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- Führe die angegebene Addition wirklich auf beiden Seiten aus. - Vergleiche nach jeder Rechnung nicht nur die Zahlen, sondern auch die Richtung des Zeichens. - Suche am Ende nach einer Regel, die alle vier Beispiele erklärt.

1. \(12<16\). 2. \(0>-5\). 3. \(-3>-11\). 4. \(-10<-5\). 5. In allen vier Fällen bleibt die Richtung erhalten; Addition derselben Zahl auf beiden Seiten bewahrt die Ordnung.

1) \(12<16\) 2) \(0>-5\) 3) \(-3>-11\) 4) \(-10<-5\) Die Richtung bleibt in allen Fällen unverändert, wenn auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert wird.

- Überlege, ob das Wort „höchstens“ den Grenzwert einschließt oder ausschließt. - Vergleiche die Bedeutungen von \(<\) und \(\le\). - Prüfe die Grenzzahl direkt an der sprachlichen Aussage.

1. „Höchstens \(24\)“ bedeutet, dass \(x\) kleiner als oder gleich \(24\) sein darf. 2. Daher lautet die Ungleichung \(x\le24\). 3. Wegen des Gleichheitszeichens ist \(x=24\) erlaubt.

Die Bedingung lautet \(x\le24\). Genau \(24\) Personen sind erlaubt.

- Welche Zahl wird auf der linken Seite zu \(x\) addiert? - Welche Gegenoperation macht diese Addition rückgängig?

1. Subtrahiere auf beiden Seiten \(4\): \(x<5\).

\(x<5\).

- Gehört der Randwert \(-3\) zur Lösungsmenge? - In welche Richtung setzt sich die Lösungsmenge fort?

1. Der Randwert \(-3\) gehört wegen \(\ge\) zur Lösungsmenge. 2. Gesucht sind alle rationalen Zahlen ab \(-3\). Daher lautet die Lösungsmenge \(L=[-3;\infty[\cap\mathbb{Q}\).

\(L=[-3;\infty[\cap\mathbb{Q}\)

- Was bedeutet „kleiner oder gleich“ für den Grenzwert \(1\)? - Berücksichtige nur Zahlen, die zur angegebenen Grundmenge gehören. - Vergleiche anschließend die vollständige Wertemenge mit allen drei Markierungen.

1. Gesucht sind alle Elemente der Grundmenge, die höchstens \(1\) sind. 2. Das sind \(-3,-2,-1,0,1\). 3. Genau diese Werte sind in Zahlengerade a) markiert.

Richtig ist a). \(L=\{-3;-2;-1;0;1\}\).

- Welchen Wert hat der markierte Randpunkt? - Was bedeutet ein offener Kreis für die Zugehörigkeit des Randwerts? - In welche Richtung setzt sich die markierte Menge fort? - Wie wird eine strenge obere Schranke als Intervall geschrieben?

1. Der Randpunkt liegt bei \(x=2\). 2. Der Kreis am Rand ist offen, daher gehört \(2\) nicht zur Lösungsmenge. 3. Der Pfeil zeigt nach links. Damit gehören alle Zahlen kleiner als \(2\) dazu. 4. Also gilt \(x<2\) beziehungsweise \(L=]-\infty;2[\).

\(x<2\); \(L=]-\infty;2[\)

- Könntest du die Ungleichung so umformen, dass das \(n\) alleine steht? - Was passiert, wenn du alle Teile der Ungleichung mit dem Nenner multiplizierst? - Welche ganzen Zahlen liegen zwischen den berechneten Grenzen?

1. Multiplikation der Ungleichung a) mit 5 ergibt \(10 < n < 15\). Die natürlichen Zahlen in diesem Bereich sind \(n \in \{11, 12, 13, 14\}\). 2. Multiplikation der Ungleichung b) mit 10 ergibt \(5 < n < 8\). Die natürlichen Zahlen in diesem Bereich sind \(n \in \{6, 7\}\).

a) \(n \in \{11, 12, 13, 14\}\) b) \(n \in \{6, 7\}\)

- Führe bei einer Doppelungleichung dieselbe zulässige Rechenoperation an allen drei Teilen aus. - Ziel ist, den mittleren Ausdruck schrittweise auf \(k\) zu reduzieren. - Berücksichtige am Ende nur natürliche Zahlen, die beide Grenzen erfüllen.

1. In der ersten Ungleichung alle drei Teile mit \(7\) multiplizieren: \(7<2k<14\). Nach Division durch \(2\) gilt \(3{,}5<k<7\). Damit ist \(k\in\{4;5;6\}\). 2. In der zweiten Ungleichung alle drei Teile mit \(9\) multiplizieren: \(3\le k+2<6\). Nach Subtraktion von \(2\) gilt \(1\le k<4\). Damit ist \(k\in\{1;2;3\}\).

a) \(k \in \{4;5;6\}\) b) \(k \in \{1;2;3\}\)

- Welche Funktion beschreibt den Energiebedarf von Verfahren B? - Welche Ungleichung drückt „A benötigt weniger als B“ aus? - Welche ganze Probenzahl liegt zuerst oberhalb der rechnerischen Grenze? - Beachte zusätzlich die maximale Ofenbeladung.

1. Für Verfahren B gilt \(E_B(m)=1{,}50m\). Daher sind es bei \(4\) Proben \(6\,\text{kWh}\) und bei \(8\) Proben \(12\,\text{kWh}\). 2. Gesucht ist \(9{,}99<1{,}50m\). Daraus folgt \(m>6{,}66\). Im Bereich \(1\le m\le12\) gilt die Bedingung für die ganzen Probenzahlen \(7\) bis \(12\).

a) \(6\,\text{kWh}\) und \(12\,\text{kWh}\) b) \(9{,}99<1{,}50m\Rightarrow m>6{,}66\); im zulässigen Bereich ab \(7\) Proben

- Welcher Term beschreibt Lenas Geld nach \(m\) Monaten? - „Genug“ bedeutet, dass der Betrag auch genau dem Preis entsprechen darf. - Interpretiere die Dezimallösung am Ende als Anzahl voller Monate.

1. Nach \(m\) Monaten besitzt Lena \(155+25m\) Euro. 2. „Mindestens 540 Euro“ ergibt \(155+25m\ge540\). 3. Daraus folgt \(25m\ge385\) und \(m\ge15{,}4\). 4. Die kleinste ganze Monatszahl ist 16.

Ungleichung: \(155+25m\ge540\). Lösung: \(m\ge15{,}4\). Lena braucht daher mindestens 16 volle Monate.

- Welche Energie fällt einmalig an und welche pro Charge? - Welche Ungleichung beschreibt einen geringeren Gesamtenergiebedarf? - Welche ganze Zahl ist die erste oberhalb der Lösungsgrenze?

1. Power: \(45+25\cdot4=145\,\text{kWh}\). Easy: \(35\cdot4=140\,\text{kWh}\). 2. \(45+25x<35x\) ergibt \(45<10x\), also \(x>4{,}5\). Ab \(5\) ganzen Chargen benötigt Power insgesamt weniger Energie als Easy.

a) Power: \(145\,\text{kWh}\); Easy: \(140\,\text{kWh}\) b) Ab \(5\) Chargen

- Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Versuche zuerst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen. - Gehe bei Ungleichungen genau wie bei Gleichungen vor, beachte aber die Sonderregeln für die Multiplikation und Division mit negativen Werten.

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von \(2x\) und \(12\) auf beiden Seiten ergibt \(3x < -15\). Division durch \(3\) führt zu \(x < -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -5\}\). 2. Teilaufgabe b): Subtraktion von \(x\) und \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(-4x \ge 12\). Division durch \(-4\) unter Umkehrung des Relationszeichens führt zu \(x \le -3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -3\}\).

a) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -5\}\) b) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -3\}\)

- Bringe jeweils alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und die Zahlen auf die andere. - Wann muss sich bei einer Äquivalenzumformung das Ungleichheitszeichen umkehren? - Achte bei der Intervallschreibweise darauf, ob der Randwert zur Lösungsmenge gehört.

1. a) \(4x-9\le2x+5\Rightarrow2x\le14\Rightarrow x\le7\). Also \(L=]-\infty;7]\). 2. b) \(18-3x>33\Rightarrow-3x>15\Rightarrow x<-5\). Beim Dividieren durch \(-3\) kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Also \(L=]-\infty;-5[\). 3. c) \(\frac{2}{3}x+4<2x-2\Rightarrow6<\frac{4}{3}x\Rightarrow x>4{,}5\). Also \(L=]4{,}5;\infty[\).

a) \(]-\infty;7]\) b) \(]-\infty;-5[\) c) \(]4{,}5;\infty[\)

- Welche der drei Seiten ist bei positivem \(k\) die längste? - Was muss für die Summe der beiden kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite gelten? - Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?

Damit ein Dreieck existiert, muss die Summe der zwei kürzeren Seiten größer als die längste Seite sein. 1. \(k + (k+2) > k+4 \Rightarrow 2k + 2 > k+4 \Rightarrow k > 2\) 2. Die anderen Bedingungen (\(k + k+4 > k+2\) und \(k+2 + k+4 > k\)) sind für alle positiven \(k\) erfüllt. Somit muss \(k > 2\) gelten. Für eine ganze Zahl \(k\) ist der kleinste Wert \(k = 3\). Der Umfang berechnet sich als \(U = k + (k+2) + (k+4) = 3k + 6\). Einsetzen von \(k = 3\): \(U = 3 \cdot 3 + 6 = 15\,\text{cm}\).

Es muss \(k > 2\) gelten. Der kleinstmögliche Umfang für eine ganze Zahl \(k\) beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Vereinfache zuerst beide Seiten der Ungleichung. - Welche Terme kannst du anschließend auf dieselbe Seite bringen? - Gehört der Randwert bei \(\le\) zur Lösungsmenge?

1. Vereinfachen ergibt \(3x-2\le2x+11\). 2. Subtraktion von \(2x\) ergibt \(x-2\le11\). 3. Addition von 2 liefert \(x\le13\). 4. In Intervallschreibweise ist \(L=]-\infty;13]\).

\(L=]-\infty;13]\)

- Was muss beim Einsetzen von \(x=5\) herauskommen, damit 5 eine Lösung ist? - Löse die Ungleichung danach schrittweise nach \(x\) auf. - Passt das Ergebnis aus Teil a) zu deiner vollständigen Lösungsmenge?

1. Für \(x=5\) entsteht \(15\ge19\). Diese Aussage ist falsch, also ist 5 keine Lösung. 2. Aus \(5x-10\ge3x+4\) folgt \(2x\ge14\) und damit \(x\ge7\). 3. Daher ist \(L=[7;\infty[\).

a) Nein, \(x=5\) ist keine Lösung. b) \(L=[7;\infty[\)

- Kannst du den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie bringst du alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Ungleichung? - Was musst du tun, um \(x\) allein auf einer Seite stehen zu haben?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). Die Ungleichung lautet nun \(0{,}4x + 0{,}6 > 1{,}8 - 0{,}2x\). 2. Addition von \(0{,}2x\) auf beiden Seiten: \(0{,}6x + 0{,}6 > 1{,}8\). 3. Subtraktion von \(0{,}6\) auf beiden Seiten: \(0{,}6x > 1{,}2\). 4. Division durch \(0{,}6\): \(x > 2\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 2\}\).

