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- Überlege, welche mathematische Operation bei einem Bruch nicht erlaubt ist. - Was muss mit dem Nenner passieren, damit der gesamte Ausdruck „verboten“ ist? - Wie kannst du die Gleichung umstellen, um die kritische Zahl zu finden?

1. Den Nenner des Bruchterms gleich Null setzen: \(2x + 14 = 0\) 2. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(2x = -14 \Rightarrow x = -7\) 3. Der Term ist für \(x = -7\) nicht definiert. 4. Die Definitionsmenge \(D\) bestimmen, indem der gefundene Wert aus \(\mathbb{Q}\) ausgeschlossen wird: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-7\}\)

Nicht definiert für \(x = -7\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-7\}\).

- Wann darf ein Nenner eines Bruchs nicht null sein? - Kannst du im Zähler oder Nenner Klammern ausklammern oder binomische Formeln finden? - Vergleiche die Bedingungen für \(x\) vor und nach dem Kürzen.

1. Teilaufgabe a): Den Zähler mit der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}\). Durch Kürzen von \((x-5)\) erhält man den vereinfachten Term \(x+5\). 2. Definitionsmengen für a): Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=5\) null, also \(D_{\text{alt}} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). Der vereinfachte Term ist ein Polynom, also \(D_{\text{neu}} = \mathbb{R}\). Die Mengen sind unterschiedlich. 3. Teilaufgabe b): Faktorisieren und Multiplizieren: \(\frac{3(x+2)}{x} \cdot \frac{x^2}{x+2}\). Durch Kürzen von \((x+2)\) und \(x\) erhält man \(3x\). 4. Definitionsmengen für b): Die ursprünglichen Nenner werden bei \(x=0\) und \(x=-2\) null, also \(D_{\text{alt}} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\). Der vereinfachte Term hat \(D_{\text{neu}} = \mathbb{R}\). Die Mengen sind unterschiedlich.

a) Vereinfachter Term: \(x+5\); \(D_{\text{alt}} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\), \(D_{\text{neu}} = \mathbb{R}\). Die Definitionsmengen sind unterschiedlich. b) Vereinfachter Term: \(3x\); \(D_{\text{alt}} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\), \(D_{\text{neu}} = \mathbb{R}\). Die Definitionsmengen sind unterschiedlich.

- Schau dir den Zähler des Bruchs genau an. Kannst du dort eine Zahl ausklammern? - Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Vergleiche den Term vor und nach dem Kürzen. Ändert sich dadurch, welche Zahlen du einsetzen darfst?

1. Faktorisieren des Zählers im Bruch: \(4x - 12 = 4(x - 3)\). 2. Kürzen des Terms durch \((x - 3)\). Dies ist nur zulässig, wenn der Nenner nicht Null ist, also \(x \neq 3\). 3. Der Bruch vereinfacht sich zu \(4\). 4. Addition des verbleibenden Terms: \(4 + x\). 5. Bestimmung der Definitionsmengen: Für den ursprünglichen Term gilt \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). Der vereinfachte Term \(4 + x\) ist für alle reellen Zahlen definiert, also \(D_E = \mathbb{R}\).

Der vereinfachte Term ist \(x + 4\). Die Definitionsmengen sind \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{3\}\) und \(D_E = \mathbb{R}\).

- Wann darf ein Bruch nicht berechnet werden? - Schau dir den Nenner genau an und überlege, für welche Zahlen er den Wert Null ergibt. - Wie findet man die Nullstelle eines Bruchterms? - Welcher Teil des Bruchs bestimmt, welche Zahlen man einsetzen darf?

1. Den Nenner des Terms faktorisieren: \(x^2 + 3x = x \cdot (x + 3)\). 2. Die Nullstellen des Nenners bestimmen: \(x = 0\) und \(x = -3\). 3. Die maximale Definitionsmenge angeben: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 0\}\). 4. Begründung: Für diese Werte wird der Nenner gleich Null, was zu einer mathematisch nicht definierten Division durch Null führen würde. 5. Konstruktion eines alternativen Terms: Den Nenner beibehalten und den Zähler so verändern, dass eine andere Nullstelle (oder gar keine) entsteht, zum Beispiel \(S(x) = \frac{x+1}{x^2+3x}\) mit der Nullstelle \(x = -1\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 0\}\) b) Die Werte müssen ausgeschlossen werden, da der Nenner für \(x=0\) und \(x=-3\) Null wird und eine Division durch Null nicht definiert ist. c) Ein möglicher Term ist \(S(x) = \frac{x+1}{x^2+3x}\) (andere Lösungen wie \(\frac{1}{x^2+3x}\) sind ebenfalls korrekt).

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Vergleiche die Bedingungen, die eine Zahl erfüllen muss, um in den ersten oder den zweiten Term eingesetzt werden zu dürfen. - Was passiert an der Stelle \(x=0\), wenn du versuchst, sie in den ursprünglichen Term einzusetzen?

