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- Wie addiert oder subtrahiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Achte beim Subtrahieren besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer im Zähler.

1. Bestimmung des Hauptnenners: \(a(a + 2) = a^2 + 2a\). 2. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(\frac{2a}{a(a + 2)} - \frac{1(a + 2)}{a(a + 2)}\). 3. Subtraktion der Zähler: \(2a - (a + 2) = 2a - a - 2 = a - 2\). 4. Zusammenfügen: \(\frac{a - 2}{a^2 + 2a}\).

c) \(\frac{a - 2}{a^2 + 2a}\)

- Darf man Brüche einfach addieren, indem man die oberen und unteren Zahlen zusammenzählt? - Was musst du tun, bevor du zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren kannst? - Wie bestimmst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 5?

1. Fehleranalyse: Der Schüler hat fälschlicherweise Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert. Dies ist bei der Addition von Brüchen nicht zulässig. 2. Hauptnenner finden: Um die Brüche zu addieren, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 5 ist 10. 3. Brüche erweitern: Der erste Bruch wird mit 5 erweitert: \(\frac{x \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5x}{10}\). Der zweite Bruch wird mit 2 erweitert: \(\frac{x \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2x}{10}\). 4. Addition: Nun werden die Zähler addiert, während der Nenner beibehalten wird: \(\frac{5x}{10} + \frac{2x}{10} = \frac{7x}{10}\).

Der Fehler liegt im Addieren von Zählern und Nennern ohne Hauptnenner. Das richtige Ergebnis ist \(\frac{7x}{10}\) (oder \(0{,}7x\)).

- Kannst du den Bruch auf der linken Seite in zwei einzelne Brüche aufteilen? - Was passiert, wenn du eine Zahl durch sich selbst teilst? - Überlege, wie du den Term auf einer Seite isolieren kannst, ähnlich wie bei einer normalen Gleichung. - Haben die Terme bereits denselben Nenner?

1. Zerlegung des Bruchs in einzelne Brüche durch Division jedes Summanden im Zähler durch den Nenner: \(\frac{5x+2}{x} = \frac{5x}{x} + \frac{2}{x} = 5 + \frac{2}{x}\). Der gesuchte Term ist \(\frac{2}{x}\). 2. Analoges Vorgehen für die zweite Gleichung: \(\frac{a-4}{a} = \frac{a}{a} - \frac{4}{a} = 1 - \frac{4}{a}\). Der gesuchte Term ist \(\frac{4}{a}\). 3. Umformung der dritten Gleichung durch Subtraktion von \(\frac{3}{y}\) auf beiden Seiten: \(\frac{3+y}{y} - \frac{3}{y} = \frac{3+y-3}{y} = \frac{y}{y} = 1\). Der gesuchte Term ist \(1\).

a) \(\frac{2}{x}\) b) \(\frac{4}{a}\) c) \(1\)

- Worauf musst du beim Subtrahieren achten, wenn im Zähler eine Summe steht? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Wie erweiterst du einen Bruch, ohne seinen Wert zu verändern?

1. Bestimmung des Hauptnenners durch Multiplikation der Einzelnenner: \((x+2) \cdot (x-1) = x^2 + x - 2\). 2. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(\frac{2(x-1)}{(x+2)(x-1)} - \frac{3(x+2)}{(x+2)(x-1)}\). 3. Subtraktion der Zähler unter Beachtung der Vorzeichen: \(2(x-1) - 3(x+2) = 2x - 2 - 3x - 6 = -x - 8\). 4. Zusammenfügen zum Endergebnis: \(\frac{-x-8}{x^2+x-2}\).

\(\frac{-x-8}{x^2+x-2}\) oder \(\frac{-(x+8)}{(x+2)(x-1)}\)

- Wann ist ein Bruch nicht definiert? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Setze die Zahlen für die Variable ein und achte auf die Vorzeichenregeln beim Quadrieren. - Schau dir an, welche Rechenoperation im vereinfachten Term mit der Variablen durchgeführt wird.

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner dürfen nicht Null sein. \(x+2 = 0 \implies x = -2\) und \(2-x = 0 \implies x = 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Zusammenfassen: Der Hauptnenner ist \((x+2)(2-x) = 4-x^2\). \(A(x) = \frac{3(2-x)}{(x+2)(2-x)} + \frac{3(x+2)}{(2-x)(x+2)} = \frac{6-3x+3x+6}{4-x^2} = \frac{12}{4-x^2}\). 3. Termwerte berechnen: \(A(1) = \frac{12}{4-1^2} = \frac{12}{3} = 4\). \(A(-1) = \frac{12}{4-(-1)^2} = \frac{12}{3} = 4\). Die Werte sind identisch. 4. Begründung: Im vereinfachten Term \(A(x) = \frac{12}{4-x^2}\) kommt die Variable nur als Quadrat \(x^2\) vor. Da \((-k)^2 = k^2\) für jede Zahl gilt, liefert das Einsetzen von \(k\) und \(-k\) dasselbe Ergebnis im Nenner und somit denselben Termwert.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); vereinfachter Term: \(A(x) = \frac{12}{4-x^2}\). b) \(A(1) = 4\) und \(A(-1) = 4\). Die Werte sind gleich. c) Da im Term nur \(x^2\) vorkommt und \((-k)^2 = k^2\) gilt, ist der Wert für \(k\) und \(-k\) stets identisch.

- Suche zuerst nach einem gemeinsamen Nenner. - Vergiss beim Subtrahieren nicht die Klammer um den erweiterten zweiten Zähler. - Fasse den Zähler erst nach dem Erweitern zusammen.

1. Teilaufgabe a): Der Hauptnenner ist \(6x\). Die Brüche werden zu \(\frac{9}{6x}\) und \(\frac{10}{6x}\) erweitert. Das ergibt \(\frac{19}{6x}\). 2. Teilaufgabe b): Der Hauptnenner ist \(x(x-3)\). Es folgt \(\frac{x^2}{x(x-3)}-\frac{2(x-3)}{x(x-3)}=\frac{x^2-2x+6}{x(x-3)}\).

a) \(\frac{19}{6x}\) b) \(\frac{x^2-2x+6}{x(x-3)}\)

- Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs faktorisieren, um den Hauptnenner zu finden? - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner größer wird?

1. Nachweis der Gleichung: Die rechte Seite wird auf den Hauptnenner \(x(x+1) = x^2+x\) gebracht: \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x(x+1)} = \frac{x}{x(x+1)} + \frac{1}{x(x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)}\). 2. Kürzen des Terms \((x+1)\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{1}{x}\), was der linken Seite entspricht. 3. Anwendung für \(x=10\): Einsetzen in die Formel ergibt \(\frac{1}{10} = \frac{1}{10+1} + \frac{1}{10^2+10} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}\). 4. Begründung der Verschiedenheit: Für \(x>0\) sind die Nenner \(x+1\) und \(x(x+1)\) genau dann gleich, wenn \(x=1\). Unter der zusätzlichen Bedingung \(x \neq 1\) sind die Nenner und damit die Stammbrüche verschieden.

a) \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x(x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}\) b) \(\frac{1}{10} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}\) c) Für \(x>0\) und \(x \neq 1\) gilt \(x+1 \neq x^2+x\); daher sind die beiden Stammbrüche verschieden.

- Wie bestimmst du ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner als Hauptnenner? - Vergiss nicht, beim Erweitern den gesamten Zähler mit dem entsprechenden Faktor zu multiplizieren. - Achte beim Zusammenfassen der Zähler auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung des Hauptnenners durch Multiplikation der Einzelnenner: \( 2x \cdot (x-1) \). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \( (x-1) \): \( \frac{5(x-1)}{2x(x-1)} \). 3. Erweitern des zweiten Bruchs mit \( 2x \): \( \frac{2 \cdot 2x}{2x(x-1)} \). 4. Zusammenfassen der Zähler auf dem gemeinsamen Nenner: \( \frac{5x - 5 + 4x}{2x(x-1)} \). 5. Vereinfachen des Zählers durch Addieren der \( x \)-Terme: \( \frac{9x - 5}{2x(x-1)} \).

\( \frac{9x-5}{2x(x-1)} \)

- Kannst du im ersten Nenner eine Variable ausklammern? - Untersuche, ob du einen der Brüche bereits vor der Addition kürzen kannst. - Was wäre ein geeigneter gemeinsamer Nenner für beide Brüche?

1. Nenner des ersten Bruchs durch Ausklammern faktorisieren: \(x^2 - 4x = x \cdot (x - 4)\). 2. Den ersten Bruch durch \(x\) kürzen: \(\frac{x}{x \cdot (x - 4)} = \frac{1}{x - 4}\). 3. Die nun gleichnamigen Brüche addieren: \(\frac{1}{x - 4} + \frac{2}{x - 4} = \frac{3}{x - 4}\). Alternativ: Hauptnenner \(x \cdot (x - 4)\) bilden: \(\frac{x + 2x}{x \cdot (x - 4)} = \frac{3x}{x \cdot (x - 4)} = \frac{3}{x - 4}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq 0\) und \(x \neq 4\) bleiben erhalten.

\(\frac{3}{x-4}\) für \(x \notin \{0; 4\}\)

- Welcher der beiden Nenner enthält den anderen bereits als Faktor? - Achte beim Zusammenfassen im Zähler auf die Vorzeichen. - Kannst du den Zähler am Ende noch ausklammern?

1. Bestimmung des Hauptnenners: Da \((x-4)^2\) ein Vielfaches von \((x-4)\) ist, ist der Hauptnenner \((x-4)^2\). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \((x-4)\): \(\frac{5(x-4)}{(x-4)^2}\). 3. Addition der Zähler auf dem gemeinsamen Nenner: \(\frac{5(x-4) + (x+2)}{(x-4)^2}\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen im Zähler: \(5x - 20 + x + 2 = 6x - 18\). 5. Ergebnis als Bruch: \(\frac{6x-18}{(x-4)^2}\) bzw. faktorisiert \(\frac{6(x-3)}{(x-4)^2}\).

\(\frac{6x-18}{(x-4)^2}\) oder \(\frac{6(x-3)}{(x-4)^2}\)

- Welche Rechenregel (Punkt-vor-Strich-Rechnung) musst du zuerst beachten? - Kannst du beim Produkt der beiden Brüche etwas ausklammern und dann kürzen? - Haben die Brüche nach der Multiplikation bereits denselben Nenner?

1. Multiplikation der Brüche und Kürzen von \(b\): \(\frac{b \cdot 6}{3 \cdot b(b+2)} = \frac{6b}{3b(b+2)} = \frac{2}{b+2}\) 2. Subtraktion der Brüche mit gleichem Nenner: \(\frac{4}{b+2} - \frac{2}{b+2} = \frac{2}{b+2}\) Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(b \neq -2\) und \(b \neq 0\) bleiben erhalten.

\(\frac{2}{b+2}\) für \(b \notin \{-2; 0\}\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Achte beim Subtrahieren besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Zähler. - Wie wirkt sich das Minuszeichen auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer aus?

1. Bestimmung des Hauptnenners: Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(2x\) und \(3x\) ist \(6x\). 2. Erweitern der Brüche: Der erste Bruch wird mit \(3\) erweitert, der zweite mit \(2\). 3. Subtraktion der Zähler: \(\frac{3(x+5) - 2(x-1)}{6x}\). 4. Auflösen der Klammern im Zähler: \(\frac{3x+15 - (2x-2)}{6x} = \frac{3x+15 - 2x + 2}{6x}\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(\frac{x+17}{6x}\).

\(\frac{x+17}{6x}\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einem Bruchterm oder einer Klammer steht. - Wie ändern sich die Vorzeichen, wenn du eine Klammer mit vorangestelltem Minuszeichen auflöst? - Überprüfe den Schritt, in dem die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner geschrieben wurden.

1. Identifikation des Fehlers beim Auflösen der Minusklammer im Zähler: Lukas hat \(-(x^2 - 2x)\) fälschlicherweise zu \(-x^2 - 2x\) statt zu \(-x^2 + 2x\) vereinfacht. 2. Korrektur des Zählers: \(5x + 5 - x^2 + 2x = -x^2 + 7x + 5\). 3. Aufstellen des korrekten Terms: \(\frac{-x^2+7x+5}{x(x+1)}\).

Lukas hat beim Auflösen der Minusklammer im Zähler das Vorzeichen von \(-2x\) nicht umgekehrt. Richtig wäre \(-(-2x) = +2x\). Das korrekte Ergebnis lautet \(\frac{-x^2+7x+5}{x(x+1)}\).

- Achte beim Subtrahieren darauf, dass sich das Minuszeichen auf den gesamten Zähler des zweiten Bruchs bezieht. - Untersuche das Ergebnis immer darauf, ob du im Zähler etwas ausklammern kannst, um gegen den Nenner zu kürzen. - Manchmal helfen dir die binomischen Formeln dabei, einen Zähler oder Nenner in Faktoren zu zerlegen.

1. Addition der Zähler bei gleichem Nenner: \(\frac{4z-5+5z+14}{9} = \frac{9z+9}{9}\). Ausklammern der \(9\) im Zähler ergibt \(\frac{9 \cdot (z+1)}{9}\). Durch Kürzen der \(9\) erhält man \(z+1\). 2. Subtraktion der Zähler bei gleichem Nenner: \(\frac{x^2-16}{x-4}\). Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler ergibt \(\frac{(x-4) \cdot (x+4)}{x-4}\). Durch Kürzen des Faktors \((x-4)\) erhält man \(x+4\). 3. Subtraktion der Zähler unter Beachtung des Minuszeichens (Klammer setzen): \(\frac{3a+7-(a-1)}{2a} = \frac{3a+7-a+1}{2a} = \frac{2a+8}{2a}\). Ausklammern der \(2\) im Zähler ergibt \(\frac{2 \cdot (a+4)}{2a}\). Durch Kürzen der \(2\) erhält man \(\frac{a+4}{a}\). 4. In Teilaufgabe b) bleibt der ursprüngliche Ausschlusswert \(x \neq 4\) erhalten.

a) \(z + 1\) b) \(x + 4\) für \(x \neq 4\) c) \(\frac{a+4}{a}\)

- Schau dir die Nenner genau an. Wie hängen sie zusammen? - Was passiert mit dem Rechenzeichen vor dem Bruch, wenn du im Nenner ein Minuszeichen ausklammerst? - Kannst du die Nenner so umformen, dass sie identisch sind?

