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- Suche die Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse schneidet; dort ist \(y=0\). - Suche die Stelle, an der der Graph die \(y\)-Achse schneidet; dort ist \(x=0\). - Lies jeweils die andere Koordinate am Gitter ab.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Daher ist \(S_x(2\mid0)\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=1\). Daher ist \(S_y(0\mid1)\).

\(S_x(2\mid0)\), \(S_y(0\mid1)\)

- Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Prüfe kurz, ob dieser Wert zur Definitionsmenge gehört. - Setze ihn anschließend in den Funktionsterm ein.

1. Für einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). 2. Es ist \(f(0)=\frac{6}{2}-1=2\). 3. Daher lautet der Schnittpunkt \(S_y(0\mid2)\).

\(S_y(0\mid2)\)

- Welche \(x\)-Koordinate müsste ein Punkt auf der \(y\)-Achse haben? - Darf dieser Wert in den Nenner eingesetzt werden? - Was bedeutet das für einen möglichen \(y\)-Achsenschnittpunkt?

1. Ein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse müsste die \(x\)-Koordinate \(0\) haben. 2. Für \(x=0\) ist der Nenner des Bruchs null. Daher ist \(g(0)\) nicht definiert. 3. Der Graph besitzt deshalb keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

Nein. Bei \(x=0\) ist die Funktion nicht definiert, daher gibt es keinen \(S_y\).

- Welchen Wert hat \(x\) an der Stelle, an der ein Graph die \(y\)-Achse schneidet? - Welchen Wert hat \(y\) an der Stelle, an der ein Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Setze diese Werte nacheinander in die Gleichung ein und löse nach der gesuchten Variablen auf.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(x = 0\): \(y = \frac{12}{0 + 2} + 3 = 6 + 3 = 9\). Somit ist \(b = 9\). 2. Berechnung der Nullstelle \(a\) durch Einsetzen von \(y = 0\): \(0 = \frac{12}{x + 2} + 3 \Rightarrow -3 = \frac{12}{x + 2}\). 3. Auflösen nach \(x\): \(-3(x + 2) = 12 \Rightarrow x + 2 = -4 \Rightarrow x = -6\). Somit ist \(a = -6\).

c) \(a = -6; b = 9\)

- Unter welcher Bedingung ist ein Bruch gleich null? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Wert nicht zur Definitionsmenge gehört?

1. Für eine Nullstelle muss der Zähler null sein, während der Nenner ungleich null bleibt: \(2x-6=0\). Daraus folgt \(x=3\). Da \(3+1\neq0\), ist \(S_x(3\mid0)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(g(0)=\frac{-6}{1}=-6\). Also ist \(S_y(0\mid-6)\). 3. Für \(x=-1\) wird der Nenner null. Der Wert gehört nicht zur Definitionsmenge, daher existiert dort kein Graphenpunkt.

a) \(x=3\), also \(S_x(3\mid0)\) b) \(g(0)=-6\), also \(S_y(0\mid-6)\) c) Nein. \(x=-1\notin D_g\), weil dort der Nenner null ist.

- Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an einem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welche \(x\)-Koordinate hat jeder Punkt auf der \(y\)-Achse? - Wie kannst du die Gleichung in c) so umformen, dass der Bruch allein steht?

1. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(h(x)=0\). Also \(0=\frac{12}{x+4}-2\), damit \(2=\frac{12}{x+4}\), \(2(x+4)=12\), \(x+4=6\) und \(x=2\). Somit ist \(S_x(2\mid0)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(h(0)=\frac{12}{4}-2=1\). Somit ist \(S_y(0\mid1)\). 3. Für \(h(x)=4\) gilt \(4=\frac{12}{x+4}-2\). Daraus folgt \(6=\frac{12}{x+4}\), \(6(x+4)=12\), \(x+4=2\) und \(x=-2\).

a) \(S_x(2\mid0)\) b) \(S_y(0\mid1)\) c) \(x=-2\)

- Welche \(x\)-Koordinate haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Was passiert mathematisch, wenn du diesen speziellen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichungen einsetzt? - Gibt es Rechenoperationen, die für bestimmte Zahlen nicht erlaubt sind?

1. Für \(f\) gilt \(f(0)=-2\). Daher ist \(S_y(0\mid-2)\). 2. Für \(g\) würde \(x=0\) zu \(\frac{8}{0}\) führen. Da die Division durch null nicht definiert ist, gehört \(0\) nicht zur Definitionsmenge von \(g\); der Graph besitzt keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. 3. Für \(h\) gilt \(h(0)=0\). Daher ist \(S_y(0\mid0)\).

Für \(f\): \(S_y(0\mid-2)\) Für \(g\): kein \(S_y\), da \(0\) nicht zur Definitionsmenge gehört. Für \(h\): \(S_y(0\mid0)\)

- Wie findet man allgemein den Punkt, an dem ein Graph die \(y\)-Achse schneidet? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert gelten, wenn der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Kannst du die Gleichung nach der gesuchten Variablen umstellen?

1. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Es ist \(f(0)=\frac{8}{2}-2=2\), also \(S_y(0\mid2)\). 2. Für die \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\). Aus \(0=\frac{8}{x+2}-2\) folgt \(x=2\), also \(S_x(2\mid0)\). 3. Für \(g\) ist \(g(0)=\frac{-6}{-3}-1=1\), also \(S_y(0\mid1)\). 4. Aus \(0=\frac{-6}{x-3}-1\) folgt \(x=-3\), also \(S_x(-3\mid0)\).

Für \(f\): \(S_y(0\mid2)\) und \(S_x(2\mid0)\). Für \(g\): \(S_y(0\mid1)\) und \(S_x(-3\mid0)\).

- Für \(S_y\) suchst du den Schnitt des Graphen mit der senkrechten Achse. - Für \(S_x\) suchst du den Schnitt mit der waagrechten Achse. - Bei Punkten auf den Achsen entspricht der Abstand zum Ursprung dem Betrag der von null verschiedenen Koordinate.

