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- Überlege, welche mathematische Operation bei einem Bruch nicht erlaubt ist. - Was muss mit dem Nenner passieren, damit der gesamte Ausdruck „verboten“ ist? - Wie kannst du die Gleichung umstellen, um die kritische Zahl zu finden?

1. Den Nenner des Bruchterms gleich Null setzen: \(2x + 14 = 0\) 2. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(2x = -14 \Rightarrow x = -7\) 3. Der Term ist für \(x = -7\) nicht definiert. 4. Die Definitionsmenge \(D\) bestimmen, indem der gefundene Wert aus \(\mathbb{Q}\) ausgeschlossen wird: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-7\}\)

Nicht definiert für \(x = -7\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-7\}\).

- Entscheidend ist, ob der Nenner für einen eingesetzten x-Wert null werden kann. - Verändert sich der Nenner hier überhaupt mit \(x\)?

1. Der Nenner ist die konstante Zahl \(5\). 2. Da \(5\neq0\) gilt, wird der Nenner für keinen rationalen x-Wert null. 3. Es muss kein Wert ausgeschlossen werden. Somit ist \(D=\mathbb{Q}\).

\(D=\mathbb{Q}\), da der konstante Nenner \(5\) niemals null ist.

- Für die Definitionsmenge ist entscheidend, wann der Nenner null wird. - Prüfe den Nenner ausdrücklich bei \(x=3\).

1. Für \(x=3\) wird der Nenner \(x-3\) gleich \(0\). 2. Auch ein Zähler von \(0\) macht eine Division durch \(0\) nicht definiert. Deshalb darf \(x=3\) nicht eingesetzt werden. 3. Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\).

Nein. \(D=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\), weil der Nenner bei \(x=3\) null wird.

- Für welchen Wert wird der Nenner null? - Welche Werte müssen aus der Grundmenge ausgeschlossen werden? - Was bedeutet eine nicht gekürzte Nennernullstelle für den Graphen, wenn der Zähler dort ungleich null ist?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x+6=0\) folgt \(x=-6\). 2. Daher ist \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{-6\}\). 3. Bei \(x=-6\) ist der Zähler \(-52\) und damit ungleich null. Als Funktionsterm besitzt der Ausdruck deshalb die senkrechte Asymptote \(x=-6\).

a) \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{-6\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=-6\)

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Welche Bedingung muss für den Nenner eines Bruchs immer erfüllt sein? - Wie kannst du eine Gleichung umstellen, um den Wert von \(x\) zu finden, der den Nenner null werden lässt? - Was bedeutet der Satz vom Nullprodukt für Terme, in denen Faktoren multipliziert werden?

1. Nenner von \(f(x)\) nullsetzen: \(5x + 20 = 0 \implies 5x = -20 \implies x = -4\). Definitionslücke bei \(x = -4\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). 2. Nenner von \(g(x)\) nullsetzen: \(0{,}4x - 2 = 0 \implies 0{,}4x = 2 \implies x = 5\). Definitionslücke bei \(x = 5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\). 3. Nenner von \(h(x)\) nullsetzen: \(7 - x = 0 \implies x = 7\). Definitionslücke bei \(x = 7\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{7\}\). 4. Nenner von \(k(x)\) nullsetzen: \(x \cdot (x + 4{,}5) = 0\). Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also \(x = 0\) oder \(x + 4{,}5 = 0 \implies x = -4{,}5\). Definitionslücken bei \(x = 0\) und \(x = -4{,}5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4{,}5; 0\}\).

a) Lücke: \(x = -4\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) b) Lücke: \(x = 5\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\) c) Lücke: \(x = 7\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{7\}\) d) Lücken: \(x = 0\) und \(x = -4{,}5\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4{,}5; 0\}\)

- Schau dir den Zähler des Bruchs genau an. Kannst du dort eine Zahl ausklammern? - Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Vergleiche den Term vor und nach dem Kürzen. Ändert sich dadurch, welche Zahlen du einsetzen darfst?

1. Faktorisieren des Zählers im Bruch: \(4x - 12 = 4(x - 3)\). 2. Kürzen des Terms durch \((x - 3)\). Dies ist nur zulässig, wenn der Nenner nicht null ist, also \(x \neq 3\). 3. Der Bruch vereinfacht sich zu \(4\). 4. Addition des verbleibenden Terms: \(4 + x\). 5. Bestimmung der Definitionsmengen: Für den ursprünglichen Term gilt \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). Der vereinfachte Term \(4 + x\) ist für alle rationalen Zahlen definiert, also \(D_E = \mathbb{Q}\).

Der vereinfachte Term ist \(x + 4\). Die Definitionsmengen sind \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\) und \(D_E = \mathbb{Q}\).

