Aimathic – Parameterwirkung – Kostenlose Arbeitsblätter

Parameterwirkung

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Schwierigkeit: 1 – 5

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Die Abbildung zeigt \(f(x)=\frac{2}{x}\) und einen zweiten Graphen \(g(x)=\frac{a}{x}\). Ist \(a\) bei \(g\) positiv oder negativ? Begründe deine Entscheidung anhand der Lage der Äste.

Denkanstöße

- Betrachte einen positiven \(x\)-Wert und lies nur das Vorzeichen von \(g(x)\) am Graphen ab. - Welche Vorzeichen müssen \(a\) und \(x\) haben, damit \(\frac{a}{x}\) negativ ist?

Lösung

1. Für positive \(x\)-Werte liegt der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse; für negative \(x\)-Werte liegt er oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Damit haben \(x\) und \(g(x)\) stets entgegengesetzte Vorzeichen. Das ist bei \(g(x)=\frac{a}{x}\) genau für \(a<0\) der Fall.

Antwort

\(a\) ist negativ, weil die Äste von \(g\) in den Quadranten II und IV liegen.

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Im Bild sind \(f(x)=\frac{2}{x}\) und eine nur in \(y\)-Richtung verschobene Funktion \(g(x)=\frac{2}{x}+c\) dargestellt. Bestimme \(c\) und beschreibe die Verschiebung von \(f\) zu \(g\).

Denkanstöße

- Vergleiche die waagrechten Asymptoten der beiden Graphen. - Welche Rolle hat der Summand \(c\) außerhalb des Bruchs? - In welche Richtung wurde jede \(y\)-Koordinate verändert?

Lösung

1. Die waagrechte Asymptote von \(f\) ist \(y=0\). Beim Graphen von \(g\) liegt sie bei \(y=3\). 2. Daher ist \(c=3\). 3. Der Graph von \(f\) wurde um \(3\) Einheiten nach oben verschoben.

Antwort

\(c=3\); Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben.

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Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Form \(h(x)=\frac{ax-15}{x+3}\). Bekannt ist, dass der Graph der Funktion die waagrechte Asymptote \(y=5\) besitzt. Bestimme den Wert des Parameters \(a\) und berechne die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der \(x\)-Achse.

Denkanstöße

- Vergleiche bei Zähler und Nenner die Terme mit der höchsten Potenz von \(x\). - Welche Information liefert die waagrechte Asymptote über das Verhältnis der führenden Koeffizienten? - Wann ist ein Bruch gleich null, sofern sein Nenner nicht null ist?

Lösung

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Deshalb entspricht der Wert der waagrechten Asymptote dem Verhältnis der führenden Koeffizienten. Hier ist dieses Verhältnis \(a:1=a\). 2. Aus der waagrechten Asymptote \(y=5\) folgt daher \(a=5\). 3. Damit lautet die Funktion \(h(x)=\frac{5x-15}{x+3}\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse muss der Zähler null sein: \(5x-15=0\), also \(x=3\). 5. Für \(x=3\) ist der Nenner \(6\neq0\). Somit ist der Schnittpunkt \(N(3\mid0)\).

Antwort

\(a=5\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(3\mid0)\)

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Betrachte die Funktionen \(f(x)=\frac{3}{x}\) und \(g(x)=\frac{0{,}6}{x}\) mit der Grundmenge \(\mathbb{Q}\). a) Beschreibe die gemeinsamen Asymptoten und gib die Definitionsmengen \(D_f\) und \(D_g\) an. b) Vergleiche bei demselben von \(0\) verschiedenen \(x\)-Wert die Beträge der Funktionswerte. Bei welcher Funktion ist \(|y|\) kleiner? Begründe mithilfe des Parameters \(a\). c) Berechne \(f(1{,}5)\) und \(g(1{,}5)\).

Denkanstöße

- Welche Achsen sind bei Funktionen der Form \(\frac{a}{x}\) Asymptoten? - Welcher \(x\)-Wert ist ausgeschlossen? - Wie wirkt sich ein kleinerer Betrag von \(a\) bei demselben \(x\)-Wert auf den Betrag des Funktionswerts aus?

Lösung

1. Beide Funktionen haben die senkrechte Asymptote \(x=0\) und die waagrechte Asymptote \(y=0\). Es gilt \(D_f=D_g=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Bei gleichem \(x\neq0\) gilt \(|f(x)|=\frac{3}{|x|}\) und \(|g(x)|=\frac{0{,}6}{|x|}\). Weil \(0{,}6<3\), ist bei \(g\) der Betrag des Funktionswerts kleiner. 3. \(f(1{,}5)=2\) und \(g(1{,}5)=0{,}4\).

Antwort

a) Asymptoten: \(x=0\) und \(y=0\); \(D_f=D_g=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) b) Bei \(g\) ist \(|y|\) kleiner, weil \(|a|=0{,}6\) kleiner ist als bei \(f\). c) \(f(1{,}5)=2\), \(g(1{,}5)=0{,}4\)

4132888

Gegeben sind die drei Funktionen \(f(x) = \frac{1}{x}\), \(g(x) = \frac{5}{x}\) und \(h(x) = -\frac{1}{x}\). a) Beschreibe, wie sich der Graph von \(g\) im Vergleich zum Graphen von \(f\) verändert hat. Gehe dabei auf den Abstand der Hyperbeläste zum Koordinatenursprung ein. b) Vergleiche die Lage der Graphen von \(f\) und \(h\). In welchen Quadranten des Koordinatensystems verlaufen die Äste der jeweiligen Funktionen?

Denkanstöße

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn du den Zähler einer Bruchfunktion vergrößerst? - Überlege dir für Teil b), welche Vorzeichen die Ergebnisse haben, wenn du positive oder negative Zahlen einsetzt. - Erinnere dich daran, wie sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage im Koordinatensystem auswirkt.

Lösung

1. Vergleich von \(g(x) = \frac{5}{x}\) mit \(f(x) = \frac{1}{x}\): Da der Zähler von \(1\) auf \(5\) vergrößert wurde, ist der Graph von \(g\) im Vergleich zu \(f\) gestreckt. Die Hyperbeläste von \(g\) liegen bei gleichen \(x\)-Werten weiter vom Koordinatenursprung entfernt als die von \(f\). 2. Vergleich von \(h(x) = -\frac{1}{x}\) mit \(f(x) = \frac{1}{x}\): Da das Vorzeichen des Funktionsterms umgekehrt wurde, ist der Graph von \(h\) eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse (oder auch an der \(y\)-Achse). 3. Quadranten bestimmen: Die Äste von \(f(x)\) liegen im I. und III. Quadranten. Durch die Spiegelung liegen die Äste von \(h(x)\) im II. und IV. Quadranten.

Antwort

a) Der Graph von \(g\) ist im Vergleich zu \(f\) gestreckt; seine Äste liegen weiter vom Ursprung entfernt. b) Der Graph von \(h\) ist eine Spiegelung von \(f\) an der \(x\)-Achse. \(f\) verläuft im I. und III. Quadranten, \(h\) verläuft im II. und IV. Quadranten.

4139878

Gegeben ist die gebrochen-rationale Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = \frac{a}{x+3} - 2\). Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt \(P(1 \mid 1)\). Bestimme den Wert des Parameters \(a\).

