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- Worauf musst du bei den Produkten der Zahlenpaare achten, wenn eine Zuordnung antiproportional ist? - Rechne für jedes Spaltenpaar das Produkt aus. - Was passiert mit dem einen Wert, wenn sich der andere Wert verdoppelt?

1. Prüfung der Produktgleichheit für alle Paare \((x, y)\) 2. Berechnung der Produkte \(x \cdot y\): \(0{,}5 \cdot 40 = 20\) \(1 \cdot 20 = 20\) \(2{,}5 \cdot 8 = 20\) \(5 \cdot 4 = 20\) \(10 \cdot 2 = 20\) 3. Da alle Produkte den konstanten Wert \(20\) ergeben, liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

Ja, die Tabelle gehört zu einer antiproportionalen Zuordnung, da das Produkt \(x \cdot y\) für alle Wertepaare konstant \(20\) ist (Produktgleichheit).

- Überlege dir: Wenn sich die erste Größe verdoppelt, was passiert dann mit der zweiten Größe? - Wird die zweite Größe größer oder kleiner? - Gibt es einen festen Gesamtwert (wie eine Fläche oder eine Strecke), der verteilt oder bewältigt werden muss? - Prüfe, ob das Produkt der beiden Größen in jedem Fall gleich bleibt.

1. Zuordnung a): Antiproportional. Wenn sich die Anzahl der Maler verdoppelt, halbiert sich die benötigte Zeit (vorausgesetzt, sie behindern sich nicht), da die Gesamtmenge der Arbeit (Fläche der Halle) konstant bleibt. Das Produkt aus Maleranzahl und Zeit ist konstant. 2. Zuordnung b): Nicht antiproportional (sondern proportional). Mehr Karten führen zu einem höheren Gesamtpreis. Das Verhältnis von Preis zu Anzahl (Einzelpreis) ist konstant, nicht das Produkt. 3. Zuordnung c): Antiproportional. Die Formel lautet \(\text{Zeit} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Geschwindigkeit}}\). Da die Strecke mit \(30\,\text{km}\) konstant ist, führt eine Verdopplung der Geschwindigkeit zu einer Halbierung der Zeit. Das Produkt \(v \cdot t = 30\,\text{km}\) ist konstant.

a) Antiproportional, da die Gesamtarbeit konstant ist. b) Nicht antiproportional (sondern proportional), da der Preis pro Karte konstant ist. c) Antiproportional, da die Gesamtstrecke konstant ist.

- Was weißt du über das Produkt von zusammengehörigen Werten bei einer antiproportionalen Zuordnung? - Wie kannst du aus einem bekannten Wertepaar die Zahl berechnen, die für alle Paare gleich sein muss? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Multiplikation, um den anderen Wert zu finden?

1. Bestimmung der Proportionalitätskonstante \(k\) durch das Produkt eines bekannten Wertepaares: \(k = 10 \cdot 12 = 120\). 2. Berechnung der fehlenden \(y\)-Werte mittels \(y = \frac{120}{x}\): Für \(x=5\): \(y = 120 : 5 = 24\). Für \(x=8\): \(y = 120 : 8 = 15\). Für \(x=15\): \(y = 120 : 15 = 8\). Für \(x=20\): \(y = 120 : 20 = 6\). Für \(x=30\): \(y = 120 : 30 = 4\). Für \(x=40\): \(y = 120 : 40 = 3\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(y = \frac{120}{x}\). 4. Benennung des Graphen: Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel.

a) Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tbody> <tr><td>\(x\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td><td>\(15\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(24\)</td><td>\(15\)</td><td>\(12\)</td><td>\(8\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td></tr> </tbody> </table> b) Die Gleichung lautet \(y = \frac{120}{x}\). c) Der Graph heißt Hyperbel.

- Überlege, wie Geschwindigkeit, Zeit und Strecke zusammenhängen. Welches Produkt bleibt hier immer gleich? - Was bedeutet es für die Rechenoperation, wenn eine Größe im Nenner steht? - Erinnere dich an die Eigenschaften antiproportionaler Zuordnungen.

1. Aufstellen der Formel: Da das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit die konstante Strecke ergibt (\(v \cdot t = 120\)), lautet die Formel für die Zeit \(t = \frac{120}{v}\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: - Für \(v = 20\): \(t = 120 : 20 = 6\) - Für \(v = 30\): \(t = 120 : 30 = 4\) - Für \(v = 40\): \(t = 120 : 40 = 3\) - Für \(v = 60\): \(t = 120 : 60 = 2\) - Für \(v = 80\): \(t = 120 : 80 = 1{,}5\) - Für \(v = 100\): \(t = 120 : 100 = 1{,}2\) - Für \(v = 120\): \(t = 120 : 120 = 1\) 3. Analyse der Änderung: Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung. Wird die Geschwindigkeit \(v\) halbiert, so verdoppelt sich die benötigte Zeit \(t\).

a) \(t = \frac{120}{v}\) b) Die Werte für \(t\) lauten: \(6\); \(4\); \(3\); \(2\); \(1{,}5\); \(1{,}2\); \(1\). c) Wenn die Geschwindigkeit halbiert wird, verdoppelt sich die Zeit, da die Zuordnung antiproportional ist.

- Was muss bei einer antiproportionalen Zuordnung für alle Paare von \(x\) und \(y\) gelten? - Untersuche das Produkt der beiden Koordinaten für jeden Punkt. - Wenn das Produkt immer gleich ist, nennt man diesen Wert den konstanten Produktwert.

1. Prüfung auf Antiproportionalität durch Produktbildung \(x \cdot y\). 2. Berechnung der Produkte für alle Paare: \(A: 4 \cdot 15 = 60\) \(B: 2 \cdot 30 = 60\) \(C: 10 \cdot 6 = 60\) \(D: 12 \cdot 5 = 60\) \(E: 2{,}5 \cdot 24 = 60\) 3. Da alle Produkte den konstanten Wert \(60\) ergeben, ist die Zuordnung produktgleich und somit antiproportional. 4. Aufstellen der Gleichung mit dem konstanten Produktwert \(a = 60\): \(y = \frac{60}{x}\) oder \(x \cdot y = 60\).

