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- Wie kannst du eine Gerade zeichnen, wenn du die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse kennst? - Was bedeutet der Schnittpunkt zweier Geraden für das Gleichungssystem? - Wie prüfst du, ob ein Punkt tatsächlich auf einer Geraden liegt?

1. Zeichnen der Geraden zu (I) mit Steigung \(m_1 = 1{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(b_1 = -2\). 2. Zeichnen der Geraden zu (II) mit Steigung \(m_2 = -0{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(b_2 = 2\). 3. Ablesen des Schnittpunkts im Koordinatensystem: \(S(2|1)\). 4. Überprüfung durch Einsetzen in (I): \(1 = 1{,}5 \cdot 2 - 2 \Rightarrow 1 = 3 - 2 = 1\) (wahr). 5. Überprüfung durch Einsetzen in (II): \(1 = -0{,}5 \cdot 2 + 2 \Rightarrow 1 = -1 + 2 = 1\) (wahr).

Die zeichnerische Lösung ergibt den Schnittpunkt \(S(2|1)\). Die Probe durch Einsetzen bestätigt die Richtigkeit der Lösung.

- Stelle beide Gleichungen zuerst so um, dass das \(y\) allein auf einer Seite steht. - Erinnere dich daran, wie man den \(y\)-Achsenabschnitt und die Steigung nutzt, um eine Gerade zu zeichnen. - Wo genau treffen sich die beiden Linien? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Werte für \(x\) und \(y\) in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Umformen der Gleichungen in die Steigungsform \(y = mx + b\): (I) \(y = -x + 5\) (II) \(y = 2x - 1\) 2. Einzeichnen der Geraden: Gerade (I) verläuft durch den \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) mit der Steigung \(-1\). Gerade (II) verläuft durch den \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\) mit der Steigung \(2\). 3. Ablesen des Schnittpunkts: Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(2|3)\). 4. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|3)\}\).

Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|3)\}\).

- Kannst du die Steigung und den y-Achsenabschnitt aus den Gleichungen ablesen? - Wie viele Punkte benötigst du, um eine Gerade eindeutig in ein Koordinatensystem zu zeichnen? - Was bedeutet der Punkt, an dem sich die beiden Geraden kreuzen, für das Gleichungssystem? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob dein grafisch ermitteltes Ergebnis exakt stimmt?

1. Identifikation der beiden linearen Funktionen als Geraden mit den Gleichungen \(y = -x + 5\) und \(y = 2x - 1\). 2. Zeichnen der ersten Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) und der Steigung \(-1\). 3. Zeichnen der zweiten Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\) und der Steigung \(2\). 4. Ablesen des Schnittpunkts der beiden Geraden im Koordinatensystem bei \(x = 2\) und \(y = 3\). 5. Durchführung der Probe durch Einsetzen der Werte in beide Gleichungen: \(3 = -2 + 5\) (wahr) und \(3 = 2 \cdot 2 - 1\) (wahr).

\(L = \{(2|3)\}\)

- Kannst du die Gleichungen so umstellen, dass sie die Form \(y = mx + b\) haben? - Was stellt der Punkt, an dem sich zwei Geraden kreuzen, für das Gleichungssystem dar? - Wie kannst du mit den Koordinaten des Schnittpunkts sicherstellen, dass deine Zeichnung exakt ist? - Welche Punkte auf den Achsen lassen sich besonders leicht bestimmen, um eine Gerade zu zeichnen?

1. Umformen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = -x + 4\). 2. Einzeichnen der ersten Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und der Steigung \(0{,}5\) (z. B. durch die Punkte \((0|1)\) und \((2|2)\)). 3. Einzeichnen der zweiten Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(4\) und der Steigung \(-1\) (z. B. durch die Punkte \((0|4)\) und \((4|0)\)). 4. Ablesen des Schnittpunkts der beiden Geraden im Koordinatensystem: \(S(2|2)\). 5. Rechnerische Überprüfung durch Einsetzen von \(x = 2\) und \(y = 2\) in beide Ausgangsgleichungen: \(2 = 0{,}5 \cdot 2 + 1\) ergibt \(2 = 2\) (wahr) und \(2 + 2 = 4\) ergibt \(4 = 4\) (wahr).

