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- Schaue dir den Graphen genau an: Wo befinden sich die waagerechten und senkrechten Linien, denen sich der Graph annähert (Asymptoten)? - Wie spiegeln sich diese Verschiebungen in der Funktionsgleichung im Nenner und als konstanter Wert am Ende wider? - Kannst du einen konkreten Punkt auf dem Graphen ablesen und prüfen, welche Gleichung dieses Wertepaar liefert?

1. Ablesen der senkrechten Asymptote bei \(x = 3\), was einen Nenner von \(x - 3\) impliziert. 2. Ablesen der waagerechten Asymptote bei \(y = -2\), was einen additiven Term von \(-2\) außerhalb des Bruches impliziert. 3. Überprüfung mit einem markanten Punkt auf dem Graphen, z. B. der Nullstelle bei \((4|0)\): \(0 = \frac{2}{4 - 3} - 2 \Rightarrow 0 = 2 - 2\) (wahr). 4. Die Funktion lautet somit \(y = \frac{2}{x - 3} - 2\).

b) \(y = \frac{2}{x - 3} - 2\)

- Welche Zahl darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht Null wird? - Welchen Wert kann der gesamte Bruchterm niemals annehmen? - Wie hängen die Asymptoten mit den ausgeschlossenen Werten der Mengen \(\mathbb{D}\) und \(\mathbb{W}\) zusammen? - Wenn ein Graph nach links verschoben wird, wie verändert sich dann der Ausdruck in der Klammer im Nenner?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden, also \(x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Bestimmung der Wertemenge: Da der Bruch \(\frac{4}{x-3}\) niemals Null wird, kann die Funktion den Wert \(2\) niemals annehmen. Somit ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 3. Bestimmung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke bei \(x = 3\). Die waagerechte Asymptote entspricht dem konstanten Summanden bei \(y = 2\). 4. Verschiebung des Graphen: Eine Verschiebung um \(5\) Einheiten nach links bedeutet, dass \(x\) durch \((x + 5)\) ersetzt wird. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten bedeutet, dass vom Funktionswert \(3\) subtrahiert wird. 5. Berechnung der neuen Gleichung: \(g(x) = \frac{4}{(x+5)-3} + 2 - 3 = \frac{4}{x+2} - 1\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = 3\); Waagerechte Asymptote: \(y = 2\) c) \(g(x) = \frac{4}{x+2} - 1\)

- Was darf man im Nenner eines Bruchs niemals einsetzen? - Welchen Wert kann der gesamte Bruchterm niemals annehmen, egal wie groß die eingesetzte Zahl ist? - Welche \(x\)-Koordinate hat ein Punkt auf der \(y\)-Achse?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Diese liegt an der Definitionslücke bei \(x = 1\). 3. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte geht der Term \(\frac{4}{x-1}\) gegen \(0\). Der Funktionswert nähert sich also dem Wert \(2\) an. Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). 4. Bestimmung der Wertemenge: Da der Graph der waagerechten Asymptote beliebig nahe kommt, sie aber nie erreicht, ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 5. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = \frac{4}{0-1} + 2 = \frac{4}{-1} + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2)\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); waagerechte Asymptote: \(y = 2\) c) \(S_y(0 \mid -2)\)

- Erinnere dich daran, wie man Funktionswerte berechnet, indem man die gegebenen Zahlen für die Variable einsetzt. - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn man eine Nullstelle sucht? - Überlege dir, was mit einem Bruch passiert, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt.

1. Berechnung der Funktionswerte durch Einsetzen: \(f(1) = \frac{6}{1} - 3 = 3\) \(f(2) = \frac{6}{2} - 3 = 0\) \(f(3) = \frac{6}{3} - 3 = -1\) \(f(6) = \frac{6}{6} - 3 = -2\) 2. Bestimmung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(\frac{6}{x} - 3 = 0 \implies \frac{6}{x} = 3 \implies 6 = 3x \implies x = 2\). 3. Untersuchung des Grenzverhaltens: Wenn \(x\) immer größer wird, wird der Bruch \(\frac{6}{x}\) immer kleiner und nähert sich dem Wert \(0\) an. Damit nähert sich der gesamte Funktionsterm \(\frac{6}{x} - 3\) dem Wert \(0 - 3 = -3\) an.

a) \(f(1) = 3\); \(f(2) = 0\); \(f(3) = -1\); \(f(6) = -2\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). c) Die Funktionswerte nähern sich dem Wert \(-3\) an, da der Teilterm \(\frac{6}{x}\) für sehr große \(x\) gegen \(0\) geht.

- Überlege, für welchen Wert von \(x\) der Nenner des Bruchs Null wird. - Welche Werte kann die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\) niemals erreichen? - Wie lautet die \(x\)-Koordinate eines jeden Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegen soll?

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht Null werden. \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\). Also \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\). 2. Asymptoten identifizieren: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke \(x = -4\). Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem konstanten Summanden am Ende des Funktionsterms: \(y = -3\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnen: Setze \(x = 0\) in die Gleichung ein. \(f(0) = \frac{2}{0+4} - 3 = \frac{2}{4} - 3 = 0{,}5 - 3 = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2{,}5)\). 4. Punktprobe für \(P(-2 \mid -2)\): Setze \(x = -2\) ein und prüfe, ob der Funktionswert \(-2\) ergibt. \(f(-2) = \frac{2}{-2+4} - 3 = \frac{2}{2} - 3 = 1 - 3 = -2\). Die Bedingung \(-2 = -2\) ist erfüllt, der Punkt liegt auf dem Graphen.

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = -4\); Waagerechte Asymptote: \(y = -3\) c) \(S_y(0 \mid -2{,}5)\) d) Ja, der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen, da \(f(-2) = -2\).

- Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Welcher Wert für \(x\) darf im Nenner nicht vorkommen? - Welcher Geraden nähert sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte an? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Eine Verschiebung um 3 Einheiten nach links entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \(x+3\). Eine Verschiebung um 2 Einheiten nach oben entspricht einer Addition von 2 zum Funktionsterm. Die neue Gleichung lautet \(g(x) = \frac{1}{x+3} + 2\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke des Nenners, also bei \(x + 3 = 0\), woraus \(x = -3\) folgt. 3. Die waagrechte Asymptote ergibt sich aus der Verschiebung in \(y\)-Richtung, also \(y = 2\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) gesetzt: \(g(0) = \frac{1}{0+3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}\). 5. Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 | \frac{7}{3})\) bzw. \(S_y(0 | 2{,}\bar{3})\).

a) \(g(x) = \frac{1}{x+3} + 2\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\) c) \(S_y(0 | \frac{7}{3})\)

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man versucht, durch Null zu teilen? - Kann ein Bruch mit einer Zahl ungleich Null im Zähler jemals den Gesamtwert Null ergeben? - Welche Geraden sind die Asymptoten des Graphen einer verschobenen Hyperbel?