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Koordinate des Punktes musst du für \(x\) und welche für \(f(x)\) einsetzen? - Isoliere den unbekannten Parameter Schritt für Schritt.

Lösung

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(1 \mid 1)\) in die Funktionsgleichung: \(1 = \frac{a}{1+3} - 2\). 2. Vereinfachen des Nenners: \(1 = \frac{a}{4} - 2\). 3. Addition von \(2\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3 = \frac{a}{4}\). 4. Multiplikation mit \(4\), um nach \(a\) aufzulösen: \(a = 12\).

Antwort

Der Parameter ist \(a = 12\).

43365411

Abgebildet ist der Graph einer Funktion der Form \(f(x)=\frac{a}{x^2}+c\). Bestimme die Parameter \(a\) und \(c\) mithilfe des Graphen. Nutze dabei die eingezeichnete waagrechte Asymptote und einen gut ablesbaren Punkt auf der Kurve.

Denkanstöße

- Welcher Parameter wird direkt durch die waagrechte Asymptote festgelegt? - Suche anschließend einen Kurvenpunkt mit ganzzahligen Koordinaten. - Welche Gleichung entsteht, wenn du diesen Punkt in die vorgegebene Form einsetzt?

Lösung

1. Die gestrichelte Gerade ist \(y=2\). Daher ist \(c=2\). 2. Der Graph verläuft durch \(P(1\mid3)\). Mit \(3=\frac{a}{1^2}+2\) folgt \(a=1\). 3. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{1}{x^2}+2\).

Antwort

\(a=1\) und \(c=2\)

5532908

Die drei beschrifteten Graphen \(p\), \(q\) und \(r\) gehören zu Funktionen der Form \(f(x)=\frac{a}{x+b}+c\). Für alle drei gilt \(b=-1\) und \(c=-1\); nur \(a\) ist verschieden. a) Gib die gemeinsamen Asymptoten an. b) Lies für jeden Graphen den Funktionswert bei \(x=2\) ab und bestimme daraus \(a\). c) Vergleiche getrennt die Wirkung von Betrag und Vorzeichen von \(a\).

Denkanstöße

- Welche Asymptote folgt aus \(b=-1\), welche aus \(c=-1\)? - Warum ist der Nenner bei \(x=2\) besonders einfach? - Vergleiche die Änderungen von \(|a|\) und vom Vorzeichen getrennt.

Lösung

1. Aus \(b=-1\) folgt die senkrechte Asymptote \(x=1\); aus \(c=-1\) folgt die waagrechte Asymptote \(y=-1\). 2. Bei \(x=2\) ist \(x+b=1\), also \(f(2)=a-1\). Aus dem Graphen liest man \(p(2)=0\), \(q(2)=2\) und \(r(2)=-3\). Daher ist \(a_p=1\), \(a_q=3\), \(a_r=-2\). 3. Von \(p\) zu \(q\) bleibt das Vorzeichen gleich und \(|a|\) wird größer; bei gleichem Abstand zur senkrechten Asymptote wächst der Abstand zur waagrechten Asymptote. 4. Von \(p\) zu \(r\) wechselt das Vorzeichen von \(a\); dadurch wechseln die Äste in die jeweils gegenüberliegenden Bereiche relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten.

Antwort

a) \(x=1\), \(y=-1\) b) \(p: a=1\); \(q: a=3\); \(r: a=-2\) c) Größerer Betrag von \(a\) vergrößert den Abstand zur waagrechten Asymptote bei gleichem \(x\)-Abstand; ein Vorzeichenwechsel vertauscht die Astlagen.

5532918

Die drei Teilbilder \(p\), \(q\) und \(r\) zeigen Funktionen der Form \(f(x)=\frac{2}{x+b}+1\). Nur \(b\) ist verschieden. a) Lies jeweils die senkrechte Asymptote ab und bestimme daraus \(b\). b) Nenne zwei Eigenschaften, die bei allen drei Graphen unverändert bleiben, und begründe mit den festen Parametern. c) Vergleiche \(q\) und \(r\): Um wie viele Einheiten und in welche Richtung wurde der Graph verschoben? Sage anschließend voraus, wo die senkrechte Asymptote für \(b=5\) läge.

Denkanstöße

- In der Form \(\frac{a}{x+b}+c\): Welche Gleichung verbindet \(b\) mit der senkrechten Asymptote? - Welche zwei Parameter bleiben hier fest und welche Eigenschaften steuern sie? - Vergleiche deine Vorhersage mit der Verschiebungsregel, die du aus den drei Teilbildern abgeleitet hast.

Lösung

1. Bei \(p\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-2\). Wegen \(x=-b\) gilt \(b=2\). Bei \(q\) ist \(x=0\), also \(b=0\). Bei \(r\) ist \(x=3\), also \(b=-3\). 2. Die waagrechte Asymptote bleibt \(y=1\), weil \(c=1\) fest ist. Auch Form und Astlage relativ zum jeweiligen Schnittpunkt der Asymptoten bleiben gleich, weil \(a=2\) unverändert positiv ist. 3. Von \(q\) zu \(r\) wird der Graph um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. Für \(b=5\) läge die senkrechte Asymptote bei \(x=-5\).

Antwort

a) \(p: b=2\); \(q: b=0\); \(r: b=-3\) b) Die waagrechte Asymptote bleibt \(y=1\), weil \(c=1\) fest ist. Form und Astlage relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten bleiben gleich, weil \(a=2\) fest und positiv ist. c) Von \(q\) zu \(r\): \(3\) Einheiten nach rechts; für \(b=5\): \(x=-5\).

5532928

Die drei beschrifteten Graphen \(p\), \(q\) und \(r\) gehören zu Funktionen der Form \(f(x)=\frac{-2}{x+b}+c\). Für alle gilt \(b=-1\); nur \(c\) ist verschieden. a) Lies bei jedem Graphen die waagrechte Asymptote ab und bestimme \(c\). b) Erkläre, warum die senkrechte Asymptote und die Astlage relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten bei allen drei Graphen gleich bleiben. c) Der Punkt \(A(2\mid-4)\) liegt auf \(p\). Gib den entsprechenden Punkt auf \(r\) an, der durch dieselbe Verschiebung in \(y\)-Richtung entsteht.

Denkanstöße

- Welcher Parameter bestimmt die waagrechte Asymptote? - Welche senkrechte Asymptote folgt aus dem festen Wert \(b=-1\)? - Was bleibt bei einer reinen Verschiebung in \(y\)-Richtung an einer Punktkoordinate unverändert?

Lösung

1. Die waagrechten Asymptoten sind bei \(p\) \(y=-2\), bei \(q\) \(y=1\) und bei \(r\) \(y=4\). Daher gilt \(c_p=-2\), \(c_q=1\), \(c_r=4\). 2. Weil \(b=-1\) fest bleibt, bleibt die senkrechte Asymptote \(x=1\). Weil auch \(a=-2\) fest bleibt, ändern sich Form und Astlage relativ zum jeweiligen Schnittpunkt der Asymptoten nicht. 3. Von \(p\) zu \(r\) steigt \(c\) um \(6\). Der Punkt wird daher um \(6\) Einheiten nach oben verschoben: aus \(A(2\mid-4)\) wird \(A'(2\mid2)\).

