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- Welche beiden Terme sind bereits Gegenzahlen? - Addiere linke und rechte Seiten jeweils termweise, ohne vorher zu multiplizieren.

1. Beim Addieren heben sich \(2x\) und \(-2x\) auf. 2. Die übrigen Terme ergeben \(3y+y=11+1\), also \(4y=12\). Antwort C ist richtig.

C: \(4y=12\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Welche Zahl müsste als Koeffizient vor einer der Variablen stehen, damit dieser Koeffizient die Gegenzahl des entsprechenden Koeffizienten in der anderen Gleichung ist? - Was passiert mit der anderen Variable, wenn du die beiden Gleichungen addierst? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende in den ursprünglichen Gleichungen überprüfen?

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(2\), um die Koeffizienten von \(b\) gegengleich zu machen: \(2a + 4b = 12\). 2. Addition der neuen Gleichung (II') und der Gleichung (I): \((3a - 4b) + (2a + 4b) = 18 + 12\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(5a = 30\). 4. Division durch \(5\): \(a = 6\). 5. Einsetzen von \(a = 6\) in Gleichung (II): \(6 + 2b = 6\). 6. Subtraktion von \(6\): \(2b = 0\). 7. Division durch \(2\): \(b = 0\). 8. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(6 \mid 0)\}\).

\(L = \{(6 \mid 0)\}\)

- Schau dir die Koeffizienten von \(y\) in beiden Gleichungen an. Was passiert, wenn du die Gleichungen direkt addierst? - Überlege, wie du eine Variable verschwinden lassen kannst. - Vergiss nicht, den gefundenen Wert am Ende in eine der Gleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.

1. Addition der Gleichungen (I) und (II): \(7x = 21\) 2. Berechnung von \(x\): \(x = 3\) 3. Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (I): \(5 \cdot 3 + 3y = 9\) 4. Berechnung von \(y\): \(15 + 3y = 9 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2\) 5. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(3 \mid -2)\}\)

\(L = \{(3 \mid -2)\}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass die Koeffizienten einer Variable beim Addieren genau null ergeben? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten von \(y\)? - Achte darauf, jeden Term der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren.

1. Multiplikation der Gleichung (I) mit \(2\), um die Koeffizienten von \(y\) anzugleichen: \((I') \ 6x + 4y = 14\) 2. Addition von (I') und (II): \(15x = 15\) 3. Berechnung von \(x\): \(x = 1\) 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche Gleichung (I): \(3 \cdot 1 + 2y = 7\) 5. Berechnung von \(y\): \(3 + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2\) 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{(1 \mid 2)\}\)

\(L = \{(1 \mid 2)\}\)

- Wann heben sich zwei Summanden beim Addieren genau auf? - Schau dir die Zahlen direkt vor den Buchstaben an. - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie findest du dann die andere?

1. Teilaufgabe a: Auswahl von Gleichung (1) und (2), da die Koeffizienten von \(y\) mit \(4\) und \(-4\) Gegenzahlen sind. 2. Addition: \((3x + 4y) + (5x - 4y) = 10 + 6 \implies 8x = 16 \implies x = 2\). 3. Einsetzen von \(x = 2\) in (1): \(3 \cdot 2 + 4y = 10 \implies 6 + 4y = 10 \implies 4y = 4 \implies y = 1\). Lösung: \((2|1)\). 4. Teilaufgabe b: Auswahl von Gleichung (1) und (3), da die Koeffizienten von \(x\) mit \(3\) und \(-3\) Gegenzahlen sind. 5. Addition: \((3x + 4y) + (-3x + 2y) = 10 + 8 \implies 6y = 18 \implies y = 3\). 6. Einsetzen von \(y = 3\) in (3): \(-3x + 2 \cdot 3 = 8 \implies -3x + 6 = 8 \implies -3x = 2 \implies x = -\frac{2}{3}\). Lösung: \((-\frac{2}{3}|3)\).

a) System aus (1) und (2); Lösung: \(x = 2\), \(y = 1\). b) System aus (1) und (3); Lösung: \(x = -\frac{2}{3}\), \(y = 3\).

- Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so multiplizierst, dass die Koeffizienten vor einer Variablen in beiden Gleichungen gleich (oder genau entgegengesetzt) sind? - Wenn beim Rechnen die Variablen wegfallen und eine unwahre Aussage wie \(0 = 5\) übrig bleibt, was bedeutet das für die Lösungsmenge? - Überprüfe, ob die beiden Geraden, die durch die Gleichungen beschrieben werden, parallel zueinander verlaufen könnten.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit dem Faktor \(2\), um die Koeffizienten anzugleichen: \(3x + 4y = 30\). 2. Subtraktion der umgeformten Gleichung (II) von Gleichung (I): \((3x + 4y) - (3x + 4y) = 12 - 30\). 3. Ergebnis der Subtraktion: \(0 = -18\). 4. Da dies eine falsche Aussage ist, besitzt das System keine Lösung. 5. Resultat: \(L = \emptyset\).

\(L = \emptyset\) (keine Lösung)

- Schau dir die Zahlen vor den Variablen genau an. Fällt dir etwas auf, wenn du die Gleichungen addierst? - Was passiert mit einer Variablen, wenn du zwei Werte addierst, die den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben? - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie kannst du dann die andere finden?

1. Analyse der Koeffizienten: Die Koeffizienten von \(y\) sind Gegenzahlen (\(-3\) und \(+3\)), weshalb sie sich bei Addition direkt aufheben. 2. Addition der Gleichungen: \((5x + 2x) + (-3y + 3y) = 9 + 12 \Rightarrow 7x = 21\). 3. Bestimmung von \(x\): Division durch \(7\) ergibt \(x = 3\). 4. Bestimmung von \(y\): Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (II) ergibt \(2 \cdot 3 + 3y = 12 \Rightarrow 6 + 3y = 12\). 5. Auflösen nach \(y\): \(3y = 6 \Rightarrow y = 2\). Die Lösung ist \((3|2)\).

a) Das Additionsverfahren ist besonders effizient, da die Koeffizienten von \(y\) Gegenzahlen sind (\(-3\) und \(3\)). Beim Addieren der Gleichungen fällt die Variable \(y\) sofort weg. b) Die Lösung des Systems ist \((3|2)\).

- Gibt es eine Variable, deren Koeffizienten in beiden Gleichungen leicht auf den gleichen Betrag gebracht werden können? - Achte beim Addieren der Gleichungen besonders auf die Vorzeichen. - Du kannst das Ergebnis überprüfen, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der Gleichung (II) mit \(-2\), um die Variable \(x\) zu eliminieren: \(-4x - 10y = 2\). 2. Addieren der neuen Gleichung (II') zur Gleichung (I): \((4x - 4x) + (-3y - 10y) = 11 + 2\). 3. Vereinfachen: \(-13y = 13\). 4. Division durch \(-13\): \(y = -1\). 5. Einsetzen von \(y = -1\) in Gleichung (II): \(2x + 5 \cdot (-1) = -1\). 6. Auflösen nach \(x\): \(2x - 5 = -1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2 | -1)\}\).

\(L = \{(2 | -1)\}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass ein Buchstabe beim Zusammenzählen der Gleichungen wegfällt? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer bestimmten Zahl multiplizierst? - Hast du daran gedacht, den gefundenen Wert am Ende in eine der Gleichungen einzusetzen, um den zweiten Buchstaben zu berechnen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2, um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(10x - 2y = 6\). 2. Addition der ersten Gleichung (\(3x + 2y = 7\)) und der neuen zweiten Gleichung: \(13x = 13\). 3. Division durch 13 ergibt \(x = 1\). 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche zweite Gleichung: \(5 \cdot 1 - y = 3\). 5. Umstellen nach \(y\): \(5 - 3 = y\), also \(y = 2\). 6. Die Lösung des Systems ist das Paar \((1|2)\).

\((1|2)\)

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen direkt addierst? - Kannst du eine Variable eliminieren, ohne die Gleichungen vorher zu multiplizieren? - Wie kannst du den gefundenen Wert einer Variable nutzen, um die andere zu berechnen?

1. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \((\frac{x}{2} + y) + (\frac{x}{2} - y) = 7 + 1\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(x = 8\). 3. Einsetzen des Wertes \(x = 8\) in die erste Gleichung: \(\frac{8}{2} + y = 7\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4 + y = 7\). 5. Subtraktion von 4 auf beiden Seiten ergibt \(y = 3\).

\(x = 8\) und \(y = 3\)

- Was passiert, wenn du eine der Gleichungen so multiplizierst, dass eine Variable beim Addieren der Gleichungen wegfällt? - Welche Zahl bietet sich als Multiplikator für die erste Gleichung an, damit \(y\) verschwindet? - Hast du dein Ergebnis am Ende in beiden Gleichungen überprüft?

1. Erste Gleichung mit 3 multiplizieren, um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(12x - 3y = 21\). 2. Die neue Gleichung zur zweiten Gleichung addieren: \((12x - 3y) + (2x + 3y) = 21 + 7\). 3. Terme zusammenfassen: \(14x = 28\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(x = 2\). 5. Den Wert \(x = 2\) in die ursprüngliche erste Gleichung einsetzen: \(4 \cdot 2 - y = 7\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(8 - y = 7 \implies -y = -1 \implies y = 1\). 7. Die Lösung ist das Zahlenpaar \((2|1)\).