\(x > 2\) bzw. \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 2\}\)

- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten der Beziehung die Zahl \(x\) abziehst? - Überlege dir, wie sich positive Zahlen, negative Zahlen und die Null beim Vervielfachen verhalten. - Setze testweise eine positive Zahl, eine negative Zahl und die Null ein.

1. Untersuchung von \(x < 3x\): Subtraktion von \(x\) auf beiden Seiten ergibt \(0 < 2x\). Division durch \(2\) zeigt, dass dies für alle positiven Zahlen \(x > 0\) gilt. 2. Untersuchung von \(x = 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 = 2x\). Dies ist nur für \(x = 0\) erfüllt. 3. Untersuchung von \(x > 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 > 2x\). Dies gilt für alle negativen Zahlen \(x < 0\).

a) \(x<3x\Rightarrow0<2x\Rightarrow x>0\). b) \(x=3x\Rightarrow0=2x\Rightarrow x=0\). c) \(x>3x\Rightarrow0>2x\Rightarrow x<0\).

- Übersetze die Bedingungen „gleich null“, „positiv“ und „kleiner als“ jeweils in eine Gleichung oder Ungleichung. - Löse diese Bedingungen getrennt nach \(x\) auf. - Prüfe im letzten Teil, welche Rechenoperationen mit ganzen Zahlen ausgeführt werden.

1. Aus \(8x-24=0\) folgt \(8x=24\) und damit \(x=3\). 2. Für positive Werte gilt \(8x-24>0\), also \(8x>24\) und damit \(x>3\). 3. Aus \(8x-24<16\) folgt \(8x<40\), also \(x<5\). 4. Für ganzzahliges \(x\) ist \(8x\) ganzzahlig; die Subtraktion der ganzen Zahl \(24\) ergibt wieder eine ganze Zahl.

1. \(x=3\) 2. \(x>3\) 3. \(x<5\) 4. Für ganzzahliges \(x\) ist auch \(8x-24\) ganzzahlig.

- „Positiv“ bedeutet, dass der jeweilige Term größer als \(0\) sein soll. - Isoliere in jeder Ungleichung den Variablenterm. - Beachte die Zeichenumkehr beim Teilen durch eine negative Zahl. - Kontrolliere jede Lösung mit einem passenden Beispielwert.

1. Für a) gilt \(4x-12>0\). Daraus folgen \(4x>12\) und \(x>3\). 2. Für b) gilt \(18-6x>0\). Daraus folgt \(-6x>-18\); Division durch \(-6\) ergibt \(x<3\). 3. Für c) gilt \(-3x-21>0\). Daraus folgt \(-3x>21\); Division durch \(-3\) ergibt \(x<-7\).

a) \(x>3\) b) \(x<3\) c) \(x<-7\)

- Übersetze „kleiner als null“ und „nicht positiv“ zuerst in Relationszeichen. - Isoliere anschließend den Variablenterm. - Beachte, ob du mit einer positiven oder negativen Zahl multiplizierst oder dividierst. - Prüfe, ob der jeweilige Grenzwert zur Lösungsmenge gehört.

1. Für a) gilt \(\frac{1}{4}z+2<0\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(\frac{1}{4}z<-2\); Multiplikation mit \(4\) liefert \(z<-8\). 2. Für b) gilt \(15-3z\leq0\). Daraus folgt \(-3z\leq-15\). Division durch \(-3\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(z\geq5\).

a) \(z<-8\) b) \(z\geq5\)

- Vergleiche jeweils linke Zahl vorher und nachher; ihre Differenz ist die gesuchte Addition. - Prüfe dieselbe Differenz auch auf der rechten Seite. - Die Kontrolle soll zeigen, dass wirklich eine gemeinsame Äquivalenzoperation vorliegt.

1. Addition von 6. 2. Addition von \(-8\). 3. Addition von \(-8\). 4. Addition von \(0{,}5\). 5. Beispiel 1: \(-2+6=4\) und \(5+6=11\); das Zeichen bleibt \(<\).

1) \(+6\) 2) \(-8\) 3) \(-8\) 4) \(+0{,}5\) Beispielkontrolle: \(-2+6=4\) und \(5+6=11\); daher wurde auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert und \(<\) bleibt erhalten.

- Arbeite wirklich nacheinander; Schritt 2 beginnt mit dem Ergebnis aus Schritt 1. - Achte auf das Vorzeichen jedes Multiplikations- oder Divisionsfaktors. - Formuliere am Ende eine Regel, die alle drei Schritte erklärt.

1. \(3<6\). 2. \(21<42\). 3. \(42<84\). 4. Alle verwendeten Multiplikations- und Divisionsfaktoren sind positiv; deshalb bleibt die Ordnungsrichtung erhalten.

1. \(3<6\) 2. \(21<42\) 3. \(42<84\) Die Richtung bleibt gleich, weil in allen drei Schritten mit positiven Zahlen multipliziert oder durch positive Zahlen dividiert wird.

- Was musst du tun, um \(x\) auf einer Seite der Ungleichung alleine stehen zu haben? - Achte darauf, welche Zahlenmenge in der Aufgabe vorgegeben ist. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Zahlen testweise in die Ungleichung einsetzt.

1. Addition von \(2\) auf beiden Seiten ergibt \(3x<12\). 2. Division beider Seiten durch \(3\) ergibt \(x<4\). 3. Die natürlichen Zahlen aus der vorgegebenen Grundmenge mit \(x<4\) sind \(\{1;2;3\}\).

Die Lösungen sind die Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\).

- Prüfe bei jeder Zeile sowohl die Rechnung als auch die Richtung des Relationszeichens. - Welche Regel gilt beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl? - Vergleiche die resultierenden Zahlen zusätzlich auf der Zahlengeraden.

1. Bei a) sind die Produkte \(-20\) und \(-30\). Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl muss sich das Relationszeichen umkehren. Korrekt ist daher \(-20>-30\); die angegebene Umformung ist falsch. 2. Bei b) wurde das Relationszeichen beim Multiplizieren mit \(-0{,}5\) korrekt umgekehrt. Die Umformung \(2<4\) ist richtig. 3. Bei c) wurde das Relationszeichen beim Multiplizieren mit \(-1\) korrekt umgekehrt. Die Umformung \(-5\geq-9\) ist richtig.

a) Falsch. Korrekt ist \(-20>-30\). b) Richtig. c) Richtig.

- Forme jede Ungleichung ähnlich wie eine Gleichung um. - Beachte besonders den Fall, dass du durch eine negative Zahl dividierst. - Löse Klammern oder Brüche erst so weit auf, dass die Variable isoliert werden kann. - Prüfe die Richtung deiner Lösung mit einem Beispielwert.

1. Aus \(4x-11<17\) folgt \(4x<28\), also \(x<7\). 2. Aus \(15-2x\geq21\) folgt \(-2x\geq6\). Division durch \(-2\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x\leq-3\). 3. Aus \(3(x+4)\leq5x+2\) folgt \(3x+12\leq5x+2\), also \(10\leq2x\) und damit \(x\geq5\). 4. Aus \(\frac{x-2}{3}>2\) folgt \(x-2>6\), also \(x>8\).

a) \(x<7\) b) \(x\leq-3\) c) \(x\geq5\) d) \(x>8\)

- Übersetze „denselben Wert“ zunächst in eine Gleichung. - Übersetze „kleiner als“ anschließend in eine Ungleichung mit denselben beiden Termen. - Vergleiche die beiden Umformungswege und achte auf die Art des Ergebnisses.

1. Für gleiche Termwerte gilt \(5x-3=2x+9\). Daraus folgen \(3x=12\) und \(x=4\). 2. Für \(T_1(x)<T_2(x)\) gilt \(5x-3<2x+9\). Daraus folgt \(3x<12\), also \(x<4\).

a) \(x=4\) b) \(x<4\)

- Übersetze „positiv“, „negativ“ und „null“ jeweils in eine Relation zu \(0\). - Der Nenner \(3\) ist positiv; welche Auswirkung hat das auf das Relationszeichen? - Beachte beim späteren Teilen durch den negativen Koeffizienten von \(x\) die Zeichenumkehr.

1. Für positive Werte gilt \(\frac{5-2x}{3}>0\). Multiplikation mit \(3\) und anschließendes Umformen führen zu \(-2x>-5\), also \(x<2{,}5\). 2. Für negative Werte gilt \(\frac{5-2x}{3}<0\). Daraus folgt \(-2x<-5\), also \(x>2{,}5\). 3. Für den Wert null gilt \(\frac{5-2x}{3}=0\). Daraus folgt \(x=2{,}5\).

a) \(x<2{,}5\) b) \(x>2{,}5\) c) \(x=2{,}5\)

- Unterscheide zunächst, ob die angegebene Zahl positiv oder negativ ist. - Bei einer positiven Multiplikation oder Division bleibt die Reihenfolge erhalten. - Bei einer negativen Multiplikation oder Division muss die Reihenfolge neu betrachtet werden. - Prüfe die fertige Aussage jeweils numerisch.

1. Division durch die positive Zahl \(6\) erhält die Richtung: \(3<5\). 2. Division durch die positive Zahl \(4\) erhält die Richtung: \(-3>-5\). 3. Multiplikation mit \(-3\) kehrt die Richtung um: \(-15<6\). 4. Division durch \(-2\) kehrt die Richtung um: \(4>2\).

1) \(3<5\) 2) \(-3>-5\) 3) \(-15<6\) 4) \(4>2\)

- Überlege zuerst, welche Operation in jedem Teil auf beide Seiten angewendet wird. - Addition derselben Zahl verändert die Reihenfolge nicht. - Unterscheide bei Multiplikation und Division zwischen positiven und negativen Faktoren. - Prüfe die Regel mit einem einfachen Zahlenpaar \(x<y\).

1. Addition derselben Zahl erhält die Richtung: \(x+10<y+10\). 2. Multiplikation mit der positiven Zahl \(5\) erhält die Richtung: \(5x<5y\). 3. Multiplikation mit \(-1\) kehrt die Richtung um: \(-x>-y\). 4. Division durch \(-2\) kehrt die Richtung um: \(\frac{x}{-2}>\frac{y}{-2}\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(>\) d) \(>\)

- Ordne bei jeder Bedingung zuerst die kleinere Grenze links und die größere rechts an. - Prüfe für jede Grenze, ob sie selbst zur Lösungsmenge gehört. - Wähle danach die passende offene oder geschlossene Intervallgrenze.

