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- Welche Rechenoperation verbindet \(v\) mit \(t\)? - Nutze die Umkehroperation auf beiden Seiten der Gleichung.

1. Beide Seiten werden durch \(t\) geteilt. 2. Damit ist \(v=\frac{s}{t}\).

\(v=\frac{s}{t}\)

- Welche Rechenoperation hält \(F\) im Bruch fest? - Nutze die passende Umkehroperation auf beiden Seiten.

1. Beide Seiten werden mit \(A\) multipliziert. 2. Damit ist \(F=pA\).

\(F=pA\)

- Behandle \(k\) beim Umformen wie eine feste, aber unbekannte Zahl. - Welche Terme müssen auf welcher Seite stehen, damit \(z\) isoliert werden kann? - Führe dieselbe zulässige Umformung immer auf beiden Seiten der Gleichung aus.

1. Subtraktion von \(4k\) auf beiden Seiten ergibt \(0{,}8z=8k-1{,}6\). 2. Division beider Seiten durch \(0{,}8\) ergibt \(z=\frac{8k-1{,}6}{0{,}8}\). 3. Vereinfachen liefert \(z=10k-2\).

\(z=10k-2\)

- Welche Umkehroperation isoliert den Platzhalter? - Wann ist ein Bruch nicht definiert? - Achte darauf, welche Variable nach dem Umstellen im Nenner steht.

1. a) Division durch \(h\): \(\square=\frac{A}{h}\), mit \(h \neq 0\). 2. b) Der Platzhalter ist bereits isoliert: \(\square=\frac{s}{t}\), mit \(t \neq 0\). 3. c) Division durch \(r\): \(\square=\frac{C}{r}\), mit \(r \neq 0\).

a) \(\square=\frac{A}{h}\), \(h \neq 0\) b) \(\square=\frac{s}{t}\), \(t \neq 0\) c) \(\square=\frac{C}{r}\), \(r \neq 0\)

- Wie gehst du vor, wenn ein Bruch in der Formel vorkommt, zum Beispiel \(\frac{1}{3}\)? - Wenn der gesuchte Platzhalter im Nenner steht, wie bekommst du ihn in den Zähler? - Behandle den Ausdruck \((a+c)\) wie eine einzelne Zahl. - Achte darauf, welche Variablen nach der Umformung im Nenner landen.

1. Auflösen von \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot \square\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(3\) und Division durch \(G\): \(\square = \frac{3V}{G}\). Bedingung: \(G \neq 0\). 2. Auflösen von \(\rho = \frac{m}{\square}\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(\square\) und Division durch \(\rho\): \(\square = \frac{m}{\rho}\). Bedingungen: \(\rho \neq 0\) und \(m \neq 0\). 3. Auflösen von \(\frac{a+c}{2} \cdot \square = A\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(2\) und Division durch \((a+c)\): \(\square = \frac{2A}{a+c}\). Bedingung: \(a+c \neq 0\). 4. Auflösen von \(\frac{p \cdot V}{\square} = T\) nach dem Platzhalter durch Multiplikation mit \(\square\) und Division durch \(T\): \(\square = \frac{pV}{T}\). Bedingungen: \(T \neq 0\), \(p \neq 0\) und \(V \neq 0\).

a) \(\square = \frac{3V}{G}\); Einschränkung: \(G \neq 0\). b) \(\square = \frac{m}{\rho}\); Einschränkungen: \(\rho \neq 0\), \(m \neq 0\). c) \(\square = \frac{2A}{a+c}\); Einschränkung: \(a+c \neq 0\). d) \(\square = \frac{pV}{T}\); Einschränkungen: \(T \neq 0\), \(p \neq 0\), \(V \neq 0\).

- Nutze für a) den Zusammenhang zwischen Millilitern und Kubikzentimetern. - Stelle für b) die gegebene Dichteformel nach der Masse um. - Achte darauf, Volumen und Masse jeweils in zueinander passenden Einheiten einzusetzen und die verlangte Endeinheit anzugeben.

1. Da \(1\,\text{mL}=1\,\text{cm}^3\) gilt, ist \(V=250\,\text{cm}^3\). Damit ist \(\rho=\frac{210\,\text{g}}{250\,\text{cm}^3}=0{,}84\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\). 2. Für b) gilt \(1{,}2\,\text{L}=1200\,\text{cm}^3\). 3. Aus \(\rho=\frac{m}{V}\) folgt \(m=\rho V\). 4. Damit ist \(m=0{,}84\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot1200\,\text{cm}^3=1008\,\text{g}=1{,}008\,\text{kg}\).

a) \(0{,}84\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\) b) \(1{,}008\,\text{kg}\)

- Überlege, welche Rechenoperation die Variable im Nenner „befreit“. - Achte darauf, dass du beim Umstellen auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation ausführst. - Für den Vergleich in Teilaufgabe c) hilft es, die Formel zuerst nach der gesuchten Größe \(U\) aufzulösen.

1. Umstellen der Formel \(R = \frac{U}{I}\) nach \(I\): Multiplikation mit \(I\) ergibt \(RI = U\), Division durch \(R\) ergibt \(I = \frac{U}{R}\). 2. Einsetzen der Werte für Teilaufgabe b): \(I = \frac{12\,\text{V}}{5\,\Omega} = 2{,}4\,\text{A}\). 3. Untersuchung der Änderung für Teilaufgabe c): Die Formel für die Spannung lautet \(U = RI\). Wenn \(R\) durch \(2R\) ersetzt wird, ergibt sich \(U_{\text{neu}} = (2R) \cdot I = 2 \cdot (RI) = 2U\). Die Spannung verdoppelt sich also.

a) \(I = \frac{U}{R}\) b) \(I = 2{,}4\,\text{A}\) c) Die Spannung \(U\) verdoppelt sich ebenfalls, da \(U = RI\) gilt und bei konstantem \(I\) die Spannung proportional zum Widerstand ist.

- Was ist die Umkehroperation zur Multiplikation? - Überlege, was mit der Variablen passieren muss, die nicht alleine stehen soll. - Behandle die Buchstaben wie Zahlen beim Lösen einer Gleichung.

1. Division beider Seiten durch \(I\) isoliert \(U\): \(U = \frac{P}{I}\). 2. Division beider Seiten durch \(v\) isoliert \(t\): \(t = \frac{s}{v}\). 3. Division beider Seiten durch \(m\) isoliert \(a\): \(a = \frac{F}{m}\). Bedingungen: a) \(I \neq 0\), b) \(v \neq 0\), c) \(m \neq 0\).

a) \(U=\frac{P}{I}\) für \(I \neq 0\) b) \(t=\frac{s}{v}\) für \(v \neq 0\) c) \(a=\frac{F}{m}\) für \(m \neq 0\)

- Welche Rechenart verbindet die Terme auf der Seite der gesuchten Variablen? - Wie kannst du einen Bruchstrich in einer Gleichung „auflösen“? - In welcher Reihenfolge musst du vorgehen, wenn sowohl Punktrechnung als auch Strichrechnung vorkommen?

1. Addition von \(12\) ergibt \(y + 12 = 3x\). Division durch \(3\) ergibt \(x = \frac{y + 12}{3}\). 2. Multiplikation mit \(3\) ergibt \(3V = G \cdot h\). Division durch \(h\) ergibt für \(h \neq 0\): \(G = \frac{3V}{h}\). 3. Subtraktion von \(a\) und \(c\) auf beiden Seiten isoliert \(b\): \(b = u - a - c\).

a) \(x = \frac{y + 12}{3}\) b) \(G = \frac{3V}{h}\) für \(h \neq 0\) c) \(b = u - a - c\)

- Welche Rechenoperation macht die Multiplikation mit \(d\) rückgängig? - Teile beide Seiten der Formel durch denselben Ausdruck. - Prüfe, welcher Ausdruck beim Umformen im Nenner steht.

1. Aus \(1000(V-v)=pd\) soll \(p\) isoliert werden. 2. Für \(d\ne0\) wird durch \(d\) dividiert: \(p=\frac{1000(V-v)}{d}\). 3. Einsetzen ergibt \(p=\frac{1000(8-2)}{30}=\frac{6000}{30}=200\). 4. Da durch \(d\) dividiert wird, muss \(d\ne0\) gelten; im Sachzusammenhang ist \(d>0\).

a) \(p=\frac{1000(V-v)}{d}\) b) \(200\,\text{L}\) pro Tag c) \(d\ne0\) (im Sachzusammenhang: \(d>0\))

- Welchen ersten Schritt kannst du machen, um die Klammer zu beseitigen? - Wie bringst du alle Terme ohne \(x\) auf die rechte Seite der Gleichung? - Was musst du tun, um die Zahl vor dem \(x\) zu entfernen? - Behandle die Buchstaben \(a\) und \(b\) beim Umformen genau wie normale Zahlen.

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite durch Multiplikation mit 8: \( 8x - 8a = 16b + 24a \) 2. Isolation des Terms mit \(x\) durch Addition von \( 8a \) auf beiden Seiten: \( 8x = 16b + 32a \) 3. Division der gesamten Gleichung durch 8, um \(x\) zu isolieren: \( x = 2b + 4a \)

\( x = 4a + 2b \)

- Wie kannst du den Bruch als ersten Schritt auflösen? - Welche Rechenoperation macht das Subtrahieren von \( 12a \) rückgängig? - Wie isolierst du die Variable \(y\) im letzten Schritt? - Es hilft oft, zuerst den Nenner zu entfernen, bevor man andere Terme verschiebt.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit 3 zur Beseitigung des Nenners: \( 4y - 12a = 24b + 12a \) 2. Addition von \( 12a \) auf beiden Seiten, um den Term mit \(y\) zu isolieren: \( 4y = 24b + 24a \) 3. Division der Gleichung durch 4: \( y = 6b + 6a \)

\( y = 6a + 6b \)

- Welche Größe multipliziert in der Ausgangsformel jeweils die gesuchte Variable? - Mache diese Multiplikation durch Division rückgängig. - Prüfe nach dem Umformen, welche Größe im Nenner nicht null sein darf.

1. Aus \(s=vt\) folgt für \(t\ne0\): \(v=\frac{s}{t}\). 2. Für \(v\ne0\) folgt entsprechend \(t=\frac{s}{v}\). 3. Für Teil c) gilt \(v=52{,}5:2{,}5=21\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). 4. Für Teil d) gilt \(t=18{,}9:12{,}6=1{,}5\,\text{h}\).

a) \(v=\frac{s}{t}\) b) \(t=\frac{s}{v}\) c) \(21\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) d) \(1{,}5\,\text{h}\)

- Der gesamte Klammerausdruck multipliziert die gesuchte Zeit. - Mache diese Multiplikation durch Division rückgängig. - Prüfe den Divisor, bevor du die umgestellte Formel verwendest.

