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- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner sehr groß oder sehr nah an Null wird? - Welche Zahl darf man für \(x\) nicht einsetzen? - Vergleiche die Faktoren im Zähler: Wie beeinflussen sie die „Weite“ der Hyperbeläste? - Setze den gegebenen \(x\)-Wert einfach in die Gleichungen ein.

1. Analyse der Gemeinsamkeiten: Beide Funktionen sind hyperbolisch. Da der Nenner nicht Null sein darf, ist der maximale Definitionsbereich \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Die Achsen des Koordinatensystems sind die Asymptoten: Die senkrechte Asymptote ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)), die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)). 2. Vergleich der Parameter: Der Betrag des Zählers bestimmt den Abstand zum Ursprung. Da \(|0{,}6| < |3|\) gilt, verläuft der Graph von \(g\) näher am Ursprung als der Graph von \(f\). 3. Berechnung der Funktionswerte: - \(f(1{,}5) = \frac{3}{1{,}5} = 2\) - \(g(1{,}5) = \frac{0{,}6}{1{,}5} = 0{,}4\)

a) Beide Graphen haben die \(y\)-Achse (\(x=0\)) als senkrechte und die \(x\)-Achse (\(y=0\)) als waagerechte Asymptote. Der Definitionsbereich ist jeweils \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). b) Der Graph von \(g\) liegt näher am Ursprung, da der Betrag des Parameters im Zähler (\(0{,}6\)) kleiner ist als bei \(f\) (\(3\)). c) \(f(1{,}5) = 2\) und \(g(1{,}5) = 0{,}4\).

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn du den Zähler einer Bruchfunktion vergrößerst? - Überlege dir für Teil b), welche Vorzeichen die Ergebnisse haben, wenn du positive oder negative Zahlen einsetzt. - Erinnere dich daran, wie sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage im Koordinatensystem auswirkt.

1. Vergleich von \(g(x) = \frac{5}{x}\) mit \(f(x) = \frac{1}{x}\): Da der Zähler von \(1\) auf \(5\) vergrößert wurde, ist der Graph von \(g\) im Vergleich zu \(f\) gestreckt. Die Hyperbeläste von \(g\) liegen bei gleichen \(x\)-Werten weiter vom Koordinatenursprung entfernt als die von \(f\). 2. Vergleich von \(h(x) = -\frac{1}{x}\) mit \(f(x) = \frac{1}{x}\): Da das Vorzeichen des Funktionsterms umgekehrt wurde, ist der Graph von \(h\) eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse (oder auch an der \(y\)-Achse). 3. Quadranten bestimmen: Die Äste von \(f(x)\) liegen im I. und III. Quadranten. Durch die Spiegelung liegen die Äste von \(h(x)\) im II. und IV. Quadranten.

a) Der Graph von \(g\) ist im Vergleich zu \(f\) gestreckt; seine Äste liegen weiter vom Ursprung entfernt. b) Der Graph von \(h\) ist eine Spiegelung von \(f\) an der \(x\)-Achse. \(f\) verläuft im I. und III. Quadranten, \(h\) verläuft im II. und IV. Quadranten.

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Koordinate des Punktes musst du für \(x\) und welche für \(f(x)\) einsetzen? - Isoliere die Unbekannte Schritt für Schritt.

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(1 | 1)\) in die Funktionsgleichung: \(1 = \frac{k}{1+3} - 2\) 2. Vereinfachen des Nenners: \(1 = \frac{k}{4} - 2\) 3. Addition von \(2\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3 = \frac{k}{4}\) 4. Multiplikation mit \(4\), um nach \(k\) aufzulösen: \(k = 12\)

Der Parameter ist \(k = 12\).

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie verändert ein Multiplikator vor dem Bruch den Funktionswert im Vergleich zur Grundfunktion? - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Division hat, wenn die beiden Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.

1. Berechnung von \(a\): Einsetzen des Punktes \(P(0{,}5 \mid 8)\) in \(g(x) = \frac{a}{x}\) ergibt \(8 = \frac{a}{0{,}5}\). Durch Multiplikation mit \(0{,}5\) folgt \(a = 4\). 2. Beschreibung der Transformation: Da \(a = 4\) ist, wird der Graph von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) gestreckt. 3. Quadranten bei \(a < 0\): Wenn \(a\) negativ ist, haben \(x\) und \(g(x)\) immer unterschiedliche Vorzeichen. Ist \(x > 0\), so ist \(y < 0\) (IV. Quadrant). Ist \(x < 0\), so ist \(y > 0\) (II. Quadrant). Der Graph liegt also im II. und IV. Quadranten.

a) \(a = 4\) b) Der Graph von \(g\) ist im Vergleich zu \(f\) um den Faktor \(4\) in \(y\)-Richtung gestreckt. c) Im II. und IV. Quadranten, da \(x\) und \(y\) bei negativem \(a\) stets unterschiedliche Vorzeichen besitzen.

