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- Berechne die Kosten von Anbieter B für aufeinanderfolgende ganze Filmzahlen in der Nähe des Pauschalpreises. - Vergleiche diese Ergebnisse mit dem festen Preis von Anbieter A. - Bei welcher Filmzahl übersteigen die Kosten von Anbieter B den Wert \(9{,}99\,\text{€}\) zum ersten Mal?

1. Berechnung für Anbieter B bei \(m = 4\): \(1{,}50 \cdot 4 = 6{,}00\). Ergebnis: \(6{,}00\,\text{€}\). 2. Berechnung für Anbieter B bei \(m = 8\): \(1{,}50 \cdot 8 = 12{,}00\). Ergebnis: \(12{,}00\,\text{€}\). 3. Vergleich der Kosten: Bei \(6\) Filmen zahlt man bei Anbieter B \(1{,}50 \cdot 6 = 9{,}00\,\text{€}\). Bei \(7\) Filmen zahlt man bei Anbieter B \(1{,}50 \cdot 7 = 10{,}50\,\text{€}\). Da Anbieter A konstant \(9{,}99\,\text{€}\) kostet, ist Anbieter A ab dem 7. Film günstiger.

a) \(4\) Filme kosten \(6{,}00\,\text{€}\); \(8\) Filme kosten \(12{,}00\,\text{€}\). b) Ab \(7\) Filmen ist Anbieter A günstiger, da \(1{,}50 \cdot 7 = 10{,}50\,\text{€}\) mehr ist als \(9{,}99\,\text{€}\).

- Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Versuche zuerst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen. - Gehe bei Ungleichungen genau wie bei Gleichungen vor, beachte aber die Sonderregeln für die Multiplikation und Division mit negativen Werten.

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von \(2x\) und \(12\) auf beiden Seiten ergibt \(3x < -15\). Division durch \(3\) führt zu \(x < -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -5\}\). 2. Teilaufgabe b): Subtraktion von \(x\) und \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(-4x \ge 12\). Division durch \(-4\) unter Umkehrung des Relationszeichens führt zu \(x \le -3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -3\}\).

a) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -5\}\) b) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -3\}\)

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Achte darauf, alle Längenangaben in derselben Einheit (zum Beispiel Zentimeter) zu verwenden. - Was bedeutet „darf die Gesamtlänge nicht überschreiten“ für das mathematische Zeichen in deiner Rechnung?

1. Definition der Variablen: Sei \(h\) die Höhe des Gitters in \(\text{cm}\). Dann ist die Breite \(b = 2h\). 2. Aufstellen der Ungleichung für den Umfang \(U\): \(U = 2 \cdot (h + b) = 2 \cdot (h + 2h) = 6h\). 3. Berücksichtigung der Materialbegrenzung: \(6h \le 500\), da \(5\,\text{m} = 500\,\text{cm}\). 4. Lösen der Ungleichung: \(h \le \frac{500}{6} \approx 83{,}33\). 5. Bestimmung des maximalen ganzzahligen Wertes: Da \(h\) eine ganze Zahl in \(\text{cm}\) sein soll, ist die größtmögliche Höhe \(h = 83\,\text{cm}\).

Die größtmögliche Höhe des Gitters beträgt \(83\,\text{cm}\).

- Kannst du für jeden Tarif eine Rechenvorschrift aufstellen, die die Kosten in Abhängigkeit von den Minuten angibt? - Was genau bedeutet es mathematisch, wenn ein Tarif „günstiger“ ist als ein anderer? - Wie gehst du vor, wenn du herausfinden willst, wann zwei verschiedene Angebote genau gleich viel kosten? - Achte darauf, die festen Kosten (Grundgebühr) und die veränderlichen Kosten (Minutenpreis) richtig zu kombinieren.

1. Aufstellen der Kostenfunktionen für die Gesprächsdauer \(x\) in Minuten: \(K_S(x) = 4{,}95 + 0{,}12x\) und \(K_P(x) = 9{,}95 + 0{,}08x\). 2. Berechnung der Kosten für \(80\,\text{Minuten}\): \(K_S(80) = 4{,}95 + 0{,}12 \cdot 80 = 14{,}55\,\text{€}\) und \(K_P(80) = 9{,}95 + 0{,}08 \cdot 80 = 16{,}35\,\text{€}\). 3. Ansatz zur Bestimmung der Kostenschwelle durch die Ungleichung \(K_P(x) < K_S(x)\): \(9{,}95 + 0{,}08x < 4{,}95 + 0{,}12x\). 4. Umformung der Ungleichung: Subtraktion von \(4{,}95\) und \(0{,}08x\) ergibt \(5{,}00 < 0{,}04x\). 5. Division durch \(0{,}04\) liefert das Ergebnis \(x > 125\).

a) Bei \(80\,\text{Minuten}\) kostet der Tarif „Smart“ \(14{,}55\,\text{€}\) und der Tarif „Power“ \(16{,}35\,\text{€}\). b) Der Tarif „Power“ ist bei mehr als \(125\,\text{Minuten}\) Gesprächsdauer günstiger.

- Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Wie unterscheidet sich die Intervallschreibweise bei „kleiner gleich“ (\(\le\)) im Vergleich zu „echt kleiner“ (\(<\))? - Kannst du die Ungleichung so umstellen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen?

