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- Überlege dir zuerst, wie groß der Gesamtaufwand oder die Gesamtmenge ist. - Bleibt die Gesamtmenge gleich, wenn sich die Anzahl der Arbeiter oder die Größe der Flaschen ändert? - Handelt es sich um eine Zuordnung, bei der „mehr“ von einer Größe zu „weniger“ von der anderen Größe führt?

1. Der konstante Produktwert beträgt \(3 \cdot 12 = 36\). Division durch die neue Personenzahl: \(36 : 4 = 9\,\text{h}\). 2. Berechnung des Gesamtvolumens des Fasses: \(24 \cdot 0{,}75\,\text{l} = 18\,\text{l}\). Division durch das neue Flaschenvolumen: \(18\,\text{l} : 0{,}5\,\text{l} = 36\).

a) 9 Stunden b) 36 Flaschen

- Worauf musst du bei den Produkten der Zahlenpaare achten, wenn eine Zuordnung antiproportional ist? - Rechne für jedes Spaltenpaar das Produkt aus. - Was passiert mit dem einen Wert, wenn sich der andere Wert verdoppelt?

1. Prüfung der Produktgleichheit für alle Paare \((x, y)\) 2. Berechnung der Produkte \(x \cdot y\): \(0{,}5 \cdot 40 = 20\) \(1 \cdot 20 = 20\) \(2{,}5 \cdot 8 = 20\) \(5 \cdot 4 = 20\) \(10 \cdot 2 = 20\) 3. Da alle Produkte den konstanten Wert \(20\) ergeben, liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

Ja, die Tabelle gehört zu einer antiproportionalen Zuordnung, da das Produkt \(x \cdot y\) für alle Wertepaare konstant \(20\) ist (Produktgleichheit).

- Überlege dir: Wenn sich die erste Größe verdoppelt, was passiert dann mit der zweiten Größe? - Wird die zweite Größe größer oder kleiner? - Gibt es einen festen Gesamtwert (wie eine Fläche oder eine Strecke), der verteilt oder bewältigt werden muss? - Prüfe, ob das Produkt der beiden Größen in jedem Fall gleich bleibt.

1. Zuordnung a): Antiproportional. Wenn sich die Anzahl der Maler verdoppelt, halbiert sich die benötigte Zeit (vorausgesetzt, sie behindern sich nicht), da die Gesamtmenge der Arbeit (Fläche der Halle) konstant bleibt. Das Produkt aus Maleranzahl und Zeit ist konstant. 2. Zuordnung b): Nicht antiproportional (sondern proportional). Mehr Karten führen zu einem höheren Gesamtpreis. Das Verhältnis von Preis zu Anzahl (Einzelpreis) ist konstant, nicht das Produkt. 3. Zuordnung c): Antiproportional. Die Formel lautet \(\text{Zeit} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Geschwindigkeit}}\). Da die Strecke mit \(30\,\text{km}\) konstant ist, führt eine Verdopplung der Geschwindigkeit zu einer Halbierung der Zeit. Das Produkt \(v \cdot t = 30\,\text{km}\) ist konstant.

a) Antiproportional, da die Gesamtarbeit konstant ist. b) Nicht antiproportional (sondern proportional), da der Preis pro Karte konstant ist. c) Antiproportional, da die Gesamtstrecke konstant ist.

- Überlege, wie Geschwindigkeit, Zeit und Strecke zusammenhängen. Welches Produkt bleibt hier immer gleich? - Was bedeutet es für die Rechenoperation, wenn eine Größe im Nenner steht? - Erinnere dich an die Eigenschaften antiproportionaler Zuordnungen.

1. Aufstellen der Formel: Da das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit die konstante Strecke ergibt (\(v \cdot t = 120\)), lautet die Formel für die Zeit \(t = \frac{120}{v}\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: - Für \(v = 20\): \(t = 120 : 20 = 6\) - Für \(v = 30\): \(t = 120 : 30 = 4\) - Für \(v = 40\): \(t = 120 : 40 = 3\) - Für \(v = 60\): \(t = 120 : 60 = 2\) - Für \(v = 80\): \(t = 120 : 80 = 1{,}5\) - Für \(v = 100\): \(t = 120 : 100 = 1{,}2\) - Für \(v = 120\): \(t = 120 : 120 = 1\) 3. Analyse der Änderung: Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung. Wird die Geschwindigkeit \(v\) halbiert, so verdoppelt sich die benötigte Zeit \(t\).

a) \(t = \frac{120}{v}\) b) Die Werte für \(t\) lauten: \(6\); \(4\); \(3\); \(2\); \(1{,}5\); \(1{,}2\); \(1\). c) Wenn die Geschwindigkeit halbiert wird, verdoppelt sich die Zeit, da die Zuordnung antiproportional ist.

- Überlege dir zuerst, ob die Arbeit länger oder kürzer dauert, wenn mehr Personen mithelfen. - Was passiert mit der Zeit, wenn sich die Anzahl der Schüler verdoppelt? - Prüfe, ob das Produkt aus den beiden Größen in jeder Spalte deiner Tabelle immer denselben Wert ergibt.

1. Berechnung der Tabellenwerte durch Division der Gesamtzeit (\(12\,\text{h}\)) durch die Anzahl der Schüler: \(12 : 1 = 12\), \(12 : 2 = 6\), \(12 : 3 = 4\), \(12 : 4 = 3\), \(12 : 6 = 2\). 2. Bestimmung des Zuordnungstyps: Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung, da das Produkt aus Schüleranzahl \(n\) und Zeit \(t\) immer konstant \(12\) ergibt (\(n \cdot t = 12\)). 3. Aufstellen der Formel: Aus der Produktgleichheit \(n \cdot t = 12\) folgt durch Umformung \(t = \frac{12}{n}\).

a) Tabelle: <table> <tr><td>Anzahl Schüler \(n\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td></tr> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{h}\)</td><td>12</td><td>6</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td></tr> </table> b) Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da die Wertepaare produktgleich sind: \(1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = \dots = 12\). c) Die Formel lautet \(t = \frac{12}{n}\) (oder \(n \cdot t = 12\)).

- Überlege zuerst, wie viele Stunden ein einzelner Roboter allein für die gesamte Arbeit brauchen würde. - Handelt es sich um ein Verhältnis, bei dem mehr Roboter weniger Zeit benötigen oder mehr Zeit? - Bleibt die Gesamtmenge der Arbeit gleich?

1. Berechnung des Gesamtaufwands in Roboterstunden: \(6 \cdot 10 = 60\,\text{Roboterstunden}\). 2. Berechnung der benötigten Roboteranzahl für die neue Zeitvorgabe durch Division des Gesamtaufwands durch die Zielzeit: \(60 : 4 = 15\). 3. Es müssen insgesamt 15 Roboter eingesetzt werden.

Es müssen insgesamt 15 Roboter eingesetzt werden.

- Was bleibt bei diesem Vorgang gleich, egal wie viele Rohre man benutzt? - Wenn weniger Rohre offen sind, dauert es dann länger oder kürzer? - Gibt es eine Größe, die beschreibt, wie viel „Arbeit“ insgesamt verrichtet werden muss? - Wie hängen die Anzahl der Rohre und die Zeit mathematisch zusammen?

1. Berechnung des konstanten Produktwerts aus Rohranzahl und Zeit: \(4 \cdot 18 = 72\). 2. Bestimmung der Zeit für 3 Rohre durch Division des konstanten Produktwerts durch die neue Rohranzahl: \(72 : 3 = 24\). Das Ergebnis für Teil a) ist somit \(24\,\text{Minuten}\). 3. Bestimmung der benötigten Rohranzahl für eine Zielzeit von \(12\,\text{Minuten}\) durch Division des konstanten Produktwerts durch die Zeit: \(72 : 12 = 6\). Das Ergebnis für Teil b) ist somit \(6\,\text{Rohre}\).

a) Bei 3 Rohren dauert der Füllvorgang \(24\,\text{Minuten}\). b) Es werden \(6\,\text{Rohre}\) benötigt.

- Überlege zuerst, wie viele Arbeitsstunden insgesamt nötig sind, wenn nur eine Person arbeiten würde. - Wie viel von dieser „Gesamtmenge an Arbeit“ ist nach dem ersten Zeitabschnitt schon erledigt? - Wie viele Leute arbeiten im zweiten Zeitabschnitt zusammen an dem Rest?

1. Berechnung des Gesamtaufwands in Personenstunden: \(4 \cdot 9 = 36\,\text{Personenstunden}\) 2. Berechnung der bereits geleisteten Arbeit nach 3 Stunden: \(4 \cdot 3 = 12\,\text{Personenstunden}\) 3. Bestimmung der verbleibenden Arbeit: \(36 - 12 = 24\,\text{Personenstunden}\) 4. Bestimmung der neuen Teamgröße: \(4 + 2 = 6\,\text{Personen}\) 5. Berechnung der benötigten Zeit für die restliche Arbeit: \(24 : 6 = 4\,\text{Stunden}\) 6. Berechnung der Gesamtzeit: \(3 + 4 = 7\,\text{Stunden}\)

Die gesamte Bepflanzung dauert 7 Stunden.

- Was bleibt gleich, egal wie viele Personen mithelfen? - Wie viele Stunden Arbeit fallen insgesamt an, wenn man die Zeit mit der Anzahl der Personen multipliziert? - Berechne für jede Personenzahl die theoretische Dauer und vergleiche sie mit der Behauptung.

1. Der konstante Produktwert beträgt \(4 \cdot 6 = 24\). 2. Überprüfung der ersten Aussage für 8 Personen: \(24 : 8 = 3\,\text{h}\). Die erste Aussage ist somit korrekt. 3. Überprüfung der zweiten Aussage für 12 Personen: \(24 : 12 = 2\,\text{h}\). Die zweite Aussage ist nicht korrekt, da \(2\,\text{h} \neq 1{,}5\,\text{h}\).

Die erste Aussage ist korrekt (\(3\,\text{Stunden}\)), die zweite Aussage ist jedoch falsch. Bei 12 Personen würde die Arbeit \(2\,\text{Stunden}\) dauern, nicht \(1{,}5\,\text{Stunden}\).

- Was bleibt bei beiden Zeiträumen gleich? - Wie viel Futter ist insgesamt vorhanden? - Wenn der Vorrat länger halten soll, muss die tägliche Menge dann größer oder kleiner werden?

1. Berechnung des gesamten Vorrats an Heu: \(30 \cdot 6\,\text{kg} = 180\,\text{kg}\). 2. Berechnung der täglichen Menge für den längeren Zeitraum durch Division des Gesamtvorrats durch die neue Anzahl an Tagen: \(180\,\text{kg} : 45 = 4\,\text{kg}\).

Er darf täglich durchschnittlich \(4\,\text{kg}\) Heu verfüttern.

- Wie viele Kühe sind nach dem Verkauf noch übrig? - Berechne, wie viele Portionen (für eine Kuh für einen Tag) insgesamt vorhanden sind. - Wenn der Vorrat länger halten soll, müssen dann mehr oder weniger Tiere gefüttert werden?

1. Berechnung des Gesamtfuttervorrats in „Kuhtagen“: \(15 \cdot 20 = 300\). 2. Bestimmung der neuen Anzahl der Kühe nach dem Verkauf: \(15 - 3 = 12\). 3. Berechnung der neuen Dauer: \(300 : 12 = 25\) Tage. 4. Berechnung der benötigten Anzahl der Kühe für 30 Tage: \(300 : 30 = 10\) Kühe.

a) 25 Tage b) 10 Kühe

- Was bleibt an der Gesamtmenge der Limonade gleich, egal welche Flaschengröße man wählt? - Kannst du zuerst ausrechnen, wie viel Liter Limonade insgesamt vorhanden sind? - Wenn die Flaschen kleiner werden, brauchst du dann mehr oder weniger davon?

1. Berechnung des Gesamtvolumens der Limonade durch Multiplikation der Flaschenanzahl mit der Füllmenge pro Flasche: \(15 \cdot 0{,}4\,\text{l} = 6\,\text{l}\). 2. Bestimmung der neuen Flaschenanzahl durch Division des Gesamtvolumens durch das neue Fassungsvermögen: \(6\,\text{l} : 0{,}3\,\text{l} = 20\).

Es wären \(20\) Flaschen erforderlich gewesen.

- Was passiert mit der Dauer des Vorrats, wenn mehr Pferde davon fressen? - Gibt es einen Wert, der in beiden Fällen gleich bleibt (z. B. die Gesamtmenge des Heus)? - Erinnere dich an die Definition von Antiproportionalität: Was passiert mit der einen Größe, wenn die andere verdoppelt wird?