- Bestimme die Definitionsmenge des ursprünglichen Bruchterms, bevor du kürzt. - Frage dich danach getrennt, für welche Werte der neu entstandene Term \(x-5\) definiert ist. - Unterscheide zwischen der maximalen Definitionsmenge des neuen Terms und den weiterhin geltenden Einschränkungen des ursprünglichen Ausdrucks.

1. Im ursprünglichen Term steht \(x\) im Nenner. Daher muss \(x \neq 0\) gelten und \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). 2. Im Zähler kann \(x\) ausgeklammert werden: \(\frac{x(x-5)}{x}\). Für zulässige Werte \(x \neq 0\) ergibt das Kürzen den Term \(x-5\). 3. Der vereinfachte Term \(x-5\) ist als eigener Term für alle rationalen Zahlen definiert. Deshalb ist \(D_E = \mathbb{Q}\). 4. Lukas’ Aussage ist trotzdem falsch: Soll \(x-5\) den ursprünglichen Bruchterm darstellen, bleibt die ursprüngliche Einschränkung \(x \neq 0\) bestehen. Das Kürzen ändert die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms nicht; nur der neu entstandene Term besitzt für sich betrachtet eine größere maximale Definitionsmenge.

Lukas hat nicht recht. Es gilt \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) und für den vereinfachten Term als eigenen Term \(D_E = \mathbb{Q}\). Wird \(x-5\) als vereinfachte Darstellung des ursprünglichen Bruchterms verwendet, bleibt \(x=0\) ausgeschlossen.

- Welche Zahl darf man niemals im Nenner eines Bruches erhalten? - Wann ist ein Bruch als Ganzes gleich Null? Schau dir dazu den Zähler an. - Um einen Termwert zu berechnen, ersetzt du den Platzhalter durch die gegebene Zahl.

a) Bestimmung der Definitionsmenge durch Nullsetzen des Nenners: \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\). Ausschluss des Wertes führt zu \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). b) Bestimmung der Nullstelle durch Nullsetzen des Zählers: \(5x - 15 = 0 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3\). c) Berechnung des Termwertes durch Einsetzen: \(T(1) = \frac{5 \cdot 1 - 15}{1 + 4} = \frac{-10}{5} = -2\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) b) \(x = 3\) c) \(-2\)

- Was bedeutet das Divisionszeichen im Zusammenhang mit Brüchen? - Welcher Teil eines Bruches darf niemals den Wert Null ergeben? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, um herauszufinden, wann der untere Teil des Bruches Null wird? - Achte bei Aufgabe c) darauf, dass die Bedingung von zwei Variablen abhängt.

1. Umwandlung der Division \( A : B \) in die Bruchschreibweise \( \frac{A}{B} \). 2. Für Teilaufgabe a): Der Bruchterm lautet \( \frac{4x + 12}{x - 7} \). Der Nenner wird Null, wenn \( x - 7 = 0 \), also für \( x = 7 \). 3. Für Teilaufgabe b): Der Bruchterm lautet \( \frac{15}{3y + 12} \). Der Nenner wird Null, wenn \( 3y + 12 = 0 \). Durch Umformen \( 3y = -12 \) ergibt sich \( y = -4 \). 4. Für Teilaufgabe c): Der Bruchterm lautet \( \frac{a + 3}{a - b} \). Der Nenner wird Null, wenn \( a - b = 0 \), also für \( a = b \).

a) \( \frac{4x + 12}{x - 7} \); nicht definiert für \( x = 7 \). b) \( \frac{15}{3y + 12} \); nicht definiert für \( y = -4 \). c) \( \frac{a + 3}{a - b} \); nicht definiert für \( a = b \).

- Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Zähler Null ist? - Prüfe vor dem Rechnen immer, ob der Nenner für den gegebenen Wert Null wird. - Kannst du eine Zahl durch Null teilen? - Was ist der Unterschied zwischen einem Zähler, der Null ist, und einem Nenner, der Null ist?

1. Einsetzen von \( x = 5 \) in Aufgabenteil a): \( \frac{2 \cdot 5 - 10}{5 + 5} = \frac{10 - 10}{10} = \frac{0}{10} = 0 \). 2. Einsetzen von \( y = 3 \) in Aufgabenteil b): \( \frac{0}{3^2 + 4} = \frac{0}{9 + 4} = \frac{0}{13} = 0 \). 3. Einsetzen von \( z = 3 \) in Aufgabenteil c): Im Zähler ergibt sich \( 3 - 3 = 0 \), im Nenner \( 3^2 - 9 = 0 \). Da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist, besitzt der Bruchterm für \( z = 3 \) keinen Wert.

a) \( 0 \) b) \( 0 \) c) Nicht definiert, da der Nenner Null wird.

- Welches Argument gehört zu jedem Punkt auf der \(y\)-Achse? - Welchen Funktionswert haben Punkte auf der \(x\)-Achse? - Wie kannst du ein gegebenes Wertepaar durch Einsetzen überprüfen?

