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- Kannst du Zähler und Nenner zuerst in Faktoren zerlegen, bevor du multiplizierst? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft beim Faktorisieren. - Beim Multiplizieren von Brüchen darfst du „über Kreuz“ kürzen.

1. Multiplikation der Zähler und Nenner im ersten Teil: \(\frac{9x^2 \cdot 10y^2}{5y \cdot 3x} = \frac{90x^2y^2}{15xy}\). 2. Kürzen der Koeffizienten (\(90 : 15 = 6\)) und der Variablen: \(6xy\). 3. Faktorisierung des Nenners im zweiten Teil mit der dritten binomischen Formel: \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x+4)\) und der Variablen \(x\): \(\frac{(x+4) \cdot x^2}{x \cdot (x-4)(x+4)} = \frac{x}{x-4}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(x \notin \{-4; 0; 4\}\).

a) \(6xy\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(\frac{x}{x-4}\) für \(x \notin \{-4; 0; 4\}\)

- Kannst du im Zähler des zweiten Bruchs einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Was passiert, wenn derselbe Ausdruck im Zähler und im Nenner steht? - Denk daran, dass man beim Multiplizieren von Brüchen „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“ rechnet.

1. Faktorisieren des Zählers im zweiten Bruch durch Ausklammern: \(2x + 4 = 2(x + 2)\) 2. Multiplizieren der Brüche: \(\frac{5x \cdot 2(x + 2)}{(x + 2) \cdot 10x^2}\) 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x + 2)\): \(\frac{10x}{10x^2}\) 4. Kürzen durch \(10x\): \(\frac{1}{x}\) Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -2\) und \(x \neq 0\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{x}\) für \(x \notin \{-2; 0\}\)

- Erkennst du in den Zählern oder Nennern Ausdrücke, die zu den binomischen Formeln passen? - Kannst du Summen in Produkte verwandeln, um danach zu kürzen? - Denk daran, dass man nur aus Produkten kürzen darf, nicht aus Summen.

1. In Teilaufgabe a) Anwendung der ersten binomischen Formel im Zähler des zweiten Bruchs: \(s^2+4s+4 = (s+2)^2\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner des zweiten Bruchs: \(s^2-4 = (s-2)(s+2)\). 3. Einsetzen und Kürzen: \(\frac{s-2}{s+2} \cdot \frac{(s+2)^2}{(s-2)(s+2)} = \frac{(s-2)(s+2)^2}{(s+2)^2(s-2)} = 1\). 4. In Teilaufgabe b) Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\). 5. Division durch den Term \((x+y)\) als Multiplikation mit \(\frac{1}{x+y}\): \(\frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{x+y}\). 6. Kürzen des Faktors \((x+y)\): \(\frac{x-y}{xy}\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(s \notin \{-2; 2\}\); b) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x \neq -y\).

a) \(1\) für \(s \notin \{-2; 2\}\) b) \(\frac{x-y}{xy}\) für \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x \neq -y\)

- Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Was passiert, wenn man durch einen Bruch dividiert? - Kannst du im Zähler oder Nenner etwas ausklammern, um danach zu kürzen? - Achte darauf, sowohl Zahlen als auch Variablen konsequent zu kürzen.

1. Multiplikation der Zähler und Nenner in Teil a: \(\frac{2x \cdot y}{y^2 \cdot 6x^2}\). Kürzen von \(2x\) und \(y\) ergibt \(\frac{1}{3xy}\). 2. Division durch einen Bruch in Teil b durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{a+b}{c} \cdot \frac{c^2}{4a+4b}\). 3. Ausklammern im Nenner des zweiten Bruchs: \(4a+4b = 4(a+b)\). 4. Kürzen des Terms \((a+b)\) und der Variablen \(c\): \(\frac{(a+b) \cdot c^2}{c \cdot 4(a+b)} = \frac{c}{4}\). Für Teilaufgabe b) bleiben die Bedingungen \(c \neq 0\) und \(a+b \neq 0\) erhalten.

a) \(\frac{1}{3xy}\) b) \(\frac{c}{4}\) für \(c \neq 0\) und \(a+b \neq 0\)

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Exponent negativ ist? - Wie dividiert man durch einen Bruch oder einen Term? - Kannst du die Potenzen zuerst auf Zähler und Nenner aufteilen? - Überlege, welche Variablen sich beim Multiplizieren im Zähler und Nenner gegenseitig aufheben.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Potenzgesetze für Brüche ergibt \(\frac{x^4}{y^4} \cdot \frac{y^2}{x^2}\). Durch Kürzen von \(x^2\) und \(y^2\) erhält man \(\frac{x^2}{y^2}\). 2. Teilaufgabe b): Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a^3}\). Kürzen von \(a^2\) und \(b\) führt zu \(\frac{1}{ab}\). 3. Teilaufgabe c): Ein negativer Exponent kehrt den Bruch um: \(\left(\frac{n}{m}\right)^2 \cdot \frac{m^2}{n^2} = \frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{m^2}{n^2}\). Alle Terme kürzen sich zu \(1\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); c) \(m \neq 0\), \(n \neq 0\).

a) \(\frac{x^2}{y^2}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(\frac{1}{ab}\) c) \(1\) für \(m \neq 0\) und \(n \neq 0\)

- Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Kannst du im Zähler oder Nenner einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Schreibe alles auf einen großen Bruchstrich, bevor du kürzt. - Achte darauf, dass du nur Faktoren kürzt, keine Summanden.

1. Multiplikation der Brüche in Teilaufgabe a): Den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren, was \(\frac{12a^2b^2}{4ab}\) ergibt. 2. Kürzen der gemeinsamen Faktoren: Der Koeffizient \(12 : 4 = 3\), sowie die Variablen \(a^2 : a = a\) und \(b^2 : b = b\) ergeben das Resultat \(3ab\). 3. Division der Brüche in Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs ergibt \(\frac{x+5}{3y} \cdot \frac{6y^2}{2x+10}\). 4. Ausklammern und Kürzen: Den Nenner \(2x+10\) zu \(2(x+5)\) faktorisieren. Der Term vereinfacht sich zu \(\frac{(x+5) \cdot 6y^2}{3y \cdot 2(x+5)} = \frac{6y^2(x+5)}{6y(x+5)}\). Nach dem Kürzen von \(6\), \(y\) und \((x+5)\) bleibt \(y\) übrig. Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\); b) \(y \neq 0\) und \(x \neq -5\).

a) \(3ab\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\) b) \(y\) für \(y \neq 0\) und \(x \neq -5\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren finden und diese streichen? - In welcher Reihenfolge solltest du die Rechenoperationen ausführen? - Was passiert, wenn man einen Term durch sich selbst teilt?

1. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert für Teil a): \(\frac{4x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{2x}\). 2. Kürzen der Koeffizienten und Variablen: \(\frac{4}{2} = 2\), \(\frac{x^2}{x} = x\) und \(\frac{y^2}{y} = y\). Ergebnis: \(2xy\). 3. Multiplikation der ersten beiden Brüche in Teil b): \(\frac{a \cdot b}{b^2 \cdot a^2} = \frac{1}{ab}\). 4. Division durch den dritten Bruch als Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{1}{ab} \cdot \frac{ab}{1} = 1\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\).

a) \(2xy\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(1\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Überlege dir, wie man eine Summe im Zähler aufteilen kann, wenn sie durch einen gemeinsamen Nenner geteilt wird. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen beim Dividieren von Variablen. - Vergiss nicht, die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen) ebenfalls zu dividieren und so weit wie möglich zu kürzen.

