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- Welche senkrechte Asymptote hat der Ausgangsgraph \(f\)? - Wo liegt diese Asymptote nach der Verschiebung? - Welcher Nenner wird genau an dieser neuen Stelle null?

1. Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts verlegt die senkrechte Asymptote von \(x=0\) auf \(x=4\). 2. Deshalb muss der Nenner bei \(x=4\) null werden. Der passende Nenner ist \(x-4\). 3. Somit ist \(g(x)=\frac{1}{x-4}\).

\(g(x)=\frac{1}{x-4}\)

- Bei welchem \(x\)-Wert wird der Nenner \(x+3\) null? - Vergleiche diese Stelle mit der senkrechten Asymptote von \(\frac{2}{x}\). - Achte darauf, dass die Verschiebungsrichtung nicht dasselbe Vorzeichen haben muss wie \(b\).

1. Der Nenner \(x+3\) wird bei \(x=-3\) null. Die senkrechte Asymptote liegt deshalb bei \(x=-3\). 2. Gegenüber der Asymptote \(x=0\) von \(\frac{2}{x}\) ist der Graph um \(3\) Einheiten nach links verschoben. 3. In der Form \(\frac{2}{x+b}\) ist \(b=3\).

a) \(3\) Einheiten nach links b) \(b=3\)

- Schaue dir den Graphen genau an: Wo befinden sich die waagerechten und senkrechten Linien, denen sich der Graph annähert (Asymptoten)? - Wie spiegeln sich diese Verschiebungen in der Funktionsgleichung im Nenner und als konstanter Wert am Ende wider? - Kannst du einen konkreten Punkt auf dem Graphen ablesen und prüfen, welche Gleichung dieses Wertepaar liefert?

1. Ablesen der senkrechten Asymptote bei \(x = 3\), was einen Nenner von \(x - 3\) impliziert. 2. Ablesen der waagerechten Asymptote bei \(y = -2\), was einen additiven Term von \(-2\) außerhalb des Bruches impliziert. 3. Überprüfung mit einem markanten Punkt auf dem Graphen, z. B. der Nullstelle bei \((4|0)\): \(0 = \frac{2}{4 - 3} - 2 \Rightarrow 0 = 2 - 2\) (wahr). 4. Die Funktion lautet somit \(y = \frac{2}{x - 3} - 2\).

b) \(y = \frac{2}{x - 3} - 2\)

- Setze die angegebenen \(x\)-Werte in den Funktionsterm ein. - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Wie verändert sich \(\frac{6}{x}\), wenn der positive Nenner immer größer wird?

1. Es ist \(f(1)=3\), \(f(2)=0\), \(f(3)=-1\) und \(f(6)=-2\). 2. Aus \(\frac{6}{x}-3=0\) folgt \(\frac{6}{x}=3\) und damit \(x=2\). 3. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird \(\frac{6}{x}\) immer kleiner und bleibt positiv. Daher kommen die Funktionswerte dem Wert \(-3\) immer näher.

a) \(f(1)=3\), \(f(2)=0\), \(f(3)=-1\), \(f(6)=-2\) b) \(x=2\) c) Die Funktionswerte kommen \(-3\) immer näher, weil \(\frac{6}{x}\) für immer größere positive \(x\) positiv bleibt und immer kleiner wird.

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welche Angaben im Term bestimmen die beiden Asymptoten? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Wie kannst du mit einer Punktprobe prüfen, ob \(P\) auf dem Graphen liegt?

1. Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x+4=0\) folgt \(x=-4\). Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\). 2. An der Definitionslücke liegt die senkrechte Asymptote \(x=-4\). Aus dem konstanten Summanden folgt die waagrechte Asymptote \(y=-3\). 3. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Es ist \(f(0)=\frac{2}{4}-3=-2{,}5\). Also ist \(S_y(0\mid-2{,}5)\). 4. Es ist \(f(-2)=\frac{2}{2}-3=-2\). Damit liegt \(P(-2\mid-2)\) auf dem Graphen.

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=-4\); waagrechte Asymptote: \(y=-3\) c) \(S_y(0\mid-2{,}5)\) d) Ja, denn \(f(-2)=-2\).

- Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Welcher Wert für \(x\) darf im Nenner nicht vorkommen? - Welcher Geraden nähert sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte an? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \(x+3\). Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben entspricht einer Addition von \(2\) zum Funktionsterm. Die neue Gleichung lautet \(g(x)=\frac{1}{x+3}+2\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke des Nenners, also bei \(x+3=0\), woraus \(x=-3\) folgt. 3. Die waagrechte Asymptote ergibt sich aus der Verschiebung in \(y\)-Richtung, also \(y=2\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x=0\) gesetzt: \(g(0)=\frac{1}{0+3}+2=\frac{1}{3}+\frac{6}{3}=\frac{7}{3}\). 5. Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0\mid\frac{7}{3})\).

a) \(g(x)=\frac{1}{x+3}+2\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=-3\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) c) \(S_y(0\mid\frac{7}{3})\)

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welcher \(y\)-Wert entspricht der waagrechten Asymptote und wird deshalb nicht erreicht? - Wie hängen Definitionslücke und senkrechte Asymptote zusammen?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 2. Für \(x=-2\) wird der Nenner \(x+2\) gleich null. Eine Division durch null ist nicht definiert. 3. Die senkrechte Asymptote ist \(x=-2\), die waagrechte Asymptote ist \(y=1\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\), \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\) b) Für \(x=-2\) wird der Nenner null; eine Division durch null ist nicht definiert. c) Senkrechte Asymptote: \(x=-2\); waagrechte Asymptote: \(y=1\)

- Berechne zu jeder gegebenen \(x\)-Koordinate den Funktionswert von \(g\). - Vergleiche den berechneten Funktionswert mit der \(y\)-Koordinate des jeweiligen Punktes. - Was bedeutet Gleichheit, ein größerer beziehungsweise ein kleinerer \(y\)-Wert für die Lage des Punktes?

1. Für \(x=2\) gilt \(g(2)=\frac{3}{3}+2=3\). Daher liegt \(P_1\) auf dem Graphen. 2. Für \(x=-2\) gilt \(g(-2)=\frac{3}{-1}+2=-1\). Der Punkt \(P_2\) hat die größere \(y\)-Koordinate \(1\), also liegt er oberhalb des Graphen. 3. Für \(x=0\) gilt \(g(0)=3+2=5\). Der Punkt \(P_3\) hat die kleinere \(y\)-Koordinate \(4\), also liegt er unterhalb des Graphen.

\(P_1\) liegt auf dem Graphen, \(P_2\) liegt oberhalb des Graphen und \(P_3\) liegt unterhalb des Graphen.

- Vergleiche den Term mit \(p(x)=\frac{6}{x}\): Welche Wirkung haben \(x-3\) im Nenner und der Summand \(-2\) außerhalb des Bruchs? - Welche Koordinaten hat der Ursprung? - Wenn ein Funktionswert gegeben ist, suchst du dann nach \(x\) oder nach \(y\)?

1. Der Term \(x-3\) im Nenner verschiebt den Graphen um \(3\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung. Der Summand \(-2\) verschiebt ihn um \(2\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung. 2. Der Ursprung ist \((0\mid0)\). Es gilt \(g(0)=\frac{6}{-3}-2=-4\). Daher verläuft der Graph nicht durch den Ursprung. 3. Aus \(g(x)=1\) folgt \(1=\frac{6}{x-3}-2\), also \(3=\frac{6}{x-3}\). Damit ist \(x-3=2\) und somit \(x=5\).

a) Der Graph ist um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. b) Nein, der Graph verläuft nicht durch den Ursprung, da \(g(0)=-4\). c) Der gesuchte Wert ist \(x=5\).

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welcher Summand bestimmt die Höhe der waagrechten Asymptote? - Welche Verschiebung des Graphen von \(f(x)=\frac{3}{x}\) erkennst du an \(x+4\) und an \(-2\)?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x+4=0\) folgt \(x=-4\). Somit ist \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\). 2. An der Definitionslücke liegt die senkrechte Asymptote \(x=-4\). 3. Für betragsmäßig immer größere \(x\)-Werte wird der Bruch \(\frac{3}{x+4}\) immer kleiner im Betrag. Daher kommen die Funktionswerte dem Wert \(-2\) immer näher; die waagrechte Asymptote ist \(y=-2\). 4. Der Term \(x+4\) verschiebt den Graphen um \(4\) Einheiten nach links. Der Summand \(-2\) verschiebt ihn um \(2\) Einheiten nach unten.

\(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\); Asymptoten: \(x=-4\) und \(y=-2\). Der Graph entsteht durch eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten.

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Koordinate des Punktes musst du für \(x\) und welche für \(f(x)\) einsetzen? - Isoliere den unbekannten Parameter Schritt für Schritt.

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(1 \mid 1)\) in die Funktionsgleichung: \(1 = \frac{a}{1+3} - 2\). 2. Vereinfachen des Nenners: \(1 = \frac{a}{4} - 2\). 3. Addition von \(2\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3 = \frac{a}{4}\). 4. Multiplikation mit \(4\), um nach \(a\) aufzulösen: \(a = 12\).

Der Parameter ist \(a = 12\).

- Beobachte bei jedem Graphen, welchen Geraden sich die beiden Äste annähern. - Die senkrechte Asymptote bestimmt den Parameter \(b\) in \(x+b\). - Die waagrechte Asymptote bestimmt den Parameter \(c\).

1. Für \(g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-2\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\) ab. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten ergibt \(g(x)=\frac{1}{x+2}-1\). 2. Für \(h\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben ergibt \(h(x)=\frac{1}{x-1}+2\).

a) Asymptoten: \(x=-2\) und \(y=-1\); \(g(x)=\frac{1}{x+2}-1\) b) Asymptoten: \(x=1\) und \(y=2\); \(h(x)=\frac{1}{x-1}+2\)

- Bestimme zuerst, welchen senkrechten und waagrechten Geraden sich der Graph annähert. - Prüfe anschließend das Vorzeichen des Zählers anhand des Verlaufs der beiden Äste. - Nutze einen gut ablesbaren Punkt für eine Punktprobe.

1. Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden \(x=1\) und der waagrechten Geraden \(y=2\). Daher hat die Funktion die Form \(f(x)=\frac{a}{x-1}+2\). 2. Der gut ablesbare Punkt \((0\mid3)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(3=\frac{a}{0-1}+2\), also \(a=-1\). 3. Damit lautet die Funktion \(f(x)=-\frac{1}{x-1}+2\). Dies ist Antwort b).

Die richtige Antwort ist b) \(f(x)=-\frac{1}{x-1}+2\).

- Welchen Geraden nähert sich der Graph von \(g\) an? - Wie weit sind diese Geraden gegenüber den Koordinatenachsen verschoben? - Welche Werte von \(b\) und \(c\) entsprechen diesen Verschiebungen in \(\frac{a}{x+b}+c\)?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=-2\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. 2. Gegenüber \(f(x)=\frac{1}{x}\) ist der Graph von \(g\) um \(2\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Daher gilt \(a=1\), \(b=2\) und \(c=2\). Der Funktionsterm lautet \(g(x)=\frac{1}{x+2}+2\). 4. Zur Kontrolle gilt beispielsweise \(g(-1)=3\), passend zum dargestellten Graphen.

Asymptoten: \(x=-2\), \(y=2\); \(g(x)=\frac{1}{x+2}+2\)

- Wo erkennst du die senkrechte Asymptote im Graphen? - Wie hängen die beiden Asymptoten mit \(b\) und \(c\) zusammen? - Suche für die Punktprobe einen gut ablesbaren Gitterpunkt. - Wie verändert sich der positive Bruchterm bei immer größeren positiven \(x\)-Werten?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote und Definitionslücke bei \(x=3\) ab. Daher gilt \(b=-3\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). Somit ist \(c=2\) und \(f(x)=\frac{1}{x-3}+2\). 3. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(4\mid3)\). Es gilt \(f(4)=\frac{1}{1}+2=3\), also erfüllt der Punkt die Funktionsgleichung. 4. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird \(\frac{1}{x-3}\) immer kleiner und bleibt positiv. Daher kommen die Funktionswerte dem Wert \(2\) von oben immer näher.

a) Definitionslücke und senkrechte Asymptote: \(x=3\); \(b=-3\) b) Waagrechte Asymptote: \(y=2\); \(c=2\) c) Zum Beispiel \(P(4\mid3)\), denn \(f(4)=3\). d) Die Funktionswerte kommen \(2\) von oben immer näher.