1. Die Bedingungen lauten geordnet: a) \(-3<x<6\), b) \(4<x\leq11\), c) \(-7{,}5<x<-2\), d) \(8{,}4<x<15\). 2. Echte Ungleichungen führen zu offenen Intervallgrenzen; bei \(\leq\) oder \(\geq\) wird der Randwert eingeschlossen. 3. Damit ergeben sich a) \(L=]-3;6[\), b) \(L=]4;11]\), c) \(L=]-7{,}5;-2[\), d) \(L=]8{,}4;15[\).

a) \(L=]-3;6[\) b) \(L=]4;11]\) c) \(L=]-7{,}5;-2[\) d) \(L=]8{,}4;15[\)

- Welches mathematische Zeichenpaar entspricht „strikt zwischen“? - Führe auf allen drei Teilen der Doppelungleichung dieselbe Umformung aus. - Gib zuerst die vollständige rationale Lösungsmenge an. - Wähle erst danach die natürlichen Zahlen aus dem Intervall aus.

1. Die Bedingung lautet \(15<5n-7<35\). 2. Addition von \(7\) auf allen drei Seiten ergibt \(22<5n<42\). 3. Division durch \(5\) ergibt \(\frac{22}{5}<n<\frac{42}{5}\). 4. Über \(\mathbb{Q}\) ist \(L=]\frac{22}{5};\frac{42}{5}[\). 5. Die natürlichen Zahlen darin sind \(5,6,7,8\).

a) \(15<5n-7<35\Rightarrow\frac{22}{5}<n<\frac{42}{5}\) b) \(L=]\frac{22}{5};\frac{42}{5}[\) c) \(5,6,7,8\)

- Übersetze „höchstens“, „nicht negativ“ und „größer als“ jeweils zuerst in ein Relationszeichen. - Forme die entstehenden Ungleichungen wie lineare Gleichungen um. - Beachte die Zeichenumkehr, wenn du durch einen negativen Koeffizienten dividierst. - Prüfe, ob die jeweilige Grenze eingeschlossen ist.

1. „Höchstens \(10\)“ führt zu \(4(x+2)\leq10\). Daraus folgen \(4x+8\leq10\), \(4x\leq2\) und \(x\leq0{,}5\). 2. „Nicht negativ“ führt zu \(15-5x\geq0\). Daraus folgt \(-5x\geq-15\); Division durch \(-5\) ergibt \(x\leq3\). 3. Der Termvergleich ergibt \(5x-8>2x+1\). Daraus folgen \(3x>9\) und \(x>3\).

1) \(x\leq0{,}5\) 2) \(x\leq3\) 3) \(x>3\)

- Achte zuerst darauf, auf welcher Seite des Grenzwerts die markierten Zahlen liegen. - Entscheidend ist zusätzlich, ob der Grenzwert selbst markiert ist. - Vergleiche damit die Bedeutung von strengem und nicht strengem Relationszeichen.

1. Markiert sind \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\). 2. Alle markierten Werte sind höchstens \(3\), und der Grenzwert \(3\) gehört dazu. 3. Deshalb passt B mit \(x\le3\).

B ist richtig: \(x\le3\). Markiert sind nur Werte bis \(3\), und \(3\) selbst ist markiert; deshalb muss die Gleichheit eingeschlossen sein.

- Vergleiche den kleinsten markierten Wert mit der vorgegebenen Grenze. - Prüfe, ob die Grenze selbst zur Lösungsmenge gehört. - Entscheide danach sowohl über die Richtung als auch darüber, ob Gleichheit erlaubt ist.

1. Markiert sind \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\). 2. Die Lösungen liegen also rechts von \(2\), und \(2\) selbst gehört dazu. 3. Daher lautet die passende Bedingung \(x\ge2\).

Das passende Relationszeichen ist \(\ge\), also \(x\ge2\). Die Markierungen liegen bei \(2\) und rechts davon, und \(2\) selbst ist markiert; deshalb gehört die Gleichheit dazu.

- Vergleiche Pavels Vorgehen mit dem Grundgedanken einer beidseitigen Umformung. - Frage dich, welche Veränderung auf der rechten Seite fehlt. - Prüfe nach jeder korrekten Veränderung, ob die Größenbeziehung weiterhin stimmt.

1. Pavels Schritt verändert nur eine Seite. Eine gleichartige Umformung muss auf beiden Seiten mit derselben Zahl ausgeführt werden. 2. Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten von \(9<14\) ergibt \(5<10\). 3. Addition von \(6\) auf beiden Seiten der ursprünglichen Ungleichung ergibt \(15<20\). 4. In beiden korrekt umgeformten Ungleichungen bleibt die wahre Größenbeziehung erhalten.

Pavels Fehler ist die Veränderung nur einer Seite. Korrekt erhält man nach Subtraktion von \(4\) die Ungleichung \(5<10\) und nach Addition von \(6\) die Ungleichung \(15<20\).

- Löse zuerst die Ungleichung unabhängig von den markierten Punkten. - Lies danach die Werte der markierten Punkte ab. - Was bedeutet \(\le\) für die Zugehörigkeit des Randwerts?

1. Aus \(3x+2\le14\) folgt \(3x\le12\) und damit \(x\le4\). 2. Auf der Zahlengeraden liegt \(A\) bei \(-2\), \(B\) bei 4 und \(C\) bei 6. 3. \(A=-2\) und \(B=4\) erfüllen \(x\le4\). Der Randwert 4 gehört wegen \(\le\) zur Lösungsmenge; \(C=6\) nicht. 4. In Intervallschreibweise ist \(L=]-\infty;4]\).

\(x\le4\), also \(L=]-\infty;4]\). Zur Lösungsmenge gehören \(A=-2\) und \(B=4\).

- Lies zuerst die Position des markierten Randwerts ab. - In welche Richtung liegen die Zahlen, die größer als der Randwert sind? - Was bedeutet „echt größer“ für den Randwert?

1. Der markierte Randwert ist \(K=-2{,}5\). 2. Gesucht sind alle Zahlen mit \(x>-2{,}5\). 3. In Intervallschreibweise ist \(L=]-2{,}5;\infty[\). 4. Der Randwert gehört wegen „echt größer“ nicht zur Lösungsmenge.

\(K=-2{,}5\); \(x>-2{,}5\); \(L=]-2{,}5;\infty[\). Der Randwert ist ausgeschlossen.

- Betrachte zunächst jede Bedingung für sich. - Welche Zahlen liegen jeweils auf der erlaubten Seite des Grenzwerts? - Suche anschließend nur nach Werten, die in beiden Teilmengen vorkommen.

1. Aus \(x+2<5\) folgt durch Subtraktion von \(2\) auf beiden Seiten \(x<3\). 2. Gleichzeitig soll \(x\ge3\) gelten. 3. Keine ganze Zahl ist zugleich kleiner als \(3\) und mindestens \(3\). Deshalb ist die gemeinsame Lösungsmenge leer.

Aus \(x+2<5\) folgt \(x<3\). Die zweite Bedingung lautet \(x\ge3\). Da keine ganze Zahl beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, ist die gemeinsame Lösungsmenge \(L=\varnothing\).

- Welche Werte liegen unter den beiden Randmarkierungen? - Was bedeutet ein ausgefüllter Punkt am Rand? - Was bedeutet ein offener Punkt am Rand? - Wie überträgst du diese beiden Informationen in Relationszeichen?

1. Der linke Randwert liegt bei \(-1\), der rechte bei \(4\). 2. Bei \(-1\) ist der Punkt ausgefüllt, daher gehört \(-1\) zur Lösungsmenge. 3. Bei \(4\) ist der Punkt offen, daher gehört \(4\) nicht dazu. 4. Somit gilt \(-1\le x<4\) und \(L=[-1;4[\).

\(-1\le x<4\); \(L=[-1;4[\)

- Suche zuerst den Schnittpunkt der beiden Geraden. - Auf welcher Seite liegt \(f\) unter \(g\)? - Gehört der Schnittpunkt bei einem strengen Ungleichheitszeichen zur Lösungsmenge?

1. Die Geraden schneiden sich bei \(x=2\). 2. Links vom Schnittpunkt liegt der Graph von \(f\) unter dem Graphen von \(g\). Dort gilt \(f(x)<g(x)\). 3. Am Schnittpunkt gilt Gleichheit; wegen des strengen Zeichens \(<\) gehört \(x=2\) nicht dazu. 4. Daher ist \(L=]-\infty;2[\).

\(L=]-\infty;2[\)

- Wo haben beide Geraden denselben Funktionswert? - Auf welcher Seite dieses Punktes liegt \(f\) oberhalb von \(g\)? - Was bedeutet \(\ge\) für den Schnittpunkt?

1. Die beiden Geraden schneiden sich bei \(x=1\). 2. Links von \(x=1\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\); dort gilt \(f(x)>g(x)\). 3. Bei \(x=1\) sind beide Funktionswerte gleich. Wegen \(\ge\) gehört der Randwert dazu. 4. Daher ist \(L=]-\infty;1]\).

\(L=]-\infty;1]\). Der Randwert 1 gehört dazu.

- Löse jede Ungleichung zunächst für sich. - Welche Zahlen erfüllen danach beide Bedingungen gleichzeitig? - Wie werden zwei Bedingungen mathematisch verbunden, wenn beide gelten müssen?

1. Die erste Ungleichung liefert \(x>-1\). 2. Aus \(2x\le6\) folgt \(x\le3\). 3. „Und“ bedeutet, dass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Gesucht ist also die Schnittmenge der beiden Lösungsmengen. 4. Gemeinsam gilt \(-1<x\le3\). Daher ist \(L=]-1;3]\).

\(L=]-1;3]\). „Und“ bedeutet die Schnittmenge der beiden einzelnen Lösungsmengen.

- Löse die Ungleichung zunächst nach \(x\) auf, ohne \(b\) festzulegen. - Welcher Ausdruck bestimmt dann den Randwert der Lösungsmenge? - Mit welchem vorgegebenen Randwert muss dieser Ausdruck übereinstimmen? - Prüfe den gefundenen Wert anschließend in der vollständigen Ungleichung.

1. Aus \(3x+b\le17\) folgt \(3x\le17-b\) und damit \(x\le\frac{17-b}{3}\). 2. Die obere Grenze soll genau 4 sein. Daher gilt \(\frac{17-b}{3}=4\). 3. Daraus folgt \(17-b=12\) und somit \(b=5\). 4. Kontrolle: \(3x+5\le17\Rightarrow3x\le12\Rightarrow x\le4\). Das ergibt \(L=]-\infty;4]\).

\(b=5\)

- Kannst du in eigenen Worten beschreiben, was mit dem Umfang einer Figur gemeint ist? - Wie würdest du den Umfang für das Dreieck und die Raute jeweils als mathematischen Term ausdrücken? - Welches mathematische Symbol nutzt man, um auszudrücken, dass eine Größe "größer als" eine andere ist? - Überlege dir, ob jede beliebige Zahl für \(x\) eingesetzt werden kann. Können Seitenlängen negativ sein? - Gibt es eine Regel, die besagt, wie lang die Seiten eines Dreiecks im Verhältnis zueinander sein müssen, damit man es überhaupt zeichnen kann? - Schau dir die Antwortmöglichkeiten an. Helfen dir die Bedingungen für die Existenz der Figuren dabei, die Auswahl einzuschränken?