Antwort

a) \(p: c=-2\); \(q: c=1\); \(r: c=4\) b) Die senkrechte Asymptote bleibt \(x=1\), weil \(b=-1\) fest ist. Die Astlage relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten bleibt gleich, weil \(a=-2\) unverändert ist. c) \(A'(2\mid2)\)

5565428

Im Bild sind die Graphen von \(f(x)=\frac{1}{x}\) und einer in \(x\)-Richtung verschobenen Funktion \(g(x)=\frac{1}{x+b}\) dargestellt. Bestimme \(b\) und gib an, um wie viele Einheiten und in welche Richtung der Graph von \(f\) verschoben wurde.

Denkanstöße

- Vergleiche die senkrechten Asymptoten der beiden Graphen. - Bei welchem \(x\)-Wert wird \(x+b\) null? - Wie hängt die sichtbare Verschiebungsrichtung mit dem Vorzeichen von \(b\) zusammen?

Lösung

1. Die senkrechte Asymptote von \(f\) ist die \(y\)-Achse \(x=0\). Beim Graphen von \(g\) liegt sie bei \(x=-2\). 2. In \(g(x)=\frac{1}{x+b}\) gilt für die senkrechte Asymptote \(x=-b\). Daher ist \(-b=-2\), also \(b=2\). 3. Der Graph wurde um \(2\) Einheiten nach links verschoben.

Antwort

\(b=2\); der Graph wurde um \(2\) Einheiten nach links verschoben.

5565448

Der abgebildete Graph gehört zu einer Funktion der Form \(f(x)=\frac{2}{x+b}-1\). a) Lies die senkrechte Asymptote aus dem Graphen ab. b) Mara meint, der Parameter \(b\) müsse dieselbe Zahl wie die \(x\)-Koordinate der Asymptote haben. David meint, die beiden Zahlen hätten entgegengesetzte Vorzeichen. Wer hat recht? Bestimme \(b\) und erkläre den Zusammenhang.

Denkanstöße

- Welche Gleichung erfüllt der Nenner an der senkrechten Asymptote? - Setze die sichtbare Asymptotenstelle in \(x+b=0\) ein. - Vergleiche anschließend das Vorzeichen von \(b\) mit der \(x\)-Koordinate der Asymptote.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=-3\) ab. 2. Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner \(x+b\) null wird. Daher gilt \(-3+b=0\) und somit \(b=3\). 3. David hat recht. Allgemein liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-b\); deshalb hat ihre \(x\)-Koordinate das entgegengesetzte Vorzeichen zu \(b\).

Antwort

a) \(x=-3\) b) David hat recht: \(b=3\). In \(\frac{a}{x+b}+c\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-b\).

5572508

Ausgangsfunktion ist \(f(x)=\frac{1}{x+2}-1\). In den drei Fällen wird jeweils nur ein Parameter verändert. Fall A: \(a\) wird von \(1\) auf \(-1\) geändert. Fall B: \(b\) wird von \(2\) auf \(-3\) geändert. Fall C: \(c\) wird von \(-1\) auf \(2\) geändert. a) Gib für jeden Fall die senkrechte und die waagrechte Asymptote der neuen Funktion an. b) Entscheide für jeden Fall, welche Asymptote gegenüber \(f\) unverändert bleibt und welche sich gegebenenfalls verschiebt. c) Beschreibe für jeden Fall die Wirkung der Parameteränderung auf den Graphen: Spiegelung oder Verschiebung mit Richtung und Länge.

Denkanstöße

- Prüfe in jedem Fall zuerst, welcher der drei Parameter überhaupt geändert wurde. - Von welchem Parameter hängt die senkrechte Asymptote ab, und von welchem die waagrechte? - Eine Änderung des Vorzeichens von \(a\) spiegelt die Äste an einer Asymptote, ohne die Asymptoten selbst zu verschieben. - Vergleiche bei B und C die alte und die neue Asymptotenlage, um Richtung und Länge der Verschiebung zu bestimmen.

Lösung

1. Für \(f\) sind die Asymptoten \(x=-2\) und \(y=-1\). 2. Fall A: Nur das Vorzeichen von \(a\) ändert sich. Die Asymptoten bleiben \(x=-2\) und \(y=-1\). Der Graph wird an der waagrechten Asymptote \(y=-1\) gespiegelt; die Lage der Asymptoten ändert sich nicht. 3. Fall B: Der neue Term hat im Nenner \(x-3\), weil \(b=-3\) ist. Die senkrechte Asymptote liegt nun bei \(x=3\), die waagrechte bleibt \(y=-1\). Gegenüber \(f\) verschiebt sich der Graph um \(5\) Einheiten nach rechts. 4. Fall C: Die senkrechte Asymptote bleibt \(x=-2\), die waagrechte Asymptote liegt nun bei \(y=2\). Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach oben verschoben.

Antwort

a) A: \(x=-2\), \(y=-1\); B: \(x=3\), \(y=-1\); C: \(x=-2\), \(y=2\) b) A: beide unverändert; B: nur die waagrechte Asymptote bleibt unverändert; C: nur die senkrechte Asymptote bleibt unverändert. c) A: Spiegelung an der waagrechten Asymptote \(y=-1\); B: \(5\) Einheiten nach rechts; C: \(3\) Einheiten nach oben.

5572578

Nutze eine dynamische Mathematiksoftware. Gib die Funktion \(f(x)=\frac{2}{x+b}+c\) ein und lege Schieberegler für \(b\) und \(c\) an. a) Setze zunächst \(c=1\). Stelle nacheinander \(b=-3\), \(b=0\) und \(b=2\) ein. Notiere jeweils die Gleichung der senkrechten Asymptote und beschreibe, wie sich der Graph beim Verändern von \(b\) waagrecht verschiebt. Formuliere anschließend die allgemeine Beziehung zwischen \(b\) und der senkrechten Asymptote. b) Setze nun \(b=2\). Stelle nacheinander \(c=-2\), \(c=0\) und \(c=3\) ein. Notiere jeweils die Gleichung der waagrechten Asymptote und beschreibe die senkrechte Verschiebung des Graphen. Formuliere anschließend die allgemeine Beziehung zwischen \(c\) und der waagrechten Asymptote. c) Sage ohne weiteres Verschieben voraus, wie der Graph für \(b=-4\) und \(c=2{,}5\) gegenüber dem Graphen von \(g(x)=\frac{2}{x}\) verschoben ist und welche Asymptoten er hat. Prüfe deine Vorhersage anschließend in der Software.

Denkanstöße

- Verändere in a) wirklich nur \(b\) und beobachte gleichzeitig die senkrechte Asymptote und die Lage beider Äste. - Vergleiche in a) bei jeder Einstellung den Wert von \(b\) mit der x-Koordinate der senkrechten Asymptote. - Verändere in b) nur \(c\). Beobachte, ob sich die Form des Graphen ändert oder nur seine Höhe im Koordinatensystem. - Nutze deine beiden Regeln aus a) und b), bevor du in c) die Software zur Kontrolle verwendest.

