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- Welche \(x\)-Koordinate haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Was passiert mathematisch, wenn du diesen speziellen x-Wert in die Funktionsgleichungen einsetzt? - Gibt es Rechenoperationen, die für bestimmte Zahlen nicht erlaubt sind?

1. Prüfung von \(f(x)\): Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f(0) = 4 \cdot 0 - 2 = -2\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = -2\). 2. Prüfung von \(g(x)\): Einsetzen von \(x = 0\) führt zu dem Term \(\frac{8}{0}\). Da die Division durch Null nicht definiert ist, liegt \(x = 0\) nicht im Definitionsbereich. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse nicht. 3. Prüfung von \(h(x)\): Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(h(0) = \frac{0}{2} = 0\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Ursprung bei \(y = 0\).

\(f(x)\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\). \(g(x)\) schneidet die \(y\)-Achse nicht, da man nicht durch \(0\) teilen darf. \(h(x)\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(0\).

- Welchen Wert hat x an der Stelle, an der ein Graph die y-Achse schneidet? - Welchen Wert hat y an der Stelle, an der ein Graph die x-Achse schneidet? - Setze diese Werte nacheinander in die Gleichung ein und löse nach der gesuchten Variablen auf.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(x = 0\): \(y = \frac{12}{0 + 2} + 3 = 6 + 3 = 9\). Somit ist \(b = 9\). 2. Berechnung der Nullstelle \(a\) durch Einsetzen von \(y = 0\): \(0 = \frac{12}{x + 2} + 3 \Rightarrow -3 = \frac{12}{x + 2}\). 3. Auflösen nach \(x\): \(-3(x + 2) = 12 \Rightarrow x + 2 = -4 \Rightarrow x = -6\). Somit ist \(a = -6\).

c) \(a = -6; b = 9\)

- Was muss für den Funktionswert \(y\) gelten, wenn du eine Nullstelle suchst? - Wie findest du den Punkt auf der \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort? - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass der Bruch alleine auf einer Seite steht?

1. Berechnung der Nullstelle: Setze \(h(x) = 0\). Daraus folgt \(0 = \frac{12}{x+4} - 3 \Rightarrow 3 = \frac{12}{x+4}\). Multiplikation mit \((x+4)\) ergibt \(3(x+4) = 12 \Rightarrow x+4 = 4 \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 0\). 2. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Berechne \(h(0)\). Es gilt \(h(0) = \frac{12}{0+4} - 3 = \frac{12}{4} - 3 = 3 - 3 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 0)\). 3. Lösung der Gleichung \(h(x) = 1\): Setze \(1 = \frac{12}{x+4} - 3\). 4. Umformen der Gleichung: \(4 = \frac{12}{x+4} \Rightarrow 4(x+4) = 12 \Rightarrow x+4 = 3 \Rightarrow x = -1\). Der gesuchte Wert ist \(x = -1\).

a) Die Nullstelle ist \(x = 0\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 0)\). c) Für \(x = -1\) nimmt die Funktion den Wert \(1\) an.

- Wie findet man allgemein den Punkt, an dem ein Graph die \(y\)-Achse schneidet? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert gelten, wenn der Graph die horizontale Achse schneidet? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Variablen umstellen?

1. Berechnung der Schnittpunkte für \(f(x) = \frac{8}{x+2} - 2\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x=0\). \(f(0) = \frac{8}{0+2} - 2 = 4 - 2 = 2\). Somit \(S_y(0 | 2)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: Setze \(f(x)=0\). \(0 = \frac{8}{x+2} - 2 \Rightarrow 2 = \frac{8}{x+2} \Rightarrow x+2 = 4 \Rightarrow x = 2\). Somit \(S_x(2 | 0)\). 2. Berechnung der Schnittpunkte für \(g(x) = \frac{-6}{x-3} - 1\): Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x=0\). \(g(0) = \frac{-6}{0-3} - 1 = 2 - 1 = 1\). Somit \(S_y(0 | 1)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: Setze \(g(x)=0\). \(0 = \frac{-6}{x-3} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{-6}{x-3} \Rightarrow x-3 = -6 \Rightarrow x = -3\). Somit \(S_x(-3 | 0)\).

Für \(f\): \(S_y(0 | 2)\) und \(S_x(2 | 0)\). Für \(g\): \(S_y(0 | 1)\) und \(S_x(-3 | 0)\).

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate an jedem Punkt auf der \(y\)-Achse? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert \(f(x)\) erfüllt sein, damit ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der Nenner nicht mehr unter dem Bruchstrich steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in den Funktionsterm ein. 2. \(f(0) = \frac{4}{0-1} + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 \mid -2)\). 3. Berechnung der Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse): Setze \(f(x) = 0\). 4. \(0 = \frac{4}{x-1} + 2 \implies -2 = \frac{4}{x-1} \implies -2(x-1) = 4 \implies -2x + 2 = 4 \implies -2x = 2 \implies x = -1\). 5. Der Schnittpunkt liegt bei \(N(-1 \mid 0)\).

Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -2)\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(-1 \mid 0)\).

- Erinnere dich daran, dass die Nullstelle der \(x\)-Wert ist, für den der Funktionswert Null wird. - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung mit einer Unbekannten im Nenner lösen musst? - Achte beim Rechnen auf das Komma.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(h(0)\). 2. \(h(0) = \frac{15}{0+3} - 2{,}5 = 5 - 2{,}5 = 2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 2{,}5)\). 3. Nullstelle bestimmen: Setze \(h(x) = 0\). 4. \(0 = \frac{15}{x+3} - 2{,}5 \implies 2{,}5 = \frac{15}{x+3} \implies 2{,}5(x+3) = 15 \implies x+3 = \frac{15}{2{,}5} = 6 \implies x = 3\). 5. Die Nullstelle liegt bei \(x = 3\), also ist der Schnittpunkt \(N(3 \mid 0)\).

Die Nullstelle ist \(x = 3\) (Schnittpunkt \(N(3 \mid 0)\)). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 2{,}5)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Wie kannst du mathematisch prüfen, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt? - Welchen Wert muss die \(x\)-Koordinate an der \(y\)-Achse immer haben?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein. \(f(0) = \frac{8}{0-2} - 1 = \frac{8}{-2} - 1 = -4 - 1 = -5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -5)\). 2. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Setze \(f(x) = 0\) und löse nach \(x\) auf. \(0 = \frac{8}{x-2} - 1 \implies 1 = \frac{8}{x-2} \implies x-2 = 8 \implies x = 10\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(10 | 0)\). 3. Punktprobe für \(P(6 | 1)\): Setze \(x = 6\) in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob der Funktionswert \(1\) ergibt. \(f(6) = \frac{8}{6-2} - 1 = \frac{8}{4} - 1 = 2 - 1 = 1\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(P\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | -5)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(10 | 0)\). b) Ja, der Punkt \(P(6 | 1)\) liegt auf dem Graphen, da \(f(6) = 1\) eine wahre Aussage ist.

- Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden? - Welchen Wert hat die Funktionsgleichung an der Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Kannst du die Gleichung nach \(x\) auflösen, indem du zuerst den konstanten Teil auf die andere Seite bringst?

