Kostenlose Arbeitsblätter

- Was bedeutet „mit \(5\) erweitern“ für Zähler und Nenner gleichzeitig? - Der Wert des Bruchs soll sich beim Erweitern nicht ändern.

1. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben von null verschiedenen Faktor multipliziert. 2. Es gilt \(\frac{3}{2x}\cdot\frac{5}{5}=\frac{15}{10x}\).

\(\frac{15}{10x}\)

- Zerlege Zähler und Nenner gedanklich in gemeinsame Faktoren. - Welche gemeinsamen Faktoren dürfen unter der angegebenen Bedingung gekürzt werden?

1. Zähler und Nenner besitzen gemeinsame Faktoren; wegen \(x\neq0\) darf auch der Faktor \(x\) gekürzt werden. 2. Nach vollständigem Kürzen bleibt \(\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Vergleiche zuerst die beiden Zähler. - Prüfe anschließend, ob derselbe Faktor auch den Nenner verändert hat.

1. Der Zähler \(2\) wurde zu \(10\). Dafür wurde mit \(5\) multipliziert. 2. Im Nenner wurde aus \(x\) entsprechend \(5x\). Also wurde Zähler und Nenner mit demselben Faktor \(5\) multipliziert. 3. Der Erweiterungsfaktor ist \(5\).

Erweiterungsfaktor: \(5\). Der Zähler wird von \(2\) zu \(10\) und der Nenner von \(x\) zu \(5x\); beide werden also mit demselben Faktor \(5\) multipliziert.

- Suche in Zähler oder Nenner nach einer Zahl oder Variablen, die du als gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. - Kürzen darfst du nur gemeinsame Faktoren des gesamten Zählers und Nenners, nicht einzelne Summanden. - Behalte die im Aufgabentext angegebenen Bedingungen für die Definitionsmenge auch nach dem Kürzen bei.

1. In a) ergibt das Ausklammern von \(5\) im Zähler \(5(a-b)\). Kürzen des gemeinsamen Faktors \(5\) führt zu \(\frac{a-b}{2a}\). 2. In b) gilt \(x^2+2x=x(x+2)\). Nach dem Kürzen des gemeinsamen Faktors \(x\) bleibt \(x+2\). 3. In c) gilt \(3y+6=3(y+2)\). Nach dem Kürzen des gemeinsamen Faktors \(3\) bleibt \(\frac{y}{y+2}\). 4. In d) gilt \(2z-4=2(z-2)\). Der gemeinsame Faktor \(z-2\) kann gekürzt werden; es bleibt \(2\).

a) \(\frac{a-b}{2a}\) b) \(x+2\) c) \(\frac{y}{y+2}\) d) \(2\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine Zahl ausklammern? - Gibt es gemeinsame Variablen in Zähler und Nenner, die man kürzen kann? - Achte darauf, dass du nur aus Produkten kürzt, nicht aus Summen. - Siehst du Klammerausdrücke, die identisch sind?

1. Kürzen von \(\frac{14x}{21x^2}\): Den Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler \(7x\) dividieren. Ergebnis: \(\frac{2}{3x}\). 2. Kürzen von \(\frac{8a - 12}{4}\): Im Zähler den Faktor \(4\) ausklammern: \(4 \cdot (2a - 3)\). Den Faktor \(4\) gegen den Nenner kürzen. Ergebnis: \(2a - 3\). 3. Kürzen von \(\frac{x + 2}{2x + 4}\): Im Nenner den Faktor \(2\) ausklammern: \(2 \cdot (x + 2)\). Den gesamten Term \((x + 2)\) kürzen. Ergebnis: \(\frac{1}{2}\). 4. Kürzen von \(\frac{5y - 7}{10y - 14}\): Im Nenner den Faktor \(2\) ausklammern: \(2 \cdot (5y - 7)\). Den gesamten Term \((5y - 7)\) kürzen. Ergebnis: \(\frac{1}{2}\).

a) \(\frac{2}{3x}\) b) \(2a - 3\) c) \(\frac{1}{2}\) d) \(\frac{1}{2}\)

- Berechne zuerst den Wert des Bruchs ganz normal mit den gegebenen Zahlen. - Überlege dann, welches Ergebnis Lisas vorgeschlagenes „Wegstreichen“ der 5 liefern würde. - Vergleiche die beiden Ergebnisse. - Achte darauf, ob die 5 mit einem Malzeichen oder einem Pluszeichen mit dem Rest des Terms verbunden ist.

1. Einsetzen von \(a=5\) und \(b=10\) in die Terme: a) \(\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 10} = \frac{25}{50} = 0{,}5\). Ohne die Fünfen: \(\frac{a}{b} = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Das Ergebnis ist gleich. b) \(\frac{5 + 5}{5 + 10} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\). Ohne die Fünfen: \(\frac{a}{b} = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Die Ergebnisse unterscheiden sich. c) \(\frac{5 \cdot (5 + 1)}{5} = \frac{30}{5} = 6\). Ohne die Fünf: \(a + 1 = 5 + 1 = 6\). Das Ergebnis ist gleich. 2. Schlussfolgerung: Kürzen ist nur erlaubt, wenn die Zahl ein Faktor im gesamten Zähler und im gesamten Nenner ist (wie in a und c). Einzelne Summanden einer Summe (wie in b) dürfen nicht gekürzt werden.

a) Kürzen möglich (Ergebnis \(0{,}5\)). b) Kürzen nicht möglich (Werte \(\frac{2}{3}\) und \(0{,}5\) sind verschieden). c) Kürzen möglich (Ergebnis \(6\)). Man darf nur gemeinsame Faktoren des gesamten Zählers und Nenners kürzen. In Summen ist das Kürzen einzelner Summanden falsch.

- Denke an den Unterschied zwischen einem Produkt und einer Summe. - Versuche, den Nenner jeweils als Produkt zu schreiben. Geht das bei beiden Beispielen? - Entscheidend ist nicht, ob derselbe Buchstabe vorkommt, sondern ob derselbe Faktor den gesamten Zähler und Nenner teilt.

1. Untersuchung von \(\frac{x}{x^2}\): Für \(x\neq0\) gilt \(x^2=x\cdot x\). Damit liegt im Nenner ein Produkt vor, und man kann durch den gemeinsamen Faktor \(x\) kürzen: \(\frac{x}{x\cdot x}=\frac{1}{x}\). Eine Vereinfachung ist möglich. 2. Untersuchung von \(\frac{x}{x+1}\): Im Nenner steht eine Summe. Da \(x\) kein Faktor des gesamten Nenners ist, kann nicht gekürzt werden. 3. Fazit: Die Aussage ist falsch. Das Vorkommen derselben Variablen reicht nicht aus; sie muss in Zähler und Nenner als Faktor auftreten, nicht nur als Summand.

Mikas Aussage ist falsch. Während man \(\frac{x}{x^2}\) für \(x\neq0\) zu \(\frac{1}{x}\) kürzen kann, lässt sich \(\frac{x}{x+1}\) nicht durch Kürzen vereinfachen. Kürzen ist nur bei gemeinsamen Faktoren möglich, nicht bei Summanden.

- Vergleiche in a) den vorhandenen Nenner mit dem gewünschten Nenner. - Vergleiche in b) den vorhandenen Zähler mit dem gewünschten Zähler. - Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben von null verschiedenen Faktor multipliziert werden.

1. Für a) ist der Erweiterungsfaktor \(4y\). Damit gilt \(\frac{5}{3y}=\frac{20y}{12y^2}\). 2. Für b) ist der Erweiterungsfaktor \(2y^3\). Damit gilt \(\frac{5}{3y}=\frac{10y^3}{6y^4}\). 3. Die Bedingung \(y\neq0\) stammt aus dem ursprünglichen Nenner und bleibt beim Erweitern bestehen.

a) \(\frac{20y}{12y^2}\) b) \(\frac{10y^3}{6y^4}\) Für die Definitionsmenge gilt \(y\neq0\).

- Prüfe zuerst beide Ausgangsnenner auf Nullstellen. - Für einen gemeinsamen Nenner kannst du hier die beiden unterschiedlichen Nennerfaktoren zusammennehmen. - Überlege für jeden Bruch, welcher Faktor im Nenner noch fehlt, und multipliziere damit auch den Zähler.

1. Die Ausgangsnenner dürfen nicht null sein. Daher gilt \(x\neq-2\) und \(x\neq0\). 2. Ein gemeinsamer Nenner ist \(x(x+2)=x^2+2x\). 3. Der erste Bruch wird mit \(x\) erweitert: \(\frac{3}{x+2}=\frac{3x}{x^2+2x}\). 4. Der zweite Bruch wird mit \(x+2\) erweitert: \(\frac{2}{x}=\frac{2(x+2)}{x(x+2)}=\frac{2x+4}{x^2+2x}\).

a) \(x\neq0\), \(x\neq-2\); gemeinsamer Nenner: \(x(x+2)=x^2+2x\). b) \(\frac{3x}{x^2+2x}\) und \(\frac{2x+4}{x^2+2x}\).

- Suche im gesamten Zähler nach einem gemeinsamen Zahlen- und Variablenfaktor. - Schreibe den Zähler als Produkt, bevor du kürzt. - Prüfe, ob der gemeinsame Faktor aufgrund der gegebenen Bedingungen tatsächlich von null verschieden ist.

1. Im Zähler lässt sich \(7ab\) ausklammern: \(14a^2b-21ab^2=7ab(2a-3b)\). 2. Damit wird der Bruch zu \(\frac{7ab(2a-3b)}{7ab}\). 3. Wegen \(a\neq0\) und \(b\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(7ab\) gekürzt werden. Es bleibt \(2a-3b\).

\(2a-3b\) für \(a\neq0\) und \(b\neq0\).

- Welche Zahl und welche Variable kommen als Faktor in beiden Summanden des Zählers vor? - Schreibe anschließend auch den Nenner als Produkt. - Prüfe, ob der Faktor, den du kürzen möchtest, aufgrund der gegebenen Bedingung von null verschieden ist.