- Welchen Geraden nähern sich die Graphäste an? - Wie hängt die senkrechte Asymptote mit \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Welchen Funktionswert hat ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\) ab. 2. Aus \(-b=1\) folgt \(b=-1\), und aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=1\). Damit ist \(f(x)=\frac{2}{x-1}+1\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{2}{x-1}+1\). Daraus folgt \(x=-1\), also \(S_x(-1\mid0)\).

a) \(x=1\), \(y=1\) b) \(b=-1\), \(c=1\) c) \(S_x(-1\mid0)\)

- Wo liegt die Definitionslücke? Schau dir an, an welcher Stelle sich der Graph einer senkrechten Geraden annähert. - Welcher waagrechten Geraden nähert sich der Graph für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte an? - Vergleiche die Verschiebungen in \(x\)- und \(y\)-Richtung mit den Zahlen in den Funktionstermen.

1. Graph (A) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x=3\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y=1\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_2(x)=\frac{1}{x-3}+1\). 2. Graph (B) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x=-2\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y=-1\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_1(x)=\frac{1}{x+2}-1\). 3. Graph (C) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x=2\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y=-2\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_4(x)=\frac{1}{x-2}-2\). 4. Graph (D) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x=-1\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y=2\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_3(x)=\frac{1}{x+1}+2\).

A) gehört zu 2), denn die Asymptoten sind \(x=3\) und \(y=1\). B) gehört zu 1), denn die Asymptoten sind \(x=-2\) und \(y=-1\). C) gehört zu 4), denn die Asymptoten sind \(x=2\) und \(y=-2\). D) gehört zu 3), denn die Asymptoten sind \(x=-1\) und \(y=2\).

- Wenn die \(y\)-Achse die Asymptote ist, lautet der Nenner einfach \(x\). - Beobachte, welcher Wert für große Beträge von \(x\) übrig bleibt. - Nutze den Punkt \(P\) zum Einsetzen.

1. Da sich der Graph der \(y\)-Achse annähert, ist die senkrechte Asymptote \(x = 0\). Der Nenner bleibt daher \(x\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\), also beträgt die Verschiebung in \(y\)-Richtung \(2\). 3. Der markierte Punkt \((1\mid-1)\) liefert \(-1=\frac{a}{1}+2\). 4. Daraus folgt \(a = -3\). Der Term ist \(f(x) = -\frac{3}{x} + 2\).

\(f(x) = -\frac{3}{x} + 2\)

- Beobachte zuerst, welcher waagrechten Geraden sich der Graph für große Beträge von \(x\) annähert. - Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen. - Wähle einen Punkt auf dem Graphen, dessen Koordinaten du exakt ablesen kannst. - Überlege, wie sich der Funktionsterm bei einer Verschiebung nach oben oder unten verändert.

1. Aus dem Graphen lässt sich die waagrechte Asymptote bei \(y = 3\) ablesen. Dies entspricht dem konstanten Summanden im Funktionsterm: \(f(x) = \frac{a}{x} + 3\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=0\), wie beim Graphen von \(y=\frac{1}{x}\). 3. Zur Bestimmung des Parameters \(a\) wird ein gut ablesbarer Graphpunkt gewählt, zum Beispiel \((1\mid4)\). 4. Einsetzen ergibt \(4 = \frac{a}{1} + 3\). Daraus folgt \(a = 1\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{1}{x} + 3\).

\(f(x)=\frac{1}{x}+3\)

- Welche beiden Zahlen im Term bestimmen die Lage der Asymptoten? - Berechne für die vorgegebenen \(x\)-Werte jeweils den Funktionswert. - Welche Wirkung hat das negative Vorzeichen des Zählers auf die Lage der beiden Äste relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten?

1. Aus dem Funktionsterm folgen die Asymptoten \(x=1\) und \(y=3\). Ihr Schnittpunkt ist \(M(1\mid3)\). 2. Für \(x=2\) gilt \(f(2)=-2+3=1\), also liegt \(P(2\mid1)\) auf dem Graphen. 3. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=2+3=5\), also liegt \(Q(0\mid5)\) auf dem Graphen. 4. Für \(x<1\) liegt der linke Ast oberhalb von \(y=3\); für \(x>1\) liegt der rechte Ast unterhalb von \(y=3\). Beide Äste nähern sich den Asymptoten an.

a) \(x=1\), \(y=3\) b) \(P(2\mid1)\), \(Q(0\mid5)\) c) Für \(x<1\) liegt der Ast oberhalb von \(y=3\), für \(x>1\) unterhalb von \(y=3\).

- Vergleiche den gegebenen Term mit dem Graphen von \(y=\frac{1}{x}\). - Achte getrennt auf die Veränderung im Nenner und auf die Zahl außerhalb des Bruchs.

1. Im Nenner steht \(x-3\). Dadurch wird der Graph von \(x\mapsto\frac{1}{x}\) um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. 2. Außerhalb des Bruchs wird \(2\) addiert. Dadurch wird der Graph um \(2\) Einheiten nach oben verschoben.

Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben.

- Lies zuerst die Lage der senkrechten und der waagrechten Asymptote ab. - Vergleiche danach nur noch, auf welcher Seite der waagrechten Asymptote der rechte Ast liegt.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=-2\), die waagrechte bei \(y=-1\). Damit kommen nur B und C infrage. 2. Rechts von \(x=-2\) liegt der Graph oberhalb von \(y=-1\). Daher ist der Zähler positiv. 3. Somit passt Term B: \(f(x)=\frac{2}{x+2}-1\).

B: \(f(x)=\frac{2}{x+2}-1\).

- Welcher \(x\)-Wert macht den Nenner des Funktionsterms null? - Welche waagrechte Gerade wird durch den Summanden außerhalb des Bruchs festgelegt? - Vergleiche beide so gefundenen Geraden mit allen drei Bildern.

1. Aus dem Nenner \(x+1\) folgt die Definitionslücke \(x=-1\); dort liegt die senkrechte Asymptote. 2. Durch den Summanden \(-2\) liegt die waagrechte Asymptote bei \(y=-2\). 3. Nur Graph a) nähert sich den Geraden \(x=-1\) und \(y=-2\). Daher gehört Graph a) zu \(f\).

Graph a), weil seine Asymptoten \(x=-1\) und \(y=-2\) sind.

- Vergleiche die x-Koordinaten der beiden einander entsprechenden Punkte; was bleibt bei einer horizontalen Verschiebung unverändert? - Welche Veränderung im Nenner verschiebt \(\frac{1}{x}\) nach rechts? - Die senkrechte Asymptote wird bei einer Verschiebung zusammen mit dem Graphen mitbewegt.

1. Bei einer reinen horizontalen Verschiebung bleibt die y-Koordinate eines mitverschobenen Punktes unverändert. Von \(P\) zu \(Q\) ändert sich die x-Koordinate von \(2\) auf \(5\). Der Graph wird also um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. 2. Eine Verschiebung von \(\frac{1}{x}\) um \(3\) Einheiten nach rechts ergibt \(g(x)=\frac{1}{x-3}\). 3. Die senkrechte Asymptote von \(f\) ist \(x=0\). Sie wird zusammen mit dem Graphen um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben und liegt bei \(x=3\).

a) \(3\) Einheiten nach rechts b) \(g(x)=\frac{1}{x-3}\) c) Senkrechte Asymptote: \(x=3\); sie ist gegenüber \(x=0\) um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben.

- Wende die angegebene Verschiebung zunächst nur auf die Koordinaten von \(P\) an. - Vergleiche danach die Verschiebungsrichtung mit dem Vorzeichen im Nenner des vorgeschlagenen Funktionsterms. - Welche Geraden entstehen, wenn die Asymptoten \(x=0\) und \(y=0\) um denselben Verschiebungsvektor bewegt werden? - Setze zum Schluss die x-Koordinate von \(Q\) in den korrigierten Term ein.

1. Bei der Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben wird \(P(1\mid2)\) auf \(Q(3\mid3)\) abgebildet. Aussage A ist richtig. 2. Für eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts muss im Nenner \(x-2\) stehen. Daher ist Aussage B falsch. Der korrekte Term lautet \(g(x)=\frac{2}{x-2}+1\). 3. Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\), die waagrechte Asymptote ist \(y=1\). 4. Für \(x=3\) gilt \(g(3)=\frac{2}{3-2}+1=3\). Damit liegt \(Q(3\mid3)\) auf dem Graphen.

a) A ist richtig; B ist falsch. b) \(g(x)=\frac{2}{x-2}+1\) c) Senkrechte Asymptote: \(x=2\); waagrechte Asymptote: \(y=1\). Außerdem gilt \(g(3)=3\), also liegt \(Q(3\mid3)\) auf dem Graphen.

- Drücke zuerst die erste Seitenlänge von Rechteck B durch \(x\) aus und nutze den festen Flächeninhalt. - Vergleiche den erhaltenen Nenner mit dem Nenner von \(h(x)=\frac{24}{x}\): Welche horizontale Verschiebung bewirkt das Ersetzen von \(x\) durch \(x+2\)? - Welche Werte sind als Seitenlänge im Rechteckkontext möglich, und welcher Wert macht den Nenner der mathematischen Funktion null? - Setze für den letzten Teil den gegebenen Wert direkt in deinen Funktionsterm ein.

1. Die erste Seitenlänge von Rechteck B ist \(x+2\). Wegen des Flächeninhalts gilt \((x+2)b(x)=24\). Daher ist \(b(x)=\frac{24}{x+2}\). 2. Gegenüber \(h(x)=\frac{24}{x}\) wird im Nenner \(x\) durch \(x+2\) ersetzt. Der Graph wird deshalb um \(2\) Einheiten nach links verschoben. Die senkrechte Asymptote ist \(x=-2\), die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). 3. Im Rechteckkontext muss die Seitenlänge \(x\) positiv sein, also gilt \(x>0\). Für die mathematische Funktion ist nur \(x=-2\) ausgeschlossen; damit ist \(D_b=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). 4. Für \(x=4\) gilt \(b(4)=\frac{24}{6}=4\). Die zweite Seite von Rechteck B ist dann \(4\,\text{cm}\) lang.

a) \(b(x)=\frac{24}{x+2}\) b) Verschiebung des Graphen von \(h(x)=\frac{24}{x}\) um \(2\) Einheiten nach links; senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=0\) c) Im Sachkontext: \(x>0\). Mathematisch: \(D_b=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). Außerdem ist \(b(4)=4\,\text{cm}\).

- Welche Zahl darf für \(x\) nicht eingesetzt werden? - Welcher Funktionswert ist wegen des nie verschwindenden Bruchanteils ausgeschlossen? - Wie verändert eine Verschiebung nach links den Ausdruck, in dem \(x\) vorkommt?

1. Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x-3=0\) folgt \(x=3\). Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\). 2. Der Bruch \(\frac{4}{x-3}\) ist für zulässige \(x\) nie \(0\). Deshalb kann \(f(x)\) den Wert \(2\) nicht annehmen und \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 3. Die senkrechte Asymptote ist \(x=3\), die waagrechte Asymptote \(y=2\). 4. Eine Verschiebung um \(5\) nach links ersetzt \(x\) durch \(x+5\); anschließend werden \(3\) vom Funktionswert abgezogen. Somit gilt \(g(x)=\frac{4}{(x+5)-3}+2-3=\frac{4}{x+2}-1\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\); \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) c) \(g(x)=\frac{4}{x+2}-1\)

- Welche Gleichung hat die senkrechte Asymptote bei \(g(x)=\frac{a}{x+b}+c\)? - Welchen Parameter kannst du unmittelbar an der waagrechten Asymptote ablesen? - Wie hilft dir der Punkt \(P\), den noch fehlenden Parameter zu bestimmen?

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=4\) folgt \(-b=4\), also \(b=-4\). Aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-1\). Damit hat \(g\) zunächst die Form \(g(x)=\frac{a}{x-4}-1\). 2. Einsetzen von \(P(6\mid1)\) ergibt \(1=\frac{a}{2}-1\). Daraus folgt \(a=4\). 3. Somit lautet die Funktion \(g(x)=\frac{4}{x-4}-1\). 4. Für \(g(x)=-1\) müsste \(\frac{4}{x-4}=0\) gelten. Ein Bruch mit dem von null verschiedenen Zähler \(4\) kann jedoch nicht \(0\) werden.

a) \(g(x)=\frac{4}{x-4}-1\) b) Der Wert \(-1\) wird nicht angenommen, weil \(\frac{4}{x-4}\) für keinen zulässigen \(x\)-Wert \(0\) ist.

- Bei welchem \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welchen Wert kann der Bruchanteil \(\frac{4}{x-1}\) nie annehmen? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Punkt auf der \(y\)-Achse ein?