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=-2\). Daher ist \(S_y(0\mid-2)\). 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\). Daher ist \(S_x(-1\mid0)\). 3. Der Abstand von \(S_x\) zum Ursprung beträgt \(1\) Einheit, der von \(S_y\) beträgt \(2\) Einheiten. Also liegt \(S_x\) näher am Ursprung.

a) \(S_y(0\mid-2)\) b) \(S_x(-1\mid0)\) c) \(S_x\), denn sein Abstand zum Ursprung beträgt \(1\) statt \(2\) Einheiten.

- Lies zuerst den Schnitt mit der senkrechten Achse ab. - Die Nullstelle erkennst du dort, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Für c) musst du keine Werte berechnen: Vergleiche nur, ob der Graph knapp links und rechts des Schnittpunkts ober- oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Auf der \(y\)-Achse liegt der Graph bei \(y=2{,}5\). Daher ist \(S_y(0\mid2{,}5)\). 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=3\). Somit ist \(S_x(3\mid0)\). 3. Auf diesem Ast liegt der Graph unmittelbar links von \(x=3\) oberhalb der \(x\)-Achse und unmittelbar rechts davon unterhalb. Die Funktionswerte wechseln dort von positiv zu negativ.

a) \(S_y(0\mid2{,}5)\) b) Nullstelle \(x=3\); \(S_x(3\mid0)\) c) Unmittelbar links von \(S_x\) sind die Funktionswerte positiv, unmittelbar rechts negativ.

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Wie kannst du mathematisch prüfen, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt? - Welchen Wert muss die \(x\)-Koordinate an der \(y\)-Achse immer haben?

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(x=0\): \(f(0)=\frac{8}{-2}-1=-5\). Daher ist \(S_y(0\mid-5)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(f(x)=0\): \(0=\frac{8}{x-2}-1\). Daraus folgt \(x-2=8\) und damit \(x=10\). Also ist \(S_x(10\mid0)\). 3. Für die Punktprobe gilt \(f(6)=\frac{8}{4}-1=1\). Das stimmt mit der \(y\)-Koordinate von \(P(6\mid1)\) überein, also liegt \(P\) auf dem Graphen.

a) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0\mid-5)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(10\mid0)\). b) Ja, denn \(f(6)=1\).

- Suche in jedem Teilbild zuerst die beiden Achsenschnitte. - Vergleiche für b) nur die \(x\)-Koordinaten der beiden \(S_x\). - Vergleiche für c) die \(y\)-Koordinaten der beiden \(S_y\).

1. Bei \(f\) liest man \(S_y(0\mid1{,}5)\) und \(S_x(2\mid0)\) ab. 2. Bei \(g\) liest man \(S_y(0\mid2)\) und \(S_x(8\mid0)\) ab. 3. Der \(x\)-Achsenschnittpunkt von \(g\) liegt weiter rechts, weil \(8>2\). 4. Auch der positive \(y\)-Achsenschnittpunkt von \(g\) ist größer, weil \(2>1{,}5\).

a) \(f: S_x(2\mid0), S_y(0\mid1{,}5)\); \(g: S_x(8\mid0), S_y(0\mid2)\) b) \(g\), weil \(8>2\). c) \(g\), weil \(2>1{,}5\).

- Welcher \(x\)-Wert würde den Nenner null machen? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Welche Bedingung gilt für den Funktionswert am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x-3\neq0\) folgt \(x\neq3\). Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(f(0)=\frac{10}{-3}-2=-\frac{16}{3}\). Somit ist \(S_y\left(0\mid-\frac{16}{3}\right)\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse setzt man \(f(x)=0\): \(0=\frac{10}{x-3}-2\). Daraus folgt \(2=\frac{10}{x-3}\), also \(x-3=5\) und \(x=8\). Somit ist \(S_x(8\mid0)\).

\(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\) \(S_y\left(0\mid-\frac{16}{3}\right)\), \(S_x(8\mid0)\)

- Welcher \(x\)-Wert macht den Nenner null? - Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an einer Nullstelle? - Wie prüfst du mit dem Funktionsterm, ob ein gegebener Punkt auf dem Graphen liegt?

1. Der Nenner wird für \(2x-5=0\), also bei \(x=2{,}5\), null. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{2{,}5\}\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{3}{2x-5}+1\). Daraus folgt \(\frac{3}{2x-5}=-1\), also \(3=-2x+5\) und \(x=1\). Somit ist \(S_x(1\mid0)\). 3. Für die Punktprobe gilt \(f(4)=\frac{3}{8-5}+1=2\). Daher liegt \(P(4\mid2)\) auf dem Graphen.

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{2{,}5\}\) b) \(S_x(1\mid0)\) c) Ja. \(f(4)=\frac{3}{8-5}+1=2\), also liegt \(P(4\mid2)\) auf dem Graphen.

- Welche Nenner können null werden, und was bedeutet das für die Definitionsmenge? - Unter welcher Bedingung ist ein Bruch gleich null? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Vergleiche für die Erklärung Zähler und Nenner der beiden Funktionsterme.

1. Für \(h\) darf \(x+1\) nicht null werden. Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Für die lineare Funktion gilt \(D_k=\mathbb{R}\). 2. Beide Funktionsterme werden für \(x=3\) null, weil ihr gemeinsamer Zähler \(x-3\) dort null ist und die jeweiligen Nenner ungleich null sind. Daher gilt \(S_{x,h}=S_{x,k}=(3\mid0)\). 3. Es ist \(h(0)=-3\) und \(k(0)=-\frac{3}{2}\). Somit sind \(S_{y,h}(0\mid-3)\) und \(S_{y,k}(0\mid-\frac{3}{2})\). 4. Die gemeinsame Nullstelle folgt aus dem gemeinsamen Faktor \(x-3\) im Zähler. Für \(x=0\) liefern die verschiedenen Nenner dagegen verschiedene Funktionswerte.

a) \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), \(D_k=\mathbb{R}\) b) \(S_{x,h}=S_{x,k}=(3\mid0)\) c) \(S_{y,h}(0\mid-3)\), \(S_{y,k}(0\mid-\frac{3}{2})\) d) Die gemeinsame Nullstelle entsteht durch den gemeinsamen Zähler \(x-3\); bei \(x=0\) führen die verschiedenen Nenner zu verschiedenen Funktionswerten.