\((2|1)\)

- Wie kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Was passiert, wenn du die zweite Gleichung mit einer passenden Zahl multiplizierst? - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kommst du dann auf den Wert der anderen? - Hast du dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in beide Gleichungen überprüft?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(y\) gegengleich zu machen: \(-30x - 8y + 14 = 0\). 2. Addition der resultierenden Gleichung zur ersten Gleichung: \((5x + 8y + 11) + (-30x - 8y + 14) = 0 \Rightarrow -25x + 25 = 0\). 3. Auflösen der Summengleichung nach \(x\): \(x = 1\). 4. Einsetzen von \(x = 1\) in die ursprüngliche erste Gleichung: \(5 \cdot 1 + 8y + 11 = 0 \Rightarrow 16 + 8y = 0\). 5. Auflösen nach \(y\): \(8y = -16 \Rightarrow y = -2\). Das Ergebnis ist das Zahlenpaar \((1|-2)\).

\((1|-2)\)

- Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst? - Wie kannst du die Brüche in der Gleichung vereinfachen, bevor du rechnest? - Kannst du eine Variable direkt eliminieren, ohne die Gleichungen vorher zu multiplizieren? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende in beide Ausgangsgleichungen einzusetzen, um es zu prüfen.

1. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten zur Elimination von \(x\): \( (\frac{1}{3}y) - (-\frac{1}{6}y) = 7 - 1 \). 2. Zusammenfassen der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner 6: \( \frac{2}{6}y + \frac{1}{6}y = 6 \), also \( \frac{3}{6}y = 6 \) bzw. \( \frac{1}{2}y = 6 \). 3. Berechnung von \(y\): \( y = 12 \). 4. Einsetzen von \(y = 12\) in die erste Gleichung: \( \frac{1}{2}x + \frac{12}{3} = 7 \), vereinfacht zu \( \frac{1}{2}x + 4 = 7 \). 5. Berechnung von \(x\): \( \frac{1}{2}x = 3 \), also \( x = 6 \). 6. Das Lösungspaar ist \((6|12)\).

\((6|12)\)

- Welche Gleichung erhältst du aus jedem der beiden gegebenen Achsenschnittpunkte? - Welche Unbekannte verschwindet, wenn du die beiden Gleichungen addierst? - Wie kannst du den danach bestimmten Parameter in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen?

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=2\) folgt \(b=-2\). Damit gilt \(f(x)=\frac{a}{x-2}+c\). 2. Einsetzen von \(S_x(4\mid0)\) liefert \(0=\frac{a}{2}+c\). 3. Einsetzen von \(S_y(0\mid-1)\) liefert \(-1=-\frac{a}{2}+c\). 4. Addiert man beide Gleichungen, fällt \(a\) weg: \(-1=2c\). Also ist \(c=-\frac{1}{2}\). 5. Einsetzen in \(0=\frac{a}{2}+c\) ergibt \(0=\frac{a}{2}-\frac{1}{2}\), also \(a=1\).

Aus \(S_x\): \(0=\frac{a}{2}+c\). Aus \(S_y\): \(-1=-\frac{a}{2}+c\). Addieren liefert \(-1=2c\), also \(c=-\frac{1}{2}\). Einsetzen ergibt \(a=1\).

- Betrachte in Teil a) die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen: Was geschieht beim Addieren? - Für Teil b) genügt es zu prüfen, ob die Koordinaten von \(S\) die weitere Gleichung erfüllen. - In Teil c) ist \(c\) der Wert, den die linke Seite für die Koordinaten von \(S\) annimmt.

1. Für den Schnittpunkt die Gleichungen addieren: \((3x-y)+(x+y)=5+7 \Rightarrow 4x=12\), also \(x=3\). 2. Rückeinsetzen in \(x+y=7\): \(3+y=7 \Rightarrow y=4\). Damit ist \(S(3|4)\). 3. In \(2x+3y=18\) einsetzen: \(2\cdot3+3\cdot4=18\). Daher liegt \(S\) auch auf dieser Geraden. 4. In \(x-2y=c\) einsetzen: \(c=3-2\cdot4=-5\).

a) \(S(3|4)\) b) Ja, denn \(2\cdot3+3\cdot4=18\). c) \(c=-5\)

- Suche für eine Variable Koeffizienten, die sich durch passende Vielfache zu Gegenzahlen machen lassen. - Achte beim Multiplizieren einer ganzen Gleichung auf alle Terme und Vorzeichen. - Setze nach der Elimination den gefundenen Wert in eine Ausgangsgleichung ein.

1. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(-5\): \(15u+21v=33\) und \(-15u-20v=-30\). 2. Addieren ergibt \(v=3\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(3u+12=6\), also \(u=-2\). 4. Damit ist \(L=\{(-2|3)\}\).

\(L=\{(-2|3)\}\)

- Wie kannst du die Klammern auflösen, um die Gleichungen zu vereinfachen? - Versuche, beide Gleichungen so zu sortieren, dass alle Variablen auf einer Seite und die Zahlen auf der anderen Seite stehen. - Welche Variable lässt sich nach der Umformung am leichtesten eliminieren? - Denke daran, dass Ergebnisse auch Dezimalzahlen sein können.

1. Umformung von (I): \(3x - 6 = 4y + 1 \Rightarrow 3x - 4y = 7\). 2. Umformung von (II): \(5x = 2y + 6x + 7 \Rightarrow -x - 2y = 7\). 3. Multiplikation der umgeformten Gleichung (II') mit \(-2\): \(2x + 4y = -14\). 4. Addition von (I') und (II''): \((3x - 4y) + (2x + 4y) = 7 + (-14)\). 5. Zusammenfassen: \(5x = -7\). 6. Division durch \(5\): \(x = -1{,}4\). 7. Einsetzen von \(x = -1{,}4\) in (II'): \(-(-1{,}4) - 2y = 7 \Rightarrow 1{,}4 - 2y = 7\). 8. Subtraktion von \(1{,}4\): \(-2y = 5{,}6\). 9. Division durch \(-2\): \(y = -2{,}8\). 10. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(-1{,}4 \mid -2{,}8)\}\).

\(L = \{(-1{,}4 \mid -2{,}8)\}\)

- Welche Variable lässt sich mit kleinen ganzzahligen Multiplikatoren eliminieren? - Die beiden Koeffizienten der gewählten Variablen müssen vor dem Addieren Gegenzahlen sein. - Prüfe nach dem Rückeinsetzen, ob das Wertepaar auch die andere Ausgangsgleichung erfüllt.

1. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(5\): \(8x-10y=26\) und \(15x+10y=20\). 2. Addieren ergibt \(23x=46\), also \(x=2\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(6+2y=4\), also \(y=-1\). 4. Somit ist \(L=\{(2|-1)\}\).

\(L=\{(2|-1)\}\)

- Was ist das Ziel des Additionsverfahrens? - Wie viele Rechenschritte sparst du dir, wenn du nur eine Gleichung verändern musst? - Welche Strategie führt zu kleineren Zahlen, mit denen man leichter rechnen kann?

1. Bewertung: Strategie A ist effizienter, da nur eine Gleichung multipliziert werden muss, um entgegengesetzte Koeffizienten (\(4y\) und \(-4y\)) zu erhalten, während bei B beide Gleichungen verändert werden und größere Zahlen entstehen. 2. Anwendung von A: Multiplikation von (I) mit \(2\) ergibt (Ia) \(10x + 4y = 32\). 3. Addition von (Ia) und (II): \(10x + 3x + 4y - 4y = 32 + 7 \implies 13x = 39\). 4. Berechnung von \(x\): \(x = 39 : 13 = 3\). 5. Einsetzen von \(x = 3\) in (I): \(5 \cdot 3 + 2y = 16 \implies 15 + 2y = 16 \implies 2y = 1 \implies y = 0{,}5\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{(3|0{,}5)\}\).

a) Strategie A ist effizienter, da nur eine Gleichung umgeformt werden muss und die Zahlen kleiner bleiben. b) Die Lösung ist \(x = 3\) und \(y = 0{,}5\), also \(L = \{(3|0{,}5)\}\).

- Schau dir die Koeffizienten vor dem \(y\) genau an. In welchem Verhältnis stehen \(1{,}2\) und \(0{,}6\)? - Was stört dich an der Aufgabe am meisten? Kannst du das durch eine einfache Multiplikation beheben? - Wenn du \(x\) kennst, wie kommst du dann auf \(y\)?

1. Bestimmung des Faktors: Um \(1{,}2y\) und \(-0{,}6y\) zu eliminieren, muss (II) mit \(2\) multipliziert werden, da \(-0{,}6 \cdot 2 = -1{,}2\). 2. Vorteil der Multiplikation mit 10: Alle Dezimalzahlen werden zu ganzen Zahlen, was das Kopfrechnen erleichtert und die Fehleranfälligkeit senkt. 3. Lösungsweg über (II) \(\cdot 2\): (IIa) \(4x - 1{,}2y = 4{,}4\). 4. Addition von (I) und (IIa): \(0{,}5x + 4x = 4{,}6 + 4{,}4 \implies 4{,}5x = 9\). 5. Berechnung von \(x\): \(x = 9 : 4{,}5 = 2\). 6. Einsetzen von \(x = 2\) in (II): \(2 \cdot 2 - 0{,}6y = 2{,}2 \implies 4 - 0{,}6y = 2{,}2 \implies 1{,}8 = 0{,}6y \implies y = 3\). 7. Ergebnis: \(L = \{(2|3)\}\).

a) Multiplikation mit \(2\). b) Der Vorteil ist die Vermeidung von Dezimalzahlen, wodurch mit ganzen Zahlen gerechnet werden kann. c) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|3)\}\).

