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- Was fällt dir an der ersten Gleichung auf, wenn du an das Einsetzungsverfahren denkst? - Achte beim Einsetzen des Terms in die zweite Gleichung darauf, Klammern zu setzen. - Wie kannst du den gefundenen Wert für die erste Variable nutzen, um die zweite zu bestimmen?

1. Da die erste Gleichung bereits nach \(y\) aufgelöst ist, wird der Term \(4x - 3\) für \(y\) in die zweite Gleichung eingesetzt: \(2x + 3 \cdot (4x - 3) = 19\). 2. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(2x + 12x - 9 = 19 \implies 14x - 9 = 19\). 3. Nach \(x\) auflösen: \(14x = 28 \implies x = 2\). 4. Den Wert für \(x\) in die erste Gleichung einsetzen, um \(y\) zu berechnen: \(y = 4 \cdot 2 - 3 = 5\). 5. Die Lösungsmenge angeben: \(L = \{(2; 5)\}\).

\(L = \{(2; 5)\}\)

- Welche Variable lässt sich am einfachsten isolieren, um sie in die andere Gleichung einzusetzen? - Achte beim Einsetzen besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Was musst du beim Quadrieren einer negativen Zahl beachten?

1. Umstellen von Gleichung (I) nach \(y\): \(y = 10 - 4x\). 2. Einsetzen in Gleichung (II): \(x - 2(10 - 4x) = 7\). 3. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(x - 20 + 8x = 7 \Rightarrow 9x - 20 = 7 \Rightarrow 9x = 27\). 4. Berechnen von \(x\): \(x = 3\). 5. Berechnen von \(y\): \(y = 10 - 4 \cdot 3 = 10 - 12 = -2\). Die Lösung ist \((3|-2)\). 6. Auswerten des Terms: \(T = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13\).

Die Lösung des Gleichungssystems ist \(x = 3\) und \(y = -2\). Der Wert des Terms \(T\) beträgt \(13\).

- Gibt es eine Variable, die man besonders leicht isolieren kann? - Hast du versucht, eine Variable durch die andere auszudrücken? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Auflösen der Gleichung (II) nach \(y\): \(y = 2x\). 2. Einsetzen des Terms für \(y\) in Gleichung (I): \(x + 3(2x) = 7\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(7x = 7\). 4. Bestimmen von \(x\): \(x = 1\). 5. Einsetzen von \(x = 1\) in den Term für \(y\): \(y = 2 \cdot 1 = 2\). 6. Die Lösung des Systems ist \(x = 1\) und \(y = 2\).

\(x = 1, y = 2\)

- Kannst du eine der Variablen durch einen Ausdruck der anderen Variablen ersetzen? - Was passiert, wenn du den Ausdruck für eine Variable in die andere Gleichung einsetzt? - Hast du beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen geachtet? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Den Term für \(y\) aus Gleichung (I) in Gleichung (II) einsetzen: \(3x + 2 \cdot (4x - 5) = 23\). 2. Die Klammer auflösen: \(3x + 8x - 10 = 23\). 3. Gleichartige Terme zusammenfassen: \(11x - 10 = 23\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(11x = 33 \Rightarrow x = 3\). 5. Den Wert für \(x\) in Gleichung (I) einsetzen, um \(y\) zu berechnen: \(y = 4 \cdot 3 - 5 = 7\).

Die Lösung ist \(x = 3\) und \(y = 7\).

- Schau dir die erste Gleichung an: Eine Variable steht bereits allein auf einer Seite. - Wie kannst du diesen Ausdruck in die zweite Gleichung einbauen? - Ersetze die entsprechende Variable in der zweiten Gleichung durch den Term aus der ersten Gleichung. - Vergiss nicht, beim Einsetzen Klammern zu setzen, wenn der Term aus mehreren Teilen besteht.

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus Gleichung (I) in Gleichung (II): \(3x + 2 \cdot (2x - 4) = 27\) 2. Auflösen der Klammer: \(3x + 4x - 8 = 27\) 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(7x - 8 = 27\) 4. Addition von \(8\) auf beiden Seiten: \(7x = 35\) 5. Division durch \(7\): \(x = 5\) 6. Einsetzen von \(x = 5\) in Gleichung (I): \(y = 2 \cdot 5 - 4 = 6\) 7. Ergebnis prüfen: Die Lösung ist das Zahlenpaar \((5|6)\).

Die Lösung ist \(x = 5\) und \(y = 6\), bzw. \(L = \{(5|6)\}\).

- Kannst du eine der Variablen durch einen Ausdruck der anderen Variablen ersetzen? - Was passiert, wenn du den Ausdruck für \(x\) in die zweite Gleichung einsetzt? - Vergiss beim Auflösen der Klammer nicht, jeden Term in der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Da Gleichung I bereits nach \(x\) aufgelöst ist, wird der Term \(3y + 2\) für \(x\) in Gleichung II eingesetzt: \(4 \cdot (3y + 2) - 5y = 29\). 2. Klammer auflösen: \(12y + 8 - 5y = 29\). 3. Gleichartige Terme zusammenfassen: \(7y + 8 = 29\). 4. Nach \(y\) auflösen: \(7y = 21 \implies y = 3\). 5. Den Wert für \(y\) in Gleichung I einsetzen, um \(x\) zu berechnen: \(x = 3 \cdot 3 + 2 = 11\). 6. Die Lösung ist das Zahlenpaar \((11|3)\).