- Welcher \(x\)-Wert macht den Nenner null? - Welcher konstante Summand bestimmt die waagrechte Asymptote der Hyperbel? - Welche Bedingungen gelten für die beiden Achsenschnittpunkte?

1. Aus \(x+3=0\) folgt die senkrechte Asymptote \(x=-3\). 2. Der konstante Term \(-1\) liefert die waagrechte Asymptote \(y=-1\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(f(0)=\frac{6}{3}-1=1\). Somit ist \(S_y(0\mid1)\). 4. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{6}{x+3}-1\). Daraus folgt \(1=\frac{6}{x+3}\), also \(x+3=6\) und \(x=3\). Somit ist \(S_x(3\mid0)\).

a) \(x=-3\) und \(y=-1\) b) \(S_y(0\mid1)\) c) \(x=3\), also \(S_x(3\mid0)\)

- Welches Argument gehört zu jedem Punkt auf der \(y\)-Achse? - Welchen Funktionswert haben Punkte auf der \(x\)-Achse? - Wie kannst du ein gegebenes Wertepaar durch Einsetzen überprüfen?

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=\frac{-12}{1}=-12\). Daher ist \(S_y(0\mid-12)\). 2. Für \(f(x)=0\) muss der Zähler null sein. Aus \(4x-12=0\) folgt \(x=3\). Der Nenner ist dort \(10\neq0\), also ist \(S_x(3\mid0)\). 3. Es ist \(f(1)=\frac{4-12}{1+1}=\frac{-8}{2}=-4\). Daher liegt \(P(1\mid-4)\) auf dem Graphen.

a) \(f(0)=-12\), also \(S_y(0\mid-12)\) b) \(x=3\), also \(S_x(3\mid0)\) c) Ja. \(f(1)=-4\), also liegt \(P(1\mid-4)\) auf dem Graphen.

- Welchen \(x\)-Wert setzt du für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Welche Bedingung gilt für den Funktionswert am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Wie liest du aus einem Punkt auf einer Koordinatenachse seinen Abstand vom Ursprung ab?

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(f(0)=\frac{6}{2}-1=2\). Somit ist \(S_y(0\mid2)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{6}{x+2}-1\). Daraus folgt \(1=\frac{6}{x+2}\), also \(x+2=6\) und \(x=4\). Somit ist \(S_x(4\mid0)\). 3. Der Abstand von \(S_y\) zum Ursprung beträgt \(2\), der Abstand von \(S_x\) beträgt \(4\). Daher liegt \(S_x\) weiter vom Ursprung entfernt.

a) \(S_x(4\mid0)\), \(S_y(0\mid2)\) b) \(S_x\), denn \(S_x(4\mid0)\) hat Abstand \(4\) und \(S_y(0\mid2)\) Abstand \(2\) vom Ursprung.

- Wo schneidet der Graph die waagrechte und die senkrechte Koordinatenachse? - Welche Koordinaten dieser beiden Punkte geben die Kathetenlängen des Dreiecks an? - Welche Flächenformel gilt für ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Aus dem Graphen liest man \(S_x(2\mid0)\) und \(S_y(0\mid1)\) ab. 2. Die Kathetenlängen des Dreiecks betragen \(2\) und \(1\). 3. Daher beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac{1}{2}\cdot2\cdot1=1\) Flächeneinheit.

a) \(S_x(2\mid0)\), \(S_y(0\mid1)\) b) \(A=1\) Flächeneinheit

- Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an \(S_x\)? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für \(S_y\) ein? - Was passiert mit einem Bruch, wenn sein Nenner immer größer wird?

1. Für die Nullstelle gilt \(0=-\frac{3}{x+1}+2\). Daraus folgt \(2=\frac{3}{x+1}\), also \(2x+2=3\) und \(x=0{,}5\). Somit ist \(S_x(0{,}5\mid0)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(h(0)=-3+2=-1\). Somit ist \(S_y(0\mid-1)\). 3. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird der Bruchteil betragsmäßig immer kleiner. Daher nähern sich die Funktionswerte dem Wert \(2\); die waagrechte Asymptote ist \(y=2\).

a) \(S_x(0{,}5\mid0)\) b) \(S_y(0\mid-1)\), denn \(h(0)=-1\); dies stimmt mit der Abbildung überein. c) Die Funktionswerte nähern sich \(2\); die waagrechte Asymptote ist \(y=2\).

- Für \(S_x\) suchst du die Stelle, an der der Graph die waagrechte Achse schneidet. - Für \(S_y\) suchst du den Schnitt mit der senkrechten Achse. - Beobachte für die senkrechte Asymptote, welcher senkrechten Gitterlinie sich beide Äste annähern.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=0{,}5\). Daher ist \(S_x(0{,}5\mid0)\). 2. Auf der \(y\)-Achse liegt der Graph bei \(y=1\). Daher ist \(S_y(0\mid1)\). 3. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=-1\). Damit liegt \(S_x\) rechts von der senkrechten Asymptote.

a) \(S_x(0{,}5\mid0)\) b) \(S_y(0\mid1)\) c) Senkrechte Asymptote \(x=-1\); \(S_x\) liegt rechts davon.

- Welche senkrechte Gitterlinie wird von den Ästen angenähert? - Wo schneidet die Kurve tatsächlich die \(x\)-Achse? - Welche der beiden Stellen gehört zum Graphen und welche nicht?