1. Umfang des Dreiecks bestimmen: \(U_D = (x + 3) + (x - 1) + 8 = 2x + 10\). 2. Umfang der Raute bestimmen: \(U_R = 4 \cdot x = 4x\). 3. Ungleichung für die Bedingung \(U_D > U_R\) aufstellen: \(2x + 10 > 4x\). 4. Lösung der Ungleichung nach \(x\): \(10 > 2x \implies x < 5\). 5. Prüfung der geometrischen Existenzbedingungen für das Dreieck: Alle Seitenlängen müssen positiv sein (\(x - 1 > 0 \implies x > 1\)) und die Dreiecksungleichung (\(a+b > c\)) muss gelten: \((x + 3) + (x - 1) > 8 \implies 2x + 2 > 8 \implies 2x > 6 \implies x > 3\). 6. Zusammenführung aller Bedingungen (\(x < 5\) und \(x > 3\)): \(3 < x < 5\).

c) \(3 < x < 5\)

- Achte genau darauf, ob das Zeichen „kleiner als“ (\(<\)) oder „kleiner oder gleich“ (\(\le\)) verwendet wird. - Könntest du die Brüche oder Dezimalzahlen zuerst so umwandeln, dass sie den gleichen Nenner wie der mittlere Teil haben? - Wie viele Zahlen passen in das Intervall?

1. Multiplikation der Ungleichung a) mit 12: \(12 \cdot \frac{2}{3} < x \le 12 \cdot \frac{5}{4}\). Dies vereinfacht sich zu \(8 < x \le 15\). Die natürlichen Zahlen sind \(x \in \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\). 2. Multiplikation der Ungleichung b) mit 8: \(8 \cdot 0{,}75 < x < 8 \cdot 1{,}5\). Dies ergibt \(6 < x < 12\). Die natürlichen Zahlen sind \(x \in \{7, 8, 9, 10, 11\}\).

a) \(x \in \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\) b) \(x \in \{7, 8, 9, 10, 11\}\)

- Welche beiden Terme beschreiben den Speicherbedarf? - Wie übersetzt du „A benötigt weniger“ in ein Ungleichheitszeichen? - Welche Bedeutung hat die Grenze \(10\) im Kontext?

1. Bei \(5\) Projekten: A \(12{,}5\,\text{GB}\), B \(7{,}5\,\text{GB}\). Bei \(15\): A \(17{,}5\,\text{GB}\), B \(22{,}5\,\text{GB}\). 2. \(10+0{,}50x<1{,}50x\) führt zu \(x>10\). 3. Bei mehr als \(10\) Projekten benötigt A weniger Speicher.

a) Bei \(5\): A \(12{,}5\,\text{GB}\), B \(7{,}5\,\text{GB}\); bei \(15\): A \(17{,}5\,\text{GB}\), B \(22{,}5\,\text{GB}\) b) \(10+0{,}50x<1{,}50x\Rightarrow x>10\) c) Für mehr als \(10\) Projekte ist A speichersparender.

- Überlege zuerst, wie viel Geld nach dem Kauf des Wassers noch übrig bleibt. - Wie kannst du die Gesamtkosten aus den Kosten für Wasser und Saft zusammensetzen? - Was ist das Ziel: Das Budget darf nicht überschritten werden. Welches Ungleichheitszeichen drückt aus, dass die Kosten höchstens dem Budget entsprechen dürfen?

1. Die Mineralwasserkosten betragen \(12\cdot0{,}75\,\text{€}=9{,}00\,\text{€}\). 2. Das Budget darf nicht überschritten werden. Für die ganzzahlige Flaschenzahl \(x\ge0\) gilt daher \(9+1{,}40x\le30\). 3. Umformen: \(1{,}40x\le21\), also \(x\le15\). 4. Die größte zulässige ganze Zahl ist \(x=15\).

Die Budgetbedingung lautet \(12\cdot0{,}75+1{,}40x\le30\) beziehungsweise \(9+1{,}40x\le30\), wobei \(x\) eine nichtnegative ganze Zahl ist. Die Gruppe kann höchstens \(15\) Flaschen Apfelsaft kaufen.

- Welche Terme beschreiben die beiden Gesamtzeiten? - Welches Ungleichheitszeichen gehört zu „P ist schneller“? - Wie gehst du von der rationalen Lösungsmenge zur ganzzahligen Stückzahl über?

1. Bei \(5\): P \(59\,\text{min}\), S \(50\,\text{min}\). Bei \(10\): P \(94\,\text{min}\), S \(100\,\text{min}\). 2. \(24+7x<10x\) ergibt \(x>8\). 3. Für ganze Bauteilzahlen ist P ab \(9\) Bauteilen schneller.

a) \(5\): P \(59\,\text{min}\), S \(50\,\text{min}\); \(10\): P \(94\,\text{min}\), S \(100\,\text{min}\) b) \(24+7x<10x\Rightarrow x>8\) c) Ab \(9\) Bauteilen

- Welche Terme beschreiben Einnahmen und Gesamtkosten? - Welches Relationszeichen entspricht „mindestens so groß“? - Löse jede Ungleichung vollständig, bevor du auf ganze Waffeln übergehst. - Wie wird eine untere Schranke mit eingeschlossenem Rand als Intervall notiert?

1. Einnahmen sind \(1{,}50x\), Gesamtkosten \(42+0{,}35x\). 2. Für „kein Verlust“ gilt \(1{,}50x\ge42+0{,}35x\). Daraus folgt \(1{,}15x\ge42\) und damit \(x\ge\frac{840}{23}\approx36{,}52\). 3. Über \(\mathbb{Q}\) ist \(L=[\frac{840}{23};\infty[\). Als ganze Stückzahl sind mindestens \(37\) Waffeln nötig. 4. Für mindestens \(120\,\text{€}\) Gewinn gilt \(1{,}50x-(42+0{,}35x)\ge120\). 5. Daraus folgt \(1{,}15x\ge162\) und damit \(x\ge\frac{3240}{23}\approx140{,}87\). 6. Über \(\mathbb{Q}\) ist \(L=[\frac{3240}{23};\infty[\). Als ganze Stückzahl sind mindestens \(141\) Waffeln nötig.

a) \(1{,}50x\ge42+0{,}35x\); \(L=[\frac{840}{23};\infty[\); mindestens \(37\) Waffeln b) \(1{,}50x-(42+0{,}35x)\ge120\); \(L=[\frac{3240}{23};\infty[\); mindestens \(141\) Waffeln

- Stelle zuerst beide Umfangsterme vollständig auf. - Welches Relationszeichen entspricht „Umfang A ist größer“? - Löse die Ungleichung nach \(x\) auf. - Schneide das Ergebnis anschließend mit \(x>0\).

1. Es gilt \(U_A(x)=2x+2(x+6)=4x+12\) und \(U_B(x)=2x+2\cdot3x=8x\). 2. Gesucht ist \(4x+12>8x\). 3. Daraus folgt \(12>4x\) und damit \(x<3\). 4. Zusammen mit \(x>0\) gilt \(0<x<3\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L=]0;3[\).

\(4x+12>8x\); \(L=]0;3[\)

- Welcher Anteil des jährlichen Grundverbrauchs gehört zu einem Monat? - Welche Terme beschreiben den Jahresenergiebedarf? - Welche ganze Auftragszahl liegt als erste im offenen Lösungsintervall?

1. Ein Zwölftel von \(114\) ist \(9{,}5\). Smart: \(9{,}5+0{,}05\cdot80=13{,}5\,\text{kWh}\). Basic: \(0{,}15\cdot80=12\,\text{kWh}\). 2. Jahresvergleich: \(114+0{,}05x<0{,}15x\). Daraus folgt \(x>1140\), also \(L=]1140;\infty[\). Kleinste ganze Auftragszahl ist \(1141\).

a) Smart: \(13{,}5\,\text{kWh}\); Basic: \(12\,\text{kWh}\) b) \(114+0{,}05x<0{,}15x\); \(L=]1140;\infty[\); ab \(1141\) Aufträgen

- Welche Restmenge fällt bei A unabhängig von der Chargenzahl an? - Welche Ungleichung beschreibt „A erzeugt weniger“? - Ist die Grenze selbst wegen des strengen Zeichens enthalten?

1. Bei \(40\) Chargen: A \(15+0{,}20\cdot40=23\,\text{kg}\), B \(0{,}45\cdot40=18\,\text{kg}\). 2. \(15+0{,}20x<0{,}45x\) ergibt \(x>60\). Also \(L=]60;\infty[\).

a) A: \(23\,\text{kg}\); B: \(18\,\text{kg}\) b) \(15+0{,}20x<0{,}45x\); \(L=]60;\infty[\)

- Bestimme zunächst die Stellen, an denen der Graph von \(f\) die beiden Randgeraden schneidet. - Nutze anschließend die positive Steigung von \(f\), um zu entscheiden, für welche \(x\)-Werte die Funktionswerte zwischen den beiden Grenzen liegen. - Prüfe, ob die Randpunkte selbst zum inneren Bereich gehören.

1. Bestimmung des \(x\)-Wertes für die obere Grenze (\(y = 2\)): Setze \(f(x) = 2\). \(0{,}5x - 1 = 2\) \(0{,}5x = 3\) \(x = 6\) 2. Bestimmung des \(x\)-Wertes für die untere Grenze (\(y = -3\)): Setze \(f(x) = -3\). \(0{,}5x - 1 = -3\) \(0{,}5x = -2\) \(x = -4\) 3. Da die Funktion \(f\) eine positive Steigung hat, steigen die \(y\)-Werte mit wachsendem \(x\). Die \(y\)-Werte liegen also zwischen \(-3\) und \(2\), wenn die \(x\)-Werte zwischen \(-4\) und \(6\) liegen.

Die Punkte des Graphen von \(f\) liegen für alle \(x\)-Werte im Bereich \(-4 < x < 6\) innerhalb des Streifens.

- Welches mathematische Zeichen drückt die Bedingung „oberhalb“ aus? - Setze die bekannte Koordinate in die Ungleichung ein. - Denk beim Lösen von Ungleichungen daran, was passiert, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst.

1. Aufstellen der Ungleichung für „oberhalb“: \(y_S > -2x_S + 6\). 2. Einsetzen des gegebenen \(y\)-Werts: \(10 > -2x + 6\). 3. Subtraktion von 6 auf beiden Seiten: \(4 > -2x\). 4. Division durch \(-2\) (Umkehrung des Relationszeichens beachten): \(-2 < x\) bzw. \(x > -2\).

Der Punkt \(S\) liegt oberhalb der Geraden, wenn \(x > -2\) ist.

- Was bedeutet „senkrecht oberhalb“ für die x-Koordinate des Punktes im Vergleich zum Punkt auf der Geraden? - Wie kannst du die Entfernung zwischen einem Punkt auf der Geraden und einem Punkt darüber berechnen? - Stelle für den zweiten Teil eine Ungleichung auf, die die Bedingung „unterhalb“ beschreibt.