1. Berechnung der Schnittpunkte für \(f(x)\): - \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = \frac{6}{0+2} - 1{,}5 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5\). Ergebnis: \(S_y(0|1{,}5)\). - \(x\)-Achsenabschnitt (Nullstelle): \(0 = \frac{6}{x+2} - 1{,}5 \Rightarrow 1{,}5 = \frac{6}{x+2} \Rightarrow x+2 = \frac{6}{1{,}5} = 4 \Rightarrow x = 2\). Ergebnis: \(S_x(2|0)\). 2. Berechnung der Schnittpunkte für \(g(x)\): - \(y\)-Achsenabschnitt: \(g(0) = \frac{-4}{0-5} + 0{,}8 = 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}6\). Ergebnis: \(S_y(0|1{,}6)\). - \(x\)-Achsenabschnitt (Nullstelle): \(0 = \frac{-4}{x-5} + 0{,}8 \Rightarrow -0{,}8 = \frac{-4}{x-5} \Rightarrow x-5 = \frac{-4}{-0{,}8} = 5 \Rightarrow x = 10\). Ergebnis: \(S_x(10|0)\).

Für \(f\): \(S_y(0|1{,}5)\) und \(S_x(2|0)\). Für \(g\): \(S_y(0|1{,}6)\) und \(S_x(10|0)\).

- Welche Koordinate ist an jedem Punkt auf der \(y\)-Achse immer Null? - Wenn du eine Gleichung mit einem Bruch hast, wie kannst du den Nenner „auflösen“? - Was ist das Ziel, wenn du eine Nullstelle berechnen sollst?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid -2)\). Einsetzen von \(x = 0\) und \(g(0) = -2\): \(-2 = \frac{8}{0-d} + 2\). 2. Subtraktion von \(2\): \(-4 = \frac{8}{-d}\). Multiplikation mit \(-d\): \(4d = 8\). Division durch \(4\): \(d = 2\). 3. Zur Berechnung der Nullstelle \(g(x) = 0\) setzen: \(0 = \frac{8}{x-2} + 2\). 4. Subtraktion von \(2\): \(-2 = \frac{8}{x-2}\). Multiplikation mit \((x-2)\): \(-2(x-2) = 8 \Rightarrow -2x + 4 = 8\). 5. Subtraktion von \(4\): \(-2x = 4\). Division durch \(-2\): \(x = -2\).

a) \(d = 2\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = -2\).

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Welchen Wert hat der Funktionswert \(f(x)\) an der Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Unbekannten auflösen, wenn diese im Nenner steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = \frac{6}{0+2} - 1 = \frac{6}{2} - 1 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|2)\). 2. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse: Setze \(f(x) = 0\) und löse die Gleichung: \(0 = \frac{6}{x+2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{6}{x+2} \Rightarrow x+2 = 6 \Rightarrow x = 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(4|0)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_y(0|2)\) und \(S_x(4|0)\).

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate an jedem Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Welchen Wert hat die \(y\)-Koordinate an jedem Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie kannst du eine Gleichung nach der unbekannten Variablen \(x\) auflösen, wenn diese im Nenner steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein. Es ergibt sich \(f(0) = \frac{9}{0+3} - 1{,}5 = \frac{9}{3} - 1{,}5 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 1{,}5)\). 2. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse: Setze \(f(x) = 0\) und löse die Gleichung \(0 = \frac{9}{x+3} - 1{,}5\). 3. Umstellen der Gleichung: \(1{,}5 = \frac{9}{x+3}\). 4. Multiplikation mit dem Nenner: \(1{,}5 \cdot (x + 3) = 9\). 5. Division durch \(1{,}5\): \(x + 3 = \frac{9}{1{,}5} = 6\). 6. Subtraktion von \(3\): \(x = 3\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(3 | 0)\).

Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | 1{,}5)\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(3 | 0)\)

- Welcher Wert für \(x\) würde dazu führen, dass du durch null teilen müsstest? - Wie lautet die \(x\)-Koordinate eines Punktes, der genau auf der \(y\)-Achse liegt? - Was muss für den Funktionswert \(f(x)\) gelten, damit der Punkt auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Definitionsbereich bestimmen: Der Nenner darf nicht null werden, also \(x-3 \neq 0\). Daraus folgt \(x \neq 3\), also \(D = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\). Es ergibt sich \(f(0) = \frac{10}{0-3} - 2 = -\frac{10}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{16}{3}\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -\frac{16}{3})\). 3. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: Setze \(f(x) = 0\). Aus \(0 = \frac{10}{x-3} - 2\) folgt \(2 = \frac{10}{x-3}\) und damit \(2(x-3) = 10\). Die Lösung ist \(2x - 6 = 10 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(8 | 0)\).

Definitionsbereich: \(D = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\) Schnittpunkte: \(S_y(0 | -\frac{16}{3})\) und \(S_x(8 | 0)\)

- Welche Werte darf man für \(x\) in einen Bruch nicht einsetzen? - Was muss für den Funktionswert \(y\) an einer Nullstelle gelten? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingungen einer Gleichung erfüllt?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Nenner darf nicht null sein. \(2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2{,}5\). Somit ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{2{,}5\}\). 2. Berechnung der Nullstelle: Setze \(f(x) = 0\). \(\frac{3}{2x-5} + 1 = 0\) \(\frac{3}{2x-5} = -1\) \(3 = -1 \cdot (2x - 5)\) \(3 = -2x + 5\) \(-2 = -2x \implies x = 1\). 3. Punktprobe für \(P(4|2)\): Setze \(x = 4\) in die Funktionsgleichung ein. \(f(4) = \frac{3}{2 \cdot 4 - 5} + 1 = \frac{3}{8 - 5} + 1 = \frac{3}{3} + 1 = 1 + 1 = 2\). Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(P\) auf dem Graphen.

a) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{2{,}5\}\) b) Nullstelle bei \(x = 1\) c) Ja, der Punkt \(P(4|2)\) liegt auf dem Graphen.

- Was passiert, wenn der Nenner eines Bruchs den Wert Null annimmt? - Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate eines Punktes, der genau auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie gehst du vor, um die Stelle zu finden, an der der Funktionswert Null ist? - Kannst du die Gleichung für die Nullstelle so umformen, dass der Bruch verschwindet?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Nenner darf nicht Null werden. Aus \(x + 5 = 0\) folgt \(x = -5\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein. \(f(0) = \frac{4}{0+5} - 2 = \frac{4}{5} - 2 = 0{,}8 - 2 = -1{,}2\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -1{,}2)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Setze \(f(x) = 0\). Aus \(0 = \frac{4}{x+5} - 2\) folgt \(2 = \frac{4}{x+5}\). Multiplikation mit \((x+5)\) ergibt \(2 \cdot (x+5) = 4\), also \(2x + 10 = 4\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(2x = -6\), also \(x = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(-3 | 0)\).

Der maximale Definitionsbereich ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\). Die Schnittpunkte mit den Achsen sind \(S_y(0 | -1{,}2)\) und \(S_x(-3 | 0)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er genau auf einer der Achsen liegt? - Welchen Wert muss die x-Koordinate haben, wenn ein Punkt auf der vertikalen Achse liegt? - Wie gehst du vor, wenn du wissen möchtest, an welcher Stelle der Funktionswert null ist? - Achte beim Umstellen der Gleichung darauf, den gesamten Nenner als eine Einheit zu behandeln.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bestimmen: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein. \(f(0) = \frac{5}{0 - 2} - 2{,}5 = \frac{5}{-2} - 2{,}5 = -2{,}5 - 2{,}5 = -5\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 | -5)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) bestimmen: Setze \(f(x) = 0\) und löse nach \(x\) auf. \(0 = \frac{5}{x - 2} - 2{,}5 \implies 2{,}5 = \frac{5}{x - 2}\). Multipliziere mit \((x - 2)\): \(2{,}5 \cdot (x - 2) = 5\). Teile durch \(2{,}5\): \(x - 2 = \frac{5}{2{,}5} = 2\). Addiere \(2\): \(x = 4\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt bei \(S_x(4 | 0)\).

Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -5)\) und der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4 | 0)\).

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Was muss für den Funktionswert \(f(x)\) gelten, damit ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) im Nenner eines Bruchs steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein. Es ergibt sich \(f(0) = \frac{10}{0+1} - 2 = 10 - 2 = 8\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 8)\). 2. Berechnung der Nullstelle: Setze \(f(x) = 0\). Daraus folgt \(0 = \frac{10}{x+1} - 2\). 3. Umstellen der Gleichung: Addiere \(2\) auf beiden Seiten, sodass \(2 = \frac{10}{x+1}\) entsteht. 4. Lösen nach \(x\): Multiplikation mit \((x+1)\) ergibt \(2(x+1) = 10\), also \(2x + 2 = 10\). Subtraktion von \(2\) führt zu \(2x = 8\), woraus \(x = 4\) folgt. Die Nullstelle liegt bei \(x = 4\), der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(4 | 0)\).

Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | 8)\) Nullstelle: \(x = 4\) (bzw. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(4 | 0)\))

- Worauf musst du schauen, um die Definitionslücke eines Bruchs zu finden? - Welche Zahl am Ende der Funktionsgleichung bestimmt die Verschiebung nach oben oder unten? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der senkrechten Achse? - Was muss man für \(f(x)\) einsetzen, um eine Nullstelle zu finden?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke des Nenners. \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\). 2. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Der additive Term \(-2\) verschiebt die Hyperbel in \(y\)-Richtung, die waagerechte Asymptote ist \(y = -2\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in den Funktionsterm ergibt \(f(0) = \frac{6}{0 + 3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|0)\). 4. Nullstelle berechnen: Setze \(f(x) = 0\). Es folgt \(0 = \frac{6}{x + 3} - 2 \Rightarrow 2 = \frac{6}{x + 3} \Rightarrow 2 \cdot (x + 3) = 6 \Rightarrow x + 3 = 3 \Rightarrow x = 0\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\); waagerechte Asymptote: \(y = -2\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|0)\). c) Die Nullstelle liegt bei \(x = 0\).

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Graph eine Achse schneidet? - Wie kannst du einen Punkt in eine Funktionsgleichung einsetzen? - Überlege dir, was passiert, wenn der Parameter den Wert 0 annimmt. - Welchen Wert kann der Bruch \(\frac{6}{x}\) niemals annehmen?

1. Für \(q = -2\) lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = \frac{6}{x} - 2\). Die Nullstelle wird durch \(f(x) = 0\) berechnet: \(0 = \frac{6}{x} - 2 \Rightarrow 2 = \frac{6}{x} \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 3\). 2. Setze die Koordinaten von \(P(3 | 4)\) in die Gleichung ein: \(4 = \frac{6}{3} + q\). Dies vereinfacht sich zu \(4 = 2 + q\). Durch Subtraktion von 2 erhält man \(q = 2\). 3. Ein Schnittpunkt mit der x-Achse existiert, wenn die Gleichung \(0 = \frac{6}{x} + q\) eine Lösung für \(x\) besitzt. Für \(q \neq 0\) folgt \(x = -\frac{6}{q}\); dann gibt es genau eine Nullstelle. Für \(q = 0\) ergibt sich dagegen \(0 = \frac{6}{x}\). Diese Gleichung hat keine Lösung, weil der Zähler \(6\) nicht null ist. Der Graph hat dann die x-Achse als Asymptote und schneidet sie nicht.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 3\). b) Der Parameterwert ist \(q = 2\). c) Für \(q = 0\) gibt es keine Nullstelle, da die Gleichung \(0 = \frac{6}{x}\) keine Lösung besitzt.

- Wann wird ein Bruchterm insgesamt gleich null? - Schau dir den Nenner des Bruchs genau an. Was passiert dort, wenn du \(-1\) einsetzt? - Wie findet man rechnerisch den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(g(0) = \frac{2 \cdot 0 - 6}{0 + 1} = \frac{-6}{1} = -6\). Der Punkt ist \(S_y(0 | -6)\). 2. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): Ein Bruch wird null, wenn der Zähler null ist (und der Nenner ungleich null). Setze \(2x - 6 = 0\). 3. Lösen der Gleichung: \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\). Da für \(x = 3\) der Nenner \(3 + 1 = 4 \neq 0\) ist, liegt bei \(x = 3\) eine Nullstelle vor. Der Schnittpunkt ist \(N(3 | 0)\). 4. Begründung für \(x = -1\): An der Stelle \(x = -1\) wird der Nenner der Funktion null (\(-1 + 1 = 0\)). Eine Division durch null ist mathematisch nicht definiert, daher existiert an dieser Stelle kein Funktionswert und somit auch kein Punkt auf dem Graphen.

a) und b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | -6)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(3 | 0)\). c) Bei \(x = -1\) ist die Funktion nicht definiert, da der Nenner null wird. Deshalb gibt es dort keinen Punkt des Graphen.

- Setze zuerst die Information über die senkrechte Asymptote ein. - Stelle für die beiden gegebenen Achsenschnittpunkte jeweils eine Gleichung auf. - Kannst du die beiden Gleichungen so kombinieren, dass eine der Unbekannten wegfällt?

1. Da die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) liegt, ist \(x_0 = 2\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{k}{x-2} + y_0\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(4|0)\). Einsetzen ergibt: \(0 = \frac{k}{4-2} + y_0 \implies 0 = \frac{k}{2} + y_0\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|-1)\). Einsetzen ergibt: \(-1 = \frac{k}{0-2} + y_0 \implies -1 = -\frac{k}{2} + y_0\). 4. Durch Addition der beiden Gleichungen \(\frac{k}{2} + y_0 = 0\) und \(-\frac{k}{2} + y_0 = -1\) erhält man \(2y_0 = -1\), also \(y_0 = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(y_0 = -0{,}5\) in die erste Gleichung: \(\frac{k}{2} - 0{,}5 = 0 \implies \frac{k}{2} = 0{,}5 \implies k = 1\).

\(k = 1\) und \(y_0 = -0{,}5\)

- Berechne zunächst systematisch für beide Funktionen die Stellen, an denen der Graph die Achsen schneidet. - Erinnerst du dich, was passiert, wenn ein Funktionswert an der Stelle \(0\) genau \(0\) ergibt? - Schau dir die Abstände der Schnittpunkte vom Nullpunkt des Koordinatensystems an.