Ja, es liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. Die Funktionsgleichung lautet \(y = \frac{60}{x}\) (oder \(x \cdot y = 60\)).

- Überlege dir zuerst, ob die Arbeit länger oder kürzer dauert, wenn mehr Personen mithelfen. - Was passiert mit der Zeit, wenn sich die Anzahl der Schüler verdoppelt? - Prüfe, ob das Produkt aus den beiden Größen in jeder Spalte deiner Tabelle immer denselben Wert ergibt.

1. Berechnung der Tabellenwerte durch Division der Gesamtzeit (\(12\,\text{h}\)) durch die Anzahl der Schüler: \(12 : 1 = 12\), \(12 : 2 = 6\), \(12 : 3 = 4\), \(12 : 4 = 3\), \(12 : 6 = 2\). 2. Bestimmung des Zuordnungstyps: Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung, da das Produkt aus Schüleranzahl \(n\) und Zeit \(t\) immer konstant \(12\) ergibt (\(n \cdot t = 12\)). 3. Aufstellen der Formel: Aus der Produktgleichheit \(n \cdot t = 12\) folgt durch Umformung \(t = \frac{12}{n}\).

a) Tabelle: <table> <tr><td>Anzahl Schüler \(n\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td></tr> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{h}\)</td><td>12</td><td>6</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td></tr> </table> b) Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da die Wertepaare produktgleich sind: \(1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = \dots = 12\). c) Die Formel lautet \(t = \frac{12}{n}\) (oder \(n \cdot t = 12\)).

- Welche Eigenschaft haben alle Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung gemeinsam? - Wie hängen \(x\), \(f(x)\) und der Parameter \(a\) mathematisch zusammen? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen?

1. Berechnung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(1{,}25 \mid 8)\) in die Produktgleichheit \(a = x \cdot f(x)\): \(a = 1{,}25 \cdot 8 = 10\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{10}{x}\). 2. Berechnung der Funktionswerte durch Einsetzen: \(f(5) = \frac{10}{5} = 2\) und \(f(0{,}1) = \frac{10}{0{,}1} = 100\). 3. Bestimmung der Stelle \(x\) für \(f(x) = 20\): Aus \(20 = \frac{10}{x}\) folgt durch Umformung \(x = \frac{10}{20} = 0{,}5\).

a) \(a = 10\); \(f(x) = \frac{10}{x}\) b) \(f(5) = 2\); \(f(0{,}1) = 100\) c) \(x = 0{,}5\)

- Überlege dir, ob sich eine Größe halbiert, wenn die andere verdoppelt wird. - Prüfe, ob das Produkt der beiden zugeordneten Größen immer denselben Wert ergibt. - Stell dir vor, wie sich die zweite Größe ändert, wenn du die erste extrem vergrößerst oder verkleinerst.

1. Analyse von a): Da die Gesamtfläche der Pizza konstant bleibt, führt eine Verdopplung der Anzahl der Stücke zu einer Halbierung der Fläche pro Stück. Das Produkt aus Anzahl und Einzelfläche ist konstant. Ergebnis: antiproportional. 2. Analyse von b): Bei einem festen Kilopreis führt die doppelte Menge Äpfel zum doppelten Preis. Das ist eine proportionale Zuordnung. Ergebnis: nicht antiproportional. 3. Analyse von c): Da die Strecke mit \(20\,\text{km}\) fest vorgegeben ist, ist das Produkt aus Geschwindigkeit \(v\) und Zeit \(t\) konstant: \(v \cdot t = 20\,\text{km}\). Verdoppelt sich die Geschwindigkeit, halbiert sich die Zeit. Ergebnis: antiproportional. 4. Analyse von d): Bäume wachsen nicht gleichmäßig über ihre gesamte Lebensspanne, und es gibt kein konstantes Produkt oder einen konstanten Quotienten. Ergebnis: nicht antiproportional.

a) Antiproportional, da das Produkt aus Anzahl und Fläche die konstante Gesamtfläche der Pizza ergibt. b) Nicht antiproportional (sondern proportional). c) Antiproportional, da das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit die konstante Strecke von \(20\,\text{km}\) ergibt. d) Nicht antiproportional.

- Was passiert mit dem Ergebnis eines Bruchs, wenn der Zähler größer wird, der Nenner aber gleich bleibt? - Überlege dir, welche Vorzeichen \(x\) und \(y\) haben müssen, damit ihr Produkt positiv ist. - Kann ein Bruch den Wert Null ergeben, wenn im Zähler eine feste Zahl ungleich Null steht? - Was passiert mathematisch, wenn du versuchst, für \(x\) den Wert \(0\) einzusetzen?

a) Für \(f(x) = \frac{12}{x}\) gilt: \(f(1)=12\), \(f(2)=6\), \(f(3)=4\), \(f(4)=3\), \(f(6)=2\), \(f(12)=1\). Für \(g(x) = \frac{24}{x}\) gilt: \(g(1)=24\), \(g(2)=12\), \(g(3)=8\), \(g(4)=6\), \(g(6)=4\), \(g(12)=2\). b) Für jedes \(x>0\) gilt \(g(x)=2\cdot f(x)>f(x)\). Die zugehörigen Punkte haben dieselbe \(x\)-Koordinate, aber der Punkt auf dem Graphen von \(g\) hat die größere positive \(y\)-Koordinate und damit den größeren Abstand vom Koordinatenursprung. c) Da die Parameter positiv sind, liegen die Äste im I. Quadranten (\(x>0, y>0\)) und im III. Quadranten (\(x<0, y<0\)). Die \(y\)-Achse wird nicht berührt, weil \(x=0\) nicht zur Definitionsmenge gehört. Die \(x\)-Achse wird nicht berührt, weil \(\frac{k}{x}\) bei \(k\neq0\) für kein endliches \(x\) den Wert \(0\) annimmt.

a) Wertetabelle: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td><td>12</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>12</td><td>6</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td></tr> <tr><td>\(g(x)\)</td><td>24</td><td>12</td><td>8</td><td>6</td><td>4</td><td>2</td></tr> </table> b) Bei gleichem positiven \(x\)-Wert hat der Punkt auf dem Graphen von \(g\) den größeren Abstand vom Koordinatenursprung, da \(g(x)=2\cdot f(x)\). c) Die Äste liegen im I. und III. Quadranten. Die Achsen werden nicht berührt, da \(x=0\) ausgeschlossen ist und der Funktionsterm für kein \(x\) den Wert \(0\) ergibt.