1. Umformung des zweiten Nenners in Teilaufgabe a) durch Ausklammern von \(-1\): \(v-u = -(u-v)\). 2. Zusammenfassen der Brüche mit dem nun gemeinsamen Nenner \(u-v\): \(\frac{8z}{u-v} - \frac{5z}{u-v} = \frac{3z}{u-v}\). 3. Umformung des zweiten Nenners in Teilaufgabe b) durch Ausklammern von \(-1\): \(1-2x = -(2x-1)\). 4. Die Subtraktion des Bruchs mit negativem Nenner wird zur Addition: \(\frac{3k}{2x-1} + \frac{k}{2x-1}\). 5. Addition der Zähler ergibt das Resultat \(\frac{4k}{2x-1}\).

a) \(\frac{3z}{u-v}\) b) \(\frac{4k}{2x-1}\)

- Was musst du beachten, wenn du Zähler subtrahierst, die aus mehreren Gliedern bestehen? - Denke daran, dass der Nenner bei der Addition oder Subtraktion von Brüchen gleich bleibt. - Kannst du das Ergebnis in Teilaufgabe b noch weiter vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor im Zähler suchst?

1. Subtraktion der Zähler bei gleichem Nenner für Teilaufgabe a: \((8a - 5) - (3a - 5) = 8a - 5 - 3a + 5 = 5a\). Das Ergebnis ist \(\frac{5a}{x}\). 2. Addition der Zähler bei gleichem Nenner für Teilaufgabe b: \((y + 7) + (y - 3) = 2y + 4\). 3. Faktorisieren des Zählers durch Ausklammern der Zahl \(2\): \(2(y + 2)\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((y + 2)\) im Zähler und Nenner. Das Ergebnis ist \(2\). 5. In Teilaufgabe b) bleibt der ursprüngliche Ausschlusswert \(y \neq -2\) erhalten.

a) \(\frac{5a}{x}\) b) \(2\) für \(y \neq -2\)

- Wie hängen die beiden Nenner in den Aufgaben jeweils zusammen? - Kannst du einen Nenner so umformen, dass er dem anderen gleicht? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - Denke daran, beim Subtrahieren eines Zählers Klammern zu setzen, damit sich alle Vorzeichen im Zähler ändern.

1. Nenner durch Vorzeichenwechsel im zweiten Summanden angleichen: \( \frac{5x - 2}{x - 4} - \frac{2x + 1}{x - 4} \). Subtraktion der Zähler unter Beachtung der Klammern ergibt \( \frac{5x - 2 - 2x - 1}{x - 4} = \frac{3x - 3}{x - 4} \). 2. Nenner im zweiten Summanden durch Vorzeichenwechsel anpassen: \( \frac{a + 3b}{a - b} + \frac{2a + b}{a - b} \). Addition der Zähler ergibt \( \frac{a + 3b + 2a + b}{a - b} = \frac{3a + 4b}{a - b} \).

a) \( \frac{3x - 3}{x - 4} \) b) \( \frac{3a + 4b}{a - b} \)

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Bruchs, wenn man im Nenner die Reihenfolge der Subtraktion vertauscht? - Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs so umformen, dass er identisch mit dem ersten Nenner ist? - Schau dir in Teilaufgabe a) das Ergebnis nach dem Zusammenfassen genau an – lässt sich im Zähler etwas ausklammern? - Achte beim Subtrahieren eines Bruchs mit negativem Nenner besonders auf das Vorzeichen vor dem Bruch.

1. Teilaufgabe a): Umwandlung des zweiten Nenners durch Ausklammern von \(-1\): \(\frac{8}{2-m} = \frac{8}{-(m-2)} = -\frac{8}{m-2}\). 2. Zusammenfassen der Brüche: \(\frac{4m-8}{m-2}\). 3. Faktorisieren des Zählers: \(4(m-2)\). 4. Kürzen des Terms \((m-2)\): Ergebnis \(4\) für \(m \neq 2\). 5. Teilaufgabe b): Umwandlung des zweiten Nenners: \(\frac{2y}{y-x} = -\frac{2y}{x-y}\). 6. Verrechnen der Vorzeichen: \(-\left(-\frac{2y}{x-y}\right) = +\frac{2y}{x-y}\). 7. Addition der Zähler bei gleichem Nenner: \(\frac{x+y+2y}{x-y} = \frac{x+3y}{x-y}\) für \(x \neq y\).

a) \(4\) für \(m \neq 2\) b) \(\frac{x+3y}{x-y}\) für \(x \neq y\)

- Worin unterscheiden sich die Nenner der Brüche? - Wie kannst du einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bilden? - Denk daran, beim Erweitern sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl oder Variable zu multiplizieren. - Achte bei Differenzen besonders auf die Vorzeichen im Zähler.

1. Hauptnenner finden: \(6x\). Erweitern der Brüche ergibt \(\frac{8}{6x} + \frac{3}{6x} = \frac{11}{6x}\). 2. Hauptnenner finden: \(12z\). Erweitern der Brüche ergibt \(\frac{10y}{12z} - \frac{3y}{12z} = \frac{7y}{12z}\). 3. Hauptnenner finden: \(a^2\). Erweitern des zweiten Bruchs mit \(a\) ergibt \(\frac{2}{a^2} + \frac{3a}{a^2} = \frac{3a+2}{a^2}\). 4. Hauptnenner finden: \(10x\). Erweitern des ersten Bruchs mit \(2\) und des zweiten mit \(x\) ergibt \(\frac{2(x-2)}{10x} + \frac{x}{10x} = \frac{2x-4+x}{10x} = \frac{3x-4}{10x}\).

1. Hauptnenner \(6x\), Ergebnis \(\frac{11}{6x}\) 2. Hauptnenner \(12z\), Ergebnis \(\frac{7y}{12z}\) 3. Hauptnenner \(a^2\), Ergebnis \(\frac{3a+2}{a^2}\) 4. Hauptnenner \(10x\), Ergebnis \(\frac{3x-4}{10x}\)

- Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Was musst du beim Erweitern eines Bruches mit dem gesamten Zähler machen? - Achte beim Subtrahieren besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch – es wirkt wie ein Minus vor einer Klammer.

1. Teilaufgabe a): Bestimmung des Hauptnenners von \(10\) und \(15\), dieser ist \(30\). 2. Erweitern der Brüche: \(\frac{3(3z - 5)}{30} + \frac{2(z + 4)}{30} = \frac{9z - 15}{30} + \frac{2z + 8}{30}\). 3. Zusammenfassen der Zähler: \(\frac{9z - 15 + 2z + 8}{30} = \frac{11z - 7}{30}\). 4. Teilaufgabe b): Bestimmung des Hauptnenners von \(6\) und \(9\), dieser ist \(18\). 5. Erweitern der Brüche: \(\frac{3(7k + 2)}{18} - \frac{2(2k - 3)}{18} = \frac{21k + 6}{18} - \frac{4k - 6}{18}\). 6. Subtraktion der Zähler unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(\frac{21k + 6 - (4k - 6)}{18} = \frac{21k + 6 - 4k + 6}{18} = \frac{17k + 12}{18}\).

a) \(\frac{11z - 7}{30}\) b) \(\frac{17k + 12}{18}\)

- Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen im Nenner? - Musst du beide Brüche erweitern oder reicht es, einen der beiden anzupassen? - Kannst du das Endergebnis am Ende noch durch eine Zahl im Zähler und Nenner teilen?

1. Für Teilaufgabe a) wird der Hauptnenner der Koeffizienten \(8\) und \(12\) bestimmt, welcher \(24\) ist. Der gemeinsame Nenner lautet somit \(24ab\). 2. Erweitern der Brüche: \( \frac{3 \cdot 3}{24ab} + \frac{5 \cdot 2}{24ab} = \frac{9 + 10}{24ab} \). 3. Addition der Zähler ergibt \( \frac{19}{24ab} \). 4. Für Teilaufgabe b) ist der Hauptnenner \(12y\). Der zweite Bruch wird mit \(3\) erweitert: \( \frac{5x}{12y} + \frac{3x}{12y} \). 5. Addition der Zähler ergibt \( \frac{8x}{12y} \). Durch Kürzen mit \(4\) erhält man das Endergebnis \( \frac{2x}{3y} \).

a) \( \frac{19}{24ab} \) b) \( \frac{2x}{3y} \)

- Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Nennern, die Variablen enthalten? - Welche Faktoren fehlen im jeweiligen Nenner, um den Hauptnenner zu bilden? - Denke daran, dass du beim Erweitern sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl oder Variablen multiplizieren musst. - Kannst du im Ergebnis noch etwas ausklammern oder kürzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners von \(ab\) und \(bc\): \(abc\). Erweitern des ersten Bruchs mit \(c\) und des zweiten mit \(a\): \(\frac{4c}{abc} + \frac{3a}{abc}\). Addition der Zähler ergibt \(\frac{4c+3a}{abc}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners von \(y^2\) und \(xy\): \(xy^2\). Erweitern des ersten Bruchs mit \(x\) und des zweiten mit \(y\): \(\frac{x^2}{xy^2} - \frac{y}{xy^2}\). Subtraktion der Zähler ergibt \(\frac{x^2-y}{xy^2}\). 3. Bestimmung des Hauptnenners von \(6mn\) und \(9mp\): Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(6\) und \(9\) ist \(18\), kombiniert mit den Variablen ergibt sich \(18mnp\). Erweitern des ersten Bruchs mit \(3p\) und des zweiten mit \(2n\): \(\frac{15p}{18mnp} + \frac{4n}{18mnp}\). Addition der Zähler ergibt \(\frac{15p+4n}{18mnp}\).

1. \(\frac{4c+3a}{abc}\) 2. \(\frac{x^2-y}{xy^2}\) 3. \(\frac{15p+4n}{18mnp}\)

- Worauf musst du achten, wenn du Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren möchtest? - Wie findest du einen Nenner, in den beide ursprünglichen Nenner „hineinpassen“? - Mit welchem Faktor musst du den Zähler multiplizieren, damit der Wert des Bruchs beim Erweitern gleich bleibt?

1. Bestimmung des Hauptnenners für \( \frac{5}{2x^2} \) und \( \frac{3}{x} \): Der Hauptnenner ist \( 2x^2 \). Erweiterung des zweiten Bruchs mit \( 2x \): \( \frac{3 \cdot 2x}{x \cdot 2x} = \frac{6x}{2x^2} \). Addition der Zähler: \( \frac{5 + 6x}{2x^2} \). 2. Bestimmung des Hauptnenners für \( \frac{4z}{w^3} \) und \( \frac{1}{w^2} \): Der Hauptnenner ist \( w^3 \). Erweiterung des zweiten Bruchs mit \( w \): \( \frac{1 \cdot w}{w^2 \cdot w} = \frac{w}{w^3} \). Subtraktion der Zähler: \( \frac{4z - w}{w^3} \).

1. \( \frac{5 + 6x}{2x^2} \) 2. \( \frac{4z - w}{w^3} \)

- Worauf musst du achten, wenn die Nenner verschieden sind? - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für Terme mit Variablen? - Denk daran, dass sich ein Minuszeichen vor einem Bruch auf den gesamten Zähler auswirkt. - Kannst du im Zähler noch etwas zusammenfassen?

1. Teilaufgabe a): Bestimmung des Hauptnenners als \(x^2\). Erweiterung des zweiten Bruchs mit \(x\) führt zu \(\frac{4x+1}{x^2} - \frac{3x}{x^2}\). Subtraktion der Zähler ergibt \(\frac{4x+1-3x}{x^2}\). Vereinfachung des Zählers liefert \(\frac{x+1}{x^2}\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung des Hauptnenners als \(ab^2\). Erweiterung des ersten Bruchs mit \(b\) ergibt \(\frac{2ab-b^2}{ab^2}\). Erweiterung des zweiten Bruchs mit \(a\) ergibt \(\frac{a^2+2ab}{ab^2}\). Addition der Zähler liefert \(\frac{2ab-b^2+a^2+2ab}{ab^2}\). Zusammenfassen gleichartiger Terme im Zähler führt zum Ergebnis \(\frac{a^2+4ab-b^2}{ab^2}\).

a) \(\frac{x+1}{x^2}\) b) \(\frac{a^2+4ab-b^2}{ab^2}\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen im Nenner? - Denke daran, dass sich beim Subtrahieren eines gesamten Zählers die Vorzeichen innerhalb der Klammer ändern. - Wie musst du die Zähler anpassen, wenn du die Nenner vergrößerst?

1. Bestimmung des Hauptnenners von 15 und 10 als 30. 2. Erweitern des ersten Bruchs mit 2: \(\frac{2(3x+2y)}{30} = \frac{6x+4y}{30}\). 3. Erweitern des zweiten Bruchs mit 3: \(\frac{3(x-y)}{30} = \frac{3x-3y}{30}\). 4. Subtraktion der Zähler unter Beachtung des Minuszeichens: \(6x+4y - (3x-3y) = 6x+4y - 3x+3y = 3x+7y\). 5. Das Ergebnis ist \(\frac{3x+7y}{30}\).