1. Der Nenner eines Bruches darf nicht Null werden. Aus \(x + 2 = 0\) folgt \(x = -2\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Da der Zähler des Bruches \(-4\) (ungleich Null) ist, kann der gesamte Bruchterm \(\frac{-4}{x+2}\) niemals den Wert Null annehmen. Folglich kann der Funktionswert \(f(x)\) niemals genau \(0 + 1 = 1\) sein. Somit ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 3. Eine Division durch Null ist in der Mathematik nicht definiert, weshalb der Wert, der den Nenner zu Null macht, ausgeschlossen werden muss. 4. Die senkrechte Asymptote entspricht der Definitionslücke: \(x = -2\). 5. Die waagrechte Asymptote entspricht dem Wert, der nicht in der Wertemenge enthalten ist: \(y = 1\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) b) Da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist, muss der Wert \(x = -2\), der den Nenner zu Null macht, ausgeschlossen werden. c) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einem Funktionsgraphen liegt? - Wie kannst du den y-Wert berechnen, den die Funktion an einer bestimmten Stelle hat? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes mit dem Ergebnis deiner Rechnung.

1. Einsetzen des x-Werts von \(P_1(2|3)\) in die Funktionsgleichung: \(g(2) = \frac{3}{2+1} + 2 = \frac{3}{3} + 2 = 1 + 2 = 3\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate übereinstimmt (\(3 = 3\)), liegt \(P_1\) auf dem Graphen. 2. Einsetzen des x-Werts von \(P_2(-2|1)\): \(g(-2) = \frac{3}{-2+1} + 2 = \frac{3}{-1} + 2 = -3 + 2 = -1\). Da die y-Koordinate des Punktes größer ist als der Funktionswert (\(1 > -1\)), liegt \(P_2\) oberhalb des Graphen. 3. Einsetzen des x-Werts von \(P_3(0|5)\): \(g(0) = \frac{3}{0+1} + 2 = \frac{3}{1} + 2 = 3 + 2 = 5\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate übereinstimmt (\(5 = 5\)), liegt \(P_3\) auf dem Graphen.

Die Punkte \(P_1(2|3)\) und \(P_3(0|5)\) liegen auf dem Graphen der Funktion \(g\). Der Punkt \(P_2(-2|1)\) liegt oberhalb des Graphen.

- Überlege, wie sich eine Änderung direkt am \(x\) im Vergleich zu einer Änderung am gesamten Term auf den Graphen auswirkt. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt? - An welcher Stelle ist die Division nicht erlaubt?

1. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \(x + 3\). 2. Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben entspricht einer Addition von \(4\) zum gesamten Funktionsterm. 3. Die Funktionsgleichung lautet somit \(g(x) = \frac{1}{x + 3} + 4\). 4. Die senkrechte Asymptote befindet sich an der Definitionslücke, also dort, wo der Nenner Null wird: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\). 5. Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus der Verschiebung in \(y\)-Richtung: \(y = 4\).

Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{1}{x + 3} + 4\). Die senkrechte Asymptote ist \(x = -3\), die waagerechte Asymptote ist \(y = 4\).

- Überlege dir, wie die Asymptoten mit den Werten \(x_0\) und \(y_0\) in der Funktionsgleichung zusammenhängen. - Welche Koordinaten hat der Punkt \(P\) und wie kannst du sie in die Gleichung einsetzen? - Ersetze zuerst die bekannten Werte für die Asymptoten in der Grundformel, bevor du den Punkt einsetzt.

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x = 5\) folgt \(x_0 = 5\). 2. Aus der waagerechten Asymptote \(y = 2\) folgt \(y_0 = 2\). 3. Einsetzen der Asymptoten in die Grundform: \(f(x) = \frac{a}{x-5} + 2\). 4. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(6 \mid 6)\) zur Bestimmung von \(a\): \(6 = \frac{a}{6-5} + 2\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(6 = a + 2\). 6. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = 4\). 7. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{4}{x-5} + 2\).

\(f(x) = \frac{4}{x-5} + 2\)

- Wie verändern Zahlen im Nenner oder hinter dem Bruchstrich die Lage eines Graphen im Koordinatensystem? - Welche Koordinaten hat der Ursprung? - Wenn ein Funktionswert gegeben ist, suchst du dann nach \(x\) oder nach \(y\)?

1. Identifikation der Verschiebungen: Der Term \((x-3)\) im Nenner entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten in positive x-Richtung. Die Konstante \(-2\) entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative y-Richtung. 2. Überprüfung des Ursprungs: Der Koordinatenursprung ist der Punkt \((0|0)\). Einsetzen von \(x=0\) in \(g(x)\): \(g(0) = \frac{6}{0-3} - 2 = -2 - 2 = -4\). Da \(-4 \neq 0\), verläuft der Graph nicht durch den Ursprung. 3. Berechnung des x-Wertes für \(g(x)=1\): \(1 = \frac{6}{x-3} - 2 \Rightarrow 3 = \frac{6}{x-3} \Rightarrow x-3 = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow x = 5\).

a) Der Graph ist um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. b) Nein, der Graph verläuft nicht durch den Ursprung, da \(g(0) = -4\). c) Der gesuchte Wert ist \(x = 5\).

- Was darf man beim Rechnen mit Brüchen niemals tun? - Welchen Wert kann der gesamte Bruchterm niemals annehmen? - Wie erkennst du am Nenner den aus der Definitionsmenge ausgeschlossenen Wert? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man am Ende der Funktionsgleichung eine Zahl addiert oder subtrahiert?

1. Definitionsmenge bestimmen: Da der Nenner nicht Null sein darf, gilt \(x + 4 \neq 0\), woraus \(x \neq -4\) folgt. Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Die Definitionslücke liegt bei \(x = -4\), was der Gleichung der senkrechten Asymptote entspricht. 3. Waagrechte Asymptote: Der Term \(\frac{3}{x+4}\) nähert sich für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte der Null an. Der Funktionswert nähert sich somit dem Wert \(-2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -2\). 4. Verschiebungen beschreiben: Der Term \(x+4\) im Nenner bewirkt eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links. Die Konstante \(-2\) am Ende des Terms bewirkt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten.