- Prüfe zuerst, welche Variable sich im ursprünglichen System beim Addieren aufhebt. - Welche Gegenzahl zu \(6\) muss als neuer \(x\)-Koeffizient in der zweiten Gleichung auftreten? - Was bedeutet eine nach korrekten Umformungen entstehende falsche Aussage wie \(0=45\)?

1. Die Addition ist korrekt: \((6x-5y)+(3x+5y)=9x\) und \(14+31=45\). Daher ist \(x=45:9=5\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(3\cdot5+5y=31\), also \(5y=16\) und \(y=3{,}2\). 3. Damit beim Addieren auch \(x\) verschwindet, muss sein Koeffizient in der zweiten Gleichung \(-6\) sein. Die veränderte zweite Gleichung lautet \(-6x+5y=31\). 4. Beim Addieren verschwinden nun beide Variablen: \(0=45\). Diese falsche Aussage zeigt, dass das veränderte Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

a) \(x=5\) ist korrekt und \(y=3{,}2\). b) Die zweite Gleichung muss \(-6x+5y=31\) lauten. Beim Addieren entsteht \(0=45\); das veränderte System hat daher keine Lösung.

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass der Koeffizient einer Variablen die Gegenzahl des entsprechenden Koeffizienten in der anderen Gleichung wird? - Schau dir die Zahlen vor dem \(y\) an: \(9\) und \(-3\). Wie hängen diese zusammen? - Alternativ: Wie hängen die Zahlen vor dem \(x\) (\(4\) und \(2\)) zusammen?

1. Elimination von \(y\): Multiplikation von (II) mit \(3\) ergibt \(6x - 9y = 24\). 2. Addition von (I) und der neuen Gleichung: \((4x + 9y) + (6x - 9y) = 1 + 24 \implies 10x = 25 \implies x = 2{,}5\). 3. Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in (II): \(2 \cdot 2{,}5 - 3y = 8 \implies 5 - 3y = 8 \implies -3y = 3 \implies y = -1\).

Die Lösung des Systems ist \(x = 2{,}5\) und \(y = -1\). Möglicher erster Schritt: Gleichung (II) mit \(3\) multiplizieren, um \(y\) zu eliminieren.

- Es hilft oft, zuerst alle Variablen auf die linke Seite und die Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung zu bringen. - Suche nach einem gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten einer Variablen, um diese durch Addition oder Subtraktion eliminieren zu können. - Vergiss nicht, den gefundenen Wert für die erste Variable in eine der Ausgangsgleichungen einzusetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.

1. Umstellen der Gleichung (II) in die Standardform: \(5a + 4b = 23\). 2. Multiplikation von (I) mit \(4\) und von (II) mit \(3\), um die Koeffizienten von \(b\) gegengleich zu machen: (I') \(8a - 12b = 0\) und (II') \(15a + 12b = 69\). 3. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(23a = 69\). 4. Division durch \(23\): \(a = 3\). 5. Einsetzen von \(a = 3\) in (I): \(2 \cdot 3 - 3b = 0 \Rightarrow 6 - 3b = 0 \Rightarrow 6 = 3b\). 6. Berechnung von \(b\): \(b = 2\). 7. Resultat: \(L = \{(3 | 2)\}\).

\(L = \{(3 | 2)\}\)

- Lass dich von den Dezimalzahlen nicht verunsichern; das Verfahren bleibt genau gleich. - Könntest du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, sodass die Dezimalstellen bei einer Variablen verschwinden oder mit der anderen Gleichung übereinstimmen? - Manchmal ist es einfacher, eine Gleichung so zu erweitern, dass eine Variable direkt wegfällt, wenn man beide Gleichungen addiert.

1. Multiplikation der Gleichung (II) mit \(3\), um den Koeffizienten von \(y\) an den von (I) anzupassen: \(3x - 1{,}2y = 3\). 2. Addition der ursprünglichen Gleichung (I) und der neuen Gleichung (II): \((0{,}5x + 1{,}2y) + (3x - 1{,}2y) = 4 + 3\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(3{,}5x = 7\). 4. Berechnung von \(x\): \(x = \frac{7}{3{,}5} = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in Gleichung (II): \(2 - 0{,}4y = 1\). 6. Umformen nach \(y\): \(1 = 0{,}4y \Rightarrow y = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\). 7. Resultat: \(L = \{(2 | 2{,}5)\}\).

\(L = \{(2 | 2{,}5)\}\)

- Welche Variable lässt sich mit nur einer Multiplikation eliminieren? - Wähle einen Faktor so, dass die beiden Koeffizienten dieser Variable Gegenzahlen werden. - Notiere die entstehende Ein-Variablen-Gleichung, bevor du weiterrechnest.

1. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\): \(10x+4y=2\). 2. Addiere diese Gleichung zur zweiten. Dadurch fällt \(y\) weg und es entsteht \(13x=13\). 3. Also ist \(x=1\). Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(y=-2\). 4. Der Faktor \(2\) genügt, weil dadurch die \(y\)-Koeffizienten direkt Gegenzahlen werden.

Nach dem Eliminieren von \(y\): \(13x=13\). Damit ist \(L=\{(1|-2)\}\). Der Faktor \(2\) für die erste Gleichung erzeugt unmittelbar entgegengesetzte \(y\)-Koeffizienten.

- Vergleiche nach der Multiplikation mit \(5\) die beiden \(x\)-Koeffizienten. - Bei gleichen Koeffizienten eliminiert eine Subtraktion die betreffende Variable. - Halte die Ein-Variablen-Gleichung direkt nach der Subtraktion fest.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(5\) ergibt \(2x+1{,}5y=9\). Der \(x\)-Koeffizient stimmt damit mit dem in der zweiten Gleichung überein, sodass \(x\) durch Subtraktion sofort eliminiert werden kann. 2. Subtrahiere die zweite Gleichung von der vervielfachten ersten: \((2x+1{,}5y)-(2x-5y)=9-9\). Daraus entsteht \(6{,}5y=0\). 3. Also ist \(y=0\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(2x=9\), also \(x=4{,}5\). 5. Somit ist \(L=\{(4{,}5|0)\}\).

a) Der Faktor \(5\) macht aus der ersten Gleichung \(2x+1{,}5y=9\); dadurch kann \(x\) unmittelbar durch Subtraktion eliminiert werden. b) Eliminationsgleichung: \(6{,}5y=0\). \(L=\{(4{,}5|0)\}\).

- Wie kannst du die Gleichungen multiplizieren, damit die Nenner verschwinden? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 2 und 5? - Wenn du eine Gleichung addierst, sollte eine der Variablen wegfallen. Wie müssen die Zahlen vor dieser Variablen in beiden Gleichungen aussehen?

1. Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\), um die Nenner zu eliminieren: (Ia) \(4x - 5y = -10\) und (IIa) \(2x + 15y = 170\). 2. Multiplikation von (Ia) mit \(3\), um den Koeffizienten von \(y\) an (IIa) anzupassen: (Ib) \(12x - 15y = -30\). 3. Addition von (Ib) und (IIa): \(14x = 140\), woraus \(x = 10\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 10\) in (IIa): \(2 \cdot 10 + 15y = 170 \Rightarrow 20 + 15y = 170 \Rightarrow 15y = 150 \Rightarrow y = 10\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(10 | 10)\}\).

\(L = \{(10 | 10)\}\)

- Mit welcher Zehnerzahl musst du multiplizieren, um die Kommas um eine Stelle nach rechts zu verschieben? - Was musst du tun, damit beim Addieren der Gleichungen entweder \(x\) oder \(y\) verschwindet? - Hast du daran gedacht, jeden Summanden und auch das Ergebnis auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens zu multiplizieren?

1. Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\), um die Dezimalstellen zu entfernen: (Ia) \(3x + 4y = 25\) und (IIa) \(7x - 2y = 13\). 2. Multiplikation von (IIa) mit \(2\), um gegengleiche Koeffizienten für \(y\) zu erhalten: (IIb) \(14x - 4y = 26\). 3. Addition von (Ia) und (IIb): \(17x = 51\), woraus \(x = 3\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 3\) in (Ia): \(3 \cdot 3 + 4y = 25 \Rightarrow 9 + 4y = 25 \Rightarrow 4y = 16 \Rightarrow y = 4\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3 | 4)\}\).

\(L = \{(3 | 4)\}\)

- Suche Faktoren, durch die die \(y\)-Koeffizienten Gegenzahlen werden. - Halte die Gleichung nach dem Addieren fest, bevor du weiterrechnest. - Prüfe zum Schluss den Punkt in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\): \(9x+12y=15\). 2. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(4\): \(20x-12y=72\). 3. Addieren eliminiert \(y\) und ergibt \(29x=87\). Damit ist \(x=3\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(9+4y=5\), also \(y=-1\). 5. Probe: \(3\cdot3+4(-1)=5\) und \(5\cdot3-3(-1)=18\).

