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- Suche einen Punkt auf dem blauen Graphen, der genau auf einem Gitterpunkt liegt. - Stelle mithilfe der Punktkoordinaten die Gleichung nach \(a\) um. - Überprüfe dein Ergebnis mit einem zweiten Punkt.

1. Wähle einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterpunkt liegt, zum Beispiel \(P(1 \mid -3)\) oder \(Q(3 \mid -1)\). 2. Setze die Koordinaten von \(P(1 \mid -3)\) in \(f(x) = \frac{a}{x}\) ein: \(-3 = \frac{a}{1}\). 3. Daraus folgt \(a = -3\). 4. Die Probe mit \(Q(3 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, denn \(f(3) = -\frac{3}{3} = -1\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -\frac{3}{x}\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -\frac{3}{x}\).

- Was weißt du über das Produkt von zusammengehörigen Werten bei einer antiproportionalen Zuordnung? - Wie kannst du aus einem bekannten Wertepaar die Zahl berechnen, die für alle Paare gleich sein muss? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Multiplikation, um den anderen Wert zu finden?

1. Bestimmung der Proportionalitätskonstante \(k\) durch das Produkt eines bekannten Wertepaares: \(k = 10 \cdot 12 = 120\). 2. Berechnung der fehlenden \(y\)-Werte mittels \(y = \frac{120}{x}\): Für \(x=5\): \(y = 120 : 5 = 24\). Für \(x=8\): \(y = 120 : 8 = 15\). Für \(x=15\): \(y = 120 : 15 = 8\). Für \(x=20\): \(y = 120 : 20 = 6\). Für \(x=30\): \(y = 120 : 30 = 4\). Für \(x=40\): \(y = 120 : 40 = 3\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(y = \frac{120}{x}\). 4. Benennung des Graphen: Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel.

a) Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tbody> <tr><td>\(x\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td><td>\(15\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(24\)</td><td>\(15\)</td><td>\(12\)</td><td>\(8\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td></tr> </tbody> </table> b) Die Gleichung lautet \(y = \frac{120}{x}\). c) Der Graph heißt Hyperbel.

- Was muss bei einer antiproportionalen Zuordnung für alle Paare von \(x\) und \(y\) gelten? - Untersuche das Produkt der beiden Koordinaten für jeden Punkt. - Wenn das Produkt immer gleich ist, nennt man diesen Wert den konstanten Produktwert.

1. Prüfung auf Antiproportionalität durch Produktbildung \(x \cdot y\). 2. Berechnung der Produkte für alle Paare: \(A: 4 \cdot 15 = 60\) \(B: 2 \cdot 30 = 60\) \(C: 10 \cdot 6 = 60\) \(D: 12 \cdot 5 = 60\) \(E: 2{,}5 \cdot 24 = 60\) 3. Da alle Produkte den konstanten Wert \(60\) ergeben, ist die Zuordnung produktgleich und somit antiproportional. 4. Aufstellen der Gleichung mit dem konstanten Produktwert \(a = 60\): \(y = \frac{60}{x}\) oder \(x \cdot y = 60\).

Ja, es liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. Die Funktionsgleichung lautet \(y = \frac{60}{x}\) (oder \(x \cdot y = 60\)).

- Welche Eigenschaft haben alle Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung gemeinsam? - Wie hängen \(x\), \(f(x)\) und der Parameter \(a\) mathematisch zusammen? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen?