1. Berechnung des Gesamtvorrats in „Pferdetagen“: \(18 \cdot 40 = 720\,\text{Pferdetage}\) 2. Berechnung der maximalen Pferdeanzahl für \(60\) Tage: \(720 : 60 = 12\,\text{Pferde}\) 3. Begründung der Antiproportionalität: Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung, da das Produkt aus Pferdeanzahl und Tagen konstant bleibt (Produktgleichheit). Wenn sich die Anzahl der Pferde verdoppelt, halbiert sich die Zeit, die der Vorrat reicht.

a) Der Vorrat würde für maximal \(12\) Pferde reichen. b) Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da mehr Pferde weniger Zeit bedeuten (Produktgleichheit: \(x \cdot y = \text{konstant}\)).

- Überlege zuerst, wie viele Arbeitsstunden insgesamt für das Streichen der Fassade nötig sind. - Handelt es sich um eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung? Wenn weniger Personen arbeiten, dauert es dann länger oder kürzer?

1. Der konstante Produktwert beträgt \(6 \cdot 10 = 60\). 2. Berechnung der Zeit für 4 Personen: \(60 : 4 = 15\,\text{Stunden}\).

4 Malerinnen würden 15 Stunden benötigen.

- Überlege dir zuerst, wie lange eine einzige Pumpe alleine brauchen würde. - Was passiert mit der Zeit, wenn mehr Geräte gleichzeitig an derselben Aufgabe arbeiten? - Erinnere dich an den Merksatz „Je mehr ..., desto weniger ...“.

1. Gesamtförderaufwand bestimmen: \(2\,\text{Pumpen} \cdot 15\,\text{Stunden} = 30\,\text{Pumpenstunden}\). 2. Zeit für drei Pumpen berechnen: \(30\,\text{Pumpenstunden} : 3\,\text{Pumpen} = 10\,\text{Stunden}\). 3. Zusammenhang identifizieren: Es liegt eine indirekte Proportionalität (Antiproportionalität) vor, da sich die benötigte Zeit bei einer Erhöhung der Pumpenanzahl verringert. Die Aussage des Schülers beschreibt daher keinen passenden Zusammenhang.

a) Drei Pumpen benötigen \(10\,\text{Stunden}\). b) Die Aussage ist falsch, da eine höhere Anzahl an Pumpen die Arbeit schneller erledigt und somit die Zeit verkürzt. Es handelt sich um eine indirekte Proportionalität.

- Überlege dir zuerst, wie viele Stunden eine einzelne Person alleine für die gesamte Arbeit brauchen würde. - Was passiert mit der benötigten Zeit, wenn doppelt so viele Leute mithelfen? - Bleibt die Gesamtmenge der zu erledigenden Arbeit in allen Fällen gleich?

1. Berechnung des Gesamtarbeitsaufwands in Personenstunden: \(6 \cdot 4\,\text{h} = 24\,\text{Personenstunden}\). 2. Berechnung der Zeit für 8 Personen: \(24\,\text{Personenstunden} : 8 = 3\,\text{Stunden}\). 3. Begründung der Antiproportionalität: Da die Gesamtmenge der Arbeit (das Dekorieren der Aula) konstant bleibt, führt eine Vervielfachung der Personenanzahl zu einer entsprechenden Verringerung der benötigten Zeit (Produktgleichheit).

a) 8 Personen benötigen \(3\,\text{Stunden}\). b) Es liegt eine antiproportionale Zuordnung vor, da das Produkt aus Personenanzahl und Zeit konstant bleibt (Produktgleichheit: \(24\,\text{Personenstunden}\)). Mehr Helfer benötigen für die gleiche Aufgabe weniger Zeit.

- Welche Eigenschaft haben alle Wertepaare einer indirekten Proportionalität gemeinsam, wenn man sie miteinander multipliziert? - Wie verändert sich der eine Wert, wenn sich der andere verdoppelt? - Kannst du eine allgemeine Formel aufschreiben, die \(x\), \(y\) und eine Konstante verbindet?

1. Berechnung des Proportionalitätsfaktors \(k\) durch Produktbildung: \(2{,}5 \cdot 16 = 40\), \(4 \cdot 10 = 40\), \(5 \cdot 8 = 40\) usw. Resultat: \(k = 40\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(y = \frac{k}{x}\). Resultat: \(y = \frac{40}{x}\). 3. Einsetzen von \(x = 20\) in die Gleichung: \(y = \frac{40}{20} = 2\). Resultat: \(y = 2\).

1. \(k = 40\) 2. \(y = \frac{40}{x}\) 3. Für \(x = 20\) gilt \(y = 2\).

- Überlege dir, ob sich eine Größe halbiert, wenn die andere verdoppelt wird. - Prüfe, ob das Produkt der beiden zugeordneten Größen immer denselben Wert ergibt. - Stell dir vor, wie sich die zweite Größe ändert, wenn du die erste extrem vergrößerst oder verkleinerst.

1. Analyse von a): Da die Gesamtfläche der Pizza konstant bleibt, führt eine Verdopplung der Anzahl der Stücke zu einer Halbierung der Fläche pro Stück. Das Produkt aus Anzahl und Einzelfläche ist konstant. Ergebnis: antiproportional. 2. Analyse von b): Bei einem festen Kilopreis führt die doppelte Menge Äpfel zum doppelten Preis. Das ist eine proportionale Zuordnung. Ergebnis: nicht antiproportional. 3. Analyse von c): Da die Strecke mit \(20\,\text{km}\) fest vorgegeben ist, ist das Produkt aus Geschwindigkeit \(v\) und Zeit \(t\) konstant: \(v \cdot t = 20\,\text{km}\). Verdoppelt sich die Geschwindigkeit, halbiert sich die Zeit. Ergebnis: antiproportional. 4. Analyse von d): Bäume wachsen nicht gleichmäßig über ihre gesamte Lebensspanne, und es gibt kein konstantes Produkt oder einen konstanten Quotienten. Ergebnis: nicht antiproportional.

a) Antiproportional, da das Produkt aus Anzahl und Fläche die konstante Gesamtfläche der Pizza ergibt. b) Nicht antiproportional (sondern proportional). c) Antiproportional, da das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit die konstante Strecke von \(20\,\text{km}\) ergibt. d) Nicht antiproportional.

- Was bedeutet „indirekt proportional“ für das Produkt der beiden Größen? - Wenn du mehr Pumpen benutzt, wird die Zeit dann länger oder kürzer? - Wenn eine Größe mit dem Faktor \(3\) multipliziert wird, was geschieht bei einer indirekten Proportionalität mit der anderen Größe?

1. Da \(T\) indirekt proportional zu \(n\) ist, bleibt das Produkt \(n \cdot T\) konstant. Mit \(n = 3\) und \(T = 16\) gilt \(k = 3 \cdot 16 = 48\). Im Sachkontext entspricht dies \(48\,\text{Pumpenstunden}\). Die Funktionsgleichung lautet \(T(n) = \frac{48}{n}\). 2. Berechnung der Zeitwerte: - Für \(n = 2\): \(T = \frac{48}{2} = 24\,\text{h}\) - Für \(n = 4\): \(T = \frac{48}{4} = 12\,\text{h}\) - Für \(n = 6\): \(T = \frac{48}{6} = 8\,\text{h}\) - Für \(n = 8\): \(T = \frac{48}{8} = 6\,\text{h}\) 3. Bei einer indirekten Proportionalität führt die Verdreifachung der Pumpenanzahl zur Drittelung der benötigten Zeit. Die Zeit \(T\) verringert sich also auf ein Drittel des ursprünglichen Werts.

1) \(k = 48\), entsprechend \(48\,\text{Pumpenstunden}\); Funktionsgleichung: \(T(n) = \frac{48}{n}\) 2) Bei 2 Pumpen: \(24\,\text{h}\); bei 4 Pumpen: \(12\,\text{h}\); bei 6 Pumpen: \(8\,\text{h}\); bei 8 Pumpen: \(6\,\text{h}\). 3) Bei Verdreifachung der Pumpenanzahl drittelt sich die benötigte Zeit, da das Produkt aus Pumpenanzahl und Zeit konstant bleibt.

- Was bleibt am gesamten Arbeitsaufwand gleich, unabhängig davon, wie viele Personen mithelfen? - In welcher Einheit kannst du das Produkt aus Personenzahl und Arbeitstagen angeben? - Wenn weniger Personen arbeiten, dauert es dann länger oder kürzer? - Welche Rechenoperation verknüpft die Anzahl der Personen mit der Zeit bei einer indirekten Proportionalität?

1. Der gesamte Arbeitsaufwand beträgt \(6\,\text{Personen} \cdot 10\,\text{Tage} = 60\,\text{Personentage}\). 2. Für Teilaufgabe a gilt: \(60\,\text{Personentage} : 4\,\text{Personen} = 15\,\text{Tage}\). 3. Für Teilaufgabe b gilt: \(60\,\text{Personentage} : 4\,\text{Tage} = 15\,\text{Personen}\).

a) \(4\) Fachkräfte benötigen \(15\) Tage. b) Es müssten insgesamt \(15\) Fachkräfte eingesetzt werden.

- Überlege zuerst, wie viel Geld insgesamt bezahlt werden muss. - Wenn mehr Personen mitfahren, muss dann jede einzelne Person mehr oder weniger bezahlen? - Wie erhältst du den Preis pro Person aus Gesamtkosten und Teilnehmerzahl? - Prüfe, ob das Produkt aus Teilnehmerzahl und Preis pro Person konstant bleibt.

1. Berechnung des Preises pro Person bei \(24\) Teilnehmenden: \(360 : 24 = 15\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung für die indirekte Proportionalität: \(y = \frac{360}{x}\). 3. Berechnung der Tabellenwerte durch Division der Gesamtkosten durch die jeweilige Personenzahl: \(360 : 12 = 30\); \(360 : 15 = 24\); \(360 : 20 = 18\); \(360 : 30 = 12\); \(360 : 40 = 9\). 4. Feststellung der Eigenschaft der indirekten Proportionalität: Wenn sich die Teilnehmerzahl \(x\) verdoppelt, halbiert sich der Preis pro Person \(y\), da das Produkt \(xy = 360\) konstant bleibt.

1. Jede Person muss \(15\,\text{€}\) bezahlen. 2. Die Funktionsgleichung lautet \(y = \frac{360}{x}\). 3. Die Werte für \(y\) sind: \(30\); \(24\); \(18\); \(12\); \(9\). 4. Der Preis pro Person halbiert sich bei einer Verdopplung der Teilnehmerzahl.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Welche Werte sind für eine Seitenlänge im Sachkontext möglich? - Zu welcher geometrischen Form gehört der Graph einer Funktion der Form \(y = \frac{k}{x}\)? - Welche Bedeutung hat das Produkt aus Länge und Breite?

1. Mit \(A = x \cdot y\) gilt \(y = 18 : 4{,}5 = 4\,\text{m}\). 2. Durch Umstellen der Flächenformel erhält man \(y(x) = \frac{18}{x}\). Da eine Länge positiv sein muss, gilt im Sachkontext \(x > 0\). 3. Für \(x > 0\) besteht der Graph aus dem Ast einer Hyperbel im I. Quadranten. 4. Es gilt \(2\,\text{m} \cdot 9\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\) und \(6\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\). Das konstante Produkt ist der fest vorgegebene Flächeninhalt des Beets.

1. Die Breite beträgt \(4\,\text{m}\). 2. \(y(x) = \frac{18}{x}\) mit \(x > 0\). 3. Der Graph im Sachkontext ist ein Hyperbelast im I. Quadranten. 4. Beide Produkte ergeben \(18\,\text{m}^2\); dies ist der Flächeninhalt des Beets.

- Lies für jeden vorgegebenen \(x\)-Wert den zugehörigen \(y\)-Wert ab. - Multipliziere jeweils die Anzahl der Tiere mit der Anzahl der Tage. - Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist dieses Produkt konstant.

1. Aus dem Graphen liest man für \(x = 2\) den Wert \(y = 20\), für \(x = 4\) den Wert \(y = 10\), für \(x = 5\) den Wert \(y = 8\), für \(x = 8\) den Wert \(y = 5\) und für \(x = 10\) den Wert \(y = 4\) ab. 2. Die Produkte lauten \(2 \cdot 20 = 40\), \(4 \cdot 10 = 40\), \(5 \cdot 8 = 40\), \(8 \cdot 5 = 40\) und \(10 \cdot 4 = 40\). Das Produkt ist stets konstant. 3. Die Gesamtzahl der Futterportionen entspricht dem konstanten Produkt, also \(40\) Portionen.

a) <table> <tr><td>Anzahl Tiere \(x\)</td><td>2</td><td>4</td><td>5</td><td>8</td><td>10</td></tr> <tr><td>Zeit in Tagen \(y\)</td><td>20</td><td>10</td><td>8</td><td>5</td><td>4</td></tr> </table> b) Für alle Wertepaare gilt \(x \cdot y = 40\); das Produkt ist konstant. c) Im Vorrat sind insgesamt \(40\) Futterportionen enthalten.