1. Bestimmung von \(D_A\): Im ursprünglichen Term steht \(x\) im Nenner. Da eine Division durch Null nicht definiert ist, muss \(x \neq 0\) gelten. Somit ist \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Vereinfachung des Terms: Durch Ausklammern von \(x\) im Zähler erhält man \(\frac{x \cdot (x-5)}{x}\). Nach dem Kürzen von \(x\) bleibt der Term \(x-5\) übrig. 3. Bestimmung von \(D_E\): Der Term \(x-5\) ist ein linearer Term ohne Nenner mit Variable. Er ist für alle reellen Zahlen definiert. Somit ist \(D_E = \mathbb{R}\). 4. Stellungnahme: Lukas' Aussage ist mathematisch nicht korrekt. Die Definitionsmenge eines Terms bezieht sich immer auf seine ursprüngliche Form. Durch das Kürzen kann sich die Definitionsmenge vergrößern (hier kommt die Stelle \(x=0\) hinzu), was zeigt, dass die Wahl des Terms für die Bestimmung von \(D\) entscheidend ist.

Lukas hat nicht recht. Die maximale Definitionsmenge des Anfangsterms ist \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), während die des vereinfachten Terms \(D_E = \mathbb{R}\) ist. Die Definitionsmenge muss immer am ursprünglichen Ausdruck bestimmt werden.

- Wann darf man durch eine Zahl nicht teilen? - Welches Vorzeichen muss der Nenner haben, damit ein Bruch mit negativem Zähler insgesamt positiv wird? - Wie verhält sich das Vorzeichen eines Bruchs, wenn Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen haben?

1. Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn der Nenner gleich Null ist. Wir lösen die Gleichung \(x + 4 = 0\) und erhalten \(x = -4\). 2. Damit der Bruch \(\frac{-12}{x+4}\) positiv ist, müssen Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben. Da der Zähler \(-12\) negativ ist, muss auch der Nenner \(x + 4\) negativ sein: \(x + 4 < 0\). Dies führt zu \(x < -4\). 3. Damit der Bruch negativ ist, müssen Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben. Da der Zähler negativ ist, muss der Nenner \(x + 4\) positiv sein: \(x + 4 > 0\). Dies führt zu \(x > -4\).

1. Nicht definiert für \(x = -4\). 2. Positiv für \(x < -4\). 3. Negativ für \(x > -4\).

- Welche Zahl darf man niemals im Nenner eines Bruches erhalten? - Wann ist ein Bruch als Ganzes gleich Null? Schau dir dazu den Zähler an. - Um einen Termwert zu berechnen, ersetzt du den Platzhalter durch die gegebene Zahl.

a) Bestimmung der Definitionsmenge durch Nullsetzen des Nenners: \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\). Ausschluss des Wertes führt zu \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). b) Bestimmung der Nullstelle durch Nullsetzen des Zählers: \(5x - 15 = 0 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3\). c) Berechnung des Termwertes durch Einsetzen: \(T(1) = \frac{5 \cdot 1 - 15}{1 + 4} = \frac{-10}{5} = -2\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) b) \(x = 3\) c) \(-2\)

- Was bedeutet das Divisionszeichen im Zusammenhang mit Brüchen? - Welcher Teil eines Bruches darf niemals den Wert Null ergeben? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, um herauszufinden, wann der untere Teil des Bruches Null wird? - Achte bei Aufgabe c) darauf, dass die Bedingung von zwei Variablen abhängt.

1. Umwandlung der Division \( A : B \) in die Bruchschreibweise \( \frac{A}{B} \). 2. Für Teilaufgabe a): Der Bruchterm lautet \( \frac{4x + 12}{x - 7} \). Der Nenner wird Null, wenn \( x - 7 = 0 \), also für \( x = 7 \). 3. Für Teilaufgabe b): Der Bruchterm lautet \( \frac{15}{3y + 12} \). Der Nenner wird Null, wenn \( 3y + 12 = 0 \). Durch Umformen \( 3y = -12 \) ergibt sich \( y = -4 \). 4. Für Teilaufgabe c): Der Bruchterm lautet \( \frac{a + 3}{a - b} \). Der Nenner wird Null, wenn \( a - b = 0 \), also für \( a = b \).

a) \( \frac{4x + 12}{x - 7} \); nicht definiert für \( x = 7 \). b) \( \frac{15}{3y + 12} \); nicht definiert für \( y = -4 \). c) \( \frac{a + 3}{a - b} \); nicht definiert für \( a = b \).

- Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Zähler Null ist? - Prüfe vor dem Rechnen immer, ob der Nenner für den gegebenen Wert Null wird. - Kannst du eine Zahl durch Null teilen? - Was ist der Unterschied zwischen einem Zähler, der Null ist, und einem Nenner, der Null ist?

