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- Was muss im Nenner stehen, damit das Ergebnis der Division aufgeht? - Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben und gleich groß sind, was lässt sich dann über die Zähler sagen? - Wann wird ein Bruch insgesamt zu Null? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr dasteht?

1. Bei \(\frac{12}{x} = 4\) wird durch Multiplikation mit \(x\) und Division durch 4 der Wert \(x = 3\) ermittelt. 2. Da die Nenner in \(\frac{x}{9} = \frac{7}{9}\) gleich sind, müssen auch die Zähler übereinstimmen, woraus \(x = 7\) folgt. 3. Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist, daher führt \(x-5 = 0\) zu \(x = 5\). 4. Durch Überkreuzmultiplikation bei \(\frac{2}{x} = -\frac{1}{4}\) ergibt sich \(2 \cdot 4 = -1 \cdot x\), also \(x = -8\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 7\) c) \(x = 5\) d) \(x = -8\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) im Nenner auf einer Seite stehen? - Was passiert mathematisch, wenn man versucht, eine Zahl durch 0 zu teilen? - Wie findet man die \(y\)-Koordinate, wenn man den \(x\)-Wert bereits kennt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{15}{x} = \frac{3}{x} + 4\). 2. Subtraktion von \(\frac{3}{x}\) auf beiden Seiten: \(\frac{12}{x} = 4\). 3. Multiplikation mit \(x\) (unter der Bedingung \(x \neq 0\)): \(12 = 4x\). 4. Division durch 4: \(x = 3\). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(3) = \frac{15}{3} = 5\). Der Schnittpunkt liegt bei \(P(3 \mid 5)\). 6. Begründung für \(x=0\): Die Zahl 0 liegt nicht im Definitionsbereich beider Funktionen, da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist. Die Graphen (Hyperbeln) nähern sich der \(y\)-Achse nur an, berühren oder schneiden sie aber nie.

a) Der Schnittpunkt ist \(P(3 \mid 5)\). b) \(x = 0\) ist für beide Funktionen nicht definiert (Division durch Null), weshalb dort kein Punkt auf den Graphen existiert.

- Was darf man für die Variable im Nenner niemals einsetzen? - Wie kannst du den Bruch auflösen, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Überlege, was das Gleichsetzen zweier Funktionsterme geometrisch bedeutet.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht Null sein, also \(x - 1 \neq 0\), woraus \(x \neq 1\) folgt. 2. Gleichung lösen: Multiplikation der Gleichung \(\frac{6}{x-1} = 3\) mit dem Nenner \((x-1)\) führt zu \(6 = 3 \cdot (x-1)\). 3. Ausmultiplizieren und nach \(x\) auflösen: \(6 = 3x - 3\) ergibt durch Addition von \(3\) die Gleichung \(9 = 3x\), woraus \(x = 3\) folgt. 4. Abgleich mit Definitionsmenge: \(3 \neq 1\), daher ist die Lösung gültig. Die Lösungsmenge ist \(L = \{3\}\). 5. Graphische Interpretation: Der Wert \(x = 3\) ist die x-Koordinate des Schnittpunktes zwischen dem Graphen der gebrochen-rationalen Funktion \(f\) und der waagerechten Geraden \(g\).

a) \(L = \{3\}\) b) Die Lösung \(x = 3\) gibt die Stelle an, an der sich die Graphen der Funktionen \(f(x) = \frac{6}{x-1}\) und \(g(x) = 3\) schneiden.

- Wie kannst du den Nenner auf die andere Seite der Gleichung bringen? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu sortieren. - Kannst du Brüche mit gleichem Nenner zusammenfassen?

1. Multiplikation mit dem Nenner \((x+1)\) ergibt \(12 = 3(x+1)\). Durch Division durch 3 und Subtraktion von 1 erhält man \(x = 3\). 2. Multiplikation mit 4 führt zu \(5x - 10 = 4x\). Durch Subtraktion von \(4x\) und Addition von 10 ergibt sich \(x = 10\). 3. Die Addition der Brüche ergibt \(\frac{8}{x} = 2\). Multiplikation mit \(x\) und Division durch 2 liefert \(x = 4\). 4. Da die Zähler gleich sind, müssen die Nenner \(2x\) und \(10\) gleich sein, woraus \(x = 5\) folgt.

a) \(x = 3\) b) \(x = 10\) c) \(x = 4\) d) \(x = 5\)

- Was darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht Null wird? - Wie kannst du die Gleichung umformen, damit die Variable \(x\) nicht mehr im Nenner steht? - Kannst du die Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung bringen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge durch Ausschluss der Nullstellen des Nenners: \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(2x\), um die Nenner zu eliminieren: \(10 - x = 6\) 3. Isolieren der Variable \(x\) durch Subtraktion von \(10\): \(-x = -4\) 4. Division durch \(-1\) ergibt den potenziellen Lösungswert: \(x = 4\) 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(4 \in D\), ist die Lösung gültig.

\(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); \(x = 4\)

- Welcher Teil des Bruchs wird verändert und welcher bleibt gleich? - Wie kannst du die Information „der Bruch hat den Wert \(\frac{1}{3}\)“ als Gleichung schreiben? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt?

1. Aufstellen der Bruchgleichung: \(\frac{5}{12+x} = \frac{1}{3}\) 2. Multiplikation mit den Nennern (Überkreuzmultiplikation): \(5 \cdot 3 = 1 \cdot (12 + x)\) 3. Vereinfachen der Gleichung: \(15 = 12 + x\) 4. Subtraktion von 12 auf beiden Seiten: \(x = 3\)

Die gesuchte Zahl ist \(x = 3\).

- Was passiert, wenn der Nenner eines Bruchs null wird? - Wie kannst du den Bruch auflösen, damit kein \(x\) mehr im Nenner steht? - Hast du am Ende geprüft, ob dein Ergebnis laut Definitionsmenge überhaupt erlaubt ist?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x - 4 = 0\) folgt \(x = 4\). Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\). 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Nenner \((x - 4)\): \(18 = 6 \cdot (x - 4)\). 3. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(18 = 6x - 24\). 4. Addition von \(24\) auf beiden Seiten: \(42 = 6x\). 5. Division durch \(6\): \(x = 7\). Da \(7 \in D\), ist dies eine mögliche Lösung. 6. Probe durch Einsetzen von \(x = 7\) in die Ausgangsgleichung: \(\frac{18}{7 - 4} = \frac{18}{3} = 6\). Die Aussage \(6 = 6\) ist wahr.

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\); \(x = 7\)

- Schreibe den negativen Exponenten als Bruch. - Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Multipliziere die Gleichung anschließend mit \(x\).

1. Für beide Teilaufgaben gilt wegen \(x^{-1}=\frac1x\): \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. a) \(\frac8x=16\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(8=16x\), also \(x=0{,}5\). Daher \(L=\{0{,}5\}\). 3. b) \(4x^{-1}+5=7\) führt zu \(\frac4x=2\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(4=2x\), also \(x=2\). Daher \(L=\{2\}\).

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); \(L=\{0{,}5\}\) b) \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); \(L=\{2\}\)

- Was darf man für \( x \) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Wenn du die \( x \)-Koordinate gefunden hast, wie erhältst du dann den zugehörigen \( y \)-Wert?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht null werden, also \( x \neq 0 \) und \( x \neq 1 \). Damit ist \( D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1\} \). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \( \frac{3}{x} = \frac{2}{x-1} \). 3. Multiplikation mit den Nennern (Überkreuzmultiplikation): \( 3(x-1) = 2x \). 4. Klammer auflösen: \( 3x - 3 = 2x \). 5. Nach \( x \) auflösen: \( x = 3 \). 6. Da \( 3 \in D \), ist dies die \( x \)-Koordinate des Schnittpunkts. 7. Berechnung der \( y \)-Koordinate durch Einsetzen in \( f(x) \): \( f(3) = \frac{3}{3} = 1 \). 8. Der Schnittpunkt liegt bei \( (3|1) \).

Die Definitionsmenge ist \( D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 1\} \). Der Schnittpunkt der Graphen ist \( (3|1) \).

- Was passiert, wenn ein Nenner den Wert null annimmt? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass die Brüche verschwinden? - Hast du am Ende geprüft, ob dein Ergebnis für die ursprüngliche Gleichung zulässig ist?

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner dürfen nicht null werden. \(2x+4 = 0 \implies x = -2\) und \(x+1 = 0 \implies x = -1\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2; -1\}\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(2(x+2)(x+1)\) oder Über-Kreuz-Multiplizieren: \(5 \cdot (x+1) = 3 \cdot (2x+4)\). 3. Klammern auflösen: \(5x + 5 = 6x + 12\). 4. Nach \(x\) auflösen: Subtraktion von \(5x\) und \(12\) ergibt \(-7 = x\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(-7\) ist in \(\mathbb{D}\) enthalten. 6. Ergebnis: \(\mathbb{L} = \{-7\}\).