1. Aus \(F=(4x+5y)t\) folgt durch Division durch \(4x+5y\): \(t=\frac{F}{4x+5y}\). 2. Diese Division ist nur für \(4x+5y\ne0\) zulässig. 3. Einsetzen ergibt \(t=\frac{4000}{4\cdot25+5\cdot20}=\frac{4000}{200}=20\).

a) \(t=\frac{F}{4x+5y}\) b) \(20\) Minuten c) \(4x+5y\ne0\)

- Behandle \(2x+5\) beim Umformen als einen vollständigen Faktor. - Mache die Multiplikation mit diesem Faktor rückgängig. - Setze für die Probe in die ursprüngliche Formel ein.

1. Der Faktor vor \(t\) ist \(2x+5\). 2. Für \(2x+5\ne0\) gilt \(t=\frac{V}{2x+5}\). 3. Einsetzen ergibt \(t=\frac{750}{75}=10\) Minuten. 4. Probe: \((2\cdot35+5)\cdot10=75\cdot10=750\).

a) \(t=\frac{V}{2x+5}\) b) \(10\) Minuten c) \((2\cdot35+5)\cdot10=750\)

- Überlege dir, ob die Variable im Zähler oder im Nenner des Bruchs steht. - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn man den Nenner vergrößert? - Stell dir vor, du setzt für die Variablen einfache Zahlen ein, um die Änderung zu prüfen. - Um eine Variable unter einem Bruchstrich zu isolieren, musst du sie zuerst durch Multiplikation „nach oben“ holen.

1. Einsetzen von \(4V\) für \(V\) in die Formel: \(\rho_{\text{neu}} = \frac{m}{4V} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{V} = \frac{1}{4} \rho\). Die Dichte viertelt sich. 2. Einsetzen von \(\frac{1}{2}m\) für \(m\) in die Formel: \(\rho_{\text{neu}} = \frac{\frac{1}{2}m}{V} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{V} = \frac{1}{2} \rho\). Die Dichte halbiert sich. 3. Multiplikation beider Seiten der Gleichung \(\rho = \frac{m}{V}\) mit \(V\) isoliert die Masse: \(m = \rho \cdot V\). 4. Aus \(m = \rho \cdot V\) folgt durch Division beider Seiten durch \(\rho\) die Formel für das Volumen: \(V = \frac{m}{\rho}\).

1) Die Dichte viertelt sich (\(\frac{1}{4}\) des ursprünglichen Wertes). 2) Die Dichte halbiert sich (\(\frac{1}{2}\) des ursprünglichen Wertes). 3) \(m = \rho \cdot V\) 4) \(V = \frac{m}{\rho}\)

- Welcher Faktor steht in der Ausgangsformel direkt vor \(T\)? - Mache diese Multiplikation durch Division rückgängig. - Nutze die Bedingung \(k<n\), um den Nenner im Sachzusammenhang zu beurteilen.

1. Aus \(nt=(n-k)T\) folgt für \(n-k\ne0\): \(T=\frac{nt}{n-k}\). 2. Mit den Zahlenwerten ist \(T=\frac{24\cdot10}{20}=12\) Tage. 3. Der Vorrat reicht \(12-10=2\) Tage länger.

a) \(T=\frac{nt}{n-k}\) b) \(12\) Tage c) \(2\) Tage länger

- Welcher Faktor multipliziert \(m\) in der Ausgangsformel? - Teile beide Seiten durch diesen Faktor. - Begründe die Nennerbedingung sowohl algebraisch als auch im Kontext.

1. Aus \(1000(x-y)=nm\) folgt für \(n\ne0\): \(m=\frac{1000(x-y)}{n}\). 2. Einsetzen ergibt \(m=\frac{1000(8-2)}{25}=240\) Milliliter. 3. Da durch \(n\) dividiert wird, muss \(n\ne0\) gelten; im Sachzusammenhang ist \(n>0\).

a) \(m=\frac{1000(x-y)}{n}\) b) \(240\,\text{mL}\) pro Tag c) \(n\ne0\) (im Sachzusammenhang: \(n>0\))

- Entferne zuerst den Zuschuss-Term auf der rechten Seite. - Isoliere danach \(B\), indem du die Multiplikation mit \(s\) rückgängig machst. - Prüfe das Ergebnis in der ursprünglichen Formel, nicht in der bereits umgestellten Form.

1. Subtraktion von \(Z\) ergibt \(K-Z=sB\). 2. Für \(s\ne0\) folgt \(B=\frac{K-Z}{s}\). 3. Einsetzen ergibt \(B=\frac{420}{15}=28\) Euro. 4. Probe: \(120+15\cdot28=120+420=540\).

a) \(B=\frac{K-Z}{s}\) b) \(28\,\text{€}\) c) \(120+15\cdot28=540\)

- Welche Rechenoperation macht das \(+b\) auf der rechten Seite rückgängig? - Welche Rechenoperation macht anschließend die Multiplikation mit \(k\) rückgängig? - Eine Probe erfolgt immer in der ursprünglichen, noch nicht umgeformten Formel.

1. Aus \(S=kx+b\) folgt nach Subtraktion von \(b\): \(S-b=kx\). 2. Für \(k\ne0\) ergibt die Division durch \(k\): \(x=\frac{S-b}{k}\). 3. Einsetzen liefert \(x=\frac{85-13}{12}=\frac{72}{12}=6\). 4. Probe: \(12\cdot6+13=72+13=85\). Das Ergebnis erfüllt die ursprüngliche Formel.

a) \(x=\frac{S-b}{k}\) b) \(x=6\) c) \(12\cdot6+13=85\)

- Was ist der erste Schritt, um einen Nenner aus einer Gleichung zu entfernen? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Klammer oder den Bruchstrich „auflöst“. - Behandle die Variablen, nach denen du nicht auflöst, wie feste Zahlen. - Kannst du den gesuchten Buchstaben isolieren, indem du Schritt für Schritt die Operationen umkehrst?

1. Nach \(a\): \(Pc=(a+b)d\), also \(\frac{Pc}{d}=a+b\) und damit \(a=\frac{Pc}{d}-b\). 2. Nach \(d\): Aus \(Pc=(a+b)d\) folgt \(d=\frac{Pc}{a+b}\). 3. Nach \(c\): Aus \(Pc=(a+b)d\) folgt \(c=\frac{d(a+b)}{P}\).

a) \(a = \frac{Pc}{d} - b\) b) \(d = \frac{Pc}{a + b}\) c) \(c = \frac{d(a + b)}{P}\)

- Welcher Faktor multipliziert die gesuchte Teamgröße \(N\)? - Mache diese Multiplikation durch Division rückgängig. - Nutze \(0<k<d\), um die Nennerbedingung im Kontext zu prüfen.

1. Aus \(nd=N(d-k)\) folgt für \(d-k\ne0\): \(N=\frac{nd}{d-k}\). 2. Einsetzen ergibt \(N=\frac{12\cdot20}{15}=16\). 3. Zusätzlich werden \(16-12=4\) Fachkräfte benötigt.

a) \(N=\frac{nd}{d-k}\) b) \(16\) Fachkräfte c) \(4\) zusätzliche Fachkräfte

- Welche Rechenoperation hebt die Division durch \(m_G\) auf? - Behandle \(c\) und \(m_G\) beim Umstellen zunächst wie bekannte Größen. - Setze die Zahlen erst in die umgestellte Formel ein.

1. Multiplikation der Formel mit \(m_G\) ergibt \(cm_G=m_S\). Also gilt \(m_S=cm_G\). 2. Für die angegebenen Werte folgt \(m_S=0{,}08\cdot750\,\text{g}=60\,\text{g}\).

a) \(m_S=cm_G\) b) \(m_S=60\,\text{g}\)

- Schreibe für beide Vorgehensweisen auf, welche Umformungen vor dem Einsetzen beziehungsweise nach dem Einsetzen nötig sind. - Zähle, welche algebraischen Schritte bei drei verschiedenen Arbeitswerten wiederholt werden müssten. - Führe für den Vergleich einen Arbeitswert mit der jeweils anderen Vorgehensweise vollständig durch.

1. Für drei verschiedene Arbeitswerte erfordert es weniger wiederholte Umformungen, die Formel einmal allgemein nach \(t\) umzustellen und anschließend dreimal einzusetzen. 2. Aus \(P=\frac{W}{t}\) folgt \(Pt=W\) und damit \(t=\frac{W}{P}\). 3. Daher gilt \(t_1=\frac{2500}{500}\,\text{s}=5\,\text{s}\), \(t_2=\frac{5000}{500}\,\text{s}=10\,\text{s}\) und \(t_3=\frac{10000}{500}\,\text{s}=20\,\text{s}\). 4. Beim anderen Weg wird für \(W_1\) zunächst \(500=\frac{2500}{t}\) geschrieben und diese Gleichung nach \(t\) gelöst. Derselbe Umformungsschritt müsste für \(W_2\) und \(W_3\) wiederholt werden.

a) Weniger wiederholte Umformungen erfordert, die Formel einmal allgemein nach \(t\) umzustellen. b) \(t_1=5\,\text{s}\), \(t_2=10\,\text{s}\), \(t_3=20\,\text{s}\). c) Der Weg mit eingesetzten Zahlen liefert für \(W_1\) ebenfalls \(5\,\text{s}\), müsste aber für jeden weiteren Arbeitswert erneut umgestellt werden.

- Wie bekommt man eine Variable aus dem Nenner eines Bruchs heraus? - Was wäre dein erster Schritt, wenn anstelle der Buchstaben Zahlen stünden? - Kannst du die Klammer um \((x - b)\) zuerst isolieren, bevor du \(x\) alleine stehen hast? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Division?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Nenner \((x - b)\), um den Bruch aufzulösen: \(a = c \cdot (x - b)\). 2. Division durch \(c\) (da \(c > 0\)), um die Klammer zu isolieren: \(\frac{a}{c} = x - b\). 3. Addition von \(b\), um \(x\) allein auf einer Seite zu erhalten: \(x = \frac{a}{c} + b\). Alternativer Weg: Kehrwertbildung auf beiden Seiten ergibt \(\frac{x - b}{a} = \frac{1}{c}\). Multiplikation mit \(a\) ergibt \(x - b = \frac{a}{c}\). Addition von \(b\) führt zum gleichen Ergebnis \(x = \frac{a}{c} + b\).