1. Einsetzen von \( x = 5 \) in Aufgabenteil a): \( \frac{2 \cdot 5 - 10}{5 + 5} = \frac{10 - 10}{10} = \frac{0}{10} = 0 \). 2. Einsetzen von \( y = 3 \) in Aufgabenteil b): \( \frac{0}{3^2 + 4} = \frac{0}{9 + 4} = \frac{0}{13} = 0 \). 3. Einsetzen von \( z = 3 \) in Aufgabenteil c): Im Zähler ergibt sich \( 3 - 3 = 0 \), im Nenner \( 3^2 - 9 = 0 \). Da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist, besitzt der Bruchterm für \( z = 3 \) keinen Wert.

a) \( 0 \) b) \( 0 \) c) Nicht definiert, da der Nenner Null wird.

- Wann genau wird ein Bruch gleich Null? Muss dafür der Zähler oder der Nenner Null sein? - Überlege dir, welches Vorzeichen der Nenner \(x^2 + 1\) unabhängig von der Wahl von \(x\) immer hat. - Was passiert mit dem Zähler \(4x - 12\), wenn du für \(x\) Zahlen einsetzt, die größer als 3 sind? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Klammern beim Quadrieren.

1. Nullstellen finden: Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist. \(4x - 12 = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3\). 2. Vorzeichenanalyse für \(x > 3\): Der Nenner \(x^2 + 1\) ist für jede reelle Zahl \(x\) positiv, da ein Quadrat nie negativ ist und durch die Addition von 1 mindestens der Wert 1 erreicht wird. 3. Zähler für \(x > 3\): Wenn \(x > 3\), dann ist \(4x > 12\), folglich ist \(4x - 12 > 0\). Da Zähler und Nenner positiv sind, ist der gesamte Term positiv. 4. Einsetzen von \(x = -1\): \(T(-1) = \frac{4 \cdot (-1) - 12}{(-1)^2 + 1} = \frac{-4 - 12}{1 + 1} = \frac{-16}{2} = -8\).

a) Der Term ist Null für \(x = 3\). b) Der Nenner \(x^2 + 1\) ist stets positiv. Für \(x > 3\) ist auch der Zähler \(4x - 12\) positiv. Positiv durch positiv ergibt positiv. c) Für \(x = -1\) ergibt sich der Wert \(-8\).

- Überlege dir, welche mathematische Operation bei Brüchen verboten ist. - Konzentriere dich nur auf den unteren Teil des Bruchs, den Nenner. - Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern insgesamt Null? - Denke bei Quadraten daran, dass es oft zwei Lösungen geben kann.

1. Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn der Nenner den Wert Null annimmt. 2. Für a): Setze \(x+4 = 0\). Daraus folgt \(x = -4\). 3. Für b): Setze \(3x-15 = 0\). Durch Umformen erhält man \(3x = 15\) und somit \(x = 5\). 4. Für c): Setze \(x^2-16 = 0\). Daraus folgt \(x^2 = 16\), also \(x = 4\) oder \(x = -4\). 5. Für d): Setze \((x-3)(x+5) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist der Ausdruck Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also \(x-3 = 0 \implies x = 3\) oder \(x+5 = 0 \implies x = -5\).

a) \(x = -4\) b) \(x = 5\) c) \(x = 4\) und \(x = -4\) d) \(x = 3\) und \(x = -5\)

- Was passiert im Nenner eines Bruchs, wenn das Ergebnis der Rechnung dort Null ergibt? - Setze die Zahlen für die Variable ein und berechne zuerst das Ergebnis im Nenner. - Wann ist das Ergebnis einer Division zweier Zahlen negativ?

1. Prüfung des Nenners für \(x = 3\): Der Nenner wird \(3 - 3 = 0\). Da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist, darf \(x = 3\) nicht eingesetzt werden. 2. Berechnung der Termwerte: Für \(x = 0\): \(T(0) = \frac{15}{0 - 3} = \frac{15}{-3} = -5\). Für \(x = 4\): \(T(4) = \frac{15}{4 - 3} = \frac{15}{1} = 15\). Für \(x = 8\): \(T(8) = \frac{15}{8 - 3} = \frac{15}{5} = 3\). 3. Da bereits für \(x = 0\) der Wert \(-5\) berechnet wurde, kann der Termwert negativ werden. Dies geschieht immer dann, wenn der Nenner negativ ist, also für alle \(x < 3\).

a) Man darf nicht durch 0 teilen; für \(x=3\) wird der Nenner 0. b) \(T(0) = -5\); \(T(4) = 15\); \(T(8) = 3\). c) Ja, der Termwert kann negativ werden (z. B. \(-5\) bei \(x = 0\)).

- Überprüfe, welche Zahl man in \(T_1\) nicht einsetzen darf. - Was passiert, wenn du versuchst, \(T_1\) für \(x = -5\) zu berechnen? - Denke daran, dass eine Gleichheit von Termen auch die Gleichheit ihrer Definitionsmengen voraussetzt.