Lösung

1. Bei festem \(c=1\) zeigen die drei Einstellungen die senkrechten Asymptoten \(x=3\), \(x=0\) und \(x=-2\). Wird \(b\) größer, verschiebt sich der Graph nach links. Allgemein gehört zur Funktion \(f(x)=\frac{2}{x+b}+c\) die senkrechte Asymptote \(x=-b\); gegenüber \(\frac{2}{x}+c\) ist der Graph um \(b\) Einheiten in entgegengesetzter x-Richtung verschoben. 2. Bei festem \(b=2\) zeigen die drei Einstellungen die waagrechten Asymptoten \(y=-2\), \(y=0\) und \(y=3\). Eine Vergrößerung von \(c\) verschiebt den gesamten Graphen nach oben. Allgemein ist die waagrechte Asymptote \(y=c\). 3. Für \(b=-4\) und \(c=2{,}5\) wird der Graph von \(g(x)=\frac{2}{x}\) um \(4\) Einheiten nach rechts und um \(2{,}5\) Einheiten nach oben verschoben. Die Asymptoten sind daher \(x=4\) und \(y=2{,}5\). Die Kontrolle mit den Schiebereglern bestätigt die Vorhersage.

Antwort

a) Für \(b=-3\): \(x=3\); für \(b=0\): \(x=0\); für \(b=2\): \(x=-2\). Mit wachsendem \(b\) verschiebt sich der Graph nach links. Allgemein: \(x=-b\). b) Für \(c=-2\): \(y=-2\); für \(c=0\): \(y=0\); für \(c=3\): \(y=3\). Mit wachsendem \(c\) verschiebt sich der Graph nach oben. Allgemein: \(y=c\). c) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts und \(2{,}5\) Einheiten nach oben; senkrechte Asymptote \(x=4\), waagrechte Asymptote \(y=2{,}5\).

4129338

Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f(x)=\frac{12}{x+b}\). a) Bestimme \(b\), sodass der Graph die \(y\)-Achse bei \(S_y(0\mid3)\) schneidet. b) Für welchen Wert von \(b\) schneidet der Graph die \(y\)-Achse überhaupt nicht? Begründe.

Denkanstöße

- Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Welche Gleichung entsteht daraus für \(b\)? - Wann ist \(x=0\) wegen des Nenners nicht erlaubt?

Lösung

1. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(f(0)=3\). Also \(\frac{12}{b}=3\), damit \(b=4\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse genau dann nicht, wenn \(x=0\) aus der Definitionsmenge ausgeschlossen ist. 3. Das ist für \(0+b=0\), also \(b=0\), der Fall.

Antwort

a) \(b=4\) b) Für \(b=0\) gibt es keinen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, weil dann bei \(x=0\) der Nenner null ist und \(0\notin D_f\) gilt.

4132458

Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion der Form \(h(x)=\frac{a}{x}+c\) hat die waagrechte Asymptote \(y=-5\). Zudem verläuft der Graph durch den Punkt \(P(2\mid-4)\). a) Bestimme \(a\) und \(c\) und gib die Funktionsgleichung an. b) Berechne, für welchen \(x\)-Wert die Funktion den Wert \(-4{,}9\) annimmt. c) Begründe rechnerisch, warum der Graph seine waagrechte Asymptote \(y=-5\) nicht schneidet.

Denkanstöße

- Welche Konstante im Funktionsterm gibt die waagrechte Asymptote an? - Nutze danach den gegebenen Punkt, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen. - Welche Gleichung müsste gelten, wenn der Graph die Gerade \(y=-5\) tatsächlich schneiden würde?

Lösung

1. Aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-5\). 2. Mit \(P(2\mid-4)\) gilt \(-4=\frac{a}{2}-5\). Daraus folgt \(a=2\) und damit \(h(x)=\frac{2}{x}-5\). 3. Für \(h(x)=-4{,}9\) gilt \(-4{,}9=\frac{2}{x}-5\), also \(0{,}1=\frac{2}{x}\) und \(x=20\). 4. Ein Schnitt mit \(y=-5\) würde \(-5=\frac{2}{x}-5\) und damit \(0=\frac{2}{x}\) verlangen. Das ist wegen des konstanten Zählers \(2\) unmöglich.

Antwort

a) \(c=-5\), \(a=2\); \(h(x)=\frac{2}{x}-5\) b) \(x=20\) c) Kein Schnitt mit \(y=-5\), denn \(\frac{2}{x}=0\) hat keine Lösung.

4132688

Gegeben sind die Funktionen \(h(x)=\frac{2}{x}+4\) und \(k(x)=\frac{2}{x}-1\). a) Bestimme für beide Funktionen die waagrechten Asymptoten. b) Beschreibe die Verschiebung, mit der der Graph von \(h\) in den Graphen von \(k\) überführt wird. c) Berechne die Nullstelle von \(h\).

Denkanstöße

- Welcher Parameter in \(\frac{a}{x}+c\) bestimmt die waagrechte Asymptote? - Wie groß ist die Differenz der beiden \(c\)-Werte? - Welche Bedingung gilt für eine Nullstelle?

Lösung

1. Bei \(\frac{a}{x}+c\) ist \(y=c\) die waagrechte Asymptote. Für \(h\) ist sie \(y=4\), für \(k\) ist sie \(y=-1\). 2. Der Wert des Parameters \(c\) ändert sich von \(4\) auf \(-1\). Der Graph wird daher um \(5\) Einheiten nach unten verschoben. 3. Für die Nullstelle von \(h\) gilt \(0=\frac{2}{x}+4\). Daraus folgt \(-4=\frac{2}{x}\) und \(x=-0{,}5\).

Antwort

a) \(h\): \(y=4\); \(k\): \(y=-1\) b) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten c) \(x=-0{,}5\)

4132698

Der Graph einer Funktion der Form \(p(x)=\frac{a}{x}+c\) hat die waagrechte Asymptote \(y=-2\) und verläuft durch \(A(4\mid-1)\). a) Bestimme \(a\) und \(c\). b) Für \(q(x)=\frac{-a}{x}+c\) werden die in a) bestimmten Werte verwendet. Beschreibe die Lage der beiden Äste von \(q\) relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten und vergleiche mit \(p\). c) Für welchen \(x\)-Wert gilt \(p(x)=-1{,}5\)?

Denkanstöße

- Welcher Parameter ist direkt an der waagrechten Asymptote ablesbar? - Wie bestimmst du den noch fehlenden Parameter mit dem gegebenen Punkt? - Was bewirkt ein Vorzeichenwechsel von \(a\) für Funktionswerte auf derselben Seite der senkrechten Asymptote?

Lösung

1. Aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-2\). 2. Mit \(A(4\mid-1)\) gilt \(-1=\frac{a}{4}-2\). Daraus folgt \(a=4\). Also \(p(x)=\frac{4}{x}-2\). 3. Bei \(p\) liegt für \(x>0\) der Ast oberhalb der waagrechten Asymptote und für \(x<0\) darunter. Bei \(q(x)=\frac{-4}{x}-2\) ist es umgekehrt. Der Graph von \(q\) ist die Spiegelung von \(p\) an der waagrechten Asymptote \(y=-2\). 4. Aus \(-1{,}5=\frac{4}{x}-2\) folgt \(0{,}5=\frac{4}{x}\) und damit \(x=8\).

