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- Welche Veränderung am zweiten Bruch macht aus der Division eine Multiplikation? - Der erste Bruch bleibt bei dieser Regel unverändert.

1. Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. 2. Daher gilt \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\). 3. Ohne zusätzliche gemeinsame Faktoren lässt sich dies nur noch zu \(\frac{ad}{bc}\) zusammenfassen.

\(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\).

- Betrachte Zähler und Nenner des Produkts nach gemeinsamen Faktoren. - Nutze die angegebene Bedingung, bevor du einen variablen Faktor kürzt.

1. Wegen \(x\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(x\) gekürzt werden. 2. Es bleibt \(\frac{8}{4}=2\).

\(2\)

- Schreibe die Division zunächst als Bruch. - Betrachte getrennt, wie eine Änderung des Zählers und eine Änderung des Nenners den Quotienten beeinflussen. - Überlege bei b), wie du eine Division durch einen Bruch umschreiben kannst.

1. Für a) ergibt sich \(\frac{2a}{4b} = \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{b}\). Der Quotient wird also halbiert. 2. Für b) gilt \(\frac{a}{6} : \frac{b}{2} = \frac{a}{6}\cdot\frac{2}{b} = \frac{1}{3}\cdot\frac{a}{b}\). Der neue Quotient ist ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.

a) Der Quotient wird halbiert. b) Der Quotient beträgt ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.

- Schreibe bei a) Zähler und Nenner als Produkte und kürze Zahlen- und Variablenfaktoren getrennt. - Bei b) sind die entscheidenden Faktoren bereits sichtbar; suche nach identischen Faktoren in Zähler und Nenner. - Bestimme die ursprüngliche Definitionsmenge immer aus den ursprünglichen Nennern.

1. In a) gilt \(\frac{9x^2\cdot10y^2}{5y\cdot3x}=\frac{90x^2y^2}{15xy}=6xy\). Für die ursprüngliche Definitionsmenge gelten \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 2. In b) können der gemeinsame Faktor \(x+4\) und ein Faktor \(x\) gekürzt werden: \(\frac{(x+4)x^2}{x(x-4)(x+4)}=\frac{x}{x-4}\). 3. Für b) gilt für die ursprüngliche Definitionsmenge \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-4;0;4\}\).

a) \(6xy\) für \(x\neq0\) und \(y\neq0\) b) \(\frac{x}{x-4}\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-4;0;4\}\)

- Kannst du im Zähler des zweiten Bruchs einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Was passiert, wenn derselbe Ausdruck im Zähler und im Nenner steht? - Denk daran, dass man beim Multiplizieren von Brüchen „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“ rechnet.

1. Im Zähler des zweiten Bruchs wird ausgeklammert: \(2x+4=2(x+2)\). 2. Multiplizieren ergibt \(\frac{5x\cdot2(x+2)}{(x+2)\cdot10x^2}\). 3. Kürzen des Faktors \(x+2\) ergibt \(\frac{10x}{10x^2}\). 4. Kürzen durch \(10x\) liefert \(\frac1x\). Für die ursprüngliche Definitionsmenge gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\).

\(\frac{1}{x}\) für \(x \notin \{-2; 0\}\)

- Die entscheidenden Faktoren sind bereits sichtbar; schreibe das Produkt zunächst als einen Bruch. - Bei einer Division durch einen Term muss dieser Term zusätzlich von null verschieden sein. - Kürze nur vollständige gemeinsame Faktoren.

1. In a) gilt \(s\neq-2\) und \(s\neq2\). Nach dem Multiplizieren können die Faktoren \(s-2\) und \(s+2\) vollständig gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(1\). 2. In b) müssen \(x\neq0\), \(y\neq0\) und \(x+y\neq0\) gelten. Division durch \(x+y\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac1{x+y}\). Damit bleibt \(\frac{x-y}{xy}\).

a) \(1\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\) b) \(\frac{x-y}{xy}\), \(D=\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2\mid x\neq0,\ y\neq0,\ x\neq-y\}\)

- In a) kannst du vor oder nach dem Multiplizieren gemeinsame Zahlen- und Variablenfaktoren kürzen. - In b) ersetzt du die Division durch eine Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. - Prüfe in b), welcher Faktor sich aus \(4a+4b\) ausklammern lässt und warum dieser Faktor wegen der Division nicht null sein darf.

1. In a) ergibt die Multiplikation \(\frac{2xy}{6x^2y^2}\). Kürzen der gemeinsamen Faktoren liefert \(\frac{1}{3xy}\). 2. In b) wird die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{a+b}{c}\cdot\frac{c^2}{4a+4b}\). 3. Da \(4a+4b=4(a+b)\), kann der Faktor \(a+b\) gekürzt werden. Außerdem kürzt sich ein Faktor \(c\). 4. Es bleibt \(\frac{c}{4}\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben bestehen.

a) \(\frac{1}{3xy}\) für \(x\neq0\) und \(y\neq0\) b) \(\frac{c}{4}\) für \(c\neq0\) und \(a+b\neq0\)

- Die Faktoren sind bereits sichtbar; schreibe das Produkt auf einen Bruchstrich. - Suche nach identischen Faktoren im gesamten Zähler und Nenner. - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Term.

1. Aus den Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;4\}\). 2. Nach dem Multiplizieren kann der Faktor \(x-4\) gekürzt werden. 3. Außerdem gilt \(10:5=2\). Damit erhält man \(\frac{2(x+4)}{x}\).

\(\frac{2(x+4)}{x}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;4\}\)

- In a) kannst du gemeinsame Zahlen- und Variablenfaktoren kürzen. - In b) prüfe vor dem Kehrwert sowohl die Nenner als auch, wann der gesamte Divisor null wird. - Klammere im linearen Ausdruck des Divisors einen gemeinsamen Zahlenfaktor aus, bevor du kürzt.

1. In a) ergibt die Multiplikation \(\frac{12a^2b^2}{4ab}\). Kürzen liefert \(3ab\). Aus den ursprünglichen Nennern gelten \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 2. In b) gilt wegen der Nenner zunächst \(y\neq0\). Der Divisor \(\frac{2x+10}{6y^2}\) darf außerdem nicht null sein; daher gilt \(x\neq-5\). 3. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{x+5}{3y}\cdot\frac{6y^2}{2x+10}\). 4. Mit \(2x+10=2(x+5)\) können \(x+5\), die Zahlenfaktoren und ein Faktor \(y\) gekürzt werden. Es bleibt \(y\).

a) \(3ab\) für \(a\neq0\) und \(b\neq0\) b) \(y\) für \(y\neq0\) und \(x\neq-5\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren finden und diese streichen? - In welcher Reihenfolge solltest du die Rechenoperationen ausführen? - Was passiert, wenn man einen Term durch sich selbst teilt?

1. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert für Teil a): \(\frac{4x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{2x}\). 2. Kürzen der Koeffizienten und Variablen: \(\frac{4}{2} = 2\), \(\frac{x^2}{x} = x\) und \(\frac{y^2}{y} = y\). Ergebnis: \(2xy\). 3. Multiplikation der ersten beiden Brüche in Teil b): \(\frac{a \cdot b}{b^2 \cdot a^2} = \frac{1}{ab}\). 4. Division durch den dritten Bruch als Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{1}{ab} \cdot \frac{ab}{1} = 1\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\).

a) \(2xy\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(1\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Teile jeden Summanden des Zählers durch den angegebenen Divisor. - Bei gleichen Basen hilft dir die Regel für den Quotienten von Potenzen. - Prüfe bei Teil 2, warum \(a\ne0\) vorausgesetzt wird.

