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Zwei Wechselstuben bieten den Umtausch von Euro (\(\text{€}\)) in britische Pfund (\(\text{£}\)) an. **Wechselstube A** berechnet den Betrag mit der Formel: \(y = 0{,}85 \cdot x\) Dabei ist \(x\) der Betrag in Euro und \(y\) der Betrag in Pfund. **Wechselstube B** nutzt die folgende Tabelle: <table> <tr><th>Euro (\(\text{€}\))</th><td>\(10\)</td><td>\(20\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><th>Pfund (\(\text{£}\))</th><td>\(8{,}60\)</td><td>\(17{,}20\)</td><td>\(86{,}00\)</td></tr> </table> a) Welchen Wechselkurs (Pfund pro Euro) nutzt Wechselstube B? b) Bei welcher Wechselstube erhältst du für \(50\,\text{€}\) mehr Pfund? Begründe deine Entscheidung durch eine Rechnung.

Ein Fahrradfahrer fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(18\,\text{km/h}\). a) Erstelle eine Wertetabelle für die Zuordnung Zeit (in \(\text{h}\)) \(\to\) Strecke (in \(\text{km}\)) für die Werte \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\,\text{h}\). b) Zeichne die Punkte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem. Warum ist es in diesem Sachzusammenhang sinnvoll, die Punkte durch eine Linie zu verbinden? c) Wie viele Kilometer hat der Fahrer nach \(150\,\text{Minuten}\) zurückgelegt? Lies den Wert zunächst aus deinem Graphen ab und überprüfe dein Ergebnis durch eine Rechnung.

Betrachte die folgenden geometrischen Zusammenhänge. Überprüfe, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt. a) Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks \(\rightarrow\) Umfang des Dreiecks. b) Radius eines Kreises \(\rightarrow\) Flächeninhalt des Kreises. c) Kantenlänge eines Würfels \(\rightarrow\) Summe aller Kantenlängen. d) Kantenlänge eines Würfels \(\rightarrow\) Oberflächeninhalt des Würfels.

An einem Marktstand werden Bio-Äpfel in verschiedenen Beuteln angeboten: - Ein \(1{,}5\,\text{kg}\)-Beutel kostet \(3{,}60\,\text{€}\). - Ein \(3\,\text{kg}\)-Beutel kostet \(6{,}60\,\text{€}\). - Ein \(5\,\text{kg}\)-Beutel kostet \(10{,}00\,\text{€}\). Überprüfe rechnerisch, ob die Zuordnung „Gewicht \(\rightarrow\) Preis“ proportional ist. Begründe deine Antwort.

Ein Carsharing-Anbieter berechnet für die Nutzung eines Kleinwagens eine feste Grundgebühr von \(5{,}00\,\text{€}\) pro Buchung sowie zusätzlich \(0{,}30\,\text{€}\) für jeden gefahrenen Kilometer. a) Berechne die Gesamtkosten für eine Strecke von \(10\,\text{km}\) und für eine Strecke von \(20\,\text{km}\). b) Untersuche, ob die Zuordnung „gefahrene Kilometer \(\to\) Gesamtkosten“ proportional ist. Begründe deine Antwort mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabenteil a).

Überprüfe, ob die folgende Wertetabelle eine proportionale Zuordnung beschreibt. Berechne dazu die Quotienten \(\frac{y}{x}\) für alle Wertepaare. Ergänze anschließend den \(y\)-Wert für \(x = 20\), falls eine proportionale Zuordnung vorliegt. <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(4\)</td><td>\(7\)</td><td>\(12\)</td><td>\(15\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(14\)</td><td>\(24{,}5\)</td><td>\(42\)</td><td>\(52{,}5\)</td></tr> </table>

In einem Unverpackt-Laden kosten \(3\,\text{kg}\) Bio-Haferflocken \(5{,}85\,\text{€}\). a) Berechne den Preis für \(1\,\text{kg}\) Haferflocken. b) Erstelle eine Tabelle, die den Preis für \(2\,\text{kg}\), \(5\,\text{kg}\) und \(10\,\text{kg}\) angibt. c) Gib den Proportionalitätsfaktor für die Zuordnung Masse \(\to\) Preis an und erkläre kurz seine Bedeutung.

Gegeben sind zwei Wertetabellen, die jeweils eine proportionale Zuordnung beschreiben: **Tabelle A:** <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td><td>\(15\)</td></tr> </table> **Tabelle B:** <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(3\)</td><td>\(6\)</td><td>\(9\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(6\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td></tr> </table> a) Bestimme für beide Tabellen den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib die Zuordnungsvorschriften in der Form \(y = k \cdot x\) an. b) Beschreibe eine Gemeinsamkeit, die die Graphen beider Zuordnungen im Koordinatensystem haben. c) Welcher der beiden Graphen verläuft steiler? Begründe deine Entscheidung mithilfe der Proportionalitätsfaktoren.

Ein Kaffeeröster bietet handverlesene Bohnen an. Für eine Menge von \(500\,\text{g}\) bezahlt man \(8{,}50\,\text{€}\). a) Welche Art von Zuordnung liegt hier zwischen der Masse (in \(\text{g}\)) und dem Preis (in \(\text{€}\)) vor? Begründe deine Entscheidung und gib den Proportionalitätsfaktor in \(\text{€}/\text{g}\) sowie den Preis pro \(100\,\text{g}\) an. b) Berechne die Preise für die folgenden Mengen und stelle sie in einer Tabelle dar: \(100\,\text{g}\), \(250\,\text{g}\), \(750\,\text{g}\) und \(1{,}25\,\text{kg}\).

An einem Marktstand werden Äpfel verkauft. Der Preis ist proportional zum Gewicht. Für \(2{,}5\,\text{kg}\) zahlt man \(4{,}50\,\text{€}\). a) Berechne den Preis für \(1\,\text{kg}\) Äpfel. b) Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte. <table> <tr><td>Masse (in \(\text{kg}\))</td><td>\(1\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>Preis (in \(\text{€}\))</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr> </table> c) Stelle eine Gleichung auf, mit der man den Preis \(y\) für ein beliebiges Gewicht \(x\) berechnen kann.

Untersuche die folgende Wertetabelle. Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung? Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor \(k\) an (\(y = k \cdot x\)) und vervollständige die fehlenden Werte in der Tabelle. <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(\ldots\)</td><td>\(15\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(6{,}25\)</td><td>\(10\)</td><td>\(\ldots\)</td><td>\(30\)</td><td>\(\ldots\)</td></tr> </table>

Eine Schulklasse möchte für ein Schulfest Fruchtpunsch zubereiten. Laut Rezept werden für \(25\) Personen genau \(6{,}25\,\text{Liter}\) Saft benötigt. Wie viel Saft muss die Klasse einkaufen, wenn insgesamt \(60\) Personen zum Schulfest erwartet werden? Stelle zur Lösung eine passende Gleichung auf.

Im Supermarkt werden zwei verschiedene Packungsgrößen derselben Nudelsorte angeboten. Packung A enthält \(800\,\text{g}\) und kostet \(1{,}52\,\text{€}\). Packung B enthält \(1{,}2\,\text{kg}\) und kostet \(2{,}16\,\text{€}\). Bestimme für beide Packungen den Preis pro Kilogramm. Welches Angebot ist preiswerter und wie groß ist der Preisunterschied pro Kilogramm?

In der Schulmensa kosten 3 Portionen Nudeln insgesamt \(13{,}50\,\text{€}\). a) Berechne den Preis für 5 Portionen. b) Wie viele Portionen erhält man für \(31{,}50\,\text{€}\)? c) Handelt es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung? Begründe deine Entscheidung.

Ein Rezept für Pfannkuchen für 4 Personen sieht \(500\,\text{g}\) Mehl und 3 Eier vor. a) Berechne, wie viel Mehl man für 10 Personen benötigt. b) Für wie viele Personen reicht das Rezept, wenn man 15 Eier verwendet und die anderen Zutaten im gleichen Verhältnis anpasst?

In einem Copyshop ist der Preis proportional zur Seitenzahl. Man zahlt für das Drucken von 40 Seiten genau \(3{,}20\,\text{€}\). a) Berechne den Preis für eine einzelne Seite. b) Bestimme den Gesamtpreis für einen Auftrag mit 150 Seiten. c) Beschreibe den Verlauf des Graphen der Zuordnung \(\text{Anzahl der Seiten} \to \text{Gesamtpreis}\).

Ein Kleingartenverein verpachtet Parzellen zu einem Preis, der direkt proportional zur Fläche ist. Für eine Parzelle von \(15\,\text{m}^2\) zahlt ein Mitglied jährlich \(60\,\text{€}\). a) Berechne die jährliche Pacht für eine größere Parzelle mit einer Fläche von \(25\,\text{m}^2\). b) Aufgrund gestiegener Instandhaltungskosten erhöht sich der Preis pro Quadratmeter um \(1\,\text{€}\). Wie groß wäre eine Parzelle, für die man nun denselben Gesamtbetrag von \(60\,\text{€}\) bezahlen müsste?

Ein tropfender Wasserhahn verliert gleichmäßig Wasser. In der folgenden Tabelle ist die Zeit \(t\) in Minuten (\(\text{min}\)) und die dazugehörige Wassermenge \(V\) in Millilitern (\(\text{ml}\)) angegeben, die in einem Messbecher aufgefangen wurde. <table> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{min}\)</td><td>\(4\)</td><td>\(8\)</td><td>\(12\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>Volumen \(V\) in \(\text{ml}\)</td><td>\(60\)</td><td>\(120\)</td><td>\(180\)</td><td>\(300\)</td></tr> </table> a) Bestimme einen Term, mit dem man das Volumen \(V\) berechnen kann, wenn die Zeit \(t\) bekannt ist. b) Wie viel Wasser hat sich nach \(45\,\text{min}\) und wie viel nach einer Stunde (\(60\,\text{min}\)) im Messbecher angesammelt? c) Nach welcher Zeit befinden sich genau \(1{,}5\,\text{Liter}\) Wasser im Becher?

Eine Malerin mischt für einen bestimmten Grünton blaue und gelbe Farbe. In der folgenden Tabelle sind verschiedene Mischungen aufgeführt, die alle denselben Farbton ergeben sollen: <table> <tr><td>Blau (in \(\text{ml}\))</td><td>\(150\)</td><td>\(225\)</td><td>\(450\)</td></tr> <tr><td>Gelb (in \(\text{ml}\))</td><td>\(250\)</td><td>\(375\)</td><td>\(?\)</td></tr> </table> a) Weise rechnerisch nach, dass die Zuordnung „Menge Blau \(\rightarrow\) Menge Gelb“ proportional ist. b) Berechne die fehlende Menge an gelber Farbe für \(450\,\text{ml}\) Blau. c) Die Malerin möchte insgesamt genau \(1\,\text{Liter}\) dieser grünen Farbmischung herstellen. Wie viel Milliliter blaue Farbe muss sie dafür verwenden?

Ein Läufer trainiert für einen Marathon und läuft mit einer konstanten Geschwindigkeit. Nach einer Zeit von \(12\,\text{Minuten}\) hat er eine Strecke von \(2{,}4\,\text{km}\) zurückgelegt. a) Berechne die Geschwindigkeit des Läufers in Kilometern pro Stunde (\(\text{km/h}\)). b) Welche Strecke hat der Läufer bei gleichbleibendem Tempo nach einer Dreiviertelstunde zurückgelegt? c) Wenn der Läufer die doppelte Strecke zurücklegen möchte, wie verändert sich die benötigte Zeit? Begründe deine Antwort mithilfe der Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung.

Ein Radfahrer fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit. In \(40\,\text{Minuten}\) legt er eine Strecke von \(15\,\text{km}\) zurück. a) Berechne die Strecke, die er bei gleichbleibendem Tempo in einer Stunde (\(60\,\text{Minuten}\)) zurücklegt. b) Bestimme die Zeit in Minuten, die er für eine Strecke von \(24\,\text{km}\) benötigt.