\(x = \frac{a}{c} + b\) oder \(x = \frac{a + bc}{c}\)

- Welche Rechenoperation macht die gesuchte Variable jeweils frei? - Prüfe vor jeder Division, ob der Divisor \(0\) sein könnte. - In c) muss der berechnete Wert von \(A\) außerdem zur ursprünglichen Formel mit Nenner \(A\) zulässig sein.

1. In a) folgt aus \(2A=(a+c)h\) für \(h\neq0\): \(c=\frac{2A}{h}-a\). Bei \(h=0\) ist \(c\) nicht eindeutig bestimmt. 2. In b) gilt wegen des ursprünglichen Nenners \(t\neq0\). Aus \(vt=s_2-s_1\) folgt \(s_1=s_2-vt\). 3. In c) gilt im ursprünglichen Term \(A\neq0\). Für \(p\neq0\) folgt \(A=\frac{F}{p}\). Damit dieser eindeutig berechnete Wert auch zulässig ist, muss zusätzlich \(F\neq0\) gelten. Für \(p=0\) entsteht entweder keine oder keine eindeutige Lösung für \(A\).

a) \(c=\frac{2A}{h}-a\) für \(h\neq0\) b) \(s_1=s_2-vt\) für \(t\neq0\) c) \(A=\frac{F}{p}\) für \(p\neq0\) und \(F\neq0\)

- Wenn die gesuchte Variable im Nenner steht, ist es oft hilfreich, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren. - Bei Summen von Brüchen solltest du diese zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen, bevor du den Kehrwert bildest. - Achte darauf, dass beim Kehrwertbilden die gesamte Seite der Gleichung umgedreht werden muss.

1. In a) ergibt die Subtraktion von \(\frac1b\) die Gleichung \(\frac1g=\frac1f-\frac1b\). Ein gemeinsamer Nenner ist \(fb\), also \(\frac1g=\frac{b-f}{fb}\). Kehrwertbildung liefert \(g=\frac{fb}{b-f}\). 2. In b) ergibt die Multiplikation mit \(R_i+R_a\) die Gleichung \(I(R_i+R_a)=U\). Für \(I\neq0\) folgt \(R_i+R_a=\frac UI\) und damit \(R_i=\frac UI-R_a\). 3. Für a) gelten \(f\neq0\), \(b\neq0\) und \(b-f\neq0\). Für b) gelten \(I\neq0\) und \(U\neq0\).

a) \(g=\frac{fb}{b-f}\) für \(f \neq 0\), \(b \neq 0\), \(b-f \neq 0\) b) \(R_i=\frac{U}{I}-R_a\) für \(I \neq 0\), \(U \neq 0\)

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass alle Terme mit \(y\) auf einer Seite stehen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn du den Kehrwert auf beiden Seiten der Gleichung bildest? - Wie gehst du vor, wenn bei einer Gleichung am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 1\) herauskommt?

1. Einsetzen von \(x = 2\): \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = 1 \implies \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2\). 2. Einsetzen von \(x = 5\): \(\frac{1}{5} + \frac{1}{y} = 1 \implies \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \implies y = \frac{5}{4} = 1{,}25\). 3. Umformen nach \(y\): \(\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}\). Durch Bilden des Kehrwerts folgt \(y = \frac{x}{x-1}\). Diese Darstellung gilt für \(x \neq 0\) und \(x \neq 1\). 4. Überprüfung für \(y = 1\): Die Gleichung \(1 = \frac{x}{x-1}\) führt nach Multiplikation mit \((x-1)\) zu \(x-1 = x\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(-1 = 0\), was ein Widerspruch ist. Somit existiert kein solches \(x\).

a) Für \(x = 2\) ist \(y = 2\); für \(x = 5\) ist \(y = 1{,}25\). b) \(y = \frac{x}{x-1}\) für \(x \notin \{0; 1\}\). c) Die Annahme \(y = 1\) führt auf die widersprüchliche Gleichung \(x-1 = x\) bzw. \(-1 = 0\), daher gibt es keine Lösung.

- Wie schreibt man „das Doppelte der Summe“ als mathematischen Ausdruck? - Könnte es helfen, die Gleichung nach einer der beiden Variablen aufzulösen? - Was passiert, wenn du für eine Variable eine einfache Zahl wie \(0\) oder \(3\) einsetzt?

1. Aufstellen der Gleichung: Das Produkt ist \(a \cdot b\), die Summe ist \(a + b\). Die Bedingung lautet \(a \cdot b = 2 \cdot (a + b)\). 2. Finden von Zahlenpaaren: Umformen der Gleichung nach \(b\): \(ab = 2a + 2b \implies ab - 2b = 2a \implies b(a - 2) = 2a \implies b = \frac{2a}{a-2}\). 3. Beispielpaare: Für \(a = 3\) ergibt sich \(b = \frac{2 \cdot 3}{3 - 2} = 6\). Paar: \((3; 6)\). Für \(a = 0\) ergibt sich \(b = 0\). Paar: \((0; 0)\). 4. Nachweis für \(a = 4\): Einsetzen in die Gleichung: \(4 \cdot b = 2 \cdot (4 + b) \implies 4b = 8 + 2b \implies 2b = 8 \implies b = 4\).

a) \(a \cdot b = 2(a+b)\). b) Zum Beispiel \((3; 6)\) und \((0; 0)\). c) Aus \(4b=2(4+b)\) folgt \(4b=8+2b\) und damit \(b=4\).

- Kannst du eine Seite so umformen, dass beide Brüche denselben Nenner haben? - Was passiert, wenn du beide Seiten einer Gleichung mit demselben von null verschiedenen Term multiplizierst? - Bei Gleichungen mit je einem Bruch auf beiden Seiten kannst du beide Seiten mit beiden Nennern multiplizieren. - Welche Variablen stehen von Anfang an in einem Nenner und dürfen daher nicht null sein?

1. In a) führt die Multiplikation beider Seiten mit \(b\square\) auf \(a\square=bc\). Damit ist \(\square=\frac{bc}{a}\). Für eine eindeutige zulässige Lösung gelten \(a\neq0\), \(b\neq0\) und \(c\neq0\). 2. In b) wird mit \(x\) multipliziert: \(\square=\frac{xy}{z}\). Es gelten \(x\neq0\) und \(z\neq0\). 3. In c) wird die linke Seite auf den gemeinsamen Nenner \(y\) gebracht: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{y}=\frac{x+y}{y}\). Daher ist \(\square=x+y\). Es gilt \(y\neq0\). 4. In d) führt die Multiplikation beider Seiten mit \(n\square\) auf \(kn=m\square\). Damit ist \(\square=\frac{kn}{m}\). Für eine eindeutige zulässige Lösung gelten \(k\neq0\), \(m\neq0\) und \(n\neq0\).

a) \(\square = \frac{bc}{a}\); Bedingungen: \(a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0\). b) \(\square = \frac{xy}{z}\); Bedingungen: \(x \neq 0, z \neq 0\). c) \(\square = x+y\); Bedingung: \(y \neq 0\). d) \(\square = \frac{kn}{m}\); Bedingungen: \(k \neq 0, m \neq 0, n \neq 0\).

- Wie lässt sich der Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen als mathematische Gleichung schreiben? - Versuche, alle Terme mit der gesuchten Variablen auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Denke daran, dass man durch einen Ausdruck nur dividieren darf, wenn dieser nicht null ist. - Setze für eine der Variablen beliebige Zahlen ein, um die zugehörige zweite Zahl zu berechnen.

1. Die Bedingung lautet \(x + y = x \cdot y\). Umstellen nach \(y\): \(x = x \cdot y - y = y \cdot (x - 1)\). Daraus folgt \(y = \frac{x}{x - 1}\). 2. Da der Nenner nicht null sein darf, muss \(x \neq 1\) gelten. 3. Mögliche Paare: - Für \(x = 2\) ergibt sich \(y = \frac{2}{2 - 1} = 2\). Paar: \((2; 2)\). - Für \(x = 0\) ergibt sich \(y = \frac{0}{0 - 1} = 0\). Paar: \((0; 0)\). - Für \(x = -1\) ergibt sich \(y = \frac{-1}{-1 - 1} = 0{,}5\). Paar: \((-1; 0{,}5)\).

Ausgangsgleichung: \(x+y=x \cdot y\). Umgestellt nach \(y\): \(y = \frac{x}{x - 1}\) mit \(x \neq 1\). Beispielpaare: \((2; 2)\), \((0; 0)\), \((-1; 0{,}5)\).

- Multipliziere zuerst mit dem Nenner, um den Bruch aufzulösen. - Klammere die Variable, nach der du auflösen möchtest, aus, wenn sie in mehreren Summanden vorkommt. - Achte darauf, welche Werte im Nenner eines Bruchs stehen könnten.

1. Die Gleichung lautet \(2(a + b) = \frac{a}{b}\). 2. Multiplikation mit \(b\) (wobei \(b \neq 0\)): \(2ab + 2b^2 = a\). Umstellen nach \(a\): \(2b^2 = a - 2ab = a(1 - 2b)\). Daraus folgt \(a = \frac{2b^2}{1 - 2b}\). 3. Es muss \(b \neq 0\) gelten (wegen des Quotienten \(\frac{a}{b}\)) und \(1 - 2b \neq 0\), also \(b \neq 0{,}5\). 4. Mögliche Paare: - Für \(b = 1\) ist \(a = \frac{2 \cdot 1^2}{1 - 2 \cdot 1} = \frac{2}{-1} = -2\). Paar: \((-2; 1)\). - Für \(b = -1\) ist \(a = \frac{2 \cdot (-1)^2}{1 - 2 \cdot (-1)} = \frac{2}{3}\). Paar: \((\frac{2}{3}; -1)\). - Für \(b = 2\) ist \(a = \frac{2 \cdot 2^2}{1 - 2 \cdot 2} = \frac{8}{-3} = -2\frac{2}{3}\). Paar: \((-2\frac{2}{3}; 2)\).

Gleichung nach \(a\): \(a = \frac{2b^2}{1 - 2b}\). Einschränkungen für \(b\): \(b \neq 0\) und \(b \neq 0{,}5\). Beispielpaare: \((-2; 1)\), \((\frac{2}{3}; -1)\), \((-2\frac{2}{3}; 2)\).

- Kannst du den Term, der \(z\) enthält, zuerst isolieren? - Wie fasst man zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zusammen? - Was passiert, wenn man auf beiden Seiten einer Gleichung den Kehrwert bildet?