\(\frac{3x+7y}{30}\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen im Nenner? - Achte bei den Variablen im Nenner auf die jeweils höchste vorkommende Potenz. - Vergiss nicht, beim Erweitern sowohl den Zähler als auch den Nenner mit demselben Faktor zu multiplizieren. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch weiter kürzen?

1. Teilaufgabe a: Bestimmung des Hauptnenners von \(6x^2\) und \(9x\). Das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten 6 und 9 ist 18. Für die Variablen ist \(x^2\) die höchste Potenz. Der Hauptnenner lautet somit \(18x^2\). 2. Erweitern der Brüche: Der erste Bruch wird mit 3 erweitert, der zweite mit \(2x\). Dies ergibt \(\frac{15}{18x^2} + \frac{4x}{18x^2}\). 3. Zusammenfassen der Zähler: \(\frac{15 + 4x}{18x^2}\). 4. Teilaufgabe b: Bestimmung des Hauptnenners von \(4b\) und \(10a\). Das kgV von 4 und 10 ist 20. Der Hauptnenner ist \(20ab\). 5. Erweitern der Brüche: Der erste Bruch wird mit \(5a\) erweitert, der zweite mit \(2b\). Dies ergibt \(\frac{5a^2}{20ab} - \frac{2b^2}{20ab}\). 6. Zusammenfassen der Zähler: \(\frac{5a^2 - 2b^2}{20ab}\).

a) \(\frac{15 + 4x}{18x^2}\) b) \(\frac{5a^2 - 2b^2}{20ab}\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Womit musst du den ersten und womit den zweiten Bruch multiplizieren, um auf diesen Nenner zu kommen? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch, wenn du die Zähler zusammenführst. - Vergiss nicht, die Klammern beim Subtrahieren des gesamten Zählers zu setzen.

1. Bestimmung des Hauptnenners: Der kleinste gemeinsame Nenner von \(a^2b\) und \(ab^2\) ist \(a^2b^2\). 2. Erweitern der Brüche: Der erste Bruch wird mit \(b\) erweitert zu \(\frac{b(5a - 2)}{a^2b^2} = \frac{5ab - 2b}{a^2b^2}\). Der zweite Bruch wird mit \(a\) erweitert zu \(\frac{a(3b + 4)}{a^2b^2} = \frac{3ab + 4a}{a^2b^2}\). 3. Subtraktion der Zähler: \(\frac{5ab - 2b - (3ab + 4a)}{a^2b^2} = \frac{5ab - 2b - 3ab - 4a}{a^2b^2}\). 4. Zusammenfassen gleicher Glieder im Zähler: \(2ab - 4a - 2b\). 5. Ergebnis: \(\frac{2ab - 4a - 2b}{a^2b^2}\).

\( \frac{2ab - 4a - 2b}{a^2b^2} \)

- Wie kannst du eine ganze Zahl oder eine Variable als Bruch mit einem bestimmten Nenner schreiben? - Achte beim Subtrahieren eines Zählers mit mehreren Gliedern besonders auf die Vorzeichen (Klammer setzen!). - Kannst du am Ende im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren kürzen?

1. Für \(3 + \frac{2}{n}\): Erweitern der Zahl \(3\) mit \(n\) ergibt \(\frac{3n}{n}\). Die Addition führt zu \(\frac{3n + 2}{n}\). 2. Für \(\frac{y^2 + 4}{y} - y\): Erweitern von \(y\) mit \(y\) ergibt \(\frac{y^2}{y}\). Die Subtraktion ergibt \(\frac{y^2 + 4 - y^2}{y}\), was sich zu \(\frac{4}{y}\) vereinfacht. 3. Für \(a - \frac{a^2 - a}{a}\): Erweitern von \(a\) mit \(a\) ergibt \(\frac{a^2}{a}\). Die Subtraktion lautet \(\frac{a^2 - (a^2 - a)}{a} = \frac{a^2 - a^2 + a}{a}\). Dies ergibt \(\frac{a}{a}\), was für \(a \neq 0\) den Wert \(1\) hat.

a) \(\frac{3n + 2}{n}\) b) \(\frac{4}{y}\) c) \(1\) für \(a \neq 0\)

- Worauf musst du achten, wenn du Brüche mit unterschiedlichen Nennern voneinander abziehst? - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für Terme wie \(x\) und \(x^2\)? - Denk an die Klammern, wenn du einen ganzen Zähler subtrahierst. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch weiter kürzen?

1. Teilaufgabe a): Den Hauptnenner \(4x^2\) bestimmen. Den ersten Bruch mit \(2x\) erweitern: \(\frac{3 \cdot 2x}{4x^2} = \frac{6x}{4x^2}\). Die Zähler subtrahieren (Klammern beim zweiten Zähler beachten): \(\frac{6x - (x+1)}{4x^2} = \frac{6x - x - 1}{4x^2} = \frac{5x-1}{4x^2}\). 2. Teilaufgabe b): Den Hauptnenner \(a^2\) bestimmen. Den ersten Bruch mit \(a\) erweitern: \(\frac{(a-2) \cdot a}{a^2} = \frac{a^2 - 2a}{a^2}\). Die Zähler addieren: \(\frac{a^2 - 2a + 2}{a^2}\).

a) \(\frac{5x-1}{4x^2}\) b) \(\frac{a^2-2a+2}{a^2}\)

- Solltest du zuerst einen gemeinsamen Nenner finden oder direkt die Klammern auflösen? - Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler, wenn ein Minuszeichen vor dem gesamten Bruch steht? - Kannst du einzelne Variablen als Brüche mit dem Nenner 1 schreiben? - Achte darauf, jeden Teil des Terms mit dem passenden Faktor zu erweitern.

1. Bestimmung des Hauptnenners \(4\): \(\frac{2x-3}{4} + \frac{2(x+1)}{4} = \frac{2x-3+2x+2}{4} = \frac{4x-1}{4}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners \(3\): \(\frac{3a}{3} - \frac{2a-b}{3} = \frac{3a-(2a-b)}{3} = \frac{3a-2a+b}{3} = \frac{a+b}{3}\). 3. Bestimmung des Hauptnenners \(10\): \(\frac{2(s+t)}{10} - \frac{5(s-t)}{10} + \frac{10t}{10} = \frac{2s+2t-5s+5t+10t}{10} = \frac{-3s+17t}{10}\).

1) \(\frac{4x-1}{4}\) 2) \(\frac{a+b}{3}\) 3) \(\frac{-3s+17t}{10}\)

- Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Denk daran, dass ein Minuszeichen vor einem Bruch wie eine Klammer für den gesamten Zähler wirkt. - Wie kannst du die Zähler am besten zusammenfassen, nachdem sie auf dem gleichen Nenner stehen? - Achte beim Erweitern darauf, jeden Teil des Zählers mit der entsprechenden Zahl zu multiplizieren.

1. Bestimmung des Hauptnenners der Zahlen \( 4 \), \( 3 \) und \( 2 \), welcher \( 12 \) ist. 2. Erweitern der einzelnen Brüche auf den Hauptnenner \( 12 \): \( \frac{3(3a-1)}{12} - \frac{4(a+2)}{12} + \frac{6a}{12} \). 3. Zusammenfassen aller Terme auf einen gemeinsamen Bruchstrich: \( \frac{9a - 3 - (4a + 8) + 6a}{12} \). 4. Auflösen der Klammer im Zähler unter Beachtung des Minuszeichens: \( \frac{9a - 3 - 4a - 8 + 6a}{12} \). 5. Zusammenfassen der Glieder im Zähler: \( 9a - 4a + 6a = 11a \) und \( -3 - 8 = -11 \). 6. Ergebnis: \( \frac{11a-11}{12} \).

\( \frac{11a-11}{12} \) (oder \( \frac{11(a-1)}{12} \))

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Mit welchem Faktor musst du den ersten Bruch erweitern, um auf den Hauptnenner zu kommen? - Denk daran, beim Erweitern des zweiten Bruchs den gesamten Zähler in Klammern zu setzen. - Kannst du im Zähler noch Variablen oder Zahlen zusammenfassen?

1. Bestimmung des Hauptnenners durch das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \( 2a \) und \( a^2 \): \( 2a^2 \). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \( a \): \( \frac{3 \cdot a}{2a \cdot a} = \frac{3a}{2a^2} \). 3. Erweitern des zweiten Bruchs mit \( 2 \): \( \frac{2 \cdot (a-2)}{2 \cdot a^2} = \frac{2a-4}{2a^2} \). 4. Addition der Zähler über dem gemeinsamen Nenner: \( \frac{3a + 2a - 4}{2a^2} \). 5. Zusammenfassen der Terme im Zähler: \( \frac{5a-4}{2a^2} \).

\( \frac{5a-4}{2a^2} \)

- Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs so umformen, dass er den Nenner des ersten Bruchs enthält? - Was ist der kleinste gemeinsame Nenner? - Schau dir den Zähler nach der Subtraktion genau an – erkennst du eine binomische Formel? - Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert?

1. Faktorisierung des Nenners im zweiten Bruch: \(x^2 - 3x = x(x-3)\) 2. Bestimmung des Hauptnenners: \(L = x(x-3)\) 3. Erweitern des ersten Bruchs mit \(x\): \(\frac{x \cdot x}{x(x-3)} = \frac{x^2}{x(x-3)}\) 4. Subtraktion der Zähler auf dem gemeinsamen Nenner: \(\frac{x^2 - 9}{x(x-3)}\) 5. Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) 6. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x-3)\) im Zähler und Nenner: \(\frac{x+3}{x}\) 7. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden, woraus \(x \neq 0\) und \(x \neq 3\) folgt. Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0; 3\}\).

Der vereinfachte Term ist \(\frac{x+3}{x}\) (oder \(1 + \frac{3}{x}\)) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0; 3\}\).

- Überlege zuerst, welche Zahl ein gemeinsames Vielfaches der drei Nenner ist. - Achte beim Zusammenfassen besonders auf das Minuszeichen vor dem dritten Bruch und dessen Auswirkung auf die Klammer. - Du kannst den Zähler erst vollständig ausmultiplizieren, bevor du Gleiches mit Gleichem verrechnest.

1. Bestimmung des Hauptnenners der Zahlen 6, 4 und 8: \( \text{kgV}(6, 4, 8) = 24 \). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 24: \( \frac{4 \cdot (2x - 5)}{24} + \frac{6 \cdot (x + 1)}{24} - \frac{3 \cdot (3x - 2)}{24} \). 3. Zusammenfassen auf einen gemeinsamen Bruchstrich: \( \frac{4(2x - 5) + 6(x + 1) - 3(3x - 2)}{24} \). 4. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \( \frac{8x - 20 + 6x + 6 - 9x + 6}{24} \). 5. Zusammenfassen der Terme im Zähler: \( (8x + 6x - 9x) + (-20 + 6 + 6) = 5x - 8 \). 6. Endergebnis: \( \frac{5x - 8}{24} \).

\( \frac{5x - 8}{24} \)

- Vergleiche die Nenner der beiden Brüche. Wie hängen sie zusammen? - Gibt es eine Regel für die Subtraktion von Brüchen, die das Abziehen von Nennern erlaubt? - Überlege, mit welcher Zahl du den Nenner \(x\) multiplizieren musst, um \(2x\) zu erhalten.

1. Beurteilung Ansatz A: Dieser Ansatz ist mathematisch falsch. Bei der Subtraktion von Brüchen dürfen weder die Nenner voneinander abgezogen werden, noch darf ohne gemeinsamen Nenner im Zähler gerechnet werden. 2. Beurteilung Ansatz B: Dieser Ansatz ist korrekt. Um Bruchterme zu subtrahieren, müssen diese gleichnamig gemacht werden. Da der erste Nenner \(2x\) ist und der zweite \(x\), ist \(2x\) der Hauptnenner. 3. Durchführung der Rechnung nach Ansatz B: Erweiterung des zweiten Bruchs mit 2 ergibt \(\frac{2 \cdot 2}{x \cdot 2} = \frac{4}{2x}\). 4. Subtraktion: \(T = \frac{5}{2x} - \frac{4}{2x} = \frac{5 - 4}{2x} = \frac{1}{2x}\).

Ansatz A ist falsch, Ansatz B ist richtig. Das vereinfachte Ergebnis lautet \(\frac{1}{2x}\).

- Wie addiert man Brüche, die bereits denselben Nenner haben? - Was musst du tun, wenn die Nenner unterschiedlich sind, um sie vergleichbar zu machen? - Kannst du im Zähler einen gemeinsamen Faktor finden, den du ausklammern kannst?

1. Teilaufgabe a): Da die Nenner gleich sind, werden die Zähler addiert: \(\frac{7+2}{x} = \frac{9}{x}\). 2. Teilaufgabe b): Um einen gemeinsamen Nenner (\(2y\)) zu erhalten, wird der zweite Bruch mit \(2\) erweitert: \(\frac{5}{2y} - \frac{2}{2y}\). Subtraktion der Zähler ergibt \(\frac{3}{2y}\). 3. Teilaufgabe c): Im Zähler wird die \(3\) ausgeklammert: \(3(x + 2)\). Durch Kürzen der \(3\) im Zähler und Nenner bleibt \(x + 2\) übrig.

a) \(\frac{9}{x}\) b) \(\frac{3}{2y}\) c) \(x + 2\)

- Wenn Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben, ist ihr Produkt ein geeigneter Hauptnenner. - Multipliziere die Klammern im Zähler sorgfältig aus, bevor du zusammenfasst. - Kannst du im Zähler am Ende noch etwas ausklammern?