\((11|3)\)

- Welche Variable ist in einer der Gleichungen bereits alleine auf einer Seite dargestellt? - Kannst du den Ausdruck dieser Variable in die andere Gleichung einsetzen? - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Minuszeichen vor dem Faktor. - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kannst du daraus den zweiten Wert bestimmen?

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung: \(5x - 2(2x + 1) = 1\) 2. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens: \(5x - 4x - 2 = 1\) 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme und Isolieren von \(x\): \(x - 2 = 1 \implies x = 3\) 4. Einsetzen des Wertes \(x = 3\) in die erste Gleichung zur Berechnung von \(y\): \(y = 2 \cdot 3 + 1 = 7\) 5. Das berechnete Lösungspaar ist \((3|7)\).

\((3|7)\)

- Überlege, welche Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. - Achte beim Einsetzen in die zweite Gleichung darauf, Klammern um den gesamten Term zu setzen. - Vergiss nicht, am Ende beide Variablen zu berechnen. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus Gleichung I in Gleichung II: \(3x - 4(0{,}5x + 2) = 2\) 2. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(3x - 2x - 8 = 2\) 3. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(x - 8 = 2\) 4. Isolieren von \(x\) durch Addition von \(8\): \(x = 10\) 5. Einsetzen des Wertes \(x = 10\) in Gleichung I: \(y = 0{,}5 \cdot 10 + 2\) 6. Berechnung des \(y\)-Werts: \(y = 5 + 2 = 7\) 7. Angabe des Lösungspaars: \((10|7)\)

Das Lösungspaar ist \((10|7)\).

- Welche der beiden Gleichungen lässt sich am einfachsten nach einer Variablen auflösen? - Achte beim Einsetzen in die zweite Gleichung darauf, Klammern um den eingesetzten Term zu setzen. - Wie kannst du dein Ergebnis überprüfen, indem du die Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt?

1. Erste Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x = 18 - 4y\) 2. Ausdruck für \(x\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(3 \cdot (18 - 4y) - 2y = -2\) 3. Gleichung nach \(y\) auflösen: \(54 - 12y - 2y = -2 \implies 54 - 14y = -2 \implies -14y = -56 \implies y = 4\) 4. Berechneten Wert für \(y\) in die nach \(x\) aufgelöste Gleichung einsetzen: \(x = 18 - 4 \cdot 4 = 2\) 5. Lösungsmenge angeben: \(L = \{(2|4)\}\)

\(L = \{(2|4)\}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht? - Was passiert, wenn du den Ausdruck für diese Variable in die andere Gleichung einsetzt? - Achte beim Einsetzen darauf, Klammern um den gesamten Ausdruck zu setzen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Gleichung II nach \(x\) auflösen: \(x = 2y - 7\). 2. Term für \(x\) in Gleichung I einsetzen: \(2 \cdot (2y - 7) + 3y = 7\). 3. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(4y - 14 + 3y = 7 \Rightarrow 7y - 14 = 7\). 4. Nach \(y\) auflösen: \(7y = 21 \Rightarrow y = 3\). 5. \(y = 3\) in die umgeformte Gleichung II einsetzen: \(x = 2 \cdot 3 - 7 = 6 - 7 = -1\). 6. Lösungsmenge angeben: \(L = \{(-1|3)\}\).

\(L = \{(-1|3)\}\)

- Schau dir die beiden Gleichungen an. Welche Variable lässt sich besonders leicht isolieren, ohne dass Brüche entstehen? - Wenn du einen Ausdruck für eine Variable gefunden hast, setze ihn in die *andere* Gleichung ein. - Vergiss nicht, beim Einsetzen Klammern um den gesamten Ausdruck zu setzen. - Nachdem du den Wert für die erste Variable gefunden hast, kannst du diesen nutzen, um die zweite Variable zu berechnen.

1. Umstellen der Gleichung I nach \(x\): \(x = 4y + 18\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(x\) in Gleichung II: \(3(4y + 18) + 2y = 12\). 3. Auflösen der Klammer: \(12y + 54 + 2y = 12\). 4. Zusammenfassen und nach \(y\) auflösen: \(14y + 54 = 12 \implies 14y = -42 \implies y = -3\). 5. Einsetzen von \(y = -3\) in die umgestellte Gleichung I: \(x = 4(-3) + 18 = -12 + 18 = 6\). 6. Das Ergebnis ist das Zahlenpaar \((6|-3)\).

\((6|-3)\)

- Welche Variable lässt sich am einfachsten alleine auf eine Seite der Gleichung bringen? - Behandle den Buchstaben \(p\) beim Rechnen wie eine ganz normale Zahl. - Vergiss beim Einsetzen nicht, Klammern um den Ausdruck zu setzen. - Hast du am Ende ein Wertepaar für \(x\) und \(y\) gefunden?

