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- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Welche Zahl müsste als Koeffizient vor einer der Variablen stehen, damit dieser Koeffizient die Gegenzahl des entsprechenden Koeffizienten in der anderen Gleichung ist? - Was passiert mit der anderen Variable, wenn du die beiden Gleichungen addierst? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende in den ursprünglichen Gleichungen überprüfen?

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(2\), um die Koeffizienten von \(b\) gegengleich zu machen: \(2a + 4b = 12\). 2. Addition der neuen Gleichung (II') und der Gleichung (I): \((3a - 4b) + (2a + 4b) = 18 + 12\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(5a = 30\). 4. Division durch \(5\): \(a = 6\). 5. Einsetzen von \(a = 6\) in Gleichung (II): \(6 + 2b = 6\). 6. Subtraktion von \(6\): \(2b = 0\). 7. Division durch \(2\): \(b = 0\). 8. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(6 \mid 0)\}\).

\(L = \{(6 \mid 0)\}\)

- Schau dir die Koeffizienten von \(y\) in beiden Gleichungen an. Was passiert, wenn du die Gleichungen direkt addierst? - Überlege, wie du eine Variable verschwinden lassen kannst. - Vergiss nicht, den gefundenen Wert am Ende in eine der Gleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.

1. Addition der Gleichungen (I) und (II): \(7x = 21\) 2. Berechnung von \(x\): \(x = 3\) 3. Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (I): \(5 \cdot 3 + 3y = 9\) 4. Berechnung von \(y\): \(15 + 3y = 9 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2\) 5. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(3 \mid -2)\}\)

\(L = \{(3 \mid -2)\}\)

- Was ist das Ziel des Additionsverfahrens? - Wie viele Rechenschritte sparst du dir, wenn du nur eine Gleichung verändern musst? - Welche Strategie führt zu kleineren Zahlen, mit denen man leichter rechnen kann?

1. Bewertung: Strategie A ist effizienter, da nur eine Gleichung multipliziert werden muss, um entgegengesetzte Koeffizienten (\(4y\) und \(-4y\)) zu erhalten, während bei B beide Gleichungen verändert werden und größere Zahlen entstehen. 2. Anwendung von A: Multiplikation von (I) mit \(2\) ergibt (Ia) \(10x + 4y = 32\). 3. Addition von (Ia) und (II): \(10x + 3x + 4y - 4y = 32 + 7 \implies 13x = 39\). 4. Berechnung von \(x\): \(x = 39 : 13 = 3\). 5. Einsetzen von \(x = 3\) in (I): \(5 \cdot 3 + 2y = 16 \implies 15 + 2y = 16 \implies 2y = 1 \implies y = 0{,}5\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{(3; 0{,}5)\}\).

a) Strategie A ist effizienter, da nur eine Gleichung umgeformt werden muss und die Zahlen kleiner bleiben. b) Die Lösung ist \(x = 3\) und \(y = 0{,}5\), also \(L = \{(3; 0{,}5)\}\).

- Wann heben sich zwei Summanden beim Addieren genau auf? - Schau dir die Zahlen direkt vor den Buchstaben an. - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie findest du dann die andere?

1. Teilaufgabe a: Auswahl von Gleichung (1) und (2), da die Koeffizienten von \(y\) mit \(4\) und \(-4\) Gegenzahlen sind. 2. Addition: \((3x + 4y) + (5x - 4y) = 10 + 6 \implies 8x = 16 \implies x = 2\). 3. Einsetzen von \(x = 2\) in (1): \(3 \cdot 2 + 4y = 10 \implies 6 + 4y = 10 \implies 4y = 4 \implies y = 1\). Lösung: \((2|1)\). 4. Teilaufgabe b: Auswahl von Gleichung (1) und (3), da die Koeffizienten von \(x\) mit \(3\) und \(-3\) Gegenzahlen sind. 5. Addition: \((3x + 4y) + (-3x + 2y) = 10 + 8 \implies 6y = 18 \implies y = 3\). 6. Einsetzen von \(y = 3\) in (3): \(-3x + 2 \cdot 3 = 8 \implies -3x + 6 = 8 \implies -3x = 2 \implies x = -\frac{2}{3}\). Lösung: \((-\frac{2}{3}|3)\).

a) System aus (1) und (2); Lösung: \(x = 2\), \(y = 1\). b) System aus (1) und (3); Lösung: \(x = -\frac{2}{3}\), \(y = 3\).

- Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so multiplizierst, dass die Koeffizienten vor einer Variablen in beiden Gleichungen gleich (oder genau entgegengesetzt) sind? - Wenn beim Rechnen die Variablen wegfallen und eine unwahre Aussage wie \(0 = 5\) übrig bleibt, was bedeutet das für die Lösungsmenge? - Überprüfe, ob die beiden Geraden, die durch die Gleichungen beschrieben werden, parallel zueinander verlaufen könnten.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit dem Faktor \(2\), um die Koeffizienten anzugleichen: \(3x + 4y = 30\). 2. Subtraktion der umgeformten Gleichung (II) von Gleichung (I): \((3x + 4y) - (3x + 4y) = 12 - 30\). 3. Ergebnis der Subtraktion: \(0 = -18\). 4. Da dies eine falsche Aussage ist, besitzt das System keine Lösung. 5. Resultat: \(L = \emptyset\).

\(L = \emptyset\) (keine Lösung)

- Schau dir die Zahlen vor den Variablen genau an. Fällt dir etwas auf, wenn du die Gleichungen addierst? - Was passiert mit einer Variablen, wenn du zwei Werte addierst, die den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben? - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie kannst du dann die andere finden?

1. Analyse der Koeffizienten: Die Koeffizienten von \(y\) sind Gegenzahlen (\(-3\) und \(+3\)), weshalb sie sich bei Addition direkt aufheben. 2. Addition der Gleichungen: \((5x + 2x) + (-3y + 3y) = 9 + 12 \Rightarrow 7x = 21\). 3. Bestimmung von \(x\): Division durch \(7\) ergibt \(x = 3\). 4. Bestimmung von \(y\): Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (II) ergibt \(2 \cdot 3 + 3y = 12 \Rightarrow 6 + 3y = 12\). 5. Auflösen nach \(y\): \(3y = 6 \Rightarrow y = 2\). Die Lösung ist \((3|2)\).

a) Das Additionsverfahren ist besonders effizient, da die Koeffizienten von \(y\) Gegenzahlen sind (\(-3\) und \(3\)). Beim Addieren der Gleichungen fällt die Variable \(y\) sofort weg. b) Die Lösung des Systems ist \((3|2)\).

- Wie kannst du die Gleichungen multiplizieren, damit die Nenner verschwinden? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 2 und 5? - Wenn du eine Gleichung addierst, sollte eine der Variablen wegfallen. Wie müssen die Zahlen vor dieser Variablen in beiden Gleichungen aussehen?

1. Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\), um die Nenner zu eliminieren: (Ia) \(4x - 5y = -10\) und (IIa) \(2x + 15y = 170\). 2. Multiplikation von (Ia) mit \(3\), um den Koeffizienten von \(y\) an (IIa) anzupassen: (Ib) \(12x - 15y = -30\). 3. Addition von (Ib) und (IIa): \(14x = 140\), woraus \(x = 10\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 10\) in (IIa): \(2(10) + 15y = 170 \Rightarrow 20 + 15y = 170 \Rightarrow 15y = 150 \Rightarrow y = 10\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(10 | 10)\}\).

\(L = \{(10 | 10)\}\)

- Was muss mit den Zahlen vor dem \(y\) passieren, damit sie sich beim Addieren genau aufheben? - Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten einer Variablen. - Vergiss nicht, die gesamte Gleichung (auch die rechte Seite) zu multiplizieren. - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Um \(y\) zu eliminieren, wird ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten von \(y\) (\(3\) und \(-4\)) gesucht, z. B. \(12\). 2. Multiplikation von (I) mit \(4\): \(20x + 12y = 28\). 3. Multiplikation von (II) mit \(3\): \(6x - 12y = 24\). 4. Addition der neuen Gleichungen: \((20x + 6x) + (12y - 12y) = 28 + 24\), also \(26x = 52\). 5. Division durch \(26\): \(x = 2\). 6. Einsetzen von \(x = 2\) in (I): \(5 \cdot 2 + 3y = 7 \Rightarrow 10 + 3y = 7\). 7. Nach \(y\) auflösen: \(3y = -3 \Rightarrow y = -1\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2| -1)\}\). 9. Begründung: Da weder \(3\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(4\) noch \(4\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(3\) ist, müssen bei Verwendung ganzzahliger Faktoren beide Gleichungen auf einen gemeinsamen Koeffizienten gebracht werden, damit sich \(y\) beim Addieren aufhebt.

a) (I') \(20x + 12y = 28\) und (II') \(6x - 12y = 24\) b) \(L = \{(2| -1)\}\) c) Bei Verwendung ganzzahliger Faktoren müssen beide Gleichungen multipliziert werden, weil \(3\) und \(4\) keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind. Um Gegenzahlen zu erzeugen (z. B. \(12\) und \(-12\)), müssen beide Gleichungen angepasst werden.

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen addierst? Fällt eine Variable weg? - Achte auf die Vorzeichen der Summanden mit derselben Variable. - Wenn die Koeffizienten einer Variable gleich sind, hilft Subtraktion. - Nachdem du eine Variable berechnet hast, kannst du sie in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen.

