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- Vergleiche zuerst nur die Änderung von \(2\) auf \(4\) mit der Änderung von \(12\) auf \(6\). - Prüfe, ob sich dasselbe Muster beim nächsten Wertepaar wiederholt.

1. Von \(2\) auf \(4\) wird der erste Wert verdoppelt; der zweite Wert halbiert sich von \(12\) auf \(6\). 2. Von \(4\) auf \(8\) wird der erste Wert wieder verdoppelt; der zweite Wert halbiert sich von \(6\) auf \(3\). 3. Damit zeigen die Werte das typische Verhalten einer indirekten Proportionalität.

Bei jeder Verdopplung des ersten Werts halbiert sich der zweite Wert. Die Werte sind indirekt proportional.

- Der Flächeninhalt des Rechtecks bleibt fest. - Welche Beziehung gilt zwischen den beiden Seitenlängen und dem Flächeninhalt?

1. Bei festem Flächeninhalt gilt für die Seitenlängen \(x\cdot y=24\). 2. Für \(x=6\) folgt \(y=24:6=4\).

Die andere Seite ist \(4\,\text{cm}\) lang.

- Welche typische Graphform kennst du für eine proportionale Zuordnung? - Welche typische Graphform hat \(y=\frac{a}{x}\)? - Welche Rolle spielen bei der Funktion \(y=\frac{a}{x}\) die beiden Koordinatenachsen?

1. Graph a) ist eine Gerade durch den Ursprung und gehört zu einer proportionalen Zuordnung. 2. Graph b) besteht aus zwei Hyperbelästen. Die Koordinatenachsen sind die Asymptoten. Das ist die typische Graphform einer indirekt proportionalen Zuordnung \(y=\frac{a}{x}\). 3. Daher gehört Graph b) zur indirekt proportionalen Zuordnung.

Graph b). Er ist eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten; Graph a) ist dagegen eine Gerade durch den Ursprung.

- Welche Rechenprüfung kennzeichnet eine indirekt proportionale Zuordnung? - Berechne das Produkt in jeder Tabellenspalte. - Sind die Ergebnisse überall gleich?

1. Die Produkte der Wertepaare sind \(2\cdot15=30\), \(3\cdot10=30\) und \(6\cdot5=30\). 2. Weil das Produkt \(xy\) konstant ist, liegt eine indirekt proportionale Zuordnung vor.

Ja. Für alle Wertepaare gilt \(xy=30\).

- Um welchen Faktor ändert sich die Anzahl der Karten? - Wie verändert sich bei einer indirekt proportionalen Zuordnung die andere Größe, wenn eine Größe mit diesem Faktor vervielfacht wird? - Wende diesen Gegenfaktor direkt auf die bisherige Zahl von Fotos pro Karte an.

1. Die Kartenanzahl wird von \(4\) auf \(8\) verdoppelt. 2. Weil dieselben Fotos nur auf mehr Karten verteilt werden, muss sich bei indirekter Proportionalität die Zahl der Fotos pro Karte mit dem Kehrwert dieses Faktors ändern: Sie halbiert sich. 3. Daher liegen \(60:2=30\) Fotos auf jeder Karte.

\(30\) Fotos pro Karte. Die Kartenanzahl wird verdoppelt; deshalb halbiert sich die Zahl der Fotos pro Karte.

- Prüfe bei proportionalen Zuordnungen, ob der Quotient der beiden Größen konstant bleibt. - Prüfe bei indirekt proportionalen Zuordnungen, ob das Produkt der beiden Größen konstant bleibt. - Reicht „eine Größe wird größer, die andere kleiner“ als Begründung aus?

1. a) Proportional: Bei festem Stückpreis bleibt der Quotient aus Gesamtpreis und Anzahl konstant. 2. b) Weder noch: Die Körpergröße wächst nicht proportional oder indirekt proportional mit dem Alter. 3. c) Indirekt proportional: Unter den genannten Annahmen bleibt das Produkt aus Pumpenzahl und benötigter Zeit konstant. 4. d) Weder noch: Für ein Quadrat gilt \(A=s^2\); bei Verdopplung von \(s\) vervierfacht sich \(A\).

a) proportional, weil bei festem Stückpreis der Quotient aus Gesamtpreis und Anzahl konstant bleibt. b) weder noch; es gibt weder einen konstanten Quotienten noch ein konstantes Produkt als allgemeines Modell. c) indirekt proportional, weil unter den Modellannahmen das Produkt aus Pumpenzahl und Zeit konstant bleibt. d) weder noch, weil \(A=s^2\) gilt und eine Verdopplung von \(s\) die Fläche vervierfacht.

- Welche Größe muss bei einer indirekt proportionalen Zuordnung für alle Wertepaare gleich bleiben? - Berechne dieses Produkt spaltenweise. - Stimmen wirklich alle Ergebnisse überein?

1. Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung muss das Produkt \(x\cdot y\) konstant sein. 2. Es gilt \(0{,}5\cdot40=20\), \(1\cdot20=20\), \(2{,}5\cdot8=20\), \(5\cdot4=20\) und \(10\cdot2=20\). 3. Alle Produkte sind gleich. Daher liegt eine indirekt proportionale Zuordnung vor.

Ja. Für alle Wertepaare gilt \(x\cdot y=20\); die Zuordnung ist indirekt proportional.

- Welches Produkt erhältst du aus dem einzigen vollständigen Wertepaar? - Wie berechnest du aus diesem konstanten Produkt einen fehlenden Partnerwert? - Prüfe am Ende, ob in jeder vervollständigten Spalte dasselbe Produkt entsteht.

1. Aus dem vollständigen Wertepaar folgt der konstante Produktwert \(4\cdot10=40\). 2. Für \(x=2\) ist \(v=40:2=20\). 3. Für \(y=5\) ist \(u=40:5=8\). 4. Für \(x=16\) ist \(w=40:16=2{,}5\). 5. Für \(x=40\) ist \(z=40:40=1\).

\(u=8\), \(v=20\), \(w=2{,}5\), \(z=1\)

- Prüfe nicht nur, ob eine Größe steigt und die andere fällt. - Welches Produkt wäre bei einer indirekt proportionalen Zuordnung konstant? - Gibt es in jedem Fall eine feste Gesamtgröße, die dieses konstante Produkt erklärt?

1. a) Indirekt proportional: Bei fester Gesamtarbeit bleibt unter den genannten Annahmen das Produkt aus Malerzahl und Zeit konstant. 2. b) Nicht indirekt proportional, sondern proportional: Bei festem Kartenpreis bleibt der Quotient aus Gesamtpreis und Kartenanzahl konstant. 3. c) Indirekt proportional: Für die feste Strecke gilt \(v\cdot t=30\,\text{km}\), also bleibt das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit konstant.

a) indirekt proportional, weil bei fester Arbeit das Produkt aus Malerzahl und Zeit konstant bleibt. b) nicht indirekt proportional, sondern proportional, weil der Quotient aus Gesamtpreis und Kartenanzahl konstant bleibt. c) indirekt proportional, weil für die feste Strecke \(v\cdot t=30\,\text{km}\) konstant ist.

- Welche Größe bleibt bei einer indirekt proportionalen Zuordnung für alle Wertepaare gleich? - Wie kannst du dieses konstante Produkt aus dem gegebenen Wertepaar bestimmen? - Wie erhältst du aus dem konstanten Produkt einen fehlenden Partnerwert?

1. Aus dem bekannten Wertepaar folgt für das konstante Produkt \(a=10\cdot12=120\). 2. Mit \(y=\frac{120}{x}\) erhält man \(y(5)=24\), \(y(8)=15\), \(y(15)=8\), \(y(20)=6\), \(y(30)=4\) und \(y(40)=3\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y=\frac{120}{x}\). 4. Der Graph einer indirekt proportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel.

a) <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td><td>\(15\)</td><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>\(y\)</td><td>\(24\)</td><td>\(15\)</td><td>\(12\)</td><td>\(8\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td></tr> </table> b) \(y=\frac{120}{x}\) c) Der Graph heißt Hyperbel.

- Welches Kriterium prüfst du für eine proportionale Zuordnung? - Welches Kriterium prüfst du für eine indirekt proportionale Zuordnung? - Reicht bereits ein abweichender Quotient oder Produktwert, um eine Zuordnungsart auszuschließen?

1. Tabelle A ist nicht proportional, weil zum Beispiel \(5:1\neq7:2\). Sie ist auch nicht indirekt proportional, weil \(1\cdot5\neq2\cdot7\). Daher liegt keine der beiden Zuordnungen vor. 2. Bei Tabelle B gilt für alle Spalten \(y:x=2{,}5\). Daher ist Tabelle B proportional.

Tabelle A: keine der beiden Zuordnungen, denn sowohl die Quotienten als auch die Produkte unterscheiden sich, z. B. \(5:1\neq7:2\) und \(1\cdot5\neq2\cdot7\). Tabelle B: proportional, denn für alle Spalten gilt \(y:x=2{,}5\).

- Welche Arbeitsmenge ist im Modell insgesamt fest? - Welches Produkt aus der Anzahl der Schülerinnen und Schüler und der Zeit muss deshalb konstant bleiben? - Wie löst du \(n\cdot t=12\) nach \(t\) auf?

1. Die Gesamtarbeitsmenge entspricht \(12\) Personenstunden. Damit erhält man für \(n=1,2,3,4,6\) die Zeiten \(12,6,4,3,2\) Stunden. 2. Für alle Wertepaare gilt \(n\cdot t=12\). Daher ist die Zuordnung indirekt proportional. 3. Aus \(n\cdot t=12\) folgt \(t=\frac{12}{n}\).

a) <table> <tr><td>Anzahl der Schülerinnen und Schüler \(n\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>Zeit \(t\) in \(\text{h}\)</td><td>\(12\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) indirekt proportional, weil für alle Wertepaare \(n\cdot t=12\) gilt. c) \(t=\frac{12}{n}\)

- Überlege zuerst, wie viele Stunden ein einzelner Roboter allein für die gesamte Arbeit brauchen würde. - Handelt es sich um ein Verhältnis, bei dem mehr Roboter weniger Zeit benötigen oder mehr Zeit? - Bleibt die Gesamtmenge der Arbeit gleich?

1. Berechnung des Gesamtaufwands in Roboterstunden: \(6 \cdot 10 = 60\,\text{Roboterstunden}\). 2. Berechnung der benötigten Roboteranzahl für die neue Zeitvorgabe durch Division des Gesamtaufwands durch die Zielzeit: \(60 : 4 = 15\). 3. Es müssen insgesamt 15 Roboter eingesetzt werden.

Es müssen insgesamt 15 Roboter eingesetzt werden.

- Was bleibt bei diesem Vorgang gleich, egal wie viele Rohre man benutzt? - Wenn weniger Rohre offen sind, dauert es dann länger oder kürzer? - Gibt es eine Größe, die beschreibt, wie viel „Arbeit“ insgesamt verrichtet werden muss? - Wie hängen die Anzahl der Rohre und die Zeit mathematisch zusammen?

1. Berechnung des konstanten Produktwerts aus Rohranzahl und Zeit: \(4 \cdot 18 = 72\). 2. Bestimmung der Zeit für 3 Rohre durch Division des konstanten Produktwerts durch die neue Rohranzahl: \(72 : 3 = 24\). Das Ergebnis für Teil a) ist somit \(24\,\text{Minuten}\). 3. Bestimmung der benötigten Rohranzahl für eine Zielzeit von \(12\,\text{Minuten}\) durch Division des konstanten Produktwerts durch die Zeit: \(72 : 12 = 6\). Das Ergebnis für Teil b) ist somit \(6\,\text{Rohre}\).

a) Bei 3 Rohren dauert der Füllvorgang \(24\,\text{Minuten}\). b) Es werden \(6\,\text{Rohre}\) benötigt.

- Was bleibt gleich, egal wie viele Personen mithelfen? - Wie viele Stunden Arbeit fallen insgesamt an, wenn man die Zeit mit der Anzahl der Personen multipliziert? - Berechne für jede Personenzahl die theoretische Dauer und vergleiche sie mit der Behauptung.

1. Der konstante Produktwert beträgt \(4\cdot6=24\). 2. Überprüfung der ersten Aussage für 8 Personen: \(24:8=3\,\text{h}\). Die erste Aussage ist somit korrekt. 3. Überprüfung der zweiten Aussage für 12 Personen: \(24:12=2\,\text{h}\). Die zweite Aussage ist nicht korrekt, da \(2\,\text{h}\neq1{,}5\,\text{h}\).

Die erste Aussage ist korrekt (\(3\,\text{Stunden}\)), die zweite Aussage ist jedoch falsch. Bei 12 Personen würde die Arbeit \(2\,\text{Stunden}\) dauern, nicht \(1{,}5\,\text{Stunden}\).

- Wie viel Zeit würde eine einzelne Person für die gesamte Arbeit benötigen? - Wenn die Zeit kürzer werden soll, müssen es dann mehr oder weniger Helfer sein? - Achte genau darauf, ob nach der Gesamtzahl der Helfer oder nach der Anzahl der neu dazukommenden Helfer gefragt ist.

1. Der konstante Produktwert beträgt \(5\cdot8=40\). 2. Für eine Dauer von \(5\,\text{h}\) werden \(40:5=8\) Helfer benötigt. 3. Von insgesamt \(8\) benötigten Helfern sind \(5\) bereits eingeplant. Daher müssen \(8-5=3\) zusätzliche Helfer eingestellt werden.