1. Die zweite Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 2x - 3p\). 2. Diesen Ausdruck in die erste Gleichung für \(y\) einsetzen: \(x + 2(2x - 3p) = 4p\). 3. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x + 4x - 6p = 4p \implies 5x = 10p \implies x = 2p\). 4. Den gefundenen Wert für \(x\) in die nach \(y\) aufgelöste Gleichung einsetzen: \(y = 2(2p) - 3p = 4p - 3p = p\).

\(x = 2p\) und \(y = p\)

- Überlege dir, welche Variable in welcher Gleichung am einfachsten zu isolieren ist. - Achte darauf, den gesamten Ausdruck in Klammern zu setzen, wenn du ihn in die andere Gleichung einsetzt. - Wenn du eine Variable berechnet hast, kannst du sie in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um die zweite Variable zu finden.

1. Die erste Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 3x - 5\). 2. Den Ausdruck für \(y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(2x + 3(3x - 5) = 29\). 3. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(2x + 9x - 15 = 29 \Rightarrow 11x = 44 \Rightarrow x = 4\). 4. Den Wert für \(x\) in die umgeformte erste Gleichung einsetzen, um \(y\) zu berechnen: \(y = 3 \cdot 4 - 5 = 7\). 5. Die Lösung des Systems ist \(x = 4\) und \(y = 7\).

\(x = 4\) und \(y = 7\)

- Stell dir vor, die Buchstaben \(p\) und \(q\) wären feste Zahlen. - Welches der gelernten Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten? - Achte beim Einsetzen eines Terms in eine andere Gleichung besonders darauf, Klammern zu setzen. - Versuche, eine Variable Schritt für Schritt allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x = p - 2y\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(x\) in die zweite Gleichung: \(2(p - 2y) + y = q\). 3. Vereinfachen der Gleichung durch Ausmultiplizieren: \(2p - 4y + y = q\), was zu \(2p - 3y = q\) führt. 4. Isolieren der Variablen \(y\): \(3y = 2p - q \implies y = \frac{2p - q}{3}\). 5. Einsetzen des Wertes für \(y\) in den Ausdruck für \(x\): \(x = p - 2 \cdot \frac{2p - q}{3} = \frac{3p - (4p - 2q)}{3} = \frac{2q - p}{3}\). 6. Die Lösung ist \((x|y) = \left(\frac{2q-p}{3}\middle|\frac{2p-q}{3}\right)\).

\(x = \frac{2q - p}{3}\) und \(y = \frac{2p - q}{3}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht? - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck für die Variable in die andere Gleichung einsetzt? - Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Hast du am Ende geprüft, ob deine Lösung in beide ursprünglichen Gleichungen passt?

1. Isolieren von \(y\) in der ersten Gleichung: \(y = 18 - 4x\) 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(y\) in die zweite Gleichung: \(3x - 2(18 - 4x) = 8\) 3. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme: \(3x - 36 + 8x = 8 \Rightarrow 11x - 36 = 8\) 4. Bestimmung von \(x\): \(11x = 44 \Rightarrow x = 4\) 5. Einsetzen von \(x = 4\) in die Gleichung für \(y\): \(y = 18 - 4 \cdot 4 = 2\) Das System hat die Lösung \(x = 4\) und \(y = 2\).

\(x = 4\) und \(y = 2\)

- Welches der bekannten Lösungsverfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) ist hier am einfachsten anzuwenden? - Was passiert, wenn du eine Variable in einer Gleichung durch den entsprechenden Ausdruck der anderen Gleichung ersetzt? - Hast du daran gedacht, beim Auflösen der Klammer das Vorzeichen vor dem Faktor zu berücksichtigen? - Wie kannst du mit deinem Ergebnis für die erste Variable die zweite Variable berechnen?

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus Gleichung \(h\) in Gleichung \(g\): \(3x - 2 \cdot (2x - 5) = 4\) 2. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichen: \(3x - 4x + 10 = 4\) 3. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(-x + 10 = 4\) 4. Subtraktion von \(10\) auf beiden Seiten: \(-x = -6\) 5. Division durch \(-1\): \(x = 6\) 6. Einsetzen von \(x = 6\) in Gleichung \(h\): \(y = 2 \cdot 6 - 5 = 7\) 7. Angabe des Schnittpunkts: \(S(6|7)\)

Der Schnittpunkt liegt bei \(S(6|7)\).

- Welche Variable steht „alleine“ da, also ohne eine Zahl davor? - Warum ist es vorteilhaft, eine Variable zu wählen, vor der keine Zahl steht? - Vergiss nicht, am Ende beide Variablenwerte in der Lösungsmenge anzugeben.

