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- Wie kannst du eine Gerade zeichnen, wenn du die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse kennst? - Was bedeutet der Schnittpunkt zweier Geraden für das Gleichungssystem? - Wie prüfst du, ob ein Punkt tatsächlich auf einer Geraden liegt?

1. Zeichnen der Geraden zu (I) mit Steigung \(m_1 = 1{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(b_1 = -2\). 2. Zeichnen der Geraden zu (II) mit Steigung \(m_2 = -0{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(b_2 = 2\). 3. Ablesen des Schnittpunkts im Koordinatensystem: \(S(2|1)\). 4. Überprüfung durch Einsetzen in (I): \(1 = 1{,}5 \cdot 2 - 2 \Rightarrow 1 = 3 - 2 = 1\) (wahr). 5. Überprüfung durch Einsetzen in (II): \(1 = -0{,}5 \cdot 2 + 2 \Rightarrow 1 = -1 + 2 = 1\) (wahr).

Die zeichnerische Lösung ergibt den Schnittpunkt \(S(2|1)\). Die Probe durch Einsetzen bestätigt die Richtigkeit der Lösung.

- Stelle beide Gleichungen zuerst so um, dass das \(y\) allein auf einer Seite steht. - Erinnere dich daran, wie man den \(y\)-Achsenabschnitt und die Steigung nutzt, um eine Gerade zu zeichnen. - Wo genau treffen sich die beiden Linien? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Werte für \(x\) und \(y\) in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Umformen der Gleichungen in die Steigungsform \(y = mx + b\): (I) \(y = -x + 5\) (II) \(y = 2x - 1\) 2. Einzeichnen der Geraden: Gerade (I) verläuft durch den \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) mit der Steigung \(-1\). Gerade (II) verläuft durch den \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\) mit der Steigung \(2\). 3. Ablesen des Schnittpunkts: Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(2|3)\). 4. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|3)\}\).

Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|3)\}\).

- Kannst du die Gleichungen so umstellen, dass sie die Form \(y = mx + b\) haben? - Was stellt der Punkt, an dem sich zwei Geraden kreuzen, für das Gleichungssystem dar? - Wie kannst du mit den Koordinaten des Schnittpunkts sicherstellen, dass deine Zeichnung exakt ist? - Welche Punkte auf den Achsen lassen sich besonders leicht bestimmen, um eine Gerade zu zeichnen?

1. Umformen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = -x + 4\). 2. Einzeichnen der ersten Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und der Steigung \(0{,}5\) (z. B. durch die Punkte \((0|1)\) und \((2|2)\)). 3. Einzeichnen der zweiten Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(4\) und der Steigung \(-1\) (z. B. durch die Punkte \((0|4)\) und \((4|0)\)). 4. Ablesen des Schnittpunkts der beiden Geraden im Koordinatensystem: \(S(2|2)\). 5. Rechnerische Überprüfung durch Einsetzen von \(x = 2\) und \(y = 2\) in beide Ausgangsgleichungen: \(2 = 0{,}5 \cdot 2 + 1\) ergibt \(2 = 2\) (wahr) und \(2 + 2 = 4\) ergibt \(4 = 4\) (wahr).

Der Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

- Lies den \(y\)-Achsenabschnitt jeder Geraden ab. - Nutze zwei gut ablesbare Punkte auf jeder Geraden, um die Steigung zu bestimmen. - Der Schnittpunkt der beiden Geraden entspricht der gemeinsamen Lösung.

1. Für \(g\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\). Mit den Punkten \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m = 1\). Daher gilt \(y = x+1\). 2. Für \(h\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 4\). Mit den Punkten \((0 \mid 4)\) und \((2 \mid 3)\) ergibt sich die Steigung \(m = -0{,}5\). Daher gilt \(y = -0{,}5x+4\). 3. Die Geraden schneiden sich in \(S(2 \mid 3)\). Somit ist \(L = \{(2 \mid 3)\}\).

I: \(y = x+1\); II: \(y = -0{,}5x+4\); \(L = \{(2 \mid 3)\}\)

- Vergleiche die Steigungen der beiden Geraden. - Parallele, verschiedene Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt.

1. Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und die Steigung \(0{,}5\). Daher gilt \(y = 0{,}5x+1\). 2. Gerade \(h\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und die Steigung \(0{,}5\). Daher gilt \(y = 0{,}5x-2\). 3. Beide Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Daher ist \(L = \emptyset\).

I: \(y = 0{,}5x+1\); II: \(y = 0{,}5x-2\); \(L = \emptyset\)

- Was bedeutet es grafisch, wenn ein Punkt eine Gleichung löst? - Wenn du mehrere Gleichungen hast, welche Bedingung muss ein Punkt erfüllen, um die Lösung des ganzen Systems zu sein? - Schau dir die Schnittpunkte der Geraden genau an. Gibt es einen Punkt, der auf allen drei Linien liegt?

