Kostenlose Arbeitsblätter

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner den Wert null annimmt? - Wie hängen die Definitionslücken einer Funktion mit ihren senkrechten Asymptoten zusammen? - Welchem Wert nähert sich die Funktion an, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Ansatz \(x+2 = 0\) ergibt die Definitionslücke bei \(x = -2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Diese liegt an der Definitionslücke der gebrochen-rationalen Funktion. Die Gleichung lautet \(x = -2\). 3. Waagrechte Asymptote: Bei Funktionen der Form \(f(x) = \frac{a}{x-x_0} + y_0\) entspricht die Konstante \(y_0\) dem Wert der waagrechten Asymptote. Hier ist \(y_0 = -4\), also lautet die Gleichung \(y = -4\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); Waagrechte Asymptote: \(y = -4\)

- Welcher Wert für \(x\) würde dazu führen, dass man durch Null teilt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Schau dir die Struktur der Gleichung an: Welcher Teil bestimmt die Verschiebung nach oben oder unten?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote durch Nullsetzen des Nenners: Für \(f\) ergibt \(x-2=0\) die Gleichung \(x=2\); für \(g\) ergibt \(x+1=0\) die Gleichung \(x=-1\). 2. Bestimmung der waagerechten Asymptote durch den konstanten Summanden: Für \(f\) ist dies \(y=3\); für \(g\) ist dies \(y=-5\). 3. Allgemeine Regel: Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke \(x = x_0\), die waagerechte Asymptote entspricht der Verschiebung in \(y\)-Richtung \(y = y_0\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=2\), waagerechte Asymptote: \(y=3\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=-1\), waagerechte Asymptote: \(y=-5\) Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = x_0\) (Nennernullstelle) und die waagerechte bei \(y = y_0\).

- Gibt es eine Zahl, die man für \(x\) nicht einsetzen darf? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Schau dir die berechneten Werte an – gegen welche Zahl streben sie?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da man nicht durch Null teilen darf, muss \(x \neq 0\) gelten. Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: \(f(10) = \frac{4}{10} + 3 = 0{,}4 + 3 = 3{,}4\) \(f(100) = \frac{4}{100} + 3 = 0{,}04 + 3 = 3{,}04\) \(f(1\,000) = \frac{4}{1\,000} + 3 = 0{,}004 + 3 = 3{,}004\) 3. Analyse des Grenzverhaltens: Je größer \(x\) wird, desto kleiner wird der Bruch \(\frac{4}{x}\) und nähert sich dem Wert \(0\) an. Die Funktionswerte nähern sich somit dem Wert \(3\) an. 4. Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 3\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) \(f(10) = 3{,}4\); \(f(100) = 3{,}04\); \(f(1\,000) = 3{,}004\) c) Die Funktionswerte nähern sich der Zahl \(3\) an. Die waagerechte Asymptote ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 3\).

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruches, wenn man durch Null teilen würde? - Überlege, was mit dem Wert eines Bruches passiert, wenn die Zahl im Nenner immer größer wird. - Wie hängen die Verschiebungen im Funktionsterm mit der Lage der Asymptoten zusammen?

1. Bestimmung der Definitionslücke: Der Nenner \(x+5\) darf nicht null sein. \(x+5 = 0 \implies x = -5\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke: \(x = -5\). 3. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Für \(x \to \pm\infty\) geht der Bruch \(\frac{4}{x+5}\) gegen \(0\). Der Funktionswert nähert sich somit dem Wert \(-2\) an. Die Gleichung lautet \(y = -2\). 4. Der Schnittpunkt der Geraden \(x = -5\) und \(y = -2\) ist \(S(-5 | -2)\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -5\) b) Waagrechte Asymptote: \(y = -2\) c) Schnittpunkt: \((-5 | -2)\)

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruches, wenn man für \(x\) den Wert der Definitionslücke einsetzt? - Welchen Wert kann der gesamte Ausdruck niemals annehmen, egal wie groß oder klein \(x\) wird? - Setze testweise Zahlen wie \(-1{,}9\) oder \(-1{,}99\) in die Funktionsgleichung ein, um das Verhalten zu untersuchen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke, also dort, wo der Nenner null wird: \(x + 2 = 0 \implies x = -2\). 2. Die waagrechte Asymptote ergibt sich aus dem konstanten Summanden der Funktionsgleichung für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte: \(y = -3\). 3. Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer der Definitionslücke: \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 4. Die Wertemenge umfasst alle reellen Zahlen außer dem Wert der waagrechten Asymptote: \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). 5. Wenn sich \(x\) der \(-2\) von rechts nähert (z. B. \(-1{,}9\); \(-1{,}99\)), wird der Nenner \(x + 2\) positiv und sehr klein. Der Bruch \(\frac{4}{x + 2}\) wird dadurch positiv und sehr groß. Somit streben die Funktionswerte gegen \(+\infty\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = -3\). b) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\); \(\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). c) Die Funktionswerte streben gegen \(+\infty\).

- Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner immer größer wird? - Welche Zahl darf niemals im Nenner eines Bruchs stehen? - Schau dir den Aufbau der Funktionsgleichung an: Welcher Teil bestimmt die Verschiebung entlang der y-Achse?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Der Nenner des Bruchs darf nicht Null werden. Aus \(x + 5 = 0\) folgt die Gleichung der senkrechten Asymptote \(x = -5\). 2. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\) nähert sich der Bruchterm \(\frac{4}{x + 5}\) dem Wert \(0\) an. Der Funktionswert nähert sich somit dem konstanten Summanden an. Die Gleichung lautet \(y = -3\). 3. Begründung der Definitionslücke: An der Stelle \(x = -5\) besitzt der Nenner den Wert \(0\). Da die Division durch Null in der Mathematik nicht definiert ist, existiert an dieser Stelle kein Funktionswert.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -5\); waagerechte Asymptote: \(y = -3\). b) An der Stelle \(x = -5\) wird der Nenner Null, und eine Division durch Null ist nicht möglich.

- Welcher Wert für \(x\) führt dazu, dass der Nenner null wird? - Welchen Wert nimmt die Funktion an, wenn der Bruch-Teil vernachlässigt wird? - Erinnere dich daran, wie man Punkte im Koordinatensystem spiegelt.

1. Bestimmung der Asymptoten für \(f(x) = \frac{1}{x-2} + 3\): Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke \(x = 2\). Die waagrechte Asymptote ergibt sich aus der vertikalen Verschiebung zu \(y = 3\). 2. Bestimmung der Asymptoten für \(g(x) = \frac{1}{x+2} - 3\): Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = -3\). 3. Koordinaten der Schnittpunkte: Der Schnittpunkt \(S_f\) liegt bei \((2 | 3)\). Der Schnittpunkt \(S_g\) liegt bei \((-2 | -3)\). 4. Vergleich: Die Punkte \(S_f\) und \(S_g\) sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0 | 0)\).

a) \(f\): senkrechte Asymptote \(x = 2\), waagrechte Asymptote \(y = 3\); \(g\): senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = -3\). b) \(S_f(2 | 3)\) und \(S_g(-2 | -3)\). Die Punkte liegen punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner null wird? - Welchen Wert kann der gesamte Funktionsterm niemals annehmen, egal wie groß \(x\) wird? - Wie findet man mathematisch heraus, wo ein Graph die vertikale Achse schneidet?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x + 3 = 0\) folgt \(x = -3\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-3\}\). 2. Bestimmung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke, also \(x = -3\). Die waagrechte Asymptote ergibt sich aus dem konstanten Term der Verschiebung in \(y\)-Richtung, also \(y = -2\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein. \(f(0) = \frac{4}{0 + 3} - 2 = \frac{4}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -\frac{2}{3})\).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-3\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagrechte Asymptote: \(y = -2\) c) \(S_y(0 \mid -\frac{2}{3})\)

- Welcher \(x\)-Wert darf nicht in die Funktion eingesetzt werden, weil man nicht durch Null teilen darf? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Betrachte die Definitionsmenge und vergleiche sie mit deiner senkrechten Asymptote.

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote durch Nullsetzen des Nenners: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\). 2. Bestimmung der waagerechten Asymptote durch den konstanten Summanden in der Funktionsgleichung: \(y = -5\). 3. Angabe der Definitionsmenge: Da der Nenner nicht Null sein darf, ist \(x = -3\) ausgeschlossen, also \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). 4. Zusammenhang: Die Definitionslücke der Funktion entspricht genau der \(x\)-Koordinate der senkrechten Asymptote.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagerechte Asymptote: \(y = -5\). b) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). Die senkrechte Asymptote verläuft genau an der Stelle der Definitionslücke.