Der Besitzer muss \(3\) zusätzliche Helfer einstellen.

- Welche Größe ist in Situation 1 pro Portion konstant? - Welches Produkt bleibt in Situation 2 unter den Modellannahmen konstant? - Wie nutzt du diesen Produktwert für sechs Helfer?

1. Situation 1 ist proportional: Bei festem Wasserbedarf pro Portion bleibt der Quotient aus Wassermenge und Portionenzahl konstant. 2. Situation 2 ist indirekt proportional: Unter den Modellannahmen bleibt das Produkt aus Helferzahl und Zeit konstant. 3. Der Produktwert beträgt \(4\cdot60=240\) Personenminuten. Für sechs Helfer ergibt sich \(240:6=40\,\text{min}\).

a) Situation 1: proportional, weil der Quotient aus Wassermenge und Portionenzahl konstant bleibt. Situation 2: indirekt proportional, weil das Produkt aus Helferzahl und Zeit konstant bleibt. b) \(4\cdot60=240\) Personenminuten und \(240:6=40\,\text{min}\).

- Was bleibt bei beiden Zeiträumen gleich? - Wie viel Futter ist insgesamt vorhanden? - Wenn der Vorrat länger halten soll, muss die tägliche Menge dann größer oder kleiner werden?

1. Berechnung des gesamten Vorrats an Heu: \(30 \cdot 6\,\text{kg} = 180\,\text{kg}\). 2. Berechnung der täglichen Menge für den längeren Zeitraum durch Division des Gesamtvorrats durch die neue Anzahl an Tagen: \(180\,\text{kg} : 45 = 4\,\text{kg}\).

Er darf täglich durchschnittlich \(4\,\text{kg}\) Heu verfüttern.

- Welcher Quotient ist bei a) konstant? - Welches Produkt ist bei b) konstant? - Welche der beiden Prüfideen passt jeweils zur Zuordnungsart?

1. a) Die Zuordnung ist proportional. Ein Kilogramm kostet \(5{,}40:3=1{,}80\,\text{€}\). Für \(7\,\text{kg}\) sind das \(1{,}80\cdot7=12{,}60\,\text{€}\). 2. b) Die Zuordnung ist indirekt proportional. Der Arbeitsumfang beträgt \(4\cdot6=24\) Personenstunden. Für drei Maler ergibt sich \(24:3=8\,\text{h}\).

a) proportional; \(5{,}40\,\text{€}:3=1{,}80\,\text{€}\) pro Kilogramm und \(1{,}80\,\text{€}\cdot7=12{,}60\,\text{€}\) b) indirekt proportional; \(4\cdot6=24\) Personenstunden und \(24:3=8\,\text{h}\)

- Welche feste Gesamtgröße steckt in a) hinter dem Produkt aus Personen und Zeit? - Welche feste Gesamtmenge steckt in b) hinter dem Produkt aus Flaschenzahl und Flascheninhalt? - In beiden Teilaufgaben: Welches konstante Produkt hilft dir, den neuen Partnerwert zu bestimmen?

1. a) Der Arbeitsumfang beträgt \(3\cdot12=36\) Personenstunden. Für vier Dachdecker ergibt sich \(36:4=9\,\text{h}\). 2. b) Das Fass enthält \(24\cdot0{,}75=18\,\text{l}\). Bei \(0{,}5\,\text{l}\) pro Flasche lassen sich \(18:0{,}5=36\) Flaschen füllen.

a) \(9\,\text{h}\) b) \(36\) Flaschen

- Wie viele Kühe sind nach dem Verkauf noch übrig? - Berechne, wie viele Portionen (für eine Kuh für einen Tag) insgesamt vorhanden sind. - Wenn der Vorrat länger halten soll, müssen dann mehr oder weniger Tiere gefüttert werden?

1. Berechnung des Gesamtfuttervorrats in „Kuhtagen“: \(15 \cdot 20 = 300\). 2. Bestimmung der neuen Anzahl der Kühe nach dem Verkauf: \(15 - 3 = 12\). 3. Berechnung der neuen Dauer: \(300 : 12 = 25\) Tage. 4. Berechnung der benötigten Anzahl der Kühe für 30 Tage: \(300 : 30 = 10\) Kühe.

a) 25 Tage b) 10 Kühe

- Was bleibt an der Gesamtmenge der Limonade gleich, egal welche Flaschengröße man wählt? - Kannst du zuerst ausrechnen, wie viel Liter Limonade insgesamt vorhanden sind? - Wenn die Flaschen kleiner werden, brauchst du dann mehr oder weniger davon?

1. Berechnung des Gesamtvolumens der Limonade durch Multiplikation der Flaschenanzahl mit der Füllmenge pro Flasche: \(15 \cdot 0{,}4\,\text{l} = 6\,\text{l}\). 2. Bestimmung der neuen Flaschenanzahl durch Division des Gesamtvolumens durch das neue Fassungsvermögen: \(6\,\text{l} : 0{,}3\,\text{l} = 20\).

Es wären \(20\) Flaschen erforderlich gewesen.

- Bleibt die Gesamtmenge des Heizöls in allen Szenarien gleich? - Wenn man jeden Tag mehr verbraucht, reicht der Vorrat dann länger oder kürzer? - Versuche zuerst herauszufinden, wie viele Liter Heizöl insgesamt im Tank sind.

1. Berechnung des Gesamtvorrats an Heizöl: \(12\,\text{l} \cdot 80 = 960\,\text{l}\). 2. Berechnung der Laufzeit bei einem Verbrauch von \(16\,\text{l}\) pro Tag: \(960\,\text{l} : 16\,\text{l/Tag} = 60\,\text{Tage}\). 3. Berechnung des maximalen Tagesverbrauchs für eine Dauer von 120 Tagen: \(960\,\text{l} : 120\,\text{Tage} = 8\,\text{l/Tag}\).

a) 60 Tage b) \(8\,\text{Liter}\) pro Tag

- Welche feste Gesamtgröße kannst du in Pferdetagen ausdrücken? - Welches Produkt muss bei demselben Heuvorrat gleich bleiben? - Woran erkennst du an diesem Produkt eine indirekte Proportionalität?

1. Der Gesamtvorrat entspricht \(18\cdot40=720\) Pferdetagen. 2. Für \(60\) Tage ergibt sich \(720:60=12\). Der Landwirt dürfte im Modell höchstens \(12\) Pferde halten. 3. Bei festem Vorrat bleibt das Produkt aus Pferdezahl und Vorratsdauer konstant. Deshalb sind die beiden Größen indirekt proportional.

a) Höchstens \(12\) Pferde. b) Das Produkt aus Pferdezahl und Tagen bleibt bei festem Vorrat konstant; deshalb sind die Größen indirekt proportional.

- Welche Gesamtarbeitsmenge bleibt bei gleicher Arbeitsleistung pro Person unverändert? - Welches Produkt aus Personenzahl und Zeit kannst du aus den Ausgangsdaten bestimmen? - Wie findest du daraus die Zeit für vier Malerinnen?

1. Für die gleiche Arbeit bleibt das Produkt aus Personenzahl und Arbeitszeit konstant: \(6\cdot10=60\) Personenstunden. 2. Für \(4\) Malerinnen beträgt die Zeit \(60:4=15\,\text{h}\).

\(4\) Malerinnen benötigen \(15\,\text{h}\).

- Welche feste Gesamtarbeit steckt hinter der Füllung desselben Beckens? - Welches Produkt kannst du aus Pumpenzahl und Füllzeit bilden? - Welches Proportionalitätsmodell erkennst du daran, dass dieses Produkt konstant bleibt?

1. Die gesamte Füllarbeit entspricht \(2\cdot15=30\) Pumpenstunden. 2. Bei drei baugleichen Pumpen beträgt die benötigte Zeit \(30:3=10\,\text{h}\). 3. Das Produkt aus Pumpenzahl und Füllzeit bleibt für dasselbe Becken konstant. Deshalb sind Pumpenzahl und Füllzeit indirekt proportional; Mias Behauptung ist falsch.

a) Drei Pumpen benötigen \(10\,\text{h}\). b) Das Produkt aus Pumpenzahl und Füllzeit bleibt konstant. Daher sind die Größen indirekt proportional: Mehr gleichzeitig arbeitende Pumpen führen zu einer kürzeren Füllzeit.

- Welche feste Gesamtarbeit steckt hinter dem Produkt aus Personenzahl und Zeit? - Wie kannst du aus dieser Gesamtarbeit die Zeit für acht Personen bestimmen? - Welches Proportionalitätsmodell erkennst du an einem konstanten Produkt?

1. Der Gesamtarbeitsaufwand beträgt \(6\cdot4=24\) Personenstunden. 2. Verteilt sich derselbe Arbeitsaufwand auf \(8\) Personen, ergibt sich \(24:8=3\,\text{h}\). 3. Es gilt \(6\cdot4=8\cdot3=24\). Das Produkt aus Personenzahl und Zeit bleibt also konstant; deshalb sind die Größen indirekt proportional.

a) \(8\) Personen benötigen \(3\,\text{h}\). b) \(6\cdot4=8\cdot3=24\). Das Produkt aus Personenzahl und Zeit bleibt konstant; deshalb sind die Größen indirekt proportional.

- Welche feste Zahl erhältst du aus einem vollständigen Wertepaar durch Multiplizieren? - Wie kannst du mit dieser festen Zahl den fehlenden Partner eines gegebenen Werts bestimmen? - Woran kannst du das letzte vollständige Wertepaar zur Kontrolle nutzen?

1. Aus dem vollständigen Wertepaar ergibt sich der Parameter \(a=3\cdot16=48\). 2. Für die gesamte Tabelle gilt daher \(xy=48\) beziehungsweise \(y=\frac{48}{x}\). 3. Für \(x=4\) ist \(y=48:4=12\). 4. Für \(y=8\) ist \(x=48:8=6\). 5. Für \(x=12\) ist \(y=48:12=4\). 6. Das letzte Paar bestätigt die Zuordnung, denn \(24\cdot2=48\).

Die fehlenden Werte sind von links nach rechts \(y=12\), \(x=6\) und \(y=4\). Für alle Wertepaare gilt \(xy=48\).

- Welche Größe ist bei einer indirekten Proportionalität für alle Wertepaare gleich? - Wie hängt diese feste Zahl mit dem Zähler in \(y=\frac{a}{x}\) zusammen? - Wie kannst du anschließend den Partnerwert zu einem neuen \(x\)-Wert berechnen?

1. Bei indirekter Proportionalität ist das Produkt \(xy\) konstant. Zum Beispiel gilt \(a=2{,}5\cdot16=40\). 2. Damit lautet die Funktionsgleichung \(y=\frac{40}{x}\). 3. Für \(x=20\) ergibt sich \(y=40:20=2\).

1. \(a=40\) 2. \(y=\frac{40}{x}\) 3. \(y=2\)

- Welche Gesamtgröße bleibt in jedem Sachzusammenhang gegebenenfalls fest? - Bei welchen Beispielen ist das Produkt der beiden Größen konstant? - Reicht ein bloßes „eine Größe steigt, die andere fällt“ als Begründung aus?

1. Bei a) bleibt die Gesamtfläche der Pizza konstant. Das Produkt aus Stückzahl und Fläche eines Stücks ist daher konstant: indirekt proportional. 2. Bei b) führt bei festem Kilopreis die doppelte Masse zum doppelten Preis: proportional, nicht indirekt proportional. 3. Bei c) gilt für die feste Strecke \(vt=20\,\text{km}\). Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit ist konstant: indirekt proportional. 4. Bei d) gibt es weder ein konstantes Produkt noch einen konstanten Quotienten; außerdem ist reales Baumwachstum nicht gleichförmig. Der Zusammenhang ist nicht indirekt proportional.

a) Indirekt proportional, weil das Produkt aus Stückzahl und Einzelfläche konstant ist. b) Nicht indirekt proportional; bei festem Kilopreis ist der Zusammenhang proportional. c) Indirekt proportional, weil das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit bei fester Strecke konstant ist. d) Nicht indirekt proportional; ein festes Produkt aus Alter und Höhe liegt bei realem Baumwachstum nicht vor.

- Überlege zuerst, wie viel Geld insgesamt bezahlt werden muss. - Wenn mehr Personen mitfahren, muss dann jede einzelne Person mehr oder weniger bezahlen? - Wie erhältst du den Preis pro Person aus Gesamtkosten und Teilnehmerzahl? - Prüfe, ob das Produkt aus Teilnehmerzahl und Preis pro Person konstant bleibt.

1. Berechnung des Preises pro Person bei \(24\) Teilnehmenden: \(360 : 24 = 15\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung für die indirekte Proportionalität: \(y = \frac{360}{x}\). 3. Berechnung der Tabellenwerte durch Division der Gesamtkosten durch die jeweilige Personenzahl: \(360 : 12 = 30\); \(360 : 15 = 24\); \(360 : 20 = 18\); \(360 : 30 = 12\); \(360 : 40 = 9\). 4. Feststellung der Eigenschaft der indirekten Proportionalität: Wenn sich die Teilnehmerzahl \(x\) verdoppelt, halbiert sich der Preis pro Person \(y\), da das Produkt \(xy = 360\) konstant bleibt.