- Welchen x-Wert musst du einsetzen, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Unbekannten auflösen? - Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Was müsste im Nenner passieren, damit man die Stelle \(x=0\) nicht berechnen kann?

1. Berechnung für Teilaufgabe a: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Es gilt die Bedingung \(f(0) = 3\). 2. Gleichung aufstellen: \(\frac{12}{0 + k} = 3 \Rightarrow \frac{12}{k} = 3\). 3. Nach \(k\) auflösen: \(12 = 3k \Rightarrow k = 4\). 4. Überlegung für Teilaufgabe b: Ein Graph schneidet die \(y\)-Achse nicht, wenn \(x = 0\) nicht im Definitionsbereich liegt. 5. Definitionslücke bestimmen: Der Nenner wird Null, wenn \(x + k = 0\). Damit dies exakt an der Stelle \(x = 0\) passiert, muss \(0 + k = 0\) gelten, also \(k = 0\).

a) Der Wert ist \(k = 4\). b) Für \(k = 0\) schneidet der Graph die \(y\)-Achse nicht, da der Nenner an der Stelle \(x = 0\) Null wird und die Funktion dort nicht definiert ist.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wie weit die Hyperbel nach oben oder unten verschoben wurde? - Wie hängen die waagerechte Asymptote und die Verschiebung in \(y\)-Richtung zusammen? - Was muss man für \(y\) einsetzen, um eine Nullstelle zu finden?

1. Bestimmung der waagerechten Asymptoten: Bei gebrochen-rationalen Funktionen der Form \(y = \frac{a}{x} + e\) ist die waagerechte Asymptote \(y = e\). Für \(h(x)\) ist dies \(y = 4\), für \(k(x)\) ist dies \(y = -1\). 2. Analyse der Verschiebung: Die Differenz der \(y\)-Verschiebungen beträgt \(-1 - 4 = -5\). Somit geht der Graph von \(k\) aus \(h\) hervor, indem man ihn um \(5\) Einheiten nach unten verschiebt. 3. Berechnung der Nullstelle von \(h\): Setze \(h(x) = 0\). \(0 = \frac{2}{x} + 4 \implies -4 = \frac{2}{x} \implies x = \frac{2}{-4} = -0{,}5\). Die Nullstelle liegt bei \(x = -0{,}5\).

a) Die waagerechte Asymptote von \(h\) ist \(y = 4\), die von \(k\) ist \(y = -1\). b) Der Graph von \(k\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(h\) um \(5\) Einheiten nach unten. c) Die Nullstelle von \(h\) liegt bei \(x = -0{,}5\).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Definitionslücke verantwortlich? - Welche Zahl im Funktionsterm bestimmt, wohin sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte annähert? - Setze die bekannten Werte in die allgemeine Form ein und nutze den gegebenen Punkt, um die letzte Unbekannte zu berechnen. - Überlege, was ein Vorzeichenwechsel beim Parameter \(a\) für die Orientierung der Hyperbeläste bedeutet.

1. Bestimmung der Asymptotenparameter: Die senkrechte Asymptote \(x = -2\) entspricht der Definitionslücke, also \(x_0 = -2\). Die waagerechte Asymptote \(y = 1\) gibt die Verschiebung in \(y\)-Richtung an, also \(y_0 = 1\). 2. Einsetzen der Asymptoten in die Form: \(f(x) = \frac{a}{x - (-2)} + 1 = \frac{a}{x+2} + 1\). 3. Berechnung von \(a\) mit Punkt \(P(0 | 2)\): Einsetzen von \(x=0\) und \(f(x)=2\) ergibt \(2 = \frac{a}{0+2} + 1\). 4. Umstellen nach \(a\): \(1 = \frac{a}{2} \implies a = 2\). 5. Funktionsgleichung aufstellen: \(f(x) = \frac{2}{x+2} + 1\). 6. Auswirkung von \(a = -2\): Der Graph würde an der waagerechten Asymptote \(y=1\) gespiegelt werden. Die Äste würden dann im „oberen linken“ und „unteren rechten“ Bereich (bezogen auf die Asymptoten) liegen.

a) \(x_0 = -2\), \(y_0 = 1\), \(a = 2\). b) \(f(x) = \frac{2}{x+2} + 1\). c) Der Graph würde an der Geraden \(y = 1\) gespiegelt, sodass sich die Orientierung der Hyperbeläste ändert.