1. Im Zähler lässt sich \(6x\) ausklammern: \(12x^2-18x=6x(2x-3)\). 2. Der Nenner ist \(6x^2=6x\cdot x\). 3. Wegen \(x\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(6x\) gekürzt werden. 4. Es bleibt \(\frac{2x-3}{x}\).

\(\frac{2x-3}{x}\) für \(x\neq0\).

- Welche vollständigen Faktoren stehen in Zähler und Nenner? - Kürze nur einen Faktor, der im gesamten Zähler und Nenner vorkommt. - Behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bei.

1. Für \(x\neq2\) kann ein Faktor \(x-2\) gekürzt werden. 2. Es bleibt \(\frac{5(x+2)}{x-2}\). 3. Für die ursprüngliche Definitionsmenge gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

\(\frac{5(x+2)}{x-2}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\)

- Suche im gesamten Nenner nach einem gemeinsamen Faktor. - Schreibe den Nenner als Produkt, bevor du kürzt. - Prüfe, ob der gemeinsame Faktor aufgrund der gegebenen Bedingungen von null verschieden ist.

1. Im Nenner lässt sich \(3y\) ausklammern: \(3y^2-6y=3y(y-2)\). 2. Damit lautet der Bruch \(\frac{12y}{3y(y-2)}\). 3. Wegen \(y\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(3y\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{4}{y-2}\). 4. Die ursprünglichen Bedingungen \(y\neq0\) und \(y\neq2\) bleiben für den Ausgangsterm bestehen.

\(\frac{4}{y-2}\) für den ursprünglichen Term mit \(y\neq0\) und \(y\neq2\).

- Welcher Klammerfaktor steht vollständig in Zähler und Nenner? - Kürze nur vollständige Faktoren. - Behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bei.

1. Für \(x\neq-5\) kann der Faktor \(x+5\) gekürzt werden. 2. Es bleibt \(\frac{x-5}{2}\). 3. Die ursprüngliche Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5\}\).

\(\frac{x-5}{2}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5\}\)

- Schreibe die Potenz im Zähler bei Bedarf als Produkt zweier gleicher Faktoren. - Welcher vollständige Faktor kommt in Zähler und Nenner vor? - Die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt nach dem Kürzen bestehen.

1. Für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge kann ein Faktor \(a+b\) gekürzt werden. 2. Es bleibt \(\frac{a+b}{a-b}\). 3. Die ursprüngliche Definitionsmenge wird durch \(a\neq-b\) und \(a\neq b\) beschrieben.

\(\frac{a+b}{a-b}\) für \(a\neq-b\) und \(a\neq b\)

- Versuche zuerst, den Zähler in eine Produktform zu bringen. - Welche Faktoren kommen sowohl im gesamten Zähler als auch im Nenner vor? - Denk daran, dass man in Brüchen nur Faktoren kürzen darf, keine einzelnen Summanden.

1. Aus dem Nenner folgt \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a\neq0,\ b\neq0\}\). 2. Der größte gemeinsame Faktor der beiden Zählersummanden \(20a^4b^3\) und \(30a^3b^4\) ist \(10a^3b^3\). 3. Daher ist der Zähler \(10a^3b^3(2a-3b)\). 4. Für Werte aus \(D\) kann der Faktor \(10a^3b^3\) gekürzt werden. Es bleibt \(2a-3b\).

\(2a - 3b\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Prüfe zuerst, bei welchem Wert die ursprünglichen Nenner null werden. - Suche in Zähler und Nenner nach gemeinsamen Faktoren, die für zulässige Werte gekürzt werden dürfen. - Vergleiche erst die vollständig vereinfachten Terme miteinander.

1. Beide Nenner werden für \(x=2\) null. Daher ist die gemeinsame Definitionsmenge \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Für \(x\neq2\) gilt \(A(x)=x+3+1=x+4\). 3. Außerdem ist \(2x-4=2(x-2)\). Daher gilt für \(x\neq2\): \(B(x)=\frac{2(x-2)(x+4)}{2(x-2)}=x+4\). 4. Somit liefern beide Bruchterme auf ihrer gemeinsamen Definitionsmenge denselben Wert.

\(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); für alle \(x\in D\) gilt \(A(x)=B(x)=x+4\).

- Welche bekannte Faktorisierung passt zu \(x^2-9\)? - Vergleiche nach dem Faktorisieren, wie oft der Faktor \(x-3\) im Zähler und im Nenner vorkommt. - Beurteile die zulässigen Werte immer anhand des ursprünglichen Bruchterms.

1. Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). 2. Für \(x\neq3\) folgt daher \(k(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}\). Miras Behauptung ist richtig. 3. Genau ein Faktor \(x-3\) aus dem Zähler wird mit einem der beiden gleichen Faktoren im Nenner gekürzt. 4. Der Wert \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist. Kürzen verändert die Definitionsmenge des ursprünglichen Bruchterms nicht.

a) Genau ein Faktor \(x-3\) wird gekürzt. b) \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist.

- Welcher Faktor im Dividenden kommt auch als Divisor vor? - Du kannst das Distributivgesetz rückwärts anwenden, bevor du kürzt. - Prüfe vor jedem Kürzen, ob der betreffende Divisor null werden kann.

1. Ausklammern von \(18\) ergibt \((18a + 18b) : 18 = 18 \cdot (a + b) : 18 = a + b\). 2. Für \(p \neq 0\) kann \(p\) ausgeklammert und gekürzt werden: \((mp + np) : p = p \cdot (m + n) : p = m + n\). 3. Ausklammern von \(7\) ergibt \((35x - 21y) : 7 = 7 \cdot (5x - 3y) : 7 = 5x - 3y\). 4. Für \(u - v \neq 0\) kann der gemeinsame Faktor gekürzt werden: \(12 \cdot (u - v) : (u - v) = 12\).

1) \(a + b\) 2) \(m + n\) für \(p \neq 0\) 3) \(5x - 3y\) 4) \(12\) für \(u - v \neq 0\)

- Kürze nur vollständige gemeinsame Faktoren. - Bei 4) sind \(1-b\) und \(b-1\) Gegenterme. - Die angegebenen Bedingungen bleiben während der Vereinfachung bestehen.

1. In 1) kann \(x+3\) gekürzt werden. Es bleibt \(x-3\). 2. In 2) kann \(4-y\) gekürzt werden. Es bleibt \(4+y\). 3. In 3) kann \(2a+5\) gekürzt werden. Es bleibt \(2a-5\). 4. In 4) gilt \(1-b=-(b-1)\). Daher ergibt der Quotient \(-(b+1)=-b-1\).

1) \(x-3\) 2) \(4+y\) 3) \(2a-5\) 4) \(-b-1\)

- Schreibe ein Quadrat bei Bedarf als Produkt zweier gleicher Faktoren. - Ein Faktor darf nur gekürzt werden, wenn er nicht null ist. - Prüfe in c), ob \(y^2+1\) für ein rationales \(y\) null werden kann.

1. In a) gilt für \(x\neq-7\): \((x+7)^2:(x+7)=x+7\). 2. In b) gilt für \(2a-3b\neq0\): \((2a-3b)^2:(2a-3b)=2a-3b\). 3. In c) ist \(y^2+1\) für jedes rationale \(y\) positiv und damit von null verschieden. Daher bleibt \(y^2+1\).

a) \(x+7\) für \(x\neq-7\) b) \(2a-3b\) für \(2a-3b\neq0\) c) \(y^2+1\) für alle \(y\in\mathbb{Q}\)

- Vereinfache die beiden Quotienten zunächst getrennt. - Schreibe die Quadrate bei Bedarf als Produkte. - Fasse die beiden verbleibenden Terme erst danach zusammen.

1. Der erste Quotient vereinfacht sich zu \(k-8\). 2. Der zweite Quotient vereinfacht sich zu \(k+8\). 3. Zusammen ergibt das \((k-8)+(k+8)=2k\).

\(2k\)

- Überlege, durch welche Zahlen und Variablen du Zähler und Nenner gleichzeitig teilen kannst. - Achte beim Kürzen von Potenzen genau auf die Exponenten. - Vergleiche die vereinfachten Formen nur für Variablenwerte, für die alle verglichenen Ausgangsterme definiert sind.

1. Kürzen von Term A: Division von Zähler und Nenner durch den gemeinsamen Faktor \(5xy\) führt zu \(\frac{3x}{4y}\). Dabei gelten \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\). 2. Term B ist bereits vollständig gekürzt und lautet \(\frac{3x}{4y}\); hier gilt \(y \neq 0\). 3. Kürzen von Term C: Division von Zähler und Nenner durch den gemeinsamen Faktor \(3x^2\) ergibt \(\frac{3x}{4y}\). Dabei gelten \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\). 4. Kürzen von Term D: Division von Zähler und Nenner durch \(2\) ergibt \(\frac{3x^2}{4y^2}\); hier gilt \(y \neq 0\). 5. Auf der gemeinsamen Definitionsmenge \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) haben die Terme A, B und C denselben Wert. Term D ist im Allgemeinen nicht wertgleich mit ihnen.

Auf der gemeinsamen Definitionsmenge \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) sind die Terme A, B und C wertgleich; ihre vereinfachte Form ist \(\frac{3x}{4y}\). Term D vereinfacht sich zu \(\frac{3x^2}{4y^2}\) und ist im Allgemeinen nicht wertgleich mit ihnen.

- Suche im Zähler und Nenner nach gemeinsamen Faktoren. - Potenzgesetze können dir helfen, wenn Variablen mit Hochzahlen vorkommen. - Klammerausdrücke können wie eine einzige Variable behandelt werden, wenn sie identisch sind. - Achte darauf, dass du beim Kürzen von Variablen im Nenner keine 1 vergisst, falls der gesamte Zähler wegfällt.