1. Isolation des Terms mit \(z\) durch Addition von \(\frac{1}{z}\) und Subtraktion von \(\frac{1}{x}\): \(\frac{1}{z} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}\) 2. Bringen der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{1}{z} = \frac{x}{x \cdot y} - \frac{y}{x \cdot y} = \frac{x - y}{x \cdot y}\) 3. Bildung des Kehrwerts auf beiden Seiten: \(z = \frac{x \cdot y}{x - y}\) 4. Es müssen \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x-y \neq 0\) gelten. Dann ist auch der berechnete Wert \(z\) von null verschieden.

\(z=\frac{xy}{x-y}\) für \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x \neq y\).

- Wie isolierst du \(A\) in der Gleichung? - Schau dir die umgestellte Formel an: Was passiert mit dem Ergebnis eines Bruches, wenn man den Nenner vergrößert? - Versuche, die neue Höhe \(2h\) in deine Formel für \(A\) einzusetzen.

1. Umstellen nach \(A\): Multiplikation mit \(3\) ergibt \(3V = Ah\). Division durch \(h\) ergibt \(A = \frac{3V}{h}\). 2. Analyse der Änderung: Setzt man die neue Höhe \(h_{\text{neu}} = 2h\) in die umgestellte Formel ein, erhält man \(A_{\text{neu}} = \frac{3V}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3V}{h}\). 3. Vergleich: Da \(\frac{3V}{h}\) dem ursprünglichen \(A\) entspricht, gilt \(A_{\text{neu}} = \frac{1}{2} A\). Die Grundfläche halbiert sich also.

a) \(A = \frac{3V}{h}\) b) Die Grundfläche \(A\) halbiert sich. Begründung: Da \(h\) im Nenner der umgestellten Formel steht, führt eine Verdopplung von \(h\) bei gleichbleibendem \(V\) dazu, dass der Gesamtwert des Bruches mit \(\frac{1}{2}\) multipliziert wird.

- Was bedeutet es für das Volumen, wenn ein Material bei gleicher Masse eine viel geringere Dichte hat? - Wie isolierst du eine Variable, die im Nenner eines Bruchs steht? - Um einen Faktor zu bestimmen, teilst du den größeren Wert durch den kleineren.

1. Formel auflösen: Durch Multiplikation mit \(V\) und Division durch \(\rho\) erhält man \(V = \frac{m}{\rho}\). 2. Volumen von Zylinder 1: \(V_1 = \frac{540\,\text{g}}{9{,}0\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} = 60\,\text{cm}^3\). 3. Volumen von Zylinder 2: \(V_2 = \frac{540\,\text{g}}{2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} = 200\,\text{cm}^3\). 4. Vergleich der Volumina: Berechnung des Verhältnisses \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{200\,\text{cm}^3}{60\,\text{cm}^3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33\). Das Volumen des Aluminiumzylinders ist also \(\frac{10}{3}\)-mal so groß wie das des ersten Zylinders.

a) \(V = \frac{m}{\rho}\) b) \(V_1 = 60\,\text{cm}^3\) und \(V_2 = 200\,\text{cm}^3\). c) Das Volumen des Aluminiumzylinders ist \(\frac{10}{3}\)-mal so groß wie das des ersten Zylinders.

- Wandle die Dicke zunächst in Meter um, bevor du das Volumen berechnest. - Stelle die Dichteformel nach der Masse um und kontrolliere die Einheiten. - Bei der Fahrtenzahl muss ein nicht ganzzahliger Quotient so interpretiert werden, dass die gesamte Masse transportiert werden kann.

1. Die Dicke beträgt \(15\,\text{cm}=0{,}15\,\text{m}\). Daher ist \(V=4{,}5\,\text{m}\cdot4{,}0\,\text{m}\cdot0{,}15\,\text{m}=2{,}7\,\text{m}^3\). 2. Aus \(\rho=\frac{m}{V}\) folgt \(m=\rho V\). 3. Damit ist \(m=2400\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot2{,}7\,\text{m}^3=6480\,\text{kg}=6{,}48\,\text{t}\). 4. Es gilt \(6{,}48\,\text{t}:1{,}5\,\text{t}=4{,}32\). Da nur ganze Fahrten möglich sind, werden mindestens \(5\) Fahrten benötigt.

a) \(2{,}7\,\text{m}^3\) b) \(6{,}48\,\text{t}\) c) mindestens \(5\) Fahrten

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man den Zähler vergrößert, der Wert des Bruchs aber gleich bleiben soll? - Behandle die Einheiten wie Variablen oder konzentriere dich erst rein auf die Zahlenwerte. - Erinnere dich an die Umkehroperation der Division.

1. Umstellen der Formel \(p = \frac{F}{A}\) nach \(A\): Multiplikation mit \(A\) ergibt \(p \cdot A = F\), Division durch \(p\) führt zu \(A = \frac{F}{p}\). 2. Berechnung der Fläche für Teilaufgabe b): \(A = \frac{450\,\text{N}}{1500\,\text{Pa}} = 0{,}3\,\text{m}^2\). 3. Analyse für Teilaufgabe c): Aus \(A = \frac{F}{p}\) folgt bei konstantem \(p\), dass eine Verdreifachung der Kraft (\(3F\)) zu einer neuen Fläche \(A_{\text{neu}} = \frac{3F}{p} = 3 \cdot \frac{F}{p} = 3A\) führt. Die Fläche muss also ebenfalls verdreifacht werden.

a) \(A = \frac{F}{p}\) b) \(A = 0{,}3\,\text{m}^2\) c) Die Fläche \(A\) muss ebenfalls verdreifacht werden.

- Wie kannst du eine Variable isolieren, die im Nenner eines Bruchs steht? - Setze für den Vergleich in Teilaufgabe c) die veränderten Ausdrücke (\(2s\) und \(4t\)) einfach in die Grundformel ein. - Kannst du den neuen Bruch so vereinfachen, dass die ursprüngliche Formel wieder erkennbar wird?

1. Umstellen der Formel \(v = \frac{s}{t}\) nach \(t\): Multiplikation mit \(t\) ergibt \(vt = s\), anschließende Division durch \(v\) ergibt \(t = \frac{s}{v}\). 2. Einsetzen der Werte für Teilaufgabe b): \(t = \frac{165\,\text{km}}{110\,\text{km/h}} = 1{,}5\,\text{h}\). 3. Herleitung für Teilaufgabe c): Die neue Geschwindigkeit ist \(v_{\text{neu}} = \frac{2s}{4t}\). Durch Kürzen des Bruchs erhält man \(v_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{t}\). Da \(v = \frac{s}{t}\) ist, gilt \(v_{\text{neu}} = \frac{1}{2}v\) bzw. \(v_{\text{neu}} = 0{,}5v\).

a) \(t = \frac{s}{v}\) b) \(t = 1{,}5\,\text{h}\) (oder \(1\,\text{h}\,30\,\text{min}\)) c) \(v_{\text{neu}} = \frac{1}{2}v\). Die neue Geschwindigkeit ist also nur noch halb so groß wie die ursprüngliche.

- Behandle feste Zahlen und Konstanten wie \(2\pi\) als einen gemeinsamen Faktor. - Prüfe vor einer Division durch einen Variablenterm, wann dieser null sein könnte. - Mache die Rechenoperationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig, bis die gesuchte Variable allein steht.

1. Division durch den konstanten Faktor \(2\pi\) ergibt \(r=\frac{U}{2\pi}\). 2. Multiplikation mit \(100\) ergibt \(100Z=Kpt\). Für \(K\neq0\) und \(t\neq0\) folgt durch Division durch \(Kt\): \(p=\frac{100Z}{Kt}\). 3. Subtraktion von \(M\) ergibt \(O-M=2G\). Division durch \(2\) ergibt \(G=\frac{O-M}{2}\).

a) \(r=\frac{U}{2\pi}\) b) \(p=\frac{100Z}{Kt}\) für \(K\neq0\), \(t\neq0\) c) \(G=\frac{O-M}{2}\)

- Überlege bei jeder Formel, welcher ganze Faktor mit der gesuchten Variablen multipliziert wird. - Prüfe vor einer Division, ob der Divisor von einer Variablen abhängt und null werden könnte. - Klammern können als Einheit behandelt werden, bevor du einzelne Summanden isolierst.

1. Aus \(y=mx+n\) folgt durch Subtraktion von \(n\): \(y-n=mx\). Für \(m\neq0\) ergibt Division durch \(m\): \(x=\frac{y-n}{m}\). 2. Aus \(V=\pi r^2h\) folgt für \(r\neq0\) durch Division durch \(\pi r^2\): \(h=\frac{V}{\pi r^2}\). 3. Aus \(K=K_0(1+i)\) folgt für \(K_0\neq0\): \(\frac{K}{K_0}=1+i\). Nach Subtraktion von \(1\) gilt \(i=\frac{K}{K_0}-1\).

a) \(x=\frac{y-n}{m}\) für \(m\neq0\) b) \(h=\frac{V}{\pi r^2}\) für \(r\neq0\) c) \(i=\frac{K}{K_0}-1\) für \(K_0\neq0\)

- Überlege bei jeder Umstellung, durch welchen Faktor du am Ende dividieren musst und wann dieser Faktor null sein könnte. - Stelle für b) die Formel ausdrücklich nach \(K\) um, bevor du die Zeit veränderst. - Vergleiche den alten und den neuen Nenner der nach \(K\) umgestellten Formel.

1. Multiplikation mit \(100\) ergibt \(100Z=Kpt\). Für \(K\neq0\) und \(p\neq0\) darf durch \(Kp\) dividiert werden; daher ist \(t=\frac{100Z}{Kp}\). 2. Für b) wird nach \(K\) umgestellt. Bei \(p\neq0\) und \(t\neq0\) gilt \(K=\frac{100Z}{pt}\). 3. Wird \(t\) durch \(\frac{t}{2}\) ersetzt, so gilt \(K_{\text{neu}}=\frac{100Z}{p(t/2)}=2\frac{100Z}{pt}=2K\). 4. Das Kapital muss daher verdoppelt werden.

a) \(t=\frac{100Z}{Kp}\) für \(K\neq0\) und \(p\neq0\) b) \(K\) muss verdoppelt werden; für die Umstellung nach \(K\) gelten \(p\neq0\) und \(t\neq0\).

- Isoliere jeweils die Variable, nach der gefragt ist. - Welche Größe multipliziert in der Ausgangsformel die gesuchte Variable? - Denke bei jeder Division an die Bedingung, dass der Divisor nicht null sein darf.