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2; -1\}\); \(\mathbb{L} = \{-7\}\)

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass alle Terme mit \(y\) auf einer Seite stehen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn du den Kehrwert auf beiden Seiten der Gleichung bildest? - Wie gehst du vor, wenn bei einer Gleichung am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 1\) herauskommt?

1. Einsetzen von \(x = 2\): \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = 1 \implies \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2\). 2. Einsetzen von \(x = 5\): \(\frac{1}{5} + \frac{1}{y} = 1 \implies \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \implies y = \frac{5}{4} = 1{,}25\). 3. Umformen nach \(y\): \(\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}\). Durch Bilden des Kehrwerts folgt \(y = \frac{x}{x-1}\). Diese Darstellung gilt für \(x \neq 0\) und \(x \neq 1\). 4. Überprüfung für \(y = 1\): Die Gleichung \(1 = \frac{x}{x-1}\) führt nach Multiplikation mit \((x-1)\) zu \(x-1 = x\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(-1 = 0\), was ein Widerspruch ist. Somit existiert kein solches \(x\).

a) Für \(x = 2\) ist \(y = 2\); für \(x = 5\) ist \(y = 1{,}25\). b) \(y = \frac{x}{x-1}\) für \(x \notin \{0,1\}\). c) Die Annahme \(y = 1\) führt auf die widersprüchliche Gleichung \(x-1 = x\) bzw. \(-1 = 0\), daher gibt es keine Lösung.

- Kannst du den ursprünglichen Bruch mithilfe einer Variablen ausdrücken, die das Verhältnis \(3:4\) berücksichtigt? - Was passiert mathematisch mit dem Zähler und dem Nenner, wenn man \(12\) hinzufügt? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Prüfe dein Ergebnis, indem du zum gefundenen Zähler und Nenner \(12\) addierst und schaust, ob sich der neue Bruch zu \(\frac{4}{5}\) kürzen lässt.

1. Ansatz für den ursprünglichen Bruch mit dem Proportionalitätsfaktor \(k\): \(x = 3k\) und \(y = 4k\). 2. Aufstellen der Bruchgleichung basierend auf der zweiten Bedingung: \(\frac{3k + 12}{4k + 12} = \frac{4}{5}\). 3. Überkreuzmultiplikation zur Beseitigung der Nenner: \(5 \cdot (3k + 12) = 4 \cdot (4k + 12)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammern: \(15k + 60 = 16k + 48\). 5. Isolieren von \(k\): \(12 = k\). 6. Berechnung von Zähler \(x\) und Nenner \(y\): \(x = 3 \cdot 12 = 36\) und \(y = 4 \cdot 12 = 48\).

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{36}{48}\).

- Wie gehst du vor, wenn du herausfinden möchtest, an welcher Stelle zwei Graphen denselben Wert haben? - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Achte bei Bruchgleichungen darauf, dass der Nenner nicht null werden darf. - Wie kannst du eine Gleichung umformen, in der die Unbekannte im Nenner steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsterme \(f(x) = g(x)\) führt zu \(\frac{6}{x} - 3 = \frac{2}{x} + 1\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(\frac{4}{x} = 4\). 3. Lösen nach \(x\): \(x = 1\). 4. Bestimmung des \(y\)-Werts: \(f(1) = \frac{6}{1} - 3 = 3\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(1|3)\). 5. Nullstelle von \(f\): Ansatz \(f(x) = 0\) ergibt \(\frac{6}{x} - 3 = 0\), also \(\frac{6}{x} = 3\), woraus \(x = 2\) folgt. Nullstelle bei \((2|0)\). 6. Nullstelle von \(g\): Ansatz \(g(x) = 0\) ergibt \(\frac{2}{x} + 1 = 0\), also \(\frac{2}{x} = -1\), woraus \(x = -2\) folgt. Nullstelle bei \((-2|0)\).

Schnittpunkt: \((1|3)\) Nullstelle von \(f\): \((2|0)\) Nullstelle von \(g\): \((-2|0)\)

- Was bedeutet es für die Graphen, wenn die Gleichung keine Lösung hat? - Welche \(x\)-Koordinate besitzen Punkte auf der \(y\)-Achse? - Multipliziere jeweils mit dem Nenner.

1. (A): Multiplikation mit \(x+3\) ergibt \(x=x+3\), also den Widerspruch \(0=3\). Es gibt keinen Schnittpunkt. Zuordnung: (A) \(\rightarrow\) 1. 2. (B): Multiplikation mit \(x-2\) ergibt \(4=-2(x-2)=-2x+4\). Daher ist \(x=0\). Der Schnittpunkt liegt auf der \(y\)-Achse. Zuordnung: (B) \(\rightarrow\) 2.

(A) \(\rightarrow\) 1 (keine Lösung) (B) \(\rightarrow\) 2 (Lösung \(x=0\))

- Wann wird ein Bruch insgesamt zu null? - Gibt es Werte für die Variable, die man nicht einsetzen darf? - Was passiert mit dem Nenner, wenn das Ergebnis null sein soll?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x + 2 = 0\) folgt \(x = -2\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Nullsetzen des Zählers: Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. \(3x - 9 = 0\). 3. Lösen der linearen Gleichung: \(3x = 9\) führt zu \(x = 3\). 4. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(3 \in \mathbb{D}\), ist die Lösung gültig. 5. Ergebnismenge: \(\mathbb{L} = \{3\}\).

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) \(\mathbb{L} = \{3\}\)

- Was darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie kannst du die Brüche „eliminieren“, indem du beide Seiten mit den Nennern multiplizierst? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis in der erlaubten Zahlenmenge liegt.

1. Definitionsmenge bestimmen: Über \(\mathbb{R}\) gilt \(x \neq -2\) und \(x \neq 1\), da die Nenner nicht null werden dürfen. 2. Gleichung mit den Nennern multiplizieren (Überkreuzmultiplikation): \((2x-3)(x-1) = (2x+1)(x+2)\). 3. Klammern auflösen: \(2x^2 - 2x - 3x + 3 = 2x^2 + 4x + x + 2\). 4. Terme zusammenfassen: \(2x^2 - 5x + 3 = 2x^2 + 5x + 2\). 5. \(2x^2\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(-5x + 3 = 5x + 2\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(1 = 10x \implies x = 0{,}1\). 7. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(0{,}1\) ist in der Definitionsmenge enthalten.

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}\); \(L=\{0{,}1\}\)

- Was bedeutet es für die Gleichung der Funktionen, wenn sich ihre Graphen schneiden? - Wie kannst du den Nenner in einer Bruchgleichung eliminieren? - Hast du am Ende geprüft, ob dein berechneter \(x\)-Wert laut Definitionsmenge erlaubt ist? - Vergiss nicht, dass ein Punkt immer aus einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate besteht.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(5 = \frac{2x+8}{x-2}\). 2. Bestimmung der Definitionsmenge: \(x \neq 2\). 3. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((x-2)\): \(5(x-2) = 2x+8\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(5x - 10 = 2x + 8\). 5. Isolieren der Unbekannten \(x\): \(3x = 18 \implies x = 6\). 6. Da \(f(x) = 5\) eine konstante Funktion ist, ist der \(y\)-Wert für jeden Punkt auf dem Graphen \(5\). 7. Der Schnittpunkt ist \(S(6 \mid 5)\).

Der Schnittpunkt liegt bei \((6 \mid 5)\).

- Überlege zuerst, für welche Werte von \(x\) der Nenner des Bruchs null werden würde. - Wie kannst du den Bruch auflösen, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis in der Definitionsmenge liegt.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null sein. \(2x - 5 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 5 \Rightarrow x \neq 2{,}5\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2{,}5\}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((2x-5)\): \(x + 2 = 3 \cdot (2x - 5)\). 3. Ausmultiplizieren und nach \(x\) auflösen: \(x + 2 = 6x - 15\) \(17 = 5x\) \(x = 3{,}4\). 4. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(3{,}4 \in D\). Lösungsmenge: \(L = \{3{,}4\}\).

\(D = \mathbb{R} \setminus \{2{,}5\}\); \(L = \{3{,}4\}\)

- Welche Werte darf die Variable nicht annehmen, damit man nicht durch Null teilt? - Wie kannst du die Brüche auflösen, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Vergleiche dein rechnerisches Ergebnis am Ende mit der Definitionsmenge.

1. Der Nenner darf nicht Null werden: \(x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \((x-5)\): \(2x - 1 \cdot (x-5) = 10\) \(2x - x + 5 = 10\) \(x + 5 = 10\) \(x = 5\) 3. Da der berechnete Wert \(x = 5\) nicht in der Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) enthalten ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist \(\mathbb{L} = \emptyset\).

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\); \(x = 5\) ist nicht in \(\mathbb{D}\) enthalten, daher \(\mathbb{L} = \emptyset\).

- Wie kannst du die Brüche eliminieren, um eine lineare Gleichung zu erhalten? - Hast du beim Ausmultiplizieren der Klammern auf die Vorzeichen geachtet? - Vergleiche dein Ergebnis am Ende mit den Werten, die für \(x\) nicht erlaubt sind.