- Worauf musst du achten, wenn der Nenner einer Funktion null wird? - Welchem Wert nähert sich die Funktion an, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote durch Nullsetzen des Nenners: \(x - 4 = 0 \implies x = 4\). 2. Bestimmung der waagerechten Asymptote aus dem konstanten Summanden: \(y = 1\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = \frac{2}{0-4} + 1 = \frac{2}{-4} + 1 = -0{,}5 + 1 = 0{,}5\). 4. Angabe des Schnittpunkts: \(S_y(0 \mid 0{,}5)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 4\); waagerechte Asymptote: \(y = 1\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 0{,}5)\).

- Stell dir vor, \(y\) ist ein bekannter Wert und du möchtest \(x\) berechnen. Welche Schritte sind nötig, um \(x\) alleine auf eine Seite zu bringen? - Schau dir die umgestellte Formel an: Gibt es einen Wert für \(y\), für den man kein \(x\) berechnen kann? - Wie hängen die ausgeschlossenen Werte der Wertemenge mit den Asymptoten zusammen?

1. Setze \(y = \frac{1 - 3x}{x + 2}\) und löse nach \(x\) auf. 2. Multipliziere mit dem Nenner: \(y(x + 2) = 1 - 3x\). 3. Klammer auflösen: \(yx + 2y = 1 - 3x\). 4. Alle Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen: \(yx + 3x = 1 - 2y\). 5. \(x\) ausklammern: \(x(y + 3) = 1 - 2y\). 6. Division durch \((y + 3)\): \(x = \frac{1 - 2y}{y + 3}\). 7. Dieser Ausdruck ist für \(y = -3\) nicht definiert. Somit ist die Wertemenge \(W = \mathbb{Q} \setminus \{-3\}\). 8. Die waagerechte Asymptote entspricht dem Wert, der nicht in der Wertemenge enthalten ist: \(y = -3\).

Die Wertemenge ist \(W = \mathbb{Q} \setminus \{-3\}\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = -3\).

- Kannst du die Asymptoten direkt in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen? - Welche Information liefert dir ein gegebener Punkt auf dem Graphen für die Berechnung einer Unbekannten? - Überlege, welcher Parameter für die Verschiebung entlang der x-Achse und welcher für die Verschiebung entlang der y-Achse verantwortlich ist.

1. Bestimmung von \(b\) und \(c\): Aus der senkrechten Asymptote \(x = 3\) folgt \(b = 3\). Aus der waagrechten Asymptote \(y = 2\) folgt \(c = 2\). Die Funktion hat also die Form \(f(x) = \frac{a}{x-3} + 2\). 2. Berechnung von \(a\): Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(5|3)\) in die Gleichung: \(3 = \frac{a}{5-3} + 2\). 3. Auflösen der Gleichung: \(1 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 2\) folgt. 4. Aufstellen der Gleichung: \(f(x) = \frac{2}{x-3} + 2\).

\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x-3} + 2\).

- Wie kannst du die Informationen über die Asymptoten direkt in die allgemeine Funktionsgleichung einbauen? - Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, was kannst du dann mit seinen Koordinaten und der Funktionsgleichung machen? - Versuche zuerst, alle bekannten Werte außer \(k\) in die Gleichung einzusetzen.

1. Einsetzen der Asymptoten in die Grundform: Da die senkrechte Asymptote bei \(x=4\) liegt, ist \(x_0=4\). Da die waagerechte Asymptote bei \(y=-2\) liegt, ist \(y_0=-2\). Dies führt zu \(h(x) = \frac{k}{x-4} - 2\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(5|1)\) zur Bestimmung von \(k\): \(1 = \frac{k}{5-4} - 2\). 3. Vereinfachen und Lösen der Gleichung: \(1 = \frac{k}{1} - 2 \implies 1 = k - 2 \implies k = 3\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(x) = \frac{3}{x-4} - 2\).

Der Wert ist \(k = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{3}{x-4} - 2\).

- Wie verlaufen senkrechte und waagrechte Linien durch bestimmte Punkte im Koordinatensystem? - Welche Rolle spielen die Parameter \(x_0\) und \(y_0\) für die Verschiebung des Graphen? - Kann ein Bruch mit einer festen Zahl im Zähler (ungleich Null) jemals den Wert Null ergeben?