1. Jeder Summand wird durch \(2{,}5\) geteilt: \(15b^3:2{,}5=6b^3\), \(-10b^2:2{,}5=-4b^2\) und \(5b:2{,}5=2b\). Damit ergibt sich \(6b^3-4b^2+2b\). 2. Jeder Summand wird durch \(-4a^2\) geteilt. Mit den Potenzgesetzen erhält man \((-12a^4):(-4a^2)=3a^2\), \(8a^3:(-4a^2)=-2a\) und \((-4a^2):(-4a^2)=1\). Damit ergibt sich \(3a^2-2a+1\).

1) \(6b^3-4b^2+2b\) 2) \(3a^2-2a+1\)

- Welche Vorzeichen entstehen bei den drei einzelnen Divisionen? - Welchen Exponenten hat \(a\) im Divisor, wenn keiner geschrieben ist? - Prüfe dein Ergebnis, indem du es wieder mit dem Divisor multiplizierst.

1. Es gilt \(-12a^3:(-6a)=2a^2\). 2. Es gilt \(18a^2:(-6a)=-3a\). 3. Es gilt \(-6a:(-6a)=1\). 4. Damit lautet das Ergebnis \(2a^2-3a+1\).

\(2a^2-3a+1\), für \(a\neq0\)

- Zerlege die Division in drei einzelne Quotienten. - Wie verändern sich Exponenten gleicher Basen bei der Division? - Achte beim letzten Glied auf das negative Vorzeichen.

1. \(12a^3b^2:3ab^2=4a^2\). 2. \(6a^2b^3:3ab^2=2ab\). 3. \(-3ab^4:3ab^2=-b^2\). 4. Insgesamt ergibt sich \(4a^2+2ab-b^2\).

\(4a^2+2ab-b^2\), für \(a\neq0\) und \(b\neq0\)

- Teile jedes Glied einzeln durch denselben Divisor. - Behandle Koeffizienten und Potenzen getrennt. - Bei gleicher Basis werden bei der Division die Exponenten subtrahiert.

1. Jedes Glied des Terms wird durch den Divisor \(-0{,}5p^2\) geteilt. 2. Für die Koeffizienten gilt \(1:(-0{,}5)=-2\), \(-2{,}5:(-0{,}5)=5\) und \(0{,}5:(-0{,}5)=-1\). 3. Für die Potenzen gilt \(p^5:p^2=p^3\), \(p^4:p^2=p^2\) und \(p^3:p^2=p\). 4. Damit ergibt sich \(-2p^3+5p^2-p\). Die Umformung gilt für \(p\neq0\).

\(-2p^3 + 5p^2 - p\) für \(p \neq 0\)

- Teile die Summe in drei einzelne Quotienten auf. - Wie rechnet man beim Dividieren durch einen Bruch mit dem Kehrwert? - Kürze bei den Variablen gleiche Faktoren beziehungsweise subtrahiere die Exponenten.

1. Es gilt \(12a^2b:\frac{6}{5}ab=10a\). 2. Es gilt \(-18ab^2:\frac{6}{5}ab=-15b\). 3. Es gilt \(6ab:\frac{6}{5}ab=5\). 4. Damit ergibt sich \(10a-15b+5\).

\(10a-15b+5\), für \(a\neq0\) und \(b\neq0\)

- Wie kannst du eine Summe im Zähler aufteilen, wenn alle Summanden durch denselben Nenner geteilt werden? - Welche Potenzregel brauchst du beim Dividieren gleicher Variablenbasen? - Bestimme die Definitionsmenge aus dem ursprünglichen Nenner, bevor du kürzt.

1. \(\frac{12a^2}{6a}+\frac{6}{6a}=2a+\frac{1}{a}\). Daher gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. \(\frac{10x^3}{5x^2}-\frac{5x^2}{5x^2}+\frac{2}{5x^2}=2x-1+\frac{2}{5x^2}\). Daher gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 3. \(\frac{8m^2}{4m}-\frac{12m}{4m}+\frac{1}{4m}=2m-3+\frac{1}{4m}\). Daher gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).

1) \(2a+\frac{1}{a}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) 2) \(2x-1+\frac{2}{5x^2}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) 3) \(2m-3+\frac{1}{4m}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\)

- Die für das Kürzen nötigen Faktoren sind bereits sichtbar. - Bestimme die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennern. - Kürze nur vollständige Faktoren des Produkts.

1. Aus den Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-4;-3;4\}\). 2. Beim Multiplizieren können \(y-4\) und ein Faktor \(y+3\) gekürzt werden. 3. Es bleibt \(\frac{y+3}{y+4}\).

\(\frac{y+3}{y+4}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-4;-3;4\}\)

- Schreibe das Produkt zunächst als einen Bruch aus Faktoren. - Zähle, wie oft der Faktor \(a-b\) im Zähler und im Nenner vorkommt. - Setze die Zahlen erst nach dem Kürzen ein.

1. Aus dem ursprünglichen Nenner folgt \(a-b\neq0\), also \(a\neq b\). 2. Im Produkt können der Faktor \(2\) und insgesamt zwei Faktoren \(a-b\) gekürzt werden. Es bleibt \(a+b\). 3. Für \(a=5\) und \(b=-2\) ist \(a+b=3\).

\(a+b\) für \(a\neq b\); Wert: \(3\)

- Kannst du den Nenner \(a^2+3a\) durch Ausklammern faktorisieren? - Welcher gemeinsame Nenner ergibt sich für die beiden Brüche in der Klammer? - Prüfe vor dem Kehrwert, ob der Divisor für einen zulässigen rationalen Wert null werden kann.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(a\neq-3\) und \(a\neq0\). Der Divisor \(\frac{a^2+9}{a}\) ist für alle zulässigen rationalen \(a\) ungleich null. Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;0\}\). 2. Es gilt \(a^2+3a=a(a+3)\). Ein gemeinsamer Nenner der beiden Brüche in der Klammer ist daher \(a(a+3)\). 3. Die Klammer wird zu \(\frac{a^2+9}{a(a+3)}\). 4. Division durch \(\frac{a^2+9}{a}\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac{a}{a^2+9}\). 5. Kürzen der gemeinsamen Faktoren ergibt \(\frac{1}{a+3}\).

\(\frac{1}{a+3}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;0\}\)

- Die beiden Brüche in der Klammer haben bereits denselben Nenner. - Vereinfache zuerst nur die Klammer. - Behalte die Bedingungen aus allen ursprünglichen Nennern bei.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(x-y\neq0\) und \(x\neq0\). 2. Die Brüche in der Klammer haben denselben Nenner. Zusammenfassen ergibt \(\frac{2x-(x+y)}{x-y}=\frac{x-y}{x-y}=1\). 3. Daher ist der gesamte Ausdruck \(\frac{x-y}{x}\).

\(\frac{x-y}{x}\) für \(x\neq y\) und \(x\neq0\)

- Schreibe die Zahl \(1\) mit dem Nenner \(x-3\). - Vereinfache die Klammer vollständig, bevor du multiplizierst. - Kürze im Produkt nur vollständige Faktoren.

1. Aus dem ursprünglichen Nenner folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\). 2. In der Klammer gilt \(\frac{x}{x-3}-1=\frac{x-(x-3)}{x-3}=\frac3{x-3}\). 3. Im Produkt \(\frac3{x-3}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}3\) können \(3\) und \(x-3\) gekürzt werden. Es bleibt \(x+3\).

\(x+3\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\)

- Die Faktoren für das Kürzen sind bereits sichtbar. - Bestimme die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennern, nicht aus dem vereinfachten Term. - Setze \(x=8\) erst nach dem Kürzen ein.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;4\}\). 2. Im Produkt können die passenden Faktoren \(x-4\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x+4}{x}\). 3. Für \(x=8\) ergibt sich \(\frac{12}{8}=1{,}5\).