1. Aufteilen des Bruchs in einzelne Summanden und Kürzen: \(\frac{12a^2}{6a} + \frac{6}{6a} = 2a + \frac{1}{a}\) 2. Division jedes Gliedes des Zählers durch den Nenner: \(\frac{10x^3}{5x^2} - \frac{5x^2}{5x^2} + \frac{2}{5x^2} = 2x - 1 + \frac{2}{5x^2}\) 3. Termweises Dividieren und Vereinfachen: \(\frac{8m^2}{4m} - \frac{12m}{4m} + \frac{1}{4m} = 2m - 3 + \frac{1}{4m}\)

1) \(2a + \frac{1}{a}\); 2) \(2x - 1 + \frac{2}{5x^2}\); 3) \(2m - 3 + \frac{1}{4m}\).

- Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs in der Klammer faktorisieren, indem du eine Variable ausklammerst? - Wie findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner für zwei Brüche? - Erinnerst du dich, wie man eine Division durch einen Bruch in eine Multiplikation umwandelt? - Gibt es im Zähler und Nenner gleiche Ausdrücke, die du am Ende kürzen kannst?

1. Faktorisieren des Nenners im zweiten Bruch der Klammer: \(a^2 + 3a = a \cdot (a + 3)\). 2. Bestimmen des Hauptnenners in der Klammer: \(a \cdot (a + 3)\). 3. Erweitern des ersten Bruchs und Addieren: \(\frac{a \cdot a}{a(a+3)} + \frac{9}{a(a+3)} = \frac{a^2+9}{a(a+3)}\). 4. Division durch den zweiten Term durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a^2+9}{a(a+3)} \cdot \frac{a}{a^2+9}\). 5. Kürzen der gemeinsamen Faktoren \(a\) und \((a^2+9)\) im Zähler und Nenner: \(\frac{1}{a+3}\). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(a \neq 0\) und \(a \neq -3\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{a+3}\) für \(a \notin \{-3; 0\}\)

- Kannst du im ersten Bruch Zähler und Nenner mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren? - Was passiert, wenn du einen Bruch mit einem anderen multiplizierst? Kannst du Faktoren über Kreuz kürzen? - Ist es einfacher, den Wert direkt einzusetzen oder den Term zuerst zu vereinfachen?

1. Faktorisieren der Zähler und Nenner unter Verwendung der binomischen Formeln: \( x^2-16 = (x-4)(x+4) \) und \( x^2-8x+16 = (x-4)^2 \). 2. Einsetzen der faktorisierten Ausdrücke in den Term: \( \frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)^2} \cdot \frac{x-4}{x} \). 3. Kürzen des Faktors \( (x-4) \) im ersten Bruch: \( \frac{x+4}{x-4} \cdot \frac{x-4}{x} \). 4. Kürzen des verbleibenden Faktors \( (x-4) \) im Zähler und Nenner: \( \frac{x+4}{x} \). 5. Einsetzen von \( x = 8 \) in den vereinfachten Term: \( \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq 0\) und \(x \neq 4\) bleiben erhalten.

Der vereinfachte Term lautet \(\frac{x+4}{x}\) für \(x \notin \{0; 4\}\). Für \(x = 8\) ergibt sich der Wert \(1{,}5\).

- Schau dir die Nenner genau an – wann wird eine Division unmöglich? - Kannst du im Zähler etwas ausklammern, um danach zu kürzen? - Hängt das Endergebnis am Ende überhaupt noch von \(x\) ab?

1. Faktorisierung des Zählers im ersten Bruch durch Ausklammern von \(x\): \(x^2+2x = x(x+2)\). 2. Kürzen des Faktors \((x+2)\) im ersten Bruch ergibt \(x\). 3. Multiplikation mit dem zweiten Bruch: \(x \cdot \frac{5}{x}\). 4. Kürzen der Variablen \(x\) führt zum konstanten Ergebnis \(5\). 5. Bestimmung der Definitionslücken: Die Nenner \(x+2\) und \(x\) dürfen nicht null sein, daraus folgt \(x \neq -2\) und \(x \neq 0\). 6. Da der vereinfachte Term den konstanten Wert \(5\) hat und \(100\) im Definitionsbereich liegt, ist der Wert für \(x=100\) ebenfalls \(5\).

a) \(5\) b) Der Term ist für \(x=-2\) und \(x=0\) nicht definiert. c) \(5\), da der Term für alle zulässigen \(x\) den konstanten Wert \(5\) annimmt.

- Wie subtrahierst du einen Bruch von einer ganzen Zahl? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem Zähler beim Zusammenfassen in der Klammer. - Kannst du den Ausdruck \(x^2 + x\) durch Ausklammern vereinfachen?

1. Den Ausdruck in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(1 - \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{x-1}{x+1}\) 2. Zähler zusammenfassen (Vorsicht beim Minuszeichen): \(\frac{(x+1) - (x-1)}{x+1} = \frac{x+1-x+1}{x+1} = \frac{2}{x+1}\) 3. Den zweiten Faktor faktorisieren: \(x^2 + x = x(x+1)\) 4. Die Multiplikation durchführen: \(\frac{2}{x+1} \cdot \frac{x(x+1)}{2}\) 5. Die Faktoren \(2\) und \((x+1)\) kürzen: \(x\) Die ursprüngliche Bedingung \(x \neq -1\) bleibt erhalten.

\(x\) für \(x \neq -1\)

- Versuche im ersten Teil, die Zahlen in den Brüchen einzeln auszurechnen, bevor du sie multiplizierst. - Welche Variablen oder Zahlen kommen sowohl im Zähler als auch im Nenner vor? - Kannst du Potenzen wie \(a^2\) durch \(a\) teilen? - Was passiert mit der Variable \(b\), wenn sie oben und unten steht?

1. Direkte Berechnung: \(A = \frac{12 \cdot 2{,}5^2}{5 \cdot 13} \cdot \frac{10 \cdot 13}{3 \cdot 2{,}5} = \frac{75}{65} \cdot \frac{130}{7{,}5} = \frac{15}{13} \cdot \frac{52}{3} = \frac{15 \cdot 52}{13 \cdot 3} = \frac{780}{39} = 20\). 2. Vereinfachung des Terms: \(A = \frac{12 \cdot 10 \cdot a^2 \cdot b}{5 \cdot 3 \cdot b \cdot a} = \frac{120 \cdot a^2 \cdot b}{15 \cdot a \cdot b}\). 3. Kürzen: \(\frac{120}{15} = 8\), \(\frac{a^2}{a} = a\) und \(\frac{b}{b} = 1\). Somit ist \(A = 8a\). 4. Einsetzen in den vereinfachten Term: \(8 \cdot 2{,}5 = 20\). 5. Vergleich: Beide Wege führen zum selben Ergebnis, wobei der Weg über die Vereinfachung deutlich weniger Rechenschritte erfordert. Die Vereinfachung gilt für die ursprünglichen Bedingungen \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

a) Der Wert ist \(20\). b) Der vereinfachte Term lautet \(8a\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\). c) \(8 \cdot 2{,}5 = 20\). Das Ergebnis ist identisch mit a).

