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- Was bewirkt der Wert \(c\) grafisch mit dem Verlauf der Funktion? - Ändert eine Verschiebung nach oben oder unten etwas daran, ob du für \(x\) die Null einsetzen darfst? - Schau dir den Nenner des Bruchs genau an.

1. Analyse des Terms: Die Funktion besteht aus dem Bruch \(\frac{1}{x}\) und einer Konstanten \(c\). 2. Definitionsbereich bestimmen: Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null werden, daher ist \(x = 0\) für den Term \(\frac{1}{x}\) ausgeschlossen. 3. Einfluss von \(c\): Die Addition einer Zahl \(c\) ändert nichts an der Tatsache, dass \(x = 0\) nicht eingesetzt werden kann, da der Ausdruck \(\frac{1}{0} + c\) weiterhin nicht definiert ist. 4. Ergebnis: Da \(x = 0\) niemals im Definitionsbereich liegt, kann der Graph für keinen Wert von \(c\) die \(y\)-Achse schneiden.

Nein, es gibt keinen solchen Wert für \(c\). Da \(x = 0\) nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt (Division durch Null), kann der Graph die \(y\)-Achse niemals schneiden, unabhängig von der vertikalen Verschiebung \(c\).

- Was darf man beim Rechnen mit Brüchen niemals tun? - Wie verhält sich der Graph einer Funktion in der Nähe einer Zahl, die man nicht einsetzen darf? - Gibt es einen Wert für \(x\), bei dem die Rechnung im Nenner nicht aufgeht?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner eines Bruchs darf nicht null sein. Setze den Nenner gleich null: \(x + 6 = 0\). Daraus folgt \(x = -6\). 2. Die Definitionsmenge ist somit \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-6\}\). 3. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Da die Funktion an der Stelle \(x = -6\) eine Definitionslücke besitzt (der Zähler ist dort \(8 \cdot (-6) - 4 = -52 \neq 0\)), liegt dort eine senkrechte Asymptote vor. Die Gleichung lautet \(x = -6\).

Die maximale Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-6\}\). Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -6\).

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Welche Bedingung muss für den Nenner eines Bruchs immer erfüllt sein? - Wie kannst du eine Gleichung umstellen, um den Wert von \(x\) zu finden, der den Nenner null werden lässt? - Was bedeutet der Satz vom Nullprodukt für Terme, in denen Faktoren multipliziert werden?

1. Nenner von \(f(x)\) nullsetzen: \(5x + 20 = 0 \implies 5x = -20 \implies x = -4\). Definitionslücke bei \(x = -4\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\). 2. Nenner von \(g(x)\) nullsetzen: \(0{,}4x - 2 = 0 \implies 0{,}4x = 2 \implies x = 5\). Definitionslücke bei \(x = 5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\). 3. Nenner von \(h(x)\) nullsetzen: \(7 - x = 0 \implies x = 7\). Definitionslücke bei \(x = 7\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{7\}\). 4. Nenner von \(k(x)\) nullsetzen: \(x \cdot (x + 4{,}5) = 0\). Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also \(x = 0\) oder \(x + 4{,}5 = 0 \implies x = -4{,}5\). Definitionslücken bei \(x = 0\) und \(x = -4{,}5\). Definitionsmenge \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4{,}5; 0\}\).

a) Lücke: \(x = -4\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4\}\) b) Lücke: \(x = 5\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{5\}\) c) Lücke: \(x = 7\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{7\}\) d) Lücken: \(x = 0\) und \(x = -4{,}5\); \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-4{,}5; 0\}\)

- Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn sein Nenner null ist. - Setze bei jedem Term den Nenner gleich null. - Bestimme die Definitionsmenge jeweils am ursprünglichen Funktionsterm.

