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- Schaue dir den Graphen genau an: Wo befinden sich die waagerechten und senkrechten Linien, denen sich der Graph annähert (Asymptoten)? - Wie spiegeln sich diese Verschiebungen in der Funktionsgleichung im Nenner und als konstanter Wert am Ende wider? - Kannst du einen konkreten Punkt auf dem Graphen ablesen und prüfen, welche Gleichung dieses Wertepaar liefert?

1. Ablesen der senkrechten Asymptote bei \(x = 3\), was einen Nenner von \(x - 3\) impliziert. 2. Ablesen der waagerechten Asymptote bei \(y = -2\), was einen additiven Term von \(-2\) außerhalb des Bruches impliziert. 3. Überprüfung mit einem markanten Punkt auf dem Graphen, z. B. der Nullstelle bei \((4|0)\): \(0 = \frac{2}{4 - 3} - 2 \Rightarrow 0 = 2 - 2\) (wahr). 4. Die Funktion lautet somit \(y = \frac{2}{x - 3} - 2\).

b) \(y = \frac{2}{x - 3} - 2\)

- Erinnere dich daran, wie man Funktionswerte berechnet, indem man die gegebenen Zahlen für die Variable einsetzt. - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn man eine Nullstelle sucht? - Überlege dir, was mit einem Bruch passiert, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt.

1. Berechnung der Funktionswerte durch Einsetzen: \(f(1) = \frac{6}{1} - 3 = 3\) \(f(2) = \frac{6}{2} - 3 = 0\) \(f(3) = \frac{6}{3} - 3 = -1\) \(f(6) = \frac{6}{6} - 3 = -2\) 2. Bestimmung der Nullstelle durch Lösen der Gleichung \(f(x) = 0\): \(\frac{6}{x} - 3 = 0 \implies \frac{6}{x} = 3 \implies 6 = 3x \implies x = 2\). 3. Untersuchung des Grenzverhaltens: Wenn \(x\) immer größer wird, wird der Bruch \(\frac{6}{x}\) immer kleiner und nähert sich dem Wert \(0\) an. Damit nähert sich der gesamte Funktionsterm \(\frac{6}{x} - 3\) dem Wert \(0 - 3 = -3\) an.

a) \(f(1) = 3\); \(f(2) = 0\); \(f(3) = -1\); \(f(6) = -2\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). c) Die Funktionswerte nähern sich dem Wert \(-3\) an, da der Teilterm \(\frac{6}{x}\) für sehr große \(x\) gegen \(0\) geht.

- Überlege, für welchen Wert von \(x\) der Nenner des Bruchs null wird. - Welche Werte kann die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\) niemals erreichen? - Wie lautet die \(x\)-Koordinate eines jeden Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegen soll?

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht null werden. \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\). Also \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\). 2. Asymptoten identifizieren: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke \(x = -4\). Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem konstanten Summanden am Ende des Funktionsterms: \(y = -3\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnen: Setze \(x = 0\) in die Gleichung ein. \(f(0) = \frac{2}{0+4} - 3 = \frac{2}{4} - 3 = 0{,}5 - 3 = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2{,}5)\). 4. Punktprobe für \(P(-2 \mid -2)\): Setze \(x = -2\) ein und prüfe, ob der Funktionswert \(-2\) ergibt. \(f(-2) = \frac{2}{-2+4} - 3 = \frac{2}{2} - 3 = 1 - 3 = -2\). Die Bedingung \(-2 = -2\) ist erfüllt, der Punkt liegt auf dem Graphen.

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = -4\); Waagerechte Asymptote: \(y = -3\) c) \(S_y(0 \mid -2{,}5)\) d) Ja, der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen, da \(f(-2) = -2\).

- Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Welcher Wert für \(x\) darf im Nenner nicht vorkommen? - Welcher Geraden nähert sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte an? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Eine Verschiebung um 3 Einheiten nach links entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \(x+3\). Eine Verschiebung um 2 Einheiten nach oben entspricht einer Addition von 2 zum Funktionsterm. Die neue Gleichung lautet \(g(x) = \frac{1}{x+3} + 2\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke des Nenners, also bei \(x + 3 = 0\), woraus \(x = -3\) folgt. 3. Die waagrechte Asymptote ergibt sich aus der Verschiebung in \(y\)-Richtung, also \(y = 2\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) gesetzt: \(g(0) = \frac{1}{0+3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}\). 5. Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 | \frac{7}{3})\) bzw. \(S_y(0 | 2{,}\bar{3})\).

a) \(g(x) = \frac{1}{x+3} + 2\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\) c) \(S_y(0 | \frac{7}{3})\)

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man versucht, durch Null zu teilen? - Kann ein Bruch mit einer Zahl ungleich null im Zähler jemals den Gesamtwert null ergeben? - Welche Geraden sind die Asymptoten des Graphen einer verschobenen Hyperbel?

1. Der Nenner eines Bruches darf nicht null werden. Aus \(x + 2 = 0\) folgt \(x = -2\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\). 2. Da der Zähler des Bruches \(-4\) (ungleich null) ist, kann der gesamte Bruchterm \(\frac{-4}{x+2}\) niemals den Wert null annehmen. Folglich kann der Funktionswert \(f(x)\) niemals genau \(0 + 1 = 1\) sein. Somit ist \(\mathbb{W} = \mathbb{Q} \setminus \{1\}\). 3. Eine Division durch Null ist in der Mathematik nicht definiert, weshalb der Wert, der den Nenner zu Null macht, ausgeschlossen werden muss. 4. Die senkrechte Asymptote entspricht der Definitionslücke: \(x = -2\). 5. Die waagrechte Asymptote entspricht dem Wert, der nicht in der Wertemenge enthalten ist: \(y = 1\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{Q} \setminus \{1\}\) b) Da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist, muss der Wert \(x = -2\), der den Nenner zu Null macht, ausgeschlossen werden. c) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einem Funktionsgraphen liegt? - Wie kannst du den y-Wert berechnen, den die Funktion an einer bestimmten Stelle hat? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes mit dem Ergebnis deiner Rechnung.

1. Einsetzen des x-Werts von \(P_1(2 \mid 3)\) in die Funktionsgleichung: \(g(2) = \frac{3}{2+1} + 2 = \frac{3}{3} + 2 = 1 + 2 = 3\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate übereinstimmt (\(3 = 3\)), liegt \(P_1\) auf dem Graphen. 2. Einsetzen des x-Werts von \(P_2(-2 \mid 1)\): \(g(-2) = \frac{3}{-2+1} + 2 = \frac{3}{-1} + 2 = -3 + 2 = -1\). Da die y-Koordinate des Punktes größer ist als der Funktionswert (\(1 > -1\)), liegt \(P_2\) oberhalb des Graphen. 3. Einsetzen des x-Werts von \(P_3(0 \mid 5)\): \(g(0) = \frac{3}{0+1} + 2 = \frac{3}{1} + 2 = 3 + 2 = 5\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate übereinstimmt (\(5 = 5\)), liegt \(P_3\) auf dem Graphen.

Die Punkte \(P_1(2 \mid 3)\) und \(P_3(0 \mid 5)\) liegen auf dem Graphen der Funktion \(g\). Der Punkt \(P_2(-2 \mid 1)\) liegt oberhalb des Graphen.

- Wie verändern Zahlen im Nenner oder hinter dem Bruchstrich die Lage eines Graphen im Koordinatensystem? - Welche Koordinaten hat der Ursprung? - Wenn ein Funktionswert gegeben ist, suchst du dann nach \(x\) oder nach \(y\)?

1. Identifikation der Verschiebungen: Der Term \((x-3)\) im Nenner entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten in positive x-Richtung. Die Konstante \(-2\) entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative y-Richtung. 2. Überprüfung des Ursprungs: Der Koordinatenursprung ist der Punkt \((0|0)\). Einsetzen von \(x=0\) in \(g(x)\): \(g(0) = \frac{6}{0-3} - 2 = -2 - 2 = -4\). Da \(-4 \neq 0\), verläuft der Graph nicht durch den Ursprung. 3. Berechnung des x-Wertes für \(g(x)=1\): \(1 = \frac{6}{x-3} - 2 \Rightarrow 3 = \frac{6}{x-3} \Rightarrow x-3 = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow x = 5\).

a) Der Graph ist um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. b) Nein, der Graph verläuft nicht durch den Ursprung, da \(g(0) = -4\). c) Der gesuchte Wert ist \(x = 5\).

- Was darf man beim Rechnen mit Brüchen niemals tun? - Welchen Wert kann der gesamte Bruchterm niemals annehmen? - Wie erkennst du am Nenner den aus der Definitionsmenge ausgeschlossenen Wert? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man am Ende der Funktionsgleichung eine Zahl addiert oder subtrahiert?

1. Definitionsmenge bestimmen: Da der Nenner nicht null sein darf, gilt \(x + 4 \neq 0\), woraus \(x \neq -4\) folgt. Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Die Definitionslücke liegt bei \(x = -4\), was der Gleichung der senkrechten Asymptote entspricht. 3. Waagrechte Asymptote: Der Term \(\frac{3}{x+4}\) nähert sich für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte 0 an. Der Funktionswert nähert sich somit dem Wert \(-2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -2\). 4. Verschiebungen beschreiben: Der Term \(x+4\) im Nenner bewirkt eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links. Die Konstante \(-2\) am Ende des Terms bewirkt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten.

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\); Asymptoten: \(x = -4\) und \(y = -2\). Der Graph von \(h\) entsteht durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(4\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten.

- Beobachte bei jedem Graphen, welchen Geraden sich die beiden Äste annähern. - Die senkrechte Asymptote bestimmt die Verschiebung im Nenner. - Die waagerechte Asymptote bestimmt den Summanden außerhalb des Bruchs.

1. Für \(g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x = -2\) und die waagerechte Asymptote \(y = -1\) ab. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten ergibt \(g(x) = \frac{1}{x+2} - 1\). 2. Für \(h\) liest man die senkrechte Asymptote \(x = 1\) und die waagerechte Asymptote \(y = 2\) ab. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben ergibt \(h(x) = \frac{1}{x-1} + 2\).

a) Asymptoten: \(x = -2\) und \(y = -1\); \(g(x) = \frac{1}{x+2} - 1\) b) Asymptoten: \(x = 1\) und \(y = 2\); \(h(x) = \frac{1}{x-1} + 2\)

- Bestimme zuerst, welchen senkrechten und waagerechten Geraden sich der Graph annähert. - Prüfe anschließend das Vorzeichen des Zählers anhand des Verlaufs der beiden Äste. - Nutze einen gut ablesbaren Punkt für eine Punktprobe.

1. Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden \(x = 1\) und der waagerechten Geraden \(y = 2\). Daher hat die Funktion die Form \(f(x) = \frac{a}{x - 1} + 2\). 2. Der Punkt \(P(0 \mid 3)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(3 = \frac{a}{0 - 1} + 2\), also \(a = -1\). 3. Damit lautet die Funktion \(f(x) = -\frac{1}{x - 1} + 2\). Dies ist Antwort b).

Die richtige Antwort ist b) \(f(x) = -\frac{1}{x - 1} + 2\).

- Lies ab, welchem x-Wert sich der rote Graph senkrecht annähert und welchem y-Wert er sich waagerecht annähert. - Die waagerechte Asymptote verrät dir die Verschiebung nach oben oder unten. - Die senkrechte Asymptote (wo die Funktion nicht definiert ist) zeigt dir die Verschiebung nach links oder rechts.

1. Asymptoten ablesen: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -2\), die waagerechte bei \(y = 2\). 2. Verschiebung bestimmen: Der Graph der Grundfunktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) ist um \(2\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Funktionsterm aufstellen: Aus der Standardform \(g(x) = \frac{1}{x-x_0} + y_0\) folgt mit \(x_0 = -2\) und \(y_0 = 2\) der Term \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 2\). 4. Überprüfung durch Punktprobe: Für \(x = -1\) gilt \(g(-1) = \frac{1}{-1+2} + 2 = 3\). Dies passt zum Graphen.