- Hilft es dir, erst alle Zähler und Nenner einzeln zu faktorisieren, bevor du rechnest? - Gibt es gemeinsame Faktoren, die du ausklammern kannst? - Achte bei der Division genau darauf, welcher Term im Kehrwert wo landet.

1. In Teilaufgabe a) Ausklammern im ersten Zähler: \(5a+10 = 5(a+2)\). Faktorisieren des ersten Nenners mit der dritten binomischen Formel: \(a^2-1 = (a-1)(a+1)\). 2. Multiplizieren und Kürzen der Faktoren \((a+1)\) und \((a+2)\): \(\frac{5(a+2) \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1) \cdot (a+2)} = \frac{5}{a-1}\). 3. In Teilaufgabe b) Anwendung der zweiten binomischen Formel im ersten Zähler: \(u^2-2uv+v^2 = (u-v)^2\). 4. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{(u-v)^2}{u+v} \cdot \frac{u^2-v^2}{u-v}\). 5. Faktorisieren des neuen Zählers mit der dritten binomischen Formel: \(u^2-v^2 = (u-v)(u+v)\). 6. Einsetzen und Kürzen: \(\frac{(u-v)^2 \cdot (u-v)(u+v)}{(u+v) \cdot (u-v)} = (u-v)^2\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(a \notin \{-2; -1; 1\}\); b) \(u \neq v\) und \(u \neq -v\).

a) \(\frac{5}{a-1}\) für \(a \notin \{-2; -1; 1\}\) b) \((u-v)^2\) oder \(u^2-2uv+v^2\) für \(u \neq v\) und \(u \neq -v\)

- Stelle dir die Aufgabe wie eine einfache Gleichung vor: \(10 : x = 2\). Wie würdest du \(x\) berechnen? - Nutze die Regel für die Division von Brüchen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es für das Quadrat in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Umstellen der Gleichung nach dem Platzhalter: \(\square = \frac{9k}{m^2} : \frac{3}{m}\). 2. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{9k}{m^2} \cdot \frac{m}{3}\). 3. Multiplikation der Terme: \(\frac{9k \cdot m}{3 \cdot m^2}\). 4. Kürzen der Zahl \(3\) und der Variablen \(m\): \(\frac{3k}{m}\). 5. Für \(m \neq 0\) ist die Ausgangsgleichung definiert; \(k \neq 0\) stellt sicher, dass der gefundene Divisor nicht null ist.

\(\square = \frac{3k}{m}\) für \(m \neq 0\) und \(k \neq 0\).

- Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Gibt es in den Ausdrücken Terme, die du mit binomischen Formeln faktorisieren kannst? - Achte darauf, erst zu faktorisieren, bevor du kürzt. - Ein negativer Exponent bedeutet, dass der entsprechende Ausdruck in den Nenner eines Bruchs geschrieben werden kann.

1. Division von Brüchen durch Multiplikation mit dem Kehrwert in Teilaufgabe a: \(\frac{8x^3}{y^2} \cdot \frac{y}{4x}\). Kürzen der Koeffizienten (\(8:4=2\)) und der Variablen (\(x^3:x=x^2\) und \(y:y^2=\frac{1}{y}\)) ergibt \(\frac{2x^2}{y}\). 2. Faktorisieren des Nenners im zweiten Bruch von Teilaufgabe b mit der dritten binomischen Formel: \(a^2-4 = (a-2)(a+2)\). Multiplikation der Brüche und Kürzen des Faktors \((a+2)\) sowie von \(3a\) ergibt \(\frac{1 \cdot 6a}{3a^2 \cdot (a-2)} = \frac{2}{a(a-2)}\). 3. Umschreiben des negativen Exponenten in Teilaufgabe c als Bruch: \(\frac{1}{(z+3)^2}\). Faktorisieren von \(z^2-9\) zu \((z-3)(z+3)\). Multiplikation und Kürzen des Faktors \((z+3)\) ergibt \(\frac{z-3}{z+3}\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a \notin \{-2; 0; 2\}\).

a) \(\frac{2x^2}{y}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(\frac{2}{a(a-2)}\) für \(a \notin \{-2; 0; 2\}\) c) \(\frac{z-3}{z+3}\)

- Kannst du Variablen genauso kürzen wie Zahlen? - Was musst du bei der Division von Brüchen beachten? - Achte bei Teilaufgabe c) genau darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation von Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: \(\frac{4x \cdot 15}{5 \cdot 2x^2} = \frac{60x}{10x^2}\). Kürzen durch \(10x\): \(\frac{6}{x}\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a^2}{b} \cdot \frac{b^2}{a} = \frac{a^2 \cdot b^2}{b \cdot a}\). Kürzen durch \(a \cdot b\): \(a \cdot b\). 3. Teilaufgabe c): Punktrechnung zuerst: \(\frac{1}{y} \cdot 4 = \frac{4}{y}\). Subtraktion: \(\frac{3}{y} - \frac{4}{y} = -\frac{1}{y}\). Für die ursprünglichen Terme gelten die Bedingungen: a) \(x \neq 0\), b) \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\), c) \(y \neq 0\).

a) \(\frac{6}{x}\) für \(x \neq 0\) b) \(a \cdot b\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\) c) \(-\frac{1}{y}\) für \(y \neq 0\)

- Gibt es Klammern, die in Zähler und Nenner identisch sind? - Was passiert, wenn du bei einem Ausdruck wie \(5-z\) ein Minuszeichen ausklammerst? - Versuche zuerst zu kürzen, bevor du alles ausmultiplizierst.

1. Bei Teilaufgabe a) werden die Brüche multipliziert: \(\frac{4x(x+3)}{8x^2(x+3)}\). Der gemeinsame Klammerfaktor \((x+3)\) lässt sich vollständig kürzen. Kürzen von \(x\) gegen \(x^2\) im Nenner und \(4\) gegen \(8\) ergibt \(\frac{1}{2x}\). 2. Bei Teilaufgabe b) wird erkannt, dass \(5-z = -(z-5)\) ist. Multiplikation der Brüche: \(\frac{6(z-5)}{3(5-z)}\). Ersetzen von \((5-z)\) durch \(-(z-5)\) führt zu \(\frac{6(z-5)}{-3(z-5)}\). Kürzen des Klammerausdrucks und Division der Zahlen (\(6 : -3\)) ergibt \(-2\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \notin \{-3; 0\}\); b) \(z \neq 5\).

a) \(\frac{1}{2x}\) für \(x \notin \{-3; 0\}\) b) \(-2\) für \(z \neq 5\)

- Erkennst du in den Zählern oder Nennern eine der drei binomischen Formeln? - Es hilft oft, zuerst alle Terme so weit wie möglich zu faktorisieren, bevor man multipliziert. - Denk an den Kehrbruch bei der Division.

