S(1{,}4 \mid 1{,}6)\); b) \(S(-0{,}8 \mid 2{,}6)\)

- Der Schnittpunkt der beiden Geraden beschreibt das Zusammentreffen. - Berücksichtige in Maries Funktion ihren um \(1{,}5\,\text{h}\) späteren Start. - Rechne den Dezimalteil der Stundenangabe in Minuten um.

1. Für Lukas gilt \(s_L(t) = 4t\). Marie startet \(1{,}5\,\text{h}\) später, daher gilt für \(t \ge 1{,}5\) die Gleichung \(s_M(t) = 12(t - 1{,}5)\). 2. Aus dem Schnittpunkt im Diagramm liest man ungefähr \(t \approx 2{,}25\,\text{h}\) und \(s \approx 9\,\text{km}\) ab. 3. Rechnerisch ergibt das Gleichsetzen \(4t = 12(t - 1{,}5)\), also \(4t = 12t - 18\), \(8t = 18\) und \(t = 2{,}25\). 4. Die Entfernung beträgt \(s = 4 \cdot 2{,}25 = 9\,\text{km}\). 5. \(2{,}25\,\text{h}\) entsprechen \(2\,\text{h}\ 15\,\text{min}\). Daher treffen sie sich um 11:15 Uhr.

a) Marie holt Lukas nach etwa \(2{,}25\,\text{h}\) in etwa \(9\,\text{km}\) Entfernung ein. b) Exakt treffen sie sich nach \(2{,}25\,\text{h}\) bei \(9\,\text{km}\), also um 11:15 Uhr.

- Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert Zeit und Entfernung der Begegnung. - Berücksichtige, dass das von Hafen B kommende Schiff bei \(100\,\text{km}\) startet. - Setze die beiden Entfernungsterme gleich.

1. Für die „Albatros“ gilt \(s_a(t) = 20t\). Für die „Bussard“ gilt \(s_b(t) = 100 - 30t\). 2. Aus dem Schnittpunkt im Diagramm liest man ungefähr \(t \approx 2\,\text{h}\) und \(s \approx 40\,\text{km}\) ab. 3. Rechnerisch ergibt das Gleichsetzen \(20t = 100 - 30t\), also \(50t = 100\) und \(t = 2\,\text{h}\). 4. Die Entfernung vom Hafen A beträgt \(s = 20 \cdot 2 = 40\,\text{km}\).

a) Aus der Grafik liest man etwa \(2\,\text{h}\) und etwa \(40\,\text{km}\) vom Hafen A ab. b) Rechnerisch ergibt sich die Begegnung nach \(2\,\text{h}\) in \(40\,\text{km}\) Entfernung vom Hafen A.

- Lies für beide Geraden geeignete Gitterpunkte ab und bestimme daraus Steigung und Achsenabschnitt. - Setze die beiden Funktionsterme gleich. - Überprüfe, ob der berechnete Punkt zu deiner Schätzung passt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Gerade \(f\): Punkt \((0 \mid 3)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Mit einem weiteren Punkt wie \((3 \mid 0)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{0 - 3}{3 - 0} = -1\). Also \(f(x) = -x + 3\). Gerade \(g\): Punkt \((0 \mid 1)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Mit dem Punkt \((4 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{2 - 1}{4 - 0} = 0{,}25\). Also \(g(x) = 0{,}25x + 1\). 2. Gleichsetzen: \(-x + 3 = 0{,}25x + 1\). 3. Auflösen: \(2 = 1{,}25x \Rightarrow x = \frac{2}{1{,}25} = 1{,}6\). 4. \(y\)-Wert: \(y = -1{,}6 + 3 = 1{,}4\). 5. Der Schnittpunkt ist auf zwei Dezimalstellen \(S(1{,}60 \mid 1{,}40)\).