1. Eine senkrechte Gerade durch \(P(-3 | 0)\) hat die Form \(x = \text{konstant}\). Da die x-Koordinate \(-3\) ist, lautet die Gleichung \(x = -3\). 2. Eine waagrechte Gerade durch \(Q(0 | 4{,}5)\) hat die Form \(y = \text{konstant}\). Da die y-Koordinate \(4{,}5\) ist, lautet die Gleichung \(y = 4{,}5\). 3. Bei der Form \(h(x) = \frac{1}{x-x_0} + y_0\) ist die Definitionslücke bei \(x = x_0\). Da die Asymptote bei \(x = -3\) liegt, folgt \(x_0 = -3\). 4. Der konstante Summand \(y_0\) entspricht der waagrechten Asymptote, also \(y_0 = 4{,}5\). 5. Der Term \(\frac{1}{x+3}\) kann niemals den Wert \(0\) annehmen, da ein Bruch nur dann null ist, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler \(1\) ist, kann \(h(x)\) niemals exakt den Wert \(4{,}5\) erreichen.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagrechte Asymptote: \(y = 4{,}5\) b) \(x_0 = -3\) und \(y_0 = 4{,}5\) c) Der Bruch \(\frac{1}{x+3}\) wird niemals null, daher kann das Ergebnis der Addition nie exakt \(4{,}5\) sein.

- Wie hängen die Werte der Asymptoten mit den Parametern \(x_0\) und \(y_0\) in der Formel zusammen? - Welche Information liefert dir ein gegebener Punkt auf dem Graphen für die Berechnung eines unbekannten Parameters? - Setze die bekannten Asymptotenwerte zuerst ein, bevor du den Punkt nutzt.

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x = 4\) folgt für den Parameter im Nenner: \(x_0 = 4\). 2. Aus der waagrechten Asymptote \(y = -1\) folgt für den konstanten Summanden: \(y_0 = -1\). 3. Der vorläufige Funktionsterm lautet: \(f(x) = \frac{a}{x - 4} - 1\). 4. Setze die Koordinaten des Punktes \(P(5 | 2)\) in die Gleichung ein: \(2 = \frac{a}{5 - 4} - 1\). 5. Vereinfache die Gleichung: \(2 = \frac{a}{1} - 1 \implies 2 = a - 1\). 6. Löse nach \(a\) auf: \(a = 3\). 7. Der vollständige Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{3}{x - 4} - 1\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{3}{x - 4} - 1\).

- Wie hängen die Werte in der Klammer im Nenner mit der senkrechten Asymptote zusammen? - Welcher Wert in der Formel gibt die Höhe der waagerechten Asymptote an? - Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten für x und g(x) einsetzen.

1. Einsetzen der Asymptoten in die allgemeine Form: Die senkrechte Asymptote \(x = -2\) bestimmt den Wert \(x_0 = -2\), die waagerechte Asymptote \(y = 4\) bestimmt den Wert \(y_0 = 4\). Es ergibt sich \(g(x) = \frac{a}{x - (-2)} + 4 = \frac{a}{x + 2} + 4\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 | 6)\) zur Bestimmung von \(a\): \(6 = \frac{a}{0 + 2} + 4\). 3. Auflösen der Gleichung: \(6 - 4 = \frac{a}{2} \Rightarrow 2 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 4\). 4. Aufstellen des Terms: \(g(x) = \frac{4}{x + 2} + 4\).

Der Funktionsterm lautet \(g(x) = \frac{4}{x + 2} + 4\).

- Wie hängen die Werte in der Funktionsgleichung mit der Lage der Asymptoten zusammen? - Setze die bekannten Werte für die Asymptoten zuerst in die allgemeine Form ein. - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden?

1. Identifikation der Parameter aus den Asymptoten: Die senkrechte Asymptote \(x = 5\) entspricht der Definitionslücke, also \(x_0 = 5\). Die waagrechte Asymptote \(y = -3\) entspricht dem konstanten Summanden, also \(y_0 = -3\). 2. Aufstellen der vorläufigen Gleichung: \(h(x) = \frac{k}{x-5} - 3\). 3. Einsetzen des Punktes \(P(7 | -2)\) zur Berechnung von \(k\): \(-2 = \frac{k}{7-5} - 3\). 4. Lösen der Gleichung: \(-2 = \frac{k}{2} - 3 \Rightarrow 1 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 2\). 5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{2}{x-5} - 3\).

\(x_0 = 5\), \(y_0 = -3\), \(k = 2\). Die Funktionsgleichung lautet: \(h(x) = \frac{2}{x-5} - 3\).