Eliminationsgleichung: \(29x=87\). \(L=\{(3|-1)\}\). Die Probe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

- Was muss mit den Zahlen vor dem \(y\) passieren, damit sie sich beim Addieren genau aufheben? - Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten einer Variablen. - Vergiss nicht, die gesamte Gleichung (auch die rechte Seite) zu multiplizieren. - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Um \(y\) zu eliminieren, wird ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten von \(y\) (\(3\) und \(-4\)) gesucht, z. B. \(12\). 2. Multiplikation von (I) mit \(4\): \(20x + 12y = 28\). 3. Multiplikation von (II) mit \(3\): \(6x - 12y = 24\). 4. Addition der neuen Gleichungen: \((20x + 6x) + (12y - 12y) = 28 + 24\), also \(26x = 52\). 5. Division durch \(26\): \(x = 2\). 6. Einsetzen von \(x = 2\) in (I): \(5 \cdot 2 + 3y = 7 \Rightarrow 10 + 3y = 7\). 7. Nach \(y\) auflösen: \(3y = -3 \Rightarrow y = -1\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|-1)\}\). 9. Begründung: Da weder \(3\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(4\) noch \(4\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(3\) ist, müssen bei Verwendung ganzzahliger Faktoren beide Gleichungen auf einen gemeinsamen Koeffizienten gebracht werden, damit sich \(y\) beim Addieren aufhebt.

a) (I') \(20x + 12y = 28\) und (II') \(6x - 12y = 24\) b) \(L = \{(2|-1)\}\) c) Bei Verwendung ganzzahliger Faktoren müssen beide Gleichungen multipliziert werden, weil \(3\) und \(4\) keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind. Um Gegenzahlen zu erzeugen (z. B. \(12\) und \(-12\)), müssen beide Gleichungen angepasst werden.

- Es hilft oft, zuerst alle Zahlen in das gleiche Format (entweder Brüche oder Dezimalzahlen) zu bringen. - Könntest du eine Gleichung so multiplizieren, dass ein Bruch verschwindet? - Überlege, welcher Koeffizient einfacher zu eliminieren ist: der vor dem \(x\) oder der vor dem \(y\).

1. Umwandlung der Dezimalzahlen in (II) in Brüche oder Brüche in (I) in Dezimalzahlen. Hier bietet sich die Multiplikation von (II) mit \(2\) an, um den Koeffizienten von \(x\) an (I) anzupassen: \(2 \cdot (0{,}25x - 0{,}5y = -1) \Rightarrow 0{,}5x - y = -2\). 2. Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\), lautet das System nun: (I) \(0{,}5x + \frac{2}{3}y = 4\) (II') \(0{,}5x - y = -2\) 3. Subtraktion von (II') von (I) (oder Multiplikation von (II') mit \(-1\) und Addition): \((0{,}5x - 0{,}5x) + (\frac{2}{3}y - (-y)) = 4 - (-2)\). 4. Zusammenfassen: \(\frac{5}{3}y = 6\). 5. Nach \(y\) auflösen: \(y = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6\). 6. Einsetzen von \(y = 3{,}6\) in (II): \(0{,}25x - 0{,}5 \cdot 3{,}6 = -1 \Rightarrow 0{,}25x - 1{,}8 = -1\). 7. Nach \(x\) auflösen: \(0{,}25x = 0{,}8 \Rightarrow x = 3{,}2\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3{,}2 | 3{,}6)\}\). 9. Prüfung des vorgegebenen Zahlenpaars \((3|3{,}6)\): In (I) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{2}{3} \cdot 3{,}6 = 3{,}9 \neq 4\). Das Zahlenpaar ist daher keine Lösung.

\(L = \{(3{,}2 | 3{,}6)\}\). Das zu prüfende Zahlenpaar \((3 | 3{,}6)\) ist keine Lösung des Systems.

- Welche Gleichung liefert jeder der beiden Punkte? - Welche Unbekannte hat in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten? - Was passiert mit dieser Unbekannten, wenn du eine Gleichung von der anderen subtrahierst?

1. Aus \(A(2\mid4)\) folgt \(\frac{a}{2}+c=4\). 2. Aus \(B(4\mid3)\) folgt \(\frac{a}{4}+c=3\). 3. Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, fällt \(c\) weg: \(\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=1\). Also ist \(\frac{a}{4}=1\) und damit \(a=4\). 4. Einsetzen in \(\frac{a}{2}+c=4\) ergibt \(2+c=4\), also \(c=2\). 5. Somit lautet der Funktionsterm \(h(x)=\frac{4}{x}+2\).

Gleichungen: \(\frac{a}{2}+c=4\) und \(\frac{a}{4}+c=3\). Additionsverfahren durch Subtraktion: \(\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=1\), also \(a=4\). Einsetzen ergibt \(c=2\). \(h(x)=\frac{4}{x}+2\)

- Eine äquivalente Umformung muss auf beide Seiten der Gleichung angewendet werden. - Beseitige zuerst die Dezimalzahlen vollständig. - Wähle danach Vielfache, mit denen eine Variable beim Addieren verschwindet.

1. Beim Multiplizieren einer Gleichung mit \(10\) muss auch die rechte Seite mit \(10\) multipliziert werden. Korrekt sind daher die äquivalenten Gleichungen \(4x-3y=18\) und \(2x+5y=22\). 2. Multipliziere die erste ganzzahlige Gleichung mit \(5\) und die zweite mit \(3\): \(20x-15y=90\) und \(6x+15y=66\). 3. Addition ergibt \(26x=156\), also \(x=6\). 4. Einsetzen in \(2x+5y=22\) ergibt \(12+5y=22\), also \(y=2\). 5. Damit ist \(L=\{(6|2)\}\).

a) Die rechte Seite wurde nicht mit \(10\) multipliziert. Korrekt sind \(4x-3y=18\) und \(2x+5y=22\). b) \(L=\{(6|2)\}\)

- Prüfe in jedem System, welche Variable bereits entgegengesetzte oder gleiche Koeffizienten besitzt. - Entscheide passend zwischen Addieren und Subtrahieren. - Halte die entstehende Gleichung mit nur einer Variablen fest, bevor du zurück einsetzt.

1. Im ersten System werden die Gleichungen addiert: \(7x=21\). Daher ist \(x=3\) und anschließend \(y=2\). 2. Im zweiten System werden die Gleichungen voneinander subtrahiert: \(9b=27\). Daher ist \(b=3\) und anschließend \(a=2\).

1) Eliminationsgleichung \(7x=21\); \((x|y)=(3|2)\) 2) Eliminationsgleichung \(9b=27\); \((a|b)=(2|3)\)

- Überprüfe, ob alle Variablen auf der linken Seite und die Zahlen auf der rechten Seite stehen. - Wie kannst du die Gleichungen verändern, damit die Koeffizienten vor \(x\) oder \(y\) gegengleich oder identisch werden? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Vergiss nicht, die berechneten Werte am Ende in die Lösungsmenge zu schreiben.

1. Umformen von Gleichung (II) durch Subtraktion von \(2y\): \(3x - 2y = 8\) 2. Multiplikation von (I) mit 3 und der neuen Form von (II) mit 2, um die Koeffizienten von \(x\) anzugleichen: (I') \(6x + 15y = -3\) (II') \(6x - 4y = 16\) 3. Subtraktion von (II') von (I'): \((6x + 15y) - (6x - 4y) = -3 - 16 \implies 19y = -19\) 4. Division durch 19: \(y = -1\) 5. Einsetzen von \(y = -1\) in (II): \(3x = 2 \cdot (-1) + 8 \implies 3x = 6\) 6. Division durch 3: \(x = 2\) 7. Lösungsmenge: \(L = \{(2|-1)\}\)

\(L = \{(2|-1)\}\)

- Schau dir die Zahlen vor den Buchstaben an. Gibt es ein gemeinsames Vielfaches, auf das du sie bringen kannst? - Du kannst beide Gleichungen mit unterschiedlichen Zahlen multiplizieren, um eine Variable zu eliminieren. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die Gleichungen addierst. - Hast du beide Variablen berechnet?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten Gleichung mit 5, um die Koeffizienten von \(y\) auf \(10\) und \(-10\) zu bringen: \(8x + 10y = 4\) und \(15x - 10y = 65\). 2. Addition der beiden umgeformten Gleichungen eliminiert \(y\): \(23x = 69\). 3. Division durch 23 ergibt \(x = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 3\) in die erste Gleichung: \(4 \cdot 3 + 5y = 2\). 5. Berechnung von \(y\): \(12 + 5y = 2 \implies 5y = -10 \implies y = -2\). 6. Die Lösungsmenge ist \(\{(3|-2)\}\).

\((3|-2)\)

- Vergleiche die Vorzeichen der beiden \(y\)-Terme nach dem Multiplizieren. - Überlege, was beim Addieren und was beim Subtrahieren von \(3y\) und \(-3y\) passiert. - Nach der richtigen Rechenoperation sollte nur noch eine Variable übrig bleiben.