1. Jede Person muss \(15\,\text{€}\) bezahlen. 2. Die Funktionsgleichung lautet \(y = \frac{360}{x}\). 3. Die Werte für \(y\) sind: \(30\); \(24\); \(18\); \(12\); \(9\). 4. Der Preis pro Person halbiert sich bei einer Verdopplung der Teilnehmerzahl.

- Lies zu jedem vorgegebenen \(x\)-Wert den zugehörigen \(y\)-Wert am Graphen ab. - Welche Zahl erhältst du jeweils aus dem Produkt \(xy\)? - Was bedeutet ein Produkt aus Tierzahl und Anzahl der Tage in diesem Modell?

1. Aus dem Graphen liest man \(y=20\), \(10\), \(8\), \(5\) und \(4\) Tage ab. 2. Die Produkte sind \(2\cdot20=40\), \(4\cdot10=40\), \(5\cdot8=40\), \(8\cdot5=40\) und \(10\cdot4=40\). Das Produkt ist konstant. 3. Das Produkt \(xy=40\) bedeutet hier: Der Vorrat enthält insgesamt \(40\) Portionen, die jeweils für ein Tier einen Tag reichen.

a) <table> <tr><td>Anzahl Tiere \(x\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td></tr> <tr><td>Zeit in Tagen \(y\)</td><td>\(20\)</td><td>\(10\)</td><td>\(8\)</td><td>\(5\)</td><td>\(4\)</td></tr> </table> b) Für alle Wertepaare gilt \(xy=40\); das Produkt ist konstant. c) Der Vorrat enthält \(40\) solcher Portionen.

- Lies die beiden Zeiten in a) direkt an den Achsen des Graphen ab. - Welche Gegenänderung gehört bei indirekter Proportionalität zu einer Halbierung der Zeit? - Prüfe die Vorhersage in b) anschließend an der Kurve. - Welche Rechnung mit \(n\) und \(t\) muss für alle drei Wertepaare denselben Wert ergeben?

1. Aus dem Graphen liest man \(t(4)=6\,\text{h}\) und \(t(6)=4\,\text{h}\) ab. 2. Von \(6\,\text{h}\) auf \(3\,\text{h}\) halbiert sich die Zeit. Bei indirekter Proportionalität muss sich die Personenzahl daher von \(4\) auf \(8\) verdoppeln. Der Graph bestätigt \(n=8\). 3. Aus dem Graphen liest man \(t(8)=3\,\text{h}\). Verdoppelt sich die Personenzahl, halbiert sich die benötigte Zeit. 4. Für die drei abgelesenen Punkte gilt \(4\cdot6=24\), \(6\cdot4=24\) und \(8\cdot3=24\). Das Produkt ist konstant; die Daten passen zu einer indirekten Proportionalität.

a) \(t(4)=6\,\text{h}\), \(t(6)=4\,\text{h}\) b) \(8\) Personen; die Faktorregel liefert die Verdopplung von \(4\) auf \(8\), und der Graph bestätigt den Wert. c) \(t(8)=3\,\text{h}\); Verdopplung der Personenzahl halbiert die Zeit. d) \(4\cdot6=6\cdot4=8\cdot3=24\); das Produkt ist konstant.

- Die beiden benötigten Zeiten stehen nur in der Abbildung; lies sie an den beiden vorgegebenen Geschwindigkeiten ab. - Vergleiche anschließend die Produkte aus Geschwindigkeit und Fahrzeit. - Welche physikalische Größe entspricht dem Produkt \(v\cdot t\)?

1. Am Graphen liest man \(t=1{,}5\,\text{h}\) für \(v=40\,\text{km/h}\) und \(t=1\,\text{h}\) für \(v=60\,\text{km/h}\) ab. 2. Die Produkte sind \(40\cdot1{,}5=60\) und \(60\cdot1=60\). Das konstante Produkt zeigt eine indirekt proportionale Zuordnung. 3. Wegen \(s=v\cdot t\) beträgt die feste Strecke \(60\,\text{km}\).

a) Bei \(40\,\text{km/h}\): \(1{,}5\,\text{h}\); bei \(60\,\text{km/h}\): \(1\,\text{h}\) b) Beide Produkte sind \(60\); die Zuordnung ist indirekt proportional. c) \(60\,\text{km}\)

- Lies die Koordinaten jedes markierten Punkts sorgfältig am Gitter ab. - Welche Rechnung muss bei indirekter Proportionalität für alle Wertepaare denselben Wert liefern? - Was bedeutet dieser konstante Wert für den Zähler in \(y=\frac{a}{x}\)?

1. Aus dem Koordinatensystem liest man die Punkte \((2\mid12)\), \((3\mid8)\), \((4\mid6)\), \((6\mid4)\) und \((8\mid3)\) ab. 2. Die Produkte sind \(2\cdot12=24\), \(3\cdot8=24\), \(4\cdot6=24\), \(6\cdot4=24\) und \(8\cdot3=24\). 3. Alle fünf Produkte sind gleich. Die Messpunkte passen daher zu einer indirekt proportionalen Zuordnung mit \(a=24\), also \(y=\frac{24}{x}\).

Ja. Für alle fünf Punkte gilt \(xy=24\); daher ist \(a=24\) und die passende Funktion lautet \(y=\frac{24}{x}\).

- Welche Datenmenge muss insgesamt übertragen werden? - Wie hängen Datenmenge, Übertragungsrate und Zeit multiplikativ zusammen? - Prüfe nach den Rechnungen, ob das Produkt aus Rate und Zeit gleich bleibt.

1. Die feste Datenmenge ist das Produkt aus Übertragungsrate und Zeit. Daher gilt \(r\cdot t=600\,\text{MB}\) und somit \(t(r)=\frac{600}{r}\). 2. Es ist \(t(20)=600:20=30\,\text{s}\), \(t(50)=600:50=12\,\text{s}\) und \(t(75)=600:75=8\,\text{s}\). 3. Für alle Wertepaare gilt \(r\cdot t=600\). Das Produkt bleibt konstant, daher ist die Zuordnung im Modell indirekt proportional.

a) \(t(r)=\frac{600}{r}\) b) \(t(20)=30\,\text{s}\), \(t(50)=12\,\text{s}\), \(t(75)=8\,\text{s}\) c) Für alle Wertepaare gilt \(r\cdot t=600\,\text{MB}\); das Produkt ist konstant.

- Welche der beiden Größen soll in Teil a allein auf einer Seite der Gleichung stehen? - Vergleiche die beiden gegebenen Abstände: Welcher Faktor verbindet sie? - Wie muss sich die Kraft verändern, damit das Produkt aus Kraft und Abstand gleich bleibt? - Welche Bedeutung wurde dem konstanten Produkt bereits im Aufgabentext gegeben?

1. Aus \(F\cdot r=24\) folgt \(F(r)=\frac{24}{r}\), wobei \(F\) in Newton und \(r\) in Metern gemessen wird. 2. Für \(r=0{,}20\,\text{m}\) gilt \(F=24:0{,}20=120\,\text{N}\). Für \(r=0{,}40\,\text{m}\) gilt \(F=24:0{,}40=60\,\text{N}\). 3. Wird \(r\) verdoppelt, halbiert sich \(F\). Das konstante Produkt \(F\cdot r=24\,\text{N}\,\text{m}\) beschreibt in diesem vereinfachten Modell die gleichbleibende Drehwirkung.

a) \(F(r)=\frac{24}{r}\) b) Bei \(0{,}20\,\text{m}\): \(120\,\text{N}\); bei \(0{,}40\,\text{m}\): \(60\,\text{N}\) c) Verdoppelt sich \(r\), halbiert sich \(F\). Das Produkt \(F\cdot r\) bleibt im Modell konstant und beschreibt die gleichbleibende Drehwirkung.

- Welche Rechenprobe kennzeichnet eine indirekt proportionale Zuordnung? - Welcher Produktwert tritt bei fast allen Spalten auf? - Wie bestimmst du mit diesem Produktwert den richtigen Partner zu \(x=12\)?

1. Die Produkte lauten \(3\cdot20=60\), \(5\cdot12=60\), \(6\cdot10=60\), \(12\cdot6=72\) und \(15\cdot4=60\). 2. Das Wertepaar \((12\mid6)\) passt nicht, weil sein Produkt von \(60\) abweicht. 3. Für \(x=12\) muss \(y=60:12=5\) gelten.

a) \((12\mid6)\) b) Der korrekte Wert ist \(y=5\).

- Welche Rechenprobe kennzeichnet eine indirekt proportionale Zuordnung? - Welche Einheit hat das Produkt aus Gärtnerzahl und Stunden? - Wie nutzt du den Produktwert für eine neue Teamgröße?

1. Es gilt \(3\cdot16=48\), \(6\cdot8=48\) und \(12\cdot4=48\). Der Produktwert ist konstant, also ist die Zuordnung indirekt proportional. 2. Der Produktwert beträgt \(48\,\text{Gärtnerstunden}\). Unter dem Modell entspricht das der gesamten Arbeitsmenge; ein einzelner Gärtner bräuchte \(48\,\text{h}\). 3. Für \(8\) Gärtner gilt \(8\cdot y=48\), also \(y=6\,\text{h}\).

1. \(3\cdot16=6\cdot8=12\cdot4=48\), also indirekt proportional. 2. Produktwert: \(48\,\text{Gärtnerstunden}\); er entspricht im Modell dem gesamten Arbeitsaufwand, also beispielsweise \(48\,\text{h}\) Arbeit eines einzelnen Gärtners. 3. \(6\,\text{h}\)

- Wie viel Zeit würde eine einzige Anlage insgesamt benötigen? - Kannst du diesen Gesamtwert nutzen, um die Zeit für jede beliebige Anzahl von Anlagen zu berechnen? - Welche praktische Voraussetzung des vereinfachten Modells könnte bei sehr vielen gleichzeitig arbeitenden Anlagen nicht mehr erfüllt sein?

1. Berechnung des konstanten Produktwerts: \(4\cdot90=360\). Eine einzelne Anlage würde für den Vorgang \(360\,\text{Minuten}\) benötigen. 2. Zu a): Bei \(3\) Anlagen berechnet man \(360:3=120\). Die Abfüllung dauert \(120\,\text{Minuten}\). 3. Zu b): Bei \(100\) Anlagen berechnet man \(360:100=3{,}6\). Da \(3{,}6<4\) ist, hat der Auszubildende rein rechnerisch recht. 4. Zu c): In der Realität gibt es physikalische Grenzen. Zum Beispiel könnten die Zuleitungen des Tanks nicht genug Flüssigkeit für \(100\) Anlagen gleichzeitig liefern, oder die Anlagen stünden sich gegenseitig im Weg.

a) Die Abfüllung dauert \(120\,\text{Minuten}\). b) Die Rechnung stimmt, da \(360:100=3{,}6\) und \(3{,}6<4\). c) Mögliche Gründe: Begrenzte Kapazität der Zuleitungen, Platzmangel für so viele Anlagen oder gegenseitige Beeinflussung der Maschinen.

- Woran erkennst du an mehreren Wertepaaren eine indirekt proportionale Zuordnung? - Welche Bedeutung hat der gemeinsame Produktwert für den Funktionsterm? - Wie kannst du mit dem konstanten Produkt einen fehlenden \(x\)-Wert bestimmen?

1. Für die vier Punkte gilt \(2\cdot24=48\), \(4\cdot12=48\), \(6\cdot8=48\) und \(16\cdot3=48\). 2. Da das Produkt \(x\cdot y\) konstant ist, liegt eine indirekt proportionale Zuordnung mit \(a=48\) vor. Damit gilt \(y=\frac{48}{x}\). 3. Für \(E\) gilt \(x\cdot1{,}5=48\), also \(x=48:1{,}5=32\).

a) Ja. Für alle vier Punkte gilt \(x\cdot y=48\). b) \(y=\frac{48}{x}\) c) \(x=32\)

- Welche Beziehung gilt bei einer indirekt proportionalen Zuordnung zwischen \(x\), \(y\) und \(a\)? - Vergleiche in deiner Tabelle ein Wertepaar mit einem anderen, dessen \(x\)-Wert dreimal so groß ist. - Wie muss sich der zweite Wert ändern, damit das Produkt gleich bleibt?

1. Aus \(x\cdot y=a\) folgt \(a=4\cdot18=72\). 2. Mit \(y=\frac{72}{x}\) erhält man die Wertepaare \((2\mid36)\), \((3\mid24)\), \((6\mid12)\), \((9\mid8)\) und \((12\mid6)\). 3. Für einen beliebigen zulässigen Wert \(x\) gilt \(y_1=\frac{a}{x}\). Wird \(x\) verdreifacht, so ist \(y_2=\frac{a}{3x}=\frac{1}{3}y_1\). Der \(y\)-Wert wird also durch \(3\) geteilt.

a) \(a=72\) b) \((2\mid36)\), \((3\mid24)\), \((6\mid12)\), \((9\mid8)\), \((12\mid6)\) c) Beim Verdreifachen von \(x\) wird \(y\) durch \(3\) geteilt, denn \(\frac{a}{3x}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{x}\).

- Welche Gleichung verbindet Strecke, Geschwindigkeit und Zeit? - Welche Größe bleibt hier fest? - Wie muss sich \(t\) ändern, damit das Produkt \(v\cdot t\) trotz halbiertem \(v\) gleich bleibt?