\(\frac{x+4}{x}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;4\}\); für \(x=8\): \(1{,}5\)

- Kannst du die Division als Multiplikation mit einem Bruch schreiben? - Denke daran, dass jedes Glied in der Klammer durch den Term hinter dem Geteiltzeichen dividiert werden muss. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Was passiert mit den Exponenten der Variablen bei der Division?

1. Dividiere im ersten Teil jeden Summanden der Klammer einzeln durch den Divisor \(4y\): \(12x^2y : 4y = 3x^2\), \(-8xy : 4y = -2x\) und \(4y : 4y = 1\). Das ergibt den Term \(3x^2 - 2x + 1\). 2. Dividiere im zweiten Teil jeden Summanden der Klammer durch \(-5ab\). Beachte dabei die Vorzeichenregeln: \(-15a^3b^2 : (-5ab) = 3a^2b\), \(10a^2b : (-5ab) = -2a\) und \(-5ab : (-5ab) = 1\). Das ergibt den Term \(3a^2b - 2a + 1\).

a) Für \(y \ne 0\): \(3x^2 - 2x + 1\) b) Für \(a \ne 0\) und \(b \ne 0\): \(3a^2b - 2a + 1\)

- Prüfe zunächst die Nenner der beiden vorkommenden Brüche. - Bei einer Division gibt es zusätzlich eine Bedingung an den Wert des gesamten zweiten Bruchs. - Ein definierter Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist.

1. Der Nenner des ersten Bruchs darf nicht null sein, also gilt \(x\neq2\). 2. Der Nenner des Divisors darf nicht null sein, also gilt \(x\neq-4\). 3. Außerdem darf der Divisor selbst nicht null sein. Das geschieht bei \(x-3=0\), also gilt zusätzlich \(x\neq3\).

Ausgeschlossen sind \(x=-4\), \(x=2\) und \(x=3\).

- Welche Nenner treten im ursprünglichen Doppelbruch auf? - Wie ersetzt du die Division durch einen Bruchterm durch eine Multiplikation? - Prüfe, ob der gesamte Divisor für einen zulässigen Wert \(0\) werden könnte.

1. Aus den inneren Nennern folgen \(x\neq0\) und \(x+1\neq0\), also \(x\neq-1\). Der Divisor \(\frac{6}{x+1}\) ist für alle zulässigen \(x\) ungleich \(0\). 2. Division durch einen Bruchterm wird als Multiplikation mit seinem Kehrwert geschrieben: \(B=\frac{3}{x}\cdot\frac{x+1}{6}\). 3. Kürzen des Zahlenfaktors \(3:6\) ergibt \(B=\frac{x+1}{2x}\). 4. Die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt erhalten: \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\).

\(B=\frac{x+1}{2x}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\)

- Überlege, wie sich ein Quotient verändert, wenn nur der Nenner verändert wird. - Berücksichtige bei b) zuerst die Wirkung der Verdopplung des Nenners. - Für c) suchst du zwei Änderungsfaktoren, deren gemeinsame Wirkung den Faktor \(10\) ergibt.

1. Bleibt \(a\) unverändert, muss der Nenner durch \(10\) geteilt werden: \(\frac{a}{b:10}=10\cdot\frac{a}{b}\). 2. Wird \(b\) verdoppelt, muss \(a\) mit \(20\) multipliziert werden: \(\frac{20a}{2b}=10\cdot\frac{a}{b}\). 3. Eine weitere Möglichkeit ist, \(a\) zu verfünffachen und \(b\) zu halbieren: \(\frac{5a}{b:2}=10\cdot\frac{a}{b}\).

a) \(b\) wird durch \(10\) geteilt. b) \(a\) wird mit \(20\) multipliziert. c) Zum Beispiel: \(a\) wird verfünffacht und \(b\) halbiert.

- Prüfe zuerst die ursprünglichen Nenner und zusätzlich, wann der gesamte Divisor den Wert null hat. - Schreibe die Division anschließend als Multiplikation mit dem Kehrwert. - Kürze erst danach identische Faktoren in Zähler und Nenner.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(z\neq-1\) und \(z\neq1\). Zusätzlich darf der Divisor nicht null sein, also gilt \(z\neq2\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{(z-2)(z+2)}{z+1}\cdot\frac{(z-1)(z+1)}{z-2}\). 3. Die Faktoren \(z+1\) und \(z-2\) können unter den ursprünglichen Bedingungen gekürzt werden. 4. Es bleibt \((z+2)(z-1)\).

\((z+2)(z-1)\) für \(z\in\mathbb{Q}\setminus\{-1;1;2\}\)

- Suche im Zähler nach einem gemeinsamen Faktor. - Bestimme die ursprüngliche Definitionsmenge, bevor du kürzt. - Prüfe bei Maras Aussage, ob eine algebraische Vereinfachung die ursprüngliche Definitionsmenge automatisch erweitert.

1. Im ersten Zähler gilt \(x^2+2x=x(x+2)\). 2. Für Werte aus der ursprünglichen Definitionsmenge wird \(A(x)=\frac{x(x+2)}{x+2}\cdot\frac{5}{x}=5\). 3. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\). 4. Maras Behauptung ist falsch: Der vereinfachte Wert \(5\) gilt nur für \(x\in D\). Bei \(x=-2\) oder \(x=0\) ist der ursprüngliche Term nicht definiert.

a) \(A(x)=5\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\). b) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\). c) Die Behauptung ist falsch. Der ursprüngliche Term ist bei \(x=-2\) und \(x=0\) nicht definiert.

- Wie subtrahierst du einen Bruch von einer ganzen Zahl? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem Zähler beim Zusammenfassen in der Klammer. - Kannst du den Ausdruck \(x^2 + x\) durch Ausklammern vereinfachen?

1. Den Ausdruck in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(1 - \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{x-1}{x+1}\) 2. Zähler zusammenfassen (Vorsicht beim Minuszeichen): \(\frac{(x+1) - (x-1)}{x+1} = \frac{x+1-x+1}{x+1} = \frac{2}{x+1}\) 3. Den zweiten Faktor faktorisieren: \(x^2 + x = x(x+1)\) 4. Die Multiplikation durchführen: \(\frac{2}{x+1} \cdot \frac{x(x+1)}{2}\) 5. Die Faktoren \(2\) und \((x+1)\) kürzen: \(x\) Die ursprüngliche Bedingung \(x \neq -1\) bleibt erhalten.

\(x\) für \(x \neq -1\)

- Bestimme vor dem Kehrwert sowohl die Nullstellen der ursprünglichen Nenner als auch den Wert, für den der gesamte Divisor null wird. - Schreibe die Division anschließend als Multiplikation mit dem Kehrwert. - Kürze nur vollständige identische Faktoren.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(y\neq-1\) und \(y\neq1\). Der Divisor wird außerdem bei \(y=2\) null, also gilt zusätzlich \(y\neq2\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{(y-2)^2}{2(y+1)}\cdot\frac{(y-1)(y+1)}{y-2}\). 3. Unter den ursprünglichen Bedingungen können \(y+1\) und ein Faktor \(y-2\) gekürzt werden. 4. Es bleibt \(\frac{(y-2)(y-1)}{2}\).

\(\frac{(y-2)(y-1)}{2}\) für \(y\in\mathbb{Q}\setminus\{-1;1;2\}\)

- Vergleiche zunächst nur die sichtbaren gemeinsamen Faktoren und die Zahl der erwartbaren Rechenschritte. - Entscheide dich erst für einen Weg und rechne danach. - Der zweite Weg dient anschließend als unabhängige Kontrolle.