1. Eine Lösung des gesamten Systems muss alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen. 2. Grafisch entspricht dies dem Punkt, in dem sich alle drei Geraden schneiden. 3. Aus der Grafik lässt sich ablesen, dass sich die rote Gerade \((I)\), die blaue Gerade \((II)\) und die grüne Gerade \((III)\) in genau einem gemeinsamen Punkt treffen. 4. Die Koordinaten dieses Schnittpunktes sind \(x = 2\) und \(y = 2\). 5. Somit ist das Wertepaar \((2 \mid 2)\) die einzige Lösung des Systems.

\((2 \mid 2)\)

- Lies für jede Gerade zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung ab. - Bringe die Geradengleichungen anschließend in die verlangte Form. - Eine Lösung muss beide Gleichungen erfüllen.

1. Gerade (I) verläuft durch \((0 \mid 3)\) und \((1 \mid 2)\). Ihre Steigung ist \(-1\), also gilt \(y = -x + 3\) beziehungsweise \(x + y = 3\). 2. Gerade (II) verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid 2)\). Ihre Steigung ist \(3\), also gilt \(y = 3x - 1\) beziehungsweise \(-3x + y = -1\). 3. Der Schnittpunkt wird als \(S(1 \mid 2)\) abgelesen. 4. Probe: \(1 + 2 = 3\) und \(-3 \cdot 1 + 2 = -1\).

Gleichungssystem: (I) \(x + y = 3\), (II) \(-3x + y = -1\). Schnittpunkt: \(S(1 \mid 2)\). Probe: \(1 + 2 = 3\) und \(-3 \cdot 1 + 2 = -1\).

- Wie stellst du eine Gleichung so um, dass das y alleine auf einer Seite steht? - Was verrät dir die Steigung über den Verlauf einer Geraden im Vergleich zu einer anderen? - Wann haben zwei Geraden in einer Ebene keinen oder unendlich viele Schnittpunkte?

1. Umformung von (II): \(2y = -2x + 2 \Rightarrow y = -x + 1\). 2. Zeichnen der Geraden \(y = x - 3\) und \(y = -x + 1\). 3. Ablesen des Schnittpunkts: \(x = 2\) und \(y = -1\), also \(S(2|-1)\). 4. Analyse der Steigungen: Die erste Gerade hat die Steigung \(m_1 = 1\), die zweite Gerade hat die Steigung \(m_2 = -1\). Da die Steigungen unterschiedlich sind (\(m_1 \neq m_2\)), sind die Geraden nicht parallel und müssen genau einen Schnittpunkt haben.

a) Die umgeformte Gleichung lautet \(y = -x + 1\). b) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(2|-1)\). c) Da die Steigungen \(m_1 = 1\) und \(m_2 = -1\) verschieden sind, schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt.

- Versuche zuerst, jede Gleichung so umzustellen, dass das \(y\) alleine auf einer Seite steht. - Achte beim Umformen der zweiten Gleichung besonders auf das Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Wähle für die Zeichnung geeignete Punkte, zum Beispiel indem du einfache Werte für \(x\) einsetzt und \(y\) berechnest. - Wo genau schneiden sich die beiden Linien? Lies die Koordinaten vorsichtig ab.

1. Umformung der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = -2x + 4\). 2. Umformung der zweiten Gleichung nach \(y\): \(x - 2y = -3 \Leftrightarrow -2y = -x - 3 \Leftrightarrow y = 0{,}5x + 1{,}5\). 3. Zeichnen der Geraden \(y = -2x + 4\) (geht z. B. durch \((0|4)\) und \((2|0)\)). 4. Zeichnen der Geraden \(y = 0{,}5x + 1{,}5\) (geht z. B. durch \((1|2)\) und \((3|3)\)). 5. Ermittlung des Schnittpunkts der Geraden durch Ablesen der Koordinaten: \(S(1|2)\).

\(L = \{(1|2)\}\) (Schnittpunkt \(S(1|2)\))

- Was fällt dir an den Steigungen der beiden Geraden auf? - Können zwei Geraden in einem Koordinatensystem auch so liegen, dass sie sich niemals schneiden? - Wie viele gemeinsame Punkte müssen Geraden haben, damit das System eine Lösung besitzt? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn es keinen Schnittpunkt gibt?