Ein Auto verbraucht auf \(100\,\text{km}\) Fahrtstrecke durchschnittlich \(6{,}5\,\text{Liter}\) Benzin. Der Verbrauch ist proportional zur zurückgelegten Strecke. a) Wie viele Liter Benzin werden für eine Strecke von \(340\,\text{km}\) benötigt? b) Wie weit kommt das Auto theoretisch mit einer Tankfüllung von \(52\,\text{Litern}\)?

In einer Kaffeerösterei verliert Kaffee beim Rösten an Gewicht. Aus \(25\,\text{kg}\) Rohkaffee entstehen nach dem Röstvorgang \(21\,\text{kg}\) Röstkaffee. Das Verhältnis zwischen Rohkaffee und Röstkaffee ist proportional. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\), der angibt, wie viel Kilogramm Röstkaffee man aus \(1\,\text{kg}\) Rohkaffee erhält. b) Wie viel Rohkaffee muss die Rösterei einplanen, wenn sie einen Auftrag über \(150\,\text{kg}\) Röstkaffee erhalten hat? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen. c) Ein kleinerer Sack enthält \(12{,}5\,\text{kg}\) Rohkaffee. Wie viel Röstkaffee ergibt sich daraus?

Untersuche die beiden folgenden Wertetabellen. Handelt es sich jeweils um eine proportionale Zuordnung \(x \to y\)? Begründe deine Entscheidung rechnerisch. a) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(3\)</td><td>\(6\)</td><td>\(9\)</td><td>\(15\)</td></tr> </table> b) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4{,}5\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(7{,}5\)</td></tr> </table>

Betrachte die folgenden zwei Alltagssituationen und untersuche sie auf direkte Proportionalität: a) Anzahl der gekauften Eintrittskarten für ein Museum \(\rightarrow\) Gesamtpreis. b) Gefahrene Kilometer mit einem Taxi \(\rightarrow\) Fahrpreis. Entscheide für beide Fälle, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt. Begründe deine Antwort und nenne beim Taxi eine Bedingung oder einen Bestandteil des Preises, der die Proportionalität beeinflusst.

An einem Marktstand werden Kirschen verkauft. Für \(300\,\text{g}\) bezahlt man \(4{,}50\,\text{€}\), für \(500\,\text{g}\) bezahlt man \(7{,}50\,\text{€}\). a) Begründe, warum es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt. b) Bestimme die Funktionsgleichung, die den Preis \(y\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit vom Gewicht \(x\) (in \(\text{g}\)) beschreibt. c) Wie viel kosten \(800\,\text{g}\) Kirschen? Welches Gewicht erhält man für \(18{,}00\,\text{€}\)?

In zwei verschiedenen Kopiershops gelten folgende Preise: Shop A: 80 Kopien für \(6{,}40\,\text{€}\). Shop B: 150 Kopien für \(9{,}00\,\text{€}\). a) Bestimme den Preis pro Kopie für beide Läden. b) Berechne die Kosten für 400 Kopien in beiden Shops. c) Wie viele Kopien erhält man jeweils für \(12{,}00\,\text{€}\)?

Zwei Autos werden auf ihren Kraftstoffverbrauch getestet. Auto A verbraucht \(42\,\text{l}\) Benzin auf einer Strecke von \(600\,\text{km}\). Auto B benötigt \(36\,\text{l}\) für eine Strecke von \(450\,\text{km}\). a) Berechne für beide Autos den Durchschnittsverbrauch auf \(100\,\text{km}\). Welches Auto ist sparsamer? b) Wie viel Benzin verbrauchen die Autos jeweils auf einer Urlaubsreise von \(1400\,\text{km}\)?

Ein Obststand bietet Äpfel in verschiedenen Beuteln an: Ein Beutel mit \(1{,}5\,\text{kg}\) kostet \(2{,}70\,\text{€}\), ein Beutel mit \(2\,\text{kg}\) kostet \(3{,}60\,\text{€}\) und ein großer Beutel mit \(4{,}5\,\text{kg}\) wird für \(7{,}65\,\text{€}\) verkauft. Überprüfe rechnerisch, ob der Preis bei allen Beuteln direkt proportional zur Masse ist.

Beurteile die folgende Aussage: „Jede lineare Funktion ist auch eine proportionale Funktion.“ Begründe deine Entscheidung, indem du die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion \(y = m \cdot x + c\) mit der einer proportionalen Funktion \(y = k \cdot x\) vergleichst. Gib zusätzlich ein konkretes Beispiel für eine lineare Funktion an, die nicht proportional ist.

Untersuche die folgenden vier Alltagssituationen. Entscheide für jeden Fall, ob es sich um eine direkte Proportionalität handelt oder nicht. Begründe deine Entscheidung kurz. a) Die Anzahl der verkauften Kinokarten und die Gesamteinnahmen an der Kinokasse (bei festem Ticketpreis). b) Das Alter eines Baumes und seine aktuelle Höhe in Metern. c) Die Seitenlänge eines Quadrats und sein Umfang. d) Die Fahrzeit eines Zuges und die zurückgelegte Strecke bei einer konstanten Geschwindigkeit von \(120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\).

Gegeben ist die folgende Wertetabelle einer direkt proportionalen Zuordnung: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(4\)</td><td>\(7{,}5\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(4{,}5\)</td><td>\(12\)</td><td>\(22{,}5\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table> a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib die Funktionsgleichung in der Form \(y = k \cdot x\) an. b) Berechne die fehlenden \(y\)-Werte für \(x = 0{,}5\) und \(x = 100\). c) Erkläre, wie sich der Graph dieser Funktion im Koordinatensystem verändern würde, wenn der Proportionalitätsfaktor verdoppelt würde.

Bei einer Langstreckenfahrt mit einem Pkw wurde in regelmäßigen Abständen der bisherige Benzinverbrauch dokumentiert. Die folgende Tabelle zeigt die gefahrene Strecke \(s\) und den verbrauchten Kraftstoff \(B\): <table> <tr><td>Strecke \(s\) (in \(\text{km}\))</td><td>\(150\)</td><td>\(280\)</td><td>\(420\)</td><td>\(550\)</td></tr> <tr><td>Verbrauch \(B\) (in \(\text{l}\))</td><td>\(10{,}2\)</td><td>\(19{,}0\)</td><td>\(28{,}6\)</td><td>\(37{,}4\)</td></tr> </table> a) Überprüfe rechnerisch, ob die Zuordnung \(s \to B\) proportional ist. b) Nenne einen Grund, warum solche Messdaten in der Realität oft leicht von einer exakten Proportionalität abweichen. Was gibt der Quotient \(\frac{B}{s}\) in diesem Sachzusammenhang an?

Welche der folgenden Funktionsgleichungen stellen eine proportionale Zuordnung dar? Begründe deine Auswahl kurz mithilfe der allgemeinen Form einer proportionalen Funktion. a) \(y = 3{,}5 \cdot x\) b) \(y = \frac{x}{2}\) c) \(y = 2 \cdot x + 1\) d) \(y = x^2\) e) \(y = \frac{4}{x}\)

Eine automatische Bewässerungsanlage füllt ein Gartenbecken. In der folgenden Tabelle ist das Wasservolumen \(V\) (in Litern) zu verschiedenen Zeitpunkten \(t\) (in Minuten) erfasst worden: | Zeit \(t\) in \(\text{min}\) | \(4\) | \(10\) | \(15\) | | :--- | :--- | :--- | :--- | | Volumen \(V\) in \(\text{l}\) | \(30\) | \(75\) | \(112{,}5\) | a) Überprüfe rechnerisch, ob die Zuordnung Zeit \(\rightarrow\) Volumen proportional ist. b) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und erkläre seine Bedeutung im Sachzusammenhang. c) Wenn man die Zuordnung in einem Koordinatensystem als Graphen darstellt, durch welchen besonderen Punkt muss die Gerade verlaufen? Begründe dies kurz für diesen Sachverhalt.

Ein Obsthändler bietet Äpfel der Sorte „Elstar“ an. In der folgenden Tabelle ist das Gewicht \(x\) (in \(\text{kg}\)) dem Preis \(y\) (in \(\text{€}\)) zugeordnet: <table> <tr><td>Gewicht \(x\) (in \(\text{kg}\))</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(7{,}5\)</td></tr> <tr><td>Preis \(y\) (in \(\text{€}\))</td><td>\(4{,}50\)</td><td>\(7{,}20\)</td><td>\(10{,}80\)</td><td>\(13{,}50\)</td></tr> </table> a) Überprüfe rechnerisch, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt. b) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib an, was dieser im Sachkontext bedeutet. c) Berechne den Preis für eine Menge von \(12\,\text{kg}\).

Gegeben sind zwei Wertetabellen. Überprüfe für jede Tabelle, ob sie eine proportionale Zuordnung und/oder eine lineare Funktion beschreibt. Begründe deine Entscheidung mathematisch. Tabelle 1: | \(x\) | \(1{,}5\) | \(3\) | \(4{,}5\) | \(6\) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | \(y\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | Tabelle 2: | \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | \(y\) | \(-1\) | \(3\) | \(7\) | \(11\) |

Ein Gartenschlauch liefert konstant \(12\,\text{l}\) Wasser pro Minute. Wie lange dauert es, ein Kinderbecken mit einem Fassungsvermögen von \(1{,}5\,\text{m}^3\) vollständig zu füllen? Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Ein Regionalzug fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(144\,\text{km/h}\). a) Berechne die Geschwindigkeit des Zuges in \(\text{m/s}\). b) Der Zug ist \(200\,\text{m}\) lang. Berechne die Zeit in Sekunden, die der Zug benötigt, um eine \(600\,\text{m}\) lange Brücke vollständig zu überqueren. Ein Überqueren gilt als abgeschlossen, wenn das Ende des Zuges die Brücke verlässt. c) Welche Strecke in Kilometern hat ein Fahrgast nach einer Fahrzeit von \(12\,\text{Minuten}\) zurückgelegt?

Ein Wanderer legt bei gleichmäßigem Tempo in \(2\,\text{h}\) eine Strecke von \(9\,\text{km}\) zurück. a) Begründe, warum die Zuordnung Zeit \(\to\) Strecke als direkte Proportionalität modelliert werden kann, und gib die zugehörige Funktionsgleichung der Form \(s(t) = v \cdot t\) an. b) Berechne die Strecke, die der Wanderer bei gleichbleibender Geschwindigkeit nach \(3{,}5\,\text{h}\) zurückgelegt hat.

An einem Getränkestand wird Limonade aus einem großen Spender gezapft. In \(12\) Sekunden fließen gleichmäßig \(0{,}6\,\text{l}\) in die Becher. a) Erstelle eine Wertetabelle, die der Zeit \(t\) (in Sekunden) das Volumen \(V\) (in Litern) für die Zeitpunkte \(10\,\text{s}\), \(20\,\text{s}\), \(30\,\text{s}\) und \(60\,\text{s}\) zuordnet. b) Gib die Funktionsgleichung der zugehörigen Ursprungsgeraden an. c) Erkläre, was die Steigung des Graphen in diesem Sachzusammenhang bedeutet. d) Wie lange dauert es, bis ein Vorratsbehälter mit \(5\,\text{l}\) Limonade vollständig leer gezapft ist?

Ein Gartenschlauch liefert einen gleichmäßigen Wasserstrom. In \(4\,\text{Minuten}\) fließen \(48\,\text{Liter}\) Wasser in ein Becken. a) Wie viel Wasser fließt in \(11\,\text{Minuten}\) in das Becken? b) Wie lange dauert es, bis sich \(180\,\text{Liter}\) im Becken befinden? c) Stell dir den Graphen der Zuordnung \(\text{Zeit} \rightarrow \text{Wassermenge}\) als Ursprungsgerade vor. Welchen Wert hat die Steigung dieser Geraden und was gibt dieser Wert im Sachkontext an?