1. Definitionsmengen: Bei \(T_1\) darf der Nenner \(x+5\) nicht null sein, daraus folgt \(x \neq -5\), also \(D_1 = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\). \(T_2\) hat keine Einschränkungen, also \(D_2 = \mathbb{R}\). 2. Vereinfachung: Im Zähler von \(T_1\) wird \(x\) ausgeklammert: \(\frac{x(x+5)}{x+5}\). Für \(x \neq -5\) kann der Faktor \((x+5)\) gekürzt werden, es bleibt \(x\) übrig. Somit gilt \(T_1(x) = x\) für alle \(x \in D_1\). 3. Begründung: Für den speziellen Wert \(x = -5\) ist \(T_1\) nicht definiert (Division durch Null), während \(T_2(-5) = -5\) ein gültiges Ergebnis liefert. Da die Definitionsmengen nicht übereinstimmen, sind die Terme mathematisch nicht über dem gesamten Bereich der reellen Zahlen identisch.

a) \(D_1 = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\), \(D_2 = \mathbb{R}\). b) Durch Ausklammern von \(x\) im Zähler erhält man \(T_1(x) = \frac{x(x+5)}{x+5} = x\). c) An der Stelle \(x = -5\) ist \(T_1\) nicht definiert, \(T_2\) hingegen schon. Terme sind nur dann über \(\mathbb{R}\) identisch, wenn sie überall definiert sind und die gleichen Werte liefern.

- Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft beim Faktorisieren von Zählern oder Nennern. - Achte bei der Division darauf, dass weder ein Nenner noch der gesamte Divisor Null werden dürfen.

1. Division durch einen Bruch durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{a^2 - 25}{5a} \cdot \frac{10}{a - 5}\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler des ersten Bruchs: \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\). 3. Einsetzen und Kürzen: \(\frac{(a - 5)(a + 5) \cdot 10}{5a \cdot (a - 5)}\). 4. Der Faktor \((a - 5)\) kürzt sich heraus. Zudem lässt sich \(10 : 5 = 2\) berechnen. 5. Ergebnis: \(\frac{2(a + 5)}{a} = \frac{2a + 10}{a}\). 6. Definitionsmengen: Im Ursprungsterm muss \(a \neq 0\) gelten (erster Nenner). Außerdem muss \(a \neq 5\) gelten, da der Divisor nicht null sein darf. Somit ist \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{0; 5\}\). 7. Für den Ergebnisterm muss lediglich \(a \neq 0\) gelten, also \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Die Mengen sind unterschiedlich.

Der vereinfachte Term ist \(\frac{2a + 10}{a}\). Die Definitionsmengen sind unterschiedlich: \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{0; 5\}\) und \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

- Was bedeutet es, wenn ein Term an einer Stelle nicht definiert ist? - Kürzen verändert manchmal die Menge der Zahlen, die man einsetzen darf. - Prüfe, ob beide Terme für die Zahl 3 ein Ergebnis liefern. - Reicht es für die Gleichheit von Termen aus, wenn sie sich ineinander umformen lassen?

1. Definitionsmenge \(D_A\) bestimmen: Nenner \(x+4 = 0\) für \(x = -4\), also \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). 2. Definitionsmenge \(D_B\) bestimmen: Nenner \((x+4)(x-3) = 0\) für \(x = -4\) und \(x = 3\), also \(D_B = \mathbb{Q} \setminus \{-4; 3\}\). 3. Termwert von \(A\) bei \(x=3\) berechnen: \(A(3) = \frac{2}{3+4} = \frac{2}{7}\). 4. Termwert von \(B\) bei \(x=3\) prüfen: Da \(3\) nicht in \(D_B\) liegt, ist der Term an dieser Stelle nicht definiert. 5. Schlussfolgerung: Die Behauptung ist falsch. Zwar sind die Terme überall dort gleich, wo beide definiert sind, aber sie unterscheiden sich an der Stelle \(x = 3\). Identische Terme müssen dieselbe Definitionsmenge haben.

a) \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) und \(D_B = \mathbb{Q} \setminus \{-4; 3\}\). b) \(A(3) = \frac{2}{7}\); \(B(3)\) ist nicht definiert. c) Die Behauptung ist falsch, da die Terme unterschiedliche Definitionsmengen haben und somit an der Stelle \(x = 3\) nicht denselben Wert besitzen.

- Denk beim Subtrahieren an den Hauptnenner. - Kannst du im zweiten Teil Terme faktorisieren, bevor du multiplizierst? - Achte darauf, welche Werte im Nenner eine Division durch Null verursachen würden – vor und nach dem Kürzen.