1. Bestimmung des Hauptnenners: Da die Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben, ist der Hauptnenner das Produkt \((x-3)(x+1)\). 2. Erweitern: Der erste Bruch wird mit \((x+1)\) erweitert, der zweite mit \((x-3)\). 3. Aufstellen der Summe: \(\frac{(x+2)(x+1) + x(x-3)}{(x-3)(x+1)}\). 4. Ausmultiplizieren der Zählerterme: \((x+2)(x+1) = x^2 + 3x + 2\) und \(x(x-3) = x^2 - 3x\). 5. Zusammenfassen im Zähler: \(x^2 + 3x + 2 + x^2 - 3x = 2x^2 + 2\). 6. Endergebnis: \(\frac{2x^2+2}{(x-3)(x+1)}\) oder \(\frac{2(x^2+1)}{(x-3)(x+1)}\).

\(\frac{2x^2+2}{(x-3)(x+1)}\)

- Wie kannst du die Zahl 1 so als Bruch schreiben, dass sie denselben Nenner wie der Rest der Gleichung hat? - Erinnerst du dich an die Regeln zum Kürzen von Brüchen? Das könnte hier hilfreich sein. - Wenn die Nenner gleich sind, kannst du dich ganz auf die Zähler konzentrieren.

1. Um den Zähler in (a) zu finden, wird die \(1\) auf den Nenner \(x-1\) erweitert: \(1 = \frac{x-1}{x-1}\). Damit gilt \(\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{\Box}{x-1}\). Durch Vergleich der Zähler folgt \(x+3 = x-1+\Box\), woraus sich \(\Box = 4\) ergibt. 2. In (b) wird die Gleichung nach \(\Box\) umgestellt: \(\Box = \frac{5}{3a} - \frac{2}{3a} = \frac{3}{3a}\). Durch Kürzen mit \(3\) erhält man \(\Box = \frac{1}{a}\). 3. In (c) wird der Bruch zerlegt: \(\frac{k^2+1}{k^2} = \frac{k^2}{k^2} + \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{1}{k^2}\). Der gesuchte Term ist \(\frac{1}{k^2}\).

a) \(4\) b) \(\frac{1}{a}\) c) \(\frac{1}{k^2}\)

- Schau dir die Nenner genau an: Welches gemeinsame Vielfache eignet sich als Hauptnenner? - Womit musst du den ersten Bruch multiplizieren, damit er denselben Nenner wie der zweite bekommt? - Denk daran, beim Erweitern den gesamten Zähler in Klammern zu setzen.

1. Bestimmung des Hauptnenners: Da \(2x\) und \(x^2\) als Faktoren vorkommen, ist der Hauptnenner \(2x^2\). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \(x\): \(\frac{x(x+1)}{2x^2} = \frac{x^2+x}{2x^2}\). 3. Erweitern des zweiten Bruchs mit 2: \(\frac{2(x-2)}{2x^2} = \frac{2x-4}{2x^2}\). 4. Addition der Zähler auf dem gemeinsamen Nenner: \(x^2 + x + 2x - 4 = x^2 + 3x - 4\). 5. Endergebnis: \(\frac{x^2+3x-4}{2x^2}\).

\(\frac{x^2+3x-4}{2x^2}\)

- Was muss man beim Erweitern auf den Hauptnenner beachten? - Setze die Werte für \(x\) nacheinander in den (vereinfachten) Term ein. - Ersetze im Term jedes \(x\) durch den Ausdruck \(-(x+1)\) und verwende die binomischen Formeln zum Ausmultiplizieren.

1. Definitionsmenge: \(x \neq 0\) und \(x+1 \neq 0 \implies x \neq -1\). Also \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}\). 2. Vereinfachung: Hauptnenner ist \(x(x+1)\). \(B(x) = \frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x^2+x}\). 3. Überprüfung: Für \(x=2\): \(B(2) = \frac{1}{2^2+2} = \frac{1}{6}\). (Wahr) Für \(x=-3\): \(B(-3) = \frac{1}{(-3)^2+(-3)} = \frac{1}{9-3} = \frac{1}{6}\). (Wahr) 4. Allgemeiner Beweis: Setze \(-(x+1)\) in den vereinfachten Term ein: \(B(-(x+1)) = \frac{1}{(-(x+1))^2 + (-(x+1))} = \frac{1}{(x+1)^2 - x - 1} = \frac{1}{x^2+2x+1-x-1} = \frac{1}{x^2+x}\). Dies entspricht genau \(B(x)\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}\); vereinfacht: \(B(x) = \frac{1}{x^2+x}\). b) Beide Werte sind Lösungen, da \(B(2) = \frac{1}{6}\) und \(B(-3) = \frac{1}{6}\). c) Einsetzen von \(-(x+1)\) ergibt nach Umformung ebenfalls \(\frac{1}{x^2+x}\).

- Erkennst du im Nenner eine Differenz von Quadraten? - Bestimme danach den Hauptnenner. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob sich ein gemeinsamer Faktor kürzen lässt.

1. Faktorisiere \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). 2. Der Hauptnenner ist \((x-2)(x+2)\). Erweitere den ersten Bruch mit \(x-2\): \(\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}+\frac{4}{(x-2)(x+2)}\). 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}\). Kürzen von \(x+2\) liefert \(\frac{1}{x-2}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -2\) und \(x \neq 2\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{x-2}\) für \(x \notin \{-2; 2\}\)

- Versuche zuerst, die Doppelbrüche auf der rechten Seite zu vereinfachen, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst oder die Zähler und Nenner anpasst. - Was muss für den Nenner eines Stammbruchs gelten? Muss er eine ganze Zahl sein? - Welche Eigenschaft hat \(n+1\), wenn \(n\) ungerade ist? Warum sind die beiden Nenner für \(n>1\) verschieden?

1. Überprüfung für \(n=7\): Einsetzen ergibt \(\frac{2}{7} = \frac{1}{\frac{7+1}{2}} + \frac{1}{\frac{7(7+1)}{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}\). 2. Berechnung: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28}\). Kürzen mit 4 ergibt \(\frac{2}{7}\). 3. Allgemeine Umformung: Die rechte Seite ist \(\frac{2}{n+1} + \frac{2}{n(n+1)}\). Der Hauptnenner ist \(n(n+1)\). 4. Zusammenfassen: \(\frac{2n}{n(n+1)} + \frac{2}{n(n+1)} = \frac{2n+2}{n(n+1)} = \frac{2(n+1)}{n(n+1)} = \frac{2}{n}\). 5. Bedeutung der Bedingungen: Ist \(n\) eine ungerade natürliche Zahl, so sind \(\frac{n+1}{2}\) und \(\frac{n(n+1)}{2}\) natürliche Zahlen. Für \(n>1\) sind diese Nenner außerdem verschieden, da der zweite Nenner das \(n\)-Fache des ersten ist. Damit entstehen zwei verschiedene Stammbrüche.

a) \(\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}\); Rechnung: \(\frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}\). b) \(\frac{2}{n+1} + \frac{2}{n(n+1)} = \frac{2n + 2}{n(n+1)} = \frac{2(n+1)}{n(n+1)} = \frac{2}{n}\). c) Die Ungeradheit von \(n\) sorgt dafür, dass beide Nenner natürliche Zahlen sind. Die Bedingung \(n>1\) sorgt dafür, dass die beiden Nenner und damit die Stammbrüche verschieden sind.

- Kannst du den Nenner \( x^2+x \) faktorisieren, um den Hauptnenner leichter zu finden? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruchstrich; es bezieht sich auf den gesamten Zähler \( x-2 \). - Schau dir das Ergebnis nach dem Zusammenfassen genau an – lässt sich im Zähler noch etwas ausklammern?

1. Faktorisieren des zweiten Nenners: \( x^2 + x = x(x+1) \). 2. Bestimmung des Hauptnenners: \( x(x+1) \). 3. Erweitern des ersten Bruchs mit \( x \): \( \frac{3x}{x(x+1)} \). 4. Subtraktion der Zähler (Vorsicht beim Minuszeichen vor der Klammer): \( \frac{3x - (x-2)}{x(x+1)} = \frac{3x - x + 2}{x(x+1)} \). 5. Zusammenfassen im Zähler: \( \frac{2x+2}{x(x+1)} \). 6. Ausklammern im Zähler, um zu kürzen: \( \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \). 7. Kürzen des Faktors \( (x+1) \): \( \frac{2}{x} \). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -1\) und \(x \neq 0\) bleiben erhalten.

\( \frac{2}{x} \) für \(x \notin \{-1; 0\}\)

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner, wenn Variablen im Spiel sind? - Muss man beide Brüche erweitern oder reicht es, nur einen anzupassen? - Was passiert mit den Zählern, nachdem man die Brüche auf den gleichen Nenner gebracht hat?

1. Teilaufgabe a): Der Hauptnenner von \(x\) und \(2x\) ist \(2x\). Erweitere den ersten Bruch mit \(2\): \(\frac{10}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{13}{2x}\). 2. Teilaufgabe b): Der Hauptnenner von \(3a\) und \(a\) ist \(3a\). Erweitere den zweiten Bruch mit \(3\): \(\frac{7}{3a} - \frac{6}{3a} = \frac{1}{3a}\). 3. Teilaufgabe c): Der Hauptnenner von \(b^2\) und \(b\) ist \(b^2\). Erweitere den zweiten Bruch mit \(b\): \(\frac{1}{b^2} + \frac{b}{b^2} = \frac{1+b}{b^2}\).

a) \(\frac{13}{2x}\) b) \(\frac{1}{3a}\) c) \(\frac{1+b}{b^2}\)

- Erkennst du im ersten Nenner eine binomische Formel? - Wie musst du den zweiten Bruch erweitern, damit er denselben Nenner hat wie der erste? - Denk an die Klammerregeln, wenn du einen Zähler von einem anderen abziehst.

1. Nenner des ersten Bruchs mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\). 2. Hauptnenner bestimmen: \((x - 5)(x + 5)\). 3. Zweiten Bruch mit \((x - 5)\) erweitern: \(\frac{x - 5}{(x + 5)(x - 5)}\). 4. Zähler subtrahieren: \(2x - (x - 5) = 2x - x + 5 = x + 5\). 5. Den Bruch \(\frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)}\) durch den gemeinsamen Faktor \((x + 5)\) kürzen. 6. Ergebnis: \(\frac{1}{x - 5}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -5\) und \(x \neq 5\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{x-5}\) für \(x \notin \{-5; 5\}\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft dabei, Nenner zu faktorisieren. - Schreibe zuerst die Aufgabe als Subtraktion auf. - Was musst du tun, um beide Brüche auf denselben Nenner zu bringen?

1. Aufstellen der Differenz: \(B - A = \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x^2-4}\). 2. Faktorisieren des Nenners von \(A\) mit der dritten binomischen Formel: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). 3. Bestimmung des Hauptnenners: \((x-2)(x+2)\). 4. Erweitern von \(B\) mit \((x+2)\): \(\frac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)}\). 5. Subtraktion der Zähler: \(\frac{x+2-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{(x-2)(x+2)}\). 6. Endergebnis: \(\frac{x}{x^2-4}\).

\(\frac{x}{x^2-4}\)

- Siehst du eine Möglichkeit, den ersten Teil des Terms durch Kürzen zu vereinfachen? - Wie kannst du den Nenner \(2x-6\) umschreiben, um einen gemeinsamen Nenner zu finden? - Achte beim Subtrahieren des zweiten Zählers besonders auf die Vorzeichen (setze am besten eine Klammer).

1. Multiplikation und Kürzen der Variable \(x\): \(\frac{x(x-1)}{x(x-3)} = \frac{x-1}{x-3}\) 2. Faktorisieren des Nenners im zweiten Bruch: \(2x-6 = 2(x-3)\) 3. Erweitern des ersten Bruchs auf den Hauptnenner \(2(x-3)\): \(\frac{2(x-1)}{2(x-3)} = \frac{2x-2}{2(x-3)}\) 4. Subtraktion der Zähler: \(\frac{2x-2 - (x+2)}{2(x-3)} = \frac{2x-2-x-2}{2(x-3)} = \frac{x-4}{2(x-3)}\) Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq 0\) und \(x \neq 3\) bleiben erhalten.

\(\frac{x-4}{2(x-3)}\) für \(x \notin \{0; 3\}\)

- Kannst du einen der Nenner mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren? - Wie müssen die Brüche erweitert werden, damit sie denselben Nenner haben? - Setze beim Subtrahieren vorsichtshalber Klammern um den gesamten zweiten Zähler.

1. Faktorisieren des zweiten Nenners: Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). 2. Bestimmung des Hauptnenners: Der Hauptnenner ist \((x-2)(x+2)\). 3. Erweitern des ersten Bruchs: Multiplikation von Zähler und Nenner mit \((x+2)\) ergibt \(\frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)}\). 4. Zusammenführen auf einen Bruchstrich: \(\frac{3(x+2) - (x+4)}{(x-2)(x+2)}\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(3x+6-x-4 = 2x+2\). 6. Endergebnis: \(\frac{2x+2}{x^2-4}\) oder \(\frac{2(x+1)}{(x-2)(x+2)}\).

\(\frac{2x+2}{x^2-4}\)

- Was darf in einem Bruch niemals im Nenner stehen? - Wenn du Brüche mit gleichem Nenner addierst, was passiert mit dem Zähler und was mit dem Nenner? - Kannst du den Nenner in ein Produkt verwandeln, um vielleicht einen Teil wegzukürzen? - Ist es einfacher, eine Zahl in den ursprünglichen oder in den vereinfachten Term einzusetzen?