1. Für \(n\ne0\) folgt aus \(1000(k-m)=pn\) durch Division durch \(n\): \(p=\frac{1000(k-m)}{n}\). 2. Für \(p\ne0\) folgt durch Division durch \(p\): \(n=\frac{1000(k-m)}{p}\). 3. Einsetzen in die Formel aus a) ergibt \(p=\frac{1000(18-6)}{24}=12\,000:24=500\).

a) \(p=\frac{1000(k-m)}{n}\) b) \(n=\frac{1000(k-m)}{p}\) c) \(500\,\text{g}\) pro Tag

- Welche Terme beschreiben die beiden Guthaben nach \(n\) Monaten? - Was muss für diese beiden Terme gelten, wenn beide Spardosen gleich viel enthalten? - Versuche, den Faktor mit \(n\) nach dem Umformen auszuklammern. - Untersuche anschließend, wie sich ein Bruch verändert, wenn sein positiver Nenner größer wird und der Zähler fest bleibt.

1. Die Guthaben nach \(n\) Monaten lauten \(x + an\) und \(bn\). 2. Für gleich große Guthaben gilt \(x + an = bn\). 3. Subtraktion von \(an\) ergibt \(x = bn - an\). 4. Ausklammern von \(n\) ergibt \(x = n(b-a)\), also \(n = \frac{x}{b-a}\). 5. Wenn \(b\) bei festem \(x\) und \(a\) größer wird, wird \(b-a\) größer und damit \(n\) kleiner. 6. Eine Gleichheit genau nach ganzen Monaten tritt ein, wenn \(\frac{x}{b-a}\) eine nichtnegative ganze Zahl ist.

a) \(n=\frac{x}{b-a}\); für eine Gleichheit nach ganzen Monaten muss \(\frac{x}{b-a}\in\mathbb{N}_0\) gelten. b) Wenn \(b\) größer wird, vergrößert sich der Nenner \(b-a\); dadurch wird \(n\) kleiner.

- Löse zunächst die Klammer auf und fasse die Terme mit dem Parameter zusammen. - Behandle \(a\) beim Auflösen nach \(x\) wie eine feste Größe. - Wenn \(x\) isoliert ist, kannst du die zusätzliche Bedingung für \(x\) einsetzen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(3x-6a+5a=14a\). 2. Zusammenfassen führt zu \(3x-a=14a\). 3. Addition von \(a\) ergibt \(3x=15a\). 4. Division durch \(3\) liefert \(x=5a\). 5. Für \(x=15\) gilt daher \(15=5a\), also \(a=3\).

Die aufgelöste Formel lautet \(x=5a\). Für \(x=15\) gilt \(a=3\).

- Löse jede Gleichung zunächst nach \(x\) auf und behandle \(k\) dabei wie einen Parameter. - Was muss für die beiden Ausdrücke gelten, wenn sie dieselbe Lösung für \(x\) liefern sollen? - Vergleiche die beiden erhaltenen Terme erst nach dem vollständigen Auflösen.

1. Aus (1) folgt nach dem Ausmultiplizieren \(4x+8k=20k\), also \(4x=12k\) und damit \(x=3k\). 2. Aus (2) folgt durch Addition von \(5k\) die Gleichung \(2x=16k\), also \(x=8k\). 3. Für eine gleiche Lösung müssen die beiden Ausdrücke übereinstimmen: \(3k=8k\). 4. Daraus folgt \(5k=0\) und somit \(k=0\).

a) Für (1) gilt \(x=3k\), für (2) gilt \(x=8k\). b) Beide Gleichungen haben für \(k=0\) dieselbe Lösung.

- Isoliere in jeder Formel genau die verlangte Variable. - Welche Multiplikation muss jeweils rückgängig gemacht werden? - Nutze für d) die in c) bestimmte Geschwindigkeit in der bereits umgestellten Formel.

1. Für \(m\ne0\) folgt aus \(n=vm\): \(v=\frac{n}{m}\). 2. Für \(v\ne0\) folgt aus \(x=vT\): \(T=\frac{x}{v}\). 3. Es ist \(v=180:4{,}5=40\) Seiten pro Minute. 4. Damit gilt \(T=540:40=13{,}5\) Minuten.

a) \(v=\frac{n}{m}\) b) \(T=\frac{x}{v}\) c) \(40\) Seiten pro Minute d) \(13{,}5\) Minuten

- Welche gesamte Leistung multipliziert jeweils die Zeit? - Formuliere für das neue Team zuerst den neuen Leistungsfaktor. - Vergleiche in c) die beiden Zeiten, nicht nur die Leistungswerte.

1. Aus \(A=(2f+3h)d\) folgt für \(2f+3h\ne0\): \(d=\frac{A}{2f+3h}\). 2. Für das neue Team gilt \(A=(f+5h)d_{\text{neu}}\), also \(d_{\text{neu}}=\frac{A}{f+5h}\) für \(f+5h\ne0\). 3. Ursprünglich ist \(d=\frac{1920}{240+240}=4\) Stunden. 4. Neu ist \(d_{\text{neu}}=\frac{1920}{120+400}=\frac{48}{13}\approx3{,}69\) Stunden. 5. Das neue Team benötigt weniger Zeit und ist daher schneller.

a) \(d=\frac{A}{2f+3h}\) b) \(d_{\text{neu}}=\frac{A}{f+5h}\) c) Ursprünglich: \(4\,\text{h}\); neu: \(\frac{48}{13}\,\text{h}\approx3{,}69\,\text{h}\). Das neue Team ist schneller.

- Welcher vollständige Faktor multipliziert \(T\)? - Teile beide Seiten durch \(v-w\). - Die zusätzliche Zeit in c) wird erst nach der numerischen Berechnung von \(T\) bestimmt.

1. Aus \(tv=(v-w)T\) folgt für \(v-w\ne0\): \(T=\frac{tv}{v-w}\). 2. Einsetzen ergibt \(T=\frac{20\cdot60}{60-12}=\frac{1200}{48}=25\) Tage. 3. Die Verlängerung beträgt \(25-20=5\) Tage.

a) \(T=\frac{tv}{v-w}\) b) \(25\) Tage c) \(5\) Tage

- Beseitige zuerst den Bruch, indem du beide Seiten mit \(M\) multiplizierst. - Isoliere anschließend den Ausdruck \(M-R\) und danach \(R\). - Bei welcher Variablen entsteht beim Umformen eine Division? Welche Einschränkung folgt daraus?

1. Ausgangspunkt ist \(kt=(M-R)\cdot\frac{S}{M}\). 2. Multiplikation mit \(M\) ergibt \(kMt=(M-R)S\). 3. Für \(S\ne0\) folgt durch Division durch \(S\): \(\frac{kMt}{S}=M-R\). 4. Damit ist \(R=M-\frac{kMt}{S}\). 5. Einsetzen ergibt \(R=3000-\frac{10\cdot3000\cdot30}{1200}=2250\,\text{kg}\). 6. Da durch \(S\) dividiert wird, muss \(S\ne0\) gelten; im Sachzusammenhang ist ohnehin \(S>0\).

a) \(R=M-\frac{kMt}{S}\) b) \(R=2250\,\text{kg}\) c) \(S\ne0\) (im Sachzusammenhang: \(S>0\))

- Wie kannst du den Term mit \(R_1\) zunächst auf einer Seite isolieren? - Welcher gemeinsame Nenner eignet sich für die Differenz auf der rechten Seite? - Welche Nenner dürfen in der Ausgangsgleichung und in der umgestellten Formel nicht null werden?

1. Subtraktion von \(\frac{1}{R_2}\) ergibt \(\frac{1}{R_1}=\frac{1}{R}-\frac{1}{R_2}\). 2. Mit dem gemeinsamen Nenner \(RR_2\) folgt \(\frac{1}{R_1}=\frac{R_2-R}{RR_2}\). 3. Bilden des Kehrwerts ergibt \(R_1=\frac{RR_2}{R_2-R}\). 4. In der Ausgangsgleichung müssen \(R\neq0\), \(R_1\neq0\) und \(R_2\neq0\) gelten. Für die umgestellte Formel muss zusätzlich \(R_2\neq R\) gelten.

\(R_1=\frac{RR_2}{R_2-R}\) für \(R\neq0\), \(R_2\neq0\) und \(R_2\neq R\)

- Betrachte die Summe \((a+c)\) für die ersten beiden Teilaufgaben wie eine einzelne Größe. - Wie kannst du den Bruch \(\frac{\dots}{2}\) auflösen, um die Variablen im Zähler freizustellen? - Achte beim Umstellen nach \(a\) darauf, dass du erst den Faktor \(h\) und dann die Addition von \(c\) rückgängig machst. - Kannst du die Formel Schritt für Schritt wie eine Waage behandeln?

1. Untersuchung der Proportionalität zur Höhe: Da \(h\) im Zähler (als Faktor) steht, führt eine Verdopplung von \(h\) zu einer Verdopplung des Flächeninhalts: \(A_{\text{neu}} = \frac{a+c}{2} \cdot (2h) = 2A\). 2. Untersuchung der Summe \((a+c)\): Da der gesamte Term \((a+c)\) halbiert wird, halbiert sich auch das Produkt mit \(\frac{1}{2}h\), somit halbiert sich der Flächeninhalt: \(A_{\text{neu}} = \frac{\frac{1}{2}(a+c)}{2} h = \frac{1}{2} A\). 3. Umstellen nach \(h\): Multiplikation mit \(2\) ergibt \(2A = (a+c)h\). Division durch \((a+c)\) ergibt \(h = \frac{2A}{a+c}\). 4. Umstellen nach \(a\): Aus \(2A = (a+c)h\) folgt durch Division durch \(h\) zuerst \(\frac{2A}{h} = a + c\). Subtraktion von \(c\) isoliert die Variable: \(a = \frac{2A}{h} - c\).

1) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. 2) Der Flächeninhalt halbiert sich. 3) \(h = \frac{2A}{a+c}\) 4) \(a = \frac{2A}{h} - c\)

- Schreibe alten und neuen Preis jeweils als Gesamtkosten geteilt durch Personenzahl. - Beseitige die Nenner so, dass eine Gleichung ohne Brüche entsteht. - Sammle anschließend alle Terme mit \(s\) auf einer Seite und löse nach \(s\) auf.