1. Teilaufgabe a): \(4x - 9 \le 2x + 5 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 7\}\), als Intervall \((-\infty; 7]\). 2. Teilaufgabe b): \(18 - 3x > 33 \Rightarrow -3x > 15 \Rightarrow x < -5\). Beim Dividieren durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -5\}\), als Intervall \((-\infty; -5)\). 3. Teilaufgabe c): \(\frac{2}{3}x + 4 < 2x - 2 \Rightarrow 6 < \frac{4}{3}x \Rightarrow 18 < 4x \Rightarrow 4{,}5 < x\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 4{,}5\}\), als Intervall \((4{,}5; \infty)\).

a) \(x \le 7\); Intervall: \((-\infty; 7]\) b) \(x < -5\); Intervall: \((-\infty; -5)\) c) \(x > 4{,}5\); Intervall: \((4{,}5; \infty)\)

- Was genau ist gesucht und welche Informationen sind gegeben? - Kannst du für beide Tarife einen Term aufstellen, der die Kosten beschreibt? - Was muss für die Kosten gelten, damit beide Tarife genau gleich teuer sind? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man mehr oder weniger als die berechnete Kilometerzahl fährt?

1. Aufstellen der Kostengleichungen für die Kilometerzahl \(x\): \(K_{\text{Basis}}(x) = 25 + 0{,}30x\) und \(K_{\text{Flex}}(x) = 10 + 0{,}55x\) 2. Gleichsetzen der Terme zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(25 + 0{,}30x = 10 + 0{,}55x\) 3. Subtraktion von \(10\) und \(0{,}30x\) auf beiden Seiten: \(15 = 0{,}25x\) 4. Division durch \(0{,}25\): \(x = 60\) 5. Da der Kilometerpreis bei „Basis“ niedriger ist, ist dieser Tarif bei allen Strecken über \(60\,\text{km}\) günstiger.

Der Tarif „Basis“ ist ab einer Strecke von mehr als \(60\,\text{km}\) kostengünstiger.

- Kannst du den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie bringst du alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Ungleichung? - Was musst du tun, um \(x\) allein auf einer Seite stehen zu haben?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). Die Ungleichung lautet nun \(0{,}4x + 0{,}6 > 1{,}8 - 0{,}2x\). 2. Addition von \(0{,}2x\) auf beiden Seiten: \(0{,}6x + 0{,}6 > 1{,}8\). 3. Subtraktion von \(0{,}6\) auf beiden Seiten: \(0{,}6x > 1{,}2\). 4. Division durch \(0{,}6\): \(x > 2\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 2\}\).

\(x > 2\) bzw. \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 2\}\)

- Kannst du in eigenen Worten beschreiben, was mit dem Umfang einer Figur gemeint ist? - Wie würdest du den Umfang für das Dreieck und die Raute jeweils als mathematischen Term ausdrücken? - Welches mathematische Symbol nutzt man, um auszudrücken, dass eine Größe "größer als" eine andere ist? - Überlege dir, ob jede beliebige Zahl für \(x\) eingesetzt werden kann. Können Seitenlängen negativ sein? - Gibt es eine Regel, die besagt, wie lang die Seiten eines Dreiecks im Verhältnis zueinander sein müssen, damit man es überhaupt zeichnen kann? - Schau dir die Antwortmöglichkeiten an. Helfen dir die Bedingungen für die Existenz der Figuren dabei, die Auswahl einzuschränken?

1. Umfang des Dreiecks bestimmen: \(U_D = (x + 3) + (x - 1) + 8 = 2x + 10\). 2. Umfang der Raute bestimmen: \(U_R = 4 \cdot x = 4x\). 3. Ungleichung für die Bedingung \(U_D > U_R\) aufstellen: \(2x + 10 > 4x\). 4. Lösung der Ungleichung nach \(x\): \(10 > 2x \implies x < 5\). 5. Prüfung der geometrischen Existenzbedingungen für das Dreieck: Alle Seitenlängen müssen positiv sein (\(x - 1 > 0 \implies x > 1\)) und die Dreiecksungleichung (\(a+b > c\)) muss gelten: \((x + 3) + (x - 1) > 8 \implies 2x + 2 > 8 \implies 2x > 6 \implies x > 3\). 6. Zusammenführung aller Bedingungen (\(x < 5\) und \(x > 3\)): \(3 < x < 5\).

c) \(3 < x < 5\)

- Was bedeutet „Grundgebühr“ für deine Rechnung, auch wenn man gar keine Daten verbraucht? - Erstelle eine kleine Tabelle für verschiedene Werte von \(x\), um zu sehen, wie sich die Kosten entwickeln. - Suche den Punkt, an dem beide Anbieter genau gleich viel kosten.