Ein Radfahrer fährt mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit. Die Tabelle zeigt die zurückgelegte Strecke \(s\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\). a) Überprüfe, ob die Zuordnung proportional ist. b) Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle. <table> <tr><td>Zeit \(t\) (in \(\text{h}\))</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3{,}5\)</td><td>\(5\)</td><td></td></tr> <tr><td>Strecke \(s\) (in \(\text{km}\))</td><td>\(27\)</td><td>\(36\)</td><td>\(63\)</td><td></td><td>\(108\)</td></tr> </table>

In einem Onlinespiel gibt es zwei Währungen: Goldmünzen (\(G\)) und Silbermünzen (\(S\)). Der Wechselkurs ist fest: Für \(4\) Goldmünzen erhält man genau \(14\) Silbermünzen. 1) Stelle die Funktionsgleichung für die Anzahl der Silbermünzen in Abhängigkeit von der Anzahl der Goldmünzen auf. 2) Berechne, wie viele Silbermünzen ein Spieler für \(16\) Goldmünzen erhält. 3) Bestimme rechnerisch, wie viele Goldmünzen man eintauschen muss, um genau \(105\) Silbermünzen zu erhalten.

Auf einem Wochenmarkt ist der Preis \(P\) (in \(\text{€}\)) für Bio-Äpfel direkt proportional zur Masse \(m\) (in \(\text{kg}\)). Für eine Menge von \(2{,}5\,\text{kg}\) zahlt man \(6{,}25\,\text{€}\). 1. Bestimme den Proportionalitätsfaktor (Preis pro Kilogramm) und gib die Funktionsgleichung an, die den Preis in Abhängigkeit von der Masse beschreibt. 2. Erstelle eine Wertetabelle für die Massen \(1\,\text{kg}\), \(2\,\text{kg}\), \(3\,\text{kg}\) und \(4\,\text{kg}\). 3. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem (\(x\)-Achse: \(1\,\text{cm}\) entspricht \(1\,\text{kg}\); \(y\)-Achse: \(1\,\text{cm}\) entspricht \(2\,\text{€}\)). 4. Lies aus deinem Graphen ab, wie viel \(3{,}5\,\text{kg}\) Äpfel kosten und welche Masse man für \(5{,}00\,\text{€}\) erhält. Überprüfe die Ablesewerte durch eine Rechnung.

Eine Wandergruppe bewegt sich mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit. Die folgende Tabelle zeigt die zurückgelegte Strecke \(y\) (in \(\text{km}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) (in \(\text{h}\)): <table> <tr> <td>Zeit \(x\) in \(\text{h}\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(2\)</td> <td>\(3\)</td> <td>\(4\)</td> <td>\(5\)</td> </tr> <tr> <td>Strecke \(y\) in \(\text{km}\)</td> <td>\(4{,}5\)</td> <td>\(9{,}0\)</td> <td>\(13{,}5\)</td> <td>\(18{,}0\)</td> <td>\(22{,}5\)</td> </tr> </table> 1) Wähle zwei beliebige Zeitwerte \(x_1\) und \(x_2\) aus der Tabelle und bilde das Verhältnis \(\frac{x_1}{x_2}\). Vergleiche dieses mit dem Verhältnis der zugehörigen Streckenwerte \(\frac{y_1}{y_2}\). Was fällt dir auf? 2) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k = \frac{y}{x}\) und gib eine Funktionsgleichung an, die den Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) beschreibt. 3) Berechne die Strecke, die die Gruppe nach \(6{,}5\,\text{Stunden}\) zurückgelegt hat, wenn sie das Tempo beibehält. 4) Beschreibe, wie der Graph dieser Zuordnung im Koordinatensystem aussieht.

An einem Marktstand werden Heidelbeeren für \(1{,}20\,\text{€}\) pro \(100\,\text{g}\) angeboten. 1) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den Preis \(y\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit von der Masse \(x\) (in \(\text{kg}\)) beschreibt. 2) Ein zweiter Stand bietet Heidelbeeren für einen Kilopreis von \(10{,}00\,\text{€}\) an. Beschreibe, wie sich die Graphen der beiden Angebote im Koordinatensystem unterscheiden würden, wenn man beide einzeichnet. 3) Begründe mathematisch, warum es sich hierbei um eine direkte Proportionalität handelt. 4) Berechne den Preis für eine Menge von \(350\,\text{g}\) am ersten Marktstand.

Drei proportionale Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) werden im Koordinatensystem als Ursprungsgeraden dargestellt. Die Funktionsgleichung von \(f\) lautet \(f(x) = \frac{3}{4}x\). Die Gerade \(g\) hat die Gleichung \(g(x) = 1{,}2 \cdot x\). Die Gerade \(h\) verläuft durch den Punkt \(P(5 \mid 2)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(h\). b) Ordne die drei Funktionen nach der Steilheit ihrer Graphen, beginnend mit der flachsten Steigung. c) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(Q(8 \mid 6)\) auf dem Graphen von \(f\) liegt.

Eine Ursprungsgerade verläuft im Koordinatensystem durch den Punkt \(P(5 \mid -2)\). 1. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden in der Form \(y = m \cdot x\). 2. Begründe ohne Zeichnung, durch welche Quadranten des Koordinatensystems die Gerade verläuft. 3. Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes \(Q\) an, der auf dieser Geraden liegt (außer dem Ursprung).

In einer Backstube wird ein spezieller Teig angerührt. Für \(k\) Kilogramm Mehl werden laut Rezept \(w\) Milliliter Wasser benötigt. Stelle eine Verhältnisgleichung (Proportion) auf, um die Wassermenge \(x\) zu bestimmen, die für eine Mehlmenge von \(m\) Kilogramm erforderlich ist, damit das Mischungsverhältnis gleich bleibt. Löse die Gleichung nach \(x\) auf.

Ein moderner Kopierer druckt Dokumente mit einer konstanten Geschwindigkeit. Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der gedruckten Seiten \(y\) in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit \(x\) in Sekunden: | Zeit \(x\) in \(\text{s}\) | \(10\) | \(20\) | \(35\) | \(50\) | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | | Seiten \(y\) | \(4\) | \(8\) | \(14\) | \(20\) | a) Berechne für jedes Wertepaar das Verhältnis \(\frac{y}{x}\). Was lässt sich über den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Seitenanzahl aussagen? b) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der Seiten \(y\) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) angibt. c) Wie viele Seiten druckt das Gerät in einer Minute? d) Beschreibe den Verlauf des Graphen dieser Funktion im Koordinatensystem. Welche besondere Bezeichnung gibt es für eine solche Gerade?

Eine Pumpe befüllt ein leeres Wasserbecken gleichmäßig. Nach \(5\,\text{Minuten}\) befinden sich \(40\,\text{Liter}\) Wasser im Becken. Das Volumen \(V\) (in Litern) hängt direkt proportional von der Zeit \(t\) (in Minuten) ab. 1) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib die Funktionsgleichung \(V(t)\) an. 2) Erstelle eine Wertetabelle für \(t = 0; 2; 4; 6; 8\). 3) Begründe ohne Rechnung, warum der Graph dieser Zuordnung durch den Koordinatenursprung verlaufen muss. 4) Eine zweite Pumpe B fördert Wasser gemäß der Gleichung \(V_B(t) = 10 \cdot t\). Welche der beiden Pumpen befüllt das Becken schneller? Begründe deine Antwort mithilfe der Funktionsgleichungen.

Gegeben ist eine direkt proportionale Zuordnung zwischen zwei Größen \(x\) und \(y\). In der folgenden Tabelle sind einige Wertepaare bereits eingetragen: <table> <tbody> <tr> <td>\(x\)</td> <td>\(1{,}5\)</td> <td>\(4\)</td> <td>\(?\)</td> </tr> <tr> <td>\(y\)</td> <td>\(4{,}5\)</td> <td>\(?\)</td> <td>\(15\)</td> </tr> </tbody> </table> a) Berechne den Proportionalitätsfaktor \(k\) für den Zusammenhang \(y = k \cdot x\). b) Vervollständige die fehlenden Werte in der Tabelle. c) Gib die Funktionsgleichung an, die diesen Zusammenhang beschreibt. d) Beschreibe den Verlauf des Graphen dieser Funktion in einem Koordinatensystem.

Eine Ursprungsgerade verläuft durch den Punkt \(P(3 \mid 10{,}5)\). 1. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden. 2. Ein weiterer Punkt \(Q(x \mid 17{,}5)\) liegt ebenfalls auf dieser Geraden. Berechne die fehlende Koordinate \(x\).

Gegeben sind die drei proportionalen Funktionen mit den folgenden Gleichungen: \(f(x) = 2{,}5 \cdot x\) \(g(x) = -0{,}4 \cdot x\) \(h(x) = \frac{1}{4} \cdot x\) a) Welche der zugehörigen Geraden verläuft am steilsten im Koordinatensystem? Begründe deine Antwort mithilfe der Steigungswerte. b) Durch welche Quadranten verläuft der Graph der Funktion \(g\)? Erkläre den Zusammenhang mit dem Vorzeichen der Steigung. c) Bestimme für jede der drei Funktionen einen Punkt \(P(x \mid y)\) mit \(x > 0\), der auf dem Graphen liegt.

Gegeben ist eine direkte Proportionalität \(y = k \cdot x\). Es ist bekannt, dass für den Wert \(x = 8\) der Funktionswert \(y = 6\) ist. a) Bestimme die Funktionsgleichung. b) Berechne den Wert von \(y\) für \(x = 15\).

Gegeben sind die Funktionen \(f(x) = x\) und \(g(x) = \frac{1}{4} \cdot x\). 1. Berechne die Funktionswerte \(f(x)\) und \(g(x)\) für \(x = 4\) und \(x = 8\). 2. Beschreibe das Verhältnis der Funktionswerte \(g(x)\) zu \(f(x)\) für einen beliebigen Wert \(x \neq 0\). 3. Erkläre, wie der Graph von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) durch eine Veränderung in \(y\)-Richtung (Stauchung oder Streckung) hervorgeht.

In einem Unverpackt-Laden kostet Bio-Mandelmus \(2{,}80\,\text{€}\) pro \(100\,\text{g}\). a) Begründe, warum es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung (Masse \(\to\) Preis) handelt. b) Erstelle eine Wertetabelle für die Mengen \(50\,\text{g}\), \(100\,\text{g}\), \(250\,\text{g}\) und \(500\,\text{g}\). c) Jemand möchte ein leeres Glas mit Mandelmus füllen. Das leere Glas wiegt \(180\,\text{g}\). Nach dem Befüllen wiegt das Glas insgesamt \(530\,\text{g}\). Berechne den Preis für diese Portion Mandelmus.

Ein Fahrradverleih bietet zwei verschiedene Tarife an: Tarif A: Keine Grundgebühr, \(2{,}50\,\text{€}\) pro Stunde. Tarif B: \(5{,}00\,\text{€}\) Grundgebühr, \(1{,}00\,\text{€}\) pro Stunde. Untersuche für beide Tarife, ob die Zuordnung „Leihdauer in Stunden \(\rightarrow\) Mietpreis in \(\text{€}\)“ proportional ist. Nutze zur Begründung jeweils ein Beispiel mit konkreten Werten.

Ein Kiosk verkauft lose Bonbons. Ein Beutel mit \(125\,\text{g}\) kostet \(1{,}50\,\text{€}\). a) Berechne, wie viel ein Beutel mit \(300\,\text{g}\) kosten müsste, wenn der Preis proportional zum Gewicht wäre. b) Tatsächlich kostet der \(300\,\text{g}\)-Beutel nur \(3{,}30\,\text{€}\). Erkläre, warum Händler Preise oft so gestalten, dass sie bei größeren Mengen nicht mehr proportional zum Gewicht sind.

Ein Gärtner behauptet: „Die Zuordnung ‚Anzahl der gepflanzten Apfelbäume \(\to\) Erntemenge in Kilogramm‘ ist proportional.“ a) Unter welchen idealisierten Bedingungen hätte der Gärtner recht? b) Nenne zwei Gründe aus der Realität, warum diese Zuordnung in der Praxis meistens doch nicht exakt proportional ist.