Antwort

a) \(a=4\), \(c=-2\) b) Bei \(q\) sind die Astlagen relativ zu den Asymptoten gegenüber \(p\) vertauscht; \(q\) ist die Spiegelung von \(p\) an \(y=-2\). c) \(x=8\)

4132848

Betrachte die beiden Funktionen \(f(x)=\frac{1}{x}\) und \(g(x)=\frac{-3}{x}\). Beide Graphen haben dieselben Asymptoten. a) In welchen Quadranten des Koordinatensystems liegen die Äste des Graphen von \(f\) und in welchen die von \(g\)? b) Welcher der beiden zugehörigen Punkte liegt bei gleichen von \(0\) verschiedenen \(x\)-Werten näher am Koordinatenursprung (dem Schnittpunkt der Asymptoten)? Begründe deine Entscheidung mithilfe des Parameters im Zähler.

Denkanstöße

- Probiere für beide Funktionen jeweils einen positiven und einen negativen Wert für \(x\) aus, um die Lage der Äste zu bestimmen. - Welchen Einfluss hat ein negatives Vorzeichen vor dem Bruch auf das Aussehen des Graphen? - Vergleiche bei demselben von \(0\) verschiedenen \(x\)-Wert die Beträge \(|f(x)|\) und \(|g(x)|\).

Lösung

1. Analyse der Quadranten: Bei \(f(x)=\frac{1}{x}\) ist der Zähler positiv. Für positive \(x\) ist \(y\) positiv (I. Quadrant), für negative \(x\) ist \(y\) negativ (III. Quadrant). Bei \(g(x)=\frac{-3}{x}\) bewirkt das negative Vorzeichen eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Die Äste liegen daher im II. und IV. Quadranten. 2. Vergleich bei gleichem \(x\neq0\): Es gilt \(|f(x)|=\frac{1}{|x|}\) und \(|g(x)|=\frac{3}{|x|}\). Die Punkte haben dieselbe \(x\)-Koordinate, aber der Punkt auf dem Graphen von \(f\) hat den kleineren Betrag der \(y\)-Koordinate. Daher liegt er näher am Koordinatenursprung.

Antwort

a) Der Graph von \(f\) liegt im I. und III. Quadranten, der Graph von \(g\) liegt im II. und IV. Quadranten. b) Bei gleichen von \(0\) verschiedenen \(x\)-Werten liegt der Punkt auf dem Graphen von \(f\) näher am Ursprung, da \(|f(x)|=\frac{1}{|x|}<\frac{3}{|x|}=|g(x)|\).

4132898

Der Graph einer Funktion der Form \(f(x)=\frac{a}{x+b}+c\) besitzt die senkrechte Asymptote \(x=-2\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\). Außerdem verläuft er durch \(P(0\mid2)\). a) Bestimme \(a\), \(b\) und \(c\). b) Gib die Funktionsgleichung an. c) Beschreibe, wie sich der Graph verändert, wenn nur \(a\) von \(2\) auf \(-2\) geändert wird.

Denkanstöße

- Wie hängen \(b\) und \(c\) mit den beiden Asymptoten zusammen? - Welche Gleichung erhältst du aus dem gegebenen Punkt? - Was ändert ein Vorzeichenwechsel von \(a\), und was bleibt dabei unverändert?

Lösung

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=-2\) folgt \(b=2\). Aus der waagrechten Asymptote \(y=1\) folgt \(c=1\). 2. Damit gilt \(f(x)=\frac{a}{x+2}+1\). Einsetzen von \(P(0\mid2)\) ergibt \(2=\frac{a}{2}+1\), also \(a=2\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(f(x)=\frac{2}{x+2}+1\). 4. Wird nur \(a\) zu \(-2\), bleiben beide Asymptoten unverändert. Die Astlagen werden an der waagrechten Asymptote \(y=1\) gespiegelt.

Antwort

a) \(a=2\), \(b=2\), \(c=1\) b) \(f(x)=\frac{2}{x+2}+1\) c) Die Asymptoten bleiben gleich; die Astlagen werden an \(y=1\) gespiegelt.

4132908

Gegeben sind \(f(x)=\frac{4}{x-1}+2\) und \(g(x)=\frac{-4}{x-1}+2\). a) Gib die Asymptoten beider Funktionen an. b) Bestimme die Schnittpunkte \(S_{y,f}\) und \(S_{y,g}\) mit der \(y\)-Achse. c) Untersuche, ob die Graphen einen gemeinsamen Punkt besitzen. Begründe rechnerisch.

Denkanstöße

- Welche Teile der beiden Funktionsterme sind gleich? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse ein? - Welche Gleichung musst du lösen, wenn du gemeinsame Punkte zweier Graphen suchst?

Lösung

1. Beide Funktionen besitzen die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\). 2. Es gilt \(f(0)=-2\), also \(S_{y,f}(0\mid-2)\). Außerdem gilt \(g(0)=6\), also \(S_{y,g}(0\mid6)\). 3. Für einen gemeinsamen Punkt müsste \(\frac{4}{x-1}+2=\frac{-4}{x-1}+2\) gelten. 4. Für alle zulässigen \(x\neq1\) darf mit \(x-1\) multipliziert werden. Nach Subtraktion von \(2\) ergibt sich dann \(4=-4\). Das ist ein Widerspruch. Daher besitzen die Graphen keinen gemeinsamen Punkt.

Antwort

a) Beide Funktionen: \(x=1\) und \(y=2\) b) \(S_{y,f}(0\mid-2)\), \(S_{y,g}(0\mid6)\) c) Kein gemeinsamer Punkt: Für zulässige \(x\neq1\) führt \(f(x)=g(x)\) nach Subtraktion von \(2\) und Multiplikation mit \(x-1\) zum Widerspruch \(4=-4\).

4133228

Eine Funktion \(g\) hat die Form \(g(x)=\frac{a}{x+b}+c\). Ihr Graph besitzt bei \(x=-1\) eine Definitionslücke und damit eine senkrechte Asymptote. Für immer größere positive \(x\)-Werte kommen die Funktionswerte dem Wert \(4\) immer näher. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=1\). Bestimme \(a\) und den vollständigen Funktionsterm von \(g\).

Denkanstöße

- Wie hängt die senkrechte Asymptote mit dem Parameter \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Welcher Parameter bestimmt die waagrechte Asymptote? - Welchen \(x\)-Wert hat der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

Lösung

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=-b\). Aus \(-b=-1\) folgt \(b=1\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=c\). Daher ist \(c=4\), also \(g(x)=\frac{a}{x+1}+4\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0\mid1)\). Einsetzen liefert \(1=a+4\). 4. Daraus folgt \(a=-3\). Somit ist \(g(x)=-\frac{3}{x+1}+4\).

Antwort

\(a=-3\) und \(g(x)=-\frac{3}{x+1}+4\).

4139808

Betrachtet werden die Funktionen \(g(x)=\frac{a}{x-2}+3\) und \(h(x)=\frac{-a}{x-2}+3\) mit \(a\neq0\). a) Beschreibe, wie die Graphen von \(g\) und \(h\) zueinander liegen. b) Bestimme den Wert von \(a\) so, dass der Graph von \(g\) durch den Punkt \(Q(1\mid1)\) verläuft. c) Untersuche rechnerisch, ob der Punkt \(Q(1\mid1)\) bei diesem Wert für \(a\) auch auf dem Graphen von \(h\) liegt. Begründe dein Ergebnis.