1. Der ursprüngliche Preis pro Person ist \(\frac{B}{n}\), der neue Preis pro Person \(\frac{B+s}{n+m}\). Daher gilt \(\frac{B}{n}=\frac{B+s}{n+m}\). 2. Multiplikation mit \(n(n+m)\) ergibt \(B(n+m)=n(B+s)\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(Bn+Bm=Bn+ns\). Nach Subtraktion von \(Bn\) bleibt \(Bm=ns\). 4. Division durch \(n\) ergibt \(s=\frac{Bm}{n}\). 5. Für die gegebenen Werte ist \(s=\frac{400\cdot5}{20}=100\,\text{€}\).

a) \(\frac{B}{n}=\frac{B+s}{n+m}\) b) \(s=\frac{Bm}{n}\) c) \(100\,\text{€}\)

- Was musst du tun, um eine Variable, die im Zähler eines Bruchs steht, zu isolieren? - Wie gehst du vor, wenn du mehrere Faktoren auf die andere Seite der Gleichung bringen möchtest? - Welche Rechenoperation ist jeweils die Umkehroperation zu Multiplikation beziehungsweise Division? - Setze die gegebenen Zahlen erst ein, nachdem du die Formel erfolgreich umgestellt hast.

1. Umstellung nach \(K\): Durch Multiplikation mit \(36\,000\) erhält man \(36\,000Z = Kpt\). Die anschließende Division durch das Produkt \(pt\) führt zu \(K = \frac{36000Z}{pt}\). 2. Umstellung nach \(t\): Aus \(36\,000Z = Kpt\) folgt durch Division durch \(Kp\) die Formel \(t = \frac{36000Z}{Kp}\). 3. Umstellung nach \(p\): \(p = \frac{36000Z}{Kt}\). Einsetzen ergibt \(p = \frac{36000 \cdot 100}{5000 \cdot 180} = \frac{3600000}{900000} = 4\). Da \(p\) in Prozent angegeben wird, beträgt der Zinssatz \(4\,\%\).

a) \(K = \frac{36000Z}{pt}\) b) \(t = \frac{36000Z}{Kp}\) c) \(p = 4\,\%\)

- Behandle \(v+c\) und \(v-c\) jeweils als vollständigen Faktor vor der Zeit. - Mache diese Multiplikation durch Division rückgängig. - Die Bedingung \(v>c\) sorgt dafür, dass die Rückweg-Geschwindigkeit positiv ist.

1. Aus \(s=(v+c)t_{\text{hin}}\) folgt \(t_{\text{hin}}=\frac{s}{v+c}\). 2. Aus \(s=(v-c)t_{\text{rück}}\) folgt \(t_{\text{rück}}=\frac{s}{v-c}\). 3. Einsetzen ergibt \(t_{\text{hin}}=36:18=2\) Stunden und \(t_{\text{rück}}=36:12=3\) Stunden. 4. Insgesamt dauert die Fahrt \(5\) Stunden.

a) \(t_{\text{hin}}=\frac{s}{v+c}\), \(t_{\text{rück}}=\frac{s}{v-c}\) b) Hinweg: \(2\,\text{h}\); Rückweg: \(3\,\text{h}\) c) \(5\,\text{h}\)

- Was ist dein Ziel beim Umstellen einer Gleichung nach einer bestimmten Variablen? - Wie kannst du die Klammern auflösen, um an das \(x\) heranzukommen? - Wie gehst du vor, wenn die gesuchte Variable in mehreren Termen vorkommt? - Überlege, welcher Rechenschritt eine Einschränkung für die Werte von \(k\) erfordern könnte.

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten der Gleichung: \(kx - km = 5x + 5n\). 2. Alle Terme mit \(x\) auf die linke Seite und alle Terme ohne \(x\) auf die rechte Seite bringen: \(kx - 5x = 5n + km\). 3. Ausklammern von \(x\) auf der linken Seite: \(x(k - 5) = 5n + km\). 4. Division durch den Ausdruck in der Klammer, um \(x\) zu isolieren: \(x = \frac{5n + km}{k - 5}\). 5. Bestimmung der Bedingung für die Lösbarkeit: Da eine Division durch Null nicht erlaubt ist, muss \(k - 5 \neq 0\) gelten, woraus \(k \neq 5\) folgt.

\(x = \frac{5n + km}{k - 5}\) mit der Bedingung \(k \neq 5\).

- Drücke zunächst die größere Zahl mithilfe der kleineren Zahl und des Verhältnisses aus. - Nutze anschließend die bekannte Differenz der beiden Zahlen. - Welche Größe soll am Ende allein stehen? - Beachte, warum die Bedingung \(n>1\) den Nenner ungleich null hält.

1. Sei \(x\) die kleinere Zahl. Wegen des Verhältnisses \(1:n\) ist die größere Zahl \(nx\). 2. Die gegebene Differenz führt zur Gleichung \(nx-x=d\). 3. Ausklammern ergibt \(x(n-1)=d\). 4. Auflösen nach \(x\) liefert \(x=\frac{d}{n-1}\). 5. Die größere Zahl ist daher \(n\cdot\frac{d}{n-1}=\frac{nd}{n-1}\).

Die kleinere Zahl ist \(\frac{d}{n-1}\), die größere Zahl ist \(\frac{nd}{n-1}\).

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, indem du zuerst alle Klammern auflöst? - Versuche, die gesuchte Variable Schritt für Schritt auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Achte darauf, gleichartige Parameter (zum Beispiel alle Terme mit \(a\)) korrekt zusammenzufassen. - Überprüfe am Ende, ob du den entstandenen Bruch noch weiter vereinfachen kannst.

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten durch Multiplikation: \(4x - 8a + 3b = 2b - 2x - 6a\). 2. Zusammenfassen der \(x\)-Terme auf der linken Seite durch Addition von \(2x\): \(6x - 8a + 3b = 2b - 6a\). 3. Isolieren des \(x\)-Terms durch Addition von \(8a\) und Subtraktion von \(3b\) auf beiden Seiten: \(6x = 2a - b\). 4. Division durch den Koeffizienten 6 zur Bestimmung des Endwerts: \(x = \frac{2a - b}{6}\).

\(x = \frac{2a - b}{6}\)

- Welcher vollständige Faktor steht bei \(q\)? - Teile beide Seiten durch diesen Faktor. - Interpretiere die Nennerbedingung anschließend im Sachzusammenhang.

1. Aus \(q(x+y)=xs\) folgt für \(x+y\ne0\): \(q=\frac{xs}{x+y}\). 2. Einsetzen ergibt \(q=\frac{0{,}4\cdot150}{2}=30\) Gramm pro Liter. 3. Da durch \(x+y\) dividiert wird, muss \(x+y\ne0\) gelten; bei positiven Volumina ist diese Bedingung erfüllt.

a) \(q=\frac{xs}{x+y}\) b) \(30\,\frac{\text{g}}{\text{L}}\) c) \(x+y\ne0\)

- Behandle \(t_1+t_2\) als einen vollständigen Faktor. - Isoliere \(v_{\text{ges}}\) durch Division. - Prüfe vor der Division, wann der Faktor im Nenner null wäre.

1. Der Faktor vor \(v_{\text{ges}}\) ist \(t_1+t_2\). 2. Für \(t_1+t_2\ne0\) folgt \(v_{\text{ges}}=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}\). 3. Einsetzen ergibt \(v_{\text{ges}}=\frac{18\cdot2+24\cdot3}{5}=\frac{108}{5}=21{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\).

a) \(v_{\text{ges}}=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}\) b) \(21{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) c) \(t_1+t_2\ne0\)

- Welcher vollständige Faktor multipliziert in jeder Formel die Zeit? - Mache diese Multiplikation durch Division rückgängig. - Deute Summe und Differenz als relative Geschwindigkeit der beiden Roboter.

1. Aus der ersten Formel folgt \(t_E=\frac{U}{v_{\alpha}+v_{\beta}}\). 2. Aus der zweiten Formel folgt \(t_G=\frac{U}{v_{\alpha}-v_{\beta}}\). 3. Bei entgegengesetzter Fahrtrichtung schließen beide Bewegungen den Abstand gemeinsam, deshalb addieren sich die Geschwindigkeiten. 4. Bei gleicher Fahrtrichtung gewinnt Alpha nur mit der Geschwindigkeitsdifferenz an Vorsprung.

a) \(t_E=\frac{U}{v_{\alpha}+v_{\beta}}\), \(t_G=\frac{U}{v_{\alpha}-v_{\beta}}\) b) Entgegengesetzt wirkt die Summe der Geschwindigkeiten; bei gleicher Richtung nur die Differenz.

- Nutze gedanklich eine gemeinsame Zeitachse ab Jans Start und berücksichtige den späteren Start von Tim. - Welche physikalische Größe muss beim Einholen für beide Läufer übereinstimmen? - Prüfe an der Endformel, warum die gegebene Bedingung \(v_T>v_J\) wichtig ist.

1. Wenn Tim seit \(t\) Sekunden läuft, ist Jan bereits \(t+100\) Sekunden unterwegs. Daher gilt \(s_J=v_J(t+100)\). 2. Für Tim gilt \(s_T=v_Tt\). 3. Beim Einholen sind die Strecken gleich: \(v_J(t+100)=v_Tt\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(v_Jt+100v_J=v_Tt\). 5. Umstellen liefert \(100v_J=v_Tt-v_Jt=t(v_T-v_J)\). 6. Da \(v_T>v_J\), ist \(v_T-v_J>0\). Division durch diese Differenz ergibt \(t=\frac{100v_J}{v_T-v_J}\).

a) \(s_J=v_J(t+100)\) b) \(s_T=v_Tt\) c) \(t=\frac{100v_J}{v_T-v_J}\)

- Mit welchem gemeinsamen Nenner kannst du die Brüche beseitigen? - Bringe alle Terme mit \(x\) auf dieselbe Seite. - Welchen Faktor kannst du anschließend vor \(x\) ausklammern?

1. Multiplikation der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \(ab\) ergibt \(a(x-a)=b(x-b)+ab\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(ax-a^2=bx-b^2+ab\). 3. Damit gilt \(x(a-b)=a^2-b^2+ab\). 4. Wegen \(a\neq b\) darf durch \(a-b\) geteilt werden. Es folgt \(x=\frac{a^2-b^2+ab}{a-b}\).

\(x=\frac{a^2-b^2+ab}{a-b}\)

- Mit welchem gemeinsamen Nenner kannst du die Brüche beseitigen? - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Nutze in b) die in a) gefundene Formel.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \(6\) ergibt \(2(2x-a)-3(x+a)=6a\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(4x-2a-3x-3a=6a\), also \(x-5a=6a\). 3. Damit ist \(x=11a\). 4. Für \(x=22\) gilt \(22=11a\), also \(a=2\).

a) \(x=11a\) b) \(a=2\)

- Setze die beiden parallelen Seiten in die allgemeine Trapezformel ein. - Vereinfache die Formel, bevor du sie nach einer Variablen auflöst. - Beim Umstellen müssen alle Faktoren, die nicht zur gesuchten Variablen gehören, auf die andere Seite gebracht werden. - Kontrolliere die numerische Höhe durch Einsetzen in die Flächenformel.