1. In a) werden Zähler und Nenner durch \(5x^2y^2\) geteilt. Es ergibt sich \(\frac{3x}{4y^2}\). 2. In b) werden Zähler und Nenner durch \(3(a+b)\) geteilt. Es ergibt sich \(\frac{2(a+b)}3\). 3. In c) werden Zähler und Nenner durch \(4u(v-3)\) geteilt. Der Faktor \(v-3\) kürzt sich vollständig; es bleibt \(\frac1{2u}\). 4. Die ursprünglichen Definitionsmengen sind: a) \(D=\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2\mid x\neq0,\ y\neq0\}\); b) \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a+b\neq0\}\); c) \(D=\{(u,v)\in\mathbb{Q}^2\mid u\neq0,\ v\neq3\}\).

a) \(\frac{3x}{4y^2}\), \(D=\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2\mid x\neq0,\ y\neq0\}\) b) \(\frac{2(a+b)}3\), \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a+b\neq0\}\) c) \(\frac1{2u}\), \(D=\{(u,v)\in\mathbb{Q}^2\mid u\neq0,\ v\neq3\}\)

- Betrachte die Zahlenkoeffizienten und jede Variable einzeln. - Wie lauten die Rechenregeln für Potenzen, wenn man sie dividiert? - Was passiert mit dem Exponenten einer Variablen, wenn die Potenz im Nenner größer ist als im Zähler? - Kannst du den Bruch in ein Produkt aus mehreren kleinen Brüchen zerlegen?

1. In a) werden Zähler und Nenner durch \(5x^2y^2\) geteilt. Es bleibt \(\frac{3x}{2y^2}\). 2. In b) werden Zähler und Nenner durch \(4a^3b^3\) geteilt. Es bleibt \(\frac{a^2}{3b^3}\). 3. In c) werden Zähler und Nenner durch \(9pq^2\) geteilt. Es bleibt \(\frac{2pq^2}{3}\). 4. In d) werden Zähler und Nenner durch \(z^4w^3\) geteilt. Es bleibt \(\frac{z^3}{w^2}\). 5. Die ursprünglichen Definitionsmengen ergeben sich jeweils aus den Nennern: a) \(x\neq0,\ y\neq0\); b) \(a\neq0,\ b\neq0\); c) \(p\neq0,\ q\neq0\); d) \(z\neq0,\ w\neq0\).

a) \(\frac{3x}{2y^2}\) für \(x\neq0,\ y\neq0\) b) \(\frac{a^2}{3b^3}\) für \(a\neq0,\ b\neq0\) c) \(\frac{2pq^2}{3}\) für \(p\neq0,\ q\neq0\) d) \(\frac{z^3}{w^2}\) für \(z\neq0,\ w\neq0\)

- Erinnere dich daran, dass \(\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\) gilt. - Wie verändert sich eine Differenz wie \(x-y\), wenn du ein Minuszeichen davor setzt und die Klammer auflöst? - Du kannst im Zähler oder im Nenner eine \(-1\) ausklammern, um das Vorzeichen des gesamten Bruchs zu ändern.

1. Bei Teilaufgabe a) wird im Zähler \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{7-x}{z} = \frac{-(x-7)}{z} = -\frac{x-7}{z}\). 2. Bei Teilaufgabe b) wird im Nenner \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{a}{5-b} = \frac{a}{-(b-5)} = -\frac{a}{b-5}\). 3. Bei Teilaufgabe c) wird im Zähler \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{x-y}{x+y} = \frac{-(y-x)}{x+y} = -\frac{y-x}{x+y}\). 4. Bei Teilaufgabe d) wird im Zähler \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{-3-m}{n} = \frac{-(3+m)}{n} = -\frac{3+m}{n}\).

a) \(-\frac{x-7}{z}\) b) \(-\frac{a}{b-5}\) c) \(-\frac{y-x}{x+y}\) d) \(-\frac{3+m}{n}\)

- Was haben die Summanden im Zähler gemeinsam? - Kannst du eine Zahl finden, durch die sowohl der gesamte Zähler als auch der gesamte Nenner teilbar sind? - Achte darauf, dass du nur Faktoren kürzt, die mit dem restlichen Term durch eine Multiplikation verbunden sind. - Überlege dir, ob du im Nenner ebenfalls eine Zahl ausklammern kannst, um das Kürzen zu erleichtern.

1. Es muss \(a \neq 0\) gelten. Ausklammern der \(8\) im Zähler ergibt \(\frac{8(a-b)}{16a}\). Kürzen durch \(8\) führt zu \(\frac{a-b}{2a}\). 2. Es muss \(z+w \neq 0\) gelten. Ausklammern der \(3\) im Zähler und der \(12\) im Nenner ergibt \(\frac{3(x+y)}{12(z+w)}\). Kürzen durch \(3\) führt zu \(\frac{x+y}{4(z+w)}\). 3. Es muss \(k \neq 0\) gelten. Ausklammern der \(5\) im Zähler ergibt \(\frac{5(k-3m)}{20k}\). Kürzen durch \(5\) führt zu \(\frac{k-3m}{4k}\).

1. \(\frac{a-b}{2a}\) für \(a \neq 0\) 2. \(\frac{x+y}{4(z+w)}\) für \(z+w \neq 0\) 3. \(\frac{k-3m}{4k}\) für \(k \neq 0\)

- Die gemeinsamen Faktoren sind bereits sichtbar. - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Nenner. - Kürze jeweils nur einen vollständigen Faktor.

1. In 1) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). Kürzen von \(x-2\) ergibt \(\frac7{x+2}\). 2. In 2) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\). Kürzen eines Faktors \(b+5\) ergibt \(\frac{b+5}{b-5}\). 3. In 3) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). Kürzen eines Faktors \(z-1\) ergibt \(\frac{z}{z-1}\).

1) \(\frac7{x+2}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\) 2) \(\frac{b+5}{b-5}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\) 3) \(\frac{z}{z-1}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\)

- Bestimme zuerst, welche Nennerfaktoren nicht null sein dürfen. - Suche danach nach identischen Faktoren im gesamten Zähler und Nenner. - In 3) können mehrere Faktoren nacheinander gekürzt werden.

1. Für \(a\neq4\) kann ein Faktor \(a-4\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{2(a+4)}{a-4}\). 2. Für \(x+y\neq0\) kann \(x+y\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x-y}{2}\). 3. Für \(m\neq0\) und \(m\neq1\) können \(m\) und \(m-1\) gekürzt werden. Es bleibt \(m+1\).

1) \(\frac{2(a+4)}{a-4}\) für \(a\neq4\) 2) \(\frac{x-y}{2}\) für \(x+y\neq0\) 3) \(m+1\) für \(m\neq0\), \(m\neq1\)

- Welche vollständigen Faktoren kommen in Zähler und Nenner vor? - Bestimme die Bedingungen der ursprünglichen Definitionsmenge vor dem Kürzen. - Schreibe ein Quadrat bei Bedarf als Produkt zweier gleicher Faktoren.

1. Für \(x\neq y\) und \(x\neq-y\) kann \(x-y\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{7x}{x+y}\). 2. Für \(a\neq-2b\) kann ein Faktor \(a+2b\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{a+2b}{2}\).

1) \(\frac{7x}{x+y}\) für \(x\neq\pm y\) 2) \(\frac{a+2b}{2}\) für \(a\neq-2b\)

- Kannst du im Zähler und im Nenner Faktoren finden, die in jedem Summanden vorkommen? - Erinnerst du dich daran, wie man einen Term ausklammert? - Schau dir den dritten Aufgabenteil genau an: Wie hängen die Ausdrücke in den Klammern zusammen, wenn du das Vorzeichen änderst? - Denk daran, dass man nur aus Produkten kürzen darf, nicht aus Summen.

1. In 1) ist \(12ab-18ac=6a(2b-3c)\). Kürzen des Faktors \(6a\) ergibt \(2b-3c\). 2. In 2) sind Zähler und Nenner \(x(x+y)\) beziehungsweise \(x(x-y)\). Kürzen von \(x\) ergibt \(\frac{x+y}{x-y}\). 3. In 3) gilt \(5u-5v=5(u-v)\) und \(v-u=-(u-v)\). Daher ergibt sich \(-5\). 4. Die ursprünglichen Definitionsmengen erfordern: 1) \(a\neq0\); 2) \(x\neq0\) und \(x\neq y\); 3) \(u\neq v\).

1) \(2b-3c\) für \(a\neq0\) 2) \(\frac{x+y}{x-y}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq y\) 3) \(-5\) für \(u\neq v\)

- Suche in jeder Teilaufgabe nach identischen Faktoren. - Kürze nur vollständige Faktoren. - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Nenner.

1. Für \(z\neq0\) und \(z\neq-3\) kann \(z+3\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{z-3}{z}\). 2. Für \(a\neq b\) und \(a\neq-b\) kann \(a-b\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{ab}{a+b}\). 3. Für \(x\neq0\) und \(x\neq-y\) können \(x\) und \(x+y\) gekürzt werden. Es bleibt \(2(x-y)\).

1) \(\frac{z-3}{z}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;0\}\) 2) \(\frac{ab}{a+b}\) für \(a\neq\pm b\) 3) \(2(x-y)\) für \(x\neq0\), \(x\neq-y\)

- Schreibe Quadrate bei Bedarf als Produkte gleicher Faktoren. - Welcher Faktor kann jeweils gekürzt werden? - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Nenner.

1. Für \(x\neq-4\) kann ein Faktor \(x+4\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x-4}{x+4}\). 2. Für \(a\neq3\) kann ein Faktor \(a-3\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac2{a-3}\).

1) \(\frac{x-4}{x+4}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\) 2) \(\frac2{a-3}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\)

- Prüfe die Nennerfaktoren einzeln auf Nullstellen. - Danach ist in beiden Aufgaben ein vollständiger gemeinsamer Faktor sichtbar. - Beachte, dass ein Quadrat über \(\mathbb{Q}\) nicht negativ ist.

1. Im ersten Nenner wird der Faktor \(x^2-9\) für \(x=\pm3\) null; \(x^2+9\) ist für rationale \(x\) nie null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\). Kürzen ergibt \(\frac1{x^2+9}\). 2. Der Nenner \(4a^2+1\) ist für alle rationalen \(a\) von null verschieden. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\). Kürzen ergibt \(4a^2-1\).