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=\frac{-12}{1}=-12\). Daher ist \(S_y(0\mid-12)\). 2. Für \(f(x)=0\) muss der Zähler null sein. Aus \(4x-12=0\) folgt \(x=3\). Der Nenner ist dort \(10\neq0\), also ist \(S_x(3\mid0)\). 3. Es ist \(f(1)=\frac{4-12}{1+1}=\frac{-8}{2}=-4\). Daher liegt \(P(1\mid-4)\) auf dem Graphen.

a) \(f(0)=-12\), also \(S_y(0\mid-12)\) b) \(x=3\), also \(S_x(3\mid0)\) c) Ja. \(f(1)=-4\), also liegt \(P(1\mid-4)\) auf dem Graphen.

- Überlege dir, welche mathematische Operation bei Brüchen verboten ist. - Konzentriere dich nur auf den unteren Teil des Bruchs, den Nenner. - Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern insgesamt Null? - Denke bei Quadraten daran, dass es oft zwei Lösungen geben kann.

1. Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn der Nenner den Wert Null annimmt. 2. Für a): Setze \(x+4 = 0\). Daraus folgt \(x = -4\). 3. Für b): Setze \(3x-15 = 0\). Durch Umformen erhält man \(3x = 15\) und somit \(x = 5\). 4. Für c): Setze \(x^2-16 = 0\). Daraus folgt \(x^2 = 16\), also \(x = 4\) oder \(x = -4\). 5. Für d): Setze \((x-3)(x+5) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist der Ausdruck Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also \(x-3 = 0 \implies x = 3\) oder \(x+5 = 0 \implies x = -5\).

a) \(x = -4\) b) \(x = 5\) c) \(x = 4\) und \(x = -4\) d) \(x = 3\) und \(x = -5\)

- Entscheidend ist jeweils, wann ein Nenner den Wert null annimmt. - Prüfe bei b), ob der Nenner überhaupt von \(x\) abhängt. - Bei einem Ausdruck aus mehreren Brüchen müssen alle einzelnen Nenner ungleich null sein.

1. In a) wird der Nenner \(x^2-9\) null, wenn \(x^2=9\). Das gilt für \(x=-3\) und \(x=3\). 2. In b) ist der Nenner die konstante Zahl \(7\). Da \(7\neq0\) gilt, ist der Term für jedes \(x\in\mathbb{Q}\) definiert. 3. In c) müssen beide Teilbrüche definiert sein. Der erste Nenner wird für \(x=0\), der zweite für \(x=7\) null. Beide Werte sind auszuschließen.

a) Nicht definiert für \(x=-3\) und \(x=3\). b) \(D=\mathbb{Q}\) c) Ausgeschlossen werden \(x=0\) und \(x=7\).

- Was passiert im Nenner eines Bruchs, wenn das Ergebnis der Rechnung dort Null ergibt? - Setze die Zahlen für die Variable ein und berechne zuerst das Ergebnis im Nenner. - Wann ist das Ergebnis einer Division zweier Zahlen negativ?

1. Prüfung des Nenners für \(x = 3\): Der Nenner wird \(3 - 3 = 0\). Da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist, darf \(x = 3\) nicht eingesetzt werden. 2. Berechnung der Termwerte: Für \(x = 0\): \(T(0) = \frac{15}{0 - 3} = \frac{15}{-3} = -5\). Für \(x = 4\): \(T(4) = \frac{15}{4 - 3} = \frac{15}{1} = 15\). Für \(x = 8\): \(T(8) = \frac{15}{8 - 3} = \frac{15}{5} = 3\). 3. Da bereits für \(x = 0\) der Wert \(-5\) berechnet wurde, kann der Termwert negativ werden. Dies geschieht immer dann, wenn der Nenner negativ ist, also für alle \(x < 3\).

a) Man darf nicht durch 0 teilen; für \(x=3\) wird der Nenner 0. b) \(T(0) = -5\); \(T(4) = 15\); \(T(8) = 3\). c) Ja, der Termwert kann negativ werden (z. B. \(-5\) bei \(x = 0\)).

- Wie muss ein Nenner aussehen, damit er genau bei einer bestimmten Zahl Null wird? - Nutze einen Platzhalter im Zähler und setze die gegebenen Werte ein, um diesen zu berechnen. - Überlege dir, ob der Ausdruck im Nenner für irgendeine Zahl jemals den Wert Null annehmen kann.