- Was bleibt bei einer indirekten Proportionalität immer gleich, wenn man die beiden Größen miteinander multipliziert? - Wie verändert sich die Zeit, wenn man doppelt so viele Leute einsetzt? - Schau auf der \(y\)-Achse bei \(3\) Stunden nach rechts zum Graphen und dann nach unten zur \(x\)-Achse.

1. Bei indirekter Proportionalität gilt \(nt = k\). Hier ist \(k = 4 \cdot 6 = 24\) Personenstunden. 2. Die Funktionsgleichung lautet \(t(n) = \frac{24}{n}\). 3. Am Graphen liest man bei \(t = 3\,\text{h}\) den zugehörigen Wert \(n = 8\) ab: Vom Wert \(3\) auf der \(t\)-Achse geht man waagerecht bis zum Graphen und anschließend senkrecht zur \(n\)-Achse. Rechnerische Kontrolle: \(3 = \frac{24}{n} \Rightarrow n = 8\). Es werden \(8\) Personen benötigt.

\(t(n) = \frac{24}{n}\). Es werden \(8\) Personen benötigt.

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit? - Ist die Zeit direkt oder indirekt proportional zur Geschwindigkeit, wenn der Weg gleich bleibt? - Suche die Zahl \(40\) auf der waagerechten Achse und gehe zum Graphen hoch.

1. Es gilt \(s = vt\), also \(60 = vt\). Die Zeit ist \(t = \frac{60}{v}\). 2. Setze \(v = 40\) ein: \(t = \frac{60}{40} = 1{,}5\). Die Fahrt dauert \(1{,}5\) Stunden (also \(1\) Stunde und \(30\) Minuten).

Die Fahrt dauert \(1{,}5\) Stunden (\(90\) Minuten).

- Wie kannst du aus einem vollständigen Wertepaar den sogenannten Produktwert berechnen? - Wenn du den Produktwert kennst, wie berechnest du dann einen fehlenden Partner, wenn eine Zahl gegeben ist? - Überlege: Wenn \(x\) kleiner wird, muss \(y\) im gleichen Verhältnis größer werden.

1. Bestimmung des Antiproportionalitätsfaktors \(k\) aus dem bekannten Paar \((4; 10)\): \(k = 4 \cdot 10 = 40\) 2. Berechnung von \(b\) bei \(x = 2\): \(b = 40 : 2 = 20\) 3. Berechnung von \(a\) bei \(y = 5\): \(a = 40 : 5 = 8\) 4. Berechnung von \(c\) bei \(x = 16\): \(c = 40 : 16 = 2{,}5\) 5. Berechnung von \(d\) bei \(x = 40\): \(d = 40 : 40 = 1\)

Die fehlenden Werte lauten: \(b = 20\), \(a = 8\), \(c = 2{,}5\) und \(d = 1\).

- Was passiert, wenn du die Werte in einer Spalte miteinander multiplizierst? - Erinnerst du dich an den Begriff der Produktgleichheit? - Wenn du weißt, wie viel Arbeit insgesamt anfällt (in Stunden für eine Person), wie verteilst du diese dann auf mehrere Personen?

1. Prüfung der Produktgleichheit: \(3 \cdot 16 = 48\), \(6 \cdot 8 = 48\), \(12 \cdot 4 = 48\). Da alle Produkte den gleichen Wert ergeben, ist die Zuordnung antiproportional. 2. Der Antiproportionalitätsfaktor beträgt \(48\). Im Sachkontext bedeutet das: Ein einzelner Gärtner würde allein \(48\,\text{Stunden}\) für die gesamte Arbeit benötigen. 3. Berechnung für \(8\) Gärtner: Da \(x \cdot y = 48\) gilt, rechnen wir \(y = \frac{48}{8} = 6\). Ein Team aus \(8\) Gärtnern benötigt also \(6\,\text{Stunden}\).

1. Rechnerischer Nachweis durch Produktgleichheit: \(3 \cdot 16 = 6 \cdot 8 = 12 \cdot 4 = 48\). 2. Faktor: \(48\); Bedeutung: Ein einzelner Gärtner würde für die gesamte Arbeit \(48\,\text{Stunden}\) benötigen. 3. Ein Team aus \(8\) Gärtnern benötigt \(6\,\text{Stunden}\).

- Wie verteilt man einen festen Betrag auf eine Gruppe? - Wähle zwei Werte für \(n\), bei denen der eine genau das Doppelte des anderen ist. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn du den Divisor verdoppelst?

1. Berechnung der Einzelwerte: - Für \(n = 12\): \(k = 480 : 12 = 40\,\text{€}\) - Für \(n = 15\): \(k = 480 : 15 = 32\,\text{€}\) - Für \(n = 20\): \(k = 480 : 20 = 24\,\text{€}\) - Für \(n = 24\): \(k = 480 : 24 = 20\,\text{€}\) - Für \(n = 32\): \(k = 480 : 32 = 15\,\text{€}\) 2. Aufstellen des Terms: Da die Gesamtsumme fix ist, ergibt sich der Preis pro Person durch Division der Gesamtsumme durch die Personenanzahl: \(k = \frac{480}{n}\). 3. Überprüfung der Aussage: Bei \(12\) Personen zahlt jeder \(40\,\text{€}\). Verdoppelt man auf \(24\) Personen, zahlt jeder \(20\,\text{€}\). Das ist genau die Hälfte; die Aussage stimmt.

a) Für \(n=12\): \(40\,\text{€}\); für \(n=15\): \(32\,\text{€}\); für \(n=20\): \(24\,\text{€}\); für \(n=24\): \(20\,\text{€}\); für \(n=32\): \(15\,\text{€}\). b) \(k = \frac{480}{n}\) c) Die Aussage ist korrekt. Beispiel: Bei \(12\) Personen sind es \(40\,\text{€}\), bei \(24\) Personen (doppelte Anzahl) sind es \(20\,\text{€}\) (halber Preis).

- Überlege zuerst, ob mehr Pferde dazu führen, dass das Heu länger oder kürzer reicht. - Was passiert mit der Anzahl der Tage, wenn sich die Anzahl der Pferde verdoppelt? - Kannst du eine Formel aufstellen, die den Zusammenhang zwischen Pferden und Tagen beschreibt? - Beachte bei der Beantwortung der Frage, dass man nur ganze Lebewesen zählen kann.

1. Es liegt eine antiproportionale Zuordnung vor, da das Produkt aus Pferdeanzahl \(n\) und Tagen \(d\) konstant ist: \(n \cdot d = 120\). 2. Berechnung der Tabellenwerte mit \(d = \frac{120}{n}\): Für \(n=2 \Rightarrow d=60\); für \(n=4 \Rightarrow d=30\); für \(n=6 \Rightarrow d=20\); für \(n=8 \Rightarrow d=15\); für \(n=10 \Rightarrow d=12\); für \(n=12 \Rightarrow d=10\). 3. Aufstellen der Ungleichung für die Mindestdauer: \(\frac{120}{n} \geq 18\). 4. Umformen nach \(n\): \(120 \geq 18 \cdot n \Rightarrow n \leq \frac{120}{18}\). 5. Berechnung des Wertes: \(\frac{120}{18} \approx 6{,}67\). 6. Da nur ganze Pferde gehalten werden können, ist die maximale Anzahl \(6\).

a) <table> <thead> <tr><th>Anzahl Pferde</th><th>Dauer in Tagen</th></tr> </thead> <tbody> <tr><td>2</td><td>60</td></tr> <tr><td>4</td><td>30</td></tr> <tr><td>6</td><td>20</td></tr> <tr><td>8</td><td>15</td></tr> <tr><td>10</td><td>12</td></tr> <tr><td>12</td><td>10</td></tr> </tbody> </table> b) Er darf höchstens 6 Pferde halten.

- Wie viele Arbeitsstunden fallen insgesamt an, um alle Briefe zu kuvertieren? - Wenn du die Gesamtstunden kennst, wie verteilt sich diese Zeit auf die verschiedenen Mitarbeiter? - Was bedeutet „weniger als 3 Stunden“ für das Ergebnis deiner Rechnung? - Muss die Anzahl der Mitarbeiter eine ganze Zahl sein?

1. Der konstante Produktwert beträgt \(3 \cdot 8 = 24\). 2. Berechnung der Dauer \(t\) in Abhängigkeit von der Mitarbeiteranzahl \(m\): \(t = \frac{24}{m}\). 3. Tabellenwerte berechnen: Für \(m=2 \Rightarrow t=12\); für \(m=4 \Rightarrow t=6\); für \(m=5 \Rightarrow t=4{,}8\); für \(m=6 \Rightarrow t=4\). 4. Aufstellen der Ungleichung für die Zeitvorgabe: \(\frac{24}{m} < 3\). 5. Umformen nach \(m\): \(24 < 3 \cdot m \Rightarrow m > 8\). 6. Da die Zeit weniger als \(3\) Stunden betragen soll, müssen mehr als \(8\) Mitarbeiter eingesetzt werden, also mindestens \(9\).

a) <table> <thead> <tr><th>Mitarbeiter</th><th>Zeit in Stunden</th></tr> </thead> <tbody> <tr><td>2</td><td>12</td></tr> <tr><td>4</td><td>6</td></tr> <tr><td>5</td><td>\(4{,}8\)</td></tr> <tr><td>6</td><td>4</td></tr> </tbody> </table> b) Es müssen mindestens 9 Mitarbeiter eingesetzt werden.

- Was bleibt in dieser Situation unverändert, egal wie groß die Gläser sind? - Wenn du die Gläser doppelt so voll machst, kannst du dann mehr oder weniger Gläser füllen? - Wie hängen die Gesamtmenge, die Anzahl der Teile und die Größe eines Teils zusammen?

1. Bestimmung des Typs: Da die Gesamtmenge konstant ist, führt eine größere Füllmenge pro Glas zu einer geringeren Anzahl an Gläsern. Es handelt sich um eine antiproportionale (umgekehrt proportionale) Zuordnung. 2. Aufstellen der Formel: Das Produkt aus Anzahl \(n\) und Volumen \(v\) muss die Gesamtmenge ergeben: \(n \cdot v = 12\), also \(n = \frac{12}{v}\). 3. Berechnung für \(v = 0{,}2\): \(n = \frac{12}{0{,}2} = 60\). 4. Berechnung für \(v = 0{,}3\): \(n = \frac{12}{0{,}3} = 40\).

a) Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da die Anzahl der Gläser sinkt, wenn die Füllmenge pro Glas steigt. b) \(n = \frac{12}{v}\) c) Bei \(0{,}2\,\text{l}\) sind es \(60\) Gläser; bei \(0{,}3\,\text{l}\) sind es \(40\) Gläser.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. - Was passiert mit einer Seite, wenn die andere Seite länger wird, die Fläche aber gleich bleiben muss? - Überlege dir ein konkretes Beispiel mit Zahlen und schaue, was passiert, wenn du eine Zahl verdreifachst.

1. Zusammenhang analysieren: Die Formel für den Flächeninhalt ist \(A = a \cdot b\). Da \(A = 48\) konstant ist, ist das Produkt \(a \cdot b = 48\) konstant. Dies entspricht einer antiproportionalen Zuordnung. 2. Beispielpaare finden: Mögliche Paare \((a|b)\) sind z. B. \((4|12)\), \((6|8)\) und \((2|24)\), da jeweils \(a \cdot b = 48\) gilt. 3. Veränderung untersuchen: Bei einer antiproportionalen Zuordnung führt die Multiplikation einer Größe mit einem Faktor zur Division der anderen Größe durch denselben Faktor. Wenn \(a\) verdreifacht wird (\(\cdot 3\)), muss \(b\) durch \(3\) geteilt werden (\(: 3\)), damit das Produkt \(48\) bleibt.

a) Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da das Produkt der Seitenlängen konstant \(48\) ist. b) Mögliche Paare: \(4\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\); \(6\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\); \(2\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\). c) Die Breite \(b\) wird gedrittelt (durch \(3\) geteilt), da das Produkt \(a \cdot b\) konstant bleiben muss.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. - Was bedeutet „antiproportional“ für die Änderung der einen Größe, wenn die andere mit einem Faktor multipliziert wird? - Rechne für den Umfang zwei konkrete Beispiele mit unterschiedlichen Seitenlängen, aber gleichem Flächeninhalt durch.