- Welche mathematische Operation verbindet \(x\), \(y\) und \(k\) bei dieser Art von Funktion? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Unbekannten umstellen? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(4 \mid -3)\) in die Gleichung \(-3 = \frac{k}{4}\) ergibt durch Multiplikation mit \(4\) den Parameter \(k = -12\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -\frac{12}{x}\). 2. Berechnung des Funktionswertes für \(x = -1{,}5\): \(g(-1{,}5) = \frac{-12}{-1{,}5} = 8\). 3. Bestimmung der Stelle \(x\) für \(g(x) = 12\): Aus \(12 = -\frac{12}{x}\) folgt durch Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(12\) das Ergebnis \(x = -1\).

a) \(k = -12\); \(g(x) = -\frac{12}{x}\) b) \(g(-1{,}5) = 8\) c) \(x = -1\)

- Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Division hat, wenn die Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner sehr groß wird? - Um einen \(x\)-Wert zu finden, kannst du die Funktionsgleichung nach \(x\) umstellen. - Ein Punkt liegt auf einem Graphen, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.

1. Da der Zähler \(4\) positiv ist, ist \(f(x) > 0\) für alle \(x > 0\) und \(f(x) < 0\) für alle \(x < 0\). 2. Berechnung der Werte: \(f(0{,}1) = \frac{4}{0{,}1} = 40\); \(f(100) = \frac{4}{100} = 0{,}04\); \(f(-1\,000) = \frac{4}{-1\,000} = -0{,}004\). Wenn \(x\) immer größer wird (\(x \to \infty\)), nähert sich der Funktionswert der Null an (\(y \to 0\)). 3. Gleichung lösen: \(0{,}5 = \frac{4}{x} \implies 0{,}5 \cdot x = 4 \implies x = \frac{4}{0{,}5} = 8\). 4. Punktprobe: \(f(2) = \frac{4}{2} = 2\). Da der Funktionswert \(2\) ist, liegt \(P(2 \mid 2)\) auf dem Graphen. Da \(x = y = 2\) gilt, ist dies ein Schnittpunkt mit der ersten Winkelhalbierenden \(y = x\), welche eine Symmetrieachse der Hyperbel darstellt.

1. \(f(x) > 0\) für \(x > 0\); \(f(x) < 0\) für \(x < 0\). 2. \(f(0{,}1) = 40\); \(f(100) = 0{,}04\); \(f(-1\,000) = -0{,}004\). Für sehr große \(x\) nähert sich der Graph der \(x\)-Achse an. 3. \(x = 8\). 4. Ja, \(P\) liegt auf dem Graphen; es ist ein Schnittpunkt mit der Symmetrieachse \(y = x\).

- Wie kannst du aus einem vollständigen Wertepaar den sogenannten Produktwert berechnen? - Wenn du den Produktwert kennst, wie berechnest du dann einen fehlenden Partner, wenn eine Zahl gegeben ist? - Überlege: Wenn \(x\) kleiner wird, muss \(y\) im gleichen Verhältnis größer werden.

1. Bestimmung des Antiproportionalitätsfaktors \(k\) aus dem bekannten Paar \((4; 10)\): \(k = 4 \cdot 10 = 40\) 2. Berechnung von \(b\) bei \(x = 2\): \(b = 40 : 2 = 20\) 3. Berechnung von \(a\) bei \(y = 5\): \(a = 40 : 5 = 8\) 4. Berechnung von \(c\) bei \(x = 16\): \(c = 40 : 16 = 2{,}5\) 5. Berechnung von \(d\) bei \(x = 40\): \(d = 40 : 40 = 1\)

Die fehlenden Werte lauten: \(b = 20\), \(a = 8\), \(c = 2{,}5\) und \(d = 1\).

- Was passiert, wenn du die Werte in einer Spalte miteinander multiplizierst? - Erinnerst du dich an den Begriff der Produktgleichheit? - Wenn du weißt, wie viel Arbeit insgesamt anfällt (in Stunden für eine Person), wie verteilst du diese dann auf mehrere Personen?

1. Prüfung der Produktgleichheit: \(3 \cdot 16 = 48\), \(6 \cdot 8 = 48\), \(12 \cdot 4 = 48\). Da alle Produkte den gleichen Wert ergeben, ist die Zuordnung antiproportional. 2. Der Antiproportionalitätsfaktor beträgt \(48\). Im Sachkontext bedeutet das: Ein einzelner Gärtner würde allein \(48\,\text{Stunden}\) für die gesamte Arbeit benötigen. 3. Berechnung für \(8\) Gärtner: Da \(x \cdot y = 48\) gilt, rechnen wir \(y = \frac{48}{8} = 6\). Ein Team aus \(8\) Gärtnern benötigt also \(6\,\text{Stunden}\).

1. Rechnerischer Nachweis durch Produktgleichheit: \(3 \cdot 16 = 6 \cdot 8 = 12 \cdot 4 = 48\). 2. Faktor: \(48\); Bedeutung: Ein einzelner Gärtner würde für die gesamte Arbeit \(48\,\text{Stunden}\) benötigen. 3. Ein Team aus \(8\) Gärtnern benötigt \(6\,\text{Stunden}\).

- Was muss für alle Wertepaare gelten, damit sie zu einer antiproportionalen Zuordnung gehören? - Wie hängen der \(x\)-Wert, der \(y\)-Wert und die Proportionalitätskonstante zusammen? - Wenn du das feste Produkt kennst, wie findest du dann einen fehlenden Partnerwert?