1. Die Faktoren \(b\), ein Faktor \(a\) und die Zahlenfaktoren lassen sich schon symbolisch kürzen. Deshalb ist „zuerst vereinfachen“ der kürzere Weg. 2. Allgemein gilt \(A=\frac{12a^2}{5b}\cdot\frac{10b}{3a}=8a\). 3. Einsetzen von \(a=2{,}5\) ergibt \(A=8\cdot2{,}5=20\). 4. Zur Kontrolle kann direkt eingesetzt werden: \(\frac{12\cdot2{,}5^2}{5\cdot13}\cdot\frac{10\cdot13}{3\cdot2{,}5}=20\). 5. Beide Wege stimmen überein; die symbolische Vereinfachung vermeidet die umfangreichere Zahlenrechnung.

a) Zweckmäßig ist, zuerst allgemein zu kürzen, weil mehrere gemeinsame Faktoren sichtbar sind. b) \(A=8a\), daher \(A=20\). c) Direktes Einsetzen liefert ebenfalls \(20\).

- Prüfe zuerst alle Nenner und bei b) zusätzlich, wann der Divisor null wird. - Schreibe die Division in b) als Multiplikation mit dem Kehrwert. - Kürze danach vollständige Faktoren.

1. In a) gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;-1;1\}\). Die Faktoren \(a+2\) und \(a+1\) können gekürzt werden. Es bleibt \(\frac5{a-1}\). 2. In b) müssen \(u-v\neq0\) und \(u+v\neq0\) gelten. Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{(u-v)^2}{u+v}\cdot\frac{(u-v)(u+v)}{u-v}\). Nach dem Kürzen bleibt \((u-v)^2\).

a) \(\frac5{a-1}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;-1;1\}\) b) \((u-v)^2\) für \(u\neq v\) und \(u\neq-v\)

- Stelle dir die Aufgabe wie eine einfache Gleichung vor: \(10 : x = 2\). Wie würdest du \(x\) berechnen? - Nutze die Regel für die Division von Brüchen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es für das Quadrat in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Umstellen der Gleichung nach dem Platzhalter: \(\square = \frac{9k}{m^2} : \frac{3}{m}\). 2. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{9k}{m^2} \cdot \frac{m}{3}\). 3. Multiplikation der Terme: \(\frac{9k \cdot m}{3 \cdot m^2}\). 4. Kürzen der Zahl \(3\) und der Variablen \(m\): \(\frac{3k}{m}\). 5. Für \(m \neq 0\) ist die Ausgangsgleichung definiert; \(k \neq 0\) stellt sicher, dass der gefundene Divisor nicht null ist.

\(\square = \frac{3k}{m}\) für \(m \neq 0\) und \(k \neq 0\).

- Prüfe bei einer Division nicht nur die Nenner, sondern auch, wann der gesamte Divisor null wird. - Schreibe die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert. - Vergleiche am Ende die maximale Definitionsmenge des Ergebnisterms mit der ursprünglichen Definitionsmenge.

1. Für den ersten Nenner gilt \(a\neq0\). Zusätzlich darf der Divisor \(\frac{a-5}{10}\) nicht null sein, also gilt \(a\neq5\). Damit ist \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{0;5\}\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{(a-5)(a+5)}{5a}\cdot\frac{10}{a-5}\). 3. Für Werte aus \(D_A\) kann der Faktor \(a-5\) gekürzt werden; außerdem ist \(10:5=2\). Es bleibt \(\frac{2(a+5)}{a}\). 4. Der Ergebnisterm hat die maximale Definitionsmenge \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Mengen sind nicht identisch. Der Wert \(a=5\) bleibt für den ursprünglichen Ausdruck trotzdem ausgeschlossen.

\(\frac{2(a+5)}{a}\); \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{0;5\}\), \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Definitionsmengen sind nicht identisch.

- Wie wird eine Division durch einen Bruchterm als Multiplikation geschrieben? - In b) sind alle für das Kürzen nötigen Faktoren bereits sichtbar. - Bestimme die Definitionsmenge vor dem Kürzen.

1. In a) wird mit dem Kehrwert multipliziert: \(\frac{8x^3}{y^2}\cdot\frac{y}{4x}=\frac{2x^2}{y}\). Es gelten \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 2. In b) werden \(a+2\), der Zahlenfaktor und ein Faktor \(a\) gekürzt. Es bleibt \(\frac{2}{a(a-2)}\). Für die ursprüngliche Definitionsmenge gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0;2\}\).

a) \(\frac{2x^2}{y}\) für \(x\neq0\), \(y\neq0\) b) \(\frac{2}{a(a-2)}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0;2\}\)

- Kannst du Variablen genauso kürzen wie Zahlen? - Was musst du bei der Division von Brüchen beachten? - Achte bei Teilaufgabe c) genau darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation von Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: \(\frac{4x \cdot 15}{5 \cdot 2x^2} = \frac{60x}{10x^2}\). Kürzen durch \(10x\): \(\frac{6}{x}\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a^2}{b} \cdot \frac{b^2}{a} = \frac{a^2 \cdot b^2}{b \cdot a}\). Kürzen durch \(a \cdot b\): \(a \cdot b\). 3. Teilaufgabe c): Punktrechnung zuerst: \(\frac{1}{y} \cdot 4 = \frac{4}{y}\). Subtraktion: \(\frac{3}{y} - \frac{4}{y} = -\frac{1}{y}\). Für die ursprünglichen Terme gelten die Bedingungen: a) \(x \neq 0\), b) \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\), c) \(y \neq 0\).

a) \(\frac{6}{x}\) für \(x \neq 0\) b) \(a \cdot b\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\) c) \(-\frac{1}{y}\) für \(y \neq 0\)

- Gibt es Klammern, die in Zähler und Nenner identisch sind? - Was passiert, wenn du bei einem Ausdruck wie \(5-z\) ein Minuszeichen ausklammerst? - Versuche zuerst zu kürzen, bevor du alles ausmultiplizierst.

1. Bei Teilaufgabe a) werden die Brüche multipliziert: \(\frac{4x(x+3)}{8x^2(x+3)}\). Der gemeinsame Klammerfaktor \((x+3)\) lässt sich vollständig kürzen. Kürzen von \(x\) gegen \(x^2\) im Nenner und \(4\) gegen \(8\) ergibt \(\frac{1}{2x}\). 2. Bei Teilaufgabe b) wird erkannt, dass \(5-z = -(z-5)\) ist. Multiplikation der Brüche: \(\frac{6(z-5)}{3(5-z)}\). Ersetzen von \((5-z)\) durch \(-(z-5)\) führt zu \(\frac{6(z-5)}{-3(z-5)}\). Kürzen des Klammerausdrucks und Division der Zahlen (\(6 : -3\)) ergibt \(-2\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \notin \{-3; 0\}\); b) \(z \neq 5\).

a) \(\frac{1}{2x}\) für \(x \notin \{-3; 0\}\) b) \(-2\) für \(z \neq 5\)

- Kannst du in den Zählern einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Bestimme die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennern, bevor du kürzt. - Welche vollständigen Faktoren erscheinen anschließend sowohl im Zähler als auch im Nenner?

1. Es gilt \(x^2-4x=x(x-4)\) und \(3x+6=3(x+2)\). 2. Damit ist \(T(x)=\frac{x(x-4)}{x+2}\cdot\frac{3(x+2)}{x-4}\). 3. Für Werte der ursprünglichen Definitionsmenge können \(x-4\) und \(x+2\) gekürzt werden. Es bleibt \(3x\). 4. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(x\neq-2\) und \(x\neq4\). Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;4\}\).

a) \(3x\) b) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;4\}\)

- In a) sind alle für das Kürzen nötigen Faktoren bereits sichtbar. - Prüfe in b) zusätzlich, wann der gesamte Divisor null wird. - Schreibe die Division erst danach als Multiplikation mit dem Kehrwert.