1. Nach dem Multiplizieren der zweiten Gleichung mit \(3\) liegen die Gleichungen \(2x+3y=12\) und \(12x-3y=30\) vor. 2. Beim Subtrahieren würden sich die \(y\)-Terme zu \(3y-(-3y)=6y\) verbinden und nicht verschwinden. 3. Deshalb müssen die beiden Gleichungen addiert werden. Es entsteht \(14x=42\), also \(x=3\). 4. Einsetzen in \(2x+3y=12\) ergibt \(6+3y=12\), also \(y=2\). 5. Damit ist \(L=\{(3|2)\}\).

a) Beim Subtrahieren entsteht \(3y-(-3y)=6y\); \(y\) wird also nicht eliminiert. b) Die Gleichungen müssen addiert werden. \(L=\{(3|2)\}\)

- Findest du ein gemeinsames Vielfaches für die Koeffizienten von \(x\) oder \(y\)? - Wie müssen die Vorzeichen der Koeffizienten sein, damit sie sich beim Addieren gegenseitig aufheben? - Kannst du beide Gleichungen so umformen, dass eine Variable beim Addieren verschwindet? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(2\) und \(3\)?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) und der zweiten Gleichung mit \(-3\), um \(y\) zu eliminieren: \(8x + 6y = 4\) und \(-15x - 6y = 3\). 2. Addition der beiden umgeformten Gleichungen ergibt \(-7x = 7\). 3. Division durch \(-7\) liefert \(x = -1\). 4. Einsetzen von \(x = -1\) in die erste Gleichung: \(4 \cdot (-1) + 3y = 2\). 5. Auflösen der Gleichung \(-4 + 3y = 2\) führt zu \(3y = 6\) und somit \(y = 2\).

\((-1|2)\)

- Suche Multiplikatoren, mit denen die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden. - Addiere erst, wenn die gewählte Variable beim Zusammenfassen vollständig verschwindet. - Prüfe das gefundene Wertepaar in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(2\) und Gleichung (II) mit \(5\) multiplizieren: \(8x-10y=-4\) und \(15x+10y=50\). 2. Addieren: \(23x=46\), also \(x=2\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (II): \(3\cdot2+2y=10 \Rightarrow y=2\). 4. Die Lösung ist \((2|2)\).

\((2|2)\)

- Es kann hilfreich sein, zuerst alle Terme mit Variablen auf die eine Seite und die reinen Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen. - Mit welchen Zahlen musst du die Gleichungen multiplizieren, damit beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt? - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kommst du dann auf die zweite? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen zu prüfen.

1. Umformen der Gleichungen in die Standardform: \(4x+3y=1\) und \(5x+2y=3\). 2. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) und der zweiten mit \(3\), damit beide \(y\)-Koeffizienten dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen \(6\) entsprechen: \(8x+6y=2\) und \(15x+6y=9\). 3. Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten: \(15x-8x=9-2\), also \(7x=7\) und damit \(x=1\). 4. Einsetzen von \(x=1\) in \(4x+3y=1\): \(4+3y=1\). 5. Auflösen nach \(y\): \(3y=-3\), also \(y=-1\).

\((1|-1)\)

- Forme beide Gleichungen zuerst so um, dass die Variablenterme auf einer Seite und die Zahlen auf der anderen Seite stehen. - Mit welchem Faktor kannst du eine Gleichung multiplizieren, damit sich beim Addieren eine Variable aufhebt? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Auflösen der Klammern und Ordnen der Variablen: \( 2x - 3y = -5 \) und \( 4x - 5y = -3 \). 2. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der ersten Gleichung mit \(-2\) ergibt \( -4x + 6y = 10 \). 3. Addition der neuen Gleichung zur zweiten Gleichung: \( ( -4x + 6y ) + ( 4x - 5y ) = 10 + ( -3 ) \), woraus \( y = 7 \) folgt. 4. Einsetzen von \( y = 7 \) in die erste vereinfachte Gleichung: \( 2x - 3 \cdot 7 = -5 \). 5. Berechnung von \( x \): \( 2x - 21 = -5 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8 \). Die Lösung ist \( x = 8 \) und \( y = 7 \).

\((8|7)\)

- Beseitige in jeder Gleichung zuerst die Nenner und vereinfache vollständig. - Wähle danach Multiplikatoren, sodass die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden. - Prüfe das Ergebnis in den ursprünglichen Bruchgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(12\) multiplizieren und vereinfachen: \(4(x+2)+3(y-1)=24 \Rightarrow 4x+3y=19\). 2. Gleichung (II) mit \(6\) multiplizieren und vereinfachen: \(3(x-1)-2(y+2)=3 \Rightarrow 3x-2y=10\). 3. Die erste vereinfachte Gleichung mit \(2\), die zweite mit \(3\) multiplizieren: \(8x+6y=38\) und \(9x-6y=30\). 4. Addieren: \(17x=68\), also \(x=4\). 5. Rückeinsetzen in \(3x-2y=10\): \(12-2y=10 \Rightarrow y=1\). 6. Somit ist \(L=\{(4|1)\}\).

\(L=\{(4|1)\}\)

- Beseitige die Nenner in jeder Gleichung, bevor du die Gleichungen miteinander verknüpfst. - Vergleiche danach die Koeffizienten einer Variablen in den beiden Gleichungen. - Prüfe dein Wertepaar in den ursprünglichen Gleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(4\) multiplizieren: \(2x+3y=24\). 2. Gleichung (II) mit \(6\) multiplizieren: \(4x-3y=12\). 3. Addieren: \(6x=36\), also \(x=6\). 4. Rückeinsetzen in \(2x+3y=24\): \(12+3y=24 \Rightarrow y=4\). 5. Die Lösung ist \((6|4)\).

\((6|4)\)

- Suche für jede Gleichung ein gemeinsames Vielfaches ihrer Nenner. - Multipliziere immer die vollständige Gleichung, einschließlich der rechten Seite. - Welche Eigenschaft einer Äquivalenzumformung ist für Teil c) entscheidend?

1. Multipliziere die erste Gleichung mit \(6\): \(3x-2y=6\). Multipliziere die zweite Gleichung mit \(4\): \(x+2y=10\). 2. Addition ergibt \(4x=16\), also \(x=4\). 3. Einsetzen in \(x+2y=10\) ergibt \(4+2y=10\), also \(y=3\). 4. Damit ist \(L=\{(4|3)\}\). 5. Das Multiplizieren einer ganzen Gleichung mit einer von null verschiedenen Zahl ist eine Äquivalenzumformung; deshalb bleiben genau dieselben Wertepaar-Lösungen erhalten.

a) \(\begin{cases}3x-2y=6\\x+2y=10\end{cases}\) b) \(L=\{(4|3)\}\) c) Beide Gleichungen wurden jeweils vollständig mit einer von null verschiedenen Zahl multipliziert; das ist äquivalent.

- Berechne jeden Term der zweiten Gleichung einzeln nach der Multiplikation mit \(6\). - Ein Faktor, der alle Nenner einer Gleichung beseitigt, vermeidet neue Brüche. - Suche danach nach gegengleichen Koeffizienten für eine Variable.

1. Die Umformung ist falsch, denn \(6\cdot\frac{x}{4}=\frac{3}{2}x\), nicht \(3x\). Bei Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(6\) entsteht also \(\frac{3}{2}x+y=12\). 2. Zweckmäßiger ist: Multipliziere die erste Gleichung mit \(6\) und die zweite mit \(12\). Dadurch entstehen die äquivalenten Gleichungen \(3x-2y=12\) und \(3x+2y=24\). 3. Addition ergibt \(6x=36\), also \(x=6\). 4. Einsetzen in \(3x-2y=12\) ergibt \(18-2y=12\), also \(y=3\). 5. Somit ist \(L=\{(6|3)\}\).

a) Bei Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(6\) entsteht korrekt \(\frac{3}{2}x+y=12\). b) \(L=\{(6|3)\}\)

- Könnte es helfen, die komplizierten Brüche durch einfache Buchstaben zu ersetzen? - Was passiert, wenn du die beiden Gleichungen direkt addierst? - Wie kommst du von den Hilfsvariablen zurück zu den ursprünglichen Unbekannten?

1. Definitionsbedingungen: \(x\neq-2\) und \(y\neq3\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2}\) und \(v=\frac{1}{y-3}\). Dann gilt \(u+v=\frac34\) und \(u-v=\frac14\). 3. Addition der Gleichungen: \(2u=1\), also \(u=\frac12\). 4. Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung: \(2v=\frac12\), also \(v=\frac14\). 5. Rücksubstitution: \(\frac{1}{x+2}=\frac12\Rightarrow x=0\) und \(\frac{1}{y-3}=\frac14\Rightarrow y=7\). 6. Beide Werte erfüllen die Definitionsbedingungen.

\(L=\{(0 \mid 7)\}\), mit \(x\neq-2\) und \(y\neq3\).

- Suche ein gemeinsames Vielfaches der Koeffizienten einer Variablen. - Wähle die Vorzeichen der Multiplikatoren so, dass sich diese Variable beim Addieren aufhebt. - Prüfe das gefundene Wertepaar in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(2\) und Gleichung (II) mit \(3\) multiplizieren: \(8x-6y=10\) und \(9x+6y=24\). 2. Addieren: \(17x=34\), also \(x=2\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (I): \(8-3y=5 \Rightarrow y=1\). 4. Die Lösung ist \((2|1)\).