1) \(\frac1{x^2+9}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\) 2) \(4a^2-1\), \(D=\mathbb{Q}\)

- Schreibe Quadrate bei Bedarf als Produkte. - Kürze in b) sowohl einen Zahlenfaktor als auch einen Klammerfaktor. - Behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bei.

1. In a) gilt \(x\neq-5\) und \(x\neq5\). Kürzen eines Faktors \(x-5\) ergibt \(\frac{x-5}{x+5}\). 2. In b) gilt \(a\neq b\) und \(a\neq-b\). Kürzen von \(2(a+b)\) gegen \(6(a+b)\) ergibt \(\frac{a+b}{3(a-b)}\).

a) \(\frac{x-5}{x+5}\) für \(x\neq\pm5\) b) \(\frac{a+b}{3(a-b)}\) für \(a\neq\pm b\)

- Welche Zahlenfaktoren lassen sich kürzen? - Schreibe das Quadrat als Produkt zweier gleicher Faktoren. - Behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bei.

1. Für die ursprüngliche Definitionsmenge gelten \(a\neq2b\) und \(a\neq-2b\). 2. Kürzen des Zahlenfaktors \(4:6\) ergibt \(2:3\). 3. Ein Faktor \(a-2b\) kann gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{2(a-2b)}{3(a+2b)}\).

\(\frac{2(a-2b)}{3(a+2b)}\) für \(a\neq\pm2b\)

- Welche Bedingung folgt aus dem ursprünglichen Nenner? - Kürze nur einen vollständigen gemeinsamen Faktor. - Setze die Werte erst in den vereinfachten Term ein.

1. Der ursprüngliche Nenner darf nicht null sein. Daher gilt \(D=\{(a,b,c)\in\mathbb{Q}^3\mid a+b+c\neq0\}\). 2. Für Werte aus \(D\) kann der Faktor \(a+b+c\) gekürzt werden. Es bleibt \(a-b-c\). 3. Einsetzen ergibt \(15{,}5-2{,}75-1{,}25=11{,}5\).

a) \(a-b-c\), \(D=\{(a,b,c)\in\mathbb{Q}^3\mid a+b+c\neq0\}\) b) \(11{,}5\)

- Kürze nur vollständige gemeinsame Faktoren. - In c) unterscheiden sich zwei lineare Faktoren nur durch das Vorzeichen. - Die angegebenen Bedingungen bleiben beim Vereinfachen erhalten.

1. In a) kann der Faktor \(13p+12q\) gekürzt werden. Es bleibt \(13p-12q\). 2. In b) kann der Faktor \(k^2-4\) gekürzt werden. Es bleibt \(k^2+4\). 3. In c) gilt \(6s-5r=-(5r-6s)\). Daher bleibt \(-(5r+6s)=-5r-6s\).

a) \(13p-12q\) b) \(k^2+4\) c) \(-5r-6s\)

- Vergleiche zuerst nur die beiden Nenner und bestimme den Faktor zwischen ihnen. - Derselbe Faktor muss auf den gesamten Zähler angewendet werden. - Setze einen zusammengesetzten Zähler beim Multiplizieren gedanklich in Klammern.

1. Der Nenner \(3x\) wird durch Multiplikation mit \(4\) zu \(12x\). 2. Daher muss auch der gesamte Zähler mit \(4\) multipliziert werden: \(4(2x+1)=8x+4\).

Erweiterungsfaktor: \(4\); fehlender Zähler: \(8x+4\).

- Trenne bei den Nennern den Zahlenfaktor vom gemeinsamen Variablenfaktor. - Suche für die Zahlen \(6\) und \(9\) das kleinste gemeinsame Vielfache. - Bestimme für jeden Bruch anschließend nur noch den fehlenden Erweiterungsfaktor.

1. Die Nenner enthalten beide den Faktor \(x\). Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(6\) und \(9\) ist \(18\), also ist der kleinste geeignete gemeinsame Nenner \(18x\). 2. Der erste Bruch wird mit \(3\) erweitert: \(\frac{5}{6x}=\frac{15}{18x}\). 3. Der zweite Bruch wird mit \(2\) erweitert: \(\frac{7}{9x}=\frac{14}{18x}\).

Gemeinsamer Nenner: \(18x\); \(\frac{5}{6x}=\frac{15}{18x}\) und \(\frac{7}{9x}=\frac{14}{18x}\).

- Welche Einschränkung folgt aus dem ursprünglichen Nenner, bevor gekürzt wird? - Was passiert beim Einsetzen von \(x=2\) in den ursprünglichen Bruch? - Für welche Werte ist die gekürzte Schreibweise tatsächlich gleichwertig zum Ausgangsterm?

1. Für die Definitionsmenge muss der ursprüngliche Nenner betrachtet werden. Eine Division durch null ist nicht definiert. 2. Bei \(x=2\) wird der Nenner \(x-2\) null. Deshalb ist der ursprüngliche Bruchterm dort nicht definiert, auch wenn der Zähler ebenfalls null wird. 3. Das Kürzen zu \(T(x)=1\) ist nur für \(x\ne2\) zulässig. 4. Mina hat recht. Es gilt \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

Mina hat recht. Im ursprünglichen Term wird der Nenner bei \(x=2\) null; das Kürzen ist nur für \(x\neq2\) zulässig und macht den ausgeschlossenen Wert nicht wieder erlaubt. Daher gilt \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

- Prüfe zuerst, ob du einen gemeinsamen Faktor des gesamten Zählers und Nenners erkennst. - Unterscheide sorgfältig zwischen Faktoren eines Produkts und Summanden einer Summe. - Bestimme bei variablen Nennern zusätzlich die Werte, für die der Ausgangsterm nicht definiert ist. - Ein Zahlenbeispiel kann eine falsche Gleichheit widerlegen, ersetzt aber nicht die algebraische Begründung.

1. Prüfung von a): Im Zähler steht eine Summe. Da nur Faktoren und keine Summanden gekürzt werden dürfen, ist die Umformung falsch. Korrektur: \(\frac{x+5}{5}=\frac{x}{5}+1\). 2. Prüfung von b): Der Faktor \(3\) wird mit dem Nenner gekürzt. Da \(3\) ein Faktor des gesamten Zählers ist, ist die Umformung korrekt. 3. Prüfung von c): Durch Ausklammern von \(a\) im Zähler erhält man \(\frac{a(a-1)}{a}\). Für \(a\neq0\) bleibt nach dem Kürzen \(a-1\). Die Umformung ist korrekt. 4. Prüfung von d): Der Ausgangsterm ist nur für \(x\neq-4\) definiert. Die angegebene Kürzung ist falsch, weil Summanden gestrichen wurden. Ausklammern der \(2\) ergibt \(\frac{2(x+2)}{2(x+4)}\), also \(\frac{x+2}{x+4}\) für \(x\neq-4\).

a) Falsch; Korrektur: \(\frac{x}{5}+1\). b) Korrekt. c) Korrekt für \(a\neq0\). d) Falsch; Korrektur: \(\frac{x+2}{x+4}\) für \(x\neq-4\).

- Suche zuerst nach einem gemeinsamen Faktor in jedem Zähler oder Nenner. - Schreibe Summen als Produkte, wenn du einen Faktor ausklammern kannst. - Kürze erst, wenn derselbe vollständige Faktor im Zähler und Nenner steht.

1. In a) gilt \(x^2-2x=x(x-2)\). Der gemeinsame Faktor \(x\) kann gekürzt werden. Es bleibt \(x-2\). 2. In b) gilt \(a^2+3a=a(a+3)\) und \(2a+6=2(a+3)\). Nach dem Kürzen von \(a+3\) bleibt \(\frac{a}{2}\). 3. In c) gilt \(2y+2=2(y+1)\) und \(y^2+y=y(y+1)\). Nach dem Kürzen von \(y+1\) bleibt \(\frac{2}{y}\).

a) \(x-2\) b) \(\frac{a}{2}\) c) \(\frac{2}{y}\)

- Prüfe, welche gemeinsame Größe du in einer Summe oder Differenz ausklammern kannst. - Achte bei c) darauf, wie du den Nenner als Vielfaches von \(y-5\) schreiben kannst. - Die angegebenen Bedingungen für die Definitionsmenge gelten auch dann weiter, wenn ein entsprechender Faktor später gekürzt wird.

1. In a) gilt \(x^2+7x=x(x+7)\). Nach dem Kürzen von \(x+7\) bleibt \(x\). 2. In b) gilt \(a^2+3a=a(a+3)\) und \(3a+9=3(a+3)\). Nach dem Kürzen von \(a+3\) bleibt \(\frac{a}{3}\). 3. In c) gilt \(15-3y=-3(y-5)\). Nach dem Kürzen von \(y-5\) bleibt \(-\frac{1}{3}\).

a) \(x\) b) \(\frac{a}{3}\) c) \(-\frac{1}{3}\)

- Klammere in Zähler und Nenner zunächst die jeweils sichtbaren gemeinsamen Faktoren aus. - Bei b) ist die Beziehung zwischen \(2-z\) und \(z-2\) wichtig für das Vorzeichen. - Bei c) kannst du zuerst \(4a-8\) und \(8a-16\) als Produkte schreiben.

1. In a) gilt \(2x^2-6x=2x(x-3)\) und \(x^2+3x=x(x+3)\). Nach dem Kürzen von \(x\) bleibt \(\frac{2(x-3)}{x+3}\). 2. In b) gilt \(10z-5z^2=5z(2-z)=-5z(z-2)\) und \(6z-12=6(z-2)\). Nach dem Kürzen von \(z-2\) bleibt \(-\frac{5z}{6}\). 3. In c) gilt \((4a-8)^2=[4(a-2)]^2=16(a-2)^2\) und \(8a-16=8(a-2)\). Nach dem Kürzen eines Faktors \(a-2\) bleibt \(2(a-2)=2a-4\).

a) \(\frac{2(x-3)}{x+3}\) b) \(-\frac{5z}{6}\) c) \(2a-4\)

- Suche im Zähler nach einer Zahl oder Variablen, die in jedem Summanden vorkommt. - Kannst du den Zähler als Produkt schreiben? - Ein Bruchstrich bedeutet Division; der Nenner darf niemals den Wert Null annehmen. - Schau dir bei Teilaufgabe c genau an, ob Zähler und Nenner ein Vielfaches voneinander sind.