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs an der Stelle einer vertikalen Asymptote? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert gelten, damit eine Stelle eine Nullstelle ist? - Achte beim Umformen der Gleichung darauf, den gesamten Nenner als Paket zu betrachten.

1. Die vertikale Asymptote liegt an der Stelle, an der der Nenner null wird: \(x - b = 0\). Da die Asymptote bei \(x = 2\) liegt, folgt \(2 - b = 0\), also \(b = 2\). 2. Zum Berechnen der Nullstelle wird die Funktionsgleichung gleich null gesetzt: \(0 = \frac{4}{x-2} + 5\). 3. Subtraktion von \(5\): \(-5 = \frac{4}{x-2}\). 4. Multiplikation mit dem Nenner \((x-2)\): \(-5(x-2) = 4\). 5. Auflösen der Klammer: \(-5x + 10 = 4\). 6. Subtraktion von \(10\): \(-5x = -6\). 7. Division durch \(-5\): \(x = 1{,}2\).

a) \(b = 2\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 1{,}2\).

- Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn \(x\) eine extrem große Zahl wird? Welcher Teil des Terms dominiert dann? - Wann genau wird ein Bruch gleich null? Muss man dafür den gesamten Bruch betrachten oder reicht ein Teil? - Wie schreibt man einen Punkt auf der \(x\)-Achse als Koordinatenpaar auf?

1. Bestimmung von \(a\): Für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\) nähert sich der Funktionsterm \(\frac{ax - 15}{x + 3}\) dem Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) an, also \(\frac{a}{1} = a\). Da die waagerechte Asymptote \(y = 5\) ist, muss \(a = 5\) gelten. 2. Aufstellen der vollständigen Funktionsgleichung: \(h(x) = \frac{5x - 15}{x + 3}\). 3. Berechnung der Nullstelle: Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist (und der Nenner ungleich null). Setze \(5x - 15 = 0\). 4. Löse nach \(x\) auf: \(5x = 15 \implies x = 3\). 5. Für \(x = 3\) ist der Nenner \(3 + 3 = 6 eq 0\). Daher ist \(x = 3\) zulässig und der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(3 | 0)\).

Der Parameter ist \(a = 5\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt bei \((3 | 0)\).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die Lage der waagerechten Asymptote? - Wie kannst du Koordinaten eines Punktes nutzen, um eine Unbekannte in einer Formel zu finden? - Kann ein Bruch mit einer Zahl im Zähler (ungleich Null) jemals den Gesamtwert Null ergeben?

1. Bestimmung von \(c\): Die waagerechte Asymptote entspricht dem Wert, dem sich die Funktion für große \(x\) nähert. Da \(\frac{a}{x}\) gegen Null geht, ist \(c = -5\). 2. Bestimmung von \(a\): Setze den Punkt \(P(2 | -4)\) in \(h(x) = \frac{a}{x} - 5\) ein: \(-4 = \frac{a}{2} - 5\) \(1 = \frac{a}{2} \implies a = 2\). Die Gleichung lautet \(h(x) = \frac{2}{x} - 5\). 3. Berechnung des \(x\)-Werts für \(h(x) = -4{,}9\): \(-4{,}9 = \frac{2}{x} - 5\) \(0{,}1 = \frac{2}{x}\) \(x = \frac{2}{0{,}1} = 20\). 4. Untersuchung auf den Wert \(-5\): Setze \(h(x) = -5\): \(-5 = \frac{2}{x} - 5 \implies 0 = \frac{2}{x}\). Diese Gleichung hat keine Lösung, da ein Bruch nur Null werden kann, wenn der Zähler Null ist (hier ist der Zähler \(2\)). Der Wert \(-5\) wird also nie erreicht.

a) \(c = -5\) und \(a = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{2}{x} - 5\). b) Der Funktionswert \(-4{,}9\) wird an der Stelle \(x = 20\) angenommen. c) Nein, der Wert \(-5\) wird nie erreicht, da die Gleichung \(0 = \frac{2}{x}\) keine Lösung besitzt.

- Welchen Parameter kannst du sofort aus der Asymptote ablesen? - Wie kannst du einen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden? - Was ändert sich an der Form oder Lage der Kurve, wenn sich das Vorzeichen des Zählers umkehrt? - Erinnere dich an die Bedeutung der Quadranten bei der Grundfunktion \(y = \frac{1}{x}\).