1. Faktorisierung in Teilaufgabe a): Die dritte binomische Formel auf \(x^2-1\) anwenden, ergibt \((x-1)(x+1)\). Den Zähler \(3x+6\) zu \(3(x+2)\) ausklammern. 2. Multiplizieren und Kürzen: \(\frac{(x-1)(x+1) \cdot 3(x+2)}{(x+2)(x-1)}\). Die Faktoren \((x-1)\) und \((x+2)\) kürzen sich weg, es bleibt \(3(x+1)\) bzw. \(3x+3\). 3. Division in Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{a^2-10a+25}{a+1} \cdot \frac{a^2-1}{a-5}\). 4. Faktorisierung: Die zweite binomische Formel auf \(a^2-10a+25\) anwenden \((a-5)^2\) und die dritte binomische Formel auf \(a^2-1\) anwenden \((a-1)(a+1)\). 5. Kürzen: \(\frac{(a-5)^2 \cdot (a-1)(a+1)}{(a+1)(a-5)}\). Die Faktoren \((a+1)\) und einmal \((a-5)\) kürzen sich weg. Es bleibt \((a-5)(a-1)\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \notin \{-2; 1\}\); b) \(a \notin \{-1; 1; 5\}\).

a) \(3(x+1)\) für \(x \notin \{-2; 1\}\) b) \((a-5)(a-1)\) für \(a \notin \{-1; 1; 5\}\)

- Was musst du tun, bevor du Brüche addieren oder subtrahieren kannst? - Denk an die Vorrangregeln: Klammern zuerst. - Was darf im Nenner eines Bruches niemals stehen? - Ist es einfacher, die Zahl in den ursprünglichen oder in den vereinfachten Term einzusetzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Subtraktion in der Klammer: \(2k\). 2. Erweiterung und Subtraktion: \(\frac{4}{2k} - \frac{1}{2k} = \frac{3}{2k}\). 3. Multiplikation des Ergebnisses mit dem äußeren Bruch: \(\frac{3}{2k} \cdot \frac{4k^2}{3}\). 4. Kürzen der Zahl \(3\) und des Terms \(2k\): \(\frac{12k^2}{6k} = 2k\). 5. Einsetzen von \(k = 1{,}5\) in den vereinfachten Term: \(2 \cdot 1{,}5 = 3\). 6. Prüfung der Nenner auf Nullstellen: Der Term ist für \(k = 0\) nicht definiert.

a) \(2k\) b) \(3\) c) \(k = 0\)

- Was passiert, wenn du jedes Glied des Zählers einzeln durch den Nenner teilst? - Der ganzrationale Teil ist der Teil des Ergebnisses, der keinen Bruchstrich mit einer Variablen im Nenner mehr enthält. - Du kannst zur Überprüfung bei b) den Wert auch in die ursprüngliche Bruchform einsetzen.

1. Aufteilen des Bruchs in einzelne Summanden: \(\frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x} + \frac{7}{2x}\) 2. Kürzen der einzelnen Terme ergibt die zerlegte Form: \(T(x) = 2x - 1 + \frac{7}{2x}\) 3. Einsetzen von \(x = 0{,}5\) in die zerlegte Form: \(2 \cdot 0{,}5 - 1 + \frac{7}{2 \cdot 0{,}5} = 1 - 1 + \frac{7}{1} = 7\) 4. Gleichsetzen des ganzrationalen Teils \(2x - 1\) mit \(10\): \(2x - 1 = 10 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = 5{,}5\)

a) \(2x - 1 + \frac{7}{2x}\); b) \(7\); c) \(x = 5{,}5\).

- Untersuche Zähler und Nenner einzeln: Erkennst du binomische Formeln? - Wie werden zwei Brüche miteinander multipliziert? - Suche nach gleichen Faktoren in Zähler und Nenner, um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Den ersten Zähler mithilfe der ersten binomischen Formel faktorisieren: \(y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2\). 2. Den ersten Nenner mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4)\). 3. Die Brüche multiplizieren und als einen Bruch schreiben: \(\frac{(y + 3)^2 \cdot (y - 4)}{(y - 4)(y + 4) \cdot (y + 3)}\). 4. Den Faktor \((y - 4)\) vollständig und den Faktor \((y + 3)\) einmal kürzen. 5. Es verbleibt der vereinfachte Term \(\frac{y + 3}{y + 4}\). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: \(y \neq -4\), \(y \neq -3\) und \(y \neq 4\).

\(\frac{y + 3}{y + 4}\) Dabei gilt \(y \notin \{-4; -3; 4\}\).

- Kannst du Teile der Terme mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren? - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Versuche beim Doppelbruch zuerst den Zähler auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen \((a-b)\) und \((b-a)\)?

1. Für den ersten Teil: Faktorisieren von \(x^2-4\) mithilfe der dritten binomischen Formel zu \((x-2)(x+2)\). Multiplikation der Brüche führt zu \(\frac{3x^2(x-2)(x+2)}{6x(x-2)}\). Kürzen von \((x-2)\), der Zahl \(3\) gegen \(6\) (bleibt \(2\) im Nenner) und \(x^2\) gegen \(x\) ergibt \(\frac{x(x+2)}{2}\). 2. Für den zweiten Teil: Den Zähler des Doppelbruchs auf den Hauptnenner \(ab\) bringen, was \(\frac{b-a}{ab}\) ergibt. Division durch \((a-b)\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac{1}{a-b}\). Da \(b-a = -(a-b)\), lässt sich \((a-b)\) kürzen, woraus das Ergebnis \(-\frac{1}{ab}\) folgt. 3. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(x \notin \{0; 2\}\); 2) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) und \(a \neq b\).

1) \(\frac{x(x+2)}{2}\) oder \(\frac{x^2+2x}{2}\) 2) \(-\frac{1}{ab}\) Definitionsbedingungen: 1) \(x \notin \{0; 2\}\); 2) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(a \neq b\).

- Überlege, wie du den Nenner \(a^2-b^2\) mithilfe einer binomischen Formel umschreiben kannst. - Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für zwei Brüche? - Erinnere dich daran, wie man durch einen Bruch dividiert. - Kannst du im Zähler oder Nenner etwas ausklammern, um den Bruch zu kürzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Differenz in der Klammer mittels der dritten binomischen Formel: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \((a+b)\): \(\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2}\). 3. Subtraktion der Zähler: \(\frac{a^2+ab-2ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2-ab}{a^2-b^2}\). 4. Ausklammern von \(a\) im Zähler und Kürzen des gemeinsamen Faktors \((a-b)\): \(\frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a+b}\). 5. Division durch den zweiten Bruch mittels Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{a}{a-b}\). 6. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen \(a \neq b\) und \(a \neq -b\) bleiben erhalten.

\(\frac{a}{a-b}\) Dabei gilt \(a \neq \pm b\).