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\); Asymptoten: \(x = -4\) und \(y = -2\). Der Graph von \(h\) entsteht durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(4\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten.

- Wie hängen die Werte der Asymptoten mit den Variablen \(x_0\) und \(y_0\) in der allgemeinen Formel zusammen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante in einer Gleichung zu finden? - Was müsste passieren, damit ein Bruch den Wert Null ergibt? Ist das hier möglich?

1. Identifikation der Parameter aus den Asymptoten: Die senkrechte Asymptote bei \(x = 4\) bedeutet \(x_0 = 4\). Die waagerechte Asymptote bei \(y = -1\) bedeutet \(y_0 = -1\). Die vorläufige Gleichung lautet \(g(x) = \frac{k}{x-4} - 1\). 2. Bestimmung von \(k\) mithilfe des Punktes \(P(6 \mid 1)\): Einsetzen der Koordinaten ergibt \(1 = \frac{k}{6-4} - 1\). 3. Auflösen nach \(k\): \(2 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 4\). Die Gleichung lautet \(g(x) = \frac{4}{x-4} - 1\). 4. Erklärung für Teil b): Um \(g(x) = -1\) zu lösen, müsste \(-1 = \frac{4}{x-4} - 1\) gelten, was zu \(0 = \frac{4}{x-4}\) führt. Da ein Bruch nur dann Null ist, wenn sein Zähler Null ist, und hier der Zähler \(4\) konstant ist, gibt es keine Lösung. Dies bestätigt die Eigenschaft der waagerechten Asymptote.

a) \(g(x) = \frac{4}{x-4} - 1\) b) Der Wert \(-1\) wird nie erreicht, da der Term \(\frac{4}{x-4}\) für keine reelle Zahl \(x\) den Wert \(0\) annehmen kann.

- Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Erinnere dich an den Einfluss des Vorzeichens des Streckungsfaktors \(k\) bei Hyperbeln. - Wie löst man eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Nenner steht?

1. Überprüfung des Punktes \(P(-1 \mid -1)\): Setze \(x = -1\) in \(g(x)\) ein: \(g(-1) = \frac{-2}{-1+3} = \frac{-2}{2} = -1\). Sophies Aussage ist wahr. 2. Beurteilung von Lukas' Aussage: Die Grundhyperbel \(y = \frac{k}{x}\) liegt bei \(k < 0\) im II. und IV. Quadranten. Da \(g(x)\) eine verschobene Hyperbel mit \(k = -2\) ist, bleibt diese Orientierung relativ zu den Asymptoten erhalten. Lukas hat recht. 3. Berechnung der Stelle für \(g(x) = -0{,}5\): Löse die Gleichung \(\frac{-2}{x+3} = -0{,}5\). Multiplikation mit \((x+3)\) ergibt \(-2 = -0{,}5 \cdot (x+3)\). Division durch \(-0{,}5\) ergibt \(4 = x + 3\). Daraus folgt \(x = 1\).

a) Die Aussage ist wahr, da \(g(-1) = -1\). b) Lukas hat recht, da der Zähler \(k = -2\) negativ ist, was die Lage der Hyperbeläste im II. und IV. Quadranten (relativ zu den Asymptoten) bestimmt. c) \(x = 1\)

- Wann wird der Nenner eines Bruchs Null? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen? - Wie muss der Funktionsterm aussehen, damit das Ergebnis Null wird? - Erinnere dich an die allgemeine Form \(y = \frac{k}{x - x_0} + y_0\). Was bewirken \(x_0\) und \(y_0\)?

1. Senkrechte Asymptote: Diese liegt an der Definitionslücke, also dort, wo der Nenner Null wird: \(x + 1 = 0 \implies x = -1\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) ein: \(g(0) = \frac{2}{0 + 1} - 4 = 2 - 4 = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -2)\). 3. Nullstelle berechnen: Setze \(g(x) = 0\): \(0 = \frac{2}{x + 1} - 4\) \(4 = \frac{2}{x + 1}\) \(4(x + 1) = 2\) \(x + 1 = 0{,}5\) \(x = -0{,}5\) 4. Vergleich mit \(h(x) = \frac{2}{x}\): Der Graph ist um \(1\) Einheit nach links (wegen \(x + 1\)) und um \(4\) Einheiten nach unten (wegen \(- 4\)) verschoben.

a) Senkrechte Asymptote bei \(x = -1\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -2)\). c) Die Nullstelle liegt bei \(x = -0{,}5\). d) Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(h\) um eine Einheit nach links und vier Einheiten nach unten.

- Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) im Nenner steht? - Achte bei Ungleichungen darauf, ob du mit einer positiven oder negativen Zahl multiplizierst. - Schau dir den Term \(\frac{10}{x}\) genau an: Was passiert mit seiner Größe, wenn \(x\) von \(10\) auf \(100\) ansteigt?

1. Bestimmung von \(x\) für \(g(x) = 7\): \(\frac{-10}{x} + 2 = 7 \implies \frac{-10}{x} = 5 \implies -10 = 5x \implies x = -2\). 2. Bestimmung positiver Funktionswerte für \(x > 0\): \(\frac{-10}{x} + 2 > 0 \implies 2 > \frac{10}{x}\). Da \(x > 0\), kann man mit \(x\) multiplizieren: \(2x > 10 \implies x > 5\). 3. Vergleich von \(g(10)\) und \(g(100)\): Bei positivem \(x\) wird der abgezogene Betrag \(\frac{10}{x}\) immer kleiner, je größer \(x\) ist. Da dieser Term in \(g(x) = 2 - \frac{10}{x}\) subtrahiert wird, wird das Gesamtergebnis größer, wenn \(x\) steigt. Somit ist \(g(100) > g(10)\).

a) Für \(x = -2\) ist der Funktionswert \(7\). b) Die Funktionswerte sind für \(x > 5\) positiv. c) \(g(100)\) ist größer als \(g(10)\). Begründung: Da \(\frac{10}{x}\) für wachsende \(x\) kleiner wird, wird bei der Rechnung \(2 - \frac{10}{x}\) von \(2\) ein immer kleinerer Wert abgezogen, wodurch das Ergebnis steigt.