Der Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

- Wie stellst du eine Gleichung so um, dass das y alleine auf einer Seite steht? - Was verrät dir die Steigung über den Verlauf einer Geraden im Vergleich zu einer anderen? - Wann haben zwei Geraden in einer Ebene keinen oder unendlich viele Schnittpunkte?

1. Umformung von (II): \(2y = -2x + 2 \Rightarrow y = -x + 1\). 2. Zeichnen der Geraden \(y = x - 3\) und \(y = -x + 1\). 3. Ablesen des Schnittpunkts: \(x = 2\) und \(y = -1\), also \(S(2|-1)\). 4. Analyse der Steigungen: Die erste Gerade hat die Steigung \(m_1 = 1\), die zweite Gerade hat die Steigung \(m_2 = -1\). Da die Steigungen unterschiedlich sind (\(m_1 \neq m_2\)), sind die Geraden nicht parallel und müssen genau einen Schnittpunkt haben.

a) Die umgeformte Gleichung lautet \(y = -x + 1\). b) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(2|-1)\). c) Da die Steigungen \(m_1 = 1\) und \(m_2 = -1\) verschieden sind, schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt.

- Versuche zuerst, jede Gleichung so umzustellen, dass das \(y\) alleine auf einer Seite steht. - Achte beim Umformen der zweiten Gleichung besonders auf das Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Wähle für die Zeichnung geeignete Punkte, zum Beispiel indem du einfache Werte für \(x\) einsetzt und \(y\) berechnest. - Wo genau schneiden sich die beiden Linien? Lies die Koordinaten vorsichtig ab.

1. Umformung der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = -2x + 4\). 2. Umformung der zweiten Gleichung nach \(y\): \(x - 2y = -3 \Leftrightarrow -2y = -x - 3 \Leftrightarrow y = 0{,}5x + 1{,}5\). 3. Zeichnen der Geraden \(y = -2x + 4\) (geht z. B. durch \((0|4)\) und \((2|0)\)). 4. Zeichnen der Geraden \(y = 0{,}5x + 1{,}5\) (geht z. B. durch \((1|2)\) und \((3|3)\)). 5. Ermittlung des Schnittpunkts der Geraden durch Ablesen der Koordinaten: \(S(1|2)\).

\(L = \{(1|2)\}\) (Schnittpunkt \(S(1|2)\))

- Was fällt dir an den Steigungen der beiden Geraden auf? - Können zwei Geraden in einem Koordinatensystem auch so liegen, dass sie sich niemals schneiden? - Wie viele gemeinsame Punkte müssen Geraden haben, damit das System eine Lösung besitzt? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn es keinen Schnittpunkt gibt?

1. Zeichnen der Geraden \(g_1\) mit der Steigung \(m_1 = 2\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b_1 = -1\). 2. Zeichnen der Geraden \(g_2\) mit der Steigung \(m_2 = 2\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b_2 = 2\). 3. Feststellung der geometrischen Lage: Beide Geraden besitzen dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte, woraus folgt, dass sie parallel zueinander verlaufen. 4. Da es keinen gemeinsamen Schnittpunkt gibt, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \emptyset\).

a) Die Zeichnung zeigt zwei parallele Geraden mit der Steigung \(2\) und den \(y\)-Achsenabschnitten \(-1\) beziehungsweise \(2\). b) \(L=\emptyset\), da die Geraden keinen Schnittpunkt besitzen.

- Was muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit sie parallel sind? - Wenn zwei Geraden parallel sind und nicht aufeinanderliegen, wie viele gemeinsame Punkte haben sie dann? - Versuche für den zweiten Teil, beide Geraden sorgfältig in ein Koordinatensystem einzutragen.

1. Für Parallelität muss \(h\) dieselbe Steigung wie \(g\) haben (\(m = 0{,}5\)). Damit es keinen Schnittpunkt gibt, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) verschieden von \(1\) sein, z. B. \(y = 0{,}5x - 2\). 2. Da die Geraden parallel und nicht identisch sind, hat das System 0 Lösungen. 3. Für Teil b) Zeichnen der Geraden \(y = 0{,}5x + 1\) und \(y = -x + 4\). 4. Der Schnittpunkt liegt bei \(x = 2\). Einsetzen ergibt \(y = 0{,}5 \cdot 2 + 1 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(y = 0{,}5x - 2\). Das System hat dann keine Lösung. b) Die zeichnerische Lösung für das neue System ergibt den Schnittpunkt \(S(2|2)\).