Gegeben sind zwei Wertetabellen. Entscheide, welche der beiden Tabellen eine proportionale Zuordnung darstellt und welche nicht. Begründe deine Entscheidung mathematisch mithilfe der Quotientengleichheit. Tabelle A: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4{,}5\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table> Tabelle B: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5\)</td></tr> </table>

Ein Gartenbesitzer befüllt eine Regentonne mit einem Schlauch. Nach \(6\) Minuten befinden sich \(15\,\text{l}\) Wasser in der Tonne. Der Wasserfluss ist dabei konstant. a) Wie viele Liter Wasser fließen pro Minute in die Tonne? b) Stelle eine Formel auf, die das Volumen \(V\) (in Litern) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten) beschreibt. c) Wie lange dauert es, bis die Tonne mit \(50\,\text{l}\) gefüllt ist? d) Erkläre, woran man erkennt, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

In einem Kopierladen stehen zwei verschiedene Tarife zur Auswahl: Tarif A: Jede Kopie kostet \(0{,}10\,\text{€}\). Tarif B: Eine monatliche Grundgebühr von \(2{,}50\,\text{€}\) und jede Kopie kostet zusätzlich \(0{,}05\,\text{€}\). a) Stelle für beide Tarife einen Term auf, der die Gesamtkosten \(G\) in Abhängigkeit von der Anzahl der Kopien \(x\) beschreibt. b) Untersuche, welcher der beiden Tarife eine proportionale Zuordnung darstellt. Begründe deine Antwort mithilfe der Terme oder einer Eigenschaft proportionaler Zuordnungen.

Eine Kerze ist zu Beginn \(20\,\text{cm}\) hoch. Sie brennt gleichmäßig ab. Nach \(2\,\text{Stunden}\) ist sie noch \(14\,\text{cm}\) hoch. a) Berechne, um wie viele Zentimeter die Kerze pro Stunde kürzer wird. b) Stelle einen Term auf, der die Resthöhe \(h\) der Kerze nach \(t\) Stunden angibt. c) Begründe, warum die Zuordnung „Zeit \(\rightarrow\) Resthöhe“ keine proportionale Zuordnung ist.

Zwei Kopierer in einer Schule arbeiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Kopierer A druckt \(120\) Seiten in \(3\) Minuten. Kopierer B druckt \(150\) Seiten in \(5\) Minuten. Bei beiden Geräten handelt es sich um proportionale Zuordnungen zwischen der Zeit \(x\) (in Minuten) und der Anzahl der Seiten \(y\). a) Stelle für beide Kopierer die Zuordnungsvorschrift auf. b) Wenn man die Arbeitsweise beider Kopierer als Graphen darstellt: Welcher Graph ist steiler? Erkläre die Bedeutung der Steilheit in diesem Sachkontext. c) Beide Kopierer starten gleichzeitig. Berechne, wie viele Seiten Kopierer A gedruckt hat, wenn Kopierer B gerade \(360\) Seiten fertiggestellt hat.

Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft im Koordinatensystem durch den Punkt \(P(4|14)\). a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib die Zuordnungsgleichung an. b) Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt \(Q(7|24{,}5)\) ebenfalls auf diesem Graphen liegt. c) Eine Schülerin behauptet: „Wenn ich den \(x\)-Wert verdopple, verdoppelt sich bei dieser Zuordnung auch immer der \(y\)-Wert.“ Hat sie recht? Begründe deine Antwort allgemein mithilfe der Zuordnungsgleichung \(y = k \cdot x\).

Eine Gartenkerze hat zu Beginn eine Höhe von \(30\,\text{cm}\). Nachdem sie \(4\,\text{Stunden}\) lang gleichmäßig gebrannt hat, beträgt ihre Höhe nur noch \(22\,\text{cm}\). a) Überprüfe, ob die Zuordnung „Brenndauer (in \(\text{h}\)) \(\rightarrow\) verbleibende Höhe (in \(\text{cm}\))“ proportional ist. Begründe kurz. b) Stelle einen Term auf, der die Resthöhe \(h\) nach \(x\) Stunden beschreibt. c) Berechne mithilfe deines Terms die Höhe der Kerze nach \(7{,}5\,\text{Stunden}\).

Das Diagramm einer proportionalen Zuordnung beschreibt die Fahrt eines Radfahrers mit konstanter Geschwindigkeit. Auf der \(x\)-Achse ist die Zeit in Minuten abgetragen, auf der \(y\)-Achse die Strecke in Kilometern. Der Punkt \(P(15|4{,}5)\) liegt auf dem Graphen. a) Erkläre die Bedeutung des Punktes \(P(15|4{,}5)\) im Kontext der Fahrt. b) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) und gib an, was dieser Wert über den Radfahrer aussagt. c) Berechne, welche Strecke der Radfahrer in \(40\) Minuten zurücklegt. d) Wie lange benötigt er für eine Strecke von \(18\,\text{km}\)?

In einem Schreibwarengeschäft werden Hefte in verschiedenen Packungsgrößen angeboten: Angebot A: Ein Paket mit \(8\) Heften kostet \(6{,}40\,\text{€}\). Angebot B: Ein Paket mit \(12\) Heften kostet \(9{,}00\,\text{€}\). a) Welches der beiden Angebote ist preisgünstiger pro Heft? b) Wie viel würde man für \(20\) Hefte bezahlen, wenn man sie zum Einzelpreis des günstigeren Angebots kaufen könnte?

An einem Stand für Trockenfrüchte und Nüsse kosten \(100\,\text{g}\) einer Nussmischung genau \(1{,}40\,\text{€}\). a) Wie viel muss ein Kunde bezahlen, wenn er \(350\,\text{g}\) dieser Mischung kauft? b) Wie viel Gramm der Nussmischung erhält man für genau \(10{,}50\,\text{€}\)?

Zwei Internetanbieter vergleichen ihre Tarife für mobiles Datenvolumen. Bei beiden Tarifen sind die Kosten proportional zum Datenvolumen: Tarif A: \(1{,}50\,\text{€}\) für \(500\,\text{MB}\) Tarif B: \(2{,}40\,\text{€}\) für \(1\,000\,\text{MB}\) a) Welcher Tarif ist pro Megabyte günstiger? Begründe rechnerisch. b) Wenn man die Zuordnung \(\text{Datenvolumen in MB} \to \text{Kosten in €}\) grafisch darstellt, welcher Graph verläuft steiler? Erkläre den Zusammenhang zwischen dem Preis pro Megabyte und der Steigung.

Die Kraftstoffanzeige eines Autos zeigt an, dass für eine Strecke von \(600\,\text{km}\) genau \(42\,\text{l}\) Benzin verbraucht wurden. Der Verbrauch ist dabei direkt proportional zur gefahrenen Strecke. a) Stelle eine Funktionsgleichung der Form \(f(x) = k \cdot x\) auf, die den Verbrauch \(f(x)\) (in Litern) in Abhängigkeit von der Strecke \(x\) (in Kilometern) beschreibt. Welche Bedeutung hat die Proportionalitätskonstante \(k\) in diesem Sachkontext? b) Auf einer Autobahnfahrt erhöht sich der Verbrauch um \(1{,}2\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\). Wie viel Benzin benötigt das Auto unter diesen Bedingungen für eine Reise von \(350\,\text{km}\)?

An einem Marktstand werden Walnüsse lose verkauft. Der Preis \(P\) verhält sich proportional zum Gewicht \(g\). Für \(250\,\text{g}\) Walnüsse bezahlt man \(4{,}50\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der den Preis \(P\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit vom Gewicht \(g\) (in \(\text{g}\)) angibt. b) Berechne den Preis für eine Portion von \(350\,\text{g}\) und für eine Tüte mit \(1{,}2\,\text{kg}\). c) Ein Kunde möchte genau für \(11{,}70\,\text{€}\) Walnüsse kaufen. Welches Gewicht in Gramm erhält er dafür?

Ein Moped verbraucht auf \(100\,\text{km}\) Fahrstrecke durchschnittlich \(2{,}5\,\text{Liter}\) Benzin. Der Benzinpreis an der Tankstelle beträgt \(1{,}72\,\text{€}\) pro Liter. Tim plant eine Fahrt zu einem \(45\,\text{km}\) entfernten Konzert und möchte auch wieder nach Hause fahren. a) Wie viele Liter Benzin verbraucht das Moped für die gesamte Hin- und Rückfahrt? b) Wie hoch sind die Benzinkosten für diese Reise insgesamt?

Ein mobiles Solarpanel lädt einen Akku auf. Unter gleichbleibenden Bedingungen steigt die gespeicherte Energie alle \(15\,\text{Minuten}\) um \(4\,\text{Wattstunden}\) (\(\text{Wh}\)). Gehe davon aus, dass der Akku zu Beginn leer ist. a) Wie viel Energie (in \(\text{Wh}\)) wurde nach einer Ladezeit von \(2\,\text{Stunden}\) gespeichert? b) Nach welcher Zeit (in Stunden und Minuten) hat das Panel genau \(50\,\text{Wh}\) geliefert? c) Stelle die Funktionsgleichung der Form \(y = k \cdot x\) auf, wobei \(x\) die Zeit in Minuten und \(y\) die Energie in \(\text{Wh}\) angibt. Erkläre kurz, was der Faktor \(k\) in diesem Sachzusammenhang bedeutet.

Beim Befüllen eines Gartenpools wird die Wassermenge in regelmäßigen Abständen kontrolliert. Die folgende Tabelle zeigt zwei Messwerte: <table> <tr> <td>Zeit in \(\text{min}\) (\(t\))</td> <td>\(5\)</td> <td>\(12\)</td> </tr> <tr> <td>Wassermenge in \(\text{l}\) (\(V\))</td> <td>\(120\)</td> <td>\(288\)</td> </tr> </table> a) Überprüfe rechnerisch, ob die beiden Messwerte zu einer proportionalen Zuordnung passen. b) Bestimme die Füllrate in Litern pro Minute. c) Berechne, wie viel Wasser sich nach \(25\,\text{Minuten}\) im Pool befindet, wenn der Vorgang gleichmäßig fortgesetzt wird.

Ein Baumarkt vergleicht die Ergiebigkeit von zwei Wandfarben. Sorte A: Ein \(5\text{-Liter}\)-Eimer reicht für eine Fläche von \(42{,}5\,\text{m}^2\). Sorte B: Die Ergiebigkeit wird durch die Funktionsgleichung \(y = 9 \cdot x\) beschrieben, wobei \(x\) die Farbmenge in Litern und \(y\) die Fläche in \(\text{m}^2\) angibt. a) Welche Farbe ist ergiebiger? Begründe deine Entscheidung, indem du die Quadratmeteranzahl pro Liter für beide Sorten vergleichst. b) Familie Müller möchte eine Fläche von \(63\,\text{m}^2\) streichen. Wie viele Liter Farbe benötigt sie von der ergiebigeren Sorte?

Ein Fahrzeug verbraucht auf der Autobahn gleichmäßig \(6{,}4\,\text{Liter}\) Diesel pro \(100\,\text{Kilometer}\). a) Gib eine Funktionsgleichung an, die das verbrauchte Volumen \(V\) (in Litern) in Abhängigkeit von der gefahrenen Strecke \(s\) (in Kilometern) beschreibt. b) Berechne den Verbrauch für eine Fahrt von \(450\,\text{km}\). c) Der Tank enthält noch \(12\,\text{Liter}\). Wie weit kommt das Fahrzeug damit theoretisch noch?

Ein Auto verbraucht auf der Autobahn bei konstanter Geschwindigkeit Kraftstoff. In der folgenden Tabelle ist die Fahrstrecke \(s\) (in \(\text{km}\)) und der verbrauchte Kraftstoff \(V\) (in \(\text{l}\)) angegeben. <table> <tr><td>Strecke \(s\) (in \(\text{km}\))</td><td>\(100\)</td><td>\(250\)</td><td>\(400\)</td><td>\(550\)</td></tr> <tr><td>Verbrauch \(V\) (in \(\text{l}\))</td><td>\(6{,}2\)</td><td>\(15{,}5\)</td><td>\(24{,}8\)</td><td>\(34{,}1\)</td></tr> </table> Überprüfe, ob der Kraftstoffverbrauch proportional zur gefahrenen Strecke ist. Bestimme gegebenenfalls den Proportionalitätsfaktor und erkläre dessen Bedeutung im Sachkontext.