- Wie hängen die Asymptoten mit den Parametern \(b\) und \(c\) in der Formel zusammen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden? - Was ist die Bedingung für eine Nullstelle?

1. Parameter \(b\) und \(c\) aus den Asymptoten bestimmen: Die senkrechte Asymptote \(x = 2\) gibt die Verschiebung in \(x\)-Richtung an (\(b = 2\)). Die waagerechte Asymptote \(y = -1\) gibt die Verschiebung in \(y\)-Richtung an (\(c = -1\)). Der Ansatz lautet \(g(x) = \frac{a}{x-2} - 1\). 2. Parameter \(a\) mit dem Punkt \(Q(3 \mid 1)\) bestimmen: Setze die Koordinaten in den Ansatz ein. \(1 = \frac{a}{3-2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{a}{1} - 1 \Rightarrow 1 = a - 1 \Rightarrow a = 2\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{2}{x-2} - 1\). 3. Nullstelle berechnen: Setze \(g(x) = 0\). \(0 = \frac{2}{x-2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{2}{x-2} \Rightarrow x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 4\).

a) \(g(x) = \frac{2}{x-2} - 1\) b) Die Nullstelle ist \(x = 4\).

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie geht man vor, wenn man eine unbekannte Zahl in einer Formel sucht? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert an einer Nullstelle erfüllt sein?

1. Um \(a\) zu finden, werden die Koordinaten von \(P(4 | 5)\) in die Gleichung eingesetzt: \(5 = \frac{a}{4-2} + 3\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(5 = \frac{a}{2} + 3\). 3. Subtraktion von 3 auf beiden Seiten: \(2 = \frac{a}{2}\). 4. Multiplikation mit 2 ergibt \(a = 4\). 5. Zur Berechnung der Nullstelle wird \(k(x) = 0\) gesetzt: \(0 = \frac{4}{x-2} + 3\). 6. Umstellen der Gleichung: \(-3 = \frac{4}{x-2}\). 7. Multiplikation mit \((x-2)\): \(-3(x-2) = 4 \Rightarrow -3x + 6 = 4\). 8. Auflösen nach \(x\): \(-3x = -2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

a) \(a = 4\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = \frac{2}{3}\).

- Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, muss seine x- und y-Koordinate die Funktionsgleichung erfüllen. - Kannst du die Gleichung nach dem unbekannten Buchstaben umstellen? - Nutze den berechneten Wert, um die vollständige Funktionsgleichung aufzuschreiben. - Verfahre im zweiten Schritt wie bei der Prüfung der Punktlage.

1. Um \(k\) zu bestimmen, werden die Koordinaten von \(Q(6|1)\) in die Gleichung \(y = \frac{k}{x-4} - 3\) eingesetzt: \(1 = \frac{k}{6-4} - 3\). Dies vereinfacht sich zu \(1 = \frac{k}{2} - 3\). Durch Addition von 3 erhält man \(4 = \frac{k}{2}\), woraus durch Multiplikation mit 2 folgt: \(k = 8\). 2. Mit \(k=8\) lautet die Funktion \(h(x) = \frac{8}{x-4} - 3\). 3. Einsetzen des x-Werts von \(R(2|-5)\): \(h(2) = \frac{8}{2-4} - 3 = \frac{8}{-2} - 3 = -4 - 3 = -7\). 4. Vergleich der y-Koordinate von \(R\) mit dem Funktionswert: Da \(-5 > -7\), liegt der Punkt \(R\) oberhalb des Graphen.

1. Der Parameter ist \(k = 8\). 2. Der Punkt \(R(2|-5)\) liegt oberhalb des Graphen von \(h\).

- Was darf man beim Rechnen mit Brüchen niemals tun? - Setze für die Begründung den Funktionsterm mit dem Wert der Asymptote gleich. - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Zähler eine feste Zahl ungleich Null ist?

1. Die Definitionsmenge \(D\) enthält alle reellen Zahlen außer der Nullstelle des Nenners: \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\). Also \(D = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 4\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). 3. Berechnung von \(h(2)\): \(h(2) = \frac{-2}{2 - 4} + 1 = \frac{-2}{-2} + 1 = 1 + 1 = 2\). 4. Begründung für Teil c): Damit der Graph die Gerade \(y = 1\) schneiden würde, müsste die Gleichung \(\frac{-2}{x - 4} + 1 = 1\) eine Lösung besitzen. Dies führt auf \(\frac{-2}{x - 4} = 0\). Ein Bruch ist jedoch nur dann Null, wenn sein Zähler Null ist. Da der Zähler hier konstant \(-2\) ist, kann der Ausdruck niemals Null werden.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{4\}\); senkrechte Asymptote \(x = 4\), waagerechte Asymptote \(y = 1\). b) \(h(2) = 2\). c) Der Term \(\frac{-2}{x - 4}\) kann niemals den Wert \(0\) annehmen, da der Zähler \(-2 \neq 0\) ist. Daher kann \(h(x)\) niemals exakt den Wert \(1\) erreichen.

- Überlege zuerst, wo sich die Asymptoten der Hyperbel schneiden. - Welche Steigungen müssen Geraden haben, damit sie Symmetrieachsen einer solchen Hyperbel sein können? - Erinnere dich an die Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung.

1. Identifikation der Asymptoten: Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = -3\) (Nullstelle des Nenners), die horizontale Asymptote bei \(y = -1\). 2. Bestimmung des Symmetriezentrums: Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(-3 | -1)\). 3. Ansatz für die Symmetrieachsen: Die Achsen verlaufen durch \(S\) mit den Steigungen \(m_1 = 1\) und \(m_2 = -1\). 4. Berechnung der ersten Achse: \(y - (-1) = 1 \cdot (x - (-3)) \Rightarrow y + 1 = x + 3 \Rightarrow y = x + 2\). 5. Berechnung der zweiten Achse: \(y - (-1) = -1 \cdot (x - (-3)) \Rightarrow y + 1 = -x - 3 \Rightarrow y = -x - 4\).

Die Gleichungen der Symmetrieachsen lauten \(y = x + 2\) und \(y = -x - 4\).

- Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Was passiert mit einer Figur, wenn man sie an ihrer eigenen Symmetrieachse spiegelt? - Wie kannst du mathematisch sicherstellen, dass ein Punkt tatsächlich die Funktionsgleichung erfüllt?