1. Die Graphäste nähern sich der senkrechten Geraden \(x=1\). Daher ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=3\). Somit ist \(S_x(3\mid0)\). 3. Bei \(x=1\) ist die Funktion nicht definiert; dort gibt es keinen Graphpunkt. Eine Nullstelle ist dagegen ein definierter Graphpunkt mit \(y=0\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=1\) b) \(S_x(3\mid0)\) c) An der Asymptote ist die Funktion nicht definiert; eine Nullstelle ist ein definierter Punkt auf der \(x\)-Achse.

- Welche Gleichung erhältst du aus jedem der beiden gegebenen Achsenschnittpunkte? - Welche Unbekannte verschwindet, wenn du die beiden Gleichungen addierst? - Wie kannst du den danach bestimmten Parameter in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen?

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=2\) folgt \(b=-2\). Damit gilt \(f(x)=\frac{a}{x-2}+c\). 2. Einsetzen von \(S_x(4\mid0)\) liefert \(0=\frac{a}{2}+c\). 3. Einsetzen von \(S_y(0\mid-1)\) liefert \(-1=-\frac{a}{2}+c\). 4. Addiert man beide Gleichungen, fällt \(a\) weg: \(-1=2c\). Also ist \(c=-\frac{1}{2}\). 5. Einsetzen in \(0=\frac{a}{2}+c\) ergibt \(0=\frac{a}{2}-\frac{1}{2}\), also \(a=1\).

Aus \(S_x\): \(0=\frac{a}{2}+c\). Aus \(S_y\): \(-1=-\frac{a}{2}+c\). Addieren liefert \(-1=2c\), also \(c=-\frac{1}{2}\). Einsetzen ergibt \(a=1\).

- Welche Gleichung erhältst du, wenn du jeden gegebenen Achsenschnittpunkt in den Funktionsterm einsetzt? - Welche der beiden Gleichungen lässt sich besonders einfach nach \(c\) auflösen? - Wo setzt du den so erhaltenen Ausdruck für \(c\) ein?

1. Aus \(S_y(0\mid3)\) folgt \(a+c=3\). 2. Aus \(S_x(2\mid0)\) folgt \(\frac{a}{3}+c=0\). 3. Die zweite Gleichung wird nach \(c\) aufgelöst: \(c=-\frac{a}{3}\). 4. Einsetzen in \(a+c=3\) ergibt \(a-\frac{a}{3}=3\), also \(\frac{2a}{3}=3\) und damit \(a=\frac{9}{2}=4{,}5\). 5. Es folgt \(c=-\frac{4{,}5}{3}=-1{,}5\). Somit ist \(f(x)=\frac{4{,}5}{x+1}-1{,}5\).

Gleichungen: \(a+c=3\) und \(\frac{a}{3}+c=0\). Einsetzungsverfahren: \(c=-\frac{a}{3}\), daher \(a-\frac{a}{3}=3\) und \(a=4{,}5\). Dann \(c=-1{,}5\). \(f(x)=\frac{4{,}5}{x+1}-1{,}5\)

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn ein gegebener Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Koordinate ist für einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse festgelegt? - Welche Bedingung gilt für den Funktionswert am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Einsetzen von \(P(2\mid-1)\) ergibt \(-1=\frac{a}{4}-4\). Also ist \(3=\frac{a}{4}\) und damit \(a=12\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(g(0)=\frac{12}{2}-4=2\). Somit ist \(S_y(0\mid2)\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{12}{x+2}-4\). Daraus folgt \(4=\frac{12}{x+2}\), also \(x+2=3\) und \(x=1\). Somit ist \(S_x(1\mid0)\).

a) \(a=12\) b) \(S_y(0\mid2)\) und \(S_x(1\mid0)\)

- Berechne zunächst systematisch für beide Funktionen die Stellen, an denen der Graph die Achsen schneidet. - Erinnerst du dich, was passiert, wenn ein Funktionswert an der Stelle \(0\) genau \(0\) ergibt? - Schau dir die Abstände der Schnittpunkte vom Ursprung des Koordinatensystems an.

1. Für \(f\) gilt \(f(0)=0\). Damit ist der Ursprung zugleich \(S_y(0\mid0)\) und \(S_x(0\mid0)\). 2. Für \(g\) gilt \(g(0)=-4\). Daher ist \(S_y(0\mid-4)\). 3. Aus \(0=-\frac{4}{x+2}-2\) folgt \(x=-4\). Daher ist \(S_x(-4\mid0)\). 4. Die beiden Achsenschnittpunkte von \(g\) liegen jeweils \(4\) Einheiten vom Ursprung entfernt auf den negativen Halbachsen; \(f\) schneidet beide Achsen im Ursprung.

Schnittpunkte von \(f\): \(S_x(0\mid0)\) und \(S_y(0\mid0)\) (Ursprung). Schnittpunkte von \(g\): \(S_x(-4\mid0)\) und \(S_y(0\mid-4)\). Vergleich: Während \(f\) durch den Ursprung geht, liegen die beiden Achsenschnittpunkte von \(g\) jeweils \(4\) Einheiten vom Ursprung entfernt auf den negativen Halbachsen.

- Welche Gleichung muss gelten, wenn der Ursprung auf dem Graphen liegt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen von \(a\) alle Nullstellen der Funktion prüfen? - Warum kann es bei einer Funktion nur einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse geben?

1. Da der Graph durch \((0\mid0)\) verläuft, gilt \(f(0)=0\). Also \(0=\frac{a}{-4}+2\), damit \(\frac{a}{4}=2\) und \(a=8\). 2. Für \(a=8\) gilt \(f(x)=\frac{8}{x-4}+2\). Der Punkt \((0\mid0)\) ist bereits der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. 3. Für weitere Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse löst man \(0=\frac{8}{x-4}+2\). Daraus folgt \(-2=\frac{8}{x-4}\), also \(x-4=-4\) und \(x=0\). 4. Damit ist \((0\mid0)\) der einzige Achsenschnittpunkt.

a) \(a=8\) b) Es gibt keine weiteren Achsenschnittpunkte: Für die \(x\)-Achse liefert \(\frac{8}{x-4}+2=0\) nur \(x=0\), und auf der \(y\)-Achse ist ebenfalls nur \(x=0\) möglich. Somit ist \((0\mid0)\) zugleich \(S_x\) und \(S_y\).