1. Mögliche Paare für \(x \cdot y = 24\): \((1; 24)\), \((2; 12)\), \((3; 8)\), \((4; 6)\). 2. Zusammenhang: Es liegt eine antiproportionale Zuordnung vor (\(y = \frac{24}{x}\)). Bei einer Verdreifachung der Länge \(x\) drittelt sich die Breite \(y\). 3. Überprüfung der Umfangsaussage: Beispiel \(x=4, y=6 \Rightarrow U = 2 \cdot (4+6) = 20\,\text{m}\). Verdopplung/Halbierung: \(x=8, y=3 \Rightarrow U = 2 \cdot (8+3) = 22\,\text{m}\). Da \(20 \neq 22\), ist die Aussage falsch. Der Umfang ändert sich, auch wenn der Flächeninhalt gleich bleibt.

a) Mögliche Paare (Länge; Breite): \((2\,\text{m}; 12\,\text{m})\), \((3\,\text{m}; 8\,\text{m})\), \((4\,\text{m}; 6\,\text{m})\), \((6\,\text{m}; 4\,\text{m})\). b) Der Zusammenhang ist antiproportional (\(y = \frac{24}{x}\)). Wenn die Länge verdreifacht wird, wird die Breite auf ein Drittel reduziert. c) Nein, der Gärtner hat nicht recht. Beispiel: Bei \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\) ist \(U = 20\,\text{m}\). Bei \(8\,\text{m}\) und \(3\,\text{m}\) ist \(U = 22\,\text{m}\). Der Umfang ändert sich.

- Wie viel kostet die Tischtennisplatte insgesamt? - Verändert sich der Gesamtpreis der Platte, wenn mehr oder weniger Leute mitbezahlen? - Wie viele Personen bleiben in Teil b) übrig, die sich die Kosten teilen? - Achte in Teil b) genau darauf, ob nach dem neuen Preis oder nach der Änderung des Preises gefragt ist.

1. Berechnung des Gesamtpreises der Tischtennisplatte als Produkt aus Personenanzahl und Einzelbeitrag: \(12 \cdot 15 = 180\). Der Gesamtpreis beträgt \(180{,}00\,\text{€}\). 2. Berechnung des Beitrags bei 18 Personen durch Division des Gesamtpreises: \(180 : 18 = 10\). Der Beitrag pro Person beträgt \(10{,}00\,\text{€}\). 3. Ermittlung der neuen Teilnehmerzahl für Teil b): \(12 - 3 = 9\). 4. Berechnung des neuen Beitrags bei 9 Personen: \(180 : 9 = 20\). Der neue Beitrag beträgt \(20{,}00\,\text{€}\). 5. Bestimmung der Differenz zum ursprünglichen Beitrag: \(20 - 15 = 5\). Der Beitrag erhöht sich um \(5{,}00\,\text{€}\).

a) Bei 18 Personen beträgt der Beitrag \(10{,}00\,\text{€}\) pro Person. b) Der Beitrag erhöht sich um \(5{,}00\,\text{€}\) pro Person.

- Berechne zunächst, wie viele Tage die Arbeit insgesamt gedauert hätte, wenn kein Lkw ausgefallen wäre. - Bestimme dann, wie viel Arbeit nach dem Ausfall noch übrig war. - Wie lange brauchen die verbleibenden Lkw für diesen Rest? - Vergleiche am Ende die neue Gesamtdauer mit der ursprünglich geplanten Zeit.

1. Konstanter Produktwert für die gesamte Arbeit: \(3 \cdot 20 = 60\). 2. In den ersten 4 Tagen erledigter Anteil: \(3 \cdot 4 = 12\). 3. Verbleibender Produktwert: \(60 - 12 = 48\). 4. Verbleibende Lkw: \(3 - 1 = 2\). 5. Zeit für die restliche Arbeit: \(48 : 2 = 24\,\text{Tage}\). 6. Tatsächliche Gesamtdauer: \(4 + 24 = 28\,\text{Tage}\). 7. Berechnung der Verzögerung: \(28 - 20 = 8\,\text{Tage}\).

Die Fertigstellung verzögert sich um 8 Tage.

- Wie viel Zeit würde eine einzelne Person für die gesamte Arbeit benötigen? - Wenn die Zeit kürzer werden soll, müssen es dann mehr oder weniger Helfer sein? - Achte genau darauf, ob nach der Gesamtzahl der Helfer oder nach der Anzahl der neu dazukommenden Helfer gefragt ist.

1. Der konstante Produktwert beträgt \(5 \cdot 8 = 40\). 2. Für eine Dauer von \(5\,\text{h}\) werden \(40 : 5 = 8\) Helfer benötigt. 3. Berechnung der zusätzlichen Helfer: \(8\,\text{Helfer} - 5\,\text{Helfer} = 3\,\text{Helfer}\).

Der Besitzer muss \(3\) zusätzliche Helfer einstellen.

- Überlege zuerst, wie viele Stunden eine einzelne Person alleine für die gesamte Arbeit brauchen würde. - Was passiert mit der benötigten Zeit, wenn mehr Leute mithelfen? Ist das ein proportionaler oder ein antiproportionaler Zusammenhang? - Denke bei der zweiten Frage an den Platz im Park und die Organisation der Arbeit.

1. Der konstante Produktwert beträgt \(3 \cdot 12 = 36\). 2. Berechnung der Zeit für vier Gärtner: \(36 : 4 = 9\,\text{Stunden}\). 3. Überprüfung der Behauptung für \(40\) Gärtner: \(36 : 40 = 0{,}9\,\text{Stunden}\). Das sind \(0{,}9 \cdot 60\,\text{Minuten} = 54\,\text{Minuten}\). Mathematisch ist die Aussage korrekt, da \(54\,\text{Minuten} < 1\,\text{Stunde}\). 4. Reale Einschränkung: Bei einer sehr hohen Anzahl an Personen auf derselben Fläche behindern sich die Arbeitskräfte gegenseitig. Zudem gibt es Wegezeiten und Koordinationsaufwand, der bei vielen Personen stark ansteigt, sodass die Effizienz sinkt.

a) Vier Gärtner benötigen \(9\,\text{Stunden}\). b) Mathematisch bräuchten \(40\) Gärtner nur \(54\,\text{Minuten}\). In der Realität ist das jedoch unrealistisch, da sich so viele Menschen auf einer Fläche gegenseitig behindern und der Organisationsaufwand zu groß wird.

- Wie viele Stunden Arbeit sind insgesamt nötig, wenn nur eine Person alles alleine machen würde? - Wenn mehr Leute mithelfen, dauert es dann länger oder geht es schneller? - Bleibt der Umfang der zu erledigenden Arbeit immer gleich?

1. Berechnung des Gesamtaufwands in Arbeitsstunden: \(4 \text{ Gärtner} \cdot 12\,\text{h} = 48 \text{ Arbeitsstunden}\) 2. Zeitbedarf für 6 Gärtner: \(48 \text{ Arbeitsstunden} : 6 \text{ Gärtner} = 8\,\text{h}\) 3. Anzahl der Gärtner für 4 Stunden: \(48 \text{ Arbeitsstunden} : 4\,\text{h} = 12 \text{ Gärtner}\) 4. Begründung: Es ist eine antiproportionale Zuordnung, da sich die benötigte Zeit im gleichen Verhältnis verringert, in dem die Anzahl der Arbeiter erhöht wird (Produktgleichheit).

a) 6 Gärtner würden \(8\,\text{Stunden}\) benötigen. b) Es müssten insgesamt 12 Gärtner eingesetzt werden. c) Die Zuordnung ist antiproportional, da mehr Arbeiter weniger Zeit für die gleiche Menge Arbeit benötigen (bei Verdopplung der Arbeiter halbiert sich die Zeit).

- Wie ändert sich der Preis für den Einzelnen, wenn die Gruppe kleiner wird? - Berechne zuerst die Einzelpreise für beide Situationen in Teilaufgabe b). - Achte darauf, dass nach der Differenz (der Erhöhung) gefragt ist, nicht nach dem neuen Gesamtpreis.

1. Berechnung der Preise pro Person durch Division der Gesamtkosten durch die Teilnehmerzahl: \(540\,\text{€} : 20 = 27\,\text{€}\); \(540\,\text{€} : 25 = 21{,}60\,\text{€}\); \(540\,\text{€} : 30 = 18\,\text{€}\). 2. Berechnung des ursprünglichen Preises bei 27 Schülern: \(540\,\text{€} : 27 = 20\,\text{€}\). 3. Berechnung der neuen Teilnehmerzahl: \(27 - 3 = 24\). 4. Berechnung des neuen Preises bei 24 Schülern: \(540\,\text{€} : 24 = 22{,}50\,\text{€}\). 5. Berechnung der Preisdifferenz: \(22{,}50\,\text{€} - 20\,\text{€} = 2{,}50\,\text{€}\).

a) 20 Schüler: \(27\,\text{€}\); 25 Schüler: \(21{,}60\,\text{€}\); 30 Schüler: \(18\,\text{€}\) b) Der Betrag erhöht sich um \(2{,}50\,\text{€}\).

- Was passiert mit der Zeit, wenn die Pumpe mehr Wasser pro Sekunde fördert? - Bleibt die Gesamtmenge des Wassers, die in das Becken passt, gleich? - Wie hängen die beiden Werte mathematisch zusammen, wenn ihr Produkt immer dasselbe ergibt?

1. Die Gesamtwassermenge des Beckens wird mit einheitlichen Zeiteinheiten berechnet: \(60\,\text{Minuten}=3600\,\text{Sekunden}\). Damit beträgt das Volumen \(10\,\text{l/s} \cdot 3600\,\text{s}=36\,000\,\text{l}\). 2. Bei einer Förderleistung von \(15\,\text{l/s}\) beträgt die Füllzeit \(36\,000\,\text{l} : 15\,\text{l/s}=2400\,\text{s}=40\,\text{Minuten}\). 3. Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung: Bei festem Beckenvolumen bleibt das Produkt aus Förderleistung und Zeit konstant, sofern dieselbe Zeiteinheit verwendet wird.

a) Bei einer Leistung von \(15\,\text{Litern}\) pro Sekunde dauert es \(40\,\text{Minuten}\). b) Es liegt eine antiproportionale Zuordnung vor, weil bei konstantem Beckenvolumen eine größere Förderleistung eine entsprechend kürzere Füllzeit bewirkt.

- Was berechnest du, wenn du die Anzahl der Tiere mit der Zeit multiplizierst? - Nutze das Ergebnis aus Teil a), um die Behauptung in Teil b) zu prüfen. - Überlege für Teil c), ob sich Tiere in großen Gruppen immer genau so verhalten wie in kleinen Gruppen.

1. Berechnung des konstanten Produkts: \(12 \cdot 20 = 240\) und \(15 \cdot 16 = 240\). Dieser Wert entspricht \(240\) Tagesrationen für ein Pferd; der Vorrat würde also für ein Pferd \(240\,\text{Tage}\) reichen. 2. Überprüfung der Behauptung für \(80\) Pferde: \(240 : 80 = 3\). Die Rechnung ist mathematisch im Modell der antiproportionalen Zuordnung korrekt. 3. Analyse der Realität: Faktoren wie unterschiedlicher Futterbedarf der Tiere, Platzmangel bei vielen Tieren, erhöhter Verderb durch Lagerung oder Schwierigkeiten bei der gleichzeitigen Fütterung können das einfache mathematische Modell ungenau machen.

a) Das Produkt beträgt \(240\). Es entspricht \(240\) Tagesrationen für ein Pferd; der Vorrat würde für ein Pferd \(240\,\text{Tage}\) reichen. b) Die Rechnung ist korrekt, da \(80 \cdot 3 = 240\) ergibt. c) Mögliche Gründe: Futterneid oder Stress bei vielen Tieren könnte den Verbrauch erhöhen; logistische Probleme bei der Verteilung; oder der Platz reicht für so viele Tiere gar nicht aus.

- Bleibt die Gesamtmenge des Heizöls in allen Szenarien gleich? - Wenn man jeden Tag mehr verbraucht, reicht der Vorrat dann länger oder kürzer? - Versuche zuerst herauszufinden, wie viele Liter Heizöl insgesamt im Tank sind.

1. Berechnung des Gesamtvorrats an Heizöl: \(12\,\text{l} \cdot 80 = 960\,\text{l}\). 2. Berechnung der Laufzeit bei einem Verbrauch von \(16\,\text{l}\) pro Tag: \(960\,\text{l} : 16\,\text{l/Tag} = 60\,\text{Tage}\). 3. Berechnung des maximalen Tagesverbrauchs für eine Dauer von 120 Tagen: \(960\,\text{l} : 120\,\text{Tage} = 8\,\text{l/Tag}\).

a) 60 Tage b) \(8\,\text{Liter}\) pro Tag

- Überlege dir zuerst, wie viele „Tagesrationen“ insgesamt vorhanden sind. - Wie viele dieser Rationen wurden in den ersten Tagen bereits verbraucht? - Verteile den Rest der Rationen auf die neue Anzahl der Personen.