1. Zeichnen der Geraden \(g_1\) mit der Steigung \(m_1 = 2\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b_1 = -1\). 2. Zeichnen der Geraden \(g_2\) mit der Steigung \(m_2 = 2\) und dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b_2 = 2\). 3. Feststellung der geometrischen Lage: Beide Geraden besitzen dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte, woraus folgt, dass sie parallel zueinander verlaufen. 4. Da es keinen gemeinsamen Schnittpunkt gibt, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \emptyset\).

a) Die Zeichnung zeigt zwei parallele Geraden mit der Steigung \(2\) und den \(y\)-Achsenabschnitten \(-1\) beziehungsweise \(2\). b) \(L=\emptyset\), da die Geraden keinen Schnittpunkt besitzen.

- Lies Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt jeder Geraden ab. - Der Schnittpunkt zweier Geraden entspricht der Lösung des Gleichungssystems. - Parallele, verschiedene Geraden haben keine gemeinsame Lösung. - Überprüfe die Geradengleichungen mit gut ablesbaren Punkten.

1. In Abbildung a) hat die rote Gerade den \(y\)-Achsenabschnitt \(-3\) und die Steigung \(2\), also lautet I: \(y = 2x-3\). Die blaue Gerade verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung \(-1\), also lautet II: \(y = -x\). Die Geraden schneiden sich in \(S(1 \mid -1)\), daher ist \(L = \{(1 \mid -1)\}\). 2. In Abbildung b) hat die rote Gerade die Gleichung I: \(y = -0{,}5x+2\), die blaue Gerade die Gleichung II: \(y = -0{,}5x-1\). Beide Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel, daher ist \(L = \emptyset\).

a) I: \(y = 2x-3\); II: \(y = -x\); \(L = \{(1 \mid -1)\}\) b) I: \(y = -0{,}5x+2\); II: \(y = -0{,}5x-1\); \(L = \emptyset\)

- Der Schnittpunkt zweier Geraden ist die Lösung des zugehörigen Gleichungssystems. - Achte beim Ablesen auf die Achseneinteilung und darauf, ob der Schnittpunkt auf einem Gitterpunkt liegt. - Du kannst beide Gleichungen zunächst nach \(y\) auflösen und anschließend gleichsetzen. - Setze die berechneten Koordinaten zur Kontrolle in beide Gleichungen ein.

1. Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(S \approx (1{,}6 \mid 1{,}4)\) ab. Da der Schnittpunkt nicht auf einem Gitterpunkt liegt, ist die Ablesung nur näherungsweise möglich. 2. Aus I folgt \(y = -x+3\), aus II folgt \(y = 1{,}5x-1\). Gleichsetzen ergibt \(-x+3 = 1{,}5x-1 \Rightarrow 4 = 2{,}5x \Rightarrow x = 1{,}6\). Einsetzen liefert \(y = -1{,}6+3 = 1{,}4\). Somit ist \(S(1{,}6 \mid 1{,}4)\). 3. Das rechnerische Ergebnis stimmt mit der grafischen Schätzung überein und liefert die exakten Koordinaten.

a) Näherungsweise \(S \approx (1{,}6 \mid 1{,}4)\); ein exaktes Ablesen ist schwierig, weil der Schnittpunkt nicht auf einem Gitterpunkt liegt. b) \(-x+3 = 1{,}5x-1 \Rightarrow x = 1{,}6\) und \(y = 1{,}4\); somit \(S(1{,}6 \mid 1{,}4)\). c) Das rechnerische Ergebnis bestätigt die grafische Schätzung.

- Nutze den Schnittpunkt mit der vertikalen Achse, um den \(y\)-Achsenabschnitt direkt zu finden. - Ein Steigungsdreieck hilft dir, den Faktor vor dem \(x\) zu bestimmen. - Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, musst du ihre Funktionsterme gleichsetzen.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\) (blau): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\), also ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1\). Mit einem weiteren Punkt wie \((1 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1\). Somit lautet die Gleichung \(f(x) = x + 1\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g\) (rot): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(5\), also ist \(c = 5\). Mit dem Punkt \((2 \mid 1)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{1 - 5}{2 - 0} = -2\). Somit lautet die Gleichung \(g(x) = -2x + 5\). 3. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Schnittpunktbestimmung: \(x + 1 = -2x + 5\). 4. Umformen der Gleichung nach \(x\): \(3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). 5. Einsetzen des \(x\)-Werts in eine der Funktionen zur Berechnung des \(y\)-Werts: \(y = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3} \approx 2{,}33\). Der exakte Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} \mid \frac{7}{3})\).

a) \(f(x) = x + 1\) und \(g(x) = -2x + 5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} \mid \frac{7}{3})\) bzw. gerundet \(S(1{,}33 \mid 2{,}33)\).

- Ein Punkt, in dem sich zwei Linien kreuzen, stellt eine gemeinsame Lösung dar. - Überlege dir, was „parallel“ für die Existenz gemeinsamer Punkte bedeutet. - Wenn zwei Linien exakt gleich sind, welche Punkte gehören dann zu beiden? - Die Lösungsmenge enthält alle Paare \((x \mid y)\), die beide Bedingungen des Systems erfüllen.