1. Aufstellen der Terme: - Anbieter A: \(K_A = 10 + 0{,}50x\) - Anbieter B: \(K_B = 1{,}50x\) 2. Berechnungen für \(5\,\text{GB}\): - Anbieter A: \(10 + 0{,}50 \cdot 5 = 10 + 2{,}50 = 12{,}50\,\text{€}\). - Anbieter B: \(1{,}50 \cdot 5 = 7{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnungen für \(15\,\text{GB}\): - Anbieter A: \(10 + 0{,}50 \cdot 15 = 10 + 7{,}50 = 17{,}50\,\text{€}\). - Anbieter B: \(1{,}50 \cdot 15 = 22{,}50\,\text{€}\). 4. Vergleich: Bei \(10\,\text{GB}\) sind die Kosten gleich: \(10 + 0{,}50 \cdot 10 = 15\,\text{€}\) und \(1{,}50 \cdot 10 = 15\,\text{€}\). Ab mehr als \(10\,\text{GB}\) ist Anbieter A günstiger, da jede zusätzliche Einheit bei A nur \(0{,}50\,\text{€}\) kostet, bei B hingegen \(1{,}50\,\text{€}\).

a) Anbieter A: \(K_A = 10 + 0{,}50x\); Anbieter B: \(K_B = 1{,}50x\). b) Bei \(5\,\text{GB}\): A kostet \(12{,}50\,\text{€}\), B kostet \(7{,}50\,\text{€}\). Bei \(15\,\text{GB}\): A kostet \(17{,}50\,\text{€}\), B kostet \(22{,}50\,\text{€}\). c) Ab einem Datenvolumen von mehr als \(10\,\text{GB}\) ist Anbieter A günstiger.

- Überlege dir, wie viel jedes zusätzliche T-Shirt bei beiden Anbietern kostet. - Wie viel spart man pro Shirt bei „PrintIt“ im Vergleich zum „ShirtShop“? - Wie viele dieser „Ersparnisse“ pro Shirt braucht man, um die feste Gebühr von \(24\,\text{€}\) auszugleichen?

1. Kostenberechnung für \(5\) Shirts: „PrintIt“: \(24 + 5 \cdot 7 = 59\,\text{€}\) „ShirtShop“: \(5 \cdot 10 = 50\,\text{€}\) 2. Kostenberechnung für \(10\) Shirts: „PrintIt“: \(24 + 10 \cdot 7 = 94\,\text{€}\) „ShirtShop“: \(10 \cdot 10 = 100\,\text{€}\) 3. Bestimmung des Schnittpunkts (Gleichsetzen der Kosten): \(24 + 7x = 10x\) \(24 = 3x\) \(x = 8\) 4. Analyse: Bei genau \(8\) T-Shirts kosten beide Angebote \(80\,\text{€}\). Ab dem \(9\). T-Shirt ist „PrintIt“ günstiger.

a) Bei 5 Shirts: PrintIt \(59\,\text{€}\), ShirtShop \(50\,\text{€}\). Bei 10 Shirts: PrintIt \(94\,\text{€}\), ShirtShop \(100\,\text{€}\). b) Ab 9 T-Shirts ist das Angebot von „PrintIt“ günstiger (bei 8 Shirts sind sie gleich teuer).

- Bestimme zunächst die Stellen, an denen der Graph von \(f\) die beiden Randgeraden schneidet. - Nutze anschließend die positive Steigung von \(f\), um zu entscheiden, für welche \(x\)-Werte die Funktionswerte zwischen den beiden Grenzen liegen. - Prüfe, ob die Randpunkte selbst zum inneren Bereich gehören.

1. Bestimmung des \(x\)-Wertes für die obere Grenze (\(y = 2\)): Setze \(f(x) = 2\). \(0{,}5x - 1 = 2\) \(0{,}5x = 3\) \(x = 6\) 2. Bestimmung des \(x\)-Wertes für die untere Grenze (\(y = -3\)): Setze \(f(x) = -3\). \(0{,}5x - 1 = -3\) \(0{,}5x = -2\) \(x = -4\) 3. Da die Funktion \(f\) eine positive Steigung hat, steigen die \(y\)-Werte mit wachsendem \(x\). Die \(y\)-Werte liegen also zwischen \(-3\) und \(2\), wenn die \(x\)-Werte zwischen \(-4\) und \(6\) liegen.

Die Punkte des Graphen von \(f\) liegen für alle \(x\)-Werte im Bereich \(-4 < x < 6\) innerhalb des Streifens.

- Welches mathematische Zeichen drückt die Bedingung „oberhalb“ aus? - Setze die bekannte Koordinate in die Ungleichung ein. - Denk beim Lösen von Ungleichungen daran, was passiert, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst.

1. Aufstellen der Ungleichung für „oberhalb“: \(y_S > -2x_S + 6\). 2. Einsetzen des gegebenen \(y\)-Werts: \(10 > -2x + 6\). 3. Subtraktion von 6 auf beiden Seiten: \(4 > -2x\). 4. Division durch \(-2\) (Umkehrung des Relationszeichens beachten): \(-2 < x\) bzw. \(x > -2\).

Der Punkt \(S\) liegt oberhalb der Geraden, wenn \(x > -2\) ist.

- Könnte es helfen, die Brüche zu beseitigen, indem du die gesamte Ungleichung mit einem gemeinsamen Nenner multiplizierst? - Denke daran, dass du beim Auflösen von Klammern jeden Term in der Klammer mit dem Faktor davor multiplizieren musst. - Wie stellt man eine Bedingung wie „größer als“ in der Intervallschreibweise dar?

1. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(\frac{3}{4}x - 2 > \frac{1}{2}x + 2\). 2. Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) und Addition von \(2\) auf beiden Seiten: \(\frac{1}{4}x > 4\). 3. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit \(4\): \(x > 16\). 4. Angabe als Intervall: \(x \in (16; \infty)\).

