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- Suche im Diagramm die Stelle, an der beide Geraden durch denselben Punkt verlaufen. - Lies zuerst die waagerechte und danach die senkrechte Koordinate dieses Punktes ab. - Achte auf die Reihenfolge \((x|y)\).

1. Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der sich die beiden Geraden kreuzen. 2. Im Diagramm liegt dieser Punkt bei \(x=2\) und \(y=3\). 3. Daher ist \(S(2|3)\).

\(S(2|3)\)

- Was muss für die beiden \(y\)-Werte am Schnittpunkt gelten? - Setze die beiden Funktionsterme gleich und bestimme zuerst \(x\). - Prüfe den erhaltenen Punkt anschließend in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Am Schnittpunkt gilt \(1{,}5x-2=-0{,}5x+2\). 2. Daraus folgt \(2x=4\) und damit \(x=2\). 3. Einsetzen liefert \(y=1\), also \(S(2|1)\). 4. Für \(x=2\) ergeben beide Geradengleichungen \(y=1\); die Punktprobe ist erfüllt.

\(S(2|1)\). Die Punktprobe erfüllt beide Geradengleichungen.

- Löse jede Gleichung zuerst nach \(y\) auf. - Am Schnittpunkt stimmen die beiden Funktionswerte überein. - Setze die beiden Terme für \(y\) gleich.

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=5-x\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=2x-1\). 3. Gleichsetzen ergibt \(5-x=2x-1\), also \(3x=6\) und \(x=2\). 4. Einsetzen liefert \(y=3\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|3)\).

\(S(2|3)\)

- Löse die zweite Gleichung zuerst nach \(y\) auf. - Welche Gleichung erhältst du, wenn beide Geraden am selben Punkt denselben \(y\)-Wert haben? - Prüfe danach beide ursprünglichen Gleichungen, nicht nur die umgeformte.

1. Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=4-x\). 2. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+1=4-x\), also \(1{,}5x=3\) und \(x=2\). 3. Damit ist \(y=2\), also \(S(2|2)\). 4. Einsetzen von \((2|2)\) erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

\(S(2|2)\); die Punktprobe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

- Vergleiche zuerst die Koeffizienten vor \(x\). - Was bedeutet gleiche Steigung bei verschiedenen Achsenabschnitten? - Die Lösungsmenge besteht aus den gemeinsamen Punkten beider Geraden.

1. Beide Geraden besitzen die Steigung \(2\). 2. Ihre \(y\)-Achsenabschnitte \(-1\) und \(2\) sind verschieden. 3. Die Geraden sind daher parallel und verschieden; ein Schnittpunkt existiert nicht. 4. Somit ist \(L=\emptyset\).

a) Gleiche Steigung \(2\), verschiedene Achsenabschnitte \(-1\) und \(2\). b) Kein Schnittpunkt; \(L=\emptyset\).

- Lies den \(y\)-Achsenabschnitt jeder Geraden ab. - Nutze zwei gut ablesbare Punkte auf jeder Geraden, um die Steigung zu bestimmen. - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt für die Lösungsmenge?

1. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). Mit den Punkten \((0|1)\) und \((1|2)\) ergibt sich die Steigung \(1\), also \(y=x+1\). 2. Für \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(4\). Mit den Punkten \((0|4)\) und \((2|3)\) ergibt sich die Steigung \(-0{,}5\), also \(y=-0{,}5x+4\). Das LGS lautet damit \(\begin{cases}y=x+1\\y=-0{,}5x+4\end{cases}\). 3. Die Geraden schneiden sich in \(S(2|3)\). Somit ist \(L=\{(2|3)\}\).

\(\begin{cases}y=x+1\\y=-0{,}5x+4\end{cases}\); \(L=\{(2|3)\}\)

- Vergleiche die Steigungen der beiden Geraden. - Welche Rolle spielen unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte bei gleicher Steigung? - Was folgt daraus für die Lösungsmenge?

1. Die Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und die Steigung \(0{,}5\), also \(y=0{,}5x+1\). 2. Die Gerade \(h\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und die Steigung \(0{,}5\), also \(y=0{,}5x-2\). Das LGS lautet damit \(\begin{cases}y=0{,}5x+1\\y=0{,}5x-2\end{cases}\). 3. Beide Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Daher ist \(L=\emptyset\).

\(\begin{cases}y=0{,}5x+1\\y=0{,}5x-2\end{cases}\); \(L=\emptyset\)

- Lies für jede beschriftete Gerade zunächst den \(y\)-Achsenabschnitt und die Steigung ab. - Wie kannst du die Geradengleichungen in eine äquivalente Form mit \(x\) und \(y\) auf einer Seite bringen? - Welche Bedingung muss der Schnittpunkt in beiden Gleichungen erfüllen?