- Kannst du den Nenner \(x^2-25\) mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Achte beim Zusammenfassen des Zählers besonders auf das Minuszeichen vor dem mittleren Bruch. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Erinnere dich an den Kehrwert. - Kannst du im Zähler des Ergebnisses der Klammer etwas ausklammern, um zu kürzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners in der Klammer: Der Nenner \(x^2-25\) lässt sich nach der dritten binomischen Formel als \((x-5)(x+5)\) schreiben. Dies ist der Hauptnenner für alle drei Brüche in der Klammer. 2. Erweiterung der Brüche und Zusammenfassung: \[ \frac{x(x+5) - (x^2+25) + 5(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x^2+5x - x^2 - 25 + 5x - 25}{x^2-25} = \frac{10x - 50}{x^2-25} \] 3. Faktorisieren des Zählers: \(10x - 50 = 10(x-5)\). 4. Kürzen des Terms in der Klammer: \(\frac{10(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{10}{x+5}\). 5. Division durchführen: \(\frac{10}{x+5} : \frac{10}{x+5} = \frac{10}{x+5} \cdot \frac{x+5}{10} = 1\). 6. Die Vereinfachung gilt unter den ursprünglichen Bedingungen \(x \neq -5\) und \(x \neq 5\).

\(1\) für \(x \notin \{-5; 5\}\)

- Kannst du im Zähler eine Zahl ausklammern? - Erkennst du im Zähler oder Nenner eine binomische Formel? - Es ist oft einfacher, erst den Term zu vereinfachen und dann die Zahlen einzusetzen. - Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander?

1. Faktorisieren des ersten Zählers durch Ausklammern und die 3. binomische Formel: \(2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a - b)(a + b)\). 2. Faktorisieren des ersten Nenners mit der 2. binomischen Formel: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\). 3. Multiplikation der Brüche und Kürzen: \(\frac{2(a - b)(a + b)}{(a - b)^2} \cdot \frac{a - b}{2} = \frac{2(a - b)^2(a + b)}{2(a - b)^2} = a + b\). 4. Umrechnen der Zahlenwerte: \(a = 5\frac{3}{8} = 5{,}375\) und \(b = -2{,}375\). 5. Einsetzen in den vereinfachten Term: \(5{,}375 + (-2{,}375) = 3\). 6. Die Vereinfachung gilt unter der ursprünglichen Bedingung \(a \neq b\).

a) \(a + b\) für \(a \neq b\) b) \(3\)

- Was fällt dir an den Nennern in der Klammer auf? Kannst du einen davon mithilfe einer binomischen Formel zerlegen? - Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Schau dir das Ergebnis der Klammer genau an. Kannst du den Zähler dort als Produkt schreiben (faktorisieren), um später zu kürzen? - Vergiss nicht, dass man bei der Multiplikation von Brüchen „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“ rechnet und dann kürzt.

1. Bestimmung des Hauptnenners in der Klammer: Der Nenner \(x^2-9\) entspricht nach der dritten binomischen Formel \((x-3)(x+3)\). Somit ist dies der Hauptnenner. 2. Erweitern der Brüche in der Klammer: \(\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{12}{(x-3)(x+3)}\). 3. Zusammenfassen des Zählers in der Klammer: \(x^2 + 3x - 2x + 6 - 12 = x^2 + x - 6\). 4. Faktorisieren des Zählers: \(x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)\). 5. Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x+2} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{(x-3) \cdot (x+2)}\). 6. Kürzen: Der Faktor \((x-3)\) kürzt sich heraus. Es bleibt \(\frac{x-2}{x+2}\). 7. Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht null werden, also \(x \neq 3\), \(x \neq -3\) und \(x \neq -2\).

Der vereinfachte Term lautet \(\frac{x-2}{x+2}\) mit \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3; -2; 3\}\).

- Kannst du den Nenner \(x^2-9\) mithilfe einer binomischen Formel zerlegen? - Achte auf das Vorzeichen: Wie hängen \(3-x\) und \(x-3\) zusammen? - Wie subtrahiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch einen Bruch? - Welche Werte für \(x\) würden dazu führen, dass man durch Null teilt?

1. Faktorisieren der Nenner und Bestimmen des Hauptnenners in der Klammer: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\). Der Term \(3-x\) wird zu \(-(x-3)\) umgeformt. 2. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner \(x^2-9\), \(3-x\) und \(x+3\) sowie der Zähler des Divisors \(x-3\) dürfen nicht Null sein. Daraus folgt \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). 3. Gleichnamigmachen der Brüche in der Klammer: \(\frac{2x}{(x-3)(x+3)} - \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x - (x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)}\). 4. Kürzen des Ergebnisses in der Klammer: \(\frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}\). 5. Division durch den Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(\frac{1}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{x-3}\).

Der vereinfachte Term ist \(\frac{1}{x-3}\) mit \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\).

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für die Brüche in der Klammer? - Kannst du den Zähler des Ergebnisses in der Klammer faktorisieren? - Erinnere dich an die Division von Brüchen: Was passiert mit dem zweiten Bruch? - Welche Ausdrücke treten sowohl im Zähler als auch im Nenner auf und können nach der Multiplikation gekürzt werden?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Klammer unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). 2. Zusammenfassen der Brüche in der Klammer: \(\frac{1(x+1) + 1(x-1) - 2}{x^2-1} = \frac{x+1+x-1-2}{x^2-1} = \frac{2x-2}{x^2-1}\). 3. Faktorisieren von Zähler und Nenner des Klammerergebnisses: \(\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}\). 4. Kürzen des Faktors \((x-1)\), woraus der vereinfachte Klammerausdruck \(\frac{2}{x+1}\) resultiert. 5. Durchführung der Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x-1}\). 6. Kürzen des Faktors \((x+1)\). 7. Endergebnis: \(\frac{2}{x-1}\). 8. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -1\) und \(x \neq 1\) bleiben erhalten.

\(\frac{2}{x-1}\) für \(x \notin \{-1; 1\}\)

- Was ist der kleinste gemeinsame Nenner der beiden Brüche in der Klammer? - Denke an die binomischen Formeln, um die Klammern im Zähler aufzulösen. - Kannst du nach der Subtraktion im Zähler etwas zusammenfassen? - Achte beim Multiplizieren darauf, welche Terme im Zähler und Nenner identisch sind und gekürzt werden können.

1. Bestimmung des Hauptnenners für den Ausdruck in der Klammer: Der Hauptnenner von \(\frac{x+y}{x-y}\) und \(\frac{x-y}{x+y}\) ist \((x-y)(x+y)\), was nach der dritten binomischen Formel \(x^2-y^2\) entspricht. 2. Erweitern der Brüche und Subtraktion: \(\frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2-y^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers mithilfe der ersten und zweiten binomischen Formel: \((x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy\). 4. Der Klammerausdruck vereinfacht sich somit zu: \(\frac{4xy}{x^2-y^2}\). 5. Multiplikation mit dem äußeren Term: \(\frac{4xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{x}\). 6. Kürzen der Terme \(x^2-y^2\) und der Variablen \(x\): \(\frac{4xy \cdot (x^2-y^2)}{(x^2-y^2) \cdot x} = 4y\). 7. Die Vereinfachung gilt unter den ursprünglichen Bedingungen \(x \neq 0\), \(x \neq y\) und \(x \neq -y\).