Schätzung: etwa \(S(1{,}5 \mid 1{,}5)\) Rechnung auf zwei Dezimalstellen: \(S(1{,}60 \mid 1{,}40)\)

- Wie findet man den Punkt, den zwei Funktionen gemeinsam haben? - Die \(x\)-Achse bildet eine Seite des Dreiecks. Welche Punkte der Graphen sind für diese Seite wichtig? - Welcher Wert des Schnittpunkts gibt dir die Höhe des Dreiecks über der \(x\)-Achse an?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen ermitteln: \(2x - 4 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\). Einsetzen in \(f(x)\): \(f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). 2. Nullstelle von \(f\): \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\). Nullstelle von \(g\): \(-x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5\). 3. Die Grundseite \(g_D\) des Dreiecks liegt auf der \(x\)-Achse zwischen den Nullstellen: \(g_D = 5 - 2 = 3\). 4. Die Höhe \(h\) des Dreiecks entspricht dem \(y\)-Wert des Schnittpunkts \(S\): \(h = 2\). 5. Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g_D \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(3\,\text{FE}\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). b) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 2\), die Nullstelle von \(g\) ist \(x = 5\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\,\text{FE}\).

- Wie findet man die gemeinsamen Punkte von Geraden? - Wenn eine Seite des Dreiecks waagerecht liegt, wie kannst du dann ihre Länge und die dazugehörige Höhe besonders einfach bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

1. Berechnung des Eckpunkts \(A\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_2\): \(\frac{1}{2}x + 2 = -x + 5 \Rightarrow 1{,}5x = 3 \Rightarrow x = 2\). Einsetzen ergibt \(y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 3\). Also \(A(2|3)\). 2. Berechnung des Eckpunkts \(B\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_3\): \(-1 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow -3 = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = -6\). Also \(B(-6|-1)\). 3. Berechnung des Eckpunkts \(C\) durch Schnitt von \(g_2\) und \(g_3\): \(-1 = -x + 5 \Rightarrow x = 6\). Also \(C(6|-1)\). 4. Die Seite \(BC\) liegt auf der horizontalen Geraden \(y = -1\). Ihre Länge (Basis \(g\)) ist die Differenz der \(x\)-Werte: \(|6 - (-6)| = 12\). 5. Die Höhe \(h\) ist der vertikale Abstand des Punktes \(A(2|3)\) zur Geraden \(y = -1\): \(|3 - (-1)| = 4\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24\).

a) Eckpunkte: \(A(2|3)\), \(B(-6|-1)\) und \(C(6|-1)\) b) Flächeninhalt: \(24\) Flächeneinheiten

- Versuche die Eckpunkte in Abhängigkeit von \(c\) auszudrücken. - Welche Punkte liegen auf der Geraden \(y = c\)? - Was passiert mit dem Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

1. Schnittpunkte bestimmen: - \(f \cap g\): \(x = -x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0\). Erster Eckpunkt ist der Ursprung \(O(0|0)\). - \(f \cap h\): \(x = c, y = c\). Zweiter Eckpunkt ist \(P_1(c|c)\). - \(g \cap h\): \(-x = c \Rightarrow x = -c, y = c\). Dritter Eckpunkt ist \(P_2(-c|c)\). 2. Die Basis des Dreiecks liegt auf der Geraden \(y = c\). Die Länge der Basis ist die Differenz der \(x\)-Koordinaten von \(P_1\) und \(P_2\): \(g = c - (-c) = 2c\). 3. Die Höhe des Dreiecks ist der Abstand vom Ursprung zur Geraden \(y = c\), also \(h = c\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\). Damit ist die Formel gezeigt. 5. Analyse der Änderung: Wenn \(c\) verdoppelt wird (\(c_{\text{neu}} = 2c\)), dann gilt für den neuen Flächeninhalt \(A_{\text{neu}} = (2c)^2 = 4c^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also.

a) Die Eckpunkte sind \((0|0)\), \((c|c)\) und \((-c|c)\). Die Basis ist \(2c\), die Höhe \(c\), woraus \(A = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\) folgt. b) Der Flächeninhalt vervierfacht sich, da \(c\) in der Flächenformel quadratisch eingeht: \((2c)^2 = 4c^2\).