1. In Abbildung (1) schneiden sich die Geraden im Punkt \((2 \mid -1)\). Dieser Punkt erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig. Die Lösungsmenge ist somit \(L = \{(2 \mid -1)\}\). 2. In Abbildung (2) verlaufen die Geraden parallel zueinander. Da sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, gibt es kein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 3. In Abbildung (3) sind die Geraden identisch. Jeder Punkt, der auf der Geraden liegt, ist eine Lösung des Systems. Es gibt daher unendlich viele Lösungen. Da die Geradengleichung \(y = 1{,}5x + 1\) gegeben ist, lautet die Lösungsmenge \(L = \{(x \mid y) \mid y = 1{,}5x + 1\}\).

a) \(L = \{(2 \mid -1)\}\) b) Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt, daher gibt es keine gemeinsame Lösung. c) Es gibt unendlich viele Lösungen. Lösungsmenge: \(L = \{(x \mid y) \mid y = 1{,}5x + 1\}\).

- Forme die Gleichungen nach \(y\) um, um die Steigung und den y-Achsenabschnitt besser zu erkennen. - Suche in den Diagrammen nach den Punkten, an denen die Geraden die Achsen kreuzen. - Der Schnittpunkt muss eine Lösung für beide Gleichungen gleichzeitig sein. - Setze die Koordinaten des abgelesenen Schnittpunkts in beide Gleichungen ein, um dein Ergebnis zu prüfen.

1. Umformung der Gleichungen in die Normalform \(y = mx + b\): (I) \(y = -x + 4\) mit Steigung \(-1\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(4\). (II) \(y = x - 2\) mit Steigung \(1\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\). 2. Vergleich mit den Diagrammen: In Diagramm a) verläuft die blaue Gerade durch \((0 \mid 4)\) und \((4 \mid 0)\), was Gleichung (I) entspricht. Die rote Gerade verläuft durch \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 0)\), was Gleichung (II) entspricht. In Diagramm b) hat die rote Gerade einen positiven \(y\)-Achsenabschnitt bei \(+2\), was nicht zu Gleichung (II) passt. 3. Bestimmung des Schnittpunkts aus Diagramm a): Die beiden Geraden kreuzen sich im Punkt \(S(3 \mid 1)\). 4. Überprüfung durch Einsetzen in die Originalgleichungen: \(3 + 1 = 4\) und \(3 - 1 = 2\). Die Lösung ist korrekt.

Das Diagramm a) ist die korrekte Darstellung. Der Schnittpunkt der beiden Geraden hat die Koordinaten \(S(3 \mid 1)\).

- Was muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit sie parallel sind? - Wenn zwei Geraden parallel sind und nicht aufeinanderliegen, wie viele gemeinsame Punkte haben sie dann? - Versuche für den zweiten Teil, beide Geraden sorgfältig in ein Koordinatensystem einzutragen.

1. Für Parallelität muss \(h\) dieselbe Steigung wie \(g\) haben (\(m = 0{,}5\)). Damit es keinen Schnittpunkt gibt, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) verschieden von \(1\) sein, z. B. \(y = 0{,}5x - 2\). 2. Da die Geraden parallel und nicht identisch sind, hat das System 0 Lösungen. 3. Für Teil b) Zeichnen der Geraden \(y = 0{,}5x + 1\) und \(y = -x + 4\). 4. Der Schnittpunkt liegt bei \(x = 2\). Einsetzen ergibt \(y = 0{,}5 \cdot 2 + 1 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(y = 0{,}5x - 2\). Das System hat dann keine Lösung. b) Die zeichnerische Lösung für das neue System ergibt den Schnittpunkt \(S(2|2)\).

- Gleichungen identischer Geraden sind zueinander äquivalent. - Identische Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte. - Du kannst eine zweite Gleichung durch äquivalentes Umformen der ersten erzeugen.

1. Die sichtbare Gerade verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((2 \mid 2)\). Daher ist \(m = \frac{2-(-1)}{2-0} = 1{,}5\), und der \(y\)-Achsenabschnitt beträgt \(-1\). 2. Eine Gleichung lautet \(y = 1{,}5x-1\). 3. Eine äquivalente zweite Gleichung ist beispielsweise \(3x-2y = 2\). 4. Da beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, gibt es unendlich viele Lösungen. Parametrisiert gilt \(L = \{(t \mid 1{,}5t-1) \mid t \in \mathbb{R}\}\).

I: \(y = 1{,}5x-1\); II: \(3x-2y = 2\); \(L = \{(t \mid 1{,}5t-1) \mid t \in \mathbb{R}\}\)