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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Gleichsetzungsverfahren

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5531968
Beim Gleichsetzungsverfahren ist das LGS bereits in zwei nach \(y\) aufgelösten Gleichungen gegeben: \(\begin{cases}y=4x-3\\y=x+6\end{cases}\) Welche Gleichung entsteht als erster Schritt beim Gleichsetzen? A: \(4x-3+x+6=0\) B: \(4x-3=x+6\) C: \(4x-3=y+x+6\)

Denkanstöße

- Beide Gleichungen sind bereits nach derselben Variablen aufgelöst. - Welche beiden Terme haben deshalb am Schnittpunkt denselben Wert?

Lösung

1. Beide rechten Seiten sind gleich \(y\). Beim Gleichsetzen werden deshalb genau diese beiden Terme einander gleichgesetzt. 2. Es entsteht \(4x-3=x+6\). Antwort B ist richtig.

Antwort

B: \(4x-3=x+6\)
4137358
Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: (I) \(x = 2y + 5\) (II) \(x = -3y + 15\) Bestimme die Lösung des Systems. Welches Lösungsverfahren (Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren) ist hier am direktesten anwendbar? Begründe deine Wahl kurz.

Denkanstöße

- Schau dir die Struktur der beiden Gleichungen an. Steht auf einer Seite jeweils derselbe Ausdruck? - Wenn zwei Ausdrücke denselben Wert (hier \(x\)) ergeben, was kannst du dann über diese beiden Ausdrücke sagen? - Wie gehst du vor, wenn du eine der Unbekannten bereits berechnet hast?

Lösung

1. Wahl des Verfahrens: Das Gleichsetzungsverfahren ist am direktesten, da beide Gleichungen bereits nach \(x\) aufgelöst sind. 2. Gleichsetzen der Terme: \(2y + 5 = -3y + 15\). 3. Terme mit \(y\) auf eine Seite bringen: \(5y + 5 = 15\). 4. Nach \(y\) auflösen: \(5y = 10 \Rightarrow y = 2\). 5. \(y\) in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen, um \(x\) zu berechnen: \(x = 2 \cdot 2 + 5 = 9\). 6. Ergebnis: Das Zahlenpaar ist \((9|2)\).

Antwort

Das Gleichsetzungsverfahren ist am besten geeignet, da beide Gleichungen nach \(x\) isoliert sind. Die Lösung ist \(x = 9\) und \(y = 2\), also \(L = \{(9|2)\}\).
4138258
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens: (I) \(3y - 6x = 12\) (II) \(y + 2x = 20\)

Denkanstöße

- Was muss man zuerst mit den Gleichungen machen, damit man sie direkt vergleichen kann? - Es ist oft hilfreich, beide Gleichungen so umzuformen, dass eine Variable (zum Beispiel \(y\)) alleine auf einer Seite steht. - Wenn du einen Wert für \(x\) gefunden hast, wie kannst du dann den passenden Wert für \(y\) berechnen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein Wertepaar in beide ursprünglichen Gleichungen passt.

Lösung

1. Umstellen beider Gleichungen nach der Variablen \(y\): Aus (I) folgt \(3y = 6x + 12\), also \(y = 2x + 4\). Aus (II) folgt \(y = -2x + 20\). 2. Gleichsetzen der Terme für \(y\): \(2x + 4 = -2x + 20\). 3. Lösen der Gleichung nach \(x\): Durch Addition von \(2x\) und Subtraktion von \(4\) erhält man \(4x = 16\), woraus \(x = 4\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 4\) in eine der umgestellten Gleichungen (z. B. \(y = 2x + 4\)): \(y = 2 \cdot 4 + 4 = 12\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{(4|12)\}\).

Antwort

\(x = 4\), \(y = 12\) bzw. \(L = \{(4|12)\}\)
4140788
Bestimme mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens den \(x\)-Wert der Lösung des folgenden Gleichungssystems: \(\begin{cases}y=\frac{2}{5}x+3\\y=\frac{4}{5}x-1\end{cases}\)

Denkanstöße

- Welche beiden Terme sind gleich, weil beide denselben Wert \(y\) beschreiben? - Wie kannst du die Brüche beim Umformen übersichtlich behandeln? - Gesucht ist hier nur der \(x\)-Wert; welche Rechnung reicht dafür aus?