1. Konstruktion für Teil a): Um die Zahl \(2\) aus der Definitionsmenge auszuschließen, muss der Nenner für \(x = 2\) Null werden. Ein möglicher Ansatz ist \(h(x) = \frac{1}{x - 2}\). 2. Teil b) betrachtet ausdrücklich die Familie \(h(x)=\frac{k}{x-2}\). Einsetzen des Punktes \((3|10)\): \(10 = \frac{k}{3 - 2} \Rightarrow 10 = \frac{k}{1} \Rightarrow k = 10\). Die Gleichung lautet \(h(x) = \frac{10}{x - 2}\). 3. Analyse für Teil c): Der neue Nenner ist \(x^2 + 1\). Da das Quadrat einer rationalen Zahl \(x^2\) immer größer oder gleich Null ist, ist der Ausdruck \(x^2 + 1\) immer mindestens \(1\). Er kann also niemals Null werden. Folglich gibt es keine Einschränkungen mehr und die Definitionsmenge erweitert sich auf alle rationalen Zahlen: \(D = \mathbb{Q}\).

a) Zum Beispiel \(h(x) = \frac{1}{x - 2}\). b) \(h(x) = \frac{10}{x - 2}\). c) Die Definitionsmenge wäre dann \(D = \mathbb{Q}\). Begründung: Der Term \(x^2 + 1\) ist für jede rationale Zahl stets größer oder gleich \(1\) und kann daher niemals Null werden.

- Welche Bedingung muss der Nenner an einem ausgeschlossenen Wert erfüllen? - Setze für a) die vorgegebene Stelle in den Nenner ein. - Was bleibt vom Nenner übrig, wenn du in c) \(x=0\) einsetzt?

1. Ein Wert ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen, wenn der Nenner dort null wird. Für \(x=3\) gilt daher \(3a-12=0\). 2. Daraus folgt \(3a=12\) und somit \(a=4\). 3. Für \(a=4\) ist der Nenner \(4x-12\) genau bei \(x=3\) null. Daher ist \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\). 4. Für \(x=0\) hat der Nenner unabhängig von \(a\) den Wert \(-12\). Er kann dort also niemals null werden.

a) \(a=4\) b) \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\) c) Bei \(x=0\) ist der Nenner stets \(-12\ne0\); daher ist \(0\) nie ausgeschlossen.

- Welche Bedingung muss für jeden einzelnen Nenner erfüllt sein? - Reicht es aus, dass nur einer der beiden Brüche an einer Stelle nicht definiert ist? - Wie kannst du in einem einzigen Nenner Faktoren verwenden, die bei beiden ausgeschlossenen Stellen null werden?

1. Für den ersten Bruch muss \(x\ne0\) gelten. Für den zweiten Bruch muss \(x-2\ne0\), also \(x\ne2\), gelten. Sarah hat recht. 2. Damit besitzt der gesamte Term die beiden Definitionslücken \(0\) und \(2\). Es ist \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\). 3. Ein einzelner Bruch mit genau diesen beiden Nennernullstellen ist zum Beispiel \(g(x)=\frac{1}{x(x-2)}\).

a) Sarah hat recht; die Definitionslücken sind \(x=0\) und \(x=2\). b) \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\) c) Zum Beispiel \(g(x)=\frac{1}{x(x-2)}\)

- Was bedeutet es für den Nenner eines Bruchs, wenn eine Zahl nicht in der Definitionsmenge liegt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Definitionslücke vorkommt? - Setze den Wert für \(x\) ein, der ausgeschlossen werden soll.

1. Wenn die Zahl \(3\) nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, muss der Nenner des Bruchs für \(x = 3\) den Wert Null annehmen. 2. Einsetzen von \(x = 3\) in den Nenner \(2x - b\): \(2 \cdot 3 - b = 0\). 3. Lösen der Gleichung nach \(b\): \(6 - b = 0 \implies b = 6\). 4. Überprüfung: Für \(b = 6\) lautet die Funktion \(f(x) = \frac{x + 2}{2x - 6}\). Der Nenner wird bei \(x = 3\) zu \(2 \cdot 3 - 6 = 0\), was die Definitionslücke bestätigt.

\(b = 6\)

- Bestimme die ursprüngliche Definitionsmenge, bevor du kürzt. - Suche nach gemeinsamen Faktoren, die durch einfaches Ausklammern sichtbar werden. - Vergleiche anschließend die maximale Definitionsmenge des neuen Terms mit der des ursprünglichen Terms.

1. In a) gilt \(5x-25=5(x-5)\). Für \(x\neq5\) kann der Faktor \(x-5\) gekürzt werden. Der vereinfachte Term ist \(5\). 2. Für a) ist \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\). Der vereinfachte Term \(5\) ist für alle rationalen Zahlen definiert, also \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\). Die Definitionsmengen sind nicht identisch. 3. In b) gilt \(3x+6=3(x+2)\). Damit wird der Term zu \(\frac{3(x+2)}{x}\cdot\frac{x^2}{x+2}\). Für \(x\neq0\) und \(x\neq-2\) können \(x+2\) und ein Faktor \(x\) gekürzt werden. Es bleibt \(3x\). 4. Für b) ist \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\). Der vereinfachte Term \(3x\) hat \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\). Auch hier sind die Definitionsmengen nicht identisch.

a) \(5\); \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\), \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\). Die Definitionsmengen sind unterschiedlich. b) \(3x\); \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\), \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\). Die Definitionsmengen sind unterschiedlich.