Für System 1: 1. Addition beider Gleichungen: \((5x + 3y) + (2x - 3y) = 21 + 0\) ergibt \(7x = 21\) 2. Division durch 7: \(x = 3\) 3. Einsetzen von \(x = 3\) in die zweite Gleichung: \(2 \cdot 3 - 3y = 0 \implies 6 = 3y\) 4. Ergebnis: \(y = 2\). Lösungspaar: \((3|2)\) Für System 2: 1. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \((6a + 5b) - (6a - 4b) = 28 - 10\) ergibt \(9b = 18\) 2. Division durch 9: \(b = 2\) 3. Einsetzen von \(b = 2\) in die erste Gleichung: \(6a - 4 \cdot 2 = 10 \implies 6a - 8 = 10\) 4. Addition von 8 und Division durch 6: \(6a = 18 \implies a = 3\). Lösungspaar: \((3|2)\)

1) \((3|2)\) 2) \((3|2)\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass ein Buchstabe beim Zusammenzählen der Gleichungen wegfällt? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer bestimmten Zahl multiplizierst? - Hast du daran gedacht, den gefundenen Wert am Ende in eine der Gleichungen einzusetzen, um den zweiten Buchstaben zu berechnen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2, um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(10x - 2y = 6\). 2. Addition der ersten Gleichung (\(3x + 2y = 7\)) und der neuen zweiten Gleichung: \(13x = 13\). 3. Division durch 13 ergibt \(x = 1\). 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche zweite Gleichung: \(5 \cdot 1 - y = 3\). 5. Umstellen nach \(y\): \(5 - 3 = y\), also \(y = 2\). 6. Die Lösung des Systems ist das Paar \((1|2)\).

\((1|2)\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren der Gleichungen wegfällt? - Welches Vielfache eines Koeffizienten wäre hier hilfreich? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer bestimmten Zahl multiplizierst? - Ist es einfacher, die Variable \(x\) oder die Variable \(y\) zu eliminieren?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(3\), um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(12x - 3y = 30\). 2. Addition der ersten Gleichung (\(2x + 3y = 12\)) und der neuen zweiten Gleichung (\(12x - 3y = 30\)) führt zu \(14x = 42\). 3. Division durch \(14\) ergibt den Wert \(x = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 3\) in die ursprüngliche zweite Gleichung: \(4 \cdot 3 - y = 10\). 5. Vereinfachen zu \(12 - y = 10\) und Auflösen nach \(y\) ergibt \(y = 2\).

\((3|2)\)

- Mit welchem Faktor könntest du die Gleichungen multiplizieren, damit die Koeffizienten vor einer Variable (zum Beispiel \( y \)) Gegenzahlen werden? - Was passiert, wenn du beide Gleichungen addierst? - Hast du schon versucht, eine Variable durch die andere auszudrücken? - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie findest du dann den Wert der zweiten?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten Gleichung mit 5 zur Vorbereitung des Additionsverfahrens: \( 8x - 10y = -4 \) und \( 15x + 10y = 50 \). 2. Addition der beiden Gleichungen eliminiert die Variable \( y \): \( (8x - 10y) + (15x + 10y) = -4 + 50 \), woraus \( 23x = 46 \) folgt. 3. Berechnung von \( x \): \( x = \frac{46}{23} = 2 \). 4. Einsetzen von \( x = 2 \) in die zweite Ausgangsgleichung: \( 3 \cdot 2 + 2y = 10 \). 5. Berechnung von \( y \): \( 6 + 2y = 10 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \). Die Lösung ist das Zahlenpaar \((2|2)\).

\((2|2)\)

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen addierst? - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen voneinander abziehst? - Behandle die Parameter \(u\) und \(v\) beim Rechnen einfach wie ganz normale Zahlen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du \(x\) und \(y\) in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \( (x + y) + (x - y) = (5u - v) + (u + 5v) \), woraus \(2x = 6u + 4v\) folgt. 2. Division durch 2 ergibt \(x = 3u + 2v\). 3. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten zur Elimination von \(x\): \( (x + y) - (x - y) = (5u - v) - (u + 5v) \), woraus \(2y = 4u - 6v\) folgt. 4. Division durch 2 ergibt \(y = 2u - 3v\).

\(x = 3u + 2v\) und \(y = 2u - 3v\)

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen addierst? - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen voneinander abziehst? - Behandle den Parameter \(k\) beim Rechnen wie eine normale Zahl. - Wie kannst du dein Ergebnis für \(x\) nutzen, um \(y\) zu finden?

1. Addition beider Gleichungen: \((4x + 3y) + (4x - 3y) = 11k + 5k\), was zu \(8x = 16k\) führt. 2. Division durch 8: \(x = 2k\). 3. Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung: \((4x + 3y) - (4x - 3y) = 11k - 5k\), was zu \(6y = 6k\) führt. 4. Division durch 6: \(y = k\).

\(x = 2k\) und \(y = k\) (oder als Lösungspaar: \((2k|k)\))

- Es kann hilfreich sein, zuerst alle Terme mit Variablen auf die eine Seite und die reinen Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen. - Mit welchen Zahlen musst du die Gleichungen multiplizieren, damit beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt? - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kommst du dann auf die zweite? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen zu prüfen.

1. Umformen der Gleichungen in die Standardform: \(4x+3y=1\) und \(5x+2y=3\). 2. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) und der zweiten mit \(3\), damit beide \(y\)-Koeffizienten dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen \(6\) entsprechen: \(8x+6y=2\) und \(15x+6y=9\). 3. Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten: \(15x-8x=9-2\), also \(7x=7\) und damit \(x=1\). 4. Einsetzen von \(x=1\) in \(4x+3y=1\): \(4+3y=1\). 5. Auflösen nach \(y\): \(3y=-3\), also \(y=-1\).

\((1|-1)\)

- Forme beide Gleichungen zuerst so um, dass die Variablenterme auf einer Seite und die Zahlen auf der anderen Seite stehen. - Mit welchem Faktor kannst du eine Gleichung multiplizieren, damit sich beim Addieren eine Variable aufhebt? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Auflösen der Klammern und Ordnen der Variablen: \( 2x - 3y = -5 \) und \( 4x - 5y = -3 \). 2. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der ersten Gleichung mit \(-2\) ergibt \( -4x + 6y = 10 \). 3. Addition der neuen Gleichung zur zweiten Gleichung: \( ( -4x + 6y ) + ( 4x - 5y ) = 10 + ( -3 ) \), woraus \( y = 7 \) folgt. 4. Einsetzen von \( y = 7 \) in die erste vereinfachte Gleichung: \( 2x - 3 \cdot 7 = -5 \). 5. Berechnung von \( x \): \( 2x - 21 = -5 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8 \). Die Lösung ist \( x = 8 \) und \( y = 7 \).

\((8|7)\)

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen direkt addierst? - Kannst du eine Variable eliminieren, ohne die Gleichungen vorher zu multiplizieren? - Wie kannst du den gefundenen Wert einer Variable nutzen, um die andere zu berechnen?

1. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \((\frac{x}{2} + y) + (\frac{x}{2} - y) = 7 + 1\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(x = 8\). 3. Einsetzen des Wertes \(x = 8\) in die erste Gleichung: \(\frac{8}{2} + y = 7\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4 + y = 7\). 5. Subtraktion von 4 auf beiden Seiten ergibt \(y = 3\).

\(x = 8\) und \(y = 3\)

- Wie kannst du die Gleichungen verändern, damit keine Brüche mehr vorkommen? - Gibt es eine Zahl, mit der du die gesamte erste Gleichung multiplizieren kannst, um die Nenner 2 und 3 gleichzeitig zu entfernen? - Schau dir die Terme mit \(y\) an, nachdem du die Brüche aufgelöst hast. Fällt dir eine einfache Möglichkeit auf, diese zu eliminieren? - Hast du am Ende die Probe gemacht, indem du deine Ergebnisse in die ursprünglichen Gleichungen eingesetzt hast?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(6\) und der zweiten Gleichung mit \(12\), um die Nenner zu eliminieren: \( 3x - 2y = 12 \) \( 3x + 2y = 24 \) 2. Anwendung des Additionsverfahrens durch Addieren der beiden neuen Gleichungen: \( (3x - 2y) + (3x + 2y) = 12 + 24 \Rightarrow 6x = 36 \) 3. Berechnung von \(x\): \( x = 6 \) 4. Einsetzen von \(x = 6\) in die Gleichung \(3x + 2y = 24\): \( 3 \cdot 6 + 2y = 24 \Rightarrow 18 + 2y = 24 \Rightarrow 2y = 6 \) 5. Berechnung von \(y\): \( y = 3 \)

\((x|y) = (6|3)\)

- Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so veränderst, dass vor einer Variablen in beiden Gleichungen die gleiche Zahl (oder die Gegenzahl) steht? - Welches Verfahren eignet sich am besten, wenn du eine Variable durch Zusammenrechnen der Gleichungen „loswerden“ möchtest? - Hast du schon versucht, die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 zu multiplizieren? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende in beiden Gleichungen zu prüfen.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten mit 3, um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(8x - 6y = 10\) und \(9x + 6y = 24\). 2. Addition der beiden neuen Gleichungen zur Elimination von \(y\): \(17x = 34\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x = 2\). 4. Einsetzen von \(x = 2\) in die ursprüngliche erste Gleichung: \(4 \cdot 2 - 3y = 5\). 5. Vereinfachen und Auflösen nach \(y\): \(8 - 3y = 5 \implies -3y = -3 \implies y = 1\).

\(x = 2\) und \(y = 1\)

- Kannst du die Gleichungen so verändern, dass eine Variable wegfällt, wenn du sie addierst? - Was musst du mit den Gleichungen machen, damit die Zahlen vor dem \(y\) (oder dem \(x\)) bis auf das Vorzeichen gleich sind? - Hast du dein Ergebnis am Ende in beide Gleichungen eingesetzt, um es zu prüfen?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(5\) und der zweiten Gleichung mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(y\) aneinander anzupassen: \(25x + 10y = 5\) und \(-6x - 10y = -24\). 2. Addition der beiden resultierenden Gleichungen zur Eliminierung von \(y\): \(19x = -19\). 3. Lösen nach \(x\): \(x = -1\). 4. Einsetzen von \(x = -1\) in die erste Originalgleichung: \(5 \cdot (-1) + 2y = 1 \implies -5 + 2y = 1\). 5. Lösen nach \(y\): \(2y = 6 \implies y = 3\).