1. Achsenschnittpunkte von \(f\): - \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{4}{0-2} + 2 = -2 + 2 = 0\). Schnittpunkt \(S_{y,f}(0 | 0)\). - \(x\)-Achse: Da der Graph durch den Ursprung geht, ist auch die Nullstelle bei \(x = 0\). Rechnerisch: \(0 = \frac{4}{x-2} + 2 \implies -2 = \frac{4}{x-2} \implies -2(x-2) = 4 \implies -2x + 4 = 4 \implies x = 0\). Schnittpunkt \(S_{x,f}(0 | 0)\). 2. Achsenschnittpunkte von \(g\): - \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{-4}{0+2} - 2 = -2 - 2 = -4\). Schnittpunkt \(S_{y,g}(0 | -4)\). - \(x\)-Achse: \(0 = \frac{-4}{x+2} - 2 \implies 2 = \frac{-4}{x+2} \implies 2(x+2) = -4 \implies 2x + 4 = -4 \implies 2x = -8 \implies x = -4\). Schnittpunkt \(S_{x,g}(-4 | 0)\). 3. Vergleich: Der Graph von \(f\) verläuft durch den Koordinatenursprung, während der Graph von \(g\) die Achsen jeweils im Abstand von \(4\) Einheiten vom Ursprung in negativer Richtung schneidet (\(x = -4\) und \(y = -4\)).

Schnittpunkte von \(f\): \(S_x(0 | 0)\) und \(S_y(0 | 0)\) (Ursprung). Schnittpunkte von \(g\): \(S_x(-4 | 0)\) und \(S_y(0 | -4)\). Vergleich: Während \(f\) durch den Ursprung geht, liegen die Schnittpunkte von \(g\) symmetrisch auf den negativen Achsenabschnitten.

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er im Ursprung liegt? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um einen unbekannten Parameter in einer Funktionsgleichung zu finden? - Wie viele \(y\)-Achsenabschnitte kann eine Funktion maximal haben?

1. Bestimmung von \(a\): Da der Graph durch \((0|0)\) verläuft, muss \(f(0) = 0\) gelten. Einsetzen ergibt \(0 = \frac{a}{0-4} + 2 \Rightarrow 0 = -\frac{a}{4} + 2 \Rightarrow \frac{a}{4} = 2 \Rightarrow a = 8\). 2. Untersuchung weiterer Achsenschnittpunkte für \(f(x) = \frac{8}{x-4} + 2\): - \(y\)-Achse: Da der Punkt \((0|0)\) auf dem Graphen liegt, ist dies bereits der einzige Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (da eine Funktion jedem \(x\)-Wert nur einen \(y\)-Wert zuordnet). - \(x\)-Achse: Suche Nullstellen durch \(0 = \frac{8}{x-4} + 2 \Rightarrow -2 = \frac{8}{x-4} \Rightarrow x-4 = \frac{8}{-2} = -4 \Rightarrow x = 0\). 3. Schlussfolgerung: Der einzige Schnittpunkt mit beiden Achsen ist der Punkt \((0|0)\). Es gibt keine weiteren Achsenschnittpunkte.

a) \(a = 8\) b) Nein, es gibt keine weiteren Schnittpunkte. Die einzige Nullstelle liegt bei \(x = 0\), was dem bereits bekannten Punkt \((0|0)\) entspricht. Ein weiterer \(y\)-Achsenabschnitt ist bei Funktionen nicht möglich.

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der x-Achse liegt? - Setze die bekannten Werte für \(x\) und \(y\) in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte zu finden. - Wie gehst du vor, wenn du den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse suchst?

1. Teilaufgabe a): Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 5\) bedeutet, dass der Punkt \((5|0)\) auf dem Graphen liegt. Setze \(x = 5\) und \(g_k(5) = 0\) in die Gleichung ein: \(0 = \frac{k}{5-2} + 3 \implies 0 = \frac{k}{3} + 3\). Subtraktion von \(3\): \(-3 = \frac{k}{3}\). Multiplikation mit \(3\): \(k = -9\). 2. Teilaufgabe b): Mit \(k = -9\) lautet die Funktion \(g(x) = \frac{-9}{x-2} + 3\). Für den \(y\)-Achsenabschnitt setze \(x = 0\): \(g(0) = \frac{-9}{0-2} + 3 = \frac{-9}{-2} + 3 = 4{,}5 + 3 = 7{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|7{,}5)\).

a) Der Parameterwert ist \(k = -9\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|7{,}5)\).

- Was musst du für \(x\) einsetzen, um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden? Ist das bei beiden Funktionen erlaubt? - Wann kann ein Bruch den Wert Null annehmen? - Schau dir die Definitionsbereiche der Funktionen an.

1. Untersuchung von \(f(x) = \frac{2}{x} + 3\): Der Definitionsbereich ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Da \(x=0\) nicht eingesetzt werden darf, existiert kein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Nullstellenberechnung: \(0 = \frac{2}{x} + 3 \Rightarrow -3 = \frac{2}{x} \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\). Es existiert ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \((-\frac{2}{3}|0)\). 2. Untersuchung von \(g(x) = \frac{2}{x+3}\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(g(0) = \frac{2}{0+3} = \frac{2}{3}\). Es existiert ein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0|\frac{2}{3})\). Nullstellenberechnung: \(0 = \frac{2}{x+3}\). Da ein Bruch nur Null wird, wenn der Zähler Null ist, der Zähler hier aber konstant \(2\) ist, gibt es keine Lösung. Es existiert kein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. 3. Zuordnung: \(f\) hat keinen \(y\)-Achsenabschnitt (Polstelle bei \(x=0\)). \(g\) hat keine Nullstelle (waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse).

Die Funktion \(f(x) = \frac{2}{x} + 3\) hat keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, da \(x=0\) eine Polstelle ist. Die Funktion \(g(x) = \frac{2}{x+3}\) hat keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, da die Gleichung \(\frac{2}{x+3} = 0\) keine Lösung besitzt (waagerechte Asymptote \(y=0\)).

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine Polstelle bei einem bestimmten Wert liegt? - Welchen Wert nimmt die Funktion für extrem große \(x\)-Werte an? - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert dir ein konkretes Zahlenpaar \((x \mid y)\), bei dem die \(x\)-Koordinate null ist.

1. Die Polstelle bei \(x = -1\) bedeutet, dass der Nenner an dieser Stelle Null wird: \(-1 + d = 0 \Rightarrow d = 1\). 2. Die waagerechte Asymptote \(y = 4\) entspricht dem Grenzwert für große \(x\), also ist \(e = 4\). 3. Die Funktion hat die Form \(g(x) = \frac{a}{x+1} + 4\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 1\) entspricht dem Punkt \((0 \mid 1)\). 5. Einsetzen des Punktes: \(1 = \frac{a}{0+1} + 4 \Rightarrow 1 = a + 4\). 6. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = -3\). 7. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{-3}{x+1} + 4\).

\(a = -3\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x) = \frac{-3}{x+1} + 4\).

- Wie kannst du die Information über den Schnittpunkt nutzen, um eine Unbekannte in der Gleichung zu finden? - Was weißt du über den \(y\)-Wert an der Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Versuche zuerst den Parameter \(k\) zu isolieren, bevor du mit dem zweiten Teil der Aufgabe beginnst.

1. Einsetzen der Koordinaten des \(y\)-Achsenabschnitts \((0 | 1)\) in die Funktionsgleichung: \(1 = \frac{k}{0+4} - 2\). 2. Auflösen nach \(k\): \(1 + 2 = \frac{k}{4} \Rightarrow 3 = \frac{k}{4} \Rightarrow k = 12\). 3. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse durch \(g(x) = 0\) mit \(k = 12\): \(0 = \frac{12}{x+4} - 2\). 4. Lösen der Gleichung: \(2 = \frac{12}{x+4} \Rightarrow 2 \cdot (x+4) = 12 \Rightarrow x+4 = 6 \Rightarrow x = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(2 | 0)\).

a) \(k = 12\) b) \(S_x(2 | 0)\)

- Was sagt die Zahl, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist, über den Nenner aus? - Wann ist ein Bruch insgesamt gleich null? Reicht es, einen Teil des Bruchs zu betrachten? - Überlege, ob die Zahl unter dem Bruchstrich das Ergebnis „Null“ verändern kann, wenn oben bereits eine Null steht.