1. Die Gerade \(g\) verläuft durch \((0|3)\) und \((1|2)\). Ihre Steigung ist \(-1\). Daher gilt \(y=-x+3\), also äquivalent \(x+y=3\). 2. Die Gerade \(h\) verläuft durch \((0|-1)\) und \((1|2)\). Ihre Steigung ist \(3\). Daher gilt \(y=3x-1\), also äquivalent \(-3x+y=-1\). Das LGS ist somit \(\begin{cases}x+y=3\\-3x+y=-1\end{cases}\). 3. Der Schnittpunkt ist \(S(1|2)\). 4. Die Probe ergibt \(1+2=3\) und \(-3\cdot1+2=-1\). Der Punkt erfüllt beide Gleichungen.

\(\begin{cases}x+y=3\\-3x+y=-1\end{cases}\); \(S(1|2)\). Die Punktprobe erfüllt beide Gleichungen.

- Bestimme unabhängig von Leilas Angabe die Position des Kreuzungspunkts im Diagramm. - Welche Koordinate wird an der waagerechten Achse und welche an der senkrechten Achse abgelesen? - Vergleiche deine Ablesereihenfolge mit der Schreibweise \((x|y)\).

1. Im Diagramm schneiden sich die Geraden bei der senkrechten Gitterlinie \(x=4\) und der waagerechten Gitterlinie \(y=3\). 2. Leila hat die beiden Koordinaten vertauscht. 3. Der richtige Schnittpunkt ist \(S(4|3)\).

Leila hat \(x\)- und \(y\)-Koordinate vertauscht. Richtig ist \(S(4|3)\).

- Löse die zweite Gleichung zunächst nach \(y\) auf. - Am Schnittpunkt haben beide Funktionen denselben \(y\)-Wert. - Welche Aussage über zwei Geraden folgt aus verschiedenen Steigungen?

1. Aus der zweiten Gleichung folgt \(2y=2-2x\) und damit \(y=-x+1\). 2. Am Schnittpunkt gilt \(x-3=-x+1\). Also \(2x=4\) und \(x=2\). 3. Einsetzen ergibt \(y=-1\), also \(S(2|-1)\). 4. Die Steigungen \(1\) und \(-1\) sind verschieden. Deshalb sind die Geraden nicht parallel und besitzen genau einen Schnittpunkt.

a) \(y=-x+1\) b) \(S(2|-1)\) c) Die Steigungen \(1\) und \(-1\) sind verschieden; daher gibt es genau einen Schnittpunkt.

- Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. - Wann sind zwei Geraden mit gleicher Steigung trotzdem verschieden? - Für b) kannst du die beiden Funktionsterme direkt gleichsetzen.

1. Für eine parallele, verschiedene Gerade muss die Steigung ebenfalls \(\frac{1}{2}\), der Achsenabschnitt aber verschieden von \(1\) sein. Zum Beispiel ist \(h:y=\frac{1}{2}x-2\) möglich. 2. Gleiche Steigungen und verschiedene Achsenabschnitte bedeuten: kein Schnittpunkt. 3. Für b) gilt am Schnittpunkt \(\frac{1}{2}x+1=-x+4\). 4. Daraus folgt \(\frac{3}{2}x=3\), also \(x=2\) und \(y=2\). Somit ist \(S(2|2)\).

a) Zum Beispiel \(h:y=\frac{1}{2}x-2\); kein Schnittpunkt wegen gleicher Steigung und verschiedener Achsenabschnitte. b) \(S(2|2)\)

- Stelle beide Gleichungen zuerst nach \(y\) um. - Am Schnittpunkt müssen die beiden Terme für \(y\) gleich sein. - Prüfe den gefundenen Punkt in einer der Geradengleichungen.

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=-2x+4\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(-2y=-3-x\), also \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). 3. Gleichsetzen ergibt \(-2x+4=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). 4. Daraus folgt \(x=1\) und anschließend \(y=2\). Der Schnittpunkt ist \(S(1|2)\).

\(S(1|2)\)

- Lies bei jeder beschrifteten Geraden Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt ab. - Der Schnittpunkt zweier Geraden entspricht der gemeinsamen Lösung. - Was bedeutet es für \(L\), wenn zwei verschiedene Geraden parallel sind?

1. In Abbildung a) hat \(g_1\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(-3\) und die Steigung \(2\). Die Gerade \(g_2\) verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung \(-1\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}\). Die Geraden schneiden sich in \(S(1|-1)\), also ist \(L=\{(1|-1)\}\). 2. In Abbildung b) lautet das LGS \(\begin{cases}y=-0{,}5x+2\\y=-0{,}5x-1\end{cases}\). Beide Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel, daher ist \(L=\emptyset\).

a) \(\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}\); \(L=\{(1|-1)\}\) b) \(\begin{cases}y=-0{,}5x+2\\y=-0{,}5x-1\end{cases}\); \(L=\emptyset\)

- Nutze für jede Gerade zwei gut ablesbare Punkte aus der Abbildung. - Bestimme zuerst \(y\)-Achsenabschnitt und Steigung jeder Geraden. - Für den exakten Schnittpunkt müssen die beiden Funktionsterme denselben Wert haben.