1. Berechnung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(1{,}25 \mid 8)\) in die Produktgleichheit \(a = x \cdot f(x)\): \(a = 1{,}25 \cdot 8 = 10\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{10}{x}\). 2. Berechnung der Funktionswerte durch Einsetzen: \(f(5) = \frac{10}{5} = 2\) und \(f(0{,}1) = \frac{10}{0{,}1} = 100\). 3. Bestimmung der Stelle \(x\) für \(f(x) = 20\): Aus \(20 = \frac{10}{x}\) folgt durch Umformung \(x = \frac{10}{20} = 0{,}5\).

a) \(a = 10\); \(f(x) = \frac{10}{x}\) b) \(f(5) = 2\); \(f(0{,}1) = 100\) c) \(x = 0{,}5\)

- Welche mathematische Operation verbindet \(x\), \(y\) und \(k\) bei dieser Art von Funktion? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Unbekannten umstellen? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(4 \mid -3)\) in die Gleichung \(-3 = \frac{k}{4}\) ergibt durch Multiplikation mit \(4\) den Parameter \(k = -12\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -\frac{12}{x}\). 2. Berechnung des Funktionswertes für \(x = -1{,}5\): \(g(-1{,}5) = \frac{-12}{-1{,}5} = 8\). 3. Bestimmung der Stelle \(x\) für \(g(x) = 12\): Aus \(12 = -\frac{12}{x}\) folgt durch Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(12\) das Ergebnis \(x = -1\).

a) \(k = -12\); \(g(x) = -\frac{12}{x}\) b) \(g(-1{,}5) = 8\) c) \(x = -1\)

- Welche Form hat der Graph einer Gleichung, in der die Variable im Nenner steht? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um eine Gerade sicher zu zeichnen? - Erstelle für die erste Gleichung eine Wertetabelle mit positiven und negativen \( x \)-Werten. - Was bedeuten die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen für das Gleichungssystem?

1. Zeichnen des Graphen der Funktion \( f(x) = \frac{4}{x} \) (Hyperbel) durch Berechnung einiger Wertepaare wie \( (1 \mid 4), (2 \mid 2), (4 \mid 1) \) sowie \( (-1 \mid -4), (-2 \mid -2), (-4 \mid -1) \). 2. Zeichnen der Geraden \( g(x) = x + 3 \) mithilfe des \( y \)-Achsenabschnitts \( 3 \) und der Steigung \( 1 \). 3. Identifikation der Schnittpunkte der beiden Graphen durch Ablesen im Koordinatensystem: \( S_1(1 \mid 4) \) und \( S_2(-4 \mid -1) \). 4. Die Lösungspaare \( (x \mid y) \) des Gleichungssystems sind somit \( (1 \mid 4) \) und \( (-4 \mid -1) \).

Die Lösungen des Gleichungssystems sind die Punkte \((1 \mid 4)\) und \((-4 \mid -1)\).

- Suche dir für jeden Graphen einen Punkt, dessen Koordinaten du ganz genau auf dem Gitter ablesen kannst. - Erinnere dich an die allgemeine Form \(y = \frac{a}{x}\). Wie kannst du die abgelesenen Koordinaten nutzen, um \(a\) zu berechnen? - Du kannst die Gleichung nach \(a\) umstellen. Welcher einfache Zusammenhang besteht zwischen \(x\), \(y\) und \(a\)?

1. Punkt \(P(1 \mid 2)\) auf dem blauen Graphen \(f\) ablesen. 2. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(2 = \frac{a}{1}\), also \(a = 2\). 3. Punkt \(Q(2 \mid -2)\) auf dem roten Graphen \(g\) ablesen. 4. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(-2 = \frac{a}{2}\), also \(a = -4\).

a) \(a = 2\) b) \(a = -4\)

- Bei einer Funktion der Form \(f(x) = \frac{a}{x}\) ist das Produkt \(x \cdot f(x)\) konstant. - Für eine Punktprobe kannst du die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen oder ihr Produkt prüfen. - Nutze den bestimmten Wert von \(a\), um die fehlenden Tabellenwerte zu berechnen.