\(x = -1\) und \(y = 3\)

- Könnte es helfen, die Gleichungen zuerst so zu verändern, dass keine Kommazahlen mehr vorkommen? - Gibt es eine Möglichkeit, eine der Variablen durch geschicktes Kombinieren der Gleichungen zu eliminieren? - Was musst du tun, damit die Koeffizienten vor dem \(x\) in beiden Gleichungen (bis auf das Vorzeichen) gleich sind? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Werte für \(x\) und \(y\) in beide ursprünglichen Gleichungen passen?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(10\) und der zweiten Gleichung mit \(10\), um die Dezimalzahlen zu eliminieren: (I) \(4x + 3y = 50\) (II) \(2x + 5y = 60\) 2. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(2\), um das Additionsverfahren vorzubereiten: (II') \(4x + 10y = 120\) 3. Subtraktion von Gleichung (I) von Gleichung (II'): \((4x + 10y) - (4x + 3y) = 120 - 50 \implies 7y = 70\) 4. Division durch \(7\) ergibt \(y = 10\). 5. Einsetzen von \(y = 10\) in Gleichung (I): \(4x + 3 \cdot 10 = 50 \implies 4x + 30 = 50 \implies 4x = 20\) 6. Division durch \(4\) ergibt \(x = 5\).

\(x = 5\) und \(y = 10\) (bzw. \(L = \{(5|10)\}\))

- Kannst du die Brüche eliminieren, indem du die gesamte Gleichung mit einer passenden Zahl multiplizierst? - Welcher gemeinsame Nenner bietet sich für die Brüche in der ersten Gleichung an? - Welches Verfahren (Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir nach dem Auflösen der Brüche am einfachsten?

1. Umwandlung des gemischten Bruchs: \(2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}\) 2. Multiplikation der ersten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\): \(3x + 4y = 25\) 3. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\): \(3x - y = 5\) 4. Anwendung des Additionsverfahrens (Subtraktion der Gleichungen): \((3x + 4y) - (3x - y) = 25 - 5 \implies 5y = 20\) 5. Berechnung von \(y\): \(y = 4\) 6. Einsetzen von \(y = 4\) in die vereinfachte zweite Gleichung: \(3x - 4 = 5 \implies 3x = 9 \implies x = 3\) 7. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(3|4)\}\)

\(x = 3\) und \(y = 4\) bzw. \(L = \{(3|4)\}\)

- Könntest du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Wäre es einfacher, zuerst die Dezimalzahlen und Brüche durch Multiplikation mit einer geeigneten Zahl in ganze Zahlen umzuwandeln? - Was musst du tun, nachdem du den Wert für die erste Variable gefunden hast?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\), um den Koeffizienten von \(x\) zu eliminieren: \(-0{,}4x + 1{,}5y = 6\). 2. Addition der umgeformten zweiten Gleichung zur ersten Gleichung: \(2y = 16\). 3. Auflösen nach \(y\): \(y = 8\). 4. Einsetzen von \(y = 8\) in die erste Gleichung: \(0{,}4x + 4 = 10\). 5. Isolieren von \(x\): \(0{,}4x = 6 \implies x = 15\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(15|8)\}\).

\(x = 15\) und \(y = 8\) bzw. \(L = \{(15|8)\}\)

- Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so multiplizierst, dass eine Variable beim Addieren der Gleichungen wegfällt? - Welche Zahl bietet sich als Multiplikator für die erste Gleichung an, damit \(y\) verschwindet? - Hast du dein Ergebnis am Ende in beiden Gleichungen überprüft?

1. Erste Gleichung mit 3 multiplizieren, um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(12x - 3y = 21\). 2. Die neue Gleichung zur zweiten Gleichung addieren: \((12x - 3y) + (2x + 3y) = 21 + 7\). 3. Terme zusammenfassen: \(14x = 28\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(x = 2\). 5. Den Wert \(x = 2\) in die ursprüngliche erste Gleichung einsetzen: \(4 \cdot 2 - y = 7\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(8 - y = 7 \implies -y = -1 \implies y = 1\). 7. Die Lösung ist das Zahlenpaar \((2|1)\).

\((2|1)\)

- Wie kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer passenden Zahl multiplizierst? - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kommst du dann auf den Wert der anderen? - Hast du dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in beide Gleichungen überprüft?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(-30x - 8y + 14 = 0\). 2. Addition der resultierenden Gleichung zur ersten Gleichung: \((5x + 8y + 11) + (-30x - 8y + 14) = 0 \Rightarrow -25x + 25 = 0\). 3. Auflösen der Summengleichung nach \(x\): \(x = 1\). 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche erste Gleichung: \(5 \cdot 1 + 8y + 11 = 0 \Rightarrow 16 + 8y = 0\). 5. Auflösen nach \(y\): \(8y = -16 \Rightarrow y = -2\). Das Ergebnis ist das Zahlenpaar \((1|-2)\).

\((1|-2)\)

- Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst? - Wie kannst du die Brüche in der Gleichung vereinfachen, bevor du rechnest? - Kannst du eine Variable direkt eliminieren, ohne die Gleichungen vorher zu multiplizieren? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende in beide Ausgangsgleichungen einzusetzen, um es zu prüfen.

1. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten zur Elimination von \(x\): \( (\frac{1}{3}y) - (-\frac{1}{6}y) = 7 - 1 \). 2. Zusammenfassen der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner 6: \( \frac{2}{6}y + \frac{1}{6}y = 6 \), also \( \frac{3}{6}y = 6 \) bzw. \( \frac{1}{2}y = 6 \). 3. Berechnung von \(y\): \( y = 12 \). 4. Einsetzen von \(y = 12\) in die erste Gleichung: \( \frac{1}{2}x + \frac{12}{3} = 7 \), vereinfacht zu \( \frac{1}{2}x + 4 = 7 \). 5. Berechnung von \(x\): \( \frac{1}{2}x = 3 \), also \( x = 6 \). 6. Das Lösungspaar ist \((6|12)\).

\((6|12)\)

- Kannst du die Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren wegfällt? - Was passiert, wenn du die Koeffizienten von \( y \) auf den gleichen Betrag mit unterschiedlichen Vorzeichen bringst? - Hast du nach dem Finden der ersten Variable diese wieder in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt?

1. Multipliziere Gleichung I mit 3 und Gleichung II mit 5, um die Koeffizienten von \( y \) zu Gegenzahlen zu machen: I': \( 18x - 15y = 33 \) II': \( 20x + 15y = 195 \) 2. Addiere die Gleichungen I' und II': \( (18x + 20x) + (-15y + 15y) = 33 + 195 \), woraus \( 38x = 228 \) folgt. 3. Berechne \( x \): \( x = \frac{228}{38} = 6 \). 4. Setze \( x = 6 \) in Gleichung II ein: \( 4 \cdot 6 + 3y = 39 \), also \( 24 + 3y = 39 \). 5. Löse nach \( y \) auf: \( 3y = 15 \), also \( y = 5 \). 6. Die Lösungsmenge ist \( L = \{(6|5)\} \).

\( L = \{(6|5)\} \)

- Was musst du tun, wenn die Koeffizienten einer Variable in beiden Gleichungen unterschiedlich und keine einfachen ganzzahligen Vielfachen voneinander sind? - Gibt es ein gemeinsames Vielfaches für die Zahlen vor \(u\) oder \(v\)? - Achte darauf, dass die Vorzeichen nach der Multiplikation so gewählt sind, dass sich eine Variable beim Addieren aufhebt.

1. Multiplikation der Gleichung (I) mit \(3\) und der Gleichung (II) mit \(-5\), um \(u\) zu eliminieren: (I') \(15u + 21v = 33\) (II') \(-15u - 20v = -30\) 2. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(15u - 15u + 21v - 20v = 33 - 30\). 3. Vereinfachen: \(v = 3\). 4. Einsetzen von \(v = 3\) in Gleichung (II): \(3u + 4 \cdot 3 = 6\). 5. Berechnung: \(3u + 12 = 6\). 6. Subtraktion von \(12\): \(3u = -6\). 7. Division durch \(3\): \(u = -2\). 8. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(-2 \mid 3)\}\).

\(L = \{(-2 \mid 3)\}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass die Koeffizienten einer Variable beim Addieren genau null ergeben? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten von \(y\)? - Achte darauf, jeden Term der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren.

1. Multiplikation der Gleichung (I) mit \(2\), um die Koeffizienten von \(y\) anzugleichen: \((I') \ 6x + 4y = 14\) 2. Addition von (I') und (II): \(15x = 15\) 3. Berechnung von \(x\): \(x = 1\) 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche Gleichung (I): \(3 \cdot 1 + 2y = 7\) 5. Berechnung von \(y\): \(3 + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2\) 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(1 \mid 2)\}\)

\(L = \{(1 \mid 2)\}\)

- Schau dir die Koeffizienten vor dem \(y\) genau an. In welchem Verhältnis stehen \(1{,}2\) und \(0{,}6\)? - Was stört dich an der Aufgabe am meisten? Kannst du das durch eine einfache Multiplikation beheben? - Wenn du \(x\) kennst, wie kommst du dann auf \(y\)?

1. Bestimmung des Faktors: Um \(1{,}2y\) und \(-0{,}6y\) zu eliminieren, muss (II) mit \(2\) multipliziert werden, da \(-0{,}6 \cdot 2 = -1{,}2\). 2. Vorteil der Multiplikation mit 10: Alle Dezimalzahlen werden zu ganzen Zahlen, was das Kopfrechnen erleichtert und die Fehleranfälligkeit senkt. 3. Lösungsweg über (II) \(\cdot 2\): (IIa) \(4x - 1{,}2y = 4{,}4\). 4. Addition von (I) und (IIa): \(0{,}5x + 4x = 4{,}6 + 4{,}4 \implies 4{,}5x = 9\). 5. Berechnung von \(x\): \(x = 9 : 4{,}5 = 2\). 6. Einsetzen von \(x = 2\) in (II): \(2 \cdot 2 - 0{,}6y = 2{,}2 \implies 4 - 0{,}6y = 2{,}2 \implies 1{,}8 = 0{,}6y \implies y = 3\). 7. Ergebnis: \(L = \{(2; 3)\}\).

a) Multiplikation mit \(2\). b) Der Vorteil ist die Vermeidung von Dezimalzahlen, wodurch mit ganzen Zahlen gerechnet werden kann. c) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2; 3)\}\).

- Setze den gefundenen Wert für \(x\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. - Was ist die Gegenzahl von \(6\)? - Überlege, welche Zahl zusammen mit \(6\) Null ergibt.