\(x \in (16; \infty)\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Kanten die Grundfläche, die Deckfläche und der Mantel eines solchen Prismas haben. - Stelle eine Formel für die gesamte Drahtlänge auf, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. - Vergiss nicht, dass Seitenlängen immer positiv sein müssen.

1. Bestimmung der Anzahl der Kanten: Ein gerades Prisma mit dreieckiger Grundfläche hat insgesamt 6 Grund- und Deckkanten der Länge \(a\) sowie 3 Seitenkanten der Länge \(h\). 2. Aufstellen der Beziehung zwischen \(h\) und \(a\): \(h = a + 10\). 3. Aufstellen der Gesamtlänge \(L\): \(L = 6a + 3h = 6a + 3(a + 10) = 9a + 30\). 4. Lösen der Ungleichung: \(9a + 30 \le 120 \implies 9a \le 90 \implies a \le 10\). 5. Da \(a\) eine Seitenlänge ist, muss \(a > 0\) gelten. Die möglichen ganzzahligen Werte für \(a\) sind somit \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}\).

Die möglichen ganzzahligen Seitenlängen für \(a\) sind alle natürlichen Zahlen von \(1\,\text{cm}\) bis \(10\,\text{cm}\).

- Löse beide Ungleichungen getrennt voneinander nach \(x\) auf. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Teilen durch negative Zahlen in der zweiten Ungleichung. - Vergleiche am Ende die beiden Intervalle. Sind sie identisch?

1. Lösung der Ungleichung (1): \(6x + 12 \le 36 \Rightarrow 6x \le 24 \Rightarrow x \le 4\). Das Intervall ist \(I_1 = (-\infty; 4]\). 2. Lösung der Ungleichung (2): \(-3x \ge -12\). Division durch \(-3\) erfordert das Umkehren des Relationszeichens: \(x \le 4\). Das Intervall ist \(I_2 = (-\infty; 4]\). 3. Vergleich: Da \(I_1 = I_2\), besitzen beide Ungleichungen dieselbe Lösungsmenge.

Ja, beide Ungleichungen haben dieselbe Lösungsmenge. Das Intervall ist für beide \((-\infty; 4]\).

- Kannst du die monatlichen Gesamtkosten als Gleichung darstellen? - Beachte, dass man im Alltag meist nur eine ganze Anzahl an Filmen leihen kann. - Was passiert mit der Schwelle, wenn die Kosten pro Film bei Anbieter A sinken?

1. Aufstellen der Gleichung für Teil a: \(7{,}50 + 2{,}00x = 18{,}50\) 2. Isolieren von \(x\): \(2{,}00x = 11\), woraus \(x = 5{,}5\) folgt. Da nur ganze Filme geliehen werden können, ist die Flatrate ab \(6\) Filmen günstiger. 3. Aufstellen der Gleichung für Teil b mit neuem Preis: \(7{,}50 + 1{,}50x = 18{,}50\) 4. Isolieren von \(x\): \(1{,}50x = 11\), woraus \(x \approx 7{,}33\) folgt. 5. Interpretation des Ergebnisses: Die Flatrate lohnt sich nun erst ab mindestens \(8\) Filmen pro Monat.

a) Die Flatrate ist ab \(6\) Filmen pro Monat günstiger. b) Nach der Preissenkung lohnt sich die Flatrate erst ab \(8\) Filmen pro Monat.

- Stelle zuerst eine Ungleichung auf, die den Vergleich der beiden Terme beschreibt. - Versuche, alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Wie gehst du mit dem Bruch oder der Dezimalzahl vor dem \(x\) am besten um?

1. Aufstellen der Ungleichung: \(\frac{1}{2}x + 4 > 2x - 5\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) auf beiden Seiten ergibt \(4 > 1{,}5x - 5\). 3. Isolieren von \(x\): Addition von 5 ergibt \(9 > 1{,}5x\). 4. Division durch \(1{,}5\): \(6 > x\) bzw. \(x < 6\). 5. Resultat: Die Lösungsmenge umfasst alle rationalen Zahlen kleiner als 6, also \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < 6\}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < 6\}\)

- Kannst du die Terme auf beiden Seiten zuerst vereinfachen, bevor du nach \(x\) auflöst? - Achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen. - Welche Art von Klammer nutzt man im Intervall, wenn der Randwert mit eingeschlossen ist?

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten: \(\frac{1}{2} \cdot 6x - \frac{1}{2} \cdot 4 \le 2 \cdot x + 2 \cdot 5 + 1\), vereinfacht zu \(3x - 2 \le 2x + 10 + 1\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der rechten Seite ergibt \(3x - 2 \le 2x + 11\). 3. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten führt zu \(x - 2 \le 11\). 4. Addition von 2 auf beiden Seiten ergibt \(x \le 13\). 5. In Intervallschreibweise ergibt sich die Lösungsmenge \(L = (-\infty; 13]\).

\(L = (-\infty; 13]\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine Lösung einer Ungleichung ist? - Gehe beim Lösen der Ungleichung schrittweise vor, wie bei einer Gleichung. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis aus Teil a) mit deiner Lösungsmenge aus Teil b) übereinstimmt.