1. Begründung: In Gleichung (I) steht die Variable \(x\) ohne Koeffizienten (bzw. mit dem Koeffizienten 1). Sie lässt sich daher durch einfache Addition von \(2y\) isolieren, ohne dass Divisionen oder Brüche entstehen: \(x = 2y + 8\). 2. Einsetzen von \(x = 2y + 8\) in Gleichung (II): \(3 \cdot (2y + 8) + 4y = 4\). 3. Gleichung lösen: \(6y + 24 + 4y = 4 \implies 10y + 24 = 4 \implies 10y = -20 \implies y = -2\). 4. Wert für \(y\) in die umgeformte Gleichung (I) einsetzen: \(x = 2 \cdot (-2) + 8 = -4 + 8 = 4\). 5. Lösungsmenge: \(L = \{(4; -2)\}\).

a) In Gleichung (I) lässt sich \(x\) am einfachsten isolieren (\(x = 2y + 8\)), da kein Koeffizient ungleich 1 vor der Variable steht. b) \(L = \{(4; -2)\}\)

- Könnte es helfen, eine der Gleichungen nach einer Variablen mit dem Koeffizienten 1 umzustellen? - Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen besonders auf das Komma. - Wie gehst du vor, wenn du einen Ausdruck für eine Variable gefunden hast und diesen in die andere Gleichung einsetzt?

1. Auflösen von Gleichung (II) nach \(a\): \(a = 6{,}5 - 0{,}5b\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(a\) in Gleichung (I): \(0{,}4(6{,}5 - 0{,}5b) - 0{,}2b = 1\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(2{,}6 - 0{,}2b - 0{,}2b = 1\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(b\): \(2{,}6 - 0{,}4b = 1\). 5. Isolieren und Berechnen von \(b\): \(-0{,}4b = -1{,}6 \Rightarrow b = 4\). 6. Einsetzen von \(b = 4\) in die umgeformte Gleichung (II): \(a = 6{,}5 - 0{,}5 \cdot 4 = 4{,}5\). 7. Die Lösung ist \(a = 4{,}5\) und \(b = 4\).

\(a = 4{,}5, b = 4\)

- Welche Variable lässt sich in welcher Gleichung am einfachsten isolieren? - Achte darauf, den gesamten Ausdruck in Klammern zu setzen, wenn du ihn einsetzt. - Überlege dir, welchen Schritt du zuerst ausführst, um eine Variable „freizustellen“.

1. Gleichung (I) nach \(y\) umstellen: \(y = 3x - 7\). 2. Den Term für \(y\) in Gleichung (II) einsetzen: \(2x + 4 \cdot (3x - 7) = 28\). 3. Die Klammer auflösen: \(2x + 12x - 28 = 28\). 4. Zusammenfassen und nach \(x\) auflösen: \(14x - 28 = 28 \Rightarrow 14x = 56 \Rightarrow x = 4\). 5. Den Wert für \(x\) in die umgestellte Gleichung (I) einsetzen: \(y = 3 \cdot 4 - 7 = 5\).

Die Lösung ist \(x = 4\) und \(y = 5\).

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht? - Welche Variable in welcher Gleichung lässt sich am einfachsten isolieren, ohne dass Brüche entstehen? - Nachdem du den Wert für eine Variable gefunden hast, wie berechnest du den Wert der zweiten Variablen?

1. Umformen von Gleichung (I) nach \(x\): \(x = 4y - 18\) 2. Einsetzen des Terms für \(x\) in Gleichung (II): \(2 \cdot (4y - 18) + 5y = 16\) 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(8y - 36 + 5y = 16\) 4. Zusammenfassen der \(y\)-Terme: \(13y - 36 = 16\) 5. Addition von \(36\) auf beiden Seiten: \(13y = 52\) 6. Division durch \(13\): \(y = 4\) 7. Einsetzen von \(y = 4\) in die umgeformte Gleichung (I): \(x = 4 \cdot 4 - 18 = 16 - 18 = -2\)

Die Lösung lautet \(x = -2\) und \(y = 4\).

- Welche der beiden Gleichungen lässt sich besonders leicht nach einer Variablen umstellen? - Achte beim Einsetzen in die zweite Gleichung besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Wenn du eine Variable berechnet hast, wo kannst du sie am einfachsten einsetzen, um die zweite zu finden? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Gleichung I nach \(y\) umstellen: \(y = 7 - 2x\). 2. Den Term \(7 - 2x\) in Gleichung II für \(y\) einsetzen: \(3x - 2 \cdot (7 - 2x) = 21\). 3. Klammer auflösen (Vorsicht mit dem Minuszeichen): \(3x - 14 + 4x = 21\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Werte: \(7x - 14 = 21\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(7x = 35 \implies x = 5\). 6. Den Wert \(x = 5\) in die umgestellte Gleichung I einsetzen: \(y = 7 - 2 \cdot 5 = -3\). 7. Die Lösungsmenge angeben: \(L = \{(5|-3)\}\).