1. Multiplikation der Gleichung mit den Nennern (Über-Kreuz-Multiplizieren): \(6 \cdot (x + 1) = 4 \cdot (x - 1)\) 2. Auflösen der Klammern durch Ausmultiplizieren: \(6x + 6 = 4x - 4\) 3. Umstellen der Gleichung zur Isolierung von \(x\): \(2x = -10\) 4. Berechnung des Wertes: \(x = -5\) 5. Überprüfung der Definitionsmenge: Da \(-5 \neq 1\) und \(-5 \neq -1\), ist die Lösung gültig.

\(L = \{-5\}\)

- Bestimme zuerst, welcher Wert wegen des Nenners ausgeschlossen ist. - Beseitige den Nenner erst danach durch Multiplikation. - Prüfe zum Schluss, ob der berechnete Wert zur Definitionsmenge gehört.

1. Definitionsmenge: Wegen des Nenners \(x-1\) gilt \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Für \(x \in D\) darf die Gleichung mit \(x-1\) multipliziert werden. Es folgt \(2=x+1\). 3. Daraus ergibt sich \(x=1\). 4. Dieser Wert gehört nicht zur Definitionsmenge. Daher besitzt die Bruchgleichung keine Lösung: \(L=\emptyset\).

Keine Lösung: \(L=\emptyset\), weil der rechnerische Kandidat \(x=1\) nicht zur Definitionsmenge gehört.

- Wann genau ist ein Bruch gleich Null? Überlege dir, was mit dem Zähler und dem Nenner passieren muss. - Darfst du jeden beliebigen Wert für die Variable einsetzen? Prüfe, ob der Nenner bei deinen gefundenen Werten Null werden würde. - Bei einem Produkt im Zähler reicht es, wenn einer der Faktoren Null wird. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie können dir helfen, den Zähler in Teil 2 zu untersuchen.

1. Ein Bruchterm hat den Wert Null, wenn sein Zähler Null ist und sein Nenner einen Wert ungleich Null annimmt. 2. Für \( \frac{x - 12}{3x} \): Der Zähler \(x - 12 = 0\) führt zu \(x = 12\). Der Nenner ist für \(x = 12\) gleich \(36 \neq 0\). Ergebnis: \(x = 12\). 3. Für \( \frac{x^2 - 25}{x + 5} \): Der Zähler \(x^2 - 25 = 0\) führt zu \(x = 5\) oder \(x = -5\). Der Nenner \(x + 5\) wird für \(x = -5\) zu Null, weshalb dieser Wert ausgeschlossen ist. Für \(x = 5\) ist der Nenner \(10 \neq 0\). Ergebnis: \(x = 5\). 4. Für \( \frac{x(x + 2)}{x - 2} \): Der Zähler \(x(x + 2) = 0\) führt zu \(x = 0\) oder \(x = -2\). Der Nenner \(x - 2\) ist für \(x = 0\) gleich \(-2\) und für \(x = -2\) gleich \(-4\). Beide Werte sind ungleich Null. Ergebnisse: \(x = 0\) und \(x = -2\).

1) \(x = 12\); 2) \(x = 5\); 3) \(x = 0\) und \(x = -2\)

- Welche Form hat der Graph einer Gleichung, in der die Variable im Nenner steht? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um eine Gerade sicher zu zeichnen? - Erstelle für die erste Gleichung eine Wertetabelle mit positiven und negativen \( x \)-Werten. - Was bedeuten die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen für das Gleichungssystem?

1. Zeichnen des Graphen der Funktion \( f(x) = \frac{4}{x} \) (Hyperbel) durch Berechnung einiger Wertepaare wie \( (1 \mid 4), (2 \mid 2), (4 \mid 1) \) sowie \( (-1 \mid -4), (-2 \mid -2), (-4 \mid -1) \). 2. Zeichnen der Geraden \( g(x) = x + 3 \) mithilfe des \( y \)-Achsenabschnitts \( 3 \) und der Steigung \( 1 \). 3. Identifikation der Schnittpunkte der beiden Graphen durch Ablesen im Koordinatensystem: \( S_1(1 \mid 4) \) und \( S_2(-4 \mid -1) \). 4. Die Lösungspaare \( (x \mid y) \) des Gleichungssystems sind somit \( (1 \mid 4) \) und \( (-4 \mid -1) \).

Die Lösungen des Gleichungssystems sind die Punkte \((1 \mid 4)\) und \((-4 \mid -1)\).

- Wie hängen Strecke, Geschwindigkeit und Zeit zusammen? - Wenn beide für ihre jeweilige Strecke "genauso viel Zeit" brauchen, was bedeutet das für ihre Zeit-Formeln? - Kannst du die Geschwindigkeiten der beiden zueinander in Beziehung setzen?

1. Definition der Variablen: Henrik Geschwindigkeit \(v\), Felix Geschwindigkeit \(v + 1\). 2. Aufstellen der Zeit-Gleichung (\(\text{Zeit} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Geschwindigkeit}}\)): \(\frac{21}{v + 1} = \frac{18}{v}\). 3. Über-Kreuz-Multiplizieren: \(21v = 18(v + 1)\). 4. Auflösen der Klammer und Isolieren von \(v\): \(21v = 18v + 18 \Rightarrow 3v = 18 \Rightarrow v = 6\). Henrik läuft mit 6 km/h.

b) 6 km/h

- Wann genau wird ein Bruchstrich-Ausdruck gleich Null? - Schau dir die Zähler der beiden Gleichungen genau an. - Was bedeutet es für ein Schaubild, wenn eine Gleichung der Form \(f(x) = 0\) nicht lösbar ist?

1. Lösung von Gleichung (I): Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. \(x + 4 = 0\) ergibt \(x = -4\). Da der Nenner für \(x = -4\) nicht Null wird (\(2 \cdot (-4) - 6 = -14\)), ist \(x = -4\) die Lösung. 2. Begründung für Gleichung (II): Ein Bruchterm kann nur dann den Wert Null annehmen, wenn sein Zähler Null ist. Da im Zähler die konstante Zahl \(10\) steht, kann der gesamte Term niemals Null werden. 3. Graphische Schlussfolgerung: Da die Gleichung \(\frac{10}{x+1} = 0\) keine Lösung besitzt, hat der Graph der Funktion \(h\) keinen Schnittpunkt mit der x-Achse (die x-Achse entspricht der Geraden \(y = 0\)).

a) \(x = -4\) b) Da der Zähler konstant \(10\) ist und niemals Null werden kann, hat die Gleichung keine Lösung. c) Der Graph der Funktion \(h(x)\) besitzt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

- Überlege zuerst, welche Werte \(x\) nicht annehmen darf, damit man nicht durch Null teilt. - Hilft dir das Überkreuzmultiplizieren weiter, wenn auf beiden Seiten ein Bruch steht? - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner, um Brüche zu addieren? - Was passiert mit dem Nenner, wenn du die gesamte Gleichung mit ihm multiplizierst?

1. Multiplikation mit \(x\) liefert \(x + 6 = 3x\), woraus nach Subtraktion von \(x\) und Division durch 2 das Ergebnis \(x = 3\) folgt. 2. Überkreuzmultiplikation ergibt \(3(x+1) = 6(x-2)\). Ausmultiplizieren führt zu \(3x + 3 = 6x - 12\), was nach Umformung \(3x = 15\) und somit \(x = 5\) ergibt. 3. Mit dem Hauptnenner \(3x\) erhält man \(\frac{3}{3x} + \frac{1}{3x} = 4\), also \(\frac{4}{3x} = 4\). Daraus folgt \(4 = 12x\) und \(x = \frac{1}{3}\). 4. Der Zähler \(3x - 12\) muss null sein, was \(x = 4\) liefert. Da der Nenner für \(x = 4\) nicht null wird (\(4 + 2 = 6\)), ist dies die Lösung.

a) \(x = 3\) b) \(x = 5\) c) \(x = \frac{1}{3}\) d) \(x = 4\)

- Überlege dir, wie du Zähler und Nenner mithilfe einer einzigen Variable ausdrücken kannst. - Was passiert mit dem Zähler und dem Nenner, wenn du jeweils 3 addierst? - Stelle eine Gleichung auf, die den veränderten Bruch mit dem Zielwert vergleicht.

1. Definition der Variablen: Sei \(n\) der Nenner, dann ist der Zähler \(n - 5\). Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{n-5}{n}\). 2. Aufstellen der Gleichung nach der Änderung: \(\frac{(n - 5) + 3}{n + 3} = \frac{3}{4}\) 3. Vereinfachen des Zählers: \(\frac{n - 2}{n + 3} = \frac{3}{4}\) 4. Überkreuzmultiplikation: \(4(n - 2) = 3(n + 3)\) 5. Ausmultiplizieren: \(4n - 8 = 3n + 9\) 6. Auflösen nach \(n\): \(n = 17\) 7. Bestimmung des Zählers: \(17 - 5 = 12\) 8. Ergebnis: Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{12}{17}\).