1. In a) gilt \(\frac{6x+18}{12}=\frac{6(x+3)}{12}=\frac{x+3}{2}\). Der Nenner \(12\) wird nie null, also ist \(D=\mathbb{Q}\). 2. In b) gilt \(\frac{x^2-5x}{x}=\frac{x(x-5)}{x}=x-5\) für \(x\neq0\). Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 3. In c) gilt \(\frac{4x-8}{2x-4}=\frac{4(x-2)}{2(x-2)}=2\) für \(x\neq2\). Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

a) \(\frac{x+3}{2}\), \(D=\mathbb{Q}\) b) \(x-5\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) c) \(2\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\)

- Was musst du mit dem aktuellen Nenner multiplizieren, um auf den Zielnenner zu kommen? - Vergiss nicht, dass du beim Erweitern immer Zähler UND Nenner mit derselben Zahl oder demselben Term multiplizieren musst. - Es hilft oft, den Zielnenner und die vorhandenen Nenner zuerst in Faktoren zu zerlegen (auszuklammern). - Beim Ausmultiplizieren von Klammern wie \((a+2) \cdot 3a\) musst du jedes Glied in der Klammer mit dem Faktor davor multiplizieren.

1. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teilaufgabe a: Der Zielnenner ist \(12a(a-2)\). Der vorhandene Nenner ist \(3a\). Division ergibt den Faktor \(\frac{12a(a-2)}{3a} = 4(a-2) = 4a-8\). Multiplikation des Zählers: \(5 \cdot (4a-8) = 20a - 40\). Multiplikation des Nenners: \(3a \cdot (4a-8) = 12a^2 - 24a\). Ergebnis: \(\frac{20a-40}{12a^2-24a}\). 2. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teilaufgabe b: Faktorisierung des vorhandenen Nenners ergibt \(4a-8 = 4(a-2)\). Der Faktor zum Zielnenner \(12a(a-2)\) ist \(\frac{12a(a-2)}{4(a-2)} = 3a\). Multiplikation des Zählers: \((a+2) \cdot 3a = 3a^2 + 6a\). Multiplikation des Nenners: \(4(a-2) \cdot 3a = 12a^2 - 24a\). Ergebnis: \(\frac{3a^2+6a}{12a^2-24a}\). 3. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teilaufgabe c: Der Term \(2a\) entspricht dem Bruch \(\frac{2a}{1}\). Der Erweiterungsfaktor ist der gesamte Zielnenner \(12a(a-2) = 12a^2 - 24a\). Multiplikation des Zählers: \(2a \cdot (12a^2 - 24a) = 24a^3 - 48a^2\). Ergebnis: \(\frac{24a^3-48a^2}{12a^2-24a}\). 4. Die Einschränkungen \(a \neq 0\) und \(a \neq 2\) stellen sicher, dass der Zielnenner und die verwendeten Erweiterungsfaktoren nicht null sind.

a) \(\frac{20a-40}{12a^2-24a}\) b) \(\frac{3a^2+6a}{12a^2-24a}\) c) \(\frac{24a^3-48a^2}{12a^2-24a}\) Gültig für \(a \neq 0\) und \(a \neq 2\).

- Schau dir den neuen Nenner genau an. Kannst du dort etwas ausklammern, um zu sehen, wie er mit dem alten Nenner zusammenhängt? - Wenn du einen Term wie \((x-3)\) mit einem anderen Term erweiterst, musst du Klammern setzen. - Denk beim Ausmultiplizieren von zwei Klammern an die Regel: „Jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer“.

1. Faktorisierung des Zielnenners: \(2x^2 + 10x = 2x(x+5)\). 2. Vergleich mit dem ursprünglichen Nenner \(2x\): Der Erweiterungsfaktor ist \((x+5)\). 3. Erweiterung des Zählers: Multiplikation von \((x-3)\) mit \((x+5)\) ergibt \(x^2 + 5x - 3x - 15 = x^2 + 2x - 15\). 4. Aufstellen des vollständigen Bruchs mit ausmultipliziertem Zähler und Nenner: \(\frac{x^2+2x-15}{2x^2+10x}\). 5. Die Darstellung mit dem neuen Nenner gilt für \(x \neq 0\) und \(x \neq -5\).

\(\frac{x^2+2x-15}{2x^2+10x}\) für \(x \neq 0\) und \(x \neq -5\).

- Zerlege beide Nenner zuerst in Faktoren und notiere dabei, wann ein Nenner null wird. - Der gemeinsame Nenner muss jeden notwendigen Nennerfaktor in ausreichender Anzahl enthalten. - Vergleiche für jeden Bruch den vorhandenen Nenner mit dem Zielnenner, um den Erweiterungsfaktor zu finden.

1. Es gilt \(x^2-4x=x(x-4)\) und \(2x-8=2(x-4)\). Beide Ausgangsterme sind gemeinsam für \(x\neq0\) und \(x\neq4\) definiert. Damit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;4\}\). 2. Ein geeigneter gemeinsamer Nenner ist \(2x(x-4)\), ausmultipliziert \(2x^2-8x\). 3. Für \(A\) fehlt der Faktor \(2\): \(A=\frac{6}{2x^2-8x}\). 4. Für \(B\) fehlt der Faktor \(x\): \(B=\frac{x(x+1)}{2x(x-4)}=\frac{x^2+x}{2x^2-8x}\).

1. Nenner: \(x(x-4)\) und \(2(x-4)\); \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;4\}\) 2. gemeinsamer Nenner: \(2x(x-4)=2x^2-8x\) 3. \(A=\frac{6}{2x^2-8x}\), \(B=\frac{x^2+x}{2x^2-8x}\)

- Schau dir die Seite an, auf der beide Terme (Zähler oder Nenner) bekannt sind. Wie kommst du von dem einen zum anderen? - Es hilft oft, Terme wie \(x^2 - 3x\) auszuklammern, um den Erweiterungsfaktor besser zu sehen.

1. In Teilaufgabe a) wird der Nenner von \(x-3\) zu \(x^2 - 3x\). Durch Ausklammern erkennt man: \(x^2 - 3x = x(x-3)\). Der Erweiterungsfaktor ist also \(x\). 2. Multiplikation des Zählers mit \(x\): \((x+2) \cdot x = x^2 + 2x\). 3. In Teilaufgabe b) wird der Zähler von \(z-1\) zu \(z^2 - z\). Durch Ausklammern erkennt man: \(z^2 - z = z(z-1)\). Der Erweiterungsfaktor ist also \(z\). 4. Multiplikation des Nenners mit \(z\): \(2z \cdot z = 2z^2\). 5. Die Einschränkungen folgen aus den ursprünglichen und den neuen Nennern: a) \(x \neq 0 \text{ und } x \neq 3\), b) \(z \neq 0\).

a) \(x^2 + 2x\) für \(x \neq 0 \text{ und } x \neq 3\) b) \(2z^2\) für \(z \neq 0\)

- Nutze den vorgegebenen Zahlenwert zuerst als direkten Test der behaupteten Gleichheit. - Prüfe danach, ob der Zähler tatsächlich einen Faktor \(x+3\) enthält. - Vergleiche dazu den Zähler mit einer passenden binomischen Formel, ohne einzelne Summanden zu kürzen.

1. Einsetzen von \(x = 1\) in den ursprünglichen Term ergibt \(\frac{1^2 + 9}{1 + 3} = \frac{10}{4} = 2{,}5\). 2. Einsetzen von \(x = 1\) in das behauptete Ergebnis ergibt \(1 + 3 = 4\). 3. Da \(2{,}5 \neq 4\), ist die Behauptung falsch. 4. Der Zähler \(x^2+9\) ist nicht gleich \((x+3)^2\), denn \((x+3)^2=x^2+6x+9\). Daher ist \(x+3\) kein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner und kann nicht gekürzt werden.

Marie hat nicht recht. Für \(x=1\) hat der ursprüngliche Term den Wert \(2{,}5\), das behauptete Ergebnis aber den Wert \(4\). Außerdem gilt \(x^2+9\neq(x+3)^2\), sodass \(x+3\) kein Faktor des Zählers ist.

- Suche zuerst nach Faktoren, die im gesamten Zähler und Nenner vorkommen. - Vergleiche anschließend \(3-y\) mit \(y-3\). - Behalte die im Aufgabentext angegebene Definitionsmenge auch nach dem Kürzen bei.

1. Zunächst kann der gemeinsame Faktor \(2\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{3-y}{(y-3)(y+3)}\). 2. Wegen \(3-y=-(y-3)\) kann der Faktor \(y-3\) für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge gekürzt werden. 3. Das Ergebnis ist \(-\frac1{y+3}\).

\(-\frac{1}{y+3}\)

- Vergleiche den alten Nenner direkt mit dem vorgegebenen Zielnenner. - Bestimme den Faktor, der dem alten Nenner zum Zielnenner noch fehlt. - Multipliziere Zähler und Nenner mit demselben Faktor und löse erst danach die Klammern im Zähler auf.

1. Der ursprüngliche Nenner \(2a+3b\) muss mit \(2a-3b\) multipliziert werden, damit der vorgegebene Zielnenner entsteht. 2. Deshalb wird auch der Zähler mit \(2a-3b\) multipliziert: \((a-b)(2a-3b)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(2a^2-3ab-2ab+3b^2=2a^2-5ab+3b^2\). 4. Die gegebenen Bedingungen verhindern sowohl einen Nullnenner des Ausgangsterms als auch einen Erweiterungsfaktor null.

Der neue Zähler lautet \(2a^2-5ab+3b^2\).