1. Prüfung der Produktgleichheit (\(x \cdot y = k\)) für alle Punkte: \(A: 2 \cdot 24 = 48\) \(B: 4 \cdot 12 = 48\) \(C: 6 \cdot 8 = 48\) \(D: 16 \cdot 3 = 48\) Da alle Produkte den gleichen Wert \(48\) ergeben, liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. 2. Aufstellen der Gleichung mit der Konstante \(k = 48\): \(y = \frac{48}{x}\). 3. Berechnung der \(x\)-Koordinate für \(E(x|1{,}5)\): \(x \cdot 1{,}5 = 48\) \(x = 48 : 1{,}5 = 32\). Der Punkt ist \(E(32|1{,}5)\).

a) Ja, sie gehören zur selben Zuordnung, da das Produkt \(x \cdot y\) bei allen Paaren konstant \(48\) ist. b) Die Gleichung lautet \(y = \frac{48}{x}\). c) Die Koordinate ist \(x = 32\).

- Wie berechnet man die Proportionalitätskonstante, wenn ein Wertepaar gegeben ist? - Erinnere dich an den Merksatz: „Je mehr, desto ...“ – was bedeutet das für die Faktoren? - Probier es doch mal mit einem Beispiel aus deiner Tabelle aus: Was passiert mit \(y\), wenn du von \(x=2\) zu \(x=6\) gehst?

1. Berechnung von \(k\) durch Einsetzen des Paares \((4|18)\): \(k = 4 \cdot 18 = 72\). 2. Berechnung der Tabellenwerte mit \(y = \frac{72}{x}\): \(x=2 \implies y=36\) \(x=3 \implies y=24\) \(x=6 \implies y=12\) \(x=9 \implies y=8\) \(x=12 \implies y=6\) 3. Untersuchung der Verdreifachung: Bei einer antiproportionalen Zuordnung führt die Multiplikation der einen Größe mit einem Faktor zur Division der anderen Größe durch denselben Faktor. Rechnerisch: Sei \(y_1 = \frac{k}{x}\). Wird \(x\) zu \(3x\), folgt \(y_2 = \frac{k}{3x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{k}{x} = \frac{1}{3} y_1\). Der \(y\)-Wert wird also durch \(3\) geteilt (bzw. gedrittelt).

a) \(k = 72\). b) Die Wertepaare lauten: \((2|36), (3|24), (6|12), (9|8), (12|6)\). c) Wenn der \(x\)-Wert verdreifacht wird, wird der \(y\)-Wert durch \(3\) geteilt (er drittelt sich), da das Produkt \(x \cdot y\) immer konstant bleiben muss.

- Wie verteilt man einen festen Betrag auf eine Gruppe? - Wähle zwei Werte für \(n\), bei denen der eine genau das Doppelte des anderen ist. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn du den Divisor verdoppelst?

1. Berechnung der Einzelwerte: - Für \(n = 12\): \(k = 480 : 12 = 40\,\text{€}\) - Für \(n = 15\): \(k = 480 : 15 = 32\,\text{€}\) - Für \(n = 20\): \(k = 480 : 20 = 24\,\text{€}\) - Für \(n = 24\): \(k = 480 : 24 = 20\,\text{€}\) - Für \(n = 32\): \(k = 480 : 32 = 15\,\text{€}\) 2. Aufstellen des Terms: Da die Gesamtsumme fix ist, ergibt sich der Preis pro Person durch Division der Gesamtsumme durch die Personenanzahl: \(k = \frac{480}{n}\). 3. Überprüfung der Aussage: Bei \(12\) Personen zahlt jeder \(40\,\text{€}\). Verdoppelt man auf \(24\) Personen, zahlt jeder \(20\,\text{€}\). Das ist genau die Hälfte; die Aussage stimmt.

a) Für \(n=12\): \(40\,\text{€}\); für \(n=15\): \(32\,\text{€}\); für \(n=20\): \(24\,\text{€}\); für \(n=24\): \(20\,\text{€}\); für \(n=32\): \(15\,\text{€}\). b) \(k = \frac{480}{n}\) c) Die Aussage ist korrekt. Beispiel: Bei \(12\) Personen sind es \(40\,\text{€}\), bei \(24\) Personen (doppelte Anzahl) sind es \(20\,\text{€}\) (halber Preis).

- Was bleibt in dieser Situation unverändert, egal wie groß die Gläser sind? - Wenn du die Gläser doppelt so voll machst, kannst du dann mehr oder weniger Gläser füllen? - Wie hängen die Gesamtmenge, die Anzahl der Teile und die Größe eines Teils zusammen?

1. Bestimmung des Typs: Da die Gesamtmenge konstant ist, führt eine größere Füllmenge pro Glas zu einer geringeren Anzahl an Gläsern. Es handelt sich um eine antiproportionale (umgekehrt proportionale) Zuordnung. 2. Aufstellen der Formel: Das Produkt aus Anzahl \(n\) und Volumen \(v\) muss die Gesamtmenge ergeben: \(n \cdot v = 12\), also \(n = \frac{12}{v}\). 3. Berechnung für \(v = 0{,}2\): \(n = \frac{12}{0{,}2} = 60\). 4. Berechnung für \(v = 0{,}3\): \(n = \frac{12}{0{,}3} = 40\).

a) Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da die Anzahl der Gläser sinkt, wenn die Füllmenge pro Glas steigt. b) \(n = \frac{12}{v}\) c) Bei \(0{,}2\,\text{l}\) sind es \(60\) Gläser; bei \(0{,}3\,\text{l}\) sind es \(40\) Gläser.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. - Was passiert mit einer Seite, wenn die andere Seite länger wird, die Fläche aber gleich bleiben muss? - Überlege dir ein konkretes Beispiel mit Zahlen und schaue, was passiert, wenn du eine Zahl verdreifachst.