1. Für die feste Strecke gilt \(v\cdot t=120\). Daher ist \(t=\frac{120}{v}\). 2. Für \(v=20,30,40,60,80,100,120\) erhält man \(t=6,4,3,2,1{,}5,1{,}2,1\). 3. Die Zuordnung ist indirekt proportional. Wird \(v\) halbiert, muss \(t\) sich verdoppeln, damit das Produkt \(v\cdot t\) gleich bleibt.

a) \(t=\frac{120}{v}\) b) \(6;4;3;2;1{,}5;1{,}2;1\) c) Die Zeit verdoppelt sich, weil bei festem Weg das Produkt \(v\cdot t=120\) konstant bleiben muss.

- Welche Gesamtmenge ist im Modell fest? - Welches Produkt aus Pferdezahl und Tagen bleibt dadurch konstant? - Welche ganzzahlige Pferdezahl erfüllt die Mindestdauer noch?

1. Weil jedes Pferd täglich gleich viel verbraucht, bleibt das Produkt aus Pferdezahl \(n\) und Dauer \(d\) konstant: \(n\cdot d=120\). Die Zuordnung ist indirekt proportional. 2. Mit \(d=\frac{120}{n}\) erhält man für \(n=2,4,6,8,10,12\) die Werte \(60,30,20,15,12,10\). 3. Für mindestens \(18\) Tage muss \(\frac{120}{n}\ge18\) gelten. Daraus folgt \(n\le\frac{120}{18}=6{,}\overline{6}\). 4. Da nur ganze Pferde möglich sind, dürfen höchstens \(6\) Pferde gefüttert werden.

a) <table> <tr><td>Anzahl Pferde</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td><td>\(8\)</td><td>\(10\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>Dauer in Tagen</td><td>\(60\)</td><td>\(30\)</td><td>\(20\)</td><td>\(15\)</td><td>\(12\)</td><td>\(10\)</td></tr> </table> b) Höchstens \(6\) Pferde.

- Welches Produkt aus Mitarbeiterzahl und Zeit bleibt unter den Modellannahmen konstant? - Wie berechnest du daraus die Dauer für eine neue Mitarbeiterzahl? - Was bedeutet die strenge Vorgabe „weniger als \(3\,\text{h}\)“ für die kleinste ganze Mitarbeiterzahl?

1. Unter den Modellannahmen bleibt das Produkt aus Mitarbeiterzahl und Zeit konstant: \(3\cdot8=24\). 2. Damit gilt \(t=\frac{24}{m}\). 3. Für \(m=2,4,5,6\) erhält man \(t=12,6,4{,}8,4\) Stunden. 4. Für weniger als \(3\,\text{h}\) muss \(\frac{24}{m}<3\) gelten. Daraus folgt \(m>8\). 5. Daher werden mindestens \(9\) Mitarbeiter benötigt.

a) <table> <tr><td>Mitarbeiter</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>Zeit in \(\text{h}\)</td><td>\(12\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4{,}8\)</td><td>\(4\)</td></tr> </table> b) Mindestens \(9\) Mitarbeiter.

- Welche Formel verbindet Weg, Zeit und Geschwindigkeit? - Wie wandelst du eine Zeitangabe in Stunden, etwa \(0{,}75\,\text{h}\), in Minuten um? - Was ändert sich an der benötigten Zeit, wenn man schneller fährt? - Berechne für den letzten Teil erst beide Zeiten einzeln und vergleiche sie dann.

1. Zusammenhang zwischen Zeit \(t\), Strecke \(s\) und Geschwindigkeit \(v\): \(t=\frac{s}{v}\). Hier ist \(t=\frac{45}{v}\). 2. Für Teil a gilt: Bei \(v=10\) ist \(t=4{,}5\,\text{h}\); bei \(v=12\) ist \(t=3{,}75\,\text{h}\); bei \(v=15\) ist \(t=3\,\text{h}\); bei \(v=18\) ist \(t=2{,}5\,\text{h}\). 3. Für Teil b folgt aus \(45:v\le2{,}5\), dass \(v\ge18\,\text{km/h}\) sein muss. 4. Bei \(12\,\text{km/h}\) dauert die Fahrt \(45:12=3{,}75\,\text{h}\). Bei \(15\,\text{km/h}\) dauert sie \(45:15=3\,\text{h}\). Die Differenz beträgt \(0{,}75\,\text{h}=45\,\text{min}\).

a) Bei \(10\,\text{km/h}\): \(4{,}5\,\text{h}\); bei \(12\,\text{km/h}\): \(3{,}75\,\text{h}\); bei \(15\,\text{km/h}\): \(3\,\text{h}\); bei \(18\,\text{km/h}\): \(2{,}5\,\text{h}\). b) Er muss eine Geschwindigkeit von mindestens \(18\,\text{km/h}\) erreichen. c) Er spart \(45\) Minuten ein.

- Welche Gesamtmenge bleibt fest? - Welches Produkt aus Glasanzahl und Füllmenge muss deshalb konstant sein? - Wie löst du \(n\cdot v=12\) nach \(n\) auf?

1. Die Gesamtmenge bleibt \(12\,\text{l}\). Daher ist das Produkt \(n\cdot v=12\) konstant; die Zuordnung ist indirekt proportional. 2. Aus \(n\cdot v=12\) folgt \(n=\frac{12}{v}\). 3. Für \(v=0{,}2\) gilt \(n=60\); für \(v=0{,}3\) gilt \(n=40\).

a) Je größer die Füllmenge pro Glas ist, desto weniger Gläser können gefüllt werden; wegen \(n\cdot v=12\) ist die Zuordnung indirekt proportional. b) \(n=\frac{12}{v}\) c) \(60\) Gläser bzw. \(40\) Gläser

- Welche Flächenformel gilt für ein Rechteck? - Welche Größe ist hier fest und welches Produkt bleibt dadurch konstant? - Wie muss sich eine Seite ändern, wenn die andere mit \(3\) multipliziert wird?

1. Aus \(A=x\cdot y=48\) folgt, dass das Produkt der Seitenlängen konstant ist. Die Zuordnung ist indirekt proportional. 2. Beispiele sind \((4\mid12)\), \((6\mid8)\) und \((2\mid24)\). 3. Wird \(x\) mit \(3\) multipliziert, muss \(y\) durch \(3\) geteilt werden, damit das Produkt \(48\) bleibt.

a) indirekt proportional, weil \(x\cdot y=48\) b) z. B. \((4\mid12)\), \((6\mid8)\), \((2\mid24)\) c) \(y\) wird gedrittelt.

- Welcher Quotient ist in b) konstant? - Welche Gesamtseitenzahl bleibt in c) und d) fest? - Welches Produkt ist deshalb in d) konstant?

1. Bei \(45\) Seiten pro Minute erhält man nach \(4\), \(10\) und \(15\) Minuten \(180\), \(450\) und \(675\) Seiten. 2. Zeit und Seitenzahl sind proportional, weil der Quotient aus Seitenzahl und Zeit konstant \(45\) ist. 3. Für \(540\) Seiten ergeben sich \(540:30=18\), \(540:45=12\) und \(540:60=9\) Minuten. 4. Bei fester Seitenzahl bleibt das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit gleich \(540\). Daher ist diese Zuordnung indirekt proportional.

a) \(180\), \(450\), \(675\) Seiten b) proportional c) \(18\,\text{min}\), \(12\,\text{min}\), \(9\,\text{min}\) d) <table> <tr><td>Seiten pro Minute</td><td>\(30\)</td><td>\(45\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>Zeit in \(\text{min}\)</td><td>\(18\)</td><td>\(12\)</td><td>\(9\)</td></tr> </table> indirekt proportional

- Was bedeutet „Personenstunden“? Es ist das Produkt aus der Arbeitszeit und der Anzahl der gleichzeitig arbeitenden Personen. - Wenn mehr Leute mithelfen, wird die Dauer für dieselbe Aufgabe kürzer oder länger? - In Teil c) kommt mit jedem Raum die gleiche Menge an Arbeit hinzu. Welcher Zuordnungstyp beschreibt so ein gleichmäßiges Wachstum?

1. Für Teil a wird die Gesamtzahl der Personenstunden durch die Personenanzahl geteilt: \(120:2=60\,\text{h}\), \(120:3=40\,\text{h}\), \(120:5=24\,\text{h}\) und \(120:8=15\,\text{h}\). 2. Für Teil b ist die Dauer der Quotient aus der Zahl der Personenstunden und der Personenanzahl, also \(d=\frac{120}{p}\). 3. Für Teil c gilt: \(15\cdot4=60\) Arbeitsstunden, \(15\cdot6=90\) Arbeitsstunden und \(15\cdot10=150\) Arbeitsstunden. 4. Für jeden zusätzlichen Raum kommen konstant \(15\) Arbeitsstunden hinzu. Deshalb ist die Zuordnung in Teil c proportional.

a) Bei \(2\) Personen dauert es \(60\,\text{h}\), bei \(3\) Personen \(40\,\text{h}\), bei \(5\) Personen \(24\,\text{h}\) und bei \(8\) Personen \(15\,\text{h}\). b) Der Term lautet \(d=\frac{120}{p}\). c) Für \(4\) Räume werden \(60\) Stunden, für \(6\) Räume \(90\) Stunden und für \(10\) Räume \(150\) Stunden benötigt. d) Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung. Die Berechnung setzt gleiche konstante Einzelproduktivität ohne gegenseitige Behinderung voraus.

- Welche Bedingung müssen alle Wertepaare einer indirekt proportionalen Zuordnung erfüllen? - Prüfe diese Bedingung nacheinander für alle fünf Paare. - Welche Zahl wird im Funktionsterm \(y=\frac{a}{x}\) durch den konstanten Produktwert festgelegt?

1. Für eine indirekt proportionale Zuordnung muss das Produkt \(x\cdot y\) bei allen Wertepaaren gleich sein. 2. Es gilt \(4\cdot15=60\), \(2\cdot30=60\), \(10\cdot6=60\), \(12\cdot5=60\) und \(2{,}5\cdot24=60\). 3. Damit ist das Produkt konstant und \(a=60\). Die Funktionsgleichung lautet \(y=\frac{60}{x}\).

Ja. Für alle Wertepaare gilt \(x\cdot y=60\). Daher ist die Zuordnung indirekt proportional und es gilt \(y=\frac{60}{x}\).

- Wie verändert sich der Preis für den Einzelnen, wenn mehr Leute mitmachen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, bei der das Produkt aus Teilnehmerzahl und Einzelpreis immer die Gesamtkosten ergibt? - Überlege bei einer nicht-ganzzahligen Teilnehmerzahl, ob auf- oder abgerundet werden muss, damit der Preis pro Person höchstens \(18\,\text{€}\) beträgt.

1. Berechnung der Einzelpreise: \(480 : 20 = 24\,\text{€}\), \(480 : 24 = 20\,\text{€}\), \(480 : 30 = 16\,\text{€}\). 2. Formelaufstellung: Da die Gesamtkosten konstant sind, gilt \(p = \frac{480}{n}\). 3. Ermittlung der Mindestteilnehmerzahl: Die Bedingung lautet \(\frac{480}{n} \le 18\). Umstellen ergibt \(n \ge \frac{480}{18}\). Rechnung: \(480 : 18 = 26{,}\overline{6}\). Da nur ganze Personen mitfahren können, müssen es mindestens \(27\) Schüler sein.

a) Bei \(20\) Schülern: \(24\,\text{€}\); bei \(24\) Schülern: \(20\,\text{€}\); bei \(30\) Schülern: \(16\,\text{€}\). b) \(p = \frac{480}{n}\) (mit \(p\) als Preis pro Person und \(n\) als Anzahl der Schüler). c) Es müssen mindestens \(27\) Schüler mitfahren.

- Welche Gleichung beschreibt den festen Flächeninhalt? - Welches Produkt bleibt deshalb konstant? - Reicht ein Gegenbeispiel aus, um die allgemeine Behauptung in c) zu widerlegen?

1. Für \(x\cdot y=24\) sind zum Beispiel \((1\mid 24)\), \((2\mid 12)\), \((3\mid 8)\) und \((4\mid 6)\) möglich. 2. Es gilt \(y=\frac{24}{x}\). Die Zuordnung ist indirekt proportional. Wird \(x\) verdreifacht, wird \(y\) gedrittelt. 3. Beispiel: Für \((4\mid 6)\) ist \(U=2(4+6)=20\,\text{m}\). Nach Verdopplung bzw. Halbierung erhält man \((8\mid 3)\) und \(U=2(8+3)=22\,\text{m}\). Die Behauptung ist falsch.

a) z. B. \((1\mid 24)\), \((2\mid 12)\), \((3\mid 8)\), \((4\mid 6)\) b) \(y=\frac{24}{x}\); indirekt proportional; bei Verdreifachung von \(x\) wird \(y\) gedrittelt. c) Die Behauptung ist falsch; zum Beispiel ändert sich der Umfang von \(20\,\text{m}\) auf \(22\,\text{m}\).

- Wie viel kostet die Tischtennisplatte insgesamt? - Verändert sich der Gesamtpreis der Platte, wenn mehr oder weniger Leute mitbezahlen? - Wie viele Personen bleiben in Teil b) übrig, die sich die Kosten teilen? - Achte in Teil b) genau darauf, ob nach dem neuen Preis oder nach der Änderung des Preises gefragt ist.