1. Teil a: Berechnung des \(y\)-Werts der Geraden an der Stelle \(x = 6\): \(y_f = \frac{2}{3} \cdot 6 - 1 = 4 - 1 = 3\). 2. Da \(A\) genau 4 Einheiten darüber liegt, addiere 4 zum Ergebnis: \(y_A = 3 + 4 = 7\). 3. Teil b: Aufstellen der Ungleichung für „unterhalb“: \(y_B < \frac{2}{3}x_B - 1\). 4. Einsetzen von \(y_B = 3\): \(3 < \frac{2}{3}x_B - 1\). 5. Addition von 1: \(4 < \frac{2}{3}x_B\). 6. Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\): \(6 < x_B\). Die Bedingung lautet \(x_B > 6\).

a) \(y_A = 7\) b) Es muss gelten: \(x_B > 6\).

- Vereinfache zuerst beide Seiten der Ungleichung. - Welche Rechenoperation bringt alle Terme mit \(x\) auf eine Seite? - Beachte am Ende sowohl die offene Intervallgrenze als auch die Grundmenge \(\mathbb{Q}\).

1. Auflösen der Klammer ergibt \(\frac{3}{4}x-2>\frac{1}{2}x+2\). 2. Nach Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) und Addition von 2 gilt \(\frac{1}{4}x>4\). 3. Multiplikation mit 4 liefert \(x>16\). 4. Mit der Grundmenge \(\mathbb{Q}\) ist die Lösungsmenge \(]16;\infty[\cap\mathbb{Q}\).

\(L=]16;\infty[\cap\mathbb{Q}\)

- Bei verschachtelten Klammern ist es oft am sichersten, von innen nach außen zu arbeiten. - Was ändert sich an den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Fasse auf jeder Seite der Ungleichung so weit wie möglich zusammen, bevor du Terme von einer Seite auf die andere verschiebst.

1. Auflösen der inneren Klammer: \(2 - [3x - x - 5] \le 8 - 4x + 1\). 2. Zusammenfassen in der eckigen Klammer: \(2 - [2x - 5] \le 9 - 4x\). 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen beachten): \(2 - 2x + 5 \le 9 - 4x\), vereinfacht \(7 - 2x \le 9 - 4x\). 4. Addition von \(4x\) und Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(2x \le 2\). 5. Division durch \(2\): \(x \le 1\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 1\}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 1\}\)

- Wie lautet der Umfang mit Breite \(2h\)? - Welches Relationszeichen beschreibt „höchstens so viel Material wie vorhanden“? - Löse die Ungleichung, bevor du auf ganze Zentimeter übergehst. - Welche zusätzliche Bedingung gilt für eine Länge?

1. Die Breite ist \(2h\), also beträgt der Umfang \(2(h+2h)=6h\). 2. Der Stab ist \(500\,\text{cm}\) lang. Daher gilt \(6h\le500\). 3. Daraus folgt \(h\le\frac{250}{3}\approx83{,}33\). 4. Mit \(h>0\) ist die rationale Lösungsmenge \(L=]0;\frac{250}{3}]\). 5. Die größtmögliche ganzzahlige Höhe ist \(83\,\text{cm}\).

\(6h\le500\); \(L=]0;\frac{250}{3}]\); größtmögliche ganzzahlige Höhe: \(83\,\text{cm}\)

- Wie viele Kanten der Länge \(a\) und wie viele Seitenkanten besitzt das Prisma? - Wie drückst du die Seitenkante durch \(a\) aus? - Welches Relationszeichen beschreibt den begrenzten Drahtvorrat? - Löse zuerst über \(\mathbb{Q}\) und wähle erst danach die ganzen Werte aus.

1. Das Prisma besitzt sechs Kanten der Länge \(a\) und drei Seitenkanten der Länge \(a+10\). 2. Die Gesamtlänge ist \(L(a)=6a+3(a+10)=9a+30\). 3. Die Materialbedingung lautet \(9a+30\le120\). 4. Daraus folgt \(9a\le90\) und damit \(a\le10\). 5. Mit \(a>0\) ist \(L=]0;10]\). Ganzzahlig sind \(a=1,2,\dots,10\) möglich.

\(9a+30\le120\); \(L=]0;10]\); ganzzahlig \(a\in\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}\)

- Wie groß ist der Umfang der quadratischen Grundfläche? - Übersetze „höchstens“ und „mindestens“ jeweils in ein Relationszeichen. - Löse beide Ungleichungen getrennt nach \(x\) auf. - Welche Werte erfüllen danach beide Bedingungen gleichzeitig?

1. Der Umfang der Grundfläche ist \(4x\), die Länge ist \(3x\). 2. Aus der Größenbedingung folgt \(3x+4x\le360\), also \(7x\le360\) und damit \(x\le\frac{360}{7}\). 3. Aus der Mindestlänge folgt \(3x\ge120\), also \(x\ge40\). 4. Beide Bedingungen zusammen ergeben \(L=[40;\frac{360}{7}]\). 5. Ganzzahlig sind \(40,41,\dots,51\) möglich.

\(7x\le360\) und \(3x\ge120\); \(L=[40;\frac{360}{7}]\); ganzzahlig \(x=40,41,\dots,51\)

- Welche Zeit ist jeweils ein fester Startaufwand? - Welches Programm muss links stehen, wenn P schneller sein soll? - Welche erste ganze Zahl liegt oberhalb von \(125\)?

1. S: \(4{,}95+0{,}12\cdot80=14{,}55\,\text{min}\). P: \(9{,}95+0{,}08\cdot80=16{,}35\,\text{min}\). 2. \(9{,}95+0{,}08x<4{,}95+0{,}12x\) ergibt \(x>125\). Also \(L=]125;\infty[\). Kleinste ganze Bildzahl: \(126\).

a) S: \(14{,}55\,\text{min}\); P: \(16{,}35\,\text{min}\) b) \(L=]125;\infty[\); kleinste ganze Bildzahl \(126\)

- Löse beide Ungleichungen getrennt nach \(x\) auf. - Welche Regel gilt beim Teilen durch eine negative Zahl? - Vergleiche anschließend die beiden Intervalle.

1. \(6x+12\le36\Rightarrow6x\le24\Rightarrow x\le4\). Damit ist \(L_1=]-\infty;4]\). 2. \(-3x\ge-12\). Beim Dividieren durch \(-3\) kehrt sich das Zeichen um, also \(x\le4\). Damit ist \(L_2=]-\infty;4]\). 3. Weil \(L_1=L_2\), besitzen beide Ungleichungen dieselbe Lösungsmenge.

Ja. Für beide gilt \(L=]-\infty;4]\).

- Welcher Term gehört zu jedem Bearbeitungsverfahren? - Welches Ungleichheitszeichen beschreibt „benötigt weniger Zeit“? - Was bedeutet die Grenze \(60\) für die Stückzahl?

1. Gesucht ist \(25+0{,}30x<10+0{,}55x\). 2. Daraus folgt \(15<0{,}25x\), also \(x>60\). 3. Bei mehr als \(60\) Bauteilen ist Basis schneller.

\(25+0{,}30x<10+0{,}55x\Rightarrow x>60\). Basis ist bei mehr als \(60\) Bauteilen schneller.

- Welche Gesamtzeit hat Verfahren A bei \(x\) Bauteilen? - Warum ist die Kammerzeit von B im angegebenen Bereich konstant? - Welche Ungleichung beschreibt „B ist schneller“? - Schneide die rechnerische Lösungsmenge anschließend mit dem zulässigen Bereich \(1\le x\le10\).

1. Für Teil a gilt \(18{,}50<7{,}50+2x\). Daraus folgt \(x>5{,}5\). Im Bereich \(1\le x\le10\) ist die kleinste ganze Lösung \(x=6\). 2. Nach der Optimierung gilt \(18{,}50<7{,}50+1{,}50x\). Daraus folgt \(x>\frac{22}{3}\). Im Bereich \(1\le x\le10\) ist die kleinste ganze Lösung \(x=8\).

a) \(x>5{,}5\) innerhalb \(1\le x\le10\); ab \(6\) Bauteilen b) \(x>\frac{22}{3}\) innerhalb \(1\le x\le10\); ab \(8\) Bauteilen

- Stelle zuerst eine Ungleichung auf, die den Vergleich der beiden Terme beschreibt. - Versuche, alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Wie gehst du mit dem Bruch oder der Dezimalzahl vor dem \(x\) am besten um?

1. Aufstellen der Ungleichung: \(\frac{1}{2}x + 4 > 2x - 5\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) auf beiden Seiten ergibt \(4 > 1{,}5x - 5\). 3. Isolieren von \(x\): Addition von 5 ergibt \(9 > 1{,}5x\). 4. Division durch \(1{,}5\): \(6 > x\) bzw. \(x < 6\). 5. Resultat: Die Lösungsmenge umfasst alle rationalen Zahlen kleiner als 6, also \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < 6\}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < 6\}\)

- Vereinfache beide Seiten der Ungleichung so weit wie möglich, bevor du nach \(x\) auflöst. - Was bedeutet es für die Lösung, wenn die Variable \(x\) während der Rechnung vollständig verschwindet? - Überlege, ob die verbleibende mathematische Aussage (ohne \(x\)) immer wahr oder immer falsch ist.

1. Teilaufgabe a): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(6x - 8 < 6x - 5\). Subtraktion von \(6x\) führt zur Aussage \(-8 < -5\). Da diese Aussage für alle \(x\) wahr ist, ist die Lösungsmenge der gesamte Grundbereich: \(L = \mathbb{Q}\). 2. Teilaufgabe b): Auflösen der Klammer ergibt \(4 - x - 5 \ge 10 - x\), vereinfacht \(-1 - x \ge 10 - x\). Addition von \(x\) führt zur Aussage \(-1 \ge 10\). Da dies eine falsche Aussage ist, gibt es kein \(x\), das die Ungleichung erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

a) \(L = \mathbb{Q}\) b) \(L = \emptyset\) (leere Menge)

- Für ein Dreieck muss die Summe je zweier Seiten größer als die dritte Seite sein. - Stelle alle drei Bedingungen auf und löse sie getrennt nach \(x\). - Berücksichtige außerdem, dass Seitenlängen positiv sein müssen. - Schneide anschließend alle gefundenen Bereiche miteinander.

1. Die Dreiecksungleichungen liefern \(x+12>3x-2\), also \(x<7\). 2. Aus \(x+(3x-2)>12\) folgt \(4x>14\), also \(x>3{,}5\). 3. Die dritte Dreiecksungleichung liefert nur die schwächere Bedingung \(x>-5\); positive Seitenlängen sind im Bereich \(x>3{,}5\) bereits gesichert. 4. Insgesamt gilt \(3{,}5<x<7\). 5. Die kleinste ganze Zahl in diesem Bereich ist \(4\).