Der ursprüngliche Bruch lautet \(\frac{12}{17}\).

- Welche Werte darf \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine normale lineare Gleichung aussieht? - Vergiss nicht, das Ergebnis in die Lösungsmenge zu schreiben.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner \(x + 2\) wird für \(x = -2\) null, daher ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x + 2)\): \(2x + 10 = 3 \cdot (x + 2)\). 3. Klammer ausmultiplizieren: \(2x + 10 = 3x + 6\). 4. Gleichung nach \(x\) auflösen: Subtraktion von \(2x\) ergibt \(10 = x + 6\). Subtraktion von \(6\) ergibt \(x = 4\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: \(4\) ist in \(D\) enthalten. 6. Probe: \(\frac{2 \cdot 4 + 10}{4 + 2} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3\). Die Lösung ist korrekt.

\(L = \{4\}\)

- Hier stehen auf beiden Seiten Brüche. Wie kannst du beide Nenner gleichzeitig eliminieren? - Könnte das „Überkreuzmultiplizieren“ hier hilfreich sein? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner werden für \(x = 1\) und \(x = -1\) null. Also ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Anwendung der Überkreuzmultiplikation (oder Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-1)(x+1)\)): \(4 \cdot (x + 1) = 6 \cdot (x - 1)\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4x + 4 = 6x - 6\). 4. Zusammenfassen und nach \(x\) auflösen: Subtraktion von \(4x\) führt zu \(4 = 2x - 6\). Addition von \(6\) ergibt \(10 = 2x\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 5\). 5. Da \(5 \in D\), ist der Wert zulässig. 6. Probe: Linke Seite: \(\frac{4}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1\). Rechte Seite: \(\frac{6}{5 + 1} = \frac{6}{6} = 1\). Beide Seiten sind gleich.

\(D = \mathbb{Q} \setminus \{-1; 1\}\); \(x = 5\)

- Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern auf alle Glieder, besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit den quadratischen Termen (\(x^2\)), wenn du sie auf beiden Seiten der Gleichung findest? - Kannst du den Bruch am Ende noch kürzen?

1. Definitionsmenge: \(x+3 \neq 0 \implies x \neq -3\) und \(2x-1 \neq 0 \implies x \neq 0{,}5\). Also \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0{,}5\}\). 2. Über-Kreuz-Multiplizieren: \((2x-1) \cdot (2x-1) = (x+3) \cdot (4x+5)\). 3. Ausmultiplizieren: \(4x^2 - 2x - 2x + 1 = 4x^2 + 5x + 12x + 15\). 4. Vereinfachen: \(4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 17x + 15\). 5. Subtraktion von \(4x^2\) auf beiden Seiten: \(-4x + 1 = 17x + 15\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(-14 = 21x \implies x = -\frac{14}{21} = -\frac{2}{3}\). 7. Da \(-\frac{2}{3} \in D\), ist \(L = \{-\frac{2}{3}\}\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0{,}5\}\) b) \(L = \{-\frac{2}{3}\}\)

- Schreibe die Terme zuerst als Brüche ohne negative Exponenten auf. - Was ist der Hauptnenner, wenn du Terme wie \(3x\) und \(x\) im Nenner hast? - Wenn zwei Brüche mit dem gleichen Zähler gleich sein sollen, was muss dann für die Nenner gelten?

1. Teilaufgabe a): \(T_1(x) = \frac{1}{3x}\) erfordert \(3x \neq 0\), also \(x \neq 0\). \(T_2(x) = \frac{3}{x}\) erfordert ebenfalls \(x \neq 0\). Die Definitionsmengen sind identisch: \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Teilaufgabe b): Die Gleichung lautet \(\frac{1}{3x} = \frac{3}{x} + 4\). Multiplikation mit dem Hauptnenner \(3x\) ergibt \(1 = 9 + 12x\). Subtraktion von \(9\) führt zu \(-8 = 12x\). Division durch \(12\) ergibt \(x = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}\). Da \(-\frac{2}{3} \in D\), ist \(L = \{-\frac{2}{3}\}\). 3. Teilaufgabe c): Die Gleichung lautet \(\frac{1}{3x} = \frac{1}{x+4}\). Da beide Zähler \(1\) sind, müssen für eine Lösung die Nenner gleich sein: \(3x = x+4\). Dies führt zu \(2x = 4\), also \(x = 2\). Prüfung der Definitionsmengen: Für den rechten Term muss \(x \neq -4\) gelten. Da \(2\) weder \(0\) noch \(-4\) ist, ist \(L = \{2\}\).

a) Nein, beide haben \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). b) \(L = \{-\frac{2}{3}\}\) c) \(x = 2\)

- Versuche alle Terme, die ein \( x \) im Nenner haben, auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Wie kannst du Brüche mit dem gleichen Nenner subtrahieren? - Vergiss nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich liegt.

1. Ansatz für den Schnittpunkt: \( f(x) = g(x) \). 2. Aufstellen der Gleichung: \( \frac{4}{x} = \frac{1}{x} + 1 \). 3. Subtraktion von \( \frac{1}{x} \) auf beiden Seiten: \( \frac{4}{x} - \frac{1}{x} = 1 \). 4. Zusammenfassen der Brüche: \( \frac{3}{x} = 1 \). 5. Multiplikation mit \( x \) liefert \( 3 = x \). 6. Prüfung: \( 3 \) ist im Definitionsbereich enthalten. 7. Berechnung des Funktionswertes: \( f(3) = \frac{4}{3} \).

An der Stelle \( x = 3 \) besitzen beide Funktionen denselben Funktionswert \( y = \frac{4}{3} \) (bzw. \( 1\frac{1}{3} \)).

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten beim Nenner auf der rechten Seite helfen. - Was musst du tun, nachdem du einen Wert für \(x\) berechnet hast? - Kann ein Wert eine Lösung sein, wenn er einen der Nenner zu null macht?

1. Definitionsmenge bestimmen: Da \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) ist, sind die kritischen Werte \(x = 2\) und \(x = -2\). Es gilt \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-2)(x+2)\): \(1 \cdot (x+2) + 1 \cdot (x-2) = 4\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(x + 2 + x - 2 = 4 \implies 2x = 4\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(x = 2\). 5. Überprüfung der Definitionsmenge: Da \(2 \notin \mathbb{D}\) ist, ist dieser Wert keine gültige Lösung. 6. Ergebnis: Die Lösungsmenge ist leer, \(\mathbb{L} = \emptyset\).

\(\mathbb{L} = \emptyset\)

- Multipliziere jeden Term der Gleichung mit dem Hauptnenner, um die Brüche aufzulösen. - Siehst du in einem der Zähler-Nenner-Produkte eine binomische Formel? - Was passiert mit den quadratischen Gliedern (\(x^2\)), wenn du die Gleichung vereinfachst? - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis laut Aufgabenstellung erlaubt ist.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(x(x-4)\): \(2x \cdot x - (x+4)(x-4) = 1 \cdot x(x-4)\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x+4)(x-4)\) und Ausmultiplizieren der rechten Seite: \(2x^2 - (x^2 - 16) = x^2 - 4x\). 3. Linke Seite vereinfachen: \(2x^2 - x^2 + 16 = x^2 - 4x \Rightarrow x^2 + 16 = x^2 - 4x\). 4. \(x^2\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(16 = -4x\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(x = -4\). 6. Überprüfung: \(-4 \in \mathbb{D}\). 7. Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{-4\}\).

\(\mathbb{L} = \{-4\}\)

- Was bedeutet der Begriff „Kehrwert“ für den Wert des Bruchs? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Änderungen am Zähler und Nenner berücksichtigt werden. - Wie löst man eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Nenner steht? - Vergiss nicht, am Ende den gesamten Bruch anzugeben, nicht nur den Faktor \(k\).

1. Definition des ursprünglichen Bruchs als \(\frac{3k}{2k}\) mit \(k \neq 0\). 2. Bestimmung des Zielwerts: Der Kehrwert von \(\frac{3}{2}\) ist \(\frac{2}{3}\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{3k - 5}{2k + 5} = \frac{2}{3}\). 4. Anwendung der Überkreuzmultiplikation: \(3 \cdot (3k - 5) = 2 \cdot (2k + 5)\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(9k - 15 = 4k + 10\). 6. Zusammenfassen der Terme mit \(k\): \(5k = 25\), woraus \(k = 5\) folgt. 7. Einsetzen von \(k\) in den ursprünglichen Ansatz: \(x = 3 \cdot 5 = 15\) und \(y = 2 \cdot 5 = 10\).

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{15}{10}\).