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner eines Bruchs darf nicht null werden. \(x^2 - 16 = 0\) ergibt \(x^2 = 16\), also \(x = 4\) oder \(x = -4\). Der Term ist für diese Werte nicht definiert. 2. Addition der Brüche: Da die Nenner gleich sind, werden die Zähler addiert: \(\frac{x+4}{x^2-16}\). 3. Vereinfachung: Der Nenner \(x^2-16\) kann mithilfe der dritten binomischen Formel zu \((x-4)(x+4)\) faktorisiert werden. Der Bruch lautet dann \(\frac{x+4}{(x-4)(x+4)}\). Kürzen des Faktors \((x+4)\) ergibt \(\frac{1}{x-4}\). 4. Berechnung für \(x = 6\): Einsetzen in den vereinfachten Term ergibt \(\frac{1}{6-4} = \frac{1}{2}\).

a) Nicht definiert für \(x = 4\) und \(x = -4\), da der Nenner sonst null wird. b) \(\frac{1}{x-4}\) für \(x \notin \{-4; 4\}\) c) \(\frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\))

- Schau dir den Zähler nach dem Zusammenfassen genau an. Gibt es dort eine bekannte Struktur? - Könnte eine der binomischen Formeln hilfreich sein, um den Zähler in Faktoren zu zerlegen? - Überlege, ob du nach dem Zusammenfassen noch etwas kürzen kannst, um den Term zu vereinfachen.

1. Zusammenfassen der Brüche in Teilaufgabe a durch Subtraktion der Zähler: \(\frac{k^2 - 25}{k - 5}\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel auf den Zähler: \(k^2 - 25 = (k - 5)(k + 5)\). 3. Kürzen des Faktors \((k - 5)\) im Zähler und Nenner ergibt das Resultat \(k + 5\). 4. Zusammenfassen der Brüche in Teilaufgabe b: \(\frac{x^2 + 4 - 4x}{x - 2}\), umgeordnet zu \(\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}\). 5. Anwendung der 2. binomischen Formel auf den Zähler: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\). 6. Kürzen eines Faktors \((x - 2)\) ergibt das Resultat \(x - 2\). 7. Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: a) \(k \neq 5\); b) \(x \neq 2\).

a) \(k + 5\) für \(k \neq 5\) b) \(x - 2\) für \(x \neq 2\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen vor dem Bruch, wenn du das Vorzeichen im Nenner änderst? - Untersuche den Zähler nach dem Zusammenfassen: Kannst du dort eine binomische Formel oder einen gemeinsamen Faktor entdecken? - Prüfe nach dem Zusammenfassen der Zähler immer, ob sich der entstandene Bruch durch Faktorisieren und Kürzen weiter vereinfachen lässt.

1. Den zweiten Nenner durch \( -(y - 5) \) ersetzen: \( \frac{y^2 + 25}{y - 5} - \frac{10y}{y - 5} \). Zusammenfassen der Zähler ergibt \( \frac{y^2 - 10y + 25}{y - 5} \). Anwendung der zweiten binomischen Formel im Zähler führt zu \( \frac{(y - 5)^2}{y - 5} \). Nach dem Kürzen bleibt \( y - 5 \) übrig. 2. Den zweiten Nenner durch \( -(z - 3) \) ersetzen: \( \frac{2z - 5}{z - 3} + \frac{z - 4}{z - 3} \). Addition der Zähler ergibt \( \frac{3z - 9}{z - 3} \). Durch Ausklammern der \( 3 \) im Zähler erhält man \( \frac{3(z - 3)}{z - 3} \), was gekürzt \( 3 \) ergibt. 3. Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: a) \(y \neq 5\); b) \(z \neq 3\).

a) \(y - 5\) für \(y \neq 5\) b) \(3\) für \(z \neq 3\)

- Erkennst du im zweiten Nenner eine binomische Formel, wenn du das Vorzeichen änderst? - Wie findest du einen Hauptnenner für zwei Brüche, wenn ein Nenner ein Teil des anderen ist? - Denk daran, dass man nur Faktoren kürzen darf, die im gesamten Zähler und im gesamten Nenner vorkommen. - Überlege zuerst, wie du die Nenner „ähnlich“ machen kannst, bevor du erweiterst.

1. Nenner des zweiten Bruchs untersuchen: \(9-a^2 = -(a^2-9)\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \(a^2-9\): \((a-3)(a+3)\). 3. Umschreiben des Terms mit gemeinsamem Nenner: \(T(a) = \frac{1}{a-3} - \frac{6}{(a-3)(a+3)}\). 4. Erweitern des ersten Bruchs mit \((a+3)\): \(\frac{a+3}{(a-3)(a+3)} - \frac{6}{(a-3)(a+3)}\). 5. Zusammenfassen der Zähler: \(\frac{a+3-6}{(a-3)(a+3)} = \frac{a-3}{(a-3)(a+3)}\). 6. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((a-3)\): Ergebnis \(\frac{1}{a+3}\) für \(a \neq 3\) und \(a \neq -3\).

\(\frac{1}{a+3}\) Dabei gilt \(a \notin \{-3; 3\}\).

- Was passiert, wenn du für die Variablen einfache Zahlen wählst? Probier es mal aus. - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern normalerweise? - Kannst du die Gleichung in Teil c) so umformen, dass der gesuchte Term alleine auf einer Seite steht?

1. Beispiel für a): Setze \(x=1\) und \(y=1\). Linke Seite: \(\frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 2\). Rechte Seite: \(\frac{2}{1+1} = 1\). Da \(2 \neq 1\), ist die Regel falsch. 2. Korrektes Ergebnis für b): Hauptnenner ist \(xy\). Erweitern ergibt \(\frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}\). 3. Lösung für c): Die Gleichung nach \(T\) umstellen: \(T = \frac{3}{x} - \frac{5}{2x}\). Hauptnenner ist \(2x\). Erweitern des ersten Bruchs ergibt \(\frac{6}{2x} - \frac{5}{2x} = \frac{1}{2x}\). Somit ist \(T = \frac{1}{2x}\).

a) Gegenbeispiel z. B. \(x=1, y=1 \Rightarrow 2 \neq 1\). b) \(\frac{x+y}{xy}\) c) \(T = \frac{1}{2x}\)

- Rechne die Aufgabe einmal selbstständig durch, ohne auf Annas Lösung zu schauen. - Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler eines Bruches, wenn ein Minuszeichen vor dem gesamten Bruch steht? - Stell dir vor, der Zähler nach dem Minuszeichen stünde in einer Klammer.

1. Prüfung des ersten Schritts: Der Hauptnenner \(3x\) ist korrekt gewählt; der erste Bruch wurde korrekt mit \(3\) erweitert (\(\frac{15}{3x}\)). 2. Identifikation des Fehlers: Beim Zusammenfassen auf einen Bruchstrich hat Anna das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch nicht auf den gesamten Zähler \((x - 2)\) bezogen. Sie schrieb \(15 - x - 2\) statt \(15 - (x - 2)\). 3. Korrekte Auflösung der Klammer: \(15 - x + 2\). 4. Berechnung des richtigen Ergebnisses: \(\frac{15 - x + 2}{3x} = \frac{17 - x}{3x}\).

Annas Rechnung ist fehlerhaft. Sie hat beim Subtrahieren das Vorzeichen der \(-2\) im Zähler nicht umgekehrt. Das richtige Ergebnis lautet \(\frac{17 - x}{3x}\).

- Achte bei Teilaufgabe a) darauf, dass im Hauptnenner die höchste vorkommende Potenz der Variablen stehen muss. - Vergiss bei Teilaufgabe b) nicht, Klammern um die Zähler zu setzen, besonders wenn ein Minuszeichen vor dem Bruch steht. - Kann man Summen oder Differenzen im Zähler einfach gegen den Nenner kürzen?

1. In Teilaufgabe a) wird der Hauptnenner von \(3x^2\) und \(4x\) gesucht. Dieser ist \(12x^2\). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \(4\) und des zweiten mit \(3x\): \( \frac{8}{12x^2} + \frac{9x}{12x^2} \). 3. Zusammenfassen ergibt \( \frac{8 + 9x}{12x^2} \). 4. In Teilaufgabe b) ist der Hauptnenner von \(6a\) und \(4a\) gleich \(12a\). 5. Erweitern des ersten Bruchs mit \(2\) und des zweiten mit \(3\), wobei die Zähler in Klammern gesetzt werden müssen: \( \frac{2(a+3) - 3(a-2)}{12a} \). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen im Zähler: \( \frac{2a + 6 - 3a + 6}{12a} = \frac{12 - a}{12a} \).

a) \( \frac{8+9x}{12x^2} \) b) \( \frac{12-a}{12a} \)

- Schau dir die Nenner genau an: Ist einer der Nenner bereits ein Vielfaches des anderen? - Was passiert mit den Termen im Zähler, wenn du sie subtrahierst? - Achte darauf, beim Erweitern von Summen im Zähler oder Nenner Klammern zu setzen. - Musst du am Ende die Klammern im Nenner unbedingt auflösen?

1. Festlegen des Hauptnenners \(a^2\). Erweitern des zweiten Bruchs mit \(a\): \(\frac{2a+1}{a^2} - \frac{2a}{a^2}\). Subtraktion der Zähler: \(\frac{2a+1-2a}{a^2}\). Vereinfachung des Zählers ergibt \(\frac{1}{a^2}\). 2. Festlegen des Hauptnenners \(x(x+1)\). Erweitern des zweiten Bruchs mit \(x\): \(\frac{3}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)}\). Addition der Zähler ergibt \(\frac{3+2x}{x(x+1)}\) oder \(\frac{2x+3}{x^2+x}\).

1. \(\frac{1}{a^2}\) 2. \(\frac{2x+3}{x(x+1)}\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten im Nenner? - Schau dir die Potenzen der Variablen in den Nennern an. Welche ist die jeweils höchste vorkommende Potenz? - Vergiss nicht, beim Erweitern eines Zählers, der aus einer Differenz oder Summe besteht, Klammern zu setzen.

1. Bestimmung des Hauptnenners für \( 3b^2c \) und \( 6bc^2 \): Das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten ist \( 6 \). Für die Variablen ergibt sich \( b^2 \) und \( c^2 \). Der Hauptnenner ist \( 6b^2c^2 \). Erster Bruch erweitert mit \( 2c \): \( \frac{2a \cdot 2c}{6b^2c^2} = \frac{4ac}{6b^2c^2} \). Zweiter Bruch erweitert mit \( b \): \( \frac{5 \cdot b}{6b^2c^2} = \frac{5b}{6b^2c^2} \). Ergebnis: \( \frac{4ac - 5b}{6b^2c^2} \). 2. Bestimmung des Hauptnenners für \( x^2y \) und \( xy^2 \): Der Hauptnenner ist \( x^2y^2 \). Erster Bruch erweitert mit \( y \): \( \frac{(x - 1)y}{x^2y^2} = \frac{xy - y}{x^2y^2} \). Zweiter Bruch erweitert mit \( x \): \( \frac{3 \cdot x}{x^2y^2} = \frac{3x}{x^2y^2} \). Addition der Zähler: \( \frac{xy - y + 3x}{x^2y^2} \).

1. \( \frac{4ac - 5b}{6b^2c^2} \) 2. \( \frac{xy - y + 3x}{x^2y^2} \)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Welchen Faktor benötigt jeder Bruch, um auf den gemeinsamen Nenner zu kommen? - Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Überlege dir, wie du den Zähler des zweiten Bruchs schreiben musst, damit das Minuszeichen für den ganzen Ausdruck gilt.

1. Hauptnenner bestimmen: Der kleinste gemeinsame Nenner von \(xy\) und \(x^2\) ist \(x^2y\). 2. Brüche erweitern: Erweitern von \(A\) mit \(x\) ergibt \(\frac{x(3x+y)}{x^2y} = \frac{3x^2+xy}{x^2y}\). Erweitern von \(B\) mit \(y\) ergibt \(\frac{y(2x-y)}{x^2y} = \frac{2xy-y^2}{x^2y}\). 3. Differenz bilden: Subtraktion der erweiterten Zähler ergibt \(\frac{3x^2+xy - (2xy-y^2)}{x^2y}\). 4. Zähler vereinfachen: Auflösen der Klammer unter Beachtung des Minuszeichens führt zu \(3x^2+xy-2xy+y^2\). Zusammenfassen ergibt \(\frac{3x^2-xy+y^2}{x^2y}\). 5. Begründung: Da der gesamte Zähler des zweiten Bruchs subtrahiert wird, wirkt das Minuszeichen wie ein Faktor \((-1)\) auf jedes einzelne Glied des Zählers (Klammerregel).

\(A - B = \frac{3x^2-xy+y^2}{x^2y}\). Beim Subtrahieren muss der Zähler des zweiten Bruchs in Klammern gesetzt werden, da sich das Minuszeichen auf alle Glieder des Zählers bezieht und deren Vorzeichen umkehrt.

- Welche Variablen und Potenzen müssen im Hauptnenner vorkommen, damit beide ursprünglichen Nenner darin enthalten sind? - Mit welchem Faktor musst du den ersten Bruch erweitern, um den neuen Nenner zu erhalten? - Achte beim Auflösen der Klammer im Zähler besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch.

1. Bestimmung des Hauptnenners der Terme \(x^2\) und \(xy\) als \(x^2y\). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \(y\): \(\frac{2y}{x^2y}\). 3. Erweitern des zweiten Bruchs mit \(x\): \(\frac{x(x-3)}{x^2y} = \frac{x^2-3x}{x^2y}\). 4. Subtraktion der Zähler: \(2y - (x^2-3x) = 2y - x^2 + 3x\). 5. Das Endergebnis lautet \(\frac{2y-x^2+3x}{x^2y}\).

\(\frac{2y-x^2+3x}{x^2y}\)

- Suche zuerst einen Nenner, in dem alle vorkommenden Faktoren (\(x, x^2, y\)) enthalten sind. - Überlege für jeden Bruch einzeln, welcher Faktor im Nenner fehlt, um den Hauptnenner zu erhalten. - Das Minuszeichen vor dem mittleren Bruch bezieht sich auf den gesamten Zähler \(x-3\). Wie wirkt sich das auf die Vorzeichen aus? - Kannst du im Zähler noch Glieder mit den gleichen Variablen zusammenfassen?