Es gilt \(3{,}5<x<7\). Die kleinste mögliche ganze Zahl ist \(4\).

- Welcher Term beschreibt die verbleibende Kerzenlänge nach \(h\) Stunden? - Welches Relationszeichen entspricht „kürzer als“? - Was passiert mit dem Relationszeichen beim Teilen durch eine negative Zahl? - Welche zusätzliche obere Grenze ergibt sich aus \(L(h)=0\)?

1. Die Längenfunktion lautet \(L(h)=25-1{,}2h\). 2. Für eine Länge unter \(10\,\text{cm}\) gilt \(25-1{,}2h<10\). 3. Daraus folgt \(-1{,}2h<-15\). Division durch \(-1{,}2\) kehrt das Relationszeichen um: \(h>12{,}5\). 4. Vollständig abgebrannt ist die Kerze bei \(25-1{,}2h=0\), also bei \(h=\frac{125}{6}\). 5. Im sinnvollen Zeitraum ist die Lösungsmenge \(L=]12{,}5;\frac{125}{6}]\).

a) \(L(h)=25-1{,}2h\) b) \(25-1{,}2h<10\Rightarrow h>12{,}5\) c) \(L=]12{,}5;\frac{125}{6}]\)

- Wie kannst du die Brüche loswerden, indem du die gesamte Ungleichung mit einer geschickt gewählten Zahl multiplizierst? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruchstrich. Was bedeutet das für die Terme im Zähler? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du mit einer positiven Zahl multiplizierst?

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem Hauptnenner \(6\), um die Nenner zu eliminieren: \(2(2x+1) - 3(x-2) \le 12\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4x + 2 - 3x + 6 \le 12\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(x + 8 \le 12\). 4. Subtraktion von \(8\) auf beiden Seiten: \(x \le 4\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 4\}\).

\(x \le 4\) bzw. \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 4\}\)

- Übersetze „positiv“ zuerst in eine Ungleichung mit \(0\). - Isoliere anschließend den Variablenterm. - Welche Besonderheit gilt beim Teilen einer Ungleichung durch eine negative Zahl? - Prüfe die gefundene Seite der Grenze mit einem Beispielwert.

1. Für einen positiven Termwert gilt \(-4x-12>0\). 2. Addition von \(12\) ergibt \(-4x>12\). 3. Division durch \(-4\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(x<-3\). 4. Die Zeichenumkehr ist notwendig, weil Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl die Ordnung umkehrt.

Der Term ist für alle \(x<-3\) positiv. Das Relationszeichen kehrt sich beim Teilen durch \(-4\) um.

- Übersetze die sprachlichen Bedingungen zunächst in mathematische Relationen. - Beachte die Regel für das Relationszeichen beim Teilen durch einen negativen Koeffizienten. - Vergleiche für den letzten Teil den Koeffizienten vor \(x\) mit der Änderungsrichtung des Terms.

1. Aus \(15-3x<0\) folgt \(-3x<-15\). Division durch \(-3\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x>5\). 2. Aus \(15-3x>21\) folgt \(-3x>6\), also nach Division durch \(-3\) die Bedingung \(x<-2\). 3. Aus \(15-3x=-3\) folgt \(-3x=-18\) und damit \(x=6\). 4. Wegen des negativen Koeffizienten \(-3\) nimmt der Termwert ab, wenn \(x\) größer wird.

1. \(x>5\) 2. \(x<-2\) 3. \(x=6\) 4. Der Termwert wird mit wachsendem \(x\) kleiner.

- Stelle zuerst einen Term für den Ladezustand nach \(t\) Stunden auf. - Übersetze „geringer als“ in eine Ungleichung. - Beachte beim Teilen durch den negativen Koeffizienten die Richtung des Relationszeichens. - Bestimme zusätzlich die physikalisch sinnvolle obere Zeitgrenze.

1. Der Ladezustand nach \(t\) Stunden wird durch \(80-12t\) beschrieben. 2. Für einen Ladezustand unter \(20\,\%\) gilt \(80-12t<20\). 3. Umformen ergibt \(-12t<-60\). Division durch \(-12\) kehrt das Relationszeichen um und liefert \(t>5\). 4. Vollständig entladen ist der Akku bei \(80-12t=0\), also bei \(t=\frac{20}{3}\approx6{,}67\). 5. Im sinnvollen Zeitraum gilt daher \(5<t\leq\frac{20}{3}\).

Eine passende Ungleichung ist \(80-12t<20\). Unter Berücksichtigung der vollständigen Entladung gilt \(5<t\leq\frac{20}{3}\) Stunden.

- Führe auf beiden Seiten jeder Ungleichung dieselben zulässigen Umformungen aus. - Überlege dir, welche ganzen Zahlen jeweils in den Bereich fallen. - Gibt es eine Zahl, die in beiden Bereichen vorkommt?

1. Für (I) ergibt die Subtraktion von \(5\): \(x<-3\). Die Lösungsmenge ist \(\{x\in\mathbb{Z}\mid x<-3\}\), also beispielsweise \(\{\dots;-6;-5;-4\}\). 2. Für (II) ergibt die Addition von \(1\): \(x>-5\). Die Lösungsmenge ist \(\{x\in\mathbb{Z}\mid x>-5\}\), also \(\{-4;-3;-2;\dots\}\). 3. Die einzige ganze Zahl, die zugleich kleiner als \(-3\) und größer als \(-5\) ist, ist \(-4\).

Ja, die Zahl \(-4\) erfüllt beide Ungleichungen. Die erste Ungleichung ergibt \(x<-3\), die zweite \(x>-5\).

- Beseitige die Brüche mit einem positiven gemeinsamen Nenner. - Achte beim Auflösen auf das Minus vor dem zweiten Bruchterm. - Beachte die Zeichenumkehr, falls du am Ende mit \(-1\) multiplizierst. - Nutze die gefundene Lösungsmenge anschließend für die ganzzahlige Zusatzfrage.

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem positiven Hauptnenner \(12\) ergibt \(3(x+1)-4(x-2)\geq6\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert \(-x+11\geq6\). 3. Daraus folgt \(-x\geq-5\). Multiplikation mit \(-1\) kehrt das Relationszeichen um und ergibt \(x\leq5\). 4. Die größte ganze Zahl in dieser Lösungsmenge ist \(5\).

a) \(x\leq5\) b) Die größte ganze Zahl ist \(5\).

- Wie kannst du die Brüche in der Ungleichung auf einen Schlag beseitigen? - Was musst du beim Zusammenfassen von Termen auf beiden Seiten beachten? - Wie gehst du vor, um zu testen, ob eine bestimmte Zahl eine Bedingung erfüllt? - Warum bleibt das Relationszeichen beim Multiplizieren mit dem positiven Hauptnenner unverändert?

1. Multiplikation der gesamten Ungleichung mit dem Hauptnenner 10, um die Brüche zu eliminieren: \(2(2x - 3) \le 5(x + 2) - 10\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten: \(4x - 6 \le 5x + 10 - 10\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(4x - 6 \le 5x\). 4. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(4x\): \(-6 \le x\) bzw. \(x \ge -6\). Damit ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -6\}\). 5. Prüfung für \(x = 0\): Einsetzen in die ursprüngliche Ungleichung ergibt \(\frac{2 \cdot 0 - 3}{5} = -0{,}6\) auf der linken Seite und \(\frac{0 + 2}{2} - 1 = 0\) auf der rechten Seite. Da \(-0{,}6 \le 0\) eine wahre Aussage ist, gehört \(x = 0\) zur Lösungsmenge.

a) \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -6\}\) b) Ja, \(x = 0\) ist eine Lösung, da \(-0{,}6 \le 0\) wahr ist.

- Wie kannst du die Klammerausdrücke in den Termen vereinfachen, bevor du sie vergleichst? - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Terme gegenüberstellst? - Achte genau auf das Zeichen: Soll der eine Term kleiner oder „kleiner gleich“ dem anderen sein? - Wenn du eine Lösung wie \(x > a\) hast, welche ganze Zahl folgt als Nächstes auf \(a\)?

1. Aufstellen der Ungleichung \(T_1(x) < T_2(x)\): \((x + 4)^2 < x(x + 10) - 2\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \(T_1\): \(x^2 + 8x + 16\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes auf \(T_2\): \(x^2 + 10x - 2\). 4. Vereinfachen der Ungleichung durch Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten: \(8x + 16 < 10x - 2\). 5. Umformen der linearen Ungleichung: Subtraktion von \(8x\) und Addition von 2 ergibt \(18 < 2x\). 6. Division durch 2 führt zu \(9 < x\) bzw. \(x > 9\). 7. Bestimmung der kleinsten ganzen Zahl: Da \(x\) echt größer als 9 sein muss, ist die kleinste ganze Zahl \(10\).

a) \(x > 9\) b) Die kleinste ganze Zahl ist \(10\).

- Wie kannst du Brüche in einer Ungleichung eliminieren, bevor du mit dem Umstellen beginnst? - Was musst du beim Auflösen von Klammern beachten, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Denke daran, was mit dem Relationszeichen passiert, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst. - Versuche alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen.

1. Multiplikation der Ungleichung mit dem Hauptnenner \(8\): \(2(x-3) - 4(x+1) \leq x\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(2x - 6 - 4x - 4 \leq x\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(-2x - 10 \leq x\). 4. Addition von \(2x\) auf beiden Seiten: \(-10 \leq 3x\). 5. Division durch \(3\): \(x \geq -\frac{10}{3}\). Die Lösungsmenge ist \(L_1 = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq -\frac{10}{3}\}\). 6. Ausmultiplizieren der Klammer in der zweiten Ungleichung: \(7 - 6x + 2 > 5x + 20\). 7. Zusammenfassen: \(9 - 6x > 5x + 20\). 8. Subtraktion von \(5x\) und \(9\): \(-11x > 11\). 9. Division durch \(-11\) (Umkehrung des Relationszeichens): \(x < -1\). Die Lösungsmenge ist \(L_2 = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -1\}\).

1) \(x \geq -\frac{10}{3}\) 2) \(x < -1\)

- Löse zunächst jede Ungleichung für sich allein. - Was bedeutet das Wort „und“ für die beiden gefundenen Lösungsmengen? - Hilft es dir, die Lösungen der einzelnen Ungleichungen auf einem Zahlenstrahl zu markieren? - Gibt es einen Bereich, in dem beide Bedingungen gleichzeitig wahr sind?

1. Lösung der ersten Ungleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(6 - 2(2x-5) \le 3(3x+1)\). 2. Klammern auflösen: \(6 - 4x + 10 \le 9x + 3\), also \(16 - 4x \le 9x + 3\). 3. Terme ordnen: \(13 \le 13x\), woraus \(x \ge 1\) folgt. 4. Lösung der zweiten Ungleichung: Klammer auflösen ergibt \(6x - 2 > 5x - 4\). 5. Terme ordnen: \(x > -2\). 6. Bestimmung der Schnittmenge: Die Bedingungen \(x \ge 1\) und \(x > -2\) sind gleichzeitig erfüllt, wenn \(x \ge 1\) gilt.