1. Teilaufgabe a): - Gemeinsamer Nenner suchen: Der Hauptnenner ist \(2x\). - Erweitern und subtrahieren: \(\frac{6}{2x} - \frac{1}{2x} = \frac{5}{2x}\). - Definitionsmenge \(D_A\): Die Nenner \(x\) und \(2x\) dürfen nicht Null sein, also \(x \neq 0\). \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). - Definitionsmenge \(D_E\): Der Nenner \(2x\) darf nicht Null sein, also \(x \neq 0\). \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Teilaufgabe b): - Faktorisieren: \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) (3. Binomische Formel). - Multiplizieren und Kürzen: \(\frac{x-1}{x^2} \cdot \frac{3x}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x(x-1)}{x^2(x-1)(x+1)}\). - Kürzen von \((x-1)\) und \(x\): Resultat ist \(\frac{3}{x(x+1)}\). - Definitionsmenge \(D_A\): Nenner \(x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\). Nenner \(x^2-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) und \(x \neq -1\). \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{-1; 0; 1\}\). - Definitionsmenge \(D_E\): Nenner \(x(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\) und \(x \neq -1\). \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-1; 0\}\).

a) Ergebnis: \(\frac{5}{2x}\); \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). b) Ergebnis: \(\frac{3}{x(x+1)}\); \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{-1; 0; 1\}\); \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-1; 0\}\).

- Gibt es vielleicht mehr als eine Zahl, die beim Quadrieren den Wert 9 ergibt? - Wann genau wird die Definitionsmenge eines Terms festgelegt – vor oder nach dem Kürzen? - Was passiert im ursprünglichen Nenner, wenn du die Zahl 3 einsetzt?

1. Nenner gleich Null setzen: \(x^2 - 9 = 0\) 2. Gleichung lösen: \(x^2 = 9\), woraus folgt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\) 3. Definitionsmenge des ursprünglichen Terms: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\) 4. Zur Begründung: Die Definitionsmenge wird immer für den Term in seiner ursprünglichen, ungekürzten Form festgelegt. Eine Division durch Null ist an der Stelle \(x = 3\) im Originalterm nicht ausführbar, daher bleibt dieser Wert auch nach einer Vereinfachung aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

a) Nicht definiert für \(x = 3\) und \(x = -3\). b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\). c) Die Definitionsmenge bezieht sich immer auf die ursprüngliche Form des Terms. Da man im Originalterm bei \(x = 3\) durch Null teilen würde, muss dieser Wert ausgeschlossen bleiben, auch wenn eine Vereinfachung des Terms möglich ist.

- Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn du nur das Vorzeichen des Zählers änderst? - Suche zuerst die Stelle, an der der Nenner den Wert Null annimmt. - Überlege dir, ob der Zähler Einfluss auf die Definitionsmenge hat.

a) Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht Null sein. \(2x - 10 = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\). b) Negativitätsbedingung für \(B(x)\): Da der Zähler \(8\) positiv ist, ist der Bruch genau dann negativ, wenn der Nenner negativ ist. \(2x - 10 < 0 \implies 2x < 10 \implies x < 5\). c) Änderung des Zählers: Wenn der Zähler durch \(-8\) ersetzt wird, kehrt sich das Vorzeichenverhalten um. Der Term ist dann positiv, wenn der Nenner negativ ist (\(x < 5\)), und negativ, wenn der Nenner positiv ist (\(x > 5\)). Die Definitionslücke bei \(x = 5\) bleibt gleich.

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\) b) Der Term ist negativ für \(x < 5\). c) Das Vorzeichenverhalten kehrt sich um: Der Term wird für \(x < 5\) positiv und für \(x > 5\) negativ, da sich das Vorzeichen des Zählers ändert.

- Was weißt du über das Vorzeichen einer Quadratzahl wie \(x^2\)? - Wenn der Nenner eines Bruches immer positiv ist, wie entscheidet dann der Zähler über das Vorzeichen des Gesamtergebnisses? - Kann ein Zähler wie \(x^2 + 5\) jemals den Wert Null erreichen?

a) Überprüfung des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{Q}\), ist \(x^2 + 1 \geq 1\). Der Nenner wird nie null, daher ist der Term für alle \(x\) definiert (\(D = \mathbb{Q}\)). b) Vorzeichenanalyse: Da der Nenner \(x^2 + 1\) immer positiv ist, hängt das Vorzeichen nur vom Zähler \(x - 5\) ab. Der Term ist negativ für \(x < 5\), positiv für \(x > 5\) und gleich null für \(x = 5\). c) Analyse der Zähleränderung: Ein Bruch wird nur dann null, wenn der Zähler null ist. Der Ausdruck \(x^2 + 5\) ist jedoch stets \(\geq 5\) und besitzt keine Nullstelle in \(\mathbb{Q}\).

a) Da \(x^2 + 1\) für jede rationale Zahl mindestens 1 ist, wird der Nenner nie null. b) Negativ für \(x < 5\), positiv für \(x > 5\), null für \(x = 5\). c) Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist; \(x^2 + 5\) ist jedoch immer größer als null.