- Wenn zwei Brüche mit demselben Nenner gleich sein sollen, was kannst du über ihre Zähler sagen? - Überlege dir, unter welchen Bedingungen ein Bruch den Wert null annimmt. - Gibt es Werte für \(x\), die du von vornherein ausschließen musst?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(x \neq -2\). 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(\frac{3}{x+2} = \frac{x-1}{x+2}\). Da die Nenner gleich sind, müssen die Zähler gleich sein: \(3 = x - 1\). 3. Lösen nach \(x\): \(x = 4\). 4. Bestimmung des \(y\)-Werts: \(f(4) = \frac{3}{4+2} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Schnittpunkt bei \(S(4|0{,}5)\). 5. Nullstelle von \(f\): Der Zähler \(3\) kann nie null werden, daher hat \(f\) keine Nullstellen. 6. Nullstelle von \(g\): Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist: \(x - 1 = 0 \implies x = 1\). Da \(1\) im Definitionsbereich liegt, ist die Nullstelle bei \((1|0)\).

Schnittpunkt: \((4|0{,}5)\) Nullstelle von \(f\): Keine vorhanden Nullstelle von \(g\): \((1|0)\)

- Was musst du beim Lösen von Bruchgleichungen bezüglich der Nenner beachten? - Darf man jeden berechneten Wert für \(x\) am Ende auch wirklich in die ursprüngliche Gleichung einsetzen? - Was passiert an einer Stelle im Graphen, für die die Funktion gar nicht definiert ist?

1. Definitionsmenge bestimmen: Da der Nenner \(x-2\) nicht Null sein darf, ist \(x = 2\) ausgeschlossen. Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Gleichung aufstellen: \(\frac{2x}{x-2} = \frac{4}{x-2} + 1\). 3. Gleichung lösen: Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \((x-2)\) ergibt \(2x = 4 + 1 \cdot (x-2)\). 4. Vereinfachen: \(2x = 4 + x - 2\) führt zu \(2x = x + 2\). 5. Ergebnis für \(x\) berechnen: Subtraktion von \(x\) ergibt \(x = 2\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der berechnete Wert \(x = 2\) ist in der Definitionsmenge nicht enthalten. 7. Fazit: Die Gleichung hat keine Lösung im Definitionsbereich. Die Graphen von \(f\) und \(g\) haben keinen Schnittpunkt.

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) haben keinen Schnittpunkt. Die rechnerische Lösung \(x = 2\) ist nicht Teil der Definitionsmenge (\(x \neq 2\)).

- Welche Werte darf \(z\) auf keinen Fall annehmen, damit man nicht durch Null teilt? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Erinnert dich der Aufbau der Gleichung an das Rechnen mit Verhältnissen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da Nenner nicht Null sein dürfen, gilt \(z \neq 0\) und \(z \neq -1\), also \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-1; 0\}\). 2. Beseitigung der Brüche durch Über-Kreuz-Multiplikation: \(12 \cdot (z + 1) = 15 \cdot z\). 3. Ausmultiplizieren der linken Seite: \(12z + 12 = 15z\). 4. Subtraktion von \(12z\) führt zu \(12 = 3z\). 5. Division durch \(3\) ergibt \(z = 4\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(4\) in \(D\) enthalten ist, ist die Lösung gültig.

\(\mathbb{L} = \{4\}\)

- Wie kannst du die Brüche eliminieren, um eine einfache lineare Gleichung zu erhalten? - Denk daran, am Ende zu prüfen, ob dein Ergebnis überhaupt in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden darf. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn ein rechnerisches Ergebnis durch die Definitionsmenge ausgeschlossen wird?

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner \(x - 4\) darf nicht null sein, also \(x \neq 4\). \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 2. Gleichung mit dem Hauptnenner \((x-4)\) multiplizieren: \(x + 2 \cdot (x - 4) = 4\). 3. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(x + 2x - 8 = 4\), also \(3x - 8 = 4\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(3x = 12\), woraus \(x = 4\) folgt. 5. Überprüfung der Definitionsmenge: Der berechnete Wert \(x = 4\) ist in \(\mathbb{D}\) nicht enthalten. 6. Schlussfolgerung: Da der einzige Kandidat für eine Lösung ausgeschlossen ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. \(\mathbb{L} = \emptyset\).

Die Gleichung hat keine Lösung (\(\mathbb{L} = \emptyset\)), da der rechnerische Wert \(x = 4\) nicht in der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) liegt.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn Zähler und Nenner den gleichen Wert haben? - Wie kannst du ausdrücken, dass ein veränderter Bruch denselben Wert hat wie der ursprüngliche? - Kannst du die Gleichung in Teil c) so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt?

a) Einsetzen von \(x = 5\): \(\frac{5}{5+10} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\). b) Sei \(k\) die Vergrößerung des Zählers. Ansatz: \(\frac{x+k}{x+10} = 1\). Damit der Wert 1 ist, müssen Zähler und Nenner gleich sein: \(x+k = x+10\). Daraus folgt \(k = 10\). c) Ansatz: Der ursprüngliche Bruch \(\frac{x}{x+10}\) soll gleich dem neuen Bruch \(\frac{2x}{(x+10)+15}\) sein. 1. Gleichung aufstellen: \(\frac{x}{x+10} = \frac{2x}{x+25}\). 2. Über-Kreuz-Multiplizieren: \(x \cdot (x+25) = 2x \cdot (x+10)\). 3. Ausmultiplizieren: \(x^2 + 25x = 2x^2 + 20x\). 4. Umformen zur quadratischen Gleichung: \(x^2 - 5x = 0\). 5. Faktorisieren: \(x \cdot (x-5) = 0\). 6. Da \(x \neq 0\) gesucht ist, ergibt sich \(x = 5\).

a) \(\frac{1}{3}\); b) um 10; c) \(x = 5\)

- Wenn sich zwei Graphen an einer bestimmten Stelle schneiden, müssen sie dort denselben \(y\)-Wert haben. - Kannst du den \(y\)-Wert des Schnittpunkts zuerst mit der Funktion berechnen, in der kein \(a\) vorkommt? - Setze die Koordinaten des Schnittpunkts in die zweite Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte zu finden.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Schnittstelle \(x=2\) mit der bekannten Funktion \(f\): \(y = f(2) = \frac{6}{2} = 3\). Der gemeinsame Punkt ist somit \((2 \mid 3)\). 2. Da der Punkt \((2 \mid 3)\) auch auf dem Graphen von \(g\) liegen muss, gilt \(g(2) = 3\). 3. Aufstellen der Gleichung durch Einsetzen von \(x=2\) in \(g(x)\): \(\frac{3}{2+a} = 3\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): Multiplikation mit \((2+a)\) ergibt \(3 = 3(2+a)\). 5. Division durch \(3\) ergibt \(1 = 2+a\), woraus \(a = -1\) folgt.

Der Parameter hat den Wert \(a = -1\).

- Könnte es helfen, die komplizierten Brüche durch einfache Buchstaben zu ersetzen? - Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen direkt addierst? - Wie kommst du von den Hilfsvariablen zurück zu den ursprünglichen Unbekannten?

1. Definitionsbedingungen: \(x\neq-2\) und \(y\neq3\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2}\) und \(v=\frac{1}{y-3}\). Dann gilt \(u+v=\frac34\) und \(u-v=\frac14\). 3. Addition der Gleichungen: \(2u=1\), also \(u=\frac12\). 4. Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung: \(2v=\frac12\), also \(v=\frac14\). 5. Rücksubstitution: \(\frac{1}{x+2}=\frac12\Rightarrow x=0\) und \(\frac{1}{y-3}=\frac14\Rightarrow y=7\). 6. Beide Werte erfüllen die Definitionsbedingungen.

\(L=\{(0 \mid 7)\}\), mit \(x\neq-2\) und \(y\neq3\).

- Überlege dir zuerst, wie man die Zeit berechnet, wenn die Strecke und die Geschwindigkeit bekannt sind. - Kannst du einen Ausdruck für die Zeit bei manueller Arbeit und einen für die Zeit mit dem Gerät aufstellen? - Die Differenz zwischen diesen beiden Zeiten ist im Text angegeben. Wie sieht die zugehörige Gleichung aus? - Versuche, die Gleichung durch Multiplikation mit einem gemeinsamen Nenner bruchfrei zu machen.

1. Sei \(x\) die Gesamtlänge des Zauns in Metern. 2. Aufstellen der Zeitgleichung basierend auf der Differenz: \(\frac{x}{12} - \frac{x}{20} = 2\). 3. Bestimmen des Hauptnenners der Brüche (60) und Erweitern der Gleichung: \(\frac{5x}{60} - \frac{3x}{60} = 2\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(\frac{2x}{60} = 2\), was zu \(\frac{x}{30} = 2\) führt. 5. Lösen nach \(x\): \(x = 60\,\text{m}\). 6. Berechnung der tatsächlichen Arbeitszeit mit dem Sprühgerät: \(60\,\text{m} : 20\,\text{m/h} = 3\,\text{Stunden}\).

a) Die Gesamtlänge des Zauns beträgt \(60\,\text{m}\). b) Mit dem Farbsprühgerät benötigt er \(3\,\text{Stunden}\).