1. Prüfung für \(x = 5\): Einsetzen ergibt \(5(5 - 2) \ge 3 \cdot 5 + 4\). Dies führt zu \(5 \cdot 3 \ge 15 + 4\), also \(15 \ge 19\). Da dies eine falsche Aussage ist, ist \(x = 5\) keine Lösung. 2. Auflösen der Klammer in der Ungleichung ergibt \(5x - 10 \ge 3x + 4\). 3. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten ergibt \(2x - 10 \ge 4\). 4. Addition von 10 auf beiden Seiten führt zu \(2x \ge 14\). 5. Division durch 2 ergibt \(x \ge 7\). 6. Die Lösungsmenge umfasst alle Zahlen größer oder gleich 7, also \(L = [7; \infty)\).

a) Nein, \(x = 5\) ist keine Lösung, da \(15 \ge 19\) falsch ist. b) \(L = [7; \infty)\)

- Wie kannst du die Brüche in der Ungleichung auf einen Schlag beseitigen? - Was musst du beim Zusammenfassen von Termen auf beiden Seiten beachten? - Wie gehst du vor, um zu testen, ob eine bestimmte Zahl eine Bedingung erfüllt? - Warum bleibt das Relationszeichen beim Multiplizieren mit dem positiven Hauptnenner unverändert?

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem Hauptnenner 10, um die Brüche zu eliminieren: \(2(2x - 3) \le 5(x + 2) - 10\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten: \(4x - 6 \le 5x + 10 - 10\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(4x - 6 \le 5x\). 4. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(4x\): \(-6 \le x\) bzw. \(x \ge -6\). Damit ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -6\}\). 5. Prüfung für \(x = 0\): Einsetzen in die ursprüngliche Ungleichung ergibt \(\frac{2 \cdot 0 - 3}{5} = -0{,}6\) auf der linken Seite und \(\frac{0 + 2}{2} - 1 = 0\) auf der rechten Seite. Da \(-0{,}6 \le 0\) eine wahre Aussage ist, gehört \(x = 0\) zur Lösungsmenge.

a) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -6\}\) b) Ja, \(x = 0\) ist eine Lösung, da \(-0{,}6 \le 0\) wahr ist.

- Wie kannst du die Klammerausdrücke in den Termen vereinfachen, bevor du sie vergleichst? - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Terme gegenüberstellst? - Achte genau auf das Zeichen: Soll der eine Term kleiner oder „kleiner gleich“ dem anderen sein? - Wenn du eine Lösung wie \(x > a\) hast, welche ganze Zahl folgt als Nächstes auf \(a\)?

1. Aufstellen der Ungleichung \(T_1(x) < T_2(x)\): \((x + 4)^2 < x(x + 10) - 2\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \(T_1\): \(x^2 + 8x + 16\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes auf \(T_2\): \(x^2 + 10x - 2\). 4. Vereinfachen der Ungleichung durch Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten: \(8x + 16 < 10x - 2\). 5. Umformen der linearen Ungleichung: Subtraktion von \(8x\) und Addition von 2 ergibt \(18 < 2x\). 6. Division durch 2 führt zu \(9 < x\) bzw. \(x > 9\). 7. Bestimmung der kleinsten ganzen Zahl: Da \(x\) echt größer als 9 sein muss, ist die kleinste ganze Zahl \(10\).

a) \(x > 9\) b) Die kleinste ganze Zahl ist \(10\).

- Wie kannst du Brüche in einer Ungleichung eliminieren, bevor du mit dem Umstellen beginnst? - Was musst du beim Auflösen von Klammern beachten, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Denke daran, was mit dem Relationszeichen passiert, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst. - Versuche alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen.

1. Multiplikation der Ungleichung mit dem Hauptnenner \(8\): \(2(x-3) - 4(x+1) \leq x\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(2x - 6 - 4x - 4 \leq x\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(-2x - 10 \leq x\). 4. Addition von \(2x\) auf beiden Seiten: \(-10 \leq 3x\). 5. Division durch \(3\): \(x \geq -\frac{10}{3}\). Die Lösungsmenge ist \(L_1 = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq -\frac{10}{3}\}\). 6. Ausmultiplizieren der Klammer in der zweiten Ungleichung: \(7 - 6x + 2 > 5x + 20\). 7. Zusammenfassen: \(9 - 6x > 5x + 20\). 8. Subtraktion von \(5x\) und \(9\): \(-11x > 11\). 9. Division durch \(-11\) (Umkehrung des Relationszeichens): \(x < -1\). Die Lösungsmenge ist \(L_2 = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -1\}\).

1) \(x \geq -\frac{10}{3}\) 2) \(x < -1\)

- Löse zunächst jede Ungleichung für sich allein. - Was bedeutet das Wort „und“ für die beiden gefundenen Lösungsmengen? - Hilft es dir, die Lösungen der einzelnen Ungleichungen auf einem Zahlenstrahl zu markieren? - Gibt es einen Bereich, in dem beide Bedingungen gleichzeitig wahr sind?

1. Lösung der ersten Ungleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(6 - 2(2x-5) \le 3(3x+1)\). 2. Klammern auflösen: \(6 - 4x + 10 \le 9x + 3\), also \(16 - 4x \le 9x + 3\). 3. Terme ordnen: \(13 \le 13x\), woraus \(x \ge 1\) folgt. 4. Lösung der zweiten Ungleichung: Klammer auflösen ergibt \(6x - 2 > 5x - 4\). 5. Terme ordnen: \(x > -2\). 6. Bestimmung der Schnittmenge: Die Bedingungen \(x \ge 1\) und \(x > -2\) sind gleichzeitig erfüllt, wenn \(x \ge 1\) gilt.