\((2|1)\)

- Kannst du die Gleichungen so verändern, dass eine Variable wegfällt, wenn du sie addierst? - Was musst du mit den Gleichungen machen, damit die Zahlen vor dem \(y\) (oder dem \(x\)) bis auf das Vorzeichen gleich sind? - Hast du dein Ergebnis am Ende in beide Gleichungen eingesetzt, um es zu prüfen?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(5\) und der zweiten Gleichung mit \(-2\), um die Koeffizienten von \(y\) aneinander anzupassen: \(25x + 10y = 5\) und \(-6x - 10y = -24\). 2. Addition der beiden resultierenden Gleichungen zur Eliminierung von \(y\): \(19x = -19\). 3. Lösen nach \(x\): \(x = -1\). 4. Einsetzen von \(x = -1\) in die erste Originalgleichung: \(5 \cdot (-1) + 2y = 1 \implies -5 + 2y = 1\). 5. Lösen nach \(y\): \(2y = 6 \implies y = 3\).

\(x = -1\) und \(y = 3\)

- Welche Gleichungen entstehen nach Multiplikation mit \(10\)? - Welche der beiden ganzzahligen Gleichungen lässt sich mit einem kleinen Faktor an die andere anpassen? - Eine gute Strategie ist nicht nur korrekt, sondern reduziert auch unnötige Rechenfehler.

1. Durch Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\) entsteht das äquivalente LGS \(\begin{cases}4x+3y=50\\2x+5y=60\end{cases}\). Das verringert die Fehleranfälligkeit bei den folgenden Multiplikationen. 2. Multipliziere die zweite ganzzahlige Gleichung mit \(2\): \(4x+10y=120\). 3. Subtrahiere die erste ganzzahlige Gleichung: \(7y=70\), also \(y=10\). 4. Einsetzen in die erste ganzzahlige Gleichung ergibt \(4x+30=50\), also \(x=5\). 5. Probe: \(0{,}4\cdot5+0{,}3\cdot10=5\) und \(0{,}2\cdot5+0{,}5\cdot10=6\). 6. Damit ist \(L=\{(5|10)\}\).

a) Ganzzahlige Koeffizienten machen die weitere Rechnung übersichtlicher. b) \(L=\{(5|10)\}\) c) Das Paar erfüllt beide ursprünglichen Gleichungen.

- Schreibe den gemischten Bruch zuerst als gewöhnlichen Bruch. - Beseitige anschließend in jeder Gleichung alle Nenner. - Vergleiche danach die Koeffizienten einer Variablen und nutze das Additionsverfahren zur Elimination.

1. Den gemischten Bruch umwandeln: \(2\frac{1}{12}=\frac{25}{12}\). 2. Gleichung (I) mit \(12\) multiplizieren: \(3x+4y=25\). 3. Gleichung (II) mit \(6\) multiplizieren: \(3x-y=5\). 4. Die zweite vereinfachte Gleichung von der ersten subtrahieren: \(5y=20\), also \(y=4\). 5. Rückeinsetzen in \(3x-y=5\): \(3x-4=5 \Rightarrow x=3\). 6. Somit ist \(L=\{(3|4)\}\).

\(L=\{(3|4)\}\)

- Könntest du eine der Gleichungen so verändern, dass eine Variable beim Addieren beider Gleichungen wegfällt? - Wäre es einfacher, zuerst die Dezimalzahlen und Brüche durch Multiplikation mit einer geeigneten Zahl in ganze Zahlen umzuwandeln? - Was musst du tun, nachdem du den Wert für die erste Variable gefunden hast?

1. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\), um den Koeffizienten von \(x\) zu eliminieren: \(-0{,}4x + 1{,}5y = 6\). 2. Addition der umgeformten zweiten Gleichung zur ersten Gleichung: \(2y = 16\). 3. Auflösen nach \(y\): \(y = 8\). 4. Einsetzen von \(y = 8\) in die erste Gleichung: \(0{,}4x + 4 = 10\). 5. Isolieren von \(x\): \(0{,}4x = 6 \implies x = 15\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(15|8)\}\).

\(x = 15\) und \(y = 8\) bzw. \(L = \{(15|8)\}\)

- Vereinfache beide Gleichungen vollständig und beseitige dabei Dezimalzahlen beziehungsweise Nenner. - Bringe beide vereinfachten Gleichungen in die Form \(ax+by=c\). - Wähle für das Additionsverfahren einen Multiplikator, durch den sich eine Variable direkt eliminieren lässt.

1. Gleichung (I) ausmultiplizieren und ordnen: \(0{,}8x-2y+1{,}2=0{,}2x \Rightarrow 0{,}6x-2y=-1{,}2\). 2. Mit \(10\) multiplizieren: \(6x-20y=-12\). 3. Gleichung (II) mit \(4\) multiplizieren und vereinfachen: \(2(x-1)=3y \Rightarrow 2x-3y=2\). 4. Die zweite vereinfachte Gleichung mit \(-3\) multiplizieren: \(-6x+9y=-6\). 5. Addieren: \(-11y=-18\), also \(y=\frac{18}{11}\). 6. Rückeinsetzen in \(2x-3y=2\): \(2x-\frac{54}{11}=2 \Rightarrow 2x=\frac{76}{11}\), also \(x=\frac{38}{11}\).

\(L=\{\left(\frac{38}{11}\middle|\frac{18}{11}\right)\}\)

- Kannst du die beiden wiederkehrenden Kehrwerte zunächst als eigene Unbekannte behandeln? - Welche lineare Kombination der beiden neuen Gleichungen beseitigt eine der Hilfsvariablen? - Nach dem Lösen für die Hilfsvariablen musst du noch zu \(x\) und \(y\) zurückkehren.

1. Setze \(u=\frac{1}{x+y}\) und \(v=\frac{1}{x-y}\). Dann entsteht das lineare Gleichungssystem \(3u+4v=1\) und \(5u-2v=0{,}8\). 2. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\): \(10u-4v=1{,}6\). Addition mit der ersten Gleichung ergibt \(13u=2{,}6\), also \(u=0{,}2\). 3. Einsetzen in \(3u+4v=1\) liefert \(v=0{,}1\). 4. Rücksubstitution ergibt \(x+y=5\) und \(x-y=10\). 5. Addition dieser beiden Gleichungen liefert \(2x=15\), also \(x=7{,}5\). Danach ist \(y=-2{,}5\). 6. Die Lösung erfüllt die beiden ursprünglichen Bedingungen \(x+y\neq0\) und \(x-y\neq0\).

\(L=\{(7{,}5\mid-2{,}5)\}\)

- Manchmal reicht es nicht, nur eine Gleichung zu multiplizieren. Kannst du beide Gleichungen so verändern, dass eine Variable die gleichen Koeffizienten mit unterschiedlichen Vorzeichen hat? - Suche das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten einer Variablen. - Überlege dir, ob es einfacher ist, \(x\) oder \(y\) zu eliminieren.

1. Beide Gleichungen multiplizieren, um die Koeffizienten von \(y\) auf das kleinste gemeinsame Vielfache (12) zu bringen: Erste Gleichung mit 3 und zweite Gleichung mit 4 multiplizieren. 2. Resultierende Gleichungen: \(9x + 12y = 15\) und \(8x - 12y = 36\). 3. Gleichungen addieren: \((9x + 12y) + (8x - 12y) = 15 + 36\). 4. Terme zusammenfassen: \(17x = 51\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(x = 3\). 6. Den Wert \(x = 3\) in die ursprüngliche erste Gleichung einsetzen: \(3 \cdot 3 + 4y = 5\). 7. Nach \(y\) auflösen: \(9 + 4y = 5 \implies 4y = -4 \implies y = -1\). 8. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(3|-1)\}\).

\(L = \{(3|-1)\}\)

- Hier ist es hilfreich, beide Gleichungen so zu multiplizieren, dass die Koeffizienten einer Variablen den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben. - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Koeffizienten von \(x\) oder \(y\). - Lass dich von Brüchen im Ergebnis nicht verunsichern; rechne Schritt für Schritt weiter. - Wie kannst du Brüche beim Einsetzen geschickt kürzen?

1. Finden eines gemeinsamen Vielfachen für die Koeffizienten einer Variablen, zum Beispiel für \(y\) (\(\text{kgV}(15, 20) = 60\)). 2. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(4\) und der zweiten Gleichung mit \(-3\): \(88x - 60y + 4 = 0\) und \(-99x + 60y - 12 = 0\). 3. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(y\): \((88x - 99x) + (-60y + 60y) + (4 - 12) = 0 \Rightarrow -11x - 8 = 0\). 4. Auflösen nach \(x\): \(-11x = 8 \Rightarrow x = -\frac{8}{11}\). 5. Einsetzen von \(x = -\frac{8}{11}\) in die erste Gleichung: \(22 \cdot (-\frac{8}{11}) - 15y + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot (-8) - 15y + 1 = 0\). 6. Vereinfachen der Gleichung: \(-16 - 15y + 1 = 0 \Rightarrow -15 - 15y = 0\). 7. Auflösen nach \(y\): \(-15y = 15 \Rightarrow y = -1\). Die Lösung ist \((-\frac{8}{11}|-1)\).