Die Asymptoten liegen bei \(x = -2\) und \(y = 2\). Der Funktionsterm lautet \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 2\).

- Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen. - Beobachte, welchem festen Wert sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. - Setze die Koordinaten eines ganzzahligen Punkts in die Funktion ein.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x = 3\) ab. Daher liegt die Definitionslücke bei \(x = 3\), und es gilt \(d = 3\). 2. Die waagerechte Asymptote lautet \(y = 2\). Daher gilt \(e = 2\), und die Funktion lautet \(f(x) = \frac{1}{x-3} + 2\). 3. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(4 \mid 3)\). Es gilt \(f(4) = \frac{1}{4-3} + 2 = 3\), also erfüllt der Punkt die Gleichung. 4. Für große positive \(x\)-Werte nähert sich \(\frac{1}{x-3}\) dem Wert \(0\). Daher nähern sich die Funktionswerte dem Wert \(2\).

a) Definitionslücke: \(x = 3\); senkrechte Asymptote: \(x = 3\); \(d = 3\) b) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); \(e = 2\) c) Für \(P(4 \mid 3)\) gilt \(f(4) = \frac{1}{4-3} + 2 = 3\). d) Die Funktionswerte nähern sich dem Wert \(2\).

- Die senkrechte Asymptote findest du dort, wo der Graph gegen unendlich strebt, ohne den entsprechenden \(x\)-Wert je zu erreichen. - Überlege, für welchen Wert von \(x\) der Nenner des Bruchs null wird. - Schau dir an, welchem \(y\)-Wert sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte annähert. - Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse hat immer den \(y\)-Wert null.

1. Aus dem Graphen lässt sich die senkrechte Asymptote bei \(x = 1\) und die waagerechte Asymptote bei \(y = 1\) ablesen. 2. Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke. Da der Nenner \(x - d\) für \(x = 1\) null werden muss, folgt \(1 - d = 0\), also \(d = 1\). 3. Die waagerechte Asymptote entspricht dem konstanten Glied der Funktionsgleichung, daher ist \(e = 1\). Die vollständige Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x - 1} + 1\). 4. Um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden, setzt man \(f(x) = 0\): \(0 = \frac{2}{x - 1} + 1 \implies -1 = \frac{2}{x - 1} \implies -(x - 1) = 2 \implies -x + 1 = 2 \implies x = -1\). Der Schnittpunkt liegt bei \(N(-1 \mid 0)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); waagerechte Asymptote: \(y = 1\). b) \(d = 1\) und \(e = 1\). c) Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(-1 \mid 0)\).

- Wo liegt die Definitionslücke? Schau dir an, an welcher Stelle sich der Graph einer senkrechten Geraden annähert. - Wohin nähert sich der Graph für sehr große oder sehr kleine x-Werte an? Diese waagrechte Linie gibt den Wert hinter dem Bruch an. - Vergleiche die Verschiebungen in x- und y-Richtung mit den Zahlen in den Funktionstermen.

1. Graph (A) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) (Definitionslücke) und eine waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_2(x) = \frac{1}{x - 3} + 1\). 2. Graph (B) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y = -1\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_1(x) = \frac{1}{x + 2} - 1\). 3. Graph (C) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y = -2\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_4(x) = \frac{1}{x - 2} - 2\). 4. Graph (D) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x = -1\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y = 2\). Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_3(x) = \frac{1}{x + 1} + 2\).

(A) gehört zu 2), (B) gehört zu 1), (C) gehört zu 4), (D) gehört zu 3).

- Schätze zuerst die senkrechten und waagerechten Annäherungsgeraden der beiden Graphen. - Setze danach den jeweils markierten Punkt in den Ansatz ein, um den Faktor \(a\) zu bestimmen. - Kontrolliere, ob Vorzeichen und Lage der Äste zum gefundenen Term passen.

1. Für Graph \(f\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x = 1\) und die waagerechte Asymptote bei \(y = 2\). Der Ansatz lautet \(f(x) = \frac{a}{x - 1} + 2\). Einsetzen von \(P(2 \mid 3)\) ergibt \(3 = \frac{a}{2 - 1} + 2 \Rightarrow a = 1\). Somit gilt \(f(x) = \frac{1}{x - 1} + 2\). 2. Für Graph \(g\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) und die waagerechte Asymptote bei \(y = -1\). Der Ansatz lautet \(g(x) = \frac{a}{x + 2} - 1\). Einsetzen von \(Q(0 \mid -1{,}5)\) ergibt \(-1{,}5 = \frac{a}{2} - 1 \Rightarrow -0{,}5 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = -1\). Somit gilt \(g(x) = -\frac{1}{x + 2} - 1\).

a) Für \(f\): senkrechte Asymptote \(x = 1\), waagerechte Asymptote \(y = 2\); für \(g\): senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagerechte Asymptote \(y = -1\). b) \(f(x) = \frac{1}{x - 1} + 2\); \(g(x) = -\frac{1}{x + 2} - 1\).

- Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert sich der Graph einer senkrechten Geraden annähert. Das gibt Aufschluss über den Nenner. - Beobachte, welcher waagerechten Geraden sich der Graph für große Beträge von \(x\) annähert. - Setze anschließend den markierten Punkt ein, um den Streckfaktor zu bestimmen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\), woraus \(b = -2\) folgt. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\), also ist \(c = 1\). Der Funktionsterm lautet zunächst \(f(x) = \frac{a}{x-2} + 1\). 2. Der markierte Punkt \(P(5 \mid 2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(2 = \frac{a}{5-2} + 1\). 3. Daraus folgt \(1 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3\). Der gesuchte Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{3}{x-2} + 1\).

\(b = -2\), \(c = 1\), \(a = 3\)

- Wenn die \(y\)-Achse die Asymptote ist, lautet der Nenner einfach \(x\). - Beobachte, welcher Wert für große Beträge von \(x\) übrig bleibt. - Nutze den Punkt \(P\) zum Einsetzen.

1. Da sich der Graph der \(y\)-Achse annähert, ist die senkrechte Asymptote \(x = 0\). Der Nenner bleibt daher \(x\). 2. Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\), also beträgt die Verschiebung in \(y\)-Richtung \(2\). 3. Einsetzen von \(P(1 \mid -1)\) in \(f(x) = \frac{a}{x} + 2\) ergibt \(-1 = \frac{a}{1} + 2\). 4. Daraus folgt \(a = -3\). Der Term ist \(f(x) = -\frac{3}{x} + 2\).

\(f(x) = -\frac{3}{x} + 2\)

- Beobachte zuerst, welcher waagerechten Geraden sich der Graph für große Beträge von \(x\) annähert. - Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen. - Wähle einen Punkt auf dem Graphen, dessen Koordinaten du exakt ablesen kannst. - Überlege, wie sich der Funktionsterm bei einer Verschiebung nach oben oder unten verändert.

1. Aus dem Graphen lässt sich die waagerechte Asymptote bei \(y = 3\) ablesen. Dies entspricht dem konstanten Summanden im Funktionsterm: \(f(x) = \frac{a}{x} + 3\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 0\), was der Grundform einer Hyperbel entspricht. 3. Zur Bestimmung des Streckfaktors \(a\) wird ein gut ablesbarer Punkt des Graphen gewählt, zum Beispiel \(P(1 \mid 4)\). 4. Einsetzen ergibt \(4 = \frac{a}{1} + 3\). Daraus folgt \(a = 1\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{1}{x} + 3\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{1}{x} + 3\).

- Wie hängen die Werte der Asymptoten mit den Variablen \(x_0\) und \(y_0\) in der allgemeinen Formel zusammen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante in einer Gleichung zu finden? - Was müsste passieren, damit ein Bruch den Wert Null ergibt? Ist das hier möglich?

1. Identifikation der Parameter aus den Asymptoten: Die senkrechte Asymptote bei \(x = 4\) bedeutet \(x_0 = 4\). Die waagerechte Asymptote bei \(y = -1\) bedeutet \(y_0 = -1\). Die vorläufige Gleichung lautet \(g(x) = \frac{k}{x-4} - 1\). 2. Bestimmung von \(k\) mithilfe des Punktes \(P(6 \mid 1)\): Einsetzen der Koordinaten ergibt \(1 = \frac{k}{6-4} - 1\). 3. Auflösen nach \(k\): \(2 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 4\). Die Gleichung lautet \(g(x) = \frac{4}{x-4} - 1\). 4. Erklärung für Teil b): Um \(g(x) = -1\) zu lösen, müsste \(-1 = \frac{4}{x-4} - 1\) gelten, was zu \(0 = \frac{4}{x-4}\) führt. Da ein Bruch nur dann Null ist, wenn sein Zähler Null ist, und hier der Zähler \(4\) konstant ist, gibt es keine Lösung. Dies bestätigt die Eigenschaft der waagerechten Asymptote.

a) \(g(x) = \frac{4}{x-4} - 1\) b) Der Wert \(-1\) wird nie erreicht, da der Term \(\frac{4}{x-4}\) für keine reelle Zahl \(x\) den Wert \(0\) annehmen kann.

- Was darf man im Nenner eines Bruchs niemals einsetzen? - Welchen Wert kann der gesamte Bruchterm niemals annehmen, egal wie groß die eingesetzte Zahl ist? - Welche \(x\)-Koordinate hat ein Punkt auf der \(y\)-Achse?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Diese liegt an der Definitionslücke bei \(x = 1\). 3. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte geht der Term \(\frac{4}{x-1}\) gegen \(0\). Der Funktionswert nähert sich also dem Wert \(2\) an. Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). 4. Bestimmung der Wertemenge: Da der Graph der waagerechten Asymptote beliebig nahe kommt, sie aber nie erreicht, ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 5. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = \frac{4}{0-1} + 2 = \frac{4}{-1} + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2)\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); waagerechte Asymptote: \(y = 2\) c) \(S_y(0 \mid -2)\)

- Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Erinnere dich an den Einfluss des Vorzeichens des Streckungsfaktors \(k\) bei Hyperbeln. - Wie löst man eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Nenner steht?

1. Überprüfung des Punktes \(P(-1 \mid -1)\): Setze \(x = -1\) in \(g(x)\) ein: \(g(-1) = \frac{-2}{-1+3} = \frac{-2}{2} = -1\). Sophies Aussage ist wahr. 2. Beurteilung von Lukas' Aussage: Die Grundhyperbel \(y = \frac{k}{x}\) liegt bei \(k < 0\) im II. und IV. Quadranten. Da \(g(x)\) eine verschobene Hyperbel mit \(k = -2\) ist, bleibt diese Orientierung relativ zu den Asymptoten erhalten. Lukas hat recht. 3. Berechnung der Stelle für \(g(x) = -0{,}5\): Löse die Gleichung \(\frac{-2}{x+3} = -0{,}5\). Multiplikation mit \((x+3)\) ergibt \(-2 = -0{,}5 \cdot (x+3)\). Division durch \(-0{,}5\) ergibt \(4 = x + 3\). Daraus folgt \(x = 1\).

a) Die Aussage ist wahr, da \(g(-1) = -1\). b) Lukas hat recht, da der Zähler \(k = -2\) negativ ist, was die Lage der Hyperbeläste im II. und IV. Quadranten (relativ zu den Asymptoten) bestimmt. c) \(x = 1\)

- Wann wird der Nenner eines Bruchs Null? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen? - Wie muss der Funktionsterm aussehen, damit das Ergebnis Null wird? - Erinnere dich an die allgemeine Form \(y = \frac{k}{x - x_0} + y_0\). Was bewirken \(x_0\) und \(y_0\)?