1. Für \(f(x) = \frac{4}{3x + 6}\) darf der Nenner nicht null werden: \(3x + 6 = 0 \implies x = -2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Für \(g(x) = \frac{x}{5 - x} - 2{,}5\) darf der Nenner nicht null werden: \(5 - x = 0 \implies x = 5\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 3. Für \(k(x) = \frac{3}{2x} \cdot (x + 1) = \frac{3(x+1)}{2x}\) darf der Nenner \(2x\) nicht null werden: \(2x = 0 \implies x = 0\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) b) \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\) c) \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Was darf man beim Rechnen mit Brüchen niemals tun? - Schau dir jeden Nenner einzeln an. - Wie verändert sich eine Gleichung, wenn du sie nach der unbekannten Zahl auflöst? - Erinnere dich daran, wie man Mengen schreibt, aus denen bestimmte Zahlen ausgeschlossen sind.

1. Für \(f(x)\) den Nenner gleich Null setzen: \(3x + 15 = 0\). Nach \(x\) auflösen ergibt \(3x = -15\), also \(x = -5\). Die Definitionslücke ist \(x = -5\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-5\}\). 2. Für \(g(x)\) beide Nenner untersuchen: \(x = 0\) und \(x - 7 = 0\). Dies ergibt die Lücken \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 7\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0; 7\}\). 3. Für \(h(x)\) den Nenner gleich Null setzen: \(0{,}5x - 2 = 0\). Nach \(x\) auflösen ergibt \(0{,}5x = 2\), also \(x = 4\). Die Definitionslücke ist \(x = 4\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\).

a) Definitionslücke: \(x = -5\); \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-5\}\) b) Definitionslücken: \(x_1 = 0, x_2 = 7\); \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0; 7\}\) c) Definitionslücke: \(x = 4\); \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\)

- Was muss mit dem Nenner passieren, damit eine Zahl eine Definitionslücke ist? - Kannst du die gegebene Lücke in den Nenner einsetzen und eine Gleichung für den unbekannten Buchstaben aufstellen? - Überlege bei Teilaufgabe c), was passiert, wenn du für \(x\) den Wert \(0\) einsetzt. Bleibt der Parameter \(a\) in der Rechnung erhalten?

1. Eine Definitionslücke liegt vor, wenn der Nenner null wird. Setze \(x = 3\) in den Nenner ein: \(a \cdot 3 - 12 = 0\). 2. Löse nach \(a\) auf: \(3a = 12 \implies a = 4\). 3. Für \(a = 4\) ist die einzige Nullstelle des Nenners \(x = 3\), daher ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). 4. Damit die Lücke bei \(x = 0\) liegt, müsste der Nenner für \(x = 0\) null ergeben: \(a \cdot 0 - 12 = 0\). Dies führt zu \(-12 = 0\), was ein Widerspruch ist. Unabhängig von \(a\) kann der Nenner an der Stelle \(0\) niemals null werden.

a) \(a = 4\) b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\) c) Setzt man \(x = 0\) in den Nenner \(ax - 12\) ein, erhält man stets \(-12\). Da \(-12 \neq 0\), kann der Nenner für \(x = 0\) nie null werden, egal welchen Wert \(a\) annimmt.

- Muss ein gesamter Ausdruck an einer Stelle berechenbar sein, damit die Stelle zur Definitionsmenge gehört? - Was passiert mit dem Gesamtwert, wenn auch nur ein Teil des Terms (ein Bruch) nicht berechnet werden kann? - Wie kann man zwei verschiedene Bedingungen für den Nenner in einem einzigen Nenner „verpacken“?