- Wie bestimmt man die Stelle, an der ein Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Was ist mit dem „Abstand vom Ursprung“ auf der \(x\)-Achse gemeint? - Kannst du die beiden Gleichungen Schritt für Schritt nach \(x\) auflösen?

1. Berechnung der Nullstelle von \(f\): Setze \(f(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{10}{x-2} - 4 \Rightarrow 4 = \frac{10}{x-2} \Rightarrow x-2 = \frac{10}{4} = 2{,}5 \Rightarrow x = 4{,}5\). Die Nullstelle liegt bei \(x_f = 4{,}5\). 2. Berechnung der Nullstelle von \(g\): Setze \(g(x) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{10}{x-4} - 2 \Rightarrow 2 = \frac{10}{x-4} \Rightarrow x-4 = \frac{10}{2} = 5 \Rightarrow x = 9\). Die Nullstelle liegt bei \(x_g = 9\). 3. Vergleich der Abstände: Da \(|9| > |4{,}5|\), liegt die Nullstelle von \(g\) weiter vom Ursprung entfernt.

Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x = 9\), die von \(f\) bei \(x = 4{,}5\). Somit liegt die Nullstelle der Funktion \(g\) weiter vom Koordinatenursprung entfernt.

- Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an einem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welche Gleichung erhältst du, wenn du den gegebenen \(x\)-Wert einsetzt? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein?

1. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x=5\) bedeutet \(g_a(5)=0\). Also \(0=\frac{a}{3}+3\), damit \(a=-9\). 2. Für \(a=-9\) gilt \(g(x)=\frac{-9}{x-2}+3\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(g(0)=\frac{-9}{-2}+3=7{,}5\). Somit ist \(S_y(0\mid7{,}5)\).

a) \(a=-9\) b) \(S_y(0\mid7{,}5)\)

- Welche \(x\)-Koordinate hat der gegebene Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Welche Gleichung für \(b\) entsteht beim Einsetzen dieses Punktes? - Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an einer Nullstelle?

1. Aus \(g(0)=-2\) folgt \(-2=\frac{8}{b}+2\). Also \(-4=\frac{8}{b}\) und damit \(b=-2\). 2. Damit gilt \(g(x)=\frac{8}{x-2}+2\). 3. Für die Nullstelle setzt man \(g(x)=0\): \(0=\frac{8}{x-2}+2\). Daraus folgt \(-2=\frac{8}{x-2}\), also \(x-2=-4\) und \(x=-2\).

a) \(b=-2\) b) \(x=-2\), also \(S_x(-2\mid0)\)

- Bestimme die beiden Achsenschnittpunkte für jede Funktion getrennt. - Welcher Teil der beiden Funktionsterme ist gleich, welcher verschieden? - Welche geometrische Wirkung hat der konstante Term am Ende?

1. Für \(f\) gilt \(f(0)=-1\), also \(S_{y,f}(0\mid-1)\). Aus \(0=\frac{4}{x-2}+1\) folgt \(x=-2\), also \(S_{x,f}(-2\mid0)\). 2. Für \(h\) gilt \(h(0)=-3\), also \(S_{y,h}(0\mid-3)\). Aus \(0=\frac{4}{x-2}-1\) folgt \(x=6\), also \(S_{x,h}(6\mid0)\). 3. Die konstanten Terme \(+1\) und \(-1\) verschieben den Graphen des gemeinsamen Bruchteils \(\frac{4}{x-2}\) unterschiedlich nach oben bzw. unten. Dadurch liegen auch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an unterschiedlichen Stellen.

a) \(f\): \(S_{y,f}(0\mid-1)\), \(S_{x,f}(-2\mid0)\); \(h\): \(S_{y,h}(0\mid-3)\), \(S_{x,h}(6\mid0)\) b) Die unterschiedlichen Verschiebungen in \(y\)-Richtung verändern die Lage der gesamten Graphen und damit auch ihre Achsenschnittpunkte.

- Ist \(x=0\) bei beiden Funktionen Teil der Definitionsmenge? - Wann kann ein Bruch den Wert \(0\) annehmen? - Welche dieser beiden Ursachen verhindert jeweils einen Achsenschnittpunkt?

1. Für \(f\) ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Daher ist \(x=0\) nicht erlaubt und der Graph besitzt keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. 2. Für einen Schnittpunkt von \(f\) mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{2}{x}+3\). Daraus folgt \(x=-\frac{2}{3}\), also \(S_{x,f}\left(-\frac{2}{3}\mid0\right)\). 3. Für \(g\) gilt \(g(0)=\frac{2}{3}\), also \(S_{y,g}\left(0\mid\frac{2}{3}\right)\). 4. Die Gleichung \(\frac{2}{x+3}=0\) besitzt keine Lösung, weil der konstante Zähler \(2\) nie null wird. Daher hat \(g\) keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

\(f\) hat keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, weil \(0\notin D_f\); außerdem ist \(S_{x,f}\left(-\frac{2}{3}\mid0\right)\). \(g\) hat \(S_{y,g}\left(0\mid\frac{2}{3}\right)\), aber keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, weil der konstante Zähler \(2\) nie null wird.

- Welche Gleichung entsteht aus der gegebenen Nullstelle? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Unter welcher Bedingung kann ein Bruch überhaupt den Wert \(0\) annehmen?