- Übersetze den Text Schritt für Schritt in mathematische Symbole. Was bedeutet „Quotient“, „Summe“ und „vermindert um“? - Erinnere dich daran, dass die Definitionsmenge alle Zahlen enthält, die man einsetzen darf, ohne dass eine unzulässige Rechnung entsteht. - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 25? Gibt es mehr als eine Lösung?

1. Aufstellen des Terms: Die Summe im Zähler ist \( k + 5 \). Der Nenner (der Divisor) ist das Quadrat von \( k \) vermindert um 25, also \( k^2 - 25 \). Der Bruchterm lautet \( \frac{k + 5}{k^2 - 25} \). 2. Bestimmung der Definitionslücken: Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn der Nenner Null ist. Es gilt die Bedingung \( k^2 - 25 = 0 \). 3. Lösen der Gleichung: \( k^2 = 25 \) führt zu den Lösungen \( k = 5 \) und \( k = -5 \). 4. Angabe der Definitionsmenge: Die Werte \( 5 \) und \( -5 \) müssen aus der Grundmenge \( \mathbb{Q} \) ausgeschlossen werden, da man nicht durch Null dividieren darf. 5. Ergebnis: \( D = \mathbb{Q} \setminus \{-5; 5\} \).

a) \( \frac{k + 5}{k^2 - 25} \) b) \( D = \mathbb{Q} \setminus \{-5; 5\} \). Die Werte \( 5 \) und \( -5 \) müssen ausgeschlossen werden, da der Nenner für diese Werte Null ergibt und eine Division durch Null nicht definiert ist.

- Welche Werte darf man für die Variable in einem Nenner nicht einsetzen? - Setze die Zahl für jedes \( x \) im Term ein und vereinfache Schritt für Schritt. - Erinnere dich an die Regel zur Division durch Null. - Gilt die Regel „Zähler Null ergibt Gesamtwert Null“ immer, oder gibt es Ausnahmen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner eines Bruchterms darf nicht Null sein. Da der Nenner hier \( x \) ist, muss \( x \neq 0 \) gelten. Somit ist \( \mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \). 2. Berechnung für \( x = 4 \): Einsetzen ergibt \( \frac{4^2 - 4 \cdot 4}{4} = \frac{16 - 16}{4} = \frac{0}{4} = 0 \). 3. Erklärung für \( x = 0 \): Obwohl der Zähler Null ergibt, ist der Wert \( x = 0 \) nicht in der Definitionsmenge enthalten, da der Nenner ebenfalls Null wird. Eine Division durch Null ist nicht definiert, weshalb der Term dort keinen Wert (auch nicht Null) annehmen kann.

a) \( \mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \) b) \( 0 \) c) Der Term ist für \( x = 0 \) nicht definiert, da der Nenner Null wird; eine Division durch Null ist unzulässig.

- Was passiert, wenn du eine Zahl quadrierst und dann 1 addierst? Kann das Ergebnis jemals Null sein? - Wenn eine Aufgabe aus zwei Brüchen besteht, darf keiner der Nenner Null werden. - Gibt es einen Unterschied zwischen dem Zähler und dem Nenner bei der Bestimmung der Definitionsmenge?

1. Zu a): Der Nenner \(x^2-9\) wird Null, wenn \(x^2 = 9\). Dies ist für \(x = 3\) und \(x = -3\) der Fall. 2. Zu b): Der Nenner ist \(x^2+1\). Da das Quadrat einer reellen Zahl \(x^2\) immer mindestens \(0\) ist, ist der Ausdruck \(x^2+1\) immer mindestens \(1\). Der Nenner kann also niemals Null werden. Somit ist der Term für alle reellen Zahlen definiert: \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\). 3. Zu c): Damit der Gesamtausdruck definiert ist, müssen alle Teilbrüche definiert sein. Der erste Nenner wird für \(x = 0\) Null, der zweite Nenner für \(x = 7\). Beide Werte müssen ausgeschlossen werden.

a) Nicht definiert für \(x = 3\) und \(x = -3\). b) \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\), da \(x^2+1 \geq 1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). c) Ausgeschlossen werden müssen \(x = 0\) und \(x = 7\).

- Wann ist ein Term in der Mathematik nicht definiert? - Überlege, welche Zahlen du für \(x\) quadrieren kannst, um \(16\) zu erhalten. - Gibt es eine rationale Zahl, deren Quadrat \(-16\) ergibt? - Reicht ein einziges Gegenbeispiel aus, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge für Term \(A\): Der Nenner \(x^2-16\) wird Null, wenn \(x^2=16\). Dies ist für \(x=4\) und \(x=-4\) der Fall. Somit ist \(\mathbb{D}_A = \mathbb{Q} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Bestimmung der Definitionsmenge für Term \(B\): Der Nenner \(x^2+16\) wird Null, wenn \(x^2=-16\). Da Quadrate rationaler Zahlen immer \(\ge 0\) sind, gibt es keine Lösung. Somit ist \(\mathbb{D}_B = \mathbb{Q}\). 3. Beurteilung: Die Behauptung des Schülers ist falsch. Wie Term \(B\) zeigt, gibt es Fälle mit \(x^2\) im Nenner, bei denen keine Zahl ausgeschlossen werden muss.