\(L = \{(5|-3)\}\)

- In welcher der beiden Gleichungen lässt sich eine Variable am einfachsten alleine auf eine Seite bringen? - Suche nach einer Variablen, vor der keine Zahl (bzw. nur die 1) steht. - Nachdem du eine Gleichung umgeformt hast, setze diesen Ausdruck in die Gleichung ein, die du noch nicht verändert hast. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\), da der Koeffizient von \(y\) eins ist: \(y = 10 - 3x\) 2. Einsetzen des Terms \(10 - 3x\) für \(y\) in die zweite Gleichung: \(2x + 3(10 - 3x) = 2\) 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(2x + 30 - 9x = 2\) 4. Zusammenfassen der Terme und Lösen nach \(x\): \(-7x + 30 = 2 \implies -7x = -28 \implies x = 4\) 5. Einsetzen von \(x = 4\) in die umgeformte Gleichung für \(y\): \(y = 10 - 3 \cdot 4 = -2\) 6. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(4|-2)\}\)

\(L = \{(4|-2)\}\)

- Suche nach einer Variablen, vor der keine Zahl (bzw. nur eine 1) steht, um das Umstellen zu erleichtern. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Auflösen der Klammern. - Wenn du eine Variable gefunden hast, setze sie in eine der Ausgangsgleichungen ein, um die zweite zu finden.

1. Umstellen von Gleichung II nach \(x\), da der Koeffizient von \(x\) hier \(1\) ist: \(x = 3y + 5\) 2. Einsetzen des Terms für \(x\) in Gleichung I: \(2(3y + 5) + 5y = -1\) 3. Auflösen der Klammer: \(6y + 10 + 5y = -1\) 4. Zusammenfassen der \(y\)-Glieder: \(11y + 10 = -1\) 5. Subtraktion von \(10\): \(11y = -11\) 6. Division durch \(11\): \(y = -1\) 7. Einsetzen von \(y = -1\) in die umgeformte Gleichung II: \(x = 3 \cdot (-1) + 5\) 8. Berechnung des \(x\)-Werts: \(x = -3 + 5 = 2\) 9. Angabe des Lösungspaars: \((2|-1)\)

Das Lösungspaar ist \((2|-1)\).

- Gibt es eine Variable, die sich besonders leicht isolieren lässt, ohne sofort mit Brüchen rechnen zu müssen? - Kannst du einen Term wie \(2y\) direkt in einen Term wie \(4y\) einsetzen? - Vergiss nicht, am Ende beide Variablen (\(x\) und \(y\)) zu bestimmen.

1. Eine Gleichung nach einer Variablen oder einem Vielfachen auflösen, z. B. Gleichung I nach \(2y\): \(2y = 5x - 19\) 2. Den Ausdruck in die zweite Gleichung einsetzen, wobei \(4y = 2 \cdot (2y)\) genutzt wird: \(3x + 2 \cdot (5x - 19) = 1\) 3. Die entstandene Gleichung nach \(x\) auflösen: \(3x + 10x - 38 = 1 \implies 13x = 39 \implies x = 3\) 4. Den Wert für \(x\) in den Ausdruck für \(2y\) einsetzen: \(2y = 5 \cdot 3 - 19 = -4 \implies y = -2\) 5. Lösung als Zahlenpaar angeben: \((3|-2)\)

\(L = \{(3|-2)\}\)

- Wenn kein Koeffizient \(1\) ist, musst du beim Auflösen nach einer Variablen mit Brüchen rechnen oder die gesamte Gleichung später multiplizieren. - Gibt es eine Variable, die sich besonders leicht isolieren lässt? - Wie kannst du Brüche in einer Gleichung entfernen, nachdem du eingesetzt hast? - Denk daran, das Vorzeichen zu beachten, wenn du Werte mit Minuszeichen einsetzt.

1. Gleichung I nach \(x\) auflösen: \(3x = 11 + 5y \Rightarrow x = \frac{11 + 5y}{3}\). 2. Ausdruck für \(x\) in Gleichung II einsetzen: \(4 \cdot \frac{11 + 5y}{3} + 3y = 5\). 3. Mit \(3\) multiplizieren, um den Nenner zu eliminieren: \(4 \cdot (11 + 5y) + 9y = 15\). 4. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(44 + 20y + 9y = 15 \Rightarrow 44 + 29y = 15\). 5. Nach \(y\) auflösen: \(29y = -29 \Rightarrow y = -1\). 6. \(y = -1\) in den Ausdruck für \(x\) einsetzen: \(x = \frac{11 + 5 \cdot (-1)}{3} = \frac{6}{3} = 2\). 7. Lösungsmenge angeben: \(L = \{(2|-1)\}\).

\(L = \{(2|-1)\}\)

- Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf. Entscheide dabei, ob du mit Brüchen oder Dezimalzahlen rechnen möchtest. - Setze den erhaltenen Term in die andere Gleichung ein und achte beim Ausmultiplizieren auf alle Vorzeichen. - Führe am Ende die Probe in beiden ursprünglichen Gleichungen durch.

