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- Suche einen Punkt auf dem blauen Graphen, der genau auf einem Gitterpunkt liegt. - Stelle mithilfe der Punktkoordinaten die Gleichung nach \(a\) um. - Überprüfe dein Ergebnis mit einem zweiten Punkt.

1. Wähle einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterpunkt liegt, zum Beispiel \(P(1 \mid -3)\) oder \(Q(3 \mid -1)\). 2. Setze die Koordinaten von \(P(1 \mid -3)\) in \(f(x) = \frac{a}{x}\) ein: \(-3 = \frac{a}{1}\). 3. Daraus folgt \(a = -3\). 4. Die Probe mit \(Q(3 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, denn \(f(3) = -\frac{3}{3} = -1\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -\frac{3}{x}\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -\frac{3}{x}\).

- Multipliziere in jeder Tabellenspalte den \(x\)-Wert mit dem zugehörigen Funktionswert. - Welche Zahl bleibt bei allen drei Produkten gleich? - Wie hängt dieses konstante Produkt mit dem Zählerparameter \(a\) zusammen?

1. Für die drei Wertepaare gilt \(1\cdot12=12\), \(2\cdot6=12\) und \(4\cdot3=12\). 2. Bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) ist dieses konstante Produkt gleich \(a\). Daher ist \(a=12\). 3. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{12}{x}\).

Für alle Wertepaare gilt \(x\cdot f(x)=12\). Daher ist \(a=12\) und \(f(x)=\frac{12}{x}\).

- In welchen beiden Quadranten liegen die Äste des Graphen? - Lies den markierten Punkt möglichst genau am Gitter ab. - Welche Beziehung gilt bei einem Punkt \((x\mid y)\) auf \(y=\frac{a}{x}\) zwischen \(x\), \(y\) und \(a\)?

1. Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten. Daher ist \(a<0\). 2. Aus dem markierten Punkt liest man \(P(2\mid-3)\) ab. Für \(f(x)=\frac{a}{x}\) gilt \(a=x\cdot y\), also \(a=2\cdot(-3)=-6\). 3. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{-6}{x}\).

a) \(a<0\) b) \(P(2\mid-3)\), also \(a=-6\) c) \(f(x)=\frac{-6}{x}\)

- Setze in a) die Argumente direkt in den Nenner des Funktionsterms ein. - In b) ist ein Funktionswert vorgegeben. Welche Gleichung beschreibt diesen Fall? - Vergleiche für c) die Terme \(f(x)\) und \(f(2x)\), ohne konkrete Zahlen einzusetzen.

1. Es ist \(f(2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\) und \(f(10)=\frac{4}{50}=\frac{2}{25}\). 2. Für \(f(x)=\frac{1}{20}\) muss \(\frac{4}{5x}=\frac{1}{20}\) gelten. Kreuzmultiplikation ergibt \(80=5x\), also \(x=16\). 3. Bei verdoppeltem Argument ist \(f(2x)=\frac{4}{10x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5x}=\frac12f(x)\). Der Funktionswert halbiert sich.

a) \(f(2)=\frac{2}{5}\), \(f(10)=\frac{2}{25}\) b) \(x=16\) c) Beim Verdoppeln von \(x\) halbiert sich der Funktionswert.

- Welche Größe bleibt bei einer indirekt proportionalen Zuordnung für alle Wertepaare gleich? - Wie kannst du dieses konstante Produkt aus dem gegebenen Wertepaar bestimmen? - Wie erhältst du aus dem konstanten Produkt einen fehlenden Partnerwert?

1. Aus dem bekannten Wertepaar folgt für das konstante Produkt \(a=10\cdot12=120\). 2. Mit \(y=\frac{120}{x}\) erhält man \(y(5)=24\), \(y(8)=15\), \(y(15)=8\), \(y(20)=6\), \(y(30)=4\) und \(y(40)=3\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y=\frac{120}{x}\). 4. Der Graph einer indirekt proportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel.

a) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td><td>\(15\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(24\)</td><td>\(15\)</td><td>\(12\)</td><td>\(8\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> b) \(y=\frac{120}{x}\) c) Der Graph heißt Hyperbel.

- Welche Beziehung verbindet bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) einen \(x\)-Wert mit seinem Funktionswert? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt verwenden, um \(a\) zu bestimmen? - Welche Größe ist in Teil c unbekannt, und wie kannst du die Gleichung danach auflösen?