1. Überprüfung Teil a: Die Addition der linken Seiten ergibt \(9x\), die der rechten Seiten \(45\). Die Division \(45 : 9 = 5\) ist korrekt. 2. Berechnung von \(y\): Einsetzen von \(x = 5\) in (II): \(3 \cdot 5 + 5y = 31 \implies 15 + 5y = 31 \implies 5y = 16 \implies y = 3{,}2\). 3. Teilaufgabe b: In Gleichung (I) ist der Koeffizient von \(x\) gleich \(6\). Damit \(x\) beim Addieren wegfällt, muss der Koeffizient in der neuen Gleichung (II) die Gegenzahl \(-6\) sein. 4. Die neue Gleichung lautet somit: \(-6x + 5y = 31\).

a) Die Rechnung für \(x\) ist korrekt; \(y = 3{,}2\). b) Die neue Gleichung (II) lautet \(-6x + 5y = 31\).

- Es hilft oft, zuerst alle Variablen auf die linke Seite und die Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung zu bringen. - Suche nach einem gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten einer Variablen, um diese durch Addition oder Subtraktion eliminieren zu können. - Vergiss nicht, den gefundenen Wert für die erste Variable in eine der Ausgangsgleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.

1. Umstellen der Gleichung (II) in die Standardform: \(5a + 4b = 23\). 2. Multiplikation von (I) mit \(4\) und von (II) mit \(3\), um die Koeffizienten von \(b\) gegengleich zu machen: (I') \(8a - 12b = 0\) und (II') \(15a + 12b = 69\). 3. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(23a = 69\). 4. Division durch \(23\): \(a = 3\). 5. Einsetzen von \(a = 3\) in (I): \(2 \cdot 3 - 3b = 0 \Rightarrow 6 - 3b = 0 \Rightarrow 6 = 3b\). 6. Berechnung von \(b\): \(b = 2\). 7. Resultat: \(L = \{(3 | 2)\}\).

\(L = \{(3 | 2)\}\)

- Betrachte die Zahlen vor den Buchstaben \(x\) und \(y\). Gibt es ein einfaches Vielfaches? - Könntest du eine Gleichung so verändern, dass eine Variable beim Zusammenzählen beider Gleichungen wegfällt? - Ist es einfacher, eine Gleichung zu multiplizieren oder eine Variable mühsam mit Brüchen zu isolieren?

1. Wahl des Verfahrens: Das Additionsverfahren ist effizient, da sich die Koeffizienten von \(y\) (\(2\) und \(-4\)) durch einfache Multiplikation von Gleichung (I) mit \(2\) gegengleich machen lassen. 2. Gleichung (I) mit \(2\) multiplizieren: \(10x + 4y = 2\). 3. Addieren der neuen Gleichung (I') und Gleichung (II): \((10x + 3x) + (4y - 4y) = 2 + 11 \Rightarrow 13x = 13\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(x = 1\). 5. \(x = 1\) in (I) einsetzen: \(5 \cdot 1 + 2y = 1 \Rightarrow 5 + 2y = 1\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(2y = -4 \Rightarrow y = -2\). 7. Ergebnis: Das Lösungspaar ist \((1; -2)\).

Durch das Additionsverfahren (Multiplikation von (I) mit \(2\)) erhält man die Lösung \(x = 1\) und \(y = -2\), also \(L = \{(1; -2)\}\).

- Welche Zahl muss vor dem \(x\) in der zweiten Gleichung stehen, damit \(x + (\dots)x = 0\) ergibt? - Du kannst dir für die Zahl vor dem \(y\) fast jede beliebige Zahl aussuchen. - Wie berechnest du das Ergebnis auf der rechten Seite der Gleichung, wenn du \(x\), \(y\) und die Koeffizienten schon kennst?

1. Bestimmung des Koeffizienten: Damit \(x\) wegfällt, muss der Koeffizient \(a\) in Gleichung (II) die Gegenzahl zu \(1\) (aus Gleichung I) sein, also \(a = -1\). 2. Aufstellen der Gleichung: Ansatz \(-x + by = c\). Wahl eines beliebigen Wertes für \(b\), zum Beispiel \(b = 2\). 3. Berechnung von \(c\): Einsetzen der Lösung \((5|2)\) ergibt \(-5 + 2 \cdot 2 = c \Rightarrow -5 + 4 = -1\). Die Gleichung (II) lautet \(-x + 2y = -1\). 4. Kontrolle durch Addition: \((x - x) + (y + 2y) = 7 + (-1) \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen von \(y = 2\) in (I) ergibt \(x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5\). Das konstruierte System ist korrekt.

Eine mögliche Gleichung ist (II) \(-x + 2y = -1\). (Andere Gleichungen der Form \(-x + by = -5 + 2b\) sind ebenfalls korrekt). Die Kontrolle bestätigt die Lösung \((5|2)\).

- Mit welcher Zehnerzahl musst du multiplizieren, um die Kommas um eine Stelle nach rechts zu verschieben? - Was musst du tun, damit beim Addieren der Gleichungen entweder \(x\) oder \(y\) verschwindet? - Hast du daran gedacht, jeden Summanden und auch das Ergebnis auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens zu multiplizieren?

1. Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\), um die Dezimalstellen zu entfernen: (Ia) \(3x + 4y = 25\) und (IIa) \(7x - 2y = 13\). 2. Multiplikation von (IIa) mit \(2\), um gegengleiche Koeffizienten für \(y\) zu erhalten: (IIb) \(14x - 4y = 26\). 3. Addition von (Ia) und (IIb): \(17x = 51\), woraus \(x = 3\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 3\) in (Ia): \(3(3) + 4y = 25 \Rightarrow 9 + 4y = 25 \Rightarrow 4y = 16 \Rightarrow y = 4\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3 | 4)\}\).

\(L = \{(3 | 4)\}\)

- Gibt es eine Variable, deren Koeffizienten in beiden Gleichungen leicht auf den gleichen Betrag gebracht werden können? - Achte beim Addieren der Gleichungen besonders auf die Vorzeichen. - Du kannst das Ergebnis überprüfen, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der Gleichung (II) mit \(-2\), um die Variable \(x\) zu eliminieren: \(-4x - 10y = 2\). 2. Addieren der neuen Gleichung (II') zur Gleichung (I): \((4x - 4x) + (-3y - 10y) = 11 + 2\). 3. Vereinfachen: \(-13y = 13\). 4. Division durch \(-13\): \(y = -1\). 5. Einsetzen von \(y = -1\) in Gleichung (II): \(2x + 5 \cdot (-1) = -1\). 6. Auflösen nach \(x\): \(2x - 5 = -1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2 | -1)\}\).

\(L = \{(2 | -1)\}\)

- Es hilft oft, zuerst alle Zahlen in das gleiche Format (entweder Brüche oder Dezimalzahlen) zu bringen. - Könntest du eine Gleichung so multiplizieren, dass ein Bruch verschwindet? - Überlege, welcher Koeffizient einfacher zu eliminieren ist: der vor dem \(x\) oder der vor dem \(y\).

1. Umwandlung der Dezimalzahlen in (II) in Brüche oder Brüche in (I) in Dezimalzahlen. Hier bietet sich die Multiplikation von (II) mit \(2\) an, um den Koeffizienten von \(x\) an (I) anzupassen: \(2 \cdot (0{,}25x - 0{,}5y = -1) \Rightarrow 0{,}5x - y = -2\). 2. Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\), lautet das System nun: (I) \(0{,}5x + \frac{2}{3}y = 4\) (II') \(0{,}5x - y = -2\) 3. Subtraktion von (II') von (I) (oder Multiplikation von (II') mit \(-1\) und Addition): \((0{,}5x - 0{,}5x) + (\frac{2}{3}y - (-y)) = 4 - (-2)\). 4. Zusammenfassen: \(\frac{5}{3}y = 6\). 5. Nach \(y\) auflösen: \(y = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6\). 6. Einsetzen von \(y = 3{,}6\) in (II): \(0{,}25x - 0{,}5 \cdot 3{,}6 = -1 \Rightarrow 0{,}25x - 1{,}8 = -1\). 7. Nach \(x\) auflösen: \(0{,}25x = 0{,}8 \Rightarrow x = 3{,}2\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3{,}2 | 3{,}6)\}\). 9. Die Prüfung bestätigt, dass das Paar die Lösung ist.

\(L = \{(3{,}2 | 3{,}6)\}\). Das Zahlenpaar \((3{,}2 | 3{,}6)\) ist die korrekte Lösung des Systems.

- Könntest du eine der Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Es könnte helfen, die Gleichungen zuerst mit \(10\) zu multiplizieren, um die Dezimalzahlen zu eliminieren. - Vergiss nicht, dein Ergebnis für die erste Variable in eine der Ausgangsgleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu finden.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(x\) gegengleich zu machen: \(-0{,}4x - 1{,}0y = -4{,}4\). 2. Addition der neuen Gleichung (II') zur Gleichung (I): \((0{,}4x - 0{,}4x) + (-0{,}3y - 1{,}0y) = 1{,}8 - 4{,}4\). 3. Vereinfachen: \(-1{,}3y = -2{,}6\). 4. Division durch \(-1{,}3\): \(y = 2\). 5. Einsetzen von \(y = 2\) in Gleichung (I): \(0{,}4x - 0{,}3 \cdot 2 = 1{,}8 \implies 0{,}4x - 0{,}6 = 1{,}8\). 6. Umformen nach \(x\): \(0{,}4x = 2{,}4 \implies x = 6\).

Die Lösung ist \(x = 6\) und \(y = 2\).

- Überprüfe, ob alle Variablen auf der linken Seite und die Zahlen auf der rechten Seite stehen. - Wie kannst du die Gleichungen verändern, damit die Koeffizienten vor \(x\) oder \(y\) gegengleich oder identisch werden? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Vergiss nicht, die berechneten Werte am Ende in die Lösungsmenge zu schreiben.