1. Umstellen von Gleichung I nach \(y\): \(2y = 5 - 3x \implies y = 2{,}5 - 1{,}5x\). 2. Einsetzen in Gleichung II: \(5x + 3(2{,}5 - 1{,}5x) = 8\). 3. Ausmultiplizieren: \(5x + 7{,}5 - 4{,}5x = 8\). 4. Zusammenfassen: \(0{,}5x + 7{,}5 = 8 \implies 0{,}5x = 0{,}5 \implies x = 1\). 5. Einsetzen von \(x = 1\) in den Ausdruck für \(y\): \(y = 2{,}5 - 1{,}5 \cdot 1 = 1\). 6. Probe: I) \(3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 5\) (wahr); II) \(5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 8\) (wahr). 7. Die Lösung ist \((1|1)\).

\((1|1)\)

- Hier steht keine Variable direkt alleine. Du musst also zuerst eine Gleichung umformen. - Es ist oft hilfreich, durch Koeffizienten wie 2 oder 5 zu teilen, da dies zu einfachen Dezimalzahlen führt. - Prüfe dein Ergebnis am Ende, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen, zum Beispiel die zweite nach \(y\): \(-2y = 14 - 5x \Rightarrow y = 2{,}5x - 7\). 2. Diesen Ausdruck für \(y\) in die erste Gleichung einsetzen: \(4x + 3(2{,}5x - 7) = 2\). 3. Die Klammer auflösen und nach \(x\) umstellen: \(4x + 7{,}5x - 21 = 2 \Rightarrow 11{,}5x = 23\). 4. Den Wert für \(x\) berechnen: \(x = 2\). 5. Den Wert \(x = 2\) in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = 2{,}5 \cdot 2 - 7 = 5 - 7 = -2\). 6. Die Lösung des Systems ist \(x = 2\) und \(y = -2\).

\(L=\{(2|-2)\}\)

- Wie kannst du den Bruch in der ersten Gleichung eliminieren, um einfacher rechnen zu können? - Versuche, beide Gleichungen in die Form \( \dots a + \dots b = \dots \) zu bringen. - Welche Variable lässt sich am leichtesten isolieren? - Vergiss nicht, am Ende beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einzusetzen.

1. Erste Gleichung vereinfachen: \( \frac{1}{2}a + 2 = b + 1 \Rightarrow \frac{1}{2}a - b = -1 \). Durch Multiplikation mit \( 2 \) erhält man \( a - 2b = -2 \). 2. Zweite Gleichung vereinfachen: \( 3a - 3b = 2b + 10 + 1 \Rightarrow 3a - 5b = 11 \). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens: Aus der ersten Gleichung folgt \( a = 2b - 2 \). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \( 3(2b - 2) - 5b = 11 \). 5. Berechnung von \( b \): \( 6b - 6 - 5b = 11 \Rightarrow b = 17 \). 6. Berechnung von \( a \): \( a = 2 \cdot 17 - 2 = 32 \). Die Lösung ist \( a = 32 \) und \( b = 17 \).

\(a = 32\) und \(b = 17\)

- Kannst du die Gleichungen zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Was passiert, wenn du die Terme innerhalb der Klammern als eine Einheit (neue Variable) betrachtest? - Welches der bekannten Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Vereinfachen der Gleichungen durch Auflösen der Klammern und Zusammenfassen der Terme: I: \(2x + 2y + 3x - 3y = 14 \Rightarrow 5x - y = 14\) II: \(5x + 5y - 2x + 2y = 16 \Rightarrow 3x + 7y = 16\) 2. Anwendung des Einsetzungsverfahrens durch Umstellen der ersten vereinfachten Gleichung nach \(y\): \(y = 5x - 14\). 3. Einsetzen von \(y\) in die zweite vereinfachte Gleichung: \(3x + 7(5x - 14) = 16\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(3x + 35x - 98 = 16 \Rightarrow 38x = 114\). 5. Division durch \(38\) ergibt \(x = 3\). 6. Einsetzen von \(x = 3\) in die Gleichung für \(y\): \(y = 5 \cdot 3 - 14 = 1\). 7. Die Lösung ist das Zahlenpaar \((3|1)\). Alternativ kann das System durch die Substitution \(u = x+y\) und \(v = x-y\) gelöst werden, was zu \(2u + 3v = 14\) und \(5u - 2v = 16\) führt. Dies ergibt \(u = 4\) und \(v = 2\), woraus sich durch Rücksubstitution \(x+y=4\) und \(x-y=2\) ebenfalls \(x=3\) und \(y=1\) ergeben.

\(x = 3\) und \(y = 1\) (oder als Zahlenpaar \((3|1)\))

- Welchen ersten Schritt kannst du unternehmen, um die Klammern in der ersten Gleichung aufzulösen? - Was passiert mit dem Term \(xy\), wenn du die erste Gleichung vereinfachst? - Wie kannst du die zweite Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Ausmultiplizieren der Klammern in Gleichung I: \(xy - 2x + 3y - 6 = xy + 4x - y - 4\). 2. Vereinfachen der Gleichung I durch Subtraktion von \(xy\) auf beiden Seiten: \(-2x + 3y - 6 = 4x - y - 4\). 3. Umformen von I in die Standardform: \(-6x + 4y = 2\) bzw. \(3x - 2y = -1\). 4. Umformen von Gleichung II durch Multiplikation mit 2: \(x + y = 6\). 5. Lösen des Systems: Aus II folgt \(y = 6 - x\). Einsetzen in die umgeformte Gleichung I ergibt \(3x - 2(6 - x) = -1 \Rightarrow 3x - 12 + 2x = -1 \Rightarrow 5x = 11 \Rightarrow x = 2{,}2\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 6 - 2{,}2 = 3{,}8\). 7. Begründung zur Linearität: Der Produktterm \(xy\) tritt auf beiden Seiten der Gleichung mit demselben Koeffizienten auf und fällt daher bei der Subtraktion weg, sodass nur Terme mit \(x^1\) und \(y^1\) verbleiben.