1. Aus dem Diagramm liest man näherungsweise \(S\approx(1{,}6|1{,}4)\) ab. Der Schnittpunkt liegt nicht auf einem Gitterpunkt, daher ist die Ablesung nur näherungsweise. 2. Für \(g_1\) lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0|3)\) und \((1|2)\) ablesen. Damit gilt \(g_1:y=-x+3\). 3. Für \(g_2\) lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0|-1)\) und \((2|2)\) ablesen. Die Steigung ist \(\frac{3}{2}\), also gilt \(g_2:y=1{,}5x-1\). 4. Am Schnittpunkt ist \(-x+3=1{,}5x-1\). Daraus folgt \(x=\frac{8}{5}=1{,}6\) und anschließend \(y=\frac{7}{5}=1{,}4\). 5. Das exakte Ergebnis \(S\left(\frac{8}{5}\middle|\frac{7}{5}\right)\) stimmt mit der grafischen Schätzung überein.

a) Näherungsweise \(S\approx(1{,}6|1{,}4)\); der Punkt liegt nicht auf einem Gitterpunkt. b) \(g_1:y=-x+3\), \(g_2:y=1{,}5x-1\); exakt \(S\left(\frac{8}{5}\middle|\frac{7}{5}\right)\). c) Die Ablesung stimmt mit dem exakten Ergebnis überein.

- Nutze den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse, um den \(y\)-Achsenabschnitt direkt zu finden. - Ein Steigungsdreieck hilft dir, den Faktor vor dem \(x\) zu bestimmen. - Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, musst du ihre Funktionsterme gleichsetzen.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\) (blau): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\), also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1\). Mit einem weiteren Punkt wie \((1 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1\). Somit lautet die Gleichung \(f(x) = x + 1\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g\) (rot): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(5\), also ist \(c = 5\). Mit dem Punkt \((2 \mid 1)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{1 - 5}{2 - 0} = -2\). Somit lautet die Gleichung \(g(x) = -2x + 5\). 3. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Schnittpunktbestimmung: \(x + 1 = -2x + 5\). 4. Umformen der Gleichung nach \(x\): \(3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). 5. Einsetzen des \(x\)-Werts in eine der Funktionen zur Berechnung des \(y\)-Werts: \(y = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3} \approx 2{,}33\). Der exakte Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} \mid \frac{7}{3})\).

a) \(f(x) = x + 1\) und \(g(x) = -2x + 5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} \mid \frac{7}{3})\) bzw. gerundet \(S(1{,}33 \mid 2{,}33)\).

- Ein Punkt, in dem sich zwei Geraden schneiden, stellt eine gemeinsame Lösung dar. - Überlege dir, was „parallel“ für die Existenz gemeinsamer Punkte bedeutet. - Wenn zwei Geraden exakt aufeinanderliegen, welche Punkte gehören dann zu beiden? - Die Lösungsmenge enthält alle Paare \((x \mid y)\), die beide Bedingungen des Systems erfüllen.

1. In Abbildung (1) schneiden sich die Geraden im Punkt \((2 \mid -1)\). Dieser Punkt erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig. Die Lösungsmenge ist somit \(L = \{(2 \mid -1)\}\). 2. In Abbildung (2) verlaufen die Geraden parallel zueinander. Da sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, gibt es kein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 3. In Abbildung (3) sind die Geraden identisch. Jeder Punkt, der auf der Geraden liegt, ist eine Lösung des Systems. Es gibt daher unendlich viele Lösungen. Da die Geradengleichung \(y = 1{,}5x + 1\) gegeben ist, lautet die Lösungsmenge \(L = \{(x \mid y) \mid y = 1{,}5x + 1\}\).

a) \(L = \{(2 \mid -1)\}\) b) Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt, daher gibt es keine gemeinsame Lösung. c) Es gibt unendlich viele Lösungen. Lösungsmenge: \(L = \{(x \mid y) \mid y = 1{,}5x + 1\}\).

- Forme beide Gleichungen in die Form \(y=mx+b\) um. - Vergleiche Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt mit den beschrifteten Geraden in beiden Diagrammen. - Wie kannst du den abgelesenen Schnittpunkt rechnerisch prüfen?