1. Probe für \(Q(2 | 7)\): \(f(2) = \frac{4}{2-1} + 3 = \frac{4}{1} + 3 = 7\). Da \(7 = 7\), liegt \(Q\) auf dem Graphen. 2. Begründung der Symmetrie: Da die Gerade \(s\) eine Symmetrieachse der Hyperbel ist, wird jeder Punkt der Hyperbel bei einer Spiegelung an \(s\) wieder auf einen Punkt der Hyperbel abgebildet. Da \(Q\) auf der Hyperbel liegt, muss sein Spiegelpunkt \(Q'\) ebenfalls darauf liegen. 3. Probe für \(Q'(5 | 4)\): \(f(5) = \frac{4}{5-1} + 3 = \frac{4}{4} + 3 = 1 + 3 = 4\). Da \(4 = 4\), liegt \(Q'\) auf dem Graphen.

a) Einsetzen ergibt \(f(2) = 7\), somit liegt \(Q\) auf dem Graphen. b) Da die Hyperbel achsensymmetrisch zu \(s\) ist, liegen mit jedem Punkt auch alle an \(s\) gespiegelten Punkte auf dem Graphen. Die Probe \(f(5) = 4\) bestätigt dies.

- Wann ist ein Bruch gleich Null? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welcher \(x\)-Wert darf im Nenner nicht eingesetzt werden? - Wie verändert der Term \(-1\) die Lage des Graphen im Vergleich zur Grundfunktion?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote durch die Definitionslücke: \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\). 2. Bestimmung der waagerechten Asymptote durch den konstanten Term: \(y = -1\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(f(0) = \frac{4}{0+2} - 1 = 2 - 1 = 1\). Schnittpunkt ist \((0|1)\). 4. Berechnung der Nullstelle: \(0 = \frac{4}{x+2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{4}{x+2} \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2\). Schnittpunkt ist \((2|0)\). 5. Vergleich der Funktionen: Der Graph von \(g(x)\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\) (\(x\)-Achse). Da der Zähler \(4\) nie Null wird, kann die Funktion den Wert \(0\) nicht annehmen. Der Graph von \(f(x)\) ist gegenüber \(g(x)\) um eine Einheit nach unten verschoben, sodass die waagerechte Asymptote bei \(y = -1\) liegt und der Graph die \(x\)-Achse kreuzen muss.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagerechte Asymptote: \(y = -1\). b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|1)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((2|0)\). c) Bei \(g(x)\) ist der Zähler konstant ungleich Null und die Asymptote ist die \(x\)-Achse selbst. Durch die Verschiebung um \(-1\) bei \(f(x)\) wird der gesamte Graph nach unten verschoben und schneidet nun die \(x\)-Achse.

- Was verraten dir die Asymptoten über die Werte von \(x_0\) und \(y_0\) in der Funktionsgleichung? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um einen unbekannten Parameter in einer Gleichung zu finden? - Welchen Wert muss die x-Koordinate an der y-Achse immer haben? - Was gilt für den Funktionswert an der Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet?

1. Einsetzen der Asymptoten in die Grundform \(f(x) = \frac{k}{x-x_0} + y_0\): Aus \(x = -2\) folgt \(x_0 = -2\) und aus \(y = 3\) folgt \(y_0 = 3\). Die Gleichung lautet \(f(x) = \frac{k}{x+2} + 3\). 2. Bestimmung von \(k\) durch Einsetzen von \(P(1|4)\): \(4 = \frac{k}{1+2} + 3 \Rightarrow 1 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 3\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = \frac{3}{x+2} + 3\). 3. Berechnung des Schnittpunkts mit der y-Achse (\(x=0\)): \(f(0) = \frac{3}{0+2} + 3 = 1{,}5 + 3 = 4{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|4{,}5)\). 4. Berechnung der Nullstelle (\(f(x)=0\)): \(0 = \frac{3}{x+2} + 3 \Rightarrow -3 = \frac{3}{x+2} \Rightarrow x+2 = -1 \Rightarrow x = -3\). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \(N(-3|0)\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{3}{x+2} + 3\). b) Die Schnittpunkte sind \(S_y(0|4{,}5)\) und \(N(-3|0)\).

- Vergleiche die Positionen der Asymptoten beider Funktionen miteinander. - Wie kommst du von einer vertikalen Asymptote bei \(-1\) zu einer bei \(2\)? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine y-Koordinate (ein Funktionswert) vorgegeben ist?

1. Vergleich der Definitionslücken (vertikale Asymptoten): \(f\) hat die Asymptote \(x = -1\), \(h\) hat die Asymptote \(x = 2\). Die Verschiebung in x-Richtung beträgt \(2 - (-1) = 3\) Einheiten (nach rechts). 2. Vergleich der waagerechten Asymptoten: \(f\) hat \(y = 4\), \(h\) hat \(y = 1\). Die Verschiebung in y-Richtung beträgt \(1 - 4 = -3\) Einheiten (um \(3\) nach unten). 3. Berechnung des Punktes für \(f(x)=6\): Setze \(6 = \frac{2}{x+1} + 4 \Rightarrow 2 = \frac{2}{x+1} \Rightarrow x+1 = 1 \Rightarrow x = 0\). Der Punkt ist \(P(0|6)\).

a) Der Graph von \(f\) muss um \(3\) Einheiten in positive x-Richtung (nach rechts) und um \(3\) Einheiten in negative y-Richtung (nach unten) verschoben werden. b) Der gesuchte Punkt ist \(P(0|6)\).

- Welche Teile der Funktionsgleichung bestimmen die Lage der Asymptoten? - Wie kannst du eine bekannte Koordinate nutzen, um einen fehlenden Parameter zu finden? - Welche Eigenschaft haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Asymptoten in die Funktionsgleichung übertragen: Aus der senkrechten Asymptote \(x = -1\) folgt \(x_0 = -1\). Aus der waagrechten Asymptote \(y = 3\) folgt \(y_0 = 3\). Der vorläufige Term lautet \(k(x) = \frac{a}{x+1} + 3\). 2. Parameter \(a\) bestimmen: Den Punkt \(P(1 | 2)\) in die Gleichung einsetzen: \(2 = \frac{a}{1+1} + 3\). 3. Gleichung nach \(a\) auflösen: \(2 = \frac{a}{2} + 3 \Rightarrow -1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = -2\). Die Funktionsgleichung ist \(k(x) = \frac{-2}{x+1} + 3\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnen: Setze \(x = 0\) in die Funktion ein: \(k(0) = \frac{-2}{0+1} + 3 = -2 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 1)\).