1. Senkrechte Asymptote: Diese liegt an der Definitionslücke, also dort, wo der Nenner Null wird: \(x + 1 = 0 \implies x = -1\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) ein: \(g(0) = \frac{2}{0 + 1} - 4 = 2 - 4 = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -2)\). 3. Nullstelle berechnen: Setze \(g(x) = 0\): \(0 = \frac{2}{x + 1} - 4\) \(4 = \frac{2}{x + 1}\) \(4(x + 1) = 2\) \(x + 1 = 0{,}5\) \(x = -0{,}5\) 4. Vergleich mit \(h(x) = \frac{2}{x}\): Der Graph ist um \(1\) Einheit nach links (wegen \(x + 1\)) und um \(4\) Einheiten nach unten (wegen \(- 4\)) verschoben.

a) Senkrechte Asymptote bei \(x = -1\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -2)\). c) Die Nullstelle liegt bei \(x = -0{,}5\). d) Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(h\) um eine Einheit nach links und vier Einheiten nach unten.

- Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) im Nenner steht? - Achte bei Ungleichungen darauf, ob du mit einer positiven oder negativen Zahl multiplizierst. - Schau dir den Term \(\frac{10}{x}\) genau an: Was passiert mit seiner Größe, wenn \(x\) von \(10\) auf \(100\) ansteigt?

1. Bestimmung von \(x\) für \(g(x) = 7\): \(\frac{-10}{x} + 2 = 7 \implies \frac{-10}{x} = 5 \implies -10 = 5x \implies x = -2\). 2. Bestimmung positiver Funktionswerte für \(x > 0\): \(\frac{-10}{x} + 2 > 0 \implies 2 > \frac{10}{x}\). Da \(x > 0\), kann man mit \(x\) multiplizieren: \(2x > 10 \implies x > 5\). 3. Vergleich von \(g(10)\) und \(g(100)\): Bei positivem \(x\) wird der abgezogene Betrag \(\frac{10}{x}\) immer kleiner, je größer \(x\) ist. Da dieser Term in \(g(x) = 2 - \frac{10}{x}\) subtrahiert wird, wird das Gesamtergebnis größer, wenn \(x\) steigt. Somit ist \(g(100) > g(10)\).

a) Für \(x = -2\) ist der Funktionswert \(7\). b) Die Funktionswerte sind für \(x > 5\) positiv. c) \(g(100)\) ist größer als \(g(10)\). Begründung: Da \(\frac{10}{x}\) für wachsende \(x\) kleiner wird, wird bei der Rechnung \(2 - \frac{10}{x}\) von \(2\) ein immer kleinerer Wert abgezogen, wodurch das Ergebnis steigt.

- Wie hängen die Asymptoten mit den Parametern \(b\) und \(c\) in der Formel zusammen? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden? - Was ist die Bedingung für eine Nullstelle?

1. Parameter \(b\) und \(c\) aus den Asymptoten bestimmen: Die senkrechte Asymptote \(x = 2\) gibt die Verschiebung in \(x\)-Richtung an (\(b = 2\)). Die waagerechte Asymptote \(y = -1\) gibt die Verschiebung in \(y\)-Richtung an (\(c = -1\)). Der Ansatz lautet \(g(x) = \frac{a}{x-2} - 1\). 2. Parameter \(a\) mit dem Punkt \(Q(3 \mid 1)\) bestimmen: Setze die Koordinaten in den Ansatz ein. \(1 = \frac{a}{3-2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{a}{1} - 1 \Rightarrow 1 = a - 1 \Rightarrow a = 2\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{2}{x-2} - 1\). 3. Nullstelle berechnen: Setze \(g(x) = 0\). \(0 = \frac{2}{x-2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{2}{x-2} \Rightarrow x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 4\).

a) \(g(x) = \frac{2}{x-2} - 1\) b) Die Nullstelle ist \(x = 4\).

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie geht man vor, wenn man eine unbekannte Zahl in einer Formel sucht? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert an einer Nullstelle erfüllt sein?

1. Um \(a\) zu finden, werden die Koordinaten von \(P(4 | 5)\) in die Gleichung eingesetzt: \(5 = \frac{a}{4-2} + 3\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(5 = \frac{a}{2} + 3\). 3. Subtraktion von 3 auf beiden Seiten: \(2 = \frac{a}{2}\). 4. Multiplikation mit 2 ergibt \(a = 4\). 5. Zur Berechnung der Nullstelle wird \(k(x) = 0\) gesetzt: \(0 = \frac{4}{x-2} + 3\). 6. Umstellen der Gleichung: \(-3 = \frac{4}{x-2}\). 7. Multiplikation mit \((x-2)\): \(-3(x-2) = 4 \Rightarrow -3x + 6 = 4\). 8. Auflösen nach \(x\): \(-3x = -2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

a) \(a = 4\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = \frac{2}{3}\).

- Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, muss seine x- und y-Koordinate die Funktionsgleichung erfüllen. - Kannst du die Gleichung nach dem unbekannten Buchstaben umstellen? - Nutze den berechneten Wert, um die vollständige Funktionsgleichung aufzuschreiben. - Verfahre im zweiten Schritt wie bei der Prüfung der Punktlage.

1. Um \(k\) zu bestimmen, werden die Koordinaten von \(Q(6|1)\) in die Gleichung \(y = \frac{k}{x-4} - 3\) eingesetzt: \(1 = \frac{k}{6-4} - 3\). Dies vereinfacht sich zu \(1 = \frac{k}{2} - 3\). Durch Addition von 3 erhält man \(4 = \frac{k}{2}\), woraus durch Multiplikation mit 2 folgt: \(k = 8\). 2. Mit \(k=8\) lautet die Funktion \(h(x) = \frac{8}{x-4} - 3\). 3. Einsetzen des x-Werts von \(R(2|-5)\): \(h(2) = \frac{8}{2-4} - 3 = \frac{8}{-2} - 3 = -4 - 3 = -7\). 4. Vergleich der y-Koordinate von \(R\) mit dem Funktionswert: Da \(-5 > -7\), liegt der Punkt \(R\) oberhalb des Graphen.

1. Der Parameter ist \(k = 8\). 2. Der Punkt \(R(2|-5)\) liegt oberhalb des Graphen von \(h\).

- Was darf man beim Rechnen mit Brüchen niemals tun? - Setze für die Begründung den Funktionsterm mit dem Wert der Asymptote gleich. - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Zähler eine feste Zahl ungleich null ist?

1. Die Definitionsmenge \(D\) enthält alle rationalen Zahlen außer der Nullstelle des Nenners: \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\). Also \(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 4\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). 3. Berechnung von \(h(2)\): \(h(2) = \frac{-2}{2 - 4} + 1 = \frac{-2}{-2} + 1 = 1 + 1 = 2\). 4. Begründung für Teil c): Damit der Graph die Gerade \(y = 1\) schneiden würde, müsste die Gleichung \(\frac{-2}{x - 4} + 1 = 1\) eine Lösung besitzen. Dies führt auf \(\frac{-2}{x - 4} = 0\). Ein Bruch ist jedoch nur dann null, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(-2\) ist, kann der Ausdruck niemals null werden.

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\); senkrechte Asymptote \(x = 4\), waagerechte Asymptote \(y = 1\). b) \(h(2) = 2\). c) Der Term \(\frac{-2}{x - 4}\) kann niemals den Wert \(0\) annehmen, da der Zähler \(-2 \neq 0\) ist. Daher kann \(h(x)\) niemals exakt den Wert \(1\) erreichen.

- Wann ist ein Bruch gleich Null? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welcher \(x\)-Wert darf im Nenner nicht eingesetzt werden? - Wie verändert der Term \(-1\) die Lage des Graphen im Vergleich zur Grundfunktion?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote durch die Definitionslücke: \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\). 2. Bestimmung der waagerechten Asymptote durch den konstanten Term: \(y = -1\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(f(0) = \frac{4}{0+2} - 1 = 2 - 1 = 1\). Schnittpunkt ist \((0|1)\). 4. Berechnung der Nullstelle: \(0 = \frac{4}{x+2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{4}{x+2} \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2\). Schnittpunkt ist \((2|0)\). 5. Vergleich der Funktionen: Der Graph von \(g(x)\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\) (\(x\)-Achse). Da der Zähler \(4\) nie Null wird, kann die Funktion den Wert \(0\) nicht annehmen. Der Graph von \(f(x)\) ist gegenüber \(g(x)\) um eine Einheit nach unten verschoben, sodass die waagerechte Asymptote bei \(y = -1\) liegt und der Graph die \(x\)-Achse kreuzen muss.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagerechte Asymptote: \(y = -1\). b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|1)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((2|0)\). c) Bei \(g(x)\) ist der Zähler konstant ungleich Null und die Asymptote ist die \(x\)-Achse selbst. Durch die Verschiebung um \(-1\) bei \(f(x)\) wird der gesamte Graph nach unten verschoben und schneidet nun die \(x\)-Achse.

- Was verraten dir die Asymptoten über die Werte von \(x_0\) und \(y_0\) in der Funktionsgleichung? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um einen unbekannten Parameter in einer Gleichung zu finden? - Welchen Wert muss die x-Koordinate an der y-Achse immer haben? - Was gilt für den Funktionswert an der Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet?

1. Einsetzen der Asymptoten in die Grundform \(f(x) = \frac{k}{x-x_0} + y_0\): Aus \(x = -2\) folgt \(x_0 = -2\) und aus \(y = 3\) folgt \(y_0 = 3\). Die Gleichung lautet \(f(x) = \frac{k}{x+2} + 3\). 2. Bestimmung von \(k\) durch Einsetzen von \(P(1|4)\): \(4 = \frac{k}{1+2} + 3 \Rightarrow 1 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 3\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = \frac{3}{x+2} + 3\). 3. Berechnung des Schnittpunkts mit der y-Achse (\(x=0\)): \(f(0) = \frac{3}{0+2} + 3 = 1{,}5 + 3 = 4{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|4{,}5)\). 4. Berechnung der Nullstelle (\(f(x)=0\)): \(0 = \frac{3}{x+2} + 3 \Rightarrow -3 = \frac{3}{x+2} \Rightarrow x+2 = -1 \Rightarrow x = -3\). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \(N(-3|0)\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{3}{x+2} + 3\). b) Die Schnittpunkte sind \(S_y(0|4{,}5)\) und \(N(-3|0)\).

- Vergleiche die Positionen der Asymptoten beider Funktionen miteinander. - Wie kommst du von einer vertikalen Asymptote bei \(-1\) zu einer bei \(2\)? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine y-Koordinate (ein Funktionswert) vorgegeben ist?

1. Vergleich der Definitionslücken (vertikale Asymptoten): \(f\) hat die Asymptote \(x = -1\), \(h\) hat die Asymptote \(x = 2\). Die Verschiebung in x-Richtung beträgt \(2 - (-1) = 3\) Einheiten (nach rechts). 2. Vergleich der waagerechten Asymptoten: \(f\) hat \(y = 4\), \(h\) hat \(y = 1\). Die Verschiebung in y-Richtung beträgt \(1 - 4 = -3\) Einheiten (um \(3\) nach unten). 3. Berechnung des Punktes für \(f(x)=6\): Setze \(6 = \frac{2}{x+1} + 4 \Rightarrow 2 = \frac{2}{x+1} \Rightarrow x+1 = 1 \Rightarrow x = 0\). Der Punkt ist \(P(0|6)\).

a) Der Graph von \(f\) muss um \(3\) Einheiten in positive x-Richtung (nach rechts) und um \(3\) Einheiten in negative y-Richtung (nach unten) verschoben werden. b) Der gesuchte Punkt ist \(P(0|6)\).

- Welche Teile der Funktionsgleichung bestimmen die Lage der Asymptoten? - Wie kannst du eine bekannte Koordinate nutzen, um einen fehlenden Parameter zu finden? - Welche Eigenschaft haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Asymptoten in die Funktionsgleichung übertragen: Aus der senkrechten Asymptote \(x = -1\) folgt \(x_0 = -1\). Aus der waagrechten Asymptote \(y = 3\) folgt \(y_0 = 3\). Der vorläufige Term lautet \(k(x) = \frac{a}{x+1} + 3\). 2. Parameter \(a\) bestimmen: Den Punkt \(P(1 | 2)\) in die Gleichung einsetzen: \(2 = \frac{a}{1+1} + 3\). 3. Gleichung nach \(a\) auflösen: \(2 = \frac{a}{2} + 3 \Rightarrow -1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = -2\). Die Funktionsgleichung ist \(k(x) = \frac{-2}{x+1} + 3\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnen: Setze \(x = 0\) in die Funktion ein: \(k(0) = \frac{-2}{0+1} + 3 = -2 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 1)\).