a) \(L = \{(2{,}2|3{,}8)\}\); b) Das Produkt \(xy\) fällt bei der Vereinfachung auf beiden Seiten weg, sodass nur lineare Terme übrig bleiben.

- Du kannst jede der beiden Gleichungen nach einer beliebigen Variable umstellen. Welche erscheint dir hier am einfachsten? - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf die Vorzeichenregeln (Minus mal Minus). - Wie führst du eine Probe durch, um sicher zu gehen, dass dein Ergebnis für beide Gleichungen stimmt?

1. Gleichung (I) nach \(y\) umstellen: \(y = 1 - 0{,}5x\). 2. Den Term für \(y\) in Gleichung (II) einsetzen: \(2x - 3 \cdot (1 - 0{,}5x) = 11\). 3. Klammer auflösen: \(2x - 3 + 1{,}5x = 11\). 4. Zusammenfassen und nach \(x\) auflösen: \(3{,}5x - 3 = 11 \implies 3{,}5x = 14 \implies x = 4\). 5. \(x = 4\) in die umgestellte Gleichung (I) einsetzen: \(y = 1 - 0{,}5 \cdot 4 = 1 - 2 = -1\). 6. Probe: (I) \(0{,}5 \cdot 4 + (-1) = 2 - 1 = 1\) (wahr) (II) \(2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11\) (wahr) 7. Lösungsmenge: \(L = \{(4; -1)\}\).

\(L = \{(4; -1)\}\)

- Welche Gleichung lässt sich besonders leicht nach einer Variablen auflösen? - Setze den so erhaltenen Term in die andere Gleichung ein. - Wie bestimmst du nach dem ersten Wert die zweite Unbekannte?

1. Auflösen von Gleichung (II) nach \(r\): \(r = \frac{3}{4}s - 1\). 2. Einsetzen des Terms für \(r\) in Gleichung (I): \(\frac{2}{3}(\frac{3}{4}s - 1) + \frac{1}{2}s = 6\). 3. Anwenden des Distributivgesetzes: \(\frac{1}{2}s - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}s = 6\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(s\): \(s - \frac{2}{3} = 6\). 5. Bestimmen von \(s\): \(s = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}\). 6. Einsetzen von \(s = \frac{20}{3}\) in die Gleichung für \(r\): \(r = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} - 1 = 5 - 1 = 4\). 7. Die Lösung ist \(r = 4\) und \(s = \frac{20}{3}\).

\(r = 4, s = \frac{20}{3}\)

- Kannst du die erste Gleichung so vereinfachen, dass sie übersichtlicher wird? - Welches Verfahren ist hier am effizientesten, wenn du eine Variable isoliert hast? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer beim Einsetzen. - Vergiss nicht, am Ende beide Variablen anzugeben.

1. Gleichung (I) vereinfachen und nach \(y\) auflösen: \(2x - 6 = y + 2 \Rightarrow y = 2x - 8\). 2. Den Ausdruck für \(y\) in Gleichung (II) einsetzen: \(4x - 3 \cdot (2x - 8) = 2\). 3. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(4x - 6x + 24 = 2 \Rightarrow -2x + 24 = 2\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(-2x = -22 \Rightarrow x = 11\). 5. Den Wert für \(x\) in den Ausdruck für \(y\) einsetzen: \(y = 2 \cdot 11 - 8 = 14\).

Das Lösungspaar ist \((11|14)\).

- Lass dich von den Dezimalzahlen nicht verunsichern; das Rechenverfahren bleibt genau gleich. - Achte beim Multiplizieren mit der \(2\) darauf, jeden Teil in der Klammer zu erwischen. - Addiere oder subtrahiere die Terme mit \(x\) sorgfältig, bevor du die Gleichung weiter auflöst.

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus (I) in (II): \(5x + 2 \cdot (2{,}4x - 3) = 33{,}2\) 2. Auflösen der Klammer: \(5x + 4{,}8x - 6 = 33{,}2\) 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(9{,}8x - 6 = 33{,}2\) 4. Addition von \(6\): \(9{,}8x = 39{,}2\) 5. Division durch \(9{,}8\): \(x = 4\) 6. Einsetzen von \(x = 4\) in Gleichung (I): \(y = 2{,}4 \cdot 4 - 3 = 9{,}6 - 3 = 6{,}6\)

Das Gleichungssystem hat die Lösung \(x = 4\) und \(y = 6{,}6\).