1. Lies zum Beispiel den Punkt \((3 \mid 4)\) ab. Für \(f(x) = \frac{a}{x}\) gilt \(a = x \cdot f(x)\), also \(a = 3 \cdot 4 = 12\). 2. Für \(P(2{,}5 \mid 4{,}8)\) gilt \(2{,}5 \cdot 4{,}8 = 12\). Daher liegt der Punkt auf dem Graphen. 3. Mit \(f(x) = \frac{12}{x}\) erhält man \(f(0{,}5) = 24\), \(f(1{,}5) = 8\), \(f(5) = 2{,}4\) und \(f(10) = 1{,}2\).

a) \(a = 12\) b) Ja, \(P(2{,}5 \mid 4{,}8)\) liegt auf dem Graphen. c) <table><tr><td>\(x\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\)</td></tr><tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(24\)</td><td>\(8\)</td><td>\(2{,}4\)</td><td>\(1{,}2\)</td></tr></table>

- Suche Punkte auf dem Graphen, die genau auf Gitterpunkten liegen. - Multipliziere den \(x\)-Wert und den \(y\)-Wert eines Punkts. - Achte auf das Vorzeichen des Parameters.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man den Punkt \(P(1 \mid -2)\) ab. 2. Einsetzen in \(y = \frac{a}{x}\) ergibt \(-2 = \frac{a}{1}\), also \(a = -2\). 3. Der zweite Punkt \(Q(2 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, denn \(f(2) = -\frac{2}{2} = -1\).

a) Aus \(P(1 \mid -2)\) folgt \(a = -2\). b) Der Punkt \(Q(2 \mid -1)\) bestätigt das Ergebnis, da \(f(2) = -1\) gilt.

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Koordinatensystems der Graph liegen muss. Welches Vorzeichen hat der Zähler? - Was passiert mit den \(y\)-Werten, wenn \(x\) immer größer wird? - Setze einfache Zahlen für \(x\) in die Gleichung ein (zum Beispiel \(x = 1\) oder \(x = 2\)) und prüfe, welcher Graph durch diese Punkte verläuft. - Erinnere dich an die typische Form einer Hyperbel.

1. Analyse der Funktionsgleichung: Die Funktion \(f(x) = \frac{4}{x}\) beschreibt eine indirekte Proportionalität mit einem positiven Proportionalitätsfaktor \(k = 4\). 2. Bestimmung der Quadranten: Da \(k > 0\), muss der Graph im I. Quadranten (\(x > 0, y > 0\)) und im III. Quadranten (\(x < 0, y < 0\)) verlaufen. 3. Überprüfung der Punkte: Für \(x = 1\) ergibt sich \(y = \frac{4}{1} = 4\). Für \(x = 2\) ergibt sich \(y = \frac{4}{2} = 2\). 4. Auswahl des Graphen: Graph A verläuft in den Quadranten I und III und enthält die berechneten Punkte. Graph B zeigt eine negative Proportionalität (\(k < 0\)), Graph C ist eine lineare Funktion und Graph D stellt eine Funktion dar, die nur positive Funktionswerte annimmt (z. B. \(y = \frac{4}{|x|}\)). Der richtige Graph ist somit A.

A

- Was muss für alle Wertepaare gelten, damit sie zu einer antiproportionalen Zuordnung gehören? - Wie hängen der \(x\)-Wert, der \(y\)-Wert und die Proportionalitätskonstante zusammen? - Wenn du das feste Produkt kennst, wie findest du dann einen fehlenden Partnerwert?

1. Prüfung der Produktgleichheit (\(x \cdot y = k\)) für alle Punkte: \(A: 2 \cdot 24 = 48\) \(B: 4 \cdot 12 = 48\) \(C: 6 \cdot 8 = 48\) \(D: 16 \cdot 3 = 48\) Da alle Produkte den gleichen Wert \(48\) ergeben, liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. 2. Aufstellen der Gleichung mit der Konstante \(k = 48\): \(y = \frac{48}{x}\). 3. Berechnung der \(x\)-Koordinate für \(E(x|1{,}5)\): \(x \cdot 1{,}5 = 48\) \(x = 48 : 1{,}5 = 32\). Der Punkt ist \(E(32|1{,}5)\).

a) Ja, sie gehören zur selben Zuordnung, da das Produkt \(x \cdot y\) bei allen Paaren konstant \(48\) ist. b) Die Gleichung lautet \(y = \frac{48}{x}\). c) Die Koordinate ist \(x = 32\).