Funktionsterm: \(k(x) = \frac{-2}{x+1} + 3\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | 1)\).

- Welche Teile der Funktionsgleichung werden direkt durch die Lage der Asymptoten festgelegt? - Was bedeuten die Koordinaten des Ursprungs für deine Rechnung? - Kannst du die bekannten Werte für die Asymptoten zuerst in die Formel einsetzen? - Wie löst man eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, wenn ein Punkt des Graphen gegeben ist?

1. Parameter aus den Asymptoten ablesen: Aus der senkrechten Asymptote \(x = 2\) folgt \(x_0 = 2\). Aus der waagerechten Asymptote \(y = -4\) folgt \(y_0 = -4\). 2. Aufstellen des vorläufigen Funktionsterms: \(g(x) = \frac{a}{x - 2} - 4\). 3. Einsetzen des Punktes \(O(0|0)\): \(0 = \frac{a}{0 - 2} - 4\). 4. Berechnung von \(a\): \(0 = \frac{a}{-2} - 4 \Rightarrow 4 = -\frac{a}{2} \Rightarrow a = -8\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(g(x) = \frac{-8}{x - 2} - 4\).

Der Parameter ist \(a = -8\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{-8}{x - 2} - 4\).

- Welche Gleichung hat die \(x\)-Achse als waagrechte Gerade? - Wo befindet sich in der Funktionsgleichung die Information über die senkrechte Asymptote? - Wie nutzt man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um eine Unbekannte zu berechnen?

1. Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse, also gilt \(y_0 = 0\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1{,}5\), daraus folgt \(x_0 = 1{,}5\). 3. Der vorläufige Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{a}{x - 1{,}5}\). 4. Um \(a\) zu bestimmen, wird der \(y\)-Achsenabschnitt \(S_y(0 | 2)\) genutzt: \(f(0) = 2\). 5. Einsetzen ergibt: \(2 = \frac{a}{0 - 1{,}5}\), also \(2 = \frac{a}{-1{,}5}\). 6. Auflösen nach \(a\): \(a = 2 \cdot (-1{,}5) = -3\). 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{-3}{x - 1{,}5}\).

\(f(x) = \frac{-3}{x - 1{,}5}\)

- Setze die gegebenen Zahlen nacheinander ein und vergleiche die Ergebnisse. - Wann genau wird ein Bruch gleich Null? Schau dir dafür den Zähler an. - Überlege, welches Vorzeichen der Nenner hat, wenn du eine Zahl einsetzt, die größer als 4 ist. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer weiter wächst, der Zähler aber festbleibt?

1. Für \(x = 6\) ergibt sich \(f(6) = \frac{24}{6 - 4} = 12\). Für \(x = 8\) ergibt sich \(f(8) = \frac{24}{8 - 4} = 6\). Für \(x = 12\) ergibt sich \(f(12) = \frac{24}{12 - 4} = 3\). 2. Mit steigendem \(x\) sinken die Funktionswerte. 3. Ein Bruch wird nur dann \(0\), wenn sein Zähler \(0\) ist. Da der Zähler konstant \(24\) ist, kann \(f(x)\) nicht \(0\) werden. 4. Für \(x > 4\) ist der Nenner \(x - 4\) positiv. Da auch der Zähler positiv ist, gilt stets \(f(x) > 0\).

a) \(f(6) = 12\), \(f(8) = 6\) und \(f(12) = 3\). Mit wachsendem \(x\) wird \(f(x)\) kleiner. b) Nein. Der Funktionswert kann weder \(0\) noch negativ werden, weil der Zähler \(24\) und für \(x > 4\) auch der Nenner positiv ist.

- Kannst du beschreiben, an welche Linien sich die beiden Äste der Hyperbel anschmiegen? Diese Linien nennt man Asymptoten. - Überlege, für welchen x-Wert der Nenner des Bruchs null wird. Was bedeutet das für den Parameter \(d\)? - Was passiert mit dem Wert des Bruchs \(\frac{a}{x-d}\), wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt? Welcher Wert bleibt dann für \(f(x)\) übrig? - Wenn du die Asymptoten gefunden hast, kannst du einen beliebigen Punkt auf dem Graphen ablesen. Setze seine Koordinaten in die Gleichung ein, um den verbleibenden Parameter \(a\) zu berechnen.

1. **Asymptoten ablesen**: - Die Funktion hat bei \(x = -2\) eine Polstelle; die zugehörige senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x = -2\). - Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). 2. **Parameter \(c\) und \(d\) bestimmen**: - Die Polstelle liegt bei \(x = d\); dort verläuft die senkrechte Asymptote. Da diese bei \(x = -2\) liegt, folgt \(d = -2\). - Die waagerechte Asymptote entspricht dem Grenzwert für sehr große x-Werte, also dem Parameter \(c\). Da diese bei \(y = 1\) liegt, folgt \(c = 1\). - Damit lautet die vorläufige Funktionsgleichung: \(f(x) = \frac{a}{x + 2} + 1\) 3. **Parameter \(a\) bestimmen**: - Setze die Koordinaten des Punktes \(P(1 \mid 0)\) in die vorläufige Funktionsgleichung ein: \(0 = \frac{a}{1 + 2} + 1\) \(-1 = \frac{a}{3}\) \(a = -3\) - Die vollständige Funktionsgleichung lautet somit: \(f(x) = \frac{-3}{x + 2} + 1\)

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagerechte Asymptote: \(y = 1\) b) \(d = -2\) und \(c = 1\) c) \(a = -3\); vollständige Funktionsgleichung: \(f(x) = \frac{-3}{x + 2} + 1\)

- Betrachte die Linien, denen sich der Graph für sehr große x-Werte oder in der Nähe der Definitionslücke immer weiter annähert, sie aber nie ganz erreicht. - Überlege, wie die Lage dieser Linien (Asymptoten) mit den Parametern \(c\) und \(d\) in der Formel \(f(x) = \frac{a}{x-d} + c\) zusammenhängt. - Wenn du einen Punkt auf dem Graphen kennst, kannst du seine Koordinaten für \(x\) und \(f(x)\) in die Gleichung einsetzen, um die verbleibende Unbekannte zu bestimmen. - Für den Schnittpunkt mit der y-Achse musst du den Funktionswert an einer bestimmten Stelle berechnen. Welcher x-Wert ist das? - Um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) zu finden, musst du die Gleichung \(f(x) = 0\) lösen.

1. **Asymptoten ablesen:** Aus dem Graphen erkennt man, dass sich die Kurve für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte der waagrechten Linie bei \(y = 1\) annähert. Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 1\). Die senkrechte Asymptote (wo die Funktion nicht definiert ist) liegt bei \(x = 2\). 2. **Parameter \(c\) und \(d\) bestimmen:** Die senkrechte Asymptote entspricht der Nullstelle des Nenners, also \(x - d = 0 \Rightarrow x = d\). Daher ist \(d = 2\). Die waagrechte Asymptote entspricht dem Wert, dem sich die Funktion für \(x \to \pm\infty\) annähert, da der Bruch gegen \(0\) geht. Daher ist \(c = 1\). Der bisherige Funktionsterm lautet: \(f(x) = \frac{a}{x-2} + 1\). 3. **Parameter \(a\) bestimmen:** Setze den Punkt \((4 \mid 3)\) in die Gleichung ein: \(3 = \frac{a}{4-2} + 1\) \(3 = \frac{a}{2} + 1\) \(2 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 4\). Der vollständige Funktionsterm ist somit \(f(x) = \frac{4}{x-2} + 1\). 4. **Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen:** - **Schnittpunkt mit der y-Achse (\(S_y\)):** Setze \(x = 0\): \(f(0) = \frac{4}{0-2} + 1 = -2 + 1 = -1\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -1)\). - **Schnittpunkt mit der x-Achse (\(S_x\) bzw. Nullstelle):** Setze \(f(x) = 0\): \(\frac{4}{x-2} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{4}{x-2} = -1 \Rightarrow x-2 = -4 \Rightarrow x = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(-2 \mid 0)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\). b) \(d = 2\) und \(c = 1\). c) \(a = 4\); Funktionsterm: \(f(x) = \frac{4}{x-2} + 1\). d) Schnittpunkt mit der y-Achse: \(S_y(0 \mid -1)\); Schnittpunkt mit der x-Achse: \(S_x(-2 \mid 0)\).

- Beobachte, welcher senkrechten Geraden sich der Graph in der Nähe der Definitionslücke nähert. - Beobachte, welcher waagerechten Geraden sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. - Setze die Koordinaten eines gut ablesbaren Punkts in die ermittelte Gleichung ein.

1. Der Graph nähert sich bei \(x = 2\) einer senkrechten Geraden. Daher liegt die Definitionslücke bei \(x = 2\), die senkrechte Asymptote lautet \(x = 2\), und es gilt \(d = 2\). 2. Für große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der Geraden \(y = 1\). Daher lautet die waagerechte Asymptote \(y = 1\), und es gilt \(c = 1\). 3. Mit \(d = 2\) und \(c = 1\) lautet die Funktion \(f(x) = \frac{3}{x - 2} + 1\). Für \(P(3 \mid 4)\) gilt \(f(3) = \frac{3}{3 - 2} + 1 = 4\), also liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Definitionslücke und senkrechte Asymptote: \(x = 2\); \(d = 2\) b) Waagerechte Asymptote: \(y = 1\); \(c = 1\) c) Für \(P(3 \mid 4)\) gilt \(f(3) = \frac{3}{3 - 2} + 1 = 4\); die Gleichung ist erfüllt.

- Betrachte den Verlauf des Graphen: Gibt es Linien, denen sich die Kurve immer weiter annähert, ohne sie jemals zu berühren? - Wie hängen die Verschiebungen einer Hyperbel in x- und y-Richtung mit den Gleichungen dieser Grenzgeraden zusammen? - Suche nach markanten Punkten auf dem Graphen mit ganzzahligen Koordinaten, um den Streckfaktor der Hyperbel zu bestimmen. - Wie kannst du rechnerisch überprüfen, ob deine gefundenen Schnittpunkte mit den Achsen mit der Zeichnung übereinstimmen?

1. Bestimmung der Asymptoten aus dem Graphen: Für sehr große und sehr kleine x-Werte nähert sich der Graph der waagerechten Linie \(y = 1\) an. Im Bereich der Definitionslücke nähert er sich der senkrechten Linie \(x = -2\) an. Somit sind die Asymptoten \(y = 1\) (waagerecht) und \(x = -2\) (senkrecht). 2. Bestimmung der Parameter: Die Asymptoten legen die Verschiebungen fest, sodass \(e = 1\) und \(d = -2\) gilt. Einsetzen des gut ablesbaren Punktes \(P(-1 \mid 3)\) in \(f(x) = \frac{a}{x+2} + 1\) liefert \(3 = \frac{a}{-1+2} + 1\), woraus \(a = 2\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x+2} + 1\). 3. Berechnung der Achsenschnittpunkte: Für den Schnittpunkt mit der y-Achse setzt man \(x = 0\) ein: \(f(0) = \frac{2}{0+2} + 1 = 2\), woraus \(S_y(0 \mid 2)\) folgt. Für den Schnittpunkt mit der x-Achse setzt man \(f(x) = 0\): \(\frac{2}{x+2} + 1 = 0 \implies \frac{2}{x+2} = -1 \implies x+2 = -2 \implies x = -4\), woraus \(S_x(-4 \mid 0)\) folgt.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\), waagerechte Asymptote: \(y = 1\). b) \(a = 2\), \(d = -2\), \(e = 1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x+2} + 1\). c) Schnittpunkt mit der y-Achse: \(S_y(0 \mid 2)\), Schnittpunkt mit der x-Achse: \(S_x(-4 \mid 0)\).