1. Aus \(a=x\cdot f(x)\) folgt \(a=1{,}25\cdot8=10\). Damit gilt \(f(x)=\frac{10}{x}\). 2. Es ist \(f(5)=\frac{10}{5}=2\) und \(f(0{,}1)=\frac{10}{0{,}1}=100\). 3. Aus \(20=\frac{10}{x}\) folgt \(x=\frac{10}{20}=0{,}5\).

a) \(a=10\); \(f(x)=\frac{10}{x}\) b) \(f(5)=2\); \(f(0{,}1)=100\) c) \(x=0{,}5\)

- Was folgt aus der Tatsache, dass \(P\) auf dem Graphen liegt? - Wie kannst du \(a\) aus einem Wertepaar bestimmen? - Welche Größe ist in Teil c unbekannt?

1. Aus \(-3=\frac{a}{4}\) folgt \(a=-12\). Damit ist \(g(x)=-\frac{12}{x}\). 2. Es gilt \(g(-1{,}5)=\frac{-12}{-1{,}5}=8\). 3. Aus \(12=-\frac{12}{x}\) folgt \(x=-1\).

a) \(a=-12\); \(g(x)=-\frac{12}{x}\) b) \(g(-1{,}5)=8\) c) \(x=-1\)

- Was erhältst du, wenn du im Funktionsterm \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welche algebraische Bedingung kennzeichnet Punktsymmetrie zum Ursprung? - Wie ändern sich bei einer Punktspiegelung am Ursprung beide Koordinaten? - Welche Vorzeichen haben \(x\) und \(g(x)\) bei positivem beziehungsweise negativem \(x\)?

1. Es gilt \(g(-x)=-\frac{9}{-x}=\frac{9}{x}=-g(x)\). 2. Die Beziehung \(g(-x)=-g(x)\) für alle \(x\neq0\) zeigt die Punktsymmetrie des Graphen zum Koordinatenursprung. 3. Zum Punkt \(P(3\mid-3)\) gehört \(P'(-3\mid3)\). Die Probe ergibt \(g(-3)=-\frac{9}{-3}=3\). 4. Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten. Diese beiden Bereiche werden durch eine Punktspiegelung am Ursprung ineinander überführt.

a) \(g(-x)=\frac{9}{x}=-g(x)\) b) Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. c) \(P'(-3\mid3)\); \(g(-3)=3\) d) II. und IV. Quadrant; sie werden durch die Punktspiegelung am Ursprung ineinander überführt.

- Suche dir für jeden Graphen einen Punkt, dessen Koordinaten du ganz genau auf dem Gitter ablesen kannst. - Erinnere dich an die allgemeine Form \(y = \frac{a}{x}\). Wie kannst du die abgelesenen Koordinaten nutzen, um \(a\) zu berechnen? - Du kannst die Gleichung nach \(a\) umstellen. Welcher einfache Zusammenhang besteht zwischen \(x\), \(y\) und \(a\)?

1. Punkt \(P(1 \mid 2)\) auf dem blauen Graphen \(f\) ablesen. 2. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(2 = \frac{a}{1}\), also \(a = 2\). 3. Punkt \(Q(2 \mid -2)\) auf dem roten Graphen \(g\) ablesen. 4. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(-2 = \frac{a}{2}\), also \(a = -4\).

a) \(a = 2\) b) \(a = -4\)

- Lies zuerst ein gut erkennbares Wertepaar direkt aus dem Graphen ab. - Bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) ist das Produkt \(x\cdot f(x)\) für alle Punkte des Graphen gleich. - Prüfe den gegebenen Punkt erst, nachdem du \(a\) aus der Abbildung bestimmt hast.

1. Aus dem gut ablesbaren Punkt \((3\mid4)\) folgt bei \(f(x)=\frac{a}{x}\) der Parameter \(a=3\cdot4=12\). 2. Für \(P(2{,}5\mid5)\) gilt \(2{,}5\cdot5=12{,}5\neq12\). Daher liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. 3. Mit \(f(x)=\frac{12}{x}\) erhält man \(f(0{,}5)=24\), \(f(1{,}5)=8\), \(f(5)=2{,}4\) und \(f(10)=1{,}2\).

a) \(a=12\) b) Nein. Es gilt \(2{,}5\cdot5=12{,}5\neq12\); daher liegt \(P(2{,}5\mid5)\) nicht auf dem Graphen. c) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(24\)</td><td>\(8\)</td><td>\(2{,}4\)</td><td>\(1{,}2\)</td></tr> </table>

- Suche Punkte auf dem Graphen, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Multipliziere den \(x\)-Wert und den \(y\)-Wert eines Punkts. - Achte auf das Vorzeichen des Parameters.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man den Punkt \(P(1 \mid -2)\) ab. 2. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(-2 = \frac{a}{1}\), also \(a = -2\). 3. Der zweite Punkt \(Q(2 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, denn \(f(2) = -\frac{2}{2} = -1\).

a) Aus \(P(1 \mid -2)\) folgt \(a = -2\). b) Der Punkt \(Q(2 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, da \(f(2) = -1\) gilt.