1. Der Nenner wird bei \(x=1\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\). 3. Für \(x\)-Werte mit großem Betrag wird der Bruchanteil \(\frac{4}{x-1}\) immer kleiner. Der Graph nähert sich daher der Geraden \(y=2\); dies ist die waagrechte Asymptote. 4. Da \(\frac{4}{x-1}\) nie \(0\) ist, wird der Wert \(2\) nicht erreicht. Somit ist \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 5. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(f(0)=\frac{4}{-1}+2=-2\). Also ist \(S_y(0\mid-2)\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\); \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) c) \(S_y(0\mid-2)\)

- Wie prüfst du, ob ein gegebener Punkt auf einem Graphen liegt? - Welche Wirkung hat das Vorzeichen von \(a\) auf die Lage der Hyperbeläste relativ zu den Asymptoten? - Welche Gleichung musst du für Teil c nach \(x\) auflösen?

1. Es ist \(g(-1)=\frac{-2}{2}=-1\). Sophies Aussage ist wahr. 2. Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \((-3\mid0)\). Für \(a<0\) haben bei jedem Graphenpunkt die Differenzen \(x-(-3)\) und \(y-0\) unterschiedliche Vorzeichen. Deshalb liegt ein Ast relativ zu diesem Schnittpunkt links oben und der andere rechts unten. Lukas hat recht. 3. Aus \(\frac{-2}{x+3}=-0{,}5\) folgt \(-2=-0{,}5(x+3)\), also \(4=x+3\) und damit \(x=1\).

a) Ja, denn \(g(-1)=-1\). b) Lukas hat recht: Für \(a<0\) liegen die Äste relativ zu den Asymptoten links oben und rechts unten. c) \(x=1\)

- Wie hängen \(b\) und die senkrechte Asymptote bei \(\frac{a}{x+b}+c\) zusammen? - Welchen Parameter liest du direkt an der waagrechten Asymptote ab? - Was gilt für den Funktionswert an \(S_x\)?

1. Aus \(x=-b=2\) folgt \(b=-2\); aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-3\). Damit ist \(h(x)=\frac{a}{x-2}-3\). 2. Einsetzen von \(P(4\mid-4)\) ergibt \(-4=\frac{a}{2}-3\), also \(a=-2\). Daher gilt \(h(x)=-\frac{2}{x-2}-3\). 3. Für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-\frac{2}{x-2}-3\). Daraus folgt \(3=-\frac{2}{x-2}\), also \(3(x-2)=-2\), \(3x=4\) und \(x=\frac{4}{3}\).

a) \(h(x)=-\frac{2}{x-2}-3\) b) \(S_x\left(\frac{4}{3}\mid0\right)\)

- Wie hängt die senkrechte Asymptote mit \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Welcher Parameter ist direkt durch die waagrechte Asymptote festgelegt? - Nutze den gegebenen Punkt zur Bestimmung von \(a\).

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=3\) folgt \(b=-3\), aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=2\). Der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x-3}+2\). 2. Mit \(P(5\mid3)\) gilt \(3=\frac{a}{2}+2\). Daher ist \(a=2\). 3. Somit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=\frac{2}{x-3}+2\).

\(a=2\), \(b=-3\), \(c=2\); \(f(x)=\frac{2}{x-3}+2\)

- Bei welchem \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Vergleiche \(g(x)=\frac{2}{x+1}-4\) direkt mit der Form \(\frac{a}{x+b}+c\).

1. Der Nenner wird bei \(x+1=0\), also \(x=-1\), null. Dort liegt die senkrechte Asymptote. 2. \(g(0)=2-4=-2\). Daher ist \(S_y(0\mid-2)\). 3. Aus \(0=\frac{2}{x+1}-4\) folgt \(4=\frac{2}{x+1}\), also \(4(x+1)=2\), \(x+1=0{,}5\) und \(x=-0{,}5\). 4. Der Graph von \(h\) wird um \(1\) Einheit nach links und um \(4\) Einheiten nach unten verschoben.

a) \(x=-1\) b) \(S_y(0\mid-2)\) c) \(x=-0{,}5\) d) Verschiebung um \(1\) nach links und \(4\) nach unten.

- Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) im Nenner steht? - Achte bei Ungleichungen darauf, ob du mit einer positiven oder negativen Zahl multiplizierst. - Schau dir den Term \(\frac{10}{x}\) genau an: Was passiert mit seiner Größe, wenn \(x\) von \(10\) auf \(100\) ansteigt?

1. Bestimmung von \(x\) für \(g(x) = 7\): \(\frac{-10}{x} + 2 = 7 \implies \frac{-10}{x} = 5 \implies -10 = 5x \implies x = -2\). 2. Bestimmung positiver Funktionswerte für \(x > 0\): \(\frac{-10}{x} + 2 > 0 \implies 2 > \frac{10}{x}\). Da \(x > 0\), kann man mit \(x\) multiplizieren: \(2x > 10 \implies x > 5\). 3. Vergleich von \(g(10)\) und \(g(100)\): Bei positivem \(x\) wird der abgezogene Betrag \(\frac{10}{x}\) immer kleiner, je größer \(x\) ist. Da dieser Term in \(g(x) = 2 - \frac{10}{x}\) subtrahiert wird, wird das Gesamtergebnis größer, wenn \(x\) steigt. Somit ist \(g(100) > g(10)\).

a) Für \(x = -2\) ist der Funktionswert \(7\). b) Die Funktionswerte sind für \(x > 5\) positiv. c) \(g(100)\) ist größer als \(g(10)\). Begründung: Da \(\frac{10}{x}\) für wachsende \(x\) kleiner wird, wird bei der Rechnung \(2 - \frac{10}{x}\) von \(2\) ein immer kleinerer Wert abgezogen, wodurch das Ergebnis steigt.

- Welche beiden Asymptotengleichungen folgen aus ihrem Schnittpunkt? - Wie übersetzt du die senkrechte Asymptote in den Parameter \(b\)? - Welche Eigenschaft des Bruchterms erklärt in c) die Nicht-Erreichbarkeit der waagrechten Asymptote?

1. Aus \(M(-3\mid2)\) folgen die Asymptoten \(x=-3\) und \(y=2\). Daher ist \(b=3\), \(c=2\), also \(g(x)=\frac{1}{x+3}+2\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{1}{x+3}+2\). Daraus folgt \(-2=\frac{1}{x+3}\), also \(x=-3{,}5\). 3. Die Gerade \(y=2\) ist die waagrechte Asymptote. Der Bruchterm \(\frac{1}{x+3}\) kann nie null werden, daher kann \(g(x)\) nie genau \(2\) sein.

a) \(g(x)=\frac{1}{x+3}+2\) b) \(x=-3{,}5\) c) Kein Schnittpunkt mit \(y=2\), weil der Bruchterm nie \(0\) wird.

- Welche Werte von \(b\) und \(c\) gehören in der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) zu den beiden Asymptoten? - Wie kannst du den Punkt \(Q\) nutzen, um den noch unbekannten Parameter zu bestimmen? - Welche Bedingung erfüllt der Funktionswert an einer Nullstelle?

1. Für die senkrechte Asymptote gilt \(x=-b\). Aus \(-b=2\) folgt \(b=-2\). Aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-1\). Damit lautet der Ansatz \(g(x)=\frac{a}{x-2}-1\). 2. Mit \(Q(3\mid1)\) gilt \(1=\frac{a}{3-2}-1\). Daher ist \(a=2\) und somit \(g(x)=\frac{2}{x-2}-1\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{2}{x-2}-1\). Daraus folgt \(1=\frac{2}{x-2}\), also \(x-2=2\) und \(x=4\).

a) \(g(x)=\frac{2}{x-2}-1\) b) \(x=4\)

- Welche Wirkung haben Vorzeichen und Verschiebungen im Funktionsterm auf den Graphen von \(f(x)=\frac{1}{x}\)? - Welcher \(x\)-Wert ist ausgeschlossen, und welcher \(y\)-Wert wird nicht erreicht? - Wie kannst du die Gleichung \(h(x)=4\) nach \(x\) auflösen?

1. Das Minuszeichen im Zähler spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse. Der Term \(x-2\) verschiebt ihn um \(2\) Einheiten nach rechts, und \(+5\) verschiebt ihn um \(5\) Einheiten nach oben. 2. Der Nenner wird bei \(x=2\) null, also ist \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). Der Wert \(5\) wird wegen der waagrechten Asymptote nicht angenommen, also ist \(W_h=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\). 3. Aus \(4=\frac{-1}{x-2}+5\) folgt \(-1=\frac{-1}{x-2}\). Daher ist \(x-2=1\) und somit \(x=3\).

a) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) nach rechts und um \(5\) nach oben. b) \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\), \(W_h=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\) c) \(x=3\)

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie geht man vor, wenn man eine unbekannte Zahl in einer Formel sucht? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert an einer Nullstelle erfüllt sein?

1. Aus \(P(4\mid5)\) folgt \(5=\frac{a}{2}+3\). Daher ist \(a=4\). 2. Damit lautet die Funktion \(k(x)=\frac{4}{x-2}+3\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{4}{x-2}+3\). Daraus folgt \(-3=\frac{4}{x-2}\), also \(-3(x-2)=4\). 4. Damit ist \(-3x+6=4\) und somit \(x=\frac{2}{3}\).

a) \(a=4\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x=\frac{2}{3}\).

- Wie kannst du einen Punkt auf dem Graphen nutzen, um den unbekannten Parameter zu bestimmen? - Berechne anschließend den Funktionswert an der \(x\)-Koordinate von \(R\). - Wie entscheidet der Vergleich zwischen Funktionswert und \(y\)-Koordinate über die Lage des Punktes?

1. Mit \(Q(6\mid1)\) gilt \(1=\frac{a}{6-4}-3\). Also \(4=\frac{a}{2}\) und damit \(a=8\). 2. Somit ist \(h(x)=\frac{8}{x-4}-3\). Für \(x=2\) gilt \(h(2)=\frac{8}{-2}-3=-7\). 3. Der Punkt \(R\) hat bei \(x=2\) die \(y\)-Koordinate \(-5\). Da \(-5>-7\), liegt \(R\) oberhalb des Graphen.

a) \(a=8\) b) \(h(2)=-7\) und \(-5>-7\); daher liegt \(R\) oberhalb des Graphen.

- Gehe schrittweise vor und setze die bekannten Werte in die jeweilige Funktionsgleichung ein. - Was bedeutet ein Vergleich von zwei \(y\)-Werten bei gleichem \(x\) für die Position eines Punktes? - Wie löst man eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Nenner steht? - Achte darauf, welche Funktion in welchem Aufgabenteil gefragt ist.

1. Prüfung für \(f_1\): \(f_1(4)=\frac{4}{4}=1\). Da der berechnete Wert der \(y\)-Koordinate von \(S\) entspricht, liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. Lage bezüglich \(f_2\): Es ist \(f_2(4)=\frac{4}{4-2}+1=3\). Da die \(y\)-Koordinate von \(S\) gleich \(1\) und damit kleiner als \(3\) ist, liegt \(S\) unterhalb des Graphen von \(f_2\). 3. Für die gesuchte \(x\)-Koordinate gilt \(f_2(x)=5\). Aus \(5=\frac{4}{x-2}+1\) folgt \(4=\frac{4}{x-2}\), also \(x-2=1\) und damit \(x=3\).

1. \(f_1(4)=1\), daher liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. \(S\) liegt unterhalb des Graphen von \(f_2\), da \(f_2(4)=3\) und \(1<3\). 3. Die \(x\)-Koordinate ist \(x=3\).

- Welcher \(x\)-Wert macht den Nenner null? - Welcher konstante Summand bestimmt die waagrechte Asymptote? - Kann ein Bruch mit einem von null verschiedenen konstanten Zähler den Wert \(0\) annehmen?

1. Der Nenner wird bei \(x=4\) null. Daher ist \(x=4\) die senkrechte Asymptote. Der konstante Summand liefert die waagrechte Asymptote \(y=1\). 2. Es ist \(h(2)=-\frac{2}{2-4}+1=2\). 3. Für \(h(x)=1\) müsste \(-\frac{2}{x-4}=0\) gelten. Ein Bruch mit dem Zähler \(-2\) kann jedoch nicht null werden. Deshalb wird der Wert \(1\) nicht angenommen.

a) \(x=4\) und \(y=1\) b) \(h(2)=2\) c) Der Wert \(1\) wird nicht angenommen, weil \(-\frac{2}{x-4}\) nie \(0\) ist.

- Welche Werte von \(b\) und \(c\) gehören in \(\frac{a}{x+b}+c\) zu den beiden Asymptoten? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um \(a\) zu bestimmen? - Welche Gleichung entsteht, wenn der Funktionswert \(-2\) vorgegeben ist?