1. Bestimmung von \(k\): Da der Definitionsbereich alle Zahlen außer \(-5\) umfasst, muss der Nenner für \(x = -5\) null werden. Aus \(-5 + k = 0\) folgt \(k = 5\). 2. Berechnung der Nullstelle: Ein Bruch wird null, wenn sein Zähler null ist. Aus \(2x - 6 = 0\) folgt \(2x = 6\) und somit \(x = 3\). 3. Begründung: Die Nullstelle hängt nur davon ab, für welches \(x\) der Zähler den Wert \(0\) annimmt. Der Nenner \(x+k\) beeinflusst lediglich, wo die Funktion nicht definiert ist. Solange \(x = 3\) nicht die Definitionslücke ist (also \(3+k \neq 0\)), bleibt die Nullstelle bei \(x = 3\) unverändert.

a) \(k = 5\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 3\). c) Die Nullstelle eines Bruchs wird allein durch die Nullstelle des Zählers bestimmt, sofern der Nenner dort ungleich null ist.

- Wenn ein Graph die x-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet, was weißt du dann über den Funktionswert an dieser Stelle? - Überlege, welcher x-Wert für den Schnittpunkt mit der y-Achse immer eingesetzt werden muss.

1. Parameter \(k\) bestimmen: Da die Nullstelle bei \(x = 5\) liegt, gilt \(g(5) = 0\). \(0 = \frac{k}{5-3} - 4\) \(0 = \frac{k}{2} - 4\) \(4 = \frac{k}{2} \implies k = 8\). 2. Definitionsbereich: Der Nenner \(x-3\) wird für \(x=3\) null. Daher ist \(D = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\). 3. Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne \(g(0)\) mit \(k=8\). \(g(0) = \frac{8}{0-3} - 4 = -\frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{20}{3} \approx -6{,}67\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -\frac{20}{3})\).

a) \(k = 8\) b) \(D = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\) c) Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \((0 | -\frac{20}{3})\) bzw. ca. \((0 | -6{,}67)\).

- Kann ein Bruch den Wert 0 annehmen, wenn im Zähler eine feste Zahl (ungleich 0) steht? - Vergleiche, wo genau die Variable \(x\) im Term steht, um den Unterschied in den Definitionsbereichen zu verstehen.

1. Nullstelle von \(h_1\): \(0 = \frac{6}{x} - 2 \implies 2 = \frac{6}{x} \implies 2x = 6 \implies x = 3\). 2. Nullstelle von \(h_2\): \(0 = \frac{6}{x-2}\). Multiplikation mit \((x-2)\) führt zu \(0 = 6\). Dies ist ein Widerspruch. Begründung: Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(6\) ist, kann die Funktion niemals den Wert null annehmen. 3. Definitionsbereiche: Für \(h_1\): Der Nenner ist \(x\), also ist \(x = 0\) ausgeschlossen. \(D_1 = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). Für \(h_2\): Der Nenner ist \(x-2\), also führt \(x-2=0\) zu \(x=2\). \(D_2 = \mathbb{Q} \setminus \{2\}\).

a) \(x = 3\) b) Keine Nullstelle, da der Zähler \(6 \neq 0\) ist. c) Bei \(h_1\) ist \(x = 0\) ausgeschlossen, bei \(h_2\) ist \(x = 2\) ausgeschlossen.

- Überlege dir, welche Einschränkungen für die Variable \(x\) bei einem Bruch gelten. - Wann genau wird der Wert eines Bruchs gleich Null? Schau dir dazu die Zähler an. - Setze für die Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse einen bestimmten Wert für \(x\) ein.

1. Definitionsbereiche: Bei \(h(x)\) darf der Nenner nicht Null sein: \(x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1\). Also \(\mathbb{D}_h = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Bei \(k(x)\) ist der Nenner konstant \(2\), daher gibt es keine Einschränkung: \(\mathbb{D}_k = \mathbb{R}\). 2. Nullstellen berechnen: Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null ist (und der Nenner ungleich Null). Für beide Funktionen gilt: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). Da \(3\) in beiden Definitionsbereichen liegt, haben beide die Nullstelle \(x = 3\). 3. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse: Berechne \(h(0)\) und \(k(0)\). \(h(0) = \frac{0-3}{0+1} = \frac{-3}{1} = -3\). \(k(0) = \frac{0-3}{2} = \frac{-3}{2} = -1{,}5\). Da \(-3 \neq -1{,}5\), sind die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse unterschiedlich.

a) \(\mathbb{D}_h = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) und \(\mathbb{D}_k = \mathbb{R}\). b) Beide Funktionen haben die Nullstelle \(x = 3\). Die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse sind \(S_{y,h}(0 | -3)\) und \(S_{y,k}(0 | -1{,}5)\).

- Wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt, welchen Wert hat dann die zugehörige y-Koordinate? - Nutze die Information über den x-Achsenschnittpunkt, um eine Gleichung für die Unbekannte aufzustellen. - Sobald du die vollständige Funktionsgleichung kennst, kannst du jeden beliebigen Punkt des Graphen berechnen.

1. Parameter \(a\) bestimmen: Da die Nullstelle bei \(x = -4\) liegt, gilt \(g(-4) = 0\). Setze den Punkt \((-4 | 0)\) in die Gleichung ein: \(0 = \frac{a}{-4 + 3} + 4\). Vereinfache den Nenner: \(0 = \frac{a}{-1} + 4 \implies 0 = -a + 4\). Löse nach \(a\) auf: \(a = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{4}{x + 3} + 4\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bestimmen: Setze \(x = 0\) in die gefundene Gleichung ein. \(g(0) = \frac{4}{0 + 3} + 4 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 | \frac{16}{3})\) bzw. näherungsweise \(S_y(0 | 5{,}33)\).

a) Der Parameter ist \(a = 4\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 | \frac{16}{3})\) (bzw. näherungsweise \((0 | 5{,}33)\)).

- Nutze den gegebenen Punkt auf der \(y\)-Achse, um die Unbekannte \(a\) in der Gleichung zu finden. - Wenn du \(a\) gefunden hast, schreibe die vollständige Funktionsgleichung auf, bevor du weiterrechnest. - Erinnerst du dich, welche Bedingung für eine Nullstelle erfüllt sein muss?

1. Bestimmung von \(a\): Setze die Koordinaten von \(S_y(0 | 3)\) in die Gleichung ein: \(3 = \frac{a}{0-2} + 4\). 2. Berechnung von \(a\): Es gilt \(3 = -\frac{a}{2} + 4\). Subtraktion von \(4\) ergibt \(-1 = -\frac{a}{2}\). Multiplikation mit \(-2\) liefert \(a = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{2}{x-2} + 4\). 3. Bestimmung der Nullstelle: Setze \(g(x) = 0\), also \(0 = \frac{2}{x-2} + 4\). 4. Lösen der Gleichung: Subtraktion von \(4\) ergibt \(-4 = \frac{2}{x-2}\). Kehrwertbildung oder Multiplikation mit \((x-2)\) führt zu \(-4(x-2) = 2\), also \(-4x + 8 = 2\). 5. Finale Berechnung: \(-4x = -6\), woraus \(x = \frac{-6}{-4} = 1{,}5\) folgt. Die Nullstelle ist \(x = 1{,}5\).