1. Berechnung des Gesamtvorrats in „Personentagen“: \(25 \cdot 12 = 300\,\text{Personentage}\) 2. Berechnung des verbrauchten Vorrats nach \(3\) Tagen: \(25 \cdot 3 = 75\,\text{Personentage}\) 3. Berechnung des Restvorrats: \(300 - 75 = 225\,\text{Personentage}\) 4. Bestimmung der neuen Personenzahl: \(25 + 5 = 30\,\text{Personen}\) 5. Berechnung der verbleibenden Tage für die neue Gruppe: \(225 : 30 = 7{,}5\,\text{Tage}\)

Die restlichen Vorräte reichen für die vergrößerte Gruppe noch \(7{,}5\) Tage lang.

- Was bleibt bei dieser Aufgabe über den gesamten Verlauf gleich? - Wie berechnest du den Anteil für eine Person, wenn du den Gesamtpreis kennst? - Schau dir die Ergebnisse in deiner Tabelle an: Was passiert mit dem Preis, wenn die Schülerzahl größer wird?

1. Berechnung der Werte: \(p = \frac{480}{n}\). Für \(n = 12\): \(40\,\text{€}\). Für \(n = 16\): \(30\,\text{€}\). Für \(n = 20\): \(24\,\text{€}\). Für \(n = 24\): \(20\,\text{€}\). Für \(n = 32\): \(15\,\text{€}\). Für \(n = 40\): \(12\,\text{€}\). 2. Da das Produkt aus Anzahl der Schüler und Preis pro Person immer den Festpreis ergibt (\(n \cdot p = 480\)), liegt Produktgleichheit vor. Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung. 3. Bei einer Verdopplung der Schülerzahl halbiert sich der Preis pro Person.

1. Wertetabelle: <table> <tr><td>Anzahl \(n\)</td><td>12</td><td>16</td><td>20</td><td>24</td><td>32</td><td>40</td></tr> <tr><td>Preis \(p\) (€)</td><td>40</td><td>30</td><td>24</td><td>20</td><td>15</td><td>12</td></tr> </table> 2. Antiproportionale Zuordnung (Produktgleichheit). 3. Bei Verdopplung der Schülerzahl halbiert sich der Preis pro Person.

- Überlege dir, wie viele „Handwerkertage“ die gesamte Arbeit umfasst. - Wie viel Arbeit wurde bereits in den ersten Tagen von dem vollständigen Team erledigt? - Wie viele Personen stehen für die restliche Arbeit noch zur Verfügung? - Vergiss nicht, am Ende die bereits vergangene Zeit zur restlichen Zeit zu addieren.

1. Gesamtumfang der Arbeit in Personentagen berechnen: \(4 \cdot 15 = 60\) Personentage. 2. Bereits geleistete Arbeit nach 6 Tagen bestimmen: \(4 \cdot 6 = 24\) Personentage. 3. Verbleibende Arbeit berechnen: \(60 - 24 = 36\) Personentage. 4. Anzahl der verbleibenden Handwerker feststellen: \(4 - 1 = 3\) Handwerker. 5. Zeit für die restliche Arbeit berechnen: \(36 : 3 = 12\) Tage. 6. Gesamte Bauzeit ermitteln: \(6 + 12 = 18\) Tage.

Die gesamte Bauzeit der Mauer beträgt 18 Tage.

- Drücke den gesamten Förderaufwand als Produkt aus Pumpenzahl und Zeit aus. - Wie viel Förderaufwand wurde in den ersten 2 Stunden bereits geleistet? - Wie verteilt sich der verbleibende Förderaufwand auf vier Pumpen? - Achte darauf, dass nur nach der Zeit ab dem Zuschalten gefragt ist.

1. Gesamtförderaufwand in Pumpenstunden berechnen: \(3 \cdot 8 = 24\,\text{Pumpenstunden}\). 2. In den ersten 2 Stunden geleisteten Förderaufwand bestimmen: \(3 \cdot 2 = 6\,\text{Pumpenstunden}\). 3. Verbleibenden Förderaufwand berechnen: \(24 - 6 = 18\,\text{Pumpenstunden}\). 4. Neue Anzahl der Pumpen feststellen: \(3 + 1 = 4\) Pumpen. 5. Restliche Dauer berechnen: \(18\,\text{Pumpenstunden} : 4\,\text{Pumpen} = 4{,}5\,\text{Stunden}\).

Ab dem Zuschalten der vierten Pumpe dauert die Befüllung noch \(4{,}5\) Stunden (oder 4 Stunden und 30 Minuten).

- Was bleibt in beiden Fällen gleich? Berechne zuerst diese feste Gesamtmenge. - Nutze die Eigenschaft der Produktgleichheit bei indirekt proportionalen Zuordnungen.

1. Berechnung der Gesamtmenge des Vorrats (Produktgleichheit): \(12\,\text{Tage} \cdot 20\,\text{kg/Tag} = 240\,\text{kg}\). 2. Berechnung der Dauer für \(15\,\text{kg}\) pro Tag: \(240\,\text{kg} : 15\,\text{kg/Tag} = 16\,\text{Tage}\). 3. Berechnung des maximalen täglichen Verbrauchs für \(16\,\text{Tage}\): \(240\,\text{kg} : 16\,\text{Tage} = 15\,\text{kg/Tag}\).

a) Der Vorrat reicht für \(16\,\text{Tage}\). b) Es dürfen maximal \(15\,\text{kg}\) pro Tag verbraucht werden.

- Wie viel Liter Wasser passen insgesamt in den Behälter? - Wie verändert sich die Füllzeit, wenn pro Minute mehr Wasser in den Tank fließt? - Achte bei der zweiten Frage darauf, nach welchem Wert genau gefragt wird – nach der neuen Zeit oder nach der Ersparnis?

1. Berechnung des Gesamtvolumens des Behälters: \(12\,\text{l/min} \cdot 45\,\text{min} = 540\,\text{l}\). 2. Berechnung der Zeit für \(18\,\text{l/min}\): \(540\,\text{l} : 18\,\text{l/min} = 30\,\text{min}\). 3. Berechnung des neuen Zuflusses für Teil b): \(12\,\text{l/min} + 3\,\text{l/min} = 15\,\text{l/min}\). 4. Berechnung der neuen Füllzeit: \(540\,\text{l} : 15\,\text{l/min} = 36\,\text{min}\). 5. Berechnung der Zeitdifferenz: \(45\,\text{min} - 36\,\text{min} = 9\,\text{min}\).

a) Mit \(18\,\text{l/min}\) dauert der Füllvorgang \(30\,\text{Minuten}\). b) Die Füllzeit verkürzt sich um \(9\,\text{Minuten}\).

- Wie kannst du aus einem vollständigen Wertepaar eine feste Zahl berechnen, die für die ganze Tabelle gilt? - Wenn du die feste Gesamtzahl kennst, wie findest du dann den Partner zu einer gegebenen Zahl? - Überlege, was mit dem einen Wert passieren muss, wenn der andere Wert zum Beispiel verdoppelt wird.

1. Bestimmung der Proportionalitätskonstante \(k\) aus einem bekannten Paar: \(k = 3 \cdot 16 = 48\). 2. Anwendung der Produktgleichheit \(x \cdot y = 48\) zur Berechnung der Lücken. 3. Für \(x = 4\): \(y = 48 : 4 = 12\). 4. Für \(y = 8\): \(x = 48 : 8 = 6\). 5. Für \(x = 12\): \(y = 48 : 12 = 4\). 6. Prüfung des letzten Paares: \(24 \cdot 2 = 48\) (konsistent).

Die fehlenden Werte sind (von links nach rechts): \(y = 12\), \(x = 6\) und \(y = 4\). Die Begründung basiert auf der Produktgleichheit \(x \cdot y = 48\).

- Was bedeutet „Produktgleichheit“ im Zusammenhang mit Zuordnungen? - Woran erkennt man eine direkte Proportionalität im Vergleich zu einer indirekten Proportionalität? - Rechne für jedes Paar in beiden Tabellen \(x \cdot y\) aus. Was fällt dir auf?

1. Überprüfung Datensatz A: \(3 \cdot 20 = 60\), \(5 \cdot 12 = 60\), \(10 \cdot 6 = 60\). Die Produkte sind konstant. Quotienten: \(\frac{20}{3} \approx 6{,}67\), \(\frac{12}{5} = 2{,}4\). Nicht konstant. 2. Überprüfung Datensatz B: \(3 \cdot 7{,}5 = 22{,}5\), \(5 \cdot 12{,}5 = 62{,}5\). Produkte nicht konstant. Quotienten: \(\frac{7{,}5}{3} = 2{,}5\), \(\frac{12{,}5}{5} = 2{,}5\), \(\frac{25}{10} = 2{,}5\). Quotienten sind konstant. 3. Schlussfolgerung: Datensatz A ist produktgleich und somit eine indirekte Proportionalität. 4. Funktionsgleichung für A: \(y = \frac{60}{x}\).

1. Datensatz A ist produktgleich mit \(x \cdot y = 60\). Datensatz B ist quotientengleich mit \(\frac{y}{x} = 2{,}5\). 2. Datensatz A stellt eine indirekte Proportionalität dar. 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y = \frac{60}{x}\).

- Was bleibt in dieser Situation unverändert, egal wie teuer ein Liter Farbe ist? - Wie berechnest du die Menge, wenn du das Gesamtbudget und den Literpreis kennst? - Erinnere dich an die Eigenschaft der Produktgleichheit bei antiproportionalen Zuordnungen.

1. Berechnung der Werte für die Tabelle durch Division des Gesamtbudgets (\(120\,\text{€}\)) durch den Preis pro Liter: \(120 : 4 = 30\) \(120 : 6 = 20\) \(120 : 8 = 15\) \(120 : 10 = 12\) \(120 : 12 = 10\) 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da das Produkt aus Preis (\(x\)) und Menge (\(y\)) immer \(x \cdot y = 120\) ergibt, lautet die Gleichung \(y = \frac{120}{x}\). 3. Interpretation von \(k\): Der Faktor \(k = 120\) entspricht dem festen Gesamtbudget in Euro.

a) Die Werte für die Menge sind: \(30\), \(20\), \(15\), \(12\), \(10\) (jeweils in Litern). b) Die Gleichung lautet \(y = \frac{120}{x}\). Der Proportionalitätsfaktor \(k = 120\) gibt das verfügbare Gesamtbudget von \(120\,\text{€}\) an.

- Welche Rechenoperation führt bei einer antiproportionalen Zuordnung bei jedem Wertepaar zum selben Ergebnis? - Prüfe für jedes Paar in den Tabellen, ob dieses Ergebnis gleich bleibt. - Wenn du die feste Zahl (das Produkt) gefunden hast, wie kannst du damit eine Lücke füllen?

1. Prüfung von Tabelle A auf Produktgleichheit (\(x \cdot y = \text{konstant}\)): \(1 \cdot 12 = 12\); \(2 \cdot 6 = 12\); \(3 \cdot 4 = 12\); \(6 \cdot 2 = 12\). Da alle Produkte \(12\) ergeben, ist Tabelle A antiproportional. 2. Prüfung von Tabelle B auf Produktgleichheit: \(1 \cdot 2 = 2\); \(2 \cdot 4 = 8\). Die Produkte sind nicht gleich, daher ist Tabelle B nicht antiproportional (sie ist proportional, da der Quotient \(y : x = 2\) konstant ist). 3. Berechnung des fehlenden Wertes in Tabelle A: \(x \cdot y = 12 \implies 8 \cdot y = 12 \implies y = 12 : 8 = 1{,}5\).

a) Tabelle A beschreibt eine antiproportionale Zuordnung, da das Produkt \(x \cdot y = 12\) für alle gegebenen Paare konstant ist. Bei Tabelle B sind die Produkte \(2\), \(8\), \(18\) und \(32\) nicht konstant. b) Der fehlende Wert in Tabelle A ist \(1{,}5\).

- Wenn \(x\) mit einem Faktor multipliziert wird, durch welchen Faktor muss \(y\) geteilt werden, damit \(x \cdot y\) gleich bleibt? - Kannst du die Regel „Je mehr, desto weniger“ hier präzisieren? - Wenn du das konstante Produkt kennst, wie bestimmst du dann einen fehlenden Partnerwert?