Denkanstöße

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man das Vorzeichen des Zählers umdreht? - Welche geometrische Transformation entspricht einer Vorzeichenänderung beim Parameter \(a\)? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

Lösung

1. Beide Graphen haben dieselben Asymptoten \(x=2\) und \(y=3\). Da sich nur das Vorzeichen von \(a\) unterscheidet, sind die Graphen an der waagrechten Asymptote \(y=3\) gespiegelt. 2. Aus \(Q(1\mid1)\) folgt für \(g\): \(1=\frac{a}{-1}+3=-a+3\). Daher ist \(a=2\). 3. Für \(h(x)=\frac{-2}{x-2}+3\) gilt \(h(1)=5\). Damit liegt \(Q(1\mid1)\) nicht auf dem Graphen von \(h\).

Antwort

a) Die Graphen sind an der waagrechten Asymptote \(y=3\) gespiegelt. b) \(a=2\) c) Nein. Es gilt \(h(1)=5\neq1\), daher liegt \(Q\) nicht auf dem Graphen von \(h\).

4139888

Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Form \(g(x)=\frac{4}{x+b}+5\). Bekannt ist, dass die senkrechte Asymptote der Funktion bei \(x=2\) liegt. a) Bestimme den Wert des Parameters \(b\). b) Berechne die Nullstelle der Funktion \(g\).

Denkanstöße

- Welche Gleichung verbindet in der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) den Parameter \(b\) mit der senkrechten Asymptote? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Prüfe beim Umformen, dass der gefundene Wert nicht an der Definitionslücke liegt.

Lösung

1. In der Form \(\frac{4}{x+b}+5\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-b\). Aus \(-b=2\) folgt \(b=-2\). 2. Damit ist \(g(x)=\frac{4}{x-2}+5\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{4}{x-2}+5\). Also \(-5=\frac{4}{x-2}\). 4. Daraus folgt \(-5(x-2)=4\), also \(-5x+10=4\), \(-5x=-6\) und \(x=1{,}2\).

Antwort

a) \(b=-2\) b) \(x=1{,}2\)

4139898

Der Graph der Funktion \(h(x)=\frac{a}{x}+c\) verläuft durch \(A(2\mid4)\) und \(B(4\mid3)\). Bestimme \(a\) und \(c\) mithilfe des Additionsverfahrens. Stelle die beiden Gleichungen auf und eliminiere eine Unbekannte durch Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen. Gib anschließend den vollständigen Funktionsterm an.

Denkanstöße

- Welche Gleichung liefert jeder der beiden Punkte? - Welche Unbekannte hat in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten? - Was passiert mit dieser Unbekannten, wenn du eine Gleichung von der anderen subtrahierst?

Lösung

1. Aus \(A(2\mid4)\) folgt \(\frac{a}{2}+c=4\). 2. Aus \(B(4\mid3)\) folgt \(\frac{a}{4}+c=3\). 3. Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, fällt \(c\) weg: \(\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=1\). Also ist \(\frac{a}{4}=1\) und damit \(a=4\). 4. Einsetzen in \(\frac{a}{2}+c=4\) ergibt \(2+c=4\), also \(c=2\). 5. Somit lautet der Funktionsterm \(h(x)=\frac{4}{x}+2\).

Antwort

Gleichungen: \(\frac{a}{2}+c=4\) und \(\frac{a}{4}+c=3\). Additionsverfahren durch Subtraktion: \(\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=1\), also \(a=4\). Einsetzen ergibt \(c=2\). \(h(x)=\frac{4}{x}+2\)

4140018

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit den Gleichungen \(f(x) = \frac{18}{x}\) und \(g(x) = \frac{36}{x}\). a) Berechne für beide Funktionen die Funktionswerte an der Stelle \(x = 3\). b) Für einen festen Funktionswert \(y_0 > 0\) bezeichne \(x_f\) die Stelle mit \(f(x_f) = y_0\) und \(x_g\) die Stelle mit \(g(x_g) = y_0\). Bestimme das Verhältnis \(\frac{x_g}{x_f}\). c) Vergleiche die Graphen im ersten Quadranten bei gleichen positiven \(x\)-Werten und bei gleichen positiven Funktionswerten. Welcher Graph liegt jeweils weiter von der entsprechenden Koordinatenachse entfernt?

Denkanstöße

- Setze in Teil a) \(x=3\) in beide Funktionsgleichungen ein. - Stelle in Teil b) beide Gleichungen nach \(x\) um und bilde das Verhältnis. - Vergleiche in Teil c) einmal die \(y\)-Werte bei gleichem \(x\) und einmal die \(x\)-Werte bei gleichem \(y\).

Lösung

1. Berechnung der Werte für \(x=3\): \(f(3) = \frac{18}{3} = 6\) und \(g(3) = \frac{36}{3} = 12\). 2. Bestimmung der Stellen für \(y_0>0\): \(x_f = \frac{18}{y_0}\) und \(x_g = \frac{36}{y_0}\). Damit ist \(\frac{x_g}{x_f} = \frac{36/y_0}{18/y_0} = 2\). 3. Für dasselbe \(x>0\) gilt \(g(x)=2f(x)\). Der Punkt auf dem Graphen von \(g\) liegt daher doppelt so hoch über der \(x\)-Achse. Für denselben Funktionswert \(y_0>0\) gilt \(x_g=2x_f\); der Punkt auf dem Graphen von \(g\) liegt doppelt so weit rechts von der \(y\)-Achse. Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem von \(f\) gestreckt, nicht verschoben.

Antwort

a) \(f(3) = 6\); \(g(3) = 12\) b) \(\frac{x_g}{x_f} = 2\). c) Bei gleichem positiven \(x\) liegt der Graph von \(g\) weiter von der \(x\)-Achse entfernt; bei gleichem positiven Funktionswert liegt er weiter von der \(y\)-Achse entfernt. Es handelt sich um eine Streckung, nicht um eine Verschiebung.

4141518

Betrachtet werden \(h_1(x)=\frac{4}{x-1}+1\) und \(h_2(x)=\frac{a}{x-1}+1\) mit \(a\neq0\). a) Bestimme \(a\), sodass der Graph von \(h_2\) die \(y\)-Achse im Punkt \(P(0\mid5)\) schneidet. b) Begründe, warum beide Graphen unabhängig von \(a\) dieselben Asymptoten besitzen.

Denkanstöße

- Welche Gleichung erhältst du aus dem gegebenen Punkt? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt die senkrechte Asymptote? - Welcher Teil bestimmt die waagrechte Asymptote?

Lösung

1. Aus \(h_2(0)=5\) folgt \(5=\frac{a}{-1}+1=-a+1\). Daher ist \(a=-4\). 2. Bei beiden Funktionen wird der Nenner bei \(x=1\) null. Daher ist die senkrechte Asymptote jeweils \(x=1\). 3. Beide Funktionsterme besitzen den konstanten Summanden \(+1\). Daher ist die waagrechte Asymptote jeweils \(y=1\). 4. Der Parameter \(a\) verändert die Funktionswerte und je nach Vorzeichen die Astlage, aber nicht die Lage der Asymptoten.