Der Parameter ist \(a = 2\). Die Nullstelle der Funktion ist \(x = 1{,}5\).

- Überlege dir, welche Werte für \(x\) du in die Funktion \(f\) überhaupt einsetzen darfst. - Kann ein Bruch den Wert Null ergeben, wenn im Zähler eine Zahl ungleich Null steht? - Gehe bei Aufgabenteil b) genauso vor wie bei linearen Funktionen, um Achsenschnittpunkte zu finden.

1. Begründung für \(f\): Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse müsste \(x = 0\) im Definitionsbereich liegen, jedoch ist \(f\) an der Stelle \(0\) nicht definiert. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse müsste \(f(x) = 0\) gelten, aber ein Bruch \(\frac{1}{x}\) mit konstantem Zähler ungleich Null kann niemals den Wert Null annehmen. 2. Schnittpunkt von \(g\) mit der \(y\)-Achse: Berechne \(g(0) = \frac{4}{0-2} + 1 = \frac{4}{-2} + 1 = -2 + 1 = -1\). Ergebnis: \(S_y(0 | -1)\). 3. Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x\)-Achse: Löse \(g(x) = 0\). \(0 = \frac{4}{x-2} + 1 \Rightarrow -1 = \frac{4}{x-2} \Rightarrow -(x-2) = 4 \Rightarrow -x + 2 = 4 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2\). Ergebnis: \(S_x(-2 | 0)\).

a) \(f\) ist bei \(x = 0\) nicht definiert (kein \(y\)-Achsenschnittpunkt) und der Zähler \(1\) kann nicht Null werden (keine Nullstelle). b) Die Schnittpunkte von \(g\) sind \(S_y(0 | -1)\) und \(S_x(-2 | 0)\).

- Setze die Koordinaten der bekannten Punkte nacheinander in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Du erhältst zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. - Überlege, wie du eine Unbekannte durch die andere ausdrücken kannst, um das System zu lösen.

1. Nutzung des \(y\)-Achsenabschnitts \(S_y(0 | 3)\): Setze \(x=0\) in die Gleichung ein. \(f(0) = \frac{a}{0+1} + c = 3\). Daraus folgt die Gleichung (I): \(a + c = 3\). 2. Nutzung der Nullstelle \(S_x(2 | 0)\): Setze \(x=2\) und \(f(x)=0\) ein. \(f(2) = \frac{a}{2+1} + c = 0\). Daraus folgt die Gleichung (II): \(\frac{1}{3}a + c = 0\), also \(c = -\frac{1}{3}a\). 3. Gleichungssystem lösen: Setze \(c = -\frac{1}{3}a\) in (I) ein: \(a - \frac{1}{3}a = 3 \Rightarrow \frac{2}{3}a = 3 \Rightarrow a = 4{,}5\). 4. Berechne \(c\): \(c = -\frac{1}{3} \cdot 4{,}5 = -1{,}5\). 5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{4{,}5}{x+1} - 1{,}5\).

\(a = 4{,}5\); \(c = -1{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = \frac{4{,}5}{x+1} - 1{,}5\).

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Setze zuerst die bekannten Koordinaten ein, um die fehlende Variable \(k\) zu finden. - Sobald du \(k\) hast, kannst du die Funktion wie gewohnt untersuchen.

1. Teil a: Setze die Koordinaten von \(P(2 \mid -1)\) in die Funktionsgleichung ein: \(-1 = \frac{k}{2+2} - 4\). 2. Löse nach \(k\) auf: \(3 = \frac{k}{4} \implies k = 12\). 3. Teil b: Mit \(g(x) = \frac{12}{x+2} - 4\) den \(y\)-Achsenabschnitt berechnen: \(g(0) = \frac{12}{2} - 4 = 6 - 4 = 2\). Schnittpunkt \(S_y(0 \mid 2)\). 4. Nullstelle berechnen: \(0 = \frac{12}{x+2} - 4 \implies 4 = \frac{12}{x+2} \implies 4(x+2) = 12 \implies x+2 = 3 \implies x = 1\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(1 \mid 0)\).

a) \(k = 12\) b) Die Achsenschnittpunkte sind \(S_y(0 \mid 2)\) und \(N(1 \mid 0)\).

- Wie bestimmt man die Stelle, an der ein Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Was ist mit dem „Abstand vom Ursprung“ auf der \(x\)-Achse gemeint? - Kannst du die beiden Gleichungen Schritt für Schritt nach \(x\) auflösen?

1. Berechnung der Nullstelle von \(f\): Setze \(f(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{10}{x-2} - 4 \Rightarrow 4 = \frac{10}{x-2} \Rightarrow x-2 = \frac{10}{4} = 2{,}5 \Rightarrow x = 4{,}5\). Die Nullstelle liegt bei \(x_f = 4{,}5\). 2. Berechnung der Nullstelle von \(g\): Setze \(g(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{10}{x-4} - 2 \Rightarrow 2 = \frac{10}{x-4} \Rightarrow x-4 = \frac{10}{2} = 5 \Rightarrow x = 9\). Die Nullstelle liegt bei \(x_g = 9\). 3. Vergleich der Abstände: Da \(|9| > |4{,}5|\), liegt die Nullstelle von \(g\) weiter vom Ursprung entfernt.

Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x = 9\), die von \(f\) bei \(x = 4{,}5\). Somit liegt die Nullstelle der Funktion \(g\) weiter vom Koordinatenursprung entfernt.

- Wann darf man eine Zahl nicht in eine gebrochen-rationale Funktion einsetzen? - Wo genau auf dem Koordinatensystem liegt die y-Achse? Welchen x-Wert haben alle Punkte dort? - Überlege, was passiert, wenn die senkrechte Asymptote genau auf der y-Achse liegt.

1. Untersuchung der Definitionsmenge: Der Nenner des Bruchs darf nicht Null werden. Es gilt \(x - b \neq 0\), also \(x \neq b\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{b\}\). 2. Bedingung für den \(y\)-Achsenschnittpunkt: Ein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse existiert nur, wenn \(x = 0\) in der Definitionsmenge enthalten ist. 3. Verknüpfung: Wenn \(b = 0\), dann ist \(x = 0\) von der Definitionsmenge ausgeschlossen (\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)). In diesem Fall kann es keinen Funktionswert an der Stelle \(0\) geben, also auch keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. 4. Geometrische Bedeutung: Der Parameter \(b\) gibt die Lage der senkrechten Asymptote an. Für \(b = 0\) ist die \(y\)-Achse selbst die senkrechte Asymptote, an die sich der Graph annähert, ohne sie jemals zu berühren oder zu schneiden. Die Behauptung ist also wahr.

Die Behauptung ist wahr. Wenn \(b = 0\) ist, liegt die Definitionslücke der Funktion bei \(x = 0\). Da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist, kann der Graph die \(y\)-Achse nicht schneiden. Geometrisch bedeutet \(b = 0\), dass die \(y\)-Achse die senkrechte Asymptote des Graphen ist.