Funktionsterm: \(k(x) = \frac{-2}{x+1} + 3\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | 1)\).

- Welche Parameter in der Form \(f(x) = \frac{a}{x-x_0} + y_0\) werden direkt durch die Asymptoten festgelegt? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen der Asymptotenwerte.

1. Einsetzen der Asymptoten in die allgemeine Form: Aus \(x = -5\) folgt \(x_0 = -5\) (bzw. Nenner \(x + 5\)), aus \(y = 4\) folgt \(y_0 = 4\). Die Form lautet \(f(x) = \frac{a}{x+5} + 4\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(-3 \mid 2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(2 = \frac{a}{-3+5} + 4\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(2 = \frac{a}{2} + 4\). 4. Auflösen nach \(a\): \(2 - 4 = \frac{a}{2} \implies -2 = \frac{a}{2} \implies a = -4\). 5. Aufstellen der fertigen Gleichung: \(f(x) = \frac{-4}{x+5} + 4\).

\(f(x) = \frac{-4}{x+5} + 4\)

- Welche Teile der Funktionsgleichung werden direkt durch die Lage der Asymptoten festgelegt? - Was bedeuten die Koordinaten des Ursprungs für deine Rechnung? - Kannst du die bekannten Werte für die Asymptoten zuerst in die Formel einsetzen? - Wie löst man eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, wenn ein Punkt des Graphen gegeben ist?

1. Parameter aus den Asymptoten ablesen: Aus der senkrechten Asymptote \(x = 2\) folgt \(x_0 = 2\). Aus der waagerechten Asymptote \(y = -4\) folgt \(y_0 = -4\). 2. Aufstellen des vorläufigen Funktionsterms: \(g(x) = \frac{a}{x - 2} - 4\). 3. Einsetzen des Punktes \(O(0|0)\): \(0 = \frac{a}{0 - 2} - 4\). 4. Berechnung von \(a\): \(0 = \frac{a}{-2} - 4 \Rightarrow 4 = -\frac{a}{2} \Rightarrow a = -8\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(g(x) = \frac{-8}{x - 2} - 4\).

Der Parameter ist \(a = -8\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{-8}{x - 2} - 4\).

- Welche Gleichung hat die \(x\)-Achse als waagrechte Gerade? - Wo befindet sich in der Funktionsgleichung die Information über die senkrechte Asymptote? - Wie nutzt man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um eine Unbekannte zu berechnen?

1. Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse, also gilt \(y_0 = 0\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1{,}5\), daraus folgt \(x_0 = 1{,}5\). 3. Der vorläufige Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{a}{x - 1{,}5}\). 4. Um \(a\) zu bestimmen, wird der \(y\)-Achsenabschnitt \(S_y(0 | 2)\) genutzt: \(f(0) = 2\). 5. Einsetzen ergibt: \(2 = \frac{a}{0 - 1{,}5}\), also \(2 = \frac{a}{-1{,}5}\). 6. Auflösen nach \(a\): \(a = 2 \cdot (-1{,}5) = -3\). 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{-3}{x - 1{,}5}\).

\(f(x) = \frac{-3}{x - 1{,}5}\)

- Kannst du den Zähler so umschreiben, dass ein Teil davon genau dem Nenner entspricht? - Welcher Wert für \(x\) darf im Nenner nicht eingesetzt werden? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) extrem große Werte annimmt? - Überlege, wie die Standard-Hyperbel \(y = \frac{4}{x}\) verschoben wurde.

1. Der Zähler wird passend zum Nenner zerlegt: \(f(x)=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}\). Somit gilt \(k=4\), \(x_0=1\) und \(y_0=1\). 2. Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\), die waagerechte Asymptote ist \(y=1\). 3. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Asymptoten: \(Z(1|1)\). 4. Relativ zum Symmetriezentrum gilt \(Y=\frac{4}{X}\). Da \(k>0\), liegen die Schnittpunkte mit der Symmetrieachse auf \(Y=X\). Aus \(X=\frac{4}{X}\) folgt \(X^2=4\), also \(X=2\) oder \(X=-2\). Damit erhält man \(S_1(1+2|1+2)=S_1(3|3)\) und \(S_2(1-2|1-2)=S_2(-1|-1)\).

1. \(f(x) = \frac{4}{x-1} + 1\) 2. Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); Waagerechte Asymptote: \(y = 1\) 3. \(Z(1|1)\) 4. Schnittpunkte mit der Symmetrieachse \(y = x\): \(S_1(3|3)\) und \(S_2(-1|-1)\)

- Wann ist ein Bruchterm nicht definiert? - Versuche, den Zähler als Vielfaches des Nenners plus einen Rest zu schreiben. - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null und sein Nenner ungleich null ist. - Setze den Funktionsterm gleich \(1\) und löse nach \(x\) auf. - Was geschieht mit einem Bruch, wenn sein Nenner sehr groß wird, der Zähler aber konstant bleibt?

1. Der Nenner darf nicht null werden: \(x+2\neq0\), also \(x\neq-2\). Somit ist \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Durch geschicktes Ergänzen gilt: \(\frac{3x-2}{x+2}=\frac{3(x+2)-8}{x+2}=3-\frac{8}{x+2}\). 3. Für eine Nullstelle muss der Zähler null sein: \(3x-2=0\). Daher ist \(x=\frac{2}{3}\); der Nenner ist dort ungleich null. 4. Aus \(1=3-\frac{8}{x+2}\) folgt \(2=\frac{8}{x+2}\), also \(2(x+2)=8\) und damit \(x=2\). 5. Für immer größere positive \(x\)-Werte nähert sich \(\frac{8}{x+2}\) der Zahl \(0\). Daher nähert sich \(g(x)\) der Zahl \(3\), erreicht sie aber nie, weil \(\frac{8}{x+2}\) für kein zulässiges \(x\) gleich \(0\) ist.

1. \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\) 2. Nachweis durch Umformung: \(g(x) = \frac{3(x+2)-8}{x+2} = 3 - \frac{8}{x+2}\). 3. \(x = \frac{2}{3}\) 4. \(x = 2\) 5. Die Funktionswerte nähern sich der Zahl \(3\) an. Die Funktion erreicht den Wert \(3\) niemals.