Für Term \(A\) ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-4; 4\}\). Für Term \(B\) ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q}\). Die Behauptung des Schülers ist falsch, da es Terme mit \(x^2\) im Nenner gibt, die für alle rationalen Zahlen definiert sind.

- Wie muss ein Nenner aussehen, damit er genau bei einer bestimmten Zahl Null wird? - Nutze einen Platzhalter im Zähler und setze die gegebenen Werte ein, um diesen zu berechnen. - Überlege dir, ob der Ausdruck im Nenner für irgendeine Zahl jemals den Wert Null annehmen kann.

1. Konstruktion für Teil a): Um die Zahl \(2\) aus der Definitionsmenge auszuschließen, muss der Nenner für \(x = 2\) Null werden. Ein möglicher Ansatz ist \(h(x) = \frac{1}{x - 2}\). 2. Anpassung für Teil b): Ansatz \(h(x) = \frac{k}{x - 2}\). Einsetzen des Punktes \((3|10)\): \(10 = \frac{k}{3 - 2} \Rightarrow 10 = \frac{k}{1} \Rightarrow k = 10\). Die Gleichung lautet \(h(x) = \frac{10}{x - 2}\). 3. Analyse für Teil c): Der neue Nenner ist \(x^2 + 1\). Da das Quadrat einer rationalen Zahl \(x^2\) immer größer oder gleich Null ist, ist der Ausdruck \(x^2 + 1\) immer mindestens \(1\). Er kann also niemals Null werden. Folglich gibt es keine Einschränkungen mehr und die Definitionsmenge erweitert sich auf alle rationalen Zahlen: \(D = \mathbb{Q}\).

a) Zum Beispiel \(h(x) = \frac{1}{x - 2}\). b) \(h(x) = \frac{10}{x - 2}\). c) Die Definitionsmenge wäre dann \(D = \mathbb{Q}\). Begründung: Der Term \(x^2 + 1\) ist für jede rationale Zahl stets größer oder gleich \(1\) und kann daher niemals Null werden.

- Nutze die binomischen Formeln, um den Nenner des zweiten Bruchs zu faktorisieren. - Kannst du den zweiten Bruch einzeln kürzen, bevor du die Subtraktion durchführst? - Achte darauf, welche Werte von Anfang an ausgeschlossen werden müssen.

1. Nenner analysieren: Der zweite Nenner \(x^2 - 1\) lässt sich nach der dritten binomischen Formel in \((x-1)(x+1)\) zerlegen. 2. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner werden null für \(x=1\) und \(x=-1\). Daher ist \(D_{\text{alt}} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). 3. Kürzen des zweiten Bruchs: \(\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}\) für \(x \neq -1\). 4. Subtraktion durchführen: \(\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-1}\). 5. Vergleich der Definitionsmengen: Der vereinfachte Term \(\frac{1}{x-1}\) hat die Definitionsmenge \(D_{\text{neu}} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Die Definitionsmenge hat sich vergrößert, da die Einschränkung \(x \neq -1\) im vereinfachten Term nicht mehr erforderlich ist, um eine Division durch Null zu vermeiden.

Der vereinfachte Term ist \(\frac{1}{x-1}\). Die ursprüngliche Definitionsmenge ist \(D_{\text{alt}} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Die Definitionsmenge des vereinfachten Terms ist \(D_{\text{neu}} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Sie hat sich vergrößert.

- Versuche, jeden der beiden Brüche einzeln zu vereinfachen, bevor du sie subtrahierst. - Was passiert mit einem Bruch, wenn sein Nenner den Wert Null annimmt? - Warum muss ein Faktor, den du kürzt, von null verschieden sein?

1. Vereinfachung des ersten Bruchs: Ausklammern von \(b\) im Zähler ergibt \(\frac{b(b + 2)}{b}\). Kürzen von \(b\) (für \(b \neq 0\)) ergibt \(b + 2\). 2. Vereinfachung des zweiten Bruchs: Faktorisieren des Zählers mit der dritten binomischen Formel ergibt \(\frac{(b - 2)(b + 2)}{b - 2}\). Kürzen von \((b - 2)\) (für \(b \neq 2\)) ergibt \(b + 2\). 3. Subtraktion der vereinfachten Teile: \((b + 2) - (b + 2) = 0\). 4. Der vereinfachte Term ist konstant \(0\). 5. Definitionsmenge des Ursprungsterms: Da die Nenner \(b\) und \(b - 2\) vorkommen, ist der Term für \(b = 0\) und \(b = 2\) nicht definiert. 6. Auch wenn das Ergebnis \(0\) suggeriert, dass jeder Wert eingesetzt werden kann, verbietet die ursprüngliche Struktur des Terms diese beiden Stellen, da dort eine Division durch Null vorläge.