- Setze zuerst die Informationen über die Asymptoten in die Funktionsgleichung ein. - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu berechnen? - Achte beim Auflösen der Gleichung besonders auf die Vorzeichen im Nenner.

1. Einsetzen der Asymptotengleichungen in die allgemeine Form: Da die senkrechte Asymptote bei \(x = 4\) liegt, ist \(x_0 = 4\). Da die waagerechte Asymptote bei \(y = 1\) liegt, ist \(y_0 = 1\). Die Gleichung lautet bisher \(f(x) = \frac{a}{x - 4} + 1\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(2|0)\) zur Bestimmung von \(a\): \(0 = \frac{a}{2 - 4} + 1\) \(0 = \frac{a}{-2} + 1\) \(-1 = \frac{a}{-2}\) \(a = 2\) 3. Aufstellen der endgültigen Funktionsgleichung: \(f(x) = \frac{2}{x - 4} + 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x - 4} + 1\).

- Probiere für beide Funktionen jeweils einen positiven und einen negativen Wert für \(x\) aus, um die Lage der Zweige zu bestimmen. - Welchen Einfluss hat ein negatives Vorzeichen vor dem Bruch auf das Aussehen des Graphen? - Vergleiche bei demselben von \(0\) verschiedenen \(x\)-Wert die Beträge \(|f(x)|\) und \(|g(x)|\).

1. Analyse der Quadranten: Bei \(f(x) = \frac{1}{x}\) ist der Zähler positiv. Für positive \(x\) ist \(y\) positiv (I. Quadrant), für negative \(x\) ist \(y\) negativ (III. Quadrant). Bei \(g(x) = \frac{-3}{x}\) bewirkt das negative Vorzeichen eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Die Zweige liegen daher im II. und IV. Quadranten. 2. Vergleich bei gleichem \(x \neq 0\): Es gilt \(|f(x)| = \frac{1}{|x|}\) und \(|g(x)| = \frac{3}{|x|}\). Die Punkte haben dieselbe \(x\)-Koordinate, aber der Punkt auf dem Graphen von \(f\) hat den kleineren Betrag der \(y\)-Koordinate. Daher liegt er näher am Koordinatenursprung.

a) Der Graph von \(f\) liegt im I. und III. Quadranten, der Graph von \(g\) liegt im II. und IV. Quadranten. b) Bei gleichen von \(0\) verschiedenen \(x\)-Werten liegt der Punkt auf dem Graphen von \(f\) näher am Ursprung, da \(|f(x)| = \frac{1}{|x|} < \frac{3}{|x|} = |g(x)|\).

- Wie hängen die Positionen der Asymptoten mit den Parametern in der Funktionsgleichung zusammen? - Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, was kannst du dann mit seinen Koordinaten und der Funktionsgleichung machen? - Kannst du die Gleichung Schritt für Schritt mit den bekannten Informationen füllen?

1. Einsetzen der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote \(x = 5\) bestimmt die Verschiebung in \(x\)-Richtung, also \(x_0 = 5\). Die waagrechte Asymptote \(y = -1\) bestimmt die Verschiebung in \(y\)-Richtung, also \(y_0 = -1\). Die Gleichung lautet bisher \(f(x) = \frac{k}{x - 5} - 1\). 2. Bestimmung von \(k\): Setze die Koordinaten von \(P(3 \mid -2)\) in die Gleichung ein. \(-2 = \frac{k}{3 - 5} - 1\). 3. Auflösen nach \(k\): \(-2 = \frac{k}{-2} - 1 \Rightarrow -1 = \frac{k}{-2} \Rightarrow k = 2\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(f(x) = \frac{2}{x - 5} - 1\).

\(x_0 = 5\), \(y_0 = -1\), \(k = 2\); die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{2}{x - 5} - 1\).

- Wie hängen die Verschiebungen in \(x\)- und \(y\)-Richtung mit den Asymptoten zusammen? - Setze die bekannten Werte für die Asymptoten zuerst in die allgemeine Form ein. - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden?

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x = 4\) folgt direkt der Parameter \(b = 4\). 2. Aus der waagrechten Asymptote \(y = -2\) folgt direkt der Parameter \(c = -2\). 3. Aufstellen der vorläufigen Funktionsgleichung: \(h(x) = \frac{k}{x - 4} - 2\). 4. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(6 \mid -1)\) in die Gleichung: \(-1 = \frac{k}{6 - 4} - 2\). 5. Auflösen nach \(k\): \(-1 = \frac{k}{2} - 2 \Rightarrow 1 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 2\). 6. Zusammensetzen der Funktionsgleichung: \(h(x) = \frac{2}{x - 4} - 2\).