Lösung

1. Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich: \(\frac{2}{5}x+3=\frac{4}{5}x-1\). 2. Subtrahiere \(\frac{2}{5}x\): \(3=\frac{2}{5}x-1\). 3. Addiere \(1\): \(4=\frac{2}{5}x\). 4. Daraus folgt \(x=10\).

Antwort

\(x=10\)
4140858
Löse das folgende lineare Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens: \(\begin{cases}y+3x=14\\y-2x=-1\end{cases}\)

Denkanstöße

- Nach welcher Variablen lassen sich beide Gleichungen besonders einfach auflösen? - Was darfst du mit zwei Ausdrücken tun, die beide gleich \(y\) sind? - Wie bestimmst du nach \(x\) die zweite Variable?

Lösung

1. Stelle beide Gleichungen nach \(y\) um: Aus der ersten folgt \(y=14-3x\), aus der zweiten \(y=2x-1\). 2. Setze die beiden Ausdrücke gleich: \(14-3x=2x-1\). 3. Auflösen ergibt \(15=5x\), also \(x=3\). 4. Einsetzen in \(y=2x-1\) liefert \(y=5\). 5. Damit ist \(L=\{(3|5)\}\).

Antwort

\(L=\{(3|5)\}\)
4140968
Gegeben ist das Gleichungssystem \(\begin{cases}y=2{,}4x-7\\y=0{,}4(x+12{,}5)\end{cases}\). Ermittle mit dem Gleichsetzungsverfahren die Werte von \(x\) und \(y\), für die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind.

Denkanstöße

- Welche beiden Terme kannst du direkt gleichsetzen? - Was passiert mit der Klammer auf der rechten Seite? - Wie bestimmst du nach dem gefundenen \(x\)-Wert noch \(y\)?

Lösung

1. Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich: \(2{,}4x-7=0{,}4(x+12{,}5)\). 2. Löse die Klammer auf: \(2{,}4x-7=0{,}4x+5\). 3. Umformen ergibt \(2x=12\), also \(x=6\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(y=2{,}4\cdot6-7=7{,}4\). 5. Damit ist \(L=\{(6|7{,}4)\}\).

Antwort

\(L=\{(6|7{,}4)\}\)
4141048
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren: \(\begin{cases}y=3x-8\\y=-2x+7\end{cases}\) Notiere die Gleichsetzgleichung und prüfe den gefundenen Punkt anschließend in beiden Ausgangsgleichungen.

Denkanstöße

- Beide Gleichungen geben bereits einen Term für dieselbe Variable an. - Setze genau diese beiden Terme gleich. - Prüfe den gefundenen Punkt in beiden ursprünglichen Gleichungen.

Lösung

1. Gleichsetzen der beiden Terme für \(y\) ergibt \(3x-8=-2x+7\). 2. Daraus folgt \(5x=15\), also \(x=3\). 3. Einsetzen ergibt \(y=1\). Somit ist \(L=\{(3|1)\}\). 4. Probe: \(1=3\cdot3-8\) und \(1=-2\cdot3+7\). Beide Gleichungen sind erfüllt.

Antwort

Gleichsetzgleichung: \(3x-8=-2x+7\). \(L=\{(3|1)\}\). Die Probe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.
4141058
Bestimme mit dem Gleichsetzungsverfahren den Schnittpunkt \(S(x|y)\) der Geraden (I) \(y=\frac{3}{4}x+2\) (II) \(y=\frac{1}{4}x-1\).

Denkanstöße

- Beide Gleichungen geben bereits einen Term für dieselbe Variable an. - Nach dem Gleichsetzen musst du nur noch eine lineare Gleichung in \(x\) lösen. - Prüfe den berechneten Punkt in beiden Geradengleichungen.

Lösung

1. Die beiden Terme für \(y\) gleichsetzen: \(\frac{3}{4}x+2=\frac{1}{4}x-1\). 2. Zusammenfassen: \(\frac{1}{2}x+2=-1 \Rightarrow \frac{1}{2}x=-3\). 3. Daraus folgt \(x=-6\). 4. In eine der Geradengleichungen einsetzen: \(y=\frac{1}{4}(-6)-1=-2{,}5\). 5. Der Schnittpunkt ist \(S(-6|-2{,}5)\).