- Beobachte, welchen Geraden sich die beiden Äste der Hyperbel annähern. - Die Lage der Asymptoten bestimmt die Parameter \(d\) und \(e\). - Nutze einen gut ablesbaren Punkt, um \(a\) zu bestimmen. - Setze für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse den Funktionswert gleich \(0\) und für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(x = 0\).

1. Aus dem Verlauf liest man die senkrechte Asymptote \(x = 2\) und die waagerechte Asymptote \(y = 2\) ab. Daher gilt \(d = 2\) und \(e = 2\). Mit dem Punkt \(P(3 \mid -2)\) ergibt sich \(-2 = \frac{a}{3 - 2} + 2\), also \(a = -4\). Damit lautet die Funktion \(f(x) = -\frac{4}{x - 2} + 2\). 2. Aus dem Graphen liest man \(S_x(4 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid 4)\) ab. 3. Für die Nullstelle gilt \(0 = -\frac{4}{x - 2} + 2\), also \(x = 4\). Außerdem ist \(f(0) = -\frac{4}{-2} + 2 = 4\). Damit sind beide abgelesenen Schnittpunkte bestätigt.

a) Asymptoten: \(x = 2\) und \(y = 2\); Funktionsterm: \(f(x) = -\frac{4}{x - 2} + 2\) b) \(S_x(4 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid 4)\) c) \(f(x) = 0\) ergibt \(x = 4\), und \(f(0) = 4\); damit sind \(S_x(4 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid 4)\) bestätigt.

- Beobachte, welchen Geraden sich die beiden Äste der Hyperbel annähern. - Die Lage der Asymptoten bestimmt die Parameter \(d\) und \(e\). - Setze die Koordinaten eines markierten Punkts in den vorläufigen Funktionsterm ein.

1. Aus dem Verlauf des Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x = 2\) und die waagerechte Asymptote \(y = 1\) ab. 2. Daraus folgen \(d = 2\) und \(e = 1\). Der vorläufige Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{a}{x-2} + 1\). 3. Einsetzen von \(P(4 \mid 0)\) ergibt \(0 = \frac{a}{4-2} + 1\), also \(a = -2\). Damit lautet der vollständige Funktionsterm \(f(x) = -\frac{2}{x-2} + 1\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); waagerechte Asymptote: \(y = 1\) b) \(d = 2\), \(e = 1\) c) \(a = -2\); \(f(x) = -\frac{2}{x-2} + 1\)

- Suche die Stellen, an denen sich die rote Kurve und die blaue Gerade schneiden. - Auf der \(y\)-Achse gilt \(x = 0\), auf der \(x\)-Achse gilt \(y = 0\). - Setze für die gemeinsamen Schnittpunkte die beiden Funktionsterme gleich.

1. Aus der Abbildung liest man die Schnittpunkte \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(4 \mid 3)\) ab. 2. Für \(f\) gilt \(f(0) = -1\), also \(S_{fy}(0 \mid -1)\). Aus \(f(x) = 0\) folgt \(x = -2\), also \(S_{fx}(-2 \mid 0)\). Für \(g\) gilt \(g(0) = -1\), also \(S_{gy}(0 \mid -1)\). Aus \(g(x) = 0\) folgt \(x = 1\), also \(S_{gx}(1 \mid 0)\). 3. Gleichsetzen liefert \(\frac{4}{x - 2} + 1 = x - 1\), also \((x - 2)^2 = 4\). Damit gilt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(y_1 = -1\) und \(y_2 = 3\), wodurch die abgelesenen Schnittpunkte bestätigt werden.

a) \(P_1(0 \mid -1)\) und \(P_2(4 \mid 3)\) b) Für \(f\): \(S_{fy}(0 \mid -1)\), \(S_{fx}(-2 \mid 0)\); für \(g\): \(S_{gy}(0 \mid -1)\), \(S_{gx}(1 \mid 0)\) c) Das Gleichsetzen ergibt \((x - 2)^2 = 4\) und damit \(P_1(0 \mid -1)\) sowie \(P_2(4 \mid 3)\).

- Schau dir an, wo der Graph eine unendlich steile „Wand“ bildet, die er nicht überschreitet. Das hilft dir bei der senkrechten Asymptote. - Überlege, welchem festen Wert sich der Graph für sehr große oder sehr kleine x-Werte von oben und unten nähert. Das gibt dir die waagerechte Asymptote. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? Nutze diese Überlegung für den Zusammenhang der berechneten Werte mit der Asymptote.

1. Senkrechte Asymptote und Definitionslücke: - Am Graphen erkennt man, dass die Funktionswerte für \(x \to 2\) betragsmäßig unbegrenzt wachsen. Die senkrechte Asymptote lautet daher \(x = 2\). - Die Definitionslücke liegt ebenfalls bei \(x = 2\). - Damit der Nenner \(x - d\) für \(x = 2\) gleich \(0\) wird, muss gelten: \(2 - d = 0 \implies d = 2\). 2. Waagerechte Asymptote: - Für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der Geraden \(y = 1\). Die waagerechte Asymptote lautet daher \(y = 1\). - Da der Bruch \(\frac{2}{x - 2}\) für betragsmäßig große \(x\)-Werte gegen \(0\) geht, nähert sich der gesamte Funktionswert dem Wert \(e\). Somit ist \(e = 1\). 3. Berechnung und Interpretation: - Mit \(d = 2\) und \(e = 1\) lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + 1\). - \(f(102) = \frac{2}{102 - 2} + 1 = \frac{2}{100} + 1 = 1{,}02\). - \(f(-98) = \frac{2}{-98 - 2} + 1 = \frac{2}{-100} + 1 = 0{,}98\). - Beide Funktionswerte liegen nahe bei \(1\). Je größer der Betrag von \(x\) wird, desto näher liegt \(\frac{2}{x - 2}\) bei \(0\). Daher nähern sich die Funktionswerte der waagerechten Asymptote \(y = 1\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); Definitionslücke: \(x = 2\); Parameter: \(d = 2\). b) Waagerechte Asymptote: \(y = 1\); Parameter: \(e = 1\). c) \(f(102) = 1{,}02\) und \(f(-98) = 0{,}98\). Erklärung: Da der Bruch für betragsmäßig sehr große \(x\)-Werte gegen \(0\) geht, nähern sich die Funktionswerte immer weiter der waagerechten Asymptote \(y = 1\) an.

- Vergleiche, welchen Geraden sich die Graphen von \(f\) und \(g\) annähern. - Eine Verschiebung nach links oder rechts verändert den Ausdruck im Nenner. - Eine Verschiebung nach oben oder unten verändert den Summanden außerhalb des Bruchs.

1. Aus dem rechten Graphen liest man die waagerechte Asymptote \(y = 2\) und die senkrechte Asymptote \(x = -3\) ab. 2. Der Graph von \(f\) wird um \(3\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Daraus folgt \(g(x) = \frac{1}{x + 3} + 2\).

a) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\) b) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach oben c) \(g(x) = \frac{1}{x + 3} + 2\)

- Beobachte, welcher senkrechten Geraden sich der Graph in der Nähe der Definitionslücke nähert. - Beobachte, welcher waagerechten Geraden sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. - Setze anschließend die Koordinaten eines markierten Punkts ein, um \(a\) zu bestimmen.

1. Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden \(x = -2\). Daher gilt \(b = -2\). 2. Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Graph der waagerechten Geraden \(y = -1\). Daher gilt \(c = -1\). 3. Der vorläufige Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{a}{x + 2} - 1\). 4. Mit der Nullstelle \(N(1 \mid 0)\) ergibt sich \(0 = \frac{a}{1 + 2} - 1\), also \(a = 3\). 5. Damit lautet die Funktion \(f(x) = \frac{3}{x + 2} - 1\).

Die Parameter sind \(a = 3\), \(b = -2\) und \(c = -1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{3}{x + 2} - 1\).

- Schau dir an, wo sich die Asymptoten kreuzen. Diese geben dir direkt Auskunft über die Verschiebung. - Wenn du \(x_0\) und \(y_0\) hast, bleibt nur noch eine Unbekannte übrig. Welcher Punkt auf dem Gitter lässt sich besonders leicht ablesen? - Achte auf das Vorzeichen von \(a\): Verläuft der Graph in den „Quadranten“, die durch die Asymptoten gebildet werden, so wie die normale Hyperbel \(y = \frac{1}{x}\)?

1. Aus dem Graphen lassen sich die Asymptoten ablesen: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\), also ist \(x_0 = -1\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = -3\), also ist \(y_0 = -3\). 2. Die Funktionsgleichung lautet bisher: \(f(x) = \frac{a}{x - (-1)} - 3 = \frac{a}{x + 1} - 3\). 3. Ein gut ablesbarer Punkt auf dem Graphen ist \(P(1 \mid -1)\). 4. Einsetzen von \(P\) in die Gleichung: \(-1 = \frac{a}{1 + 1} - 3\). 5. Auflösen nach \(a\): \(-1 = \frac{a}{2} - 3 \Rightarrow 2 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 4\). 6. Die vollständige Funktionsgleichung ist \(f(x) = \frac{4}{x + 1} - 3\).

a) Asymptoten: \(x = -1\) und \(y = -3\); daraus folgt \(x_0 = -1\) und \(y_0 = -3\). b) Mit dem Punkt \((1 \mid -1)\) ergibt sich \(a = 4\). Die Gleichung lautet \(f(x) = \frac{4}{x + 1} - 3\).

- Die Asymptoten sind die Geraden, denen sich der Graph immer weiter annähert. - Der Parameter im Nenner hängt mit der Links-Rechts-Verschiebung zusammen, der Parameter am Ende mit der Oben-Unten-Verschiebung. - Um den Streckfaktor zu finden, setze die bekannten Parameter und einen Punkt des Graphen in die Gleichung ein und löse nach der Unbekannten auf. - „Stelle“ bedeutet, dass ein \(x\)-Wert gesucht ist.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) und die waagerechte Asymptote bei \(y = -1\) ab. 2. Da die senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) liegt, muss der Nenner \(x + x_0\) für diesen Wert null sein: \(-2 + x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 2\). Die waagerechte Verschiebung entspricht direkt dem Wert der Asymptote, also \(y_0 = -1\). 3. Einsetzen von \(O(0 \mid 0)\) in \(g(x) = \frac{a}{x+2} - 1\): \(0 = \frac{a}{0+2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{2}{x+2} - 1\). 4. Gesucht ist \(x\) mit \(g(x) = -2\): \(-2 = \frac{2}{x+2} - 1 \Rightarrow -1 = \frac{2}{x+2} \Rightarrow -(x+2) = 2 \Rightarrow -x - 2 = 2 \Rightarrow x = -4\). Der Graph bestätigt, dass bei \(x = -4\) der Funktionswert \(-2\) vorliegt.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagerechte Asymptote: \(y = -1\). b) \(x_0 = 2\) und \(y_0 = -1\). c) \(0 = \frac{a}{0+2} - 1 \Rightarrow a = 2\). d) \(-2 = \frac{2}{x+2} - 1 \Rightarrow x = -4\).

- Beobachte, welchen Geraden sich der Graph immer weiter annähert, um die Verschiebungen in \(x\)- und \(y\)-Richtung zu bestimmen. - Wähle für die Bestimmung von \(a\) einen markierten Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten. - Um die Nullstelle zu finden, setze den Funktionsterm gleich null und löse nach \(x\) auf.

1. Aus dem Graphen lassen sich die senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) und die waagerechte Asymptote bei \(y = 1\) ablesen. 2. Der Ansatz lautet \(h(x) = \frac{a}{x - 3} + 1\). Da \(P(5 \mid 2)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(2 = \frac{a}{5 - 3} + 1 \Rightarrow 1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2\). Somit lautet die Gleichung \(h(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0 = \frac{2}{x - 3} + 1 \Rightarrow -1 = \frac{2}{x - 3} \Rightarrow -(x - 3) = 2 \Rightarrow -x + 3 = 2 \Rightarrow x = 1\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 3\); waagerechte Asymptote: \(y = 1\). b) \(h(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\). c) Nullstelle: \(x = 1\).