1. Mit der Trapezformel \(A=\frac{a+c}{2}h\), \(a=3x\) und \(c=x\) folgt \(A=\frac{3x+x}{2}h=2xh\). 2. Auflösen nach \(h\) ergibt \(h=\frac{A}{2x}\). 3. Für \(x=5\,\text{cm}\) und \(A=70\,\text{cm}^2\) ist \(h=\frac{70\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}}=7\,\text{cm}\). 4. Auflösen derselben Formel nach \(x\) ergibt \(x=\frac{A}{2h}\).

a) \(A=2xh\) b) \(h=\frac{A}{2x}\); für die gegebenen Werte ist \(h=7\,\text{cm}\). c) \(x=\frac{A}{2h}\)

- Behandle \(y\) beim Umstellen wie eine bekannte Größe und sammle alle Terme mit \(x\) auf einer Seite. - Nach welchem gemeinsamen Faktor kannst du die \(x\)-Terme ausklammern? - Für welchen \(y\)-Wert ist die nach \(x\) aufgelöste Formel nicht definiert?

1. Aus \(y=\frac{1-3x}{x+2}\) folgt nach Multiplikation mit \(x+2\): \(y(x+2)=1-3x\). 2. Ausmultiplizieren liefert \(yx+2y=1-3x\). 3. Die Terme mit \(x\) werden zusammengefasst: \(yx+3x=1-2y\). 4. Ausklammern ergibt \(x(y+3)=1-2y\). 5. Für \(y\ne-3\) folgt \(x=\frac{1-2y}{y+3}\). 6. Für \(y=-3\) ist diese Formel nicht definiert; zugleich kann \(g(x)=-3\) für kein zulässiges \(x\) gelten. Daher ist \(W_g=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\). 7. Der ausgeschlossene Wert \(-3\) ist die Höhe der waagrechten Asymptote, also \(y=-3\).

\(x=\frac{1-2y}{y+3}\); \(W_g=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\); waagrechte Asymptote: \(y=-3\).

- Welche Rechenschritte machen die Operationen in der ursprünglichen Formel rückgängig? - Achte bei Teilaufgabe b) auf die richtige Reihenfolge der Rechenarten (Punkt vor Strich). - Schau dir bei Teilaufgabe c) die Lage von \(A\) in deiner Formel an: Steht es im Zähler oder im Nenner? - Setze doch einmal ein Beispiel in deine Formel ein, um die Vermutung aus c) zu prüfen.

1. Umstellen nach \(c\): Zuerst Multiplikation mit \(2\) ergibt \(2A = (a + c) \cdot h\). Dann Division durch \(h\) ergibt \(\frac{2A}{h} = a + c\). Schließlich Subtraktion von \(a\) ergibt \(c = \frac{2A}{h} - a\). 2. Berechnung für \(A = 40\), \(h = 5\), \(a = 10\): \(c = \frac{2 \cdot 40}{5} - 10 = \frac{80}{5} - 10 = 16 - 10 = 6\,\text{cm}\). 3. Analyse der Änderung: Wenn \(A\) verdoppelt wird (\(A \to 2A\)), wird der Term \(\frac{2A}{h}\) in der Formel ebenfalls verdoppelt. Da \(a\) konstant abgezogen wird, vergrößert sich der Wert von \(c\). Konkret: \(c_{\text{neu}} = \frac{2 \cdot (2A)}{h} - a = 2 \cdot \frac{2A}{h} - a = 2(c + a) - a = 2c + a\). Damit gilt exakt \(c_{\text{neu}} = 2c + a\).

a) \(c = \frac{2A}{h} - a\) b) \(c = 6\,\text{cm}\) c) Es gilt \(c_{\text{neu}} = 2c + a\). Der neue Wert ist daher nicht allgemein einfach das Doppelte des alten Werts.

- Bringe nach dem Beseitigen des Nenners alle Terme mit \(x\) auf dieselbe Seite und klammere \(x\) aus. - Prüfe vor jeder Division, ob der jeweilige Divisor für alle Parameterwerte ungleich \(0\) ist. - Falls eine geplante Division für bestimmte Parameterwerte nicht zulässig ist, untersuche die ursprüngliche Gleichung in diesen Fällen separat. - Prüfe abschließend, ob erhaltene Lösungen zur ursprünglichen Definitionsmenge gehören.

1. Wegen des ursprünglichen Nenners gilt \(x\neq-1\). 2. Multiplikation mit \(x+1\) ergibt \(y(x+1)=kx\), also \(yx+y=kx\). 3. Zusammenfassen der x-Terme liefert \(y=x(k-y)\). 4. Für \(k-y\neq0\) folgt \(x=\frac{y}{k-y}\). Dieser Wert darf nicht \(-1\) sein; das ist genau dann ausgeschlossen, wenn zusätzlich \(k\neq0\) gilt. 5. Für \(k=y\neq0\) ergibt die umgeformte Gleichung \(y=0\), also einen Widerspruch. Für \(k=0\) und \(y\neq0\) gibt es ebenfalls keine Lösung. 6. Für \(k=y=0\) ist die ursprüngliche Gleichung für alle \(x\neq-1\) erfüllt.

Für \(k\neq0\) und \(k\neq y\) gilt eindeutig \(x=\frac{y}{k-y}\). Für \(k=y\neq0\) oder \(k=0\), \(y\neq0\), gibt es keine Lösung. Für \(k=y=0\) sind alle \(x\neq-1\) Lösungen.

- Übersetze den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Gleichung. Was bedeutet „um 2 größer“? - Um nach einer Variablen aufzulösen, die im Nenner steht, musst du die Gleichung zuerst mit diesem Nenner multiplizieren. - Überlege dir, welche Divisionen mathematisch nicht erlaubt sind. - Probiere verschiedene Werte für eine Variable aus, um gezielt nach negativen Ergebnissen zu suchen.

1. Quotient: \(2 : 0{,}5 = 4\). Zahl \(u\) plus \(2\): \(2 + 2 = 4\). Da \(4 = 4\), erfüllt das Paar die Bedingung. 2. Die Gleichung lautet \(\frac{u}{v} = u + 2\). Multiplikation mit \(v\): \(u = v(u + 2) = uv + 2v\). Umstellen nach \(u\): \(u - uv = 2v \implies u(1 - v) = 2v\). Für \(v \neq 1\) folgt \(u = \frac{2v}{1 - v}\). 3. Wegen des Quotienten \(\frac{u}{v}\) ist \(v=0\) ausgeschlossen. Für \(v=1\) ist der Quotient zwar definiert, die Gleichung wird jedoch zu \(u=u+2\) und besitzt daher keine Lösung für \(u\). 4. Für \(v=-1\) ergibt sich \(u = \frac{2 \cdot (-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1\). Das Paar \((-1; -1)\) besteht aus zwei negativen Zahlen.

1. Ja, denn \(2 : 0{,}5 = 4\) und \(2 + 2 = 4\). 2. Für \(v \neq 1\) gilt \(u = \frac{2v}{1 - v}\). 3. \(v=0\) ist wegen der Division durch Null ausgeschlossen. Für \(v=1\) ist die Ausgangsgleichung definiert, aber unlösbar. 4. Zum Beispiel \((-1; -1)\).

- Zerlege die Reise zunächst in Hin- und Rückweg und notiere, welche Größen sich unterscheiden. - Welche Gesamtgrößen werden für eine Durchschnittsgeschwindigkeit benötigt? - Prüfe, ob deine hergeleitete Beziehung zwischen \(v_g\) und \(v_1\) bei der gegebenen Geschwindigkeitssteigerung plausibel ist.

1. Die Teilzeiten sind \(t_1=\frac{12}{v_1}\) und \(t_2=\frac{12}{1{,}5v_1}=\frac{8}{v_1}\). 2. Damit ist \(t_{ges}=\frac{12}{v_1}+\frac{8}{v_1}=\frac{20}{v_1}\). 3. Für die Gesamtstrecke von \(24\,\text{km}\) gilt \(v_g=\frac{24}{20/v_1}=\frac{24v_1}{20}=1{,}2v_1\). 4. Aus \(54=1{,}2v_1\) folgt \(v_1=45\,\text{km/h}\).

a) \(t_{ges}=\frac{20}{v_1}\) b) \(v_g=1{,}2v_1\) c) \(v_1=45\,\text{km/h}\)

- Isoliere zunächst den Kehrwert \(\frac{1}{g}\), bevor du nach \(g\) selbst auflöst. - Ein konkretes Zahlenbeispiel kann eine falsche Umformung widerlegen. - Für c) untersuche zuerst, wie sich \(\frac{1}{b}\) verändert, und übertrage das anschließend auf \(\frac{1}{g}\) und \(g\).

1. Aus \(\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}\) folgt \(\frac{1}{g}=\frac{1}{f}-\frac{1}{b}=\frac{b-f}{fb}\). Für \(b\neq f\), \(f\neq0\) und \(b\neq0\) ergibt die Kehrwertbildung \(g=\frac{fb}{b-f}\). 2. Für \(f=6\) und \(b=10\) liefert die korrekte Formel \(g=\frac{60}{4}=15\). Jonas' Vermutung liefert dagegen \(-4\) und ist damit widerlegt. 3. Für \(b>f>0\) wird \(\frac{1}{b}\) kleiner, wenn \(b\) wächst. Daher wird \(\frac{1}{g}=\frac{1}{f}-\frac{1}{b}\) größer und \(g\) kleiner. 4. Für sehr große \(b\) nähert sich \(\frac{1}{b}\) dem Wert \(0\), also nähert sich \(g\) dem Wert \(f\) von oben an.

a) \(g=\frac{fb}{b-f}\) b) Die Vermutung ist falsch; für \(f=6\) und \(b=10\) ergibt sich \(g=15\) statt \(-4\). c) \(g\) wird kleiner und nähert sich \(f\) von oben an.

- Mit welchem gemeinsamen Nenner kannst du die Brüche beseitigen? - Bringe anschließend alle Terme mit \(x\) auf dieselbe Seite. - Welche Faktoren dürfen nicht null sein, wenn du nach \(x\) auflöst?

1. Multiplikation der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \(ac\) ergibt \(cx-abc=ax\). 2. Daher gilt \(x(c-a)=abc\). 3. Für \(c\neq a\) folgt \(x=\frac{abc}{c-a}\). 4. Wegen der ursprünglichen Nenner müssen außerdem \(a\neq0\) und \(c\neq0\) gelten.