1. Zusammenhang analysieren: Die Formel für den Flächeninhalt ist \(A = a \cdot b\). Da \(A = 48\) konstant ist, ist das Produkt \(a \cdot b = 48\) konstant. Dies entspricht einer antiproportionalen Zuordnung. 2. Beispielpaare finden: Mögliche Paare \((a|b)\) sind z. B. \((4|12)\), \((6|8)\) und \((2|24)\), da jeweils \(a \cdot b = 48\) gilt. 3. Veränderung untersuchen: Bei einer antiproportionalen Zuordnung führt die Multiplikation einer Größe mit einem Faktor zur Division der anderen Größe durch denselben Faktor. Wenn \(a\) verdreifacht wird (\(\cdot 3\)), muss \(b\) durch \(3\) geteilt werden (\(: 3\)), damit das Produkt \(48\) bleibt.

a) Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da das Produkt der Seitenlängen konstant \(48\) ist. b) Mögliche Paare: \(4\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\); \(6\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\); \(2\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\). c) Die Breite \(b\) wird gedrittelt (durch \(3\) geteilt), da das Produkt \(a \cdot b\) konstant bleiben muss.

- Wie verändert sich der Preis für den Einzelnen, wenn mehr Leute mitmachen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, bei der das Produkt aus Teilnehmerzahl und Einzelpreis immer die Gesamtkosten ergibt? - Wenn du bei einer Rechnung ein Ergebnis wie \(26{,}\overline{6}\) erhältst, überlege genau, ob du auf- oder abrunden musst, damit die Bedingung (maximal \(18\,\text{€}\)) noch stimmt.

1. Berechnung der Einzelpreise: \(480 : 20 = 24\,\text{€}\), \(480 : 24 = 20\,\text{€}\), \(480 : 30 = 16\,\text{€}\). 2. Formelaufstellung: Da die Gesamtkosten konstant sind, gilt \(p = \frac{480}{n}\). 3. Ermittlung der Mindestteilnehmerzahl: Die Bedingung lautet \(\frac{480}{n} \le 18\). Umstellen ergibt \(n \ge \frac{480}{18}\). Rechnung: \(480 : 18 = 26{,}\overline{6}\). Da nur ganze Personen mitfahren können, müssen es mindestens \(27\) Schüler sein.

a) Bei \(20\) Schülern: \(24\,\text{€}\); bei \(24\) Schülern: \(20\,\text{€}\); bei \(30\) Schülern: \(16\,\text{€}\). b) \(p = \frac{480}{n}\) (mit \(p\) als Preis pro Person und \(n\) als Anzahl der Schüler). c) Es müssen mindestens \(27\) Schüler mitfahren.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. - Was bedeutet „antiproportional“ für die Änderung der einen Größe, wenn die andere mit einem Faktor multipliziert wird? - Rechne für den Umfang zwei konkrete Beispiele mit unterschiedlichen Seitenlängen, aber gleichem Flächeninhalt durch.

1. Mögliche Paare für \(x \cdot y = 24\): \((1; 24)\), \((2; 12)\), \((3; 8)\), \((4; 6)\). 2. Zusammenhang: Es liegt eine antiproportionale Zuordnung vor (\(y = \frac{24}{x}\)). Bei einer Verdreifachung der Länge \(x\) drittelt sich die Breite \(y\). 3. Überprüfung der Umfangsaussage: Beispiel \(x=4, y=6 \Rightarrow U = 2 \cdot (4+6) = 20\,\text{m}\). Verdopplung/Halbierung: \(x=8, y=3 \Rightarrow U = 2 \cdot (8+3) = 22\,\text{m}\). Da \(20 \neq 22\), ist die Aussage falsch. Der Umfang ändert sich, auch wenn der Flächeninhalt gleich bleibt.

a) Mögliche Paare (Länge; Breite): \((2\,\text{m}; 12\,\text{m})\), \((3\,\text{m}; 8\,\text{m})\), \((4\,\text{m}; 6\,\text{m})\), \((6\,\text{m}; 4\,\text{m})\). b) Der Zusammenhang ist antiproportional (\(y = \frac{24}{x}\)). Wenn die Länge verdreifacht wird, wird die Breite auf ein Drittel reduziert. c) Nein, der Gärtner hat nicht recht. Beispiel: Bei \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\) ist \(U = 20\,\text{m}\). Bei \(8\,\text{m}\) und \(3\,\text{m}\) ist \(U = 22\,\text{m}\). Der Umfang ändert sich.

- Was passiert mit dem einen Wert, wenn man den anderen mit einer Zahl multipliziert? - Erinnerst du dich an den Merksatz „Je mehr ..., desto weniger ...“? - Wie hängen die Faktoren zusammen, mit denen \(x\) und \(y\) verändert werden?

1. Nutzung der Antiproportionalität: Da der \(x\)-Wert von \(4\) auf \(12\) verdreifacht wird (\(\cdot 3\)), muss der zugehörige Funktionswert durch \(3\) geteilt werden. Es gilt \(f(12) = 9 : 3 = 3\). 2. Berechnung von \(a\): \(a = x \cdot f(x) = 4 \cdot 9 = 36\). Überprüfung: \(f(12) = \frac{36}{12} = 3\). Das Ergebnis stimmt überein. 3. Allgemeine Eigenschaften: Bei Vervierfachung des \(x\)-Wertes wird der Funktionswert durch \(4\) geteilt (bzw. mit \(\frac{1}{4}\) multipliziert). Wenn der \(x\)-Wert durch \(10\) geteilt wird, vervielfacht sich der Funktionswert um den Faktor \(10\).

a) \(f(12) = 3\), da bei Verdreifachung von \(x\) der \(y\)-Wert gedrittelt wird. b) \(a = 36\); \(f(12) = \frac{36}{12} = 3\). c) Bei Vervierfachung von \(x\) wird \(f(x)\) durch \(4\) geteilt; bei Division von \(x\) durch \(10\) wird \(f(x)\) mit \(10\) multipliziert.

- Was bleibt in dieser Situation unverändert, egal wie teuer ein Liter Farbe ist? - Wie berechnest du die Menge, wenn du das Gesamtbudget und den Literpreis kennst? - Erinnere dich an die Eigenschaft der Produktgleichheit bei antiproportionalen Zuordnungen.