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=-2\) folgt \(b=2\), aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-3\). Der Ansatz lautet \(k(x)=\frac{a}{x+2}-3\). 2. Der Punkt \(P(0\mid-2{,}5)\) liefert \(-2{,}5=\frac{a}{2}-3\). Also ist \(0{,}5=\frac{a}{2}\) und damit \(a=1\). 3. Somit ist \(k(x)=\frac{1}{x+2}-3\). 4. Aus \(-2=\frac{1}{x+2}-3\) folgt \(1=\frac{1}{x+2}\). Daher ist \(x+2=1\) und somit \(x=-1\).

a) \(k(x)=\frac{1}{x+2}-3\) b) \(x=-1\)

- Welcher \(x\)-Wert darf im Nenner nicht eingesetzt werden, und was bedeutet das für die senkrechte Asymptote? - Wie findest du die beiden Achsenschnittpunkte aus den Bedingungen \(x=0\) beziehungsweise \(f(x)=0\)? - Wann kann ein Bruch mit einem konstanten, von null verschiedenen Zähler den Wert \(0\) annehmen? - Welche Rolle spielt der Summand \(-1\), wenn du \(f\) mit \(g\) vergleichst?

1. Der Nenner wird bei \(x=-2\) null. Daher ist \(x=-2\) die senkrechte Asymptote. Der konstante Summand liefert die waagrechte Asymptote \(y=-1\). 2. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\): \(f(0)=\frac{4}{2}-1=1\). Also ist \(S_y(0\mid1)\). 3. Für die \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\): Aus \(0=\frac{4}{x+2}-1\) folgt \(\frac{4}{x+2}=1\), also \(x=2\). Damit ist \(S_x(2\mid0)\). 4. Bei \(g(x)=\frac{4}{x+2}\) kann der Funktionswert \(0\) nicht auftreten, weil der Zähler \(4\) von null verschieden ist. Bei \(f\) gilt dagegen \(f(2)=0\); deshalb besitzt \(f\) einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) Senkrechte Asymptote: \(x=-2\); waagrechte Asymptote: \(y=-1\). b) \(S_y(0\mid1)\); \(S_x(2\mid0)\) c) Bei \(g(x)\) kann der Funktionswert \(0\) nicht auftreten, weil der Zähler \(4\) von null verschieden ist. Bei \(f\) gilt dagegen \(f(2)=0\); daher ist \(S_x(2\mid0)\).

- Wie hängt die senkrechte Asymptote mit dem Parameter \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Welcher Parameter bestimmt die waagrechte Asymptote? - Welchen \(x\)-Wert hat der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=-b\). Aus \(-b=-1\) folgt \(b=1\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=c\). Daher ist \(c=4\), also \(g(x)=\frac{a}{x+1}+4\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0\mid1)\). Einsetzen liefert \(1=a+4\). 4. Daraus folgt \(a=-3\). Somit ist \(g(x)=-\frac{3}{x+1}+4\).

\(a=-3\) und \(g(x)=-\frac{3}{x+1}+4\).

- Welche senkrechte und waagrechte Asymptote liest du aus ihrem Schnittpunkt ab? - Wie hängen diese beiden Asymptoten mit \(b\) und \(c\) in \(\frac{a}{x+b}+c\) zusammen? - Welche Gleichung erhältst du aus der gegebenen Nullstelle?

1. Der Schnittpunkt der Asymptoten liefert die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\). Daher gilt \(b=-2\) und \(c=-1\). 2. Somit hat die Funktion die Form \(h(x)=\frac{a}{x-2}-1\). 3. Die Nullstelle bei \(x=4\) bedeutet \(h(4)=0\). Also \(0=\frac{a}{2}-1\), damit \(a=2\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x)=\frac{2}{x-2}-1\).

\(h(x)=\frac{2}{x-2}-1\)

- Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen aus den beiden Asymptoten? - Wie kannst du den Punkt \(P\) nutzen, um \(a\) zu bestimmen? - Welche Bedingung gilt jeweils für einen Punkt auf der \(x\)- beziehungsweise \(y\)-Achse?

1. Aus \(x=-2\) folgt \(b=2\), aus \(y=3\) folgt \(c=3\). Damit ist \(f(x)=\frac{a}{x+2}+3\). 2. Mit \(P(1\mid4)\) gilt \(4=\frac{a}{3}+3\). Daher ist \(a=3\) und \(f(x)=\frac{3}{x+2}+3\). 3. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Es ist \(f(0)=\frac{3}{2}+3=4{,}5\). Also ist \(S_y(0\mid4{,}5)\). 4. Für die \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\). Aus \(0=\frac{3}{x+2}+3\) folgt \(x+2=-1\) und damit \(x=-3\). Also ist \(S_x(-3\mid0)\).

a) \(f(x)=\frac{3}{x+2}+3\) b) \(S_y(0\mid4{,}5)\), \(S_x(-3\mid0)\)

- Vergleiche die Positionen der Asymptoten beider Funktionen miteinander. - Wie kommst du von einer senkrechten Asymptote bei \(-1\) zu einer bei \(2\)? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine \(y\)-Koordinate, also ein Funktionswert, vorgegeben ist?

1. Der Graph von \(f\) hat die senkrechte Asymptote \(x=-1\), der Graph von \(h\) die senkrechte Asymptote \(x=2\). Daher ist eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts nötig. 2. Die waagrechte Asymptote verschiebt sich von \(y=4\) zu \(y=1\). Daher ist zusätzlich eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten nötig. 3. Für den gesuchten Punkt gilt \(f(x)=6\): \(6=\frac{2}{x+1}+4\). Daraus folgt \(2=\frac{2}{x+1}\), also \(x=0\). Der Punkt ist \(P(0\mid6)\).

a) Der Graph von \(f\) muss um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben werden. b) Der gesuchte Punkt ist \(P(0\mid6)\).

- Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen aus den beiden Asymptoten? - Wie kannst du den Punkt \(P\) nutzen, um \(a\) zu bestimmen? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse?

1. Aus \(x=-1\) folgt \(b=1\), aus \(y=3\) folgt \(c=3\). Der Ansatz lautet \(k(x)=\frac{a}{x+1}+3\). 2. Mit \(P(1\mid2)\) gilt \(2=\frac{a}{2}+3\). Daher ist \(a=-2\). 3. Somit ist \(k(x)=-\frac{2}{x+1}+3\). 4. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Es ist \(k(0)=-2+3=1\), also \(S_y(0\mid1)\).

\(k(x)=-\frac{2}{x+1}+3\); \(S_y(0\mid1)\)

- Wie kannst du den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen, um \(a\) zu bestimmen? - Welchen Funktionswert haben alle Punkte auf der \(x\)-Achse? - Prüfe am Ende, ob der gefundene \(x\)-Wert zur Definitionsmenge gehört.

1. Mit \(A(3\mid-2)\) gilt \(-2=\frac{a}{3-1}-4\). Daraus folgt \(2=\frac{a}{2}\) und damit \(a=4\). 2. Somit ist \(g(x)=\frac{4}{x-1}-4\). 3. Für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(g(x)=0\). Aus \(0=\frac{4}{x-1}-4\) folgt \(x-1=1\) und damit \(x=2\). 4. Der Wert \(x=2\) gehört zur Definitionsmenge. Daher ist \(S_x(2\mid0)\).

a) \(a=4\) b) Ja, \(S_x(2\mid0)\).

- Wo liegen die Asymptoten der Funktion \(g(x)\) im Koordinatensystem? - Welche Gleichungen haben die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse? - Überlege dir, wie du den Graphen bewegen musst, damit seine Asymptoten genau auf den Koordinatenachsen liegen.

1. Die ursprünglichen Asymptoten von \(g\) sind \(x=2\) und \(y=3\). 2. Die Ziel-Asymptoten sind die \(y\)-Achse \(x=0\) und die \(x\)-Achse \(y=0\). 3. Von \(x=2\) zu \(x=0\) ist eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links nötig. Von \(y=3\) zu \(y=0\) ist eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten nötig. 4. Nach diesen Verschiebungen lautet die neue Gleichung \(g_{\text{neu}}(x)=\frac{1}{x}\).

a) Der Graph muss um \(2\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben werden. b) \(g_{\text{neu}}(x)=\frac{1}{x}\).

- Welche Gesamtzeit setzt sich aus der festen Hinwegzeit und der variablen Rückwegzeit zusammen? - Vergleiche den Nenner \(t+1{,}5\) mit dem Nenner \(t\) von \(g(t)=\frac{15}{t}\). - Welcher Nennerwert würde die mathematische Funktion undefiniert machen, und ist dieser Wert als Rückwegzeit überhaupt sinnvoll?

1. Die Gesamtzeit beträgt \(1{,}5+t\) Stunden. Daher ist \(v(t)=\frac{15}{t+1{,}5}\) für \(t\in\mathbb{Q}_{>0}\). 2. Für die mathematische Erweiterung gilt \(V(t)=\frac{15}{t+1{,}5}\) mit \(D_V=\mathbb{Q}\setminus\{-1{,}5\}\). Gegenüber \(g(t)=\frac{15}{t}\) ist der Graph um \(1{,}5\) Einheiten nach links verschoben. Die senkrechte Asymptote ist \(t=-1{,}5\), die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). 3. Es gilt \(v(2)=\frac{15}{3{,}5}=\frac{30}{7}\approx4{,}29\,\text{km/h}\). 4. Im Sachzusammenhang ist nur \(t>0\) sinnvoll. Der Wert \(t=-1{,}5\) liegt deshalb außerhalb der sachbezogenen Definitionsmenge.

a) \(v(t)=\frac{15}{t+1{,}5}\) für \(t\in\mathbb{Q}_{>0}\) b) \(D_V=\mathbb{Q}\setminus\{-1{,}5\}\); Verschiebung um \(1{,}5\) nach links; Asymptoten \(t=-1{,}5\) und \(y=0\) c) \(v(2)\approx4{,}29\,\text{km/h}\); \(t=-1{,}5\) ist als Rückwegzeit unmöglich, weil im Sachzusammenhang \(t>0\) gelten muss.

- Welche Gleichung verbindet in der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) den Parameter \(b\) mit der senkrechten Asymptote? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Prüfe beim Umformen, dass der gefundene Wert nicht an der Definitionslücke liegt.

1. In der Form \(\frac{4}{x+b}+5\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-b\). Aus \(-b=2\) folgt \(b=-2\). 2. Damit ist \(g(x)=\frac{4}{x-2}+5\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{4}{x-2}+5\). Also \(-5=\frac{4}{x-2}\). 4. Daraus folgt \(-5(x-2)=4\), also \(-5x+10=4\), \(-5x=-6\) und \(x=1{,}2\).

a) \(b=-2\) b) \(x=1{,}2\)

- Welche Gleichung liefert jeder der beiden Punkte? - Welche Unbekannte hat in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten? - Was passiert mit dieser Unbekannten, wenn du eine Gleichung von der anderen subtrahierst?

1. Aus \(A(2\mid4)\) folgt \(\frac{a}{2}+c=4\). 2. Aus \(B(4\mid3)\) folgt \(\frac{a}{4}+c=3\). 3. Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, fällt \(c\) weg: \(\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=1\). Also ist \(\frac{a}{4}=1\) und damit \(a=4\). 4. Einsetzen in \(\frac{a}{2}+c=4\) ergibt \(2+c=4\), also \(c=2\). 5. Somit lautet der Funktionsterm \(h(x)=\frac{4}{x}+2\).

Gleichungen: \(\frac{a}{2}+c=4\) und \(\frac{a}{4}+c=3\). Additionsverfahren durch Subtraktion: \(\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=1\), also \(a=4\). Einsetzen ergibt \(c=2\). \(h(x)=\frac{4}{x}+2\)

- Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen in \(\frac{a}{x+b}+c\) aus den beiden Asymptoten? - Welche Koordinaten hat der Ursprung? - Wie kannst du den Ursprung einsetzen, um \(a\) zu bestimmen?

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=2\) folgt \(b=-2\), aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-4\). Damit ist \(g(x)=\frac{a}{x-2}-4\). 2. Da der Ursprung auf dem Graphen liegt, gilt \(g(0)=0\). Also \(0=\frac{a}{-2}-4\). 3. Daraus folgt \(4=-\frac{a}{2}\) und damit \(a=-8\). 4. Somit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=-\frac{8}{x-2}-4\).

\(a=-8\); \(g(x)=-\frac{8}{x-2}-4\)

- Welcher Wert von \(c\) gehört zur \(x\)-Achse als waagrechter Asymptote? - Wie hängt die senkrechte Asymptote mit \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Wie kannst du \(S_y\) nutzen, um den noch unbekannten Parameter \(a\) zu bestimmen?