\(b = 4\), \(c = -2\), \(k = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{2}{x - 4} - 2\).

- Wo im Funktionsterm findet man Informationen über das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte? - Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse zu finden? - Ein Bruch ist genau dann Null, wenn ein ganz bestimmter Teil des Bruches Null ergibt. Welcher ist das?

1. Senkrechte Asymptote: Nullstelle des Nenners bestimmen: \(2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\). Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -2\). 2. Waagrechte Asymptote: Betrachtung des Verhaltens für sehr große \(x\)-Werte. Das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen ist \(\frac{3}{2} = 1{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet \(y = 1{,}5\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(h(0) = \frac{3 \cdot 0 - 12}{2 \cdot 0 + 4} = \frac{-12}{4} = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -3)\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird. \(3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Da \(4\) in der Definitionsmenge enthalten ist, liegt der Schnittpunkt bei \(N(4 | 0)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1{,}5\). b) \(S_y(0 | -3)\). c) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(N(4 | 0)\).

- Bestimme zuerst alle vier Asymptotengleichungen einzeln. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei parallelen Linien im Koordinatensystem? - Vergleiche die Werte für die horizontale und vertikale Lage — in welche Richtung wandern die Linien?

1. Asymptoten von \(f\): Senkrechte Asymptote \(x_f = 3\), waagrechte Asymptote \(y_f = 2\). 2. Asymptoten von \(g\): Senkrechte Asymptote \(x_g = -2\), waagrechte Asymptote \(y_g = -3\). 3. Abstand der senkrechten Asymptoten: \(|3 - (-2)| = 5\) Einheiten. 4. Abstand der waagrechten Asymptoten: \(|2 - (-3)| = 5\) Einheiten. 5. Beschreibung der Verschiebung: Um von der Lage der Asymptoten von \(f\) zu denen von \(g\) zu kommen, müssen der Graph und seine Asymptoten um \(5\) Einheiten nach links und um \(5\) Einheiten nach unten verschoben werden.

a) \(f\): \(x = 3\), \(y = 2\); \(g\): \(x = -2\), \(y = -3\) b) Abstand der senkrechten Asymptoten: \(5\); Abstand der waagerechten Asymptoten: \(5\) c) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten.

- Überlege für Teil a), welcher \(x\)-Wert den Nenner zu Null macht. - Multipliziere für Teil b) den gesamten Ausdruck von \(f(x)\) sorgfältig mit \(2\). Denke dabei an das Distributivgesetz. - Vergleiche die Ergebnisse für \(f\) und \(g\) Schritt für Schritt. Hat sich an der Definitionslücke etwas geändert?

1. Analyse von \(f(x)\): Nennernullstelle bei \(2x-6=0 \implies x=3\). Also \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). Senkrechte Asymptote: \(x=3\). Waagerechte Asymptote: \(y=1\). 2. Aufstellen von \(g(x)\): \(g(x) = 2 \cdot \left(\frac{3}{2x-6} + 1\right) = \frac{6}{2x-6} + 2\). 3. Analyse von \(g(x)\): Nennernullstelle bleibt \(2x-6=0 \implies x=3\). Senkrechte Asymptote: \(x=3\). Waagerechte Asymptote durch die neue Konstante: \(y=2\). 4. Beurteilung: Die Aussage ist falsch. Nur der Wert der waagerechten Asymptote hat sich verdoppelt (\(1 \to 2\)), während die senkrechte Asymptote gleich geblieben ist (\(3 \to 3\)).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\); senkrechte Asymptote: \(x=3\), waagerechte Asymptote: \(y=1\). b) Asymptoten von \(g\): \(x=3\) und \(y=2\). Die Aussage ist falsch, da sich nur die waagerechte Asymptote verdoppelt, die senkrechte hingegen unverändert bleibt.

- Wo schneiden sich die Asymptoten der unveränderten Funktion \(h(x) = \frac{1}{x}\)? - Wie hängen die Koordinaten des Schnittpunkts der Asymptoten mit der Verschiebung des Graphen zusammen? - Was bedeutet es für den Wert eines Bruches, wenn sein Zähler eine feste Zahl ungleich Null ist?