\(x \ge 1\)

- Betrachte jede Ungleichung zuerst einzeln und löse sie nach \(x\) auf. - Achte darauf, wie sich der Bereich der möglichen Werte einschränkt, wenn beide Bedingungen gleichzeitig gelten müssen. - Erinnere dich daran, was eine „ganze Zahl“ ist, bevor du die endgültige Menge angibst.

1. Erste Ungleichung lösen: \(5x - 3 > 2x + 6 \implies 3x > 9 \implies x > 3\). 2. Zweite Ungleichung lösen: \(\frac{2x+8}{4} \leq 5 \implies 2x + 8 \leq 20 \implies 2x \leq 12 \implies x \leq 6\). 3. Schnittmenge bilden: Das System ist für alle \(x\) mit \(3 < x \leq 6\) erfüllt. 4. Ganze Zahlen im Intervall finden: Die ganzzahligen Lösungen sind \(4\), \(5\) und \(6\).

\(x \in \{4; 5; 6\}\)

- Wie kannst du Brüche in einer Ungleichung eliminieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was musst du beim Auflösen von Klammern beachten, vor denen ein Minuszeichen steht? - Denke daran, dass eine Zahl nur dann Lösung des Systems ist, wenn sie beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt. - Es kann helfen, die Teillösungen beider Ungleichungen auf einem Zahlenstrahl zu markieren und nach Überlappungen zu suchen.

1. Lösen der ersten Ungleichung: Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner 6 erhält man \(2(2x+1) - (x-2) \le 12\). Vereinfachen ergibt \(4x + 2 - x + 2 \le 12\), also \(3x + 4 \le 12\). Daraus folgt \(3x \le 8\) und somit \(x \le \frac{8}{3}\) (bzw. \(x \le 2\frac{2}{3}\)). 2. Lösen der zweiten Ungleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(4 - 3x - 3 < 2x + 11\), vereinfacht zu \(1 - 3x < 2x + 11\). Durch Umformen erhält man \(-10 < 5x\), woraus \(x > -2\) folgt. 3. Bestimmen der Schnittmenge: Die Kombination beider Bedingungen ergibt das Intervall \(-2 < x \le \frac{8}{3}\).

\(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid -2 < x \le \frac{8}{3}\}\)

- Löse beide Ungleichungen zunächst getrennt nach \(x\) auf. - Vergleiche anschließend die beiden Teil-Lösungsmengen. - Können beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein, wenn die obere Grenze der einen Bedingung unter der unteren Grenze der anderen liegt?

1. Aus I folgt nach Multiplikation mit 2: \(10-(x+2)<2\), also \(8-x<2\) und damit \(x>6\). 2. Aus II folgt nach Multiplikation mit 2: \(4(x-3)\le x+4\), also \(4x-12\le x+4\), \(3x\le16\) und damit \(x\le\frac{16}{3}\). 3. Gleichzeitig müsste \(x>6\) und \(x\le\frac{16}{3}\) gelten. Da \(\frac{16}{3}<6\), gibt es keine solche rationale Zahl. 4. Daher ist \(L=\emptyset\).

\(L=\emptyset\)

- Welche Zahl im linearen Term verändert sich mit der Nutzung, welche bleibt unabhängig von \(x\)? - Formuliere „günstiger“ als Vergleich der beiden Kostenfunktionen. - Beachte beim Lösen der Ungleichung, dass beide Seiten dieselbe Einheit beschreiben.

1. Für „DataFlex“ gilt \(m_F=0{,}05\) und \(b_F=10\); für „DataStart“ gilt \(m_S=0{,}08\) und \(b_S=5\). Der Parameter \(m\) beschreibt die zusätzlichen Kosten pro Gigabyte, \(b\) die monatliche Grundgebühr. 2. Gesucht ist \(K_F(x)<K_S(x)\). Daher gilt \(0{,}05x+10<0{,}08x+5\). 3. Umformen ergibt \(5<0{,}03x\), also \(x>\frac{500}{3}\). 4. „DataFlex“ ist damit genau für \(x>\frac{500}{3}\,\text{GB}\) günstiger.

1. „DataFlex“: \(m=0{,}05\,\text{€/GB}\), \(b=10\,\text{€}\); „DataStart“: \(m=0{,}08\,\text{€/GB}\), \(b=5\,\text{€}\). \(m\) ist der Preis pro zusätzlichem GB, \(b\) die Grundgebühr. 2. „DataFlex“ ist für \(x>\frac{500}{3}\,\text{GB}\) günstiger.

- Lies zunächst für jede Zahlengerade unabhängig die markierten Werte ab. - Prüfe an jeder vorgegebenen Grenzzahl, ob sie selbst markiert ist und auf welcher Seite die übrigen Markierungen liegen. - „Beide Bedingungen gleichzeitig“ bedeutet, dass ein Wert in beiden Lösungsmengen vorkommen muss. - Achte bei der Doppelungleichung darauf, welche der beiden Grenzzahlen enthalten ist.

1. Auf Zahlengerade a) sind genau die Werte rechts von \(-3\) markiert; \(-3\) selbst ist nicht markiert. Daher lautet die Bedingung \(x>-3\). 2. Auf Zahlengerade b) sind die Werte bis einschließlich \(1\) markiert. Daher lautet die Bedingung \(x\le1\). 3. In beiden Lösungsmengen liegen \(-2\), \(-1\), \(0\) und \(1\). 4. Die gemeinsame Bedingung kann als \(-3<x\le1\) geschrieben werden.

a) \(x>-3\) b) \(x\le1\) Gemeinsam gilt \(L=\{-2;-1;0;1\}\), also \(-3<x\le1\).

- Bestimme aus der Darstellung zuerst den kleinsten enthaltenen und den ersten oberen nicht enthaltenen Wert. - Die vorgegebenen Formen legen fest, ob die jeweilige Grenze enthalten sein soll. - Verändere in Teil b) nur die untere Grenze und prüfe, welcher neue Wert der Grundmenge dadurch zugelassen wird.

1. Markiert sind \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\). Der kleinste markierte Wert \(0\) ist enthalten, daher passt als untere Bedingung \(x\ge0\). 2. Der nächste nicht markierte Wert oberhalb der Lösung ist \(4\). Da \(4\) ausgeschlossen ist, passt als obere Bedingung \(x<4\). 3. Wird die untere Grenze um eine Einheit nach links verschoben, lautet sie \(x\ge-1\). 4. Bei unveränderter Obergrenze \(x<4\) kommt dadurch zusätzlich \(-1\) zur gemeinsamen Lösungsmenge hinzu.

a) Eine passende Beschreibung ist \(x\ge0\) und \(x<4\). b) Zusätzlich gehört \(-1\) zur Lösungsmenge.

- Bis zu welchem Schritt ist Nikos Umformung noch korrekt? - Welche Regel gilt beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl? - Welcher einfache Wert kann die beiden vorgeschlagenen Lösungsbereiche unterscheiden?

1. Aus \(-4x+7\le19\) folgt korrekt \(-4x\le12\). 2. Beim Dividieren durch \(-4\) muss sich das Ungleichheitszeichen umkehren. Daher gilt \(x\ge-3\). 3. Zum Beispiel erfüllt \(x=0\) die ursprüngliche Ungleichung, denn \(7\le19\). Nikos Ergebnis würde 0 ausschließen. 4. Die richtige Lösungsmenge ist \(L=[-3;\infty[\).

Der Fehler liegt beim Dividieren durch \(-4\). Richtig ist \(x\ge-3\), also \(L=[-3;\infty[\). Der Wert \(x=0\) widerlegt Nikos Ergebnis.

- Suche zuerst den Schnittpunkt der beiden Geraden. - Auf welcher Seite des Schnittpunkts liegt der Graph von \(f\) unter dem von \(g\)? - Schließt \(\le\) den Gleichheitsfall ein? - Vergleiche anschließend dein graphisches Ergebnis mit der algebraischen Lösung.

1. Die Geraden schneiden sich bei \(x=2\). Links davon liegt der Graph von \(f\) unter dem von \(g\); am Schnittpunkt sind beide Werte gleich. Daher gilt graphisch \(x\le2\). 2. Der Randwert 2 gehört wegen des Zeichens \(\le\) zur Lösungsmenge. 3. Rechnerisch ergibt \(2x-1\le-x+5\) nach Addition von \(x\) und 1 die Ungleichung \(3x\le6\), also \(x\le2\). 4. Damit ist \(L=]-\infty;2]\).

a) \(L=]-\infty;2]\) b) Der Randwert 2 gehört dazu, weil am Schnittpunkt Gleichheit gilt. c) Rechnerisch ergibt sich ebenfalls \(x\le2\).

- Was bedeutet „Zähler kleiner als Nenner“ für die Beziehung zwischen den beiden Symbolen in jedem Bruch? - Kannst du die Ungleichung so umstellen, dass du eine Bedingung für das Quadrat von \(\triangle\) erhältst? - Wenn \(\frac{2}{\triangle}\) ein echter Bruch sein soll, welche Zahlen kommen dann für \(\triangle\) nicht infrage? - Probiere systematisch kleine Werte für \(\triangle\) aus, beginnend bei deinem Ergebnis aus Aufgabenteil a).

1. Aus der Bedingung „Zähler kleiner als Nenner“ folgt für den ersten Bruch \(\triangle < \square\). 2. Damit der zweite Bruch \(\frac{2}{\triangle}\) existiert und der Zähler kleiner als der Nenner ist, muss \(\triangle > 2\) gelten. 3. Die kleinste natürliche Zahl für \(\triangle\) ist somit \(\triangle = 3\). 4. Umformung der Ungleichung: \(\frac{\triangle}{\square} > \frac{2}{\triangle} \implies \triangle^2 > 2\square \implies \square < \frac{\triangle^2}{2}\). 5. Zusammenführen der Bedingungen: \(\triangle < \square < \frac{\triangle^2}{2}\). 6. Suche nach Paaren: - Wenn \(\triangle = 3\): \(3 < \square < \frac{9}{2} = 4{,}5\). Einzige Möglichkeit: \(\square = 4\). Paar: \((3, 4)\). - Wenn \(\triangle = 4\): \(4 < \square < \frac{16}{2} = 8\). Möglichkeiten: \(\square \in \{5, 6, 7\}\). Paare: \((4, 5), (4, 6), (4, 7)\). - Wenn \(\triangle = 5\): \(5 < \square < 12{,}5\). Möglichkeiten: \(\square \in \{6, 7, \dots, 12\}\).

a) \(\triangle = 3\) b) Mögliche Paare sind zum Beispiel \((3, 4)\) und \((4, 5)\) (andere wie \((4, 6), (4, 7), (5, 6)\) usw. sind ebenfalls korrekt).

- Welche Ungleichung beschreibt den geringeren Energiebedarf von A? - Welche Zusatzbedingung folgt aus der maximalen Ofenbeladung? - Prüfe in Teil b) beide Energiemodelle bei derselben Stückzahl. - Welche Gleichung entsteht in Teil c) bei genau \(100\) Bauteilen?