\(4y\) für \(x \neq 0\) und \(x \neq \pm y\)

- Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs in der Klammer mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren? - Wie bringt man Brüche in einer Klammer auf einen gemeinsamen Nenner? - Was passiert mit dem Zähler des ersten Bruchs nach dem Erweitern? - Gibt es Faktoren, die nach der Multiplikation sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen?

1. Bestimmung des Hauptnenners in der Klammer: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) nach der dritten binomischen Formel. 2. Erweitern des ersten Bruchs auf den Hauptnenner: \(\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x}{x^2-4}\). 3. Subtraktion der Brüche in der Klammer: \(\frac{x^2+2x-2x}{x^2-4} = \frac{x^2}{(x-2)(x+2)}\). 4. Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{x^2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x^2}\). 5. Kürzen von \(x^2\) im Zähler und Nenner sowie von \((x+2)\) im Zähler und Nenner. 6. Endergebnis: \(\frac{1}{x-2}\). 7. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -2\), \(x \neq 0\) und \(x \neq 2\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{x-2}\) für \(x \notin \{-2; 0; 2\}\)

- Wie kannst du die Zahl 1 als Bruch schreiben, damit sie denselben Nenner wie der erste Term hat? - Erkennst du im Zähler des rechten Bruchs eine binomische Formel? - Was musst du beim Auflösen der Klammer beachten, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Welche Teile des Ausdrucks kommen sowohl oben als auch unten vor?

1. Subtraktion in der Klammer durchführen: \(\frac{x}{x-3} - \frac{x-3}{x-3} = \frac{x - (x-3)}{x-3} = \frac{3}{x-3}\) 2. Den Zähler des zweiten Bruchs mit der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) 3. Den gesamten Ausdruck als Produkt schreiben: \(\frac{3}{x-3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{3}\) 4. Die Faktoren \(3\) und \((x-3)\) im Zähler und Nenner kürzen: \(\frac{3 \cdot (x-3) \cdot (x+3)}{(x-3) \cdot 3} = x+3\) 5. Die Vereinfachung gilt unter der ursprünglichen Bedingung \(x \neq 3\).

\(x+3\) für \(x \neq 3\)

- Kannst du den ersten Teil des Ausdrucks so faktorisieren, dass eine Klammer entsteht, die auch im Divisor vorkommt? - Versuche, die vier Terme in zwei Paare aufzuteilen. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in den ersten beiden Termen? Und in den letzten beiden? - Was passiert, wenn du den gesamten Zähler als Produkt zweier Klammern schreibst?

1. Gruppierung der Terme im Dividenden: \((12a^2 - 4ab) + (15a - 5b)\) 2. Ausklammern gemeinsamer Faktoren in den Gruppen: \(4a(3a - b) + 5(3a - b)\) 3. Ausklammern des gemeinsamen Binoms \((3a - b)\): \((4a + 5) \cdot (3a - b)\) 4. Division durch den Divisor \((3a - b)\): \(\frac{(4a + 5)(3a - b)}{3a - b} = 4a + 5\) 5. Die Division ist nur für \(3a-b \neq 0\) definiert.

\(4a + 5\) für \(3a-b \neq 0\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Suche nach binomischen Formeln, um die Ausdrücke in Produkte zu zerlegen. - Welche Faktoren tauchen sowohl im Zähler als auch im Nenner auf?

1. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{z^2-4}{z+1} \cdot \frac{z^2-1}{z-2}\). 2. Faktorisierung der Zähler mithilfe der dritten binomischen Formel: \(z^2-4 = (z-2)(z+2)\) und \(z^2-1 = (z-1)(z+1)\). 3. Einsetzen der Faktoren in den Term: \(\frac{(z-2)(z+2)}{z+1} \cdot \frac{(z-1)(z+1)}{z-2}\). 4. Kürzen der gemeinsamen Faktoren \((z-2)\) und \((z+1)\). 5. Multiplikation der verbleibenden Faktoren: \((z+2)(z-1) = z^2 + z - 2\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(z \neq -1\), \(z \neq 1\) und \(z \neq 2\) bleiben erhalten; bei \(z=2\) wäre der Divisor null.

\(z^2+z-2\) oder \((z+2)(z-1)\) für \(z \notin \{-1; 1; 2\}\)

- Erkennst du binomische Formeln in den Zählern oder Nennern? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Suche nach Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Faktorisieren der Zähler und Nenner unter Verwendung binomischer Formeln und Ausklammern: \(y^2 - 4y + 4 = (y - 2)^2\) (2. Binomische Formel) \(2y + 2 = 2(y + 1)\) \(y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)\) (3. Binomische Formel) 2. Division durch einen Bruch als Multiplikation mit dem Kehrwert schreiben: \(\frac{(y-2)^2}{2(y+1)} \cdot \frac{(y-1)(y+1)}{y-2}\) 3. Gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner kürzen: \((y + 1)\) fällt weg, ein Faktor \((y - 2)\) wird gekürzt. 4. Verbleibende Terme multiplizieren: \(\frac{(y-2)(y-1)}{2}\) Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(y \neq -1\), \(y \neq 1\) und \(y \neq 2\) bleiben erhalten; bei \(y=2\) wäre der Divisor null.

\(\frac{(y-2)(y-1)}{2}\) oder \(\frac{y^2-3y+2}{2}\) für \(y \notin \{-1; 1; 2\}\)

- Erkennst du im ersten Zähler eine binomische Formel? - Schreibe alles auf einen langen Bruchstrich, bevor du mit dem Kürzen beginnst. - Denke daran, dass man nur aus Produkten kürzen darf, nicht aus Summen. - Gibt es Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen?

1. Faktorisieren des Zählers \(x^2 - 16\) mithilfe der dritten binomischen Formel: \((x-4)(x+4)\). 2. Aufstellen des Gesamtbruchs: \(\frac{(x-4)(x+4) \cdot 10}{5x \cdot (x-4)}\). 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x-4)\) im Zähler und Nenner. 4. Kürzen der Zahlen \(10\) und \(5\): \(\frac{2(x+4)}{x}\). 5. Optionales Ausmultiplizieren des Zählers: \(\frac{2x+8}{x}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq 0\) und \(x \neq 4\) bleiben erhalten.

\(\frac{2x+8}{x}\) oder \(\frac{2(x+4)}{x}\) für \(x \notin \{0; 4\}\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner etwas ausklammern? - Wann darf man einen Bruch nicht berechnen? Was darf im Nenner niemals stehen? - Schau dir die Nenner der beiden Brüche vor dem Kürzen genau an.

1. Faktorisieren der Zähler und Nenner: \(x^2 - 4x = x(x-4)\) und \(3x+6 = 3(x+2)\). 2. Einsetzen in das Produkt: \(T(x) = \frac{x(x-4)}{x+2} \cdot \frac{3(x+2)}{x-4}\). 3. Kürzen der gemeinsamen Faktoren \((x-4)\) und \((x+2)\) ergibt \(x \cdot 3 = 3x\). 4. Bestimmung der Definitionslücken: Ein Bruch ist nicht definiert, wenn ein Nenner Null wird. \(x+2=0 \implies x=-2\) und \(x-4=0 \implies x=4\).

a) \(3x\) b) \(x = -2\) und \(x = 4\)

- Manchmal heben sich beim Kürzen fast alle oder sogar alle Terme gegenseitig auf. - Achte bei Termen wie \(4x^2\) darauf, dass dies \((2x)^2\) entspricht, um die binomische Formel anzuwenden. - Prüfe genau, ob ein Term ein Quadrat einer Differenz ist (2. binomische Formel).