1. In a) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\). Nach dem Kürzen von \(x+2\) und \(x-1\) bleibt \(3(x+1)\). 2. In b) müssen \(a\neq-1\), \(a\neq1\) und wegen des Divisors \(a\neq5\) gelten. 3. Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{(a-5)^2}{a+1}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a-5}\). Nach dem Kürzen bleibt \((a-5)(a-1)\).

a) \(3(x+1)\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1\}\) b) \((a-5)(a-1)\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1;5\}\)

- Bestimme zuerst die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennern. - In b) muss zusätzlich der gesamte Divisor von null verschieden sein. - Die Faktoren sind bereits sichtbar; kürze erst nach dem Umformen der Division.

1. In a) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;-\frac32\}\). Nach dem Kürzen von \(2x+3\) und einem Faktor \(x\) bleibt \(\frac{x(2x-3)}2\). 2. In b) muss \(y\neq4\) gelten; außerdem darf der Divisor nicht null sein, also \(y\neq-4\). 3. Multiplikation mit dem Kehrwert und anschließendes Kürzen ergibt \(1\).

a) \(\frac{x(2x-3)}2\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;-\frac32\}\) b) \(1\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-4;4\}\)

- Welcher gemeinsame Nenner eignet sich für die beiden Brüche in der Klammer? - Vereinfache die Klammer, bevor du multiplizierst. - Bestimme die Definitionsmenge aus dem ursprünglichen Term.

1. Ein gemeinsamer Nenner in der Klammer ist \(2k\). Damit gilt \(\frac{4}{2k}-\frac{1}{2k}=\frac{3}{2k}\). 2. Multiplikation mit \(\frac{4k^2}{3}\) und Kürzen ergibt \(2k\). 3. Für \(k=1{,}5\) folgt \(2k=3\). 4. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).

a) \(2k\) b) \(3\) c) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\)

- Schreibe die Division zunächst als Multiplikation mit dem Kehrwert. - Suche danach nach vollständigen Faktoren, die im Zähler und Nenner vorkommen. - Vergleiche den verbleibenden Produktterm erst nach dem Kürzen mit der rechten Seite.

1. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{(x-y)(x+y)}{x}\cdot\frac{x^2}{x+y}\). 2. Unter den gegebenen Bedingungen kann der Faktor \(x+y\) gekürzt werden. Außerdem kann \(x\) gegen einen Faktor aus \(x^2\) gekürzt werden. 3. Es bleibt \(x(x-y)\). 4. Mit dem Distributivgesetz gilt \(x(x-y)=x^2-xy\). Damit stimmt die linke Seite mit der rechten Seite überein.

Ja. Für \(x\neq0\) und \(x+y\neq0\) vereinfacht sich die linke Seite zu \(x^2-xy\).

- Behandle die Division eines mehrgliedrigen Terms summandenweise. - Teile zuerst die Zahlenfaktoren und anschließend die Potenzen mit gleicher Basis. - Beachte bei negativen und gebrochenen Divisoren besonders das Vorzeichen und den Kehrwert.

1. Teile jeden Summanden durch \(\frac65z^2\). Es ergibt sich \(-10z^4+15z^2-5\). 2. Teile jeden Summanden durch \(-\frac14x\). Es ergibt sich \(-3x^2+2x-4\).

1) \(-10z^4+15z^2-5\) 2) \(-3x^2+2x-4\)

- Welche Glieder in der Klammer sind gleichartig und können zuerst zusammengefasst werden? - Bestimme bei jedem Quotienten getrennt Vorzeichen, Zahlenfaktor und Variablenpotenz. - Prüfe anschließend, ob alle drei Glieder korrekt durch \(-0{,}2a\) geteilt wurden.

1. Zuerst werden die \(a^2\)-Glieder zusammengefasst: \(0{,}5a^2-1{,}1a^2=-0{,}6a^2\). 2. Damit wird \((-0{,}2a^3-0{,}6a^2+0{,}04a):(-0{,}2a)\) termweise dividiert. 3. Die drei Quotienten sind \(a^2\), \(3a\) und \(-0{,}2\). 4. Das Ergebnis lautet \(a^2+3a-0{,}2\).

\(a^2+3a-0{,}2\), für \(a\neq0\)

- Teile jeden Summanden einzeln durch den gemeinsamen Divisor. - Bei Bruchkoeffizienten hilft die Multiplikation mit dem Kehrwert. - Subtrahiere bei gleicher Basis die Exponenten.

1. Das erste Glied ergibt \(6x^4y^3 : \frac{3}{2}x^2y = 4x^2y^2\). 2. Das zweite Glied ergibt \(-\frac{3}{4}x^3y^2 : \frac{3}{2}x^2y=-\frac{1}{2}xy\). 3. Das dritte Glied ergibt \(\frac{1}{2}x^2y^4 : \frac{3}{2}x^2y=\frac{1}{3}y^3\). 4. Zusammen ergibt sich \(4x^2y^2-\frac{1}{2}xy+\frac{1}{3}y^3\). Die Umformung gilt für \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

\(4x^2y^2 - \frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}y^3\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\)

- Was passiert, wenn du jedes Glied des Zählers einzeln durch den Nenner teilst? - Der ganzrationale Teil enthält keinen Bruchterm mit einer Variablen im Nenner. - Du kannst b) zur Kontrolle auch in der ursprünglichen Bruchform berechnen.

1. Aufteilen des Bruchs ergibt \(\frac{4x^2}{2x}-\frac{2x}{2x}+\frac{7}{2x}\). 2. Kürzen liefert \(T(x)=2x-1+\frac{7}{2x}\). 3. Für \(x=0{,}5\) ist \(T(0{,}5)=1-1+7=7\). 4. Für c) gilt \(2x-1=10\), also \(x=5{,}5\). 5. Die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).

a) \(2x-1+\frac{7}{2x}\) b) \(7\) c) \(x=5{,}5\)

- Übersetze „halb so viel Zeit“ zuerst in einen Term. - Beschreibe anschließend den Arbeitsanteil pro Stunde für jede Person. - Addiere die beiden Bruchterme und überlege, wie du daraus die Zeit für die ganze Arbeit erhältst.

1. Simon benötigt \(\frac{t}{2}\) Stunden. 2. Lukas schafft pro Stunde \(\frac{1}{t}\), Simon \(\frac{1}{t/2}=\frac{2}{t}\) des Zauns. 3. Zusammen schaffen sie \(\frac{3}{t}\) des Zauns pro Stunde. 4. Die gemeinsame Arbeitszeit ist \(\frac{t}{3}\). 5. Für \(t=6\) beträgt die gemeinsame Zeit \(2\,\text{h}\). Gegenüber \(6\,\text{h}\) werden \(4\,\text{h}\) gespart; die Aussage stimmt.

a) \(\frac{t}{2}\) b) \(\frac{3}{t}\) c) \(\frac{t}{3}\) d) Die Aussage stimmt; die gemeinsame Zeit beträgt \(2\,\text{h}\).

- In 1) sind die Faktoren bereits sichtbar; prüfe, welche davon sich über die beiden Faktoren des Produkts kürzen lassen. - Behandle in 2) zunächst den Zähler des Doppelbruchs als eigene Differenz zweier Brüche. - Vergleiche bei 2) die Faktoren \(b-a\) und \(a-b\) sorgfältig hinsichtlich des Vorzeichens.