- Wie findet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Wie stellt man eine Funktionsgleichung auf, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind? - Welche Schritte sind nötig, um von zwei Punkt- oder Steigungsangaben zu einem gemeinsamen Schnittpunkt zu gelangen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung für \(h_1\): - Steigung \(m_1 = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\) - \(y\)-Achsenabschnitt \(b_1\): \(5 = 2 \cdot 2 + b_1 \Rightarrow 5 = 4 + b_1 \Rightarrow b_1 = 1\) - Gleichung: \(h_1(x) = 2x + 1\) 2. Bestimmung der Funktionsgleichung für \(h_2\): - Gegeben \(m_2 = -0{,}5\) - \(y\)-Achsenabschnitt \(b_2\): \(1 = -0{,}5 \cdot 6 + b_2 \Rightarrow 1 = -3 + b_2 \Rightarrow b_2 = 4\) - Gleichung: \(h_2(x) = -0{,}5x + 4\) 3. Gleichsetzen der Funktionen: \(2x + 1 = -0{,}5x + 4\) 4. Lösen nach \(x\): \(2{,}5x = 3 \Rightarrow x = 1{,}2\) 5. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(h_1(1{,}2) = 2 \cdot 1{,}2 + 1 = 3{,}4\) 6. Schnittpunkt: \(S(1{,}2 | 3{,}4)\)

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \(S(1{,}2 | 3{,}4)\).

- Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

1. Teilaufgabe a: Ein Punkt auf der \(x\)-Achse hat den \(y\)-Wert \(0\). Aus \(0 = -x + 6\) folgt \(x = 6\). Einsetzen in \(h\): \(0 = m \cdot 6 + 2 \Rightarrow 6m = -2 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Zwei Geraden haben keinen Schnittpunkt, wenn sie parallel sind, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben. Da \(g\) die Steigung \(-1\) hat, muss \(m = -1\) gelten. 3. Teilaufgabe c: Bei \(m = 1\) lautet das System \(y = -x + 6\) und \(y = x + 2\). Gleichsetzen: \(-x + 6 = x + 2 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x = 2\). Einsetzen: \(y = 2 + 2 = 4\). Da \(x = 2 > 0\) und \(y = 4 > 0\), liegt der Punkt \(S(2|4)\) im I. Quadranten.

a) \(m = -\frac{1}{3}\) b) \(m = -1\) c) I. Quadrant, da der Schnittpunkt \(S(2|4)\) positive Koordinaten besitzt.

- Wie weit ist Gruppe B zum Zeitpunkt \(t=0\) schon vom Parkplatz entfernt? - Was bedeutet „einholen“ im Zusammenhang mit den Funktionsgraphen? - Vergleiche den berechneten Treffpunkt mit der Gesamtlänge der Strecke.

1. Aufstellen der Funktionen: Gruppe A startet bei \(0\) mit Steigung \(4{,}5\), also \(s_A(t) = 4{,}5t\). Gruppe B startet bei \(3\) mit Steigung \(3\), also \(s_B(t) = 3 + 3t\). 2. Berechnung des Einholpunkts durch Gleichsetzen: \(4{,}5t = 3 + 3t\). 3. Auflösen nach \(t\): Subtraktion von \(3t\) ergibt \(1{,}5t = 3\). Division durch \(1{,}5\) ergibt \(t = 2\). Gruppe A holt Gruppe B nach \(2\) Stunden ein. 4. Berechnung der Entfernung: \(s_A(2) = 4{,}5 \cdot 2 = 9\). Der Treffpunkt liegt bei \(9\,\text{km}\) Entfernung vom Parkplatz. 5. Prüfung der Bedingung: Da der Treffpunkt bei \(9\,\text{km}\) liegt und der Gipfel erst bei \(10\,\text{km}\) erreicht wird (\(9 < 10\)), findet das Überholen vor dem Ziel statt.

a) \(s_A(t) = 4{,}5t\); \(s_B(t) = 3 + 3t\) b) Nach \(2\) Stunden holt Gruppe A die Gruppe B in einer Entfernung von \(9\,\text{km}\) ein. c) Ja, da \(9\,\text{km} < 10\,\text{km}\) ist, findet das Überholen \(1\,\text{km}\) vor dem Gipfel statt.