1. Faktorisierung in Teilaufgabe a): Den Zähler \(4x^2-9\) mit der dritten binomischen Formel zu \((2x-3)(2x+3)\) zerlegen. 2. Multiplikation und Kürzen: \(\frac{(2x-3)(2x+3) \cdot x^2}{2x(2x+3)}\). Der Faktor \((2x+3)\) und ein \(x\) kürzen sich. Es verbleibt \(\frac{x(2x-3)}{2}\). 3. Division in Teilaufgabe b): Umwandlung in Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{y^2-16}{y^2-8y+16} \cdot \frac{y-4}{y+4}\). 4. Vollständige Faktorisierung: \(y^2-16 = (y-4)(y+4)\) und \(y^2-8y+16 = (y-4)^2\). 5. Zusammenführen und Kürzen: \(\frac{(y-4)(y+4)(y-4)}{(y-4)^2(y+4)}\). Da Zähler und Nenner identisch sind (beide ergeben \((y-4)^2(y+4)\)), ist das Ergebnis \(1\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\) und \(x \neq -\frac{3}{2}\); b) \(y \notin \{-4; 4\}\).

a) \(\frac{x(2x-3)}{2}\) für \(x \neq 0\) und \(x \neq -\frac{3}{2}\) b) \(1\) für \(y \notin \{-4; 4\}\)

- Erkennst du im Zähler des ersten Bruchs eine binomische Formel? - Wie kannst du die Division durch einen Bruch umschreiben? - Welche Faktoren treten sowohl oben als auch unten auf und können gekürzt werden? - Vergiss nicht, am Ende das Distributivgesetz anzuwenden.

1. Umformung der Division auf der linken Seite in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{x^2 - y^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x + y}\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler \(x^2 - y^2\): \((x - y)(x + y)\). 3. Einsetzen der faktorisierten Form: \(\frac{(x - y)(x + y)}{x} \cdot \frac{x^2}{x + y}\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x + y)\) im Zähler und Nenner. 5. Kürzen von \(x\) gegen \(x^2\), sodass im Zähler \(x\) verbleibt: \((x - y) \cdot x\). 6. Ausmultiplizieren des verbleibenden Terms: \(x^2 - xy\). Da dies der rechten Seite entspricht, ist die Gleichung korrekt. 7. Die Umformung gilt genau für die zulässigen Werte \(x \neq 0\) und \(x+y \neq 0\).

Ja. Für \(x \neq 0\) und \(x+y \neq 0\) vereinfacht sich die linke Seite zu \(x^2-xy\).

- Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du im ersten Bruch einen Faktor ausklammern, um ihn gegen den Nenner des zweiten Bruchs zu kürzen? - Wie sieht der Nenner \(a^2+a\) aus, wenn du \(a\) ausklammerst? Hilft dir das beim Finden des Hauptnenners?

1. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{2a-4}{a+1} \cdot \frac{a}{a-2}\) 2. Faktorisieren von \(2a-4 = 2(a-2)\) und Kürzen des Faktors \((a-2)\): \(\frac{2(a-2) \cdot a}{(a+1)(a-2)} = \frac{2a}{a+1}\) 3. Faktorisieren des Nenners im zweiten Summanden: \(a^2+a = a(a+1)\) 4. Erweitern des ersten Teilergebnisses auf den Hauptnenner \(a(a+1)\): \(\frac{2a \cdot a}{a(a+1)} = \frac{2a^2}{a(a+1)}\) 5. Addition der Zähler: \(\frac{2a^2+3}{a(a+1)}\) Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(a \neq -1\), \(a \neq 0\) und \(a \neq 2\) bleiben erhalten; bei \(a=2\) wäre der Divisor null.

\(\frac{2a^2+3}{a(a+1)}\) für \(a \notin \{-1; 0; 2\}\)

- Um Brüche zu subtrahieren, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Klammere in den Nennern so viel wie möglich aus, um den Hauptnenner leichter zu finden. - Schreibe den Hauptbruchstrich als Divisionszeichen, wenn dir das hilft. - Kannst du im Zähler des zweiten Terms eine binomische Formel entdecken?

1. Für den ersten Teil: Nenner faktorisieren zu \(x(x-1)\) und \((x-1)(x+1)\). Den Hauptnenner \(x(x-1)(x+1)\) bilden. Erweitern der Brüche ergibt \(\frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x}{x(x-1)(x+1)}\). Die Subtraktion im Zähler führt zu \(x+1-x = 1\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{x(x^2-1)}\). 2. Für den zweiten Teil: Zähler und Nenner des Doppelbruchs jeweils auf den Nenner \(y\) bringen: Zähler wird \(\frac{y^2-1}{y}\), Nenner wird \(\frac{y+1}{y}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{y^2-1}{y} \cdot \frac{y}{y+1}\). Kürzen von \(y\) und Anwendung der dritten binomischen Formel auf \(y^2-1 = (y-1)(y+1)\) erlaubt das Kürzen von \((y+1)\). Es bleibt \(y-1\). 3. Beim zweiten Term bleiben die ursprünglichen Ausschlusswerte \(y \neq 0\) und \(y \neq -1\) erhalten.

1) \(\frac{1}{x(x^2-1)}\) oder \(\frac{1}{x^3-x}\) 2) \(y-1\) für \(y \notin \{-1; 0\}\)

- Versuche zuerst, den Ausdruck innerhalb der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Nutze die binomischen Formeln, um die Zähler in der Klammer auszumultiplizieren. - Achte beim Subtrahieren der Zähler besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Was passiert, wenn du einen Bruch mit seinem Kehrwert multiplizierst?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Brüche in der Klammer: \((x-3)(x+3) = x^2-9\). 2. Erweitern der Brüche und Aufstellen eines gemeinsamen Zählers: \(\frac{(x+3)^2 - (x-3)^2}{x^2-9}\). 3. Anwendung der ersten und zweiten binomischen Formel im Zähler: \((x^2+6x+9) - (x^2-6x+9)\). 4. Vereinfachung des Zählers durch Zusammenfassen: \(x^2 - x^2 + 6x - (-6x) + 9 - 9 = 12x\). 5. Multiplikation des resultierenden Terms \(\frac{12x}{x^2-9}\) mit dem Faktor \(\frac{x^2-9}{12x}\). 6. Vollständiges Kürzen aller Terme ergibt \(1\). Die Behauptung ist korrekt. 7. Die Behauptung gilt für alle zulässigen Werte \(x \notin \{-3; 0; 3\}\).

Die Behauptung ist korrekt; für \(x \notin \{-3; 0; 3\}\) ergibt die Vereinfachung des Terms den Wert \(1\).