- Bestimme zuerst die Definitionsmenge aus den Faktoren des ursprünglichen Nenners. - Schreibe den Zähler als Produkt und suche dann nach einem gemeinsamen Faktor. - Entscheide erst nach dem Kürzen, ob Noahs vorgeschlagenes Ergebnis wirklich entsteht.

1. Im Zähler gilt \(4x-8=4(x-2)\). 2. Der ursprüngliche Nenner \(2(x-2)(x+2)\) wird für \(x=2\) oder \(x=-2\) null. Daher gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). 3. Für Werte aus \(D\) kann der gemeinsame Faktor \(x-2\) gekürzt und \(4:2=2\) vereinfacht werden. Es entsteht \(\frac{2}{x+2}\). 4. Noahs Behauptung ist für die ursprüngliche Definitionsmenge korrekt.

Noahs Behauptung ist korrekt: \(\frac{4x-8}{2(x-2)(x+2)}=\frac{2}{x+2}\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\).

- Vereinfache zuerst die Produkte mit den negativen Exponenten mithilfe der Potenzgesetze. - Klammere danach im Zähler einen gemeinsamen Faktor aus. - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Term, bevor du kürzt.

1. Wegen der negativen Exponenten und der Nenner gilt \(x\neq0\) und \(x\neq1\). Damit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\). 2. Mit den Potenzgesetzen gilt \(x^4x^{-1}=x^3\) und \(x^4x^{-2}=x^2\). 3. Der Zähler wird zu \(x^3-x^2=x^2(x-1)\). 4. Für \(x\in D\) können \(x-1\) und ein Faktor \(x\) gekürzt werden. Es bleibt \(x\).

\(x\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\)

- Welche gemeinsamen Faktoren besitzen Dividend und Divisor der jeweiligen Quotienten? - Berücksichtige die angegebene Definitionsmenge, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse erst danach die entstehende Gleichung.

1. In a) gilt wegen \(x\neq0\): \((12x^2):(4x)=3x\). Aus \(3x=18\) folgt \(x=6\). 2. In b) gilt wegen \(y\neq0\): \((40y^3):(8y^2)=5y\). Damit folgt aus \(5y+13=48\) der Wert \(y=7\). 3. In c) gilt wegen \(z\neq0\): \((18z^2):(6z)=3z\). Damit wird die Gleichung zu \(22z-3z=38\), also \(z=2\). 4. Die Werte \(6\), \(7\) und \(2\) liegen jeweils in der zugehörigen Definitionsmenge.

a) \(x = 6\) b) \(y = 7\) c) \(z = 2\)

- Welche Faktoren in Zähler und Nenner lassen sich unter der angegebenen Bedingung für die Definitionsmenge kürzen? - Was bedeutet es, dass \(x=6\) eine Lösung der Gleichung sein soll? - Setze den vorgegebenen Wert erst nach dem Vereinfachen ein und behandle \(k\) dann als Unbekannte.

1. Wegen \(x\ne0\) dürfen Koeffizienten und Variablenfaktoren gekürzt werden: \(45:9=5\) und \(x^2:x=x\). Der Bruchterm vereinfacht sich zu \(5x\). 2. Für die vorgegebene Lösung \(x=6\) einsetzen: \(5\cdot6+k\cdot6=84\). 3. Daraus folgt \(30+6k=84\), also \(6k=54\) und \(k=9\).

a) Für \(x \ne 0\) gilt \((45x^2) : (9x) = 5x\). b) \(k = 9\)

- Welcher Faktor lässt sich im Dividenden gemeinsam ausklammern? - Wähle in b) Paare, deren Summe sicher nicht null ist, und setze sie in den ursprünglichen Ausdruck ein. - Prüfe für c) die Bedeutung des ursprünglichen Divisors.

1. Im Dividenden kann \(z\) ausgeklammert werden: \(xz+yz=z(x+y)\). 2. Für \(x+y\neq0\) darf gekürzt werden. Daher gilt \((xz+yz):(x+y)=z\). 3. Für b) sind viele Paare möglich. Zum Beispiel ergibt \((x,y)=(1,2)\): \((42+84):3=42\). Für \((x,y)=(5,-3)\) ergibt sich \((210-126):2=42\). 4. Bei \(x+y=0\) wäre der ursprüngliche Divisor null. Deshalb bleibt diese Bedingung ausgeschlossen, obwohl sie im vereinfachten Term \(z\) nicht mehr sichtbar ist.

a) \(z\) für \(x+y\neq0\). b) Zum Beispiel \((1,2)\) und \((5,-3)\); der ursprüngliche Term ergibt in beiden Fällen für \(z=42\) den Wert \(42\). Andere zulässige Paare sind möglich. c) Für \(x+y=0\) wäre der ursprüngliche Divisor \(0\); diese Werte bleiben ausgeschlossen.

- Überlege rückwärts, welcher Faktor nach dem Kürzen übrig bleiben soll. - Prüfe bei jedem variablen Divisor, wann er den Wert \(0\) annimmt. - Eine Kürzung ist nur zulässig, wenn der gekürzte Faktor nicht null ist.

1. Damit in a) nach dem Kürzen \(13\) übrig bleibt, muss der Dividend \(13(x+y)\) sein. Daher werden beide Lücken mit \(13\) gefüllt. In b) muss der Dividend \(5(3z-4)=15z-20\) sein; die Lücke ist \(20\). 2. Die Division durch null ist nicht definiert. Für \(x+y=0\), also \(x=-y\), ist der Divisor null und der Ausgangsterm nicht definiert. Für \(x+y\neq0\) gilt \((ax+ay):(x+y)=a(x+y):(x+y)=a\).

1. a) Beide Lücken: \(13\); b) \(20\) 2. Die Aussage gilt nur für \(x+y\neq0\). Für \(x+y=0\), also \(x=-y\), ist der Term nicht definiert.

- In a) soll nach dem Kürzen genau der Faktor \(5-z\) übrig bleiben. - Vergleiche in b) die Reihenfolge der beiden Summanden im Divisor. - In c) ist ein gemeinsamer Faktor bereits sichtbar.

1. In a) muss der Faktor \(5+z\) im Nenner stehen, damit er gekürzt werden kann. Daher ist \(N=5+z\). 2. In b) gilt \(4-k=-(k-4)\). Daher ist der Quotient \(-(k+4)=-k-4\); Hanas Behauptung ist falsch. 3. In c) kann \(3y+8\) gekürzt werden. Es bleibt \(3y-8\).

a) \(N=5+z\) b) Falsch; richtig ist \(-k-4\). c) \(3y-8\)

- Was bedeutet es mathematisch, eine Variable durch ihr Dreifaches zu ersetzen? - Wie kannst du einen Bruchterm vereinfachen, nachdem du die neuen Ausdrücke eingesetzt hast? - Denke an das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner, um zu kürzen. - Achte auf die Potenzgesetze, wenn du Ausdrücke wie \((3a)^2\) auflöst.

1. Ersetzung von \(a\) durch \(3a\) und \(b\) durch \(3b\) in den Termen. 2. Term a): \(\frac{5 \cdot (3a)}{3b} = \frac{15a}{3b} = \frac{5a}{b}\). Der Wert bleibt gleich. 3. Term b): \(\frac{3a - 3b}{3 \cdot (3a)} = \frac{3(a-b)}{9a} = \frac{a-b}{3a}\). Der Wert bleibt gleich. 4. Term c): \(\frac{(3a)^2}{(3b)^2 + 3a} = \frac{9a^2}{9b^2 + 3a} = \frac{3a^2}{3b^2 + a}\). Dieser Term ist nicht identisch mit \(\frac{a^2}{b^2+a}\); zum Beispiel ändert sich der Wert für \(a=1\) und \(b=1\) von \(\frac{1}{2}\) auf \(\frac{3}{4}\). 5. Term d): \(\frac{(3a)^2 + (3b)^2}{(3a) \cdot (3b)} = \frac{9a^2 + 9b^2}{9ab} = \frac{9(a^2 + b^2)}{9ab} = \frac{a^2 + b^2}{ab}\). Der Wert bleibt gleich.

Der Wert bleibt bei den Termen a), b) und d) für alle gemeinsamen zulässigen Werte gleich. Bei Term c) bleibt er nicht für alle zulässigen Werte gleich.

- Setze die veränderten Variablen (z. B. \(2x\)) in Klammern in die Formel ein. - Versuche, nach dem Einsetzen den ursprünglichen Term als Baustein in deinem neuen Ausdruck zu isolieren. - Welche Potenz von 2 ergibt die Zahl 4? - Vergleiche den Faktor, der nach der Vereinfachung vor dem ursprünglichen Term steht, mit der Aussage im Text.

1. Zu Teil a: Ersetzen von \(x\) durch \(2x\) und \(y\) durch \(2y\) im Term \(\frac{x^n}{y}\) ergibt \(\frac{(2x)^n}{2y} = \frac{2^n \cdot x^n}{2y} = \frac{2^n}{2} \cdot \frac{x^n}{y} = 2^{n-1} \cdot \frac{x^n}{y}\). 2. Damit sich der Wert vervierfacht, muss der Faktor \(2^{n-1} = 4\) sein. 3. Da \(4 = 2^2\), folgt \(n-1 = 2\), also \(n = 3\). 4. Zu Teil b: Ersetzen von \(x\) durch \(2x\) und \(y\) durch \(2y\) im Term \(\frac{x+y}{xy}\) ergibt \(\frac{2x + 2y}{(2x) \cdot (2y)} = \frac{2(x + y)}{4xy}\). 5. Durch Kürzen mit 2 erhält man \(\frac{x + y}{2xy} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x + y}{xy}\). Der Faktor \(\frac{1}{2}\) entspricht einer Halbierung, womit die Behauptung korrekt ist.

a) Der gesuchte Wert ist \(n = 3\). b) Die Behauptung ist wahr, da die Umformung den Faktor \(\frac{1}{2}\) vor dem ursprünglichen Term liefert.

- Darf man aus Summen direkt kürzen? Überlege, was man zuerst tun muss. - Suche in Zähler und Nenner nach Faktoren, die in jedem Glied der Summe oder Differenz vorkommen. - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf die Vorzeichen und die Reihenfolge der Variablen. Kannst du eine \(-1\) ausklammern? - Warum darf man keine einzelnen Summanden kürzen? Forme eine Summe oder Differenz zuerst in ein Produkt um.