1. Da die waagrechte Asymptote die \(x\)-Achse ist, gilt \(c=0\). 2. Aus der senkrechten Asymptote \(x=1{,}5\) folgt \(b=-1{,}5\). Damit ist \(f(x)=\frac{a}{x-1{,}5}\). 3. Mit \(S_y(0\mid2)\) gilt \(2=\frac{a}{-1{,}5}\). 4. Daher ist \(a=2\cdot(-1{,}5)=-3\) und somit \(f(x)=-\frac{3}{x-1{,}5}\).

\(f(x)=-\frac{3}{x-1{,}5}\)

- Was verrät die Definitionsmenge über die senkrechte Asymptote und damit über \(b\)? - Welcher Parameter ist durch die waagrechte Asymptote festgelegt? - Welche Gleichung gilt, wenn der Graph bei \(x=5\) die \(x\)-Achse schneidet?

1. Aus \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\) folgt die senkrechte Asymptote \(x=1\). Daher ist \(b=-1\). 2. Aus der waagrechten Asymptote \(y=-2\) folgt \(c=-2\). Der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x-1}-2\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x=5\) bedeutet \(f(5)=0\). Also \(0=\frac{a}{4}-2\), woraus \(a=8\) folgt. 4. Damit ist \(f(x)=\frac{8}{x-1}-2\). 5. Für \(x=3\) gilt \(f(3)=\frac{8}{2}-2=2\).

a) \(f(x)=\frac{8}{x-1}-2\) b) \(y=2\)

- Das Wirkstoffvolumen bleibt beim Zugeben von Wasser unverändert; nur das Gesamtvolumen wächst. - Schreibe den Prozentanteil als Wirkstoffvolumen geteilt durch Gesamtvolumen. - Prüfe Zuris Aussage mit den beiden Funktionswerten statt nur mit der Wassermenge. - Vergleiche die Argumente in \(c(n)\) und \(f(x)\), um die Verschiebung zu erkennen.

1. In \(1\,\text{l}\) Konzentrat stecken \(0{,}2\,\text{l}\) Wirkstoff. Das Gesamtvolumen beträgt \((1+n)\,\text{l}\). 2. Damit ist der Wirkstoffanteil \(\frac{0{,}2}{1+n}\cdot100\,\%=\frac{20}{n+1}\,\%\). Also gilt \(c(n)=\frac{20}{n+1}\). 3. Es ist \(c(1)=10\,\%\), \(c(2)=\frac{20}{3}\,\%\approx6{,}67\,\%\) und \(c(3)=5\,\%\). 4. Die Hälfte von \(10\,\%\) wäre \(5\,\%\), bei \(n=2\) sind es jedoch etwa \(6{,}67\,\%\). Die Behauptung ist falsch. 5. Es gilt \(c(n)=f(n+1)\). Daher entsteht der Graph von \(c\) aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links.

a) In \(1\,\text{l}\) Konzentrat stecken \(0{,}2\,\text{l}\) Wirkstoff; bei Gesamtvolumen \(n+1\) gilt daher \(c(n)=\frac{0{,}2}{n+1}\cdot100\,\%=\frac{20}{n+1}\). b) \(c(1)=10\,\%\), \(c(2)\approx6{,}67\,\%\), \(c(3)=5\,\%\) c) Die Behauptung ist falsch: Die Hälfte von \(10\,\%\) wäre \(5\,\%\), tatsächlich ist \(c(2)\approx6{,}67\,\%\). d) Verschiebung um \(1\) Einheit nach links.

- Welche Stelle muss aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden? - Wie kannst du den Zähler mithilfe des Nenners schreiben, damit die Asymptoten sichtbar werden? - Wann ist ein Bruch gleich null? - Welche Gleichung erhältst du für die Schnittpunkte mit der Geraden \(y=x\)?

1. Wegen \(x-1\neq0\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Außerdem ist \(x+3=(x-1)+4\), also \(f(x)=1+\frac{4}{x-1}\). 2. Aus dieser Darstellung folgen die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\). 3. Für die Nullstelle gilt \(x+3=0\), also \(x=-3\). 4. Für die Schnittpunkte mit \(y=x\) gilt \(\frac{x+3}{x-1}=x\). Multiplikation mit \(x-1\) liefert \(x+3=x^2-x\), also \(x^2-2x-3=0\). Damit ist \(x=3\) oder \(x=-1\). Die Punkte sind \(S_1(3\mid3)\) und \(S_2(-1\mid-1)\). Die Proben \(f(3)=3\) und \(f(-1)=-1\) bestätigen beide Punkte.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); \(f(x)=1+\frac{4}{x-1}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=1\) c) Nullstelle: \(x=-3\) d) \(S_1(3\mid3)\) und \(S_2(-1\mid-1)\); Proben: \(f(3)=3\), \(f(-1)=-1\)

- Für welchen Wert wird der Nenner null? - Wie kannst du \(3x-2\) mithilfe von \(3(x+2)\) schreiben? - Welche Bedingung erfüllt der Zähler an einer Nullstelle? - Beachte beim Lösen der Bruchgleichung die Definitionsmenge und prüfe die gefundene Lösung im ursprünglichen Term.

1. Der Nenner wird für \(x=-2\) null. Daher ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Es gilt \(3x-2=3(x+2)-8\). Damit folgt \(g(x)=\frac{3(x+2)-8}{x+2}=3-\frac{8}{x+2}\). 3. Für eine Nullstelle muss \(3x-2=0\) gelten. Daraus folgt \(x=\frac{2}{3}\); dieser Wert gehört zu \(D_g\). 4. Aus \(\frac{3x-2}{x+2}=1\) folgt wegen \(x\neq-2\): \(3x-2=x+2\). Also \(2x=4\) und \(x=2\). Probe: \(g(2)=\frac{6-2}{4}=1\).

a) \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) b) \(3x-2=3(x+2)-8\), also \(g(x)=\frac{3(x+2)-8}{x+2}=3-\frac{8}{x+2}\) c) \(x=\frac{2}{3}\) d) \(x=2\); Probe: \(g(2)=1\)

- Welcher Ausdruck steht im Nenner von \(K\) an der Stelle, an der bei \(H\) nur \(x\) steht? - Für welchen Wert von \(x\) wird der Nenner der mathematischen Erweiterung null? - Bei echter indirekter Proportionalität müsste welches Produkt mit \(n\) konstant bleiben?

1. Es gilt \(K(x)=H(x-3)\). Der Graph von \(H\) wird daher um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. 2. Der Nenner von \(K\) wird bei \(x=3\) null. Die senkrechte Asymptote lautet deshalb \(x=3\). Im Sachzusammenhang entspräche \(n=3\) genau den drei nicht zahlenden Betreuern; es gäbe keine zahlende Person, auf die die Kosten verteilt werden könnten. 3. Für eine indirekt proportionale Zuordnung müsste \(n\cdot k(n)\) konstant sein. Hier ist aber \(n\cdot\frac{240}{n-3}\) nicht konstant. Dagegen gilt \((n-3)\cdot k(n)=240\). Daher ist \(n\mapsto k(n)\) nicht indirekt proportional.

a) Um \(3\) Einheiten nach rechts. b) Senkrechte Asymptote der mathematischen Erweiterung: \(x=3\); bei \(n=3\) gäbe es keine zahlende Person, daher sind Kosten pro zahlender Person nicht definiert. c) Nein. \(n\cdot k(n)\) ist nicht konstant; konstant ist \((n-3)\cdot k(n)=240\).

- Vergleiche die Nenner \(x\) und \(x-4\). - Welche Zahl darf \(x\) bei \(f\) nicht annehmen? - Welches Vorzeichen hat \(x-4\), wenn \(x>4\) gilt?

1. Im Nenner steht \(x-4\). Daher entsteht der Graph von \(f\) aus dem Graphen von \(g\) durch eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts. 2. Die senkrechte Asymptote ist \(x=4\), die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). Damit gilt \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\). 3. Für \(x>4\) ist der Nenner positiv. Zusammen mit dem positiven Zähler liegen die Funktionswerte über der waagrechten Asymptote; es bleibt der rechts oben liegende Ast relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten. Zur Kontrolle ist \(f(8)=\frac{24}{4}=6>0\).

a) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts. b) Asymptoten \(x=4\) und \(y=0\); \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\). c) Es bleibt der rechts oben liegende Ast; dort gilt \(f(x)>0\). Kontrolle: \(f(8)=6\).

- Welchen Geraden nähern sich die beiden Graphäste an? - Wie hängt die senkrechte Asymptote mit \(b\) in \(x+b\) zusammen, und wie die waagrechte mit \(c\)? - Suche einen Punkt, dessen Koordinaten du am Gitter sicher ablesen kannst, und setze ihn in den Ansatz ein. - Welche Bedingungen gelten für Punkte auf der \(x\)- beziehungsweise \(y\)-Achse?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\) ab. 2. In der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) gilt damit \(-b=2\), also \(b=-2\), und \(c=1\). Der Ansatz ist \(f(x)=\frac{a}{x-2}+1\). 3. Als gut ablesbaren Graphpunkt kann man beispielsweise \((4\mid3)\) verwenden. Es gilt \(3=\frac{a}{4-2}+1\), also \(a=4\). Damit ist \(f(x)=\frac{4}{x-2}+1\). 4. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\): \(f(0)=-1\), also \(S_y(0\mid-1)\). Für die \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\): \(0=\frac{4}{x-2}+1\) liefert \(x=-2\), also \(S_x(-2\mid0)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=2\); waagrechte Asymptote: \(y=1\) b) \(b=-2\), \(c=1\) c) \(a=4\); \(f(x)=\frac{4}{x-2}+1\) d) \(S_y(0\mid-1)\), \(S_x(-2\mid0)\)

- Welche beiden Asymptoten kannst du aus dem Graphen ablesen? - Welcher Wert muss aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden? - Wie hängt die senkrechte Asymptote mit \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Nutze danach einen gut ablesbaren Punkt zur Bestimmung von \(a\).

1. Aus dem Graphen liest man die waagrechte Asymptote \(y=-1\) und die senkrechte Asymptote \(x=2\) ab. 2. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 3. Aus \(x=-b=2\) folgt \(b=-2\), aus \(y=c=-1\) folgt \(c=-1\). Der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x-2}-1\). 4. Mit dem gut ablesbaren Punkt \((3\mid1)\) gilt \(1=a-1\), also \(a=2\). Damit ist \(f(x)=\frac{2}{x-2}-1\).

a) \(x=2\), \(y=-1\) b) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) c) \(a=2\), \(b=-2\), \(c=-1\); \(f(x)=\frac{2}{x-2}-1\)

- Welcher senkrechten Geraden nähern sich die Graphäste an? - Welcher waagrechten Geraden nähern sich die Graphäste weit weg von der Definitionslücke an? - Wie übersetzt du die senkrechte Asymptote in den Parameter \(b\) der Form \(x+b\)? - Wähle einen Gitterpunkt auf dem Graphen und führe eine Punktprobe durch.

1. Aus dem Graphen liest man die Definitionslücke und senkrechte Asymptote bei \(x=2\) ab. In \(x+b\) muss daher \(-b=2\) gelten, also \(b=-2\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=1\). Daher ist \(c=1\) und somit \(f(x)=\frac{3}{x-2}+1\). 3. Ein gut ablesbarer Punkt ist beispielsweise \((3\mid4)\). Es gilt \(f(3)=\frac{3}{3-2}+1=4\); der Punkt erfüllt die Gleichung.

a) Definitionslücke und senkrechte Asymptote: \(x=2\); \(b=-2\) b) Waagrechte Asymptote: \(y=1\); \(c=1\) c) Zum Beispiel gilt für \((3\mid4)\): \(f(3)=4\).