1. Berechnung des Gesamtpreises der Tischtennisplatte als Produkt aus Personenanzahl und Einzelbeitrag: \(12 \cdot 15 = 180\). Der Gesamtpreis beträgt \(180{,}00\,\text{€}\). 2. Berechnung des Beitrags bei 18 Personen durch Division des Gesamtpreises: \(180 : 18 = 10\). Der Beitrag pro Person beträgt \(10{,}00\,\text{€}\). 3. Ermittlung der neuen Teilnehmerzahl für Teil b): \(12 - 3 = 9\). 4. Berechnung des neuen Beitrags bei 9 Personen: \(180 : 9 = 20\). Der neue Beitrag beträgt \(20{,}00\,\text{€}\). 5. Bestimmung der Differenz zum ursprünglichen Beitrag: \(20 - 15 = 5\). Der Beitrag erhöht sich um \(5{,}00\,\text{€}\).

a) Bei 18 Personen beträgt der Beitrag \(10{,}00\,\text{€}\) pro Person. b) Der Beitrag erhöht sich um \(5{,}00\,\text{€}\) pro Person.

- Wie viele Tagesportionen haben die Wanderer insgesamt dabei? - Wie viele dieser Portionen sind nach den ersten 4 Tagen bereits gegessen worden? - Wie viele Personen müssen sich den Rest des Essens nun teilen? - Überlege für Teil b), wie sich die Dauer ändert, wenn man den gesamten Vorrat durch eine größere Gruppe teilt.

1. Berechnung des Gesamtvorrats in Tagesrationen (Portionen): \(6 \cdot 20 = 120\). 2. Ermittlung des bereits verbrauchten Vorrats nach 4 Tagen: \(6 \cdot 4 = 24\). 3. Berechnung des verbleibenden Vorrats: \(120 - 24 = 96\). 4. Bestimmung der neuen Gruppengröße: \(6 + 2 = 8\). 5. Berechnung der verbleibenden Tage für den Restvorrat: \(96 : 8 = 12\). Die Vorräte reichen noch für \(12\,\text{Tage}\). 6. Berechnung für Teil b) durch Division des Gesamtvorrats durch die alternative Personenzahl: \(120 : 8 = 15\). Der Vorrat hätte für \(15\,\text{Tage}\) gereicht.

a) Die restlichen Vorräte reichen noch für \(12\,\text{Tage}\). b) Der gesamte Vorrat hätte für \(15\,\text{Tage}\) gereicht.

- Wie groß ist der gesamte Arbeitsaufwand in Personenstunden? - Wie viel davon ist nach den ersten \(3\,\text{h}\) bereits erledigt? - Auf wie viele gleich schnelle Personen verteilt sich die restliche Arbeit?

1. Der gesamte Arbeitsaufwand beträgt \(4\cdot9=36\) Personenstunden. 2. In den ersten \(3\,\text{h}\) werden \(4\cdot3=12\) Personenstunden geleistet. 3. Es bleiben \(36-12=24\) Personenstunden Arbeit. 4. Danach arbeiten \(6\) Gärtner gleichzeitig. Für den Rest benötigen sie \(24:6=4\,\text{h}\). 5. Insgesamt dauert die Arbeit \(3\,\text{h}+4\,\text{h}=7\,\text{h}\).

\(7\,\text{h}\)

- Wie groß ist der gesamte Transportaufwand in Lkw-Tagen? - Wie viel davon wurde vor dem Ausfall bereits erledigt? - Wie lange benötigen die verbleibenden zwei Lkw für den Rest, und wie vergleichst du die neue Gesamtdauer mit der Planung?

1. Der gesamte Arbeitsumfang entspricht \(3\cdot20=60\) Lkw-Tagen. 2. In den ersten \(4\) Tagen werden \(3\cdot4=12\) Lkw-Tage Arbeit erledigt. 3. Es bleiben \(60-12=48\) Lkw-Tage. 4. Mit \(2\) verbleibenden Lkw dauert der Rest \(48:2=24\) Tage. 5. Die tatsächliche Gesamtdauer ist \(4+24=28\) Tage. Gegenüber \(20\) Tagen beträgt die Verzögerung \(8\) Tage.

Die Fertigstellung verzögert sich um \(8\) Tage.

- Welches Produkt bleibt bei einer idealisierten indirekt proportionalen Arbeitszuordnung konstant? - Welche Zeit sagt dieses Modell für \(40\) Personen voraus? - Welche Modellannahme wird bei sehr vielen Personen auf derselben Fläche wahrscheinlich verletzt?

1. Unter dem Modell bleibt das Produkt aus Gärtnerzahl und Zeit konstant: \(3\cdot12=36\). 2. Für vier Gärtner ergibt sich \(36:4=9\,\text{h}\). 3. Für \(40\) Gärtner liefert das Modell \(36:40=0{,}9\,\text{h}=54\,\text{min}\). Rein mathematisch ist die Behauptung also richtig. 4. In der Realität können sich viele Personen gegenseitig behindern; außerdem entstehen Koordinations- und Wegezeiten. Dann ist die angenommene konstante, addierbare Leistung nicht mehr erfüllt.

a) \(9\,\text{h}\) b) Das Modell ergibt \(54\,\text{min}\), kann bei so vielen Personen aber wegen gegenseitiger Behinderung und Koordinationsaufwand unzutreffend sein.

- Welcher gesamte Arbeitsumfang steckt in den Angaben \(4\) Gärtner und \(12\,\text{h}\)? - Wie teilst du diesen Arbeitsumfang auf eine andere Gärtnerzahl auf? - Welche Rechenprobe zeigt direkt indirekte Proportionalität?

1. Der gesamte Arbeitsumfang beträgt \(4\cdot12=48\) Personenstunden. 2. Für sechs Gärtner ergibt sich \(48:6=8\,\text{h}\). 3. Für \(4\,\text{h}\) werden \(48:4=12\) Gärtner benötigt. 4. Das Produkt aus Gärtnerzahl und Zeit bleibt konstant \(48\). Daher ist die Zuordnung indirekt proportional.

a) \(8\,\text{h}\) b) \(12\) Gärtner c) indirekt proportional, weil das Produkt aus Gärtnerzahl und Zeit konstant bleibt

- Welche Größe bleibt in Situation 1 pro Kilometer konstant? - Welches Produkt bleibt in Situation 2 wegen des festen Vorrats konstant? - Wie viele Pferde sind nach dem Verkauf noch da?

1. Situation 1 ist proportional. Der Verbrauch pro Kilometer beträgt \(6:100=0{,}06\,\text{l/km}\). Für \(250\,\text{km}\) ergibt sich \(250\cdot0{,}06=15\,\text{l}\). 2. Situation 2 ist indirekt proportional. Der feste Vorrat entspricht \(10\cdot12=120\) Pferdetagen. 3. Nach dem Verkauf bleiben \(8\) Pferde. Daher reicht der Vorrat \(120:8=15\) Tage.

Situation 1: proportional; \(250\cdot\frac{6}{100}=15\,\text{l}\). Situation 2: indirekt proportional; \(10\cdot12=120\) Pferdetage und \(120:8=15\) Tage.

- Welche Größe bleibt in a) als Verhältnis konstant? - Welche Gesamtmenge bleibt in b) fest? - Welches Produkt aus Füllmenge pro Glas und Glasanzahl ist in b) deshalb konstant?

1. In a) bleibt das Mischverhältnis konstant. Daher ist die Zuordnung proportional. Pro Liter Sirup werden \(10:2=5\,\text{l}\) Wasser benötigt; für \(5\,\text{l}\) Sirup also \(25\,\text{l}\) Wasser. 2. In b) bleibt die Gesamtmenge \(12\,\text{l}\) konstant. Daher sind Füllmenge pro Glas und Glasanzahl indirekt proportional. Es gilt \(12:0{,}3=40\).

a) \(25\,\text{l}\) Wasser b) \(40\) Gläser c) a) proportional, weil der Quotient aus Wasser- und Sirupmenge konstant bleibt; b) indirekt proportional, weil das Produkt aus Füllmenge pro Glas und Glasanzahl die feste Gesamtmenge \(12\,\text{l}\) ergibt.

- Für wie viele Tage hätte der Restvorrat nach Tag \(5\) noch für \(12\) Pferde gereicht? - Welcher Produktwert in Pferdetagen beschreibt diesen Restvorrat? - Wie viele Pferde teilen sich diesen festen Rest anschließend?

1. Nach \(5\) Tagen wäre der Restvorrat für die ursprünglichen \(12\) Pferde noch \(15\) Tage ausreichend. 2. Dieser Rest entspricht \(12\cdot15=180\) Pferdetagen. 3. Nach dem Verkauf bleiben \(9\) Pferde. Daher reicht der Vorrat \(180:9=20\) Tage. 4. Die Zuordnung ist indirekt proportional, weil bei festem Restvorrat das Produkt aus Pferdezahl und Tagen konstant bleibt.

Der Restvorrat reicht noch \(20\) Tage. Die Zuordnung ist indirekt proportional, weil der feste Restvorrat \(180\) Pferdetagen entspricht und damit \(9\cdot20=180\) gilt.

- Wie lang ist die gesamte Schnur auf der Rolle? - Achte darauf, dass du die Längenangaben in dieselbe Einheit umrechnest, bevor du rechnest. - Wie lang ist ein einzelner Faden nach der Kürzung? - Wenn du die Gesamtlänge und die Länge eines Stücks kennst, wie findest du die Anzahl heraus?

1. Die Gesamtlänge des Bindfadens beträgt \(25\cdot1{,}60\,\text{m}=40\,\text{m}\). 2. Es gilt \(60\,\text{cm}=0{,}60\,\text{m}\). 3. Ein neuer Faden ist \(1{,}60\,\text{m}-0{,}60\,\text{m}=1{,}00\,\text{m}\) lang. 4. Daher lassen sich \(40\,\text{m}:1{,}00\,\text{m}=40\) Fäden schneiden.

Er könnte \(40\) Fäden gewinnen.

- Welche Gesamtwassermenge bleibt während des Vergleichs unverändert? - Welche Zeiteinheit solltest du verwenden, damit Förderleistung und Zeit zusammenpassen? - Welche Beziehung zwischen zwei Größen zeigt ein konstantes Produkt?

1. Es gilt \(60\,\text{min}=3600\,\text{s}\). Damit beträgt das Beckenvolumen \(10\,\text{l/s}\cdot3600\,\text{s}=36\,000\,\text{l}\). 2. Bei einer Förderleistung von \(15\,\text{l/s}\) beträgt die Füllzeit \(36\,000\,\text{l}:15\,\text{l/s}=2400\,\text{s}=40\,\text{min}\). 3. Bei festem Beckenvolumen bleibt das Produkt aus Förderleistung und Füllzeit konstant, sofern dieselbe Zeiteinheit verwendet wird. Daher sind die Größen indirekt proportional.

a) \(40\,\text{min}\) b) Das Produkt aus Förderleistung und Füllzeit ist bei festem Beckenvolumen konstant. Deshalb sind die Größen indirekt proportional.

- Welche Größe bleibt im vereinfachten Modell insgesamt fest? - Wie kannst du die Aussage zu \(80\) Pferden mit dem konstanten Produkt prüfen? - Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit das Produkt aus Pferdezahl und Vorratsdauer in der Realität tatsächlich konstant bleibt?

1. Es gilt \(12\cdot20=240\) und \(15\cdot16=240\). Der Wert entspricht \(240\) Tagesrationen für ein Pferd; der Vorrat würde im Modell für ein Pferd \(240\) Tage reichen. 2. Für \(80\) Pferde ergibt sich \(240:80=3\). Die Rechnung ist im Modell der indirekten Proportionalität korrekt. 3. In der Realität können Pferde unterschiedlich viel Futter benötigen. Außerdem können beim Lagern oder Füttern Verluste entstehen. Beides verändert die angenommene konstante Gesamtzahl an Tagesrationen.

a) Das Produkt beträgt \(240\). Es entspricht \(240\) Tagesrationen für ein Pferd. b) Die Rechnung ist im Modell korrekt, denn \(80\cdot3=240\). c) Zum Beispiel unterschiedlicher täglicher Futterbedarf und Verluste durch Verderb oder Verschütten.

- Wie viele Seiten hat das Buch insgesamt? - Wie viele Stunden hat ein ganzer Tag und wie viele Stunden hat ein halber Tag? - Kann man eine mathematische Regel unbegrenzt auf die menschliche Leistungsfähigkeit anwenden?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Seiten: \(20 \cdot 15 = 300\) oder \(30 \cdot 10 = 300\). Das Buch hat \(300\,\text{Seiten}\). 2. Berechnung für \(4\,\text{Tage}\): \(300 : 4 = 75\,\text{Seiten}\) pro Tag. 3. Mathematische Analyse von c): Bei \(600\,\text{Seiten}\) pro Tag wäre er nach \(300 : 600 = 0{,}5\,\text{Tagen}\) fertig. Ein halber Tag entspricht \(12\,\text{Stunden}\). 4. Fehleraufdeckung: Zwei Stunden sind viel weniger als ein halber Tag (\(12\,\text{Stunden}\)). Zudem ist es inhaltlich unrealistisch, \(300\,\text{Seiten}\) in zwei Stunden konzentriert zu lesen und zu verstehen.

a) Das Buch hat \(300\,\text{Seiten}\). b) Er müsste \(75\,\text{Seiten}\) pro Tag lesen. c) Mathematischer Fehler: Ein halber Tag sind \(12\,\text{Stunden}\), nicht \(2\,\text{Stunden}\). Er bräuchte bei \(600\,\text{Seiten}\) pro Tag also deutlich länger als er denkt. Inhaltlicher Fehler: Das Modell ignoriert die menschliche Belastungsgrenze; \(300\,\text{Seiten}\) in \(2\,\text{Stunden}\) zu lesen ist kaum möglich.