Antwort

a) \(a=-4\) b) Beide Graphen haben die Asymptoten \(x=1\) und \(y=1\); diese hängen nicht vom Zählerparameter \(a\) ab.

4241878

Gegeben sind \(f(x)=\frac{12}{x}\) und \(g(x)=\frac{24}{x}\) für \(x\neq0\). a) Berechne die Funktionswerte für \(x\in\{1;2;3;4;6;12\}\) und stelle sie in einer Tabelle gegenüber. b) Vergleiche im ersten Quadranten bei gleichen positiven \(x\)-Werten die zugehörigen Funktionswerte. Welcher Graph liegt höher? Begründe mit den Parametern \(a\). c) In welchen Quadranten verlaufen die Äste? Erkläre, warum die Graphen die Koordinatenachsen nicht schneiden.

Denkanstöße

- Wie unterscheiden sich die beiden Zählerparameter \(a\)? - Was bewirkt diese Änderung bei demselben positiven \(x\)-Wert? - Welche beiden unterschiedlichen Gründe verhindern einen Schnittpunkt mit der \(x\)- bzw. \(y\)-Achse?

Lösung

1. Für \(f\) erhält man \(12,6,4,3,2,1\); für \(g\) erhält man \(24,12,8,6,4,2\). 2. Für jedes \(x>0\) gilt \(g(x)=2f(x)\). Daher liegt der Graph von \(g\) bei gleichem positivem \(x\) höher. 3. Weil beide Zählerparameter positiv sind, liegen die Äste im I. und III. Quadranten. 4. Die \(y\)-Achse wird nicht geschnitten, weil \(x=0\) ausgeschlossen ist. Die \(x\)-Achse wird nicht geschnitten, weil ein Bruch mit konstantem Zähler ungleich null nie den Wert \(0\) annimmt.

Antwort

a) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(12\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td><td>\(1\)</td></tr> <tr><td>\(g(x)\)</td><td>\(24\)</td><td>\(12\)</td><td>\(8\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) Bei gleichem positiven \(x\) liegt der Graph von \(g\) höher, weil sein Zählerparameter doppelt so groß ist. c) Die Äste liegen im I. und III. Quadranten. Die \(y\)-Achse wird nicht geschnitten, weil \(x=0\) ausgeschlossen ist; die \(x\)-Achse wird nicht geschnitten, weil \(\frac{a}{x}\) bei \(a\ne0\) nie den Wert \(0\) annimmt.

4245718

Gegeben sind die Funktionen \(f(x)=\frac{1}{x}\) und \(g(x)=\frac{a}{x}\). a) Der Graph von \(g\) verläuft durch den Punkt \(P(0{,}5\mid8)\). Bestimme den Parameter \(a\). b) Beschreibe, wie sich der Graph von \(g\) vom Graphen von \(f\) unterscheidet. c) In welchen Quadranten würde der Graph von \(g\) liegen, wenn \(a\) negativ wäre? Begründe anhand der Vorzeichen von \(x\) und \(g(x)\).

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie verändert der Parameter \(a\) die Beträge der Funktionswerte gegenüber \(f(x)=\frac{1}{x}\)? - Welches Vorzeichen hat ein Quotient, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben?

Lösung

1. Aus \(P(0{,}5\mid8)\) folgt \(8=\frac{a}{0{,}5}\). Daher ist \(a=4\). 2. Damit ist \(g(x)=\frac{4}{x}\). Gegenüber \(f(x)=\frac{1}{x}\) sind alle Funktionswerte bei gleichem \(x\) viermal so groß; der Graph ist in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) gestreckt. 3. Für \(a<0\) haben \(x\) und \(g(x)\) unterschiedliche Vorzeichen. Deshalb liegen die Äste im II. und IV. Quadranten.

Antwort

a) \(a=4\) b) Der Graph von \(g\) ist im Vergleich zu \(f\) um den Faktor \(4\) in \(y\)-Richtung gestreckt. c) Im II. und IV. Quadranten, da \(x\) und \(y\) bei negativem \(a\) stets unterschiedliche Vorzeichen besitzen.

4331568

Der Graph \(g\) wurde durch Spiegelung und Verschiebung aus dem gestrichelt dargestellten Graphen \(f(x)=\frac{1}{x}\) erzeugt. Erläutere die Transformationen und bestimme die Funktionsgleichung von \(g\).

Denkanstöße

- Welche beiden Asymptoten kannst du beim Graphen von \(g\) erkennen? - Wie unterscheiden sich diese von den Koordinatenachsen, den Asymptoten von \(1/x\)? - Liegt der rechte Ast relativ zur waagrechten Asymptote oberhalb oder unterhalb?

Lösung

1. Am Graphen von \(g\) erkennt man die senkrechte Asymptote \(x=3\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\). 2. Gegenüber \(f\) bedeutet das eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach unten. 3. Rechts von der senkrechten Asymptote liegt der Ast von \(g\) unterhalb der waagrechten Asymptote; links davon liegt er oberhalb. Gegenüber \(f\) sind die Astlagen daher gespiegelt. 4. Der Funktionsterm lautet \(g(x)=-\frac{1}{x-3}-1\).

Antwort

Spiegelung an der \(x\)-Achse, anschließend Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach unten; \(g(x)=-\frac{1}{x-3}-1\).

4332978

Gegeben sind die Graphen von drei Funktionen der Form \(f(x)=\frac{a}{x+b}+c\). Ermittle für jeden Graphen \(a\), \(b\) und \(c\). Nutze die Asymptoten und einen gut ablesbaren Punkt.

Denkanstöße

- Bestimme bei jedem Graphen zuerst die beiden Asymptoten. - Übersetze die senkrechte Asymptote sorgfältig in den Parameter \(b\) der Form \(x+b\). - Nutze danach einen gut ablesbaren Punkt zur Bestimmung von \(a\).

Lösung

1. Graph A hat die Asymptoten \(x=2\) und \(y=-1\). Daher ist \(b=-2\) und \(c=-1\). Mit \((3\mid0)\) folgt \(0=a-1\), also \(a=1\). Damit ist \(f_A(x)=\frac{1}{x-2}-1\). 2. Graph B hat die Asymptoten \(x=-3\) und \(y=2\). Daher ist \(b=3\) und \(c=2\). Mit \((-2\mid4)\) folgt \(4=a+2\), also \(a=2\). Damit ist \(f_B(x)=\frac{2}{x+3}+2\). 3. Graph C hat die Asymptoten \(x=1\) und \(y=-2\). Daher ist \(b=-1\) und \(c=-2\). Mit \((2\mid-3)\) folgt \(-3=a-2\), also \(a=-1\). Damit ist \(f_C(x)=-\frac{1}{x-1}-2\).