- Überprüfe, welche Zahl man in \(T_1\) nicht einsetzen darf. - Was passiert, wenn du versuchst, \(T_1\) für \(x = -5\) zu berechnen? - Denke daran, dass eine Gleichheit von Termen auch die Gleichheit ihrer Definitionsmengen voraussetzt.

1. Definitionsmengen: Bei \(T_1\) darf der Nenner \(x+5\) nicht null sein, daraus folgt \(x \neq -5\), also \(D_1 = \mathbb{Q} \setminus \{-5\}\). \(T_2\) hat keine Einschränkungen, also \(D_2 = \mathbb{Q}\). 2. Vereinfachung: Im Zähler von \(T_1\) wird \(x\) ausgeklammert: \(\frac{x(x+5)}{x+5}\). Für \(x \neq -5\) kann der Faktor \((x+5)\) gekürzt werden, es bleibt \(x\) übrig. Somit gilt \(T_1(x) = x\) für alle \(x \in D_1\). 3. Begründung: Für den speziellen Wert \(x = -5\) ist \(T_1\) nicht definiert (Division durch Null), während \(T_2(-5) = -5\) ein gültiges Ergebnis liefert. Da die Definitionsmengen nicht übereinstimmen, sind die Terme mathematisch nicht über dem gesamten Bereich der rationalen Zahlen identisch.

a) \(D_1 = \mathbb{Q} \setminus \{-5\}\), \(D_2 = \mathbb{Q}\). b) Durch Ausklammern von \(x\) im Zähler erhält man \(T_1(x) = \frac{x(x+5)}{x+5} = x\). c) An der Stelle \(x = -5\) ist \(T_1\) nicht definiert, \(T_2\) hingegen schon. Terme sind nur dann über \(\mathbb{Q}\) identisch, wenn sie überall definiert sind und die gleichen Werte liefern.

- Bestimme die ursprüngliche Definitionsmenge aus den Nennern, bevor du kürzt. - Vereinfache den zweiten Bruch zunächst einzeln und führe danach die Subtraktion aus. - Unterscheide zwischen der maximalen Definitionsmenge der neuen Schreibweise und der Definitionsmenge des ursprünglichen Ausdrucks.

1. Im ursprünglichen Ausdruck werden die Nenner bei \(x=1\) beziehungsweise bei \(x=1\) oder \(x=-1\) null. Daher ist \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\). 2. Im zweiten Bruch kann für Werte aus \(D_{\text{alt}}\) der Faktor \(x+1\) gekürzt werden. Dadurch entsteht \(\frac{1}{x-1}\). 3. Somit gilt auf \(D_{\text{alt}}\): \(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-1}\). 4. Die vereinfachte Schreibweise \(\frac{1}{x-1}\) hat für sich betrachtet die maximale Definitionsmenge \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 5. Der Wert \(x=-1\) wird dadurch nicht nachträglich für den ursprünglichen Ausdruck zulässig. Dort war der zweite ursprüngliche Nenner null. Die beiden Schreibweisen sind daher nur auf \(D_{\text{alt}}\) gleichwertig.

Vereinfachte Schreibweise: \(\frac{1}{x-1}\). \(D_{\text{alt}}=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}\), \(D_{\text{neu}}=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). \(x=-1\) gehört zwar zur maximalen Definitionsmenge der vereinfachten Schreibweise, bleibt aber für den ursprünglichen Ausdruck ausgeschlossen.

- Prüfe bei einer Division nicht nur die Nenner, sondern auch, wann der gesamte Divisor null wird. - Schreibe die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert. - Vergleiche am Ende die maximale Definitionsmenge des Ergebnisterms mit der ursprünglichen Definitionsmenge.

1. Für den ersten Nenner gilt \(a\neq0\). Zusätzlich darf der Divisor \(\frac{a-5}{10}\) nicht null sein, also gilt \(a\neq5\). Damit ist \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{0;5\}\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{(a-5)(a+5)}{5a}\cdot\frac{10}{a-5}\). 3. Für Werte aus \(D_A\) kann der Faktor \(a-5\) gekürzt werden; außerdem ist \(10:5=2\). Es bleibt \(\frac{2(a+5)}{a}\). 4. Der Ergebnisterm hat die maximale Definitionsmenge \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Mengen sind nicht identisch. Der Wert \(a=5\) bleibt für den ursprünglichen Ausdruck trotzdem ausgeschlossen.

\(\frac{2(a+5)}{a}\); \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{0;5\}\), \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Definitionsmengen sind nicht identisch.