- Bestimme zuerst die Werte für die Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung aus dem Verlauf des Graphen. - Erinnere dich, wie die Polstelle im Nenner der Funktion auftritt. - Wähle einen Punkt des Graphen aus, um den Wert für \(a\) zu bestimmen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du einen weiteren Punkt testest.

1. Die Polstelle und damit die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1{,}5\), also ist \(c = -1{,}5\). 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2{,}5\), also ist \(d = 2{,}5\). 3. Der Ansatz lautet \(f(x) = \frac{a}{x + 1{,}5} + 2{,}5\). 4. Ein Punkt auf dem Graphen ist \(P(-1 \mid 3{,}5)\). 5. Einsetzen ergibt \(3{,}5 = \frac{a}{-1 + 1{,}5} + 2{,}5 \Rightarrow 1 = \frac{a}{0{,}5} \Rightarrow a = 0{,}5\). 6. Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{0{,}5}{x + 1{,}5} + 2{,}5\).

\(f(x) = \frac{0{,}5}{x + 1{,}5} + 2{,}5\)

- Die waagerechte Verschiebung erkennst du an der Lage der senkrechten Asymptote. - Die senkrechte Verschiebung entspricht der Lage der waagerechten Asymptote. - Wenn du einen Punkt einsetzt, achte auf das Vorzeichen des Ergebnisses für \(a\). - Prüfe anhand der Lage der Äste, welches Vorzeichen \(a\) haben muss.

1. Die Asymptoten liegen bei \(x = -3\) und \(y = -2\). 2. Der Funktionsterm hat die Form \(g(x) = \frac{a}{x + 3} - 2\). 3. Der Punkt \(P(-4 \mid 0)\) liegt auf dem Graphen. 4. Einsetzen ergibt \(0 = \frac{a}{-4 + 3} - 2\). 5. Daraus folgt \(2 = \frac{a}{-1}\) und damit \(a = -2\). 6. Der gesuchte Term ist \(g(x) = -\frac{2}{x + 3} - 2\).

\(g(x) = -\frac{2}{x + 3} - 2\)

- Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen und welchem \(y\)-Wert sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. - Überlege, wie die Grundfunktion \(y = \frac{1}{x}\) verschoben wurde. - Wähle einen Punkt des Graphen mit gut ablesbaren Koordinaten, um den Streckfaktor zu berechnen. - An einem Achsenschnittpunkt ist jeweils eine Koordinate null.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -2\), die waagerechte Asymptote bei \(y = 1\). Dies führt zum Ansatz \(f(x) = \frac{a}{x + 2} + 1\). 2. Ein gut ablesbarer Punkt auf dem Graphen ist \(P(-1 \mid 2)\). Einsetzen ergibt \(2 = \frac{a}{-1 + 2} + 1\), also \(a = 1\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{1}{x + 2} + 1\). 3. Näherungsweise liest man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse als \(S_y(0 \mid 1{,}5)\) und den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse als \(N(-3 \mid 0)\) ab. 4. Für die rechnerische Überprüfung gilt \(0 = \frac{1}{x + 2} + 1 \Rightarrow -1 = \frac{1}{x + 2} \Rightarrow -x - 2 = 1 \Rightarrow x = -3\). Das Ergebnis stimmt mit dem abgelesenen Wert überein.

a) Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{1}{x + 2} + 1\). b) Näherungsweise sind die Schnittpunkte \(S_y(0 \mid 1{,}5)\) und \(N(-3 \mid 0)\). c) Die Nullstelle liegt bei \(x = -3\).

- Beobachte, welchen Geraden sich der Graph immer weiter annähert. Sie geben Aufschluss über die Verschiebungen. - Wenn eine Achse selbst eine Asymptote ist, überlege, was das für mögliche Schnittpunkte bedeutet. - Setze einen gut ablesbaren Punkt des Graphen in den Ansatz ein, um \(a\) zu bestimmen. - Prüfe für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, ob \(x = 0\) in die Funktion eingesetzt werden darf.

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -2\), die senkrechte Asymptote fällt mit der \(y\)-Achse zusammen und hat die Gleichung \(x = 0\). Daraus ergibt sich der Ansatz \(g(x) = \frac{a}{x} - 2\). 2. Der Graph verläuft durch den Punkt \(P(1 \mid 2)\). Einsetzen ergibt \(2 = \frac{a}{1} - 2\), woraus \(a = 4\) folgt. Der Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{4}{x} - 2\). 3. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(N(2 \mid 0)\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, da \(x = 0\) eine Polstelle ist. 4. Die Nullstelle ergibt sich aus \(0 = \frac{4}{x} - 2\) zu \(x = 2\). Der Ausdruck \(g(0)\) ist nicht definiert, da eine Division durch null nicht möglich ist.

a) Der Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{4}{x} - 2\). b) Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(2 \mid 0)\); mit der \(y\)-Achse gibt es keinen Schnittpunkt, da \(x = 0\) eine Polstelle ist. c) Aus \(0 = \frac{4}{x} - 2\) folgt \(x = 2\); \(g(0)\) ist nicht definiert.

- Die senkrechte Asymptote findest du dort, wo der Nenner null wird. - Der konstante Summand im Funktionsterm gibt die Höhe der waagerechten Asymptote an. - Untersuche nacheinander Vorzeichen, Faktor und Verschiebungen im Funktionsterm. - Setze für die Nullstelle den Funktionsterm gleich null.

1. Asymptoten bestimmen: Die Definitionslücke liegt bei \(x = -3\), daher ist die senkrechte Asymptote \(x = -3\). Da der Term \(\frac{-2}{x + 3}\) für \(\lvert x\rvert \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist die waagerechte Asymptote \(y = 1\). 2. Transformationen beschreiben: Der Graph von \(f\) entsteht aus \(h(x) = \frac{1}{x}\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben. 3. Nullstelle berechnen: \(0 = \frac{-2}{x + 3} + 1 \Rightarrow \frac{2}{x + 3} = 1 \Rightarrow x + 3 = 2 \Rightarrow x = -1\). Die Nullstelle liegt bei \(x = -1\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagerechte Asymptote: \(y = 1\). b) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung mit Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung, Verschiebung um \(3\) nach links und \(1\) nach oben. c) Die Nullstelle ist \(x = -1\).

- Beobachte, welchen Geraden sich der Graph immer weiter annähert. - Setze die Werte der Asymptoten in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Nutze den markierten Punkt, um den Wert für \(a\) zu bestimmen. - Bei Verschiebungen in \(x\)-Richtung musst du im Nenner auf das Vorzeichen achten.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\), die waagerechte Asymptote bei \(y = -2\). 2. Der Ansatz lautet \(g(x) = \frac{a}{x - 2} - 2\). Da der Graph durch \(P(3 \mid -1)\) verläuft, gilt \(-1 = \frac{a}{3 - 2} - 2 \Rightarrow a = 1\). Somit ist \(g(x) = \frac{1}{x - 2} - 2\). 3. Eine Verschiebung um \(2\) nach rechts wird durch \(x \mapsto x-2\) beschrieben, eine Verschiebung um \(3\) nach oben durch die Addition von \(3\): \(k(x) = g(x-2) + 3 = \frac{1}{(x-2)-2} - 2 + 3 = \frac{1}{x - 4} + 1\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); waagerechte Asymptote: \(y = -2\). b) \(g(x) = \frac{1}{x - 2} - 2\). c) \(k(x) = \frac{1}{x - 4} + 1\).

- Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen. Welcher Wert für \(b\) macht den Nenner dort null? - Beobachte, welchem \(y\)-Wert sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. - Nutze den markierten Punkt, um durch Einsetzen eine Gleichung für den fehlenden Parameter aufzustellen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -3\). Da der Nenner dort null sein muss, gilt \(-3+b = 0\), also \(b = 3\). 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -1\). Für große Beträge von \(x\) geht der Bruch gegen null, sodass \(f(x) \approx c\) gilt. Somit ist \(c = -1\). 3. Der Punkt \(Q(-1 \mid -2)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen in \(f(x) = \frac{a}{x+3} - 1\) ergibt \(-2 = \frac{a}{-1+3} - 1\). 4. Daraus folgt \(-1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = -2\). Die Parameter sind \(a = -2\), \(b = 3\) und \(c = -1\).

\(a = -2\), \(b = 3\), \(c = -1\)

- Beobachte, wo die Definitionslücke der Funktion liegt. - Beobachte, welchem \(y\)-Wert sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. - Verwende den Punkt \(A\), um den fehlenden Wert für \(a\) zu bestimmen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 3\). Daher gilt \(b = -3\). 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -4\). Daher gilt \(c = -4\). 3. Einsetzen von \(A(6 \mid -2)\) ergibt \(-2 = \frac{a}{6-3} - 4\). 4. Daraus folgt \(2 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 6\). Somit gilt \(a = 6\), \(b = -3\) und \(c = -4\).

\(a = 6\), \(b = -3\), \(c = -4\)

- Achte genau darauf, welchen Geraden sich der Graph zwischen den beschrifteten Halbwerten annähert. - Ein Kästchen entspricht hier \(0{,}5\) Einheiten. - Setze den markierten Punkt ein, um den Streckfaktor \(a\) zu finden.

1. Die Asymptoten liegen bei \(x = -2{,}5\) und \(y = -0{,}5\). Somit ist \(b = 2{,}5\) und \(c = -0{,}5\). 2. Einsetzen von \(P(-1{,}5 \mid 0{,}5)\) in \(f(x) = \frac{a}{x+2{,}5} - 0{,}5\) ergibt \(0{,}5 = \frac{a}{-1{,}5+2{,}5} - 0{,}5\). 3. Daraus folgt \(1 = \frac{a}{1} \Rightarrow a = 1\). Der Term ist \(f(x) = \frac{1}{x+2{,}5} - 0{,}5\).

\(f(x) = \frac{1}{x+2{,}5} - 0{,}5\)

- Beobachte, welchem Wert sich der Graph für große Beträge von \(x\) nähert. Das hilft bei der waagerechten Asymptote. - Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen. - Überlege, wie die Asymptoten mit den Parametern der verschobenen Normalhyperbel zusammenhängen. - Setze die Koordinaten eines gut ablesbaren Punkts ein, um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen.

1. Aus dem Graphen lässt sich die Polstelle bei \(x = -3\) ablesen. Die senkrechte Asymptote hat daher die Gleichung \(x = -3\); die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -1\). 2. Da die senkrechte Asymptote bei der Definitionslücke \(x = -b\) liegt, folgt \(-b = -3\), also \(b = 3\). Der Wert der waagerechten Asymptote entspricht dem Parameter \(c\), also \(c = -1\). 3. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(-2 \mid 1)\). Einsetzen in \(f(x) = \frac{a}{x+3} - 1\) ergibt \(1 = \frac{a}{-2+3} - 1\). Daraus folgt \(a = 2\). Die vollständige Gleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x+3} - 1\). 4. Für die Nullstelle gilt \(0 = \frac{2}{x+3} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{2}{x+3} \Rightarrow x+3 = 2 \Rightarrow x = -1\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagerechte Asymptote: \(y = -1\). b) \(b = 3\) und \(c = -1\). c) \(a = 2\); die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x+3} - 1\). d) Die Nullstelle liegt bei \(x = -1\).

- Wo darf man für \(x\) keinen Wert einsetzen? Das erkennst du an der senkrechten „Lücke“ im Graphen. - Die Parameter \(x_0\) und \(y_0\) verschieben die Standardhyperbel entlang der Achsen. - Überlege dir, was mit einem Bruch passiert, wenn der Nenner riesig wird. Welcher Teil der Funktionsgleichung bleibt dann „übrig“?