- Welche Gesamtmenge kannst du in „Personentagen“ ausdrücken? - Wie viel davon wurde in den ersten drei Tagen verbraucht? - Auf wie viele Personen muss der verbleibende Vorrat anschließend verteilt werden?

1. Der Gesamtvorrat entspricht \(25\cdot12=300\) Personentagen. 2. In den ersten \(3\) Tagen werden \(25\cdot3=75\) Personentage verbraucht. 3. Es bleiben \(300-75=225\) Personentage. 4. Danach umfasst die Gruppe \(25+5=30\) Personen. 5. Die restlichen Vorräte reichen noch \(225:30=7{,}5\) Tage.

Die restlichen Vorräte reichen noch \(7{,}5\) Tage.

- Welche feste Gesamtarbeit kannst du in Personentagen ausdrücken? - Wie viele Personentage wurden in den ersten sechs Tagen bereits geleistet? - Auf wie viele Handwerker verteilt sich die verbleibende Arbeit? - Welche Zeit musst du zur Restzeit noch hinzurechnen?

1. Die gesamte Arbeit entspricht \(4\cdot15=60\) Personentagen. 2. Nach \(6\) Tagen sind \(4\cdot6=24\) Personentage geleistet. 3. Es verbleiben \(60-24=36\) Personentage. 4. Danach arbeiten noch \(4-1=3\) Handwerker. 5. Für die Restarbeit benötigen sie \(36:3=12\) Tage. 6. Die gesamte Bauzeit beträgt \(6+12=18\) Tage.

Die gesamte Bauzeit beträgt \(18\) Tage.

- Welche feste Gesamtmenge kannst du in Personentagen ausdrücken? - Wie viel davon ist nach vier Tagen noch vorhanden? - Für wie viele Personen muss der Rest reichen? - Vergleiche die neue Restdauer mit der ursprünglich geplanten Restdauer.

1. Der Gesamtvorrat entspricht \(24\cdot10=240\) Personentagen. 2. Nach \(4\) Tagen sind \(24\cdot4=96\) Personentage verbraucht. 3. Es bleiben \(240-96=144\) Personentage. 4. Danach sind noch \(24-6=18\) Personen im Lager. 5. Für diese Gruppe reicht der Rest \(144:18=8\) Tage. 6. Ursprünglich waren nach dem vierten Tag noch \(10-4=6\) Tage vorgesehen. 7. Der Vorrat reicht daher \(8-6=2\) Tage länger.

Der Vorrat reicht \(2\) Tage länger als ursprünglich geplant.

- Drücke den gesamten Förderaufwand als Produkt aus Pumpenzahl und Zeit aus. - Wie viel Förderaufwand wurde in den ersten 2 Stunden bereits geleistet? - Wie verteilt sich der verbleibende Förderaufwand auf vier Pumpen? - Achte darauf, dass nur nach der Zeit ab dem Zuschalten gefragt ist.

1. Gesamtförderaufwand in Pumpenstunden berechnen: \(3 \cdot 8 = 24\,\text{Pumpenstunden}\). 2. In den ersten 2 Stunden geleisteten Förderaufwand bestimmen: \(3 \cdot 2 = 6\,\text{Pumpenstunden}\). 3. Verbleibenden Förderaufwand berechnen: \(24 - 6 = 18\,\text{Pumpenstunden}\). 4. Neue Anzahl der Pumpen feststellen: \(3 + 1 = 4\) Pumpen. 5. Restliche Dauer berechnen: \(18\,\text{Pumpenstunden} : 4\,\text{Pumpen} = 4{,}5\,\text{Stunden}\).

Ab dem Zuschalten der vierten Pumpe dauert die Befüllung noch \(4{,}5\) Stunden (oder 4 Stunden und 30 Minuten).

- Welche feste Gesamtarbeit kannst du in Personentagen ausdrücken? - Wie viel davon wurde in den ersten drei Tagen erledigt? - Auf wie viele Personen verteilt sich die verbleibende Arbeit?

1. Der gesamte Arbeitsumfang beträgt \(8\cdot15=120\) Personentage. 2. In den ersten \(3\) Tagen werden \(8\cdot3=24\) Personentage geleistet. 3. Es bleiben \(120-24=96\) Personentage. 4. Danach arbeiten noch \(8-2=6\) Personen. 5. Für die Restarbeit benötigen sie \(96:6=16\) Tage.

Die verbleibenden Arbeiter benötigen noch \(16\) Tage.

- Wie viel Liter Wasser passen insgesamt in den Behälter? - Wie verändert sich die Füllzeit, wenn pro Minute mehr Wasser in den Tank fließt? - Achte bei der zweiten Frage darauf, nach welchem Wert genau gefragt wird – nach der neuen Zeit oder nach der Ersparnis?

1. Berechnung des Gesamtvolumens des Behälters: \(12\,\text{l/min} \cdot 45\,\text{min} = 540\,\text{l}\). 2. Berechnung der Zeit für \(18\,\text{l/min}\): \(540\,\text{l} : 18\,\text{l/min} = 30\,\text{min}\). 3. Berechnung des neuen Zuflusses für Teil b): \(12\,\text{l/min} + 3\,\text{l/min} = 15\,\text{l/min}\). 4. Berechnung der neuen Füllzeit: \(540\,\text{l} : 15\,\text{l/min} = 36\,\text{min}\). 5. Berechnung der Zeitdifferenz: \(45\,\text{min} - 36\,\text{min} = 9\,\text{min}\).

a) Mit \(18\,\text{l/min}\) dauert der Füllvorgang \(30\,\text{Minuten}\). b) Die Füllzeit verkürzt sich um \(9\,\text{Minuten}\).

- Welche Gleichung verbindet die beiden Seitenlängen mit dem festen Flächeninhalt? - Welcher Faktor beschreibt eine Vergrößerung um \(20\,\%\)? - Wie muss sich die andere Seitenlänge ändern, damit das Produkt unverändert bleibt?

1. Wegen des festen Flächeninhalts gilt \(xy=72\,\text{cm}^2\). Daher ist \(f(x)=\frac{72}{x}\). 2. Für \(x=12\,\text{cm}\) gilt \(y=72:12=6\,\text{cm}\). 3. Nach einer Vergrößerung um \(20\,\%\) gilt \(x_{\text{neu}}=1{,}2x\). 4. Bei konstantem Produkt folgt \(y_{\text{neu}}=\frac{72}{1{,}2x}=\frac{5}{6}y\). 5. Die Abnahme beträgt \(1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}=16\frac{2}{3}\,\%\).

a) \(f(x)=\frac{72}{x}\) b) \(y=6\,\text{cm}\) c) \(y\) verringert sich um \(16\frac{2}{3}\,\%\).

- Rechne für beide Tabellen die Produkte der Wertepaare aus. Sind sie überall gleich? - Schau dir Tabelle B genau an: Was passiert mit \(y\), wenn \(x\) von 2 auf 4 verdoppelt wird? Passt das zum Verhalten bei \(x=1\) zu \(x=2\)? - Gibt es andere Zuordnungen, bei denen ein Wert sinkt, wenn der andere steigt, die aber keine indirekte Proportionalität sind?

1. Für Tabelle A gilt \(1\cdot120=120\), \(2\cdot60=120\), \(3\cdot40=120\), \(5\cdot24=120\) und \(8\cdot15=120\). Das Produkt ist konstant, also ist Tabelle A indirekt proportional. 2. Für Tabelle B gilt zwar zunächst \(1\cdot120=120\) und \(2\cdot60=120\), aber \(3\cdot30=90\) und \(4\cdot15=60\). Die Produkte sind nicht konstant, also ist Tabelle B nicht indirekt proportional. 3. Dass die \(y\)-Werte in beiden Tabellen bei wachsenden positiven \(x\)-Werten kleiner werden, beweist keine indirekte Proportionalität. Entscheidend ist die konstante Produktgleichheit \(xy=a\).

Nur Tabelle A ist indirekt proportional, da hier alle Produkte \(x\cdot y=120\) ergeben. Bei Tabelle B ändern sich die Produkte \(120, 120, 90, 60\). Die bloße Abnahme der \(y\)-Werte reicht nicht aus; entscheidend ist ein konstantes Produkt \(xy\).

- Was bedeutet „Produktgleichheit“ im Zusammenhang mit Zuordnungen? - Woran erkennt man eine direkte Proportionalität im Vergleich zu einer indirekten Proportionalität? - Rechne für jedes Paar in beiden Tabellen \(x \cdot y\) aus. Was fällt dir auf?

1. Überprüfung Datensatz A: \(3 \cdot 20 = 60\), \(5 \cdot 12 = 60\), \(10 \cdot 6 = 60\). Die Produkte sind konstant. Quotienten: \(\frac{20}{3} \approx 6{,}67\), \(\frac{12}{5} = 2{,}4\). Nicht konstant. 2. Überprüfung Datensatz B: \(3 \cdot 7{,}5 = 22{,}5\), \(5 \cdot 12{,}5 = 62{,}5\). Produkte nicht konstant. Quotienten: \(\frac{7{,}5}{3} = 2{,}5\), \(\frac{12{,}5}{5} = 2{,}5\), \(\frac{25}{10} = 2{,}5\). Quotienten sind konstant. 3. Schlussfolgerung: Datensatz A ist produktgleich und somit eine indirekte Proportionalität. 4. Funktionsgleichung für A: \(y = \frac{60}{x}\).

1. Datensatz A ist produktgleich mit \(x \cdot y = 60\). Datensatz B ist quotientengleich mit \(\frac{y}{x} = 2{,}5\). 2. Datensatz A stellt eine indirekte Proportionalität dar. 3. Die Funktionsgleichung lautet \(y = \frac{60}{x}\).

- Welche Größe bleibt bei einer indirekt proportionalen Zuordnung konstant? - Mit welchem Faktor ändert sich \(x\) von \(4\) auf \(12\), und wie muss sich der Partnerwert ändern? - Übertrage dieses Faktorprinzip auf die beiden Änderungen in Teil c.

1. Von \(4\) auf \(12\) wird der \(x\)-Wert mit \(3\) multipliziert. Damit das Produkt \(x\cdot f(x)\) gleich bleibt, wird der Funktionswert durch \(3\) geteilt. Also ist \(f(12)=9:3=3\). 2. Es gilt \(a=4\cdot9=36\). Die Kontrolle liefert \(f(12)=\frac{36}{12}=3\). 3. Wird \(x\) vervierfacht, wird \(f(x)\) durch \(4\) geteilt. Wird \(x\) durch \(10\) geteilt, wird \(f(x)\) mit \(10\) multipliziert.

a) \(f(12)=3\), weil der \(x\)-Wert mit \(3\) multipliziert wird und deshalb der Funktionswert für das konstante Produkt durch \(3\) geteilt werden muss. b) \(a=36\); Kontrolle: \(\frac{36}{12}=3\) c) Bei \(4x\) wird der Funktionswert geviertelt; bei \(x:10\) wird er verzehnfacht. In beiden Fällen bleibt \(x\cdot f(x)\) konstant.

- Welche Geldsumme bleibt in allen Fällen unverändert? - Wie erhältst du aus Budget und Literpreis die kaufbare Farbmenge? - Welche Bedeutung hat das konstante Produkt \(xy\) in diesem Kontext?

1. Bei festem Budget erhält man die Farbmenge als Quotienten aus Budget und Literpreis: \(120:4=30\), \(120:6=20\), \(120:8=15\), \(120:10=12\), \(120:12=10\). 2. Für alle Wertepaare gilt \(xy=120\). Daher lautet die Funktionsgleichung \(y=\frac{120}{x}\). 3. Der Parameter \(a=120\) entspricht hier dem festen Gesamtbudget von \(120\,\text{€}\).

a) \(30\,\text{l}\), \(20\,\text{l}\), \(15\,\text{l}\), \(12\,\text{l}\), \(10\,\text{l}\) b) \(y=\frac{120}{x}\); \(a=120\) steht für das feste Budget von \(120\,\text{€}\).

- Welche Rechenoperation liefert bei indirekter Proportionalität für jedes Wertepaar denselben Wert? - Was unterscheidet Tabelle B rechnerisch von Tabelle A? - Wie kannst du mit dem konstanten Produkt den fehlenden Partnerwert bestimmen?

1. In Tabelle A gilt für die vollständigen Paare \(1\cdot12=12\), \(2\cdot6=12\), \(3\cdot4=12\) und \(6\cdot2=12\). Das Produkt ist konstant, also ist Tabelle A indirekt proportional. 2. In Tabelle B sind die Produkte nicht konstant; dort ist stattdessen der Quotient \(y:x=2\) konstant. 3. In Tabelle A gilt \(8y=12\). Daher ist \(y=12:8=1{,}5\).

a) Tabelle A ist indirekt proportional, weil für alle vollständigen Wertepaare \(xy=12\) gilt. b) Der fehlende Wert ist \(1{,}5\).