1. Bestimmung des Hauptnenners: Der Hauptnenner für \(x\), \(x^2\) und \(xy\) ist \(x^2y\). 2. Erweitern der Brüche: Der erste Bruch wird mit \(xy\) erweitert: \(\frac{2xy}{x^2y}\). Der zweite Bruch wird mit \(y\) erweitert: \(\frac{y(x - 3)}{x^2y} = \frac{xy - 3y}{x^2y}\). Der dritte Bruch wird mit \(x\) erweitert: \(\frac{x(y + 1)}{x^2y} = \frac{xy + x}{x^2y}\). 3. Verknüpfung der Zähler unter Beachtung der Vorzeichen: \(\frac{2xy - (xy - 3y) + (xy + x)}{x^2y}\). 4. Auflösen der Klammern und Zusammenfassen: \(2xy - xy + 3y + xy + x = 2xy + x + 3y\). 5. Endergebnis: \(\frac{2xy + x + 3y}{x^2y}\).

\( \frac{2xy + x + 3y}{x^2y} \)

- Kannst du einen der Nenner mithilfe einer binomischen Formel zerlegen? - Was ist der kleinste gemeinsame Nenner der beiden Brüche? - Denke daran, beim Subtrahieren den gesamten zweiten Zähler in Klammern zu setzen. - Schau dir das Ergebnis an: Kannst du im Zähler etwas ausklammern, um den Bruch weiter zu kürzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners: Da \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\) (3. Binomische Formel), ist der Hauptnenner \((x-y)(x+y)\). 2. Erweitern des ersten Bruchs: \(\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy}{x^2-y^2}\). 3. Subtraktion der Zähler: \(\frac{x^2+xy - (x^2+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x^2-y^2} = \frac{xy-y^2}{x^2-y^2}\). 4. Faktorisieren des Zählers: \(xy-y^2 = y(x-y)\). 5. Kürzen des Terms: \(\frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{y}{x+y}\). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq y\) und \(x \neq -y\) bleiben erhalten.

\( \frac{y}{x+y} \) Dabei gilt \(x \neq \pm y\).

- Stelle dir die Lücke wie eine Variable in einer Gleichung vor. Wie würdest du die Gleichung nach dieser Variablen umstellen? - Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Term in die Lücke einsetzt und nachrechnest.

1. In Teil a) muss die Differenz \(\frac{5 + x^2}{x} - \frac{5}{x}\) berechnet werden. Das ergibt \(\frac{5 + x^2 - 5}{x} = \frac{x^2}{x}\). Gekürzt ergibt das \(x\). 2. In Teil b) wird der gesuchte Term durch die Summe \(a + \frac{1}{a}\) berechnet. Erweitern von \(a\) auf den Nenner \(a\) ergibt \(\frac{a^2}{a}\). Die Summe ist \(\frac{a^2 + 1}{a}\). 3. In Teil c) berechnet man den gesuchten Term durch \(\frac{2z + 4}{z} - 2\). Erweitern von \(2\) auf den Nenner \(z\) ergibt \(\frac{2z}{z}\). Die Subtraktion \(\frac{2z + 4 - 2z}{z}\) ergibt \(\frac{4}{z}\). 4. Die Gleichungen gelten unter den ursprünglichen Bedingungen a) \(x \neq 0\), b) \(a \neq 0\) und c) \(z \neq 0\).

a) \(x\) für \(x \neq 0\) b) \(\frac{a^2 + 1}{a}\) für \(a \neq 0\) c) \(\frac{4}{z}\) für \(z \neq 0\)

- Kannst du einen der Nenner faktorisieren, um den Hauptnenner leichter zu finden? - Wie gehst du vor, wenn eine ganze Zahl (wie die 1) in der Rechnung vorkommt? - Schau dir die Zähler am Ende genau an – lässt sich dort eine binomische Formel anwenden? - Vergiss nicht, beim Zusammenfassen auf die Minuszeichen vor den Brüchen zu achten.

1. Teilaufgabe a): Den Nenner des zweiten Bruchs faktorisieren: \(y^2-3y = y(y-3)\). Der Hauptnenner ist somit \(y(y-3)\). Den ersten Bruch mit \(y\) erweitern: \(\frac{2y}{y(y-3)} - \frac{12}{y(y-3)} = \frac{2y-12}{y(y-3)}\). Im Zähler die \(2\) ausklammern: \(\frac{2(y-6)}{y(y-3)}\). 2. Teilaufgabe b): Den Hauptnenner \(b^2\) für alle drei Terme bestimmen. Terme umschreiben: \(\frac{b^2}{b^2} - \frac{b}{b^2} - \frac{b-1}{b^2}\). Zähler zusammenfassen: \(\frac{b^2 - b - (b-1)}{b^2} = \frac{b^2 - b - b + 1}{b^2} = \frac{b^2 - 2b + 1}{b^2}\). Den Zähler mithilfe der zweiten binomischen Formel faktorisieren: \(\frac{(b-1)^2}{b^2}\).

a) \(\frac{2(y-6)}{y(y-3)}\) oder \(\frac{2y-12}{y^2-3y}\) b) \(\frac{(b-1)^2}{b^2}\)

- Wie gehst du vor, wenn mehrere Brüche mit unterschiedlichen Nennern und zusätzliche ganze Zahlen im Term stehen? - Denke beim Auflösen der Klammern im Zähler besonders an die Vorzeichenregeln (Minus mal Minus). - Hilft es dir, Zwischenschritte aufzuschreiben, bevor du alles auf einen langen Bruchstrich schreibst? - Überprüfe am Ende, ob du im Zähler noch Variablen zusammenfassen kannst.

1. Hauptnenner \(4\): \(\frac{3x-3y}{4} - \frac{2(2x+y)}{4} + \frac{4x}{4} = \frac{3x-3y-4x-2y+4x}{4} = \frac{3x-5y}{4}\). 2. Hauptnenner \(12\): \(\frac{4(2u+v)}{12} - \frac{3(u-2v)}{12} - \frac{v}{12} = \frac{8u+4v-3u+6v-v}{12} = \frac{5u+9v}{12}\). 3. Hauptnenner \(6\): \(\frac{12}{6} - \frac{3k-1}{6} - \frac{2(k+2)}{6} = \frac{12-(3k-1)-2(k+2)}{6} = \frac{12-3k+1-2k-4}{6} = \frac{9-5k}{6}\).

1) \(\frac{3x-5y}{4}\) 2) \(\frac{5u+9v}{12}\) 3) \(\frac{9-5k}{6}\)

- Was ist der kleinste gemeinsame Nenner, wenn einer der Nenner \( x \) und der andere \( x^2 \) ist? - Mit welchem Faktor musst du den ersten Bruch erweitern? - Setze den Zähler des zweiten Bruchs in Klammern, wenn du ihn vom ersten Zähler abziehst. - Was passiert mit den Termen im Zähler, wenn du alles zusammenrechnest?

1. Identifikation des Hauptnenners: Da \( x^2 \) ein Vielfaches von \( x \) ist, ist der Hauptnenner \( x^2 \). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \( x \), um den Nenner \( x^2 \) zu erhalten: \( \frac{x(x+2)}{x^2} = \frac{x^2+2x}{x^2} \). 3. Subtraktion der Zähler auf einem gemeinsamen Bruchstrich: \( \frac{x^2 + 2x - (x^2 + 2x - 1)}{x^2} \). 4. Auflösen der Minusklammer im Zähler: \( \frac{x^2 + 2x - x^2 - 2x + 1}{x^2} \). 5. Vereinfachen des Zählers durch Aufheben der Terme \( x^2 - x^2 \) und \( 2x - 2x \), sodass nur \( 1 \) übrig bleibt. 6. Ergebnis: \( \frac{1}{x^2} \).

\( \frac{1}{x^2} \)

- Kannst du einen der Nenner mithilfe einer binomischen Formel in Faktoren zerlegen? - Wie hängen die Ausdrücke \(x-2\) und \(2-x\) zusammen? Kannst du ein Vorzeichen ausklammern? - Was ist der kleinste gemeinsame Nenner der beiden Brüche? - Denk daran, beim Subtrahieren eines Zählers mit mehreren Gliedern Klammern zu setzen.

1. Nenner faktorisieren: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). Für den zweiten Nenner gilt \(2-x = -(x-2)\). 2. Hauptnenner bestimmen: Der Hauptnenner ist \((x-2)(x+2)\). 3. Brüche erweitern: Der Term wird zu \(\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}\), was erweitert \(\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}\) ergibt. 4. Zähler zusammenfassen: \(x - (x+2) = x - x - 2 = -2\). 5. Ergebnis als Bruch: \(\frac{-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-2}{x^2-4}\) (oder alternativ \(\frac{2}{4-x^2}\)).

\(\frac{-2}{x^2-4}\) oder \(\frac{2}{4-x^2}\)

- Kannst du die Nenner in Faktoren zerlegen, um einen Hauptnenner zu finden? - Achte beim Zusammenfassen der Brüche besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Überlege, ob du im Zähler nach dem Zusammenfassen noch etwas ausklammern und dann kürzen kannst.

1. Nenner faktorisieren: \( a(a-b) \), \( a(a+b) \) und \( (a-b)(a+b) \). 2. Hauptnenner bestimmen: \( a(a-b)(a+b) = a(a^2-b^2) \). 3. Brüche erweitern und Zähler zusammenfassen: \( \frac{(a+2b)(a+b) - (a-2b)(a-b) - 4b \cdot a}{a(a-b)(a+b)} \). 4. Zähler ausmultiplizieren: \( (a^2 + 3ab + 2b^2) - (a^2 - 3ab + 2b^2) - 4ab = 6ab - 4ab = 2ab \). 5. Term kürzen: \( \frac{2ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{2b}{a^2-b^2} \). 6. Werte \( a=3 \), \( b=1 \) einsetzen: \( \frac{2 \cdot 1}{3^2 - 1^2} = \frac{2}{8} = 0{,}25 \). 7. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten \(a \neq 0\), \(a \neq b\) und \(a \neq -b\).

\(\frac{2b}{a^2-b^2}\) für \(a \neq 0\) und \(a \neq \pm b\); Wert: \(0{,}25\)

- Bei Teil a) ist der Hauptnenner ein Vielfaches von \( x \). - Bei Teil b) besteht der Hauptnenner oft aus dem Produkt der einzelnen Nenner-Ausdrücke. - Vergiss nicht, beim Subtrahieren eines gesamten Zählers die Vorzeichen aller Glieder in diesem Zähler umzudrehen.

Teil a: 1. Bestimmung des Hauptnenners für \( 3x \), \( x \) und \( 2x \): Dieser ist \( 6x \). 2. Erweitern der Brüche: \( \frac{2 \cdot 5}{6x} - \frac{6 \cdot 2}{6x} + \frac{3 \cdot 1}{6x} \). 3. Verrechnen der Zähler: \( 10 - 12 + 3 = 1 \). 4. Ergebnis für a): \( \frac{1}{6x} \). Teil b: 1. Bestimmung des Hauptnenners für \( (x+3) \) und \( (x-3) \): Dieser ist das Produkt \( (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \). 2. Erweitern der Brüche: \( \frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{1(x+3)}{(x+3)(x-3)} \). 3. Zusammenfassen im Zähler: \( 2x - 6 - (x + 3) = 2x - 6 - x - 3 = x - 9 \). 4. Ergebnis für b): \( \frac{x-9}{x^2-9} \) oder \( \frac{x-9}{(x+3)(x-3)} \).

a) \( \frac{1}{6x} \) b) \( \frac{x-9}{x^2-9} \)

- Welche Werte darf man für die Variable in einem Bruch nicht einsetzen? - Womit musst du den ersten Bruch multiplizieren, damit er denselben Nenner wie der zweite Bruch hat? - Setze die Zahl für jede Stelle ein, an der die Variable im Term steht.

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. Da sowohl \(x\) als auch \(x^2\) für \(x = 0\) Null ergeben, ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). 2. Addition: Der Hauptnenner ist \(x^2\). Den ersten Bruch mit \(x\) erweitern ergibt \(\frac{2x}{x^2}\). Addition der Zähler: \(\frac{2x + x + 2}{x^2} = \frac{3x + 2}{x^2}\). 3. Termwert: Einsetzen von \(x = 2\) in den vereinfachten Term ergibt \(\frac{3 \cdot 2 + 2}{2^2} = \frac{8}{4} = 2\).

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) b) \(\frac{3x + 2}{x^2}\) c) \(2\)

- Untersuche zuerst, ob man einen der Nenner faktorisieren (ausklammern) kann. - Haben die Nenner vielleicht mehr gemeinsam, als es auf den ersten Blick scheint? - Prüfe nach dem Zusammenfassen im Zähler, ob du den Bruch noch kürzen kannst.

1. Faktorisieren der Nenner: Der dritte Nenner lässt sich als \(x^2-2x = x(x-2)\) schreiben. 2. Hauptnenner bestimmen: Der Hauptnenner für alle drei Brüche ist \(x(x-2)\). 3. Erweitern: Der erste Bruch wird mit \((x-2)\) erweitert, der zweite mit \(x\), der dritte bleibt unverändert. 4. Term auf einen Bruchstrich schreiben: \(\frac{2(x-2) - 1(x) + 4}{x(x-2)}\). 5. Zähler vereinfachen: \(2x - 4 - x + 4 = x\). 6. Kürzen: Der Bruch \(\frac{x}{x(x-2)}\) kann durch \(x\) gekürzt werden, was zum Ergebnis \(\frac{1}{x-2}\) führt. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq 0\) und \(x \neq 2\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{x-2}\) für \(x \notin \{0; 2\}\)

- Denke daran, beim Subtrahieren eines ganzen Ausdrucks (wie \(x-1\)) Klammern zu setzen, damit sich die Vorzeichen richtig ändern. - Was ist der kleinste gemeinsame Nenner der beteiligten Brüche? - Kannst du eine ganze Zahl in einen Bruch umwandeln?