1. Die Definitionslücke liegt bei \(x = 4\), da dort die senkrechte Asymptote verläuft. Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). Daraus folgt direkt \(x_0 = 4\). 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\), woraus sich \(y_0 = 1\) ergibt. 3. Um \(a\) zu bestimmen, wählt man einen Punkt auf dem Graphen, zum Beispiel \(P(6 \mid 0)\). Einsetzen in \(g(x) = \frac{a}{x-4} + 1\) ergibt \(0 = \frac{a}{6-4} + 1 \Rightarrow -1 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{-2}{x-4} + 1\). 4. Für \(x \to \infty\) wird der Nenner \(x-4\) sehr groß. Der Wert des Bruchs \(\frac{-2}{x-4}\) nähert sich somit dem Wert \(0\). Der gesamte Funktionswert \(g(x)\) nähert sich folglich dem Wert \(1\). Im Graphen erkennt man dies daran, dass sich die Kurve für große \(x\) von unten immer weiter an die Gerade \(y = 1\) annähert.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). b) \(g(x) = \frac{-2}{x-4} + 1\). c) Wenn \(x\) gegen unendlich strebt, geht der Wert des Bruchterms gegen \(0\). Die Funktionswerte nähern sich daher dem Wert \(1\) an. Dies entspricht der waagerechten Asymptote \(y = 1\) im Graphen.

- Beobachte, welchen Geraden sich die Hyperbel immer weiter annähert. Diese geben ihre Verschiebung im Koordinatensystem an. - Setze anschließend den bekannten Punkt in die Funktionsgleichung ein, um den Streckfaktor zu berechnen. - Schnittpunkte liegen dort, wo sich die beiden Graphen schneiden. - Für eine Punktprobe setzt du den \(x\)-Wert ein und vergleichst den berechneten Funktionswert mit der \(y\)-Koordinate.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\), also ist \(x_0 = 1\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 3\), also ist \(y_0 = 3\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(2 \mid 5)\) in \(f(x) = \frac{a}{x-1} + 3\) ergibt \(5 = \frac{a}{2-1} + 3\), woraus \(a = 2\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x-1} + 3\). 3. Die Schnittpunkte der Graphen liegen bei \(S_1(0 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 4)\). 4. Für die Punktprobe gilt \(f(5) = \frac{2}{5-1} + 3 = \frac{2}{4} + 3 = 3{,}5\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) \(f(x) = \frac{2}{x-1} + 3\) b) \(S_1(0 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 4)\) c) Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf dem Graphen, da \(f(5) = 3{,}5\) gilt.

- Beobachte, welchen Geraden sich der Graph immer weiter annähert. - Die senkrechte Asymptote gibt Aufschluss über die Definitionslücke und den Wert im Nenner. - Die waagerechte Asymptote zeigt den Wert, dem sich die Funktionswerte für große Beträge von \(x\) annähern. - Nutze die Koordinaten des Punktes \(P\), um die letzte Unbekannte zu bestimmen. - Auf der \(y\)-Achse gilt stets \(x = 0\).

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\). Da die Funktion dort eine Definitionslücke hat, muss der Nenner null werden: \(2-d = 0 \Rightarrow d = 2\). 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). Für große Beträge von \(x\) nähert sich \(\frac{k}{x-d}\) dem Wert null, sodass \(f(x) \approx c\) gilt. Somit ist \(c = 1\). 3. Mit dem Ansatz \(f(x) = \frac{k}{x-2} + 1\) und dem Punkt \(P(3 \mid 3)\) ergibt sich \(3 = \frac{k}{3-2} + 1 \Rightarrow k = 2\). Der vollständige Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{2}{x-2} + 1\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x = 0\): \(f(0) = \frac{2}{0-2} + 1 = -1 + 1 = 0\). Daher ist \(S_y(0 \mid 0)\).

a) \(d = 2\), \(c = 1\) b) \(k = 2\); Funktionsterm: \(f(x) = \frac{2}{x-2} + 1\) c) \(S_y(0 \mid 0)\)

- Beobachte, welchen Geraden sich der Graph annähert. Diese Asymptoten geben die Verschiebung an. - Vergleiche den Schnittpunkt der Asymptoten von \(g\) mit dem Ursprung als Zentrum der Grundhyperbel. - Achte auf das Vorzeichen bei der Verschiebung in \(x\)-Richtung im Nenner.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Asymptoten ablesen: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\), die waagerechte bei \(y = 2\). 2. Die Verschiebung beträgt somit \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. 3. Der Funktionsterm einer verschobenen Hyperbel hat die Form \(g(x) = \frac{1}{x-d} + e\). 4. Einsetzen der Werte ergibt \(g(x) = \frac{1}{x-1} + 2\).

Die Asymptoten liegen bei \(x = 1\) und \(y = 2\). Der Graph von \(g\) entsteht durch Verschiebung von \(f\) um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{1}{x-1} + 2\).

- Achte auf die Lage der Geraden, denen sich die Graphen annähern. - Vergleiche den Schnittpunkt der Asymptoten bei \(f\), \(g\) und \(h\). - Eine Verschiebung der senkrechten Asymptote entspricht einer Änderung im Nenner.

1. Der Graph von \(g\) hat seine senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) und seine waagerechte Asymptote bei \(y = 1\). Somit lautet der Term \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\). 2. Der Graph von \(h\) hat seine senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) und seine waagerechte Asymptote bei \(y = -2\). Somit lautet der Term \(h(x) = \frac{1}{x-3} - 2\).

\(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\); \(h(x) = \frac{1}{x-3} - 2\)

- Bestimme für jede Funktion die Lage der senkrechten und waagerechten Asymptoten. - Überprüfe deine Vermutung mit einem gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen.

1. Der Graph von \(g\) ist gegenüber \(f\) um \(1\) Einheit nach rechts verschoben. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\). Der Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{2}{x-1}\). 2. Der Graph von \(h\) ist gegenüber \(f\) um \(2\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -2\), die waagerechte bei \(y = -1\). Der Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\).

\(g(x) = \frac{2}{x-1}\); \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\)

- Beobachte, welchen Geraden sich der Graph immer weiter annähert. Sie geben Aufschluss über die Verschiebung. - Die Lage der senkrechten Asymptote hilft bei der Bestimmung von \(x_0\). - Die Lage der waagerechten Asymptote hilft bei der Bestimmung von \(c\). - Setze anschließend einen gut ablesbaren Punkt ein, um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\). Daher muss der Nenner für \(x = -1\) null werden, woraus \(x_0 = -1\) folgt. Der Term ist zunächst \(f(x) = \frac{a}{x+1} + c\). 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -2\). Dies gibt die senkrechte Verschiebung an: \(c = -2\). 3. Zur Bestimmung von \(a\) wird ein Punkt abgelesen, zum Beispiel der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid -1)\). 4. Einsetzen ergibt \(-1 = \frac{a}{0+1} - 2\). 5. Daraus folgt \(-1 = a-2 \Rightarrow a = 1\). 6. Der vollständige Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{1}{x+1} - 2\).

Die Parameter sind \(x_0 = -1\), \(c = -2\) und \(a = 1\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{1}{x+1} - 2\).

- Drücke zuerst die neue Seite \(a\) durch \(x\) aus. - Nutze die Flächeninhaltsformel für das zweite Rechteck. - Setze den gegebenen Wert für \(x\) nacheinander in die Bedingungen für beide Rechtecke ein.

1. Bestimmung von \(a\): Da \(a\) um \(2\,\text{cm}\) länger als \(x\) ist, gilt \(a = x + 2\). 2. Aufstellen der Formel für \(b\): Der Flächeninhalt von Rechteck B ist \(a \cdot b = 24\). Einsetzen von \(a\) ergibt \((x + 2) \cdot b = 24\). Umgestellt nach \(b\): \(b = \frac{24}{x + 2}\). 3. Berechnung für \(x = 4\): \(b = \frac{24}{4 + 2} = \frac{24}{6} = 4\). Die Seite \(b\) ist \(4\,\text{cm}\) lang. 4. Berechnung von \(y\) für \(x = 4\): Aus \(x \cdot y = 24\) folgt \(4 \cdot y = 24\), also \(y = 6\,\text{cm}\). 5. Vergleich: \(y = 6\,\text{cm}\) und \(b = 4\,\text{cm}\). Die Seite \(b\) ist um \(2\,\text{cm}\) kürzer als die Seite \(y\).

a) \(b = \frac{24}{x + 2}\) b) \(b = 4\,\text{cm}\) c) \(y = 6\,\text{cm}\). Die Seite \(b\) ist um \(2\,\text{cm}\) kürzer als die Seite \(y\).

- Welche Zahl darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Welchen Wert kann der gesamte Bruchterm niemals annehmen? - Wie hängen die Asymptoten mit den ausgeschlossenen Werten der Mengen \(\mathbb{D}\) und \(\mathbb{W}\) zusammen? - Wenn ein Graph nach links verschoben wird, wie verändert sich dann der Ausdruck in der Klammer im Nenner?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden, also \(x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Bestimmung der Wertemenge: Da der Bruch \(\frac{4}{x-3}\) niemals null wird, kann die Funktion den Wert \(2\) niemals annehmen. Somit ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 3. Bestimmung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke bei \(x = 3\). Die waagerechte Asymptote entspricht dem konstanten Summanden bei \(y = 2\). 4. Verschiebung des Graphen: Eine Verschiebung um \(5\) Einheiten nach links bedeutet, dass \(x\) durch \((x + 5)\) ersetzt wird. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten bedeutet, dass vom Funktionswert \(3\) subtrahiert wird. 5. Berechnung der neuen Gleichung: \(g(x) = \frac{4}{(x+5)-3} + 2 - 3 = \frac{4}{x+2} - 1\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = 3\); Waagerechte Asymptote: \(y = 2\) c) \(g(x) = \frac{4}{x+2} - 1\)

- Welche Parameter in der Funktionsgleichung werden direkt durch die Lage der Asymptoten bestimmt? - Wie kannst du den verbleibenden unbekannten Parameter berechnen, wenn du einen Punkt auf dem Graphen kennst? - Was muss für den Funktionswert an einem Schnittpunkt mit der x-Achse gelten?

1. Einsetzen der Asymptoten in die Grundform: Da die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) liegt, muss \(x_0 = 2\) sein. Da die waagerechte Asymptote bei \(y = -3\) liegt, muss \(y_0 = -3\) sein. Die Gleichung lautet bisher: \(h(x) = \frac{a}{x-2} - 3\). 2. Bestimmung von \(a\) mit Punkt \(P(4 \mid -4)\): Setze die Koordinaten in die Gleichung ein: \(-4 = \frac{a}{4-2} - 3\). Vereinfache: \(-4 = \frac{a}{2} - 3\). Addiere \(3\): \(-1 = \frac{a}{2}\). Multipliziere mit \(2\): \(a = -2\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = \frac{-2}{x-2} - 3\). 3. Berechnung der Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse): Setze \(h(x) = 0\): \(0 = \frac{-2}{x-2} - 3\). Addiere \(3\): \(3 = \frac{-2}{x-2}\). Multipliziere mit \((x-2)\): \(3(x-2) = -2 \Rightarrow 3x - 6 = -2\). Addiere \(6\): \(3x = 4\). Dividiere durch \(3\): \(x = \frac{4}{3}\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\).

a) \(h(x) = \frac{-2}{x-2} - 3\) b) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\) (bzw. \(S_x(1{,}\bar{3} \mid 0)\)).

- Welche Auswirkungen haben die einzelnen Zahlen im Funktionsterm auf die Lage und Form der Hyperbel? - Gibt es Werte, die \(x\) nicht annehmen darf oder die als Ergebnis \(y\) niemals herauskommen können? - Versuche, die Gleichung Schritt für Schritt so umzuformen, dass \(x\) alleine auf einer Seite steht.