\((-\frac{8}{11}|-1)\)

- Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Beträge \(5\) und \(3\)? - Die beiden neuen \(y\)-Koeffizienten müssen gleiche Beträge und verschiedene Vorzeichen haben. - Erst nach dem Addieren sollte nur noch eine Variable übrig bleiben.

1. Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(5\) und \(3\) ist \(15\). Daher wird die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(5\) multipliziert. 2. Es entstehen \(18x-15y=33\) und \(20x+15y=195\). 3. Addition ergibt \(38x=228\), also \(x=6\). 4. Einsetzen in die zweite Ausgangsgleichung liefert \(24+3y=39\), also \(y=5\). 5. Damit ist \(L=\{(6|5)\}\).

a) Erste Gleichung mit \(3\), zweite Gleichung mit \(5\) b) \(18x-15y=33\), \(20x+15y=195\); danach \(38x=228\) c) \(L=\{(6|5)\}\)

- Welcher Faktor beseitigt alle Dezimalstellen in beiden Gleichungen? - Wähle danach Faktoren, die die \(y\)-Koeffizienten zu Gegenzahlen machen. - Führe die Probe ausdrücklich in den ursprünglichen, nicht in den bereits vereinfachten Gleichungen durch.

1. Multipliziere beide Gleichungen mit \(10\). Es entsteht das äquivalente LGS \(\begin{cases}4x-3y=5\\5x+2y=12\end{cases}\). 2. Multipliziere die erste ganzzahlige Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(8x-6y=10\) und \(15x+6y=36\). 3. Addition ergibt \(23x=46\), also \(x=2\). 4. Einsetzen in \(5x+2y=12\) ergibt \(10+2y=12\), also \(y=1\). 5. Probe: \(0{,}4\cdot2-0{,}3\cdot1-0{,}5=0\) und \(0{,}5\cdot2+0{,}2\cdot1-1{,}2=0\). 6. Damit ist \(L=\{(2|1)\}\).

a) \(\begin{cases}4x-3y=5\\5x+2y=12\end{cases}\) b) \(L=\{(2|1)\}\) c) Das Paar erfüllt beide ursprünglichen Gleichungen.

- Prüfe, welche \(x\)-Koeffizienten nach Sofias Multiplikation tatsächlich vorliegen. - Für eine Elimination durch Addition müssen sich die betreffenden Terme gegenseitig aufheben. - Kontrolliere nach der Korrektur die gefundene Lösung in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Nach Multiplikation von (I) mit \(2\) hätten beide Gleichungen den \(x\)-Term \(4x\). Beim Addieren würden daraus \(8x\); \(x\) verschwindet also nicht. 2. Für eine Elimination durch Addition muss (I) mit \(-2\) multipliziert werden: \(-4x-6y=-26\). 3. Addieren mit (II) ergibt \(-11y=-33\), also \(y=3\). 4. Einsetzen in (I) liefert \(2x+9=13\), also \(x=2\).

Der Faktor \(2\) erzeugt gleiche statt entgegengesetzter \(x\)-Koeffizienten. Mit dem Faktor \(-2\) lässt sich \(x\) durch Addition eliminieren. Die Lösung ist \((2|3)\).

- Vergleiche die Zahlen in (I) mit denen in (Ia) – was fällt dir auf? - Welche Terme heben sich beim Addieren auf? - Welche Terme heben sich beim Subtrahieren auf?

1. Analyse: (I) wurde mit \(2\) multipliziert (\(9 \cdot 2=18, 6 \cdot 2=12, 12 \cdot 2=24\)). (II) wurde mit \(3\) multipliziert (\(6 \cdot 3=18, 4 \cdot 3=12, 24 \cdot 3=72\)). 2. Rechenoperationen: Durch Addition von (Ia) und (IIa) wird \(y\) eliminiert. Durch Subtraktion, zum Beispiel (IIa) minus (Ia), wird \(x\) eliminiert. 3. Addition von (Ia) und (IIa): \(36x = 96 \implies x = \frac{96}{36} = \frac{8}{3}\) oder \(x \approx 2{,}67\). 4. Einsetzen von \(x = \frac{8}{3}\) in (II): \(6 \cdot \frac{8}{3} + 4y = 24 \implies 16 + 4y = 24 \implies 4y = 8 \implies y = 2\). 5. Ergebnis: \(L = \{(\frac{8}{3}|2)\}\).

a) Gleichung (I) wurde mit \(2\) multipliziert, Gleichung (II) mit \(3\). b) Durch Addition wird \(y\) eliminiert; durch Subtraktion wird \(x\) eliminiert. c) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(\frac{8}{3}|2)\}\).

- Welche Zahl muss vor dem \(x\) in der zweiten Gleichung stehen, damit \(x + (\dots)x = 0\) ergibt? - Du kannst dir für die Zahl vor dem \(y\) jede beliebige Zahl außer \(-1\) aussuchen. - Wie berechnest du das Ergebnis auf der rechten Seite der Gleichung, wenn du \(x\), \(y\) und die Koeffizienten schon kennst?

1. Bestimmung des Koeffizienten: Damit \(x\) wegfällt, muss der Koeffizient \(a\) in Gleichung (II) die Gegenzahl zu \(1\) (aus Gleichung I) sein, also \(a = -1\). 2. Aufstellen der Gleichung: Ansatz \(-x + by = c\). Wahl eines Wertes \(b \ne -1\), zum Beispiel \(b = 2\). Für \(b = -1\) wäre die zweite Gleichung nur das Negative der ersten Gleichung und das System hätte keine eindeutige Lösung. 3. Berechnung von \(c\): Einsetzen der Lösung \((5|2)\) ergibt \(-5 + 2 \cdot 2 = c \Rightarrow -5 + 4 = -1\). Die Gleichung (II) lautet \(-x + 2y = -1\). 4. Kontrolle durch Addition: \((x - x) + (y + 2y) = 7 + (-1) \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen von \(y = 2\) in (I) ergibt \(x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5\). Das konstruierte System ist korrekt.

Eine mögliche Gleichung ist (II) \(-x + 2y = -1\). Auch andere Gleichungen der Form \(-x + by = -5 + 2b\) mit \(b \ne -1\) sind korrekt. Die Kontrolle bestätigt die Lösung \((5|2)\).

- Wähle für die Koeffizienten von \(x\) Werte, die keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind (z. B. 2 und 3). - Achte darauf, dass die Zahlen vor dem \(y\) so gewählt sind, dass sie sich nicht gleichzeitig mit \(x\) aufheben. - Wie findest du ein gemeinsames Vielfaches für die Koeffizienten von \(x\)?

1. Wahl von Koeffizienten für \(x\) und \(y\), die keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sind: z. B. (I) \(2x + 3y\) und (II) \(3x + 2y\). 2. Berechnung der Konstanten mit \(x = 3\) und \(y = 4\): \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\) und \(3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17\). 3. Das System lautet: (I) \(2x + 3y = 18\) und (II) \(3x + 2y = 17\). 4. Vorbereitung zur Elimination von \(x\): Multipliziere (I) mit \(3\) und (II) mit \(-2\). 5. Neue Gleichungen: (I') \(6x + 9y = 54\) und (II') \(-6x - 4y = -34\). 6. Addition: \((6x - 6x) + (9y - 4y) = 54 - 34 \Rightarrow 5y = 20\). 7. Ergebnis: \(y = 4\). Durch Einsetzen folgt \(x = 3\).

Ein mögliches System ist: (I) \(2x + 3y = 18\) (II) \(3x + 2y = 17\) Zur Elimination von \(x\) multipliziert man (I) mit \(3\) und (II) mit \(-2\), sodass \(6x\) und \(-6x\) entstehen. Die Addition ergibt \(5y = 20\), also \(y = 4\).

- Multipliziere zuerst die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor dem Bruch steht. - Sortiere die Gleichungen so, dass alle Terme mit \(x\) und \(y\) auf einer Seite stehen, bevor du das Additionsverfahren anwendest.

1. Multiplikation von (I) mit dem Hauptnenner \(6\): \(3 \cdot (x-2) + 2 \cdot (y+1) = 12\). Vereinfachen: \(3x - 6 + 2y + 2 = 12 \Rightarrow 3x + 2y = 16\). 2. Multiplikation von (II) mit dem Hauptnenner \(6\): \(2 \cdot (x+4) - 3 \cdot (y-1) = 0\). Vereinfachen: \(2x + 8 - 3y + 3 = 0 \Rightarrow 2x - 3y = -11\). 3. Multiplikation der ersten neuen Gleichung mit \(3\) und der zweiten mit \(2\): \(9x + 6y = 48\) und \(4x - 6y = -22\). 4. Addition der Gleichungen: \(13x = 26\), also \(x = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in \(3x + 2y = 16\): \(6 + 2y = 16 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2 | 5)\}\).

\(L = \{(2 | 5)\}\)

- Was passiert mit den Koeffizienten, wenn du sie addierst? Fällt dir eine Gemeinsamkeit auf? - Kannst du die Summe der Gleichungen durch eine bestimmte Zahl teilen, um sie extrem zu vereinfachen? - Dieser spezielle Weg funktioniert besonders gut, wenn die Zahlen „über Kreuz“ gleich sind.