\(x \ge 1\)

- Betrachte jede Ungleichung zuerst einzeln und löse sie nach \(x\) auf. - Achte darauf, wie sich der Bereich der möglichen Werte einschränkt, wenn beide Bedingungen gleichzeitig gelten müssen. - Erinnere dich daran, was eine „ganze Zahl“ ist, bevor du die endgültige Menge angibst.

1. Erste Ungleichung lösen: \(5x - 3 > 2x + 6 \implies 3x > 9 \implies x > 3\). 2. Zweite Ungleichung lösen: \(\frac{2x+8}{4} \leq 5 \implies 2x + 8 \leq 20 \implies 2x \leq 12 \implies x \leq 6\). 3. Schnittmenge bilden: Das System ist für alle \(x\) mit \(3 < x \leq 6\) erfüllt. 4. Ganze Zahlen im Intervall finden: Die ganzzahligen Lösungen sind \(4\), \(5\) und \(6\).

\(x \in \{4; 5; 6\}\)

- Wie kannst du Brüche in einer Ungleichung eliminieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was musst du beim Auflösen von Klammern beachten, vor denen ein Minuszeichen steht? - Denke daran, dass eine Zahl nur dann Lösung des Systems ist, wenn sie beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt. - Es kann helfen, die Teillösungen beider Ungleichungen auf einem Zahlenstrahl zu markieren und nach Überlappungen zu suchen.

1. Lösen der ersten Ungleichung: Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner 6 erhält man \(2(2x+1) - (x-2) \le 12\). Vereinfachen ergibt \(4x + 2 - x + 2 \le 12\), also \(3x + 4 \le 12\). Daraus folgt \(3x \le 8\) und somit \(x \le \frac{8}{3}\) (bzw. \(x \le 2\frac{2}{3}\)). 2. Lösen der zweiten Ungleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(4 - 3x - 3 < 2x + 11\), vereinfacht zu \(1 - 3x < 2x + 11\). Durch Umformen erhält man \(-10 < 5x\), woraus \(x > -2\) folgt. 3. Bestimmen der Schnittmenge: Die Kombination beider Bedingungen ergibt das Intervall \(-2 < x \le \frac{8}{3}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid -2 < x \le \frac{8}{3}\}\)

- Was bedeutet „senkrecht oberhalb“ für die x-Koordinate des Punktes im Vergleich zum Punkt auf der Geraden? - Wie kannst du die Entfernung zwischen einem Punkt auf der Geraden und einem Punkt darüber berechnen? - Stelle für den zweiten Teil eine Ungleichung auf, die die Bedingung „unterhalb“ beschreibt.

1. Teil a: Berechnung des \(y\)-Werts der Geraden an der Stelle \(x = 6\): \(y_f = \frac{2}{3} \cdot 6 - 1 = 4 - 1 = 3\). 2. Da \(A\) genau 4 Einheiten darüber liegt, addiere 4 zum Ergebnis: \(y_A = 3 + 4 = 7\). 3. Teil b: Aufstellen der Ungleichung für „unterhalb“: \(y_B < \frac{2}{3}x_B - 1\). 4. Einsetzen von \(y_B = 3\): \(3 < \frac{2}{3}x_B - 1\). 5. Addition von 1: \(4 < \frac{2}{3}x_B\). 6. Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\): \(6 < x_B\). Die Bedingung lautet \(x_B > 6\).

a) \(y_A = 7\) b) Es muss gelten: \(x_B > 6\).

- Bei verschachtelten Klammern ist es oft am sichersten, von innen nach außen zu arbeiten. - Was ändert sich an den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Fasse auf jeder Seite der Ungleichung so weit wie möglich zusammen, bevor du Terme von einer Seite auf die andere verschiebst.

1. Auflösen der inneren Klammer: \(2 - [3x - x - 5] \le 8 - 4x + 1\). 2. Zusammenfassen in der eckigen Klammer: \(2 - [2x - 5] \le 9 - 4x\). 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen beachten): \(2 - 2x + 5 \le 9 - 4x\), vereinfacht \(7 - 2x \le 9 - 4x\). 4. Addition von \(4x\) und Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(2x \le 2\). 5. Division durch \(2\): \(x \le 1\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 1\}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 1\}\)

- Hier gibt es zwei Bedingungen: eine für die maximale Größe und eine für die minimale Stabilität. - Das Gurtmaß ist hier der Umfang der quadratischen Grundfläche. - Stelle für beide Bedingungen jeweils eine Ungleichung auf und finde den Bereich, der beide erfüllt.

1. Definition der Terme: Seitenkante der Grundfläche ist \(x\), Länge ist \(l = 3x\). 2. Umfang der quadratischen Grundfläche: \(U = 4x\). 3. Aufstellen der ersten Bedingung (Länge-plus-Gurtmaß-Bedingung): \(l + U \le 360 \implies 3x + 4x \le 360 \implies 7x \le 360\). 4. Lösen der ersten Ungleichung: \(x \le \frac{360}{7} \approx 51{,}43\). 5. Aufstellen der zweiten Bedingung (Mindestlänge): \(l \ge 120 \implies 3x \ge 120 \implies x \ge 40\). 6. Kombination der Ergebnisse: \(40 \le x \le 51{,}43\). 7. Da \(x\) ganzzahlig sein soll, sind die möglichen Werte \(40; 41; 42; \dots; 51\).