1. Transformationen beschreiben: Das Minuszeichen im Zähler bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Die \(-2\) im Nenner verschiebt den Graphen um \(2\) Einheiten nach rechts. Die \(+5\) am Ende verschiebt den Graphen um \(5\) Einheiten nach oben. 2. Definitions- und Wertemenge: Die Definitionsmenge schließt den Wert aus, für den der Nenner null wird: \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Die Wertemenge schließt die Höhe der waagerechten Asymptote aus: \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 3. Gleichung lösen: Setze \(h(x) = 4\). \(4 = \frac{-1}{x-2} + 5 \Rightarrow -1 = \frac{-1}{x-2}\). Multipliziere mit \((x-2)\): \(-(x-2) = -1 \Rightarrow x-2 = 1 \Rightarrow x = 3\).

a) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(5\) Einheiten nach oben. b) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{5\}\) c) \(x = 3\)

- Gehe schrittweise vor und setze die bekannten Werte in die jeweilige Funktionsgleichung ein. - Was bedeutet ein Vergleich von zwei y-Werten bei gleichem x für die Position eines Punktes? - Wie löst man eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Nenner steht? - Achte darauf, welche Funktion in welchem Aufgabenteil gefragt ist.

1. Prüfung für \(f_1\): \(f_1(4) = \frac{4}{4} = 1\). Da der berechnete Wert der y-Koordinate von \(S\) entspricht, liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. Lage bezüglich \(f_2\): Berechne \(f_2(4) = \frac{4}{4-2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3\). Da die y-Koordinate von \(S\) (nämlich 1) kleiner ist als der Funktionswert 3 (\(1 < 3\)), liegt der Punkt \(S\) unterhalb des Graphen von \(f_2\). 3. Berechnung der x-Koordinate: Setze \(f_2(x) = 5 \Rightarrow 5 = \frac{4}{x-2} + 1\). Subtraktion von 1 ergibt \(4 = \frac{4}{x-2}\). Multiplikation mit \((x-2)\) ergibt \(4(x-2) = 4\), also \(x-2 = 1\). Somit ist \(x = 3\).

1. \(f_1(4) = 1\), daher liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. \(S\) liegt unterhalb des Graphen von \(f_2\), da \(f_2(4) = 3\) und \(1 < 3\). 3. Die x-Koordinate ist \(x = 3\).

- Wie hängen die Werte \(x_0\) und \(y_0\) in der Formel mit der Lage der Asymptoten zusammen? - Setze die Koordinaten des Punktes in deine fast fertige Gleichung ein, um den fehlenden Parameter zu finden. - Beim Lösen nach \(x\): Bringe zuerst die Zahl ohne Bruch auf die andere Seite der Gleichung.

1. Aus den Asymptoten folgt direkt \(x_0 = -2\) und \(y_0 = -3\). Die Form lautet also \(k(x) = \frac{a}{x - (-2)} - 3 = \frac{a}{x + 2} - 3\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid -2{,}5)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-2{,}5 = \frac{a}{0 + 2} - 3\). 3. Gleichung lösen: \(-2{,}5 = \frac{a}{2} - 3 \Rightarrow 0{,}5 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 1\). Die Gleichung ist \(k(x) = \frac{1}{x + 2} - 3\). 4. Gesucht ist \(x\) für \(k(x) = -2\): \(-2 = \frac{1}{x + 2} - 3\). 5. Umstellen: \(1 = \frac{1}{x + 2} \Rightarrow x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(k(x) = \frac{1}{x + 2} - 3\). Der Funktionswert \(-2\) wird an der Stelle \(x = -1\) angenommen.

- Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Was passiert mit einer Figur, wenn man sie an ihrer eigenen Symmetrieachse spiegelt? - Wie kannst du mathematisch sicherstellen, dass ein Punkt tatsächlich die Funktionsgleichung erfüllt?

1. Probe für \(Q(2 | 7)\): \(f(2) = \frac{4}{2-1} + 3 = \frac{4}{1} + 3 = 7\). Da \(7 = 7\), liegt \(Q\) auf dem Graphen. 2. Begründung der Symmetrie: Da die Gerade \(s\) eine Symmetrieachse der Hyperbel ist, wird jeder Punkt der Hyperbel bei einer Spiegelung an \(s\) wieder auf einen Punkt der Hyperbel abgebildet. Da \(Q\) auf der Hyperbel liegt, muss sein Spiegelpunkt \(Q'\) ebenfalls darauf liegen. 3. Probe für \(Q'(5 | 4)\): \(f(5) = \frac{4}{5-1} + 3 = \frac{4}{4} + 3 = 1 + 3 = 4\). Da \(4 = 4\), liegt \(Q'\) auf dem Graphen.

a) Einsetzen ergibt \(f(2) = 7\), somit liegt \(Q\) auf dem Graphen. b) Da die Hyperbel achsensymmetrisch zu \(s\) ist, liegen mit jedem Punkt auch alle an \(s\) gespiegelten Punkte auf dem Graphen. Die Probe \(f(5) = 4\) bestätigt dies.

- Setze den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte zu finden. - Was muss für den Funktionswert \(y\) gelten, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Denk beim Lösen der Gleichung daran, wie man einen Bruch „auflöst“.

1. Parameter \(a\) berechnen: Koordinaten von \(A(3 | -2)\) in \(g(x)\) einsetzen: \(-2 = \frac{a}{3-1} - 4\). 2. Nach \(a\) auflösen: \(-2 = \frac{a}{2} - 4 \Rightarrow 2 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 4\). Die Funktion lautet \(g(x) = \frac{4}{x-1} - 4\). 3. Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse) suchen: Setze \(g(x) = 0\): \(0 = \frac{4}{x-1} - 4\). 4. Gleichung lösen: \(4 = \frac{4}{x-1} \Rightarrow 4(x-1) = 4 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2\). 5. Ergebnis formulieren: Da \(x=2\) im Definitionsbereich liegt, ist der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse \(N(2 | 0)\).

a) \(a = 4\) b) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(2 | 0)\).

- Was sagt die Definitionsmenge über die Lage der senkrechten Asymptote aus? - Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Wie berechnet man allgemein einen Funktionswert für ein gegebenes \(x\)?

1. Aus der Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{1\}\) folgt, dass die senkrechte Asymptote bei \(x = 1\) liegt, also \(x_0 = 1\). 2. Die waagrechte Asymptote \(y = -2\) liefert \(y_0 = -2\). 3. Der Ansatz lautet: \(f(x) = \frac{a}{x-1} - 2\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 5\) bedeutet \(f(5) = 0\). 5. Einsetzen ergibt: \(0 = \frac{a}{5-1} - 2\), also \(0 = \frac{a}{4} - 2\). 6. Daraus folgt \(2 = \frac{a}{4}\) und somit \(a = 8\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{8}{x-1} - 2\). 7. Für Aufgabenteil b) wird \(x = 3\) in den Term eingesetzt: \(f(3) = \frac{8}{3-1} - 2 = \frac{8}{2} - 2 = 4 - 2 = 2\). Der gesuchte \(y\)-Wert ist 2.

a) \(f(x) = \frac{8}{x-1} - 2\) b) \(y = 2\)

- Wann ist ein Bruchterm nicht definiert? - Versuche, den Zähler als Vielfaches des Nenners plus einen Rest zu schreiben. - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null und sein Nenner ungleich null ist. - Setze den Funktionsterm gleich \(1\) und löse nach \(x\) auf. - Was geschieht mit einem Bruch, wenn sein Nenner sehr groß wird, der Zähler aber konstant bleibt?

1. Der Nenner darf nicht null werden: \(x+2\neq0\), also \(x\neq-2\). Somit ist \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Durch geschicktes Ergänzen gilt: \(\frac{3x-2}{x+2}=\frac{3(x+2)-8}{x+2}=3-\frac{8}{x+2}\). 3. Für eine Nullstelle muss der Zähler null sein: \(3x-2=0\). Daher ist \(x=\frac{2}{3}\); der Nenner ist dort ungleich null. 4. Aus \(1=3-\frac{8}{x+2}\) folgt \(2=\frac{8}{x+2}\), also \(2(x+2)=8\) und damit \(x=2\). 5. Für immer größere positive \(x\)-Werte nähert sich \(\frac{8}{x+2}\) der Zahl \(0\). Daher nähert sich \(g(x)\) der Zahl \(3\), erreicht sie aber nie, weil \(\frac{8}{x+2}\) für kein zulässiges \(x\) gleich \(0\) ist.

1. \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\) 2. Nachweis durch Umformung: \(g(x) = \frac{3(x+2)-8}{x+2} = 3 - \frac{8}{x+2}\). 3. \(x = \frac{2}{3}\) 4. \(x = 2\) 5. Die Funktionswerte nähern sich der Zahl \(3\) an. Die Funktion erreicht den Wert \(3\) niemals.

- Überlege zuerst, wo sich die Asymptoten der Hyperbel schneiden. - Welche Steigungen müssen Geraden haben, damit sie Symmetrieachsen einer solchen Hyperbel sein können? - Erinnere dich an die Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung.

1. Identifikation der Asymptoten: Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = -3\) (Nullstelle des Nenners), die horizontale Asymptote bei \(y = -1\). 2. Bestimmung des Symmetriezentrums: Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(-3 | -1)\). 3. Ansatz für die Symmetrieachsen: Die Achsen verlaufen durch \(S\) mit den Steigungen \(m_1 = 1\) und \(m_2 = -1\). 4. Berechnung der ersten Achse: \(y - (-1) = 1 \cdot (x - (-3)) \Rightarrow y + 1 = x + 3 \Rightarrow y = x + 2\). 5. Berechnung der zweiten Achse: \(y - (-1) = -1 \cdot (x - (-3)) \Rightarrow y + 1 = -x - 3 \Rightarrow y = -x - 4\).

Die Gleichungen der Symmetrieachsen lauten \(y = x + 2\) und \(y = -x - 4\).

- Wie findet man den gemeinsamen Punkt zweier Geraden? - Was verrät dir der Schnittpunkt der Symmetrieachsen über die Lage der Hyperbel im Koordinatensystem? - Setze die bekannten Werte für die Verschiebung in die allgemeine Hyperbelgleichung ein. - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden?

1. Schnittpunkt der Achsen berechnen: Gleichsetzen \(x - 2 = -x + 6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). Einsetzen ergibt \(y = 4 - 2 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 | 2)\). 2. Bedeutung des Punktes: Der Schnittpunkt der Symmetrieachsen ist gleichzeitig der Schnittpunkt der waagrechten und senkrechten Asymptoten der Hyperbel. 3. Funktionsgleichung aufstellen: Aus \(S(4 | 2)\) folgt \(x_0 = 4\) und \(y_0 = 2\). Der Ansatz lautet \(f(x) = \frac{k}{x-4} + 2\). 4. Parameter \(k\) bestimmen: Punkt \(P(2 | 1)\) einsetzen: \(1 = \frac{k}{2-4} + 2 \Rightarrow 1 = \frac{k}{-2} + 2 \Rightarrow -1 = \frac{k}{-2} \Rightarrow k = 2\). 5. Ergebnis: \(f(x) = \frac{2}{x-4} + 2\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(4 | 2)\). Er ist der Schnittpunkt der Asymptoten. b) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x-4} + 2\).

- Kannst du den Zähler so umschreiben, dass ein Teil davon genau dem Nenner entspricht? - Welcher Wert für \(x\) darf im Nenner nicht eingesetzt werden? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) extrem große Werte annimmt? - Überlege, wie die Standard-Hyperbel \(y = \frac{4}{x}\) verschoben wurde.

1. Der Zähler wird passend zum Nenner zerlegt: \(f(x)=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}\). Somit gilt \(k=4\), \(x_0=1\) und \(y_0=1\). 2. Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\), die waagerechte Asymptote ist \(y=1\). 3. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Asymptoten: \(Z(1|1)\). 4. Relativ zum Symmetriezentrum gilt \(Y=\frac{4}{X}\). Da \(k>0\), liegen die Schnittpunkte mit der Symmetrieachse auf \(Y=X\). Aus \(X=\frac{4}{X}\) folgt \(X^2=4\), also \(X=2\) oder \(X=-2\). Damit erhält man \(S_1(1+2|1+2)=S_1(3|3)\) und \(S_2(1-2|1-2)=S_2(-1|-1)\).

1. \(f(x) = \frac{4}{x-1} + 1\) 2. Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); Waagerechte Asymptote: \(y = 1\) 3. \(Z(1|1)\) 4. Schnittpunkte mit der Symmetrieachse \(y = x\): \(S_1(3|3)\) und \(S_2(-1|-1)\)