1. Umformen von Gleichung (II) durch Subtraktion von \(2y\): \(3x - 2y = 8\) 2. Multiplikation von (I) mit 3 und der neuen Form von (II) mit 2, um die Koeffizienten von \(x\) anzugleichen: (I') \(6x + 15y = -3\) (II') \(6x - 4y = 16\) 3. Subtraktion von (II') von (I'): \((6x + 15y) - (6x - 4y) = -3 - 16 \implies 19y = -19\) 4. Division durch 19: \(y = -1\) 5. Einsetzen von \(y = -1\) in (II): \(3x = 2 \cdot (-1) + 8 \implies 3x = 6\) 6. Division durch 3: \(x = 2\) 7. Lösungsmenge: \(L = \{(2|-1)\}\)

\(L = \{(2|-1)\}\)

- Schau dir die Zahlen vor den Buchstaben an. Gibt es ein gemeinsames Vielfaches, auf das du sie bringen kannst? - Du kannst beide Gleichungen mit unterschiedlichen Zahlen multiplizieren, um eine Variable zu eliminieren. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die Gleichungen addierst. - Hast du beide Variablen berechnet?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten Gleichung mit 5, um die Koeffizienten von \(y\) auf \(10\) und \(-10\) zu bringen: \(8x + 10y = 4\) und \(15x - 10y = 65\). 2. Addition der beiden umgeformten Gleichungen eliminiert \(y\): \(23x = 69\). 3. Division durch 23 ergibt \(x = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 3\) in die erste Gleichung: \(4 \cdot 3 + 5y = 2\). 5. Berechnung von \(y\): \(12 + 5y = 2 \implies 5y = -10 \implies y = -2\). 6. Die Lösungsmenge ist \(\{(3|-2)\}\).

\((3|-2)\)

- Findest du ein gemeinsames Vielfaches für die Koeffizienten von \(x\) oder \(y\)? - Wie müssen die Vorzeichen der Koeffizienten sein, damit sie sich beim Addieren gegenseitig aufheben? - Kannst du beide Gleichungen so umformen, dass eine Variable beim Addieren verschwindet? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(2\) und \(3\)?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) und der zweiten Gleichung mit \(-3\), um \(y\) zu eliminieren: \(8x + 6y = 4\) und \(-15x - 6y = 3\). 2. Addition der beiden umgeformten Gleichungen ergibt \(-7x = 7\). 3. Division durch \(-7\) liefert \(x = -1\). 4. Einsetzen von \(x = -1\) in die erste Gleichung: \(4 \cdot (-1) + 3y = 2\). 5. Auflösen der Gleichung \(-4 + 3y = 2\) führt zu \(3y = 6\) und somit \(y = 2\).

\((-1|2)\)

- Sieh dir die Koeffizienten vor dem \(y\) an. Welches Verfahren bietet sich hier direkt an? - Nachdem du eine Variable bestimmt hast, wie findest du die zweite? - Lass dich nicht davon verwirren, dass im Ergebnis ein Buchstabe vorkommt. - Achte beim Einsetzen und Umformen genau auf die Vorzeichen.

1. Addition der beiden Gleichungen, um die Variable \(y\) zu eliminieren: \( (4x + 3y) + (2x - 3y) = 10a + 2a \). 2. Vereinfachen der entstandenen Gleichung: \(6x = 12a\). 3. Division durch 6 ergibt \(x = 2a\). 4. Einsetzen von \(x = 2a\) in die erste Gleichung: \(4 \cdot (2a) + 3y = 10a\). 5. Zusammenfassen und nach \(y\) auflösen: \(8a + 3y = 10a \implies 3y = 2a \implies y = \frac{2}{3}a\).

\(x = 2a\) und \(y = \frac{2}{3}a\)

- Welche Variable lässt sich am einfachsten eliminieren, wenn du eine der Gleichungen mit \(a\) multiplizierst? - Erinnere dich daran, wie man Terme mit der gesuchten Variable ausklammert, um nach dieser aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(a\): \(ax + a^2y = 2a\). 2. Subtraktion dieser neuen Gleichung von der zweiten Gleichung: \(y - a^2y = a - 2a\), woraus \((1 - a^2)y = -a\) folgt. 3. Auflösen nach \(y\): \(y = \frac{-a}{1 - a^2} = \frac{a}{a^2 - 1}\). 4. Einsetzen von \(y\) in die erste Gleichung: \(x + a \cdot \frac{a}{a^2 - 1} = 2\). 5. Auflösen nach \(x\): \(x = 2 - \frac{a^2}{a^2 - 1} = \frac{2a^2 - 2 - a^2}{a^2 - 1} = \frac{a^2 - 2}{a^2 - 1}\).

\(x = \frac{a^2 - 2}{a^2 - 1}\) und \(y = \frac{a}{a^2 - 1}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable beim Addieren der Gleichungen wegfällt? - Was passiert, wenn du die erste Gleichung mit \(a\) und die zweite mit \(b\) multiplizierst? - Erinnerst du dich, wie man Terme ausklammert, um eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen? - Überlege, welcher Term auf beiden Seiten der Gleichung steht und eventuell gekürzt werden kann.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(a\) und der zweiten Gleichung mit \(b\), um die Koeffizienten von \(y\) anzugleichen: \(a^2x + aby = a(a^2 + b^2)\) und \(b^2x - aby = 0\). 2. Addition der beiden entstandenen Gleichungen eliminiert \(y\): \((a^2 + b^2)x = a(a^2 + b^2)\). 3. Division durch den Term \((a^2 + b^2)\), der für \(a, b \neq 0\) stets ungleich Null ist: \(x = a\). 4. Einsetzen von \(x = a\) in die Gleichung \(bx - ay = 0\) ergibt \(ba - ay = 0\). 5. Umstellen nach \(y\): \(ay = ab\), woraus durch Division durch \(a\) folgt: \(y = b\).

\((a|b)\)

- Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen zuerst mit passenden Faktoren multiplizierst? - Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen voneinander subtrahierst? - Schau dir die Struktur der rechten Seite nach der Subtraktion genau an. - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen zu prüfen.

1. Multipliziere die erste Gleichung mit \(a\) und die zweite mit \(b\): \(a^2x+aby=a^2\) und \(b^2x+aby=b^2\). 2. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \((a^2-b^2)x=a^2-b^2\). 3. Wegen \(a^2-b^2\neq 0\) darf dividiert werden; daher gilt \(x=1\). 4. Einsetzen in die beiden ursprünglichen Gleichungen liefert \(by=0\) und \(ay=0\). 5. Falls \(b\neq 0\), folgt aus \(by=0\) sofort \(y=0\). Falls \(b=0\), gilt wegen \(a^2\neq b^2\) zwingend \(a\neq 0\), und aus \(ay=0\) folgt ebenfalls \(y=0\).

\(x = 1\) und \(y = 0\)

- Wie kannst du die Brüche in beiden Gleichungen entfernen, um mit ganzen Zahlen zu rechnen? - Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner in der jeweiligen Gleichung? - Nachdem du die Brüche entfernt hast: Welches Verfahren hilft dir, eine Variable schnell zu eliminieren? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen zu prüfen.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit dem Hauptnenner 4, um die Brüche zu beseitigen: \(2x + 3y = 24\). 2. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner 6: \(4x - 3y = 12\). 3. Addition der beiden neuen Gleichungen zur Elimination von \(y\): \((2x + 3y) + (4x - 3y) = 24 + 12\). 4. Dies führt zu der Gleichung \(6x = 36\). Division durch 6 ergibt \(x = 6\). 5. Einsetzen von \(x = 6\) in die Gleichung \(2x + 3y = 24\): \(2 \cdot 6 + 3y = 24 \Rightarrow 12 + 3y = 24\). 6. Subtraktion von 12 und anschließende Division durch 3 ergibt \(y = 4\).

\(x = 6\) und \(y = 4\)

- Womit könntest du die Gleichungen multiplizieren, um die Brüche zu entfernen? - Welches Verfahren bietet sich an, wenn du Terme mit gleichem Betrag aber unterschiedlichem Vorzeichen (wie \(2y\) und \(-2y\)) hast? - Was ist der kleinste gemeinsame Nenner der Brüche in der ersten Gleichung?

1. Multiplikation von Gleichung 1 mit 6 und Gleichung 2 mit 4 zur Beseitigung der Nenner: \(3x - 2y = 6\) und \(x + 2y = 10\) 2. Addition der beiden resultierenden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \(4x = 16\) 3. Berechnung von \(x\): \(x = 4\) 4. Einsetzen von \(x = 4\) in die vereinfachte zweite Gleichung: \(4 + 2y = 10\) 5. Auflösen nach \(y\): \(2y = 6\), woraus \(y = 3\) folgt

\((4|3)\)

- Multipliziere zuerst die Klammern auf beiden Seiten der Gleichungen aus. - Achte beim Zusammenfassen der Terme besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit dem Term \( xy \), wenn er auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt? - Versuche, beide Gleichungen in die Form \( ax + by = c \) zu bringen. - Welches Verfahren eignet sich am besten, wenn die Koeffizienten von \( x \) bereits Gegenzahlen zueinander sind?

1. Ausmultiplizieren der Klammern in beiden Gleichungen: Gleichung 1: \( xy - 2x + y - 2 = xy + 3x - y - 3 \) Gleichung 2: \( xy + 4x - 3y - 12 = xy - x + 2y - 2 \) 2. Vereinfachen der Gleichungen durch Subtraktion von \( xy \) und Zusammenfassen der Terme: Gleichung 1: \( -5x + 2y = -1 \) Gleichung 2: \( 5x - 5y = 10 \) 3. Anwendung des Additionsverfahrens durch Addition der beiden vereinfachten Gleichungen: \( (-5x + 5x) + (2y - 5y) = -1 + 10 \Rightarrow -3y = 9 \) 4. Berechnung von \( y \): \( y = -3 \) 5. Einsetzen von \( y = -3 \) in die vereinfachte Gleichung 2: \( 5x - 5 \cdot (-3) = 10 \Rightarrow 5x + 15 = 10 \Rightarrow 5x = -5 \Rightarrow x = -1 \) 6. Die Lösung des Systems ist das Zahlenpaar \((-1|-3)\).

\((-1|-3)\)

- Könntest du die Brüche durch neue Variablen ersetzen, um das System zu vereinfachen? - Wie gehst du normalerweise vor, um ein System mit zwei Unbekannten zu lösen? - Vergiss am Ende nicht, von deinen Hilfsvariablen wieder auf die ursprünglichen Unbekannten zurückzurechnen.