- Setze die gegebenen Zahlen nacheinander ein und vergleiche die Ergebnisse. - Wann genau wird ein Bruch gleich Null? Schau dir dafür den Zähler an. - Überlege, welches Vorzeichen der Nenner hat, wenn du eine Zahl einsetzt, die größer als 4 ist. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer weiter wächst, der Zähler aber festbleibt?

1. Für \(x = 6\) ergibt sich \(f(6) = \frac{24}{6 - 4} = 12\). Für \(x = 8\) ergibt sich \(f(8) = \frac{24}{8 - 4} = 6\). Für \(x = 12\) ergibt sich \(f(12) = \frac{24}{12 - 4} = 3\). 2. Mit steigendem \(x\) sinken die Funktionswerte. 3. Ein Bruch wird nur dann \(0\), wenn sein Zähler \(0\) ist. Da der Zähler konstant \(24\) ist, kann \(f(x)\) nicht \(0\) werden. 4. Für \(x > 4\) ist der Nenner \(x - 4\) positiv. Da auch der Zähler positiv ist, gilt stets \(f(x) > 0\).

a) \(f(6) = 12\), \(f(8) = 6\) und \(f(12) = 3\). Mit wachsendem \(x\) wird \(f(x)\) kleiner. b) Nein. Der Funktionswert kann weder \(0\) noch negativ werden, weil der Zähler \(24\) und für \(x > 4\) auch der Nenner positiv ist.

- Welche Parameter in der Funktionsgleichung werden direkt durch die Lage der Asymptoten bestimmt? - Wie kannst du den verbleibenden unbekannten Parameter berechnen, wenn du einen Punkt auf dem Graphen kennst? - Was muss für den Funktionswert an einem Schnittpunkt mit der x-Achse gelten?

1. Einsetzen der Asymptoten in die Grundform: Da die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) liegt, muss \(x_0 = 2\) sein. Da die waagerechte Asymptote bei \(y = -3\) liegt, muss \(y_0 = -3\) sein. Die Gleichung lautet bisher: \(h(x) = \frac{a}{x-2} - 3\). 2. Bestimmung von \(a\) mit Punkt \(P(4 \mid -4)\): Setze die Koordinaten in die Gleichung ein: \(-4 = \frac{a}{4-2} - 3\). Vereinfache: \(-4 = \frac{a}{2} - 3\). Addiere \(3\): \(-1 = \frac{a}{2}\). Multipliziere mit \(2\): \(a = -2\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = \frac{-2}{x-2} - 3\). 3. Berechnung der Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse): Setze \(h(x) = 0\): \(0 = \frac{-2}{x-2} - 3\). Addiere \(3\): \(3 = \frac{-2}{x-2}\). Multipliziere mit \((x-2)\): \(3(x-2) = -2 \Rightarrow 3x - 6 = -2\). Addiere \(6\): \(3x = 4\). Dividiere durch \(3\): \(x = \frac{4}{3}\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\).

a) \(h(x) = \frac{-2}{x-2} - 3\) b) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\) (bzw. \(S_x(1{,}\bar{3} \mid 0)\)).

- Welche Auswirkungen haben die einzelnen Zahlen im Funktionsterm auf die Lage und Form der Hyperbel? - Gibt es Werte, die \(x\) nicht annehmen darf oder die als Ergebnis \(y\) niemals herauskommen können? - Versuche, die Gleichung Schritt für Schritt so umzuformen, dass \(x\) alleine auf einer Seite steht.

1. Transformationen beschreiben: Das Minuszeichen im Zähler bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Die \(-2\) im Nenner verschiebt den Graphen um \(2\) Einheiten nach rechts. Die \(+5\) am Ende verschiebt den Graphen um \(5\) Einheiten nach oben. 2. Definitions- und Wertemenge: Die Definitionsmenge schließt den Wert aus, für den der Nenner Null wird: \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Wertemenge schließt die Höhe der waagerechten Asymptote aus: \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 3. Gleichung lösen: Setze \(h(x) = 4\). \(4 = \frac{-1}{x-2} + 5 \Rightarrow -1 = \frac{-1}{x-2}\). Multipliziere mit \((x-2)\): \(-(x-2) = -1 \Rightarrow x-2 = 1 \Rightarrow x = 3\).

a) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(5\) Einheiten nach oben. b) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\) c) \(x = 3\)

- Gehe schrittweise vor und setze die bekannten Werte in die jeweilige Funktionsgleichung ein. - Was bedeutet ein Vergleich von zwei y-Werten bei gleichem x für die Position eines Punktes? - Wie löst man eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Nenner steht? - Achte darauf, welche Funktion in welchem Aufgabenteil gefragt ist.

1. Prüfung für \(f_1\): \(f_1(4) = \frac{4}{4} = 1\). Da der berechnete Wert der y-Koordinate von \(S\) entspricht, liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. Lage bezüglich \(f_2\): Berechne \(f_2(4) = \frac{4}{4-2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3\). Da die y-Koordinate von \(S\) (nämlich 1) kleiner ist als der Funktionswert 3 (\(1 < 3\)), liegt der Punkt \(S\) unterhalb des Graphen von \(f_2\). 3. Berechnung der x-Koordinate: Setze \(f_2(x) = 5 \Rightarrow 5 = \frac{4}{x-2} + 1\). Subtraktion von 1 ergibt \(4 = \frac{4}{x-2}\). Multiplikation mit \((x-2)\) ergibt \(4(x-2) = 4\), also \(x-2 = 1\). Somit ist \(x = 3\).

1. \(f_1(4) = 1\), daher liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. \(S\) liegt unterhalb des Graphen von \(f_2\), da \(f_2(4) = 3\) und \(1 < 3\). 3. Die x-Koordinate ist \(x = 3\).

- Wie hängen die Werte \(x_0\) und \(y_0\) in der Formel mit der Lage der Asymptoten zusammen? - Setze die Koordinaten des Punktes in deine fast fertige Gleichung ein, um den fehlenden Parameter zu finden. - Beim Lösen nach \(x\): Bringe zuerst die Zahl ohne Bruch auf die andere Seite der Gleichung.