- Berechne zuerst alle vier Punkte einzeln. - Schau dir an, wie sich die Graphen im Koordinatensystem durch die Zahlen \(+1\) und \(-1\) am Ende der Gleichung verschieben. - Was passiert mit der Kurve, wenn man den gesamten Funktionswert vergrößert oder verkleinert?

1. Schnittpunkte für \(f(x)\): - \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{4}{-2} + 1 = -2 + 1 = -1 \Rightarrow S_{y,f}(0 \mid -1)\). - \(x\)-Achse: \(0 = \frac{4}{x-2} + 1 \Rightarrow -1 = \frac{4}{x-2} \Rightarrow -1(x-2) = 4 \Rightarrow -x + 2 = 4 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow N_f(-2 \mid 0)\). 2. Schnittpunkte für \(h(x)\): - \(y\)-Achse: \(h(0) = \frac{4}{-2} - 1 = -2 - 1 = -3 \Rightarrow S_{y,h}(0 \mid -3)\). - \(x\)-Achse: \(0 = \frac{4}{x-2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{4}{x-2} \Rightarrow 1(x-2) = 4 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow N_h(6 \mid 0)\). 3. Vergleich: Der konstante Term am Ende der Funktionsgleichung bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen. Da der Graph von \(f\) um \(1\) nach oben und der Graph von \(h\) um \(1\) nach unten verschoben ist (relativ zu \(y = \frac{4}{x-2}\)), schneiden sie die \(x\)-Achse an völlig unterschiedlichen Stellen, da die gesamte Kurve ihre Höhe ändert.

a) \(f\): \(S_y(0 \mid -1)\), \(N(-2 \mid 0)\); \(h\): \(S_y(0 \mid -3)\), \(N(6 \mid 0)\). b) Die vertikale Verschiebung der Graphen (durch \(+1\) bzw. \(-1\)) ändert die Höhe des gesamten Graphen, wodurch die Kurve die \(x\)-Achse an unterschiedlichen Positionen kreuzt.

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Nullstelle bei einem bestimmten \(x\)-Wert liegt? - Wann genau wird ein Bruchterm gleich Null? Schau dir den Zähler an. - Kannst du eine Zahl durch etwas teilen und als Ergebnis genau Null erhalten, wenn die Zahl selbst nicht Null ist?

1. Bestimmung von \(q\): Die Nullstelle bei \(x=7\) bedeutet \(h(7) = 0\). Einsetzen ergibt \(0 = \frac{12}{7-3} + q \Rightarrow 0 = \frac{12}{4} + q \Rightarrow 0 = 3 + q \Rightarrow q = -3\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x=0\) in \(h(x) = \frac{12}{x-3} - 3\) ein: \(h(0) = \frac{12}{0-3} - 3 = -4 - 3 = -7\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-7)\). 3. Begründung für \(j(x)\): Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse erfordert \(j(x) = 0\). Die Gleichung \(0 = \frac{12}{x-3}\) führt durch Multiplikation mit \((x-3)\) auf den Widerspruch \(0 = 12\). Da ein Bruch nur dann Null sein kann, wenn sein Zähler Null ist und hier der Zähler konstant \(12\) ist, gibt es keine Lösung und somit keinen Schnittpunkt.

a) \(q = -3\) und der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|-7)\). b) Die Gleichung \(\frac{12}{x-3} = 0\) hat keine Lösung, da ein Bruch nur Null wird, wenn der Zähler Null ist. Da \(12 \neq 0\), wird der Funktionswert niemals Null.

- Welche Information über die waagerechte und senkrechte Asymptote steckt im Schnittpunkt \(S\)? - Zu einer Nullstelle gehört ein Punkt auf der \(x\)-Achse. Welche Koordinate ist dort immer null? - Setze alle bekannten Werte in die allgemeine Form ein, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen.

1. Der Schnittpunkt der Asymptoten \(S(2 \mid -1)\) gibt direkt die Werte für die Verschiebungen an: \(x_0 = 2\) (senkrechte Asymptote) und \(y_0 = -1\) (waagerechte Asymptote). 2. Einsetzen in die Form: \(h(x) = \frac{a}{x-2} - 1\). 3. Eine Nullstelle bei \(x = 4\) bedeutet, dass der Graph durch den Punkt \((4 \mid 0)\) verläuft. 4. Einsetzen des Punktes in die Gleichung: \(0 = \frac{a}{4-2} - 1\). 5. Vereinfachen: \(0 = \frac{a}{2} - 1 \Rightarrow 1 = \frac{a}{2}\). 6. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = 2\). 7. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{2}{x-2} - 1\).

\(h(x) = \frac{2}{x-2} - 1\)

- Berechne zuerst den \(x\)-Wert, für den die erste Funktion den Wert Null annimmt. - Wenn beide Funktionen dieselbe Nullstelle haben, was bedeutet das für den Funktionswert von \(g\) an dieser speziellen Stelle? - Setze den gefundenen \(x\)-Wert in die zweite Gleichung ein und löse nach dem gesuchten Buchstaben auf.

1. Berechnung der Nullstelle von \(f\) durch \(f(x) = 0\): \(0 = \frac{4}{x-2} + 2\). 2. Umstellen: \(-2 = \frac{4}{x-2} \Rightarrow -2 \cdot (x-2) = 4 \Rightarrow x-2 = -2 \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x = 0\). 3. Damit \(g\) dieselbe Nullstelle hat, muss \(g(0) = 0\) gelten: \(0 = \frac{a}{0-2} + 4\). 4. Auflösen nach \(a\): \(0 = -\frac{a}{2} + 4 \Rightarrow \frac{a}{2} = 4 \Rightarrow a = 8\).

a) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 0\). b) Der Parameter \(a\) muss den Wert \(8\) haben.

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(S_y\) in die Funktionsgleichung ein, um \(a\) zu finden. - Wie gehst du vor, um die Nullstelle einer Funktion zu berechnen? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du versuchst, den Funktionswert auf \(-4\) zu setzen? Kann ein Bruch mit einer Zahl ungleich Null im Zähler jemals den Wert Null ergeben?

1. Berechnung von \(a\): Setze \(x = 0\) und \(h(0) = 2\) ein: \(2 = \frac{24}{0+a} - 4\). 2. Lösen nach \(a\): \(6 = \frac{24}{a} \implies a = \frac{24}{6} = 4\). 3. Berechnung des \(x\)-Achsenschnittpunkts: Setze \(h(x) = 0\) mit \(a = 4\): \(0 = \frac{24}{x+4} - 4\). 4. Umstellen: \(4 = \frac{24}{x+4} \implies 4(x+4) = 24 \implies x+4 = 6 \implies x = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(2 | 0)\). 5. Begründung für \(y = -4\): Setze \(h(x) = -4\): \(-4 = \frac{24}{x+4} - 4\). 6. Vereinfachen: \(0 = \frac{24}{x+4}\). Da ein Bruch nur dann Null sein kann, wenn sein Zähler Null ist, der Zähler hier aber konstant \(24\) ist, besitzt diese Gleichung keine Lösung. Somit wird der Wert \(-4\) nie erreicht.

a) \(a = 4\) b) \(S_x(2 | 0)\) c) Der Ansatz \(\frac{24}{x+4} - 4 = -4\) führt auf \(\frac{24}{x+4} = 0\). Ein Bruch mit einem Zähler ungleich Null kann niemals den Wert Null annehmen, daher gibt es keine Lösung.