Antwort

\(S(-6|-2{,}5)\)
4153948
Bestimme die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens: \(\begin{cases}y=3x+4{,}5\\y=-1{,}5x+18\end{cases}\)

Denkanstöße

- Welche beiden Terme beschreiben denselben \(y\)-Wert? - Wie bringst du alle \(x\)-Terme auf eine Seite? - Wie kontrollierst du den zweiten Wert nach dem Gleichsetzen?

Lösung

1. Setze die beiden Funktionsterme gleich: \(3x+4{,}5=-1{,}5x+18\). 2. Umformen ergibt \(4{,}5x=13{,}5\), also \(x=3\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(y=3\cdot3+4{,}5=13{,}5\). 4. Damit ist \(L=\{(3|13{,}5)\}\).

Antwort

\(L=\{(3|13{,}5)\}\)
5531978
Löse das System mit dem Gleichsetzungsverfahren: (I) \(y=3x-3\) (II) \(x+y=9\) Forme zuerst Gleichung (II) passend um.

Denkanstöße

- Für das Gleichsetzen müssen beide Gleichungen dieselbe Variable allein beschreiben. - Eine der Gleichungen erfüllt diese Form bereits. - Nutze nach dem Gleichsetzen eine Ausgangsgleichung für die zweite Koordinate.

Lösung

1. Gleichung (II) nach \(y\) auflösen: \(y=9-x\). 2. Die beiden Ausdrücke für \(y\) gleichsetzen: \(3x-3=9-x\). 3. Daraus folgt \(4x=12\), also \(x=3\). 4. Einsetzen ergibt \(y=6\).

Antwort

\((3|6)\)
5532008
Beim Gleichsetzungsverfahren für (I) \(y=3x-2\) (II) \(y=10-x\) wurde begonnen: \(3x-2=\square\). a) Ergänze den fehlenden Term. b) Führe das Gleichsetzungsverfahren zu Ende.

Denkanstöße

- Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Variable \(y\). - Beim Gleichsetzen werden genau die beiden Terme verwendet, die jeweils für \(y\) stehen. - Bestimme nach \(x\) die zweite Koordinate mit einer Ausgangsgleichung.

Lösung

1. In die Lücke gehört der zweite Ausdruck für \(y\), also \(10-x\). 2. Damit gilt \(3x-2=10-x\). 3. Daraus folgt \(4x=12\), also \(x=3\). 4. Einsetzen in eine Ausgangsgleichung ergibt \(y=7\).

Antwort

a) \(10-x\) b) \((3|7)\)
4138268
Zwei Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Kerze A ist zu Beginn \(25\,\text{cm}\) hoch und brennt pro Stunde um \(1{,}5\,\text{cm}\) ab. Kerze B ist zu Beginn \(20\,\text{cm}\) hoch und brennt pro Stunde um \(0{,}5\,\text{cm}\) ab. a) Stelle für beide Kerzen eine Funktionsgleichung auf, welche die Höhe \(h\) (in \(\text{cm}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Stunden) beschreibt. b) Berechne mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens, nach welcher Zeit beide Kerzen genau gleich hoch sind und wie hoch sie dann noch sind.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie sich die Höhe einer Kerze zusammensetzt: Startwert minus Abbrenngeschwindigkeit mal Zeit. - Welche Variable steht für die Zeit und welche für die Höhe? - Was bedeutet es mathematisch, wenn beide Kerzen „gleich hoch“ sind? - Achte beim Rechnen darauf, die Einheiten im Kopf zu behalten, aber in der Rechnung nur mit den Zahlen zu arbeiten.

Lösung

1. Aufstellen der Gleichungen: Für Kerze A gilt \(h = 25 - 1{,}5t\). Für Kerze B gilt \(h = 20 - 0{,}5t\). 2. Gleichsetzen der Terme für \(h\): \(25 - 1{,}5t = 20 - 0{,}5t\). 3. Lösen nach \(t\): Subtraktion von \(20\) ergibt \(5 - 1{,}5t = -0{,}5t\). Addition von \(1{,}5t\) ergibt \(5 = 1t\), also \(t = 5\). 4. Berechnung der Höhe \(h\): Einsetzen von \(t = 5\) in die erste Gleichung ergibt \(h = 25 - 1{,}5 \cdot 5 = 25 - 7{,}5 = 17{,}5\). Nach \(5\,\text{h}\) sind beide Kerzen \(17{,}5\,\text{cm}\) hoch.