1. Berechnung der Werte für die Tabelle durch Division des Gesamtbudgets (\(120\,\text{€}\)) durch den Preis pro Liter: \(120 : 4 = 30\) \(120 : 6 = 20\) \(120 : 8 = 15\) \(120 : 10 = 12\) \(120 : 12 = 10\) 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da das Produkt aus Preis (\(x\)) und Menge (\(y\)) immer \(x \cdot y = 120\) ergibt, lautet die Gleichung \(y = \frac{120}{x}\). 3. Interpretation von \(k\): Der Faktor \(k = 120\) entspricht dem festen Gesamtbudget in Euro.

a) Die Werte für die Menge sind: \(30\), \(20\), \(15\), \(12\), \(10\) (jeweils in Litern). b) Die Gleichung lautet \(y = \frac{120}{x}\). Der Proportionalitätsfaktor \(k = 120\) gibt das verfügbare Gesamtbudget von \(120\,\text{€}\) an.

- Welche Rechenoperation führt bei einer antiproportionalen Zuordnung bei jedem Wertepaar zum selben Ergebnis? - Prüfe für jedes Paar in den Tabellen, ob dieses Ergebnis gleich bleibt. - Wenn du die feste Zahl (das Produkt) gefunden hast, wie kannst du damit eine Lücke füllen?

1. Prüfung von Tabelle A auf Produktgleichheit (\(x \cdot y = \text{konstant}\)): \(1 \cdot 12 = 12\); \(2 \cdot 6 = 12\); \(3 \cdot 4 = 12\); \(6 \cdot 2 = 12\). Da alle Produkte \(12\) ergeben, ist Tabelle A antiproportional. 2. Prüfung von Tabelle B auf Produktgleichheit: \(1 \cdot 2 = 2\); \(2 \cdot 4 = 8\). Die Produkte sind nicht gleich, daher ist Tabelle B nicht antiproportional (sie ist proportional, da der Quotient \(y : x = 2\) konstant ist). 3. Berechnung des fehlenden Wertes in Tabelle A: \(x \cdot y = 12 \implies 8 \cdot y = 12 \implies y = 12 : 8 = 1{,}5\).

a) Tabelle A beschreibt eine antiproportionale Zuordnung, da das Produkt \(x \cdot y = 12\) für alle gegebenen Paare konstant ist. Bei Tabelle B sind die Produkte \(2\), \(8\), \(18\) und \(32\) nicht konstant. b) Der fehlende Wert in Tabelle A ist \(1{,}5\).

- Wie hängen \(x\), \(y\) und \(k\) bei einer antiproportionalen Zuordnung zusammen? - Was musst du tun, um zu prüfen, ob ein Punkt die Bedingungen einer Funktionsgleichung erfüllt? - Wenn du eine Variable vervierfachst, wie wirkt sich das auf einen Bruch aus, in dem diese Variable im Nenner steht? - Versuche, den neuen \(y\)-Wert als Vielfaches des alten \(y\)-Werts auszudrücken.

1. Berechnung von \(k\): Einsetzen von \(P(4 \mid 1{,}5)\) in \(y = \frac{k}{x}\) ergibt \(1{,}5 = \frac{k}{4}\). Daraus folgt \(k = 1{,}5 \cdot 4 = 6\). 2. Punktprobe für \(Q\): Einsetzen von \(x = -0{,}5\) in \(y = \frac{6}{x}\) ergibt \(y = \frac{6}{-0{,}5} = -12\). Da dies dem gegebenen \(y\)-Wert entspricht, liegt \(Q\) auf dem Graphen. 3. Untersuchung der Änderung: Sei \(y_R = \frac{k}{x_R}\). Für \(x_S = 4 \cdot x_R\) gilt \(y_S = \frac{k}{4 \cdot x_R} = \frac{1}{4} \cdot \frac{k}{x_R} = \frac{1}{4} \cdot y_R\). 4. Ergebnis: Der \(y\)-Wert von \(S\) ist genau ein Viertel des \(y\)-Werts von \(R\).

a) \(k = 6\) b) Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf dem Graphen, da \(\frac{6}{-0{,}5} = -12\). c) Der \(y\)-Wert von \(S\) ist ein Viertel (\(\frac{1}{4}\)) des \(y\)-Werts von \(R\). Bei einer antiproportionalen Funktion führt die Vervierfachung des \(x\)-Wertes zur Teilung des \(y\)-Wertes durch \(4\).

- Welche Zahlenpaare ergeben multipliziert genau den Wert im Zähler? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der Symmetrieachse der Hyperbel liegt? - Kannst du die Bedingung für den Punkt \(R\) als eine kleine Gleichung schreiben und diese in die Funktionsgleichung einsetzen?

1. Gesucht sind Paare \((x | y)\), für die \(x \cdot y = 36\) gilt, wobei \(x, y \in \mathbb{N}\). Dies sind die Teiler von \(36\): \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Die Punkte sind: \((1 | 36)\), \((2 | 18)\), \((3 | 12)\), \((4 | 9)\), \((6 | 6)\), \((9 | 4)\), \((12 | 3)\), \((18 | 2)\) und \((36 | 1)\). 2. Für die Schnittpunkte mit der Symmetrieachse \(y = x\) gilt \(x = \frac{36}{x} \Rightarrow x^2 = 36\). Daraus folgt \(x = 6\) oder \(x = -6\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(6 | 6)\) und \(S_2(-6 | -6)\). 3. Gegeben ist \(x = 4y\). Einsetzen in \(y = \frac{36}{x}\) ergibt \(y = \frac{36}{4y}\). Multiplikation mit \(4y\) führt zu \(4y^2 = 36\), also \(y^2 = 9\). Da \(x > 0\) sein soll, muss auch \(y > 0\) gelten, also \(y = 3\). Damit ist \(x = 4 \cdot 3 = 12\). Der Punkt ist \(R(12 | 3)\).