1. Teilaufgabe a): Ausklammern der \(4\) im Zähler ergibt \(4 \cdot (a + 2b)\). Kürzen durch \(4\) liefert \(\frac{a + 2b}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern von \(x\) im Zähler ergibt \(x \cdot (x - 5)\). Kürzen durch \(x\) liefert \(x - 5\); dabei bleibt \(x \neq 0\) ausgeschlossen. 3. Teilaufgabe c): Ausklammern der \(7\) im Zähler ergibt \(7 \cdot (m - n)\), Ausklammern der \(2\) im Nenner ergibt \(2 \cdot (n - m)\). Da \((n - m) = -1 \cdot (m - n)\), kann durch \((m - n)\) gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(-\frac{7}{2}\); dabei gilt \(m \neq n\). 4. Teilaufgabe d): Ausklammern von \(3k\) im Zähler ergibt \(3k \cdot (k + 2)\), Ausklammern von \(k\) im Nenner ergibt \(k \cdot (k + 2)\). Kürzen durch \(k \cdot (k + 2)\) liefert das Ergebnis \(3\); dabei gelten \(k \neq 0\) und \(k \neq -2\).

a) \(\frac{a + 2b}{3}\) b) \(x - 5\) für \(x \neq 0\) c) \(-\frac{7}{2}\) für \(m \neq n\) d) \(3\) für \(k \neq 0\) und \(k \neq -2\)

- Bestimme für a), wann der ursprüngliche Nenner null wird. - Im Zähler von b) kommt derselbe Klammerausdruck in beiden Summanden vor. - Vergleiche bei c) die beiden Rechenwege erst nach vollständigem Vereinfachen.

1. Der Nenner wird bei \(3x+12=0\) null. Daraus folgt \(x=-4\), also \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\). 2. Im Zähler kann \(x+4\) ausgeklammert werden: \(x(x+4)-6(x+4)=(x-6)(x+4)\). Im Nenner gilt \(3x+12=3(x+4)\). Für \(x\neq-4\) kann \(x+4\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x-6}{3}\). 3. In der ursprünglichen Form ergibt \(x=2\): \(\frac{2\cdot6-6\cdot6}{3\cdot2+12}=\frac{-24}{18}=-\frac{4}{3}\). In der gekürzten Form ergibt sich \(\frac{2-6}{3}=-\frac{4}{3}\). Beide Werte stimmen überein.

a) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\) b) \(\frac{x-6}{3}\) c) In beiden Formen erhält man \(-\frac{4}{3}\).

- Verwandle Zähler und Nenner zuerst durch Ausklammern in Produkte. - Kürzen ist nur bei vollständigen gemeinsamen Faktoren möglich, nicht bei einzelnen Summanden. - Bestimme die Definitionsmenge aus dem ursprünglichen Nenner, bevor du einen Faktor kürzt.

1. In a) gilt \(3x+6=3(x+2)\) und \(x^2+2x=x(x+2)\). Es folgt \(\frac{3}{x}\). Ausgeschlossen sind \(x=0\) und \(x=-2\). 2. In b) gilt \(a^2-a=a(a-1)\) und \(a^2+a=a(a+1)\). Nach dem Kürzen von \(a\) bleibt \(\frac{a-1}{a+1}\). Ausgeschlossen sind \(a=0\) und \(a=-1\). 3. In c) gilt \(5y^2+10y=5y(y+2)\) und \(15y=3\cdot5y\). Nach dem Kürzen von \(5y\) bleibt \(\frac{y+2}{3}\). Ausgeschlossen ist \(y=0\). 4. In d) gilt \(2b-4=2(b-2)\) und \(b^2-2b=b(b-2)\). Nach dem Kürzen von \(b-2\) bleibt \(\frac{2}{b}\). Ausgeschlossen sind \(b=0\) und \(b=2\).

a) \(\frac3x\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\) b) \(\frac{a-1}{a+1}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\) c) \(\frac{y+2}{3}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) d) \(\frac2b\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;2\}\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Schau dir die Reihenfolge der Terme in den Differenzen genau an. Was passiert, wenn du die Vorzeichen innerhalb einer Klammer umkehrst? - Suche nach Termen, die bis auf das Vorzeichen identisch sind.

1. In Teilaufgabe a) wird im Nenner \(-1\) ausgeklammert: \(\frac{x-8}{-(x-8)}\). Durch Kürzen des Terms \((x-8)\) erhält man \(-1\). 2. In Teilaufgabe b) wird im Zähler \(4\) ausgeklammert: \(\frac{4(a-3)}{3-a}\). Durch Ausklammern von \(-1\) im Nenner ergibt sich \(\frac{4(a-3)}{-(a-3)}\). Nach dem Kürzen von \((a-3)\) bleibt \(-4\) übrig. 3. In Teilaufgabe c) wird im Nenner \(3\) ausgeklammert: \(\frac{y-5}{3(5-y)}\). Durch Ausklammern von \(-1\) im Nenner erhält man \(\frac{y-5}{-3(y-5)}\). Nach dem Kürzen des Terms \((y-5)\) ergibt sich der Wert \(-\frac{1}{3}\). 4. Die Ergebnisse gelten unter den ursprünglichen Bedingungen a) \(x \neq 8\), b) \(a \neq 3\) und c) \(y \neq 5\).

a) \(-1\) b) \(-4\) c) \(-\frac{1}{3}\) Dabei gelten a) \(x \neq 8\), b) \(a \neq 3\) und c) \(y \neq 5\).

- Kannst du im Zähler oder Nenner eine gemeinsame Zahl oder Variable ausklammern? - Schau dir die Reihenfolge der Subtraktion genau an. Wie kannst du sie umkehren? - Gibt es einen gemeinsamen Teiler für die Zahlenkoeffizienten? - Prüfe, ob nach dem Ausklammern ähnliche Klammerausdrücke entstehen, die sich bis auf das Vorzeichen gleichen.

1. In 1) ist \(7a-7b=7(a-b)\) und \(b-a=-(a-b)\). Daher ergibt sich \(-7\). 2. In 2) ist der Zähler \(x(x-3)\) und der Nenner \(2(3-x)=-2(x-3)\). Nach dem Kürzen bleibt \(-\frac{x}{2}\). 3. In 3) gilt \(s-2r=-(2r-s)\). Nach dem Kürzen der Klammer sowie der Faktoren \(6\), \(u\) und \(v\) bleibt \(-\frac{2u}{3v}\). 4. Die ursprünglichen Definitionsmengen erfordern: 1) \(a\neq b\); 2) \(x\neq3\); 3) \(u\neq0,\ v\neq0,\ s\neq2r\).

1) \(-7\) für \(a\neq b\) 2) \(-\frac{x}{2}\) für \(x\neq3\) 3) \(-\frac{2u}{3v}\) für \(u\neq0,\ v\neq0,\ s\neq2r\)

- Prüfe, welche Teile von Zähler und Nenner tatsächlich Faktoren des jeweils ganzen Ausdrucks sind. - Forme den Zähler so um, dass seine Faktorstruktur sichtbar wird. - Kontrolliere beim Einsetzen, ob dein vereinfachter Term und der ursprüngliche Term denselben Wert liefern.

1. Im Zähler wird \(4\) ausgeklammert: \(4x - 12 = 4(x - 3)\). Damit lautet der Term \(\frac{4(x-3)}{8x}\). 2. Kürzen des gemeinsamen Faktors \(4\) ergibt \(\frac{x-3}{2x}\). Wegen des ursprünglichen Nenners gilt \(x\neq0\). 3. Leons Vorgehen ist falsch, weil nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner gekürzt werden dürfen. Das \(x\) im Zähler ist hier Teil einer Differenz und kein Faktor des gesamten Zählers. 4. Für \(x = 5\) ergibt sich \(\frac{5-3}{2\cdot5}=\frac{2}{10}=0{,}2\).

a) \(\frac{x-3}{2x}\) für \(x \neq 0\) b) Man darf nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner kürzen, nicht einzelne Summanden einer Summe oder Differenz. c) \(0{,}2\) oder \(\frac{1}{5}\)

- Die Faktoren sind bereits sichtbar; suche nach vollständigen gemeinsamen Faktoren. - Beachte in 3), dass das Quadrat eines Gegenterms unverändert bleibt. - Die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt nach dem Kürzen bestehen.

1. Für \(x\neq-3\) und \(x\neq3\) ergibt das Kürzen von \(x-3\) den Term \(\frac5{x+3}\). 2. Für \(a\neq-2\) kann ein Faktor \(a+2\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{a+2}{3}\). 3. Für \(x\neq y\) gilt \((x-y)^2=(y-x)^2\). Nach dem Kürzen eines Faktors \(y-x\) bleibt \(\frac{x+y}{y-x}\).

1) \(\frac5{x+3}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\) 2) \(\frac{a+2}{3}\) für \(a\neq-2\) 3) \(\frac{x+y}{y-x}\) für \(x\neq y\)

- Vergleiche die Faktoren \(x-1\) und \(1-x\) und achte auf ihr Vorzeichen. - Prüfe vor dem Kürzen, welche Werte den ursprünglichen Nenner null machen. - Ein Zählerwert null liefert nur dann den Bruchwert null, wenn der Nenner zugleich von null verschieden ist.

1. Es gilt \(1-x=-(x-1)\). Daher ist \(T(x)=\frac{x(x-1)}{-(x-1)(x+2)}=-\frac{x}{x+2}\) für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge. 2. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=1\) und \(x=-2\) null. Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\). Bei \(x=1\) entsteht im ursprünglichen Term \(\frac00\); dieser Ausdruck ist nicht definiert. 3. Für \(x=-3\) ergibt die gekürzte Form \(-\frac{-3}{-3+2}=-3\). 4. Auch nach dem Kürzen bleibt für die Gleichwertigkeit mit dem ursprünglichen Bruchterm die ursprüngliche Definitionsmenge maßgeblich.