- Nutze die binomischen Formeln, um die Brüche in der Klammer auf einen Nenner zu bringen. - Sei vorsichtig mit dem Minuszeichen zwischen den beiden Brüchen in der Klammer, wenn du die Zähler subtrahierst. - Überlege dir für die Definitionsmenge, welche Werte dazu führen würden, dass man durch Null teilt. - Denke daran, dass beim Dividieren durch einen Bruch auch der Zähler des Divisors nicht Null sein darf.

1. Differenz in der Klammer berechnen: Der Hauptnenner ist \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\). 2. Zähler der Klammer bestimmen: \((a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 = 4ab\). 3. Zwischenergebnis der Klammer: \(\frac{4ab}{a^2-b^2}\). 4. Division durch den zweiten Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(\frac{4ab}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{8ab} = \frac{4ab}{8ab} = \frac{1}{2}\). 5. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner \(a-b\), \(a+b\), \(a^2-b^2\) und der Divisor \(8ab\) dürfen nicht Null sein. Daraus folgt: \(a \neq b\), \(a \neq -b\), \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

a) \(\frac{1}{2}\) oder \(0{,}5\) b) \(D = \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 \mid a \neq \pm b, a \neq 0, b \neq 0\}\)

- Wann darf man in der Mathematik einen Ausdruck nicht berechnen? Denke an die Nenner. - Vergiss nicht, dass bei einer Division durch einen Bruch auch dessen Zähler nicht Null sein darf. - Um die Subtraktion in der Klammer durchzuführen, musst du die \(1\) auf den gleichen Nenner bringen wie den ersten Bruch. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Erinnere dich an den Kehrwert. - Faktorisierung (z. B. Ausklammern) hilft dir oft dabei, Terme beim Multiplizieren zu kürzen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn ein Nenner Null wird oder durch Null dividiert wird. - Nenner des ersten Bruchs: \(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\). - Nenner des Divisors: \(x^2+2x = x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0\) oder \(x = -2\). - Zähler des Divisors (da durch diesen dividiert wird): \(x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Somit ist der Term für \(x \in \{-2; 0; 2\}\) nicht definiert. 2. Vereinfachung der Klammer: \(\frac{2x}{x+2} - 1 = \frac{2x - (x+2)}{x+2} = \frac{x-2}{x+2}\). 3. Ausführung der Division: \(\frac{x-2}{x+2} : \frac{x-2}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \cdot \frac{x(x+2)}{x-2}\). 4. Kürzen des Produkts: Die Faktoren \((x-2)\) und \((x+2)\) kürzen sich heraus, es bleibt \(x\) übrig.

a) Der Term ist für \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) nicht definiert. b) Der vereinfachte Term lautet \(x\).

- Versuche zuerst, die Ausdrücke innerhalb der Klammern jeweils zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. - Erkennst du in den Zählern oder Nennern Ausdrücke, die du mit binomischen Formeln zerlegen kannst? - Wie dividiert man durch einen Bruchterm? - Achte beim Kürzen darauf, ob Terme wie \(2y+1\) und \(1+2y\) identisch sind.

1. Vereinfachung der ersten Klammer: \(\frac{y}{y+1} + \frac{y+1}{y+1} = \frac{2y+1}{y+1}\). 2. Vereinfachung der zweiten Klammer: \(1 - \frac{3y^2}{1-y^2} = \frac{1-y^2-3y^2}{1-y^2} = \frac{1-4y^2}{1-y^2}\). 3. Faktorisierung der Ausdrücke in der zweiten Klammer (3. binomische Formel): \(1-4y^2 = (1-2y)(1+2y)\) und \(1-y^2 = (1-y)(1+y)\). 4. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2y+1}{y+1} \cdot \frac{(1-y)(1+y)}{(1-2y)(1+2y)}\). 5. Kürzen der Terme: Da \(2y+1 = 1+2y\) und \(y+1 = 1+y\), lassen sich diese Faktoren streichen. 6. Endergebnis: \(\frac{1-y}{1-2y}\). 7. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten \(y \notin \{-1; 1\}\); außerdem darf der Divisor nicht null sein, also \(y \notin \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}\).

\(\frac{1-y}{1-2y}\) für \(y \notin \{-1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1\}\)

- Bestimme zuerst den Hauptnenner für die Ausdrücke innerhalb der Klammer. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Nenner zu faktorisieren. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Achte beim Subtrahieren im Zähler besonders auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. Die Brüche in der Klammer auf den Hauptnenner \((a-b)(a+b)\) bringen: \(\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{a-b}{(a-b)(a+b)}\) 2. Zähler der Klammer zusammenfassen: \((a+b) - (a-b) = a + b - a + b = 2b\) 3. Den Nenner des Divisors mit der ersten binomischen Formel faktorisieren: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) 4. Die Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{2b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{2b}\) 5. Den Faktor \(2b\) und einmal den Faktor \((a+b)\) kürzen: \(\frac{2b \cdot (a+b) \cdot (a+b)}{(a-b) \cdot (a+b) \cdot 2b} = \frac{a+b}{a-b}\) 6. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten \(a \neq b\), \(a \neq -b\) und \(b \neq 0\); die letzte Bedingung folgt daraus, dass der Divisor nicht null sein darf.

\(\frac{a+b}{a-b}\) für \(a \neq \pm b\) und \(b \neq 0\)

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für die Brüche in der Klammer? - Denk beim Dividieren von Brüchen an den Kehrwert. - Kannst du im Zähler oder Nenner Variablen ausklammern, um besser kürzen zu können? - Wann ist ein mathematischer Ausdruck mit Brüchen nicht definiert? Achte auf alle Nenner im gesamten Rechenweg.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: Der Hauptnenner ist \( (k-2)(k+2) = k^2-4 \). Die Subtraktion ergibt \( \frac{k-2-k}{k^2-4} = \frac{-2}{(k-2)(k+2)} \). 2. Division durch den zweiten Bruch: Multiplikation mit dem Kehrwert \( \frac{k^2+2k}{2} \). Faktorisieren des Zählers im Kehrwert ergibt \( \frac{k(k+2)}{2} \). 3. Gesamter Term nach Multiplikation und Kürzen: \( \frac{-2}{(k-2)(k+2)} \cdot \frac{k(k+2)}{2} = \frac{-k}{k-2} \) oder \( \frac{k}{2-k} \). 4. Einsetzen von \( k = 6 \): \( \frac{-6}{6-2} = \frac{-6}{4} = -1{,}5 \). 5. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner \( k+2 \), \( k^2-4 \) und \( k^2+2k \) dürfen nicht null sein. Dies führt zu den ausgeschlossenen Werten \( k = -2 \), \( k = 2 \) und \( k = 0 \). Da der Zähler des Divisors konstant 2 ist, entstehen durch die Division keine weiteren Einschränkungen. Ergebnis: \( k \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 0; 2\} \).

a) Der vereinfachte Term ist \( \frac{-k}{k-2} \) (oder \( \frac{k}{2-k} \)). b) Für \( k = 6 \) ist der Wert \( -1{,}5 \). c) Der Term ist für \( k \in \{-2; 0; 2\} \) nicht definiert, da in diesen Fällen mindestens ein Nenner im Term den Wert Null annehmen würde.