Antwort

A: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-1\) B: \(a=2\), \(b=3\), \(c=2\) C: \(a=-1\), \(b=-1\), \(c=-2\)

5532938

Für alle folgenden Funktionen verwenden wir die Form \(f(x)=\frac{a}{x+b}+c\). Gegeben ist \(f(x)=\frac{2}{x+1}-2\). Die Abbildung zeigt einen zweiten Graphen \(g\). Von \(f\) zu \(g\) wurde genau einer der Parameter \(a\), \(b\) oder \(c\) verändert. a) Bestimme anhand der Asymptoten, welcher Parameter verändert wurde, und gib seinen alten und neuen Wert an. b) Beschreibe die zugehörige Verschiebung des Graphen von \(f\) zu \(g\) und gib den Funktionsterm von \(g\) an. c) Aus \(g\) entsteht \(h\), indem nur \(a\) von \(2\) auf \(-2\) geändert wird. Bestimme die Asymptoten und \(h(0)\). Beschreibe außerdem die Änderung der Astlage.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst nur die senkrechten Asymptoten von \(f\) und \(g\). - Vergleiche danach die waagrechten Asymptoten. Welcher Parameter steuert diese Lage? - Was verändert sich an der Lage der Äste relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten, wenn nur das Vorzeichen von \(a\) wechselt?

Lösung

1. Bei \(f\) sind die Asymptoten \(x=-1\) und \(y=-2\). 2. Beim gezeigten Graphen \(g\) bleibt die senkrechte Asymptote \(x=-1\), während die waagrechte Asymptote bei \(y=1\) liegt. Damit wurde \(c\) von \(-2\) auf \(1\) geändert; \(a=2\) und \(b=1\) bleiben gleich. 3. Die Änderung von \(c\) verschiebt den Graphen um \(3\) Einheiten nach oben. Daher ist \(g(x)=\frac{2}{x+1}+1\). 4. Für \(h(x)=\frac{-2}{x+1}+1\) bleiben die Asymptoten \(x=-1\) und \(y=1\). Es gilt \(h(0)=-1\). Durch den Vorzeichenwechsel von \(a\) wechseln die Äste ihre Lage relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten.

Antwort

a) Verändert wurde \(c\): von \(-2\) auf \(1\). b) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben; \(g(x)=\frac{2}{x+1}+1\). c) Asymptoten \(x=-1\), \(y=1\); \(h(0)=-1\); die Astlagen werden vertauscht.

5565418

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion aus der Familie \(f(x)=\frac{a}{x+1}+2\). a) Lies den Schnittpunkt \(S_x\) am Graphen ab. b) Nutze diesen abgelesenen Punkt, um den Parameter \(a\) zu bestimmen. c) Erkläre, wie das Vorzeichen von \(a\) zur Lage der beiden Äste relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten passt.

Denkanstöße

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche Koordinaten dieses Punktes kannst du direkt in die gegebene Funktionsfamilie einsetzen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen von \(a\) für die Lage der Hyperbeläste?

Lösung

1. Am Graphen liest man \(S_x(2\mid0)\) ab. 2. Der Punkt liegt auf dem Graphen. Daher gilt \(0=\frac{a}{2+1}+2\). Also ist \(\frac{a}{3}=-2\) und \(a=-6\). 3. Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \((-1\mid2)\). Weil \(a<0\) ist, liegt der linke Ast links oberhalb und der rechte Ast rechts unterhalb dieses Punktes; das stimmt mit der Abbildung überein.

Antwort

a) \(S_x(2\mid0)\) b) \(a=-6\) c) Weil \(a<0\) ist, liegt relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten der linke Ast links oberhalb und der rechte Ast rechts unterhalb. Diese Astlage ist gegenüber dem Fall \(a>0\) gespiegelt.

5572518

Die Teilbilder zeigen zwei Funktionen der Form \(\frac{a}{x+b}+c\). Von \(f\) zu \(g\) wurden genau zwei der drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) verändert. a) Vergleiche die senkrechten Asymptoten. Welcher Parameter blieb dadurch unverändert? b) Vergleiche die waagrechten Asymptoten. Welcher Parameter wurde dadurch verändert? c) Vergleiche die Astlage relativ zum jeweiligen Asymptotenschnittpunkt. Was ist mit dem Vorzeichen von \(a\) passiert? d) Gib die Parameter von \(f\) und \(g\) an.

Denkanstöße

- Welcher Parameter bestimmt die Stelle der senkrechten Asymptote? - Welcher Parameter bestimmt die Höhe der waagrechten Asymptote? - Was verrät die Lage der Äste relativ zum Schnittpunkt der Asymptoten über das Vorzeichen von \(a\)? - Prüfe am Ende, welche zwei Parameter sich tatsächlich geändert haben.

Lösung

1. Beide Graphen haben die senkrechte Asymptote \(x=-1\). Daher ist bei beiden \(b=1\); dieser Parameter blieb unverändert. 2. Bei \(f\) liegt die waagrechte Asymptote bei \(y=1\), bei \(g\) bei \(y=3\). Somit ändert sich \(c\) von \(1\) auf \(3\). 3. Bei \(f\) liegen die Äste relativ zum Asymptotenschnittpunkt rechts oben und links unten; bei \(g\) rechts unten und links oben. Das Vorzeichen von \(a\) hat sich daher von positiv zu negativ geändert. 4. Aus der Darstellung folgt \(f(x)=\frac{2}{x+1}+1\) und \(g(x)=\frac{-2}{x+1}+3\). Also hat \(f\) die Parameter \(a=2\), \(b=1\), \(c=1\) und \(g\) die Parameter \(a=-2\), \(b=1\), \(c=3\).

Antwort

a) \(b\) blieb unverändert; bei beiden ist \(b=1\). b) \(c\) änderte sich von \(1\) auf \(3\). c) \(a\) wechselte das Vorzeichen: \(2\rightarrow-2\). d) \(f: (a,b,c)=(2,1,1)\); \(g: (a,b,c)=(-2,1,3)\)

4152438

Für \(c\in\mathbb{Q}\) ist die Funktion \(f_c\) durch \(f_c(x)=c-\frac{8}{x}\) mit \(x\neq0\) gegeben. a) Bestimme \(c\), sodass der Graph durch \(A(4\mid1)\) verläuft. b) Wie viele Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzt der Graph in Abhängigkeit von \(c\)? Unterscheide \(c=0\) und \(c\neq0\). c) Jonas behauptet: „Für einen geeigneten Wert von \(c\) wird \(f_c\) zu einer linearen Funktion.“ Beurteile die Aussage mathematisch.

Denkanstöße

- Welche Gleichung entsteht aus dem gegebenen Punkt? - Was ändert sich in der Nullstellengleichung zwischen \(c=0\) und \(c\neq0\)? - Welche Eigenschaft eines linearen Funktionsterms fehlt hier für jeden Parameterwert?

Lösung

1. Aus \(A(4\mid1)\) folgt \(1=c-\frac{8}{4}=c-2\). Daher ist \(c=3\). 2. Für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=c-\frac{8}{x}\). 3. Für \(c\neq0\) folgt \(x=\frac{8}{c}\). Dann gibt es genau einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. 4. Für \(c=0\) müsste \(-\frac{8}{x}=0\) gelten. Das ist unmöglich, weil der Zähler \(-8\) nicht null ist. Dann gibt es keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. 5. Der Term \(-\frac{8}{x}\) bleibt für jeden Wert von \(c\) erhalten. Daher ist die Funktion für keinen Wert von \(c\) linear.

Antwort

a) \(c=3\) b) Für \(c\neq0\) gibt es genau einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse; für \(c=0\) keinen. c) Die Aussage ist falsch; \(-\frac{8}{x}\) bleibt immer Bestandteil des Funktionsterms.

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