- Alle vier Bilder zeigen Funktionen der Form \(y=\frac{a}{x}\); die Funktionsfamilie allein reicht also nicht. - Berechne einen einfachen Funktionswert, zum Beispiel für \(x=2\). - Nutze zusätzlich das Vorzeichen von \(a\), um die Astlage zu prüfen.

1. Alle vier Kandidaten sind Hyperbeln der Form \(y=\frac{a}{x}\). Deshalb reicht die bloße Hyperbelform nicht zur Entscheidung. 2. Für \(f(x)=\frac{4}{x}\) gilt zum Beispiel \(f(2)=2\). Außerdem ist \(a>0\), also liegen die Äste in den Quadranten I und III. 3. Nur Graph A hat bei \(x=2\) den Wert \(y=2\) und zugleich die passende Astlage. Graph B gehört zu \(\frac{2}{x}\), Graph C zu \(-\frac{4}{x}\) und Graph D zu \(\frac{8}{x}\). 4. Daher ist A der gesuchte Graph.

A

- Woran erkennst du an mehreren Wertepaaren eine indirekt proportionale Zuordnung? - Welche Bedeutung hat der gemeinsame Produktwert für den Funktionsterm? - Wie kannst du mit dem konstanten Produkt einen fehlenden \(x\)-Wert bestimmen?

1. Für die vier Punkte gilt \(2\cdot24=48\), \(4\cdot12=48\), \(6\cdot8=48\) und \(16\cdot3=48\). 2. Da das Produkt \(x\cdot y\) konstant ist, liegt eine indirekt proportionale Zuordnung mit \(a=48\) vor. Damit gilt \(y=\frac{48}{x}\). 3. Für \(E\) gilt \(x\cdot1{,}5=48\), also \(x=48:1{,}5=32\).

a) Ja. Für alle vier Punkte gilt \(x\cdot y=48\). b) \(y=\frac{48}{x}\) c) \(x=32\)

- Welche Beziehung gilt bei einer indirekt proportionalen Zuordnung zwischen \(x\), \(y\) und \(a\)? - Vergleiche in deiner Tabelle ein Wertepaar mit einem anderen, dessen \(x\)-Wert dreimal so groß ist. - Wie muss sich der zweite Wert ändern, damit das Produkt gleich bleibt?

1. Aus \(x\cdot y=a\) folgt \(a=4\cdot18=72\). 2. Mit \(y=\frac{72}{x}\) erhält man die Wertepaare \((2\mid36)\), \((3\mid24)\), \((6\mid12)\), \((9\mid8)\) und \((12\mid6)\). 3. Für einen beliebigen zulässigen Wert \(x\) gilt \(y_1=\frac{a}{x}\). Wird \(x\) verdreifacht, so ist \(y_2=\frac{a}{3x}=\frac{1}{3}y_1\). Der \(y\)-Wert wird also durch \(3\) geteilt.

a) \(a=72\) b) \((2\mid36)\), \((3\mid24)\), \((6\mid12)\), \((9\mid8)\), \((12\mid6)\) c) Beim Verdreifachen von \(x\) wird \(y\) durch \(3\) geteilt, denn \(\frac{a}{3x}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{x}\).

- Welche Bedingung müssen alle Wertepaare einer indirekt proportionalen Zuordnung erfüllen? - Prüfe diese Bedingung nacheinander für alle fünf Paare. - Welche Zahl wird im Funktionsterm \(y=\frac{a}{x}\) durch den konstanten Produktwert festgelegt?

1. Für eine indirekt proportionale Zuordnung muss das Produkt \(x\cdot y\) bei allen Wertepaaren gleich sein. 2. Es gilt \(4\cdot15=60\), \(2\cdot30=60\), \(10\cdot6=60\), \(12\cdot5=60\) und \(2{,}5\cdot24=60\). 3. Damit ist das Produkt konstant und \(a=60\). Die Funktionsgleichung lautet \(y=\frac{60}{x}\).