- Wie berechnet man die Proportionalitätskonstante, wenn ein Wertepaar gegeben ist? - Erinnere dich an den Merksatz: „Je mehr, desto ...“ – was bedeutet das für die Faktoren? - Probier es doch mal mit einem Beispiel aus deiner Tabelle aus: Was passiert mit \(y\), wenn du von \(x=2\) zu \(x=6\) gehst?

1. Berechnung von \(k\) durch Einsetzen des Paares \((4|18)\): \(k = 4 \cdot 18 = 72\). 2. Berechnung der Tabellenwerte mit \(y = \frac{72}{x}\): \(x=2 \implies y=36\) \(x=3 \implies y=24\) \(x=6 \implies y=12\) \(x=9 \implies y=8\) \(x=12 \implies y=6\) 3. Untersuchung der Verdreifachung: Bei einer antiproportionalen Zuordnung führt die Multiplikation der einen Größe mit einem Faktor zur Division der anderen Größe durch denselben Faktor. Rechnerisch: Sei \(y_1 = \frac{k}{x}\). Wird \(x\) zu \(3x\), folgt \(y_2 = \frac{k}{3x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{k}{x} = \frac{1}{3} y_1\). Der \(y\)-Wert wird also durch \(3\) geteilt (bzw. gedrittelt).

a) \(k = 72\). b) Die Wertepaare lauten: \((2|36), (3|24), (6|12), (9|8), (12|6)\). c) Wenn der \(x\)-Wert verdreifacht wird, wird der \(y\)-Wert durch \(3\) geteilt (er drittelt sich), da das Produkt \(x \cdot y\) immer konstant bleiben muss.

- Was passiert mit dem einen Wert, wenn man den anderen mit einer Zahl multipliziert? - Erinnerst du dich an den Merksatz „Je mehr ..., desto weniger ...“? - Wie hängen die Faktoren zusammen, mit denen \(x\) und \(y\) verändert werden?

1. Nutzung der Antiproportionalität: Da der \(x\)-Wert von \(4\) auf \(12\) verdreifacht wird (\(\cdot 3\)), muss der zugehörige Funktionswert durch \(3\) geteilt werden. Es gilt \(f(12) = 9 : 3 = 3\). 2. Berechnung von \(a\): \(a = x \cdot f(x) = 4 \cdot 9 = 36\). Überprüfung: \(f(12) = \frac{36}{12} = 3\). Das Ergebnis stimmt überein. 3. Allgemeine Eigenschaften: Bei Vervierfachung des \(x\)-Wertes wird der Funktionswert durch \(4\) geteilt (bzw. mit \(\frac{1}{4}\) multipliziert). Wenn der \(x\)-Wert durch \(10\) geteilt wird, vervielfacht sich der Funktionswert um den Faktor \(10\).

a) \(f(12) = 3\), da bei Verdreifachung von \(x\) der \(y\)-Wert gedrittelt wird. b) \(a = 36\); \(f(12) = \frac{36}{12} = 3\). c) Bei Vervierfachung von \(x\) wird \(f(x)\) durch \(4\) geteilt; bei Division von \(x\) durch \(10\) wird \(f(x)\) mit \(10\) multipliziert.

- Wie hängen \(x\), \(y\) und \(k\) bei einer antiproportionalen Zuordnung zusammen? - Was musst du tun, um zu prüfen, ob ein Punkt die Bedingungen einer Funktionsgleichung erfüllt? - Wenn du eine Variable vervierfachst, wie wirkt sich das auf einen Bruch aus, in dem diese Variable im Nenner steht? - Versuche, den neuen \(y\)-Wert als Vielfaches des alten \(y\)-Werts auszudrücken.