Der vereinfachte Term ist \(0\). Für \(b = 0\) und \(b = 2\) ist der ursprüngliche Term nicht definiert, da in diesen Fällen mindestens einer der Nenner Null wird. Eine Division durch null ist nicht erlaubt; die spätere Vereinfachung ändert die ursprüngliche Definitionsmenge nicht.

- Wie hängen die Zahlen, die man nicht einsetzen darf, mit dem Nenner zusammen? - Was muss für den Zähler gelten, damit der gesamte Bruch Null wird? - Nutze einen Platzhalter für einen noch unbekannten Faktor im Zähler. - Wie kannst du die letzte Bedingung nutzen, um den Platzhalter zu berechnen?

1. Nennerstruktur festlegen: Aus den Definitionslücken \(-2\) und \(5\) ergibt sich der Nenner \((x+2) \cdot (x-5)\). 2. Zählerstruktur festlegen: Da bei \(x=0\) eine Nullstelle vorliegt, muss der Zähler den Faktor \(x\) enthalten. Ansatz: \(f(x) = \frac{c \cdot x}{(x+2)(x-5)}\) mit einer Konstanten \(c\). 3. Bedingung für \(x=1\) nutzen: \(f(1) = \frac{c \cdot 1}{(1+2) \cdot (1-5)} = \frac{c}{3 \cdot (-4)} = \frac{c}{-12}\). 4. Gleichung lösen: \(\frac{c}{-12} = -\frac{1}{12}\) ergibt \(c = 1\). 5. Den fertigen Term aufstellen: \(f(x) = \frac{x}{(x+2)(x-5)}\) oder \(f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x - 10}\).

Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{x}{(x+2)(x-5)}\).

- Bei einer Division durch einen Bruch musst du drei Dinge prüfen: die Nenner beider Brüche und den Zähler des Divisors. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Was passiert mit den Definitionslücken, wenn du einen Faktor im Zähler und Nenner wegstreichst?

1. Definitionsbedingungen für \(A(x)\): - Erster Nenner: \(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\). - Zweiter Nenner (im Divisor): \(x^2-1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) und \(x \neq -1\). - Der gesamte Divisor darf nicht Null sein: \(\frac{x}{x^2-1} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\). Daraus folgt \(D_A = \mathbb{R} \setminus \{-1; 0; 1\}\). 2. Vereinfachung: - Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{1}{x+1} \cdot \frac{x^2-1}{x}\). - Anwendung der 3. Binomischen Formel: \(\frac{1}{x+1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}\). - Kürzen von \((x+1)\): Es bleibt \(\frac{x-1}{x}\). 3. Vergleich der Definitionsmengen: - Das Ergebnis \(\frac{x-1}{x}\) hat nur die Bedingung \(x \neq 0\). Somit ist \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). - Die Werte \(x = -1\) und \(x = 1\) sind in der Definitionsmenge des Endergebnisses nicht mehr als problematisch erkennbar. Dies liegt daran, dass durch das Bilden des Kehrwerts und das anschließende Kürzen die Faktoren im Nenner, die für diese Werte Null wurden, eliminiert wurden.

1. Nicht definiert für \(x \in \{-1; 0; 1\}\). 2. Vereinfachter Term: \(\frac{x-1}{x}\). 3. Im Ergebnis ist nur noch \(x=0\) ausgeschlossen. Die Werte \(x=1\) und \(x=-1\) sind „verschwunden“, da die entsprechenden Faktoren im Nenner durch Umformung und Kürzen weggefallen sind.

- Bei Teil a): Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Schau dir die Faktoren einzeln an. - Bei Teil b): Kann das Quadrat einer Zahl plus 1 jemals den Wert Null ergeben? Probiere verschiedene Zahlen für \(x\) im Kopf aus.

1. Teilaufgabe a): Den Nenner \(x \cdot (x - 1{,}5) = 0\) setzen. Nach dem Nullprodukt-Satz ist ein Produkt null, wenn einer der Faktoren null ist. 2. Faktoren prüfen: \(x = 0\) oder \(x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow x = 1{,}5\). 3. Definitionsmenge für a): \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1{,}5\}\). 4. Teilaufgabe b): Den Nenner \(x^2 + 1 = 0\) setzen. 5. Gleichung prüfen: \(x^2 = -1\). Da das Quadrat einer rationalen Zahl niemals negativ sein kann, gibt es keine Lösung in \(\mathbb{Q}\). 6. Definitionsmenge für b): Der Nenner wird nie Null, daher ist \(D = \mathbb{Q}\).

a) Nicht definiert für \(x = 0\) und \(x = 1{,}5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1{,}5\}\). b) Es gibt keinen Wert für \(x\), für den der Nenner Null wird. Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q}\).