Ja. Für alle Wertepaare gilt \(x\cdot y=60\). Daher ist die Zuordnung indirekt proportional und es gilt \(y=\frac{60}{x}\).

- Gibt es bei einer der Funktionen eine Zahl, die man nicht einsetzen darf? - Stelle für beide Funktionen eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis 12 lautet. - Was muss für den Funktionswert gelten, wenn ein Graph die \(x\)-Achse berührt?

1. Vergleich der Definitionsmengen: Bei \(f(x) = 3x\) kann jede rationale Zahl eingesetzt werden (\(D_f = \mathbb{Q}\)). Bei \(g(x) = \frac{3}{x}\) darf \(x\) nicht Null sein (\(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\)). 2. Berechnung der Argumente für den Wert \(12\): Für \(f\): \(3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Für \(g\): \(\frac{3}{x} = 12 \Rightarrow 3 = 12x \Rightarrow x = \frac{3}{12} = 0{,}25\). 3. Begründung der Achsenschnittpunkte: Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) erfordert \(y = 0\). Für \(f\): \(3x = 0\) liefert \(x = 0\). Der Graph schneidet die Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\). Für \(g\): Die Gleichung \(\frac{3}{x} = 0\) hat keine Lösung, da ein Bruch mit Zähler \(3\) niemals Null wird. Zudem ist \(x = 0\) nicht definiert, sodass auch kein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse existiert.

a) \(D_f = \mathbb{Q}\), während \(D_g = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\), da man durch Null nicht dividieren darf. b) Für \(f\) ist \(x = 4\); für \(g\) ist \(x = 0{,}25\). c) \(f\) hat die Nullstelle \(x = 0\). \(g\) hat keine Nullstelle, da der Zähler \(3\) niemals Null wird, und ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Mit welchem Ausdruck kannst du die Gleichung multiplizieren, damit kein Bruch mehr vorkommt? - Wie lässt sich die entstehende quadratische Gleichung als Produkt zweier linearer Faktoren schreiben? - Welche Funktionswerte gehören zu den beiden gefundenen \(x\)-Werten?

1. Wegen des Nenners \(x\) gilt \(x\neq0\). 2. Für \(x\neq0\) darf mit \(x\) multipliziert werden: \(2=x(x-1)=x^2-x\). Damit gilt \(x^2-x-2=0\). 3. Es ist \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Daher sind \(x_1=2\) und \(x_2=-1\). Beide Werte sind zulässig. 4. Für \(x=2\) ist \(f(2)=g(2)=1\), für \(x=-1\) ist \(f(-1)=g(-1)=-2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2\mid1)\) und \(S_2(-1\mid-2)\).

a) \(x\neq0\) b) \(2=x(x-1)\), also \((x-2)(x+1)=0\); Lösungen: \(x=2\) und \(x=-1\) c) \(S_1(2\mid1)\), \(S_2(-1\mid-2)\)

- Welche Größe bleibt bei einer indirekt proportionalen Zuordnung konstant? - Mit welchem Faktor ändert sich \(x\) von \(4\) auf \(12\), und wie muss sich der Partnerwert ändern? - Übertrage dieses Faktorprinzip auf die beiden Änderungen in Teil c.

1. Von \(4\) auf \(12\) wird der \(x\)-Wert mit \(3\) multipliziert. Damit das Produkt \(x\cdot f(x)\) gleich bleibt, wird der Funktionswert durch \(3\) geteilt. Also ist \(f(12)=9:3=3\). 2. Es gilt \(a=4\cdot9=36\). Die Kontrolle liefert \(f(12)=\frac{36}{12}=3\). 3. Wird \(x\) vervierfacht, wird \(f(x)\) durch \(4\) geteilt. Wird \(x\) durch \(10\) geteilt, wird \(f(x)\) mit \(10\) multipliziert.

a) \(f(12)=3\), weil der \(x\)-Wert mit \(3\) multipliziert wird und deshalb der Funktionswert für das konstante Produkt durch \(3\) geteilt werden muss. b) \(a=36\); Kontrolle: \(\frac{36}{12}=3\) c) Bei \(4x\) wird der Funktionswert geviertelt; bei \(x:10\) wird er verzehnfacht. In beiden Fällen bleibt \(x\cdot f(x)\) konstant.