1. Addition (I) + (II): \(11x + 13x + 13y + 11y = 25 + 23 \Rightarrow 24x + 24y = 48\). 2. Vereinfachen durch Division durch \(24\): \(x + y = 2\). 3. Subtraktion (I) - (II): \(11x - 13x + 13y - 11y = 25 - 23 \Rightarrow -2x + 2y = 2\). 4. Vereinfachen durch Division durch \(2\): \(-x + y = 1\). 5. Neues System lösen: (A) \(x + y = 2\) (B) \(-x + y = 1\) 6. Addition von (A) und (B): \(2y = 3 \Rightarrow y = 1{,}5\). 7. Einsetzen in (A): \(x + 1{,}5 = 2 \Rightarrow x = 0{,}5\). 8. Lösungsmenge \(L = \{(0{,}5 | 1{,}5)\}\). 9. Der Vorteil liegt darin, dass man die hohen Koeffizienten sofort reduziert, anstatt mit sehr großen Zahlen (wie \(11 \cdot 13 = 143\)) zu rechnen, was fehleranfällig ist.

a) \(x + y = 2\) b) \(-x + y = 1\) c) \(L = \{(0{,}5 | 1{,}5)\}\) d) Durch Addition und Subtraktion entstehen Gleichungen mit sehr kleinen Koeffizienten. Das erspart das Rechnen mit großen Zahlen wie \(143\), das beim direkten Eliminieren nötig wäre.

- Behandle \(u\) und \(v\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Vergleiche die Koeffizienten von \(x\) und \(y\): Welche Variable verschwindet beim Addieren, welche beim Subtrahieren? - Kontrolliere deine beiden Terme symbolisch in den Ausgangsgleichungen.

1. Beide Gleichungen addieren: \(2x=6u+4v\), also \(x=3u+2v\). 2. Gleichung (II) von Gleichung (I) subtrahieren: \(2y=4u-6v\), also \(y=2u-3v\). 3. Einsetzen der Terme in beide Ausgangsgleichungen bestätigt die Lösung.

\(x=3u+2v\) und \(y=2u-3v\)

- Betrachte die Koeffizienten von \(y\) in beiden Gleichungen. - Der Parameter \(a\) wird beim Addieren wie eine feste Zahl behandelt. - Prüfe die gefundenen Terme durch Rückeinsetzen in beide Gleichungen.

1. Beide Gleichungen addieren: \(6x=12a\). 2. Daher ist \(x=2a\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (I): \(4(2a)+3y=10a \Rightarrow 3y=2a\). 4. Somit ist \(y=\frac{2}{3}a\).

\(x=2a\) und \(y=\frac{2}{3}a\)

- Beim Addieren und Subtrahieren kannst du hier jeweils eine andere Variable eliminieren. - Behandle \(k\) während des Rechnens wie eine feste Zahl. - Prüfe die symbolische Lösung in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Beide Gleichungen addieren: \(8x=16k\), also \(x=2k\). 2. Gleichung (II) von Gleichung (I) subtrahieren: \(6y=6k\), also \(y=k\). 3. Damit ist das Lösungspaar \((2k|k)\).

\((2k|k)\)

- Welche Variable verschwindet beim direkten Addieren der beiden Gleichungen? - Nutze danach eine Ausgangsgleichung, um die zweite Variable als Term in \(a\) zu bestimmen. - Übersetze die Bedingung aus Teil b) in eine Gleichung zwischen deinen beiden Termen.

1. Gleichungen (I) und (II) addieren: \(4x=8a-4\), also \(x=2a-1\). 2. In Gleichung (II) einsetzen: \((2a-1)-2y=a-5\). 3. Umformen: \(-2y=-a-4\), also \(y=\frac{a+4}{2}\). 4. Für \(x=y\) gilt \(2a-1=\frac{a+4}{2}\). 5. Auflösen: \(4a-2=a+4 \Rightarrow 3a=6 \Rightarrow a=2\).

a) \(x=2a-1\) und \(y=\frac{a+4}{2}\) b) \(a=2\)

- Welche gemeinsamen Vielfachen beseitigen die Nenner in jeder Gleichung vollständig? - Suche danach Faktoren, durch die die \(b\)-Koeffizienten Gegenzahlen werden. - Halte die Ein-Variablen-Gleichung nach dem Addieren ausdrücklich fest.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(6\) ergibt \(3a+2b=19\). 2. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(12\) ergibt \(4a-3b=14\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(2\): \(9a+6b=57\) und \(8a-6b=28\). 4. Addieren ergibt \(17a=85\), also \(a=5\). 5. Einsetzen liefert \(b=2\).

Äquivalentes LGS: \(\begin{cases}3a+2b=19\\4a-3b=14\end{cases}\). Nach dem Eliminieren von \(b\): \(17a=85\). Lösung: \((a|b)=(5|2)\).

- Beseitige die Nenner jeder Gleichung mit einem passenden gemeinsamen Vielfachen. - Vergleiche danach die \(x\)-Koeffizienten der beiden vereinfachten Gleichungen. - Welche Subtraktion eliminiert \(x\) unmittelbar?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(12\) und Vereinfachen ergibt \(7x-6y=7\). 2. Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(10\) und Vereinfachen ergibt \(7x+3y=20\). 3. Subtrahiere die erste vereinfachte Gleichung von der zweiten. Dadurch fällt \(x\) weg und es entsteht \(9y=13\). 4. Also ist \(y=\frac{13}{9}\). 5. Einsetzen liefert \(x=\frac{47}{21}\).

Äquivalentes LGS: \(\begin{cases}7x-6y=7\\7x+3y=20\end{cases}\). Nach dem Eliminieren von \(x\): \(9y=13\). Lösung: \(\left(\frac{47}{21}\middle|\frac{13}{9}\right)\).

- Multipliziere zuerst beide Produktgleichungen aus und prüfe, welche Terme auf beiden Seiten wegfallen. - Schreibe erst danach das tatsächlich lineare LGS hin. - Wähle für das Additionsverfahren einen Faktor, der eine Variable eliminiert.

1. Ausmultiplizieren und Kürzen von \(xy\) liefert aus der ersten Gleichung \(5x-2y=1\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt nach dem Vereinfachen \(x-y=2\). 3. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und subtrahiere sie von der ersten. Es entsteht \(3x=-3\). 4. Damit ist \(x=-1\); aus \(x-y=2\) folgt \(y=-3\).

Lineares LGS: \(\begin{cases}5x-2y=1\\ x-y=2\end{cases}\). Eliminationsgleichung: \(3x=-3\). Lösung: \((-1|-3)\).

- Kannst du die Terme im Nenner als Ganzes betrachten? - Gibt es ein Verfahren, um die Brüche komplett zu eliminieren, bevor du nach \(x\) und \(y\) suchst? - Hast du nach der ersten Lösung daran gedacht, dass du noch die ursprünglichen Variablen finden musst? - Prüfe am Ende, ob deine Werte die Nenner nicht null werden lassen.

1. Definitionsbedingungen: \(x+2y\neq0\) und \(2x-y\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{x+2y}\) und \(v=\frac{1}{2x-y}\). Dann entsteht das lineare System \(10u+5v=3\) und \(5u-10v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\): \(20u+10v=6\). Addieren mit der zweiten Gleichung ergibt \(25u=5\), also \(u=\frac15=0{,}2\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(2+5v=3\), somit \(v=\frac15=0{,}2\). 5. Rücksubstitution: \(x+2y=5\) und \(2x-y=5\). 6. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und addiere: \(5x=15\), also \(x=3\). Dann folgt \(y=1\). 7. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(3 \mid 1)\}\)

- Was passiert, wenn du die gesamten Nenner als neue Variablen betrachtest? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen zu eliminieren, nachdem du substituiert hast? - Vergiss nicht, nach der ersten Lösung die Kehrwerte zu bilden, um die Gleichungen für die gesuchten Variablen aufzustellen. - Prüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Originalgleichungen.

1. Definitionsbedingungen: \(3a+b\neq0\) und \(a+2b\neq0\). 2. Setze \(u=\frac{1}{3a+b}\) und \(v=\frac{1}{a+2b}\). Dann gilt \(21u+8v=5\) und \(14u-12v=-1\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(42u+16v=10\) und \(42u-36v=-3\). 4. Subtraktion ergibt \(52v=13\), also \(v=\frac14\). 5. Einsetzen: \(21u+2=5\Rightarrow u=\frac17\). 6. Rücksubstitution: \(3a+b=7\) und \(a+2b=4\). 7. Aus \(a=4-2b\) folgt \(3(4-2b)+b=7\Rightarrow b=1\) und damit \(a=2\). 8. Die Lösung erfüllt beide Definitionsbedingungen.

\(L=\{(2 \mid 1)\}\) für das geordnete Paar \((a \mid b)\).

- Behandle \(u\) und \(v\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Wähle einen Multiplikator, sodass sich eine Variable beim Addieren vollständig aufhebt. - Kontrolliere die beiden gefundenen Terme symbolisch in den Ausgangsgleichungen.

1. Gleichung (II) mit \(2\) multiplizieren: \(4x-2y=2u+6v\). 2. Mit Gleichung (I) addieren: \(5x=5u+5v\), also \(x=u+v\). 3. Rückeinsetzen in Gleichung (I): \((u+v)+2y=3u-v\). 4. Zusammenfassen: \(2y=2u-2v\), also \(y=u-v\).

\(x=u+v\) und \(y=u-v\)