1. Der Schnittpunkt der Asymptoten \(S(-3 | 2)\) gibt direkt die Lage der Asymptoten an: senkrecht bei \(x = -3\) und waagrecht bei \(y = 2\). 2. Durch Verschiebung von \(h(x) = \frac{1}{x}\) ergibt sich die Form \(g(x) = \frac{1}{x - (-3)} + 2 = \frac{1}{x + 3} + 2\). 3. Zur Berechnung der Nullstelle setze \(g(x) = 0\): \(0 = \frac{1}{x + 3} + 2\). 4. Subtrahiere \(2\): \(-2 = \frac{1}{x + 3}\). 5. Multipliziere mit \((x + 3)\): \(-2(x + 3) = 1 \implies -2x - 6 = 1\). 6. Löse nach \(x\) auf: \(-2x = 7 \implies x = -3{,}5\). 7. Begründung für Teil c): Die Gerade \(y = 2\) ist die waagrechte Asymptote der Funktion. Ein Graph einer Funktion der Form \(g(x) = \frac{a}{x - x_0} + y_0\) nähert sich seiner waagrechten Asymptote beliebig nah an, erreicht oder schneidet diesen Wert jedoch nie, da der Bruchterm \(\frac{1}{x+3}\) für keinen reellen Wert von \(x\) den Wert \(0\) annehmen kann.

a) \(g(x) = \frac{1}{x + 3} + 2\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = -3{,}5\). c) Da \(y = 2\) die waagrechte Asymptote ist, nähert sich der Graph diesem Wert nur an; der Term \(\frac{1}{x+3}\) kann niemals Null werden, weshalb \(g(x)\) niemals exakt den Wert \(2\) erreicht.

- Überlege zuerst, wo die waagerechte Asymptote von f liegt. Was passiert mit den Funktionswerten oberhalb und unterhalb dieser Linie bei einer Spiegelung? - Wie verändert sich der Term im Nenner, wenn man den gesamten Graphen entlang der x-Achse verschiebt? - Ändert eine Verschiebung nach links die Höhe der waagerechten Asymptote?

1. Identifikation der waagerechten Asymptote von \(f\): Diese liegt bei \(y = 2\). 2. Spiegelung an der waagerechten Asymptote: Eine Spiegelung an der Geraden \(y = 2\) kehrt das Vorzeichen des Bruchteils um, während der konstante Anteil (die Achse der Spiegelung) gleich bleibt. Die Zwischenfunktion lautet \(h(x) = -\frac{1}{x - 4} + 2\). 3. Verschiebung um 3 Einheiten nach links: Hierzu wird in der Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \((x + 3)\) ersetzt. 4. Aufstellen und Vereinfachen von \(g\): \(g(x) = -\frac{1}{(x + 3) - 4} + 2 = -\frac{1}{x - 1} + 2\). 5. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\) (Nennernullstelle), die waagerechte Asymptote bleibt bei \(y = 2\).

Die neue Funktionsgleichung ist \(g(x) = -\frac{1}{x - 1} + 2\). Die senkrechte Asymptote ist \(x = 1\) und die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\).

- Versuche den Zähler so umzuschreiben, dass ein Vielfaches des Nenners darin vorkommt. - Was passiert mit einer vertikalen Linie, wenn du sie horizontal verschiebst? - Was passiert mit einer horizontalen Linie, wenn du sie vertikal verschiebst?

1. Umformung durch Termmanipulation: \(f(x) = \frac{2x+5}{x+1} = \frac{2(x+1)+3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} + \frac{3}{x+1} = 2 + \frac{3}{x+1}\). 2. Bestimmung der Asymptoten: Aus \(f(x) = \frac{3}{x+1} + 2\) folgt die senkrechte Asymptote \(x = -1\) und die waagrechte Asymptote \(y = 2\). 3. Anwendung der Verschiebung auf die Asymptoten: Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts verändert die Lage der senkrechten Asymptote von \(x = -1\) zu \(x = -1 + 3 = 2\). 4. Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben verändert die Lage der waagrechten Asymptote von \(y = 2\) zu \(y = 2 + 2 = 4\).

a) \(f(x) = \frac{3}{x+1} + 2\). Asymptoten: \(x = -1\) und \(y = 2\). b) Neue senkrechte Asymptote: \(x = 2\). Neue waagrechte Asymptote: \(y = 4\).