1. Ein Term ist nur dann definiert, wenn jeder Teilterm definiert ist. Der erste Bruch \(\frac{1}{x}\) verlangt \(x \neq 0\). Der zweite Bruch \(\frac{6}{x - 2}\) verlangt \(x - 2 \neq 0\), also \(x \neq 2\). Sarah hat recht. 2. Die Definitionslücken sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Die maximale Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 2\}\). 3. Um einen einzigen Bruch mit diesen Lücken zu erhalten, müssen beide Bedingungen im Nenner kombiniert werden (Produktform). Ein möglicher Term ist \(g(x) = \frac{1}{x \cdot (x - 2)}\) (oder nach Erweitern und Addieren der Brüche: \(g(x) = \frac{7x - 2}{x(x - 2)}\)).

a) Sarah hat recht. Jede Stelle, die mindestens einen Nenner im Gesamtausdruck zu null macht, ist eine Definitionslücke. Hier sind das \(x = 0\) und \(x = 2\). b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{0; 2\}\) c) Mögliches Beispiel: \(g(x) = \frac{1}{x(x - 2)}\)

- Was bedeutet es für den Nenner eines Bruchs, wenn eine Zahl nicht in der Definitionsmenge liegt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Definitionslücke vorkommt? - Setze den Wert für \(x\) ein, der ausgeschlossen werden soll.

1. Wenn die Zahl \(3\) nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, muss der Nenner des Bruchs für \(x = 3\) den Wert Null annehmen. 2. Einsetzen von \(x = 3\) in den Nenner \(2x - b\): \(2 \cdot 3 - b = 0\). 3. Lösen der Gleichung nach \(b\): \(6 - b = 0 \implies b = 6\). 4. Überprüfung: Für \(b = 6\) lautet die Funktion \(f(x) = \frac{x + 2}{2x - 6}\). Der Nenner wird bei \(x = 3\) zu \(2 \cdot 3 - 6 = 0\), was die Definitionslücke bestätigt.

\(b = 6\)

- Darf man bei der Bestimmung der Definitionsmenge den Term zuerst vereinfachen? - Was passiert mathematisch genau an der Stelle \(x = 2\), wenn du sie in den ursprünglichen Term einsetzt? - Erinnere dich an die Regel zur Division durch Null.

1. Die Definitionsmenge einer Funktion wird immer anhand des ursprünglichen Funktionsterms bestimmt, bevor Kürzungen vorgenommen werden. 2. Im Term \(\frac{x - 2}{x - 2}\) steht im Nenner der Ausdruck \(x - 2\). Eine Division durch Null ist nicht definiert. 3. Setzt man \(x = 2\) ein, erhält man im Nenner \(2 - 2 = 0\). Daher ist die Funktion an der Stelle \(x = 2\) nicht definiert, auch wenn der Zähler ebenfalls Null würde. 4. Sarah hat recht. Die Vereinfachung zu \(g(x) = 1\) gilt nur für alle \(x \neq 2\). 5. Die korrekte Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Sarah hat recht. Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

- Wann ist ein Bruchterm nicht definiert? - Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren, bevor du kürzt. - Bestimme die Definitionsmenge immer am ursprünglichen Term. - Zwei Funktionen sind nur bei gleicher Zuordnungsvorschrift und gleicher Definitionsmenge identisch.

1. Bestimmung der Definitionsmengen: Der Nenner von \(f\) ist \(x^2 - 9\). Seine Nullstellen sind \(x = 3\) und \(x = -3\), also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Der Nenner von \(g\) ist \(x - 3\). Seine Nullstelle ist \(x = 3\), also \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Vereinfachung von \(f(x)\): \(2x+6 = 2(x+3)\) und \(x^2-9=(x+3)(x-3)\). Daher gilt für alle \(x \in D_f\): \(f(x)=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}\). Die Definitionslücke bei \(x=-3\) bleibt trotz des Kürzens bestehen. 3. Die Terme liefern auf \(D_f\) dieselben Werte, aber die Definitionsmengen unterscheiden sich. Da eine Funktion durch Zuordnungsvorschrift und Definitionsmenge bestimmt ist, sind \(f\) und \(g\) nicht identisch.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\) und \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). b) Für alle \(x \in D_f\) gilt \(f(x) = \frac{2}{x-3}\); die Lücke bei \(x=-3\) bleibt bestehen. c) Nein, die Funktionen sind wegen ihrer unterschiedlichen Definitionsmengen nicht identisch.