1. \(-\frac{x}{x+2}\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\) 2. \(\frac{0}{0}\) ist nicht definiert; daher ist \(x=1\) kein zulässiger Wert des ursprünglichen Terms. 3. \(-3\)

- Achte in 1) auf den negativen Zahlenfaktor im Nenner. - In 2) können mehrere Faktoren gleichzeitig gekürzt werden. - Bestimme die Bedingungen der ursprünglichen Definitionsmenge vor dem Kürzen.

1. Für \(x\neq4y\) kann \(x-4y\) gekürzt werden. Es bleibt \(-\frac{x+4y}{3}\). 2. Für \(a\neq0\), \(b\neq0\) und \(a\neq-b\) können \(3ab(a+b)\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{a-b}{2}\).

1) \(-\frac{x+4y}{3}\) für \(x\neq4y\) 2) \(\frac{a-b}{2}\) für \(a\neq0\), \(b\neq0\), \(a\neq-b\)

- Lies die Bedingungen für die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennerfaktoren ab. - Suche einen vollständigen Faktor, der in Zähler und Nenner vorkommt. - Setze die Zahlen erst nach dem Kürzen ein.

1. Die Nennerfaktoren dürfen nicht null werden. Daher ist \(D=\{(x,y,z)\in\mathbb{Q}^3\mid x-y+z\neq0,\ x+y-z\neq0\}\). 2. Für Werte aus \(D\) kann der gemeinsame Faktor \(x+y-z\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x+y+z}{x-y+z}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{5{,}6+2{,}4+3{,}2}{5{,}6-2{,}4+3{,}2}=\frac{11{,}2}{6{,}4}=1{,}75\).

a) \(\frac{x+y+z}{x-y+z}\), \(D=\{(x,y,z)\in\mathbb{Q}^3\mid x-y+z\neq0,\ x+y-z\neq0\}\) b) \(1{,}75\)

- Trenne die Frage, ob ein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann, von der Frage nach den zulässigen Einsetzungswerten des ursprünglichen Terms. - Prüfe die Bedingungen, die der ursprüngliche Nenner an \(x\) stellt, bevor du die gekürzte Form betrachtest. - Überlege, ob eine algebraische Vereinfachung zuvor ausgeschlossene Werte nachträglich zulässig machen kann.

1. Die Faktorisierungen \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) und \(x^2+2x=x(x+2)\) sind richtig. 2. Der Faktor \((x+2)\) darf für alle Werte gekürzt werden, für die der ursprüngliche Bruchterm definiert ist. 3. Im ursprünglichen Nenner gilt \(x(x+2)=0\) für \(x=0\) und \(x=-2\). Beide Werte bleiben ausgeschlossen, auch wenn der Faktor \((x+2)\) gekürzt wurde.

Die Faktorisierung und das Kürzen sind korrekt, die Aussage zur Definitionsmenge ist falsch. Es gilt \(D_u=\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}\).

- Eine ausgeschlossene Stelle entsteht als Nullstelle eines Faktors im ursprünglichen Nenner. - Welche Nullstelle muss der noch unbekannte normierte lineare Faktor besitzen? - Behalte nach dem Kürzen beide Ausschlüsse des ursprünglichen Terms bei.

1. Der Faktor \((x+2)\) erklärt bereits die ausgeschlossene Stelle \(x=-2\). 2. Die zweite ausgeschlossene Stelle ist \(x=5\). Ein normierter linearer Faktor mit der Nullstelle \(5\) ist \(L(x)=x-5\). 3. Damit lautet der ursprüngliche Term \(v(x)=\frac{(x+2)(x-4)}{(x+2)(x-5)}\). 4. Für \(x\neq-2\) kann \((x+2)\) gekürzt werden. Es ergibt sich \(v(x)=\frac{x-4}{x-5}\), wobei weiterhin \(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-2;5\}\) gilt.

\(L(x)=x-5\) Für \(x\in D_v\) gilt \(v(x)=\frac{x-4}{x-5}\) mit \(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-2;5\}\).

- Eine Erweiterung verändert den Bruchwert nur dann nicht, wenn Zähler und Nenner mit demselben von null verschiedenen Faktor multipliziert werden. - Vergleiche jeweils den aktuellen Nenner mit dem Zielnenner. - Suche für den direkten Weg den Faktor zwischen \(x-1\) und \(6(x-1)\).

1. Yara multipliziert Zähler und Nenner mit \(3\). Damit multipliziert sie den gesamten Bruch mit \(\frac{3}{3}=1\); der Wert bleibt erhalten. 2. Von \(3(x-1)\) zum Zielnenner \(6(x-1)\) fehlt noch der Faktor \(2\). Yara erhält nach einem zweiten Schritt \(\frac{12}{6(x-1)}\). 3. Vom ursprünglichen Nenner \(x-1\) zum Zielnenner \(6(x-1)\) führt direkt der Faktor \(6\). Damit entsteht in einem Schritt \(\frac{12}{6(x-1)}\). 4. Beide Wege sind korrekt, aber die direkte Erweiterung mit \(6\) benötigt nur einen statt zwei Erweiterungsschritte.

a) Yaras Zwischenbruch ist äquivalent; anschließend muss sie noch mit \(2\) erweitern. b) Direkter Erweiterungsfaktor: \(6\); Ergebnis \(\frac{12}{6(x-1)}\). c) Direkter Weg: 1 Erweiterungsschritt; Yaras Weg: 2 Erweiterungsschritte.

- Beschreibe bei a) nicht nur das Ergebnis, sondern was mit Zähler und Nenner gleichzeitig geschieht. - Suche in b) nach derselben strukturellen Idee, diesmal mit einem algebraischen Faktor. - Dein Satz in d) sollte erklären, warum ein Pluszeichen innerhalb von Zähler oder Nenner einen entscheidenden Unterschied macht.

1. In a) sind \(18\) und \(24\) beide durch \(6\) teilbar. Division von Zähler und Nenner durch \(6\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 2. In b) ist \(x+2\) ein gemeinsamer Faktor des gesamten Zählers und des gesamten Nenners. Für \(x\neq-2\) darf dieser Faktor gekürzt werden. Danach gilt \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). 3. In c) stehen \(6\) und \(9\) jeweils als Summanden. Sie sind keine Faktoren des gesamten Zählers beziehungsweise Nenners und dürfen deshalb nicht gekürzt werden. 4. Gemeinsamer Grundsatz: Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben von null verschiedenen gemeinsamen Faktor zu teilen. Einzelne Summanden können nicht gekürzt werden.

a) \(\frac{3}{4}\), zum Beispiel durch Kürzen mit \(6\). b) \(\frac{2}{3}\). c) \(6\) und \(9\) sind Summanden, keine gemeinsamen Faktoren des ganzen Zählers und Nenners. d) Man darf nur einen gemeinsamen von null verschiedenen Faktor des gesamten Zählers und gesamten Nenners kürzen.

- Prüfe für \(D_B\) jeden Faktor des neuen Nenners auf Nullstellen. - Für b) benötigst du genau die x-Werte, für die beide Terme definiert sind. - Vergleiche für c) die beiden maximalen Definitionsmengen und untersuche einen Wert, der nur in einer von ihnen liegt. - Teste deinen vorgeschlagenen Faktor aus d) darauf, ob er für einen rationalen x-Wert null werden kann.

1. Für \(B\) müssen beide Nennerfaktoren ungleich null sein. Daher gilt \(x\neq-1\) und \(x\neq3\). Somit ist \(D_B=\mathbb{Q}\setminus\{-1;3\}\). 2. Für jeden Wert aus \(\mathbb{Q}\setminus\{-1;3\}\) kann der Faktor \(x-3\) gekürzt werden. Dort gilt \(B(x)=A(x)\). 3. Bei \(x=3\) ist \(A\) definiert, denn \(A(3)=\frac{1}{2}\). Der Term \(B\) ist dort wegen des zusätzlichen Nennerfaktors \(x-3\) nicht definiert. Deshalb ist \(B\) nicht auf der gesamten Definitionsmenge \(D_A\) definiert. 4. Jeder von null verschiedene konstante Faktor ist für alle rationalen \(x\) ungleich null und schließt daher keinen zusätzlichen Wert aus der Definitionsmenge aus, zum Beispiel \(5\).

a) \(D_B=\mathbb{Q}\setminus\{-1;3\}\) b) \(\mathbb{Q}\setminus\{-1;3\}\) c) Bei \(x=3\) ist \(A\) definiert, \(B\) aber nicht. d) Zum Beispiel \(5\).

- Wann ist ein Bruchterm nicht definiert? - Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren, bevor du kürzt. - Bestimme die Definitionsmenge immer am ursprünglichen Term. - Zwei Funktionen sind nur bei gleicher Zuordnungsvorschrift und gleicher Definitionsmenge identisch.

1. Bestimmung der Definitionsmengen: Der Nenner von \(f\) ist \(x^2 - 9\). Seine Nullstellen sind \(x = 3\) und \(x = -3\), also \(D_f = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\). Der Nenner von \(g\) ist \(x - 3\). Seine Nullstelle ist \(x = 3\), also \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). 2. Vereinfachung von \(f(x)\): \(2x+6 = 2(x+3)\) und \(x^2-9=(x+3)(x-3)\). Daher gilt für alle \(x \in D_f\): \(f(x)=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}\). Die Definitionslücke bei \(x=-3\) bleibt trotz des Kürzens bestehen. 3. Die Terme liefern auf \(D_f\) dieselben Werte, aber die Definitionsmengen unterscheiden sich. Da eine Funktion durch Zuordnungsvorschrift und Definitionsmenge bestimmt ist, sind \(f\) und \(g\) nicht identisch.

a) \(D_f = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\) und \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). b) Für alle \(x \in D_f\) gilt \(f(x) = \frac{2}{x-3}\); die Lücke bei \(x=-3\) bleibt bestehen. c) Nein, die Funktionen sind wegen ihrer unterschiedlichen Definitionsmengen nicht identisch.