Für die Seitenkante \(x\) kommen alle ganzzahligen Werte von \(40\,\text{cm}\) bis einschließlich \(51\,\text{cm}\) infrage.

- Was ändert sich an den Kosten von Modell B, wenn man mehr Kilometer fährt? - Kannst du die Kosten für Modell A bei einer festen Strecke von \(100\,\text{km}\) berechnen und mit dem Pauschalpreis vergleichen? - In Teil c suchst du eine neue Grundgebühr. Wie sieht die Gleichung aus, wenn das Ergebnis am Ende \(44\,\text{€}\) sein soll? - Denke daran, dass „exakt gleiche Kosten“ mathematisch bedeutet, dass die Terme beider Modelle mit einem Gleichheitszeichen verbunden werden können.

1. Aufstellen der Funktionen für die Kosten in Abhängigkeit von der nichtnegativen Strecke \(x\): \(K_A(x) = 24 + 0{,}25x\) und \(K_B(x) = 44\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts zur Beantwortung von Teil a: \(24 + 0{,}25x = 44 \implies 0{,}25x = 20 \implies x = 80\). Bei \(80\,\text{km}\) sind beide Modelle gleich teuer; Modell A ist daher für \(0 \le x < 80\,\text{km}\) günstiger. 3. Kostenvergleich für Teil b bei \(x = 100\): \(K_A(100) = 24 + 0{,}25 \cdot 100 = 49\,\text{€}\). Da \(49\,\text{€} > 44\,\text{€}\), ist Modell B günstiger. 4. Berechnung der neuen Grundgebühr \(G\) für Teil c: Ansatz \(G + 0{,}25 \cdot 100 = 44\). 5. Auflösen nach \(G\): \(G + 25 = 44 \implies G = 19\,\text{€}\).

a) Modell A ist für Fahrtstrecken \(x\) mit \(0 \le x < 80\,\text{km}\) günstiger. Bei genau \(80\,\text{km}\) sind beide Modelle gleich teuer. b) Er sollte Modell B wählen, da Modell A bei \(100\,\text{km}\) Kosten in Höhe von \(49\,\text{€}\) verursacht, während Modell B nur \(44\,\text{€}\) kostet. c) Die Grundgebühr von Modell A müsste auf \(19\,\text{€}\) gesenkt werden.

- Stelle dir vor, \(k\) wäre eine normale Zahl und löse die Ungleichung nach \(x\) auf. Dein Ergebnis wird \(k\) enthalten. - Welche Bedingung muss für den Ausdruck auf der rechten Seite gelten, damit er mit der gewünschten Grenze im Intervall übereinstimmt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, um den fehlenden Wert zu finden?

1. Auflösen der Ungleichung nach \(x\): \(2x + k > 10 \Rightarrow 2x > 10 - k \Rightarrow x > \frac{10 - k}{2}\). 2. Abgleich mit der Ziel-Lösung: Die Lösungsmenge soll \(x > 7\) sein. Also muss gelten: \(\frac{10 - k}{2} = 7\). 3. Berechnung von \(k\): \(10 - k = 14 \Rightarrow -k = 4 \Rightarrow k = -4\).

Der Wert für \(k\) muss \(-4\) sein.

- Vereinfache beide Seiten der Ungleichung so weit wie möglich, bevor du nach \(x\) auflöst. - Was bedeutet es für die Lösung, wenn die Variable \(x\) während der Rechnung vollständig verschwindet? - Überlege, ob die verbleibende mathematische Aussage (ohne \(x\)) immer wahr oder immer falsch ist.

1. Teilaufgabe a): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(6x - 8 < 6x - 5\). Subtraktion von \(6x\) führt zur Aussage \(-8 < -5\). Da diese Aussage für alle \(x\) wahr ist, ist die Lösungsmenge der gesamte Grundbereich: \(L = \mathbb{Q}\). 2. Teilaufgabe b): Auflösen der Klammer ergibt \(4 - x - 5 \ge 10 - x\), vereinfacht \(-1 - x \ge 10 - x\). Addition von \(x\) führt zur Aussage \(-1 \ge 10\). Da dies eine falsche Aussage ist, gibt es kein \(x\), das die Ungleichung erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

a) \(L = \mathbb{Q}\) b) \(L = \emptyset\) (leere Menge)

- Wie kannst du die Brüche loswerden, indem du die gesamte Ungleichung mit einer geschickt gewählten Zahl multiplizierst? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruchstrich. Was bedeutet das für die Terme im Zähler? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du mit einer positiven Zahl multiplizierst?

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem Hauptnenner \(6\), um die Nenner zu eliminieren: \(2(2x+1) - 3(x-2) \le 12\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4x + 2 - 3x + 6 \le 12\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(x + 8 \le 12\). 4. Subtraktion von \(8\) auf beiden Seiten: \(x \le 4\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 4\}\).