1. Punkte: \((1 | 36), (2 | 18), (3 | 12), (4 | 9), (6 | 6), (9 | 4), (12 | 3), (18 | 2), (36 | 1)\) 2. Schnittpunkte mit der Symmetrieachse \(y = x\): \(S_1(6 | 6)\) und \(S_2(-6 | -6)\) 3. Punkt \(R(12 | 3)\)

- Überlege: Wenn mehr Bagger arbeiten, brauchen sie dann mehr oder weniger Zeit? - Gibt es einen Wert, der immer gleich bleibt, wenn man die Anzahl der Bagger mit ihrer Zeit multipliziert? - Wie würdest du rechnen, wenn nur ein einziger Bagger die ganze Arbeit alleine machen müsste?

1. Da mehr Bagger weniger Zeit benötigen (und die doppelte Anzahl an Baggern die halbe Zeit benötigt), handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. 2. Ein einzelner Bagger würde für dieselbe Arbeit \(60\,\text{Stunden}\) benötigen. 3. Berechnung der Tabellenwerte durch Division des konstanten Produktwerts durch die Baggeranzahl \(n\): - Für \(n = 1\): \(60 : 1 = 60\,\text{h}\) - Für \(n = 2\): \(60 : 2 = 30\,\text{h}\) - Für \(n = 6\): \(60 : 6 = 10\,\text{h}\) - Für \(n = 10\): \(60 : 10 = 6\,\text{h}\) 4. Die Formel lautet: \(t = \frac{60}{n}\).

a) Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung. Der konstante Produktwert ist \(60\). b) <table> <tr><td>Anzahl Bagger \(n\)</td><td>1</td><td>2</td><td>6</td><td>10</td></tr> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{h}\)</td><td>60</td><td>30</td><td>10</td><td>6</td></tr> </table> c) Die Formel lautet: \(t = \frac{60}{n}\).

- Prüfe für jedes Paar, ob das Produkt dasselbe Ergebnis liefert. - Welches Ergebnis tritt am häufigsten auf? Das ist wahrscheinlich dein Zielwert. - Sobald du den richtigen Produktwert kennst, kannst du den fehlerhaften Wert korrigieren.

1. Berechnung der Produkte \(x \cdot y\) zur Identifikation des konstanten Faktors: \(3 \cdot 20 = 60\) \(5 \cdot 12 = 60\) \(6 \cdot 10 = 60\) \(12 \cdot 6 = 72\) (Abweichung) \(15 \cdot 4 = 60\) 2. Das Paar \((12; 6)\) ist fehlerhaft, da sein Produkt nicht \(60\) ist. 3. Korrektur des \(y\)-Wertes für \(x = 12\): \(y = 60 : 12 = 5\).

a) Das Wertepaar \((12; 6)\) ist falsch. b) Der korrekte \(y\)-Wert müsste \(5\) lauten, da \(12 \cdot 5 = 60\).

- Wie viel Zeit würde eine einzige Anlage insgesamt benötigen? - Kannst du diesen Gesamtwert nutzen, um die Zeit für jede beliebige Anzahl von Anlagen zu berechnen? - Denke bei der letzten Teilaufgabe an praktische Hindernisse: Passt alles unendlich oft nebeneinander? Fließt Flüssigkeit unendlich schnell durch ein Rohr?

1. Berechnung des konstanten Produktwerts: \(4 \cdot 90 = 360\). Eine einzelne Anlage würde für den Vorgang \(360\,\text{Minuten}\) benötigen. 2. Zu a): Bei \(3\) Anlagen berechnet man \(360 : 3 = 120\). Die Abfüllung dauert \(120\,\text{Minuten}\). 3. Zu b): Bei \(100\) Anlagen berechnet man \(360 : 100 = 3{,}6\). Da \(3{,}6 < 4\) ist, hat der Auszubildende rein rechnerisch recht. 4. Zu c): In der Realität gibt es physikalische Grenzen. Zum Beispiel könnten die Zuleitungen des Tanks nicht genug Flüssigkeit für \(100\) Anlagen gleichzeitig liefern, oder die Anlagen stünden sich gegenseitig im Weg (Platzmangel).

a) Die Abfüllung dauert \(120\,\text{Minuten}\). b) Die Rechnung stimmt, da \(360 : 100 = 3{,}6\) und \(3{,}6 < 4\). c) Mögliche Gründe: Begrenzte Kapazität der Zuleitungen, Platzmangel für so viele Anlagen oder gegenseitige Beeinflussung der Maschinen.

- Drücke zuerst die neue Seite \(a\) durch \(x\) aus. - Nutze die Flächeninhaltsformel für das zweite Rechteck. - Setze den gegebenen Wert für \(x\) nacheinander in die Bedingungen für beide Rechtecke ein.

1. Bestimmung von \(a\): Da \(a\) um \(2\,\text{cm}\) länger als \(x\) ist, gilt \(a = x + 2\). 2. Aufstellen der Formel für \(b\): Der Flächeninhalt von Rechteck B ist \(a \cdot b = 24\). Einsetzen von \(a\) ergibt \((x + 2) \cdot b = 24\). Umgestellt nach \(b\): \(b = \frac{24}{x + 2}\). 3. Berechnung für \(x = 4\): \(b = \frac{24}{4 + 2} = \frac{24}{6} = 4\). Die Seite \(b\) ist \(4\,\text{cm}\) lang. 4. Berechnung von \(y\) für \(x = 4\): Aus \(x \cdot y = 24\) folgt \(4 \cdot y = 24\), also \(y = 6\,\text{cm}\). 5. Vergleich: \(y = 6\,\text{cm}\) und \(b = 4\,\text{cm}\). Die Seite \(b\) ist um \(2\,\text{cm}\) kürzer als die Seite \(y\).

a) \(b = \frac{24}{x + 2}\) b) \(b = 4\,\text{cm}\) c) \(y = 6\,\text{cm}\). Die Seite \(b\) ist um \(2\,\text{cm}\) kürzer als die Seite \(y\).

- Setze in Teil a) \(x=3\) in beide Funktionsgleichungen ein. - Stelle in Teil b) beide Gleichungen nach \(x\) um und bilde das Verhältnis. - Vergleiche in Teil c) einmal die \(y\)-Werte bei gleichem \(x\) und einmal die \(x\)-Werte bei gleichem \(y\).