- Wie kannst du eine Variable eliminieren, indem du das Einsetzungsverfahren nutzt? - Achte beim Einsetzen darauf, Klammern zu setzen, wenn du mit einem Faktor multiplizierst. - Wann ist ein Bruch in der Mathematik nicht definiert? Das hilft dir bei der Bedingung für die Parameter. - Kannst du den Zähler des Ausdrucks für \(y\) durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen vereinfachen?

1. Erste Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y=c-ax\). 2. Den Ausdruck für \(y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(bx+2(c-ax)=d\). 3. Klammer auflösen und nach \(x\) sortieren: \(bx+2c-2ax=d \implies x(b-2a)=d-2c\). 4. Unter der Bedingung \(b\neq 2a\) nach \(x\) auflösen: \(x=\frac{d-2c}{b-2a}\). 5. In \(y=c-ax\) einsetzen und vereinfachen: \(y=c-a\cdot\frac{d-2c}{b-2a}=\frac{bc-ad}{b-2a}\). 6. Das System ist genau unter der angegebenen Bedingung eindeutig lösbar.

Die Lösung lautet \(x = \frac{d - 2c}{b - 2a}\) und \(y = \frac{bc - ad}{b - 2a}\). Das System ist eindeutig lösbar, wenn \(b \neq 2a\) gilt.

- Manchmal ist es geschickt, nicht direkt nach \(x\), sondern nach einem ganzen Term wie \(ax\) aufzulösen. - Was passiert, wenn du für \(y\) das Ergebnis in Abhängigkeit von \(a\) einsetzt? Kürzen sich Variablen weg? - Achte darauf, dass \(a\) und \(b\) Parameter sind, die im Ergebnis vorkommen dürfen.

1. Die erste Gleichung nach dem Term \(ax\) auflösen: \(ax = 3ab - by\). 2. Den Ausdruck für \(ax\) in die zweite Gleichung einsetzen (da dort \(3ax\) vorkommt): \(3(3ab - by) - 2by = 4ab\). 3. Die Klammer auflösen und nach \(y\) umstellen: \(9ab - 3by - 2by = 4ab \implies -5by = -5ab \implies y = a\) (da \(b \neq 0\)). 4. Den Wert für \(y\) in die Gleichung aus Schritt 1 einsetzen: \(ax = 3ab - b \cdot a = 2ab \implies x = 2b\) (da \(a \neq 0\)).

\(x = 2b\) und \(y = a\) (unter den Bedingungen \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\))

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass eine Variable direkt durch die anderen Parameter ausgedrückt wird? - Wenn Terme wie \(s^2\) auf beiden Seiten vorkommen, kannst du sie oft durch Subtraktion vereinfachen. - Siehst du am Ende eine Möglichkeit, auf einer Seite der Gleichung einen gemeinsamen Faktor auszuklammern, der auch auf der anderen Seite vorkommt? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du durch einen Term teilst, der sicher nicht Null ist?

1. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x = s + t - y\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(x\) in die zweite Gleichung: \(s(s + t - y) + ty = s^2 + t^2\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(s^2 + st - sy + ty = s^2 + t^2\). 4. Subtraktion von \(s^2\) auf beiden Seiten: \(st - sy + ty = t^2\). 5. Umstellen der Gleichung nach \(y\): \(y(t - s) = t^2 - st\). 6. Ausklammern auf der rechten Seite: \(y(t - s) = t(t - s)\). 7. Da \(s \neq t\) vorausgesetzt ist, kann durch \((t - s)\) dividiert werden: \(y = t\). 8. Einsetzen von \(y = t\) in die Gleichung für \(x\): \(x = s + t - t = s\). 9. Die Lösung des Systems ist \((x|y) = (s|t)\).

\(x = s\) und \(y = t\)

- Achte beim Auflösen der Brüche besonders auf die Minuszeichen vor den Bruchstrichen – sie wirken wie ein Minus vor einer Klammer. - Multipliziere jede Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. - Nach der Vereinfachung hast du ein System, das du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen kannst. - Prüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen.

1. Erste Gleichung mit \(4\) multiplizieren: \((3x - 2y + 2) - 2(x + y - 5) = 4\). Klammern auflösen und zusammenfassen: \(3x - 2y + 2 - 2x - 2y + 10 = 4 \Rightarrow x - 4y = -8\). 2. Zweite Gleichung mit \(20\) multiplizieren: \(4(2x + y - 1) + 5(x - 2y + 6) = 60\). Klammern auflösen und zusammenfassen: \(8x + 4y - 4 + 5x - 10y + 30 = 60 \Rightarrow 13x - 6y = 34\). 3. Erste vereinfachte Gleichung nach \(x\) umstellen: \(x = 4y - 8\). 4. Einsetzen in die zweite vereinfachte Gleichung: \(13(4y - 8) - 6y = 34 \Rightarrow 52y - 104 - 6y = 34 \Rightarrow 46y = 138\). Daraus folgt \(y = 3\). 5. Einsetzen von \(y = 3\) in die umgestellte Gleichung: \(x = 4(3) - 8 = 4\).

\(L = \{(4|3)\}\)