Drei Punkte im Koordinatensystem haben die Koordinaten \(P_1(1{,}2 \mid 3{,}6)\), \(P_2(2{,}5 \mid 7{,}5)\) und \(P_3(5 \mid 15{,}5)\). Entscheide, ob diese drei Punkte auf einer Ursprungsgeraden liegen können. Begründe deine Antwort mathematisch durch die Untersuchung der Proportionalität.

Ein Fahrzeug legt bei einer Testfahrt auf der Autobahn verschiedene Strecken zurück. Es wird untersucht, ob die Zuordnung „Zeit \(t\) in \(\text{h}\) \(\rightarrow\) Strecke \(s\) in \(\text{km}\)“ proportional ist. In der Tabelle sind Messwerte eingetragen: <table> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{h}\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>Strecke \(s\) in \(\text{km}\)</td><td>\(60\)</td><td>\(180\)</td><td>\(240\)</td></tr> </table> a) Überprüfe rechnerisch, ob die Werte in der Tabelle zu einer proportionalen Zuordnung passen könnten. b) Formuliere die physikalische Bedingung, die während der gesamten Fahrt erfüllt sein muss, damit diese Proportionalität exakt gilt. c) Wie lautet die Funktionsgleichung für diese Zuordnung?

Zwei Läufer, Tim und Sarah, trainieren für einen Stadtlauf. Tims zurückgelegte Strecke lässt sich durch eine proportionale Funktion beschreiben. In \(5\,\text{s}\) läuft er \(12{,}5\,\text{m}\), in \(12\,\text{s}\) sind es \(30\,\text{m}\). Sarahs Lauf wird durch die Funktionsgleichung \(s(t) = 2{,}4 \cdot t\) beschrieben (Zeit \(t\) in \(\text{s}\), Strecke \(s\) in \(\text{m}\)). a) Wer von beiden läuft schneller? Begründe deine Antwort rechnerisch. b) Wie weit kommt Tim in \(20\,\text{s}\), wenn er sein Tempo beibehält? c) Wie lange benötigt Sarah für eine Strecke von \(60\,\text{m}\)?

Zwei Maschinen in einer Fabrik produzieren Bauteile. Maschine A stellt 480 Teile in 4 Stunden her. Maschine B benötigt 5 Stunden für 525 Teile. a) Welche Maschine arbeitet schneller? Begründe deine Antwort durch die Berechnung der Produktionsmenge pro Stunde. b) Wie lange benötigt jede Maschine für einen Großauftrag von 1050 Teilen? c) Ein dringender Auftrag muss in spätestens 9 Stunden fertiggestellt sein. Welche Maschine kann diesen Auftrag allein erfüllen?

Ein Wanderer möchte prüfen, ob er über den Tag verteilt gleichmäßig schnell gelaufen ist. Er hat dazu drei Etappen notiert: - Etappe 1: \(6\,\text{km}\) in \(1{,}5\,\text{Stunden}\) - Etappe 2: \(10\,\text{km}\) in \(2{,}5\,\text{Stunden}\) - Etappe 3: \(15\,\text{km}\) in \(4\,\text{Stunden}\) Untersuche mithilfe des Proportionalitätsfaktors, ob eine direkte Proportionalität zwischen Weg und Zeit vorliegt und somit die Geschwindigkeit konstant war.

Gegeben sind die folgenden drei Funktionsgleichungen: 1) \(f(x) = 1{,}5 \cdot x\) 2) \(g(x) = 1{,}5 \cdot x + 4\) 3) \(h(x) = 3\) a) Welche dieser Funktionen beschreibt eine direkte Proportionalität? Begründe deine Wahl mithilfe der Lage des Graphen im Koordinatensystem. b) Welches geometrische Merkmal haben die Graphen aller drei Funktionen gemeinsam? c) Überprüfe für die Funktion \(g(x)\), ob die „Verdopplungsregel“ gilt: Berechne dazu die Funktionswerte für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) und vergleiche sie.

Zwei Energieanbieter werben mit unterschiedlichen Tarifen für Strom: Anbieter A: „Keine monatliche Grundgebühr, du zahlst nur \(0{,}40\,\text{€}\) pro verbrauchter Kilowattstunde (\(\text{kWh}\)).“ Anbieter B: „Nur \(10{,}00\,\text{€}\) Grundgebühr pro Monat, dafür kostet die Kilowattstunde nur \(0{,}30\,\text{€}\).“ a) Stelle für beide Anbieter eine Funktionsgleichung auf, die die monatlichen Kosten \(y\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit vom Verbrauch \(x\) (in \(\text{kWh}\)) beschreibt. b) Welcher der beiden Tarife stellt eine direkt proportionale Zuordnung dar? Begründe deine Antwort mathematisch. c) Wie verändert die Grundgebühr bei Anbieter B den Verlauf des Graphen im Vergleich zu einer Ursprungsgeraden?

Zwei Kopierer im Schulsekretariat arbeiten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Kopierer A schafft \(72\) Seiten in \(3\,\text{Minuten}\). Kopierer B benötigt für \(130\) Seiten genau \(5\,\text{Minuten}\). a) Bestimme für beide Geräte die Funktionsgleichungen, die die Anzahl der gedruckten Seiten \(y\) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) (in Minuten) darstellen. b) Welcher Kopierer arbeitet schneller? Begründe mathematisch. c) Wie viele Seiten hat der schnellere Kopierer nach einer Viertelstunde insgesamt mehr gedruckt als der langsamere?

Ein Kopiergerät in der Schulbibliothek benötigt für den Druck von \(150\) Seiten genau \(4\) Minuten. Gehe davon aus, dass der Kopiervorgang gleichmäßig (direkt proportional) abläuft. a) Wie viele Seiten schafft das Gerät in einer Zeit von \(10\) Minuten? b) Wie lange dauert es, ein Skript mit \(525\) Seiten zu drucken? c) Nenne einen Grund, warum die Annahme der direkten Proportionalität bei einem sehr großen Druckauftrag (z. B. \(50\,000\) Seiten) in der Realität nicht mehr exakt stimmen könnte.

Bei einer Messreihe zum Benzinverbrauch eines Autos wurden folgende Werte ermittelt: <table> <tr><td>Strecke (in \(\text{km}\))</td><td>\(80\)</td><td>\(150\)</td><td>\(240\)</td><td>\(310\)</td></tr> <tr><td>Verbrauch (in \(\text{l}\))</td><td>\(5{,}2\)</td><td>\(9{,}8\)</td><td>\(15{,}5\)</td><td>\(20{,}2\)</td></tr> </table> a) Überprüfe rechnerisch, ob die Wertepaare näherungsweise quotientengleich sind. Was bedeutet in diesem Zusammenhang „näherungsweise“? b) Bestimme einen geeigneten Proportionalitätsfaktor (Durchschnittswert) für den Verbrauch pro Kilometer. c) Wie viel Benzin verbraucht das Auto voraussichtlich auf einer Strecke von \(600\,\text{km}\)?

Ein Hersteller von Kupferdraht führt Qualitätskontrollen durch. Dabei wird für verschiedene Drahtrollen die Länge \(l\) und die zugehörige Masse \(m\) gemessen: <table> <tr><td>Länge \(l\) (in \(\text{m}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(25\)</td><td>\(40\)</td><td>\(60\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>Masse \(m\) (in \(\text{g}\))</td><td>\(185\)</td><td>\(462{,}5\)</td><td>\(740\)</td><td>\(1\,110\)</td><td>\(1\,850\)</td></tr> </table> a) Untersuche, ob zwischen der Länge und der Masse des Drahtes eine proportionale Zuordnung besteht. b) Bestimme den Proportionalitätsfaktor und erkläre dessen physikalische Bedeutung für den Draht.

In einer Versuchsreihe wird die Masse \(m\) einer Flüssigkeit für verschiedene Volumina \(V\) gemessen. Die Ergebnisse sind in der Tabelle dargestellt: <table> <tr><td>Volumen \(V\) in \(\text{cm}^3\)</td><td>\(50\)</td><td>\(150\)</td><td>\(300\)</td></tr> <tr><td>Masse \(m\) in \(\text{g}\)</td><td>\(40\)</td><td>\(120\)</td><td>\(240\)</td></tr> </table> a) Überprüfe, ob die Masse direkt proportional zum Volumen ist. b) Bestimme die Funktionsgleichung \(m(V) = k \cdot V\). Was gibt der Proportionalitätsfaktor \(k\) physikalisch an? c) Berechne die Masse der Flüssigkeit für ein Volumen von \(450\,\text{cm}^3\).

Eine Zuordnung \(x \mapsto y\) heißt proportional, wenn der Quotient \(\frac{y}{x}\) für alle \(x \neq 0\) denselben Wert \(k\) ergibt. Dieser Wert \(k\) wird Proportionalitätsfaktor genannt. Berechne den Quotienten \(\frac{y}{x}\) für die folgenden Vorschriften und entscheide, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt: a) \(y = 12 \cdot x\) b) \(y = 3 \cdot x + 6\) c) \(y = k \cdot x\) (wobei \(k\) eine feste Zahl ist)

In einem Kopierladen hängen die Preise für Schwarz-Weiß-Kopien aus: - 10 Kopien kosten \(0{,}80\,\text{€}\). - 50 Kopien kosten \(4{,}00\,\text{€}\). - 100 Kopien kosten \(7{,}50\,\text{€}\). a) Untersuche, ob der Preis proportional zur Anzahl der Kopien ist. Zeige deine Überlegungen rechnerisch auf. b) Nenne einen möglichen Grund aus dem Alltag, warum ein Ladenbesitzer die Preise so gestalten könnte, dass keine Proportionalität vorliegt.

Untersuche die Wertepaare in der folgenden Tabelle auf Proportionalität. <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(3\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(10\)</td><td>\(16\)</td><td>\(25\)</td><td>\(31\)</td></tr> </table> Begründe deine Entscheidung mathematisch. Falls die Zuordnung nicht proportional ist, beschreibe, wie sich das Verhältnis \(\frac{y}{x}\) mit steigendem \(x\) verändert.

An einer Regentonne ist eine Skala für den Füllstand angebracht. Während eines Regenschauers beobachtet Familie Schmidt die Anzeige: - Um 14:00 Uhr zeigt die Skala einen Stand von \(45\,\text{l}\) an. - Um 14:12 Uhr ist der Stand auf \(105\,\text{l}\) gestiegen. Bestimme die durchschnittliche Zuflussrate während dieses Zeitraums in Litern pro Stunde (\(\text{l}/\text{h}\)). Gehe davon aus, dass der Regen gleichmäßig fiel.

In einem Chemielabor wird die Masse \(m\) verschiedener Volumina \(V\) einer Flüssigkeit gemessen. Die Messwerte liegen auf einer Ursprungsgeraden. Für ein Volumen von \(V = 60\,\text{cm}^3\) wird eine Masse von \(m = 48\,\text{g}\) ermittelt. a) Bestimme die Dichte \(\rho\) der Flüssigkeit als Proportionalitätsfaktor in der Einheit \(\text{g/cm}^3\). b) Welches Volumen \(V\) nimmt eine Menge dieser Flüssigkeit ein, wenn ihre Masse \(m = 100\,\text{g}\) beträgt?

Eine Hochleistungspumpe wird verwendet, um ein Schwimmbecken zu füllen. Die Pumpe fördert in \(30\) Sekunden genau \(125\) Liter Wasser. a) Berechne die Förderrate der Pumpe in Kubikmetern pro Stunde (\(\text{m}^3/\text{h}\)). b) Das Schwimmbecken hat ein Fassungsvermögen von \(60\,\text{m}^3\). Wie viele Stunden dauert es, bis das Becken komplett gefüllt ist? c) Die Befüllung beginnt morgens um 07:45 Uhr. Zu welcher Uhrzeit ist das Becken voll?