Antwort

a) Kerze A: \(h = 25 - 1{,}5t\); Kerze B: \(h = 20 - 0{,}5t\) b) Nach \(5\,\text{Stunden}\) sind beide Kerzen \(17{,}5\,\text{cm}\) hoch.
4153958
Zwei verschiedene Tarife für ein Leihfahrrad werden verglichen: Tarif A: Eine Grundgebühr von \(5{,}00\,\text{€}\) plus \(0{,}20\,\text{€}\) pro gefahrene Minute. Tarif B: Keine Grundgebühr, dafür \(0{,}45\,\text{€}\) pro gefahrene Minute. a) Erstelle für beide Tarife eine Funktionsgleichung für die Gesamtkosten \(y\) (in Euro) in Abhängigkeit von der Fahrzeit \(x\) (in Minuten). b) Bestimme durch Gleichsetzen, nach welcher Fahrzeit beide Tarife exakt die gleichen Kosten verursachen.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie sich die Kosten für jeden Tarif zusammensetzen. Welcher Teil ist fix, welcher hängt von der Zeit ab? - Wenn beide Tarife gleich viel kosten, müssen die beiden Funktionsterme den gleichen Wert haben. - Was stellt \(x\) in deiner Rechnung dar und welche Einheit gehört dazu?

Lösung

1. Aufstellen der Gleichungen: Für Tarif A ergibt sich \(y = 0{,}20x + 5\), für Tarif B \(y = 0{,}45x\). 2. Gleichsetzen der Terme: \(0{,}20x + 5 = 0{,}45x\). 3. Subtraktion von \(0{,}20x\) auf beiden Seiten: \(5 = 0{,}25x\). 4. Division durch \(0{,}25\), um \(x\) zu isolieren: \(x = 20\). 5. Berechnung der Kosten zur Kontrolle: \(y = 0{,}45 \cdot 20 = 9{,}00\,\text{€}\).

Antwort

a) Tarif A: \(y = 0{,}20x + 5\); Tarif B: \(y = 0{,}45x\) b) Nach \(20\,\text{Minuten}\) sind beide Tarife gleich teuer.
4153968
Löse das Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens: \(\begin{cases}y=\frac{2}{3}x+5\\y=\frac{5}{6}x+2\end{cases}\)

Denkanstöße

- Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich. - Wie kannst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Welche Gleichung eignet sich für die Rücksubstitution?

Lösung

1. Setze die beiden Terme für \(y\) gleich: \(\frac{2}{3}x+5=\frac{5}{6}x+2\). 2. Subtrahiere \(2\) und \(\frac{2}{3}x\): \(3=\frac{1}{6}x\). 3. Daraus folgt \(x=18\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(y=\frac{2}{3}\cdot18+5=17\). 5. Damit ist \(L=\{(18|17)\}\).

Antwort

\(L=\{(18|17)\}\)
5531988
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: (I) \(2x+y=9\) (II) \(3x-2y=-4\) Löse beide Gleichungen zunächst nach \(y\) auf.

Denkanstöße

- Bringe beide Gleichungen in eine Form, in der \(y\) allein steht. - Prüfe beim Auflösen der zweiten Gleichung besonders das Vorzeichen vor \(y\). - Erst danach werden die beiden Terme für \(y\) gleichgesetzt.

Lösung

1. Aus (I) folgt \(y=9-2x\). 2. Aus (II) folgt \(-2y=-4-3x\), also \(y=\frac{3x+4}{2}\). 3. Gleichsetzen ergibt \(9-2x=\frac{3x+4}{2}\). 4. Mit \(2\) multiplizieren: \(18-4x=3x+4\). Daher \(14=7x\) und \(x=2\). 5. Einsetzen in (I) ergibt \(y=5\).

Antwort

\((2|5)\)
5531998
Zwei Schülergruppen sammeln Geld für dieselbe Aktion. Gruppe A hat bereits \(80\,\text{€}\) und sammelt pro Tag weitere \(15\,\text{€}\). Gruppe B startet mit \(20\,\text{€}\) und sammelt pro Tag \(25\,\text{€}\). Stelle für beide Gruppen je einen Term für den Geldbetrag nach \(t\) Tagen auf. Bestimme mit dem Gleichsetzungsverfahren, nach wie vielen Tagen beide Gruppen gleich viel gesammelt haben, und gib den gemeinsamen Betrag an.