1. Aus \(h(7)=0\) folgt \(0=\frac{12}{4}+c=3+c\). Daher ist \(c=-3\). 2. Für \(h(x)=\frac{12}{x-3}-3\) gilt \(h(0)=\frac{12}{-3}-3=-7\). Somit ist \(S_y(0\mid-7)\). 3. Für \(j\) müsste an einem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse \(\frac{12}{x-3}=0\) gelten. Ein Bruch kann nur dann null sein, wenn sein Zähler null ist. Der Zähler ist hier konstant \(12\), also gibt es keinen solchen Schnittpunkt.

a) \(c=-3\) und \(S_y(0\mid-7)\) b) \(j\) besitzt keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, weil der Zähler \(12\) nie null wird.

- Welche senkrechte und waagrechte Asymptote liest du aus ihrem Schnittpunkt ab? - Wie hängen diese beiden Asymptoten mit \(b\) und \(c\) in \(\frac{a}{x+b}+c\) zusammen? - Welche Gleichung erhältst du aus der gegebenen Nullstelle?

1. Der Schnittpunkt der Asymptoten liefert die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\). Daher gilt \(b=-2\) und \(c=-1\). 2. Somit hat die Funktion die Form \(h(x)=\frac{a}{x-2}-1\). 3. Die Nullstelle bei \(x=4\) bedeutet \(h(4)=0\). Also \(0=\frac{a}{2}-1\), damit \(a=2\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x)=\frac{2}{x-2}-1\).

\(h(x)=\frac{2}{x-2}-1\)

- Welche Gleichung erhältst du aus dem gegebenen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wie kannst du daraus zuerst den Zählerparameter bestimmen? - Welche Bedingung gilt anschließend für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Aus \(g(0)=1\) folgt \(1=\frac{a}{4}-2\). Damit ist \(3=\frac{a}{4}\) und \(a=12\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{12}{x+4}-2\). Daraus folgt \(2=\frac{12}{x+4}\), also \(x+4=6\) und \(x=2\). 3. Somit ist \(S_x(2\mid0)\).

a) \(a=12\) b) \(S_x(2\mid0)\)

- Berechne zuerst den \(x\)-Wert, für den die erste Funktion den Wert Null annimmt. - Wenn beide Funktionen dieselbe Nullstelle haben, was bedeutet das für den Funktionswert von \(g\) an dieser speziellen Stelle? - Setze den gefundenen \(x\)-Wert in die zweite Gleichung ein und löse nach dem gesuchten Buchstaben auf.

1. Berechnung der Nullstelle von \(f\) durch \(f(x) = 0\): \(0 = \frac{4}{x-2} + 2\). 2. Umstellen: \(-2 = \frac{4}{x-2} \Rightarrow -2 \cdot (x-2) = 4 \Rightarrow x-2 = -2 \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x = 0\). 3. Damit \(g\) dieselbe Nullstelle hat, muss \(g(0) = 0\) gelten: \(0 = \frac{a}{0-2} + 4\). 4. Auflösen nach \(a\): \(0 = -\frac{a}{2} + 4 \Rightarrow \frac{a}{2} = 4 \Rightarrow a = 8\).

a) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 0\). b) Der Parameter \(a\) muss den Wert \(8\) haben.

- Welche Gleichung folgt aus dem gegebenen \(y\)-Achsenschnittpunkt? - Welche Bedingung gilt am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Was müsste der Bruchteil der Funktion ergeben, damit der gesamte Funktionswert \(-4\) wäre?

1. Aus \(h(0)=2\) folgt \(2=\frac{24}{b}-4\). Also \(6=\frac{24}{b}\) und damit \(b=4\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{24}{x+4}-4\). Daraus folgt \(4=\frac{24}{x+4}\), also \(x+4=6\) und \(x=2\). Somit ist \(S_x(2\mid0)\). 3. Für \(h(x)=-4\) müsste \(-4=\frac{24}{x+4}-4\) gelten. Das führt auf \(0=\frac{24}{x+4}\). Ein Bruch mit dem von null verschiedenen Zähler \(24\) kann nicht null werden. Daher wird \(-4\) nicht angenommen.

a) \(b=4\) b) \(S_x(2\mid0)\) c) Der Funktionswert \(-4\) wird nie erreicht, weil dafür \(\frac{24}{x+4}=0\) gelten müsste.

- Welche Gleichung beschreibt die ausgeschlossene Nennerstelle? - Unter welcher Bedingung ist ein Bruch gleich null? - Beachte beim Lösen von \(g(x)=1\) zuerst die Definitionsmenge und prüfe deine Lösung anschließend im ursprünglichen Term. - Welcher Teil des Funktionsterms enthält \(b\), und welcher Teil bestimmt die Nullstelle?

1. Der ausgeschlossene Wert entsteht durch \(x+b=0\). Weil \(x=-5\) ausgeschlossen ist, gilt \(-5+b=0\), also \(b=5\). 2. Für die Nullstelle muss der Zähler null und der Nenner ungleich null sein: \(2x-6=0\). Daraus folgt \(x=3\); der Nenner ist dort \(8\neq0\). 3. Mit \(b=5\) lautet die Bruchgleichung \(\frac{2x-6}{x+5}=1\). Für \(x\neq-5\) folgt \(2x-6=x+5\), also \(x=11\). Probe: \(g(11)=\frac{22-6}{16}=1\). 4. Der Parameter \(b\) verändert nur den Nenner und damit die ausgeschlossene Stelle. Die Nullstelle wird durch den Zähler \(2x-6\) bestimmt, sofern der Nenner bei \(x=3\) nicht null ist.

a) \(b=5\) b) \(x=3\) c) \(x=11\); Probe: \(g(11)=1\) d) Die Nullstelle wird durch \(2x-6=0\) bestimmt; \(b\) darf nur nicht dazu führen, dass \(x=3\) ausgeschlossen ist.

- Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Was bedeutet „derselbe Schnittpunkt“ für den Funktionswert von \(h_2\) bei diesem \(x\)-Wert? - Unter welcher Bedingung kann ein Bruch den Wert \(0\) annehmen?