1. Bestimmung von \(e\): Die waagerechte Asymptote \(y = -2\) entspricht direkt dem Parameter \(e\). Also ist \(e = -2\). 2. Bestimmung von \(a\): Setze den Punkt \(A(4 \mid -1)\) in \(p(x) = \frac{a}{x} - 2\) ein. \(-1 = \frac{a}{4} - 2 \implies 1 = \frac{a}{4} \implies a = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = \frac{4}{x} - 2\). 3. Vergleich der Lage: Bei \(p(x)\) ist \(a = 4 > 0\). Die Äste liegen im I. und III. Quadranten (rechts oben und links unten) bezüglich des Schnittpunkts der Asymptoten. Bei \(q(x) = \frac{-4}{x} - 2\) ist der Zähler negativ. Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten (links oben und rechts unten) bezüglich der Asymptoten. Der Graph von \(q\) ist eine Spiegelung von \(p\) an der waagerechten Asymptote. 4. Berechnung der Stelle für \(p(x) = -1{,}5\): \(-1{,}5 = \frac{4}{x} - 2 \implies 0{,}5 = \frac{4}{x} \implies x = \frac{4}{0{,}5} = 8\).

a) \(e = -2\) und \(a = 4\). Die Gleichung ist \(p(x) = \frac{4}{x} - 2\). b) Die Äste von \(p\) liegen im I. und III. Quadranten bezüglich der Asymptoten. Die Äste von \(q\) liegen im II. und IV. Quadranten bezüglich der Asymptoten (Spiegelung an der waagerechten Asymptote). c) Die gesuchte Stelle ist \(x = 8\).

- Schau dir die Struktur der beiden Funktionsterme genau an: Was ist gleich, was unterscheidet sich? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Wenn du prüfen willst, ob sich zwei Graphen schneiden, was musst du mit den Funktionstermen tun? - Was bedeutet es für die Existenz eines Schnittpunktes, wenn beim Lösen der Gleichung eine falsche Aussage wie \(1 = 0\) entsteht?

1. Asymptoten bestimmen: Beide Funktionen haben denselben Nenner \(x-1\) und dieselbe additive Konstante \(+2\). Damit sind die Asymptoten für beide identisch: Senkrechte Asymptote bei \(x = 1\), waagerechte Asymptote bei \(y = 2\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse für \(f\): Berechne \(f(0) = \frac{4}{0-1} + 2 = -4 + 2 = -2\). Punkt: \(S_f(0 | -2)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse für \(g\): Berechne \(g(0) = \frac{-4}{0-1} + 2 = 4 + 2 = 6\). Punkt: \(S_g(0 | 6)\). 4. Gemeinsame Punkte finden: Setze \(f(x) = g(x)\). \(\frac{4}{x-1} + 2 = \frac{-4}{x-1} + 2\). 5. Gleichung lösen: Subtrahiere \(2\) auf beiden Seiten: \(\frac{4}{x-1} = \frac{-4}{x-1}\). Multipliziere mit \((x-1)\): \(4 = -4\). 6. Ergebnis interpretieren: Da \(4 = -4\) ein Widerspruch ist, gibt es keinen gemeinsamen Punkt. Die Graphen sind Spiegelbilder zueinander bezüglich der Asymptote \(y=2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); waagerechte Asymptote: \(y = 2\) (für beide). b) \(S_f(0 | -2)\) und \(S_g(0 | 6)\). c) Es gibt keinen gemeinsamen Punkt, da die Gleichung \(f(x) = g(x)\) auf den Widerspruch \(4 = -4\) führt.

- Du hast zwei unbekannte Parameter. Wie viele Informationen (Punkte) benötigst du, um beide zu finden? - Kannst du ein System aus zwei Gleichungen aufstellen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, zum Beispiel durch Subtraktion der Gleichungen.

1. Aufstellen eines Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte: I: \(4 = \frac{a}{2} + c\) II: \(3 = \frac{a}{4} + c\) 2. Subtraktion der Gleichungen (I - II), um \(c\) zu eliminieren: \(4 - 3 = (\frac{a}{2} + c) - (\frac{a}{4} + c)\). 3. Vereinfachen: \(1 = \frac{a}{2} - \frac{a}{4}\). 4. Gleichnamig machen der Brüche: \(1 = \frac{2a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}\). 5. Auflösen nach \(a\): \(a = 4\). 6. Einsetzen von \(a = 4\) in Gleichung I: \(4 = \frac{4}{2} + c \Rightarrow 4 = 2 + c\). 7. Auflösen nach \(c\): \(c = 2\). 8. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{4}{x} + 2\).