1. Berechnung von \(k\): Einsetzen von \(P(4 \mid 1{,}5)\) in \(y = \frac{k}{x}\) ergibt \(1{,}5 = \frac{k}{4}\). Daraus folgt \(k = 1{,}5 \cdot 4 = 6\). 2. Punktprobe für \(Q\): Einsetzen von \(x = -0{,}5\) in \(y = \frac{6}{x}\) ergibt \(y = \frac{6}{-0{,}5} = -12\). Da dies dem gegebenen \(y\)-Wert entspricht, liegt \(Q\) auf dem Graphen. 3. Untersuchung der Änderung: Sei \(y_R = \frac{k}{x_R}\). Für \(x_S = 4x_R\) gilt \(y_S = \frac{k}{4x_R} = \frac{1}{4} \cdot \frac{k}{x_R} = \frac{1}{4} y_R\). 4. Ergebnis: Der \(y\)-Wert von \(S\) ist genau ein Viertel des \(y\)-Werts von \(R\).

a) \(k = 6\) b) Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf dem Graphen, da \(\frac{6}{-0{,}5} = -12\). c) Der \(y\)-Wert von \(S\) ist ein Viertel (\(\frac{1}{4}\)) des \(y\)-Werts von \(R\). Bei einer antiproportionalen Funktion führt die Vervierfachung des \(x\)-Wertes zur Teilung des \(y\)-Wertes durch \(4\).

- Welche Zahlenpaare ergeben multipliziert genau den Wert im Zähler? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der Symmetrieachse der Hyperbel liegt? - Kannst du die Bedingung für den Punkt \(R\) als eine kleine Gleichung schreiben und diese in die Funktionsgleichung einsetzen?

1. Gesucht sind Paare \((x | y)\), für die \(x \cdot y = 36\) gilt, wobei \(x, y \in \mathbb{N}\). Dies sind die Teiler von \(36\): \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Die Punkte sind: \((1 | 36)\), \((2 | 18)\), \((3 | 12)\), \((4 | 9)\), \((6 | 6)\), \((9 | 4)\), \((12 | 3)\), \((18 | 2)\) und \((36 | 1)\). 2. Für die Schnittpunkte mit der Symmetrieachse \(y = x\) gilt \(x = \frac{36}{x} \Rightarrow x^2 = 36\). Daraus folgt \(x = 6\) oder \(x = -6\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(6 | 6)\) und \(S_2(-6 | -6)\). 3. Gegeben ist \(x = 4y\). Einsetzen in \(y = \frac{36}{x}\) ergibt \(y = \frac{36}{4y}\). Multiplikation mit \(4y\) führt zu \(4y^2 = 36\), also \(y^2 = 9\). Da \(x > 0\) sein soll, muss auch \(y > 0\) gelten, also \(y = 3\). Damit ist \(x = 4 \cdot 3 = 12\). Der Punkt ist \(R(12 | 3)\).

1. Punkte: \((1 | 36), (2 | 18), (3 | 12), (4 | 9), (6 | 6), (9 | 4), (12 | 3), (18 | 2), (36 | 1)\) 2. Schnittpunkte mit der Symmetrieachse \(y = x\): \(S_1(6 | 6)\) und \(S_2(-6 | -6)\) 3. Punkt \(R(12 | 3)\)

- Wie kannst du die Gleichung so in zwei Teile zerlegen, dass auf jeder Seite ein bekannter Funktionstyp steht? - Denke beim Zeichnen der Hyperbel daran, dass \( x \) nicht Null sein darf. - Achte beim Ablesen der Lösung darauf, ob nach den Koordinaten der Schnittpunkte oder nur nach den \( x \)-Werten gefragt ist. - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein gefundener Wert wirklich die ursprüngliche Gleichung erfüllt?