- Wo schneiden die Geraden die \(y\)-Achse? - Wenn eine Seite eines Dreiecks auf einer Koordinatenachse liegt, wie lässt sich die zugehörige Höhe einfach finden? - Was passiert mit dem Flächeninhalt einer Figur, wenn man sie spiegelt? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die neue Figur nach der Spiegelung zusammen?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen: \(x + 1 = -0{,}5x + 4\). 2. \(1{,}5x = 3 \implies x = 2\). 3. \(y = 2 + 1 = 3\). Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). 4. \(y\)-Achsenabschnitte bestimmen: Für \(a\) ist es \(P_a(0 \mid 1)\), für \(b\) ist es \(P_b(0 \mid 4)\). 5. Das Dreieck hat die Eckpunkte \(P_a(0 \mid 1)\), \(P_b(0 \mid 4)\) und \(S(2 \mid 3)\). 6. Die Grundseite auf der \(y\)-Achse hat die Länge \(g = 4 - 1 = 3\). Die Höhe entspricht dem \(x\)-Abstand von \(S\) zur \(y\)-Achse: \(h = 2\). 7. Flächeninhalt Dreieck: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). 8. Bei Spiegelung an der \(y\)-Achse entsteht ein Drachenviereck, das aus dem ursprünglichen Dreieck und seinem flächengleichen Spiegelbild besteht. 9. Flächeninhalt Drachenviereck: \(A_{\text{Drachen}} = 2A_{\text{Dreieck}} = 2 \cdot 3 = 6\). Alternativ über Diagonalen: \(d_1 = 3\) (auf der \(y\)-Achse), \(d_2 = 4\) (Abstand zwischen \(S(2 \mid 3)\) und \(S'(-2 \mid 3)\)). \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\) Flächeneinheiten. c) Das Drachenviereck hat einen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

- Skizziere die Situation für beide Teilaufgaben in ein Koordinatensystem. - Wie verändert sich die Steigung der Diagonale \(AC\), wenn der Punkt \(C\) weiter nach rechts rückt? - Überlege, welche Eigenschaft alle Punkte auf der Diagonalen \(BD\) gemeinsam haben.

1. Für \(C(6|6)\) ist die Diagonale \(AC\) die Ursprungsgerade \(y = x\). Die Diagonale \(BD\) verläuft durch \((6|0)\) und \((0|6)\), also gilt \(y = -x + 6\). Gleichsetzen ergibt \(x = -x + 6\), somit \(x = 3\) und \(y = 3\). Daher ist \(S_1(3|3)\). 2. Für \(C'(12|6)\) hat die Diagonale \(AC'\) die Steigung \(\frac{6}{12} = 0{,}5\), also gilt \(y = 0{,}5x\). Gleichsetzen mit \(BD\) ergibt \(0{,}5x = -x + 6\), somit \(1{,}5x = 6\), \(x = 4\) und \(y = 2\). Daher ist \(S_2(4|2)\). 3. Die Diagonale \(BD\) ist die Strecke zwischen \((0|6)\) und \((6|0)\). Die Diagonale von \(A\) zu einem rechts von \(A\) liegenden Punkt auf \(y = 6\) trifft \(BD\) stets oberhalb der \(x\)-Achse, also bei \(y > 0\). Auf \(BD\) gilt \(x = 6 - y\). Daher folgt aus \(y > 0\), dass stets \(x < 6\) gilt.

a) \(S_1(3|3)\) b) \(S_2(4|2)\) c) Der Schnittpunkt liegt auf \(BD\) stets oberhalb der \(x\)-Achse. Wegen \(x = 6 - y\) und \(y > 0\) bleibt seine \(x\)-Koordinate immer kleiner als \(6\).

- Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Wird etwas hinzugefügt oder entfernt? - Teilaufgabe b) fragt nach dem Schnittpunkt der beiden Funktionen. - Überlege für Teilaufgabe c) zuerst, wie lange es dauert, bis Tank 2 sein Maximum erreicht hat, und nutze diesen Zeitwert dann für Tank 1.

1. Funktionsgleichungen: \(V_1(t) = 2500 - 150t\) (Abfluss bedeutet negative Steigung) und \(V_2(t) = 500 + 250t\). 2. Zeitpunkt gleicher Wassermenge: \(2500 - 150t = 500 + 250t\). 3. Auflösen nach \(t\): \(2000 = 400t \Rightarrow t = 5\,\text{h}\). 4. Wassermenge berechnen: \(V_2(5) = 500 + 250 \cdot 5 = 500 + 1250 = 1750\,\text{l}\). 5. Zeitpunkt für vollen Tank 2: \(3000 = 500 + 250t \Rightarrow 2500 = 250t \Rightarrow t = 10\,\text{h}\). 6. Restmenge in Tank 1 nach \(10\,\text{h}\): \(V_1(10) = 2500 - 150 \cdot 10 = 1000\,\text{l}\).