- Welche beiden Asymptoten kannst du ablesen? - Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen daraus? - Nutze einen gut ablesbaren Punkt zur Bestimmung von \(a\). - Welchen \(x\)-Wert haben Punkte auf der \(y\)-Achse?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=3\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Daher ist \(b=-3\) und \(c=2\). 2. Der gut ablesbare Punkt \((4\mid0)\) liefert \(0=a+2\), also \(a=-2\). Somit ist \(f(x)=-\frac{2}{x-3}+2\). 3. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}\). Daher ist \(S_y\left(0\mid\frac{8}{3}\right)\).

a) \(x=3\), \(y=2\) b) \(f(x)=-\frac{2}{x-3}+2\) c) \(S_y\left(0\mid\frac{8}{3}\right)\)

- Welchen Geraden nähern sich die beiden Graphäste an? - Welche Parameter \(b\) und \(c\) folgen daraus in \(\frac{a}{x+b}+c\)? - Suche einen gut ablesbaren Graphpunkt, um \(a\) zu bestimmen. - Welche Bedingungen gelten an den beiden Koordinatenachsen?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=-2\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\) ab. 2. Daraus folgen \(b=2\) und \(c=1\). Mit dem gut ablesbaren Punkt \((-1\mid3)\) gilt \(3=\frac{a}{-1+2}+1\), also \(a=2\). Damit ist \(f(x)=\frac{2}{x+2}+1\). 3. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=2\), also \(S_y(0\mid2)\). Aus \(0=\frac{2}{x+2}+1\) folgt \(x=-4\), also \(S_x(-4\mid0)\).

a) \(x=-2\) und \(y=1\) b) \(a=2\), \(b=2\), \(c=1\); \(f(x)=\frac{2}{x+2}+1\) c) \(S_y(0\mid2)\), \(S_x(-4\mid0)\)

- Welchen Geraden nähern sich die beiden Graphäste an? - Welche Werte von \(b\) und \(c\) gehören zu diesen Asymptoten? - Nutze einen gut ablesbaren Punkt zur Bestimmung von \(a\). - Wie kannst du die beiden abgelesenen Achsenschnittpunkte rechnerisch prüfen?

1. Aus dem Verlauf liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Daher ist \(b=-2\) und \(c=2\). 2. Mit dem gut ablesbaren Punkt \(P(3\mid-2)\) gilt \(-2=\frac{a}{3-2}+2\), also \(a=-4\). Damit ist \(f(x)=-\frac{4}{x-2}+2\). 3. Aus dem Graphen liest man \(S_x(4\mid0)\) und \(S_y(0\mid4)\) ab. 4. Rechnerisch ergibt \(0=-\frac{4}{x-2}+2\) den Wert \(x=4\). Außerdem ist \(f(0)=4\). Beide abgelesenen Schnittpunkte sind bestätigt.

a) Asymptoten: \(x=2\), \(y=2\); \(f(x)=-\frac{4}{x-2}+2\) b) \(S_x(4\mid0)\), \(S_y(0\mid4)\) c) \(f(4)=0\) und \(f(0)=4\); damit sind beide abgelesenen Achsenschnittpunkte rechnerisch bestätigt.

- Welchen Geraden nähern sich die beiden Graphäste an? - Wie hängt \(b\) in \(x+b\) mit der senkrechten Asymptote zusammen? - Lies die Koordinaten eines markierten Punktes ab und setze sie in den Ansatz ein.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\) ab. 2. Daraus folgen \(b=-2\) und \(c=1\). Der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x-2}+1\). 3. Der markierte Punkt \(P(4\mid0)\) liefert \(0=\frac{a}{4-2}+1\). Daher ist \(a=-2\) und somit \(f(x)=-\frac{2}{x-2}+1\).

a) \(x=2\) und \(y=1\) b) \(b=-2\), \(c=1\) c) \(a=-2\); \(f(x)=-\frac{2}{x-2}+1\)

- Wo schneiden sich die beiden dargestellten Graphen? - Welche Bedingungen gelten auf der \(x\)- und auf der \(y\)-Achse? - Für gemeinsame Punkte müssen beide Funktionsterme denselben Wert haben. - Beachte beim Lösen der Bruchgleichung die Definitionslücke von \(f\).

1. Aus der Abbildung liest man die gemeinsamen Punkte \(P_1(0\mid-1)\) und \(P_2(4\mid3)\) ab. 2. Für \(f\) gilt \(f(0)=-1\), also \(S_{y,f}(0\mid-1)\). Aus \(f(x)=0\) folgt \(x=-2\), also \(S_{x,f}(-2\mid0)\). 3. Für \(g\) gilt \(g(0)=-1\), also \(S_{y,g}(0\mid-1)\). Aus \(g(x)=0\) folgt \(x=1\), also \(S_{x,g}(1\mid0)\). 4. Für die gemeinsamen Punkte gilt \(\frac{4}{x-2}+1=x-1\). Nach Multiplikation mit \(x-2\) erhält man \(4=(x-2)^2\). 5. Daraus folgen \(x=0\) oder \(x=4\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(y=-1\) beziehungsweise \(y=3\). Damit sind \(P_1\) und \(P_2\) bestätigt.

a) \(P_1(0\mid-1)\), \(P_2(4\mid3)\) b) Für \(f\): \(S_{y,f}(0\mid-1)\), \(S_{x,f}(-2\mid0)\); für \(g\): \(S_{y,g}(0\mid-1)\), \(S_{x,g}(1\mid0)\) c) \(\frac{4}{x-2}+1=x-1\) führt zu \(4=(x-2)^2\), also \(x=0\) oder \(x=4\). Damit erhält man wieder \(P_1(0\mid-1)\) und \(P_2(4\mid3)\).

- Bei welchem \(x\)-Wert nähern sich die Graphäste einer senkrechten Geraden? - Welche waagrechte Gerade beschreibt die Höhe, der sich der Graph weit weg von der Definitionslücke annähert? - Wie groß wird der Betrag von \(\frac{2}{x-2}\), wenn der Betrag des Nenners sehr groß ist?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote und Definitionslücke bei \(x=2\) ab. Daher gilt \(-b=2\), also \(b=-2\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=1\), also \(c=1\). Damit ist \(f(x)=\frac{2}{x-2}+1\). 3. Es ist \(f(102)=\frac{2}{100}+1=1{,}02\) und \(f(-98)=\frac{2}{-100}+1=0{,}98\). 4. Beide Werte liegen nahe bei \(1\). Für betragsmäßig immer größere \(x\)-Werte wird der Bruchterm immer kleiner im Betrag, sodass sich die Funktionswerte der waagrechten Asymptote \(y=1\) annähern.

a) Senkrechte Asymptote und Definitionslücke: \(x=2\); \(b=-2\) b) Waagrechte Asymptote: \(y=1\); \(c=1\) c) \(f(102)=1{,}02\), \(f(-98)=0{,}98\); beide Werte liegen nahe an der Asymptote \(y=1\).

- Vergleiche, welchen Geraden sich die Graphen von \(f\) und \(g\) annähern. - Eine Verschiebung nach links oder rechts verändert den Ausdruck im Nenner. - Eine Verschiebung nach oben oder unten verändert den Summanden außerhalb des Bruchs.

1. Aus dem rechten Graphen liest man die waagrechte Asymptote \(y=2\) und die senkrechte Asymptote \(x=-3\) ab. 2. Der Graph von \(f\) wird um \(3\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Daraus folgt \(g(x)=\frac{1}{x+3}+2\).

a) Waagrechte Asymptote: \(y=2\); senkrechte Asymptote: \(x=-3\) b) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach oben c) \(g(x)=\frac{1}{x+3}+2\)

- Welche senkrechte und waagrechte Asymptote kannst du ablesen? - Wie hängt die senkrechte Asymptote mit \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Nutze anschließend einen markierten Punkt, um \(a\) zu bestimmen.

1. Der Graph besitzt die senkrechte Asymptote \(x=-2\). In der Form \(x+b\) folgt daraus \(b=2\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=-1\). Daher gilt \(c=-1\). 3. Der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x+2}-1\). 4. Der markierte Schnittpunkt \(S_x(1\mid0)\) liefert \(0=\frac{a}{3}-1\). Daher ist \(a=3\). 5. Somit ist \(f(x)=\frac{3}{x+2}-1\).

\(a=3\), \(b=2\), \(c=-1\); \(f(x)=\frac{3}{x+2}-1\)

- Welche beiden Asymptoten kannst du am Verlauf des Graphen erkennen? - Wie übersetzt du die senkrechte Asymptote in den Parameter \(b\)? - Wähle einen Gitterpunkt auf dem Graphen und setze ihn in den Ansatz ein.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=-1\) und die waagrechte Asymptote \(y=-3\) ab. Daher gilt \(b=1\) und \(c=-3\). 2. Der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x+1}-3\). 3. Ein gut ablesbarer Punkt ist \((1\mid-1)\). Einsetzen liefert \(-1=\frac{a}{2}-3\). 4. Daraus folgt \(a=4\). Somit ist \(f(x)=\frac{4}{x+1}-3\).

a) Asymptoten: \(x=-1\), \(y=-3\); \(b=1\), \(c=-3\) b) \(a=4\); \(f(x)=\frac{4}{x+1}-3\)

- Welche beiden Geraden sind die Asymptoten des Graphen? - Welche Beziehung gilt zwischen der senkrechten Asymptote und \(b\) in \(x+b\)? - Wie kannst du den Ursprung nutzen, um \(a\) zu bestimmen? - Bei d) ist ein \(x\)-Wert zu einem vorgegebenen Funktionswert gesucht.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=-2\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\) ab. 2. Aus \(x=-b=-2\) folgt \(b=2\). Aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-1\). 3. Der Ansatz ist \(g(x)=\frac{a}{x+2}-1\). Mit \(O(0\mid0)\) gilt \(0=\frac{a}{2}-1\), also \(a=2\). 4. Damit ist \(g(x)=\frac{2}{x+2}-1\). Aus \(-2=\frac{2}{x+2}-1\) folgt \(-1=\frac{2}{x+2}\), also \(x=-4\). Dies stimmt mit dem Graphen überein.

a) \(x=-2\), \(y=-1\) b) \(b=2\), \(c=-1\) c) \(a=2\) d) \(x=-4\); Kontrolle: \(g(-4)=-2\), passend zum Graphen.

- Bestimme bei jedem Graphen zuerst die beiden Asymptoten. - Übersetze die senkrechte Asymptote sorgfältig in den Parameter \(b\) der Form \(x+b\). - Nutze danach einen gut ablesbaren Punkt zur Bestimmung von \(a\).

1. Graph A hat die Asymptoten \(x=2\) und \(y=-1\). Daher ist \(b=-2\) und \(c=-1\). Mit \((3\mid0)\) folgt \(0=a-1\), also \(a=1\). Damit ist \(f_A(x)=\frac{1}{x-2}-1\). 2. Graph B hat die Asymptoten \(x=-3\) und \(y=2\). Daher ist \(b=3\) und \(c=2\). Mit \((-2\mid4)\) folgt \(4=a+2\), also \(a=2\). Damit ist \(f_B(x)=\frac{2}{x+3}+2\). 3. Graph C hat die Asymptoten \(x=1\) und \(y=-2\). Daher ist \(b=-1\) und \(c=-2\). Mit \((2\mid-3)\) folgt \(-3=a-2\), also \(a=-1\). Damit ist \(f_C(x)=-\frac{1}{x-1}-2\).

A: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-1\) B: \(a=2\), \(b=3\), \(c=2\) C: \(a=-1\), \(b=-1\), \(c=-2\)

- Lies für beide Graphen zuerst die beiden Asymptoten ab. - Bestimme daraus jeweils \(b\) und \(c\) in der Form \(\frac{a}{x+b}+c\). - Setze anschließend den markierten Punkt ein, um \(a\) zu bestimmen.

1. Für \(f\) liegen die Asymptoten bei \(x=1\) und \(y=2\). Daher ist \(b=-1\), \(c=2\), und der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x-1}+2\). 2. Mit \(P(2\mid3)\) folgt \(3=a+2\), also \(a=1\). Somit ist \(f(x)=\frac{1}{x-1}+2\). 3. Für \(g\) liegen die Asymptoten bei \(x=-2\) und \(y=-1\). Daher ist \(b=2\), \(c=-1\), und der Ansatz lautet \(g(x)=\frac{a}{x+2}-1\). 4. Mit \(Q(0\mid-1{,}5)\) gilt \(-1{,}5=\frac{a}{2}-1\), also \(a=-1\). Somit ist \(g(x)=-\frac{1}{x+2}-1\).

a) Für \(f\): \(x=1\), \(y=2\); für \(g\): \(x=-2\), \(y=-1\) b) \(f(x)=\frac{1}{x-1}+2\); \(g(x)=-\frac{1}{x+2}-1\)

- Beobachte, welchen Geraden sich der Graph immer weiter annähert, um die Verschiebungen in \(x\)- und \(y\)-Richtung zu bestimmen. - Wähle für die Bestimmung von \(a\) einen markierten Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten. - Um die Nullstelle zu finden, setze den Funktionsterm gleich null und löse nach \(x\) auf.