- Welche feste Zahl erhältst du aus dem gegebenen Wertepaar? - Wie müssen sich die Faktoren von \(x\) und \(y\) bei konstantem Produkt zueinander verhalten? - Wie kannst du mit dem konstanten Produkt den Partnerwert zu \(y=10\) finden?

1. Der Parameter ist das konstante Produkt: \(a=2{,}5\cdot16=40\). 2. Wird \(x\) mit dem Faktor \(4\) multipliziert, muss \(y\) durch \(4\) geteilt werden. Daher wird aus \(16\) der Wert \(4\). 3. Für \(y=10\) gilt \(10x=40\), also \(x=4\).

a) \(a=40\) b) \(y\) wird geviertelt; der neue Wert ist \(4\). c) \(x=4\)

- Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen? - Was passiert mit der Zeit, wenn der Zug schneller fährt? - Wenn eine Größe um \(25\,\%\) wächst, mit welcher Zahl musst du sie multiplizieren? - Versuche, die neue Fahrzeit als Bruchteil der alten Fahrzeit auszudrücken. - Kannst du ein konkretes Beispiel aus Aufgabenteil 2 nutzen, um die prozentuale Änderung zu prüfen?

1. Die Fahrzeit berechnet sich aus Strecke durch Geschwindigkeit: \(t(v) = \frac{180}{v}\). 2. Einsetzen der Werte ergibt: \(t(45) = \frac{180}{45} = 4\,\text{h}\); \(t(60) = \frac{180}{60} = 3\,\text{h}\); \(t(90) = \frac{180}{90} = 2\,\text{h}\). 3. Eine Erhöhung der Geschwindigkeit um \(25\,\%\) entspricht dem Faktor \(1{,}25\). Die neue Zeit ist \(t_{\text{neu}} = \frac{180}{1{,}25v} = \frac{1}{1{,}25} \cdot \frac{180}{v} = 0{,}8t_{\text{alt}}\). Da die neue Zeit nur noch \(80\,\%\) der ursprünglichen Zeit beträgt, hat sie sich um \(20\,\%\) verringert.

1. \(t(v)=\frac{180}{v}\) 2. \(4\,\text{h}\), \(3\,\text{h}\) und \(2\,\text{h}\) 3. Die Fahrzeit verringert sich um \(20\,\%\), denn \(t_{\text{neu}}=\frac{t_{\text{alt}}}{1{,}25}=0{,}8t_{\text{alt}}\).

- Welche Größe bleibt beim Leeren desselben Beckens insgesamt fest? - Wie hängt der konstante Produktwert mit dem Zähler in \(T(n)=\frac{a}{n}\) zusammen? - Welcher Gegenfaktor gehört bei indirekter Proportionalität zu einer Verdreifachung?

1. Das Produkt \(nT\) ist konstant. Daher ist \(a=3\cdot16=48\); im Kontext sind das \(48\) Pumpenstunden. Es gilt \(T(n)=\frac{48}{n}\). 2. Es ergibt sich \(T(2)=24\,\text{h}\), \(T(4)=12\,\text{h}\), \(T(6)=8\,\text{h}\) und \(T(8)=6\,\text{h}\). 3. Wird die Pumpenzahl verdreifacht, wird die benötigte Zeit wegen des konstanten Produkts gedrittelt.

1) \(a=48\); \(T(n)=\frac{48}{n}\) 2) \(24\,\text{h}\), \(12\,\text{h}\), \(8\,\text{h}\), \(6\,\text{h}\) 3) Die Zeit wird auf ein Drittel des ursprünglichen Werts verkürzt, weil das Produkt aus Pumpenzahl und benötigter Zeit konstant bleibt.

- Welche feste Gesamtgröße steckt im Produkt aus Pferdezahl und Tagen? - Wie kannst du die Produktgleichheit für die alte und die neue Situation schreiben? - Welcher Gegenfaktor gehört bei indirekter Proportionalität zu einer Halbierung?

1. Bei festem Vorrat bleibt das Produkt aus Pferdezahl und Tagen konstant. Daher gilt \(pd=nx\). 2. Aufgelöst nach \(x\) ergibt sich \(x=\frac{pd}{n}\). 3. Für \(n=\frac{p}{2}\) gilt \(x=\frac{pd}{p/2}=2d\). Bei halbierter Pferdezahl reicht der Vorrat doppelt so lange.

a) \(pd=nx\), also \(x=\frac{pd}{n}\) b) Die Vorratsdauer verdoppelt sich auf \(2d\), weil bei indirekter Proportionalität zur Halbierung der Pferdezahl die Verdopplung der Dauer gehört.

- Welche feste Gesamtarbeit kannst du in Personentagen ausdrücken? - Wie findest du bei bekanntem Gesamtaufwand die Zeit für eine bestimmte Personenzahl? - Welche Gleichung verbindet allgemein Personenzahl \(n\) und Zeit \(t\), wenn ihr Produkt konstant bleibt?

1. Der gesamte Arbeitsaufwand beträgt \(6\cdot10=60\) Personentage. 2. Für \(4\) Fachkräfte ergibt sich \(60:4=15\) Tage. 3. Für eine Fertigstellung in \(4\) Tagen werden \(60:4=15\) Fachkräfte benötigt. 4. Bei \(n\) Fachkräften gilt \(n\cdot t=60\), also \(t(n)=\frac{60}{n}\). Im Sachzusammenhang sind positive ganze Personenzahlen \(n=1,2,3,\ldots\) sinnvoll.

a) \(15\) Tage b) Insgesamt \(15\) Fachkräfte c) \(t(n)=\frac{60}{n}\); sinnvoll sind positive ganze Personenzahlen \(n=1,2,3,\ldots\).

- Wie hängen Gesamtgewinn, Personenzahl und Betrag pro Person zusammen? - Drücke zuerst den Gesamtgewinn mit den Größen \(n\) und \(x\) aus. - Setze anschließend für die neue Personenzahl \(m=4n\) in deine Formel ein und vereinfache.

1. Aus der Ausgangssituation folgt für den Gesamtgewinn \(G=nx\). 2. Bei \(m\) Personen erhält jede Person \(y=\frac{G}{m}\). Mit \(G=nx\) ergibt sich \(y=\frac{nx}{m}\). 3. Für \(m=4n\) gilt \(y=\frac{nx}{4n}=\frac{x}{4}\). Der Auszahlungsbetrag pro Person sinkt somit auf ein Viertel des ursprünglichen Betrags.

a) \(y=\frac{nx}{m}\) b) Für \(m=4n\) gilt \(y=\frac{x}{4}\). Der Betrag pro Person viertelt sich.

- Welche Gleichung verbindet Länge, Breite und festen Flächeninhalt? - Welche rationalen Werte sind für eine Seitenlänge im Sachkontext möglich? - Welche Graphform gehört zu \(y=\frac{a}{x}\) für positive Eingaben? - Welche Bedeutung hat das konstante Produkt aus Länge und Breite?

1. Aus \(xy=18\,\text{m}^2\) folgt \(y=18:4{,}5=4\,\text{m}\). 2. Es gilt \(f(x)=\frac{18}{x}\). Im Sachkontext sind nur positive rationale Längen sinnvoll, also \(D_f=\{x\in\mathbb{Q}\mid x>0\}\). 3. Für \(x>0\) sieht man den Ast einer Hyperbel im I. Quadranten. 4. Es gilt \(2\,\text{m}\cdot9\,\text{m}=18\,\text{m}^2\) und \(6\,\text{m}\cdot3\,\text{m}=18\,\text{m}^2\). Das konstante Produkt ist die feste Beetfläche.

1. \(4\,\text{m}\) 2. \(f(x)=\frac{18}{x}\), \(D_f=\{x\in\mathbb{Q}\mid x>0\}\) 3. Ein Hyperbelast im I. Quadranten 4. Beide Produkte sind \(18\,\text{m}^2\); das ist die feste Beetfläche.

- Welche Größe ist auf welcher Achse dargestellt? - Welches Produkt kannst du aus den abgelesenen Wertepaaren bilden? - Welche Bedeutung hat dieses konstante Produkt bei Geschwindigkeit und Fahrzeit für eine feste Strecke? - Wie kannst du aus Strecke und vorgegebener Zeit die benötigte Geschwindigkeit bestimmen?

1. Aus dem Graphen liest man \(t(2)=6\,\text{h}\), \(t(3)=4\,\text{h}\), \(t(4)=3\,\text{h}\) und \(t(6)=2\,\text{h}\) ab. 2. Für alle vier Wertepaare gilt \(vt=12\). Daher ist die Zuordnung indirekt proportional und hat die Form \(t(v)=\frac{12}{v}\). Der Parameter \(a=12\) entspricht der festen Strecke von \(12\,\text{km}\). 3. Für \(t=1{,}5\,\text{h}\) gilt \(v=12:1{,}5=8\,\text{km/h}\). Der Punkt \((8\mid1{,}5)\) liegt auf dem Graphen.

a) <table> <tr><td>\(v\) in \(\text{km/h}\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(t\) in \(\text{h}\)</td><td>\(6\)</td><td>\(4\)</td><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table> b) \(vt=12\), also indirekt proportional; \(a=12\) steht für die Strecke \(12\,\text{km}\). c) \(8\,\text{km/h}\); der Graph bestätigt den Punkt \((8\mid1{,}5)\).

- Schaue dir den Graphen genau an und suche die Werte auf den Achsen. - Wie hängen die Anzahl der Personen und der Betrag pro Person zusammen? Was passiert mit dem Gesamtpreis, wenn mehr Leute mitmachen? - Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung ist das Produkt aus dem Ausgangswert und dem zugeordneten Wert immer konstant. - Überlege dir ein konkretes Beispiel aus dem Graphen: Wenn sich die Personenanzahl von 2 auf 6 erhöht, was passiert dann mit dem Betrag?

1. Ablesen der Werte aus dem Graphen: Für \(x = 3\) Personen beträgt der zu zahlende Betrag \(y = 8\,\text{€}\). Für \(x = 6\) Personen beträgt der zu zahlende Betrag \(y = 4\,\text{€}\). 2. Bestimmung des Parameters \(a\): Da die Funktion die Form \(f(x) = \frac{a}{x}\) hat, gilt für jeden Punkt auf dem Graphen \(xy = a\). Mit dem Wertepaar \((3 \mid 8)\) ergibt sich: \(a = 3 \cdot 8 = 24\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = \frac{24}{x}\). Im Sachkontext stellt der Parameter \(a = 24\) die konstanten Gesamtkosten des Geschenks in Höhe von \(24\,\text{€}\) dar. 3. Nachweis der Produktgleichheit und Beschreibung der Veränderung: Für die Wertepaare \((3 \mid 8)\) und \((6 \mid 4)\) gilt: \(3 \cdot 8 = 24\) und \(6 \cdot 4 = 24\). Da das Produkt aus der Anzahl der Personen und dem Betrag pro Person immer konstant \(24\) ergibt, liegt Produktgleichheit vor. Wenn sich die Anzahl der beteiligten Personen verdreifacht, drittelt sich der zu zahlende Betrag für jede einzelne Person.

a) Bei \(3\) Personen muss jede Person \(8\,\text{€}\) zahlen; bei \(6\) Personen muss jede Person \(4\,\text{€}\) zahlen. b) Der Parameter ist \(a = 24\). Er gibt die Gesamtkosten des Geschenks von \(24\,\text{€}\) an. c) Beispielsweise gilt für die Punkte \((3 \mid 8)\) und \((6 \mid 4)\): \(3 \cdot 8 = 24\) und \(6 \cdot 4 = 24\). Wenn sich die Personenanzahl verdreifacht, drittelt sich der zu zahlende Betrag.

- Zerlege die beiden Aussagen in einzelne Behauptungen. - Prüfe, ob der Graph eine Gerade mit konstanter Steigung ist. - Vergleiche konkrete Wertepaare bei verdoppelter Geschwindigkeit. - Überprüfe die Produktgleichheit mit den markierten Punkten.

1. Pauls Aussage ist falsch. Der Graph einer linearen Abnahme wäre eine Gerade mit konstanter negativer Steigung; der dargestellte Graph ist jedoch ein Hyperbelast. Außerdem ist die Zeitersparnis nicht konstant: Beim Wechsel von \(2\,\text{km/h}\) auf \(4\,\text{km/h}\) sinkt die Zeit von \(6\,\text{h}\) auf \(3\,\text{h}\), also um \(3\,\text{h}\). Beim Wechsel von \(3\,\text{km/h}\) auf \(6\,\text{km/h}\) sinkt sie von \(4\,\text{h}\) auf \(2\,\text{h}\), also um \(2\,\text{h}\). 2. Luisas Aussage ist richtig. Für die markierten Punkte gilt \(2 \cdot 6 = 12\), \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 3 = 12\) und \(6 \cdot 2 = 12\). Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit ist konstant. Daher liegt eine indirekte Proportionalität vor, und bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit halbiert sich die Zeit.

Paul: Die Aussage ist falsch, weil der Graph keine Gerade ist und die Zeitersparnis beim Verdoppeln der Geschwindigkeit nicht konstant ist. Luisa: Die Aussage ist richtig, weil stets \(v \cdot t = 12\) gilt und sich bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit die Zeit halbiert.

- Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich mit \(A = x \cdot y\). - Suche auf jedem beschrifteten Graphen einen Punkt, der auf einem Gitterpunkt liegt. - Vergleiche die drei konstanten Produkte, um die Lage eines Graphen für \(12\,\text{cm}^2\) einzuordnen.

1. Für den Graphen \(p\) ist der Punkt \(P(2 \mid 2)\) gut ablesbar. Daher gilt \(A = 2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 2. Für den Graphen \(q\) ist der Punkt \(Q(2 \mid 4)\) gut ablesbar. Daher gilt \(A = 2 \cdot 4 = 8\,\text{cm}^2\). 3. Für den Graphen \(r\) ist der Punkt \(R(4 \mid 4)\) gut ablesbar. Daher gilt \(A = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). 4. Da \(12\,\text{cm}^2\) zwischen \(8\,\text{cm}^2\) und \(16\,\text{cm}^2\) liegt, müsste der vierte Graph zwischen \(q\) und \(r\) verlaufen.

a) Graph \(p\): \(4\,\text{cm}^2\); Graph \(q\): \(8\,\text{cm}^2\); Graph \(r\): \(16\,\text{cm}^2\). b) Der Graph für \(12\,\text{cm}^2\) liegt zwischen \(q\) und \(r\).

- Welche feste Gesamtmenge kannst du in Personentagen ausdrücken? - Wie viel davon wurde in den ersten vier Tagen verbraucht? - Auf wie viele Personen verteilt sich der Rest anschließend? - Unterscheide zwischen zusätzlicher Restdauer und Gesamtdauer.

1. Der Gesamtvorrat entspricht \(10\cdot12=120\) Personentagen. 2. In den ersten \(4\) Tagen werden \(10\cdot4=40\) Personentage verbraucht. 3. Es verbleiben \(120-40=80\) Personentage. 4. Nach dem Weggang bleiben \(10-2=8\) Personen. 5. Der Rest reicht für \(80:8=10\) weitere Tage. 6. Insgesamt reicht der Vorrat \(4+10=14\) Tage.

a) Weitere \(10\) Tage b) Insgesamt \(14\) Tage

- Bestimme den gesamten Arbeitsaufwand in Leitungsstunden. - Berechne, wie viel Arbeit in den ersten \(6\) Stunden bereits geleistet wurde. - Teile die verbleibende Arbeit durch die Anzahl der noch arbeitenden Leitungen.

1. Die vollständige Füllung entspricht \(2 \cdot 18 = 36\) Leitungsstunden. 2. In den ersten \(6\) Stunden werden \(2 \cdot 6 = 12\) Leitungsstunden geleistet. 3. Es verbleiben \(36-12 = 24\) Leitungsstunden. 4. Mit einer Leitung dauert die restliche Füllung \(24 : 1 = 24\) Stunden.

Ab dem Zeitpunkt der Abschaltung dauert es noch \(24\) Stunden, bis das Becken voll ist.

- Überlege dir, was ein Punkt auf der Kurve im Sachzusammenhang bedeutet. - Wenn sich mehrere Personen einen festen Betrag teilen, wie berechnest du diesen Gesamtbetrag aus den Einzelkosten? - Nutze für Teil c) die Gesamtkosten aus b) und formuliere eine Bedingung für Kosten von höchstens \(8\,\text{€}\) pro Person. - Bei der Frage nach der Mindestanzahl musst du bedenken, dass es keine halben Personen gibt.

1. Aus dem Graphen liest man ab: Für \(x=4\) gilt \(y=25\,\text{€}\), für \(x=5\) gilt \(y=20\,\text{€}\). 2. Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung ist das Produkt \(xy\) konstant. Hier gilt \(4\cdot25\,\text{€}=100\,\text{€}\) und ebenso \(5\cdot20\,\text{€}=100\,\text{€}\). Die Gesamtkosten betragen daher \(100\,\text{€}\), also ist der Parameter \(a=100\). 3. Für höchstens \(8\,\text{€}\) pro Person muss \(\frac{100}{x}\le8\) gelten. Daraus folgt \(x\ge12{,}5\). Da die Teilnehmerzahl ganzzahlig ist, müssen mindestens \(13\) Personen mitfahren.

a) Bei 4 Personen: \(25\,\text{€}\); bei 5 Personen: \(20\,\text{€}\). b) Die Gesamtkosten betragen \(100\,\text{€}\). c) Es müssen mindestens \(13\) Personen mitfahren.

- Welche Beziehung gilt zwischen einem Punkt \((x\mid y)\) auf \(y=\frac{a}{x}\) und dem Parameter \(a\)? - Notiere für jeden der vier markierten Punkte von \(g\) seine beiden Koordinaten. - Was muss für alle Produkte \(xy\) gelten, damit \(g\) indirekt proportional ist?

1. Für \(f\) kann zum Beispiel der Punkt \((2\mid4)\) verwendet werden. Damit ist \(a=2\cdot4=8\) und \(f(x)=\frac{8}{x}\). 2. Für die Punkte auf \(g\) ergeben sich die Produkte \(1\cdot7=7\), \(2\cdot6=12\), \(4\cdot4=16\) und \(10\cdot2=20\). 3. Die Produkte sind nicht konstant. Daher ist \(g\) keine indirekte Proportionalität.

a) \(f(x)=\frac{8}{x}\) b) Nein. Für G1 bis G4 erhält man die Produkte \(7\), \(12\), \(16\) und \(20\); sie sind nicht konstant.

- Welche Kombination der beiden Tabellenwerte bleibt bei indirekter Proportionalität konstant? - In welchem Quadranten muss der Graph liegen, wenn Geschwindigkeit und Fahrzeit positiv sind? - Wie verändert sich die Kurve, wenn \(v\) sehr klein positiv beziehungsweise deutlich größer wird? - Wie kannst du im Funktionsterm eine Verdopplung von \(v\) untersuchen?

1. Für alle Tabellenpaare gilt \(vt=24\). Daher sind \(v\) und \(t\) indirekt proportional; \(a=24\,\text{km}\) und \(t(v)=\frac{24}{v}\). 2. Für \(v>0\) ist der Graph ein fallender Hyperbelast im I. Quadranten. Er verläuft durch \((2\mid12)\), \((3\mid8)\), \((4\mid6)\), \((6\mid4)\) und \((8\mid3)\). Für kleine positive \(v\) werden die Fahrzeiten sehr groß; bei größer werdendem \(v\) nähert sich der Graph der \(v\)-Achse an. Die \(t\)-Achse wird nicht erreicht, weil \(v=0\) nicht zulässig ist. 3. Es gilt \(t(2v)=\frac{24}{2v}=\frac{1}{2}t(v)\). Eine Verdopplung der Geschwindigkeit halbiert die Fahrzeit. Negative Werte sind für den Betrag einer Fahrgeschwindigkeit in diesem Sachmodell nicht sinnvoll.

a) \(vt=24\), also \(a=24\,\text{km}\) und \(t(v)=\frac{24}{v}\) für \(v>0\). b) Der Graph ist ein fallender Hyperbelast im I. Quadranten durch die fünf Tabellenpunkte und nähert sich beiden Koordinatenachsen an, ohne sie zu schneiden. c) Eine Verdopplung von \(v\) halbiert \(t\); negative \(v\)-Werte gehören nicht zum Sachmodell.

- Lies zuerst die Koordinaten der markierten Punkte in beiden Bildern ab. - Welche Produkte erhältst du innerhalb jedes Bildes? - Welche Geraden spielen bei \(y=\frac{a}{x}\) die Rolle der Asymptoten? - Was verändert eine Verschiebung in \(x\)- oder \(y\)-Richtung an diesen beiden Eigenschaften?

1. In Graph a) sind die markierten Punkte \((3\mid4)\) und \((6\mid2)\). Beide Produkte sind \(3\cdot4=12\) und \(6\cdot2=12\). In Graph b) sind die markierten Punkte \((2\mid4)\) und \((4\mid3)\); dort gilt \(2\cdot4=8\) und \(4\cdot3=12\). Das Produkt ist also nicht konstant. 2. Bei Graph a) sind die Koordinatenachsen selbst die Asymptoten \(x=0\) und \(y=0\), wie bei \(y=\frac{a}{x}\). Bei Graph b) sind die Asymptoten gegenüber den Achsen verschoben; sie liegen bei \(x=-2\) und \(y=1\). 3. Daher ist nur Graph a) indirekt proportional. Eine Verschiebung verändert den Term zu \(\frac{a}{x+b}+c\); dann ist das Produkt \(xy\) im Allgemeinen nicht mehr konstant.

Nur Graph a) ist indirekt proportional. Dort ist \(xy=12\) für die markierten Punkte und die Koordinatenachsen sind die Asymptoten. Bei b) sind die Produkte verschieden und die Asymptoten auf \(x=-2\) und \(y=1\) verschoben. Eine verschobene Hyperbel hat im Allgemeinen die Form \(\frac{a}{x+b}+c\); dadurch ist das Produkt \(xy\) im Allgemeinen nicht konstant.

- Wie viel Arbeit ist nach 2 Stunden noch übrig? - Wie viel Zeit bleibt noch übrig, um den ursprünglichen Zeitplan einzuhalten? - Wie viel Fläche schafft die aktuelle Gruppe pro Stunde? - Wie viel Fläche müsste pro Stunde geschafft werden, um rechtzeitig fertig zu werden? - Wie muss sich die Anzahl der Personen ändern, um dieses neue Ziel zu erreichen?

1. Bestimmung der Arbeitsrate der aktuellen Gruppe: 4 Personen schaffen \(\frac{1}{4}\) der Fläche in 2 Stunden. Das entspricht \(\frac{1}{8}\) der Fläche pro Stunde für 4 Personen. 2. Bestimmung der verbleibenden Arbeit: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) der Wandfläche. 3. Bestimmung der verbleibenden Zeit: \(5 - 2 = 3\,\text{Stunden}\). 4. Berechnung der benötigten Arbeitsrate: Um \(\frac{3}{4}\) Fläche in 3 Stunden zu schaffen, muss pro Stunde \(\frac{3}{4} : 3 = \frac{1}{4}\) der Fläche gestrichen werden. 5. Vergleich der Raten: Die benötigte Rate (\(\frac{1}{4}\) pro Stunde) ist doppelt so hoch wie die bisherige Rate der 4 Personen (\(\frac{1}{8}\) pro Stunde). 6. Berechnung der Personenzahl: Da die doppelte Rate benötigt wird, müssen doppelt so viele Personen arbeiten: \(4 \cdot 2 = 8\,\text{Personen}\).

Es müssten ab diesem Zeitpunkt insgesamt 8 Personen an dem Projekt arbeiten.

- Wie kannst du beide unbekannten \(y\)-Werte mit demselben Parameter \(a\) ausdrücken? - Welche Beziehung zwischen diesen beiden \(y\)-Werten beschreibt die angegebene Verringerung? - Welche Form hat die Funktionsgleichung einer indirekt proportionalen Zuordnung?

1. Für die beiden Werte gilt \(y_1=\frac{a}{2}\) und \(y_2=\frac{a}{10}\). 2. Da sich der \(y\)-Wert um \(8\) verringert, gilt \(\frac{a}{2}-\frac{a}{10}=8\). 3. Daraus folgt \(\frac{4a}{10}=8\), also \(a=20\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(y=\frac{20}{x}\). 5. Für \(x=0{,}5\) ergibt sich \(y=20:0{,}5=40\).

1. \(a=20\) 2. \(y=\frac{20}{x}\) 3. \(y=40\)

- Welcher Multiplikationsfaktor beschreibt eine Erhöhung um \(p\,\%\)? - Setze diesen Ausdruck für \(x_2\) in \(y_2=\frac{a}{x_2}\) ein. - Versuche anschließend, \(\frac{a}{x_1}\) als zusammenhängenden Faktor wiederzuerkennen. - Vergleiche bei \(p=25\) den entstehenden Faktor mit \(1\), bevor du die prozentuale Abnahme bestimmst.

1. Eine Erhöhung um \(p\,\%\) bedeutet \(x_2=\left(1+\frac{p}{100}\right)x_1=\frac{100+p}{100}x_1\). 2. Damit ist \(y_2=\frac{a}{x_2}=\frac{a}{\frac{100+p}{100}x_1}=\frac{100}{100+p}\frac{a}{x_1}=\frac{100}{100+p}y_1\). 3. Für \(p=25\) ist der Faktor \(\frac{100}{125}=\frac{4}{5}=0{,}8\). Der neue \(y\)-Wert beträgt also \(80\,\%\) des alten Werts und sinkt damit um \(20\,\%\), nicht um \(25\,\%\). 4. Bei \(a=120\) und \(x_1=8\) ist \(y_1=120:8=15\). Eine Erhöhung von \(8\) um \(25\,\%\) ergibt \(x_2=10\). Dann ist \(y_2=120:10=12\). Es gilt \(12=0{,}8\cdot15\), also bestätigt das Beispiel den Faktor \(0{,}8\).

a) \(x_2=\frac{100+p}{100}x_1\) b) \(y_2=\frac{100}{100+p}y_1\) c) Bei \(25\,\%\) Erhöhung von \(x\) wird \(y\) mit \(0{,}8\) multipliziert und sinkt daher um \(20\,\%\). d) \(x_1=8\), \(y_1=15\), \(x_2=10\), \(y_2=12\); damit gilt \(y_2=0{,}8y_1\).