1. Um die Terme in (a) zu addieren, wird die \(1\) mit \(a\) erweitert: \(\frac{b}{a} + \frac{a}{a} = \frac{b+a}{a}\). Die Lücke füllt der Ausdruck \(b+a\) (oder \(a+b\)). 2. In (b) wird der erste Bruch mit \(2\) erweitert, um den Hauptnenner \(2x\) zu erhalten: \(\frac{4}{2x} - \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x}\). 3. In (c) wird die \(1\) als \(\frac{x-1}{x-1}\) geschrieben: \(\frac{x}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} = \frac{x - (x-1)}{x-1} = \frac{x - x + 1}{x-1} = \frac{1}{x-1}\).

a) \(b+a\) b) \(\frac{3}{2x}\) c) \(\frac{1}{x-1}\)

- Kannst du den ersten Bruch vereinfachen, bevor du den Hauptnenner suchst? - Was passiert, wenn man im Nenner des ersten Bruchs eine Zahl ausklammert? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruchterm.

1. Vereinfachung des ersten Bruchs durch Ausklammern und Kürzen: \(\frac{4x}{2(x-1)} = \frac{2x}{x-1}\). 2. Subtraktion der beiden Brüche, die nun denselben Nenner haben: \(\frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{2x - (x+1)}{x-1}\). 3. Auflösen der Klammer im Zähler: \(2x - x - 1 = x - 1\). 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{x-1}{x-1} = 1\). 5. Da der Term für alle \(x \neq 1\) den Wert 1 annimmt, ist er konstant.

Ja, der Wert des Terms ist für alle \(x \neq 1\) konstant 1.

- Wie bildet man den Kehrwert eines Bruchs? - Denke an die Regel „Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert“. - Setze für \(x\) erst die 1 und dann die 4 ein und vergleiche die Ergebnisse.

1. Definitionsmenge: Nur \(x=0\) führt zu einer Division durch Null. \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Zusammenfassen: Hauptnenner ist \(2x\). \(f(x) = \frac{2 \cdot 2}{x \cdot 2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot x} = \frac{4+x^2}{2x}\). 3. Umformung für \(f(4/x)\): \(f\left(\frac{4}{x}\right) = \frac{2}{\frac{4}{x}} + \frac{\frac{4}{x}}{2} = 2 \cdot \frac{x}{4} + \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}\). Dies ist identisch mit der ursprünglichen Definition \(f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}\). 4. Beispielrechnung: \(f(1) = \frac{2}{1} + \frac{1}{2} = 2{,}5\). \(f(4) = \frac{2}{4} + \frac{4}{2} = 0{,}5 + 2 = 2{,}5\). Da \(4 = \frac{4}{1}\) ist, bestätigt dies die Eigenschaft für \(x=1\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); \(f(x) = \frac{4+x^2}{2x}\). b) Einsetzen von \(\frac{4}{x}\) ergibt \(f(\frac{4}{x}) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}\), was gleich \(f(x)\) ist. c) \(f(1) = 2{,}5\) und \(f(4) = 2{,}5\).

- Um zu zeigen, dass zwei Terme gleich sind, kannst du einen so lange umformen, bis er wie der andere aussieht. - Welche Werte darf man für die Variable nicht einsetzen, damit man nicht durch Null teilt? - Was passiert, wenn du die gegebene Zahl einfach für jeden Platzhalter im Term einsetzt?

1. Teilaufgabe a): Den Term \(T_1(x)\) auf einen Hauptnenner bringen: \(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x-1}\). Die Zähler subtrahieren: \(\frac{x+1 - (x-1)}{x-1} = \frac{x+1-x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}\). Dies entspricht \(T_2(x)\). 2. Teilaufgabe b): Die Definitionsmenge bestimmen, indem der Nenner auf Nullstellen untersucht wird: \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{1\}\). 3. Teilaufgabe c): Einsetzen von \(x = 0\) in einen der Terme: \(\frac{2}{0-1} = \frac{2}{-1} = -2\).

a) Rechnung zeigt: \(\frac{x+1-(x-1)}{x-1} = \frac{2}{x-1}\) b) \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{1\}\) c) Der Wert ist \(-2\).

- Was musst du tun, um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren? - Wie findest du den kleinsten gemeinsamen Nenner? - Schau dir die Nenner genau an – steckt dort eine binomische Formel drin? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob du im Zähler noch etwas vereinfachen kannst.

1. Umschreiben der Potenzen in Teilaufgabe a zu Bruchtermen: \(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\). Finden des Hauptnenners \(x(x+1)\). Erweitern der Brüche ergibt \(\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}\). Subtraktion der Zähler liefert \(\frac{1}{x(x+1)}\) oder \(\frac{1}{x^2+x}\). 2. Faktorisieren des Nenners \(x^2-25\) in Teilaufgabe b mittels der dritten binomischen Formel zu \((x-5)(x+5)\). Der Hauptnenner ist \((x-5)(x+5)\). Erweitern des ersten Bruchs mit \((x+5)\) ergibt \(\frac{2x(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{10x}{(x-5)(x+5)}\). Ausmultiplizieren des Zählers: \(2x^2 + 10x - 10x = 2x^2\). Das Endergebnis ist \(\frac{2x^2}{x^2-25}\).

a) \(\frac{1}{x(x+1)}\) b) \(\frac{2x^2}{x^2-25}\)

- Wie lautet der Hauptnenner der beiden Brüche auf der rechten Seite? - Welche Werte für \(a\) und \(b\) passen zu \(15=3\cdot5\)? - Prüfe die Behauptung auch am Randfall \(n=1\) und an einer Primzahl.

1. Hauptnenner der rechten Seite ist \(ab(a+b)\). 2. Es gilt \(\frac{b}{ab(a+b)}+\frac{a}{ab(a+b)}=\frac{a+b}{ab(a+b)}=\frac{1}{ab}\), sofern \(a\), \(b\) und \(a+b\) nicht null sind. 3. Für \(15=3\cdot5\) folgt mit \(a=3\), \(b=5\): \(\frac{1}{15}=\frac{1}{24}+\frac{1}{40}\). 4. Die Aussage in c ist als allgemeine Aussage falsch: \(1\) ist keine Primzahl, lässt sich mit dieser Wahl aber nicht in zwei verschiedene Stammbrüche zerlegen. Für jedes \(n>1\), sogar für Primzahlen, kann man dagegen \(a=1\) und \(b=n\) wählen. Dann gilt \(\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}\), und die Summanden sind verschieden.

a) \(\frac{b+a}{ab(a+b)}=\frac1{ab}\) b) \(\frac1{15}=\frac1{24}+\frac1{40}\) c) Die Aussage ist falsch bzw. ungenau: \(n=1\) ist ein Gegenbeispiel; für jedes \(n>1\), auch für Primzahlen, liefert \(a=1\), \(b=n\) eine Zerlegung in zwei verschiedene Stammbrüche.

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft dabei, Nenner zu faktorisieren. - Behandle die Zahl 1 wie einen Bruch \( \frac{1}{1} \), um sie auf den Hauptnenner zu bringen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn sein Nenner den Wert 0 annimmt?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \). Der Hauptnenner ist somit \( (x-3)(x+3) \). 2. Erweitern aller Terme auf den Hauptnenner: \( \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{18}{(x-3)(x+3)} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} \). 3. Zusammenfassen der Zähler: \( \frac{x^2+3x - 18 - (x^2-9)}{(x-3)(x+3)} \). 4. Auflösen der Klammer und Vereinfachen: \( \frac{x^2+3x-18-x^2+9}{(x-3)(x+3)} = \frac{3x-9}{(x-3)(x+3)} \). 5. Faktorisieren des Zählers: \( \frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)} \). 6. Kürzen des Faktors \( (x-3) \): \( \frac{3}{x+3} \). 7. Zu Teil c): Im ursprünglichen Term treten die Nenner \( x-3 \) und \( x^2-9 \) auf. Für \( x=3 \) würden diese Null werden. Da eine Division durch Null nicht definiert ist, gehört \( 3 \) nicht zur Definitionsmenge, unabhängig davon, ob sich der Term später vereinfachen lässt.

a) \( (x-3)(x+3) \) oder \( x^2-9 \); b) \( \frac{3}{x+3} \); c) Für \( x=3 \) tritt im ursprünglichen Term eine Division durch Null auf, was mathematisch nicht zulässig ist.

- Was darf man niemals für eine Variable im Nenner eines Bruches einsetzen? - Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten im Nenner, um den Hauptnenner zu finden. - Wenn ein ganzer Ausdruck im Zähler steht (wie \(a-1\)), setze ihn beim Erweitern und Subtrahieren am besten in Klammern, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: In beiden Fällen darf der Nenner nicht Null werden, also gilt für a) \(x \neq 0\) und für b) \(a \neq 0\). Somit \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). 2. Teilaufgabe a): Der Hauptnenner von \(4x, 3x\) und \(6x\) ist \(12x\). Erweitern der Brüche: \(\frac{15}{12x} + \frac{8}{12x} - \frac{2}{12x}\). Zähler zusammenfassen: \(\frac{15+8-2}{12x} = \frac{21}{12x}\). Kürzen durch \(3\) ergibt \(\frac{7}{4x}\). 3. Teilaufgabe b): Der Hauptnenner von \(6a\) und \(3a\) ist \(6a\). Den zweiten Bruch mit \(2\) erweitern: \(\frac{2a+3}{6a} - \frac{2(a-1)}{6a}\). Zähler subtrahieren (Vorsicht bei der Klammer!): \(\frac{2a+3 - (2a-2)}{6a} = \frac{2a+3-2a+2}{6a} = \frac{5}{6a}\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); Ergebnis: \(\frac{7}{4x}\) b) \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\); Ergebnis: \(\frac{5}{6a}\)

- Was fällt dir an den Ausdrücken \(x-1\) und \(1-x\) auf? Wie kannst du sie einander angleichen? - Suche nach binomischen Formeln in den Nennern, um den Hauptnenner zu finden. - Untersuche das Ergebnis im Zähler nach der Zusammenfassung: Lässt sich dieser Ausdruck erneut faktorisieren?

1. Nenner des ersten Bruchs faktorisieren: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). 2. Vorzeichen im zweiten Nenner anpassen, um den Faktor \((x - 1)\) zu erhalten: \(1 - x = -(x - 1)\). Der Term lautet dann: \(\frac{x^2+3}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{x-1}\). 3. Hauptnenner bilden: \((x - 1)(x + 1)\). Dazu den zweiten Bruch mit \((x + 1)\) erweitern. 4. Zähler zusammenfassen: \(x^2 + 3 - 2(x + 1) = x^2 + 3 - 2x - 2 = x^2 - 2x + 1\). 5. Zähler mithilfe der 2. Binomischen Formel faktorisieren: \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\). 6. Den Bruch \(\frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}\) durch \((x - 1)\) kürzen. 7. Ergebnis: \(\frac{x - 1}{x + 1}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -1\) und \(x \neq 1\) bleiben erhalten.

\(\frac{x-1}{x+1}\) für \(x \notin \{-1; 1\}\)

- Klammere in den Nennern so viel wie möglich aus, bevor du den Hauptnenner suchst. - Vergiss nicht, beim Subtrahieren des zweiten Zählers eine Klammer zu setzen, damit sich die Vorzeichen richtig ändern. - Der Hauptnenner muss alle Faktoren der Einzelnenner enthalten.

1. Faktorisieren der Nenner: \(2x-4 = 2(x-2)\) und \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). 2. Bestimmung des Hauptnenners: \(2(x-2)(x+2)\). 3. Erweitern des ersten Bruchs mit \((x+2)\) und des zweiten Bruchs mit \(2\): \(\frac{3(x+2)}{2(x-2)(x+2)} - \frac{2(x+1)}{2(x-2)(x+2)}\). 4. Zusammenfassen auf einem Bruchstrich: \(\frac{3x+6 - (2x+2)}{2(x-2)(x+2)}\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(3x + 6 - 2x - 2 = x + 4\). 6. Endergebnis: \(\frac{x+4}{2(x^2-4)}\) oder \(\frac{x+4}{2x^2-8}\).

\(\frac{x+4}{2x^2-8}\)

- Klammere in beiden Nennern so weit wie möglich aus (Distributivgesetz und binomische Formeln). - Erinnere dich daran, dass \(1-x\) und \(x-1\) fast gleich sind. Wie hängen sie zusammen? - Kannst du nach dem Zusammenfassen im Zähler etwas gegen den Nenner kürzen?

1. Faktorisieren der Nenner: \(x^2-x = x(x-1)\) und \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\). 2. Bestimmung des Hauptnenners: Der kleinste gemeinsame Nenner ist \(x(x-1)(x+1)\). 3. Erweitern der Brüche: Der erste Bruch wird mit \((x+1)\), der zweite mit \(x\) erweitert. 4. Subtraktion im Zähler: \(\frac{1(x+1) - 2x}{x(x-1)(x+1)}\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(x+1-2x = 1-x\). 6. Kürzen des Bruchs: Da \(1-x = -(x-1)\), lässt sich der Faktor \((x-1)\) kürzen: \(\frac{-(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{-1}{x(x+1)}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -1\), \(x \neq 0\) und \(x \neq 1\) bleiben erhalten.