- Was passiert mathematisch, wenn du versuchst, \(x = 2\) in den Term einzusetzen? - Was müsste passieren, damit ein Bruch den Wert null ergibt? - Überlege dir, ob eine Gleichung wie \(3 = 0\) jemals wahr sein kann.

1. Begründung zur senkrechten Asymptote: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\). Dieser Wert ist nicht in der Definitionsmenge enthalten, da der Nenner sonst null wäre (Division durch null ist nicht definiert). Da die Funktion für \(x = 2\) keinen Wert besitzt, kann es dort keinen Punkt auf dem Graphen geben. 2. Untersuchung der waagrechten Asymptote: Setze \(f(x) = 1\). Daraus folgt \(\frac{3}{x - 2} + 1 = 1\). 3. Auflösen der Gleichung: Subtrahiere \(1\) auf beiden Seiten: \(\frac{3}{x - 2} = 0\). Ein Bruch ist nur dann null, wenn der Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(3\) ist, gibt es keine Lösung (\(3 \neq 0\)). 4. Schlussfolgerung: Der Graph schneidet auch die waagrechte Asymptote nicht.

a) Da \(x = 2\) nicht in der Definitionsmenge liegt (Division durch null), kann dort kein Punkt des Graphen existieren. b) Die Gleichung \(\frac{3}{x - 2} + 1 = 1\) führt auf den Widerspruch \(3 = 0\). Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der waagrechten Asymptote.

- Wo liegen die Asymptoten der Funktion \(g(x)\) im Koordinatensystem? - Welche Gleichungen haben die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse? - Überlege dir, wie du den Graphen bewegen musst, damit seine „Hilfslinien“ (die Asymptoten) genau auf den Koordinatenachsen liegen.

1. Identifikation der ursprünglichen Asymptoten von \(g\): senkrecht bei \(x = 2\) und waagrecht bei \(y = 3\). 2. Ziel-Asymptoten bestimmen: Die \(y\)-Achse hat die Gleichung \(x = 0\), die \(x\)-Achse hat die Gleichung \(y = 0\). 3. Berechnung der Verschiebung: Von \(x = 2\) zu \(x = 0\) ist eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links nötig. Von \(y = 3\) zu \(y = 0\) ist eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten nötig. 4. Aufstellen der neuen Gleichung: Durch das Rückgängigmachen der Verschiebungen erhält man die Grundfunktion \(g_{\text{neu}}(x) = \frac{1}{x}\).

a) Der Graph muss um \(2\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben werden. b) \(g_{\text{neu}}(x) = \frac{1}{x}\).

- Betrachte bei sehr großen positiven und negativen \(x\)-Werten das Verhältnis der Koeffizienten vor \(x\). - Die senkrechte Asymptote liegt bei einer Nullstelle des Nenners, sofern der Zähler dort nicht ebenfalls null wird. - Welche Bedingung muss der neue Nenner bei \(x=3\) erfüllen?

1. Waagrechte Asymptoten: Für \(g_1(x)\) ist das Verhältnis der führenden Koeffizienten \(\frac{4}{2} = 2\), also \(y = 2\). Für \(g_2(x)\) ist das Verhältnis \(\frac{2}{1} = 2\), also \(y = 2\). Feststellung: Beide Funktionen haben dieselbe waagrechte Asymptote. 2. Senkrechte Asymptoten: Nenner von \(g_1\) nullsetzen: \(2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3\). Nenner von \(g_2\) nullsetzen: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Da \(-3 \neq 3\), ist die Aussage des Schülers falsch. Die Lage der senkrechten Asymptote hängt von den Nullstellen des Nenners ab, nicht nur von der Art der Terme. 3. Anpassung des Nenners: Die senkrechte Asymptote von \(g_2\) liegt bei \(x = 3\). Damit \(g_1\) dort ebenfalls eine Asymptote hat, muss der Nenner von \(g_1\) bei \(x = 3\) den Wert Null annehmen. Ein möglicher neuer Nenner für \(g_1\) wäre \((x - 3)\) oder ein Vielfaches davon, z. B. \(2x - 6\).

a) Beide waagrechten Asymptoten lauten \(y = 2\). Sie sind identisch. b) Die Aussage ist falsch. Die senkrechte Asymptote von \(g_1\) liegt bei \(x = -3\), die von \(g_2\) bei \(x = 3\). c) Ein möglicher neuer Nenner ist \(x-3\); auch ein nichtnulles Vielfaches wie \(2x-6\) ist möglich.