1. Einführung der Hilfsvariablen \(u = \frac{1}{a}\) und \(v = \frac{1}{b}\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: \(2u + 3v = 1\) und \(5u - 6v = 7\). 3. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) ergibt \(4u + 6v = 2\). 4. Addition der umgeformten ersten Gleichung und der zweiten Gleichung liefert \(9u = 9\), woraus \(u = 1\) folgt. 5. Einsetzen von \(u = 1\) in die erste Gleichung \(2(1) + 3v = 1\) ergibt \(3v = -1\), also \(v = -\frac{1}{3}\). 6. Rücksubstitution zur Bestimmung der ursprünglichen Variablen: \(a = \frac{1}{u} = 1\) und \(b = \frac{1}{v} = -3\).

\(L = \{(1|-3)\}\)

- Manchmal reicht es nicht, nur eine Gleichung zu multiplizieren. Kannst du beide Gleichungen so verändern, dass eine Variable die gleichen Koeffizienten mit unterschiedlichen Vorzeichen hat? - Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten einer Variablen. - Überlege dir, ob es einfacher ist, \(x\) oder \(y\) zu eliminieren.

1. Beide Gleichungen multiplizieren, um die Koeffizienten von \(y\) auf das kleinste gemeinsame Vielfache (12) zu bringen: Erste Gleichung mit 3 und zweite Gleichung mit 4 multiplizieren. 2. Resultierende Gleichungen: \(9x + 12y = 15\) und \(8x - 12y = 36\). 3. Gleichungen addieren: \((9x + 12y) + (8x - 12y) = 15 + 36\). 4. Terme zusammenfassen: \(17x = 51\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(x = 3\). 6. Den Wert \(x = 3\) in die ursprüngliche erste Gleichung einsetzen: \(3 \cdot 3 + 4y = 5\). 7. Nach \(y\) auflösen: \(9 + 4y = 5 \implies 4y = -4 \implies y = -1\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3|-1)\}\).

\(L = \{(3|-1)\}\)

- Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen schnell zu eliminieren? - Behandle die Parameter \(a\) und \(b\) beim Umformen genau wie feste Zahlen. - Wie kannst du eine Gleichung so verändern, dass die Koeffizienten vor einer Variablen gegengleich werden? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Ausdrücke in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2: \(4ax + 2by = 10\) 2. Addition dieser Gleichung zur zweiten Gleichung zur Elimination von \(y\): \(5ax = 5\) 3. Division durch \(5a\): \(x = \frac{1}{a}\) 4. Einsetzen von \(x\) in die erste Gleichung: \(2a \cdot \frac{1}{a} + by = 5\), woraus \(2 + by = 5\) folgt 5. Subtraktion von 2 und Division durch \(b\): \(by = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{b}\)

\(x = \frac{1}{a}\) und \(y = \frac{3}{b}\)

- Kannst du eine der Variablen durch geschicktes Addieren der Gleichungen verschwinden lassen? - Was musst du mit einer der Gleichungen tun, damit die Koeffizienten von \(y\) zueinander passen? - Lass dich nicht von den vielen Buchstaben auf der rechten Seite verwirren – fasse sie einfach als eine Einheit zusammen. - Kannst du das Ergebnis am Ende vereinfachen?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2: \(4x - 2y = 2u + 6v\) 2. Addition der ersten Gleichung zur neuen zweiten Gleichung zur Elimination von \(y\): \(5x = 5u + 5v\) 3. Division durch 5: \(x = u + v\) 4. Einsetzen von \(x\) in die erste Gleichung: \((u + v) + 2y = 3u - v\) 5. Isolation von \(2y\) durch Subtraktion von \(u\) und \(v\): \(2y = 2u - 2v\) 6. Division durch 2: \(y = u - v\)

\(x = u + v\) und \(y = u - v\)

- Es hilft oft, die Gleichungen zuerst so umzustellen, dass die Zahlen ohne Variablen auf der rechten Seite stehen. - Wie kannst du die Dezimalzahlen durch Multiplikation in ganze Zahlen umwandeln, um leichter rechnen zu können? - Welches Verfahren eignet sich hier am besten, um eine Variable schnell zu eliminieren?

1. Bringe beide Gleichungen in die Standardform \( ax + by = c \): I: \( 0{,}4x - 0{,}3y = 0{,}5 \) II: \( 0{,}5x + 0{,}2y = 1{,}2 \) 2. Multipliziere Gleichung I mit 2 und Gleichung II mit 3, um das Additionsverfahren für \( y \) vorzubereiten: I': \( 0{,}8x - 0{,}6y = 1{,}0 \) II': \( 1{,}5x + 0{,}6y = 3{,}6 \) 3. Addiere I' und II': \( 2{,}3x = 4{,}6 \). 4. Berechne \( x \): \( x = \frac{4{,}6}{2{,}3} = 2 \). 5. Setze \( x = 2 \) in die umgeformte Gleichung II ein: \( 0{,}5 \cdot 2 + 0{,}2y = 1{,}2 \), also \( 1 + 0{,}2y = 1{,}2 \). 6. Löse nach \( y \) auf: \( 0{,}2y = 0{,}2 \), also \( y = 1 \). 7. Die Lösungsmenge ist \( L = \{(2|1)\} \).

\( L = \{(2|1)\} \)

- Wie kannst du die Klammern auflösen, um die Gleichungen zu vereinfachen? - Versuche, beide Gleichungen so zu sortieren, dass alle Variablen auf einer Seite und die Zahlen auf der anderen Seite stehen. - Welche Variable lässt sich nach der Umformung am leichtesten eliminieren? - Denke daran, dass Ergebnisse auch Dezimalzahlen sein können.

1. Umformung von (I): \(3x - 6 = 4y + 1 \Rightarrow 3x - 4y = 7\). 2. Umformung von (II): \(5x = 2y + 6x + 7 \Rightarrow -x - 2y = 7\). 3. Multiplikation der umgeformten Gleichung (II') mit \(-2\): \(2x + 4y = -14\). 4. Addition von (I') und (II''): \((3x - 4y) + (2x + 4y) = 7 + (-14)\). 5. Zusammenfassen: \(5x = -7\). 6. Division durch \(5\): \(x = -1{,}4\). 7. Einsetzen von \(x = -1{,}4\) in (II'): \(-(-1{,}4) - 2y = 7 \Rightarrow 1{,}4 - 2y = 7\). 8. Subtraktion von \(1{,}4\): \(-2y = 5{,}6\). 9. Division durch \(-2\): \(y = -2{,}8\). 10. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(-1{,}4 \mid -2{,}8)\}\).

\(L = \{(-1{,}4 \mid -2{,}8)\}\)

- Hier ist es hilfreich, beide Gleichungen so zu multiplizieren, dass eine Variable eliminiert werden kann. - Suche nach einem gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten von \(x\) oder \(y\). - Welche Vorzeichen haben die Koeffizienten der Variable, die du eliminieren möchtest?

1. Multiplikation von (I) mit \(2\) und (II) mit \(5\), um das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von \(y\) zu bilden: \((I') \ 8x - 10y = 26\) \((II') \ 15x + 10y = 20\) 2. Addition der neuen Gleichungen (I') und (II'): \(23x = 46\) 3. Berechnung von \(x\): \(x = 2\) 4. Einsetzen von \(x = 2\) in Gleichung (II): \(3 \cdot 2 + 2y = 4\) 5. Berechnung von \(y\): \(6 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1\) 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(2 \mid -1)\}\)

\(L = \{(2 \mid -1)\}\)

- Vergleiche die Zahlen in (I) mit denen in (Ia) – was fällt dir auf? - Welche Terme heben sich beim Addieren auf? - Welche Terme heben sich beim Subtrahieren auf?

1. Analyse: (I) wurde mit \(2\) multipliziert (\(9 \cdot 2=18, 6 \cdot 2=12, 12 \cdot 2=24\)). (II) wurde mit \(3\) multipliziert (\(6 \cdot 3=18, 4 \cdot 3=12, 24 \cdot 3=72\)). 2. Rechenoperationen: Durch Addition von (Ia) und (IIa) wird \(y\) eliminiert. Durch Subtraktion, zum Beispiel (IIa) minus (Ia), wird \(x\) eliminiert. 3. Addition von (Ia) und (IIa): \(36x = 96 \implies x = \frac{96}{36} = \frac{8}{3}\) oder \(x \approx 2{,}67\). 4. Einsetzen von \(x = \frac{8}{3}\) in (II): \(6 \cdot \frac{8}{3} + 4y = 24 \implies 16 + 4y = 24 \implies 4y = 8 \implies y = 2\). 5. Ergebnis: \(L = \{(\frac{8}{3}; 2)\}\).

a) Gleichung (I) wurde mit \(2\) multipliziert, Gleichung (II) mit \(3\). b) Durch Addition wird \(y\) eliminiert; durch Subtraktion wird \(x\) eliminiert. c) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(\frac{8}{3}; 2)\}\).

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass der Koeffizient einer Variablen die Gegenzahl des entsprechenden Koeffizienten in der anderen Gleichung wird? - Schau dir die Zahlen vor dem \(y\) an: \(9\) und \(-3\). Wie hängen diese zusammen? - Alternativ: Wie hängen die Zahlen vor dem \(x\) (\(4\) und \(2\)) zusammen?

1. Strategie 1: Elimination von \(y\). Multiplikation von (II) mit \(3\) ergibt \(6x - 9y = 24\). 2. Addition von (I) und der neuen Gleichung: \((4x + 9y) + (6x - 9y) = 1 + 24 \implies 10x = 25 \implies x = 2{,}5\). 3. Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in (II): \(2 \cdot 2{,}5 - 3y = 8 \implies 5 - 3y = 8 \implies -3y = 3 \implies y = -1\). 4. Strategie 2: Elimination von \(x\). Multiplikation von (II) mit \(-2\) ergibt \(-4x + 6y = -16\). 5. Addition mit (I): \(15y = -15 \implies y = -1\). 6. Einsetzen von \(y = -1\) in (I): \(4x + 9 \cdot (-1) = 1 \implies 4x - 9 = 1 \implies 4x = 10 \implies x = 2{,}5\).