1. Aus dem Graphen lassen sich die senkrechte Asymptote bei \(x=3\) und die waagrechte Asymptote bei \(y=1\) ablesen. 2. Der Ansatz lautet \(h(x)=\frac{a}{x-3}+1\). Der gut ablesbare Punkt \((5\mid2)\) liefert \(2=\frac{a}{5-3}+1\), also \(1=\frac{a}{2}\) und damit \(a=2\). Somit lautet die Gleichung \(h(x)=\frac{2}{x-3}+1\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{2}{x-3}+1\). Daraus folgt \(-1=\frac{2}{x-3}\), also \(-(x-3)=2\) und damit \(x=1\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=1\). b) \(h(x)=\frac{2}{x-3}+1\) c) Nullstelle: \(x=1\)

- Lies zuerst die senkrechte und die waagrechte Asymptote ab. - Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen daraus in \(\frac{a}{x+b}+c\)? - Nutze anschließend einen gut ablesbaren Punkt, um \(a\) zu bestimmen.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote und Definitionslücke bei \(x=-1{,}5\) ab. Daher ist \(b=1{,}5\). 2. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=2{,}5\), also ist \(c=2{,}5\). 3. Der Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x+1{,}5}+2{,}5\). 4. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(-1\mid3{,}5)\). Einsetzen ergibt \(3{,}5=\frac{a}{0{,}5}+2{,}5\), also \(a=0{,}5\). 5. Damit ist \(f(x)=\frac{0{,}5}{x+1{,}5}+2{,}5\).

\(f(x)=\frac{0{,}5}{x+1{,}5}+2{,}5\)

- Die waagrechte Verschiebung erkennst du an der Lage der senkrechten Asymptote. - Die senkrechte Verschiebung entspricht der Lage der waagrechten Asymptote. - Wenn du einen Punkt einsetzt, achte auf das Vorzeichen des Ergebnisses für \(a\). - Prüfe anhand der Lage der Äste, welches Vorzeichen \(a\) haben muss.

1. Die Asymptoten liegen bei \(x=-3\) und \(y=-2\). Daher hat der Funktionsterm die Form \(g(x)=\frac{a}{x+3}-2\). 2. Der gut ablesbare Punkt \((-4\mid0)\) liefert \(0=\frac{a}{-1}-2\). Daraus folgt \(a=-2\). 3. Somit ist \(g(x)=-\frac{2}{x+3}-2\).

\(g(x)=-\frac{2}{x+3}-2\)

- Welche beiden Asymptoten kannst du am Graphen erkennen? - Nutze einen gut ablesbaren Punkt zur Bestimmung von \(a\). - An einem Achsenschnittpunkt ist jeweils eine Koordinate null. - Welche Gleichung musst du für die rechnerische Nullstelle lösen?

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=-2\), die waagrechte bei \(y=1\). Daher lautet der Ansatz \(f(x)=\frac{a}{x+2}+1\). 2. Mit dem gut ablesbaren Punkt \((-1\mid2)\) gilt \(2=a+1\), also \(a=1\). Damit ist \(f(x)=\frac{1}{x+2}+1\). 3. Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(S_y(0\mid1{,}5)\) und \(S_x(-3\mid0)\) ab. 4. Rechnerisch folgt aus \(0=\frac{1}{x+2}+1\) der Wert \(x=-3\). Dies bestätigt den abgelesenen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) \(f(x)=\frac{1}{x+2}+1\) b) \(S_y(0\mid1{,}5)\), \(S_x(-3\mid0)\) c) \(x=-3\); dies stimmt mit b) überein.

- Welche beiden Asymptoten kannst du erkennen, und was folgt daraus für \(b\) und \(c\)? - Nutze einen gut ablesbaren Punkt zur Bestimmung von \(a\). - Prüfe vor einem möglichen \(S_y\), ob \(x=0\) überhaupt zur Definitionsmenge gehört.

1. Die senkrechte Asymptote fällt mit der \(y\)-Achse zusammen, also ist \(x=0\) die Definitionslücke und \(b=0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=-2\), also \(c=-2\). Der Ansatz lautet \(g(x)=\frac{a}{x}-2\). 2. Der gut ablesbare Graphpunkt \((1\mid2)\) liefert \(2=a-2\), also \(a=4\). Somit ist \(g(x)=\frac{4}{x}-2\). 3. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(S_x(2\mid0)\). Einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gibt es nicht, weil \(x=0\) nicht zur Definitionsmenge gehört. 4. Aus \(0=\frac{4}{x}-2\) folgt \(x=2\). Außerdem ist \(g(0)\) nicht definiert. Damit sind beide Aussagen bestätigt.

a) \(g(x)=\frac{4}{x}-2\) b) \(S_x(2\mid0)\); kein \(S_y\), da \(x=0\) eine Definitionslücke ist. c) \(g(2)=\frac{4}{2}-2=0\), also \(S_x(2\mid0)\); \(g(0)\) ist wegen der Division durch null nicht definiert, also gibt es kein \(S_y\).

- Bei welchem \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welche Wirkung haben Vorzeichen, Betrag des Zählers und die beiden Verschiebungen auf den Graphen von \(h(x)=\frac{1}{x}\)? - Welche Bedingung erfüllt eine Nullstelle?

1. Der Nenner wird bei \(x=-3\) null, also ist \(x=-3\) die senkrechte Asymptote. Der konstante Summand liefert die waagrechte Asymptote \(y=1\). 2. Aus \(h(x)=\frac{1}{x}\) entsteht der Graph durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach oben. 3. Aus \(0=-\frac{2}{x+3}+1\) folgt \(\frac{2}{x+3}=1\), also \(x=-1\).

a) \(x=-3\), \(y=1\) b) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach oben. c) \(x=-1\)

- Welche beiden Asymptoten kannst du am Graphen erkennen? - Wie erhältst du daraus \(b\) und \(c\) in \(\frac{a}{x+b}+c\)? - Nutze den markierten Punkt zur Bestimmung von \(a\). - Verfolge bei der zweiten Verschiebung, wie sich beide Asymptoten bewegen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\), die waagrechte bei \(y=-2\). 2. Daher ist \(b=-2\) und \(c=-2\). Der Ansatz lautet \(g(x)=\frac{a}{x-2}-2\). Mit dem gut ablesbaren Punkt \((3\mid-1)\) gilt \(-1=a-2\), also \(a=1\). Somit ist \(g(x)=\frac{1}{x-2}-2\). 3. Durch die Verschiebung um \(2\) nach rechts wandert die senkrechte Asymptote von \(x=2\) nach \(x=4\); durch die Verschiebung um \(3\) nach oben wandert die waagrechte Asymptote von \(y=-2\) nach \(y=1\). Daher ist \(k(x)=\frac{1}{x-4}+1\).

a) \(x=2\), \(y=-2\) b) \(g(x)=\frac{1}{x-2}-2\) c) \(k(x)=\frac{1}{x-4}+1\)

- Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert sich der Graph einer senkrechten Geraden annähert. Das gibt Aufschluss über den Nenner. - Beobachte, welcher waagrechten Geraden sich der Graph für große Beträge von \(x\) annähert. - Setze anschließend den markierten Punkt ein, um den Parameter \(a\) zu bestimmen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\), woraus \(b=-2\) folgt. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). Der Funktionsterm lautet zunächst \(f(x)=\frac{a}{x-2}+1\). 2. Der markierte Punkt \(P(5\mid2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(2=\frac{a}{5-2}+1\). 3. Daraus folgt \(1=\frac{a}{3}\) und damit \(a=3\). Der gesuchte Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{3}{x-2}+1\).

\(b=-2\), \(c=1\), \(a=3\)

- Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen. Welcher Wert für \(b\) macht den Nenner dort null? - Beobachte, welchem \(y\)-Wert sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. - Nutze den markierten Punkt, um durch Einsetzen eine Gleichung für den fehlenden Parameter aufzustellen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -3\). Da der Nenner dort null sein muss, gilt \(-3+b = 0\), also \(b = 3\). 2. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=-1\). Für große Beträge von \(x\) wird der Bruchanteil betragsmäßig immer kleiner; daher nähern sich die Funktionswerte dem Wert \(c\). Somit ist \(c=-1\). 3. Der markierte Punkt \((-1\mid-2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen in \(f(x)=\frac{a}{x+3}-1\) ergibt \(-2=\frac{a}{2}-1\). 4. Daraus folgt \(a=-2\). Die Parameter sind \(a=-2\), \(b=3\) und \(c=-1\).

\(a=-2\), \(b=3\), \(c=-1\)

- Ein Kästchen entspricht hier \(0{,}5\) Einheiten. Welche Asymptoten kannst du ablesen? - Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen daraus? - Setze den markierten Punkt ein, um \(a\) zu bestimmen.

1. Die Asymptoten liegen bei \(x=-2{,}5\) und \(y=-0{,}5\). Daher ist \(b=2{,}5\) und \(c=-0{,}5\). 2. Mit dem markierten Punkt \((-1{,}5\mid0{,}5)\) und dem Ansatz \(f(x)=\frac{a}{x+2{,}5}-0{,}5\) gilt \(0{,}5=\frac{a}{1}-0{,}5\). 3. Daraus folgt \(a=1\). Somit ist \(f(x)=\frac{1}{x+2{,}5}-0{,}5\).

\(f(x)=\frac{1}{x+2{,}5}-0{,}5\)

- Welcher \(x\)-Wert ist wegen der senkrechten Asymptote ausgeschlossen? - Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen aus den beiden Asymptoten? - Wie verändert sich der Bruchterm bei immer größeren positiven \(x\)-Werten?

1. Die Definitionslücke liegt bei \(x=4\). Daher ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\) und \(b=-4\). 2. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). Mit dem gut ablesbaren Punkt \((6\mid0)\) gilt \(0=\frac{a}{2}+1\), woraus \(a=-2\) folgt. Somit ist \(g(x)=-\frac{2}{x-4}+1\). 3. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird der Betrag von \(-\frac{2}{x-4}\) immer kleiner. Daher kommen die Funktionswerte dem Wert \(1\) von unten immer näher. Das stimmt mit der waagrechten Asymptote \(y=1\) im Graphen überein.

a) \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\) b) \(g(x)=-\frac{2}{x-4}+1\) c) Die Funktionswerte kommen \(1\) von unten immer näher, weil \(-\frac{2}{x-4}\) für große positive \(x\) negativ bleibt und betragsmäßig kleiner wird; im Graphen bestätigt dies die waagrechte Asymptote \(y=1\).

- Lies zuerst die beiden Asymptoten und dann den markierten Punkt \(P\) ab. - Welches Vorzeichen von \(a\) führt relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten zu Ästen rechts oben und links unten? - Führe die Punktprobe für \(Q\) erst mit dem in a) bestimmten Funktionsterm durch.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\), also ist \(b=-1\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=3\), also ist \(c=3\). 2. Der markierte Punkt ist \(P(2\mid5)\). Einsetzen in \(f(x)=\frac{a}{x-1}+3\) ergibt \(5=a+3\), also \(a=2\). Damit ist \(f(x)=\frac{2}{x-1}+3\). 3. Weil \(a>0\) ist, liegen die Äste relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten \((1\mid3)\) rechts oben und links unten. 4. Es gilt \(f(5)=\frac{2}{4}+3=3{,}5\neq3{,}4\). Daher liegt \(Q\) nicht auf dem Graphen.

a) \(f(x)=\frac{2}{x-1}+3\) b) Die Äste liegen relativ zu \((1\mid3)\) rechts oben und links unten; das passt zu \(a>0\). c) Nein, denn \(f(5)=3{,}5\neq3{,}4\).

- Welche beiden Asymptoten kannst du in der Abbildung erkennen? - Wie hängt \(b\) in \(x+b\) mit der senkrechten Asymptote zusammen? - Lies die Koordinaten des markierten Punktes ab und bestimme damit \(a\). - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse?

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\). Daher gilt \(b=-2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). 2. Der markierte Punkt ist \(P(3\mid3)\). Mit \(f(x)=\frac{a}{x-2}+1\) gilt \(3=a+1\), also \(a=2\). Damit ist \(f(x)=\frac{2}{x-2}+1\). 3. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=\frac{2}{-2}+1=0\). Also ist \(S_y(0\mid0)\).

a) Asymptoten: \(x=2\) und \(y=1\); \(b=-2\), \(c=1\) b) \(a=2\); \(f(x)=\frac{2}{x-2}+1\) c) \(S_y(0\mid0)\)

- Welche beiden Asymptoten kannst du aus dem Graphen ablesen? - Wie weit liegt ihr Schnittpunkt vom Ursprung entfernt? - Welches Vorzeichen muss \(b\) in \(x+b\) haben, wenn nach rechts verschoben wird?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. 2. Der Graph von \(f\) wird um \(1\) Einheit nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. In der Form \(g(x)=\frac{1}{x+b}+c\) gilt daher \(b=-1\) und \(c=2\). 4. Somit ist \(g(x)=\frac{1}{x-1}+2\).