- Kannst du die komplizierten Ausdrücke in den Nennern durch einfache Buchstaben ersetzen? - Versuche das System erst für diese neuen Buchstaben zu lösen. - Wenn du die Werte für die Hilfsvariablen hast, wie kommst du dann zurück zu den ursprünglichen Unbekannten? - Achte darauf, dass du am Ende zwei einfache lineare Gleichungen erhältst.

1. Definitionsbedingungen: \(x+y\neq0\) und \(x-y\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+y}\) und \(v=\frac{1}{x-y}\). Dann gilt \(3u+4v=1\) und \(5u-2v=0{,}8\). 3. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\): \(10u-4v=1{,}6\). Addition mit der ersten Gleichung liefert \(13u=2{,}6\), also \(u=0{,}2\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(0{,}6+4v=1\Rightarrow v=0{,}1\). 5. Rücksubstitution: \(x+y=5\) und \(x-y=10\). 6. Addition ergibt \(2x=15\), also \(x=7{,}5\); anschließend \(y=-2{,}5\). 7. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(7{,}5 \mid -2{,}5)\}\)

- Gibt es eine Zahl, deren Quadrat addiert mit 1 Null ergibt? - Überprüfe bei jedem gefundenen Kandidaten für \(x\), ob der gesamte Term an dieser Stelle überhaupt definiert ist. - Was passiert, wenn eine Zahl gleichzeitig den Zähler und den Nenner auf Null bringt? - Löse die Gleichung im Zähler und vergleiche das Ergebnis mit den Werten, die im Nenner verboten sind.

1. Ein Bruchterm ist Null, wenn der Zähler Null ist, der zugehörige \(x\)-Wert aber im Definitionsbereich liegt (Nenner \(\neq 0\)). 2. Bei \( \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) müsste \(x^2 + 1 = 0\) gelten, also \(x^2 = -1\). Da Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind, hat diese Gleichung keine Lösung. Der Term kann nicht Null werden. 3. Bei \( \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4} \) wird der Zähler für \(x = 4\) und \(x = -2\) zu Null. Da der Nenner \(x - 4\) für \(x = 4\) jedoch Null wird, ist dieser Wert nicht definiert. Die einzige Lösung ist \(x = -2\). 4. Bei \( \frac{0{,}5x - 2}{x^2 - 16} \) führt der Zähler \(0{,}5x - 2 = 0\) zu \(x = 4\). Setzt man \(x = 4\) in den Nenner \(x^2 - 16\) ein, erhält man \(4^2 - 16 = 0\). Da der Nenner Null wird, ist der Term für diesen Wert nicht definiert. Es gibt keinen Wert von \(x\), für den der Term null wird.

1) Keine Lösung (Zähler \(x^2 + 1\) wird nie Null); 2) \(x = -2\); 3) Keine Lösung (Zählernullstelle \(x = 4\) macht auch den Nenner zu Null).

- Wie kannst du die Gleichung so in zwei Teile zerlegen, dass auf jeder Seite ein bekannter Funktionstyp steht? - Denke beim Zeichnen der Hyperbel daran, dass \( x \) nicht Null sein darf. - Achte beim Ablesen der Lösung darauf, ob nach den Koordinaten der Schnittpunkte oder nur nach den \( x \)-Werten gefragt ist. - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein gefundener Wert wirklich die ursprüngliche Gleichung erfüllt?

1. Aufteilen der Gleichung in zwei Teilfunktionen: \( f(x) = \frac{6}{x} \) (linke Seite) und \( g(x) = x + 1 \) (rechte Seite). 2. Zeichnen der Hyperbel \( f(x) \) im I. und III. Quadranten und der Geraden \( g(x) \) mit \( y \)-Achsenabschnitt \( 1 \) und Steigung \( 1 \). 3. Ablesen der \( x \)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen: \( x_1 = 2 \) (Schnittpunkt \( (2 \mid 3) \)) und \( x_2 = -3 \) (Schnittpunkt \( (-3 \mid -2) \)). 4. Durchführung der Probe für \( x = 2 \): \( \frac{6}{2} = 3 \) und \( 2 + 1 = 3 \) (wahr). 5. Durchführung der Probe für \( x = -3 \): \( \frac{6}{-3} = -2 \) und \( -3 + 1 = -2 \) (wahr). 6. Die Lösungen der Gleichung sind \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -3 \).

a) Mögliche Funktionen sind \( f(x) = \frac{6}{x} \) und \( g(x) = x + 1 \). b) Die grafisch ermittelten Lösungen sind \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -3 \). c) Die Probe bestätigt beide Werte: \( \frac{6}{2} = 2 + 1 = 3 \) und \( \frac{6}{-3} = -3 + 1 = -2 \).

- Erstelle die Wertetabelle sorgfältig, besonders bei den negativen Werten. - Was passiert mit dem Graphen von \(f(x)\), wenn \(x\) sehr nah an Null herankommt? - Zeichne die Gerade genau durch die berechneten Punkte oder nutze Steigung und Achsenabschnitt. - Die Lösungen findest du dort, wo sich die Kurve und die Gerade kreuzen.

1. Berechnung der Funktionswerte für \(f(x) = \frac{2}{x}\): \(f(-4)=-0{,}5\); \(f(-2)=-1\); \(f(-1)=-2\); \(f(-0{,}5)=-4\); \(f(0{,}5)=4\); \(f(1)=2\); \(f(2)=1\); \(f(4)=0{,}5\). 2. Zeichnen der Hyperbel \(f\) und der Geraden \(g\) (Steigung \(1\), \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\)). 3. Identifikation der Schnittpunkte durch Vergleich der Graphen oder der Werte: \(S_1(-1 | -2)\) und \(S_2(2 | 1)\). 4. Die Lösungen der Gleichung sind die \(x\)-Werte der Schnittpunkte: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\).

Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\).

- Wie kannst du das \(x\) aus dem Nenner entfernen? - Achte darauf, jeden Term der Gleichung mit demselben Faktor zu multiplizieren. - Nach der Multiplikation mit \(x\) erhältst du eine quadratische Gleichung. Wie löst du diese?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(x\), um den Nenner zu eliminieren: \(2x^2 + 6 = 8x\) 2. Umformen in die Normalform durch Subtraktion von \(8x\): \(2x^2 - 8x + 6 = 0\) 3. Division der Gleichung durch \(2\), um den Koeffizienten vor \(x^2\) auf \(1\) zu bringen: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) 4. Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -4\) und \(q = 3\): \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\) 5. Berechnen der Lösungen: \(x = 2 \pm 1\) 6. Ergebnisse: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 1\)

Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\).

- Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. - Was passiert mit dem Abstand der beiden Kurven, wenn \(x\) immer größer wird? - Wie viele Lösungen kann eine einfache Gleichung der Form \(\frac{a}{x} = c\) maximal haben?

1. Schnittpunkt \(f\) und \(g\): \(\frac{12}{x} = \frac{3}{x} + 1{,}5\). 2. Umformen: \(\frac{9}{x} = 1{,}5 \Rightarrow 1{,}5x = 9 \Rightarrow x = 6\). 3. \(y\)-Wert: \(f(6) = \frac{12}{6} = 2\). Der Punkt ist \(P(6 \mid 2)\). 4. Bestimmung von \(m\): Einsetzen von \(P\) in \(h(x)\): \(2 = m \cdot 6 - 1\). 5. Lösen nach \(m\): \(3 = 6m \Rightarrow m = 0{,}5\). 6. Begründung: Die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = \frac{9}{x} - 1{,}5\) ist im Bereich \(x > 0\) streng monoton fallend. Da sie nur eine Nullstelle besitzt, gibt es nur einen Schnittpunkt. Alternativ: Die Umformung führt auf eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung.

a) Der Schnittpunkt ist \(P(6 \mid 2)\). b) Die Steigung ist \(m = 0{,}5\). c) Die Gleichung \(\frac{9}{x} = 1{,}5\) ist eine einfache Bruchgleichung, die nach Multiplikation mit \(x\) eine lineare Gleichung ergibt, welche im Definitionsbereich genau eine Lösung hat.

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass einer der Nenner Null wird? - Wenn zwei Brüche gleich sind, kannst du die Methode der Überkreuzmultiplikation anwenden. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Definitionsmenge bestimmen: \(x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) und \(2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0{,}5\). Also \(D = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5; 1\}\) 2. Anwendung der Überkreuzmultiplikation: \(2 \cdot (2x + 1) = 5 \cdot (x - 1)\) 3. Auflösen der Klammern durch Distributivgesetz: \(4x + 2 = 5x - 5\) 4. Zusammenfassen der Terme: Subtraktion von \(4x\) und Addition von \(5\) führt zu \(7 = x\) 5. Vergleich mit der Definitionsmenge: Da \(7 \in D\), ist die Lösungsmenge \(L = \{7\}\).

\(L = \{7\}\)

- Wie kannst du den Nenner beschreiben, wenn du nur den Zähler als Variable benutzt? - Was bedeutet es mathematisch für einen Bruch, wenn sein Wert genau 1 ist? - Achte darauf, erst die Terme im Zähler und Nenner zu vereinfachen, bevor du die Gleichung löst.