- Vereinfache die beiden Brüche zunächst getrennt und achte auf gemeinsame Faktoren im jeweiligen Zähler und Nenner. - Bestimme die ursprüngliche Definitionsmenge aus den Nennern, bevor du kürzt. - Überlege am Ende, ob ein vereinfachter Term automatisch dieselbe maximale Definitionsmenge wie der ursprüngliche Term haben muss.

1. Im ersten Bruch kann im Zähler \(b\) ausgeklammert werden: \(\frac{b(b+2)}{b}=b+2\) für \(b\neq0\). 2. Im zweiten Bruch kann im Zähler der gemeinsame Faktor \(b-2\) ausgeklammert werden: \(\frac{(b-2)(b+2)}{b-2}=b+2\) für \(b\neq2\). 3. Damit gilt auf der ursprünglichen Definitionsmenge \(T(b)=(b+2)-(b+2)=0\). 4. Der ursprüngliche Term enthält die Nenner \(b\) und \(b-2\). Deshalb ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\). Die Vereinfachung zu \(0\) ändert diese Definitionsmenge des ursprünglichen Terms nicht.

\(T(b)=0\) für \(b\in\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\). Für \(b=0\) oder \(b=2\) ist der ursprüngliche Term wegen einer Division durch null nicht definiert.

- Wann darf ein Bruch nicht berechnet werden? - Schau dir den Nenner genau an und überlege, für welche Zahlen er den Wert Null ergibt. - Wie findet man die Nullstelle eines Bruchterms? - Welcher Teil des Bruchs bestimmt, welche Zahlen man einsetzen darf?

1. Den Nenner des Terms faktorisieren: \(x^2 + 3x = x \cdot (x + 3)\). 2. Die Nullstellen des Nenners bestimmen: \(x = 0\) und \(x = -3\). 3. Die maximale Definitionsmenge angeben: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 0\}\). 4. Begründung: Für diese Werte wird der Nenner gleich Null, was zu einer mathematisch nicht definierten Division durch Null führen würde. 5. Konstruktion eines alternativen Terms: Den Nenner beibehalten und den Zähler so verändern, dass eine andere Nullstelle entsteht, zum Beispiel \(S(x) = \frac{x+1}{x^2+3x}\) mit der Nullstelle \(x = -1\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 0\}\) b) Die Werte müssen ausgeschlossen werden, da der Nenner für \(x=0\) und \(x=-3\) Null wird und eine Division durch Null nicht definiert ist. c) Ein möglicher Term ist \(S(x) = \frac{x+1}{x^2+3x}\).

- Bestimme zuerst unabhängig voneinander, für welche rationalen Zahlen beide Terme überhaupt definiert sind. - Prüfe anschließend, ob beide Terme für die Zahl \(3\) einen Termwert besitzen. - Vergleiche erst danach, in welchem Bereich die Kürzung tatsächlich eine wertgleiche Darstellung liefert.

1. Definitionsmenge \(D_A\) bestimmen: Nenner \(x+4 = 0\) für \(x = -4\), also \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). 2. Definitionsmenge \(D_B\) bestimmen: Nenner \((x+4)(x-3) = 0\) für \(x = -4\) und \(x = 3\), also \(D_B = \mathbb{Q} \setminus \{-4; 3\}\). 3. Termwert von \(A\) bei \(x=3\) berechnen: \(A(3) = \frac{2}{3+4} = \frac{2}{7}\). 4. Termwert von \(B\) bei \(x=3\) prüfen: Da \(3\) nicht in \(D_B\) liegt, ist der Term an dieser Stelle nicht definiert. 5. Schlussfolgerung: Die Behauptung ist falsch. Zwar stimmen die Terme für alle Werte überein, für die beide definiert sind, aber ihre maximalen Definitionsmengen sind verschieden. Insbesondere ist \(B(3)\) nicht definiert.

a) \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) und \(D_B = \mathbb{Q} \setminus \{-4; 3\}\). b) \(A(3) = \frac{2}{7}\); \(B(3)\) ist nicht definiert. c) Die Behauptung ist falsch, weil die Terme unterschiedliche maximale Definitionsmengen haben. Für \(x = 3\) ist nur \(A(x)\) definiert.

- Bestimme jeweils die Definitionsmenge des vollständigen Anfangsterms, bevor du vereinfachst. - Bei a) brauchst du einen gemeinsamen Nenner; bei b) solltest du nach gemeinsamen Faktoren suchen. - Bestimme nach dem Vereinfachen die maximale Definitionsmenge des neuen Terms und vergleiche sie mit der ursprünglichen.