1. Umformen ergibt \(y=-x+4\) und \(y=x-2\). 2. In Diagramm a) beschreibt \(g\) die Gerade \(y=-x+4\), und \(h\) beschreibt \(y=x-2\). In Diagramm b) hat \(h\) dagegen den falschen \(y\)-Achsenabschnitt \(2\). 3. Im richtigen Diagramm a) schneiden sich die Geraden in \(S(3|1)\). 4. Die Probe liefert \(3+1=4\) und \(3-1=2\). Der abgelesene Punkt erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

Diagramm a) ist korrekt. Der Schnittpunkt ist \(S(3|1)\).

- Am Schnittpunkt sind die beiden Funktionsterme gleich. - Löse die entstehende Gleichung exakt, bevor du rundest. - Vergleiche anschließend die exakten Brüche mit den Dezimalwerten.

1. Gleichsetzen ergibt \(\frac{2}{3}x+1=-\frac{1}{2}x+4\). 2. Daraus folgt \(\frac{7}{6}x=3\), also \(x=\frac{18}{7}\). 3. Einsetzen liefert \(y=\frac{19}{7}\). Der exakte Schnittpunkt ist \(S\left(\frac{18}{7}\middle|\frac{19}{7}\right)\). 4. Gerundet ist das \(S(2{,}6|2{,}7)\). Durch das Runden werden die exakten Bruchwerte verändert.

a) \(S\left(\frac{18}{7}\middle|\frac{19}{7}\right)\) b) \(S(2{,}6|2{,}7)\) c) Die Dezimalwerte sind gerundet und daher nur Näherungen der exakten Bruchkoordinaten.

- Der Schnittpunkt zeigt eine Mietdauer, zu der beide Kosten gleich sind. - Lies beide Koordinaten des Schnittpunkts mit ihren Bedeutungen an den Achsen ab. - Für den Preisvergleich genügt es zu prüfen, welche Gerade links vom Schnittpunkt tiefer liegt.

1. Die Geraden schneiden sich bei \(S(2|14)\). 2. Daher kosten beide Verleihe bei einer Mietdauer von \(2\,\text{h}\) jeweils \(14\,\text{€}\). 3. Links vom Schnittpunkt liegt die Gerade \(h\) unter \(g\). Für weniger als \(2\,\text{h}\) ist daher Verleih Süd günstiger.

a) bei \(2\,\text{h}\) b) Bei \(2\,\text{h}\) kosten beide Verleihe \(14\,\text{€}\). c) Für weniger als \(2\,\text{h}\) ist Verleih Süd günstiger.

- Bestimme aus zwei gut ablesbaren Punkten Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt. - Wie kannst du aus einer Geradengleichung eine äquivalente zweite Gleichung erzeugen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben?

1. Die sichtbare Gerade verläuft durch \((0|-1)\) und \((2|2)\). Daher ist die Steigung \(m=\frac{2-(-1)}{2-0}=1{,}5\), und der \(y\)-Achsenabschnitt beträgt \(-1\). 2. Eine passende erste Gleichung ist \(y=1{,}5x-1\). Eine äquivalente zweite Gleichung ist beispielsweise \(3x-2y=2\). 3. Ein passendes LGS ist damit \(\begin{cases}y=1{,}5x-1\\3x-2y=2\end{cases}\). 4. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Deshalb besteht die Lösungsmenge aus allen Punkten dieser Geraden: \(L=\{(x|y)\mid y=1{,}5x-1\}\).

Zum Beispiel: \(\begin{cases}y=1{,}5x-1\\3x-2y=2\end{cases}\); \(L=\{(x|y)\mid y=1{,}5x-1\}\).

- Jede von dir gewählte Gerade muss durch den vorgegebenen Punkt gehen. - Prüfe deine Gleichungen, indem du die beiden Koordinaten von \(S\) einsetzt. - Für eine eindeutige Lösung dürfen die Geraden eines Systems weder parallel noch identisch sein. - Achte bei System B zusätzlich auf die geforderten Richtungen und ganzzahligen Koeffizienten.

1. Ein mögliches System A ist \(y=-1\) und \(x+y=1\). Beide Geraden enthalten \(S(2|-1)\), und ihre Steigungen sind verschieden. 2. Ein mögliches System B ist \(x+y=1\) und \(2x-y=5\). Einsetzen von \((2|-1)\) erfüllt beide Gleichungen. 3. Die Geraden aus System B haben die Steigungen \(-1\) und \(2\). Sie sind daher nicht parallel und schneiden sich genau einmal, nämlich in \(S\).

Zum Beispiel: System A: \(y=-1\), \(x+y=1\) System B: \(x+y=1\), \(2x-y=5\) In beiden Systemen erfüllt \(S(2|-1)\) beide Gleichungen; wegen verschiedener Steigungen ist der Schnittpunkt jeweils eindeutig. Andere korrekte Konstruktionen sind möglich.