1. \(24+0{,}25x<44\) ergibt \(x<80\). Mit dem zulässigen Bereich folgt \(0\le x<80\). 2. Bei \(100\) Bauteilen benötigt A \(24+0{,}25\cdot100=49\,\text{kWh}\), B \(44\,\text{kWh}\). Also benötigt B weniger. 3. Für gleiche Energie bei \(100\) Bauteilen gilt \(G+0{,}25\cdot100=44\). Daraus folgt \(G=19\,\text{kWh}\).

a) \(0\le x<80\) b) Verfahren B; A \(49\,\text{kWh}\), B \(44\,\text{kWh}\) c) \(G=19\,\text{kWh}\)

- Löse die Ungleichung zunächst nach \(x\) auf, ohne \(k\) zu bestimmen. - Welcher Ausdruck bildet dann die linke Grenze der Lösungsmenge? - Mit welchem Wert muss diese Grenze übereinstimmen?

1. Auflösen nach \(x\) ergibt \(2x>10-k\) und damit \(x>\frac{10-k}{2}\). 2. Die offene Grenze der Zielmenge ist 7. Daher muss \(\frac{10-k}{2}=7\) gelten. 3. Daraus folgt \(10-k=14\), also \(k=-4\).

\(k=-4\)

- Stelle für jede Auswahl von zwei Seiten eine Dreiecksungleichung auf. - Löse die drei Ungleichungen getrennt und kombiniere ihre Bedingungen. - Prüfe zusätzlich, ob alle Seitenlängen positiv sind. - Zähle erst danach die ganzen Zahlen im gemeinsamen Bereich.

1. Aus \(2x+(x+10)>30\) folgt \(3x>20\), also \(x>\frac{20}{3}\). 2. Aus \(2x+30>x+10\) folgt \(x>-20\); diese Bedingung ist gegenüber der positiven Seitenlänge nicht einschränkend. 3. Aus \((x+10)+30>2x\) folgt \(x<40\). 4. Insgesamt gilt \(\frac{20}{3}<x<40\). 5. Die ganzzahligen Werte sind \(7,8,\dots,39\). Ihre Anzahl beträgt \(39-7+1=33\).

Es gilt \(\frac{20}{3}<x<40\). Für ganzzahliges \(x\) gibt es \(33\) mögliche Werte.

- Forme die Gleichung im ersten Teil so um, dass ein Produkt gleich null ist. - Unterscheide beim Teilen einer Ungleichung danach, ob der Divisor positiv oder negativ ist. - Prüfe die beiden Vorzeichenfälle für \(a\) getrennt. - Teste deine Bedingungen bei Bedarf mit einfachen positiven und negativen Beispielwerten.

1. Aus \(ab=a\) folgt \(a(b-1)=0\). Daher gilt entweder \(a=0\) bei beliebigem \(b\) oder \(b=1\). 2. Für \(a>0\) darf die Ungleichung \(ab<a\) durch \(a\) geteilt werden, ohne das Relationszeichen zu ändern. Es folgt \(b<1\). 3. Für \(a<0\) kehrt sich beim Teilen durch \(a\) das Relationszeichen um. Es folgt \(b>1\).

1) \(a=0\) mit beliebigem \(b\) oder \(b=1\). 2) Für \(a>0\) gilt \(b<1\). 3) Für \(a<0\) gilt \(b>1\).

- Beim Rechnen mit Brüchen hilft es, die gesamte Ungleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren, um die Brüche zu eliminieren. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Stelle dir die Teillösungen auf einem Zahlenstrahl vor, um die gemeinsamen Werte leichter zu finden.

1. Erste Ungleichung mit dem Hauptnenner \(6\) multiplizieren: \(3(3x - 5) - 2(x + 1) < 12\). 2. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(9x - 15 - 2x - 2 < 12 \implies 7x - 17 < 12 \implies 7x < 29\). 3. Nach \(x\) isolieren: \(x < \frac{29}{7} \approx 4{,}14\). 4. Zweite Ungleichung lösen: \(1 - (6 - 3x) \geq -5 \implies 1 - 6 + 3x \geq -5 \implies -5 + 3x \geq -5\). 5. Nach \(x\) isolieren: \(3x \geq 0 \implies x \geq 0\). 6. Schnittmenge der Intervalle bestimmen: \(0 \leq x < \frac{29}{7}\). 7. Ganze Zahlen identifizieren: Die Lösungen sind \(0; 1; 2; 3; 4\).

\(x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\)

- Versuche zuerst, das Gleichungssystem so zu lösen, als wäre \(k\) eine normale Zahl. - Wie müssen die Ergebnisse für \(x\) und \(y\) aussehen, damit sie „positiv“ sind? - Kannst du die Bedingungen für \(x\) und \(y\) als Ungleichungen schreiben? - Überlege dir am Ende, welche Werte für \(k\) beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Auflösen des Systems nach \(x\) und \(y\) in Abhängigkeit von \(k\), zum Beispiel durch Umstellen von Gleichung II nach \(x = k - 2y\). 2. Einsetzen in Gleichung I: \(4(k - 2y) + 3y = 24 \Rightarrow 4k - 8y + 3y = 24 \Rightarrow -5y = 24 - 4k \Rightarrow y = \frac{4k - 24}{5}\). 3. Einsetzen von \(y\) in den Ausdruck für \(x\): \(x = k - 2 \cdot \frac{4k - 24}{5} = \frac{5k - 8k + 48}{5} = \frac{48 - 3k}{5}\). 4. Aufstellen der Bedingung \(y > 0\): \(\frac{4k - 24}{5} > 0 \Rightarrow 4k - 24 > 0 \Rightarrow k > 6\). 5. Aufstellen der Bedingung \(x > 0\): \(\frac{48 - 3k}{5} > 0 \Rightarrow 48 - 3k > 0 \Rightarrow 3k < 48 \Rightarrow k < 16\). 6. Zusammenfassen der Intervalle ergibt \(6 < k < 16\).

Das System hat für \(6 < k < 16\) eine eindeutige Lösung mit \(x > 0\) und \(y > 0\).

- Was bedeutet es für die Vorzeichen von \(x\) und \(y\), wenn ein Punkt im II. Quadranten liegt? - Versuche zuerst, \(x\) und \(y\) so aufzulösen, dass sie nur noch vom Parameter \(a\) abhängen. - Wann ist ein Bruch positiv? Was muss dann für den Nenner gelten? - Wie verhält sich das Vorzeichen des Zählers, wenn du bereits weißt, welches Vorzeichen der Nenner hat?

1. Erste Gleichung nach \(x\) umstellen: \(x = 5 - y\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2(5 - y) + ay = 12\). 3. Klammer auflösen und nach \(y\) sortieren: \(10 - 2y + ay = 12 \Rightarrow y(a - 2) = 2\). 4. \(y\) in Abhängigkeit von \(a\) ausdrücken: \(y = \frac{2}{a - 2}\). 5. \(x\) berechnen: \(x = 5 - \frac{2}{a - 2} = \frac{5(a - 2) - 2}{a - 2} = \frac{5a - 12}{a - 2}\). 6. Bedingung \(y > 0\) anwenden: \(\frac{2}{a - 2} > 0 \Rightarrow a - 2 > 0 \Rightarrow a > 2\). 7. Bedingung \(x < 0\) anwenden: Da \(a - 2 > 0\) (aus Schritt 6), muss der Zähler negativ sein: \(5a - 12 < 0 \Rightarrow 5a < 12 \Rightarrow a < 2{,}4\). 8. Beide Bedingungen kombinieren: \(2 < a < 2{,}4\).

Die gesuchte Bedingung lautet \(2 < a < 2{,}4\).

- Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, wann keine und wann unendlich viele? - Nutze die Symmetrie des Systems aus: Was passiert, wenn du \(x\) und \(y\) vertauschst? - Wie kannst du eine Variable eliminieren, um die andere in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen? - Achte darauf, dass „eindeutige Lösung“ bestimmte Werte für \(k\) ausschließt.

1. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \((k-4)x+(4-k)y=0\), also \((k-4)(x-y)=0\). 2. Für \(k=4\) sind beide Gleichungen identisch; es gibt keine eindeutige Lösung. Für \(k\neq4\) folgt \(x=y\). 3. Setze \(x=y\) in die erste Gleichung ein: \((k+4)x=8\). 4. Für \(k=-4\) entsteht der Widerspruch \(0=8\); daher gibt es keine Lösung. Für \(k\neq-4\) gilt \(x=y=\frac{8}{k+4}\). 5. Die Werte sind positiv genau dann, wenn \(k+4>0\), also \(k>-4\). 6. Zusätzlich muss für Eindeutigkeit \(k\neq4\) gelten. Somit ist \(k\in(-4;4)\cup(4;\infty)\).

Für \(k > -4\) mit Ausnahme von \(k = 4\) (oder: \(k \in (-4; 4) \cup (4; \infty)\)).

- Löse beide Ungleichungen getrennt und bilde anschließend die Schnittmenge. - Welche Formen kann die Lösungsmenge einer einzelnen linearen Ungleichung nach dem Zusammenfassen aller \(x\)-Terme haben? - Arbeite für Teil c von den beiden Randwerten rückwärts und beachte die geforderte Vorzeichenumkehr.

1. Aus \(2x-1>-5\) folgt \(x>-2\). 2. Aus \(-3x+4\ge-11\) folgt \(-3x\ge-15\). Beim Dividieren durch \(-3\) kehrt sich das Zeichen um, also \(x\le5\). 3. Gemeinsam gilt \(-2<x\le5\). Daher ist \(L=]-2;5]\cap\mathbb{Q}\). 4. Jede einzelne lineare Ungleichung \(ax+b\le cx+d\) lässt sich zu \((a-c)x\le d-b\) zusammenfassen. Ist \(a-c>0\), entsteht über \(\mathbb{Q}\) eine nach links unbeschränkte Lösungsmenge; ist \(a-c<0\), eine nach rechts unbeschränkte. Bei \(a-c=0\) ist die Lösungsmenge entweder ganz \(\mathbb{Q}\) oder leer. Ein beschränktes Intervall mit zwei verschiedenen endlichen Randwerten kann daher nicht entstehen. 5. Zum Beispiel liefern \(4x>-8\) und \(-2x\ge-10\) wieder \(x>-2\) und \(x\le5\). Bei der zweiten Ungleichung wird das Zeichen beim Dividieren durch \(-2\) umgekehrt.

a) \(L=]-2;5]\cap\mathbb{Q}\) b) Mara hat nicht recht: Eine einzelne lineare Ungleichung in einer Variablen liefert über \(\mathbb{Q}\) nur eine einseitig unbeschränkte Lösungsmenge, ganz \(\mathbb{Q}\) oder die leere Menge, aber kein beschränktes Intervall mit zwei endlichen Randwerten. c) Zum Beispiel \(4x>-8\) und \(-2x\ge-10\).