Die Parameter sind \(a = 4\) und \(c = 2\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = \frac{4}{x} + 2\).

- Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um eine Unbekannte in einer Funktionsgleichung zu finden? - Welche Bestandteile der Funktionsgleichung bestimmen die Lage der „Linien“, denen sich der Graph annähert? - Ändert sich die Definitionslücke, wenn man nur die Zahl im Zähler verändert? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) sehr groß wird? Welcher Teil der Gleichung bleibt dann übrig?

1. Berechnung von \(k\): Einsetzen der Koordinaten von \(P(0|5)\) in \(h_2(x)\) ergibt \(5 = \frac{k}{0 - 1} + 1\). 2. Auflösen der Gleichung: \(5 = -k + 1 \Rightarrow 4 = -k \Rightarrow k = -4\). 3. Begründung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote wird durch die Definitionslücke bestimmt, also den \(x\)-Wert, für den der Nenner Null wird. Da beide Nenner \(x - 1\) lauten, ist die senkrechte Asymptote für beide \(x = 1\). Die waagerechte Asymptote wird durch den konstanten Summanden am Ende der Gleichung bestimmt, der angibt, welchem Wert sich der Funktionswert für sehr große oder sehr kleine \(x\) nähert. Da beide Funktionen den Summanden \(+1\) haben, ist die waagerechte Asymptote für beide \(y = 1\). Der Faktor \(k\) im Zähler beeinflusst lediglich die Streckung/Stauchung und Spiegelung, aber nicht die Lage der Asymptoten.

a) Der Wert ist \(k = -4\). b) Die Asymptoten hängen nur von der Verschiebung in \(x\)-Richtung (Nenner \(x-1 \Rightarrow x=1\)) und in \(y\)-Richtung (Summand \(+1 \Rightarrow y=1\)) ab. Da diese Teile bei \(h_1\) und \(h_2\) identisch sind, sind auch die Asymptoten gleich.

- Kann ein Bruch mit einer konstanten Zahl im Zähler jemals den Wert Null ergeben? - Was ist der wesentliche Unterschied im Aufbau einer linearen Gleichung und einer Gleichung mit \(x\) im Nenner? - Wie verhält sich der Graph, wenn \(k\) variiert wird? Handelt es sich um eine Verschiebung oder eine Streckung?

1. Setze \(A(4 | 1)\) in \(f_k(x) = k - \frac{8}{x}\) ein: \(1 = k - \frac{8}{4} \Rightarrow 1 = k - 2\). Daraus folgt \(k = 3\). 2. Schnittpunkte mit der x-Achse: Setze \(f_k(x) = 0 \Rightarrow 0 = k - \frac{8}{x} \Rightarrow \frac{8}{x} = k\). - Fall \(k \neq 0\): Die Gleichung lässt sich nach \(x\) auflösen: \(x = \frac{8}{k}\). Es gibt genau einen Schnittpunkt. - Fall \(k = 0\): Die Gleichung lautet \(0 = -\frac{8}{x}\). Da ein Bruch nur dann Null wird, wenn der Zähler Null ist (hier ist der Zähler 8), gibt es keine Lösung. Es existiert kein Schnittpunkt. 3. Eine lineare Funktion hat die Form \(y = m \cdot x + n\). In der Funktionsgleichung \(f_k(x) = k - 8 \cdot x^{-1}\) tritt die Variable \(x\) im Nenner auf. Damit der Graph linear wäre, müsste der Koeffizient des Terms \(\frac{1}{x}\) Null sein. Da dieser Koeffizient jedoch fest \(-8\) und damit ungleich null ist, kann der Term \(\frac{8}{x}\) nicht verschwinden. Die Funktion bleibt für jedes \(k\) gebrochen-rational; ihr Graph ist eine verschobene Hyperbel und wird nie zu einer Geraden.

a) Der Wert ist \(k = 3\). b) Für \(k \neq 0\) gibt es genau einen Schnittpunkt. Für \(k = 0\) gibt es keinen Schnittpunkt. c) Die Aussage ist falsch. Da der Term \(\frac{8}{x}\) für kein \(k\) wegfällt, bleibt die Funktion gebrochen-rational. Ihr Graph ist stets eine verschobene Hyperbel und keine Gerade.