1. Variable festlegen: Sei \(z\) der Zähler. Der Nenner ist dann \(3z + 1\). 2. Aufstellen der Gleichung für den veränderten Bruch: \(\frac{2z}{(3z + 1) - 5} = 1\) 3. Vereinfachen des Nenners: \(\frac{2z}{3z - 4} = 1\) 4. Multiplikation mit dem Nenner: \(2z = 3z - 4\) 5. Auflösen nach \(z\): \(z = 4\) 6. Berechnung des ursprünglichen Nenners: \(3 \cdot 4 + 1 = 13\) 7. Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{4}{13}\).

Der ursprüngliche Bruch war \(\frac{4}{13}\).

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein berechneter Wert nicht in der Definitionsmenge liegt? - Untersuche den ersten Nenner genau: Für welche Werte wird er null? - Warum ist es wichtig, die Definitionsmenge zu bestimmen, bevor man mit dem Rechnen beginnt?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner \(x^2-16\) und \(x+2\) dürfen nicht null sein. \(x^2-16=0\) für \(x=4\) und \(x=-4\). \(x+2=0\) für \(x=-2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-4; -2; 4\}\). 2. Über-Kreuz-Multiplizieren: \((x-4) \cdot (x+2) = 1 \cdot (x^2-16)\). 3. Ausmultiplizieren: \(x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 16\). 4. Vereinfachen: \(x^2 - 2x - 8 = x^2 - 16\). 5. Subtraktion von \(x^2\): \(-2x - 8 = -16\). 6. Lösung der linearen Gleichung: \(-2x = -8 \implies x = 4\). 7. Überprüfung: Der rechnerische Wert \(x = 4\) ist laut Definitionsmenge ausgeschlossen (\(4 \notin D\)), da er den Nenner des ersten Bruchs zu null machen würde. 8. Ergebnis: Da kein anderer Wert infrage kommt, ist die Lösungsmenge leer: \(L = \emptyset\).

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-4; -2; 4\}\). Da der berechnete Wert \(x = 4\) nicht in der Definitionsmenge enthalten ist (er würde den Nenner \(x^2-16\) zu null machen), gibt es keine zulässige Lösung. Daher ist \(L = \emptyset\).

- Achte genau darauf, worauf sich der negative Exponent bezieht – auf eine Klammer oder nur auf ein einzelnes Zeichen. - Wie bestimmt man den Kehrwert einer Dezimalzahl? - Überlege dir, welche Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratzahl haben kann.

1. Teilaufgabe a): Der Term \((x-5)^{-1}\) entspricht \(\frac{1}{x-5}\). Der Nenner darf nicht null sein, also \(x \neq 5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). Die Gleichung \(\frac{1}{x-5} = 0{,}2\) wird zu \(1 = 0{,}2(x-5)\). Ausmultiplizieren ergibt \(1 = 0{,}2x - 1\), also \(2 = 0{,}2x\). Daraus folgt \(x = 10\). Da \(10 \in D\), ist \(L = \{10\}\). 2. Teilaufgabe b): Der Term \(x^{-1} - 5^{-1}\) entspricht \(\frac{1}{x} - \frac{1}{5}\). Hier darf \(x\) nicht \(0\) sein, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Die Gleichung lautet \(\frac{1}{x} - 0{,}2 = 0{,}2\), was zu \(\frac{1}{x} = 0{,}4\) führt. Umstellen ergibt \(x = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\). Da \(2{,}5 \in D\), ist \(L = \{2{,}5\}\). 3. Teilaufgabe c): Der Term \(x^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{x^2}\). Da Quadratzahlen reeller Zahlen (außer der Null) stets positiv sind, ist auch ihr Kehrwert stets positiv. Ein positiver Wert kann niemals gleich \(-1\) sein.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\); \(L = \{10\}\) b) \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); \(L = \{2{,}5\}\) c) Ein Quadrat \(x^2\) ist für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) stets positiv, daher ist auch der Kehrwert \(x^{-2}\) stets positiv und kann nicht \(-1\) sein.

- Setze die Funktionsterme gleich, um mögliche gemeinsame Punkte zu finden. - Denk an die binomischen Formeln, wenn du Klammern auflöst. - Was bedeutet es für die Graphen, wenn eine Gleichung keine Lösung hat?

1. Definitionsmenge festlegen: \( D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 2\} \). 2. Gleichsetzen der Terme: \( \frac{x+2}{x} = \frac{x}{x-2} \). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \( x(x-2) \): \( (x+2)(x-2) = x \cdot x \). 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf der linken Seite: \( x^2 - 4 = x^2 \). 5. Subtraktion von \( x^2 \) auf beiden Seiten: \( -4 = 0 \). 6. Interpretation: Die Gleichung führt auf einen Widerspruch (falsche Aussage). 7. Da die Gleichung keine Lösung besitzt, existiert kein Schnittpunkt.

Die Graphen schneiden sich nicht. Die zugehörige Bruchgleichung führt auf den Widerspruch \( -4 = 0 \), woraus folgt, dass es keine Lösung und somit keinen Schnittpunkt gibt.

- Was ist der erste Schritt, um eine Variable aus dem Nenner eines Bruchs zu entfernen? - Wie hängen \(x\) und \(k\) zusammen? Kannst du \(x\) alleine auf eine Seite der Gleichung bringen? - Schau dir den Nenner der ursprünglichen Aufgabe an. Was darf dort niemals stehen?

1. Auflösen nach \(x\): Multiplikation mit \(x\) (wobei \(x \neq 0\)) ergibt \(2x + k = 5x\). Subtraktion von \(2x\) führt zu \(k = 3x\). Division durch \(3\) ergibt \(x = \frac{k}{3}\). 2. Bestimmung von \(k\) für \(x = 2\): Einsetzen von \(x = 2\) in \(x = \frac{k}{3}\) ergibt \(2 = \frac{k}{3} \implies k = 6\). 3. Bedingung für \(k\): Da \(x\) im Nenner der ursprünglichen Gleichung steht, muss \(x \neq 0\) gelten. Da \(x = \frac{k}{3}\) ist, folgt aus \(\frac{k}{3} \neq 0\), dass \(k \neq 0\) sein muss. Wenn \(k = 0\) wäre, gäbe es keine Lösung für \(x\).

a) \(x = \frac{k}{3}\). b) Die Lösung ist \(x = 2\), wenn \(k = 6\) ist. c) Es muss \(k \neq 0\) gelten. Da \(x = \frac{k}{3}\) ist, wäre für \(k = 0\) auch \(x = 0\). Da \(x\) jedoch im Nenner steht, ist \(0\) kein erlaubter Wert für \(x\).

- Kannst du den Nenner \(x^2 - x\) als Produkt schreiben? Das hilft beim Finden des Hauptnenners. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Term. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn dein errechneter Wert genau eine der Zahlen ist, die du am Anfang ausgeschlossen hast?

1. Nenner faktorisieren: \(x^2 - x = x(x-1)\). 2. Definitionsmenge bestimmen: \(x \neq 1\) und \(x \neq 0\), also \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0; 1\}\). 3. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(x(x-1)\): \(x(x+1) - 1 \cdot x(x-1) = 2\). 4. Klammern auflösen: \(x^2 + x - (x^2 - x) = 2 \Rightarrow x^2 + x - x^2 + x = 2\). 5. Vereinfachen: \(2x = 2 \Rightarrow x = 1\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(x = 1\) ist in der Definitionsmenge ausgeschlossen (\(1 \notin \mathbb{D}\)). 7. Ergebnis festlegen: Die Gleichung hat keine Lösung.

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0; 1\}\); \(\mathbb{L} = \emptyset\) (da das berechnete \(x = 1\) nicht in \(\mathbb{D}\) liegt).

- Setze den ursprünglichen Bruch als \(\frac{k}{2k}\) an. - Was muss gelten, damit ein Bruch den Wert \(1\) hat? Was sagt das über Zähler und Nenner aus? - Versuche die Gleichung nach \(k\) oder \(n\) aufzulösen. - Überlege, ob das mathematische Ergebnis im Kontext von Nennern und Brüchen sinnvoll ist.

1. Ansatz für den ursprünglichen Bruch: \(\frac{k}{2k}\) mit \(k \in \mathbb{N}, k > 0\). 2. Aufstellen der Gleichung mit der Addition von \(n\): \(\frac{k + n}{2k + n} = 1\). 3. Multiplikation mit dem Nenner \((2k + n)\): \(k + n = 2k + n\). 4. Subtraktion von \(n\) auf beiden Seiten: \(k = 2k\). 5. Lösen nach \(k\): \(0 = k\). 6. Da für einen gültigen Bruch der Nenner \(2k\) nicht Null sein darf (und \(k\) als natürliche Zahl für den Wert \(\frac{1}{2}\) positiv sein muss), führt dies zu einem Widerspruch. 7. Ergebnis: Es gibt keinen solchen Bruch.