- Welche Beziehung gilt zwischen \(x\), \(y\) und \(a\) bei \(y=\frac{a}{x}\)? - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Was geschieht mit einem Bruch, wenn sein Nenner mit \(4\) multipliziert wird?

1. Aus \(1{,}5=\frac{a}{4}\) folgt \(a=1{,}5\cdot4=6\). 2. Für \(x=-0{,}5\) gilt \(\frac{6}{-0{,}5}=-12\). Daher liegt \(Q\) auf dem Graphen. 3. Mit \(y_R=\frac{a}{x_R}\) und \(x_S=4x_R\) gilt \(y_S=\frac{a}{4x_R}=\frac{1}{4}y_R\).

a) \(a=6\) b) Ja, denn \(\frac{6}{-0{,}5}=-12\). c) \(y_S=\frac{1}{4}y_R\), weil sich bei vierfachem \(x\)-Wert der Funktionswert bei konstantem Produkt auf ein Viertel verringert.

- Welches Vorzeichen hat \(\frac{4}{x}\) bei positivem bzw. negativem \(x\)? - Vergleiche die berechneten positiven Funktionswerte bei kleinen und großen \(x\)-Werten. - Welche Beziehung gilt zwischen \(x\), \(f(x)\) und dem konstanten Produkt \(4\)?

1. Da der Zähler \(4\) positiv ist, gilt \(f(x)>0\) für \(x>0\) und \(f(x)<0\) für \(x<0\). 2. Es ist \(f(0{,}1)=40\), \(f(100)=0{,}04\) und \(f(-1000)=-0{,}004\). Für immer größere positive \(x\)-Werte werden die positiven Funktionswerte immer kleiner; der Graph nähert sich der \(x\)-Achse an, ohne sie zu schneiden. 3. Aus \(0{,}5=\frac{4}{x}\) folgt \(x=8\). 4. Es gilt \(f(2)=2\), also liegt \(P\) auf dem Graphen. Außerdem ist \(2\cdot2=4\), passend zum konstanten Produkt \(a=4\).

1. Positiv für \(x>0\), negativ für \(x<0\). 2. \(f(0{,}1)=40\), \(f(100)=0{,}04\), \(f(-1000)=-0{,}004\); für große positive \(x\) nähert sich der Graph der \(x\)-Achse an. 3. \(x=8\) 4. Ja; \(2\cdot2=4\).

- Welche positiven Teilerpaare haben das Produkt \(36\)? - Suche für Teil 2 in deiner Liste nach einem Wertepaar mit gleichen Einträgen. - Prüfe für Teil 3 die Bedingung \(x=4y\) direkt an den bereits gefundenen Punkten.

1. Für positive ganzzahlige Koordinaten muss \(x\cdot y=36\) gelten. Die positiven Faktorpaare liefern \((1\mid36)\), \((2\mid18)\), \((3\mid12)\), \((4\mid9)\), \((6\mid6)\), \((9\mid4)\), \((12\mid3)\), \((18\mid2)\) und \((36\mid1)\). 2. Nur \((6\mid6)\) hat gleiche Koordinaten; dabei gilt \(6\cdot6=36\). 3. Unter den aufgelisteten Punkten erfüllt \((12\mid3)\) die Bedingung \(12=4\cdot3\).

1. \((1\mid36)\), \((2\mid18)\), \((3\mid12)\), \((4\mid9)\), \((6\mid6)\), \((9\mid4)\), \((12\mid3)\), \((18\mid2)\), \((36\mid1)\) 2. \((6\mid6)\), denn \(6\cdot6=36\). 3. \((12\mid3)\), denn \(12=4\cdot3\).

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Mit welchem Ausdruck kannst du die Gleichung multiplizieren, damit der Bruch verschwindet? - Wie lässt sich die entstehende quadratische Gleichung als Produkt schreiben? - Welche gemeinsamen Funktionswerte gehören zu den gefundenen Argumenten?