1. \(h_1(0)=\frac{4}{-2}+1=-1\). Daher ist \(S_{y,h_1}(0\mid-1)\). 2. Für denselben \(y\)-Achsenschnittpunkt muss \(h_2(0)=-1\) gelten. Da \(h_2(0)=a\), folgt \(a=-1\). 3. Für \(h_1\) gilt \(0=\frac{4}{x-2}+1\), also \(x=-2\). Damit besitzt \(h_1\) den Schnittpunkt \(S_{x,h_1}(-2\mid0)\). 4. Für \(h_2(x)=\frac{-1}{x+1}\) kann der Funktionswert nie null werden, weil der Zähler konstant \(-1\) ist. Daher besitzt \(h_2\) keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) \(S_{y,h_1}(0\mid-1)\) b) \(a=-1\) c) \(h_2\) besitzt keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, weil sein Zähler konstant \(-1\) ist; \(h_1\) besitzt dagegen \(S_{x,h_1}(-2\mid0)\).

- Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an der gegebenen Nullstelle? - Welcher \(x\)-Wert macht den Nenner null? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein?

1. Aus \(g(5)=0\) folgt \(0=\frac{a}{2}-4\). Daher ist \(a=8\). 2. Der Nenner wird bei \(x=3\) null. Somit ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(g(0)=\frac{8}{-3}-4=-\frac{20}{3}\). Also ist \(S_y\left(0\mid-\frac{20}{3}\right)\).

a) \(a=8\) b) \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\) c) \(S_y\left(0\mid-\frac{20}{3}\right)\)

- Welche Bedingung gilt für den Funktionswert an einer Nullstelle? - Kann ein Bruch mit einem festen Zähler ungleich null den Wert \(0\) annehmen? - Welcher \(x\)-Wert macht jeweils den Nenner null?

1. Für \(h_1\) gilt \(0=\frac{6}{x}-2\). Daraus folgt \(2=\frac{6}{x}\) und \(x=3\). Also ist \(S_{x,h_1}(3\mid0)\). 2. Für \(h_2\) müsste \(0=\frac{6}{x-2}\) gelten. Das ist unmöglich, weil der Zähler konstant \(6\) ist. Daher besitzt \(h_2\) keine Nullstelle. 3. Bei \(h_1\) ist \(x=0\) ausgeschlossen: \(D_{h_1}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Bei \(h_2\) ist \(x=2\) ausgeschlossen: \(D_{h_2}=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

a) \(x=3\) b) \(h_2\) besitzt keine Nullstelle, weil der konstante Zähler \(6\) nicht null werden kann. c) \(D_{h_1}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\), \(D_{h_2}=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\), weil jeweils dieser Wert den Nenner null macht.

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Welche Operation beseitigt in b) den Nenner, und für welche \(x\)-Werte ist sie zulässig? - Was bedeutet ein Widerspruch nach dem Umformen für die Lösungsmenge der Bruchgleichung?

1. Der Nenner wird bei \(2x+4=0\), also bei \(x=-2\), null. Daher ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Für \(g(x)=1{,}5\) gilt \(\frac{3x-6}{2x+4}=1{,}5\). Multiplikation mit \(2x+4\) ist für \(x\in D_g\) erlaubt und ergibt \(3x-6=3x+6\). 3. Daraus folgt der Widerspruch \(-6=6\). Die Bruchgleichung besitzt also keine Lösung. Der Graph schneidet die Gerade \(y=1{,}5\) nicht. 4. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(g(0)=-1{,}5\), also \(S_y(0\mid-1{,}5)\). 5. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse muss der Zähler null sein: \(3x-6=0\). Daraus folgt \(x=2\), also \(S_x(2\mid0)\).

a) \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) b) \(3x-6=3x+6\) führt zu \(-6=6\); daher gibt es keine Lösung und der Graph schneidet \(y=1{,}5\) nicht. c) \(S_y(0\mid-1{,}5)\) und \(S_x(2\mid0)\)

- Wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, welchen Wert hat dann die zugehörige \(y\)-Koordinate? - Nutze die Information über den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, um eine Gleichung für die Unbekannte aufzustellen. - Sobald du die vollständige Funktionsgleichung kennst, kannst du jeden beliebigen Punkt des Graphen berechnen.

1. Aus der Nullstelle bei \(x=-4\) folgt \(g(-4)=0\). Damit ist \(0=\frac{a}{-1}+4=-a+4\), also \(a=4\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(g(0)=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}\). Somit ist \(S_y\left(0\mid\frac{16}{3}\right)\).

a) \(a=4\) b) \(S_y\left(0\mid\frac{16}{3}\right)\)

- Führe die Berechnungen für beide Funktionen getrennt durch und vergleiche die Ergebnisse. - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob zwei Punkte identisch sind? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Auflösen der Gleichungen.

1. Aus \(h_1(x)=0\) folgt \(\frac{2}{x-1}=1\) und damit \(x=3\). Also ist \(S_{x,h_1}(3\mid0)\). 2. Aus \(h_2(x)=0\) folgt \(\frac{-2}{x-1}=-1\) und ebenfalls \(x=3\). Also ist \(S_{x,h_2}(3\mid0)\). 3. Es gilt \(h_1(0)=-3\) und \(h_2(0)=3\). Daher sind \(S_{y,h_1}(0\mid-3)\) und \(S_{y,h_2}(0\mid3)\) verschieden.

Die Funktionen haben denselben Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_{x,h_1}=S_{x,h_2}=(3\mid0)\). Ihre Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse sind verschieden: \(S_{y,h_1}(0\mid-3)\) und \(S_{y,h_2}(0\mid3)\).

- Nutze den gegebenen Punkt auf der \(y\)-Achse, um die Unbekannte \(a\) in der Gleichung zu finden. - Wenn du \(a\) gefunden hast, schreibe die vollständige Funktionsgleichung auf, bevor du weiterrechnest. - Erinnerst du dich, welche Bedingung für eine Nullstelle erfüllt sein muss?