Die Lösung des Systems ist \(x = 2{,}5\) und \(y = -1\). Möglicher erster Schritt: Gleichung (II) mit \(3\) multiplizieren, um \(y\) zu eliminieren.

- Lass dich von den Dezimalzahlen nicht verunsichern; das Verfahren bleibt genau gleich. - Könntest du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, sodass die Dezimalstellen bei einer Variablen verschwinden oder mit der anderen Gleichung übereinstimmen? - Manchmal ist es einfacher, eine Gleichung so zu erweitern, dass eine Variable direkt wegfällt, wenn man beide Gleichungen addiert.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(3\), um den Koeffizienten von \(y\) an den von (I) anzupassen: \(3x - 1{,}2y = 3\). 2. Addition der ursprünglichen Gleichung (I) und der neuen Gleichung (II): \((0{,}5x + 1{,}2y) + (3x - 1{,}2y) = 4 + 3\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(3{,}5x = 7\). 4. Berechnung von \(x\): \(x = \frac{7}{3{,}5} = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in Gleichung (II): \(2 - 0{,}4y = 1\). 6. Umformen nach \(y\): \(1 = 0{,}4y \Rightarrow y = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\). 7. Resultat: \(L = \{(2 | 2{,}5)\}\).

\(L = \{(2 | 2{,}5)\}\)

- Dezimalzahlen können oft durch Multiplikation in ganze Zahlen umgewandelt werden. - Was passiert, wenn du die erste Gleichung mit \(5\) oder mit \(10\) multiplizierst? - Siehst du eine Ähnlichkeit zwischen den \(x\)-Werten in beiden Gleichungen nach einer Umformung? - Wenn auf der rechten Seite nach einer Subtraktion Null steht, was bedeutet das für die Variable?

1. Strategieprüfung: Multipliziert man (I) mit \(5\), erhält man \(2x + 1{,}5y = 9\). Dies ist vorteilhaft, da der Koeffizient von \(x\) dann mit Gleichung (II) übereinstimmt. 2. Umformung von (I): \(5 \cdot (0{,}4x + 0{,}3y) = 5 \cdot 1{,}8 \Rightarrow 2x + 1{,}5y = 9\). 3. Subtraktionsverfahren (Variante des Additionsverfahrens): (I') minus (II) rechnen: \((2x - 2x) + (1{,}5y - (-5y)) = 9 - 9\). 4. Vereinfachen: \(6{,}5y = 0\). 5. Nach \(y\) auflösen: \(y = 0\). 6. \(y = 0\) in (II) einsetzen: \(2x - 5 \cdot 0 = 9 \Rightarrow 2x = 9\). 7. Nach \(x\) auflösen: \(x = 4{,}5\). 8. Ergebnis: Die Lösung ist \((4{,}5; 0)\).

Durch Multiplikation von (I) mit \(5\) und anschließender Subtraktion von (II) ergibt sich \(y = 0\) und \(x = 4{,}5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{(4{,}5; 0)\}\).

- Wähle für die Koeffizienten von \(x\) Werte, die keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind (z. B. 2 und 3). - Achte darauf, dass die Zahlen vor dem \(y\) so gewählt sind, dass sie sich nicht gleichzeitig mit \(x\) aufheben. - Wie findest du ein gemeinsames Vielfaches für die Koeffizienten von \(x\)?

1. Wahl von Koeffizienten für \(x\) und \(y\), die keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind: z. B. (I) \(2x + 3y\) und (II) \(3x + 2y\). 2. Berechnung der Konstanten mit \(x = 3\) und \(y = 4\): \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\) und \(3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17\). 3. Das System lautet: (I) \(2x + 3y = 18\) und (II) \(3x + 2y = 17\). 4. Vorbereitung zur Elimination von \(x\): Multipliziere (I) mit \(3\) und (II) mit \(-2\). 5. Neue Gleichungen: (I') \(6x + 9y = 54\) und (II') \(-6x - 4y = -34\). 6. Addition: \((6x - 6x) + (9y - 4y) = 54 - 34 \Rightarrow 5y = 20\). 7. Ergebnis: \(y = 4\). Durch Einsetzen folgt \(x = 3\).

Ein mögliches System ist: (I) \(2x + 3y = 18\) (II) \(3x + 2y = 17\) Zur Elimination von \(x\) multipliziert man (I) mit \(3\) und (II) mit \(-2\), sodass \(6x\) und \(-6x\) entstehen. Die Addition ergibt \(5y = 20\), also \(y = 4\).

- Multipliziere zuerst die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor dem Bruch steht. - Sortiere die Gleichungen so, dass alle Terme mit \(x\) und \(y\) auf einer Seite stehen, bevor du das Additionsverfahren anwendest.

1. Multiplikation von (I) mit dem Hauptnenner \(6\): \(3(x-2) + 2(y+1) = 12\). Vereinfachen: \(3x - 6 + 2y + 2 = 12 \Rightarrow 3x + 2y = 16\). 2. Multiplikation von (II) mit dem Hauptnenner \(6\): \(2(x+4) - 3(y-1) = 0\). Vereinfachen: \(2x + 8 - 3y + 3 = 0 \Rightarrow 2x - 3y = -11\). 3. Multiplikation der ersten neuen Gleichung mit \(3\) und der zweiten mit \(2\): \(9x + 6y = 48\) und \(4x - 6y = -22\). 4. Addition der Gleichungen: \(13x = 26\), also \(x = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in \(3x + 2y = 16\): \(6 + 2y = 16 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2 | 5)\}\).

\(L = \{(2 | 5)\}\)

- Wenn keine Variable direkt isoliert ist, kann es hilfreich sein, beide Gleichungen zu multiplizieren. - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Koeffizienten einer Variablen. - Überprüfe am Ende, ob deine Lösung für beide Gleichungen eine wahre Aussage ergibt.

1. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der Gleichung (I) mit \(3\) und Gleichung (II) mit \(4\), um \(y\) zu eliminieren. 2. (I') \(9x + 12y = 15\) und (II') \(20x - 12y = 72\). 3. Addieren von (I') und (II'): \(29x = 87\). 4. Division durch \(29\): \(x = 3\). 5. Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (I): \(3 \cdot 3 + 4y = 5\). 6. Auflösen nach \(y\): \(9 + 4y = 5 \Rightarrow 4y = -4 \Rightarrow y = -1\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3 | -1)\}\).

\(L = \{(3 | -1)\}\)

- Was passiert mit den Koeffizienten, wenn du sie addierst? Fällt dir eine Gemeinsamkeit auf? - Kannst du die Summe der Gleichungen durch eine bestimmte Zahl teilen, um sie extrem zu vereinfachen? - Dieser spezielle Weg funktioniert besonders gut, wenn die Zahlen „über Kreuz“ gleich sind.

1. Addition (I) + (II): \(11x + 13x + 13y + 11y = 25 + 23 \Rightarrow 24x + 24y = 48\). 2. Vereinfachen durch Division durch \(24\): \(x + y = 2\). 3. Subtraktion (I) - (II): \(11x - 13x + 13y - 11y = 25 - 23 \Rightarrow -2x + 2y = 2\). 4. Vereinfachen durch Division durch \(2\): \(-x + y = 1\). 5. Neues System lösen: (A) \(x + y = 2\) (B) \(-x + y = 1\) 6. Addition von (A) und (B): \(2y = 3 \Rightarrow y = 1{,}5\). 7. Einsetzen in (A): \(x + 1{,}5 = 2 \Rightarrow x = 0{,}5\). 8. Lösungsmenge \(L = \{(0{,}5 | 1{,}5)\}\). 9. Der Vorteil liegt darin, dass man die hohen Koeffizienten sofort reduziert, anstatt mit sehr großen Zahlen (wie \(11 \cdot 13 = 143\)) zu rechnen, was fehleranfällig ist.

a) \(x + y = 2\) b) \(-x + y = 1\) c) \(L = \{(0{,}5 | 1{,}5)\}\) d) Durch Addition und Subtraktion entstehen Gleichungen mit sehr kleinen Koeffizienten. Das erspart das Rechnen mit großen Zahlen wie \(143\), das beim direkten Eliminieren nötig wäre.

- Kannst du die zweite Gleichung so umformen, dass beim Addieren der Gleichungen die Variable \(y\) wegfällt? - Was musst du tun, um stattdessen die Variable \(x\) zu eliminieren? - Behandle die Buchstaben \(a\) und \(b\) beim Umformen wie ganz normale Zahlen.

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(b\): \(bx - by = ab\). 2. Addition der ersten Gleichung und der umgeformten zweiten Gleichung: \((a + b)x = 1 + ab\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{1 + ab}{a + b}\). 4. Multiplikation der ursprünglichen zweiten Gleichung mit \(a\): \(ax - ay = a^2\). 5. Subtraktion dieser Gleichung von der ersten Gleichung: \(by - (-ay) = 1 - a^2\), was zu \(y(a + b) = 1 - a^2\) führt. 6. Auflösen nach \(y\): \(y = \frac{1 - a^2}{a + b}\).

\(x = \frac{1 + ab}{a + b}\) und \(y = \frac{1 - a^2}{a + b}\)

- Sieh dir die Koeffizienten vor \(y\) an. Welches Verfahren bietet sich hier direkt an? - Wenn du \(x\) gefunden hast, setze diesen Term in eine der Ursprungsgleichungen ein, um \(y\) zu bestimmen. - Für den zweiten Teil: Was bedeutet die Bedingung \(x = y\) für deine gefundenen Terme? - Stelle eine neue Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(a\) vorkommt.