1. Aufteilen der Gleichung in zwei Teilfunktionen: \( f(x) = \frac{6}{x} \) (linke Seite) und \( g(x) = x + 1 \) (rechte Seite). 2. Zeichnen der Hyperbel \( f(x) \) im I. und III. Quadranten und der Geraden \( g(x) \) mit \( y \)-Achsenabschnitt \( 1 \) und Steigung \( 1 \). 3. Ablesen der \( x \)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen: \( x_1 = 2 \) (Schnittpunkt \( (2 \mid 3) \)) und \( x_2 = -3 \) (Schnittpunkt \( (-3 \mid -2) \)). 4. Durchführung der Probe für \( x = 2 \): \( \frac{6}{2} = 3 \) und \( 2 + 1 = 3 \) (wahr). 5. Durchführung der Probe für \( x = -3 \): \( \frac{6}{-3} = -2 \) und \( -3 + 1 = -2 \) (wahr). 6. Die Lösungen der Gleichung sind \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -3 \).

a) Mögliche Funktionen sind \( f(x) = \frac{6}{x} \) und \( g(x) = x + 1 \). b) Die grafisch ermittelten Lösungen sind \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -3 \). c) Die Probe bestätigt beide Werte: \( \frac{6}{2} = 2 + 1 = 3 \) und \( \frac{6}{-3} = -3 + 1 = -2 \).

- Wie hängen \(x\), \(y\) und der Parameter \(a\) bei einer Funktion der Form \(y = \frac{a}{x}\) zusammen? - Wähle für jeden Graphen einen Punkt aus, dessen Koordinaten du leicht ablesen kannst. - Multipliziere die Koordinaten eines Punktes, um \(a\) zu finden. - Setze für den zweiten Teil der Aufgabe den gefundenen Wert für \(a\) und den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein.

1. Bestimmung des Parameters \(a\) durch Ablesen eines Punktes \((x \mid y)\) und Berechnung von \(a = x \cdot y\): - Für den Graphen \(f\): Ein ablesbarer Punkt ist \((1 \mid 15)\). Daraus folgt \(a = 1 \cdot 15 = 15\). - Für den Graphen \(g\): Ein ablesbarer Punkt ist \((2 \mid 5)\). Daraus folgt \(a = 2 \cdot 5 = 10\). - Für den Graphen \(h\): Ein ablesbarer Punkt ist \((5 \mid 1)\). Daraus folgt \(a = 5 \cdot 1 = 5\). 2. Berechnung des Funktionswerts für die Funktion \(f(x) = \frac{15}{x}\) an der Stelle \(x = 6\): \(f(6) = \frac{15}{6} = 2{,}5\).

a) \(a_f = 15\), \(a_g = 10\), \(a_h = 5\) b) \(f(6) = 2{,}5\)

- Erstelle die Wertetabelle sorgfältig, besonders bei den negativen Werten. - Was passiert mit dem Graphen von \(f(x)\), wenn \(x\) sehr nah an Null herankommt? - Zeichne die Gerade genau durch die berechneten Punkte oder nutze Steigung und Achsenabschnitt. - Die Lösungen findest du dort, wo sich die Kurve und die Gerade kreuzen.

1. Berechnung der Funktionswerte für \(f(x) = \frac{2}{x}\): \(f(-4)=-0{,}5\); \(f(-2)=-1\); \(f(-1)=-2\); \(f(-0{,}5)=-4\); \(f(0{,}5)=4\); \(f(1)=2\); \(f(2)=1\); \(f(4)=0{,}5\). 2. Zeichnen der Hyperbel \(f\) und der Geraden \(g\) (Steigung \(1\), \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\)). 3. Identifikation der Schnittpunkte durch Vergleich der Graphen oder der Werte: \(S_1(-1 | -2)\) und \(S_2(2 | 1)\). 4. Die Lösungen der Gleichung sind die \(x\)-Werte der Schnittpunkte: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\).

a) Wertetabelle: \(f(-4)=-0{,}5\), \(f(-2)=-1\), \(f(-1)=-2\), \(f(-0{,}5)=-4\), \(f(0{,}5)=4\), \(f(1)=2\), \(f(2)=1\), \(f(4)=0{,}5\). b) Zu zeichnen sind die Hyperbel \(f(x)=\frac2x\) und die Gerade \(g(x)=x-1\); sie schneiden sich in \((-1\mid-2)\) und \((2\mid1)\). c) Die Lösungen sind \(x_1=-1\) und \(x_2=2\).

- Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Division hat, wenn die Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner sehr groß wird? - Um einen \(x\)-Wert zu finden, kannst du die Funktionsgleichung nach \(x\) umstellen. - Ein Punkt liegt auf einem Graphen, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.

1. Da der Zähler \(4\) positiv ist, ist \(f(x) > 0\) für alle \(x > 0\) und \(f(x) < 0\) für alle \(x < 0\). 2. Berechnung der Werte: \(f(0{,}1) = \frac{4}{0{,}1} = 40\); \(f(100) = \frac{4}{100} = 0{,}04\); \(f(-1000) = \frac{4}{-1000} = -0{,}004\). Wenn \(x\) immer größer wird (\(x \to \infty\)), nähert sich der Funktionswert der Null an (\(y \to 0\)). 3. Gleichung lösen: \(0{,}5 = \frac{4}{x} \implies 0{,}5 \cdot x = 4 \implies x = \frac{4}{0{,}5} = 8\). 4. Punktprobe: \(f(2) = \frac{4}{2} = 2\). Da der Funktionswert \(2\) ist, liegt \(P(2 \mid 2)\) auf dem Graphen. Da \(x = y = 2\) gilt, ist dies ein Schnittpunkt mit der ersten Winkelhalbierenden \(y = x\), welche eine Symmetrieachse der Hyperbel darstellt.

1. \(f(x) > 0\) für \(x > 0\); \(f(x) < 0\) für \(x < 0\). 2. \(f(0{,}1) = 40\); \(f(100) = 0{,}04\); \(f(-1000) = -0{,}004\). Für sehr große \(x\) nähert sich der Graph der \(x\)-Achse an. 3. \(x = 8\). 4. Ja, \(P\) liegt auf dem Graphen; es ist ein Schnittpunkt mit der Symmetrieachse \(y = x\).

- Erinnere dich an die Vorzeichenregeln bei der Division. - Schnittpunkte findest du, indem du die Funktionsterme der beiden Kurven gleichsetzt. - Kann das Quadrat einer Zahl negativ sein? - Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für die Koordinaten eines Punktes?

1. Da \(k = -9\) negativ ist, haben \(x\) und \(y\) immer unterschiedliche Vorzeichen. Ist \(x > 0\), ist \(y < 0\) (IV. Quadrant). Ist \(x < 0\), ist \(y > 0\) (II. Quadrant). 2. Gleichsetzen: \(-\frac{9}{x} = -x \implies \frac{9}{x} = x \implies 9 = x^2 \). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Die Punkte sind \(S_1(3|-3)\) und \(S_2(-3|3)\). 3. Gleichsetzen: \(-\frac{9}{x} = x \implies -9 = x^2\). Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, gibt es keine Lösung und somit keine Schnittpunkte. 4. Ein Punkt \((x|y)\) liegt auf dem Graphen, wenn \(y = -\frac{9}{x}\). Setzt man \((-x|-y)\) ein: \(-y = -\frac{9}{-x} \implies -y = \frac{9}{x} \implies y = -\frac{9}{x}\). Dies entspricht der ursprünglichen Gleichung, womit die Punktsymmetrie bestätigt ist.

1. II. und IV. Quadrant, da \(x\) und \(y\) unterschiedliche Vorzeichen haben müssen. 2. \(S_1(3|-3)\) und \(S_2(-3|3)\). 3. Die Gleichung \(x^2 = -9\) hat keine reelle Lösung. 4. Die Punktprobe für \((-x|-y)\) führt zur korrekten Gleichung \(y = -\frac{9}{x}\).