1. Im ersten Term gelten wegen der ursprünglichen Nenner \(x\neq2\) und \(x\neq0\). Beim Multiplizieren können \(x-2\), ein Faktor \(x\) und der Zahlenfaktor \(3\) gegen \(6\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x(x+2)}{2}\). 2. Im Doppelbruch müssen \(a\neq0\), \(b\neq0\) und \(a\neq b\) gelten. Der Zähler wird zu \(\frac{b-a}{ab}\). Division durch \(a-b\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac{1}{a-b}\). Wegen \(b-a=-(a-b)\) bleibt \(-\frac{1}{ab}\).

1) \(\frac{x(x+2)}{2}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq2\) 2) \(-\frac{1}{ab}\) für \(a\neq0\), \(b\neq0\) und \(a\neq b\)

- Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Doppelbruch, bevor du umformst. - Fasse Zähler und Nenner des Doppelbruchs jeweils als eigenen Bruch zusammen. - Schreibe die anschließende Division als Multiplikation mit dem Kehrwert und prüfe dann gemeinsame Faktoren.

1. Wegen der inneren Brüche muss \(y\neq0\) gelten. 2. Zusätzlich darf der Nenner des Doppelbruchs nicht null sein. Aus \(1+\frac{1}{y}=0\) folgt \(y=-1\). Daher gilt außerdem \(y\neq-1\). 3. Zähler und Nenner des Doppelbruchs werden jeweils auf den Nenner \(y\) gebracht: \(1-\frac1y=\frac{y-1}{y}\) und \(1+\frac1y=\frac{y+1}{y}\). 4. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{y-1}{y}\cdot\frac{y}{y+1}\). 5. Für \(y\neq0\) kann der Faktor \(y\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{y-1}{y+1}\). Die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt \(\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\).

\(T(y)=\frac{y-1}{y+1}\) für \(y\in\mathbb{Q}\setminus\{-1;0\}\)

- Die Faktoren des gemeinsamen Nenners in der Klammer sind bereits sichtbar. - Fasse zuerst die beiden Brüche in der Klammer zusammen. - Schreibe die anschließende Division als Multiplikation mit dem Kehrwert.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(a\neq b\) und \(a\neq-b\). Unter diesen Bedingungen ist auch der Divisor \(\frac{a-b}{a+b}\) nicht null. Somit ist \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a\neq b,\ a\neq-b\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner in der Klammer ist \((a-b)(a+b)\). Erweitern des ersten Bruchs ergibt \(\frac{a(a+b)-2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}\). 3. Für \((a,b)\in D\) kann \(a-b\) gekürzt werden. Die Klammer wird zu \(\frac{a}{a+b}\). 4. Division durch \(\frac{a-b}{a+b}\) entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert. Damit folgt \(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a-b}=\frac{a}{a-b}\).

\(\frac{a}{a-b}\) mit \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a\neq b,\ a\neq-b\}\)

- Bringe zuerst die beiden Brüche in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner. - Suche im neuen Zähler nach einem gemeinsamen Faktor, bevor du vollständig ausmultiplizierst. - Behalte die ursprüngliche Definitionsmenge bis zum Schluss bei.

1. Der ursprüngliche Term ist nur für \(x\neq-3\), \(x\neq0\) und \(x\neq3\) definiert. 2. Ein gemeinsamer Nenner der beiden Brüche in der Klammer ist \((x-3)(x+3)\): \(\frac{6x(x+3)-6x(x-3)}{(x-3)(x+3)}\). 3. Im Zähler kann \(6x\) ausgeklammert werden: \(6x[(x+3)-(x-3)]=6x\cdot6=36x\). 4. Damit ist \(S=\frac{36x}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{36x}=1\) für alle zulässigen Werte.

Deniz' Behauptung ist korrekt: \(S=1\) für \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{-3;0;3\}\).

- Bestimme zuerst einen gemeinsamen Nenner für die drei Brüche in der Klammer. - Setze beim Subtrahieren den gesamten mittleren Zähler in Klammern. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob sich ein gemeinsamer Faktor ausklammern lässt. - Behandle erst danach die Division durch den letzten Bruch.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\). Der Divisor \(\frac{10}{x+5}\) ist für jedes \(x\in D\) ungleich null. 2. Ein gemeinsamer Nenner in der Klammer ist \((x-5)(x+5)\). 3. Erweitern und Zusammenfassen ergibt \(\frac{x(x+5)-(x^2+25)+5(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{10x-50}{(x-5)(x+5)}\). 4. Mit \(10x-50=10(x-5)\) wird die Klammer für \(x\in D\) zu \(\frac{10}{x+5}\). 5. Daher ist der gesamte Quotient \(\frac{10}{x+5}:\frac{10}{x+5}=1\).

\(1\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-5;5\}\)

- Bringe die beiden Brüche in der Klammer auf den gemeinsamen Nenner \((a-b)(a+b)\). - Suche im neuen Zähler nach einem gemeinsamen Faktor, bevor du vollständig ausmultiplizierst. - Für die Definitionsmenge musst du sowohl die ursprünglichen Nenner als auch den gesamten Divisor auf den Wert null prüfen.

1. Ein gemeinsamer Nenner der beiden Brüche in der Klammer ist \((a-b)(a+b)\). Daher gilt \(\frac{2a(a+b)-2a(a-b)}{(a-b)(a+b)}\). 2. Im Zähler kann \(2a\) ausgeklammert werden: \(2a[(a+b)-(a-b)]=2a\cdot2b=4ab\). Die Klammer wird somit zu \(\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}\). 3. Der gesamte Term ist damit ein Bruchterm dividiert durch denselben Bruchterm. Für zulässige Werte gilt \(T(a,b)=1\). 4. Für die ursprünglichen Nenner müssen \(a-b\neq0\) und \(a+b\neq0\) gelten. Außerdem darf der Divisor \(\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}\) nicht null sein, also \(a\neq0\) und \(b\neq0\).

a) \(1\) b) \(D=\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid a\neq b,\ a\neq-b,\ a\neq0,\ b\neq0\}\)

- Bestimme zuerst einen gemeinsamen Nenner für die drei Brüche in der Klammer. - Fasse den Zähler vollständig zusammen, bevor du nach Faktoren suchst. - Multipliziere erst danach mit dem äußeren Bruch und kürze vollständige Faktoren.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;-2;3\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner in der Klammer ist \((x-3)(x+3)\). 3. Erweitern und Zusammenfassen ergibt \(\frac{x(x+3)-(x-3)-3}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+2x}{(x-3)(x+3)}=\frac{x(x+2)}{(x-3)(x+3)}\). 4. Multiplikation mit \(\frac{x-3}{x+2}\) und Kürzen der Faktoren \(x-3\) und \(x+2\) ergibt \(\frac{x}{x+3}\).

\(\frac{x}{x+3}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;-2;3\}\)

- Bestimme zuerst die Definitionsmenge aus dem ursprünglichen Ausdruck, einschließlich der Bedingung, dass der Divisor nicht null sein darf. - Nutze \(3-x=-(x-3)\), um die Brüche in der Klammer gleichnamig zu machen. - Vereinfache die Klammer vollständig, bevor du die äußere Division mit dem Kehrwert ausführst.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(x\neq-3\) und \(x\neq3\). Außerdem darf der Divisor nicht null sein; auch daraus folgt \(x\neq3\). Daher ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\). 2. Wegen \(3-x=-(x-3)\) gilt in der Klammer \(\frac{2x}{(x-3)(x+3)}-\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}\). 3. Für zulässige Werte kann in der Klammer \(x-3\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{1}{x+3}\). 4. Die anschließende Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{1}{x+3}\cdot\frac{x+3}{x-3}=\frac{1}{x-3}\).