1. Teil a: Addition der Gleichungen (1) und (2) liefert \(4x = 8a - 4\). 2. Division durch 4 ergibt \(x = 2a - 1\). 3. Einsetzen von \(x\) in Gleichung (2): \((2a - 1) - 2y = a - 5\). 4. Umformen nach \(y\): \(-2y = a - 5 - 2a + 1 = -a - 4\), daraus folgt \(y = \frac{a + 4}{2}\) bzw. \(y = 0{,}5a + 2\). 5. Teil b: Gleichsetzen von \(x\) und \(y\): \(2a - 1 = 0{,}5a + 2\). 6. Auflösen nach \(a\): \(1{,}5a = 3\), woraus \(a = 2\) folgt.

a) \(x = 2a - 1\) und \(y = 0{,}5a + 2\) (oder \(y = \frac{a + 4}{2}\)) b) \(a = 2\)

- Wie kannst du die erste Gleichung umformen, um das Additions- oder Subtraktionsverfahren anzuwenden? - Erkennst du auf einer Seite der Gleichung eine binomische Formel? - Beachte, dass \((a-b)^2\) das gleiche Ergebnis liefert wie \((b-a)^2\). Wie hilft dir das beim Kürzen? - Versuche, \(x\) am Ende durch Einsetzen in die einfachste der beiden Ausgangsgleichungen zu finden.

1. Erste Gleichung mit \(a\) multiplizieren: \(ax + ay = 2ab\). 2. Subtraktion dieser neuen Gleichung von der zweiten Gleichung \(ax + by = a^2 + b^2\): \((ax + by) - (ax + ay) = a^2 + b^2 - 2ab\). 3. Vereinfachen der Terme: \(by - ay = a^2 - 2ab + b^2\). 4. Ausklammern von \(y\) auf der linken Seite und Anwendung der zweiten binomischen Formel auf der rechten Seite: \(y(b - a) = (a - b)^2\). 5. Da \((a - b)^2 = (-(b - a))^2 = (b - a)^2\) gilt, folgt \(y(b - a) = (b - a)^2\). Division durch \((b - a)\) ergibt \(y = b - a\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung \(x + y = 2b\): \(x + (b - a) = 2b \Rightarrow x = 2b - b + a \Rightarrow x = b + a\).

\((a+b|b-a)\)

- Kannst du die Koeffizienten von \(x\) oder \(y\) durch Multiplikation angleichen? - Achte auf der rechten Seite auf Ausdrücke, die du aus den binomischen Formeln kennst. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du nach der Subtraktion der Gleichungen ausklammern kannst? - Probier doch mal, die Gleichungen direkt zu addieren oder zu subtrahieren, bevor du multiplizierst.

1. Addiere die beiden Gleichungen: \[(a+b)x+(a+b)y=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.\] Damit gilt \((a+b)(x+y)=(a+b)^2\). 2. Aus \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\neq 0\) folgt \(a+b\neq 0\). Daher darf dividiert werden und es ergibt sich \(x+y=a+b\). 3. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \[(a-b)x-(a-b)y=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\] Damit gilt \((a-b)(x-y)=(a-b)^2\). 4. Wegen \(a-b\neq 0\) folgt \(x-y=a-b\). 5. Addiere die Gleichungen \(x+y=a+b\) und \(x-y=a-b\): \(2x=2a\), also \(x=a\). Anschließend folgt \(y=b\).

\(x = a\) und \(y = b\)

- Wie kannst du die Brüche in den Gleichungen loswerden, um das Rechnen zu erleichtern? - Erinnere dich an die Multiplikation mit dem Hauptnenner. - Achte beim Auflösen der Brüche besonders auf die Vorzeichen vor den Klammern. - Welches Verfahren eignet sich am besten, nachdem die Brüche verschwunden sind?

1. Multiplikation der Gleichungen mit den jeweiligen Hauptnennern, um die Brüche zu eliminieren: I (\(\cdot 12\)): \(4(x+2) + 3(y-1) = 24 \Rightarrow 4x + 8 + 3y - 3 = 24 \Rightarrow 4x + 3y = 19\) II (\(\cdot 6\)): \(3(x-1) - 2(y+2) = 3 \Rightarrow 3x - 3 - 2y - 4 = 3 \Rightarrow 3x - 2y = 10\) 2. Anwendung des Additionsverfahrens auf die vereinfachten Gleichungen: I' (\(\cdot 2\)): \(8x + 6y = 38\) II' (\(\cdot 3\)): \(9x - 6y = 30\) 3. Addition von I' und II' zur Elimination von \(y\): \(17x = 68\). 4. Division durch \(17\) ergibt \(x = 4\). 5. Einsetzen von \(x = 4\) in die Gleichung II': \(3 \cdot 4 - 2y = 10 \Rightarrow 12 - 2y = 10 \Rightarrow 2y = 2\). 6. Daraus folgt \(y = 1\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(4|1)\}\).

\(L = \{(4|1)\}\)

- Multipliziere jede Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor dem Bruchstrich steht. - Nachdem du die Gleichungen vereinfacht hast, welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir am effizientesten? - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen mit passenden Faktoren multiplizierst und sie dann addierst?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\): \( 3(a+1) + 2(b-2) = 18 \Rightarrow 3a + 3 + 2b - 4 = 18 \Rightarrow 3a + 2b = 19 \) 2. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\): \( 4(a-2) - 3(b+2) = 0 \Rightarrow 4a - 8 - 3b - 6 = 0 \Rightarrow 4a - 3b = 14 \) 3. Vorbereitung des Additionsverfahrens durch Multiplikation der ersten vereinfachten Gleichung mit \(3\) und der zweiten mit \(2\): \( 9a + 6b = 57 \) \( 8a - 6b = 28 \) 4. Addition der Gleichungen zur Eliminierung von \(b\): \( 17a = 85 \Rightarrow a = 5 \) 5. Einsetzen von \(a = 5\) in die Gleichung \(3a + 2b = 19\): \( 3 \cdot 5 + 2b = 19 \Rightarrow 15 + 2b = 19 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2 \)

\((a|b) = (5|2)\)

- Beginne damit, beide Gleichungen durch Multiplikation mit dem jeweils kleinsten gemeinsamen Nenner bruchfrei zu machen. - Vergiss nicht, beim Multiplizieren der gesamten Gleichung auch die Terme auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens einzubeziehen. - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch in der ersten Gleichung. - Welche Variable lässt sich nach der Vereinfachung besonders leicht eliminieren?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\): \(3(3x-1) - 4(2y+1) = 2(x-y)\). 2. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner \(10\): \(5(x+y) + 2(x-y) = 20\). 3. Vereinfachung der Gleichungen: \(9x - 3 - 8y - 4 = 2x - 2y \Rightarrow 7x - 6y = 7\) und \(5x + 5y + 2x - 2y = 20 \Rightarrow 7x + 3y = 20\). 4. Subtraktion der ersten vereinfachten Gleichung von der zweiten, um \(x\) zu eliminieren: \((7x + 3y) - (7x - 6y) = 20 - 7 \Rightarrow 9y = 13\), woraus \(y = \frac{13}{9}\) folgt. 5. Einsetzen von \(y\) in \(7x + 3y = 20\): \(7x + 3 \cdot \frac{13}{9} = 20 \Rightarrow 7x + \frac{13}{3} = 20 \Rightarrow 7x = \frac{47}{3}\), woraus \(x = \frac{47}{21}\) folgt.

\(\left(\frac{47}{21}\middle|\frac{13}{9}\right)\)

- Versuche zuerst, die Dezimalzahlen in der ersten Gleichung durch Multiplikation in ganze Zahlen umzuwandeln. - Wie kannst du den Nenner in der zweiten Gleichung loswerden? Beachte, dass \(0{,}25\) als Bruch \(\frac{1}{4}\) geschrieben werden kann. - Bringe beide Gleichungen in die Form \(ax + by = c\), bevor du ein Lösungsverfahren wählst. - Prüfe am Ende, ob deine Brüche noch gekürzt werden können.

1. Erste Gleichung ausmultiplizieren: \(0{,}8x - 2y + 1{,}2 = 0{,}2x\). 2. Erste Gleichung ordnen: \(0{,}6x - 2y = -1{,}2\). 3. Zweite Gleichung mit \(4\) multiplizieren: \(2(x-1) = (3y+1) - 1\). 4. Zweite Gleichung vereinfachen: \(2x - 2 = 3y \Rightarrow 2x - 3y = 2\). 5. Multiplikation der ersten vereinfachten Gleichung mit \(10\) zur Beseitigung der Dezimalzahlen: \(6x - 20y = -12\). 6. Lösen des Systems, z. B. durch das Additionsverfahren: Multipliziere die zweite vereinfachte Gleichung mit \(-3\): \(-6x + 9y = -6\). 7. Addition beider Gleichungen: \(-11y = -18 \Rightarrow y = \frac{18}{11}\). 8. Einsetzen von \(y\) in \(2x - 3y = 2\): \(2x - 3(\frac{18}{11}) = 2 \Rightarrow 2x - \frac{54}{11} = \frac{22}{11}\). 9. Lösen nach \(x\): \(2x = \frac{76}{11} \Rightarrow x = \frac{38}{11}\). Das Ergebnis ist \(x = \frac{38}{11}\) und \(y = \frac{18}{11}\).

\(L = \{\left(\frac{38}{11}\middle|\frac{18}{11}\right)\}\)

- Hier ist es hilfreich, beide Gleichungen so zu multiplizieren, dass die Koeffizienten einer Variablen den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben. - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Koeffizienten von \(x\) oder \(y\). - Lass dich von Brüchen im Ergebnis nicht verunsichern; rechne Schritt für Schritt weiter. - Wie kannst du Brüche beim Einsetzen geschickt kürzen?

1. Finden eines gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten einer Variablen, zum Beispiel für \(y\) (\(\text{kgV}(15, 20) = 60\)). 2. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(4\) und der zweiten Gleichung mit \(-3\): \(88x - 60y + 4 = 0\) und \(-99x + 60y - 12 = 0\). 3. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \((88x - 99x) + (-60y + 60y) + (4 - 12) = 0 \Rightarrow -11x - 8 = 0\). 4. Auflösen nach \(x\): \(-11x = 8 \Rightarrow x = -\frac{8}{11}\). 5. Einsetzen von \(x = -\frac{8}{11}\) in die erste Gleichung: \(22 \cdot (-\frac{8}{11}) - 15y + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot (-8) - 15y + 1 = 0\). 6. Vereinfachen der Gleichung: \(-16 - 15y + 1 = 0 \Rightarrow -15 - 15y = 0\). 7. Auflösen nach \(y\): \(-15y = 15 \Rightarrow y = -1\). Die Lösung ist \((-\frac{8}{11}|-1)\).

\((-\frac{8}{11}|-1)\)