Asymptoten: \(x=1\), \(y=2\); Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben; \(g(x)=\frac{1}{x-1}+2\).

- Achte auf die Lage der Geraden, denen sich die Graphen annähern. - Vergleiche den Schnittpunkt der Asymptoten bei \(f\), \(g\) und \(h\). - Eine Verschiebung der senkrechten Asymptote entspricht einer Änderung im Nenner.

1. Der Graph von \(g\) hat seine senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) und seine waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). Somit lautet der Term \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\). 2. Der Graph von \(h\) hat seine senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) und seine waagrechte Asymptote bei \(y = -2\). Somit lautet der Term \(h(x) = \frac{1}{x-3} - 2\).

\(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\); \(h(x) = \frac{1}{x-3} - 2\)

- Bestimme für jede Funktion die Lage der senkrechten und waagrechten Asymptoten. - Überprüfe deine Vermutung mit einem gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen.

1. Der Graph von \(g\) ist gegenüber \(f\) um \(1\) Einheit nach rechts verschoben. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\). Der Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{2}{x-1}\). 2. Der Graph von \(h\) ist gegenüber \(f\) um \(2\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -2\), die waagrechte bei \(y = -1\). Der Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\).

\(g(x) = \frac{2}{x-1}\); \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\)

- Verfolge jede Transformation einzeln und in der angegebenen Reihenfolge. - Was verändert eine Spiegelung an der \(x\)-Achse an den \(y\)-Koordinaten? - Verschiebe die Asymptoten genauso wie den übrigen Graphen.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt zunächst \(-\frac{1}{x}\). Die Verschiebung um \(2\) nach links ersetzt \(x\) durch \(x+2\); die Verschiebung um \(1\) nach oben addiert \(1\). Damit gilt \(g(x)=-\frac{1}{x+2}+1\). 2. \(A(1\mid1)\) wird zu \((1\mid-1)\), dann zu \((-1\mid-1)\) und schließlich zu \(A'(-1\mid0)\). 3. \(B(-1\mid-1)\) wird zu \((-1\mid1)\), dann zu \((-3\mid1)\) und schließlich zu \(B'(-3\mid2)\). 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=-2\), die waagrechte Asymptote ist \(y=1\).

a) \(g(x)=-\frac{1}{x+2}+1\) b) \(A'(-1\mid0)\), \(B'(-3\mid2)\) c) Asymptoten: \(x=-2\) und \(y=1\)

- Der Punkt \(M\) ist der Schnittpunkt der beiden Asymptoten. - Vergleiche die Abstände in \(x\)- und \(y\)-Richtung von \(P\) zu \(M\). - Welche Werte von \(b\) und \(c\) folgen aus den Asymptoten, und wie bestimmt der Punkt anschließend \(a\)?

1. Aus der Abbildung liest man die Asymptoten \(x=2\) und \(y=-1\) ab. Ihr Schnittpunkt ist \(M(2\mid-1)\). 2. Der Punkt \(P(4\mid0)\) liegt relativ zu \(M\) um \(2\) Einheiten rechts und \(1\) Einheit oben. Der punktsymmetrische Punkt liegt entsprechend \(2\) Einheiten links und \(1\) Einheit unten: \(P'(0\mid-2)\). 3. Aus den Asymptoten folgt \(b=-2\) und \(c=-1\). Daher ist \(f(x)=\frac{a}{x-2}-1\). 4. Mit \(P(4\mid0)\) gilt \(0=\frac{a}{2}-1\), also \(a=2\). Somit ist \(f(x)=\frac{2}{x-2}-1\).

a) Asymptoten: \(x=2\), \(y=-1\); \(M(2\mid-1)\) b) \(P'(0\mid-2)\) c) \(f(x)=\frac{2}{x-2}-1\)

- Welche Werte haben \(a\), \(b\) und \(c\) in der Form \(\frac{a}{x+b}+c\)? - An welcher Stelle wird \(x+b=0\), und was sagt das über die Verschiebung in \(x\)-Richtung? - Welche Wirkung haben Vorzeichen und Betrag von \(a\) getrennt voneinander?

1. In der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) gilt hier \(a=-3\), \(b=-2\) und \(c=1\). 2. Wegen \(b=-2\) wird der Graph von \(f(x)=\frac{1}{x}\) um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben; wegen \(c=1\) um \(1\) Einheit nach oben. 3. Das negative \(a\) bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse; der Betrag \(|a|=3\) bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung. 4. Nora beschreibt damit alle Veränderungen richtig. Emil verwechselt die Richtung der Verschiebung in \(x\)-Richtung. Tarek übersieht die Spiegelung durch das negative Vorzeichen von \(a\).

Nora hat vollständig recht. Emil verschiebt in die falsche \(x\)-Richtung; Tarek übersieht die Spiegelung wegen \(a=-3\).

- Welche beiden Preisbestandteile zahlt jede Person? - Was passiert mit dem Anteil \(120/n\), wenn \(n\) größer wird? - Welche Größe bleibt auch bei sehr vielen Teilnehmenden pro Person bestehen? - Welches Produkt müsste bei echter indirekter Proportionalität konstant sein?

1. Jede Person zahlt den festen Eintritt von \(6\,\text{€}\) und zusätzlich den Anteil \(\frac{120}{n}\,\text{€}\) an der Raumpauschale. Daher ist \(p(n)=6+\frac{120}{n}\). 2. Es gilt \(p(4)=6+30=36\,\text{€}\) und \(p(12)=6+10=16\,\text{€}\). 3. Bei der mathematischen Erweiterung \(P(x)=6+\frac{120}{x}\) wird der Bruchanteil für größer werdende positive \(x\)-Werte kleiner. Der Graph nähert sich deshalb der Geraden \(y=6\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=6\). Im Kontext bedeutet das: Bei größeren Gruppen wird der Anteil der Raumpauschale pro Person kleiner, der feste Eintritt von \(6\,\text{€}\) bleibt aber bestehen. 4. Die Zuordnung ist nicht indirekt proportional, denn \(n\cdot p(n)=6n+120\) ist nicht konstant. Bei der mathematischen Erweiterung ist außerdem die Gerade \(y=6\) statt der \(x\)-Achse die waagrechte Asymptote.

a) \(p(n)=6+\frac{120}{n}\) b) \(p(4)=36\,\text{€}\), \(p(12)=16\,\text{€}\) c) Waagrechte Asymptote der mathematischen Erweiterung: \(y=6\); sie steht für den festen Eintritt von \(6\,\text{€}\), dem sich der Preis pro Person bei größeren Gruppen von oben annähert. d) Nein. \(n\cdot p(n)=6n+120\) ist nicht konstant.

- Setze jeden Tabellenwert einzeln in den gegebenen Term ein. - Vergleiche anschließend mindestens zwei deiner Tabellenpunkte mit den drei Kurven. - Welche Parameter einer verschobenen Hyperbel lassen sich aus den beiden Asymptoten bestimmen und welcher nicht?

1. Einsetzen liefert \(f(-6)=0\), \(f(-4)=-1\), \(f(-3)=-3\), \(f(-1)=5\), \(f(0)=3\) und \(f(2)=2\). 2. Alle drei Kandidaten haben die Asymptoten \(x=-2\) und \(y=1\). Nur Graph a) verläuft beispielsweise durch \((-6\mid0)\) und \((0\mid3)\). Daher gehört Graph a) zu \(f\). 3. Die Asymptoten bestimmen nur die Verschiebung, nicht Vorzeichen und Betrag des Zählerparameters \(a\). Deshalb sind zusätzliche Punkte beziehungsweise Tabellenwerte nötig.

a) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-6\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(0\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(5\)</td><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) Graph a), zum Beispiel wegen \((-6\mid0)\) und \((0\mid3)\). c) Die Asymptoten legen \(b\) und \(c\) fest, aber nicht den Parameter \(a\).

- Überlege zuerst, wo die waagrechte Asymptote von \(f\) liegt. Was passiert mit den Funktionswerten oberhalb und unterhalb dieser Geraden bei einer Spiegelung? - Wie verändert sich der Term im Nenner, wenn man den gesamten Graphen in \(x\)-Richtung verschiebt? - Ändert eine Verschiebung nach links die Höhe der waagrechten Asymptote?

1. Die waagrechte Asymptote von \(f\) ist \(y=2\). 2. Bei der Spiegelung an \(y=2\) wechselt nur der Bruchterm sein Vorzeichen. Es entsteht \(h(x)=-\frac{1}{x-4}+2\). 3. Für die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links wird \(x\) durch \(x+3\) ersetzt: \(g(x)=-\frac{1}{(x+3)-4}+2=-\frac{1}{x-1}+2\). 4. Damit sind die Asymptoten von \(g\) die Geraden \(x=1\) und \(y=2\).

Die neue Funktionsgleichung ist \(g(x)=-\frac{1}{x-1}+2\). Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\) und die waagrechte Asymptote ist \(y=2\).

- Welche Gesamtkosten gelten in den drei durch die Schwellenwerte bestimmten Bereichen? - Wie erhältst du aus den Gesamtkosten die durchschnittlichen Kosten pro Gast? - Prüfe bei einer gefundenen Gästezahl, ob sie zum Bereich der verwendeten Formel gehört. - Wie verändert sich ein positiver Bruch mit festem Zähler, wenn sein Nenner wächst?

1. Die Gesamtkosten sind \(K(x)=25x+600\) für \(x<80\), \(K(x)=25x+300\) für \(80\le x<100\) und \(K(x)=25x+150\) für \(x\ge100\). Durch Division durch \(x\) erhält man die durchschnittlichen Kosten. 2. Daher gilt \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\), \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\) und \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\). 3. Es ist \(k(79)=25+\frac{600}{79}\approx32{,}59\,\text{€}\) und \(k(80)=25+\frac{300}{80}=28{,}75\,\text{€}\). Der Unterschied beträgt gerundet \(3{,}84\,\text{€}\). 4. Im ersten Bereich ergibt \(25+\frac{600}{x}=35\) die Lösung \(x=60\); sie ist mit \(60<80\) zulässig. Im zweiten Bereich würde \(25+\frac{300}{x}=35\) zu \(x=30\) führen, doch \(30\) liegt nicht im Bereich \(80\le x<100\). Im dritten Bereich würde \(25+\frac{150}{x}=35\) zu \(x=15\) führen, doch \(15\) liegt nicht im Bereich \(x\ge100\). Damit ist \(x=60\) die einzige passende Gästezahl. 5. Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)=25+\frac{150}{x}\). Mit wachsendem \(x\) wird der positive Bruch kleiner. Daher ist in diesem Bereich \(k(100)=26{,}50\,\text{€}\) der größte Wert und somit stets \(k(x)<27\,\text{€}\).

a) \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\); \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\); \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\) b) \(3{,}84\,\text{€}\) pro Person c) Nur \(x=60\); die rechnerischen Kandidaten \(x=30\) und \(x=15\) aus den anderen Tarifbereichen sind dort nicht zulässig. d) Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)\le k(100)=26{,}50\,\text{€}<27\,\text{€}\).

- Welche Parameter werden unmittelbar durch die senkrechte beziehungsweise waagrechte Asymptote festgelegt? - Was kannst du über \(a\) sagen, solange kein Punkt des Graphen bekannt ist? - Lies in Teilbild B die Koordinaten des markierten Punkts am Gitter ab. - Welche unbekannte Größe bleibt nach dem Einsetzen dieses Punktes noch übrig?

1. In Teilbild A liegen die Asymptoten bei \(x=1\) und \(y=-2\). Daher ist \(b=-1\) und \(c=-2\). 2. Ohne einen Graphpunkt ist \(a\) noch nicht festgelegt. Zu den Asymptoten passen alle Terme \(g(x)=\frac{a}{x-1}-2\) mit \(a\neq0\). Teilbild A bestimmt den Funktionsterm also nicht eindeutig. 3. In Teilbild B liest man \(P(3\mid0)\) ab. Einsetzen ergibt \(0=\frac{a}{3-1}-2\). Also ist \(\frac{a}{2}=2\) und damit \(a=4\). 4. Der vollständige Term lautet \(g(x)=\frac{4}{x-1}-2\). Die Asymptoten bestimmen \(b\) und \(c\); ein weiterer Graphpunkt liefert anschließend eine Gleichung, die den einzigen noch freien Parameter \(a\) festlegt.

a) \(b=-1\), \(c=-2\); der Term ist noch nicht eindeutig, weil \(a\) offen ist. b) \(P(3\mid0)\), \(a=4\), also \(g(x)=\frac{4}{x-1}-2\) c) Die Asymptoten legen \(b\) und \(c\) fest; der zusätzliche Punkt bestimmt den verbleibenden Parameter \(a\).