\(x \le 4\) bzw. \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 4\}\)

- Beim Rechnen mit Brüchen hilft es, die gesamte Ungleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren, um die Brüche zu eliminieren. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Stelle dir die Teillösungen auf einem Zahlenstrahl vor, um die gemeinsamen Werte leichter zu finden.

1. Erste Ungleichung mit dem Hauptnenner \(6\) multiplizieren: \(3(3x - 5) - 2(x + 1) < 12\). 2. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(9x - 15 - 2x - 2 < 12 \implies 7x - 17 < 12 \implies 7x < 29\). 3. Nach \(x\) isolieren: \(x < \frac{29}{7} \approx 4{,}14\). 4. Zweite Ungleichung lösen: \(1 - (6 - 3x) \geq -5 \implies 1 - 6 + 3x \geq -5 \implies -5 + 3x \geq -5\). 5. Nach \(x\) isolieren: \(3x \geq 0 \implies x \geq 0\). 6. Schnittmenge der Intervalle bestimmen: \(0 \leq x < \frac{29}{7}\). 7. Ganze Zahlen identifizieren: Die Lösungen sind \(0; 1; 2; 3; 4\).

\(x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\)

- Löse zunächst jede Ungleichung einzeln nach \(x\) auf. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du Terme mit \(x\) auf eine Seite bringst. - Vergleiche die beiden gefundenen Zahlenbereiche. Gibt es einen Bereich, in dem beide Bedingungen wahr sind? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn sich die Bereiche der Teillösungen nicht überschneiden?

1. Lösen der ersten Ungleichung: Multiplikation mit 2 ergibt \(10 - (x+2) < 2\). Auflösen der Klammer führt zu \(10 - x - 2 < 2\), also \(8 - x < 2\). Daraus ergibt sich \(x > 6\). 2. Lösen der zweiten Ungleichung: Multiplikation mit 2 ergibt \(4(x-3) \le x+4\). Ausmultiplizieren liefert \(4x - 12 \le x + 4\). Nach Umformen erhält man \(3x \le 16\), also \(x \le \frac{16}{3}\) (was etwa \(5{,}33\) entspricht). 3. Vergleich der Teilmengen: Es wird eine Zahl gesucht, für die gleichzeitig \(x > 6\) und \(x \le 5\frac{1}{3}\) gilt. Da \(5\frac{1}{3} < 6\) ist, existiert keine solche Zahl. Die Lösungsmenge ist somit leer.

Es gibt keine solche Zahl \(x\). Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

- Was bedeutet es für die Vorzeichen von \(x\) und \(y\), wenn ein Punkt im II. Quadranten liegt? - Versuche zuerst, \(x\) und \(y\) so aufzulösen, dass sie nur noch vom Parameter \(a\) abhängen. - Wann ist ein Bruch positiv? Was muss dann für den Nenner gelten? - Wie verhält sich das Vorzeichen des Zählers, wenn du bereits weißt, welches Vorzeichen der Nenner hat?

1. Erste Gleichung nach \(x\) umstellen: \(x = 5 - y\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2(5 - y) + ay = 12\). 3. Klammer auflösen und nach \(y\) sortieren: \(10 - 2y + ay = 12 \Rightarrow y(a - 2) = 2\). 4. \(y\) in Abhängigkeit von \(a\) ausdrücken: \(y = \frac{2}{a - 2}\). 5. \(x\) berechnen: \(x = 5 - \frac{2}{a - 2} = \frac{5(a - 2) - 2}{a - 2} = \frac{5a - 12}{a - 2}\). 6. Bedingung \(y > 0\) anwenden: \(\frac{2}{a - 2} > 0 \Rightarrow a - 2 > 0 \Rightarrow a > 2\). 7. Bedingung \(x < 0\) anwenden: Da \(a - 2 > 0\) (aus Schritt 6), muss der Zähler negativ sein: \(5a - 12 < 0 \Rightarrow 5a < 12 \Rightarrow a < 2{,}4\). 8. Beide Bedingungen kombinieren: \(2 < a < 2{,}4\).

Die gesuchte Bedingung lautet \(2 < a < 2{,}4\).

- Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, wann keine und wann unendlich viele? - Nutze die Symmetrie des Systems aus: Was passiert, wenn du \(x\) und \(y\) vertauschst? - Wie kannst du eine Variable eliminieren, um die andere in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen? - Achte darauf, dass „eindeutige Lösung“ bestimmte Werte für \(k\) ausschließt.

1. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \((k-4)x+(4-k)y=0\), also \((k-4)(x-y)=0\). 2. Für \(k=4\) sind beide Gleichungen identisch; es gibt keine eindeutige Lösung. Für \(k\neq4\) folgt \(x=y\). 3. Setze \(x=y\) in die erste Gleichung ein: \((k+4)x=8\). 4. Für \(k=-4\) entsteht der Widerspruch \(0=8\); daher gibt es keine Lösung. Für \(k\neq-4\) gilt \(x=y=\frac{8}{k+4}\). 5. Die Werte sind positiv genau dann, wenn \(k+4>0\), also \(k>-4\). 6. Zusätzlich muss für Eindeutigkeit \(k\neq4\) gelten. Somit ist \(k\in(-4;4)\cup(4;\infty)\).

Für \(k > -4\) mit Ausnahme von \(k = 4\) (oder: \(k \in (-4; 4) \cup (4; \infty)\)).