1. Aus den Asymptoten folgt direkt \(x_0 = -2\) und \(y_0 = -3\). Die Form lautet also \(k(x) = \frac{a}{x - (-2)} - 3 = \frac{a}{x + 2} - 3\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid -2{,}5)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-2{,}5 = \frac{a}{0 + 2} - 3\). 3. Gleichung lösen: \(-2{,}5 = \frac{a}{2} - 3 \Rightarrow 0{,}5 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 1\). Die Gleichung ist \(k(x) = \frac{1}{x + 2} - 3\). 4. Gesucht ist \(x\) für \(k(x) = -2\): \(-2 = \frac{1}{x + 2} - 3\). 5. Umstellen: \(1 = \frac{1}{x + 2} \Rightarrow x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(k(x) = \frac{1}{x + 2} - 3\). Der Funktionswert \(-2\) wird an der Stelle \(x = -1\) angenommen.

- Wie findet man den gemeinsamen Punkt zweier Geraden? - Was verrät dir der Schnittpunkt der Symmetrieachsen über die Lage der Hyperbel im Koordinatensystem? - Setze die bekannten Werte für die Verschiebung in die allgemeine Hyperbelgleichung ein. - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden?

1. Schnittpunkt der Achsen berechnen: Gleichsetzen \(x - 2 = -x + 6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). Einsetzen ergibt \(y = 4 - 2 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 | 2)\). 2. Bedeutung des Punktes: Der Schnittpunkt der Symmetrieachsen ist gleichzeitig der Schnittpunkt der waagrechten und senkrechten Asymptoten der Hyperbel. 3. Funktionsgleichung aufstellen: Aus \(S(4 | 2)\) folgt \(x_0 = 4\) und \(y_0 = 2\). Der Ansatz lautet \(f(x) = \frac{k}{x-4} + 2\). 4. Parameter \(k\) bestimmen: Punkt \(P(2 | 1)\) einsetzen: \(1 = \frac{k}{2-4} + 2 \Rightarrow 1 = \frac{k}{-2} + 2 \Rightarrow -1 = \frac{k}{-2} \Rightarrow k = 2\). 5. Ergebnis: \(f(x) = \frac{2}{x-4} + 2\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(4 | 2)\). Er ist der Schnittpunkt der Asymptoten. b) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x-4} + 2\).

- Welche Parameter in der Formel werden durch die Asymptoten direkt festgelegt? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden? - Überlege, was die Asymptoten über die Verschiebung des Graphen aussagen.

1. Einsetzen der Asymptoten in die allgemeine Form: Die senkrechte Asymptote \(x = 3\) entspricht \(x_0 = 3\). Die waagerechte Asymptote \(y = 2\) entspricht \(y_0 = 2\). Damit folgt \(f(x) = \frac{a}{x-3} + 2\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(4|5)\) zur Bestimmung von \(a\): \(5 = \frac{a}{4-3} + 2\). 3. Auflösen der Gleichung: \(5 = \frac{a}{1} + 2 \Rightarrow 5 = a + 2 \Rightarrow a = 3\). 4. Aufstellen der vollständigen Funktionsgleichung: \(f(x) = \frac{3}{x-3} + 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{3}{x-3} + 2\).

- Setze den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte zu finden. - Was muss für den Funktionswert \(y\) gelten, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Denk beim Lösen der Gleichung daran, wie man einen Bruch „auflöst“.

1. Parameter \(a\) berechnen: Koordinaten von \(A(3 | -2)\) in \(g(x)\) einsetzen: \(-2 = \frac{a}{3-1} - 4\). 2. Nach \(a\) auflösen: \(-2 = \frac{a}{2} - 4 \Rightarrow 2 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 4\). Die Funktion lautet \(g(x) = \frac{4}{x-1} - 4\). 3. Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse) suchen: Setze \(g(x) = 0\): \(0 = \frac{4}{x-1} - 4\). 4. Gleichung lösen: \(4 = \frac{4}{x-1} \Rightarrow 4(x-1) = 4 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2\). 5. Ergebnis formulieren: Da \(x=2\) im Definitionsbereich liegt, ist der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse \(N(2 | 0)\).

a) \(a = 4\); b) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(2 | 0)\).

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man das Vorzeichen des Zählers umdreht? - Welche geometrische Transformation entspricht einer Vorzeichenänderung beim Parameter \(a\)? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

1. Analyse der Lage: Beide Graphen haben dieselben Asymptoten (\(x = 2\) und \(y = 3\)). Da sich nur das Vorzeichen von \(a\) unterscheidet, sind die Graphen an der waagerechten Asymptote \(y = 3\) gespiegelt. 2. Bestimmung von \(a\) für \(g(x)\): Einsetzen von \(Q(1 \mid 1)\) ergibt \(1 = \frac{a}{1-2} + 3 \implies 1 = \frac{a}{-1} + 3 \implies 1 = -a + 3 \implies a = 2\). 3. Überprüfung für \(h(x)\) mit \(a = 2\): \(h(x) = \frac{-2}{x-2} + 3\). Einsetzen von \(x = 1\) ergibt \(h(1) = \frac{-2}{1-2} + 3 = \frac{-2}{-1} + 3 = 2 + 3 = 5\). 4. Vergleich: Da \(h(1) = 5\) und nicht \(1\), liegt der Punkt \(Q\) nicht auf dem Graphen von \(h\).

a) Die Graphen sind an der waagerechten Asymptote \(y = 3\) gespiegelt. b) \(a = 2\) c) Nein, \(Q\) liegt nicht auf dem Graphen von \(h\), da \(h(1) = 5 \neq 1\).

- Was sagt die Definitionsmenge über die Lage der senkrechten Asymptote aus? - Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Graph die x-Achse schneidet? - Wie berechnet man allgemein einen Funktionswert für ein gegebenes \(x\)?

1. Aus der Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) folgt, dass die senkrechte Asymptote bei \(x = 1\) liegt, also \(x_0 = 1\). 2. Die waagrechte Asymptote \(y = -2\) liefert \(y_0 = -2\). 3. Der Ansatz lautet: \(f(x) = \frac{a}{x-1} - 2\). 4. Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei \(x = 5\) bedeutet \(f(5) = 0\). 5. Einsetzen ergibt: \(0 = \frac{a}{5-1} - 2\), also \(0 = \frac{a}{4} - 2\). 6. Daraus folgt \(2 = \frac{a}{4}\) und somit \(a = 8\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{8}{x-1} - 2\). 7. Für Aufgabenteil b) wird \(x = 3\) in den Term eingesetzt: \(f(3) = \frac{8}{3-1} - 2 = \frac{8}{2} - 2 = 4 - 2 = 2\). Der gesuchte y-Wert ist 2.

a) \(f(x) = \frac{8}{x-1} - 2\) b) \(y = 2\)