Ein Schüler arbeitet in den Ferien in einem Eiscafé. Sein Verdienst ist direkt proportional zu seiner Arbeitszeit. Nach \(6\,\text{Stunden}\) hat er \(81{,}00\,\text{€}\) verdient. a) Berechne den Verdienst für eine Arbeitszeit von \(14\,\text{Stunden}\). b) Wie viele Stunden müsste er arbeiten, um sich ein Tablet für \(472{,}50\,\text{€}\) kaufen zu können? c) Wie verändert sich sein Verdienst, wenn er seine Arbeitszeit verdreifacht? Begründe deine Antwort mithilfe der Eigenschaften einer direkten Proportionalität.

Zwei verschiedene Handytarife bieten Internet-Datenpakete an. Entscheide durch Rechnung, welcher der beiden Tarife eine proportionale Zuordnung zwischen Datenvolumen und Preis darstellt. Begründe deine Entscheidung und berechne für den proportionalen Tarif den Preis für ein Datenvolumen von \(120\,\text{GB}\). **Tarif A:** <table> <tr><td>Datenvolumen (in \(\text{GB}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>Preis (in \(\text{€}\))</td><td>\(1{,}00\)</td><td>\(5{,}00\)</td></tr> </table> **Tarif B:** <table> <tr><td>Datenvolumen (in \(\text{GB}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>Preis (in \(\text{€}\))</td><td>\(5{,}50\)</td><td>\(7{,}50\)</td></tr> </table>

Eine Wasserpumpe füllt ein Becken mit konstanter Geschwindigkeit. In \(15\,\text{Sekunden}\) werden genau \(1{,}2\,\text{Liter}\) Wasser befördert. a) Bestimme die Funktionsgleichung für das Volumen \(y\) (in Litern) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) (in Sekunden). b) Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle: <table> <tr><td>\(x\) (Zeit in \(\text{s}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(25\)</td><td>\(40\)</td><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>\(y\) (Volumen in \(\text{l}\))</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr> </table> c) Nach wie vielen Sekunden hat die Pumpe genau \(10\,\text{Liter}\) Wasser befördert?

Zwei verschiedene Flüssigkeiten, A und B, werden untersucht. Das Volumen \(V\) (in \(\text{cm}^3\)) und die zugehörige Masse \(m\) (in \(\text{g}\)) stehen jeweils in einem direkt proportionalen Verhältnis (Dichte). Bei Flüssigkeit A wiegen \(20\,\text{cm}^3\) genau \(16\,\text{g}\). Bei Flüssigkeit B wiegen \(15\,\text{cm}^3\) genau \(13{,}5\,\text{g}\). 1) Bestimme für beide Flüssigkeiten den Proportionalitätsfaktor (die Dichte \(\rho\) in \(\text{g}/\text{cm}^3\)). 2) Wenn man die Zusammenhänge in einem \(V\)-\(m\)-Koordinatensystem als Ursprungsgeraden darstellt: Welche Gerade verläuft steiler? Begründe deine Entscheidung mithilfe der berechneten Dichtewerte. 3) Wie viel Gramm wiegen \(50\,\text{cm}^3\) von Flüssigkeit B? 4) Welches Volumen nimmt eine Portion von Flüssigkeit A ein, wenn sie eine Masse von \(64\,\text{g}\) hat?

Ein moderner Kleinwagen verbraucht auf \(100\,\text{km}\) Fahrtstrecke durchschnittlich \(6\,\text{Liter}\) Benzin. Wir nehmen an, dass der Verbrauch direkt proportional zur gefahrenen Strecke ist. Dabei ist \(x\) die Strecke in Kilometern und \(y\) die verbrauchte Benzinmenge in Litern. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor und stelle die Funktionsgleichung für den Benzinverbrauch auf. b) Erstelle eine Wertetabelle für die Strecken \(50\,\text{km}\), \(150\,\text{km}\), \(200\,\text{km}\), \(250\,\text{km}\) und \(500\,\text{km}\). c) Was bedeutet der Punkt \(P(100 \mid 6)\) im Koordinatensystem dieses Sachzusammenhangs? d) Berechne, wie viele Kilometer das Auto mit einer Tankfüllung von \(45\,\text{Litern}\) fahren kann.

Beim Recycling von Altpapier können aus \(25\,\text{kg}\) Altpapier etwa \(18\,\text{kg}\) neues Recyclingpapier gewonnen werden. Gehe davon aus, dass die Menge des gewonnenen Papiers proportional zur Menge des eingesetzten Altpapiers ist. a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Menge des Recyclingpapiers (\(y\) in \(\text{kg}\)) in Abhängigkeit von der Menge des Altpapiers (\(x\) in \(\text{kg}\)) beschreibt. b) Berechne, wie viel Recyclingpapier man aus \(100\,\text{kg}\) und wie viel man aus \(35\,\text{kg}\) Altpapier erhält. c) Eine Schule möchte \(500\,\text{kg}\) Recyclingpapier für ihre Hefte herstellen lassen. Wie viel Altpapier muss dafür mindestens gesammelt werden? Runde auf eine Dezimalstelle auf. d) Welche Bedeutung hat die Steigung \(k\) der Funktion in diesem Sachzusammenhang?

Zwei verschiedene Solarmodule werden auf ihre Leistungsfähigkeit getestet. Modul A liefert bei konstanter Sonneneinstrahlung in \(5\,\text{Stunden}\) insgesamt \(1{,}2\,\text{kWh}\) elektrische Energie. Für Modul B wird die erzeugte Energie \(E\) (in \(\text{kWh}\)) nach der Zeit \(t\) (in \(\text{Stunden}\)) durch die Funktionsgleichung \(E(t) = 0{,}25 \cdot t\) beschrieben. a) Berechne, wie viel Energie Modul A nach \(8\,\text{Stunden}\) geliefert hat. b) Welches der beiden Module erzeugt pro Stunde mehr Energie? Begründe deine Entscheidung durch Vergleich der Proportionalitätsfaktoren. c) Wie lange müsste Modul A in der Sonne stehen, um genau die Energiemenge zu erzeugen, die Modul B in \(6\,\text{Stunden}\) liefert?

Zwei Kerzen unterschiedlicher Dicke brennen gleichmäßig ab. Der Höhenverlust \(h\) (in \(\text{cm}\)) ist dabei direkt proportional zur Brenndauer \(t\) (in \(\text{h}\)). - Kerze A verliert in \(2\,\text{Stunden}\) genau \(3\,\text{cm}\) an Höhe. - Kerze B verliert in \(3\,\text{Stunden}\) genau \(3\,\text{cm}\) an Höhe. 1. Bestimme für beide Kerzen die Funktionsgleichungen \(h_A(t)\) und \(h_B(t)\), die den jeweiligen Höhenverlust beschreiben. 2. Welche Kerze brennt schneller ab? Begründe deine Antwort mithilfe der Steigungen der zugehörigen Funktionsgraphen. 3. Berechne für beide Kerzen den Höhenverlust nach einer Brenndauer von \(4{,}5\,\text{Stunden}\). 4. Nach welcher Zeit haben beide Kerzen zusammen einen Höhenverlust von insgesamt \(10\,\text{cm}\) erreicht?

Ein Kopierladen berechnet die Kosten für Ausdrucke nach folgendem Schema: <table> <tr> <td>Anzahl Seiten (\(n\))</td> <td>\(10\)</td> <td>\(20\)</td> <td>\(50\)</td> <td>\(100\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamtpreis in \(\text{€}\) (\(K\))</td> <td>\(0{,}80\)</td> <td>\(1{,}60\)</td> <td>\(4{,}00\)</td> <td>\(8{,}00\)</td> </tr> </table> 1) Zeige durch Rechnung, dass der Preis direkt proportional zur Anzahl der Seiten ist. 2) Stelle eine Funktionsgleichung \(K(n)\) auf. 3) Wie viele Seiten wurden gedruckt, wenn die Rechnung \(14{,}40\,\text{€}\) beträgt? 4) Angenommen, der Laden würde zusätzlich eine einmalige Grundgebühr von \(2{,}00\,\text{€}\) pro Auftrag verlangen. Wäre der Zusammenhang zwischen der Seitenanzahl und dem Gesamtpreis dann immer noch direkt proportional? Begründe deine Antwort kurz.

Zwei verschiedene 3D-Drucker, Modell „Alpha“ und Modell „Beta“, drucken Bauteile mit jeweils konstanter Geschwindigkeit. Modell Alpha benötigt \(2\,\text{h}\), um ein Volumen von \(50\,\text{cm}^3\) zu drucken. Für Modell Beta gilt die Funktionsgleichung \(V = 22{,}5 \cdot t\), wobei \(V\) das Volumen in \(\text{cm}^3\) und \(t\) die Zeit in Stunden angibt. a) Welcher Drucker arbeitet schneller? Begründe deine Antwort, indem du die Proportionalitätsfaktoren (Druckgeschwindigkeiten) vergleichst. b) Erstelle für Modell Alpha eine Wertetabelle für die Zeiten \(t = 1\); \(2\); \(3\) und \(4\) Stunden. c) Ein Designer möchte ein Objekt mit einem Gesamtvolumen von \(180\,\text{cm}^3\) drucken. Berechne den Zeitunterschied in Minuten zwischen den beiden Druckern für diesen Auftrag.

Eine Gartenpumpe befördert Wasser mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit in ein leeres Regenfass. Nach \(6\,\text{Minuten}\) befinden sich \(72\,\text{Liter}\) Wasser im Fass. 1) Erstelle eine Wertetabelle für die Füllmenge \(V\) (in Litern) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten) für \(t = 0; 5; 10; 15\) und \(20\). 2) Begründe, warum es sich hierbei um eine direkte Proportionalität handelt, und gib die zugehörige Funktionsvorschrift \(V(t)\) an. 3) Berechne die Wassermenge nach einer Dreiviertelstunde. 4) Das Regenfass hat ein Fassungsvermögen von \(600\,\text{Litern}\). Berechne, nach wie vielen Minuten die Pumpe abgeschaltet werden muss, damit das Fass nicht überläuft. 5) Wie würde sich der Graph der Funktion verändern, wenn eine leistungsstärkere Pumpe verwendet würde, die \(15\,\text{Liter}\) pro Minute fördert? Beschreibe die Veränderung im Vergleich zum ursprünglichen Graphen.

Ein Radfahrer ist mit einer konstanten Geschwindigkeit unterwegs. Nach einer Fahrzeit von \(15\,\text{Minuten}\) hat er eine Strecke von genau \(4\,\text{km}\) zurückgelegt. 1) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) für die Zuordnung Fahrzeit \(t\) (in Stunden) \(\rightarrow\) Weg \(s\) (in \(\text{km}\)). Welche Bedeutung hat dieser Faktor im Sachkontext? 2) Wie würde sich der Graph der Zuordnung verändern, wenn der Radfahrer seine Geschwindigkeit verdoppeln würde? 3) Berechne die Strecke, die der Radfahrer bei gleichbleibender Geschwindigkeit nach \(1{,}5\,\text{Stunden}\) zurückgelegt hat. 4) Ermittle rechnerisch, wie viele Minuten er für eine Strecke von \(10\,\text{km}\) benötigt.

Eine Ursprungsgerade \(p\) ist durch ein Steigungsdreieck gegeben: Startet man im Koordinatenursprung und geht \(3\) Einheiten nach rechts sowie \(2\) Einheiten nach oben, erreicht man einen weiteren Punkt der Geraden. a) Gib die Funktionsgleichung der Geraden \(p\) an. b) Bei einer proportionalen Zuordnung verändert sich der \(y\)-Wert in Abhängigkeit vom \(x\)-Wert. Erkläre ohne Rechnung, wie sich der \(y\)-Wert verändert, wenn man den \(x\)-Wert verdreifacht. c) Berechne, welcher \(x\)-Wert zum Funktionswert \(y = 10\) gehört.