1. Berechnung des Proportionalitätsfaktors: \(k = 2{,}5 \cdot 16 = 40\). 2. Analyse der Veränderung: Bei einer antiproportionalen Zuordnung führt die Multiplikation der einen Größe mit einem Faktor zur Division der anderen Größe durch denselben Faktor. Wenn \(x\) mit \(4\) multipliziert wird, wird \(y\) durch \(4\) geteilt. 3. Berechnung des neuen \(y\)-Wertes: \(16 : 4 = 4\). 4. Berechnung des \(x\)-Wertes für \(y = 10\): Aus \(x \cdot 10 = 40\) folgt \(x = 40 : 10 = 4\).

a) Der Proportionalitätsfaktor ist \(40\). b) Wenn \(x\) vervierfacht wird, wird der \(y\)-Wert geviertelt (durch \(4\) geteilt). Der neue \(y\)-Wert ist \(4\). c) Für \(y = 10\) ist \(x = 4\).

- Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen? - Was passiert mit der Zeit, wenn der Zug schneller fährt? - Wenn eine Größe um \(25\,\%\) wächst, mit welcher Zahl musst du sie multiplizieren? - Versuche, die neue Fahrzeit als Bruchteil der alten Fahrzeit auszudrücken. - Kannst du ein konkretes Beispiel aus Aufgabenteil 2 nutzen, um die prozentuale Änderung zu prüfen?

1. Die Fahrzeit berechnet sich aus Strecke durch Geschwindigkeit: \(t(v) = \frac{180}{v}\). 2. Einsetzen der Werte ergibt: \(t(45) = \frac{180}{45} = 4\,\text{h}\); \(t(60) = \frac{180}{60} = 3\,\text{h}\); \(t(90) = \frac{180}{90} = 2\,\text{h}\). 3. Eine Erhöhung der Geschwindigkeit um \(25\,\%\) entspricht dem Faktor \(1{,}25\). Die neue Zeit ist \(t_{\text{neu}} = \frac{180}{1{,}25v} = \frac{1}{1{,}25} \cdot \frac{180}{v} = 0{,}8t_{\text{alt}}\). Da die neue Zeit nur noch \(80\,\%\) der ursprünglichen Zeit beträgt, hat sie sich um \(20\,\%\) verringert.

1. \(t(v) = \frac{180}{v}\) 2. \(4\,\text{Stunden}\), \(3\,\text{Stunden}\) und \(2\,\text{Stunden}\). 3. Die Fahrzeit verringert sich um \(20\,\%\).

- Wenn mehr Tiere von derselben Menge fressen, reicht der Vorrat dann länger oder kürzer? Was bedeutet das für die Art der Zuordnung? - Bei welcher Art von Zuordnung bleibt das Produkt der Wertepaare immer gleich? - Was passiert bei einer antiproportionalen Zuordnung mit der einen Größe, wenn man die andere halbiert?

1. Identifikation des Zusammenhangs: Da der Vorrat bei mehr Pferden kürzer reicht, liegt eine antiproportionale Zuordnung (indirekte Proportionalität) vor. Das Produkt aus Pferdeanzahl und Tagen ist konstant. 2. Aufstellen der Gleichung für Aufgabenteil a): \(pd = nx\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{pd}{n}\). 4. Analyse für Aufgabenteil b): Bei einer antiproportionalen Zuordnung führt die Halbierung der Pferdezahl zur Verdopplung der Anzahl der Tage \(x\). 5. Mathematische Begründung: Setzt man \(n = \frac{1}{2} p\) in die Formel ein, erhält man \(x = \frac{pd}{\frac{1}{2} p} = \frac{d}{\frac{1}{2}} = 2d\).

a) Die Gleichung lautet \(pd = nx\) bzw. \(x = \frac{pd}{n}\). b) Die Anzahl der Tage verdoppelt sich (\(2d\)), da es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt (Produktgleichheit).

- Wie hängen Gesamtgewinn, Personenzahl und Betrag pro Person zusammen? - Drücke zuerst den Gesamtgewinn mit den Größen \(n\) und \(x\) aus. - Setze anschließend für die neue Personenzahl \(m=4n\) in deine Formel ein und vereinfache.

1. Aus der Ausgangssituation folgt für den Gesamtgewinn \(G=nx\). 2. Bei \(m\) Personen erhält jede Person \(y=\frac{G}{m}\). Mit \(G=nx\) ergibt sich \(y=\frac{nx}{m}\). 3. Für \(m=4n\) gilt \(y=\frac{nx}{4n}=\frac{x}{4}\). Der Auszahlungsbetrag pro Person sinkt somit auf ein Viertel des ursprünglichen Betrags.

a) \(y=\frac{nx}{m}\) b) Für \(m=4n\) gilt \(y=\frac{x}{4}\). Der Betrag pro Person viertelt sich.

- Achte darauf, welche Größe auf welcher Achse abgetragen ist. - Erinnere dich daran, was Produktgleichheit bei Zuordnungen bedeutet. - Nutze den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Strecke. - Wenn die Gesamtstrecke bekannt ist, kannst du die Geschwindigkeit für eine vorgegebene Zeit berechnen.

1. Aus dem Graphen liest man \(v = 2\,\text{km/h} \rightarrow t = 6\,\text{h}\), \(v = 3\,\text{km/h} \rightarrow t = 4\,\text{h}\), \(v = 4\,\text{km/h} \rightarrow t = 3\,\text{h}\) und \(v = 6\,\text{km/h} \rightarrow t = 2\,\text{h}\) ab. 2. Die Werte werden in einer Tabelle zusammengefasst. <table> <thead> <tr><th>Geschwindigkeit v (in km/h)</th><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td></tr> </thead> <tbody> <tr><th>Zeit t (in h)</th><td>6</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td></tr> </tbody> </table> 3. Für alle Wertepaare gilt \(v \cdot t = 12\): \(2 \cdot 6 = 12\), \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 3 = 12\) und \(6 \cdot 2 = 12\). Daher ist die Zuordnung antiproportional. Die Proportionalitätskonstante entspricht der Gesamtstrecke von \(12\,\text{km}\). 4. Für \(t = 1{,}5\,\text{h}\) gilt \(v \cdot 1{,}5 = 12\), also \(v = 8\,\text{km/h}\). Der Graph bestätigt den Punkt \((8 \mid 1{,}5)\).

a) <table> <thead> <tr><th>Geschwindigkeit v (in km/h)</th><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td></tr> </thead> <tbody> <tr><th>Zeit t (in h)</th><td>6</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td></tr> </tbody> </table> b) Da alle Produkte \(v \cdot t = 12\) ergeben, ist die Zuordnung antiproportional; die Gesamtstrecke beträgt \(12\,\text{km}\). c) Die notwendige Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(8\,\text{km/h}\).

- Schaue dir den Graphen genau an und suche die Werte auf den Achsen. - Wie hängen die Anzahl der Personen und der Betrag pro Person zusammen? Was passiert mit dem Gesamtpreis, wenn mehr Leute mitmachen? - Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung ist das Produkt aus dem Ausgangswert und dem zugeordneten Wert immer konstant. - Überlege dir ein konkretes Beispiel aus dem Graphen: Wenn sich die Personenanzahl von 2 auf 6 erhöht, was passiert dann mit dem Betrag?

1. Ablesen der Werte aus dem Graphen: Für \(x = 3\) Personen beträgt der zu zahlende Betrag \(y = 8\,\text{€}\). Für \(x = 6\) Personen beträgt der zu zahlende Betrag \(y = 4\,\text{€}\). 2. Bestimmung des Parameters \(a\): Da die Funktion die Form \(f(x) = \frac{a}{x}\) hat, gilt für jeden Punkt auf dem Graphen \(xy = a\). Mit dem Wertepaar \((3 \mid 8)\) ergibt sich: \(a = 3 \cdot 8 = 24\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = \frac{24}{x}\). Im Sachkontext stellt der Parameter \(a = 24\) die konstanten Gesamtkosten des Geschenks in Höhe von \(24\,\text{€}\) dar. 3. Nachweis der Produktgleichheit und Beschreibung der Veränderung: Für die Wertepaare \((3 \mid 8)\) und \((6 \mid 4)\) gilt: \(3 \cdot 8 = 24\) und \(6 \cdot 4 = 24\). Da das Produkt aus der Anzahl der Personen und dem Betrag pro Person immer konstant \(24\) ergibt, liegt Produktgleichheit vor. Wenn sich die Anzahl der beteiligten Personen verdreifacht, drittelt sich der zu zahlende Betrag für jede einzelne Person.

a) Bei \(3\) Personen muss jede Person \(8\,\text{€}\) zahlen; bei \(6\) Personen muss jede Person \(4\,\text{€}\) zahlen. b) Der Parameter ist \(a = 24\). Er gibt die Gesamtkosten des Geschenks von \(24\,\text{€}\) an. c) Beispielsweise gilt für die Punkte \((3 \mid 8)\) und \((6 \mid 4)\): \(3 \cdot 8 = 24\) und \(6 \cdot 4 = 24\). Wenn sich die Personenanzahl verdreifacht, drittelt sich der zu zahlende Betrag.

- Zerlege die beiden Aussagen in einzelne Behauptungen. - Prüfe, ob der Graph eine Gerade mit konstanter Steigung ist. - Vergleiche konkrete Wertepaare bei verdoppelter Geschwindigkeit. - Überprüfe die Produktgleichheit mit den markierten Punkten.

1. Pauls Aussage ist falsch. Der Graph einer linearen Abnahme wäre eine Gerade mit konstanter negativer Steigung; der dargestellte Graph ist jedoch ein Hyperbelast. Außerdem ist die Zeitersparnis nicht konstant: Beim Wechsel von \(2\,\text{km/h}\) auf \(4\,\text{km/h}\) sinkt die Zeit von \(6\,\text{h}\) auf \(3\,\text{h}\), also um \(3\,\text{h}\). Beim Wechsel von \(3\,\text{km/h}\) auf \(6\,\text{km/h}\) sinkt sie von \(4\,\text{h}\) auf \(2\,\text{h}\), also um \(2\,\text{h}\). 2. Luisas Aussage ist richtig. Für die markierten Punkte gilt \(2 \cdot 6 = 12\), \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 3 = 12\) und \(6 \cdot 2 = 12\). Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit ist konstant. Daher liegt eine indirekte Proportionalität vor, und bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit halbiert sich die Zeit.

Paul: Die Aussage ist falsch, weil der Graph keine Gerade ist und die Zeitersparnis beim Verdoppeln der Geschwindigkeit nicht konstant ist. Luisa: Die Aussage ist richtig, weil stets \(v \cdot t = 12\) gilt und sich bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit die Zeit halbiert.

- Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich mit \(A = x \cdot y\). - Suche Punkte auf den Kurven, die auf Gitterpunkten liegen. - Je größer der Flächeninhalt ist, desto weiter vom Ursprung entfernt liegt die Kurve.

1. Für den grünen Graphen ist der Punkt \(P(2 \mid 2)\) gut ablesbar. Daher gilt \(A = 2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 2. Für den blauen Graphen ist der Punkt \(Q(2 \mid 4)\) gut ablesbar. Daher gilt \(A = 2 \cdot 4 = 8\,\text{cm}^2\). 3. Für den roten Graphen ist der Punkt \(R(4 \mid 4)\) gut ablesbar. Daher gilt \(A = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). 4. Da \(12\,\text{cm}^2\) zwischen \(8\,\text{cm}^2\) und \(16\,\text{cm}^2\) liegt, müsste der vierte Graph zwischen dem blauen und dem roten Graphen verlaufen.

a) Grüner Graph: \(4\,\text{cm}^2\); blauer Graph: \(8\,\text{cm}^2\); roter Graph: \(16\,\text{cm}^2\). b) Der Graph für \(12\,\text{cm}^2\) liegt zwischen dem blauen und dem roten Graphen.

- Bestimme zunächst den Gesamtvorrat in Personentagen. - Berechne, wie viel vor der Änderung der Gruppengröße verbraucht wurde. - Teile den verbleibenden Vorrat durch die neue Personenzahl. - Unterscheide zwischen der zusätzlichen Zeit und der Gesamtzeit.

1. Der Gesamtvorrat entspricht \(10 \cdot 12 = 120\) Personentagen. 2. In den ersten \(4\) Tagen werden \(10 \cdot 4 = 40\) Personentage verbraucht. 3. Es verbleiben \(120-40 = 80\) Personentage. 4. Nach dem Weggang bleiben \(10-2 = 8\) Personen. 5. Der verbleibende Vorrat reicht für \(80 : 8 = 10\) weitere Tage. 6. Insgesamt reicht der Vorrat \(4+10 = 14\) Tage.

a) Der verbleibende Vorrat reicht für weitere \(10\) Tage. b) Insgesamt wird die Gruppe \(14\) Tage lang versorgt.