Denkanstöße

- Beschreibe für jede Gruppe Startbetrag und täglichen Zuwachs in einem Term. - Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem beide Terme denselben Wert haben. - Prüfe den gefundenen Zeitpunkt in beiden Geldbeträgen.

Lösung

1. Für Gruppe A gilt \(A(t)=80+15t\), für Gruppe B \(B(t)=20+25t\). 2. Gleichsetzen: \(80+15t=20+25t\). 3. Daraus folgt \(60=10t\), also \(t=6\). 4. Einsetzen ergibt \(A(6)=80+15\cdot6=170\). Beide Gruppen haben dann \(170\,\text{€}\).

Antwort

Nach \(6\) Tagen haben beide Gruppen jeweils \(170\,\text{€}\) gesammelt.
5532018
Elif löst (I) \(y=2x+5\) (II) \(y=11-x\) mit dem Gleichsetzungsverfahren. Sie schreibt als ersten Rechenschritt \((2x+5)+(11-x)=0\). Erkläre den Fehler, gib den richtigen Gleichsetzschritt an und bestimme die Lösung.

Denkanstöße

- Überlege, was beide rechten Seiten der Ausgangsgleichungen jeweils darstellen. - Beim Gleichsetzungsverfahren wird eine Gleichheit zwischen zwei Darstellungen derselben Größe genutzt. - Prüfe den korrigierten Schnittpunkt in beiden Gleichungen.

Lösung

1. Beide rechten Seiten sind gleich \(y\). Deshalb müssen sie einander gleichgesetzt und nicht addiert werden. 2. Korrekt ist \(2x+5=11-x\). 3. Daraus folgt \(3x=6\), also \(x=2\). 4. Einsetzen ergibt \(y=9\).

Antwort

Elif hätte \(2x+5=11-x\) schreiben müssen. Die Lösung ist \((2|9)\).
5532028
Vergleiche die beiden Systeme: A: \(y=4x-6\) und \(y=-2x+12\) B: \(3x+2y=7\) und \(-3x+5y=14\) Welches System ist in der gegebenen Form besonders günstig für das Gleichsetzungsverfahren? Begründe deine Entscheidung und löse nur dieses System mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Denkanstöße

- Prüfe zunächst, ob beide Gleichungen eines Systems dieselbe Variable bereits allein darstellen. - Vergleiche den notwendigen Vorbereitungsaufwand, nicht nur die Größe der Koeffizienten. - Löse anschließend ausschließlich das passendere System mit dem verlangten Verfahren.

Lösung

1. Bei System A sind beide Gleichungen bereits nach \(y\) aufgelöst. Deshalb kann man die beiden rechten Seiten sofort gleichsetzen. 2. Für System B wäre zuerst eine Umformung nötig; zugleich heben sich dort die \(x\)-Terme beim Addieren direkt auf. 3. Für A gilt \(4x-6=-2x+12\). 4. Daraus folgt \(6x=18\), also \(x=3\), und anschließend \(y=6\).

Antwort

System A ist für das Gleichsetzungsverfahren günstiger. Seine Lösung lautet \((3|6)\).
5532038
Die Gerade \(g\) hat die Gleichung \(y=2x-1\). Eine zweite Gerade soll die Form \(h:y=-x+b\) haben und durch den Punkt \(P(0|11)\) verlaufen. a) Bestimme \(b\). b) Löse das entstehende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren und gib den Schnittpunkt an. c) Begründe, warum die Lösung eindeutig ist.

Denkanstöße

- Setze die Koordinaten von \(P\) in die Gleichung von \(h\) ein. - Für das Gleichsetzungsverfahren müssen die beiden Terme für \(y\) gleichgesetzt werden. - Was folgt für die Anzahl der Schnittpunkte aus verschiedenen Steigungen?

Lösung

1. Weil \(P(0|11)\) auf \(h\) liegt, gilt \(11=-0+b\). Daher ist \(b=11\). 2. Für den Schnittpunkt setzt man die Funktionsterme gleich: \(2x-1=-x+11\). 3. Daraus folgt \(3x=12\), also \(x=4\) und \(y=7\). Somit ist \(S(4|7)\). 4. Die Steigungen \(2\) und \(-1\) sind verschieden; daher schneiden sich die Geraden genau einmal.

Antwort

a) \(b=11\) b) \(S(4|7)\) c) Die Steigungen sind verschieden; deshalb ist der Schnittpunkt eindeutig.

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