Gegeben sind die Funktionsgleichungen dreier Ursprungsgeraden: \(f(x) = -1{,}5 \cdot x\) \(g(x) = -\frac{1}{3} \cdot x\) \(h(x) = -4 \cdot x\) 1. Ordne die Graphen der Funktionen nach ihrer Steilheit, beginnend mit dem flachsten Graphen. Nutze zur Begründung die Beträge der Steigungen. 2. Ein Punkt \(R\) liegt auf dem Graphen von \(f\). Seine \(y\)-Koordinate ist \(6\). Berechne die zugehörige \(x\)-Koordinate. 3. Der Proportionalitätsfaktor von \(h\) wird mit \(-1\) multipliziert. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Geraden im Vergleich zur ursprünglichen Geraden \(h\) verändert.

Zwei Geraden, die eine direkte Proportionalität beschreiben, verlaufen jeweils durch einen der folgenden Punkte: Gerade \(g_1\) verläuft durch \(P(2 \mid 5)\). Gerade \(g_2\) verläuft durch \(Q(5 \mid 2)\). a) Bestimme die Funktionsgleichungen der Form \(y = k \cdot x\) für beide Geraden. b) Welche der beiden Geraden verläuft steiler? Begründe deine Antwort mithilfe der Beträge der Steigungen. c) Eine neue Gerade \(g_3\) entsteht, indem man den Proportionalitätsfaktor von \(g_1\) mit \(-1\) multipliziert. Durch welche Quadranten des Koordinatensystems verläuft \(g_3\)?

Eine Wasserpumpe füllt ein leeres Becken gleichmäßig mit Wasser. Nach \(4\,\text{Minuten}\) befinden sich \(140\,\text{Liter}\) im Becken, nach \(10\,\text{Minuten}\) sind es \(350\,\text{Liter}\). a) Bestimme die Funktionsgleichung \(f(x) = k \cdot x\), wobei \(x\) die Zeit in Minuten und \(f(x)\) das Volumen in Litern angibt. Erläutere die Bedeutung des Proportionalitätsfaktors \(k\) in diesem Sachkontext. b) Ein Techniker notiert während der Messung einen weiteren Datenpunkt: \(P(15 \mid 520)\). Überprüfe rechnerisch, ob dieser Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Was bedeutet das Ergebnis für die Messung des Technikers? c) Begründe allgemein: Wenn ein Punkt \(Q(x_Q \mid y_Q)\) mit \(x_Q \neq 0\) auf dem Graphen dieser Funktion liegt, welchen Wert muss der Quotient \(\frac{y_Q}{x_Q}\) ergeben? Was gilt für einen Punkt \(R(x_R \mid y_R)\) mit \(x_R \neq 0\), der nicht auf der Geraden liegt?

Der Umfang \(U\) eines regelmäßigen Sechsecks ist direkt proportional zu seiner Seitenlänge \(a\). 1) Stelle die Funktionsgleichung \(U(a)\) auf. 2) Welchen konstanten Wert hat das Verhältnis \(\frac{U}{a}\) für jede beliebige Seitenlänge \(a > 0\)? 3) Ein Schüler behauptet, dass ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von \(4{,}5\,\text{cm}\) einen Umfang von \(27{,}5\,\text{cm}\) hat. Prüfe rechnerisch mithilfe der Funktionsgleichung, ob diese Aussage wahr sein kann. 4) Wie verändert sich der Umfang, wenn die Seitenlänge verdoppelt wird? Begründe deine Antwort allgemein.

Gegeben sind zwei lineare Funktionen \(f\) und \(g\), deren Graphen Ursprungsgeraden sind. Der Graph von \(f\) hat die Steigung \(m_f = -2\). Der Graph von \(g\) verläuft durch den Punkt \(A(4 \mid -6)\). 1. Bestimme die Funktionsgleichungen für \(f\) und \(g\). 2. Welche der beiden Geraden fällt steiler ab? Begründe deine Antwort. 3. Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt \(R(-1{,}5 \mid 3)\) auf dem Graphen von \(f\), auf dem Graphen von \(g\) oder auf keinem von beiden liegt.

Bei einer direkten Proportionalität zwischen den Größen \(x\) und \(y\) führt eine Zunahme von \(x\) um \(4\) stets zu einer Zunahme von \(y\) um \(14\). a) Bestimme die Funktionsgleichung in der Form \(y = k \cdot x\). b) Welcher Wert für \(x\) muss eingesetzt werden, damit der Funktionswert \(y = 49\) beträgt?

Zwei verschiedene Ökostrom-Tarife ohne monatliche Grundgebühr werden verglichen. Die Kosten \(y\) (in \(\text{€}\)) hängen direkt proportional vom Verbrauch \(x\) (in \(\text{kWh}\)) ab. Tarif A: Die Kosten lassen sich durch die Gleichung \(y = 0{,}40 \cdot x\) beschreiben. Tarif B: Hier kosten \(100\,\text{kWh}\) genau \(35{,}00\,\text{€}\). a) Bestimme die Funktionsgleichung für Tarif B. b) Vergleiche die beiden Tarife für einen Jahresverbrauch von \(500\,\text{kWh}\). Welcher Tarif ist günstiger und um wie viel Euro? c) Wenn man beide Tarife in ein Koordinatensystem zeichnet, welcher Graph verläuft steiler? Begründe deine Entscheidung mithilfe der Proportionalitätsfaktoren. d) Prüfe rechnerisch, ob der Punkt \(P(120 \mid 48)\) auf dem Graphen von Tarif A liegt.

Eine Bank erhebt beim Umtausch von Euro (\(\text{€}\)) in US-Dollar (\(\text{USD}\)) eine feste Bearbeitungsgebühr von \(5\,\text{€}\). Nur der restliche Betrag wird zum Kurs von \(1\,\text{€} = 1{,}10\,\text{USD}\) umgetauscht. a) Erstelle eine Tabelle für den Umtausch von \(20\,\text{€}\), \(50\,\text{€}\) und \(100\,\text{€}\) in Dollar. b) Stelle einen Term auf, der den erhaltenen Dollar-Betrag \(D\) in Abhängigkeit vom eingezahlten Euro-Betrag \(x\) angibt. c) Prüfe, ob es sich bei dieser Zuordnung (Euro zu Dollar) um eine proportionale Zuordnung handelt. Begründe deine Antwort mathematisch.

Ein Kopiergerät verbraucht für das Drucken von \(500\) Seiten genau \(12{,}5\,\text{ml}\) Tinte. a) Berechne den Tintenverbrauch für eine einzelne Seite. b) Stelle die Zuordnung Anzahl der Seiten \(\to\) Tintenverbrauch (in \(\text{ml}\)) grafisch in einem Koordinatensystem dar. Wähle eine geeignete Skalierung für die Achsen. c) Eine neue Tintenpatrone enthält \(40\,\text{ml}\) Tinte. Wie viele Seiten können damit gedruckt werden? Erkläre kurz, wie man dieses Ergebnis sowohl rechnerisch als auch mithilfe des Graphen ermitteln kann.

Zwei Fahrradverleiher bieten E-Bikes mit unterschiedlichen Tarifen an: - Anbieter A: Keine Grundgebühr, jede Stunde kostet \(6{,}00\,\text{€}\). - Anbieter B: Einmalige Bereitstellungsgebühr von \(10{,}00\,\text{€}\) plus \(4{,}00\,\text{€}\) pro Stunde. Entscheide für beide Anbieter, ob die Zuordnung „Zeit \(\rightarrow\) Mietpreis“ proportional ist. Begründe deine Entscheidung mithilfe einer Rechnung oder einer allgemeinen Überlegung zum Graphen der Zuordnung.

Die folgende Tabelle gehört zu einer proportionalen Zuordnung. Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) (wobei \(y = k \cdot x\)) und berechne die fehlenden Werte \(a\) und \(b\). <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0{,}8\)</td><td>\(2\)</td><td>\(a\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(2{,}4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(12\)</td><td>\(b\)</td></tr> </table>

Ein Kopierer im Schulsekretariat arbeitet mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit. Er benötigt \(8\) Minuten, um \(120\) Seiten zu drucken. a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor für die Zuordnung Zeit \(\to\) Seitenanzahl. Was gibt dieser Wert in diesem Sachkontext an? b) Berechne, wie viele Seiten in einer Schulstunde (\(45\) Minuten) gedruckt werden können. c) Für ein Projekt werden \(1\,200\) Seiten benötigt. Wie viele Stunden und Minuten muss der Kopierer dafür laufen?

Ein leeres Schwimmbecken wird gleichmäßig befüllt. Aus einem Schlauch fließen in \(15\) Minuten genau \(225\,\text{Liter}\) Wasser in das Becken. a) Berechne die Durchflussrate (Proportionalitätsfaktor) in Litern pro Minute. b) Das Becken hat ein Fassungsvermögen von \(4{,}5\,\text{m}^3\). Wie viele Liter sind das? (Hinweis: \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\)). c) Wie lange dauert es, bis das Becken vollständig gefüllt ist? Gib das Ergebnis in Stunden an. d) Wenn ein zweiter, identischer Schlauch gleichzeitig verwendet wird, wie ändert sich der Proportionalitätsfaktor für die gesamte Füllmenge pro Minute? Erkläre kurz.

Eine Gartenpumpe befördert gleichmäßig Wasser in ein Becken. Nach 15 Minuten befinden sich \(450\,\text{Liter}\) Wasser im Becken. a) Stelle die Funktionsgleichung für das Volumen \(V\) (in Litern) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten) auf. b) Eine zweite, leistungsstärkere Pumpe schafft die doppelte Wassermenge pro Minute. Wie lautet ihre Funktionsgleichung? c) Wie lange dauert es jeweils, ein \(2\,700\,\text{Liter}\) fassendes Becken mit der ersten und mit der zweiten Pumpe zu füllen? Wie viel Zeit spart man mit der zweiten Pumpe?

Zwei verschiedene Pumpen füllen ein Wasserbecken. Pumpe A fördert in \(4\,\text{Stunden}\) genau \(12\,\text{m}^3\) Wasser. Pumpe B fördert in \(6\,\text{Stunden}\) genau \(15\,\text{m}^3\) Wasser. Bei beiden Pumpen besteht eine direkte Proportionalität zwischen Zeit und Wassermenge. a) Bestimme für jede Pumpe die Förderleistung in Kubikmetern pro Stunde. b) Wenn beide Pumpen gleichzeitig arbeiten, addieren sich ihre Förderleistungen. Berechne, wie viel Wasser sich nach \(5\,\text{Stunden}\) im Becken befindet, wenn beide Pumpen gleichzeitig laufen. c) Skizziere die Graphen der beiden einzelnen Pumpen und den Graphen der kombinierten Förderleistung in ein Koordinatensystem (Zeit auf der \(x\)-Achse, Volumen auf der \(y\)-Achse). Was lässt sich über die Steilheit der drei Geraden sagen? Begründe kurz.

Für einen Motorroller sind folgende Informationen bekannt: Der Tank fasst genau \(6\,\text{Liter}\). Eine komplette Tankfüllung kostet bei den aktuellen Preisen \(10{,}56\,\text{€}\). Der Roller verbraucht im Durchschnitt \(3{,}2\,\text{Liter}\) auf \(100\,\text{km}\). a) Berechne den Preis für einen Liter Benzin. b) Wie weit kann der Roller mit einer vollen Tankfüllung (\(6\,\text{Liter}\)) theoretisch fahren? Gib das Ergebnis in Kilometern an. c) Eine Tagestour ist insgesamt \(150\,\text{km}\) lang. Reichen \(8{,}50\,\text{€}\) für das dafür benötigte Benzin aus? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Zwei Kopiergeräte arbeiten jeweils mit einer konstanten Geschwindigkeit. Gerät A fertigt \(120\) Kopien in \(3\,\text{Minuten}\) an. Gerät B benötigt für \(150\) Kopien genau \(4\,\text{Minuten}\). a) Welches Gerät arbeitet schneller? Begründe durch einen Vergleich der Kopien pro Minute. b) Ein großer Kopierauftrag umfasst \(600\) Seiten. Wie viele Minuten spart man ein, wenn man das schnellere Gerät anstelle des langsameren verwendet?