1. In a) ist ein gemeinsamer Nenner \(2x\). Daher gilt \(\frac3x-\frac1{2x}=\frac5{2x}\). 2. Für a) ist \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Auch der Endterm hat \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 3. In b) gilt auf der ursprünglichen Definitionsmenge \(\frac{x-1}{x^2}\cdot\frac{3x}{(x-1)(x+1)}=\frac3{x(x+1)}\). 4. Der Anfangsterm hat \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\), der Ergebnisterm die maximale Definitionsmenge \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\).

a) \(\frac{5}{2x}\); \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\); \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). b) \(\frac{3}{x(x+1)}\); \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\); \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\).

- Untersuche die Faktoren des ursprünglichen Nenners einzeln auf den Wert null. - Notiere die Definitionsmenge, bevor du einen gemeinsamen Faktor kürzt. - Frage dich, für welche Werte die vereinfachte Schreibweise tatsächlich mit dem ursprünglichen Term übereinstimmt.

1. Der ursprüngliche Nenner \((x-3)(x+3)\) wird bei \(x=3\) und bei \(x=-3\) null. 2. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\). 3. Für zulässige Werte kann der gemeinsame Faktor \(x-3\) gekürzt werden, sodass \(\frac{1}{x+3}\) entsteht. 4. Diese vereinfachte Schreibweise ist nur für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge gleichwertig. Bei \(x=3\) war der ursprüngliche Nenner null; deshalb bleibt \(x=3\) für den ursprünglichen Term ausgeschlossen.

a) Nicht definiert für \(x=-3\) und \(x=3\). b) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\). c) Das Kürzen gilt nur für zulässige Werte des ursprünglichen Terms. Da der ursprüngliche Nenner bei \(x=3\) null ist, bleibt \(x=3\) ausgeschlossen.

- Bei Teil a): Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Schau dir die Faktoren einzeln an. - Bei Teil b): Kann das Quadrat einer Zahl plus 1 jemals den Wert Null ergeben? Probiere verschiedene Zahlen für \(x\) im Kopf aus.

1. Teilaufgabe a): Den Nenner \(x \cdot (x - 1{,}5) = 0\) setzen. Nach dem Nullprodukt-Satz ist ein Produkt null, wenn einer der Faktoren null ist. 2. Faktoren prüfen: \(x = 0\) oder \(x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow x = 1{,}5\). 3. Definitionsmenge für a): \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1{,}5\}\). 4. Teilaufgabe b): Den Nenner \(x^2 + 1 = 0\) setzen. 5. Gleichung prüfen: \(x^2 = -1\). Da das Quadrat einer rationalen Zahl niemals negativ sein kann, gibt es keine Lösung in \(\mathbb{Q}\). 6. Definitionsmenge für b): Der Nenner wird nie Null, daher ist \(D = \mathbb{Q}\).

a) Nicht definiert für \(x = 0\) und \(x = 1{,}5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1{,}5\}\). b) Es gibt keinen Wert für \(x\), für den der Nenner Null wird. Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q}\).

- Übersetze den Text Schritt für Schritt in mathematische Symbole. Was bedeutet „Quotient“, „Summe“ und „vermindert um“? - Erinnere dich daran, dass die Definitionsmenge alle Zahlen enthält, die man einsetzen darf, ohne dass eine unzulässige Rechnung entsteht. - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 25? Gibt es mehr als eine Lösung?

1. Die Summe im Zähler ist \(k+5\). Der Divisor ist das Quadrat von \(k\) vermindert um \(25\), also \(k^2-25\). Damit lautet der Bruchterm \(\frac{k+5}{k^2-25}\). 2. Für die Definitionsmenge muss der Nenner von null verschieden sein. Daher löst man \(k^2-25=0\). 3. Aus \(k^2=25\) folgen \(k=5\) und \(k=-5\). 4. Diese beiden Werte gehören nicht zur Definitionsmenge, weil der Nenner dort null wird. 5. Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\).

a) \( \frac{k + 5}{k^2 - 25} \) b) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\). Die Werte \(-5\) und \(5\) gehören nicht zur Definitionsmenge, weil der Nenner dort null wird und eine Division durch null nicht definiert ist.

- Welche Werte darfst du für eine Variable im Nenner nicht einsetzen? - Setze bei b) den gegebenen Wert an jeder Stelle für \(x\) ein und vereinfache anschließend. - Prüfe bei c) nicht nur den Zähler, sondern auch den Nenner des ursprünglichen Terms.

1. Der Nenner eines Bruchterms darf nicht null sein. Da der Nenner hier \(x\) ist, muss \(x\neq0\) gelten. Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Für \(x=4\) ergibt sich \(\frac{4^2-4\cdot4}{4}=\frac{16-16}{4}=\frac{0}{4}=0\). 3. Für \(x=0\) wird zwar der Zähler null, aber auch der Nenner. Eine Division durch null ist nicht definiert. Deshalb hat der Term dort keinen Wert, insbesondere nicht den Wert null.

a) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) b) \(0\) c) Für \(x=0\) ist der Term nicht definiert, weil der Nenner null wird; eine Division durch null ist nicht erlaubt.