1. Aus \(g(0)=3\) folgt \(3=-\frac{a}{2}+4\). Daher ist \(a=2\) und \(g(x)=\frac{2}{x-2}+4\). 2. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{2}{x-2}+4\). Daraus folgt \(-4=\frac{2}{x-2}\), also \(-4(x-2)=2\). 3. Damit ist \(x=\frac{3}{2}=1{,}5\).

Der Parameter ist \(a=2\). Die Nullstelle ist \(x=1{,}5\).

- Überlege dir, welche Werte für \(x\) du in die Funktion \(f\) überhaupt einsetzen darfst. - Kann ein Bruch den Wert Null ergeben, wenn im Zähler eine Zahl ungleich Null steht? - Welche Bedingungen gelten für die beiden Achsenschnittpunkte von \(g\)?

1. Für einen Schnittpunkt von \(f\) mit der \(y\)-Achse müsste \(x=0\) zur Definitionsmenge gehören; dort ist \(f\) jedoch nicht definiert. Für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse müsste \(f(x)=0\) gelten. Das ist bei dem konstanten Zähler \(1\) unmöglich. 2. Für den Schnittpunkt von \(g\) mit der \(y\)-Achse gilt \(g(0)=\frac{4}{-2}+1=-1\). Somit ist \(S_y(0\mid-1)\). 3. Für den Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{4}{x-2}+1\). Daraus folgt \(-1=\frac{4}{x-2}\), also \(x=-2\). Somit ist \(S_x(-2\mid0)\).

a) \(f\) ist bei \(x=0\) nicht definiert und besitzt deshalb keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Außerdem kann der Zähler \(1\) nicht null werden, daher besitzt \(f\) keine Nullstelle. b) Die Schnittpunkte von \(g\) sind \(S_y(0\mid-1)\) und \(S_x(-2\mid0)\).

- Welche Gleichung beschreibt eine Nullstelle? - Wie nutzt du einen gegebenen Punkt, um einen unbekannten Parameter zu bestimmen? - Was ändert sich in der Nullstellengleichung im Sonderfall \(c=0\)?

1. Für \(c=-2\) gilt \(0=\frac{6}{x}-2\). Daraus folgt \(x=3\). 2. Aus \(P(3\mid4)\) folgt \(4=\frac{6}{3}+c=2+c\). Daher ist \(c=2\). 3. Für \(c\neq0\) besitzt \(0=\frac{6}{x}+c\) die Lösung \(x=-\frac{6}{c}\). Für \(c=0\) müsste dagegen \(\frac{6}{x}=0\) gelten, was wegen des konstanten Zählers \(6\) unmöglich ist. Daher gibt es genau für \(c=0\) keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) \(x=3\) b) \(c=2\) c) Genau für \(c=0\) gibt es keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: Für \(c\neq0\) existiert \(x=-\frac{6}{c}\), während bei \(c=0\) die unmögliche Gleichung \(\frac{6}{x}=0\) entstünde.

- Welche Bedingungen gelten für die beiden Achsenschnittpunkte? - Für die Dreiecksseiten brauchst du die Beträge der beiden Achsenabschnitte. - Welche Flächenformel gilt für ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(f(0)=\frac{12}{-4}+1{,}5=-1{,}5\). Somit ist \(S_y(0\mid-1{,}5)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{12}{x-4}+1{,}5\). Daraus folgt \(-1{,}5=\frac{12}{x-4}\), also \(x-4=-8\) und \(x=-4\). Somit ist \(S_x(-4\mid0)\). 3. Die Kathetenlängen sind \(4\) und \(1{,}5\). Daher beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac{1}{2}\cdot4\cdot1{,}5=3\) Flächeneinheiten.

a) \(S_x(-4\mid0)\), \(S_y(0\mid-1{,}5)\) b) \(A=3\) Flächeneinheiten

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche Koordinaten dieses Punktes kannst du direkt in die gegebene Funktionsfamilie einsetzen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen von \(a\) für die Lage der Hyperbeläste?

1. Am Graphen liest man \(S_x(2\mid0)\) ab. 2. Der Punkt liegt auf dem Graphen. Daher gilt \(0=\frac{a}{2+1}+2\). Also ist \(\frac{a}{3}=-2\) und \(a=-6\). 3. Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \((-1\mid2)\). Weil \(a<0\) ist, liegt der linke Ast links oberhalb und der rechte Ast rechts unterhalb dieses Punktes; das stimmt mit der Abbildung überein.

a) \(S_x(2\mid0)\) b) \(a=-6\) c) Weil \(a<0\) ist, liegt relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten der linke Ast links oberhalb und der rechte Ast rechts unterhalb. Diese Astlage ist gegenüber dem Fall \(a>0\) gespiegelt.

- Welcher \(x\)-Wert ist bei \(x+b\) im Nenner ausgeschlossen? - Welche \(x\)-Koordinate haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Für eine „genau dann“-Aussage musst du beide Richtungen prüfen. Welche zwei Fälle sind das hier?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x+b\neq0\) folgt \(x\neq-b\). Daher ist \(D_h=\mathbb{Q}\setminus\{-b\}\). 2. Ein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt voraus, dass \(x=0\) zur Definitionsmenge gehört. 3. Für \(b=0\) ist \(x=0\) ausgeschlossen. Dann besitzt der Graph keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. 4. Für \(b\neq0\) gehört \(0\) zur Definitionsmenge und \(h(0)=\frac{1}{b}+c\) ist definiert. Dann besitzt der Graph einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. 5. Die Behauptung ist damit wahr. Bei \(b=0\) ist die senkrechte Asymptote \(x=0\), also die \(y\)-Achse selbst.

Die Behauptung ist wahr. Genau für \(b=0\) ist \(x=0\) aus \(D_h\) ausgeschlossen; dann ist die \(y\)-Achse zugleich die senkrechte Asymptote und der Graph hat keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.