- Bestimme den gesamten Arbeitsaufwand in Leitungsstunden. - Berechne, wie viel Arbeit in den ersten \(6\) Stunden bereits geleistet wurde. - Teile die verbleibende Arbeit durch die Anzahl der noch arbeitenden Leitungen.

1. Die vollständige Füllung entspricht \(2 \cdot 18 = 36\) Leitungsstunden. 2. In den ersten \(6\) Stunden werden \(2 \cdot 6 = 12\) Leitungsstunden geleistet. 3. Es verbleiben \(36-12 = 24\) Leitungsstunden. 4. Mit einer Leitung dauert die restliche Füllung \(24 : 1 = 24\) Stunden.

Ab dem Zeitpunkt der Abschaltung dauert es noch \(24\) Stunden, bis das Becken voll ist.

- Überlege dir, was ein Punkt auf der Kurve im Sachzusammenhang bedeutet. - Wenn sich mehrere Personen einen festen Betrag teilen, wie berechnest du dann diesen Gesamtbetrag aus den Einzelkosten? - Bleibt das Produkt aus der Anzahl der Personen und den Kosten pro Person an jeder Stelle des Graphen gleich? - Bei der Frage nach der Mindestanzahl musst du bedenken, dass es keine halben Personen gibt.

1. Ablesen der Werte aus dem Graphen: Für \(x = 4\) ergibt sich \(y = 25\,\text{€}\). Für \(x = 5\) ergibt sich \(y = 20\,\text{€}\). 2. Die Gesamtkosten entsprechen dem Produkt aus Teilnehmerzahl und Preis pro Person (Proportionalitätsfaktor \(a\)). Berechnung: \(4 \cdot 25\,\text{€} = 100\,\text{€}\) oder \(5 \cdot 20\,\text{€} = 100\,\text{€}\). Die Gesamtkosten betragen \(100\,\text{€}\). 3. Um den Preis pro Person auf maximal \(8\,\text{€}\) zu senken, muss die Ungleichung \(\frac{100}{x} \le 8\) gelöst werden. Dies führt zu \(x \ge \frac{100}{8} = 12{,}5\). Da nur ganze Personen mitfahren können, müssen mindestens 13 Personen teilnehmen.

a) Bei 4 Personen: \(25\,\text{€}\); bei 5 Personen: \(20\,\text{€}\). b) Die Gesamtkosten betragen \(100\,\text{€}\). c) Es müssen mindestens 13 Personen mitfahren.

- Bei einer indirekten Proportionalität muss das Produkt aus \(x\) und \(y\) konstant sein. - Suche auf dem Graphen \(f\) einen Punkt, der auf einem Gitterpunkt liegt. - Berechne für jeden markierten Punkt auf \(g\) das Produkt aus \(x\)-Wert und \(y\)-Wert. - Vergleiche die erhaltenen Produkte.

1. Für den Graphen \(f\) ist beispielsweise der Punkt \((2 \mid 4)\) gut ablesbar. Daher gilt \(k = x \cdot y = 2 \cdot 4 = 8\), also \(f(x) = \frac{8}{x}\). 2. Für die markierten Punkte auf \(g\) ergeben sich die Produkte \(1 \cdot 8 = 8\), \(2 \cdot 6 = 12\), \(4 \cdot 4 = 16\) und \(10 \cdot 2 = 20\). 3. Da die Produkte nicht konstant sind, ist \(g\) keine indirekte Proportionalität.

a) \(f(x) = \frac{8}{x}\) b) Nein, \(g\) ist keine indirekte Proportionalität, da die Produkte \(8\), \(12\), \(16\) und \(20\) nicht konstant sind.

- Überlege: Wenn mehr Bagger arbeiten, brauchen sie dann mehr oder weniger Zeit? - Gibt es einen Wert, der immer gleich bleibt, wenn man die Anzahl der Bagger mit ihrer Zeit multipliziert? - Wie würdest du rechnen, wenn nur ein einziger Bagger die ganze Arbeit alleine machen müsste?

1. Da mehr Bagger weniger Zeit benötigen (und die doppelte Anzahl an Baggern die halbe Zeit benötigt), handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. 2. Ein einzelner Bagger würde für dieselbe Arbeit \(60\,\text{Stunden}\) benötigen. 3. Berechnung der Tabellenwerte durch Division des konstanten Produktwerts durch die Baggeranzahl \(n\): - Für \(n = 1\): \(60 : 1 = 60\,\text{h}\) - Für \(n = 2\): \(60 : 2 = 30\,\text{h}\) - Für \(n = 6\): \(60 : 6 = 10\,\text{h}\) - Für \(n = 10\): \(60 : 10 = 6\,\text{h}\) 4. Die Formel lautet: \(t = \frac{60}{n}\).

a) Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung. Der konstante Produktwert ist \(60\). b) <table> <tr><td>Anzahl Bagger \(n\)</td><td>1</td><td>2</td><td>6</td><td>10</td></tr> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{h}\)</td><td>60</td><td>30</td><td>10</td><td>6</td></tr> </table> c) Die Formel lautet: \(t = \frac{60}{n}\).

- Prüfe für jedes Paar, ob das Produkt dasselbe Ergebnis liefert. - Welches Ergebnis tritt am häufigsten auf? Das ist wahrscheinlich dein Zielwert. - Sobald du den richtigen Produktwert kennst, kannst du den fehlerhaften Wert korrigieren.

1. Berechnung der Produkte \(x \cdot y\) zur Identifikation des konstanten Faktors: \(3 \cdot 20 = 60\) \(5 \cdot 12 = 60\) \(6 \cdot 10 = 60\) \(12 \cdot 6 = 72\) (Abweichung) \(15 \cdot 4 = 60\) 2. Das Paar \((12; 6)\) ist fehlerhaft, da sein Produkt nicht \(60\) ist. 3. Korrektur des \(y\)-Wertes für \(x = 12\): \(y = 60 : 12 = 5\).

a) Das Wertepaar \((12; 6)\) ist falsch. b) Der korrekte \(y\)-Wert müsste \(5\) lauten, da \(12 \cdot 5 = 60\).

- Wie viel Zeit würde eine einzige Anlage insgesamt benötigen? - Kannst du diesen Gesamtwert nutzen, um die Zeit für jede beliebige Anzahl von Anlagen zu berechnen? - Denke bei der letzten Teilaufgabe an praktische Hindernisse: Passt alles unendlich oft nebeneinander? Fließt Flüssigkeit unendlich schnell durch ein Rohr?

1. Berechnung des konstanten Produktwerts: \(4 \cdot 90 = 360\). Eine einzelne Anlage würde für den Vorgang \(360\,\text{Minuten}\) benötigen. 2. Zu a): Bei \(3\) Anlagen berechnet man \(360 : 3 = 120\). Die Abfüllung dauert \(120\,\text{Minuten}\). 3. Zu b): Bei \(100\) Anlagen berechnet man \(360 : 100 = 3{,}6\). Da \(3{,}6 < 4\) ist, hat der Auszubildende rein rechnerisch recht. 4. Zu c): In der Realität gibt es physikalische Grenzen. Zum Beispiel könnten die Zuleitungen des Tanks nicht genug Flüssigkeit für \(100\) Anlagen gleichzeitig liefern, oder die Anlagen stünden sich gegenseitig im Weg (Platzmangel).

a) Die Abfüllung dauert \(120\,\text{Minuten}\). b) Die Rechnung stimmt, da \(360 : 100 = 3{,}6\) und \(3{,}6 < 4\). c) Mögliche Gründe: Begrenzte Kapazität der Zuleitungen, Platzmangel für so viele Anlagen oder gegenseitige Beeinflussung der Maschinen.

- Welche Formel verbindet Weg, Zeit und Geschwindigkeit? - Wie rechnet man Stundenangaben mit Dezimalstellen (wie \(0{,}75\,\text{Stunden}\)) in Minuten um? - Was ändert sich an der benötigten Zeit, wenn man schneller fährt? - Berechne für den letzten Teil erst beide Zeiten einzeln und vergleiche sie dann.

1. Zusammenhang zwischen Zeit \(t\), Strecke \(s\) und Geschwindigkeit \(v\): \(t = \frac{s}{v}\). Hier \(t = \frac{45}{v}\). 2. Tabellenwerte für a): \(v=10 \Rightarrow t=4{,}5\,\text{h}\); \(v=12 \Rightarrow t=3{,}75\,\text{h}\); \(v=15 \Rightarrow t=3\,\text{h}\); \(v=18 \Rightarrow t=2{,}5\,\text{h}\). 3. Lösung für b): Aus der Rechnung folgt direkt, dass für \(t \leq 2{,}5\) die Geschwindigkeit \(v \geq 18\,\text{km/h}\) sein muss. 4. Lösung für c): Ursprüngliche Zeit bei \(12\,\text{km/h}\): \(45 : 12 = 3{,}75\,\text{h}\). Neue Geschwindigkeit: \(12 + 3 = 15\,\text{km/h}\). Neue Zeit bei \(15\,\text{km/h}\): \(45 : 15 = 3\,\text{h}\). Zeitdifferenz: \(3{,}75\,\text{h} - 3\,\text{h} = 0{,}75\,\text{h}\). Umrechnung in Minuten: \(0{,}75 \cdot 60 = 45\,\text{min}\).

a) Bei \(10\,\text{km/h}\): \(4{,}5\,\text{h}\); bei \(12\,\text{km/h}\): \(3{,}75\,\text{h}\); bei \(15\,\text{km/h}\): \(3\,\text{h}\); bei \(18\,\text{km/h}\): \(2{,}5\,\text{h}\). b) Er muss eine Geschwindigkeit von mindestens \(18\,\text{km/h}\) erreichen. c) Er spart \(45\) Minuten ein.

- Wie verändert sich der Preis für den Einzelnen, wenn mehr Leute mitmachen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, bei der das Produkt aus Teilnehmerzahl und Einzelpreis immer die Gesamtkosten ergibt? - Überlege bei einer nicht-ganzzahligen Teilnehmerzahl, ob auf- oder abgerundet werden muss, damit der Preis pro Person höchstens \(18\,\text{€}\) beträgt.

1. Berechnung der Einzelpreise: \(480 : 20 = 24\,\text{€}\), \(480 : 24 = 20\,\text{€}\), \(480 : 30 = 16\,\text{€}\). 2. Formelaufstellung: Da die Gesamtkosten konstant sind, gilt \(p = \frac{480}{n}\). 3. Ermittlung der Mindestteilnehmerzahl: Die Bedingung lautet \(\frac{480}{n} \le 18\). Umstellen ergibt \(n \ge \frac{480}{18}\). Rechnung: \(480 : 18 = 26{,}\overline{6}\). Da nur ganze Personen mitfahren können, müssen es mindestens \(27\) Schüler sein.

a) Bei \(20\) Schülern: \(24\,\text{€}\); bei \(24\) Schülern: \(20\,\text{€}\); bei \(30\) Schülern: \(16\,\text{€}\). b) \(p = \frac{480}{n}\) (mit \(p\) als Preis pro Person und \(n\) als Anzahl der Schüler). c) Es müssen mindestens \(27\) Schüler mitfahren.

- Wie viele Tagesportionen haben die Wanderer insgesamt dabei? - Wie viele dieser Portionen sind nach den ersten 4 Tagen bereits gegessen worden? - Wie viele Personen müssen sich den Rest des Essens nun teilen? - Überlege für Teil b), wie sich die Dauer ändert, wenn man den gesamten Vorrat durch eine größere Gruppe teilt.

1. Berechnung des Gesamtvorrats in Tagesrationen (Portionen): \(6 \cdot 20 = 120\). 2. Ermittlung des bereits verbrauchten Vorrats nach 4 Tagen: \(6 \cdot 4 = 24\). 3. Berechnung des verbleibenden Vorrats: \(120 - 24 = 96\). 4. Bestimmung der neuen Gruppengröße: \(6 + 2 = 8\). 5. Berechnung der verbleibenden Tage für den Restvorrat: \(96 : 8 = 12\). Die Vorräte reichen noch für \(12\,\text{Tage}\). 6. Berechnung für Teil b) durch Division des Gesamtvorrats durch die alternative Personenzahl: \(120 : 8 = 15\). Der Vorrat hätte für \(15\,\text{Tage}\) gereicht.

a) Die restlichen Vorräte reichen noch für \(12\,\text{Tage}\). b) Der gesamte Vorrat hätte für \(15\,\text{Tage}\) gereicht.

- Wie viel Arbeit ist nach 2 Stunden noch übrig? - Wie viel Zeit bleibt noch übrig, um den ursprünglichen Zeitplan einzuhalten? - Wie viel Fläche schafft die aktuelle Gruppe pro Stunde? - Wie viel Fläche müsste pro Stunde geschafft werden, um rechtzeitig fertig zu werden? - Wie muss sich die Anzahl der Personen ändern, um dieses neue Ziel zu erreichen?