Die Gleichungen sind \(V_1(t) = 2500 - 150t\) und \(V_2(t) = 500 + 250t\). Nach \(5\,\text{Stunden}\) enthalten beide Tanks \(1750\,\text{l}\). Wenn Tank 2 nach \(10\,\text{Stunden}\) voll ist (\(3000\,\text{l}\)), befinden sich in Tank 1 noch \(1000\,\text{l}\).

- Was verrät dir die Steigung über die Lage zweier Geraden zueinander? - Wo schneidet eine Gerade die \(y\)-Achse? Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Für die Fläche mit der \(x\)-Achse benötigst du die Stellen, an denen die Graphen die \(x\)-Achse kreuzen. - Wie berechnest du den Abstand zwischen zwei Punkten auf der \(x\)-Achse?

1. Erklärung zur Parallelität: Da beide Geraden die gleiche Steigung \(m = \frac{1}{2}\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben, verlaufen sie parallel und schneiden sich nie 2. Bestimmung von \(b\): Der Schnittpunkt von \(f\) mit der \(y\)-Achse ist \((0|1)\). Damit \(h\) dort schneidet, muss \(h(0) = 1\) gelten, woraus \(b = 1\) folgt 3. Nullstellen für die Grundseite auf der \(x\)-Achse berechnen: \(f(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -2\); \(h(x) = 0 \Rightarrow -x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1\) 4. Länge der Grundseite \(g\): \(g = |1 - (-2)| = 3\) 5. Höhe \(H\) des Dreiecks: Der \(y\)-Wert des gemeinsamen Schnittpunkts \((0|1)\) ist \(H = 1\) 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1{,}5\)

Die Geraden \(f\) und \(g\) sind parallel, da sie dieselbe Steigung besitzen. Der Parameter \(b\) ist \(1\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(1{,}5\,\text{FE}\).

- Berechne zuerst, wie viele Zentimeter Kerze B pro Stunde verliert. - Stelle für beide Kerzen eine Gleichung für die Höhe auf. - Wenn du eine Lösung für die Zeit gefunden hast, überlege dir: Wie lange brennen die Kerzen überhaupt, bevor sie komplett aufgebraucht sind? - Kann eine Kerze eine negative Höhe haben?

1. Bestimmung der Abbrandraten in \(\text{cm/h}\): Kerze A: \(10\,\text{mm/h} = 1\,\text{cm/h}\) Kerze B: \(10\,\%\) von \(12\,\text{cm} = 0{,}1 \cdot 12 = 1{,}2\,\text{cm/h}\) 2. Aufstellen der Höhenfunktionen: \(h_A(t) = 5 - t\) \(h_B(t) = 12 - 1{,}2t\) 3. Mathematische Berechnung des Schnittpunkts: \(5 - t = 12 - 1{,}2t\) Addiere \(1{,}2t\): \(5 + 0{,}2t = 12\) Subtrahiere \(5\): \(0{,}2t = 7\) Division durch \(0{,}2\): \(t = 35\) 4. Überprüfung der Realisierbarkeit (Brenndauer): Kerze A ist nach \(5 : 1 = 5\) Stunden abgebrannt (\(h=0\)). Kerze B ist nach \(12 : 1{,}2 = 10\) Stunden abgebrannt (\(h=0\)). 5. Fazit: Der berechnete Zeitpunkt \(t = 35\,\text{h}\) liegt weit nach dem vollständigen Erlöschen beider Kerzen. Da Kerze A bereits nach \(5\) Stunden und Kerze B nach \(10\) Stunden die Höhe \(0\) erreicht haben, sind sie während des Brennens niemals gleich hoch.

Mathematisch wären die Kerzen nach \(35\) Stunden gleich hoch (bei einer theoretischen Höhe von \(-30\,\text{cm}\)). Da Kerze A jedoch bereits nach \(5\) Stunden und Kerze B nach \(10\) Stunden komplett abgebrannt sind, haben sie während des Brennvorgangs niemals die gleiche Höhe.