- Entscheidend ist nicht die Schreibweise \(x^2\) allein, sondern für welche x-Werte der gesamte Nenner null wird. - Löse für jeden Nenner die Gleichung „Nenner \(=0\)“. - Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.

1. Für Term \(A\) wird der Nenner \(x^2-16\) bei \(x^2=16\) null, also bei \(x=-4\) und \(x=4\). Damit ist \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-4;4\}\). 2. Für Term \(B\) wird der Nenner \(x^2\) genau bei \(x=0\) null. Damit ist \(D_B=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 3. Davids Behauptung ist falsch. Obwohl in beiden Nennern \(x^2\) vorkommt, fehlt bei \(B\) nur der Wert \(0\) in der Definitionsmenge.

\(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-4;4\}\) \(D_B=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) Davids Behauptung ist falsch.

- Lies zwei gut erkennbare Gitterpunkte der Geraden ab und bestimme daraus Steigung und y-Achsenabschnitt. - Ein offener Marker zeigt einen Punkt, der nicht zum Graphen gehört. - Der gesuchte ursprüngliche Term muss sich auf seiner Definitionsmenge zu der abgelesenen Geraden vereinfachen.

1. Aus dem Raster liest man für die Gerade die Steigung \(1\) und den y-Achsenabschnitt \(-2\) ab. Daher gilt an allen dargestellten Stellen \(t(x)=x-2\). 2. Die offene Stelle liegt bei \((0\mid-2)\). Da der ursprüngliche Nenner \(x\) ist, gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 3. Damit sich der Bruchterm für \(x\neq0\) zu \(x-2\) kürzt, muss im Zähler der Faktor \(x\) zusammen mit \(x-2\) stehen. Ein passender Term ist \(T(x)=\frac{x(x-2)}{x}\).

a) \(t(x)=x-2\) b) offene Stelle \((0\mid-2)\); \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) c) \(T(x)=\frac{x(x-2)}{x}\)

- Wie hängen die Zahlen, die man nicht einsetzen darf, mit dem Nenner zusammen? - Was muss für den Zähler gelten, damit der gesamte Bruch Null wird? - Nutze einen Platzhalter für einen noch unbekannten Faktor im Zähler. - Wie kannst du die letzte Bedingung nutzen, um den Platzhalter zu berechnen?

1. Aus \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;5\}\) folgt, dass ein passender Nenner die Faktoren \(x+2\) und \(x-5\) enthält. 2. Wegen der Nullstelle bei \(x=0\) muss der Zähler den Faktor \(x\) enthalten. Ansatz: \(f(x)=\frac{cx}{(x+2)(x-5)}\). 3. Aus \(f(1)=-\frac1{12}\) folgt \(\frac{c}{3\cdot(-4)}=-\frac1{12}\). 4. Daraus ergibt sich \(c=1\). 5. Ein möglicher Term ist \(f(x)=\frac{x}{(x+2)(x-5)}\).

Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{x}{(x+2)(x-5)}\).

- Prüfe getrennt die Nenner des Ausgangsausdrucks und den Wert, bei dem der gesamte Divisor null wird. - Nach dem Bilden des Kehrwerts können Faktoren ihre Position zwischen Zähler und Nenner wechseln. - Vergleiche für Teil 3 die Bedingungen der ursprünglichen Definitionsmenge mit den Nennerfaktoren des Endterms.

1. Der erste Nenner verlangt \(x\neq-1\). Im Divisor verlangt der Nenner \((x-1)(x+1)\neq0\), also \(x\neq1\) und \(x\neq-1\). Außerdem darf der gesamte Divisor nicht null sein; sein Zähler ist \(x\), daher gilt zusätzlich \(x\neq0\). Somit ist \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{1}{x+1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x}\). Für zulässige Werte kann \(x+1\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x-1}{x}\). 3. Der Ergebnisterm hat die maximale Definitionsmenge \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Werte \(-1\) und \(1\) sind dort nicht mehr als Nennernullstellen sichtbar, bleiben aber für den ursprünglichen Ausdruck ausgeschlossen: \(-1\) war Nennernullstelle, und \(1\) war Nennernullstelle des Divisors, bevor dessen Kehrwert gebildet wurde.

1. \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\) 2. \(\frac{x-1}{x}\) 3. \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Werte \(-1\) und \(1\) sind im Nenner des Ergebnisterms nicht mehr sichtbar, gehören aber weiterhin nicht zur ursprünglichen Definitionsmenge: \(-1\) machte einen ursprünglichen Nenner null, und bei \(x=1\) war der Divisor wegen seines Nenners nicht definiert. Auch \(0\) bleibt wegen des ursprünglichen Divisors unzulässig.