1. Wegen des Nenners gilt \(x\neq0\). 2. Für \(x\neq0\) darf mit \(x\) multipliziert werden: \(4=x(x+3)=x^2+3x\). Also gilt \(x^2+3x-4=0\). 3. Es ist \(x^2+3x-4=(x-1)(x+4)\). Daher sind \(x_1=1\) und \(x_2=-4\). 4. Probe für \(x=1\): \(\frac{4}{1}=4=1+3\). Probe für \(x=-4\): \(\frac{4}{-4}=-1=-4+3\). 5. Die zugehörigen Schnittpunkte sind \(S_1(1\mid4)\) und \(S_2(-4\mid-1)\).

a) \(x\neq0\) b) \(4=x(x+3)\), also \((x-1)(x+4)=0\); Lösungen: \(x=1\) und \(x=-4\) c) \(\frac{4}{1}=4=1+3\), \(\frac{4}{-4}=-1=-4+3\); \(S_1(1\mid4)\), \(S_2(-4\mid-1)\)

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Mit welchem Ausdruck kannst du die Gleichung multiplizieren, damit der Bruch verschwindet? - Wie lässt sich die entstehende quadratische Gleichung als Produkt schreiben? - Welche gemeinsamen Funktionswerte gehören zu den beiden Lösungen?

1. Wegen des Nenners gilt \(x\neq0\). 2. Für \(x\neq0\) darf mit \(x\) multipliziert werden: \(6=x(x+1)=x^2+x\). Also gilt \(x^2+x-6=0\). 3. Es ist \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\). Daher sind \(x_1=2\) und \(x_2=-3\). 4. Probe für \(x=2\): \(\frac{6}{2}=3=2+1\). Probe für \(x=-3\): \(\frac{6}{-3}=-2=-3+1\). Beide Werte sind Lösungen. 5. Damit sind die Schnittpunkte \(S_1(2\mid3)\) und \(S_2(-3\mid-2)\).

a) \(x\neq0\) b) \(6=x(x+1)\), also \((x-2)(x+3)=0\); Lösungen: \(x=2\) und \(x=-3\) c) \(\frac{6}{2}=3=2+1\), \(\frac{6}{-3}=-2=-3+1\); \(S_1(2\mid3)\), \(S_2(-3\mid-2)\)

- Wie hängen \(x\), \(y\) und der Parameter \(a\) bei einer Funktion der Form \(y = \frac{a}{x}\) zusammen? - Wähle für jeden Graphen einen Punkt aus, dessen Koordinaten du leicht ablesen kannst. - Multipliziere die Koordinaten eines Punktes, um \(a\) zu finden. - Setze für den zweiten Teil der Aufgabe den gefundenen Wert für \(a\) und den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein.

1. Aus dem ablesbaren Punkt \((1\mid15)\) auf \(f\) folgt \(a_f=1\cdot15=15\). 2. Aus dem ablesbaren Punkt \((2\mid5)\) auf \(g\) folgt \(a_g=2\cdot5=10\). 3. Aus dem ablesbaren Punkt \((5\mid1)\) auf \(h\) folgt \(a_h=5\cdot1=5\). 4. Damit ist \(f(x)=\frac{15}{x}\) und \(f(6)=\frac{15}{6}=2{,}5\).

a) \(a_f=15\), \(a_g=10\), \(a_h=5\) b) \(f(6)=2{,}5\)

- Suche im Graphen einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten und bestimme daraus \(a\). - Vergleiche danach für jedes Tabellenpaar das Produkt \(x\cdot f(x)\) mit dem aus dem Graphen bestimmten Parameter. - Überlege zuletzt, welche Information fehlen würde, wenn du nur die beiden Tabellenpaare und die Aussage „genau ein Wert ist falsch“ hättest.

1. Am Graphen kann man zum Beispiel den Punkt \((3\mid4)\) ablesen. Daher ist \(a=3\cdot4=12\). 2. Für \((-6\mid-2)\) gilt \((-6)\cdot(-2)=12\). Dieser Tabellenwert passt zum Graphen. 3. Für \((4\mid2)\) gilt dagegen \(4\cdot2=8\). Dieser Tabellenwert passt nicht zum aus dem Graphen bestimmten Parameter. 4. Für \(x=4\) muss \(f(4)=\frac{12}{4}=3\) gelten. Der richtige Tabellenwert ist also \(f(4)=3\). 5. Ohne den Graphen liefern die beiden Tabellenpaare nur die verschiedenen möglichen Produkte \(12\) und \(8\). Da lediglich bekannt ist, dass genau ein Wert falsch ist, entscheidet erst der Graph, welches Produkt der tatsächliche Parameter \(a\) ist.

Aus dem Graphen folgt \(a=12\). Der Wert \(f(4)=2\) ist falsch; richtig ist \(f(4)=3\). Ohne den Graphen wäre aus den zwei unterschiedlichen Produkten \(12\) und \(8\) nicht eindeutig erkennbar, welcher Tabellenwert geändert werden muss.