Eine Abfüllanlage in einer Fabrik füllt in \(12\) Minuten genau \(180\) Gläser Marmelade ab. a) Bestimme die Abfüllrate in Gläsern pro Stunde. b) Wie viele Gläser werden in einer Schicht von \(7{,}5\) Stunden produziert, wenn die Anlage ohne Unterbrechung durchläuft? c) Die Fabrik möchte die Produktion steigern. Wie viele baugleiche Anlagen müssten insgesamt gleichzeitig arbeiten, um \(13\,500\) Gläser in nur \(3\) Stunden abzufüllen?

Untersuche zwei geometrische Zusammenhänge beim Quadrat auf ihre Proportionalität: Zuordnung 1: Seitenlänge \(a\) \(\rightarrow\) Umfang \(U\) Zuordnung 2: Seitenlänge \(a\) \(\rightarrow\) Flächeninhalt \(A\) a) Prüfe für beide Zuordnungen: Was passiert mit der Zielgröße (\(U\) bzw. \(A\)), wenn man die Seitenlänge \(a\) verdoppelt? b) Begründe anhand deiner Ergebnisse aus a), welche der beiden Zuordnungen proportional ist.

Eine Ursprungsgerade verläuft durch den Punkt \(P(4{,}5 \mid 1{,}8)\). a) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Geraden. b) Prüfe rechnerisch, ob der Punkt \(Q(7 \mid 2{,}8)\) ebenfalls auf dieser Geraden liegt. c) Ein weiterer Punkt \(R(a \mid 4{,}4)\) liegt auf der Geraden. Berechne den Wert für \(a\).

In einem Labor werden drei Metallzylinder untersucht, die angeblich aus demselben Material bestehen. - Zylinder A: Volumen \(V = 20\,\text{cm}^3\), Masse \(m = 178\,\text{g}\) - Zylinder B: Volumen \(V = 50\,\text{cm}^3\), Masse \(m = 445\,\text{g}\) - Zylinder C: Volumen \(V = 12\,\text{cm}^3\), Masse \(m = 105\,\text{g}\) a) Begründe rechnerisch, ob alle drei Zylinder aus demselben Material bestehen können. b) Wie schwer müsste Zylinder C sein, damit er denselben Proportionalitätsfaktor wie die anderen beiden besitzt?

In einer Schreinerei werden Holzleisten nach Gewicht verkauft. Eine \(2{,}5\,\text{m}\) lange Leiste wiegt \(1{,}4\,\text{kg}\). a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die das Gewicht \(y\) (in kg) in Abhängigkeit von der Länge \(x\) (in m) angibt. b) Ein Kunde behauptet: „Eine doppelt so lange Leiste wiegt auch doppelt so viel.“ Begründe mithilfe der Eigenschaften einer proportionalen Funktion, ob diese Aussage korrekt ist. c) Berechne, wie lang eine Leiste ist, die genau \(3{,}5\,\text{kg}\) wiegt.

Zwei Anbieter vermieten E-Scooter mit unterschiedlichen Preismodellen: - Anbieter A: Keine Grundgebühr, jede Minute kostet \(0{,}20\,\text{€}\). - Anbieter B: Eine einmalige Aktivierungsgebühr von \(1{,}00\,\text{€}\) pro Fahrt, danach jede Minute \(0{,}10\,\text{€}\). Untersuche, welches Modell eine direkte Proportionalität zwischen der Fahrzeit (in Minuten) und den Gesamtkosten (in Euro) darstellt. Begründe deine Antwort mithilfe der Eigenschaften einer Ursprungsgeraden.

Zwei Läufer, Anna und Ben, trainieren für einen Spendenlauf. Ihre zurückgelegten Strecken werden bei konstanter Geschwindigkeit gemessen: - Anna läuft \(200\,\text{m}\) in \(40\,\text{s}\). - Ben läuft \(300\,\text{m}\) in \(75\,\text{s}\). a) Berechne für beide Läufer die Geschwindigkeit in \(\text{m/s}\). Interpretiere diese Werte als Proportionalitätsfaktoren einer Zuordnung \(\text{Zeit} \to \text{Strecke}\). b) Wer von beiden läuft schneller? c) Wenn man die Bewegungen beider Läufer in einem Zeit-Strecke-Diagramm (Zeit auf der \(x\)-Achse, Strecke auf der \(y\)-Achse) darstellt: Welcher Graph liegt „oberhalb“ des anderen? Begründe deine Entscheidung ohne Zeichnung.

Zwei verschiedene Metalldrähte, Draht A und Draht B, werden verglichen. Die Masse eines Drahtes ist direkt proportional zu seiner Länge. Draht A wiegt bei einer Länge von \(5\,\text{m}\) genau \(125\,\text{g}\). Draht B wiegt bei einer Länge von \(8\,\text{m}\) genau \(192\,\text{g}\). a) Welcher Draht hat die größere Masse pro Meter? b) Wie viel würde ein \(20\,\text{m}\) langes Stück von Draht A wiegen? c) Wie lang müsste ein Stück von Draht B sein, damit es ebenfalls \(125\,\text{g}\) wiegt? Runde das Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt die Eigenschaft: „Verdoppelt man den \(x\)-Wert, so verdoppelt sich auch der zugehörige \(y\)-Wert.“ Mathematisch ausgedrückt: \(f(2 \cdot x) = 2 \cdot f(x)\). Prüfe diese Eigenschaft für die folgenden Funktionen, indem du jeweils den Term für \(f(2 \cdot x)\) bildest und mit \(2 \cdot f(x)\) vergleichst: a) \(f(x) = 0{,}8 \cdot x\) b) \(f(x) = 0{,}8 \cdot x + 2\) c) \(f(x) = x^2\)

Schüler führen ein Experiment zur Dehnung einer Schraubenfeder durch. Sie messen, um wie viele Zentimeter (\(s\)) sich die Feder verlängert, wenn sie verschiedene Massen (\(m\)) daran hängen. Die Feder ist für Lasten bis zu \(500\,\text{g}\) ausgelegt. Ergebnisse: - Bei \(20\,\text{g}\) dehnt sich die Feder um \(3{,}0\,\text{cm}\). - Bei \(50\,\text{g}\) dehnt sich die Feder um \(7{,}5\,\text{cm}\). a) Bestimme den Proportionalitätsfaktor \(k\) für die Zuordnung Masse \(\rightarrow\) Dehnung. Gib auch die Einheit an. b) Berechne die zu erwartende Dehnung für eine Masse von \(120\,\text{g}\). c) Die Schüler überlegen, ob die Dehnung auch bei einer Masse von \(5\,\text{kg}\) proportional bleibt. Beurteile diese Überlegung unter Berücksichtigung der Materialeigenschaften einer Feder.

Zwei Läufer, Lukas und Simon, trainieren für einen Marathon. Ihre gelaufenen Strecken wurden zu verschiedenen Zeitpunkten gemessen: Lukas: <table> <tr><td>Zeit \(t\) (in \(\text{min}\))</td><td>\(10\)</td><td>\(25\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Weg \(s\) (in \(\text{m}\))</td><td>\(2\,200\)</td><td>\(5\,500\)</td><td>\(8\,800\)</td></tr> </table> Simon: <table> <tr><td>Zeit \(t\) (in \(\text{min}\))</td><td>\(12\)</td><td>\(20\)</td><td>\(45\)</td></tr> <tr><td>Weg \(s\) (in \(\text{m}\))</td><td>\(2\,700\)</td><td>\(4\,500\)</td><td>\(10\,125\)</td></tr> </table> a) Zeige, dass bei beiden Läufern eine proportionale Zuordnung zwischen Zeit und Weg vorliegt. b) Wer von beiden läuft schneller? Begründe deine Antwort durch den Vergleich der Proportionalitätsfaktoren. c) Wie weit würde der schnellere Läufer bei gleichbleibender Geschwindigkeit in einer Stunde laufen?

Zwei verschiedene Pumpen sollen einen Keller leerpumpen, in dem \(12\,\text{m}^3\) Wasser stehen. - Pumpe A fördert \(180\,\text{l}\) Wasser in \(2\) Minuten. - Pumpe B hat eine Förderleistung von \(6{,}6\,\text{m}^3/\text{h}\). a) Welche Pumpe arbeitet schneller? Begründe deine Antwort durch einen rechnerischen Vergleich der Förderleistungen in \(\text{m}^3/\text{h}\). b) Wie lange würde es dauern, den Keller leerzupumpen, wenn beide Pumpen gleichzeitig eingesetzt werden?

An einem Marktstand werden zwei Sorten Kirschen angeboten. Bei Sorte A kosten \(3\,\text{kg}\) insgesamt \(13{,}50\,\text{€}\). Der Preis für Sorte B wird durch die Funktionsgleichung \(y = 4{,}80 \cdot x\) beschrieben, wobei \(x\) die Masse in \(\text{kg}\) und \(y\) den Preis in \(\text{€}\) darstellt. a) Welche Sorte hat den höheren Kilopreis? Begründe durch Vergleich der Steigungen der zugehörigen Ursprungsgeraden. b) Wie viel teurer ist ein Einkauf von \(2{,}5\,\text{kg}\) Kirschen der teureren Sorte im Vergleich zur günstigeren Sorte?

In einem Heizungskeller tropft ein Rohr. Es verliert alle \(5\) Minuten etwa \(800\,\text{ml}\) Wasser. a) Wie viele Liter Wasser gehen in einer Woche (7 Tage) durch dieses Leck verloren? b) Unter dem Leck steht ein Eimer mit einem Fassungsvermögen von \(12\) Litern. Zu Tagesbeginn ist der Eimer leer; am Tagesende soll er wieder vollständig geleert sein. Wie oft muss der Eimer innerhalb dieses Tages insgesamt geleert werden, damit er niemals überläuft? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

In einem Physikexperiment wird die Dehnung einer Feder untersucht. Die Dehnung \(s\) (in \(\text{cm}\)) ist direkt proportional zur angehängten Masse \(m\) (in \(\text{g}\)). Bei einer Masse von \(100\,\text{g}\) dehnt sich die Feder um \(2{,}5\,\text{cm}\). a) Bestimme die Funktionsgleichung der zugehörigen Ursprungsgeraden \(s(m) = k \cdot m\). b) Berechne die Dehnung der Feder für eine Masse von \(250\,\text{g}\). c) Welche Masse wurde angehängt, wenn eine Dehnung von genau \(10\,\text{cm}\) gemessen wird?

In einer Fabrik werden Schrauben produziert. Maschine A stellt in einer Minute \(15\,\text{Schrauben}\) her. Maschine B benötigt für die Produktion von \(12\,\text{Schrauben}\) genau \(45\,\text{Sekunden}\). a) Berechne für beide Maschinen die Produktionsrate in Schrauben pro Minute. Welche Maschine arbeitet schneller? b) Stelle für die schnellere Maschine eine Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der produzierten Schrauben (\(y\)) in Abhängigkeit von der Zeit (\(x\) in Minuten) angibt. c) Wie lange benötigt die schnellere Maschine, um genau \(1\,000\,\text{Schrauben}\) zu produzieren? Gib das Ergebnis in Minuten und Sekunden an. d) Durch eine Wartung kann die Produktionsrate der schnelleren Maschine um \(20\,\%\) gesteigert werden. Wie lautet die neue Funktionsgleichung?

Betrachte die Ursprungsgerade \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = 1{,}5 \cdot x\). Ein neuer Graph \(h\) entsteht, indem man alle \(y\)-Werte (Ordinaten) des Graphen von \(f\) verdreifacht, während die \(x\)-Werte gleich bleiben. a) Bestimme die Funktionsgleichung der neuen Funktion \(h\). b) Vergleiche die Steigung von \(h\) mit der Steigung von \(f\). Wie hat sich die Steilheit des Graphen verändert? c) Zeige allgemein: Wenn man die \(y\)-Werte einer beliebigen Ursprungsgeraden \(y = m \cdot x\) um einen Faktor \(k > 0\) streckt oder staucht, erhält man wieder eine Ursprungsgerade. Gib die neue Steigung in Abhängigkeit von \(m\) und \(k\) an.