\(\frac{1}{x-3}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\)

- Fasse zuerst die beiden Brüche in der Klammer mit einem gemeinsamen Nenner zusammen. - Prüfe vor der Division auch, wann der Divisor null wäre. - Schreibe die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert und kürze nur vollständige Faktoren.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt zunächst \(x\neq1\), \(x\neq-1\) und \(x\neq0\). Der Divisor \(\frac{x+1}{2x}\) ist für diese Werte ebenfalls ungleich null. 2. Ein gemeinsamer Nenner in der Klammer ist \((x-1)(x+1)\). Es folgt \(\frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\). 3. Division durch \(\frac{x+1}{2x}\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac{2x}{x+1}\). 4. Damit ergibt sich \(\frac{2x(x^2+1)}{(x-1)(x+1)^2}\). Weitere Faktoren lassen sich nicht kürzen.

\(\frac{2x(x^2+1)}{(x-1)(x+1)^2}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\)

- Der zweite Nenner in der Klammer enthält bereits beide linearen Faktoren. - Erweitere den ersten Bruch passend und fasse die Zähler zusammen. - Kürze erst nach der anschließenden Multiplikation vollständige Faktoren.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0;2\}\). 2. Ein gemeinsamer Nenner in der Klammer ist \((x-2)(x+2)\). Erweitern ergibt \(\frac{x(x+2)-2x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2}{(x-2)(x+2)}\). 3. Multiplikation mit \(\frac{x+2}{x^2}\) und Kürzen von \(x^2\) sowie \(x+2\) ergibt \(\frac1{x-2}\).

\(\frac1{x-2}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0;2\}\)

- Fasse zuerst nur die Differenz in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner zusammen. - Prüfe neben den Nennern auch, wann der gesamte Divisor null wird. - Schreibe die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert und kürze anschließend vollständige Faktoren.

1. Ein gemeinsamer Nenner der beiden Brüche in der Klammer ist \((a-b)(a+b)\). Daher gilt \(\frac{a+b-(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2b}{(a-b)(a+b)}\). 2. Die ursprünglichen Nenner verlangen \(a\neq b\) und \(a\neq-b\). Zusätzlich darf der Divisor nicht null sein; deshalb gilt \(b\neq0\). 3. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{2b}{(a-b)(a+b)}\cdot\frac{(a+b)^2}{2b}\). 4. Für zulässige Werte können \(2b\) und ein Faktor \(a+b\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{a+b}{a-b}\).

\(\frac{a+b}{a-b}\) für \(a\neq b\), \(a\neq-b\) und \(b\neq0\)

- Wie hängen Division und Multiplikation zusammen? Kannst du die Aufgabe rückwärts rechnen? - Wenn du ein Ergebnis hast und wissen willst, was am Anfang stand, welche Rechenart hilft dir dabei? - Multipliziere jedes Teil des Ergebnisses mit dem Divisor. - Vergleiche dein Zwischenergebnis mit dem bereits bekannten Glied in der Mitte.

1. Nutze die Umkehroperation der Division, die Multiplikation, um die ursprünglichen Glieder zu finden. Multipliziere dazu jedes Glied des Ergebnisses mit dem Divisor \(4xy\). 2. Berechne das erste fehlende Glied: \(2x^2 \cdot 4xy = 8x^3y\). 3. Überprüfe das mittlere Glied zur Kontrolle: \(-3xy \cdot 4xy = -12x^2y^2\). Dies stimmt mit der Angabe überein. 4. Berechne das zweite fehlende Glied am Ende der Klammer: \(5y^2 \cdot 4xy = 20xy^3\). 5. Setze die Terme ein. Die gesuchten Glieder sind \(8x^3y\) und \(20xy^3\).

Für \(x \ne 0\) und \(y \ne 0\) sind die fehlenden Glieder \(8x^3y\) und \(20xy^3\). Die vollständige Gleichung lautet: \((8x^3y - 12x^2y^2 + 20xy^3) : 4xy = 2x^2 - 3xy + 5y^2\)

- Kannst du den ersten Teil des Ausdrucks so faktorisieren, dass eine Klammer entsteht, die auch im Divisor vorkommt? - Versuche, die vier Terme in zwei Paare aufzuteilen. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in den ersten beiden Termen? Und in den letzten beiden? - Was passiert, wenn du den gesamten Zähler als Produkt zweier Klammern schreibst?

1. Gruppierung der Terme im Dividenden: \((12a^2 - 4ab) + (15a - 5b)\) 2. Ausklammern gemeinsamer Faktoren in den Gruppen: \(4a(3a - b) + 5(3a - b)\) 3. Ausklammern des gemeinsamen Binoms \((3a - b)\): \((4a + 5) \cdot (3a - b)\) 4. Division durch den Divisor \((3a - b)\): \(\frac{(4a + 5)(3a - b)}{3a - b} = 4a + 5\) 5. Die Division ist nur für \(3a-b \neq 0\) definiert.

\(4a + 5\) für \(3a-b \neq 0\)

- Trenne die algebraische Vereinfachung von der Bestimmung der ursprünglichen Definitionsmenge. - Prüfe neben den Nennern auch, wann der Divisor selbst null wird. - Ein später gekürzter Faktor kann trotzdem dazu führen, dass ein Wert nicht zur ursprünglichen Definitionsmenge gehört.

1. Die algebraische Vereinfachung ist für Werte der ursprünglichen Definitionsmenge korrekt: Nach Multiplikation mit dem Kehrwert kürzt sich \(x+2\), sodass \(\frac{x-4}{x-1}\) bleibt. 2. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(x\neq1\) und \(x\neq4\). 3. Zusätzlich darf der Divisor \(\frac{x+2}{x-4}\) nicht null sein. Daher gilt auch \(x\neq-2\). 4. Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1;4\}\).

Nilas vereinfachter Term ist korrekt, ihre angegebene Definitionsmenge ist unvollständig. Richtig ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;1;4\}\).

- Behandle den gesuchten Divisor zunächst wie eine unbekannte Zahl und arbeite von der Zielgleichung rückwärts. - Prüfe nach dem Bestimmen von \(B(x)\) sowohl dessen Definitionsmenge als auch, wann \(B(x)=0\) wäre. - Vergiss den Nenner des ersten Bruchs nicht.

1. Rückwärtsrechnen ergibt \(B(x)=\frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{x+2}{x-1}}\). 2. Kürzen des gemeinsamen Faktors \(x-1\) liefert \(B(x)=\frac{2x}{x+2}\). 3. Wegen der ursprünglichen Nenner gelten \(x\neq1\) und \(x\neq-2\). 4. Außerdem darf der Divisor \(B(x)\) nicht null sein; daher gilt zusätzlich \(x\neq0\). 5. Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0;1\}\).