\(-\frac{1}{x^2+x}\) für \(x \notin \{-1; 0; 1\}\)

- Überlege dir zuerst, wie du die Gleichung nach \(A\) umstellen kannst. - Wie geht man vor, wenn man von einem Gesamtergebnis einen Teil subtrahieren muss, um den anderen Teil zu finden? - Achte beim Erweitern und Subtrahieren darauf, dass der Hauptnenner \(x(x-2)\) ist. - Kann man das Ergebnis am Ende noch durch Kürzen vereinfachen?

1. Umstellen der Gleichung nach \(A\): \(A = \frac{5x-6}{x(x-2)} - \frac{3}{x}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners für die Subtraktion: \(x(x-2)\). 3. Erweitern des Bruchs \(\frac{3}{x}\) mit \((x-2)\): \(\frac{3(x-2)}{x(x-2)} = \frac{3x-6}{x(x-2)}\). 4. Subtraktion der Zähler: \(\frac{5x-6 - (3x-6)}{x(x-2)} = \frac{5x-6-3x+6}{x(x-2)}\). 5. Zusammenfassen des Zählers: \(\frac{2x}{x(x-2)}\). 6. Kürzen durch \(x\): \(A = \frac{2}{x-2}\). Die Ausgangsgleichung ist nur für \(x \neq 0\) und \(x \neq 2\) definiert.

\(A = \frac{2}{x-2}\) für \(x \notin \{0; 2\}\)

- Überlege, wie du die Nenner durch Ausklammern von \(-1\) gleichnamig machen kannst. - Achte beim Zusammenfassen der Zähler in Aufgabenteil b) besonders auf das Minuszeichen und die Wirkung auf die gesamte Summe im Zähler. - Kannst du nach dem Zusammenfassen im Zähler eine binomische Formel erkennen oder etwas kürzen?

1. Nenneranpassung für \(A(x)\) durch \(4-x = -(x-4)\) führt auf den gemeinsamen Nenner: \(\frac{x^2-16}{x-4}\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler von \(A(x)\): \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\). 3. Kürzen des Faktors \((x-4)\) liefert das Ergebnis \(x+4\). 4. Nenneranpassung für \(B(y)\) durch \(1-y = -(y-1)\) führt auf \(\frac{2y+3}{y-1} - \frac{y+4}{y-1}\). 5. Zusammenfassen der Zähler unter Beachtung des Minuszeichens vor der Klammer: \(2y+3-(y+4) = 2y+3-y-4 = y-1\). 6. Kürzen des Bruchs \(\frac{y-1}{y-1}\) ergibt den konstanten Wert \(1\). 7. Die Ergebnisse gelten unter den ursprünglichen Bedingungen \(x \neq 4\) und \(y \neq 1\).

a) \(A(x) = x+4\) für \(x \neq 4\) b) \(B(y) = \frac{y-1}{y-1} = 1\) für \(y \neq 1\).

- Gehe schrittweise vor und bestimme zuerst den Hauptnenner für alle beteiligten Brüche. - Wenn ein Zähler aus einer Summe oder Differenz besteht (wie \(x-2\)), setze ihn beim Erweitern am besten in Klammern. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob du im Zähler etwas ausklammern und gegen den Nenner kürzen kannst.

1. Teilaufgabe a: Der Hauptnenner von \(4xy\), \(3y^2\) und \(6x^2\) wird bestimmt. Das kgV der Koeffizienten ist 12. Die Variablenanteile sind \(x^2\) und \(y^2\). Der Hauptnenner ist \(12x^2y^2\). 2. Erweitern der Brüche: Erster Bruch mit \(3xy\), zweiter mit \(4x^2\), dritter mit \(2y^2\). 3. Rechnung im Zähler: \(3 \cdot 3xy - 2 \cdot 4x^2 + 1 \cdot 2y^2 = 9xy - 8x^2 + 2y^2\). 4. Ergebnis a: \(\frac{9xy - 8x^2 + 2y^2}{12x^2y^2}\). 5. Teilaufgabe b: Der Hauptnenner von \(2x\), \(x^2\) und 2 ist \(2x^2\). 6. Erweitern der Brüche: Erster Bruch mit \(x\), zweiter mit 2, dritter mit \(x^2\). 7. Rechnung im Zähler: \((x-2) \cdot x + 3 \cdot 2 - 1 \cdot x^2 = x^2 - 2x + 6 - x^2 = -2x + 6\). 8. Vereinfachen: \(\frac{-2x + 6}{2x^2} = \frac{2(3 - x)}{2x^2} = \frac{3 - x}{x^2}\).

a) \(\frac{9xy - 8x^2 + 2y^2}{12x^2y^2}\) b) \(\frac{3 - x}{x^2}\)

- Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 3, 6 und 2? - Löse zuerst die Quadrate in den Zählern mit den binomischen Formeln auf. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem letzten Bruch, wenn du alles auf einen langen Bruchstrich schreibst. - Fasse im Zähler alle \(a^2\), alle \(a\) und alle Zahlen ohne Variable getrennt zusammen.

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Zahlen 3, 6 und 2: Der Hauptnenner ist 6. 2. Erweitern der Brüche: \(\frac{2(a+1)^2}{6} + \frac{(a-1)^2}{6} - \frac{3(a^2+1)}{6}\). 3. Anwendung der binomischen Formeln im Zähler: \(2(a^2+2a+1) + (a^2-2a+1) - 3(a^2+1)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammern: \(2a^2+4a+2 + a^2-2a+1 - 3a^2-3\). 5. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((2+1-3)a^2 + (4-2)a + (2+1-3) = 2a\). 6. Endgültiger Bruch und Kürzen: \(\frac{2a}{6} = \frac{a}{3}\).

\( \frac{a}{3} \)

- Welche Faktoren fehlen in den jeweiligen Nennern, um den Hauptnenner zu bilden? - Multipliziere die Zähler nach dem Erweitern sorgfältig aus. - Kannst du die Terme im Zähler so sortieren, dass man die Variable \(x\) ausklammern kann? - Achte darauf, dass das Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt, falls du Terme gruppierst.

1. Bestimmung des Hauptnenners: Der kleinste gemeinsame Nenner der drei Terme ist \((x-a)(x-b)(x-c)\). 2. Erweitern der Terme: Der erste Term wird mit \((x-c)\), der zweite mit \((x-a)\) und der dritte mit \((x-b)\) erweitert. 3. Aufstellen des gemeinsamen Zählers: \(a(x-c) + b(x-a) + c(x-b)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(ax - ac + bx - ab + cx - bc\). 5. Ordnen und Zusammenfassen der Terme nach der Variablen \(x\): \(ax + bx + cx - ab - bc - ac\). 6. Ausklammern im Zähler führt zum Endergebnis: \(\frac{x(a+b+c) - (ab + bc + ca)}{(x-a)(x-b)(x-c)}\).

\(\frac{x(a+b+c) - (ab + bc + ca)}{(x-a)(x-b)(x-c)}\)

- Zerlege zuerst jeden Nenner so weit wie möglich. Nutze dafür das Ausklammern und die binomischen Formeln. - Wie findest du den Hauptnenner, wenn Faktoren in unterschiedlichen Potenzen vorkommen? - Achte beim Zusammenfassen der Zähler besonders auf das Minuszeichen vor dem letzten Bruch. - Kannst du im Zähler nach dem Zusammenfassen noch etwas vereinfachen?

1. Nenner faktorisieren: \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\), \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) und \(a^2+ab = a(a+b)\). 2. Hauptnenner bestimmen: Der Hauptnenner ist \(a(a-b)(a+b)^2\). 3. Brüche erweitern: - Erster Bruch: \(\frac{a(a+b)}{a(a-b)(a+b)^2}\) - Zweiter Bruch: \(\frac{a(a-b)}{a(a-b)(a+b)^2}\) - Dritter Bruch: \(\frac{2(a-b)(a+b)}{a(a-b)(a+b)^2}\) 4. Zähler zusammenfassen: \(a^2+ab + a^2-ab - 2(a^2-b^2) = 2a^2 - 2a^2 + 2b^2 = 2b^2\). 5. Ergebnis: \(\frac{2b^2}{a(a-b)(a+b)^2}\).

\(\frac{2b^2}{a(a-b)(a+b)^2}\)

- Wie sieht der Hauptnenner aus, wenn die Nenner unterschiedliche Summen/Differenzen sind? - Erkennst du im Nenner eine binomische Formel? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch, wenn du die Zähler subtrahierst. - Nutze die binomischen Formeln, um die Zähler nach dem Erweitern auszumultiplizieren.

1. Bestimmung des Hauptnenners unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \( (x-2)(x+2) = x^2 - 4 \). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \( (x+2) \): \( \frac{(x+2)^2}{x^2-4} = \frac{x^2+4x+4}{x^2-4} \). 3. Erweitern des zweiten Bruchs mit \( (x-2) \): \( \frac{(x-2)^2}{x^2-4} = \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} \). 4. Subtraktion der Zähler: \( (x^2+4x+4) - (x^2-4x+4) \). 5. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \( x^2+4x+4 - x^2+4x-4 \). 6. Zusammenfassen des Zählers: \( 8x \). 7. Endergebnis: \( \frac{8x}{x^2-4} \).

\( \frac{8x}{x^2-4} \)

- Wie kannst du feststellen, welche von zwei Zahlen größer ist, indem du ihre Differenz betrachtest? - Versuche, beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Nutze die gegebene Bedingung \(a < b\), um das Vorzeichen deines Ergebnisses zu prüfen. - Überlege dir ein Beispiel mit Zahlen (z. B. \(\frac{1}{2}\) und \(k=1\)), um eine Vermutung für die allgemeine Aussage zu finden.

1. Berechnung der Differenz der beiden Brüche: \(\frac{a+k}{b+k} - \frac{a}{b}\) 2. Bringen auf den Hauptnenner \(b(b+k)\): \(\frac{(a+k) \cdot b - a \cdot (b+k)}{b(b+k)}\) 3. Ausmultiplizieren des Zählers: \(\frac{ab + bk - ab - ak}{b(b+k)}\) 4. Vereinfachen des Zählers: \(\frac{bk - ak}{b(b+k)}\), was faktorisiert \(k(b-a)\) ergibt 5. Vorzeichenanalyse: Da laut Voraussetzung \(a < b\) gilt, ist \((b-a) > 0\). Da \(k, b\) und \((b+k)\) ebenfalls positiv sind, ist der gesamte Ausdruck \(\frac{k(b-a)}{b(b+k)} > 0\) 6. Da die Differenz positiv ist, folgt daraus \(\frac{a+k}{b+k} > \frac{a}{b}\) 7. Allgemeine Aussage: Wenn man bei einem echten positiven Bruch (\(a < b\)) Zähler und Nenner um dieselbe positive Zahl vergrößert, nähert sich der Wert des Bruchs der 1 an und wird somit größer.

Durch Bilden der Differenz \(\frac{a+k}{b+k} - \frac{a}{b} = \frac{k(b-a)}{b(b+k)}\) zeigt sich, dass diese positiv ist, da \(b > a\) und \(k, b > 0\). Somit ist \(\frac{a+k}{b+k} > \frac{a}{b}\). Allgemein gilt: Vergrößert man Zähler und Nenner eines echten positiven Bruchs um denselben positiven Betrag, so vergrößert sich der Gesamtwert des Bruchs.

- Kannst du die Faktoren in den Nennern so umformen, dass sie überall gleich aussehen? Achte dabei auf das Vorzeichen. - Was ist der kleinste gemeinsame Nenner für alle drei Brüche? - Versuche nach dem Zusammenfassen, den Zähler durch Ausklammern wieder in Faktoren zu zerlegen. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem vollständig faktorisierten Zähler und dem Nenner?

1. Bestimmung des Hauptnenners durch Vorzeichenanpassung: Da \((b-a) = -(a-b)\) und \((c-a)(c-b) = (-(a-c)) \cdot (-(b-c)) = (a-c)(b-c)\), lautet der Hauptnenner \((a-b)(b-c)(a-c)\). 2. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(\frac{a^2(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{b^2(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}\). 3. Zusammenfassen und Ausmultiplizieren des Zählers: \(a^2b - a^2c - ab^2 + b^2c + ac^2 - bc^2\). 4. Faktorisieren des Zählers durch Gruppieren: \(a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a-b)(a-c)\). 5. Kürzen des Bruchs: Da Zähler und Nenner identisch sind, ist das Ergebnis \(1\).

\(1\)

- Schau dir den dritten Nenner genau an. Kannst du ihn durch teilweises Ausklammern in Faktoren zerlegen? - Nachdem du die Zähler addiert hast, versuche den entstandenen Ausdruck im Zähler ebenfalls durch Gruppieren zu faktorisieren. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner, den du kürzen kannst?

1. Nenner des dritten Bruchs durch Gruppieren faktorisieren: \( a^2-ab+ac-bc = a(a-b) + c(a-b) = (a-b)(a+c) \). 2. Hauptnenner festlegen: \( (a-b)(a+c) \). 3. Zähler zusammenführen: \( \frac{2a(a+c) + a(a-b) - (a^2+3ac+ab-bc)}{(a-b)(a+c)} \). 4. Zähler vereinfachen: \( (2a^2+2ac) + (a^2-ab) - a^2-3ac-ab+bc = 2a^2-ac-2ab+bc \). 5. Zähler faktorisieren: \( 2a(a-b) - c(a-b) = (2a-c)(a-b) \). 6. Kürzen: \( \frac{(2a-c)(a-b)}{(a-b)(a+c)} = \frac{2a-c}{a+c} \). 7. Werte einsetzen: \( \frac{2 \cdot 3 - 2}{3 + 2} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \). 8. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen \(a \neq b\) und \(a \neq -c\) bleiben erhalten.

\(\frac{2a-c}{a+c}\) für \(a \neq b\) und \(a \neq -c\); Wert: \(0{,}8\)