1. Bestimmung der Arbeitsrate der aktuellen Gruppe: 4 Personen schaffen \(\frac{1}{4}\) der Fläche in 2 Stunden. Das entspricht \(\frac{1}{8}\) der Fläche pro Stunde für 4 Personen. 2. Bestimmung der verbleibenden Arbeit: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) der Wandfläche. 3. Bestimmung der verbleibenden Zeit: \(5 - 2 = 3\,\text{Stunden}\). 4. Berechnung der benötigten Arbeitsrate: Um \(\frac{3}{4}\) Fläche in 3 Stunden zu schaffen, muss pro Stunde \(\frac{3}{4} : 3 = \frac{1}{4}\) der Fläche gestrichen werden. 5. Vergleich der Raten: Die benötigte Rate (\(\frac{1}{4}\) pro Stunde) ist doppelt so hoch wie die bisherige Rate der 4 Personen (\(\frac{1}{8}\) pro Stunde). 6. Berechnung der Personenzahl: Da die doppelte Rate benötigt wird, müssen doppelt so viele Personen arbeiten: \(4 \cdot 2 = 8\,\text{Personen}\).

Es müssten ab diesem Zeitpunkt insgesamt 8 Personen an dem Projekt arbeiten.

- Überlege zuerst, wie viel Futter nach den ersten Tagen noch übrig ist. Für wie viele Tage hätte es für die ursprüngliche Anzahl an Tieren noch gereicht? - Wie viele Tiere müssen jetzt mit diesem Rest versorgt werden? - Wird der Vorrat bei weniger Tieren länger oder kürzer halten?

1. Analyse der verbleibenden Situation: Nach \(5\) Tagen wäre das Futter für die ursprünglichen \(12\) Pferde noch für \(20 - 5 = 15\) Tage ausreichend. 2. Bestimmung der Zuordnungsart: Da die Anzahl der Pferde und die Dauer, die das Futter reicht, zueinander antiproportional sind (weniger Pferde verbrauchen denselben Vorrat in längerer Zeit), wird die antiproportionale Zuordnung genutzt. 3. Berechnung des Gesamtvorrats in „Pferdetagen“: \(12\,\text{Pferde} \cdot 15\,\text{Tage} = 180\,\text{Pferdetage}\). 4. Berechnung für die verbleibenden Pferde: Es sind noch \(12 - 3 = 9\) Pferde vorhanden. 5. Ergebnis: \(180\,\text{Pferdetage} : 9\,\text{Pferde} = 20\,\text{Tage}\). Der Vorrat reicht noch für \(20\) Tage.

Der restliche Vorrat reicht für die verbleibenden \(9\) Pferde noch \(20\) Tage lang. Die Berechnung basiert auf einer antiproportionalen Zuordnung, da bei weniger Pferden der Futtervorrat länger ausreicht (das Produkt aus Pferdeanzahl und Tagen ist konstant).

- Wie lang ist die gesamte Schnur auf der Rolle? - Achte darauf, dass du die Längenangaben in dieselbe Einheit umrechnest, bevor du rechnest. - Wie lang ist ein einzelner Faden nach der Kürzung? - Wenn du die Gesamtlänge und die Länge eines Stücks kennst, wie findest du die Anzahl heraus?

1. Berechnung der Gesamtlänge des Bindfadens auf der Rolle: \(25 \cdot 1{,}60\,\text{m} = 40\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Kürzung in Meter: \(60\,\text{cm} = 0{,}60\,\text{m}\). 3. Bestimmung der neuen Länge eines einzelnen Fadens: \(1{,}60\,\text{m} - 0{,}60\,\text{m} = 1{,}00\,\text{m}\). 4. Berechnung der neuen Anzahl der Fäden: \(40\,\text{m} : 1{,}00\,\text{m} = 40\).

Er könnte \(40\) Fäden gewinnen.

- Wie viele Seiten hat das Buch insgesamt? - Wie viele Stunden hat ein ganzer Tag und wie viele Stunden hat ein halber Tag? - Kann man eine mathematische Regel unbegrenzt auf die menschliche Leistungsfähigkeit anwenden?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Seiten: \(20 \cdot 15 = 300\) oder \(30 \cdot 10 = 300\). Das Buch hat \(300\,\text{Seiten}\). 2. Berechnung für \(4\,\text{Tage}\): \(300 : 4 = 75\,\text{Seiten}\) pro Tag. 3. Mathematische Analyse von c): Bei \(600\,\text{Seiten}\) pro Tag wäre er nach \(300 : 600 = 0{,}5\,\text{Tagen}\) fertig. Ein halber Tag entspricht \(12\,\text{Stunden}\). 4. Fehleraufdeckung: Zwei Stunden sind viel weniger als ein halber Tag (\(12\,\text{Stunden}\)). Zudem ist es inhaltlich unrealistisch, \(300\,\text{Seiten}\) in zwei Stunden konzentriert zu lesen und zu verstehen.

a) Das Buch hat \(300\,\text{Seiten}\). b) Er müsste \(75\,\text{Seiten}\) pro Tag lesen. c) Mathematischer Fehler: Ein halber Tag sind \(12\,\text{Stunden}\), nicht \(2\,\text{Stunden}\). Er bräuchte bei \(600\,\text{Seiten}\) pro Tag also deutlich länger als er denkt. Inhaltlicher Fehler: Das Modell ignoriert die menschliche Belastungsgrenze; \(300\,\text{Seiten}\) in \(2\,\text{Stunden}\) zu lesen ist kaum möglich.

- Kannst du den gesamten Vorrat in einer Einheit wie „Personentagen“ ausdrücken? - Wie viel vom Vorrat ist nach den ersten Tagen noch übrig? - Wie viele Tage kommen die verbleibenden Personen mit diesem Rest aus? - Achte darauf, dass nach dem Unterschied zur ursprünglichen Planung gefragt wird, nicht nach der Gesamtdauer.

1. Gesamtvorrat in Einheiten (Portionen) berechnen: \(24 \cdot 10 = 240\) Einheiten. 2. Verbrauch nach 4 Tagen bestimmen: \(24 \cdot 4 = 96\) Einheiten. 3. Verbleibenden Vorrat berechnen: \(240 - 96 = 144\) Einheiten. 4. Neue Anzahl der Personen bestimmen: \(24 - 6 = 18\) Personen. 5. Dauer für den restlichen Vorrat berechnen: \(144 : 18 = 8\) Tage. 6. Ursprünglich geplante Restdauer bestimmen: \(10 - 4 = 6\) Tage. 7. Zusätzliche Dauer berechnen: \(8 - 6 = 2\) Tage.

Der Vorrat reicht 2 Tage länger als ursprünglich geplant.

- Drücke den gesamten Arbeitsumfang in Personentagen aus. - Wie viel Arbeit wurde in den ersten drei Tagen bereits erledigt? - Wie viel Restarbeit bleibt und auf wie viele Personen verteilt sie sich? - Alternativ kannst du nur die nach dem Ausfall verbleibende Restarbeit betrachten.

1. Gesamten Arbeitsumfang in Personentagen berechnen: \(8 \cdot 15 = 120\,\text{Personentage}\). 2. Bereits geleistete Arbeit nach 3 Tagen berechnen: \(8 \cdot 3 = 24\,\text{Personentage}\). 3. Verbleibenden Arbeitsumfang bestimmen: \(120 - 24 = 96\,\text{Personentage}\). 4. Verbleibende Anzahl der Arbeiter bestimmen: \(8 - 2 = 6\) Personen. 5. Zusätzliche Zeit für die restliche Arbeit berechnen: \(96\,\text{Personentage} : 6\,\text{Personen} = 16\,\text{Tage}\). Alternativer Weg: 1. Restliche geplante Zeit für 8 Personen: \(15 - 3 = 12\,\text{Tage}\). 2. Umfang der Restarbeit: \(8 \cdot 12 = 96\,\text{Personentage}\). 3. Neue Zeit für 6 Personen: \(96\,\text{Personentage} : 6\,\text{Personen} = 16\,\text{Tage}\).

Die verbleibenden Arbeiter benötigen noch \(16\,\text{Tage}\) für den Rest des Waldstücks.

- Wie hängen Grundseite, Höhe und Flächeninhalt bei einem Rechteck zusammen? - Was bedeutet es für die eine Seite, wenn die andere Seite mit einem Faktor wie \(1{,}2\) multipliziert wird, die Fläche aber gleich bleiben muss? - Kannst du ein Beispiel mit konkreten Zahlen durchrechnen, um die prozentuale Änderung zu prüfen?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung aus der Flächenformel \(A = a \cdot b\): \(b = \frac{72}{a}\). 2. Berechnung von \(b\) für \(a = 12\,\text{cm}\): \(b = 72 : 12 = 6\,\text{cm}\). 3. Analyse der Änderung bei \(20\,\%\) Vergrößerung: Die neue Seite ist \(a' = 1{,}2a\). 4. Einsetzen in die Beziehung: \(b' = \frac{72}{1{,}2a} = \frac{1}{1{,}2} \cdot \frac{72}{a} = \frac{1}{1{,}2} b\). 5. Numerische Berechnung des Faktors: \(\frac{1}{1{,}2} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\). 6. Berechnung der prozentualen Abnahme: \(1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \approx 16{,}67\,\%\).

a) \(b = \frac{72}{a}\) b) \(b = 6\,\text{cm}\) c) Die Seite \(b\) verringert sich um \(16\frac{2}{3}\,\%\) (ca. \(16{,}67\,\%\)).

- Rechne für beide Tabellen die Produkte der Wertepaare aus. Sind sie überall gleich? - Schau dir Tabelle B genau an: Was passiert mit \(y\), wenn \(x\) von 2 auf 4 verdoppelt wird? Passt das zum Verhalten bei \(x=1\) zu \(x=2\)? - Gibt es andere Arten von Zuordnungen, bei denen ein Wert sinkt, wenn der andere steigt, die aber keine indirekte Proportionalität sind?

1. Überprüfung von Tabelle A: Berechne \(x \cdot y\) für alle Paare. \(1 \cdot 120 = 120\); \(2 \cdot 60 = 120\); \(3 \cdot 40 = 120\); \(5 \cdot 24 = 120\); \(8 \cdot 15 = 120\). Tabelle A ist indirekt proportional. 2. Überprüfung von Tabelle B: \(1 \cdot 120 = 120\); \(2 \cdot 60 = 120\); aber \(3 \cdot 30 = 90\) und \(4 \cdot 15 = 60\). Die Produkte sind nicht konstant, also ist Tabelle B nicht indirekt proportional. 3. Begründung zur Beobachtung: In beiden Tabellen fallen die \(y\)-Werte, während die \(x\)-Werte steigen. Dies ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für indirekte Proportionalität. Nur die exakte Produktgleichheit (oder die konstante Halbierung bei Verdopplung etc.) definiert die indirekte Proportionalität eindeutig.

Nur Tabelle A ist indirekt proportional, da hier alle Produkte \(x \cdot y = 120\) ergeben. Bei Tabelle B ändern sich die Produkte (\(120, 120, 90, 60\)). Die bloße Abnahme der \(y\)-Werte reicht nicht aus, da für eine indirekte Proportionalität das Verhältnis der Änderung exakt sein muss (Produktgleichheit).

- Wie hängen \(y_1\) und \(y_2\) bei einer indirekten Proportionalität mit dem Faktor \(k\) zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Unterschied der beiden \(y\)-Werte beschreibt? - Erinnere dich: „Verringert sich um 8“ bedeutet \(y_{\text{neu}} = y_{\text{alt}} - 8\). - Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn der Divisor sehr klein (zum Beispiel \(0{,}5\)) wird?

1. Ansatz über die Funktionsgleichung \(y = \frac{k}{x}\): Es gilt \(y_1 = \frac{k}{2}\) und \(y_2 = \frac{k}{10}\). 2. Aufstellen der Differenzgleichung: \(y_1 - y_2 = 8 \Rightarrow \frac{k}{2} - \frac{k}{10} = 8\). 3. Lösen der Gleichung: Umrechnen auf Hauptnenner: \(\frac{5k}{10} - \frac{k}{10} = 8 \Rightarrow \frac{4k}{10} = 8 \Rightarrow 0{,}4k = 8 \Rightarrow k = 20\). 4. Funktionsgleichung: \(y = \frac{20}{x}\). 5. Berechnung für \(x = 0{,}5\): \(y = \frac{20}{0{,}5} = 40\).

Der Proportionalitätsfaktor ist \(k = 20\). Die Funktionsgleichung lautet \(y = \frac{20}{x}\). Zum \(x\)-Wert \(0{,}5\) gehört der \(y\)-Wert \(40\).