Es gibt keinen solchen Bruch. Die Gleichung führt auf \(k = 2k\), was nur für \(k = 0\) erfüllt wäre. Ein Bruch mit dem Nenner \(0\) ist jedoch nicht definiert, und der ursprüngliche Wert \(\frac{1}{2}\) erfordert \(k \neq 0\).

- Darf man durch jede beliebige Zahl teilen? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn nach dem Vereinfachen eine wahre Aussage wie \(5=5\) übrig bleibt? - Schau dir die Definitionsmenge genau an, bevor du eine Aussage über „alle Zahlen“ triffst.

1. Analyse der Definitionsmenge: Der Nenner \(x - 2\) wird für \(x = 2\) null. Daher ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Vereinfachung des Terms für \(x \in \mathbb{D}\): \(\frac{2(x-2)}{x-2} = 2\). Durch Kürzen von \((x-2)\) erhält man die Identität \(2 = 2\). 3. Interpretation der Identität: Die Gleichung ist für alle Werte wahr, die man in den Term einsetzen darf. 4. Bewertung der Aussagen: Ben hat recht, da \(x = 2\) aufgrund der Division durch Null nicht zur Lösungsmenge gehören kann. Anna hat unrecht mit der Aussage „jede reelle Zahl“. 5. Bestimmung der Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Ben hat recht. Die Lösungsmenge ist \(\mathbb{L} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\), da die Gleichung für alle definierten Werte eine wahre Aussage ergibt, der Wert \(x = 2\) jedoch nicht eingesetzt werden darf.

- Welche Werte darf \(x\) auf keinen Fall annehmen? - Wie kannst du die Nenner faktorisieren, um einen gemeinsamen Hauptnenner zu bestimmen? - Was musst du tun, nachdem du einen Wert für \(x\) berechnet hast?

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner dürfen nicht null werden. \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\) und \(x \neq 0\). Da \(x^2-2x = x(x-2)\), sind dies die einzigen Einschränkungen. \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 2\}\). 2. Hauptnenner finden: Der Hauptnenner ist \(x(x-2)\). 3. Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren: \(3x - 1(x-2) = 2\). 4. Klammern auflösen: \(3x - x + 2 = 2\). 5. Zusammenfassen: \(2x + 2 = 2\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\). 7. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(x = 0\) ist in der Definitionsmenge nicht enthalten, da er einen Nenner der ursprünglichen Gleichung zu null machen würde. 8. Ergebnis: Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

\(L = \emptyset\) (oder die leere Menge)

- Wie berechnet man die Anzahl der Umdrehungen, wenn man die Strecke und den Umfang kennt? - Überlege, welches Rad mehr Umdrehungen machen muss – das große oder das kleine? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied der Umdrehungen beschreibt. - Achte am Ende auf die geforderte Einheit der Strecke.

1. Variable festlegen: Sei \(s\) die gesuchte Strecke in Zentimetern. 2. Anzahl der Umdrehungen ausdrücken: Vorderes Rad: \(\frac{s}{20}\), hinteres Rad: \(\frac{s}{30}\). 3. Gleichung aufstellen: \(\frac{s}{20} - \frac{s}{30} = 15\). 4. Hauptnenner finden und Gleichung multiplizieren: Hauptnenner ist \(60\). 5. Gleichung umformen: \(3s - 2s = 15 \cdot 60\). 6. Lösung berechnen: \(s = 900\,\text{cm}\). 7. Umrechnung in Meter: \(900\,\text{cm} = 9\,\text{m}\).

Die Teststrecke ist \(9\,\text{m}\) lang.

- Was muss man bei Gleichungen mit Brüchen im Nenner immer zuerst beachten? - Wie kannst du eine Gleichung, die aus zwei gleichen Brüchen besteht (Proportion), in eine bruchfreie Form bringen? - Kannst du die zweite Gleichung so umstellen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht? - Überprüfe am Ende, ob dein gefundenes Ergebnis für \(y\) mit den Einschränkungen aus Teil a) vereinbar ist.

1. Bestimmung der Ausschlusswerte: Die Nenner dürfen nicht null werden, daher gilt \(y + 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2\) und \(y + 5 \neq 0 \Rightarrow y \neq -5\). 2. Vereinfachen von Gleichung I durch Kreuzmultiplikation: \((2x-1)(y+5) = (2x+3)(y+2)\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen von I: \(2xy + 10x - y - 5 = 2xy + 4x + 3y + 6 \Rightarrow 6x - 4y = 11\). 4. Vereinfachen von Gleichung II: \(3x - 3 - y - 2 = x \Rightarrow 2x - y = 5\). 5. Lösen des Systems: Aus II folgt \(y = 2x - 5\). Einsetzen in die vereinfachte Gleichung I ergibt \(6x - 4(2x - 5) = 11 \Rightarrow 6x - 8x + 20 = 11 \Rightarrow -2x = -9 \Rightarrow x = 4{,}5\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 2 \cdot 4{,}5 - 5 = 4\). 7. Überprüfung: Da \(y = 4\) nicht zu den ausgeschlossenen Werten gehört, ist die Lösung zulässig.

a) \(y \neq -2\) und \(y \neq -5\); b) \((x \mid y) = (4{,}5 \mid 4)\).

- Kannst du die Terme im Nenner als Ganzes betrachten? - Gibt es ein Verfahren, um die Brüche komplett zu eliminieren, bevor du nach \(x\) und \(y\) suchst? - Hast du nach der ersten Lösung daran gedacht, dass du noch die ursprünglichen Variablen finden musst? - Prüfe am Ende, ob deine Werte die Nenner nicht null werden lassen.

1. Definitionsbedingungen: \(x+2y\neq0\) und \(2x-y\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2y}\) und \(v=\frac{1}{2x-y}\). Dann entsteht das lineare System \(10u+5v=3\) und \(5u-10v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\): \(20u+10v=6\). Addieren mit der zweiten Gleichung ergibt \(25u=5\), also \(u=\frac15=0{,}2\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(2+5v=3\), somit \(v=\frac15=0{,}2\). 5. Rücksubstitution: \(x+2y=5\) und \(2x-y=5\). 6. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und addiere: \(5x=15\), also \(x=3\). Dann folgt \(y=1\). 7. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(3 \mid 1)\}\)

- Wie hängen Zeit, Strecke und Geschwindigkeit zusammen? - Kannst du für beide Personen einen Ausdruck für die benötigte Zeit aufstellen? - Wie lässt sich die Information „eine Stunde weniger“ mathematisch als Differenz darstellen? - Was musst du tun, um eine Gleichung mit Variablen im Nenner zu lösen? - Ist ein negatives Ergebnis für eine Geschwindigkeit in diesem Zusammenhang sinnvoll?

1. Festlegen der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Wanderers in \(\text{km/h}\). Die Geschwindigkeit des Radfahrers ist dann \(v + 6\). 2. Aufstellen der Zeit-Gleichungen: Zeit ist Strecke durch Geschwindigkeit. Zeit Wanderer \(t_W = \frac{12}{v}\), Zeit Radfahrer \(t_R = \frac{12}{v+6}\). 3. Aufstellen der Bruchgleichung basierend auf der Zeitdifferenz: \(t_W - t_R = 1\), also \(\frac{12}{v} - \frac{12}{v+6} = 1\). 4. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v+6)\) ergibt \(12(v+6) - 12v = v(v+6)\). 5. Vereinfachen: \(12v + 72 - 12v = v^2 + 6v \Rightarrow 72 = v^2 + 6v\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung \(v^2 + 6v - 72 = 0\): Die Lösungen sind \(v_1 = 6\) und \(v_2 = -12\). 7. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ist \(v = 6\,\text{km/h}\). 8. Berechnung der Geschwindigkeiten: Wanderer \(6\,\text{km/h}\), Radfahrer \(6 + 6 = 12\,\text{km/h}\).

Der Wanderer läuft mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(6\,\text{km/h}\), der Radfahrer fährt mit \(12\,\text{km/h}\).

- Was passiert, wenn du die gesamten Nenner als neue Variablen betrachtest? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen zu eliminieren, nachdem du substituiert hast? - Vergiss nicht, nach der ersten Lösung die Kehrwerte zu bilden, um die Gleichungen für die gesuchten Variablen aufzustellen. - Prüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen.

1. Definitionsbedingungen: \(3a+b\neq0\) und \(a+2b\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{3a+b}\) und \(v=\frac{1}{a+2b}\). Dann gilt \(21u+8v=5\) und \(14u-12v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(42u+16v=10\) und \(42u-36v=-3\). 4. Subtraktion ergibt \(52v=13\), also \(v=\frac14\). 5. Einsetzen: \(21u+2=5\Rightarrow u=\frac17\). 6. Rücksubstitution: \(3a+b=7\) und \(a+2b=4\). 7. Aus \(a=4-2b\) folgt \(3(4-2b)+b=7\Rightarrow b=1\) und damit \(a=2\). 8. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(2 \mid 1)\}\) für das geordnete Paar \((a \mid b)\).