\(x=\frac{abc}{c-a}\) für \(a\neq0\), \(c\neq0\) und \(c\neq a\)

- Wie kannst du die Klammern beseitigen, um die Terme einzeln zu betrachten? - Was passiert mit den Gliedern, die \(x^2\) enthalten? - Wenn eine Variable in verschiedenen Termen vorkommt, welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, sie zu isolieren? - Denke an die mathematischen Regeln für die Division – was darf niemals im Nenner eines Bruches stehen?

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(x^2 + ax + bx + ab - x^2 = cx + c\). 2. Vereinfachen der linken Seite durch Subtraktion von \(x^2\): \(ax + bx + ab = cx + c\). 3. Umstellen der Gleichung, sodass alle Terme mit der Variablen \(x\) auf der linken Seite stehen: \(ax + bx - cx = c - ab\). 4. Ausklammern von \(x\) auf der linken Seite: \(x \cdot (a + b - c) = c - ab\). 5. Division durch den Klammerausdruck liefert die Lösung für \(x\): \(x = \frac{c - ab}{a + b - c}\). 6. Bestimmung der Existenzbedingung: Damit die Division möglich ist und eine eindeutige Lösung existiert, darf der Nenner nicht Null sein, also \(a + b - c \neq 0\).

\(x = \frac{c - ab}{a + b - c}\) mit der Bedingung \(a + b - c \neq 0\)

- Welche Beziehung verbindet zurückgelegte Strecke, Radumfang und Zahl der Umdrehungen? - Formuliere die Bedingung „Rad A macht \(n\) Umdrehungen mehr“ erst, nachdem du für beide Räder einen passenden Ausdruck gefunden hast. - Prüfe am Ende, ob deine Formel bei größerem \(n\) eine entsprechend größere Strecke liefert.

1. Rad A macht auf der Strecke \(s\) genau \(\frac{s}{u}\) Umdrehungen, Rad B genau \(\frac{s}{1{,}25u}\). 2. Die geforderte Differenz führt zu \(\frac{s}{u}-\frac{s}{1{,}25u}=n\). 3. Da \(\frac{1}{1{,}25}=0{,}8\) gilt, wird die linke Seite zu \(\frac{s}{u}-0{,}8\frac{s}{u}=0{,}2\frac{s}{u}\). 4. Damit gilt \(0{,}2\frac{s}{u}=n\). 5. Auflösen nach \(s\) ergibt \(s=5nu\).

\(s=5nu\)

- Ordne zuerst, welche Größen vor und nach dem Verdünnen unverändert bleiben und welche sich ändern. - Kannst du den Prozentanteil als Verhältnis einer Teilmenge zur Gesamtmenge ausdrücken? - Prüfe deine Endformel an einem Grenzfall, in dem Ziel- und Ausgangskonzentration gleich wären.

1. Die reine Fruchtmenge beträgt \(V\frac{p}{100}\). 2. Nach Zugabe von \(w\) Litern Wasser beträgt das Gesamtvolumen \(V+w\). 3. Für die Zielkonzentration gilt \(\frac{V\frac{p}{100}}{V+w}=\frac{q}{100}\). 4. Umformen ergibt \(Vp=q(V+w)\). 5. Daraus folgen \(Vp=qV+qw\), \(qw=V(p-q)\) und schließlich \(w=\frac{V(p-q)}{q}\).

\(w=\frac{V(p-q)}{q}\)

- Ordne zuerst, welche Massen sich beim Hinzufügen von reinem Salz verändern. - Beschreibe den Zielprozentsatz als Verhältnis von Salzmasse zu Gesamtmasse. - Prüfe an deiner Endformel, ob bei unverändertem Zielgehalt keine Zugabemenge nötig wäre.

1. Die ursprüngliche Salzmasse beträgt \(m\frac{s}{100}\). 2. Nach Zugabe von \(z\) Gramm Salz beträgt die Gesamtmasse \(m+z\) und die Salzmasse \(m\frac{s}{100}+z\). 3. Für die Zielkonzentration gilt \(\frac{m\frac{s}{100}+z}{m+z}=\frac{k}{100}\). 4. Multiplikation mit \(100(m+z)\) ergibt \(ms+100z=k(m+z)\). 5. Umformen führt zu \(z(100-k)=m(k-s)\). 6. Daher ist \(z=\frac{m(k-s)}{100-k}\).

\(z=\frac{m(k-s)}{100-k}\)

- Wenn die gesuchte Variable sowohl im Nenner als auch im Zähler steht, was musst du zuerst tun? - Wie kannst du einen Term mit der gesuchten Variable zusammenfassen, wenn er an mehreren Stellen vorkommt? - Erinnerst du dich an das Ausklammern (Distributivgesetz), um eine Variable zu isolieren? - Achte darauf, alle Terme mit der gesuchten Variable auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Nach \(k\): Multiplikation mit \(x+m\) ergibt \(y(x+m)=kx\). Wegen \(x \neq 0\) darf durch \(x\) dividiert werden: \(k=\frac{y(x+m)}{x}\). 2. Nach \(x\): Aus \(y(x+m)=kx\) folgt \(yx+ym=kx\), also \(ym=x(k-y)\). Wegen \(k \neq y\) erhält man \(x=\frac{ym}{k-y}\). Die Voraussetzungen \(m \neq 0\) und \(k \neq 0\) schließen die Sonderfälle ohne eindeutige Lösung aus und sichern \(x+m \neq 0\).

a) \(k = \frac{y(x+m)}{x}\) für \(x \neq 0\) b) \(x = \frac{ym}{k-y}\) für \(m \neq 0\), \(k \neq 0\) und \(k \neq y\)

- Kannst du \(x\) auf der linken Seite ausklammern? - Wie bringst du die beiden Brüche in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner? - Vereinfache den Zähler der Differenz, bevor du die Gleichung weiter nach \(x\) auflöst. - Welche der gegebenen Nichtnullbedingungen erlauben dir das Kürzen eines gemeinsamen Faktors?

1. Links wird \(x\) ausgeklammert: \(x\left(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}\right)=\frac{2b}{a}\). 2. Die Klammer wird auf einen gemeinsamen Nenner gebracht: \(\frac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2b}{(a-b)(a+b)}\). 3. Damit gilt \(x\cdot\frac{2b}{(a-b)(a+b)}=\frac{2b}{a}\). 4. Wegen \(b\neq0\) darf durch \(2b\) dividiert werden. Multiplikation mit \((a-b)(a+b)\) ergibt \(x=\frac{(a-b)(a+b)}{a}\).

\(x=\frac{(a-b)(a+b)}{a}\)

- Welcher gemeinsame Nenner beseitigt beide Brüche? - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen. - Kannst du nach dem Zusammenfassen denselben Faktor auf beiden Seiten erkennen?

1. Multiplikation der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \((a+b)(a-b)\) ergibt \(a(x+b)(a-b)+b(x-a)(a+b)=a(a^2-b^2)\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert \((a^2+b^2)x-2ab^2=a^3-ab^2\). 3. Daher gilt \((a^2+b^2)x=a(a^2+b^2)\). 4. Aus \(a\neq0\) folgt \(a^2+b^2\neq0\). Division durch \(a^2+b^2\) ergibt \(x=a\).

\(x=a\)

- Stelle zwei Gleichungen auf: eine für die Gesamtmasse der Mischung und eine für die Masse des darin enthaltenen reinen Salzes. - Wie hängen Prozentangaben und die absolute Menge des Stoffes zusammen? - Versuche, eine der Variablen in der zweiten Gleichung zu ersetzen, indem du die erste Gleichung nutzt. - Achte darauf, die Variablen \(a, b, k, M\) wie normale Zahlen zu behandeln, während du nach \(x\) und \(y\) auflöst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Masse von Lösung A in \(\text{g}\), \(y\) ist die Masse von Lösung B in \(\text{g}\). 2. Aufstellen des Systems: \(x + y = M\) (Gesamtmasse) und \(\frac{a}{100}x + \frac{b}{100}y = \frac{k}{100}M\) (Masse des reinen Salzes). 3. Vereinfachung der Salzgleichung durch Multiplikation mit 100: \(ax + by = kM\). 4. Ausdruck von \(y\) durch \(x\): \(y = M - x\). 5. Einsetzen in die Salzgleichung: \(ax + b \cdot (M - x) = kM\). 6. Auflösen nach \(x\): \(ax + bM - bx = kM \implies x \cdot (a - b) = M \cdot (k - b) \implies x = \frac{M \cdot (k - b)}{a - b}\). 7. Bestimmung von \(y\): \(y = M - \frac{M \cdot (k - b)}{a - b} = \frac{M \cdot (a - b) - M \cdot (k - b)}{a - b} = \frac{M \cdot (a - k)}{a - b}\).

Die Menge der Lösung A ist \(x = \frac{M \cdot (k - b)}{a - b}\,\text{g}\) und die Menge der Lösung B ist \(y = \frac{M \cdot (a - k)}{a - b}\,\text{g}\).

- Stelle zuerst je eine Gleichung für die Anzahl der Fahrzeuge und für die Anzahl der Räder auf. - Behandle \(n\) und \(r\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Welche Variable lässt sich besonders leicht isolieren? - Prüfe anschließend, wann beide Formeln ganze, nichtnegative Werte liefern: Welche kleinste und größte Radzahl ist bei \(n\) Fahrzeugen möglich?

1. Gleichungssystem aufstellen: I: \(m + a = n\) II: \(2m + 4a = r\) 2. Die erste Gleichung nach \(m\) umstellen: \(m = n - a\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2 \cdot (n-a) + 4a = r\). 4. Nach \(a\) auflösen: \(2n - 2a + 4a = r \implies 2a = r - 2n \implies a = \frac{r-2n}{2} = \frac{r}{2}-n\). 5. \(a\) in \(m=n-a\) einsetzen: \(m = n-\left(\frac{r}{2}-n\right)=2n-\frac{r}{2}=\frac{4n-r}{2}\). 6. Für Fahrzeugzahlen müssen \(n,r\in\mathbb{N}_0\) gelten. Aus \(a\ge 0\) folgt \(r\ge 2n\), aus \(m\ge 0\) folgt \(r\le 4n\). Damit beide Formeln ganze Zahlen liefern, muss \(r\) gerade sein.

Die Anzahl der Autos ist \(a = \frac{r-2n}{2}\), die Anzahl der Motorräder ist \(m = \frac{4n-r}{2}\). Sinnvolle Fahrzeugzahlen erhält man für \(n,r\in\mathbb{N}_0\), \(2n\le r\le 4n\) und gerades \(r\).