1. Berechnung der Werte für \(x=3\): \(f(3) = \frac{18}{3} = 6\) und \(g(3) = \frac{36}{3} = 12\). 2. Bestimmung der Stellen für \(y_0>0\): \(x_f = \frac{18}{y_0}\) und \(x_g = \frac{36}{y_0}\). Damit ist \(\frac{x_g}{x_f} = \frac{36/y_0}{18/y_0} = 2\). 3. Für dasselbe \(x>0\) gilt \(g(x)=2f(x)\). Der Punkt auf dem Graphen von \(g\) liegt daher doppelt so hoch über der \(x\)-Achse. Für denselben Funktionswert \(y_0>0\) gilt \(x_g=2x_f\); der Punkt auf dem Graphen von \(g\) liegt doppelt so weit rechts von der \(y\)-Achse. Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem von \(f\) gestreckt, nicht verschoben.

a) \(f(3) = 6\); \(g(3) = 12\) b) \(\frac{x_g}{x_f} = 2\). c) Bei gleichem positiven \(x\) liegt der Graph von \(g\) weiter von der \(x\)-Achse entfernt; bei gleichem positiven Funktionswert liegt er weiter von der \(y\)-Achse entfernt. Es handelt sich um eine Streckung, nicht um eine Verschiebung.

- Überlege dir zuerst, wie viele Stunden ein einzelner Gärtner alleine für die gesamte Arbeit brauchen würde. - Was passiert mit der Zeit, wenn weniger Leute mithelfen? - Wenn die Zeit halbiert werden soll, was muss dann mit der Anzahl der Arbeiter passieren?

1. Bestimmung des Gesamtaufwands (Produktgleichheit): Da \(4\) Gärtner \(6\) Stunden brauchen, beträgt der Gesamtaufwand \(4 \cdot 6 = 24\) Arbeitsstunden. 2. Berechnung für \(3\) Gärtner: Um die Zeit \(t\) zu finden, rechnen wir \(24 : 3 = 8\). \(3\) Gärtner benötigen also \(8\) Stunden. 3. Berechnung für eine Zielzeit von \(3\) Stunden: Um die Anzahl der Gärtner \(n\) zu finden, rechnen wir \(24 : 3 = 8\). 4. Begründung: Bei antiproportionalen Zuordnungen ist das Produkt der Größen konstant. Wenn die Zeit halbiert wird (von \(6\) auf \(3\) Stunden), muss sich die Anzahl der Gärtner verdoppeln (von \(4\) auf \(8\) Gärtner).

a) \(3\) Gärtner benötigen \(8\) Stunden. b) Es müssten \(8\) Gärtner eingesetzt werden. Da die Zeit von \(6\) auf \(3\) Stunden halbiert wird, muss die Anzahl der Gärtner verdoppelt werden (\(4 \cdot 2 = 8\)), um das konstante Produkt von \(24\) Arbeitsstunden beizubehalten.

- Wenn \(x\) mit einem Faktor multipliziert wird, durch welchen Faktor muss \(y\) geteilt werden, damit \(x \cdot y\) gleich bleibt? - Kannst du die Regel „Je mehr, desto weniger“ hier präzisieren? - Wenn das Produkt zweier Zahlen immer \(40\) sein muss und eine Zahl \(10\) ist, wie groß ist dann die andere?

1. Berechnung des Proportionalitätsfaktors: \(k = 2{,}5 \cdot 16 = 40\). 2. Analyse der Veränderung: Bei einer antiproportionalen Zuordnung führt die Multiplikation der einen Größe mit einem Faktor zur Division der anderen Größe durch denselben Faktor. Wenn \(x\) mit \(4\) multipliziert wird, wird \(y\) durch \(4\) geteilt. 3. Berechnung des neuen \(y\)-Wertes: \(16 : 4 = 4\). 4. Berechnung des \(x\)-Wertes für \(y = 10\): Aus \(x \cdot 10 = 40\) folgt \(x = 40 : 10 = 4\).

a) Der Proportionalitätsfaktor ist \(40\). b) Wenn \(x\) vervierfacht wird, wird der \(y\)-Wert geviertelt (durch \(4\) geteilt). Der neue \(y\)-Wert ist \(4\). c) Für \(y = 10\) ist \(x = 4\).

- Erinnere dich an die Vorzeichenregeln bei der Division. - Schnittpunkte findest du, indem du die Funktionsterme der beiden Kurven gleichsetzt. - Kann das Quadrat einer Zahl negativ sein? - Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für die Koordinaten eines Punktes?

1. Da \(k = -9\) negativ ist, haben \(x\) und \(y\) immer unterschiedliche Vorzeichen. Ist \(x > 0\), ist \(y < 0\) (IV. Quadrant). Ist \(x < 0\), ist \(y > 0\) (II. Quadrant). 2. Gleichsetzen: \(-\frac{9}{x} = -x \implies \frac{9}{x} = x \implies 9 = x^2 \). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Die Punkte sind \(S_1(3|-3)\) und \(S_2(-3|3)\). 3. Gleichsetzen: \(-\frac{9}{x} = x \implies -9 = x^2\). Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, gibt es keine Lösung und somit keine Schnittpunkte. 4. Ein Punkt \((x|y)\) liegt auf dem Graphen, wenn \(y = -\frac{9}{x}\). Setzt man \((-x|-y)\) ein: \(-y = -\frac{9}{-x} \implies -y = \frac{9}{x} \implies y = -\frac{9}{x}\). Dies entspricht der ursprünglichen Gleichung, womit die Punktsymmetrie bestätigt ist.

1. II. und IV. Quadrant, da \(x\) und \(y\) unterschiedliche Vorzeichen haben müssen. 2. \(S_1(3|-3)\) und \(S_2(-3|3)\). 3. Die Gleichung \(x^2 = -9\) hat keine reelle Lösung. 4. Die Punktprobe für \((-x|-y)\) führt zur korrekten Gleichung \(y = -\frac{9}{x}\).