\(B(x)=\frac{2x}{x+2}\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0;1\}\)

- Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Quotienten, bevor du umformst. - Vergleiche in b) und c), wann die zum Kürzen nötigen Faktoren sichtbar sind. - Ein später gekürzter Faktor kann dazu führen, dass ein Wert trotzdem nicht zur ursprünglichen Definitionsmenge gehört.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgt \(x\neq0\). Der Divisor \(\frac{x-3}{10x}\) darf zusätzlich nicht null sein; daher gilt auch \(x\neq3\). Somit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;3\}\). 2. Aylins Weg: \(T(x)=\frac{2x(x-3)}{5x}\cdot\frac{10x}{x-3}\). In Faktorform können \(x-3\), ein Faktor \(x\) und die Zahlenfaktoren gekürzt werden. Es bleibt \(T(x)=4x\). 3. Mateos Weg beginnt mit \(2x(x-3)=2x^2-6x\). Nach dem Kehrwert gilt \(T(x)=\frac{2x^2-6x}{5x}\cdot\frac{10x}{x-3}\). Zum Kürzen muss im ersten Zähler wieder der gemeinsame Faktor \(2x\) ausgeklammert werden: \(2x^2-6x=2x(x-3)\). Danach führt die Rechnung ebenfalls zu \(4x\). 4. Aylins Weg ist kürzer, weil die zum Kürzen benötigten Faktoren sichtbar bleiben. Der Wert \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Divisor dort null wäre.

a) \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;3\}\) b) Aylins Weg ergibt direkt in Faktorform \(T(x)=4x\). c) Mateo erhält zunächst \(2x^2-6x\), muss daraus wieder \(2x(x-3)\) ausklammern und erhält ebenfalls \(T(x)=4x\). d) Aylins Weg benötigt weniger Zwischenarbeit. \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Divisor dort \(0\) ist.

- Prüfe getrennt die Nenner des Ausgangsausdrucks und den Wert, bei dem der gesamte Divisor null wird. - Nach dem Bilden des Kehrwerts können Faktoren ihre Position zwischen Zähler und Nenner wechseln. - Vergleiche für Teil 3 die Bedingungen der ursprünglichen Definitionsmenge mit den Nennerfaktoren des Endterms.

1. Der erste Nenner verlangt \(x\neq-1\). Im Divisor verlangt der Nenner \((x-1)(x+1)\neq0\), also \(x\neq1\) und \(x\neq-1\). Außerdem darf der gesamte Divisor nicht null sein; sein Zähler ist \(x\), daher gilt zusätzlich \(x\neq0\). Somit ist \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{1}{x+1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x}\). Für zulässige Werte kann \(x+1\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{x-1}{x}\). 3. Der Ergebnisterm hat die maximale Definitionsmenge \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Werte \(-1\) und \(1\) sind dort nicht mehr als Nennernullstellen sichtbar, bleiben aber für den ursprünglichen Ausdruck ausgeschlossen: \(-1\) war Nennernullstelle, und \(1\) war Nennernullstelle des Divisors, bevor dessen Kehrwert gebildet wurde.

1. \(D_A=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;1\}\) 2. \(\frac{x-1}{x}\) 3. \(D_E=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Werte \(-1\) und \(1\) sind im Nenner des Ergebnisterms nicht mehr sichtbar, gehören aber weiterhin nicht zur ursprünglichen Definitionsmenge: \(-1\) machte einen ursprünglichen Nenner null, und bei \(x=1\) war der Divisor wegen seines Nenners nicht definiert. Auch \(0\) bleibt wegen des ursprünglichen Divisors unzulässig.

- Welche zusätzliche Bedingung entsteht, weil der zweite Bruch ein Divisor ist? - Kannst du im ersten Zähler einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Welcher gemeinsame Nenner ergibt sich nach dem Vereinfachen des Quotienten?

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(a\neq-1\) und \(a\neq0\). Außerdem darf der Divisor \(\frac{a-2}{a}\) nicht null sein, also gilt zusätzlich \(a\neq2\). Damit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;2\}\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{2a-4}{a+1}\cdot\frac{a}{a-2}\). 3. Wegen \(2a-4=2(a-2)\) kann \(a-2\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{2a}{a+1}\). 4. Da \(a^2+a=a(a+1)\), ist ein gemeinsamer Nenner für die anschließende Addition \(a(a+1)\). 5. Daher gilt \(\frac{2a^2}{a(a+1)}+\frac{3}{a(a+1)}=\frac{2a^2+3}{a(a+1)}\).

\(\frac{2a^2+3}{a(a+1)}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-1;0;2\}\)

- Wann darf man in der Mathematik einen Ausdruck nicht berechnen? Denke an die Nenner. - Vergiss nicht, dass bei einer Division durch einen Bruch auch dessen Zähler nicht Null sein darf. - Um die Subtraktion in der Klammer durchzuführen, musst du die \(1\) auf den gleichen Nenner bringen wie den ersten Bruch. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Erinnere dich an den Kehrwert. - Faktorisierung (z. B. Ausklammern) hilft dir oft dabei, Terme beim Multiplizieren zu kürzen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn ein Nenner Null wird oder durch Null dividiert wird. - Nenner des ersten Bruchs: \(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\). - Nenner des Divisors: \(x^2+2x = x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0\) oder \(x = -2\). - Zähler des Divisors (da durch diesen dividiert wird): \(x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Somit ist der Term für \(x \in \{-2; 0; 2\}\) nicht definiert. 2. Vereinfachung der Klammer: \(\frac{2x}{x+2} - 1 = \frac{2x - (x+2)}{x+2} = \frac{x-2}{x+2}\). 3. Ausführung der Division: \(\frac{x-2}{x+2} : \frac{x-2}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \cdot \frac{x(x+2)}{x-2}\). 4. Kürzen des Produkts: Die Faktoren \((x-2)\) und \((x+2)\) kürzen sich heraus, es bleibt \(x\) übrig.

a) Der Term ist für \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) nicht definiert. b) Der vereinfachte Term lautet \(x\).

- Fasse zuerst nur die erste Klammer zu einem Bruch zusammen. - Prüfe vor dem Kehrwert die Nenner und zusätzlich, wann der gesamte zweite Klammerausdruck null wird. - Betrachte beim Kürzen vollständige lineare Faktoren und vergleiche ihre Schreibweisen sorgfältig.

1. Die erste Klammer wird zu \(\frac{y}{y+1}+\frac{y+1}{y+1}=\frac{2y+1}{y+1}\). 2. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(y\neq-1\) und \(y\neq1\). Der Divisor darf außerdem nicht null sein. Wegen seiner Zählerfaktoren gilt daher zusätzlich \(y\neq\frac12\) und \(y\neq-\frac12\). 3. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert des gesamten Divisors geschrieben: \(\frac{2y+1}{y+1}\cdot\frac{(1-y)(1+y)}{(1-2y)(1+2y)}\). 4. Es gilt \(2y+1=1+2y\) und \(y+1=1+y\). Diese Faktoren können für zulässige Werte gekürzt werden. 5. Es bleibt \(\frac{1-y}{1-2y}\).

\(\frac{1-y}{1-2y}\) für \(y\in\mathbb{Q}\setminus\{-1;-\frac12;\frac12;1\}\)

- Fasse zuerst die beiden Brüche in der Klammer auf den bereits sichtbaren gemeinsamen Nenner zusammen. - Verwandle die äußere Division danach in eine Multiplikation mit dem Kehrwert. - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Ausdruck, nicht erst am vereinfachten Ergebnis.

1. Ein gemeinsamer Nenner der beiden Brüche in der Klammer ist \((k-2)(k+2)\). Daher gilt \(\frac{k-2-k}{(k-2)(k+2)}=\frac{-2}{(k-2)(k+2)}\). 2. Die Division durch \(\frac{2}{k(k+2)}\) wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{-2}{(k-2)(k+2)}\cdot\frac{k(k+2)}{2}\). 3. Nach dem Kürzen von \(2\) und \(k+2\) bleibt \(-\frac{k}{k-2}\). 4. Für \(k=6\) ergibt sich \(-\frac{6}{4}=-\frac32=-1{,}5\). 5. Die ursprünglichen Nenner schließen \(k=-2\), \(k=2\) und \(k=0\) aus. Der Divisor hat den konstanten Zähler \(2\) und wird daher für keinen weiteren zulässigen Wert null.

a) \(-\frac{k}{k-2}\) b) \(-1{,}5\) c) Nicht definiert für \(k\in\{-2;0;2\}\)