- Berechne zuerst den Punkt auf der senkrechten Achse für die erste Funktion. - Wenn zwei Graphen denselben Achsenschnittpunkt haben, was bedeutet das für ihre Funktionswerte an dieser Stelle? - Gibt es Brüche, deren Ergebnis niemals null sein kann? Woran erkennst du das am Zähler?

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt von \(h_1\): Berechne \(h_1(0) = \frac{4}{0-2} + 1 = -2 + 1 = -1\). Der Punkt ist \(S_y(0 | -1)\). 2. Bestimmung von \(k\): Es muss \(h_2(0) = -1\) gelten. Da \(h_2(0) = \frac{k}{0+1} = k\), folgt direkt \(k = -1\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse prüfen: Für \(h_1\): \(0 = \frac{4}{x-2} + 1 \Rightarrow -1 = \frac{4}{x-2} \Rightarrow -(x-2) = 4 \Rightarrow -x + 2 = 4 \Rightarrow x = -2\). Es gibt einen Schnittpunkt bei \((-2 | 0)\). Für \(h_2\) (mit \(k = -1\)): \(0 = \frac{-1}{x+1}\). Da der Zähler eine konstante Zahl ungleich null ist (\(-1\)), kann dieser Ausdruck niemals null werden. Somit besitzt \(h_2\) keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) \(S_y(0 | -1)\) b) \(k = -1\) c) Die Funktion \(h_2\) hat keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, da die Gleichung \(\frac{-1}{x+1} = 0\) keine Lösung besitzt (ein Bruch mit konstantem Zähler ungleich null wird nie null).

- Wie lässt sich eine Gleichung, in der ein Bruch vorkommt, am besten vereinfachen? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn eine Gleichung beim Suchen eines Schnittpunkts zu einem Widerspruch führt? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Zahlen in der Gleichung aus Aufgabenteil b und den Zahlen in der Funktionsgleichung?

1. Definitionsbereich: \(2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Achsenschnittpunkte: Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{3 \cdot 0 - 6}{2 \cdot 0 + 4} = \frac{-6}{4} = -1{,}5\). Punkt: \(S_y(0 | -1{,}5)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(3x - 6 = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2\). Punkt: \(S_x(2 | 0)\). 3. Schnitt mit \(y = 1{,}5\): Setze \(1{,}5 = \frac{3x-6}{2x+4}\). Multiplikation mit \((2x+4)\): \(1{,}5 \cdot (2x+4) = 3x - 6\). Ausmultiplizieren: \(3x + 6 = 3x - 6\). Subtraktion von \(3x\) führt auf den Widerspruch \(6 = -6\). 4. Interpretation: Die Gleichung hat keine Lösung. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion \(g\) die Gerade \(y = 1{,}5\) an keiner Stelle schneidet; der Funktionswert \(1{,}5\) wird nie erreicht.

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Die Schnittpunkte sind \(S_y(0 | -1{,}5)\) und \(S_x(2 | 0)\). b) Die Rechnung \(1{,}5 \cdot (2x+4) = 3x-6\) führt zu \(3x+6 = 3x-6\) bzw. \(6 = -6\). Da dies ein Widerspruch ist, gibt es keinen Schnittpunkt. Die Funktion nimmt den Wert \(1{,}5\) niemals an.

- Führe die Berechnungen für beide Funktionen getrennt durch und vergleiche die Ergebnisse. - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob zwei Punkte identisch sind? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Auflösen der Gleichungen.

1. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen) vergleichen: Für \(h_1\): \(0 = \frac{2}{x - 1} - 1 \implies 1 = \frac{2}{x - 1} \implies x - 1 = 2 \implies x = 3\). Punkt: \(S_{x1}(3 | 0)\). Für \(h_2\): \(0 = \frac{-2}{x - 1} + 1 \implies -1 = \frac{-2}{x - 1} \implies x - 1 = \frac{-2}{-1} = 2 \implies x = 3\). Punkt: \(S_{x2}(3 | 0)\). Die Graphen haben denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. 2. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse vergleichen: Für \(h_1\): \(h_1(0) = \frac{2}{0 - 1} - 1 = -2 - 1 = -3\). Punkt: \(S_{y1}(0 | -3)\). Für \(h_2\): \(h_2(0) = \frac{-2}{0 - 1} + 1 = 2 + 1 = 3\). Punkt: \(S_{y2}(0 | 3)\). Die Graphen haben unterschiedliche Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse.

Die Funktionen haben denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \((3 | 0)\). Sie haben jedoch unterschiedliche Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse: \(h_1\) schneidet bei \((0 | -3)\) und \(h_2\) bei \((0 | 3)\).

- Überprüfe für jede Funktion, ob du \(x=0\) einsetzen darfst. Was passiert im Nenner? - Wann kann ein Bruch den Wert Null annehmen? Schau dir dazu den Zähler genau an. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn eine Gleichung beim Suchen der Nullstelle keine Lösung hat?

1. Untersuchung von \(h_1(x) = \frac{4}{x} - 1\): - \(y\)-Achse: Der Wert \(x=0\) darf nicht eingesetzt werden, da der Nenner sonst Null wäre (\(x=0\) ist die Definitionslücke). Somit existiert kein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Nullstelle: Setze \(0 = \frac{4}{x} - 1\). Daraus folgt \(1 = \frac{4}{x}\) und somit \(x = 4\). \(h_1\) hat die Nullstelle \(x = 4\). 2. Untersuchung von \(h_2(x) = \frac{4}{x-1}\): - \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\). Es ergibt sich \(h_2(0) = \frac{4}{0-1} = -4\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -4)\). - Nullstelle: Setze \(0 = \frac{4}{x-1}\). Eine gebrochen-rationale Funktion ist nur dann Null, wenn ihr Zähler Null ist. Da der Zähler hier konstant \(4\) ist, kann die Gleichung nie erfüllt sein (\(0 = 4\) ist ein Widerspruch). Somit existiert keine Nullstelle. 3. Fazit: \(h_1\) hat keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. \(h_2\) hat keine Nullstelle.

Die Funktion \(h_1\) besitzt keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (da \(x=0\) nicht im Definitionsbereich liegt), aber eine Nullstelle bei \(x = 4\). Die Funktion \(h_2\) besitzt einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(S_y(0 | -4)\), aber keine Nullstelle (da der Zähler niemals Null wird).

- Ein Punkt auf dem Graphen bedeutet, dass seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. - Nutze den gegebenen Punkt, um die einzige unbekannte Größe in der Gleichung zu finden. - Wenn du die vollständige Funktionsgleichung hast, kannst du die Bedingung für Nullstellen anwenden.

1. Bestimmung von \(a\): Setze die Koordinaten von \(P(0 | 1{,}5)\) in \(f(x)\) ein. \(1{,}5 = \frac{a}{0+4} - 2 \Rightarrow 1{,}5 = \frac{a}{4} - 2 \Rightarrow 3{,}5 = \frac{a}{4} \Rightarrow a = 14\). 2. Berechnung der Nullstelle: Setze \(f(x) = 0\) mit \(a = 14\). \(0 = \frac{14}{x+4} - 2 \Rightarrow 2 = \frac{14}{x+4} \Rightarrow 2(x+4) = 14 \Rightarrow x+4 = 7 \Rightarrow x = 3\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(S_x(3 | 0)\).

a) \(a = 14\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 3\), der Schnittpunkt ist \(S_x(3 | 0)\).